Автор: alexxlab

Обыкновенные дроби и действия с ними — что это, определение и ответ

Доля – это часть от целого.

Например, пирог разделили на 8 частей, значит каждый кусочек пирога равен одной восьмой доле пирога или просто одной восьмой пирога. Записать такую долю можно в виде дроби\(\ = \frac{1}{8}\).

Если из полученных кусочков забрать три и оставить пять, получится, что забрали три восьмые\(\ –\ \frac{3}{8}\ \)пирога и оставили пять восьмых \(–\ \frac{5}{8}.\)

Число выше черты дроби называется числителем, число ниже черты – знаменателем, а запись вида \(\frac{5}{8}\) – обыкновенной дробью.

Дробь \(\frac{1}{2}\) называется половиной, \(\frac{1}{3}\) – третью, а \(\frac{1}{4}\) – четвертью.

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБЕЙ:

Если мы представим пирог, который разделили на четыре части и забрали две из них (\(\frac{2}{4}\)), мы увидим, что забрали ровно половину пирога, то есть \(\frac{1}{2}\).

Значит \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Так получается, потому что дроби можно сокращать (делить) и расширять (умножать). Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно число, то дробь останется такой же.

Например:

\(\frac{1}{2} = \frac{1 \bullet 2}{2 \bullet 2} = \frac{2}{4}\)

\(\frac{28}{77} = \frac{28 : 7}{77 : 7} = \frac{4}{11}\)

\(\frac{5}{12} = \frac{5 \bullet 4}{12 \bullet 4} = \frac{20}{48}\)

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ:

1. Можно складывать и вычитать только те дроби, у которых одинаковый знаменатель. Тогда знаменатель суммы или разности будет такой же, как и у слагаемых, а числители складываются или вычитаются.

\(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Например:

\(\frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{2 + 4}{7} = \frac{6}{7}\)

\(\frac{8}{9}\ –\ \frac{3}{9} = \frac{8\ –\ 3}{9} = \frac{5}{9}\)

2. Если у дробей разные знаменатели, то нужно привести их к общему знаменателю.

Приведем дробь \(\frac{5}{6}\ \)к знаменателю 42. Чтобы это сделать, нужно знаменатель 6 умножить на \(42 : 6 = 7\), значит и числительно тоже нужно умножить на 7:

\(\frac{5}{7} = \frac{5 \bullet 7}{6 \bullet 7} = \frac{35}{42}\)

Таким образом, мы пришли к новому знаменателю 42 с помощью дополнительного множителя 7.

Общим знаменателем является общее кратное исходных знаменателей. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. А уже дроби с общим знаменателем можно складывать и вычитать.

АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ:

1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Оно и будет новым знаменателем суммы.

2. Разделить найденный наименьший общий знаменатель на знаменатели слагаемых. Это будут дополнительные множители для дробей.

3. Умножить и числитель, и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. Получим сумму дробей с одинаковым знаменателем.

4. Складывать или вычитать дроби как обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями.

Например:

\(\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3 \bullet 3}{4 \bullet 3} + \frac{5 \bullet 2}{6 \bullet 2} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{9 + 10}{12} = \frac{19}{12}\)

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ:

1. Обратные числа:

Любая дробь – это действие деления. Один пирог разделили на восемь частей – получили одну восьмую пирога. Если мы видим дробь с единицей в знаменателе, то эту дробь можно представить числом:

\(\frac{a}{1} = a : 1 = a\)

Например: \(\frac{4}{1} = 4\), \(\frac{27}{1} = 27\).

Если дробь «перевернуть», то есть поменять местами числитель и знаменатель, тогда получится число обратное исходному. Например, числа \(\frac{4}{11}\) и \(\frac{11}{4}\) или \(19\) и \(\frac{1}{19}\) – обратные друг другу.

2. Умножение дробей:

Представим умножение дроби на число как сумму дробей:

\(\frac{3}{5} \bullet 3 = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = \frac{3 + 3 + 3}{5} = \frac{3 \bullet 3}{5} = \frac{9}{5}\)

Видим, что таким образом при умножении дроби на число перемножается число и числитель без изменения знаменателя:

\(\frac{a}{c} \bullet b = \frac{a}{c} \bullet \frac{b}{1} = \frac{a \bullet b}{c \bullet 1}\)

3. Деление дробей:

Чтобы разделить дробь на число, представим это число как дробь с единицей в знаменателе. Тогда мы делим дробь на дробь.

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно вторую дробь перевернуть и перемножить соответственно числители и знаменатели получившихся дробей:

\(\frac{a}{c} : b = \frac{a}{c} : \frac{b}{1} = \frac{a}{c} \bullet \frac{1}{b} = \frac{a}{c \bullet b}\)

Таким же образом делят дроби на дроби:

\(\frac{a}{c} : \frac{b}{d} = \frac{a}{c} \bullet \frac{d}{b} = \frac{a \bullet d}{c \bullet b} = \frac{\text{ad}}{\text{cb}}\)

Как решать дроби на деление. Деление дроби на натуральное число

Для решения различных заданий из курса математики, физики приходится производить деление дробей. Это сделать очень легко, если знать определенные правила выполнения этого математического действия.

Прежде чем перейти к формулированию правило том, как делить дроби, давайте вспомним некоторые математические термины:

1. Верхняя часть дроби называется числителем, а нижняя – знаменателем.
2. При делении числа называются так: делимое: делитель = частное

Как делить дроби: простые дроби

Для выполнения деления двух простых дробей следует умножить делимое на дробь, обратную делителю. Эту дробь по-другому называют еще перевернутой, потому что она получается в результате замены местами числителя и знаменателя. Например:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Как делить дроби: смешанные дроби

Если нам предстоит разделить смешанные дроби, то здесь тоже все достаточно просто и понятно. Сначала переводим смешанную дробь в обычную неправильную дробь. Для этого умножаем знаменатель такой дроби на целое число и числитель прибавляем к полученному произведению. В итоге мы получили новый числитель смешанной дроби, а знаменатель ее останется без изменения. Дальше деление дробей будет осуществляться точно так же, как и деление простых дробей. Например:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Как делить дробь на число

Для того чтобы разделить простую дробь на число, последнее следует написать в виде дроби (неправильной). Это сделать очень легко: на месте числителя пишется это число, а знаменатель такой дроби равен единице. Дальше деление выполняется обычным способом. Рассмотрим это на примере:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Как делить десятичные дроби

Нередко взрослый человек испытывает затруднения при необходимости без помощи калькулятора разделить целое число или десятичную дробь на десятичную дробь.

Итак, чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно в делителе просто зачеркнуть запятую и перестать обращать на нее внимание. В делимом запятую нужно передвинуть вправо ровно на столько знаков, сколько было в дробной части делителя, при необходимости дописывая нули. И дальше производят обычное деление на целое число. Чтобы это стало более понятно, приведем следующий пример.

С дробями можно выполнять все действия, в том числе и деление. Данная статья показывает деление обыкновенных дробей. Будут даны определения, рассмотрены примеры. Подробно остановимся на делении дробей на натуральные числа и наоборот. Будет рассмотрено деление обыкновенной дроби на смешанное число.

Деление обыкновенных дробей

Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.

Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби a b на c d , тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель c d , это даст в итоге делимое a b . Получим число и запишем его a b · d c , где d c является обратным c d числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , где выражение a b · d c является частным от деления a b на c d .

Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:

Определение 1

Чтобы разделить обыкновенную дробь a b на c d , необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.

Запишем правило в виде выражения: a b: c d = a b · d c

Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.

Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.

Пример 1

Выполнить деление 9 7 на 5 3 . Результат записать в виде дроби.

Решение

Число 5 3 – это обратная дробь 3 5 . Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .

Ответ: 9 7: 5 3 = 27 35 .

При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.

Пример 2

Разделить 8 15: 24 65 . Ответ записать в виде дроби.

Решение

Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Выделяем целую часть и получаем 13 9 = 1 4 9 .

Ответ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Деление необыкновенной дроби на натуральное число

Используем правило деления дроби на натуральное число:чтобы разделить a b на натуральное число n , необходимо умножить только знаменатель на n . Отсюда получим выражение: a b: n = a b · n .

Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .

Рассмотрим данное деление дроби на число.

Пример 3

Произвести деление дроби 16 45 на число 12 .

Решение

Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 16 45: 12 = 16 45 · 12 .

Произведем сокращение дроби. Получим 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .

Ответ: 16 45: 12 = 4 135 .

Деление натурального числа на обыкновенную дробь

Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную a b , необходимо произвести умножение числа n на обратное дроби a b .

Исходя из правила, имеем n: a b = n · b a , а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде n: a b = n · b a . Необходимо рассмотреть данное деление на примере.

Пример 4

Делить 25 на 15 28 .

Решение

Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Сократим дробь и получим результат в виде дроби 46 2 3 .

Ответ: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Деление обыкновенной дроби на смешанное число

При делении обыкновенной дроби на смешанное числолегко можно свети к делению обыкновенных дробей. Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.

Пример 5

Разделить дробь 35 16 на 3 1 8 .

Решение

Так как 3 1 8 — смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим 3 1 8 = 3 · 8 + 1 8 = 25 8 . Теперь произведем деление дробей. Получим 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10

Ответ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Деление смешанного числа производится таким же образом, как и обыкновенных.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

• правильные;
• неправильные;
• смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

Дробь – это одна или более долей целого, за которое обычно принимается единица (1). Как и с натуральными числами, с дробями можно выполнять все основные арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножения), для этого нужно знать особенности работы с дробями и различать их виды. Существует несколько видов дробей: десятичные и обыкновенные, или простые. Своя специфика есть у каждого вида дробей, но, обстоятельно разобравшись один раз, как с ними обращаться, вы сможете решать любые примеры с дробями, поскольку будете знать основные принципы выполнения арифметических вычислений с дробями. Рассмотрим на примерах как разделить дробь на целое число, используя разные виды дробей.

