alexxlab — Страница 3141 — Таловская средняя школа

Онлайн решение частных производных: Частные производные онлайн

alexxlab / 27.01.197117.09.2022 / Разное

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
написание лабораторных, рефератов и курсовых
выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.
Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.
Выбрать платежную систему.
Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

Пусть — внутренняя точка области , и в области задана функция . Рассмотрим ограничение функции на прямую , проходящую через точку параллельно оси . Эта прямая задаётся условиями при ; переменная может при этом произвольно меняться. Поэтому для рассматриваемого ограничения имеется естественная параметризация, смысл которой в том, что «замораживаются» все переменные, от которых зависит , кроме :

Получили функцию одного переменного , как параметризацию ограничения с помощью параметра .

Рис. 7.12.

Функция может иметь производную в точке , равную некоторому числу . Это число называют частной производной функции по переменной , вычисленной в точке . Эта частная производная обозначается или .

Сразу же заметим, что значения частных производных от функции в точке , вычисленные по разным переменным и , могут быть различными, так что обозначение типа , без указания переменной, по которой вычислена частная производная, не имеет смысла: в обозначении обязательно нужно указывать переменную, по которой мы дифференцируем.

Итак, чтобы вычислить частную производную от функции по некоторой переменной , нужно фиксировать значения всех переменных, кроме (то есть временно считать их постоянными), а затем по обычным правилам вычисления производных найти производную по этой единственной переменной . Теперь ясно, что для вычисления частных производных никаких новых правил дифференцирования вдобавок к тем, что известны нам для функций одной переменной, не потребуется, ведь при вычислении частной производной мы считаем, что может изменяться только одна переменная.

Считая точку , в которой вычисляется значение частной производной , переменной точкой области и предполагая, что во всех точках эта производная существует, мы получаем, что частная производная — это функция, заданная в области (или в её части, если производная существует не везде в ).

Поскольку частную производную функции можно вычислять по каждой из переменных , то функция имеет частных производных

Эти частные производные, вообще говоря, — различные функции. Их называют также частными производными первого порядка от функции . Итак, функция переменных имеет частных производных первого порядка.

Пример 7.11 Вычислим частные производные функции двух переменных

по каждой из переменных и .

Производную по найдём, считая переменной, а постоянной величиной:

При этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных, тем, что производная от (по ) равна , тем, что производная от (по , при постоянном значении ) равна , тем, что производная от (по ) равна 3, и, наконец, тем, что производная постоянного слагаемого равняется 0.

Аналогично найдём производную по переменной . При этом мы считаем, что — постоянная, а меняется только , по которой мы и находим производную:

При этом слагаемые и постоянны, и их производная по равна 0; в слагаемом множитель постоянный, и его можно вынести за знак производной, а производная от равна ; наконец, производная от равняется .

В соответствии с изученным в первом семестре смыслом производной функции одного переменного (напомним, что производная функции равна скорости изменения значений функции в точке ), cмысл частной производной — это скорость изменения значений функции при равномерном движении с единичной скоростью через точку по прямой , параллельной оси .

Геометрический смысл частной производной также становится ясен, если рассмотреть ограничение функции , полученное при фиксации значений всех переменных, кроме . Для наглядности ограничимся случаем функции двух переменных и . В этом случае мы можем изобразить график функции на чертеже в виде некоторой поверхности.

Рис.7.13.

Отметим на плоскости точку , в которой вычисляется частная производная , и рассмотрим сечение графика вертикальной плоскостью ; она проходит на плоскости через прямую , заданную тем же уравнением . Тогда эта плоскость высекает в поверхности графика линию, служащую графиком функции . Функция — это функция одной переменной , и её производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику в точке . С другой стороны, . Значит, частная производная имеет геометрический смысл как тангенс угла наклона касательной к сечению графика вертикальной плоскостью .

Точно так же, частная производная имеет геометрический смысл как тангенс угла наклона касательной к сечению графика вертикальной плоскостью . Заметим, что плоскости и взаимно перпендикулярны.

Если функция одного переменного имеет производную в некоторой точке, то эта функция обязательно непрерывна в этой точке; этот факт мы изучили в первом семестре. В случае нескольких переменных ( ) дело обстоит не так. Даже наличия в некоторой точке частных производных функции по всем переменным не достаточно для того, чтобы функция была непрерывной в точке . Приведём пример такой функции двух переменных, что частные производные её сушествуют, а функция, тем не менее, разрывна.

Пример 7.12 Рассмотрим функцию, заданную при :

Эта функция разрывна в точке , поскольку в любой, как угодно малой окрестности начала координат имеются точки вида , где , в которых значение функции равно

а также точки вида , где , в которых значение функции равно

а значение равно 0.

Однако ограничение функции как на прямую , так и на прямую , проходящие через начало координат, тождественно равно 0:

так что и производные от этих ограничений в точке 0 равны 0, то есть

Итак, обе частные производные в начале координат существуют, но функция разрывна в начале координат.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

x y производная по x

Вы искали x y производная по x? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление частных производных онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «x y производная по x».

Решить задачу x y производная по x вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Частные производные различных порядков

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ в данной области.

Обозначение: $z=f(x,y)$.

Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.

Замечание 1

Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.

Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$, при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$.

Обозначение:

\[\Delta _{x} z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\]

Пример 1

Частная производная по переменной $x$ от заданной функции $z=f(x,y)$ — это предел отношения частного приращения $\Delta _{x} z$ заданной функции к приращению $\Delta x$ при $\Delta x\to 0$.

Обозначение: $z’_{x} ,\, \, f’_{x} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial x} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial x} $.

Замечание 2

По определению частной производной имеем:

\[\frac{\partial z}{\partial x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta _{x} z}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} . \]

Дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$, при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$.

Обозначение:

\[\Delta _{y} z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y).\]

Определение 2

Частная производная по переменной $y$ от заданной функции $z=f(x,y)$ — это предел отношения частного приращения $\Delta _{y} z$ заданной функции к приращению $\Delta y$ при $\Delta y\to 0$.

Обозначение: $z’_{y} ,\, \, f’_{y} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial y} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial y} $.

Замечание 3

По определению частной производной имеем:

\[\frac{\partial z}{\partial y} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0} \frac{\Delta _{y} z}{\Delta y} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0} \frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} .\]

Определение 3

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$.

Определение 4

Если для каждой совокупности $(x,y,z,…,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,…,t)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z,…,t)$.

Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные производные по каждой из переменных:

$\frac{\partial w}{\partial z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{\Delta _{z} w}{\Delta z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\Delta z} $;
$\dots$ ;
$\frac{\partial w}{\partial t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta _{t} w}{\Delta t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{f(x,y,z,…,t+\Delta t)-f(x,y,z,…,t)}{\Delta t} $.

Рассматривая частные производные функции двух переменных, можно отметить, что они являются функциями от переменных $x$ и $y$. {2} \partial x} =(6y)’_{x} =0.\]

Поочередно выполняя дифференцирование частных производных далее, можно получить частные производные порядка $n$.

Обозначение:

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 21.04.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Онлайн калькулятор: Аппроксимация функции одной переменной

Данный калькулятор по введенным данным строит несколько моделей регрессии: линейную, квадратичную, кубическую, степенную, логарифмическую, гиперболическую, показательную, экспоненциальную. Результаты можно сравнить между собой по корреляции, средней ошибке аппроксимации и наглядно на графике. Теория и формулы регрессий под калькулятором.

Если не ввести значения x, калькулятор примет, что значение x меняется от 0 с шагом 1.

Аппроксимация функции одной переменной

83 71 64 69 69 64 68 59 81 91 57 65 58 62

Значения x, через пробел

183 168 171 178 176 172 165 158 183 182 163 175 164 175

Значения y, через пробел

Линейная аппроксимация

Квадратичная аппроксимация

Кубическая аппроксимация

Аппроксимация степенной функцией

Показательная аппроксимация

Логарифмическая аппроксимация

Гиперболическая аппроксимация

Экспоненциальная аппроксимация

Точность вычисления

Знаков после запятой: 4

Линейная регрессия

Коэффициент линейной парной корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Квадратичная регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Кубическая регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Степенная регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Показательная регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Логарифмическая регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Гиперболическая регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Экспоненциальная регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя ошибка аппроксимации, %

Результат

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Сначала сформулируем задачу:
Пусть у нас есть неизвестная функция y=f(x), заданная табличными значениями (например, полученными в результате опытных измерений).
Нам необходимо найти функцию заданного вида (линейную, квадратичную и т. п.) y=F(x), которая в соответствующих точках принимает значения, как можно более близкие к табличным.
На практике вид функции чаще всего определяют путем сравнения расположения точек с графиками известных функций.

Полученная формула y=F(x), которую называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии y на x, или приближающей (аппроксимирующей) функцией, позволяет находить значения f(x) для нетабличных значений x, сглаживая результаты измерений величины y.

Для того, чтобы получить параметры функции F, используется метод наименьших квадратов. В этом методе в качестве критерия близости приближающей функции к совокупности точек используется суммы квадратов разностей значений табличных значений y и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.

Таким образом, нам требуется найти функцию F, такую, чтобы сумма квадратов S была наименьшей:

Рассмотрим решение этой задачи на примере получения линейной регрессии F=ax+b.
S является функцией двух переменных, a и b. Чтобы найти ее минимум, используем условие экстремума, а именно, равенства нулю частных производных.

Используя формулу производной сложной функции, получим следующую систему уравнений:

Откуда, выразив a и b, можно получить формулы для коэффициентов линейной регрессии, приведенные выше.
Аналогичным образом выводятся формулы для остальных видов регрессий.

«Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и приведение их к каноническому виду»

Курсовая работа

по дисциплине «Математический анализ»

на тему «Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и приведение их к каноническому виду»

Направление подготовки — 44. 04.01 Педагогическое образование

Профиль подготовки — Математика

Выполнил студент: __________ Ладышева С.А.

(подпись, дата) (Ф.И.О.)

Группа: 20ЗФПМм1

Руководитель:

к.ф.-м.н., доцент Яремко Н.Н

(подпись, дата) (Ф.И.О.)

Работа защищена с оценкой __________

Преподаватели __________

__________

Дата защиты __________

Пенза, 2020

Содержание

Введение……………………………………………………………………3

1. Основные определения теории уравнений в частных производных……………………………………………………………………..4

2. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка…………………………………………………9

3. Приведение линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду………………………12

4. Примеры решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка………………………………………17

Заключение………………………………………………………………22

Список литературы………………………………………………………23

Введение

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

В работе рассматриваются понятия линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Особое внимание уделяется изучению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Решением дифференциального уравнения называется n раз дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения.

Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение.

1. Основные определения теории уравнений в частных производных

Теория дифференциальных уравнений – раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко – в физике.

Неформально говоря, дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от неё. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и её производными. Такие связи обнаруживаются в самых разных областях знания: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП). Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы [18, c. 28].

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Одно из простейших применений дифференциальных уравнений – решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид. Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки [16, c. 45].

Пусть – некоторая неизвестная функция и т.д. ее частные производные различного порядка.

Рассмотрим уравнение

(1)

связывающие независимые переменные х, у, искомую функцию u(х, у) и ее частные производные различного порядка. Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок уравнения определяется наивысшим порядком частной производной, входящей в это уравнение.

Примеры.

1) – дифференциальное уравнение первого порядка.

2) – дифференциальное уравнение второго порядка и т.п.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция u(х, у), обращающая его в тождество. Задачи, связанные с решением дифференциального уравнения в частных производных, как правило, более сложные по сравнению с задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений [18, c. 180].

Мы знаем, что общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка зависит от n произвольных постоянных С₁, С₂, …, С_n. Более сложная ситуация складывается при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Например, решением дифференциального уравнения является любая функция т.е. общее решение зависит от бесконечного числа функций, зависящих только от одной переменной

Или

Предмет теории уравнений в частных производных составляет изучение дифференциальных уравнений, описывающих то или иное явление природы, по преимуществу физической. Наш курс будет посвящен по преимуществу уравнениям в частных производных второго порядка.

В связи с этим рассмотрим некоторые физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений в частных производных [5, c. 58].

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Первая особенность – это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др. [5, c. 60].

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например u < x,t) в некоторой области определения аргументов 0 < х < L и 0 < t < T. Граничные условия определяются как заданные временные зависимости функции и, или производных этой функции на границах расчетной области 0 и L, а начальные – как заданная u(х, 0) [5, c. 65].

Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа [5, c. 68]:

— параболические (пример: ) – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;

— гиперболические (пример: ) – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, входящие в уравнение с разными знаками;

— эллиптические (пример: 1. ,) – содержащие только вторые производные, причем одного знака.

Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.

Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение дифференциального уравнения n-го порядка

(1)

определяется неоднозначно. Общее решение зависит от n произвольных постоянных и для однозначной разрешимости необходимо задать так называемые начальные условия

(2)

Решение задачи для уравнения (1) с начальными условиями (2) называется задачей Коши и при определенных условиях решение этой задачи существует и единственно [5, c. 78].

Более сложная ситуация складывается при рассмотрении дифференциальных уравнений в частных производных. В самом деле: общим решением простейшего уравнения является произвольная функция

Для того, чтобы сделать решение определенным, нужно задать дополнительные условия, например, потребовать чтобы неизвестная функция, а возможно и ее производные принимали заданные значения на некоторых многообразиях. Каждая задача математической физики ставится как задача об отыскании решения некоторого уравнения при определенных дополнительных условиях, которые в большинстве случаев диктуются ее физической постановкой [5, c. 128].

2. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка не имеют единого метода численного решения. Поэтому следует рассмотреть их классификацию, позволяющую использовать единые методы для численного решения каждого из подтипов этих уравнений.

Введем обозначения (для сокращения и удобства письма):

Пусть дано уравнение

, (1)

где – заданные функции х, y.

Это уравнение называется линейным. Если , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае линейным неоднородным. Если все коэффициенты постоянные, то уравнение называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Практика и теория подтверждает, что с помощью преобразования переменных данное дифференциальное уравнение остается линейным:

(2)

где коэффициенты [7]:

Спрашивается: нельзя ли выбрать переменные и так, чтобы в преобразованном уравнении (4.2) некоторые коэффициенты обратились в нуль? Эта возникшая задача связана с решением обыкновенного дифференциального уравнения, которое называется характеристическим для исходного с частными производными:

(3)

Его интегралы называются характеристиками.

Если – общий интеграл (4.3), то, положив , мы обратим в нуль коэффициент при .

Если – другой интеграл (4.3), линейно независим от , то полагают , тем самым в нуль обращают при .

Уравнение (4.3.) можно записать так:

. (4)

Если , то и – действительные и различные. Делая замену, приводим уравнение к виду:

(5)

В этом случае говорят, что уравнение имеет гиперболический тип. Если положить , , то уравнение примет вид:

. (6)

Если , то имеем один общий интеграл . Пусть – любая функция, линейно независимая от , тогда: , и исходное уравнение будет иметь вид:

(7)

В этом случае говорят, что уравнение имеет параболический тип.

Если, то характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные интегралы:

и ,

и, положив уравнение приведем к виду:

, (8)

который называется эллиптическим.

Если коэффициенты линейного уравнения постоянные, то характеристическое уравнение имеет решение:

При уравнение приводится к виду:

или

который называется гиперболическим.

При уравнение приводится к параболическому типу:

При уравнение приводится к эллиптическому типу:

3. Приведение линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду

1) Рассмотрим уравнения гиперболического типа для (1).

Сведем его с помощью замены переменных к

Так как , выбираем , где – общий интеграл (2).

Тогда

Аналогично

, тогда

Получаем канонический вид гиперболического уравнения

, где . (3)

Введем еще одну замену:

; ;

; .

Посчитаем производные:

, ; ;

, ; .

В итоге получаем

, где . (4)

2) Уравнения параболического типа ().

Поскольку , .

Характеристическое уравнение имеет одно решение

Пусть . Выберем новую переменную , что позволяет обратить коэффициент в 0. Вторую переменную берем произвольным образом

Подсчитаем .

, поскольку , ;

. В результате получаем

. (5)

Это каноническая форма уравнения параболического типа.

3) Эллиптические уравнения ).

В этом случае имеем

, , — комплексные общие интегралы. Представим

(6)

После замены переменных получаем

где

Совершим еще одну замену переменных

При второй замене переменных получаем

;

В итоге получаем ; .

Каноническая форма эллиптического ДУ имеет вид

, (7)

где .

Каноническая форма для уравнений гиперболического вида принимает вид (5), для уравнений параболического типа – (6), для уравнений эллиптического вида – (7).

В этих формулах — всевозможные комбинации из .

Рассмотрим уравнение (2), в котором являются постоянными величинами, и сведем его к канонической форме.

(2) , где

Используем замену

, ; .

Получим канонические формы следующего типа:

Существует преобразование, позволяющее упростить эти уравнения.

Введем функцию .

Константы и подбираются так, чтобы коэффициенты при первых производных обращались в ноль

-1.

После подстановки этих производных в (1.7’) получаем

где .

Возьмем ; , в результате получаем

В результате получаем

. (8)

Аналогично, для (1. 8) и (1.9) получаем

, (9)

(10)

где все и все постоянные величины.

Получили каноническую форму ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Будем считать, что искомая функция зависит от переменных

. В этом случае ДУ имеет

. (11)

Здесь ; .

Перейдем к другой системе координат:

Распишем в общем виде производные из (11)

вместо (11)

где

При замене переменных меняется матрица, составленная из коэффициентов при двух производных:

Существует линейное преобразование, приводящее матрицу квадратичной формы к диагональному виду, в котором

При линейных преобразованиях матрицы число диагональных элементов положительных, отрицательных или равных нулю сохраняется.

Предположим, что диагональных элементов матрицы коэффициентов больше нуля, а остальные – меньше (.

Тогда:

(12)

ДУ (12) является канонической формой ДУ гиперболического типа.

Если диагональных элементов матрицы коэффициентов равны нулю, а остальные –не равны, тогда

(13)

Уравнение (13) – каноническая форма уравнений параболического типа.

При всех диагональных элементов матрицы коэффициентов равных единице имеем

(14)

Уравнение (14) представляет собой каноническую форму ДУ эллиптического типа.

4. Примеры решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Пример 1

Привести к каноническому виду уравнение:

Решение. Запишем, чему равны для нашего случая коэффициенты.

Так как: имеем уравнение параболического типа.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решая его, находим, что общий интеграл x – y = C.

Положим , а в качестве другой переменной возьмем . При этом: Тогда

Подставляя значения частных производных в исходное уравнение, после простых преобразований получим:

Пример 2

Привести к каноническому виду уравнение:

Решение. т.е. имеем уравнение эллиптического типа. Составим уравнение характеристик: или .

Отсюда ; получаем два семейства комплексно сопряженных характеристик:

и .

Делаем замену переменных: ;

Подставив эти значения в исходное уравнение, получим

Пример 3

Привести к каноническому виду уравнение:

Решение. Здесь – уравнение гиперболического типа. Уравнение характеристик:

Отсюда

и .

Проинтегрировав эти уравнения, получим два семейства характеристик:

и .

Отсюда

т.е. получили уравнения характеристик. Вводим новые переменные: . Далее необходимо выразить частные производные по старым переменным через новые (требуется использовать правило дифференцирования сложной функции двух независимых переменных):

далее рекомендуется найти производные второго порядка самостоятельно в качестве упражнений и получить окончательный результат:

Получили уравнение канонического вида.

Пример 4.

Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни ; .

Общее решение однородного уравнения .

Правая часть в данном случае: , где a =0, а т.к. ноль не является корнем характеристического уравнения, то ищем частное решение в виде многочлена первой степени: . Для нахождения коэффициентов подставим это решение и его производные ; в уравнение:; ;

Итак, частное решение имеет вид: .

Общее решение неоднородного уравнения:

Пример 5. Найти общее решение уравнения:

Корни характеристического уравнения: ;

; 3 – не является корнем характеристического уравнения- резонанса с правой частью нет, частное решение ищем в виде:

; находим ; ; .

Пример 6. ;

; ; ;

Общее решение однородного уравнения: ;

Однократный корень даёт резонанс

; находим ; ;

Пусть уравнение (1) имеет вид:

(2)

где — многочлены. Рассмотрим два случая:

а) Если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (2) надо искать в виде

(3)

где – многочлены степени, равной наивысшей степени многочленов и .

б) Если число есть корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

(4)

Важный частный случай: если , где M, N – постоянные числа, т.е.

(5)

а) Если число — не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

(6)

б) Если — корень характеристического уравнения, то частное решение уравнения (5) ищем в виде

(7)

Пример 7.

Найти общее решение уравнения: ;

Здесь ; ,

; ; ;;

Пример 8. Найти общее решение уравнения ;

Корни характеристического уравнения: ; корень – даёт резонанс с правой частью, ; ;

Пример 9. ; ;

Правой части соответствовал бы корень — но он не является корнем характеристического уравнения, резонанса нет:

; ; ; ;

Заключение

В рамках данной работы проведено изучение основных положений теории дифференциальных уравнений в частных производных, показана возможность применения вероятностных методов для их решения.

Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это уравнения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет частные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, чтобы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случаях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр (число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют только при определенных значениях этого параметра. Значения параметра, при которых уравнение имеет особые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они играют важную роль во многих задачах.

В работе также проведено решение конкретных заданий, связанных с нахождением решения дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто законы, которым подчиняются те или иные процессы, записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов.

Список литературы

1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1964.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – М.: Изд-во Государственной литературы, 1959. – 602 с.

3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики: Учеб. – М.: Наука, 1982. – 336 с.

4. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1977. – 222 с.

5. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1980. – 686 с.

6. Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его реализация в цифровых машинах. – М.: Физматгиз, 1961. – 315 с.

7. Владимиров В.С., Уравнения математической физики. – М., 1967. – 256с.

8. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учебник для вузов / Д. П. Голоскоков. – СПб.: Питер, 2004. – 539 с.

9. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э. Численные методы анализа. – М.:Наука, 1967. – 368 с.

10. Канторович Л.В. и Крылов В.И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. – М., 1962. – 256с.

11. Карслоу Г.С., Теория теплопроводности, пер. с англ. – М.: Приор, – 2002.

12. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных: Учеб.пособие. – М.: Наука, 1983. – 424 с.

13. Петровский И.Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., – М., 1999. – 213с.

14. Сдвижников О.А., Математика на компьютере: Maple8. – М.: Солон-Пресс, 2003. – 176 с.

15. Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.: В 4 т. Т.2. – М.: Наука, 1981. – 655 с.

16. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. – М.: Наука, 1973. – 312 с.

17. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений: учебник /В.В. Степанов. 11-е изд., исправленное. – М.: Издательство ЛКИ, 2016. – 512 с.

18. Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе «Линейные и нелинейные уравнения физики». – Обнинск: ИАТЭ, 2005. – 80 с.

19. Тихонов А.А. Уравнения математической физики: учебное пособие /А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. Изд. 7-е. – М.: Изд-во МГУ, 2004. – 798 с.

20. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1977. – 735 с.

21. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: учеб. пособие для вузов / А. Ф. Филиппов. 8-е изд. дополненное. – М.: Интеграл-пресс, 1998. – 208 с.

22. Хватцев А.А. Дифференциальные уравнения: учебное пособие / А.А. Хватцев. – Псков: Издательство ППИ, 2010. – 68 с.

23. Хватцев А.А. Математический анализ: конспект лекций / А.А. Хватцев. 2-е изд. – Псков: Издательство ППИ, 2008. – 131 с.

Калькулятор частных производных с шагами онлайн

Введение в калькулятор частных производных

Калькулятор частных производных с шагами находит производную кривой с многочисленными переменными онлайн. Этот калькулятор частных производных имеет возможность многократно дифференцировать функцию.

Измерение скорости изменения функции по отношению к одной переменной известно в математике как частные производные. Он обрабатывает такие переменные, как x и y, такие функции, как f(x), и модификации переменных x и y.

С калькулятором частных производных вы можете узнать о частных производных по цепному правилу и многое другое. Чтобы легко получить производные, можно воспользоваться бесплатным онлайн-калькулятором частичного дифференцирования.

Связанный: Вы также можете найти калькулятор неявного дифференцирования и калькулятор производных второго порядка, чтобы еще больше закрепить свои представления о производных и их вычислениях.

Процесс использования калькулятора частных производных второго порядка

Калькулятор частных производных вычисляет частную производную функции путем деления функции на части. Ниже приведен процесс использования калькулятора частичного дифференцирования с пошаговыми инструкциями.

Как вводить:

Сначала напишите функцию дифференцирования или выберите из примеров.
Теперь из выпадающего списка выберите производную переменную.
Затем решите, сколько раз нужно дифференцировать данную функцию.
Нажмите кнопку расчета, чтобы увидеть результаты.

Калькулятор второй частной производной мгновенно покажет вам пошаговые результаты и другие полезные показатели.

Вы также можете найти калькулятор производной по направлению для расчета производных по направлению.

Как калькулятор частичной дифференциации показывает выходные данные?

Первый калькулятор частных производных использует правила производных и формулы для вычисления частной производной этой функции.

В результатах он показывает производную (только для вычисления производной функции используйте калькулятор производной функции на домашней странице. Помимо этого калькулятор второй частной производной показывает возможные промежуточные шаги, трехмерные графики, альтернативные формы, правила, расширение ряда и неопределенный интеграл. Вы также можете использовать неопределенный интеграл с шагами для большего обучения и практики.0007

Формулы, используемые калькулятором частных производных

Частная производная функции f(x,y) частично зависит от «x» и «y». Таким образом, формула для частной производной функции f(x,y) по x:

$$ \frac{∂f}{∂x} = \frac{∂f}{∂u}\frac{∂u}{∂x} \;+\; \frac{∂f}{∂v}\frac{∂v}{∂x} $$

Аналогично, частная производная функции f(x,y) по y:

$$ \frac{∂f}{∂y} = \frac{∂f}{∂u}\frac{∂u}{∂y} \;+\; \frac{∂f}{∂v}\frac{∂v}{∂y} $$ 94) $$

Заключение:

Калькулятор частичного дифференцирования представляет собой веб-инструмент, который работает с математическими функциями и несколькими переменными. Благодаря этому становится легко решать и вычислять функции частичного дифференцирования. Решатель частичного дифференцирования показывает вам различные метрики и детали, необходимые для изучения этой концепции.

Связанный: На этом веб-сайте вы также можете найти калькулятор локальной линеаризации для нахождения линейной аппроксимации.

Каковы преимущества использования калькулятора первой частной производной?

Одним из основных преимуществ этого калькулятора является точность. Если вы находите производные вручную, возможно, вы застрянете посреди математической задачи и не сможете избавиться от нее в течение часа. Если вы используете инструмент частной производной, он дает точный результат одним щелчком мыши.

