Рубрика: Разное

Отрезок. Длина и середина отрезка. Сравнение отрезков

• Длина отрезка
• Равные отрезки
• Сравнение отрезков
• Середина отрезка

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.

Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок  AB  или  BA.

Длина отрезка

Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:

длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные  1 мм,  1 см,  1 дм,  1 м  или  1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

AB = 6 см.

Свойства длин отрезков:

• Основное свойство длины отрезка: если точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

• Длины равных отрезков равны.
• Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Равные отрезки

Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.

Пример. Возьмём два отрезка  CD  и  LM:

Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка  C  была над точкой  L,  то станет видно, что точка  D  располагается над точкой  М:

Значит длины отрезков равны, следовательно  CD = LM.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.

Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например  C,  в одну сторону два отрезка  CA  и  CB  и точка  A  окажется между точками  C  и  B,  то отрезок  CA  меньше отрезка  CB  (или  CB  больше отрезка  CA):

CA < CB   или   CB > CA.

Если точка  B  окажется между точками  C  и  A,  то отрезок  CA  больше отрезка  CB  (или  CB  меньше отрезка  CA):

CA > CB   или   CB < CA.

Если точки  A  и  B  совпадут, то отрезки  CA  и  CB  равны:

CA = CB.

Если при наложении отрезков оба их конца совмещаются, значит отрезки равны.

При сравнении отрезков путём измерения их длин больше будет тот отрезок, у которого больше длина.

Пример. Сравнить длину отрезков  AB  и  AC.

Так как отрезок  AB  имеет большую длину, чем отрезок  AC,  то

AB > AC.

Так как отрезки   AB  и  AC  имеют одинаковую длину, то

AB = AC.

Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.

Длина отрезка / Начальные геометрические сведения / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Начальные геометрические сведения
5. Длина отрезка

Отрезок — это геометрическая фигура, которая имеет начало и конец, значит отрезки можно измерять.

Измерить отрезок — значит найти его длину (расстояние между его концами).

Для того, чтобы найти длину отрезка, его сравнивают с отрезком принятым за единицу измерения, который носит название единичный отрезок.

Если за единицу измерения принять сантиметр, то, чтобы определить длину отрезка, нужно узнать сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рис.1 в отрезке СD сантиметр укладывается ровно три раза, значит, длина отрезка СD равна 3 см, можно записать СD = 3 см. В данном случае, для измерения удобно использовать сантиметровую линейку.

Бывает, что единичный отрезок не укладывается целое число раз в измеряемый отрезок, тогда единичный отрезок делят на 10 равных частей и определяют сколько раз одна десятая часть укладывается в остатке измеряемого отрезка. На рис.2 в отрезке СВ сантиметр укладывается 2 раза и в остатке 3 раза укладывается одна десятая часть сантиметра, значит, длина отрезка СВ равна 3,3 см или, учитывая что для сантиметра десятая часть равна миллиметру, 3 см 3 мм, т.е. можно записать СВ = 3,3 см (СВ = 3 см 3 мм).

Может получится так, что и в миллиметрах остаток не укладывается целое число раз, тогда:

• Если точность измерения не имеет большой роли, то, как видно на Рис.3, в отрезке СК сантиметр укладывается два раза с остатком, в остатке миллиметр укладывается 6 раз с остатком, говорят о приближенных значениях, т. е. длина отрезка приближенно равна 2,6 см или 2 см 6 мм, и записывают длина отрезка СК 2,6 см (СК 2 см 6 мм).

• Если нужны более точные измерения, то процесс деления продолжается, т.е. миллиметр также можно разделить на 10 равных частей и т.д. Такая точность в повседневной жизни не нужна, поэтому пользуются приближенными значениями, но имеет важную роль при проведении каких-либо исследований для совершения научных открытий.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и другие отрезки, например, дециметр, метр и т.д.

Длина отрезка — это всегда какое-то положительное число.

Свойства длин отрезков:

1. Равные отрезки имеют равные длины.
2. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. Так на Рис.4 точка С делит отрезок АВ на два отрезка АС и СВ. Приложим линейку и видим, что АС = 4,5 см, СВ = 2,5 см, АВ = 7 см, т.е. АС + СВ = АВ.

3. Если длина одного отрезка MN в n раз больше длины другого отрезка PQ, то записывают MN = nPQ. На Рис.5 даны два отрезка MN и PQ, приложим к ним линейку и видим, что MN = 8 см, PQ = 2 см, т.е. MN больше PQ в 4 раза, тогда можно записать, что MN = 4PQ.

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Единицы измерения длины, расстояний

Градусная мера угла

Измерение углов на местности

Смежные углы

Вертикальные углы

Перпендикулярные прямые

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 31, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 74, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 75, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 76, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 322, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 7, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 13, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1276, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1279, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Длина сегмента: определение, формула и примеры

Кто любит альпинизм? Я помню, как часть нашего поступления в колледж, мы, новички, должны были преодолевать большие расстояния, включая альпинизм. Чтобы мы не упали в обморок в пути, это долгое путешествие было разделено на несколько остановок, которые назывались «альпинистскими сегментами». В этой статье будет рассмотрено все, что вам следует знать о длине сегмента .

Что означает длина сегмента?

Расстояние между двумя точками на отрезке прямой равно длине отрезка.

Это очень краткое определение. Короче говоря, длина сегмента — это «от одной точки до другой». Вспомните альпинистские отрезки, это были лишь части общей дистанции, которую нам предстояло преодолеть.

Иллюстрация сегментов линии с дорогой, StudySmarter Originals

Между тем, невозможно понять длину сегмента, не принимая во внимание перспективные точки, потому что вы должны определить, где сегмент начинается, а также где он заканчивается.

Какова длина отрезка между двумя точками?

Длина отрезка между двумя точками — это расстояние между двумя точками. Одна точка служит отправной точкой, с которой начинается измерение. Между тем, другой — это конечная точка, в которой останавливается измерение. Иногда это имя с маленькой буквы или с буквами в верхнем регистре. Например, если есть две точки А и В, мы можем назвать отрезок длины, существующий между А и В, или с, или мы можем просто назвать отрезок прямой АВ.

Изображение длины отрезка, StudySmarter Originals

Какие координаты существуют на длине отрезка между двумя точками?

Поскольку мы имеем дело с точками, нам необходимо знать их положение на декартовой плоскости. Другими словами, мы должны знать положение начальной и конечной точки по осям x и y. Это положение называется координатами точек отрезка длины и записывается в виде (x ₁ , y ₁ ) и (х ₂ , у ₂ ).

Здесь

x ₁ означает положение начальной точки по оси X,

y ₁ означает положение начальной точки по оси Y,

x ₂ означает положение начальной точки по оси Y. положение конечной точки по оси x

и

y ₂ означает положение конечной точки по оси y.

На изображении ниже это ясно показано.

Графическое изображение двух точек длины отрезка с указанием их координат, StudySmarter Originals

Теперь мы можем видеть отрезок длины не только как расстояние, но теперь мы рассматриваем точки, определяющие это расстояние.

Теперь вы должны подумать о том, как определить длину отрезков, когда вы знаете их начальную и конечную точки.

Какова формула для длины отрезка между двумя координатами?

Чтобы найти длину отрезка, мы можем создать прямоугольный треугольник и, следовательно, использовать теорему Пифагора для определения расстояния:

На изображении показано использование теоремы Пифагора для вычисления длины отрезка по двум точкам, StudySmarter Оригиналы

Мы видим, что ∆y — это расстояние по вертикали между точками A и B. ∆x — это расстояние по горизонтали между точками A и B. Следовательно, мы можем составить треугольник Пифагора, подставив расстояние между точками A и B как d.

Используя теорему Пифагора, мы знаем:

d2=∆y2+∆x2

Поскольку расстояние между двумя точками не может быть отрицательным, мы знаем:

d=+∆y2+∆x2

Для точек A=(x1 ,y1) и B=(x2,y2):

∆y=y2-y1 и ∆x=x2-x1

Следовательно:

d=+(y2-y1)2+(x2-x1)2

Обратите внимание, что, поскольку ∆y и ∆x возводятся в квадрат, нет необходимости брать абсолютное значение этих чисел как их возведение в квадрат. превращает их в положительные. Также обратите внимание, что квадратный корень не отменяет того факта, что ∆y и ∆x возводятся в квадрат, поскольку уравнение добавляет эти члены, а не умножает их.

Найти расстояние между точками A=(5, 0) и B=(3,7)

Решение:

Подставив координаты в уравнение для длины отрезка:

d=+(7-0)2+(3-5)2

d=+72+(-2)2

d=+49+4

d=+53

d=7,28( 2d. p.)

Если не указано иное, вы можете оставить свой ответ в точной или числовой форме.

Длина сегмента с конечными точками

В некоторых случаях вам могут быть заданы только конечные и средние точки, и вам потребуется определить длину всего сегмента.

Середина — это точка на полпути между начальной и конечной точками.

Когда это происходит, первым делом нужно найти начальную точку, которая не была указана изначально. Итак, для начальной точки A(x ₁ , y ₂ ), середины M (x _м , y _м ) и конечной точки B (x ₂ , y ₂ ) средняя точка для ось x рассчитывается как:

xm=x1+x22

, а середина оси y рассчитывается как:

ym=y1+y22

заданы конечная точка и середина. В этом случае вам просто нужно сделать в соответствующих случаях х ₁ или у ₁ предмет формулы. Это означает, что координата начальной точки по оси x x ₁ равна:

x1=2xm-x2

Решается как

xm=x1+x22xm=x1+x222xm=x1+x2x1=2xm- x2

и координата начальной точки по оси Y, y ₁ равна:

y1=2ym-y2

Решается как

ym=y1+y22ym=y1+y222ym=y1+ym2y1=2y1+y2y1=2ym-y2

-y2

Если Нонсо находится в путешествии, в котором его путь является линейным, и в настоящее время он преодолел половину расстояния. Если его текущая координата (4, -2) и его путешествие заканчивается в K (9, 5), найти длину отрезка всего пути.

Решение:

Судя по предоставленной информации, Нонсо в настоящее время находится в середине всего пути, который является длиной отрезка пути. Поскольку K — это место, где заканчивается путешествие, это означает, что у нас есть конечная точка. Теперь мы можем найти координаты нашей начальной точки как

x1=2xm-x2xm=4×2=9×1=2(4)-9×1=8-9×1=-1

и

y1=2ym-y2ym= -2y2=5y1=2(-2)-5y1=-4-5y1=-9

Это означает, что Нонсо начал свое путешествие в точке (-1,-9).

Теперь мы знаем его начальную точку, мы можем рассчитать длину отрезка пути как:

d=+(y2-y1)2+(x2-x1)2d=+(5-(-9)) 2+(9-(-1))2d=+(5+9)2+(9+1)2d=+142+102d=+196+100d=296d=17,2

Какова длина отрезка круг?

Отрезок окружности ограничен дугой и хордой. Линейный сегмент круга может быть либо диаметром круга, когда линия проходит через центр круга, либо хордой, если линия проходит в любом другом месте, кроме центра круга.

Чтобы вычислить длину сегмента окружности, когда он проходит через центр, умножьте заданный радиус на 2. Однако, когда он проходит вне центра, тогда длина сегмента окружности равна длине хорды, вычисляемой как

d=2r×sin(θ2)

Где r — радиус, а θ — угол, образуемый сектором, образующим сегмент.

