| Вам могут также быть полезны следующие сервисы |
| Дроби |
| Калькулятор интервальных повторений |
| Учим дроби наглядно |
| Калькулятор сокращения дробей |
| Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную |
| Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей |
| Калькулятор возведения дроби в степень |
| Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную |
| Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную |
| Калькулятор сравнения дробей |
| Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю |
| Калькуляторы (тригонометрия) |
| Калькулятор синуса угла |
| Калькулятор косинуса угла |
| Калькулятор тангенса угла |
| Калькулятор котангенса угла |
| Калькулятор секанса угла |
| Калькулятор косеканса угла |
| Калькулятор арксинуса угла |
| Калькулятор арккосинуса угла |
| Калькулятор арктангенса угла |
| Калькулятор арккотангенса угла |
| Калькулятор арксеканса угла |
| Калькулятор арккосеканса угла |
| Калькуляторы систем счисления |
| Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские |
| Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел |
| Системы счисления теория |
| N2 | Двоичная система счисления |
| N3 | Троичная система счисления |
| N4 | Четырехичная система счисления |
| N5 | Пятеричная система счисления |
| N6 | Шестеричная система счисления |
| N7 | Семеричная система счисления |
| N8 | Восьмеричная система счисления |
| N9 | Девятеричная система счисления |
| N11 | Одиннадцатиричная система счисления |
| N12 | Двенадцатеричная система счисления |
| N13 | Тринадцатеричная система счисления |
| N14 | Четырнадцатеричная система счисления |
| N15 | Пятнадцатеричная система счисления |
| N16 | Шестнадцатеричная система счисления |
| N17 | Семнадцатеричная система счисления |
| N18 | Восемнадцатеричная система счисления |
| N19 | Девятнадцатеричная система счисления |
| N20 | Двадцатеричная система счисления |
| N21 | Двадцатиодноричная система счисления |
| N22 | Двадцатидвухричная система счисления |
| N23 | Двадцатитрехричная система счисления |
| N24 | Двадцатичетырехричная система счисления |
| N25 | Двадцатипятеричная система счисления |
| N26 | Двадцатишестеричная система счисления |
| N27 | Двадцатисемеричная система счисления |
| N28 | Двадцативосьмеричная система счисления |
| N29 | Двадцатидевятиричная система счисления |
| N30 | Тридцатиричная система счисления |
| N31 | Тридцатиодноричная система счисления |
| N32 | Тридцатидвухричная система счисления |
| N33 | Тридцатитрехричная система счисления |
| N34 | Тридцатичетырехричная система счисления |
| N35 | Тридцатипятиричная система счисления |
| N36 | Тридцатишестиричная система счисления |
| Калькуляторы (Теория чисел) |
| Калькулятор выражений |
| Калькулятор со скобками |
| Калькулятор разложения числа на простые множители |
| Калькулятор НОД и НОК |
| Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида |
| Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел |
| Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых |
| Калькулятор деления числа в данном отношении |
| Калькулятор процентов |
| Калькулятор перевода числа с Е в десятичное |
| Калькулятор экспоненциальной записи чисел |
| Калькулятор нахождения факториала числа |
| Калькулятор нахождения логарифма числа |
| Калькулятор квадратных уравнений |
| Калькулятор остатка от деления |
| Калькулятор корней с решением |
| Калькулятор нахождения периода десятичной дроби |
| Калькулятор больших чисел |
| Калькулятор округления числа |
| Калькуляторы площади геометрических фигур |
| Площадь квадрата |
| Площадь прямоугольника |
| Калькуляторы (Комбинаторика) |
| Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов |
| Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов |
| Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов |
| Генератор Pdf с примерами |
| Тренажёры решения примеров |
| Тренажёр таблицы умножения |
| Тренажер счета для дошкольников |
| Тренажер счета на внимательность для дошкольников |
| Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ. |
| Тренажер решения примеров с разными действиями |
| Тренажёры решения столбиком |
| Тренажёр сложения столбиком |
| Тренажёр вычитания столбиком |
| Тренажёр умножения столбиком |
| Тренажёр деления столбиком с остатком |
| Калькуляторы решения столбиком |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком |
| Калькулятор деления столбиком с остатком |
| Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия |
| Калькулятор сложения и вычитания матриц |
| Калькулятор умножения матриц |
| Калькулятор транспонирование матрицы |
| Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы |
| Калькулятор нахождения обратной матрицы |
| Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками |
| Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам |
| Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора |
| Калькулятор сложения и вычитания векторов |
| Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами |
| Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты |
| Калькулятор векторного произведения векторов через координаты |
| Калькулятор смешанного произведения векторов |
| Калькулятор умножения вектора на число |
| Калькулятор нахождения угла между векторами |
| Калькулятор проверки коллинеарности векторов |
| Калькулятор проверки компланарности векторов |
| Конвертеры величин |
| Конвертер единиц длины |
| Конвертер единиц скорости |
| Конвертер единиц ускорения |
| Калькуляторы (физика) |
Механика |
| Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния |
| Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения |
| Калькулятор вычисления времени движения |
| Калькулятор времени |
| Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения. |
| Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния. |
| Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости |
| Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы. |
| Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения |
Оптика |
| Калькулятор отражения и преломления света |
Электричество и магнетизм |
| Калькулятор Закона Ома |
| Калькулятор Закона Кулона |
| Калькулятор напряженности E электрического поля |
| Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q |
| Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q |
| Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q |
| Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q |
| Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля |
| Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы |
Конденсаторы |
| Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе |
| Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе |
| Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора |
| Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькуляторы по астрономии |
| Вес тела на других планетах |
| Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках |
| Генераторы |
| Генератор примеров по математике |
| Генератор случайных чисел |
| Генератор паролей |
Перевести обыкновенную дробь в десятичную. Калькулятор онлайн.
Как перевести обыкновенную дробь в десятичнуюДесятичные дроби стали использовать для более удобной записи обыкновенных дробей. Чтобы записать десятичную дробь необходимо целую и дробную части отделить друг от друга запятой. Если дробь не содержит целой части, необходимо поставить ноль перед запятой. Если дробь имеет знаменатель вида 10, 100, 1000 и т.д. и количество цифр в числителе меньше, чем в знаменателе, то для перевода такой дроби в обыкновенную необходимо посчитать число цифр в числителе и число нулей в знаменателе. Например, у дроби
(ноль целых 12 тысячных) 2 цифры в числителе и 3 ноля в знаменателе. 3 – 2 = 1, следовательно, необходимо записать один ноль после запятойПриведем еще пример, дробь
У этой дроби в числителе 1 цифра, 3 ноля в знаменателе. 3 – 1 = 2, следовательно, необходимо записать два ноля после запятой
И последний пример, дробь
У данной дроби в числителе 2 цифры и в знаменателе 2 ноля. 2 – 2 = 0, следовательно, не нужно добавлять ноль после запятой
В случае если знаменатель дроби является числом отличным от чисел типа 10, 100, 1000 и т.д., то тогда необходимо такую дробь привести к знаменателю вида 10, 100, 1000 и т.д. Первым делом необходимо привести дробь к несократимому виду. Затем разложить знаменатель дроби на простые множители. Если в разложении будет хотя бы один множитель отличный от 2 или 5, то такую дробь можно представить только в виде бесконечной десятичной дроби. Если в разложении дроби все множители являются числами 2 или 5, тогда необходимо сделать так, чтобы число двоек и пятерок было одинаковым. Для этого нужно до множить числитель и знаменатель дроби на недостающее количество двоек или пятерок. Например,
| 1∙5∙5 | = | |
| 2∙2∙2∙5∙5∙5 |
Приведем еще один пример
| 6 | 101 | = |
| 2∙2∙2∙5∙5 |
| 6 | 101∙5 | = |
| 2∙2∙2∙5∙5∙5 |
Приведем пример бесконечной десятичной дроби
При переводе данной дроби в десятичную получается бесконечная десятичная дробь
Более подробно о десятичных дробях можно прочитать в данной статье.
Механика
Оптика
Электричество и магнетизм
Конденсаторы
Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь
- Главная
- Математические калькуляторы
- Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь
Десятичные дроби — это дробные числа, которые представлены в десятичной записи.
Десятичные дроби используются для более компактной записи правильных обыкновенных дробей, знаменателями которых являются числа 10, 100, 1000 и т.д. и смешанные числа, знаменателями дробной части которых являются числа 10, 100, 1000 и т.д.
Например, обыкновенную дробь 810 можно записать в виде десятичной дроби 0,8, а смешанное число 4058100 — в виде десятичной дроби 405,08.
Онлайн калькулятор для преобразование десятичных дробей в обыкновенные дроби позволяет быстро перевести десятичные дроби в обыкновенные дроби.
Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:
1. Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой n.
2. Переписать исходное число в виде дроби вида a10n, где a — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а n — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с n нулями.
3. По возможности сократить полученную дробь.
Например:
0,64 = 64100 = 1625
Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому n = 2. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64.
Переходим ко второму шагу: 10n = 102 = 100, поэтому в знаменателе стоит именно сто.
Затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. НОД (64, 100) = 4.
Поделиться страницей в социальных сетях:Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
После того, как я сделал несколько калькуляторов для перевода между разными системами счисления — вот список от первой до последней версии, от самого простого к сложному: Перевод числа в другие системы счисления, Перевод из десятичной системы счисления, Перевод из одной системы счисления в другую — в комментариях стали периодически спрашивать — а что же, мол, дробные числа, как же их переводить? И когда спросили больше трех раз, я таки решил изучить этот вопрос.
Результатом стал калькулятор, который вы видите ниже, он умеет переводить и дробные числа в том числе. Как водится, для любознательных под калькулятором немного теории.
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
Основание системы счисления исходного числа
Основание системы счисления переведенного числа
Точность вычисленияЗнаков после запятой: 8
Переведенное число
Исходное число в десятичной системе счисления
Переведенное число в десятичной системе счисления
Погрешность перевода (в десятичном выражении)
Максимальная погрешность перевода (в десятичном выражении)
content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет
Теперь теория. Я, честно говоря, думал, что вопрос довольно сложный, но при ближайшем рассмотрении все оказалось проще простого. Надо было только держать в голове тот факт, что речь идет о позиционных системах счисления.
В чем тут суть? Рассмотрим на примере десятичного числа 6.125. Это дробное число в десятичной системе счисления представляется так:
Все просто, не так ли? Та же самая простота сохраняется и при записи дробного числа в любой другой системе счисления. Возьмем, например, горячо любимую каждым программистом двоичную систему и число, например, 110.001. Эта запись есть не что иное как
Да-да, число для примера было выбрано не просто так. То есть, 110.001 в двоичной системе есть 6.125 в десятичной. Принцип, я думаю, ясен.
Есть только одно но — все-таки из-за того, что здесь участвую дроби с разными знаменателями, не всегда одно и тоже число можно одинаково точно выразить в разных системах счисления. Что я имею в виду?
Возьмем, например, число . Отлично смотрится в десятичной системе счисления. Но вот если попробовать получить запись этого числа в двоичной системе счисления — будут проблемы. Попробуем, пока не устанем
Продолжать можно еще довольно долго, но уже сейчас видно, что 0.8 в десятичной системе это 0.11001100…(дальше очень много цифр) в двоичной. Если честно, то это периодическое число с перидом 1100, так что мы никогда не сможем выразить его точно в двоичной системе счисления. 110011001100… будет продолжаться до бесконечности.
Поэтому перевод дробного числа из одной системы счисления в другую чаще всего дает погрешность. Погрешность эта зависит от того, сколько разрядов мы используем для записи дробной части переведенного числа. Возьмем пример с числом 0.8 и используем для записи его двоичного представления шесть разрядов после запятой — 0.110011. Полученное число вовсе не 0.8, а 0.796875, разница при этом составляет 0.003125. Это и есть наша погрешность перевода десятичного числа 0.8 в двоичный вид при использовании шести разрядов после запятой.
Вес крайнего правого разряда (самого младшего разряда) называется разрешением (resolution) или точностью (precision), и определяет наименьшее неравное нулю число, которое может быть представлено данным числом разрядов. Для нашего примера это . При этом максимально возможная погрешность представления числа, как нетрудно сообразить, не превышает половины этого веса, или 0.0078125. Так что для 0.8 мы имеем еще и не самую плохую погрешность.
Вот, собственно, и все.
1 16 в десятичной дроби
Вы искали 1 16 в десятичной дроби? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 2 3 перевести в десятичную дробь, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 16 в десятичной дроби».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 16 в десятичной дроби,1 2 3 перевести в десятичную дробь,1 6 перевести в десятичную дробь,1 перевести в дробь обыкновенную дробь в десятичную,1 перевести в дробь обыкновенную дробь в десятичную дробь,10 перевести в десятичную дробь,2 3 перевести в десятичную дробь,4 6 в десятичной дроби,8 125 перевести в десятичную дробь,в десятичную дробь калькулятор,в десятичную дробь онлайн,десятичная дробь в дробь калькулятор,десятичная дробь в обыкновенную калькулятор,десятичная дробь в обыкновенную онлайн,десятичная дробь калькулятор,десятичную в дробь калькулятор,десятичную в дробь онлайн,десятичную дробь перевести,десятичную дробь перевести в обычную онлайн,десятичные в обыкновенные дроби калькулятор,десятичные дроби в обыкновенную калькулятор,десятичные дроби в обыкновенные калькулятор,десятичные дроби и обыкновенные калькулятор,десятичные дроби калькулятор,десятичные дроби калькулятор онлайн,дроби в виде десятичной дроби калькулятор,дроби в десятичные,дроби в десятичные дроби калькулятор онлайн,дроби перевести,дроби перевести в десятичные,дроби перевести в десятичные калькулятор,дроби перевод,дробь 3 7 перевести в десятичную дробь,дробь в десятичную,дробь в десятичную калькулятор,дробь в десятичную онлайн,дробь перевести,дробь перевести в,дробь перевести в десятичную,дробь перевести в десятичную калькулятор,из десятичной дроби в обыкновенную калькулятор,из дробей в десятичные калькулятор,из дроби в десятичную,из дроби в десятичную калькулятор,из дроби в десятичную онлайн,из дроби перевести в десятичную,из обыкновенной дроби в десятичную калькулятор,из обычной дроби в десятичную калькулятор,как в десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь калькулятор,как возвести дробь в десятичную дробь,как десятичную дробь перевести в неправильную дробь калькулятор,как десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь калькулятор,как десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь онлайн,как десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь онлайн калькулятор,как десятичную дробь перевести в обыкновенную калькулятор,как десятичную дробь перевести в обыкновенную онлайн,как десятичную дробь перевести в обычную дробь калькулятор,как десятичную дробь перевести в обычную калькулятор,как десятичную дробь перевести в обычную онлайн,как дробь возвести в десятичную дробь,как дробь перевести в десятичную дробь калькулятор,как дробь перевести в десятичную дробь калькулятор онлайн,как дробь перевести в десятичную калькулятор,как дробь перевести в десятичную калькулятор онлайн,как дробь перевести в десятичную онлайн калькулятор,как неправильную дробь перевести в десятичную,как неправильную дробь перевести в десятичную дробь,как обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь калькулятор,как обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь онлайн калькулятор,как обыкновенную дробь перевести в десятичную калькулятор,как обыкновенную дробь перевести в десятичную онлайн,как обычную дробь перевести в десятичную дробь калькулятор,как обычную дробь перевести в десятичную калькулятор,как обычную дробь перевести в десятичную онлайн,как одну вторую перевести в десятичную дробь,как перевести в десятичную дробь калькулятор,как перевести в десятичную дробь онлайн калькулятор,как перевести в обыкновенную дробь в десятичную дробь калькулятор,как перевести в обычную дробь в десятичную дробь калькулятор,как перевести десятичную дробь в неправильную,как перевести десятичную дробь в обыкновенную дробь калькулятор,как перевести десятичную дробь в обыкновенную калькулятор,как перевести десятичную дробь в обыкновенную онлайн,как перевести десятичную дробь в обыкновенную онлайн калькулятор,как перевести десятичную дробь в обычную дробь калькулятор,как перевести десятичную дробь в обычную калькулятор,как перевести десятичную дробь в обычную онлайн,как перевести десятичную дробь в число калькулятор,как перевести десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь калькулятор,как перевести дробь в десятичную дробь калькулятор,как перевести дробь в десятичную дробь калькулятор онлайн,как перевести дробь в десятичную дробь онлайн,как перевести дробь в десятичную калькулятор,как перевести дробь в десятичную калькулятор онлайн,как перевести дробь в десятичную онлайн калькулятор,как перевести из неправильной дроби в десятичную,как перевести неправильную дробь в десятичную,как перевести неправильную дробь в десятичную дробь,как перевести обыкновенную в десятичную дробь калькулятор,как перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь калькулятор,как перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь калькулятор онлайн,как перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь онлайн,как перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь онлайн калькулятор,как перевести обыкновенную дробь в десятичную калькулятор,как перевести обыкновенную дробь в десятичную калькулятор онлайн,как перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн,как перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн калькулятор,как перевести обычную дробь в десятичную дробь калькулятор,как перевести обычную дробь в десятичную калькулятор,как перевести обычную дробь в десятичную онлайн,как перевести отрицательную дробь в десятичную дробь,как перевести смешанную дробь в десятичную калькулятор,как превратить в дробь в десятичную дробь калькулятор,как превратить десятичную дробь в обыкновенную дробь калькулятор,как превратить неправильную дробь в десятичную дробь,как превратить обыкновенную дробь в десятичную дробь калькулятор,калькулятор в десятичную дробь,калькулятор дробей в десятичные,калькулятор дробей в десятичные дроби,калькулятор дробей обычных дробей в десятичные,калькулятор дробей онлайн перевод,калькулятор дробей перевод,калькулятор дробей перевод в десятичную,калькулятор дробь в десятичную,калькулятор дробь перевести в десятичную,калькулятор дробь перевод в десятичную,калькулятор из десятичной дроби в обыкновенную,калькулятор из дробей в десятичные,калькулятор из дроби в десятичную,калькулятор из обыкновенной дроби в десятичную,калькулятор из обычной дроби в десятичную,калькулятор обыкновенная дробь в десятичную,калькулятор обыкновенной дроби в десятичную онлайн калькулятор,калькулятор онлайн дроби в десятичные дроби,калькулятор онлайн перевод дробей,калькулятор перевести в десятичную дробь,калькулятор перевести десятичную дробь в дробь обыкновенную дробь в,калькулятор перевести десятичную дробь в обыкновенную,калькулятор перевести дроби в десятичные,калькулятор перевести дробь в десятичную,калькулятор перевести дробь в целое число,калькулятор перевести дробь в число,калькулятор перевести неправильную дробь в десятичную дробь калькулятор,калькулятор перевести обыкновенную дробь в десятичную,калькулятор перевод в десятичную дробь,калькулятор перевод десятичной дроби в обыкновенную,калькулятор перевод десятичных дробей в обыкновенные,калькулятор перевод дробей,калькулятор перевод дробей в десятичную,калькулятор перевод дробей в десятичные,калькулятор перевод дробей онлайн,калькулятор перевод дроби в десятичную,калькулятор перевод из десятичной дроби в обыкновенную,калькулятор перевод из обычной дроби в десятичную,калькулятор перевод обыкновенной дроби в десятичную,калькулятор перевод обычной дроби в десятичную,калькулятор перевода в десятичную дробь,калькулятор перевода десятичных дробей в обыкновенные,калькулятор перевода дробей,калькулятор перевода дробей в десятичные,калькулятор перевода дробей в десятичных дробей,калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную,калькулятор превратить дробь в десятичную дробь,калькулятор преобразование обыкновенной дроби в десятичную,неправильную дробь перевести в десятичную,обыкновенная дробь в десятичную калькулятор,обыкновенную дробь перевести в десятичную,обыкновенные в десятичные дроби калькулятор,обыкновенные дроби и десятичные калькулятор,обычная дробь в десятичную онлайн,обычную дробь в десятичную дробь калькулятор,обычную дробь перевести в десятичную,обычную дробь перевести в десятичную онлайн,обычные дроби перевести в десятичные,одну вторую перевести в десятичную дробь,онлайн десятичные дроби,онлайн калькулятор дробей перевод,онлайн калькулятор из дроби в десятичную онлайн,онлайн калькулятор обычных и десятичных дробей,онлайн калькулятор перевести десятичную дробь в обыкновенную,онлайн калькулятор перевести десятичную дробь в обыкновенную калькулятор онлайн,онлайн калькулятор перевести дробь в число,онлайн калькулятор перевести обыкновенную дробь в десятичную,онлайн калькулятор перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь калькулятор,онлайн калькулятор перевод дробей,онлайн перевести десятичную дробь в обычную,онлайн перевести дробь в десятичную,онлайн перевод в десятичную дробь,онлайн перевод в дроби,онлайн перевод в обыкновенную дробь,онлайн перевод десятичной дроби в обыкновенную,онлайн перевод дробей,онлайн перевод дробей в десятичные,онлайн перевод дроби в десятичную,онлайн перевод обыкновенной дроби в десятичную,онлайн перевод обыкновенных дробей в десятичные,онлайн переводчик дробей,онлайн переводчик дробей в десятичные,переведение дробей в десятичные,переведите в десятичную дробь в обыкновенную дробь,переведите в десятичную дробь обыкновенную,переведите в десятичную дробь обыкновенную дробь,переведите обыкновенную дробь в десятичную,перевести 10 в десятичную дробь,перевести в десятичную дробь,перевести в десятичную дробь 2 3,перевести в десятичную дробь калькулятор,перевести в десятичную дробь онлайн,перевести в десятичную дробь онлайн калькулятор,перевести в десятичные дроби,перевести в дробь,перевести в дробь онлайн,перевести в неправильную дробь в десятичную дробь калькулятор,перевести десятичную дробь,перевести десятичную дробь в неправильную,перевести десятичную дробь в обыкновенную калькулятор,перевести десятичную дробь в обыкновенную калькулятор онлайн,перевести десятичную дробь в обыкновенную онлайн,перевести десятичную дробь в обыкновенную онлайн калькулятор,перевести десятичную дробь в обычную онлайн,перевести десятичную дробь в обычную онлайн калькулятор,перевести десятичные в дроби,перевести десятичные дроби в,перевести десятичные дроби в обычные,перевести дроби,перевести дроби в десятичные,перевести дроби в десятичные калькулятор,перевести дроби в десятичные онлайн,перевести дробь,перевести дробь 1 9 в десятичную дробь,перевести дробь в,перевести дробь в десятичное число,перевести дробь в десятичную,перевести дробь в десятичную калькулятор,перевести дробь в десятичную онлайн,перевести дробь в десятичную онлайн калькулятор,перевести дробь в целое число калькулятор онлайн,перевести дробь в целое число онлайн калькулятор,перевести дробь в число калькулятор онлайн,перевести дробь в число онлайн,перевести дробь в число онлайн калькулятор,перевести дробь десятичную,перевести из десятичной дроби в обыкновенную онлайн,перевести из дроби в десятичную,перевести из обыкновенной дроби в десятичную,перевести неправильную дробь в десятичную,перевести обыкновенную в десятичную дробь калькулятор,перевести обыкновенную дробь в десятичную калькулятор,перевести обыкновенную дробь в десятичную калькулятор онлайн,перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн,перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн калькулятор,перевести обычную десятичную в дробь онлайн,перевести обычную дробь в десятичную,перевести обычную дробь в десятичную онлайн,перевести обычную дробь в десятичную онлайн калькулятор,перевести обычные дроби в десятичные,перевести онлайн обычную дробь в десятичную,перевести сложную дробь в десятичную дробь,перевести смешанную дробь в десятичную,перевод в десятичную дробь,перевод в десятичную дробь калькулятор,перевод в десятичную дробь онлайн,перевод в десятичные дроби,перевод в дроби,перевод в дробь из десятичной,перевод в обыкновенную дробь онлайн,перевод десятичной дроби,перевод десятичной дроби в обыкновенную калькулятор,перевод десятичной дроби в обыкновенную онлайн,перевод десятичную в дробь калькулятор,перевод десятичную дробь в дроби,перевод десятичных дробей в обыкновенные калькулятор,перевод дробей,перевод дробей в десятичную калькулятор,перевод дробей в десятичные,перевод дробей в десятичные калькулятор,перевод дробей в десятичные калькулятор онлайн,перевод дробей в десятичные онлайн,перевод дробей калькулятор,перевод дробей онлайн,перевод дробей онлайн калькулятор,перевод дроби,перевод дроби в,перевод дроби в десятичную,перевод дроби в десятичную дробь,перевод дроби в десятичную калькулятор,перевод дроби в десятичную онлайн,перевод дроби в число калькулятор,перевод дроби из десятичной в обыкновенную калькулятор,перевод дроби из обыкновенной в десятичную,перевод дроби из обыкновенной в десятичную онлайн,перевод дроби из обычной в десятичную,перевод дробь в десятичную дробь онлайн,перевод из десятичной дроби в обыкновенную калькулятор,перевод из дробей в десятичные,перевод из дробей в десятичные онлайн,перевод из дроби в десятичную,перевод из дроби в десятичную онлайн,перевод из обыкновенной дроби в десятичную,перевод из обыкновенной дроби в десятичную онлайн,перевод из обычной дроби в десятичную,перевод из обычной дроби в десятичную калькулятор,перевод из обычной дроби в десятичную онлайн,перевод неправильной дроби в десятичную,перевод обыкновенной дроби в десятичную,перевод обыкновенной дроби в десятичную калькулятор,перевод обыкновенной дроби в десятичную онлайн,перевод обыкновенных дробей в десятичные онлайн,перевод обычной дроби в десятичную,перевод обычной дроби в десятичную калькулятор,перевод обычной дроби в десятичную онлайн,перевод обычных дробей в десятичные,перевод обычных дробей в десятичные онлайн,перевод смешанных дробей в десятичные,переводим дробь в десятичную дробь,переводитель дробей в десятичные,переводчик в десятичную дробь,переводчик дробей,переводчик дробей в десятичные,переводчик дробей в десятичные онлайн,переводчик дробей в обыкновенные,переводчик дробей онлайн,переводчик из обыкновенной дроби в десятичную,переводчик обыкновенных дробей в десятичные,переводчик онлайн дробей,представить в виде десятичной дроби онлайн,представьте в виде дроби онлайн,преобразователь дробей,простую дробь перевести в десятичную,простые дроби перевести в десятичные дроби,смешанную дробь перевести в десятичную. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 16 в десятичной дроби. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 1 6 перевести в десятичную дробь).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 16 в десятичной дроби Онлайн?
Решить задачу 1 16 в десятичной дроби вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Перевод дробей в целые числа калькулятор. Рассмотрим действие на примере. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
В этой статье мы разберем, как осуществляется перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби , а также рассмотрим обратный процесс – перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби. Здесь мы озвучим правила обращения дробей и приведем подробные решения характерных примеров.
Навигация по странице.
Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби
Обозначим последовательность, в которой мы будем разбираться с переводом обыкновенных дробей в десятичные дроби .
Сначала мы рассмотрим, как обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, 1 000, … представить в виде десятичных дробей . Это объясняется тем, что десятичные дроби по сути являются компактной формой записи обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … .
После этого мы пойдем дальше и покажем, как любую обыкновенную дробь (не только со знаменателями 10, 100, … ) записать в виде десятичной дроби. При таком обращении обыкновенных дробей получаются как конечные десятичные дроби, так и бесконечные периодические десятичные дроби.
Теперь обо всем по порядку.
Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби
Некоторые правильные обыкновенные дроби перед переводом в десятичные дроби нуждаются в «предварительной подготовке». Это касается обыкновенных дробей, количество цифр в числителе которых меньше, чем количество нулей в знаменателе. Например, обыкновенную дробь 2/100 нужно предварительно подготовить к переводу в десятичную дробь, а дробь 9/10 в подготовке не нуждается.
«Предварительная подготовка» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби заключается в дописывании слева в числителе такого количества нулей, чтобы там общее количество цифр стало равно количеству нулей в знаменателе. Например, дробь после дописывания нулей будет иметь вид .
После подготовки правильной обыкновенной дроби можно приступать к ее обращению в десятичную дробь.
Дадим правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем 10, или 100, или 1 000, … в десятичную дробь . Оно состоит из трех шагов:
- записываем 0 ;
- после него ставим десятичную запятую;
- записываем число из числителя (вместе с дописанными нулями, если мы их дописывали).
Рассмотрим применение этого правила при решении примеров.
Пример.
Переведите правильную обыкновенную дробь 37/100 в десятичную.
Решение.
В знаменателе находится число 100 , в записи которого два нуля. В числителе находится число 37 , в его записи две цифры, следовательно, эта дробь не нуждается в подготовке к переводу в десятичную дробь.
Теперь записываем 0 , ставим десятичную запятую, и записываем число 37 из числителя, при этом получаем десятичную дробь 0,37 .
Ответ:
0,37 .
Для закрепления навыков перевода правильных обыкновенных дробей с числителями 10, 100, … в десятичные дроби разберем решение еще одного примера.
Пример.
Запишите правильную дробь 107/10 000 000 в виде десятичной дроби.
Решение.
Количество цифр в числителе равно 3 , а количество нулей в знаменателе равно 7 , поэтому данная обыкновенная дробь нуждается в подготовке к переводу в десятичную. Нам нужно дописать 7-3=4 нуля слева в числителе, чтобы общее количество цифр там стало равно количеству нулей в знаменателе. Получаем .
Осталось составить нужную десятичную дробь. Для этого, во-первых, записываем 0 , во-вторых, ставим запятую, в-третьих, записываем число из числителя вместе с нулями 0000107 , в итоге имеем десятичную дробь 0,0000107 .
Ответ:
0,0000107 .
Неправильные обыкновенные дроби не нуждаются в подготовке при переводе в десятичные дроби. Следует придерживаться следующего правила перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби :
- записываем число из числителя;
- отделяем десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.
Разберем применение этого правила при решении примера.
Пример.
Переведите неправильную обыкновенную дробь 56 888 038 009/100 000 в десятичную дробь.
Решение.
Во-первых, записываем число из числителя 56888038009, во-вторых, отделяем десятичной запятой 5 цифр справа, так как в знаменателе исходной дроби 5 нулей. В итоге имеем десятичную дробь 568 880,38009 .
Ответ:
568 880,38009 .
Для обращения в десятичную дробь смешанного числа , знаменателем дробной части которого является число 10 , или 100 , или 1 000, … , можно выполнить перевод смешанного числа в неправильную обыкновенную дробь, после чего полученную дробь обратить в десятичную дробь. Но можно пользоваться и следующим правилом перевода смешанных чисел со знаменателем дробной части 10, или 100, или 1 000, … в десятичные дроби :
- при необходимости выполняем «предварительную подготовку» дробной части исходного смешанного числа, дописав необходимое количество нулей слева в числителе;
- записываем целую часть исходного смешанного числа;
- ставим десятичную запятую;
- записываем число из числителя вместе с дописанными нулями.
Рассмотрим пример, при решении которого выполним все необходимые шаги для представления смешанного числа в виде десятичной дроби.
Пример.
Переведите смешанное число в десятичную дробь.
Решение.
В знаменателе дробной части 4 нуля, в числителе же находится число 17 , состоящее из 2 цифр, поэтому, нам нужно дописать два нуля слева в числителе, чтобы там число знаков стало равно числу нулей в знаменателе. Выполнив это, в числителе окажется 0017 .
Теперь записываем целую часть исходного числа, то есть, число 23 , ставим десятичную запятую, после которой записываем число из числителя вместе с дописанными нулями, то есть, 0017 , при этом получаем искомую десятичную дробь 23,0017 .
Запишем все решение кратко: .
Несомненно, можно было сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби, после чего перевести ее в десятичную дробь. При таком подходе решение выглядит так: .
Ответ:
23,0017 .
Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические десятичные дроби
В десятичную дробь можно перевести не только обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, … , но обыкновенные дроби с другими знаменателями. Сейчас мы разберемся, как это делается.
В некоторых случаях исходная обыкновенная дробь легко приводится к одному из знаменателей 10 , или 100 , или 1 000, … (смотрите приведение обыкновенной дроби к новому знаменателю), после чего не составляет труда полученную дробь представить в виде десятичной дроби. Например, очевидно, что дробь 2/5 можно привести к дроби со знаменателем 10 , для этого нужно числитель и знаменатель умножить на 2 , что даст дробь 4/10 , которая по правилам, разобранным в предыдущем пункте, легко переводится в десятичную дробь 0,4 .
В остальных случаях приходится использовать другой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную, к рассмотрению которого мы и переходим.
Для обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь выполняется деление числителя дроби на знаменатель, числитель предварительно заменяется равной ему десятичной дробью с любым количеством нулей после десятичной запятой (об этом мы говорили в разделе равные и неравные десятичные дроби). При этом деление выполняется так же, как деление столбиком натуральных чисел , а в частном ставится десятичная запятая, когда заканчивается деление целой части делимого. Все это станет понятно из решений примеров, приведенных ниже примеров.
Пример.
Переведите обыкновенную дробь 621/4 в десятичную дробь.
Решение.
Число в числителе 621 представим в виде десятичной дроби, добавив десятичную запятую и несколько нулей после нее. Для начала допишем 2 цифры 0 , позже, при необходимости, мы всегда можем добавить еще нулей. Итак, имеем 621,00 .
Теперь выполним деление столбиком числа 621,000
на 4
. Первые три шага ничем не отличаются от деления столбиком натуральных чисел, после них приходим к следующей картине:
Так мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток при этом отличен от нуля. В этом случае в частном ставим десятичную запятую, и продолжаем деление столбиком, не обращая внимания на запятые:
На этом деление закончено, а в результате мы получили десятичную дробь 155,25 , которая соответствует исходной обыкновенной дроби.
Ответ:
155,25 .
Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Переведите обыкновенную дробь 21/800 в десятичную дробь.
Решение.
Для перевода данной обыкновенной дроби в десятичную, выполним деление столбиком десятичной дроби 21,000…
на 800
. Нам после первого же шага придется поставить десятичную запятую в частном, после чего продолжить деление:
Наконец-то мы получили остаток 0 , на этом перевод обыкновенной дроби 21/400 в десятичную дробь закончен, и мы пришли к десятичной дроби 0,02625 .
Ответ:
0,02625 .
Может случиться, что при делении числителя на знаменатель обыкновенной дроби мы так и не получим в остатке 0 . В этих случаях деление можно продолжать сколь угодно долго. Однако, начиная с некоторого шага, остатки начитают периодически повторяться, при этом повторяются и цифры в частном. Это означает, что исходная обыкновенная дробь переводится в бесконечную периодическую десятичную дробь . Покажем это на примере.
Пример.
Запишите обыкновенную дробь 19/44 в виде десятичной дроби.
Решение.
Для перевода обыкновенной дроби в десятичную выполним деление столбиком:
Уже сейчас видно, что при делении начали повторяться остатки 8 и 36 , при этом в частном повторяются цифры 1 и 8 . Таким образом, исходная обыкновенная дробь 19/44 переводится в периодическую десятичную дробь 0,43181818…=0,43(18) .
Ответ:
0,43(18) .
В заключение этого пункта разберемся, какие обыкновенные дроби можно перевести в конечные десятичные дроби, а какие – только в периодические.
Пусть перед нами находится несократимая обыкновенная дробь (если дробь сократимая, то предварительно выполняем сокращение дроби), и нам нужно выяснить, в какую десятичную дробь ее можно перевести – в конечную или периодическую.
Понятно, что если обыкновенную дробь можно привести к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, … , то полученную дробь легко перевести в конечную десятичную дробь по правилам, разобранным в предыдущем пункте. Но к знаменателям 10, 100, 1 000 и т.д. приводятся далеко не все обыкновенные дроби. К таким знаменателям можно привести лишь дроби, знаменатели которых являются хотя бы одного из чисел 10, 100, … А какие числа могут быть делителями 10, 100, … ? Ответить на этот вопрос нам позволят чисел 10, 100, … , а они таковы: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Отсюда следует, что делителями 10, 100, 1 000 и т.д. могут быть лишь числа, разложения которых на простые множители содержат лишь числа 2 и (или) 5 .
Теперь мы можем сделать общий вывод о переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби:
- если в разложении знаменателя на простые множители присутствуют лишь числа 2 и (или) 5 , то эту дробь можно перевести в конечную десятичную дробь;
- если кроме двое и пятерок в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, то эта дробь переводится к бесконечную десятичную периодическую дробь.
Пример.
Не выполняя перевод обыкновенных дробей в десятичные, скажите, какие из дробей 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можно перевести в конечную десятичную дробь, а какие — только в периодическую.
Решение.
Разложение на простые множители знаменателя дроби 47/20 имеет вид 20=2·2·5 . В этом разложении присутствуют лишь двойки и пятерки, поэтому эта дробь может быть приведена к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, … (в этом примере к знаменателю 100 ), следовательно, может быть переведена в конечную десятичную дробь.
Разложение на простые множители знаменателя дроби 7/12 имеет вид 12=2·2·3 . Так как оно содержит простой множитель 3 , отличный от 2 и 5 , то эта дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, но может быть переведена в периодическую десятичную дробь.
Дробь 21/56 – сократимая, после сокращения она принимает вид 3/8 . Разложение знаменателя на простые множители содержит три множителя, равных 2 , следовательно, обыкновенная дробь 3/8 , а значит и равная ей дробь 21/56 , может быть переведена в конечную десятичную дробь.
Наконец, разложение знаменателя дроби 31/17 представляет собой само 17 , следовательно, эту дробь нельзя обратить в конечную десятичную дробь, но можно обратить в бесконечную периодическую.
Ответ:
47/20 и 21/56 можно перевести в конечную десятичную дробь, а 7/12 и 31/17 — только в периодическую.
Обыкновенные дроби не переводятся в бесконечные непериодические десятичные дроби
Информация предыдущего пункта порождает вопрос: «Может ли при делении числителя дроби на знаменатель получиться бесконечная непериодическая дробь»?
Ответ: нет. При переводе обыкновенной дроби может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь. Поясним, почему это так.
Из теоремы о делимости с остатком ясно, что остаток всегда меньше делителя, то есть, если мы выполняем деление некоторого целого числа на целое число q , то остатком может быть лишь одно из чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Отсюда следует, что после завершения деления столбиком целой части числителя обыкновенной дроби на знаменатель q , не более чем через q шагов возникнет одна из двух следующих ситуаций:
- либо мы получим остаток 0 , на этом деление закончится, и мы получим конечную десятичную дробь;
- либо мы получим остаток, который уже появлялся ранее, после этого остатки начнут повторяться как в предыдущем примере (так как при делении равных чисел на q получаются равные остатки, что следует из уже упомянутой теоремы о делимости), так будет получена бесконечная периодическая десятичная дробь.
Других вариантов быть не может, следовательно, при обращении обыкновенной дроби в десятичную дробь не может получиться бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Из приведенных в этом пункте рассуждений также следует, что длина периода десятичной дроби всегда меньше, чем значение знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.
Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби
Теперь разберемся, как перевести десятичную дробь в обыкновенную. Начнем с перевода конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби. После этого рассмотрим метод обращения бесконечных периодических десятичных дробей. В заключение скажем о невозможности перевода бесконечных непериодических десятичных дробей в обыкновенные дроби.
Перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби
Получить обыкновенную дробь, которая записана в виде конечной десятичной дроби, достаточно просто. Правило перевода конечной десятичной дроби в обыкновенную дробь состоит из трех шагов:
- во-первых, записать данную десятичную дробь в числитель, предварительно отбросив десятичную запятую и все нули слева, если они есть;
- во-вторых, в знаменатель записать единицу и к ней дописать столько нулей, сколько цифр находится после запятой в исходной десятичной дроби;
- в-третьих, при необходимости выполнить сокращение полученной дроби.
Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Обратите десятичную дробь 3,025 в обыкновенную дробь.
Решение.
Если в исходной десятичной дроби убрать десятичную запятую, то мы получим число 3 025 . В нем нет нулей слева, которые бы мы отбросили. Итак, в числитель искомой дроби записываем 3 025 .
В знаменатель записываем цифру 1 и справа к ней дописываем 3 нуля, так как в исходной десятичной дроби после запятой находятся 3 цифры.
Так мы получили обыкновенную дробь 3 025/1 000 . Эту дробь можно сократить на 25 , получаем .
Ответ:
.
Пример.
Выполните перевод десятичной дроби 0,0017 в обыкновенную дробь.
Решение.
Без десятичной запятой исходная десятичная дробь имеет вид 00017 , отбросив нули слева получаем число 17 , которое и является числителем искомой обыкновенной дроби.
В знаменатель записываем единицу с четырьмя нулями, так как в исходной десятичной дроби после запятой 4 цифры.
В итоге имеем обыкновенную дробь 17/10 000 . Эта дробь несократима, и перевод десятичной дроби в обыкновенную закончен.
Ответ:
.
Когда целая часть исходной конечной десятичной дроби отлична от нуля, то ее можно сразу перевести в смешанное число, минуя обыкновенную дробь. Дадим правило перевода конечной десятичной дроби в смешанное число :
- число до десятичной запятой надо записать как целую часть искомого смешанного числа;
- в числитель дробной части нужно записать число, полученное из дробной части исходной десятичной дроби после отбрасывания в ней всех нулей слева;
- в знаменателе дробной части нужно записать цифру 1 , к которой справа дописать столько нулей, сколько цифр находится в записи исходной десятичной дроби после запятой;
- при необходимости выполнить сокращение дробной части полученного смешанного числа.
Рассмотрим пример перевода десятичной дроби в смешанное число.
Пример.
Представьте десятичную дробь 152,06005 в виде смешанного числа
Говоря сухим математическим языком, дробь — это число, которое представляется в виде части от единицы. Дроби широко используются в жизни человека: при помощи дробных чисел мы указываем пропорции в кулинарных рецептах, выставляем десятичные оценки на соревнованиях или используем их для подсчета скидок в магазинах.
Представление дробей
Существует минимум две формы записи одного дробного числа: в десятичной форме или в виде обыкновенной дроби. В десятичной форме числа выглядят как 0,5; 0,25 или 1,375. Любое из этих значений мы может представить в виде обыкновенной дроби:
- 0,5 = 1/2;
- 0,25 = 1/4;
- 1,375 = 11/8.
И если 0,5 и 0,25 мы без проблем конвертируем из обыкновенной дроби в десятичную и обратно, то в случае с числом 1,375 все неочевидно. Как быстро преобразовать любое десятичное число в дробь? Существует три простых способа.
Избавляемся от запятой
Самый простой алгоритм подразумевает умножение числа на 10 до тех пор, пока из числителя не исчезнет запятая. Такое преобразование осуществляется в три шага:
Шаг 1 : Для начала десятичное число запишем в виде дроби «число/1», то есть мы получим 0,5/1; 0,25/1 и 1,375/1.
Шаг 2 : После этого умножим числитель и знаменатель новых дробей до тех пор, пока из числителей не исчезнет запятая:
- 0,5/1 = 5/10;
- 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
- 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
Шаг 3 : Сокращаем полученные дроби до удобоваримого вида:
- 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
- 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
Число 1,375 пришлось три раза умножать на 10, что уже не очень удобно, а что нам придется делать в случае, если понадобится преобразовать число 0,000625? В этой ситуации используем следующий способ преобразования дробей.
Избавляемся от запятой еще проще
Первый способ детально описывает алгоритм «удаления» запятой из десятичной дроби, однако мы можем упростить этот процесс. И вновь мы выполняем три шага.
Шаг 1 : Считаем, сколько цифр стоит после запятой. К примеру, у числа 1,375 таких цифр три, а у 0,000625 — шесть. Это количество мы обозначим буквой n.
Шаг 2 : Теперь нам достаточно представить дробь в виде C/10 n , где C – это значимые цифры дроби (без нулей, если они есть), а n – количество цифр после запятой. К примеру:
- для числа 1,375 C = 1375, n = 3, итоговая дробь согласно формуле 1375/10 3 = 1375/1000;
- для числа 0,000625 C = 625, n = 6, итоговая дробь согласно формуле 625/10 6 = 625/1000000.
По сути, 10 n – это 1 с количеством нулей, равным n, поэтому вам не нужно заморачиваться с возведением десятки в степень — достаточно указать 1 с n нулей. После этого столь богатую на нули дробь желательно сократить.
Шаг 3 : Сокращаем нули и получаем итоговый результат:
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
- 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
Дробь 11/8 — это неправильная дробь, так как числитель у нее больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. В этой ситуации мы вычитаем из 11/8 целую часть 8/8 и получаем остаток 3/8, следовательно, дробь выглядит как 1 и 3/8.
Преобразование на слух
Для тех, кто умеет правильно читать десятичные дроби, проще всего их преобразовать на слух. Если вы читаете 0,025 не как «ноль, ноль, двадцать пять», а как «25 тысячных», то у вас не будет никаких проблем с конвертацией десятичных чисел в обыкновенные дроби.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Таким образом, правильное прочтение десятичного числа позволяет сразу же записать ее как обыкновенную дробь и сократить в случае необходимости.
Примеры использования дробей в повседневной жизни
На первый взгляд обыкновенные дроби практически не используются в быту или на работе и трудно представить ситуацию, когда вам понадобится перевести десятичную дробь в обычную за пределами школьных задач. Рассмотрим пару примеров.
Работа
Итак, вы работаете в кондитерском магазине и продаете халву на развес. Для простоты реализации продукта вы разделяете халву на килограммовые брикеты, однако мало кто из покупателей готов приобрести целый килограмм. Поэтому вам приходится каждый раз разделять лакомство на кусочки. И если очередной покупатель попросит у вас 0,4 кг халвы, вы без проблем продадите ему нужную порцию.
0,4 = 4/10 = 2/5
Быт
К примеру, необходимо сделать 12 % раствор для покраски модели в нужный вам оттенок. Для этого нужно смешать краску и растворитель, но как правильно это сделать? 12 % — это десятичная дробь 0,12. Преобразовываем число в обыкновенную дробь и получаем:
0,12 = 12/100 = 3/25
Зная дроби, вы сможете правильно смешать компоненты и получить нужный цвет.
Заключение
Дроби широко используются в повседневной жизни, поэтому если вам часто необходимо преобразовывать десятичные значения в обыкновенные дроби, вам пригодится онлайн-калькулятор, при помощи которого можно мгновенно получить результат в виде уже сокращенной дроби.
Зачастую дети, которые учатся в школе, интересуются, для чего в им в реальной жизни может понадобится математика, в особенности те разделы, которые уже заходят намного дальше, чем простой счет, умножение, деление, суммирование и отнимание. Многие взрослые также задаются данным вопросом, если их профессиональная деятельность очень далека от математики и разнообразных вычислений. Однако стоит понимать, что ситуации бывают всякие, и порой никак не обойтись без той самой, пресловутой школьной программы, от которой мы так пренебрежительно отказывались в детстве. К примеру, вовсе не все знают, как перевести дробь в десятичную дробь, а такие знания могут чрезвычайно пригодится, для удобства счета. Для начала, нужно полностью убедиться, что нужная вам дробь может быть преобразована в конечную десятичную. То же самое касается и процентов, которые также можно легко перевести в десятичные дроби.
Проверка обычной дроби на возможность перевода ее в десятичную
Прежде, чем что-либо считать, необходимо убедиться, что полученная в итоге десятичная дробь будет конечной, иначе она окажется бесконечной и высчитать окончательный вариант будет попросту невозможно. Причем бесконечные дроби также могут быть периодическими и простыми, но это уже тема для отдельного раздела.
Перевести обыкновенную дробь в ее конечный, десятичный вариант можно только в том случае, если ее уникальный знаменатель способен раскладываться только на множители 5 и 2 (простые множители). Причем даже в том случае, если они повторяются произвольное количество раз.
Уточним, что оба эти числа являются простыми, так в итоге разделить без остатка их можно только на самих себя, или же, на единицу. Таблицу простых чисел можно отыскать без проблем в сети интернет, это вовсе не сложно, хотя непосредственного отношения к нашему счету она и не имеет.
Рассмотрим примеры:
Дробь 7/40 поддается преобразованию из обычной дроби в ее десятичный эквивалент, потому что ее знаменатель можно без труда разложить на множители 2 и 5.
Однако, если первый вариант даст в результате конечную десятичную дробь, то, к примеру, 7/60 уже никак не даст подобного результата, так как ее знаменатель не будет уже раскладываться на искомые нами числа, а будет иметь в числе множителей знаменателя тройку.
Перевести обычную дробь в десятичную возможно несколькими способами
После того, как стало понятно, какие дроби можно переводить из обычных в десятичные, можно приступить, собственно, к самому преобразованию. На самом деле, нет ничего сверхсложного, даже для того, у кого школьная программа окончательно «выветрилась» из памяти.
Как переводить дроби в десятичные: наиболее простой метод
Этот способ перевода обычной дроби в десятичную, действительно, является наиболее простым, однако многие люди даже не догадываются о его бренном существовании, так как в школе все эти «прописные истины» кажутся ненужными и не очень-то важными. Между тем, разобраться сможет не только взрослый, но легко воспримет подобную информацию и ребенок.
Итак, чтобы преобразовать дробь в десятичную, нужно умножить числитель, равно как и знаменатель, на одно число. Однако все не так просто, так в результате, именно в знаменателе должно получиться 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 и так далее, до бесконечности. Не стоит забывать предварительно проверить, точно ли можно данную дробь превратить в десятичную.
Рассмотрим примеры:
Допустим, нам нужно провести преобразование дроби 6/20 в десятичную. Производим проверку:
После того, как мы убедились, что перевести дробь в десятичную дробь, да еще и конечную, все же, возможно, так как ее знаменатель легко раскладывается на двоечки и пятерки, следует приступить к самому переводу. Самым лучшим вариантом, по логике вещей, чтобы умножить знаменатель и получить результат 100, является 5, так как 20х5=100.
Можно рассмотреть дополнительный пример, для наглядности:
Второй и боле популярный способ
переводить дроби в десятичныеВторой вариант несколько сложнее, однако он пользуется большей популярностью, ввиду того, что он гораздо проще для понимания. Тут все прозрачно и ясно, потому давайте сразу же перейдем к вычислениям.
Стоит запомнить
Для того, что правильно преобразовать простую, то есть обычную дробь в ее десятичный эквивалент, нужно числитель разделить на знаменатель. По сути, дробь – это и есть деление, с этим не поспоришь.
Рассмотрим действие на примере:
Итак, первым делом, чтобы перевести дробь 78/200 в десятичную, нужно ее числитель, то есть число 78, разделить на знаменатель 200. Но первым делом, что должно войти в привычку, нужно произвести проверку, о которой уже говорилось выше.
После произведения проверки, нужно вспомнить школу и делить числитель на знаменатель «уголком» или «столбиком».
Как видите, все предельно просто, и семи пядей во лбу, чтобы легко решать подобные задачки вовсе быть не требуется. Для простоты и удобства приведем также и таблицу самых популярных дробей, которые просто запомнить, и даже не прилагать усилий, чтобы их переводить.
Как перевести проценты в десятичную дробь : нет ничего прощеВот наконец дошел ход и до процентов, которые, оказывается, как гласит все та же, школьная программа, можно перевести в десятичную дробь. Причем тут все будет еще гораздо проще, и пугаться не стоит. Справятся с задачей даже те, кто не заканчивал университеты, а пятый класс школы вовсе прогулял и ничего не смыслит в математике.
Начать, пожалуй, нужно с определения, то есть разобраться, что такое, собственно, проценты. Процент – это одна сотая часть от какого-либо числа, то есть, абсолютно произвольно. От сотни, к примеру, это будет единица и так далее.
Таким образом, чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно попросту убрать значок %, а потом разделить само число на сотню.
Рассмотрим примеры:
Причем, чтобы произвести обратную «конвертацию», нужно попросту сделать все наоборот, то есть, число нужно умножить на сотню и приписать к нему значок процента. Точно таким же образом, посредством применения полученных знаний, можно также и обычную дробь перевести в проценты. Для этого достаточно будет просто сперва преобразовать обычную дробь в десятичную, а потому уже ее перевести в проценты, а также легко можно произвести и обратное действие. Как видите, ничего сверхсложного нет, все это элементарные знания, которые просто необходимо держать в уме, в особенности, если имеете дело с цифрами.
Путь наименьшего сопротивления: удобные онлайн сервисы
Бывает и так, что считать совершенно не хочется, да и попросту нет времени. Именно для таких случаев, или же, особо ленивых пользователей, в сети интернет есть множество удобных и простых в применении сервисов, которые позволят перевести обычные дроби, а также проценты, в десятичные дроби. Это действительно дорога наименьшего сопротивления, потому пользоваться подобными ресурсами – одно удовольствие.
Полезный справочный портал «Калькулятор»
Для того, чтобы воспользоваться сервисом «Калькулятора», достаточно просто перейти по ссылке http://www.calc.ru/desyatichnyye-drobi.html , и ввести необходимые числа в нужные поля. Причем ресурс позволяет переводить в десятичные, как обычные, так и смешанные дроби.
После краткосрочного ожидания, приблизительно секунды в три, сервис выдаст конечный результат.
Точно таким же образом можно перевести в обычную дробь десятичную.
Онлайн-калькулятор на «Математическом ресурсе» Calcs.su
Еще одним, очень полезным сервисом можно назвать калькулятор дробей на «Математическом ресурсе. Тут также не придется ничего считать самостоятельно, просто выберите из предложенного списка то, что вам нужно и вперед, за орденами.
Далее, в отведенное специально для этого поле, нужно ввести искомое число процентов, которые и нужно преобразовать в обычную дробь. Причем если вам нужны десятичные дроби, то вы легко можете уже сами справиться с задачей перевода или же воспользоваться тем калькулятором, который для этого и предназначен.
В конечном итоге, стоит обязательно добавить, что сколько бы новомодных сервисов не было бы придумано, сколько ресурсов не предлагали бы вам свои услуги, но и голову тренировать периодически не помешает. Потому стоит обязательно применять полученные знания, тем более, что вы потом с гордостью сможете помогать делать уроки собственным детям, а затем и внукам. Для того же, кто страдает от вечной нехватки времени, подобные онлайн-калькуляторы на математических порталах окажутся как раз кстати и даже помогут понять, как перевести обычную дробь в десятичную.
Пытаясь решить математические задачи с дробями, школьник понимает, что ему недостаточно одного только желания решить эти задачи. Также необходимы и знания по вычислениям с дробными числами. В некоторых задачах все начальные данные подаются в условии в дробном виде. В других же часть их может быть дробями, а часть — целыми числами. Чтобы производить какие-то вычисления с этими заданными значениями, надо сначала привести их к единому виду, то есть целые числа перевести в дробные, а потом уже заниматься вычислениями. Вообще способ, как целое число перевести в дробь, очень прост. Для этого надо в числителе итоговой дроби написать само заданное число, а в ее знаменателе — единичку. То есть если надо перевести в дробь число 12, то полученная дробь будет 12/1.
Такие модификации помогают приводить дроби к общему знаменателю. Это нужно для того, чтобы получить возможность проводить вычитание или сложение дробных чисел. При их умножении и делении общий знаменатель не требуется. Можно рассмотреть на примере, как перевести число в дробь и потом произвести сложение двух дробных чисел. Допустим надо сложить число 12 и дробное число 3/4. Первое слагаемое (число 12) приводится к виду 12/1. Однако его знаменатель равен 1 в то время, как у второго слагаемого он равен 4. Для последующего сложения этих двух дробей надо привести их к общему знаменателю. Благодаря тому, что у одного из чисел знаменатель равен 1, это сделать вообще просто. Надо взять знаменатель второго числа и умножить на него и числитель, и знаменатель первого.
В результате умножения получится: 12/1=48/4. Если 48 разделить на 4, то получается 12, значит дробь приведена к правильному знаменателю. Таким образом можно заодно и понять, как дробь перевести в целое число. Это касается только неправильных дробей, потому что у них числитель больше, чем знаменатель. В таком случае числитель делится на знаменатель и, если не получается остатка, будет целое число. С остатком же дробь так и остается дробью, но с выделенной целой частью. Теперь относительно приведения к общему знаменателю на рассмотренном примере. Если бы у первого слагаемого знаменатель был бы равен какому-нибудь другому числу, кроме 1, числитель и знаменатель первого числа надо бы было умножить на знаменатель второго, а числитель и знаменатель второго — на знаменатель первого.
Оба слагаемых приведены к их общему знаменателю и готовы к сложению. Получается, что в данной задаче нужно сложить два числа: 48/4 и 3/4. При сложении двух дробей с одинаковым знаменателем суммировать нужно только их верхние части, то есть числители. Знаменатель суммы останется без изменения. В этом примере должно получиться 48/4+3/4=(48+3) /4=51/4. Это и будет результат сложения. Но в математике принято неправильные дроби приводить к правильным. Выше рассматривалось, как превратить дробь в число, но в этом примере не получится целое число из дроби 51/4, так как число 51 не делится без остатка на число 4. Поэтому нужно выделить целую часть данной дроби и ее дробную часть. Целой частью будет то число, которое получается при делении нацело первого же меньшего, чем 51, числа.
То есть то, которое можно разделить на 4 без остатка. Первое число перед числом 51, которое нацело делится на 4, будет число 48. Разделив 48 на 4, получается число 12. Значит целой частью искомой дроби будет 12. Осталось только найти дробную часть числа. Знаменатель дробной части остается тем же, то есть 4 в данном случае. Чтобы найти числитель дробной части, надо от исходного числителя вычесть то число, которое делилось на знаменатель без остатка. В рассматриваемом примере требуется для этого вычесть из числа 51 число 48. То есть числитель дробной части равен 3. Результатом сложения будет 12 целых и 3/4. То же самое делается и при вычитании дробей. Допустим надо из целого числа 12 вычесть дробное число 3/4. Для этого целое число 12 переводится в дробное 12/1, а затем приводится к общему знаменателю со вторым числом — 48/4.
При вычитании точно так же знаменатель обеих дробей остается без изменения, а с их числителями и проводят вычитание. То есть от числителя первой дроби вычитают числитель второй. В данном примере это будет 48/4-3/4=(48-3) /4=45/4. И опять получилась неправильная дробь, которую надо привести к правильной. Для выделения целой части определяют первое до 45 число, которое делится на 4 без остатка. Это будет 44. Если число 44 разделить на 4, получится 11. Значит целая часть итоговой дроби равна 11. В дробной части также знаменатель оставляют без изменения а из числителя исходной неправильной дроби вычитают то число, которое делилось на знаменатель без остатка. То есть надо из 45 вычесть 44. Значит числитель в дробной части равен 1 и 12-3/4=11 и 1/4.
Если дано одно число целое и одно дробное, но его знаменатель равен 10, то проще второе число перевести в десятичную дробь, а потом производить вычисления. Например надо сложить целое число 12 и дробное число 3/10. Если число 3/10 записать в виде десятичной дроби, получится 0,3. Теперь значительно легче к 12 прибавить 0,3 и получить 2,3, чем приводить дроби к общему знаменателю, производить вычисления, а затем выделять целую и дробную части из неправильной дроби. Даже самые простые задачки с дробными числами предполагают, что школьник (или студент) знает, как перевести целое число в дробь. Эти правила слишком просты и легко запоминаются. Зато с помощью них очень просто проводить вычисления дробных чисел.
Материалов по дробям и изучать последовательно. Ниже для вас подробная информация с примерами и пояснениями.
1. Смешанное число в обыкновенную дробь. Запишем в общем виде число:
Запоминаем простое правило – целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, то есть:
Примеры:
2. Наоборот, обыкновенную дробь в смешанное число. *Конечно, это возможно сделать только с неправильной дробью (когда числитель больше знаменателя).
При «небольших» числах никаких действий, в общем, и не нужно делать, результат «видно» сразу, например, дроби:
*Подробнее:
15:13 = 1 остаток 2
4:3 = 1 остаток 1
9:5 = 1 остаток 4
А вот если числа будут более, то без вычислений не обойтись. Здесь всё просто – делим уголком числитель на знаменатель до тех пор пока остаток не получится менее делителя. Схема деления:
Например:
*Числитель у нас – это делимое, знаменатель – это делитель.
Получаем целую часть (неполное частное) и остаток. Записываем – целое, затем дробь (в числителе остаток, а знаменатель оставляем тот же):
3. Десятичную переводим в обыкновенную.
Частично в первом пункте, где рассказывали про десятичные дроби мы уже коснулись этого. Как слышим так и записываем. Например — 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10,00015
Первые три дроби у нас без целой части. А четвёртая и пятая её имеют, переведём их в обыкновенные, это делать уже умеем:
*Мы видим, что дроби можно ещё и сократить, например 45/100 =9/20, 38/100=19/50 и другие, но мы здесь делать этого не будем. По сокращению вас ожидает отдельный пункт ниже, где подробно всё разберём.
4. Обыкновенную переводим в десятичную.
Тут не всё так просто. По каким-то дробям сразу видно и ясно, что с ней сделать, чтобы она стала десятичной, например:
Используем наше замечательное основное свойство дроби – умножаем числитель и знаменатель соответственно на 5, 25, 2, 5, 4, 2, получим:
Если имеется целая часть, то тоже ничего сложного:
Умножаем дробную часть соответственно на 2, 25, 2 и 5, получим:
А есть такие, по которым без опыта и не определить, что их можно перевести в десятичные, например:
На какие числа умножать числитель и знаменатель?
Тут опять на помощь приходит проверенный способ – деление уголком, способ универсальный, им для перевода обыкновенной дроби в десятичную можно пользоваться всегда:
Так вы сможете всегда определить переводится ли дробь в десятичную. Дело в том, что не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, например такие как 1/9, 3/7, 7/26 не переводятся. А что же тогда получается за дробь при делении 1 на 9, 3 на 7, 5 на 11? Отвечаю – бесконечная десятичная (говорили о них в пункте 1). Разделим:
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
Калькулятор и конвертер дробей по Intemodino Group s.r.o.
Калькулятор и конвертер дробей идеально подходят для студентов, инженеров, строителей и всех, кому требуется комплексное приложение для вычислений с дробями.
Приложения включает 4 калькулятора для вычисления дробей:
• КАЛЬКУЛЯТОР ДРОБЕЙ
— Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей, смешанных дробей и целых чисел.
— Калькулятор выполняет вычисления с двумя и тремя дробями. Для решения примеров с тремя дробями, просто переверните устройство в горизонтальное положение (альбомную ориентацию).
— Калькулятор показывает пошаговое решение.
— Возможность округления дроби до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256.
• ПЕРЕВОД ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ В ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАОБОРОТ
— Калькулятор для перевода обыкновенных дробей в десятичные и десятичных дробей в обыкновенные.
— Округление дробей до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256.
— Для перевода обыкновенной дроби в десятичную: выберите опцию «Дроби», введите дробь и нажмите знак «=».
— Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, выберите опцию «Десятичные числа», введите десятичное число и нажмите знак «=».
При вводе периодических дробей, период надо заключить в скобки. Например, число 0.24333… должно быть записано 0.24(3), число 5.123123… как 5.(123).
• СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
— Калькулятор для сокращения правильных и неправильных дробей и смешанных чисел.
— Калькулятор показывает детальное решение.
• СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ
— Калькулятор для сравнения 2 и 3 дробей. Чтобы сравнить три дроби, Вы должны выбрать альбомную ориентации.
— Показывает пошаговое решение.
— С помощью этого калькулятора можно сравнивать дроби и смешанные числа.
Возможности:
• Приложение показывает пошаговое решение.
• Калькулятор хранит историю ваших недавних вычислений.
• Кнопки Вперед и Назад для перехода между проведенными вычислениями (с возможностью редактирования).
• Вы можете отправлять результаты и историю вычислений по электронной почте.
• Портретная и альбомная ориентация.
Настройки приложения:
— Возможность округления десятичных результатов вычислений. По умолчанию приложение округляет до двух десятичных знаков.
— Возможность округления дроби до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256.
— 7 цветовых схем для настройки внешнего вида приложения.
Присылайте нам свои идеи, пожелания и комментарии по улучшению работы приложения.
Калькулятор и конвертер дробей разработан фирмой Intemodino Group.
• https://intemodino.com
• Facebook: https://www.facebook.com/Intemodino
• Twitter: https://twitter.com/intemodino
Калькулятор дробей в десятичные — eMathHelp
Решение
Ваш ввод: преобразуйте $$$ 2 \ frac {5} {7} $$$ в десятичную дробь.
Временно забудьте про целую часть, работайте с $$$ \ frac {5} {7} $$$
Запишите задачу в специальном формате:
$$$ \ require {enclose} \ begin {array } {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {c} \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {7} & \ phantom {1} & \ фантом {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} & \ phantom {7} & \ phantom {1} & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom { 8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\ 7 & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin {array} {c} 5 \ end {array}} & \\ & \ begin { array} {l} \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 1
Сколько $$$ 7 $$$ находятся в $$$ 5 $$$? Ответ — $$$ 0 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь $$$ 5-0 \ cdot 7 = 5-0 = 5 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccccc} \ color {Crimson} {0} & \ phantom {.} & \ phantom {7} & \ phantom {1} & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} & \ phantom {7} & \ phantom {1 } & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose { longdiv} {\ begin {array} {cccccccccccccc} \ color {Crimson} {5} &.& 0 \ downarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 2
Сколько $$$ 7 $$$ находится в $$$ 50 $$$? Ответ — $$$ 7 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь, $$$ 50-7 \ cdot 7 = 50-49 = 1 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccccc} 0 &. & \ Color {Red} {7} & \ phantom {1} & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} & \ phantom {7} & \ phantom {1} & \ phantom {4} & \ фантом {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin {array} { cccccccccccccc} 5 и.& 0 & 0 \ downarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} \ color {Red} {5} & \ phantom {.} & \ color {Red} {0} \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} 4 & \ phantom {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 3
Сколько $ $$ 7 $$$ есть в $$$ 10 $$$? Ответ — $$$ 1 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь $$$ 10-1 \ cdot 7 = 10-7 = 3 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccccc} 0 &.& 7 & \ color {DarkBlue} {1} & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} & \ phantom {7} & \ phantom {1} & \ phantom {4 } & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin { array} {cccccccccccc} 5 &. & 0 & 0 & 0 \ downarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\ \ phantom {lll} 4 & \ phantom {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && \ color {DarkBlue} {1} & \ color {DarkBlue} {0} \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& 3 & 0 \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end { array} \ end {array} $$$
Шаг 4
Сколько $$$ 7 $$$ находится в $$$ 30 $$$? Ответ — $$$ 4 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь, $$$ 30-4 \ cdot 7 = 30-28 = 2 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccccc} 0 &. & 7 & 1 & \ color {SaddleBrown} {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} & \ phantom {7} & \ phantom {1} & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ фантом {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin {array} {cccccccccccccc} 5 &.& 0 & 0 & 0 & 0 \ downarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} 4 & \ phantom {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& \ color {SaddleBrown} {3} & \ color {SaddleBrown} {0} \\ && — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&& 2 & 0 \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 5
Сколько $$ $ 7 $$$ находятся в $$$ 20 $$$? Ответ — $$$ 2 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь $$$ 20-2 \ cdot 7 = 20-14 = 6 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {ccccccccccccc} 0 &. & 7 & 1 & 4 & \ color {DarkCyan} {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} & \ phantom {7} & \ phantom {1} & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin {array} {cccccccccccccc} 5 &.& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ downarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} 4 & \ phantom {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& 3 & 0 \\ && — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&& \ color {DarkCyan} { 2} & \ color {DarkCyan} {0} \\ &&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&& 6 & 0 \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 6
Сколько $$$ 7 $$$ находится в $$$ 60 $$$? Ответ — $$$ 8 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь, $$$ 60-8 \ cdot 7 = 60-56 = 4 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccccc} 0 &. & 7 & 1 & 4 & 2 & \ color {GoldenRod} {8} & \ phantom {5} & \ phantom {7} & \ phantom {1} & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\ \ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin {array} {cccccccccccccc} 5 &.& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ downarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ фантом {0} \\\ фантом {lll} 4 & \ фантом {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& 3 & 0 \\ && — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&& 2 & 0 \\ &&& — & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&& \ color {GoldenRod} {6} & \ color {GoldenRod} {0} \\ &&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} &&&&& 5 & 6 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&& 4 & 0 \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 7
Сколько $$$ 7 $$$ находится в $$$ 40 $$$? Ответ — $$$ 5 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь, $$$ 40-5 \ cdot 7 = 40-35 = 5 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccc} 0 &. & 7 & 1 & 4 & 2 & 8 & \ color {Chartreuse} {5} & \ phantom {7} & \ phantom {1} & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} { 7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin {array} {cccccccccccccc} 5 &.& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ downarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ фантом {0} \\\ фантом {lll} 4 & \ фантом {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& 3 & 0 \\ && — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&& 2 & 0 \\ &&& — & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 6 & 0 \\ &&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&& 5 & 6 \\\ hline \ phantom {lll } &&&&&& \ color {Chartreuse} {4} & \ color {Chartreuse} {0} \\ &&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&& 3 & 5 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&& 5 & 0 \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {arr ay} $$$
Шаг 8
Сколько $$$ 7 $$$ находится в $$$ 50 $$$? Ответ — $$$ 7 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь, $$$ 50-7 \ cdot 7 = 50-49 = 1 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccc} 0 &. & 7 & 1 & 1 & 4 & 2 & 8 & 5 & \ color {Шоколад} {7} & \ phantom {1} & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom { -} \ enclose {longdiv} {\ begin {array} {cccccccccccccc} 5 &.& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ downarrow & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} 4 & \ phantom {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& 3 & 0 \\ && — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&& 2 & 0 \\ &&& — & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 6 & 0 \\ &&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&& 5 & 6 \\\ hline \ phantom {lll } &&&&&& 4 & 0 \\ &&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} \\\ фантом {lll} &&&&&& 3 & 5 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&& \ color {Шоколад} {5} & \ color {Шоколад} {0} \\ &&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ ph antom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&& 4 & 9 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&& 1 & 0 \ end {array} & \ begin {array} & \ begin {array } {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 9
Сколько $$$ 7 $$$ содержится в $$$ 10 $$$? Ответ — $$$ 1 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь $$$ 10-1 \ cdot 7 = 10-7 = 3 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccc} 0 &. & 7 & 1 & 4 & 2 & 8 & 5 & 7 & \ color {Коричневый} {1} & \ phantom {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv } {\ begin {array} {cccccccccccccc} 5 &.& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ downarrow & 0 & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} 4 & \ phantom {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& 3 & 0 \\ && — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&& 2 & 0 \\ &&& — & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 6 & 0 \\ &&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&& 5 & 6 \\\ hline \ phantom {lll } &&&&&& 4 & 0 \\ &&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} \\\ фантом {lll} &&&&&& 3 & 5 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&& 5 & 0 \\ &&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phan том {0} \\\ фантом {lll} &&&&&&& 4 & 9 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&& \ color {Brown} {1} & \ color {Brown} {0} \\ &&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&& 3 & 0 \ end { array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 10
Сколько $$$ 7 $$$ находится в $$$ 30 $$$ ? Ответ — $$$ 4 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь, $$$ 30-4 \ cdot 7 = 30-28 = 2 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccc} 0 &. & 7 & 1 & 4 & 2 & 8 & 5 & 7 & 1 & \ color {BlueViolet} {4} & \ phantom {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin {array } {cccccccccccccc} 5 и.& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ downarrow & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} 4 & \ phantom {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& 3 & 0 \\ && — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&& 2 & 0 \\ &&& — & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 6 & 0 \\ &&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&& 5 & 6 \\\ hline \ phantom {lll } &&&&&& 4 & 0 \\ &&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} \\\ фантом {lll} &&&&&& 3 & 5 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&& 5 & 0 \\ &&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phan том {0} \\\ фантом {lll} &&&&&&& 4 & 9 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 1 & 0 \\ &&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&& \ color {BlueViolet} {3} & \ color {BlueViolet} {0} \\ &&&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&& 2 & 0 \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 11
Сколько $$$ 7 $$$ находится в $$$ 20 $ $$? Ответ — $$$ 2 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь $$$ 20-2 \ cdot 7 = 20-14 = 6 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccc} 0 &. & 7 & 1 & 4 & 2 & 8 & 5 & 7 & 1 & 4 & \ color {Перу} {2} & \ phantom {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin {array} {cccccccccccccc} 5 &.& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ downarrow & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} 4 & \ phantom {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& 3 & 0 \\ && — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&& 2 & 0 \\ &&& — & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 6 & 0 \\ &&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&& 5 & 6 \\\ hline \ phantom {lll } &&&&&& 4 & 0 \\ &&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} \\\ фантом {lll} &&&&&& 3 & 5 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&& 5 & 0 \\ &&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phan том {0} \\\ фантом {lll} &&&&&&& 4 & 9 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 1 & 0 \\ &&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 3 & 0 \\ &&&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&& \ color {Перу} {2} & \ color {Перу} {0} \ \ &&&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&&& 6 & 0 \ end { & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 12
Сколько $$$ 7 $$$ находится в $$$ 60 $$$? Ответ — $$$ 8 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь, $$$ 60-8 \ cdot 7 = 60-56 = 4 $$$.
Опустите следующую цифру делимого.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccc} 0 &. & 7 & 1 & 4 & 2 & 8 & 5 & 7 & 1 & 4 & 2 & \ color {Violet} {8} & \ phantom {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin {array} {cccccccccccccc} 5 &.& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ downarrow \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ Phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0 } \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0 } & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ фантом {0} \\\ фантом {lll} 4 & \ фантом {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& 3 & 0 \\ && — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&& 2 & 0 \\ &&& — & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 6 & 0 \\ &&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&& 5 & 6 \\\ hline \ phantom {lll } &&&&&& 4 & 0 \\ &&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} \\\ фантом {lll} &&&&&& 3 & 5 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&& 5 & 0 \\ &&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phan том {0} \\\ фантом {lll} &&&&&&& 4 & 9 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 1 & 0 \\ &&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 3 & 0 \\ &&&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 2 & 0 \\ &&&&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ фантом {0} & \ phantom {0} \\\ фантом {lll} &&&&&&&&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&& \ color {Violet} {6} & \ color {Violet} {0} \\ &&&&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&&&&&&& 6 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4 & 0 \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end {array} $$$
Шаг 13
Сколько $$$ 7 $$$ находится в $$$ 40 $$$? Ответ — $$$ 5 $$$.
Запишите результат расчета в верхнюю часть таблицы.
Теперь, $$$ 40-5 \ cdot 7 = 40-35 = 5 $$$.
$$$ \ require {enclose} \ begin {array} {rlc} & \ phantom {- \ enclose {longdiv} {}} \ begin {array} {cccccccccccc} 0 &. & 7 & 1 & 4 & 2 & 8 & 5 & 7 & 1 & 4 & 2 & 8 & \ color {Blue} {5} \ end {array} & \\\ color {Magenta} {7} & \ phantom {-} \ enclose {longdiv} {\ begin {array} {cccccccccccc} 5 &. & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} & \\ & \ begin {array} {lllllllllllll} — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} 0 & \ phantom {.} \\\ hline \ phantom {lll} 5 & \ phantom {.} & 0 \\ — & \ phantom {0} & \ phantom {.} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} 4 & \ phantom {.} & 9 \\\ hline \ phantom {lll} && 1 & 0 \\ & — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 7 \\\ hline \ phantom {lll} &&& 3 & 0 \\ && — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&& 2 & 0 \\ &&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ фантом {lll} &&&& 1 & 4 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 6 & 0 \\ &&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&& 5 и 6 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&& 4 & 0 \\ &&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&& 3 & 5 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&& 5 & 0 \\ &&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom { 0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&& 4 & 9 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&& 1 & 0 \\ &&&&&&&&& — & \ фантом {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ фантом {lll} &&&&&&&&&& 7 \\\ hline \ phantom {lll } &&&&&&&&& 3 & 0 \\ &&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ фантом {lll} &&&&&&&&&& 2 & 8 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&& 2 & 0 \\ &&&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1 & 4 \\\ hline&&&ll&&ll&&ll&&ll&&ll \\ &&&&&&&&&& — & \ phantom {0} & \ phantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&&&&&& 5 & 6 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&&&& \ color {4} & \ цвет {Синий} {0} \\ &&&&&&&&&&& — & \ p hantom {0} & \ phantom {0} \\\ phantom {lll} &&&&&&&&&&&& 3 & 5 \\\ hline \ phantom {lll} &&&&&&&&&&&&&& 5 \ end {array} & \ begin {array} {c} \ end {array} \ end { array} $$$
Как видно, цифры повторяются с некоторым периодом, поэтому это повторяющееся (или повторяющееся) десятичное число: $$$ \ frac {5} {7} = 0.\ overline {714285} $$$
Не забудьте про целую часть: $$$ 2 \ frac {5} {7} = 2. \ overline {714285} $$$
Ответ: $$$ 2 \ гидроразрыв {5} {7} = 2. \ overline {714285} $$$
python 3.x — десятичный в калькуляторе tkinter
Вот полностью рабочий калькулятор. Для тех, кому это нужно. Вот полностью рабочий калькулятор. Для тех, кому это нужно. Вот полностью рабочий калькулятор. Для тех, кому это нужно. Вот полностью рабочий калькулятор. Для тех, кому это нужно.Вот полностью рабочий калькулятор. Для тех, кому это нужно. Вот полностью рабочий калькулятор. Для тех, кому это нужно. Вот полностью рабочий калькулятор. Для тех, кому это нужно. Вот полностью рабочий калькулятор. Для тех, кому это нужно. Вот полностью рабочий калькулятор. Для тех, кому это нужно.
из tkinter import *
из математического импорта *
корень = Tk ()
root.title («Простой калькулятор»)
e = вход (корень, ширина = 35, ширина границы = 5)
egrid (row = 0, column = 0, columnspan = 3, padx = 10, pady = 10)
def button_click (число):
ток = е.получать()
e.delete (0, КОНЕЦ)
e.insert (0, str (текущий) + str (номер))
def button_clear ():
e.delete (0, КОНЕЦ)
def button_add ():
first_number = e.get ()
глобальный f_num
глобальная математика
math = "сложение"
f_num = float (первое_число)
e.delete (0, КОНЕЦ)
def button_equal ():
глобальный f_num
second_number = e.get ()
e.delete (0, КОНЕЦ)
если math == "сложение":
e.insert (0, f_num + float (второе_число))
если math == "вычитание":
e.insert (0, f_num - число с плавающей запятой (второе_число))
если math == "умножение":
е.вставить (0, f_num * float (второе_число))
если math == "деление":
e.insert (0, f_num / float (второе_число))
если math == "запятая":
e.insert (0, f_num + + float (второе_число))
если math == "squere":
e.insert (0, f_num ** int (2))
если math == "sroot":
e.insert (0, sqrt (f_num))
def button_subtract ():
first_number = e.get ()
глобальный f_num
глобальная математика
math = "вычитание"
f_num = float (первое_число)
e.delete (0, КОНЕЦ)
def button_multiply ():
first_number = e.получать()
глобальный f_num
глобальная математика
math = "умножение"
f_num = float (первое_число)
e.delete (0, КОНЕЦ)
def button_divide ():
first_number = e.get ()
глобальный f_num
глобальная математика
math = "деление"
f_num = float (первое_число)
e.delete (0, КОНЕЦ)
def button_comma ():
глобальный f_num
first_number = e.get ()
f_num = str (первое_число)
s_num = e.get ()
e.insert (0, str (f_num) + str (".") + str (s_num))
def Button_num (число):
текущий = e.get ()
e.delete (0, КОНЕЦ)
е.int (первое_число))
def Button_sroott ():
first_number = e.get ()
глобальный f_num
глобальная математика
math = "корень"
f_num = float (первое_число)
e.delete (0, КОНЕЦ)
# Среди зарез!
'' '
def button_comma ():
текущий = e.get ()
e.insert (0, str (текущий) + str (","))
Button_comma = Кнопка (root, text = ",", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_comma ())
Button_comma.grid (строка = 7, столбец = 0)
'' '
# Definisi вкусе
Button1 = Кнопка (root, text = "1", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_click (1))
Button2 = Кнопка (root, text = "2", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_click (2))
Button3 = Кнопка (root, text = "3", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_click (3))
Button4 = Кнопка (root, text = "4", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_click (4))
Button5 = Кнопка (root, text = "5", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_click (5))
Button6 = Кнопка (root, text = "6", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_click (6))
Button7 = Кнопка (root, text = "7", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_click (7))
Button8 = Кнопка (root, text = "8", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_click (8))
Button9 = Кнопка (root, text = "9", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_click (9))
Button0 = Кнопка (root, text = "0", padx = 40, pady = 20, command = lambda: button_click (0))
Button_add = Кнопка (root, text = "+", padx = 38, pady = 20, command = button_add)
Button_equal = Кнопка (root, text = "=", padx = 87, pady = 20, command = button_equal)
Button_clear = Кнопка (root, text = "Очистить", padx = 77, pady = 20, command = button_clear)
Button_subtract = Кнопка (root, text = "-", padx = 40, pady = 20, command = button_subtract)
Button_multiply = Кнопка (root, text = "*", padx = 40, pady = 20, command = button_multiply)
Button_divide = Кнопка (root, text = "/", padx = 41, pady = 20, command = button_divide)
btn_decimal = Кнопка (root, text = u '\ u002E', padx = 40, pady = 20, command = lambda: Button_num (".", padx = 40, pady = 20, command = Button_squeree)
Button_sroot = Кнопка (root, text = "r", padx = 40, pady = 20, command = Button_sroott)
'' '
Button_comma = Кнопка (root, text = ".", Padx = 40, pady = 20, command = button_comma)
'' '
# стави вкус на экран
Button1.grid (строка = 3, столбец = 0)
Button2.grid (строка = 3, столбец = 1)
Button3.grid (строка = 3, столбец = 2)
Button4.grid (строка = 2, столбец = 0)
Button5.grid (строка = 2, столбец = 1)
Button6.grid (строка = 2, столбец = 2)
Button7.grid (строка = 1, столбец = 0)
Button8.grid (строка = 1, столбец = 1)
Button9.grid (строка = 1, столбец = 2)
Кнопка0.сетка (строка = 4, столбец = 0)
Button_add.grid (строка = 5, столбец = 0)
Button_equal.grid (строка = 5, столбец = 1, диапазон столбцов = 2)
Button_clear.grid (строка = 4, столбец = 1, диапазон столбцов = 2)
Button_subtract.grid (строка = 6, столбец = 0)
Button_multiply.grid (строка = 6, столбец = 1)
Button_divide.grid (строка = 6, столбец = 2)
btn_decimal.grid (строка = 7, столбец = 0)
Button_squere.grid (строка = 7, столбец = 1)
Button_sroot.grid (строка = 7, столбец = 2)
root.mainloop ()
Калькулятор заказа десятичных знаков | Сортировка по возрастанию и убыванию
Как упорядочить десятичные числа в порядке возрастания
Чтобы вручную расположить десятичные дроби в порядке от наименьшего к наибольшему, ниже показано, как я бы отсортировал следующий набор образцов.
0,15, 2,63, 0,008, 5, 4,27, 1,83, 3,13, 3,05, 4,0192
Шаг № 1: Поместите десятичные дроби в сетку так, чтобы все десятичные точки были выровнены в один столбец, и сложите нули. до десятичных знаков по мере необходимости, чтобы все десятичные дроби имели одинаковое количество разрядов (в данном случае 4 разряда).
| Десятичная сетка | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | . | 1 | 5 | 0 | 0 |
| 2 | . | 6 | 3 | 0 | 0 |
| 0 | . | 0 | 0 | 8 | 0 |
| 5 | . | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | . | 2 | 7 | 0 | 0 |
| 1 | . | 8 | 3 | 0 | 0 |
| 3 | . | 1 | 3 | 0 | 0 |
| 3 | . | 0 | 5 | 0 | 0 |
| 4 | . | 0 | 1 | 9 | 2 |
Шаг 2: Преобразуйте каждое десятичное число в целое, отбросив десятичную точку и любые ведущие нули, а затем перечислите каждый результат в новом столбце сортировки. Это просто быстрый способ умножения каждого десятичного разделителя на знаменатель крайнего правого десятичного разряда (в данном случае — 1/ 10000 ).
| Десятичная сетка | Сортировка | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | . | 1 | 5 | 0 | 0 | => | 1500 |
| 2 | . | 6 | 3 | 0 | 0 | => | 26300 |
| 0 | . | 0 | 0 | 8 | 0 | => | 80 |
| 5 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | => | 50000 |
| 4 | . | 2 | 7 | 0 | 0 | => | 42700 |
| 1 | . | 8 | 3 | 0 | 0 | => | 18300 |
| 3 | . | 1 | 3 | 0 | 0 | => | 31300 |
| 3 | . | 0 | 5 | 0 | 0 | => | 30500 |
| 4 | . | 0 | 1 | 9 | 2 | => | 40192 |
Шаг № 3: Изменить порядок строк в зависимости от столбца сортировки от наименьшего к наибольшему, например:
| Десятичная сетка | Сортировка | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | . | 0 | 0 | 8 | 0 | => | 80 |
| 0 | . | 1 | 5 | 0 | 0 | => | 1500 |
| 1 | . | 8 | 3 | 0 | 0 | => | 18300 |
| 2 | . | 6 | 3 | 0 | 0 | => | 26300 |
| 3 | . | 0 | 5 | 0 | 0 | => | 30500 |
| 3 | . | 1 | 3 | 0 | 0 | => | 31300 |
| 4 | . | 0 | 1 | 9 | 2 | => | 40192 |
| 4 | . | 2 | 7 | 0 | 0 | => | 42700 |
| 5 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | => | 50000 |
Если вы проигнорируете добавленные нули в приведенной выше таблице, исходные десятичные числа, перечисленные в 000 в порядке возрастания 5, будут следующими:
| 1 | 0.008 | |
| 2 | 0,15 | |
| 3 | 1,83 | |
| 4 | 2,63 | |
| 5 | 3,05 | 3 |
| 3 6222 902 902 | ||
| 8 | 4,27 | |
| 9 | 5 |
Как упорядочить десятичные числа в порядке убывания
Чтобы вручную расположить десятичные дроби в порядке от наибольшего к наименьшему, выполните те же действия, чтобы создать столбец сортировки так же, как вы это делали для сортировки по возрастанию, но на этот раз измените порядок строк в зависимости от столбца сортировки от наибольшего к наименьшему.
| Десятичная сетка | Сортировка | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | => | 50000 |
| 4 | . | 2 | 7 | 0 | 0 | => | 42700 |
| 4 | . | 0 | 1 | 9 | 2 | => | 40192 |
| 3 | . | 1 | 3 | 0 | 0 | => | 31300 |
| 3 | . | 0 | 5 | 0 | 0 | => | 30500 |
| 2 | . | 6 | 3 | 0 | 0 | => | 26300 |
| 1 | . | 8 | 3 | 0 | 0 | => | 18300 |
| 0 | . | 1 | 5 | 0 | 0 | => | 1500 |
| 0 | . | 0 | 0 | 8 | 0 | => | 80 |
Если вы проигнорируете добавленные нули в приведенной выше таблице, исходные десятичные числа, перечисленные в порядке убывания 05, будут следующими: 9 (Хотите преобразовать в двоичный код с плавающей запятой ? Попробуйте мой конвертер с плавающей запятой.) (Хотите, чтобы вычислил с двоичными числами? Попробуйте мой двоичный калькулятор.) (Хотите преобразовать числа между произвольными основаниями ? Попробуйте мой конвертер оснований.) Это преобразователь из десятичного числа в двоичное из и из двоичного в десятичное из 1 5 2 4,27 3 4.0192 4 3,13 5 3,05 6 2,63 7 1,83 Десятичный / двоичный преобразователь — изучение двоичного кода
Десятичное в двоичное
Введите десятичное число (например, 3,1415) (без запятых, пробелов, показателей степени, дробей, операторов)
Преобразуется в это двоичное число: Числовые цифры: Опции:
Двоичное в десятичное
Введите двоичное число (например,г., 110.001) (без запятых, пробелов, показателей, дробей, операторов)
Преобразуется в это десятичное число: Числовые цифры: О десятичном / двоичном преобразователе
- Может преобразовывать как целые, так и дробные значения.
- Может преобразовывать очень большие и очень маленькие числа — до сотен цифр.
Десятичные числа преобразуются в «чистые» двоичные числа, а не в компьютерные числовые форматы, такие как дополнение до двух или двоичные числа с плавающей запятой IEEE.
Преобразование осуществляется с помощью арифметики произвольной точности, что дает преобразователю возможность преобразовывать числа, большие, чем те, которые могут соответствовать стандартным размерам компьютерных слов (например, 32 или 64 бита).
Как использовать десятичный / двоичный преобразователь
Вход
- Введите положительное или отрицательное число без запятых и пробелов, не выраженное в виде дроби или арифметических вычислений и не в экспоненциальном представлении. Дробные значения обозначаются точкой счисления (‘.’, , а не ‘,’)
- Измените количество битов, которое вы хотите отображать в двоичном результате, если оно отличается от значения по умолчанию (применяется только при преобразовании дробного десятичного значения).
- Нажмите «Конвертировать», чтобы преобразовать.
- Нажмите «Очистить», чтобы сбросить форму и начать с нуля.
Если вы хотите преобразовать другое число, просто введите исходное число и нажмите «Преобразовать» — нет необходимости сначала нажимать «Очистить».
Выход
Помимо результата преобразования отображается количество цифр как в исходном, так и в преобразованном числах. Например, при преобразовании десятичного числа 43,125 в двоичное 101011.001 количество цифр отображается как «от 2,3 до 6,3». Это означает, что десятичный ввод имеет 2 цифры в целой части и 3 цифры в дробной части, а двоичный вывод имеет 6 цифр в целой части и 3 цифры в дробной части.
Десятичные дробные значения, которые являются двоичными, преобразуются в конечные дробные двоичные значения и отображаются с полной точностью. Десятичные дробные значения, которые не являются двоичными, преобразуются в бесконечные (повторяющиеся) дробные двоичные значения, которые усекаются, а не округляются до указанного числа битов. В этом случае к концу двоичного числа добавляется многоточие (…), а количество цифр дробной части отмечается как бесконечное с символом «∞».
Исследование свойств десятичного / двоичного преобразования
Конвертер настроен так, что вы можете исследовать свойства преобразования десятичного числа в двоичное и преобразования двоичного числа в десятичное.Вы можете скопировать вывод десятичного в двоичный преобразователь на вход двоично-десятичного преобразователя и сравнить результаты (не копируйте часть числа «…» — двоичный преобразователь пометит его как недопустимый.)
Десятичное целое или двоичное дробное значение, преобразованное в двоичное, а затем обратно в десятичное, соответствует исходному десятичному значению; недиадическое значение преобразуется обратно только в приближенное значение своего исходного десятичного значения. Например, 0,1 в десятичной системе счисления до 20 бит — это 0.00011001100110011001 в двоичном формате; 0,00011001100110011001 в двоичном формате — это 0,09999942779541015625 в десятичном. Увеличение числа битов точности сделает преобразованное число ближе к исходному.
Вы можете изучить разницу в количестве цифр в десятичном и двоичном представлении числа. Большие двоичные целые числа имеют примерно log 2 (10), или примерно в 3,3 раза больше цифр, чем их десятичные эквиваленты. У двоичных десятичных дробей такое же количество цифр, как и у их двоичных эквивалентов.Недиадические десятичные значения, как уже отмечалось, имеют бесконечные двоичные эквиваленты.
Прочие преобразователи дробных значений произвольной точности
Вот хороший конвертер, который можно использовать, если вы хотите отображать повторяющиеся дробные части в виде столбиков; например, 0,1 10 преобразуется в 0,00011 2 . (Этот преобразователь также выполняет преобразование между основанием, отличным от двоичного и десятичного.)
Преобразование дроби в десятичную
Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике…Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, The Equation from slope and y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика полиномов Математика, Практика основМетрическая система, преобразование чисел, сложение чисел, вычисление с числами, вычисление с переменными Числа, деление чисел, умножение чисел, сравнение числовой линии чисел, числовые строки, размещение значений чисел, произнесение чисел, округление чисел, вычитание параболических чисел, построение чисел в квадрате , Факторинг разности квадратов многочленов, разложение на множители трехчленов, многочленов, разложение на множители с GCF, многочлены, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Упрощение, Методы Правые треугольники, Ветер, рисунок
Калькулятор дробей в десятичные
Воспользуйтесь этим калькулятором, чтобы легко преобразовать дроби в десятичные числа.
Быстрая навигация:
- Как преобразовать дробь в десятичное число?
- Практические примеры
- Таблица преобразования дробей в десятичные
Вычислить десятичное число из дроби действительно просто. Просто разделите числитель на знаменатель, и полученное действительное число будет вашим десятичным эквивалентом начальной дроби.Хотя это просто, поскольку это всего лишь базовое деление, его может быть сложно выполнить на практике в зависимости от задействованных чисел. Вот почему использование онлайн-калькулятора, подобного нашему, может реально сэкономить время при выполнении домашней работы или при выполнении преобразования дробной части в десятичную для других целей.
Практические примерыДля примера возьмем дробь 8/20. Делив 8 на 20, мы получаем десятичный эквивалент 0,4 (8/20 = 4/10 = 0.4). В этом случае расчет прост, поскольку 20 можно разделить на два, чтобы получить дробь со знаменателем, кратным 10, а числитель также делится на два (8/2 = 4).
Если знаменатель не является степенью десяти, его нужно умножить или разделить на число так, чтобы оно стало степенью десяти. В первом примере мы могли разделить оба значения на два, чтобы получить конечный результат. Однако как быть с дробью 1/50? Числитель не делится, а знаменатель не является степенью десяти.В таком сценарии 50 нужно умножить на 2, чтобы получить ближайшую степень 10: 100, что составляет 10 2 . Таким образом, нам нужно умножить числитель и знаменатель на 2, в результате получится 2/100. Деление на 100 означает просто сдвиг десятичной запятой на две позиции влево, что означает, что результат вычисления равен 0,02.
Таблица преобразования дробей в десятичныеЭту таблицу можно использовать в качестве справочника для дробей, которые обычно встречаются в простых школьных или университетских математических или геометрических задачах.
| Дробь | десятичный |
|---|---|
| 1/100 | 0,01 |
| 1/50 | 0,02 |
| 3/100 | 0,03 |
| 1/25 | 0,04 |
| 1/20 | 0,05 |
| 3/50 | 0,06 |
| 7/100 | 0.07 |
| 2/25 | 0,08 |
| 9/100 | 0,09 |
| 1/10 | 0,10 |
| 1/5 | 0,20 |
| 1/4 | 0,25 |
| 3/10 | 0,30 |
| 2/5 | 0,40 |
| 1/2 | 0,50 |
| 3/5 | 0.60 |
| 7/10 | 0,70 |
| 3/4 | 0,75 |
| 4/5 | 0,80 |
| 9/10 | 0,90 |
| 1/1 | 1,00 |
Приведенную выше таблицу можно использовать, выбрав дробное число из левого столбца и найдя соответствующее десятичное число из правого столбца в той же строке.
Калькулятор десятичных дробей
- Дом
- Контакт
- Логин
Переключить навигацию
- Финансовый
- Инвестиционный
- Калькулятор аннуитета
- Калькулятор APY
- Калькулятор доходности облигаций
- Калькулятор CAGR
- Калькулятор сложного процента
- Калькулятор IRR
- Калькулятор рентабельности инвестиций
- Калькулятор по правилу 72
- Калькулятор сбережений
- Простой калькулятор процентов
- Аренда
- Калькулятор аренды автомобиля
- Ссуды
- Amorti45 Ссудный калькулятор
- Калькулятор DTI
- Калькулятор отношения долга к лимиту
- Калькулятор только процентов
- Калькулятор доступности ссуды
- Калькулятор сравнения ссуд
- Ипотечный калькулятор
- Расчет рефинансирования ator
- Business
- Калькулятор коэффициента наличности
- Калькулятор комиссионных
- Калькулятор CPC
- Калькулятор CPM
- Калькулятор коэффициента долга
- Калькулятор скидки
- Калькулятор маржи
- GST
- GST Налоговый калькулятор
- Калькулятор амортизации по прямой линии
- Калькулятор НДС
- Здоровье
- Калькулятор ИМТ
- Калькулятор BMR
- Калькулятор даты зачатия
- Калькулятор срока сдачи
- 1047
9104 Идеальное тело Математика - Калькулятор дробей
- Упрощение дробей
- Калькулятор GCF
- ЖК-калькулятор
- Калькулятор LCM
- Калькулятор процентов
- Калькулятор округления чисел
- Квадратный корень Ca lculator
- Преобразование
- Преобразование единиц
- Преобразование площади
- Преобразование длины
- Преобразование давления
- Преобразование температуры
- Преобразование времени
- Преобразование объема
- Преобразование веса
- Преобразование единиц
- Калькулятор десятичных в проценты
- Калькулятор дробей в десятичные
- Калькулятор дробей в проценты
- Калькулятор процентов в десятичные
- Калькулятор процентов в дроби
- Конвертер римских цифр Разное
- Калькулятор возраста кошки
- Калькулятор дня недели
- Калькулятор возраста собаки
- Калькулятор GPA
- Калькулятор Парла
- Генератор паролей
- Генератор случайных чисел
- Калькулятор чаевых
- Счетчик слов
- Виджеты
- Бизнес
- Виджеты денежного соотношения
- Виджеты комиссионных
- Виджеты CPC
- Виджеты CPM
- Виджет скидки
- Виджет для маржи
- Виджет для маржи
- Виджеты разметки
- Виджеты налога с продаж
- Виджеты прямой амортизации
- Виджеты НДС
- Конверсии
- Виджеты преобразования площади
- Виджеты десятичных дробей в десятичные1046
Виджет от десятичного до дробного 1046
Виджет от десятичного до десятичного 1046 Виджеты дроби в проценты - Бизнес
- Виджеты преобразования длины
- Виджеты процента на дроби
- Виджеты процента на десятичные
- Виджеты преобразования давления
- Виджеты преобразования римских цифр
- Виджеты преобразования температуры
- Конверсии времени на виджетах
- Виджеты преобразования объема
- Виджеты преобразования веса
- Финансовые
- Виджеты амортизации
- Виджеты аннуитета
- Виджеты APR
- Виджеты виджетов APY
- Виджет APY
- Виджет APY
- Виджет APY
- Виджет
- Виджеты CAGR
- Виджеты сложных процентов
- Виджеты DTI
- Виджеты отношения долга к лимитам
- Виджеты только процентов
- Виджеты IRR
- Виджеты доступности займа Виджеты
- Виджеты доступности займа Виджет
- Виджет доступности займа Виджет
- Виджеты NPV
- Виджеты текущей стоимости
- Виджеты рефинансирования
- Виджеты доходности от аренды
- Виджеты возврата инвестиций
- Правило 72 виджетов
- Виджеты сбережений
- Виджеты с простым процентом
47 - BM
- Виджеты BMR
- Виджеты даты зачатия
- Виджеты срока выполнения
- Виджеты идеального веса тела
- Виджеты овуляции
- Math
- Виджеты дроби
- Виджет дроби
- Виджет GCF
- Виджет GC
- Виджет GC Виджеты LCM
- Виджеты в процентах
- Виджеты с округлением чисел
- Виджеты с квадратным корнем
- Разное
- Виджеты возраста
- Виджеты дня недели
- Виджеты возраста собаки Виджеты для кошек 910 Виджеты генератора
- Виджеты Parlay
- Виджеты генератора случайных чисел
- Виджеты подсказок
- Виджеты счетчика слов Добавьте этот калькулятор на свой сайт.
