Рубрика: Школьная жизнь

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Общий вид линейного д.у.1: непрерывные функции или постоянные. Если, то уравнениерешается как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнения:

1) Это уравнение является линейным по определению

,но лучше рассматривать его как уравнение с разделяющимися переменными:

2) Это уравнение не является линейным, т. к. функцияy в уравнении имеет не первую степень, а выше

3)

Уравнение является линейным по определению. Но проще рассматривать его как однородное д.у.1: где– однородная функция нулевого измерения.

4) Запишем уравнение в виде. Это линейное д.у.1.

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение ищется в виде гденекоторые функции.

Покажем на примере, что любую функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых выбирается произвольно, а вторая зависит от этого выбора.

Пусть . Можнопредставить в виде различных пар множителей:

где первый множитель выбирается произвольно.

Указанная подстановка приводит линейное д.у.1 к решению двух д.у. с разделяющимися переменными. Покажем это в общем виде. В линейное уравнениеподставимПолучим

или

. (4)

Выберем функцию u   такой, чтобы

(5)

Уравнение (5) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, найдем функцию без

учета произвольной постоянной. Подставим найденную функцию в уравнение (4) и получимдифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (3). Его общее решение позволит получить второй множитель

Тогда общее решение линейного д. у. 1.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решаем подстановкой

(6)

подставим в (6).

Общее решение:

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

Подстановка: .

(7)

Подставим найденную функцию u в уравнение (7):

Таким образом, общее решение данного уравнения будет иметь вид

или

Найдем частное решение дифференциального решения, удовлетворяющее начальному условию

Следовательно, искомое частное решение такое:

Уравнения, приводящиеся к линейным (уравнения Бернулли)

Уравнение вида называется уравнением Бернулли. Здесь n – действительное число, причем при n = 0 получим линейное уравнение; при получим уравнение с разделяющимися переменными. Приуравнение Бернулли приводится к линейному, поэтому решается подстановкой

Пример. Найти общее решение уравнения

Разделив левую и правую части уравнения на х, представим его в виде

. Можно утверждать, что это уравнение имеет общий вид

т. е. является уравнением Бернулли. Решаем его подстановкой

где – вспомогательные функции.

Подставим в исходное уравнение:

(8)

Для получения общего интеграла найдем

или

.

Замечание. Неопределенный интеграл найден с применением

формулы интегрирования по частям:

Производим подстановку

;.

Тогда

studfiles.net

Приводящиеся к линейным дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрены дифференциальные уравнения, приводящиеся к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному уравнению.

К линейным уравнениям первого порядка приводится уравнения вида:
(1)   ,
где z – функция от y; p и q – функции от x.
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции:
.
Подставляя в (1), получаем уравнение, линейное относительно z:
.

Дифференциальные уравнения, линейные относительно переменной x

Ранее мы рассматривали уравнения, линейные относительно переменной y. То есть мы считали, что x является независимой переменной, а y является зависимой переменной. Однако, всегда стоит иметь в виду, что возможен противоположный подход. То есть можно считать переменную y независимой переменной, а x – зависимой переменной. На практике часто встречаются задачи, в которых уравнение линейно относительно переменной x, а не y. В общем виде такое уравнение можно записать так:
(2)   ,
где P, Q, R –функции от y.

Покажем, что это уравнение линейно относительно переменной x. Для этого выполняем преобразования. Представим производную в виде отношения дифференциалов:
.
Тогда уравнение (2) примет вид:
.
Умножаем на     и выполняем алгебраические преобразования:
;
.
Разделив на R(y), приводим уравнение к виду:
,
где   .
Это – линейное относительно x дифференциальное уравнение.

Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному уравнению первого порядка

Решить уравнение:
(П.1)   .

Решение

Подставим     в (П.1):
.
Считаем, что y – это независимая переменная, а x – зависимая. То есть x – это функция от y. Умножим на   :
(П.2)   .
Делаем подстановку:
.
Здесь z – сложная функция от y,   .
Дифференцируем по y. По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Подставляем в (П.2):
;
.
Это линейное, относительно z, дифференциальное уравнение. Решаем его с помощью интегрирующего множителя. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель e ^y:
;
;
.
Интегрируем по частям:

;

;
;
.
Переходим к переменной x:
;
.

Ответ

.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 05-08-2012   Изменено: 26-06-2015

1cov-edu.ru

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные однородные и неоднородные ДУ первого порядка

Функции и , входящие в уравнение, являются непрерывными на некотором интервале , на котором ищется решение рассматриваемого уравнения.

Решение неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка

1. Метод Бернулли. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1) ищется в виде

Отсюда

После подстановки в уравнение (1), будем иметь:

Функции и подбираются таким образом, чтобы выражение , стоящее в скобках второго слагаемого, равнялось нулю. То есть уравнение (3) распадается на два уравнения:

Первое из уравнений системы является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

Второе уравнение системы принимает вид:

Отсюда

А тогда

2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Данный метод заключается в следующем:

1) Вначале ищется общее решение однородного дифференциального уравнения (2):

2) Далее C считается не константой, а некоторой функцией от переменной x:

Находим производную и в заданное неоднородное дифференциальное уравнение подставляем полученное выражение для и . Из полученного уравнения находим функцию .

3) В общее решение (4) однородного уравнения вместо C подставляем найденное выражение .

ru.solverbook.com

Линейные уравнения первого порядка

Такое дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Представим его в стандартном виде метода: $y’=-P\left(x\right)\cdot y$, где $f_{1} \left(x\right)=-P\left(x\right)$ и $f_{2} \left(y\right)=y$.

Вычислим интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Вычислим интеграл $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int \frac{dy}{y} =\ln \left|y\right|$.

Запишем общее решение в виде $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_{1} \right|$, где $\ln \left|C_{1} \right|$ — произвольная постоянная, взятая в удобном для дальнейших преобразований виде.

Выполним преобразования:

Используя определение логарифма, получим: $\left|y\right|=\left|C_{1} \right|\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $. Это равенство, в свою очередь, эквивалентно равенству $y=\pm C_{1} \cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.

Заменив произвольную постоянную $C=\pm C_{1} $, получим общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.

Решив уравнение $f_{2} \left(y\right)=y=0$, найдем особые решения. Обычной проверкой убеждаемся, что функция $y=0$ является особым решением данного дифференциального уравнения.

Однако это же решение можно получить из общего решения $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $, положив в нём $C=0$.

Таким образом, окончательный результат: $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.

Общий метод решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y’+P\left(x\right)\cdot y=0$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
2. Вычисляем интеграл $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
3. Записываем общее решение в виде $y=C\cdot e^{-I} $ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Решение одного сложного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть сведено к решению двух более простых дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию $y$ следует заменить произведением двух вспомогательных функций $u$ и $v$, то есть положить $y=u\cdot v$.

Выполняем дифференцирование принятой замены: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} $. Подставляем полученное выражение в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot u\cdot v=Q\left(x\right)$ или $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \left[\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v\right]=Q\left(x\right)$.

Отметим, что если принято $y=u\cdot v$, то в составе произведения $u\cdot v$ одну из вспомогательных функций можно выбирать произвольно. Выберем вспомогательную функцию $v$ так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение $\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v=0$ относительно функции $v$ и выбрать для неё простейшее частное решение $v=v\left(x\right)$, отличное от нуля. Это дифференциальное уравнение является линейным однородным и решается оно вышерассмотренным методом.

Полученное решение $v=v\left(x\right)$ подставляем в данное дифференциальное уравнение с учетом того, что теперь выражение в квадратных скобках равно нулю, и получаем еще одно дифференциальное уравнение, но теперь относительно вспомогательной функции $u$: $\frac{du}{dx} \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Это дифференциальное уравнение можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} $, после чего становится очевидно, что оно допускает непосредственное интегрирование. Для этого дифференциального уравнения необходимо найти общее решение в виде $u=u\left(x,\; C\right)$.

Теперь можно найти общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Общий метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y’+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
2. Вычисляем интеграл $I_{1} =\int P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
3. Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$.
4. Записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Задача 2

Найти общее решение дифференциального уравнения $y’-\frac{y}{x} =3\cdot x$.

Имеем линейное неоднородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=-\frac{1}{x} $ и $Q\left(x\right)=3\cdot x$.

Вычисляем интеграл $I_{1} =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac{1}{x} \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Вибираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.

Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx =\int \frac{3\cdot x}{x} \cdot dx=3\cdot x $.

Записываем выражение $u\left(x,C\right)=I_{2} +C=3\cdot x+C$.

Окончательно записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $y=\left(3\cdot x+C\right)\cdot x$.

spravochnick.ru

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка [wiki.eduVdom.com]

subjects:diffury:линейные_уравнения_первого_порядка

Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной $$ \frac{dy}{dx} +p(x)y =Q(x) \qquad (1)$$

Решение линейного уравнения ищем в виде $y=u(x)v(x)$

Подставляя в (1), после преобразования получаем $$ u \left ( \frac{dv}{dx} + p(x)v \right ) +V\frac{du}{dx} =Q(x) $$

Выберем v такой чтобы $\frac{dv}{dx} + p(x)v =0$ найдём u(x) , и следовательно получим решение $y=uv$

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение: ${xy}’-2y=4x^{4}-x$

Решение дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить задачу Коши $$ {y}’-y=-e^{-x} \,,\, y|_{x=0}=2 $$

Решение. Это линейное уравнение. Ищем общее решение в виде $y=u(x)v(x)$ , имеем ${y}’={u}’v+u{v}’$ . Подставляя выражения для y и ${y}’$ в данное уравнение, будем иметь $$ u({v}’-v)+{u}’v=-e^{-x} \\ u \left ( \frac{dv}{dx} -v \right ) +\frac{du}{dx}v =e^{-x} \\ \frac{dv}{dx}-v=0 \;;\; \frac{dv}{v}=dx \;;\; \ln{|v|}=x \;;\; v=e^{x} $$

Для определения u имеем уравнение $$ {u}’v=-e^{-x} \\ \frac{du}{dx}e^{x}=-e^{-x} \;;\; \frac{du}{dx}=-e^{-2x} \;;\; u=\frac{ e^{-2x} }{2} +c \\ y=uv=e^{x} \left( \frac{ e^{-2x} }{2} +c \right ) =\frac{ e^{-x} }{2} +Ce^{x} $$

Найдём C: $2=\frac{1}{2}+c \,,\, c=\frac{3}{2}$;

Итак, решением поставленной задачи Коши будет $$ y=\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{e^{x}} +3e^{x} \right ) $$

subjects/diffury/линейные_уравнения_первого_порядка.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:27 — ¶

www.wiki.eduvdom.com

Конспект лекции_6 Дифференциальные уравнения первого порядка

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения

При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.

Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением:

. (1)

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция, — производные искомой функции. При этом в соотношении (1) обязательно наличие хотя бы одной производной.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (2)

Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде

, (3)

то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.

Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида

, (4)

которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Так как , то уравнение (3) можно записать в видеили, где можно считатьи. Это означает, что уравнение (3) преобразовано в уравнение (4).

Запишем уравнение (4) в виде . Тогда,,, где можно считать, т.е. получено уравнение вида (3). Таким образом, уравнения (3) и (4) равносильны.

Решением дифференциального уравнения (2) или (3) называется любая функция , которая при подстановке её в уравнение (2) или (3) обращает его в тождество:

или .

Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения дифференциального уравнения называетсяинтегральной кривой этого уравнения.

Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде , то оно называетсяинтегралом данного дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций вида , зависящее от произвольной постояннойС, каждая из которых является решением данного дифференциального уравнения при любом допустимом значении произвольной постоянной С. Таким образом, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из формулы общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С, включая .

2. Задача Коши и её геометрическая интерпретация

Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.

Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши. Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.

Формулируется задача Коши следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение , в котором функцияпринимает заданное числовое значение, если независимая переменнаяx принимает заданное числовое значение , т.е.

, , (5)

где D – область определения функции .

Значение называетсяначальным значением функции, а – начальным значением независимой переменной. Условие (5) называется начальным условием или условием Коши.

С геометрической точки зрения задачу Коши для дифференциального уравнения (2) можно сформулировать следующим образом: из множества интегральных кривых уравнения (2) выделить ту, которая проходит через заданную точку .

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее искомой функции:

. (6)

Учитывая, что , запишем уравнение в видеили. Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:или

. (7)

Таким образом, (7) является общим решением уравнения (6).

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем уравнение в виде или. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:,. Окончательно запишем.

Пример 2. Найти решение уравнения при условии.

Решение. Найдём общее решение уравнения: ,,,. По условию,. Подставим в общее решение:или. Найденное значение произвольной постоянной подставим в формулу общего решения:. Это и есть частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию.

Уравнение

(8)

Называется дифференциальным уравнением первого порядка, не содержащим независимой переменной. Запишем его в виде или. Проинтегрируем обе части последнего уравнения:или— общее решение уравнения (8).

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Запишем это уравнение в виде: или. Тогда,,,. Таким образом,– общее решение данного уравнения.

Уравнение вида

(9)

интегрируется с помощью разделения переменных. Для этого уравнение запишем в виде , а затем с помощью операций умножения и деления приводим его к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция отх и дифференциал dx, а во вторую часть – функция от у и дифференциал dy. Для этого обе части уравнения нужно умножить на dx и разделить на . В результате получим уравнение

, (10)

в котором переменные х и у разделены. Проинтегрируем обе части уравнения (10): . Полученное соотношение является общим интегралом уравнения (9).

Пример 3. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение и разделим переменные: ,. Проинтегрируем:,или – общий интеграл данного уравнения..

Пусть уравнение задано в виде

. (11)

Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметрической форме.

Для разделения переменных нужно обе части уравнения разделить на :

. (12)

Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными. Проинтегрируем уравнение (12):

.(13)

Соотношение (13) является общим интегралом дифференциального уравнения (11).

Пример 4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде

и разделим обе его части на ,. Полученное уравнение:является уравнением с разделёнными переменными. Проинтегрируем его:

, ,

, . Последнее равенство является общим интегралом данного дифференциального уравнения.

Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию.

Решение. Учитывая, что , запишем уравнение в видеили. Разделим переменные:. Проинтегрируем это уравнение:,,. Полученное соотношение является общим интегралом данного уравнения. По условию. Подставим в общий интеграл и найдёмС: ,С=1. Тогда выражение является частным решением данного дифференциального уравнения, записанным в виде частного интеграла.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение

(14)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Неизвестная функция и её производная входят в это уравнение линейно, а функцииинепрерывны.

Если , то уравнение

(15)

называется линейным однородным. Если , то уравнение (14) называетсялинейным неоднородным.

Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли), суть которого в следующем.

Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций

, (16)

где и— некоторые непрерывные функции. Подставими производнуюв уравнение (14):

или

Функцию v будем подбирать таким образом, чтобы выполнялось условие . Тогда. Таким образом, для нахождения решения уравнения (14) нужно решить систему дифференциальных уравнений

Первое уравнение системы является линейным однородным уравнением и решить его можно методом разделения переменных: ,,,,. В качестве функцииможно взять одно из частных решений однородного уравнения, т.е. приС=1: . Подставим во второе уравнение системы:или.Тогда. Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Решение уравнения будем искать в виде . Тогда. Подставим в уравнение:

или . Функциюv выберем таким образом, чтобы выполнялось равенство . Тогда. Решим первое из этих уравнений методом разделения переменных:,,,,. Функциюv подставим во второе уравнение: ,,,. Общим решением данного уравнения является.

Вопросы для самоконтроля знаний

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется порядком дифференциального уравнения?

3. Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

4. Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?

5. Что называется решением дифференциального уравнения?

6. Что называется интегральной кривой?

7. Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

8. Что называется частным решением дифференциального уравнения?

9. Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

10. Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?

11. Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?

12. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

13. Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?

Задания для самостоятельной работы

1. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

а) ; б);

в) ; г).

2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

а) ; б); в);

г) ; д).

12

studfiles.net

Линейные и однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решения

Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го века. Он считал именно это своё открытие настолько важным, что даже зашифровал послание, которое сегодня можно перевести примерно так: «Все законы природы описываются дифференциальными уравнениями». Это может показаться преувеличением, но всё так и есть. Любой закон физики, химии, биологии можно описать этими уравнениями.

Огромный вклад в развитие и создание теории дифференциальных уравнений внесли математики Эйлер и Лагранж. Уже в 18-м веке они открыли и развили то, что сейчас изучают на старших курсах университетов.

Новая веха в изучении дифференциальных уравнений началась благодаря Анри Пуанкаре. Он создал «качественную теорию дифференциальных уравнений», которая в сочетании с теорией функций комплексного переменного внесла значительный вклад в основание топологии — науки о пространстве и его свойствах.

Что такое дифференциальные уравнения?

Многие боятся одного словосочетания «дифференциальное уравнение». Однако в этой статье мы подробно изложим всю суть этого очень полезного математического аппарата, который на самом деле не так сложен, как кажется из названия. Для того чтобы начать рассказывать про дифференциальные уравнения первого порядка, следует сначала познакомиться с основными понятиями, которые неотъемлемо связаны с этим определением. И начнём мы с дифференциала.

Дифференциал

Многие знают это понятие ещё со школы. Однако всё же остановимся на нём поподробнее. Представьте себе график функции. Мы можем увеличить его до такой степени, что любой его отрезок примет вид прямой линии. На ней возьмём две точки, находящиеся бесконечно близко друг к другу. Разность их координат (x или y) будет бесконечно малой величиной. Ее и называют дифференциалом и обозначают знаками dy (дифференциал от y) и dx (дифференциал от x). Очень важно понимать, что дифференциал не является конечной величиной, и в этом заключается его смысл и основная функция.

А теперь необходимо рассмотреть следующий элемент, который нам пригодится при объяснении понятия дифференциального уравнения. Это — производная.

Производная

Все мы наверняка слышали в школе и это понятие. Говорят, что производная — это скорость роста или убывания функции. Однако из этого определения многое становится непонятным. Попробуем объяснить производную через дифференциалы. Давайте вернёмся к бесконечно малому отрезку функции с двумя точками, которые находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Но даже за это расстояние функция успевает измениться на какую-то величину. И чтобы описать это изменение и придумали производную, которую иначе можно записать как отношение дифференциалов: f(x)’=df/dx.

Теперь стоит рассмотреть основные свойства производной. Их всего три:

1. Производную суммы или разности можно представить как сумму или разность производных: (a+b)’=a’+b’ и (a-b)’=a’-b’.
2. Второе свойство связано с умножением. Производная произведения — это сумма произведений одной функции на производную другой: (a*b)’=a’*b+a*b’.
3. Производную разности записать можно в виде следующего равенства: (a/b)’=(a’*b-a*b’)/b².

Все эти свойства нам пригодятся для нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Также бывают частные производные. Допустим, у нас есть функция z, которая зависит от переменных x и y. Чтобы вычислить частную производную этой функции, скажем, по x, нам необходимо принять переменную y за постоянную и просто продифференцировать.

Интеграл

Другое важное понятие — интеграл. По сути это прямая противоположность производной. Интегралы бывают нескольких видов, но для решения простейших дифференциальных уравнений нам понадобятся самые тривиальные неопределённые интегралы.

Итак, что такое интеграл? Допустим, у нас есть некоторая зависимость f от x. Мы возьмём от неё интеграл и получим функцию F(x) (часто её называют первообразной), производная от которой равна первоначальной функции. Таким образом F(x)’=f(x). Отсюда следует также, что интеграл от производной равен первоначальной функции.

При решении дифференциальных уравнений очень важно понимать смысл и функцию интеграла, так как придётся очень часто их брать для нахождения решения.

Уравнения бывают разными в зависимости от своей природы. В следующем разделе мы рассмотрим виды дифференциальных уравнений первого порядка, а потом и научимся их решать.

Классы дифференциальных уравнений

«Диффуры» делятся по порядку производных, участвующих в них. Таким образом бывает первый, второй, третий и более порядок. Их также можно поделить на несколько классов: обыкновенные и в частных производных.

В этой статье мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры и способы их решения мы также обсудим в следующих разделах. Будем рассматривать только ОДУ, потому что это самые распространённые виды уравнений. Обыкновенные делятся на подвиды: с разделяющимися переменными, однородные и неоднородные. Далее вы узнаете, чем они отличаются друг от друга, и научитесь их решать.

Кроме того, эти уравнения можно объединять, чтобы после у нас получилась система дифференциальных уравнений первого порядка. Такие системы мы тоже рассмотрим и научимся решать.

Почему мы рассматриваем только первый порядок? Потому что нужно начинать с простого, а описать всё, связанное с дифференциальными уравнениями, в одной статье просто невозможно.

Уравнения с разделяющимися переменными

Это, пожалуй, самые простые дифференциальные уравнения первого порядка. К ним относятся примеры, которые можно записать так: y’=f(x)*f(y). Для решения этого уравнения нам понадобится формула представления производной как отношения дифференциалов: y’=dy/dx. С помощью неё получаем такое уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Теперь мы можем обратиться к методу решения стандартных примеров: разделим переменные по частям, т. е. перенесём всё с переменной y в часть, где находится dy, и так же сделаем с переменной x. Получим уравнение вида: dy/f(y)=f(x)dx, которое решается взятием интегралов от обеих частей. Не стоит забывать и о константе, которую нужно ставить после взятия интеграла.

