Рубрика: Разное

Метод Крамера в Scilab | Презентация к уроку по информатике и икт на тему:

Слайд 1

Слайд 2

Основные понятия Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: где — неизвестные, — коэффициенты ( ), — свободные члены. Тройка чисел называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными , если при подстановке их в уравнения системы вместо получают верные числовые равенства. Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной . Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной . Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют определенной ; если решений больше одного, то – неопределенной . Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной , в противном случае – неоднородной .

Слайд 3

Метод Крамера Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: (1) в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а определители получаются из определителя системы ∆ посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов. Теорема (правило Крамера ). Если определитель системы ∆≠0 , то рассматриваемая система (1) имеет одно и только одно решение, причём

Слайд 4

Решите систему методом Крамера : Решение: Вычислим определитель системы: Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера . Составим и вычислим необходимые определители :

Слайд 5

Решим систему методом Крамера : Находим неизвестные по формулам Крамера : Ответ:

Слайд 6

Решение систем линейных уравнений в программе SCILAB Для решения подобных систем уравнений в Scilab существует функция linsolve . Обращение к ней выглядит следующим образом: linesolve ( K,k ) . K — таблица, составленная из коэффициентов уравнений системы, причем она сформирована таким образом, что каждая строка представляет собой список коэффициентов одного из уравнений системы, а каждый столбец — список коэффициентов при одноименных переменных, то есть если первым элементом в первой строке является коэффициент при y , то первыми элементами других строк также должны быть коэффициенты при y в соответствующих уравнениях. Общий вид K : K =

Слайд 7

Для решаемой системы: К= k — столбец, содержащий свободные (стоящие после знака «=») коэффициенты. Примечание: при задании в Scilab k должен быть именно столбцом , поэтому перечисление переменных нужно делать через «;» Общий вид: Для решаемой системы k = к = :

Слайд 8

После того как элементы списков K и k определены, приступим к решению системы в Scilab

Слайд 10

Второй корень ( 5.888D-16 ) нужно округлить. Получится 0. Таким образом, решение системы принимает вид: (4; 0; -1). Для проверки можно посчитать детерминанты (определители) матриц отдельно. Процесс будет более длительным. Рассмотрим такой способ решения.

Слайд 12

Задание для самостоятельной работы : решить систему уравнений с помощью системы Scilab и проверить полученное решение вручную.

Название проекта

Содержание

• Название проекта

• Предмет.Класс и курсы

• цель проекта

======Решаем системы уравнений методом Крамера====== Магмедханов.М.П

Название проекта

Решаем системы уравнений методом Крамера.

Предмет.Класс и курсы

Математика,алгебра.9-11 класс и первые крсы в вузах и в колледжах.

цель проекта

Проект «Решаем системы уравнения методом Крамера» ориентирован на школьников — учеников 9-11 класса,также он может быть полезен для студентов первых курсов в вузах и в колледжах.Данный проект направлен на достижение следующих целей:решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений,формирование представлений об идеях и методах решения уравнений в математике;развитие логического мышления,математического(алгебраического) мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области алгебры и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;понимания что уравнения можно решить разными методами(что метод крамера всего лишь один из этих методов),значимость знания этого метода для решения систем алгебраических уравнений. Научиться применять этот метод для решения различного рода систем линейных алгебраических уравнений.

Необходимые начальные знания, умения, навыки:

— Знание основных математических понятий — Знание основных алгебраических понятий — Знания, о том какое место в математике занимает алгебра — Умения решать элементарные алгебраические уравнения — Знать хотя бы один другой метод решения систем уравнений для сравнения с методом крамера — Необходимо уметь находить определитель матрицы — Вычислительные навыки

Вопросы направляющие проект

Основополагающий вопрос Легко ли решать системы уравнений?

Проблемные вопросы :

1. Пригодиться ли нам в повседневной жизни знание решений систем уравнений?

2. Стоит ли вообще изучать этот метод решения систем уравнений?

3. Какое место этот метод решения систем уравнений занимает в алгебре?

Учебные вопросы

• Из скольких уравнений может состоять система уравнений?

• Каким образом помогает матрица для решения систем методом крамера?

• Что такое определитель матрицы?

• Как находить определитель матрицы?

• Как обычно обозначаются неизвестные уравнений?

• Почему определитель не должен равняться нулю?

• Возможно ли решение больших систем уравнений методом крамера??

Формы представления

Данный проект может быть представлен в виде презентации или статьи.

Результат

Знания по решению систем линейных уравнений методом крамера.На мой взгляд это самый простой способ решения квадратных линейных уравнений.  

Назад: Название проекта

Правило Крамера | математика | Британика

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Популярные вопросы
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Britannica объясняет
  В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.

• Студенческий портал
  Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 женщин
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
• Спасение Земли
  Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать!
• SpaceNext50
  Britannica представляет SpaceNext50. От полета на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые питают наше любопытство к космосу!

Содержание

• Введение

Краткие факты

• Связанный контент

Правило Крамера — Концепция — Предварительное исчисление Видео от Brightstorm

Иногда использование матричной алгебры или обратных матриц для поиска решения системы линейных уравнений может быть утомительным. Иногда удобнее использовать Правило Крамера и определители для решения системы уравнений. Нахождение определителей становится намного сложнее с более высокими измерениями, поэтому правило Крамера лучше подходит для небольших систем линейных уравнений.

системы линейных уравнений Правило Крамера определитель коэффициент матрица

Одна вещь, которую вы можете делать с определителями, это решать с ними системы линейных уравнений, и этот метод называется правилом Крамера, поэтому давайте начнем с системы 9x+3y=12, 10x-4y=50 два уравнения, два неизвестных. Правило Крамера гласит, что решение будет таким: x равно этому определителю 12,3 50,-4 над определителем 9.,3 10,-4 Теперь позвольте мне объяснить, откуда берутся эти определители. Этот определитель в знаменателе является определителем матрицы коэффициентов, верно? 9, 3, 10, -4 это из коэффициентов слева. В числителе у вас в основном тот же определитель, только вы заменили коэффициенты x этими числами константами, так что вот как вы получаете x. Вы снова получаете y очень похоже: в знаменателе у вас есть определитель матрицы коэффициентов, а в числителе вы взяли матрицу коэффициентов, вы заменили члены y на 12 и 50, и поэтому очень похоже, как вы вычисляете это только не забудьте заменить соответствующий столбец константами в данном случае 12 и 50.
Давайте посчитаем их и посмотрим, каково решение, так что сначала мы выполним x. Давайте заметим, что вы все еще можете использовать правила упрощения для определителей всякий раз, когда это возможно, например, в знаменателе: я могу вытащить 3 из этой верхней строки и я могу вытащить 2 из нижней строки, и это дает мне 3 раза 2 раза больше определитель 3,1 верно? Я вытягиваю 3 из верхнего ряда Я вытягиваю 2 из нижнего, так что у меня есть 5 -2, а затем вверху я также могу вытащить 3 из верхнего ряда и 2 из нижнего ряда, видите, это хорошо потому что я на самом деле могу отменить эти множители 3 и 2, и останется 4 1 и 25 -2, так что, как я сказал, вы можете просто отменить 3 и 2, а затем давайте сначала посмотрим на дно, на самом деле мы получаем — 6-5, это -11 внизу и вверху, мы получаем -8-25, это -33, это 3, поэтому давайте снова посмотрим то же самое для y, всегда немного проще, если вы можете сначала разложить вещи, потому что они факторизованы out иногда отменяется, поэтому я вытаскиваю 3 и 2 снова, и я получаю 3,1 сверху 5,-2 внизу, и я могу вытащить 3 и 2 вверху, а также мог бы просто вытащить эти потому что я имею в виду, что я могу вытащить больше со дна, очевидно, но нет никакого смысла в том, что они собираются отменить, и ничего больше не будет, поэтому позвольте мне просто оставить это как 3,4, а затем у меня есть 5,25, а затем снова 6 отменяется в внизу у меня по-прежнему будет -6-5-11, но вверху у меня будет 75-20 55, так что 55 больше -11 -5, поэтому x = 3, y = -5.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Известно, что sin t = 3/5, П/2

• Главная
• Алгебра
• Известно, что s. ..

Известно, что sin t = 3/5, П/2 < t < П Вычислите:cos t, tg t, ctg t .

Ответы 1

1)Косинус найдём из основного тригонометрического тождества:

   sin²t + cos²t = 1

   cos ²t = 1 — sin²t

   cos²t = 1 — 9/25 = 16/25

   cos t = 4/5            или          cos t = -4/5

Так как П/2 < t < П (угол принадлежит второй четверти, где косинус отрицателен), то cos t = -4/5

2)теперь нетрудно найти значения тангенса и котангенса.

tg t = sin t / cos t

tg t = 3/5 : (-4/5) = -3/4

ctg t = 1 / tg t = 1 : (-3/4) = -4/3

• Автор:

  henry65

• Оценить ответ:

  0

Знаешь ответ? Добавь его сюда!

Последние вопросы

• Математика

  1 час назад

  ужас мне так лень сюда заходить

• Химия

  2 часа назад

  Визначте масу калій гідроксиду ,що реагує з 5,6 л сульфур(IV) оксиду (н. у.).

• Алгебра

  7 часов назад

  Найди первые пять членов геометрической прогрессии bn

   = 256•(1/2).n

• Химия

  11 часов назад

  2. Визначте масу калій гідроксиду ,що реагує з 5,6 л сульфур(IV) оксиду (н.у.).

  3. Яка кількіст речовини солі утворюється при взаємодії ферум(ІІІ) оксиду з сульфатною кислотою масою 2,94 г.

• Другие предметы

  1 день назад

  Пользуясь определителем дикорастущих растений и опираясь на знания по курсу ботаники, определите, к какому виду, роду, семейству и классу относятся полезные растения, произрастающие в ближайшем лесу, поле или парке.

  ( Помогите срочно! )

• Математика

  2 дня назад

  24.02.2022?

  Ділянку прямокутної форми що має розміри 250м на 80м, засіяли кукурудзою. Скільки зерна було використано для цього, якщо на 10000м потрібно 18 кг?

• Математика

  2 дня назад

  32) найдите область определение функции z = (1/x) + (1/y)

• Математика

  2 дня назад

  33) найдите область определение функции z = (y — 1) / (x² + y²)

• Математика

  2 дня назад

  31) найдите область определение функции z = 1 / (x-y)

• Геометрия

  2 дня назад

  100 баллов таму кто поможет

• Английский язык

  2 дня назад

  Subjunctive Mood

  Test

  I. Choose the right form:

  1. Jack doesn’t speak English. If he (spoke/ had spoken) English, he would (get/ have got) a good job at a travel agency. 2. I was in Rome on business. If I (had/ had had) more free time, I would (go/ have gone) sightseeing. 3. It is unlikely that he will repair his car soon. He would (give/ have given) us a ride to the train station if he (repaired/ had repaired) his car soon enough. 4. Bob failed at his exams. If he (worked/ had worked) harder he wouldn’t (fail/ have failed) at his exams. 5. The weather is too cold today. If it (were/ had been) a little warmer, we would (go/ have gone) for a walk. 6. Jill lost her ticket. If she (didn’t lose/ hadn’t lost) her ticket, she would (arrive/ have arrived) in London yesterday. 7. He didn’t have much money at that moment. If he (had/ had had) more money, he would (buy/ have bought) new toys for his children.

  II. Describe these situations in a different way. Use the Subjunctive Mood.

  1. The problems of the company were very serious. As a result Tom worked hard all the weekends.
  2. The alarm clock was broken. And John was late for his first lesson.
  3. My mother was in Italy. I had to cook everything on my own.
  4. She lost her mobile phone. That’s why I gave her mine.
  5. She was late for their wedding. Her fiancé got angry.

  III. Translation.

  1. Если бы Майк сдал отчет вовремя, его бы не уволили. 
  2. Жаль, что арбуз оказался гнилой. 
  3. Если бы она не вмешивалась в его дела, он бы не дерзил ей.
  4. Если бы не твоя помощь, я бы не смог закрепить эти шторы.
  5. Если бы Джонни был хорошим студентом, он бы не использовал так много шпаргалок на экзамене.
  6. Мне бы хотелось, чтобы ты заботился о своем здоровье!
  7. Если бы тебе было все равно, ты бы не ревновал ее к другим мужчинам.

• Английский язык

  2 дня назад

  Subjunctive Mood

  Test

  I. Choose the right form:

  1. Jack doesn’t speak English. If he (spoke/ had spoken) English, he would (get/ have got) a good job at a travel agency. 2. I was in Rome on business. If I (had/ had had) more free time, I would (go/ have gone) sightseeing. 3. It is unlikely that he will repair his car soon. He would (give/ have given) us a ride to the train station if he (repaired/ had repaired) his car soon enough. 4. Bob failed at his exams. If he (worked/ had worked) harder he wouldn’t (fail/ have failed) at his exams. 5. The weather is too cold today. If it (were/ had been) a little warmer, we would (go/ have gone) for a walk. 6. Jill lost her ticket. If she (didn’t lose/ hadn’t lost) her ticket, she would (arrive/ have arrived) in London yesterday. 7. He didn’t have much money at that moment. If he (had/ had had) more money, he would (buy/ have bought) new toys for his children.

  II. Describe these situations in a different way. Use the Subjunctive Mood.

  1. The problems of the company were very serious. As a result Tom worked hard all the weekends.
  2. The alarm clock was broken. And John was late for his first lesson.
  3. My mother was in Italy. I had to cook everything on my own.
  4. She lost her mobile phone. That’s why I gave her mine.
  5. She was late for their wedding. Her fiancé got angry.

  III. Translation.

  1. Если бы Майк сдал отчет вовремя, его бы не уволили. 
  2. Жаль, что арбуз оказался гнилой. 
  3. Если бы она не вмешивалась в его дела, он бы не дерзил ей.
  4. Если бы не твоя помощь, я бы не смог закрепить эти шторы.
  5. Если бы Джонни был хорошим студентом, он бы не использовал так много шпаргалок на экзамене.
  6. Мне бы хотелось, чтобы ты заботился о своем здоровье!
  7. Если бы тебе было все равно, ты бы не ревновал ее к другим мужчинам.

• Литература

  2 дня назад

  А где почему это напряжоный момент

• Биология

  3 дня назад

  У голонасінних рослин уперше з’являєтся:

• Математика

  3 дня назад

  Математика третий класс запиши все возможные значения длины и ширины по известному периметру прямоугольника периметр 98 м 120 м 140

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

Координаты IPIP27 PtdIns(4,5)P2 Гомеостаз для успешного цитокинеза

1. Fededa J.P., Gerlich D.W. Молекулярный контроль цитокинеза животных клеток. Нац. Клеточная биол. 2012; 14:440–447. [PubMed] [Google Scholar]

2. Грин Р.А., Палуч Э., Огема К. Цитокинез в клетках животных. Анну. Преподобный Cell Dev. биол. 2012; 28:29–58. [PubMed] [Google Scholar]

3. Д’Авино П.П., Джансанти М.Г., Петронски М. Цитокинез в клетках животных. Харб Колд Спринг. Перспектива. биол. 2015;7:a015834. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

4. Агромайор М., Мартин-Серрано Дж. Знать, когда нужно резать и бежать: механизмы, контролирующие цитокинетическое отторжение. Тенденции клеточной биологии. 2013; 23: 433–441. [PubMed] [Google Scholar]

5. Поллард Т. Д. Механика цитокинеза у эукариот. Курс. мнение Клеточная биол. 2010;22:50–56. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

6. Вагнер Э., Глотцер М. Локальная активация RhoA индуцирует цитокинетические борозды независимо от положения веретена и стадии клеточного цикла. J. Cell Biol. 2016;213:641–649. [Статья бесплатно PMC] [PubMed] [Google Scholar]

7. Эмото К., Инадом Х., Канахо Ю., Нарумия С., Умеда М. Локальное изменение состава фосфолипидов в борозде дробления необходимо для завершения цитокинеза . Дж. Биол. хим. 2005; 280:37901–37907. [PubMed] [Google Scholar]

8. Филд С.Дж., Мэдсон Н., Керр М.Л., Гэлбрейт К.А., Кеннеди К.Э., Тахилиани М., Уилкинс А., Кэнтли Л.К. PtdIns(4,5)P2 функционирует в борозде дробления во время цитокинеза. Курс. биол. 2005; 15:1407–1412. [PubMed] [Академия Google]

9. Cauvin C., Echard A. Phosphoinositides: липиды с информативными головками и функции вдохновения в клеточном делении. Биохим. Биофиз. Акта. 2015; 1851: 832–843. [PubMed] [Google Scholar]

10. Саарикангас Дж., Чжао Х., Лаппалайнен П. Регуляция взаимодействия актинового цитоскелета и плазматической мембраны с помощью фосфоинозитидов. Физиол. 2010; 90: 259–289. [PubMed] [Google Scholar]

11. Su KC, Takaki T., Petronczki M. Нацеливание RhoGEF Ect2 на экваториальную мембрану контролирует образование борозд расщепления во время цитокинеза. Дев. Клетка. 2011;21:1104–1115. [PubMed] [Академия Google]

12. Liu J., Fairn G.D., Ceccarelli D.F., Sicheri F., Wilde A. Организация борозды дробления требует PIP(2)-опосредованного рекрутирования анилина. Курс. биол. 2012;22:64–69. [PubMed] [Google Scholar]