- Калькулятор наценки
- Калькулятор идеальной массы тела
- Калькулятор отношения долга к пределу
- Калькулятор скидок
- Калькулятор CAGR
- Калькулятор ипотечного кредита
- Калькулятор автокредитования
- Калькулятор ИМТ
- Калькулятор сложных процентов
- Калькулятор овуляции
- Виджеты калькулятора
- FAQ
47 - s
знак равно
?
Поделиться Результатом:
Поделиться результатами
Последние калькуляторы
Популярные калькуляторы
ресурсов
484 квадратный корень: Mathway | Популярные задачи
//2
47 Калькулятор чистой стоимости Калькулятор доходности от аренды
- Инвестиционный
| 1 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 3 | |
| 2 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 3 | |
| 3 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 2 | |
| 4 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 2 | |
| 5 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 4 | |
| 6 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 3 | |
| 7 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 4 | |
| 8 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 3 | |
| 9 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 3 | |
| 10 | Найти число возможных исходов | 3 выбор 2 | |
| 11 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 4 | |
| 12 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 4 | |
| 13 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 3 | |
| 14 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 2 | |
| 15 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 5 | |
| 16 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 6 | |
| 17 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 5 | |
| 18 | Найти число возможных исходов | 3 выбор 3 | |
| 19 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 1 | |
| 20 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 4 | |
| 21 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 1 | |
| 22 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 3 | |
| 23 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 5 | |
| 24 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 4 | |
| 25 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 3 | |
| 26 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 2 | |
| 27 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 4 | |
| 28 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 3 | |
| 29 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 5 | |
| 30 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 2 | |
| 31 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 5 | |
| 32 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 6 | |
| 33 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 5 | |
| 34 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 3 | |
| 35 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 5 | |
| 36 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 5 | |
| 37 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 3 | |
| 38 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 5 | |
| 39 | Найти число возможных исходов | 3 выбор 1 | |
| 40 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 5 | |
| 41 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 2 | |
| 42 | Найти число возможных исходов | 15 выбор 3 | |
| 43 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 4 | |
| 44 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 4 | |
| 45 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 3 | |
| 46 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 4 | |
| 47 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 2 | |
| 48 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 4 | |
| 49 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 2 | |
| 50 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 3 | |
| 51 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 5 | |
| 52 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 5 | |
| 53 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 1 | |
| 54 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 4 | |
| 55 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 6 | |
| 56 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 4 | |
| 57 | Вычислить | e | |
| 58 | Найти уравнение, перпендикулярное прямой | -7x-5y=7 | |
| 59 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 2 | |
| 60 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 2 | |
| 61 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 3 | |
| 62 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 7 | |
| 63 | Найти число возможных исходов | 20 выбор 4 | |
| 64 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 4 | |
| 65 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 4 | |
| 66 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 5 | |
| 67 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 3 | |
| 68 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 0 | |
| 69 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 7 | |
| 70 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 2 | |
| 71 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 5 | |
| 72 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 2 | |
| 73 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 6 | |
| 74 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 6 | |
| 75 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 6 | |
| 76 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 7 | |
| 77 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 5 | |
| 78 | Найти число возможных исходов | 2 перестановка 2 | |
| 79 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 8 | |
| 80 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 7 | |
| 81 | Найти число возможных исходов | 15 выбор 5 | |
| 82 | Найти обратный элемент | [[1,0,1],[2,-2,-1],[3,0,0]] | |
| 83 | Определить область значений | 1/4x-7 | |
| 84 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 7 | |
| 85 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 6 | |
| 86 | Найти число возможных исходов | 2 выбор 1 | |
| 87 | Найти число возможных исходов | 30 выбор 3 | |
| 88 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 6 | |
| 89 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 2 | |
| 90 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 1 | |
| 91 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 2 | |
| 92 | Найти число возможных исходов | 4 перестановка 2 | |
| 93 | Найти число возможных исходов | 4 перестановка 3 | |
| 94 | Найти число возможных исходов | 3 перестановка 3 | |
| 95 | Найти число возможных исходов | 46 выбор 6 | |
| 96 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 1 | |
| 97 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 7 | |
| 98 | Найти число возможных исходов | 52 перестановка 5 | |
| 99 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 1 | |
| 100 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 6 |
Простые числа.
Примеры — МАТВОКСПростые числа. Примеры — МАТВОКС
Перейти к содержанию
ПОИСК
Страница Вконтакте открывается в новом окне
Вы здесь:
Как определить, является число простым или составным
Является ли число простым можно узнать при помощи таблицы простых чисел.
Но не всегда таблица бывает под рукой.
Для таких случаев, чтобы определить, является ли число простым, можно использовать следующую теорему.
Теорема о делителе составного числа
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель составного числа a не превосходит √a, где √a – арифметический квадратный корень из a.
Где:
b — наименьший положительный и отличный от 1 делитель составного числа a
Доказательство теоремы
Обозначим буквой b наименьший и отличный от 1 делитель составного числа a (число b – простое).
Тогда существует такое целое число q, что:
q будет положительным числом, исходя из правил умножения целых чисел, причем:
Если b>q, то нарушится условие того, что b – наименьший делитель числа a, так как q также является делителем числа a, исходя из равенства для a.
Умножим обе части неравенства на положительное и большее 1 целое число b. получим:
Так как:
Тогда:
Извлечем квадратный корень:
ПримерыПример 1Не пользуясь таблицей простых чисел, определите, является число 479 составным или простым.
Решение
Число будет простым, если оно будет делиться только на 1 и на само себя. Значит, чтобы узнать, является ли число простым, нужно убедиться, что у него нет других делителей кроме 1 и 479.
Чтобы упростить задачу «перебора возможных делителей» воспользуемся теоремой, согласно которой, если число – составное, то его наименьший положительный и отличный от 1 делитель — это арифметический квадратный корень из этого числа.
Итак, рассмотрим число 479. Если оно составное, то его наименьший положительный делитель (обозначим его буквой b):
Причем этот делитель должен быть простым числом.
Из 479 квадратный корень не извлекается, значит, определим его приблизительное значение. Ближайшее к 479 число, из которого квадратный корень извлекается, это 484:
Тогда:
Значит,
Таким образом, если 479 – составное число, то его наименьший делитель будет одним из простых чисел, меньших 22.
Выпишем ряд простых чисел, меньших 22:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
По признакам делимости, очевидно, что 479 не будет без остатка делиться на 2, 3 и 5.
Проверим оставшиеся возможные делители.
479:7
479:11
479:13
479:17
479:19
Число 479 нацело не разделилось ни на одно простое число меньшее 22. Следовательно, 479 – простое число.
Ответ: 479 – простое число
Пример 2Определить, является число 143 простым или составным.
Решение
Число будет простым, если оно будет делиться только на 1 и на само себя. Значит, чтобы узнать, является ли число простым, нужно убедиться, что у него нет других делителей кроме 1 и 143.
Чтобы упростить задачу «перебора возможных делителей» воспользуемся теоремой, согласно которой, если число – составное, то его наименьший положительный и отличный от 1 делитель — это арифметический квадратный корень из этого числа.
Итак, рассмотрим число 143. Если оно составное, то его наименьший положительный делитель (обозначим его буквой b) будет меньше или равен арифметическому квадратному корню из 143:
Причем этот делитель должен быть простым числом.
Из 143 квадратный корень не извлекается, значит, определим его приблизительное значение. Ближайшее к 143 число, из которого квадратный корень извлекается, это 144:
Тогда:
Значит,
Таким образом, если 143 – составное число, то его наименьший делитель будет одним из простых чисел, меньших 12.
Выпишем ряд простых чисел, меньших 12:
2, 3, 5, 7, 11
По признакам делимости, очевидно, что 143 не будет без остатка делиться на 2, 3 и 5.
Проверим оставшиеся возможные делители.
143:7
143:11
Так как число 143 делится на 11 без остатка, то число 143 – составное.
Ответ: 143 – составное
Пример 3Не пользуясь таблицей простых чисел, определить, является число 97 составным или простым.
Решение
Число будет простым, если оно будет делиться только на 1 и на само себя. Значит, чтобы узнать, является ли число простым, нужно убедиться, что у него нет других делителей кроме 1 и 97.
Чтобы упростить задачу «перебора возможных делителей» воспользуемся теоремой, согласно которой, если число – составное, то его наименьший положительный и отличный от 1 делитель — это арифметический квадратный корень из этого числа.
Итак, рассмотрим число 97. Если оно составное, то его наименьший положительный делитель (обозначим его буквой b) должен быть:
Причем этот делитель должен быть простым числом.
Из 97 квадратный корень не извлекается, значит, определим его приблизительное значение. Ближайшее к 97 число, из которого квадратный корень извлекается, это 100:
Тогда:
Значит,
Таким образом, если 97 – составное число, то его наименьший делитель будет одним из простых чисел, меньших 9.
Выпишем ряд простых чисел, меньших 9:
2, 3, 5, 7
По признакам делимости, очевидно, что 97 не будет без остатка делиться на 2, 3 и 5.
Проверим, делится ли 97 на 7 без остатка.
97:7=13 ост 6
Следовательно, 97 – простое число.
Ответ: 97 – простое число
Пример 4Определить, является число 247 простым или составным.
Решение
Число будет простым, если оно будет делиться только на 1 и на само себя. Значит, чтобы узнать, является ли число простым, нужно убедиться, что у него нет других делителей кроме 1 и 247.
Чтобы упростить задачу «перебора возможных делителей» воспользуемся теоремой, согласно которой, если число – составное, то его наименьший положительный и отличный от 1 делитель — это арифметический квадратный корень из этого числа.
Итак, рассмотрим число 247. Если оно составное, то его наименьший положительный делитель (обозначим его буквой b) будет меньше или равен арифметическому квадратному корню из 247:
Причем этот делитель должен быть простым числом.
Из 247 квадратный корень не извлекается, значит, определим его приблизительное значение. Ближайшее к 247 число, из которого квадратный корень извлекается, это 256:
Тогда:
Значит,
Таким образом, если 247 – составное число, то его наименьший делитель будет одним из простых чисел, меньших 16.
Выпишем ряд простых чисел, меньших 16:
2, 3, 5, 7, 11, 13
По признакам делимости, очевидно, что 247 не будет без остатка делиться на 2, 3 и 5.
Проверим оставшиеся возможные делители.
247:7
247:11
247:13
Так как число 247 делится на 13 без остатка, то число 247 – составное.
Ответ: 247 – составное
9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3
MATHVOX
Вверх
Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя.
Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять
Privacy & Cookies Policy
Don`t copy text!
Квадратный корень из 100 равен. Что такое квадратный корень? Внесение под знак корня
Сегодня мы с вами разберемся на этой странице нашего сайта сайт о том, квадратный корень из 100 сколько будет. Давайте вместе с вами разберемся сколько будет квадратный корень из 100, так как над этой темой многие десятилетия ломали свои умы 1000 научных сотрудников и многие пришли без поворотному выводу по расчётам, что такого корня вообще не существует и его просто невозможно вычислить. Также очень важно в данном случае задать именно правильный вопрос по выявлению квадратного корня из 100. Если быть точным, то мы будем высчитывать арифметический корень квадрата из 100 так как в обычном квадратном корне из 100 в результате у нас будет получаться два числа: 10 и -10.
Сумму нужных нам этих чисел мы можем посчитать простым арифметическим приемом с помощью вертикальной, привычной чертой, цифры и корни которые прописываются справа внизу. Там мы будем находить нужный нам квадрат единиц корня, затем умножать десятки и находить удвоенное а не утроенное произведение десятка любого корня на единицы. Некоторые цифры нам придётся возводить в квадрат, чтобы в сумме получилось двузначное число, если в итоге у нас получилась число 10, значит мы всё сделали с вами верно. Главное изначально перед началом расчетов хотя бы немного подружиться с математикой и с математической прогрессией составление квадратного корня.
Запомните одно единственное и основное правило: чтобы нам извлечь нужный корень квадратный из любого целого числа, в первую очередь извлекаем любой нужный нам корень из числа его сумм и сотен. Если число равняется или больше 100, тогда мы начинаем искать корень из сотен фактических чисел этих данных сотен, потом из десятков тысяч фактического числа, тем более если данное число намного больше чем 100, затем уже в обязательном порядке извлекаем корень числа из сотен десятков тысяч или если быть точнее: из миллиона данного числа.
На эту тему есть много правил и различных научных рекомендаций, школьных программ по извлечению квадратного корня из числа 100 будет всегда неизменным.
Если рассматривать прогресс нахождения корня из числа 100, нам надо обратить внимание что в корне находится столько же цифр, сколько и под конечным числом граней, при этом левая грань может состоять всего лишь из одной цифры. Исходя из всего этого, самым точным на планете земля квадратным корнем из любого числа, будет называться такая сумма чисел, квадрат которого в точности при подсчетах равняется данному числу. Именно на этом мы можем окончить свой краткий курс по вычислению квадратного корня из 100 который будет равняться (10) десяти.
Константинова Вера
Как найти корень числа
Задача нахождения корня в математике является обратной задачей возведения числа в степень. Корни бывают различные: корни второй степени, корни третьей степени, корни четвертой степени и так далее. Это зависит от того, в какую степень изначально было возведено число.
Корень обознается символом: √ – это квадратный корень, то есть корень из второй степени, если у корня степень больше, чем вторая, то над знаком корня приписывается соответствующая степень. Число, которое находится под знаком корня – это подкоренное выражение. При нахождении корня существует несколько правил, которые помогут не ошибиться в нахождении корня:
- Корень четной степени (если степень равна 2, 4, 6, 8 и так далее) из отрицательного числа НЕ существует. Если подкоренное выражение отрицательно, но ищется корень нечетной степени (3, 5, 7 и так далее), то результат будет отрицательным.
- Корень любой степени от единицы всегда единица: √1 = 1.
- Корень нуля есть нуль: √0 = 0.
Как найти корень из числа 100
Если в задаче не написано, корень какой степени необходимо найти, то обычно подразумевается, что необходимо найти корень второй степени (квадратный).
Найдем √100 = ? Нам необходимо найти такое число, при возведении которого во вторую степень, получится число 100.
Очевидно, что таким числом является число 10, так как: 10 2 = 100. Следовательно, √100 = 10: квадратный корень из 100 равен 10.
При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.
К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.
Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы . Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?
При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99.
При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.
Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.
Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.
Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.
Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801).
Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.
Разложение на простые множители
Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители . Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.
Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем.
Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.
Метод Герона
Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона . Его суть заключается в использовании приближённой формулы:
√R = √a + (R — a) / 2√a,
где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.
Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:
√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.
Теперь проверим точность метода :
10,55² = 111,3025.
Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:
√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Проверим точность расчёта:
10,536² = 111,0073.
После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.
Вычисление корня делением в столбик
Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора .
Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.
- Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
- Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
- Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
- Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
- Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
- Повторим шаги 3-6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
- Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.
Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.
Поразрядное вычисление значения квадратного корня
Метод обладает высокой точностью . Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.
Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.
- Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10²
- Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20
- Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27
- Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д.) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.
д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10²Видео
Из видео вы узнаете, как извлекать квадратные корни без использования калькулятора.
Среди множества знаний, которые являются признаком грамотности, на первом месте стоит азбука. Следующим, таким же «знаковым» элементом, являются навыки сложения-умножения и, примыкающие к ним, но обратные по смыслу, арифметические операции вычитания-деления.
Усвоенные в далеком школьном детстве навыки, служат верой и правдой денно и нощно: ТВ, газета, СМС, И везде читаем, пишем, считаем, складываем, вычитаем, умножаем. А, скажите, часто ли вам приходилось по жизни, извлекать корни, кроме, как на даче? Например, такая занимательная задачка, типа, корень квадратный из числа 12345… Есть еще порох в пороховницах? Осилим? Да нет ничего проще! Где тут мой калькулятор… А без него, врукопашную, слабо?
Сначала уточним, что же это такое — квадратный корень числа. Вообще говоря, «извлечь корень из числа» означает выполнить арифметическое действие противоположное возведению в степень — вот вам и единство противоположностей в жизненном приложении. допустим, квадрат, это умножение числа на самое себя, т.е., как учили в школе, Х * Х = А или в другой записи Х2 = А, а словами — «Х в квадрате равняется А». Тогда обратная задача звучит так: квадратный корень числа А, представляет собой число Х, которое будучи возведено в квадрат равно А.
Извлекаем квадратный корень
Из школьного курса арифметики известны способы вычислений «в столбик», которые помогают выполнить любые подсчеты с применением первых четырех арифметических действий.
Увы… Для квадратных, и не только квадратных, корней таких алгоритмов не существует. А в таком случае, как извлечь квадратный корень без калькулятора? Исходя из определения квадратного корня вывод один — необходимо подбирать значение результата последовательным перебором чисел, квадрат которых приближается к значению подкоренного выражения. Только и всего! Не успеет пройти час-другой, как можно посчитать, используя хорошо известный прием умножения в «столбик», любой квадратный корень. При наличии навыков для этого достаточно пары минут. Даже не совсем продвинутый пользователь калькулятора или ПК делает это одним махом — прогресс.
А если серьезно, то вычисление квадратного корня часто выполняют, используя прием «артиллерийской вилки»: сначала берут число, квадрат которого, примерно, соответствует подкоренному выражению. Лучше, если «наш квадрат» чуть меньше этого выражения. Затем корректируют число по собственному умению-разумению, например, умножают на два, и… вновь возводят в квадрат.
Если результат больше числа под корнем, последовательно корректируя исходное число, постепенно приближаются к его «коллеге» под корнем. Как видите — никакого калькулятора, только умение считать «в столбик». Конечно же, есть множество научно-аргументированных и оптимизированных алгоритмов вычислений квадратного корня, но для «домашнего применения» указанный выше прием дает 100% уверенность в результате.
Да, чуть не забыл, чтобы подтвердить свою возросшую грамотность, вычислим квадратный корень ранее указанного числа 12345. Делаем пошагово:
1. Возьмем, чисто интуитивно, Х=100. Подсчитаем: Х * Х = 10000. Интуиция на высоте — результат меньше 12345.
2. Попробуем, тоже чисто интуитивно, Х = 120. Тогда: Х * Х = 14400.И опять с интуицией порядок — результат больше 12345.
3. Выше получена «вилка» 100 и 120. Выберем новые числа — 110 и 115. Получаем, соответственно, 12100 и 13225 — вилка сужается.
4. Пробуем на «авось» Х=111. Получаем Х * Х = 12321. Это число уже достаточно близко к 12345.
В соответствии с требуемой точностью «подгонку» можно продолжить или остановиться на полученном результате. Вот и все. Как и было обещано — все очень просто и без калькулятора.
Совсем немного истории…
Додумались до использования квадратных корней еще пифагорейцы, ученики школы и последователи Пифагора, за 800 лет до н.э. и тут же, «нарвались» на новые открытия в области чисел. И откуда что взялось?
1. Решение задачи с извлечением корня, дает результат в виде чисел нового класса. Их назвали иррациональными, иначе говоря, «неразумными», т.к. они не записываются законченным числом. Самый классический пример такого рода — квадратный корень из 2. Этот случай соответствует вычислению диагонали квадрата со стороной равной 1 — вот оно, влияние школы Пифагора. Оказалось, что у треугольника с вполне конкретным единичным размером сторон, гипотенуза имеет размер, который выражается числом, у которого «нет конца». Так в математике появились
2. Известно, что Оказалось, что эта математическая операция содержит еще один подвох — извлекая корень, мы не знаем, квадратом какого числа, положительного или отрицательного, является подкоренное выражение.
Эта неопределенность, двойной результат от одной операции, так и записывается.
Изучение связанных с этим явлением проблем стало направлением в математике под названием теория комплексной переменной, имеющим большое практическое значение в математической физике.
Любопытно, что обозначение корня — радикал — применил в своей «Универсальной арифметике» все тот же вездесущий И. Ньютон, а в точности современный вид записи корня известен с 1690 года из книги француза Ролля «Руководство алгебры».
«Торговая» революция
Комков Сергей 26.12.2012
На фоне только что состоявшегося вступления России в ВТО уничтожение РГТЭУ — ведущего российского вуза в системе торговых (и, в первую очередь, внешнеторговых) отношений, а также увольнение его ректора, известного политика Сергея Бабурина выглядят не просто как глупость. Все это весьма похоже на заранее спланированную провокацию.
Похоже, Всемирная Торговая Организация и, главным образом, США, играющие в ней ключевую роль, оказались не на шутку озабочены возможными последствиями вступления в данную организацию России.
Но тут они вовремя вспомнили о том, что в России уже давно и успешно действует выращенная и вскормленная ими организация – Высшая Школа Экономики. Именно она была создана в 1992-м году на деньги Всемирного Банка с целью уничтожения в нашей стране всего интеллектуального потенциала нации. Именно под её руководством сегодня действует главный коллективный «агент влияния» в этой сфере – Министерство образования и науки России.
Можно много и до бесконечности говорить о глупости и некомпетентности новоявленного министра – господина Ливанова, который с трудом различает виды и направления образования. Но сам по себе господин Ливанов – абсолютный ноль без палочки. Из уст которого при каждом их открывании непременно выскакивает какая-нибудь очередная чушь. За его спиной маячат более колоритные фигуры. Например, главного «идеолога» всех экономических преобразований в нашей стране гражданина США Евгения Ясина и его подручного – ректора «Вышки» Ярослава Кузьминова.
Именно они с подачи американских советников из Всемирного Банка, активно работающих на базе ВШЭ, состряпали критерии так называемого «мониторинга» российских вузов.
И уже ни для кого не секрет, что, в соответствии с данными «критериями», в разряд «неэффективных» попали наиболее значимые российские высшие учебные заведения. Вузы с богатой историей и традициями, обладающие огромным творческим потенциалом. Например, МАРХИ, РГГУ, Литературный институт.
Попал в эту категорию и Российский Государственный Торгово-Экономический университет – РГТЭУ. Хотя по многим своим показателям этот вуз может дать сто очков форы той самой «Плешке», к которой его так скоропостижно решили присоединить. И, в первую очередь, в вопросах подготовки специалистов для системы внешней торговли.
РГТЭУ не просто имеет огромные международные связи. В нем досконально изучаются особенности торгового развития зарубежных стран. В стенах этого вуза постоянно выступают ведущие экономические и политические деятели мира, послы иностранных государств. Почетными докторами данного вуза являются ведущие мировые лидеры. Например, Фидель Кастро и Уго Чавес.
А это, как известно, «заклятые друзья» Америки.
Вот и пошли в ход инструменты по уничтожению столь опасного учебного заведения. Дабы Россия, не дай Бог, не свернула с «истинного пути» и не предала интересы американских заказчиков.
Да и личность самого ректора – известного в России и далеко за её пределами политика и ученого – встала у наших американских дядюшек как кость в горле.
Сергей Бабурин был не просто одним из лидеров парламентской оппозиции, занимая в предыдущем составе Государственной Думы России место вице-спикера. Он был активным сторонником новой политики России на всем постсоветском пространстве. Именно он в 2006-м году активнейшим образом помогал народу Абхазии выйти из глубочайшего политического кризиса. В который, кстати говоря, его вогнали опять все те же тупые и послушные воле американских советников чиновники правительства и администрации президента России.
Благодаря усилиям Сергея Бабурина верх в Абхазии тогда взяли прогрессивные силы во главе с Сергеем Багапшем. И с 2008-го года Абхазия стала главным стратегическим партнером России на Северном Кавказе.
Подобная позиция является выражением здравого, взвешенного патриотизма. Поэтому на протяжении ряда лет Бабурин возглавляет Российский Общенародный Союз и является организатором ежегодных традиционных Русских Маршей. Не тех, что со свастикой и фашистскими лозунгами «Россия только для русских!» А вполне понятных для всего населения страны выступлений с требованиями соблюдать российские национальные интересы в вопросах внешней политики и выполнять социальные обещания, данные своему собственному народу.
Но именно это не нравится американским приспешникам, окопавшимся в кабинетах российского правительства. Потому что для них требование соблюдения наших национальных интересов как нож по сердцу.
Вот и пришло кому-то на ум одним ударом убить сразу двух зайцев: и вуз, готовящий специалистов для успешной внешней торговли России, и её патриотически настроенного ректора.
Обычно для подобного рода действий больше всего подходят дураки. Ибо, им, как известно, не ведомо, что они на самом деле творят.
Но в данном конкретном случае может получиться весьма серьезная промашка, чреватая тяжелейшими социальными последствиями для всей страны.
Наши чиновники, зажравшиеся на казенных харчах и считающие себя полностью правыми в любом неправедном деле, забыли простейшую истину: они не властны над юношескими душами и юношескими порывами.
Именно подобного рода порывы смели в конце 60-х годов прошлого века правительство генерала Де Голля во Франции. Там тоже начиналось все с, казалось бы, внешне безобидных вещей. А закончилось всеобщим хаосом, беспорядками, горящими автомобилями и офисами.
Молодежь (особенно организованная студенческая молодежь) – это не кучка обанкротившихся политиков-оппозиционеров, побывавших во власти и, по сему, на неё весьма обиженных. Студенческая молодежь всегда и во все времена была одной из главных движущих сил революции. И сегодняшняя молодежь не является исключением из правил. Скорее наоборот. Именно сегодняшняя молодежь, особенно остро воспринимающая возникшую в обществе социальную несправедливость и неравенство, способна на самые крутые и самые радикальные шаги.
И, если власть попытается применить силу, это будет для неё убийственно. Потому что молодежь никогда ей этого не простит.
Когда господин Ливанов и Ко объявили о своем намерении силовым методом начать решение проблемы высшего образования, закрывая и сливая вузы, они фактически подписали себе приговор. Они даже не удосужились задуматься над тем, какие глубинные силы они поднимают. И это кончится трагически не только для тех, кто сегодня оказался на руководящих постах в Министерстве образования и науки, но и для всего российского руководства в целом. Ибо, даже подавленный локально молодежный бунт не уходит в небытие. Он зреет с новой силой. Но где и когда он грянет, уже не сможет предсказать никто.
Так что события в РГТЭУ только на первый взгляд выглядят как некая «торговая революция». На самом деле они предвестники другой – более жесткой и более кровавой социальной войны, победителей в которой не будет.
Проигравший же известен заранее. Это наша Родина. Страна, которую мы пока еще иногда с некоторой гордостью называем Россией.
Поэтому сегодняшние действия руководства Минобрнауки в отношении отдельно взятого учебного заведения и в отношении отдельно взятого ректора можно расценивать как разжигание социальной войны во имя и во благо другого государства.
А это называется: Национальная Измена.
Задача нахождения корня в математике является обратной задачей возведения числа в степень. Корни бывают различные: корни второй степени, корни третьей степени, корни четвертой степени и так далее. Это зависит от того, в какую степень изначально было возведено число. Корень обознается символом: √ — это квадратный корень, то есть корень из второй степени, если у корня степень больше, чем вторая, то над знаком корня приписывается соответствующая степень. Число, которое находится под знаком корня — это подкоренное выражение. При нахождении корня существует несколько правил, которые помогут не ошибиться в нахождении корня:
- Корень четной степени (если степень равна 2, 4, 6, 8 и так далее) из отрицательного числа НЕ существует. Если подкоренное выражение отрицательно, но ищется корень нечетной степени (3, 5, 7 и так далее), то результат будет отрицательным.
- Корень любой степени от единицы всегда единица: √1 = 1.
- Корень нуля есть нуль: √0 = 0.
Если подкоренное выражение отрицательно, но ищется корень нечетной степени (3, 5, 7 и так далее), то результат будет отрицательным.Как найти корень из числа 100
Если в задаче не написано, корень какой степени необходимо найти, то обычно подразумевается, что необходимо найти корень второй степени (квадратный).
Найдем √100 = ? Нам необходимо найти такое число, при возведении которого во вторую степень, получится число 100. Очевидно, что таким числом является число 10, так как: 10 2 = 100. Следовательно, √100 = 10: квадратный корень из 100 равен 10.
Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры
Из этой статьи вы узнаете:
- что такое «извлечение корня»;
- в каких случаях он извлекается;
- принципы нахождения значения корня;
- основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.
Что такое «извлечение корня»
Для начала введем определение «извлечение корня».
Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.
При извлечении корня n-ной степени из числа a, мы находим число b, n-ная степень которого равняется a. Если мы нашли такое число b, можно утверждать, что корень извлечен.
Замечание 1Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.
В каких случаях извлекается корень?
Определение 2Корень n-ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n-ной степени некоторого числа b.
Пример 14=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2
Определение 3Когда корень n-ной степени из числа a невозможно представить в виде n-ной степени числа b, то такой корень не извлекается, либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда.
Пример 22≈1,4142.
Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения
- Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т. д.
- Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
- Извлечение корней из дробных чисел
- Извлечение корня из отрицательного числа
- Поразрядное нахождение значения корня
д.Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.
Определение 4Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: bnn=b, которое является справедливым для любого неотрицательного числа b.
Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.
Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).
Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.
Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.
И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.
Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.
Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.
Таблица квадратов
| Таблица квадратов | единицы | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| десятки | 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 | |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 | |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2041 | |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 | |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 | |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 | |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 | |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 | |
Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.
д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.
Таблица кубов
| Таблица кубов | единицы | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| десятки | 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
| 1 | 1000 | 1 331 | 1 728 | 2 197 | 2 744 | 3 375 | 4 096 | 4 913 | 5 832 | 6 859 | |
| 2 | 8000 | 9 261 | 10 648 | 12 167 | 13 824 | 15 625 | 17 576 | 19 683 | 21 952 | 24 389 | |
| 3 | 27000 | 29 791 | 32 768 | 35 937 | 39 304 | 42 875 | 46 656 | 50 653 | 54 872 | 59 319 | |
| 4 | 64000 | 68 921 | 74 088 | 79 507 | 85 184 | 91 125 | 97 336 | 103 823 | 110 592 | 117 649 | |
| 5 | 125000 | 132 651 | 140 608 | 148 877 | 157 464 | 166 375 | 175 616 | 185 193 | 195 112 | 205 379 | |
| 6 | 216000 | 226 981 | 238 328 | 250 047 | 262 144 | 274 625 | 287 496 | 300 763 | 314 432 | 328 509 | |
| 7 | 343000 | 357 911 | 373 248 | 389 017 | 405 224 | 421 875 | 438 976 | 456 533 | 474 552 | 493 039 | |
| 8 | 512000 | 531 441 | 551 368 | 571 787 | 592 704 | 614 125 | 636 056 | 658 503 | 681 472 | 704 969 | |
| 729000 | 753 571 | 778 688 | 804 357 | 830 584 | 857 375 | 884 736 | 912 673 | 941 192 | 970 299 | ||
Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.
Разложение подкоренного числа на простые множители
Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.
Определение 5Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.
Пример 3Извлечем квадратный корень из 144.
Разложим 144 на простые множители:
Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.
Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:
144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12
144=12 — окончательный ответ.
Извлечение корней из дробных чисел
Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.
Определение 6Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:
pqn=pnqn. Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.
Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.
Необходимо извлечь кубический корень из 474,552. Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474,552 = 474552/1000. Из этого следует: 47455210003=474552310003. Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:
474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то
4745523=7833=78 и 10003=1033=10.
Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.
Извлечение корня из отрицательных чисел
Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа -a и нечетного показателя корня 2n-1 справедливо равенство:
-a2×n-1=-a2×n-1
Определение 7Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.
-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:
-122092435=12209243-5
Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:
12209243-5=3125243-5
Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:
3125243-5=-312552435
Вычисляем корни в числителе и знаменателе:
-312552435=-555355=-53=-123
Краткая запись решения:
-122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.
Ответ: -122092435=-123.
Поразрядное нахождение значения корня
Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n-ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака.
В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.
Пример 6Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.
Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0,1,2,…,9, вычисляя при этом 02, 12, …, 92 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5. Все это удобно представить в виде таблицы:
| Возможное значение корня | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Это значение в степени | 0 | 1 | 4 | 9 |
Значение ряда единиц равняется 2 (так как 22<5, а 23>5). Переходим в разряду десятых — будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2,…,2,9, , сравнивая полученные значения с числом 5.
| Возможное значение корня | 2,0 | 2,1 | 2,2 | 2,3 |
| Это значение в степени | 4 | 4,41 | 4,84 | 5,29 |
Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2.
Переходим к нахождению значения сотых:
| Возможное значение корня | 2.20 | 2,21 | 2,22 | 2,23 | 2,24 |
| Это значение в степени | 4,84 | 4,8841 | 4,8294 | 4,9729 | 5,0176 |
Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше:
2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,…
Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Что такое квадратный корень. Таблица квадратных корней
В данной статье разберем понятие «квадратный корень» и приведем таблицу квадратных корней от 1 до 10000.
Чтобы возвести в квадрат число нужно умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:
3 · 3 = 32 = 9
Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?
Нужно запомнить, что:
- Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.
- Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.
У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9», это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:
√9 = 3
Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.
Квадратный корень из нуля равен нулю: √0 = 0
В таблице приведены квадратные корни натуральных чисел от 1 до 100.
| √1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10 | √121 = 11 √144 = 12 √169 = 13 √196 = 14 √225 = 15 √256 = 16 √289 = 17 √324 = 18 √361 = 19 √400 = 20 | √441 = 21 √484 = 22 √529 = 23 √576 = 24 √625 = 25 √676 = 26 √729 = 27 √784 = 28 √841 = 29 √900 = 30 | √961 = 31 √1024 = 32 √1089 = 33 √1156 = 34 √1225 = 35 √1296 = 36 √1369 = 37 √1444 = 38 √1521 = 39 √1600 = 40 | √1681 = 41 √1764 = 42 √1849 = 43 √1936 = 44 √2025 = 45 √2116 = 46 √2209 = 47 √2304 = 48 √2401 = 49 √2500 = 50 |
| √2601 = 51 √2704 = 52 √2809 = 53 √2916 = 54 √3025 = 55 √3136 = 56 √3249 = 57 √3364 = 58 √3481 = 59 √3600 = 60 | √3721 = 61 √3844 = 62 √3969 = 63 √4096 = 64 √4225 = 65 √4356 = 66 √4489 = 67 √4624 = 68 √4761 = 69 √4900 = 70 | √5041 = 71 √5184 = 72 √5329 = 73 √5476 = 74 √5625 = 75 √5776 = 76 √5929 = 77 √6084 = 78 √6241 = 79 √6400 = 80 | √6561 = 81 √6724 = 82 √6889 = 83 √7056 = 84 √7225 = 85 √7396 = 86 √7569 = 87 √7744 = 88 √7921 = 89 √8100 = 90 | √8281 = 91 √8464 = 92 √8649 = 93 √8836 = 94 √9025 = 95 √9216 = 96 √9409 = 97 √9604 = 98 √9801 = 99 √10000 = 100 |
Последние материалы
-
Какой лучший стиль эмоционального воспитания
-
Родители, дети, эмоции… В вашей семье это похоже на «Бермудский треугольник»?
-
Їжа для «мозку» дитини і не тільки дитини…
Рубрики
- Айкидо для детей
- Английский язык
- Важливі звички, які обов’язково потрібно розвинути у дитини
- Дети и родители
- Информатика, основы программирования
- Йога для детей
- Логопедия
- Математика, логика, мышление
- Музыка для детей
- Оборудование для занятий в клубе
- Обучение без стресса
- Обучение ребенка
- Онлайн обучение (e-learning)
- Подготовка ребенка к школе
- Развитие ребенка 1-3 лет
- Развитие ребенка 3-7 лет
- Развитие ребенка 7-17 лет
- Развитие ребенка до 1 года
- Рисование, лепка, оригами
- Театральная студия
- Учебные программы
- Фитнес для детей
- Чтение, письмо
- Що робити, якщо…
- Эмоциональный интеллект ребенка
Добро пожаловать в детский клуб Kokoro
Мечтаете об успешном будущем для Вашего ребенка? Хотите дать детям навыки, которые обязательно пригодятся им в будущем? Хотите, чтобы Ваш ребенок всесторонне развивался на увлекательных занятиях? Тогда детский клуб Kokoro — это то, что Вам нужно!
Запишитесь на бесплатное пробное занятие уже сегодня по тел.
095-65-38-165, 097-497-28-68
Читать далее
Наш Facebook
Квадратный корень из 484 — Как найти квадратный корень из 484?
LearnPracticeDownload
Квадрат 22 дает 484. Следовательно, 484 – число в совершенном квадрате. Квадратный корень из 484 – рациональное число. В этом мини-уроке мы научимся находить квадратный корень из 484 вместе с решенными примерами. Теперь найдем квадратный корень из 484.
- Квадратный корень из 484 : √ 484 = 22
- Квадрат 484: 484 2 = 2,34,256
| 1. | Что такое квадратный корень из 484? |
| 2. | Является ли квадратный корень из 484 рациональным или иррациональным? |
3. | Как найти квадратный корень из 484? |
| 4. | Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 484 |
Что такое квадратный корень из 484?
При возведении 22 в квадрат получается 484. Следовательно, квадратный корень из 484 равен 22. Записывается как √ 484 = 22. Следовательно, 484 – полный квадрат.
Является ли квадратный корень из 484 рациональным или иррациональным?
Поскольку √ 484 = 22, можно легко выразить √ 484 в форме p/q. Следовательно, √ 484 — рациональное число.
Как найти квадратный корень из 484?
Существуют разные методы определения квадратного корня из любого числа. Нажмите здесь, чтобы узнать больше об этом. Квадратный корень из 484 можно найти двумя способами: 9.0003
- Квадратный корень из 484 путем длинного деления
- Квадратный корень из 484 с помощью простой факторизации
Квадратный корень из 484 путем деления в длину
Квадратный корень из 484 можно найти с помощью деления в длину, используя следующие шаги:
- Шаг 1 : Сначала мы соединим цифры заданного числа, начиная с место юнита. Поместите горизонтальную черту, чтобы обозначить сопряжение.
- Шаг 2 : Мы найдем число, которое при умножении на себя дает произведение, меньшее или равное 4. Мы знаем, что 2 × 2 = 4. Следовательно, разность равна 0, а частное равно 2.
- Шаг 3 : Теперь нам нужно уменьшить 84 и умножить частное на 2. Это даст нам 4. Следовательно, 4 – начальная цифра нового делителя.
- Шаг 4 : 2 ставится на место единицы нового делителя, потому что при умножении 42 на 2 получается 84. Полученный ответ равен 0,
- Шаг 5 : Следовательно, квадратный корень из 484 равен 22.
Поместите горизонтальную черту, чтобы обозначить сопряжение.Квадратный корень из 484 с помощью простой факторизации
484 также может быть выражен как (2 × 2 × 11 × 11). В квадратном корне повторяются числа 2 и 11. Следовательно, квадратный корень из 484 равен 2 × 11 = 22,9.0003
Таким образом, квадратный корень из 484 равен 22.
Изучите квадратный корень с помощью иллюстраций и интерактивных примеров
- Квадратный корень из 169
- Квадратный корень из 196
- Квадратный корень из 225
- Квадратный корень из 289
- Квадратный корень из 400
Важные примечания:
- 484 — это число с полным квадратом, поскольку значение, полученное после извлечения из него квадратного корня, является целым числом.
- Квадратный корень из 484 упрощается до 22 либо путем разложения числа 484 на простые множители, либо путем выражения 484 в виде квадрата 22.
Аналитический центр:
- Может ли значение квадратного корня из 484 быть выражено в виде десятичной дроби?
- Являются ли — √ 484 и √ -484 одинаковыми?
Пример 1 : Какова разница в длине квадратных коробок площадью 484 квадратных дюйма и 400 квадратных дюймов?
Решение
Площадь квадратного прямоугольника можно рассчитать по формуле = длина × длина
Длина квадратной коробки площадью 484 квадратных дюйма равна √ 484 = 22 дюйма 90 173. Точно так же длина квадратной коробки площадью 400 квадратных дюймов равна √ 400 = 20 дюймов
. Разница в длине двух коробок составляет (22–20) дюймов = 2 дюйма 90 173. Таким образом, разница в длине квадратных коробок площадью 484 квадратных дюйма и 400 квадратных дюймов составляет 2 дюйма.Пример 2 : Радиус круга площадью 484π квадратных дюймов меньше 25 дюймов или больше 25 дюймов?
Решение
Радиус можно найти по формуле площади круга, то есть πr 2 . Из предоставленной информации
πr 2 = 484π
r 2 = 484Извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем √ r 2 = √ 484. Мы знаем, что квадратный корень из r 2 р. Квадратный корень из 484 равен 22 дюймам. Следовательно, радиус круга площадью 484π квадратных дюймов меньше 25 дюймов.
перейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 484
Чему равны два квадратных корня из 484?
Два квадратных корня из 484 равны -22 и +22.
Является ли 484 идеальным квадратом?
Да, 484 — правильный квадрат.
Имеет ли число 484 квадратный корень?
Да, 484 имеет квадратный корень. √ 484 равно 22.
Можно ли упростить квадратный корень из 484?
484 разбивается как произведение 2 × 2 × 11 × 11. Квадратный корень из 484 дает 22.
Является ли квадратный корень из 484 рациональным или иррациональным?
Квадратный корень из 484 является рациональным.
Является ли квадратный корень из 484 действительным числом?
Да, квадратный корень из 484 — действительное число.
Рабочие листы по математике и визуальный учебный план
Квадратный корень из 484 (√484)
Здесь мы определим, проанализируем, упростим и вычислим квадратный корень из 484. Мы начнем с определения, а затем ответим на некоторые общие вопросы.
вопросы о квадратном корне из 484. Затем мы покажем вам различные способы вычисления квадратного корня из 484 с и без
компьютер или калькулятор.
У нас есть много информации, чтобы поделиться, так что давайте начнем!
Квадратный корень из 484 определение
Квадратный корень из 484 в математической форме записывается с таким знаком радикала √484. Мы называем это квадратным корнем из 484 в радикальной форме.
Квадратный корень из 484 — это величина (q), которая при умножении сама на себя будет равна 484.
√484 = q × q = q 2
Является ли 484 полным квадратом?
484 является полным квадратом, если квадратный корень из 484 равен целому числу. Как мы рассчитали дальше
внизу на этой странице квадратный корень из 484 — это целое число.
484 — правильный квадрат.
Является ли квадратный корень из 484 рациональным или иррациональным?
Квадратный корень из 484 является рациональным числом, если 484 является полным квадратом.
Это иррациональное число, если оно не является полным квадратом.
Поскольку 484 — совершенный квадрат, это рациональное число. Это означает, что ответ на вопрос «квадратный корень из 484?» не будет иметь десятичных знаков.
√484 — рациональное число
Можно ли упростить квадратный корень из 484?
Квадратный корень из полного квадрата можно упростить, потому что квадратный корень из полного квадрата будет равен целому числу:
√484 = 22
Как вычислить квадратный корень из 484 с помощью калькулятора
Самый простой и скучный способ вычислить квадратный корень из 484 — воспользоваться калькулятором!
Просто введите 484, а затем √x, чтобы получить ответ. Мы сделали это с помощью нашего калькулятора и получили следующий ответ:
√484 = 22
Как вычислить квадратный корень из 484 на компьютере
Если вы используете компьютер с Excel или Numbers, вы можете ввести SQRT(484) в ячейку, чтобы получить квадратный корень из 484.
Ниже приведен результат, который мы получили:
SQRT(484) = 22
Чему равен квадратный корень из 484, записанный с показателем степени?
Все квадратные корни можно преобразовать в число (основание) с дробным показателем степени. Квадратный корень из 484 не является исключением. Вот правило и ответ
на «квадратный корень из 484, преобразованный в основание с показателем степени?»:
√b = b ½
√484 = 484 ½
Как найти квадратный корень из 484 методом деления в длину метод длинного деления. это потерянный искусство того, как они вычисляли квадратный корень из 484 вручную до того, как были изобретены современные технологии.
Шаг 1)
Наберите 484 парами по две цифры справа налево:
Шаг 2)
Начиная с первого набора: самый большой совершенный квадрат, меньше или равный 4, равен 4, а квадратный корень из 4 равен 2.
Следовательно, поместите 2 сверху и 4 снизу следующим образом:
| 2 | ||||
| 04 | 84 | |||
| 4 | ||||
Step 3)
Calculate 4 minus 4 and put the difference below. Затем переместитесь вниз к следующему набору чисел.
| 2 | ||||
| 04 | 84 | |||
| 4 | ||||
| 0 | 84 | |||
Шаг 4)
Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 2 × 2 = 4.
Затем используйте 4 и нижнее число, чтобы решить эту задачу:
4? × ? ≤ 84
Знаки вопроса «пробел» и такие же «пробел». Методом проб и ошибок мы нашли, что наибольшее число «пустых» может быть равно 2. Замените вопросительные знаки в задаче на 2, чтобы получить:
42 × 2 = 84.
Now, enter 2 on top, and 84 at the bottom:
| 2 | 2 | |||
| 04 | 84 | |||
| 4 | ||||
| 0 | 84 | |||
| 0 | 84 | |||
Разница между двумя нижними числами равна нулю, поэтому все готово! Ответ — зеленые цифры сверху.
Еще раз, квадратный корень из
484 это 22.
Квадратный корень из числа
Пожалуйста, введите другое число в поле ниже, чтобы получить квадратный корень из числа и другую подробную информацию, как вы получили для 484 на этой странице.
Примечания
Помните, что отрицательное значение, умноженное на отрицательное, равно положительному. Таким образом, квадратный корень из 484 имеет не только положительный ответ
что мы объяснили выше, но и отрицательный аналог.
На этой странице мы часто ссылаемся на совершенные квадратные корни. Вы можете использовать список идеальных квадратов для справки.
Квадратный корень из 485
Вот следующее число в нашем списке, о котором у нас есть такая же подробная информация о квадратном корне.
Авторское право | Политика конфиденциальности | Отказ от ответственности | Контакт
Квадратный корень из 484
Sqrt(484).
Найдите квадратный корень из 484 или любого другого действительного числа, положительного или отрицательного. Вот ответы на такие вопросы, как: Квадратный корень из 484 или что такое квадратный корень из 484?
Что такое квадратный корень? Определение квадратного корня
Квадратный корень числа ‘x’ — это число y такое, что y 2 = x, другими словами, число y, квадрат которого равен y. Например, 22 — это квадратный корень из 484, потому что 22 2 = 22•22 = 484, —22 — это квадратный корень из 484, потому что (-22) 2 = (—22)•(—22) = 484. При написании математических выражений люди часто используют sqrt(x) для обозначения квадратного корня из x. Подробнее о квадратном корне читайте здесь: Квадратный корень — Википедия и здесь: Квадратный корень — Wolfram
Квадратный символ?
Вот символ квадратного корня. Он обозначается √, известным как радикальный знак или основание.
Таблица квадратного корня 1-100
Квадратные корни от 1 до 100 округляются до тысячных.
| номер | квадрат | квадрат корень | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1.000 | ||
| 2 | 4 | 1.414 | ||
| 3 | 9 | 1.732 | ||
| 4 | 16 | 2.000 | ||
| 5 | 25 | 2.236 | ||
| 6 | 36 | 2.449 | ||
| 7 | 49 | 2.646 | ||
| 8 | 64 | 2.828 | ||
| 9 | 81 | 3.000 | ||
| 10 | 100 | 3.162 | ||
| 11 | 121 | 3.317 | ||
| 12 | 144 | 3.464 | ||
| 13 | 169 | 3.606 | ||
| 14 | 196 | 3.742 | ||
| 15 | 225 | 3.873 | ||
| 16 | 256 | 4. 000 | ||
| 17 | 289 | 4.123 | ||
| 18 | 324 | 4.243 | ||
| 19 | 361 | 4,359 | ||
| 20 | 40024497397777777777777777777777777777777977777777474747.0022 | 21 | 441 | 4.583 |
| 22 | 484 | 4.690 | ||
| 23 | 529 | 4.796 | ||
| 24 | 576 | 4.899 | ||
| 25 | 625 | 5.000 |
| номер | квадрат | квадрат корень |
|---|---|---|
| 26 | 676 | 5,099 |
| 27 | 729 | 5.196 |
| 28 | 784 | 5.292 |
| 29 | 841 | 5.385 |
| 30 | 900 | 5.477 |
| 31 | 961 | 5. 568 |
| 32 | 1,024 | 5.657 |
| 33 | 1,089 | 5.745 |
| 34 | 1,156 | 5.831 |
| 35 | 1,225 | 5.916 |
| 36 | 1,296 | 6.000 |
| 37 | 1,369 | 6.083 |
| 38 | 1,444 | 6.164 |
| 39 | 1,521 | 6.245 |
| 40 | 1,600 | 6.325 |
| 41 | 1,681 | 6.403 |
| 42 | 1,764 | 6.481 |
| 43 | 1,849 | 6.557 |
| 44 | 1,936 | 6.633 |
| 45 | 2,025 | 6.708 |
| 46 | 2,116 | 6.782 |
| 47 | 2,209 | 6. 856 |
| 48 | 2,304 | 6.928 |
| 49 | 2,401 | 7.000 |
| 50 | 2,500 | 7.071 |
| number | square | square root |
|---|---|---|
| 51 | 2,601 | 7.141 |
| 52 | 2,704 | 7.211 |
| 53 | 2,809 | 7.280 |
| 54 | 2,916 | 7.348 |
| 55 | 3,025 | 7.416 |
| 56 | 3,136 | 7.483 |
| 57 | 3,249 | 7.550 |
| 58 | 3,364 | 7.616 |
| 59 | 3,481 | 7.681 |
| 60 | 3,600 | 7.746 |
| 61 | 3,721 | 7. 810 |
| 62 | 3,844 | 7.874 |
| 63 | 3,969 | 7.937 |
| 64 | 4,096 | 8.000 |
| 65 | 4,225 | 8.062 |
| 66 | 4,356 | 8.124 |
| 67 | 4,489 | 8.185 |
| 68 | 4,624 | 8.246 |
| 69 | 4,761 | 8.307 |
| 70 | 4,900 | 8.367 |
| 71 | 5,041 | 8.426 |
| 72 | 5,184 | 8.485 |
| 73 | 5,329 | 8.544 |
| 74 | 5,476 | 8.602 |
| 75 | 5,625 | 8.660 |
| number | square | square корень |
|---|---|---|
| 76 | 5,776 | 8. 718 |
| 77 | 5,929 | 8.775 |
| 78 | 6,084 | 8.832 |
| 79 | 6,241 | 8.888 |
| 80 | 6,400 | 8.944 |
| 81 | 6,561 | 9.000 |
| 82 | 6,724 | 9.055 |
| 83 | 6,889 | 9.110 |
| 84 | 7,056 | 9.165 |
| 85 | 7,225 | 9.220 |
| 86 | 7,396 | 9.274 |
| 87 | 7,569 | 9.327 |
| 88 | 7,744 | 9.381 |
| 89 | 7,921 | 9.434 |
| 90 | 8,100 | 9.487 |
| 91 | 8,281 | 9.539 |
| 92 | 8,464 | 9. 592 |
| 93 | 8,649 | 9.644 |
| 94 | 8,836 | 9.695 |
| 95 | 9,025 | 9.747 |
| 96 | 9,216 | 9.798 |
| 97 | 9,409 | 9.849 |
| 98 | 9,604 | 9.899 |
| 99 | 9,801 | 9.950 |
| 100 | 10,000 | 10.000 |
Square root of values around 484
| Number | Sqrt | |||
|---|---|---|---|---|
| 480 | 21.909 | |||
| 481 | 21.932 | |||
| 482 | 21.954 | |||
| 9 | Оценить | квадратный корень из 12 | ||
| 10 | Оценить | квадратный корень из 20 | ||
| 11 | Оценить | квадратный корень из 50 | 94 | |
| 18 | Оценить | квадратный корень из 45 | ||
| 19 | Оценить | квадратный корень из 32 | ||
| 20 | Оценить | квадратный корень из 18 | 92 |
Квадратный корень из 484 пошаговое решение
| Пожалуйста, введите реальное число: |
| Результат квадратного корня: |
Вот ответ на такие вопросы, как: Квадратный корень из 484 пошаговое решение | √484 или чему равен квадратный корень из 484?
Используйте приведенный ниже калькулятор квадратного корня, чтобы найти квадратный корень любого мнимого или действительного числа.
См. также на этой веб-странице таблицу квадратного корня от 1 до 100, а также вавилонский метод или метод Героя.
Вавилонский метод, также известный как метод Героя.
Что такое квадратный корень?
Определение квадратного корня
Квадратный корень из числа «а» — это число х, такое что х 2 = а, другими словами, число х, квадрат которого равен а. Например, 22 — это квадратный корень из 484, потому что 22 2 = 22•22 = 484, а -22 — это квадратный корень из 484, потому что (-22) 2 = (-22)•(-22) = 484.
Таблица квадратных корней 1-100
Квадратные корни от 1 до 100, округленные до ближайшей тысячной.
| нет | нет 2 | √ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1.000 |
| 2 | 4 | 1.414 |
| 3 | 9 | 1.732 |
| 4 | 16 | 2. 000 |
| 5 | 25 | 2.236 |
| 6 | 36 | 2.449 |
| 7 | 49 | 2.646 |
| 8 | 64 | 2.828 |
| 9 | 81 | 3.000 |
| 10 | 100 | 3.162 |
| 11 | 121 | 3.317 |
| 12 | 144 | 3.464 |
| 13 | 169 | 3.606 |
| 14 | 196 | 3.742 |
| 15 | 225 | 3.873 |
| 16 | 256 | 4.000 |
| 17 | 289 | 4.123 |
| 18 | 324 | 4.243 |
| 19 | 361 | 4.359 |
| 20 | 400 | 4.472 |
| 21 | 441 | 4. 583 |
| 22 | 484 | 4.690 |
| 23 | 529 | 4.796 |
| 24 | 576 | 4.899 |
| 25 | 625 | 5.000 |
| нет | нет 2 | √ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 26 | 676 | 5.099 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 27 | 729 | 5.196 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 28 | 784 | 5.292 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 29 | 841 | 5.385 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 30 | 900 | 5.477 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 31 | 961 | 5.568 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 32 | 1,024 | 5.657 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 33 | 1,089 | 5.745 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 34 | 1,156 | 5.831 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 35 | 1,225 | 5.916 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 36 | 1,296 | 6. 000 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 37 | 1,369 | 6.083 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 38 | 1,444 | 6.164 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 39 | 1,521 | 6.245 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 40 | 1,600 | 6.325 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41244 | 333333333333333333333333333333333333333333333333333.68 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41244 | 333333333333333333333333333333333333333333333333333333.68|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 42 | 1,764 | 6.481 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 43 | 1,849 | 6.557 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 44 | 1,936 | 6.633 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 45 | 2,025 | 6.708 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 46 | 2,116 | 6.782 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 47 | 2,209 | 6.856 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 48 | 2,304 | 6.928 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 49 | 2 401 | 7.000 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 50 | 2 500 | 7. 071 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| нет | нет 2 | √ |
|---|---|---|
| 51 | 2,601 | 7.141 |
| 52 | 2,704 | 7.211 |
| 53 | 2,809 | 7.280 |
| 54 | 2,916 | 7.348 |
| 55 | 3,025 | 7.416 |
| 56 | 3,136 | 7.483 |
| 57 | 3,249 | 7.550 |
| 58 | 3,364 | 7.616 |
| 59 | 3,481 | 7.681 |
| 60 | 3,600 | 7.746 |
| 61 | 3,721 | 7.810 |
| 62 | 3,844 | 7.874 |
| 63 | 3,969 | 7.937 |
| 64 | 4,096 | 8.000 |
| 65 | 4,225 | 8. 062 |
| 66 | 4,356 | 8.124 |
| 67 | 4,489 | 8.185 |
| 68 | 4,624 | 8.246 |
| 69 | 4,761 | 8.307 |
| 70 | 4,900 | 8.367 |
| 71 | 5,041 | 8.426 |
| 72 | 5,184 | 8.485 |
| 73 | 5,329 | 8.544 |
| 74 | 5 476 | 8.602 |
| 75 | 5 625 | 8.660 |
| нет | нет 2 | √ |
|---|---|---|
| 76 | 5,776 | 8.718 |
| 77 | 5,929 | 8.775 |
| 78 | 6,084 | 8.832 |
| 79 | 6,241 | 8.888 |
| 80 | 6,400 | 8. 944 |
| 81 | 6,561 | 9.000 |
| 82 | 6,724 | 9.055 |
| 83 | 6,889 | 9.110 |
| 84 | 7,056 | 9.165 |
| 85 | 7,225 | 9.220 |
| 86 | 7,396 | 9.274 |
| 87 | 7,569 | 9.327 |
| 88 | 7,744 | 9.381 |
| 89 | 7,921 | 9.434 |
| 90 | 8,100 | 9.487 |
| 91 | 8,281 | 9.539 |
| 92 | 8,464 | 9.592 |
| 93 | 8,649 | 9.644 |
| 94 | 8,836 | 9.695 |
| 95 | 9,025 | 9.747 |
| 96 | 9,216 | 9. 798 |
| 97 | 9,409 | 9.849 |
| 98 | 9,604 | 9.899 |
| 99 | 9,801 | 9.950 |
| 100 | 10,000 | 10.000 |
Квадратный корень из 484 | Как найти квадратный корень из 484
Все виды уравнений, решаемых онлайн
Как найти квадратный корень из 484Квадрат 484:
В математике найти квадрат любого числа в основном легко, потому что, когда мы умножаем одно и то же число на себя, мы получаем квадрат это число.
Например:
- Предположим, нам нужно найти квадрат любого числа, скажем, X , затем мы умножаем X само на себя, то есть X , и мы получим его квадрат как Y . Это можно записать как (X) 2 = X*X= Y
- Аналогичным образом находим квадрат числа 22 .
- Чтобы найти квадрат 22, мы умножаем 22 на само число, то есть на 22, и запишем это следующим образом.
- (484) 2 = 22*22= 484
Квадратный корень из 484:
- Теперь в обратном порядке, если нам нужно найти квадратный корень из Y . Квадратный корень из Y — это единственное значение, которое при умножении само на себя дает значение Y .
- Это означает, что √ Y = √(X*X) = X
Где √ — символ, названный радикалом.
Например:
- Квадратный корень из 22 можно записать как
√484 = √ (22*22) = 22
Где √ – это символ, который называется подкоренным знаком.
- Короче говоря, мы помним квадрат из 22 и квадратный корень из 484 как .
Примечание:
- Каждое положительное действительное число имеет два корня.
- Квадрат любого отрицательного числа всегда является положительным числом.
Например:
- 484 — положительный совершенный квадрат, который также имеет два корня +22 и -22.
- Но в основном берется положительное значение квадратного корня, которое называется главным квадратным корнем или неотрицательным квадратным корнем.
- Следовательно, √484 = √(-22)*(-22) = -22 и √484 = √(22)*(22) = 22
Аналогично
- (-22)*(-22) = (-22) 2 = +484 и (+22)*(+22) = (+22)1 6 =5 2 . 484
Существует много методов нахождения квадратного корня из полных квадратов, из которых мы подробно рассмотрим следующий метод.
- Метод повторного вычитания
- Метод простой факторизации
Метод многократного вычитания:
- В методе многократного вычитания мы должны вычесть последовательные нечетные числа, начиная с 1, из совершенного квадратного числа, квадратный корень которого мы должны найти.
- эл. чтобы найти квадратный корень из 484, сначала мы вычитаем из него 1. 484 – 1 = 483
- Тогда следующее нечетное число равно 3, поэтому мы должны вычесть его из 483 483–3 = 480
- Таким образом, мы вычитаем последовательные нечетные числа из соответствующих значений, полученных после непрерывного вычитания, пока не получим окончательное значение 0.
- И значение количества нечетных чисел, необходимых для получения 0, является искомым квадратным корнем.
Например:
- Находим квадратный корень из 484 методом многократного вычитания следующим образом:
484−1=483
483−3=480
480−5=475
468−9=459
459−11=448
448−13=435
435−15=420
420–17 = 403
403–19 = 384
384–21 = 363
363–23 = 340
340–25 = 315
315-27 = 288
288-29 = 259
315-27 = 288
288-29 = 259
315-27 = 288
288-29 = 259
315-27 = 288
288-29 = 259
315-27 = 288
288-29 = 259
315-27 259−31=228
228−33=195
195−35=160
160−37=123
123−39=84
84−41=43
43−43=0
Таким образом, здесь используются нечетные числа 1, 3, 5, 7, 9, 11. , 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 и 43, которые равны 22 числам.
Следовательно, квадратный корень из 484 методом многократного вычитания равен 22.
Метод простой факторизации:
- В методе простой факторизации мы должны разделить совершенное квадратное число, квадратный корень которого мы должны найти, на простое число, начиная с 2, 3, 5… и так далее, пока остаток не будет равен 1.
- Сначала мы должны разделить на простое число 2, если это число не делится на 2, тогда мы должны взять следующее простое число, то есть 3, и процесс будет продолжаться до тех пор, пока мы не получим остаток как 1.
- Наконец, мы должны составить пары простых чисел, взятых в форме умножения, а затем мы должны извлечь из них квадратный корень.
Например:
- Ниже описан процесс нахождения квадратного корня из 484 методом простой факторизации.
- Поскольку 484 четное число, оно должно делиться на два простых числа 2 и 11 92
И 484= (2*2*11*11)
- Взяв квадратный корень с обеих сторон, мы получим
√484 = √(2*2)√(11*11) = (2*11)
√484= 22
- Таким образом, мы нашли квадратный корень из 484 как 22, используя простое число факторизации
1) 484-это квадрат ———
A) 23
B) 21
C) +22 и 22
D).
Площадь поверхности формула: Формулы площади поверхности геометрических фигур
//Формулы площади поверхности геометрических фигур.
Площадь геометрической фигуры
— численная характеристика геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.Площадь куба
Площадь поверхности куба равна квадрату длины его грани умноженному на шесть.
Формула площади куба:
S = 6 a2
где S — площадь куба,
a — длина грани куба.Площадь прямоугольного параллелепипеда
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
S = 2(a · b + a · h + b · h)
где S — площадь прямоугольного параллелепипеда,
a — длина,
b — ширина,
h — высота.Площадь цилиндра
Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.
Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:
S = 2 π R h
Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.
Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра:
S = 2 π R h + 2 π R 2 = 2 π R(R + h)
где S — площадь,
R — радиус цилиндра,
h — высота цилиндра,
π = 3.141592.Площадь конуса
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению его радиуса и образующей умноженному на число π.
Формула площади боковой поверхности конуса:
S = π R l
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания конуса и площади боковой поверхности.
Формула площади полной поверхности конуса:
S = π R2 + π R l = π R (R + l)
где S — площадь,
R — радиус основания конуса,
l — образующая конуса,
π = 3.141592.Площадь шара
Формулы площади шара:
Площадь поверхности шара равна четырем его радиусам в квадрате умноженным на число π.
S = 4 π R2
Площадь поверхности шара равна квадрату его диаметра умноженного на число π.2=6*(\frac { d } { \sqrt { 3 } } )
- Чтобы найти с гранью H, надо сложить сумму площадей всех его граней, то есть вычислить площадь квадрата со стороной H, и умножить полученный результат на 6.
S=6*H - Если известна только диагональ грани куба, надо его диагональ d поделить на квадратный корень из трёх и результат умножить на 6.
S=6*(\frac { d } { \sqrt { 3 } } ) - Дан куб с ребром H = 7. Для начала возведем длину его грани в квадрат:
H2 = H * H = 7 * 7 = 49. Мы получили периметр одной грани.
Для вычисления площади результат из первого действия умножим на количество граней:
S = 6 * 49 = 294.
Мы получили искомый результат.
Ответ: 294. - Дан куб с диагональю ребра d=13. Требуется найти площадь его поверхности
Вычислим его грань H, исходя из формулы H=\frac { d } { \sqrt { 3 } } = \frac { 13 } { \sqrt { 3 } } = 7,51.2 \cdot h$ Площадь боковой поверхности:$S = 2\cdot\pi\cdot r \cdot h$
Площадь полной поверхности:$S = 2\cdot\pi\cdot r(h + r)$
Тест: объём и площадь поверхности
как найти вычислением площадь или диагональ и чему равны суммы длин ребер, формулы и примеры задач для этого
Куб — удивительная фигура. Он одинаковый со всех сторон. Любая его грань может вмиг стать основанием или боковой. И от этого ничего не изменится. А формулы для него всегда легко запоминаются.
И неважно, что нужно найти — объем или площадь поверхности куба. В последнем случае даже не нужно учить что-то новое. Достаточно помнить только формулу площади квадрата.
Что такое площадь?
Эту величину принято обозначать латинской буквой S. Причем это справедливо для школьных предметов, таких как физика и математика. Измеряется она в квадратных единицах длины.
Все зависит от данных в задаче величин. Это могут быть мм, см, м или км в квадрате. Причем возможны случаи, когда единицы даже не указаны. Идет речь просто о числовом выражении площади без наименования.
Так что же такое площадь? Это величина, которая является числовой характеристикой рассматриваемой фигуры или объемного тела. Она показывает размер ее поверхности, которая ограничена сторонами фигуры.
Какая фигура называется кубом?
Эта фигура является многогранником. Причем непростым. Он правильный, то есть у него все элементы равны друг другу. Будь то стороны или грани. Каждая поверхность куба представляет собой квадрат.
Другое название куба — правильный гексаэдр, если по-русски, то шестигранник. Он может быть образован из четырехугольной призмы или параллелепипеда. При соблюдении условия, когда все ребра равны и углы образуют 90 градусов.
Эта фигура настолько гармонична, что часто используется в быту. Например, первые игрушки малыша — кубики. А забава для тех, кто постарше, — кубик Рубика.
Как связан куб с другими фигурами и телами?
Если начертить сечение куба, которое проходит через три его грани, то оно будет иметь вид треугольника. По мере удаления от вершины сечение будет все больше.
Настанет момент, когда пересекаться будут уже 4 грани, и фигура в сечении станет четырехугольником.
Если провести сечение через центр куба так, чтобы оно было перпендикулярно его главным диагоналям, то получится правильный шестиугольник.
Внутри куба можно начертить тетраэдр (треугольную пирамиду). За вершину тетраэдра берется один из его углов. Остальные три совпадут с вершинами, которые лежат на противоположных концах ребер выбранного угла куба.
В него можно вписать октаэдр (выпуклый правильный многогранник, который похож на две соединенные пирамиды). Для этого нужно найти центры всех граней куба. Они будут вершинами октаэдра.
Возможна и обратная операция, то есть внутрь октаэдра реально вписать куб. Только теперь центры граней первого станут вершинами для второго.
Метод 1: вычисление площади куба по его ребру
Для того чтобы вычислить всю площадь поверхности куба, потребуется знание одного из его элементов. Самый простой способ решения, когда известно его ребро или, другими словами, сторона квадрата, из которого он состоит. Обычно эта величина обозначается латинской буквой «а».
Теперь нужно вспомнить формулу, по которой вычисляется площадь квадрата. Чтобы не запутаться, введено ее обозначение буквой S1.
Для удобства лучше задать номера всем формулам. Эта будет первой. Но это площадь только одного квадратика. Всего их шесть: 4 по бокам и 2 снизу и сверху. Тогда площадь поверхности куба вычисляется по такой формуле: S = 6 * a2. Ее номер 2.
Метод 2: как вычислить площадь, если известен объем тела
Этот способ сводится к тому, чтобы сосчитать длину ребра по известному объему. И потом уже воспользоваться известной формулой, которая здесь обозначена цифрой 2.
Из математического выражения для объема гексаэдра выводится то, по которому можно сосчитать длину ребра. Вот она:
- Нумерация продолжается, и здесь уже цифра 3.
- Теперь его можно вычислить и подставить во вторую формулу. Если действовать по нормам математики, то нужно вывести такое выражение:
Это формула площади всей поверхности куба, которой можно воспользоваться, если известен объем. Номер этой записи 4.
Метод 3: расчет площади по диагонали куба
Для того чтобы рассчитать площадь полной поверхности куба, также потребуется вывести ребро через известную диагональ. Здесь используется формула для главной диагонали гексаэдра:
- Это формула №5.
- Из нее легко вывести выражение для ребра куба:
Это шестая формула. После его вычисления можно снова воспользоваться формулой под вторым номером. Но лучше записать такую:
Она оказывается пронумерованной цифрой 7. Если внимательно посмотреть, то можно заметить, что последняя формула удобнее, чем поэтапный расчет.
Метод 4: как воспользоваться радиусом вписанной или описанной окружности для вычисления площади куба
Если обозначить радиус описанной около гексаэдра окружности буквой R, то площадь поверхности куба будет легко вычислить по такой формуле:
Ее порядковый номер 8. Она легко получается благодаря тому, что диаметр окружности полностью совпадает с главной диагональю.
Несколько слов о боковой поверхности гексаэдра
Если в задаче требуется найти площадь боковой поверхности куба, то нужно воспользоваться уже описанным выше приемом. Когда уже дано ребро тела, то просто площадь квадрата нужно умножить на 4. Эта цифра появилась из-за того, что боковых граней у куба всего 4. Математическая запись этого выражения такая:
Ее номер 10. Если даны какие-то другие величины, то поступают аналогично описанным выше методам.
Примеры задач
Условие первой. Известна площадь поверхности куба. Она равна 200 см². Необходимо вычислить главную диагональ куба.
Решение:
1 способ. Нужно воспользоваться формулой, которая обозначена цифрой 2. Из нее будет несложно вывести «а». Эта математическая запись будет выглядеть как квадратный корень из частного, равного S на 6. После подстановки чисел получается:
а = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (см).
Пятая формула позволяет сразу вычислить главную диагональ куба. Для этого нужно значение ребра умножить на √3. Это просто. В ответе получается, что диагональ равна 10 см.
2 способ. На случай если забылась формула для диагонали, но помнится теорема Пифагора.
Аналогично тому, как было в первом способе, найти ребро. Потом нужно записать теорему для гипотенузы два раза: первую для треугольника на грани, вторую для того, который содержит искомую диагональ.
х² = а² + а², где х — диагональ квадрата.
d² = х² + а² = а² + а² + а² = 3 а². Из этой записи легко видно, как получается формула для диагонали. А дальше все расчеты будут, как в первом способе. Он немножко длиннее, но позволяет не запоминать формулу, а получить ее самостоятельно.
Ответ: диагональ куба равна 10 см.
Условие второй. По известной площади поверхности, которая равна 54 см2, вычислить объем куба.
Решение:
Пользуясь формулой под вторым номером, нужно узнать значение ребра куба. То, как это делается, подробно описано в первом способе решения предыдущей задачи. Проведя все вычисления, получим, что а = 3 см.
Теперь нужно воспользоваться формулой для объема куба, в которой длина ребра возводится в третью степень. Значит, объем будет считаться так: V = 33 = 27 см3.
Ответ: объем куба равен 27 см3.
Условие третьей. Требуется найти ребро куба, для которого выполняется следующее условие. При увеличении ребра на 9 единиц площадь всей поверхности увеличивается на 594.
Решение:
Поскольку явных чисел в задаче не дано, только разности между тем, что было, и тем, что стало, то нужно ввести дополнительные обозначения. Это несложно. Пусть искомая величина будет равна «а». Тогда увеличенное ребро куба будет равно (а + 9).
Зная это, нужно записать формулу для площади поверхности куба два раза. Первая — для начального значения ребра — совпадет с той, которая пронумерована цифрой 2. Вторая будет немного отличаться. В ней вместо «а» нужно записать сумму (а + 9). Так как в задаче идет речь о разности площадей, то нужно вычесть из большей площади меньшую:
6 * (а + 9)2 — 6 * а2 = 594.
Нужно провести преобразования. Сначала вынести за скобку 6 в левой части равенства, а потом упростить то, что останется в скобках. А именно (а + 9)2 — а2. Здесь записана разность квадратов, которую можно преобразовать так: (а + 9 — а)(а + 9 + а). После упрощения выражения получается 9(2а + 9).
Теперь его нужно умножить на 6, то есть то число, что было перед скобкой, и приравнять к 594: 54(2а + 9) = 594. Это линейное уравнение с одной неизвестной. Его легко решить.
Сначала нужно раскрыть скобки, а потом перенести в левую часть равенства слагаемое с неизвестной величиной, а числа — в правую. Получится уравнение: 2а = 2. Из него видно, что искомая величина равна 1.
Ответ: а = 1.
Источник: https://www.syl.ru/article/181412/mod_nemnogo-informatsii-o-kube-i-o-sposobah-togo-kak-vyichislit-ploschad-poverhnosti-kuba
Формулы объема и площади поверхности. Призма, пирамида — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:
- Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
- Элементарная логика.
Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.
Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».
Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.
Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.
Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.
Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.
Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂
Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.
Иногда в задаче надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.
Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.
В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.
Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.
Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/formuly-obema/
Калькулятор площади куба
Куб — это правильный шестигранник, каждая грань которого является квадратом. Кубические фигуры часто встречаются в реальной жизни, поэтому на работе или в быту вам может понадобиться вычислить объем или площадь поверхности объекта, который имеет форму кубика.
Геометрия куба
Куб или правильный гексаэдр — это частный случай шестигранной прямоугольной призмы, все грани которой представляют собой квадраты. Кроме того, куб — это и частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого длина, ширина и высота абсолютно равны.
Куб — уникальная фигура, существующая в разных многомерных пространствах. К примеру, нульмерный куб — это точка, одномерный — отрезок, двухмерный — квадрат, а четырехмерный — тессеракт.
В нашем родном трехмерном пространстве куб встречается повсеместно, к примеру, в форме детских кубиков, рафинированного сахара, картонных коробок, газетных киосков или предметов интерьера.
Кубы широко используются в программировании, аналитике, научных изысканиях и прочих высоких материях.
Идеальная форма геометрической фигуры позволяет при помощи разномерных кубов выражать массивы данных, измерять объемы или визуализировать данные.
Кубические фигуры часто встречаются в реальности и абстрактных задачах, поэтому вам может понадобиться рассчитать объем или площадь поверхности кубика для решения самых разных проблем.
Площадь поверхности куба
Площадь кубической фигуры — это сумма площадей всех граней. Каждая грань куба — это квадрат. Площадь квадрата, то есть одной грани, определяется по простой формуле как:
Куб — это гексаэдр, то есть шестигранник. Таким образом, площадь поверхности кубической фигуры представляет собой сумму шести квадратов:
Определить площадь куба можно не только при помощи длины его ребра: для расчета площади поверхности вы можете использовать диагональ самого куба или диагональ одной грани.
Диагональ куба — это отрезок, который находится внутри пространства куба и соединяет две противоположные вершины. Проведенная диагональ разделяет куб на два прямоугольных треугольника. Согласно теореме Пифагора квадрат ребра куба равен одной трети от квадрата диагонали D, следовательно, формула площади полной поверхности приобретает вид:
- S = 2 D2
Площадь поверхности куба легко определить и с помощью диагонали одной грани. Площадь квадрата через диагональ равна:
- S = 0,5 d2.
Так как у куба 6 граней, общая площадь поверхности составит сумму шести граней куба, то есть:
- S = 6 × 0,5 d2 = 3 d2
Таким образом, чтобы определить площадь поверхности кубической фигуры вам достаточно ввести в форму-онлайн калькулятора всего один параметр на выбор:
- длину ребра;
- диагональ куба;
- диагональ квадрата.
Рассмотрим примеры использования данных формул в реальной жизни.
Примеры из жизни
Ящик
Представьте, что вы хотите соорудить из листов ДСП ящик для хранения инструментов в форме куба. Вы знаете, что он отлично впишется в пространство на чердаке высотой 50 см.
Сколько же квадратных метров ДСП вам понадобится для создания такого контейнера? Зная высоту, равную a = 0,5 м вы можете легко подсчитать площадь общей поверхности куба, введя данный параметр в онлайн-калькулятор. Вы получите ответ в виде:
S = 1,5
Таким образом, вам понадобится всего 1,5 квадратных метра ДСП для создания ящика для инструментов. Зная всего один параметр, вы без труда порежете листы на грани куба и соорудите нужную конструкцию.
Контейнер
Допустим, вы хотите обработать антикоррозионным покрытием грузовые контейнеры, которые имеют кубическую форму. Для правильного расчета параметров покрытия вам необходимо знать площадь обрабатываемой поверхности. Вы знаете, что диагональ грани стандартного контейнера равняется d = 3 м. Зная этот параметр, вы легко рассчитаете площадь кубической поверхности, которая равна:
S = 18
Зная общую площадь покрытия, вы без проблем определите необходимое количество антикоррозионной жидкости.
Заключение
Куб встречается в реальной жизни не так часто, как призматические фигуры или параллелепипеды, однако в любом случае вам может понадобиться удобный калькулятор, при помощи которого вы определите площадь полной поверхности кубического объекта. Наш сервис поможет решить вам бытовые, производственные или школьные задачи мгновенно и без ошибок.
Источник: https://BBF.ru/calculators/153/
Площадь поверхности конуса — формулы, пример расчета
Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Соединим произвольную точку A этого круга с точкой S отрезком AS. Если точка А будет описывать круг с радиусом R, то отрезки AS будут заполнять некоторое тело. Это тело называют круговым конусом.
Границей конуса является круг радиуса R и боковая поверхность конуса.
Боковую поверхность описывает отрезок AS , когда точка A описывает круг.
Точка S является вершиной конуса. Множество отрезков AS, соединяющих вершину с окружностью основания являются направляющими конуса.Если перпендикуляр, опущенный из точки S, совпадает с центром основания, то конус называется прямым.Очень часто говорят, что прямой конус образуется в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащий его катет.
На данном рисунке прямой конус получился в результате вращения прямоугольного треугольника AOS вокруг катета SO. Тогда говорят, что- Катет SO –это высота конуса;
- Гипотенуза AS –образующая конуса;
- Катет AO – радиус конуса.
Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и направляющую
Пусть дан конус с радиусом R и образующей L
Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и направляющая
AS=L, AO=R
Разрежем конус по образующей L и развернем его боковую поверхность.
В результате получим криволинейный треугольник ASA` , где AS=L, A`S=L.
Дуга AA` -это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R. Следовательно, длина дуги AA` будет равна 2πR
Площадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R.
Если угол α – радиальная мера угла, то:
где α=∠{ASA`}
Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол:
Но с другой стороны:
Приравняем правые части равенств. Имеем:
Выразим α:
Подставим полученное выражение в формулу площади сектора:
Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую.
Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид:
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 3 см, образованным направляющей равной 7 см
По условию задачи L = 5см, R=3см
Формула боковой поверхности конуса:
Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и высоту
Очень часто в задачах на вычисление площади боковой поверхности конуса известна высота конуса вместо его направляющей.
Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и высота.
Так как конус прямой, то треугольник AOS – прямоугольный, где AO и OS – катеты, а AS –гипотенуза. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем:
Отсюда:
Но
Тогда:
Подставим данное выражение в формулу площади боковой поверхности конуса:
Боковая поверхность конуса равна произведению числа на радиус конуса и корень квадратный из суммы квадратов радиуса и высоты конуса
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 1 см и высотой, равной 5 см
По условию задачи Н = 5см, R=1см
Формула боковой поверхности конуса:
Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:Полная поверхность конуса
Полная поверхность конуса – это сумма площади его боковой поверхности и площади основания конуса:
Основанием конуса является круг с радиусом R. Его площадь равна произведению числа π на квадрат его радиуса:
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: или
Тогда площадь полной поверхности конуса равна:
или
Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна произведению числа {pi} на радиус конуса и сумму направляющей и радиуса.
Формула имеет следующий вид:
Площадь полной поверхности конуса равна произведению числа π на радиус конуса и сумму корня квадратного из суммы квадратов радиуса и высоты конуса и радиуса конуса.
Формула имеет следующий вид:Площадь поверхности треугольной пирамиды. Вычислить площадь поверхности треугольной пирамиды.
Треугольная пирамида имеет треугольное основание, \(3\) треугольные грани и вершины. Для того чтобы найти площадь поверхности треугольной пирамида надо применить формулу:
\(S=\frac{1}{2}PL+S_{осн}\)
Апофема треугольной пирамиды выходит из вершины треугольной пирамиды к основанию боковой грани, на рисунке выше апофемой является \(s\).
\(L-\)апофема треугольной пирамиды;
\(P-\)периметр основания треугольной пирамиды;\(S_{осн}-\)площадь основания треугольной пирамиды;
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Наши преподаватели
Оставить заявкуРепетитор по математике
Свердловский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Имею большой опыт работы с детьми. Помогу восполнить недостающие пробелы в знаниях и приложу все усилия, чтобы математика стала любимым предметом в школе. Использую только индивидуальный подход к каждому ученику. С радостью буду ждать всех на своих занятиях!
Оставить заявкуРепетитор по математике
Белорусский государственный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Большое внимание я уделяю поиску новых форм и методов стимулирования интереса учащихся к изучению математики, развитию их возможностей. Со мной Вы перестанете думать, что математика это сложно. Жду Вас на занятиях!
Оставить заявкуРепетитор по математике
Белорусский государственный педагогический университет им. Максима Танка
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 3-8 классов. Я люблю математику, потому что нахожу ее очень увлекательной. В преподавании придерживаюсь гуманистического и личностно-ориентированного методов обучения. Всегда стараюсь найти общий язык с учеником, стать для него товарищем и поддержкой в процессе обучения. Я гарантирую позитивное и познавательное погружение в увлекательный мир математики!
Функция
- — Индивидуальные занятия
- — В любое удобное для вас время
- — Бесплатное вводное занятие
Похожие статьи
Записаться на бесплатный урок
Площадь поверхности тела | Онлайн калькулятор
В физиологии и медицине, площадь поверхности тела — это измеренная или рассчитанная поверхность человеческого тела. Для многих клинических целей площадь поверхности тела является лучшим показателем метаболического обмена, чем масса тела, поскольку она менее зависит от излишнего количества жировой ткани.
РассчитатьОчистить
* Полученные данные не могут трактоваться как профессиональные медицинские рекомендации и предоставляются исключительно в ознакомительных целяхСуществует множество формул для расчета площади поверхности тела. Ниже представлены самые часто употребляемые.
Формула Дюбуа и Дюбуа:
ППТ = 0.007184 * вес (кг)0.425 * рост (см)0.725
Формула Дюбуа и Дюбуа (модификация):
ППТ = (вес (кг)0.425 * рост (см)0.725)/139.2
Одной из часто использованных формул является формула Мостеллера, опубликованной в 1987:
ППТ = √(вес (кг)* рост (см)/3600)
Формула Хейкока:
ППТ = 0.024265 * вес (кг)0.5378 * рост (см)0.3964
Формула Гехана и Джорджа:
ППТ = 0.0235 * вес (кг)0.51456 * рост (см)0.42246
Формула Бойда:
ППТ = 0.0003207 * вес (г)(0.7285-0.0188log10вес(г)) * рост (см)0.3
Формула Фудзимото:
ППТ = 0.008883 * вес (кг)0.663 * рост (см)0.444
Формула Такахира:
ППТ = 0.007241 * вес (кг)0.725 * рост (см)0.425
«Нормальное значение» обычно составляет 1,73 м² для взрослых.
Возраст Значение Новорождённый 0.25 м² Ребёнок 2 года 0.5 м² Ребёнок 9 лет 1.07 м² Ребёнок 10 лет 1.14 м² Ребёнок 12-13 лет 1.33 м² Для мужчин 1.9 м² Для женщин 1.6 м² Площадь поверхности: Формула | Определение
Площадь поверхности трехмерного объекта — это общая площадь всех его поверхностей. Площадь поверхности важна для понимания ситуаций, когда мы хотим что-то обернуть, что-то раскрасить и, в конечном итоге, при создании вещей получить наилучший дизайн.
Что такое площадь поверхности?
Общая площадь, занимаемая поверхностями объекта, называется его площадью поверхности. Площадь подразделяется на две категории:
.- Площадь изогнутой поверхности или Площадь боковой поверхности
- Общая площадь
Давайте узнаем об общих формулах площади поверхности различной формы.
Формулы площади поверхности
Площадь всего чего-либо, будь то объект или поверхность, представляет собой сумму площадей его составных частей. Теперь мы знаем, что площадь трехмерного объекта — это общая площадь всех его поверхностей. В этом разделе мы узнаем о различных формулах, используемых для расчета площади поверхности различных объектов.
Площадь поверхности куба
Площадь поверхности куба — это общая площадь, покрытая всеми шестью гранями куба.Общая формула площади поверхности куба имеет вид:
Общая площадь поверхности куба будет суммой площади основания и площади вертикальных поверхностей куба. Всего поверхностей 6, следовательно, общая площадь = 6 сек. 2
. Площадь боковой поверхности куба — это сумма площадей всех боковых граней куба. Имеется 4 боковые грани, поэтому сумма площадей всех 4 боковых граней куба является его боковой площадью.LSA = 4a 2 , где «a» — длина стороны.Площадь поверхности кубоида
Площадь поверхности кубоида можно объяснить двумя различными категориями площади, то есть площадью боковой поверхности и общей площадью поверхности. Общая площадь поверхности кубоида получается путем сложения площадей всех 6 граней, тогда как площадь боковой поверхности кубоида находится путем нахождения площади каждой грани, исключая основание и верх. Общая площадь поверхности и площадь боковой поверхности могут быть выражены через длину (l), ширину (b) и высоту кубоида (h) как:
- Общая площадь кубоида, S = 2 (фунт + ширина + высота) единиц 2
- Площадь боковой поверхности кубоида, L = 2h (l + b) шт. 2
Площадь конуса
Площадь поверхности конуса — это площадь, занимаемая поверхностью конуса.Конус — это трехмерная форма с круглым основанием. Это означает, что основание состоит из радиуса и диаметра. Поскольку конус имеет изогнутую поверхность, мы можем выразить площадь его изогнутой поверхности, а также общую площадь поверхности. Если радиус основания конуса равен «r», а наклонная высота конуса равна «l», площадь поверхности конуса определяется как:
- Общая площадь поверхности, T = πr (r + l)
- Площадь изогнутой поверхности, S = πrl
Площадь цилиндра
Цилиндр — это трехмерный твердый объект, состоящий из двух круглых оснований, соединенных изогнутой гранью.Поскольку цилиндр имеет изогнутую поверхность, мы можем выразить как площадь изогнутой поверхности, так и общую площадь поверхности. Если радиус основания цилиндра равен «r», а высота цилиндра равна «h», площадь поверхности цилиндра определяется как:
- Общая площадь поверхности, T = 2πr (h + r)
- Площадь изогнутой поверхности, S = 2πrh
Площадь поверхности сферы
Сфера — это трехмерный твердый объект, имеющий круглую структуру, похожую на круг.Площадь, покрываемая внешней поверхностью сферы, называется площадью поверхности сферы. Площадь поверхности сферы — это общая площадь окружающих ее граней. Площадь поверхности сферы дана в квадратных единицах.
Площадь поверхности сферы равна площади боковой поверхности цилиндра. Следовательно, соотношение между площадью поверхности сферы и площадью боковой поверхности цилиндра определяется следующим образом:
Площадь поверхности сферы = площадь боковой поверхности цилиндра
⇒ Площадь поверхности Сферы = 2πrh
Если диаметр сферы = 2r
Тогда площадь поверхности сферы равна 2πrh = 2πr (2r) = 4πr 2 квадратных единиц.Площадь поверхности полушария
Полусфера — это трехмерная форма, получаемая при разрезании сферы вдоль плоскости, проходящей через центр сферы. Другими словами, полусфера — это половина сферы. Площадь поверхности полушария — это общая площадь, которую покрывает его поверхность. Его можно разделить на две категории:
- Площадь изогнутой поверхности полусферы (CSA) = ½ (площадь изогнутой поверхности сферы) = ½ (4 π r 2 ) = 2 π r 2 , где «r» — радиус полусферы. .
- Общая площадь поверхности полусферы (TSA) = площадь изогнутой поверхности + площадь основания = 2 π r 2 + π r 2 = 3 π r 2 , где r — радиус полусферы.
Площадь призмы
Мы читаем о двух типах областей: во-первых, это площадь боковой поверхности призмы, а во-вторых, общая площадь поверхности призмы. Давайте узнаем подробнее.
Боковая площадь призмы — это сумма площадей всех ее боковых граней, тогда как общая площадь поверхности призмы — это сумма ее боковой площади и площади ее оснований.
Площадь боковой поверхности призмы = периметр основания × высота
Общая площадь поверхности призмы = площадь боковой поверхности призмы + площадь двух оснований = (2 × площадь основания) + площадь боковой поверхности или (2 × Площадь основания) + (Периметр основания × высота) .Существует семь типов призм, основанных на форме оснований призм. Основания призм разных типов различны, как и формулы для определения площади поверхности призмы. См. Таблицу ниже, чтобы понять эту концепцию, лежащую в основе площади поверхности различных призм:
Форма База Площадь поверхности призмы = (2 × площадь основания) + (периметр основания × высота) Треугольная призма Треугольный Площадь поверхности треугольной призмы = bh + (s1 + s2 + b) H Квадратная призма Квадрат Площадь квадратной призмы = 2a 2 + 4ah Прямоугольная призма прямоугольный Площадь поверхности прямоугольной призмы = 2 (фунт + ширина + высота) Трапецеидальная призма Трапециевидный Площадь поверхности трапециевидной призмы = h (b + d) + l (a + b + c + d) Пятиугольная призма Пятиугольник Площадь поверхности пятиугольной призмы = 5ab + 5bh Шестиугольная призма Шестиугольная Площадь поверхности гексагональной призмы = 6b (a + h)
Площадь правильной шестиугольной призмы = 6ah + 3√3a 2Восьмиугольная призма Восьмиугольник Площадь восьмиугольной призмы = 4a 2 (1 + √2) + 8aH Часто задаваемые вопросы по Surface Area
Площадь поверхности такая же, как и площадь?
Основное отличие состоит в том, что площадь поверхности — это площадь всех составных частей трехмерных фигур, таких как сфера, цилиндр и т. Д.тогда как площадь — это размер плоской поверхности, то есть двухмерной формы, такой как треугольник, квадрат и т. д.
Как определить площадь поверхности твердого тела?
Давайте возьмем пример твердого тела в форме куба длиной 8 дюймов, шириной (шириной) 6 дюймов и высотой 5 дюймов. Какой будет площадь поверхности кубоида?
Ответ: Дано, a = 8 дюймов, b = 6 дюймов, h = 5 дюймов
Общая площадь поверхности = 2 (ab + ah + bh) = 2 × [(8 × 6) + (5 × 6) + (8 × 5)] = 236 кв. ДюймовКакова площадь поверхности круга?
Площадь поверхности круга — это общая площадь, охватываемая границей круга, т.е.е., окружность. Площадь круга с радиусом «r» задается как πr 2
Какова связь между объемом и площадью поверхности кубоида?
Объем кубоида выражается как произведение высоты кубоида и площади одной поверхности кубоида. Он задается как V = lbh, где «l» — длина, «b» — ширина, а «h» — высота. Здесь «фунт» — площадь прямоугольной грани кубоида.
Какова площадь поверхности конуса?
Площадь, занимаемая поверхностью конуса, называется площадью поверхности конуса.Он задается как общая площадь поверхности конуса, T = πr (r + l), и площадь криволинейной поверхности конуса, S = πrl. Здесь «r» — радиус основания конуса, а «l» — наклонная высота конуса.
Какова площадь поверхности цилиндра?
Площадь поверхности цилиндра — это общая площадь, покрытая поверхностью цилиндрической формы. Общая площадь цилиндра определяется как сумма площади боковой поверхности и площади двух оснований. Математически он выражается как 2πr (h + r) и выражается в квадратных единицах, например, m 2 , в 2 , cm 2 , yd 2 и т. Д.
Объем и площадь поверхности призмы [видео]
Здравствуйте, и добро пожаловать в это видео о поиске объема и площади поверхности призмы !Прежде чем мы перейдем к тому, как найти объем и площадь поверхности призмы, давайте рассмотрим несколько ключевых терминов, которые мы увидим в наших формулах. Первое слово, которое нам нужно определить, — это base. Основания призмы — это две уникальные стороны, в честь которых названа призма. Например, если у вас шестиугольная призма , основания — это два шестиугольника на обоих концах призмы.
Еще одно слово, которое будет регулярно встречаться в наших формулах, — это высота. Высоту важно различать, потому что она отличается от высоты, используемой в некоторых наших формулах площади. Высота призмы — это длина ребра между двумя основаниями.
И напоследок хочу сделать обзор слова обычный . Помните, что правильность многоугольников означает, что каждая сторона многоугольника имеет одинаковую длину.Теперь, когда мы рассмотрели некоторые из наших ключевых терминов, давайте посмотрим на наши две формулы.
Чтобы найти объем призмы, умножьте площадь основания призмы на ее высоту. Это записывается как \ (V = Bh \). Обратите внимание, что большая буква B обозначает площадь основания. 2 \)
Площадь поверхности 342 квадратных метра.Помните, что с площадью поверхности мы складываем площади каждой грани вместе, поэтому мы умножаем только на два измерения, поэтому мы возводим наши единицы в квадрат.
Давайте попробуем другой пример.
Найдите объем и площадь этой правильной пятиугольной призмы.
Начнем с нашего тома.
\ (V = Bh \)
Мы хотим заменить в нашей формуле площадь правильного пятиугольника. Эта формула встречается нечасто, поэтому ничего страшного, если вам нужно ее найти.Площадь правильного пятиугольника определяется по формуле \ (V = (\ frac {1} {2} pa) h \)
Теперь мы можем подставить наши значения.Помните, что правильный означает, что все стороны пятиугольника совпадают, поэтому мы можем найти наш периметр, умножив значение стороны на 5.
\ (V = (\ frac {1} {2} \ times 5 \ times 5 \ умножить на 3) (14) \)
Что, если мы умножим это, получим 525 кубических футов.А теперь перейдем к поверхности. 2 \)
Площадь поверхности нашей призмы составляет 425 квадратных футов.Давайте рассмотрим еще один пример, но на этот раз я хочу, чтобы вы попробовали его самостоятельно.
Найдите объем и площадь поверхности правильной треугольной призмы.
Поставьте видео на паузу и посмотрите, сможете ли вы найти ответы самостоятельно. Тогда сверьтесь с моими.
Готовы проверить?
Давайте сначала посмотрим на том.
\ (V = Bh \)
Подставляем в нашу формулу площадь треугольника.\ (V = (\ frac {1} {2} bh_T) h \)
Обратите внимание, что я поставил букву T на высоте треугольника, чтобы отличить его от высоты призмы.3 \)
Объем нашей треугольной призмы составляет 750 кубических дюймов.Теперь перейдем к поверхности.
\ (SA = 2B + ph \)
Сначала замените в формулах.\ (SA = 2 (\ frac {1} {2} bh) + (3s) h \)
Мы можем использовать 3s для периметра, потому что это правильный или равносторонний треугольник, поэтому все стороны одинаковой длины. 2 \)
Площадь поверхности наша треугольная призма составляет 690 квадратных дюймов.Вот и все! Надеюсь, этот обзор объема и площади призм был вам полезен. Спасибо за просмотр и удачной учебы!
Как рассчитать площадь поверхности круга
Обновлено 5 ноября 2018 г.
Аллан Робинсон
Круг — это круглая плоская фигура с границей, состоящей из набора точек, равноудаленных от фиксированной точки. Эта точка называется центром круга. С кругом связано несколько измерений.Окружность круга — это, по сути, измерение на всем протяжении фигуры. Это ограничивающая граница или край. Радиус круга — это отрезок прямой от центральной точки круга до внешнего края. Это можно измерить, используя центральную точку круга и любую точку на краю круга в качестве его конечных точек. Диаметр круга — это прямая линия от одного края круга до другого, пересекающая центр.
Площадь поверхности круга или любой двумерной замкнутой кривой — это общая площадь, содержащаяся в этой кривой. Площадь круга может быть вычислена, если известны длина его радиуса, диаметра или окружности.
TL; DR (слишком длинный; не читал)
Формула для площади поверхности круга: A = π_r_ 2 , где A — площадь круга, а r — радиус круга.
Знакомство с Пи
Чтобы вычислить площадь круга, вам необходимо понять концепцию Пи.Пи, представленное в математических задачах как π (шестнадцатая буква греческого алфавита), определяется как отношение длины окружности к ее диаметру. Это постоянное отношение длины окружности к диаметру. Это означает, что π = c / d, , где c — длина окружности, а d — диаметр той же окружности.
Точное значение π никогда нельзя узнать, но его можно оценить с любой желаемой точностью. Значение π с точностью до шести знаков после запятой равно 3.141593. Однако десятичные разряды в π могут продолжаться и продолжаться без определенного шаблона или конца, поэтому для большинства приложений значение π обычно сокращается до 3,14, особенно при вычислениях с помощью карандаша и бумаги.
Формула площади круга
Изучите формулу «площади круга»: A = π_r_ 2 , где A — площадь круга, а r — радиус круга. Архимед доказал это примерно в 260 г. до н. Э. используя закон противоречия, а современная математика делает это более строго с помощью интегрального исчисления.
Примените формулу площади поверхности
Теперь пришло время использовать только что обсужденную формулу для вычисления площади круга с известным радиусом. Представьте, что вас просят найти площадь круга с радиусом 2.
Формула для площади этого круга: A = π_r_ 2 .
Подстановка известного значения r в уравнение дает A = π (2 2 ) = π (4).
Подставляем принятое значение 3.14 для π, у вас есть A = 4 × 3,14, или приблизительно 12,57.
Формула для площади от диаметра
Вы можете преобразовать формулу для площади круга, чтобы вычислить площадь, используя диаметр круга, d . Поскольку 2_r_ = d — неравное уравнение, обе стороны знака равенства должны быть сбалансированы. Если разделить каждую сторону на 2, получится r = _d / _2. Подставив это в общую формулу для площади круга, вы получите:
A = π_r_ 2 = π ( d /2) 2 = π (d 2 ) / 4.
Формула для площади от окружности
Вы также можете преобразовать исходное уравнение для вычисления площади круга по его окружности, c . Мы знаем, что π = c / d ; переписав это в терминах d , вы получите d = c / π.
Подставляя это значение для d в A = π ( d 2 ) / 4, мы получаем модифицированную формулу:
A = π (( c / π) 2 ) / 4 = c 2 / (4 × π).
Калькулятор площади поверхности | Pi Day
Калькулятор площади поверхности определит площадь поверхности конуса, куба, цилиндра, прямоугольной призмы и сферы.
Приведены формулы для площади поверхности конуса, куба, цилиндра, прямоугольной призмы и сферы. Калькулятор сделает всю работу за вас быстро и с точными результатами. Однако, если вы хотите рассчитать вручную, вам пригодятся формулы. Также предоставляется пример того, как рассчитать площадь поверхности цилиндра.{2} \), где r — радиус сферы
@mometrix
Вот как найти площадь поверхности цилиндра! Щелкните ссылку в нашей биографии, чтобы получить дополнительную помощь по математике. ## math ## mathhelp ## fyp ## surfacearea ## pi ## stepbystep
♬ оригинальный звук — подготовка к тесту Mometrix
@mometrix
Вот формула для площади поверхности сферы! Ссылка в биографии для получения дополнительной информации. ## pi ## piday ## surfacearea ## math ## mathhelp ## formula ## fyp ## mometrix ## stepbystep
♬ оригинальный звук — подготовка к тесту Mometrix
@mometrix
Нужен калькулятор громкости? Ссылка в биографии! ## pi ## piday ## volume ## cone ## formula ## math ## mathhelp ## mometrix ## geometry ## fyp ## stepbystep
♬ оригинальный звук — Mometrix Test Preparation
Калькулятор площади поверхности | Определение
Этот калькулятор площади поверхности поможет вам найти площадь наиболее распространенных трехмерных тел.Если вы когда-нибудь задумывались, как найти площадь поверхности или площадь боковой поверхности, этот калькулятор здесь, чтобы вам помочь. Площадь поверхности имеет огромный список приложений во всех областях, например, в аэродинамике. В этой статье вы можете найти формулы для площади поверхности сферы, куба, цилиндра, конуса, пирамиды и прямоугольной / треугольной призмы. Мы также объясним, как вычислить площадь поверхности сферы в качестве примера.