Как разделить простую дробь на натуральное число?
Обыкновенными или простыми называют дроби, записывающиеся в виде такого отношения чисел, при котором вверху дроби указывается делимое (числитель), а внизу – делитель (знаменатель) дроби. Как разделить такую дробь на целое число? Рассмотрим на примере! Допустим, нам нужно разделить 8/12 на 2.

Для этого мы должны выполнить ряд действий:
Таким образом, если перед нами стоит задача разделить дробь на целое число, схема решения будет выглядеть примерно так:

Подобным образом можно разделить любую обыкновенную (простую) дробь на целое число.

Как разделить десятичную дробь на целое число?
Десятичная дробь — это такая дробь, которая получается вследствие деления единицы на десять, тысячу и так далее частей. Арифметические действия с десятичными дробями выполняются довольно просто.

Рассмотрим на примере как разделить дробь на целое число. Допустим, нам нужно поделить десятичную дробь 0,925 на натуральное число 5.

Подводя итоги, остановимся на двух основных моментах, которые важны при выполнении операции деления десятичных дробей на целое число:

• для разделения десятичной дроби на натуральное число применяют деление в столбик;
  
• запятая ставится в частном тогда, когда закончено деление целой части делимого.
  

Применяя эти простые правила, всегда можно без особого труда разделить любую десятичную или простую дроби на целое число.

Деление дробей с помощью полосок дробей

Деление дробей может быть очень сложным для многих учащихся. Трудно представить разделение одной фракции на группы других фракций. Чтобы разделить дроби, многие студенты запоминают алгоритм «сохранить-изменить-перевернуть», не зная, почему он работает.

Без концептуального понимания деления дробей учащиеся, как правило, застревают, когда сталкиваются с задачами (особенно со словами), где им нужно делить на неединичные дроби, такие как 2/3 или 3/4, или задачами, где делитель больше, чем дивиденд.

К шестому классу, когда учащиеся должны разделить смешанные числа, они часто полагаются на многоэтапный метод «сохранить-изменить-перевернуть», который трудно запомнить и понять.

Вы можете помочь своим учащимся понять, как делить дроби, используя полоски дробей, которые они могут перемещать. Манипуляции и визуальные представления — это основанные на фактических данных стратегии, которые поддерживают изучение новых математических концепций. Полоски дробей могут помочь учащимся не только понять концепцию деления дробей, но и буквально увидеть, как решать эти задачи без каких-либо вычислений.

Загрузить: Полосы дробей для печати

Полосы дробей PDF

Прочитать: Как использовать эту стратегию

Цель: Учащиеся будут использовать две полосы дробей, чтобы показать и решить.

Изучение тем, выбранных нашими экспертами

• Математика

• Школа поддерживает

• Стратегии и советы

Большая энциклопедия школьника

Большая энциклопедия школьникауникальное издание, содержащее весь свод знаний, необходимый ученикам младших классов. Для детей, собирающихся в 1-й класс, она послужит незаменимым помощником для подготовки к школе. В этой энциклопедии ребенок сможет найти любую интересующую его информацию, в понятном и простом для него изложении. Вы подбираете слова и определения для простых вещей, которые надо объяснить ребенку? Сомневаетесь в формулировках? Просто возьмите «Большую энциклопедию школьника» и найдите нужный ответ вместе с малышом!

Математика в стихах
Развитие речи
Азбука в картинках
Игры на развитие внимания
Как правильно выбрать школу
Ваш ребенок левша
Как готовить домашнее задание
Контрольные и экзамены

Большая энциклопедия школьника — это твой надёжный путеводитель в мире знаний. Она проведёт сквозь извилистые лабиринты наук и раскроет завесу великих тайн Вселенной. С ней ты поднимешься высоко к звёздам и опустишься на дно самых глубоких морей, ты научишься видеть мельчайшие организмы и осязать огромные пространства Земли. Отправившись в это увлекательное путешествие, ты значительно расширишь свой кругозор и поднимешься на новую ступень развития. Отныне никакие вопросы учителей не смогут поставить тебя в тупик, ты сможешь найти выход из любой ситуации. Мир знаний зовёт тебя. В добрый путь!

Обыкновенные дроби в жизни людей

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Дурова А. А. 1

1МБОУ СОШ с.Девица

Дрютова Е.С. 1

1МБОУ СОШ С.ДЕВИЦА

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Вычисление определителей. Миноры, алгебраические дополнения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$

— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}. 2+5x+4=0:$

$D=25-16=9$

$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$

Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$

 {jumi[*4]}

3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$

Решение.

$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$

$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$

Ответ: $0.$

3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$

 Решение.

 $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$

$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$

$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha). T=\det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}. $

Доказательство.

$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$

 $\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}. {3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$

$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$

$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$

$=8a+15b+12c-19d.$

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

   {jumi[*4]}

3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$

Решение.

 Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два 

$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394. 2.$

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$

Ответ: $-14.$

3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$

Ответ: $4.$

3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$

Ответ: $665.$

  {jumi[*4]}

python — Как эффективней вычислить определитель матрицы?

Код ниже считает определитель матрицы 20х20 методом миноров и записывает время, которое ему понадобилось для расчета. Но такую большую матрицу он считает очень долго, несколько часов…

import time, random
from random import randint
Ic = [0 for i in range(10)]
def minor(array):
    return array[0][0] * array[1][1] - array[1][0] * array[0][1]
def division(array):
    if len(array[0]) > 2:
        result = 0
        for i in range(len(array[0])):
            new_arr = []
            for j in range(len(array[0])):
                if j != i:
                    new_arr.append([array[j][k] for k in range(1, len(array[0]))])
            result += division(new_arr) * array[i][0] * (-1 + 2 * ((i + 1) % 2))
        return result
    else:
        return minor(array)
N = 20
result = 0
print(f"\nN:\t{N}\n")
timer = time.time()
matrix = [[randint(0, 9) for row in range(N)] for row in range(N)]
print(f"result:\t{division(matrix)}")
for i in range(N):
    print(matrix[i])
print(f"Time:\t{time.time() - timer}")

Как это можно оптимизировать?

• python
• алгоритм
• оптимизация
• матрицы
• линейная-алгебра

Как это можно оптимизировать?

воспользоваться модулем numpy:

In [32]: import numpy as np   #  pip install numpy
In [33]: a = np. random.rand(20, 20)
In [34]: res = np.linalg.det(a)
In [35]: res
Out[35]: 0.09252260373277807

время работы для матрицы 20×20:

In [36]: %timeit np.linalg.det(a)
27.6 µs ± 37 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)

7

Вычисление определителя через миноры имеет факториальную сложность и непригодно для n>10.

Вместо этого стоит реализовать LU разложение матрицы (кубическая сложность) и затем вычислить определитель как произведение диагональных элементов L и U матриц.

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Определитель квадратной матрицы

6. 4 — Определитель квадратной матрицы

Определитель — это действительное число, связанное с каждой квадратной матрицей. я еще не нашел хорошего Английское определение того, что такое определитель. Все, что я могу найти, либо определяет его в терминах математическая формула или предлагает некоторые из ее применений. Есть даже определение определитель, определяющий его через самого себя.

Определитель квадратной матрицы A обозначается «det A» или | А |. Последнее выглядит как абсолютное значение A, но вам придется применять контекст. Если вертикальные линии расположены вокруг матрица, значит определитель.

Строка ниже показывает два способа записи определителя.

3	1	=	от		3	1
5	2				5	2

Определитель матрицы 2×2

Определитель матрицы 2×2 находится так же, как операция поворота. Это произведение элементов главной диагонали на минус произведение элементов вне главной диагонали.

и	б	= объявление — до н.э.
с	д

Свойства определителей

• Определитель — действительное число, а не матрица.
• Определитель может быть отрицательным числом.
• Он вообще не связан с абсолютным значением, за исключением того, что они оба используют вертикальные линии.
• Определитель существует только для квадратных матриц (2×2, 3×3, … п×п). Определитель матрицы 1 × 1 — это единственное значение в определителе.
• Обратная матрица будет существовать, только если определитель не равен нулю.

Расширение с использованием миноров и кофакторов

Определение определителя, которое у нас есть, относится только к матрице 2×2. Существует ярлык для матрицу 3×3, но я твердо верю, что вы должны изучить способ, который будет работать для всех размеров, а не только частный случай для матрицы 3×3.

Метод называется расширением с использованием миноров и кофакторов. Прежде чем мы сможем использовать их, мы должны определить их.

Несовершеннолетние

Минором для любого элемента является определитель, который получается, когда строка и столбец что элемент находится в удалении.

Обозначение M _ij используется для обозначения минора элемента в строке i и столбце j. Таким образом, M ₂₁ будет означать минор для элемента в строке 2, столбце 1.

Рассмотрим определитель 3×3, показанный ниже. Я включил заголовки, чтобы вы можете оставить строки и столбцы прямыми, но обычно вы не включаете те. Мы собираемся найти некоторых несовершеннолетних.

	С 1	С 2	С 3
Р 1	1	3	2
Р 2	4	1	3
Р 3	2	5	2

Поиск минора для R

₂ С ₁

Минор — это определитель, который остается при удалении строки и столбца элемента, для которого вы пытаетесь найти минор. Это означает, что мы должны удалить строку 2 и столбец 1, а затем найти определитель.

	С 2	С 3
Р 1	3	2	= 3(2) — 5(2) = 6 — 10 = -4
Р 3	5	2

Как видите, минор для строки 2 и столбца 1 равен M ₂₁ = -4.

Попробуем еще.

Поиск минора для R

₃ C ₂

На этот раз мы удалим строку 3 и столбец 2.

	С 1	С 3
Р 1	1	2	= 1(3) — 4(2) = 3 — 8 = -5
Р 2	4	3

Таким образом, минор для строки 3 столбца 2 равен M ₃₂ = -5.