Эта формула была получена из описания изображения ниже;

Изображение, иллюстрирующее получение длины сегмента окружности, StudySmarter Originals

из изображения с помощью SOHCATOA получаем

sin(θ2)=d2rr×sin(θ2)=d2d=2r×sin(θ2)

Найдите длину отрезка окружности радиусом 10 см, который стягивается на 120° в центре.

Решение:

Пример отрезка в круге, StudySmarter Originals

Длина отрезка равна

d=2r×sin(θ2)d=2×10см×sin(120°2)d =2×10 см×sin(60°)d=20 см×0,866d=17,32 см

Длина сегмента — основные выводы

• Сегмент линии — это расстояние между двумя координатами.
• Рассчитывается по теореме Пифагора.
• Длину сегмента можно рассчитать, если заданы конечная и средняя точки.
• Отрезок окружности представляет собой либо диаметр, либо хорду, в зависимости от того, проходит ли линия через центр окружности.

Нахождение длины и середины отрезка — Криста Кинг Математика

Что такое середина отрезка?

В этом уроке мы рассмотрим, как алгебраически найти длину отрезка прямой, когда у нас есть информация и измерения частей отрезка прямой.

Помните, что отрезок — это конечный отрезок линии, названный по его концам. Например, отрезок ???\overline{AB}??? может выглядеть так:

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Отрезки и расстояние

Расстояние между двумя точками на отрезке называется длиной отрезка. Обычно мы используем тот же символ для длины отрезка, что и для самого отрезка. Итак ???\overline{AB}??? может использоваться для представления самого сегмента, а также длины сегмента.

В этом примере расстояние между точками ???A??? и ???Б???

???\overline{AB}=|3-(-2)|???

???\overline{AB}=|3+2|???

???\overline{AB}=|5|???

???\overline{AB}=5???

В этом примере вы также можете считать от ???A??? в ???Б??? и получить расстояние ???5???. Как видите, иногда бывает полезно нарисовать числовую линию, чтобы визуализировать длину отрезка.

Нахождение длины отрезка, а затем его середины

Пройти курс

Хотите узнать больше о геометрии? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Узнать больше

Использование числовой прямой для решения задач средней точки

Пример

Точки ???S???, ???T???, ???U???, ???V???, и ???В??? лежат по порядку на числовой прямой. Точка ???U??? находится в ???-2???. Где находятся остальные точки?

???\overline{ST}=2???

???\overline{TU}=1???

???\overline{UV}=3???

???\overline{VW}=2???

Если мы нанесем точку ???U??? в ???-2???, затем ???S???, ???T???, ???U???, ???V???, и ???W?? ? должно быть нанесено таким образом:

Мы знаем точку ???U??? находится на ???-2??? и ???\overline{TU}=1???. Это позволяет нам найти точку ???T??? в 3???. Теперь мы можем использовать ???\overline{ST}=2??? найти, что ???S=-5??? и ???\overline{UV}=3??? найти, что ???V=1???. Теперь мы можем найти точку ???W??? используя ???\overline{VW}=2???, поэтому ???W=3???.

Давайте посмотрим на другой пример.

Расстояние между двумя точками на отрезке называется длиной отрезка.

Пример

Найти ???\overline{AB}???, если ???\overline{AC}=12??? и ???\overline{BC}=7???.

Производная сложной функции. Примеры решений

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию –

внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю

неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим: Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет

выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Готово

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Пример 3

Найти производную функции Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение

выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание:

, значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции

следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень,

его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых

– это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования

частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции Здесь можно использовать правило дифференцирования частного

, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.

Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем

обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции

сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

Готово.

Пример 11

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.

А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:

Готово.

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Пример 13

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие –

вместо правила применяем правило .

Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 2:

Пример 4: Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак .

Пример 7:

Пример 9:

Пример 11:

Пример 13:

Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степеннопоказательной функции

Продолжаем повышать свою технику дифференцирования. На данном уроке мы закрепим пройденный материал, рассмотрим более сложные производные, а также познакомимся с новыми приемами и хитростями нахождения производной, в частности, с логарифмической производной.

Тем читателям, у кого низкий уровень подготовки, следует обратиться к статье Как найти производную? Примеры решений, которая позволит поднять свои навыки практически с нуля. Далее необходимо внимательно изучить страницу Производная сложной функции, понять и прорешать все приведенные мной примеры. Данный урок логически третий по счету, и после его освоения Вы будете уверенно дифференцировать достаточно сложные функции. Нежелательно придерживаться позиции «Куда еще? Да и так хватит!», поскольку все примеры и приёмы решения взяты из реальных контрольных работ и часто встречаются на практике.

Начнем с повторения. На уроке Производная сложной функции мы рассмотрели ряд примеров с подробными комментариями. В ходе изучения дифференциального исчисления и других разделов математического анализа – дифференцировать придется очень часто, и не всегда бывает удобно (да и не всегда нужно) расписывать примеры очень подробно. Поэтому мы потренируемся в устном нахождении производных. Самым подходящими «кандидатами» для этого являются производные простейших из сложных функций, например:

По правилу дифференцирования сложной функции :

При изучении других тем матана в будущем такая подробная запись чаще всего не требуется, предполагается, что студент умеет находить подобные производные на автопилоте автомате. Представим, что в 3 часа ночи раздался телефонный звонок, и приятный голос спросил:

«Чему равна производная тангенса двух икс?». На это должен последовать почти мгновенный и вежливый ответ: .

Первый пример будет сразу предназначен для самостоятельного решения.

Пример 1

Найти следующие производные устно, в одно действие, например: . Для выполнения задания нужно использовать только

таблицу производных элементарных функций (если она еще не запомнилась). Если возникнут затруднения, рекомендую перечитать урок Производная сложной функции.

, , ,

, , ,

, , ,

Производная функции. Мини-курс. 11 видео уроков. — Math

Производная функции. Мини-курс. 11 видео уроков.

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ. Что такое предел функции? Базовое понятие и определение предела функции. Как посчитать предел? Вычислить предел функции. Предел функции в точке. Найти предел функции. Неопределенность в математике. Что называют неопределенностью? Что избавиться от неопределенности? Неопределенность (0/0) — как ее раскрыть? Способы раскрытия неопределенности. Что такое лимит. Лимит функции. Как вычислить лимит функции. Что значит «стрелочка» в лимитах (пределах). Сопряженные множители. Как домножить на сопряженные множители. Как избавиться от иррациональности при раскрытии неопределенности? Как разложить многочлен на множители, чтобы избавиться от иррациональности и посчитать предел? Теория. Определение предела функции: Предел (лимит) это значение к которому стремится функция, когда х стремится к х0. Примеры с решением. Задания с объяснением.

• Пример 1: Вычислить предел функции.
• Пример 2: Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность (0/0) разложением числителя и знаменателя на множители.
• Пример 3: Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность (0/0) умножением на сопряженный множитель.
• Пример 4: Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность (0/0) преобразовав выражение.

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ. Определение производной. Физический и геометрический смысл производной. Приращение аргумента. Приращение функции. Нахождение производной функции, используя определение производной. Примеры с решениями.

• Пример 1: Найти приращение функции.
• Пример 2: Найти производную функции, используя ее определение.

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Производной функции у = f(х) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (можно обозначить у’ или f'(х)). Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Урок 2.

Как брать производную от икс в степени n. Таблица производных. Производная элементарной степенной функции. Как правильно преобразовать функцию прежде чем брать производную. Свойства степени. Алгебра 10, 11 класс. Примеры с решением. Задания с объяснением.

 Урок 3. Производная суммы. Правила дифференцирования.

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ.  Производная суммы. Правила дифференцирования. Примеры с решениями.

• Пример 1: Найти производную функции.
• Пример 2: Найти производную функции в точке.

Урок 4. Производная произведения. Производная частного. Правила дифференцирования.

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ. Производная функции. Производная произведения. Производная частного. Правила дифференцирования. 

Урок 5. Производная сложной степенной функции. Найти производную в точке х0.

Сложная функция. Какая функция называется сложной? Производная сложной функции. Правила дифференцирования. Производная сложной степенной функции. Найти производную функции в точке х0. Алгебра 10, 11 класс. Примеры с решением. Задания с объяснением.

• Пример 1: Найти производную функции.
• Пример 2: Найти производную функции в точке.

 Урок 6. Производные тригонометрических функций.

Высшая математика. Математический анализ. Правила дифференцирования. Производная. Производная тригонометрических функций. Производная синуса, производная косинуса, производная тангенса, производная котангенса. Алгебра 10, 11 класс. Производная суммы, производная частного, производная произведения. Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.

• Пример 1: Найти производную суммы тригонометрических функций.
• Пример 2: Найти производную произведения тригонометрических функций.
• Пример 3: Найти производную частного тригонометрических функций. 

Урок 7. Производная сложной тригонометрической функции.

Правила дифференцирования. Производная. Производная сложных тригонометрических функций. Какая функция называется сложной? Производная сложной функции. Производная синуса, производная косинуса, производная тангенса, производная котангенса. Алгебра 10, 11 класс. Производная суммы, производная частного, производная произведения. Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.

• Пример 1: Найти производную сложной тригонометрической функции.
• Пример 2: Найти производную косинуса трех икс под корнем.
• Пример 3: Найти производную произведения.
• Пример 4: Найти производную тангенса в квадрате.
• Пример 5: Найти производную частного. 

 Урок 8. Производные сложных тригонометрических функций в точке.

Правила дифференцирования. Производная. Производная сложных тригонометрических функций. Какая функция называется сложной?Производная сложной функции. Производная сложной тригонометрической функции в точке. Производная синуса, производная косинуса, производная тангенса, производная котангенса. Алгебра 10, 11 класс. Производная суммы, производная частного, производная произведения. Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.

• Пример 1: Найти производную сложной тригонометрической функции.
• Пример 2: Найти производную тангенса икс квадрат.
• Пример 3: Найти производную произведения.
• Пример 4: Найти производную тангенса в квадрате.
• Пример 5: Найти косинус икс куб и косинус куб икс. 

 Урок 9. Производная показательной функции. Правила нахождения производных.

Производная показательной и сложной показательной функции. Алгебра 10, 11 класс. Какая функция называется показательной? Формулы для нахождения производной показательной функции. Что такое натуральный логарифм? Какой логарифм называется натуральным. Чему равно число е. Что является аргументом показательной функции. Правила нахождения производных. Правило суммы, произведения и частного для производных. Формулы для производных. Как взять производную показательной функции. Примеры с решением.

• Пример 1: Найти производную показательной функции с экспонентой в основании.
• Пример 2: Найти производную сложной показательной функции.
• Пример 3: Производная произведения с показательной функцией.
• Пример 4: Производная частного с показательной функцией.
• Пример 4: Производная показательной функции с тангенсом.
• Пример 5: Производная показательной функции у которой синус в основании.
• Пример 6: Производная синуса у которого аргумент показательная функция.  

Урок 10. Производная логарифма. Производная логарифмической функции.

Производная логарифмической функции. Производная сложной логарифмической функции. Производная частного. Производная произведения. Натуральный логарифм, десятичный логарифм. Производная логарифма. Число е. Производная натурального логарифма. Производная ln. Производная lg. Производная десятичного логарифма. Алгебра 10, 11 класс. Математический анализ. Мат анализ. Матан. Правила дифференцирования. Примеры с решением. Производная сложной функции. Производная от логарифма в степени. Производная ln в степени. Производная лн. Производная лг. Производная логарифма функции. Производная сложного логарифма. Производная логарифма сложной функции. Производная функция натурального логарифма. Сложная производная натурального логарифма. Производная логарифма примеры. Производная натурального логарифма сложной функции. Производная логарифм х. Производная натурального логарифма примеры. Производная логарифма формула. Производная натурального логарифма в степени. Производная от логарифма. Найти производную. Найти производную функции. Найти производную логарифма.