13. Roubinet C., Decelle B., Chicanne G., Dorn J.F., Payrastre B., Payre F., Carreno S. Молекулярные сети, связанные с помощью Moesin, вызывают ремоделирование клеточной коры во время митоза. . J. Cell Biol. 2011; 195:99–112. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

14. Dambournet D., Machicoane M., Chesneau L., Sachse M., Rocancourt M., El Marjou A., Formstecher E., Salomon R., Goud B., Echard A. Rab35 GTPase и OCRL фосфатаза ремоделируют липиды и F-актин для успешного цитокинеза. Нац. Клеточная биол. 2011;13:981–988. [PubMed] [Google Scholar]

15. Zhang X., Jefferson A.B., Auethavekiat V., Majerus P.W. Белком, дефицитным при синдроме Лоу, является фосфатидилинозитол-4,5-бисфосфат-5-фосфатаза. проц. Натл. акад. науч. США. 1995; 92: 4853–4856. [Статья бесплатно PMC] [PubMed] [Google Scholar]

16. Schmid A.C., Wise H.M., Mitchell C.A., Nussbaum R., Woscholski R. Фосфоинозитид-5-фосфатазы типа II обладают уникальной чувствительностью к составу жирных кислот и фосфорилированию головной группы. ФЭБС лат. 2004;576:9–13. [PubMed] [Google Scholar]

17. Attree O., Olivos I.M., Okabe I., Bailey L.C., Nelson D.L., Lewis R.A., McInnes R.R., Nussbaum R.L. Ген окулоцереброренального синдрома Лоу кодирует белок, высоко гомологичный инозитолполифосфату. 5-фосфатаза. Природа. 1992; 358: 239–242. [PubMed] [Google Scholar]

18. Хупс Р.Р., мл., Шримптон А.Е., Кнол С.Дж., Хьюбер П., Хоппе Б., Матюс Дж., Симкес А., Тасич В., Тоеншофф Б., Сухи С.Ф. Болезнь Дента с мутациями в OCRL1. Являюсь. Дж. Хам. Жене. 2005; 76: 260–267. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

19. Нуссбаум Р., Сухи С.Ф. Синдром Лоу. В: Скривер К.Р., Бодер А.Л., Слай В.С., Валле Д., редакторы. Метаболические и молекулярные основы наследственных заболеваний. Том IV. Макгроу-Хилл; 2001. стр. 6257–6266. [Google Scholar]

20. Bökenkamp A., Böckenhauer D., Cheong H.I., Hoppe B., Tasic V., Unwin R., Ludwig M. Болезнь Дента-2: легкий вариант синдрома Лоу. Дж. Педиатр. 2009; 155:94–99. [PubMed] [Google Scholar]

21. Оливос-Гландер И.М., Янне П.А., Нуссбаум Р.Л. Продукт гена окулоцереброренального синдрома представляет собой белок массой 105 кДа, локализованный в комплексе Гольджи. Являюсь. Дж. Хам. Жене. 1995;57:817–823. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

22. Choudhury R., Diao A., Zhang F., Eisenberg E., Saint-Pol A., Williams C., Konstantakopoulos A., Lucocq J., Johannes L., Rabouille C. Белок синдрома Лоу OCRL1 взаимодействует с клатрином и регулирует перенос белка между эндосомами и транс-сетью Гольджи. Мол. биол. Клетка. 2005; 16:3467–3479. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

23. Ungewickell A., Ward M.E., Ungewickell E. , Majerus P.W. Инозитолполифосфат-5-фосфатаза Ocr1 связывается с эндосомами, частично покрытыми клатрином. проц. Натл. акад. науч. США. 2004; 101:13501–13506. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

24. Erdmann K.S., Mao Y., McCrea H.J., Zoncu R., Lee S., Paradise S., Modregger J., Biemesderfer D., Toomre D., De Camilli P. Роль белка синдрома Лоу OCRL на ранних стадиях эндоцитарного пути. Дев. Клетка. 2007; 13: 377–390. [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar]

25. Вичинанца М., Ди Кампли А., Полищук Э., Санторо М., Ди Туллио Г., Годи А., Левченко Э., Де Лео М.Г., Полищук Р., Сандовал Л. OCRL контролирует трафик через ранние эндосомы через PtdIns4,5P ₂ -зависимая регуляция эндосомального актина. EMBO J. 2011; 30: 4970–4985. [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar]

26. Де Лео М.Г., Стайано Л., Вичинанца М., Лучани А., Кариссимо А., Мутарелли М., Ди Кампли А., Полищук Э., Ди Туллио Г., Морра В. Слияние аутофагосомы и лизосомы запускает лизосомальный ответ, опосредованный TLR9 и контролируемый OCRL. Нац. Клеточная биол. 2016;18:839–850. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

27. Мехта З.Б., Пьетка Г., Лоу М. Клеточные и физиологические функции белка синдрома Лоу OCRL1. Трафик. 2014; 15: 471–487. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

28. Нандес Р., Балкин Д.М., Месса М., Лян Л., Парадайз С., Чапла Х., Хайн М.Ю., Дункан Дж.С., Манн М., Де Камилли П. Роль OCRL в ямке, покрытой клатрином динамика и обнажение, выявленные при исследовании клеток синдрома Лоу. электронная жизнь. 2014;3:e02975. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

29. He K., Marsland R., III, Upadhyayula S., Song E., Dang S., Capraro B.R., Wang W., Skillern W., Gaudin Р., Ма М., Кирххаузен Т. Динамика превращения фосфоинозитидов в клатрин-опосредованном эндоцитарном трафике. Природа. 2017; 552:410–414. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

30. Jänne P.A.,suchy S.F., Bernard D., MacDonald M., Crawley J., Grinberg A., Wynshaw-Boris A., Westphal H. , Nussbaum R.L. Функциональное перекрытие между мышиным Inpp5b и Ocrl1 может объяснить, почему дефицит мышиный ортолог OCRL1 не вызывает синдрома Лоу у мышей. Дж. Клин. Вкладывать деньги. 1998;101:2042–2053. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

31. Ben El Kadhi K., Roubinet C., Solinet S., Emery G., Carréno S. Инозитол-5-фосфатаза dOCRL контролирует PI(4,5) P2 гомеостаз и необходим для цитокинеза. Курс. биол. 2011;21:1074–1079. [PubMed] [Google Scholar]

32. Дель Синьор С.Дж., Бибер С.А., Леманн К.С., Хаймлер С.Р., Розенфельд Б.Х., Эскин Т.Л., Суини С.Т., Родал А.А. dOCRL поддерживает покой иммунных клеток, регулируя эндосомальный трафик. Генетика PLoS. 2017;13:e1007052. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

33. Swan L.E., Tomasini L., Pirruccello M., Lunardi J., De Camilli P. Два близкородственных эндоцитарных белка, которые имеют общий мотив связывания OCRL с APPL1. . проц. Натл. акад. науч. США. 2010;107:3511–3516. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

34. Noakes C.J., Lee G., Lowe M. Белки домена PH IPIP27A и B связывают OCRL1 с рециркуляцией рецепторов в эндоцитарном пути. Мол. биол. Клетка. 2011;22:606–623. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

35. Billcliff P.G., Noakes CJ, Mehta Z.B., Yan G., Mak L., Woscholski R., Lowe M. OCRL1 взаимодействует с белком F-BAR паксином 2 для содействия биогенезу промежуточных звеньев переноса мембран. Мол. биол. Клетка. 2016;27:90–107. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

36. Kessels M.M., Qualmann B. Семейство белков синдапина: связывание мембранного переноса с цитоскелетом. Дж. Клеточная наука. 2004; 117:3077–3086. [PubMed] [Google Scholar]

37. Куан А., Робинсон П. Дж. Синдапин — ремоделирующий мембрану и эндоцитарный белок F-BAR. FEBS J. 2013; 280: 5198–5212. [PubMed] [Google Scholar]

38. Szentpetery Z., Balla A., Kim YJ, Lemmon M.A., Balla T. Визуализация живых клеток с белковыми доменами, способными распознавать фосфатидилинозитол-4,5-бисфосфат; сравнительное исследование. BMC клеточная биология. 2009 г.;10:67. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

39. Ди Паоло Г., Де Камилли П. Фосфоинозитиды в клеточной регуляции и динамике мембран. Природа. 2006; 443: 651–657. [PubMed] [Google Scholar]

40. Field C.M., Alberts B.M. Анилин, белок сократительного кольца, который перемещается от ядра к коре клетки. J. Cell Biol. 1995; 131: 165–178. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

41. Fehon R.G., McClatchey A.I., Bretscher A. Организация клеточной коры: роль белков ERM. Нац. Преподобный Мол. Клеточная биол. 2010; 11: 276–287. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

42. Чаррас Г.Т. Краткая история блеббинга. Дж. Микроск. 2008; 231:466–478. [PubMed] [Google Scholar]

43. Sedzinski J., Biro M., Oswald A., Tinevez J.Y., Salbreux G., Paluch E. Полярная сократимость актомиозина дестабилизирует положение цитокинетической борозды. Природа. 2011; 476: 462–466. [PubMed] [Google Scholar]

44. Родригес Н. Т., Лекомцев С., Джананджи С., Кристон-Визи Дж., Хиксон Г.Р., Баум Б. Локализованный кинетохорами PP1-Sds22 связывает сегрегацию хромосом с полярной релаксацией. Природа. 2015;524:489–492. [PubMed] [Google Scholar]

45. Куэ М., Бреннер С.Л., Спектор И., Корн Э.Д. Ингибирование полимеризации актина латрункулином А. FEBS Lett. 1987; 213:316–318. [PubMed] [Google Scholar]

46. Бабб М.Р., Сендерович А.М., Саусвилл Э.А., Дункан К.Л., Корн Э.Д. Джасплакинолид, цитотоксический природный продукт, индуцирует полимеризацию актина и конкурентно ингибирует связывание фаллоидина с F-актином. Дж. Биол. хим. 1994; 269:14869–14871. [PubMed] [Google Scholar]

47. Биллклифф П.Г., Лоу М. Инозитол-липидфосфатазы в переносе мембран и заболеваниях человека. Биохим. Дж. 2014; 461:159–175. [PubMed] [Google Scholar]

48. Бендрис Н., Шмид С.Л. Эндоцитоз, метастазы и не только: множественные аспекты SNX9. Тенденции клеточной биологии. 2017; 27: 189–200. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

49. Giot L., Bader J.S., Brouwer C., Chaudhuri A., Kuang B., Li Y., Hao Y.L., Ooi C.E., Godwin B., Vitols E. Карта взаимодействия белков Drosophila melanogaster . Наука. 2003; 302:1727–1736. [PubMed] [Google Scholar]

50. Hicks L., Liu G., Ukken F.P., Lu S., Bollinger K.E., O’Connor-Giles K., Gonsalvez G.B. Истощение или сверхэкспрессия Sh4px1 приводит к резким изменениям в морфологии клеток. биол. Открыть. 2015;4:1448–1461. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

51. Cauvin C., Rosendale M., Gupta-Rossi N., Rocancourt M., Larraufie P., Salomon R., Perrais D., Echard A. Rab35 GTPase запускает переключающее рекрутирование липидной фосфатазы при синдроме Лоу. OCRL на эндосомах новорожденных. Курс. биол. 2016;26:120–128. [PubMed] [Google Scholar]

52. Kouranti I., Sachse M., Arouche N., Goud B., Echard A. Rab35 регулирует путь рециркуляции эндоцитов, необходимый для конечных стадий цитокинеза. Курс. биол. 2006; 16: 1719–1725. [PubMed] [Академия Google]

53. Уккен Ф.П., Брукнер Дж.Дж., Вейр К.Л., Хоуп С.Дж., Сисон С.Л., Биршбах Р.М., Хикс Л., Тейлор К.Л., Дент Э.В., Гонсалвес Г.Б., О’Коннор-Джайлс К.М. Сортирующие нексины BAR-Sh4 представляют собой консервативные взаимодействующие белки Nervous wreck, которые организуют синапсы и способствуют нейротрансмиссии. Дж. Клеточная наука. 2016; 129:166–177. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

54. Taylor MJ, Perrais D., Merrifield CJ Высокоточное исследование молекулярной динамики клатрин-опосредованного эндоцитоза млекопитающих. PLoS биол. 2011;9:e1000604. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

55. Бовеллан М., Ромео Ю., Биро М., Боден А., Чу П., Йонис А., Вагела М., Фрицше М., Молдинг Д. ., Thorogate R. Клеточный контроль образования корковых актинов. Курс. биол. 2014; 24:1628–1635. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

56. Стрейт А.Ф., Филд К.М., Митчисон Т.Дж. Анилин связывает немышечный миозин II и регулирует сократительное кольцо. Мол. биол. Клетка. 2005; 16: 193–201. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

57. Кечад А., Джананджи С., Руэлла Ю., Хиксон Г.Р. Анилин действует как бифункциональный линкер, координирующий биогенез кольца среднего тела во время цитокинеза. Курс. биол. 2012;22:197–203. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

58. Schiel J.A., Childs C., Prekeris R. Эндоцитарный транспорт и цитокинез: от регуляции цитоскелета до наследования среднего тела. Тенденции клеточной биологии. 2013;23:319–327. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

59. Каррено С., Куранти И., Глусман Э.С., Фуллер М.Т., Эчард А., Пайре Ф. Моесин и его активирующая киназа Slik необходимы для стабильности коры и микротрубочек. организация митотических клеток. J. Cell Biol. 2008;180:739–746. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

60. Танака Т., Накамура А. Эндоцитарный путь действует ниже Оскара в сборке зародышевой плазмы дрозофилы . Разработка. 2008; 135:1107–1117. [PubMed] [Google Scholar]

61. Такеда Т., Робинсон И.М., Савоян М.М., Гриффитс Дж.Р., Уеттон А.Д., МакМахон Х.Т., Гловер Д.М. Drosophila Белок F-BAR Синдапин способствует соединению плазматической мембраны и сократительного кольца в цитокинезе. Открытая биол. 2013;3:130081. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

62. Nakamura N., Lowe M., Levine T.P., Rabouille C., Warren G. Белок p115 для стыковки везикул связывает GM130, матричный белок цис-Гольджи, митотически регулируемым образом. Клетка. 1997; 89: 445–455. [PubMed] [Google Scholar]

63. Worby C.A., Simonson-Leff N., Clemens J.C., Kruger R.P., Muda M., Dixon J.E. Сортирующий нексин, DSh4PX1, соединяет аксональный направляющий рецептор, Dscam, с актиновым цитоскелетом. . Дж. Биол. хим. 2001; 276:41782–41789. [PubMed] [Google Scholar]

Разделение сегмента в заданном соотношении

Предположим, у вас есть отрезок PQ¯ на координатной плоскости, и вам нужно найти точку на отрезке 13 пути от P до Q.

Давайте сначала рассмотрим простой случай, когда P находится в начале координат, а линия сегмент горизонтальный.

Длина прямой составляет 6 единиц, и точка на отрезке 13 пути от P до Q будет на расстоянии 2 единиц от P и 4 единиц от Q и будет в (2,0).

Рассмотрим случай, когда отрезок не является горизонтальной или вертикальной линией.

Компоненты направленного отрезка PQ¯ равны 〈6,3〉  и нам нужно найти точку, скажем, X на отрезке 13 пути из P в Q.

Тогда компоненты отрезка PX ¯ суть 〈(13)(6),(13)(3)〉=〈2,1〉.

Поскольку начальная точка отрезка находится в начале координат, координаты точки X задаются как (0+2,0+1)=(2,1).

Теперь давайте решим более сложную задачу, где ни P, ни Q не находятся в начале координат.

Используйте конечные точки отрезка PQ¯ для записи компонентов направленного отрезка.

〈(x2−x1),(y2−y1)〉=〈(7−1),(2−6)〉                                            =〈6,−4〉

Теперь аналогичным образом компоненты отрезка PX ¯  где X — точка на отрезке 13 пути из P в Qare 〈(13)(6),(13)(−4)〉=〈2,−1,25〉.

Чтобы найти координаты точки X, прибавьте компоненты отрезка PX¯ к координатам начальной точки P.

Итак, координаты точки X равны (1+2,6−1,25)=(3,4,75).

Обратите внимание, что получившиеся сегменты PX¯ и XQ¯ имеют длины в соотношении 1:2.

В общем: что если вам нужно найти точку на отрезке, которая делит его на два отрезка с длинами в отношении a:b?

Рассмотрим направленный отрезок XY¯ с координатами концов как X(x1,y1) и Y(x2,y2).

Предположим, что точка Z разделила отрезок в отношении a:b, тогда эта точка представляет собой aa+b пути из X в Y.

Итак, обобщая имеющийся у нас метод, компоненты отрезка XZ¯ равны 〈(aa+b(x2−x1)),(aa+b(y2−y1))〉.

Тогда координата X точки Z равна

                       =bx1+ax2a+b.

Аналогично, координата Y равна

                      =by1+ay2a+b.

Следовательно, координаты точки Z равны (bx1+ax2a+b,by1+ay2a+b).

Пример 1:

Найдите координаты точки, которая делит направленный отрезок MN¯ с координатами концов в M(−4,0)  и M(0,4) в соотношении 3:1?

Пусть L — точка, которая делит MN¯  в отношении 3:1.

