Автор: alexxlab

тригонометрической, множество функций, порядок нахождения

Содержание:

• Что такое функция в алгебре
• Виды функций
  • Линейная
  • Обратная пропорциональность
  • Квадратичная (квадратная)
  • Степенная
  • Показательная
  • Логарифмическая
  • Тригонометрические
• Типы функций
  • Важные свойства
• Методы нахождения
  • Перебор значений
  • Графический метод
  • Учет непрерывности и монотонности
  • Производная, min и max
• Пример решения

Содержание

• Что такое функция в алгебре
• Виды функций
  • Линейная
  • Обратная пропорциональность
  • Квадратичная (квадратная)
  • Степенная
  • Показательная
  • Логарифмическая
  • Тригонометрические
• Типы функций
  • Важные свойства
• Методы нахождения
  • Перебор значений
  • Графический метод
  • Учет непрерывности и монотонности
  • Производная, min и max
• Пример решения

Что такое функция в алгебре

Определение

Функция в алгебре — некое математическое выражение y=f(x), где каждому значению переменной x соответствует одно значение переменной y.

Из этого следует, что решений у функции может быть много. Для обозначения совокупностей таких решений вводятся особые термины.

Определние

Множество значений функции y=f(x) — совокупность значений переменной y, которые она принимает при переборе всех значений переменной x на заданном отрезке X.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Определение

Областью значений функции y=f(x) называется такое множество значений, которые функция y принимает при переборе всех значений аргумента x из области определения. Область значений обозначается как E(f).

Определение

Область допустимых значений (область определения) функции — такое множество всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается. {\mathrm x}\)

Для показательной функции существует одно определяющее условие: \(\mathrm a>0\). В связи с этим область ее значений включает в себя все положительные числа:

\(\mathrm E(\mathrm f)=(0;\;+\infty) \)

Логарифмическая

\(\mathrm y=\log_{\mathrm a}\left(\mathrm x\right)\)

По своим свойствам логарифмическая функция обратна показательной. Для данных функций область определения и область значений меняются местами соответственно. ОЗ логарифмической функции включает в себя все действительные числа:

\(\mathrm E(\mathrm f)=(-\infty;\;+\infty)\)

Тригонометрические

Рассмотрим четыре базовые тригонометрические функции:

• синус;
• косинус;
• тангенс;
• котангенс.

Первые две периодически повторяются в промежутке между -1 и 1:

\(\mathrm E(\mathrm f)=(-1;\;1)\)

Область значения тангенса и котангенса включает в себя все действительные числа:

\(\mathrm E(\mathrm f)=(-\infty;\;+\infty)\)

Типы функций

При определении области значений функции необходимо учитывать ее фундаментальные особенности. Обозначенная выше классификация — не единственная. У математических функций есть некоторые параметры, которые влияют как на саму область значений, так и на выбор методики ее нахождения.

Важные свойства

К наиболее важным для поиска области значений функции относят следующие ее свойства:

1. Непрерывность. Непрерывной называется функция, на графике которой нет «точек разрыва». Таким точкам соответствуют значения переменной, при которых функция не имеет смысла, то есть — исключенные из области определения.
2. Монотонность. Монотонной называется функция, которая не возрастает или не убывает на всей области определения.
3. Четность. Четной называется функция, не меняющая своего значения при смене знака переменной. То есть, f(-x)=f(x). Соответственно, нечетная функция меняет значение. Выделяют также функции общего вида, которые не симметричны относительно центра или оси координат.
4. Периодичность. Периодическая функция повторяет свои значения через определенные равные интервалы значений переменной.

Методы нахождения

Поиск области значений функции несколько сложнее, чем определение ОДЗ. В зависимости от вида и типа функции, а также условий задачи для этого могут применяться различные методы.

Перебор значений

Самый простой и ограниченный способ. При его помощи можно находить область значений на небольшом промежутке целых чисел \(x\in(a;\;b)\). В таком случае заданные значения переменной поочередно подставляются в уравнение и вычисляются значения функции, соответствующие им.

Графический метод

Как ясно из названия способа, для его реализации необходимо построить график исследуемой функции. По внешнему виду кривой уже можно делать некоторые выводы. Если линия графика соответствует одному из видов элементарных функций, например, является параболой, то в качестве области значений берется промежуток, соответствующий данному графику. 2 имеет вид параболы с точкой перегиба с координатами (0, 0). Кривая непрерывна, то есть не имеет разрывов в области определения. Для того, чтобы определить область значений данной функции, достаточно построить ее график на ограниченном промежутке. Для примера возьмем \(x\in\lbrack-4;\;4\rbrack\):

Рисунок 1. Значение непрерывности и монотонности функции для области определения

На графике видно, что функция монотонно убывает на промежутке \(\lbrack-4;\;0\rbrack\) и монотонно возрастает на промежутке\( \lbrack0;\;4\rbrack\). Исходя из этого и непрерывности функции, можно экстраполировать данную закономерность на всю область определения. Так как минимальное значение данной функции равняется нулю, область значений будет следующей:

\(\mathrm E(\mathrm f)=\lbrack0;\;+\infty)\)

Производная, min и max

Описанные выше способы подходят не для всех ситуаций. В общем случае, задача по определению области значений функции всегда сводится к нахождению ее минимального и максимального значения или точек экстремума.

Определение

Согласно теореме Ферма, в точках локального экстремума производная исследуемой функции равняется нулю.

Важно понимать, что сами локальный экстремум не обязательно является максимумом или минимумом для функции в целом. Такие точки называются критическими или стационарными. Поэтому, кроме самих точек необходимо определять промежутки возрастания и убывания:

• если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с (+) на (-), то эта точка является максимумом;
• если при переходе через критическую точку производная меняет знак с (-) на (+), то такая точка является минимумом;
• если при переходе знак производной не меняется, то экстремума в данной точке нет.

Кроме того, экстремумы функции можно определять по второй производной. Предположим, при исследовании функции обнаружилась некая критическая точка x_1. Для нее справедливы следующие неравенства:

Если \(f»(x_1)>0\), то \(x_1\) — точка минимума. 2-5\) следующая:

\(E(y)=\lbrack-6;\;+\infty).\)

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Поиск по содержимому

Область определения и область значений функции. | Презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему:

Слайд 1

функция. Область определения функции. Область значений функции. Алгебра 9 класс

Слайд 2

Давайте вспомним: Какую зависимость называют функцией? Как читают запись y = f(x) ? Что называют аргументом функции? Что такое область определения функции? Что называют значением функции? Как читают запись f(2) = 6 и что она означает? Что называют областью значений функции?

Слайд 3

Определение функции. Обозначение функции. у( х ) — функция х — аргумент зависимая переменная независимая переменная

Слайд 4

Область определения функции. Область определения функции у(х) это все значения аргумента — Х Обозначение области определения — D( у )

Слайд 5

Область значений функции. Область значений функции у(х) это все значения — У _ Обозначение области значений — Е ( у )

Слайд 6

x — 4 — 3 — 2 — 1 0 1 2 3 y -8 — 6 — 4 — 2 0 2 4 6

Слайд 8

g(2) = g(- 2) = g(x) = 0 при x = g(x) = 1 при х = или х = D(g) = E(g) =

Слайд 9

f(-3) = f(- 1) = f(x) = — 1,5 при x = f(x) = 2 при х = х = , x = D(f) = E(f) =

Слайд 10

а) f(2) = ? б) D(f) = ? Решение: а) f( 16 ) = ? б) D(f) = ? Решение:

Слайд 11

График функции (х; у)- координаты точки в плоскости у( х )- функция х — аргумент у – ордината точки (координата оси ОУ ) х – абсцисса точки (координата оси ОХ )

Слайд 12

Область определения линейной функции y( х) = k x + b , k≠0 y x k > 0 y x k 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 13

Область значений линейной функции y( х ) = k x + b , k≠0 y x k > 0 y x k 0 у > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 14

Область определения линейной функции y( х) = k x + b , k= 0 y x y( х) = b y x y( х) = -b D( у ) = (-∞ ; + ∞) х Є (-∞ ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О х 0 х > 0 I ч. II ч. III ч. IV ч.

Слайд 15

Область значений линейной функции y( х) = k x + b , k= 0 y x y( х) = b y x y( х) = -b Е ( у ) = b -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О I ч. II ч. III ч. IV ч. Е ( у ) = — b b -b

Слайд 16

Область определения прямой пропорциональности y( х) = k x y x k > 0 y x k 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 17

Область значений прамой пропорциональности y( х ) = k x y x k > 0 y x k 0 у > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 18

Область определения обратной пропорциональности , х≠0 y x k > 0 y x k 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 19

Область значений обратной пропорциональности , х≠0 y x k > 0 y x k 0 y > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 20

Область определения квадратичной функции , а≠0 y x а > 0 y x а 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 21

Область значений квадратичной функции , а≠0 y x а > 0 y x а 0 y

Слайд 22

Область определения функции , х ≥ 0 y x D( у ) = [0; + ∞) ; х Є [0; + ∞) + ∞ О х ≥ 0 I ч.

Слайд 23

Область значений функции , х ≥ 0 y x Е ( у ) = [0; + ∞) ; у(х) Є [0; + ∞) + ∞ О у ≥ 0 I ч.

Слайд 24

Область определения функции у = l х l _ y x D( у ) = (- ∞ ; + ∞) ; х Є (- ∞ ; + ∞) + ∞ О х

Слайд 25

Область значений функции у = l х l _ y x Е ( у ) = [ 0 ; + ∞) ; у(х) Є [ 0 ; + ∞) + ∞ О I ч. у ≥ 0 II ч.

Слайд 26

Область определения функции у = х³ y x D( у ) = (-∞ ; + ∞) ; х Є (-∞ ; + ∞) + ∞ О х ≥ 0 I ч. III ч. х

Слайд 27

Область значений функции у = х³ y x D( у ) = (-∞ ; + ∞) ; у(х) Є (-∞ ; + ∞) + ∞ О у ≥ 0 I ч. III ч. у

Слайд 28

Найдите по графику область определения функции — D( у ) -5 4 D( у )= [ -5 ; 4,5 ]

Слайд 29

Найдите по графику область значений функции — Е ( у ) -2 5 Е ( у )= [ -2 ; 5 ]

Слайд 30

По графику определите промежуток на котором определена данная функция -6 3 D( у )= [ -6 ; 3,5 ]

Слайд 31

По графику определите промежуток на котором определена данная функция -2 4 Е ( у )= [ -2 ; 4 ]

Слайд 32

Найдите по графику область определения функции -5 5 D( у )= [ -5 ; 5 ]

Слайд 33

Найдите по графику область определения функции -2 6 Е ( у )= [ -2 ; 6 ]

Слайд 34

Найдите область определения и значений функции -4 4 [ -4 ; 4) 3 ( — 1;3] а) б) в) г) д)

Слайд 35

Найдите область определения и значений функции 5 ( -1 ; 5 ] -3 4 [ — 3;4) а) б) в) г) д)

Слайд 36

Найдите область определения и значений функции -2 4 [ — 2;4) 4 [ — 1;4] а) б) в) г) д)

Слайд 37

Найдите область определения и значений функции б) в) г) — 4 2 [ -4 ; 2 ] 2 [ -1 ; 2 ] д) а)

Объяснение всех 4 областей действия JavaScript

Если вы написали хотя бы одну строку кода JavaScript, значит, вы использовали одну из четырех областей действия JavaScript, даже не подозревая об этом. Эти различные уровни области действия определяют, как будет работать ваш код, насколько легко ваш код будет писать/изменяться, а также многие другие факторы вашего кода, поэтому крайне важно знать все нюансы каждой отдельной области. В этой короткой статье я расскажу вам, что такое каждый уровень области видимости, как они взаимодействуют с вашим кодом и что вы можете сделать с этими знаниями, чтобы писать более чистый код.

Если вы предпочитаете учиться визуально, посмотрите видеоверсию этой статьи.

Что такое объем?

Первый вопрос, который нам нужно решить, это что такое масштаб. В JavaScript и практически в любом другом языке программирования ваш код выполняется в рамках заданной области. Эта область определяет, к каким переменным имеет доступ ваш код, как новые переменные будут взаимодействовать с остальной частью вашего кода и некоторые другие вещи. Лучший способ представить область действия — это раздел, который поможет вам отделить разные части кода друг от друга.

В приведенном выше примере у нас есть простой код, который определяет переменную вне функции и внутри функции. Затем мы записываем обе переменные в консоль как внутри, так и вне функции. Это прекрасно работает внутри функции, но вне функции наш журнал выдает ошибку, поскольку у нас нет доступа к внутренней переменной вне области действия функции.

В этом примере используются две из четырех областей видимости в JavaScript для разделения нашего кода таким образом, чтобы только определенные части кода имели доступ к определенным переменным. Это основная причина существования разных уровней охвата, поэтому давайте сейчас рассмотрим эти разные охваты.

Уровни охвата

Четыре различных уровня охвата:

1. Глобальный охват
2. Объем модуля
3. Блочный прицел
4. Область действия

Может показаться, что это слишком много для отслеживания, но на самом деле вы, вероятно, будете использовать область модуля и блока для 95% всего кода, который вы пишете, поэтому отслеживать его немного легче. Однако это не означает, что вы должны игнорировать другие области видимости, так как важно понимать, как они работают.

Глобальная область действия

Для начала мы поговорим о самой простой области действия, чтобы понять, какую область действия большинство разработчиков используют для всего своего кода, поскольку она просто игнорирует все ограничения, налагаемые другими областями. Чтобы понять глобальную область видимости, представьте, что у меня есть следующий HTML/JS.

Этот простой пример использует глобальную область видимости для определения своих переменных. Глобальная область действия работает так: каждый раз, когда вы определяете переменную на верхнем уровне файла (вне любой функции/фигурных скобок), она считается глобальной областью действия и к ней можно получить доступ ВЕЗДЕ во всем приложении. Этот глобальный доступ поначалу упрощает написание кода, поскольку вам не нужно беспокоиться о том, что переменные блокируются разными областями, но по мере того, как вы начинаете писать более сложный код, управлять этим быстро становится сложно. Эта проблема еще хуже, когда у вас есть несколько файлов.

Как вы можете видеть в приведенном выше примере, мы определили переменную в script-1.js и можем использовать эту переменную в script-2.js . Это потому, что переменная из script-1.js определяется глобально и может использоваться ВСЕГДА в вашем коде. Из-за этой особенности глобальной области видимости я стараюсь никогда не использовать глобальную область видимости ни в одном из своих приложений. Невероятно сложно отслеживать глобальную область действия по мере роста вашего приложения, поэтому я предпочитаю область действия модуля.

Область действия модуля

Область действия модуля очень похожа на глобальную область действия, но с одним небольшим отличием. Второстепенные переменные области доступны только в файле, в котором вы их определяете. Это означает, что их нельзя использовать в других файлах, что идеально, когда вы пытаетесь мысленно отслеживать все. Чтобы войти в область модуля, вам нужно использовать type="module" в тегах скрипта. Это гораздо больше, чем просто изменение области действия, поэтому, если вы не знакомы с модулями ES, вам следует ознакомиться с моим полным руководством по модулям ES.

С помощью этого единственного изменения мы устранили самую большую проблему, связанную с глобальной областью действия переменных, доступной в каждом файле, сохранив при этом преимущества возможности использования переменной в любом месте файла, в котором она определена. Из-за того, что область действия этого модуля является одной из двух областей видимости, которые я использую постоянно.

Область блока

Другая основная область, которую я постоянно использую, — это блочная область. Область блока — одна из самых простых для понимания областей, поскольку она соответствует фигурной скобке {} . По сути, каждый раз, когда у вас есть код внутри фигурных скобок, он считается собственной областью действия блока. Это означает, что такие вещи, как функции, операторы if, циклы for и т. д., создают собственную область действия блока.

В этом примере определяются две отдельные области блока. Каждая область блока определяется как код между фигурными скобками, и каждый блок имеет доступ ко всем переменным, которые находятся между фигурными скобками, кроме 9.0037 NOT в другом наборе фигурных скобок, а также во всех переменных его родительской области.

В нашем случае у нас есть два блока: функция test и оператор if . Наша область test имеет доступ ко всем переменным в функции test , которые не вложены в другой набор фигурных скобок, что означает, что у нее есть доступ к переменной funcVar . Наша тестовая область также будет иметь доступ к любым глобальным/модульным переменным уровня области, поскольку они являются родителями тест прицел.

Наша вторая область — это оператор if , и эта область имеет доступ к ifVar , а также ко всему, к чему имеет доступ область test , поскольку область test является родительской областью области if .

Важный вывод о блочной области: каждый раз, когда у вас есть фигурные скобки, вы создаете новую блочную область, которая имеет доступ ко всем областям, внутри которых она находится, но ни к одной из областей внутри нее. Это внутреннее/внешнее правило на самом деле верно для всех областей. Любая область будет иметь доступ к областям, в которых она находится, но у нее не будет доступа к областям внутри нее.

Вы даже можете добавить фигурные скобки в любом месте вашего кода, чтобы создать область видимости. Это не то, что я делаю часто, но это может быть полезно.

Область действия функции

Последняя область действия — это область действия функции, и мы надеемся, что вам никогда не придется об этом беспокоиться, поскольку она относится к ключевому слову var . Переменные, определенные с помощью ключевого слова var , имеют область действия на уровне функции, а не на уровне блока, что означает, что они заботятся только о фигурных скобках функции.

Этот код точно такой же, как код из примера уровня блока, но мы используем var вместо const для определения наших переменных. Вы увидите, что в этом примере наш код будет работать просто отлично, потому что ключевое слово var игнорирует область уровня блока, поэтому даже если ifVar определено в нашем блоке if , это не имеет значения для области действия функции.

Честно говоря, это довольно неинтуитивно, а var как ключевое слово вообще сложно использовать, поэтому я рекомендую никогда не использовать вар . Если вы хотите узнать больше о том, почему мне не нравится var и о различиях между var , let и const , ознакомьтесь с моим полным руководством var vs let vs const.

Несколько переменных с одним и тем же именем

Одна важная вещь, которую нужно понять об этой области видимости, — это то, как она работает, когда у вас есть несколько переменных с одним и тем же именем.

В этом примере у нас есть переменная a , определенная как внутри нашего проверить функцию и внутри нашего блока if . Когда мы выходим из системы и в блоке , если , мы получаем значение и из области , если , а когда мы регистрируем и вне блока , если , мы получаем значение и из области видимости , если . тест прицел.

Основной вывод из этого кода заключается в том, что когда у вас есть две переменные с одинаковыми именами, которые находятся в разных областях, они на самом деле являются двумя совершенно отдельными переменными. Они не имеют ничего общего друг с другом, они никогда не перезаписывают значения друг друга и работают точно так же, как две переменные с разными именами. Единственная разница в том, что если они имеют одно и то же имя, теперь невозможно получить доступ к значению переменной внешней области видимости после доступа к и всегда будут обращаться к самой доступной внутренней переменной области видимости.