Решение любого «диффура» — это функция зависимости x от y (в нашем случае) или, если присутствует численное условие, то ответ в виде числа. Разберём на конкретном примере весь ход решения:

y’=2y*sin(x)

Переносим переменные в разные стороны:

dy/y=2*sin(x)dx

Теперь берём интегралы. Все их можно найти в специальной таблице интегралов. И получаем:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Если требуется, мы можем выразить «игрек» как функцию от «икс». Теперь можно сказать, что наше дифференциальное уравнение решено, если не задано условие. Может быть задано условие, например, y(п/2)=e. Тогда мы просто подставляем значение этих переменных в решение и находим значение постоянной. В нашем примере оно равно 1.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Теперь переходим к более сложной части. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в общем виде так: y’=z(x,y). Следует заметить, что правая функция от двух переменных однородна, и её нельзя разделить на две зависимости: z от x и z от y. Проверить, является ли уравнение однородным или нет, достаточно просто: мы делаем замену x=k*x и y=k*y. Теперь сокращаем все k. Если все эти буквы сократились, значит уравнение однородное и можно смело приступать к его решению. Забегая вперёд, скажем: принцип решения этих примеров тоже очень прост.

Нам нужно сделать замену: y=t(x)*x, где t — некая функция, которая тоже зависит от x. Тогда мы можем выразить производную: y’=t'(x)*x+t. Подставляя всё это в наше исходное уравнение и упрощая его, мы получаем пример с разделяющимися переменными t и x. Решаем его и получаем зависимость t(x). Когда мы ее получили, то просто подставляем в нашу предыдущую замену y=t(x)*x. Тогда получаем зависимость y от x.

Чтобы было понятнее, разберём пример: x*y’=y-x*e^y/x.

При проверке с заменой всё сокращается. Значит, уравнение действительно однородное. Теперь делаем другую замену, о которой мы говорили: y=t(x)*x и y’=t'(x)*x+t(x). После упрощения получаем следующее уравнение: t'(x)*x=-e^t. Решаем получившийся пример с разделёнными переменными и получаем: e^-t=ln(C*x). Нам осталось только заменить t на y/x (ведь если y=t*x, то t=y/x), и мы получаем ответ: e^-y/x=ln(x*С).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Пришло время рассмотреть ещё одну обширную тему. Мы разберём неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Чем они отличаются от предыдущих двух? Давайте разберёмся. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать таким равенством: y’ + g(x)*y=z(x). Стоит уточнить, что z(x) и g(x) могут являться постоянными величинами.

А теперь пример: y’ — y*x=x².

Существует два способа решения, и мы по порядку разберём оба. Первый — метод вариации произвольных констант.

Для того чтобы решить уравнение этим способом, необходимо сначала приравнять правую часть к нулю и решить получившееся уравнение, которое после переноса частей примет вид:

y’ = y*x;

dy/dx=y*x;

dy/y=xdx;

ln|y|=x²/2 + C;

y=e^x2/2*у^С=C₁*e^x2/2.

Теперь надо заменить константу C₁ на функцию v(x), которую нам предстоит найти.

y=v*e^x2/2.

Проведём замену производной:

y’=v’*e^x2/2-x*v*e^x2/2.

И подставим эти выражения в исходное уравнение:

v’*e^x2/2 — x*v*e^x2/2 + x*v*e^x2/2 = x².

Можно видеть, что в левой части сокращаются два слагаемых. Если в каком-то примере этого не произошло, значит вы что-то сделали не так. Продолжим:

v’*e^x2/2 = x².

Теперь решаем обычное уравнение, в котором нужно разделить переменные:

dv/dx=x²/e^x2/2;

dv = x²*e^—x2/2dx.

Чтобы извлечь интеграл, нам придётся применить здесь интегрирование по частям. Однако это не тема нашей статьи. Если вам интересно, вы можете самостоятельно научиться выполнять такие действия. Это не сложно, и при достаточном навыке и внимательности не отнимает много времени.

Обратимся ко второму способу решения неоднородных уравнений: методу Бернулли. Какой подход быстрее и проще — решать только вам.

Итак, при решении уравнения этим методом нам необходимо сделать замену: y=k*n. Здесь k и n — некоторые зависящие от x функции. Тогда производная будет выглядеть так: y’=k’*n+k*n’. Подставляем обе замены в уравнение:

k’*n+k*n’+x*k*n=x².

Группируем:

k’*n+k*(n’+x*n)=x².

Теперь надо приравнять к нулю то, что находится в скобках. Теперь, если объединить два получившихся уравнения, получается система дифференциальных уравнений первого порядка, которую нужно решить:

n’+x*n=0;

k’*n=x².

Первое равенство решаем, как обычное уравнение. Для этого нужно разделить переменные:

dn/dx=x*v;

dn/n=xdx.

Берём интеграл и получаем: ln(n)=x²/2. Тогда, если выразить n:

n=e^x2/2.

Теперь подставляем получившееся равенство во второе уравнение системы:

k’*e^x2/2=x².

И преобразовывая, получаем то же самое равенство, что и в первом методе:

dk=x²/e^x2/2.

Мы также не будем разбирать дальнейшие действия. Стоит сказать, что поначалу решение дифференциальных уравнений первого порядка вызывает существенные трудности. Однако при более глубоком погружении в тему это начинает получаться всё лучше и лучше.

Где используются дифференциальные уравнения?

Очень активно дифференциальные уравнения применяются в физике, так как почти все основные законы записываются в дифференциальной форме, а те формулы, которые мы видим — решение этих уравнений. В химии они используются по той же причине: основные законы выводятся с их помощью. В биологии дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения систем, например хищник — жертва. Они также могут использоваться для создания моделей размножения, скажем, колонии микроорганизмов.

Как дифференциальные уравнения помогут в жизни?

Ответ на этот вопрос прост: никак. Если вы не учёный или инженер, то вряд ли они вам пригодятся. Однако для общего развития не помешает знать, что такое дифференциальное уравнение и как оно решается. И тогда вопрос сына или дочки «что такое дифференциальное уравнение?» не поставит вас в тупик. Ну а если вы учёный или инженер, то и сами понимаете важность этой темы в любой науке. Но самое главное, что теперь на вопрос «как решить дифференциальное уравнение первого порядка?» вы всегда сможете дать ответ. Согласитесь, всегда приятно, когда понимаешь то, в чём люди даже боятся разобраться.

Основные проблемы при изучении

Основной проблемой в понимании этой темы является плохой навык интегрирования и дифференцирования функций. Если вы плохо берёте производные и интегралы, то, наверное, стоит ещё поучиться, освоить разные методы интегрирования и дифференцирования, и только потом приступать к изучению того материала, что был описан в статье.

Некоторые люди удивляются, когда узнают, что dx можно переносить, ведь ранее (в школе) утверждалось, что дробь dy/dx неделима. Тут нужно почитать литературу по производной и понять, что она является отношением бесконечно малых величин, которыми можно манипулировать при решении уравнений.

Многие не сразу осознают, что решение дифференциальных уравнений первого порядка — это зачастую функция или неберущийся интеграл, и это заблуждение доставляет им немало хлопот.

Что ещё можно изучить для лучшего понимания?

Лучше всего начать дальнейшее погружение в мир дифференциального исчисления со специализированных учебников, например, по математическому анализу для студентов нематематических специальностей. Затем можно переходить и к более специализированной литературе.

Стоит сказать, что, кроме дифференциальных, есть ещё интегральные уравнения, так что вам всегда будет к чему стремиться и что изучать.

Заключение

Надеемся, что после прочтения этой статьи у вас появилось представление о том, что такое дифференциальные уравнения и как их правильно решать.

В любом случае математика каким-либо образом пригодится нам в жизни. Она развивает логику и внимание, без которых каждый человек как без рук.

fb.ru

Мотопутешествия / Онлайн программа Расчёт размера длины цепи

www.life4t.ru

Расчёты электрических цепей

Расчёт электрических цепей онлайн. Популярные и часто применяемые формулы для расчётов.

Для удобства есть более быстрый сервер — зеркало — Расчёт электрических цепей онлайн.

Достаточно вписать значения и кликнуть мышкой в таблице.

Расчёт реактивного сопротивления катушки индуктивности L и емкости конденсатора С.

Расчёт параллельного соединения двух резисторов и последовательного соединения двух конденсаторов. Общее сопротивление.

Расчёт резистивного и ёмкостного делителей напряжения. Резистивный делитель. Емкостный делитель.

Резонансная частота. Расчёт частоты резонанса контура и фильтра RC. Частота среза ФНЧ и ФВЧ фильтра.

Расчёт реактивных потерь и компенсации. Компенсация реактивной мощности и потерь в цепях переменного тока.

horef.narod.ru

Расчет размерных цепей онлайн. Прямая задача.

Укажите звенья размерной цепи

A1

Размер, мм

• ↑ Увеличивающее звено
• ↓ Уменьшающее звено

• по умолчанию
• + положительный
• — отрицательный
• ± симметричный

expert-i.ru

Закон Ома. Онлайн расчёт для постоянного и переменного тока.

Онлайн расчёт электрических величин напряжения, тока и мощности для:
участка цепи, полной цепи с резистивными, ёмкостными и индуктивными
элементами.

— А любите ли Вы закон Ома так, как люблю его я? — спросил учитель физики стоящего рядом с щитком и разглядывающего свой обугленный палец электрика, — Всеми силами души Вашей, со всем энтузиазмом и исступлением, к которому только способна пылкая молодость, — никак не угомонялся он, сверкая из-под очков пытливым взглядом.
— Мужик, ты что, дурак? – вежливо поинтересовался обиженный противоестественным вопросом электрик и пошёл, насвистывая «Калинку-Малинку» в направлении ближайшего супермаркета — не ради пьянства окаянного, а дабы залечить свой увечный палец.

А тем временем, закон Ома является в электротехнике основным законом, который устанавливает связь силы электрического тока с сопротивлением и напряжением.

Формулировка закона Ома для участка цепи может быть представлена так: сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению (разности потенциалов) на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению этого проводника и записана в следующем виде:
I=U/R,

где
I – сила тока в проводнике, измеряемая в амперах [А];
U – электрическое напряжение (разность потенциалов), измеряемая в вольтах [В];
R – электрическое сопротивление проводника, измеряемое в омах [Ом].

Производные от этой формулы приобретают такой же незамысловатый вид: R=U/I и U=R×I.

Зная любые два из трёх приведённых параметров можно легко произвести расчёт и величины мощности, рассеиваемой на резисторе.
Мощность является функцией протекающего тока I(А) и приложенного напряжения U(В) и вычисляется по следующим формулам, также являющимся производными от основной формулы закона Ома:
P_(Вт) = U_(В)×I_(А) = I²_(А)×R_(Ом) = U²_(В)/R_(Ом)

Можно, конечно, описывая закон Ома обойтись и вообще без формул, а вместо них пользоваться словами или картинками:

С другой стороны, формулы настолько просты, что не стоят выеденного яйца и, возможно, вообще не заслуживают отдельной крупной статьи на страницах уважающего себя сайта.

Не заслуживают, так не заслуживают. Калькулятор Вам в помощь, дамы и рыцари!
Считайте, учитывайте размерность, не стирайте из памяти, что:
1В=1000мВ=1000000мкВ;
1А=1000мА=1000000мкА;
1Ом=0.001кОм=0.000001МОм;
1Вт=1000мВт=100000мкВт.

Ну и так, на всякий случай, чисто для проверки полученных результатов, приведём незамысловатую таблицу, позволяющую в онлайн режиме проверить расчёты, связанные со знанием формул закона Ома.

ТАБЛИЦА ДЛЯ ПРОВЕРКИ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЁТОВ ЗАКОНА ОМА.

Вводить в таблицу нужно только два имеющихся у Вас параметра, остальные посчитает таблица.

Для многозвенных цепей возникает необходимость преобразования её к эквивалентному виду:

Значения последовательно соединённых резисторов просто суммируются, в то время как значения параллельно соединённых резисторов определяются исходя из формулы: 1/R_ll = 1/R₄+1/R₅.
А онлайн калькулятор для расчёта величин сопротивлений при параллельном соединении нескольких проводников можно найти на странице ссылка на страницу.

Теперь, что касается закона Ома для переменного тока.
Если внешнее сопротивление у нас чисто активное (не содержит ёмкостей и индуктивностей), то формула, приведённая выше, остаётся в силе.
Единственное, что надо иметь в виду для правильной интерпретации закона Ома для переменного тока — под значением U следует понимать действующее (эффективное) значение амплитуды переменного сигнала.

А что такое действующее значение и как оно связано с амплитудой сигнала переменного тока?
Приведём диаграммы для нескольких различных форм сигнала.

Слева направо нарисованы диаграммы синусоидального сигнала, меандра (прямоугольный сигнал со скважностью, равной 2), сигнала треугольной формы, сигнала пилообразной формы.
Глядя на рисунок можно осмыслить, что амплитудное значение приведённых сигналов — это максимальное значение, которого достигает амплитуда в пределах положительной, или отрицательной (в наших случаях они равны) полуволны.

Рассчитываем действующее значение напряжение интересующей нас формы:

Для синуса U = Uд = Uа/√2;
для треугольника и пилы U = Uд = Uа/√3;
для меандра U = Uд = Uа.

С этим разобрались!

Теперь посмотрим, как будет выглядеть формула закона Ома при наличии индуктивности или ёмкости в цепи переменного тока.
В общем случае смотреться это будет так:

А формула остаётся прежней, просто в качестве сопротивления R выступает полное сопротивление цепи Z, состоящее из активного, ёмкостного и индуктивного сопротивлений.
Поскольку фазы протекающего через эти элементы тока не одинаковы, то простым арифметическим сложением сопротивлений этих трёх элементов обойтись не удаётся, и формула приобретает вид:
Реактивные сопротивления конденсаторов и индуктивностей мы с Вами уже рассчитывали на странице ссылка на страницу и знаем, что величины эти зависят от частоты, протекающего через них тока и описываются формулами: X_C = 1/(2πƒС) ,   X_L = 2πƒL .

Нарисуем таблицу для расчёта полного сопротивления цепи для переменного тока.
Количество вводимых элементов должно быть не менее одного, при наличии индуктивного или емкостного элемента — необходимо указать значение частоты f !

КАЛЬКУЛЯТОР ДЛЯ ОНЛАЙН РАСЧЁТА ПОЛНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ.

Теперь давайте рассмотрим практический пример применения закона Ома в цепях переменного тока и рассчитаем простенький бестрансформаторный источник питания.

Токозадающими цепями в данной схеме являются элементы R1 и С1.

Допустим, нас интересует выходное напряжение Uвых = 12 вольт при токе нагрузки 100 мА.
Выбираем стабилитрон Д815Д с напряжением стабилизации 12В и максимально допустимым током стабилизации 1,4А.
Зададимся током через стабилитрон с некоторым запасом — 200мА.
С учётом падения напряжения на стабилитроне, напряжение на токозадающей цепи равно 220в — 12в = 208в.
Теперь рассчитаем сопротивление этой цепи Z для получения тока, равного 200мА: Z = 208в/200мА = 1,04кОм.
Резистор R1 является токоограничивающим и выбирается в пределах 10-100 Ом в зависимости от максимального тока нагрузки.
Зададимся номиналами R1 — 30 Ом, С1 — 1 Мкф, частотой сети f — 50 Гц и подставим всё это хозяйство в таблицу.
Получили полное сопротивление цепи, равное 3,183кОм. Многовато будет — надо увеличивать ёмкость С1.
Поигрались туда-сюда, нашли нужное значение ёмкости — 3,18 Мкф, при котором Z = 1,04кОм.

Всё — закон Ома выполнил свою функцию, расчёт закончен, всем спать полчаса!

vpayaem.ru

Как решать уравнения со скобками?

Не все уравнения, содержащие скобки, решаются одинаково. Конечно, чаще всего в них требуется раскрыть скобки и привести подобные слагаемые (при этом способы раскрытия скобок разняться). Но иногда скобки раскрывать не нужно. Рассмотрим все эти случаи на конкретных примерах:

1. 5х — (3х — 7) = 9 + (-4х + 16).
2. 2х — 3(х + 5) = -12.
3. (х + 1)(7х — 21) = 0. 

Решение уравнений через раскрытие скобок

Данный метод решения уравнений встречается наиболее часто, но и он при всей своей кажущейся универсальности, делится на подвиды в зависимости от способа раскрытия скобок.

1) Решение уравнения 5х — (3х — 7) = 9 + (-4х + 16).

В данном уравнении перед скобками стоят знаки минус и плюс. Чтобы раскрыть скобки в первом случае, где перед ними стоит знак минус, следует все знаки внутри скобок поменять на противоположные. Перед второй парой скобок стоит знак плюс, который на знаки в скобках никах не повлияет, значит их можно просто опустить. Получаем:

5х — 3х + 7 = 9 — 4х + 16.

Слагаемые с х перенесем в левую часть уравнения, а остальные в правую (знаки переносимых слагаемых будут меняться на противоположные):

5х — 3х + 4х = 9 + 16 — 7.

Приведем подобные слагаемые:

6х = 18.

Чтобы найти неизвестный множитель х, разделим произведение 18 на известный множитель 6:

х = 18 / 6 = 3.

2) Решение уравнения 2х — 3(х + 5) = -12.

В этом уравнении также сначала нужно раскрыть скобки, но применив распределительное свойство: чтобы -3 умножить на сумму (х + 5) следует -3 умножить на каждое слагаемое в скобках и сложить полученные произведения:

2х — 3х — 15 = -12

-х = -12 + 15

-х = 3

х = 3 / (-1) = 3.

Решение уравнений без раскрытия скобок

Третье уравнение (х + 1)(7х — 21) = 0 тоже можно решить раскрыв скобки, но гораздо проще в таких случаях воспользоваться свойством умножения: произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю. Значит:

х + 1 = 0 или 7х — 21 = 0.

а) х + 1 = 0

х1 = -1.

б) 7х — 21 = 0

7х = 21

х = 21 / 7

х2 = 3.

vashurok.ru

Как решать уравнения за 5 класс?

Уравнением называется равенство, в котором имеется неизвестный член — x. Его значение и надо найти.

Неизвестная величина называется корнем уравнения. Решить уравнение означает найти его корень, а для этого нужно знать свойства уравнений. Уравнения за 5 класс несложные, но если вы научитесь их правильно решать, у вас не будет проблем с ними и в дальнейшем.

Главное свойство уравнений

При изменении обеих частей уравнения на одинаковую величину оно продолжает оставаться тем же уравнением с тем же корнем. Давайте решим несколько примеров, чтобы лучше понять это правило.

Как решать уравнения: прибавление или вычитание

Предположим, у нас есть уравнение вида:

• a + x = b — здесь a и b — числа, а x — неизвестный член уравнения.

Если мы к обеим частям уравнения прибавим (или вычтем из них) величину с, оно не изменится:

• a + x + с = b + с
• a + x — с = b — с.

Пример 1

Воспользуемся этим свойством для решения уравнения:

Вычтем из обеих частей число 37:

получаем:

Корень уравнения х=14.

Если мы внимательно посмотрим на последнее уравнение, то увидим, что оно такое же, как первое. Мы просто перенесли слагаемое 37 из одной части уравнения в другую, заменив плюс на минус.

Получается, что любое число можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Пример 2

Проведём то же действие, перенесём число 37 из левой части уравнения в правую:

Поскольку 37-37=0, то это мы просто сокращаем и получаем:

Одинаковые члены уравнения с одним знаком, находящиеся в разных частях уравнения, можно сокращать (вычёркивать).

Умножение и деление уравнений

Обе части равенства можно также умножать или делить на одно и то же число:

Если равенство а = b поделить или умножить на с, оно не изменится:

• а/с = b/с,
• ас = bс.

Пример 3

Поделим обе части уравнения на 5:

Поскольку 5/5 = 1, то эти множитель и делит

elhow.ru

Решение сложных уравнений в 5-6 классах способом подстановки

Решение сложных уравнений в 5-6 классах способом подстановки.

В 5-6 классах учащиеся затрудняются решать уравнения такого типа, как

(х + 39) – 43 =27.

Традиционное объяснение в должной мере воспринимают только сильные ученики, а для слабых – это тайна за семью печатями. Каково же традиционное объяснение решения такого уравнения? Чтобы найти уменьшаемое х + 39, надо к вычитаемому 43 прибавить разность 27:

х + 39 = 43 + 27;

х + 39 = 70.

Далее рассуждают так: чтобы найти неизвестное слагаемое Х, надо из суммы 70 вычесть другое слагаемое 39:

х = 70 – 39;

х = 31.

В большинстве случаев ученики не видят в этом уравнении вычитаемого 43 и уменьшаемого Х + 39. Поэтому я разработала алгоритм решения таких уравнений. Суть этого приёма состоит в том, чтобы любое сложное уравнение свести к простейшему. Главное, иметь хороший навык решения простейших уравнений. Рассмотрим применение этого алгоритма на конкретных примерах.

1) ( х+ 121) + 38 = 269.

Обозначим выражение, стоящее в скобках через a: х + 121 = а.

Тогда получим такое уравнение:

а + 38 = 269;

а = 269 – 38;

а = 231.

Теперь возвращаемся к выражению, стоящему в скобках:

х + 121 = а;

х + 121 = 231;

х = 231 – 121;

х = 110.