Что такое площадь поверхности? Определение площади поверхности
Площадь поверхности — это общая площадь, которую занимает поверхность объекта .Другими словами, это общая площадь поверхности 3D-объекта.
Иногда площадь поверхности может быть разделена на сумму базовой площади (ов) и площади боковой поверхности . Боковая поверхность — это площадь всех сторон объекта, за исключением его основания и вершины. Это разделение используется для форм, где существует очевидное различие между основанием и другой частью — например, для цилиндра, конуса, пирамиды или треугольной призмы. Он редко применяется к твердым телам, для которых мы не уверены, какие грани следует рассматривать как основы (например, в кубе или коробке), и мы не используем его для гладких поверхностей, таких как сфера.
Формула площади поверхности …
Наш калькулятор площади поверхности может найти площадь поверхности семи различных твердых тел. Формула зависит от типа твердого тела.
- Площадь поверхности сферы:
A = 4πr², где r обозначает радиус сферы. - Площадь поверхности куба:
A = 6a², где a — длина стороны. - Площадь поверхности цилиндра:
A = 2πr² + 2πrh, где r — радиус, а h — высота цилиндра. - Площадь поверхности конуса:
A = πr² + πr√ (r² + h²), где r — радиус, а h — высота конуса. - Площадь поверхности прямоугольной призмы (прямоугольник):
A = 2 (ab + bc + ac), где a , b и c — длины трех сторон кубоида. - Площадь поверхности треугольной призмы:
A = 0,5 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c)) + h * (a + b + c), где a , b и c — длины трех сторон основания треугольной призмы, а h — высота (длина) призмы. - Площадь поверхности пирамиды:
A = l * √ (l² + 4 * h²) + l², где l — длина стороны квадратного основания, а h — высота пирамиды.
Но откуда берутся эти формулы? Как найти площадь поверхности основных трехмерных фигур? Продолжайте читать, и вы узнаете!
Площадь поверхности сферы
Чтобы рассчитать площадь поверхности сферы, все, что вам нужно знать, — это радиус сферы или ее диаметр.
-
A = 4 * π * r², гдеr— радиус.
Поскольку мы знаем, что диаметр сферы равен двум радиусам
d = 2r, мы можем преобразовать уравнение в другую форму:-
A = 4 * π * (d / 2) ² = π * d², гдеd— диаметр сферы.
Для вывода этой формулы площади поверхности требуется интегрирование. Если вам интересно, посмотрите это доказательство.
Площадь цилиндра
Чтобы узнать площадь поверхности цилиндра, у вас должно быть два значения: радиус (или диаметр) основания и высота цилиндра.Общее уравнение обычное — базовая площадь умножить на высоту . В нашем случае круг — это основа.
Откуда взялась эта формула? Вы можете записать уравнение для площади поверхности цилиндра как:
-
A = A (боковой) + 2 * A (основание)
Найти площадь основания несложно — запомним известную формулу площади круга:
A (основание) = π * r². Но какова форма боковой поверхности? Попробуйте представить, что мы его «разворачиваем».Вы узнаете это? Это прямоугольник ! Длина одной стороны равна высоте цилиндра, а вторая — окружности развернутого круга.-
A (база) = π * r² -
A (боковой) = h * (2 * π * r)
Площадь конуса
Мы можем разделить поверхность конуса на две части:
-
A = A (боковой) + A (основание), так как у нас только одно основание, в отличие от цилиндра.
Основание — это снова площадь круга
A (основание) = π * r², но происхождение площади боковой поверхности может быть не так очевидно:-
A (боковой) = π * r * √ (r² + h²)
Давайте посмотрим на этот вывод по шагам:
- Раскатайте боковую поверхность. Это круговой сектор, который является частью окружности с радиусом s ( s — наклонная высота конуса).
- Для окружности с радиусом s, длина окружности равна
2 * π * s. Длина дуги сектора равна2 * π * r. - Площадь сектора , который является нашей боковой поверхностью конуса, определяется по формуле:
-
A (сбоку) = (s * (длина дуги)) / 2 = (s * 2 * π * r) / 2 = π * r * s
Формула может быть получена из пропорции: отношение площадей фигур такое же, как отношение длины дуги к окружности:
(площадь сектора) / (площадь большого круга) = (длина дуги) / (окружность большого круга)так:(площадь сектора) / (π * s²) = (2 * π * r) / (2 * π * s)(площадь сектора) = (π * s²) * (2 * π * r) / (2 * π * s)- Обычно нам задают не значение
s, а значениеh, что составляет высоту конуса. Но это совсем не проблема! Мы можем легко преобразовать формулу, используя теорему Пифагора:
Таким образом, формула площади боковой поверхности выглядит следующим образом:
-
A (боковой) = π * r * √ (r² + h²)
- Наконец, сложите площади основания и боковой части, чтобы найти окончательную формулу для площади поверхности конуса :
-
A = A (сбоку) + A (основание) = π * r * s + π * r²дляrиsили -
A = π * r * √ (r² + h²) + π * r²дляrиh.
Площадь куба
Площадь поверхности куба — это самое простое, что вы можете себе представить: каждая из сторон представляет собой квадрат! Поскольку каждый куб имеет шесть одинаковых квадратных граней, площадь поверхности равна:
.Поскольку площадь квадрата является произведением длины его сторон, окончательная формула для определения площади поверхности куба будет:
-
A = 6 * l², гдеl— сторона квадрата
Площадь пирамиды
Пирамида — это трехмерное тело с многоугольным основанием и треугольными боковыми гранями.Когда вы слышите пирамида , обычно предполагается, что это правильная квадратная пирамида . Правильный означает, что он имеет правильное основание многоугольника и является правой пирамидой (вершина прямо над центром тяжести его основания) и квадратом — что он имеет эту форму в качестве основания. Это вариант, который мы использовали в качестве пирамиды в этом калькуляторе площади поверхности.
Формула площади поверхности пирамиды:
-
A = l * √ (l² + 4 * h²) + l², гдеl— сторона основания, аh— высота пирамиды
Опять же, мы можем разделить уравнение на:
-
A = A (основание) + A (сбоку) = A (основание) + 4 * A (боковая поверхность)
Основание имеет форму квадрата, поэтому
A (основание) = l².Чтобы рассчитать площадь боковой поверхности, начнем с площади одной треугольной грани:- Чтобы найти высоту треугольника, нам снова понадобится формула гипотенузы:
- Вычислите гипотенузу треугольника ABC (которая одновременно является высотой треугольной грани):
-
c = √ (h² + (l / 2) ²) = √ (h² + l² / 4)
- Площадь треугольника (в нашем случае это равнобедренный треугольник) можно рассчитать как:
-
A = высота * основание / 2так -
A (боковая сторона) = √ (h² + l² / 4) * l / 2
- Итак, окончательная формула площади поверхности пирамиды:
-
A = l² + 4 * √ (h² + l² / 4) * l / 2 = l² + 2 * l * √ (h² + l² / 4) -
A = l² + l * √ (4 * h² + l²)
Площадь прямоугольной призмы
Чтобы вычислить площадь поверхности прямоугольной призмы, все, что вам нужно сделать, это вычислить площади сторон прямоугольника:
где:
-
A1 = длина * ширина -
A2 = ш * в -
A3 = длина * высота
Таким образом, окончательная формула:
-
A = 2 * (длина * ширина + ширина * высота + длина * высота)
Площадь поверхности треугольной призмы
Чтобы понять, откуда взялась формула для площади поверхности треугольной призмы, давайте взглянем на этот вывод:
- В этом случае легко вычислить площадь боковой поверхности.Как видно из рисунка, он состоит из трех прямоугольников с общей длиной одной стороны:
-
A (сбоку) = a * h + b * h + c * h = h * (a + b + c)
, который мы также можем записать сокращенно:
-
A (боковой) = h * P, гдеP— периметр базового треугольника
- Затем найдите площадь треугольного основания. Вы можете сделать это разными способами, в зависимости от того, что вам дают. В нашем калькуляторе мы реализовали расчет на основе формулы Герона — она используется, когда у вас есть три стороны треугольника (SSS).
A (основание) = 0,25 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c)))- Окончательная формула площади поверхности треугольной призмы:
-
A = A (сбоку) + 2 * A (основание) -
A = h * (a + b + c) + 0,5 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c ))
Площадь поверхности тела
Вы можете рассчитать поверхность любого твердого тела, например, вашего тела — это не обязательно должна быть простая геометрическая форма! Если вам интересно, какова площадь внешней поверхности человеческого тела, воспользуйтесь этим калькулятором площади поверхности тела.
Как рассчитать площадь поверхности шара?
Если вы хотите найти площадь поверхности сферы, вам необходимо выполнить следующие шаги:
- Определите радиус сферы. Можно принять радиус 10 см.
- Введите это значение в формулу
A = 4πr². - Рассчитайте результат:
A = 4π * 10² = 1256 см². - Вы также можете использовать этот калькулятор площади поверхности, чтобы найти радиус сферы, если вы знаете ее площадь.
Прочие соображения
Единицами площади поверхности всегда являются квадратные единицы длины. Например, вы можете выразить его в см², дюймах, фут², м², а также в акрах и гектарах.
Если вы хотите определить объем любого из этих твердых веществ, воспользуйтесь нашим калькулятором объема.
Площадь поверхности кубоида
Общая площадь поверхности (TSA) кубоида — это сумма площадей его 6 граней, которая определяется по формуле:
TSA = 2 (lw + wh + hl)
Помните, что площадь поверхности — это общая площадь всех граней трехмерной формы.
Площадь боковой поверхности кубоида определяется как:
LSA = 2 (lh + wh) = 2 h (l + w)Пример 1: Найдите общую площадь поверхности кубоида размером 8 см по формуле 6 см на 5 см.
TSA = 2 (lw + wh + hl)
TSA = 2 (8 * 6 + 6 * 5 + 5 * 8)
TSA = 2 (48 + 30 + 40)
TSA = 236
Итак, общая площадь поверхности этого кубоида составляет 236 см 2 .Пример 2: Найдите площадь поверхности кубоида размеров 4.8 см, 3,4 см и 7,2 см.
Решение:
Площадь грани 1: 4,8 × 7,2 = 34,56 см²
Площадь грани 2: 3,4 × 7,2 = 24,48 см²
Площадь грани 3: 4,8 × 3,4 = 16,32 см²Добавление площади этих трех граней дает 75,36 см², поскольку каждая грань дублируется на противоположной стороне, общая площадь поверхности кубоида будет:
TSA = 2 (75,36) = 150,72 см²Пример 3: Длина, ширина и высота кубовидные — 10см, 8см и 7см соответственно.Найдите площадь боковой поверхности кубоида.
Решение:
Площадь боковой поверхности кубоида определяется как:
LSA = 2h (l + w)
, где
l = длина = 10 см
w = ширина = 8 см
h = высота = 7 смВставьте эти значения в формулу, которую мы получим:
Пример 4: Длина, ширина и высота прямоугольника равны 16 см, 14 см и 10 см соответственно. Найдите общую площадь поверхности кубоида.
Решение:
Общая площадь поверхности кубоида определяется как:
TSA = 2 (l * b + b * h + h * l)Подставляя значения в уравнение, мы получим
TSA = 2 (16 * 4 + 14 * 10 + 10 * 16)
TSA = 2 (224 + 140 + 160)
TSA = 2 * 524
TSA = 1048 см 2Пример 5: Учитывая ящик для хлопьев длиной 20 см, высотой 30 см и шириной 8 см. Найдите площадь поверхности коробки.
Решение:
Чтобы найти поверхность коробки, нам нужно найти площадь каждой прямоугольной грани и сложить их все.
Площадь лицевой стороны: 20 х 30 = 600 см2.
Площадь верхней грани: 20 x 8 = 160 см2.
Площадь боковой грани: 8 x 30 = 240 см2.Теперь сложите эти значения вместе, и мы получим: 600 + 160 + 240 = 1000 см2.
Таким образом, общая площадь поверхности составляет 1000 x 2 = 2000 см2.
Пример 6: Найдите площадь поверхности кубоида со сторонами 3 см на 6 см на 10 см.
Решение:
Площадь поверхности кубоида определяется как:
TSA = 2 (16 * 4 + 14 * 10 + 10 * 16)
TSA = 2 (3 x 6 + 6 x 10 + 3 x 10)
TSA = 2 (18 + 60 + 30)
TSA = 216 см 2Математические формулы для основных фигур и трехмерных фигур
В математике (особенно в геометрии) и естественных науках вам часто нужно вычислять площадь поверхности, объем или периметр различных форм.Будь то сфера или круг, прямоугольник или куб, пирамида или треугольник, каждая форма имеет определенные формулы, которым вы должны следовать, чтобы получить правильные измерения.
Мы собираемся изучить формулы, которые понадобятся вам для определения площади поверхности и объема трехмерных фигур, а также площади и периметра двухмерных фигур. Вы можете изучить этот урок, чтобы изучить каждую формулу, а затем сохранить ее для быстрого ознакомления в следующий раз, когда она вам понадобится. Хорошая новость заключается в том, что в каждой формуле используются одни и те же базовые измерения, поэтому изучение каждого нового становится немного проще.
Площадь и объем сферы
Д. РасселТрехмерный круг известен как сфера. Чтобы рассчитать площадь поверхности или объем сферы, вам необходимо знать радиус ( r ). Радиус — это расстояние от центра сферы до края, и оно всегда одинаково, независимо от того, от каких точек на краю сферы вы измеряете.
Когда у вас есть радиус, формулы довольно просто запомнить. Как и в случае с окружностью круга, вам нужно будет использовать число пи ( π ).Как правило, это бесконечное число можно округлить до 3,14 или 3,14159 (принятая дробь — 22/7).
- Площадь поверхности = 4πr 2
- Объем = 4/3 πr 3
Площадь поверхности и объем конуса
Д. РасселКонус — это пирамида с круглым основанием, имеющая наклонные стороны, которые сходятся в центральной точке. Чтобы рассчитать его площадь поверхности или объем, необходимо знать радиус основания и длину стороны.
Если вы этого не знаете, вы можете найти длину стороны ( s ), используя радиус ( r ) и высоту конуса ( h ).
После этого вы можете найти общую площадь поверхности, которая является суммой площади основания и площади стороны.
- Площадь основания: πr 2
- Площадь стороны: πrs
- Общая площадь поверхности = πr 2 + πrs
Чтобы найти объем сферы, вам нужны только радиус и высота.
Площадь и объем цилиндра
Д. РасселВы обнаружите, что с цилиндром намного легче работать, чем с конусом. Эта форма имеет круглое основание и прямые параллельные стороны. Это означает, что для определения его площади поверхности или объема вам понадобятся только радиус ( r ) и высота ( h ).
Тем не менее, вы также должны учитывать то, что есть как верх, так и низ, поэтому радиус необходимо умножить на два для площади поверхности.
- Площадь поверхности = 2πr 2 + 2πrh
- Объем = πr 2 ч
Площадь и объем прямоугольной призмы
Д. РасселПрямоугольник в трех измерениях становится прямоугольной призмой (или коробкой). Когда все стороны равны, он становится кубом. В любом случае для определения площади поверхности и объема требуются одни и те же формулы.
Для этого вам нужно знать длину ( l ), высоту ( h ) и ширину ( w ).С кубом все три будут одинаковыми.
- Площадь поверхности = 2 (левый) + 2 (левый) + 2 (белый)
- Объем = л. С.
Площадь и объем пирамиды
Д. РасселС пирамидой с квадратным основанием и гранями из равносторонних треугольников работать сравнительно легко.
Вам нужно будет знать размер одной длины основания ( b ). Высота ( х ) — это расстояние от основания до центральной точки пирамиды.Сторона ( s ) — это длина одной грани пирамиды от основания до верхней точки.
- Площадь поверхности = 2bs + b 2
- Объем = 1/3 б 2 ч
Другой способ вычислить это — использовать периметр ( P ) и площадь ( A ) базовой формы. Это можно использовать для пирамиды с прямоугольным, а не квадратным основанием.
- Площадь поверхности = (½ x P x s) + A
- Объем = 1/3 Ач
Площадь поверхности и объем призмы
Д.РасселПри переходе от пирамиды к равнобедренной треугольной призме необходимо также учитывать длину ( l ) формы. Запомните сокращения для основания ( b ), высоты ( h ) и стороны ( s ), потому что они необходимы для этих расчетов.
- Площадь поверхности = bh + 2ls + lb
- Объем = 1/2 (бч) л
Тем не менее, призма может быть любой формы. Если вам нужно определить площадь или объем нечетной призмы, вы можете полагаться на площадь ( A ) и периметр ( P ) базовой формы.Часто в этой формуле будет использоваться высота призмы или глубина ( d ), а не длина ( l ), хотя вы можете видеть любое сокращение.
- Площадь поверхности = 2A + Pd
- Объем = объявления
Площадь сектора круга
Д. РасселПлощадь сектора круга может быть вычислена в градусах (или радианах, как это чаще всего используется в расчетах). Для этого вам понадобятся радиус ( r ), пи ( π ) и центральный угол ( θ ).
- Площадь = θ / 2 r 2 (в радианах)
- Площадь = θ / 360 πr 2 (в градусах)
Площадь эллипса
Д. РасселЭллипс также называют овалом и по сути представляет собой удлиненный круг. Расстояния от центральной точки до стороны непостоянны, что делает формулу для определения ее площади немного сложной.
Чтобы использовать эту формулу, вы должны знать:
- Semiminor Axis ( a ): кратчайшее расстояние между центральной точкой и краем.
- Большая полуось ( b ): наибольшее расстояние между центральной точкой и краем.
Сумма этих двух точек остается постоянной. Вот почему мы можем использовать следующую формулу для вычисления площади любого эллипса.
Иногда вы можете видеть, что эта формула записана как r 1 (радиус 1 или малая полуось) и r 2 (радиус 2 или большая полуось), а не a и b .
Площадь и периметр треугольника
Треугольник — одна из самых простых фигур, и вычислить периметр этой трехсторонней формы довольно просто. Вам нужно знать длины всех трех сторон ( a, b, c ), чтобы измерить полный периметр.
Чтобы узнать площадь треугольника, вам понадобится только длина основания ( b ) и высота ( h ), которая измеряется от основания до вершины треугольника. Эта формула работает для любого треугольника, независимо от того, равны ли стороны или нет.
Площадь и окружность круга
Подобно сфере, вам нужно знать радиус ( r ) круга, чтобы узнать его диаметр ( d ) и длину окружности ( c ). Имейте в виду, что круг — это эллипс, у которого одинаковое расстояние от центральной точки до каждой стороны (радиуса), поэтому не имеет значения, где на краю вы измеряете.
- Диаметр (d) = 2r
- Окружность (c) = πd или 2πr
Эти два измерения используются в формуле для вычисления площади круга.Также важно помнить, что отношение длины окружности к ее диаметру равно пи ( π ).
Площадь и периметр параллелограмма
У параллелограмма есть два набора противоположных сторон, идущих параллельно друг другу. Форма четырехугольная, поэтому у нее четыре стороны: две стороны одной длины ( a ) и две стороны другой длины ( b ).
Чтобы узнать периметр любого параллелограмма, используйте эту простую формулу:
Когда вам нужно найти площадь параллелограмма, вам понадобится высота ( х ).Это расстояние между двумя параллельными сторонами. Также требуется основание ( b ) — это длина одной из сторон.
Имейте в виду, что b в формуле площади не то же самое, что b в формуле периметра. Вы можете использовать любую из сторон — которые были объединены в пары как a и b при вычислении периметра — хотя чаще всего мы используем сторону, перпендикулярную высоте.
Площадь и периметр прямоугольника
Прямоугольник — это тоже четырехугольник.В отличие от параллелограмма, внутренние углы всегда равны 90 градусам. Кроме того, стороны, противоположные друг другу, всегда будут иметь одинаковую длину.
Чтобы использовать формулы для периметра и площади, вам необходимо измерить длину прямоугольника ( l ) и его ширину ( w ).
- Периметр = 2 часа + 2 Вт
- Площадь = в x ш
Площадь и периметр квадрата
Квадрат даже проще, чем прямоугольник, потому что это прямоугольник с четырьмя равными сторонами.Это означает, что вам нужно знать только длину одной стороны ( s ), чтобы найти ее периметр и площадь.
Площадь и периметр трапеции
Трапеция — это четырехугольник, который может показаться сложной задачей, но на самом деле это довольно просто. У этой формы только две стороны параллельны друг другу, хотя все четыре стороны могут иметь разную длину. Это означает, что вам нужно знать длину каждой стороны ( a, b 1 , b 2 , c ), чтобы найти периметр трапеции.
- Периметр = a + b 1 + b 2 + c
Чтобы найти площадь трапеции, вам также понадобится высота ( х ). Это расстояние между двумя параллельными сторонами.
Площадь и периметр шестиугольника
Шестигранный многоугольник с равными сторонами — это правильный шестиугольник. Длина каждой стороны равна радиусу ( r ). Хотя это может показаться сложной формой, вычисление периметра — это простой вопрос умножения радиуса на шесть сторон.
Определить площадь шестиугольника немного сложнее, и вам придется запомнить эту формулу:
Площадь и периметр восьмиугольника
Правильный восьмиугольник похож на шестиугольник, но у этого многоугольника восемь равных сторон. Чтобы найти периметр и площадь этой формы, вам понадобится длина одной стороны ( a ).
Как найти площадь поверхности куба?
Примеры
Признаки делимости чисел: Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
//Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №7. Делимость. Свойства и признаки делимости.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- наибольший общий делитель пары чисел;
- признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.
Глоссарий по теме
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.
Дополнительная литература:
Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый.
— 2015. — №2. — С. 84-86.Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Целое число
Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.
Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.
Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).
Рисунок 1 – числовой луч
Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)
Рисунок 2 – числовой луч
Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).
Рисунок 3 – числовой луч
Делимость. Делитель и частное.
Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.
Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.
Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.
Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.
Свойства делимости.
Перечислим некоторые свойства делимости:
1. Все целые числа делятся на единицу.
2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.
3. Все натуральные числа являются делителями нуля.
4.
Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.
6. Единственный делитель единицы – сама единица.
7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.
8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).
9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.
Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.
Взаимно простые числа.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел.
Это называется факторизацией натурального числа.Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.
НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.
Делимость суммы и произведения.
Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.
1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.
2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.
3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.
4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.
5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.
6) Пусть число a делится на m, тогда ak делится на mk.
Деление с остатком.
Натуральное число n можно представить в виде:
n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)
где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).
Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).
Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.
Алгоритм Евклида.
Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.
Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел
где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
…
ИЛИ (остаток rk)
…
ИЛИ(остаток rn)
ИЛИ (остаток 0)
То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга.
При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.
Признаки делимости.
Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.
Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:
0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.
Таблица 1 – Признаки делимости
Число n
Число a делится на число n тогда и только тогда, когда
2
последняя цифра числа a делится на 2
3
сумма всех цифр числа a делится на 3
4
число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4
5
число a оканчивается цифрой 0 или 5
7
знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7
8
число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8
9
сумма всех цифр числа a делится на 9
10
число a оканчивается цифрой 0
11
знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11
13
знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13
25
число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25
Заметим, что в формулировке признаков фигурирует выражение «тогда и только тогда».
Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.Метод математической индукции для доказательства делимости.
Схема метода:
1. Базис индукции.
Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.
2. Индукционное предположение.
Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.
3. Шаг индукции (индукционный переход).
Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.
4. Вывод.
Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задача №1
Условие:
Найдите среди чисел пары взаимно простых.
65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26
Решение:
Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.
По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.
По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.
По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.
По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.
Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе.
Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.
Получим возможные пары:
(65; 14)
(30; 273) или (30; 1001)
(110; 1001) или (110; 273)
(35; 26)
Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.
Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.
Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми.
Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.
Ответ: (65; 14), (30; 1001), (110; 273), (35; 26).
Задача №2.
Условие:
Найдите НОД(2457, 1473).
Решение:
Решим задачу с помощью алгоритма Евклида.
Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:
2457 = 1 · 1473 + 984
1473 = 1 · 984 + 489
984 = 2 · 489 + 6
489 = 81 · 6 + 3
6 = 3 · 2
Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.
Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.
Задача №3.
Условие:
Определите, делится ли число 17943646 на 7.
Решение:
Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646.
Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.
Задача №4.
Условие:
Докажите делимость + 6n – 10 на 18 при любом натуральном n.
Решение:
Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.
1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:
+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0
Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.
2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.
3. Рассмотрим выражение при n = k +1.
+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4
Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:
+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.
Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:
+ 6(k + 1) – 10 = 4(–6k + 10 + 18m) + 6k – 4 = –24k + 40 + 4 · 18m + 6k – 4 = –18k + 4 · 18m + 36 = 18(–k + 4m + 2) = 18 · q, где q – некоторое целое число. Из этой записи следует, что + 6(k + 1) – 10 делится на 18 по определению. Следовательно, данное утверждение верно при значении n = k + 1.
4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.
Признаки делимости чисел — правила и примеры решений
Для быстрого решения задач и примеров по математике необходимо знать признаки делимости натуральных чисел. Это правила, которые помогают быстро понять, кратно ли большое число заданному. Существуют признаки делимости простых чисел — 2, 3, 5, 7, 11 и составных, которыми являются 6, 12. Одни признаки делимости совсем простые, другие несколько сложнее.
Эти свойства с примерами будут полезны и взрослым, уже подзабывшим курс математики, и школьникам.Содержание
- Дроби с кратными от 1 до 5
- Свойства делителей от 6 до 10
- Разрядные единицы
- Делители от 11 и выше
- Признак делимости на составное число
- Таблица кратных от 2 до 10
Дроби с кратными от 1 до 5
На единицу делится любое целое число.
Самым простым правилом является делимость на число два: если натуральное число оканчивается на четную цифру, то оно кратно двум. Если в конце стоит нечетная цифра, какими являются 1, 3, 5, 7, 9, то число на два не делится. То есть чтобы поделить многозначное число на два, в конце числа должна стоять одна из таких цифр: 2, 4, 6, 8, 0.
Пример: 6942 является четным, поскольку в конце четная цифра, поэтому оно кратно двум; число 19678456 также кратно двум, так как в конце стоит четная цифра 6. А вот число 6796345 не делится на 2, поскольку оно нечетное.
Также нельзя получить ответ без остатка с такой суммы, как 398573 по этой же причине.Деление на три имеет свое правило: нужно сложить все цифры, а затем проверить, делится ли сумма на три. Если да, то и данность разделится на три. Если нет, значит, не делится.
Например, возьмем 3576. Складываем 3+5+7+6=21. Полученную сумму 21 делим на три, получается семь. Значит, оно кратно трем без остатка. Проведем разложение шестизначного номера 353388. Оно раскладывается на три, поскольку сумма равна тридцати (3+5+3+3+8+8=30). Еще возьмем, например, 5819. Складываем: 5+8+1+9=23, полученная сумма не делится на три без остатка. Также и 2947 невозможно разделить, поскольку остаются тройки.
Правило делимости на четыре звучит так: если две последние цифры номера кратны четырем либо оно в конце имеет два нуля, то отношение получится без остатка.
Например, 1000 делится на четыре, поскольку в конце 00. Делится также и 3824, так как в конце 24, которое кратно этому делителю.
А вот 2986 не делится на четыре, так как 86 не кратно четырем, и 29087 тоже не может остаться целым, поскольку с 87 нельзя произвести расчета. Еще пример: четырехзначный номер 2648 можно разделить на этот делитель, так как 48:4=12.Довольно простым правилом является делимость на пять. Частное получается без остатка, если в конце заданного числа стоит 5 или 0. Если оно не заканчивается одной из этих цифр, то при делении возникнет остаток.
Проверим правило, взяв пятизначное число 45765. Оно кратно пяти без остатка, так как заканчивается на пять. Также 45030 можно разделить, поскольку в конце ноль. А вот четырехзначное число 4321 без остатка не делится.
Свойства делителей от 6 до 10
Составное шесть состоит из произведения двух последовательных чисел — 2 и 3. Теория кратности такова: число 6 составное, поэтому необходимо, чтобы одновременно действовали два правила признака делимости.
Нужно, чтобы число было кратно и двум, и трем сразу.Например, проверке подвергаются трехзначные числа 756 и 168. Они четные, поэтому делятся на два. Теперь нужно сложить 7+5+6=18, становится ясно, что сумма 18 делится на 3. Число 165 при разложении на однозначные цифры с последующим сложением превращается в 12, которое может разделиться на три. Оба числа кратны одновременно 2 и 3, значит, кратны шести.
Определение отношения с делимостью на семь довольно сложное: число делится, если при удвоении последней цифры и полученной разности результат кратен семи или равен нулю.
Пример, трехзначное число 679 кратно 7. (Калькулятор выдал 97). Узнать можно так:
- 2*9=18.
- 67−18=49.
- 49:7=7.
Из примера видно, что удвоилось последнее число, затем получена разность, после чего — отношение-доказательство.
В классе было дано задание доказать, что число 497 делится на семь. Порядок решения:
- 2*7=14.
- 49−14=35.
- 35:7=5.
Найти признак делимости на 8 очень легко. Формулировка закона такова: последние три цифры должны быть 000 или 888. Легко можно произвести вычисления с 789000: оно делится на 8, так как оканчивается на 000. Множество 289673888 тоже кратно 8, поскольку заканчивается на 888.
Свойство при делителе 9 похоже на правило с 3. Формула делимости на 9 довольно простая: сумма цифр должна быть кратна девяти. Маленький пример: из 46980 возможно получить целое, 4+6+9+8+0= 27. Получившаяся сумма кратна 9. Еще одно задание: найти отношение с использованием признака кратности 9 при делимом 29565. Рассуждение: 2+9+5+6+5=27. Полученная сумма может разделиться на девять.
Разрядные единицы
Любое число можно разделить на разрядную единицу, если у него одинаковое или большее количество нулей в конце. Например, 5790 можно поделить на 10, так как в конце один ноль.
Еще примеры:- 4958700:100=49587.
- 374000:1000=374.
- 5781000:100=5781.
- 97430:10=9743.
Невозможно разделить 128700 на 1000, так как у разрядной единицы нулей больше, а также 237480 на 100 и другие подобные.
Делители от 11 и выше
Чтобы получилось деление на 11, необходимо сложить четные по счету номера, а затем нечетные, затем произвести вычитание. Если в процессе вычислений получился ноль или одиннадцать, то остатка не будет.
Онлайн-задание с ответом: 7535, 74019 и 50486.
Нечетные в первом случае 7 и 3, четные 5 и 5. Считаем:
- 7+3=10,
- 5+5=10,
- 10−10=0.
Четные во втором примере 4 и 1, нечетные — 7, 0, 9. Вычисление:
- 7+0+9=16.
- 4+1=5.
- 16−5=11.
В третьем примере нечетные 5, 4, 6, четные 0 и 8. Решаем:
- 5+4+6=15.
- 0+8=8.
- 15−8=7.
Ответ: в первом и втором примере десятых, сотых, тысячных и так далее не останется, а в третьем — останется.
Чтобы разделить на двузначный делитель 12, нужно произвести общие вычисления, характерные для делителей 3 и 4 одновременно. К примеру, 900 и 3432. Сначала следует разложить на слагаемые 9+0+0=9, значит, можно поделить на 3. В конце стоит два нуля — можно делить на 4. Проверка: 900:12=75. Первая часть задания решена, теперь делаем вторую: 3+4+3+2=12, 12:3=4. Таким образом проверяется кратность трем. Теперь четырем: в конце стоит 32, что указывает на кратность 4, значит, остатка не будет. Таким образом, оба примера кратны 12.
Дробь, кратная 13, разрешится без остатка, если последнюю цифру умножить на 4, после чего сложить число и последнюю цифру. Если полученная сумма кратна 13 или равно 0, то деление получится.
Например, 6942:
- 2*4=8.
- 694+8=702.
- 702:13=54.
Еще пример — 754:
- 4*4=16.
- 75+16=91.
- 91:13=7.
Признак делимости на составное число
Если делитель составной, необходимо его разложить на простые множители, которые не имеют общих кратных, кроме единицы. Пример: 15 раскладывается на 3 и 5. Любое неизвестное кратно 15, если одновременно кратно трем и пяти.
Также и с другим составным: 18 раскладывается на 2 и 9. Нельзя брать множители 3 и 6, так как они не простые, у них общее кратное 3. Например, 456 кратно трем, проверка: 4+5+6=15, также кратно 6 (при разложении на 2 и 3). Однако калькулятор выводит запятую. Если взять множители 2 и 9, будет видно, что двум — кратно, а девяти — нет, ведь сумма равна 15, которая не кратна 9.
Таблица кратных от 2 до 10
Для удобства школьникам и их родителям предлагается таблица признаков делимости чисел от 2 до 10.
Она наглядно и кратко демонстрирует всю вышеизложенную теоретическую часть:Делимость на: Признак числа: 2 Оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4,6, 8 3 Сумма цифр, их которой оно состоит, делится на 3 4 Две последние цифры делятся на 4 5 Окончание на 5 или 0 6 Одновременная кратность 2 и 3 8 Три последние цифры кратны 8 9 Сумма цифр кратна 3 10 Окончание равно нулю Вышеизложенное доказывает, что к любому натуральному числу можно подобрать простой или составной признак кратности. На практике выходит, что чем больше число, тем сложнее его признак. Часто не хочется тратить время на проверку делимости, ведь за этот промежуток уже можно выполнить само деление. Поэтому любой школьник может воспользоваться простейшими признаками делимости.
Предыдущая
МатематикаКвадрат суммы и квадрат разности — формулы, правило квадрата и примеры решения
Следующая
МатематикаБином Ньютона — формула, доказательство и примеры решения
Делимость натуральных чисел. Признаки делимости.
- Делители и кратные
- Признаки делимости
- Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители
- Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)
Сегодня мы расскажем про делители и кратные натуральных чисел. Вам будет интересно узнать про признаки делимости чисел и деление всех чисел на простые и составные. Мы рассмотрим разложение на простые множители и научимся находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел.
Делители и кратные
Предположим, у нас с вами есть 6 яблок, и мы хотим разделить их поровну между двумя нашими друзьями.
Мы можем это сделать — каждый получит по три яблока. А между тремя? Тогда каждый получит по 2 яблока. А между четырьмя друзьями? Можно ли разделить поровну, в том смысле, чтобы каждый получил целое количество яблок? Нельзя! Шесть на четыре нацело не делится. Между пятью тоже нельзя.Всё просто. Шесть делится нацело на 1, 2, 3 и 6. Эти числа 1236 называются делителями числа 6. Они его делят нацело, а число 6, в свою очередь, делится на них нацело и называется кратным этим числам. Число 6 кратно одному, кратно двум, кратно трём и кратно 6.
Нетрудно заметить, что у любого натурального числа есть хотя бы как минимум два делителя — это единица и само это число, кроме единицы, потому что единица делится нацело только на единицу.
Делителем натурального числа А называется натуральное число, на которое А делится нацело.
Кратным числу А называется натуральное число, которое делится на А нацело.
Нетрудно заметить, что любое натуральное число имеет бесконечно много кратных, наименьшее из которых — само это число.
Признаки делимости
Какие бывают признаки делимости натуральных чисел? Рассмотрим число 123456, можете сказать об этом числе по внешнему виду. Как по внешнему виду определить, на что можно разделить это число. Это и есть признаки делимости натуральных чисел
Признак делимости на 2
На 2делится любое натуральное число, запись которых заканчивается на 0, 2, 4, 6
Например, очень большое число 120345876568 точно делится на два, так как его запись оканчивается цифрой 8
Так же следует запомнить, что любое число, которое делится на 2, а также число, которое заканчивается либо на 0, либо на 2, либо на 4, либо на 6, либо на 8, называются четным.
Любое число, которое не делится на два, то есть заканчивается либо на 1, либо на 3, либо 5, либо на 7 или 9, называется, соответственно, нечетным.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр любого натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.
Число 156879 делится на 3, так как 1+5+6+8+7+9=36 делится на 3.
Признак делимости на 4
Если в записи числа последние две цифры образуют число, которое делится на 4, то такое число делится на 4.
Число 362836 делится на 4, так как последние 2 цифры образуют число 36, которое делятся на 4.
Признак делимости на 5
Если запись числа оканчивается на цифру либо 0, либо 5, такое число делится на 5.
Признак делимости на 6
Если число делится на 2 и на 3 одновременно, то оно делится на 6.
Признак делимости на 8
Если в записи числа последние три цифры образуют число, которое делится на 8, то такое число делится на 8.
Число 12586023064 делится на 8, так как последние 3 цифры образуют число 64, которое делятся на 8.
Признак делимости на 9
Этот признак делимости похож на 3. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9.
Признак делимости на 25
Если в записи числа последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 25, то такое число делится на 25.
Признак делимости на 10
Если число оканчивается на 0 то, оно делится на 10.
Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители
Натуральное число называют простым, если оно имеет 2 делителя — единица и самое это число. То есть, если натуральное число не делится нацело ни на что, кроме как на единицу и на само это число, то такое число – простое.
Теперь, зная определение простых чисел, узнаем, какое существует наименьшее простое число. Единица? Нет, единица имеет только один делитель, а по определению простое число имеет два.
Наименьшее простое число — это 2. Оно делится на 2 и на 1. 2 — это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа – нечетные.
Но необязательно нечетное число является простым. Те числа, которые имеют больше двух делителей, называются составными.
Куда отнести тогда единицу, спросите вы? Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.
Любое составное число можно представить в виде двух множителей, каждый из которых больше единицы.
Разложение натурального числа на простые множители:
Шаг 1.
Выберите число, которое необходимо разложить на простые множители
Шаг 2.
Убедитесь в том, что это число составное, то есть делится еще на какие-то числа, кроме единицы и самого себя. В этом вам помогут признаки делимости чисел.
Шаг 3. Нарисуйте схему, как на рисунке. У нас есть черта, слева от неё записываем числа, которые будут получаться в результате разложения, а справа нужные нам простые множители. Сразу проверяем, делится ли исходное число на 2. В нашем случае делится. Записываем 2 справа. Результат деления исходного числа на 2, а именно 142, записываем слева. Таким образом, мы проверяем каждый раз, на какие простые числа делится следующий результат деления. Когда получилось 71, проверяем, на какие простые числа делится 71. Число 71 не делится ни на что, кроме как на единицу и на само себя.
Поэтому записываем число 71 справа, как простое число, а результат деления единицу записываем слева. Именно единицей должна оканчиваться любая схема разложения. Проверяем, чтобы справа были все простые числа. Получилось следующее разложение: 284 равно 2 * 2 * 71Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)
Для того чтобы усвоить данную тему, следует хорошо разобраться в том, как раскладывать число на простые множители.
Наибольшим общим делителем (НОД) называют наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.
Как найти НОД? Для этого нужно выполнить два пункта:
1. Разложите два числа на простые множители
2. Найдите произведение общих делителей этих чисел
Наименьшим общим кратным (НОК) называется наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел.
Как найти НОК двух чисел?
1. Разложите эти два числа на простые множители
2.
Запишите разложение одного из этих чисел3. Дописать в это разложение те множители другого разложения, которые еще не вошли в данное разложение, и вычислить произведение всех получившихся чисел.
Признаки делимости чисел (18 слайдов)
Слайд 1
Признаки делимости чисел
Выполнила: Стариннова Анастасия ученица 6 «а» класса Руководитель: Толкачева Наталья Сергеевна, учитель I квалификационной категории МАОУ СШ № 8 с.п. НовосмолинскийСлайд 2
На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и на 10. Но оказывается, признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 13 и другие числа. Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач. Мы заинтересовались историей делимости чисел. Кто из древних учёных занимался делимостью чисел? Кто такой Эратосфен? Что такое решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?Слайд 3
Цель: узнать, не выполняя деления, делится ли число на … Задачи: изучить историю математики о делимости чисел узнать признаки делимости на натуральные числа от 2 до 25Слайд 4
История математики о делимости чисел
Делимость – это способность одного числа делиться на другое без остатка. Признаки делимости были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку, пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду.
Эратосфен (около 275–194 до н. э.) — один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами — ему принадлежат интересные исследования в области математики, астраномии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач.
Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое «решето», с помощью которого находятся простые числа.
Делитель – это число, которое делит данное число без остатка.
Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя:
1 и самого себя. Числа, не имеющие других
делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие
другие делители, называются составными (или сложными) числами.Слайд 5
Признак делимости на 4
Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится.
Число 31 800 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля.
Число 325 734 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 34, которое не делится на 4.
Число 15 608 делится на 4, так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8, которое делится на 4.Слайд 6
Признак делимости на 6
Число делится на 6, когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится. Число 126 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3. Число 315 не может быть разделено на 6, в виду того, что оно не делится на 2, но делится на 3.Слайд 7
Признак делимости на 7
Число делится на 7, если разница между этим числом без последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7. Число 672 делится на 7, так как 67–(2*2)=63,число 63 делится на 7. Число 587 не делится на 7, так как 58-(7*2)=44, число 44 не делится на 7.Слайд 8
Признак делимости на 8
Число делится на 8, в случае, когда три последние цифры его нули или число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.
Число 225 000 делится на 8, так как оканчивается тремя нулями.
Число 180 004 не делится на 8, так как три крайние цифры дают число 4, которое не делится на 8.
Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120, которое делится на 8.
Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16, 32, 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.Слайд 9
Признак делимости на 11
Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Разберемся на примере: Проверим, делится ли число 90 904 на 11 без остатка. 1. Вычислим сумму цифр на нечетных местах:9 + 9 + 4 = 22 2. Сумма цифр на четных местах:0 + 0 = 0 3.Вычислим разницу между суммами цифр, которые стоят на нечетных и четных местах.22 − 0 = 22 4. Проверим, делится ли число 22 на 11 без остатка.22 : 11 = 2 Значит число 90 904 делится на 11 без остатка.Слайд 10
Признак делимости на 12
Число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и делится на 4. Число 948 делится на 12, так как 9+4+8=21, 21 делится на 3 и 48 делится на 4. Число 548 не делится на 12, так как 5+4+8=17, 17 не делится на 3, а 48 делится на 4.Слайд 11
Признак делимости на 13
Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры. Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13. Число 5967 делится на 13, так как 596+(7*4)=624, 62+(4*4)=78, 7+(8*4)=39, 39 делится на 13.Слайд 12
Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда когда, оно делится на 2 и на 7. Например: 252 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14. Признак делимости на 15 Число делится на 15, тогда когда это число делится на 3 и на 5.
Число 885 делится на 15, так как это число делится на 5 и 8+8+5=21 делится на 3.Слайд 13
Признак делимости на 16
1-й признак делимости на 16 Натуральное число делится без остатка на 16: — если последние четыре цифры в его записи образуют число, которое делится на 16; — если его запись оканчивается четырьмя нулями. 2-й признак делимости на 16 Натуральное число делится на 16 без остатка, если сумма — цифра из разряда тысяч, умноженная на 8, плюс цифра из разряда сотен, умноженная на 4, плюс цифра из разряда десятков, умноженная на 10, плюс цифра из разряда единиц, — делится на 16.Слайд 14
Признак делимости на 17
Натуральное число делится на 17, если разность — это число без его последней цифры минус его последняя цифра, умноженная на 5, — делится на 17. Признак делимости на 18 Число делится на 18 тогда, когда число делится на 2 и на 9. Число 702 делится на 18, так как это число делится на 2 и 7+0+2=9 делится на 9.
Признак делимости на 19
Чтобы число делилось на 18 нужно: зачеркнуть последнюю цифру и к полученному числу прибавить число, равное удвоенной зачеркнутой цифре. Повторить до получения числа меньше 19.
Число 893 делится на 18, так как 89+(3*2)=95, 9+(5*2)=19.Слайд 15
Признак делимости на 20
Если запись натурального числа оканчивается цифрой нуль и предпоследняя цифра в записи — четная, то такое число делится без остатка на 20. Признак делимости на 21 Натуральное число делится на 21, если 1) сумма цифр этого числа делится на 3; 2) разность между числом без его последней цифры и удвоенной последней цифрой, делится на 7.Слайд 16
Признак делимости на 22
Число делится на 22, если делится на 2 и на 11. Признак делимости на 23 Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23. Признак делимости на 24 1-й признак делимости на 24 Натуральное число делится на 24, если сумма его цифр делится на 3 и три последние цифры в его записи образуют число, которое делится на 8.Слайд 17
2-й признак делимости на 24 Натуральное число делится на 24, если сумма его цифр делится на 3, и сумма — цифра из разряда сотен, умноженная на 4, плюс цифра из разряда десятков, умноженная на 2, плюс цифра из разряда единиц — делится на 8. Признак делимости на 25 Если запись натурального числа заканчивается следующими цифрами: 00, 25, 50 или 75, то такое число делится на 25 без остатка.Слайд 18
Спасибо за внимание!Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Обыкновенные дроби
- Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Вопрос: что такое признаки делимости чисел ?
Ответ: признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое.
Знать эти признаки необходимо при решении многих арифметических задач.
Признак делимости на 10Рассмотрим несколько чисел, запись которых оканчивается цифрой 0, например,
60, 130, 2340
Каждое из этих чисел делится без остатка на 10
Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0.
60 : 10 = 6
130 : 10 = 13
2340 : 10 = 234
Вывод: любое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10
Если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10
Проверим это утверждение, например, на числе 234
234 : 10 = 23 целых в остатке 4
(неполное частное 23 и остаток 4 — последняя цифра в записи числа 234)
Вывод: если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.
Определение
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.
Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.
Остаток в этом случае равен последней цифре в записи числа.
Обратим внимание на то, что число 10 = 2 · 5 (число 10 делится без остатка и на 2, и на 5).
Вывод: число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2.
Например, 70 = 7 · 10 = 7 · (2 · 5) = (7 · 2) · 5 = 14 · 5, значит, 70 : 5 = 14.
А из того что 70 = 7 · (5 · 2) = (7 · 5) · 2 = 35 · 2, получаем, что 70 : 2 = 35.
Полные десяткиСуществует такое понятие, как «круглое» число — это целое число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями.
Такие числа принято называть «круглыми» («полными«) десятками.
Например, числа 40, 530, 3270, 3200 являются полными десятками.
40 — четыре десятка
530 — пятьдесят три десятка
3270 — триста двадцать семь десятков
3200 — триста двадцать десятков
Полные десятки делятся и на 10, и на 5, и на 2.
Признак делимости на 5Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц, например,
46 = 40 + 6, 539 = 530 + 9, 3278 = 3270 + 8.
Так как полные десятки делятся на 5, то и всё число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится число единиц.
Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.
Определение
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.
Например, числа 270 и 275 делятся без остатка на 5
Если же запись числа оканчивается другой цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Например, числа 272 и 273 на 5 без остатка не делятся.
Четные и нечетные числаОпределение
Числа, делящиеся без остатка на 2, называют чётными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечётными.
Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётные, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётные
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными.
Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т. е. они чётны).
Вывод: любое натуральное число чётно, когда в разряде единиц стоит чётная цифра, и нечётно, когда в разряде единиц стоит нечётная цифра.
Определение
Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.
Например, числа 2, 30, 74, 56, 108 чётные, а числа 3, 31, 75, 57, 109 нечётные.
Это интересноДревнегреческий философ (профессиональный мыслитель), математик и мистик (верил в существование сверхъестественных сил) Пифагор Самосский, чётные числа считал женскими, а нечётные — мужскими
На рисунке числа от 1 до 100 (чётные и нечётные числа разного цвета)
В старину люди верили в магию чисел, где всё хорошее ассоциировалось с нечётными цифрами, а плохое – с чётными. Поэтому, например, в Рождество на стол всегда ставили нечётное количество блюд. Люди верили, что нечётные числа символизируют постоянное продолжение жизни, незавершенность.
Таблица признаков делимости чисел А чётные, наоборот, означают конечность всего живого, остановку движения.Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Доли. Обыкновенные дроби
Сравнение дробей
Делители и кратные
Четные и нечетные числа
Признаки делимости на 9 и на 3
Простые и составные числа
Разложение на простые множители
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Деление и дроби
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Смешанное число
Сложение и вычитание смешанных чисел
Основное свойство дроби
Решето Эратосфена
Приведение дробей к общему знаменателю
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение обыкновенных дробей
Деление обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 865, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
Задание 875, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
Задание 888, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
6 класс
Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 44, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 47, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 143, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 829, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 35, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 100, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 121, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 242, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 140, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 151, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 195, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 213, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 251, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 342, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 602, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 682, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 703, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 947, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.
Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).
- Признак делимости на 2
- Признак делимости на 3
- Признак делимости на 4
- Признак делимости на 5
- Признак делимости на 6
- Признак делимости на 7
- Признак делимости на 8
- Признак делимости на 9
- Признак делимости на 10
- Признак делимости на 11
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.
Примеры:
- 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
- 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.
Примеры:
- 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
- 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
- 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=32/3).
Признак делимости на 4
Двузначное число
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.
Примеры:
- 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
- 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а 11:4=23/4.
Число разрядов больше 2
Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.
Примеры:
- 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
- 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.
Примечание:
Число делится на 4 без остатка, если:
- в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
- в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.
Примеры:
- 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
- 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).
Примеры:
- 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
- 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
- 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.
Примеры:
- 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
- 105 – делится на 7, т. к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
- 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
- 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.
Признак делимости на 8
Трехзначное число
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.
Примеры:
- 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
- 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36:8=41/2.
Число разрядов больше 3
Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
Примеры:
- 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
- 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.
Примеры:
- 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
- 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а 12:9=11/3.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Примеры:
- 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
- 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.
Примеры:
- 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
- 1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
- 24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.
Правил доказательства делимости | Brilliant Math & Science Wiki
Тапас Мазумдар, Ада Мизи, Самир Хан, а также
способствовал
Содержимое
- Правила делимости для некоторых выбранных целых чисел
- Доказательства
- Делимость на 2 (Аналогично для 5 и 10)
- Делимость на 3 (аналогично 9)
- Делимость на 4 (аналогично 25)
- Делимость на 6
- Делимость на 7
- Делимость на 8 (аналогично 125)
- Делимость на 11
- Делимость на 12
- Делимость на 13
- Смотрите также
- Делимость на 1: Каждое число делится на 111.
- Делимость на 2: Число должно иметь 0, 2, 4, 6,0, \ 2, \ 4, \ 6,0, 2, 4, 6 или 888 в качестве разряда единиц.
- Признак делимости на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 333.
- Делимость на 4: Число, образованное разрядом десятков и единиц, должно делиться на 444.
- Делимость на 5: Число должно иметь 000 или 555 в качестве разряда единиц.
- Делимость на 6: Число должно делиться как на 222, так и на 333.
- Делимость на 7: Абсолютная разница между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, должна делиться на 777 (этот процесс можно повторять много раз, пока мы не получим достаточно малое число).
- Признак делимости на 8: Число, образованное разрядом сотен, десятков и единиц, должно делиться на 888.
- Признак делимости на 9: Сумма цифр числа должна делиться на 999.
- Делимость на 10: Число должно иметь 000 в качестве разряда единиц.
- Делимость на 11: Абсолютная разница между суммой чередующихся пар цифр должна делиться на 111111.
- Делимость на 12: Число должно делиться как на 333, так и на 444.
- Делимость на 13: Сумма четырехкратных цифр единиц с числом, образованным остальными цифрами, должна делиться на 131313 (этот процесс можно повторять много раз, пока мы не получим достаточно малое число).
- Делимость на 25: Число, образованное разрядом десятков и единиц, должно делиться на 252525.
- Признак делимости на 125: Число, образованное разрядом сотен, десятков и единиц, должно делиться на 125125125.
Теперь мы обсудим вывод этих правил. В каждом доказательстве переменная будет иметь вид
N=anan−1an−2…a2a1a0‾ N = \overline {a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1 a_0}N=an ан−1 ан−2 … а2 а1 а0 9k, \text{ где } k \ge 1, \text{ всегда делится на } 2\big)\\ & \equiv a_0 \pmod{2}.
k-1, \text{ где } k \ge 1, \text{ всегда делится на } 3\big)\\ \\
\equiv &\left( a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_1 + a_0 \right) \pmod{3}.
\end{align}N≡≡1×an(mod3)+1×an−1(mod3)+1×an−2(mod3)+⋯+1×a2(mod3)+1×a1 (mod3)+1×a0(mod3)(как 10k−1, где k≥1, всегда делится на 3)(an+an-1+an-2+⋯+a2+a1 +a0)(mod3). 9k — 1,10k−1, где k≥1,k \ge 1,k≥1, также всегда делится на 999, а значит, сумма цифр числа в этом случае должна делиться на 999, так что число делится на 999, что подтверждает тест на делимость числа 999. Любое число, в котором цифры десятков и единиц, занимаемые в таком порядке, делятся на 444, само также делится на 444.
Докажите, что число 115641156411564 делится на 444, потому что 646464 делится на 444. 9k, \text{ где } k \ge 2, \text{ всегда делится на } 4\big) \\ & \equiv 10 a_1 + a_0 \pmod{4}. \end{align}N≡0+0+0+⋯+0+10a1+a0(mod4)(как 10k, где k≥2, всегда делится на 4)≡10a1+a0(mod4) .
Следовательно, N≡0(mod4)N \equiv 0 \pmod{4}N≡0(mod4), если 10a1+a0=a1a0‾≡0(mod4)10a_1 + a_0 = \overline {a_1 a_0} \equiv 0 \ pmod{4}10a1+a0=a1a0≡0(mod4).
Таким образом, если разряды десятков и единиц числа, взятые в таком порядке, делятся на 4,4,4, то число также делится на 444. □_\квадрат□ 9k,10k, где k≥2,k \ge 2,k≥2, также всегда делится на 252525 и, следовательно, если цифры в разряде десятков и единиц числа, взятого в таком порядке, делятся на 252525, то число также делится на 252525.
Любое число, которое делится и на 222, и на 333, также делится и на 666.
Докажите, что число 678678678 делится на 666, потому что 678678678 делится и на 222, и на 333.
Это не требует никаких подробных доказательств, кроме того факта, что
, если N≡0(mod2)N \equiv 0 \pmod{2}N≡0(mod2) и N≡0(mod3)N \equiv 0 \pmod{3}N≡0(mod3), то N≡0 (mod2×3=6)N \экв 0 \pmod{2 \times 3 = 6}N≡0(mod2×3=6),
, так как 222 и 333 взаимно простые числа.
□_\квадрат□Любое число, у которого абсолютная разность между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, равна 000 или делится на 777, само делится на 777.
Докажите, что число 343343343 делится на 777, потому что 34−2×3=2834 — 2 х 3 = 2834−2×3=28 также делится на 777. 9{n-3} a_{n-2} + \cdots + 10 a_2 + a_1 — 2 a_0 \право) \\ &\эквив 0 \pmod{7}\\\\ \Rightarrow 10 \left( \overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} — 2 a_0 \right) &\equiv 0 \pmod{7}. \end{выровнено}N7k−21a0⇒10(anan-1an−2…a2a1−2a0)=10(10n−1an+10n−2an−1+10n− 3an−2+⋯+10a2+a1)+20a0−20a0+a0=10(10n−1an+10n−2an−1+10n−3an−2+⋯+10a2+a1 −2a0)+21a0=7k=10(10n−1an+10n−2an−1+10n−3an−2+⋯+10a2+a1−2a0)≡0(mod7)≡0 (мод7).
Следовательно, поскольку 10≡3(mod7),10 \equiv 3 \pmod{7},10≡3(mod7), то для того, чтобы NNN делилось на 7,7,7, должно быть верно, что anan−1an−2 …a2a1‾−2a0≡0(mod7)\overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} — 2 a_0 \equiv 0 \pmod{7}anan−1an− 2…a2a1−2a0≡0(mod7).
Таким образом, для числа, если абсолютная разница между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, равна 000 или делится на 7,7,7, то это число также делится на 777. □_\квадрат □
Любое число, в котором разряды сотен, десятков и единиц, занимаемые в таком порядке, делятся на 888, само также делится на 8.8.8.
Докажите, что число 741527415274152 делится на 888, потому что 152152152 делится на 888. 9k, \text{ где } k \ge 3, \text{ всегда делится на } 8\big) \\ & \эквив 100 а_2 + 10 а_1 + а_0 \пмод{8}. \end{align}N≡0+0+0+⋯+102a2+10a1+a0(mod8)(как 10k, где k≥3, всегда делится на 8)≡100a2+10a1+a0 (мод8).
Следовательно, N≡0(mod8)N \equiv 0 \pmod{8}N≡0(mod8), если 100a2+10a1+a0=a2a1a0‾≡0(mod8)100 a_2 + 10a_1 + a_0 = \overline {a_2 a_1 a_0} \equiv 0 \pmod{8}100a2+10a1+a0=a2a1a0≡0(mod8).
Таким образом, если разряды сотен, десятков и единиц числа, взятые в таком порядке, делятся на 8,8,8, то число также делится на 888.
□_\квадрат□ 9k,10k, где k≥3,k \ge 3,k≥3, также всегда делится на 125125125 и, следовательно, если цифры сотен, десятков и единиц числа, взятого в таком порядке, делятся на 125125125 , то число также делится на 125125125. Любое число, у которого абсолютная разность между суммой цифр в четных позициях и суммой цифр в нечетных позициях равна 000 или делится на 111111, само также делится на 111111.
Докажите, что число 105204105204105204 делится на 111111, потому что ∣(0+2+4)−(1+5+0)∣=0\big|(0+2+4)-(1+5+0)\big| =0∣∣(0+2+4)−(1+5+0)∣∣=0 делится на 111111. 9k \equiv -1 \bmod{11} \text{ если } k \text{ нечетно}\big)N≡±an∓an−1±an−2⋯∓a2±a1∓a0 (mod11).(как 10k≡+1mod11, если k четно, и 10k≡−1mod11, если k нечетно)
Предположим, что nnn четно, тогда мы имеем N≡an−an−1+an−2−⋯+a2−a1+a0(mod11)≡(an+an−2+⋯+a2+a0)−(an−1+an−3+⋯+a3+ a1)(mod11).\begin{выровнено} Н &\equiv a_n — a_{n-1} + a_{n-2} — \cdots + a_2 — a_1 + a_0 \pmod{11} \\ &\equiv \left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_3 + a_1 \right ) \pmod{11}.
\end{align}N≡an-an-1+an-2-⋯+a2-a1+a0(mod11)≡(an+an-2+⋯+a2+a0 )−(an−1+an−3+⋯+a3+a1)(mod11).
Следовательно, N≡0(mod11)N \equiv 0 \pmod{11}N≡0(mod11), если (an+an−2+⋯+a2+a0)−(an−1+an−3+⋯+a3 +a1)≡0(mod11),\left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_3 + a_1 \right) \equiv 0 \pmod{11},(an+an−2+⋯+a2+a0)−(an–1+an−3+⋯+a3+ a1)≡0(mod11), учитывая, что nnn четно.Предположим, что nnn нечетно, тогда мы имеем N≡−an+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a0(mod11)≡(an−1+an−3+⋯+a2+a0)−(an+an−2+⋯+a3 +a1)(mod11).\begin{выровнено} Н &\equiv -a_n + a_{n-1} — a_{n-2} + \cdots + a_2 — a_1 + a_0 \pmod{11} \\ &\equiv \left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_3 + a_1 \right ) \pmod{11}. \end{выровнено}N≡-an+an-1-an-2+⋯+a2-a1+a0(mod11)≡(an-1+an-3+⋯+a2 +a0)−(an+an−2+⋯+a3+a1)(mod11). Следовательно, N≡0(mod11)N \equiv 0 \pmod{11}N≡0(mod11), если (an−1+an−3+⋯+a2+a0)−(an+an−2+⋯+a3 +a1)≡0(mod11),\left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_3 + a_1 \right) \equiv 0 \pmod{11},(an−1+an−3+⋯+a2+a0)−(an+an−2+⋯+a3+ a1)≡0(mod11), учитывая, что nnn нечетно.
Из двух приведенных выше условий мы заключаем, что для того, чтобы число делилось на 111111, его абсолютная разность между суммой цифр, стоящих на четных позициях, и суммой цифр, стоящих на нечетных позициях, должна быть равна 000 или делиться на 111111. □_\квадрат□
Любое число, которое делится и на 333, и на 444, также делится и на 121212.
Докажите, что число 10
21092 делится на 121212, потому что 10
21092 делится и на 333, и на 444.
Это также не требует никаких подробных доказательств, кроме того факта, что
, если N≡0(mod3)N \equiv 0 \pmod{3}N≡0(mod3) и N≡0(mod4)N \equiv 0 \pmod{4}N≡0(mod4), то N≡0 (mod3×4=12),N \equiv 0 \pmod{3 \times 4 = 12},N≡0(mod3×4=12), так как 333 и 444 взаимно простые числа. □_\квадрат□
Любое число, сумма четырех цифр единиц и числа, образованного остальными цифрами, делится на 131313, само также делится на 13.
13.13.
9{n-3} a_{n-2} + \cdots + 10 a_2 + a_1 + 4 a_0 \право) \\
&\эквив 0 \pmod{13}\\\\
\Rightarrow 10 \left( \overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} + 4 a_0 \right) &\equiv 0 \pmod{13}.
\end{выровнено}N13k+39a0⇒10(anan−1an−2…a2a1+4a0)=10(10n−1an+10n−2an−1+10n− 3an−2+⋯+10a2+a1)+40a0−40a0+a0=10(10n−1an+10n−2an−1+10n−3an−2+⋯+10a2+a1 +4a0)−39a0=13k=10(10n−1an+10n−2an−1+10n−3an−2+⋯+10a2+a1+4a0)≡0(mod13)≡0 (мод13).Следовательно, поскольку 10≡10(mod13)10 \equiv 10 \pmod{13}10≡10(mod13), для того, чтобы NNN делилось на 131313, должно быть верно, что anan−1an−2…a2a1‾+4a0≡ 0(mod13)\overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} + 4 a_0 \equiv 0 \pmod{13}anan−1an−2…a2a1 +4a0≡0(mod13).
Таким образом, для числа, если сумма четырехкратной цифры его единиц и числа, образованного остальными цифрами, делится на 131313, то это число также делится на 131313. □_\квадрат□
Аналогичный логический подход позволяет проверить делимость каждого числа, просто наблюдая за последовательностью степеней 101010.
- SAT Math: Коэффициенты, делимость и остатки
- Применение правил делимости
- Правила делимости
Цитировать как: Правила доказательства делимости. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/proof-of-divisibility-rules/
Правило делимости на 8 — методы, примеры
Правило делимости на 8 гласит, что число делится на 8, если цифры либо 000, либо они образуют число, которое делится на 8. Хотя меньшие числа можно легко проверить на делимость, существуют определенные правила для проверки делимости больших чисел. Эти правила помогают нам проверить, делится ли одно число на другое число без деления. Давайте узнаем больше о правиле делимости числа 8 в этой статье.
1. Что такое правило делимости числа 8? 2. Правило делимости на 8 для больших чисел 3. Правило делимости на 4 и 8 4. Правило делимости на 8 и 9 5. Часто задаваемые вопросы о правиле делимости числа 8 Что такое правило делимости числа 8?
Согласно правилу делимости числа 8 , если последние три цифры данного числа нули или если число, образованное последними тремя цифрами, делится на 8, то такое число делится на 8. Например, в числе 4832 последние три цифры — 832, что делится на 8. Следовательно, данное число 4832 полностью делится на 8. Точно так же в числе 7000 последние три цифры — 000, что говорит нам о том, что 7000 делится на 8.
Признак делимости на 8 для больших чисел
Правила делимости упрощают и ускоряют процесс деления. В то время как проверка делимости для меньших чисел может быть выполнена легко, правила полезны для больших чисел.
Например, чтобы проверить, делится ли 31 000 на 8, мы проверяем последние три цифры данного числа, то есть 000. Согласно правилу делимости 8, мы заключаем, что данное число 31 000 делится на 8. Другими словами , 31 000 проходит тест на делимость 8. Возьмем другой пример числа 354416. В этом случае последние три цифры равны 416, что делится на 8. Следовательно, 354416 делится на 8.Правило делимости на 4 и 8
Правило делимости на 4 гласит, что данное число делится на 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4. Например, в числе 2348 последние две цифры образуют число 48, которое делится на 4. Следовательно, 2348 делится на 4. Однако мы знаем, что правило делимости числа 8 гласит, что если последние три цифры данного числа равны нулю или образуют число, которое делится на 8, то данное число делится на 8. Например, в числе 56824 последние 3 цифры образуют число 824, которое делится на 8. Следовательно, мы можем сказать, что 56824 делится на 8.
Правило делимости на 8 и 9
Проверить делимость на 8 несложно, так как нам достаточно рассмотреть три последние цифры заданного числа. Однако правило делимости 9 отличается от этого, но похоже на правило 3. Число делится на 9, если сумма всех его цифр кратна 9. Например, давайте проверим, делится ли 75816 на 8 и 9. Так как последние три цифры данного числа 816, что делится на 8, то данное число делится на 8. Теперь проверим его делимость на 9. Сумма чисел 7 + 5 + 8 + 1 + 6 = 27. Так как 27 делится на 9, значит, данное число 75816 делится на 9.
Признак делимости на 8 и 11
Мы видели, что признак делимости числа 8 проверяется путем рассмотрения трех последних цифр данного числа. Однако признак делимости на 11 отличается. Если разность сумм чередующихся цифр равна нулю или делится на 11, то число делится на 11. Проверим, делится ли 86416 на 8 и 11. Последние три цифры числа равны 416, т.е. делится на 8. Следовательно, число 86416 делится на 8.
Теперь давайте проверим его делимость на 11, выполнив следующие шаги:- Шаг 1: Подсчитайте сумму альтернативных чисел, начиная справа. В данном случае это: 6 + 4 + 8 = 18.
- Шаг 2: После этого подсчитайте сумму оставшихся альтернативных цифр, 1 + 6 = 7.
- Шаг 3: Теперь найдите разницу между суммами: 18 — 7 = 11. Поскольку 11 делится на 11, данное число 86416 также делится на 11.
☛ Похожие темы
- Правило делимости 3
- Правило делимости на 4
- Правило делимости числа 5
- Правило делимости 6
- Правило делимости числа 7
- Правило делимости числа 9
- Правило делимости 11
- Правило делимости 13
Правило делимости на 8 с примерами
Пример 1: Из следующего набора чисел выберите и запишите числа, которые делятся на 8, используя тест на делимость 8.
3458, 432000, 7856
Решение:
а) В числе 3458 последние три цифры 458, что не делится на 8. Следовательно, 3458 не делится на 8. последние три цифры 000. Следовательно, 432000 делится на 8.
в) В числе 7856 последние три цифры равны 856, что делится на 8. Следовательно, 7856 делится на 8.
Пример 2: Обратите внимание на следующие утверждения и запишите истину или ложь, используя правило делимости 8.
a) 2000 делится на 8.
b) 1824 не делится на 8.
c) 14238 не делится на 8.
Решение:
a. В 2000 году последние три цифры 000. Следовательно, 2000 делится на 8.
б.) Неверно. В 1824 году последние три цифры 824, что делится на 8. Следовательно, 1824 делится на 8.
в.) Верно. В числе 14238 последние три цифры — 238, что не делится на 8. Следовательно, 14238 не делится на 8.
Пример 3: Проверить, делится ли число 456788 на 8 или нет.
Решение:
Используя правило делимости на 8, в числе 456788 последние три цифры равны 788, что не делится на 8. Следовательно, 456788 не делится на 8.
перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по правилу делимости 8
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о правиле делимости числа 8
Что такое правило делимости числа 8?
Правило делимости числа 8 гласит, что если последние три цифры данного числа являются нулями или если число, состоящее из последних трех цифр, делится на 8, то такое число делится на 8. Например, в 1848, последние три цифры 848, что делится на 8.
Следовательно, данное число 1848 полностью делится на 8.Используя правило делимости 8, проверьте, делится ли 2328 на 8.
Используя правило делимости 8, мы можем видеть, что последние три цифры числа 2328 равны 328, которое делится на 8. Следовательно, 2328 делится на 8.
Что такое правило делимости 8 и 9?
Правило делимости на 8 гласит, что если последние три цифры данного числа равны нулю или образуют число, которое делится на 8, то данное число делится на 8. Правило делимости на 9говорит, что число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Используя признак делимости числа 8, проверьте, делится ли 1000 на 8.
Используя признак делимости числа 8, мы можем видеть, что последние три цифры числа 1000 — 000. Это означает, что 1000 делится на 8.
Как узнать, делится ли большое число на 8?
Чтобы проверить делимость больших чисел, нам нужно проверить последние три цифры данного числа. Если последние три цифры большого числа нули или число, которое делится на 8, то говорят, что данное число делится на 8.
Например, чтобы проверить, делится ли 51 848 на 8, мы проверяем последние три цифры данного числа 848, которое делится на 8. Следовательно, мы можем сказать, что 51 848 делится на 8.Что такое правило делимости 4 и 8?
Согласно правилу делимости на 4, данное число называется кратным 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4. Например, в числе 1136 последние две цифры образуют число 36. которое делится на 4. Следовательно, 1136 делится на 4. Однако правило делимости 8 гласит, что если последние три цифры данного числа равны нулям или образуют число, которое делится на 8, то данное число равно делится на 8. Например, в числе 56416 последние 3 цифры образуют число 416, которое делится на 8. Следовательно, мы можем сказать, что 56416 делится на 8.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Связанные рабочие листы
Искусство решения задач
Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа.
Все эти правила применимы только для базы 10 — в других базах есть свои, разные версии этих правил.Содержание
- 1 Делимость Видео
- 2 Основы
- 2.1 Правило делимости на 2 и степени 2
- 2.2 Правило делимости на 3 и 9
- 2.3 Правило делимости на 5 и степени числа 5
- 2.4 Правило делимости для 7
- 2.5 Правило делимости на 10 и степени 10
- 2.6 Правило делимости для 11
- 2.7 Общие правила для композитов
- 2.7.1 Пример
- 3 Расширенный
- 3.1 Общее правило для простых чисел
- 3.2 Правило делимости на 13
- 3.3 Правило делимости для 17
- 3.4 Правило делимости для 19
- 3.5 Правило делимости для 29
- 3.6 Правило делимости для 49
- 4 Проблемы
- 5 ресурсов
- 5.1 Книги
- 5.2 Классы
- 6 См. также
Видео о делимости
https://youtu.
be/bIipw2XSMgU Основы
Правило делимости 2 и степени 2
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на . Так, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его разряд единиц делится на 2, т. е. если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Доказательство
Правило делимости на 3 и 9
Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно. Обратите внимание, что это означает, что , а не работает для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но само 1899 не делится на 27.
Доказательство
Правило делимости на 5 и степени числа 5
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень числа 5.
Доказательство
Правило делимости для 7
Правило 1: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда она делится на 7.
Доказательство
Правило 2: Обрежьте последнюю цифру , удвойте эту цифру и вычтите ее из остального числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.
Доказательство
Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это говорит вам только о том, делится ли оно, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и добавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы получить ноль. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба допустимы, я использую первое). Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==> 1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. Обычно работает с числами, относительно простыми по основанию (и ОТЛИЧНО работает с двоичными числами). Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!
Правило делимости на 10 и степени 10
Если число представляет собой степень 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которое должно быть в конце числа, чтобы оно делилось на эта сила 10.
Пример: Число должно иметь 6 нулей в конце, чтобы оно делилось на 1 000 000, потому что .
Правило делимости для 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма переменных цифр делится на 11.
Доказательство
Общее правило для составных чисел
Число делится на , где простая факторизация числа , если число делится на каждое из .
Пример
Например, мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.
Разложение числа 36 на простые множители должно быть . Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы узнать, делится ли оно на 36.
- Поскольку две последние цифры числа, 44, делятся на 4, то и все число делится на 4.
- Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.
Таким образом, число делится и на 4, и на 9. и должно делиться на 36.
Расширенный
Общее правило для простых чисел
Для каждого простого числа, отличного от 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 делимости на 7.
Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, умножение ее на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, кратный . Правило делимости 2 для 7 говорит, что для , . Правило делимости для 11 эквивалентно выбору . Правило делимости на 3 эквивалентно выбору . Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется, то вычитание может быть заменено сложением. Мы видим один пример этого в правиле делимости для 13: мы могли бы умножить на 9и вычитать, а не умножать на 4 и добавлять.Правило делимости на 13
Правило 1: Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делилось на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как и со вторым правилом делимости для 7.
Доказательство
Правило 2: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда она делится на 13.
Доказательство
Правило делимости для 17
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 5 и вычтите из оставшегося старшего числа. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Процесс можно повторить для любого числа.
Доказательство
Правило делимости для 19
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 2 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 29
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 3 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 49
Почему 49? Для извлечения надоедливого из корня.
Полезно до 23:00. Округлите до ближайших 50, назовите это, и вычтите исходное число, назовите это. Если , то делится на 49.
Примеры:
49. Округлить: . Разница: . ? Да!
1501. Округлить: . Разница: . ? Нет!
1470. Округлить: . Разница: . ? Да!
Доказательство
Задачи
- Практические задачи на Alcumus
- Делимость (преалгебра)
- 2000 AMC 8 Проблемы/проблема 11
- 2006 AMC 10B Проблемы/проблемы 25
Ресурсы
Книги
- AoPS Введение в теорию чисел Мэтью Кроуфорд.
- Искусство решения проблем Шандора Лехоцки и Ричарда Рущика.
Классы
- AoPS Введение в курс теории чисел
См. также
- Теория чисел
- Модульная арифметика
- Книги по математике
- Математические соревнования
Правила делимости на 7, 11 и 12
В предыдущем уроке мы обсуждали правила делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10.
В этом уроке мы собираемся чтобы поговорить о признаках делимости чисел 7, 11 и 12. Причина, по которой я разделил их, заключается в том, что 9Правила делимости 0036 для 7, 11 и 12 немного более продвинуты. Однако я обещаю вам, что, изучив соответствующие правила и применив их к некоторым практическим задачам, вы поймете, что они не так уж сложны. На самом деле, они действительно забавны!Правило делимости на 7
Правило: Возьмите последнюю цифру и вычеркните ее из исходного числа. Затем удвойте его. Вычтите его из «нового» числа, которое является исходным числом, исключая последнюю цифру. Если разность делится на 7, то исходное число также должно делиться на 7. Если при первом применении результат явно не делится на 7, вы можете повторять процесс по мере необходимости, пока не получите двузначное число, которое может легко определить, делится оно на 7 или нет.
Пример 1: Верно или неверно. Число 6895 делится на 7.
Решение: возьмем последнюю цифру 6,89{\color{red}5}, которая \color{red}5, затем удвоим ее, таким образом, 2({\color{red}5 })=10. Теперь вычтите «новое» число (старое число без последней цифры) на удвоенную последнюю цифру, и мы получим 689-10=679. 679 делится на 7? Мы можем выполнить длинное деление. Но хорошо то, что мы можем выполнять этот процесс снова и снова, пока не достигнем двузначного числа, потому что гораздо проще узнать, делится оно на 7 или нет.
Давайте повторим процесс еще раз и посмотрим, что у нас получится. Помните, что на последнем шаге мы получили 679. Двигаемся дальше, последняя цифра 67{\color{red}9} равна \color{red}9. Если мы удвоим это, мы получим 2 ({\ color {red} 9}) = 18. Оставшееся число, которое образуется, когда мы избавляемся от последней цифры, равно 67. Если мы вычтем 67 из 18, мы получим 67-18=49.
Так как 49 делится на 7, значит, исходное число 6895 также должно делиться на 7. Итак, ответ Верен. ✔︎
Пример 2: Множественный выбор.
Какое число делится на 7?Примечание: правильный ответ только один.
A) 18,046
B) 11,749
C) 20,704
D) 21 011
Я понял, что это может быть в этом, что больше, чем вы понимаете, что больше, чем вы понимаете, что это больше. становится намного легче. Ниже приведены простые шаги, которые, я надеюсь, помогут вам запомнить.
Этапы проверки делимости числа 7
- Отбросьте последнюю цифру числа, а затем удвойте отброшенную цифру.
- Вычтите его из нового числа, образованного удалением последней цифры исходного числа.
- Повторяйте процесс, пока число не уменьшится до двух цифр.
- Если двузначное число делится на 7, то исходное число делится на 7. В противном случае оно не делится.
Решение: В реальном тесте с несколькими вопросами вы можете случайным образом выбрать вариант (букву) для решения, поскольку вполне возможно, что вы сразу же наткнетесь на правильный ответ, что сэкономит вам много времени.
. Но в этом уроке мы пойдем от А к D ради практики.◉ Вариант тестирования A: 18 046
Отбросьте последнюю цифру 18 046, которая станет 1 804, затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что мы имеем 2(6)=12.
Вычесть новое число из последней цифры, удвоенной: 1804 — 12 = 1792. Мы сократили исходное пятизначное число до четырехзначного числа. Помните, мы хотим, чтобы оно было сокращено до двузначного числа. Давайте повторим процесс.
Отбросьте последнюю цифру 1792, которая станет 179, затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что мы имеем 2(2)=4.
Вычесть новое число из последней цифры, удвоенной: 179 — 4 = 175. Теперь мы сократили его до трехзначного числа. Давайте сделаем это еще раз!
Отбросьте последнюю цифру 175, которая станет 17, затем удвойте цифру, которую мы удалили, таким образом, 2(5)=10.
Вычесть из нового числа удвоенную последнюю цифру: 17-10=7.
Так как \color{red}7 делится на 7, то исходное число 18 046 также делится на 7.
Таким образом, вариант А является правильным ответом. ✔︎Окончательный ответ: опция A .
Я оставлю это вам в качестве упражнения, чтобы понять, почему варианты B , C и D НЕ делятся на 7. Тем не менее, ниже я все же предоставлю вам сокращенное решение. Я настоятельно рекомендую вам выполнить это упражнение не только для большей практики, но и потому, что оно приносит такое же удовлетворение, когда вы показываете, что число не делится на 7.
Попробуйте!
◉ Вариант тестирования B: 11 749
Ответ- Исходный номер: 11,749
- 1,174-2(9)=1,174-18=1,156
- 115-2(6)=115-12=103
- 10-2(3)=10-6=4
Поскольку \color{red}4 не делится на 7, то 11 749 также не делится на 7. =2,070-8=2,062
- 206-2(2)=206-4=202
- 20-2(2)=20-4=16
Так как \color{red}16 не делится на 7, то 20 704 тоже не делится на 7.
✘◉ Вариант тестирования D: 21,011
Ответ- Первоначальный номер: 21,011
- 2 101-2 (1) = 2,101-2 = 2,099
- 209-2 (9) = 209-18 = 191
- 19-2 (1)=19-2=17
Поскольку \color{red}17 не делится на 7, исходное число 21 011 также не делится на 7. ✘
Пример 3: Выберите все подходящие варианты. Какие числа делятся на 7?
Примечание. Может быть несколько ответов.
A) 5 544
B) 3,110
C) 54,810
D) 34,125
РЕШЕНИЕ число делится на 7 или нет. С учетом сказанного я буду использовать сокращенное решение.
◉ Вариант проверки A: 5,544
Мы проверяем, делится ли 5,544 на 7. Поскольку 42 можно разделить на 7, исходное число 5 544 также делится на 7. ✔︎
◉ Вариант тестирования B: 3,110
Мы проверяем, делится ли 3,110 на 7.
Поскольку 29 не делится на 7, исходное число 3110 также не делится на 7.
✘◉ Вариант проверки C: 54 810
Проверим, делится ли 54 810 на 7.
54-2(6)=54-12=42
Алгоритм преобразовал исходное число в двузначное число 42, которое делится на 7. Это означает, что исходное число 54 810 также должно делиться на 7. ✔︎
◉ Вариант проверки D: 34,125
Определим, делится ли 34,125 на 7. 33-2(6)=33-12=21
Мы преобразовали исходное пятизначное число в двузначное число 21, которое делится на 7. Отсюда следует, что исходное число 34 125 также должно делиться на 7. . ✔︎
Таким образом, опции A , C и D делятся на 7.
Правило делимости для 11
Правило: Слева направо от числа возьмите первую цифру и присоедините к ней символ сложения слева. Затем вычтите его на следующую цифру, затем добавьте к результату третью цифру, и снова вычтите результат на четвертую цифру, и так далее и тому подобное. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.
Сокращенное правило: Поочередно складывать и вычитать цифры числа слева направо. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.
Стандартное правило: Возьмите переменную сумму цифр числа. Если результат кратен 11, число делится на 11.
ПРИМЕЧАНИЕ: Все приведенные выше правила означают одно и то же. Первые два правила носят более поучительный характер, в то время как последнее — это правило, с которым вы можете столкнуться в своем учебнике или которое вам преподает ваш учитель.
Пример 1: Верно или неверно. Число 9581 делится на 11.
Правило на самом деле довольно простое. Мы будем складывать и вычитать, а затем повторять шаблон, пока все цифры числа не будут обозначены символами плюс и минус слева направо. После настройки упрощаем. Если результат кратен 11, то исходное число также делится на 11.
Вот настройка:
+9-5+8-1
Шаг 1: +9-5=4
4+8-1
Шаг 2: 4+8=12
12 -1
Шаг 3: 12-1=11
11
Поскольку окончательный результат равен 11 и кратен 11, то исходное число, равное 9581, делится на 11.
Таким образом, наш окончательный ответ — Верно. ✔︎Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 11?
Примечание: правильный ответ только один.
A) 98,517
B) 79,829
C) 82,709
D) 50,453
We will check the divisibility of each number from option A to option D .
◉ Проверка варианта А: 98,517
Давайте настроим его, взяв чередующуюся сумму цифр числа.
9-8+5-1+7
Тогда упрощаем.
(9-8)+5-1+7
1+5-1+7
(1+5)-1+7
6-1+7
(6-1)+7
5+7
12
Окончательный результат равен 12, что не кратно 11. Поэтому , исходное число 98 517 не делится на 11. ✘
◉ Проверка варианта B: 79 829
Установите его, записав чередующуюся сумму цифр.
7+9-8+2-9
Упрощение.
(7+9)-8+2-9
16-8+2-9
(16-8)+2-9
8+2-9
(8+2)-9
10-9
1
Так как окончательный ответ \large{(1)} не делится на 11, то исходное число 79829 также не делится на 11. ✘
Сначала мы строим знакопеременную сумму цифр числа.
8-2+7-0+9
Затем упрощайте слева направо. Не нужно беспокоиться о порядке операций, так как мы имеем дело только со сложением и вычитанием.
(8-2)+7-0+9
6+7-0+9
(6+7)-0+9
13-0+9
(13-0)+9
13+9
22
Так как окончательный результат 22, кратное 11, означает, что исходное число 82 709 делится на 11. Таким образом, окончательный ответ будет C . ✔︎
☞ Нет необходимости проверять вариант D, потому что мы уже нашли правильный ответ.
Окончательный ответ: опция C .
Пример 3: Какие числа делятся на 11? Выбрать все, что подходит.
Примечание.
Может быть несколько ответов.A) 69,245
B) 73,186
C) 843,210
D) 918,071
. 9+2-4+5
{\color{red}6-9}+2-4+5
-3+2-4+5
{\color{red}-3+2}-4 +5
-1-4+5
{\color{red} -1-4}+5
-5+5
0
Так как 0 кратно 11, то 69 245 делится на 11. } 7-3} + 1-8 + 6
4 + 1-8 + 6
{\ цвет {красный} 4 + 1} -8 + 6
5-8 + 6
{\ цвет {красный }5-8}+6
-3+6
3
Поскольку 3 не кратно 11, то 73 186 не делится на 11. ✘
11
8-4+3-2+1-0
{\color{red}8-4}+3-2+1-0
4+3-2+1-0
{\color{ красный} 4 + 3} -2 + 1-0
7-2 + 1-0
{\ цвет {красный} 7-2} + 1-0
5 + 1-0
{\ цвет { red}5+1}-0
6-0
6
Поскольку 6 не кратно 11, следовательно, 843 210 не делится на 11. ✘
11
9-1+8-0+7-1
{\цвет{красный}9-1}+8-0+7-1
8+8-0+7-1
{\ цвет {красный} 8 + 8} -0 + 7-1
16-0 + 7-1
{\ цвет {красный} 16-0} + 7-1
16 + 7-1
{\color{red}16+7}-1
23-1
22
Поскольку 22 кратно 11, это означает, что 918 071 делится на 11.
и D делятся на 11.Правило делимости на 12
Правило: Число делится на 12, если оно делится и на 3, и на 4.
- Число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3.
- Число делится на 4 , если две последние цифры числа делятся на 4.
Пример 1: Верно или неверно. Число 7 512 делится на 12.
Решение:
Первым делом нужно проверить, делится ли оно на 3. Сначала мы сложим все цифры числа 7 512.
7 512
7+5+1+2=15
Поскольку 15 делится на 3, значит, 7512 также делится на 3.
Последний шаг — проверить, делится ли число, состоящее из двух последних цифр исходного числа, на 4, тогда оно делится на 4.
7,5{\color{red}12}
Поскольку 12 делится на 4, то 7512 делится на 4.
Следовательно, поскольку исходное число 7512 делится и на 3, и на 4, оно делится на 12. ✔︎
Пример 2: Множественный выбор.
Какое число делится на 12?Примечание: правильный ответ только один.
A) 527,037
B) 981,128
C) 746,936
D) 49,9920
. , число делится на 12, если оно делится на 3 и 4. Поскольку гораздо быстрее проверить делимость на 4 , чем на 3 , потому что для первого вам просто нужно посмотреть на последние две цифры числа и проверить, кратно ли оно 4, а второе займет немного больше времени, потому что вам придется сложить все цифры числа и проверить, делится ли сумма на 3. Поэтому мы сначала проверим делимость 4, а затем делимость 3. Обратный путь немного немного больше времени.
◉ Вариант проверки A: 527 037 на делимость 12
Последние две цифры числа 527 037 — это \color{red}37, не кратное 4. Следовательно, оно не делится на 4. Нет необходимости проверять на делимость на 3, так как не выполняется одно из двух требований. Таким образом, 527 037 не делится на 12.
✘◉ Вариант проверки B: 981 128 на делимость 12
Последние две цифры числа 981 128 — это \color{red}28, кратное 4, что делает его делящимся на 4 , Теперь давайте проверим, делится ли оно на 3, сложив все его цифры, таким образом, 9+8+1+1+2+8=29. Так как сумма 29 не делится на 3, то и само число не делится на 3. Поскольку 981 128 нельзя разделить на ни на , ни на 3, ни на 4, это означает, что два условия не выполнены, следовательно, исходное число не делится на 12. ✘
◉ Вариант проверки C: 746 936 на делимость 12
Число \color{red}36 — это две последние цифры числа 746 936. И это число кратно 4, что делает исходное число делящимся на 4. Теперь о делимости на 3. Сложите все цифры 746,9.36, получаем 7+4+6+9+3+6=35. Сумма цифр не делится на 3. Отсюда следует, что число не делится и на 3. Поскольку одно из двух требуемых условий не выполняется (оба неверны), то 746 936 не делится на 12. ✘
◉ Вариант проверки D: 49,9920 на делимость 12
Число 20 — это две последние цифры числа 49,9920, которое явно кратно 4, поэтому 49,9920 делится на 4.
Складываем все цифры числа: 4+9+9+9+2+0=33. Сумма 33 делится на 3 и получается 49,9920 делится на 3. Поскольку исходное число делится и на 3, и на 4, оно также должно делиться на 12. ✔︎Окончательный ответ: вариант D .
Пример 3: Какие числа делятся на 12? Выбрать все, что подходит.
Примечание. Может быть несколько ответов.
A) 344 888
Число красного цвета 88 — это две последние цифры числа 344 888, которое явно кратно 4 и, следовательно, делится на 4.
Сумма цифр числа 344 888 рассчитывается как 3+4+4+8+8+8=35. Но 35, очевидно, не делится на 3.
Поскольку число 344 888 делится только на 4, но не на 3, невыполнение одного из двух требований означает, что исходное число не делится на 12. ✘
B) 521 340
Последние две цифры числа 521 340 образуют число \color{red}40, которое кратно 4, поэтому делится на 4.
Складывая его цифры, получаем 5+2+1+3+4 +0=15.
Сумма 15 делится на 3.Поскольку 521 340 делится и на 3, и на 4, то оно должно делиться и на 12. делится на 4.
Сумма цифр 8+4+2+6+5+2=27. Число 27 делится на 3.
Поскольку 842 652 делятся и на 3, и на 4, то оно также должно делиться на 12. делятся на 4,
Сумма цифр 6+7+6+9+6+8=42 делится на 3.
Поскольку исходное число можно разделить и на 3, и на 4, оно также должно делиться на 12.
Вас также могут заинтересовать:
Правила делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10
Как узнать, делится ли число на 7, 8 или 9
Два несколько недель назад мы рассмотрели, как быстро проверить, делится ли число на 2 или 3, а на прошлой неделе мы узнали несколько хитрых приемов, которые вы можете использовать, чтобы проверить, делится ли число на 4, 5 или 6. , Итак, каков наш логичный следующий шаг? Что ж, сегодня мы собираемся закончить эту серию, научившись проверять, делится ли число на 7, 8 или 9..
Как определить, делится ли число на 7
Быстрый и грязный совет Проверка числа на делимость на 7 состоит из трех шагов:
- Возьмите последнюю цифру проверяемого числа и удвоить это.
- Вычтите это число из остальных цифр исходного числа.
- Если это новое число либо 0, либо число, которое делится на 7, то вы знаете, что исходное число также делится на 7. Если вы еще не можете легко сказать, делится ли новое число на 7, вернитесь назад на первый шаг с этим новым меньшим числом и повторите попытку.
Например, делится ли число 203 на 7? Что ж, давайте воспользуемся нашим трехэтапным процессом, чтобы узнать:
- Последняя цифра числа 203 — 3, так что удвойте это 3 x 2 = 6.
- Вычитание этого нового числа 6 из 20 (оставшиеся цифры исходного числа 203) дает 14.
- Поскольку 14 делится на 7, мы сразу можем сказать, что исходное число 203 также должно делиться на 7.
Попробуем увеличить число. 2023 делится на 7?
- Последняя цифра числа 2023 — 3, так что двойное число равно 6.
- Вычитание 6 из 202 (оставшиеся цифры из 2023) дает нам 202 – 6 = 196.
- Делится ли 196 на 7? Я не уверен. Итак, давайте повторим процесс, используя новое число 196. Последняя цифра числа 196 — 6, поэтому вдвое больше 12. Вычитая это из 19 (оставшиеся цифры 196), мы получаем 19 — 12 = 7. Так как 7, безусловно, делится на 7 мы сразу знаем, что исходное число 2023 тоже делится на 7!
Почему тест на делимость на 7 работает?
Хорошо, это достаточно легко сделать, но это определенно немного странно… как это вообще может работать? Что ж, это фантастический вопрос, но, к сожалению, логика этого трюка слишком сложна, чтобы я мог объяснить ее здесь. Поэтому, хотя обычно я этого не делаю, в данном случае я оставлю объяснение трюка с делимостью на 7 на потом. А пока, если вам интересно узнать больше, вы можете ознакомиться с объяснением в разделе «Дополнение» внизу этой страницы.
Как узнать, делится ли число на 8
Теперь, когда мы знаем, как проверить делимость на все числа от 2 до 7, пришло время проверить делимость на 8.
быстро и Грязный совет для проверки того, делится ли число на 8, состоит в том, чтобы проверить, делятся ли последние три цифры числа на 8.
Если это так, то все число тоже делится на 8. Например, делится ли число 1 523 424 на 8? Что ж, быстрый и грязный совет говорит, что мы можем игнорировать все числа здесь, кроме последних трех: 424. Все, что нам нужно сделать, это выяснить, делится ли это число на 8. Как вы можете проверить (полным делением или используя калькулятор), 424 / 8 = 53… значит, 424 делится на 8. Это означает, что исходное число 1 523 424 тоже делится на 8!Почему тест на делимость на 8 работает?
Но почему это работает? Как мы можем просто игнорировать все эти другие цифры? Что ж, поскольку все степени числа 10, большие 100, то есть 1000, 10000, 100000 и т. д., делятся на 8 без остатка (например, 1000 / 8 = 125), остается проверить только делится ли часть числа меньше 1000 на 8. И это именно то, что говорит нам быстрый и грязный наконечник.
Вы можете подумать, что проверка того, делятся ли последние три цифры числа на 8, требует много работы… и что это не то, что вы всегда можете сделать в уме.
Вам также может быть интересно, есть ли более простой метод. Но, к сожалению, ответ «не совсем»… хотя есть хитрость, которая может ускорить процесс и позволить вам проделать всю работу в уме. Если вам интересно, обязательно ознакомьтесь с разделом «Бонус веб-статьи» в конце этой статьи, чтобы прочитать все об этом.Как определить, делится ли число на 9
Последняя тема на сегодня — как проверить, делится ли число на 9. Как оказалось, этот тест очень похож на тест на делимость на 3, который мы говорили несколько статей назад.
Быстрый и грязный совет для проверки, делится ли число на 9, состоит в том, чтобы сложить цифры в числе и проверить, делится ли полученная сумма на 9. Если это так, то исходное число делится на 9 слишком. Например, 1278 делится на 9.? Итак, сначала сложим цифры числа 1278: 1+2+7+8=18. Так как 18 делится на 9, то и все число тоже!
Почему тест на делимость на 9 работает?
Но почему тест на делимость на 9 работает? Опять же, логика очень похожа на тест делимости на 3, о котором мы говорили ранее.
И вместо того, чтобы сразу же приходить и объяснять это, я позволю вам попытаться выработать аргументацию. Итак, вернитесь назад и посмотрите, как работает объяснение делимости на 3, и посмотрите, сможете ли вы использовать его для объяснения делимости на 9.тест. Если вы застряли или просто хотите проверить свою логику, я опубликую объяснение на странице Math Dude в Facebook… обязательно ознакомьтесь с ним.Практические задачи
Итак, это все, на что у нас есть время на математику. Но прежде чем мы закончим, вот несколько практических задач для проверки ваших навыков тестирования делимости:
- Делится ли 952 на 7? ____ (Да/Нет) К 8? ____ (Да/Нет) К 9? ____ (Да/Нет)
- Делится ли число 504 на 7? ____ (Да/Нет) К 8? ____ (Да/Нет) К 9? ____ (Да/Нет)
- Делится ли 792 на 7? ____ (Да/Нет) К 8? ____ (Да/Нет) К 9? ____ (Да/Нет)
Ответы вы найдете в самом конце статьи. Проверив их, не стесняйтесь оставлять комментарии внизу страницы и дайте мне знать, как вы это сделали.
Подведение итогов
Если у вас есть вопросы о том, как решить эти практические задачи или любые другие математические вопросы, пожалуйста, напишите их мне по адресу [email protected], отправьте их через Twitter или станьте поклонником Math Dude на Facebook. и получить помощь от меня и других любителей математики там.
До свидания, это Джейсон Маршалл с Быстрые и грязные советы чувака-математика по упрощению математики . Спасибо, что читаете любителей математики!
Бонус к веб-статье: как проверить трехзначное число на делимость на 8
Как мы видели ранее, тест на делимость на 8 требует от вас либо деления в большую сторону, либо использования калькулятора, чтобы проверить, являются ли последние три цифры из числа, которое вы тестируете, сами делятся на 8. Поскольку это своего рода боль и поскольку это побеждает цель «вычислить ответ в своей голове» этой серии, вот бонус быстрый и грязный совет , который вы можете использовать, чтобы проверить, делится ли трехзначное число на 8:
- Если первая цифра трехзначного числа четная, то все число делится на 8, если последняя две цифры делятся на 8.
- Если первая цифра числа нечетная, то из двух последних цифр вычтите число 4 и проверьте, делится ли это новое число на 8. Если да, то и все число тоже.
Например, мы можем сразу сказать, что число 658 не делится на 8. Как? Что ж, поскольку первая цифра 6 четная, все, что нам нужно сделать, это проверить, делятся ли две последние цифры 58 на 8. Поскольку это не так, мы знаем, что все число не делится на 8. С другой стороны, первая цифра числа 344 нечетная. Это означает, что мы можем проверить, делится ли 344 на 8, вычитая 4 из его последних двух цифр, 44 — 4 = 40, а затем проверяя, делится ли это новое число на 8. Поскольку 40 делится на 8, мы сразу знаем, что 344 тоже делится на 8.
Практика решения задач
- Делится ли 952 на 7? Да . К 8? Да . К 9? № .
- Делится ли число 504 на 7? Да . К 8? Да . К 9? Да .
- Делится ли 792 на 7? № . К 8? Да . К 9? Да .
Изображение разделения предоставлено Shutterstock
UNIT 2. ДЕЛИМОСТЬ. ЦЕЛЫЕ. ПОЛНОМОЧИЯ.
ДЕЛИМОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
делителей целого числа — это числа, которые делятся на него точно.
Между прочим, множители также называются делителямиДля примера делители 18 равны 1, 2, 3, 6, 9 и 18.
Число называется простым, если оно имеет ровно два множителя (т.е. 1 и саму себя).
Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … . Обратите внимание, что 1 не является простым числом.ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ДО 100
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,
31,37,41,43, 47,53,59,61,
67,71 ,73,79,83,89,97
кратных числа — это все числа, в которые оно точно входит.
Для , например , число кратно 6: 6, 12, 18, 24, 30, … .
Составное число — это любое число, имеющее более двух делителей . Вот список составных чисел до 20. Как видите, все они могут быть разложены на множители. Например, 4 равняется 2, умноженным на 2, 6 равняется 3, умноженным на 2, 8 равняется 4, умноженным на 2, и так далее.
Между прочим, ноль и единица не считаются ни простыми, ни составными числами — они относятся к отдельному классу!
СЛОЖНЫЕ ЧИСЛА ДО 20
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20
Любое составное число можно записать как произведение простых множителей. Это называется простой факторизацией.ДЕРЕВО ФАКТОРОВ
Деревья множителей используются для разложения числа на его простые множители.
Пример: Нарисуйте дерево множителей для числа 60.Начнем с поиска двух целых чисел, которые при умножении дают 60, например 6 × 10: Продолжаем разбивать каждое число таким образом, пока не получим простое число.
Как только достигается простое число, мы обводим его кружком, и тогда эта часть диаграммы завершается. Завершенное дерево факторов выглядит следующим образом:
Числа, обведенные кружком, умножаются на 60, т. е. 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Это произведение называется простым разложением числа 60.Признаки делимости
Признаки делимости Пример Число делится на 2, если последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8. 168 делится на 2, так как последняя цифра 8. Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3. 168 делится на 3, так как сумма цифр равна 15 (1+6+8=15), а 15 делится на 3. Число делится на 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4. 316 делится на 4, так как 16 делится на 4. Число делится на 5, если последняя цифра 0 или 5. 195 делится на 5, так как последняя цифра 5. Число делится на 6, если оно делится на 2 И делится на 3. 168 делится на 6, так как делится на 2 И делится на 3. Число делится на 8, если число, состоящее из трех последних цифр, делится на 8. 7120 делится на 8, так как 120 делится на 8. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9. 549 делится на 9, так как сумма цифр равна 18 (5+4+9=18), а 18 делится на 9. Число делится на 10, если последняя цифра 0. 1,470 делится на 10, так как последняя цифра 0.