Обычно я стараюсь не использовать одинаковые имена переменных при написании кода, но в некоторых случаях это может упростить написание кода, поэтому иногда это необходимо.

Заключение

Хотя наличие четырех разных областей видимости в JavaScript может показаться запутанным, на самом деле все немного проще, поскольку нас интересуют только две из четырех областей видимости. Понимание того, как работают эти области видимости, также имеет решающее значение для написания хорошего чистого кода.

Никто не говорил мне, что Scope и Scope Chain в JavaScript так легко понять | by Divyojyoti Ghosh

В области компьютерного программирования область видимости имеет дело с организацией переменных (где находится переменная?) и их присоединением (откуда можно получить доступ к переменной? ).

JavaScript имеет лексическую область видимости , что означает, что размещение блоков и функций в коде управляет областью видимости.

Перед тем, как начать с области действия и цепочки областей действия, нам нужно понять, что область действия и область действия переменной — это разные вещи в JavaScript. Итак, в чем именно разница? Область — это пространство или среда в коде, где была объявлена ​​конкретная переменная. Напротив, область действия переменной — это область в коде, где можно получить доступ к конкретной переменной.

Знание различных прицелов поможет нам лучше понять сам прицел. Есть три типа прицелов —

1. Глобальная область действия
2. Область действия функции
3. Область действия блока

Глобальная область действия

Область действия переменных, объявленных вне какой-либо функции или блока, является глобальной, т. е. к ним можно получить доступ в любом месте кода.

Все три переменные student_name , age и Minimum_marks имеют глобальную область действия и могут быть доступны в любом месте кода, поскольку все они объявлены вне какой-либо функции или блока.

Область действия

Все переменные, объявленные внутри функции, имеют область действия функции, т. е. к ним нельзя получить доступ где-либо за пределами функции. Все переменные, определенные в функции, объявлены ли они с использованием var , const или let , имеют область действия.

В приведенном выше фрагменте кода переменные minimum_marks , min_age_of_senior и max_marks имеют область действия функции, т. е. к ним можно получить доступ только внутри функции.

Область действия блока

Переменные, объявленные с помощью let или const в фигурных скобках { } (кроме функции), имеют область действия блока, т. е. доступ к этим переменным вне блока невозможен. Переменные, объявленные с помощью var в фигурных скобках, не могут быть блочными, т. е. к ним можно получить доступ и за пределами блока.

В приведенном выше фрагменте кода minimum_marks , определенные с помощью var в блоке if, доступны из любого места в коде, кроме maximal_marks , который определен с помощью let, заблокирован, поэтому он выдает ReferenceError, когда он вызывается вне блока.

В строгом режиме функции, объявленные с помощью let или const внутри блока, также являются заблокированными, даже именованные функции (не объявленные с использованием var, let или const) также являются заблокированными в строгом режиме.

В Javascript каждая область действия имеет доступ к переменным и функциям всех предковых/родительских областей. Во время выполнения, если JS-движок сталкивается с переменной, для доступа к переменной и ее значению он сначала ищет в локальной области видимости, если он не находит переменную в локальной области видимости, он ищет переменную в области своего родителя.

Поиск продолжается от одной области до ее родительской области до родительской области своего родителя, пока не будет найдена переменная. Вся эта концепция поиска переменной из внутренней области во внешнюю область известна как цепочка областей видимости. Последняя и самая внешняя область — это глобальная область, которая является конечной родительской областью.

Если переменная не найдена во всей этой цепочке областей видимости, механизм JS выдает ошибку ссылки и объявляет переменную не определенной.

В приведенном выше фрагменте кода последняя строка из Функция getGradYear() выдает ошибку ссылки, так как у функции нет доступа к переменной totalFees . Переменная totalfees отсутствует в локальной области действия функции или в какой-либо родительской функции функции getGradYear() , переменная определяется с помощью let в блоке if и, следовательно, ее область действия заблокирована.

Область блока if и область действия функции getGradYear являются дочерними элементами getDetailsOfStudent() область действия функции.

Свойства и графики тригонометрических функций. Базовый уровень 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тригонометрические функции числового аргумента

Основное отличие науки от искусства в том, что результат научного опыта, воспроизведенный разными людьми, будет одинаковым (если соблюдены основные условия проведения такого опыта). Произведение искусства каждый понимает по-своему, и единого правильного мнения о таком произведении быть не может.

Русский язык позволяет нам описать процессы, которые происходят вокруг: птица летит и машет крыльями, дерево согнулось под порывом ветра. Поэт может и более изящно воспользоваться языком: «…летят серебряные птицы, седые птицы – журавли…». Это описание помогает нам воспринимать окружающий мир, вдохновляться ним.

Но для более практичных вопросов такого описания недостаточно. Почему летит птица? Можем ли мы это использовать и построить аппарат для полетов? При каких условиях дерево сломается? Можно ли это предотвратить? Для ответа на эти вопросы нужен другой язык – математический. Мы строим математическую модель процесса, описываем его на математическом языке. И в дальнейшем эти расчеты позволяют создавать самолеты и строить небоскребы, которые защищены от ураганов и землетрясений.

Множество процессов, которые окружают нас – периодически повторяющиеся. Это и различные колебания, о которых вы знаете из курса физики («Механические колебания», «Механические волны. Звук»), и периодические спады и подъемы в экономике.

Конечно, в реальном мире не существует идеальных периодических процессов. Да, зима наступает каждый год, но мы не можем предсказать заранее, в какой именно день выпадет снег, когда станет холодно и т. д. С другой стороны, зная, что зима все равно наступит, мы покупаем пальто, заготавливаем дрова на даче (не знаем, в какой именно день будем их сжигать, но знаем, что они, скорее всего, пригодятся). Тот же маятник обязательно затухает, если не сообщать ему дополнительную энергию.

Но, как мы уже знаем, точность решения задачи определяется целью. Поэтому во многих случаях мы можем с достаточной степенью точности использовать модель периодически повторяющегося процесса и решать с помощью этой модели различные задачи.

Чтобы построить математическую модель всех этих повторяющихся событий, нужен определенный инструмент – тригонометрические функции. С этим инструментом мы уже немного знакомы: умеем вычислять значения тригонометрических функций и упрощать выражения, которые их содержат. Но чтобы полноценно использовать тригонометрические функции для построения математической модели периодических процессов, нам еще нужно изучить свойства и графики этих функций, а также научиться решать уравнения и неравенства, которые их содержат.

Об уравнениях речь пойдет позже, а сегодня мы займемся свойствами и графиками тригонометрических функций.

Мы определили тригонометрические функции как функции, которые ставят в соответствие углу поворота координаты (или их отношение) соответствующей точке на окружности (см. рис. 1):

Рис. 1. Единичная окружность

Понятно, что при повороте на полный оборот значения тригонометрических функций начинают повторяться (мы каждый день наблюдаем это на примере часов: прошло 12 часов, и стрелки снова на своих местах). Поэтому тригонометрические функции будут периодическими – их значения после изменения значения аргумента на определенное число будут повторяться. Периодических функций можно ввести много, самых разных. Мы рассмотрим свойства базовых, с помощью комбинаций которых можно выразить остальные. Звуки – это механические колебания, их вокруг нас великое множество. Но при этом все их с той или иной степенью точности можно математически описать с помощью набора базовых тригонометрических функций.

Мы выделили и изучили свойства некоторых видов функций: линейной, квадратичной, функции квадратного корня и других («Свойства функций. Базовые функции»). Воспользуемся готовой схемой изучения свойств функций для тригонометрических функций:

Правда, есть небольшая загвоздка: мы изучали числовые функции – в них числу ставится в соответствие число. В тригонометрических же функциях мы говорили, что углу ставится в соответствие число. Разрешить эту ситуацию просто: будем брать величину угла, выраженную в радианах. Под записью  будем понимать, что числу  ставится в соответствие число . Причем так, что значение  равно синусу  радиан. Например,

Аналогично и для косинуса, тангенса и котангенса.

Как исследовать числовые функции, мы уже знаем. Можно построить их графики и рассмотреть различные характеристики:

1. область определений и область значений;
2. нули функции, промежутки знакопостоянства;
3. промежутки монотонности: возрастания и убывания;
4. четность;
5. периодичность.

Про четность и периодичность тригонометрических функций, на самом деле, мы уже знаем. Вспомним, что функция  называется четной, если для всех ее допустимых аргументов выполняется соотношение:

А для нечетных функций выполняется соотношение:

Мы знаем, что , а . Соответственно, функция  является четной функцией;  – нечетной.

Для тангенса и котангенса выполнены следующие соотношения:

Значит, функции  и  также являются нечетными.

Теперь про периодичность. Вспомним, что функция  называется периодической, если для всех ее аргументов выполняется соотношение:

Величина  называется периодом функции. Мы знаем соотношения:

Значит, все тригонометрические функции являются периодическими. Причем синус и косинус имеют период , а тангенс и котангенс – период .

Об остальных свойствах и характеристиках тригонометрических функций, а также об их графиках мы поговорим далее в уроке.

Синус и косинус

Начнем с построения графика функции синуса:

Мы знаем значения синуса для некоторых углов:

По ним мы можем составить таблицу значений для нашей функции. Помним, что числовой аргумент функции  – это величина угла в радианах. Поэтому получаем следующую таблицу:

Отметим эти точки на графике и соединим плавной линией (см. рис. 2).

Рис. 2. Соединенные точки

Обратите внимание на масштаб оси . Ранее мы изучали такие функции, в которых аргументом удобно было брать целые значения. Поэтому и цену деления было удобно брать целым числом. У тригонометрических же функций мы знаем значения для аргументов, пропорциональных . Поэтому и выбираем соответствующий масштаб.

Далее воспользуемся соотношением:

Его можно получить из формул приведения:

Это соотношение означает, что для аргументов, лежащих слева и справа от  на равном расстоянии, значения синусов будут одинаковы. Получаем следующий график (см. рис. 3).

Рис. 3. Полученный график

Теперь воспользуемся тем, что синус – нечетная функция. Графики нечетных функций симметричны относительно начала координат. Отражаем график. Мы получили график функции  на промежутке от  (см. рис. 4).

Рис. 4. График функции  на промежутке от

Далее пользуемся периодичностью. Период синуса равен , значит, прибавив к аргументу , мы получим те же значения функции. Прибавляя еще или вычитая , мы будем получать те же значения. Наш кусочек функции будет как бы «копироваться» влево и вправо бесконечное количество раз. Полученная линия и будет являться графиком функции  (см. рис. 5). Эту кривую еще называют синусоидой.

Рис. 5. График функции

Теперь отметим характеристики и свойства функции.

1. Областью определения являются все действительные числа:

Мы расширили понятие угла так, что его величина может быть любым числом. А величина угла в радианах – и есть аргумент функции.

2. Область значений:

Мы определяли синус как ординату точки на единичной окружности. Соответственно, значения синуса могут лежать только в пределах от  до .

3. Нули функции – это решения уравнения . С решениями уравнений подробнее вы познакомитесь на следующем уроке. А пока можем воспользоваться графиком. Нули функции: . В общем виде это можно записать так: , где  – целое число.

4. Промежутки знакопостоянства также отметим по графику. От  до  функция принимает положительные значения; от  до  – отрицательные. Это же поведение мы видим и на других участках графика. В общем виде:

5. По графику также можно определить промежутки монотонности. От  до  функция возрастает; от  до  – убывает. На других участках графика то же самое. Тогда в общем виде:

Теперь перейдем к косинусу. Его график легко построить, воспользовавшись соотношением, которое мы уже сегодня доказывали:

Т. е. график функции  совпадает с графиком функции . А этот график мы можем построить с помощью преобразования . Оно соответствует сдвигу графика на  единиц влево. Значит, для построения график функции  достаточно сдвинуть график синуса на  влево. Вот и получили график косинуса (см. рис. 6).

Рис. 6. График функции

Видим, что область определения и область значений у косинуса такие же, как и у синуса:

А вот нули функции, промежутки знакопостоянства и монотонности сдвинутся вместе с графиком на  влево. Нули:

Положительные и отрицательные значения:

Функция возрастает и убывает при:

Тангенс и котангенс

Теперь перейдем к тангенсу и котангенсу. Начнем строить график тангенса по точкам.

Соответственно, таблица значений:

Тангенс  не определен, ведь , а деление на ноль не определено. Что же делать? Соединим уже имеющиеся точки и посмотрим, что будет происходить с графиком по мере приближения аргумента к  (см. рис. 7).

Рис. 7. Соединенные точки

 будет приближаться к ,  – приближаться к , а значение дроби будет становиться все больше и больше. Т. е. значение тангенса будет все расти и расти. Но график никогда не пересечет прямую , ведь при этом значении аргумента функция не определена. Подобную ситуацию мы видели на графике функции  (см. рис. 8).

Рис. 8. График функции

При приближении аргумента к нулю значение функции неограниченно убывало. При этом график не пересекал прямую . Вспомним, что подобная прямая называется асимптотой графика. Соответственно, асимптотой графика  будет прямая .

Мы построили часть графика тангенса. Теперь воспользуемся тем, что эта функция нечетная. Значит, график симметричен относительно начала координат. Далее пользуемся периодичностью функции. Период тангенса равен , значения функции будут повторяться через этот промежуток. Получили график функции  (см. рис. 9).

Рис. 9. График функции

Видим, что этот график имеет множество асимптот, уравнения которых в общем виде можно описать так:

Эти асимптоты разбивают график на отдельные части, которые еще называют ветками тангенса. Ветка, которая проходит через начало координат, называют главной веткой.

По графику определим характеристики функции.

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Нули функции: . В общем виде все их можно описать так:

Несложно понять, почему они совпадают с нулями синуса, если вспомнить, что тангенс – отношение синуса и косинуса, а дробь равна  только тогда, когда ее числитель равен .

4. В общем виде:

5. На каждой своей ветке функция возрастает:

При этом корректно говорить, что функция возрастает на каждом из этих интервалов. Но нельзя сказать, что она возрастает на всей области определения, ведь при переходе через асимптоту функция меняет значение с положительного на отрицательное. Т. е. значение уменьшается.

Теперь, наконец, рассмотрим функцию . Для ее построения удобно воспользоваться формулой приведения:

Т. е. нам достаточно построить график функции . В этом нам помогут преобразования графиков. Сначала строим  – график тангенса отражается симметрично относительно оси . Затем сдвигаем его на  влево. Получаем график функции , он же будет графиком функции .

Рис. 10. График функции

Отметим характеристики.

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Нули функции (совпадают с нулями косинуса, объясните сами, почему):

4. В общем виде:

5. На каждой своей ветке функция убывает:

Преобразования графиков тригонометрических функций

Мы рассмотрели характеристики и графики тригонометрических функций , ,  и . Но при моделировании процессов обычно встречаются более сложные функции, например:

Чтобы исследовать подобные функции, достаточно применить преобразования графиков к уже изученным. Вспомним эти преобразования (можете пересмотреть соответствующие уроки «Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Функции», «Преобразование графиков функций»).

1. Прибавление числа к функции сдвигает график вдоль оси .
2. Прибавление числа к аргументу сдвигает график вдоль оси .
3. Умножение значения функции на число  растягивает или сжимает график вдоль оси . Если , то еще и симметрично отражает график относительно оси .
4. Умножение аргумента на число  растягивает или сжимает график вдоль оси x. Если , то еще и симметрично отражает график относительно оси .

Соответственно, чтобы построить график функции , необходимо:

1. Построить график функции  (см. рис. 11).

Рис. 11. График функции

2. Сжать его вдоль оси  в  раз, получив график  (см. рис. 12).

Рис. 12. График функции

3. Растянуть его вдоль оси  (см. рис. 13), а затем симметрично отразить относительно оси . В итоге получим график функции  (см. рис. 14).

Рис. 13. График функции

Рис. 14. График функции

По построенному графику функции можно указать все ее свойства. В частности, стоит обратить внимание, что у данной функции изменилась область значений и период по сравнению с функцией . Область значений данной функции: .

Период был , после сжатия вдоль оси  он уменьшился в  раз:

В общем случае про изменение области значений и периода функций можно сказать следующее.

• При преобразованиях вида  и  соответствующим образом изменяется область значений: сдвигается на  или расширяется/сужается в  раз.
• При преобразовании вида  период функций увеличивается или уменьшается в  раз.
• При преобразовании вида  период функции и ее область значений остается прежней.

Итак, применяя различные преобразования графиков, мы можем исследовать тригонометрические функции вида , где  – некоторые числа. Аналогично и для косинусов, тангенсов и котангенсов. Но в математической модели могут встретиться и другие тригонометрические выражения. Например, при колебаниях математического маятника зависимость его скорости от времени выглядит следующим образом:

Тогда выражение для кинетической энергии принимает вид:

Константы  и деление на  можем объединить в одну положительную константу . Получим функцию кинетической энергии от времени: , где  – некоторые числа. Как видите, здесь мы столкнулись с квадратом тригонометрической функции. Как же ее исследовать? Здесь нам поможет известный нам математический прием: свести нашу задачу к той, решение которой мы знаем.

Для начала перейдем к более привычным обозначениям:

Теперь используем формулу понижения степени:

Получаем:

А уже эту функцию мы уже знаем, как исследовать. Здесь нам помогут преобразования графиков. Базовая функция (см. рис. 15):

Рис. 15. График функции

Умножаем аргумент на :

При этом график сожмется вдоль оси  в  раз (см. рис. 16).

Рис. 16. График функции

Период функции станет в  раз меньше:

Далее умножаем функцию на :

График растягивается вдоль оси  в  раз и отражается симметрично относительно оси  (см. рис. 17).

Рис. 17. График функции

При этом область значений расширяется в  раз: было , станет:

И наконец, прибавляем :

График поднимается на  (см. рис. 18).

Рис. 18. График функции

Область значений также смещается на :

Таким образом, мы смогли исследовать функцию, содержащую квадрат тригонометрической функции. Посмотрели, какой будет ее область значений и ее период.

Список литературы

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс.  Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”»

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru
2. Интернет-портал ru.solverbook.com
3. Интернет-портал math34.ru

Домашнее задание

1. Определить промежутки возрастания (убывания) функции  на промежутке .
2. Найти множество значений функции , если .
3. Построить график функции:  

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т — период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют «синусоида».

Свойства функции синус y = sinx.

• Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .

• Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .

• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

• Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .

• Функция синус — нечетная, так как .

• Функция убывает при , возрастает при .

• Функция синус имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках .

• Функция y = sinx вогнутая при , выпуклая при .

• Координаты точек перегиба .

• Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют «косинусоида») имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

• Область определения функции косинус: .

• Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .

• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

• Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .

• Функция косинус — четная, так как .

• Функция убывает при , возрастает при .

• Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках .

• Функция вогнутая при , выпуклая при .

• Координаты точек перегиба .

• Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют «тангенсоида») имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

• Область определения функции тангенс: , где , Z – множество целых чисел. Поведение функции y = tgx на границе области определения Следовательно, прямые , где , являются вертикальными асимптотами.