Что такое цепное правило в дифференциальных уравнениях?

По цепному правилу производная f (g (x)) равна f'(g (x)) g’ (x). Частные производные Калькулятор использует цепное правило для дифференциации составных функций.

Также на этом веб-сайте можно найти калькулятор цепного правила с несколькими переменными, чтобы найти производную от композиции двух дифференцируемых функций.

Чем полезен критерий частной производной второго порядка?

Вы можете использовать частные производные второго порядка, чтобы определить, является ли местоположение локальным максимумом, минимумом или седловой точкой. Как только вы нашли нулевой наклон вектора многомерной функции, это указывает на то, что касательная плоскость графика в этой точке гладкая.

Мы надеемся, что приведенный выше калькулятор поможет вам в ваших расчетах. Существуют и другие связанные инструменты, такие как решатель правил продукта и калькулятор производных частных, которые вы можете использовать для большей практики и обучения.

Часто задаваемые вопросы

Уравнения в частных производных сложны?

Да, уравнения в частных производных решить сложно. Но когда эти уравнения преобразуются в обыкновенные дифференциальные уравнения, мы можем вычислять их другими методами или с помощью калькулятора в частных производных.

В чем разница между обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных?

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, в которых производные берутся по одной независимой переменной. Принимая во внимание, что дифференциальные уравнения в частных производных (УЧП) — это те уравнения, в которых производные берутся по более чем одной переменной.

Что такое частные производные первого порядка?

Производная функции многих переменных по независимой переменной один раз известна как частная производная первого порядка. В частной производной мы дифференцируем функцию с одной переменной, рассматривая другую как константу. Мы можем использовать калькулятор частных производных первого порядка, чтобы решить их онлайн.

Что такое непрерывные частные производные первого порядка?

Частная производная непрерывной функции известна как непрерывная частная производная, если производная также является непрерывной. Но для непрерывной функции вовсе не обязательно, чтобы ее производная также была непрерывной.

Что такое эллиптические уравнения в частных производных?

Уравнение в частных производных второго порядка (УЧП)

Au _xx +2Bu _xy +Cu _yy +Du _x +Fu _y +G=0 считается эллиптической, если B ² −AC

Вы можете использовать приведенный выше калькулятор уравнений в частных производных, чтобы решить свои уравнения онлайн.

Что такое цепное правило частичной дифференциации?

Частичная дифференциация по цепному правилу — это метод, в котором мы дифференцируем функции по двум-трем переменным одновременно.

Для функции f=f(u,v), u=u(x,y) и v=v(x,y) цепное правило:

$$ \frac{df}{dx} \; знак равно \frac{df}{du}\frac{du}{dx} \;+\; \frac{df}{dv}\frac{dv}{dx} $$

А,

$$ \frac{df}{dy} \;=\; \frac{df}{du}\frac{du}{dy} \;+\; \frac{df}{dv}\frac{dv}{dy} $$

Используйте калькулятор частных производных по цепному правилу, чтобы шаг за шагом дифференцировать частное дифференцирование по цепному правилу онлайн.

Калькулятор частных производных + онлайн-решатель с бесплатными шагами

Калькулятор частных производных используется для вычисления частных производных заданной функции. Частные производные очень похожи на нормальные производные, но они специфичны для задач, включающих более одной независимой переменной.

При дифференцировании функции для одной переменной все, что не связано с переменной, считается константой и рассматривается как таковая. Это, следовательно, не меняется даже при рассмотрении частичного дифференцирования .

Что такое калькулятор частных производных?

A Калькулятор частных производных — это калькулятор, который используется для решения задач на частное дифференцирование прямо здесь, в вашем браузере. Вы можете запустить этот онлайн-калькулятор и решить столько задач, сколько захотите. Калькулятор очень прост в использовании и разработан, чтобы быть интуитивно понятным и простым.

Частичное дифференцирование — это калькулятор частных производных, который используется для функции, выраженной более чем одной независимой переменной. При решении одной из этих переменных остальные считаются константами.

Как пользоваться калькулятором частных производных?

Вы можете начать использовать этот калькулятор, сначала введя данные функции, а затем выбрав переменные, которые вы хотите дифференцировать. Калькулятор частных производных можно легко использовать, следуя инструкциям, приведенным ниже.

Чтобы использовать этот калькулятор, у вас должна быть задача, связанная с функцией с несколькими переменными, и у вас должна быть выбранная переменная, для которой вы хотите вычислить частную производную.

Шаг 1:

Вы начинаете с ввода заданной функции с ее переменными, выраженными через x, y и z.

Шаг 2:

За этим шагом следует выбор переменной, с которой вы хотите дифференцировать данную функцию x, y и z.

Шаг 3:

Затем вы просто нажимаете кнопку с надписью « Отправить », чтобы получить результаты расчетов. Ваш результат будет отображаться в поле под полями ввода калькулятора.

Шаг 4:

Наконец, чтобы снова использовать калькулятор, вы можете просто изменить записи в полях ввода и продолжать решать столько задач, сколько хотите.

Важно отметить, что этот калькулятор работает только для трех независимых переменных. Поэтому для задач с более чем тремя переменными этот калькулятор будет не очень эффективен.

Как работает калькулятор частных производных?

Калькулятор частных производных работает путем дифференцирования заданной функции отдельно для каждой рассматриваемой переменной. Стандартный дифференциал d применяется к простому уравнению, включающему только одну независимую переменную.

Дифференциация

Дифференцировка описывается как акт нахождения различия, так как дифференцирование временного сигнала интерпретируется как изменить во времени т.е. разницу во времени. Дифференциация широко используется в области инженерии и математики в области исчисления.

Исчисление, следовательно, изменение исследования, чтобы построить мост между физическим и теоретическим миром науки. Таким образом, разница в расстоянии по отношению ко времени в физике, а также в математике приведет к величине, называемой скоростью, где скорость определяется как изменение расстояния в заданный промежуток времени. 92}{dx} + 3 \frac{d}{dx} = 2 \times 2 x = 4x\]

Частный дифференциал

Частный дифференциал , как описано выше, используется для уравнений, основанных на более чем одной переменной. Это сильно усложняет ситуацию, так как теперь нет одной переменной, с которой можно было бы дифференцировать все выражение.

Следовательно, при таких обстоятельствах лучше всего разбить дифференциал на столько частей, сколько переменных в данной функции. Таким образом, начинаем дифференцировать выражение 92}{\partial y} + 2\frac {\partial y}{\partial y} – 1\frac {\ partial }{\partial y} = (3 \times 0) + 2 – 0 = 2 \]

Итак, когда вы решаете какую-либо одну переменную из многих, заданных в вашей функции, используется только та, для которой вы дифференцируете. Остальные переменные ведут себя как константы и могут быть дифференцированы до нуля, поскольку в постоянном значении нет изменения .

История частных производных

Частные производные 9Символ 0146 впервые был использован в 1770-х годах известным французским математиком и философом маркизом де Кондорсе. Он использовал символ, выраженный как $\partial$ для частичных разностей.

Обозначение, используемое и по сей день для частных производных, было введено в 1786 году Адрианом-Мари Лежандром. Хотя это обозначение не стало популярным до 1841 года, когда немецкий математик Карл Густав Якоб Якоби нормализовал его.

Возникновение дифференциальных уравнений в частных производных произошло в золотой 169 год.2$, fz = 4z

Список математических калькуляторов

Калькулятор частных производных — поиск многомерной производной

Онлайн-калькулятор частных производных определит производные для заданной функции со многими переменными. Этот многомерный калькулятор производной может дифференцировать определенную функцию несколько раз. В следующем руководстве вы можете понять частные производные цепного правила и многое другое.

Что такое частная производная?
В математике частная производная функции со многими производными определяется как производная функции со многими переменными по одной переменной, а все остальные переменные остаются неизменными.
Когда в функции две переменные x и y, которые не зависят друг от друга, то что там делать! Проще говоря, если вам требуется дифференцировать функцию по «x», то вы должны оставить переменную «y» постоянной и дифференцировать. С другой стороны, если нужно дифференцировать функцию по «у», сделайте переменную «х» постоянной. Символ «∂» обычно используется для обозначения частных производных.
Как вычислить частные производные функции?
Вы можете использовать калькулятор частных производных, чтобы быстро найти производные. В противном случае вы можете выполнить эти вычисления вывода функции вручную, придерживаясь следующих шагов:

Возьмите функцию для вычисления частной производной.
Производная константы равна нулю.
При применении производной к переменной вычисляется только производная этой конкретной переменной.
94+1) $$
Частные производные второго порядка:
Старшая производная очень важна для проверки вогнутости функции и подтверждения того, является ли конечная точка функции максимальной или минимальной.
Поскольку функция f (x, y) непрерывно дифференцируема в открытой области, можно получить следующий набор частных производных второго порядка:
Прямые частные производные второго порядка:
F_{xx} = ∂fx / ∂x, где функция f(x) — первая частная производная от x.
f_{yy} = ∂fy / ∂y, где функция f (y) — производная первого порядка по y.
Кросс-частная производная:
fxy = ∂fx / ∂y, где f(x) — первая производная по x.
fyx = ∂fy / ∂x, где f(y) — первая частная производная по y.
Однако онлайн-калькулятор производной по направлению определяет производную по направлению и градиент функции в заданной точке вектора.

Решение:

Частичные производные первого порядка:

FX = 2x + 10y + 0 = 2x + 10y

FY = 0 + 10x + 4y = 10x + 4y

. вычисляет прямые частные производные второго порядка:

Fxx = ∂/∂x (2x + 10y) = 2

Fyy = ∂/∂y (10x + 4y) = 4

Калькулятор второй частной производной вычисляет перекрестные частные производные:

Fxy = ∂/∂y (2x + 10y) = 5

fyx=∂/∂x(10x+ 4y) = 5

Частные производные по цепному правилу:

Предположим, что x = g (a) и y = h (a) являются дифференцируемыми функциями от «a», а z = f (x, y) — дифференцируемые функции от x и y. Тогда z = f (x (a), y (a)) является дифференцируемой функцией от «a» и

Dz/da = ∂z/∂x⋅dx/da + ∂z/∂y⋅dy/da

Обыкновенная производная оценивается в a, а частная производная оценивается в (x, y).

Как работает калькулятор частных производных?

Онлайн-калькулятор производной с несколькими переменными дифференцирует заданные функции, взяв производную, выполнив следующие действия:

Ввод:

Сначала введите функцию для дифференцирования.
Теперь выберите переменную для производной из раскрывающегося списка.
Затем выберите, сколько раз вам нужно дифференцировать данную функцию.
Нажмите кнопку расчета, чтобы увидеть результаты.

Выход:

Калькулятор частных производных вычисляет производную заданной функции, а затем применяет степенное правило для получения частной производной заданной функции.

Часто задаваемые вопросы:

Что такое цепное правило в дифференциальных уравнениях?

Цепное правило гласит, что производная f (g (x)) равна f'(g (x)) ⋅g’ (x). 2.

Почему тест частной производной второго порядка эффективен?

Как только вы найдете точку, в которой градиент функции с несколькими переменными является нулевым вектором, что означает, что касательная плоскость графика в этой точке плоская, вы можете использовать частную производную второго порядка, чтобы определить, является ли точка локальные максимумы, минимумы или седловая точка.

Вывод:

Онлайн-калькулятор частных производных используется для дифференцирования математических функций, содержащих несколько переменных. Следовательно, частичное дифференцирование является более общим, чем обычное дифференцирование. Частичное дифференцирование используется для нахождения точек минимума и максимума в задаче оптимизации.

Ссылка:

Из источника Википедии: Поверхность в евклидовом пространстве, злоупотребление обозначениями, теорема Клеро, оптимизация, термодинамика, квантовая механика и математическая физика.

Из источника Brilliant: мгновенная скорость изменения или наклон, дифференцирование с одной переменной, линейность, правило произведения, цепное правило, векторное исчисление и производные более высокого порядка, смешанная производная.

Из источника Академии Хана: функция многих переменных, трехмерные графики, исчисление одной переменной, двумерные входные данные, предварительная оценка.

Калькулятор частных производных — Дифференцируйте многомерные

Калькулятор частных производных с шагами

Калькулятор частных производных используется для вычисления производных функций по нескольким переменным с шагами. Этот решатель частных производных многократно дифференцирует заданные постоянные, линейные или полиномиальные функции. Это подтип производного калькулятора.

Что такое частная производная?

«В дифференциальном исчислении дифференцирование функции многих переменных по изменению только одной из ее переменных называется частной производной».

Уравнения частных производных можно записать так:

• $\frac{\partial }{\partial x}\left(f\left(x,y,z\right)\right)$

Приведенное выше уравнение используется для функции с несколькими переменными для вычисления частного дифференциала относительно « x ».

• $\frac{\partial }{\partial y}\left(f\left(x,y,z\right)\right)$

Это уравнение используется, если функция должна быть решена относительно « и ».

• $\frac{\partial }{\partial z}\left(f\left(x,y,z\right)\right)$

Это уравнение используется, когда необходимо решить частную производную функции относительно « z »

Используйте наш калькулятор частных производных xyz для получения результатов задач с несколькими переменными.

Как пользоваться этим калькулятором первой частной производной?

Чтобы использовать этот первый калькулятор частичного дифференцирования, выполните следующие действия.

Введите функцию с несколькими переменными, например f(x, y, z).
Выберите одну переменную из x, y и z, в то время как другие переменные остаются постоянными. 9и т. д.
Нажмите кнопку вычислить , чтобы получить результат заданной входной функции.
Нажмите кнопку показать еще , чтобы просмотреть пошаговые расчеты.
Если вы хотите рассчитать другую проблему, нажмите кнопку сброса рядом с кнопкой расчета.

Как оценивать задачи частных производных?

Ниже приведены два примера функции с 3 переменными, вычисляемой нашим многопараметрическим калькулятором производной.

Пример 1

Найдите частную производную числа 3xyz относительно « x ».

Решение

Шаг 1: Запишите функцию в виде частичного дифференцирования.

$\frac{\partial }{\partial x}\left(3xyz\right)$

Шаг 2: Теперь вычислите частную производную 3xyz относительно «x», пока y и z остаются постоянными.

$\frac{\partial }{\partial x}\left(3xyz\right)=3yz\frac{\partial }{\partial x}\left(x\right)$ 92y+4xyz-9xy\right)=4xy\)

Таблица частных производных функций

Ниже приведены вопросы и ответы о частных производных, решаемых этим калькулятором частных производных.

Questions	Answers
Partial derivative of xy w.r.t x	y
Partial derivative of xy w.r.t y 9{xyz}\)
Частная производная от sqrt(xy) w.r.t x	$\frac{y}{2\sqrt{xy}\:}$

Частная производная | Британская энциклопедия

Онлайн-калькулятор частных производных с шагами

Разоблачен самый большой миф о калькуляторе частных производных

Честное слово о калькуляторе частных производных

Обычно предсказание оказывается неверным, и мы вносим некоторые улучшения. Кроме того, это компактный регион. Различные функции потерь используются для решения различных задач, таких как регрессия и классификация.

Для функции любой сложности вероятность того, что ее первообразная будет элементарной функцией, чрезвычайно мала. Это свойство известно как слабая двойственность. Если выполняется сильное условие двойственности, мы закончили.

Новая пошаговая дорожная карта для калькулятора частных производных

Это похоже на прогресс, но это не решение. Вам просто нужно научиться находить свои ошибки и исправлять их. В противном случае это не сработает, и вы получите неверный ответ.

Очень хороший вопрос. Это снижает сложность решения сложных вопросов и, следовательно, помогает в легком и быстром изучении любого предмета. Проблема maxmin известна как двойная проблема.

Что вам не расскажут в толпе о калькуляторе частных производных

Крайне важно убедиться, что вы правильно скопировали входную информацию в свои вычисления. Ошибка может возникнуть из-за множества уникальных причин, которые часто связаны с человеческим фактором, но также могут быть связаны с оценками и ограничениями устройств, используемых при измерении. Функция не будет иметь максимума, если всем переменным разрешено неограниченное увеличение.

Как можно заметить, результат интегрирования не меняется в зависимости от ассортимента порядка интегрирования, но изменяется установка интегралов. Оптимизация — жизненно важный шаг в машинном обучении. Полезно различать составные функции.

Количество страниц указано на синей полосе в основании таблицы. Держите это в голове, вам нужно войти в уравнение, которое вы хотели решить, а затем нажать кнопку результата, чтобы посмотреть на результат. Один из способов сделать это — использовать некоторые тригонометрические тождества.

Хорошо, я думаю, что понимаю калькулятор частных производных, теперь расскажите мне о калькуляторе частных производных!

Эта функция позволяет заранее определить проблему в гиперссылке на эту страницу. Здесь мы остановимся немного подробнее, чем в приведенных выше примерах. Итак, сейчас я предложу вам несколько примеров.

Самая важная цель — показать хороший пример основных команд. Этот график показывает, что такого решения не существует. Его форма прямолинейна и симметрична в декартовых координатах.

Интернет-калькулятор вычислит частную производную функции с помощью показанных действий. Каждый компонент градиента входит в число частных первых производных функции. К сожалению, эта функция возвращает только производную одной точки.

Обратите внимание, что постоянный член c не оказывает никакого влияния на производную. Имейте в виду, что цепное правило используется для определения производных составных функций. Это самое важное правило для получения производных.

Эти формулы довольно сложно запомнить, поэтому полезно научиться доказывать их самому себе. Есть несколько формул для производных, которые мне очень часто задают.

30-секундный трюк для калькулятора частных производных

Эта демонстрация проиллюстрирует этот простой факт. Затем конечный результат дифференцируется второй раз, опять же по той же самой независимой переменной. Подумайте об отделе продаж.

Предполагается, что вы сами составите свой личный и рабочий график, чтобы вы могли выбрать экзамен. NN, которую мы, вероятно, создадим, имеет следующее визуальное представление. Чем он больше в любой конкретный момент времени, тем быстрее он растет в этот момент.

Спрятанное сокровище калькулятора частных производных

Итак, наша точка должна быть минимумом. Даже если каждый расчет окрестности добавляет лишь небольшой шум, он может накапливаться в сложном расчете, состоящем из нескольких шагов. В некоторых случаях (например, мосты и тротуары) действительно имеет значение просто изменение одного измерения.

Если вы посмотрите на нисходящий путь, вполне вероятно, что вы доберетесь до озера. Это полезно для увеличения движения кишечника и снижения повышенной кислотности. Градиент связан с наклоном поверхности в каждой точке.

Все о калькуляторе частных производных

Медицинские работники советуют грудное вскармливание. Вторая стадия акне На этой стадии появляются легкие или воспалительные угри, называемые папулами. Узнайте больше о приеме кодеина во время грудного вскармливания, его рисках и о том, что именно вы можете сделать, если кодеин необходим.

Вы можете увидеть среднеквадратичную ошибку в каждом из обстоятельств. Пример подробного решения доступен здесь. Функции этой формы такие же, как и в случае 3, только в знаменателе есть член, который повторяется или постоянно кратен другому члену.

Что можно и что нельзя делать с калькулятором частных производных

Первоначально это программное обеспечение было разработано компанией Numerical Mathematics. Автоматизированная дифференциация — довольно сильное оружие, широко используемое в машинном обучении. Наш инструмент «Калькулятор антипроизводных» поддерживает все самые последние функции, вычисления и несколько других переменных, которые необходимы в одном инструменте.

Неявное дифференцирование Один из способов получить наклон — выбрать производную любой части уравнения по x. Результаты действительно демонстрируют, что этот метод намного лучше, чем использование линейного приближения. В случае, если переменные не могут быть разделены напрямую, необходимо использовать другие методы для решения уравнения.

Матрица действует на один вектор, чтобы получить другой вектор. Имейте в виду, что p вообще не меняется. Найдите его и нанесите вместе с функцией на тот же график.

Особенности калькулятора частных производных

Легкость, с которой мой сын использует его, чтобы научиться исправлять сложные уравнения, просто поразительна. Давайте посмотрим на другой график. Идея здесь будет заключаться в том, чтобы на самом деле обратиться к приближенному уравнению, которое легко, поскольку оно линейное.

Это уравнение называется формулой линейного приближения. Эти уравнения называются нормальными уравнениями. Это не только просто сделать, но и очень полезно!

Калькулятор частных производных: максимальное удобство!

Вышеупомянутый Калькулятор вычисляет производную определенной функции, связанной с переменной x, используя аналитическое дифференцирование. Градиент — это вектор, состоящий из частных производных функции по переменным.

Вернемся к самому первому основному определению производной. Проще говоря, вы хотите узнать, какое производное правило применяется, а затем применить его. Имейте в виду, что обозначение второй производной производится путем включения второго штриха.

Вместо расчета конкретной цены калькулятор отображает общее выражение для производной. Есть несколько формул для производных, которые мне очень часто задают.

Где найти калькулятор частных производных

Это похоже на прогресс, но это не решение. Вам просто нужно научиться находить свои ошибки и исправлять их. Если они одинаковые, ваш ответ верен.

Мои первые тесты с этой библиотекой показывают, что функция градации различает только самый первый аргумент. Принципиальная разница в том, что применяется множество формул с многочисленными корректировками. Такого рода задачи имеют широкое применение в различных областях, включая экономику и физику.

Объяснение основ калькулятора частных производных

Излишне говорить, что калькулятор можно использовать также на переносных и настольных компьютерах. Чтобы показать шаги, он применяет те же методы интеграции, что и человек. Совместное использование калькуляторов также запрещено.

Основы калькулятора частных производных, которые вы сможете сразу же использовать

Этот калькулятор интерполяции будет очень полезен в области компьютерной графики, где популярны простые операции со значениями линейной интерполяции. Цепное правило позволяет нам различать функцию, которая имеет другую функцию. Цепное правило также может быть обобщено для нескольких переменных в обстоятельствах, когда вложенные функции зависят более чем от одной переменной.

1 вариант — использовать бикубическую фильтрацию. Итерация предоставляется Последующий инструмент выполнит итерацию за вас. Полезно различать составные функции.

Закон Гаусса немного пугает. Можно также поставить задачу Коши на весь набор потенциальных решений, чтобы выбрать частные, соответствующие заданным исходным задачам. Рассмотрим цепное правило для практики.

Правило частного — это только особый случай правила элемента, и это означает, что вам не нужно запоминать другую формулу. Конечный результат действительно замечательный. Определение этого значения является необязательным, но если вы предпочитаете стабильный результат, это отличная идея указать его.

Отсутствие эквивалента для интеграции — это то, что делает интеграцию такой огромной техникой и уловками. Кроме того, это компактный регион. Они предложат отличительные ошибки для точного прогноза и, таким образом, окажут значительное влияние на функционирование модели.

Функция PhaseSI Может быть полезно понять, что такое фаза конкретной точки состояния. Это свойство известно как слабая двойственность. Если выполняется сильное условие двойственности, мы закончили.

Калькулятор хороших, плохих и частных производных

Поскольку тело каждого человека отличается, вид лечения, применяемый к одному человеку, может не подойти еще одному. Между прочим, самая популярная тонкая ошибка на сегодняшний день состоит в использовании неправильного ввода, что означает попытку решить неправильную проблему. Один из способов сделать это — использовать некоторые тригонометрические тождества.

Эта функция позволяет заранее указать проблему в гиперссылке на эту страницу. Благодаря широкому доступу к интуитивно понятным API это достижимо с минимальным пониманием того, что происходит, или того, как глубокие базовые слои на самом деле выполняют свою работу. Итак, сейчас я предложу вам несколько примеров.

Самая важная цель — показать хороший пример основных команд. Как показано в следующем примере, одна конкретная техника, которая часто работает, состоит в том, чтобы угадать общий тип поля на основе опыта или физической интуиции, а затем попытаться использовать закон Гаусса, чтобы получить, какая конкретная версия этой общей формы собирается. быть решением. Его форма прямолинейна и симметрична в декартовых координатах.

Как видно, положение каждого сегмента взвешивается по области сегмента и после сложения делится на всю область формы. Именно это дополнительное условие делает плоскость касательной. Любое направление, которому вы следуете, приведет к снижению температуры.

После того, как зависимость представляет собой одну конкретную переменную, используйте d, как с x и y, которые зависят только от u. Если вы увеличите масштаб несколько раз, вы увидите, что кривая синусоиды внутри этой области быстро становится похожей на прямую линию, так как она не очень изогнута. Градиентный спуск — это процесс движения по градиенту вниз для достижения наименьшей стоимости.

Новая пошаговая дорожная карта для калькулятора частных производных

Алгебратор стоит своих денег благодаря правильному подходу. В начале программы вы хотите дать учащимся опыт прохождения полного 9-точечный вопрос, и вы не сможете сделать это намного позже в учебном курсе. Подумайте об отделе продаж.

Предполагается, что вы сами составите свой личный и рабочий график, чтобы вы могли выбрать экзамен. Та же проблема актуальна и для многомерного исчисления, но на этот раз мы должны иметь дело с более чем одной формой цепного правила. Основная причина этого заключается в том, что в самом первом случае мы берем частную производную, связанную с сохранением постоянной, тогда как во втором сценарии мы берем частную производную, связанную с сохранением постоянной.

Секрет калькулятора частных производных, о котором никто не говорит

Теперь вы знаете аналогию того, как работает алгоритм. Этот учебник по исчислению продемонстрирует, как работает линеаризация и как применить ее к задаче. Дополнительная квадратичная формула также дает ось симметрии параболы.

Это уравнение называется формулой линейного приближения. Эти уравнения называются нормальными уравнениями. Линейная аппроксимация — это всего лишь одна из самых простых аппроксимаций трансцендентных функций, которые не должны выражаться алгебраически.

И это должно предоставить вам всю информацию, необходимую для понимания частных производных, которые вы захотите понять для уравнений Максвелла. Градиент — это всего лишь вектор, который собирает все частные первые производные функции в 1 месте.

Обратите внимание, что постоянный член c не оказывает никакого влияния на производную. Затем, соблюдая цепное правило, вы можете обнаружить производную. Цепное правило также может помочь нам найти различные производные.

Эти формулы довольно сложно запомнить, поэтому полезно научиться доказывать их самому себе. Ретинол является отличным антивозрастным ингредиентом, который делает кожу более здоровой и молодой.

Прикрытие калькулятора частных производных

Знаменатель состоит из неприводимых квадратичных элементов, ни один из которых не повторяется. Это имеет вполне реальное следствие. По сравнению с другими признаками линейной классификации, отличием является неопределенность.

Разумеется, калькулятор можно использовать и на ноутбуках, и на настольных компьютерах. Он показывает ответ, который вы можете сослаться на свое решение исчисления. Это делает расчеты легкими и приятными.