Аппроксимация функции одной переменной методом наименьших квадратов с дополнительными условиями

Данный калькулятор использует метод наименьших квадратов (МНК) для аппроксимации функции одной переменной, аналогично калькулятору Аппроксимация функции одной переменной. Но, в отличии от указанного калькулятора, данный калькулятор поддерживает аппроксимацию функции с использованием ограничений на ее значения. То есть, можно задать условия равенства аппроксимирующей функции определенным значениям в определенных точках. Формулы аппроксимации будут выведены с учетом этих условий.

Используемый метод (метод множителей Лагранжа) накладывает ограничения на набор аппроксимирующих функций, так что этот калькулятор не поддерживает экспоненциальную аппроксимацию, аппроксимацию степенной функцией и показательную аппроксимацию. Одним словом поддерживается только линейная регрессия. Зато в него были добавлены аппроксимация полиномами 4-ой и 5-ой степени. Формулы и немного теории можно найти под калькулятором.

Если не ввести значения x, калькулятор будет считать, что значение x меняется начиная с 0 с шагом 1.

Аппроксимация функции одной переменной методом наименьших квадратов с дополнительными условиями

Значения x, через пробел

Значения y, через пробел

Ограничения на значения аппроксимирующей функции в точках

Ограничения на значения аппроксимирующей функции в точках

Импортировать данныеОшибка импорта

Данные

Для разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, «;» или «,» Пример: -50.5;-50.5

Загрузить данные из csv файла

Знаков после запятой: 4

Квадратичная регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Кубическая регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Полином 4-ой степени

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Полином 5-ой степени

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Линейная регрессия

Коэффициент линейной парной корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Логарифмическая регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Гиперболическая регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Полином 6-ой степени

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Полином 7-ой степени

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Полином 8-ой степени

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Результат

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Использованием этого метода для вывода формул аппроксимации для различных аппроксимирующих функций можно посмотреть в теоретической части статьи Аппроксимация функции одной переменной.

Подход, описанный по ссылке, можно обобщить для случая линейной комбинации параметров (для построения линейной регрессии).

Если аппроксимирующая функция является линейной комбинацией параметров, которые нужно определить, например
, то набор значений аппроксимирующей функции в заданных точках можно описать следующим образом

При использовании метода наименьших квадратов нам надо найти набор параметров, минимизирующих функцию

Значение этой функции есть расстояние от вектора y до вектора Xa. Для минимизации этого значения Xa должно быть проекцией на пространство столбцов матрицы X и вектор Xa-y должен быть ортогонален этому пространству (подробнее можно посмотреть здесь).

где v — произвольный вектор в пространстве столбцов. Так как этот вектор может быть любым, очевидно что равенство выполняется только в случае

Последняя формула и используется калькулятором выше для построения линейной регрессии без дополнительных ограничений.

Теперь разберемся с построением линейной регрессии при наличии ограничений. Такими ограничениями могут быть ограничения на значение функции в заданных точках. Например, нам известно, что функция, которую мы аппроксимируем ДОЛЖНА проходить через ноль (точку с координатами 0;0). Также могут существовать ограничения на значения производной функции в некоторых точках (наклона кривой функции). Наличие дополнительных ограничений говорит о том, что нам надо искать условный экстремум, то есть экстремум (в нашем случае минимум) функции, достигнутый при условии что переменные функции удовлетворяют уравнению связи.

Для решения такой задачи используется метод множителей Лагранжа. В методе множителей Лагранжа осуществляют переход от функции к функции Лагранжа через добавление множителей Лагранжа

Далее ищется экстремум данной функции. После всех вычислений, которые я здесь не привожу (их мало где приводят, да и я тоже мог бы написать что-нибудь вроде «очевидно, что» 🙂 ), получается следующая формула для нахождения параметров, при которых функция достигает условного экстремума

Именно эту формулу использует калькулятор выше для построения линейной регрессии в случае накладывания дополнительных условий на аппроксимирующую функцию.

Калькулятор расчета по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.

Калькулятор расчета элементов прямой по методу наименьших квадратов

Онлайн калькулятор нахождения углового коэффициента, точки пересечение  и уравнения прямой линии по методу наименьших квадратов

Формула метода наименьших квадратов:

где,

• b = Наклон линии регрессии
• a = Точка пересечения оси Y и линии регрессии.
• X̄ = Среднее значений х
• Ȳ = Среднее значений y
• SD_x = Стандартное отклонение x
• SD_y = Стандартное отклонение y
• r = (NΣxy — ΣxΣy) / корень ((NΣx² — (Σx)²) x (NΣy)² — (Σy)²)

Пример

Найти регрессию методом наименьших квадратов

Получаем,

Найдем,

Уравнение линии регрессии методом наименьших квадратов

Решение:

Шаг 1 :

Количество значений x.

N = 4

Шаг 2 :

Найдем XY, X² для полученных значений. Смотрите таблицу ниже

Шаг 3 :

Найдем ΣX, ΣY, ΣXY;, ΣX² для значений

• ΣX = 311
• ΣY = 18.6
• ΣXY = 1159.7
• ΣX² = 19359

Шаг 4 :

Подставим значения в приведенную выше формулу.

Наклон(b) = (NΣXY — (ΣX)(ΣY)) / (NΣX² — (ΣX)²)

• = ((5)*(1159. 7)-(311)*(18.6))/((5)*(19359)-(311)²)
• = (5798.5 — 5784.6)/(96795 — 96721)
• = 13.9/74
• = 0.19

Шаг 5 :

Подставив значения в формулу

Пересечение (a) = (ΣY — b(ΣX)) / N

• = (18.6 — 0.19(311))/5
• = (18.6 — 59.09)/5
• = -40.49/5
• = -8.098

Шаг 6 :

Подставим значения в уравнение прямой

Уравнение прямой(y) = a + bx

= -8.098 + 0.19x

Предположим, если мы хотим, узнать приблизительное у значение переменной x = 64, необходимо подставить значение в формулу

Уравнение прямой(y) = a + bx

• = -8.098 + 0.19(64)
• = -8.098 + 12.16
• = 4.06

Синонимы: Least-Squares method, МНК

людей нашли эту статью полезной. А Вы?

Monk (сериал, 2002–2009) — IMDb 004

РЕЙТИНГ IMDb

8. 0/10

79K

ВАШ РЕЙТИНГ

ПОПУЛЯРНОСТЬ

50 Видео

99+ Фото

КомедияКриминалДрама

Сериал рассказывает об Адриане Монке, блестящем бывшем детективе из Сан-Франциско, который теперь консультирует полицию в качестве частного консультанта, борющегося с обсессивно-компульсивным расстройством. Сериал рассказывает об Адриане Монке, блестящем бывшем детективе из Сан-Франциско, который теперь консультирует полиции в качестве частного консультанта, который борется с обсессивно-компульсивным расстройством. Сериал рассказывает об Адриане Монке, блестящем бывшем детективе из Сан-Франциско, который теперь консультирует полицию в качестве частного консультанта, который борется с обсессивно-компульсивным расстройством.

• Создатель
  • Энди Брекман
• Звезды
  • Тони Шалхуб
  • Джейсон Грей-Стэнфорд
  • Тед Левин
  9 0009
• См. производство, кассовые сборы и информацию о компании

РЕЙТИНГ IMDb

8.0/10

79K

ВАШ РЕЙТИНГ

ПОПУЛЯРНОСТЬ

• Создатель
  • Энди Брекман
• Звезды
  • Тони Шал hub
  • Джейсон Грей-Стэнфорд
  • Тед Левин
• 249Отзывы пользователей
• 35Отзывы критиков
• Подробнее на IMDbPro
• Выигран 8 премий «Эмми» в прайм-тайм
  • 22 победы и 47 номинаций всего

Эпизоды125

Просмотреть выпуски

ТопЛучшие рейтинги
8 сезонов
87654321Просмотреть все
8 лет
20092008200720062005200420032002Просмотреть все

Видео 50

Зажим 0:55

Смотреть «Дженнифер Лоуренс Дишес» о своем «позорном» первом кредите на IMDb Клип 1:24

Часы Монах : Clip 1

Clip 0:31

Watch Monk: Burn Notice Salutes Monk

Clip 0:22

Watch Monk: Clip 1

Clip 0:31

Watch Monk: Clip 1 9 0011 Клип 0:31

Часы Монах: Монах П. И.

Зажим 0:21

Смотреть Монах: клип 1

Видео 0:32

Смотреть Монах: что делал Монах? 1:25 halhoub

• Адриан Монк…
Джейсон Грей-Стэнфорд
• Рэндалл Дишер
Тед Левин
• Капитан Леланд Стоттлмейер…
Трейлор Ховард
• Натали Тигер
Стэнли Камел
• Доктор Чарльз Крогер…
Битти Шрам
• Шарона Флеминг
Эмми Кларк
• Джули Тигер
Кейн Ритчот
• Бенджи Флеминг
Гектор Элизондо
• Доктор Невен Белл
Мелора Хардин
• Труди Монк…
Тим Бэгли
• Гарольд Крен шоу
Макс Морроу
• Бенджи Флеминг
Джаррад Пол
• Кевин Дорфман
Стеллина Русич
90 180
• Труди Монк…

• Эбигейл Карлайл…

• 2-й патрульный…

• Полицейский в форме…

• Карен Стоттлмейер

• Создатель
  • Энди Брекман (главный сценарист)
• Все актеры и съемочная группа
• Производство, кассовые сборы и многое другое на IMDbPro

Больше похоже на это

Сюжетная линия

Знаете ли вы

• Цитаты

  [повторяющаяся строка]

  Адриан Монк: Это дар. .. и проклятие.

• Connections

  Представлены на 60-й церемонии вручения премии «Золотой глобус» (2003)

Обзоры пользователей249

Популярный обзор

Тайна/комедия …кто знал?

Адриан Монк — детектив с обсессивно-компульсивным расстройством, которое, по-видимому, улучшает его способности восприятия. Большинство его друзей на участке думают, что он просто странный.

Тони Шалхуб играет сумасшедшего сыщика. До этого я не знал, что Тони может играть… ну. Я видел его только в «Людях в черном» в роли Дживса. Но такая роль, как Монк, доказывает мне, что Тони может нести историю.

Но юмор в сериале делает его интересным. Если бы не шутки и шутки, Монах, вероятно, был бы просто еще одним скучным детективом, в котором я тщетно пытаюсь раскрыть дело перед героем. Итак, спасибо вам, Тони Шалхуб, за то, что разгадываете тайны весело.

Если вы поклонник детективов, комедий или того и другого, вам понравится Адриан Монк. 31 марта 2005 г.

• В конце открытия первого сезона кредиты Монк видит, что один из его зонтов висит на крючке с ручкой, указывающей не в ту сторону. Поскольку Монк никогда бы не повесил его таким образом, кто это сделал и почему?

• О чем Монк?

• В какие годы установлен Монах?

Детали

• Дата выпуска
  • 12 июля 2002 г. (США)
• Страна происхождения
  • США
  9 0009
  • Официальные сайты
    • dfw.cbsloca
    • Телеканал Hallmark Movies & Mysteries
  • Язык
    • Английский
  • Также известен как
  • Места съемок
    • Торонто, Онтарио, Канада (сезон 1 — эпизоды с 3 по 13)
  • Производственные компании
    • Mandeville Films
    • ABC Signature
    • Morat im Produktions
  • См. больше кредитов компании на IMDbPro

  Технические характеристики

  • Время работы

    44 минуты

  • Цвет
  • Звуковой микс
    • Стерео
  • Соотношение сторон
    900 03 16 : 9

  Связанные новости

  Внесите свой вклад в эту страницу

  Предложите отредактировать или добавить отсутствующий контент

  Еще для изучения

  Недавно просмотренные 901 11

  У вас нет недавно просмотренных страниц

  Ввод MnK перестает работать случайным образом

  Июль — последнее редактирование Июль

  Перезапуск этой ветки сообщений, так как последняя не обновлялась несколько месяцев. Во время случайной игры и мышь, и клавиатура теряют все входные данные для игры. Мне нужно свернуть вкладку и закрыть игру на панели задач, чтобы выйти и перезапустить. Я не могу закончить ни один матч, чтобы этого не произошло. Перепробовал все варианты онлайн. Все, от отключения исходного оверлея до повторной загрузки игры или удаления определенных файлов в папках и обновления всех драйверов. Я хотел бы иметь возможность играть в эту игру, так как она веселая и в нее можно играть, пока она работает. Но я чувствую, что не хочу больше играть, если не смогу прогрессировать. ПОМОЩЬ!!!

  1 человек столкнулся с этой проблемой.

  Июль

  Если есть какие-либо USB-устройства, кроме KB и мыши, отключите их. Также, возможно, пришло время обновить драйверы usb.

   

  Все, что я могу придумать.

  Июль

  Подключены только USB-устройства: беспроводная гарнитура для звука игры, микрофон (проводной) по очевидным причинам, мышь (беспроводная) и клавиатура (проводная). Это странно, потому что это единственный подарок, с которым у меня когда-либо была эта проблема.

  Июль

  Почему мы должны делать, что мой звук USB исправить чертову игру!

  Команда EA DICE

  Июль

  Привет @Schneeeebs, какая у тебя мышь и использует ли она какие-либо драйверы?

  /Атик

  Июль

  Я использую Logitech G703 и неоднократно проверял, обновлены ли драйверы через диспетчер устройств. Это клавиатура Corsair RGP3001 (проводная), и я также проверил драйверы для нее.

  Июль

   @EA_Atic 

   

  Я использую Logitech G703 и неоднократно проверял, обновлены ли драйверы с помощью диспетчера устройств. У них клавиатура Corsair RGP3001 (проводная), и я также проверил драйверы для нее.

  Август

  @EA_Atic

   

  Приветствую, я снова попытался вернуться в игру, но возникла та же проблема.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:

Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.

Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).

На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:

Откуда имеем:

Подставляя (2) в (1), получим:

Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:

Откуда:

r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.

Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1,… также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.

Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).

Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).

Ответ. z=1(cos0+isin0).

Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. .

Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.

Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. , где φ=arccos(4/5).

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z₁=r₁(cosφ₁+i sinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+i sinφ₂). Перемножим эти числа:

или

В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |z₁z₂|=r₁r₂, или

т. е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей.

Далее имеем arg(z₁z₂)=φ₁+φ₂ или

т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей.

Пример 4. Умножить комплексные числа и .

Решение. Воспользуемся формулой (5):

Ответ. .

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z₁=r₁(cosφ₁+i sinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+i sinφ₂) и пусть z₂≠0, т.е. r₂≠0. Вычислим z₁/z₂:

Получили

Отсюда следует, что или

Далее , или

Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого.

Пример 5. Делить комплексные числа и .

Решение. Воспользуемся формулой (8):

Ответ. .

Геометрический смысл умножения и деления

На рисунке Рис.4 представлено умножение комплексных чисел z₁ и z₂. Из (6) и (7) следует, что для получения произведения z₁z₂, нужно вектор-радиус точки z₁ повернуть против часовой стрелки на угол φ₂ и растянуть в |z₂| раз (при 0<|z₂|<1 это будет сжатием).

Рассмотрим, теперь, деление комплексного числа z₁z₂ на z₁ (Рис.4). Из формулы (8) следует, что модуль искомого числа равен частному от деления модуля числа z₁z₂ на модуль числа z₁, а аргумент равен: φ₂=φ−φ₁. В результате деления получим число z₂.

Смотрите также:

§ 2.

Существует три формы комплексного числа, так как различные операции над комплексными числами удобнее проводить с различными формами.

1. Алгебраическая форма: z = x + iy.

Пример 1. Найти действительную и мнимую части, модуль, аргумент комплексного числа z = 2 + 3i, сопряженное к нему и изобразить z и на комплексной плоскости.

Р ешение.

Действительная и мнимая части: Rez = x = 2, Imz = y = 3.

Модуль: .

Аргумент:

Сопряженное к z равно , тогда, если z = 2 + 3i, то сопряженное к нему равно .

Комплексному числу z = 2 + 3i соответствует вектор , комплексному числу соответствует вектор , z и изображены на рис. 2.

2. Тригонометрическая форма: .

И з рисунка 3 видно, что .

Если подставить данные выражения в алгебраическую форму, то получится комплексное число в тригонометрической форме:

z = x + iy = = .

Пример 2. Представить в алгебраической форме комплексное число . Найти к нему сопряженное.

Решение.

, отсюда .

или, что одно и то же .

3. Показательная форма:

Используя формулу Эйлера:

,

комплексное число можно записать в так называемой показательной форме:

z =

Примеры.

Пример 3. Представить в показательной форме комплексное число . Записать к нему сопряженное, найти модуль.

Решение.

, отсюда , тогда , r = 4.

Пример 4. Дано комплексное число . Записать его в трех формах.

Решение.

Алгебраическая форма комплексного числа: .

, .

Тригонометрическая форма комплексного числа: .

Показательная форма комплексного числа: .

Определение 8. Уравнение определяет на плоскости Гаусса окружность с центром в точке О и радиусом, равным а.

Пояснение: – уравнение окружности.

Определение 9. Уравнение определяет на плоскости Гаусса окружность с центром в точке z₀ и радиусом, равным а.

Пояснение:

– уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным а.

Замечание. Неравенство ( ) определяет множество точек верхней полуплоскости.