Матрица миноров

Когда вы просто пытаетесь найти определитель матрицы, это излишество. Но есть одно чрезвычайно полезное приложение для него, и оно даст нам практику поиск несовершеннолетних.

Матрица миноров – это квадратная матрица, в которой каждый элемент является минором для числа в этой позиции.

Вот общая матрица миноров для определителя 3×3.

		С 1	С 2	С 3
Р 1		М 11	М 12	М 13
Р 2		М 21	М 22	М 23
Р 3		М 31	М 32	М 33

Найдем матрицу миноров для нашего исходного определителя. Здесь определитель.

	С 1	С 2	С 3
Р 1	1	3	2
Р 2	4	1	3
Р 3	2	5	2

Вот работа по поиску каждого минора в матрице миноров.

	С 1	С 2	С 3
Р 1	1 3 5 2 = 2 — 15 = -13	4 3 2 2 = 8 — 6 = 2	4 1 2 5 = 20 — 2 = 18
Р 2	3 2 5 2 = 6 — 10 = -4	1 2 2 2 = 2 — 4 = -2	1 3 2 5 = 5 — 6 = -1
Р 3	3 2 1 3 = 9 — 2 = 7	1 2 4 3 = 3 — 8 = -5	1 3 4 1 = 1 — 12 = -11

Наконец, вот матрица миноров. Опять же, вам не нужно ставить ярлыки для строки и столбцов там, но это может вам помочь.

		С 1	С 2	С 3
Р 1		-13	2	18
Р 2		-4	-2	-1
Р 3		7	-5	-11

Кофакторы

Кофактор для любого элемента является либо минором, либо противоположным минору, в зависимости от того, где находится элемент в исходном определителе. Если ряд и столбец элемента в сумме должен быть четным числом, тогда кофактор — это то же, что минор. Если строка и столбец элемента в сумме являются нечетными число, то кофактор напротив минора.

Ооо, понял? Нечетные знаки меняются, четные — это один и тот же знак. Дежавю. Мы говорили об этом начиная с раздела 3.2 о многочленах.

Таблица знаков

Вместо того, чтобы складывать строку и столбец элемента, чтобы увидеть, нечетное или четное, многие люди предпочитают использовать диаграмму знаков. Знаковая диаграмма либо + или — для каждого элемента в матрице. Первый элемент (строка 1, столбец 1) всегда + и он чередуется оттуда.

Примечание: + не означает положительное значение, а — отрицательное. + означает то же самое знак как минор, а — означает противоположность минора. Подумайте об этом дополнение и вычитание, а не положительное или отрицательное.

Вот таблица знаков для определителя 2×2.

	С 1	С 2
Р 1	+	—
Р 2	—	+

Вот таблица знаков для определителя 3×3.

	С 1	С 2	С 3
Р 1	+	—	+
Р 2	—	+	—
Р 3	+	—	+

Матрица кофакторов

Опять же, если все, что вы пытаетесь сделать, это найти определитель, вам не нужно пройти через эту большую работу.

Матрица кофакторов — это матрица, полученная заменой каждого элемента матрица своим кофактором. Это матрица миноров с измененными знаками на элементах в — позициях.

		С 1	С 2	С 3
Р 1		-13	-2	18
Р 2		4	-2	1
Р 3		7	5	-11

Расширение для поиска определителя

Вот шаги, которые нужно пройти, чтобы найти определитель.

1. Выберите любую строку или столбец в матрице. Неважно, какой ряд или какой столбец, который вы используете, ответ будет одинаковым для любой строки. Есть несколько рядов или столбцы, которые проще, чем другие, но мы вернемся к этому позже.
2. Умножать каждый элемент в этой строке или столбце по его кофактору и добавить. Результатом является определитель.

Расширим нашу матрицу по первой строке.

1	3	2
4	1	3
2	5	2

Из таблицы знаков мы видим, что 1 в положительном положении, 3 в отрицательном положение и 2 находится в положительном положении. Ставя + или — перед элемента, он заботится о корректировке знака при переходе от минора к кофактору.

+ 1	1	3	— 3	4	3	+ 2	4	1
	5	2		2	2		2	5

= 1 (2 — 15) — 3 (8 — 6) + 2 (20 — 2)
= 1 (-13) — 3 (2) + 2 (18)
= -13 — 6 + 36
= 17

Определитель этой матрицы равен 17.

Как я уже говорил ранее, на самом деле не имеет значения, какую строку или столбец вы используете.

Попробуем еще раз, но на этот раз расширим второй столбец. Как усилие чтобы сэкономить время, миноры для этого столбца (из матрицы миноров) были равны 2, -2 и -5. Исходными элементами были 3, 1 и 5. 3 и 5 отрицательные. позиции.

определитель = — 3 ( 2 ) + 1 ( -2 ) — 5 ( -5 ) = -6 -2 + 25 = 17

Разверните любую строку или любой столбец, вы получите 17.

Тем не менее, вы не можете делать диагонали. Если попробуем главную диагональ, получится

+ 1 (-13) + 1 (-2) + 2 (-11) = -13 -2 — 22 = -37

Некоторые строки или столбцы лучше других

1. Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей.
   Поскольку каждый минор или кофактор умножается на элемент в матрице, выбор строки или столбца с большим количеством нулей означает, что вы будете умножение на много нулей. Умножение на ноль совсем не занимает много времени. На самом деле, если элемент равен нулю, вы не нужно найти даже несовершеннолетнего или кофактор.
2. Выберите строку или столбец с наибольшим числом (или переменными) в нем.
   Элементы в строке или столбце, которые вы расширяете, не используются для поиска несовершеннолетние. Единственное место, где они умножаются, это один раз, в расширении. Если вы выберете строку или столбец с наименьшие числа, то каждый минор будет произведением больших чисел.
   Если вы выберете строку или столбец, в которых есть переменные, вы только иметь умножить на переменные один раз, во время расширения.

Обратная матрица (повторно)

На этот раз рассмотрим наш первоначальный определитель в виде матрицы.

	1	3	2
	4	1	3
	2	5	2

Найдите матрица миноров , как описано выше.

	-13	2	18
	-4	-2	-1
	7	-5	-11

Превратите его в матрицу кофакторов , изменив знаки на соответствующих элементы на основе таблицы знаков.

	-13	-2	18
	4	-2	1
	7	5	-11

Найдите сопряженное число , транспонируя матрицу сомножителей.

Чтобы транспонировать матрицу, нужно поменять местами строки и столбцы. то есть ряды стать столбцами и столбцы становятся строками. Транспонирование матрицы можно найти с помощью TI-82. или калькулятор ТИ-83, введя название матрицы и выбрав Матрица, Математика, а затем вариант 2, буква T с надстрочным индексом, например [A] ^Т .

	-13	4	7
	-2	-2	5
	18	1	-11

Наконец, разделите сопряженное к матрице на определитель матрицы. В этой задаче определитель равен 17, поэтому мы разделим каждый элемент на 17. Полученная матрица равна , обратное исходной матрицы.

	-13/17	17.04.	17/7
	-2/17	-2/17	17/5
	18/17	1/17	-11/17

Обратная матрица находится путем деления сопряженной матрицы матрица на определитель матрицы. Не пытайтесь это сделать на своем калькулятор, так как калькулятор не позволит вам разделить матрицу на скаляр. Вместо этого вам придется умножать на обратный определитель.

Если вы проверите это на своем калькуляторе, вы можете убедиться, что обратное на самом деле является присоединенным, деленным на определитель.

Поскольку обратное — это сопряженное, деленное на определителя, мы можем понять, почему обратное не существует, если определитель равен нулю. Это приведет к делению на ноль, который не определен.

Определители больших заказов

Найдем определитель системы 4×4.

	С 1	С 2	С 3	С 4
Р 1	3	2	0	1
Р 2	4	0	1	2
Р 3	3	0	2	1
Р 4	9	2	3	1

Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей. В данном случае это второй столбец.

Для каждого элемента в исходной матрице его минор будет определителем 3×3. Нам придется расширить каждый из них на используя три определителя 2 × 2.

Вот почему мы хотим расширить второй столбец. Несовершеннолетние умножаются по их элементам, так что если элемент в исходной матрице равен 0, он не действительно имеет значение, что такое минор, и мы можем сэкономить много времени, не имея найти его. Во втором столбце вам не нужно будет находить двух несовершеннолетних потому что соответствующий им элемент во втором столбце равен нулю.

— 2	4	1	2	+ 0				— 0				+ 2	3	0	1
	3	2	1			?				?			4	1	2
	9	3	1										3	2	1

Мы могли бы заполнить эти два средних минора, но так как они умножаются на 0, на самом деле не имеет значения, что они собой представляют. На самом деле, вы могли бы так же легко пропустить их.

Теперь осталось найти два определителя 3×3.

В первом определителе 3×3, нулей нет, поэтому выберите строку или столбец с наибольшими числами. Что будет столбец 1, поэтому расширьте его по первому столбцу.

Уведомление 4 находится в положительном положении. Таблицы знаков начинаются с каждого новый определитель. Положение числа в исходной матрице не имеет значение только его положение в текущей матрице.

4	1	2
3	2	1	=	+ 4	2	1	— 3	1	2	+ 9	1	2
9	3	1			3	1		3	1		2	1

= 4 (2 — 3) — 3 (1 — 6) + 9 (1 — 4) = 4 (-1) — 3 (-5) + 9 (-3) ) = -4 + 15 — 27 = -16

Рассмотрим другую матрицу 3×3. В этой строке стоит 0 1 и столбец 2. Любой из них был бы хорошим выбором для расширения, но поскольку в строке 1 числа немного больше, мы будем расширяться по первой строке.