Затем, если возможно, описанная выше процедура используется для упрощения подходящей функции. Антибактериальные ламинаты Использование ламинатов Различные виды ламинатов имеют различное применение в зависимости от их специфических свойств. В модель персептрона могут входить многочисленные входные данные, которые также называются признаками.

Одна и та же методика может быть использована в разных оболочках. Проблема в том, что это повлечет за собой дополнительную цену. Также проблемы могут быть решены мгновенно.

Частное правило является лишь особым случаем правила элемента, и это означает, что вам не нужно запоминать другую формулу. Конечный результат действительно замечательный. Повторяя этот процесс, вы можете найти оптимальное решение для уменьшения функции стоимости.

Что на самом деле происходит с калькулятором частичной производной

Активные компоненты аджвана могут помочь повысить пищеварительную функцию желудочно-кишечного тракта за счет усиления кишечных соков (желудочно-кишечного секрета). Этот подход работает только в некоторых конкретных случаях. тем не менее, это лучше всего подходит для каустики в результате преломления света в плоском теле простой воды. Используйте сочетание индикаторов, чтобы сформировать свою собственную секретную торговую стратегию.

Функция PhaseSI Может быть полезно понять, какова фаза конкретной точки состояния. Это свойство известно как слабая двойственность. Чтобы выбрать из дерева выбора товаров, щелкните поле рядом с каждым товаром или группой товаров.

Калькулятор частных производных может быть забавным для всех

Ретинол, напротив, мягче. Между прочим, самая популярная тонкая ошибка на сегодняшний день состоит в использовании неправильного ввода, что означает попытку решить неправильную проблему. Один из способов сделать это — использовать некоторые тригонометрические тождества.

Любой архитектурный проект должен постоянно контролироваться, а материалы должны поставляться вовремя из законных источников, чтобы снизить цену. Естественно, все численные методы вносят в данные некоторую ошибку. Итак, сейчас я предложу вам несколько примеров.

Эта константа называется константой интегрирования и может быть определена только при наличии дополнительной информации об интеграле. Как показано в следующем примере, одна конкретная техника, которая часто работает, состоит в том, чтобы угадать общий тип поля на основе опыта или физической интуиции, а затем попытаться использовать закон Гаусса, чтобы получить, какая конкретная версия этой общей формы собирается. быть решением. В следующем примере показано, как применить более одного правила.

Что делать с калькулятором частных производных, начиная с ближайших десяти минут

Это поможет безопасно улучшить здоровье желудка. Он может указывать в самых разных направлениях, за исключением очень близкого к солнцу. Вы можете находиться на самой вершине одной горы, но рядом с вами может быть более крупная вершина.

Наблюдая за тем, что происходит с альтернативными сценариями, вы сможете наблюдать, как каждый вход связан с размерами выборки и что произойдет, если вы не будете использовать предложенный размер выборки. Поэтому создаются выходные прогнозы с последующим обновлением всех весовых параметров как части единого тренировочного цикла. Используя это определение, мы можем легко вычислить наклон между двумя точками.

30-секундный трюк для калькулятора частных производных

Эта модель, однако, игнорирует реальный факт: при покупке большого количества товаров часто предоставляются скидки. Единственная причина, по которой мы работаем с данными таким образом, — дать иллюстрацию линейной регрессии, в которой не используется слишком много точек данных. Вы должны иметь хотя бы базовое представление о машинном обучении, чтобы справиться с самой важной технологией человечества.

Да, но мы не будем доказывать этот простой факт. Стандартная иллюстрация — население. Обратите внимание, чтобы вы могли использовать это правило позже.

4.3 Частные производные. Расчет, том 3

Цели обучения

4.3.1 Вычислить частные производные функции двух переменных.
4.3.2 Вычислить частные производные функции более чем двух переменных.
4.3.3 Определить высшие производные функции двух переменных.
4.3.4 Объясните смысл дифференциального уравнения в частных производных и приведите пример.

Теперь, когда мы рассмотрели пределы и непрерывность функций двух переменных, мы можем перейти к изучению производных. Нахождение производных функций двух переменных является ключевой концепцией этой главы, имеющей столько же применений в математике, естественных науках и технике, сколько и дифференцирование функций одной переменной. Однако мы уже видели, что ограничения и непрерывность многомерных функций имеют новые проблемы и требуют новой терминологии и идей для их решения. Это переносится и на дифференциацию.

Производные функции двух переменных

При изучении производных функций одной переменной мы обнаружили, что одной из интерпретаций производной является мгновенная скорость изменения yy как функции x. x. Обозначение Лейбница для производной — dy/dx,dy/dx, из чего следует, что yy — зависимая переменная, а xx — независимая переменная. Для функции z=f(x,y)z=f(x,y) двух переменных xx и yy являются независимыми переменными, а zz является зависимой переменной. Это сразу же поднимает два вопроса: как нам адаптировать обозначения Лейбница для функций двух переменных? Кроме того, что такое интерпретация производной? Ответ лежит в частных производных.

Определение

Пусть f(x,y)f(x,y) функция двух переменных. Тогда частная производная ff по x,x, записанная как ∂f/∂x,∂f/∂x или fx,fx, определяется как

∂f∂x=limh→0f(x+h, y)−f(x,y)h.∂f∂x=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h.

(4.12)

Частная производная от ff по y,y, записанная как ∂f/∂y,∂f/∂y или fy,fy, определяется как

∂f∂y=limk→ 0f(x,y+k)−f(x,y)k.∂f∂y=limk→0f(x,y+k)−f(x,y)k.

(4.13)

Это определение уже показывает два отличия. Во-первых, меняется обозначение в том смысле, что мы по-прежнему используем версию обозначения Лейбница, но dd в исходном обозначении заменяется символом ∂.∂. (Это округленное «d» «d» обычно называют «частным», поэтому ∂f/∂x∂f/∂x говорят как «частное от ff относительно x».)x.) Это первое намек на то, что мы имеем дело с частными производными. Во-вторых, теперь у нас есть две разные производные, которые мы можем взять, поскольку есть две разные независимые переменные. В зависимости от того, какую переменную мы выбираем, мы можем вообще получить разные частные производные, что часто и происходит.

Пример 4.14

Вычисление частных производных по определению

Используйте определение частной производной в качестве предела для вычисления ∂f/∂x∂f/∂x и ∂f/∂y∂f/∂y для функции

f( x,y)=x2−3xy+2y2−4x+5y−12.f(x,y)=x2−3xy+2y2−4x+5y−12.

Решение

Сначала вычислите f(x+h,y).f(x+h,y).

f(x+h,y)=(x+h)2−3(x+h)y+2y2−4(x+h)+5y−12=x2+2xh+h3−3xy−3hy+2y2 −4x−4h+5y−12. f(x+h,y)=(x+h)2−3(x+h)y+2y2−4(x+h)+5y−12=x2+2xh+ h3−3xy−3hy+2y2−4x−4h+5y−12.

Затем подставьте это в уравнение 4.12 и упростите: 3hy+2y2−4x−4h+5y−12)−(x2−3xy+2y2−4x+5y−12)h=limh→0x2+2xh+h3−3xy−3hy+2y2−4x−4h+5y−12− x2+3xy−2y2+4x−5y+12h=limh→02xh+h3−3hy−4hh=limh→0h(2x+h−3y−4)h=limh→0(2x+h−3y−4)=2x −3y−4.∂f∂x=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h=limh→0(x2+2xh+h3−3xy−3hy+2y2−4x−4h+5y −12)−(x2−3xy+2y2−4x+5y−12)h=limh→0x2+2xh+h3−3xy−3hy+2y2−4x−4h+5y−12−x2+3xy−2y2+4x−5y +12h=limh→02xh+h3−3hy−4hh=limh→0h(2x+h−3y−4)h=limh→0(2x+h−3y−4)=2x−3y−4.

Чтобы вычислить ∂f∂y,∂f∂y, сначала вычислите f(x,y+h):f(x,y+h):

f(x,y+h)=x2−3x(y +h)+2(y+h)2−4x+5(y+h)−12=x2−3xy−3xh+2y2+4yh+2h3−4x+5y+5h−12.f(x,y+h )=x2−3x(y+h)+2(y+h)2−4x+5(y+h)−12=x2−3xy−3xh+2y2+4yh+2h3−4x+5y+5h−12.

Затем подставьте это в уравнение 4.13 и упростите: 4yk+2k2−4x+5y+5k−12)−(x2−3xy+2y2−4x+5y−12)k=limk→0x2−3xy−3xk+2y2+4yk+2k2−4x+5y+5k−12− x2+3xy−2y2+4x−5y+12k=limk→0−3xk+4yk+2k2+5kk=limk→0h(−3x+4y+2k+5)k=limk→0(−3x+4y+2k+ 5)=−3x+4y+5. ∂f∂y=limk→0f(x,y+h)−f(x,y)k=limk→0(x2−3xy−3xk+2y2+4yk+2k2− 4x+5y+5k−12)−(x2−3xy+2y2−4x+5y−12)k=limk→0x2−3xy−3xk+2y2+4yk+2k2−4x+5y+5k−12−x2+3xy− 2y2+4x−5y+12k=limk→0−3xk+4yk+2k2+5kk=limk→0h(−3x+4y+2k+5)k=limk→0(−3x+4y+2k+5)=− 3х+4у+5.

Контрольно-пропускной пункт 4.12

f(x,y)=4×2+2xy −y2+3x−2y+5.f(x,y)=4×2+2xy−y2+3x−2y+5.

Идея, о которой следует помнить при вычислении частных производных, состоит в том, чтобы рассматривать все независимые переменные, кроме переменной, по которой мы дифференцируем, как константы. Затем приступайте к дифференцированию, как с функцией одной переменной. Чтобы понять, почему это так, сначала зафиксируем yy и определим g(x)=f(x,y)g(x)=f(x,y) как функцию x.x. Затем

g′(x)=limh→0g(x+h)−g(x)h=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h=∂f∂x.g′(x)= limh→0g(x+h)−g(x)h=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h=∂f∂x.

То же верно для вычисления частной производной от ff по y. y. На этот раз зафиксируйте xx и определите h(y)=f(x,y)h(y)=f(x,y) как функцию y.y. Затем

h′(x)=limk→0h(x+k)−h(x)k=limk→0f(x,y+k)−f(x,y)k=∂f∂y.h′(x)= limk→0h(x+k)−h(x)k=limk→0f(x,y+k)−f(x,y)k=∂f∂y.

Применяются все правила дифференцирования из введения в производные.

Пример 4.15

Вычисление частных производных

Вычислите ∂f/∂x∂f/∂x и ∂f/∂y∂f/∂y для следующих функций, удерживая противоположную переменную постоянной, а затем дифференцируя:

f(x,y )=x2−3xy+2y2−4x+5y−12f(x,y)=x2−3xy+2y2−4x+5y−12
g(x,y)=sin(x2y−2x+4)g(x,y)=sin(x2y−2x+4)

Решение

Чтобы вычислить ∂f/∂x,∂f/∂x, относитесь к переменной yy как к константе. Затем продифференцируйте f(x,y)f(x,y) по xx, используя правила суммы, разности и степени:
∂f∂x=∂∂x[x2−3xy+2y2−4x+5y−12]=∂∂x[x2]−∂∂x[3xy]+∂∂x[2y2]−∂∂x[4x] +∂∂x[5y]−∂∂x[12]=2x−3y+0−4+0−0=2x−3y−4. ∂f∂x=∂∂x[x2−3xy+2y2−4x+ 5y−12]=∂∂x[x2]−∂∂x[3xy]+∂∂x[2y2]−∂∂x[4x]+∂∂x[5y]−∂∂x[12]=2x−3y +0−4+0−0=2x−3y−4.

Производные третьего, пятого и шестого членов равны нулю, поскольку они не содержат переменных x,x, поэтому они рассматриваются как постоянные члены. Производная второго члена равна коэффициенту x,x, который равен −3y.−3y. Расчет ∂f/∂y:∂f/∂y:
∂f∂y=∂∂y[x2−3xy+2y2−4x+5y−12]=∂∂y[x2]−∂∂y[3xy]+ ∂∂y[2y2]−∂∂y[4x]+∂∂y[5y]−∂∂y[12]=−3x+4y−0+5−0=−3x+4y+5.∂f∂y =∂∂y[x2−3xy+2y2−4x+5y−12]=∂∂y[x2]−∂∂y[3xy]+∂∂y[2y2]−∂∂y[4x]+∂∂y[ 5y]−∂∂y[12]=−3x+4y−0+5−0=−3x+4y+5.

Это те же ответы, что и в примере 4.14.
Чтобы вычислить ∂g/∂x,∂g/∂x, относитесь к переменной y как к константе. Затем продифференцируйте g(x,y)g(x,y) относительно x , используя цепное правило и правило степени:
∂g∂x=∂∂x[sin(x2y−2x+4)]=cos( x2y−2x+4)∂∂x[x2y−2x+4]=(2xy−2)cos(x2y−2x+4).∂g∂x=∂∂x[sin(x2y−2x+4)]= cos(x2y−2x+4)∂∂x[x2y−2x+4]=(2xy−2)cos(x2y−2x+4).

Чтобы вычислить ∂g/∂y,∂g/∂y, относитесь к переменной xx как к константе. Затем продифференцируйте g(x,y)g(x,y) по yy, используя цепное и степенное правило:
∂g∂y=∂∂y[sin(x2y−2x+4)]=cos(x2y−2x+4)∂∂y[x2y−2x+4]=x2cos(x2y−2x+4).∂g ∂y=∂∂y[sin(x2y−2x+4)]=cos(x2y−2x+4)∂∂y[x2y−2x+4]=x2cos(x2y−2x+4).

Контрольно-пропускной пункт 4.13

Рассчитать ∂f/∂x∂f/∂x и ∂f/∂y∂f/∂y для функции f(x,y)=tan(x3−3x2y2+2y4)f(x,y)=tan (x3−3x2y2+2y4), удерживая противоположную переменную постоянной, а затем дифференцируя.

Как мы можем интерпретировать эти частные производные? Напомним, что график функции двух переменных представляет собой поверхность в ℝ3.ℝ3. Если мы удалим предел из определения частной производной по x,x, разностное частное останется:

f(x+h,y)−f(x,y)h.f(x+h,y)−f(x,y)h.

Это похоже на разностное частное для производной функции одной переменной, за исключением наличия переменной yy. На рис. 4.21 показана поверхность, описываемая произвольной функцией z=f(x,y). z=f(x,y).

Рисунок 4.21 Секущая, проходящая через точки (x,y,f(x,y))(x,y,f(x,y)) и (x+h,y,f(x+h,y)).(x +h,y,f(x+h,y)).

На рис. 4.21 значение hh положительное. Если построить графики f(x,y)f(x,y) и f(x+h,y)f(x+h,y) для произвольной точки (x,y),(x,y), то наклон секущей, проходящей через эти две точки, равен

f(x+h,y)−f(x,y)h.f(x+h,y)−f(x,y)h.

Эта линия параллельна оси x.ось x. Следовательно, наклон секущей представляет собой среднюю скорость изменения функции ff, когда мы движемся параллельно оси x.x-ось. Когда hh приближается к нулю, наклон секущей приближается к наклону касательной.

Если мы решим изменить yy вместо xx на одно и то же значение приращения h,h, тогда секущая линия будет параллельна оси y и касательной. Следовательно, ∂f/∂x∂f/∂x представляет собой наклон касательной, проходящей через точку (x,y,f(x,y))(x,y,f(x,y)) параллельно ось xx-ось и ∂f/∂y∂f/∂y представляет наклон касательной, проходящей через точку (x,y,f(x,y))(x,y,f(x,y) ) параллельно оси y. ось y. Если мы хотим найти наклон касательной, проходящей через ту же точку в любом другом направлении, то нам понадобится то, что называется производных по направлению , которые мы обсуждаем в разделе «Производные по направлению и градиент».

Теперь вернемся к идее контурных карт, которую мы представили в разделе «Функции нескольких переменных». Мы можем использовать контурную карту для оценки частных производных функции g(x,y).g(x,y).

Пример 4.16

Частные производные по контурной карте

Используйте контурную карту для оценки ∂g/∂x∂g/∂x в точке (5,0)(5,0) для функции g(x,y)=9 −x2−y2.g(x,y)=9−x2−y2.

Решение

Следующий график представляет контурную карту для функции g(x,y)=9−x2−y2.g(x,y)=9−x2−y2.

Рисунок 4.22 Контурная карта для функции g(x,y)=9−x2−y2,g(x,y)=9−x2−y2 с использованием c=0,1,2,c=0,1,2 и 33 (c=3(c=3 соответствует началу координат).

Внутренний круг на контурной карте соответствует c=2c=2, а следующий за его пределами круг соответствует c=1.c=1. Первый круг дан уравнением 2=9−x2−y2;2=9−x2−y2, вторая окружность задается уравнением 1=9−x2−y2.1=9−x2−y2. Первое уравнение упрощается до x2+y2=5×2+y2=5, а второе уравнение упрощается до x2+y2=8.×2+y2=8. X-interceptx-intercept первого круга равен (5,0)(5,0), а x-interceptx-intercept второго круга равен (22,0).(22,0). Мы можем оценить значение ∂g/∂x∂g/∂x в точке (5,0)(5,0), используя формулу наклона:

∂g∂x|(x,y)=(5 ,0)≈g(5,0)−g(22,0)5−22=2−15−22=15−22≈−1,688.∂g∂x|(x,y)=(5,0) ≈g(5,0)−g(22,0)5−22=2−15−22=15−22≈−1,688.

Чтобы вычислить точное значение ∂g/∂x∂g/∂x в точке (5,0),(5,0), начнем с нахождения ∂g/∂x∂g/∂x с помощью Правило цепи. Во-первых, мы перепишем функцию как g(x,y)=9−x2−y2=(9−x2−y2)1/2g(x,y)=9−x2−y2=(9−x2−y2)1/2, а затем продифференцируем по xx, сохраняя yy постоянным:

∂g∂x=12(9−x2−y2)−1/2(−2x)=−x9−x2−y2.∂g∂x=12(9−x2−y2)−1/2(−2x )=-x9-x2-y2.

Затем мы оцениваем это выражение, используя x=5x=5 и y=0:y=0:

∂g∂x|(x,y)=(5,0)=−59−(5)2− (0)2=−54=−52≈−1,118.∂g∂x|(x,y)=(5,0)=−59−(5)2−(0)2=−54=−52≈ −1,118.

Оценка частной производной соответствует наклону секущей, проходящей через точки (5,0,g(5,0))(5,0,g(5,0)) и (22,0, г(22,0)).(22,0,г(22,0)). Он представляет собой аппроксимацию наклона касательной к поверхности через точку (5,0,g(5,0)),(5,0,g(5,0)), которая параллельна x- ось.x-ось.

Контрольно-пропускной пункт 4.14

Используйте контурную карту для оценки ∂f/∂y∂f/∂y в точке (0,2)(0,2) для функции

f(x,y)=x2−y2.f(x, у)=х2-у2.

Сравните с точным ответом.

Функции более чем двух переменных

Предположим, у нас есть функция трех переменных, например, w=f(x,y,z).w=f(x,y,z). Мы можем вычислять частные производные ww по любой из независимых переменных просто как расширение определений частных производных функций двух переменных.

Определение

Пусть f(x,y,z)f(x,y,z) функция трех переменных. Тогда частная производная ff по x, записанная как ∂f/∂x,∂f/∂x или fx,fx, определяется как

∂f∂x=limh→0f(x+ h,y,z)−f(x,y,z)h.∂f∂x=limh→0f(x+h,y,z)−f(x,y,z)h.

(4.14)

Частная производная от ff по отношению к y,y, записанная как ∂f/∂y,∂f/∂y или fy,fy, определяется как

∂f ∂y=limk→0f(x,y+k,z)−f(x,y,z)k.∂f∂y=limk→0f(x,y+k,z)−f(x,y, я)к.

(4.15)

Частная производная от ff относительно z,z, записанная как ∂f/∂z,∂f/∂z или fz,fz, определяется как

∂f ∂z=limm→0f(x,y,z+m)−f(x,y,z)m.∂f∂z=limm→0f(x,y,z+m)−f(x,y, я) м.

(4.16)

Мы можем вычислить частную производную функции трех переменных, используя ту же идею, что и для функции двух переменных. Например, если у нас есть функция ff от x, y и z, x, y и z, и мы хотим вычислить ∂f/∂x, ∂f/∂x, то мы рассматриваем две другие независимые переменные, как если бы они константы, то продифференцируем по х. х.

Пример 4.17

Вычисление частных производных для функции трех переменных

Использование предельного определения частных производных для вычисления ∂f/∂x∂f/∂x для функции

f(x,y,z)=x2−3xy+ 2y2−4xz+5yz2−12x+4y−3z.f(x,y,z)=x2−3xy+2y2−4xz+5yz2−12x+4y−3z.

Затем найдите ∂f/∂y∂f/∂y и ∂f/∂z∂f/∂z, установив две другие переменные постоянными и продифференцировав их соответствующим образом.

Решение

Сначала мы вычисляем ∂f/∂x∂f/∂x, используя уравнение 4.14, затем мы вычисляем две другие частные производные, сохраняя остальные переменные постоянными. Чтобы использовать уравнение для нахождения ∂f/∂x,∂f/∂x, нам сначала нужно вычислить f(x+h,y,z):f(x+h,y,z):

f(x+h,y,z)=(x+h)2−3(x+h)y+2y2−4(x+h)z+5yz2−12(x+h)+4y−3z =x2+2xh+h3−3xy−3xh+2y2−4xz−4hz+5yz2−12x−12h+4y−3zf(x+h,y,z)=(x+h)2−3(x+h)y +2y2-4(x+h)z+5yz2-12(x+h)+4y-3z=x2+2xh+h3-3xy-3xh+2y2-4xz-4hz+5yz2-12x-12h+4y-3z

и вспомним, что f(x,y,z)=x2−3xy+2y2−4zx+5yz2−12x+4y−3z. f(x,y,z)=x2−3xy+2y2−4zx+5yz2−12x+ 4у-3з. Далее подставляем эти два выражения в уравнение: 3xy+2y2−4xz+5yz2−12x+4y−3zh]=limh→0[2xh+h3−3hy−4hz−12hh]=limh→0[h(2x+h−3y−4z−12)h]=limh →0(2x+h−3y−4z−12)=2x−3y−4z−12.∂f∂x=limh→0[x2+2xh+h3−3xy−3hy+2y2−4xz−4hz+5yz2−12x −12h+4y−3zh−x2−3xy+2y2−4xz+5yz2−12x+4y−3zh]=limh→0[2xh+h3−3hy−4hz−12hh]=limh→0[h(2x+h−3y −4z−12)h]=limh→0(2x+h−3y−4z−12)=2x−3y−4z−12.

Затем мы находим ∂f/∂y∂f/∂y, считая xandzxandz постоянными. Следовательно, любое слагаемое, не включающее переменную yy, является константой, а его производная равна нулю. Мы можем применить правила суммы, разности и степени для функций одной переменной: [3xy]+∂∂y[2y2]−∂∂y[4xz]+∂∂y[5yz2]−∂∂y[12x]+∂∂y[4y]−∂∂y[3z]=0−3x+ 4y−0+5z2−0+4−0=−3x+4y+5z2+4.∂∂y[x2−3xy+2y2−4xz+5yz2−12x+4y−3z]=∂∂y[x2]−∂ ∂y[3xy]+∂∂y[2y2]−∂∂y[4xz]+∂∂y[5yz2]−∂∂y[12x]+∂∂y[4y]−∂∂y[3z]=0− 3x+4y-0+5z2-0+4-0=-3x+4y+5z2+4.

Чтобы вычислить ∂f/∂z,∂f/∂z, мы считаем x и y постоянными и применяем правила суммы, разности и степени для функций одной переменной:

∂∂z[x2− 3xy+2y2−4xz+5yz2−12x+4y−3z]=∂∂z[x2]−∂∂z[3xy]+∂∂z[2y2]−∂∂z[4xz]+∂∂z[5yz2]− ∂∂z[12x]+∂∂z[4y]−∂∂z[3z]=0−0+0−4x+10yz−0+0−3=−4x+10yz−3. ∂∂z[x2− 3xy+2y2−4xz+5yz2−12x+4y−3z]=∂∂z[x2]−∂∂z[3xy]+∂∂z[2y2]−∂∂z[4xz]+∂∂z[5yz2]− ∂∂z[12x]+∂∂z[4y]−∂∂z[3z]=0−0+0−4x+10yz−0+0−3=−4x+10yz−3.

Контрольно-пропускной пункт 4.15

Используйте предельное определение частных производных для вычисления ∂f/∂x∂f/∂x для функции

f(x,y,z)=2×2−4x2y+2y2+5xz2−6x+3z−8.f( x,y,z)=2×2−4x2y+2y2+5xz2−6x+3z−8.

Пример 4.18

Вычисление частных производных функции трех переменных

Вычислите три частные производные следующих функций.

f(x,y,z)=x2y−4xz+y2x−3yzf(x,y,z)=x2y−4xz+y2x−3yz
g(x,y,z)=sin(x2y−z)+cos(x2−yz)g(x,y,z)=sin(x2y−z)+cos(x2−yz)

Решение

В каждом случае рассматривайте все переменные как константы, кроме той, чью частную производную вы вычисляете.