Неравенство ( ) определяет множество точек нижней полуплоскости.

Неравенство (x > 0) определяет множество точек правой полуплоскости.

Неравенство (x < 0) определяет множество точек левой полуплоскости.

Пример 5. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, задаваемых условиями 1) , 2) , 3) , 4) 5)

Решение.

1) – окружность с центром в точке О и радиусом равным 2 (рис. 4).

2) – окружность с центром в точке i и радиусом равным 1. (рис. 5).

3) часть плоскости за окружностью с центром в точке О радиусом 2, включая саму окружность. – сектор между двумя лучами: В пересечении получается часть плоскости за окружностью, включая саму окружность, лежащая внутри сектора раствором в (рис. 6).

4) , т.е. – полоса между осью (Ох) и прямой y = 2, не включая данную прямую (рис. 7).

5) – данная область – кольцо между окружностями , причем последняя не принадлежит области. – сектор между двумя лучами: В пересечении получается область внутри кольца между двумя лучами, не включая внутреннюю окружность (рис. 8).

Тригнет

На плоскости комплексных чисел стандарт Форма уравнения: z = a +bi Горизонтальная ось называется действительной осью , а вертикаль называется мнимой осью . То есть это то, что обычно является осью x, а другое, что обычно является осью Y, соответственно. Найти точка на плоскости, которую представляет комплексное число, вы используете точку (а, б). 92) рт(9 + 4) рт(13) Это график z = 3 + 2i Тригонометрическая форма комплексного числа Чтобы найти тригонометрическую форму z = a + bi, вы используете следующее формула: 92) и Танкс = б ÷ а. Словарь: Здесь r — это модуль z, а x — аргумент . из з. Чтобы найти тригонометрическую форму комплексного числа z = 3 + 2i, вы бы использовали r, который, как мы теперь знаем, равен rt(13), а затем узнать значение х. танкс = а ÷ б tanx = 3 ÷ 2 x =~ 56,31° В некоторых задачах может потребоваться изменить угол, в зависимости от того, в каком квадранте находится комплексное число дюймов. В этом случае нам не нужно менять угол, так как 56,31° находится в том же квадранте, что и в примере. И Итак… z = rt(13)(cos56,31° + isin56,31°) … является тригонометрической формой этого комплексного числа. Умножение и деление комплексного числа Необходимые условия: Формулы суммы и разности Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрии форма: Где г = г (cosx + изинкс) и г = г (cosx + изинкс) комплексные числа. .. Продукт: з з = rr[cos(x + х) + isin(x + x)] Частное: г ÷ г = (р ÷ r)[cos(x + х) + isin(x + х)] г 0 Вот пример задачи на умножение: г = 3 (поскольку ( ÷ 3) + isin( ÷ 3)) г = 4 (поскольку ( ÷ 6) + isin( ÷ 6)) Начните с использования формулы. (3*4)(поскольку(( ÷ 3) + ( ÷ 6)) + isin(( ÷ 4) + ( ÷ 6)) Найдите общий знаменатель дробей. 12(поскольку((2 ÷ 6) + ( ÷ 6)) + isin((3 ÷ 12) + (2 ÷ 12)) Объедините похожие термины. 12(пос(3) ÷ 6) + isin(5 ÷ 12) 12(поскольку( ÷ 2) + isin(5 ÷ 12) Упростить косинус и синус. 12(0 + i(.9659)) г г =~ 11.59i Полномочия Комплексные номера Помимо использования формула умножения для решения степеней, вы можете использовать 912 Начните с нахождения значения r: r = rt(1² + (-1)²) r = rt(2) Итак, теперь мы должны найти значение x. танкс = 1 ÷ -1 Танкс = -1 х = ÷ 4 Но так как это комплексное число лежит в квадранте 4, и x находится в квадранте 1, мы изменим его на — ÷ 4. Теперь воспользуемся теоремой Де Муавра. 912(-1 + i0) 64(-1 + 0i) z = -64

Комплексные числа — Уроки Wyzant

Написано преподавателем Колином Д.

Как представить комплексные числа графически: комплексная плоскость

• Комплексное число x + yi соответствует точке с координатами (x, y)
• Ось X является реальной осью
• Ось Y является воображаемой осью
• Вещественные числа связаны с точками на оси x
  Например: x = x + 0i <- -=””> (x,0)
  
• Мнимые числа связаны с точками на оси Y
  Например: yi = 0 + yi <- -=””> (0,y)
  

Как найти точку (P) на комплексной плоскости

Тригонометрическая (полярная) форма

• Тригонометрическая форма «x + yi» равна r(cos θ + i sin θ)
  -Это может быть получено из более ранних эквивалентностей. Поскольку, когда у нас было
  x + yi, мы нашли x = r cos θ и
  y = r sin θ, мы можем заменить x и y на r cos θ
  и r sin θ соответственно:
  x + yi = (r cos θ) + (r sin θ)i
  — Если вынести «r» и умножить на «i», получится:
  r(cos θ + i sin θ)
• r = модуль или абсолютное значение
  r = (x ² + y ² ) ^1/2
  r = должен быть НЕотрицательным
• θ = Аргумент комплексного числа
  — Любой угол, котерминальный θ, также является аргументом для того же комплексного числа
  tan θ = y/x -> θ = arc tan (y/x)

Прямоугольная (стандартная) форма

• Прямоугольная форма «x + yi»

Как изменить прямоугольную форму на тригонометрическую

Как изменить тригонометрическую форму на прямоугольную

• Если B = 3√3 (cos 330° + i sin 330°)
  r = 3√3
  cos 330° = √(3/2)
  sin 330° = -1/2
• Тогда 3√3 (√(3/2) + -1/2 i) -> 9/2 – i(3√3)/2

Как выражать комплексные числа в правильной

• Всегда помните несколько важных правил правильной тригонометрической формы:
  — Модуль (r) всегда должен быть неотрицательным
  Это абсолютное значение диагонали от самой точки до начала координат.
  — Выражение в скобках должно иметь вид: cos θ + i sin θ.
  Убедитесь, что каждое слагаемое записано как положительное число.
• Пример: z = 2(cos 30° – i sin 30°)
  -Сначала выразите z в прямоугольной форме:
  2(√(3/2) – 1/2 i) -> √3 – 1i
  -Таким образом , на графике это будет состоять из перемещения на √3 единицы вправо и на 1 единицу вниз, в результате чего появится точка в квадранте IV
  .
  г = √((√3) ² + 1 ² ) -> √4 -> √2

  Используя тангенс θ = y/x, получаем:

  тангенс θ = 1/√3 -> арктангенс 1/√3 = -30° -> следовательно, θ = -30°
  -Наконец, замена:

  z = 2[cos (-30°) + i sin (-30°)]

Умножение и деление в тригонометрической форме

• ПРИМЕЧАНИЕ. В то время как прямоугольная форма облегчает понимание сложения/вычитания комплексных чисел, тригонометрическая форма является лучшим методом
  представления сложных чисел для целей умножения/деления.
• Если вы собираетесь умножить на два комплексных числа, z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) и z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2), произведение
  можно вывести, выполнив несколько простых шагов:
  – Умножьте модули , чтобы найти модуль произведения: r1 умножить на r2
  – Добавьте аргументы , чтобы найти аргумент суммы : cos (θ1 + θ2)
  + i sin (θ1 + θ2)
  -Умножить модуль произведения на аргумент суммы: r1r2 [cos (θ1 + θ2) +
  i sin (θ1 + θ2)]
• Чтобы разделить два комплексных числа:
  – Разделите модули , чтобы получить модуль в частном : r1/r2
  – Вычтите аргументы , чтобы получить аргумент разности : cos (θ1 – θ2)
  + i sin (θ1 – θ2)
  -Умножить модуль частного на аргумент разности: r1/r2 [cos (θ1 – θ2)
  + i sin ( θ1 – θ2)]
• Пример:
  z1 = √(3/2 + (1/2)i
  z2 = -2 – 2i
  Найдите z1 * z2:
  (1) Выразите каждое в тригонометрической форме
  z1 = 2(cos 30° + i sin 30°)
  z2 = 2√2(cos 225° + i sin 225°)
  (2) Модули умножения:
  2 * 2√2 = 4√2
  (3) Добавить аргументы:
  cos(30° + 225°) + i (sin 30° + 225°)
  (4) Треугольная форма = 4√2 [cos(30° + 225°) + i (sin 30° + 225°)]
  4√2[cos (255°) + i (sin 255°)]
  найти в прямоугольной форме, вычислить cos 255° и sin 255° и упростить:
  4√2 [cos (255°) + i (sin 255°)]
  С формулой суммы и разности:
  cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
  sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a
  С калькулятором:
  cos 255° = -0,2588
  sin 255° = -0,9659
  -1,464 – 5. 464i

Теорема ДеМойвера

• Повторяя описанную выше процедуру умножения, можно вывести теорему Де Муавра, позволяющую вычислять степени
  и корни комплексных чисел.
• Чтобы проиллюстрировать это, если бы мы продолжали умножать z = r (cos θ + i sin θ) само по себе, мы получили бы: ³ = r ³ (cos 3θ + i sin 3θ)
  z ⁴ = r ⁴ (cos 4θ + i sin 4θ)
• Для отрицательных показателей он разворачивается по следующему шаблону:
  z ^-1 = r ^-1 [(cos(-θ)) + i sin (-θ)]
  z ^-2 = r ^-2 [(cos(-2θ)) + i грех (-2θ)]
• Формально сформулированная теорема Де Муавра, как правило, гласит:
• ПРИМЕР:
  (1 + √3i) ⁵
  -В тригонометрической форме:
  2(cos 60° + i sin 60°)
  -Применить теорему Де Муавра:
  2 ⁵ [cos 5(6 0°) + i sin 5(60°)]
  32 (cos 300° + i sin 300°)
  32 (1/2 + i(-√3)/2)
  16 — (16√3)i

Корни комплексных чисел

• Некоторые основы визуализации корней комплексных чисел:
  — n корней комплексного числа лежат на окружности, образованной внутри комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом = (r) ^(1/n)
  — n корней на указанном круге расположены через равные промежутки, начиная с K = 0 и продолжая до k = n-1, прогрессируя с аргументами (т.

Примеры решения задач с комплексными числами с ответами

Простое объяснение принципов решения задач с комплексными числами и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения задач с комплексными числами

Теорема

Комплексным числом называется число вида: , являются действительными числами, – мнимая единица.

Алгебраическая форма комплексного числа:

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Модуль комплексного числа:

Аргумент комплексного числа:

Формула Эйлера:

Формула Муавра:

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений задач с комплексными числами

Пример 1

Задача

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

Найдём аргумент комплексного числа:

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Показательная форма комплексного числа:

Ответ

Пример 2

Задача

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

Найдём аргумент комплексного числа:

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Показательная форма комплексного числа:

Ответ

Пример 3

Задача

Найти сумму комплексных чисел и

Решение

Ответ

Пример 4

Задача

Найти разность комплексных чисел и

Решение

Ответ

Пример 5

Задача

Найти произведение комплексных чисел и

Решение

Ответ

Пример 6

Задача

Найти

Решение

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

По формуле Муавра получаем:

Ответ

Пример 7

Задача

Найти частное комплексных чисел и

Решение

Ответ

Пример 8

Задача

Найти частное комплексных чисел и

Решение

Ответ

Пример 9

Задача

Найти

Решение

Число в тригонометрической форме имеет вид:

При :

При :

При :

Ответ

при

при

при

Пример 10

Задача

Найти

Решение

Число в тригонометрической форме имеет вид:

При :

При :

Ответ

при

при

Средняя оценка 4. 5 / 5. Количество оценок: 11

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

29776

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Полезно

Умножение комплексных чисел, теория и примеры решений

Содержание:

• Умножение комплексных чисел в алгебраической форме
• Умножение комплексных чисел в геометрической форме

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

Определение

Произведением двух комплексных чисел $z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и $z_{2}=a_{2}+b_{2} i$$z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называется комплексное число $z$, равное

$z=z_{1} \cdot z_{2}=\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right) i$

На практике чаще всего комплексные числа перемножают как алгебраические двучлены $\left(a_{1}+b_{1} i\right)\left(a_{2}+b_{2} i\right)$, просто раскрыв скобки, в полученном результате надо учесть, что $i^{2}=-1$ . {2}=-2-i+3 \cdot(-1)=-5-i$

Ответ. $z_{1} \cdot z_{2}=-5-i$

Умножение комплексных чисел в геометрической форме

Если комплексные числа $z_{1}$ и $z_{2}$ заданы в геометрической форме: $z_{1}=\left|z_{1}\right|\left(\cos \phi_{1}+i \sin \phi_{1}\right)$, $z_{2}=\left|z_{2}\right|\left(\cos \phi_{2}+i \sin \phi_{2}\right)$, то произведением этих чисел есть число

$z_{1} z_{2}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|\left[\cos \left(\phi_{1}+\phi_{2}\right)+i \sin \left(\phi_{1}+\phi_{2}\right)\right]$

То есть модуль произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти произведение чисел $z_{1}=3 \cdot\left(\cos 10^{\circ}+i \sin 10^{\circ}\right)$, $z_{2}=2 \cdot\left(\cos 50^{\circ}+i \sin 50^{\circ}\right)$ . {\circ}\right)=3+3 \sqrt{3} i$

Читать дальше: деление комплексных чисел.

мнимых и комплексных чисел | Алгебра среднего уровня

Результаты обучения

• Выразите корни отрицательных чисел через i
• Представление мнимых чисел в виде bi и комплексных чисел в виде [latex]a+bi[/latex]

Вам действительно нужно только одно новое число, чтобы начать работать с квадратными корнями из отрицательных чисел. Это число представляет собой квадратный корень из [латекс]−1,\sqrt{-1}[/латекс]. действительных чисел — это те, которые можно изобразить на числовой прямой — они кажутся красивыми 9{2}}=-1[/latex]

Число i позволяет нам работать с корнями всех отрицательных чисел, а не только [латекс] \sqrt{-1}[/латекс]. Следует помнить два важных правила: [латекс] \sqrt{-1}=i[/латекс] и [латекс] \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/latex]. Вы будете использовать эти правила, чтобы переписать квадратный корень из отрицательного числа как квадратный корень из положительного числа, умноженный на [латекс] \sqrt{-1}[/латекс]. Далее вы упростите квадратный корень и перепишете [latex] \sqrt{-1}[/latex] как i. Давайте рассмотрим пример.

Пример

Упрощение. [latex] \sqrt{-4}[/latex]

Показать решение

Пример

Упрощение. [latex] \sqrt{-18}[/latex]

Показать решение

Пример

Упрощение. [latex] -\sqrt{-72}[/latex]

Показать решение

Возможно, вы хотели упростить [латекс] -\sqrt{-72}[/латекс], используя различные коэффициенты. Некоторым могло прийти в голову переписать этот радикал как [латекс] -\sqrt{-9}\sqrt{8}[/latex] или [латекс] -\sqrt{-4}\sqrt{18}[/latex], или [латекс] -\sqrt{-6}\sqrt{12}[/латекс], например. Каждый из этих радикалов в конечном итоге дал бы один и тот же ответ [латекс] -6i\sqrt{2}[/латекс].

В следующем видео мы покажем больше примеров того, как использовать мнимые числа для упрощения квадратного корня с отрицательным подкоренным числом.

Простые множители числа 920 — Calculatio

Калькулятор «Разложение чисел на простые множители»

Какие простые множители у числа 920?

Ответ: Простые множители числа 920: 2, 2, 2, 5, 23

или

2³ × 5 × 23

Объяснение разложения числа 920 на простые множители

Разложение 920 на простые множители (факторизация) — это представление числа 920 как произведения простых чисел. Другими словами, необходимо выяснить, какие простые числа нужно перемножить, чтобы получилось число 920.

Так как число 920 является составным (не простым) мы можем разложить его на простые множители.

Для того, чтобы получить список простых множителей числа 920, необходимо итеративно делить число 920 на минимально возможное простое число пока в результате не получится 1 (единица).

Ниже полное описание шагов факторизации числа 920:

Минимальное простое число на которое можно разделить 920 без остатка — это 2. Следовательно, первый этап расчета будет выглядеть следующим образом:

920 ÷ 2 = 460

Теперь необходимо повторять аналогичные действия, пока в результате не останется 1:

460 ÷ 2 = 230

230 ÷ 2 = 115

115 ÷ 5 = 23

23 ÷ 23 = 1

В итоге мы получили список всех простых множителей числа 920. Это: 2, 2, 2, 5, 23

Можно упростить выражение и записать как: 2³ × 5 × 23

Дерево простых множителей числа 920

Мы также можем визуализировать разложение числа 920 на простые множители в виде дерева факторизации:

Похожие расчеты

Поделитесь текущим расчетом

Печать

https://calculat.io/ru/number/prime-factors-of/920

<a href=»https://calculat.io/ru/number/prime-factors-of/920″>Простые множители числа 920 — Calculatio</a>

О калькуляторе «Разложение чисел на простые множители»

Данный калькулятор поможет разложить заданное число на простые множители. Например, он может помочь узнать какие простые множители у числа 920? Выберите начальное число (например ‘920’). После чего нажмите кнопку ‘Посчитать’.

Простые множители - это положительные целые числа, имеющие только два делителя - 1 и само себя.