• Наименьший положительный период функции тангенс .

• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

• Область значений функции y = tgx: .

• Функция тангенс — нечетная, так как .

• Функция возрастает при .

• Функция вогнутая при , выпуклая при .

• Координаты точек перегиба .

• Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют «котангенсоида»):

Свойства функции котангенс y = ctgx.

• Область определения функции котангенс: , где , Z – множество целых чисел. Поведение на границе области определения Следовательно, прямые , где  являются вертикальными асимптотами.

• Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .

• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

• Область значений функции котангенс: .

• Функция нечетная, так как .

• Функция y = ctgx убывает при .

• Функция котангенс вогнутая при , выпуклая при .

• Координаты точек перегиба .

• Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

5.2: Свойства графиков тригонометрических функций

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Майкл Коррал
• Schoolcraft College

В разделе 5. 1 мы видели, как графики тригонометрических функций повторяются через каждые \(2\pi \) радиан. В этом разделе мы обсудим это и другие свойства графиков, особенно для синусоидальных функций (синуса и косинуса).

Во-первых, напомним, что область определения функции \(f(x) \) — это множество всех чисел \(x \), для которых функция определена. Например, областью определения \(f(x) = \sin\;x\) является множество всех действительных чисел, тогда как областью определения \(f(x) = \tan\;x\) является множество все действительные числа, кроме \(x=\pm\,\frac{\pi}{2} \), \(\pm\,\frac{3\pi}{2} \), \(\pm\,\ frac{5\pi}{2} \), \(… \). диапазон функции \(f(x)\) — это набор всех значений, которые \(f(x)\) могут принимать в своей области определения. Например, диапазон \(f(x)=\sin\;x\) — это набор всех действительных чисел между \(-1 \) и \(1 \) (т. е. интервал \([-1, 1]\)), тогда как диапазон \(f(x) = \tan\;x \) представляет собой множество всех действительных чисел, как мы можем видеть из их графиков.

Функция \(f(x)\) является периодической , если существует число \(p>0\) такое, что \(x+p\) находится в области определения \(f(x)\) всякий раз, когда \(x \) есть, и если выполняется следующее соотношение:

\[\label{eqn:periodic} f(x+p) ~=~ f(x) \quad\text{для всех \(x\)} \]

Может быть много чисел \(p \), которые удовлетворяют вышеуказанным требованиям. Если существует наименьшее такое число \(p\), то мы называем это число периодом функции \(f(x)\).

Пример \(\PageIndex{1}\)

Функции \(\sin\;x \), \(\cos\;x \), \(\csc\;x \) и \(\sec \;x \) имеют одинаковый период: \(2\pi\) радиан. В разделе 5.1 мы видели, что графики \(y=\tan\;x \) и \(y=\cot\;x \) повторяются каждые \(2\pi \) радиан, но они также повторяются каждые \(\ пи\) радиан. Таким образом, функции \(\tan\;x \) и \(\cot\;x \) имеют период \(\pi \) радиан.

Пример \(\PageIndex{2}\)

Каков период \(f(x)=\sin\;2x\,\)?

Решение

График \(y=\sin\;2x \) показан на рисунке \(\PageIndex{1}\) вместе с графиком \(y=\sin\;x \) для сравнение на интервале \([0,2\pi] \). Обратите внимание, что \(\sin\;2x \) «работает в два раза быстрее», чем \(\sin\;x \).

Например, для \(x \) от \(0 \) до \(\frac{\pi}{2 } \), \(\sin\;x \) переходит из \(0 \) в \(1 \), но \(\sin\;2x\) может переходить из \(0 \) в \( 1 \) быстрее, как раз через интервал \([0,\frac{\pi}{4}] \). В то время как \(\sin\;x\) требуется полное \(2\pi \) радиан, чтобы пройти все цикл (самая большая часть графика, которая не повторяется), \(\sin\;2x \) проходит весь цикл всего за \(\pi \) радиан. Таким образом, период \(\sin\;2x\) равен \(\pi \) радианам.

В приведенном выше примере использовался график \(\sin\;2x \), но период можно найти аналитически. Поскольку \(\sin\;x \) имеет период \(2\pi \), мы знаем, что \(\sin\;(x+2\pi) = \sin\;x \) для всех \(x \ ). Поскольку \(2x\) является числом для всех \(x\), это означает, в частности, что \(\sin\;(2x+2\pi) = \sin\;2x\) для всех \(x \) . Теперь определите \(f(x)=\sin\;2x \). Затем

\[\nonumber \begin{align*}
f(x+\pi) ~&=~ \sin\;2\,(x+\pi)\\ \nonumber
&=~ \sin\;(2x+2 \pi)\\ \nonumber
&=~ \sin\;2x \quad\text{(как показано выше)}\\ \nonumber
&=~ f(x)
\end{align*} \nonumber \ ]

для всех \(x\), поэтому период \(p\) \(\sin\;2x\) равен не более \(\pi \), согласно нашему определению периода. Мы должны показать, что \(p>0 \) не может быть меньше, чем \(\pi \). Для этого воспользуемся доказательством от противного . То есть предположим, что \(0

\[\nonumber \begin{align*}
\sin\;2x ~&=~ f(x)\\ \nonumber
&=~ f(x+p) \quad\text{(так как \(p \ ) является периодом \(f(x)\))}\\ \nonumber
&=~ \sin\;2(x+p)\\ \nonumber
&=~ \sin\;(2x+2p)
\конец{выравнивание*} \номер \]

для всех \(х\). Поскольку любое число \(u \) может быть записано как \(2x \) для некоторого \(x \) (т. е. \(u = 2(u/2)\)), это означает, что \(\sin\;u = \sin\;(u+2p)\) для всех действительных чисел \(u\), и, следовательно, период \(\sin\;x \) максимально равен \(2p \). Это противоречие. Почему? Потому что период \(\sin\;x\) равен \(2\pi > 2p\). Следовательно, период \(p \) функции \(\sin\;2x \) не может быть меньше \(\pi \), поэтому период должен быть равен \(\pi \).

Вышеупомянутое может показаться большой работой, чтобы доказать что-то, что было визуально очевидно из графика (и интуитивно очевидно из идеи «вдвое быстрее»). К счастью, нам не нужно выполнять всю эту работу для каждой функции. , поскольку аналогичный аргумент работает, когда \(\sin\;2x \) заменяется на \(\sin\;\omega x \) для любого положительного действительного числа \(\omega\): вместо деления \(2\pi \) на \(2\), чтобы получить период, делим на \(\omega \). Рассуждение работает и для других тригонометрических функций. Таким образом, мы получаем:

Для любого числа \(\omega >0\):

\[\nonumber \begin{alignat*}{4}
\sin\;\omega x ~~&\text{имеет точку}~~ \frac{ 2\pi}{\omega}
\qquad\quad&\csc\;\omega x ~~&\text{имеет точку}~~ \frac{2\pi}{\omega}\\ \nonumber
\cos\ ;\omega x ~~&\text{имеет точку}~~ \frac{2\pi}{\omega}
\qquad\quad&\sec\;\omega x ~~&\text{имеет точку}~~ \ frac{2\pi}{\omega}\\ \nonumber
\tan\;\omega x ~~&\text{имеет период}~~ \frac{\pi}{\omega}
\qquad\quad&\cot \;\omega x ~~&\text{имеет точку}~~ \frac{\pi}{\omega}
\end{alignat*} \nonumber \]

Если \(\omega < 0 \), то используйте \(\sin\;(-A) = -\sin\;A \) и \(\cos\;(-A) = \cos\;A \ ) (например, \(\sin\;(-3x) = -\sin\;3x\)).

Пример \(\PageIndex{3}\)

Период \(y=\cos\;3x \) равен \(\frac{2\pi}{3} \), а период \(y= \cos\;\frac{1}{2}x \) равно \(4\pi \). Графики обеих функций показаны на рис. 5.2.2:

Мы знаем, что \(\;-1 \le \sin\;x \le 1\; \) и \(\;-1 \le \cos\;x \le 1\; \) для все \(х\). Таким образом, для константы \(A \ne 0 \),

\[ -|А| ~\le~ A\,\sin\;x ~\le~ |A| \quad\text{и}\quad
-|A| ~\le~ A\,\cos\;x ~\le~ |A|
\номер\]

для всех \(х\). В этом случае мы называем \(|A|\) амплитудой функций \(y=A\,\sin\;x\) и \(y=A\,\cos\;x\). В общем случае амплитуда периодической кривой \(f(x)\) равна половине разности наибольшего и наименьшего значений, которые может принимать \(f(x)\):

\[ \text{Амплитуда \(f(x)\)} ~=~ \frac{\text{(максимум \(f(x)\))} ~-~ \text{(минимум \( f(x)\))}}{2}
\номер\]

Другими словами, амплитуда — это расстояние от вершины или низа кривой до горизонтальной линии, которая делит кривую пополам, как показано на рис. 5.2.3.

Не все периодические кривые имеют амплитуду. Например, \(\tan\;x \) не имеет ни максимума, ни минимума, поэтому его амплитуда не определена. Точно так же \(\cot\;x\), \(\csc\;x\) и \(\sec\;x \) не имеют амплитуды. Поскольку амплитуда включает вертикальные расстояния, она не влияет на период функции, и наоборот.

Пример \(\PageIndex{4}\)

Найдите амплитуду и период \(y=3\,\cos\;2x \).

Решение

Амплитуда равна \(|3| = 3 \), а период равен \(\frac{2\pi}{2}=\pi \). График показан на рисунке 5.2.4:

Пример \(\PageIndex{5}\)

Найдите амплитуду и период \(y=2 — 3\,\sin\;\frac{2\pi}{3}x \).

Решение

Амплитуда \(-3\,\sin\;\frac{2\pi}{3}x \) равна \(|-3| =3 \). Добавление \(2 \) к этой функции для получения функции \(y=2 — 3\,\sin\;\frac{2\pi}{3}x \) не меняет амплитуду, даже если она изменяется максимум и минимум. Он просто сдвигает весь график вверх на \(2\). Итак, в данном случае у нас 92 ) \) достигает максимального значения \(2\) и минимального значения \(-2\). Таким образом, амплитуда действительно равна \(2\).
Примечание: эта кривая по-прежнему синусоидальна, несмотря на то, что она не является периодической, поскольку общая форма по-прежнему является формой «синусоидальной волны», хотя и с переменным числом циклов .

До сих пор в наших примерах мы могли определить амплитуды синусоидальных кривых довольно легко Это не всегда будет так

Пример \(\PageIndex{7}\)

Найдите амплитуду и период \(y=3\,\sin\;x + 4\,\cos\;x \).

Решение

Это иногда называют комбинацией синусоидальной кривой, поскольку она представляет собой сумму двух таких кривых. Период по-прежнему легко определить: поскольку \(\sin\;x\) и \(\cos\;x\) повторяются каждые \(2\pi \) радиан, то и комбинация \(3\, \sin\;x + 4\,\cos\;x \). Таким образом, \(y=3\,\sin\;x + 4\,\cos\;x \) имеет период \(2\pi \). Мы можем видеть это на графике, показанном на рисунке 5.2.7:

График показывает, что амплитуда равна \(5 \), что может быть не сразу очевидным, просто взглянув на то, как определена функция. На самом деле, определение \(y=3\,\sin\;x + 4\,\cos\;x\) может натолкнуть вас на мысль, что амплитуда равна \(7\), поскольку наибольшая, чем \(3 \,\sin\;x \) может быть равно \(3\), а наибольшее значение \(4\,\cos\;x \) может быть равно \(4 \), так что наибольшая их сумма может быть равно \(3+4=7\). Однако \(3\,\sin\;x\) никогда не может равняться \(3\) для того же \(x\), что делает \(4\,\cos\;x\) равным \(4\ ) (почему?).

Существует полезный метод (который мы обсудим далее в главе 6) для демонстрации того, что амплитуда \(y=3\,\sin\;x + 4\,\cos\;x\) равна \(5 \). Пусть \(\theta \) будет углом, показанным в прямоугольном треугольнике
на рис. 5.2.8. Затем \(\cos\;\theta = \frac{3}{5} \) и \(\sin\;\theta = \frac{4}{5} \). Мы можем использовать это следующим образом:

\[\nonumber \begin{align*}
y ~&=~ 3\,\sin\;x ~+~ 4\,\cos\;x\\ \nonumber
& =~ 5\,\left( \tfrac{3}{5}\,\sin\;x ~+~ \tfrac{4}{5}\,\cos\;x \right)\\ \nonumber
&=~ 5\,( \cos\;\theta\;\sin\;x ~+~ \sin\;\theta\;\cos\;x )\\ \nonumber
&=~ 5\,\ sin\;(x+\theta)\quad\text{(по формуле сложения синуса)}
\end{align*} \nonumber \]

Таким образом, \(|y| = |5\, \sin\;(x+\theta)| = |5|\,\cdot\,|\sin\;(x+\theta)| \le (5)(1) = 5 \), поэтому амплитуда \( y=3\,\sin\;x + 4\,\cos\;x\) есть \(5\).

Как правило, комбинация синусов и косинусов будет иметь период, равный наименьшему общему кратному периодов складываемых синусов и косинусов. В примере 5.9, \(\sin\;x \) и \(\cos\;x \) имеют период \(2\pi \), поэтому наименьшее общее кратное (которое всегда является целым числом , кратным ) равно \(1 \,\cdot\, 2\pi = 2\pi \).

Пример \(\PageIndex{8}\)

Найдите период \(y=\cos\;6x + \sin\;4x \).

Решение

Период \(\cos\;6x \) равен \(\frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \), а период \(\ sin\;4x\) равен \(\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \). Наименьшее общее кратное для \(\frac{\pi}{3} \) и \(\frac{\pi}{2} \) равно \(\pi\):

\[\nonumber \begin{alignat*}{4}
1 \;\cdot\; \tfrac{\pi}{3} ~&=~ \tfrac{\pi}{3} \quad\quad\quad
&1 \;&\cdot\; \tfrac{\pi}{2} ~&=~ \tfrac{\pi}{2}\\ \nonumber
2 \;\cdot\; \tfrac{\pi}{3} ~&=~ \tfrac{2\pi}{3} \quad\quad\quad
&2 \;&\cdot\; \tfrac{\pi}{2} ~&=~ \pi\\ \nonumber
3 \;\cdot\; \tfrac{\pi}{3} ~&=~ \pi \quad\quad\quad &{} &{}\\ \nonumber
\end{alignat*} \nonumber \]

Таким образом, период \ (y=\cos\;6x + \sin\;4x \) равно \(\pi \). Это видно из его графика на рис. 5.2.9.:

А как насчет амплитуды? К сожалению, мы не можем использовать технику из примера 5.9, так как мы берем косинус и синус одного и того же угла; мы берем косинус \(6x\), но синус \(4x\). При этом из графика видно, что максимум близок к \(2\), а минимум близок к \(-2\). В главе 6 мы опишем, как использовать программу численных вычислений, чтобы показать, что максимум и минимум равны \(\pm\,1,} \). Обратите внимание, что этот метод работает только тогда, когда угол \(\omega x \) одинаков как для синуса, так и для косинуса.

Мы видели, как добавление константы к функции сдвигает весь график по вертикали. Теперь мы увидим, как сдвинуть весь график периодической кривой по горизонтали.

Рассмотрим функцию вида \(y=A\,\sin\;\omega x \), где \(A \) и \(\omega \) — ненулевые константы. Для простоты будем считать, что \(A > 0 \) и \(\ omega > 0 \) (в общем случае любой из них может быть отрицательным). Тогда амплитуда равна \(A \), а период равен \(\frac{2\pi}{\omega} \). График показан на рисунке 5.2.10.

Тест по МСФО с ответами

Тестирование по международным стандартам финансовой отчетности

1. В состав обязательной части отчетности, подготовленный по МСФО, входит:

1) бухгалтерский баланс;

2) базовые характеристики финансовых результатов деятельности предприятия;

3) сведения об основных неопределенностях, с которыми сталкивается предприятие.

2. К информации, входящей в необязательную (дополнительную) часть отчетности, подготовленную по МСФО, относят:

1) учетную политику;

2) примечания к формам отчетности;

3) политику и мероприятия предприятия в сфере охраны окружающей среды.

3. Баланс включает следующие базовые линейные статьи:

1) запасы;

2) базовые средства;

3) транспортные расходы.

4. В Отчете о финансовых результатах должны быть представлены следующие статьи:

1) выручка;

2) коммерческие расходы;

3) задолженность покупателей и заказчиков.

5. Стандарту 1 по МСФО «Представление финансовой отчетности» соответствует:

1) ПБУ 4/99 «Бухгалтерская отчетность организации»;

2) ПБУ 5/01 «Учет материально-производственных запасов»;

3) ПБУ 1/98 «Учетная политика».

6. Финансовая отчетность должна показывать информацию о затратах по займам:

1) учетную политику, принятую для затрат по займам;

2) сумму затрат по займам, капитализируемую в течение периода, ставку капитализации;

3) учетную политику, принятую для затрат по займам, сумму затрат по займам, капитализируемую в течение периода, ставку капитализации.

7. Для учета текущих активов предназначен следующий счет:

1) 2110 «Земля»;

2) 1740 «Товары»;

3) 2320 «Патенты, лицензии».

8. В отчете о движении денежных средств представляется информация:

1) о движении денежных средств в результате инвестиционной деятельности компании;

2) о наличии денежных средств в компании;

3) о финансовых результатах хозяйственной деятельности компании.

9. Базовые элементы бухгалтерского баланса — это (активы, обязательства, капитал)

10. Цель финансовой отчетности состоит в представлении информации:

1) о финансовом положении компании;

2) о результатах деятельности компании;

3) о поступлении денег на расчетный счет.

11. В Отчете о финансовых результатах представлены статьи:

1) выручка;

2) себестоимость продаж;

3) запасы.

12. Если активы отражаются по сумме денежных средств, которая в настоящее время может быть выручена от реализации актива в нормальных условиях, то использован метод оценки элементов финансовой отчетности по .

13. Финансовая отчетность должна показывать информацию об амортизации основных средств:

1) учетную политику, принятую для амортизируемых активов;

2) метод начисления амортизации, срок полезной службы и сумму амортизации за отчетный период и накопленную;

3) учетную политику, принятую для амортизируемых активов, метод начисления амортизации, срок полезной службы и сумму амортизации за отчетный период и накопленную.

14. Соответствие между видом финансовой отчетности и целью его составления:

1. Бухгалтерский баланс. 1) результаты финансово-хозяйственной

2. Отчет о финансовых результатах. деятельности компании;

3. Отчет о движении денежных 2) финансовое положение компании;

средств. 3) особенности отрасли;

4 изменение финансового положения.

15. Собственные средства компании называют .

16. Обязательная часть отчетности, подготовленный по МСФО включает:

1) базовые характеристики финансовых результатов деятельности предприятия;

2) сведения об основных неопределенностях, с которыми сталкивается предприятие;

3) Отчет о финансовых результатах.