∂f∂x=∂∂x[x2y−4xz+y2x−3yz]=∂∂x(x2y−4xz+y2)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂x(x− 3yz)(x−3yz)2=(2xy−4z)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(1)(x−3yz)2=2x2y−6xy2z−4xz+12yz2−x2y+4xz−y2 (x−3yz)2=x2y−6xy2z−4xz+12yz2+4xz−y2(x−3yz)2∂f∂x=∂∂x[x2y−4xz+y2x−3yz]=∂∂x(x2y−4xz+ y2)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂x(x−3yz)(x−3yz)2=(2xy−4z)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(1 )(x−3yz)2=2x2y−6xy2z−4xz+12yz2−x2y+4xz−y2(x−3yz)2=x2y−6xy2z−4xz+12yz2+4xz−y2(x−3yz)2
(x−3yz)2=(x2+2y)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(−3z)(x−3yz)2=x3−3x2yz+2xy−6y2z+3x2yz−12xz2+3y2z( x−3yz)2=x3+2xy−3y2z−12xz2(x−3yz)2∂f∂y=∂∂y[x2y−4xz+y2x−3yz]=∂∂y(x2y−4xz+y2)(x− 3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂y(x−3yz)(x−3yz)2=(x2+2y)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(−3z)(x− 3yz)2=x3−3x2yz+2xy−6y2z+3x2yz−12xz2+3y2z(x−3yz)2=x3+2xy−3y2z−12xz2(x−3yz)2
∂f∂z=∂∂z[x2y−4xz +y2x−3yz]=∂∂z(x2y−4xz+y2)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂z(x−3yz)(x−3yz)2=(−4x)(x −3yz)−(x2y−4xz+y2)(−3y)(x−3yz)2=−4×2+12xyz+3x2y2−12xyz+3y3(x−3yz)2=−4×2+3x2y2+3y3(x−3yz) 2∂f∂z=∂∂z[x2y−4xz+y2x−3yz]=∂∂z(x2y−4xz+y2)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂z(x−3yz) (x−3yz)2=(−4x)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(−3y)(x−3yz)2=−4×2+12xyz+3x2y2−12xyz+3y3(x−3yz) 2=−4×2+3x2y2+3y3(x−3yz)2
∂f∂x=∂∂x[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂x(x2y−z)−(sin(x2−yz)) ∂∂x(x2−yz)=2xycos(x2y−z)−2xsin(x2−yz)∂f∂y=∂∂y[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y −z))∂∂y(x2y−z)−(sin(x2−yz))∂∂y(x2−yz)=x2cos(x2y−z)+zsin(x2−yz)∂f∂z=∂∂ z[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂z(x2y−z)−(sin(x2−yz))∂∂z(x2−yz) =−cos(x2y−z)+ysin(x2−yz)∂f∂x=∂∂x[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂x (x2y−z)−(sin(x2−yz))∂∂x(x2−yz)=2xycos(x2y−z)−2xsin(x2−yz)∂f∂y=∂∂y[sin(x2y−z )+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂y(x2y−z)−(sin(x2−yz))∂∂y(x2−yz)=x2cos(x2y−z) +zsin(x2−yz)∂f∂z=∂∂z[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂z(x2y−z)−(sin (x2−yz))∂∂z(x2−yz)=−cos(x2y−z)+ysin(x2−yz)

Контрольно-пропускной пункт 4.

Рассчитать ∂f/∂x,∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂y и ∂f/∂z∂f/∂z для функции f(x,y,z)= sec(x2y)−tan(x3yz2).f(x,y,z)=sec(x2y)−tan(x3yz2).

Частные производные высшего порядка

Рассмотрим функцию

f(x,y)=2×3−4xy2+5y3−6xy+5x−4y+12.f(x,y)=2×3−4xy2+5y3−6xy+5x−4y+12.

Его частные производные равны

∂f∂x=6×2−4y2−6y+5 и ∂f∂y=−8xy+15y2−6x−4.∂f∂x=6×2−4y2−6y+5and∂f∂y=−8xy+15y2−6x −4.

Каждая из этих частных производных является функцией двух переменных, поэтому мы можем вычислить частные производные этих функций. Как и в случае с производными функций одной переменной, мы можем назвать эти производных второго порядка, производных третьего порядка и так далее. Обычно их называют частными производными высшего порядка. Для любой функции существует четыре частных производных второго порядка (при условии, что они все существуют):

∂2f∂x2=∂∂x[∂f∂x],∂2f∂x∂y=∂∂x[∂f∂y],∂2f∂y∂x=∂∂y[∂f∂x], ∂2f∂y2=∂∂y[∂f∂y]. ∂2f∂x2=∂∂x[∂f∂x],∂2f∂x∂y=∂∂x[∂f∂y],∂2f∂ y∂x=∂∂y[∂f∂x],∂2f∂y2=∂∂y[∂f∂y].

Альтернативное обозначение для каждого: fxx,fyx,fxy,fxx,fyx,fxy и fyy,fyy соответственно. Частные производные более высокого порядка, вычисленные по разным переменным, таким как fxyfxy и fyx,fyx, обычно называются смешанными частными производными.

Пример 4.19

Вычисление вторых частных производных

Вычисление всех четырех вторых частных производных для функции

f(x,y)=xe−3y+sin(2x−5y).f(x,y)=xe−3y+sin( 2x−5y).

Решение

Чтобы вычислить ∂2f/dx2∂2f/dx2 и ∂2f/∂y∂x,∂2f/∂y∂x, мы сначала вычисляем ∂f/∂x:∂f/∂x:

∂f∂x= e−3y+2cos(2x−5y).∂f∂x=e−3y+2cos(2x−5y).

Чтобы вычислить ∂2f/dx2,∂2f/dx2, продифференцируйте ∂f/∂x∂f/∂x по x:x:

∂2f∂x2=∂∂x[∂f∂x]=∂∂x[e−3y+2cos(2x−5y)]=−4sin(2x−5y).∂2f∂x2=∂∂x[ ∂f∂x]=∂∂x[e−3y+2cos(2x−5y)]=−4sin(2x−5y).

Чтобы вычислить ∂2f/∂y∂x,∂2f/∂y∂x, продифференцируйте ∂f/∂x∂f/∂x по y:y:

∂2f∂y∂x=∂∂y [∂f∂x]=∂∂y[e−3y+2cos(2x−5y)]=−3e−3y+10sin(2x−5y). ∂2f∂y∂x=∂∂y[∂f∂x ]=∂∂y[e−3y+2cos(2x−5y)]=−3e−3y+10sin(2x−5y).

Чтобы вычислить ∂2f/∂x∂y∂2f/∂x∂y и ∂2f/dy2,∂2f/dy2, сначала вычислите ∂f/∂y:∂f/∂y:

∂f∂y= −3xe−3y−5cos(2x−5y).∂f∂y=−3xe−3y−5cos(2x−5y).

Чтобы вычислить ∂2f/∂x∂y,∂2f/∂x∂y, продифференцируйте ∂f/∂y∂f/∂y по x:x:

∂2f∂x∂y=∂∂x[ ∂f∂y]=∂∂x[−3xe−3y−5cos(2x−5y)]=−3e−3y+10sin(2x−5y).∂2f∂x∂y=∂∂x[∂f∂y ]=∂∂x[−3xe−3y−5cos(2x−5y)]=−3e−3y+10sin(2x−5y).

Чтобы вычислить ∂2f/∂y2,∂2f/∂y2, продифференцируйте ∂f/∂y∂f/∂y по отношению y:y:

∂2f∂y2=∂∂y[∂f∂y] =∂∂y[−3xe−3y−5cos(2x−5y)]=9xe−3y−25sin(2x−5y).∂2f∂y2=∂∂y[∂f∂y]=∂∂y[−3xe −3y−5cos(2x−5y)]=9xe−3y−25sin(2x−5y).

Контрольно-пропускной пункт 4.17

Вычислите все четыре вторые частные производные для функции

f(x,y)=sin(3x−2y)+cos(x+4y).f(x,y)=sin(3x−2y)+cos(x+4y).

Здесь мы должны заметить, что и в примере 4.19, и в контрольной точке было верно, что ∂2f/∂x∂y=∂2f/∂y∂x.∂2f/∂x∂y=∂2f/∂y ∂х. При определенных условиях это всегда так. На самом деле это прямое следствие следующей теоремы.

Теорема 4,5

Равенство смешанных частных производных (теорема Клеро)

Предположим, что f(x,y)f(x,y) определено на открытом диске DD, содержащем точку (a,b).(a,b). Если функции fxyfxy и fyxfyx непрерывны на D,D, то fxy=fyx.fxy=fyx.

Теорема Клеро гарантирует, что пока смешанные производные второго порядка непрерывны, порядок, в котором мы выбираем дифференцирование функций (т. е. какая переменная идет первой, затем второй и т. д.), не имеет значения. Его можно распространить и на производные более высокого порядка. Доказательство теоремы Клеро можно найти в большинстве учебников по математическому анализу.

Две другие частные производные второго порядка можно вычислить для любой функции f(x,y).f(x,y). Частная производная fxxfxx равна частной производной fxfx по x,x, а fyyfyy равна частной производной fyfy по y.y.

Уравнения с частными производными

Во Введении в дифференциальные уравнения мы изучали дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция имеет одну независимую переменную. Уравнение в частных производных — это уравнение, в котором есть неизвестная функция более чем одной независимой переменной и одна или несколько ее частных производных. Примеры дифференциальных уравнений в частных производных:

ut=c2(uxx+uyy)ut=c2(uxx+uyy)

(4.17)

(уравнение теплопроводности в двух измерениях)

utt=c2(uxx+uyy)utt=c2(uxx+uyy)

(4.18)

(волновое уравнение в двух измерениях)

uxx+uyy=0uxx+uyy=0

(4.19)

(уравнение Лапласа в двух измерениях)

В первых двух уравнениях неизвестная функция uu имеет три независимые переменные — t, x, andyt, x, andy — и cc — произвольная константа. Независимые переменные xandyxandy считаются пространственными переменными, а переменная tt представляет время. В уравнении Лапласа неизвестная функция uu имеет две независимые переменные xandy.xandy.

Пример 4.

Решение волнового уравнения

Убедитесь, что

u(x,y,t)=5sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt)u(x,y,t)=5sin(3πx)sin( 4πy)cos(10πt)

является решением волнового уравнения

utt=4(uxx+uyy).utt=4(uxx+uyy).

(4.20)

Решение

Сначала мы вычисляем utt,uxx,utt,uxx и uyy:uyy:

utt=∂∂t[∂u∂t]=∂∂t[5sin(3πx)sin(4πy)(−10πsin(10πt) )]=∂∂t[−50πsin(3πx)sin(4πy)sin(10πt)]=−500π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt)uxx=∂∂x[∂u∂x]=∂∂x [15πcos(3πx)sin(4πy)cos(10πt)]=−45π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt)uyy=∂∂y[∂u∂y]=∂∂y[5sin(3πx)(4πcos (4πy))cos(10πt)]=∂∂y[20πsin(3πx)cos(4πy)cos(10πt)]=−80π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt).utt=∂∂t[∂u ∂t]=∂∂t[5sin(3πx)sin(4πy)(−10πsin(10πt))]=∂∂t[−50πsin(3πx)sin(4πy)sin(10πt)]=−500π2sin(3πx)sin (4πy)cos(10πt)uxx=∂∂x[∂u∂x]=∂∂x[15πcos(3πx)sin(4πy)cos(10πt)]=−45π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt) uyy=∂∂y[∂u∂y]=∂∂y[5sin(3πx)(4πcos(4πy))cos(10πt)]=∂∂y[20πsin(3πx)cos(4πy)cos(10πt)]= −80π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt).

Затем мы подставляем каждое из них в правую часть уравнения 4.20 и упрощаем: )sin(4πy)cos(10πt))=4(−125π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt))=−500π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt)=utt.4(uxx+uyy) =4(−45π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt)+−80π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt))=4(−125π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt))=− 500π2sin(3πx)sin(4πy)cos(10πt)=utt.

Это подтверждает решение.

Контрольно-пропускной пункт 4.18

Убедитесь, что u(x,y,t)=2sin(x3)sin(y4)e−25t/16u(x,y,t)=2sin(x3)sin(y4)e−25t/16 является решением к уравнению теплопроводности

ut=9(uxx+uyy).ut=9(uxx+uyy).

(4.21)

Поскольку решение двумерного уравнения теплопроводности является функцией трех переменных, создать визуальное представление решения непросто. Мы можем построить график решения для фиксированных значений t , что составляет моментальные снимки распределения тепла в фиксированные моменты времени. Эти снимки показывают, как тепло распределяется по двумерной поверхности с течением времени. График предыдущего решения в момент времени t=0t=0 показан на следующем рисунке. С течением времени крайности выравниваются, приближаясь к нулю как 9.1084 t приближается к бесконечности.

Рисунок 4.23

Если рассматривать уравнение теплопроводности в одном измерении, то можно построить график решения во времени. Уравнение теплопроводности в одном измерении принимает вид

ут=с2ухх,ут=с2ухх,

, где c2c2 представляет собой коэффициент температуропроводности рассматриваемого материала. Решение этого дифференциального уравнения можно записать в виде

um(x,t)=e−π2m2c2tsin(mπx)um(x,t)=e−π2m2c2tsin(mπx)

(4.22)

, где mm — любое положительное целое число. График этого решения с использованием m=1m=1 показан на рис. 4.24, где начальное распределение температуры по проводу длиной 11 дано как u(x,0)=sinπx.u(x,0)=sinπx. Обратите внимание, что со временем провод остывает. Это видно потому, что слева направо самая высокая температура (которая возникает в середине провода) уменьшается и меняет цвет с красного на синий.

Рисунок 4,24 График решения уравнения теплопроводности в одном измерении во времени.

Студенческий проект

Лорд Кельвин и эпоха Земли

Рисунок 4,25 (а) Уильям Томсон (лорд Кельвин), 1824–1907 гг., был британским физиком и инженером-электриком; (б) Кельвин использовал уравнение диффузии тепла для оценки возраста Земли (кредит: модификация работы НАСА).

В конце 1800-х ученые новой области геологии пришли к выводу, что Земле должно быть «миллионы и миллионы» лет. Примерно в то же время Чарльз Дарвин опубликовал свой трактат об эволюции. Дарвин считал, что для эволюции потребовалось много миллионов лет, и он сделал смелое заявление о том, что меловые поля Уилда, где были обнаружены важные окаменелости, были результатом 300–300 миллионов лет эрозии.

В то время выдающийся физик Уильям Томсон (лорд Кельвин) использовал важное дифференциальное уравнение в частных производных, известное как уравнение диффузии тепла , для оценки возраста Земли, определяя, сколько времени потребуется Земле, чтобы остыть от расплавленной породы до что у нас было на тот момент. Его заключение заключалось в диапазоне от 20 до 400–20–400 миллионов лет, но, скорее всего, около 50–50 миллионов лет. На протяжении многих десятилетий заявления этого неопровержимого символа науки не нравились ни геологам, ни Дарвину.

СМИ

Прочтите статью Кельвина об оценке возраста Земли.

Кельвин сделал разумные предположения, основанные на том, что было известно в его время, но он также сделал несколько предположений, которые оказались неверными. Одно неверное предположение заключалось в том, что Земля твердая и поэтому охлаждение происходило только за счет теплопроводности, что оправдывало использование уравнения диффузии. Но самая серьезная ошибка была простительна — упущение того факта, что Земля содержит радиоактивные элементы, которые постоянно поставляют тепло под мантию Земли. Открытие радиоактивности произошло ближе к концу жизни Кельвина, и он признал, что его расчеты должны быть изменены.

Кельвин использовал простую одномерную модель, применимую только к внешней оболочке Земли, и вычислил возраст по графикам и приблизительно известному температурному градиенту у поверхности Земли. Рассмотрим более подходящий вариант уравнения диффузии в радиальных координатах, который имеет вид

∂T∂t=K[∂2T∂2r+2r∂T∂r].∂T∂t=K[∂ 2T∂2r+2r∂T∂r].

(4.23)

Здесь T(r,t)T(r,t) — температура как функция rr (отсчитывается от центра Земли), а время t.t.KK — теплопроводность — для расплавленной породы в этот случай. Стандартным методом решения такого уравнения в частных производных является разделение переменных, когда мы выражаем решение как произведение функций, содержащих каждую переменную отдельно. В этом случае мы запишем температуру как

T(r,t)=R(r)f(t).T(r,t)=R(r)f(t).

Подставьте эту форму в уравнение 4.13 и, учитывая, что f(t)f(t) постоянна по отношению к расстоянию (r)(r), а R(r)R(r) постоянна по времени (t ),(t), покажите, что
1f∂f∂t=KR[∂2R∂r2+2r∂R∂r].1f∂f∂t=KR[∂2R∂r2+2r∂R∂r].
Это уравнение представляет желаемое разделение переменных. Левая часть является функцией только tt, а правая часть является функцией только r, r, и они должны быть равны для всех значений randt. randt. Следовательно, они оба должны быть равны константе. Назовем эту константу −λ2.−λ2. (Удобство такого выбора видно при подстановке.) Итак, имеем
1f∂f∂t=−λ2 и KR[∂2R∂r2+2r∂R∂r]=−λ2.1f∂f∂t=−λ2 и KR[∂2R∂r2+2r∂R∂r]=−λ2.

Теперь прямой подстановкой для каждого уравнения можно проверить, что решения имеют вид f(t)=Ae−λ2tf(t)=Ae−λ2t и R(r)=B(sinαrr)+C(cosαrr),R( r)=B(sinαrr)+C(cosαrr), где α=λ/K.α=λ/K. Обратите внимание, что f(t)=Ae+λn2tf(t)=Ae+λn2t также является допустимым решением, поэтому мы могли бы выбрать +λ2+λ2 в качестве нашей константы. Вы видите, почему это не будет справедливо для этого случая по мере увеличения времени?
Теперь применим граничные условия.
1. Температура в центре Земли должна быть конечной, r=0.r=0. Какая из двух констант, BB или C,C, должна быть равна нулю, чтобы RR оставался конечным при r=0?r=0? (Напомним, что sin(αr)/r→α=sin(αr)/r→α= при r→0,r→0, но cos(αr)/rcos(αr)/r ведет себя совсем иначе.)
2. Кельвин утверждал, что когда магма достигает поверхности Земли, она очень быстро остывает. Человек часто может коснуться поверхности в течение нескольких недель после выделения. Поэтому поверхность достигла умеренной температуры очень рано и оставалась почти постоянной при температуре поверхности Ts.Ts. Для простоты положим T=0atr=RET=0atr=RE и найдем такое αα, что это будет температура там за все время t.t. (Кельвин принял значение 300K≈80°F.300K≈80°F. Мы можем добавить эту константу 300K300K к нашему решению позже.) Чтобы это было правдой, аргумент синуса должен быть равен нулю при r=RE.r= РЕ. Заметим, что αα имеет бесконечный ряд значений, удовлетворяющих этому условию. Каждое значение αα представляет допустимое решение (каждое со своим значением для A).A). Полное или общее решение представляет собой сумму всех этих решений.
3. При t=0,t=0 мы предполагаем, что вся Земля была при начальной горячей температуре T0T0 (Кельвин принял ее равной примерно 7000K.) 7000K.) Применение этого граничного условия включает более сложное применение коэффициентов Фурье. . Как указано в части б. каждое значение αnαn представляет собой допустимое решение, а общее решение представляет собой сумму всех этих решений. Это приводит к решению в виде ряда:
  T(r,t)=(T0REπ)∑n(−1)n−1ne−λn2tsin(αnr)r, где αn=nπ/RE.T(r,t)=(T0REπ) ∑n(−1)n−1ne−λn2tsin(αnr)r, где αn=nπ/RE.

Обратите внимание, как значения αnαn получаются из граничного условия, примененного в части b. Член −1n−1n−1n−1n представляет собой константу AnAn для каждого члена ряда, определяемую методом Фурье. Пусть β=πRE,β=πRE, изучите первые несколько членов этого решения, показанного здесь, и обратите внимание, как λ2λ2 в экспоненциальной зависимости вызывает быстрое уменьшение высших членов с течением времени:

T(r,t)=T0REπr(e− Kβ2t(sinβr)−12e−4Kβ2t(sin2βr)+13e−9Kβ2t(sin3βr)−14e−16Kβ2t(sin4βr)+15e−25Kβ2t(sin5βr)…).T(r,t)=T0REπr(e−Kβ2t( sinβr)−12e−4Kβ2t(sin2βr)+13e−9Kβ2t(sin3βr)−14e−16Kβ2t(sin4βr)+15e−25Kβ2t(sin5βr)…).

Вблизи времени t=0,t=0, для точности требуется много членов решения. Если ввести значения проводимости KK и β=π/RE β=π/RE для времени, приближающегося к тысячам лет, то только первые несколько членов вносят существенный вклад. Кельвину нужно было только взглянуть на решение у поверхности Земли (рис. 4.26) и, по прошествии длительного времени, определить, какое время лучше всего дает расчетный температурный градиент, известный в его эпоху (1°F (1°F увеличение на 50 футов).50 футов). . Он просто выбрал диапазон времен с градиентом, близким к этому значению. На рис. 4.26 решения нанесены на график и в масштабе с добавлением температуры поверхности 300–300–К. Обратите внимание, что в центре Земли было бы относительно прохладно. В то время считалось, что Земля должна быть твердой.

Рисунок 4,26 Температура в зависимости от радиального расстояния от центра Земли. (а) Результаты Кельвина в масштабе. (b) Крупный план результатов на глубине 4,0 мили4,0 мили ниже поверхности Земли.

Эпилог

20 мая 1904, 20 мая 1904 года физик Эрнест Резерфорд выступил в Королевском институте, чтобы объявить о пересмотренных расчетах, которые включали вклад радиоактивности как источника тепла Земли. По собственным словам Резерфорда:

«Я вошел в комнату, где было полутемно, и вскоре заметил в аудитории лорда Кельвина, и понял, что меня ждут неприятности в последней части моей речи, посвященной эпохе Земля, где мои взгляды расходились с его. К моему облегчению, Кельвин крепко уснул, но когда я дошел до важного момента, я увидел, как старая птица села, открыла глаз и бросила на меня злобный взгляд. 9. Это пророческое высказывание относилось к тому, что мы сейчас рассматриваем сегодня вечером, к радию! Вот! Старик лучезарно смотрел на меня.

Резерфорд вычислил возраст Земли примерно в 500500 миллионов лет. Принятое сегодня значение возраста Земли составляет около 4,64,6 миллиарда лет.

Раздел 4.3 Упражнения

Для следующих упражнений вычислите частную производную, используя только определения пределов.

112.

∂z∂x∂z∂x для z=x2−3xy+y2z=x2−3xy+y2

113.

∂z∂y∂z∂y для z=x2−3xy+y2z=x2−3xy+y2

В следующих упражнениях вычислите знак частной производной, используя график поверхности.

114.

фх(1,1)фх(1,1)

115.

fx(−1,1)fx(−1,1)

116.

фу(1,1)фу(1,1)

117.

FX(0,0)FX(0,0)

Для следующих упражнений вычислите частные производные.

118.

∂z∂x∂z∂x для z=sin(3x)cos(3y)z=sin(3x)cos(3y)

119.

∂z∂y∂z∂y для z=sin(3x)cos(3y)z=sin(3x)cos(3y)

120.

∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y∂z∂y для z=x8e3yz=x8e3y

121.

∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y∂z∂y для z=ln(x6+y4)z=ln(x6+y4)

122.

Найти fy(x,y)fy(x,y) для f(x,y)=exycos(x)sin(y). f(x,y)=exycos(x)sin(y).

123.

Пусть z=exy.z=exy. Найдите ∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y.∂z∂y.

124.

Пусть z=ln(xy).z=ln(xy). Найдите ∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y.∂z∂y.

125.

Пусть z=tan(2x−y).z=tan(2x−y). Найдите ∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y.∂z∂y.

126.

Пусть z=sinh(2x+3y).z=sinh(2x+3y). Найдите ∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y.∂z∂y.

127.

Пусть f(x,y)=arctan(yx).f(x,y)=arctan(yx). Вычислите fx(2,−2)fx(2,−2) и fy(2,−2).fy(2,−2).

128.

Пусть f(x,y)=xyx−y.f(x,y)=xyx−y. Найдите fx(2,−2)fx(2,−2) и fy(2,−2).fy(2,−2).

Вычислить частные производные в точке P(0,1).P(0,1).

129.

Найти ∂z∂x∂z∂x в (0,1)(0,1) для z=e−xcos(y).z=e−xcos(y).

130.

Для заданных f(x,y,z)=x3yz2,f(x,y,z)=x3yz2 найдите ∂2f∂x∂y∂2f∂x∂y и fz(1,1,1). fz( 1,1,1).

131.

Учитывая f(x,y,z)=2sin(x+y),f(x,y,z)=2sin(x+y), найти fx(0,π2,−4),fx(0, π2,−4),fy(0,π2,−4),fy(0,π2,−4) и fz(0,π2,−4).fz(0,π2,−4).

132.

Площадь параллелограмма с длинами смежных сторон, равными a и b, a и b, и в котором угол между этими двумя сторонами равен θ, θ, определяется функцией A(a,b,θ)=basin(θ). A (a, b, θ) = бассейн (θ). Найдите скорость изменения площади параллелограмма по отношению к следующим сторонам:

Сторона a
Боковой б
Угол θ Угол θ

133.

Выразите объем прямого кругового цилиндра как функцию двух переменных:

его радиус rr и высота h.h.
Покажите, что скорость изменения объема цилиндра по отношению к его радиусу равна произведению длины его окружности на его высоту.
Докажите, что скорость изменения объема цилиндра по отношению к его высоте равна площади круглого основания.

134.

Рассчитать ∂w∂z∂w∂z для w=zsin(xy2+2z).w=zsin(xy2+2z).

Найдите указанные частные производные высшего порядка.

135.

fxyfxy для z=ln(x−y)z=ln(x−y)

136.

fyxfyx для z=ln(x−y)z=ln(x−y)

137.

Пусть z=x2+3xy+2y2.z=x2+3xy+2y2. Найдите ∂2z∂x2∂2z∂x2 и ∂2z∂y2.∂2z∂y2.

138.

Зная z=extany,z=extany, найти ∂2z∂x∂y∂2z∂x∂y и ∂2z∂y∂x.∂2z∂y∂x.

139.

Учитывая f(x,y,z)=xyz,f(x,y,z)=xyz, найдите fxyy,fyxy,fxyy,fyxy и fyyx.fyyx.

140.

Для заданных f(x,y,z)=e−2xsin(z2y),f(x,y,z)=e−2xsin(z2y) покажите, что fxyy=fyxy. fxyy=fyxy.

141.

Показать, что z=12(ey−e−y)sinxz=12(ey−e−y)sinx является решением дифференциального уравнения ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0,∂2z∂x2+∂2z∂ у2=0.

142.

Найдите fxx(x,y)fxx(x,y) для f(x,y)=4x2y+y22x.f(x,y)=4x2y+y22x.

143.

Пусть f(x,y,z)=x2y3z−3xy2z3+5x2z−y3z.f(x,y,z)=x2y3z−3xy2z3+5x2z−y3z. Найдите fxyz.fxyz.

144.

Пусть F(x,y,z)=x3yz2−2x2yz+3xz−2y3z.F(x,y,z)=x3yz2−2x2yz+3xz−2y3z. Найдите Fxyz.Fxyz.

145.

Для данных f(x,y)=x2+x−3xy+y3−5,f(x,y)=x2+x−3xy+y3−5 найти все точки, в которых fx=fy=0fx=fy= 0 одновременно.

146.

Для данных f(x,y)=2×2+2xy+y2+2x−3,f(x,y)=2×2+2xy+y2+2x−3 найти все точки, в которых ∂f∂x=0∂f ∂x=0 и ∂f∂y=0∂f∂y=0 одновременно.

147.