Калькулятор «Разложение чисел на простые множители»

Таблица разложения чисел на простые множители

Число	Простые множители
905	5, 181
906	2, 3, 151
907	907
908	22 × 227
909	32 × 101
910	2, 5, 7, 13
911	911
912	24 × 3 × 19
913	11, 83
914	2, 457
915	3, 5, 61
916	22 × 229
917	7, 131
918	2 × 33 × 17
919	919
920	23 × 5 × 23
921	3, 307
922	2, 461
923	13, 71
924	22 × 3 × 7 × 11
925	52 × 37
926	2, 463
927	32 × 103
928	25 × 29
929	929
930	2, 3, 5, 31
931	72 × 19
932	22 × 233
933	3, 311
934	2, 467

Число 920

Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители. ..

Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел…

Сейчас изучают числа:

15000000060 15000000000 5593 5533 5812 5752 120101222010 6031 5971 605239718 605239658 700 и 1200 370 и 408 1309 1249 3570 55600000 124 684019 78461904 10 и 20 8889000 7 и 11 6628

Девятьсот двадцать

Описание числа 920

Целое вещественное трёхзначное число 920 является составным. 11 — сумма цифр данного числа. 16 — количество делителей числа. Их сумма: 2160. 920 и 0.0010869565217391304 являются взаимно обратными числами.

Представление числа 920 в других системах счисления: двоичная система счисления: 1110011000, троичная система счисления: 1021002, восьмеричная система счисления: 1630, шестнадцатеричная система счисления: 398. Перевод из числа байтов — 920 байтов .

Число азбукой Морзе: —-. ..— ——

Синус числа: 0.4677, косинус числа: -0.8839, тангенс числа: -0.5291. Натуральный логарифм числа равен 6.8244. У числа есть десятичный логарифм: 2.9638. 30.3315 — квадратный корень из числа 920, 9.7259 — корень кубический.

920 в секундах это 15 минут 20 секунд . Нумерологическое цифра числа 920 — 2.

• ← 919
• 921 →

Факторы числа 920 — Найти простые факторизации/множители числа 920 920 равны 2, 5, 23. Сумма всех делителей числа 920 равна 2160.

• Все делители числа 920: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 23, 40, 46, 92, 115, 184, 230, 460 и 920
• Простые множители числа 920: 2, 5, 23
• Простые факторизации числа 920: 2 ³ × 5 ¹ × 23 ¹
• Сумма коэффициентов 920: 2160

1.	Какие факторы 920?
2.	Коэффициенты 920 с помощью простой факторизации
3.	Коэффициенты 920 в парах
4.	Часто задаваемые вопросы о факторах 920

Что такое коэффициенты 920?

Множители 920 — это пары тех чисел, произведение которых дает 920. Эти множители являются либо простыми, либо составными числами.

Как найти делители числа 920?

Чтобы найти делители числа 920, нам нужно найти список чисел, которые делят 920 без остатка.

• 920/5 = 184; следовательно, 5 — это коэффициент 920, а 184 — тоже коэффициент 920.
• 920/23 = 40; следовательно, 23 — это множитель 920 и 40 тоже делят на 920.

Точно так же мы можем найти и другие факторы. Следовательно, делители числа 920 равны 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 23, 40, 46, 92, 115, 184, 230, 460, 920.

☛ Также проверьте:

• Факторы 28 — Делители 28 равны 1, 2, 4, 7, 14, 28
• Множители 19 — Множители 19 равны 1, 19
• Множители 31 — Множители 31 равны 1, 31
• Множители 14 — Множители 14 равны 1, 2, 7, 14
• Коэффициенты 100 — Коэффициенты 100 равны 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Коэффициенты числа 920 с помощью простой факторизации

Число 920 составное, поэтому оно имеет простые делители. Теперь давайте научимся вычислять простые множители числа 920. Первый шаг — разделить число 920 на наименьший простой множитель, здесь это 2. Продолжаем делить, пока не получится ненулевой остаток.

• 920 ÷ 2 = 460
• 460 ÷ 2 = 230
• 230 ÷ 2 = 115

Дальнейшее деление 115 на 2 дает ненулевой остаток. Поэтому мы останавливаем процесс и продолжаем делить число 115 на следующий наименьший простой множитель. В конце концов мы останавливаемся, если следующего простого множителя не существует или когда мы не можем дальше делить.

Итак, разложение числа 920 на простые множители можно записать как 2 ³ × 5 ¹ × 23 ¹ , где 2, 5, 23 — простые числа.

 

Множители 920 в парах

Парные множители 920 — это пары чисел, которые при умножении дают произведение 920. Множители 920 в парах:

• 1 × 920 = (1, 920)
• 2 × 460 = (2, 460)
• 4 × 230 = (4, 230)
• 5 × 184 = (5, 184)
• 8 × 115 = (8, 115)
• 10 × 92 = (10, 92)
• 20 × 46 = (20, 46)
• 23 × 40 = (23, 40)

Отрицательные парные множители 920:

• -1 × -920 = (-1, -920)
• -2 × -460 = (-2, -460)
• -4 × -230 = (-4, -230)
• -5 × -184 = (-5, -184)
• -8 × -115 = (-8, -115)
• -10 × -92 = (-10, -92)
• -20 × -46 = (-20, -46)
• -23 × -40 = (-23, -40)

ПРИМЕЧАНИЕ: Если (a, b) является парным множителем числа, то (b, a) также является парным множителем этого числа.

Коэффициенты 920 решенных примеров

1. Пример 1: Сколько множителей существует для числа 920?

   Решение:

   Делителей числа 920 слишком много, поэтому, если мы сможем найти простую факторизацию числа 920, то общее количество факторов можно рассчитать по приведенной ниже формуле.
   Если простая факторизация числа a ^x × b ^y × c ^z , где a, b, c — простые числа, тогда общее количество факторов можно определить как (x + 1) (y + 1) (z + 1).

   Факторизация числа 920 = 2 ³ × 5 ¹ × 23 ¹
   Следовательно, общее количество факторов равно (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 4 × 2 × 2 = 16.

2. Пример 2. Найдите наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОД) чисел 920 и 476. 23, 40, 46, 92, 115, 184, 230, 460, 920 и делители 476 равны 1, 2, 4, 7, 14, 17, 28, 34, 68, 119. , 238, 476.

   Следовательно, наименьшее общее кратное чисел 920 и 476 равно 109480, а наибольший общий делитель (НОД) чисел 920 и 476 равен 4.

3. Пример 3. Найдите, являются ли 2, 4, 20, 23, 40, 46, 217 и 920 делителями 920.

   Решение:

   При делении 920 на 217 остается остаток. Следовательно, число 217 не является делителем 920. Все числа, кроме 217, являются делителями 920.

4. Пример 4. Найдите произведение всех простых множителей числа 9.20.

   Решение:

   Поскольку простые множители числа 920 равны 2, 5, 23. Следовательно, произведение простых множителей = 2 × 5 × 23 = 230,

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Забронировать бесплатный пробный урок

 

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

Часто задаваемые вопросы о множителях числа 920

Что такое множители числа 920?

Множители числа 920 равны 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 23, 40, 46, 92, 115, 184, 230, 460, 920, а его отрицательные множители равны -1, -2, — 4, -5, -8, -10, -20, -23, -40, -46, -92, -115, -184, -230, -460, -920.

Какова сумма множителей числа 920?

Сумма всех множителей 920 = (2 ^{3 + 1} — 1)/(2 — 1) × (5 ^{1 + 1} — 1)/(5 — 1) × (23 ^{1 + 1} — 1)/(23 — 1) = 2160

Что такое основные факторы 920?

Простые делители числа 920 равны 2, 5, 23.

Каков наибольший общий делитель чисел 920 и 902?

Коэффициенты чисел 920 и 902 равны 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 23, 40, 46, 92, 115, 184, 230, 460, 920 и 1, 2, 11, 22, 41. , 82, 451, 902 соответственно.

Общие делители 920 и 902 [1, 2].

Следовательно, наибольший общий делитель (GCF) числа 920 и 902 равно 2.

Сколько Факторов числа 787 также являются общими с Факторами числа 920?

Так как множители числа 920 равны 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 23, 40, 46, 92, 115, 184, 230, 460, 920, а множители числа 787 равны 1 787. Отсюда , 920 и 787 имеют только один общий делитель, равный 1. Следовательно, числа 920 и 787 взаимно просты.

Как найти делители числа 920

Итак, вам нужно найти делители числа 920, не так ли? В этом кратком руководстве мы опишем, что такое множители числа 920, как их найти, и перечислим пары множителей числа 9.20 для вас, чтобы доказать, что расчет работает. Давайте погрузимся!

Хотите быстро научиться или показать учащимся, как находить множители числа 920? Включи это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!

Делители числа 920 Определение

Когда мы говорим о делителях числа 920, на самом деле мы имеем в виду все положительные и отрицательные целые числа (целые числа), которые можно без остатка разделить на 920. Если бы вы взяли 920 и разделили его на одним из его множителей, ответ будет другим множителем 920.

Давайте посмотрим, как найти все делители числа 920 и перечислить их.

Как найти делители числа 920

Мы только что сказали, что делитель — это число, которое можно разделить поровну на 920. Таким образом, способ найти и перечислить все делители числа 920 состоит в том, чтобы пройтись по всем числам до и включая 920, и проверьте, какие числа дают четное частное (что означает отсутствие десятичного знака).

Выполнение этого вручную для больших чисел может занять много времени, но компьютерная программа может сделать это относительно легко. Наш калькулятор вычислил это за вас. Вот все множители числа 920:

• 920 ÷ 1 = 920
• 920 ÷ 2 = 460
• 920 ÷ 4 = 230
• 920 ÷ 5 = 184
• 920 ÷ 8 = 115
• 920 ÷ 10 = 92
• 920 ÷ 20 = 46
• 920 ÷ 23 = 40
• 920 ÷ 40 = 23
• 920 ÷ 46 = 20
• 920 ÷ 92 = 10
• 920 ÷ 115 = 8
• 920 ÷ 184 = 5
• 920 ÷ 230 = 4
• 920 ÷ 460 = 2
• 920 ÷ 920 = 1

Все эти коэффициенты можно использовать для деления 920 и получить целое число. Полный список положительных факторов для 920:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 23, 40, 46, 92, 115, 184, 230, 460 и 920

Отрицательные факторы 920

Технически, в математике у вас также могут быть отрицательные множители 920. Если вы хотите вычислить множители числа для домашнего задания или теста, чаще всего учитель или экзамен будут искать именно положительные числа.

Однако мы можем просто преобразовать положительные числа в отрицательные, и эти отрицательные числа также будут множителями 9.20:

-1, -2, -4, -5, -8, -10, -20, -23, -40, -46, -92, -115, -184, -230, -460 и -920

Сколько делителей у числа 920?

Как видно из расчетов выше, всего имеется 16 положительных факторов для 920 и 16 отрицательных факторов для 920, всего 32 фактора для числа 920.

Имеется 16 положительных факторов для 920 и 16 отрицательных факторов. числа 920. Какие существуют отрицательные числа, которые могут быть делителями 920?

Фактор Пары по 920

Пара множителей представляет собой комбинацию двух множителей, которые можно перемножить вместе, чтобы получить 920. Для числа 920 все возможные пары множителей перечислены ниже:

• 1 x 920 = 920
• 2 x 460 = 920
• 4 x 230 = 920
• 5 x 184 = 920
• 8 x 115 = 920
• 10 x 92 = 920
• 20 x 46 = 920
9 0007 23 x 40 = 920

Мы также написали руководство в нем немного подробнее о парах факторов для 920 если интересно!

Как и прежде, мы можем перечислить все пары отрицательных множителей для числа 920:

• -1 x -920 = 920
• -2 x -460 = 920
• -4 x -230 = 920
900 07 -5 x -184 = 920
• -8 x -115 = 920
• -10 x -92 = 920
• -20 x -46 = 920
• -23 x -40 = 920

9 0002 Отрицательное уведомление пары множителей, что, поскольку мы умножаем минус на минус, результатом является положительное число.

Вот и все. Полное руководство по факторам 920. Теперь у вас должны быть знания и навыки, чтобы выйти и рассчитать свои собственные факторы и пары факторов для любого числа, которое вам нравится.

Как находить объем вещества в химии — V и его массу

Химия – одна из самых важных и разнообразных наук в нашей жизни. Это необязательно школьный предмет, ведь она окружает нас повсюду. В ней всё довольно запутано и порой даже противоречиво. Множество реакций протекает вокруг нас прямо сейчас, к примеру, приготовление пищи или же наложение компресса на рану. По сути, вся наша жизнь – это химическая реакция, поэтому химия очень важна.

Содержание:

• Введение
• Формула и алгоритм нахождения объёма
• Формула и алгоритм нахождения НЮ
• Видео

Введение

Знать, что такое объём в химии — недостаточно. Важно понимать как и что происходит, как протекает химическая реакция. Это нужно не просто для того, чтобы сдать очередную контрольную в школе или институте, а для того чтобы быть элементарно грамотным и знать: как, что и где применять, как приготовить раствор, какие вещества смешивать нельзя, а какие можно, какие из них опасны и какие безопасны. Всё это определённо приносит нам пользу, и, более того, делает нас умнее.

Формула и алгоритм нахождения объёма

Сегодня мы научимся одному немаловажному умению в химии – находить объём различных растворов и прочих веществ. Это знание необходимо потому, что оно поможет нам в решении многих задач как в тетради, так и в жизни. Нужно лишь знать устоявшуюся формулу.

Важно понимать, что формула нахождения объёма может быть разной в зависимости от того вещества, объём которого нам предстоит найти, а точнее, от агрегатного состояния этого вещества. Для нахождения объёма газа и жидкости используются разные, непохожие друг на друга формулы.

Чёткая и правильная формула для расчёта объёма жидкости выглядит следующим образом: С=n/V.

В этом случае:

1. C – молярная масса раствора (моль на литр).
2. n – количество вещества (моль).
3. V – объём вещества-жидкости (литры).

Из этого следует что V=n/c.

Cуществует и вторая формула для нахождения объёма жидкости при другой задаче и других данных: V=m/p.

Здесь, соответственно:

1. V – объём и измеряется он в миллилитрах.
2. m – масса, измеряется в граммах.
3. p – плотность, измеряется в граммах, делённых на миллилитры.

В случае если, кроме объёма, требуется также найти массу, это можно сделать, зная формулу и количество нужного вещества. При помощи формулы вещества находим его молярную массу путём сложения атомной массы всех элементов, которые входят в его состав.

Для примера возьмём M (AuSo2) и при расчётах у нас должно выйти 197+32+16 * 2 = 261 г/моль. После проведённых расчётов находим массу по формуле m=n*M, где, следовательно:

1. m – масса.
2. n – количество вещества, которое измеряется в молях (моль).
3. M – молярная масса вещества: граммы, делённые на моль.

Количество вещества, как правило, даётся в задаче. Если же нет, то, скорее всего, допущена опечатка или ошибка в условии, и вам стоит обратиться за помощью и объяснениями к учителю, а не пытаться самим вывести несуществующую величину. Основные формулы и алгоритмы решения приведены в данной статье.

Также существует формула для нахождения объёма газа, и выглядит она так – V=n*Vm:

1. V – объём газа (литры).
2. n – количество вещества (моль).
3. Vm – молярный объём газа (литры/моль).

Но есть своего рода исключение. Оно состоит в том, что при нормальных условиях, то есть при определённом давлении и температуре, объём газа является постоянной величиной, равной 22,3 л/моль.

Есть и третий вариант. Если в самом задании будет присутствовать уравнение реакции, тогда ход решения должен проходить иначе. Из уравнения, которое у вас имеется, можно найти количество каждого вещества, оно будет равняться коэффициенту. К примеру, Ch5 + 2O2 = CO2 + h3O. Из этого уравнения следует, что 1 моль метана и 2 моль кислорода при взаимодействии дают 1 моль углерода и 1 моль воды. Даже если учесть тот факт, что в условии имеется количество вещества лишь одного-единственного компонента, не составит труда найти количество всех остальных веществ. Если количество метана составит 0,3 моль, значит, n(Сh5) будет равняться 0,6 моль, n(CO2) = 0,3 моль, n(h3O) = 0.3 моль.

Формула и алгоритм нахождения НЮ

Кроме того, нужно научиться находить так называемое НЮ в химии, ведь эти термины близко связаны и часто стоят рядом в какой-либо задачке.

НЮ в этом случае – количество вещества.

И как же нам его найти, спросите вы?

НЮ также находится довольно просто. Необходимо лишь применить логику и формулы, и все получится.

Для нахождения НЮ нам лишь нужно массу разделить на молярную массу. В виде формулы это будет выглядеть так: v=m/M.

Соответственно:

1. m – масса.
2. M – молярная масса.

Теперь вы знаете как в химии находится объём и масса вещества. И пускай выглядит это всё довольно непросто, но запоминание несложного алгоритма позволит вам легко ориентироваться в данных формулах и в последующем разбираться в химии, которая также представляет собой совокупность формул и алгоритмов, из которых в целом и состоит весь наш мир. Удачи и положительных результатов в ваших начинаниях!

Видео

Из этого видео вы узнаете, как решать задачи по химии в несколько действий.

,

Основные формулы для решения задач по химии

05-Авг-2012 | комментариев 450 | Лолита Окольнова

Все, все основные задачи по химии решаются с помощью

нескольких основных понятий и формул.