Ответ: 110.

2) ( m – 379) + 125 = 3000

Подстановка m – 379 = а;

а + 125 = 3000;

а = 3000 – 125;

а = 2875;

m – 379 = 2875;

m = 2875 + 379;

m = 3254.

3) ( 127 + р ) – 89 = 1009.

Подстановка 127 + р = а;

а – 89 = 1009;

а = 1009 + 89;

а = 1098;

127 + р = 1098;

р = 1098 – 127;

р = 971.

4) ( х – 315 ) – 27 = 36.

Подстановка х – 315 = а;

а – 27 = 36;

а = 36 + 27;

а = 63;

х – 315 = 63;

х = 315 + 63;

х = 378.

5) 872 – ( 407 + с ) = 122

Подстановка 407 + с = а;

872 – а = 122;

а = 872 – 122;

а = 750;

407 + с = 750;

с = 750 – 407;

с = 343.

6) (7001+ х).42 = 441000

Подстановка 7001 + х = а;

а . 42 = 441000;

а = 441000 : 42;

а = 10500;

7001 + х = 10500;

х = 10500 – 7001;

х = 3499.

Таким образом, очень хорошо видно, что с помощью данного приёма очень легко решаются такие сложные уравнения.

Для тех учащихся, кто так и не усвоил правил нахождения неизвестных: слагаемого, вычитаемого, множителя и т.д., я использую при решении простейших уравнений приём «по аналогии».

Например, нужно решить уравнение: х – 128 = 312.

В стороне от этого уравнения слабый ученик записывает простейший арифметический пример 5 — 3 = 2.

Ученик смотрит, где в этом примере должен стоять х (на месте 5). Как из этого простого примера найти 5. Надо к 3 прибавить 2. Значит, и в уравнении, чтобы найти Х надо 128 сложить с 312.

Данный алгоритм решения уравнений служит пропедевтикой для решения в старших классах уравнений способом подстановки.

globuss24.ru

уравнение 5 класс. (24+х)-21=10 помогите! и объясните как решали

такие уравнения — со скобками — удобно решать с конца: скобка рассматривается как уменьшаемое ( )=10+21 х рассматривается как слагаемое х= 31-24 Хороший тон требует в просьбе применять слово ПОЖАЛУЙСТА. хоть все мы не из графьёв….

икс в одну сторону цифры в другую переносишь. х (остается) = 10(остается) -24 (переносишь, поэтому знак меняется) +21 (переносишь, поэтому знак меняется) . получается х=10-24+21. и решаешь. х=7. Можно проверить : (24+7)-21=10 .все верно.

(24+х) -21=10 Проще не куда) Смотри) Например берем х, оставляем его в левой стороне, а остальные целые числа переносим, которые в левой части переносим в правую, и меняем знаки на противоположные. х=-24+21+10 х=7

я вообще не знаю. я сам пытаюсь найти. если найду, скину)

Это уравнение легко решить по правилам: (24+х) -21=10 Сносим скобки доказываем правило:» чтобы найти уменьшаемое, надо к сумме прибавить слагаемое.» 24+х=21+10 24+х=31 31-24 х=7 Проверка: (24+7)-21=10 Все верно

touch.otvet.mail.ru

как научиться решать УРАВНЕНИЯ??? 5 класс, завтра проверочная!

<a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:1VUqXny»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Под сложными (составными) уравнениями мы понимаем уравнения, которые содержат два или более арифметических действия. Решение таких уравнений выполняется по тем же правилам, которые мы рассмотрели на странице «Решение простых уравнений 5 класс» в этой же теме. Но решение составных уравнений производится в определённой последовательности. Рассмотрим уравнение: решение сложных уравнений Расставляем порядок действий в уравнении. порядок действий в решении составных уравнений Определяем неизвестное по последнему действию. Последнее действие в данном уравнении — это вычитание. Обращаем ваше внимание, что на этом этапе наше неизвестное — это «5y», и именно его мы рассматриваем как уменьшаемое. порядок действий в решении сложных уравнений Решаем как простое уравнение и находим «5y». Вспомним правило для нахождения неизвестного уменьшаемого. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. решение простого уравнения Теперь перед нами простое уравнение. Необходимо найти неизвестный множитель. Решаем уравнение по следующему правилу. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. решение простого уравнения для 5 класса Не забудем выполнить проверку. проверка ответа уравнения Всё верно. Значит уравнение решено правильно. Другой способ решения сложных уравнений Некоторые сложные (составные уравнения) можно решать другим способом. Зная и умея применять свойства сложения и вычитания, а также свойства умножения и деления, уравнения решаются следующем образом. Рассмотрим уравнение. (x + 54) − 28 = 38 Упрощаем выражение, стоящее в левой части уравнения, используя одно из свойств вычитания. Чтобы из суммы отнять число, нужно это число вычесть из одного слагаемого и прибавить результат вычитания к другому слагаемому. другой способ решения составного уравнения Далее решаем простое уравнение, пользуясь правилом нахождения неизвестного слагаемого. x = 38 − 26 x = 12 Выполняем проверку. (12 + 54) − 28 = 38 66 − 28 = 38 38 = 38 Упрощение выражений в уравнениях Запомните! ! Если в уравнении встречается выражения, которые можно упростить, то вначале упрощаем выражения, и только после этого решаем уравнение. Решить уравнение. 5x + 2x = 49 Левую часть уравнения можно упростить. Сделаем это. 7x = 49 Теперь решим простое уравнение по правилу нахождения неизвестного множителя. x = 49 : 7 x = 7 Завершив пример, выполним проверку. проверка корня уравнения после его решения

а как с делением?

(x + 54) − 28 = 38 x=(38+28)-54 x=12

Как решать сложные

Выполняем проверку. (12 + 54) − 28 = 38 66 − 28 = 38 38 = 38

я ничего не поняла.. :с

touch.otvet.mail.ru

Решение сложных уравнений в 5-6 классах способом подстановки

Учебник по программированию для начинающих

Статья для людей, желающих в будущем стать специалистами в области программирования.

Сегодня такая деятельность как программирование активно набирает обороты и ощущается жуткая нехватка специалистов в этой отрасли. Хотя этот предмет активно преподают в университетах, школах и других учебных заведениях, почему-то среди выпускников очень редко можно встретить специалиста, который по-настоящему разбирается во всех тонкостях этого ремесла. Базовый уровень уже не позволяет выполнять задачи, которые необходимы решать. Хороший программист должен всегда само совершенствоваться и овладевать новыми языками. Также будет полезным постоянное развитие интеллектуальных способностей, связанных с решением различных математических задач. Для этого как нельзя кстати подойдут материалы для математического анализа. Не стоит забывать и о творческой части личности, которая просто необходима для создания по-настоящему стоящей и ценной программы. Как не крути программирование — это не только набор знаний команд о языках и наличие математического склада ума. Чтобы составить конкуренцию тем же выпускникам ВУЗОВ, молодой специалист самоучка должен мыслить абстрактно и творчески, должен очень сильно отличаться от стандартных шаблонных представителей этой отрасли.

Самостоятельно научиться программированию сложно и муторно, но все таки реально. В этом вам окажет помощь наш учебник. При правильном подходе к этому серьезному делу можно добиться ошеломляющих результатов. Конечно же Москва не сразу строилась и как уже упоминалось выше специалист по программированию, чтобы постоянно находиться на достойном высоком уровне обязан постоянно совершенствоваться. Этот учебник станет для вас первой ступенькой с помощью которой вы обязательно сможете сделать свои первые шаги в программировании. Занятия довольно тяжелые и громоздкие, но как же без трудностей в этом мире. Обладая необходимой долей терпения и упорства можно достичь практически всего на свете.

Учебник по программированию для начинающих это отличная возможность для человека совершенно далекого от этого интереснейшего ремесла познать все азы тонкости и подводные камни современного программирования. Обучение построено на стандартной методике от простого к сложному, используя закрепление материалов путем решения практических задач.

Вообще сегодня программирование разделись на несколько отраслей в каждой из которых постоянно не хватает хороших специалистов.

1. Веб-разработчик. Профессия достигла пика популярности в 2017 году, пока что немного сбавила обороты, но в будущем ее перспективы очень даже высокие. Эти люди участвуют в создании сайтов, различных приложений, версткой сайтов и другой работой связанной именно с ресурсами, которые можно увидеть в сети. На данный момент такое направление программирования является наиболее финансово выгодным для рядовых специалистов. Дело в том, интернет постоянно развивается, появляются новые сайты, бизнес в сети постоянно идет в гору. Такие факторы рождают высокий спрос на вебмастеров. Вы можете бесплатно пройти курсы веб-разработки онлайн у нас на сайте, а именно по HTML для новичков и PHP для начинающих.
2. Программисты в сфере разработке игр. Но тут все понятно. Так как игры — это практически самая быстроразвивающаяся сфера в IT-индустрии постоянно требуются специалисты, знающие в этом толком. Но уровень мастерства должен быть на высоком уровне. Большая конкуренция и сложность создания современных произведений игровой индустрии требует наличия у программиста глубоких знаний и большого практического опыта в своем деле. К сожалению профессия весьма неромантичная. Работа, связанная с постоянной рутиной, концентрацией внимания и практически ежедневным прибыванием за компьютером подходит далеко не всем.
3. Но и конечно же нельзя не упомянуть о трудах системных программистов. Они принимают участие в разработке различных компонентов для операционных систем. Справедливо будет признать, что их труд является самым важным и конечно же очень сложным. Такой программист при создании программного обеспечения должен иметь отличные знания в различных отраслях в построении алгоритмов, алгебре, геометрии и других математических науках.

И так стоит ли учиться программированию? На этот вопрос пусть каждый человек ответить себе самостоятельно. Многое зависит от склада ума. Например гуманитариям всегда тяжелее дается эта наука, но все же встречаются и среди них неплохие варианты. Многие не воспринимаю всерьез то, что этой тяжелой профессии можно обучится самостоятельно. Опровергнуть это мнение можно с помощью реальных примеров в истории, когда человек никогда до этого не занимающийся программированием после обучения по обычной книжке буквальными словами нашел себя. Терпение и упорство способны творить чудеса и изменять людей до неузнаваемости. Наш учебник станет проводником в мир программирования для новичков, позволить попробовать себя в совершенно не знакомой обстановке и не стандартной ситуации. Помните уважаемые читатели. Чтобы чего-то добиться просто необходимо выйти из своей комфортабельной зоны и учиться новому. Теперь с помощью нашего материала у вас появиться возможность доказать себе, что вы способны на многое.

webshake.ru

Иллюстрированный самоучитель по SQL для начинающих [страница — 1] | Самоучители по программированию

samoychiteli.ru

Java-самоучитель для начинающих

Основы программирования на языке Java

Общие сведения о программировании

Программирование— это процесс создания кода на каком-либо языке программирования, переводимого в файлы разных типов с помощью особой программы — транслятора. Существуют два типа трансляторов: компиляторы и интерпретаторы. Компилятор— это программа, переводящая текст, написанный на языке программирования, в какой-либо файл. Интерпретатор — это программа, способная переводить текст какой-либо программы в машинный код и одновременно выполнять ее.

Программирование на Java (он является компилирующим языком) имеет то преимущество, что код, написанный на данном языке программирования, переводится с помощью соответствующей программы-транслятора в так называемый байт-код, а он, в свою очередь, — в машинный код с помощью виртуальной машины Java (Java Virtual Machine, или просто JVM). Поэтому написанная на Java программа выполняема на любом компьютере с любой системой, лишь бы на нем была установлена виртуальная машина Java. Таким образом и обеспечивается одно из главных преимуществ языка Java — переносимость создаваемых на нем программ на компьютеры разных типов.

Программирование бывает двух типов: системное и прикладное.
Системное программирование позволяет нам программировать в системе, например в Windows, с целью решения глобальных задач.
Прикладное программирование направлено на создание прикладных программ, т.е. программ, выполняющих какую-то определенную функцию, например Microsoft Word, WordPad, Calculator и т.д. В этой книге мы будем заниматься прикладным программированием.

Основы программирования

Введение. Что такое JDK?

Введение. Что такое JRE?

Введение. Как установить JDK?

Введение. Как использовать JDK?

ОБУЧАЮЩИЙ ВЕБИНАР: рассчитан на новичков в web-разработке. После вебинара вы научитесь создавать сайты с помощью Java + Spring Boot — перейти

1. Типы программирования. Первые листинги.

2. Переменные и идентификаторы

3. Переменные и константы в Java

4. Литералы в Java

5. Изучаем типы данных

6. Преобразовываем типы данных

7. Какие бывают операторы в языке Java

8. Массивы в Java

9. Управляющие структуры. Общие сведения о циклах

10. Конструкции выбора в языке Java

11. Инструкции выхода в Java

12. ООП, создание объектов

13. Конструкторы и блоки инициализации

14. Методы в Java

15. Наследование в Java

16. Интерфейсы

17. Вложенные классы и вопросы

18. Исключения в Java

19. Документирование кода

20. Полезные методы и контрольные вопросы

21. Пакеты в Java

22. Пакет java.lang

23. Пакет Java.util и вопросы

24. Знакомимся с JBuilder

25. Настраиваем параметры программы

26. Создаем сами аплет на Java

27. Работа с палитрой компонентов в JBuilder 2005

28. Класс JButton из пакета javax. swing

29. Создание меню с помощью пакета java

30. Компоненты для работы с текстом в Java

31. Ползунок JSIider и индикатор в Java

32. Списки в Java

33. Работаем в в JBuilder 2005: компонент JScrollPane

34. Компонент JSplitPane и JTabbedPane

35. Формы и диалоговые окна в Java

36. Компоновки в Java и создание сервлетов

37. Мастера в JBuilder, а также вопросы к теме

38. Немного об HTML

39. Основы языка программирования JavaScript 1.5

40. Синтаксис языка JavaScript 1.5

41. Цикл for…in и функции в JavaScript

42. Работа с объектами в JavaScript

43. Встроенные объекты JavaScript

44. Подобъекты объекта document

45. Математический объект Math

46. Рисунки в HTML

47. Таблицы в HTML

48.Слои в HTML

49. Таблицы стилей CSS

Полезные сайты для java-программиста

www.java-study.ru

с чего начать? Как начать изучать программирование с нуля на языке Java?

Со стремительным развитием компьютерных технологий методы программирования и создания веб-сайтов становятся все более популярными и привлекают внимание огромного количества людей. Начать разрабатывать программы сможет даже человек без специального образования, главное – желание и стремление к изучению нового материала и постоянная практика.

Варианты изучения

С чего начать обучение программированию с нуля? Существует несколько способов освоения нового материала в данной области. Частные преподаватели подскажут, как начать изучать программирование с нуля, и обучат вас важным аспектам построения программного кода. Однако данный метод достаточно затратный, поэтому в основном используют такие способы обучения:

1. Специализированные курсы. Их стоимость намного меньше, чем уроки персонального репетитора. Стоит заметить, что множество работодателей положительно реагируют на наличие разнообразных сертификатов о завершении обучения в компьютерных академиях. Обратите внимание на курсы всемирно популярных компаний «Майкрософт» и «Циско».
2. Удаленные бесплатные курсы. В интернете очень большое количество сервисов, с помощью которых вы сможете просмотреть курсы лекций Оксфорда, Гарварда и других именитых учебных заведений мира. Также существуют специальные платформы для тренировки практических навыков программирования. Более подробно об удаленном обучении и полезных интернет-сервисах читайте далее в статье.
3. Самообучение. С чего начать изучение программирования с нуля, если вы не планируете записываться на курсы и тратить деньги? В таком случае проще всего заняться самообразованием. Начать изучение следует с прочтения основ, не углубляйтесь в теорию, сразу приступайте к практике, ведь только в процессе создания программы вы будете приобретать необходимые навыки.

После выбора подходящего вам варианта обучения следует определиться с предметной областью, ведь программирование имеет достаточно широкий спектр разных ответвлений.

Как выбрать подходящее направление?

Выбор языка программирования напрямую зависит от типа ПО, которые вы будете создавать в будущем:

1. Декстопные программы. Этот тип ПО предназначен для персональных компьютеров (разные плееры, конвертеры, текстовые процессоры и так далее).
2. Антивирусное программное обеспечение (ПО для устранения вирусов и шпионских программ). Разработчики антивирусов должны иметь общие представления о криптографии и различных алгоритмах шифрования данных.
3. Приложения для смартфонов и планшетов. Наиболее востребованное ответвление современного программирования. Для разных операционных систем требуется знание своего языка. Статьи для разработчиков под IOS, WinPhone и Android подскажут новичку, с чего начать изучать программирование с нуля для смартфонов и планшетов.
4. Игровое ПО для персональных компьютеров. Такие игры, как правило, имеют заранее прописанный сценарий, который пользователь должен пройти. Для написания нужно иметь познания в области построения графических трехмерных элементов.
5. Онлайн-игры. Довольно популярные сегодня типы ПО. Соответственно, разработчики также востребованы на рынке труда.
6. Работа с веб-технологиями. Создание сайтов. Web-программирование с нуля освоить достаточно просто, ведь логика написания сайтов и скриптов намного легче, чем создание ПО со сложным алгоритмом работы.

Если наиболее важную роль для вас играет размер заработной платы, обратите свое внимание на рынок вакансий. Сейчас самыми востребованными считаются разработчики, которые специализируются на языках Java, C#, ASP.NET, C++.

Языки низкого и высокого уровней. Разница и области применения

Считается, что все языки программирования делятся на высокоуровневые и низкоуровневые. Код низкого уровня более легко обрабатывать компьютеру, но его написание занимает много времени и требует больше знаний в предметной области. Такие языки (например, ассемблер) используются для написания ПО для цифровых микросхем и микроконтроллеров. Они не очень удобны для того, чтобы изучать программирование с нуля. С чего начать написание первых программ, подскажут приведенные далее в статье полезные сервисы и литература от всемирно известных авторов.

Высокоуровневые языки намного легче в применении, ведь они используют встроенные библиотеки для упрощения и визуализации кода. Большинство современного ПО пишется с помощью языков высокого уровня.

Программирование с нуля: с чего начать создание мобильных приложений?

Процесс создания мобильных программ позволяет программистам работать с новейшими инструментами и, как следствие, заработать приличное количество денег благодаря монетизации. Для начала следует выбрать площадку, на которой вы будете работать:

1. Google Play. Магазин приложений для пользователей операционной системы «Андроид». Данная ОС имеет наибольшую долю пользователей на рынке. Для разработки приложений и игр используются языки java и C/C++. Наибольшей популярностью пользуются приложения-мессенджеры, клиенты социальных сетей, облачные хранилища, игры.
2. Windows Mobile Store. Данный магазин стремительно набирает популярность вместе со смартфонами от компании «Майкрософт». В странах СНГ большинство пользователей предпочитают планшеты на платформе Windows Phone. Программирование приложений для такого магазина помогает заработать больше денег на монетизации, ведь, в отличие от «Андроида», практически все программы в магазине Windows распространяются на платной основе.
3. App Store. Еще одна выгодная площадка для разработки (язык — Objective-C). Процесс создания программ для устройств компании Apple требует предустановленной среды разработки под названием Xcode. Следующим шагом нужно изучить Objective-C программирование с нуля. С чего начать написание кода, подскажет книга Дэвида Марка «Изучение С для Mac. Издание второе».

Язык Java

Большинство профессиональных разработчиков рекомендуют начинать познание программирования с языка Java. Он является простым в изучении и в то же время востребованным на рынке. Воспользуйтесь нижеприведёнными советами, если вы решили изучать программирование с нуля. С чего начать Java-разработку?

1. Изучите базовые элементы кода (объявление переменных, условия, циклы и так далее). Познание этих основ кода поможет писать сложную программную логику.
2. Регулярно посещайте такие онлайн-сервисы, как HourOfCode. Они помогают визуализировать написанный код, что поможет лучше понимать процесс разработки.
3. Будьте в курсе последних версий Java и старайтесь использовать только самые новые фреймворки.

Java – объектно-ориентированный язык программирования высокого уровня, который нужен для разработки большинства современных веб-приложений и игр. В процессе компилирования (превращении написанного кода в язык, понятный для устройства) код превращается в последовательность байтов, поэтому программу легко протестировать на любой виртуальной машине Java.

Программирование с нуля. С чего начать Java- и Web-кодинг?

Язык Java широко используется в веб-разработке. Прежде чем начать полноценный процесс программирования, следует изучить Java, PHP, MySQL, HTML, CSS. Более подробная расшифровка этих понятий приведена ниже:

1. Java – используется в написании утилит для сайтов и прописания логики функционала веб-страниц.
2. PHP – язык для создания персональных страниц сайтов. Имеет скриптовую структуру. Лидирующий язык в создании популярных сегодня динамических веб-сайтов. PHP нужен, чтобы понять скрипты и программирование с нуля. С чего начать? C прочтения книги Джоша Локхата «PHP: Правильный путь».
3. MySQL – система для руководства азами данных. Широко применяется в создании веб-сайтов, которые требуют хранения больших объемов сгруппированных данных.
4. HTML – не является языком программирования. Это язык разметки, использующийся для написания базы веб-страницы (построения блоков, распределение текста и абзацев и так далее).
5. CSS – каскадная таблица стилей. Используется только совместно с HTML для придания языку разметки стиля и внешнего вида.