 Полезные материалы: 

 Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс.

Информация о материале

Автор: Math

Категория: Высшая математика

• Вперед

Добавить комментарий

Частные производные функций многих переменных от трех и более переменных — Криста Кинг Математика

Частные производные функций многих переменных

Иногда нам нужно найти частные производные для функций с тремя и более переменными, и мы будем делать это так же, как находили частные производные для функций с двумя переменными.

Мы возьмем производную функции по каждой переменной отдельно, что означает, что мы получим одну частную производную для каждой из наших переменных.

Когда мы берем производную по одной переменной, мы будем рассматривать все остальные переменные как константы.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Как вычислять частные производные функций многих переменных по трем и более переменным

???\partial f/\partial x??? является частной производной функции ???f??? относительно ???x???, ???\partial f/\partial y??? является частной производной функции ???f??? относительно ???y???, и ???\partial f/\partial z??? является частной производной функции ???f??? относительно ???z???.

Давайте попробуем более сложный пример с более чем тремя переменными.

Мы возьмем производную функции по каждой переменной отдельно, что означает, что мы получим одну частную производную для каждой из наших переменных. 93}???

???\partial f/\partial w??? является частной производной функции ???f??? относительно ???w???, ???\partial f/\partial x??? является частной производной функции ???f??? относительно ???x???, ???\partial f/\partial y??? является частной производной функции ???f??? относительно ???y???, и ???\partial f/\partial z??? является частной производной функции ???f??? относительно ???z???.

Получить доступ к полному курсу Calculus 3

Начать

Learn mathКриста Кинг 28 сентября 2020 г. математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление iii, вычисление 3, исчисление iii, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное исчисление, частные производные, частное дифференцирование, частные производные функций трех переменных, частные производные функций четырех переменных, исчисление 3

3.7: Производные обратных функций

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
• OpenStax

Цели обучения

• Вычисление производной обратной функции.
• Распознавать производные стандартных обратных тригонометрических функций.

В этом разделе мы исследуем связь между производной функции и производной обратной функции. Для функций, производные которых мы уже знаем, мы можем использовать это соотношение, чтобы найти производные обратных функций, не прибегая к предельному определению производной. В частности, мы будем применять формулы производных обратных функций к тригонометрическим функциям. Эта формула также может быть использована для распространения правила степени на рациональные показатели. 9{−1}(x)\big)}.\label{inverse1} \]

Альтернативно, если \(y=g(x)\) является инверсией \(f(x)\), то

\[g'(x)=\dfrac{1}{f’\big(g(x)\big)}. \label{inverse2} \]

Пример \(\PageIndex{1}\): применение теоремы об обратной функции

Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную \(g(x)=\dfrac{x+2 }{Икс}\). Сравните полученную производную с производной, полученной прямым дифференцированием функции.

Решение

Обратное выражение \(g(x)=\dfrac{x+2}{x}\) равно \(f(x)=\dfrac{2}{x−1}\). 9{−1/3} \nonumber \]

и

\[\dfrac{dy}{dx}\Bigg|_{x=8}=\frac{1}{3}\nonumber \]

наклон касательной к графику в точке \(x=8\) равен \(\frac{1}{3}\).

Подставив \(x=8\) в исходную функцию, получим \(y=4\). Таким образом, касательная проходит через точку \((8,4)\). Подставляя в формулу точки-наклона прямой, получаем касательную

\[y=\tfrac{1}{3}x+\tfrac{4}{3}. \nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{3}\) 9{−1/2}\)

Производные обратных тригонометрических функций

Обратимся теперь к нахождению производных обратных тригонометрических функций. Эти производные окажутся бесценными при изучении интегрирования далее в этом тексте. Производные обратных тригонометрических функций довольно удивительны тем, что их производные на самом деле являются алгебраическими функциями. Ранее было доказано, что производные алгебраических функций являются алгебраическими функциями, а производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями. Здесь мы впервые видим, что производная функции не обязательно должна быть того же типа, что и исходная функция. 9{−1}x\) в \(x=0.\)

Подсказка

\(f′(0)\) — наклон касательной.

Ответить

\(у=х\)

Ключевые понятия

• Теорема об обратной функции позволяет вычислять производные от обратных функций без использования предельного определения производной.
• Мы можем использовать теорему об обратной функции, чтобы вывести формулы дифференцирования для обратных тригонометрических функций. 92−1}}\)

  Участники и авторство

  ---

  Эта страница под названием 3.7: Производные обратных функций распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Странгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

Ответы

28. 03.16

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Маша сложила нить пополам, получившуюся двойную нить снова сложила пополам, а затем еще раз пополам. После этого она разрезала в некотором месте

В треугольнике ABC известно, что AC=6, BC=8, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружность. На пишите пожалуйста решение

Назовем наибольшим делителем составного натурального числа его самый большой, не равный ему, делитель. Наименьшим делителем назовем его самый маленький, не равный единице, делитель. Например, у числа

—+—+—=30 Заполните пустые места используя данные числа (1,3,5,7,9,11,13,15) Одно и тоже число можно использовать несколько раз.

«Если строитель построил человеку дом и свою работу сделал непрочно, а дом, который он построил, рухнул и убил хозяина, то этот строитель должен быть казнен. Если он убил сына хозяина, то должны

Пользуйтесь нашим приложением

Алгебра. Учебник для 6-8 классов

Барсуков А. Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. 11-е изд., стер. — М.: Просвещение, 1966. — 296 с. Учебник для средних общеобразовательных школ СССР в 50-60-е годы. Шестое издание „Алгебры» А.Н. Барсукова переработано и приведено в соответствие с новой программой. Переработка учебника и изложение вопросов, вновь включенных в программу восьмилетней школы, выполнены С.И. Новоселовым. Главу „Счётная (логарифмическая) линейка* и о возвышении в квадрат и куб, извлечении квадратного и кубического корней при помощи счётной линейки написал учитель математики школы № 315 Москвы И. Б. Вейцман. Одиннадцатое издание печатается с десятого без изменений. Оглавление ГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ. § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений. § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ. § 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. (1/3) § 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений.

Системы линейных и квадратных уравнений

Система из этих двух уравнений может быть решена (найти место их пересечения) либо:

• Графически (путем их построения на графике функций и увеличения)
• или используя Алгебра

Как решить с помощью алгебры

• Преобразование обоих уравнений в формат «y =»
• Установить их равными друг другу
• Упростить до формата «= 0» (как стандартное квадратное уравнение)
• Решите квадратное уравнение!
• Используйте линейное уравнение для вычисления совпадающих значений «y», чтобы получить (x,y) баллов в качестве ответов

Пример поможет:

Пример: Решите эти два уравнения:

• y = x ² — 5x + 7
• у = 2х + 1

Превратите оба уравнения в формат «y=»:

Они оба в формате «y=», так что переходите сразу к следующему шагу

Установите их равными друг другу

x ² — 5x + 7 = 2x + 1

Упростить в «= 0 (аналогично стандартному квадратному уравнению)

Вычесть 2x с обеих сторон: x ² — 7x + 7 = 1

Вычесть 1 с обеих сторон: x ² — 7x + 6 = 0

  900 03

Решить квадратное уравнение!

(самая сложная часть для меня)

Вы можете прочитать, как решать квадратные уравнения, но здесь мы будем учитывать квадратное уравнение:

Начните с: x ² — 7x + 6 = 0

Перепишите -7x как -x-6x: x ² — x — 6x + 6 = 0

Тогда: x(x-1) — 6(x-1) = 0

Тогда: (x-1)(x-6) = 0

Что дает нам решения x=1 и x=6

Используйте линейное уравнение для вычисления соответствующих значений «y», поэтому мы получаем ( x,y) баллы как ответы

Соответствующие значения y (см. также график):

• для x= 1 : y = 2x+1 = 3
• для х= 6 : у = 2х+1 = 13

Наше решение: две точки (1,3) и (6,13)

Я думаю об этом как о трех стадиях:

Объединить в квадратное уравнение ⇒ Решить квадратное уравнение ⇒ Подсчитать точки

Решения

Возможны три случая:

• Нет реального решения (происходит, когда они никогда не пересекаются)
• Одно действительное решение (когда прямая только касается квадрата)
• Два реальных решения (как в примере выше)

Время для другого примера!

Пример: Решите эти два уравнения:

• y — x ² = 7 — 5x
• 4г — 8х = -21

Превратите оба уравнения в формат «y=»:

Первое уравнение: y — x ² = 7 — 5x

Добавьте x ² к обеим сторонам: y = x ² + 7 — 5x 900 11

Второе уравнение: 4y — 8x = -21

Добавьте 8x к обеим частям: 4y = 8x — 21

Разделите все на 4: y = 2x — 5,25

Установить их равными друг другу

x ² — 5x + 7 = 2x — 5,25

Упростить до формата «= 0» (как стандартное квадратное уравнение)

Вычесть 2x с обеих сторон: x ² — 7x + 7 = -5,25

Прибавить 5,25 к обеим сторонам: x ² — 7x + 12,25 = 0

Zero To Hero

Содержание:

Мы уже разобрались с экспоненциальной функцией в посвящённой ей статье, и нашей следующей целью становится натуральный логарифм.

В учебниках математики определение натурального логарифма такое, что ничего «натурального», естественного в нём нет: он определяется как действие, обратное функции e^x, странной уже самой по себе.

Так что вот вам новое, упрощённое объяснение: Натуральный логарифм — это время, необходимое, чтобы вырасти до определённого уровня.

Представьте, что вы сделали инвестицию мишками Гамми (а кто так не делает?) с непрерывной доходностью 100% годовых. Если вы преследуете цель достичь десятикратного роста вклада, при условии «сложных процентов», вам пришлось бы ждать всего-то ln(10) = 2.3 года. Не можете понять, почему необходимо только пару лет, чтобы достичь 10х роста? Не понимаете, почему последовательность не 1, 2, 4, 8? Почитайте про число e.

Число e и натуральный логарифм — братья-близнецы:

• e^x — уровень, достигнутый при непрерывном росте за определённый промежуток времени.
• натуральный логарифм (ln) — промежуток времени, необходимый для роста до определённого уровня.

Совсем неплохо, правда? Пока математики подбирают слова, чтобы дать вам длинное путанное определение, давайте поближе посмотрим на это простое и ясное.

Число e означает рост

Число e означает непрерывный рост. Как мы видели в прошлом примере, e^x позволяет нам увязать процент и время: 3 года при росте 100% есть то же самое, что и 1 год при 300%, при условии «сложных процентов».

Можно подставлять любые значения процента и времени (50% на протяжении 4 лет), но лучше задать процент как 100% для удобства (получается 100% на протяжении 2 лет). За счёт перехода к 100% мы можем сфокусироваться исключительно на компоненте времени:

e^x = e^{процент * время} = e^{1.0 * время} = e^время

Очевидно, что e^x означает:

• насколько вырастет мой вклад через x единиц времени (при условии 100%-го непрерывного роста).
• например, через 3 промежутка времени я получу в e³ = 20.08 раз больше «штуковин».

e^x — это масштабирующий коэффициент, показывающий, до какого уровня мы вырастем за x отрезков времени.

Натуральный логарифм означает время

Натуральный логарифм — это инверсия числа e, такой причудливый термин для обозначения противоположности. Кстати, о причудах; по латыни он называется logarithmus naturali, отсюда и появилась аббревиатура ln.

И что эта инверсия или противоположность означает?