У всех веществ разная масса, плотность и объем. Кусочек металла одного элемента может весить во много раз больше, чем точно такого же размера кусочек другого металла.

Моль (количество моль)

обозначение: моль, международное: mol — единица измерения количества вещества. Соответствует количеству вещества, в котором содержится N_A частиц (молекул, атомов, ионов). Поэтому была введена универсальная величина — количество моль. Часто встречающаяся фраза в задачах — «было получено… моль вещества»

N_A = 6,02 · 10²³ 

N_A — число Авогадро.  Тоже «число по договоренности». Сколько атомов содержится в стержне кончика карандаша? Несколько миллионов. Оперировать такими величинами не удобно. Поэтому химики и физики всего мира договорились — обозначим 6,02 · 10²³ частиц (атомов, молекул, ионов) как 1 моль вещества.

1 моль =  6,02 · 10²³ частиц 

Это была первая из основных формул для решения задач.

Молярная масса вещества

Молярная масса вещества — это масса одного моль вещества. Обозначается как M

Есть еще молекулярная масса — Mr

Находится по таблице Менделеева — это просто сумма атомных масс вещества.

Например, нам дана серная кислота — H₂SO₄. Давайте посчитаем молярную массу вещества: атомная масса H =1, S-32, O-16.
Mr(H₂SO₄)=1•2+32+16•4=98 г\моль.

Вторая необходимая формула для решения задач —

формула массы вещества:

Т.е., чтобы найти массу вещества, необходимо знать количество моль (n), а молярную массу мы находим из Периодической системы.

Закон сохранения массы — масса веществ, вступивших в химическую реакцию, всегда равна массе образовавшихся веществ.

Если мы знаем массу (массы) веществ, вступивших в реакцию, мы можем найти массу (массы) продуктов этой реакции. И наоборот.

Третья формула для решения задач по химии —

объем вещества:

Откуда взялось число 22. 4?  Из закона Авогадро:

в равных объёмах различных газов, взятых при одинаковых температуре и давлении, содержится одно и то же число молекул.

Согласно закону Авогадро, 1 моль идеального газа при нормальных условиях (н.у.) имеет один и тот же объём V_m = 22,413 996(39) л

Т.е., если в задаче нам даны нормальные условия, то, зная количество моль (n), мы можем найти объем вещества.

Итак,  основные формулы для решения задач по химии

 Число Авогадро N_A

6,02 · 10²³ частиц

Количество вещества n (моль)

n=m\M

n=V\22.4 (л\моль)

Масса вещества m (г)

m=n•Mr

Объем вещества V(л)

V=n•22.4 (л\моль)

или вот еще удобная табличка:

 Это формулы. Часто для решения задач нужно сначала написать уравнение реакции и (обязательно!) расставить коэффициенты — их соотношение определяет соотношение молей в процессе.

В ОГЭ и ЕГЭ по химии задач , в которых нужно было бы найти только объем \ массу \ кол-во моль нет — это обычно ЧАСТЬ решения задачи. Однако, чтобы легко решать более сложные задачи, нужно тренироваться на таких вот небольших упражнениях.

Находим количество вещества по массе

 
1 Какое количество вещества алюминия содержится в образце металла массой 10.8 г?

2 Какое количество вещества содержится в оксиде серы (VI) массой 12 г?

3 Определите количество моль брома, содержащееся в массе 12.8 г.

 

Находим массу по количеству вещества:

 

4. Определите массу карбоната натрия количеством вещества 0.25 моль.

 

Объем по количеству вещества:

 
5. Какой объем будет иметь азот при н.у., если его количество вещества 1.34 моль?

6. Какой объем занимают при н.у. 2 моль любого газа?
 

Ответы:/p>
 

1. 0. 4 моль
2. 0.15 моль
3. 0.08 моль
4. 26.5 г
5. 30 л
6. 44.8 л

Категории: |

(Правила комментирования)

Калькулятор объема к массе | Mass to Volume

Создано Юлией Жулавинской

Отзыв Стивена Вудинга

Последнее обновление: 21 декабря 2022 г.

Поиск материала «Сборник задач по теории функций комплексного переменного, Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г., 2004» для чтения, скачивания и покупки

Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

Search results:

1. Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович — Сборник задач…

   Авторы полагают также, что «Сборник» окажется полезным для лиц, специализирующихся по механике непрерывных сред [гидродинамика, теория упругости) и электротехнике, так как в нем содержится большое число задач либо по непосредственному применению ТФКП к указанным дисциплинам, либо по вопросам, представляюшим их математическую основу (конформные отображения, гармонические функции, потенциалы, интегралы типа Коши и т. д.). Нам кажется, что «Сборник» достаточно полно отражает основные разделы ТФКП

   studizba. com

2. {4 семестр} Теория функций комплексного переменного

   ТФКП_Задачник_Волковыский.djvu.

   ТФКП_Семинары(решения_Волковысского).pdf.

   vk.com

3. Купить эту книгу

4. Канцтовары

   Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради. Ранцы, рюкзаки, сумки. И многое другое.

   my-shop.ru

6. Сборник задач по ТФКП | Волковыский Л.И., Лунц…

   Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебными материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного. К некоторым задачам даны указания, а наиболее трудные задачи снабжены решениями.

   libcats. org

7. Книга Сборник задач по ТФКП (Волковыский Л.И., Лунц…)

   Читать онлайн книгу Сборник задач по ТФКП автора Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г.

   reallib.org

8. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.

   УДК 517.53 ББК 22.16 В 67 Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. СборСборник задач по теории функций комплексного переменного.

   Учебное издание ВОЛКОВЫСКИЙ Лев Израилевич ЛУНЦ Григорий Львович АРАМАНОВИЧ Исаак Генрихович СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Редактор Е.Ю. Ходан Оригинал-макет Н.Л. Ивановой Оформление переплета А.Ю. Алехиной ЛР №071930 от 06.07.99.

   djvu.online

9. Сборник задач по теории функций комплексного переменного

   В «Сборнике » имеются также циклы задач, выходящих за рамки программы. Некоторые из них могут служить основой для курсовых студенческих работ и материалом для занятий на семинарах по ТФКП. Авторы полагают также, что «Сборник » окажется полезным для лиц, специализирующихся по механике непрерывных сред (гидродинамика, теория упругости) и электротехнике, так как в нем содержится большое число задач

   Скачать книгу бесплатно (djvu, 3.03 Mb). Читать «Сборник задач по теории функций комплексного переменного».

   libcats.org

10. «теория функций комплексного переменного» скачать бесплатно.

    Категория: 1538431-Подборка книг по Математике, Теория функций комплексного переменного.

    Сборник задач по теории функций комплексного переменного.

    Программа и задания по теории функций комплексного переменного. Бежанов К.А., и др.

    Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Категория: Mathematics, Calculus, Complex variable.

    libcats. org

11. Сборник задач по теории функций комплексного переменного…

    В «Сборнике» имеются также циклы задач, выходящих за рамки программы. Некоторые из них могут служить основой для курсовых студенческих работ и материалом для занятий на семинарах по ТФКП. Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебным материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного. К некоторым задачам даны указания, а наиболее трудные задачи снабжены решениями.

    vtome.ru

12. Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович — Сборник задач…

    Главная » Учебные материалы » Математический анализ » Книги » МГУ им. Ломоносова » 4 семестр » Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович — Сборник задач по теории функций комплексного переменного.

    А.В. Домрина, Т.А. Леонтьева — Методическая разработка по теории функций комплексного переменного.

    studizba.com

13. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. — Сборник…

    Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. — Сборник задач по теории функций комплексного переменного (Задачники). Предмет: Физический факультет, ТФКП.

    chembaby.ru

14. Скачать Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович… — Eruditor

    Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. 4-е изд., перераб. — М.: Физматлит, 2004. — 312 с. — ISBN 5-9221-0264-8. Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебным материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного. К некоторым задачам даны указания, а наиболее трудные задачи снабжены решениями.

    e.eruditor.one

15. Электронные книги Л.И. Волковыский «Сборник задач по…»

    «Сборник задач по теории функций комплексного переменного» (ТФКП) предназначается в основном для студентов механико-математических и физико-математических факультетов университетов, соответствующих отделений пединститутов и технических вузов с повышенной программой по математике. В «Сборнике» имеются также циклы задач, выходящих за рамки программы. Некоторые из них могут служить основой для курсовых студенческих работ и материалом для занятий на семинарах по ТФКП.

    book-fb2.ru

16. Литература по ТФКП и операционному исчислению — @дневники…

    Выкладываю подборку литературы по теории функций комплексного переменного и операционному исчислению. Поскольку я не в состоянии оценить преимущества той или иной книги, то условно делю их на учебники, руководства по решению задач/задачники и монографии.

    ISBN 5-89176-255-2 Лекции по теории функций комплексного переменного рассчитаны на читателя, знакомого с основным курсом математического анализа в объеме, например, учебника «Основы математического анализа», часть II, В.А. Ильин, ЭТ. Позняк.

    diary.ru

17. СБОРНИК ЗАДАЧ

    Учебное пособие содержит около 600 примеров и задач по теории функций комплексного переменного и по операционному исчислению. Оно предназначается для студентов механико-математического, физического факультетов и факультета ВМК. Пособие можно использовать на факультете повышения квалификации пре-подавателей, а также при чтении спецкурсов и проведении семинаров по геометри-ческой теории функций комплексного переменного.

    dspace.kpfu.ru

18. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач…

    «Сборник задач по теории функций комплексного переменного» (ТФКП) предназначается в основном для студентов механико-математических и физико-математических факультетов университетов, соответствующих отделений пединститутов и технических вузов с повышенной программой по математике. В «Сборнике» имеются также циклы задач, выходящих за рамки программы. Некоторые из них могут служить основой для курсовых студенческих работ и материалом для занятий на семинарах по ТФКП.

    xn—-8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai

19. Книга Сборник задач по теории функций комплексного…

    «Сборник задач по теории функций комплексного переменного» — читать интересную книгу автора (Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович).

    reallib.org

20. Решебник волковыский лунц араманович сборник задач по…

    Поиск материала «Сборник задач по теории функций комплексного переменного, Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г., 2006» для чтения, скачивания и покупки. Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

    Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебными материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного.

    xn—-8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai

21. Сборник задач по ТФКП | Волковыский Л.И., Лунц…

    Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебными материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного. К некоторым задачам даны указания, а наиболее трудные задачи снабжены решениями.

    en.bookfi.net

22. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. | Сборник задач. ..

    «Сборник задач по теории функций комплексного переменного» (ТФКП) предназначается в основном для студентов механико-математических и физико-математических факультетов университетов, соответствующих отделений пединститутов и технических вузов с повышенной программой по математике. В «Сборнике» имеются также циклы задач, выходящих за рамки программы. Некоторые из них могут служить основой для курсовых студенческих работ и материалом для занятий на семинарах по ТФКП.

    www.arhibook.ru

23. Л.И. Волковыский «Сборник задач по теории функций…»

    автор: Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. категория: Наука и образование. «Сборник задач по теории функций комплексного переменного» (ТФКП) предназначается в основном для студентов механико-математических и физико-математических факультетов университетов, соответствующих отделений пединститутов и технических вузов с повышенной программой по математике.

    log-in.ru

24. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. — Сборник…

    На странице библиотеки представлен файл DJVU с Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. — Сборник задач по теории функций комплексного переменного (2002)(3-e с 1975 г.)(ru).

    read.in.ua

25. «Сборник задач по теории функций комплексного…»

    Сервис электронных книг Литрес предлагает скачать книгу Сборник задач по теории функций комплексного переменного, Исаака Арамановича в pdf или читать онлайн! Оставляйте и читайте отзывы о книге на Литрес! Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебным материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного. К некоторым задачам даны указания, а наиболее трудные задачи снабжены решениями.

    www.litres.ru

26. Сборник задач по теории функций комплексного…

    517 В 677 Волковыский, Лев Израилевич. Сборник задач по теории функций комплексного переменного : [Для вузов] / Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. — Издание 2-е, переработанное и дополненное.

    ББК 517.214. Рубрики: Функции комплексного переменного—Задачи. Доп.точки доступа: Лунц, Григорий Львович Араманович, Исаак Генрихович. Экземпляры: Всего: 2, Отдел книгохранения — 2 экз.

    elib.natlibraryrm.ru

27. Сборник задач по теории функций комплексного переменного

    Год выпуска: 2004 Автор: Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович Издательство: ФИЗМАТЛИТ Страниц: 312 ISBN: 5-9221-0264-8. Описание. Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебным материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного. К некоторым задачам даны указания, а наиболее трудные задачи снабжены решениями.

    litra.studentochka.ru

28. {3 семестр} Теория функций комплексного переменного

    Решение месячных задач.

    Восковыский_Лунц_Араманович_1975_Сборник_задач по_теории_ функций_комплексного_переменного.pdf.

    vk.com

29. Волковыский, Лев Израилевич — Сборник задач по теории…

    1# $a Волковыский, Лев Израилевич. 245. 00 $a Сборник задач по теории функций комплексного переменного $h [Текст] : $b [Для вузов] $c Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. 260. ## $a Москва $b Физматгиз $c 1960.

    Книги (изданные с 1831 г. по настоящее время). Сведения об ответственности. Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. Выходные данные. Москва : Физматгиз, 1960.

    search.rsl.ru

30. Волковыский, Лев Израилевич — Сборник задач по теории…

    Сборник задач по теории функций комплексного переменного [Текст] : [Для вузов] / Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Наука, 1970.

    Книги (изданные с 1831 г. по настоящее время). Сведения об ответственности. Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович.

    search.rsl.ru

31. Волковыский, Лев Израилевич — Сборник задач по теории…

    1# $a Волковыский, Лев Израилевич. 245. 00 $a Сборник задач по теории функций комплексного переменного $h [Текст] : $b учебное пособие для студентов высших учебных заведений $c М. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. 250.

    ## $a Имеется электронная копия $n Договор с правообладателем. 650. #7 $a Физико-математические науки — Математика — Математический анализ — Теория функций комплексного переменного — Задачник для высшей школы $2 rubbk.

    search.rsl.ru

32. Книга «Сборник задач по теории функций комплексного…»

    Он являлся специалистом по теории рядов Дирихле, которые связаны с различными интегральными преобразованиями, дифференциальными уравнениями, специальными классами функций. Им были написаны учебники и методические пособия по теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, операционному исчислению; он участвовал в создании сборника задач по математическому анализу и краткого физико-технического справочника.

    urss.ru

33. Сборник задач по теории функций комплексного переменного

    Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебным материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного.

    Конформные отображения, связанные с элементарными функциями § 1. Линейные функции § 2. Дополнительные вопросы теории линейных преобразований § 3. Рациональные и алгебраические функции § 4. Элементарные трансцендентные функции § 5. Границы однолистности, выпуклости и звездности Глава III.

    www.centrmag.ru

34. ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/AramanovichLuncElsgolc1968…

    ikfia.ysn.ru

35. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. — Сборник…

    Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter. Название: Сборник задач по теории функций комплексного переменного. Авторы: Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Аннотация: Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебными материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного. К некоторым задачам даны указания, а наиболее трудные задачи снабжены решениями.

    lib.mexmat.ru

Онлайн расчет обратных тригонометрических функций

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Неравенства

• Линейные неравенства

Таблица числовых промежутков
Алгоритм решения линейного неравенства
Примеры решения линейных неравенств

• Квадратные неравенства

Алгоритм решения квадратного неравенства
Примеры решения квадратных неравенств

• Дробно рациональные неравенства

Алгоритм решения дробно рационального неравенства
Примеры решения дробно рациональных неравенств

• Системы неравенств

Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решения систем неравенств

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

<    меньше,

≤    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

ax<bax≤bax>bax≥b

где a и b – любые числа, причем a≠0,x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3x<5x−2≥07−5x<1x≤0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x<cx≤cx>cx≥c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

• Если знак неравенства строгий >,<, точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

• Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

• Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Алгоритм решения линейного неравенства

1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

ax<bax≤bax>bax≥b

1. Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

• Если a>0 то неравенство приобретает вид x≤ba.

• Если a<0, то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x≥ba.

1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    3(2−x)>18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6−3x>18

−3x>18−6−3x>12|÷(−3)

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как    −3<0,  знак неравенства поменяется на противоположный. x<12−3⇒x<−4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈(−∞;−4)

№2. Решить неравество    6x+4≥3(x+1)−14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x+4≥3x+3−14

6x−3x≥3−14−4

3x≥−15    |  ÷3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как 3>0,   знак неравенства после деления меняться не будет.

x≥−153⇒x≥−5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈[−5;  +∞)

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    6x−1≤2(3x−0,5).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x−1≤6x−1

6x−6x≤−1+1

0≤0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:
1. x – любое число
2. x∈(−∞;+∞)
3. x∈ℝ

 

 

 

 

№2. Решить неравенство    x+3(2−3x)>−4(2x−12).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x+6−9x>−8x+48

−8x+8x>48−6

0>42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x∈∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0 где a, b, c — некоторые числа, причем   a≠0,x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

1. Решить уравнение ax2+bx+c=0 и найти корни x1 и x2.
1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий >,<, точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точки будут жирные (заштрихованный).