Только узнав базовые понятия вех этих технологий, вы сможете приступать к созданию профессиональных динамических веб-сайтов, которые сегодня имеют большой спрос.

Web-программирование. Актуальность и особенности

Тема Web-программирования сегодня особенно актуальна. Как было указано выше, для начала разработки веб-элементов нужно иметь довольно большой объем знаний о языках разметки, создании скриптов, логики и стилей.

Сейчас никого не удивишь сайтами, которые созданы только с помощью HTML и CSS, поэтому востребованными стали веб-разработчики, которые способны сделать сайт визуально красивым, а также наполнить его всем необходимым для пользователей функционалом.

Такой вид разработки требует создания двух типов одной и той же программы: серверной и клиентской части. Программист должен понимать принцип работы так называемых сокетов – пакетов данных, которые позволяют передавать нужные потоки информации по сети между сервером и клиентом.

Создание приложений под операционную систему Windows

Для разработки таких программ вам понадобятся познания языка C#. Бесплатный сервис от компании «Майкрософт» под названием Virtual Academy позволит вам выучить все особенности данного языка и попрактиковаться в написании простых приложений.

Согласно новой политике «Майкрософта», все приложения выкладываются в магазин ПО, таким образом можно получить доступ к монетизации своего проекта.

Семейство языков С (С, С++, С#). Особенности

Программирование с нуля — с чего начать выбор языка? Ответ на этот вопрос можно получить, более детально углубившись в разновидности технологий создания приложений. Следует принимать во внимание и актуальность того или иного языка.

Языки С, С++, С# имеют одну общую черту – наличие функции ООП (объектно-ориентированного программирования). Такая технология позволяет значительно упростить процесс написания программного кода. Каждый программный объект описывается в определенном классе и имеет свои параметры, методы и свойства. Таким образом, программист может не прописывать каждый раз огромные куски кода, если один и тот же объект нужно использовать несколько раз.

Полезные интернет-сервисы для изучения основных принципов программирования и структуры кода любого приложения

На первом этапе обучения практически любой веб-сервис предложит вам попробовать свои возможности, используя «Паскаль» — наиболее простой из языков высокого уровня. Он используется в обучающих целях, его преподают в школах и техникумах, дабы студенты смогли понять программирование с нуля. С чего начать «Паскаль»-кодинг? Прежде всего, нужно скачать на ваш ПК среду разработки. Это небольшой исполняемый файл, в котором и предстоит писать программный код. Используйте TurboPascal, ведь это наиболее популярная среда изучения данного языка программирования.

HourOfCode – веб-сервис от компании «Майкрософт». Он предназначен для того, чтобы наглядно показать ученикам, что такое цикл, переменная, класс, условия. Процесс обучения похож на игру.

CodeAcademy – мощный ресурс для изучения практически любой технологии кодинга. Уделяя всего по часу в день, вы и не заметите, как научитесь программировать и создавать свои собственные проекты.

Udacity – сервис, который предоставляет своим пользователям бесплатный доступ к лекциям именитых профессоров и разработчиков.

Получение начального опыта. Фриланс

После изучения основных принципов выбранного вами языка можете смело приступать к своим первым проектам. Начните заниматься фрилансом, ведь именно таким образом вы наполните свое портфолио и получите опыт общения с заказчиками. Такие навыки пригодятся в будущем, если захотите устроится в компанию на официальную должность разработчика программного обеспечения.

Итог

Программирование с нуля: с чего начать? Для чайников профессора всемирно известных университетов советуют поупражняться с базовыми структурами, которые составляют основу любого языка программирования. Запишитесь на специализированные курсы или займитесь самообучением, прослушивая лекции в режиме онлайн.

fb.ru

Программирование для начинающих. Запуск проекта!

Этим постом я открываю свой блог, посвященный онлайн обучению программированию с нуля. Изучать с вами будем основы программирования на C.

Перед новичком в программировании встает сразу куча вопросов:

• Как стать программистом?Как научиться программированию? 
• С какого языка начать обучение программированию? 
• По какому учебнику/книге учиться?Какие книги нужны? 
• Что нужно чтобы начать обучение программированию? 

И так начнем по порядку!

1) Как стать программистом? Как научиться программированию? С чего начать?

Чтобы стать программистом и научиться программировать надо… учиться! Учиться программировать! И естественно программировать, практиковаться. Программирование — очень интересное и увлекательное занятие, главное уловить его дух. Посмотрите следующее видео.

Начать следует с того, что определиться нужно ли вам это и для чего. Ибо без хорошего стимула вы ничего не добьетесь!Далее нужно определиться, какой язык программирования использовать для написания своих программ. «Вот незадача», — подумали наверно вы. Как новичку, совершенно не разбирающемуся в программировании, выбрать язык? И это уже второй вопрос.

2)С какого языка начать обучение программированию?

Если вы уже искали по этому вопросу информацию в поисковиках, то наверно видели, что выбор идет между двумя языками C (Си) и Pascal(Паскаль). Между приверженцами этих двух языковых направлений постоянно возникают споры, называемые в интернете «холиварами». Я предлагаю вам онлайн-курс программирования на языке C(Си). На данном этапе обучения, нам в принципе не важно с какого языка начать. Это мое личное мнение основанное на том, что язык это всего лишь инструмент для описания алгоритма. Я считаю что главное в программировании, это научиться строить алгоритмы решения задачи, а языки это дело наживное!Так что переходим к следующему вопросу!

3)По какому учебнику/книге заниматься?

Этот вопрос тоже очень задаваемый, много я видел мнений, много скачивал книг, читал, учился, не понимал, менял книгу, начинал заново и в итоге топтался на одном месте. Я для себя пришел к выводу который сейчас хочу посоветовать вам, выберите одну из них, любую, и учитесь по ней! Не стоит скакать с одного источника на другой, так вы мало чего добьетесь!

4) Что нужно что бы начать обучение программированию?

Итак, чтобы заниматься программированием по моему курсу, ну и вообще учиться программированию, нам понадобится:

• Учебник по конкретному языку программирования.(в данном случае это мой блог) 
• Справочник по данному языку программирования. 
• Среда программирования (о выборе среды программирования). 
• Ну и конечно же, огонек в глазах и стимул. 

Всем спасибо, до встречи на страницах блога! =)))

Перейти к первому уроку.

Если Вам понравился мой блог, то Вы можете мне помочь, рассказав о нем вашим друзьям. В этом  Вам помогут кнопки основных социальных сетей, расположенные ниже. Вам остается всего лишь кликнуть по любой из них.

www.youngcoder.net

Самоучитель по программированию PIC контроллеров для начинающих (Е.А. Корабельников,2008)

1. Готовим инструменты

Микроконтроллеры (и вообще все процессоры) изначально понимают только машинные коды, то есть некую совокупность нулей и единиц.

Те, кто представляет себе работу счетчиков, регистров, триггеров и т.д., сразу же поймет природу машинного кода.

Так как, среди электронщиков, таких людей большинство, то на мой взгляд, все они согласятся с такой аксиомой: машинные коды полезны в «малых дозах».

Авот когда начинаются «большие дозы» (сложные устройства с десятками корпусов м/схем), то «мозги начинают дымиться» даже у классных электронщиков, имеющих недюжинные способности.

В этом случае, самое неприятное заключается в том, что по мере роста схемотехнической сложности устройства, эффективность работы электронщика резко «падает».

И в самом деле, сил и средств вкладывается «море», а получается нечто не очень надежное, габаритное, сложное в изготовлении, энергоемкое и дорогое.

Чтобы «одним махом прихлопнуть» все эти проблемы, «яйцеголовые» и придумали сначала «большие» процессоры (то, что применяется в компьютерах), а затем и «маленькие», назвав их микроконтроллерами.

Внутри м/контроллера находится «набор» модулей, каждый из которых многофункционален. Манипулируя весьма не слабыми возможностями этого «набора», можно реализовать миллионы разновидностей устройств.

Естественно, всем этим «хозяйством» нужно как-то»рулить». Эта «рулежка» и есть то, что называется программированием.

Если речь идет о больших «массивах» машинных кодов, то программирования напрямую (в машинных кодах) и врагу не пожелаешь: удовольствия никакого, да, чего доброго, и в «психушку» попасть можно (есть исключения — люди с выдающимися способностями и гении). Для того, чтобы обычные люди могли, без особого «напряга», заниматься составлением программ, придуманы различные языки программирования.

Смысл всех их заключается в замене машинных кодов словами, сокращениями слов, абревеатурами и т. д., то есть тем, что человеком легко и осмысленно воспринимается и чем он может комфортно оперировать при составлении текста программы.

Все эти «удобоваримые приятности», по окончании составления текста программы, переводятся в машинные коды одним «легким движением руки» (мозги программиста не задействуются).

Чтобы это «легкое движение руки» имело место быть, «яйцеголовые» придумали так называемую «интегрированную среду разработки».

Это есть набор программ, в котором программист работает с максимальной степенью комфорта, причем, по всему «массиву» решаемых им задач (включая и составление текста программы, и т.д. и т.п.).

Что, первым делом, нужно сделать, например, русскому, который попал в Англию и собирается там жить?

Выучить английский язык.

При «въезде» в программирование, нужно сделать то же самое (задача даже существенно проще).

«Проматерь» всех языков программирования — ассемблер.

Хотя он и считается самым простым, но слово «простой» относится прежде всего к набору его команд: количество их — минимально необходимое, и тем не менее, вполне достаточное для решения самых сложных задач, но не к комфортному восприятию их человеком.

Команды ассемблера являются либо сокращениями английских слов, либо набором первых букв английских словосочетаний, либо и тем, и другим.

Минимальный «джентльменский» набор ассемблера для ПИКов составляет 35 команд. Реально же, наиболее часто, используются от 10 до 20 команд.

В дальнейшем, настройте себя просто на тупое заучивание (на первых порах) всей этой английской «абракадабры», типа зубрежки (я вообще не имею никакой склонности к иностранным языкам, но ничего, освоил), не такая уж это и сложная задача, заверяю Вас. В дальнейшем, Ваше образное мышление и зрительная память Вам помогут.

Авыучить ассемблер очень даже стоит по причине того, что он, может быть, и не очень

«удобоварим», но именно на этом языке пишутся самые компактные по объему, быстрые и надежные программы, и по этой причине, серьезные программисты, работают

studfiles.net

С для начинающих

1 Приступаем к работе
Введение в язык С 10
Установка компилятора языка С 12
Написание программы на языке С 14
Компилирование программы на языке С 16
Понимание процесса компилирования 18
Заключение 20

Создание переменных в программе 22
Отображение значений переменных 24
Ввод значений переменных 26
Спецификаторы типов данных 28
Использование глобальных переменных 30
Размещение переменных в регистрах 32
Преобразование типов данных 34
Создание массивов переменных 36
Описание нескольких измерений 38
Заключение 40

Объявление констант в программе 42
Перечисление значений констант 44
Создание константного типа 46
Определение констант 48
Отладка с помощью определений 50
Заключение 52

Выполнение арифметических операций 54
Присваивание значений 56
Сравнение значений 58
Логические значения 60
Проверка условий 62
Измерение размера 64
Сравнение битовых значений 66
Флаги 68
Знакомство с приоритетами 70
Заключение 72

Проверка значений выражений 74
Ветвление с помощью операции switch 76
Зацикливание с помощью счетчика 78
Зацикливание с помощью условия 80
Досрочный выход из циклов 82
Переход к меткам 84
Заключение 86

Объявление функций 88
Передача аргументов 90
Рекурсивные вызовы 92
Размещение функций в заголовках 94
Ограничение доступности 96
Заключение 98

Получение доступа к данным с помощью указателей 100
Арифметика указателей 102
Передача указателей в функции 104
Создание массивов указателей 106
Указатели на функции 108
Заключение 110
Чтение строк 112
Копирование строк 114
Объединение строк 116
Поиск подстрок 118
Валидация строк 120
Преобразование строк 122
Заключение 124

Создание структур 125
Группирование данных в структуру 126
Определение типа данных с помощью структуры 128
Использование указателей в структурах 130
Указатели на структуры 132
Передача структур в функции 134
Группирование данных в объединение 136
Выделение памяти 138
Заключение 140

Создание файла 142
Чтение и запись символов 144
Чтение и запись строк 146
Считывание и запись файлов целиком 148
Сканирование файловых потоков 150
Сообщение об ошибках 152
Получение даты и времени 154
Запуск таймера 156
Генерация случайных чисел 158
Отображение диалогового окна 160
Заключение 162

ASCII-коды символов 164
Функции ввода и вывода 166
Функции проверки символов 174
Арифметические функции 175
Функции работы со строками 176
Вспомогательные функции 178
Диагностические функции 180
Функции для работы с аргументами 180
Функции для работы с датой и временем 181
Функции переходов 184
Сигнальные функции 184
Константы пределов 185
Константы с плавающей точкой 186
Основы программирования на языке С 187
Предметный указатель 188

www.htbook.ru

правило, примеры, умножение отрицательных чисел на положительные

В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Умножение отрицательных чисел

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел –a, -b данное равенство считается верным.

(-а)·(-b)=a·b.

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: (-а)·(-b)=a·b. Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а·(-b)=-a·b справедливое, как и (-а)·b=-a·b. Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

(-a)·(-b)=(-a·(-b))=-(-(a·b))= a·b.

Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Примеры умножения отрицательных чисел

Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.

Произвести умножение чисел -3 и -5.

Решение.

По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5. Их произведение дает  в результате 15. Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15

Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

(-3)·(-5)=3·5=15

Ответ: (-3)·(-5)=15.

При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.

zaochnik.com

Как умножать отрицательные числа | Математика

Как умножать отрицательные числа, как делить отрицательные числа, как умножать положительные и отрицательные числа, как делить числа с разными знаками? Достаточно знать всего два коротких правила.

1. При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число.

Например, 1) -5∙(-7)=35

2) -9∙(-1,2)=10,8

3) -36:(-0,18)=3600:18=200

2. При умножении и делении чисел с разными знаками получается отрицательное число.

Например, 1) 28:(-7)=-4

2) -12∙5=-60

3) -5,6:0,7=-56:7=-8

www.for6cl.uznateshe.ru

умножение отрицательного числа на отрицательное будет отрицательное?

положительное

минус ну минус будет плюс.

положительное

положительное например -5*(-20)=100

Бедный Ринат! С такими знаниями начать бы все сначала…

touch.otvet.mail.ru

при делении отрицательного числа на отрицательное получается отрицательное или положительное?

Положительное. Вот правила, если вкратце) +*-=- -*-=+ +/-=- -/+=- -/-=+

Отрицательное

При умножении и делении минус на минус дает плюс умножение минус на плюс-минус

минус на минус дает плюс запомни это золотое правило

отрицательное..

положительно, также как и при умножении отрицательного на орицательное

touch.otvet.mail.ru

Какой знак полчуается при делении отрицательного числа на отрицательное?

Плюс, конечно=)

положительное

положительный

положительное. минус на минус всегда дает плюс.

чему вас учат в школе

При умножении и делении всегда минус на минус дает плюс, минус на плюс дает минус. Стыдно!

положительное

…No comment… Error 404.

положительное

Положительное

получается то, что ты даун, xddd

— : — = + — * — = + + : + = —

touch.otvet.mail.ru

Если положительно умножить на отрицательное то какой знак будет стоять в ответе плюс или минус?

Салют Эти девочки хотят секса Кликай<a rel=»nofollow» href=»http://vk.cc/5zz60a» target=»_blank»>ДЕВУШКИ ДЛЯ СЕКСА</a>

Онлайн решебник <a rel=»nofollow» href=»http://my.mail.ru/apps/548484?ref=sp17634803094127521812#IeyJwIjoiMTc2MzQ4MDMwOTQxMjc1MjE4MTIiLCJjaCI6IkNvbGxlY3Rpb25Bc2siLCJydHlwZSI6InUydS5zdHJlYW0ifQ» target=»_blank»>http://my.mail.ru/apps/548484?ref=sp17634803094127521812#IeyJwIjoiMTc2MzQ4MDMwOTQxMjc1MjE4MTIiLCJjaCI6IkNvbGxlY3Rpb25Bc2siLCJydHlwZSI6InUydS5zdHJlYW0ifQ</a>

Ответ: число отрицательное. Знак минус (-)

минус и плюс просто исчезнут и загорится лампочка кто был никем и отдавал все станет всем для того кому он все отдавал

Минус будет в ответе «+» * «-» = «-«

Отрицательное число

В ответе будет стоять минус

touch.otvet.mail.ru

Таблица умножения на 19

Автор: Bill4iam

kvn201.com.ua

Умножение в столбик | интернет проект BeginnerSchool.ru

Умножение многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик, последовательно умножая каждый разряд. Давайте разберем, как это делать. Начнем с умножения многоразрядного числа на одноразрядное число и постепенно увеличим разрядность второго множителя.

Для того чтобы умножить в столбик два числа, разместите их одно под другим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Сравните два множителя и меньший разместите под большим. Затем начинайте умножать каждый разряд второго множителя на все разряды первого множителя.

Пишем однозначное число под единицами многозначного.

Умножаем 2 последовательно на все разряды первого множителя:

Умножаем на единицы:

8 × 2 = 16

6 пишем под единицами, а 1 десяток запоминаем. Для того, чтобы не забыть пишем 1 над десятками.

Умножаем на десятки:

3 десятка × 2 = 6 десятков + 1 десяток(запоминали) = 7 десятков. Ответ пишем под десятками.

Умножаем на сотни:

4 сотни × 2 = 8 сотен. Ответ пишем под сотнями. В результате получаем:

438 × 2 = 876

Умножим трехзначное число на двухзначное:

924 × 35

Пишем двухзначное число под трехзначным, единицы под единицами, десятки под десятками.

1 этап: находим первое неполное произведение, умножив 924 на 5.

Умножаем 5 последовательно на все разряды первого множителя.

Умножаем на единицы:

4 × 5 = 20             0 пишем под единицами второго множителя, 2 десятка запоминаем.

Умножаем на десятки:

2 десятка × 5 = 10 десятков + 2 десятка (запоминали) = 12 десятков, пишем 2 под десятками второго множителя, 1 запоминаем.

Умножаем на сотни:

9 сотен × 5 = 45 сотен + 1 сотня (запоминали) = 46 сотен, пишем 6 под разрядом сотен, а 4 под разрядом тысяч второго множителя.

924 × 5 = 4620

2 этап: находим второе неполное произведение, умножив 924 на 3.

Умножаем 3 последовательно на все разряды первого множителя. Ответ пишем под ответом первого этапа, сдвинув его на один разряд влево.

Умножаем на единицы:

4 × 3 = 12             2 пишем под разрядом десятков, 1 запоминаем.

Умножаем на десятки:

2 десятка × 3 = 6 десятков + 1 десяток (запоминали)  =  7 десятков, пишем 7 под разрядом сотен.

Умножаем на сотни:

9 сотен × 3 = 27 сотен, 7 пишем в разряд тысяч, а 2 в разряд десятков тысяч.

3 этап: складываем оба неполных произведения.

Складываем поразрядно, учитывая сдвиг.

В результате получаем:

924 × 35 = 32340

Умножим трехзначное число на трехзначное:

Возьмем первый множитель из предыдущего примера, а второй множитель тоже из предыдущего, но больше на 8 сотен:

924 × 835

Итак, два первых этапа такие же, как в предыдущем примере.

3 этап: находим третье неполное произведение, умножив 924 на 8

Умножаем 8 последовательно на все разряды первого множителя. Результат пишем под вторым неполным произведением со сдвигом влево, в разряд сотен.

4 × 8 = 32, пишем 2 в разряд сотен, 3 запоминаем

2 × 8 = 16 + 3 (запоминали) = 19, пишем 9 в разряд тысяч, 1 запоминаем

9 × 8 = 72 + 1 (запоминали) = 73, пишем 73 в разряды сотен и десятков тысяч соответственно.

4 этап: складываем три неполных произведения.

В результате получаем:

924 × 835 = 771540

Итак, сколько разрядов во втором множителе, столько и будет слагаемых в сумме неполных произведений.

Возьмем два множителя с одинаковой разрядностью:

3420 × 2700

При умножении двух чисел оканчивающихся нулями пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.

Теперь умножаем два числа, не обращая внимания на нули:

342 × 27 = 9234

Общее количество нулей приписываем к получившемуся произведению.

В результате получаем:

3420 × 2700 = 9234000

Подведем итог. Для того чтобы письменно в столбик умножить два числа друг на друга, надо:

1. Сравнить два числа и меньшее написать под большим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Если числа с нулями, то пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.

2. Умножаем последовательно каждый разряд второго множителя, начиная с единиц, на все разряды первого множителя. На нули внимания не обращаем

3. Неполные произведения пишем друг под другом, сдвигая каждое неполное произведение на один разряд влево. Сколько во втором множителе значащих разрядов (не 0), столько будет неполных произведений.

4. Складываем все неполные произведения.

5. К полученному результату приписываем нули из обоих множителей.

Вот и все, спасибо, что Вы с нами!

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Подпишитесь на новости сайта:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

beginnerschool.ru

Умножение на 19. Таблица умножения.