• e^x позволяет нам подставить время и получить рост.
• ln(x) позволяет нам взять рост или доход и узнать время, необходимое для его получения.

Например:

• e³ равняется 20.08. Через три отрезка времени у нас будет в 20.08 раз больше того, с чего мы начали.
• ln(20.08) будет примерно 3. Если вас интересует рост в 20.08 раз, вам понадобится 3 промежутка времени (опять же, при условии стопроцентного непрерывного роста).

Всё ещё читаете? Натуральный логарифм показывает время, нужное, чтобы достичь желаемого уровня.

Этот нестандартный логарифмический счёт

Вы проходили логарифмы — это странные существа. Как им удалось превратить умножение в сложение? А деление в вычитание? Давайте посмотрим.

Чему равняется ln(1)? Интуитивно понятно, что вопрос стоит так: сколько нужно ждать, чтобы получить в 1 раз больше того, что у меня есть?

Ноль. Нуль. Нисколько. У вас уже это есть единожды. Не требуется нисколько времени, чтобы от уровня 1 дорости до уровня 1.

• ln(1) = 0

Хорошо, что насчёт дробного значения? Через сколько у нас останется 1/2 от имеющегося количества? Мы знаем, что при стопроцентном непрерывном росте ln(2) означает время, необходимое для удвоения. Если мы обратим время вспять (т.е. подождём отрицательное количество времени), то получим половину от того, что имеем.

• ln(1/2) = —ln(2) = —0.693

Логично, правда? Если мы вернёмся назад (время вспять) на 0.693 секунды, то обнаружим половину имеющегося количества. Вообще можно переворачивать дробь и брать отрицательное значение: ln(1/3) = —ln(3) = —1.09. Это означает, что, если мы вернёмся в прошлое на 1.09 отрезков времени, то обнаружим только треть от нынешнего числа.

Ладно, а как насчёт логарифма отрицательного числа? Сколько времени нужно, чтобы «вырастить» колонию бактерий от 1 до —3?

Это невозможно! Нельзя получить отрицательное число бактерий, не так ли? Вы можете получить максимум (эээ… минимум) нуль, но вам никак не получить отрицательное число этих маленьких тварей. В отрицательном числе бактерий просто нет смысла.

• ln(отрицательное число) = неопределено

«Неопределено» означает, что нет такого промежутка времени, который надо было бы прождать, чтобы получить отрицательное значение.

Логарифмическое умножение — просто умора

Сколько времени займёт четырёхкратный рост? Конечно, можно просто взять ln(4). Но это слишком просто, мы пойдём другим путём.

Можно представить четырёхкратный рост как удвоение (требующее ln(2) единиц времени) и затем снова удвоение (требующее ещё ln(2) единиц времени):

• Время на 4х рост = ln(4) = Время на удвоится и затем ещё раз удвоится = ln(2) + ln(2)

Интересно. Любой показатель роста, скажем, 20, можно рассматривать как удвоение сразу после 10-кратного увеличения. Или роста в 4 раза, и затем в 5 раз. Либо же утроение и затем увеличение в 6.666 раз. Видите закономерность?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логарифм от A, умноженного на B, есть log(A) + log(B). Это отношение сразу обретает смысл, если оперировать в терминах роста.

Если вас интересует 30-кратный рост, вы можете подождать ln(30) за один присест, либо же подождать ln(3) Для утроения, и затем ещё ln(10) для удесятирения. Конечный результат тот же самый, так что конечно время должно оставаться постоянным (и остаётся).

Что на счёт деления? В частности, ln(5/3) означает: сколько времени понадобится для того, чтобы вырасти в 5 раз, и затем получить 1/3 от этого?

Отлично, рост в 5 раз есть ln(5). Рост в 1/3 раза займёт -ln(3) единиц времени. Итак,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Сие означает: дайте вырасти в 5 раз, и затем «вернитесь во времени» к той отметке, где останется всего треть от того количества, так что у вас получится 5/3 рост. В общем получается

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я надеюсь, что странная арифметика логарифмов начинает обретать для вас смысл: умножение показателей роста становится сложением единиц времени роста, а деление превращается в вычитание единиц времени. Не надо запоминать правила, попробуйте осознать их.

Использование натурального логарифма при произвольном росте

— Ну конечно, — скажете вы, — это всё хорошо, если рост 100%-ный, а что в случае 5%, которые я получаю?»

Нет проблем. «Время», которое мы рассчитываем с помощью ln(), на самом деле является комбинацией процентной ставки и времени, тот самый Х из уравнения e^x. Мы всего лишь решили задать процент как 100% для простоты, но мы вольны использовать любые числа.

Допустим, мы хотим достичь 30-кратного роста: берём ln(30) и получаем 3.4 Это означает:

• e^x = рост
• e^3.4 = 30

Очевидно, это уравнение означает «100%-ная доходность на протяжении 3.4 лет даёт рост в 30 раз». Мы можем записать это уравнение в таком виде:

• e^x = e^{ставка*время}
• e^{100% * 3.4 года} = 30

Мы можем менять значения «ставки» и «времени», лишь бы ставка * время оставалось 3.4. Например, если нас интересует 30-кратный рост — сколько нам придётся ждать при процентной ставке 5%?

• ln(30) = 3.4
• ставка * время = 3.4
• 0.05 * время = 3.4
• время = 3.4 / 0.05 = 68 лет

Я рассуждаю так: «ln(30) = 3. 4, значит, при 100%-ном росте это займёт 3.4 года. Если я удвою скорость роста, необходимое время уменьшится вдвое».

• 100% за 3.4 года = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% за 1.7 года = 2.0 * 1.7 = 3.4 [200%-ный рост означает уменьшение времени вдвое]
• 50% за 6.8 года = 0.5 * 6.8 = 3.4 [50%-ный рост означает, что понадобится в 2 раза больше времени]
• 5% за 68 года = .05 * 68 = 3.4 [5%-ный рост означает, что понадобится в 20 раз больше времени].

Здорово, правда? Натуральный логарифм может использоваться с любыми значениями процентной ставки и времени, поскольку их произведение остаётся постоянным. Можете перемещать значения переменных сколько душе угодно.

Отпадный пример: Правило семидесяти двух

Правило семидесяти двух — математический приём, позволяющий оценить, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Сейчас мы его выведем (да!), и более того, мы попробуем уяснить его суть.

Сколько времени понадобится, чтобы удвоить ваши деньги при 100% ставке, нарастающей ежегодно?

Оп-па. Мы использовали натуральный логарифм для случая с непрерывным ростом, а теперь ты ведёшь речь о ежегодном начислении? Не станет ли это формула непригодной для такого случая? Да, станет, однако для реальных процентных ставок вроде 5%, 6% или даже 15%, разница между ежегодным начислением процентов и непрерывным ростом будет невелика. Так что грубая оценка работает, мм, грубо, так что мы сделаем вид, что у нас полностью непрерывное начисление.

Теперь вопрос прост: Как быстро можно удвоиться при 100%-ном росте? ln(2) = 0.693. Нужно 0.693 единиц времени (лет — в нашем случае), чтобы удвоить нашу сумму с непрерывным ростом 100%.

Так, а что если процентная ставка — не 100%, а скажем, 5% или 10%?

Легко! Поскольку ставка * время = 0.693, мы удвоим сумму:

• ставка * время = 0.693
• время = 0.693 / ставка

Получается, если рост 10%-ный, это займёт 0.693 / 0.10 = 6.93 лет на удвоение.

Чтобы упростить вычисления, давайте домножим обе части на 100, тогда можно будет говорить «10», а не «0. 10″:

• время на удвоение = 69.3 / ставка, где ставка выражена в процентах.

Теперь черёд удваиваться при ставке 5%, 69.3 / 5 = 13.86 лет. Однако 69.3 — не самое удобное делимое. Давайте выберем близкое число, 72, которое удобно делить на 2, 3, 4, 6, 8 и другие числа.

• время на удвоение = 72 / ставка

что и является правилом семидесяти двух. Всё шито-крыто.

Если вам нужно найти время для утроения, можете использовать ln(3) ~ 109.8 и получить

• время на утроение = 110 / ставка

Что является ещё одним полезным правилом. «Правило 72» применимо росту по процентным ставкам, росту населения, культур бактерий, и всего, что растёт экспоненциально.

Что дальше?

Надеюсь, натуральный логарифм теперь приобрёл для вас смысл — он показывает время, необходимое для роста любого числа при экспоненциальном росте. Я думаю, натуральным он называется потому, что e — универсальная мера роста, так что ln можно считать универсальным способом определения, сколько времени нужно для роста.

Каждый раз, когда вы видите ln(x), вспоминайте «время, нужное, чтобы вырасти в Х раз». В предстоящей статье я опишу e и ln в связке, так что свежий аромат математики заполнит воздух.

Решебник чудесенко тфкп | Оффициальный сайт

Ищешь решебник чудесенко тфкп в интернете?

Поздравляем! Мы создали сайт, на котором можно скачать решебник чудесенко тфкп!

Ссылка ниже:

Теорема Лапласа (без доказательства) — ПриМат

Итак, прежде чем перейти к методу использования теоремы Лапласа, необходимо рассмотреть несколько важных определений.

Определение Пусть дана матрица $A \in M_{m \times n}(P).$ Возьмем в ней любые $i$ строк и $i$ столбцов, причем $i > 0$ и $i$ меньше минимального из $m$ и $n.$ Элементы, которые располагаются на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу $i-$го порядка. Определитель этой матрицы называется минором $i-$го порядка исходной матрицы. Если порядок минора равен единице, то минор является элементом исходной матрицы.

Пример 1 Пусть дан определитель четвертого порядка $$ \begin{vmatrix} -8 & -5 & 2 & 7 \\ 1 & 3 & -9 & -3 \\ 4 & -4 & -1 & 9 \\ -5 & 3 & -4 & 8 \end{vmatrix}.$$ Выберем, например, $2$-й и $4$-й столбцы и $1$-ю и $3$-ю строки. Таким образом, элементы, стоящие на пересечении этих столбцов и строк образуют минор $2-$го порядка: $$ \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ -4 & 9 \end{vmatrix} = -45 + 28 = -17. {S_1 + S_2}$, в котором $S_1$ — это сумма номеров строк, а $S_2$ — это сумма номеров столбцов, в которых лежит исходный минор, то мы получим алгебраическое дополнение к этому минору.

Пример 3 Пусть дан определитель пятого порядка $$ \begin{vmatrix} -7 & 5 & 3 & -2 & 6 \\ 9 & -8 & 7 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 9 \\ -3 & 2 & -2 & -4 & -8 \\ 4 & 9 & 5 & -1 & 1 \end{vmatrix}.$$ Выберем в нем, к примеру $1-$ю и $4-$ю строки, а также $2-$й и $5-$й столбцы. Тогда на пересечении выбранных строк и столбцов образуется минор $2-$го порядка $$ \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} = -40-12 = -52.$$ Дополнительным минором к нему будет $$ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 9 + 0-140 + 12 + 0 + 225 = 106.$$ Наконец, алгебраическим дополнением к минору будет $$ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} \cdot (-1)^{(1 + 4) + (2 + 5)} = 106 \cdot (-1)^{12} = 106,$$ где степени $-1$ являются таковыми, так как элементы минора исходного определителя располагаются в $1-$й и $4-$й строках и во $2-$м и в $5-$м столбцах.

Итак, разобравшись с приведенными выше определениями, можно приступать к формулированию теоремы.