Для данных f(x,y)=y3−3yx2−3y2−3×2+1,f(x,y)=y3−3yx2−3y2−3×2+1 найти все точки на ff, в которых fx=fy=0fx= fy=0 одновременно.

148.

Для данных f(x,y)=15×3−3xy+15y3,f(x,y)=15×3−3xy+15y3 найти все точки, в которых fx(x,y)=fy(x,y)=0fx( x,y)=fy(x,y)=0 одновременно.

149.

Покажите, что z=exsinyz=exsiny удовлетворяет уравнению ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0,∂2z∂x2+∂2z∂y2=0.

150.

Показать, что f(x,y)=ln(x2+y2)f(x,y)=ln(x2+y2) решает уравнение Лапласа ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0,∂2z∂x2+∂2z ∂y2=0.

151.

Показать, что z=e−tcos(xc)z=e−tcos(xc) удовлетворяет уравнению теплопроводности ∂z∂t=c2∂2z∂x2∂z∂t=c2∂2z∂x2

152.

Найти limΔx→0f(x+Δx, y)−f(x,y)ΔxlimΔx→0f(x+Δx, y)−f(x,y)Δx для f(x,y)=−7x−2xy +7y.f(x,y)=−7x−2xy+7y.

153.

Найти limΔy→0f(x,y+Δy)−f(x,y)ΔylimΔy→0f(x,y+Δy)−f(x,y)Δy для f(x,y)=−7x−2xy +7y. f(x,y)=−7x−2xy+7y.

154.

Найти limΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)ΔxlimΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx для f(x ,y)=x2y2+xy+y.f(x,y)=x2y2+xy+y.

155.

Найти limΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)ΔxlimΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx для f(x ,y)=sin(xy).f(x,y)=sin(xy).

156.

Функция P(T,V)=nRTVP(T,V)=nRTV дает давление в точке газа как функцию температуры TT и объема V.V. Буквы nandRnandR являются константами. Найдите ∂P∂V∂P∂V и ∂P∂T,∂P∂T и объясните, что представляют собой эти величины.

157.

Уравнение для теплового потока в плоскости xy-xy: Покажите, что f(x,y,t)=e−2tsinxsinyf(x,y,t)=e−2tsinxsiny является решением.

158.

Основное волновое уравнение: ftt=fxx.ftt=fxx. Убедитесь, что f(x,t)=sin(x+t)f(x,t)=sin(x+t) и f(x,t)=sin(x−t)f(x,t)=sin (x−t) являются решениями.

159.

Закон косинусов можно рассматривать как функцию трех переменных. Пусть x, y, x, y и θθ — две стороны любого треугольника, где угол θθ — это внутренний угол между двумя сторонами. Тогда F(x,y,θ)=x2+y2−2xycosθF(x,y,θ)=x2+y2−2xycosθ дает квадрат третьей стороны треугольника. Найдите ∂F∂θ∂F∂θ и ∂F∂x∂F∂x, когда x=2,y=3,x=2,y=3 и θ=π6.θ=π6.

160.

Предположим, что стороны прямоугольника изменяются во времени. Первая сторона изменяется со скоростью 22 дюйма в секунду, тогда как вторая сторона изменяется со скоростью 44 дюйма в секунду. Как быстро изменится диагональ прямоугольника, если длина первой стороны 1616 дюймов, а второй стороны 2020 дюймов? (Округленный ответ до трех знаков после запятой.)

161.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид f(x,y)=200×0,7y0,3,f(x,y)=200×0,7y0,3, где xandyxandy представляют количество доступного труда и капитала.

Правила крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

alexxlab / 26.01.197117.09.2022 / Разное

как методом крамера решить систему уравнений

Вы искали как методом крамера решить систему уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как найти дискриминант матрицы по методу крамера, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как методом крамера решить систему уравнений».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как методом крамера решить систему уравнений,как найти дискриминант матрицы по методу крамера,как решать линейные уравнения методом крамера,как решать матрицу методом крамера,как решать матрицы методом крамера,как решать метод крамера,как решать методом крамера,как решать методом крамера линейные уравнения,как решать методом крамера матрицы,как решать систему уравнений методом крамера,как решить матрицу методом крамера,как решить методом крамера систему,как решить методом крамера систему уравнений,как решить систему линейных уравнений методом крамера,как решить систему методом крамера,как решить систему уравнений методом крамера,крамер матрица,крамер метод,крамер формулы,крамера,крамера матрица,крамера метод пример,крамера метод это,линейные уравнения методом крамера,матрица крамер,матрица крамера,матрица метод крамера,матрица методом крамера,матрицу решить методом крамера,матрицы метод крамера,матрицы метод крамера примеры,матрицы примеры метод крамера,матрицы теорема крамера,метод гаусса и крамера,метод гаусса и метод крамера,метод гаусса крамера и,метод гаусса крамера и матричный метод,метод гаусса метод крамера матричный метод,метод крамер,метод крамера,метод крамера 4 на 4,метод крамера 4х4,метод крамера гаусса и,метод крамера для матрицы 4 порядка,метод крамера для решения систем линейных уравнений,метод крамера для чайников,метод крамера и гаусса,метод крамера и матричный метод,метод крамера и метод гаусса,метод крамера и метод гаусса решения систем линейных уравнений,метод крамера как решать,метод крамера матрица,метод крамера матрицы,метод крамера матрицы примеры,метод крамера метод гаусса,метод крамера метод гаусса и,метод крамера метод гаусса матричный метод,метод крамера пример,метод крамера примеры,метод крамера примеры с решением,метод крамера решение,метод крамера решение матриц,метод крамера решение систем линейных уравнений,метод крамера решения,метод крамера решения систем линейных уравнений,метод крамера система линейных уравнений,метод крамера системы линейных уравнений,метод крамера слау,метод крамера теория,метод крамера формула,метод крамера формулы,метод крамера это,метод обратной матрицы метод крамера,метод решение крамера,метод решения крамера,метод слау крамера,метода крамера,методом крамера,методом крамера как решать,методом крамера матрица,методом крамера решить,методом крамера решить матрицу,методом крамера решить системы уравнений,методом крамера решить уравнение,по крамеру решение,по формулам крамера,по формулам крамера решить систему,по формулам крамера решить систему линейных уравнений,по формулам крамера решить систему уравнений,по формуле крамера решить систему,по формуле крамера решить систему линейных уравнений,по формуле крамера решить систему уравнений,правила крамера,правило крамера,правило крамера решения систем,правило крамера решения систем линейных уравнений,пример метод крамера,примеры линейных уравнений решение методом крамера,примеры метод крамера,примеры решение линейных уравнений методом крамера,примеры формула крамера,решение линейных систем уравнений по формулам крамера,решение линейных уравнений методом крамера,решение линейных уравнений методом крамера примеры,решение матриц метод крамера,решение матриц методом крамера,решение матриц по методу крамера,решение матрицы методом крамера,решение метод крамера,решение методом крамера,решение по крамеру,решение по формуле крамера,решение систем линейных уравнений метод крамера,решение систем линейных уравнений методом крамера,решение систем линейных уравнений методом крамера методом гаусса,решение систем линейных уравнений по формулам крамера,решение систем методом крамера,решение систем по формулам крамера,решение систем уравнений методом крамера,решение систем уравнений методом крамера примеры с решением,решение систем уравнений по формулам крамера,решение системных уравнений методом крамера,решение системы линейных уравнений методом крамера,решение системы методом крамера,решение системы по формулам крамера,решение системы уравнений методом крамера,решение слау методом крамера,решение уравнений методом крамера,решение уравнений по формулам крамера,решение уравнения методом крамера,решения метод крамера,решите систему линейных уравнений методом крамера,решите систему уравнений методом крамера,решите систему уравнений по формулам крамера,решить матрицу методом крамера,решить методом крамера,решить методом крамера системы уравнений,решить методом крамера слау,решить методом крамера уравнение,решить по правилу крамера систему,решить по правилу крамера систему уравнений,решить по формулам крамера систему,решить по формулам крамера систему уравнений,решить по формуле крамера систему,решить по формуле крамера систему уравнений,решить систему алгебраических линейных уравнений методом крамера,решить систему линейных уравнений методом крамера,решить систему линейных уравнений по формулам крамера,решить систему линейных уравнений по формуле крамера,решить систему методом гаусса и методом крамера,решить систему методом крамера,решить систему методом крамера и методом гаусса,решить систему по правилу крамера,решить систему по формулам крамера,решить систему по формуле крамера,решить систему уравнений методом крамера,решить систему уравнений по правилу крамера,решить систему уравнений по формулам крамера,решить систему уравнений по формуле крамера,решить системы уравнений методом крамера,решить слау методом крамера,решить уравнение методом крамера,система крамера,система линейных уравнений метод крамера,система линейных уравнений методом крамера,система уравнений методом крамера,систему линейных уравнений решить по формулам крамера,систему уравнений решить по правилу крамера,системы линейных уравнений метод крамера,слау метод крамера,слау методом крамера,способ крамера,теорема крамера матрицы,теория крамера,теория метод крамера,уравнение крамера,уравнение методом крамера,формула крамера,формула крамера для решения,формула крамера для решения системы,формула крамера для решения системы линейных уравнений,формула крамера примеры,формула метод крамера,формулам крамера,формулы крамер,формулы крамера,формулы крамера для решения систем,формулы крамера для решения систем линейных уравнений,формулы метод крамера. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как методом крамера решить систему уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решать линейные уравнения методом крамера).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как методом крамера решить систему уравнений Онлайн?

Решить задачу как методом крамера решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Mathway | Популярные задачи

1	Упростить	квадратный корень из s квадратный корень из s^7
2	Упростить	кубический корень из 8x^7y^9z^3
3	Упростить	arccos(( квадратный корень из 3)/2)
4	Risolvere per ?	sin(x)=1/2
5	Упростить	квадратный корень из s квадратный корень из s^3
6	Risolvere per ?	cos(x)=1/2
7	Risolvere per x	sin(x)=-1/2
8	Преобразовать из градусов в радианы	225
9	Risolvere per ?	cos(x)=( квадратный корень из 2)/2
10	Risolvere per x	cos(x)=( квадратный корень из 3)/2
11	Risolvere per x	sin(x)=( квадратный корень из 3)/2
12	График	g(x)=3/4* корень пятой степени из x
13	Найти центр и радиус	x^2+y^2=9
14	Преобразовать из градусов в радианы	120 град. 2+n-72)=1/(n+9)

Метод Крамера — правило и примеры решения систем линейных уравнений » Kupuk.net

Распространённый в математике метод Крамера отлично себя зарекомендовал как способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Но использовать этот подход можно только тогда, когда число искомых значений эквивалентно реальному количеству алгебраических уравнений. Формируемая в системе основная матрица обязательно должна быть квадратной, наличие нулевых строчек просто недопустимо.

Краткое описание

Широко востребованный метод Крамера активно используется специалистами для решения распространённых алгебраических уравнений (СЛАУ). Итоговая точность полученного результата обусловлена применением определённой математической матрицы, а также некоторыми вспомогательными ограничениями, которые неизбежно накладываются во время доказательства конкретной теоремы.

Набором выражений вида yr 2 x1+ yr 2 x2 +… yr n xn = b r при r =1, 2,…, m принято называть универсальную систему линейных алгебраических уравнений. В этом случае также присутствуют определённые коэффициенты, которые могут принадлежать множеству W -действительных чисел, от неизвестных x 1… xn.

Чаще всего в роли действенных чисел выступают yr и br. Каждое из представленных значений называется линейным уравнением. Элементарные коэффициенты при неизвестных — это yr, а вот bi — свободные коэффициенты уравнений. Стандартный n -мерный вектор k ° = (k 1°, k 2°,…, k n°) называют решением системы. При правильной подстановке в систему вместо неизвестных элементов каждая из строчек становится верным равенством.

Если у системы присутствует минимум одно решение, то она называется совместной. Речь касается несовместного примера только в том случае, если многочисленные алгоритмы решения совпадают с пустым множеством. Классическая формула Крамера используется в том случае, если необходимо отыскать верное решение для линейных уравнений. Для получения достоверного результата матрицы должны быть исключительно квадратными. А на практике такой подход означает одинаковое количество уравнений и неизвестных в системе.

Ключевые нюансы

Востребованный в математике метод Крамера для решения систем линейных уравнений можно успешно использовать только в том случае, если ученик хорошо понимает, что такое матрица алгебраических примеров и каким образом она выписывается. В противном случае будет сложно избежать распространённых ошибок. Если необходимые навыки имеются, то в итоге остаётся только правильно запомнить формулы, которые определяют метод Крамера. Чтобы лучше усвоить все тонкости этой темы, необходимо воспользоваться следующими обозначениями:

Главный определитель совместности матрицы системы — Det.
Определитель матрицы, который получен из основного элемента — deti. Если ученик попробует заменить последний столбец матрицы, задействовав для этого первые части линейных алгебраических уравнений, тогда следует использовать понятие deti.
Для количества неизвестных и уравнений в системе используется символ n.

Если учесть все перечисленные нюансы, то в итоге правило Крамера для вычисления компонентов n -мерного вектора можно записать в следующей формулировке: xi = deti / Det. В этом случае DET максимально отличен от нуля.

Практическое применение

Для решения многих математических задач принято использовать теорему Кронекера — Капелли. Если основной определитель G главной матрицы, которая была составлена за счёт коэффициентов уравнений, не равен нулю, тогда система уравнений будет совместна. Но такое решение является единственным. Для поиска верного результата принято вычислять систему через формулу Крамера для линейных уравнений: x i = D i / D.

Метод Крамера основан на нескольких основных нюансах, которые в сочетании друг с другом дают отличный результат:

Если решено найти правильное исчисление системы по методике талантливого учёного, тогда первым делом обязательно вычисляют главный определитель обращения матрицы (J). Если при подсчёте детерминант основной матрицы оказался равен нулю, то такая система просто не имеет решения, либо речь касается нескончаемого количества решений. В такой ситуации получить достоверный результат можно только благодаря универсальному методу Гаусса.
На втором этапе ученику нужно постараться заменить крайний столбец главной матрицы столбцом свободных членов, чтобы отыскать определитель (J 1).
Остаётся повторить аналогичные действия для всех оставшихся столбцов. За счёт этого можно получить определители от J 1 до J n. В этом случае символ n указывает на номер последнего справа столбца.
Как только будут найдены абсолютно все детерминанты, нужно постараться высчитать неизвестные переменные по элементарной формуле: х i = B i / B.

Разнообразие математических подходов

Немного иные приёмы используются в том случае, когда предстоит работать с определителем матрицы. Если нужно рассчитать правильные данные на основе конструкции с соразмерностью больше чем 2 на 2, тогда можно использовать сразу несколько проверенных временем способов:

Метод Гаусса. Некоторые специалисты привыкли называть это математическое направление понижением порядка основного определителя. Несколько простых действий помогают преобразить матрицу и привести её к треугольному виду. Все комплексные числа, которые расположены на основной диагонали, перемножаются. Но при таком поиске определителя запрещено выполнять арифметические действия со строчками или столбцами без предварительного вынесения чисел как множителя/делителя. Предварительно умножают вычитаемую строку на нулевой множитель, а уже потом вычитают и складывают все элементы между собой. Конечный знак у обратной матрицы подвергают изменениям только в том случае, когда происходит перестановка столбцов или строчек.
Правило Саррюса. Суть метода треугольников в том, чтобы ученик мог при вычислении дискриминанта и определителя произведения всех чисел, которые были соединены одной линией, записывать примеры только с положительным значением. Это утверждение идеально подходит для матриц размером 3х3. Но если следовать всем нормам правила Саррюса, то первым делом переписывают саму матрицу, а рядом с ней располагают первый и второй столбец. В итоге через сформированную конструкцию проводятся диагональные линии. Члены матрицы, которые расположены на основной диагонали или на параллельной ей плоскости всегда записываются со знаком +, а вот элементы, лежащие на побочной диагонали, имеют знак -.
Если ученик решит использовать универсальный метод Крамера СЛАУ, для которого свойственно присутствие сразу четырёх неизвестных, тогда лучше всего выполнить комбинацию с технологией Гаусса. В этом случае можно гарантированно отыскать детерминант через поиск миноров.

Для каждого направления свойственны свои нюансы и правила теории, которые должен знать каждый ученик. В противном случае решить правильно поставленную задачу практически невозможно.

Помощь онлайн-калькуляторов

Созданные программистами программы пользуются огромным спросом даже среди опытных математиков, так как всего за несколько минут можно правильно решить задачу. Многофункциональные онлайн-калькуляторы с подробным решением по методу Крамера позволяют быстро и качественно решить целую систему различных уравнений. Для этого пользователю необходимо правильно указать количество неизвестных величин.

Для быстрого переключения в уравнении с положительных знаков на отрицательные нужно вводить соответствующие числа. Если в задаче отсутствует коэффициент, то на его место в калькулятор вводят ноль. Указывать можно не только числа, но и дроби. К примеру: 4,7 или 1/5.

На специальных сайтах можно решать различные системы уравнений по методу талантливого учёного Крамера в режиме онлайн. Решение будет отображено на экране моментально, к тому же его можно расширить. При решении системы уравнений крайне важно найти определители и присоединить сразу несколько разных матриц. Для существенного сокращения решения эта математическая операция упрощена, что существенно облегчает работу учеников.

Актуальные примеры решения

Единственность арифметических действий с системой при её совместимости обеспечивает условие неравенства нулю основного определителя. Но если сумма точек, которые были возведены в квадрат, строго положительна, то полученный СЛАУ будет несовместим с квадратной матрицей. Такая ситуация может произойти тогда, когда минимум один из присутствующих элементов deti отличён от нуля.

В качестве примера можно рассмотреть задачу, по условиям которой необходимо решить трёхмерную систему ЛАУ, используя для этого формулы Крамера:

x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31.
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29.
3 x1 — x2 + x3 =10.

Для решения следует выписать матрицу системы построчно. Строку матрицы принято обозначать символом i. После этого можно получить формулу A1=(1 2 4), A2=(5 1 2), A3=(3 -1 1). Существование значения b = (31 29 10) помогает отобразить столбец свободных коэффициентов. Основной определитель Det будет соответствовать следующим данным: a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 — a13 a22 a31 — a11 a32 a23 — a33 a21 a12 = 1—20 + 12 — 12 + 2—10 = -27.

В соответствии с формулой Крамера можно найти: x1 = -81/(-27) = 3, x2 = -108/(-27) = 4, x3 = -135/(-27) = 5. Если всё сделать правильно, то можно получить следующий ответ: x° = (3,4,5). Если руководствоваться базовыми понятиями, то многочисленные средства Крамера для решения сложных линейных уравнений можно использовать опосредованно.

Нелишним также будет рассмотреть следующий пример, где ученику нужно определить то, при каких показателях параметра F неравенство формулы | F x — y — 4|+|x + F y + 4|<=0 будет иметь ровно одно логическое решение. В силу определения модуля функции представленное неравенство может быть выполнено только в том случае, если оба выражения равны нулю. Именно поэтому рассматриваемая задача сводится только к нахождению решения линейной системы алгебраических уравнений. Соблюдаемый принцип действий должен соответствовать двум следующим формулам:

F x — y = 4.
x + F y = -4.

Для этого примера свойственно единственное решение, но только в том случае, если главный определитель отличен от нуля.

Это условие выполняется абсолютно для всех действительных значений параметра F. Стоит отметить, что к математическим задачам этого типа могут быть сведены многочисленные практические примеры из области физики, математики и даже химии.

Присутствующая вычислительная сложность

Рассматриваемый метод решения задач требует стандартного вычисления определителей размерности. Если практиковать использование метода Гаусса для поиска всех необходимых определителей, то возникшие в итоге сложности будут связаны с электронными операциями порядка сложения-умножения. В этом случае придётся столкнуться с более сложными формулами, нежели с методом Гаусса.

Именно поэтому, с точки зрения затрат времени на вычисления, метод Гаусса является непрактичным. Специалистами в 2010 году было доказано, что метод Крамера вполне может быть реализован со сложностью O (n 3), а это очень важно в математике.

В распространённых задачах на системы линейных уравнений обязательно встречаются и такие, в которых помимо букв существуют ещё и другие символы. Они обозначают некоторое число (чаще всего действительное). Математики к таким задачам и системам уравнений приводят примеры, которые основаны на поиске общих свойств каких-либо явлений и предметов. Это очень удобно в том случае, если учёными был изобретён какой-либо агрегат или материал, а для описания всех его свойств необходимо решить целую систему линейных уравнений, где вместо коэффициентов используются буквы.

Решение матрицы по правилу крамера.

Линейные уравнения

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т. е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.

5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Решить систему линейных уравнений методом крамера. Решить систему уравнений методами Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы

Теорема 1

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

А теперь три других детерминанта:

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера — весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы купить конспект . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

(2.5)

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



(2.6)

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.



2.

5. Основные свойства определителей

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Решение по формуле крамера примеры. Метод крамера решения систем линейных уравнений. Примеры решения систем уравнений методом Крамера

В нашем калькуляторе вы бесплатно найдете решение системы линейных уравнений методом Крамера онлайн с подробным решением и даже с комплексными числами . Каждый определитель, использованный в расчетах, можно просмотреть отдельно, а также проверить точный вид системы уравнений, если вдруг определитель основной матрицы оказался равен нулю.

Подробнее о том, как пользоваться нашим онлайн калькулятором, вы можете прочитать в инструкции .

О методе

При решении системы линейных уравнений методом Крамера выполняются следующие шаги.

Записываем расширенную матрицу.
Находим определитель основной (квадратной) матрицы.
Для нахождения i-ого корня подставляем столбец свободных членов в основную матрицу на i-ое место и находим ее определитель. Далее находим отношение полученного определителя к основному, это и есть очередное решение. Проделываем данную операцию для каждой переменной.
В случае, если основной определитель матрицы равен нулю, то система уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечное множество решений. К сожалению метод Крамера не позволяет более точно ответить на этот вопрос. Тут вам поможет

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

(2. 5)

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



(2.6)

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.



2.

5. Основные свойства определителей

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Теорема Крамера.

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

9.

8: Решение систем с правилом Крамера

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 1390

OpenStax
OpenStax

Цели обучения

Оценить определители 2 × 2.
Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
Оценить 3 × 3 определителя.
Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезным в математике, поскольку оно имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы выяснить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

НАЙТИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2,

$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$

равен определяется как

Обратите внимание на изменение обозначения. Есть несколько способов указать определитель, в том числе $\det(A)$ и замена скобок в матрице прямыми, $| A |$.

Пример $\PageIndex{1}$: нахождение определителя матрицы $2 × 2$

Найдите определитель данной матрицы.

$A=\begin{bmatrix}5&2\\−6&3\end{bmatrix}$

Решение

\[\begin{align*} \det(A)&= \begin{vmatrix} 5&2\\-6&3\end{vmatrix}\\ &= 5(3)-(-6)(2)\\ &= 27 \end{align*}\]

Использование правила Крамера для решения системы двойки Уравнения с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Известен как Правило Крамера , этот метод восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году в . Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

\[\begin{align} a_1x+b_1y&= c_1 (1) \label{eq1}\\ a_2x+b_2y&= c_2 (2) \label{eq2}\\ \end{align}\]

Исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решить для другой. Скажем, что мы хотим найти $x$. Если уравнение \ref{eq2} умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту $y$ в уравнении \ref{eq1}, уравнение \ref{eq1} умножается на коэффициент $y$ в уравнении \ref {eq2}, и мы добавим два уравнения, переменная $y$ будет исключена.

\[\begin{align*} &b_2a_1x+b_2b_1y = b_2c_1 & \text{Умножить }R_1 \text{ на }b_2 \\ -&\underline{b_1a_2x-b_1b_2y=-b_1c_2} & \text{Умножить }R_2 \ text{ by }−b_1 \\ & b_2a_1x−b_1a_2x=b_2c_1−b_1c_2 \end{align*}\]

Теперь найдите $x$.

\[\begin{align*} b_2a_1x−b_1a_2x &= b_2c_1−b_1c_2 \\ x(b_2a_1−b_1a_2) &= b_2c_1−b_1c_2 \\ x &= \dfrac{b_2c_1−b_1c_2}{b_2a_1−b_1a_2}=\ dfrac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \end{align*}\]

Аналогично, чтобы найти $y$, мы исключим $x$.

\[\begin{align*} & a_2a_1x+a_2b_1y = a_2c_1 & \text{Multiply }R_1 \text{ by }a_2 \\ -& \underline{a_1a_2x−a_1b_2y=-a_1c_2} & \text{Multiply }R_2 \text{ by }-a_1 \\ & a_2b_1y-a_1b_2y =a_2c_1-a_1c_2 \end{align*}\]

Решение для $y$ дает

\[ \begin{align*} a_2b_1y-a_1b_2y &= a_2c_1−a_1c_2 \\ y(a_2b_1−a_1b_2) &= a_2c_1−a_1c_2 \\ y &= \dfrac{a_2c_1−a_1c_2}{a_2b_1−a_1b_2}=\dfrac{a_1c_2−a_2c_1}{a_1b_2−a_2b_1}=\dfrac{ \begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \end{align*}\]

Обратите внимание, что знаменатель для $x$ и $y$ является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для нахождения $x$ и $y$, но правило Крамера также вводит новые обозначения: детерминанты. Тогда мы можем выразить $x$ и $y$ как частное двух определителей.

ПРАВИЛО КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМ $2×2$

Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

\[\begin{align*} a_1x+b_1y&= c_1\\ a_2x+b_2y&= c_2 \end{align*}\]

Решение с использованием правила Крамера дается как

\[\begin{align} x& = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}\; , D\neq 0\\ y&= \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{\begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix }}\; , D\neq 0 \end{align}\]

Если мы находим $x$, столбец $x$ заменяется столбцом констант. Если мы ищем $y$, столбец $y$ заменяется постоянным столбцом.

Пример $\PageIndex{2}$: использование правила Крамера для решения системы $2 × 2$

Решите следующую систему $2 × 2$, используя правило Крамера.

\[\begin{align*} 12x+3y&= 15\\ 2x-3y&= 13 \end{align*}\]

Решение

Найдите $x$.

\[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}\\ &= \dfrac{\begin{bmatrix}15&3\\13&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 12&3\\2&-3\end{bmatrix}}\\ &= \dfrac{-45-39}{-36-6}\\ &= \dfrac{-84}{-42}\\ &= 2 \end{align*}\]

Найдите $y$.

\[\begin{align*} y&= \dfrac{D_y}{D}\\ &= \dfrac{\begin{bmatrix}12&15\\2&13\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}12&3\ \2&-3\end{bmatrix}}\\ &= \dfrac{156-30}{-36-6}\\ &= -\dfrac{126}{42}\\ &= -3 \end{align *}\]

Решение: $(2,−3)$.