17. В необязательную (дополнительную) часть отчетности, подготовленную по МСФО, включают:

1) учетную политику;

2) бухгалтерский баланс;

3) базовые характеристики финансовых результатов деятельности предприятия.

18. Обязательства компании представляют собой:

1) будущие экономические выгоды;

2) долги компании;

3) ценности, используемые компанией в ходе деятельности.

19. Отчет об изменениях в капитале отражает информацию:

1) о чистой прибыли (убытке) за период;

2) о финансовом положении;

3) о результатах исправлений фундаментальных ошибок.

20. Учетная политика и примечания представляют следующую информацию:

1) информацию, требуемую в соответствии с МСФО и, не включенную в отчетные формы;

2) дополнительную информацию для подтверждения достоверности финансовой отчетности;

3) результаты исправлений фундаментальных ошибок.

21. В учетной политике о выручке раскрывается следующая информация:

1) используемые методы оценки выручки;

2) используемые методы признания выручки;

3) используемые методы оценки выручки, используемые методы признания выручки, методы для определения стадии завершенности операций, связанных с оказанием услуг.

IAS 1. Представление финансовой отчетности по МСФО

Отчетность по МСФО должна отражаться на основе:

• Кассового метода признания доходов и расходов
• Принципа начисления

Чему равен итог совокупного дохода в ОСД?

• Сумме чистой прибыли из ОПУ
• Сумме прочего совокупного дохода из ПСД
• Сумме двух итогов: ОПУ и ПСД

Верно ли, что ПСД должен содержать 2 группировки доходов/расходов? 1. Не будут впоследствии реклассифицированы в ОПУ. 2. Будут реклассифицированы в ОПУ при выполнении определенных условий.

• Да
• Нет

Дооценка основных средств (переоценка проводится впервые) должна отражаться в:

• ОПУ
• ПСД
• Нет правильного ответа, только через Отчет об изменении капитала

Выберете верное утверждение для статьи «Нераспределенная прибыль» в ОФП:

• Должна быть равна величине чистой прибыли из ОПУ
• Должна быть равна итоговой величине из ПСД
• Рассчитывается как сумма Нераспределенной прибыли на начало года + Чистой прибыли из ОПУ за отчетный период
• Рассчитывается как сумма Нераспределенной прибыли на начало года + Итого совокупного дохода за отчетный период

Принцип начисления обозначает, что операция признается в отчетности:

• В тот момент, когда она возникла, независимо от момента получения/выплаты денежных средств
• В тот момент, когда получены/выплачены денежные средства

% доходы должны отражаться в ОПУ по статье:

• Прочие доходы
• Инвестиционные доходы
• Финансовые доходы и расходы, нетто

% расходы должны отражаться в ОПУ по статье:

• Прочие расходы
• Инвестиционные расходы
• Финансовые расходы

Операции с собственными акциями (эмиссия акций, дивиденды акционерам) должны отражаться:

• В ОПУ
• В ПСД
• Только через ОИК

Расходы, понесенные в результате эмиссии акций, должны отражаться по статье:

• Инвестиционный расход в ОПУ
• Финансовый расход в ОПУ
• Нераспределенная прибыль
• Эмиссионный доход

Перейти к результату

Результат

Всего вопросов: 0

Правильных ответов: 0

Верно: 0%

Мы установили диапазон значений:

• 0 — 30% — Младенец

• 31 — 50% — Школьник

• 51 — 80% — Студент

• Вы уже что-то знаете по МСФО, но этого будет не достаточно для успешной сдачи экзамена, т. к. на экзамене никто не предложит выбор правильного ответа из уже представленных ответов, а также задания будут сложнее, чем данные тесты

• Более 80% — Профессор

• Вы хорошо знаете теорию МСФО, но для успешной сдачи экзамена Вы должны научиться применять знания теории на практике. Будьте практикующим профессором! Решайте задачи!

Ваш уровень — Младенец.

Продолжайте изучать МСФО!

Изучите свои ошибки и правильные ответы.

Кликайте по таблице, она интерактивна.

Мы установили диапазон значений:

• 0 — 30% — Младенец

• 31 — 50% — Школьник

• 51 — 80% — Студент

• Вы уже что-то знаете по МСФО, но этого будет не достаточно для успешной сдачи экзамена, т.к. на экзамене никто не предложит выбор правильного ответа из уже представленных ответов, а также задания будут сложнее, чем данные тесты

• Более 80% — Профессор

• Вы хорошо знаете теорию МСФО, но для успешной сдачи экзамена Вы должны научиться применять знания теории на практике. Будьте практикующим профессором! Решайте задачи!

Ваш уровень — Школьник.

Продолжайте изучать МСФО!

Изучите свои ошибки и правильные ответы.

Кликайте по таблице, она интерактивна.

Мы установили диапазон значений:

• 0 — 30% — Младенец

• 31 — 50% — Школьник

• 51 — 80% — Студент

• Вы уже что-то знаете по МСФО, но этого будет не достаточно для успешной сдачи экзамена, т.к. на экзамене никто не предложит выбор правильного ответа из уже представленных ответов, а также задания будут сложнее, чем данные тесты

• Более 80% — Профессор

• Вы хорошо знаете теорию МСФО, но для успешной сдачи экзамена Вы должны научиться применять знания теории на практике. Будьте практикующим профессором! Решайте задачи!

Ваш уровень — Студент.

Продолжайте изучать МСФО!

Изучите свои ошибки и правильные ответы.

Кликайте по таблице, она интерактивна.

Мы установили диапазон значений:

• 0 — 30% — Младенец

• 31 — 50% — Школьник

• 51 — 80% — Студент

• Вы уже что-то знаете по МСФО, но этого будет не достаточно для успешной сдачи экзамена, т.к. на экзамене никто не предложит выбор правильного ответа из уже представленных ответов, а также задания будут сложнее, чем данные тесты

• Более 80% — Профессор

• Вы хорошо знаете теорию МСФО, но для успешной сдачи экзамена Вы должны научиться применять знания теории на практике. Будьте практикующим профессором! Решайте задачи!

Ваш уровень — Профессор.

Вы хорошо знаете МСФО!

Приступайте к практике!

Станьте практикующим профессором!

Анализ

Повторить

Тест финансового учета МСФО | Отборочная оценка

Используйте наш тест по финансовому учету (МСФО), чтобы нанять лучших

Этот тест по финансовому учету оценивает способность кандидатов регистрировать, классифицировать и обобщать бухгалтерские операции в соответствии с МСФО. Этот отборочный тест перед приемом на работу поможет вам нанять экспертов с практическими навыками финансового учета.

Покрываемые навыки

• Запись и документация
• Классификация и обобщение
• Отчетность и презентация
• Интерпретация и финансовый анализ

Используйте тест по финансовому учету (МСФО) для найма

Бухгалтеров, помощников бухгалтеров, финансовых бухгалтеров, финансовых менеджеров и других должностей, требующих хорошего понимания финансового учета.

Тип

Ролевые навыки

Время

10 мин

Языки

Английский

Уровень

Средний уровень

Предварительные вопросы Начало работы

О тесте финансового учета (МСФО)

Финансовый учет играет важную роль, помогая предприятиям отслеживать доходы и расходы, обеспечивать соблюдение законодательства и предоставлять инвесторам, руководству и правительству финансовую информацию, необходимую им для принятия правильных деловых решений.

Этот тест по финансовому учету (МСФО) оценивает способности кандидата по различным темам финансового учета, начиная от балансов и отчетов о прибылях и убытках и заканчивая движением денежных средств и собственным капиталом. Тест оценивает навыки кандидатов в области записи и документирования, классификации и обобщения, отчетности и презентации, интерпретации и финансового анализа. Все вопросы ориентированы на практическое применение, оценивая способность кандидата составлять бухгалтерские книги, отражающие истинное и справедливое финансовое положение отчитывающейся организации, и вести сложные бухгалтерские операции как в соответствии с полной версией Международных стандартов финансовой отчетности (полная версия МСФО), так и Международными стандартами финансовой отчетности для малых предприятий. и средние предприятия (МСФО для МСБ).

Кандидаты, хорошо сдавшие этот тест, будут хорошо разбираться в МСФО и иметь технические навыки, необходимые для выполнения бухгалтерских обязанностей, выполнения основных и сложных бухгалтерских процессов, подготовки финансовой отчетности и интерпретации финансовых результатов.

Тест проводится экспертом в данной области

Мируру В.

Практикующий сертифицированный бухгалтер (CPA), Мируру имеет более чем 25-летний опыт работы в области финансовой отчетности, финансового управления и налоговых консультаций. Когда он не проводит аудит в соответствии с международными стандартами аудита и финансовой отчетности, вы можете обнаружить, что Мируру выполняет задания по отчетности и управлению финансами в различных секторах, включая, помимо прочего, переработку сельскохозяйственной продукции, сельское хозяйство, импорт нефти, розничную торговлю, строительство, недвижимость.

Создано с использованием экспертных знаний

Тесты TestGorilla создаются экспертами в предметной области. Мы оцениваем потенциальных экспертов в предметной области на основе их знаний, способностей и репутации. Перед публикацией каждый тест рецензируется другим экспертом, а затем калибруется с участием сотен испытуемых с соответствующим опытом в данной области. Наши механизмы обратной связи и уникальные алгоритмы позволяют нашим профильным экспертам постоянно улучшать свои тесты.

Что говорят наши клиенты

Мишель С.

Интуитивная первоначальная настройка заняла у меня менее 30 минут. В течение часа мы проверили первого кандидата. Мне очень нравится возможность добавлять к тесту настраиваемые вопросы, это позволяет нам не только проверять профессиональные навыки, но и оценивать соответствие кандидата культуре нашей компании.

Michiel S.

Малый бизнес (50 или менее емп.)

Обзор от

Kristel K.

Большой выбор оценок, легко найти оценки для различных должностей. Это действительно помогает сэкономить драгоценное время и выбрать лучших кандидатов на основе их соответствующих навыков.

Кристель К.

Менеджер по персоналу, малый бизнес (50 или меньше сотрудников)

Отзыв от

Джаспер М.

TestGorilla сэкономила мне время и деньги. Мне нравится разнообразие тестов, которые мы использовали для найма разработчиков программного обеспечения и специалистов по данным. Платформа проста в использовании и легко подключается к другому программному обеспечению, которое мы используем.

Джаспер М.

Основатель, Отдых, Путешествия и Туризм, Промышленность, 11-50 сотрудников

Отзыв от

Лаура С.

TestGorilla — отличный способ оценить навыки кандидатов. Количество вариантов при выборе тестов было в изобилии. Кроме того, количество тестов, доступных для нескольких разных позиций, было большим, потому что обычно вы видите тесты только для учета или набора текста. Мы нашли тесты для COO, digital-маркетинга, SEO и ряда других позиций. Вы можете измерить не только навыки, но и внимание к деталям и т. д.

Лаура С.

Генеральный директор, малый бизнес (50 или менее эмп.)

Отзыв от

Используйте TestGorilla, чтобы нанимать лучших быстрее, проще и без предубеждений

Наши отборочные тесты выявляют лучших кандидатов и делают ваши решения о найме быстрее, проще и без предвзятости.

Посмотрите, как вы можете использовать тест по финансовому учету (МСФО)

Какое тождество называют формулой разности кубов. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».

Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
«a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) », то можно понять, что на месте «a » из первой скобки стоит «y 2 , а на месте «b » стоит «1 ».

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. 2\right)\]

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».

Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
«a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) », то можно понять, что на месте «a » из первой скобки стоит «y 2 , а на месте «b » стоит «1 ».

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Схемы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСО) нужны для того, чтобы умножать и возводить числа, выражения, в том числе многочлены. То есть с помощью формул можно работать с числами гораздо быстрее и проще. Таким образом, из сложного уравнения можно составить обычное уравнение, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращенного умножения

Наименование	Формула	Как читать
Сумма в квадрате		Квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разницы		Квадрат разницы между двумя выражениями равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Куб суммы		Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате плюс второе выражение в кубе.
Разностный куб		Куб разности двух величин равен первому выражению в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов		Разность квадратов первого и второго выражений равна произведению разности двух выражений на их сумму.
Сумма кубов		Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
Разность кубиков		Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возвести в квадрат или возвести в куб сумму (разность) двух выражений. Что касается пятой формулы, то ее необходимо применять для краткого умножения разности или суммы двух выражений.

Последние две формулы (6 и 7) используются для умножения суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Приведенные выше формулы довольно часто требуются на практике. Именно поэтому желательно знать их наизусть.

Если вам попадется пример, разлагающий многочлен на множители, то во многих случаях нужно переставить левую и правую части.

Например, возьмем ту же самую первую формулу:

и положим левую часть к правой, а правую к левой:

Ту же процедуру можно проделать и с остальными формулами.

Доказательство ФСО

Остановимся на доказательствах приведенных формул умножения. Это несложно. Вам просто нужно открыть скобки. Рассмотрим первую формулу — квадрат суммы: .

Шаг первый.

Возведем a + b во вторую степень. Для этого не будем трогать степень, а проведем банальное умножение: = x.

Шаг второй. Теперь раскроем скобки: х+х.

Шаг третий … Раскройте скобки: х + х + х + х.

Шаг четвертый … Умножаем, не забывая про знаки: х+х+.

Шаг пятый … Упростим выражение:.

Таким же образом можно доказать абсолютно любую формулу сокращенного умножения.

Примеры и решения с использованием FSO

Обычно эти семь формул используются, когда вам нужно упростить выражение, чтобы решить уравнение или даже общий пример.

Пример 1

Упражнение

Упростим выражение:

Как видите, первая формула сокращенного умножения — Квадрат суммы — подходит для этого примера.

Решение

На основе первой формулы пример необходимо разложить на множители. Для этого смотрим в формулу и подставляем вместо букв цифры. В нашем случае «а» — 3х, а «б» — 5:9.0005

Читаем правую часть и записываем результат. Получаем:

В примере нужно умножить все, что умножается и сразу получаем ответ:

Конечно, есть и примеры с дробями. Но, если вы научитесь решать простые примеры, то и других типов вы не будете бояться.

Пример 2

Упражнение

Упростите выражение

Решение

= — x x + =

Удвоенное произведение этих выражений равно -, что совпадает со вторым членом трехчлена (со знаком плюс), а значит,

Итак, как видите, ничего сложного в примерах нет. Главное знать формулы, где их можно применить, а где можно обойтись без них.

Справочные источники

1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учеб. пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск «Народная асвета», 2017. — 304 с.
2. Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра 7 класс: М: 2015 — 287 с.
3. Рубин А.Г., Чулков П.В. Алгебра. 7-й класс. Москва: 2015. — 224 с.

БСС — формулы сокращенного умножения по алгебре для 7 класса с примерами обновлено: 22 ноября 2019 автором: Научные Статьи.Ру

На предыдущем уроке мы разобрались с факторингом. Мы освоили два метода: вынос общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке следующий мощный способ: формулы сокращенного умножения … Короче — пох.

Формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) необходимы во всех разделах математики. Они используются при упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т. д. и т. п. Словом, есть все основания иметь с ними дело. Понять, откуда они берутся, зачем нужны, как их запомнить и как применять.

Понятно?)

Откуда берутся формулы сокращенного умножения?

Равенства 6 и 7 записываются не очень привычным образом. Как бы наоборот. Это сделано специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее откуда ФСО.

Они получаются от умножения.) Например:

(a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Вот и все, никаких научных фокусов. Мы просто умножаем скобки и даем похожие. Вот и получается всех формул сокращенного умножения. Сокращенное умножение связано с тем, что в самих формулах нет умножения скобок и слепка однотипных. Сокращено.) Сразу выдается результат.

ФСО нужно знать наизусть. Без первой тройки о тройке и мечтать нельзя, без остальных — о четверке и пятерке.)

Зачем нужны формулы сокращенного умножения?

Есть две причины учиться, даже запоминать эти формулы. Во-первых, готовый ответ на машине резко снижает количество ошибок. Но это не основная причина. А вот второй…

Если вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Выражение ( a + b ) 2 есть квадрат суммы числа a и b . .. По определению степени выражение ( a + b a 8 8 + б )( а + б ). Следовательно, из квадрата суммы можно сделать вывод, что

( a + b ) 2 = ( a + b )( a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ,

то есть квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

формула квадрата суммы

( а + б ) 2 = а 2 + 2 аб + б 2

Многочлен a 2 + 2 ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.

Поскольку a и b обозначают любые числа или выражения, то правило дает нам возможность сокращенным способом возводить в квадрат любое выражение, которое можно рассматривать как сумму двух членов.

Пример. Квадратное выражение 3 x 2 + 2 ху .

Решение: чтобы не делать дополнительных преобразований воспользуемся формулой квадрата суммы. Мы должны получить сумму квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(3 x 2 + 2 xy ) 2 = (3 x 2) 2 + 2 (3 x 2 2 xy ) + (2 xy ) 0 2 900

Теперь, используя правила умножения и возведения в степень одночленов, упростим полученное выражение:

(3 x 2) 2 + 2 (3 x 2 2 xy ) + (2 xy ) 2 = x 4 + 12 x 3 y + 4 + x 3 y + 4 + 4 x 3 y + 4 + 4 x 3 y + 4 + x 3 x + 4 + x 3 x + 4 + x 3 . 2 г 2

Квадрат разницы

Выражение ( a — b ) 2 равно разности в квадрате чисел a и b . .. Выражение ( a — b ) 2 есть произведение двух полиномов ( a — b ) 9017 б )( а — б ). Следовательно, из квадрата разности можно сделать вывод, что

( A — B ) 2 = ( A — B ) ( A — B ) = A 2 — AB ) = A 2 — AB ). а 2 — 2 аб + б 2 ,

то есть квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадратов разности без промежуточных преобразований будет выглядеть так:

( а — б ) 2 = а 2 — 2 аб + б 2

Многочлен a 2 — 2 ab + b 2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращенному возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трех членов:

(2 и 2 — 5 и 2) 2

Решение: по формуле квадрата разности находим:

(2 a 2 — 5 ab 2) 2 = (2 a 2) 2 — 2(2 a 2 5 ab 2) + (5 ab 902) 2

Теперь преобразуем выражение в стандартный полином:

(2 а 2) 2 — 2(2 а 2 5 аб 2) + (5 аб 2) 2 = 4 а 4 — 20 а 3 б 7 7 19178 91 + 20 б 4

Разность квадратов

Выражение a 2 — b 2 есть разность квадратов чисел a и b … Выражение a 2 — b 2 есть сокращенный способ умножения двух чисел на сумму двух чисел их разница:

( A + B ) ( A — B ) = A 2 + AB — AB — B 2 = AB — B 2 = AB — B 2 =

7 B B — AB — B .

то есть произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

и 2 — б 2 = ( а + б )( а — б )

Это правило касается сокращенного умножения выражений, которые можно представить: одно как сумму двух чисел, а другое как разность этих же чисел.