Теорема (Лапласа) Если в определителе порядка $m$ выбрать $i$ строк (столбцов), где $i > 0$ и $i < m,$ то данный определитель будет равняться сумме миноров, которые расположены в этих строках (столбцах), умноженных на их алгебраические дополнения. Эти миноры будут иметь $i-$й порядок.

Таким образом, благодаря теореме Лапласа, при вычислении определителя $m-$го порядка, мы можем вычислить несколько определителей более малых порядков ($i$), что упрощает нам задачу.

Следствием (а также частным случаем, для которого $i = 1$) из теоремы Лапласа является Теорема о разложении определителя по строке.

Пример 4 Найти определитель матрицы $4-$го порядка $$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 & 9 \\ -1 & 7 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 5 & 0 \end{pmatrix}.$$ Разложим определитель этой матрицы по теореме Лапласа, выбрав $1-$ю и $3-$ю строки: $$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 6 & 9 \\ -1 & 7 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 5 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{(1 + 3) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (1 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -5 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 3) + (1 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ -6 & 5 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 9 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 3) + (3 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 9 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 7 \\ -3 & -6 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & -5 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^7 \cdot (12-0) \cdot (0 + 25) +$$ $$+ (-1)^8 \cdot (3-0) \cdot (0-30) + (-1)^9 \cdot (6-0) \cdot (35 + 12) +$$ $$+ (-1)^{10} \cdot (10-36) \cdot (-5 + 6) + (-1)^{11} \cdot (12-9) \cdot (6 + 21) +$$ $$+ (-1)^9 \cdot (5-24) \cdot (0-15) = -(12 \cdot 25)-3 \cdot 30-6 \cdot 47-26 \cdot 1-3 \cdot 27-$$ $$-(19 \cdot 15) = -300-90-282-26-81-285 = -1064. $$

Как мы могли заметить, для нахождения определителя $4-$го порядка нам понадобилось искать лишь определители $2-$го порядка, что намного легче. Разберем этот пример подробнее.

Для начала, вторым множителем каждого слагаемого является минор, расположенный в выбранных в начале решения строках. Мы берем все существующие в данных строках миноры. Далее, первым множителем каждого слагаемого является $(-1)$ в степени, которая является суммой номеров строк и столбцов, в которых расположен соответствующий минор. Третьим же множителем является дополнительный минор к соответствующему. Произведение дополнительного минора и $(-1)$ в соответствующей степени образует алгебраическое дополнение к своему минору.

Таким образом мы расписываем все миноры, находящиеся в выбранных строках, умножаем на их алгебраические дополнения и суммируем полученные произведения. После этого решаем полученное выражение, приходя к ответу, который является значением определителя исходной матрицы.

Пример 5 Найти определитель матрицы $4-$го порядка $$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & -6 & 4 \\ -5 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}. {10} \cdot (-2-60) \cdot (120-0) = -67 \cdot 47-89 \cdot 110 + 23 \cdot 28 + 169 \cdot 60-$$ $$-3 \cdot 36-62 \cdot 120 = -3149-9790 + 644 + 10140-108-7440 = -9703. $$

[свернуть]

1. А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, Глава 3, §3, «Упражнения» (стр. 150)
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, Глава 1, §6, «Вычисление определителей» (стр. 51)
3. Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.

Тест на проверку знаний о теореме Лапласа и определений, необходимых для формулировки данной теоремы.

Открытое образование — Алгебра и геометрия

Select the required university:

———

Закрыть

• About
• Format
• Requirements
• Course program
• Knowledge
• Skills
• Abilities
• Education directions

About

I часть. Матрицы, теоретико-множественные понятия, геометрические векторы, линейные пространства, системы линейных алгебраических уравнений.
Курс рассчитан на студентов университетов и вузов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Информатика», «Физика», «Экономика».

Format

Форма обучения: дистанционная. 

Еженедельные занятия будут включать:

• тематические видеолекции, на которых излагается теоретический материал курса, каждая лекция сопровождается тестами;
• семинарские занятия, ориентированные на усвоение лекционного материала, приобретение навыков решения задач и умение пользоваться алгоритмами;
• тренажеры (в интерактивном формате) для самостоятельного решения простейших задач с автоматизированной проверкой результатов;
• дополнительные семинарские занятия по решению задач повышенной трудности: будут изложены основные приемы математических доказательств, их применение будет иллюстрироваться на примерах задач по текущему разделу курса.

Requirements

Курс рассчитан на студентов университетов и вузов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Информатика», «Физика», «Экономика».

Course program

Лекция 1.
Глава I. Основы теории матриц
§ 1. Понятие матрицы
Компактная форма записи матрицы. Матрицы специального вида.
§ 2. Операции над матрицами
Линейные операции. Умножение матриц. Транспонирование матрицы.

Лекция 2.
§ 3. Элементарные преобразования матрицы и матрицы элементарных
преобразований
Приведение к ступенчатому виду. Матрицы элементарных преобразований.
§ 4. Определитель матрицы
Перестановки. Построение определителя n-го порядка. Простейшие свойства.
Лекция 3.
§ 4. Определитель матрицы (продолжение)
Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа, общая схема доказательства.
Лекция 4.
§ 4. Определитель матрицы (продолжение)
Доказательство теоремы Лапласа. Разложение определителя по строке (столбцу).
Блочные матрицы. Определитель произведения матриц.
Лекция 5.
§ 5. Обратная матрица
Определение и простейшие свойства. Присоединенная матрица. Критерий обратимости. Явный вид обратной матрицы.
Глава II. Теоретико-множественные понятия
§ 6. Понятие множества.
О понятии множества. Операции над множествами. Декартово произведение множеств.
§ 7. Бинарные отношение. Отношение эквивалентности
§ 8. Отображения
Определение. Биективное (взаимно-однозначное) отображение. Обратное отображение.
Критерий обратимости.
Лекция 6.
Глава III. Геометрические векторы
§ 9. Направленные отрезки
§ 10. Свободный вектор. Линейные операции над векторами
Определение и терминология. Линейные операции над векторами. Множества векторов на прямой, на плоскости и в пространстве.
Лекция 7.
Глава IV. Введение в теорию линейных пространств
§ 11. Вещественное линейное пространство.
Определение. Примеры: геометрические пространства, арифметическое пространство, пространство матриц, пространства многочленов.
§ 12. Линейная зависимость
§ 13. Геометрический смысл линейной зависимости

Лекция 8.
§ 14. Ранг матрицы
Ранг матрицы и линейная зависимость. Ранг матрицы и элементарные преобразования. Вычисление ранга. Эквивалентные матрицы.
§ 15. Базис и размерность линейного пространства
Определения. Координаты вектора. Переход к другому базису.
Лекция 9.
Глава V. Векторная алгебра
§ 16. Координаты вектора на оси
§ 17. Аффинная (общая декартова) система координат. Координаты точки
§ 18. Проекции вектора
Проекции вектора на плоскости. Проекции вектора в пространстве. Проекции вектора и координаты.
Лекция 10.
§ 19. Скалярное произведение
Определение и основные свойства. Ортонормированный базис. Координаты вектора и скалярное произведение в ортонормированном базисе.
§ 20. Векторное и смешанное произведения векторов
Ориентация в вещественном пространстве. Основные факты. Векторное и смешанное произведения в прямоугольных координатах.
§ 21. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат
Ортогональная матрица. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.
Лекция 11.
Глава VI. Системы линейных алгебраических уравнений
§ 22. Основные задачи теории решения систем линейных алгебраических уравнений
Терминология. Компактная запись системы. Эквивалентность систем.
§ 23. Системы с квадратной невырожденной матрицей
§ 24. Системы общего вида. Общее решение системы
Совместность системы. Схема исследования совместной системы. Общее решение системы. Однородные системы.
§ 25. Метод Гаусса исследования и решения систем уравнений
Системы с трапециевидной матрицей. Элементарные преобразования системы уравнений. Приведение системы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей.
Лекция 12.
Глава VII. Геометрические свойства решений системы линейных алгебраических уравнений
§ 26. Линейное подпространство решений однородной системы
Линейное подпространство линейного пространства. Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений как линейное подпространство арифметического пространства. Фундаментальная система решений. Общее решение системы.
§ 27. Линейное многообразие решений неоднородной системы
Линейное многообразие в линейном пространстве. Множество решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений как линейное многообразие в арифметическом пространстве. Общее решение системы

Education directions

01.03.02 Прикладная математика и информатика

Knowledge

Знать определения понятий и формулировки теорем по программе курса

Skills

Уметь доказывать теоремы, ориентироваться в логической структуре курса, уметь пользоваться алгоритмами.

Abilities

Овладеть навыками математических доказательств и навыками решения задач

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Мокроусов Илья Сергеевич

Кандидат физико-математических наук
Position: Асистент кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова

Ким Галина Динховна

Кандидат физико-математических наук
Position: Доцент кафедры общей математики МГУ имени М.В.Ломоносова

Similar courses

12 September 2022 — 1 January 2030 г.

Геометрия и группы

МФТИ

12 September 2022 — 1 January 2030 г.

Религия и наука: христианская апологетика

МФТИ

New course

1 November 2022 — 1 November 2030 г.

Компьютерное зрение

НИУ ВШЭ

К сожалению, мы не гарантируем корректную работу сайта в вашем браузере. Рекомендуем заменить его на один из предложенных.

Также советуем ознакомиться с полным списком рекомендаций.

Google Chrome

Mozilla Firefox

Apple Safari

Разложения Лапласа для определителя

Используя определение определителя, в примере 5 было получено следующее выражение: 

Это уравнение можно переписать следующим образом:

Каждый термин справа имеет следующую форму:

В частности, обратите внимание, что

Если A = [ a _ij ] является матрицей n x n , то определитель ( n − 1) x ( n − 1) матрица, которая остается после удаления строки и столбца, содержащих запись a _ij , называется a _ij второстепенной , обозначается mnr( а _ij ). Если a _ij минор умножить на (−1) ^{i + j} , то результат называется кофактором a _ij 9 0042 , обозначаемый cof( a _ij ). То есть

Используя эту терминологию, приведенное выше уравнение для определителя матрицы 3 x 3 A равно сумме произведений элементов первой строки и их сомножителей:

Это называется расширением Лапласа по первой строке. Можно также показать, что определитель равен разложению Лапласа по второй -й строке,

или по третьему ряду ,

Верно даже больше. Определитель также равен разложению Лапласа по первому столбцу  

по второму столбцу или по третьему столбцу. Хотя формула разложения Лапласа для определителя была явно проверена только для матрицы 3×3 и только для первой строки, можно доказать, что определитель любой матрицы nxn равен разложению Лапласа по любой строке или любому столбцу .

Пример 1 : Оцените определитель следующей матрицы, используя разложение Лапласа по второму столбцу:

Записи во втором столбце: a ₁₂ = −1, a ₂₂ = 2 и a ₃₂ = 0. Миноры этих записей, mnr( а ₁₂ ), mnr( a ₂₂ ) и mnr( a ₃₂ ), вычисляются следующим образом:

Поскольку кофакторы записей второго столбца равны

расширение Лапласа по второму столбцу становится

Обратите внимание, что не нужно было вычислять минор или кофактор записи (3, 2) в A , поскольку эта запись была равна 0. В общем случае при вычислении определителя методом разложения Лапласа выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей. Миноры этих записей не нужно оценивать, потому что они ничего не дадут в определителе.