Упражнение $\PageIndex{1}$

Используйте правило Крамера для решения системы $2 × 2$ уравнений.

\[\begin{align*} x+2y&= -11\\ -2x+y&= -13 \end{align*}\]

Ответ: $(3,−7)$

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но определить определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

$A=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}$

Дополнить $A$ первыми двумя столбцами.
$\det(A)=\left| \begin{array}{ccc|cc} a_1&b_1&c_1&a_1&b_1\\a_2&b_2&c_2&a_2&b_2\\a_3&b_3&c_3&a_3&b_3\end{array} \right|$
От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

$| A |=a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3−a_3b_2c_1−b_3c_2a_1−c_3a_2b_1$

Пример определения {3} × 3 Matrix

Найдите определитель матрицы $3 × 3$ по данным

$A=\begin{bmatrix}0&2&1\\3&−1&1\\4&0&1\end{bmatrix}$

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами и следуйте формуле. Таким образом,

\[\begin{align*} | А | &= \влево| \begin{массив}{ccc|cc}0&2&1&0&2\\3&-1&1&3&-1\\4&0&1&4&0\end{массив}\right| \\ &= 0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1)−0(1)(0)−1(3) (2) \\ &=0+8+0+4−0−6 \\ &= 6 \end{align*}\]

Упражнение $\PageIndex{2}$

Найдите определитель Матрица 3 × 3.

$\det(A)=\begin{vmatrix}1&−3&7\\1&1&1\\1&−2&3\end{vmatrix}$

Ответ: $−10$

Вопросы и ответы: Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя матрицы большего размера?

Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 2 и 3 × 3. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы $3 × 3$, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменные. Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц $2 × 2$. Однако по мере увеличения порядка матрицы до $3 × 3$ требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем определитель равным нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений $3 × 3$.

\[\begin{align} a_1x+b_1y+c_1z &= \color{blue}d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z &= \color{blue}d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z &= \color{blue }d_3 \\ \end{align}\]

$x=\dfrac{D_x}{D}$, $y=\dfrac{D_y}{D}$, $z=\dfrac{ D_z}{D}$, $D≠0$

где

\[D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_x = \begin{vmatrix} \color{blue}d_1 & b_1 & c_1\\ \color{blue}d_2 & b_2 & c_2\\ \color{blue}d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_y = \begin{vmatrix} a_1 & \color{blue}d_1 & c_1\\ a_2 & \color{blue}d_2 & c_2\\ a_3 & \color{blue}d_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \color{blue}d_1\\ a_2 & b_2 & \color{blue}d_2\\ a_3 & b_3 & \color{blue}d_3 \end{vmatrix}\]

Если мы записываем определитель $D_x$, мы заменяем столбец $x$ постоянным столбцом. Если мы записываем определитель $D_y$, мы заменяем их столбец y на постоянный столбец. Если мы записываем определитель $D_z$, мы заменяем столбец $z$ постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример $\PageIndex{4}$: решение системы $3 × 3$ с помощью правила Крамера

Найдите решение данной системы $3 × 3$ с помощью правила Крамера.

\[\begin{align*} x+y-z&= 6\\ 3x-2y+z&= -5\\ x+3y-2z&= 14 \end{align*}\]

Решение

Используйте правило Крамера.

$D=\begin{vmatrix}1&1&−1\\3&−2&1\\1&3&−2\end{vmatrix}$, $D_x=\begin{vmatrix}6&1&−1\\−5&−2&1 \\14&3&-2\end{vmatrix}$, $D_y=\begin{vmatrix}1&6&-1\\3&-5&1\\1&14&-2\end{vmatrix}$, $D_z=\begin{ vmatrix}1&1&6\\3&-2&-5\\1&3&14\end{vmatrix}$

Затем

\[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}&= \dfrac{- 3}{-3}&= 1\\ y&= \dfrac{D_y}{D}&= \dfrac{-9}{-3}&= 3\\ z&= \dfrac{D_z}{D}&= \dfrac{6}{-3}&= -2\\ \end{align*}\]

Решение: $(1,3,−2)$.

Упражнение $\PageIndex{3}$

Используйте правило Крамера для решения матрицы $3 × 3$.

\[\begin{align*} x-3y+7z&= 13\\ x+y+z&= 1\\ x-2y+3z&= 4 \end{align*}\]

Ответ: $\влево(−2,\dfrac{3}{5},\dfrac{12}{5}\вправо)$

Пример $\PageIndex{5A}$: использование правила Крамера для решения несогласованной системы

Решите систему уравнений с помощью правила Крамера.

\[\begin{align} 3x-2y&= 4 \label{eq3}\\ 6x-4y&= 0 \label{eq4}\end{align}\]

Решение

Начнем с нахождения определители $D$, $D_x$ и $D_y$.

$D=\begin{vmatrix}3&-2\\6&-4\end{vmatrix}=3(-4)−6(-2)=0$

Мы знаем, что определитель нуля означает либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

Умножить уравнение \ref{eq3} на $−2$.
Добавьте результат к уравнению \ref{eq4}.

\[\begin{align*} &−6x+4y=−8 \\ &\;\;\;\underline{6x−4y=0} \\ &\;\;\;\;\;\ ;\;\;\;\; 0=−8 \end{align*}\]

Получаем уравнение $0=−8$, которое неверно. Следовательно, система не имеет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. рисунок $\PageIndex{1}$.

Рисунок $\PageIndex{1}$
Пример $\PageIndex{5B}$: использование правила Крамера для решения зависимой системы
Решите систему с бесконечным числом решений.
\[\begin{align} x-2y+3z&= 0 \label{eq5}\\ 3x+y-2z&= 0 \label{eq6}\\ 2x-4y+6z&= 0 \label{eq7} \ end{align}\]
Решение
Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.
$\left| \begin{array}{ccc|cc}1&−2&3&1&-2\\3&1&−2&3&1\\2&−4&6&2&-4\end{array}\right|$
Затем
$1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=0$
Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.
1. Умножьте уравнение \ref{eq5} на $−2$ и добавьте результат к уравнению \ref{eq7}:
\[\begin{align*} &−2x+4y−6x=0 \ \ &\;\;\underline{2x−4y+6z=0} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;0=0 \end{align*}\]
2. Получение ответа $0=0$, утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой. См. рисунок $\PageIndex{2}$.
Рисунок $\PageIndex{2}$
Понимание свойств определителей
У определителей много свойств. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Если матрица имеет верхнетреугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
При перестановке двух строк определитель меняет знак.
Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю. 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы $A$.
Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.
Пример $\PageIndex{6}$: Иллюстрация свойств определителей
Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.
Решение
Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&2&1\\0&0&-1\end{bmatrix}$
Дополнить $A$ первыми двумя столбцами.
$A=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&3&1&2\\0&2&1&0&2\\0&0&−1&0&0\end{array}\right]$
Затем
\[\begin{align* } \det(A)&= 1(2)(-1)+2(1)(0)+3(0)(0)-0(2)(3)-0(1)(1)+1 (0)(2)\\ &= -2 \end{align*}\]
Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак. Учитывая
\[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}-1&5\\4&-3\end{bmatrix}\\ \det(A)&= (-1)(-3)-(4) (5)\\ &= 3-20\\ &= -17 \end{align*}\]
\[\begin{align*} B&= \begin{bmatrix}4&-3\\-1&5\end {bmatrix}\\ \det(B)&= (4)(5)-(-1)(-3)\\ &= 20-3\\ &= 17 \end{align*}\]
Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
\[\begin{align*} A&=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&2&1&2\\2&2&2&2&2\\-1&2&2&-1&2\end{массив}\right]\\ \det(A) &=1(2)(2)+2(2)(-1)+2(2)(2)+1(2)(2)-2(2)(1)-2(2)(2) \\ &=4-4+8+4-4-8\\ &=0 \end{align*}\] 9{-1})&=-2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{3}{2}(1)\\ &=-\dfrac{1}{2} \ end{align*}\]
Свойство 6 гласит, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,
\[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(A)&=1(4)-2(3)\\ &= -2 \end{align*}\]
\[\begin{align*} B&=\begin{bmatrix}2(1)&2(2)\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(B) &=2(4)-3(4)\\ &=-4 \end{align*}\]
Пример $\PageIndex{7}$: использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы
Найдите решение заданной системы $3 × 3$.
\[\begin{align} 2x+4y+4z&=2 \label{eq8}\\ 3x+7y+7z&=-5 \label{eq9}\\ x+2y+2z&=4 \label{eq10} \end{align}\]
Решение
Используя правило Крамера, мы имеем
$D=\begin{bmatrix}2&4&4\\3&7&7\\1&2&2\end{bmatrix}$
Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.
1. Умножьте уравнение \ref{eq10} на $–2$ и добавьте результат к уравнению \ref{eq8}.
\[\begin{align*} -2x-4y-4x&=-8\\ 2x+4y+4z&=2\\ 0&=-6 \end{align*}\]
Получение оператора, который является Противоречие означает, что система не имеет решения.
Медиа
Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий по правилу Крамера.
Решение системы двух уравнений с помощью правила Крамера
Решите систему из трех уравнений, используя правило Крамера
Ключевые понятия
Определитель для $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ равен $ad-bc$. См. пример $\PageIndex{1}$.
Правило Крамера заменяет столбец переменной столбцом константы. Решения: $x=\dfrac{D_x}{D}$, $y=\dfrac{D_y}{D}$. См. пример $\PageIndex{2}$.
Чтобы найти определитель матрицы $3×3$, увеличьте первые два столбца. Сложите три диагональных элемента (слева вверху справа внизу) и вычтите три элемента по диагонали (слева внизу справа вверху). См. пример $\PageIndex{3}$.
Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого требуемого решения: $x=\dfrac{D_x}{D}$, $y=\dfrac{ D_y}{D}$, $z=\dfrac{D_z}{D}$. См. пример $\PageIndex{4}$.
Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечным числом решений. См. Пример $\PageIndex{5}$ и Пример $\PageIndex{6}$.
Некоторые свойства определителей полезны при решении задач. Например: 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы $A$.
Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. См. Пример $\PageIndex{7}$ и Пример $\PageIndex{8}$.
Эта страница под названием 9.8: Решающие системы с правилом Крамера распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
СС BY
Версия лицензии
4,0
Программа OER или Publisher
ОпенСтакс
Показать страницу TOC
нет
Включено
да
Теги
Правило Крамера
Детерминанты
источник@https://openstax. org/details/books/precalculus
7.8 Решающие системы с правилом Крамера — Колледжская алгебра 2e
Цели обучения
В этом разделе вы:
Оцените 2 × 2 определителей.
Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
Оценить 3 × 3 определителей.
Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
Знать свойства определителей.
Мы научились решать системы уравнений с двумя и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.
Вычисление определителя матрицы 2×2
Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезным в математике, поскольку имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы выяснить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.
Найдите определитель матрицы 2 × 2
Определитель матрицы 2×22×2, заданный
A=[abcd]A=[abcd]
определяется как
Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, включая det(A)det(A) и замену скобок в матрице прямыми линиями |A|.|A|.
Пример 1
Нахождение определителя матрицы 2 × 2
Нахождение определителя заданной матрицы.
А=[52-63]А=[52-63]
Решение
det(A)=|52−63|=5(3)−(−6)(2)=27det(A)=|52−63|=5(3)−(−6)(2)=27
Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными
Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как правило Крамера, восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.
Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.
Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.
a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)
Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, что мы хотим найти x.x. Если уравнение (2) умножить на коэффициент, противоположный коэффициенту yy в уравнении (1), уравнение (1) умножить на коэффициент yy в уравнении (2), и мы сложим два уравнения, переменная yy будет устранено.
b2a1x+b2b1y=b2c1Multiply R1by b2−b1a2x−b1b2y=−b1c2Multiply R2by−b1________________________________________________________ b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2b2a1x+b2b1y=b2c1Multiply R1by b2−b1a2x−b1b2y=−b1c2Multiply R2by−b1________________________________________________________ b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2
Теперь найдите х.х.
B2A1X -B1A2X = B2C1 -B1C2X (B2A1 -B1A2) = B2C1 -B1C1C1C1 -B2 -B2C1 -B2A2B2A1 -B2A2 = | C1B1C2B2 || A1B1A2B2 | B2A1X-B1A2X = B2C1 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2 -B2B1X2B2 −b1c2b2a1−b1a2=|c1b1c2b2||a1b1a2b2|
Аналогично, чтобы найти y,y, мы исключим x. x.
a2a1x+a2b1y=a2c1Multiply R1by a2−a1a2x−a1b2y=−a1c2Multiply R2by−a1________________________________________________________a2b1y−a1b2y=a2c1−a1c2a2a1x+a2b1y=a2c1Multiply R1by a2−a1a2x−a1b2y=−a1c2Multiply R2by−a1________________________________________________________a2b1y−a1b2y=a2c1−a1c2
Решение для YY дает
A2B1Y -A1B2Y = A2C1 -A1C2Y (A2B1 — A1B2) = A2C1 -A1C2 Y = A2C1 -A1C2A2B1 — A1B2 = A1C2-A2C1A1B2 — A2B1B1 -A1B2 = A1C2-A2C1A1B2 — A2B1 = | a1c2y(a2b1−a1b2)=a2c1−a1c2                      y=a2c1−a1c2a2b1−a1b2=a1c2−a2c1a1b2−a2b1=|a1c1a2c2||a1b1a2b2|
Обратите внимание, что знаменатель для xx и yy является определителем матрицы коэффициентов.
Мы можем использовать эти формулы для решения xx и y,y, но правило Крамера также вводит новое обозначение:
D:D: определитель матрицы коэффициентов
Dx:Dx: определитель числителя в решении xx
x=DxDx=DxD
Dy:Dy: определитель числителя в решении yy
y=DyDy=DyD
Ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление определителей. Тогда мы можем выразить xx и yy как частное двух определителей.
Правило Крамера для систем 2×2
Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
Решение с использованием правила Крамера дается как
x=DxD=|c1b1c2b2||a1b1a2b2|,D≠0;y= DyD=|a1c1a2c2||a1b1a2b2|,D≠0.x=DxD=|c1b1c2b2||a1b1a2b2|,D≠0;y=DyD=|a1c1a2c2||a1b1a2b2|,D≠0.
Если мы находим x,x, столбец xx заменяется столбцом констант. Если мы ищем y, y, столбец yy заменяется столбцом констант.
Пример 2
Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2
Решите следующую систему 2 × 22 × 2, используя правило Крамера.
12x+3y=15 2x−3y=1312x+3y=15 2x−3y=13
Решение
Решите для х. х.
x=DxD=|15313−3||1232−3|=−45−39−36−6=−84−42=2x=DxD=|15313−3||1232−3|=−45−39 −36−6=−84−42=2
Решите для y.y.
y=DyD=|1215213||1232−3|=156−30−36−6=−12642=−3y=DyD=|1215213||1232−3|=156−30−36−6=−12642 =−3
Решение (2,−3).(2,−3).
Попытайся #1
Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.
х+2у=-11-2х+у=-13 х+2у=-11-2х+у=-13
Вычисление определителя матрицы 3 × 3
Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но определить определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.
Найдите определитель матрицы 3×3.
А=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]А=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]
Дополнить AA первыми двумя столбцами.
det(A)=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|a1a2a3b1b2b3|det(A)=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|a1a2a3b1b2b3|
От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.
Алгебра выглядит следующим образом:
|A|=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3−a3b2c1−b3c2a1−c3a2b1|A|=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3−a3b2c1−b3c2a1−c3a2b1
Пример 3
Нахождение определителя матрицы 3 × 3
Нахождение определителя заданной матрицы 3 × 3
A=[0213−11401]A=[0213−11401]
Решение
Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле. Таким образом,
|A|=|0213−11401|0342−10|=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1 )−0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6|A|=|0213−11401|0342−10|=0(−1) (1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1)−0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0 +4−0−6=6
Попытайся #2
Найдите определитель матрицы 3 × 3.
det(A)=|1−371111−23|det(A)=|1−371111−23|
вопросы и ответы
Можно ли использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?
Нет, этот метод работает только для матриц 2×22×2 и 3×33×3. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.
Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными
Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными. Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.
Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.
Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.
х=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0x=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0
где
Если мы записываем определитель Dx,Dx, мы заменяем столбец xx столбцом констант. Если мы записываем определитель Dy,Dy, мы заменяем столбец yy столбцом констант. Если мы записываем определитель Dz,Dz, мы заменяем столбец zz столбцом констант. Всегда проверяйте ответ.
Пример 4
Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера
Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.
x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14
Решение
Используйте правило Крамера.
D=|11−13−2113−2|,Dx=|61−1−5−21143−2|,Dy=|16−13−51114−2|,Dz=|1163−2−51314|D =|11−13−2113−2|,Dx=|61−1−5−21143−2|,Dy=|16−13−51114−2|,Dz=|1163−2−51314|
Тогда
x=DxD=-3-3=1y=DyD=-9-3=3z=DzD=6-3=-2x=DxD=-3-3=1y=DyD=-9-3 =3z=DzD=6−3=−2
Решение: (1,3,−2).(1,3,−2).
Попытайся #3
Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.
x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4
Пример 5
Использование правила Крамера для решения противоречивой системы
Решите систему уравнений, используя правило Крамера.
3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)
Решение
Начнем с нахождения определителей D,Dx и Dy.D,Dx и Dy.
D=|3−26−4|=3(−4)−6(−2)=0D=|3−26−4|=3(−4)−6(−2)=0
Мы знаем, что определитель, равный нулю, означает, что система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.
Умножить уравнение (1) на −2,−2.
Добавьте результат к уравнению (2).(2).
−6x+4y=−86x−4y=0_______________0=−8−6x+4y=−86x−4y=0_______________0=−8
Получаем уравнение 0=−8,0=−8, которое неверно. Следовательно, система не имеет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. рис. 1.
Рисунок 1
Пример 6
Использование правила Крамера для решения зависимой системы
Решите систему с бесконечным числом решений.
x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0(2)2x−4y+6z=0(3)x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0( 2)2x−4y+6z=0(3)
Решение
Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.
|1−2331−22−46  | 1−2312−4||1−2331−22−46  | 1−2312−4|
Затем
1(1)(6)+(-2)(-2)(2)+3(3)(-4)-2(1)(3)-(-4)(-2)(1)- 6(3)(-2)=01(1)(6)+(-2)(-2)(2)+3(3)(-4)-2(1)(3)-(-4) (−2)(1)−6(3)(−2)=0
Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.
Умножьте уравнение (1) на −2−2 и добавьте результат к уравнению (3):
−2x+4y−6z=02x−4y+6z=00=0−2x+4y−6z=02x−4y+6z=00=0
Получение ответа 0=0,0=0, утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой. См. рис. 2.
Рисунок 2
Понимание свойств определителей
У определителей много свойств. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.
Свойства определителей
Если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
При перестановке двух строк определитель меняет знак.
Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
Если матрица содержит строку нулей или столбец нулей, определитель равен нулю.
Определитель обратной матрицы A−1A−1 является обратной величиной определителя матрицы A.A.
Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.
Пример 7
Иллюстрация свойств определителей
Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.
Решение
Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
A=[12302100−1]A=[12302100−1]
Дополнить AA первыми двумя столбцами.
A=[12302100−1|100220]A=[12302100−1|100220]
Тогда
det(A)=1(2)(−1)+2(1)(0)+3(0 )(0)−0(2)(3)−0(1)(1)+1(0)(2)=−2det(A)=1(2)(−1)+2(1)(0 )+3(0)(0)−0(2)(3)−0(1)(1)+1(0)(2)=−2
Свойство 2 указывает, что при перестановке строк меняется знак. Учитывая
A=[−154−3],det(A)=(−1)(−3)−(4)(5)=3−20=−17B=[4−3−15],det( B)=(4)(5)−(−1)(−3)=20−3=17A=[−154−3],det(A)=(−1)(−3)−(4)( 5)=3−20=−17B=[4−3−15],det(B)=(4)(5)−(−1)(−3)=20−3=17
Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца совпадают, определитель равен нулю.
А=[122222−122 | 12−1 222]det(A)=1(2)(2)+2(2)(−1)+2(2)(2)+1(2)(2)−2(2)(1) −2(2)(2)=4−4+8+4−4−8=0A=[122222−122 | 12−1 222]det(A)=1(2)(2)+2(2)(−1)+2(2)(2)+1(2)(2)−2(2)(1) −2(2)(2)=4−4+8+4−4−8=0
Свойство 4 гласит, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю. Таким образом,
A=[1200],det(A)=1(0)−2(0)=0A=[1200],det(A)=1(0)−2(0)=0
Свойство 5 утверждает, что определитель обратной матрицы A-1A-1 является обратной величиной определителя A.A. Таким образом,
A=[1234],det(A)=1(4)−3(2)=−2A−1=[−2132−12],det(A−1)=−2(−12) −(32)(1)=−12A=[1234],det(A)=1(4)−3(2)=−2A−1=[−2132−12],det(A−1)=− 2(−12)−(32)(1)=−12
Свойство 6 гласит, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,
A=[1234],det(A)=1(4)−2(3)=−2B=[2(1)2(2)34],det(B)=2(4)−3( 4)=−4A=[1234],det(A)=1(4)−2(3)=−2B=[2(1)2(2)34],det(B)=2(4)− 3(4)=−4
Пример 8
Использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы
Найдите решение данной системы 3 × 3.
2x+4y+4z=2(1)3x+7y+7z=−5(2) x+2y+2z=4(3)2x+4y+4z=2(1)3x+7y+7z=− 5(2) x+2y+2z=4(3)
Решение
Используя правило Крамера, мы имеем
D=|244377122|D=|244377122|
Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.
Умножьте уравнение (3) на –2 и добавьте результат к уравнению (1).
−2x−4y−4x=−8 2x+4y+4z=20=−6−2x−4y−4x=−8 2x+4y+4z=20=−6
Получение утверждения, являющегося противоречием, означает, что система не имеет решения.
7.8 Секционные упражнения
Устный
1.
Объясните, почему мы всегда можем вычислить определитель квадратной матрицы.
2.
Изучая правило Крамера, объясните, почему нет единственного решения системы, когда определитель вашей матрицы равен 0. Для простоты используйте матрицу 2×22×2.
3.
Объясните, что в терминах обратной матрицы означает наличие определителя, равного 0.
4.
Определитель матрицы AA 2×22×2 равен 3. Если вы поменяете строки и умножите первую строку на 6, а вторую строку на 2, объясните, как найти определитель, и дайте ответ.
Алгебраический
Для следующих упражнений найдите определитель.
5.
|1234||1234|
6.
|−123−4||−123−4|
7.
|2−5−16||2−5−16|
8.
|−84−15||−84−15|
9.
|103−4||103−4|
10.
|10200-10||10200-10|
11.
|100.250.1||100.250.1|
12.
|6−384||6−384|
13.
|−2−33,14 000||−2−33,14 000|
14.
|−1.10.67.2−0,5||−1.10.67.2−0,5|
15.
|−10001000−3||−10001000−3|
16.
|−14002300−3||−14002300−3|
17.
|101010100||101010100|
18.
|2-313-41-561||2-313-41-561|
19.
|−214−42−82−8−3||−214−42−82−8−3|
20.
|6-12-4-3519-1||6-12-4-3519−1|
21.
|51−12313−6−3||51−12313−6−3|
22.
|1,12-1-4004,1-0,42,5||1,12-1-4004,1-0,42,5|
23.
|2-1.63.11.13-8-9.302||2-1.63.11.13-8-9.302|
24.
|−12131415−16170018||−12131415−16170018|
Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.
25.
2x−3y=−14x+5y=92x−3y=−14x+5y=9
26.
5x−4y=2−4x+7y=65x−4y=2−4x+7y=6
27.
6x−3y=2−8x+9y=−16x−3y=2−8x+9y=−1
28.
2x+6y=125x−2y=132x+6y=125x−2y=13
29.
4x+3y=232x-y=-14x+3y=232x-y=-1
30.
10x−6y=2−5x+8y=−110x−6y=2−5x+8y=−1
31.
4x−3y=−32x+6y=−44x−3y=−32x+6y=−4
32.
4x−5y=7−3x+9y=04x−5y=7−3x+9y=0
33.
4x+10y=180-3x-5y=-1054x+10y=180-3x-5y=-105
34.
8x−2y=−3−4x+6y=48x−2y=−3−4x+6y=4
Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.
35.
x+2y-4z=-17x+3y+5z=26-2x-6y+7z=-6x+2y-4z=-17x+3y+5z=26-2x-6y+7z=-6
36.
−5x+2y−4z=−474x−3y−z=−943x−3y+2z=94−5x+2y−4z=−474x−3y−z=−943x−3y+2z=94
37.
4x+5y-z=-7-2x-9y+2z=85y+7z=214x+5y-z=-7-2x-9y+2z=85y+7z=21
38.
4x−3y+4z=105x−2z=−23x+2y−5z=−94x−3y+4z=105x−2z=−23x+2y−5z=−9
39.
4x-2y+3z=6-6x+y=-22x+7y+8z=244x-2y+3z=6-6x+y=-22x+7y+8z=24
40.
5x+2y-z=1-7x-8y+3z=1,56x-12y+z=75x+2y-z=1-7x-8y+3z=1,56x-12y+z=7
41.
13x-17y+16z=73-11x+15y+17z=6146x+10y-30z=-1813x-17y+16z=73-11x+15y+17z=6146x+10y-30z=-18
42.
−4x−3y−8z=−72x−9y+5z=0,55x−6y−5z=−2−4x−3y−8z=−72x−9y+5z=0,55x−6y−5z=−2
43.
4x-6y+8z=10-2x+3y-4z=-5x+y+z=14x-6y+8z=10-2x+3y-4z=-5x+y+z=1
44.
4x-6y+8z=10-2x+3y-4z=-512x+18y-24z=-304x-6y+8z=10-2x+3y-4z=-512x+18y-24z=-30
Технология
В следующих упражнениях используйте функцию определителя в графической утилите.
45.
|108
10300243||108
10300243|
46.
|10210--2-1011-2||10210--2-1011-2|
47.
|1217401210050022,0000002||1217401210050022,0000002|
48.
|1000230045607890||1000230045607890|
Реальные приложения
Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем вычислить определитель. Будет ли уникальное решение? Если да, то найти единственное решение.
49.
Два числа в сумме дают 56. Одно число на 20 меньше другого.
50.
Два числа в сумме дают 104. Если вы дважды сложите первое число и два раза второе число, получится 208
51.
Три числа в сумме дают 106. Первое число на 3 меньше второго числа. Третье число на 4 больше первого числа.
52.
Три числа в сумме дают 216. Сумма первых двух чисел равна 112. Третье число на 8 меньше первых двух вместе взятых.
Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем решите систему для всех решений, используя правило Крамера.
53.
Вы инвестируете 10 000 долларов на два счета, на которые начисляются 8% и 5% годовых. В конце года на ваших объединенных счетах было 10 710 долларов. Сколько было вложено в каждый счет?
54.
Вы инвестируете 80 000 долларов США в два счета, 22 000 долларов США в один счет и 58 000 долларов США в другой счет. В конце года, при условии простых процентов, вы заработали 2470 долларов в виде процентов. Второй счет получает на полпроцента меньше, чем удвоенный процент по первому счету. Каковы процентные ставки для ваших счетов?
55.
Театру необходимо знать, сколько билетов для взрослых и детей было продано из 1200 билетов. Если детские билеты стоят 5,95 долл. США, билеты для взрослых — 11,15 долл. США, а общая сумма выручки составила 12 756 долл. США, сколько было продано детских билетов и билетов для взрослых?
56.
Концертный зал продает одиночные билеты по 40 долларов США каждый и билеты для пар по 65 долларов США. Если общий доход составил 18 090 долларов США и был продан 321 билет, то сколько было продано одиночных билетов и сколько билетов для пар?
57.
Вы решили покрасить кухню в зеленый цвет. Вы создаете цвет краски, смешивая желтую и синюю краски. Вы не можете вспомнить, сколько галлонов каждого цвета вошло в вашу смесь, но вы знаете, что всего было 10 галлонов. Кроме того, вы сохранили квитанцию и знаете, что общая потраченная сумма составила 29,50 долларов США. Если каждый галлон желтого цвета стоит 2,59 доллара, а каждый галлон синего стоит 3,19 доллара, сколько галлонов каждого цвета входит в вашу зеленую смесь?
58.
Вы продали два вида шарфов на фермерском рынке и хотели бы знать, какой из них более популярен. Всего было продано 56 шарфов, желтый шарф стоил 10 долларов, фиолетовый — 11 долларов. Если ваш общий доход составил 583 доллара, сколько желтых шарфов и сколько фиолетовых шарфов было продано?
59.
В вашем саду выращивают два вида помидоров, один зеленый и один красный. Красный весит 10 унций, а зеленый весит 4 унции. У вас есть 30 помидоров общим весом 13 фунтов 14 унций. Сколько у вас помидоров каждого вида?
60.
На рынке три самых популярных овоща составляют 53% продаж овощей. Продажи кукурузы на 4% выше, чем у брокколи, продажи которой на 5% выше, чем у лука. Какую долю рынка занимает каждый овощ?
61.
На том же рынке три самых популярных фрукта составляют 37% от общего количества продаваемых фруктов. Клубники продают вдвое больше, чем апельсинов, а киви продают на один процент больше, чем апельсинов. Для каждого фрукта найдите процент от общего количества проданных фруктов.
62.
Три артиста выступили на концертной площадке. Первый стоил 15 долларов за билет, второй артист — 45 долларов за билет, а последний — 22 доллара за билет. Было продано 510 билетов на общую сумму 12 700 долларов. Если у первой группы было на 40 зрителей больше, чем у второй группы, сколько билетов было продано на каждую группу?
63.
Кинотеатр продал билеты на три фильма. Билеты на первый фильм стоили 5 долларов, билеты на второй фильм — 11 долларов, а на третий фильм — 12 долларов. На первый фильм было продано 100 билетов. Общее количество проданных билетов составило 642, а общий доход составил 6 774 доллара. Сколько билетов на каждый фильм было продано?
Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Компания, заботящаяся о своем здоровье, решает приготовить пищевую смесь из миндаля, сушеной клюквы и орехов кешью в шоколаде. Информация о пищевой ценности этих продуктов представлена в Таблице 1.
Жир (г) Белок (г) Углеводы (г)
Миндаль (10) 6 2 3
Клюква (10) 0,02 0 8
Кешью (10) 7 3,5 5,5
Стол 1
64.
Для специальной «низкоуглеводной» трейловой смеси имеется 1000 штук смеси. Общее количество углеводов 425 г, общее количество жиров 570,2 г. Если орехов кешью на 200 штук больше, чем клюквы, сколько штук каждого предмета будет в смеси?
65.
Для смеси «походной» в составе смеси 1000 шт., содержащих 390,8 г жира, 165 г белка. Если миндаля столько же, сколько орехов кешью, то сколько каждого элемента содержится в смеси?
66.
Для смеси «Энергия-бустер» в упаковке 1000 штук, содержащих 145 г белка и 625 г углеводов. Если количество миндаля и кешью в сумме равно количеству клюквы, сколько каждого элемента содержится в смеси?
Правило Крамера | GyanGossip
Опубликовано: 14 фев 2022 г.
Что такое правило Крамера и как решать задачи линейного уравнения с помощью правила Крамера?
В математике для решения линейных уравнений используется матричная форма. Матрица представляет собой прямоугольный массив элементов, заключенных в квадратные скобки «[]». Есть некоторые методы и правила матрицы, используемые для решения линейных уравнений. Правило Кримера — одно из них.
В этом правиле также используются определители. В этом посте мы изучим основную концепцию этого правила и используем несколько примеров, чтобы понять, как решать задачи линейных уравнений с помощью правила Крамера.
Что такое правило Крамера?
В матрицах правило Крамера используется для нахождения значений неизвестных переменных, присутствующих в линейных уравнениях. Для нахождения системы уравнений используется правило Крамера, и уравнения должны быть линейными.
В этом методе все расчеты основаны на определителях, поэтому этот метод также называется методом определителей. Прямоугольный массив матриц не используется в правиле Крамера, поэтому мы используем форму квадратной матрицы. В квадратной матрице присутствует равное количество строк и столбцов.
Поскольку определение матрицы гласит, что прямоугольный массив матрицы, то у ума должен возникнуть вопрос, почему мы используем квадратную матрицу для правила Крамера? Ответ заключается в том, что все квадратные матрицы в общем случае являются прямоугольными матрицами. Итак, мы всегда делаем вывод, что квадратная матрица прямоугольная.
Формула правила Крамера
Правило Крамера соответствует следующему уравнению:
Ax = b
-сторона линейного уравнения, а X — неизвестные переменные, которые необходимо найти.
Уравнения принимаются в общем виде.
A ₁ x + B ₁ y = C ₁
A ₂ x + B ₂ 90 -матрица и y-матрица задаются как
Первым шагом правила Крамера является преобразование матрицы в матричную форму. А затем найти определитель всех квадратных матриц, которые мы составили. Согласно правилу Крамера, если определитель квадратной матрицы равен нулю, то это правило неприменимо.
Следующие формы используются для вычисления неизвестных переменных x и y линейных уравнений.
Для определения значения x
X = det[x]/det
Для определения значения y
y = det[y]/det
Как решать линейные уравнения по правилу Крамера?
Чтобы решить задачи линейного уравнения, вы должны быть знакомы с основной формулой и правилом Крамера. В правиле Крамера используются определители, определители должны быть рассчитаны с применением «||» для матриц вместо скобок [].
Существует онлайн-калькулятор правила Крамера, который используется для таких вычислений, чтобы уменьшить сложность больших вычислений.
Шаги для определения определителя для матриц 2×2 очень просты, просто следуйте данному методу.
a b c d = (a x d) – (b x c)
Шаги для определения определителя для матриц 3×3 довольно сложны и длительны, просто следуйте данному методу.
Пример 1
Найдите неизвестные линейного уравнения, используя правило Крамера.
5x + 3y = 6
x + 3y = 2
Решение
Шаг 1: Сначала напишите в форме AX = B.
5 3 1 3 x y = 6 2
Step 2: Find the determinant of square matrix A.
A = 5 3 1 3
Step 3: Write the formula to determine the determinant of square matrix A.
a b c d = (a x d) – (b x c)
Шаг 4: Поместите значения каждого члена в приведенную выше формулу.
5 3 1 3 = (5 x 3) – (3 x 1)
5 3 1 3 = 15 — 3
5 3 1 3 = 12
DET A = 12
= 12
DET A = 12
. первый столбец матрицы A и дайте имя значения x.
Значения X = 6 3 2 3
Шаг 6: Найдите определитель приведенной выше матрицы.
6 3 2 3 = (6 x 3) – (3 x 2)
6 3 2 3 = 18 – 6
6 3 2 3 = 12
det _x = 12
Шаг 7: Теперь возьмите значения b во втором столбце матрицы A и назовите значение y.
Значения X = 5 6 1 2
Шаг 8: Найдите определитель приведенной выше матрицы.
5 6 1 2 = (5 x 2) — (6 x 1)
5 6 1 2 = 10. 100055 59546956956 400546 40046 40046 40046 40046 400546 400546 40046 40046 4. 6 400546 400546 400546 400546 400546 40054 40054 2 . 6 1 2 = 4
det _y = 4
Шаг 9 : По формуле правила Крамера для нахождения неизвестных переменных имеем.
X = det _x /det
Y = det _y /det
Шаг 10: Подставьте значения рассчитанных определителей в приведенные выше формулы.
Х = 12/12 = 1
Y = 4/12 = 1/3 = 0,3333
Пример 2
5x – 4y = 6
3x + 9y = 2
Решение
Шаг 1: Сначала запишите в форме AX = B.
5 -4 3 9 x y = 6 2
Step 2: Find the determinant of square matrix A.
A = 5 -4 3 9
Шаг 3: Напишите формулу для определения определения квадратной матрицы A.
A B C D = (a x D) — (B x C)
D = (A X D) — (B x C)
4. 4: 4: 4:
4:
4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 4: 9: 9: . Поместите значения каждого члена в приведенную выше формулу.
5 -4 3 9 = (5 x 9) – (3 x (-4))
5 -4 3 9 = 45 – ( -12)
5 -4 3 9 = 45 + 12
5 -4 3 9 = 57
Det A = 57
Step 5 : Теперь возьмите значения b в первом столбце матрицы A и назовите значение x.
Значения X = 6 -4 2 9
Шаг 6: Найдите определитель приведенной выше матрицы.
6 -4 2 9 = (6 x 9) – (-4 x 2)
6 -4 2 9 = 54 – (-8 )
6 -4 2 9 = 54 + 8
6 -4 2 9 = 62
det _x = 62
Шаг 7: Теперь возьмите значения b во втором столбце матрицы A и назовите значение y.
Значения X = 5 6 3 2
Шаг 8: Найдите определитель приведенной выше матрицы.
5 6 3 2 = (5 x 2) – (6 x 3)
5 6 3 2 = 10 – 18
5 6 3 2 = -8
det _y = -8
Step 9 : By the formula of Cramer’s rule чтобы найти неизвестные переменные, мы имеем.
X = det _x /det
Y = det _y /det
Шаг 10: Подставьте значения рассчитанных определителей в приведенные выше формулы.
X = 62/57 = 1,0877
Y = -8/57 = -0,1404
Резюме
Теперь вы усвоили все основы правила Крамера. Работать по этому правилу очень просто, требуется лишь некоторая практика, это правило также определено в ведической математике. Из приведенных примеров вы также можете решить правило Крамера для матриц 3×3, выполнив те же действия.
Калькулятор правила Крамера
Выражение
Уравнение
Неравенство
Связаться с нами
Упростить
Коэффициент
Расширение
GCF
LCM
Решение
График
Система
Решайте
График
Система
Math Solver Solver
Math Solver Solver
Math Solver Solver
Math Solver на сайте
9003
Наши пользователи:
Я впечатлен! В свои 64 иногда ненавижу перемены, но это точно к лучшему.
Алекс Старке, ИЛИ
Мой муж пользуется этим программным обеспечением с тех пор, как несколько месяцев назад вернулся в школу. Он не учился в колледже более 10 лет, так что его математические навыки были очень заржаветы. Наша подруга-учительница предложила эту программу, так как она использует ее для обучения своих учеников дробям. Майк хорошо успевает на двух уроках математики. Благодарю вас!
К.Т., Огайо
Честно говоря, сначала я немного скептически относился к тому, насколько простым будет Алгебратор. Но это действительно самая простая программа для запуска и запуска. Я изучал алгебру в течение нескольких минут после загрузки программного обеспечения.
Тайсон Уэйн, SD
Какой замечательный дружественный интерфейс, полный цветов, делает программное обеспечение Algebrator простой программой для работы, а также с ним так легко работать, вам не нужно прерывать поток своих мыслей каждый раз, когда вам нужно взаимодействовать с программой.
Эд Карли, IN
Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?