Пример. Преобразовать произведение в бином:

(5 и 2 + 3)(5 и 2 — 3)

Решение:

(5 a 2 + 3)(5 a 2 — 3) = (5 и 2) 2 — 3 2 = 25 и 4 — 9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дали формулу правой части, и мы преобразовали ее в левую:

( a + b )( a — b ) = a 2 — b 2

На практике все три рассмотренные формулы применяются как слева направо, так и справа налево в зависимости от ситуации.

Для упрощения алгебраических многочленов существует формулы сокращенного умножения … Их не так много и запомнить их легко, но запомнить их нужно. Обозначения, которые используются в формулах, могут иметь любую форму (числовую или полиномиальную).

Первая формула сокращенного умножения называется разностью квадратов . Она заключается в том, что из квадрата одного числа вычитается квадрат второго числа, который равен величине разности между этими числами , а также их продукт.

а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)

Разберем для наглядности:

22 2 — 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 — 4b 2 c 2 = (3a — 2bc) (3a + 2bc)

Вторая формула примерно сумма квадратов … Звучит так, сумма двух величин в квадрате равна квадрату первой величины, к ней прибавляется удвоенное произведение первой величины на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.

(а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2

Благодаря этой формуле становится намного проще вычислять квадрат большого числа без использования компьютеров.

Так например: квадрат 112 будет
1) В начале разложим 112 на числа, квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Полученное в скобки заносим в квадрат
112 2 = (100+12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула — квадратная разность … Которая утверждает, что два вычитаемых значения в квадрате равны тому факту, что из первого значения в квадрате мы вычитаем двойное произведение первого значения, умноженного на второй, добавляя к ним квадрат второго значения.

(а + b) 2 = а 2 — 2ab + b 2

где (a — b) 2 равно (b — a) 2. Чтобы доказать это, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Четвертая формула сокращенного умножения называется куб сумма … Что звучит так: два слагаемых значения в кубе равны кубу 1 значения, тройное произведение 1 значения в квадрате, умноженное на 2-е значение, к ним прибавляется тройное произведение числа 1 значение, умноженное на квадрат 2 значений, плюс второе значение в кубе.

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

Пятый, как вы уже поняли, называется куб разности … Который находит разности между величинами, так как из первого обозначения в кубе вычитаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе , к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения, умноженное на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.

(а-б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3

Называется шестой — сумма кубов … Сумма кубов равна произведению двух слагаемых, умноженному на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 + b 3 = (а + b) (а 2 -ab + b 2)

Другими словами, сумму кубов можно назвать произведением в двух скобках.

Седьмой и последний называется разность кубиков (его легко спутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разница между кубиками равна произведению разности двух значений, умноженной на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 — б 3 = (а-б) (а 2 + аб + б 2)

А так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи между собой и легко запоминаются, главное не запутаться в знаках. Они также предназначены для использования в обратном порядке, и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте осторожны, и у вас все получится.

Если у вас есть вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Мы будем рады ответить Вам!

Если вы в декретном отпуске, но хотите зарабатывать. Просто перейдите по ссылке Интернет-бизнес с Oriflame. Там все очень подробно написано и показано. Это будет интересно!

Математические выражения (формулы) Сокращенное умножение (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) чрезвычайно незаменимы во многих областях из точных наук. Эти 7 символьных обозначений незаменимы для упрощения выражений, решения уравнений, умножения многочленов, сокращения дробей, решения интегралов и многого другого. А это значит, что будет очень полезно понять, как они получаются, для чего нужны, а главное, как их запомнить, а затем применить. Затем применяя формулы сокращенного умножения на практике, самое сложное будет посмотреть что такое NS и что у вас есть. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И так они:

Первые х 2 — 2 = (x — y) (x + y) .Для вычисления разности квадратов два выражения надо умножить на разности этих выражений на их суммы.

Второй (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 … Чтобы найти квадрат суммы двух выражений, нужно прибавить удвоенное произведение первого выражения к второе плюс квадрат второго выражения к квадрату первого выражения.

Третье (x — y) 2 = x 2 — 2xy + y 2 … Чтобы вычислить квадрат разницы двух выражений, нужно вычесть удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения из квадрата первого выражения.

Четвертый (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + y 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений, нужно прибавить к кубу первого выражения тройное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятый (х — у) 3 = х 3 — 3х 2 у + 3х 2 — at 3 … Для вычисления куба разности двух выражений необходимо из куба первого выражения вычесть утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестое x 3 + at 3 = (x + y) (x 2 — xy + y 2) Чтобы вычислить сумму кубов двух выражений, нужно перемножить суммы первого и вторых выражений неполным квадратом разности этих выражений.

Седьмая x 3 — at 3 = (x — y) (x 2 + xy + y 2) Для выполнения вычисления кубики разности два выражения, разница между первым и вторым выражением должна умножить на неполный квадрат суммы этих выражений.

Нетрудно запомнить, что все формулы применяются для выполнения расчетов и в обратном направлении (справа налево).

Существование этих закономерностей было обнаружено около 4 тысяч лет назад. Их широко использовали жители древнего Вавилона и Египта. Но в те времена их выражали словесно или геометрически и не использовали буквы в расчетах.

Давайте проанализируем доказательство квадрата суммы (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий ученый Евклид, работавший в Александрии в 3 веке до н. Эллада . Широко употребляли не «а 2», а «квадрат на отрезке а», не «аб», а «прямоугольник, заключенный между отрезками а и Ь». 92$.

Для этого запомните следующее правило:

Если к выражению прибавить любой одночлен и вычесть такой же одночлен, то получим правильное тождество.

Добавим к нашему выражению и вычтем из него моном $ab$:

В сумме получим:

То есть разность квадратов двух мономов равна произведению их разности на их сумму . 2$ 92\справа)\]

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами формулы выведены из существующих в алгебре правил умножения нескольких многочленов.

Использование этих формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также способствует упрощению выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют производить некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить выражение в левой части равенства, которое в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение в слева после знака равенства).

Формулы сокращенного умножения удобно знать по памяти, так как они часто используются при решении задач и уравнений. Основные формулы, включенные в этот список, и их названия приведены ниже.

квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, нужно найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения это правило записывается так: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Квадрат разности

Для вычисления квадрата разности нужно вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с обратным знаком ) и квадрат второго числа. В виде выражения это правило выглядит так: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел в квадрате равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения это правило выглядит так: а² — с² = (а + с) (а — с).

куб суммы

Для вычисления куба суммы двух слагаемых необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, тройного произведения квадрата первого слагаемого на второе, утроенное произведение первого члена на квадрат второго и куб второго члена. В виде выражения это правило выглядит так: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Сумма кубов

Согласно формуле равна произведению суммы этих слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения это правило выглядит так: а³ + с³ = (а + с) (а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образуется при сложении двух кубиков. Известны только величины их сторон.

Если значения сторон малы, то легко произвести расчеты.

Если длины сторон выражены громоздкими числами, то в этом случае проще применить формулу «Суммы кубов», что значительно упростит расчеты.

куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумму третьей степени первого члена утроить отрицательное произведение квадрата первого члена на второй утроить произведение первого члена на квадрат второго и отрицательный куб второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит так: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов только одним знаком. Таким образом, разность кубов представляет собой формулу, равную произведению разности этих чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит так: а 3 — с 3 = (а — с) (а 2 + ас + с 2).

Пример. Необходимо рассчитать объем фигуры, который останется после вычитания желтой объемной фигуры, которая также является кубом, из объема синего куба. Известен только размер стороны малого и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то расчеты достаточно просты. А если длины сторон выражены значащими числами, то стоит воспользоваться формулой под названием «Разность кубов» (или «Разностный куб»), которая значительно упростит расчеты.

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения полинома на множители: вынос общего множителя за скобки и метод группировки.

В этом уроке мы рассмотрим другой способ разложения многочлена на множители с использованием формул сокращенного умножения .

Мы рекомендуем писать каждую формулу не менее 12 раз. Для лучшего запоминания запишите все формулы сокращенного умножения для себя на небольшой шпаргалке.

Вспомните, как выглядит формула разности кубов.

а 3 — б 3 = (а — б) (а 2 + аб + б 2)

Формулу разности кубов не очень легко запомнить, поэтому рекомендуем использовать особый способ ее запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращенного умножения работает и в обратную сторону.

(а — б) (а 2 + аб + б 2) = а 3 — б 3

Рассмотрим пример. Необходимо факторизовать разность кубов.

Обратите внимание, что «27a 3» — это «(3a) 3», а это значит, что для формулы разности кубов вместо «a» мы используем «3a».

Используем формулу разности кубов. На месте «а 3» имеем «27а 3», а на месте «б 3», как и в формуле, «б 3».

Применение разности кубов в обратном порядке

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов по формуле сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1) (x 2 + x + 1)» напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a» стоит «x», и вместо «б» стоит «1».

Для «(x − 1)(x 2 + x + 1)» используем формулу разности кубов в обратном направлении.

Рассмотрим более сложный пример. Требуется упростить произведение многочленов.

Если мы сравним «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)» с формулами разности правого куба,
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)” , то можно понять, что на месте «а» из первой скобки стоит «у 2», а на месте «б» стоит «1».

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; разность квадратов двух выражений; куб суммы и куб разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители и приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть a, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения и второго плюс квадрат второго выражения.

(а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения и второго плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)

4. куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс умноженному на три квадрата первого выражения умноженному на второе плюс умноженному на три произведению первого выражения на квадрат второго плюс умноженному на куб второе выражение.

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

5. куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

теория и примеры Первый замечательный предел

Bog’liq
Первый замечательный предел
firewalls, Список по ИКТ и смежным областям России в Скопус 2020, DocCC, 7 sinf Tarix fanidan IV chorak, 7 sinf Tarix fanidan IV chorak, qwer, Лекция , Maruza 13, 1-maruza, Касби туман мактабгача таълим бўлимига қарашли 21, Лекция , 08-architecture-beamer, 1-maruza. Dasturlash paradigmalarining vujudga kelishi, Laboratoriya ishi 16 jasur, Laboratoriya ishi 16 jasur

Bu sahifa navigatsiya:

• Действия со степенями и корнями

Первый замечательный предел: теория и примеры Замечательных пределов существует несколько, но самыми известными являются первый и второй замечательные пределы. Замечательность этих пределов состоит в том, что они имеют широкое применение и с их помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах. Этим мы и будем заниматься в практической части данного урока. Для решения задач путём приведения к первому или второму замечательному пределу не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости, поскольку значения этих пределов уже давно вывели великие математики. Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере: Приведённое выше равенство основано на эквивалентности бесконечно малых  . Следовательно, верно равенство и следующего отношения: . Это разновидность первого замечательного предела. Переходим к решению задач на первый замечательный предел. Заметим: если под знаком предела находится тригонометрическая функция, это почти верный признак того, что это выражение можно привести к первому замечательнному пределу. При решении не обойтись без преобразований выражений. Для этого обязательно потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями. Пример 1. Найти предел  . Решение. Подстановка вместо x нуля приводит к неопределённости: . В знаменателе — синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования: . В знаменателе — синус трёх икс, а в числителе всего лишь один икс, значит, нужно получить три икс и в числителе. Для чего? Чтобы представить 3x = a и получить выражение  . И приходим к разновидности первого замечательного предела: , потому что неважно, какая буква (переменная) в этой формуле стоит вместо икса. Умножаем икс на три и тут же делим: . В соответствии с замеченным первым замечательным пределом производим замену дробного выражения: . Теперь можем окончательно решить данный предел: . А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн. Пример 2. Найти предел  . Решение. Непосредственная подстановка вновь приводит к неопределённости «нуль делить на нуль»: . Чтобы получить первый замечательный предел, нужно, чтобы икс под знаком синуса в числителе и просто икс в знаменателе были с одним и тем же коэффициентом. Пусть этот коэффициент будет равен 2. Для этого представим нынешний коэффициент при иксе как  и далее, производя действия с дробями, получаем: . Пример 3. Найти предел  . Решение. При подстановке вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»: . Наверное, вам уже понятно, что из исходного выражения можно получить первый замечательный предел, умноженный на первый замечательный предел. Для этого раскладываем квадраты икса в числителе и синуса в знаменателе на одинаковые множители, а чтобы получить у иксов и у синуса одинаковые коэффициенты, иксы в числителе делим на 3 и тут же умножаем на 3. Получаем: . Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн. Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! К началу страницы Пройти тест по теме Предел Пример 4. Найти предел  . Решение. Вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»: . Можем получить отношение двух первых замечательных пределов. Делим и числитель, и знаменатель на икс. Затем, чтобы коэффициенты при синусах и при иксах совпадали, верхний икс умножаем на 2 и тут же делим на 2, а нижний икс умножаем на 3 и тут же делим на 3. Получаем: Пример 5. Найти предел  . Решение. И вновь неопределённость «нуль делить на нуль»: . Помним из тригонометрии, что тангенс — это отношение синуса к косинусу, а косинус нуля равен единице. Производим преобразования и получаем: . Download 41. 3 Kb. Do’stlaringiz bilan baham:

Ma’lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2023
ma’muriyatiga murojaat qiling

Примеры решения первого замечательного предела с ответами

Простое объяснение принципов решения первого замечательного предела и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения первого замечательного предела

Теорема

Первым замечательным пределом называется предел вида

.

Первый замечательный предел используется для вычисления пределов тригонометрических функций.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений первого замечательного предела

Пример 1

Задача

Найти предел:

Решение

Если , то

Учитывая что , получаем:

Ответ

Пример 2

Задача

Найти предел:

Решение

Сделаем подстановку Отсюда следует, что , если ,

т. к.

Ответ

Пример 3

Задача

Найти предел:

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

на

Ответ

Пример 4

Задача

Найти предел:

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

на

Ответ

Пример 5

Задача

Найти предел:

Решение

Ответ

Пример 6

Задача

Найти предел:

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

на

Вычислим

Ответ

Пример 7

Задача

Найти предел:

.

Решение

Ответ

Пример 8

Задача

Найти предел:

Решение

Ответ

Пример 9

Задача

Найти предел:

Решение

Обозначим

. Тогда при

Ответ

Пример 10

Задача

Найти предел:

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

на

Ответ

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

5966

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

0 Разделить на 0: Решение задач на предельные значения в исчислении, часть 1 найти «0 разделить на 0».

В этом посте мы покажем вам методы, которые вы должны знать для решения подобных задач.

Обновление: По состоянию на сентябрь 2022 года у нас есть гораздо дополнительных интерактивных способа узнать об основополагающей концепции пределов, активно используя графические калькуляторы Desmos. Пожалуйста, посетите нашу Главу Ограничений до действительно запишите этот материал для себя. Все это бесплатно и ждет вас!

I. Идея пределов и

Замена (очень просто, когда работает)

Вам, наверное, уже говорили что-то вроде

$\displaystyle{\lim_{x \to a}f(x)} = L$ означает, что по мере того, как x становится все ближе и ближе к a ,
, функция f приближается к L (даже если она никогда не равна L ).

Вы уже на пути к пониманию пределов, если это утверждение имеет для вас смысл, и вы можете посмотреть на рисунок, подобный приведенному ниже, и сразу увидеть, что
$$\lim_{x \to 2}f(x) = 4 $$
потому что независимо от того, движемся ли мы к $x=2$ слева или справа, мы приближаемся к высоте $y = 4$.

В этом случае пределом является просто значение функции при x = 2: $\displaystyle{\lim_{x \to 2}f(x)} = f(2) = 4$.

А в некоторых домашних заданиях и тестовых вопросах (если ваш учитель чувствует себя хорошо), чтобы найти предел, вы просто подставляете значение x в функцию и находите значение в этом месте. Мы назовем этот подход Тактика №1: Замена .

---

Пример 1 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to 2}x+2}$.

Решение .
Давайте попробуем просто подставить $x=2$ в выражение:
$$\lim_{x \to 2}x+2 = 2 + 2 = 4 \quad \cmark$$

Это тот же предел, что показан на графике выше: на графике изображена функция $f(x) = x+2$, поэтому, приближаясь к $x =2$ слева или справа, мы приближаемся к фактическому значению функции по адресу $x=2$, то есть $y = f(2) = 4$.

В этом случае простая подстановка значения x = 2 в функцию работает: вы получаете число ($f(2) =4$), и все готово. Достаточно было простой техники «Подстановки».
[Конец примера 1.]

---

Пример 2 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to \pi/2}\sin x}$.

Решение .
Давайте снова попробуем Подстановку и установим $x = \dfrac{\pi}{2}$:
$$\lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}}\sin x = \sin \dfrac{ \pi}{2} = 1 \quad \cmark$$

График показывает $y = \sin x$. Когда вы приближаетесь к $x = \dfrac{\pi}{2}$ слева или справа, вы приближаетесь к высоте y = 1, которая является значением функции на $x = \dfrac {\pi}{2}$. Следовательно, предел как $x \to \dfrac{\pi}{2}$ sin x равен 1.

В этом случае снова работает подстановка: вы подставляете значение $x = \dfrac{\pi} {2}$, и вы получите число $\left(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) =1 \right)$. Вы закончили; легкий. 92-4}{x-2} = \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}$$

О-о:   $\dfrac{0}{0}$.

Это проблема. Давайте на мгновение остановим этот пример. . .

---

Почти во всех ваших домашних заданиях и тестовых вопросах, когда вы пытаетесь заменить, вы получите 0, деленное на 0. Затем вам понадобится другая тактика, чтобы найти предел.

Морщина : Нам не понадобилось бы понятие предела, если бы вы всегда могли просто подставить число и найти там значение функции. Вместо этого, правда в том, что когда вы попробуете замену почти со всеми домашними заданиями и контрольными вопросами, вы получите $\dfrac{0}{0}$, «ноль, деленный на ноль». Этот результат известен как неопределенный предел , что является причудливым способом сказать «еще не известно». Он говорит вам, что на самом деле ответ может быть любым — вы просто еще не знаете — и поэтому у вас есть еще над чем поработать.

В частности, результат   $\dfrac{0}{0}$  указывает на необходимость использования другого метода для нахождения предела. К счастью, три простые тактики позволят вам решить большинство проблем. Давайте посмотрим на каждый.

II. Когда вы получите 0, деленное на 0, сначала попробуйте

разложить на множители

. Если вы попытаетесь заменить и получите   $\dfrac{0}{0}$, вашим следующим шагом будет попытка 92-4}{x-2}} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$.
[Конец примера 3.]

---

Если вы изучаете математический анализ, мы гарантируем, что вы столкнетесь со многими задачами, требующими факторизации функции для нахождения предела. Действительно, на каждом экзамене по математическому анализу, который мы видели, была по крайней мере одна проблема, когда вы изначально получаете  $\dfrac{0}{0}$  и должны учитывать, чтобы получить окончательный ответ. Откройте следующее поле, чтобы увидеть больше примеров.