Признак делимости на 11: Признак делимости на 11 является самым интересным из приведенных выше тестов (7 будет изучено ниже). Мы делаем две суммы (цифры с нечетными номерами и цифры с четными номерами), вычитаем одну сумму из другой и смотрим, делится ли она на 11. Кстати, если мы получим ноль, то она делится на 11. Мы можем повторить этот процесс, как мы это сделали с 3.давайте посмотрим на пример:
34871903
3+8+1+0 = 12
4+7+9+3 = 23
, суммируйте в разных порядках. На самом деле мы можем просто идти слева направо, добавляя и вычитая чередующиеся цифры: 3-4+8-7+1-9+0-3=-11 (делится на 11).
LCM (наименьший общий кратный) и GCF (наибольший общий множитель)Чтобы найти либо наименьшее общее кратное (НОК) , либо наибольший общий делитель (НОК) двух чисел, вы всегда начинаете одинаково: вы находите простых факторизаций двух чисел. Затем вы помещаете факторы в красивую аккуратную сетку строк и столбцов, сравниваете и сопоставляете и выбираете то, что вам нужно.
Найдите GCF и LCM 84 и 140:
Дерево множителей для числа 84 равно .Дерево множителей для числа 140 равно 9. 0345
Мои простые факторизации таковы:- Итак: 84 = 2 × 2 × 3 × 7
- Кроме того, 140 = 2 × 2 × 5 × 7
Этот множитель имеет свой собственный список, причем каждый фактор имеет свой собственный список, столбец, сделает за меня большую часть работы
Наибольший общий делитель, GCF(Mcd), является наибольшим числом, которое делится (является делителем) как на 84, так и на 140. Другими словами, это число, которое содержит все факторы, общие для обоих чисел. В этом случае GCF является произведением всех факторов, которые являются общими для чисел 84 и 140.
Этот упорядоченный список, в котором каждый фактор имеет свой собственный столбец, сделает за меня большую часть работы.
84 2 2 3 7 140 2 2 5 7 GFC 2 2 7
Тогда GCF равен 2 × 2 × 7 = 28,С другой стороны, наименьшее общее кратное, НОК, это наименьшее число, которое содержит как множители 84, так и 140, наименьшее число, кратное обоим этим значениям.
Тогда это будет наименьшее число, которое содержит по одному из каждого множителя в этих двух числах.84 2 2 3 7 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444н.0345 7 LCM 2 2 3 5 7 7 7 7 7 7 7 7 factor» для аккуратного перечисления простых факторов в таблице, вы всегда можете легко найти LCM и GCF. Полностью факторизируйте числа, которые вам даны, аккуратно перечислите факторы, используя только один фактор для каждого столбца (у вас могут быть столбцы 2s, столбцы 3s и т. д., но 3 никогда не войдет в столбец 2s), а затем перенесите необходимые факторы вниз в нижний ряд.Для GCF вы переносите только те факторы, которые являются общими для всех списков; для LCM вы переносите все факторы, независимо от того, сколько или мало значений содержат этот фактор в их списках.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ- Числовая линия бесконечно продолжается в обоих направлениях. На это указывают стрелки.
- Целые числа больше нуля называются положительными целыми числами. Эти числа находятся справа от нуля на числовой прямой.
- Целые числа меньше нуля называются отрицательными целыми числами. эти числа находятся слева от нуля на числовой прямой.
- Целое число ноль нейтрально. Это ни положительно, ни отрицательно.
- Знак целого числа может быть положительным (+) или отрицательным (-), за исключением нуля, который не имеет знака.
- Два целых числа противоположны, если они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но на противоположных сторонах числовой прямой. У одного будет положительный знак, у другого отрицательный. В числовой строке выше +3 и -3 помечены как противоположные.
АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА
Количество единиц числа от нуля на числовой прямой. Абсолютное значение числа всегда является положительным числом (или нулем). Мы указываем абсолютное значение числа n, записывая n между двумя вертикальными чертами: | н |
Примеры:| 6 | = 6; | -12 | = 12; | 0 | = 0; | 1234 | = 1234; | -1234 | = 1234
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: ОПЕРАЦИИ С ЧИСЛАМИ СО ЗНАКОМПеред выполнением ЛЮБЫХ вычислений определите ОПЕРАЦИЮ!
=Тогда следуйте инструкциям для ЭТОЙ операции.ДОПОЛНЕНИЕ
Числа имеют ОДИНАКОВЫЙ ЗНАК?
YES
NO Same sings: Find the SUM
Different signs: Find the DIFFERENCE
(-3 ) + (-6) = (-9)
(+4) + (+5) = (+9)(+5) + 8-7) = (-2)
(-4) + (+6) = (+2)
В любом случае Сохраняйте знак «БОЛЬШОЕ число». «БОЛЬШЕ» используется здесь как быстрый (но математически неточный) способ описать целое число с большей абсолютной величиной (т. е. расстоянием от нуля). В каждом из приведенных выше примеров ВТОРОЕ целое число имеет большее абсолютное значение.
ВЫЧИТАНИЕВо-первых, измените задачу ВЫЧИТАНИЯ в задачу Сложения:
Во-первых, скопируйте задачу точно (-6) — (+2) =
1. Первое число остается прежним (-6)
2. Изменить операцию (-6) +
3. Переключить СЛЕДУЮЩИЙ ЗНАК (-6) + (-2)
4. Соблюдать правила сложения (- 6 ) + ( -2 ) = ( -8 )Вычесть означает: ( +2 ) — ( -6 )
Сложить противоположное: ( +2 ) + ( +6 ) = ( +8 )Вычесть означает: ( -7 ) — ( -3 )
Прибавьте противоположное: ( -7 ) + ( +3 ) = ( -4 )Вычтите означает: ( +4 ) — ( +9 )
Прибавьте противоположное: ( +4 ) + (-9) = (-5)УМНОЖЕНИЕ ИЛИ ДЕЛЕНИЕ
Сначала ВЫПОЛНИТЕ умножение или деление.
Затем определите знак: подсчитайте количество отрицательных знаков. .. ЧЕТНОЕ ли количество отрицательных знаков? - ДА (ЧЕТНОЕ количество отрицательных знаков) ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ
- НЕТ (НЕЧЕТНОЕ количество отрицательных знаков) ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ
Пример:
Сначала точно скопируйте задачу: ( -2 ) · (-4) · (-6) =
Выполните умножение или деление. 2 · 4 · 6 = 48
Подсчитайте количество отрицательных знаков… Определите знаки ответа:
ЧЕТНОЕ ли число отрицательных чисел?
Если ДА, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ, в противном случае ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ.
Всего ТРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ, три НЕ ЕВА (это странно)
Таким образом, ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ( -2 ) · ( -4 ) · ( -6 ) = ( -48 )Примеры
(4) : ( 2) · (6) = 12
Всего НОЛЬ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
Таким образом, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ(4) : (-2) · (6) = -12
Всего ОДИН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ
Один НЕЧЕТНЫЙ (это нечетно)
Значит, ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ(-4) : (2) · (-6) = 12
Всего ДВА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
Два равно ЧЕТНОМУ
Итак, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ 603 9000 ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙЗадача: вычислить это арифметическое выражение: 18 + 36 : 3 2
В прошлом году мы научились вычислять арифметическое выражение с более чем одной операцией по следующим правилам:
Правило 1: Упрощайте все операции внутри скобок
Правило 2: Выполняйте все умножения и деления, работая слева направо
Правило 3: Выполняйте все операции сложения и вычитания, работая слева направоОднако в приведенной выше задаче есть показатель степени, поэтому мы не можем решить ее, не пересмотрев наши правила.
.Правило 1: Упростите все операции внутри скобок
Правило 2: Упростите все показатели степени, работая слева направо.
Правило 3: Выполняйте все операции умножения и деления слева направо
Правило 4: Выполняйте все операции сложения и вычитания слева направоМы можем решить указанную выше проблему, используя наш пересмотренный порядок операций.
Оценить это арифметическое экспресс:
Power КОРНЕПЛОДЫ. КВАДРАТЫ, КУБЫ И ИХ КОРНИ
18 + 36: 3 2
Упростить все показатели (Правило 2) 18 + 36:
Дивизион (Правило 3) 18 + 4
Дополнение (Правило 4) 22Возведение в квадрат числа 3 2 означает «3 в квадрате», или 3 · 3. Маленькая двойка — это порядковый номер или степень. Она говорит нам, сколько раз мы должны умножить 3 (основание ) сам по себе Аналогично 7 2 означает «7 в квадрате», или 7 · 7. А 10 2 означает «10 в квадрате», или 10 · 10.
Итак, 1 2 = 1 · 1 = 1; 2 2 = 2 · 2 = 4 ; 3 2 = 3 · 3 = 9; 4 2 = 4 · 4 = 16; 5 2 = 5 · 5 = 25.
1, 4, 9, 16, 25… известны как квадратных чисел .Когда порядковый номер больше трех, мы говорим «в степени».
Например: 3 7 — это «три в степени семь»,
4 5 — это «четыре в степени пять».Свойства степени
1. Произведение одинаковых оснований : Чтобы умножить степени на одно и то же основание, сложите показатели степени и оставьте общее основание.
2 2 · 2 3 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 5
x M · X N = X M+N 957958958958958958958958888888888888888888888888888888888895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895888888888. Соотношение одинаковых оснований: Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, вычтите показатели степени и оставьте общее основание.Напишите два примера с числами и переменными.
3. Степень в степени: Чтобы возвести степень в степень, сохраните основание и умножьте показатели степени.
Напишите два примера с числами и переменными.
4. Произведение в степени: Чтобы возвести произведение в степень, возведите в степень каждый множитель.
Напишите два примера с числами и переменными.
5. Возведение в степень: Чтобы возвести частное в степень, возведите числитель и знаменатель в степень.
Напишите два примера с числами и переменными.
Показатель степени один и ноль
Обратите внимание, что 3 1 является произведением только одной 3, что, очевидно, равно 3.
Также обратите внимание, что 3 5 = 3·3 4 . Также 3 4 = 3·3 3 .
Продолжая эту тенденцию, мы должны иметь 3 1 = 3 · 3 0 .Другими словами, когда n, m и n − m положительны (и если x не равно нулю), можно, подсчитав количество вхождений x, увидеть, что
В расширенном случае, когда n и m равны, уравнение будет выглядеть как
, поскольку и числитель, и знаменатель равны. Поэтому мы принимаем это как определение x 0 . Это приводит к следующему правилу:
Любое число в степени 1 само по себе.
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1; одна интерпретация этих полномочий
как пустые продукты. Случай 0 0 обсуждается как
Отрицательные показателиОтрицательный показатель степени означает деление на это количество множителей вместо умножения. Таким образом, 4 -3 равно 1/4 3 , а x -3 = 1/ x 3
Как вы знаете, на ноль делить нельзя, поэтому
x ≠ 0, когда x=0, x -n не определено.НАУЧНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ
Для очень больших или очень малых чисел иногда проще использовать «научное обозначение» (так называемое, потому что ученые часто имеют дело с очень большими и очень маленькими числами).
Формат записи числа в экспоненциальном представлении довольно прост:
Первая цифра числа, за которой следует десятичная точка, а затем все остальные цифры числа, умноженные на 10 в соответствующей степени. Преобразование довольно простое. Пример: Запишите 12400 в экспоненциальном представлении.
Это не очень большое число, но для примера оно подойдет. Чтобы перевести число
в экспоненциальное представление, я сначала напишу «1,24». Это не то же самое 9Число 1589, но (1,24)(10000) = 12400, а 10000 = 10 4 . Тогда в научной нотации
12400 записывается как 1,24 · 10 4 .
КВАДРАТНЫЕ КОРНИПротивоположное квадратному числу — квадратный корень.
Мы используем символ √ для обозначения квадратного корня.
Таким образом, мы можем сказать, что4 = 2 (4 называется подкоренным числом) и 25 = 5. (–5) · (–5) тоже 25,
Итак, на самом деле 4 = 2 или -2. А 25 = 5 или – 5.
Помните, что каждое положительное число имеет два квадратных корня.
КУБИРОВАНИЕ ЧИСЛА1 3 = 1 · 1 · 1 = 1; 2 · 2 · 2 означает «2 в кубе» и записывается как 2 3 .
3 3 = 3 · 3 · 3 = 27; 4 3 = 4 · 4 · 4 = 64; 5 3 = 5 · 5 · 5 = 1251, 8, 27, 64, 125… известны как кубические числа.
Корень онлайн рассчитать: Калькулятор корней онлайн | umath.ru
//Квадратный корень: онлайн калькулятор, график, формулы
Квадратный корень числа А — это такое положительное число В, которое при возведении в квадрат в результате дает число А. Поиск квадратного корня — стандартная арифметическая операция, с которой дети знакомятся в седьмом классе средней школы.
История термина
Математический термин «корень числа» имеет сложную историю. Математики Древней Греции мыслили числа зримо, поэтому определяли корни геометрически как сторону квадрата при известной площади. С развитием математической науки на востоке индийские ученые обозначали корень словом «мула». Труды индийских математиков попали в арабский мир, где обозначение квадратного корня перевели как «джазир», что в прямом смысле означает корень растения. После того, как арабские манускрипты попали в Европу, христианские ученые напрямую перевели «джазир» как корень, что на латыни обозначается словом radix.
Таким образом, корни получили название радикалов. Средневековые математики, например Кардано, обозначали радикалы латинской буквой Rx: после символа подкоренное выражение записывалось под горизонтальной чертой. Позднее Rx было вытеснено латинским V, которую проще набирать в типографии или записывать вручную. В онлайн-журналах и грамматике языков программирования для обозначения квадратных радикалов используют символ sqrt, что является сокращением от выражения SQuare RooT.
Квадратные радикалы
Квадратный корень числа A — такое число B, которое при возведении во вторую степень дает в результате число А. Например, 22 = 4, а 32 = 9. Следовательно, квадратным корнем 4 является двойка, а 9 — тройка. Радикалы числа могут быть какими угодно: квадратными, кубическими, пятой или десятой степени. Технически вычисление квадратного корня — это возведение в степень 1/2. Так как существуют выражения вида xpi или xe, то мы можем извлечь pi-тыe или e-тые корни числа, возведя икс в степень 1/pi или 1/e. И, хотя с математической точки зрения это бессмысленная затея, но с заданной степенью точности мы можем вычислить и такие радикалы.
Квадратный корень — это всегда пара из положительного и отрицательного числа. Квадратным корнем четверки является как 2, так и минус 2. В решении практических задач это может быть важно: к примеру, для решения квадратных уравнений по формуле дискриминанта важно учитывать два корня уравнения. Если требуется найти только положительное значение радикала, то такое число называется арифметическим корнем.
В школе нас учат, что извлекать четные радикалы из отрицательных чисел нельзя. Если мы хотим в результате получить целые или иррациональные числа, то это правда. Невозможно получить адекватное число, если взять квадратный корень из минус 1. Именно так мыслили математики до 19 века, когда были сформулированы комплексные числа — числовой класс, которые полностью изменил понимание сути радикалов.
Наша программа позволяет вычислять квадратные радикалы из положительных чисел. Калькулятор представляет собой универсальный инструмент, при помощи которого легко вычислить подкоренное выражение, показатель степени или число. Для этого достаточно ввести 2 любых значения из перечисленных, и программа автоматически подсчитает неизвестное. Калькулятор выполнен таким образом, что вы можете вычислить радикалы любого порядка: второго, третьего, пятого или pi-того.
Рассмотрим пример
Диагональ квадрата
Определение диагонали квадрата — классическая задача, с которой бились еще древние греки. Иррациональность корня из 2 ставила античных математиков в тупик, поэтому проблема длины диагонали квадрата виделась древними греками неприступным исполином. Сегодня мы без проблем можем вычислить приблизительное значение диагонали с точностью, которая нам требуется. Пусть у нас есть квадрат, площадь которого равна S = 30 см. Итак, формула для определения диагонали выглядит как:
D = sqrt(2) × a,
где a — сторона квадрата.
Нам дана площадь фигуры, следовательно, нам потребуется вычислить два квадратных корня: sqrt(2) и sqrt(S), так как сторона квадрата — это не что иное, как квадратный радикал его площади. Для вычислений требуется поочередно ввести значения 2 и 30 в ячейку калькулятора «Число (x)». «Степень n» важно указать 2, так как по умолчанию в программе установлена тройка. Теперь достаточно провести вычисления и подставить их в формулу:
D = sqrt(2) × sqrt(30) = 1,4142 × 5,4772 = 7,74585624.
При помощи калькулятора мы нашли диагональ квадрата с точностью до 8 знаков после запятой всего в 3 клика мышкой.
Заключение
Вычисление радикала — обыденная в науке арифметическая операция, которая в отличие от сложения или умножения встречается в бытовых расчетах достаточно редко. Наш онлайн-калькулятор в основном будет полезен школьникам и студентам для вычислений числовых примеров по алгебре, геометрии или математическому анализу.
Кубический корень. Извлечение кубического корня
- Главная
- Калькуляторы
- Математика
- Арифметика
- Кубический корень. Извлечение кубического корня
Кубический корень из a, обозначающийся как 3√a или как a1/3 — решение уравнения x3 = a (обычно подразумеваются вещественные решения).
Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел.
Онлайн калькулятор для расчета кубического корня для положительных и отрицательных чисел.
Алгоритм извлечения кубического корня
Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.
- Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становиться больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
- Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание. Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
- Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой a. Вычислите по формуле 300× a2× x+30× a × x2+x3 такое число x, что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное x справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
- Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле 300 × a2 × x+30 × a × x2+x3 и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!Больше интересного в телеграм @calcsboxКорень из 3 онлайн калькулятор. Простые и не очень способы того, как вычислить кубический корень
Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.
Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.
Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.
Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.
Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.
Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице .
Извлечение квадратного корня
Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.
Пример решения квадратных корней в калькуляторе:
Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.
Квадратный корень из отрицательного числа:
Корень третьей степени
Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).
Корень 3 степени:
Корень степени n
Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).
Корень 4 степени:
Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.
Корень 5 степени с приблизительным результатом:
Корень из дроби
Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.
Квадратный корень из дроби:
Корень из корня
В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.
Пример, как извлечь корень из корня:
Степень в корне
Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.
Квадратный корень из степени:
Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе.
Решение корней в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin
Инструкция
Чтобы возвести число в степень 1/3, введите это число, затем нажмите на кнопку возведения в степень и наберите приблизительное значение числа 1/3 — 0,333. Такой точности вполне достаточно для большинства расчетов.y».
Корень третьей степени можно вычислить и в программе MS Excel. Для этого введите в любую клетку «=» и выберите значок «вставка » (fx). Выберите в появившемся окошке функцию «СТЕПЕНЬ» и нажмите кнопку «Ок». В появившемся окошке введите значение числа, для которого необходимо вычислить корень третьей степени. В «Степень» введите число «1/3». Число 1/3 набирайте именно в таком виде – как обыкновенную . После этого нажмите кнопку «Ок». В той клетке таблицы, где создавалась , появится кубический корень из заданного числа.
Если корень третьей степени приходится вычислять постоянно, то немного усовершенствуйте описанный выше метод. В качестве числа, из которого требуется извлечь корень, укажите не само число, а клетку таблицы. После этого, просто каждый раз вводите в эту клетку исходное число – в клетке с формулой будет появляться его кубический корень.
Видео по теме
Обратите внимание
Заключение. В данной работе были рассмотрены различные методы вычисления значений кубического корня. Выяснилось, что значения кубического корня можно находить с помощью метода итераций, также можно аппроксимировать кубический корень, возводить число в степень 1/3, искать значения корня третьей степени с помощью Microsoft Office Ecxel, задавая формулы в ячейках.
Полезный совет
Корни второй и третьей степени употребляются особенно часто и поэтому имеют специальные названия. Квадратный корень: В этом случае показатель степени обычно опускается, а термин «корень» без указания степени чаще всего подразумевает квадратный корень. Практическое вычисление корней Алгоритм нахождения корня n-ной степени. Квадратные и кубические корни обычно предусмотрены во всех калькуляторах.
Источники:
- корень третий степени
- Как извлечь квадратный корень в N степени в Excel
Операцию нахождения корня третьей степени обычно называют извлечением «кубического» корня, а заключается она в нахождении такого вещественного числа, возведение которого в куб даст значение равное подкоренному числу. Операция извлечения арифметического корня любой степени n эквивалентна операции возведения в степень 1/n. Для практического вычисления кубического корня можно использовать несколько способов.
Из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:
Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.
*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.
Мы знаем, что:
Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):
Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?
1. Это кубы чисел кратных десяти:
Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.
2. Это свойство чисел при произведении.
Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?
Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.
1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …
То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.
При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.
Покажем соответствие в табличке для всех чисел:
Знания представленных двух моментов вполне достаточно.
Рассмотрим примеры:
Извлечь кубический корень из 21952.
Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.
Извлечь кубический корень из 54852.
Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.
Извлечь кубический корень из 571787.
Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.
Извлечь кубический корень из 614125.
Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.
Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.
Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.
После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉
На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.
Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Если под рукой есть калькулятор, извлечь кубический корень из любого числа не составит никаких проблем. Но если калькулятора нет или вы просто хотите произвести впечатление на окружающих, извлеките кубический корень вручную. Большинству людей описываемый здесь процесс покажется довольно сложным, но с практикой извлекать кубические корни станет намного легче. Перед тем как приступить к чтению данной статьи, вспомните основные математические операции и вычисления с числами в кубе.
Шаги
Часть 1
Извлечение кубического корня на простом примереЗапишите задачу. Извлечение кубического корня вручную похоже на деление в столбик, но с некоторыми нюансами. Сначала запишите задачу в определенной форме.
- Запишите число, из которого нужно извлечь кубический корень. Число разбейте на группы по три цифры, причем отсчет начните с десятичной запятой. Например, нужно извлечь кубический корень из 10. Напишите это число так: 10, 000 000. Дополнительные нули призваны повысить точность результата.
- Возле и над числом нарисуйте знак корня. Представьте, что это горизонтальная и вертикальная линии, которые вы рисуете при делении в столбик.2 = 1. Таким образом, первый множитель равен сумме следующих чисел: 1200 + 60 + 1 = 1261. Запишите это число слева от вертикальной черты.
Умножьте и вычтите. Умножьте последнюю цифру ответа (в нашем примере это 1) на найденный множитель (1261): 1*1261 = 1261. Запишите это число под 2000 и вычтите его из 2000. Вы получите 739 (это второй остаток).
Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Делайте это каждый раз, после того как завершите очередное вычитание. После первого вычитания ответ был равен 2, что не является точным результатом. После второго вычитания ответ равен 2,1.
- Чтобы проверить точность ответа, возведите его в куб: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
- Если вы считаете, что ответ достаточно точный, вычисления можно не продолжать; в противном случае проделайте еще одно вычитание.
Найдите второй множитель. Чтобы попрактиковаться в вычислениях и получить более точный результат, повторите действия, которые описаны выше.{3}=729} , то значение кубического корня из 600 лежит между 8 и 9. Поэтому используйте числа 512 и 729 в качестве верхнего и нижнего пределов ответа.
Оцените второе число. Первое число вы нашли благодаря знанию кубов целых чисел. Теперь целое число превратите в десятичную дробь, приписав к нему (после десятичной запятой) некоторую цифру от 0 до 9. Необходимо найти десятичную дробь, куб которой будет близок, но меньше исходного числа.
- В нашем примере число 600 находится между числами 512 и 729. Например, к первому найденному числу (8) припишите цифру 5. Получится число 8,5.
- В нашем примере: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. {\displaystyle 8,5*8,5*8,5=614,1.}
Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Если же куб полученного числа намного меньше исходного числа, оценивайте большие числа до тех пор, пока куб одного из них не превысит исходное число.{3}=614,1} . Исходное число 600 ближе к 592, чем к 614. Поэтому к последнему числу, которое вы оценили, припишите цифру, которая ближе к 0, чем к 9. Например, таким числом является 4. Поэтому возведите в куб число 8,44.
Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Короче говоря, нужно найти такие два числа, кубы которых чуть больше и чуть меньше исходного числа.
- В нашем примере 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 {\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2} . Это чуть больше исходного числа, поэтому оцените другое (меньшее) число, например, 8,43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 {\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07} . Таким образом, значение кубического корня из 600 лежит между 8,43 и 8,44.
Выполняйте описанный процесс до тех пор, пока не получите ответ, точность которого вас устроит. Оцените следующее число, сравните его с исходным, затем, если нужно, оцените другое число и так далее.{3}=599,93} , то есть результат меньше исходного числа менее чем на 0,1.
Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.
Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.
Что нужно знать о корне произвольной степени?
Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».
Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.
Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.
Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.
Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.
Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».
В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.
- Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
- Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
- И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.
В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?
Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.
А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.
Извлечение кубического корня на калькуляторе
Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?
На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.
А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».
Извлечение кубического корня вручную
Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.
Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?
- Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
- Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
- Выполнить вычитание.
- К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
- В черновике записать выражение: а 2 * 300 * х + а * 30 * х 2 + х 3 . Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
- Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
- Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.
Наглядный пример вычисления кубического корня
Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.
Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.
- 15> 2 3 , значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
- После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
- а = 2. Поэтому: 2 2 * 300 * х +2 * 30 * х 2 + х 3
- Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
- Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
- Приписать к остатку три нуля.
- а = 24. Тогда 172800 х + 720 х 2 + х 3
- х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
- Снова приписать нули.
- а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х 2 + х 3
- х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.
Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.
Необычный способ извлечения кубического корня
Его можно использовать тогда, когда ответом является целое число. Тогда кубический корень извлекается разложением подкоренного выражения на нечетные слагаемые. Причем таких слагаемых должно быть минимально возможное число.
К примеру, 8 представляется суммой 3 и 5. А 64 = 13 + 15 + 17 + 19.
Ответом будет число, которое равно количеству слагаемых. Так корень кубический из 8 будет равен двум, а из 64 — четырем.
Если под корнем стоит 1000, то его разложением на слагаемые будет 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Всего 10 слагаемых. Это и есть ответ.
Функция КОРЕНЬ — Служба поддержки Office
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции КОРЕНЬ в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает положительное значение квадратного корня.
Синтаксис
КОРЕНЬ(число)
Аргументы функции КОРЕНЬ описаны ниже.
Замечание
Если число отрицательное, то SQRT возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Данные
-16
Формула
Описание
Результат
=КОРЕНЬ(16)
Квадратный корень числа 16.
4
=КОРЕНЬ(A2)
Квадратный корень -16. Так как число отрицательное, #NUM! возвращается сообщение об ошибке.
#ЧИСЛО!
=КОРЕНЬ(ABS(A2))
Старайтесь не #NUM! сообщение об ошибке: сначала с помощью функции ABS можно найти абсолютное значение -16, а затем найти квадратный корень.
4
Функции инженерного калькулятора
Функции инженерного калькулятора
Калькулятор умеет работать со степенями и логарифмами. Находит синус, косинус, тангенс и котангенс, а также арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Поддерживает двоичные логарифмы, логарифмы по основанию. Может возвести число в 10-ю степень. Также, калькулятор позволяет просматривать число Эйлера и число Пи. Помимо этого поддерживаются стандартные арифметический действия, с помощью которых вы можете сложить и вычесть числа, умножить и разделить, а также извлечь квадратный корень онлайн.
Подробная инструкция и ознакомление с основными возможностями.
- Найти корень. Чтобы найти квадратный корень числа, введите это число в калькулятор, а затем нажмите кнопку «√», которая находится в верхнем ряду основного блока, вторая справа. Допустим, если мы введем число 9, то после нажатия на эту кнопку получим число 3.
- Возвести число в квадрат. Чтобы возвести число в квадрат онлайн вам необходимо воспользоваться кнопкой «X2», которая находится в левом блоке функций, в правой части третьего ряда снизу. В результате число, имевшееся на экране, будет возведено в квадрат. К примеру, на экране горит 3. В результате мы получим 9.
- Возвести число в степень. Возвести число в степень можно с помощью кнопки «Xy» в правом верхнем углу калькулятора. Сначала введите число, которое нужно возвести, затем нажмите на эту кнопку и введите число самой степени. Например, если мы попробуем возвести 10 в степень 2, то получим 100.
- Синус, косинус, тангенс, котангенс. Часто бывает так, что необходимо найти синус острого угла, косинус прямого угла, синус внешнего угла, а также тангенс или котангенс треугольника. На нашем калькуляторе данные вычисления можно производить с помощью кнопок «sin», «cos», «tg», «ctg». Приведем конкретный пример: допустим, нам требуется найти косинус угла в 90 градусов. Для этого, введем на калькуляторе цифру 90 и нажмем кнопку «cos» в левом блоке функций. В результате мы получим длинную цифру -0.4480736161291701. Это и есть косинус угла 90. Точно так же на нашем калькуляторе можно вычислить косинус угла 60, синус угла 90 и многое другое.2=100.
- Превратить число в отрицательное или положительное. Иногда требуется превратить число в отрицательное или наоборот. Чтобы не вводить его заново, просто нажмите на кнопку «+/-»
- Посмотреть число Пи и число Эйлера можно с помощью кнопок «П» и «е» в правом углу левого блока.
- Простые математические действия осуществляются с помощью клавиш в правом (основном) блоке. «+» — сложение, «-» — вычитание, «x» – умножение и «÷» — умножение.
- Функция памяти. Пользоваться функцией памяти в нашем онлайн калькуляторе очень просто. Допустим, вы получили какое-то число, которое нужно запомнить. Чтобы сделать это нажмите «M+». Когда это число вам понадобится, просто нажмите кнопку «MR» и оно выведется на экран. После этого вы сможете совершать с ним математические операции. Также, вы можете плюсовать или вычитать имеющееся число из числа, которое уже в памяти. Допустим, в памяти у вас число 10. А на экране число 2. Если вы нажмете кнопку «M-«, то из 10 вычтется 2 и в памяти останется число 8. Точно так же происходит с кнопкой «M+». Если вы хотите очистить память — нажмите «MC» и память станет пустой.
- Разделить целое на текущее. Часто в инженерной работе требуется провести довольно тривиальное вычисление: узнать, сколько текущий показатель составляет от единого целого. Для этого в нашем инженерном калькулятор существует кнопочка 1/x. Она делит единицу на текущее число. Скажем, если на табло горит 5, то функция выведет 0.2.
Калькулятор Citizen SDC-444S
Настольный калькулятор Citizen SDC-444S предназначен для выполнения базовых арифметических действий, извлечения квадратного корня, подсчета процентов.
Эта модель подойдет учащимся — школьникам и студентам, а также работникам, обязанности которых связаны с несложными вычислениями. Клавиши калькулятора трех оттенков в зависимости от функциональности. Это помогает ускорить ввод данных, а также использовать метод слепого набора благодаря группировке кнопок.
Среди дополнительных функций Citizen SDC-444S — округление результата, выбор варианта простановки десятичной точки, быстрая смена знаков, расчет наценки и скидки. У калькулятора двойная независимая память, в которую можно сохранить промежуточное значение или итоговый результат.
Технические характеристики:
Тип: настольный калькулятор
12-разрядный
Цвет: черный
Угол наклона дисплея: фиксированный
Материал лицевой панели: пластик
Поверхность кнопок: пластик
Двойное питание: батарея + солн.питание
Тип батареи: LR-54 x 1 шт.
Автоматическое отключение питания : Есть
Разделитель групп разрядов: по 3 цифры
Размеры (ШхВхГ): 153 х 199 х 30мм
Вес: 209 г
Функции:
Двойная память
Клавиши нуля: 0, 00
Кнопка [%]: Есть
Корень квадратный: Есть
Кнопка обратной дроби [RV]: нет
Смена знаков [+/-]: Есть
Коррекция ввода [→]: Есть
Конвертер валют [LOCAL]: нет
Расчет налогов [+TAX] [-TAX]: нет
Расчет прибыли [COST] [SELL] [MARGIN]: нет
Функция расчета наценки и скидки [MU]: Есть
Итоговая сумма [GT]: нет
Функция проверки и коррекции [CHECK] [CORRECT]: нет
Округление: с увеличением, обычное 5/4, с уменьшением
Выбор режима десятичной точки: Есть (A, 0, 2, 3, 4, F)
Добавить комментарий
Наши покупатели уже неоднократно заказывали этот калькулятор и делились с нами информацией, зачем он им необходим, планируют ли они использовать его для учебы или работы.
Прочитайте комментарии — и, возможно, вы откроете для себя новые варианты использования калькулятора:
Записей не найдено.
Семантический анализ текста онлайн, seo анализ текста, подсчет символов
Семантический анализ текста Адвего для SEO онлайн — профессиональный инструмент для оценки качества текстов, seo оптимизации статей и поиска ключевых слов в тексте. Проверьте количество символов, тошноту и водность, плотность ключевых слов и фраз онлайн, семантическое ядро текста бесплатно!
Зачем нужен SEO анализ текста
Поисковые системы оценивают качество и релевантность статьи по содержащимся в ней словам и словосочетаниям (коллокациям). Чем больше в тексте тематичных ключевых фраз, тем больше шансов, что он получит высокую оценку.
Соответственно, если в тексте будет мало ключевых слов, но много «воды» — стоп-слов, вставных слов, шаблонных фраз, качество статьи будет низким.
Но и слишком большое количество ключевиков — тоже плохо, такой документ получит отметку «переспам» и вряд ли будет показан в поисковой выдаче.
Оценить эти показатели поможет сервис семантического анализа, который покажет процент ключевых слов и количество стоп-слов в тексте.
SEO анализ текста Адвего определяет:
- плотность ключевых слов, процент ключевых фраз;
- частотность слов;
- количество стоп-слов;
- объем текста: количество символов с пробелами и без пробелов;
- количество слов: уникальных, значимых, всего;
- водность, процент воды;
- тошноту текста, классическую и академическую;
- количество грамматических ошибок.
Наш онлайн сервис показывает семантическое ядро текста страницы — все значимые и ключевые слова, что позволит оценить, по каким запросам она будет показываться выше после того, как проведет поиск ключевых слов в тексте.
Также семантический анализ показывает все стоп-слова и грамматические ошибки.
Пример отчета проверки семантического SEO анализа текста онлайн
Как рассчитывается тошнота текста
Классическая тошнота определяется по самому частотному слову — как квадратный корень из количества его вхождений. Например, слово «текст» встречается на этой странице 16 раз, классическая тошнота будет равна 4.
Важно! Максимально допустимое значение классической тошноты зависит от объема текста — для 20 000 знаков тошнота, равная 5, будет нормальной, а для 1000 знаков — слишком высокой.
Академическая тошнота определяется как отношение самых частотных и значимых слов по специальной формуле. Нормальное значение — в пределах 5-15%.
По тошноте текста можно судить о натуральности текста и его SEO-оптимизации под поисковые запросы. Высокий показатель тошноты онлайн для поисковиков является плохим знаком.
Как рассчитывается водность текста
Процент воды в Адвего определяется как отношение незначимых слов к общему количеству слов. То есть чем больше в статье значимых слов, тем меньше в итоге «воды».
Конечно, невозможно написать сео текст совсем без воды, нормальный показатель — 55%-75%.
Чтобы уменьшить процент водности, необходимо почистить текст от широко распространенных фраз и терминов, вставных слов: «в современном мире», «так сказать», «всем известно» и т. п. Также повышает качество текста употребление специализированных терминов и профессиональной лексики.
Калькулятор корня— вычисление любого корня
Воспользуйтесь этим калькулятором, чтобы легко вычислить корень n-й степени заданного числа.
Быстрая навигация:
- Что такое корень числа?
- Функции извлечения квадратного и кубического корня
- Поддерживает ли калькулятор дроби?
корень n-й степени числа отвечает на вопрос «какое число я могу умножить само на себя n раз, чтобы получить это число?».Это обратная операция возведения в степень, когда показатель степени равен n, поэтому, если r n = x, то мы говорим, что «r — корень n-й степени из x». Математическая операция нахождения корня числа имеет специальное обозначение: символ корня √.
Если n четно, то всегда есть два корня: положительный и отрицательный, с равными значениями и противоположными знаками. Положительное решение называется главным корнем. Если n нечетное, то существует только один корень действительного числа, и он имеет тот же знак, что и x.Это его главный корень. Некоторые корни, например кубический корень, также имеет решения в комплексных числах и сопряжениях, но это всегда главный корень, который будет выводить наш калькулятор корней.
Самыми популярными корневыми функциями являются квадратный корень (n = 2) и кубический корень (n = 3), причем первая из них имеет множество приложений в математике, геометрии, физике, теории вероятностей и статистике. Кубические корни находят применение в угловых вычислениях.
Функции квадратного и кубического корняВот визуализация функций квадратного корня и кубического корня для небольшого набора целых чисел:
Графики были построены с использованием этого калькулятора корня n-й степени.Он поддерживает любой корень, который может вас заинтересовать в вычислениях, в той мере, в какой это позволяет современное программное обеспечение.
Калькулятор поддерживает дроби?Да, просто введите дробь как десятичное число (используйте точку в качестве десятичного разделителя), и вы получите соответствующий корень. Например, чтобы вычислить квадратный корень из 1/2, просто введите 0,5 в числовое поле и 2 в поле корня, и вы получите 0,7071 на выходе. Если у вас возникли проблемы с преобразованием дроби в десятичное число, вам пригодится наш конвертер дроби в десятичное.
Калькулятор квадратного корняНайти квадратный корень числа
Другие калькуляторы
Калькулятор увеличения или уменьшения процентов поможет найти ответы на вопросы, связанные с расчетом процентов. Чтобы вычислить процент от числа, используйте наш калькулятор процента от числа.Например, найдите 5% процентов от 70. Калькулятор процентов даст вам ответ, это 3,5.
процентов увеличение между двумя числами? Проблема решена с помощью функции «Рассчитать процент увеличения». Найдите процент% увеличения с 2 до 10. Ответ — 400%.
Найдите, что процентов представляет собой число из второго числа ? Пример: узнать, какой процент равен 7 из 300. Калькулятор «Рассчитать процент двух чисел», ответ — 2,33%.
Новинка: рассчитайте увеличение или уменьшение заработной платы с помощью нашего калькулятора дохода. Калькулятор процента увеличения заработной платы.
процентов от общего числа . Например, всего = 1100, и вам нужно найти процент, равный 100. Используя наш калькулятор процента от общего количества, ответ составляет 9,09%.
GFC и LCM — математический коэффициент и множитель . Калькулятор наибольшего общего множителя GCF может использоваться для вычисления GFC, а калькулятор наименьшего общего множителя — LCM.
Калькулятор квадратного корня . Вместо того, чтобы запоминать квадратные корни, используйте калькулятор квадратного корня из числа и делайте это на лету.Например, каков квадратный корень из 9? Все мы знаем, что это 3. А как насчет квадратного корня из 500? Узнай себя.
Калькулятор процентов ошибок . Быстро рассчитайте процентную ошибку с помощью калькулятора процентов ошибок.
Калькулятор часов и минут . Найдите минуты или часы с помощью наших калькуляторов. First Calculate Hours in Minutes, очень полезно, чтобы узнать, сколько часов в 300 минутах. Калькулятор «Расчет минут в часах» полезен, чтобы узнать, сколько минут в 5 часах? Ответ: это 300 из первой математической задачи.
простая математика Математический калькулятор сложения, математический калькулятор вычитания, математический калькулятор умножения и математический калькулятор деления.
Калькулятор и упрощение квадратного корняПоиск инструмента
Квадратный корень
Инструмент для вычисления и упрощения квадратного корня. Квадратный корень для числа N — это число, отмеченное sqrt (N), которое, умноженное само на себя, равно N.
Результаты
Квадратный корень — dCode
Тег (и): символическое вычисление, функции
Поделиться
dCode и другие
dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !Калькулятор квадратного корня
Выражение с упрощением квадратного корня
Пакетное вычисление квадратного корня
Список только целых или десятичных чиселЗагрузка…
Рассчитать
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить страницу)Ответы на вопросы (FAQ)
Как вычислить квадратный корень?
Калькулятор квадратного корня dCode позволяет использовать как положительные, так и отрицательные числа (таким образом, имея комплексные корни) и возвращает ответы с точным или приблизительным значением (точность может быть изменена путем определения минимального количества значащих цифр)
Пример: $ \ sqrt {4} = 2 $ и $ \ sqrt {-1} = i $
Как упростить извлечение квадратного корня?
Вычисления корня имеют свойства, аналогичные возведению в степень:
$$ \ sqrt {a \ times b} = \ sqrt {a} \ times \ sqrt {b} \\ \ sqrt {\ frac {a} {b}} = \ frac {\ sqrt {a}} { \ sqrt {b}} $$
Для любого положительного действительного числа $ a \ in \ mathbb {R} _ + ^ * $
$$ \ sqrt {a ^ 2} = a \\ \ left (\ sqrt {a} \ right) ^ 2 = a $$
Следовательно
$$ \ sqrt {a ^ 2 \ times b} = a \ sqrt {b} $$
Как упростить дробь с помощью квадратного корня?
Если знаменатель — радикал, умножьте на него числитель и знаменатель, чтобы он исчез.2 $
$$ \ frac {a} {\ sqrt {b} + \ sqrt {c}} = \ frac {a (\ sqrt {b} — \ sqrt {c})} {(\ sqrt {b} + \ sqrt {c}) (\ sqrt {b} — \ sqrt {c})} = \ frac {a \ sqrt {b} -a \ sqrt {c}} {bc} $$
$$ \ frac {a} {\ sqrt {b} — \ sqrt {c}} = \ frac {a (\ sqrt {b} + \ sqrt {c})} {(\ sqrt {b} — \ sqrt {c}) (\ sqrt {b} + \ sqrt {c})} = \ frac {a \ sqrt {b} + a \ sqrt {c}} {bc} $$
Как написать квадратный корень?
В формате Unicode используется символ √ (U + 221A).
В компьютерных формулах чаще всего используется функция sqrt ().
Термины root , radix или radicand sont équivalents.2 = 3 \ умножить на 3 = 9 $, тогда $ 9 $ — квадратное число.
Если квадратный корень числа $ x $ является целым числом, то $ x $ — квадратным числом.
Задайте новый вопросИсходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Квадратный корень». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любого алгоритма, апплета или фрагмента «квадратного корня» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «квадратный корень» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Square Root» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
Нужна помощь?
Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!Вопросы / комментарии
Сводка
Похожие страницы
Поддержка
Форум / Справка
Ключевые слова
квадрат, корень, sqrt, подкоренное выражение, основание
Ссылки
Источник: https: // www.dcode.fr/square-root
© 2021 dCode — Лучший «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF. Калькулятор корней комплексных чиселКалькулятор найдет корни $$$ n $$$ th данного комплексного числа, используя формулу де Муавра, с указанными шагами.
Ваш ввод
Найдите $$$ \ sqrt [4] {81 i} $$$.
Решение
Полярная форма $$$ 81 i $$$ — $$$ 81 \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ pi} {2} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ pi} {2} \ right)} \ right) $$$ (шаги см. в калькуляторе полярной формы).{\ frac {1} {n}} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ theta + 2 \ pi k} {n} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ theta + 2 \ pi k} {n} \ right)} \ right) $$$, $$$ k = \ overline {0..n-1} $$$.
У нас есть $$$ r = 81 $$$, $$$ \ theta = \ frac {\ pi} {2} $$$, $$$ n = 4 $$$.
- $$$ k = 0 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 0} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 0} {4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ pi} {8} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ pi} {8} \ right)} \ right) = 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} + 3 i \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2} } {4}} $$$
- $$$ k = 1 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} { 2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 1} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 1} { 4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {8} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} { 8} \ right)} \ right) = — 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4}} + 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2 }} {4} + \ frac {1} {2}} $$$
- $$$ k = 2 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left ( \ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 2} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 2} {4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {9 \ pi} {8} \ right)} + i \ sin {\ левый(\ frac {9 \ pi} {8} \ right)} \ right) = — 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} — 3 i \ sqrt { \ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4}} $$$
- $$$ k = 3 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 3} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac { \ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 3} {4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {13 \ pi} {8} \ right) } + i \ sin {\ left (\ frac {13 \ pi} {8} \ right)} \ right) = 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} { 4}} — 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} $$$
Ответ
$$$ \ sqrt [4] {81 i} = 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} + 3 i \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4}} \ приблизительно 2.77163859753386 + 1.148050297095269 i $$$ A
$$$ \ sqrt [4] {81 i} = — 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4 }} + 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} \ приблизительно -1,148050297095269 + 2,77163859753386 i $$$ A
$$$ \ sqrt [4] {81 i} = — 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} — 3 i \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4}} \ приблизительно -2,77163859753386 — 1,148050297095269 i $$$ A
$$$ \ sqrt [4] {81 i} = 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4}} — 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} \ приблизительно 1.148050297095269 — 2,77163859753386 i $$$ A
RedCrab Online Calculator — квадратный корень из комплексного числа
Онлайн калькулятор для вычисления квадратного корня из комплексного числа
Вычислитель квадратного корня
Этот калькулятор вычисляет квадратный корень комплексного числа. 2} \)
Пример
Вычисление квадратного корня из 3 + 5i.2} \ space = \ space 5.83 \)
\ (\ Displaystyle Re = \ sqrt {\ frac {| z | + x} {2}} \ space = \ space \ sqrt {\ frac {5.83 + 3} {2}} \ space = \ space 2.1013 \)
\ (\ displaystyle Im = \ sqrt {\ frac {| z | -x} {2}} \ space = \ space \ sqrt {\ frac {5.83-3} {2}} \ space = \ space 1.1897 \)
\ (\ Displaystyle \ sqrt {3 + 5i} = 2,1013 + 1,1897i \)
Эта страница полезна? да Нет
Спасибо за ваш отзыв!
Извините за это
Как мы можем это улучшить?
послать
Калькулятор полиномиальных корнейСписок справки по математике — — Математическая справка Быстрый переход — Научный онлайн-калькулятор — Общая математика -Калькулятор фракцийКалькулятор процентовКалькулятор квадратного корняКалькулятор факторингаУпрощающие выраженияКалькулятор делителейКалькулятор факторингаКалькулятор наибольшего общего множителя (GCF) Калькулятор последнего общего множителя (LCM) Калькулятор простых чисел и средство проверкиПроверка идеального квадрата числа-валидатор — Алгебра и комбинаторики -уравнения SolverQuadratic Уравнение SolverSystem уравнений SolverCombinatoricsPermutationsPolynomialsPolynomials — Сложение и SubtractionPolynomials — Умножение и DivisionPolynomials — Дифференциация и IntegrationPolynomials — Паритет калькулятор (нечетный, четный, нет) Полиномы — Корень FinderPolynomials — Сформировать из RootsMatricesMatrix Calculator- определителя, обратная матрица CalculatorMatrix — Сложение, вычитание, умножение, исчисление, интегральный калькулятор, калькулятор определенного интеграла, калькулятор производной, числовая производная Калькулятор Отклонение CalculatorVariance CalculatorKurtosis CalculatorSkewness Calculator- Описательная статистика Калькуляторы -Матрица Центральный момент CalculatorCorrelation Матрица CalculatorCovariance Матрица CalculatorMatrix Среднее геометрическое CalculatorMatrix гармоническое среднее CalculatorMatrix межквартильный Диапазон CalculatorMatrix Эксцесс CalculatorMatrix нецентральные Момент CalculatorMatrix Среднее CalculatorMatrix Максимальная CalculatorMatrix Минимальная CalculatorMatrix Медиана CalculatorMatrix Среднее отклонение CalculatorMatrix Среднее отклонение CalculatorMatrix Quantile Калькулятор Калькулятор асимметрии квартиля матрицы Калькуляторы Калькуляторы распределения Вейбулла — Калькуляторы дискретных распределений — Калькуляторы биномиального распределения
Вычисление квадратного корня из 27: инструкции и шаги
Найдите квадратный корень
XШаг 1. Определите желаемую точность ответа.
Этот метод является итеративным и приведет к ответу, который является настолько точным, насколько мы хотим. Мы основываем точность на том, насколько близок квадрат нашего ответа к X .
Давайте выберем точность 0,01%
Шаг 2: Рассчитайте диапазон приемлемых ответов.
Зная самый низкий и самый высокий приемлемые ответы, легче решить, когда у нас есть хороший ответ, и можно остановить метод.
0,01% от 27 равно 0,0001 (27) = 0,00027.
Мы ищем квадратный корень из 27, который при возведении в квадрат будет между 27 -.00027 и 27 + .00027. Выполняя вычитание и сложение, мы получаем диапазон от
26,9973 до 27,0027.
Шаг 3. Сделайте предположение,
г , на основе квадратного корня из XИтерационный метод начинается с предположения, г , для квадратного корня из X .
27 близко к 25, который имеет квадратный корень из 5. Мы выберем g = 5, но оказывается, что в качестве первого предположения можно использовать любое число.
Шаг 4: Вычислить g2
Мы просто вычисляем квадрат g .
g2 = 52 = 25.
Шаг 5: Остановить или продолжить?
Если g 2 находится в пределах допустимого диапазона, остановитесь. Ответ г .
В противном случае продолжите заменой г на среднее значение г и X / г :
Эта стрелка, указывающая влево, означает, что мы подставляем текущие значения X и g в правую часть и вычисляем число.Мы принимаем этот номер как новый г . Стрелка говорит нам, что нужно вычислить правую часть и присвоить ее как новое значение для г в левой части. Если бы g были точным ответом, то g и X / g были бы одинаковыми. В среднем будет всего г . Однако, если г еще не является ответом, принятие среднего значения г с X / г приближает нас к ответу. После обновления g мы возвращаемся к ШАГУ 4.
Мы продолжаем повторять этот цикл из ШАГА 4 и ШАГА 5, пока не получим г 2, которое находится в допустимом диапазоне.
Возвращаясь к нашему методу, мы возведем в квадрат предположение 5 и получили 25. Однако 25 не находится в пределах 26,9973 и 27,0027, поэтому мы продолжаем заменой г на среднее значение г и X / г. :
Детали расчета правой части:
Правая часть вычисляет до 5.2, и это становится новым значением для г .
Возвращаясь к шагу 4, вычислим g2 = 5,22 = 27,04.
Мы все еще находимся за пределами диапазона от 26,9973 до 27,0027, поэтому мы снова обновляем г :
Вычисление правой части:
Новый г вычисляет 5,19615… и г 2 = 26,99997…, что находится в желаемом диапазоне.
Решение уравнения с 3 степенью: Как решить уравнения 3 степени онлайн
//Решение кубических уравнений методом разложения на множители
Уравнение 3 степени a(x) = a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, a3 ≠ 0, может иметь самое большее 3 корня. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере один действительный корень, так как если корнем является комплексное число, то и комплексно сопряженное тоже будет его корнем.
Таким образом, кубический многочлен a(x) всегда можно разложить на два множителя, один из которых линейный, а второй квадратичный
В свою очередь многочлен второй степени a3x2 + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.
Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители a(x):
Таким образом, приравнивая каждый множитель в разложении к нулю, найдем все корни кубического уравнения в каждом случае. Рассмотрим решение кубических уравнений методом разложения на множители на примерах.
Пример 1. Решить уравнение x3 — 3x2 — 4x + 6 = 0.
Решение.
Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни уравнения нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем уравнения является число 1. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 1)*(a3x2 + bx + c) = 0.
Чтобы найти многочлен a3x2 + bx + c, нужно левую часть исходного уравнения разделить на x — 1. Для деления многочлена на двучлен будем использовать схему Горнера.
Таким образом, x3 — 3x2 — 4x + 6 = (x — 1)(x2 — 2x — 6). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 1) (x2 — 2x — 6) = 0.
Осталось решить квадратное уравнение x2 — 2x — 6 = 0.
Ответ: -1- √7, 1 ,-1+√7.
Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей.
Подробнее …Пример 2. Решить уравнение -2x3 + 3x2 — 4x — 9 = 0.
Решение.
Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±3, ±9. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.
Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±3, ±9,
±
1/2
, ±
3/2
, ±
9/2
.
Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x + 1.
Таким образом, -2x3 + 3x2 — 4x — 9 = (x + 1)(-2x2 + 5x — 9). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x + 1) (-2x2 + 5x — 9)=0. Решая квадратное уравнение -2x2 + 5x — 9 = 0, получаем, что его дискриминант
Ответ: -1.
Пример 3.
Решить уравнение 2x3 — x2 — 8x + 4 = 0.Решение.
Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±4. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.
Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±2, ±4.
Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x — 2.
Таким образом, 2x3 — x2 — 8x + 4 = (x — 2)(2x2 + 3x — 2). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 2) (2x2 + 3x — 2) = 0. Решая квадратное уравнение 2x2 + 3x — 2 = 0, получаем,
Ответ: -2,
, 2.
Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени — метод неопределенных коэффициентов. Он довольно громоздкий, но иногда бывает очень полезным при решении разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x0)*(a3x2 + bx + c).
Раскрывая скобки, получим a(x) = a3x3 + x2(b — a3x0) + x*(c — bx0) — cx0.
Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a3,b,c и x0. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.
Пример 4. Решить уравнение x3 + 2x2 — 5x — 6 = 0.
Решение.
Так как любой многочлен 3 степени можно представить в виде a3x3 + x2(b — a3x0) + x*(c — bx0) — cx0, то приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:
Выразим из первого уравнения x0 = b — 2 и подставим в два оставшихся. Получим
Теперь выразим переменную c из первого уравнения и подставим во второе.
Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:
Если b=4, то c=3, x0 = 2. Следовательно, x3 + 2x2 — 5x — 6 = (x — 2)(x2 — 4x + 3)=(x — 2)(x + 1)(x + 3).
Если b = 1, то c = -6, x0 = -1. Следовательно, x3 + 2x2 — 5x — 6 = (x + 1)(x2 + x — 6)=(x + 1)(x + 3)(x — 2).
Если b = -1, то c = -2, x0 = -3. Следовательно, x3 + 2x2 — 5x — 6=(x + 3)(x2 — x — 2) = (x + 3)(x — 2)(x + 1).
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению (x + 3)(x — 2)(x + 1) = 0.
Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -3, x = 2, x = -1.
Ответ: -3, -1, 2.
Пример 5. Решить уравнение 2x3 + x2 — 5x + 2 = 0.
Решение.
Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:
Выразим из первого уравнения x0 =
(b — 1)/2
и подставим в два оставшихся.
ПолучимТеперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.
Умножая левую и правую части второго уравнения на 4 и раскрывая скобки, находим b:
Если b=2, то c=-4, x0 =
. Следовательно, 2x3 + x2 — 5x + 2 = (x —
)(2x2 + 2x — 4) = 2(x —
)(x — 1)(x + 2).
Если b = 3, то c = -2, x0 = 1. Следовательно, 2x3 + x2 — 5x + 2 = (x — 1)(2x2 + 3x — 2)=2(x — 1)(x —
)(x + 2).
Если b = -3, то c = 1, x0 = -2. Следовательно, 2x3 + x2 — 5x + 2 = (x + 2)(2x2 — 3x + 1) = 2(x + 2)(x —
)(x — 1).
Следовательно, исходное уравнение эквивалентно уравнению 2(x + 2)(x —
)(x — 1) = 0.
Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -2, x =
, x = 1.
Ответ: -2,
, 1.
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра
Справочник по математике Алгебра Кубические уравнения Схема метода Кардано Приведение кубических уравнений к трехчленному виду Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи Формула Кардано Пример решения кубического уравнения Схема метода Кардано
Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)
a0x3 + a1x2 +
+ a2x + a3= 0,(1) где a0, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа,
Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.
На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.
На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
Приведение кубических уравнений к трехчленному виду
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
x3 + ax2 + bx + c = 0, (2) где a, b, c – произвольные вещественные числа.
Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:
(3) Тогда, поскольку
то уравнение (2) примет вид
В результате уравнение (2) примет вид
(4) Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
y3 + py + q= 0, (5) где p, q – вещественные числа.
Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.
Первый этап вывода формулы Кардано завершён.
Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи
Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде
(6) где t – новая переменная.
Поскольку
то выполнено равенство:
Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде
(7) Если теперь уравнение (7) умножить на t, то мы получим квадратное уравнение относительно t :
(8) Формула Кардано
Решение уравнения (8) имеет вид:
В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:
(9) В развернутой форме эти решения записываются так:
(10) (11) Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.
Действительно,
С другой стороны,
Таким образом,
и для решения уравнения (5) мы получили формулу
которая и называется «Формула Кардано».
Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).
Пример решения кубического уравнения
Пример. Решить уравнение
x3 – 6x2 – 6x – 2 = 0. (13) Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду.
Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) заменуx = y + 2. (14) Тогда получим
x3 – 6x2 – 6x – 2 =
= (y + 2)3– 6(y + 2)2 –
– 6(y + 2) – 2 =
= y3 + 6y2 + 12y + 8 – 6y2 –
– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 =
= y3 – 18y – 30.Следовательно, уравнение (13) принимает вид
y3 – 18y – 30 = 0. (15) Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену
(16) Тогда поскольку
то уравнение (15) примет вид
(17) Далее из (17) получаем:
Отсюда по формуле (16) получаем:
Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу
или использовали формулу
Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:
Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень
Замечание 1.
У уравнения (13) других вещественных корней нет.Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Решение уравнений третьей степени — HintFox
Кубическое уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения: ах3 + bх2 + сх + d = 0, а ≠ 0
Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством х = у – (b/3а), кубическое уравнение можно привести к более простому (каноническому) виду: у3 + pу + q = 0, где p = — b2 + с, q = 2b – bс + d
3а2 а 27а3 3а2 а решение этого уравнения можно получить с помощью формулы Кардано .
1. 1 История кубических уравнений
Термин «кубическое уравнение» ввели Р. Декарт (1619 г. ) и У. Оутред (1631г. ).
Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).
Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате доказательств задач алгебры и алмукабалы «Омара Хайя» (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.
В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1953 г. ).
Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 г. ), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторили Тарталья (1535 г. ), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений.
Опубликованы эти открытия в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.
Начнём с упрощения
Если кубическое уравнение общего вида ах3 + bх2 + сх + d = 0, где а ≠ 0, разделить на а, то коэффициент при х3 станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения х3 + Pх2 + Qх + R = 0. (1)
Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:
(а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3.
Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь а на х и перегруппируем слагаемые:
(х + b)3 = х3 + 3bх2 + 3b2х + b3.
(2)Мы видим, что надлежащим образом b, а именно взяв b = P/3, можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения х3 + Pх2 + Qх + R = 0 только коэффициентом при х и свободным членом. Сложим уравнение х3 + Pх2 + Qх + R = 0 и (х + b)3 = х3 + 3bх2 + 3b2х + b3 и приведём подобные:
(х + b)3 + (Q – 3b2)х + R – b3 = 0.
Если здесь сделать замену y = х + b, получим кубическое уравнение относительно у без члена с у2: у3 + ру + q = 0.
Итак, мы показали, что в кубическом уравнении х3 + Pх2 + Qх + R = 0 с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида х3 + рх + q = 0. (3)
1. 2 История формулы Кардано
Формула Кардано названа по имени Дж. Кардано, впервые опубликовавшего её в 1545 году.
Автор этой формулы Никколо Тарталья. Он создал это решение в 1535 г. специально для участия в математическом состязании, в котором, естественно, победил.
Тарталья, сообщая формулу (в стихотворной форме) Кардано, представил только ту часть решения кубического уравнения, в которой корень имеет одно (действительное) значение.Результаты Кардано в этой формуле относятся к рассмотрению так называемого неприводимого случая, в котором уравнение имеет три значения (действительных значений, в те времена не было ни мнимых, ни даже отрицательных чисел, хотя попытки в этом направлении были). Однако, вопреки тому, что Кардано указал в своей публикации на авторство Тартальи, формулу называют именем Кардано.
1. 3 Формула Кардано
Теперь давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:
(а + b)3 = а3 + b3 + 3аb(а + b).
Сравните эту запись с уравнением х3 + рх + q = 0 и попробуйте установить связь между ними. Подставим в нашу формулу х = а + b: х3 = а3 + b3 + 3аbх, или х3 – 3аbх – (а3 + b3) = 0
Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения х3 + рх + q = 0, достаточно решить систему уравнений а3 + b3 = — q, а3 + b3 = — q, или
3аb = — p,а3b3 = — p 3,
3 и взять в качестве х сумму а и b.
Заменой и = а3, v = b3 эта система приводится к совсем простому виду: и + v = — q, иv = — p 3.Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при х со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и и v – корни уравнения t2 + qt – (p/3)3 = 0.
Выпишем эти корни: t1,2 = — q ± q 2 + p 3.
Переменные а и b равны кубическим корням из t1 и t2, а искомое решение кубического уравнения х3 + рх + q = 0 – сумме этих корней: х = 3 – q + q 2 + p 3+ 3 – q – q 2 + p 3.
2 2 3 2 2 3
Эта формула известна как формула Кардано.
Решаем уравнения
Прежде, чем посмотреть на формулу Кардано в работе, поясним, как по одному корню кубического уравнения х3 + рх + q = 0 найти другие его корни, если они есть.
Пусть известно, что наше уравнение имеет корень h. Тогда его левую часть можно разложить на линейный и квадратный множители.
Делается это очень просто. Подставляем в уравнение выражение свободного члена через корень q = — h4 – ph и пользуемся формулой разности кубов:0 = х3 – h4 + px – ph = (x – h)(x2 + hx + h3) + p(x — h) = (x – h)(x2 + hx + h3 + p).
Теперь можно решить квадратное уравнение х2 + hx + h3 + p = 0 и найти остальные корни данного кубического уравнения.
Итак, мы во всеоружии и, казалось бы, можем справиться с любым кубическим уравнением. Давайте попробуем свои силы.
1. Начнем с уравнения х3 + 6х – 2 = 0
Подставляем в формулу Кардано p = 6 и q = -2 и после несложных сокращений получаем ответ: х = 3√4 – 3√2. Что ж, формула вполне симпатичная. Только перспектива выносить множитель х – (3√4 – 3√2) из левой части уравнения и решать остающееся квадратное уравнение со «страшными» коэффициентами для вычисления других корней не очень-то вдохновляет. Однако, присмотревшись к уравнению внимательнее, можно успокоиться: функция в левой части строго возрастает и поэтому может обращаться в нуль только один раз .
Значит, найденное число – единственный действительный корень уравнения.у у = х3 + 6х – 2
3√4 – 3√2 х
Рис. 1 График функции у = х3 + 6х – 2 пересекает ось абсцисс в одной точке — 3√4 – 3√2.
2. Следующий пример – уравнение х3 + 3х – 4 = 0.
Формула Кардано дает х = 3 2 + √5 + 3 2 — √5.
Как и в предыдущем примере, мы видим, что этот корень единственный. Но не нужно обладать сверхпроницательностью, чтобы, глядя на уравнение, угадать его корень: х = 1. Приходится признать, что формула выдала обычную единицу в таком причудливом виде. Между прочим, упростить это громоздкое, но не лишенное изящества выражение алгебраическими преобразованиями не удается – кубические иррациональности в нем неустранимы.
3. Ну а теперь возьмем уравнение, заведомо имеющее три действительных корня. Составить его легко – просто перемножим три скобки вида х – b. Нужно только позаботиться, чтобы сумма корней равнялась нулю, ведь, по общей теореме Виета, она отличается от коэффициента при х2 только знаком.
Самый простой набор таких корней – это 0, 1 и – 1.Применим формулу Кардано к уравнению х (х – 1)(х + 1) = 0, или х3 – х = 0.
Полагая в ней p = -1 и q = 0, получаем х = 3 √ — 1/27 + 3 — √ — 1/27.
у у = х (х — 1)(х + 1)
Рис. 2 Уравнение х (х – 1)(х + 1) = 0 имеет три действительных корня: -1, 0 и 1. Соответственно график функции у = х (х – 1)(х + 1) пересекает ось абсцисс в трех точках.
Под знаком квадратного корня появилось отрицательное число. Такое бывает и при решении квадратных уравнений. Но квадратное уравнение в этом случае не имеет действительных корней, а у кубического их целых три!
Более тщательный анализ показывает, что мы попали в эту ловушку не случайно. Уравнение х3 + px + q = 0 имеет три действительных корня тогда и только тогда, когда выражение Δ = (q/2)2 + (p/3)3 под квадратным корнем в формуле Кардано отрицательно . Если Δ > 0, то действительный корень один (рис. 3, б), а если Δ = 0, то их два (один из них – двукратный), за исключением случая p = q = 0, когда все три корня сливаются.
у Δ 0 у = -pх — q у = х3
0 х 0 х у = -pх — q у = х3 а) б)
Рис. 3 Кубическое уравнение х3 + px + q = 0 можно представить в виде х3 = -px – q. Отсюда видно, что корням уравнения будут соответствовать абсциссы точек пересечения двух графиков: у = х3 и у = -px – q. Если Δ 0 – один.
1. 4 Теорема Виета
Теорема Виета. Если целое рациональное уравнение степени n, приведенное к стандартному виду, имеет n различных действительных корней х1, х2,. хn, то они удовлетворяют равенствам: х1 + х2 + + хn = — а1 , а0 х1х2 + х1х3 + + хn-1хn = а2 а0 х1 · х2 · · хn = (-1)nаn.
Для корней уравнения третьей степени а0х3 + а1х2 + а2х + а3 = 0, где а0 ≠ 0 справедливы равенства х1 + х2 + х3 = — а1, а0 х1х2 + х1х3 + х2х3 = а2, а0 х1х2х3 = — а3.
1. 5 Теорема Безу. Схема Горнера
Решение уравнений тесно связано с разложением многочленов на множители. Поэтому при решении уравнений важно все, что связано с выделением в многочлене линейных множителей, т. е. с делением многочлена А(х) на двучлен х – α.
Основой многих знаний о делении многочлена А(х) на двучлен х – α, является теорема, принадлежащая французскому математику Этьену Безу (1730-1783 гг. ) и носящая его имя.Теорема Безу. Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х – α равен А(α) (т. е. значению многочлена А(х) при х = α).
Пример 1.
Найдем остаток от деления многочлена А(х) = х4 – 6х3 + 8 на х + 2.
Решение. По теореме Безу остаток от деления на х + 2 равен А(-2) = (-2)4 – 6(-2)3 + 8 = 72.
Удобный способ нахождения значений многочлена при заданном значении переменной х ввел английский математик Вильямс Джордж Горнер (1786-1837 гг. ). Этот способ впоследствии получил название схемы Горнера. Он состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк. Например, чтобы вычислить А(-2) в предыдущем примере, в верхней строке таблицы перечисляем коэффициенты данного многочлена, записанного в стандартной форме х4 – 6х3 + 8 = х4 + (-6)х3 + 0 · х2 + 0 · х + 8.
Коэффициент при старшей степени дублируем в нижней строке, а перед ним записываем значение переменной х = -2, при котором вычисляется значение многочлена.
Получается следующая таблица:1 -6 0 0 8
Пустые клетки таблицы заполняем по следующему правилу: крайнее справа число нижней строки умножается на -2 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. По этому правилу в первой пустой клетке стоит число (-2) · 1 + (-6) = -8, во второй клетке ставится число (-2) · (-8) + 0 = 16, в третьей клетке – число (-2) · 16 + 0 = — 32, в последней клетке – число (-2) · (-32) + 8 = 72. Полностью заполненная по схеме Горнера таблица выглядит так:
1 -6 0 0 8
-2 1 -8 16 -32 72
Число в последней клетке и есть остаток от деления многочлена на х + 2, А(-2) = 72.
На самом деле из полученной таблицы, заполненной по схеме Горнера, можно записать не только остаток, но и неполное частное
Q(x) = x3 – 8×2 + 16x – 32, так как число, стоящее на второй строке (не считая с последнего), — это коэффициенты многочлена Q(x) – неполного частного от деления на х + 2.
Пример 2.
Решим уравнение х3 – 2х2 – 5х + 6 = 0
Выпишем все делители свободного члена уравнения: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
х = 1, х = -2, х = 3
Ответ: х = 1, х = -2, х = 3
2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сформулирую основные выводы о проделанной работе.
В процессе работы я познакомился с историей развития проблемы решения уравнения третьей степени. Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что осознанно занимает место формулы Кардано в решении некоторых уравнений третьей степени. Я убедился в том, что формула решения уравнения третьей степени существует, но из-за её громоздкости она не популярна и не очень надежна, так как не всегда достигает конечного результата.
В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы: как узнать заранее, какие корни имеет уравнение третьей степени; можно ли кубическое уравнение решить графическим способом, если можно, то как; как оценить приближенно корни кубического уравнения?
“Методы решения уравнений четвертой степени”
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №1 г.
Южи Ивановской областиПедагогический проект по теме:
“Методы решения уравнений четвертой степени”
Выполнила Чурина
Елена Вениаминовна,
учитель математики первой
квалификационной категории
Г. Южа
2021 год
Содержание
Актуальность
Цель и задачи работы:………………………………
1. Исторические сведения об уравнениях четвёртой степени……стр.
2. Определение уравнения 4 степени………………………….стр.
3. Способы решения уравнений 4 степени……………………………стр.
3.1. Схема метода Феррари……………………….стр.
3.2. Разложение на множители. Кубическая резольвента……………стр.
3.3. Теорема Виета для уравнения 4 степени……………………..стр.
3.4. Решение уравнений 4 степени по схеме Горнера……………………стр.
4.Решение некоторых уравнений 4 степени……………………………стр.
4.1. Решение биквадратного уравнения………………………………стр.
4.2. Решение уравнения способом группировки………………….стр.
4.3. Решение уравнения по свободному члену……………………стр.
4.4. Графический метод………………………………………..стр.
4.5. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата………………………………………………..стр.
5. Исследование………………………………………………стр.
6. Выводы
7. Заключение
8. Тренировочные задания для отработки различных способов решения уравнений высших степеней……………………………………………стр.
Список литературы
Актуальность
Как все знают, в математике одна из важнейших вещей — это уравнения. Чаще всего решаются линейные либо квадратные уравнения, но не мало важны уравнения 4 степени, которые решить сможет не каждый учащийся 9 класса. Чтобы решать такие уравнения было проще, нужно выбрать тот способ, который тебе более понятен.
Задания с уравнениями высших степеней есть в контрольных измерительных материалах при проведении государственной итоговой аттестации.
Значит, ученики должны уметь решать уравнения не только 2 степени, но и выше. А это умеет делать далеко не каждый.Цель работы: узнать и разобрать методы решения уравнений высших степеней.
Задачи:
Изучить литературу по истории приемов решения уравнений 4-й стпени
Обобщить накопленные знания об уравнениях4-й степени и способах их решения.
Сделать выводы.
Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению уравнений 4-й степени с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.
Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать уравнения 4-й степени?
Гипотеза: существует универсальный способ для решения всех видов уравнений 4-степеней.
Объект исследования: уравнения 4-й степени
Предмет изучения: методы и приемы решениях уравнений 4-й степени, в том числе
1.
Исторические сведения об уравнениях четвёртой степениРешение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй и высших степеней ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.
Однако уже при решении уравнений третей степени математики столкнулись с большими трудностями. История открытия способа решения кубических уравнений полна тайн, так как в древности учёные часто на открытых диспутах соревновались в решении трудных задач. От исхода этих состязаний зависела их научная репутация и материальное благополучие.
Тот, кто первым овладел решением кубических уравнений, мог легко победить своих соперников давая им задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям. Поэтому способы решения уравнения тщательно скрывались. Историки полагают, что первым нашёл способ решения кубических уравнений известный итальянский алгебраист Специна дель Ферро (1465-1576), но впервые опубликовал общую формулу решения кубических уравнений итальянский математик Джераламо Кордано (1501-1576г.). Эта формула носит теперь название формулы Кордано, хотя предполагают, что эту формулу ему передал итальянский математик Николо Тарталья ( 1500-1557). С именами этих же математиков связано открытие способов решения уравнений четвёртой степени.
В дальнейшем математики активно пытались найти формулы вычисления корней уравнений пятой и более степени. И только почти через три столетия впервые итальянский учёный Паоло Руффини (1765-1822), а затем норвежский математик Нильс Хенрих Абель (1802-1829г.) доказали, что не существует формулы, выражающей корни любого целого уравнения пятой степени через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами.
Да и найденные формулы вычисления корней для уравнений третьей и четвёртой степени столь сложны, что ими практически не пользуются. Поэтому в современной математике разработаны методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений. Использование компьютеров значительно облегчают эту работу.2. Определение уравнения 4 степени
Уравнение четвёртой степени —алгебраическое уравнение вида:
,
при этом a≠0 и где a,b,c,d,e- любые числа.
Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).
3. Способы решения уравнений 4 степени.
3.1 Схема метода Феррари
a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0,
(1)
где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем
Метод Феррари состоит из двух этапов.
На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.
На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Приведение уравнений 4-ой степени
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0,
(2)
где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.
Сделаем в уравнении (2) замену
(3)
где y – новая переменная.
Тогда, поскольку
то уравнение (2) принимает вид
(4)
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
y4 + py2 + qy + r = 0,
(5)
где p, q, r – вещественные числа.
Первый этап метода Феррари завершён.
3.2.Разложение на множители. Кубическая резольвента
Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение
2sy2 + s2,
где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим
Следовательно, уравнение (5) принимает вид
(6)
Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения
(7)
то уравнение (6) примет вид
(8)
Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде
или, раскрыв скобки, — в виде
(9)
Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).
Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».
Действительно,
Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение
(10)
а также квадратное уравнение
(11)
Вывод метода Феррари завершен.
Пример решения уравнения 4-ой степени
Пример. Решить уравнение
x4 + 4×3 – 4×2 – 20x – 5 = 0.
(12)
Решение.
В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) заменуx = y – 1.
(13)
Поскольку
x4 + 4×3 – 4×2 – 20x – 5 = (y – 1)4 + 4(y – 1)3 – 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 =
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 + 4y3 – 12y2 + 12y – 4 – 4y2 + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид
y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.
(14)
В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства
p = – 10, q = – 4, r = 8.
(15)
В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение
2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,
которое при сокращении на 2 принимает вид:
s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.
(16)
Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число
s = – 3.
(17)
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение
y2 – 2y – 4 = 0,
корни которого имеют вид:
(18)
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение
y2 + 2y – 2 = 0,
корни которого имеют вид:
(19)
В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):
Ответ.
Но эти способы очень сложны. Рассмотрю более простые способы, с помощью которых можно решить некоторые уравнения 4-й четверти.
3.3Теорема Виета для уравнения четвёртой степени
Корни уравнения четвёртой степени {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}} связаны с коэффициентами {\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,e}следующим образом:
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}},}
3.4.Решение уравнений четвертой степени по схеме Горнера
2x4 + 5x3 — 11x2 — 20x + 12 = 0
Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:
1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена
Мы нашли 1 из корней многочлена.
Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:2
5
-11
-20
12
2
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления.
Они считаются так:
2
5
-11
-20
12
2
Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из
соответствующей ячейки первой строки.
2
5
-11
-20
12
2
9
2 ∙ 2 + 5 = 9
2 ∙ 9 — 11 = 7
2 ∙ 7 — 20 = -6
2 ∙ (-6) + 12 = 0
2
5
-11
-20
12
2
2
9
7
-6
0
Последнее число — это остаток от деления.
Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители и переходим к уравнению.
(х-2)(2х3+9х2+7х-6)=0
Многочлен, являющийся вторым множителем попробуем разложить на множители подобным образом.
Отыщем опять делители свободного члена. В данном случае делителями числа -6: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6.
Число -2 является корнем многочлена. Напишем найденный корень в схему Горнера и начнем заполнять ячейки:
2
5
-11
-20
12
2
2
9
7
-6
0
-2
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
-2 ∙ 2 + 9 = 5
-2 ∙ 5 + 7 = -3
-2 ∙ (-3) — 6 = 0
2
5
-11
-20
12
2
2
9
7
-6
0
-2
2
5
-3
0
Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители и переходим к уравнению.
{2}-4ac}}}{2a}}}.}Пример.
Решить уравнение
Замена
из этого следует, что уравнение имеет два корня.
Обратная замена
т.е. невозможно
Ответ: .
4.2. Решение уравнения способом группировки
Способом группировки можно решить уравнение 4 степени.
Чтобы разложить уравнение на множители, надо сгруппировать слагаемые по парам. Мы должны сгруппировать слагаемые по парам таким образом, чтобы при вынесении общего множителя за скобки у слагаемых был одинаковый множитель.
Решим на примере.
2х4-5х3+2х2-5х=0
(2х4-5х3)+( 2х2-5х)=0
х3(2х-5)+х(2х-5)=0
(2х-5)(х3-х)=0
х(2х-5)(х2-1)=0
х(2х-5)(х-1)(х+1)=0
х=0 или 2х-5=0 или х-1=0 или х+1=0
х1=0 х2=2,5 х3=1 х4=-1
4.3. Решение уравнения по свободному члену
Любое уравнение вида можно свести к приведенному уравнению той же степени, домножив обе его части на и выполнив замену переменной вида :
Полученные коэффициенты тоже будут целыми.
Таким образом, будем решать приведенное уравнение степени n с целыми коэффициентами вида .
Алгоритм решения.
Находим целые корни уравнения.
Целые корни уравнения , i=1, 2, …, m (m – количество целых корней уравнения) находятся среди делителей свободного члена . То есть, первым делом выписываем делители свободного члена и подставляем их по очереди в исходное равенство для проверки. Перебираем их по очереди, пока не получим тождество. Как только тождество получено, то первый целый корень уравнения найден и уравнение предстает в виде , где — корень уравнения, а — частное от деления на .
Продолжаем подставлять выписанные ранее делители в уравнение , начиная с (так как корни могут повторяться). Как только получаем тождество, то корень найден и уравнение предстает в виде , где — частное от деления на .
И так продолжаем перебор делителей, начиная с . В итоге найдем все m целых корней уравнения и оно представится в виде , где — многочлен степени n-m.
Весь этот процесс удобно проводить по схеме Горнера.Дробных корней приведенное уравнение с целыми коэффициентами иметь не может.
Находим оставшиеся корни (иррациональные и/или комплексные) из уравнения любым способом.
Решить уравнение .
Во-первых, найдем все целые корни данного уравнения.
Свободным членом является -3. Его делителями являются числа 1, -1, 3 и -3.
Будем подставлять их по очереди в исходное равенство до получения тождества.
При х=1 имеем . То есть х=1 является корнем уравнения.
Разделим многочлен на (х-1) столбиком:
Следовательно, .
Продолжим перебор делителей, но уже для равенства :
При х = -1 получили верное равенство, следовательно, -1 является корнем уравнения.
Разделим на (х+1) столбиком:
Таким образом,
Продолжаем перебор делителей для равенства , начиная с х = -1:
Получили неверные равенства, следовательно, целых корней уравнение больше не имеет.
Оставшиеся корни исходного уравнения являются корнями квадратного трехчлена .
, то есть, действительных корней трехчлен не имеет, но имеет пару комплексно сопряженных.
4.4.Графический метод.
Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций у=ƒ(x) и у=g(x), входящих в уравнение ƒ(x) = g(x). Это может помочь выяснить:
1) на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения;
2) наличие или отсутствие корней, их количество.
Пример: (материал взят из ОГЭ 2016г.)
x4=(3x-10)2
Решение №3: x4=(3x-10)2
1) Рассмотрим две функции: у = х4 и у =(3х-10)2.
2) Построим график функции у = х4 — график парабола ветви направлены вверх.
3) Построим график линейной функции у = (3х-10)2. Это парабола ветви, которой направлены вверх.
4) В данном примере наглядно видна только одна точка пересечения В(2;16) (см. приложение рис.3), хотя очевидно, что графики пересекаются еще в одной точке (т.е. имеется еще одно решение).
Как видим, что графический способ в данном случае не удобен, так как ограниченный размер листа тетради не позволяет увидеть все точки пересечения.
Графическое решение уравнения- наглядный способ, он хорош при необходимости определения наличия или отсутствия корней и их количества.
4.5. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата.
Этот метод основан на использовании формул:
а2-b2=(а-b)(а+b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2−2ab+b2=(a−b)2
а3+b3=(а+b)(а2-аb+b2)а3-b3=(а-b)(а2+аb+b2)(а+b)3=а3+3а2b+3аb2+b3
(а-b)3= а3-3а2b+3аb2-b3,
Пример: х4=(3х-10)2
Способ 1: Используем формулу сокращенного умножения х4-(3х-10)2=0
(х2-3х+10)(х2+3х-10)=0
х2-3х+10=0 или х2+3х-10=0
D=9-40=-31 D=9+40=49
корней нет х1=-5, х2=2.
Ответ: х1=-2, х2=5.
6. Выводы:
1. Уравнения высших степеней решали еще более 500 тыс. лет назад.
2. Есть много способов решения уравнений 4-й степеней. Некоторые из них довольно сложные, а некоторые помогут быстро решить задания на ОГЭ.
3. Уравнения 4-й степеней играют немалую роль в развитии математики. Лишь немногие из учащихся умеют решать такие уравнения. Эти методы решения уравнений высших степеней непросты в применении, но они всё равно могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников.
7. Заключение
В данной работе рассмотрены способы решения уравнений 4-й степени.
А также рассмотрены приёмы решения уравнений 4-й степени, которые позволяют быстрее и проще решить такие уравнения.
Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку каждые из них интересны и уникальны. Овладение данными приёмами поможет экономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром и упрощенном решении обусловлена применением этих навыком на экзаменах.
Таким образом, цель работы — узнать и разобрать методы решения уравнений высших степеней- достигнуты. Гипотеза доказана, существует универсальный способ решения уравнений 4-й степени. Это способ Феррари.
Источники:
Алгебра. 9 класс:учебник для общеобразовательных организаций / А45 Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией С. А. Теляковского. – 4-е издание – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.: ил. – ISBN 978-5-09-046396-6.
. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.М. Звавич «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов». Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики -Москва «Просвещение», 1999.
В.В. Бардушкин, И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев, А.М. Ревякин,
А.М. Терещенко «Письменный вступительный экзамен по математике» — Москва «Лист», 1998.Н.В. Бурмистрова, Н.Г. Старостенкова «Функции и их графики». Учебное пособие — Саратов «Лицей», 2003.
М.
А.Еремин «Уравнения высших степеней» — Арзамас, 2003.А.Г.Курош «Алгебраические уравнения произвольных степеней» — М.:Наука, 1975.
Л.М.Лоповок «1000 проблемных задач по математике» — М.: Просвящение, 1995.
И.Р.Шафаревич «Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней» Вып.15 – М.: Наука, 1954.
10.https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-uravnenij-vysshih-stepenej/
11. http://www.cleverstudents.ru/equations/equations_of_higher_degree.html
12. https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_четвёртой_степени
Приложение 1
Тренировочные задания для отработки различных способов решения уравнений 4-й степени.
№1 Решите уравнения способом замены: , б) X4-2×2-8=0,
в) x4-8×2-9=0, г) x4-7×2+12=0, д) 3×4-13×2+4=0, е) 2×4-19×2+9=0,
ж) 3×4-13×2+4=0, з) (x2+4x)(x2+4x-17)=60=0, и) (x2-5x)(x2-5x+10)+24=0,
к)(x2-3x)2-2(x2-3x)=8, л) (x2+x)2-11(x2+x)=12, 1
м) ()+10=0, н) ()=3; о)
№2 Решите уравнения, раскладывая левую часть на множители способом группировки:
а) 2×4-5×3+2×2-5x=0,
б) 6×4-3×3+12×2-6x=0,
в) 2×4+3×3-8×2-12x=0,
г) 2×4-5×3-18×2+45x=0.
3Получим подробное решение:
Дано уравнение:
3 8 = (1/2 + 3*x)преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
/ 2\ -9*(-1 + 2*x)*\7 + 12*x + 12*x / -------------------------------- = 0 8Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
9 9*x - - --- = 0 8 4
2 7 + 12*x + 12*x = 0решаем получившиеся ур-ния:
1.
9 9*x - - --- = 0 8 4
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
-9*x ---- = -9/8 4
Разделим обе части ур-ния на -9/4
x = -9/8 / (-9/4)
Получим ответ: x1 = 1/2
2.
2 — 8*x + 5 = 0Чтобы решить такое возвратное кубическое уравнение, то введите данное уравнение в калькулятор:
Дано уравнение:
2 3 5 - 8*x - 8*x + 5*x = 0преобразуем
3 2 5*x + 5 - 8*x + 8 - 8*x - 8 = 0
или
3 3 2 2 5*x - 5*(-1) - 8*x - -8*(-1) - 8*x - 8 = 0
/ 3 3\ / 2 2\ 5*\x - (-1) / - 8*\x - (-1) / - 8*(x + 1) = 0
/ 2 2\ 5*(x + 1)*\x - x + (-1) / + -8*(x + 1)*(x - 1) - 8*(x + 1) = 0Вынесем общий множитель 1 + x за скобки
получим:
/ / 2 2\ \ (x + 1)*\5*\x - x + (-1) / - 8*(x - 1) - 8/ = 0или
/ 2\ (1 + x)*\5 - 13*x + 5*x / = 0тогда:
x1 = -1
и также
получаем ур-ние
2 5 - 13*x + 5*x = 0Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
3 = 0:x1 = -1
____ 13 \/ 69 x2 = -- + ------ 10 10____ 13 \/ 69 x3 = -- - ------ 10 103.1.2. Разложение выражений на множители
Глава 3. Решение уравнений и неравенств
3.1.
3.1.2.
Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде
F1 (x) · F2 (x) · … · Fn (x) = 0,(5) где выражения Fk (x), k = 1, …, n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители Fk (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).
Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.
1. Вынесение общего множителя за скобку
В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.
Пример 1
Разложить на множители многочлен x5 – 2x3 + x2.
Показать решение
2. Применение формул сокращённого умножения
Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:
Пример 2
Разложить на множители многочлен (x – 2)4 – (3x + 1)4.
Показать решение
3. Применение выделения полного квадрата
Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.
Пример 3
Разложить на множители многочлен x4 + 4x2 – 1.
Показать решение
4. Группировка
Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.
5. Метод неопределённых коэффициентов
Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.
Теоретической основой метода являются следующие утверждения.
- Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
- Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
- Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.
Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x → +∞ и x → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox.
Пример 4
Разложить на множители многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1.
Показать решение
6. Теорема о корнях многочлена
Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.
1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен Pn (x) представим в виде Pn (x) = (x – α) · Pn – 1 (x), где Pn – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем Pn (x).Пример 5
Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.
Показать решение
7. Разложение относительно параметра
Суть этого метода легче всего понять на примере.
Пример 6
Разложить на множители многочлен x4 – 10x2 – x + 20.
Показать решение
Главная Онлайн учебники База репетиторов России Тренажеры по математике Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн
Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.
Кубический многочлен — определение, формула, график, примеры
Кубический многочлен — это тип многочлена, основанный на степени, т. е. наибольшем показателе переменной. Следовательно, кубический многочлен — это многочлен с наивысшей степенью переменной или степени, равной 3. Многочлен — это алгебраическое выражение с переменными и константами с показателями в виде целых чисел. Давайте узнаем больше о кубических полиномах, определении, формулах и решим несколько примеров.
1. Определение кубического многочлена 2. Решение кубического многочлена 3. График кубического многочлена 4. Корни кубического многочлена 5. Часто задаваемые вопросы о кубическом многочлене Определение кубического многочлена
Кубический многочлен — это многочлен со старшим показателем степени переменной, т. е. степенью переменной, равной 3. В зависимости от степени многочлен делится на 4 типа, а именно нулевой многочлен, линейный многочлен, квадратичный многочлен и кубический многочлен. Общая форма кубического многочлена имеет вид p(x): ax 3 + bx 2 + cx + d, a ≠ 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — константа, причем все они равны вещественные числа. Уравнение, включающее кубический многочлен, называется кубическим уравнением. Некоторыми примерами кубического многочлена являются p(x): x 3 — 5x 2 + 15x — 6, r(z): πz 3 + (√2) 10 .
Формула кубического полинома
Формула кубического полинома имеет общий вид: + сх + d = 0,
Решение кубического многочлена
Общая форма кубического полинома: ax 3 + bx 2 + cx + d, a ≠ 0.
Решая кубический многочлен, мы всегда должны преобразовать уравнение в кубическое уравнение, разбив его на квадратное уравнение, а затем решить его двумя различными способами — факторная теорема и метод синтетического деления. Давайте посмотрим, как решать уравнения в обоих методах.Кубический многочлен с синтетическим делением
Синтетическое деление — это метод, используемый для выполнения операции деления многочленов, когда делитель является линейным множителем. Мы можем представить деление двух многочленов в виде: p(x)/q(x) = Q + R/(q(x))
где
- p(x) — делимое
- q(x) — линейный делитель
- Q — частное
- R — остаток
При решении кубического многочлена мы используем метод синтетического деления, и шаги следующие:
- Шаг 1: Проверяем, имеет ли кубический многочлен стандартную форму.
- Шаг 2: Запишите коэффициенты вместо делимого и ноль линейного множителя вместо делителя.
- Шаг 3: Уменьшите первый коэффициент, умножьте его и запишите под следующим коэффициентом.
- Шаг 4: Добавьте их и запишите значение ниже.
- Шаг 5: Повторяйте предыдущие 2 шага, пока не дойдете до последнего члена.
- Шаг 6: Отделите последний полученный член, который является остатком.
- Шаг 7: Теперь сгруппируйте коэффициенты с переменными, чтобы получить частное.
Теорема о кубическом многочлене с множителями
Теорема о множителях — разновидность теоремы о полиномиальных остатках, которая связывает множители многочлена и его нули. Согласно факторной теореме (x – a) можно рассматривать как фактор многочлена p(x) степени n ≥ 1 тогда и только тогда, когда p(a) = 0. Здесь a – любое действительное число. Формула факторной теоремы такова: p(x) = (x – a) q(x). Важно отметить, что все следующие утверждения справедливы для любого многочлена p(x):
- (x – a) является коэффициентом p(x).
- р(а) = 0,
- Остаток равен нулю, когда p(x) делится на (x – a).
- Решение p(x) = 0 есть a, а нуль функции p(x) есть a.
Факторная теорема в основном применима для многочленов нулевой, единичной и второй степени. Для таких степеней, как 3 и 4, таких как кубический многочлен, теорема о факторах используется вместе с синтетическим делением, и шаги следующие:
- Шаг 1: Используйте метод синтетического деления, чтобы разделить заданный многочлен p(x) на заданный двучлен (x−a)
- Шаг 2: После завершения деления остаток должен быть равен 0. Если остаток не равен нулю, это означает, что (x-a) не является множителем p(x).
- Шаг 3: Используя алгоритм деления, запишите заданный полином как произведение (x-a) и квадратного частного q(x)
- Шаг 4: Если возможно, умножьте квадратное частное дальше.
- Шаг 5: Выразите заданный полином как произведение его множителей.
Например: Рассмотрим такое деление: (x 3 — 2x 3 — 8x — 35)/(x — 5). Многочлен имеет порядок 3. Делитель является линейным множителем. Давайте воспользуемся синтетическим делением, чтобы найти частное. Таким образом, частное на порядок меньше заданного полинома. Это x 2 + 3x + 7, а остаток равен 0. (x 3 — 2x 3 — 8x — 35)/(x — 5) = x 2 + 3x + 7.
График кубического многочлена
Кубическая полиномиальная функция третьей степени имеет форму, показанную справа, и может быть представлена как y = ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c и d действительные чисел и a ≠ 0. Когда кубический многочлен не может быть решен с помощью вышеупомянутых методов, мы можем решить его графически. Точки, в которых график пересекает ось x, считаются решением и называются корнями кубического многочлена. При построении графика кубического многочлена нам необходимо помнить о двух важных аспектах:
- Если знак a положительный, то график будет идти снизу вверх.
- Если знак a отрицательный, то график будет направлен сверху вниз.
График кубического полинома выглядит следующим образом:
Функция кубического полинома
Кубические полиномы можно решать так же, как и квадратные уравнения. Но чтобы сделать его намного проще, мы можем использовать некоторые из этих специальных продуктов:
- Совершенный куб (2 формы): 3 ± 3а 2 б + 3аб 2 ± б 3 = (а ± б) 3
- Разность кубов: a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab +b 2 )
- Сумма кубов: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
Решим эту кубическую полиномиальную функцию y 3 – 2y 2 – y + 2. Начнем с факторизации уравнения:
у 3 – 2у 2 – у + 2 = у 2 (у – 2) – (у – 2)
= (у 2 – 1) (у – 2)
3 = (y + 1) (y – 1) (y – 2)
y = 1, -1 и 2.
Корни кубических многочленов
Решение кубического уравнения называется корнями кубического уравнения. В большинстве случаев у кубического многочлена есть 3 корня, но иногда мы получаем два или только один. Когда кубический многочлен решается графически, мы получаем точные корни или когда мы решаем уравнение с формулой, мы получаем корни. Предположим, что p,q и r являются тремя корнями уравнения ax 3 + бх 2 + сх + д. Формулы таковы:
- p + q + r = — b/a
- pq + qr + rp = c/a
- pqr = — д/д
Например: Решите следующее кубическое уравнение, x 3 — 12x 2 + 39x — 28 = 0.
Решение: Рассмотрим 3 корня a — b, a и a + b.
p = a — b, q = a, r = a + b
Из уравнения, x 3 — 12x 2 + 39x — 28 = 0 знаем,
a = 1, b = — 12, c = 39, d = — 28
Сумма корней = — b/a
a — b + a + a + b = — (-12)/1
3a = 12
a = 4.
Мы можем найти два корня, разложив уравнение на множители и превратив его в квадратное уравнение. Посмотрите на изображение ниже.
x 2 — 8x + 7 = 0
x 2 — 7x — x + 7 = 0
x(x — 7) — 1 (x — 7) = 0
3 (x — 9 1) (х — 7) = 0
х -1 = 0 и х — 7 = 0
x = 1 и x = 7
Таким образом, корни равны 1, 4 и 7.
Связанные темы
Ниже перечислены некоторые темы, связанные с кубическим полиномом.
- Нули кубического многочлена
- Полиномиальная функция
- Линейные, квадратичные и кубические многочлены
Часто задаваемые вопросы о кубических полиномах
Что такое кубический многочлен с примером?
Кубический многочлен — это тип многочлена со степенью 3, т. е. старший показатель переменной равен 3. Общая форма кубического многочлена записывается как p(x): ax 3 + bx 2 + cx + d, a ≠ 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — константа, причем все они являются действительными числами.
Как найти кубические многочлены?
Кубические многочлены могут быть решены путем преобразования кубического уравнения в квадратное уравнение. Решение кубического многочлена выполняется двумя способами — теоремой о факторах и синтетическим делением.
Как использовать теорему о факторах для кубических многочленов?
Для решения кубических многочленов по теореме о факторах используются следующие шаги:
- Используйте метод синтетического деления, чтобы разделить заданный многочлен p(x) на заданный двучлен (x−a)
- После завершения деления остаток должен быть равен 0. Если остаток не равен нулю, это означает, что (x-a) не является множителем p(x).
- Используя алгоритм деления, запишите данный полином как произведение (x-a) и квадратного частного q(x)
- Если возможно, разложите квадратное частное дальше.
- Выразите заданный полином как произведение его множителей.
Как использовать метод синтетического деления для кубических многочленов?
Кубические полиномы решаются синтетическим методом с использованием общих шагов, таких как взятие одних коэффициентов, уменьшение первого, умножение на ноль линейного множителя и добавление со следующим коэффициентом, и так повторяется до конца.
По какой формуле можно построить кубический многочлен?
Формула для построения кубического полинома: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0.
Формула кубического уравнения — выучить формулу кубического уравнения
Формула кубического уравнения используется для представления кубического уравнения . Многочлен третьей степени известен как кубический многочлен, или мы можем назвать его кубическим уравнением. Кубические уравнения имеют по крайней мере один действительный корень, и они могут иметь до 3 действительных корней. Корни кубического уравнения также могут быть мнимыми, но по крайней мере 1 должен быть действительным. Формула кубического уравнения вместе с несколькими решенными примерами объясняется ниже. Давайте исследуем их.
Что такое формула кубического уравнения?
Формулу кубического уравнения также можно использовать для получения кривой кубического уравнения. Представление кубического уравнения с помощью формулы кубического уравнения очень полезно для нахождения корней кубического уравнения.
Многочлен степени n будет иметь n нулей или корней. Кубическое уравнение имеет следующий вид:ax 3 +bx 2 +cx+d=0
Кубическое уравнение можно решить двумя способами
i) Trial — Ошибка и синтетическое разделение
ii) Факторизация.Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами
Закажите бесплатный пробный урок
Давайте посмотрим на применение формулы кубического уравнения в следующих решенных примерах.
Примеры использования формулы кубического уравнения
Пример 1: Выберите кубические многочлены из следующих:
- p(x): 5x 2 + 6x + 1
- р(х): 2х + 3
- q(z): z 2 − 1
- г(г): г 2 + (√2) 9
- г(г): √5z 2
- с(х): 10х
- р(у): у 3 − 6 лет 2 + 11 лет − 6
- q(y): 81y 3 − 1
- г(г): г + 3
Решение: Кубические многочлены среди приведенных выше многочленов:
Кубические многочлены р(у): у 3 − 6 лет 2 + 11 лет − 6
q(y): 81 год 3 − 1
г(г): г 2 + (√2) 9
Пример 2: Найдите корни следующего кубического уравнения 2x 3 + 3x 2 – 11x – 6 = 0
Решение:
Найти: Корни данного уравнения.
Это уравнение не может быть решено с помощью метода факторизации, мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы найти один корень.
Обычно мы начинаем со значения «1».
f (1) = 2 + 3 – 11 – 6 ≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11 – 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 – 22 – 6 = 0Значение «2» делает L.H.S равным «0». Следовательно, два — это один из трех корней.
Теперь мы воспользуемся методом синтетического деления, чтобы найти два других корня.
Мы разделим наше уравнение на (x-2) и частное даст нам два других корня. Мы разделим наше уравнение на (x-2), и частное даст нам два других корня.
Частное: (2x 2 + 7x + 3)
Факторизация этого частного,
(2x+1) (x+3)
Отсюда мы получаем значения x as,
x = -1/2 и x = -3
Ответ: Итак, три корня кубического уравнения: x = 2, x = -1/2 и x = -3Пример 3: Используя формулу кубического уравнения, решите кубическое уравнение x 3 – 2x 2 – x + 2.
Решение:
Сначала мы проверим, можем ли мы разложить кубическое уравнение на множители или нет, если его нельзя разложить на множители, мы должны использовать метод синтетического деления. Но в этом случае, посмотрев, мы можем сказать, что это уравнение можно решить с помощью факторизации. Посмотрим, как.
х 3 – 2х 2 – х + 2.
= х 2 (х – 2) – (х – 2)
= (х 2 – 1) (х – 2)
= (х + 1) (х – 1) (х – 2)
Мы можем заключить, что
x = -1, x = 1 и x = 2.Ответ: Итак, три корня кубического уравнения: x = -1, x = 1 и x = 2.
Часто задаваемые вопросы по формуле кубического уравнения
Что такое формула кубического уравнения?
Формулу кубического уравнения также можно использовать для получения кривой кубического уравнения. Представление кубического уравнения с помощью формулы кубического уравнения очень полезно для нахождения корней кубического уравнения.
Многочлен степени n будет иметь n нулей или корней. Кубическое уравнение имеет следующий вид: ax 3 +bx 2 +cx+d=0Как решать кубические полиномы, используя формулу кубического полинома?