Задание

0	*	19	=	___
19	*	7	=	___
19	*	5	=	___
6	*	19	=	___
1	*	19	=	___
0	*	19	=	___
8	*	19	=	___
19	*	6	=	___
19	*	4	=	___
2	*	19	=	___
19	*	4	=	___
0	*	19	=	___
3	*	19	=	___
9	*	19	=	___
0	*	19	=	___
7	*	19	=	___
4	*	19	=	___
19	*	9	=	___
5	*	19	=	___
7	*	19	=	___
19	*	7	=	___
19	*	6	=	___
19	*	8	=	___
0	*	19	=	___
19	*	7	=	___
19	*	4	=	___
8	*	19	=	___
19	*	1	=	___
0	*	19	=	___
19	*	10	=	___
5	*	19	=	___
6	*	19	=	___
6	*	19	=	___
10	*	19	=	___
19	*	10	=	___
6	*	19	=	___
19	*	7	=	___
19	*	5	=	___
2	*	19	=	___
19	*	6	=	___
19	*	0	=	___
5	*	19	=	___
19	*	7	=	___
19	*	5	=	___
6	*	19	=	___
19	*	6	=	___
19	*	8	=	___
0	*	19	=	___
3	*	19	=	___
19	*	8	=	___
6	*	19	=	___
6	*	19	=	___
19	*	6	=	___
19	*	3	=	___
19	*	7	=	___
19	*	9	=	___
19	*	7	=	___
0	*	19	=	___
3	*	19	=	___
19	*	10	=	___
19	*	2	=	___
19	*	7	=	___
19	*	2	=	___
8	*	19	=	___
19	*	7	=	___
19	*	3	=	___
19	*	8	=	___
7	*	19	=	___
19	*	5	=	___
3	*	19	=	___

Ответы

0	*	19	=	0
19	*	7	=	133
19	*	5	=	95
6	*	19	=	114
1	*	19	=	19
0	*	19	=	0
8	*	19	=	152
19	*	6	=	114
19	*	4	=	76
2	*	19	=	38
19	*	4	=	76
0	*	19	=	0
3	*	19	=	57
9	*	19	=	171
0	*	19	=	0
7	*	19	=	133
4	*	19	=	76
19	*	9	=	171
5	*	19	=	95
7	*	19	=	133
19	*	7	=	133
19	*	6	=	114
19	*	8	=	152
0	*	19	=	0
19	*	7	=	133
19	*	4	=	76
8	*	19	=	152
19	*	1	=	19
0	*	19	=	0
19	*	10	=	190
5	*	19	=	95
6	*	19	=	114
6	*	19	=	114
10	*	19	=	190
19	*	10	=	190
6	*	19	=	114
19	*	7	=	133
19	*	5	=	95
2	*	19	=	38
19	*	6	=	114
19	*	0	=	0
5	*	19	=	95
19	*	7	=	133
19	*	5	=	95
6	*	19	=	114
19	*	6	=	114
19	*	8	=	152
0	*	19	=	0
3	*	19	=	57
19	*	8	=	152
6	*	19	=	114
6	*	19	=	114
19	*	6	=	114
19	*	3	=	57
19	*	7	=	133
19	*	9	=	171
19	*	7	=	133
0	*	19	=	0
3	*	19	=	57
19	*	10	=	190
19	*	2	=	38
19	*	7	=	133
19	*	2	=	38
8	*	19	=	152
19	*	7	=	133
19	*	3	=	57
19	*	8	=	152
7	*	19	=	133
19	*	5	=	95
3	*	19	=	57

uchik.ru

Расчет стоимости ставки и выигрыша в не полной системе «5 из 7»

Мы понимаем, что этот материал не окажется легким и развлекательным чтивом. Наберитесь терпения, вникните во все детали и тогда не полные системы для игры перестанут вам казаться чем-то загадочным. Статья будет полезна тем игрокам, которые не станут играть до тех пор, пока досконально не поймут, «как все работает». И если мы уже знаем какие дополнительные отметки и в каких полях следует сделать в случае игры по не полным системам, то количество «экспрессов» (вариантов) в той или иной не полной системе до сих пор остается для многих загадкой. А без этого невозможно определить как размер своей ставки, так и величину возможного выигрыша в случае совершения допустимого количества ошибок в прогнозе. Без таких базовых знаний трудно ожидать активной игры по не полным системам.

Как мы уже указывали, конструктивно неполные системы не отличаются от привычных для вас полных систем. Все отличие в меньшем количестве комбинаций за счет того, что прогноз одного или нескольких событий мы фиксируем и «требуем» их присутствия во всех комбинациях не полной системы. Вариантами полной системы, в которых не присутствуют прогнозы зафиксированных событий, мы пренебрегаем. Именно поэтому так важно для игрока угадать исход фиксированного события, в противном случае вся система оказывается проигранной. Итак, приступим к анализу системы «5 из 7».

Пусть игрок выбрал для игры 7 событий под условными номерами 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777. Полная система «5 из 7» содержит 21 «экспресс»(вариант):

    111 222 333  444 555  666 777

1. х    х     х     х      х
2. х    х     х     х             х
3. х    х     х             х     х
4. х    х            х      х     х
5. х          х      х      х     х
6.       х    х      х      х     х
7. х    х     х     х                   х
8. х    х     х             х           х
9. х    х            х      х           х
10. х           х     х      х           х
11.       х     х     х      х           х
12. х    х     х                    х    х
13. х    х            х             х    х
14. х           х     х             х    х
15.       х     х     х             х    х
16. х    х                   х      х    х
17. х           х            х      х    х
18.       х     х            х      х    х
19. х                   х    х      х    х
20.       х             х    х      х    х
21.              х      х    х      х    х

Если игрок играет по этой полной системе и допускает 1 ошибку в прогнозе (например, результат события 777 угадать не удалось) — он получает выигрыш по 6 «экспрессам» (первые 6 «экспрессов» в системе), в случае 2 ошибок в прогнозе (666 и 777) — выигрыш будет исчисляться по 1 «экспрессу» (самому первому в системе).

Теперь мы хотим играть по неполной системе «5 из 7». Для этого зафиксируем одно из событий — скажем, событие под номером 777. Поскольку для не полных систем обязательным условием является присутствие результата этого события во всех «экспрессах» системы, то в не полной системе «5 из 7» с 1 фиксированным числом окажутся «экспрессы» под номерами от 7 до 21:

    111 222 333 444 555 666 777

7. х    х     х     х                   х
8. х    х     х             х           х
9. х    х            х      х           х
10. х           х     х      х           х
11.       х     х     х      х           х
12. х    х     х                    х    х
13. х    х            х             х    х
14. х           х     х             х    х
15.       х     х     х             х    х
16. х    х                   х      х    х
17. х           х            х      х    х
18.       х     х            х      х    х
19. х                   х    х      х    х
20.       х             х    х      х    х
21.              х      х    х      х    х

«Экспрессами» системы под номерами от 1 до 6 мы пренебрегаем. В итоге количество «экспрессов» (вариантов) в не полной системе «5 из 7» с 1 фиксированным событием будет равно 15.

А теперь рассмотрим, какое количество выигрышей можно ожидать в случае совершения ошибок в прогнозе не фиксированных событий. Пусть одно из не фиксированных событий, скажем, 666 угадать не удалось. В этом случае выигрыш в не полной системе «5 из 7» с 1 фиксированным событием будет определяться по 5 «экспрессам» (их номера в системе с 7 по 11):

    111 222 333 444 555 666 777

7. х    х     х     х                   х
8. х    х     х             х           х
9. х    х            х      х           х
10. х           х     х      х           х
11.       х     х     х      х           х

В остальных «экспрессах» под номерами с 11 по 21 есть результат ошибочно спрогнозированого события под номером 555 — и они проигрывают.

Если будут не угаданы результаты 2 не фиксированных событий, скажем, 555 и 666, то выигрышным будет 1 «экспресс» (порядковый номер в системе 7):

    111 222 333 444 555 666 777

7. х    х     х     х                  х

Теперь давайте зафиксируем результаты 2 событий, например, под номерами 666 и 777. В этом случае количество «экспрессов» (вариантов) в не полной системе «5 из 7» с 2 фиксированными событиями равно 10 (это «экспрессы» из полной системы под номерами с 12 по 21):

    111 222 333 444 555 666 777

12. х    х     х                    х    х
13. х    х            х             х    х
14. х           х     х             х    х
15.       х     х     х             х    х
16. х    х                   х      х    х
17. х           х            х      х    х
18.       х     х            х      х    х
19. х                   х    х      х    х
20.       х             х    х      х    х
21.              х      х    х      х    х

 «Экспрессами» системы, в которых не присутствуют оба фиксированных события, мы пренебрегаем. Какие выигрыши ожидают игрока в случае, если он не угадает результат любого не фиксированного числа, скажем 555? Ответ очевиден. Выигрыш по неполной системе «5 из 7» с 2 фиксированными событиями

в случае не угадывания 1 нефиксированного числа будет составлять 4 «экспресса»:

    111 222 333 444 555 666 777

12. х    х     х                    х    х
13. х    х            х             х    х
14. х           х     х             х    х
15.       х     х     х             х    х

Если не будут угаданы результаты двух событий, скажем 444 и 555, то выигрышным окажется 1 «экспресс»:

    111 222 333 444 555 666 777

12. х    х     х                  х     х

 Наконец, если мы зафиксируем 3 события, например, 555, 666 и 777, то в неполной системе «5 из 7» с 3-мя фиксированными событиями будет 6 «экспрессов» (вариантов):

     111 222 333 444 555 666 777

16. х    х                   х      х    х
17. х           х            х      х    х
18.       х     х            х      х    х
19. х                   х    х      х    х
20.       х             х    х      х    х
21.              х      х    х      х    х

В случае 1 ошибки в прогнозе не фиксированных событий, например, 444 — выигрышными окажутся 3 «экспресса»:

      111 222 333 444 555 666 777

16. х    х                   х      х    х
17. х           х            х      х    х
18.       х     х            х      х    х

А в случае 2 ошибок в прогнозе (например, 333 и 444) – выигрышным станет 1 «экспресс»:

     111 222 333 444 555 666 777

16. х    х                  х     х    х

Зафиксируем 4 события, например, 444, 555, 666 и 777. Тогда количество «экспрессов» (вариантов) в такой не полной системе «5 из 7» будет равно трем «экспрессам» (вариантам):

     111 222 333 444 555 666 777

19. х                   х    х      х    х
20.       х             х    х      х    х
21.              х      х    х      х    х

В случае 1 ошибки в прогнозе не фиксированных событий, например, 333 — выигрышными окажутся 2 «экспресса»:

     111 222 333 444 555 666 777

19. х                 х    х      х    х
20.       х           х    х      х    х

А в случае 2 ошибок в прогнозе (333 и 222) – выигрышным станет 1 «экспресс»:

    111 222 333 444 555 666 777

19. х                  х    х     х    х

Это исчерпывающий расчет для неполной системы «5 из 7». В ней, как мы видели, можно зафиксировать 4 события. Какое количество событий можно зафиксировать в других системах и какие выигрыши получить в случае того или иного количества ошибок в прогнозе, видно в табличке, размещенной внизу.

Из нее видно, например, что в неполной системе «3 из 7» с 1-им фиксированным событием 15 «экспрессов». Зная это легко подсчитать сумму ставки.

Пользуясь таблицей, можно узнать, что в случае игры по не полной системе «6 из 9» с 4 фиксированными событиями (система содержит 10 «экспрессов») можно допустить 2 ошибки в прогнозе и получить выигрыш за 3 «экспресса».

Все удобно, все видно. Удачных ставок!

azart.in

Калькулятор системы ставок и экспрессов: быстрый расчет онлайн

Калькулятор системы ставок дает возможность узнать доходность сложносоставных пари. Вычислению подлежат ставки с исходами, включающими от трех и двенадцати событий.

Среднестатистическому игроку под силу сделать расчет несложной системы – «два из трех» или «три из четырех». Но тратить большое количество времени для того чтобы произвести более сложные вычисления не имеет смысла.

Для этого есть калькулятор ставок система, который заменяет ручные вычисления мгновенными результатами, выданными в режиме онлайн. Расчет системы ставок на спорт обеспечен работой автоматического алгоритма, который внедрен в софт.

Результат расчёта

Расчеты калькулятора систем экспрессов

Калькулятор систем и экспрессов дает возможность производить трудные подсчеты за пару мгновений, что значительно бережет время при работе с составными видами ставок.

Калькулятор экспресс-ставки имеет следующие преимущества перед подсчетом вручную:

• Определяет размер купона
• Мгновенно вычисляет сумму ставки
• Наглядно отображает убыточные варианты
• Быстро перемножает сыгравшие коэффициенты
• Позволяет детально анализировать выигрыш.

Калькулятор экспрессов позволяет произвести быстрый анализ, к примеру, экспресса дня, предлагаемого букмекерской конторой. Особенно полезным он будет в случае с антиэкспрессами, где нужно, чтобы хотя бы один исход оказался неверным.

Пример использования калькулятора системы ставок

Рассмотрим на примере систему ставок и калькулятор для этого вида пари. Не каждый беттор осознает, что значит комбинация «два из трех», являющаяся базовой для расчета составных купонов. Речь о трех купонах, которые состоят из результатов двух событий с перемноженными коэффициентами.

Сумма для подобного пари отправляется на каждый игровой купон равными долями.

Калькулятор системы позволяет не забивать голову лишними цифрами и расчетами и при правильном понимании принципа и алгоритма и посчитать все в считанные секунды.

Если игрок понимает принцип работы, например, горизонтального экспресса, то калькулятор систем ставок сбережет много времени, сил и нервов. В специальной таблице отобразятся не только результаты подсчетов, но и промежуточные итоги, которые обычно скрываются букмекерами.

Наконец, при ручном подсчете нельзя исключать человеческий фактор и допущенную ошибку. Калькулятор ставки экспресс работает строго по формулам, системные неточности и сбои исключены.

Используйте в своей работе качественные калькуляторы систем ставок, представленные на сайте нашего проекта.

sportstavki.online

Система в ставках на спорт

Такая разновидность ставок на спорт как «система» пользуется у игроков меньшей популярностью, чем самые обычные экспрессы и ординары. Связано это с тем, что многие игроки не всегда отчетливо понимают, что такое система в ставках, как можно правильно её использовать, и сколько плюсов и преимуществ она может дать.

Что такое система

Система в букмекерской конторе – это некий комбинированный набор ставок, состоящий из выстроенных игроком экспрессов. Систему справедливо отнести к разновидности ставок типа «экспресс», потому что при использовании системы происходит образование нескольких экспрессов.

Повторим еще раз. Система в ставках – это когда из всех исходов, которые выбраны игроком, образуется несколько экспрессов, а итоговый коэффициент образовывается отдельно для каждого экспресса. Сумма самой ставки будет разделена между экспрессами на равные части, и в итоге результат системы будет зависеть от прохода каждого экспресса, так как все они рассчитываются отдельно.

Размерность системы

Главное понятие в ставке на систему – это размерность системы. Размерность обозначается двумя цифрами, например 2 из 3, 2 из 5, 3 из 5 и т.д., где вторая цифра означает общее число выбранных игроком исходов, а первая показывает, сколько исходов игрок включил в один экспресс этой системы. Например, при размерности системы 3 из 4, мы видим, что в системе заложено четыре экспресса с тремя исходами, если 2 из 5 – то, соответственно, пять экспрессов по два исхода и т.п.

Особенности системы

Ставки на систему при правильном использовании имеют определенные преимущества. Главный плюс в том, что игрок получит прибыль или, в любом случае, не уйдет в минус, если в результате одно из выбранных игроком событий закончится вопреки прогнозу, как это случилось бы в ставке типа экспресс. Преимущество системы перед ставкой типа ординар в том, что в случае выигрыша по всем исходам прибыль будет больше. Но если сравнивать по прибыли систему и экспресс, то при одинаковых условиях потенциальный выигрыш на экспрессе будет больше.

Системы с фиксированными ставками

В некоторых конторах существует возможность создавать так называемые «сложные системы». Это такой вид ставок, при котором вы можете добавить тот исход, в котором уверены, во все варианты системы. Варианты, где такой исход отсутствует, будут автоматически исключаться. Подобная разновидность системы может называться по разному: верняк, банкер и т.д. Смысл такой системы в том, что число вариантов в ней уменьшается и, соответственно, увеличивается вероятность выигрыша.

Расчет системы

Каким же образом рассчитываются системы? Например, если мы взяли систему 2 из 3, это означает, что мы выберем три события для такой ставки и выиграем, если в 2 из 3 случаях отгадаем исход. Букмекерская контора отобразит нам возможный выигрыш, то есть максимальную сумму выигрыша, которую мы получим, только если сыграют все события из нашей системы.

Дальше представим, что мы делаем ставки на победы хозяев. Размещаем ставку в размере 30 долларов, по 10 долларов на каждый исход. В итоге у нас получится система на три двойных экспресса: 1. первый матч + второй матч, 2. первый матч + третий матч, 3. второй матч + третий матч. В итоге, если мы угадаем 2 исхода из 3, то сыграет какой-то один экспресс, а если угадаем все 3, – сыграют все три варианта.

Рассчитать систему ставок можно самостоятельно, либо воспользовавшись специальным калькулятором системы ставок.

Итог

Если смотреть на систему в общих чертах, то ее можно рассматривать как некий вариант ставки между ординаром и экспрессом. Как мы уже говорили, система не является популярной ставкой у игроков, но нельзя сказать, что в ней есть какие-то весомые изъяны.

При правильном использовании система будет регулярно приносить беттеру хорошую прибыль. Плюс ко всему, ставки на систему дают возможность игроку пробовать различные стратегии игры. Но также стоит помнить, что система все-таки несет для игрока незначительные риски и шансы уйти в минус, так что предыгровой анализ никто не отменял!

www.bettingshot.com

Как рассчитывается система в ставках? / Школа ставок / AnyBetBlog

Число 1739

aboutnumber.ru

Свойства числа 1739

ru.numberempire.com

Число 1739, 0x0006CB, одна тысяча семьсот тридцать девять

Площадь круга

Площадь круга, формулы для вычисления площади при различных исходных данных и калькулятор для решения онлайн. Площадь круга — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной линией окружности. Вычислить площадь круга можно с помощью числа Пи и радиуса окружности, или с помощью других известных исходных данных.

Наш калькулятор поможет вам бесплатно в режиме онлайн вычислить площадь круга или проверить уже выполненные вычисления.

1

Площадь круга через радиус

r — радиус

… подготовка …

---

2

Площадь круга через диаметр

D — диаметр

… подготовка …

---

3

Площадь круга по длине окружности

— длина окружности

… подготовка …

---

4

Площадь круга через вписанный в круг квадрат

a — сторона

… подготовка …

---

5

Площадь круга вписанного в квадрат

A — сторона

… подготовка …

---

6

Площадь круга описанного около произвольного треугольника

Данная формула применима только, если вокруг треугольника можно описать круг, то есть все три вершины треугольника должны лежать на линии окружности. Треугольник в данном случае может быть любым.

Для вычисления площади круга, предварительно рассчитаем полупериметр треугольника  

a — сторона

b — сторона

c — сторона

… подготовка …

---

7

Площадь круга описанного около равностороннего треугольника

a — сторона

… подготовка …

---

8

Площадь круга описанного около равностороннего треугольника, вычисляемая по высоте треугольника

h — высота

… подготовка …

---

9

Площадь круга описанного около равнобедренного треугольника

a — сторона

b — основание

… подготовка …

---

10

Площадь круга описанного около прямоугольного треугольника

a — сторона

b — сторона

… подготовка …

---

11

Площадь круга вписанного в равнобедренный треугольник

a — сторона

b — основание

… подготовка …

---

12

Площадь круга вписанного в равнобедренный треугольник, вычисляемая по боковым сторонам треугольника и углу между ними

b — сторона

α — угол между сторонами

… подготовка …

---

13

Площадь круга вписанного в прямоугольный треугольник

a — сторона

b — сторона

c — сторона

… подготовка …

---

14

Площадь круга вписанного в прямоугольный треугольник, вычисляемая по стороне и углу

b — сторона

α — угол при основании

… подготовка …

---

15

Площадь круга вписанного в равносторонний треугольник

a — сторона

… подготовка …

---

16

Площадь круга вписанного в равнобедренную трапецию, вычисленная по основанию трапеции и углу при основании

b — сторона

α — угол при основании

… подготовка …

---

17

Площадь круга описанного около равнобедренной трапеции, рассчитанная по боковым сторонам трапеции, ее диагонали и основанию

Для вычисления площади круга, предварительно рассчитаем полупериметр треугольника ABC   

a — сторона

c — сторона

d — диагональ

… подготовка …

---

18

Площадь круга описанного около прямоугольника

a — сторона

b — сторона

… подготовка …

---

19

Площадь круга описанного около правильного многоугольника

a — сторона

N — количество сторон многоугольника

… подготовка …

---

20

Площадь круга описанного около правильного шестиугольника

a — сторона

… подготовка …

---

Определения

Круг – это геометрическая плоская фигура, ограниченная линией состоящей из множества точек равноудаленных от одной точки – центра круга. Кривая замкнутая линия проведенная через равноудаленные точки, образует окружность.

Диаметр круга – это отрезок в виде прямой линии, проходящей через центр окружности и соединяющий две точки лежащие на окружности.