3	0	1
4	1	2	=	+ 3	1	2	— 0	?	?	+ 1	4	1
3	2	1			2	1		?	?		3	2

= 3 (1 — 4) — 0 (не имеет значения) + 1 (8 — 3) = 3 (-3) + 1 (5) = -9 + 5 = -4

Когда пойдете искать определитель, помните, что там были элементы из исходная матрица 4 × 4, умноженная на каждый из этих определителей 3 × 3. Первый был -2, а второй +2.

Определитель = -2 (-16) + 2 (-4) = 32 — 8 = 24

Наихудший сценарий

Чтобы найти определитель 3×3 без нулей, нужно найти три определителя 2×2.

Чтобы найти определитель 4×4 без нулей, нужно найти четыре определителя 3×3, каждый из которых затем становится тремя определителями 2×2, всего получается двенадцать определителей 2×2.

Чтобы найти определитель 5×5 без нулей, нужно найти пять определителей 4×4, каждый из которых затем становится четырьмя определителями 3×3, каждый из которых становится тремя определителями 2×2 в сумме из шестидесяти определителей 2×2.

Использование калькулятора

После этой последней проблемы вы должны спросить себя, нет ли более легкого пути. Ну да, есть, если в определителе нет переменных. Вы можете воспользоваться калькулятором.

Обозначение, которое использует калькулятор TI-82 или TI-83, — это обозначение Det A. Итак, после входа в матрицу в одну из доступных матриц на калькуляторе, введите DET, выбрав Матрица, Математика и выбрав вариант 1. Затем введите имя матрицы, которую вы используете.

Вам не нужно использовать круглые скобки (если у вас нет TI-83), но вы можете, если вы хотите найти определитель произведения «det ([A]*[B])» или определитель транспонированного «det ([A] ^T )» как в отличие от транспонирования определителя «(det [A]) ^T» . Кстати, калькулятор не найдет транспонирование определителя, потому что в определитель является скаляром (действительным числом) и калькулятор знает только, как найти транспонирование матрицы. Транспонирование скаляр это что скаляр.

Треугольные матрицы

Вам очень понравится находить определители этих матриц.

Верхняя треугольная матрица

Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо над ней. То есть все ненулевые значения находятся в верхнем треугольнике. Все, что ниже диагонали является нулем.

Нижняя треугольная матрица

Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо ниже нее.

То есть все ненулевые значения находятся в нижнем треугольнике. Все, что выше диагонали равен нулю.

Диагональная матрица

Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Все выключено главная диагональ равна нулю.

Определитель треугольной матрицы или диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Элементарные операции со строками

Можно было выполнить три элементарные операции со строками, которые вернули бы эквивалентная система. С определителями, поскольку определитель транспонирования совпадает с определителя матрицы, элементарные операции со строками можно применять и к столбцам.

Выполняя сокращение строк (используя поворот на 1, если хотите), вы можете поместить матрицу в треугольная форма. Как только он будет в треугольной форме, все, что вам нужно сделать, это умножить на элементы на главной диагонали и у вас есть определитель.

Рассмотрим каждую из трех элементарных операций над строками.

1. Если поменять местами две строки или два столбца в определителе, результирующий определитель будет отличаются только знаком. То есть, если вы поменяете местами строки или столбцы, результирующий определитель будет напротив исходного определителя.
2. Если вы умножаете строку или столбец на ненулевую константу, определитель умножается на эту та же ненулевая константа.
3. Если вы умножаете строку или столбец на ненулевую константу и добавляете ее к другой строке или столбцу, заменив эту строку или столбец, определитель не изменится.

Эта последняя операция эквивалентна повороту на единицу!

Предупреждение: если ваша точка опоры — это число, отличное от единицы, то вы умножаете каждую строку, которую вы изменение поворотным элементом. Итак, если вы повернетесь на 3 и поменяете две строки, то в результате определитель будет 3 * 3 = 9раз больше исходного определителя.

Пока вы вращаетесь на одной из них, все будет в порядке.

Вам не нужно помещать матрицу в редуцированную строчно-эшелонную форму или даже в строчно-эшелонную форму. Вы можете остановить сокращение в любой момент и расширить его, используя миноры и кофакторы. Что я предложить является сводным, где есть один, а затем расширить.

Определители, равные нулю

Определитель матрицы будет равен нулю, если

1. Вся строка равна нулю.
2. Две строки или столбца равны.
3. Строка или столбец постоянно кратны другой строке или столбцу.

Помните, что матрица обратима, неособа, тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю. Итак, если определитель равен нулю, матрица вырожденная и не имеет обратной.

Определитель матрицы

Матрица представляет собой массив из множества чисел. Для квадратной матрицы , т. е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов, можно зафиксировать важную информацию о матрице всего одним числом, называемым 9. 1628 определитель . Определитель полезен для решения линейных уравнений, определения того, как линейное преобразование изменяет площадь или объем, а также для изменения переменных в интегралах.

Определитель можно рассматривать как функцию, входом которой является квадратная матрица, а выходом — число. Если $n$ — это количество строк и столбцов в матрице (помните, что мы имеем дело с квадратными матрицами), мы можем назвать нашу матрицу $n \times n$ матрицей. Самая простая квадратная матрица — это матрица $1 \times 1$, которая не очень интересна, поскольку содержит только одно число. Определитель матрицы $1 \times 1$ — это само это число.

При увеличении сложности следующая квадратная матрица представляет собой $2 \times 2$ матрица, которую мы можем записать как \начать{выравнивать*} \левый[ \begin{массив}{cc} а и б\\ CD \конец{массив} \верно]. \конец{выравнивание*}

Вычислим определитель этой матрицы следующим образом. Мы продолжаем по первой строке, начиная с левого верхнего компонента $a$. Мы умножить компоненту $a$ на определитель «подматрицы» формируется путем игнорирования строки и столбца $a$. В этом случае эта подматрица матрица $1 \times 1$, состоящая из $d$, и ее определитель просто $д$. Таким образом, первый член определителя равен $ad$.

Далее переходим ко второму компоненту первой строки, т.е. правая верхняя компонента $b$. Умножаем $b$ на определитель подматрица, образованная игнорированием строки и столбца $b$, т.е. $c$. Итак, следующий член определителя равен $bc$. Общий определитель это просто первый член $ad$ минус второй член $bc$. Мы обозначать это как \начать{выравнивать*} \det\влево(\влево[ \begin{массив}{cc} а и б\\ CD \конец{массив} \верно-верно) = объявление-BC. \конец{выравнивание*}

Хорошо, это было много работы для простого факта. Большинство студентов не есть проблемы с запоминанием определителя матрицы $2 \times 2$ без такой чепухи. Причина прохождения этого процесса должен был упростить вычисление определителя $3 \times 3$ (и больше).

Вычислим определитель матрицы $3\times 3$ \начать{выравнивать*} \левый[ \begin{массив}{ccc} а и б и в \\ д и д и ж \\ г и ч и я \конец{массив} \верно] \конец{выравнивание*} точно таким же образом. Проходим по первой строке и умножаем каждой компоненты определителем подматрицы, образованной игнорированием строку и столбец этого компонента. С помощью этой процедуры мы вычисляем три термина, один для $a$, один для $b$ и один для $c$. Каждый из них члены складываются вместе, только с чередующимися знаками (т. е. первые срок минус второй срок плюс третий срок).

Теперь мы можем записать определитель матрицы $3 \times 3$. \начать{выравнивать*} \det\влево(\влево[ \begin{массив}{ccc} а и б и в \\ д и д и ж \\ г и ч и я \конец{массив} \верно-верно) &= a \det \left(\left[ \begin{массив}{cc} д и ж\\ привет \конец{массив} \верно-верно) -b \det\влево(\влево[ \begin{массив}{cc} д и ж\\ г и я \конец{массив} \верно-верно) +c \det \влево(\влево[ \begin{массив}{cc} д и е \\ г и ч \конец{массив} \верно-верно)\\ &=a(ei-fh) — b(di-fg) + c(dh-eg)\\ &=aei +bfg + cdh -afh -bdi -ceg \конец{выравнивание*}

Теперь, я думаю, вы могли бы запомнить окончательную формулу за 3 доллара. \times 3$ определитель. Но я предпочел бы использовать синаптическую связь моего мозга связи, чтобы сделать что-то более полезное. На самом деле, я боюсь, если я пытался запомнить это, я мог забыть что-то еще важное, например как сочетать одинаковые термины в алгебре.

Описанная выше процедура обобщается на более крупные определители. Например, чтобы вычислить определитель матрицы $4 \times 4$, у нас будет четыре члена, каждый из которых будет содержать определитель $3 x 3$. Если бы мы расширили все эти термины, используя приведенную выше формулу для определителя $3 \times 3$, вы можете себе представить, что у нас была бы довольно уродливая формула. Это слишком грязно, чтобы записывать. Но если надо, то можно. Однако обычно такие уродливые и скучные расчеты мы перекладывали на компьютер.

Ключевой факт, который следует помнить : определитель представляет собой одно число, вычисленное из матрицы.

Альтернативное обозначение

Мы часто записываем определитель $2 \times 2$ как $\left| \begin{массив}{cc} а и б\\ CD \end{array}\right|$ или определитель $3 \times 3$ как \начать{выравнивать*} \влево| \begin{массив}{ccc} а и б и в \\ д и д и ж \\ г и ч и я \конец{массив} \право|.

Проверочные работы по теме Периметр фигур, 2 класс

Проверочные работы по теме «Периметр фигур», 2 класс

Проверочная работа №1

1 вариант

1. Длина стороны квадрата равна 20 см. Вычисли периметр квадрата.

 Ответ: периметр квадрата равен 80 см.

2. Периметр равностороннего треугольника равен 60 дм. Определи длину его стороны.

 Ответ: длина стороны равностороннего треугольника равна 20 дм

3. Найди длину листа стекла прямоугольной формы, если его периметр равен 18 дм, а ширина равна 2 дм.

Ответ: длина равна 7 дм

4.Определи периметр треугольника, если длина одной стороны равна 3 см, а каждая следующая на 1 см больше предыдущей. 