Поисковые фразы, использованные 25 сентября 2010 г.:
сложение и умножение отрицательных чисел
премьер
комбинированная перестановочная деятельность
сложение/вычитание положительных и отрицательных чисел
Скотт Форман Предварительная алгебра Математика Печать листов 8 класс
математические стихи алгебра
задачи на квадратное уравнение
бесплатно алгебра гленко 2 ответы
исследование задач по алгебре
планы уроков квадратное уравнение
исследовательский проект по математике
бесплатный обозреватель gmat
по математике как разделить мили на милю в час
Вопросы о Java Apptitude
бесплатно скачать тестовые листы с ответами
веб-сайт решателя общих множителей
Примеры вопросов для проверки способностей GMAT
вычислений)
калькулятор общего знаменателя дроби
как делать дроби на ти-83 плюс
алгебра для чайников рабочие листы
glencoe /mcgraw-hill заменяет десятичные дроби
ti 84 скачать ром
как решить квадратное уравнение с помощью TI-83 плюс
планы уроков по математике в пятом классе наименьшее общее кратное
решения по алгебре шаг за шагом
Калькулятор кубического корня vba
учебник по математике для 8 класса
ti-84 rom скачать
онлайн-решатель пределов
Калькулятор
, решающий умножение подобных слагаемых
десятичных порядка
Калькулятор упрощающих выражений
определение буквального коэффициента в алгебре
перемножение матриц
алгебра 2 подкоренных выражения упрости калькулятор
вычитание целых дробей
попрактиковаться в задачах линейной модели перед расчетом
матлаб 2-го порядка ода
как написать 50 тысячный десятичный
java преобразовать длинное число в десятичное
решать одновременные квадратные уравнения
лестничный метод
выражения с рабочими листами степени
математические мелочи с простыми ответами
кубических корня из дробей
экзамен по математике для чайников
дистрибутивность в предалгебре
решать сложные рациональные выражения
вопроса из учебника по математике до алгебры
скачать калькулятор ti 84
домен CD 1
алгебра 2 треугольники и многочлены
уравнение с несколькими переменными
задачи по математике для 9 класса 20010
алгебраическое сложение
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТОВАРЫ И ФАКТОРИНГ
графические эллипсы с 3 переменными
Рабочий лист решения уравнений
предварительная алгебра переход к алгебре один предварительный курс навыков
линейные полиномиальные радикалы
Правила решетки факторов
для 6-го класса
сколько стоит погонный метр
текстовые задачи по алгебре в колледже для тестов
Извлечение квадратных корней пример
Рабочий лист простого уравнения
алгебраическая интерполяция и экстраполяция
преобразование процентов в слова
решение взаимосвязей переменных уравнений
Java-код для вычисления абсолютного значения
Литтел Алгебра 2 Ключ ответа стр. 105
обман с наименьшим общим знаменателем
изменение разницы
как решать иррациональные уравнения
шпаргалки по алгебре
клен решить два уравнения
решение полиномиального уравнения третьего порядка
словесные задачи по алгебре в колледже
легкая алгебра
бесплатный графический онлайн калькулятор ti 74
Устройство для перестановки тестов
тригонометрия для идиотов
как преподавать задачи по алгебре в начальной школе
бесплатных загрузок программного обеспечения Intermid и Elementary алгебры
математических символов для PowerPoint бесплатно
Тест готовности образца
для 1 класса
бесплатные экзаменационные работы по естественным наукам для 6 класса
предварительные алгебраические выводы
предварительная алгебра с пиццей для девятого класса от Creative Publications
квадратный корень / четырехкратный корень
дробь квадратный корень
Калькулятор радикального упрощения
«Абстрактная алгебра» Герштейн глава 1 ответ
умножить целое число рабочий лист
прентис холл математика алгебра 1 рабочая тетрадь ответы
конверт(%, радикал) клен
Одношаговое уравнение для печати
решить дифференциальные уравнения ti-89
Предыдущая Далее
Правило Крамера – объяснение и примеры
Для решения системы уравнений мы в основном используем метод подстановки , метод исключения, или метод построения графиков. Мы также можем использовать матричную алгебру для решения системы уравнений. Такие процессы, как исключение Гаусса (также известное как исключение Гаусса-Джордана), могут помочь решить систему уравнений с $3$ или более неизвестными. Мы также можем использовать правило Крамера для решения системы.
Что такое правило Крамера?
Правило Крамера — это метод решения системы уравнений с использованием определителей.
В этом уроке мы рассмотрим, что такое правило Крамера и как решить систему уравнений. Ниже приведены некоторые примеры и практические задачи.
Что такое правило Крамера?
Правило Крамера — это метод решения системы уравнений с использованием определителей. Это и есть красота правила Крамера. Мы можем найти значение одной переменной без решения всей системы (или других переменных).
Помните определители?
Рассмотрим матрицу размера $ 2 \times 2 $, показанную ниже:
$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $
Определитель этой матрицы определяется выражением:
$ det( A ) = | А | = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc $
Примечание. Мы использовали обозначения $ 3 $ для обозначения определителя.
Теперь рассмотрим матрицу $ 3 \times 3 $, показанную ниже:
$ B = \begin{bmatrix} { a } & { b } & c \\ { d } & { e } & f \\ g & h & i \end {bmatrix} $
Определитель этой матрицы равен:
$ det( B ) = | Б | = \begin{vmatrix} { a } & { b } & c \\ { d } & { e } & f \\ g & h & i \ end {vmatrix} = a \begin {vmatrix} { e } & f \\ h & i \end {vmatrix} – b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end {vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end {vmatrix} $
Обратите внимание, что мы разбили матрицу $3\x 3$ на более мелкие матрицы $2\x 2$. Вертикальные черточки за пределами матриц $ 2 \times 2 $ указывают на то, что мы должны взять определитель. Зная определитель $ 2 \times 2 $ матриц, мы можем дополнительно упростить формулу:
$ det(B)=| Б | = a(ei-fh) – b(di – fg) + c(dh-eg) $
Рассмотрим систему уравнений, показанную ниже:
$ \begin{align*} { 2x } + 3y &= \ , { 7 } \\ { – 3x } + 4y &= { 15 } \end{align*} $
Теперь мы назовем некоторые матрицы, которые помогут нам в дальнейшем использовать правило Крамера для решения этой системы.
Следуя формуле определителя $ 2 \times 2 $, мы можем записать определяющую матрицу как:
$ D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ { – 3 } & 4 \end{vmatrix } $
Мы назвали его «D».
Подставив постоянные коэффициенты из системы в первый столбец (вместо $ x $s), можно написать другую матрицу:
$ D_{ x } = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ { 15 } & 4 \end{vmatrix} $
Мы назвали его «$ D_{ x } $» и назвали его x -матрица .
Аналогично, подставив константы из системы во второй столбец (вместо $y$s), можно написать другую матрицу:
$ D_{ y } = \begin{vmatrix} 2 & 7 \ \ { – 3 } & 15 \end{vmatrix} $
Мы обозначили его как «$ D_{ y } $» и назвали его y-матрицей .
Теперь формула правила Крамера для решения переменных $ x $ и $ y $ показана ниже:
$ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \frac{ \begin {vmatrix} 7 и 3 \\ { 15 } & 4 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ { – 3 } & 4 \end{vmatrix} } $
$ y = \frac { D_{ y } }{ D } = \frac{ \begin{vmatrix} 2 и 7 \\ { – 3 } & 15 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ { – 3 } & 4 \end{vmatrix} } $
В следующем разделе мы покажем, как на самом деле использовать правило и решить систему! Обратите внимание, что мы не может использовать правило Крамера, когда определитель матрицы равен $ 0 $! Нулевой определитель может означать:

Система несовместна (не имеет решения)
Система зависима (имеет бесконечные решения)
В этом случае приходится полагаться на другие методы в решение системы, такой как метод замены/исключения или метод исключения Гаусса.
Как использовать правило Крамера?
Давайте решим систему уравнений ( переменные $ 2 $ ), используя правило Крамера, чтобы увидеть концепцию в прямом эфире в действии!
Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера:
$ \begin{align*} { 2x } + y &= \, { 7 } \\ { 3x } – 2y &= { – 7 } \end{align*} $
Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определителя ( $ D $ ), определителя $ x – $ ( $ D_ { x } ) и определителя $ y – $ ($D_{у}). Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:
$ D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ { 3 } & { – 2 } \end{vmatrix} $
$ D_{ x } = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ { – 7 } & { – 2 } \end{vmatrix} $
$ D_{ y } = \begin{vmatrix} 2 & { 7 } \\ { 3 } & { – 7 } \end{vmatrix} $
Вспомните формулу для вычисления определителя $ 2 \times 2 $:
Для матрицы $ 2 \times 2 $ —
$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $
Определитель вычисляется как —
$ det( A ) = | А | = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc $
Вычислим определители:
$ D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ { 3 } & { – 2 } \end{vmatrix} = ( 2 )( – 2 ) – ( 1 )( 3 ) = – 4 – 3 = – 7 $
$ D_{ x } = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ { – 7 } & { – 2 } \end{vmatrix} = ( 7 )( – 2 ) – ( 1 )( – 7 ) = – 14 – ( – 7 ) = – 14 + 7 = – 7 $
$ D_{ y } = \begin{vmatrix} 2 & { 7 } \\ { 3 } & { – 7 } \end{vmatrix} = ( 2 )( – 7 ) – ( 7 )( 3 ) = -14 – 21 = – 35 $
Теперь мы можем использовать формулы и, таким образом, Правило Крамера , чтобы найти переменные $ x $ и $ y $. Ниже показано:
$ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \ frac{ – 7 }{ – 7 } = 1 $
$ y = \ frac{D_{ y } }{ D } = \frac{ – 35 }{ – 7 } = 5 $
набор решений системы равен (1, 5) .
Вы можете заметить, что если бы мы хотели решить только переменные $ 1 $ без решения всей системы, мы могли бы легко использовать формулу для одной переменной, чтобы найти ее. Правило Крамера — довольно изящный инструмент для поиска решений системы уравнений. Мы увидим несколько примеров, а также один с переменными $3$.
Пример 1
Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера:
$ \begin{align*} { – x } – y &= \, { 5 } \\ { 2x } + y &= { 4 } \end{align*} $
Решение
Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определитель ( $ D $ ), $ x – $ определитель ( $ D_ { x } ) и определитель $ y – $ ( $ D_{ y } ). Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:
$ D = \begin{vmatrix} – 1 & – 1 \\ { 2 } & { 1 } \end{vmatrix} $
$ D_{ x } = \begin{vmatrix} 5 & – 1 \\ { 4 } & { 1 } \end{vmatrix} $
$ D_{ y } = \begin{vmatrix} – 1 & { 5 } \\ { 2 } & { 4 } \end{vmatrix} $
Мы используйте формулу для вычисления определителей матриц $2\times 2$ для вычисления матриц $D$, $D_{x}$ и $D_{y}$.
$ D = \begin{vmatrix} – 1 & – 1 \\ { 2 } & { 1 } \end{vmatrix} = (– 1 )( 1 ) – ( – 1 )( 2 ) = – 1 + 2 = 1 9 долларов США0046
$ D_{ x } = \begin{vmatrix} 5 & – 1 \\ { 4 } & { 1 } \end{vmatrix} = ( 5 )( 1 ) – ( – 1 )( 4 ) = 5 + 4 = 9 $
$ D_{ y } = \begin{vmatrix} – 1 & { 5 } \\ { 2 } & { 4 } \end{vmatrix} = ( – 1 )( 4 ) – ( 5 )( 2 ) = – 4 – 10 = – 14   $
Теперь воспользуемся формулами, изученными в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:
$ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \frac{ 9 }{ 1 } = 9 $
$ y = \frac{D_{ y } }{ D } = \frac{ – 14 }{ 1 } = – 14 $
Набор решений системы стоит $ (9, – 14) $ .
Рассмотрим пример с переменными $3$.