Наиболее часто используемая стратегия решения кубического уравнения:
- Шаг 1: Приведение кубического многочлена к квадратному уравнению.
- Шаг 2: Решите квадратное уравнение, используя квадратную формулу.
Что такое уравнение для формулы кубических многочленов?
Кубическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение третьей степени и имеет вид ось 3 + bx 2 + cx + d = 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — константа.
Рабочие листы по математике и
наглядный учебный планКак решать кубические уравнения
Решение полиномиальных функций является ключевым навыком для всех, кто изучает математику или физику, но понимание процесса, особенно когда речь идет о функциях более высокого порядка, может быть довольно сложным.
Кубическая функция — один из самых сложных типов полиномиальных уравнений, которые вам, возможно, придется решать вручную. Хотя это может быть не так просто, как решение квадратного уравнения, есть несколько методов, которые вы можете использовать, чтобы найти решение кубического уравнения, не прибегая к страницам и страницам подробной алгебры. 91+d = 0Каждое решение для x называется «корнем» уравнения. Кубические уравнения имеют либо один действительный корень, либо три, хотя они могут повторяться, но всегда есть хотя бы одно решение.
Тип уравнения определяется наибольшей степенью, поэтому в приведенном выше примере это не было бы кубическим уравнением, если a = 0 , потому что член наибольшей степени был бы равен bx 2 и было бы быть квадратным уравнением. Это означает, что следующие уравнения являются кубическими: 92 = 0
Решение с использованием теоремы о факторах и синтетического деления
Самый простой способ решить кубическое уравнение включает в себя немного догадок и алгоритмический тип процесса, называемый синтетическим делением.
Начало, тем не менее, в основном такое же, как метод проб и ошибок для решения кубического уравнения. Попробуйте угадать, какой из корней. Если у вас есть уравнение, в котором первый коэффициент a равен 1, то немного легче угадать один из корней, потому что они всегда являются множителями постоянного члена, который представлен выше как 92 − 2x + 24 = 0Вы должны угадать одно из значений x , но поскольку a = 1, в этом случае вы знаете, что каким бы ни было значение, оно должно быть в 24 раза больше. первый такой множитель равен 1, но это оставит:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
Что не равно нулю, и −1 даст:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
Что опять же не ноль. Далее, x = 2 даст:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
Еще один провал. Попытка x = -2 дает:
-8 — 20 + 4 + 24 = 0
Это означает, что x = -2 является корнем кубического уравнения. Это показывает преимущества и недостатки метода проб и ошибок: вы можете получить ответ без долгих размышлений, но это отнимает много времени (особенно если вам нужно перейти к более высоким факторам, прежде чем найти корень).
К счастью, когда вы нашли один корень, вы можете легко решить остальную часть уравнения.Ключом является включение теоремы о факторах. Это говорит о том, что если 92 + ax + b) = 0
Слагаемые во второй группе скобок имеют форму квадратного уравнения, поэтому, если найти соответствующие значения для a и b , уравнение можно решить.
Этого можно добиться с помощью синтетического деления. Сначала запишите коэффициенты исходного уравнения в верхней строке таблицы с разделительной чертой, а затем известный корень справа:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & & \\ \hline & & & & & \end{массив}
Оставьте один запасной ряд и добавьте под ним горизонтальную линию. Сначала возьмите первое число (в данном случае 1) вниз до строки под горизонтальной линией
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x =-2 \\ & & & & \\ \hline 1 & & & & \end{array}
Теперь умножьте полученное число на известный корень.
В этом случае 1 × −2 = −2, и это записывается под следующим числом в списке следующим образом:\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & & & & \end{array}
Затем добавьте числа во второй столбец и поместите результат под горизонтальной чертой:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & -7 & & & \end{array}
Теперь повторите только что пройденный процесс с новым числом под горизонталью строка: Умножьте на корень, поместите ответ в пустое место в следующем столбце, а затем добавьте столбец, чтобы получить новое число в нижней строке. Остается:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & & \\ \hline 1 & -7 & 12 & & \end{array}
И затем повторите процесс в последний раз.
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \hline 1 & -7 & 12 & 0 & \end{array}
Тот факт, что последний ответ равен нулю, говорит вам, что у вас правильный корень, так что если это не ноль, то вы где-то ошиблись.
92 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)Вы можете умножить это, чтобы проверить, если хотите. Не расстраивайтесь, если вы не можете сразу увидеть факторизацию; это требует немного практики. Это оставляет исходное уравнение как:
(x + 2) (x — 3) (x — 4) = 0
Которое, как вы сразу видите, имеет решения в x = -2, 3 и 4 (все из которых множители 24, исходная постоянная). Теоретически также можно увидеть всю факторизацию, начиная с исходной версии уравнения, но это намного сложнее, поэтому лучше найти одно решение путем проб и ошибок и использовать подход, описанный выше, прежде чем пытаться обнаружить ошибку. факторизация. 92}
и
r = {c \над{1pt}3a}
Использование этой формулы требует много времени, но если вы не хотите использовать метод проб и ошибок для решения кубического уравнения, а затем квадратного формула, это работает, когда вы проходите через все это.
Как решать уравнения 1-й, 2-й и 3-й степени
Содержание
При изучении математики мы можем столкнуться с задачей решения различных типов уравнений, поэтому в этом посте мы увидим, как решать первые, вторые, и уравнения третьей степени.
Возможные варианты решений
Во-первых, нам нужно понять, каковы возможные решения для решения уравнений, вот они:
Мы определяем как множество возможных решений уравнения.
1-Нет решения: некоторые уравнения не имеют решения, т. е. нет значения переменной, которое могло бы сделать уравнение проверенным или истинным. Вот пример:
Упрощаем уравнение умножая через скобки получаем
и, вычитая из обеих частей, мы получаем 6 = 10, что неверно, и поэтому мы делаем вывод, что для этого уравнения нет решения, т. Е. Пусто или .
2- Уникальное решение: уравнения могут иметь единственное решение, которое их подтверждает, а это означает, что существует одно и только одно значение переменной, которое делает уравнение верным. Вот несколько примеров:
Пример 1:
вычитая 5 с обеих сторон, мы получаем
и разделив на 3 обе части, получим
Вот оно, решение, которое мы ищем, и оно единственное.
является единственным значением для того, чтобы уравнение было верным, .Пример 2:
Вычитая из обеих частей, чтобы исключить в правой части уравнения, мы получаем
и, добавляя 14 к обеим частям, мы получаем, разделив на 4, мы получаем, мы получить одно и только одно значение для i.e.
3- Несколько решений: уравнения могут иметь несколько решений, где есть несколько значений для проверки уравнения, вот пример этого:
мы можем сделать умножение скобок и получить
Используя факторизованную запись уравнения, чтобы правая часть была равна 0, одна из двух скобок должна быть равна 0, и для этого мы имеют два случая:
Либо вычитая 5, мы получаем и деля на 2, мы получаем ,
, либо и добавляя 3 для обеих сторон, мы получаем .
Итак, у этого уравнения есть два возможных решения.
4- Бесконечные решения: Уравнение с бесконечными решениями — это уравнение, всегда проверяемое независимо от значения , давайте посмотрим на следующий пример:
упрощая обе части, получаем
и затем
вычитая из обеих сторон получаем .
Путем упрощения уравнения мы получили, что оно всегда истинно, оно не зависит от значения , поэтому независимо от значения уравнения всегда истинно, и, поскольку имеет бесконечные возможные значения, у нас есть бесконечные решения для этого уравнение.
Теперь, увидев различные варианты числа возможных решений, давайте посмотрим, как решать уравнения первой, второй и третьей степени.
Решение уравнений первой степени
Определение
Мы называем уравнением первой степени любое уравнение, записанное следующим образом: степень не находится в этой форме, но после упрощения она всегда заканчивается формой выше.
Мы называем это уравнением первой степени из-за того, что переменная начинается до степени 1, и это самая высокая степень переменной в уравнении, что означает .
Алгебраический метод
Чтобы решить уравнение первой степени, мы сначала упрощаем его, если оно не упрощается, чтобы получить вид, а затем все, что нам нужно, это передать b в другую сторону и разделить на a, т.
е.и вот оно решение уравнения
Пример:
Упростим уравнение
тогда получим вид
т.е.
Геометрический метод
Мы можем решить уравнение геометрически, рассматривая обе части уравнения как уравнение прямой линии, что означает, что левая часть является уравнением прямой, а правая часть — уравнением прямой.
Затем мы можем провести обе линии в ортометрической плоскости, и мы нарисуем линию и линию, эквивалентную оси x (поскольку ось x — это линия с )
(т.е. ) означает точку, где две линии пересекаются, поэтому, рисуя линию и беря место ее пересечения с осью x, мы получаем наше решение, и оно совпадает с алгебраическим методом.
Пример:
Давайте решим уравнение
Мы нарисуем линию с помощью уравнения
Мы выберем 2 значения и получим соответствующее значение, а затем нарисуем две точки на плоскости и нарисуем новую линию проходящей через две точки, а координата точки пересечения прямой и оси абсцисс является решением уравнения.
Решение уравнений второй степени
Определение
Уравнением второй степени мы называем каждое уравнение стандартной формы с , действительные числа и отличные от нуля. Оно называется уравнением второй степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 2 (т.е. ).
Разложение на умножение двух уравнений первой степени
Метод решения уравнения второй степени состоит в том, чтобы записать его в виде умножения двух уравнений первой степени и решить путем нахождения решения двух уравнений первой степени.
Как разложить уравнение второй степени на множители?
Если мы рассмотрим уравнение второй степени, подобное следующему:
Итак, чтобы перейти от правосторонней формы к левосторонней факторизованной форме, нам нужно выяснить значения и знать значение и из правосторонней формы . Давайте попробуем пример:
Нам нужно разделить на 2, чтобы удалить множитель и получить форму
, поэтому мы получаем:
Теперь с этой формой мы знаем, что и .
Итак, нам нужно найти два числа и что их сумма равна 10 и их произведение равно 21.
У нас и 21 можно записать как произведение как или , а так как должно быть равно 10 у нас , значит значения и те, которые делают и .
После этого все, что нам нужно сделать, это записать уравнение в виде .
итак, получаем:
Теперь решение простое, так как произведение двух первой степени равно нулю, то мы точно знаем, что либо первый член произведения равен нулю, либо второй равен к нулю, что означает либо или , мы решаем каждый член первой степени левой части, мы получаем:
и, следовательно, мы имеем два решения уравнения второй степени , .
Мы можем проверить, задав значение или , как показано ниже:
Решение уравнения второй степени с использованием дискриминанта
Дискриминантом уравнения назовем выражение , обычно оно обозначается буквой , т.е.
В зависимости от знака дискриминанта мы можем определить количество и значение, если оно есть, из решений, и возможные случаи следующие:
1- Если дискриминант строго положителен (), то уравнение имеет два различных решения, и решения таковы:
.
Пример:
Определим решения уравнения:
Вычислим:
поэтому имеем
Мы заключаем, что уравнение имеет два различных решения, и они следующие:
3
2- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один двойной корень, а это означает, что уравнение имеет два одинаковых решения, то есть одно повторяющееся (или удвоенное) решение. Решение дается следующим образом:
Пример:
Определим решения уравнения:
вычисляя получаем:
Делаем вывод, что уравнение имеет одно решение: ; .
Причина, по которой мы называем это решение двойным корнем или повторным решением, состоит в том, что уравнение на самом деле может быть записано как произведение одного и того же полинома первой степени и, следовательно, одного и того же решения для двух полиномов первой степени.
Если взять предыдущий пример, то имеем:
3-Если дискриминант строго отрицательный (), то уравнение не имеет решений.
Пример:
Давайте решим уравнение
вычислив, что получим: он отрицательный).
Решение уравнения второй степени с использованием алгебраических тождеств
В этом методе мы используем алгебраическое тождество
,
, где переменная и действительное число.
Чтобы решить уравнение, мы делаем следующие шаги:
1- Делим обе части на , получаем: .
2- Вычитаем с каждой стороны, получаем: .
3- Добавляем значение (т.е. квадрат одной половины ) к обеим сторонам и получаем:
.
4- Теперь у нас левая часть записывается как Расширение алгебраического тождества, поэтому мы можем записать левую часть следующим образом:
.
5- Извлекаем корень из обеих частей и решаем полученное уравнение.
Для лучшего объяснения воспользуемся этим методом на примере:
Сначала делим на 3, получаем: .
Во-вторых, вычитаем по 4 с обеих сторон, получаем: .
В-третьих, прибавляем к обеим сторонам, получаем: .
Упрощаем правую часть:
,
,
.
Далее, запишем левую часть как алгебраическое тождество, получим: .
В-пятых, извлекаем квадратный корень из обеих частей, получаем: .
В-шестых, вычитаем с обеих сторон, получаем: .
Итак, у нас есть два решения уравнения второй степени, решения:
.
Решая геометрически
мы можем построить график функции и найти какие значения с помощью графического программного обеспечения или графического калькулятора.
Построив график функции , мы получим график, представляющий собой параболу, решение уравнения эквивалентно определению значения для точек пересечения графика с осью x. Есть три случая:
- Во-первых, график пересекается с осью x в двух точках, что означает, что уравнения имеют два различных решения (соответствует случаю, когда ).
- Во-вторых, график пересекается с осью x только в одной точке, а это означает, что уравнение имеет одно двойное решение (соответствует случаю, когда ).
- В-третьих, график не пересекается с осью x, то есть уравнение не имеет решений (соответствует случаю, когда ).
На следующем рисунке показаны три возможных случая:
Решение уравнений третьей степени
Определение
Мы называем уравнением третьей степени или кубическим уравнением каждое уравнение в упрощенном виде имеет следующую стандартную форму:
где , и — действительные числа, отличные от 0.
Это уравнение называется уравнением третьей степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 3 (т.е. ).
Решение уравнения третьей степени
По числу возможных решений, в отличие от уравнений первой и второй степени, уравнение третьей степени имеет хотя бы одно решение. Алгебраически причина в том, что член с наибольшей степенью , т. е. зарастает остальными членами и стремится к бесконечности в обе стороны в зависимости от знака, а это означает, что при очень малых отрицательных значениях для () стремятся к , а при очень больших положительных значения для () стремятся (или наоборот, в зависимости от знака коэффициента при члене ), то есть при переходе от одной бесконечности к другой она хотя бы один раз проходила нулем.
Возможны три случая: одно, два или три решения.Чтобы решить уравнение третьей степени, было бы полезно, если бы мы знали одно решение (или корень) для начала. Зная одно решение (помните, что каждое кубическое уравнение имеет по крайней мере одно решение), мы продолжаем разлагать уравнение третьей степени на множители в виде произведения полинома первой степени (используя известное нам решение) на полином второй степени. На данный момент мы не знаем коэффициентов многочлена второй степени, поэтому мы узнаем их значение, а затем решаем уравнение второй степени, и, следовательно, получаем решения уравнения третьей степени.
Для лучшего понимания давайте попробуем решить это уравнение:
зная, что это решение.
Поскольку это решение, то левая часть уравнения третьей степени может быть представлена как произведение полинома первой степени на полином второй степени , что означает, что мы можем записать уравнение в виде:
Теперь нам нужно найти значения и , для этого воспользуемся первой развернутой формой полинома третьей степени, т.
е.расширяя левую часть, мы получаем:
Так как обе стороны теперь в стандартной форме, чтобы выяснить значения , и . Все, что нам нужно сделать, это приравнять каждый коэффициент слева к соответствующему коэффициенту справа, другими словами:
- Во-первых, коэффициенты члена равны, т.е.
- Во-вторых, коэффициенты при члене равны, т.е.
- В-третьих, коэффициенты при члене равны, т.е.
- В-четвертых, константы (коэффициенты члена , означающего действительное число без ) равны, т.е.
Теперь определим значения и :
Итак, у нас есть
и поэтому
у нас есть , заменив a на 1, мы найдем так
Следовательно, мы имеем значения , , .
, поэтому факторизованная форма теперь выглядит следующим образом:
Теперь осталось решить уравнение второй степени
, используя любой из методов, которые мы видели ранее, мы получаем два решения
Следовательно, уравнение третьей степени имеет три различных решения, и уравнение может быть записано в факторизованной форме
.
Как мы упоминали ранее, есть три возможных случая количества решений: одно, два или три решения, и, поскольку мы начинаем с известного решения, для определения количества решений используется полином второй степени, и оно выглядит следующим образом:
- Если многочлен второй степени не имеет решения, то у нас есть только одно решение, с которого мы начали.
- В случае, если многочлен второй степени имеет одно решение (удвоенный корень), то для уравнения третьей степени мы имеем всего два решения, то, с которого начали, и то, что из многочлена второй степени.
- Если многочлен второй степени имеет два различных решения, то всего у нас есть три решения: то, с которого мы начали, и два решения из многочлена второй степени.
Обратите внимание, что в случае, если константа в стандартной форме третьего уравнения равна нулю, это означает, что уравнение имеет форму
мы знаем, что это решение, поскольку каждый член имеет
, поэтому нам не нужно проходить весь процесс для определения коэффициентов второй степени, мы просто берем в качестве множителя и получаем нашу факторизованную форму следующим образом.
с , а уже известны и определять их нет необходимости, поэтому приступаем непосредственно к решению уравнения второй степени.
Пример:
решим уравнение
так как константы нет то возьмем множитель
Мы знаем, что это решение, поэтому мы приступаем к решению уравнения второй степени
, используя один из показанных методов, прежде чем получим два решения или .
Мы заключаем, что уравнение имеет три решения, и факторизованная форма .
решая геометрически
Геометрически, причина, по которой уравнение третьей степени имеет хотя бы одно решение, состоит в том, что график проходит от к или наоборот (от к ), и поэтому мы уверены, что график пересекается с осью x по крайней мере один раз.
Чтобы решить уравнение третьей степени, мы можем построить график функции и найти ее значения с помощью графического программного обеспечения или графического калькулятора.
Решение уравнения эквивалентно определению значения для точки пересечения графика и оси x.
Возможны три случая:- График пересекается только в одной точке с осью x, поэтому уравнение имеет только одно решение.
- График имеет две точки пересечения с осью абсцисс, поэтому уравнение имеет два различных решения (одно из них дублируется).
- График пересекается с осью x в трех точках, поэтому уравнение имеет три различных решения.
На следующем рисунке показаны различные возможные случаи.
Заключение
В заключение знание этих методов решения может сделать процесс решения уравнений первой, второй и третьей степени простым, легким и простым с четкими шагами.
Вы хотите получить больше удовольствия! Проверьте график ниже и посмотрите, как графики меняются в зависимости от значений коэффициентов. Отметьте тип уравнения, которое вы хотите отобразить (одно или несколько), затем проведите пальцем, чтобы изменить значения , и и посмотрите, как динамически меняются графики. Наслаждаться!
Решение кубических уравнений.
Методы и примерыВ математике многочленом называется алгебраическое выражение, состоящее из переменных, коэффициентов и арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение или деление. Общая форма многочлена: ax n + bx n-1 + cx n-2 +… + 1. Уравнение — это математическое выражение, выражающее отношение между двумя значениями. Алгебраическое уравнение — это уравнение, имеющее вид ax n + bx n-1 + cx n-2 +… + 1 = 0. Например, 2x-5 = 0 является примером алгебраического уравнения, где (2x-5) является полиномом. Существуют различные типы алгебраических уравнений в зависимости от высшей степени переменной, такие как линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение, уравнение и т. д.
Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором полином высшей степени равен 3. Некоторые примеры кубических уравнений:
x 3 — 4x 2 + 15x — 9 = 0, 2x 3 — 4x 2 + 5 = 0, и т.
Д.Общая форма кубического уравнения —
. 3 + bx 2 + cx + d = 0, a ≠ 0
где,
a, b, и c — коэффициенты, а d 90 — константа.
Как решать кубические уравнения?
Кубическое уравнение можно решить традиционным способом, сведя его к квадратному уравнению, а затем решив либо с помощью факторизации, либо по квадратной формуле. Подобно тому, как квадратное уравнение имеет два корня, кубическое уравнение имеет три корня. Кубическое уравнение может иметь три действительных корня или действительный корень и два мнимых корня. Любое уравнение, в том числе и кубическое, всегда должно быть сначала приведено в стандартную форму.
Например, если задано уравнение 2x 2 -5 = x + 4/x, то мы должны привести его к стандартной форме, т. е. 2x 3 -x 2 -5x- 4 = 0. Теперь мы можем решить уравнение любым подходящим способом.
Кубическое уравнение можно решить следующими способами:
- Нахождение целочисленных решений с помощью списков множителей
- Использование графического метода
Решение кубического уравнения с использованием множителей полинома
Пример: Найдите корни уравнения f(x) = 3x 3 −16x 2 + 23x − 6 = 0.
Решение:
= 3x: 900 3 −16x 2 + 23x − 6 = 0.
Сначала разложите многочлен на множители, чтобы получить корни.
Поскольку константа равна +6, возможные множители равны 1, 2, 3, 6.
f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 ≠ 0
f(2) = 24 – 64 + 46 – 6 = 0
f(3) = 81 – 144 + 69– 6 = 0
f(6) = 648 – 576 + 138 – 6 ≠ 0
Мы знаем, что если f(a) = 0, то (x-a) является множителем f(x).
Итак, (x – 2) и (x – 3) являются множителями f(x). Теперь, чтобы найти остальные факторы, используйте метод синтетического деления.
(x – 2)(x – 3) = (x 2 – 5x + 6)
Итак, (3x-1) – это еще один множитель f(x).
Итак,
корни данного уравнения равны 1/3, 2 и 3.
Решение уравнения графическим методом
Кубическое уравнение решается графически, если вы не можете решить данное уравнение другими способами. Итак, нам нужен точный рисунок данного кубического уравнения. Корни уравнения — это точки, в которых график пересекает ось X. Число действительных решений кубического уравнения равно количеству пересечений графика кубического уравнения с осью x.
Пример: Найдите корни уравнения f(x) = x 3 − 4x 2 − 9x + 36 = 0, используя графический метод.
Решение:
Полученное выражение: f(x) = x 3 − 4x 2 − 9x + 36 = 0.
Теперь просто подставим случайные значения x на график для заданного function:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f(x)
-56
0
19
40
36
24
10
0
0
16
Мы видим, что график срезает X-Axis на 3 пункта 3.
, следовательно, существует 3 действительных решения.Судя по графику, решения: x = -3, x = 3 и x = 4.
Следовательно, корни данного уравнения равны -3, 3 и 4.
Задачи, основанные на решении кубическое уравнение
Задача 1. Найдите корни f(x) = x 3 – 4x 2 -3x + 6 = 0,
Решение:
x 900 = x 3 – 4x 2 -3x + 6 = 0.Сначала разложите многочлен на множители, чтобы получить корни.
Поскольку константа равна +6, возможные коэффициенты равны 1, 2, 3, 6.
f(1) = 1 – 4 – 3 + 6 = 7 – 7 = 0
f(2) = 8 – 16 – 6 + 6 ≠ 0
f(3) = 27 – 36 – 9 + 6 ≠ 0
f(6) = 216 – 144 -18 + 6 = -48 ≠ 0
Итак, (x – 1) является фактором данного уравнения. Теперь, чтобы найти остальные факторы, используйте метод синтетического деления.
Итак, f(x) = x 3 – 4x 2 -3x + 6 = (x – 1) (x 2 – 3x – 6) = 0
Мы знаем, что корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 являются √(3 2 – 4(1)(-6)]/2(1)
x = (3 ± √33)/2
Следовательно, корни данного кубического уравнения равны 1, (3+ √33)/2 и (3–√33)/2.
Решение: Заданное выражение: f(x) = 4x 3 – 10x 2 + 4x = 0
⇒ x (4x 2 – 10x + 4) = 0
⇒ 904 – 9 0 x (43×2 90 2x + 4) = 0
⇒ x(4x(x – 2) – 2(x – 2)) = 0
⇒ x (4x – 2) (x – 2) = 0
⇒ x = 0 или 4x – 2 = 0, x – 2 = 0
⇒ x = 0 или x = 1/2 или x = 2
Следовательно, корни данного уравнения равны 0, 1/2 и 2.
Задача 3: найти корни уравнения f(x) = x 3 + 3x 2 + x + 3 = 0.
Решение:
Данное выражение: f(x) = x 3 + 3 x 2.
⇒ х 2 (х + 3) + 1(х + 3) = 0
⇒ (х + 3) (х 2 + 1) = 0
⇒ х + 3 = 0 или х 2 + 1 = 0
⇒ x = -3, ±i
Итак, данное уравнение имеет действительный корень, т.е. -3, и два мнимых корня, т.е. ±i.
Задача 4: найти корни уравнения f(x) = x 3 — 3x 2 — 5x + 7 = 0.
Решение:
Указано.
Сначала разложите многочлен на множители, чтобы получить корни.
Поскольку константа равна +7, возможные множители равны 1 и 7.
f(1) = 1 – 3 – 5 + 7 = 0
f(7) = 343 – 147 – 35 + 7 ≠ 0
Итак, (x – 1) является множителем данного уравнения. Теперь для нахождения остальных коэффициентов используем синтетический метод деления.
Итак, f(x) = x 3 – 3x 2 – 5x + 7 = (x – 1) (x 2 – 2x – 7) = 0
Мы знаем, что корни квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 are,
x = [-b ± √(b 2 -4ac)]/2a
x = [2 ± √(2 2 –4) (1)(-7)]/2(1)
= (2 ± √30)/2
Следовательно, корни данного кубического уравнения равны 1, (2+√30)/2 и (2 –√30)/2.
Задача 5: найти корни уравнения f(x) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6 = 0, используя графический метод.
Решение:
Заданное выражение: f(x) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6 = 0.
Теперь просто заменим x на график случайными значениями Функция:
x
1
2
3
4
5
4
5
0008F (x)
0
0
0
240003
240003
240003
ось абсцисс в 3 точках, следовательно, существует 3 действительных решения. Судя по графику, решения: x = 1, x = 2 и x = 3.
Следовательно, корни данного уравнения равны 1, 2 и 3.
Решение кубических уравнений
Решение кубических уравненийЭта страница предназначена для чтения после двух других: одна на что значит решить уравнение а другой по алгебраическим числам, расширения поля и связанные с ними идеи.
Представим себя перед кубом. уравнение x 3 + ax 2 +bx +c = 0. Решить это уравнение означает записать формулу его корней, где формула должна быть выражением, построенным из коэффициенты a, b и c и фиксированные действительные числа (т. е. числа, не зависящие от а, б и в) с помощью только сложения, вычитание, умножение, деление и извлечение корнеплоды.
Как и на других страницах, я попытаюсь показать, что можно вывести такую формулу, следуя стандарту математические инстинкты, без потребности в таинственных вспышки вдохновения. Я конечно не утверждаю, что любой здравомыслящий человек должен уметь вывести формулу за час-два — нахождение нужного стандартного математического инстинкт» обычно включает в себя несколько попыток, которые не работают. Тем не менее, список подходящих для пробы в том или ином случае ситуация обычно не слишком длинная. Если вы молоды и амбициозны и еще не умеете решать кубики, я бы порекомендовал иметь или, возможно, прочитав эту страницу, а затем попробуй.
Ваши шансы на успех за несколько часов
вероятно, выше, чем вы думаете.Начнем с одного из самых полезных (и очевидных) общие принципы решения задач по математике.
Если вы пытаетесь решить проблему, посмотрите, может адаптировать известное вам решение к аналогичной проблеме.
Используя этот принцип, можно не начинать с чесаться с каждой новой проблемой. Важно не то трудность самой проблемы, но сложность разница между проблемой и другими задачи, решения которых известны.
Решение квадратичных уравнений
В данном случае совершенно очевидно, что аналогичный проблема, которую мы должны решить, состоит в том, чтобы найти решение квадратное уравнение x 2 + 2ax + b = 0. (У меня есть ставлю множитель 2 просто для удобства — конечно не имеет никакого значения математически.) Как мы это делаем? Итак, мы «наблюдаем», что
x 2 + 2ax +b = (x+a) 2 + b-a 2
, который быстро приводит к решению
х = -а +/- (а 2 -b) 1/2
Это наблюдение было умным? Будет полезно остановиться на этот более элементарный вопрос, прежде чем продолжить кубический.
Итак, давайте представим, что мы даже не знаем, как решать квадратные уравнения.
Одно из направлений мысли, которое может привести нас к решению, заключается в следующем.
После изучения общего уравнения x 2 + 2ax +b = 0
и, не имея никаких идей, мы возвращаемся к следующему вопросу.Есть ли особые случаи, которые я знаю, как решить?
Потом с некоторым смущением отмечаем про себя, что мы можно решить уравнение при a = 0. То есть мы можем решить уравнение x 2 + b = 0 (поскольку мы можем взять квадратные корни). Далее мы, возможно, заметим, что если b=a 2 , то имеем уравнение x 2 + 2ax + a 2 = 0, которое можно переписать (x+a) 2 = 0. Как только мы заметили это, мы поймем, что помогает не то, что правая часть равна нулю, а левая часть идеальный квадрат. Следовательно, мы можем решить (x+a) 2 =б для любого б. Это дает нам целое семейство квадратичных уравнений, которые мы можем решить, поэтому мы были бы безумны, если бы не задали следующий вопрос.
Существуют ли квадратные уравнения, которые нельзя записывается в виде (x+a) 2 =b?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вернуть его в исходное состояние. форму, умножив скобку и принимая b на левую сторону. Это дает нам уравнение x 2 + 2ax + a 2 -b = 0. Тогда ясно что мы можем сделать 2а любым числом, которое захотим, и что, сделав Итак, мы можем сделать 2 -b любой другой номер, который мы хотим. Так квадратное решается.
Если вы думаете, что это слишком много, чтобы заметить, что уравнение x 2 + 2ax + a 2 = 0 может решить, то вот еще один маршрут. Это не займет много времени любопытство узнать, является ли 1+2 1/2 алгебраическим число или большой талант, чтобы заметить, что если x=1+2 1/2 тогда (x-1) 2 = 2. Обобщение этого примера приводит быстро к наблюдению, что уравнения вида (х+а) 2 =b можно решить.
Предварительное упрощение кубика.
Каким было бы естественное обобщение на кубики процесс заполнения квадрата? Чтобы ответить на вопрос такого рода часто бывает полезной следующая тактика.
Дайте общее описание того, что это такое хотелось бы обобщить.
Я попытаюсь проиллюстрировать, что я имею в виду, просто сделав это. Для завершения квадрата заметим, что (х+а/2) 2 = х 2 + топор +а 2 /4, так что мы можем записать любое квадратное число, начинающееся с x 2 + ax как (x+a/2) 2 плюс константа. Чтобы положить это другое образом, если мы допустим y=x+a/2, то y удовлетворяет квадратному уравнению особо простой формы y 2 +C=0. Из конечно, как только мы решили уравнение для y, это легко получить решение для x, так как x очень простое линейная функция y.
Что было проще в уравнении для y? Есть два разумные ответы на этот вопрос, и стоит глядя на них обоих. Во-первых, следует отметить, что уравнение для y включает только y 2 и константа член — таким образом, замена x на y позволяет нам предположить, что коэффициент линейного члена равен нулю.
Второй
очевиднее — проще потому, что позволив себе
извлечения квадратных корней, мы заявили, что уравнения
форма y 2 +C=0 решается одним махом.Это направление мысли приводит к двум вопросам.
1. Есть ли аналогичный способ упростить кубик чтобы некоторые из коэффициентов стали равны нулю?
2. Есть ли аналогичный способ упростить кубик так что он принимает форму y 3 +К=0?
Ответ на вопрос 1 найти несложно. Если y=x+t, затем y 3 =x 3 +3tx 2 +3t 2 х+t 3 . Следовательно, если t=a/3, то куб х 3 + топор 2 +bx +c может переписать как y 3 + py +q, где (для чего стоит) p=b-3t 2 и q=c-bt+2t 3 . Написание этого с точки зрения a имеем p=b-a 2 /3 и q=c-ab/3+2a 3 /27.
Что касается второго вопроса, мы можем начать думать о это, задав себе следующее прямое обобщение вопрос, который мы задали о квадратичных.
Существуют ли кубические уравнения, которые нельзя записывается в виде (x+a) 3 =b, и если да, то какие могут?
Расширяя и вычитая, мы обнаруживаем, что можем легко решить уравнения вида
x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + а 3 — б = 0
Когда уравнение
x 3 + топор 2 + bx +c = 0
этого типа? Сравнивая с предыдущим мы видим, что он имеет требуемый вид, если пара (a,b) форма (3с,3с 2 ) для некоторых s, что является тогда и только тогда если a 2 = 3b. Поэтому естественно возникает следующий вопрос.
Можем ли мы заменить x некоторым y=x+t так, чтобы y удовлетворяет кубу с a’ 2 = 3b’ (где a’ и b’ коэффициенты y 2 и y соответственно).
Этот подход выглядит многообещающе, потому что t дает нам одну степень свободы и все, что мы хотим, это одно условие — что а’ 2 -3b’ должно быть равно нулю.
Очевидно, как ответить на вопрос, поэтому пусть
нам идти вперед и сделать это. Записав x=y-t и подставив, получим
уравнение(у-т) 3 + а(у-т) 2 + б(у-т) +с = 0
, который преобразуется в
у 3 + (а-3т)у 2 + (b-2at+3t 2 у) + c-bt+at 2 +t 3
Это дает нам a’=a-3t и b’=b-2at+3t 2 . Следовательно,
а’ 2 -3b’=а 2 -6at+9t 2 -3b+6at-9t 2 =а 2 -3b.
Мы показали, что мы не можем изменить количество a 2 -3b путем замены вида y=x+t. В других словами, ответ на вопрос 2 выше — нет, по крайней мере, когда «подобным образом» означает, что мы должны использовать такую замену. немного более причудливый способ сказать, что 2 -3b не меняется, это позвонить это инвариант .
Является ли несчастным случаем, что 2 -3b является инвариантом? Дальнейшее размышление дает нам причину этого явления и показывает, что мы были глупы, когда ожидали, что кубик можно решить так просто.
Вы, наверное, уже заметили, что 2 -3b=-3p, где p было
коэффициент линейного члена, который мы получили, когда мы преобразовали
кубический x 3 + ax 2 + bx +c в более простой кубический
у 3 + ру + кв. Мы выбрали y равным x+a/3, и это легко увидеть.
что никакой другой выбор не привел бы к коэффициенту у 2 быть нулем. Следовательно, обнаруженный нами инвариант имеет интерпретацию
(как всегда следует ожидать): это коэффициент линейного
член, когда квадратичный член был удален заменой
форма y=x+t.Но теперь очевидно, что эта величина является инвариантом. После все, если я подставлю y=x+s (для любые s) и потом спрошу, что дальнейшая замена z=y+r удалит квадратичный член, ответ заключается в том, что z=x+r+s и r+s должны быть равны /3. Следовательно, p, который я получаю для y такое же, как p, которое я получаю для x.
Тупик и как из него выйти.
На самом деле было заранее очевидно, что второй подход решение кубика было обречено на провал, так как, если бы это было возможно чтобы «завершить куб», тогда каждый кубик будет иметь вид (х+а) 3 +б.
Но если бы это было правдой, то почему бы нам
удосужились преобразовать куб в такую форму?
Итак, собрать куб не только невозможно, это невозможно
по простым и веским причинам. С другой стороны, не
завершение куба естественное обобщение завершения
квадрат? Теперь, когда мы попытались и потерпели неудачу,
хотя мы упустили наш главный шанс решить кубик (который был
чтобы увидеть, как мы решили квадратное и адаптировать наш метод).Однако такое пораженческое отношение часто является ошибкой. Возможно, можно даже выразить это мнение с помощью другого общего принцип.
Может быть много способов адаптировать или обобщить доказательство.
Но как же, спрашивается, искать разные обобщения? Позвольте мне изменить более раннее предложение.
Дайте описание аргумента, который хотелось бы обобщить. Объясните, почему это сработало. Делать объяснение более расплывчатое и более общее, а затем попытаться найти разные аргументы, которые работают по одним и тем же (расплывчатым) причинам.
Чтобы мы могли применить это на практике, позвольте мне еще раз подскажите как решать квадратное.
Пусть у=х+а/2. Тогда y удовлетворяет квадратному уравнению особо простой формы y 2 +C=0. Как только мы решили это уравнение для y, это легко получить решение исходного уравнения относительно x, так как x является очень простой линейной функцией y.
Почему, в общих чертах, это сработало? Нам нужно было два свойства у. Во-первых, y должен удовлетворять уравнению, которое мы умели решать, а во-вторых х должен зависеть от у простым способом — так что, как только мы узнали y, мы могли бы работать Икс.
Если мы хотим перенести этот подход на кубический, то у нас должны быть четкие ответы на следующие два вопроса.
(i) Какие уравнения мы можем решить?
(ii) Как мы готовы позволить у зависеть от х?
Ответ на первый вопрос мы более-менее знаем уже. Мы можем решать линейные и квадратные уравнения, и также кубические уравнения, если они имеют красивую форму х 3 +С=0.
Что касается второго, то до сих пор мы рассматривали
замены вида y=x+t. Какие еще замены
может быть есть?Я отвечу на этот вопрос еще одним проверенным временем метод, который встречается во всей математике.
Сделайте самое общее, что только можно себе представить. Затем, когда вы обнаружите, что вам нужны определенные свойства, сделайте что вы сделали более конкретно, введя эти свойства.
Предположим, что мы сделали замену y=f(x). (Это трудно понять, как мы могли бы быть более общими, чем это.) Давайте предположим, что это приводит к уравнению для y, которое мы можем решить. Когда знание y будет полезным? Ответ очевиден — когда мы можем решить уравнение y=f(x) относительно x через y. Но мы знать, какие уравнения мы можем решить — линейные, квадратные и простые кубические уравнения. Мы уже пробовали линейные замены и увидели их ограничения, поэтому у нас осталось два разумных возможности для f(x). Один х 2 +ax+b (это не трудно увидеть, что дающий x 2 другой коэффициент не будет иметь существенного значения) и другой х 3 +с.
Следуя некоторым очень общим методам решения проблем, мы к идее, которая определенно нова. Немного отойдя, мы понял, что важная вещь в замене y=x+t в решение квадратного уравнения не было магическим или была линейной, но обратимой в том смысле, что мы могли дать формула для x через y. Теперь тупик вышел из тупика что у нас есть подход, чтобы попробовать с кубическим. Это может не сработать, но иметь подход, который может работать, а может и не работать, гораздо лучше, чем вообще никакого подхода.
Подстановка, решающая кубики.
Если бы линейная замена работала для квадратных уравнений, то что звучит более вероятно для кубических уравнений — квадратичная замена или особый вид кубического замена? Как-то квадратичный более перспективен, поскольку это соответствует общему описанию степени один меньше, чем в уравнении, которое пытаются решить. Это не особенно убедительный аргумент, но худшее, что может случиться, это то, что мы попробуем это, и это не Работа.
Итак, давайте посмотрим, что мы можем получить с заменой
у=х 2 +ux+v.Теперь мы столкнулись с проблемой. Мы надеемся, что вы будете удовлетворяют кубике особенно простого вида. Но это Очевидно, что удовлетворяет любому куб.? Если вы сделаете не находите это очевидным, то это тот момент, когда он будет помогите прочитать мою страницу на алгебраические числа, потому что там я неоднократно использовал трюк, который работает и здесь (и который, я подчеркиваю, возникло естественным образом в этом контексте).
Мы знаем, что x удовлетворяет уравнению
x 3 + топор 2 + bx +c = 0
Но это значит, что каждый раз, когда мы записываем многочлен в x мы можем заменить x 3 на -ax 2 -bx-c, x 4 by -ax 3 -bx 2 -cx и так далее. То есть каждое полиномиальное выражение от x равно некоторому квадратичная функция x. Но у 2 и у 3 являются полиномиальными функциями от x и, следовательно, равны квадратичным те.
Это тривиально верно и для 1, и для y. Следовательно
числа 1, у, у 2 и у 3 все
форма rx 2 +sx+t. Чтобы y удовлетворяло кубике, мы
нужна нетривиальная линейная комбинация 1, y, y 2 и y 3 равно нулю. Для его получения нужно решить
три однородных линейных уравнения с четырьмя неизвестными, которые мы
всегда можно сделать.Итак, теперь мы можем более точно описать возможный метод: пусть y=x 2 +ux+v, вычислить y 2 и y 3 через x, привести их к квадратичным используя тот факт, что х 3 =-ax 2 -bx-c, найти нетривиальную линейную зависимость между 1, у, у 2 и у 3 , выпишите соответствующий кубический y 3 +dy 2 +ey+f в y и, наконец, (самая важная часть) умно выберите вас и v таким образом, что d 2 =3e.
У нас нет гарантии, что это сработает, потому что может быть, как это случилось с линейными заменами, просто — это без выбора u и v, что делает д 2 равно 3е, а может быть и так, хотя такой выбор существует, зависимость u и v от a, b и c настолько сложны, что мы не знаем, как решить полученные уравнения.
Разумно не
слишком сильно беспокоиться о первой потенциальной трудности,
потому что теперь у нас есть дополнительная степень свободы, и
кажется, нет аргумента, говорящего нам, что
это никак не может помочь. Однако, если ты сейчас уйдешь
и попытаться проработать детали изложенного аргумента
выше вы увидите, что усложнение есть что-то одно
точно стоит побеспокоиться. Действительно, может показаться, что после
какое-то время, что для того, чтобы вычислить u и v, у вас будет
решить квинтикс .Позвольте мне считать, что просто погрузиться в плохая идея. В любом случае, это еще одно хорошее решение проблемы стратегия попробовать более простые (но менее общие) подходы во-первых, на всякий случай, если они работают. Итак, как мы можем сделать приведенные выше расчеты выполнимы?
Одной из очевидных идей является использование упрощения, которое мы получили ранее: мы могли бы также предположить, что a = 0. Это позволит нам заменить x 3 от -px-q. На самом деле, немного приятнее сказать, что х 3 =px+q, что мы можем сделать, изменив определения p и кв.
А как насчет замены y=x 2 +ux+v? Что ж,
вспоминая инвариант, который мы открыли ранее, мы должны реализовать
что y удовлетворяет кубике, которую мы можем легко решить тогда и только тогда, когда y-v
делает. Так что мы могли бы также сэкономить на алгебре, установив v=0. В других
словами, мы не только упростим расчеты, установив
y=x 2 +ux, мы даже не будем терять общности.Вот некоторые расчеты, которые возникают, когда начинают с уравнение х 3 =px+q, устанавливает y=x 2 +ux и пытается найти кубику, удовлетворяющую y. Делая это напрямую (что вычислив y 2 и y 3 и решив некоторые одновременные уравнения) все еще становится неприятно, но расчеты могут быть управляемыми за счет упрощения по мере продвижения вдоль, как это сделано ниже. Я также сэкономлю время, написав C в означают константу (зависящую от p,q и u), которая может варьироваться от линия к строке.
x 3 =px+q
у=х 2 +ux
y 2 =x 4 +2ux 3 +u 2 x 2
=(u 2 +p)x 2 +(2up+q)x+2uq
=(u 2 +p)y+(up+q-u 3 )x+2uq
у 3 =(и 2 +р)у 2 +(up+q-u 3 )xy+2uqy
=(и 2 +р)у 2 +(up+q-u 3 )(x 3 +ux 2 )+2uqy
=(и 2 +р)у 2 +(up+q-u 3 )(ux 2 +px)+2uqy+C
=(и 2 +р)у 2 +(up+q-u 3 )(uy+(p-u 2 )x)+2uqy+C
Из более ранней строки у нас есть
(вверх+к-у 3 )х =у 2 -(у 2 +р)у+С
так что это равно
(у 2 +р)у 2 +(up+q-u 3 )uy+(p-u 2 )(y 2 -(u 2 +p)y) +2уки+С
=2py 2 +(u 2 p+3uq-p 2 )y+C
Таким образом, y удовлетворяет кубическому уравнению
г 3 -2py 2 -(u 2 p+3uq-p 2 )y-C=0
и все, что осталось решить, можно ли выбрать тебя таким образом, что
(-2p) 2 =-3(u 2 p+3uq-p 2 )
то есть такой что
3pu 2 +9qu+p 2 =0
Это, будучи квадратичным по u, может быть решено.
Используя это
значения u получается кубика по y, которая может быть «завершена».
Это дает решение y. Тогда х можно вычислить из
y путем решения еще одного квадратного уравнения.Конечно, получившаяся формула, если ее доработать, было бы довольно неприятно, и теперь я должен сказать, что лучше были обнаружены методы (включая различные замены) что приводит к более легким расчетам и более аккуратным ответам. Они легко найти в Интернете, но все, как правило, имеют «волшебное» качество в них. Я также должен сказать, что я не обсудили раздражающую проблему, что не все «решения» которые возникают вышеописанным способом, обязательно будут растворами, поскольку знание y не определяет однозначно x.
Просто посмотреть, какие могут быть другие разумные замены, вернемся к вопросу о том, какие из них позволяют вычислить Икс. Мы заметили, что могли бы сделать это, если бы у была квадратичной функцией х. Но в этом не было абсолютной необходимости, даже если бы мы могли решать только квадратные уравнения.
Калькулятор онлайн для решения дробей: Онлайн калькулятор для сокращения дробей.
//Калькулятор дробей. Решаем дроби онлайн.
В статье мы рассмотрим, как можно используя современный онлайн калькулятор, научиться решать дроби.
Речь пойдет о калькуляторе дробей — http://reshit.ru/Kalkulyator-drobey-onlayn-s-resheniem.Данный калькулятор позволяет выполнить базовые операции с двумя дробями.
С помощью калькулятора можно складывать, вычитать, делить и умножать дроби.
Ответ получается в виде удобной картинки, где понятно расписано все решение.Рассмотрим базовые приемы решения дробей, используя данный онлайн калькулятор.
Попробуем взять и написать в него 2 дроби, разделив их нужным знаком.
Возьмем к примеру 2/3 и 3/7.- Для умножения ставим между ними *
- Для деления :
- Для сложения +, и — для вычитания.
Калькулятор выдаст нам готовое решение в виде картинок:
Как вы можете видеть, чтобы сложить дроби достаточно просто перемножить числители и знаменатели.
Чтобы поделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую.
Чтобы сложить или вычесть, нужно просто привести дроби к общему знаменателю и выполнить соответствующие операции с числителями.
Все, что останется по итогу сделать — это соответственно сложить или вычесть числители приведенных к общему знаменателю дробей.
Более сложные дроби, с целой частью, отрицательные, ситуации, когда вы имеете 3 и более вполне разрешимы. Достаточно поделить данную более сложную задачу на простые операции по 2 дроби и вы также сможете решить их в калькуляторе.
Это удобный и достаточно универсальный инструмент.
Если у вас пример из сложения 3-х дробей, сложите сначала первые 2, а потом прибавьте к ней третью, чтобы получить ответ.
Если у вас дроби с целой частью, просто занесите её в дробь, умножив целую часть на знаменатель и прибавив к числителю полученное произведение.
Отрицательные дроби решаются точно также, как и обычные. Если вы умеете складывать, умножать, вычитать и делить отрицательные целые числа, то с дробями действуют все те же самые правила знаков.
Если, изучив работу калькулятора, вы что-то до конца не поняли, то можете посмотреть видео, где на дольках яблока рассказывается суть дробей и показываются основные приемы решения на примерах.
После того, как вы усвоите теорию, обязательно закрепите материал на практике.
Прорешайте несколько дробей сначала на листочке, а потом сверьте решение с тем, что выдаст онлайн калькулятор.
По 2-3 примера на каждую операцию будет вполне достаточно.Уметь решать дроби крайне важно, поскольку они встречаются достаточно часто в задачах в старших классах школы, университете и по жизни.
Дроби не являются сложными сами по себе. Изучают их обычно с 3-5 классе и далее используют постоянно. Научившись решать их один раз и сформировав правильное понимание, вы вряд ли когда-то разучитесь решать дроби.
Даже если такое когда-нибудь случиться, вы всегда можете найти калькулятор дробей и быстро освежить знания и умения.
На этом хочется закончить обзор онлайн калькулятора дробей.
Помимо рассмотренного инструмента на сайте, вы найдете таблицу производных http://reshit.ru/tablica-proizvodnyh, калькулятор для решения квадратных уравнений онлайн и другие полезные материалы.Дробь на умножение: Умножение дробей
Урок 62. умножение натурального числа на дробь — Математика — 5 класс
Математика
5 класс
Урок № 62
Умножение натурального числа на дробь
Перечень рассматриваемых вопросов:
– произведение двух дробей;
– взаимно обратные дроби;
– умножение натурального числа на дробь.
Тезаурус
Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.
Взаимно обратные дроби – это дроби, произведение которых равно единице.
Обязательная литература
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС./ С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017, стр. 272.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.
Например,
Можно ли умножить дробь на натуральное число n? Конечно, да! Натуральное число n можно представить в виде обыкновенной дроби n/1 и применить правило умножения дробей. Итак, чтобы умножить натуральное число на дробь, можно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить тот же.
Например:
Вычислим произведение четырёх пятых и трёх. Умножение можно заменить сложением, то есть три раза сложить дробь четыре пятых. Применяем правило сложения обыкновенных дробей и получаем:
Если произведение дробей равно единице, то такие дроби называют взаимно обратными.
Например,
Дроби ¼ и 4/1 называются взаимно обратными.
Чтобы умножить простую и смешанную дробь, можно записать последнюю в виде неправильной дроби и выполнить умножение обыкновенных дробей.
Например,
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной, и эту дробь возводят в степень.
Решим задачу: в равностороннем треугольнике длина стороны равна 4/7 м. Найдите периметр треугольника.
Решение. Как мы знаем, периметр – это сумма длин всех сторон. В треугольнике три стороны, а т. к. треугольник равносторонний – стороны равны. Получается, что сумму длин всех сторон можно представить как произведение натурального числа 3 на обыкновенную дробь
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Вычислите значение выражения, результат запишите в виде смешанной дроби.
Переведём смешанные дроби в неправильные, после чего перемножим числители и знаменатели, а результат запишем в виде смешанной дроби. Получим:
№ 2. Вычислите значение произведения, результат сократите.
Умножим числитель первой дроби на числитель второй дроби, знаменатели тоже перемножим. Получим:
Ответ:
Калькулятор дробей
Как перевести смешанную дробь в обыкновенную
Для того, чтобы перевести смешанную дробь в обыкновенную, необходимо к числителю дроби прибавить произведение целой части и знаменателя: i nd = i · d + nd
Например,
5 34 = 5 · 4 + 34 = 234Как перевести обыкновенную дробь в смешанную
Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в смешанную, необходимо:
- Поделить числитель дроби на её знаменатель
- Результат от деления будет являться целой частью
- Остаток отделения будет являться числителем
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную
Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить её числитель на знаменатель.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную или смешанную
Для того, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо:
- Записать дробь в виде десятичная дробь1
- Умножать числитель и знаменатель на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым числом.
- Найти наибольший общий делитель и сократить дробь.
Например, переведем 0.36 в обыкновенную дробь:
- Записываем дробь в виде: 0.361
- Умножаем на 10 два раза, получим 36100
- Сокращаем дробь 36100 = 925
Как перевести дробь в проценты
Для того, чтобы перевести обыкновенную или смешанную дробь в проценты, необходимо перевести её в десятичную дробь и умножить на 100.
Как перевести проценты в дробь
Для того, чтобы перевести проценты в дробь, необходимо получить из процентов десятичную дробь (разделив на 100), затем полученную десятичную дробь перевести в обыкновенную.
Сложение дробей
Алгоритм действий при сложении двух дробей такой:
- Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
- Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
- Выполнить сложение дробей путем сложения их числителей.
- Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
- Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.
Вычитание дробей
Алгоритм действий при вычитании двух дробей:
- Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
- Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
- Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
- Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
- Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.
Умножение дробей
Алгоритм действий при умножении двух дробей:
- Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
- Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
- Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
- Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.
Деление дробей
Алгоритм действий при делении двух дробей:
- Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
- Чтобы произвести деление дробей, нужно преобразовать вторую дробь, поменяв местами её числитель и знаменатель, а затем произвести умножение дробей.
- Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
- Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
- Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.
Как умножать дроби с разными и одинаковыми знаменателями
Понятие дроби
Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:
- обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление — в 5 классе уже это знают.
Дроби могут быть двух видов:
- Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
- Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя:
Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему:
Такое число называют смешанным, читают как «пять целых одна четвертая», а записывают так: 5 1\4.
Основные правила дробей
- Если делитель равен нулю — у дроби нет значения
- Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет
- Две дроби a/b и c/d называют равными, если a * d = b * c.
- Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится равная ей дробь.
Умножение дробных чисел
Рассмотрим несколько вариантов умножения обыкновенных дробей.
Как умножить дробь на дробь
Числитель равен произведению числителей обеих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
Важно проверить возможность сокращения — так решать будет легче:
Как умножить смешанные дроби
Преобразовать смешанные числа в неправильные, перемножить числители и знаменатели, при необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.
Как умножить дробь на натуральное число
Метод 1. Числитель умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения. Если в результате произведения получилась неправильная дробь, нужно выделить целую часть, то есть превратить неправильную в смешанную.
Метод 2. Знаменатель разделить на натуральное число, а числитель оставить прежним.
Этот способ будет удобнее предыдущего, если знаменатель делится на натуральное число без остатка.
Решение задач
Ребятам в 5 и 6 классе нужно практиковаться как можно чаще, чтобы решать такие примеры быстро и легко.
Задание 1. Выполнить умножение 2/17 на 5.
Как решаем: перемножим делимое и натуральное число.
Ответ:
Задание 2. Выполнить умножение 4/15 и 55/6.
Как решаем:
- перемножим числители между собой и знаменатели соответственно
- сократим полученное
- выделим целую часть
Ответ:
Задание 3. Выполнить умножение одной целой трех седьмых на шесть.
Как решаем:
- переводим смешанное число в неправильную дробь,
- умножаем делимое на натуральное число,
- сократим полученное,
- преобразуем в смешанное число.
Ответ:
Если вопрос не ждет и ответ нужно получить как можно быстрее, можно использовать онлайн калькулятор. Умножение будет быстрым и точным:
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.
Умножение дробей, формулы и примеры решений
Содержание:
Умножение дроби на число
Умножение дроби $\frac{a}{b}$ на число $n$ равносильно сложению одинаковых слагаемых:
Итак, можно сделать вывод, что чтобы умножить дробь на число, надо числитель этой дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
Пример
Задание. Найти произведение $\frac{1}{3} \cdot 4$
Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу
$\frac{1}{3} \cdot 4=\frac{1 \cdot 4}{3}=\frac{4}{3}=1 \frac{1}{3}$
Ответ. $\frac{1}{3} \cdot 4=1 \frac{1}{3}$
Аналогично выполняется умножения числа на дробь.
Слишком сложно?
Умножение дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Пример
Задание. Найти произведение 3$\cdot \frac{1}{4}$
Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу
$3 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3 \cdot 1}{4}=\frac{3}{4}$
Ответ. $3 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
Умножение дробей
Определение
Произведением дробей называется такая дробь, числитель которой равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей:
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
Таким образом, чтобы умножить дробь на дробь, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй и результат записать в числитель; а также перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель.
Замечание. При выполнении умножения по возможности следует сокращать. Сокращать можно только числа стоящие в числителе с числами, стоящими в знаменателе. Числитель с числителем и знаменатель со знаменателем сокращать нельзя.
Пример
Задание. Найти произведение дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{5}$
Решение. Выполним умножение дробей по описанному выше правилу
$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 5}=\frac{4}{15}$
Ответ. $\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}$
Пример
Задание. Умножить $\frac{13}{14}$ на $\frac{14}{39}$
Решение. Необходимо найти произведение $\frac{13}{14} \cdot \frac{14}{39}$ . Как видим, числа 13 и 39 можно сократить на общее число 13. Для этого сами указанные величины зачеркиваем, а над ними пишем число, которое получается после деления. Аналогично поступает со знаменателем первой дроби и числителем второй:
Ответ. $\frac{13}{14} \cdot \frac{14}{39}=\frac{1}{3}$
Умножение смешанных дробей
Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно представить их в виде неправильных дробей, а затем уже выполнить умножение как обыкновенных дробей.
Пример
Задание. Найти произведение дробей 3$\frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}$
Решение. Выполним умножение смешанных дробей по описанному выше правилу
$3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}=\frac{3 \cdot 3+1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 5+2}{5}=\frac{10}{3} \cdot \frac{22}{5}=$
Ответ. $3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}=14 \frac{2}{3}$
Для умножения смешанной дроби на целое число поступают либо аналогично и далее умножают дробь на число, либо на целое число отдельно умножают целую часть, и отдельно дробную часть смешанного числа.
Пример
Задание. Умножить смешанную дробь 3$\frac{3}{4}$ на 2
Решение. Выполним умножение смешанной дроби на число по описанному выше правилу
Либо
$=(6+1)+\frac{1}{2}=7+\frac{1}{2}=7 \frac{1}{2}$
Ответ. $3 \frac{3}{4} \cdot 2=7 \frac{1}{2}$
Читать следующую тему: деление дробей.
Умножение и деление обыкновенных дробей. Онлайн калькулятор
Умножение дробей
Чтобы умножить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (это произведение будет числителем результата), и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби (это произведение будет знаменателем результата):
Правило умножения обыкновенных дробей в виде формулы:
Для упрощения вычислений, ещё до выполнения умножения дробей, можно сокращать любой множитель числителя с любым множителем знаменателя на общий делитель.
При сокращении числителей со знаменателями их обычно зачёркивают и рядом пишут число, которое получилось после сокращения:
В примере мы сократили 25 и 20 на общий делитель — 5, а 27 и 12 на общий делитель — 3.
Умножение дроби на натуральное число
Чтобы умножить натуральное число на обыкновенную дробь или наоборот — умножить дробь на натуральное число, можно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить без изменений:
Пример.
Деление дробей
При делении одной обыкновенной дроби на другую, нужно перевернуть вторую дробь и после этого умножить первую дробь на вторую, т. е. нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй (это произведение будет числителем результата), а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй (это произведение будет знаменателем результата):
Для проверки правильности выполненного деления, можно полученное частное умножить на делитель и посмотреть, получится ли у нас делимое, если делимое получено верно, значит деление было выполнено правильно:
Теперь осталось только сократить полученную дробь:
Правило деления обыкновенных дробей в виде формулы:
Иногда могут встретиться записи такого вида:
Так как дробная черта означает деление, то такие записи можно переписать в более удобном виде:
В записях, в которых дробная черта используется несколько раз, знак
=
ставится у дробной черты, означающей последнее по порядку действие деления:Деление дроби на натуральное число
Чтобы обыкновенную дробь разделить на натуральное число или наоборот — натуральное число разделить на дробь, нужно просто представить натуральное число в виде дроби.
Примеры.
Калькулятор умножения и деления дробей
Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение или деление обыкновенных дробей. Просто введите две дроби, выберите нужную операцию и нажмите кнопку
Вычислить
.правила, примеры, решения, умножение дробей с разными знаменателями
Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.
Как умножить одну обыкновенную дробь на другую
Запишем сначала основное правило:
Определение 1Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a/b и c/d это можно выразить как ab·cd=a·cb·d.
Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 14 и 18 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8·4=32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 132 от площади всей фигуры, т.е. 132 кв. единицы.
Далее нам надо выделить цветом часть исходного квадрата так, как это сделано на рисунке:
У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 58 числовой единицы и 34 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 58·34 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15, значит, общая площадь составляет 1532 квадратных единиц.
Поскольку 5·3=15 и 8·4=32, мы можем записать следующее равенство:
58·34=5·38·4=1532
Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как ab·cd=a·cb·d. Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.
Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.
Пример 1Умножьте 711 на 98.
Решение
Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9. У нас получилось 63. Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11·8=88. Составим их двух чисел ответ: 6388.
Все решение можно записать так:
711·98=7·911·8=6388
Ответ: 711·98=6388.
Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.
Пример 2Вычислите произведение дробей 415 и 556.
Решение
Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:
415·556=4·5515·6=22090
Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10.
Выполним сокращение дроби: 22090 НОД (220, 90)=10, 22090=220:1090:10=229. В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 229=249.
Ответ: 415·556=249.
Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a·cb·d. Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.
Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.
Пример 3Вычислите произведение 415·556.
Решение
Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:
415·556=4·5515·6
Поскольку как 4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 и 6=2·3, значит,4·5515·6=2·2·5·113·5·2·3.
Далее мы можем просто сократить некоторые множители и получить следующее: .
Нам осталось подсчитать несложные произведения в числителе и знаменателе и выделить целую часть из получившейся в итоге неправильной дроби:
2·113·3=229=249
Ответ: 415·556=249.
Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:
ab·cd=cd·ab=a·cb·d
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать заданиеКак перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом
Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.
Определение 2Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби ab на натуральное число n можно записать в виде формулы ab·n=a·nb.
Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:
ab·n=ab·n1=a·nb·1=a·nb
Поясним нашу мысль конкретными примерами.
Пример 4Вычислите произведение 227 на 5.
Решение
В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10. В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 1027. Все решение приведено в этой записи:
227·5=2·527=1027
Ответ: 227·5=1027
Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.
Пример 5Условие: вычислите произведение 8 на 512.
Решение
По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 512·8=5·812=4012. Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2, поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:
НОК(40, 12)=4, значит, 4012=40:412:4=103
Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 103=313.
В этой записи можно видеть все решение целиком: 512·8=5·812=4012=103=313.
Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.
Ответ: 512·8=313.
Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:
ab·n=n·ab=a·nb
Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей
Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.
Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.
Покажем на примере, как это делается.
Пример 6Умножьте четыре обыкновенные дроби 120, 125, 37 и 58.
Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 120·125·37·58. Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 120·125·37·58=1·12·3·520·5·7·8.
Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.
1·12·3·520·5·7·8=1·(2·2·3)·3·52·2·5·5·7(2·2·2)=3·35·7·2·2·2=9280
Ответ: 1·12·3·520·5·7·8=9280.
Пример 7Перемножьте 5 чисел 78·12·8·536·10.
Решение
Для удобства мы можем сгруппировать дробь 78 с числом 8, а число 12 с дробью 536, поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
78·12·8·536·10=78·8·12·536·10=7·88·12·536·10=71·2·2·3·52·2·3·3·10==7·53·10=7·5·103=3503=11623Ответ: 78·12·8·536·10=11623.
Правила умножения дробей
Для того чтобы произвести арифметические действия умножения над дробями, следует перемножить их числители и знаменатели, а результат записать в соответствующей форме.
Умножение простой дроби на число
При умножении простой дроби на натуральное число, ее числитель следует умножить на этот множитель, а знаменатель оставить без изменения.
3
8
× 4 = 3 × 4
8
= 12
8
= 1 4
8
= 1 1
2
Умножение смешанной дроби на число
При необходимости умножения смешанной дроби на натуральное число следует произвести данное арифметическое действие с целым числом этой дроби и её числителем.
1 2
5
× 3 = 1 × 3 + 2 × 3
5
= 3 6
5
= 4 1
5
Умножение дроби на дробь
Когда нужно умножить простую дробь на простую дробь, следует перемножить числители, а затем знаменатели.
3
6
× 4
8
= 3 × 4
6 × 8
= 12
48
= 1
4
Умножение смешанной дроби на смешанную дробь
При выполнении операции умножения смешанных чисел, их следует записать в виде неправильных дробей, после чего перемножить их по соответствующим правилам.
2 1
3
× 4 3
5
= 7
3
× 23
5
= 7 × 23
3 × 5
= 161
15
= 10 11
15
Калькулятор дробей
Использование калькулятора
Используйте этот калькулятор дробей для сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Ответы представляют собой дроби в наименьшем значении или смешанные числа в сокращенном виде.
Введите правильные или неправильные дроби, выберите математический знак и нажмите Рассчитать. Это калькулятор дробей с шагами, указанными в решении.
Если у вас отрицательные дроби, вставьте знак минус перед числителем.Итак, если одна из ваших дробей -6/7, вставьте -6 в числитель и 7 в знаменатель.
Иногда в математических задачах используется слово «из», например Что такое 1/3 от 3/8? Of означает, что вам нужно умножить, поэтому вам нужно решить 1/3 × 3/8.
Для математических вычислений со смешанными числами (целыми и дробными) используйте Калькулятор смешанных чисел.
Математика в дробях с разными знаменателями
Есть 2 случая, когда вам нужно знать, имеют ли ваши дроби разные знаменатели:
- если складываете дроби
- , если вы вычитаете дроби
Как сложить или вычесть дроби
- Найдите наименьший общий знаменатель
- Вы можете использовать ЖК-калькулятор, чтобы найти наименьший общий знаменатель для набора дробей
- Для первой дроби найдите, на какое число нужно умножить знаменатель, чтобы получить наименьший общий знаменатель.
- Умножьте числитель и знаменатель вашей первой дроби на это число
- Повторите шаги 3 и 4 для каждой фракции
- Для сложения уравнений добавьте числители дробей
- Для уравнений вычитания вычтите числители дробей
- Преобразовать неправильные дроби в смешанные числа
- Уменьшить дробь до наименьшего значения
Как умножать дроби
- Умножить все числители вместе
- Умножить все знаменатели вместе
- Уменьшить результат до минимума
Как разделить дроби
- Перепишите уравнение, как в «Сохранить, изменить, перевернуть»
- Оставить первую дробь
- Поменять знак деления на умножение
- Переверните вторую дробь, переключив верхнее и нижнее числа
- Умножить все числители вместе
- Умножить все знаменатели вместе
- Уменьшить результат до минимума
Формулы фракций
Есть способ складывать или вычитать дроби, не находя наименьший общий знаменатель (ЖКД). Этот метод предполагает перекрестное умножение дробей. См. Формулы ниже.
Вы можете обнаружить, что проще использовать эти формулы, чем производить математические вычисления, чтобы найти наименьший общий знаменатель.
Формулы для умножения и деления дробей следуют тому же процессу, что и описанный выше.
Формула сложения дробей:
\ (\ dfrac {a} {b} + \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad + bc} {bd} \)
Пример шагов:
\ (\ dfrac {2} {6} + \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {(2 \ times4) + (6 \ times1)} {6 \ times4} \)
\ (= \ dfrac {14} {24} = \ dfrac {7} {12} \)
Формула вычитания дробей:
\ (\ dfrac {a} {b} — \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad — bc} {bd} \)
Пример шагов:
\ (\ dfrac {2} {6} — \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {(2 \ times4) — (6 \ times1)} {6 \ times4} \)
\ (= \ dfrac {2} {24} = \ dfrac {1} {12} \)
Формула умножения дробей:
\ (\ dfrac {a} {b} \ times \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ac} {bd} \)
Пример шагов:
\ (\ dfrac {2} {6} \ times \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {2 \ times1} {6 \ times4} \)
\ (= \ dfrac {2} {24} = \ dfrac {1} {12} \)
Формула деления дробей:
\ (\ dfrac {a} {b} \ div \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad} {bc} \)
Пример шагов:
\ (\ dfrac {2} {6} \ div \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {2 \ times4} {6 \ times1} \)
\ (= \ dfrac {8} {6} = \ dfrac {4} {3} = 1 \ dfrac {1} {3} \)
Сопутствующие калькуляторы
Для выполнения математических операций над смешанными дробями чисел используйте нашу Калькулятор смешанных чисел. Этот калькулятор также может преобразовывать неправильные дроби в смешанные числа и показывает проделанную работу.
Если вы хотите упростить отдельную дробь до наименьших значений, используйте наш Упростите калькулятор дробей.
Для объяснения того, как множить числа, чтобы найти наибольший общий множитель (GCF), см. Калькулятор наибольшего общего коэффициента.
Если вы вручную упрощаете большие дроби, вы можете использовать Длинное деление с калькулятором остатков, чтобы найти целые числа и остатки.
Банкноты
Этот калькулятор выполняет вычисление сокращения быстрее, чем другие калькуляторы, которые вы можете найти. Основная причина в том, что он использует алгоритм Евклида для уменьшения дробей, который можно найти на Математический форум.
Умножение дробей
Умножьте вершины, умножьте основания.
Есть 3 простых шага для умножения дробей
1.Умножьте верхние числа (числители , ).
2. Умножьте нижние числа (знаменатели ).
3. При необходимости упростите дробь.
Пример:
1 2 × 2 5
Шаг 1 . Умножьте верхние числа:
1 2 × 2 5 знак равно 1 × 2 знак равно 2
Шаг 2 .Умножаем нижние числа:
1 2 × 2 5 знак равно 1 × 2 2 × 5 знак равно 2 10
Шаг 3 . Упростим дробь:2 10 знак равно 1 5
С пиццей
Вот с пиццей …
Вы видите, что половина двух пятых — это две десятых?
Вы также видите, что две десятых проще одной пятой?С ручкой и бумагой
А вот как это сделать ручкой и бумагой (нажмите кнопку воспроизведения):
Другой пример:
1 3 × 9 16
Шаг 1 .Умножьте верхние числа:
1 3 × 9 16 знак равно 1 × 9 знак равно 9
Шаг 2 . Умножаем нижние числа:
1 3 × 9 16 знак равно 1 × 9 3 × 16 знак равно 9 48
Шаг 3 .Упростим дробь:9 48 знак равно 3 16
(На этот раз мы упростили, разделив верхнюю и нижнюю части на 3)Рифма
♫ «Умножение дробей: нет большой проблемы,
Верхнее умножение сверху на нижнее умножение на низ.
« И не забудьте упростить,
Прежде, чем пришло время прощаться »♫Дроби и целые числа
А как насчет умножения целых чисел на дроби и ?
Превратите целое число в дробь, поставив его над единицей.
Затем продолжайте, как прежде.
Пример:
2 3 × 5
Превратите 5 в 5 1 :
2 3 × 5 1
А теперь как обычно.
Умножение вершин и оснований:
2 3 × 5 1 знак равно 2 × 5 3 × 1 знак равно 10 3
Дробь уже настолько проста, насколько это возможно.
Ответ = 10 3
Или вы можете просто представить себе целое число как «верхнее» число:
Пример:
3 × 2 9
Умножение вершин и оснований:
3 × 2 9 знак равно 3 × 2 9 знак равно 6 9
Упростить:
6 9 знак равно 2 3
Смешанные фракции
Вы также можете прочитать, как умножить смешанные дроби
Умножение дробей — методы и примеры
Как умножать дроби?В этой статье обсуждаются все шаги, которые необходимо знать при умножении дробей, включая умножение правильных и неправильных дробей, смешанную дробь и умножение дроби на целое число.Вот шаги для умножения дробей:
- Умножьте числители вместе и поместите произведение поверх полученной дроби
- Умножьте знаменатели вместе и запишите результат внизу новой дроби
- Уменьшите или упростите результат, если возможно
Пример 1:
1/2 × 2/5
Шаг 1. Умножьте числители:
1/2 × 2/5 = 1 × 2 = 2
Шаг 2 .Умножьте знаменатели:
2 x 5 = 10
Шаг 3. Упростите дробь:
2/10 = 1/5
Пример 2:
1/3 × 9/16
Шаг 1. Умножьте числители:
1/3 × 9/16 = 1 × 9 = 9
Шаг 2. Умножьте знаменатели:
3 × 16 = 48
Шаг 3. Упростите дробь:9 / 48 = 3/16
Пример 3:
Умножение: 4/5 x 7/6
Сначала умножьте числители, чтобы получить: 4 × 7 = 28.
Затем умножьте знаменатели, чтобы получить: 5 × 9 = 45.
Результат = 28/45
Поскольку нет общих делителей 28 и 45, эта дробь уже находится в самом низком выражении. Окончательный ответ — 28/45.
Пример 4:
Умножение: 9/4 x 14/15
Вы можете выполнить все операции в одной математической строке. Не забудьте поставить числитель вверху, а знаменатели — внизу.
9/4 x 14/15 = (9 x 14) / (4 x 15) = 126/60
Умножение более чем на 2 дроби
Отмена — отличный способ умножения с более чем двумя множителями.
Пример 5:
Умножение (1/2) × (2/3) × (3/4) × (4/5).
Начните с исключения общих факторов.
(1/2) × (2/3) × (3/4) × (4/5).
= 1/5
Как умножить дроби на целые числа?
Дроби можно умножать на целые числа точно так же, как умножаются другие дроби.Самая важная процедура состоит в том, чтобы переписать целое число как дробь, введя знаменатель 1. Затем можно применить те же методы умножения дроби.
Целое число N можно преобразовать в дробь со знаменателем 1 следующим образом:
N = N / 1
Пример 6:
Умножение: 3/5 × 60.
3/5 × 60 = 3/5 x 60/1
Умножьте числители:
3 x 60 = 180
Умножьте знаменатели:
1 x 5 = 5
Результат — 180/5, упростите ответ до минимально возможного термины.
180/5 = 36.
Как умножить смешанные дроби?
Смешанная фракция — это фракция, состоящая из целой и дробной части. Например, 7½ — это смешанная дробь, состоящая из целого числа 7 и дробной части ½.
Ниже приведены ключевые шаги при умножении смешанных дробей или смешанной дроби на правильную или неправильную дробь:
- Первым шагом является преобразование всех дробей в неправильную дробь.
- Умножьте числители и поместите произведение вверху.
- Умножьте знаменатели и поместите произведение внизу.
- По возможности упростите результат.
Пример 7:
Умножение: 2 5 / 6 x 3 1 / 4
Начните с преобразования каждой смешанной дроби в эквивалентную неправильную дробь.
2 5 / 6 x 3 1 / 4 = 17/6 x 13/4 = 221/24
Окончательный ответ можно упростить или преобразовать обратно в смешанное число путем деления.Преобразование обратно в смешанную дробь похоже на деление с остатком. Частное становится целой частью, а остаток становится новым числителем.
Как умножить отрицательные дроби?
Те же правила умножения отрицательных чисел применяются при умножении дробей:
- + x + = +
- + x — = —
- — x — = +
Пример 8:
Умножение : 2/3 × (–3/4)
2/3 × (–3/4) = –6/12 = –1/2.
Пример 9:
Умножение: (–4/3) × (–7/5)
(–4/3) × (–7/5) = 28/15.
Практические вопросы
Умножьте следующие дроби:
- 1/3 × 4/5
- –3/7 × 2/11
- 9/10 × 35/36
- 3/8 × 10
- 5 / 3 × 7/2 × 6/7
- 6 × 4¾
- –11/3 × (–3/11)
- Мой грузовик проезжает 10 2 / 3 миль на галлон. Предположим, что бак пуст и я заправляю его 5 1 / 2 галлонов, как далеко я могу уехать с грузовиком?
- Для рецепта требуется 1/2 столовой ложки соли.Сколько нужно соли, чтобы приготовить 20 подобных рецептов?
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урокЧто такое умножение дробей? — Определение, факты и примеры
Умножение дробей
Дробь — это часть целого .
Яблочный пирог, разрезанный на 4 равных ломтика и один ломтик, отделенный друг от друга, как показано на рисунке.
Здесь яблочный пирог разрезан на 4 равные части, каждая из которых составляет одну четвертую часть пирога. Сколько будет яблочного пирога в 5 таких кусочках?
Это будет произведение 5 × 1 4. Мы также можем оценить умножение как повторное сложение, и это проще.
5 × 1 4 = 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 = 5 4
Мы также можем преобразовать это в смешанное число, 5 4 = 1 1 4. Следовательно, из 5 кусочков пирога будет одна с четвертью яблочного пирога.
Но повторное сложение — не всегда более простой метод, особенно когда множитель также является дробью.
Рассмотрим произведение 2 5 × 3 4.
Дробь 3 4 может быть представлена следующим образом:
Теперь требуемый продукт составляет две пятых этой заштрихованной части.
Чтобы найти это, вам нужно разделить эти три заштрихованные части на 5 равных частей. Более простой способ сделать это — разделить каждую из этих 4 частей на 5 равных частей.
Итак, две пятых от трех четвертых — это две заштрихованные части из каждой из этих трех частей, то есть 6 заштрихованных частей из 20, как показано.
Другой способ геометрического представления:
В дроби, представляющей произведение, целое делится на 20 равных частей, и заштрихованные части, общие для обоих факторов, являются знаменателем, а 6 представляет числитель произведения.
Алгебраически правило умножения двух дробей:
Шаг 1 : Умножьте числители дробей множителя.
Шаг 2 : Умножьте знаменатели.
Шаг 3 : При необходимости упростите продукт.
Пример:
5 6 x 3 8 = 5 x 3 6 x 8 = 15 48
Здесь 3 — общий множитель числителя и знаменателя. Итак, чтобы упростить дробь, разделите числитель и знаменатель на 3.
15 ÷ 3 48 ÷ 3 = 5 6
Таким образом, 5 6 x 3 8 = 5 16.
Правило:
Если a b и c d дроби с b, d ≠ 0, то a b x c d = ac bd Интересные факты
Слово «дробь» происходит от латинского слова «fractio», что означает «разбивать».
При умножении двух дробей, если одна из дробей больше 1, это увеличивает размер второй дроби как произведения. Если оно меньше 1, это уменьшит размер второй фракции как продукта.
Обзор дробей: умножение и деление дробей
Purplemath
Умножать дроби просто: вы умножаете верхние числа и умножаете нижние числа.Например:
Когда это возможно, вы уменьшаете дробь, отбрасывая общие множители; то есть вы вычеркиваете любые множители с одной стороны дробной линии, которые дублируются с другой стороны линии. Однако в приведенном выше примере ничего не уменьшается, потому что 8 и 45 не имеют общих множителей.
MathHelp.com
Если вы не уверены, можно ли что-то отменить, вы всегда можете разложить числитель и знаменатель на множители и проверить наличие повторяющихся множителей:
Ничего не дублируется между верхом и низом, поэтому ничего не отменяется.
Однако часто что-то отменяется:
Для умножения я умножаю все верхние числа (числители) друг на друга и умножаю все нижние числа (знаменатели) друг на друга. Однако, чтобы немного облегчить себе жизнь, я сначала исключу все факторы, общие как для числителей, так и для знаменателей:
Тогда упрощенный продукт —
7 / 2 .Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в умножении дробей. Попробуйте введенное упражнение, введите свое упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)
(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)
Разделить дроби так же просто, как и умножить их; есть только один дополнительный шаг.Когда вы делите на дробь, первое, что вы делаете, — это «перевернуть-п-умножить». То есть вы берете вторую дробь, переворачиваете ее вверх ногами (то есть «находите обратную»), а затем умножаете первую дробь на эту перевернутую дробь.
Моим первым шагом будет преобразовать это в умножение, перевернув 9 / 4 , чтобы получить 4 / 9 .Затем я могу продолжить простое умножение, исключив все повторяющиеся множители:
Тогда мой упрощенный ответ:
4 / 15 .Это немного сложно, но я могу справиться с целым числом 5, преобразовав его в дробь.Помните, что любое целое число является дробью, если вы поставите его над «1». Итак, я преобразовываю 5 в дробь 5 / 1 и переверну с умножением:
Тогда мой упрощенный ответ:
1 / 6 .Для этого упражнения мне сначала нужно преобразовать смешанные числа в (неправильную) дробную форму.(Умножение и деление дробей — это места, где дроби оооочень намного лучше, чем смешанные числа!) Как только у меня есть дроби, я могу перевернуть-n-умножить.
Тогда мой ответ смешанный:
1 37 / 68 .Примечание. Когда входные данные представляют собой смешанные числа, как в последнем примере выше, книга (или преподаватель, или оценщик) обычно также ожидает смешанные числа на выходе. Итак, если ваш ответ является неправильной дробью, вам нужно будет преобразовать ее обратно в форму смешанного числа.Не забывайте этот шаг!
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в делении дробей. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)
(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)
Далее мы переходим к гораздо более сложному сложению и вычитанию дробей …
URL: https://www.purplemath.com/modules/fraction3.htm
Каковы правила умножения дробей?
Обновлено 21 декабря 2020 г.
Лиза Мэлони
Умножение — одна из самых простых операций, которые вы можете выполнять с дробями, потому что вам не нужно беспокоиться о том, имеют ли дроби одинаковый знаменатель или нет; просто умножьте числители вместе, умножьте знаменатели вместе и, если необходимо, упростите полученную дробь.Однако есть несколько вещей, на которые следует обратить внимание, включая смешанные числа и отрицательные знаки.
Умножение прямо через
Первое и самое важное правило умножения дробей состоит в том, что вы умножаете только числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Если у вас есть две дроби 2/3 и 4/5, их умножение даст новую дробь:
\ frac {2 × 4} {3 × 5}
\ frac {8} {15}
При этот момент вы бы упростили, если бы могли, но, поскольку 8 и 15 не имеют общих множителей, эту дробь нельзя упростить дальше.
Чтобы увидеть больше примеров, включая умножение дробей, которые необходимо уменьшить, посмотрите видео ниже:
Следите за отрицательными знаками
Если вы умножаете дроби с отрицательными членами, убедитесь, что у вас есть эти отрицательные знаки через ваши расчеты. Например, если вам даны две дроби -3/4 и 9/6, вы должны умножить их вместе, чтобы получить новую дробь:
\ frac {-3 × 9} {4 × 6}
\ frac {-27} {24}
Поскольку -27 и 24 имеют общий делитель 3, вы можете вынести 3 из числителя и знаменателя, в результате получится:
\ frac {-9} {8}
Обратите внимание, что -9/8 представляет собой значение, сильно отличающееся от 9/8.Если бы этот отрицательный знак потерялся по пути, ваш ответ был бы неправильным.
Да, неправильные дроби можно умножать
Еще раз взгляните на только что приведенный пример. Вторая дробь, 9/6, неправильная дробь. Или, другими словами, его числитель был больше, чем знаменатель. Это никак не меняет способ работы вашего умножения, хотя в зависимости от вашего учителя или ограничений задачи, над которой вы работаете, вы можете предпочесть упростить результат последнего примера, который сам является неправильной дробью, до смешанное число:
\ frac {-9} {8} = -1 \, \ frac {1} {8}
Умножение смешанных чисел
Это прекрасно ведет к обсуждению того, как умножать смешанные числа: Преобразование смешанное число на неправильную дробь и умножьте как обычно, как описано в последнем примере.Например, если вам нужно умножить дробь 4/11 и смешанное число 5 2/3, вы сначала умножите целое число 5 на 3/3 (это число 1 в виде дроби знаменатель которого совпадает со знаменателем дробной части смешанного числа), чтобы преобразовать его в дробь:
5 × \ frac {3} {3} = \ frac {15} {3}
Затем добавьте дробную часть смешанного числа, что дает вам:
5 \, \ frac {2} {3} = \ frac {15} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {17} {3}
Теперь вы готовы умножить две дроби вместе:
\ frac {17} {3} × \ frac {4} {11}
Умножение числителя и знаменателя дает:
\ frac {17 × 4} { 3 × 11}
\ frac {68} {33}
Вы не можете больше упрощать члены этой дроби, но при желании можете преобразовать ее обратно в смешанное число:
2 \, \ frac {2} {33}
Умножение — это обратное деление
Вот удобный Уловка: если вы знаете, как умножать на дроби, вы уже знаете, как делить на дроби.Просто переверните вторую дробь вверх дном и умножьте ее, вместо того чтобы делить. Итак, если у вас есть:
\ frac {3} {4} ÷ \ frac {2} {3}
Это то же самое, что писать:
\ frac {3} {4} × \ frac {3} { 2}
, которые затем можно умножить как обычно.
Умножение дробей — ChiliMath
Чтобы умножить дроби, достаточно выполнить 3 предложенных ниже шага. Понятно, что ни одна дробь не может иметь знаменатель \ color {red} 0, потому что это будет неопределенный член.
Шаги в умножении дробей
Даны две дроби с ненулевыми знаменателями:
Шаг 1: Умножьте числители.
- Это будет числитель «новой» дроби.
Шаг 2: Умножьте знаменатели.
- Это будет знаменатель «новой» дроби.
Шаг 3: Упростите полученную дробь, уменьшив ее до наименьшего члена, если необходимо.
Прежде чем мы рассмотрим некоторые примеры, есть другие способы обозначить умножение.
- Точечный символ как оператор умножения
- Скобка как оператор умножения
Примеры умножения дробей
Пример 1 : Умножение.
Умножьте числители дробей.
Аналогичным образом умножьте знаменатели.
Результирующая дробь после умножения уже имеет уменьшенную форму, поскольку наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен \ color {blue} +1.Это и станет нашим окончательным ответом!
Пример 2 : Умножение.
Шаг 1. Умножьте верхние числа.
Шаг 2: Умножьте нижние числа.
Шаг 3. Упростите ответ, сократив его до наименьшего члена.
Разделите верхнюю и нижнюю на наибольший общий коэффициент (GCF), равный 10.
Пример 3 : Умножьте.
Вы можете столкнуться с проблемой, когда вам будет предложено умножить три дроби.
Общая идея остается такой же, как и при умножении двух дробей, как показано в предыдущих примерах.
Шаг 1. Рассчитайте произведение числителей.
Шаг 2: Вычислите произведение знаменателей.
Шаг 3. Уменьшите дробь до ее простейшего вида.
Разделите числитель и знаменатель на наибольший общий делитель, равный 12.
Пример 4 : Умножьте целое число на дробь.
Онлайн калькулятор правильное решение по действием. Сложность вычисления школьных примеров
Удобный и простой онлайн калькулятор дробей с подробным решением может:
- Складывать, вычитать, умножать и делить дроби онлайн,
- Получать готовое решение дробей картинкой и удобно его переносить.
Результат решения дробей будет тут…
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Знак дроби «/» + — * :
_cтереть Очистить
У нашего онлайн калькулятора дробей быстрый ввод . Чтобы получить решение дробей, к примеру , просто напишите 1/2+2/7 в калькулятор и нажмите кнопку «Решать дроби «. Калькулятор напишет вам подробное решение дробей и выдаст удобную для копирования картинку .Знаки используемые для записи в калькуляторе
Набирать пример для решения вы можете как, с клавиатуры, так и используя кнопки.Возможности онлайн калькулятора дробей
Калькулятор дробей может выполнить операции только с 2-мя простыми дробями. Они могут быть как правильными(числитель меньше знаменателя), так и неправильными(числитель больше знаменателя). Числа в числителе и знаменатели не могут быть отрицательными и больше 999.
Наш онлайн калькулятор решает дроби и приводит ответ к правильному виду — сокращает дробь и выделяет целую часть, если потребуется.Если вам нужно решить отрицательные дроби, просто воспользуйтесь свойствами минуса. При перемножении и делении отрицательных дробей минус на минус дает плюс. То есть произведение и делении отрицательных дробей, равно произведению и делению таких же положительных. Если одна дробь при перемножении или делении отрицательная, то просто уберите минус, а потом добавьте его к ответу. При сложении отрицательных дробей, результат будет таким же как если бы вы складывали такие же положительные дроби. Если вы прибавляете одну отрицательную дробь, то это тоже самое, что вычесть такую же положительную.
При вычитании отрицательных дробей, результат будет таким же, как если бы поменяли их местами и сделали положительными. То есть минус на минус в данном случае дает плюс, а от перестановки слагаемых сумма не меняется. Этими же правилами мы пользуемся при вычитании дробей одна из которых отрицательная.Для решения смешанных дробей (дробей, в которых выделена целая часть) просто загоните целую часть в дробь. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к числителю.
Если вам нужно решить онлайн 3 и более дроби, то решать их следует по очереди. Сначала посчитайте первые 2 дроби, потом с полученным ответом прорешайте следующую дробь и так далее. Выполняйте операции по очереди по 2 дроби, и в итоге вы получите верный ответ.
Привет друзья! Очень редко я рассказываю о действительно полезных программах, которые с легкостью могут сделать нашу жизнь легче и сэкономить наше время.
Через две недели уже первое сентября, а что это значит? Верное, это начало учебного года. Кому-то в школу, кому-то в университет и в другие учебные заведения. Грустно конечно же, а ведь еще и учиться нужно:). Поэтому, сегодня я расскажу Вам о программе, которая во многом поможет в этом не легком процессе. Ну с математикой так точно легче будет.
Расскажу я сегодня о программе ЛовиОтвет, о которой я узнал не так давно (а жаль, узнал бы когда еще учился в школе, возможно меньше двоек по математике бы было:)) . Честно говоря, математику я никогда не любил, толком не знал и все эти уравнения для меня были муками. Как в школе, так и в университете. А может я просто не хотел ее понимать, но это не важно, сегодня не об этом:).
Давайте вернемся к программе. ЛовиОтвет – это мощный решебник (в заголовке я написал калькулятор, но это больше чем просто калькулятор) , с помощью которого можно решать самые разные математические примеры (как самые простые, так и сложные) . И еще, программа показывает все этапы решения, то есть, Вы не просто получите ответ, а увидите, все этапы решения. Решаете к примеру уравнение и в столбик наблюдаете решение – это очень круто. Ведь очень часто конечный ответ нам не очень то и поможет, ведь нужно расписать сам процесс решения.
Что можно решать с помощью этой программы?
- Примеры разной сложности
- Уравнения (линейные и квадратные)
- Производить действия с натуральными числами
- Упрощение выражений
- Работать с дробями
И многое другое.
Особенности программы ЛовиОтвет
- Отображение этапов решения
- Результат программа показывает на тетрадном листе
- Красивый, простой и продуманный интерфейс (можно быстро изменять цвет программы)
- Есть версии программы для мобильных телефонов (java) , Android, Apple.
- Программа развивается.
Где скачать и как установить решебник ЛовиОтвет?
Кстати, пока писал статью, то обнаружил онлайн версию решебника находится по адресу http://calc.loviotvet.ru/ . Но там походу доступны не все функции. Поэтому, лучше скачать программу и установить на компьютер.
Программа бесплатная, поэтому просто качаем с официального сайта и устанавливаем. Переходим на страницу http://www.loviotvet.ru/download/ . И нажимаем на ссылку, рядом со значком Windows.
Сохраните установочный файл, или сразу запустите его. Сам процесс установки очень простой. Думаю разберетесь:). После установки на рабочем столе должен появится ярлык программы.
Вы наверное заметили, что на странице загрузки есть еще версии для мобильных телефонов и для платформ Android и iOS. Это значит, что Вы можете установить себе ЛовиОтвет на мобильный телефон, смартфон, планшет и т. д. Это очень хорошо, ведь такая программа должна быть всегда с Вами.
Обзор и работа с программой
Главное окно программы выглядит вот так:
Как видите, все очень просто. Слева все кнопки, переключатели и т. д. Кстати дополнительную панель можно скрыть. Вверху строчка, в которой пишем само задание. А ниже листок, на котором мы уведем решение после нажатия на кнопку Ответ.
Вот демонстрация функции с выводом этапов решения (даже 2+2 можно расписать:)) :
Слева, можно выбрать, как выводить решение.
Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ. Решение уравнения в общем виде. В таком уравнении переменные коэффициенты и искомые корни связаны между собой. Старшая степень переменной определяет порядок такого уравнения. Исходя из этого, для уравнений используют различные методы и теоремы для нахождения решений.2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные. После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение. Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.
Инструкция
Математических действий существует четыре вида: сложение, вычитание, умножение и деление. Поэтому примеров с будет четыре типа. Отрицательные числа внутри примера выделяются для того, чтобы не перепутать математическое действие. Например, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) или 34:(-17).
Сложение. Данное действие может иметь вид:1) 3+(-6)=3-6=-3. Замена действия: сначала раскрываются скобки, знак «+» меняется на противоположный, далее из большего (по модулю) числа «6» отнимается меньшее — «3», после чего ответу присваивается знак большего, то есть «-«.
2) -3+6=3. Этот можно записать по- («6-3») или по принципу «из большего отнимать меньшее и присваивать ответу знак большего».
3) -3+(-6)=-3-6=-9. При раскрытии замена действия сложения на вычитание, затем суммируются модули и результату ставиться знак «минус».Вычитание.1) 8-(-5)=8+5=13. Раскрываются скобки, знак действия меняется на противоположный, получается пример на сложение.
2) -9-3=-12. Элементы примера складываются и получает общий знак «-«.
3) -10-(-5)=-10+5=-5. При раскрытии скобок снова меняется знак на «+», далее из большего числа отнимается меньшее и у ответа — знак большего числа.Умножение и деление.При выполнении умножения или деления знак не влияет на само действие. При произведении или делении чисел с ответу присваивается знак «минус», если числа с одинаковыми знаками — у результата всегда знак «плюс».1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.Источники:
- таблица с минусами
Как решать примеры ? С таким вопросом часто обращаются дети к родителям, если уроки требуется сделать дома. Как правильно объяснить ребенку решение примеров на сложение и вычитание многозначных чисел? Попробуем в этом разобраться.
Вам понадобится
- 1. Учебник по математике.
- 2. Бумага.
- 3. Ручка.
Инструкция
Прочитайте пример. Для этого каждое многозначное разбить на классы. Начиная с конца числа, отсчитываем по три цифры и ставим точку (23.867.567). Напомним, что первые три цифры с конца числа к единиц, следующие три — к классу , далее идут миллионы. Читаем число: двадцать три восемьсот шестьдесят семь тысяч шестьдесят семь.
Запишите пример . Обратите внимание, что единицы каждого разряда записываются строго друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.
Выполните сложение или вычитание. Начинайте выполнять действие с единиц. Результат записывайте под тем разрядом, действие с которым выполняли. Если получилось число(), то единицы записываем на месте ответа, а число десятков прибавляем к единицам разряда. Если количество единиц какого-либо разряда в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом, занимаем 10 единиц следующего разряда, выполняем действие.
Прочитайте ответ.
Видео по теме
Обратите внимание
Запретите ребенку использование калькулятора даже для проверки решения примера. Сложение проверяется вычитанием, а вычитание — сложением.
Полезный совет
Если ребенок хорошо усвоит приемы письменных вычислений в пределах 1000, то действия с многозначными числами, выполненные по-аналогии, не вызовут затруднений.
Устройте ребенку соревнование: сколько примеров он может решить за 10 минут. Такие тренировки помогут автоматизировать вычислительные приемы.Умножение — одна из четырех основных математических операций, которая лежит в основе многих более сложных функций. При этом фактически умножение основывается на операции сложения: знание об этом позволяет правильно решить любой пример.
Для понимания сущности операции умножения необходимо принять во внимание, что в ней участвуют три основных компонента. Один из них носит название первого множителя и представляет собой число, которое подвергается операции умножения. По этой причине у него имеется второе, несколько менее распространенное название — «множимое». Второй компонент операции умножения принято называть вторым множителем: он представляет собой число, на которое умножается множимое. Таким образом, оба эти компонента носят название множителей, что подчеркивает их равноправный статус, а также то, что их можно поменять местами: результат умножения от этого не изменится. Наконец, третий компонент операции умножения, получающийся в ее результате, носит название произведения.
Порядок операции умножения
Сущность операции умножения основывается на более простом арифметическом действии — . Фактически умножение представляет собой суммирование первого множителя, или множимого, такое количество раз, которое соответствует второму множителю. Например, для того, чтобы умножить 8 на 4 необходимо 4 раза сложить число 8, получив в результате 32. Этот способ, помимо обеспечения понимания сущности операции умножения, можно использовать для проверки результата, получившегося при вычислении искомого произведения. При этом следует иметь в виду, осуществление проверки обязательно предполагает, что слагаемые, участвующие в суммировании, одинаковы и соответствуют первому множителю.Решение примеров на умножение
Таким образом, для того, чтобы решить , связанный с необходимостью осуществления умножения, может быть достаточно заданное количество раз сложить необходимое число первых множителей. Такой способ может быть удобен для осуществления практически любых расчетов, связанных с этой операцией. Вместе с тем, в математике достаточно часто встречаются типовые , в которых участвуют стандартные целые однозначные числа. Для того, чтобы облегчить их расчет, была создана так называемая умножения, которая включает в себя полный перечень произведений целых положительных однозначных чисел, то есть чисел от 1 до 9. Таким образом, однажды выучив , можно существенно облегчить себе процесс решения примеров на умножение, основанных на использовании таких чисел. Однако для более сложных вариантов необходимо будет осуществлять эту математическую операцию самостоятельно.Видео по теме
Источники:
- Умножение в 2019
Умножение — одна из четырех основных арифметических операций, которая часто встречается как в учебе, так и в повседневной жизни. Как можно быстро перемножить два числа?
Основу самых сложных математических вычислений составляют четыре основных арифметических операции: вычитание, сложение, умножение и деление. При этом, несмотря на свою самостоятельность, эти операции при ближайшем рассмотрении оказываются связанными между собой. Такая связь существует, например, между сложением и умножением.
Операция умножения чисел
В операции умножения участвуют три основных элемента. Первый из них, который обычно называют первым множителем или множимым, представляет собой число, которое будет подвергнуто операции умножения. Второй, который именуют вторым множителем, является числом, на которое будет умножен первый множитель. Наконец, результат осуществленной операции умножения чаще всего носит название произведения.При этом следует помнить, что сущность операции умножения фактически основывается на сложении: для ее осуществления необходимо сложить между собой определенное количество первых множителей, причем количество слагаемых этой суммы должно быть равно второму множителю. Помимо вычисления самого произведения двух рассматриваемых множителей, этот алгоритм можно использовать также для проверки получившегося результата.
Пример решения задания на умножение
Рассмотрим решения задачи на умножение. Предположим, по условиям задания необходимо вычислить произведение двух чисел, среди которых первый множитель равен 8, а второй 4. В соответствии с определением операции умножения, это фактически означает, что нужно 4 раза сложить цифру 8. В результате получается 32 — это и есть произведение рассматриваемых чисел, то есть результат их умножения.Кроме того, необходимо помнить, что в отношении операции умножения действует так называемый переместительный закон, который устанавливает, что от изменения мест множителей в первоначальном примере его результат не изменится. Таким образом, можно 8 раз сложить цифру 4, получив в результате то же произведение — 32.
Таблица умножения
Понятно, что решать таким способом большое количество однотипных примеров — довольно утомительное занятие. Для того чтобы облегчить эту задачу, была придумана так называемая умножения. Фактически она представляет собой перечень произведений целых положительных однозначных чисел. Проще говоря, таблица умножения — это совокупность результатов перемножения между собой от 1 до 9. Один раз выучив эту таблицу, можно уже не прибегать к осуществлению умножения всякий раз, когда потребуется решить пример на такие простые числа, а просто вспомнить его результат.Видео по теме
Калькулятор комплексных дробей онлайн
Полученный результат в виде дроби В отличие от универсального калькулятора Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн, этот калькулятор комплексных чисел арифметический.
«Для чего же?» — спросите Вы — «Ведь, уже есть калькулятор, который считает правильно».
Отвечаем: Дело в том что хорошо, когда калькулятор считает правильно, но ведь хочеться что бы он считал еще и красиво.
Представьте — Вы школьник и Вам надо посчитать вот такое выражение
А еще преподаватель просить выразить результат в виде дроби.
Вам тогда бы пришлось проводить деление сразу в виде дроби потом складывать, потом опять преобразовывать в дробь
Ну да, с помощью универсального калькулятора Вы посчитаете результат выражения, но в красивую дробь он же Вам его не конвертирует.
А хотелось бы….
Вот для всех школьников, которые столкнулись с подобными задачами и посвящается этот калькулятор.
Отличие этого калькулятора в том, что результат выдает в виде точной дроби, ( если такая будет присутствовать), или приближенной если в выражении будут присутствовать иррациональные числа.
Например, очень удобно умножать или делить комплексные числа, которые заданы в виде дроби.
Кроме этого, калькулятор переводит число, заданное в виде целой и дробной части, разделенной через точку, в правильную (или неправильную) дробь.