Множитель (−1) ^{i + j} , который умножает a _ij минор, чтобы получить кофактор a _ij , приводит к шахматной доске узор знаков; каждый знак дает значение этого фактора при вычислении кофактора a _ij из минора a _ij . Например, шахматная доска для матрицы 3 х 3 выглядит так:

 @статья{ Brio2005ПриложениеOW,
  title={Применение метода Уикса для численного обращения преобразования Лапласа к матричной экспоненте},
  автор = {Мойси Брио, Патрик О. Кано и Джером В. Молони},
  journal={Коммуникации в математических науках},
  год = {2005},
  объем = {3},
  страницы = {335-372}
} 

Требуется указать область определения и область значений функции. упр 531 параграф 10 алгебра 10-11 класс Колмогоров – Рамблер/класс

Требуется указать область определения и область значений функции. упр 531 параграф 10 алгебра 10-11 класс Колмогоров – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

Вот такое задание дали( Кто то уже решал? Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции f. Укажите область определения и область значений функции g
а) f (х) = 2х + 1;
в) f (х) = -2х + 1;
 

ответы

Хмм, насколько я помню, решение выглядит так:

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

Юмор

Олимпиады

ЕГЭ

9 класс

похожие вопросы 5

В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим? Колмогоров Алгебра 10-11 класс Упр 309

Привет! Поможете с решением?)
Скорость изменяется по закону 
(скорость измеряется в метрах в секунду). В какой момент времени (Подробнее…)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.10 классАлгебра

Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308

 Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее…)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра

Почему сейчас школьники такие агрессивные ?

Читали новость про 10 классника который растрелял ? как вы к этому относитесь 

Новости10 классБезопасность

Какой был проходной балл в вузы в 2017 году?

Какой был средний балл ЕГЭ поступивших в российские вузы на бюджет в этом году? (Подробнее…)

Поступление11 классЕГЭНовости

ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. Русский язык ГДЗ. Вариант 13. 18. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)…

18.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке 10 класс

 

 

Тема: Производная

 

Урок: Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

 

1. Введение. Постановка задачи

 

 

На этом занятии рассмотрим более простую задачу, а именно, будет задан промежуток, будет задана непрерывная функция на этом промежутке. Надо узнать наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке.

 

 

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции без производной

 

 

№ 32.1 (б). Дано: , . Нарисуем график функции (см. рис.1).

 

Рис. 1. График функции .

Известно, что эта функция возрастает на промежутке , значит, она возрастает и на отрезке . А значит, если найти значение функции в точках  и , то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.

Когда аргумент возрастает от  до 8, функция возрастает от  до .

Ответ: ; .

 

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений тригонометрической функции

 

 

№ 32.2 (а) Дано:   Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.

 

Построим график этой функции (см. рис.2).

Если аргумент меняется на промежутке , то функция возрастает от -2 до 2. Если аргумент возрастает от , то функция убывает от 2 до 0.

Рис. 2. График функции .

Найдем производную .

,  . Если , то  и это значение принадлежит заданному отрезку . Если , то . Легко проверить, если  принимает другие значения, соответствующие стационарные точки выходят за пределы заданного отрезка. Сравним значения функции на концах отрезка и в отобранных точках, в которых производная равна нулю. Найдем

;

;

.

Ответ: ;.

Итак, ответ получен. Производную в данном случае можно использовать, можно не использовать, применить свойства функции, которые были изучены ранее. Так бывает не всегда, иногда применение производной – это единственный метод, который позволяет решать подобные задачи.

 

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной

 

 

№ 32.10 (а)

 

Дано: , . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной – мы знали, как себя ведет функция, то в данном случае функция довольно сложная. Поэтому, ту методику, которую мы упомянули на предыдущей задаче, применим в полном объеме.

1. Найдем производную . Найдем критические точки  , отсюда ,  — критические точки. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку: . Сравним значение функции в точках , , . Для этого найдем

;

;

.

Проиллюстрируем результат на рисунке (см. рис.3).

Рис. 3. Пределы изменения значений функции

Видим, что если аргумент меняется от 0 до 2, функция изменяется в пределах от -3 до 4. Функция меняется не монотонно: она либо возрастает, либо убывает.

Ответ: ;.

 

5. Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

 

 

Итак, на трех примерах была продемонстрирована общая методика нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке, в данном случае – на отрезке.

 

Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции и отобрать те точки, которые находятся на заданном отрезке.

3. Найти значения функции на концах отрезка и в отобранных точках.

4. Сравнить эти значения, и выбрать наибольшее и наименьшее.

 

6. Решение задачи

 

 

Рассмотрим еще один пример.

 

Найти наибольшее и наименьшее значение функции , .

Ранее был рассмотрен график этой функции (см. рис.4).

Рис. 4. График функции .

На промежутке  область значения этой функции . Точка  — точка максимума. При  — функция возрастает, при  – функция убывает. Из чертежа видно, что ,  — не существует.

 

7. Итог урока

 

 

Итак, на уроке рассмотрели задачу о наибольшем и наименьшем значении функции, когда заданным промежутком является отрезок; сформулировали алгоритм решения подобных задач.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

 

Functions Transformations — Graphing, Rules, Tricks

Преобразование функций означает, что кривая, представляющая график, либо «двигается влево/вправо/вверх/вниз», либо «расширяется, либо сжимается», либо «отражает». Например, график функции f(x) = x ² + 3 получается простым перемещением графика g(x) = x ² на 3 единицы вверх. Преобразования функций очень полезны при графическом отображении функций, просто перемещая/расширяя/сжимая/отражая кривую без необходимости строить ее с нуля.

В этой статье мы увидим, каковы правила преобразования функций, и мы увидим, как выполнять преобразования различных типов функций, а также примеры.

1.	Что такое преобразования функций?
2.	Перевод функций
3.	Расширение функций
4.	Отражение функций
5.	Правила преобразования функций
6.	Описание преобразований функций
7.	Графические преобразования функций
8.	Часто задаваемые вопросы о преобразованиях функций

Что такое преобразования функций?

Преобразование функции либо «перемещает», либо «меняет размер», либо «отражает» график родительской функции. В основном существует три типа преобразования функций :

• Перевод
• Расширение
• Отражение

Среди этих преобразований только расширение изменяет размер исходной фигуры, но два других преобразования изменяют положение фигуры, но не размер фигуры. Мы можем видеть, что означает каждое из этих преобразований функций в таблице ниже.

Трансформация	Функция	Изменения положения/размера
Перевод	Сдвигает или перемещает кривую.	Изменение позиции
Расширение	Растягивает или сжимает кривую.	Изменение размера
Отражение	Переворачивает кривую и создает зеркальное отображение.	Изменение позиции

Говоря математическим языком, преобразование функции y = f(x) обычно выглядит как y = a f(b(x + c)) + d. Здесь a, b, c и d — любые действительные числа, представляющие преобразования. Обратите внимание, что все внешние числа (за скобками) представляют вертикальные преобразования, а все внутренние числа представляют горизонтальные преобразования. Также обратите внимание, что сложение/вычитание указывает на перевод, а умножение/деление представляет собой расширение. Любой знак минус умножает означает, что это отражение. Здесь,

• ‘a’ представляет вертикальное расширение
• ‘b’ обозначает горизонтальное расширение
• ‘c’ представляет горизонтальный перевод
• ‘d’ представляет вертикальный перевод

Давайте подробно изучим каждое из этих преобразований функций.

Перевод функций

Смещение происходит, когда каждая точка на графике (представляющая функцию) перемещается на одинаковую величину в одном и том же направлении. Существует два типа перевода функций.

• Горизонтальные перемещения
• Вертикальные перемещения

Горизонтальное перемещение функций :

В этом преобразовании функция перемещается влево или вправо. Это превращает функцию y = f (x) в форму y = f (x ± k), где «k» представляет собой горизонтальный перенос. Здесь

• , если k > 0, то функция перемещается влево на k единиц.
• , если k < 0, то функция перемещается вправо на k единиц.

Здесь исходная функция y = x ² (y = f(x)) сдвинута на 3 единицы вправо, чтобы получить преобразованную функцию y = (x — 3) ² (y = f(x) — 3)).

Вертикальный перевод функций :

В этом переводе функция перемещается либо вверх, либо вниз. Это превращает функцию y = f (x) в форму f (x) ± k, где «k» представляет собой вертикальный перенос. Здесь

• , если k > 0, то функция перемещается вверх на k единиц.
• , если k < 0, то функция перемещается вниз на k единиц.

Здесь исходная функция y = x ² (y = f(x)) перемещена на 2 единицы вверх, чтобы получить преобразованную функцию y = x ² + 2 (y = f(x) + 2).

Расширение функций

Расширение – это растяжение или сжатие. Если график расширяется параллельно оси x, все значения x увеличиваются на один и тот же масштабный коэффициент. Точно так же, если он расширяется параллельно оси y, все значения y увеличиваются на один и тот же масштабный коэффициент. Существует два типа дилатации.

• Горизонтальное расширение
• Вертикальное расширение

Горизонтальное расширение

Горизонтальное расширение (также известное как горизонтальное масштабирование) функции либо растягивает, либо сжимает кривую по горизонтали. Он изменяет функцию y = f(x) на форму y = f(kx) с масштабным коэффициентом «1/k», параллельным оси x. Здесь

• Если k > 1, то граф сжимается.
• Если 0 < k < 1, то график растягивается.

При этом расширении будут изменены только координаты x, но не будут изменены координаты y. Каждая старая координата x умножается на 1/k, чтобы найти новую координату x. На следующем графике исходная функция y = x ³ растягивается по горизонтали с масштабным коэффициентом 3, чтобы получить график преобразованной функции y = (x/3) ³ . Например, точка (1,1) исходного графика преобразуется в (3, 1) нового графика.

Вертикальное расширение

Вертикальное расширение (также известное как вертикальное масштабирование) функции либо растягивает, либо сжимает кривую по вертикали. Он изменяет функцию y = f (x) в форму y = k f (x) с масштабным коэффициентом «k», параллельным оси y. Здесь

• Если k > 1, то граф растягивается.
• Если 0 < k < 1, то граф сжимается.

При этом расширении будут изменены только координаты y, но не будут изменены координаты x. Каждая старая координата y умножается на k, чтобы найти новую координату y. На следующем графике исходная функция y = x ³ растягивается по вертикали с коэффициентом масштабирования 3, чтобы получить преобразованный график функции y = 3x ³ . Например, точка (1, 1) (на исходном графике) соответствует (1, 3) на новом графике.

Отражение функций

Отражение функции — это просто изображение кривой относительно оси x или оси y. Это происходит всякий раз, когда мы видим, что где-то в функции происходит умножение знака минус. Здесь,

• y = — f(x) является отражением y = f(x) относительно оси x.
• y = f(-x) является отражением y = f(x) относительно оси y.

Обратите внимание на график ниже, где исходный график y = (x + 2) ² отражен относительно каждой из осей x и y.

Здесь обратите внимание, что при отображении функции

• относительно оси x меняются только знаки координат y, а координаты x не изменяются.
• относительно оси y меняются только знаки координат x, а координаты y не изменяются.

Правила преобразования функции

До сих пор мы понимали типы преобразований функций и то, как сложение/вычитание/умножение/деление числа и умножение на знак минус отражает график. Сведем в таблицу все правила преобразования функций вместе.

Преобразование функции	Правило	Результат
Перевод	По горизонтали: у = f(x + k)	Перемещение влево, если k > 0 Смещается вправо, если k < 0
	По вертикали: y = f(x) + k	Перемещает вверх, если k > 0 Смещается вниз, если k < 0
Расширение	Горизонтально: y = f(kx)	Растягивается, когда 0 < k < 1 Сжимается при k > 1
	Вертикально: y = k f(x)	Растягивается, когда k > 1 Сжимается, когда 0 < k < 1
Отражение	По оси x: y = — f(x)	Отражает график, где ось x действует как зеркало.
	О оси Y: y = f(-x)	Отражает график, где ось Y действует как зеркало.