Ответ: периметр треугольника равен 12 см.

2вариант

1. Длина стороны квадрата равна 3 см. Определи периметр квадрата.

 Ответ: периметр квадрата равен 12 см.

2. Периметр равностороннего треугольника равен 12 дм. Определи длину его стороны.

 Ответ: длина стороны равностороннего треугольника равна 4 дм.

3. Найди длину листа стекла прямоугольной формы, если его периметр равен 16см, а ширина равна 2 см.

 Ответ: длина равна 6 см.

4. Вычисли периметр треугольника, если длина одной стороны равна 3 дм, а каждая следующая на 2 дм больше предыдущей. 

Ответ: периметр треугольника равен 15 дм.

2.От прямоугольника, длина которого 8 дм, а ширина 2 дм, отрезали квадрат со стороной, равной ширине прямоугольника.

Определи периметр оставшегося прямоугольника.

Ответ: периметр оставшегося прямоугольника равен 16 дм.

Решение.

Известно, что от прямоугольника, длина которого 8 дм, а ширина 2 дм, отрезали квадрат со стороной, равной ширине прямоугольника (на рисунке квадрат закрашен).

Отрезать — это значит, уменьшить, отнять.

Поэтому, оставшийся прямоугольник (на рисунке белый), имеет длину, равную разности между данной в задании длиной и шириной, т. е. 8дм−2дм=6дм. 

Ширина оставшегося прямоугольника будет той же, т.е. 2 дм. 

Известно, что периметр прямоугольника — это сумма длин всех сторон прямоугольника. Противолежащие стороны прямоугольника равны между собой.

Значит, периметр оставшегося прямоугольника равен такой сумме: 

Р=6дм+2дм+6дм+2дм=16дм

3. Имеется квадрат со стороной 10 см.

Найди периметр квадрата, составленного из 4 таких квадратов.

Рассмотри все возможные варианты, учитывая, что квадрат — это тоже прямоугольник, у которого все стороны равны.

Ответ: периметр квадрата равен 80см.

Решение.

Имеется квадрат со стороной 10 см.

Составляя из 4 таких квадратов новый квадрат получим, что

его сторона будет равна 20 см.

Определим периметр квадрата, составленного из 4 таких квадратов. Для этого сложим длины всех сторон квадрата.

Получим:  

Р=20см+20см+20см+20см=80см

Литература:

ФГОС Примерная основная образовательная программа. Москва, «Баласс», 2010 год.

Математика. 2 класс. Башмаков М.И., Нефедова М.Г.

Обучение во 2 классе по учебнику «Математика» М.И. Башмакова, М.Г. Нефедовой. Программа. Методические рекомендации. Поурочные разработки.
Башмаков М.И., Нефедова М.Г.

Математика. Тесты и самостоятельные работы для текущего контроля к учебнику М.И. Башмакова, М.Г. Нефедовой «Математика». 2 класс. Нефедова М.Г.

http://www.yaklass.ru/p/matematika/2-klass/tekstovye-zadachi-16978/perimetr-15685/tv-b3036fa6-3adc-49e9-91f4-1125b4d752ba

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/235559-proverochnye-raboty-po-teme-perimetr-figur-2-

Урок 28. Четырёхугольники — гдз по математике для 5 класса С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин

Класс

• 1 класс

• 2 класс

  • Английский язык
  • Математика

• 3 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика

• 4 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика

• 5 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология

• 6 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология

• 7 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 8 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 9 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 10 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 11 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Химия

5 КЛАСС

Урок 28.

Четырёхугольники

1) 37 − 8 = 29 (см) − другая сторона прямоугольника;
2) (37 + 29) * 2 = 66 * 2 = 132 (см) − периметр прямоугольника.
Ответ: 132 см

1) 26 : 2 = 13 (см) − другая сторона прямоугольника;
2) (26 + 13) * 2 = 39 * 2 = 78 (см) − периметр прямоугольника.
Ответ: 78 см

Ответ: 11 см.

Ответ: 87 см, 93 см.

Ответ: 52 см

Ответ: 14 см

Ответ: периметр увеличиться на 8 см.

Пусть сторона квадрата равна 3a см, тогда:
1) 4 * 3a = 12a (см) − периметр квадрата;
2) 4 * (3a : 3) = 4a (см) − уменьшенный периметр квадрата;
3) 12a : 4a = 3 (раза) − уменьшиться периметр квадрата.
Ответ: периметр уменьшиться в 2 раза.

Единичным называют отрезок, длину которого принимают за единицу.

Произведение двух чисел одного знака положительно, а произведение двух чисел разных знаков отрицательно. 
Чтобы найти модуль произведения, нужно перемножить модули множителей.

20 : 4 = 5 (см) − сторона ромба.
Ответ: 5 см

∠L = 120°

Ответ: 5 см.

Решение г
Квадратный миллиметр, квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр, квадратный километр, ар, гектар.

Ответ: 28 единичных квадратов.

Два треугольника называют равными, если их можно совместить при наложении. Поэтому утверждение, что, если два треугольника равны, то их периметры равны, верно.

Решение а
При переходе слева направо на одну клетку единицы площади, записанные во второй строке увеличиваются в 100 раз.

Решение б
При переходе справа налево на одну клетку единицы площади, записанные во второй строке уменьшаются в 100 раз.

Вопросники:

Q6 Найдите периметр квадрата, каждая сторона которого равна 16 м…

Перейти к

• Упражнение 32 (А)
• Упражнение 32(Б)

• Система счисления (закрепление чувства числа)
• Оценка
• Числа в Индии и международной системе (со сравнением)
• Место Значение
• Натуральные числа и целые числа (включая шаблоны)
• Отрицательные числа и целые числа
• Номер строки
• HCF и LCM
• Игра с числами
• Наборы
• Соотношение
• Доля (включая словесные задачи)
• Унитарный метод
• Фракции
• Десятичные дроби
• Процент (Процент)
• Представление о скорости, расстоянии и времени
• Основные понятия (алгебра)
• Основные операции (связанные с алгебраическими выражениями)
• Замена (включая использование скобок в качестве группирующих символов)
• Обрамление алгебраических выражений (включая вычисление)
• Простые (линейные) уравнения (включая текстовые задачи)
• Основные понятия (геометрия)
• Углы (с их типами)
• Свойства углов и линий (включая параллельные линии)
• Треугольники (включая типы, свойства и конструкцию)
• четырехугольник
• Полигоны
• Круг
• Повторное упражнение по симметрии (включая построения по симметрии)
• Распознавание твердых тел
• Периметр и площадь плоских фигур
• Обработка данных (включая пиктограмму и гистограмму)
• Среднее и медиана

Главная > Селина Солюшнс Класс 6 Математика > Глава 32. Периметр и площадь плоских фигур. > Упражнение 32 (А) > Вопрос 6

Вопрос 6 Упражнение 32(А)

В6) Найдите периметр квадрата, каждая сторона которого равна 1,6 м.

Ответ:

Решение 6:

Сторона квадрата = 1,6 м

Периметр квадрата = 4 x сторона

= 1,6 м x 4

= 6,4 м Сегодня. Мы выполняем шестую партию, которая заключается в том, чтобы найти периметр квадрата, каждая сторона которого равна 1 и 6 м. Так как каждая сторона находится на шестой странице, теперь формула для периметра квадрата для a с a теперь вы сторона, данная нам, составляет 1,6 метра предупреждений непосредственно заменить. Таким образом, ваш ответ будет 4 в Итак, окончательный ответ — шесть целых четыре десятых. Спасибо за просмотр моего видео.

Связанные вопросы

Q1) Что вы понимаете под плоской замкнутой фигурой?

Q2) Внутренняя часть фигуры называется областью фигуры. Верно ли это утверждение?

Q3) Найдите периметр каждой из следующих замкнутых фигур:

Q4) Найдите периметр прямоугольника, у которого: (i) длина = 40 см и ширина = 35 см (ii) длина = 10 м…

Q5) Если P обозначает периметр прямоугольника, l обозначает его длину, а b обозначает его ширину, найдите :(i)…

В7) Найдите сторону квадрата, периметр которого равен 5 м.

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Упражнения

Упражнение 32 (a)

Упражнение 32 (b)

Главы

Система чисел (консолидация чувства числа)

Оценка

Числа в Индии и международная система (со сравнением)

Значение места.

Натуральные числа и целые числа (включая шаблоны)

Отрицательные числа и целые числа

Номерная линия

HCF и LCM

Игра с номерами

Наборы

Соотношение

(включая проблемы с словами)

Unitary Method

. , расстояние и время

Основные понятия (алгебра)

Основные операции (относящиеся к алгебраическим выражениям)

Подстановка (включая использование скобок в качестве группирующих символов)

Обрамление алгебраических выражений (включая вычисление)

Простые (линейные) уравнения (включая текстовые задачи)

Основные понятия (геометрия)

Углы (с их типами)

Свойства углов и прямых (включая) Треугольники (включая типы, свойства и построение)

Четырехугольник

Многоугольники

Окружность

Повторное упражнение по симметрии (включая построения по симметрии)

Распознавание твердых тел

Периметр и площадь плоских фигур

Обработка данных (включая пиктограммы и гистограммы)

Среднее и медиана

Курсы

Быстрые ссылки

Условия и политика

Условия и политика

2022 © Quality Tutorials Pvt Ltd Все права защищены и периметр квадрата с известной длиной стороны

Сумма периметров прямоугольника и квадрата равна 138 см. Ширина прямоугольника и длина квадрата равны 16 см. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

Стенограмма видео

Сумма периметров прямоугольника и квадрата равна 138 сантиметров. Ширина прямоугольника и длина квадрата равны 16 см. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

В этом вопросе есть две формы: прямоугольник и квадрат. Нам говорят сумму периметра прямоугольника и квадрата и просят найти периметр и площадь прямоугольника. Начнем с того, что вспомним, что такое периметр и площадь. Периметр фигуры — это расстояние вокруг внешней стороны фигуры. Площадь — это количество места, которое занимает фигура. Итак, давайте нарисуем наш эскиз квадрата и прямоугольника.