Радиус круга – это прямой отрезок соединяющий центр окружности с любой точкой лежащей на окружности.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км², м², см², мм² и т.д.

doza.pro

Площадь круга | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Для того чтобы найти площадь круга, существует единственная формула, которую нужно запомнить – это произведение числа π на квадрат радиуса.
Доказательством этой формулы будет служить следующий расчет. На чертеже внутри и снаружи круга рисуем правильный многоугольник – многоугольник с равными сторонами.

Из центра круга проводим радиусы в указанные вершины многоугольников. Радиусы во вписанном многоугольнике делят его на определенное количество n одинаковых равнобедренных треугольников. Таким образом, площадь вписанного многоугольника – это n площадей треугольников S_в=nS_∆. Тогда как площадь каждого треугольника, исходя из его свойств, равна . Так как конгруэнтные стороны a этого треугольника являются радиусами, то формула приобретает вид , а формула площади всего многоугольника – , считая сумму всех сторон nc, как периметр многоугольника P. Аналогично получаем площадь описанного многоугольника: . Если считать, что количество nc, как сторон многоугольника стремится к бесконечности, то его форма максимально приближается к кругу, и периметр становится близок по значению к длине окружности, а cosα стремится к 1. В этом случае обе формулы – и для вписанного, и для описанного многоугольника приобретают следующий вид:

---

Поскольку радиус тесно связан отношениями с диаметром и длиной окружности, то путем нехитрых замен можно также вычислить площадь круга через диаметр или длину окружности.
Диаметр – это удвоенный радиус, следовательно, подставляя его в формулу вместо последнего, нужно разделить его обратно на два. Так как в первоначальной формуле S=πr² радиус возводится во вторую степень, полученная половина диаметра также должна будет быть в квадрате, и это уже будет выглядеть как .

---

Длина окружности представляет собой удвоенное произведение радиуса и числа π: P=2πr, обратным методом получаем, что радиус равен длине окружности, разделенной на его множитель: . Подставляя это в основную формулу, не забываем возвести выражение во вторую степень, и получаем, что площадь круга через длину окружности равна .

geleot.ru

Как находить площадь круга

Большое количество точек расположенных на равном расстоянии от центра и находящиеся на одном расстоянии — образуют круг, плоскую фигуру. Радиус круга — это прямая которая соединяет середину круга с любой из точек находящейся в его окружности. При этом в одной окружности, какая бы точка не была, радиус будет одинаков. Диаметр круга — это отрезок исходящий от любой точки окружности, проходящий через середину круга и заканчивающийся в параллельной точке той же окружности.

Как находить площадь круга? Площадь круга находится с помощью формулы в которой участвует число ?.

Интересный факт: Числом ? представляется отношение между длиной окружности и длиной диаметра этой же окружности. При этом имеет постоянную величину. А как нам известно ?= 3,1415926 и стало применяться с 1737 года.

Заметка: Ни как не можете определиться, какую машину выбрать? В автосалоне москва автомобили с пробегом (http://center-carauto.ru/), вы сможете в комфортных условиях подобрать наилучший вариант и при этом сэкономить. Согласитесь, заманчивое предложение!

Как рассчитать площадь круга? Как и говорилось выше благодаря формуле, в которой участвует число ? и радиус, записывается так:

S = ?R²

Разберем для наглядности
Найдем площадь круга с помощью его радиуса который равен 4 см.
Площадь круга равна:
Решение
S= 3,14 * 4² = 3,14 * 16 = 50,24 кв/см

Так же площадь круга через диаметр находиться по формуле

S = (?/4)d²

Разберем для наглядности
Найдем площадь круга с помощью его диагонали. Возьмем радиус равный 4 см.
Решение
1) Вычислим диаметр, который больше радиуса в два раза.
d=2R
d = 2 * 4 =8
2) Подставляем значения в формулу
S =(3,14/4) * 8² = 0,785 * 64 = 50,24
Если сверить полученный ответ с предыдущим, то они равны.

Когда мы ищем площадь сегмента круга или сектора, очень помогает знание основных формул. С их помощью них можно узнавать не известные значения.
Сегментом — называется ограниченная часть круга, которую ограничивают хорда и дуга данного круга.
Как нам уже известно расчет площади круга вычисляется с использованием числа ? умноженного на радиус в квадрате. Используя длину окружности, мы сможем найти радиус.

R = (l/2)?

Если подставить эту формулу в формулу расчета площади., у нас получится:

S = ? ((l/2)?)² = l²/4?

Разберем для наглядности
Найти площадь круга с окружностью равной 8 см.
Решение
Используем формулу S= 8²/4*3,14 = 64 / 12,56 = 5 см

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

reshit.ru

Формулы площади окружности и примеры применения

Сделаем рисунок (рис. 1).

Диагональ вписанного квадрата является диаметром описанной вокруг него окружность. Найдем диагональ . Так как – квадрат, то треугольник прямоугольный. Запишем для него теорему Пифагора, выражая сторону :

   

Подставляя значения , получим

(см)

Далее для вычисления площади круга, ограниченного заданной окружностью, используем формулу: . Подставляя в неё , получим

(см)

ru.solverbook.com

Как найти площадь полукруга 🚩 Площадь полукруга формула 🚩 Математика

16 октября 2011

Автор КакПросто!

Необходимость найти площадь полукруга или сектора возникает регулярно при проектировании архитектурных сооружений. Это может понадобиться и при расчете ткани, например, на рыцарский или мушкетерский плащ. В геометрии встречаются самые разные задания на вычисление этого параметра. В условиях может быть предложено определить площадь полкруга, построенного на определенной стороне треугольника или параллелепипеда. В этих случаях необходимы дополнительные вычисления.

Вам понадобится

• — радиус полуокружности;
• — линейка;
• — циркуль;
• — лист бумаги;
• — карандаш;
• — формула площади круга.

Инструкция

Постройте окружность с заданным радиусом. Центр ее обозначьте как О. Чтобы получить полукруг, достаточно провести через эту точку отрезок до пересечения с окружностью. Этот отрезок является диаметром данной окружности и равен двум ее радиусам. Вспомните, что такое окружность и что такое круг. Окружность — это линия, все точки которой удалены от центра на одинаковое расстояние. Круг — часть плоскости, ограниченная этой линией. Вспомните формулу площади круга. Она равна квадрату радиуса, умноженному на постоянный коэффициент π, равный 3,14. То есть площадь круга выражается формулой S=πR2, где S – площадь, а R — радиус окружности. Вычислите площадь полукруга. Она равна половине площади круга, то есть S1= πR2/2. В случае, когда вам в условиях дана только длина окружности, найдите сначала радиус. Длина окружности вычисляется по формуле P=2πR. Соответственно, чтобы найти радиус, необходимо длину окружности разделить на удвоенный коэффициент. Получается формула R=P/2π.

Полукруг можно представить и как сектор. Сектором называется часть круга, которая ограничена его двумя радиусами и дугой. Площадь сектора равна площади круга, умноженной на отношение центрального угла к полному углу окружности. То есть, в данном случае она выражается формулой S=π*R2*n°/360°. Угол сектора известен, он составляет 180°. Подставив его значение, вы снова получите ту же самую формулу — S1= πR2/2.

Обратите внимание

Встречаются задания, где угол дуги указан не в градусах, а в радианах. В этом случае необходимо воспользоваться формулой перевода Ar = Ad *π / 180°, где Ar — угол в радианах, а Ad — он же в градусах. Для вычисления площади полукруга это не особенно важно. Даже если вы представляете полукруг как сектор, в конечной формуле никаких градусов нет. Но это может оказаться нужным для вычисления площади сектора, имеющего другой центральный угол.

В некоторых задачах требуется найти площадь круга или полукруга, построенного на определенной стороне правильного или неправильного многоугольника. Без дополнительных построений в этом случае не обойтись. Необходимо разделить заданную фигуру на другие, параметры которых вам заданы или вы легко можете их найти. После этого вычислите нужную сторону, которая чаще всего и представляет собой диаметр круга или полукруга.

Источники:

• формула как найти площадь

Эта линия совершенна — говорит нам рассудок, когда мы видим перед собою окружность. Действительно, благодаря ее свойству — все точки ее равноудалены от центра — она кажется такой соразмерной и изящной. Но эта соразмерность таит в себе «подводный камень» — как вычислить ее длину?

Инструкция

Как известно из школьных учебников, окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое ее радиусом. Измерение ее длины, по сравнению с измерением длины отрезка прямой или периметра геометрических фигур, является более сложной операций в связи с тем, что окружность не состоит, в силу определения, из набора отрезков прямой, а является кривой, каждая точка которой равно удалена от центра окружности.

Для нахождения длины окружности необходимы две величины — радиус (отрезок прямой, соединяющий центр окружности и точку на окружности) и математическая константа ? (пи), понимаемая как длина окружности с диаметром, равным единице (диаметр — отрезок прямой, соединяющий две точки окружности (хорда) и проходящий через ее центр). Измерение радиуса, если он заранее неизвестен, можно произвести при помощи линейки: максимальное расстояние между двумя точками окружности является ее диаметром. Радиус, в свою очередь — это половина диаметра. Число ? — постоянное, примерно равное 3.1415926535.

Зная радиус окружности и число ?, можно рассчитать длину окружности, равную произведению указанной константы и радиуса, умноженного на 2 (см. формулу на рис. 1, где C — длина окружности, R — радиус).

Видео по теме

Окружность — это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой совокупность точек, которые удалены от центра окружности на равное расстояние, образуя при этом замкнутую фигуру. Посчитать радиус окружности достаточно легко, обладая лишь некоторыми данными.

Вам понадобится

• В зависимости от случая, необходимо знать диаметр окружности, длину окружности, значение числа π («пи»), которое является постоянным: π = 3.14

Инструкция

Пусть в данном случае дана окружность, у которой известна длина окружности (L).
Тогда найти радиус окружности можно будет, воспользовавшись формулой:
R = L/2?.

Известно, что длина окружности L = 2?R = ?D, где D — диаметр окружности.
Тогда радиус окружности R можно найти следующим образом:
R = ?D/2? = D/2. Таким образом, можно сделать вывод, что длина радиуса равна половине длине диаметра окружности.

Если дана координатная плоскость, а центр окружности расположен в начале координат, радиус окружности можно посчитать, зная уравнение окружности:
R?=x?+y?

Обратите внимание

Диаметр окружности — это отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий 2 точки окружности между собой.

Окружностью называется место точек плоскостей, одинаково удаленных от единой заданной точки, которая является центром, на определенное расстояние, именуемое радиусом. Также существует такое понятие, как диаметр окружности. Для того чтобы его найти, воспользуйтесь инструкцией.

Вам понадобится

Инструкция

Увеличьте радиус в два раза D=2R. Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности, также диаметр имеет максимальную длину среди всех остальных возможных в окружности хорд. В таком случае можно сделать вывод, что он равен сумме двух радиусов одной и той же представленной окружности. Этот способ удачно применяется только в том случае, если в задаче есть данные по радиусу. В противном случае выберите что-то иное для решения поставленной задачи. Поделите длину окружности на число Пи. Обычно в математике это число используется как обозначение определенной иррациональной величины. Число Пи приравнивается к 3,14. Но это относительное значение, которое применяют для удобства при несложных вычислениях. В итоге получается такая, совсем несложная формула: D=L/π. При наличии данных в условии о длине окружности её можно применить и легко найти диаметр заданной фигуры. Также, слегка изменив данную формулу, вы можете найти радиус. Достаточно будет лишь увеличить число Пи в два раза и также поделить результат на длину окружности. Простая и достаточно универсальная формула радиуса будет иметь такой вид: D=L/2π. В этом случае опять же прослеживается пропорциональная связь между диаметром и радиусом. Главное, при их нахождении не перепутать, в каком из случаев нужно перемножать число Пи с двойкой, а в каком из них, например, не следует. Учтите тот, факт, что диаметр всегда относится к радиусу как 2 к 1. Соответственно здесь же могут частично применяться формулы для нахождения радиуса окружности. Например, зная площадь окружности, можно поделить её на число Пи, из результата извлечь корень, а далее полученное число увеличить в два раза. Действия в таком случае будут иметь вид, подобный этому: 2SQR(S/π). Такой вариант вычислений также удобен в том случае, если вам уже известна площадь.

Видео по теме

Зная лишь длину диаметра окружности, можно вычислить не только площадь круга, но и площади некоторых других геометрических фигур. Это вытекает из того, что диаметры вписанных или описанных вокруг таких фигур окружностей совпадают с длинами их сторон либо диагоналей.

Инструкция

Если надо найти площадь круга (S) по известной длине его диаметра (D), умножайте число пи (π) на возведенную в квадрат длину диаметра, а результат делите на четыре: S=π ²*D²/4. Например, если диаметр круга равен двадцати сантиметрам, то его площадь можно вычислить так: 3,14² * 20² / 4 = 9,86 * 400 / 4 = 986 квадратных сантиметров. Если надо найти площадь квадрата (S) по диаметру описанной вокруг него окружности (D), возводите длину диаметра в квадрат, а результат разделите пополам: S=D²/2. Например, если диаметр описанной окружности равен двадцати сантиметрам, то площадь квадрата можно вычислить так: 20² / 2 = 400 / 2 = 200 квадратных сантиметров.

Если площадь квадрата (S) нужно найти по диаметру вписанной в него окружности (D), достаточно возвести длину диаметра в квадрат: S=D². Например, если диаметр вписанной окружности равен двадцати сантиметрам, то площадь квадрата можно вычислить так: 20² = 400 квадратных сантиметров.

Если надо найти площадь прямоугольного треугольника (S) по известным диаметрам вписанной (d) и описанной (D) вокруг него окружностей, то возводите длину диаметра вписанной окружности в квадрат и делите на четыре, а к результату прибавляйте половину произведения длин диаметров вписанной и описанной окружностей: S=d²/4 + D*d/2. Например, если диаметр описанной окружности равен двадцати сантиметрам, а вписанной – десяти сантиметрам, то площадь треугольника можно вычислить так: 10² / 4 + 20*10/2 = 25 + 100 = 125 квадратных сантиметров.

Используйте встроенный в поисковую систему Google калькулятор для проведения необходимых расчетов. Например, чтобы рассчитать с помощью этого поисковика площадь прямоугольного треугольника по данным примера из четвертого шага, надо ввести такой поисковый запрос: «10^2 / 4 + 20*10/2», а затем нажать клавишу Enter.

Источники:

• как найти площадь окружности по диаметру

Круг – это несложная геометрическая фигура, не имеющая углов. Если измерить расстояние от центра круга до любой его крайней точки, оно всегда будет равно радиусу. В задачах, как правило, требуется вычислить диаметр или найти площадь круга. Эти показатели легко высчитать, если радиус круга известен.

Вам понадобится

• — калькулятор.

Инструкция

Для определения площади круга сначала его радиус возведите в квадрат, то есть во вторую степень. А затем результат умножьте на число π (пи). Если в задаче вместо радиуса дан диаметр фигуры, можете предварительно разделить его на 2. Теперь полученный при делении радиус фигуры используйте для удобства вычисления площади круга. Для нахождения значения квадрата радиуса круга воспользуйтесь калькулятором. Для начала введите величину радиуса круга, а затем найдите специальную кнопку с обозначением х2. Этот символ на кнопке показывает, что число будет возведено во вторую степень. Если у вас возникли сложности, умножьте радиус круга сам на себя. Чтобы найти площадь круга, можете использовать и диаметр. Радиус составляет ½ от диаметра, а значит его можно представить в виде дроби, где в числителе будет величина диаметра, а в знаменателе — 2. При вычислении квадрата такой дроби на калькуляторе возведите значение диаметра круга во вторую степень, а затем разделите полученное число на 4.

Значение квадрата радиуса круга умножьте на коэффициент π (пи). Чтобы найти площадь круга, можете использовать более точное или округленное его значение. Для этого наберите соответствующее число (3,1415926535897932384626433832795 или 3,14). Часто есть возможность использовать специальную кнопку, обозначенную символом π (пи), предусмотренную на многих моделях калькуляторов.

Площадь круга измеряйте в квадратных величинах. Если радиус был дан в сантиметрах (см), то площадь будет выражаться в квадратных сантиметрах (см2). При вычислении радиуса из диаметра круга единица измерения не меняется. Например, если диаметр был дан в дюймах, то и радиус будет измеряться в дюймах, а искомая площадь будет получена в дюймах квадратных. В условии задачи не всегда сразу указан радиус. Иногда изначально дан диаметр круга. Если не заметить это и использовать диаметр для вычислений вместо радиуса, то неизбежны ошибки в вычислениях. Чтобы найти радиус, величину диаметра поделите на 2.

Полезный совет

Для расчета площади круга используйте число π (пи), приблизительно равное 3,1415926535897932384626433832795. Если большая точность не требуется, можете округлить этот коэффициент до 3,14.

Длиной окружности называют протяженность границы круга — простейшей плоской геометрической фигуры. По определению каждая точка этой границы находится на одинаковом расстоянии от центра, поэтому при заданной длине окружности эту границу можно найти только одним единственным способом. Из этого вытекает, что одной лишь длины окружности достаточно, чтобы определить площадь плоскости, заключенной внутри границ круга.

Инструкция

Исходите из формулы, которая определяет площадь круга (S) как половину от произведения длины окружности (L) на ее радиус (r): S=½*L*r. Известное всем со школы число Пи (π) определяет постоянное соотношение между периметром круга (длиной окружности) и ее диаметром (d) — хордой, проходящей через центр: L/d=π. Это соотношение позволяет выразить через длину окружности и неизвестный по условиям радиус: r=L/(2*π).

Подставьте выражение радиуса через длину окружности в формулу нахождения площади круга через его радиус. В результате выяснится, что для вычисления площади круга длину окружности надо возвести в квадрат и разделить на учетверенное число Пи: S=L*(L/(2*π))/2=¼*L²/π.

Используйте встроенные в некоторые поисковые системы калькуляторы, чтобы найти конкретное значение площади по выведенной в предыдущем шаге формуле. Например, если известная длина окружности равна 50 см, то перейдите на сайт Google и введите в поле поискового запроса 50^2/(4*пи). Поисковик произведет указанные математические операции и покажет результат: 198,943679 см².

Запустите программный калькулятор, встроенный в операционную систему вашего компьютера, если доступ к интернету отсутствует. Его использование требует немного больше операций для вычисления площади круга по длине окружности. Запустить это приложение можно через главное меню «Пуск» или воспользовавшись стандартным диалогом запуска программ. Этот диалог открывается одновременным нажатием клавиш win + r, а для вызова калькулятора надо набрать в нем команду calc и щелкнуть по кнопке OK.

Интерфейс калькулятора имитирует обычный гаджет, поэтому сложностей с вводом данных и вычислениями по формуле из второго шага быть не должно.

Источники:

• как найти длину границ

Круг – это плоская геометрическая фигура. Ее основными числовыми характеристиками являются площадь, диаметр (радиус) и периметр (длина ограничивающей его окружности). В зависимости от конкретной ситуации, под длиной круга может подразумеваться или длина окружности, или его диаметр.

Вам понадобится

• — калькулятор;
• — линейка;
• — циркуль;
• — веревка.

Инструкция

Если требуется определить длину круга, то в первую очередь уточните: что конкретно требуется рассчитать или измерить. Проблема в том, что строго говоря, такого понятия как «длина круга» в геометрии не существует. Однако, на практике, слово «круг» часто применяют вместо слова «окружность» — в этом случае определите длину ограничивающей круг окружности.

С другой стороны, на практике часто используется такое понятие, как «габариты» предмета, или длина и ширина «описанного» прямоугольника. Так, например, современные автомобили имеют далеко не прямоугольную форму. Тем не менее, «длина автомобиля» — вполне привычное понятие. Таким образом, под длиной круга могут подразумеваться и его габаритные размеры – в этом случае измерьте или рассчитайте его диаметр.

Чтобы измерить длину окружности материального круга (колеса, бочки, торца бревна), возьмите кусок веревки и намотайте ее на этот круг в один оборот. Отметьте на веревке начало и конец измерений (можно завязать узелки). После чего, измерьте длину этого куска веревки линейкой или строительной рулеткой. Полученное число и будет длиной окружности (периметром круга).

Если имеется возможность прокатить круг, то прокатите его на расстояние полного оборота. Затем измерьте линейкой длину пройденного пути. Веревка в данном случае не понадобится, однако не забудьте отметить точки начала и конца движения. Расстояние между ними и будет длиной окружности.

Чтобы измерить длину окружности очень маленького круга (например, гвоздя), то для большей точности обмотайте его веревкой (ниткой) несколько раз или прокатите на несколько оборотов. После чего, разделите длину веревки или пройденного пути на количество оборотов.

Если измерить периметр круга (веревкой или качением) проблематично, то измерьте его диаметр. Здесь вам также пригодится веревка. Закрепите один конец веревки на границе круга и найдите на нем самую удаленную точку. Затем измерьте длину веревки и умножьте ее на число «пи» (3,14). Это и будет периметр (длина окружности) круга. Если же требуется определить «длину и ширину круга», то в качестве ответа предложите величину его диаметра.

Окружность является линией, а линия еще в «Началах» Евклида определялась как «длина без толщины». Поэтому определить, что такое площадь окружности, теоретически невозможно. Однако, на практике, понятие «толщина линии» встречается в любом графическом реакторе. А чтобы начертить эту самую окружность, потребуется определенное количество красителя, которое напрямую зависит от ее площади.