Приведенные выше правила сбивают с толку и их трудно запомнить? Давайте рассмотрим несколько важных советов, чтобы запомнить эти правила.

Советы и подсказки, которые следует помнить Преобразования функций:

• Если какая-то операция заключена в скобки, обратите внимание, что она связана с «горизонтальной», и в этом случае все произойдет наоборот, чем мы думаем.
  Например, мы можем думать, что f(x + 2) преобразует f(x) вправо, потому что это +, но на самом деле оно смещается влево на 2 единицы.
  Точно так же мы можем думать, что f(3x) растягивает f(x), но нет, он сжимает f(x) в масштабном коэффициенте 1/3.
• Если какая-то операция находится за скобками, обратите внимание, что она относится к «вертикальной» и в этом случае все будет происходить прямо (а не наоборот).
  Например, f(x) + 2 перемещает f(x) «вверх», это там символ «+».
  Точно так же 3 f(x) растягивает f(x) на масштабный коэффициент 3, поскольку 3 > 1.
• Если какое-то число прибавляется/вычитается, то это связано с «переводом». Например, f(x + 2) — это горизонтальное смещение, а f(x) + 2 — вертикальное смещение.
• Если какое-то число умножается/делится, то это связано с «расширением». Например, f(2x) — горизонтальное расширение, а 2 f(x) — вертикальное расширение.
• Если задуматься, здесь как раз противоположно первому и второму трюкам. Если знак минус находится внутри скобки, он относится к оси y, а если знак минус находится вне скобки, он относится к оси x.

Описание преобразований функций

Приведенные выше правила можно использовать для описания любого функционального преобразования. Например, если вопрос состоит в том, как влияет преобразование g(x) = — 3f(x + 5) + 2 на y = f(x), то сначала проследим последовательность операций, которые нужно было применить к f(x) x), чтобы получить g(x), а затем использовать приведенные выше правила для определения преобразований. Здесь, чтобы получить g(x) из f(x)

• , сначала f(x) превращается в f(x + 5). т. е. горизонтальный сдвиг на 5 единиц влево.
• Затем оно превращается в 3 f(x + 5). т. е. вертикальное расширение с масштабным коэффициентом 3,
• Затем оно превращается в -3 f(x + 5). т. е. отражение относительно оси x.
• Наконец, оно меняется на -3 f(x + 5) + 2, т. е. вертикальное смещение на 2 единицы вверх.

Таким образом, g(x) получается из f(x) горизонтальным сдвигом на 5 единиц влево, вертикальным расширением с масштабным коэффициентом 3, отражением относительно оси x и вертикальным сдвигом на 2 единицы вверх. Мы также можем описать преобразования функций, используя описанные выше приемы. Попробуйте прямо сейчас.

Графические преобразования функций

Определить преобразование, глядя на исходный и преобразованный графики, легко, потому что, просто взглянув на график, мы можем сказать, что график перемещается вверх на 2 единицы или влево на 3 единицы и т. д. Но когда дан график, построение графика преобразование функции иногда затруднено. Следующие шаги значительно упрощают графические преобразования . Здесь мы преобразуем функцию y = f(x) в y = a f(b (x + c)) + d.

• Шаг 1: Запишите некоторые координаты исходной кривой, которые определяют ее форму. т. е. теперь мы знаем старые координаты x и y.
• Шаг 2: Чтобы найти новую координату x каждой точки, просто установите «b (x + c) = старая координата x» и решите это для x.
• Шаг 3: Чтобы найти новую координату y каждой точки, просто примените все внешние операции (скобки) к старой координате y. т. е. найдите ay + d, чтобы найти каждую новую координату y, где y — старая координата y.

Мы можем лучше понять эти шаги, используя приведенный ниже пример.

Пример: Следующий график представляет f(x). Нарисуйте график преобразования функции y = 2 f(x/2) + 3.

Решение:

Мы можем ясно видеть, что (-3, 2), (-1, 2), (2, -1 ) и (6, 1) определяют форму графика. Найдем новые координаты x и y каждой из этих точек.

Старые точки	Новые очки
(-3, 2)	Новая координата x: x/2 = -3 ⇒ x = -6
	Новая координата y: 2(2) + 3 = 7
	Новая точка: (-6, 7)
(-1, 2)	Новая координата x: x/2 = -1 ⇒ x = -2
	Новая координата y: 2(2) + 3 = 7
	Новая точка: (-2, 7)
(2, -1)	Новая координата x: x/2 = 2 ⇒ x = 4
	Новая координата y: 2(-1) + 3 = 1
	Новая точка: (4, 1)
(6, 1)	Новая координата x: x/2 = 6 ⇒ x = 12
	Новая координата y: 2(1) + 3 = 5
	Новая точка: (12, 5)

Теперь нанесем все старые и новые точки на координатную плоскость и проследим за преобразованиями.

☛ Похожие темы:

• Матрица трансформации
• Линейно-дробное преобразование

Часто задаваемые вопросы о преобразованиях функций

Что такое преобразования функций?

Преобразования функций определяют, как графически изображать движение функции и как изменяется ее форма. В основном существует три типа преобразования функций: перевод, расширение и отражение.

Как найти преобразование функций?

Чтобы найти преобразования функции, мы должны определить, является ли это перемещением, расширением или отражением, а иногда это смесь некоторых/всех преобразований. Для функции y = f(x),

• , если число добавляется или вычитается внутри скобки, то это горизонтальный перенос. Если число отрицательное, то горизонтальное преобразование происходит с правой стороны. Если число положительное, то горизонтальное преобразование происходит с левой стороны.
• Если число добавляется или вычитается вне скобок, то это вертикальный перевод. Если число положительное, то вертикальный перенос происходит вверх. Если число отрицательное, то вертикальный перевод происходит вниз.
• Если число умножается или делится внутри скобок, то это расширение по горизонтали. Если число > 1, то это горизонтальное сжатие. Если число находится между 0 и 1, то это горизонтальное растяжение.
• Если число умножается или делится вне скобок, то это вертикальное расширение. Если число > 1, то это вертикальное растяжение. Если число находится в диапазоне от 0 до 1, то это вертикальное сжатие.
• Если функция умножается на знак минус внутри скобки, то это отражение относительно оси y.
• Если функция умножается на знак минус вне скобок, то это отражение относительно оси x.

Как объяснить преобразования функций?

Чтобы объяснить преобразования функций, мы должны применить правила преобразования функций. Например, 3 f(x + 2) — 5 получается путем применения следующих функциональных преобразований к f(x):

• горизонтального перемещения на 2 единицы влево.
• Вертикальное расширение с коэффициентом масштабирования 3.
• Вертикальное перемещение на 5 единиц вниз.

Каковы правила преобразования функций?

Правила преобразования функций для каждого из переноса, расширения и отражения:

• Горизонтальный перенос: имеет форму f(x + k) и перемещает f(x) на k единиц влево, если k > 0 и k единиц вправо, если k < 0,
  Вертикальный перевод: имеет вид f(x) + k и перемещает f(x) на k единиц вверх, если k > 0, и на k единиц вниз, если k < 0.
• Горизонтальное растяжение: оно имеет вид f(kx) и сжимает f(x), если k > 1, и растягивает f(x), если 0 < k < 1.
  Вертикальное растяжение: имеет форму k f(x) и сжимает f(x), если 0 1.
• Отражение относительно оси x имеет вид — f(x).
  Отражение относительно оси y имеет вид f(-x).

Какие существуют типы преобразования функций?

В основном существует три типа преобразования функций.

• Перевод: сдвигает график исходной функции влево, вправо, вверх или вниз.
• Расширение: сжимает или растягивает график исходной функции по горизонтали или вертикали.
• Отражение: отражает график исходной функции (другими словами, создает зеркальное отображение исходной функции) относительно осей x или y.

Как проще всего запомнить преобразования функций?

Вот самый простой способ запомнить преобразования функций. Если что-то происходит внутри скобки, то это соответствует горизонтальным преобразованиям. Если что-то происходит за скобками, то это соответствует вертикальным преобразованиям. Если знак минус умножается либо снаружи, либо внутри скобки, то он соответствует отражению.

6.7 Скорости изменения тригонометрических функций

6.7 Скорости изменения тригонометрических функций

Полезные видеоролики

9 0002 Определить среднюю скорость изменения функции

y = 4 cos (x) + 3 для 0 < x < π/3

 

Шаг 1: Определите значения y для случаев, когда x = 0 и когда x = π/3

y = 4 cos (0) + 3      y = 4 cos ( π/3) + 3

  = 4(1) + 3                  = 4 (1/2) +3

  = 7                            = 2 + 3

                                   0002 м = (y2 — y1) ÷ (x2 -x1)

= (5 — 7) ÷ (π/3- 0)

= -2 ÷ π/3

= — 1,91

 

Следовательно, средняя скорость изменения на этом интервале равна -1,91

Шаг 2) Используя формулу наклона, рассчитайте среднюю скорость изменения.

(ПРИМЕЧАНИЕ. Прежде чем продолжить, проще преобразовать угол из радианов в градусы.)

Средняя скорость изменения тригонометрических функций определяется путем подстановки значений x в уравнение и определения значений y. Получив обе координаты, просто используйте формулу наклона: m=(y2 — y1)÷(x2 — x1). Полученное значение m представляет собой среднюю скорость изменения этой функции за этот интервал.

Мгновенная скорость изменения тригонометрических функций находится с использованием формулы наклона с координатами, полученными из значений x, которые немного выше и ниже рассматриваемого значения x на долю.

 

 

Ознакомьтесь с нашим руководством ниже, чтобы предоставить подробный пример того, как определить среднюю и мгновенную скорость изменения тригонометрических функций.

 

Скорость изменения тригонометрических функций определяется с помощью методов и стратегий, аналогичных тем, которые используются при работе с другими функциями.

 

Не помните? Хорошо, давайте кратко рассмотрим их!

Пример 1

Шаг 1) Определите значения y для случаев, когда t= 8,001 и t= 7,999. (ПРИМЕЧАНИЕ: используйте калькулятор для оценки). Не забудьте сохранить несколько (если не все) знаков после запятой.

y = 3 sin 6(7,999) + 11        y = 3 sin 6(8,001) + 11

   = 13,22922425                    = 13,229644 68

 

 

 

m = (y2 — y1) ÷ (x2 -x1)

= (13,22964468 -13,22922425) ÷ (8,001-7,999)

= (0,000420428 ÷ 0,002)

= 0,21

  90 007

Следовательно, мгновенная скорость изменения на этом интервале равна 0,21.

Шаг 2) Используя формулу наклона, рассчитайте мгновенную скорость изменения.

Определите мгновенную скорость изменения следующей функции при t=8: y = 3 sin 6(t) + 11. 1. Определить среднее скорость изменения функции y =6 cos 2(x-π/3) + 5 для интервала π/3 x 2π/3.

 

2. Как определить, является ли средняя скорость изменения синусоидальной функции положительной или отрицательной для интервала, прежде чем находить среднюю скорость изменения? Объяснять.

Уровень 3

Определите мгновенную скорость изменения при t = 14 для следующей функции: H(t) = 4 sin 5 (t) -10.

Проверить ответы

Уровень 4

4. Этой весной температура в Торонто, Онтарио, была ненормальной. Температура увеличилась с 0°C до 15°C и снова снизилась с 15°C до 0°C. Этот цикл повторялся каждые 12 часов. Выразите температуру как функцию времени и найдите мгновенную скорость изменения при t = 22,9.0007

Наверх

Другие полезные ссылки

Проверьте свою работу!