Нам сказали, что ширина прямоугольника и длина квадрата равны 16 сантиметрам. А для нашего квадрата, так как у нас четыре стороны одинаковой длины, это значит, что все стороны нашего квадрата будут равны 16 сантиметрам. Нам также говорят, что сумма периметров прямоугольника и квадрата равна 138 сантиметрам. Это означает, что если мы сложим все стороны квадрата и все стороны прямоугольника вместе, мы получим 138 сантиметров. Давайте посмотрим, сможем ли мы сделать это более формальным математическим способом, написав уравнение. Начнем с периметра квадрата, поскольку мы знаем, что периметр — это расстояние по всему периметру. Мы можем записать это как 16 плюс 16 плюс 16 плюс 16 или просто четыре раза по 16, что мы можем оценить как 64 сантиметра.

Для периметра прямоугольника мы знаем, что ширина равна 16 сантиметрам. Мы не знаем длину, но давайте создадим значение 𝑥, которое будет представлять длину. Таким образом, чтобы найти периметр, мы могли бы записать это как 𝑥 плюс 𝑥 плюс 16 плюс 16, что равно двум 𝑥 плюс 32. Отсюда мы больше ничего не можем сделать с периметром прямоугольника. Но вернемся к тому, что нам сказали, что сумма параметров прямоугольника и квадрата равна 138 сантиметрам. Это означает, что мы можем составить уравнение для суммы периметров как 64 плюс два 𝑥 плюс 32 и положить его равным 138. Собирая наши числовые значения 64 и 32, мы получим два 𝑥 плюс 9.6 равняется 138. Затем, чтобы изменить наше уравнение, чтобы получить 𝑥 само по себе, мы вычитаем 96 из обеих частей нашего уравнения, что дает нам два 𝑥 равных 42. А затем разделив на два, чтобы найти 𝑥, мы получим 𝑥 равно 21 сантиметру.

И так мы узнаем, что длина нашего прямоугольника 21 сантиметр. Таким образом, чтобы найти периметр нашего прямоугольника, мы должны вычислить 21 плюс 16 плюс 16. Или, поскольку мы уже выяснили, что периметр прямоугольника равен двум 𝑥 плюс 32, теперь мы знаем, что 𝑥 равно 21. Мы можем подставить в этом значении. Используя любой из этих методов, мы нашли бы, что периметр прямоугольника равен 74 сантиметрам. Чтобы найти площадь прямоугольника, мы используем формулу, согласно которой площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Поскольку мы знаем, что наша длина равна 21, а ширина — 16, это даст нам площадь, равную 21 умножить на 16, что мы можем оценить как 336. Здесь единицами измерения будут квадратные сантиметры, поскольку мы имеем дело с площадью.

Графики тригонометрических функций кратных углов. Основные формулы тригонометрии Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Словари. Энциклопедии. История. Литература. Русский язык » Медицина » Графики тригонометрических функций кратных углов. Основные формулы тригонометрии Формулы суммы и разности тригонометрических функций

В тригонометрии многие формулы легче вывести, чем вызубрить. Косинус двойного угла — замечательная формула! Она позволяет получить формулы понижения степени и формулы половинного угла.

Итак, нам нужны косинус двойного угла и тригонометрическая единица:

Они даже похожи: в формуле косинуса двойного угла — разность квадратов косинуса и синуса, а в тригонометрической единице — их сумма. Если из тригонометрической единицы выразить косинус:

и подставить его в косинус двойного угла, то получим:

Это — еще одна формула косинуса двойного угла:

Эта формула — ключ к получению формулы понижения степени:

Итак, формула понижения степени синуса:

Если в ней угол альфа заменить на половинный угол альфа пополам, а двойной угол два альфа — на угол альфа, то получим формулу половинного угла для синуса:

Теперь из тригонометрической единицы выразим синус:

Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:

Получили еще одну формулу косинуса двойного угла:

Эта формула — ключ к нахождению формулы понижения степени косинуса и половинного угла для косинуса.

Таким образом, формула понижения степени косинуса:

Если в ней заменить α на α/2, а 2α — на α, то получим формулу половинного аргумента для косинуса:

Так как тангенс — отношение синуса к косинусу то формула для тангенса:

Котангенс — отношение косинуса к синусу. Поэтому формула для котангенса:

Конечно, в процессе упрощения тригонометрических выражений формулы половинного угла или понижения степени нет смысла каждый раз выводить. Гораздо проще перед собой положить листик с формулами. И упрощение продвинется быстрее, и зрительная память включится на запоминание.

Но несколько раз вывести эти формулы все же стоит. Тогда вы будете абсолютно уверены в том, что на экзамене, когда нет возможности воспользоваться шпаргалкой, вы без труда их получите, если возникнет необходимость.

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т. д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки . Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М. : Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число.

Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда

у 0 = sin x 0 .

Преобразуем это соотношение следующим образом:

Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.

Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.

Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция
у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π / x / 2 = 4π .

Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :

Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.

График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.

На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.

И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:

Упражнения

1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).

3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.

4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .

5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.

6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.

5.4.Вывод формул понижения степени.

cos

1 cos2

1 cos2

(4) 1

Выразим — Формула понижения степени

cos

cos2=

1cos2

1cos2

1cos2

1cos2

(5)

sin

Из формул с 1 по 3 заменим, получим 6 формулу

(6) sin

Формулы половинных углов

(7) cos

(8) tg

5. 5.Формулы суммы и разности

тригонометрических функций.

Формулы сложения тригонометрических функций позволяют преобразовывать сумму и разность функций в произведение этих функций.

sin

cos

sin

cos

5.6.Формулы приведения.

Значения тригонометрических функций острых углов вычисляют по таблице, либо по модели числовая окружность.

Значения функций любых углов можно вычислить с помощью формул приведения к острому углу. Формул приведения много, поэтому лучше запомнить правило написаний этих формул, а не сами формулы.

ПРАВИЛО НАПИСАНИЯ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ:

1) Если под знаком тригонометрической функции содержится (, или (, то наименование функции нужно изменить на родственное (sin cos ; tg ctg)

2) Если под знаком тригонометрической функции содержится ( то наименование тригонометрической функции менять не нужно.

3)Перед полученной функцией от аргумента t нужно поставить тот знак, которая имела бы преобразуемая функция при условии, что

0<t< (0<<90

1) sin ( 17) tg (

2) sin ( 18) tg (

3) sin ( 19) tg (

4) sin 20) tg

5) sin ( 21) tg (

6) sin 22) tg

7) sin 23) tg

8) sin 24) tg

9) cos ( 25) ctg (

10) cos ( 26) ctg (

11) cos ( 27) ctg (

12) cos 28) ctg

13) cos ( 29) ctg (

14) cos 30) ctg

15) cos 31) ctg

16) cos 32) ctg

6. Решение уравнения sinx=a.

(вывод формул корней уравнения sint=a)

Если то уравнение sin =a имеет корни, если то уравнение корней не имеет. Например:

sint = 2

2 нет корней

sint = -1,8

|-1,8|=1,8 нет корней

Вывод формул корней

0;

t= arcsina+k

Вывод: Уравнение sinta имеет две серии решений: (1)

arcsina

(2)

Эти две формулы объединим в одну:

tk

(1) t

при любом k

(2) t

t = k

Формула корней уравнения sin t=a

Свойство:

(1) формула

(2) формула

Три частных случая:

1) sint t

2) sint t

3) sin t

Например, Решить уравнение

sint

t

t

7. Решение уравнения cosx=a

(Вывод формул корней уравнения cost=a)

Решить тригонометрическое уравнение cost=a, значит найти все числа t на окружности cos, которых равен числу a.

y

a

x |a|1

Если |a| то тригонометрическое уравнение cos t=a имеет корни.

Если |a| то тригонометрическое уравнение cos t=a не имеет решений.

cos t 1,5 нет корней

cos t || нет корней

y Вывод формул корней

(k

x

1

Вывод: Уравнение cost=a имеет две серии решений:

t=k

t=(k, которые можно объединить в одну формулу

Формула корней уравнения cost=a

Свойство:

Но в трёх частных случаев предпочитают пользоваться не формулой корней, а более простыми соотношениями:

1) cos t t

2) cos t t

3) cos t t

Например, Решить уравнение

cos t

|a| нет корней

8. Решение уравнения tgx=a.

(Вывод формулы корней уравнения tgt=a),

y где a-любое действительное число на линии tg.

tg

a +

t=arctga

x

Формула корней уравнения tgta:

Свойство:

Частных случаев нет!

Например, Решить уравнение:

tgt=1,5

t=arctg1,5

9. Решение уравнения ctg=a.

(Вывод формулы корней уравнения ctgt=a),

Где a-любое действительное число на линии ctg

y

ctgt 0 a ctgt

arcctga

x

arcctga+

t

Формула корней уравнения ctgt=a

Свойство:

arcctg(-a)

Например, Решить уравнение:

ctgt

t

tgt

0

ctgt 1 ctgt

0;2

0

x

Решение кубических уравнений методом разложения на множители

Уравнение 3 степени a(x) = a₃*x³ + a₂*x² + a₁*x + a₀, a₃ ≠ 0, может иметь самое большее 3 корня. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере один действительный корень, так как если корнем является комплексное число, то и комплексно сопряженное тоже будет его корнем.

Таким образом, кубический многочлен a(x) всегда можно разложить на два множителя, один из которых линейный, а второй квадратичный

В свою очередь многочлен второй степени a₃x² + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители a(x):

Таким образом, приравнивая каждый множитель в разложении к нулю, найдем все корни кубического уравнения в каждом случае. Рассмотрим решение кубических уравнений методом разложения на множители на примерах.