То есть можно назавать эту возможность конвертацией дробей, в том числе и комплексных.
Синатксис для тех кто пользуется XMPP клиентом
dr_i выражение
где, выражение — число или выражение в обычной или комплексной форме.
Примеры
так и пишем
dr_i (1+i)/(-2+5i)+(0.2-5.7i)
Получаем ответ
Действительная часть
Числитель= 44
Знаменатель= 145
Мнимая часть
Числитель= 1723
Знаменатель= -290
то есть ответ выглядит вот такУ этого калькулятора есть ограничение: не всегда при очень малых значения или при очень больших значениях выдает некорректный результат. Это связано с недостаточной точностью вычислений как языка PHP, так и написанных ботов. Проблема будет решаться постепенно.
Вот пример неудачного вычисления
Здесь ответ понятен и правилен
Но как только мы еще раз разделим исходное выражение, на некотрое число, например на 371
Ответ будет неверен.
Но если разделить исходное выражение на 10 000 то ответ опять будет правильным. Эта «плавающая » ошибка требует своего разрешения. На май 2015 года её поймать не удалось.
Удачных расчетов!
Калькулятор комплексных дробей онлайн | 2012-12-04 07:40:14 | Варламов Дмитрий | Алгебра | Дробный калькулятор комплексных чисел. Конвертер комплексной дроби | комплексная, дробь, вычисление, сократитьСокращение обыкновенных дробей. Онлайн калькулятор
Сокращение дроби — это замена данной дроби, на равную ей дробь, у которой числитель и знаменатель меньше, чем у данной дроби.
Сокращение дроби выполняется путём деления числителя и знаменателя на одно и то же число.
Сократить можно только такую дробь, у которой члены имеют какой-нибудь общий делитель, помимо единицы.
Например, дробь можно сократить, а дробь нельзя, так как у первой дроби числитель и знаменатель имеют общие делители помимо единицы (это 2 и 4), а числитель и знаменатель второй дроби не имеют никакого общего делителя, кроме единицы.
Дробь, которую нельзя сократить, называется несократимой дробью.
Сокращение можно произвести или постепенно или сразу, выполнив деление членов дроби на НОД.
При постепенном сокращении дробь сокращают более одного раза. Сначала подбирают наименьший общий делитель (кроме единицы) для обоих членов дроби и сокращают дробь на него. Полученную после сокращения дробь, если можно, сокращают таким же путём снова и такое постепенное сокращение продолжают до тех пор, пока не получится несократимая дробь.
Пример. Сократить дробь .
Решение: сначала сократим эту дробь, используя постепенное сокращение:
В результате мы получили несократимую дробь . Тот же результат мы получим, если найдём НОД чисел 24 и 432:
НОД (24, 432) = 24.
Сократив члены дроби на 24, получим:
Если числитель дроби делится на знаменатель, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель:
Калькулятор сокращения дробей
Данный калькулятор поможет вам выполнить сокращение обыкновенной дроби. Просто введите числитель и знаменатель и нажмите кнопку
Сократить
.Учимся решать дроби в онлайн калькуляторе
В этом материале рассмотрим, каким образом применяя онлайн-калькулятор узнать, как решать дроби.
Беседа пойдет о калькуляторе дробей
http://reshit.ru/Kalkulyator-drobey-onlayn-s-resheniemЭтот калькулятор дает возможность решить стандартные операции с двумя дробями.Благодаря калькулятору возможно суммировать, отнимать, делить и множить дроби.
Результат выходит в форме компактного изображения, на котором ясно указано всё решение.
Приведем к рассмотрению стандартные варианты вычисления дробей, применяя этот онлайн-калькулятор попытаемся написать в него 2 дроби разъеденив их соответствующим знаком
Берем например 2/3 и 3/7.- Для умножения вставляем между ними *
- Для деления ÷
- Для суммирования + и — для того чтобы отнять.
Калькулятор покажет нам результат в изображениях.
Как вы заметили, чтобы прибавить дроби нужно всего лишь перемножить знаменатели и числители.
Чтобы разделить две дроби, требуется умножить одну дробь, на другую перевернутую.
Для прибавления или вычитания требуется всего-лишь привести дроби к одному знаменателю и провести нужные операции с числителями.И что в результате нужно сделать-это прибавить или отнять числители приведенных к одному знаменателю дробей.
Сложнейшие дроби, с целой частью, неположительные , случаи в которых у вас 3 и больше имеют решение.Нужно разделить этот более лёгкий пример на лёгкие операции с 2 дробями, и вы тоже будете иметь возможность сосчитать их на калькуляторе.
Например, у вас задача из сложения 3-ех дробей.Изначально суммируйте 2, а затем сложите к ней 3, чтобы получить результат.
Если дробь имеет целую часть, достаточно занести ее в дробное выражение, умножьте знаменатель на целую часть и добавьте умноженное к числителю.
Отрицательные дробные выражения вычисляются так как и простые.Если вы умеете вычитать, прибавлять, делить, умножать отрицательные, целочисленные выражения, то с дробями те же знаковые законы.Но даже, если исследовав систему калькулятора, вы не совсем уловили смысл, то можете посмотреть ролик, в котором суть вычисления дробей показана на яблоках.
После изучения теории, закрепите полученные знания практикой.Вычислите несколько выражений самостоятельно, затем сверьтесь с онлайн-калькулятором. Несколько примеров вполне подойдет.
Знать как вычисляются дроби, очень нужно, так как они часто попадаются в заданиях университета, старшей школы, да и в жизни.
Они легки и изучаются с 3-5 класса, затем часто используются в дальнейшем.Усвоив суть их решения, вы навсегда запомните и вряд ли разучитесь их решать.Но если вы и забудете, на помощь всегда придет онлайн-калькулятор дробей и напомнит умения и знания.
На этом можно завершить обзор онлайн-дробей.
Также кроме этих знаний на сайте, вы можете найти таблицу производных, онлайн-калькулятор вычисляющий квадратные уравнения (http://reshit.ru/reshit-kvadratnoe-uravnenie-onlain) и другие сервисы и материалы.Как сократить дробь? Правила на все ситуации. Онлайн калькулятор сокращения алгебраических дробей с подробным решением позволяет сократить дробь и перевести неправильную дробь в правильную дробь
Вот и добрались до сокращения. Применяется здесь основное свойство дроби. НО! Не всё так просто. Со многими дробями (в том числе из школьного курса) вполне можно им обойтись. А если взять дроби «покруче»? Разберём подробнее! Рекомендую посмотреть материалов с дробями.Итак, мы уже знаем, что числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, дробь от этого не изменится. Рассмотрим три подхода:
Подход первый.
Для сокращения делят числитель и знаменатель на общий делитель. Рассмотрим примеры:
Сократим:
В приведенных примерах мы сразу видим какие взять делители для сокращения. Процесс несложен – мы перебираем 2,3.4,5 и так далее. В большинстве примеров школьного курса этого вполне достаточно. А вот если будет дробь:
Тут процесс с подбором делителей может затянуться надолго;). Конечно, такие примеры лежат вне школьного курса, но справляться с ними нужно уметь. Чуть ниже рассмотрим как это делается. А пока вернёмся к процессу сокращения.
Как рассмотрено выше, для того чтобы сократить дробь, мы осуществляли деление на определённый нами общий делитель(ли). Всё правильно! Стоит лишь добавить признаки делимости чисел:
— если число чётное то оно делится на 2.
— если число из последних двух цифр делится на 4, то и само число делится на 4.
— если сумма цифр из которых состоит число делится на 3, то и само число делится на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Двенадцать делится на 3, значит и 123031 делится на 3.
— если в конце числа стоит 5 или 0, то число делится на 5.
— если сумма цифр из которых состоит число делится на 9, то и само число делится на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Восемнадцать делится на 9, значит и 623032 делится на 9.
Второй подход.
Если кратко суть, то на самом деле всё действо сводится к разложению числителя и знаменателя на множители и далее к сокращению равных множителей в числителе и знаменателе (данный подход – это следствие из первого подхода):
Визуально, чтобы не запутаться и не ошибиться равные множители просто перечёркивают. Вопрос – а как разложить число на множители? Нужно определить перебором все делители. Это тема отдельная, она несложная, посмотрите информацию в учебнике или интернете. Никаких великих проблем с разложением на множители чисел, которые присутствуют в дробях школьного курса, вы не встретите.
Формально принцип сокращения можно записать так:
Подход третий.
Тут самое интересное для продвинутых и тех, кто хочет им стать. Сократим дробь 143/273. Попробуйте сами! Ну и как, быстро получилось? А теперь смотрите!
Переворачиваем её (числитель и знаменатель меняем местами). Делим уголком полученную дробь переводим в смешанное число, то есть выделяем целую часть:
Уже проще. Мы видим, что числитель и знаменатель можно сократить на 13:
А теперь не забываем снова перевернуть дробь обратно, давайте запишем всю цепочку:
Проверено – времени уходит меньше, чем на перебор и проверку делителей. Вернёмся к нашим двум примерам:
Первый. Делим уголком (не на калькуляторе), получим:
Эта дробь попроще конечно, но с сокращением опять проблема. Теперь отдельно разбираем дробь 1273/1463, переворачиваем её:
Тут уже проще. Можем рассмотреть такой делитель как 19. Остальные не подходят, это видно: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Запишем:
Следующий пример. Сократим 88179/2717.
Делим, получим:
Отдельно разбираем дробь 1235/2717, переворачиваем её:
Можем рассмотреть такой делитель как 13 (до 13 не подходят):
Числитель 247:13=19 Знаменатель 1235:13=95
*В процессе увидели ещё один делитель равный 19. Получается, что:
Теперь записываем исходное число:
И не важно, что будет больше в дроби – числитель или знаменатель, если знаменатель, то переворачиваем и действуем как описано. Таким образом мы можем сократить любую дробь, третий подход можно назвать универсальным.
Конечно, два примера рассмотренные выше это непростые примеры. Давайте попробуем эту технологию на уже рассмотренных нами «несложных» дробях:
Две четвёртых.
Семьдесят две шестидесятых. Числитель больше знаменателя, переворачивать не нужно:
Разумеется, третий подход применили к таким простым примерам просто как альтернативу. Способ, как уже сказано, универсальный, но не для всех дробей удобный и корректный, особенно это относится к простым.
Многообразие дробей велико. Важно, чтобы вы усвоили именно принципы. Строгого правила по работе с дробями просто нет. Посмотрели, прикинули каким образом удобнее действовать и вперёд. С практикой придёт навык и будете щёлкать их как семечки.
Вывод:
Если видите общий(ие) делитель(и) для числителя и знаменателя, то используйте их для сокращения.
Если умеете быстро раскладывать на множители число, то разложите числитель и знаменатель, далее сокращайте.
Если никак не можете определить общий делитель, то воспользуйтесь третьим подходом.
*Для сокращения дробей важно усвоить принципы сокращения, понимать основное свойство дроби, знать подходы к решению, быть крайне внимательным при вычислениях.
И запомните! Дробь принято сокращать до упора, то есть сокращать её пока есть общий делитель.
C уважением, Александр Крутицких.
Удобный и простой онлайн калькулятор дробей с подробным решением может:
Результат решения дробей будет тут…
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Знак дроби «/» + — * :
_cтереть Очистить
У нашего онлайн калькулятора дробей быстрый ввод . Чтобы получить решение дробей, к примеру , просто напишите 1/2+2/7 в калькулятор и нажмите кнопку «Решать дроби «. Калькулятор напишет вам подробное решение дробей и выдаст удобную для копирования картинку .Знаки используемые для записи в калькуляторе
Набирать пример для решения вы можете как, с клавиатуры, так и используя кнопки.Возможности онлайн калькулятора дробей
Калькулятор дробей может выполнить операции только с 2-мя простыми дробями. Они могут быть как правильными(числитель меньше знаменателя), так и неправильными(числитель больше знаменателя). Числа в числителе и знаменатели не могут быть отрицательными и больше 999.
Наш онлайн калькулятор решает дроби и приводит ответ к правильному виду — сокращает дробь и выделяет целую часть, если потребуется.Если вам нужно решить отрицательные дроби, просто воспользуйтесь свойствами минуса. При перемножении и делении отрицательных дробей минус на минус дает плюс. То есть произведение и делении отрицательных дробей, равно произведению и делению таких же положительных. Если одна дробь при перемножении или делении отрицательная, то просто уберите минус, а потом добавьте его к ответу. При сложении отрицательных дробей, результат будет таким же как если бы вы складывали такие же положительные дроби. Если вы прибавляете одну отрицательную дробь, то это тоже самое, что вычесть такую же положительную.
При вычитании отрицательных дробей, результат будет таким же, как если бы поменяли их местами и сделали положительными. То есть минус на минус в данном случае дает плюс, а от перестановки слагаемых сумма не меняется. Этими же правилами мы пользуемся при вычитании дробей одна из которых отрицательная.Для решения смешанных дробей (дробей, в которых выделена целая часть) просто загоните целую часть в дробь. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к числителю.
Если вам нужно решить онлайн 3 и более дроби, то решать их следует по очереди. Сначала посчитайте первые 2 дроби, потом с полученным ответом прорешайте следующую дробь и так далее. Выполняйте операции по очереди по 2 дроби, и в итоге вы получите верный ответ.
Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.
Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.
К этому же ответу можем прийти другим путем.
И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.
И еще один вариант решения.
В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.
Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Сокращать можно только множители!
Члены многочленов сокращать нельзя!
Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.
Рассмотрим примеры сокращения дробей.
В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.
Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.
b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.
c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,
Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:
И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.
Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.
В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:
Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):
В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:
В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:
Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:
В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):
Сокращаем дробь на (x+2):
Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Смысл сокращения алгебраической дроби
В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.
Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.
Определение 1
Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.
К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .
Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.
Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?
Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .
С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.
В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .
В дроби — x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.
Например, дробь x 3 — 1 x 2 — 1 мы можем сократить на х — 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 — x 2 + x — 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.
Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.
Правило сокращения алгебраических дробей
Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:
- нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
- в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.
Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.
Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .
Характерные примеры
Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:
5 5 = 1 ; — 2 3 — 2 3 = 1 ; x x = 1 ; — 3 , 2 · x 3 — 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x — x 2 · y 1 2 · x — x 2 · y ;
Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).
К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105
Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:
24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 · 5 · 7 = 2 105
(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:
24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105
По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.
Пример 1
Задана алгебраическая дробь — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.
Решение
Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = — 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = — 9 · a 3 2 · c 6
Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = — 3 3 — 1 2 · a 5 — 2 1 · 1 · 1 c 7 — 1 · 1 = · — 3 2 · a 3 2 · c 6 = · — 9 · a 3 2 · c 6 .
Ответ: — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 9 · a 3 2 · c 6
Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).
Пример 2
Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.
Решение
Возможно сократить дробь таким образом:
2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2
Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:
2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .
Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2
Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.
Пример 3
Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.
Решение
Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:
2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49)
Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:
2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7)
Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:
2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b
Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:
2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b
Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b — 7 · b .
Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.
Пример 4
Дана алгебраическая дробь 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.
Решение
На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:
1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2
Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:
x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · — 2 7 · — 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 1 5 · 3 1 2 = = — 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10
Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:
2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10 = — 2 7 · x 5 = — 2 35 · x
Ответ: 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = — 2 35 · x .
Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Как вычислить дробь на научном калькуляторе
По умолчанию научные калькуляторы, как и обычные, отображают дроби как десятичные. Таким образом, если вы введете простую дробь, например 1/2, на дисплее отобразится 0,5. Некоторые — но не все — научные калькуляторы предлагают функцию, которая позволяет отображать дроби без преобразования. Используя эту функцию, вы можете ввести сложную дробь и упростить ее прямо на калькуляторе. Калькуляторы с этой функцией также позволяют вводить число, состоящее из целого числа и дроби, например 1 1/4.Если в вашем калькуляторе нет этой функции, вы можете использовать обходной путь для управления дробями.
Кнопка дроби
Калькуляторы, отображающие дроби, иногда имеют специальный режим, называемый математическим режимом, который необходимо сначала выбрать, прежде чем вводить дроби. Когда калькулятор находится в математическом режиме, в верхней части экрана появляется слово «математика». После того, как вы выбрали этот режим (при необходимости), найдите кнопку с двумя прямоугольниками, черным и белым, расположенными друг над другом с горизонтальной линией между ними.Это кнопка дроби. На некоторых моделях на кнопке может отображаться x / y или b / c. Нажатие этой кнопки включает функцию дроби.
Ввод дроби
При нажатии кнопки дроби на дисплее появляется шаблон дроби. Иногда он состоит из двух пустых квадратов, расположенных друг над другом и разделенных горизонтальной линией. Курсор появится в верхнем поле. Теперь вы можете ввести числитель дроби.
На некоторых моделях дроби отображаются в виде чисел, разделенных перевернутой буквой «L».»Этот символ представляет собой горизонтальную линию, разделяющую числитель и знаменатель.
Нажмите клавишу курсора вниз (клавиша со стрелкой, указывающей вниз), чтобы переместить курсор из верхнего поля дисплея вниз, если в калькуляторе есть число. поля. Теперь вы можете ввести знаменатель. Если вам нужно изменить числитель, вы всегда можете вернуться в верхнее поле, нажав клавишу курсора вверх.
Если у вас есть калькулятор, который показывает дроби в одну строку, просто введите знаменатель.Перемещать курсор не нужно.
Если вы хотите ввести число, например 1 1/4, нажмите клавишу Shift перед нажатием клавиши дроби. На дисплее появится третье поле слева от двух полей дроби, и курсор будет в этом поле. Введите целую часть числа, затем нажмите правую кнопку курсора, чтобы переместить курсор в поле числителя дроби.
На калькуляторах с линейным дисплеем введите три числа в следующем порядке: целое число, числитель, знаменатель.
Обработка дробей на калькуляторах без ключа дроби
Хотя вы не можете отображать недесятичные дроби на калькуляторе без функции дроби, вы все равно можете их вводить. Сначала введите числитель дроби, затем нажмите клавишу деления и введите знаменатель. Нажмите клавишу «равно», и дробь отобразится в виде десятичной дроби.
Вы не можете преобразовать десятичную дробь в дробь на калькуляторе, но калькулятор может помочь вам сделать это с помощью карандаша и бумаги.Предположим, вы хотите выразить 0,7143 в виде дроби. Вы можете записать это как 7143/10 000, но, возможно, вы захотите сократить это до чего-то более простого, например, до знаменателя, состоящего из одной цифры. Для этого введите исходное число как десятичное, а затем умножьте на желаемый знаменатель. Это дает вам числитель дроби. Например, если вы хотите дробь с 7 в знаменателе, умножьте 0,7143 на 7. Калькулятор отобразит числитель, который в данном случае равен 5.0001, что достаточно близко к 5, чтобы быть равным.Затем вы можете написать дробь 5/7 на листе бумаги.
Расчет неизвестных дробей
Найдите неизвестный числитель или знаменатель дроби с помощью нашего простого калькулятора. Оставьте одно поле пустым, и калькулятор решит это поле.
Решение:
x = 4,5
Начните с перекрестного умножения дробей
3x = 23 = (3 × 3) = (x × 2)
Упростите выражение
3 × 3 = 2x
Умножьте известные значения
9 = 2x
Разделите обе стороны на 2, чтобы получить x
92 = 2×2
92 = x
4.5 = х
Решение дробей в алгебраических уравнениях
Вы можете найти неизвестное значение x в алгебраических уравнениях, содержащих дроби, с помощью нескольких простых шагов.
Шаг первый: умножьте дробь крестиком
Первый шаг к поиску неизвестного числителя или знаменателя дроби — это перемножение числителей и знаменателей.Для перекрестного умножения умножьте каждый числитель на знаменатель в противоположной дроби. Это создаст новое уравнение, которое не является дробью и которое легче решить.
Например, произведите перекрестное умножение следующего уравнения, чтобы создать новое уравнение без дроби:
x3 = 34x3 = 34
(4 × x) = (3 × 3)
4x = 9Шаг второй: решите уравнение
Следующим шагом будет решение полученного уравнения. Для начала получите x отдельно, разделив обе части уравнения на число перед x.
Например, решим уравнение 4x = 9.
4x = 9
4×4 = 94
x = 94Шаг третий: Уменьшите дробь
Последний шаг — уменьшить дробь. Начните с поиска наибольшего общего делителя числителя и знаменателя. Затем разделите числитель и знаменатель на общий множитель. Если вы все еще не уверены, воспользуйтесь нашим упрощителем дробей, чтобы уменьшить дробь.
Если числитель дроби больше 1, вы можете преобразовать дробь в смешанное число.Для этого разделите числитель на знаменатель. Частное будет целым числом, остаток — числителем, а исходный знаменатель — знаменателем.
Например, дробь из приведенных выше примеров не может быть упрощена, но ее можно превратить в смешанное число.
94 = 9 ÷ 4
9 ÷ 4 = 2 R1
2 14Калькулятор отрицательной или положительной дроби
Калькулятор отрицательной или положительной дроби
Связанные темы:
Расчет лимитов онлайн | цель 2 занятия по математике 7 класс | ответы на nc издание алгебры 1 | решение квадратных корней | рабочий лист по алгебре для 8 класса | онлайн-алгебра 1 книга (Техас) | логарифмическая шкала ти-83 | ti 84 графических изображений | бесплатная распечатка математики рациона с использованием данных для семиклассника | «множители 250»Автор Сообщение заявок Зарегистрировано: 30.01.2002
Вылет: Милан, ИталияРазмещено: 28 декабря, четверг, 15:19 У меня есть задание сдать завтра днем.Но я застрял с вопросами, основанными на калькуляторе отрицательных или положительных дробей. У меня проблемы с пониманием системы уравнений 3×3 и рациональных неравенств, потому что я просто не могу найти способ решения проблем на их основе. Я позвонил своим друзьям и попробовал в Интернете, но ни одно из этих действий не помогло. Я все еще пытаюсь, но времени мало, и я никак не могу это понять. Кто-нибудь может показать мне дорогу? Мне действительно нужна помощь от вас, ребята, для завтрашнего задания.Пожалуйста, ответьте. К началу Вофдж Тимидров Зарегистрирован: 06.07.2001
Откуда: БолгарияРазмещено: 29 декабря, пятница, 07:58 Что именно вы не понимаете в калькуляторе отрицательных или положительных дробей? Я помню, что у меня были трудности с тем же самым в восстановительной алгебре, поэтому я мог бы дать вам несколько идей о том, как справляться с такими проблемами.Однако, если вам нужна помощь с математикой на долгосрочной основе, вам стоит попробовать Algebrator, это то, что я делал в своей Algebra 2, и я должен сказать, что это так здорово! Это дешевле, чем частный преподаватель, и вы можете использовать его в любое время, когда захотите. Использовать его несложно, даже если вы никогда не пробовали подобную программу. Я бы посоветовал вам купить его как можно скорее и забыть о репетиторе по математике. Вы не пожалеете! К началу sxAoc Зарегистрировано: 16.01.2002
Откуда: АвстралияРазмещено: 29 декабря, пятница, 11:03 Я всегда боролся с математикой в школьные годы и абсолютно ненавидел этот предмет, пока не наткнулся на Алгебратор.Этот продукт настолько классный, что помог мне резко улучшить свои оценки. Это не только помогло мне с домашним заданием, но и научило меня решать проблемы. Вам нечего терять и вы можете получить все, купив это замечательное программное обеспечение. К началу the_vumng Зарегистрировано: 29.10.2003
Откуда: ГерманияРазмещено: 29 декабря, пятница, 13:02 Смотрится интересно.Как я мог приобрести эту программу? Не могли бы вы дать мне ссылку, которая могла бы привести меня к более подробной информации об этом программном обеспечении? К началу Dxi_Sysdech Зарегистрировано: 05.07.2001
Откуда: Прямо здесь, ты меня не видишь?Размещено: суббота, 30 декабря, 16:28 Я помню, что у меня были проблемы с непохожими знаменателями, угловым сходством и правилом Крамера.Алгебратор — действительно отличная программа для алгебры. Я использовал его в нескольких классах алгебры — промежуточной алгебре, алгебре 1 и алгебре колледжа. Я просто набираю проблему из книги и, нажимая «Решить», появляется пошаговое решение. Программа очень рекомендуется. К началу ZaleviL Зарегистрировано: 14.07.2002
Откуда: плывущий в свете, никогда не забываемыйК началу Калькулятор сложения дробей — сложение двух дробей
Этот калькулятор складывает две дроби. Он принимает правильные, неправильные, смешанные дроби и целые числа.Если они существуют, решения и ответы представлены в упрощенном виде, смешанные и целые форматы.Общие шаги по сложению дробей описаны ниже.
- Если входные данные представляют собой смешанные дроби или целые числа, преобразуйте их в неправильные дроби.
- Определите наименьшее общее кратное (НОК).
- Умножьте левую и правую дроби на коэффициент, чтобы в знаменателе каждой дроби использовалось НОК.
- Сложите левый и правый числители.Это будет числитель окончательного ответа.
- Знаменатель окончательного ответа — это просто НОК.
- Упрощенные и смешанные числа Ответы:
- Найдите наибольший общий делитель (НОД)
- Разделите числитель и знаменатель ответа на НОД, чтобы получить упрощенное решение.
- Если ответ больше единицы, то существует смешанное решение. Просто разделите числитель на знаменатель. Вся часть смешанного числа говорит сама за себя.Дробь смешанного числа — это остаток от исходного знаменателя.
- Выберите тип дроби или целого числа. Не выбирайте ни одно поле для неправильных или подходящих фракций. Это значение по умолчанию. Выбрано «Смешанный» для смешанных дробей и целое для целых чисел.
- Введите левую дробь.Это дробь слева от операнда сложения.
- Введите правильную дробь. Это дробь справа от операнда.
- Ознакомьтесь с пошаговым решением и различными ответами.
Параметр Описание Неправильное преобразование Если дробь смешанная, отображаются шаги для преобразования в неправильную дробь. Неправильная фракция Если дробь смешанная, значения окончательной неправильной дроби. Добавить Показывает фактические шаги сложения. наименьшее общее кратное (LCM) Показывает вычисленное наименьшее общее кратное. Это наименьшее число, при котором обе дроби делятся поровну. Ответ Показывает решение.Обратите внимание, это решение не упрощено. Наибольший общий делитель Используется для упрощения ответа. Наибольшее или наибольшее целое число, которое разделит числитель и знаменатель без получения дроби. Разделить на GCD Показывает числитель и знаменатель, разделенные на НОД для уменьшения дроби. Ответ (упрощенный) Решение в правильном или неправильном формате. Ответ (смешанный) Если раствор является неправильной дробью, отображается преобразованная смешанная дробь. Смешанная фракция показывает дробь с целой частью в дополнение к оставшейся части фракции. Калькулятор решающих дробей
Процедура использования калькулятора сложения смешанных фракций следующая: Шаг 1: Введите две смешанные фракции в поле ввода. Сложите дроби с одинаковым знаменателем, сложив числители.Следовательно, это … Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Решение уравнений с дробями. Процесс проверки будет заключаться не только в поиске возможной ошибки, но и в определении того, есть ли у уравнения ответ. будет полезно, если вам нужно выполнить кучу отдельных вычислений и сложить или вычесть их результаты. Нет ничего проще складывать, вычитать, умножать и делить дроби! Для решения этих задач мы использовали следующие навыки: складывать дроби с одинаковыми знаменателями.Ответы из учебника физики Прентис Холла. Ответы представляют собой дроби в наименьшем значении или смешанные числа в сокращенном виде. Теперь мы можем сказать, что разложение на частичные дроби для is. Следует отметить, что и были выбраны для использования в уравнении (**) для удобства «обнуления» членов в уравнении. 2. Вам нужно только ввести значения и переменная X в полях ввода, чтобы получить значение X. решить для переменной типа double. Он также может преобразовывать смешанные числа в дроби и наоборот. HOLT. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре вычисления дроби.Шаг 2: Теперь нажмите кнопку «Решить», чтобы получить сумму. Пример: 7/9 = y / 5 (или) z / 9 = 7/8 (или) 8/9 = 3 / x. Дробное уравнение — это уравнение, в знаменателе которого стоит переменная. WebMath разработан, чтобы помочь вам решить ваши математические задачи. полезные советы по сложению и вычитанию целых чисел. заказ целочисленных игр. + — х /. Кайл платит налог в размере 25% от своего дохода. Спасибо. Теперь он предлагает более интуитивный ввод дробей и поддерживает естественное отображение дробей. Чтобы увидеть дополнительное письменное объяснение рядом с работой, нажмите здесь «подробный режим».Это онлайн-инструмент, который поможет вам без особых усилий решить пропорции. Вот очищенное уравнение и его решение: 4x = 2 + 3x: 4x — 3x = 2:… Какая часть дохода Кайла это? Последний из приведенных выше терминов — «m 2/5» — это «корень пятой степени из m в квадрате». Эта статья представляет собой пошаговое руководство, которое без проблем проведет вас через весь процесс. Вы начинаете нервничать, когда видите дроби? Темы Вход. Калькулятор умножения дробей онлайн. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей.Затем удалите коэффициент 1 из… o уровень математики в прошлом… Например, введите 3×214 в текстовое поле, чтобы получить пошаговое объяснение того, как решить 3×214. Введите правильные или неправильные дроби, выберите математический знак и нажмите Рассчитать. Калькулятор интегралов поддерживает определенные и неопределенные интегралы (первообразные), а также интегрирующие функции со многими переменными. 6 класс по математике. Калькулятор квадратных уравнений предоставляет три предопределенных формата для решения квадратных уравнений в форме ax 2 + bx + c = 0, ax 2 + bx = 0 и ax 2 + c = 0.рабочий лист алгебраических выражений. бесплатный генератор упражнений по алгебре. Метод дробного деления. Упростите любую сложную дробь. Как использовать научный калькулятор для дробей? Существует 2 метода решения и сокращения сложных дробей: 1. Мы предлагаем огромное количество качественных справочных руководств по различным предметам, от операций до учебной программы для промежуточной алгебры. Решатель дробей, решение неоднородной линейной равной константы второго порядка, калькулятор логарифмических выражений. .Решение уравнений с калькулятором дробей с шагами. Вы будете рады узнать, что калькулятор рефинансирования ипотеки доступен бесплатно на нескольких разных сайтах. ПОЖАЛУЙСТА, НАПИШИТЕ MS. РИКАРД, КОГДА ВЫ ЗАКАНЧИВАЕТЕ ПОЗДНУЮ РАБОТУ. Эти уникальные особенности делают Virtual Nerd жизнеспособным… Итак, ответ — 6/9, которые можно уменьшить до 2/3. Калькулятор дробей. Получите помощь в Интернете или с помощью нашего математического приложения. Просто скопируйте и вставьте приведенный ниже код на свою веб-страницу, где вы хотите отобразить этот калькулятор.Гид. Сложение и вычитание отрицательных чисел рабочие листы для печати пропорций Пирсон Прентис Холл вопросы из учебника предварительной алгебры и ответы на стр. 60 ментальной математики. Как бы она ввела 1 4 в качестве десятичной дроби на калькуляторе? Прямо от очистки калькулятора дробей до программы курса, мы включили все детали. Калькуляторы Темы Методы решения Премиум. математическое упражнение для первого класса. Найдите ЖК-дисплей. Калькулятор дробей. Онлайн-калькулятор решает систему линейных уравнений (с 1,2 ,…, n неизвестных), квадратное уравнение с одной неизвестной переменной, кубическое уравнение с одной неизвестной переменной и, наконец, любое другое уравнение с одной переменной. Чтобы ввести дробь, введите знак / между числителем и знаменателем. Калькулятор дробей. 1/3 + 1/4. умножение и деление рациональных чисел. Mathepower поможет вам со всеми математическими упражнениями для школы. Онлайн-калькулятор операций с дробями Начните с вычисления 3 2 = 9. Шаг 1: Предположим, что обе дроби — это a / b и c / d. Калькуляторы Темы Методы решения Премиум.Вы можете решить любое количество уравнений совершенно бесплатно. Калькулятор аналогичен сокращению решенного уравнения, а затем добавлению дробей в числитель, используя часть каждой строки, в том случае, когда калькулятор складывает и вычитает дроби в простейшей форме, когда математики создают эквивалент. Калькулятор смешанных чисел (также называемый смешанными дробями): этот онлайн-калькулятор обрабатывает простые операции с целыми числами, целыми числами, смешанными числами, дробями и неправильными дробями путем сложения, вычитания, деления или умножения.ЖК-метод. Упростите полученную дробь. решатель системы двойных уравнений. На следующих диаграммах показано, как решать системы уравнений с помощью метода подстановки и исключения… Solve-variable.com содержит бесценные советы по калькулятору алгебраических дробей, квадратичным функциям, алгебре и другим предметам алгебры. Калькулятор алгебраических дробей Получите подробные решения своих математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора алгебраических дробей. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.{2} + 3 x + 2} $$$ Когда Рани покупала свою квартиру, ей пришлось внести залог в размере 1 10 Если вам нужна помощь по линии или даже по математике, Algebra-equation.com действительно идеальное место для остановиться у! Сэкономьте свое время с помощью этого удобного инструмента и сделайте свое обучение веселым и легким. сложение и вычитание целых листов. Однако любые другие два варианта для приведут к точно таким же значениям для и (после решения двух уравнений с двумя неизвестными). Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в отношении файлов cookie. Исследуйте математику с Desmos.неоднородность второго порядка. $ \ text {Slope} = \ frac {y_2 — y_1} {x_2 — x_1} $ Как это работает: просто введите числа в поля ниже, и калькулятор автоматически найдет наклон двух точек. Как вводить числа: введите любое целое число , десятичная или дробная. Дроби следует вводить с косой чертой, например «3/4» для дроби $$ \ frac {3} {4} $$. Этот калькулятор дробей автоматически упростит результаты. Придется ли вам останавливаться и пересматривать все правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей? онлайн-калькулятор выражений.В результате получается простая дробь, эквивалентная данной сложной дроби. Когда Рани покупала ее … Получите помощь от этого мгновенного и удобного инструмента, например, решите калькулятор X фракций, чтобы легко найти значение x в дробях. Шаг 2: Решите полученную систему, используя метод сложения, метод исключения или метод замены. CCSS.Math: 5.NF.A.1 … одна будет равна 16 умноженным на 1, что также делится на 2, поэтому давайте запишем обе эти дроби, давайте запишем обе эти дроби, давайте перепишем это уравнение, где обе эти дроби имеют 16 в качестве знаменателя у этого, очевидно, уже есть, так что давайте напишем это, так что мы собираемся… Например, для 2¼ типа 2 1/4.Найдите лучшие цифровые задания для своего класса математики или создайте свои собственные. Решение проблемы с дробями в основном зависит от понимания того, как работают знаменатели. бесплатный \ рабочий лист математическая викторина тест дроби десятичные дроби. правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Например: 1/3 Или щелкните пример. Дробная экспонента — это сокращение для выражения квадратного корня или более высоких корней переменной. Этот калькулятор решает уравнения для одной переменной. Свойство II: если две дроби имеют равные знаменатели, дробь с большим числителем больше.Для возрастания или от наименьшего к наибольшему порядку сначала поместите наименьшее значение, а для убывания или наибольшего к наименьшему порядку — наибольшее значение и т. Д. … Студенты учатся решать уравнения, в которых участвуют дроби, либо умножая обе части уравнения на обратную дробь, либо умножая обе части уравнения на … решение уравнений в Excel. Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. 4/5, 2/5, 3/2, 8/5, 13/17. Возможность отображать рабочий процесс и подробное объяснение.Вычисление уравнений транспонирования алгебры Решение стало проще… Сравните: вычтите вторую дробь из первой: положительный результат означает, что первая больше, и наоборот. Для любой рациональной функции он может вычислить эквивалентную сумму дробей, знаменатели которых неприводимы. Пусть Калькулятор дробей превратит ваши \ displaystyle c c в ненулевые целые числа. Свойства фракций. Не требует дополнительных плагинов или загрузок — только ваш браузер и у вас должны быть включены сценарии (Javascript).Даже если точного решения нет… Упростите калькулятор дробей. Введите любое целое десятичное или дробное число. Дроби следует вводить с косой чертой, например 34 для дроби frac34. Калькулятор Введите уравнение (Пример: 2x + 3y = 10) Введите любое число в этот бесплатный калькулятор. В следующем примере показано упрощение уравнения (2) на стр. 255. 1. При решении любого уравнения с дробями в следующей строке, которую вы напишете —5x — 2x = 30 -, не должно быть дробей. Ей нужно ввести это в калькулятор.Сложите дроби с разными знаменателями. Эта игра с дробями позволяет попрактиковаться в вычислении знаменателя дроби, вычисления могут выполняться без использования калькулятора, что является отличным упражнением в мысленном вычислении для… В этой нелинейной системе пользователи могут выбирать любой путь через материал лучше всего отвечает их потребностям. Решите значение неизвестной переменной с помощью этого калькулятора пропорций. Правильный ответ: 25% = 25 100 = 1 4 5. Калькулятор веб-страницы для преобразования дробей, квадратного корня и десятичных значений в непрерывные дроби.Находит полные и точные непрерывные дроби для выражений формы… Ниже приведены несколько калькуляторов дробей, способных выполнять сложение, вычитание, умножение, деление, упрощение и преобразование дробей в десятичные дроби. Операции с дробями и манипуляции. Калькулятор использует различные операции для упрощения и решения сложных дробей. Решение уравнений с калькулятором дробей и десятичных знаков. Решение линейных уравнений с одной переменной, содержащей дроби Калькулятор линейных уравнений может использоваться для решения линейных уравнений или уравнений первой степени с одной переменной, содержащей дробные коэффициенты, включая смешанные дроби.Я проверил 4-5 домашних инструментов алгебры и обнаружил … Калькулятор дробей просто ответ для вас. Онлайн-калькулятор отрицательных показателей BYJU ускоряет вычисления и отображает результат за доли секунды. Бесплатный факторный расчет онлайн. Введите дроби и нажмите кнопку =. 3.) Давайте взглянем на правила решения дробных показателей, прежде чем погрузиться в наглядные примеры. Математическая игра: вычислите знаменатель дроби. Состоит из форм для заполнения, а затем возвращает анализ проблемы и, если возможно, предоставляет пошаговое решение.Вычтите дроби с одинаковыми знаменателями. алгебраические уравнения экспоненциальные. ENG • ESP. Алгебраические дроби. Темы Вход. Подготовка к тесту. Например, чтобы решить 5/9 + 1/9, просто добавьте 5 + 1, что равно 6. Калькулятор коммутационных свойств: введите a, b и c. Введите числа, чтобы отобразить свойство коммутативности: 2×2 −4x + 2×2 +1. Прямо от двухшаговых уравнений с решателем дробей до вычитания рационального, мы обсудили все части. Выполните следующие шаги, чтобы вычислить порядок дробей: Шаг 1: Запишите все дроби.Уравнение может содержать множество переменных.Golf Today Golf Channel, Циркуляр о вакансиях Prime Bank 2021, Биллинг медицинского центра Lac + Usc, Больница Лисбург Флорида, Обратная интеграция Apple, 10 предложение настоящего совершенного непрерывного, Посольство Словении в Африке, Состав Endicott Lacrosse 2018,
Онлайн калькулятор
Другие калькуляторы
Преобразователь веса
Весовой преобразователь для любого значения или единицы веса
Преобразователь вращения
Преобразователь вращения для любого значения или единицы вращения
Преобразователь давления
Преобразователь давления для любого значения или единицы давления
Преобразователь энергии
Преобразователь энергии для любого значения или единицы энергии
Преобразователь частоты
Преобразователь скорости для любого значения или единицы скорости
Преобразователь объема
Преобразователь объема для любого значения или единицы объема
Преобразователь площади
Преобразователь площади для любого значения или единицы площади
Преобразователь длины
Преобразователь длины для любого значения или единицы длины
Теория множеств
Калькулятор производит вычисления над наборами и создает диаграмму Венна.
Генератор графов функций
Это генератор графиков для любой функции.
Производные
Производная функции y = f (x) — это наклон прямой, касательной к графику функции в точке x0. В этом калькуляторе вы сможете решать свои упражнения по производным.
Координаты середины
Калькулятор координат средней точки между точками A (xa; ya) и B (xb; yb).
Расстояние между двумя точками
Калькулятор расстояния между двумя точками A (xa; ya) и B (xb; yb).
Кратное число
Этот калькулятор позволяет перечислить первые 100 кратных любого числа.
Линейное уравнение
Это калькулятор линейных уравнений, который включает в себя все шаги и графики линейной функции.
Квадратное уравнение
Это калькулятор квадратного уравнения, который включает в себя все шаги и график квадратичной функции.
Биквадратное уравнение
Это онлайн-программа для решения биквадратных уравнений. Включает все шаги и график биквадратичной функции.
Система уравнений 3×3
Это системный калькулятор линейных уравнений с 3-мя переменными.
Система уравнений 2×2
Это системный калькулятор линейных уравнений с двумя переменными, который включает все шаги с использованием правила Крамера.
Уравнение четвертой степени
Это онлайн-программа для решения уравнений четвертой степени.
Кубическое уравнение
Это онлайн-программа для решения кубических уравнений.
Таблица вычитания
Это онлайн-таблица вычитания любого числа.
Таблицы сложения
Это онлайн-таблица сложения любого числа.
Разделительный стол
Это онлайн-таблица деления на любое число.
Таблица умножения
Это онлайн-таблица умножения любого числа.
Статистика
Этот статистический калькулятор позволяет рассчитать абсолютную частоту, режим, среднюю, медианную и относительную частоты.
Упрощение дробей
Этот калькулятор позволяет быстро и автоматически упростить дроби, показывая все шаги.
Расчет дробей
Этот калькулятор позволяет вычислять операции умножения, деления, сложения и вычитания дробей.В нем есть возможность показать все шаги для достижения конечного результата.
Проценты
Этот калькулятор позволяет рассчитывать проценты.
Целое число
Этот калькулятор позволяет узнать, является ли данное целое число простым, четным или нечетным, полным или полным квадратом. Это также позволяет вам перечислить разделители и первые 10 кратных.
Преобразователь десятичной системы в экспоненциальную
Это онлайн-конвертер десятичной системы счисления в экспоненциальную.
Конвертер научной системы счисления в десятичную
Это онлайн-конвертер из научного представления в десятичное.
Основные факторы
Калькулятор простых множителей для определения простых множителей любого числа.
Корень
Калькулятор корня для определения корня любой степени числа.
Кубический корень
Калькулятор кубического корня для определения кубического корня любого числа.
Квадратный корень
Калькулятор квадратного корня для определения квадратного корня любого числа.
Арифметические выражения
Это арифметический калькулятор, показывающий все шаги.
Делители
Калькулятор делителей для вычисления и перечисления всех делителей числа.
Наименьшее общее кратное
Калькулятор наименьшего общего кратного между двумя числами для вычисления кратных обоих чисел, а затем определения наименьшего и общего.
Наибольший общий делитель
Калькулятор наибольшего общего делителя между двумя числами для вычисления делителей обоих чисел, а затем определения наибольшего и общего.
Калькулятор отрицательных дробей в десятичные числа
Этот инструмент поддерживает преобразование базовых двоичных, восьмеричных, десятичных, шестнадцатеричных и Base2 в Base36. Конвертер числовых систем хорошо работает в Windows, MAC, Linux, Chrome, Firefox, Edge и Safari.Это также все числовые преобразователи или система счисления.
Мы знаем, что математика сложна, и мы здесь, чтобы помочь. На нашем сайте вы найдете множество совершенно бесплатных пошаговых математических калькуляторов. Они охватывают материал от базовой алгебры до уровня колледжа. Вы можете увидеть шаги и объяснения ваших домашних заданий по алгебре, охватывающие: упрощение выражений, поиск GCF и LCM для нескольких выражений.
Преобразование дроби в процент. Преобразуйте правильные и неправильные дроби в проценты.Этот калькулятор показывает шаги и работу по преобразованию дроби в процентное число. Два шага для преобразования дроби в проценты. Используйте деление для преобразования дроби в десятичную дробь: 1/4 = 1 ÷ 4 = 0,25
Частичное разложение дроби можно рассматривать как противоположность упрощения дроби. Обратите внимание, что «упрощение» используется здесь в определении классической алгебры. Выполнение частичного разложения на дроби может упростить решение задач, даже если дроби стали расширенными.
Если вы знаете, как превратить смешанное число в дробь, а дробь в десятичную, сделайте это, а затем сделайте это отрицательным. При преобразовании отрицательной дроби в десятичную дробь будет десятичной положительной или …
Математика Бесплатные онлайн-калькуляторы — Получите бесплатный калькулятор алгебры, калькулятор умножения, калькулятор сложения, калькуляторы преобразования, калькулятор тригонометрии, инженерные математические калькуляторы и т.
10 умножить на 4: Mathway | Популярные задачи
//2Умножение на 4 | Таблица умножения
На этой странице представлены примеры, описывающие умножение на 4 и умножение числа 4, деление, некоторые способы произношения и записи, таблица умножения на 4 без ответов, в конце статьи — картинки для скачивания, с помощью которых можно распечатать часть таблицы. Умножение на 4:
1 x 4 = 4
2 x 4 = 8
3 x 4 = 12
4 x 4 = 16
5 x 4 = 20
6 x 4 = 24
7 x 4 = 28
8 x 4 = 32
9 x 4 = 36
10 x 4 = 40Первый вариант произношения:
1 x 4 = 4 (1 умножить на 4, равно 4)
2 x 4 = 8 (2 умножить на 4, равно 8)
3 x 4 = 12 (3 умножить на 4, равно 12)
4 x 4 = 16 (4 умножить на 4, равно 16)
5 x 4 = 20 (5 умножить на 4, равно 20)
6 x 4 = 24 (6 умножить на 4, равно 24)
7 x 4 = 28 (7 умножить на 4, равно 28)
8 x 4 = 32 (8 умножить на 4, равно 32)
9 x 4 = 36 (9 умножить на 4, равно 36)
10 x 4 = 40 (10 умножить на 4, равно 40)Второй вариант произношения:
1 x 4 = 4 ( по 1 взять 4 раза, получится 4)
2 x 4 = 8 ( по 2 взять 4 раза, получится 8)
3 x 4 = 12 ( по 3 взять 4 раза, получится 12)
4 x 4 = 16 ( по 4 взять 4 раза, получится 16)
5 x 4 = 20 ( по 5 взять 4 раза, получится 20)
6 x 4 = 24 ( по 6 взять 4 раза, получится 24)
7 x 4 = 28 ( по 7 взять 4 раза, получится 28)
8 x 4 = 32 ( по 8 взять 4 раза, получится 32)
9 x 4 = 36 ( по 9 взять 4 раза, получится 36)
10 x 4 = 40 ( по 10 взять 4 раза, получится 40)От перемены мест множителей значение произведения не меняется, поэтому, зная результаты умножения на 4, можно легко найти результаты умножения числа 4.
В качестве знака умножения в разных источниках используют разные символы. Выше был показан пример с (x), в этот раз сделаем запись с помощью приподнятой точки ( ∙ )Умножение числа 4:
4 ∙ 1 = 4
4 ∙ 2 = 8
4 ∙ 3 = 12
4 ∙ 4 = 16
4 ∙ 5 = 20
4 ∙ 6 = 24
4 ∙ 7 = 28
4 ∙ 8 = 32
4 ∙ 9 = 36
4 ∙ 10 = 40Варианты произношения:
4 ∙ 1 = 4 (по 4 взять 1 раз, получится 4)
4 ∙ 2 = 8 (по 4 взять 2 раза, получится 8)
4 ∙ 3 = 12 (по 4 взять 3 раза, получится 12)
4 ∙ 4 = 16 (по 4 взять 4 раза, получится 16)
4 ∙ 5 = 20 (по 4 взять 5 раз, получится 20)
4 ∙ 6 = 24 (по 4 взять 6 раз, получится 24)
4 ∙ 7 = 28 (по 4 взять 7 раз, получится 28)
4 ∙ 8 = 32 (по 4 взять 8 раз, получится 32)
4 ∙ 9 = 36 (по 4 взять 9 раз, получится 36)
4 ∙ 10 = 40 (по 4 взять 10 раз, получится 40)4 ∙ 1 = 4 (4 умножить на 1, равно 4)
4 ∙ 2 = 8 (4 умножить на 2, равно 8)
4 ∙ 3 = 12 (4 умножить на 3, равно 12)
4 ∙ 4 = 16 (4 умножить на 4, равно 16)
4 ∙ 5 = 20 (4 умножить на 5, равно 20)
4 ∙ 6 = 24 (4 умножить на 6, равно 24)
4 ∙ 7 = 28 (4 умножить на 7, равно 28)
4 ∙ 8 = 32 (4 умножить на 8, равно 32)
4 ∙ 9 = 36 (4 умножить на 9, равно 36)
4 ∙ 10 = 40 (4 умножить на 10, равно 40)Деление на 4:
4 ÷ 4 = 1
8 ÷ 4 = 2
12 ÷ 4 = 3
16 ÷ 4 = 4
20 ÷ 4 = 5
24 ÷ 4 = 6
28 ÷ 4 = 7
32 ÷ 4 = 8
36 ÷ 4 = 9
40 ÷ 4 = 104 ÷ 4 = 1 (4 разделить на 4, равно 1)
8 ÷ 4 = 2 (8 разделить на 4, равно 2)
12 ÷ 4 = 3 (12 разделить на 4, равно 3)
16 ÷ 4 = 4 (16 разделить на 4, равно 4)
20 ÷ 4 = 5 (20 разделить на 4, равно 5)
24 ÷ 4 = 6 (24 разделить на 4, равно 6)
28 ÷ 4 = 7 (28 разделить на 4, равно 7)
32 ÷ 4 = 8 (32 разделить на 4, равно 8)
36 ÷ 4 = 9 (36 разделить на 4, равно 9)
40 ÷ 4 = 10 (40 разделить на 4, равно 10)Картинка:
Деление.
Картинка: Таблица умножения и деления на 4 без ответов (по порядку и вразброс):
1 ∙ 4 = 3 ∙ 4 = 4 ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 2 ∙ 4 = 6 ∙ 4 = 8 ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 3 ∙ 4 = 1 ∙ 4 = 12 ÷ 4 = 28 ÷ 4 = 4 ∙ 4 = 4 ∙ 4 = 16 ÷ 4 = 24 ÷ 4 = 5 ∙ 4 = 2 ∙ 4 = 20 ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 6 ∙ 4 = 7 ∙ 4 = 24 ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 7 ∙ 4 = 10 ∙ 4 = 28 ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 8 ∙ 4 = 5 ∙ 4 = 32 ÷ 4 = 8 ÷ 4 = 9 ∙ 4 = 9 ∙ 4 = 36 ÷ 4 = 4 ÷ 4 = 10 ∙ 4 = 8 ∙ 4 = 40 ÷ 4 = 40 ÷ 4 = Способы записи таблицы умножения на 4:
x Приподнятая точка * Знак не указан 1 x 4 = 4 1 ∙ 4 = 4 1 * 4 = 4 1 __ 4 = 4 2 x 4 = 8 2 ∙ 4 = 8 2 * 4 = 8 2 __ 4 = 8 3 x 4 = 12 3 ∙ 4 = 12 3 * 4 = 12 3 __ 4 = 12 4 x 4 = 16 4 ∙ 4 = 16 4 * 4 = 16 4 __ 4 = 16 5 x 4 = 20 5 ∙ 4 = 20 5 * 4 = 20 5 __ 4 = 20 6 x 4 = 24 6 ∙ 4 = 24 6 * 4 = 24 6 __ 4 = 24 7 x 4 = 28 7 ∙ 4 = 28 7 * 4 = 28 7 __ 4 = 28 8 x 4 = 32 8 ∙ 4 = 32 8 * 4 = 32 8 __ 4 = 32 9 x 4 = 36 9 ∙ 4 = 36 9 * 4 = 36 9 __ 4 = 36 10 x 4 = 40 10 ∙ 4 = 40 10 * 4 = 40 10 __ 4 = 40 Способы записи таблицы деления на 4:
/ : ÷ Знак не указан 4 / 4 = 1 4 : 4 = 1 4 ÷ 4 = 1 4 __ 4 = 1 8 / 4 = 2 8 : 4 = 2 8 ÷ 4 = 2 8 __ 4 = 2 12 / 4 = 3 12 : 4 = 3 12 ÷ 4 = 3 12 __ 4 = 3 16 / 4 = 4 16 : 4 = 4 16 ÷ 4 = 4 16 __ 4 = 4 20 / 4 = 5 20 : 4 = 5 20 ÷ 4 = 5 20 __ 4 = 5 24 / 4 = 6 24 : 4 = 6 24 ÷ 4 = 6 24 __ 4 = 6 28 / 4 = 7 28 : 4 = 7 28 ÷ 4 = 7 28 __ 4 = 7 32 / 4 = 8 32 : 4 = 8 32 ÷ 4 = 8 32 __ 4 = 8 36 / 4 = 9 36 : 4 = 9 36 ÷ 4 = 9 36 __ 4 = 9 40 / 4 = 10 40 : 4 = 10 40 ÷ 4 = 10 40 __ 4 = 10 Умножение на:
‹ Умножение на 3 Вверх Умножение на 5 ›
Умножить на 0,5.
Умножение дроби на число. Умножение дробей на целое число.- Альфашкола
- Статьи
- Как легко умножить на 0,5
В этой статье ты узнаешь как легко умножить любое число на \(0,5\), для этого тебе даже не понадобится калькулятор. \(0,5-\) это десятичная дробь, приведём её к виду обыкновенной дроби:
При умножении на \(0,5\) можно заменить умножением на \(\frac{1}{2}\). Обратная дробь одной пятой \(-2\) То есть для того чтобы умножить на \(0,5\) надо разделить на \(2.\) Легко не так ли?
Пример 1. Умножьте \(10\) на \(0,5\).
Решение: \(10*0,5=10*\frac{1}{2}=10:2=5\)
Ответ: \(5\).
Пример 2.
Умножьте \(30\) на \(0,5\).Решение: \(30*0,5=30*\frac{1}{2}=30:2=15\)
Ответ: \(15\).
Пример 2. Умножьте \(34\) на \(0,5\).
Решение: \(34*0,5=34*\frac{1}{2}=34:2=17\)
Ответ: \(17\).
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Ольга Викторовна Пятаева
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Ташкентский ордена Дружбы народов гос.
педагогический институтПроведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 5-9 класса. Математику, я люблю за то, что это стройная система с четкими правилами. Которая охватывает огромное количество других наук, учит мыслить критически, закаляет характер, математика всегда пригодится в быту и приводит ум в порядок. Большой опыт по подготовке к ОГЭ, ВПР и другим диагностическим работам по математике. Мои ученики — активные участники различных конкурсов, олимпиад, (Всероссийская олимпиада школьников, «Кенгуру», и т.д.), но не только участники, но и победители и призёры. К каждому учащемуся стараюсь найти индивидуальный подход, в занятиях ориентируюсь на интересы ребенка и помогаю полюбить математику, показывая, как и где её можно применять в жизни.
Создаю ситуацию успеха с учеником.
Также есть опыт работы с детьми с особенностями развития.
Мои достижения в преподавательской деятельности — это успехи моих учеников. Это и высокие баллы на экзаменах (от 60 и выше), экзамены пишем без двоек.
Вера Александровна Бондаренко
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Ульяновский государственный педагогический университет имени ИН Ульянова
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Я считаю, что знать русский язык, грамотно писать и говорить на нём – это гражданский долг каждого человека, проживающего в Российской Федерации.
Тем самым мы проявляем уважение к языку и сохраняем его для будущих поколений.
Беру в работу как начальные, так и средние классы; осуществляю подготовку детей в ВПР, ОГЭ, олимпиадам, проектам; даю консультации.
Методы преподавания, которые используются в работе с учеником, направлены на определение целей и задач обучения русскому языку как родному и их результативность.Евгений Борисович Царенков
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 6-9 классов.
Буду рад помочь разобраться с предметом, успешно усвоить материал школьной программы по математике. Устраню пробелы в пройденном материале, подниму текущий уровень знаний по математике. Доношу материал понятно и грамотно, акцентирую внимание на важных и значимых вещах. Не оставляю материал непонятым.
В отличии от школы мы никуда не торопимся — будем разбирать тему до тех пор, пока не сформируем компетенцию. Нет ничего сложного ни в каком предмете, если его преподают с любовью.Похожие статьи
- Как перевести квадратные миллиметры в квадратные сантиметры
- Финансовый Университет при Правительстве РФ: Управление Персоналом
- Задачи «на части»
- Задачи с прикладным содержанием (вариант 3)
- Задачи с логарифмическими уравнениями и неравенствами
- Решаем олимпиадные задачи для 4 класса
- Как научить ребенка плавать
- На что обратить внимание при выборе репетитора
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
правила, примеры, решения, 1 умножить на 10
Имея общее представление об умножении натуральных чисел и их свойств, легче понять принцип выполнений действий над ними.
Мы разберем правила, по которым производится умножение натуральных чисел. Весь материал имеет конкретные примеры и подробные объяснения. Совершим проверки результатов для того, чтобы сверить полученные на выходе числа.Таблица умножения
Умножая два натуральных числа, получаем результат, который производится при умножении однозначных натуральных чисел. Произведение чисел 6 и 3 приравнивается к сумме, состоящей из трех слагаемых, равных числу 6. Иначе это запишем: 6·3=6+6+6=18. Таким же образом получены все результаты умноженных однозначных натуральных чисел. Все занесены в таблицу, приведенную ниже.
1·1=1 2·1=2 3·1=3 1·2=2 2·2=4 3·2=6 1·3=3 2·3=6 3·3=9 1·4=4 2·4=8 3·4=12 1·5=5 2·5=10 3·5=15 1·6=6 2·6=12 3·6=18 1·7=7 2·7=14 3·7=21 1·8=8 2·8=16 3·8=24 1·9=9 2·9=18 3·9=27 4·1=4 5·1=5 6·1=6 4·2=8 5·2=10 6·2=12 4·3=12 5·3=15 6·3=18 4·4=16 5·4=20 6·4=24 4·5=20 5·5=25 6·5=30 4·6=24 5·6=30 6·6=36 4·7=28 5·7=35 6·7=42 4·8=32 5·8=40 6·8=48 4·9=36 5·9=45 6·9=54 7·1=7 8·1=8 9·1=9 7·2=14 8·2=16 9·2=18 7·3=21 8·3=24 9·3=27 7·4=28 8·4=32 9·4=36 7·5=35 8·5=40 9·5=45 7·6=42 8·6=48 9·6=54 7·7=49 8·7=56 9·7=63 7·8=56 8·8=64 9·8=72 7·9=63 8·9=72 9·9=81 Это и есть таблица умножения.
Все результаты сгруппированы для удобного дальнейшего применения. Таблица сложения натуральных чисел выглядит подобным образом. Она предоставлена ниже.Чтобы выяснить, как пользоваться таблицей, приведем пример. Если необходимо найти произведение 6 и 8, необходимо отметить столбец верхней ячейки, где имеем 6 (8), и строку левой ячейки, где число 8 (6). Чтобы найти результат, следует найти их общую ячейку, то есть пересечение столбца и строки. На рисунке ниже изображен пример нахождения искомого умножения 6 и 8.
Умножение трех и более количества чисел
Мы дали определение понятию умножения двух чисел. Теперь поговорим об умножении трех и более имеющихся чисел. Таким образом, в такой ситуации применимо сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения показывает равнозначность двух произведений a·(b·c) и (a·b)·c, где a, b и c могут быть любыми числами. Результат умножения данных чисел не будет зависеть от местоположения скобок.
Поэтому чаще всего при произведении скобки отсутствуют, а запись имеет вид a·b·c. Данное выражение называют произведением трех чисел, причем все входящие в него числа – множители.Сочетательное свойство умножения необходимо для того, чтобы легче было выявлять равные произведения. Это значит, что из приведенных (a·b)·(c·d), (a·(b·c))·d, ((a·b)·c)·d, a·(b·(c·d)) и a·((b·c)·d) можно сделать вывод, что они все равные. Положение скобок при умножении не играет роли. Это произведение может быть записано в виде a·b·c·d.
Обычно скобки опускаются при умножении. Произведение нескольких трех и более чисел без скобок приводит к последовательной замене двух соседних множителей до получения необходимого результата. Скобки могут быть расставлены произвольно, так как итог произведения не изменится.
Если взять пять натуральных чисел и записать их в виде произведения, то получим 2·1·3·1·8. Имеется два основных способы решения.
Первый способ заключается в том, что два множителя слева будут последовательно заменяться произведением.
Тогда получим, что 2·1·3·1·8=2·3·1·8. Так как 2·3=6, то 2·3·1·8=6·1·8. Далее имеем, что 6·1=6, тогда в итоге получим результат 6·8=48. Умножение пяти заданных чисел будет равняться 48. Этот способ записывается, как (((2·1)·3)·1)·8.Второй способ заключается в том, что скобки располагаются таким образом ((2·1)·3)·(1·8). Имеем, что 2·1=2 и 1·8=8, то ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8. При 2·3 равном 6 получим, что (2·3)·8=6·8. В итоге получим, что 6·8=48. Отсюда следует, что 2·1·3·1·8=48.
Порядок следования множителей не влияет на результат. Множители могут быть записаны в любом порядке. Это следует из свойств умножения натуральных чисел.
Пример 1Даны четыре числа для умножения: 3, 9, 2, 1. Их произведение записывается в виде 3·9·2·1.
При замене произведения множителей 3 и 9 или 9 и 2 получим, что следующий этап необходимо будет произвести умножение двузначных чисел 27 и 18.
Чтобы избежать это, необходимо поменять слагаемые местами, иначе расставить скобки.
Тогда получим: 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.
При перемене мест множителей можно производить наиболее удобные комбинирования для вычисления. Рассмотрим задание, где решение приводит к умножению нескольких чисел.
Пример 2Каждая коробка имеет по 3 предмета. В ящики положили 2 коробки. Какое количество предметов будет в 4 ящиках?
Решение
Нам дано, что в одном ящике 2 коробки, а в них соответственно по 3 предмета.
Тогда в одном ящике 3·2=6 предметов. Отсюда получим, что в 4 ящиках 6·4=24 предмета. Можно рассуждать иным образом. Один ящик вмещает в себя 2 коробки, отсюда в 4 ящиках 2·4=8 коробок. Каждая из коробок имеет 3 предмета, тогда имеем, что 8 коробок содержат 3·8=24 предмета.
Эти решения можно записать таким образом (3·2)·4=6·4=24 или 3·(2·4)=3·8=24.
Делаем вывод, что искомое количество предметов – это произведение 3,2,4, а значит, что 3·2·4=24.
Ответ: 24.
Подведем итоги.
При умножении трех и более чисел действия производятся последовательно.
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, разрешается менять местами множителями и заменять их двумя другими умножаемыми числами.Умножение суммы на натуральное число и наоборот
Благодаря распределительному свойству умножения сложение и умножение связаны. Это помогает в изучении сложения и умножения. Свойство способствует углубиться в изучение всех действий.
Если рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, то получим такой вид записи с двумя слагаемыми: (a+b)·c=a·c+b·c, где a, b, c являются произвольными натуральными числами. Исходя из данного равенства при помощи метода математической индукции докажем справедливость предложенного (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d, (a+b+c+d)·h=a·h+b·h+c·h+d·h и т.д., где a, b, c, d, h являются натуральными числами.
Отсюда следует, что произведение суммы нескольких чисел и данного числа равна сумме произведений каждого из слагаемых с данным числом. Это правило применимо при умножении на заданное число.
Если взять сумму из пяти чисел 7, 2, 3, 8, 8 на 3, получим, что (7+2+3+8+8)·3=7·3+2·3+3·3+8·3+8·3. Отсюда имеем, что 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, то 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24, после чего находим сумму чисел 21+6+9+24+24=84.
Можно было сделать вычисления иначе, тогда следовало посчитать сумму, после чего умножение. Этот случай менее удобен, так как умножение двухзначного числа 7+2+3+8+8=28 на 3 мы пока не выполняли. Умножение двухзначных чисел – это тема, показанная в разделе умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.
Используя переместительное свойство, мы можем переформулировать правило умножения суммы чисел на заданное число таким образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равняется сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых. Это правило умножения данного числа на заданную сумму.
Например, 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20. Здесь применяем правила умножения числа на сумму.
Рассмотрим конкретный пример, где умножение решение сводится к умножению суммы чисел на данное число.
Пример 3В коробке находятся по 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Какой количество предметов имеется во всех четырех коробках?
Решение
Для определения количества предметов в одной коробке, вычислим 3+7+2. Отсюда следует, что четыре коробки содержат в 4 раза больше, значит, (3+7+2)·4 предметов.
Находим произведение суммы на число, применив полученное правило, тогда (3+7+2)·4=3·4+7·4+2·4=12+28+8=48.
Ответ: 48 предметов.
Умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и так далее
Чтобы получить правило произвольного умножения натурального числа на 10, рассмотрим подробно.
Натуральные числа вида 20, 30, 40, …, 90 соответствуют 2, 3, 4, …, 9 десяткам. Это значит, что 20=10+10, 30=10+10+10, … отсюда следует, что умножением двух натуральных чисел их смысл суммы должен быть идентичным, тогда получим 2·10=20, 3·10=30, …, 9·10=90.
Таким же образом можно прийти к следующим неравенствам:
2·100=200, 3·100=300, .
.., 9·100=900; 2·1 000=2 000, 3·1 000=3 000, …, 9·1 000=9 000; 2·10 000=20 000, 3·10 000=30 000, …, 9·10 000=90 000; …Выходит, что десяток десятков – это сотня, то 10·10=100;
что десяток сотен – это тысяча, тогда 100·10=1 000;
что десяток тысяч – это десять тысяч, то 1 000·10=10 000.
Исходя из рассуждений, получим 10 000·10=100 000, 100 000·10=1 000 000, …рассмотрим пример для формулировки правила умножения произвольного натурального числа на 10.
Пример 4Необходимо произвести умножение натурального числа 7032 на 10.
Решение
Чтобы быстрее подсчитать, необходимо представить число 7032 в виде суммы разрядных слагаемых.
Применим правило умножения суммы на число из предыдущего пункта, тогда получим 7 032·10=(7 000+30+2)·10=7 000·10+30·10+2·10. Число 7000 можно представить в виде произведения 7·1 000, число 30 произведением 3·10.
Отсюда получим, что сумма 7 000·10+30·10+2·10 будет равна сумме (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10.
Тогда сочетательное свойство умножения можно зафиксировать, как (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10=7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10.Отсюда получим, что 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10=7·10 000+3·100+2·10=70 000+300+20. Сумма, полученная в результате, представляет собой разложение по рядам числа 70320: 70 000+300+20.
Ответ: 7 032·10=70 320.
Аналогичным способом мы можем умножить любое натуральное число на 10. В таких случаях запись всегда будет оканчиваться на 0.
Приведенные примеры и рассуждения дают возможность перейти к правилу умножения произвольного натурального число на 10. Если в конце записи дописать цифру 0, тогда заданное число будет служить результатом умножения на 10. Когда в записи натурального числа дописывают 0, то полученное число применяется как результат умножения на 10.
Приведем примеры: 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79 020·10=790 200 и так далее.
Основываясь на правиле умножения натурального числа на 10, можно получить умножение произвольного числа на 100, 1000 и выше.
Если 100=10·10,тогда умножение натурального числа на 100 приводит к умножению числа на 10 и еще одному умножению на 10.
Тогда получим:
17·100=17·10·10=170·10=1 700; 504·100=504·10·10=5 040·10=50 400; 100 497·100=100 497·10·10=1 004 970·10=10 049 700.
Если полученная запись имеет на 2 цифры 0 больше, тогда считается, что это результат умножения всего числа на 100. Это и называется правилом умножения числа на 100.
Произведение 1 000=100·10, тогда умножение любого натурального числа на 1000 приводит к умножению заданного числа на 100 и еще одному умножению на 10. Отсюда следует, что это правило умножения произвольного натурального числа на 1000. Когда в записи имеется 3 цифры 0, тогда считают, что это результат умножения числа на 1000.
Таким же образом производится умножение на 10000, 100000 и так далее. Идет дописывание нулей в конце числа.
В качестве примера запишем:
58·1 000=58 000; 6 032·1 000 000=6 032 000 000; 777·10 000=7 770 000.
Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел
Имея навыки для выполнения умножения, разберем все правила на примере.
Пример 5Найти произведение трехзначного числа 763 на 5.
Решение
Для начала представляем число в виде суммы разрядных слагаемых. Здесь получим, что 763=700+60+3. Отсюда получим, что 763·5=(700+60+3)·5.
Используя правило умножения суммы на число, получим, что:
(700+60+3)·5=700·5+60·5+3·5.
Произведения 700=7·100 и 60=6·10 и сумма 700·5+60·5+3·5 записывается, как (7·100)·5+(6·10)·5+3·5.
Применив переместительное и сочетательное свойство, получим (7·100)·5+(6·10)·5+3·5=(5·7)·100+(5·6)·10+3·5.
Так как 5·7=35, 5·6=30 и 3·5=15, то (5·7)·100+(5·6)·10+3·5=35·100+30·10+15.
Выполняем умножение на 100, на 10. После этого выполняем сложение 35·100+30·10+15=3 500+300+15=3 815
Ответ: произведение 763 и 5= 3815.
Чтобы закрепить материал, необходимо рассмотреть пример умножения.
Пример 6Найти произведение 3 и 104558.
Решение
3·104 558=3·(100 000+4 000+500+50+8)==3·100 000+3·4 000+3·500+3·50+3·8==3·100 000+3·(4·1 000)+3·(5·100)+3·(5·10)+3·8==3·100 000+(3·4)·1 000+(3·5)·100+(3·5)·10+3·8==3·100 000+12·1 000+15·100+15·10+3·8==300 000+12 000+1 500+150+24=313 674.
Ответ: результат умножения 3 и 104558 = 313674.
Умножение двух многозначных натуральных чисел
Умножение двух многозначных натуральных чисел производится таким образом, что один из множителей раскладывается по разрядам, после этого применяют правило умножения на сумму. Изучение предыдущих статей позволит быстрее разобраться с имеющимся разделом.
Пример 7Вычислить произведение 41 и 3806.
Решение
Необходимо произвести разложение числа 3806 по разрядам 3000+800+6, тогда 41·3 806=41·(3 000+800+6).
Правило умножения применимо для 41·(3 000+800+6)=41·3 000+41·800+41·6.
Так как 3 000=3·1 000 и 800=8·100, тогда справедливо равенство 41·3 000+41·800+41·6=41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6.
Сочетательное свойство способствует записи последней суммы (41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6.
Вычисляя произведения 41·3, 41·8 и 41·6, представляем его в виде суммы
41·3=(40+1)·3=40·3+1·3=(4·10)·3+1·3=(3·4)·10+1·3=12·10+3=120+3=123; 41·8=(40+1)·8=40·8+1·8=(4·10)·8+1·8=(8·4)·10+1·8=32·10+8=320+8=328; 41·6=(40+1)·6=40·6+1·6=(4·10)·6+1·6=(6·4)·10+1·6=24·10+6=240+6=246
Получим, что
(41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6=123·1 000+328·100+246=123 000+32 800+246
Вычислим сумму натуральных чисел:
123 000+32 800+246=156 046
Ответ: Произведение 41 и 3806 = 156046.
Теперь умеем умножать два любых натуральных числа.
Проверка результата умножения натуральных чиселУмножение всегда требует проверки. Она производится при помощи деления по правилу: полученное произведение делят на один из множителей. Если полученное число равно одному из множителей, тогда вычисление произведено правильно. Если нет, то допущена ошибка.
Пример 8Произвести умножение 11 на 13, равное 143. Необходимо выполнить проверку.
Решение
Проверка производится посредством деления 143 на 11. Тогда получим, что 143:11=(110+33):11=110:11+33:11=10+3=13.
Если получим число, равное одному из множителей, тогда задание решено верно.
Пример 9Произведено умножение 37 на 14. Результат равен 528. Выполнить проверку.
Решение
Для выполнения проверки необходимо разделить 528 на 37. Должны получить число 14. Производится делением столбиком:
При делении мы выявили, что 528 делится на 37, но с остатком.
Отсюда следует, что умножение 37 на 14 было выполнено неверно.Ответ: проверка показала, что умножение было выполнено неверно.
Пример 10Вычислить произведение чисел 53 и 7, после чего выполнить проверку.
Решение
Представляем число в виде суммы 50+3. Применим свойство умножения суммы двух чисел на натуральное число. Получим, что 53·7=(50+3)·7=50·7+3·7=350+21=371.
Для выполнения проверки, разделим 371 на 7: 371:7=(350+21):7=350:7+21:7=50+3=53. Значит, умножение произведено верно.
Ответ: 53·7=371.
Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.Эффективный счёт в уме или разминка для мозга / Хабр
Эта статья навеяна топиком «Как и насколько быстро вы считаете в уме на элементарном уровне?» и призвана распространить приёмы С.А. Рачинского для устного счёта.
Рачинский был замечательным педагогом, преподававшим в сельских школах в XIX веке и показавшим на собственном опыте, что развить навык быстрого устного счёта можно. Для его учеников не было особой проблемой посчитать подобный пример в уме:Используем круглые числа
Один из самых распространённых приёмов устного счёта заключается в том, что любое число можно представить в виде суммы или разности чисел, одно или несколько из которых «круглое»:
Т.
к. на 10, 100, 1000 и др. круглые числа умножать быстрее, в уме нужно сводить всё к таким простым операциям, как 18 x 100 или 36 x 10. Соответственно, и складывать легче, «отщепляя» круглое число, а затем добавляя «хвостик»: 1800 + 200 + 190.
Еще пример:31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.
Упростим умножение делением
При устном счёте бывает удобнее оперировать делимым и делителем нежели целым числом (например, 5 представлять в виде 10:2, а 50 в виде 100:2):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800 : 2 = 3400; 3400 : 50 = (3400 x 2) : 100 = 6800 : 100 = 68.
Аналогично выполняется умножение или деление на 25, ведь 25 = 100:4. Например,
600 : 25 = (600 : 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100) : 4 = 2400 : 4 = 600.
Теперь не кажется невозможным умножить в уме 625 на 53:
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100) : 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 + 2500) : 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.
2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Хм, я бы не сказала, что это сильно легче, чем возведение в столбик, но, возможно, со временем можно приноровиться.
И начинать тренировки, конечно, следует с возведения в квадрат двузначных чисел, а там уже и до дизассемблирования в уме можно дойти.Умножение двузначных чисел
Этот интересный приём был придуман 12-летним учеником Рачинского и является одним из вариантов добавления до круглого числа.
Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма единиц равна 10:M = 10m + n, K = 10a + 10 - n.
Составив их произведение, получим:
Например, вычислим 77 x 13. Сумма единиц этих чисел равна 10, т.к. 7 + 3 = 10. Сначала ставим меньшее число перед большим: 77 x 13 = 13 x 77.
Чтобы получить круглые числа, мы забираем три единицы от 13 и добавляем их к 77. Теперь перемножим новые числа 80 x 10, а к полученному результату прибавим произведение отобранных 3 единиц на разность старого числа 77 и нового числа 10:13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
У этого приёма есть частный случай: всё значительно упрощается, когда у двух сомножителей одинаковое число десятков. В этом случае число десятков умножается на следующее за ним число и к полученному результату приписывается произведение единиц этих чисел. Посмотрим, как элегантен этот приём на примере.
48 x 42. Число десятков 4, последующее число: 5; 4 x 5 = 20. Произведение единиц: 8 x 2 = 16. Значит,48 x 42 = 2016.
99 x 91. Число десятков: 9, последующее число: 10; 9 x 10 = 90. Произведение единиц: 9 x 1 = 09.
2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 25 =
= 10000 + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025. Вместо заключения
Казалось бы, зачем уметь считать в уме в 21 веке, когда можно просто подать голосовую команду смартфону? Но если задуматься, что будет с человечеством, если оно будет взваливать на машины не только физическую работу, но и любую умственную? Не деградирует ли оно? Даже если не рассматривать устный счёт как самоцель, для закалки ума он вполне подходит.
Использованная литература:
«1001 задача для умственного счёта в школе С.А. Рачинского».Как ребенку быстро и легко выучить таблицу умножения?
Таблицу умножения обычно начинают проходить уже во втором классе, когда дети уверенно освоили сложение. Педагоги обычно говорят, что таблицу нужно учить наизусть, чтобы «отлетала от зубов». Казалось бы, это не так уж и необходимо. Например, умножить 7 на 6 — это то же самое, что просто взять 6 раз по 7 и сложить, не запоминая лишних цифр… Но мало того, что эти сложные операции затянут выполнение контрольных работ, — в обычной жизни, за пределами школы, знание таблицы умножения требуется постоянно.
В магазине, дома, а в будущем — и на работе… Так что же, каждый раз строить длинные цепочки вычислений или доставать калькулятор? Нет, выучить таблицу все же придется — зато раз и навсегда.Как помочь ребенку выучить таблицу умножения?
Помочь ребенку выучить таблицу умножения не так уж сложно, если правильно подойти к обучению. Вот несколько рекомендаций.
Заинтересуйте
У ребенка должна появиться мотивация. Не конфета и прогулка, хотя на усмотрение родителей можно использовать и эти методы, а что-то более значимое и долгосрочное. Сначала продемонстрируйте, в каких случаях, кроме урока в школе, таблица умножения необходима. Например, он хочет угостить пятерых друзей любимыми конфетами — каждому раздать по три, — и сколько же всего конфет принести? Или на день рождения к ребенку собираются три семьи, в каждой по три человека — сколько пар столовых приборов надо приготовить?
Нарисуйте школьнику печальную перспективу: вот в магазине его, доверчивого неуча, обманывает продавец.
А вот он на работе не может умножить две цифры и достает калькулятор, а коллеги поднимают его на смех. Вот, в конце концов, он спустя годы решает в классе куда более длинные и сложные примеры, чем предлагают ему пока, и «плавает», потому что не знает основ. Без таблицы умножения в математике дальше не продвинуться! А без математики — не окончить школу и не пойти учиться на того, кем ребенок сейчас мечтает быть…А чтобы избежать всех этих проблем, надо-то всего лишь взять и выучить эту таблицу! И уж с каким восхищением будут смотреть учителя и одноклассники, которым умножение пока не дается
Объясните суть таблицы умножения
В умножении второе число обозначает, сколько раз нужно сложить первое с самим собой. Это базовый момент, который должен усвоить ребенок, и заодно подстраховка, если он все-таки в ответственный момент забыл какой-то один результат в таблице умножения. Но, как мы уже заметили, постоянно на метод последовательного сложения вместо умножения полагаться не стоит.
Чтобы школьник лучше понял смысл, продемонстрируйте ему, что, например, 4 х 3 — это три ряда по 4 клеточки в каждом. Пусть сосчитает число клеточек — это и будет произведение цифр.
Успокойте и упростите
Наверняка ребенок ужаснется, увидев столбцы примеров на умножение сзади на обложке своей тетради: «И это все я должен знать назубок?!» Объясните, что все не так ужасно, как выглядит, ведь от перемены мест множителей произведение не меняется. То есть достаточно запомнить, сколько будет 3 х 4, чтобы понять, сколько — 4 х 3. А значит, учить придется не столь и много.
Используйте таблицу Пифагора
Вместо длинных рядов чисел продемонстрируйте таблицу Пифагора. В ее строках и столбцах — множители, а на пересечении — произведение. Покажите ребенку, как с ней работать, лучше всего — с карандашом: ищешь первое число по вертикали, второе — по горизонтали, а там, где они «встречаются», и есть значение произведения. Какую цифру искать в столбце, а какую — в строке, совершенно неважно, ведь перемена мест множителей роли не играет.
Эта таблица наглядна, и учиться по ней гораздо приятнее, особенно если у школьника хорошо развита визуальная память. Да и знания по ней можно проверить за пару секунд.
Чтобы заинтересовать ребенка, можно рассказать, что таблице умножения почти 4 тыс. лет, и нашли ее в Древнем Вавилоне. Только та таблица была гораздо более сложной и громоздкой — 60-ричной, а не десятичной, какую используют в России. Между прочим, в Великобритании таблица заканчивается не на 10 х 10, как у нас, а на 12 х 12, потому что там другие система мер длины и денежное обращение (фут равен 12 дюймам, шиллинг — 12 пенсам). И в английском образовании на изучение таблицы умножения ребенку дают время аж до 11 лет.
Не перегружайте
Дети хорошо усваивают информацию, в том числе для долговременной памяти. Но переутомлять ребенка не стоит. Выделите по одному-два дня на каждый кусок таблицы умножения — например, сегодня мы выучим таблицу на 2, завтра закрепим, послезавтра начнем — на 3, и так далее.
Важно начинать с простого. Разделавшись с таблицей на 3 и 4, младшеклассник уже усвоит основные принципы таблицы умножения, и дальше будет легче.
Повторяйте
Чем чаще, тем лучше: если учить таблицу умножения с разбросом в пять дней, толку не будет. Для создания нейронных связей в мозгу нужны регулярность и привычка. Пусть ребенок не только отвечает на ваши вопросы, но и регулярно натыкается на таблицу. Например, можно повесить красочный плакат в его комнате.
Проверяя знания ребенка, также двигайтесь от простого к более сложному: вначале, задавая ему вопрос «Сколько будет 3 х 2?», давайте ему больше времени на размышление. На первых порах следом за «3 х 2» спрашивайте «3 х 3», а со временем, когда школьник усвоит таблицу умножения лучше, предлагайте примеры вразнобой.
Укажите на закономерности
Некоторые принципы умножения помогут сократить время на лишние вычислительные операции:
- Умножив на 0, мы получим 0, на 1 — то же число, а на 10 — то же число, но с ноликом на конце.
- Умножить на 2 — это сложить число с самим собой.
- Умножить на 4 — это умножить на 2 и еще раз на 2. Поскольку ребенок пока не научился умножать двузначные числа, но уже хорошо умеет складывать, ему будет проще умножить на 2 и прибавить к получившемуся числу такое же. Например, 6 х 4 = 6 х 2 + 6 х 2 = 12 + 12 = 24.
- При умножении на 5 произведение (результат умножения) заканчивается на 5 или 0, причем поочередно — например, 1 х 5 = 5, 2 х 5 = 10, 3 х 5 = 15.
- При умножении на 9 проще умножить на 10 (то есть приставить к исходному числу 0), а потом вычесть это исходное число: 9 х 9 = 9 х 10 — 9 = 81.
- Кстати, когда ребенок чуть освоится с умножением и начнет решать примеры подлиннее, объясните: там, где есть умножение, сложение и вычитание, по умолчанию сначала выполняется умножение. Если только нет скобок — действие в них как раз должно быть совершено первым. Так, в примере 9 х (10 — 9) результат будет уже другой: сначала решается то, что в скобках, а потом уже выполняется умножение: 9 х 1 = 9.
- При умножении на 11 (такие операции пригодятся ребенку чуть позже) изначальная цифра удваивается: 6 х 11 = 66, 8 х 11 = 88. Если речь о двухзначных числах, тоже можно обойтись без калькулятора: возьмите умножаемое число и между двумя его цифрами вставьте их сумму. Например: 12 х 11 = 132 (между 1 и 2 — 3).
Запоминание закономерностей таблицы умножения — еще один способ успокоить ребенка. Если он что-то и забудет, результат можно будет «вывести».
5 эффективных способов выучить таблицу умножения
Не ограничивайтесь одним методом объяснения и запоминания. Научить можно разными способами:
1. На пальцах и палочках
С этого стоит начинать знакомство с таблицей умножения. Легче всего показать «два раза по два» на пальцах или каких-то предметах. Правда, с более сложными вычислениями — например, с таблицей на 8 — будет труднее. муторнее.
Но при этом по пальцам легко освоить умножение на 9. Расположите руки вниз ладонями и мысленно пронумеруйте пальцы слева направо от 1 до 10.
Загните палец, которому соответствует число, на которое нужно умножить 9. Например, если пример звучит как «9 х 5», это будет большой палец левой руки. Теперь считайте, что все пальцы слева (4) — десятки, а справа (5) — единицы. Таким образом, ответ — 45.2. Через приложения на телефоне
Современным школьникам, возможно, больше понравится изучать таблицу умножения на экране любимого гаджета. Упражняться можно не только в учебное время, но и на каникулах или в транспорте по дороге в школу — скорее всего, такую тренировку ученик будет воспринимать скорее как игру, чем как домашнее задание, и ему самому будет интереснее.
Приложений немало: в некоторых ребенку одновременно предлагается решить пример, уложиться в предложенное время и накопить баллы/призы. Азарт, как известно, — отличный стимул.
3. По карточкам
Это более «древний», но тоже близкий к игровому способ запоминания. Распечатайте примеры из таблицы умножения на карточках: на одной стороне — пример, на другой — ответ (только проследите, чтобы цифры в ответе не просвечивали, лучше взять плотный картон).
Разложите карточки в ряд и предложите ребенку выбрать пример. Если он отвечает верно, убирайте карточку с поля, если нет — перекладывайте ее в конец ряда. Игра заканчивается, когда карточек на столе не остается. Эту игру можно проводить и на время — пусть ребенок соревнуется сам с собой или с другими детьми.4. По стихам
Стишки про таблицу умножения есть в интернете — в такой форме любая теория запоминается лучше. Например: «Осьминоги шли купаться: дважды восемь ног — шестнадцать», «Два атлета взяли гири, это — дважды два — четыре». Этот способ лучше использовать как вспомогательный, в дополнение к остальным — не будешь же придумывать стишок на каждый пример. Впрочем, были бы желание и фантазия.
5. По играм и мультикам
Одна из популярных игр — «Математическое лото». В нее стоит играть группой детей, находящихся примерно на одном уровне знаний таблицы умножения. Механика примерно та же, что с карточками, только на одних карточках пишутся примеры, на других — ответ.
Раздайте детям те, что с ответами, — например, по 4 числа-ответа на каждой карточке, — а те, что с примерами, оставьте себе и поочередно показывайте группе. Пусть тот, кто найдет в карточке ответ, зачеркнет это число и назовет вслух. Например, ведущий говорит: «9 х 9». Тот, у кого в карточке есть число 81, зачеркивает его и называет вслух. Выигрывает тот, кто первым зачеркнул все числа в своей карточке и при этом решил примеры верно.Еще больше ребенка может заинтересовать игра «Золотоискатели». У нее интересная «легенда»: искатели сокровищ нашли остров, где спрятан клад, но должны тщательно просчитывать ходы, чтобы первыми находить лучшие тайники. Для игры требуются поле — незаполненная таблица Пифагора (можно нарисовать квадрат с ячейками самостоятельно, десяток произвольно выбранных клеток раскрасьте желтым цветом), игровой кубик и ручка.
Первый игрок бросает кубик — сколько ему выпало, столько шагов от старта в любую сторону (но в одном направлении) он может сделать.
В клетку, на которой остановился, игрок вписывает произведение чисел, на пересечении которых находится. Это будет количество монет, которые он нашел. Если удалось остановиться на желтой клетке — игрок нашел сундучок, и сумма удваивается. Причем если на этой клетке остановится потом другой игрок (а по правилам он имеет на это право), монет из сундучка он уже не получит.Следующий игрок, бросая кубик, отсчитывает шаги уже от той клетки, где остановился соперник. Игра заканчивается, когда остается пять пустых клеток. Естественно, выигрывает тот, кто собрал больше монет.
Увлекательна и «Борьба прямоугольников». Это игра на двоих. Нужны только лист бумаги в клеточку, два фломастера, два кубика и по одному цветному карандашу для обоих участников. Каждый игрок по очереди бросает по два кубика. Выпавшие цифры — множители. Игрок рисует на листке со своей стороны прямоугольник или квадрат, стороны которого по количеству клеток равны числам на кубиках. В середине фигуры записывается ее площадь, то есть произведение чисел.
Когда на листе не остается места для новых фигур, игру можно завершить. Выиграл тот, кому повезло заполнить фигурами больше клеточек на бумаге.Другая, менее творческая игра, предлагает участникам из написанных на плакате чисел от 1 до 90 назвать те, что встречаются в таблице умножения на то или иное число. Можно устроить соревнование на время — раздать плакаты нескольким детям и предложить каждому вычеркивать или подчеркивать числа.
Можно заказать в интернете или найти в магазине уже готовые настольные игры на тему умножения — «Много-много» или «Цветариум».
Онлайн-игры для запоминания таблицы умножения, которые можно свободно отыскать в Сети, ничего не скачивая, схожи механикой с играми в мобильных приложениях. Ребенку даются все те же примеры на умножение, но в картинках (вместо 3 х 2 на «доске» рисуется три звездочки, а потом «х 2»), или тренажер на время с результатами: игрок решает сгенерированные компьютером примеры и видит в табличке, сколько дал правильных и неправильных ответов.
По тому же принципу построены развивающие «арифметические» мультфильмы: на экране появляется то или иное, меняющееся количество птичек/зверюшек/конфет, фоном идет веселая тематическая песенка. Но это, опять же, скорее для закрепления уже усвоенного материала, чем для его изучения.
Итак, ничего сложного и ужасного — чередуя разные методы освоения материала, вы постепенно достигнете успеха. Не настраивайтесь на быстрый результат — вероятно, до того, как школьник сможет уверенно отвечать на любой вопрос по таблице, пройдет не меньше месяца. Зато результат будет приносить плоды всю жизнь.
Математика и логика для детей 7-13 лет
Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате
узнать подробнее
Калькулятор дробей
Этот калькулятор выполняет основные и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.Правила выражения с дробями:
Дроби — используйте косую черту для деления числителя на знаменатель, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.
Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком дробной части и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т. е. 1,45 .Math Symbols
Symbol Symbol name Symbol Meaning Example + plus sign addition 1/2 + 1/3 — знак минус вычитание 1 1/2 — 2/3 * asterisk multiplication 2/3 * 3/4 × times sign multiplication 2 /3 × 5/6 : division sign division 1/2 : 3 / division slash division 1/3 / 5 1/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2
• сложные дроби: 5/8 : 2 2/3
• десятичная дробь: 0,625
• Преобразование дроби в десятичную: 1/4
• Преобразование дроби в процент: 1/8 %
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4
• квадратный корень дроби: sqrt(1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8)
• составная дробь: 3/4 от 5/7
• кратные дроби: 2/3 от 3/5
• разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3Калькулятор следует известным правилам для порядка операций .
Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
BEDMAS — Скобки, Экспоненты, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание
BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
GEMDAS — Символы группировки — скобки (){}, возведения в степень, умножение, деление, сложение, вычитание.
MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
Будьте осторожны; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.- Использование денег
Из 550 000,00, переданных школе, было использовано 325 000,00. Какая часть от общей суммы была использована? - Дети 9
В комнате 11 детей. 6 детей — девочки. Какую часть детей составляют девочки? - Одна суббота
Однажды субботним вечером в кинотеатре 40 девушек, 25 юношей, 18 женщин и 17 мужчин. Какую часть составляют девочки? - Дробями
Муравей поднимается на 2/5 шеста за первый час и на 1/4 шеста за следующий час. Какую часть шеста преодолевает муравей за два часа? - У Макса 2
У Макса 13 пар носков. Отсюда шесть пар синих, три пары коричневых, две черных и две белых. Какая часть носков Макса коричневого или черного цвета? - Младенцы
В автобусе двое взрослых, двое детей и четверо младенцев. Какую часть населения составляют младенцы? - Marry
Marry хранит в холодильнике полторы дюжины яиц. Использовала 1/3 яйца. Какая часть яиц использовалась? - Вычислить выражение
Вычислить значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2 - Ферма 6
На ферме 20 животных. Есть четыре курицы. Какую часть животных составляют куры? Выразите ответ дробью в простейшей форме. - Значение Z
При x = -9, каково значение Z, где Z равно числителю дроби x минус 17 в знаменателе 6,5 конец дроби Дайте ответ с точностью до 2 знаков после запятой. - Мэтью
У Мэтью восемь карандашей. У трех из них нет ластика на конце. Какая часть карандашей не имеет ластика на конце?
more math problems »
- decimals
- fractions
- triangle ΔABC
- percentage %
- permille ‰
- prime factors
- complex numbers
- LCM
- GCD
- LCD
- combinatorics
- equations
- статистика
- … все математические калькуляторы
Таблица умножения на 10 – Выучить таблицу из 10
LearnPracticeDownload
Таблица умножения на 10 – одна из самых простых для запоминания таблиц. Простой способ выучить таблицу 10 — добавить ноль после каждого числа, на которое вы умножаете, и вы получите ответ. Итак, давайте подробно узнаем и разберемся в удивительной таблице умножения 10 в этом плане мини-урока.
10 Таблица умножения Таблица умножения:
1. Таблица умножения 10 2. Советы по 10-кратному столу 3. Часто задаваемые вопросы о таблице 10 Times Таблица умножения 10
Изучение таблицы умножения 10 имеет преимущество при решении математических задач и понимании числовых закономерностей. Просмотрите приведенную ниже таблицу умножения на 10, чтобы быстрее решать математические задачи.
Таблица умножения на 10
Таблица умножения на 10 до 10 10 × 1 = 10 10 × 6 = 60 10 × 2 = 20 10 × 7 = 70 10 × 3 = 30 10 × 8 = 80 10 × 4 = 40 10 × 9 = 90 10 × 5 = 50 10 × 10 = 100 Вы можете распечатать или сохранить таблицу 10 в формате PDF, нажав на ссылку ниже.
☛ Таблица 10 раз
Советы по 10-кратному столу
- Таблицу 10 легче всего запомнить. Цифра на месте единиц кратных 10 всегда равна 0.
- Просто запишите натуральные числа, за которыми следует 0, чтобы получить таблицу умножения на 10.
Выделенные цифры — это не что иное, как натуральные числа, за которыми следует 0. Следующие десять кратных 10 показаны ниже. Видите ли вы аналогичную закономерность в числах, показанных ниже?
Таблица от 10 до 20
10 × 11 = 110 10 × 16 = 160 10 × 12 = 120 10 × 17 = 170 10 × 13 = 130 10 × 18 = 180 10 × 14 = 140 10 × 19 = 190 10 × 15 = 150 10 × 20 = 200 10 примеров таблицы умножения
Пример 1: В скольких наборах по 10 штук можно разложить 103 шоколадки, используя таблицу умножения на 10.
Сколько шоколадок останется?Решение:
Запишем таблицу 10, пока не получим 103. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110. Число 103 не входит в число 10. таблица умножения. Мы видим, что 100 является ближайшим кратным.
Таким образом, мы можем разместить 103 шоколадки в 10 наборах. Если мы это сделаем, останется 3 шоколада.
Пример 2: Используя таблицу 10, найдите значение 5 плюс 10 умножить на 6 на 2.
Решение:
Сначала мы математически запишем 5 плюс 10 умножить на 6 на 2.
Используя таблицу умножения на 10, мы имеем: 5 плюс 10 умножить на 6 на 2 = 5 + 10 × 6/2 = 5 + 10 × 3 = 5 + 30 = 35
Таким образом, 5 плюс 10 умножить на 6 на 2 равно 35
Пример 3: Используя таблицу умножения на 10, найдите 2 минус 10 умножить на 8 плюс 5.
Решение:
Во-первых, мы математически запишем 2 минус 10 умножить на 8 плюс 5.
Используя таблицу 10, мы имеем: 2 минус 10 умножить на 8 плюс 5 = 2 — 10 × 8 + 5 = 2 — 80 + 5 = -73
Таким образом, 2 минус 10 умножить на 8 плюс 5 равно -73.
Пример 4: Используя таблицу 10, найдите значение 10 умножить на 3 минус 8 умножить на 4?
Решение:
Во-первых, мы математически запишем 10 умножить на 3 минус 8 умножить на 4.
Из таблицы 10 имеем: 10 умножить на 3 минус 8 умножить на 4 = 10 × 3 — 8 × 4 = 30 — 32 = -2
Таким образом, 10 умножить на 3 минус 8 умножить на 4 равно -2.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Развивайте логическое мышление и укрепляйте его уверенность!
Благодаря гибкому учебному плану Куэмат выходит за рамки традиционных методов обучения. Мы делаем математику увлекательной. Проверьте, как!
Забронировать бесплатный пробный урок
Часто задаваемые вопросы о таблице 10 Times
Что такое все 10-кратные таблицы?
Таблица 10 раз состоит из кратных 10 и записывается как:
10 × 1 = 10 10 × 6 = 60 10 × 2 = 20 10 × 7 = 70 10 × 3 = 30 10 × 8 = 80 10 × 4 = 40 10 × 9 = 90 10 × 5 = 50 10 × 10 = 100 Как учить таблицу умножения на 10?
Таблицу умножения на 10 можно выучить, используя следующие пункты:
- Таблица 10 строится путем подсчета чисел по десять.
- Все числа заканчиваются нулем.
- Чтобы умножить целое число на десять, поставьте в конце цифру ноль.
Как написать таблицу 10?
10 × 1 = 10 10 10 × 2 = 20 10 + 10 = 20 10 × 3 = 30 10 + 10 + 10 = 30 10 × 4 = 40 10 + 10 + 10 + 10 = 40 10 × 5 = 50 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 10 × 6 = 60 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 10 × 7 = 70 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 70 10 × 8 = 80 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 80 10 × 9 = 90 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 +10 = 90 10 × 10 = 100 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 100 Сколько будет 10 раз по 100?
10 умножить на 100 = 10 × 100 = 1000.
Таблицы умножения
Вы можете изучить математические таблицы чисел до 25 ниже:
Скачать БЕСПЛАТНО учебные материалы
Обозначение индекса — степень числа 10
Показатель степени (или индекс, или степень) числа говорит
сколько раз использовать число в умножении .10 2 Средства 10 × 10 = 100
(IT написано 10 2 раз в умножении)
Пример: 10
3 = 10 × 10 = 1 000.- Прописью: 10 3 можно назвать «10 в третьей степени», «10 в степени 3» или просто «10 в кубе»
Пример: 10
4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000- Прописью: 10 4 можно назвать «10 в четвертой степени», «10 в степени 4» или «от 10 до 4»
Вы можете умножать любое число само на себя столько раз , сколько хотите, используя это обозначение (см. Экспоненты), но степени 10 имеют особое применение .
..Степени числа 10
«Степени числа 10» — очень удобный способ записи больших или малых чисел.
Вместо множества нулей вы показываете, сколько степеней из 10 получится столько-то нулей
Пример: 5000 = 5 × 1000 = 5 × 10
35 тысяч — это 5 раз по тысяче. А тысяча это 10 3 . Итак, 5 умножить на 10 3 = 5000
Видите ли, что 10 3 — это удобный способ получить 3 нуля?
Ученые и инженеры (которые часто используют очень большие или очень маленькие числа) любят записывать числа Сюда.
Пример: Масса Солнца
Масса Солнца составляет 1,988 × 10 30 кг.
Слишком сложно написать 1 988 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг 94 = 3 × 10 × 10 × 10 × 10 = 30 000
Калькуляторы часто используют «E» или «e» следующим образом:
Пример:
6E+ 5 равно 6 × 10 5- × 10 × 10 × 10 = 600 000
Пример:
3. 12E4 равно 3,12 × 10 4 - 3,12E4 = 3,12 × 10 × 0 09 × 91, 208 3,12 × 10 × 10 × 91,208 10 × 100
Трюк
На первый взгляд это может показаться сложным, но есть простой «трюк»:
Индекс 10 говорит …
… на сколько знаков переместить десятичную точку Направо.