Откройте, чтобы увидеть больше примеров факторинга для нахождения предела. 92 -3x+2} &&= \lim_{x \to 1}\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x-1)} &&= \lim_{x \to 1}\frac{x+2}{x-2} &&= \frac{1+2}{1-2} = -3 \quad \cmark
\end{align*}

[collapse]

Эти Проблемы становятся простыми, как только вы научитесь их распознавать и умеете учитывать.

Если можете, помножьте.

Результат : Если подстановка дает результат в виде   $\dfrac{0}{0}$,  первое, что вы должны попробовать, – это факторинг. Если вы можете факторизовать числитель и/или знаменатель, проблемный член в знаменателе отменяется. Гарантировано.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

• Наша глава о пределах (все, что вам нужно знать, с интерактивными компонентами, которые помогут вам почувствовать пределы)

• Оценка пределов: проблемы и полные решения 90 (материал 1184)

III. Прием № 3: Используйте

сопряженных

Если функция имеет квадратный корень и Подстановка дает $\dfrac{0}{0}$, 0 делится на 0, затем умножьте числитель и знаменатель на
$$1 = \frac{\text{сопряжение члена (числитель или знаменатель) с корнем}}{\text{сопряжение члена (числитель или знаменатель) с корнем}}$$
Как и факторинг, это подход, вероятно, приведет к возможности отмены термина. Пример 4 иллюстрирует.

---

Пример 4 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x}}$.
Решение .
Сначала попробуем замену:
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} = \frac{\sqrt{0+5}-\ sqrt{5}}{0} = \frac{0}{0}$$
Поскольку предел представлен в виде   $\dfrac{0}{0}$ , он не определен — мы еще не знаем, что это такое. Нам нужно проделать некоторую работу, чтобы привести его в форму, в которой мы сможем определить предел.

Итак, давайте избавимся от квадратных корней, используя сопряжение, как вы тренировались в алгебре: умножьте и числитель, и знаменатель на сопряжение числителя, $\sqrt{x+5} + \sqrt{5}$.
\begin{align*}
\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\ sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} \\\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5}\sqrt{x+5} + \sqrt{x+5}\sqrt{5} — \sqrt{5}\sqrt{ x+5} -\sqrt{5}\sqrt{5}}{x[\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\ dfrac{(x+5) – 5}{x[\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{x [\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}[\sqrt{ x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} \\ \ \
&=\dfrac{1}{\sqrt{0+5} + \sqrt{5}} = \dfrac{1}{2\sqrt{5}} \quad \cmark
\end{align*}
Функция, с которой мы начали,  $\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x}$, , и та, с которой мы закончили (после умножения на сопряженное ),  $\dfrac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}}$,  одинаковы, за исключением того, что первая функция не определена при x = 0 (поскольку ее знаменатель там равен нулю) , а второго нет. Мы показали это на параллельных графиках ниже. Следовательно, их пределы такие же, как $x \to 0$, и поэтому $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} = \ lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} = \dfrac{1}{2\sqrt{5}} }$.

[Конец примера 4.]

---

Как показано в примере 4, если подстановка дает вам   $\dfrac{0}{0}$  и функция имеет квадратные корни, тактика умножения числителя и знаменателя на сопряженное части квадратного корня даст вам новую функцию, в которой работает подстановка. Всегда.

Откройте, чтобы увидеть еще один пример с квадратными корнями.

Пример 5 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to 9}\dfrac{9-x}{3-\sqrt{x}}}$.
Решение .
Сначала попробуем замену:
$$\lim_{x \to 9}\frac{9-x}{3-\sqrt{x}} = \frac{9-9}{3-\sqrt{9}} = \frac{0}{0} $$
Поскольку предел представлен в виде   $\dfrac{0}{0}$ , он не определен – мы пока не знаем, что это такое. Итак, давайте умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя, $3+\sqrt{x}$:
\begin{align*}
\lim_{x \to 9}\frac{9-x}{3-\ sqrt{x}} &= \lim_{x \to 9}\frac{9-x}{3-\sqrt{x}} \cdot \frac{3+\sqrt{x}}{3+\sqrt{ х}} \\[8px] &= \lim_{х \до 9}\frac{(9-x)\left(3+\sqrt{x} \right)}{9 +3 \sqrt{x} -3 \sqrt{x} -x} \\[8px] &= \lim_{x \to 9}\frac{(9-x)\left(3+\sqrt{x} \right)}{9 -x} \\[8px] &= \lim_{x \to 9}\frac{\cancel{(9-x)}\left(3+\sqrt{x} \right)}{\cancel{9-x}} \\[8px] &= \lim_{x \to 9}3+\sqrt{x} \\[8px] &= 3+ \sqrt{9} = 3+3 = 6 \quad \cmark
\end{align*}

[свернуть]

Результат: Если у вас есть квадратные корни, умножьте числитель и знаменатель сопряженной частью квадратного корня.

Мы рассмотрим более важные тактики работы с 0, деленным на 0, в нашей следующей статье «Как решать задачи с ограничениями в исчислении — часть 2». Мы познакомим вас с некоторыми другими ограничениями, которые вы должны просто научиться распознавать.

Конечно вам нужно потренироваться.

Конечно, недостаточно прочитать наше обсуждение. Вместо этого вам нужно попрактиковаться и сделать несколько ошибок для себя, чтобы все это стало для вас рутиной, когда вы будете сдавать экзамен. У нас есть много задач, которые вы можете попробовать, все с полными решениями одним щелчком мыши, чтобы вы могли быстро проверить свою работу или избавиться от зависаний без хлопот.

А пока посетите наш форум и сообщите нам:

• Какие у вас есть вопросы?
• Чем вам помог этот пост? Запутанно или менее полезно?
• Как у вас дела с исчислением?

---

---

Вы можете поддержать нашу работу чашечкой кофе

---

Мы — небольшая самофинансируемая команда, задача которой — предоставить высококачественные полезные материалы всем, кто хочет хорошо изучить исчисление. Мы предоставляем этот сайт без рекламы (!), и мы никому не продаем ваши данные . Мы потратили тысячи часов на создание всего, что здесь есть, и с вашей помощью мы можем продолжать расти и предлагать больше!

Если мы сэкономили вам время или вы нашли наши материалы полезными, рассмотрите возможность предоставления любой суммы, которую вы считаете подходящей. Это может занять менее 60 секунд, и все, что вы дадите, поможет . . . и если вы можете внести немного больше, это позволит нам продолжать обеспечивать тех, у кого меньше.

Мы заранее благодарим вас за все, что вы решите дать.

Да, отдам через PayPal!

Другие способы оплаты
(включая Google Pay и Apple Pay)

Платежная информация полностью защищена и никогда не касается наших серверов.

Спасибо! ❤️

последовательностей и серий — Как доказать этот прекрасный предел $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}=\frac{12}{\log{432}}$

Это действительно красивая задача!

Поскольку в вопросе/комментариях/одном из ответов есть обсуждение истории этой проблемы, позвольте мне рассказать здесь, что я нашел. Я создаю эту вики-сообщество, так как это не совсем ответ на вопрос.

В Mathematics Magazine , который издается пять раз в год Математической ассоциацией Америки, в выпуске за ноябрь 1982 г. (том 55, № 5), в разделе задач (стр. 300), следующее ( гораздо проще) задача была задана анонимно (точнее, «Аноном, Эревхон-на-Испанской реке», который, кажется, активно участвует) как задача 1158 (обозначение немного изменено):

Положим $a_0 = 1$ и для $n \ge 1$ $a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} + a_{\lfloor n/3 \rfloor}$. Найдите $\lim_{n\to\infty} a_n/n$.

Это гораздо более простая задача, так как $\frac12 + \frac13 \neq 1$. (Подсказка: попробуйте полиномиальный рост.)

Решения этой задачи 1158 были даны в январском выпуске 1984 г. (том 57, № 1) в разделе «Проблемы» (стр. 49–50) под заголовком Псевдо- Предел Фибоначчи, , где он был решен множеством людей.

Одним из них был Daniel A. Rawsthorne , Wheaton, Maryland, который в том же разделе того же номера (стр. 42) предложил более сложную задачу *1185 . Звездочка означает, что он предложил задачу, не предлагая решения самостоятельно.

Положим $a_0 = 1$ и для $n \ge 1$ $a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} + a_{\lfloor n/3 \rfloor} + a_{\lfloor n/6 \rfloor }$. Найдите $\lim_{n\to\infty} a_n/n$.

Это гораздо более сложная задача, так как нам нужно определить не только скорость роста («линейную»), но и постоянный коэффициент пропорциональности.

Решения приведены в январском номере 1985 г. (т. 58, № 1), в разделе «Задачи» (стр. 51–52), под заголовком Очень медленно сходящаяся последовательность , авторы (вместе) П. Эрдёш, А. Хильдебранд, А. Одлызко, П. Пудайте и Б. Резник .

Обратите внимание, что на той же странице также указано:

Также решил Ноам Элкис (студент), который использовал ряды Дирихле и теорему о вычетах; и частично (в предположении, что предел существует) Доном Копперсмитом, который дал явную формулу $$ a_n = 1 + 2 \sum \frac{(r+s+t)!}{r!s!t!} $$ где сумма распространяется на все тройки $(r, s, t)$ целых неотрицательных чисел такие, что $2^r3^s6^t \le n$.

Сколько вариантов комбинации 4 цифр?

Прочее › Код › Сколько существует четырехзначных пин кодов?

Можно сказать что это числа от 0 до 9999. Значит всего возможных комбинаций 10 000. Ответ: 10 000 комбинаций.

1. Как сгенерировать список всех возможных комбинаций из 4 цифр?
2. Сколько комбинаций можно составить из цифр 1 2 3 4?
3. Какой может быть пароль из 4 цифр?
4. Как узнать сколько всего вариантов комбинаций?
5. Какой шанс угадать пароль из 4 цифр?
6. Как посчитать количество комбинаций цифр?
7. Сколько четырехзначных чисел можно составить из?
8. Сколько получится комбинаций из 3 цифр?
9. Сколько нужно комбинаций из 3 цифр?
10. Сколько может быть вариантов пароля?
11. Какой самый сложный пароль из цифр?
12. Сколько комбинаций в игре 4 из 20?
13. Сколько комбинаций из 999 цифр?
14. Сколько вариантов комбинаций в кодовом замке?
15. Какой шанс угадать 6 значный код?
16. Сколько возможных комбинаций из 6 цифр?
17. Сколько вариантов подбора пароля из 6 цифр?
18. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4 если цифры в числе не повторяются?
19. Сколько чисел можно составить из 1 2 3 4 5?
20. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4?
21. Какие люди ставят пароли?
22. Что люди чаще всего ставят на пароль?
23. Что не должен содержать пароль?
24. Как перебрать все возможные комбинации?
25. Сколько возможных комбинаций из 3 цифр?
26. Как посчитать количество возможных комбинаций из 6 цифр?

Как сгенерировать список всех возможных комбинаций из 4 цифр?

Список всех возможных 4-значных комбинаций с формулой

Выберите пустую ячейку и введите эту формулу = ТЕКСТ (СТРОКА (A1) -1; «0000») в него и нажмите Enter нажмите клавишу, затем перетащите дескриптор автозаполнения вниз, пока не появятся все комбинации из 4 цифр.

Сколько комбинаций можно составить из цифр 1 2 3 4?

Следовательно комбинаций будет: 4 * 3 * 2 * 1 = 4! = 24.

Какой может быть пароль из 4 цифр?

Каждый из паролей представляет собой комбинацию из 4 цифр от 0000 до 9999.

Как узнать сколько всего вариантов комбинаций?

Формула для определения количества возможных комбинаций выглядит следующим образом: nCr = n! / р! (н-р)!

Какой шанс угадать пароль из 4 цифр?

0000, 1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666, 7777, 8888, 9999. Если считать, что pin-код выбирается случайным образом, то вероятность что он состоит из четырех одинаковых цифр: 10 / 10000 = 0,001. Ответ: 0,001.

Как посчитать количество комбинаций цифр?

Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из n объектов по k имеет вид: Ckn=n!(n−k)!⋅k!.

Сколько четырехзначных чисел можно составить из?

Ответ: 120 четырехзначных числа можно записать с помощью цифр 1, 3, 5, 7 и 9 при условии, что в записи числа нету одинаковых цифр. 3=1000. Ваш кодовый замок имеет 1000 комбинаций паролей.

Какой шанс угадать 6 значный код?

Например, для кода из 4 цифр вероятность повторения хотя бы одной цифры — 50%. А для кода из 6 цифр — уже 85%.

Сколько возможных комбинаций из 6 цифр?

При условии, что числа могут повторяться, на каждом месте могут быть все 6 чисел и количество таких комбинаций равно: 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 = 66 = 46 656.

Сколько вариантов подбора пароля из 6 цифр?

Допустим, есть шесть цифр. То есть N=6, и число возможных комбинации N!, 6!= 720 вариантов.

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4 если цифры в числе не повторяются?

Ответ. Всего из этих цифр можно составить 120 чисел, без повтора цифр внутри них.

Сколько чисел можно составить из 1 2 3 4 5?

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? И сколько из них с неповторяющимися цифрами? = 5× 4×3 = 60.

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4?

Ответ: 48 трехзначных чисел.

Какие люди ставят пароли?

Топ-10 самых используемых паролей в России выглядит так:

• 123456;
• qwerty;
• 123456789;
• 12345;
• password;
• qwerty123;
• 1q2w3e;
• 12345678;

Что люди чаще всего ставят на пароль?

Самые популярные пароли — последовательности цифр

Возрастающие (например 123456) и повторяющиеся (например 111111) цифровые комбинации наблюдаются в 8 из 10 и 13 из 30 самых используемых паролей.

Что не должен содержать пароль?

Содержать строчные и прописные буквы.Пароли НЕ ДОЛЖНЫ состоять из:

• Вашего имени, отчества или фамилии ни в каком виде (т.
• Вашего идентификатора входа (login) ни в каком виде.
• Имен Вашей(его) супруги(а) или детей.
• Не используйте какую-либо информацию о себе.
• Только цифр или одинаковых букв.

Как перебрать все возможные комбинации?

Чтобы перебрать все варианты, можно сделать так:

• Смотрим, сколько у нас блоков — 4 штуки.
• Делаем первый цикл.
• Делаем второй цикл.
• Делаем третий цикл.
• Делаем четвёртый вложенный цикл.
• Внутри этого перебираем все варианты и каждый раз проверяем, чтобы один блок не встречался два раза или больше.

Сколько возможных комбинаций из 3 цифр?

3 = 60 способов расстановки цифр, т. е. искомое количество трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, )

Как посчитать количество возможных комбинаций из 6 цифр?

Допустим, есть шесть цифр. То есть N=6, и число возможных комбинации N!, 6!= 720 вариантов.

основные правила и формулы. Опорный конспект по разделу «комбинаторика»

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *…*n k .

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая — из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =…n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*…*n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т. е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Т. к. число четное на третьем месте может стоять 0, 2, 4, 6, т.е. четыре цифры. На втором месте может стоять любая из семи цифр. На первом месте может стоять любая из семи цифр кроме нуля, т.е. 6 возможностей. Результат =4*7*6=168.
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
На первом месте может стоять любая цифра кроме 0, т.е. 9 возможностей. На втором месте может стоять любая цифра, т.е. 10 возможностей. На третьем месте тоже может стоять любая цифра из, т.е. 10 возможностей. Четвертая и пятая цифры определены заранее, они совпадают с первой и второй, следовательно, число таких чисел 9*10*10=900.
3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16!))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
В первый конверт можно положить 1 из восьми писем, во второй одно из семи оставшихся, в третий одно из шесть т. д. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Друзья! Раз уж есть у меня этот мертвый блокнот, использую-ка я его для того, чтобы задать вам задачку, над которой вчера билось три физика, два экономиста, один политеховский и один гуманитарий. Мы сломали себе весь мозг и у нас постоянно получаются разные результаты. Может быть, среди вас есть программисты и математические гении, к тому же, задачка вообще школьная и очень легкая, у нас просто не выводится формула. Потому что мы бросили занятия точными науками и вместо этого зачем-то пишем книги и рисуем картины. Простите.

Итак, предыстория.

Мне выдали новую банковскую карточку и я, как водится, играючи угадала ее пин-код. Но не подряд. В смысле, допустим, пин-код был 8794, а я назвала 9748. То есть, я триумфально угадала все цифры , которое содержались в данном четырехзначном числе. Ну да, не само число , а просто его составляющие у гадала. Но цифры-то все верные! ПРИМЕЧАНИЕ — я действовала наугад, то есть, мне не надо было расставить уже известные числа в нужном порядке, я просто действовала в духе: вот тут есть неизвестные мне четыре цифры, и я считаю, что среди них могут быть 9, 7, 4 и 8, а порядок их не важен. Мы тут же задались вопросом, сколько у меня вообще было вариантов (наверное, чтобы понять, насколько это круто, что я вот взяла и угадала). То есть, из скольких комбинаций четырех цифр мне нужно было выбирать? И тут, натурально, начался ад. У нас весь вечер взрывалась голова, и у всех, в итоге, вышли абсолютно разные варианты ответа! Я даже начала выписывать все эти комбинации в блокнот подряд по мере возрастания, но на четырех сотнях поняла, что их больше четырех сотен (во всяком случае, это опровергло ответ физика Трэша, который уверял меня, что комбинаций четыре сотни, но все равно это не совсем однозначно) — и сдалась.

Собственно, суть вопроса. Какова вероятность угадывания (в любом порядке) четырех чисел, содержащихся в четырехзначном числе?

Или нет, переформулируем (я гуманитарий, простите, хотя к математике всегда питала огромную слабость), чтобы было яснее и четче. Сколько не повторяющихся комбинаций цифр содержится в ряду порядковых числительных от 0 до 9999? (пожалуйста, не путайте это с вопросом «сколько комбинаций не повторяющихся цифр»!! ! цифры могут повторяться! в смысле, 2233 и 3322 — это в данном случае одна и та же комбинация!!).

Или еще конкретнее. Мне нужно четыре раза угадать одну цифру из десяти. Но не подряд.

Ну или еще как-нибудь. В общем, нужно узнать, сколько у меня было вариантов числовой комбинации, из которой складывался пин-код карточки. Помогите, люди добрые! Только, пожалуйста, помогая, не начинайте сразу писать, что вариантов этих 9999 (вчера такое всем приходило в голову поначалу), потому что это же глупости — ведь в том ракурсе, который нас волнует, число 1234, число 3421, число 4312 и так далее являются одним и тем же! Ну и да, цифры же могут повторяться, ведь бывает пин-код 1111 или там, например, 0007. Можно представить вместо пин-кода номер машины. Допустим, какова вероятность угадать все однозначные цифры, из которых складывается номер машины? Или, чтобы вообще убрать теорию вероятности — из скольких числовых комбинаций мне нужно было выбрать одну?