Пример 1. Решить уравнение x³ — 3x² — 4x + 6 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни уравнения нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем уравнения является число 1. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 1)*(a₃x² + bx + c) = 0.

Чтобы найти многочлен a₃x² + bx + c, нужно левую часть исходного уравнения разделить на x — 1. Для деления многочлена на двучлен будем использовать схему Горнера.

Таким образом, x³ — 3x² — 4x + 6 = (x — 1)(x² — 2x — 6). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 1) (x² — 2x — 6) = 0.

Осталось решить квадратное уравнение x² — 2x — 6 = 0.

Ответ: -1- √7, 1 ,-1+√7.

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …

Пример 2. Решить уравнение -2x³ + 3x² — 4x — 9 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±3, ±9. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±3, ±9,

±

1/2

, ±

3/2

, ±

9/2

.

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x + 1.

Таким образом, -2x³ + 3x² — 4x — 9 = (x + 1)(-2x² + 5x — 9). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x + 1) (-2x² + 5x — 9)=0. Решая квадратное уравнение -2x² + 5x — 9 = 0, получаем, что его дискриминант

Ответ: -1.

Пример 3. Решить уравнение 2x³ — x² — 8x + 4 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±4. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±2, ±4.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x — 2.

Таким образом, 2x³ — x² — 8x + 4 = (x — 2)(2x² + 3x — 2). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 2) (2x² + 3x — 2) = 0. Решая квадратное уравнение 2x² + 3x — 2 = 0, получаем,

Ответ: -2,

, 2.

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени — метод неопределенных коэффициентов. Он довольно громоздкий, но иногда бывает очень полезным при решении разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x₀)*(a₃x² + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a₃x³ + x²(b — a₃x₀) + x*(c — bx₀) — cx₀.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a₃,b,c и x₀. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4. Решить уравнение x³ + 2x² — 5x — 6 = 0.

Решение.

Так как любой многочлен 3 степени можно представить в виде a₃x³ + x²(b — a₃x₀) + x*(c — bx₀) — cx₀, то приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения x₀ = b — 2 и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь выразим переменную c из первого уравнения и подставим во второе.

Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:

Если b=4, то c=3, x₀ = 2. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6 = (x — 2)(x² — 4x + 3)=(x — 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x₀ = -1. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6 = (x + 1)(x² + x — 6)=(x + 1)(x + 3)(x — 2).

Если b = -1, то c = -2, x₀ = -3. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6=(x + 3)(x² — x — 2) = (x + 3)(x — 2)(x + 1).

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению (x + 3)(x — 2)(x + 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -3, x = 2, x = -1.

Ответ: -3, -1, 2.

Пример 5. Решить уравнение 2x³ + x² — 5x + 2 = 0.

Решение.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения x₀ = 

(b — 1)/2

и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.

Умножая левую и правую части второго уравнения на 4 и раскрывая скобки, находим b:

Если b=2, то c=-4, x₀ = 

. Следовательно, 2x³ + x² — 5x + 2 = (x — 

)(2x² + 2x — 4) = 2(x — 

)(x — 1)(x + 2).

Если b = 3, то c = -2, x₀ = 1. Следовательно, 2x³ + x² — 5x + 2 = (x — 1)(2x² + 3x — 2)=2(x — 1)(x — 

)(x + 2).

Если b = -3, то c = 1, x₀ = -2. Следовательно, 2x³ + x² — 5x + 2 = (x + 2)(2x² — 3x + 1) = 2(x + 2)(x — 

)(x — 1).

Следовательно, исходное уравнение эквивалентно уравнению 2(x + 2)(x — 

)(x — 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -2, x = 

, x = 1.

Ответ: -2,

, 1.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Схема метода Кардано

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

где a₀, a₁, a₂, a₃ – произвольные вещественные числа,

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q – вещественные числа.

      Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

      Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

      Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

где   t   – новая переменная.

      Поскольку

то выполнено равенство:

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

      Если теперь уравнение (7) умножить на   t,   то мы получим квадратное уравнение относительно   t :

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

      В развернутой форме эти решения записываются так:

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

      С другой стороны,

      Таким образом,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

      Тогда получим

x³ – 6x² – 6x – 2 =
= (y + 2)³– 6(y + 2)² –
– 6(y + 2) – 2 =
= y³ + 6y² + 12y + 8 – 6y² –
– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 =
= y³ – 18y – 30.

      Следовательно, уравнение (13) принимает вид

      Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

      Тогда поскольку

то уравнение (15) примет вид

      Далее из (17) получаем:

      Отсюда по формуле (16) получаем:

      Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

      Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

      Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Решение кубических уравнений. Методы и примеры

В математике многочленом называется алгебраическое выражение, состоящее из переменных, коэффициентов и арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение или деление. Общая форма полинома: ax ⁿ + bx ^n-1 + cx ^n-2 +… + 1. Уравнение — это математическое выражение, выражающее отношение между двумя значениями. Алгебраическое уравнение — это уравнение, имеющее вид ax ⁿ + bx ^n-1 + cx ^n-2 +… + 1 = 0. Например, 2x-5 = 0 является примером алгебраического уравнения, где (2x-5) является полиномом. Существуют различные типы алгебраических уравнений в зависимости от высшей степени переменной, такие как линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение, уравнение и т. д.

Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором полином высшей степени равен 3. Некоторые примеры кубических уравнений:

x ³ — 4x ² + 15x — 9 = 0, 2x ³ — 4x ² + 5 = 0, и т. Д.

Общая форма кубического уравнения —

AX AX. ³ + bx ² + cx + d = 0, a ≠ 0

где,

a, b, и c — коэффициенты, а d 90.

Как решать кубические уравнения?

Кубическое уравнение можно решить традиционным способом, сведя его к квадратному уравнению, а затем решив либо с помощью факторизации, либо по квадратной формуле. Подобно тому, как квадратное уравнение имеет два корня, кубическое уравнение имеет три корня. Кубическое уравнение может иметь три действительных корня или действительный корень и два мнимых корня. Любое уравнение, в том числе и кубическое, всегда должно быть сначала приведено в стандартную форму.

Например, если задано уравнение 2x ² -5 = x + 4/x, то мы должны привести его к стандартной форме, т. е. 2x ³ -x ² -5x- 4 = 0. Теперь мы можем решить уравнение любым подходящим методом.

Кубическое уравнение можно решить следующими способами:

• Нахождение целочисленных решений с помощью списков множителей
• Использование графического метода

Решение кубического уравнения с использованием множителей полинома

Пример: Найдите корни уравнения f(x) = 3x ³ −16x ² + 23x − 6 = 0.

Решение:

: 900 ³ −16x ² + 23x − 6 = 0.

Сначала разложите многочлен на множители, чтобы получить корни.

Поскольку константа равна +6, возможные множители равны 1, 2, 3, 6.

f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 ≠ 0

f(2) = 24 – 64 + 46 – 6 = 0

f(3) = 81 – 144 + 69– 6 = 0

f(6) = 648 – 576 + 138 – 6 ≠ 0

Мы знаем, что если f(a) = 0, то (x-a) является множителем f(x).

Итак, (x – 2) и (x – 3) являются множителями f(x). Теперь, чтобы найти остальные факторы, используйте метод синтетического деления.

(x – 2)(x – 3) = (x ² – 5x + 6)

 

Итак, (3x-1) – это еще один множитель f(x).

Итак,

корни данного уравнения равны 1/3, 2 и 3.

Решение уравнения графическим методом

Кубическое уравнение решается графически, если вы не можете решить данное уравнение другими методами. Итак, нам нужен точный рисунок данного кубического уравнения. Корни уравнения — это точки, в которых график пересекает ось X. Число действительных решений кубического уравнения равно количеству пересечений графика кубического уравнения с осью x.

Пример: Найдите корни уравнения f(x) = x ³ − 4x ² − 9x + 36 = 0, используя графический метод.

Решение:

Полученное выражение: f(x) = x ³ − 4x ² − 9x + 36 = 0.

Теперь просто подставим случайные значения x в граф для данного function:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
f(x)	-56‬	0	19‬	40	36	24‬	10‬	0	0	16

 

We can see that the graph has cut the X-axis at 3 points , следовательно, существует 3 действительных решения.

Судя по графику, решения: x = -3, x = 3 и x = 4.

Следовательно, корни данного уравнения равны -3, 3 и 4.

Задачи, основанные на решении кубическое уравнение

Задача 1. Найдите корни f(x) = x ³ – 4x ² -3x + 6 = 0,

Решение:

900 = x ³ – 4x ² -3x + 6 = 0.

Сначала разложите многочлен на множители, чтобы получить корни.

Поскольку константа равна +6, возможные множители равны 1, 2, 3, 6.

f(1) = 1 – 4 – 3 + 6 = 7 – 7 = 0

f(2) = 8 – 16 – 6 + 6 ≠ 0

f(3) = 27 – 36 – 9 + 6 ≠ 0

f(6) = 216 – 144 -18 + 6 = -48 ≠ 0

Итак, (x – 1) является фактором данного уравнения. Теперь, чтобы найти остальные факторы, используйте метод синтетического деления.

 

Итак, f(x) = x ³ – 4x ² -3x + 6 = (x – 1) (x ² – 3x – 6) = 0

Мы знаем, что корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равны,

x = [-b ± √(b ² -4ac)]/2a

x = [3 ± √(3 ² – 4(1)(-6)]/2(1)

x = (3 ± √33)/2

Следовательно, корни данного кубического уравнения равны 1, (3+ √33)/2 и (3–√33)/2. Решение:

Заданное выражение: f(x) = 4x ³ – 10x ² + 4x = 0

⇒ x (4x ² – 10x + 4) = 0

– 04 – 9 0 х (4×2 90 2x + 4) = 0

⇒ x(4x(x – 2) – 2(x – 2)) = 0

⇒ x (4x – 2) (x – 2) = 0

⇒ x = 0 или 4x – 2 = 0, x – 2 = 0

⇒ x = 0 или x = 1/2 или x = 2

Следовательно, корни данного уравнения равны 0, 1/2 и 2.