Вам понадобится

• — линейка;
• — циркуль;
• — калькулятор.

Инструкция

Если требуется определить площадь окружности, то обязательно уточните: что подразумевается под площадью окружности и кому это нужно. Узнайте также радиус окружности, а если под окружностью имеется ввиду кольцо, то определите его внутренний и внешний радиусы. Если определить площадь окружности требует учитель, то заявите ему, что окружность является линией, а понятие площади для линии не определено. При этом не используйте такие распространенные утверждения как «площадь (толщина) окружности равна нулю» или «площадь окружности бесконечно мала». Если площадь окружности требует определить не очень грамотный человек, то подразумевается, скорее всего, площадь ограниченного этой окружностью круга. В этом случае, воспользуйтесь формулой для нахождения площади круга:S = ?r?, где ? – число «пи» (примерное значение 3,14),r – радиус окружности (круга),S – площадь круга.

Вполне реальная площадь имеется у нарисованных окружностей. Чтобы посчитать площадь начерченной окружности (например, чтобы оценить – сколько понадобится на ее распечатку порошка или краски), умножьте длину окружности на толщину линии:S = С * T = 2?r * Т,где:Т – толщина окружности,S – площадь окружности (линии).

Если рассматривать окружность, имеющую толщину, как геометрическую фигуру, то правильнее было бы назвать такую окружность кольцом. Для определения площади кольца уточните его внутренний и внешний диаметр и воспользуйтесь следующей формулой:S = ?R? — ?r? = ?(R? — r?),где:r – внутренний радиус кольца,R –. внешний радиус кольца

Если заданы только радиус окружности и толщина линии, которой она проведена, то уточните: какой радиус – внешний или внутренний.Если задан внутренний радиус (r), то наружный радиус будет равен внутреннему плюс толщина окружности (R = r + T).Если задан наружный радиус (R), то внутренний радиус будет равен наружному минус толщина окружности (r = R — T).Если не указано, какой радиус подразумевается, то это, как правило, «средний радиус». В этом случае внутренний и внешний радиусы для подстановки в вышеприведенную формулу будут равняться: r = Rc – T/2 и R = Rc + T/2, где Rc – величина среднего радиуса.

Задачи на вычисление площади круга часто встречаются в школьном курсе геометрии. Чтобы найти площадь круга, необходимо знать длину диаметра или радиуса окружности, в которую он заключен.

Вам понадобится

• — длина диаметра окружности.

Инструкция

Окружность — фигура на плоскости, состоящая из множества точек, удалённых на одинаковое расстояние от другой точки, называемой центром. Круг — плоская геометрическая фигура, представляет собой множество точек, заключённых в окружность, которая является границей круга. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Радиус — это отрезок, соединяющий точку на окружности и с её центром. π — число «пи», математическая константа, постоянная величина. Она показывает отношение длины окружности к длине её диаметра. Вычислить точное значение числа π невозможно. В геометрии пользуются приблизительным значением этого числа: π ≈ 3,14 Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число и вычисляется по формуле: S=πR^2, где S — площадь круга, R — длина радиуса окружности.

Из определения радиуса следует, что он равен половине диаметра. Следовательно, формула приобретает вид: S=π(D/2)^2, где D — длина диаметра окружности. Подставьте в формулу значение диаметра, вычислите площадь круга.

Площадь круга измеряется в единицах площади — мм2, см2, м2 и т.п. В каких единицах выражается полученная вами площадь круга, зависит от того, в каких единицах был дан диаметр окружности.

Если вам необходимо вычислить площадь кольца, воспользуйтесь формулой: S=π(R-r)^2, где R, r — радиусы внешней и внутренней окружностей кольца соответственно.

Полезный совет

Существует Международный день числа «пи», который отмечается 14 марта. Точное время наступления торжественной даты — 1 час 59 минут 26 секунд, согласно цифрам числа — 3,1415926…

www.kakprosto.ru

Как найти площадь круга по формулам через диаметр, радиус, длину окружности, расчет площади сектора круга

Как найти площадь круга?

Для того, чтобы рассчитать площадь круга, необходимо знать следующие данные:

• Длину диаметра – отрезка, проходящего через центр круга и соединяющего две противоположные точки окружности, либо радиуса – отрезка, одна из крайних точек которого находится в центре круга, а вторая – на дуге окружности. Таким образом, диаметр равен длине радиуса, умноженной на два.
• Значение числа π. Эта величина представляет собой константу – иррациональную дробь, не имеющую конца. При этом она не является периодической. Данное число выражает соотношение длины окружности к ее радиусу. Для вычисления площади круга в заданиях школьного курса используется значение π, приведенное с точностью до сотых – 3,14.

Формулы для нахождения площади круга, его сегмента или сектора

В зависимости от специфики условий геометрической задачи применяются две формулы нахождения площади круга:

1. Если известен радиус r, то расчет производится следующим образом: S= π*r²
2. Площадь круга через диаметр d вычисляется другим способом: S = π*d²/ 4

Чтобы определить, как найти площадь круга проще всего, нужно тщательно проанализировать условия задания.

Школьный курс геометрии также включает в себя задачи на расчет площади сегментов или секторов, для которых применяются специальные формулы:

1. Сектор представляет собой часть круга, ограниченную окружностью и углом с вершиной, расположенной  в центре. Площадь сектора рассчитывается по формуле: S = (π*r²/360)*А;
   • r – радиус;
   • А – величина угла в градусах.
   • r – радиус;
   • р – длина дуги.

Также существует второй вариант S = 0,5*р*r;

2. Сегмент – представляет собой часть, ограниченную сечением круга (хордой)  и окружностью. Его площадь можно найти по формуле S=(π*r²/360)*А± S_∆;

• r – радиус;
• А – величина угла в градусах;
• S_∆ – площадь треугольника, сторонами которого являются радиусы и хорда круга; при этом одна из его вершин располагается в центре круга, а две других – в точках соприкосновения дуги окружности с хордой. Важный момент – знак “минус” ставится в том случае, если значение А меньше 180 градусов, а знак “плюс” – если больше 180 градусов.

Чтобы упростить решение геометрической задачи, можно вычислить площадь круга он-лайн. Специальная программа быстро и безошибочно сделает расчет за пару секунд. Как рассчитать он-лайн площадь фигур? Для этого необходимо известные ввести исходные данные: радиус, диаметр, величину угла.

Структура раздела Справочные материалы:

beta-ege.ru

Ответы@Mail.Ru: как найти площадь окружности?

Круг — это часть плоскости, лежащая внутри окружности. Соответственно, площадь круга — это площадь ограниченная окружностью. Круг имеет замечательное свойство, это фигура с самым большим отношением площади к периметру. Иными словами, отношение площади круга к длине ограничивающей его окружности, самое большое. 1. Площадь круга S = пи * R2 Где S — площадь круга, R — радиус круга 2. Площадь круга вписанного в квадрат. S = пи * (a / 2)2 Где a/2 — радиус круга, a — длина стороны квадрата. 3. Площадь круга описанного около квадрата. S = пи * 0.5*a2 Где a — длина стороны квадрата. В этом случае радиус круга равен 0.5*a*&#8730;&#8254;2, используя формулу 1, получаем формулу 3. 4. Площадь круга вписанного в треугольник. Используя формулу радиуса вписанной окружности R = (p-a)*tg(A/2) Где a, A — сторона и противолежащий угол соответственно, p — полупериметр. Можем записать формулу площади круга вписанного в треугольник: S = пи * ((p-a)*tg(A/2))&#178; 5. Площадь круга описанного около треугольника. Используя формулу радиуса описанной окружности R = a/(2*sin(A)) Где a, A — сторона и противолежащий угол соответственно. Можем записать формулу площади круга описанного около треугольника: S = пи * (a/(2*sin(A)))&#178; Выбирай формулу которая соответствует твоей задаче и вперёд. И вт ещё что правилино говорить площадь круга, а окружность это периметр. Удачи .Не болей.

S = число «пи» (оно равно 3,14) умножить на радиус круга в квадрате

S=пи умножить на радиус в квадрате

окружность — линия, у нее нет площади.

Круг — это часть плоскости, лежащая внутри окружности. Соответственно, площадь круга — это площадь ограниченная окружностью. Круг имеет замечательное свойство, это фигура с самым большим отношением площади к периметру. Иными словами, отношение площади круга к длине ограничивающей его окружности, самое большое. 1. Площадь круга S = пи * R2 Где S — площадь круга, R — радиус круга 2. Площадь круга вписанного в квадрат. S = пи * (a / 2)2 Где a/2 — радиус круга, a — длина стороны квадрата. 3. Площадь круга описанного около квадрата. S = пи * 0.5*a2 Где a — длина стороны квадрата. В этом случае радиус круга равен 0.5*a*√‾2, используя формулу 1, получаем формулу 3. 4. Площадь круга вписанного в треугольник. Используя формулу радиуса вписанной окружности R = (p-a)*tg(A/2) Где a, A — сторона и противолежащий угол соответственно, p — полупериметр. Можем записать формулу площади круга вписанного в треугольник: S = пи * ((p-a)*tg(A/2))² 5. Площадь круга описанного около треугольника. Используя формулу радиуса описанной окружности R = a/(2*sin(A)) Где a, A — сторона и противолежащий угол соответственно. Можем записать формулу площади круга описанного около треугольника: S = пи * (a/(2*sin(A)))² Выбирай формулу которая соответствует твоей задаче и вперёд. И вт ещё что правилино говорить площадь круга, а окружность это периметр. Удачи .Не болей.

touch.otvet.mail.ru

Деление полиномов

Введение

Общий вид одночлена

f(x)=axⁿ, где:

—a — коэффициент, который может принадлежать любому из множеств N, Z, Q, R, C

—x — переменная

—n показатель степени, который принадлежит множеству N

Два одночлена подобны, если они имеют одну и ту же переменную и одинаковый показатель степени.

Примеры: 3x² и -5x²; ½x⁴ и 2√3x⁴

Сумма одночленов, не подобных друг другу, называется многочленом (или полиномом). В этом случае одночлены являются слагаемыми полинома. Полином, содержащий два слагаемых, называется биномом (или двучленом).
Пример: p(x)=3x²-5; h(x)=5x-1
Полином, содержащий три слагаемых, называется трехчленом.

Общий вид многочлена с одной переменной
p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x¹ +a₀
где:

• a_n,a_n-1,a_n-2,…,a₁,a₀ — коэффициенты полинома. Они могут быть натуральными, целыми, рациональными, действительными или комплексными числами.
• a_n — коэффициент при слагаемом с наибольшим показателем степени (ведущий коэффициент)
• a₀ — коэффициент при слагаемом с наименьшим показателем степени (свободный член, или константа)
• n — степень полинома

Пример 1
p(x)=5x³-2x²+7x-1

• полином третьей степени с коэффициентами 5, -2, 7 и -1
• 5 — ведущий коэффициент
• -1 — свободный член
• x — переменная

Пример 2
h(x)=-2√3x⁴+½x-4

• полином четвертой степени с коэффициентами -2√3,½ и -4
• -2√3 — ведущий коэффициент
• -4 — свободный член
• x — переменная

Деление полиномов

p(x) и q(x) — два полинома:
p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x¹ +a₀
q(x)=a_px^p+a_p-1x^p-1+…+a₁x¹ +a₀

Чтобы найти частное и остаток от деления p(x) на q(x), нужно использовать следующий алгоритм:

1. Степень p(x) должна быть больше либо равной степени q(x).
2. Мы должны записать оба полинома в порядке понижения степени. Если в p(x) нет члена с какой-либо степенью, его надо дописать с коэффициентом 0.
3. Ведущий член p(x) делится на ведущий член q(x), и результат записывается под разделительной линией (в знаменателе).
4. Умножаем полученный результат на все члены q(x) и записываем результат с противоположными знаками под членами p(x) с соответствующими степенями.
5. Складываем почленно слагаемые с одинаковыми степенями.
6. К результату приписываем оставшиеся члены p(x).
7. Делим ведущий член полученного полинома на первый член полинома q(x) и повторяем шаги 3-6.
8. Эта процедура повторяется до тех пор, пока вновь полученный полином не будет иметь меньшую степень, чем q(x). Этот полином будет являться остатком от деления.
9. Полином, записанный под разделительной линией, является результатом деления (частным).

Пример 1
Шаг 1 и 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3)    x⁵-3x⁴+2x³+7x²-3x+5

4)    x⁵-3x⁴+2x³+7x²-3x+5

      -x⁵+x⁴-x³

5)    x⁵-3x⁴+2x³+7x²-3x+5

      -x⁵+x⁴-x³

       /  -2x⁴-x³

6)    x⁵-3x⁴+2x³+7x²-3x+5

      -x⁵+x⁴-x³

       /  -2x⁴-x³+7x²-3x+5

7)    x⁵-3x⁴+2x³+7x²-3x+5

      -x

www.math10.com

Деление многочленов «столбиком» («уголком»).

Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$. Например, выражение $4x^{14}+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_{14}(x)=4x^{14}+87x^2+4x-11$.

Коэффициент $a_0$ называют старшим коэффициентом многочлена $P_n(x)$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старший коэффициент равен $4$ (число перед $x^{14}$). Число $a_n$ называют свободным членом многочлена $P_n(x)$. Например, для $4x^{14}+87x^2+4x-11$ свободный член равен $(-11)$. Теперь обратимся к теореме, на которой, собственно говоря, и будет основано изложение материала на данной странице.

Для любых двух многочленов $P_n(x)$ и $G_m(x)$ можно найти такие многочлены $Q_p(x)$ и $R_k(x)$, что будет выполнено равенство

\begin{equation} P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end{equation}

причём $k < m$.

Словосочетание «разделить многочлен $P_n(x)$ на многочлен $G_m(x)$» означает «представить многочлен $P_n(x)$ в форме (1)». Будем называть многочлен $P_n(x)$ – делимым, многочлен $G_m(x)$ – делителем, многочлен $Q_p(x)$ – частным от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$, а многочлен $R_k(x)$ – остачей от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$. Например, для многочленов $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ и $G_4(x)=3x^4+4x^2+2$ можно получить такое равенство:

$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Здесь многочлен $P_6(x)$ является делимым, многочлен $G_4(x)$ – делителем, многочлен $Q_2(x)=4x^2+x$ – частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$, а многочлен $R_3(x)=2x^3+1$ – остатком от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Замечу, что степень остатка (т.е. 3) меньше степени делителя, (т.е. 4), посему условие равенства (1) соблюдено.

Если $R_k(x)\equiv 0$, то говорят, что многочлен $P_n(x)$ делится на многочлен $G_m(x)$ без остатка. Например, многочлен $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ делится на многочлен $3x^4+15$ без остатка, так как выполнено равенство:

$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Здесь многочлен $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ является делимым; многочлен $G_4(x)=3x^4+15$ – делителем; а многочлен $Q_2(x)=7x^2+2x$ – частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Остаток равен нулю.

Чтобы разделить многочлен на многочлен часто применяют деление «столбиком» или, как его ещё называют, «уголком». Реализацию этого метода разберём на примерах.

Перед тем, как перейти к примерам, я введу ещё один термин. Он не является общепринятым, и использовать его мы будем исключительно для удобства изложения материала. До конца этой страницы будем называть старшим элементом многочлена $P_n(x)$ выражение $a_{0}x^{n}$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старшим элементом будет $4x^{14}$.

Пример №1

Разделить $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ на $5x^2-x+2$, используя деление «столбиком».

Решение

Итак, мы имеем два многочлена, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ и $G_2(x)=5x^2-x+2$. Степень первого равна $5$, а степень второго равна $2$. Многочлен $P_5(x)$ – делимое, а многочлен $G_2(x)$ – делитель. Наша задача состоит в нахождении частного и остатка. Поставленную задачу будем решать пошагово. Будем использовать ту же запись, что и для деления чисел:

Первый шаг

Разделим старший элемент многочлена $P_5(x)$ (т.е. $10x^5$) на старший элемент многочлена $Q_2(x)$ (т.е. $5x^2$):

$$ \frac{10x^5}{5x^2}=2x^{5-2}=2x^3. $$

Полученное выражение $2x^3$ – это первый элемент частного:

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $2x^3$, получив при этом:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $10x^5-2x^4+4x^3$:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 $$

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом первый шаг заканчивается. Тот результат, что мы получили, можно записать в развёрнутой форме:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 $$

Так как степень многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (т.е. 4) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то процесс деления надобно продолжить. Перейдём ко второму шагу.

Второй шаг

Теперь уже будем работать с многочленами $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на первом шаге, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $5x^4$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):

$$ \frac{5x^4}{5x^2}=x^{4-2}=x^2. $$

Полученное выражение $x^2$ – это второй элемент частного. Прибавим к частному $x^2$

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $x^2$, получив при этом:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $5x^4-x^3+2x^2$:

$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом второй шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Так как степень многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ (т.е. 3) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к третьему шагу.

Третий шаг

Теперь уже будем работать с многочленами $-15x^3+23x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $-15x^3$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):

$$ \frac{-15x^3}{5x^2}=-3x^{2-1}=-3x^1=-3x. $$

Полученное выражение $(-3x)$ – это третий элемент частного. Допишем к частному $-3x$

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $(-3x)$, получив при этом:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ многочлен $-15x^3+3x^2-6x$:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом третий шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x+5 $$

Так как степень многочлена $20x^2+4x+5$ (т.е. 2) равна степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к четвёртому шагу.

Четвёртый шаг

Теперь уже будем работать с многочленами $20x^2+4x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $20x^2$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):

$$ \frac{20x^2}{5x^2}=4x^{2-2}=4x^0=4. $$

Полученное число $4$ – это четвёртый элемент частного. Допишем к частному $4$

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $4$, получив при этом:

$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $20x^2+4x+5$ многочлен $20x^2-4x+8$:

$$ 20x^2+4x+5-(20x^2-4x+8)=8x-3 $$

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом четвёртый шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x+4)+8x-3 $$

Так как степень многочлена $8x-3$ (т.е. 1) меньше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то процесс деления завершён. Частным от деления многочлена $P_6(x)$ на многочлен $G_2(x)$ есть многочлен $Q_3(x)=2x^3+x^2-3x+4$. Остаток от деления $P_6(x)$ на $G_2(x)$ – это многочлен $R_1(x)=8x-3$. По сути, мы представили исходный многочлен $P_6(x)$ в форме (1):

$$ P_6(x)=G_2(x)\cdot Q_3(x)+R_1(x) $$

Ответ: частное от деления – многочлен $2x^3+x^2-3x+4$, остаток – многочлен $8x-3$.

Пример №2

Разделить $4x^3+2x-11$ на $x+5$, используя деление «столбиком».

Решение

Здесь можно использовать схему Горнера (и это было бы несколько менее громоздко). Однако для сугубо демонстрационных целей используем деление «столбиком». Подробные пояснения есть в примере №1, посему здесь укажем только ход решения.

Результат можно записать в такой форме:

$$ 4x^3+2x-11=(x+5)\cdot(4x^2-20x+102)-521 $$

Следовательно, частным от деления $4x^3+2x-11$ на $x+5$ является многочлен $4x^2-20x+102$, а остаток есть число $(-521)$ (по сути, это многочлен нулевого порядка).

Ответ: частное – многочлен $4x^2-20x+102$, остаток – число $-521$.

Пример №3

Разделить $7x^3+9x^2-5x+9$ на $5x^7+10x^6-17x^2+14x-7$.

Решение

Степень делителя (т.е. многочлена $5x^7+10x^6-17x^2+14x-7$) равна $7$. Степень делимого (многочлена $7x^3+9x^2-5x+9$) равна 3. В этом ситуации, когда степень делителя больше степени делимого ($7 > 3$) разложение вида (1) возможно лишь в такой форме:

$$ 7x^3+9x^2-5x+9=0\cdot(5x^7+10x^6-17x^2+14x-7)+7x^3+9x^2-5x+9 $$

Ответ: частное есть 0, остаток – многочлен $7x^3+9x^2-5x+9$.

math1.ru

Деление многочленов «уголком»

Сегодня учимся делить многочлены “уголком”, так, как это делают с обычными числами. Рассмотрим несколько примеров подробно. Например, разделим многочлен на двучлен  (Здесь деление можно произвести без остатка. Этот вопрос – можно или нельзя поделить данный многочлен на предлагаемый двучлен обсуждается в статье “Схема Горнера”). Итак, за работу!

Выписываем наш многочлен и рядом, “на полочке” – двучлен, на который будем делить – все как с числами:

 

Теперь сравниваем старшую степень многочлена и старшую степень делителя, и определяем, во сколько раз первая больше второй (по сути, делим на ):

Результат деления записываем под полочку – это первый “кусочек” ответа:

Теперь нам предстоит умножить полученный одночлен  на двучлен , который стоит на полочке (на наш делитель). Умножаем почленно, сначала на первое слагаемое:

А теперь на второе:

Результаты умножения пишем, как показано, под соответствующие степени делимого многочлена – кубы под кубы, квадраты – под квадраты и т. п.  Теперь производим вычитание:

И сносим вниз следующий одночлен ():

Переходим на новый уровень и продолжаем в том же духе. Опять сравниваем старшие степени и результат деления на  записываем под полочку, получилось (не забудем про минус!):

И опять умножаем полученный одночлен () на оба слагаемых делителя. Сначала на первое слагаемое:

Теперь на второе:

 

И снова вычитаем, и к полученному результату сносим вниз новый одночлен, который собираемся подвергнуть казни операции деления:

 

И вот мы опять на новом уровне! Но… здесь все надо начинать сызнова. Сравниваем старшие степени, делим старшую степень делимого на старшую степень делителя, результат пишем под полку:

 

Умножаем почленно, сначала  на , потом  на :

 

Вычитаем, сносим последнее слагаемое, сравниваем старшие степени, производим деление  на , результат (-15) – пишем под полку.