Пожалуйста, подкрепите свои ответы и рассуждения какими-нибудь точными формулами, потому что мы вчера и так чуть не свихнулись. Заранее всем большое спасибо!

P.S. Один умный человек, программист, художник и изобретатель, только что очень верно подсказал правильное решение проблемы, подарив мне несколько минут прекрасного настроения: «решение задачи такое: у неё обсессивно-комп ульсивное расстройство, лечение такое: замуж и окучивать помидоры. меня бы больше на её месте волновал не вопрос «какова вероятность», а вопрос «схуя ли я обращаю внимание на все эти цифры»? В общем-то, даже нечего добавить:)

Калькулятор ниже предназначен для генерации всех сочетаний из n по m элементов.
Число таких сочетаний, как можно рассчитать с помощью калькулятора Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

Описание алгоритма генерации под калькулятором.

Алгоритм

Комбинации генерируются в лексикографическом порядке. Алгоритм работает с порядковыми индексами элементов множества.
Рассмотрим алгоритм на примере.
Для простоты изложения рассмотрим множество из пяти элементов, индексы в котором начинаются с 1, а именно, 1 2 3 4 5.
Требуется сгенерировать все комбинации размера m = 3.
Сначала инициализуется первая комбинация заданного размера m — индексы в порядке возрастания
1 2 3
Далее проверяется последний элемент, т. е. i = 3. Если его значение меньше n — m + i, то он инкрементируется на 1.
1 2 4
Снова проверяется последний элемент, и опять он инкрементируется.
1 2 5
Теперь значение элемента равно максимально возможному: n — m + i = 5 — 3 + 3 = 5, проверяется предыдущий элемент с i = 2.
Если его значение меньше n — m + i, то он инкрементируется на 1, а для всех следующих за ним элементов значение приравнивается к значению предыдущего элемента плюс 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Далее снова идет проверка для i = 3.
1 3 5
Затем — проверка для i = 2.
1 4 5
Потом наступает очередь i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
И далее,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 — последнее сочетание, так как все его элементы равны n — m + i.

Несмотря на важную роль PIN-кодов в мировой инфраструктуре, до сих пор не проводилось академических исследований о том, как, собственно, люди выбирают PIN-коды.

Исследователи из университета Кембриджа Sören Preibusch и Ross Anderson исправили ситуацию, опубликовав первый в мире количественный анализ сложности угадывания 4-циферного банковского PIN-кода.

Используя данные об утечках паролей из небанковских источников и онлайн анкетирование, учёные выяснили, что к выбору PIN-кодов пользователи относятся гораздо серьёзнее, чем к выбору паролей для веб-сайтов: большинство кодов содержат практически случайный набор цифр. Тем не менее, среди исходных данных присутствуют и простые комбинации, и дни рождения, — то есть, при некотором везении злоумышленник может просто угадать заветный код.

Отправной точкой исследования был набор 4-циферных последовательностей в паролях из базы RockYou (1.7 млн), и базы из 200 тысяч PIN-кодов от программы блокировки экрана iPhone (базу предоставил разработчик приложения Daniel Amitay). В графиках, построенных по этим данным, проступают интересные закономерности — даты, года, повторяющиеся цифры, и даже PIN-коды, заканчивающиеся на 69. На основе этих наблюдений учёные построили линейную регрессионную модель, которая оценивает популярность каждого PIN-кода в зависимости от 25 факторов, — например, является ли код датой в формате ДДММ, является ли он возрастающей последовательностью, и так далее. Этим общим условиям соответствуют 79% и 93% PIN-кодов в каждом из наборов.

Итак, пользователи выбирают 4-циферные коды на основе всего нескольких простых факторов. Если бы так выбирались и банковские PIN-коды, 8-9% из них можно было бы угадать всего за три попытки! Но, конечно, к банковским кодам люди относятся гораздо внимательнее. Ввиду отсутствия сколько-нибудь большого набора настоящих банковских данных, исследователи опросили более 1300 человек, чтобы оценить, насколько реальные PIN-коды отличаются от уже рассмотренных. Учитывая специфику исследования, у респондентов спрашивали не о самих кодах, а только о их соответствии какому-либо из вышеназванных факторов (возрастание, формат ДДММ, и т.д.).

Оказалось, что люди действительно гораздо тщательнее выбирают банковские PIN-коды. Примерно четверть опрошенных используют случайный PIN, сгенерированный банком. Более трети выбирают свой PIN-код, используя старый номер телефона, номер студенческого билета, или другой набор цифр, который выглядит случайным. Согласно полученным результатам, 64% владельцев карт используют псевдослучайный PIN-код, — это гораздо больше, чем 23-27% в предыдущих экспериментах с не-банковскими кодами. Ещё 5% используют цифровой паттерн (например, 4545), а 9% предпочитают паттерн на клавиатуре (например, 2684). В целом, злоумышленник с шестью попытками (три с банкоматом и три с платёжным терминалом) имеет меньше 2% шансов угадать PIN-код чужой карты.

Фактор	Пример	RockYou	iPhone	Опрос
Даты
ДДММ	2311	5.26	1.38	3.07
ДМГГ	3876	9.26	6.46	5.54
ММДД	1123	10.00	9.35	3.66
ММГГ	0683	0.67	0.20	0.94
ГГГГ	1984	33.39	7.12	4.95
Итого		58.57	24.51	22.76
Клавиатурный паттерн
смежные	6351	1.52	4.99	—
квадрат	1425	0.01	0.58	—
углы	9713	0.19	1. 06	—
крест	8246	0.17	0.88	—
диагональная линия	1590	0.10	1.36	—
горизонтальная линия	5987	0.34	1.42	—
слово	5683	0.70	8.39	—
вертикальная линия	8520	0.06	4.28	—
Итого		3.09	22.97	8.96
Цифровой паттерн
заканчивается на 69	6869	0.35	0.57	—
только цифры 0-3	2000	3.49	2.72	—
только цифры 0-6	5155	4.66	5.96	—
повторяющиеся пары	2525	2.31	4.11	—
одинаковые цифры	6666	0. 40	6.67	—
убывающая последовательность	3210	0.13	0.29	—
возрастающая последовательность	4567	3.83	4.52	—
Итого		15.16	24.85	4.60
Случайный набор цифр		23.17	27.67	63.68

Всё бы хорошо, но, к сожалению, существенная часть опрошенных (23%) выбирает PIN-код в виде даты, — и почти треть из них использует дату своего рождения. Это существенно меняет дело, ведь почти все (99%) респонденты ответили, что хранят в бумажнике с банковскими картами различные удостоверения личности, на которых эта дата напечатана. Если злоумышленник знает день рождения владельца карты, то при грамотном подходе вероятность угадывания PIN-кода взлетает до 9%.

100 самых популярных PIN-кодов

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S. На практике, разумеется, злоумышленнику гораздо проще подсмотреть ваш PIN-код, чем угадывать его. Но и от подглядывания можно защититься — даже, казалось бы, в безвыходном положении:

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика — раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В — n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие n 2 способами, третье — n 3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно вы б рать и разместить по m различным местам m из n предметов, с реди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера- составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Перестановки без повторений . Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Все N элементов, и ни один не повторяется, то это задача о количестве перестановок. Решение можно найти простым . На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте — любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N — 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N — 1).
Это же можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — последний оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так далее.
Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов возможных перестановок равно произведению всех целых от 1 до N. Это произведение называется факториалом числа N и обозначается N! (читается «эн факториал»).

В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы называются размещениями.
Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.

Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N — 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N — M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N — M) неиспользованных элементов.
Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N — M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N — M)!.

Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N — M)!).

Шахматы

SparkChess — бесплатные флеш шахматы на русском языке SparkChess — бесплатные флеш шахматы на русском языке онлайн, присутствует запись ходов и возможность вернуть ход назад (кнопка справа Вернут…

FlashChess III — онлайн флеш игра в шахматы Flash Chess III — бесплатная браузерная онлайн флеш игра в шахматы. Ее главная цель — развлекать вас и помочь вам стать лучшим игроком в шахматы. Дейст…

SparkChess — бесплатные флеш шахматы на русском языке SparkChess — бесплатные флеш шахматы на русском языке онлайн, присутствует запись ходов и возможность вернуть ход назад (кнопка справа Вернут…

Игра в шахматы с компьютером Для игры в бесплатные шахматы с компьютером в Вашем броузере IE или Mozilla Firefox должна быть включена поддержка JavaScript. Для выполнения хода Вам необходимо сдел…

SparkChess — бесплатные флеш шахматы на русском языке SparkChess — бесплатные флеш шахматы на русском языке онлайн, присутствует запись ходов и возможность вернуть ход назад (кнопка справа Вернут…

FlashChess III — онлайн флеш игра в шахматы Flash Chess III — бесплатная браузерная онлайн флеш игра в шахматы. Ее главная цель — развлекать вас и помочь вам стать лучшим игроком в шахматы. Дейст…

Похоже, Вы используете блокировщик рекламы. Сайт chess-samara.ru существует и развивается за счет доходов от рекламы. Пожалуйста, внесите этот сайт в исключения (как это сделать? ) или воспользуй…

Шахматы онлайн с компьютером без регистрации Несколько онлайн шахматных программ.Позволяют выбрать уровни сложности,противника,время игры и другие возможности.Наиболее богатая по возможностям — п. ..

Шахматы онлайн История шахмат Как свидетельствуют археологические раскопки, шахматы живут и развиваются около двух тысячелетий. Сколько игр за этот срок не выдержало испытания временем! Родиной ш…

Играть в шахматы бесплатно онлайн с живыми игроками (людьми) 1. Недавно захотел в шахматы сиграть. Вот нашёл неплохую мини-игру, где полностью реализована игра шахматы. К тому же здесь играют жив…

Шахматы онлайн История шахмат Как свидетельствуют археологические раскопки, шахматы живут и развиваются около двух тысячелетий. Сколько игр за этот срок не выдержало испытания временем! Родиной ш…

Chess — игры шахматы бесплатно Chess, игры в шахматы — это древние настольные игры с непростой историей и правилами, которые менялись в веках. Данный шахматный симулятор представляет компания Gam…

Классические шахматы играть онлайн бесплатно Представляют собой классические шахматы уникальную логическую игру, возведенную с течением времени в ранг своеобразного искусства. Онлайн вариант факт…

ШАХМАТЫ 2 ИГРОКА Как играть — правила и описание Одна из самых удачных логических игр, когда-либо придуманных человечеством. Эта флеш реализация популярнейшей игры не содержит ничего лишнего. Тол…

Шахматы представляют собой логическую игру настольного типа. В начале игры фигуры расставляются по доске определенным образом. Эта доска имеет разбивку на 64 квадрата. Играть могут друг с другом…

… 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 …

FlashChess III — браузерная онлайн флеш игра в шахматы

Опубликовано: 30.10.2017

Flash Chess III — бесплатная браузерная онлайн флеш игра в шахматы. Ее главная цель — развлекать вас и помочь вам стать лучшим игроком в шахматы. Действительно красивые 3D шахматы, отличная прорисовка графических элементов, теней фигур и игровой шахматной доски. Данная игра включает все специфические шахматные правила. Играть можно без регистрации (без испытательного периода) и оплаты полностью бесплатно. Ваш веб обозреватель, браузер должен включать поддержку flash. Браузерная игра — это значит, что играть можно прямо в вашем web просмотрщике (броузере), без необходимости загрузки дистрибутива программы на диск ПК. Ход делается за два клика мышки: первым кликом вы указываете на фигуру, вторым нажатием мышки фигура ходит.

История. Флеш игра flachCHESS была разработана в 2002 году для демонстрации возможностей Macromedia Flash 5 beta и ActionScript. Это был первый и единственный шахматный движок, написанный на AS (ActionScript) и несмотря на все свои ограничения, игра flachCHESS добилась большого успеха. ActionScript — это объектно-ориентированный язык программирования, который добавляет интерактивность и обработку данных в содержимое Flash-приложений. ActionScript исполняется виртуальной машиной, которая является частью Flash Player. ActionScript компилируется в байткод, который включается в SWF-файл.

FlashChess III — это современная игра, посторенная на мощном движке, который использует потенциал ActionScript 3, показывая восхитительные возможности Flash платформы.

В данной программе поддерживаются следующие языки интерфейса: английский, немецкий, испанский, французский и другие. Для переключения языка нажмите кнопку English на панели управления. По умолчанию язык интерфейса программы английский.

3D-шахматы: скачиваем и играем

Скачать бесплатно шахматы FalcoChess
Скачать бесплатно шахматы Chess3D

Скачать 3d шахматы Chess3D

Скачать 3d шахматы Chess3D

Год выпуска: 2010 Тип издания: Лицензия Язык интерфейса : английский Системные требования : Windows Me / 2000 / XP / Vista / 7, Процессор 500 МГЦ, 256 Мб оперативной памяти, DirectX9

Обзор бесплатных 3D шахмат — Chess3D

Обзор бесплатных 3D шахмат — Chess3D

Chess3D — это увлекательная шахматная игра , которая совмещает в себе и развлекательную, и профессиональную часть. С одной стороны, в игре имеется очень много различных настроек внешнего вида фигур и шахматной доски, с другой стороны — игра Chess3D позволяет тщательно анализировать каждую партию, сохранять игры и загружать их в любое время. Различные уровни сложности удовлетворят каждого игрока, так как здесь себе найдет достойного противника абсолютно каждый!

Chess3D — это лучшие бесплатные 3д шахматы, которые можно скачатьв интернете без регистраций и смс-сообшений.

Скачать бесплатно шахматы Chess3D

скачать бесплатно Chess3D через торрент-файл — скачать скачать бесплатно Chess3D на сайте about-chess.ru — скачать

Шахматы 3д Falco Chess: играть с компьютером

Шахматы 3д Falco Chess: играть с компьютером

Год выпуска: 2010 Тип издания: Лицензия Язык интерфейса: английский Системные требования: Windows 95/98/ME/2000/NT/XP/2003, 16 MB RAM, Pentium-133 MHz, 7 мб свободного места

Шахматы 3д Falco Chess: играть с компьютером

Особенности шахмат 3д Falco Chess:

3 уровня сложности игра в интернете или по локальной сети отмена последнего действия/Повтор последнего действия поддержка 2D режима

Falco Chess — бесплатная шахматная игра, скачивание которой можно произвести на нашем сайте. Из особенностей игры стоит отметить весьма низкий уровень графики и ограниченное количество настроек, которые, якобы, позволяют менять внешний вид, хотя на самом деле изменяется лишь фоновый рисунок, а сама шахматная доска и фигуры остаются такими же. Музыкальное сопровождение Falco Chess немного резкое, и отвлекает от процесса игры. Никакой статистики и отчетности игрока в данной игре нет, поэтому, делаем вывод, что она предназначена исключительно новичков, которые хотят скоротать время, но никак не повысить уровень свой игры.

Falco Chess — отличный вариант для любителей шахмат, она легкая в размере, скачивание занимает пару минут, и простая в установка, можно запустить игру уже через минуту после установки, поэтому это лучшая игра для начинающих шахматистов.

Бесплатные шахматы 3d скачать Falco Chess

шахматы 3d Falco Chess скачать через торрент-файл — скачать шахматы 3d Falco Chess скачать на сайте about-chess.ru — скачать Популярные статьи:

КупитьШахматы.

рф — магазин шахмат

КупитьШахматы.рф — это крупнейший в России шахматный интернет-магазин с самым большим ассортиментом товаров.

Мы заботимся об удобстве для своих клиентов, постоянно совершенствуя наш сервис. Доставляем во все города России, принимаем оплату наличными и безналичный расчёт. Удобные варианты доставки: курьером на дом, в пункт самовывоза в крупные города России, Почтой России в небольшие города.

У нас вы можете купить шахматы недорого, шахматные часы: кварцевые, механические или электронные, шахматные доски различных размеров и из разных материалов (на любой вкус), шахматные фигуры: деревянные, пластиковые, керамические — с утяжелителем и без утяжелителя, шахматные книги: учебники для взрослых и для детей, шахматные компьютеры, шахматные столы, а так же множество других товаров. Перейдите в каталог товаров, чтобы ознакомиться с полным ассортиментом нашего магазина.

Шахматы играть онлайн бесплатно с живыми игроками

Шахматы зародились уже в далекой древности, когда великие полководцы сражались между собой не только заточенным клинком, но и умением мыслить стратегически правильно. Именно это умение позволяло сохранять тысячи жизней и получать такие желанные триумфы. Все это со временем обрело игровую форму, два противника встречались у шахматной доски, где и вершился исход битвы, битвы разума.

На сегодняшний день шахматы стали игрой миллионов, их популярность во всем мире просто колоссальная. с развитием технологий у человека больше нету потребности садится за шахматный стол лицом к лицу с соперником, поскольку все это можно произвести в режиме онлайн. Шахматы онлайн с живыми игроками — это очень увлекательное занятие. Сайт Шахматы скачатьпредоставляет уникальную возможность всем желающим опробовать свои силы игре шахматы.

К Вашим услугам удобный интерфейс и игровое меню. В режиме онлайн можно узнать сколько людей на данный момент находится в сети. В режиме реального времени каждый может просмотреть тех игроков, которые находятся в ожидании начала игры и, просто нажав на их иконку, запустить игру. Цвет команды будет подобран автоматически. Шахматы играть  онлайн бесплатно с живыми игроками — это море положительны эмоций. Сражение может завлечь вас на целый часы! Игрок, находящийся по ту сторону экрана, возможно будет находиться за тысячи километров от вас, однако это не столь важно, поскольку наличие Интернета стирает все грани расстояния.

У посетителя сайта имеется возможность сыграть также в режиме онлайн и с компьютерным игроком. Искусственный разум можно выставить по уровню сложности. Компьютерный игрок конечно же не уснет на половине игры или не покинет самовольно баталию, однако играть с человеком — занятие куда более увлекательное. Тем более в сети всегда найдется игрок, который сумеет дать достойный отпор даже самому профессиональному игроку.

ШАХМАТЫ 2 ИГРОКА

Под игрой имеется описание, инструкции и правила, а также тематические ссылки на похожие материалы — рекомендуем ознакомиться.

Как играть — правила и описание

Одна из самых удачных логических игр, когда-либо придуманных человечеством. Эта флеш реализация популярнейшей игры не содержит ничего лишнего. Только доска и фигуры. Так просто и гениально, что невольно вспоминаются слова Остапа про Межпланетный Васюкинский Шахматный Турнир… Все просто и без наворотов. Играть нужно вдвоем, думать эту игру не научили разработчики. Тем лучше, ничего не будет тормозить. Берите друга в охапку и проведите время с пользой. Может вспомните какие-нибудь дебюты, защиту Алехина, например?

Можно скачать игру ШАХМАТЫ 2 ИГРОКА на свой компьютер, она не займет много места, но подумайте, имеет ли смысл это делать, ведь здесь она всегда доступна, Вам достаточно лишь открыть эту страницу.