1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение ax2+bx+c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

1. Записать ответ.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство    x2≥x+12.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2≥x+12

x2−x−12≥0

x2−x−12=0

a=1,b=−1,c=−12

D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=1+48=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−1)±492⋅1=1±72=[1+72=82=41−72=−62=−3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−x−1=62−6−1=29>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪.

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−∞;−3]∪[4;+∞)

№2. Решить неравенство    −3x−2≥x2.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

−3x−2≥x2

−x2−3x−2≥0

−x2−3x−2=0

a=−1,b=−3,c=−2

D=b2−4ac=(−3)2−4⋅(−1)⋅(−2)=9−8=1

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±12⋅(−1)=3±1−2=[3+1−2=4−2=−23−1−2=2−2=−1

x1=−2,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x−2=−(0)2−3⋅0−2=−2<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   −.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥, выбираем в ответ интервал со знаком   +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈[−2;−1]

№3. Решить неравенство   4<x2+3x.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

4<x2+3x

−x2−3x+4<0

−x2−3x+4=0

a=−1,b=−3,c=4

D=b2−4ac= (−3)2−4⋅(−1)⋅4=9+16=25

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±252⋅(−1)=3±5−2=[3+5−2=8−2=−43−5−2=−2−2=1

x1=−4,x2=1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x+4=−(2)2−3⋅2+4=−6<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <,  выбираем в ответ интервалы со знаком   −.

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−∞;−4)∪(1;+∞)

№4. Решить неравенство   x2−5x<6.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2−5x<6

x2−5x−6<0

x2−5x−6=0

a=1,b=−5,c=−6

D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅(−6)=25+25=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−5)±492⋅1=5±72=[5+72=122=65−72=−22=−1

x1=6,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−5x−6=102−5⋅10−6=100−50−6= 44>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <, выбираем в ответ интервал со знаком   -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ:   x∈(−1;6)

№5. Решить неравенство   x2<4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x2<4

x2−4<0

x2−4=0

(x−2)(x+2)=0⇔[x−2=0x+2=0 [x=2x=−2

x1=2,x2=−2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−4=32−4=9−4=5>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <,   выбираем в ответ интервал со знаком   −.

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−2;2)

№6. Решить неравенство   x2+x≥0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения   x2+x=0.

x2+x≥0

x2+x=0

x(x+1)=0⇔[x=0x+1=0[x=0x=−1

x1=0,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2+x=12+1=2>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−∞;−1]∪[0;+∞)

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x−1x+3<03(x+8)≤5×2−1x>0x+20x≥x+3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

1. Приравнять числитель дроби к нулю   f(x)=0.  Найти нули числителя.
1. Приравнять знаменатель дроби к нулю   g(x)=0.  Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось xнули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

1. Расставить знаки на интервалах.
1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство   x−1x+3>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f(x)g(x)>0.
1. Приравниваем числитель к нулю  f(x)=0.

x−1=0

x=1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

1. Приравниваем знаменатель к нулю  g(x)=0.

x+3=0

x=−3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):x−1x+3 = 2−12+3=15>0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   >,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ:   x∈(−∞;−3)∪(1;+∞)

№2. Решить неравенство   3(x+8)≤5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Привести неравенство к виду  f(x)g(x)≤0.

3(x+8)≤5

3(x+8)−5\x+8≤0

3x+8−5(x+8)x+8≤0

3−5(x+8)x+8≤0

3−5x−40x+8≤0

−5x−37x+8≤0

1. Приравнять числитель к нулю  f(x)=0.

−5x−37=0

−5x=37

x=−375=−375=−7,4

x=−7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

1. Приравнять знаменатель к нулю  g(x)=0.

x+8=0

x=−8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение  f(x)g(x):

−5x−37x+8=−5⋅0−370+8=−378<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   ≤,  выбираем в ответ интервалы со знаком   -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ:   x∈(−∞;−8)∪[−7,4;+∞)

№3. Решить неравенство   x2−1x>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f(x)g(x)>0.
1. Приравнять числитель к нулю  f(x)=0.

x2−1=0

(x−1)(x+1)=0⇒[x−1=0x+1=0[x=1x=−1

x1=1,x2=−1  — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

1. Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.

x=0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение  f(x)g(x):

x2−1x=22−12=4−12=32>0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   >,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−1;0)∪(1;+∞)

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств — это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{x+4>02x+3≤x2

Алгоритм решения системы неравенств

1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств   {2x−3≤57−3x≤1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2x−3≤5 

2x≤8|÷2, поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x≤4;

Графическая интерпретация:

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

7−3x≤1

−3x≤1−7

−3x≤−6|÷(−3),  поскольку  −3<0,  знак неравенства после деления меняется на противоположный.

x≥2

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

Ответ:   x∈[2;4]

№2. Решить систему неравенств   {2x−1≤51<−3x−2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2x−1≤5

2x≤6|÷2, поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x≤3

Графическая интерпретация:

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

1<−3x−2

3x<−1−2

3x<−3|÷3,  поскольку  3>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x<−1

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ:   x∈(−∞;−1)

№3. Решить систему неравенств   {3x+1≤2xx−7>5−x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

3x+1≤2x

3x−2x≤−1

x≤−1

Графическая интерпретация решения:

1. Решаем второе неравенство системы

x−7>5−x

x+x>5+7

2x>12| ÷2,  поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x>6

Графическая интерпретация решения:

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

Ответ:   x∈∅

№4. Решить систему неравенств   {x+4>02x+3≤x2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

x+4>0

x>−4

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

1. Решаем второе неравенство системы

2x+3≤x2

−x2+2x+3≤0

Решаем методом интервалов.

−x2+2x+3=0

a=−1,b=2,c=3

D=b2−4ac=22−4⋅(−1)⋅3=4+12=16

D>0 — два различных действительных корня.

x1,2=−b±D2a=−2±162⋅(−1)=−2±4−2=[−2−4−2=−6−2=3−2+4−2=2−2=−1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения  ∪.

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−4;−1]∪[3;+∞)

 

Скачать домашнее задание к уроку 8.

 

определение, отображение на числовой прямой, примеры

Понятие решения неравенства с одной переменной

Решением неравенства с одной переменной называют такое множество всех значений этой переменной, при подстановке которых в это неравенство вместо неизвестного получается верное числовое неравенство.

При решении неравенств используются свойства неравенств (см. §36 этого справочника), из которых следует:

• если перенести какое-либо слагаемое неравенства в другую часть, знак неравенства не изменится;
• если разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, знак не изменится; при делении на одно и то же отрицательное число знак нужно поменять.

Например: Решить неравенство $5x-12 \gt 3x+4$

$5x-12 \gt 3x+4$

Переносим 12 вправо со знаком +

$5x \gt 3x+4+12$

Переносим 3x влево со знаком —

$5x-3x \gt 4+12$

$2x \gt 16$

Делим на 2 обе части неравенства

$x \gt 8$

Получаем ответ: $x \gt 8 или x \in (8;+\infty)$

Ответом является бесконечное множество решений – все действительные числа больше 8. Эти решения образуют открытый луч (см. §16 данного справочника)

Изображение множества решений неравенства с одной переменной на числовой прямой

Подробно о числовой прямой и видах числовых промежутков на ней рассказано в §16 данного справочника. Здесь мы изобразим числовые промежутки как решения неравенств на более простых примерах.

Отрезок
	$3 \le x \le 5 или x \in [3;5]$
Интервал
	$3 \lt x \lt 5 или x \in (3;5)$
Полуинтервал
	$3 \lt x \le 5 или x \in (3;5]$
	$3 \le x \lt 5 или x \in [3;5)$
Луч
	$x \ge 3 или x \in [3, +\infty)$
	$x \le 5 или x \in (-\infty,5]$
Открытый луч
	$x \gt 3 или x \in (3,+\infty)$
	$x \lt 5 или x \in (-\infty,5)$

Примеры

Пример 1. 2-x-6+10 $

$x \ge 4 или x \in [4;+ \infty)$- луч

Пример 2. Длина стороны прямоугольника 7 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 5 см?

Пусть x неизвестная сторона прямоугольника.

Периметр прямоугольника: $P_{rec} = 2(7+x)$

Периметр квадрата: $P_{sq} = 4 \cdot 5 = 20$

По условию:

$$ 2(7+x) \lt 20 |:2 $$

$$ 7+x \lt 10 $$

$$ x \lt 3 $$

Т.к. речь идёт о стороне прямоугольника, которая не может быть равной 0 или отрицательной, получаем: $0 \lt x \lt 3$ (см)

Ответ: $0 \lt x \lt 3$ см

Пример 3. Турист отправился на моторной лодке по течению реки и должен вернуться обратно не позже, чем через 5 часов. На какое расстояние может отъехать турист, если скорость течения 3 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 15 км/ч.

Заполним таблицу:

v, км/ч

t, ч

s, км

По течению

18

$\frac{s}{18}$

s

Против течения

12

$\frac{s}{12}$

s

По условию:

$$\frac{s}{18} + \frac{s}{12} \le 5 | \times 36 $$

$$ 2s+3s \le 180 $$

$$ 5s \le 180 $$

$$ s \le 36 $$

Турист не должен отъезжать дальше, чем на 36 км.

Ответ: не более 36 км.

4.7 Решение линейных неравенств | Уравнения и неравенства

Предыдущий 4.6 Буквенные уравнения

Следующий 4.8 Краткое содержание главы

4.7 Решение линейных неравенств (EMA3H)

Линейное неравенство похоже на линейное уравнение в том, что наибольший показатель степени переменной равен \(\текст 1}\). Ниже приведены примеры линейных неравенств.

\начать{выравнивать*} 2х+2&\ле 1\ \frac{2 — x}{3x + 1} & \ge 2 \\ \frac{4}{3}x — 6 & < 7x + 2 \конец{выравнивание*}

Методы, используемые для решения линейных неравенств, аналогичны тем, которые используются для решения линейных уравнений. Единственный разница возникает, когда есть умножение или деление, которое включает знак минус. Например, мы знайте, что \(8>6\). Если обе части неравенства разделить на \(-\text{2}\), то получим \(-4>-3\), что неверно. Следовательно, знак неравенства необходимо поменять местами, что дает \(-4<-3\).

Чтобы сравнить неравенство с нормальным уравнением, мы сначала решим уравнение.

Решите \(2x + 2 = 1\):

\начать{выравнивать*} 2х+2&=1\ 2х & = 1 — 2 \ 2х&=-1\ х & = -\фракция{1}{2} \конец{выравнивание*}

Если мы представим этот ответ на числовой прямой, мы получим:

Теперь найдем \(x\) в неравенстве \(2x + 2 \le 1\):

\начать{выравнивать*} 2х+2&\ле 1\ 2x&\le 1 — 2\ 2х&\ле-1\ х & \ le — \ гидроразрыва {1} {2} \конец{выравнивание*}

Если мы представим этот ответ в числовой строке, мы получим:

Мы видим, что для уравнения существует только одно значение \(х\), для которого уравнение истинно. Однако, для неравенства существует диапазон значений, для которых неравенство верно. Это главное отличие между уравнением и неравенством.

Помните: когда мы делим или умножаем обе части неравенства на отрицательное число, направление изменения неравенства. Например, если \(x<1\), то \(-x>-1\). Также обратите внимание, что мы не можем разделить или умножить на переменную.

Следующее видео знакомит с линейными неравенствами.

Видео: 2FGH

Интервальное обозначение (EMA3J)

Примеры:

\(\влево(4;12\вправо)\)	Круглые скобки означают, что номер не включен. В этот интервал входят все действительные числа больше, но не равны \(\text{4}\) и меньше, но не равны \(\текст{12}\).
\(\влево(-\infty ;-1\вправо)\)	Круглые скобки всегда используются для положительной и отрицательной бесконечности. Этот интервал включает все действительные числа меньше, но не равны \(-\text{1}\).
\(\влево[1;13\вправо)\)	Квадратная скобка означает, что число включено. В этот интервал входят все действительные числа больше или равные \(\text{1}\) и меньше, но не равные \(\текст{13}\).

Важно отметить, что это обозначение может использоваться только для представления интервала действительных чисел.

Мы представим приведенный выше ответ в интервальной нотации как \(\left(-\infty ; -\frac{1}{2}\right]\)

Рабочий пример 17: Решение линейных неравенств

Найдите \(r\):

\[6 — г > 2\]

Ответ представить в числовой строке и в интервальной записи.

Переставить и решить для \(r\)

\начать{выравнивать*} -r & > 2 — 6 \\ -r & > -4 \конец{выравнивание*}

Умножить на \(-\text{1}\) и поменять знак неравенства

\[г < 4\]

Представьте ответ в числовой строке

Представить ответ в виде интервала

\[\влево(-\infty ; 4\вправо)\]

Рабочий пример 18: Решение линейных неравенств

Найдите \(q\):

\[4q + 3 < 2(q + 3)\]

Ответ представить в числовой строке и в интервальной записи.

Развернуть скобу

\начать{выравнивать*} 4q + 3 & < 2(q + 3) \\ 4q + 3 & < 2q + 6 \end{выравнивание*}

Переставить и решить для \(q\)

\начать{выравнивать*} 4q + 3 & < 2q + 6 \\ 4q - 2q & < 6 - 3 \\ 2q & < 3 \конец{выравнивание*}

Разделить обе части на \(\text{2}\)

\начать{выравнивать*} 2q & < 3 \\ д & < \ гидроразрыва {3} {2} \end{выравнивание*}

Представьте ответ в числовой строке

Представить ответ в виде интервала

\(\left(-\infty ; \frac{3}{2}\right)\)
температура текст

Рабочий пример 19: Решение сложных линейных неравенств

Найдите \(x\):

\[5 \le x + 3 < 8\]

Ответ представить в числовой строке и в интервальной записи.

Вычесть \(\text{3}\) из всех частей неравенства

\[\begin{массив}{ccccc} 5 — 3 &\le&x + 3 — 3 &< & 8 - 3 \\ 2 & \le & x & < & 5 \конец{массив}\]

Представьте ответ в числовой строке

Представить ответ в виде интервала

\(\влево[2 ; 5\вправо)\)
температура текст
Учебник Упражнение 4.6

\(x < -1 \text{ и } x \ge 6 ; x \in \mathbb{R}\)

\(3 < x < 6 ; x \in \mathbb{R}\)

\(x \neq 3 ; x \neq 6 ; x \in \mathbb{R}\)

\(x > -10 ; x \in \mathbb{R}\)

\(3x + 4 > 5x + 8\)

\начать{выравнивать*} 3х+4&>5х+8\ 3х — 5х & > 8 — 4\ -2х > 4\ 2х<-4\ х < -2 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-\infty; -2)\)

\(3(x — 1) — 2 \le 6x + 4\)

\начать{выравнивать*} 3(х — 1) — 2 & \le 6x + 4 \\ 3х — 5 и \ле 6х + 4\ 3х — 6х &\ле 4+5\ -3х\ле 9\ х \ge -\frac{9}{3} \\ х \ гэ -3 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([-3; \infty)\)

\(\dfrac{x — 7}{3} > \dfrac{2x — 3}{2} \)

\начать{выравнивать*} \frac{x — 7}{3} & > \frac{2x — 3}{2} \\ 2(х — 7) & > 3(2х — 3) \\ 2х — 14 > 6х — 9\ -4х > 5\ х < -\фракция{5}{4} \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-\infty; -\frac{5}{4})\)

\(-4(x — 1) < x + 2\)

\начать{выравнивать*} -4 (х — 1) & < х + 2 \\ -4x + 4 & < х + 2 \\ -5х < -2\ х > \ гидроразрыва {2} {5} \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((\frac{2}{5}; \infty)\)

\(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1} {3}(x — 1) \ge \dfrac{5}{6}x — \dfrac{1}{3}\)

\начать{выравнивать*} \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}(x — 1) & \ge \frac{5}{6}x — \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x — \frac{1}{3} & \ge \frac{5}{6}x — \frac{1}{3} \ \ \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x — \frac{5}{6}x & \ge \frac{1}{3} — \frac{1}{3} \ \ \frac{3}{6}x + \frac{2}{6}x — \frac{5}{6}x & \ge 0 \\ 0x\ge 0 \конец{выравнивание*}

Неравенство верно для всех действительных значений \(x\).