Ну, чем кончилось данное приключение, понятно:

Деление закончилось без остатка – то есть исходный многочлен поделился на  нацело. Ответ: . Заметим, что исходный многочлен был четвертой степени, деление производили на двучлен первой степени – получили в ответе многочлен третьей степени.

Попробуем еще раз?

Разделим многочлен на .

Выполняем те же шаги: сравниваем старшие степени делимого и делителя. Производим деление:

Полученное частное записываем под полочку. Умножаем его почленно на слагаемые делителя: на , затем на  , и наконец на  :

 

Выполняем вычитание, “спускаем” вниз очередное слагаемое делимого. После этого все начинаем сначала: сравниваем старшие члены делимого и делителя…:

 

Дальше – можно уже без комментариев:

 

И наконец:

 

Ответ: . Заметим, что исходный многочлен был третьей степени, деление производили на квадратный трехчлен – получили в ответе двучлен первой степени. Вообще степень делимого многочлена понижается всегда на степень делителя.

Пример 3:

 

 

Во всех примерах получалось разделить многочлен на многочлен без остатка, однако так бывает не всегда. Вот, например, случай, когда остаток от деления ненулевой:

 

Деление необходимо продолжать, пока степень делимого не станет равной, а лучше – меньшей, чем у делителя.

Задача:

при делении многочлена на двучлен  образовался остаток 42. Найти результат деления.

Решение: рассмотрим случай, когда остается остаток от деления. Если  разделить на  и при этом остается остаток N, то это можно записать так: . Тогда V можно найти так: . Определим ту часть многочлена, которая полностью делится на  (без остатка):

 

Теперь произведем деление:

Ответ:  .

Еще задача:

при делении многочлена на двучлен  образовался остаток . Найти результат деления.

Решение:  V можно найти так: . Определим ту часть многочлена, которая полностью делится на  (без остатка):

 

Теперь можно делить:

 

Ответ:  .

Достоинства способа: делить можно что угодно на что угодно, лишь бы степень делимого не была меньше, чем степень делителя. Делить можно на двучлен, на трехчлен и т.д. Делить можно даже в том случае, если остается остаток.

easy-physic.ru

Деление многочлена на многочлен «уголком»

В этой статье рассмотрим один из способов разложения на множители многочленов высших степеней. С его помощью вы сможете решать уравнения и неравенства вида:

\(x^3+6x^2+11x+6=0\)
\(x^3-2x-4=0\)
\(x^3+2x^2-5x-6<0\)
\(x^4-3x^3+6x-4≥0\)

Пошаговый алгоритм разложения на множители с помощью деления «уголком»:

0) Запишите многочлен в стандартном виде, то есть так, чтоб степени одночленов стояли по убыванию.

Пример:
\(6x^2+6+x^3+11x\) записываем как \(x^3+6x^2+11x+6\)

1) Подбором найдите один из корней многочлена.

Для этого вместо \(x\) подставьте по очереди числа: \(±1,±2,±3,±4,±5\) и т.д. Число, которое сделает многочлен нулем и будет его корнем.

Пример:
\(x^3+6x^2+11x+6\)
Подставим \(1\). Имеем: \(1^3+6 \cdot 1^2+11\cdot 1+6=24\) — не равно нулю. Ищем дальше.
Подставим \(-1\). Получим: \((-1)^3+6\cdot (-1)^2+11\cdot (-1)+6=-1+6-11+6=0\) – значит \(-1\) корень нашего многочлена.

Матхак! Пробуйте сначала числа, на которые свободный член делиться нацело. В данном случае свободный член \(6\), поэтому в первую очередь нужно пробовать числа: \(±1,±2,±3\) и \(±6\).

2) Поделите исходный многочлен на \(x-x_0\), где \(x_0\) – найденный корень. Процесс деления многочлена на многочлен сильно похож на обычное деление в столбик — поэтому и называется деление «уголком».

       а) Запишите многочлены как числа при делении столбиком:

       б) Подберите такой одночлен, чтобы при умножении его на \(x\), получалось первое слагаемое исходного многочлена, то есть в нашем случае \(x^3\). Очевидно, что таким одночленом будет \(x^2\).

        в) Умножьте этот одночлен на делитель и запишите результат под исходным многочленом. Таким образом, мы умножаем \(x^2\) на \(x+1\) и получаем \(x^3+x^2\).

        г) Теперь точно так же, как в случае деления натуральных чисел, поставьте знак минус, проведите горизонтальную черту и сделайте вычитание.

        д) Повторите шаги б) – г) только уже с новым многочленом:
                — подберите такой одночлен, чтобы при умножении на \(x\) первое слагаемое было таким же, как в новом многочлене: в нашем примере этим одночленом будет \(5x\).
              — умножьте этот одночлен на делитель: умножив \(5x\) на \(x+1\) получим \(5x^2+5x\).
              — вычтите получившиеся многочлены:

        е) И вновь повторяем шаги б) – г) до тех пор, пока после вычитания не останется ноль.

3) Запишите новый вид многочлена, представив его как произведение делителя и частного.
\(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x^2+5x+6)\)

Матхак! Если есть сомнения в правильности разложения, можно проверить его раскрытием скобок – в результате должен получиться исходный многочлен.
Проверим наш случай: \((x+1)(x^2+5x+6)=x^3+5x^2+6x+x^2+5x+6=x^3+6x^2+11x+6\).
Получен исходный многочлен, значит, поделили правильно.

Матхак! Если в результате деления у вас в остатке получился не ноль, значит, скорее всего, в решении есть ошибка.

Давайте теперь решим пример с применением изученного материала.

Пример: Решите неравенство \(x^4-3x^3+6x-4≥0\).

Решение:

\(x^4-3x^3+6x-4≥0\)	Найдем один из корней многочлена слева. Проверим \(1\).
\(1: 1^4-3·1^3+6·1-4=0\)	Поделим многочлен \(x^4-3x^3+6x-4\) на \((x-1)\) уголком. Однако замечаем, что у нас нет слагаемого с квадратом. Чтоб нам было удобнее решать, запишем вместо него выражение \(0·x^2\) (ведь его значение равно нулю, а значит оно ничего не меняет в исходном многочлене).
	Запишем новый вид нашего неравенства.
\((x-1)(x^3-2x^2-2x+4)≥0\)	С первой скобкой все хорошо, а вот вторую надо бы разложить еще. Так как высшая степень в ней — куб, то мы можем попробовать разложить методом группировки, что проще чем деление в столбик. У первых двух слагаемых вынесем за скобку \(x^2\), а у третьего и четвертого – минус двойку.
\((x-1)(x^2 (x-2)-2(x-2))≥0\)	Теперь выносим общую скобку \((x-2)\) за скобку.
\((x-1)(x-2)(x^2-2)≥0\)	Но и это еще не все, потому что \(x^2-2\) можно разложить с помощью формулы сокращенного умножения «разность квадратов»: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
\((x-1)(x-2)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})≥0\)	Вот сейчас все готово для применения метода интервалов.
	Запишем ответ.

Ответ: \((-∞;-\sqrt{2}]∪[1;\sqrt{2}]∪[2;∞)\).

Скачать статью

cos-cos.ru

Деление многочлена на многочлен | Математика

Пусть требуется

(2x³ – 7x² + x + 1) ÷ (2x – 1).

Здесь дано произведение (2x³ – 7x² + x + 1) и один множитель (2x – 1), – надо найти другой множитель. В данном примере сразу ясно (но вообще этого установить нельзя), что и другой, искомый, множитель, или частное, есть многочлен. Это ясно потому, что данное произведение имеет 4 члена, а данный множитель лишь 2. Однако, сказать заранее, сколько членов у искомого множителя – нельзя: может быть 2 члена, 3 члена и т. д. Вспоминая, что старший член произведения всегда получается от умножения старшего члена одного множителя на старший член другого (см. умножение многочлена на многочлен) и что членов, подобных этому, быть не может, мы уверены, что 2x³ (старший член данного произведения) получится от умножения 2x (старший член данного множителя) на неизвестный старший член искомого множителя. Чтобы найти последний, придется, следовательно, разделить 2x³ на 2x – получим x². Это и есть старший член частного.

Вспомним затем, что при умножении многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Поэтому данное произведение (2x³ – 7x² + x + 1) представляет собою произведение делителя (2x – 1) на все члены частного. Но мы можем теперь найти произведение делителя на первый (старший) член частного, т. е. (2x – 1) ∙ x²; получим 2x³ – x². Зная произведение делителя на все члены частного (оно = 2x³ – 7x² + x + 1) и зная произведение делителя на 1-ый член частного (оно = 2x³ – x²), вычитанием мы можем найти произведение делителя на все остальные, кроме 1-го, члены частного. Получим

(2x³ – 7x² + x + 1) – (2x³ – x²) = 2x³ – 7x² + x + 1 – 2x³ + x² = –6x² + x + 1.

Старший член (–6x²) этого оставшегося произведения должен представлять собою произведение старшего члена делителя (2x) на старший член остального (кроме 1-го члена) частного. Отсюда найдем старший член остального частного. Надо –6x² ÷ 2x, получим –3x. Это и есть второй член искомого частного. Мы можем опять найти произведение делителя (2x – 1) на второй, только что найденный, член частного, т. е. на –3x.

Получим (2x – 1) ∙ (–3x) = –6x² + 3x. Из всего данного произведения мы уже вычли произведение делителя на 1-ый член частного и получили остаток –6x² + x + 1, представляющий собою произведение делителя на остальные, кроме 1-го, члены частного. Вычитая из него только что найденное произведение –6x² + 3x, получим остаток, представляющий собою произведение делителя на все остальные, кроме 1-го и 2-го, члены частного:

–6x² + x + 1 – (–6x² + 3x) = –6x² + x + 1 + 6x² – 3x = –2x + 1.

Разделив старший член этого оставшегося произведения (–2x) на старший член делителя (2x), получим старший член остального частного, или его третий член, (–2x) ÷ 2x = –1, – это и есть 3-й член частного.

Умножив на него делителя, получим

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Вычтя это произведение делителя на 3-й член частного из всего оставшегося до сих пор произведения, т. е.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

мы увидим, что в нашем примере произведение делится на остальные, кроме 1-го, 2-го и 3-го, члены частного = 0, откуда заключаем, что у частного больше членов нет, т. е.

(2x³ – 7x² + x + 1) ÷ (2x – 1) = x² – 3x – 1.

Из предыдущего мы видим: 1) удобно располагать члены делимого и делителя по нисходящим степеням, 2) необходимо установить какой-либо порядок для выполнения вычислений. Таким удобным порядком можно считать тот, который употребляется в арифметике при делении многозначных чисел. Следуя ему, все предыдущие вычисления расположим так (сбоку даны еще краткие пояснения):

Те вычитания, какие здесь нужны, выполняются переменою знаков у членов вычитаемого, причем эти переменные знаки пишутся сверху.

Так, написано

Это значит: вычитаемое было 2x³ – x², а после перемены знаков получили –2x³ + x².

Благодаря принятому расположению вычислений, благодаря тому, что члены делимого и делителя расположены по нисходящим степеням и благодаря тому, что степени буквы x в обоих многочленах идут, понижаясь всякий раз на 1, оказалось, что подобные члены приходятся написанными друг под другом (напр.: –7x² и +x²), почему легко выполнить их приведение. Можно подметить, что не все члены делимого нужны во всякий момент вычисления. Напр., член +1 не нужен в тот момент, где был найден 2-й член частного, и эту часть вычислений можно упростить.

Еще примеры:

1. (2a⁴ – 3ab³ – b⁴ – 3a²b²) ÷ (b² + a² + ab).

Расположим по нисходящим степеням буквы a и делимое и делитель:

(Заметим, что здесь, благодаря отсутствию в делимом члена с a³, в первом вычитании оказалось, что подписаны друг под другом не подобные члены –a²b² и –2a³b. Конечно, они не могут быть приведены в один член и написаны под чертою оба по старшинству).

В обоих примерах надо внимательнее относиться к подобным членам: 1) друг под другом часто оказываются написанными не подобные члены и 2) иногда (как, напр., в последнем примере, члены –4aⁿ и –aⁿ при первом вычитании) подобные члены выходят написанными не друг под другом.

Возможно выполнять деление многочленов в ином порядке, а именно: всякий раз разыскивать младший член или всего или остающегося частного. Удобно в этом случае располагать данные многочлены по восходящим степеням какой-либо буквы. Напр.:

maths-public.ru

Деление многочленов уголком

1 октября 2013

Сегодня мы узнаем, как выполняется деление многочленов друг на друга, причем выполнять деление мы будем уголком по аналогии с обычными числами. Это очень полезный прием, который, к сожалению, не изучают в большинстве школ. Поэтому внимательно прослушайте данный видеоурок. Ничего сложного в таком делении нет.

Для начала давайте разделим друг на друга два числа:

\[595:17=35\]

Как можно это сделать? В первую очередь, мы отсекаем столько разрядов, чтобы полученное числовое значение было больше чем то, на которое мы делим. Если мы отсечем один разряд, то получим пять. Очевидно, семнадцать в пять не вмещается, поэтому этого недостаточно. Берем два разряда — у нас выйдет 59 — оно уже больше, чем семнадцать, поэтому мы можем выполнить операцию. Итак, сколько раз семнадцать помещается в 59? Давайте возьмем три. Перемножаем и записываем результат под 59. Итого у нас получилось 51. Вычитаем и у нас вышло «восемь». Теперь сносим следующий разряд — пять. Делим 85 на семнадцать. Берем пять. Перемножим семнадцать на пять и получаем 85. Вычитаем и у нас получается ноль.

Решаем реальные примеры

Задача № 1

Теперь выполним те же самые шаги, но не с числами, а с многочленами. Для примера возьмем такое:

\[\frac{{{x}^{2}}+8x+15}{x+5}=x+3\]

Обратите внимание, если при делении чисел друг на друга мы подразумевали, что делимое всегда больше делителя, то в случае деления полиномов уголком, необходимо, чтобы степень делимого была больше, чем делителя. В нашем случае все в порядке — мы работаем с конструкциями второй и первой степени.

Итак, первый шаг: сравниваем первые элементы. Вопрос: на что нужно домножить $x$, чтобы получилось ${{x}^{2}}$? Очевидно, что на еще один $x$. Умножаем $x+5$ на только что найденное число $x$. У нас есть ${{x}^{2}}+5$, которое вычитаем из делимого. Остается $3x$. Теперь сносим следующее слагаемое — пятнадцать. Снова посмотрим на первые элементы: $3x$ и $x$. На что следует домножить $x$, чтобы вышло$3x$? Очевидно, что на три. Домножаем почленно $x+5$ на три. Когда мы вычтем, то получим ноль.

Как видите, вся операция деления уголком свелась к сравнению старших коэффициентов при делимом и делителе. Это даже проще, чем когда вы делите числа. Тут не требуется выделять какое-то количество разрядов — мы просто на каждом шаге сравниваем старшие элементы. Вот и весь алгоритм.

Задача № 2

Давайте попробуем еще:

\[\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x-1}=x+2\]

Первый шаг: посмотрим на старшие коэффициенты. На сколько нужно домножить $x$, чтобы записать${{x}^{2}}$? Домножаем почленно. Обратите внимание, при вычитании у нас получится именно $2x$, потому что

\[x-\left( -x \right)=x+x=2x\]

Сносим -2 и снова сравним первый полученный коэффициент со старшим элементом делителя. Итого у нас вышел «красивый» ответ.

Переходим ко второму примеру:

\[\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-9x-18}{x+3}={{x}^{2}}-x-6\]

В этот раз в качестве делимого выступает полином третьей степени. Сравним между собой первые элементы. Для того чтобы получилось ${{x}^{3}}$, необходимо $x$ домножить на ${{x}^{2}}$. После вычитания сносим $9x$. Домножаем делитель на $-x$ и вычитаем. В итоге наше выражение полностью разделилось. Записываем ответ.

Задача № 3

Переходим к последней задаче:

\[\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+50}{x+5}={{x}^{2}}-2x+10\]

Сравниваем ${{x}^{3}}$ и $x$. Очевидно, нужно домножить на ${{x}^{2}}$. В итоге мы видим, что мы получили очень «красивый» ответ. Записываем его.

Вот и весь алгоритм. Ключевых моментов здесь два:

1. Всегда сравнивайте первую степень делимого и делителя — повторяем это на каждом шаге;
2. Если в исходном выражении пропущены какие-либо степени, при делении уголком их обязательно следует добавить, но с нулевыми коэффициентами, иначе ответ будет неправильным.

Больше никаких премудростей и хитростей в таком делении нет.

Краткое содержание

Материал сегодняшнего урока нигде и никогда не встречается в «чистом» виде. Его редко изучают в школах. Однако умение делить многочлены друг на друга очень поможет вам при решении уравнений высших степеней, а также всевозможных задач «повышенной трудности». Без данного приема вам придется раскладывать многочлены на множители, подбирать коэффициенты — и результат при этом отнюдь не гарантирован. Однако многочлены можно делить и уголком — так же, как и обычные числа! К сожалению, данный прием не изучают в школах. Многие учителя считают, что деление многочленов уголком — это что-то безумно сложное, из области высшей математики. Спешу вас заверить: это не так. Более того, делить многочлены даже проще, чем обычные числа! Посмотрите урок — и убедитесь в этом сами.:) В общем, обязательно возьмите этот прием на вооружение. Умение делить многочлены друг на друга очень пригодится вам при решении уравнений высших степеней и в других нестандартных задачах.

Я надеюсь, этот ролик поможет тем, кто работает с полиномами, особенно высших степеней. Это относится и к старшеклассникам, и к студентам университетов. А у меня на этом все. До встречи!     

Смотрите также:

1. Теорема Безу: разложение на множители
2. Что такое схема Горнера
3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
4. Задача 7 — геометрический смысл производной
5. Как решать задачи B15 без производных
6. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии

www.berdov.com

Онлайн калькулятор: Синтетическое деление полиномов

Синтетическое деление это простой способ евклидова деления полиномов с небольшим количеством записей и вычислений. Калькулятор ниже выполняет деление полиномов этим методом. Описание метода можно найти сразу под калькулятором.

Введите коэффициенты многочлена, который надо разделить, через пробел.

Введите коэффициенты многочлена-делителя через пробел.

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Схема синтетического деления

 

Сохранить share extension

Подготовка к синтетическому делению

Будем рассматривать подготовку к делению на примере: 3x⁴+5x³+2x+4 / x²+2x+1.

	Шаги подготовки
	1) Взять коэффициенты делителя с обратным знаком. 2) Записать коэффициенты делимого в верхней строке. Если коэффициента нет — записываем ноль. 3) Отбросим коэффициент делителя самой большой степени 4) Запишем коэффициенты делителя диагонально слева. Свободный член в самом верху

Синтетическое деление для монических делителеф

Изначально метод был разработан для делителей, являющихся моническими полиномами (коэффициент старшего члена = 1). Рассмотрим деление на примере: 3x⁴+5x³+2x+4 / x²+2x+1.

	Алгоритм деления для монического делителя
	1) Опустим старший коэффициент делимого в строку результата 2) Умножим диагональ с коэффициентами делителя на крайний левый коэффициент из строки результатов 3) Поместим результат умножения диагонально справа от последнего столбца с результатами 4) Выполним сложение значений в следующем столбце и результат занесем в строку результата 5) Будем повторять шаги 2-4 до тех пор пока будет куда заносить результат умножения. (Последний столбец — столбец со свободным членом делимого.) 6) Просуммируем значения всех оставшихся столбцов и впишем результат в строку результата 7) Отделим частное и остаток. Количество членов остатка будет равно количеству членов делителя за минусом одного.

Пример 1 (монический делитель)

Не монический делитель

Алгоритм работает так же и для обычных делителей ( не монических полиномов).
Рассмотрим на примере: 3x³+5x²+7x+2 / 3x²-x-2.

	Алгоритм для не монического делителя
	1) Опустим старший коэффициент делимого в строку остатка (предпоследняя строка). 2) Поделим последний коэффициент в строке остатка на старший коэффициент делителя, результат запишем в строку результата (последняя строка) 3) Умножим диагональ с коэффициентами делителя на крайний левый коэффициент из строки результатов 4) Поместим результат умножения диагонально справа от последнего столбца с результатами 5) Выполним сложение значений в следующем столбце и результат занесем в строку остатка 6) Повторим шаги 2-5 тех пор пока будет куда заносить результат умножения. (Последний столбец — столбец со свободным членом делимого.) 6) Просуммируем значения всех оставшихся столбцов и впишем результат в строку остатка 7) Отделим частное и остаток. Коэффициенты частного будут в последнем столбце. Коэффициенты остатка — в предпоследнем. Количество членов остатка будет равно количеству членов делителя за минусом одного.

Пример 2 (не монический делитель)

planetcalc.ru