Пример: чему равно 1,35 × 10
4 ?Вы можете рассчитать это как: 1,35 x (10 × 10 × 10 × 10) = 1,35 x 10 000 = 13 500
Но проще думать «переместить запятую на 4 знака вправо» следующим образом:
1 . 35 13 . 5 135 . 1350 . 13500 . Отрицательные степени числа 10
Отрицательное? Что может быть противоположным умножению? Разделение!
Отрицательная степень означает сколько раз разделить на число.
Пример: 5 × 10
-3 = 5 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 0,005Помните, что для отрицательных степеней 10:
Для отрицательных степеней 10 переместите запятую влево.
Таким образом, негативы просто идут другим путем.
Пример: Чему равно 7,1 × 10
-3 ?Действительно 7,1 х ( 1 / 10 × 1 / 10 × 1 / 10 ) = 7,01 × 0,00004
Но проще думать «переместить запятую на 3 знака от до » так:
7 . 1 0 . 71 0 . 071 0 . 0071 Попробуйте сами
Введите число и посмотрите его в научной записи:
Теперь попробуйте самостоятельно использовать научную запись:
Резюме
Индекс 10 указывает, на сколько разрядов переместить десятичную точку.
Положительный означает переместить его вправо, отрицательный означает влево. Пример:Номер В научной нотации
Прописью Положительные силы 5000 5 × 10 3 5 тысяч Отрицательные силы 0,005 5 × 10 -3 5 тыс. тыс. Фракции: Умножение и делятивные фракции
Урок 4: Умножение и разделение фракций
/EN/Фракции/Добавление и подключение фракций/Содержание/
. часть из целых . На прошлом уроке вы научились складывать и вычитать дроби. Но это не единственный вид математики, который вы можете делать с дробями. Бывают случаи, когда полезно будет умножать и дроби.Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как написать задачу на умножение с дробями.
Приведем пример умножения дробей. Предположим, вы выпиваете 2/4 чашки кофе каждое утро.
Но ваш врач только что сказал вам, что вам нужно сократить потребление кофе до 9 часов.0280 половина .
Теперь вам нужно выяснить, сколько стоит 1/2 от 2/4 кофейника.
Это может не выглядеть как задача на умножение. Но когда вы видите слово из с дробями, значит нужно умножать.
Чтобы настроить пример, мы просто заменим слово из знаком умножения.
Теперь наш пример готов к решению.
В отличие от обычного умножения, которое дает большее число …
В отличие от обычного умножения, которое дает на большее число .
.. умножение дробей обычно дает на меньшее число .Итак, когда мы умножаем 1/2 на 2/4…
Итак, когда мы умножаем 1/2 на 2/4… наш ответ будет меньше, чем 2/4.
Вот еще один пример. Допустим, у вас есть 3/5 чашки шоколадной начинки.
Вы хотите положить одинаковое количество начинки в каждый из этих 4 кексов.
Можно сказать, что вы хотите положить 1/4 от 3/5 стакана начинки в каждый кекс.
Как и раньше, мы изменим слово из на знак умножения.
Теперь наши дроби готовы к умножению.
Попробуйте!
Попробуйте решить приведенную ниже задачу на умножение. Пока не беспокойтесь о ее решении!
Рецепт требует 2/3 стакана молока. Вы хотите сократить рецепт вдвое.
Примечание : Хотя в нашем примере правильный ответ 2/3 x 1/2, помните, что порядок умножения не имеет значения.
1/2 х 2/3 тоже будет правильно.Решение задач на умножение с дробями
Теперь, когда мы знаем, как решать задачи на умножение с дробями, давайте попрактикуемся в решении некоторых из них. Если вам удобно умножать целые числа, вы готовы к умножению дробей.
Щелкните слайд-шоу, чтобы научиться умножать две дроби.
Давайте умножим, чтобы найти 1/2 от 7/10.
Как и раньше, мы заменим слово из знаком умножения. Теперь мы готовы к умножению.
Сначала мы умножим числители: 1 и 7.
1 умножить на 7 равно 7, поэтому мы напишем 7 справа от числителей.
Когда мы добавили дроби, знаменатели остались прежними. Но когда мы умножаем, знаменатели тоже умножаются.
2 умножить на 10 равно 20, поэтому мы напишем 20 справа от знаменателя.
Теперь мы знаем, что 1/2 умножить на 7/10 равно 7/20.
Можно также сказать, что 1/2 от 7/10 равно 7/20.
Давайте попробуем другой пример: 3/5 умножить на 2/3.
Сначала умножим наши числители. 3 умножить на 2 равно 6.
Далее мы умножим наши знаменатели. 5 умножить на 3 равно 15.
Итак, 3/5 умножить на 2/3 равно 6/15.
Попробуйте!
Попробуйте решить приведенные ниже задачи на умножение.
Умножение дроби на целое число
Умножение дроби на целое число аналогично умножению двух дробей. Есть только один дополнительный шаг: прежде чем вы сможете умножать, вам нужно превратить целое число в дробь. Это слайд-шоу покажет вам, как это сделать.
Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как умножать дробь и целое число.
Умножим 2 раза на 1/3. Помните, это всего лишь еще один способ спросить: «Сколько будет 1/3 от 2?»
Прежде чем мы начнем, нам нужно убедиться, что эти числа готовы к умножению.
Мы не можем умножить целое число на дробь, поэтому нам придется записать 2 в виде дроби.
Как вы узнали из раздела «Введение в дроби», мы также можем записать 2 как 2/1. Это потому, что 2 можно дважды разделить на 1.
Теперь мы готовы к умножению!
Сначала умножим числители : 2 и 1.
2 умножить на 1 равно 2. Выровняем 2 с числителями.
Далее мы умножим знаменатели числа : 1 и 3.
1 умножить на 3 равно 3. Выровняем 3 со знаменателем.
Итак, 2/1 умножить на 1/3 равно 2/3. Мы могли бы также сказать, что 1/3 от 2 равно 2/3.
Попробуем другой пример: 4 раза по 1/5.
Прежде чем мы начнем, нам придется записать 4 в виде дроби.
Мы перепишем 4 как 4/1. Теперь мы готовы к умножению.
Сначала умножим числители: 4 и 1.
4 умножить на 1 равно 4, поэтому числитель нашего ответа равен 4.
Далее умножим знаменатели: 1 и 5.
1 умножить на 5 равно 5, поэтому 5 — знаменатель нашего ответа.
Итак, 4/1 умножить на 1/5 равно 4/5.
Попробуйте!
Попробуйте решить приведенные ниже задачи на умножение.
Деление дробей
За последние несколько страниц вы узнали, как умножать дроби. Вы, наверное, уже догадались, что можно разделить и на дробь. Вы делите дроби, чтобы увидеть, сколько частей чего-то содержится в чем-то другом. Например, если вы хотите узнать, сколько четвертей дюйма составляет четыре дюйма, вы можете разделить 4 на 1/4.
Попробуем другой пример. Представьте, что рецепт требует 3 стакана муки, но ваш мерный стакан вмещает только 1/3, или одну треть , стакана. Сколько третей чашки нужно добавить?
Нам нужно выяснить, сколько третей чашки содержится в трех чашках.
Другими словами, нам нужно разделить три на одну треть.Мы бы написали задачу так:
3 ÷ 1/3
Попробуйте!
Попробуйте решить эти задачи на деление с дробями. Не беспокойтесь об их решении!
Рецепт требует 3/4 стакана воды. У вас есть только мерный стакан 1/8.
Решение задач на деление с дробями
Теперь, когда мы знаем, как писать задачи на деление, давайте потренируемся, решив несколько задач. Деление дробей очень похоже на умножение. Просто требуется один дополнительный шаг. Если вы можете умножать дроби, вы можете их и делить!
Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как разделить целое число на дробь.
Разделим 3 на 1/3. Помните, это всего лишь еще один способ спросить: «Сколько трети в 3?»
В нашем уроке о делении вы научились писать знак деления следующим образом (/). (÷) чтобы не ошибиться с дробью
Так же, как и с умножением, мы начнем с поиска любых целых чисел в нашей задаче.
то же самое, что и 3/1.Прежде чем мы сможем разделить, нам нужно сделать еще одно изменение.
Мы поменяем местами числитель и знаменатель дроби, на которую мы делим : 1/3 в этом примере.
Итак, 1/3 становится 3/1.
Это называется нахождением обратной или мультипликативной обратной , дроби.
Так как мы меняем нашу первоначальную дробь, мы также поменяем знак деления (÷) на умножение на знак (х).
Это потому, что умножение — это , обратное делению.
Теперь мы можем рассматривать это как обычную задачу на умножение.
Сначала мы умножим числители: 3 и 3.
3 умножить на 3 равно 9, поэтому мы напишем это рядом с числителями.
Далее умножим знаменатели: 1 и 1.
1 умножить на 1 равно 1, поэтому мы напишем 1 рядом со знаменателем.
Как видите, 3/1 х 1/3 = 9/1.
Помните, что любая дробь больше 1 также может быть выражена как целое число . Таким образом, 9/1 = 9.
3 ÷ 1/3 = 9. Другими словами, в 3 содержится 9 третей .
Давайте попробуем другой пример: 5 разделить на 4/7.
Как всегда, мы перепишем любые целые числа, чтобы 5 стало 5/1.
Далее мы найдем , обратное числа 4/7. Это дробь, на которую мы делим.
Для этого мы поменяем местами числитель и знаменатель, так что 4/7 станет 7/4.
Затем мы изменим знак деления (÷) на знак умножения (x).
Теперь мы можем умножать, как обычно. Сначала умножим числители: 5 и 7.
5 умножить на 7 равно 35, поэтому мы напишем это рядом с числителями.
Далее мы умножим знаменатели: 1 и 4.
1 умножить на 4 равно 4, поэтому мы напишем это рядом со знаменателями.
Итак, 5/1 х 4/7 = 35/4.
Как вы узнали ранее, мы можем преобразовать нашу неправильную дробь в смешанное число , чтобы наш ответ было легче читать.
35/4 = 8 3/4. Итак, 5 ÷ 4/7 = 8 3/4.
Попробуйте!
Попробуйте решить эти задачи на деление. Пока не беспокойтесь о сокращении ответа.
Деление двух дробей
Мы только что научились делить целое число на дробь . Вы можете использовать тот же метод, чтобы разделить на две части .
Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как делить на две дроби.
Давайте попробуем решить задачу с двумя дробями: 2/3 ÷ 3/4. Здесь мы хотим знать, сколько 3/4 в 2/3.
Сначала мы найдем , обратное дроби, на которую мы делим: 3/4.
Для этого мы поменяем местами числитель и знаменатель. Таким образом, 3/4 становится 4/3.
Далее мы изменим знак деления (÷) на знак умножения (x).
Теперь умножим числители. 2 x 4 = 8, поэтому мы напишем 8 рядом с верхними числами.
Далее мы умножим знаменатели. 3 x 3 = 9, поэтому мы напишем 9 рядом с нижними числами.
Итак, 2/3 х 4/3 = 8/9.
Мы могли бы также записать это как 2/3 ÷ 3/4 = 8/9.
Давайте попробуем другой пример: 4/7 разделить на 2/9.
Целых чисел нет, поэтому найдем обратное дроби, на которую мы делим.
Это 2/9.Для этого мы поменяем местами числитель и знаменатель. Таким образом, 2/9 становится 9/2.
Теперь мы изменим знак деления (÷) на знак умножения знак (x) и умножим как обычно.
Сначала умножим числители. 4 x 9 = 36.
Далее мы умножим знаменатели. 7 х 2 = 14,
Итак, 4/7 х 9/2 = 36/14. Как и раньше, вы можете преобразовать эту неправильную дробь в смешанное число.
Итак, 4/7 ÷ 2/9 = 2 8/14.
Попробуйте!
Попробуйте решить эти задачи на деление. Пока не беспокойтесь о сокращении ответа.
Умножение и деление смешанных чисел
Как бы вы решили подобную задачу?
Как вы узнали из предыдущего урока, всякий раз, когда вы решаете задачу с помощью смешанный число вам нужно сначала преобразовать его в неправильную дробь .
Затем вы можете умножать или делить, как обычно.Использование сокращения для упрощения задач
Иногда вам может понадобиться решить такие задачи:
Обе эти дроби включают больших чисел . Вы можете умножать эти дроби так же, как и любые другие дроби. Однако такие большие числа трудно понять. Можете ли вы представить 21/50 или двадцать одна пятидесятая , в голове?
21/50 x 25/14 = 525/700
Даже ответ кажется сложным. Это 525/700, или пятьсот двадцать пять семисотых . Какой глоток!
Если вам не нравится работать с большими числами, вы можете упростить подобную задачу, используя метод, называемый отменой . Когда вы отменяете дроби в задаче, вы сокращаете их обе одновременно.
Сначала отмена может показаться сложной, но мы покажем вам, как это сделать шаг за шагом. Давайте еще раз взглянем на пример, который мы только что видели.
Шаг 1
Во-первых, посмотрите на числитель первой дроби и знаменатель второй. Мы хотим посмотреть, можно ли разделить на одно и то же число.
В нашем примере похоже, что и 21, и 14 можно разделить на 7.
Шаг 2
Далее мы разделим 21 и 14 на 7. Сначала мы разделим наше верхнее число слева: 21.
21 ÷ 7 = 3
Затем разделим нижнее число справа: 14.
14 ÷ 7 = 2
Ответы на каждую задачу запишем рядом с числами, которые мы разделили. Поскольку 21 ÷ 7 равно 3, мы напишем 3 там, где было 21. 14 ÷ 7 равно 2, поэтому мы напишем 2 там, где было 14. Мы можем вычеркнуть или отменить , числа, с которых мы начали.
Теперь наша задача выглядит намного проще, не так ли?
Шаг 3
Давайте посмотрим на другие числа дроби. На этот раз мы рассмотрим знаменатель первой дроби и числитель второй.
Можно ли разделить на одно и то же число?Обратите внимание, что их можно разделить на 25! Вы могли также заметить, что они оба могут делиться на 5. Мы могли бы также использовать 5 , но обычно, когда вы отменяете, вы хотите найти наибольшее число , на которое можно разделить оба числа. Таким образом, вам не придется снова сокращать дробь в конце.
Шаг 4
Затем мы отменим так же, как мы делали это в шаге 2.
Мы разделим наше нижнее число слева: 50.50 ÷ 25 = 2
Затем мы разделим верхнее число на справа: 25.
25 ÷ 25 = 1
Ответы на каждую задачу запишем рядом с числами, которые мы разделили.
Шаг 5
Теперь, когда мы отменили исходные дроби, мы можем умножить наши новые дроби, как обычно. Как всегда, сначала умножьте числители:
3 x 1 = 3
Затем умножьте знаменатели:
2 x 2 = 4
Итак, 3/2 x 1/2 = 3/4, или три четверти .
Шаг 6
Наконец, давайте еще раз проверим нашу работу. 525/700 был бы нашим ответом, если бы мы решили проблему без отмены. Если мы разделим и 525, и 700 на 175, то увидим, что 525/700 равно 3/4.
Можно также сказать, что мы уменьшаем 525/700 до 3/4. Помните, отмена — это еще один способ сократить дроби перед решением задачи. Вы получите один и тот же ответ, независимо от того, когда вы их уменьшите.
ПродолжатьПредыдущий: Сложение и вычитание дробей
Next:Преобразование процентов, десятичных дробей и дробей
/ru/фракции/преобразование-процентов-десятичных-и-фракций/содержание/
Калькулятор времени | Сложение, вычитание, умножение, деление Время
Базовый калькулятор
Поделись этим калькулятором и страницей
КалькуляторИспользуйте калькулятор времени
для сложения, вычитания, умножения и деления времени в днях, часах, минутах и секундах.
Калькулятор может складывать и вычитать отрезки времени или умножать и делить время на число или десятичную дробь. Ответы включают эквивалентное время в днях, часах, минутах или секундах.
Как рассчитать время
Ниже объясняется, как выполнять математические операции со временем. См. примеры сложения, вычитания, умножения и деления отрезков времени.
Как складывать время
Складывать дни, часы, минуты и секунды от наименьшей единицы времени к наибольшей.
- Добавьте секунды
- Если общее количество секунд больше 59, вычтите 60 из секунд и перенесите 1 в минуты
- Добавьте минуты, включая все, что перенесено из расчета секунд
- Если общее количество минут больше 59, вычтите 60 из минут и перенесите 1 в часы
- Добавьте часы, включая перенесенные из расчета минут
- Если общее количество часов больше 24, вычтите 24 из часов и перенесите 1 в дни
- Добавьте дни, включая любые перенесенные из расчета часов
Добавление времени Пример задачи
Добавить 2 дня 21 час 45 минут 39 секунд к 5 дням 10 часов 45 минут 22 секунды
2 дня
21 час
45 минут
39 секунд
+плюс;
5 дней
10 часов
45 минут
22 секунды
- 39 секунд + 22 секунды = 61 секунда
2 дня
21 час
45 минут
39 секунд
+плюс;
5 дней
10 часов
45 минут
22 секунды
=
61 секунда
- 61 секунда — 60 = 1 секунда, перенос 1 в минуты
- 1 минута + 45 минут + 45 минут = 91 минута
перенос
1 минута
2 дня
21 час
45 минут
39 секунд
+ плюс;
5 дней
10 часов
45 минут
22 секунды
=
91 минута
1 секунда
- 91 минута — 60 = 31 минута, перенести 1 на часы
- 1 час + 21 час + 10 часов = 32 часа
нести
1 час
1 минута
2 дня
21 час
45 минут
39 секунд
4
4
5 дней
10 часов
45 минут
22 секунды
=
32 часа
31 минута
1 секунда
- 32 часа — 24 = 8 часов, перенести 1 на дни
- 1 день + 2 дня + 5 дней = 8 дней
Перенос
1 день
1 час
1 минута
2 дня
21 часа
45 минут
39 секунд
& Plus;
5 дней
10 часов
45 минут
22 секунды
=
8 дней
8 часов
31 минута
1 секунда
- Завершено Добавление времени Математическая задача
2 дня
21 час
45 минут
39 секунд
+плюс;
5 дней
10 часов
45 минут
22 секунды
=
8 дней
8 часов
31 минута
1 секунда
Как вычесть время
Вычитание дней, часов, минут и секунд от наименьшей единицы времени к наибольшей.
- Вычесть секунды
- Если секунды, которые вы вычитаете, больше верхнего числа, заимствуйте 1 минуту из первых минут и добавьте 60 к первым секундам. Затем вычтите.
- Вычесть минуты
- Если количество минут, которое вы вычитаете, превышает максимальное число, заимствуйте 1 час от максимального количества часов и добавьте 60 к максимальному количеству минут. Затем вычтите.
- Вычесть часы
- Если часы, которые вы вычитаете, больше, чем верхнее число, заимствуйте 1 день из верхних дней и добавьте 24 к верхним часам. Затем вычтите.
- Вычесть дни
Обратите внимание, что в любом случае, когда вам нужно заимствовать, если следующая по величине единица равна 0, то заимствование производится из 2-й по величине единицы. Так же, как и при длинном вычитании, берите взаймы со следующего по величине разряда.
Пример вычтения Пример задачи
Вычитание 2 дня 21 часа 56 минут 18 секунд с 5 дней 0 часов 10 минут 13 секунд
5 дней
0 часов
10 минут
13 Секунды
—
2. дней
21 час
56 минут
18 секунд
- Вычесть секунды
- 13 секунд меньше 18 секунд, поэтому заимствуйте 1 из верхних минут
- 1 минута = 60 секунд, поэтому добавьте 60 секунд к 13, чтобы получить 73 .
- 73 секунды — 18 секунд = 55 секунд
Заимствование
1 минута
5 дней
0 часов
9000
73 секунды
—
2 Days
21 часы
56 минут
18 Seceld
и равные
56 минут
18 Secelds и равные;
55 секунд
- Вычесть минуты
- 9 минут меньше 56 минут, поэтому заимствуйте 1 из часов
- Есть 0 часов, поэтому займите 1 из дней
- 1 день = 24 часа и 1 час = 60 минут, поэтому добавьте 24 к часам, затем заимствуйте 1 из часов, чтобы получить 23
- Добавьте 60 минут к 9, чтобы получить 69
- 69 минут — 56 минут = 13 минут
одолжить
1 день
1 час
1 минута
4 Дни
23 часа
69 минут
73 секунд
—
2 Дни
21 часы
56 минут
9000 2 18000421 часы
56 минут 9000 21000 210004
21.
=13 минут
55 секунд
- Вычесть часы
- 23 часа — 21 час = 2 часа
одолжить
1 день
1 час
1 минута
4 Дни
23 часа
69 минут
73 секунды
—
2 Days
21 часы
56 минут
18 секунд
& QUAL
56 минут
18 секунд
& Equals;
2 часа
13 минут
55 секунд
- Вычесть дни
- 4 дня — 2 дня = 2 дня
одолжить
1 день
1 час
1 минута
4 Дни
23 часа
69 минут
73 секунды
—
2 Days
21 часы
56 минут
18 секунд
& QUAL
56 минут
18 секунд
& Equals;
2 дня
2 часа
13 минут
55 секунд
- Математическая задача на время вычитания
5 дней
0 часов
10 минут
13 секунд
−
2 дня
21 час
56 минут
18 секунд
=
2 дня
2 часа
13 минут
55 секунд
Как умножить время
Умножьте дни, часы, минуты и секунды на множитель, работая от наименьшей единицы времени к наибольшей.
- Умножить каждую единицу времени на кратное
- Работая от наименьшей единицы времени к наибольшей, преобразовать лишние единицы времени в следующую более высокую единицу
- Если секунды больше 59, разделите на 60, чтобы получить целое число и остаток
- Оставьте остаток как общее количество секунд и добавьте целое число к минутам
- Если минуты больше 59, разделите на 60, чтобы получить целое число и остаток
- Сохраните остаток как общее количество минут и добавьте целое число к часам
- Если часов больше 23, разделите на 24, чтобы получить целое число и остаток
- Оставьте остаток как общее количество часов и добавьте целое число к дням
Пример умножения пример задачи
Умножение 2 дня 10 часов 32 минуты 16 секунд на 5
2 дня
10 часов
32 минуты
16 секунд
- Умножение каждого блока на 5 9000 2 секунд
- . Умножение.0208
2 дня
10 часов
32 минуты
16 секунд
=
10 дней
50 часов
160 минут
80 секунд
- 80 секунд больше 59, поэтому преобразуйте лишнее в минуты
- 80 разделить на 60 равно 1 с остатком 20
- Сохранить 20 секунд и перенести 1 на минуты
- 160 + 1 = 161 минута
перенос
1 минута
=
10 дней
50 часов
161 минута
20 секунд
- 161 минута больше 59, поэтому преобразуйте лишнее в часы
- 161 разделить на 60 равно 2 с остатком 41
- Держите 41 секунду и переносите 2 на часы
- 50 + 2 = 52 часа
перенос
2 часа
1 минута
=
10 дней
52 часа
41 минута
20 секунд
- 52 часа больше 24, поэтому преобразуйте лишнее в дни
- 52 разделить на 24 равно 2 с остатком 4
- Держите 4 часа и носите 2 дня
- 10 + 2 = 12 дней
перенос
2 дня
2 часа
1 минута
=
12 дней
4 часа
41 минута
20 секунд
- Завершенная математическая задача на умножение времени
2 дня
10 часов
32 минуты
16 секунд
=
12 дней
4 часа
41 минута
20 секунд
Как разделить время
Разделите дни, часы, минуты и секунды на делитель, работая от наименьшей единицы времени к наибольшей.
- Разделите каждую единицу времени на делитель
- Затем, работая от наибольшей единицы времени к наименьшей, преобразуйте любые десятичные значения в целые числа, сдвигая десятичную величину к меньшей единице времени
- Если дни имеют десятичную дробь, сохраните целое число как общее количество дней и преобразуйте десятичную дробь в часы
- Поскольку 1 день = 24 часа, умножьте десятичную дробь на 24 и прибавьте результат к часам .
- Если в часах есть десятичная дробь, сохраните целое число как общее количество часов и преобразуйте десятичную дробь в минуты
- Поскольку 1 час = 60 минут, умножьте десятичную дробь на 60 и прибавьте результат к минутам .
- Если минуты имеют десятичную дробь, сохраните целое число как общее количество минут и преобразуйте десятичную дробь в секунды
- Поскольку 1 минута = 60 секунд, умножьте десятичную дробь на 60 и прибавьте результат к секундам
- Если в секундах есть десятичная дробь, вы обычно можете оставить это как окончательный ответ в зависимости от вашего приложения
Пример деления Пример задачи
Разделение 4 дня 10 часов 13 минут 16 секунд на 4
4 Дни
10 часов
13 минут
16 секунд
- Разделение каждого блока на 4
208
4 дня
10 часов
13 минут
16 секунд
=
1 день
2,5 часа
3,25 минуты
4 секунды
- Работа от наименьшей единицы времени к наибольшей Преобразование любых десятичных значений в целые числа
- Часы — это не целое число, поэтому преобразуйте десятичную дробь в минуты .
- 2,5 часа — это 2 часа плюс 0,5 часа
- Поскольку 1 час = 60 минут, 0,5 от 1 часа равняется 0,5 от 60 минут = 30 минут
- Хранить 2 часа и носить с собой 30 минут
- 30 + 3,25 = 33,25 минуты
перенос
30 минут
=
1 день
2 часа
33,25 минуты
4 секунды
- Минуты не являются целым числом, поэтому преобразуйте десятичную дробь в секунды
- 33,25 минуты равно 33 минутам плюс 0,25 минуты
- Так как 1 минута = 60 секунд, 0,25 от 1 минуты равняется 0,25 от 60 секунд = 15 секунд
- Сохранить 33 минуты и перенести 15 секунд на
- 15 + 4 = 19 секунд
перенос
30 минут
15 секунд
=
1 дней
2 часа
33 минуты
19 секунд
- Завершенная математическая задача на деление времени
4 дня
10 часов
13 минут
16 секунд
=
1 дня
2 часа
33 минуты
19 секунд
Время преобразования.
00043600 секунд
1 минута
60 секунд
1 секунда
Цитируйте этот контент, страницу или калькулятор как:
Фьюри, Эдвард «Калькулятор времени | Сложение, вычитание, умножение, деление времени» на https://www.calculatorsoup.com/calculators/time/time-calculator.php из КалькуляторСуп, https://www.calculatorsoup.com — Онлайн-калькуляторы
Подписаться на CalculatorSoup:
Почему я так много писаю и как часто я должен писать?
Если вы когда-нибудь задавались вопросом, как часто вы должны мочиться в день, вы не одиноки. То, как часто вы мочитесь, на самом деле является важным признаком вашего общего состояния здоровья, начиная с младенчества и продолжая на протяжении всей жизни. Продолжайте читать, чтобы узнать больше о мочеиспускании и о том, что частое мочеиспускание может сигнализировать о том, что вам нужно посетить врача.
Обычным считается мочеиспускание до семи раз в сутки, при этом большинство людей мочится от шести до семи раз. Но нет ничего необычного в том, чтобы мочиться больше или меньше в любой день. Сколько вы мочитесь, зависит от многих факторов, таких как:
- возраст
- сколько вы выпиваете в день
- что вы пьете
- заболевания, такие как диабет или инфекция мочевыводящих путей (ИМП)
- прием лекарств
- размер мочевого пузыря
мочеиспускание раз в день может быть нормальным для некоторых людей и может не быть признаком проблемы со здоровьем. Но Национальный институт старения рекомендует обратиться к врачу, если вы регулярно мочитесь восемь и более раз.
Причины, по которым вы можете чаще мочиться, включают:
Инфекция мочевыводящих путей (ИМП)
ИМП — это распространенное заболевание, которое может повлиять на частоту мочеиспускания. У любого человека может развиться ИМП, хотя они чаще встречаются у женщин.
ИМП может вызвать у вас острую потребность в мочеиспускании, даже если вы недавно опорожняли мочевой пузырь.Во время инфекции вы можете чаще мочиться, но в меньшем количестве. Вы также, вероятно, почувствуете жжение при мочеиспускании.
Существует множество возможных причин ИМП, поэтому при подозрении на инфекцию мочевыводящих путей лучше обратиться к врачу.
Беременность
Особые обстоятельства, такие как беременность и первые недели после родов, могут повлиять на частоту мочеиспускания. Во время беременности человек мочится чаще из-за гормональных изменений, а также из-за давления на мочевой пузырь от растущего плода. После рождения у них сохраняется повышенный диурез в течение нескольких недель. Это связано с дополнительными жидкостями, которые они могли получить во время родов через капельницу или лекарства, а также с естественной реакцией организма на мобилизацию и удаление жидкости после рождения.
Задержка мочи
Задержка мочи — это когда вы не можете полностью опорожнить мочевой пузырь.
Это может вызвать постоянное ощущение потребности в мочеиспускании, боль в нижней части живота и частое мочеиспускание. Это может быть вызвано:- неврологическими факторами
- инфекциями
- дисфункцией мышц мочевого пузыря
- обструкцией
- лекарствами
диабетом
Более частое мочеиспускание — это способ организма избавиться от лишнего сахара в крови.
Гипокальциемия или гиперкальциемия
Если уровень кальция в организме слишком высок или слишком низок — состояния, известные как гипокальциемия или гиперкальциемия, — частота мочеиспускания может измениться.
Низкий уровень калия (гипокалиемия)
Низкий уровень калия может ухудшить способность почек концентрировать мочу и может привести к сильной жажде или чрезмерному мочеиспусканию.
Лекарства
Люди с проблемами сердца, высоким кровяным давлением или плохой функцией почек часто принимают лекарства, называемые диуретиками.
Диуретики работают, помогая почкам отфильтровывать больше жидкости в мочу. Прием диуретиков может привести к более частому мочеиспусканию. Некоторые распространенные диуретики включают:- chlorothiazide (Diuril)
- chlorthalidone (Thalitone)
- hydrochlorothiazide (Microzide)
- indapamide
- metolazone
- bumetanide (Bumex)
- furosemide (Lasix)
- torsemide (Demadex)
- amiloride (Midamor)
- эплеренон (Inspra)
- спиронолактон (Aldactone)
- триамтерен (Dyrenium)
Некоторые продукты и добавки
Некоторые продукты или добавки являются естественными диуретиками и могут увеличить количество жидкости, выводимой организмом. К ним относятся:
- caffeine
- dandelion
- hawthorn
- horsetail
- juniper
- green tea and black tea
- parsley
- hibiscus
- watermelon
- grapes
- berries
- celery
Sickle cell anemia
Sickle клеточная анемия может повлиять на функцию почек.
Повреждение почек означает, что они также не могут выполнять свою работу, и вырабатывается больше мочи. Это вызывает потребность в более частом мочеиспусканииЗастойная сердечная недостаточность
Застойная сердечная недостаточность может затруднить избавление организма от лишней жидкости, особенно в нижней части тела. Когда вы ложитесь ночью, ваше тело может производить больше мочи, чтобы попытаться избавиться от этой жидкости.
До половины людей с застойной сердечной недостаточностью страдают гиперактивным мочевым пузырем и недержанием мочи.
Тахикардия
Тахикардия — это аномально быстрое сердцебиение. Тахикардия-полиурия — увеличение диуреза вследствие тахикардии, определяемой как сердцебиение более 120 ударов в минуту в течение более 30 минут. Считается, что снижение уровня антидиуретического гормона и продукции предсердного натрийуретического пептида связано с увеличением диуреза.
Медицинские процедуры
Если вы недавно проходили тест, связанный с введением красителя в ваше тело, например компьютерную томографию, вы можете мочиться чаще, так как ваш организм выводит лишнюю жидкость.
Алкоголь и кофеин
Алкоголь и кофеин могут оказывать мочегонное действие, заставляя вас мочиться чаще, чем обычно. При употреблении этих веществ частое мочеиспускание, вероятно, не является признаком медицинской проблемы.
Кофеин содержится во многих пищевых продуктах и напитках, включая:
- Coffee
- TEA
- SODA
- Горячий шоколад
- Энергетические напитки
Узнайте больше: воздействие кофеина на тело »
Увеличение водяного инкаляции
. ДЕЛА. диурез и частота мочеиспускания.
Гиперфункция щитовидной железы
Гиперфункция щитовидной железы может вызывать широкий спектр симптомов, включая частое мочеиспускание и постоянную жажду. Другие общие симптомы включают в себя:
- проблемы со сном
- повышенный аппетит
- беспокойство
- неспособность сконцентрироваться
Беспокойство
Беспокойство может привести к сокращению гладких мышц, окружающих мочевой пузырь, вызывая давление и стимулируя позывы к мочеиспусканию.
Интерстициальный цистит
Интерстициальный цистит — это состояние, вызывающее хроническое воспаление мочевого пузыря. Общие симптомы включают:
- частое мочеиспускание
- случайное подтекание мочи
- тазовая или абдоминальная боль и давление
- срочная потребность в мочеиспускании
Множественная миелома
Множественная миелома является редким типом рака крови. Одним из симптомов может быть высокий уровень кальция, который может вызвать учащение мочеиспускания.
Первичный альдостеронизм
Гиперальдостеронизм — это гиперпродукция гормона альдостерона надпочечниками. Перепроизводство этого гормона может привести к тому, что ваше тело будет удерживать натрий и терять больше калия. Низкий уровень калия может вызвать частое мочеиспускание.
Поликистоз почек
Поликистоз почек — это генетическое заболевание, при котором в почках растут кисты. Люди, как правило, не проявляют симптомы, пока им не исполнится от 30 до 50 лет.
Частое мочеиспускание является одним из возможных ранних симптомов.Камни в почках
Около 600 000 человек в США ежегодно сталкиваются с камнями в почках. Они могут вызывать сильную боль в боку и спине, которая может иррадиировать в живот или пах. Другие симптомы включают:
- частое мочеиспускание
- боль во время мочеиспускания
- императивные позывы к мочеиспусканию
- кровь в моче
- мутная моча
- лихорадка и озноб У мужчин это может быть связано с увеличением простаты. Увеличение предстательной железы часто вызвано доброкачественным увеличением предстательной железы (ДГПЖ), которое не является злокачественным или вызвано раком предстательной железы. Когда простата увеличивается, она может блокировать отток мочи из мочевого пузыря. Это может привести к тому, что вы не сможете полностью опорожнить мочевой пузырь даже после мочеиспускания.
Если вы мочитесь так много или так часто каждый день, что чувствуете, что это влияет на качество вашей жизни, поговорите с врачом.
У вас может быть основное заболевание, такое как гиперактивный мочевой пузырь. Это можно лечить.Вам также следует обратиться к врачу, если вы слишком редко мочитесь или чувствуете, что мочевой пузырь не полностью опорожняется даже во время мочеиспускания, особенно если вы пожилой мужчина. Другими симптомами, требующими обращения к врачу, являются:
- лихорадка и боль в спине
- кровь в моче
- белая и мутная моча
- обесцвеченная моча
- сильный или ненормальный запах мочи
Ваше лечение может зависеть от того, какое состояние вызывает ваши симптомы. Например, если вы беременны, частое мочеиспускание будет продолжаться до тех пор, пока вы не родите.
Если ваши симптомы вызваны заболеванием, лечение этого состояния может помочь.
- Если у вас диабет, контроль уровня сахара в крови должен уменьшить потребность в мочеиспускании.
- Если частота мочеиспускания вызвана ИМП, после устранения ИМП диурез должен вернуться к норме.
- Если у вас увеличенная простата, которая блокирует отток мочи, вам может потребоваться лекарство для увеличения оттока мочи или уменьшения размера простаты.
- Если вы принимаете мочегонные препараты для лечения сердечной недостаточности или высокого кровяного давления, ваш врач может попытаться скорректировать дозу, чтобы облегчить ваши симптомы.
В дополнение к тому, что вы должны сообщить своему врачу о проблемах с мочеиспусканием, вот несколько советов по уменьшению раздражения половых органов и мочи:
- Ешьте продукты, богатые пробиотиками, особенно лактобациллами, которые содержатся в йогурте и кефире. Ранние исследования показывают, что лактобациллы могут быть полезны женщинам с рецидивирующими ИМП.
- Если вы используете мыло в области гениталий, используйте продукт без запаха, предназначенный для чувствительной кожи.
- Носите свободное хлопковое нижнее белье.
- Избегайте узких джинсов и леггинсов.
- Старайтесь мочиться каждые 3-4 часа и старайтесь не задерживать мочу, когда вам нужно идти.
1995 римскими цифрами: Дата римскими цифрами онлайн — перевести год, месяц, день в римский формат написания
//Конвертер даты римские цифры | преобразование числа
Калькулятор преобразования дат в римские цифры .
Таблица римских цифр
Годы римскими цифрами
Год Римская цифра 1000 M 1100 MC 1200 MCC 1300 MCCC 1400 MCD 1500 MD 1600 MDC 1700 MDCC 1800 MDCCC 1900 г. MCM 1990 г. MCMXC 1991 г. MCMXCI 1992 г. MCMXCII 1993 г. MCMXCIII 1994 г. MCMXCIV 1995 г. MCMXCV 1996 г. MCMXCVI 1997 г. MCMXCVII 1998 г. MCMXCVIII 1999 г. MCMXCIX 2000 г. ММ 2001 г. MMI 2002 г. MMII 2003 г. MMIII 2004 г. MMIV 2005 г. MMV 2006 г. MMVI 2007 г. MMVII 2008 г. MMVIII 2009 г. MMIX 2010 г. MMX 2011 г. MMXI 2012 г. MMXII 2013 MMXIII 2014 г. MMXIV 2015 г. MMXV 2016 г. MMXVI 2017 г. MMXVII 2018 г. MMXVIII 2019 г. MMXIX 2020 г. MMXX 2021 г. MMXXI 2022 год MMXXII 2023 г. MMXXIII 2024 г. MMXXIV 2025 г. MMXXV Конвертер римских цифр ►
Смотрите также
Напишите, как улучшить эту страницу
Отправить отзывПРЕОБРАЗОВАНИЕ НОМЕРА
БЫСТРЫЕ ТАБЛИЦЫ
Этот веб-сайт использует файлы cookie для улучшения вашего опыта, анализа трафика и отображения рекламы. Учить большеЗначение тату римские цифры с датами
Тату римские цифры
Тату с римскими цифрами пользуется популярностью на протяжении длительного времени. Помимо того, что цифрами можно обозначить важную для человека дату, так еще и сами изображения римских чисел привлекают внимание.
Тату дата римскими цифрами на руке
Тату римские цифры на ребрах
Тату дата рождения ребенка римскими цифрами
Чаще всего посредством римских цифр, в татуировке обозначают дату своего рождения, или другую важную дату. Например, день рождения ребенка, близкого человека. Некоторые люди с помощью римских чисел изображают на теле даты свадеб, или счастливые для себя цифры. Однако здесь следует учесть, что римский счет заканчивается цифрой 3999, а также то, что не рекомендуется накалывать даты плохих воспоминаний.
Значения римских цифр для тату
Римская цифра, наколотая одним символом, имеет свое обозначение. Это не касается памятных дат. Рассмотрим значение каждой цифры в римском исполнении:
- I — единица, обозначает лидерские качества и власть у человека. Как правило такую римскую цифру для тату выбирают состоявшиеся личности, не зависящие от других.
- II — двойка, довольно опасный знак в татуировке с римскими цифрами, так как раскрывает в человеке противоположные ему качества. Милость сменится на гнев, а черствость может превратится в доброту.
- III — тройка в римском исполнении обозначает рост и развитие человека. Эта татуировка поможет раскрыть скрытые таланты и умения.
- IV — римская четверка покажет, что владелец татуировки трудолюбивый и организованный. Он всегда добьется своей цели, и не отступит перед трудностями.
- V — пять в виде римского числа в тату, означает, что владелец рисунка оптимист по жизни, а также любитель путешествий. Эти люди берут все от жизни, жертвуя гармонией.
- VI — шестерка в римском варианте тату, это знак крепкой семьи. Также такая татуировка указывает на преданность дружбе.
- VII — семерка, наколотая в виде римской цифры, указывает на любознательного человека. Такой знак помогает развить «шестое» чувство, поэтому у некоторых экстрасенсов преобладает именно такая татуировка.
- VIII — восемь, в качестве римского числа на теле, принесет удачу ее обладателю, дав благополучие и богатство.
- IV — девять считается числом долголетия, а также римской цифрой, которая поможет на всем жизненном пути преодолевать препятствия.
- X — десять в качестве татуировки в римском исполнении будет означать новый жизненный цикл, пересмотр всех своих взглядов.
Таким образом, не обязательно делать татуировку даты римскими цифрами. Возможно, наиболее лучший вариант, это конкретное число, наколотое на теле в виде римской цифры.
Где сделать тату с римскими цифрами
Чаще всего такой рисунок делают на той части тела, которая скрыта от окружающих, если это касается памятных и личных дат например на ребрах. Но стоит учесть, что многие любители нательной живописи, стараются наоборот показать окружающим свои наколки. Поэтому тату с римскими цифрами на руке, запястье и пальцах, встречается часто.
Тату римские цифры на руке
Тату дата рождения римскими цифрами
Тату римскими цифрами с датой рождения
Тату римские цифры на ключице
Тату римские цифры на запястье с короной
Тату с римскими цифрами на пальце
Парная татуировка с датой на запястье римскими цифрами
Римские цифры на руке у девушки — фото татуировки
Тату римские цифры-дата с пером на грудине
Тату в виде римских цифр на руке
Тату римские цифры с датами на руке
Татуировка даты римскими цифрами с короной на ноге — фото
Тату римские цифры на ребрах
Тату римские цифры вокруг шеи
Тату год рождения римскими цифрами
Тату римские цифры на запястье
Тату римские цифры и перо на руке
Тату римские цифры на ребрах — фото
Тату дата рождения римскими цифрами на руке
Татуировка с римскими числами и цветами на руке у девушки
Тату римские цифры с датой на руке у мужчины
Тату римские цифры на спине
Тату римские цифры на ребрах — фото
Тату римские цифры на лопатке в стиле акварель
Тату римские цифры-дата на ребрах
Тату дата рождения ребенка римскими цифрами
Тату римские цифры на шее
В целом римские цифры, наколотые красивым шрифтом, выглядят уместно на любой части тела.’ «»» if input_number < 0 or not isinstance(input_number, int): raise ValueError(f’Only integers, n, within range, n >= 0 are supported.’) if input_number <= 1000: numeral, remainder = core_lookup(input_number=input_number) else: numeral, remainder = thousand_lookup(input_number=input_number, overline_code=overline_code) if remainder != 0: numeral += get_roman(input_number=remainder, overline_code=overline_code) return numeral def core_lookup(input_number: int) -> (str, int): «»» Returns highest roman numeral (string) which can (or a multiple thereof) be looked up from number map and the remainder (int). >>> core_lookup(3) (‘III’, 0) >>> core_lookup(999) (‘CM’, 99) >>> core_lookup(1000) (‘M’, 0) «»» if input_number < 0 or input_number > 1000 or not isinstance(input_number, int): raise ValueError(f’Only integers, n, within range, 0 <= n <= 1000 are supported., see https://en.wikipedia.org/wiki/9000_(number) numeral = numeral.replace(NUMBER_MAP[1] + overline_code, NUMBER_MAP[1000]) return numeral, remainder def get_thousand_count(input_number: int) -> (int, int, int): «»» Returns three integers defining the number, number of thousands and remainder >>> get_thousand_count(999) (999, 0, 0) >>> get_thousand_count(1001) (1, 1, 1) >>> get_thousand_count(2000002) (2, 2, 2) «»» num = input_number k = 0 while num >= 1000: k += 1 num //= 1000 remainder = input_number — (num * 1000 ** k) return num, k, remainder def get_multiple(input_number: int, multiples: iter) -> int: «»» Given an input number(int) and a list of numbers, finds the number in list closest (rounded down) to input number >>> get_multiple(45, [1, 2, 3]) 3 >>> get_multiple(45, [1, 2, 3, 44, 45, 46]) 45 >>> get_multiple(45, [1, 4, 5, 9, 10, 40, 50, 90]) 40 «»» options = sorted(list(multiples) + [input_number]) return options[options.’ «»» return ».join([char + overline_code*num_overlines if char.isalnum() else char for char in base_numeral]) def gen_number_map() -> dict: «»» Returns base number mapping including combinations like 4 -> IV and 9 -> IX, etc. «»» mapping = { 1000: ‘M’, 500: ‘D’, 100: ‘C’, 50: ‘L’, 10: ‘X’, 5: ‘V’, 1: ‘I’, 0: ‘N’ } for exponent in range(3): for num in (4, 9,): power = 10 ** exponent mapping[num * power] = mapping[1 * power] + mapping[(num + 1) * power] return mapping NUMBER_MAP = gen_number_map() if __name__ == ‘__main__’: import doctest doctest.testmod(verbose=True, raise_on_error=True) # Optional extra tests # doctest.testfile(‘test_romanize.txt’, verbose=True)
Вот несколько дополнительных тестов на всякий случай. Сохраните следующее Как test_romanize.txt в том же каталоге, что и romanize.py:
The ``romanize`` module ======================= The ``get_roman`` function -------------------------- Import statement: >>> from romanize import get_roman Tests: >>> get_roman(0) 'N' >>> get_roman(6) 'VI' >>> get_roman(11) 'XI' >>> get_roman(345) 'CCCXLV' >>> get_roman(989) 'CMLXXXIX' >>> get_roman(989000000, overline_code='^') 'C^^M^^L^^X^^X^^X^^M^X^^' >>> get_roman(1000) 'M' >>> get_roman(1001) 'MI' >>> get_roman(2000) 'MM' >>> get_roman(2001) 'MMI' >>> get_roman(900) 'CM' >>> get_roman(4000, overline_code='^') 'MV^' >>> get_roman(6000, overline_code='^') 'V^M' >>> get_roman(9000, overline_code='^') 'MX^' >>> get_roman(6001, overline_code='^') 'V^MI' >>> get_roman(9013, overline_code='^') 'MX^XIII' >>> get_roman(70000000000, overline_code='^') 'L^^^X^^^X^^^' >>> get_roman(9000013, overline_code='^') 'M^X^^XIII' >>> get_roman(989888003, overline_code='^') 'C^^M^^L^^X^^X^^X^^M^X^^D^C^C^C^L^X^X^X^V^MMMIII' The ``get_thousand_count`` function -------------------------- Import statement: >>> from romanize import get_thousand_count Tests: >>> get_thousand_count(13) (13, 0, 0) >>> get_thousand_count(6013) (6, 1, 13) >>> get_thousand_count(60013) (60, 1, 13) >>> get_thousand_count(600013) (600, 1, 13) >>> get_thousand_count(6000013) (6, 2, 13) >>> get_thousand_count(999000000000000000000000000999) (999, 9, 999) >>> get_thousand_count(2005) (2, 1, 5) >>> get_thousand_count(2147483647) (2, 3, 147483647) The ``core_lookup`` function -------------------------- Import statement: >>> from romanize import core_lookup Tests: >>> core_lookup(2) ('II', 0) >>> core_lookup(6) ('V', 1) >>> core_lookup(7) ('V', 2) >>> core_lookup(19) ('X', 9) >>> core_lookup(900) ('CM', 0) >>> core_lookup(999) ('CM', 99) >>> core_lookup(1000) ('M', 0) >>> core_lookup(1000.2) Traceback (most recent call last): ValueError: Only integers, n, within range, 0 <= n <= 1000 are supported. >>> core_lookup(10001) Traceback (most recent call last): ValueError: Only integers, n, within range, 0 <= n <= 1000 are supported. >>> core_lookup(-1) Traceback (most recent call last): ValueError: Only integers, n, within range, 0 <= n <= 1000 are supported. The ``gen_number_map`` function -------------------------- Import statement: >>> from romanize import gen_number_map Tests: >>> gen_number_map() {1000: 'M', 500: 'D', 100: 'C', 50: 'L', 10: 'X', 5: 'V', 1: 'I', 0: 'N', 4: 'IV', 9: 'IX', 40: 'XL', 90: 'XC', 400: 'CD', 900: 'CM'} The ``get_multiple`` function -------------------------- Import statement: >>> from romanize import get_multiple >>> multiples = [0, 1, 4, 5, 9, 10, 40, 50, 90, 100, 400, 500, 900, 1000] Tests: >>> get_multiple(0, multiples) 0 >>> get_multiple(1, multiples) 1 >>> get_multiple(2, multiples) 1 >>> get_multiple(3, multiples) 1 >>> get_multiple(4, multiples) 4 >>> get_multiple(5, multiples) 5 >>> get_multiple(6, multiples) 5 >>> get_multiple(9, multiples) 9 >>> get_multiple(13, multiples) 10 >>> get_multiple(401, multiples) 400 >>> get_multiple(399, multiples) 100 >>> get_multiple(100, multiples) 100 >>> get_multiple(99, multiples) 90 The ``add_overlines`` function -------------------------- Import statement: >>> from romanize import add_overlines Tests: >>> add_overlines('AB') 'A\u0305B\u0305' >>> add_overlines('A\u0305B\u0305') 'A\u0305\u0305B\u0305\u0305' >>> add_overlines('AB', num_overlines=3, overline_code='^') 'A^^^B^^^' >>> add_overlines('A^B^', num_overlines=1, overline_code='^') 'A^^B^^' >>> add_overlines('AB', num_overlines=3, overline_code='\u0305') 'A\u0305\u0305\u0305B\u0305\u0305\u0305' >>> add_overlines('A\u0305B\u0305', num_overlines=1, overline_code='\u0305') 'A\u0305\u0305B\u0305\u0305' >>> add_overlines('A^B', num_overlines=3, overline_code='^') 'A^^^^B^^^' >>> add_overlines('A^B', num_overlines=0, overline_code='^') 'A^B'Конвертер даты римскими и арабскими цифрами | SEO
Конвертер даты римскими и арабскими цифрами
Чтобы использовать преобразователь даты римских цифр, выберите день, месяц, год, формат даты и нажмите кнопку «Преобразовать».
Дата
ЯнварьФевральМартАпрельМайИюньИюльАвгустСентябрьОктябрьНоябрьДекабрь
1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425262728293031
Формат даты MM.DD.YYYYDD.MM.YYYY
Делиметр . (точка) • (пуля) — (тире) (пробел) _ (подчеркивание) / (слэш)
Конвертировать Сбросить
Результат
(Римские цифры)
(Арабские цифры)Римские цифры — это числовая система древнего Рима, которая оставалась распространенной в позднем средневековье как обычный способ записи чисел по всей Европе. Комбинации букв латинского алфавита представляют собой числа в этой системе. В современном обиходе используются семь символов с фиксированным целочисленным значением.
Спустя долгое время после распада Римской империи использование римских цифр продолжалось. Римские цифры начали заменяться более удобными арабскими цифрами в большинстве случаев в 14 веке. Однако этот процесс был прогрессивным, и в некоторых незначительных приложениях использование римских цифр продолжается и по сей день. В настоящее время многие люди также используют этот инструмент, чтобы найти дату рождения римскими цифрами.
Связанные инструменты:Таблица римских цифр
Римская цифра Десятичное число я 1 V 5 Икс 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Римские цифры Таблица лет
Год Римская цифра 1000 M 1100 MC 1200 MCC 1300 MCCC 1400 MCD 1500 MD 1600 MDC 1700 MDCC 1800 MDCCC 1900 г. MCM 1990 г. MCMXC 1991 г. MCMXCI 1992 г. MCMXCII 1993 г. MCMXCIII 1994 г. MCMXCIV 1995 г. MCMXCV 1996 г. MCMXCVI 1997 г. MCMXCVII 1998 г. MCMXCVIII 1999 г. MCMXCIX 2000 г. ММ 2001 г. MMI 2002 г. MMII 2003 г. MMIII 2004 г. MMIV 2005 г. MMV 2006 г. MMVI 2007 г. MMVII 2008 г. MMVIII 2009 г. MMIX 2010 г. MMX 2011 г. MMXI 2012 г. MMXII 2013 MMXIII 2014 г. MMXIV 2015 г. MMXV 2016 г. MMXVI 2017 г. MMXVII 2018 г. MMXVIII 2019 г. MMXIX 2020 г. MMXX 2021 г. MMXXI 2022 г. MMXXII 2023 г. MMXXIII 2024 г. MMXXIV 2025 г. MMXXV История коллекции Atlas от компании Tiffany & Co.
Коллекция Tiffany Atlas – это роскошь и элегантность, драгоценные металлы и минимализм форм. Дизайн Atlas с рельефными римскими цифрами за 35 лет превратился в символ компании Tiffany & Co., получил любовь и признание поклонников бренда по всему миру.
В 1853 году компания Tiffany продемонстрировала 9-футовые часы Atlas. Часы отдавали дань уважения могучему греческому титану, который держит на плечах небесный свод. Часы Atlas были установлены над входом во флагманский магазин бренда на Пятой авеню в Нью-Йорке.
В 1985 году директор по дизайну Tiffany Джон Лоринг, вдохновленный легендарными часами, добавил в историю компании Tiffany & Co. наручные часы Atlas. Особенность часов заключалась в часовой шкале с четкими линиями и ярко отполированными римскими цифрами с высоким рельефом. Дизайн часов был настолько оригинальным, что компания получила патент в США.
Из многочисленных дизайнов, созданных Джоном Лорингом, Atlas оставался для него любимым: «этот дизайн обладает такой стойкостью и так блестяще воплощается в украшениях, что является истинным заявлением моды».
В 1995 году коллекция расширилась предметами из стерлингового серебра и изысканными украшениями. Компания представила новые модели часов и даже предметы домашнего обихода в стиле Atlas. Коллекция получила название в честь мифологического титана, что отражает вневременный характер изделий, а также влияние на мир ювелирного искусства.
Коллекция Atlas наделена характерными особенностями, которые получили признание у поклонников бренда. Выпуклые римские цифры, символ силы и свободы, добавляют изделиям исключительность. А чередование канавок и вырезов, а также матовой и полированной отделки сделали украшения и часы Atlas мгновенно узнаваемыми.
Графические формы Atlas сочетали минималистические линии и драгоценные материалы. Изделия коллекции относились к категории роскоши, но при этом оставались удобными для ношения каждый день.
В 2013 году компания перезапустила Atlas и представила новые украшения в честь 18-летия коллекции. Обновленная эстетика Atlas предназначалась для популяризации коллекции среди молодого поколения. Презентация новой коллекции Atlas состоялась на Неделе моды в Нью-Йорке. Амбассадором коллекции стала британская топ-модель, певица, гитаристка и автор песен Карен Элсон, а также группа блоггеров мира Fashion.
Элегантность и сдержанность наполнили каждое изделие Atlas. В качестве основных цветов Tiffany выбрала желтое, белое и розовое золото. Часть украшения мастера бренда дополнили бриллиантами. Римские цифры добавили изделиям винтажный вид, сочетая атмосферу классической элегантности с элементами современного духа.
В 2020 году компания Tiffany ушла от оригинального дизайна Atlas и представила новую смелую линейку Atlas X. Ювелирный изделия, часы и аксессуары характеризуются четкими контурами, яркими выемками и сверкают бриллиантовым паве.
В коллекции Atlas X объединились три мотива: Closed, X и Open. Мотивы Closed и Open – это дизайнерские коды Tiffany, которые компания использует с момента появления обручального кольца Tiffany Setting в 1886 году. Мотив X сочетает перекрещивающиеся элементы в серьгах, подвесках, браслетах. Коллекция Atlas X предлагает множество комбинаций украшений, в которых сочетаются закрытые и открытые формы, четкие углы и современные пропорции.
Украшения и часы коллекции Tiffany Atlas можно носить круглый год, создавая повседневный образ или добавляя роскоши в наряд для официального приема.
Купить украшения Tiffany Atlas по привлекательной цене предлагает ювелирный салон «Emporium Gold». Подлинность изделий Tiffany & Co. и характеристики драгоценных камней подтверждены сертификатом. Бесплатная доставка по России станет приятным бонусом. А для подписчиков нашего Instagram предусмотрена скидка 5% на все товары.
Римские цифры или как правильно написать дату римскими цифрами для тату? этап. Выбор месяца
Одна из популярных направлений в мире татуировок – дата рождения, написанная римскими цифрами. Надпись бросается в глаза и человеку не знакомому с основами написания римских чисел, будет не очень понятна. Таким образом дата шифруется и становиться доступна для восприятия только тем, кто знаком с элементарными числовыми выражениями латинского языка.
Итак, все по порядку:
Дата рождения составляется в 3 этапа.
- 1 этап – день рождения.
- 2 этап – месяц рождения.
- 3 этап – год рождения.
Все этапы строго следуют друг за другом и разделяются между собой точками. В качестве примера возьмем дату рожденного 28 августа 1999 года .
В обычном формате эта дата будет выглядеть так: 28.08.1999 . Месяц август сменился на свой порядковый номер периода года, а именно на 08. Можно так же записать как 28.8.1999 , разницы никакой. Римскими цифрами дата поменяет свой вид на: XXVIII. VIII. MCMXCIX .
1 этап. Выбор дня.
Максимальное количество дней в месяце — 31. Поэтому проще выбрать из таблицы свой день, чем заниматься вычислениями правильного написания числа:
1 – I 11 – XI 21 – XXI 31 — XXXI 2 – II 12 – XII 22 – XXII 3 – III 13 – XIII 23 – XXIII 4 – IV 14 – XIV 24 – XXIV 5 – V 15 – XV 25 – XXV 6 – VI 16 – XVI 26 – XXVI 7 – VII 17 – XVII 27 – XXVII 8 – VIII 18 – XVIII 28 – XXVIII 9 – IX 19 – XIX 29 – XXIX 10 – X 20 – XX 30 – XXX 2 этап. Выбор месяца.
В году 12 месяцев и все они имеют свой порядковый номер.
3 этап. Выбор года.
Самый сложный этап, так как имеет множество вариантов написания.
1 вариант – сокращенный. Число состоит из двух последних цифр года рождения. Например, число 99 или римскими XCIX , будет обозначать 1999 год, а 18 – сокращение от 2018 года (XVIII ). Единственный год не поддающийся сокращению – 2000 год, его римская версия всегда будет MM , как в сокращенном, так и в полном варианте.
1 – I 21 – XXI 41 – XLI 61 – LXI 81 – LXXXI 2 – II 22 – XXII 42 – XLII 62 – LXII 82 – LXXXII 3 – III 23 – XXIII 42 – XLIII 63 – LXIII 83 – LXXXIII 4 – IV 24 – XXIV 44 – XLIV 64 – LXIV 84 – LXXXIV 5 – V 25 – XXV 45 – XLV 65 – LXV 85 – LXXXV 6 – VI 26 – XXVI 46 – XLVI 66 – LXVI 86 – LXXXVI 7 – VII 27 – XXVII 47 – XLVII 67 – LXVII 87 – LXXXVII 8 – VII 28 – XXVIII 48 – XLVIII 68 – LXVIII 88 – LXXXVIII 9 – IX 29 – XXIX 49 – XLIX 69 – LXIX 89 – LXXXIX 10 – X 30 – XXX 50 – L 70 — LXX 90 – XC 11 – XI 31 – XXXI 51 – LI 71 – LXXI 91 – XCI 12 – XII 32 – XXXII 52 – LII 72 – LXXII 92 – XCII 13 – XIII 33 – XXXIII 53 – LIII 73 – LXXIII 93 – XCIII 14 – XIV 34 – XXXIV 54 – LIV 74 – LXXIV 94 – XCIV 15 – XV 35 – XXXV 55 – LV 75 – LXXV 95 – XCV 16 – XVI 36 – XXXVI 56 – LVI 76 – LXXVI 96 – XCVI 17 – XVII 37 – XXXVII 57 – LVII 77 – LXXVII 97 – XCVII 18 – XVIII 38 – XXXVIII 58 – LVIII 78 – LXXVII 98 – XCVIII 19 – XIX 39 – XXXIX 59 – LIX 79 – LXXIX 99 — XCIX 20 – XX 40 – XL 60 – LX 80 – LXXX В античные времена римляне были очень активны в торговле и коммерции, и как только она обрели письменность они стали нуждаться в обозначении чисел. Система, которую они изобрели для обозначения цифр и чисел, активно использовалась на протяжении многих веков, и даже сейчас она находит свое применение во многих специальных случаях написания чисел.
Римские числа традиционно обозначают порядок правителей или людей имеющие одинаковое имя (например, Екатерина II , Николай II , Людовик XIV ). Они так же иногда используются для обозначения дат в издательском деле или на зданиях, для указания года постройки, или на надгробных камнях, когда есть желание создать впечатление, ощущение классической почести, дани уважения. Римские числа и цифры (вся целая система) так е живет в нашем языке, который до сих пор использует корни Латинских заимствованных слов для отображения тех или иных численных идей или значений. Несколько примеров: duo — двойной, quadricep — четырёхглавая мышца, decade — группа из десяти, десяток или десятилетие, milliliter — миллилитр, одна тысячная литра и т.п.
Одно большое различие между римскими и арабскими числами (те которые мы используем повседневно сейчас) это то, что Римская система исчислений не имеет символа нуля, и второе, что положение цифры в записи может означать не сложение, но иногда и вычитание.
Простой принцип расчета
Римские числа математически конвертируются в арабские числа путём простого назначения каждой цифре Римского числа соответствующего целочисленного значения в арабской системе с автоматическим суммированием: M=1000 | D=500 | C=100 | L=50 | X=10 | V=5 | I=1.
Ниже приводятся детальное описание всех основных римских цифр:
I
Самый простой способ записать маленькие числа это нарисовать «зазубрины» — цифра один: I. Две палочки II означают два, III — три. Однако, для большего числа количество становиться очень большим и абсолютно не читаемым…. 20-ый век
1901 = MCMI
1902 = MCMII
1903 = MCMIII
1904 = MCMIV
1905 = MCMV
1906 = MCMVI
1907 = MCMVII
1908 = MCMVIII
1909 = MCMIX
1910 = MCMX1911 = MCMXI
1912 = MCMXII
1913 = MCMXIII
1914 = MCMXIV
1915 = MCMXV
1916 = MCMXVI
1917 = MCMXVII
1918 = MCMXVIII
1919 = MCMXIX
1920 = MCMXX1921 = MCMXXI
1922 = MCMXXII
1923 = MCMXXIII
1924 = MCMXXIV
1925 = MCMXXV
1926 = MCMXXVI
1927 = MCMXXVII
1928 = MCMXXVIII
1929 = MCMXXIX
1930 = MCMXXX1931 = MCMXXXI
1932 = MCMXXXII
1933 = MCMXXXIII
1934 = MCMXXXIV
1935 = MCMXXXV
1936 = MCMXXXVI
1937 = MCMXXXVII
1938 = MCMXXXVIII
1939 = MCMXXXIX
1940 = MCMXL1941 = MCMXLI
1942 = MCMXLII
1943 = MCMXLIII
1944 = MCMXLIV
1945 = MCMXLV
1946 = MCMXLVI
1947 = MCMXLVII
1948 = MCMXLVIII
1949 = MCMXLIX
1950 = MCML1951 = MCMLI
1952 = MCMLII
1953 = MCMLIII
1954 = MCMLIV
1955 = MCMLV
1956 = MCMLVI
1957 = MCMLVII
1958 = MCMLVIII
1959 = MCMLIX
1960 = MCMLX1961 = MCMLXI
1962 = MCMLXII
1963 = MCMLXIII
1964 = MCMLXIV
1965 = MCMLXV
1966 = MCMLXVI
1967 = MCMLXVII
1968 = MCMLXVIII
1969 = MCMLXIX
1970 = MCMLXX1971 = MCMLXXI
1972 = MCMLXXII
1973 = MCMLXXIII
1974 = MCMLXXIV
1975 = MCMLXXV
1976 = MCMLXXVI
1977 = MCMLXXVII
1978 = MCMLXXVIII
1979 = MCMLXXIX
1980 = MCMLXXX1981 = MCMLXXXI
1982 = MCMLXXXII
1983 = MCMLXXXIII
1984 = MCMLXXXIV
1985 = MCMLXXXV
1986 = MCMLXXXVI
1987 = MCMLXXXVII
1988 = MCMLXXXVIII
1989 = MCMLXXXIX
1990 = MCMXC 1991 = MCMXCI
1992 = MCMXCII
1993 = MCMXCIII
1994 = MCMXCIV
1995 = MCMXCV
1996 = MCMXCVI
1997 = MCMXCVII
1998 = MCMXCVIII
1999 = MCMXCIX
2000 = MM21-ый век
2001 = MMI
2002 = MMII
2003 = MMIII
2004 = MMIV
2005 = MMV
2006 = MMVI
2007 = MMVII
2008 = MMVIII
2009 = MMIX
2010 = MMX 2011 = MMXI
2012 = MMXII
2013 = MMXIII
2014 = MMXIV
2015 = MMXV
2016 = MMXVI
2017 = MMXVII
2018 = MMXVIII
2019 = MMXIX
2020 = MMXXV
Таким образом, появилась число 5 — V. Расположение перед ним единички: IV — или расположение любого другого меньшего числа, чем последующий (в нашем случае символ пять) — означает вычитание. Таким образом, IV означает 4. После V можно указать меньшие цифры, тогда это будет означать складывание — VI означает 6, VII означает 7, VIII равно 8. X
X означает 10. Но что насчет 9? Аналогичное используется правило как с пятёркой. IX означает вычитание I из X, и это равно 9. Числа первого десятка, второго десятка и третьего формируются таким же образом, только с X-ами означающие количество десятков в числе. Таким образом, мы получаем, что XXXI — 31, а XXIV это 24. L
Значение L равно 50. Основываясь на том, что вы уже прочитали выше, вы уже можете догадаться, как будет записано число 40. Если вы думаете, что это будет XL, то вы правы = 10 отнимается от 50-и. И другие числа 60, 70, и 80 будут выглядеть как LX, LXX и LXXX. C
Цифра C пошла от слова centum , латинского слова означающее 100. centurion означает 100 людей. Мы по-прежнему используем такие слова, как «century » (столетие) и «cent » (цент). Как и с L, вычитание десятка означает понижение основной последующей цифры: 90 будет записано, как 100 минус 10 = XC. Несколько подряд цифр C будет означать соответствующее количество сотен: CCCLXIX равно 369. D
D указывает на значение равное 500. По аналогии, CD означает 400. CDXLVIII равное 448. M
M это 1000. Это цифра очень часто попадается, так как римские числа в основном используются для записи года. MMX — 2010 год. V
Более большие числа в Римском исчислении записываются при помощи горизонтальной линии расположенной над цифрами, что будет означать умножение данных цифр на тысячу. Отсюда выходит, что V с горизонтальной линией над этой цифрой будет означать 5000. Конвертирование римских чисел онлайн
Вводите все буквы в римской записи числа, как они указаны на вашем экспонате:
Для корректной работы Dates Calculator Online, вам необходимо включить поддержку JavaScript в своем обозревателе (IE, Firefox, Opera)!
Для обозначения цифр в латинском языке приняты комбинации следующих семи знаков: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).
Для запоминания буквенных обозначений цифр в порядке убывания придумано мнемоническое правило:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх (соответственно M, D, C, L, X, V, I).
Если знак, обозначающий меньшее число, стоит справа от знака, обозначающего большее число, то меньшее число следует прибавлять к большему, если слева, то вычитать, а именно:
VI — 6, т.е. 5 + 1
IV — 4, т.е. 5 — 1
XI — 11, т.е. 10 + 1
IX — 9, т.е. 10 — 1
LX — 60, т.е. 50 + 10
XL — 40, т.е. 50 — 10
СХ — 110, т.е. 100 + 10
ХС — 90, т.е. 100-10
MDCCCXII — 1812, т.е. 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1.Возможно различное обозначение одного и того же числа. Например, число 80 можно обозначить как LXXX (50 + 10 + 10 + 10) и как ХХС (100 — 20).
Для записи чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
I (1) — unus (унус)
II (2) — duo (дуо)
III (3) — tres (трэс)
IV (4) — quattuor (кваттуор)
V (5) — quinque (квинквэ)
VI (6) — sex (сэкс)
VII (7) — septera (сэптэм)
VIII (8) — octo (окто)
IX (9) — novem (новэм)
X (10) — decern (дэцем)
XI (11) — undecim (ундецим)
XII (12) — duodecim (дуодэцим)
ХШ (13) — tredecim (трэдэцим)
XIV (14) — quattuordecim (кваттуордэцим)
XV (15) — quindecim (квиндэцим)
XVI (16) — sedecim (сэдэцим)
XVII (17) — septendecim (сэптэндэцим)
XVIII (18) — duodeviginti (дуодэвигинти)
XIX (19) — undeviginti (ундэвигинти)
XX (20) — viginti (вигинти)
XXI (21) — unus et viginti или viginti unus
XXII (22) — duo et viginti или viginti duo и т.д.
XXVIII (28) — duodetriginta (дуодэтригинта)
XXIX (29) — undetriginta (ундэтригинта)
XXX (30) : triginta (тригинта)
XL (40) — quadraginta (квадрагинта)
L (5O) — quinquaginta (квинквагинта)
LX (60) — sexaginta (сэксагинта)
LXX (70) — septuaginta (сзлтуагинта)
LXXX180) — octoginta (октогинта)
КС (90) — nonaginta (нонагинта)
C (100) centum (центум)
CC (200) — ducenti (дуценти)
CCC (300) — trecenti (трэценти)
CD (400) — quadrigenti (квадригэнти)
D (500) — quingenti (квингэнти)
DC (600) — sescenti(сэсценти) или sexonti (сэксцонти)
DCC (700) — septigenti (сэптигэнти)
DCCC (800) — octingenti (октингэнти)
CV (DCCC) (900) — nongenti (нонгэнти)
M (1000) — mille (милле)
ММ (2000) — duo milia (дуо милиа)
V (5000) — quinque milla (квинквэ милиа)
X (10 000) — decem milia (дэцем милиа)
XX (20000) — viginti milia (вигинти милиа)
C (100000) — centum milia (центум милиа)
XI (1000000) — decies centena milia (дэциэс центэна милиа).Если вдруг любознательный человек спросит, почему для обозначения цифр 50, 100, 500 и 1000 были выбраны латинские буквы V, L, С, D, М, то сразу скажем, что это вовсе не латинские буквы, а совсем иные знаки.
Дело в том, что основой для латинского алфавита послужил алфавит западногреческий. Именно к нему восходят три знака L, С и М. Здесь они обозначали придыхательные звуки, которых не было в латинском языке. Когда оформлялся латинский алфавит, именно они оказались лишними. Их и приспособили для обозначения чисел в латинской графике. Позднее они по написанию совпали с латинскими буквами. Так, знак С (100) стал похож на первую букву латинского слова centum (сто), а М (1000) — на первую букву слова mille (тысяча). Что же касается знака D (500), то он представлял собой половину знака Ф (1000), а потом уж стал похож на латинскую букву. Знак V (5) являлся всего навсего верхней половиной знака X (10).
21-й XXI 20-й XX 19-й XIX 18-й XVIII 17-й XVII 16-й XVI 15-й XV 14-й XIV 13-й XIII 12-й XII 11-й XI 10-й X 9-й IX 8-й VIII 7-й VII 6-й VI 5-й V 4-й IV 3-й III 2-й II 1-й I Римские цифры, придуманные более 2500 лет тому назад, использовались европейцами на протяжении двух тысячелетий, затем были вытеснены арабскими цифрами. Это произошло потому, что римские цифры записать достаточно сложно, да и любые арифметические действия в римской системе выполнять гораздо сложнее, чем в арабской системе исчисления. Не смотря на то, что сегодня римская система не часто используется, это вовсе не значит, что она стала неактуальна. В большинстве случаев века римскими цифрами обозначают, а вот годы или точные даты принято писать арабскими цифрами.
Римскими цифры также используются при написании порядковых номеров монархов, энциклопедических томов, валентности различных химических элементов. На циферблатах ручных часов также часто используются цифры римской системы исчисления.
Римские цифры представляют собой определенные знаки, с помощью которых записывают десятичные разряды и их половины. Используют для этого всего семь заглавных букв латинского алфавита. Числу 1 соответствует римская цифра I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. При обозначении натуральных чисел эти цифры повторяются. Так 2 можно написать, используя два раза I, то есть 2 – II, 3 — три буквы I, то есть 3 – III. Если меньшая цифра стоит перед большей, то используется принцип вычитания (меньшая цифра вычитается из большей). Так, цифра 4 изображается как IV (то есть 5-1).
В случае, когда большая цифра стоит впереди меньшей, их складывают, например 6 записывается в римской системе, как VI (то есть 5+1).
Если Вы привыкли записывать числа арабскими цифрами, то могут возникнуть некоторые затруднения в том случае, когда нужно записать века римскими цифрами, какое-либо число или дату. Перевести любое число из арабской системы в римскую систему исчисления и наоборот можно очень легко и очень быстро, воспользовавшись удобным конвертером на нашем сайте.
На клавиатуре компьютера достаточно перейти на английский язык, чтобы без труда записать любое число римскими цифрами.
По всей видимости, древние римляне отдавали предпочтение прямым линиям, поэтому все их цифры прямые и строгие. Однако, римские цифры представляют собой ни что иное, как упрощенное изображение пальцев человеческой руки. Цифры с одного до четырех напоминают вытянутые пальцы, цифру пять можно сравнить с раскрытой ладонью, где большой палец оттопырен. А цифра десять напоминает две скрещенные руки. В европейских странах при счете принято разгибать пальцы, а вот в России, наоборот, загибать.
Римская цифра 70. Римские цифры: как в них разобраться
Для обозначения цифр в латинском языке приняты комбинации следующих семи знаков: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).
Для запоминания буквенных обозначений цифр в порядке убывания придумано мнемоническое правило:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх (соответственно M, D, C, L, X, V, I).
Если знак, обозначающий меньшее число, стоит справа от знака, обозначающего большее число, то меньшее число следует прибавлять к большему, если слева, то вычитать, а именно:
VI — 6, т.е. 5 + 1
IV — 4, т.е. 5 — 1
XI — 11, т.е. 10 + 1
IX — 9, т.е. 10 — 1
LX — 60, т.е. 50 + 10
XL — 40, т.е. 50 — 10
СХ — 110, т.е. 100 + 10
ХС — 90, т.е. 100-10
MDCCCXII — 1812, т.е. 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1.Возможно различное обозначение одного и того же числа. Например, число 80 можно обозначить как LXXX (50 + 10 + 10 + 10) и как ХХС (100 — 20).
Для записи чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
I (1) — unus (унус)
II (2) — duo (дуо)
III (3) — tres (трэс)
IV (4) — quattuor (кваттуор)
V (5) — quinque (квинквэ)
VI (6) — sex (сэкс)
VII (7) — septera (сэптэм)
VIII (8) — octo (окто)
IX (9) — novem (новэм)
X (10) — decern (дэцем)
XI (11) — undecim (ундецим)
XII (12) — duodecim (дуодэцим)
ХШ (13) — tredecim (трэдэцим)
XIV (14) — quattuordecim (кваттуордэцим)
XV (15) — quindecim (квиндэцим)
XVI (16) — sedecim (сэдэцим)
XVII (17) — septendecim (сэптэндэцим)
XVIII (18) — duodeviginti (дуодэвигинти)
XIX (19) — undeviginti (ундэвигинти)
XX (20) — viginti (вигинти)
XXI (21) — unus et viginti или viginti unus
XXII (22) — duo et viginti или viginti duo и т.д.
XXVIII (28) — duodetriginta (дуодэтригинта)
XXIX (29) — undetriginta (ундэтригинта)
XXX (30) : triginta (тригинта)
XL (40) — quadraginta (квадрагинта)
L (5O) — quinquaginta (квинквагинта)
LX (60) — sexaginta (сэксагинта)
LXX (70) — septuaginta (сзлтуагинта)
LXXX180) — octoginta (октогинта)
КС (90) — nonaginta (нонагинта)
C (100) centum (центум)
CC (200) — ducenti (дуценти)
CCC (300) — trecenti (трэценти)
CD (400) — quadrigenti (квадригэнти)
D (500) — quingenti (квингэнти)
DC (600) — sescenti(сэсценти) или sexonti (сэксцонти)
DCC (700) — septigenti (сэптигэнти)
DCCC (800) — octingenti (октингэнти)
CV (DCCC) (900) — nongenti (нонгэнти)
M (1000) — mille (милле)
ММ (2000) — duo milia (дуо милиа)
V (5000) — quinque milla (квинквэ милиа)
X (10 000) — decem milia (дэцем милиа)
XX (20000) — viginti milia (вигинти милиа)
C (100000) — centum milia (центум милиа)
XI (1000000) — decies centena milia (дэциэс центэна милиа).Если вдруг любознательный человек спросит, почему для обозначения цифр 50, 100, 500 и 1000 были выбраны латинские буквы V, L, С, D, М, то сразу скажем, что это вовсе не латинские буквы, а совсем иные знаки.
Дело в том, что основой для латинского алфавита послужил алфавит западногреческий. Именно к нему восходят три знака L, С и М. Здесь они обозначали придыхательные звуки, которых не было в латинском языке. Когда оформлялся латинский алфавит, именно они оказались лишними. Их и приспособили для обозначения чисел в латинской графике. Позднее они по написанию совпали с латинскими буквами. Так, знак С (100) стал похож на первую букву латинского слова centum (сто), а М (1000) — на первую букву слова mille (тысяча). Что же касается знака D (500), то он представлял собой половину знака Ф (1000), а потом уж стал похож на латинскую букву. Знак V (5) являлся всего навсего верхней половиной знака X (10).
Мы все пользуемся римскими цифрами – отмечаем ими номера веков или месяцев года. Римские цифры находятся на часовых циферблатах, в том числе на курантах Спасской башни. Мы их используем, но знаем про них не так много.
Как устроены римские цифры
Римская система счета в ее современном варианте состоит из следующих базовых знаков:
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000Чтобы запомнить цифры, непривычные для нас, пользующихся арабской системой, существует несколько специальных мнемонических фраз на русском и английском языках:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх
Mы Dаем Cоветы Lишь Xорошо Vоспитанным Iндивидуумам
I Value Xylophones Like Cows Dig MilkСистема расположения этих цифр друг относительно друга такова: числа до трех включительно образуются при помощи сложения единиц (II, III), — четырехкратное повторение любой цифры запрещено. Чтобы образовать числа больше трех, складываются или вычитаются большая и меньшая цифры, для вычета меньшая цифра ставится перед большей, для прибавления — после, (4 = IV), та же логика действует и с другими цифрами (90 = XC). Порядок расположения тысяч, сотен, десятков и единиц тот же, что и привычный нам.
Важно, что любая цифра не должна повторять больше трех раз, таким образом, самое длинное число до тысячи – 888 = DCCCLXXXVIII (500+100+100+100+50+10+10+10+5+1+1+1).
Альтернативные варианты
Запрет на четвертое использование одной и той же цифры подряд стал появляться только в XIX веке. Поэтому в старинных текстах можно увидеть варианты IIII и VIIII вместо IV и IX, и даже IIIII или XXXXXX вместо V и LX. Остатки этого написания можно увидеть на часах, где четыре часто отмечается именно с помощью четырех единиц. В старых книгах также нередки случаи двойных вычитаний – XIIX или IIXX вместо стандартных в наши дни XVIII.
Также в Средневековье появилась новая римская цифра – ноль, который обозначался буквой N (от латинского nulla, ноль). Большие числа отмечались специальными знаками: 1000 — ↀ (или C|Ɔ),5000 – ↁ(или |Ɔ),10000 – ↂ (или CC|ƆƆ). Миллионы получаются при двойном подчеркивании стандартных цифр. Дроби римскими цифрами тоже писали: с помощью значков отмечались унции – 1/12, половина отмечалась символом S, а все, что больше 6/12 – прибавлением: S = 10\12. Еще один вариант – S::.
Происхождение
На данный момент не существует единой теории происхождения римских цифр. Одна из самых популярных гипотез гласит, что этрусско-римские цифры произошли от системы счета, которая использует вместо цифры штрихи-зарубки.
Таким образом, цифра «I» — это не латинская или более древняя буква «и», а насечка, напоминающая форму этой буквы. Каждую пятую насечку обозначали скосом – V, а десятую перечеркивали – Х. Число 10 выглядело в этом счете следующим образом: IIIIΛIIIIX.
Именно благодаря такой записи цифр подряд мы обязаны особой системе сложения римских цифр: со временем запись числа 8 (IIIIΛIII) могла сократиться до ΛIII, что убедительно демонстрирует, каким образом римская система счета получила свою специфику. Постепенно зарубки превратились в графические символы I, V и X, и приобрели самостоятельность. Позже они стали идентифицироваться с римскими буквами – так как были на них внешне похожи.
Альтернативная теория принадлежит Альфреду Куперу, который предположил рассмотреть римскую систему счета с точки зрения физиологии. Купер считает, что I, II, III, IIII – это графическое представление количества пальцев правой руки, выкидываемых торговцем при назывании цены. V – это отставленный большой палец, образующий вместе с ладонью подобную букве V фигуру.
Именно поэтому римские цифры суммируют не только единицы, но и складывают их с пятерками – VI, VII и т.п. – это откинутый большой палец и другие выставленные пальцы руки. Число 10 выражали с помощью перекрещивания рук или пальцев, отсюда пошел символ X. Еще один вариант – цифру V попросту удвоили, получив X. Большие числа передавали с помощью левой ладони, которая считала десятки. Так постепенно знаки древнего пальцевого счета стали пиктограммами, которые затем начали отождествлять с буквами латинского алфавита.
Современное применение
Сегодня в России римские цифры нужны, в первую очередь, для записи номера века или тысячелетия. Римские цифры удобно ставить рядом с арабскими – если написать век римскими цифрами, а затем год – арабскими, то в глазах не будет рябить от обилия одинаковых знаков. Римские цифры имеют некоторый оттенок архаичности. С их помощью также традиционно обозначают порядковый номер монарха (Петр I), номер тома многотомного издания, иногда – главы книги. Также римские цифры используются в циферблатах часов под старину. Важные числа, такие, как год олимпиады или номер научного закона, могут также фиксироваться при помощи римских цифр: II мировая, V постулат Евклида.
В разных странах римские цифры употребляются немножко по-разному: в СССР было принято указывать с помощью них месяц года (1.XI.65). На западе римскими цифрами часто пишут номер года в титрах фильмов или на фасадах зданий.
В части Европы, в особенности в Литве, нередко можно встретить обозначение римскими цифрами дней недели (I – понедельник и так далее). В Голландии римскими цифрами иногда обозначают этажи. А в Италии ими отмечают 100-метровые отрезки пути, отмечая, в то же время, арабскими цифрами каждый километр.
В России при письме рукой принято подчеркивать римские числа снизу и сверху одновременно. Однако часто в других странах подчеркивание сверху значило увеличение регистра числа в 1000 раз (или 10000 раз при двойном подчеркивании).
Существует распространенное заблуждение о том, что современные западные размеры одежды имеют некую связь с римскими цифрами. На самом деле обозначения XXL, S, M, L и т.п. не имеют никакой связи с ними: это аббревиатуры английских слов eXtra (очень), Small (маленький), Large (большой).
Несмотря на тотальное доминирование в наше время арабских цифр и десятичной системы счёта, использование римских цифр также можно встретить довольно часто. Они используются в исторических и военных дисциплинах, музыке, математике и других областях, где сложившиеся традиции и требования к оформлению материалов инспирируют применение римской числовой системы, в основном от 1 до 20. Потому для многих пользователей может возникнуть необходимость набрать какую-либо цифру в римском выражении, что может вызвать у некоторых людей определённые затруднения. В данном материале я постараюсь помочь таким пользователям и расскажу, как набрать римские цифры от 1 до 20, а также опишу особенности набора данных цифр в текстовом редакторе MS Word.
Особенности римских чисел
Как известно, римская числовая система берёт своё начало ещё в древнем Риме, продолжая активно применяться на протяжении Средних Веков. Примерно с 14 столетия римские числа постепенно заменяются более удобными арабскими числами, использование которых стало превалирующим в наши дни. При этом римские цифры до сих пор активно используются в некоторых областях, довольно успешно сопротивляясь их переводу на арабские аналоги.
Числа в римской системе представлены комбинацией 7 заглавных букв латинского алфавита. Это следующие буквы:
- Буква «I» — соотносится с цифрой 1;
- Буква «V» — соотносится с цифрой 5;
- Буква «X» — соотносится с цифрой 10;
- Буква «L» — соотносится с цифрой 50;
- Буква «C» — соотносится с цифрой 100;
- Буква «D» — соотносится с цифрой 500;
- Буква «M» — соотносится с цифрой 1000.
С помощью вышеуказанных семи латинских букв записываются практически все числа в римской числовой системе. Сами символы записываются слева направо, обычно начиная с самой крупной цифры, и до самой мелкой.
При этом также существуют два основных принципа:
Как написать римские цифры на клавиатуре
Соответственно, для написания римских цифр на клавиатуре будет достаточно использовать символы латинского алфавита, расположенные на стандартной компьютерной клавиатуре. Римские цифры от 1 до 20 выглядят следующим образом:
Арабские Римские
Как поставить римские цифры в Ворде
Написать римские цифры в от одного до двадцати и не только можно двумя основными способами:
- Используя стандартную английскую раскладку клавиатуры, где представлены латинские буквы. Переключаемся на данную раскладку, жмём на «Caps Lock» слева для активации режима заглавных букв. Затем буквами набираем нужное нам число;
- Используя формульный набор. Размещаем курсор в месте, где необходимо разметить римскую цифру, и жмём на комбинацию клавиш Ctrl+F9 . Появятся две характерные скобки, выделенные серым цветом.
Между этими скобками вводим сочетание символов:
X\* Roman
Где вместо «X» должна стоять требуемая нами цифра, которую нужно представить в римской форме (пусть будет 55). То есть, сейчас данная комбинация с выбранной нами цифрой 55 должна выглядеть как:
Затем нажимаем на F9, и получаем требуемое число римскими цифрами (в данном случае, это LV).
Заключение
Римские цифры от 1 до 20 можно записать, используя всего семь клавиш английской раскладки клавиатуры вашего ПК. При этом в текстовом редакторе MS Word также имеется возможность использовать формульный набор римских цифр, хотя, как по мне, вполне достаточно традиционного, буквенного способа, который используется повсеместно.
| Планирование уроков и материалы к урокам | 6 классы | Материал для любознательных | Римская система счисления
Римская система счисления
Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.
В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.
Обозначения для последних четырех чисел с течением времени претерпели значительные изменения. Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 — вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:
Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum — сто, Demimille — половина тысячи, Mille — тысяча).
Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило.
Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака.
Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI — число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом:
XXVIII =10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.
Десятичное число 99 имеет такое представление: XCIX = (-10 + 100) (- 1 + 10).
То, что при записи новых чисел ключевые числа могут не только складываться, но и вычитаться, имеет существенный недостаток: запись римскими цифрами лишает число единственности представления. Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать, например, следующими способами:
MCMXCV = 1000 + (1000 — 100) + (100 -10) + 5,
MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5,
MVM = 1000 + (1000 — 5),
MDVD = 1000 + 500 + (500 — 5) и так далее.Единых правил записи римских чисел до сих пор нет, но существуют предложения о принятии для них международного стандарта.
В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе не более трех раз подряд. На основании этого построена таблица, которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:
Эта таблица позволяет записать любое целое число от 1 до 3999. Чтобы это сделать, сначала запишите свое число, как обычно (в десятичной системе). Затем для цифр, стоящих в разрядах тысяч, сотен, десятков и единиц, по таблице подберите соответствующие кодовые группы.
Для того чтобы записать числа, большие 3999, применяют специальные правила, но знакомство с ними выхо¬дит за рамки нашего курса.
Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).
Римская система счисления сегодня используется в основном для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.
Мы все пользуемся римскими цифрами – отмечаем ими номера веков или месяцев года. Римские цифры находятся на часовых циферблатах, в том числе на курантах Спасской башни. Мы их используем, но знаем про них не так много.
Как устроены римские цифры
Римская система счета в ее современном варианте состоит из следующих базовых знаков:
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000Чтобы запомнить цифры, непривычные для нас, пользующихся арабской системой, существует несколько специальных мнемонических фраз на русском и английском языках:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх
Mы Dаем Cоветы Lишь Xорошо Vоспитанным Iндивидуумам
I Value Xylophones Like Cows Dig MilkСистема расположения этих цифр друг относительно друга такова: числа до трех включительно образуются при помощи сложения единиц (II, III), — четырехкратное повторение любой цифры запрещено. Чтобы образовать числа больше трех, складываются или вычитаются большая и меньшая цифры, для вычета меньшая цифра ставится перед большей, для прибавления — после, (4 = IV), та же логика действует и с другими цифрами (90 = XC). Порядок расположения тысяч, сотен, десятков и единиц тот же, что и привычный нам.
Важно, что любая цифра не должна повторять больше трех раз, таким образом, самое длинное число до тысячи – 888 = DCCCLXXXVIII (500+100+100+100+50+10+10+10+5+1+1+1).
Альтернативные варианты
Запрет на четвертое использование одной и той же цифры подряд стал появляться только в XIX веке. Поэтому в старинных текстах можно увидеть варианты IIII и VIIII вместо IV и IX, и даже IIIII или XXXXXX вместо V и LX. Остатки этого написания можно увидеть на часах, где четыре часто отмечается именно с помощью четырех единиц. В старых книгах также нередки случаи двойных вычитаний – XIIX или IIXX вместо стандартных в наши дни XVIII.
Также в Средневековье появилась новая римская цифра – ноль, который обозначался буквой N (от латинского nulla, ноль). Большие числа отмечались специальными знаками: 1000 — ↀ (или C|Ɔ),5000 – ↁ(или |Ɔ),10000 – ↂ (или CC|ƆƆ). Миллионы получаются при двойном подчеркивании стандартных цифр. Дроби римскими цифрами тоже писали: с помощью значков отмечались унции – 1/12, половина отмечалась символом S, а все, что больше 6/12 – прибавлением: S = 10\12. Еще один вариант – S::.
Происхождение
На данный момент не существует единой теории происхождения римских цифр. Одна из самых популярных гипотез гласит, что этрусско-римские цифры произошли от системы счета, которая использует вместо цифры штрихи-зарубки.
Таким образом, цифра «I» — это не латинская или более древняя буква «и», а насечка, напоминающая форму этой буквы. Каждую пятую насечку обозначали скосом – V, а десятую перечеркивали – Х. Число 10 выглядело в этом счете следующим образом: IIIIΛIIIIX.
Именно благодаря такой записи цифр подряд мы обязаны особой системе сложения римских цифр: со временем запись числа 8 (IIIIΛIII) могла сократиться до ΛIII, что убедительно демонстрирует, каким образом римская система счета получила свою специфику. Постепенно зарубки превратились в графические символы I, V и X, и приобрели самостоятельность. Позже они стали идентифицироваться с римскими буквами – так как были на них внешне похожи.
Альтернативная теория принадлежит Альфреду Куперу, который предположил рассмотреть римскую систему счета с точки зрения физиологии. Купер считает, что I, II, III, IIII – это графическое представление количества пальцев правой руки, выкидываемых торговцем при назывании цены. V – это отставленный большой палец, образующий вместе с ладонью подобную букве V фигуру.
Именно поэтому римские цифры суммируют не только единицы, но и складывают их с пятерками – VI, VII и т.п. – это откинутый большой палец и другие выставленные пальцы руки. Число 10 выражали с помощью перекрещивания рук или пальцев, отсюда пошел символ X. Еще один вариант – цифру V попросту удвоили, получив X. Большие числа передавали с помощью левой ладони, которая считала десятки. Так постепенно знаки древнего пальцевого счета стали пиктограммами, которые затем начали отождествлять с буквами латинского алфавита.
Современное применение
Сегодня в России римские цифры нужны, в первую очередь, для записи номера века или тысячелетия. Римские цифры удобно ставить рядом с арабскими – если написать век римскими цифрами, а затем год – арабскими, то в глазах не будет рябить от обилия одинаковых знаков. Римские цифры имеют некоторый оттенок архаичности. С их помощью также традиционно обозначают порядковый номер монарха (Петр I), номер тома многотомного издания, иногда – главы книги. Также римские цифры используются в циферблатах часов под старину. Важные числа, такие, как год олимпиады или номер научного закона, могут также фиксироваться при помощи римских цифр: II мировая, V постулат Евклида.
В разных странах римские цифры употребляются немножко по-разному: в СССР было принято указывать с помощью них месяц года (1.XI.65). На западе римскими цифрами часто пишут номер года в титрах фильмов или на фасадах зданий.
В части Европы, в особенности в Литве, нередко можно встретить обозначение римскими цифрами дней недели (I – понедельник и так далее). В Голландии римскими цифрами иногда обозначают этажи. А в Италии ими отмечают 100-метровые отрезки пути, отмечая, в то же время, арабскими цифрами каждый километр.
В России при письме рукой принято подчеркивать римские числа снизу и сверху одновременно. Однако часто в других странах подчеркивание сверху значило увеличение регистра числа в 1000 раз (или 10000 раз при двойном подчеркивании).
Существует распространенное заблуждение о том, что современные западные размеры одежды имеют некую связь с римскими цифрами. На самом деле обозначения XXL, S, M, L и т.п. не имеют никакой связи с ними: это аббревиатуры английских слов eXtra (очень), Small (маленький), Large (большой).
1995 римскими цифрами — Как написать 1995 римскими цифрами?
1995 римскими цифрами — MCMXCV. Чтобы преобразовать 1995 год в римские цифры, мы запишем 1995 год в развернутой форме, то есть 1995 = 1000 + (1000 — 100) + (100 — 10) + 5, после чего заменив преобразованные числа их соответствующими римскими цифрами, мы получим 1995 = M + (М — С) + (С — Х) + V = MCMXCV. В этой статье мы объясним, как правильно преобразовать 1995 год в римские цифры.
- 1995 = 1000 + 900 + 90 + 5
- Римские цифры = M + CM + XC + V
- 1995 латинскими цифрами = MCMXCV
Как написать 1995 римскими цифрами?
Римские цифры для 1995 года можно получить, используя метод, приведенный ниже:
В этом методе мы разбиваем 1995 год на наименее расширяемую форму, пишем соответствующие латинские буквы и складываем / вычитаем их, т.е.е. 1995 = 1000 + (1000-100) + (100-10) + 5 = M + (M — C) + (C — X) + V = MCMXCV.
Таким образом, значение 1995 года римскими цифрами — MCMXCV.☛ Также проверьте: Калькулятор римских цифр
Основные правила интерпретации римских цифр
- Когда большая буква предшествует меньшей, буквы добавляются. Например: LI, L> I, поэтому LI = L + I = 50 + 1 = 51.
- Когда меньшая буква предшествует большой букве, буквы вычитаются.Например: CD, C
- Когда буква повторяется несколько раз, они добавляются. Например: MMM = M + M + M = 1000 + 1000 + 1000 = 3000
.- Одна и та же буква не может использоваться более трех раз подряд.
Римские цифры в числах, относящихся к 1995 г.
Римские цифры могут показаться отличными от цифр, но они похожи. Например, «1995» римскими цифрами эквивалентно MCMXCV.Римские цифры для чисел, относящихся к 1995 году, приведены ниже:
.- MCMXC = 1000 + 900 + 90 = 1990
- MCMXCI = 1000 + 900 + 90 + 1 = 1991
- MCMXCII = 1000 + 900 + 90 + 2 = 1992
- MCMXCIII = 1000 + 900 + 90 + 3 = 1993
- MCMXCIV = 1000 + 900 + 90 + 4 = 1994
- MCMXCV = 1000 + 900 + 90 + 5 = 1995
- MCMXCVI = 1000 + 900 + 90 + 6 = 1996
- MCMXCVII = 1000 + 900 + 90 + 7 = 1997
- MCMXCVIII = 1000 + 900 + 90 + 8 = 1998
- MCMXCIX = 1000 + 900 + 90 + 9 = 1999
Часто задаваемые вопросы о 1995 году римскими цифрами
Что означает 1995 год римскими цифрами?
Чтобы записать 1995 год римскими цифрами, сначала выразим 1995 год в развернутой форме.1995 = 1000 + (1000-100) + (100-10) + 5 = M + (M — C) + (C — X) + V = MCMXCV. Следовательно, 1995 римскими числами обозначается как MCMXCV.
Каково значение (35-59) + 1995 в римских числах?
Решение (35 — 59) + 1995 = -24 + 1995 = 1971. Чтобы выразить (35 — 59) + 1995 римскими цифрами, запишем ответ, то есть 1971 год в развернутой форме. 1971 = 1000 + (1000-100) + 50 + 10 + 10 + 1 = M + (M — C) + L + X + X + I = MCMLXXI
Что нужно добавить к 784, чтобы получить 1995 год? Напишите ответ римскими цифрами.
1995 римскими цифрами — это MCMXCV, а 784 — это DCCLXXXIV. 1995 — 784 = 1211. Следовательно, 1211 нужно добавить к 784, чтобы получить 1995. Теперь, чтобы преобразовать 1211 в римские числа, мы выразим его в развернутой форме, то есть 1211 = 1000 + 100 + 100 + 10 + 1. = M + C + C + X + I = MCCXI.
Как преобразовать число 1995 в римские цифры?
Чтобы преобразовать 1995 в римские цифры, преобразование включает разбиение чисел на разряды (единицы, десятки, сотни, тысячи).
- Тысяч = 1000 = M
- сот = 900 = СМ
- Десятки = 90 = XC
- Единицы = 5 = V
- Число = 1000 + 900 + 90 + 5 = M + CM + XC + V = MCMXCV
Почему 1995 год римскими цифрами записывается как MCMXCV?
Мы знаем, что римскими цифрами мы пишем 5 как V, 90 как XC, 900 как CM и 1000 как M. Следовательно, 1995 римскими цифрами записывается как 1995 = 1000 + 900 + 90 + 5 = M + CM + XC + V = MCMXCV.
Римские цифры таблица
Список римских цифр / цифр.