Сделайте перерыв и сыграйте в онлайн игры , которые развивают логику и воображение, позволяют приятно отдохнуть. Расслабьтесь и отвлекитесь от дел!

• Головоломки• Игры для двоих

Во весь экран

Игра ШАХМАТЫ 2 ИГРОКА в категориях Логические, Головоломки, Игры для двоих доступна бесплатно , круглосуточно и без регистрации с описанием на русском языке на Min2Win. Если возможности электронного рабочего стола позволяют, можно развернуть сюжет ШАХМАТЫ 2 ИГРОКА во весь экрани усилить эффект от прохождения сценариев. Многие вещи действительно имеет смысл рассмотреть детальнее.

Полноэкранная шахматная игра Скачать бесплатно

Пользователи, заинтересованные в Полноэкранной шахматной игре бесплатно скачать обычно:

— У меня была предыдущая версия шахмат Лукаса, которая работала правильно. Недавно я скачал последнюю версию 10.09, которая не воспроизводит ходы книги для двигателя, это занимает несколько секунд…

Мне нужно больше информации. Вы имеете в виду «Играть против любого движка»? В этом случае, какой вариант вы выбираете на последней вкладке = Начальные ходы (вы выбираете книгу?)…. Мой адрес электронной почты lukasmonk в gmail.

Дополнительные предложения для Полноэкранные шахматы скачать бесплатно нашим роботом:

Только бесплатно

Актуальность

Качество

Найдено в заголовках и описаниях (6 результатов)

Показаны результаты для «полноэкранная игра в шахматы» так как слова бесплатно , скачать считаются слишком распространенными

Улучшите свои шахматы навыки игры прямо с вашего компьютера.

вышеупомянутый экран из бы… из экран . Вы можете… попробовать другую игру  

90

8,009

Скачать

Жадный рыцарь — это сложная флеш-игра , в которой вы должны собрать все монеты.

игра из шахмат … Flash Game … игра из Шахматы … Игра , чтобы сыграть в Full Экран

003

. уникальная головоломка игра в сказочной стране! Помогите Замби в его поисках!

в игре из шахмат …в полной игре . Помогите …громкость музыки, полная экран , среди 

Скачать

Многофункциональный таймер, устанавливаемый от 3 секунд до 49 дней с счетверенным таймером.

задания, время шахматы игры …(включая без полей полный экран ) 

Скачать

Десятилетие повстанцев — рекламная программа компании Rebel Company.

)мастер игры . Full Rebel 10…play, Blindfold шахматы , игра …). Все screen  

Загрузить

Планируйте построение и игровые последовательности вашей футбольной команды с помощью этой программы.

Анимация экран в помощь… игра на самом деле требует шахматы -как… с полными функциями

Скачать

Менее конкретные результаты (316 результатов)

Этот шахматы тренажер поможет вам освоить свои шахматы игровые навыки, тренировать свои интеллектуальные навыки,…

66

6,216

Скачать

Это шахматы игра , изготовленная вручную с большим вниманием к качеству и деталям.

Chess Giants is a chess program…Play chess …the same screen The computer 

2

18,960

Download

Open chess games database files and играть через игр .

все стандартные шахматы игры … игры на своих шахматы …известные шахматы тренировки

37

17,521

Скачать

Административное приложение для шахматных турниров.

Списки на Экран , Принтер … и Международный Шахматы … Международный Шахматы -Tournament

1

18 927

Скачать

Челессралли. Окна.

Премьера Шахматы Игра …или смотреть шахматы игр , заниматься… очень полная шахматы игра  

10

4,168

Скачать

ChessBase 13 — персональная автономная база данных 90 17 8 900

шахматы база данных. Основные функции: — Получить игр … и полную графику … все игр  

40

4,706

Скачать

Это мощный набор инструментов для создания и использования на 90 9017 экране.0018 клавиатуры.

Использование на экране Экрана Клавиатуры … на экране на клавиатура … на крошечном экране Upside

12

1,110

Скачать

Комплекс Game , где вы можете вы можете вы можете. играть против компьютера или онлайн противников.

это полная -фигурированная шахматы игра …эта игра . ChessPartner — это шахматы , связанные с

Скачать

Онлайн шахматы игра , в которой вы можете испытать свою стратегию шахматы .

захватывающая онлайн шахматы игра …к игра . шахматы игра . ..онлайн шахматы игра  

Скачать

Еще программы

Мастер шахмат | Играть в Master Chess на PrimaryGames

★ ★ ★ ★ ★

★ ★ ★ ★ ★

Играть в полноэкранном режиме

Сыграйте в онлайн-партию в шахматы с другом или против компьютера. Выберите один из 3 уровней сложности. Играйте в игру Master Chess онлайн на своем мобильном телефоне, планшете или компьютере.

Как играть

Используйте мышь или коснитесь экрана, чтобы играть.

Как передвигать шахматные фигуры:

1. пешек: пешек необычны тем, что ходят и бьют по-разному: ходят вперед, но бьют по диагонали. Пешки могут двигаться вперед только на одну клетку за раз, за ​​исключением их самого первого хода, когда они могут двигаться вперед на две клетки. Пешки могут брать только одно поле по диагонали перед собой. Они никогда не могут двигаться или захватывать назад. Если прямо перед пешкой есть другая фигура, он не может пройти мимо или взять эту фигуру.

2. Кони: Кони ходят совершенно иначе, чем другие фигуры — проходят две клетки в одном направлении, а затем еще один ход под углом 90 градусов, как в форме буквы «L».

3. Слон: Слон может ходить сколько угодно, но только по диагонали. Каждый слон начинает с одного цвета (светлого или темного) и всегда должен оставаться на этом цвете. Слоны хорошо работают вместе, потому что прикрывают слабости друг друга.

4. Ладьи: Ладья может двигаться сколько угодно, но только вперед, назад и в стороны. Ладьи — особенно сильные фигуры, когда они защищают друг друга и работают вместе!

5. Ферзь: Ферзь — самая сильная фигура. Она может двигаться в любом прямом направлении — вперед, назад, вбок или по диагонали — насколько это возможно, пока она не проходит ни через одну из своих фигур. И, как и со всеми фигурами, если ферзь берет фигуру соперника, ее ход заканчивается.

Обобщенная теорема Виета

Если числа x₁, x₂,…,x_n – корни многочлена n-ой степени
a(x)= a_n*xⁿ + a_n-1*x^n-1 + a_n-2*x^n-2 + … + a₁*x + a₀, a_n ≠0, то справедливы равенства:

Эти равенства называются формулами Виета.

Выпишем их отдельно для многочленов второго, третьего и четвертого порядков.

Формулы Виета для квадратного многочлена

Для квадратного многочлена ax² + bx + c

Формулы Виета для квадратного многочлена позволяют подбирать его целочисленные корни (если они существуют), не решая квадратного уравнения.

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …

Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен x² — 2012x + 2011.

Решение.

Легко видеть, что x = 1 является корнем трехчлена. Убеждаемся в этом простой подстановкой. По формуле Виета

x₁x₂ = 

 = 2011 1*x₂ = 2011 x₂ = 2011. Следовательно, x² — 2012x + 2011 = (x — 1)(x — 2011).

Ответ: x² — 2012x + 2011 = (x — 1)(x — 2011).

Пример 2. Разложить на множители квадратный трехчлен 2012x² + 2011x — 1.

Решение.

Простой подстановкой легко проверяется, что x = -1 является корнем квадратного трехчлена. По формуле Виета

x₁x₂ = 

c/a

 = 

-1/2012

-1*x₂ = 

-1/2012

x₂ = 

1/2012

.

Следовательно, 2012x² + 2011x — 1= 2012(x + 1)(x — 

1/2012

) = (x+1)(2012x-1).

Ответ: 2012x² + 2011x — 1= 2012(x + 1)(x — 

1/2012

) = (x+1)(2012x-1).

Таким образом, очень часто формулы Виета позволяют быстро подобрать целые корни квадратного трехчлена, не проводя громоздких вычислений. Кроме того, по коэффициентам трехчлена можно сделать выводы о знаках корней уравнения. Например, если корни трехчлена существуют, и

> 0, то или оба корня положительны, или оба отрицательны.

Пример 3. Определить знаки корней уравнения 5x² — 33x + 10 = 0, не решая его.

Решение.

Дискриминант уравнения D = b² — 4ac = 33² — 4*5*10 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. По формулам Виета

То есть x₁x₂ > 0, значит оба корня имеют одинаковый знак. Но сумма корней > 0, следовательно, оба корня положительные числа.

Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.

30 метров это сколько сантиметров?

Ответы (1)

Christine

14.04.2023

30 метров равны 3000 сантиметров. Это потому, что 1 метр равен 100 сантиметрам, следовательно, 30 метров будут равны 30 x 100 = 3000 сантиметрам.

Популярные вопросы в категории единицы измерения

teen

10.04.2023

3 дм 5 см сколько мм?

zemlyanika

17.04.2023

24 дм 5 см сколько см?

sniffer

10.04.2023

6 квадратных метров это сколько квадратных дециметров?

zerem

16.04.2023

100 литров это сколько кг?

Favorevole

16.04.2023

1 5 см это сколько мм?

ElectroPeople

10.04.2023

500 км это сколько?

Wild

17.04.2023

100г это сколько?

Gvasya

16. 04.2023

15 мл сколько ложек?

fancy29

17.04.2023

50 кг сколько грамм?

Lukaniya

10.04.2023

4 дм сколько см?

djnikelectro

17.04.2023

0 25 мл это сколько?

555love

11.04.2023

В одной столовой ложке сколько грамм?

Stacy

11.04.2023

Сколько миллиграмм в грамме одном?

drinklifer

17.04.2023

0 8 см это сколько?

lenusenok

11.04.2023

Сколько секунд в 1 часе?

Dmaxx

11.04.2023

Диагональ 6 дюймов это сколько?

manmara

16.04.2023

Сколько мл воды в столовой ложке?

tutuka

17.04.2023

Четверть секунды это сколько?

InSaNiTy

10. 04.2023

0 5 кг это сколько грамм?

marsilenka

16.04.2023

Сколько в см в 1 дм?

Новые вопросы в категории единицы измерения

dimonanet

14.04.2023

200 м это сколько?

vikentii

10.04.2023

900 см сколько метров?

ImYourBaby

17.04.2023

30 дм это сколько метров?

angelinTokyo

12.04.2023

7 тонн сколько это центнеров?

KOrN

14.04.2023

1 метр сколько дециметров?

elmariaci

13.04.2023

Сколько 1м в см?

Kiborg-Vasya

17.04.2023

Сколько в м квадратном дм квадратных?

NoSpeedLimit

14.04.2023

Сколько в одном гектаре аров?

NEBO-V-NEBE

17. 04.2023

Сколько молока в столовой ложке мл?

holy-mary

11.04.2023

49 дюймов это сколько см?

rulf23

11.04.2023

Как измерить 50 грамм?

PAINT2000

17.04.2023

7 см это сколько?

Gelia

15.04.2023

1 микрограмм это сколько грамм?

GonZo

13.04.2023

Сколько будет 1 фунт?

5up3r

16.04.2023

Километр это сколько метров?

relentless

12.04.2023

300 грамм это сколько миллилитров?

AcidSugar

13.04.2023

32 дюйма сколько это?

SnakeOst

10.04.2023

Полтора сантиметра это сколько?

DedZaru

14.04. 2023

Килограмм груш как пишется?

terry12

12.04.2023

3 дециметра это сколько?

3000 километров (км) в метрах (м), сантиметрах (см), милях (mi), ярдах (yd), футах (ft), дюймах (in)… Конвертер, онлайн калькулятор.

Количество *

Из чего *

километр (км)метр (м)дециметр (дм)сантиметр (см)миллиметр (мм)микрометр (микрон)нанометр (нм)ангстрем (А)лига, льемиля (mi)лэндфурлонгболтчейнпольрод (rd)перчярд (yd)фут (ft)футы и дюймы (x’y»)спанхенддюйм (in)лайнмилмикродюймлига, льемиля (mi)лэндскейнболтшакльфурлонгчейнроуппольгоадэл (локоть)ярд (yd)пейскубит (cu)фут (ft)спан (sp)нейлшафтментхенд (рука) (hd)палм (ладонь) (plm)дюйм (in)фингер (палец)диждитбарлейкорнпопписидлайн (линия)баттонкалибртоу (th)мильфурлонгЧейн Рамсдена (инженерный) (ch)Чейн Гунтера (межевой) (ch)Чейн Гурлея (ch)Поль Гунтера (межевой)Ярд Гунтера (межевой)Линк Рамсдена (инженерный)Линк Гунтера (межевой)Линк ГурлеяФут Гунтера (межевой), surveyors’ foot (ft)морская лига (naut. leag)морская миля (naut.mi)кабельтов (cbl)фатом, морская сажень (fath)морская миля СШАкабельтов СШАфатом США (fath)Адмиралтейская миляАдмиралтейский кабельтовквадра Аргентиныквадра Боливииквадра Чиликвадра Колумбииквадра Эквадораквадра Нигарагуаквадра Парагваяквадра Уругваявара Аргентинывара Бразилиивара Чиливара Колумбиивара Коста Рикивара Кубывара Доминиканской республикивара Эквадоравара Эль Сальвадоравара Гватемалывара Гондурасавара Мексикивара Никарагуавара Панамывара Парагваявара Перу (перуанская)вара Перу (испанская)вара Уругваявара Сан-Томе и Принсипивара Венесуэлыри (里)тё (町)дзё (丈)хиро (尋)кэн (間)сяку (尺)сун (寸)бу (分)рин (厘)мо (毛, 毫)ли (市里)уин (引)жанг (市丈)чи (市尺)кан (市寸)фен (市分)ли малое (釐 или 厘)хао (毫)сы (丝)ху (忽)ли (里)инь (引)чжан (丈)бу (步)чи (尺)цунь (寸)фень (分)ли малое (釐 или 厘)хао (毫)сы (丝)ху (忽)чи (尺)цунь (寸)фэнь (分)йот (โยชน์, лига)сен (เส้น, канат)ва (วา, сажень)сок (ศอก, локоть)кып (คืบ, ладонь)ниу (นิ้ว, сиамский дюйм)крабиат (กระเบียด четверть дюйма)диоптриягеографическая миляюнит (U)горизонтальный шаг (HP)пикапика пункт (пт)пункт (пт)пиксель (px)твип (twip)цицеропункт (пт)штрих (парижская точка)красное смещение (z)парсек (пк)световой годастрономическая единица (а. е.)световая минутасветовая секундасветовая микросекундасветовая наносекундасветовая пикосекундапланковская длина (L)Всё

Во что *

километр (км)метр (м)дециметр (дм)сантиметр (см)миллиметр (мм)микрометр (микрон)нанометр (нм)ангстрем (А)лига, льемиля (mi)лэндфурлонгболтчейнпольрод (rd)перчярд (yd)фут (ft)футы и дюймы (x’y»)спанхенддюйм (in)лайнмилмикродюймлига, льемиля (mi)лэндскейнболтшакльфурлонгчейнроуппольгоадэл (локоть)ярд (yd)пейскубит (cu)фут (ft)спан (sp)нейлшафтментхенд (рука) (hd)палм (ладонь) (plm)дюйм (in)фингер (палец)диждитбарлейкорнпопписидлайн (линия)баттонкалибртоу (th)мильфурлонгЧейн Рамсдена (инженерный) (ch)Чейн Гунтера (межевой) (ch)Чейн Гурлея (ch)Поль Гунтера (межевой)Ярд Гунтера (межевой)Линк Рамсдена (инженерный)Линк Гунтера (межевой)Линк ГурлеяФут Гунтера (межевой), surveyors’ foot (ft)морская лига (naut.leag)морская миля (naut.mi)кабельтов (cbl)фатом, морская сажень (fath)морская миля СШАкабельтов СШАфатом США (fath)Адмиралтейская миляАдмиралтейский кабельтовквадра Аргентиныквадра Боливииквадра Чиликвадра Колумбииквадра Эквадораквадра Нигарагуаквадра Парагваяквадра Уругваявара Аргентинывара Бразилиивара Чиливара Колумбиивара Коста Рикивара Кубывара Доминиканской республикивара Эквадоравара Эль Сальвадоравара Гватемалывара Гондурасавара Мексикивара Никарагуавара Панамывара Парагваявара Перу (перуанская)вара Перу (испанская)вара Уругваявара Сан-Томе и Принсипивара Венесуэлыри (里)тё (町)дзё (丈)хиро (尋)кэн (間)сяку (尺)сун (寸)бу (分)рин (厘)мо (毛, 毫)ли (市里)уин (引)жанг (市丈)чи (市尺)кан (市寸)фен (市分)ли малое (釐 или 厘)хао (毫)сы (丝)ху (忽)ли (里)инь (引)чжан (丈)бу (步)чи (尺)цунь (寸)фень (分)ли малое (釐 или 厘)хао (毫)сы (丝)ху (忽)чи (尺)цунь (寸)фэнь (分)йот (โยชน์, лига)сен (เส้น, канат)ва (วา, сажень)сок (ศอก, локоть)кып (คืบ, ладонь)ниу (นิ้ว, сиамский дюйм)крабиат (กระเบียด четверть дюйма)диоптриягеографическая миляюнит (U)горизонтальный шаг (HP)пикапика пункт (пт)пункт (пт)пиксель (px)твип (twip)цицеропункт (пт)штрих (парижская точка)красное смещение (z)парсек (пк)световой годастрономическая единица (а. е.)световая минутасветовая секундасветовая микросекундасветовая наносекундасветовая пикосекундапланковская длина (L)Всё

* — обязательно заполнить

3000 см в метры

3000 см равно 30 метрам

Универсальный конвертер единиц измерения

Чтобы перевести значение в сантиметрах в соответствующее значение в метрах, просто умножьте количество в см на 0,01 (коэффициент пересчета). Вот 9формула 0035 :

Значение в метрах = значение в см × 0,01

Предположим, вы хотите преобразовать 3000 см в метры. Используя приведенную выше формулу преобразования, вы получите:

Значение в метрах = 3000 × 0,01 = 30 метров

Определение сантиметра

сантиметр (см) – десятичная дробь метра, международная стандартная единица длины. , что примерно эквивалентно 39,37 дюймам.

Определение метра

Метр (м) — основная единица длины в Международной системе единиц (СИ). Он определяется как длина пути, пройденного светом в вакууме за промежуток времени 1/299 792 458 секунд.

Этот конвертер поможет вам получить ответы на такие вопросы, как:

• Сколько сантиметров в 3000 метрах?
• 3000 см равны скольким метрам?
• Сколько будет 3000 см в метрах?
• Как перевести см в метры?
• Какой коэффициент перевода см в метры?
• Как перевести см в метры?
• По какой формуле перевести см в метры? Среди прочих.

см. Диаграмма преобразования метров около 3000 см

Примечание: некоторые значения могут быть округлены.