Задача 3: найти корни уравнения f(x) = x ³ + 3x ² + x + 3 = 0.

Решение:

Указанное выражение: F (x) = x ³ + 3x ² + x + 3 = 0,

⇒ х ² (х + 3) + 1(х + 3) = 0

⇒ (х + 3) (х ² + 1) = 0

⇒ х + 3 = 0 или х ² + 1 = 0

⇒ x = -3, ±i

Итак, данное уравнение имеет действительный корень, т.е. -3, и два мнимых корня, т.е. ±i.

Задача 4: найти корни уравнения f(x) = x 92 – 5x + 7 = 0 равны x = 7, x = -1 и x = 1.

Задача 5. Найти корни уравнения f(x) = x ³ − 6x ² + 11x − 6 = 0, используя графический метод.

Решение:

Полученное выражение: f(x) = x ³ − 6x ² + 11x − 6 = 0.

Теперь просто подставим заданные значения x на график функция:

x	1	2	3	4	5
f(x)	0	0	0	6	24

 

Мы видим, что график пересекает ось X в 3 точках, следовательно, существует 3 действительных решения.

На графике решения следующие: x = 1, x = 2 и x = 3.

Следовательно, корни данного уравнения равны 1, 2 и 3.

ZANDZ ZZ-11075-50 — полоса омедненная стальная (30х4 мм) (50 м в бухте)

Артикул:

ZZ-11075-50

1. Заземление
2. Проводники
3. Полоса омеднённая

Аналоги

Подробнее

GALMAR GL-11075-50 — полоса омеднённая (30х4 мм) (50 м в бухте)

Другие товары из категории

Подробнее

ZANDZ ZZ-11075-10 — полоса омедненная стальная (30х4 мм) (10 м в бухте)

Подробнее

ZANDZ ZZ-11075-20 — полоса омедненная стальная (30х4 мм) (20 м в бухте)

Подробнее

GALMAR GL-11075-10 — полоса омеднённая (30х4 мм) (10 м в бухте)

Подробнее

GALMAR GL-11075-20 — полоса омеднённая (30х4 мм) (20 м в бухте)

Подробнее

GALMAR GL-11075-50 — полоса омеднённая (30х4 мм) (50 м в бухте)

Артикул:

Количество:

Цена:

В корзине

Товаров:

На сумму:

---

Перейти в корзину

Запросить расчет

Логин

Пароль

E-mail

(success)

Фамилия

Отчество

Организация

Род деятельности ПроектированиеМонтаж/СтроительствоПродажаПрочее

Телефон

Хочу быть Экспертом

Эксперт — человек, профессионал, готовый оказывать заказчикам (посетителям этого сайта) какие-либо услуги в областях:

• Продажа
• Проектирование
• Монтаж

Хочу получать новости ZANDZ на Email

Я ознакомился с правилами пользования сайтом

Дополнительную информацию о компании Вы сможете заполнить в личном кабинете после регистрации

E-mail

Лента малярная, 48 мм х 50 м, на бумажной основе Сибртех

org/BreadcrumbList» data-v-5466daea=»» data-v-82cbef2a=»»>
1. Главная
2. Каталог
3. Отделочный инструмент
4. Ленты
5. Ленты малярные

Артикул:

Скачать фото

Скачать все архивом

Группа товаров

Ручной инструмент

Ширина, мм

48

Бренд

СИБРТЕХ

Длина, м

50

Основа

бумажная

Цвет

бежевый

Станьте нашим партнером и получите уникальные условия сотрудничества

Стать партнеромВойти в аккаунт

С этим товаром покупают

Пленка защитная, 4 х 12. 5 м, 7 мкм, полиэтиленовая Matrix

Пленка защитная, 4 х 12.5 м, 7 мкм, полиэтиленовая Matrix

Пистолет для монтажной пены, усиленный алюминиевый корпус Сибртех

Пистолет для монтажной пены, усиленный алюминиевый корпус Сибртех

Ведро малярное пластмассовое, прямоугольное, 14 л Россия Сибртех

Ведро малярное пластмассовое, прямоугольное, 14 л Россия Сибртех

Набор, валик «Грейтекс» 250 мм, ворс 12 мм, D 36 мм, полиакрил, кювета 330 х 350 мм Россия Matrix

Набор, валик «Грейтекс» 250 мм, ворс 12 мм, D 36 мм, полиакрил, кювета 330 х 350 мм Россия Matrix

Кисть плоская «Евро» 2″, натуральная щетина, деревянная ручка MTX

Кисть плоская «Евро» 2″, натуральная щетина, деревянная ручка MTX

Ручка телескопическая металлическая, 1-2 м Matrix

Ручка телескопическая металлическая, 1-2 м Matrix

Мини-валик в сборе «Водные краски», 110 мм, ворс 12 мм, D 16 мм, D ручки 6 мм, полиэстер Сибртех

Мини-валик в сборе «Водные краски», 110 мм, ворс 12 мм, D 16 мм, D ручки 6 мм, полиэстер Сибртех

Похожие товары

Лента малярная, 48 мм х 14 м, на бумажной основе Россия Сибртех

Лента малярная, 48 мм х 14 м, на бумажной основе Россия Сибртех

Лента малярная, 48 мм х 25 м, на бумажной основе Россия Сибртех

Лента малярная, 48 мм х 25 м, на бумажной основе Россия Сибртех

Лента малярная, 38 мм х 40 м, на бумажной основе Сибртех

Лента малярная, 38 мм х 40 м, на бумажной основе Сибртех

Лента малярная, 48 мм х 40 м, на бумажной основе Сибртех

Лента малярная, 48 мм х 40 м, на бумажной основе Сибртех

Перевести 50 метров в миллиметры

м	мм
50,00	50 000
50,01	50 010
50,02	50 020
50,03	50 030
50,04	50 040
50,05	50 050
50,06	50 060
50. 07	50 070
50,08	50 080
50,09	50 090
50,10	50 100
50,11	50 110
50,12	50 120
50,13	50 130
50,14	50 140
50,15	50 150
50.16	50 160
50,17	50 170
50,18	50 180
50,19	50 190
50,20	50 200
50,21	50 210
50,22	50 220
50,23	50 230
50,24	50 240

м	мм
50,25	50 250
50,26	50 260
50,27	50 270
50,28	50 280
50,29	50 290
50,30	50 300
50,31	50 310
50,32	50 320
50,33	50 330
50,34	50 340
50,35	50 350
50,36	50 360
50,37	50 370
50,38	50 380
50,39	50 390
50,40	50 400
50,41	50 410
50,42	50 420
50,43	50 430
50,44	50 440
50,45	50 450
50,46	50 460
50,47	50 470
50,48	50 480
50,49	50 490

м	мм
50,50	50 500
50,51	50 510
50,52	50 520
50,53	50 530
50,54	50 540
50,55	50 550
50,56	50 560
50,57	50 570
50,58	50 580
50,59	50 590
50,60	50 600
50,61	50 610
50,62	50 620
50,63	50 630
50,64	50 640
50,65	50 650
50,66	50 660
50,67	50 670
50,68	50 680
50,69	50 690
50,70	50 700
50,71	50 710
50,72	50 720
50,73	50 730
50,74	50 740

м	мм
50,75	50 750
50,76	50 760
50,77	50 770
50,78	50 780
50,79	50 790
50,80	50 800
50,81	50 810
50,82	50 820
50,83	50 830
50,84	50 840
50,85	50 850
50,86	50 860
50,87	50 870
50,88	50 880
50,89	50 890
50,90	50 900
50,91	50 910
50,92	50 920
50,93	50 930
50,94	50 940
50,95	50 950
50,96	50 960
50,97	50 970
50,98	50 980
50,99	50 990

Калькулятор преобразования 50 метров в миллиметры

50 метров (м)

1 м = 1000 мм

=

50 000 Миллиметры (мм)

1 мм = 1,0e-03 м

Преобразователь длины данных

Преобразование:

(Пожалуйста, введите номер)

От: АнгстремАстрономические единицыЯчменьДлина кабеля (имперские)Длина кабеля (международная)Длина кабеля (США)КабелиСантиметрЦепьКубитДекаметрДециметрЭллЭмсFathomFingerFinger (ткань)FootFurlongGigameterHandHectometerInchKilofeetKilometerLeagueLeague (land)Light DayLight HourLight MinuteLight Second Световой ГодЛинияСсылкаМарафонМегаметрМетрМиккиМикродюймМикрометрМикронМилМиляМайл СШАМиллиметрМириаметрГвоздь (ткань)НанометрМорская ЛигаМорская МиляТемпPalmParsecPicaPicometerPointКварталРодВеревкаСкандинавская МиляShakuSmootSpanStepTerameterThouTwipЯрд

Кому: АнгстремАстрономические единицыЯчменьДлина кабеля (имперские)Длина кабеля (международная)Длина кабеля (США)КабелиСантиметрЦепьКубитДекаметрДециметрЭллЭмсFathomFingerFinger (ткань)FootFurlongGigameterHandHectometerInchKilofeetKilometerLeagueLeague (land)Light DayLight HourLight MinuteLight Second Световой ГодЛинияСсылкаМарафонМегаметрМетрМиккиМикродюймМикрометрМикронМилМиляМайл СШАМиллиметрМириаметрГвоздь (ткань)НанометрМорская ЛигаМорская МиляТемпPalmParsecPicaPicometerPointКварталРодВеревкаСкандинавская МиляShakuSmootSpanStepTerameterThouTwipЯрд

Дополнительная информация от конвертера величин

В: Сколько метров в миллиметре?

Ответ: 1.

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: формула