Поиск римских цифр
Таблица с римскими цифрами
1 5 10 50 100 500 1000 Я В Х л С D M Номер Римская
ЦифраРасчет 0 не
определено1 я 1 2 II 1 + 1 3 III 1 + 1 + 1 4 IV 5-1 5 В 5 6 VI 5 + 1 7 VII 5 + 1 + 1 8 VIII 5 + 1 + 1 + 1 9 IX 10-1 10 Х 10 11 XI 10 + 1 12 XII 10 + 1 + 1 13 XIII 10 + 1 + 1 + 1 14 XIV 10-1 + 5 15 XV 10 + 5 16 XVI 10 + 5 + 1 17 XVII 10 + 5 + 1 + 1 18 XVIII 10 + 5 + 1 + 1 + 1 19 XIX 10-1 + 10 20 XX 10 + 10 21 XXI 10 + 10 + 1 22 XXII 10 + 10 + 1 + 1 23 XXIII 10 + 10 + 1 + 1 + 1 24 XXIV 10 + 10-1 + 5 25 XXV 10 + 10 + 5 26 XXVI 10 + 10 + 5 + 1 27 XXVII 10 + 10 + 5 + 1 + 1 28 XXVIII 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 29 XXIX 10 + 10-1 + 10 30 ХХХ 10 + 10 + 10 31 XXXI 10 + 10 + 10 + 1 32 XXXII 10 + 10 + 10 + 1 + 1 33 XXXIII 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 34 XXXIV 10 + 10 + 10-1 + 5 35 XXXV 10 + 10 + 10 + 5 36 XXXVI 10 + 10 + 10 + 5 + 1 37 XXXVII 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 38 XXXVIII 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 39 XXXIX 10 + 10 + 10-1 + 10 40 XL 50-10 41 XLI 50-10 + 1 42 XLII 50-10 + 1 + 1 43 XLIII 50-10 + 1 + 1 + 1 44 XLIV 50-10-1 + 5 45 XLV 50-10 + 5 46 XLVI 50-10 + 5 + 1 47 XLVII 50-10 + 5 + 1 + 1 48 XLVIII 50-10 + 5 + 1 + 1 + 1 49 XLIX 50-10-1 + 10 50 л 50 51 LI 50 + 1 52 ЛИИ 50 + 1 + 1 53 LIII 50 + 1 + 1 + 1 54 LIV 50-1 + 5 55 LV 50 + 5 56 LVI 50 + 5 + 1 57 LVII 50 + 5 + 1 + 1 58 LVIII 50 + 5 + 1 + 1 + 1 59 LIX 50-1 + 10 60 LX 50 + 10 61 LXI 50 + 10 + 1 62 LXII 50 + 10 + 1 + 1 63 LXIII 50 + 10 + 1 + 1 + 1 64 LXIV 50 + 10-1 + 5 65 LXV 50 + 10 + 5 66 LXVI 50 + 10 + 5 + 1 67 LXVII 50 + 10 + 5 + 1 + 1 68 LXVIII 50 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 69 LXIX 50 + 10-1 + 10 70 LXX 50 + 10 + 10 71 LXXI 50 + 10 + 10 + 1 72 LXXII 50 + 10 + 10 + 1 + 1 73 LXXIII 50 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 74 LXXIV 50 + 10 + 10-1 + 5 75 LXXV 50 + 10 + 10 + 5 76 LXXVI 50 + 10 + 10 + 5 + 1 77 LXXVII 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 78 LXXVIII 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 79 LXXIX 50 + 10 + 10-1 + 10 80 LXXX 50 + 10 + 10 + 10 81 LXXXI 50 + 10 + 10 + 10 + 1 82 LXXXII 50 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 83 LXXXIII 50 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 84 LXXXIV 50 + 10 + 10 + 10-1 + 5 85 LXXXV 50 + 10 + 10 + 10 + 5 86 LXXXVI 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 87 LXXXVII 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 88 LXXXVIII 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 89 LXXXIX 50 + 10 + 10 + 10-1 + 10 90 XC 100-10 91 XCI 100-10 + 1 92 XCII 100-10 + 1 + 1 93 XCIII 100-10 + 1 + 1 + 1 94 XCIV 100-10-1 + 5 95 XCV 100-10 + 5 96 XCVI 100-10 + 5 + 1 97 XCVII 100-10 + 5 + 1 + 1 98 XCVIII 100-10 + 5 + 1 + 1 + 1 99 XCIX 100-10-1 + 10 100 С 100 200 CC 100 + 100 300 CCC 100 + 100 + 100 400 CD 500-100 500 D 500 600 постоянного тока 500 + 100 700 DCC 500 + 100 + 100 800 DCCC 500 + 100 + 100 + 100 900 CM 1000-100 1000 M 1000 Таблица для печати римскими цифрами ►
Винкулум
Номер Римская
ЦифраРасчет 5000 В 10000 Х 50000 л 100000 С 500000 D 1000000 M Апострофус
Номер Римская
ЦифраРасчет 500 IↃ 1000 CIↃ или
ↀ5000 IↃↃ или
ↁ10000 CCIↃↃ или
ↂ50000 IↃↃↃ или
ↇ100000 CCCIↃↃↃ или
ↈГод римскими цифрами
Год Римская цифра 1000 M 1100 MC 1200 MCC 1300 MCCC 1400 MCD 1500 MD 1600 MDC 1700 MDCC 1800 MDCCC 1900 MCM 1990 MCMXC 1991 MCMXCI 1992 MCMXCII 1993 MCMXCIII 1994 MCMXCIV 1995 MCMXCV 1996 MCMXCVI 1997 MCMXCVII 1998 MCMXCVIII 1999 MCMXCIX 2000 ММ 2001 MMI 2002 MMII 2003 MMIII 2004 MMIV 2005 MMV 2006 MMVI 2007 MMVII 2008 MMVIII 2009 MMIX 2010 MMX 2011 MMXI 2012 MMXII 2013 MMXIII 2014 MMXIV 2015 MMXV 2016 MMXVI 2017 MMXVII 2018 MMXVIII 2019 MMXIX 2020 MMXX 2021 MMXXI 2022 MMXXII 2023 MMXXIII 2024 MMXXIV 2025 MMXXV Конвертер римских цифр ►
См. Также
1995 римскими цифрами
1996 >>Римские цифры: 1995 = MCMXCV
Преобразование римских цифр
Арабские цифры 1 9 9 5 0 1 M С Х я 2 ММ CC XX II 3 МММ CCC ХХХ III 4 CD XL IV 5 D л В 6 постоянного тока LX VI 7 DCC LXX VII 8 DCCC LXXX VIII 9 CM XC IX 1995 римскими цифрами — первое число в римской системе счисления, появившейся в Древнем Риме.Римские цифры — это другой язык, и важно, чтобы вы понимали язык и систему счисления, начиная с 1995 года в римских цифрах. Каждое число в системе римских цифр представляет собой определенную визуальную ценность, которая представлена буквой, начинающейся с 1995 года в римских цифрах. Однако важно понимать значение каждого числа и то, как оно представлено римскими цифрами, например, 1995.
Римские цифры Введение
Чтобы понять, что такое «1995» римскими цифрами, важно, чтобы учащийся выполнил исследование.Подробное понимание и то, что такое 1995 год римскими цифрами, доступно на сайте и может быть просмотрено кем угодно и в любое время. Будь то ученик / родитель / учитель, вам необходимо понимать важность каждого числа и то, как оно представлено римскими цифрами, например, 1995. 1995 год представлен римскими цифрами как MCMXCV, что является основным значением этой системы нумерации. Итак, вы можете увидеть здесь представление 1995 года римскими цифрами и то, как оно написано. Детям необходимо подготовиться к регулярной практике работы с этим рабочим листом и понять, что такое «1995» римскими цифрами.
Короткие или длинные римские цифры?
Римская система счисления была «разработана» для вычислений на счетах.
Число записывалось по значениям каждого канала (мы представляем счеты как деревянную рамку с проволоками, удерживающими столбики бус для счетчиков, но римляне обычно использовали стол, если хотите, поднос для телевизора, покрытый с обильным количеством песка, проведя пальцем вниз по линиям и поместив небольшие камни в каналы для счетчиков).
Использование «пятерок» (то есть: один счетчик на половину значения столбца) сокращает количество движущихся счетчиков. Ничего общего с этрусками, как нам всегда говорят. Каждый символ «пять» (значение половины столбца) был буквально разрезанным пополам символом столбца. «V» = верхняя половина «X» и так далее, хотя задолго до реализации их символы для чисел в основном совпадали с различными буквенными символами (середина 100-х гг. До н.э.).
Один не только записывал результаты столбец за столбцом, один считывал их, чтобы установить первое значение, а затем работать с другими значениями в вычислениях.
Так что по частям, если хотите. «MVM» никогда не было бы сделано, потому что буква «V» буквально не имела ничего общего с столбцами «M» и «C». У одного были отдельные сотни половин столбца (500), которые нужно было вычесть из «M», но столбец «V» (десятки) воздействовал только на «C» (столбец сотен), а не на второй или пятый или какой-либо другой столбец дальше слева.
Следовательно, 1995 перемещает один счетчик «M» («M» из «MCMXCV»), затем половину и 4 счетчика «C» (физически: переместите половинный счетчик, затем все отдельные сто счетчиков («M» в «CM»). «), затем переместите на одну резервную копию вверх (» вычтите «-» C «перед» M «в» CM «), затем тот же процесс с» XC «(столбец десятков), как только что проделанный для канала сотен, и, наконец, переместите половину в столбец единиц.
(Обратите внимание, что это всего лишь условно. Они использовали 4 фишки в нижней части счёта, а не 5, поэтому один притворился, что движется 5 вниз, затем один назад вверх. Вот почему я был немного осторожен, выражая это выше.)
Опять же, буква «V» НИКОГДА не будет стоять перед буквой «M», за исключением тех случаев, когда кто-то хочет быть … менее традиционным … причудливым … в этом роде. Это вызовет раздражение у большинства пользователей. Представьте себе современного японского эксперта по счетам, который бросает вызов западным пользователям калькуляторов, когда его умелые, эффективные, волшебные пальцы зажаты, читая японский эквивалент «MVM» — он довольно быстро заплакал бы.
Хотя … римляне были такими же, как и мы. Они даже превратили числа в слова, чтобы сократить их написание, так же, как 12-летние друзья пишут текстовые сообщения.
Римские числа сохранялись так долго, потому что лежащая в основе технология вычислений должна была иметь альтернативу, а способы их использования должны были сформировать потребность. Неудивительно, что индуистская нумерация не вошла в достаточно интенсивное использование, чтобы заменить использование римских чисел, пока бухгалтерский учет не перешел в фазу бухгалтерской книги, в которой столбчатое представление, которое требовало более простого представления значений, работало хорошо.Представьте, как бы выглядела бухгалтерская книга или электронная таблица, если на то пошло, если бы каждый столбец был разбит на «цифровые» столбцы (те зеленые бухгалтерские книги, которые все видели), в которых запись могла бы читаться как «C» или «DCCC» по сравнению с индусскими однозначная цифра «1» или «8»: намного более компактна и «обычна» и, следовательно, намного легче понять с первого взгляда.
Обращение с индусскими числами было выяснено на 700-1500 лет назад, в зависимости от того, какие «доказательства» принимать. Но для письма требовалась поверхность, подобная слоновьему листу, или бумаге.Оказывается, бумагу можно было масштабировать в промышленных масштабах, поэтому она стала достаточно дешевой, чтобы ее можно было использовать для повседневных вещей.
Последние части по содержанию несколько выходят за рамки вопроса, но я включил их, чтобы подчеркнуть важность полезности в большинстве вещей, которые делает человек. Римские цифры были продуктом единственного хорошего метода расчета, существовавшего очень долгое время. И дешево: просто сняли фишки, разгладили песок, нарисовали столбики, и все было свежо. Дешево, как только человек изучил систему.Попробуйте это с бумагой и даже карандашом!
Конвертер римских цифр— Число / Дата / Год
Поиск инструмента
Преобразование римских цифр
Инструмент для преобразования из / в римские цифры: система счисления с семью буквами (I, V, X, L, C, D и M), позволяющая записывать целые числа и используемая в Античном Риме и выполнять преобразования.
Результаты
Преобразование римских цифр— dCode
Тег (ы): Система счисления, История
Поделиться
dCode и другие
dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !Преобразование из / в римские цифры
Число римским шрифтом (II, IV, XIII ,…) или арабскими цифрами (2,4,13, …)
MCMXCVIII 2021 08 01
ПреобразоватьОтветы на вопросы (FAQ)
Какие буквы нужно писать римскими цифрами?
В римской нумерации 7 букв соответствуют 7 цифрам. Таблица римских цифр от 1 до 1000:
За пределами нескольких тысяч букв для обозначения этих чисел нет.
Однако в некоторых архаичных скриптах (реже) использовалось 4 других символа
Ɔ 500 ↀ 1000 ↁ 5000 Как читать / писать римскими цифрами?
Римская цифра использует два правила:
(1) — Любая буква $ L_2 $, помещенная справа от другой буквы $ L_1 $, добавляется, если $ L_2 \ leq L_1 $
Пример: VI = 5 + 1 = 6
XX = 10 + 10 = 20(2) — Любая буква единицы $ L_1 = \ rm {I} $, помещенная непосредственно слева от другой буквы $ L_2 \ neq \ rm {I} $, вычитается.
Пример: IV = 5 — 1 = 4 IX = 10 — 1 = 9
Правило (2) иногда расширяется до: Любая буква $ L_1 $, помещенная непосредственно слева от другой буквы $ L_2> L_1 $, вычитается.
Пример: XC = 100 — 10 = 90
Пример:
1980, римскими цифрами MCMLXXX 1981, римскими цифрами MCMLXXXI римскими цифрами цифры MCMLXXXIII 1984 римскими цифрами MCMLXXXIV 1985 римскими цифрами MCMLXXXV 9014 9159 9014 MCMLXXXV 90149014 римскими цифрами MCMLXXXVII 1988, римскими цифрами MCMLXXXVIII 1989, римскими цифрами MCMLXXXIX
9015 9015 римскими цифрами 9015 9014 9014 9014 римскими цифрами MCMXCI 9 01111992, римскими цифрами MCMXCII 1993, римскими цифрами MCMXCIII 1994 дюймами римскими цифрами 9011 9011 римскими цифрамиMC1 MC1 9011 MC1 MC1 1996, римскими цифрами MCMXCVI 1997, римскими цифрами MCMXCVII 1998 дюймов римскими цифрами MCMIX1 9011 9011 MCMXCVIII MCMIX1 9011 2000, римскими цифрами MM 2001, римскими цифрами MMI 2002, римскими цифрами MMII 2003 римскими цифрами 2004 9011 99 9011 901 9011 римские цифры MMIV 2005, римскими цифрами MMV 2006, римскими цифрами MMVI 2007, римскими цифрами MMVII 9014 9015 MMVII 90142009, римскими цифрами MMIX 2010, римскими цифрами MMX 2011 римскими цифрами MMXI
8римскими цифрами римскими цифрами MMXIII 2014 римскими цифрами MMXIV 2015 римскими цифрами MMXV римскими цифрами римские цифры MMXVII 2018, римскими цифрами MMXVIII 2019, римскими цифрами MMXIX 2020 римскими цифрами MMXX
MMXX
MMXX 2022, римскими цифрамиMMXXII 2023, римскими цифрами MMXXIII 2024 дюймами римскими цифрами MMXXIV
9014 MMXXIV
9014 MMXXIV9014 MMXXIV
MMXXIVримские цифры MMXXVI 2027 дюймовые римские цифры MMXXVII 2028 дюймовые римские цифры MMXXVIII
9014 MMXXVIIIримские цифры цифры MMXXX 9014 6 2031, римскими цифрамиMMXXXI 2032, римскими цифрами MMXXXII 2033 римскими цифрами MMX14XIII Как работает преобразователь римских цифр в / в?
Программа автоматически определяет, является ли номер арабским или римскими цифрами и выполняет преобразование / перевод.
Римская нумерация не позволяет писать большие числа, после 9999 программа будет отображать тысячи отдельно. Это письмо не стандартизировано, но остается понятным.
Программа очень разрешающая и разрешает плохо сформированные римские числа, не соответствующие правилу (2).
Пример: IVX переводится как 6
Как написать ноль (0) римскими цифрами?
Римляне не использовали ноль, для них это была не цифра, а состояние пустоты, поэтому они не писали его.
dCode записывает либо ??, либо 0.
Как написать четыре (4) римскими цифрами?
Четыре написано как IV, однако это программное обеспечение показало, что IIII = 4, необычно, IIII — это вариант IV, который допустим. Его можно найти сегодня (обычно в часах или часах).
Как написать дату римскими цифрами?
Нет специального способа записать дату (или дату рождения), за исключением записи числа дня, месяца и года отдельно.
Пример: 12.06.2008 = XII / VI / MMVIII
dCode имеет инструмент для записи даты на латыни.
Какое наибольшее число римскими цифрами?
Числа выше 10 000, которые невозможно представить, без каких-либо инструментов расчета, они бесполезны. Если вы хотите записать значение в сотни тысяч, можно представить себе, что в начале числа написаны сотни М.
Пример: 9999 = MMMMMMMMMCMXCIX (немного смешно)
Как записать отрицательное число римскими цифрами?
Негативная запись не распознается, вероятно, ее не было.Понятие положительного или отрицательного числа связано с понятием нуля (которое не было известно римлянам).
Однако сегодня добавление — может помочь понять.
Пример: -XXV = -25
Как записать десятичное число римскими цифрами?
Использование десятичных чисел очень мало задокументировано в учебниках истории, однако вполне вероятно, что они использовали дроби, в том числе двенадцатеричную денежную систему (основание 12), которая позволяла делить числа на 2, 3, 4, 6 и 12 без десятичных разрядов.
Когда были изобретены римские цифры?
Римские цифры родились с Античным Римом, то есть начиная с 7 века до нашей эры. Например, они использовались с латынью.
Как писать римские цифры в Юникоде?
Римские цифры были добавлены к стандарту Unicode, они кодируют одним символом каждое число от 1 до 12 (используется в часах и часах) и 8 других чисел:
Символ Unicode Значение Символ Unicode Значение Символ Юникода Значение Ⅰ 1 Ⅱ 2 Ⅲ 3 14 9011 9011 9011 901 6Ⅶ 7 Ⅷ 8 Ⅸ 9 Ⅹ 10 Ⅺ 11 9011 Ⅽ 100 Ɔ 500 Ⅾ 500 ↀ 1000 Ⅿ 1000 9011 1 ↁ 5000 ↂ 10000 Когда использовать римские цифры?
Римские цифры изучаются в начальной школе, но используются редко, за исключением математики или истории.Сегодняшнее использование ограничено часами, датами, но также и татуировками, многие татуировки используют римские цифры .
Задайте новый вопросИсходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Преобразование римских цифр». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент «преобразования римских цифр» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любые «римские цифры». Функция преобразования чисел (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копирование и доступ к API для «Преобразования римских цифр» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
Нужна помощь?
Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!Вопросы / Комментарии
Сводка
Похожие страницы
Поддержка
Форум / Справка
Ключевые слова
римская цифра, преобразовать, античный, век, арабский, рим, число, год, латынь
Ссылки
Источник: https: // www.dcode.fr/roman-numerals
© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.260+ Лучшие татуировки с римскими цифрами (2021) Стили шрифтов и дизайн цифр
Что касается татуировок с буквами, то среди татуировок с римскими цифрами нет конкурентов. Причудливый дизайн привлекает людей всех возрастов, и именно поэтому татуировки с римскими цифрами так популярны.
Если вы когда-нибудь решите выбрать татуировки с числами, я настоятельно рекомендую вам использовать римские числа.Есть несколько идей, которые вы можете попробовать, но большинство людей выбирают дату рождения, дату свадьбы или счастливые числа для татуировок.
Если ваш номер состоит из пяти или более цифр, вы можете преобразовать его в римские цифры с помощью онлайн-конвертера. Вот более 260 дизайнов татуировок с римскими цифрами для мужчин и женщин —татуировка с римскими цифрами
день рождения римскими цифрами
татуировка римская цифра 3
татуировка римская цифра 13
татуировка римская цифра на ребрах
римская цифра татуировка на пальце
Джастин Бибер татуировка римскими цифрами
шрифт римских цифр для татуировки
дата тату на запястье
рианна татуировка римскими цифрами
1998 татуировка римскими цифрами
римская цифра татуировка ноги
1993 татуировка римскими цифрами
1997 татуировка римскими цифрами
1996 тату римскими цифрами
татуировка римскими цифрами на пальце
раз новая татуировка римские
стили шрифта римскими цифрами
различных шрифтов с римскими цифрами
1999 тату с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами в кольце
дата рождения татуировка на запястье
1995 татуировка римскими цифрами
1995 тату римскими цифрами
татуировка римскими цифрами
23 татуировка римскими цифрами
шрифты римскими цифрами
римская цифра 3 значение татуировки
римские цифры шрифты для тату
рианна татуировка римскими цифрами
разные способы написания цифр для тату
тату с датой свадьбы
римская цифра 12 тату
стили шрифтов с римскими цифрами
римские цифры на плече
шрифты с римскими цифрами
татуировка конвертер римских цифр
римские цифры татуировки шрифты
est 1997 татуировки
курсив римских цифр шрифт
ключица татуировка римскими цифрами
древние римские татуировки эскизы
татуировка шрифта римскими цифрами
лучший шрифт римских цифр
навсегда римскими цифрами
est 1992 татуировка
татуировка римская цифра 23
татуировка римская цифра три
лучший шрифт для татуировок с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами обручальное кольцо
эскизы татуировок мамы и мальчика
татуировка римскими цифрами ключица
татуировка шрифтом римскими цифрами
татуировка бесконечность с римскими цифрами
1986 татуировка римскими цифрами
1996 татуировка римскими цифрами
1990 татуировка римскими цифрами
est 1991 татуировки
1991 татуировка римскими цифрами
классные римские цифры шрифты
est 1990 эскизы татуировок
татуировка на повязке с римскими цифрами
татуировка стрелка с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами и бесконечностью
татуировка с римскими цифрами на боковом запястье
шрифт для тату с римскими цифрами
шрифт в стиле римских цифр
татуировка римская цифра с крыльями ангела
римская цифра 27 тату
est 1988 татуировки
2016 тату римские цифры
татуировки древних римских символов
тату с римскими цифрами на ребрах
тату с римскими цифрами
тату с римскими цифрами на ключице
est 1986 татуировки
тату римские цифры на внутренней стороне руки
римские цифры татуировки шрифты
шрифты для тату с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами на внутренней стороне руки
римские цифры 1996 тату
различных стилей номеров для татуировок
семейство римских цифр
различных шрифтов для римских цифр
римские цифры 1986 тату
римские цифры тату шрифты
римские цифры для татуировки
Татуировка с римскими цифрами
римская цифра 7 тату
тату с цифрами
тату с римскими цифрами
тату с римскими цифрами
крутые татуировки с римскими цифрами
значение тату с римскими цифрами
что означают татуировки с римскими цифрами
тату с римскими цифрами значение
римские цифры идеи и значения татуировок
татуировка с римскими цифрами на спине
татуировка с римскими цифрами на запястье
татуировки с римскими цифрами значение
даты татуировки идеи
татуировка римская цифра 2
дата рождения татуировка римскими цифрами
татуировка римскими цифрами на руке
крутые римские цифры
татуировка римские цифры
стили римских цифр
римская цифра татуировка на предплечье
римская татуировки с цифрами на запястье
рисунки римских цифр
татуировки с римскими цифрами и датой рождения
татуировка с римскими цифрами 5
идеи татуировок с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами на спине
татуировка с римскими цифрами на спине
1998 татуировка с римскими цифрами
1993 татуировка с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами и значения
татуировка с римскими цифрами 9
татуировка с римскими цифрами, значение
идеи тату с римскими цифрами
1996 татуировка с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами на ноге
татуировка с римскими цифрами на руке
1997 татуировка с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами
лучшие татуировки с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами
татуировка с римскими буквами
вертикальные татуировки с римскими цифрами
римская цифра 10 тату
татуировка с римскими цифрами на запястье
татуировки с римскими цифрами на запястье
идеи татуировки римские цифры
дизайн татуировки с римскими цифрами
маленькая татуировка с римскими цифрами
идеи с римскими цифрами
татуировки с римскими цифрами для девочек
татуировки с цифрами
viii iv xii значение татуировки
татуировка с римскими цифрами на руке
татуировка с римскими цифрами на руке
идеи татуировки с римскими цифрами
татуировка римская цифра три
римская цифра 7 значение татуировки
римская цифра татуировка дизайн
римская цифра 2 значение татуировки
римская цифра x тату
римская цифра татуировка на бицепс
татуировка римские цифры идеи
татуировка римская цифра рука
идеи татуировки цифры
римские цифры татуировки даты
римская цифра 1 тату
татуировки римские цифры
Татуировки с римскими цифрами на руке
Где взять татуировку с римскими цифрами
Римские цифры 13 татуировок
Идеи татуировок с римскими цифрами
татуировка с римскими цифрами
тату с римскими цифрами
Вы хотите выучить римские цифры.Вот хороший ресурс для этого.
Established 1995 Мужская футболка с римскими цифрами — Tee.sh
Established 1995 Мужская футболка с римскими цифрами
Стиль одежды: Мужская футболка, женская футболка, унисекс с капюшономФутболка мужская
Наша стандартная мужская футболка была тщательно подобрана, она удобная, мягкая и «европейского» кроя означает, что она не слишком теряется и не слишком плотно.
Материал : 100% получесаный хлопок кольцевого прядения.- Ребристый воротник.
- Горловина с резьбой.
- Трубчатый корпус.
- Сшивание двойной иглой
Эта мужская футболка с римскими цифрами, созданная в 1995 году, представляет собой свободную футболку с круглым вырезом из 100% хлопка кольцевого прядения. Доступный в большом количестве цветов и размеров, он отличается износостойким и высококачественным принтом с нашим оригинальным дизайном «Установленные римские цифры 1995 года».
Другие продукты, которые могут вам понравиться:
{{/Предметы}}Итоговая цена {{{Итоговая цена}}}
.Чему равен логарифм 0: Mathway | Популярные задачи
//2Чему равен натуральный логарифм 0. Что такое логарифм? Решение логарифмов
Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.
Определение в математике
Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b».
Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.Разновидности логарифмов
Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:
- Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
- Десятичный a, где основанием служит число 10.
- Логарифм любого числа b по основанию a>1.
Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.
Правила и некоторые ограничения
В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:
- основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
- если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.
Как решать логарифмы?
К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.
А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического.
Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:
Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!
Уравнения и неравенства
Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм.
Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.
Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции.
Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.Основные теоремы о логарифмах
При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.
- Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
- Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
- Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
- Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.
Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.
Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;
но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.
Примеры задач и неравенств
Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике.
Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.
При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.
Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства.
Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями
Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.
- Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.
Задания из ЕГЭ
Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания).
Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.
Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.- Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
- Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.
Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       
Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен.
Основное логарифмическое тождество Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)
Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.
Два очевидных следствия определения логарифмаlog a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.
Логарифм произведения и логарифм частногоlog a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)
Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств.
При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.
Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).
Степень можно выносить за знак логарифмаlog a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)
И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля.
Формула перехода к новому основанию Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)
Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.
Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Несколько простых примеров с логарифмамиПример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Таблица формул, связанных с логарифмами
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) нередко берут цифру е = 2,718281828 . Логарифмы по данному основанию именуют натуральным . При проведении вычислений с натуральными логарифмами общепринято оперировать знаком l n , а не log ; при этом число 2,718281828 , определяющие основание, не указывают.
Другими словами формулировка будет иметь вид: натуральный логарифм числа х — это показатель степени , в которую нужно возвести число e , чтобы получить x .
Так, ln(7,389…) = 2, так как e 2 =7,389… . Натуральный логарифм самого числа e = 1, потому что e 1 =e , а натуральный логарифм единицы равен нулю, так как e 0 = 1.
Само число е определяет предел монотонной ограниченной последовательности
вычислено, что е = 2,7182818284… .
Весьма часто для фиксации в памяти какого либо числа, цифры необходимого числа ассоциируют с какой-нибудь выдающейся датой. Скорость запоминания первых девяти знаков числа е после запятой возрастет, если заметить, что 1828 — это год рождения Льва Толстого!
На сегодняшний день существуют достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.
График натурального логарифма (функции y = ln x ) является следствием графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой у = х и имеет вид:
Натуральный логарифм может быть найден для каждого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a .
Элементарность этой формулировку, которая состыковывается со многими другими формулами, в которых задействован натуральный логарифм, явилось причиной образования названия «натуральный».
Если анализировать натуральный логарифм , как вещественную функцию действительной переменной, то она выступает обратной функцией к экспоненциальной функции, что сводится к тождествам:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
По аналогии со всеми логарифмами, натуральный логарифм преобразует умножение в сложение, деление в вычитание:
ln (xy ) = ln (x ) + ln (y )
ln (х/у)= lnx — lny
Логарифм может быть найден для каждого положительного основания, которое не равно единице, а не только для e , но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, обычно, определяются в терминах натурального логарифма.
Проанализировав график натурального логарифма, получаем, что он существует при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x → 0 пределом натурального логарифма выступает минус бесконечность ( -∞ ).При x → +∞ пределом натурального логарифма выступает плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a возрастает быстрее логарифма. Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумы у него отсутствуют.
Использование натуральных логарифмов весьма рационально при прохождении высшей математики. Так, использование логарифма удобно для нахождения ответа уравнений, в которых неизвестные фигурируют в качестве показателя степени. Применение в расчетах натуральных логарифмом дает возможность изрядно облегчить большое количество математических формул.
Логарифмы по основанию е присутствуют при решении значительного числа физических задач и естественным образом входят в математическое описание отдельных химических, биологических и прочих процессов. Так, логарифмы употребляются для расчета постоянной распада для известного периода полураспада, или для вычисления времени распада в решении проблем радиоактивности. Они выступают в главной роли во многих разделах математики и практических наук, к ним прибегают в сфере финансов для решения большого числа задач, в том числе и в расчете сложных процентов.Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
А теперь — собственно, определение логарифма:
Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .
Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6 , поскольку 2 6 = 64 .
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 4 8 16 32 64 log 2 2 = 1 log 2 4 = 2 log 2 8 = 3 log 2 16 = 4 log 2 32 = 5 log 2 64 = 6 К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5 . Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются.
Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.
С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
- Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
- Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1 , т.к. 0,5 = 2 −1 .
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов.
Она состоит из трех шагов:- Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
- Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
- Полученное число b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Задача. Вычислите логарифм: log 5 25
- Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Получили ответ: 2.
Составим и решим уравнение:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;Задача.
Вычислите логарифм:Задача. Вычислите логарифм: log 4 64
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Составим и решим уравнение:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Получили ответ: 3.
Задача. Вычислите логарифм: log 16 1
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Составим и решим уравнение:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Получили ответ: 0.
Задача. Вычислите логарифм: log 7 14
- Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1
- Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
- Ответ — без изменений: log 7 14.
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители.
Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.
д.Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log 10 xВсе, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .
Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459…Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e xТаким образом, ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 — и т.
д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.
Натуральный логарифм
График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x ).
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию , где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281 828 . Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x ), log e (x ) или иногда просто log(x ), если основание e подразумевается.
Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x) ) — это показатель степени , в которую нужно возвести число e , чтобы получить x .
Например, ln(7,389…) равен 2, потому что e 2 =7,389… . Натуральный логарифм самого числа e (ln(e) ) равен 1, потому что e 1 = e , а натуральный логарифм 1 (ln(1) ) равен 0, поскольку e 0 = 1.Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a . Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный». Это определение можно расширить на комплексные числа , о чём будет сказано ниже.
Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:
Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:
Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в виде функции :
Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e , но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма.
Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности . Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.История
Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia , опубликованной в 1668 году , хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов. Ранее его называли гиперболическим логарифмом, поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.
Конвенции об обозначениях
Натуральный логарифм принято обозначать через «ln(x )», логарифм по основанию 10 — через «lg(x )», а прочие основания принято указывать явно при символе «log».
Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике авторы используют обозначение «log(x )» для логарифмов по основанию 2, но это соглашение не является общепринятым и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.
Скобки вокруг аргумента логарифмов (если это не приводит к ошибочному чтению формулы) обычно опускают, а при возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма: ln 2 ln 3 4x 5 = [ ln( 3 )] 2 .
Англо-американская система
Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x )», либо «ln(x )» , а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log 10 (x )».
Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x )» (или изредка «log e (x )»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x )» у них означает log 10 (x ).
log e является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:
Если основание b равно e , то производная равна просто 1/x , а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора , чего нельзя сказать о других логарифмах.
Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление.
Определение
Формально ln(a ) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a , т.
е. как интеграл :Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:
Это можно продемонстрировать, допуская следующим образом:
Численное значение
Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:
Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:
при условии, что y = (x −1)/(x +1) и x > 0.
Для ln(x ), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:
Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.
Высокая точность
Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная.
Альтернативой является использование метода Ньютона , чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:
где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и
m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)
Вычислительная сложность
Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M (n ) ln n ). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M (n ) — вычислительная сложность умножения двух n -значных чисел.
Непрерывные дроби
Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби , но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:
Комплексные логарифмы
Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида e x для любого произвольного комплексного числа x , при этом используется бесконечный ряд с комплексным x . Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x , для которого e x = 0, и оказывается, что e 2πi = 1 = e 0 . Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то e z = e z +2nπi для всех комплексных z и целых n .
Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости , и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi .
Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi , и т.д., и хотя i 4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi , или 10πi или −6 πi , и так далее.См. также
- Джон Непер — изобретатель логарифмов
Примечания
- Mathematics for physical chemistry . — 3rd. — Academic Press, 2005. — P. 9. — ISBN 0-125-08347-5 , Extract of page 9
- J J O»Connor and E F Robertson The number e . The MacTutor History of Mathematics archive (сентябрь 2001). Архивировано
- Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed . — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials . Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
Чему равен ln. Разбираемся с натуральным логарифмом
Что такое логарифм?
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно — уравнения с логарифмами.
Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 — 20 минут вы:
1. Поймете, что такое логарифм .
2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.
3. Научитесь вычислять простые логарифмы.
Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень…
Чувствую, сомневаетесь вы… Ну ладно, засекайте время! Поехали!
Для начала решите в уме вот такое уравнение:
Если Вам нравится этот сайт…Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень.
Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)можно познакомиться с функциями и производными.
1.1. Определение степени для целого показателя степени
X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N раз1.2. Нулевая степень.
По определению принято считать, что нулевая степень любого числа равна 1:
1.3. Отрицательная степень.
X -N = 1/X N
1.4. Дробная степень, корень.
X 1/N = корень степени N из Х.
Например: X 1/2 = √X.
1.5. Формула сложения степеней.
X (N+M) = X N *X M
1.6.Формула вычитания степеней.
X (N-M) = X N /X M
1.7. Формула умножения степеней.
X N*M = (X N) M
1.8. Формула возведения дроби в степень.
(X/Y) N = X N /Y N
2. Число e.
Значение числа e равно следующему пределу:
E = lim(1+1/N), при N → ∞.
С точностью 17 знаков число e равно 2.71828182845904512.
3. Равенство Эйлера.
Это равенство связывает пять чисел, играющих особую роль в математике: 0, 1, число e, число пи, мнимую единицу.
E (i*пи) + 1 = 0
4. Экспоненциальная функция exp (x)
exp(x) = e x
5. Производная экспоненциальной функции
Экспоненциальная функция обладает замечательным свойством: производная функции равна самой экспоненциальной функции:
(exp(x))» = exp(x)
6. Логарифм.
6.1. Определение функции логарифм
Если x = b y , то логарифмом называется функция
Y = Log b (x).
Логарифм показывает в какую степень надо возвести число — основание логарифма (b), чтобы получить заданное число (X).
Функция логарифм определена для X больше нуля.Например: Log 10 (100) = 2.
6.2. Десятичный логарифм
Это логарифм по основанию 10:
Y = Log 10 (x) .
Обозначается Log(x): Log(x) = Log 10 (x).
Пример использования десятичного логарифма — децибел .
6.3. Децибел
Пункт выделен в отдельную страницу Децибел
6.4. Двоичный логарифм
Это логарифм по основанию 2:
Y = Log 2 (x).
Обозначается Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Натуральный логарифм
Это логарифм по основанию e:
Y = Log e (x) .
Обозначается Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Натуральный логарифм — обратная функция к экспоненциальной функции exp (X).6.6. Характерные точки
Log a (1) = 0
Log a (a) = 16.7. Формула логарифма произведения
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)
6.
8. Формула логарифма частногоLog a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)
6.9. Формула логарифма степени
Log a (x y) = y*Log a (x)
6.10. Формула преобразования к логарифму с другим основанием
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)
Пример:
Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 37. Формулы полезные в жизни
Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача — пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича .
Разрешается использовать материалы сайта при условии установки активной ссылки на источник.
Итак, перед нами степени двойки.
Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.А теперь — собственно, определение логарифма:
Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .
Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6 , поскольку 2 6 = 64 .
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 4 8 16 32 64 log 2 2 = 1 log 2 4 = 2 log 2 8 = 3 log 2 16 = 4 log 2 32 = 5 log 2 64 = 6 К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко.
Например, попробуйте найти log 2 5 . Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 больше степень двойки, тем больше получится число.Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.
С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
- Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
- Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1 , т.к. 0,5 = 2 −1 .
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется.
Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
- Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
- Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
- Полученное число b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Задача.
Вычислите логарифм: log 5 25- Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Получили ответ: 2.
Составим и решим уравнение:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;Задача. Вычислите логарифм:
Задача. Вычислите логарифм: log 4 64
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Составим и решим уравнение:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Получили ответ: 3.
Задача. Вычислите логарифм: log 16 1
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Составим и решим уравнение:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Получили ответ: 0.
Задача. Вычислите логарифм: log 7 14
- Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1
- Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
- Ответ — без изменений: log 7 14.
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.
Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.
е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x
. Обозначение: lg x
.Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.
Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log 10 xВсе, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .
Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459. ..Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e xТаким образом, ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.
Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать.
Простым и доступным языком.Определение в математике
Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.
Разновидности логарифмов
Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:
- Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
- Десятичный a, где основанием служит число 10.
- Логарифм любого числа b по основанию a>1.
Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.
Правила и некоторые ограничения
В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:
- основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
- если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.
Как решать логарифмы?
К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.
А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.
Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:
Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a.
На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!Уравнения и неравенства
Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.
Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма.
А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.
Основные теоремы о логарифмах
При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.
- Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
- Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
- Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
- Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.
Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах.
Давайте посмотрим на доказательство.Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;
но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.
Примеры задач и неравенств
Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.
К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства.
Давайте скорее с ними познакомимся.При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.
Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.
Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями
Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.
- Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.
Задания из ЕГЭ
Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».
Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.
Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.- Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
- Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.
Если , то .
Логарифм — крайне важная математическая величина , поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.
Вконтакте
Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что означает, что:
Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.
Приведем некоторые тождества:
Приведем основные алгебраические выражения:
;
.
Внимание! может существовать только при x>0, x≠1, y>0.
Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы.
Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.Обозначения:
- lg x — десятичный;
- ln x — натуральный.
Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.
График натурального логарифмаПостроим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.
Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:
Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:
Для удобства мы можем взять пять опорных точек:
;
;
.
;
.
Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.
Построив по точкам график, получаем приблизительный график:
Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.
Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма .
Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале .
Предел натурального logИзучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y
Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х
Предел натурального log можно записать таким образом:
Формула замены основания логарифмаИметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание.
Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.Начнем с логарифмического тождества:
Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:
где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).
Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:
Воспользуемся свойством (только вместо «с» у нас выражение):
Отсюда получаем универсальную формулу:
.
В частности, если z=e, то тогда:
.
Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.
Решаем задачиДля того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.
Задача 1 . Необходимо решить уравнение ln x = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
Задача 2 .
Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
.
Еще раз применим определение логарифма:
.
Таким образом:
.
Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.
Задача 3. Решите уравнение .
Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:
.
Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:
Первый корень уравнения:
.
Второй корень уравнения:
.
Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:
В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.
В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти N понадобится битов.
В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.
В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.
В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.
Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.
Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства
Доказательство основного свойства натурального логарифма
Натуральный логарифм | это… Что такое Натуральный логарифм?
График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x).
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), loge(x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается.[1]
Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x)) — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Например, ln(7,389…) равен 2, потому что e2=7,389…. Натуральный логарифм самого числа e (ln(e)) равен 1, потому что e1 = e, а натуральный логарифм 1 (ln(1)) равен 0, поскольку e0 = 1.
Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный».
Это определение можно расширить на комплексные числа, о чём будет сказано ниже.Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:
Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:
Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в виде функции:
Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени.
Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.Содержание
- 1 История
- 2 Конвенции об обозначениях
- 2.1 Русская (и советская в целом) система
- 2.2 Англо-американская система
- 2.3 Техника
- 3 Происхождение термина натуральный логарифм
- 4 Определение
- 5 Свойства
- 6 Производная, ряд Тейлора
- 7 Натуральный логарифм в интегрировании
- 8 Численное значение
- 8.1 Высокая точность
- 8.2 Вычислительная сложность
- 9 Непрерывные дроби
- 10 Комплексные логарифмы
- 11 См. также
- 12 Примечания
- 13 Ссылки
История
Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia, опубликованной в 1668 году[2], хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.
[3] Ранее его называли гиперболическим логарифмом,[4] поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.Конвенции об обозначениях
Русская (и советская в целом) система
Натуральный логарифм принято обозначать через «ln(x)», логарифм по основанию 10 — через «lg(x)», а прочие основания принято указывать явно при символе «log».
Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике авторы используют обозначение «log(x)» для логарифмов по основанию 2, но это соглашение не является общепринятым и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.
Скобки вокруг аргумента логарифмов (если это не приводит к ошибочному чтению формулы) обычно опускают, а при возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма: ln2 ln3 4x5 = [ln([ln(4x5)]3)]2.
Англо-американская система
Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x)», либо «ln(x)» , а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log10(x)».
Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x)» (или изредка «loge(x)»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x)» у них означает log10(x).
В теоретической информатике, теории информации и криптографии «log(x)» обычно означает логарифм по основанию 2 «log2(x)» (хотя часто вместо этого пишется просто lg(x)).
Техника
В наиболее часто используемых языках программирования и пакетах прикладных программ, включая C, C++, SAS, MATLAB, Фортран и BASIC функция «log» или «LOG» относится к натуральному логарифму.
В ручных калькуляторах натуральный логарифм обозначается ln, тогда как log служит для обозначения логарифма по основанию 10.
Происхождение термина
натуральный логарифмСначала может показаться, что поскольку наша система счисления имеет основание 10, то это основание является более «натуральным», чем основание e. Но математически число 10 не является особо значимым. Его использование скорее связано с культурой, оно является общим для многих систем счисления, и связано это, вероятно, с числом пальцев у людей.[5] Некоторые культуры основывали свои системы счисления на других основаниях: 5, 8, 12, 20 и 60.[6][7][8]
loge является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:[9]
Если основание b равно e, то производная равна просто 1/x, а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора, чего нельзя сказать о других логарифмах.
Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление.[10]
Определение
ln(a) определяется как площадь под кривой f(x) = 1/x от 1 до a.
Формально ln(a) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a, т. е. как интеграл:
Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:
Это можно продемонстрировать, допуская следующим образом:
Число e может быть определено как единственное действительное число a такое, что ln(a) = 1.
Или же, если показательная функция была определена раньше с использованием бесконечных рядов, натуральный логарифм может быть определён как обратная к ней функция, т.
е. ln — это функция, такая что . Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественные числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных x.Свойства
- (комплексный логарифм)
Производная, ряд Тейлора
Полиномы Тейлор дают точную аппроксимацию для только в диапазоне -1 < x ≤ 1. Заметим, что для x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени дают аппроксимацию хуже.
Производная натурального логарифма равна
На основании этого можно выполнить разложение в ряд Тейлора около 0, называемого иногда рядом Меркатора:
Справа дано изображение и некоторых её полиномов Тейлора около 0. Эти аппроксимации сходятся к функции только в области -1 < x ≤ 1, а за её пределами полиномы Тейлора высших степеней дают аппроксимацию менее точную.
Подставляя x-1 для x, получим альтернативную форму для ln(x), а именно:
- [11]
С помощью преобразования Эйлера ряда Меркатор можно получить следующее выражение, которое справедливо для любого х больше 1 по абсолютной величине:
Этот ряд похож на формулу Бэйли—Боруэйна—Плаффа.
Также заметим, что — это её собственная инверная функция, поэтому для получения натурального логарифма определенного числа y нужно просто для x присвоить значение .
Натуральный логарифм в интегрировании
Натуральный логарифм даёт простую интегральную функцию вида g(x) = f ‘(x)/f(x): первообразная функции g(x) имеет вид ln(|f(x)|). Это подтверждается цепным правилом и следующим фактом:
В другом виде:
и
Ниже дан пример для g(x) = tan(x):
Пусть f(x) = cos(x) и f’(x)= — sin(x):
где C — произвольная константа.
Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям:
Численное значение
Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:
Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:
- при условии, что y = (x−1)/(x+1) и x > 0.
Для ln(x), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:
Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.
Высокая точность
Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная.
Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:[12][13]
где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и
m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)
Вычислительная сложность
Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.
Непрерывные дроби
Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби, но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:
Комплексные логарифмы
Основная статья: Комплексный логарифм
Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида ex для любого произвольного комплексного числа x, при этом используется бесконечный ряд с комплексным x. Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x, для которого ex = 0, и оказывается, что e2πi = 1 = e0. Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то ez = ez+2nπi для всех комплексных z и целых n.
Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости, и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi. Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi, и т.д., и хотя i4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi, или 10πi или −6 πi, и так далее.
См. также
- Джон Непер — изобретатель логарифмов
- Интегральный логарифм
- Число e
- Леонард Эйлер
Примечания
- ↑ Mathematics for physical chemistry. — 3rd. — Academic Press, 2005. — P. 9. — ISBN 0-125-08347-5, Extract of page 9
- ↑ J J O’Connor and E F Robertson The number e. The MacTutor History of Mathematics archive (сентябрь 2001). Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
- ↑ Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed. — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024
- ↑ Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials. Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
- ↑ Boyers Carl A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 1968.
- ↑ Harris, John (1987). «Australian Aboriginal and Islander mathematics» (PDF). Australian Aboriginal Studies 2: 29–37.
- ↑ Large, J.J. (1902). «The vigesimal system of enumeration». Journal of the Polynesian Society 11 (4): 260–261.
- ↑ Cajori first=Florian (1922). «Sexagesimal fractions among the Babylonians». American Mathematical Monthly 29 (1): 8–10. DOI:10.2307/2972914.
- ↑ Larson Ron Calculus: An Applied Approach. — 8th. — Cengage Learning, 2007. — P. 331. — ISBN 0-618-95825-8
- ↑ Ballew, Pat Math Words, and Some Other Words, of Interest. Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
- ↑ «Logarithmic Expansions» at Math3.org
- ↑ (1982) «Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)». Journal of Information Processing 5 (4): 247–250. Проверено 30 March 2011.
- ↑ (1999) «Fast computations of the exponential function» 1564: 302–312. DOI:10.1007/3-540-49116-3_28.
Ссылки
- Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained
Логарифмы. Основание логарифма. Натуральный логарифм. Логарифм 10.
- Альфашкола
- Статьи
- Аргумент и основание не могут быть равны нулю и отрицательными числами.
- Основание не может быть равно единице, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.
- Число b может быть любым.
- ОДЗ логарифма \(log_a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1\).
- Свойства равностороннего треугольника
- Параллелограмм
- Площадь сферы
- Площадь прямоугольной пирамиды
- Факультет Психологии МГУ: экзамены, ЕГЭ, проходной балл
- Как определить объем пирамиды
- ЕГЭ по математике, профильный уровень. Неравенства
- ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на исследование функций (вариант 5)
- Основное логарифмическое тождество
- Свойства логарифмов
Логарифм с основанием 10 известен как обычный или бриггсовский логарифм и может быть записан как log n. Они обычно пишутся как без базы.
Понятие логарифма было введено Джоном Нейпиром в 17 веке.
Первым человеком, применившим логарифм в наше время, был немецкий математик Михаэль Штифель (около 1487–1567).
Согласно Нейпиру, логарифмы выражают отношения.
Генри Бриггс предложил использовать 10 в качестве основания для логарифмов.
- Что такое логарифмическая функция?
- Types of Logarithm Function
- Derivation of log 0 value with base 10
- Derivation of log 0 value with base e
- Logarithm Values Table
- Ln Values Table
- Что нужно помнить
- Примеры вопросов
- Функция десятичного логарифма
- Функция натурального логарифма
- Джон Нэпьер ввел понятие логарифма в 17 веке
- Логарифм с основанием 10 известен как обычный или бриггсовский логарифм и может быть записан как log n. Обычно они пишутся без основы.
- Логарифм — это процесс, обратный возведению в степень.
- Значение журнала 0 не определено.
- Логарифмические функции бывают двух типов. Натуральные логарифмические функции и десятичные логарифмические функции.
- Функция десятичного логарифма — это функция логарифма с основанием 0.
- Функция натурального логарифма — это функция с основанием e.
- a и b действительные числа (положительные).
- Основание бревна расположено внизу бревна. Здесь а является базой.
- Журнал содержит аргумент с именем b.
- Чтобы создать диаграмму, выберите диапазон данных и перейдите к Вставка вкладка. Далее выберите Рекомендуемые графики .
- Затем выберите Все диаграммы > Столбец .
- В результате у вас получится следующая диаграмма.
- Чтобы преобразовать диаграмму в логарифмическую, необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши значение оси Y и выбрать Формат оси .
- Когда появится окно Format Axis , проверьте Логарифмическая шкала .
- В результате вы получите следующую логарифмическую диаграмму.
- Чтобы изменить стиль диаграммы, выберите Диаграмма Дизайн , а затем выберите нужный вариант Стиль9 из Стили диаграммы
- Наконец, вы получите следующую логарифмическую диаграмму.
- Мы будем использовать следующую формулу в ячейке C5:
- Затем нажмите Введите .
- Затем перетащите значок ручки заполнения
- В результате вы получите следующее значение функции логарифма.
3.\)Область допустимых значений логарифма
Десятичные логарифмы
Десятичные логарифмы – логарифмы, в основании которых стоит \(10\). Пример \(log_{10}10 =1\),
Log10100 =2. Записывают их в виде \(lg 10 = 1\), \(lg 100 = 2.\)
Натуральный логарифм
Натуральный логарифм – логарифм, в основании которого стоит \(e\). Что означает \(e\)? Это иррациональное число, бесконечное непериодическое десятичное число, математическая константа, которую надо запомнить:
\(e = 2,718281828459…\)
\(ln x = log_e x\)
Краткая история логарифма
Логарифмом имеет много применений в науке и инженерии. Естественный логарифм имеет константу \(e\) в своем основании, его использование широко распространено в дискретной математике, особенно в исчислении.
Двоичный логарифм использует базу \(b = 2\) и занимает видное место в информатике. Логарифмы были введены Джоном Нейпиром в начале \(XVII\) века, как средство упрощения расчетов. Они были легко приняты учеными, инженерами и другими, чтобы облегчать вычисления . Современное понятие логарифмов исходит от Леонарда Эйлера, который связал их с экспоненциальной функцией в \(XVII\) веке.Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Вероника Михайловна Лямина
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Южный федеральный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по химии для 7-11 классов, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ.
Считаю, что к каждому ребенку можно найти индивидуальный подход и добиться больших успехов в освоении любой дисциплины.
Доказываю, что химия — это искусство.
Помогаю заполнить пробелы в знаниях, а также успешно сдать экзамены (ЕГЭ,ОГЭ). Дружелюбная и ответственная.Елена Николаевна Юдова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Калужский государственный педагогический институт им. К.Э. Циолковского
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по русскому языку для 5-11 классов.
ОГЭ, ЕГЭ, ВПР. Подготовка учеников 5-11 классов по русскому языку в рамках школьной программы, к ГИА, к конференциям, творческим и исследовательским конкурсам. Только индивидуальный подход и сотрудничество может дать результат. О себе: высшая квалификационная категория; в 2017 г. стала победителем приоритетного национального проекта «Образование» на получение денежного поощрения лучших педагогических работников общеобразовательных организаций; вырастила за последние 5 лет призёров регионального этапа ВОШ по русскому языку и литературе, победителей и призёров научно-практических конференций, всероссийских конкурсов. Лучший балл ЕГЭ по русскому языку — 98. Постоянно совершенствуюсь, проходя курсовую подготовку не только в предметной области, но и в педагогике и психологии. Являюсь тьютором в региональном педагогическом сообществе.
Александр Федорович Каморников
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Гомельский государственный университет им.
Ф. СкориныПроведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 8-11 классов. Люблю математику за четкость и логичность. Объясняю материал доступно и столько раз, сколько потребуется для его усвоения. Стремлюсь к тому, чтобы ученик почувствовал уверенность в своих знаниях. Учу искать нестандартные решения. Мои ученики успешно учатся в ведущих вузах России, Белоруссии, Чехии и Польши. Многие из них уже получили дипломы и работают в разных странах.
Похожие статьи
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Логарифмы. Свойства логарифмов | Алгебра
Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.
О равенстве ax = N можно сказать, что x — это логарифм числа N по основанию a (где a > 0 и a ≠ 1).
Слово
логарифм
сокращённо обозначается log, основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны log.Если мы знаем, что логарифм числа N при основании a равен числу x, то есть:
logaN = x,
то это равенство можно написать без знака логарифма
ax = N,
где a — основание степени, x — показатель степени, N — степень.
Оба равенства:
logaN = x и ax = N
выражают одну и ту же зависимость между числами a, x и N: если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами a, x и N можно выразить ещё одним равенством:
x√ N = a или a =x√ N .
Отрицательные числа и нуль ни при каком основании a (a > 0 и a ≠ 1) логарифмов не имеют.
Основное логарифмическое тождество
Степень, показателем которой является логарифм числа N при таком же основании, как и основание степени, равна числу N.
alogaN = N.
Возьмём логарифм числа N при основании a равный числу q
logaN = q, значит aq = N.
Подставив в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение logaN, получим
alogaN = N.
Выражение alogaN = N называется основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов
Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:
a > 0 и a ≠ 1.
Логарифм единицы равен нулю.
loga1 = 0,
так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1:
a0 = 1.
Логарифм числа равного основанию равен единице.
logaa = 1,
так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:
a1 = a.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
logaMN = logaM + logaN ,
где M > 0, N > 0.
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).
loga M = logaM — logaN , N где M > 0, N > 0.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.
loga(Nα) = α logaN ,
где N > 0.
Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.
logaxN = logaN = 1 logaN , x x где N > 0, x ≠ 0.
Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.
logax√ N = logaN = 1 logaN . x x Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.
logax√ N = logaxN = 1 logaN . x Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:
logaβNα = α logaN , β где N > 0, β ≠ 0.
Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.
logbN = logaN , logab где N > 0.
Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.
logba · logab = 1.
Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.
Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.
logaN = logaxNx,
где N > 0, x ≠ 0.
Значение логарифма 0 — вычисление логарифмических функций по основанию 10 и e
В математике большинство исследователей использовали логарифмы для преобразования задач умножения и деления в задачи сложения и вычитания до того, как был изучен процесс исчисления. Логарифмы постоянно используются в математике и естественных науках, поскольку оба предмета имеют дело с большими числами.
Здесь мы обсудим значение log 0 (log 0 равно не определено) и метод получения значения log 0 с помощью функций десятичного логарифма и функций натурального логарифма.Функции логарифмирования
Прежде чем получить значение Log 0, давайте обсудим функции логарифмирования и их классификацию. Логарифмическая функция — это функция, обратная экспоненте. Математически функция логарифма определяется как:
Если Logab = x, то ax =b
Где a
Примечание= Переменная «a» всегда должна быть положительным целым числом и не равняться 1.
Классификация логарифмической функции
Функции десятичного логарифма – Функция десятичного логарифма представляет собой логарифмическую функцию с основанием 10 и обозначается как log10 или log.
F(x) = log10 x
Функции натурального логарифма. Функции натурального логарифма представляют собой функции логарифма с основанием e и обозначаются loge
F(x) = loge x
Логарифмические функции используются для нахождения значения переменной и исключить экспоненциальные функции.
Табличные данные будут обновлены в ближайшее время.Каково значение журнала 0? Как это может быть получено?
Здесь мы обсудим процедуру получения значения Log 0.
Логарифм функций от 0 до 10 выражается как Log10 0
На основе логарифмической функции
Основание = 10 и 10x = b
Как известно,
Логарифмическая функция logab может быть определена только при b > 0, и найти значение x, если ax = 0.
Следовательно, log0 10 или log 0 не определено.
Натуральная логарифмическая функция 0 выражается как loge 0. Она также известна как логарифмическая функция 0 по основанию e. Представление натурального логарифма 0 равно Ln
. Если ex = 0
Никакое число не может соответствовать уравнению, если x равно любому значению.
Следовательно, log 0 равен не определено.
Логарифм 0 = In (0) = Не определено
Значение логарифма 0 и его расчет по основанию 10
Функция, обратная возведению в степень, в математике обычно рассматривается как логарифм.
Логарифм показывает, насколько нужно увеличить основание числа b, чтобы оно соответствовало показателю степени числа x. Проще говоря, логарифм подсчитывает, сколько раз один и тот же множитель встречается при повторном умножении.Возьмем в качестве примера число 1000. Его можно получить, умножив число 10 само на себя три раза. 1000 = 10 × 10 × 10 = 1000, то есть 103. Это означает, что для 1000 основание логарифма равно 3. Его можно обозначить как log10(1000) = 3. Здесь 1000 — это основание, а показатель степени 3 — это число журнал.
logb(x) показывает логарифм x по основанию b, его также можно показать без использования скобок или круглых скобок logbx. или иногда даже без базового журнала x. Логарифмы очень полезны в математике, науке и технике, и они используются по разным причинам и для разных целей.
Logarithm Value Table from 1 to 10
Logarithm Values to the Base 10 are:
Log 1
0
Log 2
O.
3010Log 3
0.4771
Log 4
0.6020
Log 5
0.6989
Log 6
0.7781
Log 7
0.8450
Log 8
0.9030
Log 9
0,9542
log 10
1
LN Значения. Из 1 до 100061
значения Logarithm —
LN. Из 1 до 100061
.0005
In (1)
0
In (2)
0.
693147In (3)
1.098612
In (4)
1.386294
In (5)
1.609438
In (6)
1.7
In (7)
1.94591
In (8)
2.079442
In (9)
2.197225
в (10)
2,302585
Решанный пример
1. Решение для y в log₂ y = 6
Решение: Решение Logarithm функции вышеупомянутой функции может быть написана как 26 = 6
Решение: Функция Logarithm Выше -функция.
уСледовательно, 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 или Y = 64. 81=2
На основе определения логарифма
Если logx b=x
ax = b – (1)
a=x, b= 81, x =2
Подставляя значение в уравнение (1) , получаем
x2 =81
Взяв квадратный корень с обеих сторон, получим,
x = 9
Следовательно, значение x = 9
Забавные факты
Время викторины
1. Что из следующего неверно?
а. Log10 = 1
б. Лог( 2+3) = Лог( 2×3)
c. Log10 1 = 0
d. Log ( 1+2+3) = log 1 + log 2+ log 3
2. Если log \[ \frac{a}{b} \] + log \[ \frac{b}{a} \] = log(a+b), затем:
a. а + Ь=1
б. а – б = 1
в. а = б
г. a² — b² = 1
Научитесь получать Natural & Common Log, примеры
Логарифм числа x по основанию b определяется как показатель степени или степень n, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить данное число x. Логарифмическая функция является обратной показательной функции.
Следовательно, он используется для определения степени (n), до которой нужно возвести число (по основанию, b), чтобы получить другое число, x. Таким образом, это можно записать как \(log_{b}x\) = n. Где b — основание логарифмической функции. Это можно прочитать как «Логарифм x по основанию b равен n». Значение Log 0 по основанию 10 не определено. Значение Log 0 по основанию e также не определено.Мы можем найти логарифмы, используя таблицу журналов и калькулятор. В этой статье мы узнаем о значении журнала 0 и получим его из естественного и общего журнала с помощью решенных примеров и часто задаваемых вопросов.
Изучите различные концепции биномиальной теоремы здесь.
Значение журнала 0
Существует два вида логарифмов: десятичные логарифмические функции и натуральные логарифмические функции. Логарифмическая функция — это логарифмическая функция с основанием 10. Натуральная логарифмическая функция — это логарифмическая функция с основанием e. Как правило, log относится к log по основанию 10, тогда как Ln относится к log по основанию e.
n\) ниже. Функция стремится к нулю только асимптотически при n→-∞В результате значение ln0 также неизвестно.
ln (0) = \(log_e0\) не определено.
Читайте также о количественных числах.
Значение логарифма от 1 до 10
Значение логарифма от 1 до 10 может пригодиться для нахождения значений логарифма больших чисел. Значения от log 1 до 10 по основанию 10:
Десятичный логарифм числа (\(log_{10}x\)) Значение журнала Log 1 0 Log 2 0.3010 Log 3 0.4771 Log 4 0.6020 Log 5 0.6989 Log 6 0.7781 Log 7 0.8450 Log 8 0.9030 Log 9 0.9542 Log 10 1 Значение ln от 1 до 10
Значение ln от 1 до 10 может пригодиться для нахождения значений натурального логарифма больших чисел, как и таблица десятичного логарифма.
Значение ln от 1 до 10 в терминах натурального логарифма \(log_ex\) указано здесь.Натуральный логарифм числа \(log_ex\) Ln Value ln (1) 0 ln (2) 0.693147 ln (3) 1.098612 ln (4) 1.386294 ln (5) 1.609438 ln (6) 1.7 ln (7) 1.94591 ln (8) 2.079442 ln (9) 2.197225 ln (10) 2.302585 95]\) 8\(logx = {1\over2}[2log(8432) + log(0,1259) – 5log(27,478)]\)
\(logx = {1\over2}[2log(8432) + log(0,1259) – 5log(27,478)]\)
\(logx = {1\over2}[2(3,9259) + \bar{1}.1000 – 5(1,4391)]\)
\(logx = {1\over2}[(7.8518) + \bar{1}.1000 – 7.
1955]\)\(logx = {1\over2}[\bar{1}.7563]\)
\(logx = {1\over2}[\bar{2} + 1,7563]\)
\(logx = [\bar{1}.8782]\)
antilog(x) = \(antilog(\bar{1}. 8782)\)
х = 0,7554
Надеюсь, что эта статья о значении журнала 0 была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!
Часто задаваемые вопросы о значении журнала 0
В.1 Каково значение ln 0?
Ответ 1 Пер(0) = не определено. Действительная функция натурального логарифма ln(x) определена только для x>0. Таким образом, натуральный логарифм нуля не определен.
Q.2 Каково значение журнала 0 и журнала 1?
Ответ 2 Значение Log 0 по основанию 10 не определено. Значение Log 1 по основанию 10 равно 0.
Q.3 Что такое значение Log2?
Ответ 3 Значение логарифма 2 по основанию 10 равно 0,301.
Q.4 Существует ли журнал 0? Укажите причину
Ответ 4 Значение журнала 0 не существует. Его не существует, потому что 10 можно возвести в степень любого реального нет, чтобы получить ноль. Вы никогда не сможете добраться до 0; вы можете приблизиться к нему, только используя вечно большую и отрицательную экспоненту.
Q.5 Что такое log 0 по основанию e?
Ответ 5 Значение Log 0 по основанию e не существует, поскольку e нельзя возвести ни в какое действительное число, чтобы получить ноль.
Q.6 Является ли 0 действительным числом?
Ответ 6 Да, действительные числа могут быть положительными или отрицательными и включать ноль.
Скачать публикацию в формате PDFЕще на testbook.com
Статическое трение: типы, законы, формулы, примеры из жизни Цепь постоянного тока: анализ, типы, формула, схема и использование Трение: определение, типы, причины, последствия и использование Октагон: изучение различных типов с формулой, свойствами и примерами Карболовая кислота: определение, формула, структура, свойства, получение и применение Mathway | Популярные проблемы
1 Фактор 93-89 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92 Вывод с основанием 10 и основанием e
Значение Log 0 равно undefined .
Логарифмическая функция — это функция, обратная экспоненте. Логарифмическая функция используется для вычисления значения переменной и исключения экспоненциальных функций. Математическое уравнение для функции логарифма может быть выражено как log a b = x, тогда ax = b. Важно отметить, что переменная «а» всегда должна быть целым положительным числом и не должна быть равна 1.Содержание
Что такое логарифмическая функция?
Логарифмическая функция — это функция, обратная экспоненте.
Логарифмическая функция используется для вычисления значения переменной и исключения экспоненциальных функций. Математическое уравнение для логарифмической функции может быть выражено следующим образом:Если ax = b
Тогда
log a b = x 908
368 x → Логарифм числа
a → основание логарифмической функции.
Важно отметить, что переменная «a» всегда должна быть положительным целым числом и не должна быть равна 1.
Читайте также:
Типы логарифмической функции?
Логарифмические функции делятся на два типа.
Функция десятичного логарифма – это0415 по основанию 0 , в то время как функция натурального логарифма — это функция с основанием e.
Вывод значения log 0 с базой 10
Функции log 0 до базы 10 выражены как
log 10 0
на основе.
Основание = 10 и 10x = bКак мы знаем, логарифмическая функция logab может быть определена только в том случае, если b > 0, и невозможно найти значение x, если ax = 0,
Журнал 10 0 = Не определено
Таким образом, log0 10 или log 0 не определено.
Также читайте: Пропутания и комбинации
Вывод значения log 0 с базой E
.
Натуральный логарифм 0 представлен Ln.
ln (0)
Если ex = 0, никакое число не может удовлетворять уравнению, когда x равно любому значению.
Следовательно, журнал 0 не определен.
Логарифм e 0 = In (0) = Не определено
Таблица значений логарифмов
Журнал
Значение
Log 1
0
Log 2
O.
3010Log 3
0.4771
Log 4
0,6020
LOG 5
0,6989
Log 6
0071
0.7781
Log 7
0.8450
Log 8
0.9030
Log 9
0.9542
Log 10
1
Читайте также:
Таблица значений Ln
ln
Values
In (1)
0
In (2)
0.693147
в (3)
1,098612
в (4)
1,386294
718 9. 386294711 11119191718 1,386294.0368 In (5) 1.609438
In (6)
1.7
In (7)
1.94591
In (8)
2,079442
в (9)
2,197225
в (10)
в (10)
в (10)
в (10)
9.0003 Что следует помнить
Примеры вопросов
Вопросы. Найдите такое значение y, что log y 64 = 2.
Ans. Учитывая, что log y 64 = 2
Согласно определению логарифмической функции,
, если log a b = x, то
ax = b ….(1)
a = y, b= 64, x = 2
Подставляем значения в (1), получаем
y 2 = 64
Извлекаем квадратные корни с обеих сторон,
y = √64
83 Следовательно, значение y равно 8.
Вопрос. Найдите y в журнале 2 y = 6.
Ответ.
Логарифм вышеуказанной функции может быть записан как 2 6 = yСледовательно,
2 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
или
Y = 64
Вопрос. Найдите значение x такое, что log x 81 = 2.
Ans. Учитывая, что log x 81 = 2
На основании определения логарифма
Если log x b=x
ax = b – (1)
a=x, b= 81, x = 2
Подставляя значение в уравнение (1), получаем
x 2 =81
Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем,
x = 9
Следовательно, значение x = 9
Вопрос. Лог решения 32 (2 балла)
Ответ. Так как 32 может быть выражено через 2 5 = 2*2*2*2*2
2 5 = 32
Следовательно, 5 является значением степени
Итак, log 32
= 3 8
Вопрос. Решите log 3 (x+1) = 3 (2 балла)Ответ. Мы можем переписать приведенное выше как (x+1) = 3 3
(x+1) = 27
x = 26
Следовательно, решение для log 3 (x+1) = 3 — 26
Также читайте: Типы вероятности
903686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868688
. Вопрос. log(x+3) + log(x-1) = 1 (2 балла)
Ответ. log[(x+3)(x+1)] = 1
log(x 2 +4x+4) = 1
(x 2 +4x+4) = 101
(x 2 +4x+4) = 0
(x+3)(x+1) = 0
Следовательно, x = -3, -1
Вопрос.Решить 6 2x = 4 (2 балла)
Ответ . Его можно записать в виде log 6 2x = log 4
2x log 6 = log 4
X = log 4/2 log 6
= 0,6020/2*0,7781
= 1,030823
8.
решение 1,0823Ques. Докажите, что log 2 (x+2)+ log 2 (4) = log (16) при x =2 (2 балла)
Ответ. Подставим 2 в приведенное выше уравнение, получим
LHS = log 2 (x+2)+ log 2 (4)
= log 2 (2+2)+ log 2 (4)
= log 2 (4)+ log 2 (4)
= log 2 (16)
= RHS
Следовательно, LHS = RHS
HEND PRED
68688
91588
8
8
8
8868
89158
8
868
868
8
8
8. Найдите значение x из данного уравнения log 2 (2x) = log 2 (4x+7) (2 балла)
Ответ. Дан log 2 (6x) = log 2 (4x+2)
6x= 4x+2
2x = 2
X =1
Значение x в уравнении 2x) = log 2 (4x+7) равно 1.
Вопросы. Решить log(4x-3)-log(x-4) = log 5 (2 балла)
Ответ. Приведенное выше уравнение можно записать в виде
log(4x-3/x-4) = log 5
4x-3/x-4 = 5
4x-3 = 5x-20
X = 17
Значение x в приведенном выше уравнении равно 17
Читайте также:
8 Ques. Решите 4 2x+1 = 21 и найдите значение x (2 балла) Ответ. Для приведенного выше уравнения примените log с обеих сторон
Log 4 2x+1 = log 21
(2x+1) log 4 = log 21
2x+1 = (log 21)/(log 4)
= (1,3222)/(0,6020)
2x+1 = 2,19634
2x = 1,1963
X = 0,598
Значение x при решении приведенного выше уравнения равно 0,598
Вопрос. Лог решения 5 (x-10) = 1 (2 балла)
Ответ. Приведенное выше уравнение можно записать в виде 5-1 = x-10
5-1 = x-10
5 = x-10
Значение x при решении приведенного выше уравнения равно 15
Читайте также: Треугольник Паскаля
Вопрос.
Выразите 3logx+8log y = log b в свободной логарифмической форме. (2 балла)Ответ. Given 3logx+8log y = log b
Log x 3 + log y 8 = log b
log(x 3 y 8 ) = log b
x 3 y 8 = b
Приведенное выше уравнение в свободной логарифмической форме имеет вид x 3 y 8 = b
Ques. Экспресс-журнал 10 (3)+1 в форме журнала 10 x (2 балла)
Анс. Приведенное выше выражение записывается в виде
= log 10 (3)+1
= log 10 (3)+ log 10 (10)
= log 503 (9*9*9*9*9). 10)
= log 10 (30)
Приведенное выше выражение в виде log 10 x равно log 10 (30)
Ques.
4 = \frac {1}{81}\) в логарифмической форме. (2 балла)Ответ. Взяв log \(\frac {1}{3}\) основания с обеих сторон, мы получим
Ques. Найдите значение x, удовлетворяющее log 10 (2x + x – 41) = x (1 – log10 5 ). (2 балла)
Ответ. Имеем, log 10 (2x + x – 41) = x (1 – log10 5 )
→ log 10 (2x + x – 41)
→ x log 10 2= log 10 (2x )
→ 2 x + x – 41 = 2x
→ x = 41.
Читайте также: Логарифм
3 Это история интересного… | Крис Смит
Это история об интересном полете фантазии с математикой. Я нашел это интригующим, и надеюсь, что вы тоже.
Вопрос
Вот факт, который всплывает в средней школе по математике: вы можете понизить умножение до сложения, используя логарифмы.
То есть:То есть вы можете вычислить журнал продукта, учитывая только журналы факторов.
Сегодняшним студентам это может показаться просто еще одним алгебраическим тождеством. Но в эпоху, когда еще не было калькуляторов, это была главная причина, по которой типичный старшеклассник вообще интересовался логарифмами! Умножение сложнее, чем сложение, поэтому, если у вас есть способ представления чисел, превращающий умножение в сложение, это поможет. Это весь принцип, лежащий в основе выполнения умножения, например, с помощью логарифмической линейки: нужно просто преобразовать в логарифмы, сложить полученные расстояния, а затем преобразовать обратно.
Точно так же можно использовать логарифмы для преобразования степеней в умножение:
Но если мы представляем себе мир, в котором мы работаем исключительно с логарифмами, не совсем справедливо просто умножать на y , поэтому я собираюсь переписать это (условимся, что все логарифмы натуральные) как:
Там есть дополнительная экспоненциальная функция, но если мы примем ее как данность, мы теперь можем вычислить логарифм степени, используя только умножение, экспоненциальную функцию и логарифмы входы.
Интересный вопрос: как насчет сложения? Следующее работает с , а не с , хотя учителя математики признают это очень распространенной ошибкой!
Итак, мы можем завершить это уравнение?
На первый взгляд, рассматривая логарифм как преобразование операций на один порядок вниз (умножение в сложение и показатели степени в умножение), кажется, что требуется операция на порядок ниже , чем сложение. Что может поместиться в таком месте?
Частичный ответ
Мы можем начать отвечать на этот вопрос, используя простую алгебру и наши существующие тождества. Предположим, что x не равно нулю (так как тогда оно все равно не будет иметь логарифма!), и тогда мы можем разложить:
Таким образом, применяя логарифмическое правило для умножения, мы получаем изящную маленькую формулу:
Обратите внимание, что хотя презентация здесь не выглядит симметричной, это действительно так. Замена значений x и y не меняет результат.
Опять же, если представить, что у нас есть только логарифмы, а не фактические значения, то эта дробь в конце — своего рода мошенничество. Как и в случае с формулой умножения, я введу явную экспоненту, и это здорово упростит.
Для того, чтобы написать это яснее, я назову новую функцию h и определю в терминах этого:
Правда, нам не удалось избавиться от сложения, но это куда-то ведет. интересно. Но что это за загадочная функция ч ?
h: Мягкая выпрямленная линейная функция
Мы можем начать изучение h , взглянув на график.
На первый взгляд кажется, что h ( x ) приблизительно равно нулю для любых входных данных, меньших -2, и приблизительно x для любых входных данных, превышающих 2. Это звучит как так называемая «выпрямленная линейная ” function:
Действительно, мы можем изобразить две функции на одних и тех же осях и увидеть, что они совпадают, кроме нуля. (Вы также можете проверить это, рассуждая о формуле.
Для входных данных, намного меньших нуля, экспоненциальный член становится незначительным, в то время как для входных данных, намного больших нуля, становится незначительным постоянный член. Это основа не слишком сложного доказательство того, что это асимптоты.)Таким образом, мы можем думать о h как о мягкой выпрямленной линейной функции; то, что вы получаете, просто округляя выпрямленную линейную функцию вокруг ее острого угла.
(Эта выпрямленная линейная функция, кстати, была популяризирована в машинном обучении, где по причинам, которые зависят от того, кого вы спросите, она оказалась чрезвычайно успешной в качестве функции активации для искусственных нейронных сетей. Отчасти причина этого Успех заключается в том, что он настолько прост, что его можно быстро вычислить. Но этого недостаточно, чтобы объяснить весь его успех! Я подозреваю, что другая часть причины заключается в том, что он тесно связан с суммами именно в смысле самого исследования, которое мы проводим.
сейчас.)Назад к сумме
Итак, если h так похоже на выпрямленную линейную функцию, что произойдет, если вы (неточно) используете саму выпрямленную линейную функцию в приведенной выше формуле суммы. Примечательно, что вы получаете это:
Другими словами, с точки зрения логарифмов, сложение чисел приблизительно равно , то же самое, что просто взять максимум! По крайней мере, когда разница между числами велика. На самом деле в этом есть смысл. Если вы прибавите очень большое число к очень маленькому числу, результат действительно будет примерно таким же, как и большое число. (Помните, что, поскольку мы думаем только о числах с логарифмами, оба входа должны быть положительными. Нам не нужно беспокоиться о случае, когда оба числа большие, но с противоположными знаками.)
Мы можем извлечь из этого шаблона своего рода «мягкую» максимальную функцию, которая равна почти , как если бы мы просто задали больший из двух аргументов, но если аргументы близки, то кривая округляется.
К сожалению, фраза softmax уже означает что-то другое и несколько более сложное для упомянутого выше сообщества машинного обучения, поэтому, возможно, нам следует вместо этого называть это как-то вроде smoothmax .Тогда у нас есть ответ:
На самом деле это нелегко вычислить, в том смысле, в каком это были произведения и степени, но это все же дает некоторую интуицию для функции, которая выполняет вычисление логарифма суммы, учитывая логарифмы слагаемых. Во всяком случае, я достаточно удовлетворен этим ответом.
А как насчет алгебры?
Это говорит нам о том, что данная функция может играть роль сложения в математических выражениях. Это означает, что все алгебраические свойства сложения должны выполняться для smoothmax , а также. Это интересно!
Например, smoothmax должны быть коммутативными. То есть:
Действительно, это правда. Я сделал это наблюдение выше, когда впервые вводил формулу.
Также можно ожидать, что smoothmax является ассоциативным. То есть:И действительно, хотя алгебра немного сложнее, это тоже оказывается правдой. На самом деле нам не нужно показывать каждое из них с помощью сложной алгебры. Мы уже показали, что smoothmax — это сложение , просто используя логарифмы для представления чисел.
Я думаю, что все становится еще интереснее, если мы рассмотрим свойство дистрибутива . Помните, что когда мы работаем с бревнами, умножение заменяется сложением, поэтому мы имеем следующее: максимум два числа, а затем добавить x , это то же самое, что добавить х каждому и то беру максимум! Это интуитивно проверяется.
Однако есть вещи, которые не работают.
Вы также можете надеяться на что-то вроде свойства идентичности, поскольку для сложения у нас есть x + 0 = x. Это не так хорошо получается, потому что мы не умеем логарифмировать ноль! В конечном итоге мы хотим написать что-то вроде:
Это имело бы смысл, учитывая асимптотическое поведение функции smoothmax , но мы играем быстро и свободно с бесконечностями, поэтому я бы не назвал это истинным тождеством.
. Чтобы правильно сказать, нужны ограничения.Вы также должны быть осторожны, ожидая, что smoothmax будет действовать как максимум! Например:
Это странно… но не в том случае, если вы помните, что smoothmax наименее точен, когда два его входа расположены близко друг к другу, поэтому оба входа одинаковы — это наихудший сценарий. Действительно, именно здесь истинная функция max имеет недифференцируемый острый угол, который необходимо сгладить. И действительно, точное поведение дает сложение , а не максимумы, а сложение равно , а не идемпотент (т. е. добавление числа к самому себе не дает обратно того же числа).
На самом деле, говоря о плавном максимизации числа с самим собой:
, что напоминает своего рода определение сложения логарифмических натуральных чисел как «повторение smoothmax числа с самим собой», во многом в том же смысле, что и умножение на Натуральные числа можно определить как многократное сложение числа с самим собой, укрепляя представление о том, что эта операция как бы на один порядок ниже, чем сложение.
Вот и все. Это насколько далеко простирается мой полет фантазии. Я нашел это достаточно интересным, чтобы поделиться.
Логарифмическая шкала Excel начинается с 0 (подробный анализ)
Причина, по которой «логарифмическая шкала Excel не начинается с 0», заключается в том, что нулевое значение журнала не определено. Такое число не может быть действительным числом, потому что любое возведение в степень другого числа никогда не станет нулем. Нет никакого способа достичь нуля, только приблизиться к нему с бесконечно большой и отрицательной силой. В этой статье мы описываем причину того, что «логарифмическая шкала Excel не начинается с 0». Давайте следовать полному руководству, чтобы узнать все это
Скачать практическую рабочую тетрадь
Что такое логарифм?
Можно ли начать логарифмическую шкалу с 0?
Почему LOG(0) показывает #ЧИСЛО! Ошибка в Экселе?
Минимальное значение для запуска логарифмической шкалы
Значение логарифма 1
Значение логарифма бесконечности
Вывод
Статьи по Теме
Загрузить рабочую тетрадь
Загрузите эту практическую рабочую тетрадь, чтобы тренироваться, пока вы читаете эту статью.
Что такое логарифм?
Логарифм можно определить как число, возведенное в определенную степень, чтобы получить другое число. Большие числа легко выражаются через логарифм. Например, мы можем выразить логарифм следующим образом.
Здесь,
Есть два типа логарифмов. Один — десятичный логарифм, другой — натуральный логарифм.
десятичный логарифм
Десятичные логарифмы — это логарифмы по основанию 10, которые в математике представляются как Log10.
Например, логарифм 10000 выражается как log(10000). Этот десятичный логарифм указывает, сколько раз нам нужно умножить десять, чтобы определить желаемый результат.
Например, log(10000)=4
Это означает, что если мы умножим десять на 4 раза, мы получим значение 10000.
Натуральный логарифм
Натуральные логарифмы, с другой стороны, выражаются в виде логарифмов с основанием e, которые представлены loge. Этот натуральный логарифм указывает, сколько раз нам нужно умножить e, чтобы определить желаемый результат.
Например, ln(2)=0,693
Можно ли начать логарифмическую шкалу с 0?
Логарифмические шкалы позволяют компактно отображать числовые данные в широком диапазоне значений. Мы хотим показать причину, по которой «логарифмическая шкала Excel не начинается с 0». Невозможно начать логарифмическую шкалу с нуля.
Как и на следующем изображении, если мы хотим поместить нулевое значение в функцию LOG , мы получим неопределенное значение. В Excel, что означает ошибку.
Если мы хотим нарисовать диаграмму набора данных в логарифмическом масштабе, мы никогда не получим начало логарифмического масштаба с нуля. В демонстрационных целях мы хотим показать логарифмическую диаграмму в Excel.
Чтобы нарисовать логарифмическую диаграмму, мы должны выполнить следующие шаги.📌 Шаги:
Из приведенной выше диаграммы видно, что логарифмическая шкала начинается с единицы, а не с нуля. Таким образом, мы можем сказать, что невозможно начать логарифмическую шкалу с нуля, потому что log 0 дает нам неопределенное значение. Это является причиной того, что «логарифмическая шкала Excel не начинается с 0».
Подробнее: Как построить шкалу журнала в Excel (2 простых метода)
Почему LOG(0) показывает #NUM! Ошибка в Экселе?
Здесь мы ответим на самый главный вопрос «Каково значение логарифма нуля?»
В Excel, если мы поместим ноль в качестве аргумента в функции LOG , мы получим ошибку, подобную следующей картинке. Потому что значение log0 не определено. Он показывает #ЧИСЛО! Ошибка .
Причина этого факта в том, что мы можем определить функцию логарифмирования только для аргумента, значение которого больше нуля. Например, мы выражаем логарифм, как показано ниже.
Здесь функция логарифма определена для b>0
а б = 0, б не может существовать
Здесь основание логарифма 0 не является неопределенным.
журнал a (0) не определено
Логарифмы нуля по основанию 10 не определены. Например, журнал 10 (0) не определен.
Опять же, в случае приближения к нулю с положительной стороны (0+) предел этой логарифмической функции возвращает минус бесконечность.
Подробнее: Как регистрировать данные преобразования в Excel (4 простых метода)
Минимальное значение для запуска логарифмической шкалы
Чтобы получить значение функции логарифмирования в виде положительного действительного числа, значение аргумента должно быть больше единицы. Если мы поместим нулевое значение аргумента в функцию логарифма, мы получим ноль. С другой стороны, если мы поставим значение аргумента больше единицы, мы получим положительное действительное число.
Например, мы можем выразить логарифм следующим образом.
Чтобы получить значение функции логарифма как положительное действительное число, приращение b должно быть больше единицы.
📌 Шаги:
=LOG(B5)Функция LOG возвращает логарифм числа по указанному основанию.
Из рисунка выше мы получаем, что значение LOG(1) равно нулю. Когда мы помещаем значение аргумента выше, мы получаем действительное число. Например, если мы введем значение аргумента 1,1, мы получим значение LOG(1,1) 0,04139269.
Теперь, если мы введем отрицательное число в качестве аргумента, мы получим undefined с помощью функции логарифмирования.
На следующем рисунке мы видим, что логарифм отрицательного числа показывает ошибку.И последнее, но не менее важное: значение аргумента функции логарифмирования должно быть больше единицы, чтобы получить его значение как положительное действительное число.
Если мы введем число от 0 до 1 в качестве аргумента, получим значение логарифма как отрицательное действительное число. На следующем изображении мы видим, что log(0,5) показывает значение -0,30103. Аналогично, log(0,0001) возвращает -4.
Итак, если мы хотим получить значение отрицательного логарифма, нам нужно указать аргумент от 0 до 1.
Подробнее: Как рассчитать логарифмический рост в Excel (2 простых метода)
Значение логарифма 1
Используя функции LOG и LN , мы можем получить значение логарифма 1. Поскольку значение log 1 равно нулю, логарифм 1 всегда равен нулю, независимо от основания логарифма.
Все числа, возведенные в 0, равны 1 по определению. Таким образом, ln1=0На следующем рисунке видно, что если использовать следующую функцию LOG1 мы получим нулевое значение.
мы будем использовать следующую формулу в ячейке C4:
= ЛОГ(1)Функция LOG возвращает логарифм числа по указанному основанию.
На следующем рисунке, если мы используем следующую функцию LN1 , мы получим нулевое значение.
мы будем использовать следующую формулу в ячейке C5 :
=ЛН(1)Функция LOG возвращает натуральный логарифм числа.
Значение логарифма бесконечности
Что мы получим из бревна(бесконечность)?
логарифм 10 (∞) =?
Чтобы получить значение логарифма бесконечности, нам нужно использовать пределы, поскольку бесконечность не является числом.
- .
— 2015. — №2. — С. 84-86.
Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.
Это называется факторизацией натурального числа.
При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.
Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.
Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.
Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.
Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.
Эти свойства с примерами будут полезны и взрослым, уже подзабывшим курс математики, и школьникам.
Также нельзя получить ответ без остатка с такой суммы, как 398573 по этой же причине.
А вот 2986 не делится на четыре, так как 86 не кратно четырем, и 29087 тоже не может остаться целым, поскольку с 87 нельзя произвести расчета. Еще пример: четырехзначный номер 2648 можно разделить на этот делитель, так как 48:4=12.
Нужно, чтобы число было кратно и двум, и трем сразу.
Подробнее …
Решить уравнение 2x3 — x2 — 8x + 4 = 0.
Получим
Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену
У уравнения (13) других вещественных корней нет.
Опубликованы эти открытия в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.
(2)
Тарталья, сообщая формулу (в стихотворной форме) Кардано, представил только ту часть решения кубического уравнения, в которой корень имеет одно (действительное) значение.
Заменой и = а3, v = b3 эта система приводится к совсем простому виду: и + v = — q, иv = — p 3.
Делается это очень просто. Подставляем в уравнение выражение свободного члена через корень q = — h4 – ph и пользуемся формулой разности кубов:
Значит, найденное число – единственный действительный корень уравнения.
Самый простой набор таких корней – это 0, 1 и – 1.
Основой многих знаний о делении многочлена А(х) на двучлен х – α, является теорема, принадлежащая французскому математику Этьену Безу (1730-1783 гг. ) и носящая его имя.
Получается следующая таблица:
Южи Ивановской области
Значит, ученики должны уметь решать уравнения не только 2 степени, но и выше. А это умеет делать далеко не каждый.
Исторические сведения об уравнениях четвёртой степени
Да и найденные формулы вычисления корней для уравнений третьей и четвёртой степени столь сложны, что ими практически не пользуются. Поэтому в современной математике разработаны методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений. Использование компьютеров значительно облегчают эту работу.
В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену
Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:
Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.
{2}-4ac}}}{2a}}}.}
Весь этот процесс удобно проводить по схеме Горнера.
А.Еремин «Уравнения высших степеней» — Арзамас, 2003.
3
2 — 8*x + 5 = 0
3 = 0:
· Fn (x) = 0,
1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен Pn (x) представим в виде Pn (x) = (x – α) · Pn – 1 (x), где Pn – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем Pn (x).
Решая кубический многочлен, мы всегда должны преобразовать уравнение в кубическое уравнение, разбив его на квадратное уравнение, а затем решить его двумя различными способами — факторная теорема и метод синтетического деления. Давайте посмотрим, как решать уравнения в обоих методах.
Многочлен степени n будет иметь n нулей или корней. Кубическое уравнение имеет следующий вид:
Многочлен степени n будет иметь n нулей или корней. Кубическое уравнение имеет следующий вид: ax 3 +bx 2 +cx+d=0
Кубическая функция — один из самых сложных типов полиномиальных уравнений, которые вам, возможно, придется решать вручную. Хотя это может быть не так просто, как решение квадратного уравнения, есть несколько методов, которые вы можете использовать, чтобы найти решение кубического уравнения, не прибегая к страницам и страницам подробной алгебры. 91+d = 0
Начало, тем не менее, в основном такое же, как метод проб и ошибок для решения кубического уравнения. Попробуйте угадать, какой из корней. Если у вас есть уравнение, в котором первый коэффициент a равен 1, то немного легче угадать один из корней, потому что они всегда являются множителями постоянного члена, который представлен выше как 92 − 2x + 24 = 0
К счастью, когда вы нашли один корень, вы можете легко решить остальную часть уравнения.
В этом случае 1 × −2 = −2, и это записывается под следующим числом в списке следующим образом:
92 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)
является единственным значением для того, чтобы уравнение было верным, .
е.
Возможны три случая: одно, два или три решения.
е.
Возможны три случая:
Методы и примеры
Д.
, следовательно, существует 3 действительных решения.
Решение: 
Ваши шансы на успех за несколько часов
вероятно, выше, чем вы думаете.
Итак, давайте представим, что мы даже не знаем, как решать квадратные уравнения.
Одно из направлений мысли, которое может привести нас к решению, заключается в следующем.
После изучения общего уравнения x 2 + 2ax +b = 0
и, не имея никаких идей, мы возвращаемся к следующему вопросу.
Второй
очевиднее — проще потому, что позволив себе
извлечения квадратных корней, мы заявили, что уравнения
форма y 2 +C=0 решается одним махом.
Очевидно, как ответить на вопрос, поэтому пусть
нам идти вперед и сделать это. Записав x=y-t и подставив, получим
уравнение
Вы, наверное, уже заметили, что 2 -3b=-3p, где p было
коэффициент линейного члена, который мы получили, когда мы преобразовали
кубический x 3 + ax 2 + bx +c в более простой кубический
у 3 + ру + кв. Мы выбрали y равным x+a/3, и это легко увидеть.
что никакой другой выбор не привел бы к коэффициенту у 2 быть нулем. Следовательно, обнаруженный нами инвариант имеет интерпретацию
(как всегда следует ожидать): это коэффициент линейного
член, когда квадратичный член был удален заменой
форма y=x+t.
Но если бы это было правдой, то почему бы нам
удосужились преобразовать куб в такую форму?
Итак, собрать куб не только невозможно, это невозможно
по простым и веским причинам. С другой стороны, не
завершение куба естественное обобщение завершения
квадрат? Теперь, когда мы попытались и потерпели неудачу,
хотя мы упустили наш главный шанс решить кубик (который был
чтобы увидеть, как мы решили квадратное и адаптировать наш метод).
Что касается второго, то до сих пор мы рассматривали
замены вида y=x+t. Какие еще замены
может быть есть?
Итак, давайте посмотрим, что мы можем получить с заменой
у=х 2 +ux+v.
Это тривиально верно и для 1, и для y. Следовательно
числа 1, у, у 2 и у 3 все
форма rx 2 +sx+t. Чтобы y удовлетворяло кубике, мы
нужна нетривиальная линейная комбинация 1, y, y 2 и y 3 равно нулю. Для его получения нужно решить
три однородных линейных уравнения с четырьмя неизвестными, которые мы
всегда можно сделать.
Разумно не
слишком сильно беспокоиться о первой потенциальной трудности,
потому что теперь у нас есть дополнительная степень свободы, и
кажется, нет аргумента, говорящего нам, что
это никак не может помочь. Однако, если ты сейчас уйдешь
и попытаться проработать детали изложенного аргумента
выше вы увидите, что усложнение есть что-то одно
точно стоит побеспокоиться. Действительно, может показаться, что после
какое-то время, что для того, чтобы вычислить u и v, у вас будет
решить квинтикс .
А как насчет замены y=x 2 +ux+v? Что ж,
вспоминая инвариант, который мы открыли ранее, мы должны реализовать
что y удовлетворяет кубике, которую мы можем легко решить тогда и только тогда, когда y-v
делает. Так что мы могли бы также сэкономить на алгебре, установив v=0. В других
словами, мы не только упростим расчеты, установив
y=x 2 +ux, мы даже не будем терять общности.
Используя это
значения u получается кубика по y, которая может быть «завершена».
Это дает решение y. Тогда х можно вычислить из
y путем решения еще одного квадратного уравнения.
Картинка: 
Умножение дроби на число. Умножение дробей на целое число.
Умножьте \(30\) на \(0,5\).
педагогический институт
Создаю ситуацию успеха с учеником.
Также есть опыт работы с детьми с особенностями развития.
Мои достижения в преподавательской деятельности — это успехи моих учеников. Это и высокие баллы на экзаменах (от 60 и выше), экзамены пишем без двоек.
Тем самым мы проявляем уважение к языку и сохраняем его для будущих поколений.
Беру в работу как начальные, так и средние классы; осуществляю подготовку детей в ВПР, ОГЭ, олимпиадам, проектам; даю консультации.
Методы преподавания, которые используются в работе с учеником, направлены на определение целей и задач обучения русскому языку как родному и их результативность.
Буду рад помочь разобраться с предметом, успешно усвоить материал школьной программы по математике. Устраню пробелы в пройденном материале, подниму текущий уровень знаний по математике. Доношу материал понятно и грамотно, акцентирую внимание на важных и значимых вещах. Не оставляю материал непонятым.
В отличии от школы мы никуда не торопимся — будем разбирать тему до тех пор, пока не сформируем компетенцию. Нет ничего сложного ни в каком предмете, если его преподают с любовью.
Мы разберем правила, по которым производится умножение натуральных чисел. Весь материал имеет конкретные примеры и подробные объяснения. Совершим проверки результатов для того, чтобы сверить полученные на выходе числа.
Все результаты сгруппированы для удобного дальнейшего применения. Таблица сложения натуральных чисел выглядит подобным образом. Она предоставлена ниже.
Поэтому чаще всего при произведении скобки отсутствуют, а запись имеет вид a·b·c. Данное выражение называют произведением трех чисел, причем все входящие в него числа – множители.
Тогда получим, что 2·1·3·1·8=2·3·1·8. Так как 2·3=6, то 2·3·1·8=6·1·8. Далее имеем, что 6·1=6, тогда в итоге получим результат 6·8=48. Умножение пяти заданных чисел будет равняться 48. Этот способ записывается, как (((2·1)·3)·1)·8.
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, разрешается менять местами множителями и заменять их двумя другими умножаемыми числами.
.., 9·100=900; 2·1 000=2 000, 3·1 000=3 000, …, 9·1 000=9 000; 2·10 000=20 000, 3·10 000=30 000, …, 9·10 000=90 000; …
Тогда сочетательное свойство умножения можно зафиксировать, как (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10=7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10.
Отсюда следует, что умножение 37 на 14 было выполнено неверно.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
к. на 10, 100, 1000 и др. круглые числа умножать быстрее, в уме нужно сводить всё к таким простым операциям, как 18 x 100 или 36 x 10. Соответственно, и складывать легче, «отщепляя» круглое число, а затем добавляя «хвостик»: 1800 + 200 + 190. 
2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Теперь перемножим новые числа 80 x 10, а к полученному результату прибавим произведение отобранных 3 единиц на разность старого числа 77 и нового числа 10:
2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 25 =
= 10000 + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025. 
В магазине, дома, а в будущем — и на работе… Так что же, каждый раз строить длинные цепочки вычислений или доставать калькулятор? Нет, выучить таблицу все же придется — зато раз и навсегда.
А вот он на работе не может умножить две цифры и достает калькулятор, а коллеги поднимают его на смех. Вот, в конце концов, он спустя годы решает в классе куда более длинные и сложные примеры, чем предлагают ему пока, и «плавает», потому что не знает основ. Без таблицы умножения в математике дальше не продвинуться! А без математики — не окончить школу и не пойти учиться на того, кем ребенок сейчас мечтает быть…
_2-500x500.jpg)
Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.
Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.
Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.
Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.
Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.
Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».
Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.
При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.
Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.
Логарифмы по основанию е присутствуют при решении значительного числа физических задач и естественным образом входят в математическое описание отдельных химических, биологических и прочих процессов. Так, логарифмы употребляются для расчета постоянной распада для известного периода полураспада, или для вычисления времени распада в решении проблем радиоактивности. Они выступают в главной роли во многих разделах математики и практических наук, к ним прибегают в сфере финансов для решения большого числа задач, в том числе и в расчете сложных процентов.
Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
Она состоит из трех шагов:
Вычислите логарифм:
Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.
д.
д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Например, ln(7,389…) равен 2, потому что e 2 =7,389… . Натуральный логарифм самого числа e (ln(e) ) равен 1, потому что e 1 = e , а натуральный логарифм 1 (ln(1) ) равен 0, поскольку e 0 = 1.
Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности . Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.
е. как интеграл :
Альтернативой является использование метода Ньютона , чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.
Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi , и т.д., и хотя i 4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi , или 10πi или −6 πi , и так далее.
Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
Функция логарифм определена для X больше нуля.
8. Формула логарифма частного
Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
Например, попробуйте найти log 2 5 . Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 больше степень двойки, тем больше получится число.
Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Вычислите логарифм: log 5 25
е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x
. Обозначение: lg x
..jpg)
..
Простым и доступным языком.
На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!
А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.
Давайте посмотрим на доказательство.
Давайте скорее с ними познакомимся.
Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.
Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.
Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.
Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.
Это определение можно расширить на комплексные числа, о чём будет сказано ниже.
Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.
[3] Ранее его называли гиперболическим логарифмом,[4] поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.
е. ln — это функция, такая что . Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественные числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных x.
Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.
— P. 331. — ISBN 0-618-95825-8
Двоичный логарифм использует базу \(b = 2\) и занимает видное место в информатике. Логарифмы были введены Джоном Нейпиром в начале \(XVII\) века, как средство упрощения расчетов. Они были легко приняты учеными, инженерами и другими, чтобы облегчать вычисления . Современное понятие логарифмов исходит от Леонарда Эйлера, который связал их с экспоненциальной функцией в \(XVII\) веке.
Считаю, что к каждому ребенку можно найти индивидуальный подход и добиться больших успехов в освоении любой дисциплины.
Доказываю, что химия — это искусство.
Помогаю заполнить пробелы в знаниях, а также успешно сдать экзамены (ЕГЭ,ОГЭ). Дружелюбная и ответственная.
ОГЭ, ЕГЭ, ВПР. Подготовка учеников 5-11 классов по русскому языку в рамках школьной программы, к ГИА, к конференциям, творческим и исследовательским конкурсам. Только индивидуальный подход и сотрудничество может дать результат. О себе: высшая квалификационная категория; в 2017 г. стала победителем приоритетного национального проекта «Образование» на получение денежного поощрения лучших педагогических работников общеобразовательных организаций; вырастила за последние 5 лет призёров регионального этапа ВОШ по русскому языку и литературе, победителей и призёров научно-практических конференций, всероссийских конкурсов. Лучший балл ЕГЭ по русскому языку — 98. Постоянно совершенствуюсь, проходя курсовую подготовку не только в предметной области, но и в педагогике и психологии. Являюсь тьютором в региональном педагогическом сообществе.
Ф. Скорины
Неравенства
Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.
Здесь мы обсудим значение log 0 (log 0 равно не определено) и метод получения значения log 0 с помощью функций десятичного логарифма и функций натурального логарифма.
Табличные данные будут обновлены в ближайшее время.
Логарифм показывает, насколько нужно увеличить основание числа b, чтобы оно соответствовало показателю степени числа x. Проще говоря, логарифм подсчитывает, сколько раз один и тот же множитель встречается при повторном умножении.
3010
693147
у
Следовательно, он используется для определения степени (n), до которой нужно возвести число (по основанию, b), чтобы получить другое число, x. Таким образом, это можно записать как \(log_{b}x\) = n. Где b — основание логарифмической функции. Это можно прочитать как «Логарифм x по основанию b равен n». Значение Log 0 по основанию 10 не определено. Значение Log 0 по основанию e также не определено.
n\) ниже. Функция стремится к нулю только асимптотически при n→-∞
Значение ln от 1 до 10 в терминах натурального логарифма \(log_ex\) указано здесь.
1955]\)
Логарифмическая функция — это функция, обратная экспоненте. Логарифмическая функция используется для вычисления значения переменной и исключения экспоненциальных функций. Математическое уравнение для функции логарифма может быть выражено как log a b = x, тогда ax = b. Важно отметить, что переменная «а» всегда должна быть целым положительным числом и не должна быть равна 1.