\(-2 \le x — 1 < 3\)

\[\begin{массив}{ccccc} -2 & \le & x — 1 & < & 3 \\ -1 & \le & x & < & 4 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([-1; 4)\)

\(-5 < 2x - 3 \le 7\)

\[\begin{массив}{ccccc} -5&<&2x - 3&\le&7\ -2 & < & 2x & \le & 10 \\ -1 & < & х & \ле & 5 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-1; 5]\)

\(7(3x + 2) — 5(2x — 3) > 7\)

\начать{выравнивать*} 7 (3x + 2) — 5 (2x — 3) & > 7 \\ 21х + 14 — 10х + 15 и > 7\ 11х&>-22\ х & > -2 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-2; \infty)\)

\(\dfrac{5x — 1}{-6} \ge \dfrac{1 — 2x}{ 3}\)

\начать{выравнивать*} \frac{5x — 1}{-6} & \ge \frac{1 — 2x}{3} \\ 5x — 1 & \ge -2(1 — 2x) \\ 5x — 1 & \ge -2 + 4x \ 5x — 4x & \ge -1\ х & \ ge -1 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([-1; \infty)\)

\(3 \ле 4 — х \ле 16\)

\[\begin{массив}{ccccc} 3&\ле&4 — х&\ле&16\ -1&\le&-x&\le&12\ 1 & \ge & x & \ge & -12 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([1; 12]\)

\(\dfrac{-7y}{3} — 5 > -7\)

\начать{выравнивать*} \frac{-7y}{3} — 5 & > -7 \\ -7у — 15 и > -21\ -7у&>-6\ у & < \ гидроразрыва {6} {7} \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-\infty;\frac{6}{7})\)

\(1 \le 1 — 2y < 9\)

\[\begin{массив}{ccccc} 1&\le&1 — 2у&<&9\ 0&\le&-2y&<&8\ 0 & \ge & y & > & -4 \\ -4 & < & у & \ле & 0 \конец{массив}\]

Представлено в числовой строке:

В интервальных обозначениях: \((-4;0]\)

\(-2 < \dfrac{x - 1}{-3} < 7\)

\[\begin{массив}{ccccc} -2 & < & \dfrac{x - 1}{-3} & < & 7 \\ 6&>&х-1&>&-21\ 7&>&х&>&-20\ -20 & < & х & < & 7 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-20;7)\)

\(2x -1 < 3(x+11)\)

\begin{align*} 2 х -1 &< 3(х +11) \\ 2 х -1 &< 3 х +33 \\ 2 х -3 х &< 33 +1 \ -1 х &< 34\ \поэтому х &> -34 \end{выравнивание*}

\[\left(-34;\infty\right)\]

\(x -1 < -4(x-6)\)

\begin{align*} х-1 &<-4(х-6) \\ х -1 &< -4 х +24 \\ х +4 х &< 24 +1 \\ 5 х &< 25\ \поэтому х &< 5 \end{align*}

\[\left(-\infty;5\right)\]

\(\dfrac{x-1}{8} \leq \dfrac{2(x-2)}{3}\)

\начать{выравнивать*} \frac{x-1}{8} &\leq \frac{2(x-2)}{3} \\ 3(х-1) &\leq 16(х-2) \\ 3x-3 &\leq 16x-32\ 3x -16x &\leq -32 +3\ -13x &\leq -29\ \поэтому х &\geq\frac{29}{13} \конец{выравнивание*}

\(\; x \in \left[ \frac{29}{13} ;\infty\right)\).

\(\dfrac{x+2}{4} \leq \dfrac{-2(x-4)}{7}\)

\начать{выравнивать*} \frac{x+2}{4} &\leq \frac{-2(x-4)}{7} \\ 7(х+2) &\leq -8(х-4) \\ 7x+14 &\leq -8x+32 \\ 7x +8x &\leq 32 -14\ 15x &\leq 18\\ \поэтому х &\leq\frac{6}{5} \конец{выравнивание*}

\(\; x \in \left(-\infty; \frac{6}{5} \right]\).

\(\dfrac{1}{5}x — \dfrac{5}{ 4}(x+2) > \dfrac{1}{4}x + 3\)

\begin{align*} \frac{1}{5}x — \frac{5}{4}(x+2) &> \frac{1}{4}x +3 \\ 4x — 25(x+2) &> 5x +60 \\ 4х — 25х-50 &> 5х +60\ 4х — 25 х -5х &> 60 + 50\\ -26x &> 110\\ \следовательно, x &< -\frac{55}{13} \end{выравнивание*}

Интервал: \[\left(-\infty;-\frac{55}{13}\right)\]

\(\dfrac{1}{5}x — \dfrac{2}{5}(x+3) \geq \dfrac{4}{2}x +3\)

\begin{align*} \frac{1}{5}x — \frac{2}{5}(x+3) &\geq \frac{4}{2}x +3 \\ 2x — 4(x+3) &\geq 20x +30 \\ 2x — 4x-12 &\geq 20x+30\ 2x — 4 x -20x &\geq 30 + 12\\ -22x &\geq 42\\ \поэтому x &\leq -\frac{21}{11} \end{выравнивание*}

Интервал: \[\left(-\infty;-\frac{21}{11}\right]\]

\(4x +3 < -3 \quad\text{or}\quad 4x +3 > 5\)

Решите неравенство: \[\begin{массив}{rclcrcl} 4x +3 &<& -3 &\text{or}& 4x +3 &>& 5 \\ 4x &<& -3-3 &\text{or}& 4x &>& 5-3 \\ х &<& \frac{-3-3}{4} &\text{or}& x &>& \frac{5-3}{4} \\ x &<& - \frac{3}{2} &\text{or}& x &>& \frac{1}{2} \\ \конец{массив}\]

\[\left(-\infty; — \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; \infty\right)\]

\(4 \ ge -6x -6 \ge -3\)

Решите неравенство: \[\begin{массив}{rcccl} 4 &\ge&-6x -6 &\ge&-3 \\ 4+6 &\ge& -6x &\ge& -3+6 \\ \frac{4+6}{-6} &\le& x &\le& \frac{-3+6}{-6} \\ — \frac{5}{3} &\le& x &\le& — \frac{1}{2} \\ \конец{массив}\]

\[\left[- \frac{5}{3}; — \frac{1}{2}\right]\]

\(6b — 3 > b + 2 , ~b \in \mathbb{Z}\)

\начать{выравнивать*} 6b — 3 > b + 2 , ~b \in \mathbb{Z}\\ 5б > 5\ б > 1 \конец{выравнивание*}

\(3a — 1 < 4a + 6 , ~a \in \mathbb{N}\)

\начать{выравнивать*} 3а — 1 < 4а + 6\ -а < 7\ а > -7 \конец{выравнивание*}

Однако нам говорят, что \(a \in \mathbb{N}\) и, следовательно, \(a > 0\).

\(\dfrac{b-3}{2} + 1 < \dfrac{b}{4} - 4 , ~b \in \mathbb{R}\)

\начать{выравнивать*} \frac{b-3}{2} + 1 < \frac{b}{4} - 4 \\ 2б - 6 + 4 < б - 16\ б < -14 \конец{выравнивание*}

\(\dfrac{4a +7}{3} — 5 > a — \dfrac{2}{3} , ~a \in \mathbb{N}\)

\начать{выравнивать*} \frac{4a +7}{3} — 5 > a — \frac{2}{3} \\ 4а + 7 — 15 > 3а — 2\ а > 6 \конец{выравнивание*}

Предыдущий 4.6 Буквенные уравнения

Оглавление

Следующий 4. 8 Краткое содержание главы

Линейные неравенства с двумя переменными| Графики и уравнения | Примеры

В этом мини-уроке мы узнаем о бесконечных множествах, упорядоченных парах, построении графиков линейных неравенств с двумя переменными, больше или равно, меньше или равно, линейных неравенствах с двумя переменными и построении графиков неравенств с двумя переменными.

Но вот интересная мелочь: знаете ли вы, что Томас Хэрриот был человеком, который ввел понятие неравенств в своей книге «Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas» в 1631 году.

План урока

1.	Что такое линейное неравенство с двумя переменными?
2.	Советы и рекомендации
3.	Важные замечания о линейных неравенствах с двумя переменными
4.	Решенные примеры линейных неравенств с двумя переменными
5.	Интерактивные вопросы о линейных неравенствах с двумя переменными

Что такое линейное неравенство с двумя переменными?

Когда одно выражение больше или меньше другого выражения, возникает неравенство.

Линейные неравенства определяются как выражения, в которых два значения сравниваются с использованием символов неравенства.   Символы, обозначающие неравенства, следующие:

Не равно (\(\neq\))
Меньше (\(<\))
Больше (\(>\))
Меньше или равно (\(\ leq\))
Больше или равно (\(\geq\))

Линейные неравенства с двумя переменными представляют собой отношение неравенства между двумя алгебраическими выражениями, включающими две разные переменные.

Линейное неравенство двух переменных  формируется, когда символы, отличные от равенства, такие как больше или меньше, используются для связи двух выражений и двух переменных.

Вот несколько примеров линейных неравенств с двумя переменными:

\[\begin{array}{l}2x< 3y + 2\\7x - 2y > 8\\3x + 4y + 3 \le 2y — 5\ \y + x \ge 0\end{массив}\]

---

Как решать линейные неравенства с двумя переменными?

Решением линейного неравенства с двумя переменными, например Ax + By > C, является упорядоченная пара (x, y), которая дает истинное утверждение, когда значения x и y подставляются в неравенство.

Решение линейных неравенств аналогично решению линейных уравнений; разница, которую он имеет, связана с символом неравенства.

Мы решаем линейные неравенства так же, как и линейные уравнения.

Шаг 1. Упростите неравенство с обеих сторон, как с левой, так и с правой стороны, в соответствии с правилами неравенства.
Шаг 2: Получив значение, мы имеем:

• строгие неравенства, в которых две стороны неравенства не могут быть равны друг другу.
• нестрогие неравенства, в которых две стороны неравенства также могут быть равны.

Рассмотрим следующее неравенство:

\[2x +3y > 7\]

Когда мы говорим о нахождении решения этого неравенства , мы говорим обо всех этих парах значений из x и y , для которых выполняется это неравенство. Это означает, например, что \(x = 4,\;y = 3\) является одним из возможных решений этого конкретного неравенства. Однако \(x = 0,\;y = 0\) – это не так, потому что при подстановке x и y равные 0 в левой части неравенства, оказывается меньше 7.

Мы видели, что для любого линейного уравнения с двумя переменными существует бесконечно много решений. Теперь вам может быть очевидно, что и для любого линейного неравенства у нас будет бесконечно много решений. Все эти решения составят набор решений линейного неравенства.

 

Советы и рекомендации

1. PEMDAS и BODMAS играют решающую роль в решении неравенств.
2. Если число отрицательное с любой стороны знака (не с обеих), направление остается прежним.
Как построить график неравенства с двумя переменными?

Линейные неравенства с двумя переменными имеют бесконечные множества или бесконечно много упорядоченных парных решений.

Эти упорядоченные пары или наборы решений можно изобразить в соответствующей половине прямоугольной координатной плоскости.

Для построения графика неравенств с двумя переменными

1. Определите тип неравенства (больше, меньше, больше или равно, меньше или равно).
2. Нарисуйте граничную линию — штриховую (в случае строгого неравенства) или сплошную линию (в случае нестрогого неравенства).
3. Выберите тестовую точку, скорее всего (0,0) или любую другую точку, которая не находится на границе.
4. Закрасьте область соответствующим образом. Если контрольная точка решает неравенство, заштрихуйте содержащую ее область. В противном случае заштрихуйте противоположную сторону граничной линии.
5. Проверка с большим количеством контрольных точек в регионе и за его пределами.

Пример: Начертите линейное равенство \[2x + 3y > 7\]

• Нарисуйте прямую линию, соответствующую линейному уравнению \(2x + 3y = 7\).
• Определите любые две точки (решения) этого уравнения: две возможные точки на графике можно взять как \(A\left( { — 1,\;3}\right),\,\,B\left( {2 ,\;1} \right)\) и нанесите их на график.
• Определите некоторые конкретные решения линейного неравенства \[2x + 3y > 7\], которые могут быть следующими \begin{equation}(2,3), (3,1), (4.5,0), (0, 3), (1.5,2)\end{уравнение}
• Нанесите эти пять точек на один график.

Все пять точек (соответствующих пяти решениям) лежат на выше линии .

• Возьмем любую точку , лежащую выше линии. Его координаты, например \(\left( {{x_0},\;{y_0}} \right),\), будут удовлетворять неравенству: \[2{x_0} + 3{y_0} >7\]
• Это означает, что множество решений неравенства состоит из  всех точек, лежащих выше прямой .
• Положим x = 0, y = 0, что дает 2(0) + 3(0) > 7, что далее дает 0 > 7. Это неверно для данного неравенства. Итак, заштрихуйте полуплоскость, которая не включает точку (0,0).

 

Важные примечания

• Неравенства можно решать путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей на одно и то же число.
• Деление или умножение обеих сторон на отрицательные числа изменит направление неравенства.
• Упорядоченные пары вне заштрихованной области не решают линейных неравенств.
• Меньше и больше являются строгими неравенствами, тогда как меньше или равно и больше или равно не являются строгими неравенствами.
• Любая прямая разделит плоскость, в которой она лежит, на две полуплоскости.
• Наборы решений линейных неравенств соответствуют полуплоскостям, а наборы решений линейных уравнений соответствуют прямым.
Решенные примеры 

Пример 1

 

 

Помогите Бобу определить, является ли (2,1/5) решением \[2x + 5y < 10\]

Решение

Давайте поставьте эти значения (2,1/5 ) в данном линейном неравенстве.

Это дает \begin{equation}
2(2)+5(1 / 5)<10
\end{уравнение}

 \begin{уравнение}4 + 1 < 10\end{уравнение}

 \begin{equation}5 < 10\end{equation} что верно.

\(\следовательно\) Таким образом, (2,1/5) является решением \[2x + 5y < 10\]

Пример 2

 

 

Мать Брука передает ему 7 долларов на шоколад. Она говорит ему, чтобы он потратил всего 7 долларов или меньше.

Молочный шоколад стоит 2 доллара, а шоколад с орехами – 33 доллара.

Пусть x — количество шоколадных конфет, а y — количество шоколадных конфет с орехами.

Составьте неравенство, соответствующее приведенной выше ситуации, и начертите неравенство.

Решение

\[2x + 3y ≤ 7\] будет неравенством, соответствующим приведенной выше ситуации.

В этом случае мы построим сплошную линию как границу, соединяющую точки, удовлетворяющие линейному уравнению \[2x + 3y=7\]

Для \[2x + 3y=7\]

х	2	5	-7
и	1	-1	7

Для неравенства \[2x + 3y ≤ 7\]

• Определите некоторые конкретные решения для линейного неравенства  \[2x + 3y ≤ 7\], которые могут быть следующими: ),(-4,0),(1,0),(-5,1),(2,-1)\end{уравнение}
• Нанесите эти точки на график. Они будут лежать ниже сплошной линии.

Теперь положим x = 0, y = 0

Это дает 2(0) + 3(0) ≤ 7, что удовлетворяет неравенству.

Итак, заштрихуйте полуплоскость на графике линейного неравенства ниже, которая включает точку (0,0).

Пример 3

 

 

Постройте график решения для \[y > -5x + 2 \]

Решение:

\[y > -5x + 2 \] неравенство формы пересечения наклона; наклон=-5, точка пересечения=2.

В этом случае мы построим пунктирную линию из-за того, что равенство меньше или равно, как границу, соединяющую точки, удовлетворяющие линейному уравнению  \[y = -5x + 2\]

Для \[y = — 5x + 2\]

х	0	1	2	-1
и	2	-3	-8	7

 

 

Для неравенства \[y > -5x + 2 \]

• Определить конкретные решения линейного неравенства \[y > -5x + 2 \], которые могут быть следующими: \begin {уравнение} (1,2), (3,-2), (4,3), (4,5), (3,6)\конец {уравнение}
• Нанесите эти точки на график. Они будут лежать выше пунктирной линии.

Для \[y > -5x + 2 \] поставьте x=0, y=0

Это дает 0>-5(0)+2

, что далее дает 0>2

Это неверно для данного неравенства. Итак, заштрихуйте полуплоскость на графике линейного неравенства ниже, которая не включает точку (0,0).

---

Интерактивные вопросы

Вот несколько заданий для практики.

Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

 

 

 

 

---

Подведем итоги

Надеемся, вам понравилось узнавать о линейных неравенствах с двумя переменными, решении линейных неравенств с двумя переменными, построении графиков неравенств с двумя переменными, бесконечных множествах, упорядоченных парах, больше или равно &, меньше или равно с интерактивными вопросами . Теперь вы сможете легко находить ответы на линейные неравенства с двумя переменными и знать о решениях линейных неравенств.

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции линейных неравенств с двумя переменными. Математическое путешествие вокруг линейных неравенств с двумя переменными начинается с того, что ученик уже знает, и продолжается творческим созданием новой концепции в умах юных. Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда. В этом заключается магия Cuemath.

О Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и разумный подход к обучению.

---

Часто задаваемые вопросы o n Линейные неравенства с двумя переменными

1. Что такое система линейных неравенств с двумя переменными?

Система линейных неравенств с двумя переменными относится к набору не менее двух линейных неравенств с одними и теми же переменными.

2. Как отличить линейные неравенства с двумя переменными от линейных уравнений с двумя переменными?

График линейных уравнений включает сплошную линию в любой ситуации, тогда как в случае линейных неравенств график включает либо пунктирную, либо сплошную линию. Кроме того, линейные неравенства включают заштрихованные области, а линейные уравнения — нет.

3. Что является примером линейного неравенства?

Примером линейного неравенства может быть любое линейное уравнение, но с такими символами, как <, >, ≤ или ≥ вместо =.

4. Какие символы используются в линейных неравенствах?

В линейных неравенствах используются символы <, ≤, > и ≥.

5. Что означают линейные неравенства?

Линейное неравенство — это неравенство, имеющее линейную функцию, состоящую из одного из символов неравенства.

6. Как определить линейное неравенство?

Когда две части уравнения имеют знак, отличный от равного.

7. Для чего используются линейные неравенства?

Система линейных неравенств часто используется для определения максимального или минимального значения ситуации с несколькими ограничениями.

8. Какие 5 символов неравенства?

Пять символов неравенства: ≠ = не равно, > = больше, < = меньше, ≥ = больше или равно & ≤ = меньше или равно.