Ключевые понятия/советы

Определение средней скорости изменения или мгновенной скорости изменения ничем не отличается от расчета с помощью других функций. Те же стратегии используются и для других типов функций. Касательные линии встречаются в точках максимума и минимума функции, из-за ее периодического характера мгновенная скорость изменения равна 0 во многих областях, здесь также наклон касательных равен нулю.

Чему равно 10 в отрицательной степени? – Обзоры Вики

Отсюда, что такое отрицательный показатель? Как объясняется на странице, отрицательная экспонента просто означает «мультипликативная инверсия основания, возведенная в положительную противоположность степени».

Чему равно 10 в отрицательной 2-й степени? Ответ: число 10 в степени минус 2 равно 0.01.

Дополнительно Можете ли вы иметь отрицательную экспоненту в многочлене? Многочлен не может иметь переменную в знаменателе или отрицательный показатель степени., так как мономы должны иметь только целые показатели степени. Полиномы обычно записывают так, чтобы степени одной переменной располагались в порядке убывания.

Как вы делаете отрицательные показатели с переменными?

Чему равно 5 в отрицательной степени числа 2? Ответ: 5 в степени минус 2 равно 0.04.

Чему равно 10 в отрицательной степени числа 3? Ответ: 10 в степени минус 3 равно 0.001.

Может ли переменная иметь отрицательный показатель степени?

Распределение с отрицательными показателями означает, что у вас будут дробные ответы. Базис с отрицательным показателем можно заменить дробью. Основание и показатель степени становятся знаменателем, но показатель степени при этом теряет свой отрицательный знак. … Измените члены с отрицательными показателями на дроби.

Также Почему отрицательные показатели не являются многочленами? Первый не является полиномом, потому что у него отрицательный показатель степени, а все показатели в многочлен должен быть положительным. … Все показатели степени в алгебраическом выражении должны быть неотрицательными целыми числами, чтобы алгебраическое выражение было многочленом.

Может ли рациональная функция иметь отрицательный показатель?

Рациональные показатели

Числитель рационального показателя — это степень, в которую нужно возвести основание, а знаменатель — корень из взятого основания. Рациональные показатели может быть положительным или отрицательным с одним и тем же значение для отрицательных корней, как указано выше.

Сколько 10 в отрицательной степени 7? Ответ: 10 в степени отрицательной 7 равно 0.0000001.

Как вычислить отрицательную степень без калькулятора?

Что такое 5 в отрицательной степени?

Отрицательные показатели означают, что вместо умножения что многие из основных чисел вместе, вы делите. Например, 52=25, но 5−2=152=125. Вы можете использовать свойство произведения полномочий, чтобы показать это. Мы знаем, что 52=25, и мы знаем, что 50=1. 2 и равно -1.

Что означает отрицательный показатель степени в научной записи? Отрицательная экспонента показывает, что десятичная точка сдвинута на указанное количество разрядов влево. В экспоненциальной системе обозначений числовой термин обозначает количество значащих цифр в числе. … Другой пример: 0.00053 = 5.3 x 10^–4 Это число состоит из 2 значащих цифр.

Как записать отрицательный показатель степени в экспоненте?

Являются ли отрицательные числа полиномами? В частности, чтобы выражение было многочленом, оно не должно содержать квадратных корней переменных, дробных или отрицательных степеней переменных, а также переменных в знаменателях любых дробей.

Может ли квадратное уравнение иметь отрицательные показатели?

Это зависит от того, что вы имеете в виду. Когда мы говорим квадратное уравнение, мы имеем в виду уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, и мы можем видеть, что нет отрицательных показателей.

Что есть что-нибудь в степени минус 1? Отрицательная единица — это особое значение для показателя степени, потому что возведение числа в степень отрицательной единицы дает обратное значение: х − 1 = 1x.

Как возводить число в отрицательную степень

Со школы всем нам известно правило о возведении в степень: любое число с показателем N равно результату перемножения данного числа на самого себя N-ное количество раз. Иными словами, 7 в степени 3 — это 7, умноженное на себя три раза, то есть 343. Еще одно правило – возведение любой величины в степень 0 дает единицу, а возведение отрицательной величины представляет собой результат обычного возведения в степень, если она четная, и такой же результат со знаком «минус», если она нечетная.

Правила же дают и ответ, как возводить число в отрицательную степень. Для этого нужно возвести обычным способом нужную величину на модуль показателя, а потом единицу поделить на результат.

Из этих правил становится понятно, что выполнение реальных задач с оперированием большими величинами потребует наличия технических средств. Вручную получится перемножить на самого себя максимум диапазон чисел до двадцати-тридцати, и то не более трех-четырех раз. Это не говоря уж о том, чтобы потом еще и единицу разделить на результат. Поэтому тем, у кого нет под рукой специального инженерного калькулятора, мы расскажем, как возвести число в отрицательную степень в Excel.

Решение задач в Excel

Для разрешения задач с возведением в степень Excel позволяет пользоваться одним из двух вариантов.

Первое – это использование формулы со стандартным знаком «крышечка». Введите в ячейки рабочего листа следующие данные:

Таким же образом можно возвести нужную величину в любую степень — отрицательную, дробную. -C2.

Второй вариант – использование готовой функции «Степень», принимающей два обязательных аргумента – число и показатель. Чтобы приступить к ее использованию, достаточно в любой свободной ячейке поставить знак «равно» (=), указывающий на начало формулы, и ввести вышеприведенные слова. Осталось выбрать две ячейки, которые будут участвовать в операции (или указать конкретные числа вручную), и нажать на клавишу Enter. Посмотрим на нескольких простых примерах.

Как видим, нет ничего сложного в том, как возводить число в отрицательную степень и в обычную с помощью Excel. Ведь для решения данной задачи можно пользоваться как привычным всем символом «крышечка», так и удобной для запоминания встроенной функцией программы. Это несомненный плюс!

Перейдем к более сложным примерам. Вспомним правило о том, как возводить число в отрицательную степень дробного характера, и увидим, что эта задача очень просто решается в Excel.

Дробные показатели

Если кратко, то алгоритм вычисления числа с дробным показателем следующий.

1. Преобразовать дробный показатель в правильную или неправильную дробь.
2. Возвести наше число в числитель полученной преобразованной дроби.
3. Из полученного в предыдущем пункте числа вычислить корень, с условием, что показателем корня будет знаменатель дроби, полученной на первом этапе.

Согласитесь, что даже при оперировании малыми числами и правильными дробями подобные вычисления могут занять немало времени. Хорошо, что табличному процессору Excel без разницы, какое число и в какую степень возводить. Попробуйте решить на рабочем листе Excel следующий пример:

Воспользовавшись вышеприведенными правилами, вы можете проверить и убедиться, что вычисление произведено правильно.

В конце нашей статьи приведем в форме таблицы с формулами и результатами несколько примеров, как возводить число в отрицательную степень, а также несколько примеров с оперированием дробными числами и степенями. C$3».

Обратите внимание, что положительные числа (даже нецелые) без проблем вычисляются при любых показателях. Не возникает проблем и с возведением любых чисел в целые показатели. А вот возведение отрицательного числа в дробную степень обернется для вас ошибкой, поскольку невозможно выполнить правило, указанное в начале нашей статьи про возведение отрицательных чисел, ведь четность – это характеристика исключительно ЦЕЛОГО числа.

7.1: Отрицательные показатели — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Дэвид Арнольд
• College of the Redwoods

Мы начнем с, казалось бы, глупого, но мощного определения того, что значит возвести число в степень \(−1\).

Возведение в степень \(-1\)

Чтобы возвести объект в степень \(-1\), просто переверните объект (переверните его вверх ногами). {-1}\) 93}\)

Эта страница под названием 7.1: Negative Exponents распространяется под лицензией CC BY-NC-ND 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Дэвидом Арнольдом с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Дэвид Арнольд

   Лицензия

   CC BY-NC-ND

   Версия лицензии

   3,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@https://math. libretexts.org/@api/deki/files/80188/ElementaryAlgebra.pdf

Умножение положительных и отрицательных чисел. Математика 7-го класса

Освойте 7 столпов школьной успеваемости

Улучшите свои оценки и снизьте стресс

Мульти игра с отрицательными числами и дробями

Помните наши правила умножения положительных и отрицательных чисел?

«Отрицательные значения всегда идут парами»

или

​» Одинаковые знаки = положительный »

 Разные знаки = отрицательный»

Эти же правила применяются к дроби Например:

(- 1/6) * 2/3 = -2/18 = -1/9

(-1/6) * (-2/3) = 1/9

1/6 * 2/3 = 1 /9

Всякий раз, когда у вас есть отрицательное основание и показатель степени, вам нужно следить за скобками.2) = -4 * -4 = 16 

** Отрицательное * Отрицательное = Положительное

Умножение отрицательных чисел и показателей степени

Всякий раз, когда вы умножаете число на ноль, ваш ответ будет равен нулю. Независимо от того, положительное число или отрицательное, ответ равен нулю.

Например:

3 x0 = 0

-5 x 0 = 0

-456 x 0 =0

9015 3 Умножение отрицательного числа на ноль

Совет по умножению отрицательных чисел

Помогите, когда я умножаю или делю положительные и отрицательные целые числа, я не знаю, положительный ответ или отрицательный.

К счастью, есть правила, которые помогут в этом. Два быстрых и простых способа запомнить правила:

«Отрицательные числа всегда идут парами»

или

​» Одинаковые знаки = положительные »

 Разные знаки = минус»

Обратите внимание, что минусы всегда парами

Быстрый и простой способ запомнить: 

Одинаковые знаки  = положительный частное

Разные знаки  = отрицательное частное

6*2 = 12

6*-2 = -12

-6 *-2 = 12

Добро пожаловать в MooMooMath. Сегодня мы говорим об умножении чисел со знаками, поэтому вот наши примеры. четыре раза минус пять равно плюс двадцать. Положительные пять раз минус два минус десять, а минус восемь раз плюс три равно двадцать четыре. Вот наши примеры. Теперь давайте посмотрим на наши правила. Вот правила умножения . Отрицательное время отрицательное является положительным. Я думаю об этом так, что отрицательные всегда идут парами, поэтому они объединяются в пары и становятся положительными. Итак, если у вас есть отрицательное время положительное, у отрицательного нет пары, поэтому ответ отрицательный. Минусы всегда идут парами. Положительное, умноженное на отрицательное, является отрицательным, а положительное, умноженное на положительное, является положительным. Поэтому всегда думайте о негативах, приходящих парами. Итак, теперь давайте вернемся и посмотрим на наши примеры задач. Правила: отрицательное умножение на отрицательное равно положительному. Они объединились в пары и стали положительными, так что отрицательные четыре умножить на пять — это положительные двадцать. Для положительного нужна пара, поэтому ответ отрицательный, поэтому пять раз два — десять отрицательных. Отрицательное, умноженное на положительное, является отрицательным, поэтому трижды восемь будет двадцать четыре, и оно будет отрицательным. Итак, давайте рассмотрим проблему с вызовом. У меня отрицательный один раз отрицательный один раз отрицательный. Если я сопоставлю свои негативы, эти два соединится и станут положительными, а эти два соединится и станут положительными, поэтому ответ будет просто положительным, умноженным на положительный, который является положительным. Таким образом, ответ на эту трудную проблему положительный.

Стенограмма

Вставка таблицы в Word для Mac