Пример 2
Решите приведенную ниже систему уравнений с помощью правила Крамера: – c &= 5 \\ a – 2b + 3c = 6 \end{align*} $

Решение
Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определитель ($D$), $a – $детерминант ($D_{a}), $b–$ определитель ($D_{b}) и $c–$ определитель ($D_{c}). Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:
$ D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} $
$ D_{ a } = \begin{ vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \end{vmatrix} $
$ D_{ b } = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \end{vmatrix} $
$ D_{ c } = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \end{vmatrix} $
Для матрицы вида:
$ B = \begin{bmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \end {bmatrix} $
Определитель вычисляется как :
$ | Б | = a(ei-fh) – b(di – fg) + c(dh-eg) $
Теперь воспользуемся правилом Крамера и вычислим значения переменных $a $, $b$ и $c$ . Шаги показаны ниже (мы не показывали подробные шаги нахождения определителей $ 3 \times 3 $ матриц):
$ a = \frac{ D_{ a } }{ D } = \frac{ \ begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} } = \frac{-26}{-26} =1 $
$ b = \frac{D_{ b } }{D } = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \end{ vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} } = \frac{26}{-26} = — 1 $
$ c = \frac{D_{c} }{D} = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \ end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} } = \frac{-26}{-26 } = 1$
Набор решений системы равен $ (1, – 1,1) $.
Практические вопросы
Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера: &= { 20 } \end{align*} $
Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера:
$ \begin{align*} 3x – 4y + z &= \, -5 \ \ x – y – z &= – 10 \\ 6x – 8y + 2z = 10 \end{align*} $
Ответы
Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определителя ( $ D $ ), определителя $ x – $ ( $ D_{ x } $ ) и $ y – $ определитель ($D_{y}$). Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:
$ D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ { – 1 } & { 4 } \end{vmatrix} $
$ D_{ x } = \begin {vmatrix} 10 & 2 \\ { 20 } & { 4 } \end{vmatrix} $
$ D_{ y } = \begin{vmatrix} 5 & { 10 } \\ { – 1 } & { 20 } \ конец{vmatrix} $
Мы будем использовать формулу для вычисления определителей матриц $ 2 \times 2 $ для вычисления матриц $ D $, $ D_{ x } $ и $ D_ { y } $.
$ D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ { – 1 } & { 4 } \end{vmatrix} = ( 5 )( 4 ) – ( 2 )( -1 ) = 20 + 2 = 22 $
$ D_{x} = \begin{vmatrix} 10 & 2 \\ {20} & {4} \end{vmatrix} = (10)(4) – (2)(20) = 40 – 40 = 0 $
$ D_{ y } = \begin{vmatrix} 5 & {10} \\ {– 1} & {20} \end{vmatrix} = (5)(20) – (10)(-1) = 100 + 10 = 110 9 долл. США0046
Теперь воспользуемся формулами, изученными в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:
$ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \frac{ 0 }{ 22 } = 0 $
$ y = \frac{D_{ y } }{D } = \frac{ 110 }{ 22 } = 5 $
Набор из решений системы равен $ (0, 5) $.
Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определитель ($D$), $x – определитель $ ($D_{x} ), $y – определитель $ ($D_{y}) $, и определитель $ z – $ ( $ D_{ z } ) $. Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:
$ D = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \end{vmatrix} $
$ D_{ x } = \begin{ vmatrix} 5 & -4 & 1 \\ -10 & -1 & -1 \\ 10 & -8 & 2 \end{vmatrix} $
$ D_{ y } = \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & -10 & -1 \\ 6 & 10 & 2 \end{vmatrix} $
$ D_{ z } = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & -1 & -10 \\ 6 & -8 & 10 \end{vmatrix} $
Напомним, что $ 3 \times 3 $ матрица вида:
$ B = \begin{bmatrix} { a } & { b } & c \\ { d } & { e } & f \\ g & h & i \end {bmatrix} $
Имеет определитель, равный:
$ | Б | = a(ei-fh) – b(di – fg) + c(dh-eg) $
Сначала найдем значение определителя, $D$,
$ D = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \end{vmatrix} = 3(-2-8) +4(2+6) +1(-8+6) = 3(-10) + 4(8) +1(-2) = 0 $
Определитель этой матрицы равен $ 0 $; таким образом, мы не можем решить систему, используя правило Крамера!!
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Введение в линейную алгебру, 5-е издание
Введение в линейную алгебру, 5-е издание
Гилберт Странг   (gilstrang@gmail. com)     ISBN : 978-09802327-7-6
Wellesley-Cambridge Press
Заказ книги в Wellesley-Cambridge Press 9Заказ книги 1900 года для членов SIAM
Заказ книги Американского математического общества
Заказ книги издательства Кембриджского университета (за пределами Северной Америки)
Введение в линейную алгебру, индийское издание, доступно в издательстве Wellesley Publishers
Обзор 5-го издания Профессор Фареник для Международного общества линейной алгебры
Рецензия на книгу InsideBIGDATA (2016)
Связанные веб-сайты:
Линейная алгебра для всех (новый учебник, сентябрь 2020 г.)   СМ. ПРИМ. НИЖЕ
Другие книги Гилберта Стрэнга
OpenCourseWare
Домашняя страница Гилберта Стрэнга
Я надеюсь, что этот сайт станет ценным ресурсом для всех изучение и выполнение линейной алгебры. Вот основные ссылки:
Содержание
Предисловие
Раздел 1. 3 книги: Матрицы
Раздел 2.5 книги: Обратные матрицы
Раздел 3.5 книги: Измерения четырех подпространств
Раздел 6.1 книги: Введение в собственные значения
Раздел 7.1 книги: Обработка изображений с помощью линейной алгебры
Раздел 12.1 книги: Среднее значение, дисперсия и вероятность
Матричные факторизации
Индекс
6 великих теорем
Транспонирование производной
Eigshow в MATLAB
18.06 Сайт OpenCourseWare с видеолекциями 18.06 по OCW
Сайт издателя учебника www.wellesleycambridge.com

Руководство по решению для учебника (обновлено в сентябре 2020 г.)
Глава 1
Глава 2
Глава 3
Глава 4
Глава 5
Глава 6
Глава 7
Глава 8
Глава 9
Глава 10
Глава 11
Глава 12

Мир матриц: картина всех матриц, Кендзи Хиранабэ
LU и CR Исключение (появится в разделе «Образование» SIAM Review)
** Каждый раздел в оглавлении содержит ссылки на наборы задач, решения,
** другие веб-сайты и все материалы, относящиеся к теме этого раздела.
** Читателям предлагается предлагать возможные ссылки.
Оглавление для введения в линейную алгебру (5-е издание, 2016 г.)
1 Введение в векторы
1.1 Векторы и линейные комбинации
1.2 Длины и скалярные произведения
1.3 Матрицы
2 Решение линейных уравнений
2.1 Векторы и линейные уравнения
2.2 Идея ликвидации
2.3 Исключение с использованием матриц
2.4 Правила матричных операций
2.5 Обратные матрицы
2.6 Исключение = Факторизация: A = ЛЕ
2.7 Транспонирование и перестановки
3 векторных пространства и подпространства
3. 1 Пространства векторов
3.2 Нуль-пространство A : Решение Ax = 0 и Rx = 0
3.3 Полное решение для Ax = b
3.4 Независимость, основа и измерение
3.5 Измерения четырех подпространств
4 Ортогональность
4.1 Ортогональность четырех подпространств
4.2 Выступы
4.3 Метод наименьших квадратов
4.4 Ортонормированные базисы и Грам-Шмидт
5 Детерминанты
5.1 Свойства определителей
5.2 Перестановки и кофакторы
5.3 Правило Крамера, инверсии и объемы
6 Собственные значения и собственные векторы
6. 1 Введение в собственные значения
6.2 Диагонализация матрицы
6.3 Системы дифференциальных уравнений
6.4 Симметричные матрицы
6.5 Положительно определенные матрицы
7 Разложение по сингулярным числам (SVD)
7.1 Обработка изображений с помощью линейной алгебры
7.2 Базы и матрицы в СВД
7.3 Анализ главных компонентов (PCA по SVD)
7.4 Геометрия СВД
8 линейных преобразований
8.1 Идея линейного преобразования
8.2 Матрица линейного преобразования
8.3 Поиск хорошей основы
9 Комплексные векторы и матрицы
9. 1 Комплексные числа
9.2 Эрмитовы и унитарные матрицы
9.3 Быстрое преобразование Фурье
10 приложений
10.1 Графики и сети
10.2 Матрицы в технике
10.3 Марковские матрицы, население и экономика
10.4 Линейное программирование
10.5 Ряды Фурье: линейная алгебра функций
10.6 Компьютерная графика
10.7 Линейная алгебра для криптографии
11 Числовая линейная алгебра
11.1 Исключение Гаусса на практике
11.2 Номера норм и условий
11.3 Итерационные методы и предварительные условия
12 Линейная алгебра в теории вероятностей и статистике
12. 1 Среднее значение, дисперсия и вероятность
12.2 Ковариационные матрицы и совместные вероятности
12.3 Многомерный метод Гаусса и взвешенный метод наименьших квадратов
Матричные факторизации
Индекс
Шесть великих теорем / Линейная алгебра в двух словах
[верх]
В каждом разделе книги есть набор задач.
В следующих видеороликах щелкните значок «Воспроизвести» ►
Во время воспроизведения щелкните слово «YouTube»
, чтобы просмотреть увеличенное видео на отдельной вкладке

Загрузка выбранных решений (небольшие отличия от приведенных выше решений)
Вопросы к практическому экзамену
Экзамен 1 (1997-2009)
Экзамен 1 (2010-2015)
Экзамен 2 (1997-2009)
Экзамен 2 (2010-2015)
Экзамен 3 (1997-2009)
Экзамен 3 (2010-2015)
Финал (1998-2009)
Финал (2010-2015)
Задачи по линейной алгебре в лемме
Мой друг Павел Гринфельд из Drexel прислал мне подборку интересных задач — в основном элементарных, но каждая с небольшим поворотом. Они являются частью его более крупного обучающего сайта под названием LEM.MA, и он создал страницу http://lem.ma/LAProb/ специально для этого веб-сайта, связанного с 5-м изданием.
Видеостандарт H.264 (обещан в разделе 7.1 книги)
Этот видеостандарт описывает систему кодирования и декодирования («Кодек»), которую инженеры определили для таких приложений, как ТВ высокой четкости. Не ожидается, что вы будете знать значение каждого слова — этого не знает и автор вашей книги. Суть в том, чтобы увидеть важный пример «стандарта», созданного отраслью после многих лет разработки, чтобы все компании знали, какой системе кодирования должна соответствовать их продукция.
Слова «компенсация движения» относятся к способу оценки каждого видеоизображения по сравнению с предыдущим. Проще всего было бы предположить, что последовательные видеоизображения одинаковы. Тогда нам понадобятся только изменения между кадрами — надеюсь, небольшие. Но если камера следит за действием, вся сцена немного сдвинется и потребует коррекции. Идея получше — увидеть, в каком направлении движется сцена, и встроить это изменение в следующую сцену. Это КОМПЕНСАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ. На самом деле движение может быть разным в разных частях экрана.
Именно такие идеи, о которых легко говорить, но для совершенствования которых требуются годы усилий, делают видеотехнологии и другие технологии возможными и успешными. Инженеры делают свою работу. Я надеюсь, что эти ссылки дают представление о необходимых деталях.
http://www.h364info.com/h364.html
http://en.wikipedia.org/wiki/H.264/MPEG-4_AVC
http://www.axis.com/files/whitepaper/wp_h364_31669_en_0803_lo.pdf
Заметки по линейной алгебре
Доказательство теоремы Шура
Разложение вещественных матриц по сингулярным числам (проф. Джугал Верма, ИИТ Бомбея, март 2020 г.)
Наш последний учебник «Линейная алгебра для всех» начинается с идеи независимых столбцов
.

	Жир (г)	Белок (г)	Углеводы (г)
Миндаль (10)	6	2	3
Клюква (10)	0,02	0	8
Кешью (10)	7	3,5	5,5

Формула сочетания комбинаторика: правила, формулы и примеры с решением

alexxlab / 25.01.197117.09.2022 / Разное

Комбинаторика — основные формулы. Перестановки, размещения, сочетания. Теория вероятностей

Боссы	Возможные результаты (сгруппированы)	Треугольник Паскаля
1	H T	1, 1
2	HH HT TH TT	1, 2, 1
3	HHH HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT	1, 3, 3, 1
4	HHHH HHHT, HHTH, HTHH, THHH HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH HTTT, THTT, TTHT, TTTH TTTT	1, 4, 6, 4, 1
	… и т. д …

Мощность	Биномиальное разложение	Треугольник Паскаля
2	(x + 1) ² = 1 x ² + 2 x + 1	1, 2, 1
3	(x + 1) ³ = 1 x ³ + 3 x ² + 3 x + 1	1, 3, 3, 1
4	(x + 1) ⁴ = 1 x ⁴ + 4 x ³ + 6 x ² + 4 x + 1	1, 4, 6, 4, 1
	… и т. д …

Подбрасывает	Возможные результаты (сгруппированные)	Треугольник Паскаля
1	Х Т	1, 1
2	HH HT TH TT	1, 2, 1
3	HHH HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT	1, 3, 3, 1
4	HHHH HHHT, HHTH, HTHH, THHH HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH HTTT, THTT, TTHT, TTTH TTTT	1, 4, 6, 4, 1
	. .. и т. д. …

Мощность	Биномиальное разложение	Треугольник Паскаля
2	(х + 1) ² = 1 х ² + 2 х + 1	1, 2, 1
3	(x + 1) ³ = 1 x ³ + 3 x ² + 3 x + 1	1, 3, 3, 1
4	(x + 1) ⁴ = 1 x ⁴ + 4 x ³ + 6 x ² + 4 x + 1 9. 0013	1, 4, 6, 4, 1
	… и т. д. …

Правило умножения

Правило сложения

Размещения и перестановки

Сочетания

Разбиение множества на группы

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Основные понятия и формулы

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Правило умножения (основная формула комбинаторики)
Общее число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть получить упорядоченную совокупность ), равно:

Пример 1
Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?
Решение
Первая монета имеет альтернативы – либо орел, либо решка. Для второй монеты также есть альтернативы и т.д., т.е. .
Искомое количество способов:

Правило сложения
Если любые две группы и не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из , или из , …или из можно осуществить способами.
Пример 2
На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4 экономических. Сколько существует способов выбора одной математической или одной экономической книги.
Решение
Математическая книга может быть выбрана способами, экономическая — способами.
По правилу суммы существует способа выбора математической или экономической книги.

Размещения и перестановки

Размещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.
Размещения без повторений, когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения, а его результат – размещением без повторений из элементов по .
Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор без возвращения элементов из генеральной совокупности объема , равно:

Пример 3
Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Решение
Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:

Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из элементов равно
Пример 4
Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?
Решение
Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 4 элементов:

Размещения с повторениями, когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а его результат — размещением с повторениями из элементов по .
Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с возвращением элементов из генеральной совокупности объема , равно
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Пример 5
Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?
Решение
Каждый из способов распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как одном этаже может выйти как один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 7 элементов по 6:

Сочетания

Сочетаниями из n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов (либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается). В результате такого одновременного неупорядоченного выбора элементов из генеральной совокупности объема получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из элементов по .
Число сочетаний из элементов по равно:

Пример 6
В ящике 9 яблок. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?
Решение
Каждый вариант выбора состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет собой сочетания без повторений из 9 элементов:
Количество способов, которыми можно выбрать 3 яблока из 9:

Пусть из генеральной совокупности объема выбирается элементов, один за другим, причем каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз, однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности называются сочетаниями с повторениями из элементов по .
Число сочетаний с повторениями из элементов по :

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Пример 7
На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить 6 открыток?
Решение
Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6:

Разбиение множества на группы

Пусть множество из различных элементов разбивается на групп так, то в первую группу попадают элементов, во вторую — элементов, в -ю группу — элементов, причем . Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.
Число разбиений на групп, когда в первую попадают элементов, во вторую — элементов, в k-ю группу — элементов, равно:

Пример 8
Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?
Решение
Здесь
Число разбиений на 3 подгруппы:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1
Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?
Задача 2
Доступ к файлу открывается, только если введен правильный пароль – определенный трехзначный номер из нечетных цифр. Какова максимальное число возможных попыток угадать пароль?
Задача 3
Группу из 10 человек требуется разбить на две непустые подгруппы и . Сколькими способами можно это сделать?
Задача 4
Два наборщика должны набрать 16 текстов. Сколькими способами они могут распределить эту работу между собой.
Задача 5
Шесть студентов-переводников нужно распределить по трем группам. Сколькими способами это можно сделать?
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Задача 6
Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?
Задача 7
В ящике 5 красных и 4 зеленых яблока. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?
Задача 8
Из ящика, в котором лежат 10 красных и 5 зеленых яблок, выбирают одно красное и два зеленых яблока. Сколькими способами можно это сделать.
Задача 9
В группе из 25 студентов нужно выбрать старосту и 3 членов студенческого комитета. Сколькими способами можно это сделать.
Задача 10
Акционерное собрание компании выбирает из 50 человек президента компании, председателя совета директоров и 10 членов совета директоров. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 11
В телевизионной студии работают 3 режиссера, 4 звукорежиссера, 5 операторов, 7 корреспондентов и 2 музыкальных редактора. Сколькими способами можно составить съемочную группу, состоящую из одного режиссера, двух операторов, одного звукорежиссера и двух корреспондентов.
Задача 12
На группу из 25 человек выделены 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами они могут быть распределены (не более одного билета в руки).
Задача 13
Имеются 7 билетов: 3 в один театр и 4 – в другой. Сколькими способами они могут быть распределены между студентами группы из 25 человек?
Задача 14
Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?

Правило умножения

Правило сложения

Размещения и перестановки

Сочетания

Разбиение множества на группы

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Формулы по комбинаторике: Формулы комбинаторики с примерами. Основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки — ЭкоДом: Дом своими руками
Содержание
Формулы комбинаторики с примерами. Основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки
Учитесь решать задачи по комбинаторике? На самом начальном этапе нужно изучить основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки (смотрите подробнее ниже) и научиться их применять для решения задач.
Как выбрать формулу комбинаторики?
Мы подготовили для вас наглядную схему с примерами решений по каждой формуле комбинаторики:
алгоритм выбора формулы (сочетания, перестановки, размещения с повторениями и без),
рекомендации по изучению комбинаторики,
6 задач с решениями и комментариями на каждую формулу.
Нужна помощь в решении задач по комбинаторике?
Перестановки
Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно
$$P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot … \cdot (n-1) \cdot n$$
Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$.
Пример всех перестановок из $n=3$ объектов (различных фигур) — на картинке справа. m=\frac{n!}{(n-m)!}=n\cdot (n-1)\cdot . m \cdot P_m.$$
Удобный и бесплатный онлайн калькулятор сочетаний.
Решебник задач по комбинаторике
Изучаем комбинаторику: полезные ссылки
Комбинаторика: основные правила и формулы.
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике
Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?
Решение
Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:
способами.
Пример 2.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Решение
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.
Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?
Пример 3.
Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
Решение
Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m (_{) из} этих (n*r) предметов?
.
Пример 4.
В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Решение
Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
.
Размещения без повторений. Размещения с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.
В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
Решение.
В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:
Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?
Пример 6.
У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?
Решение
Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:
.
Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Пример 7.
Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?
Решение
Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.
Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.
Пример 8.
Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
Решение
Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра
При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия
Размещения
Рассмотрим следующую задачу.
Задача. 9 карточек пронумерованы числами 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных четырехзначных чисел?
Решение.Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое.
На первое место можно положить одну из 9 карточек. Для этого есть 9 способов. В каждом из этих 9 способов на второе место можно положить одну из оставшихся 8 карточек. Таким образом, существует
способа, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих 72 способов на третье место можно положить одну из оставшихся 7 карточек. Следовательно, существует
способа, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих 504 способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся 6 карточек. Отсюда вытекает, что существует
различных способа, чтобы выложить в ряд 4 карточки из набора, состоящего из 9 пронумерованных карточек. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить 3024 различных четырехзначных числа.
Ответ: 3024.
При решении задачи мы провели подсчет числа способов раскладывания карточек, который является частным случаем общего метода подсчета числа размещений и заключается в следующем.
Определение 1. Рассмотрим множество, содержащее n элементов, и все его упорядоченные подмножества, содержащие k элементов. Каждое из этих подмножеств называют размещением из n элементов по k элементов.
Если обозначить символом  число размещений из n элементов по k элементов, то будет справедлива формула:
В соответствии с определением факториала, формулу (1) можно также записать в виде:
В задаче множеством из n элементов является исходный набор из 9 пронумерованных карточек, а упорядоченным подмножеством из k элементов – 4 карточки, выложенные в ряд.
Таким образом, при решении задачи мы на частном примере подсчитали, чему равно число размещений из 9 элементов по 4 элемента, т.е. число
В соответствии с формулой (1),
что и было получено в задаче.
Замечание 1. Введенные в данном разделе размещения также называют размещениями без повторений.
Замечание 2. Из формул для числа перестановок и числа размещений вытекает формула
смысл которой заключается в следующем.
Утверждение. Размещение из n элементов по n элементов является перестановкой из n элементов.
Сочетания
Определение 2. Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называют сочетанием из n элементов по k элементов.
Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом
Замечание 3. Важно отметить, что, в отличие от определения размещений, рассмотренные в определении сочетаний подмножества, содержащие k элементов, не являются упорядоченными. Поэтому, если в каждом подмножестве, содержащем k элементов (из определения 2), совершить всевозможные перестановки, количество которых равно k ! , то мы получим все размещения.
Таким образом, справедлива формула:
Следовательно,
откуда вытекает формула
Теперь рассмотрим несколько примеров подсчета числа сочетаний, которые непосредственно вытекают из формулы (2):
В заключение приведем часто используемое равенство, также непосредственно вытекающее из формулы (2):
Замечание 4. С разделом справочника «Сочетания» близко связан раздел «Бином Ньютона», где приведены и доказаны свойства чисел сочетаний.
С понятиями факториала числа n и перестановок из n элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: факториалы и перестановки» нашего справочника.

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Комбинаторика. Размещения, перестановки, сочетания | Математика, которая мне нравится
В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.
Французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) рано проявил свои выдающиеся математические способности. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль доказал одну
из основных теорем проективной геометрии (теорема Паскаля), сконструировал суммирующую машину (арифмометр Паскаля), дал способ вычисления биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля), впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции, сделал существенный шаг в развитии анализа бесконечно малых, сыграл важную роль в зарождении теории вероятности. В гидростатике Паскаль установил ее основной закон (закон Паскаля). “Письма к провинциалу” Паскаля явились шедевром французской классической прозы.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. В математике наряду с И. Ньютоном разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Важный вклад внес в комбинаторику. С его именем, в частности, связаны теоретико-числовые задачи.
Готфрид Вильгельм Лейбниц имел мало внушительную внешность и поэтому производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды в Париже он зашел в книжную лавку в надежде приобрести книгу своего знакомого философа. На вопрос посетителя об этой книге книготорговец, осмотрев его с головы до ног, насмешливо бросил: “Зачем она вам? Неужели вы способны читать такие книги?” Не успел ученый ответить, как в лавку вошел сам автор книги со словами: “Великому Лейбницу привет и уважение!” Продавец никак не мог взять втолк, что перед ним действительно знаменитый Лейбниц, книги которого пользовались большим спросом среди ученых.
В дальнейшем важную роль будет играть следующая
Лемма. Пусть в множестве элементов, а в множестве — элементов. Тогда число всех различных пар , где будет равно .
Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества мы можем составить таких различных пар, а всего в множестве элементов.
Размещения, перестановки, сочетания
Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .
Определение. Размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по > элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и .
Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно

Доказательство. Пусть у нас есть элементы . Пусть — возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим — первый элемент размещения. Из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:

Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?
Решение. Искомое число трехполосных флагов:

Определение. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке.
Так, все различные перестановки множества из трех элементов — это

Очевидно, перестановки можно считать частным случаем размещений при >.
Число всех перестановок из элементов обозначается (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле

Пример. Сколькими способами можно расставить ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
Решение. Искомое число расстановки ладей

по определению!
Определение. Сочетаниями из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, -элементные подмножества данного множества из элементов).
Как видим, в сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из элементов по элементов в каждом обозначается (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”). k
1. .
Действительно, каждому -элементному подмножеству данного -элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.
2. .
Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .
Треугольник Паскаля
В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1, а каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Таким образом, этот треугольник позволяет вычислять числа .
.
Теорема.

Доказательство. Рассмотрим множество из элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из элементов данного
множества, в каждой из которых никакой элемент не встречается дважды?
1 способ. Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т.д. член

2 способ. Выберем сначала элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке

Домножим числитель и знаменатель этой дроби на :

Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 номеров из 36?
Искомое число способов

Задачи.
1. Номера машин состоят из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
2. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков?
3. Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на 5?
4. Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана?
5. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?
6. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?
7. Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр?
8. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
9. Сколькими способами можно расставить в ряд числа так, чтобы числа стояли рядом и притом шли в порядке возрастания?
10. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр , если каждую цифру можно использовать только один раз?
11. Из слова РОТ перестановкой букв можно получить еще такие слова: ТОР, ОРТ, ОТР, ТРО, РТО. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова ЛОГАРИФМ?
12. Назовем разбиением натурального числа представление его в виде суммы натуральных чисел. Вот, например, все разбиения числа :

Разбиения считаются разными, если они отличаются либо числами, либо порядком слагаемых.
Сколько существует различных разбиений числа на слагаемых?
13. Сколько существует трехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
14. Сколько существует четырехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
15. Сколькими способами можно рассадить в ряд 17 человек, чтобы и оказались рядом?
16. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?
17. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы все девочки сидели рядом?
Основные формулы комбинаторики — презентация онлайн
1. Основные формулы комбинаторики
• Комбинаторика изучает количества
комбинаций, подчиненных
определенным условиям, которые
можно составить из элементов,
безразлично какой природы, заданного
конечного множества.
Размещения с повторениями.
Кортеж-множество где каждый элемент стоит на своем месте и не повторяется.
Кортежи длины k, составленные из элементов m – элементного множества х,
называют размещениями с повторениями из m элементов по k. Число этих
кортежей обозначают Ākm. Рассчитывают по формуле:
Ākm =mk.
Задача:
Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр
1,2,3,4,5,6,7,8,9?
Решение:
Такие номера являются кортежами длины 5, составляем из этих элементов
множества X={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}. По формуле
Аkm=mk рассчитываем:
А59=95=6561.
Размещения без повторений.
Упорядоченное множество длины k, составленное из элементов m – элементного
множества X, называют размещениями без повторений из m элементов множества
Х по k. Рассчитывают по формуле:
N!=1*2*3*…*n, где 0!=1.
m!
k
Аm=
(m k )!
Задача:
Сколькими способами можно выбрать из класса, насчитывающего 40 учеников,
старосту, комсорга и физорга.
Решение:
Любой такой выбор является размещением без повторений из 40 элементов по
3 (он задается кортежем длины 3 без повторений, составленным из элементов
множества учеников). Значит, число способов выбора равно
А340=40! / 37! = 59280.
Ответ:59280.
Перестановки с повторениями.
Перестановки с повторениями состава (k1,…,km) из букв (a1,…,am) называют
любой кортеж длины k= k1+k2+…+km, в которой буква a1 входит в k1 раз, …, буква
am – km раз. Число таких перестановок обозначается P(k1,…,km). Рассчитывается
по формуле:
(k1 k 2 …kn)!
P(k1,…,km) =
k1!k 2!..kn!
Задача:
Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «математика»?
Решение:
Слово «математика» является кортежем длины 10, имеющим состав (2, 3, 2, 1,
1, 1) (буква «м» входит 2 раза, буква «а» — раза, буква «т» — 2 раза, буквы «е»,
«и», «к» — по одному разу).
10!
P (2, 3, 2, 1, 1, 1) =
= 151200.
2!3!2!1!1!1!
Ответ: 151200
Перестановка без повторений.
Перестановка без повторений из m – элементов называют размещением без
повторений из этих элементов по m. Число перестановок обозначают Рm.
Рассчитывают по формуле:
Pm = m!
Задача:
Сколькими способами 6 человек могут сесть в 6 машин?
Решение:
Пронумеруем машины числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и обозначим человека, севшего в k
–тую машину через Xk. Тогда (х1,…,х6) – перестановка из имен этих шести
людей, причем каждой такой перестановке соответствует один и только один
способ размещения в машинах, следовательно:
Р6 = 6!=720
Ответ: 720.
5
2
4
1
3
6
Сочетание с повторениями.
Имеются предметы m видов и из них составляется набор, содержащие k элементов. Два
таких набора считаются одинаковыми в том и только в том случае, когда они имеют
одинаковый состав. Такие наборы называются сочетаниями с повторениями из m
элементов по k. Рассчитываются по формуле:
Сkm = Ckk+m-1
Задача:
Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4
сорта пирожных?
Решение:
Искомое число равно: С74 т.е. C77+4-1 следовательно:
С710 = C310 = (10*9*8) / (1*2*3)=120
Ответ: 120.
Сочетания без повторений.
K – элементные подмножества m-элементного множества x называют
сочетаниями без повторений из элементов этого множества по K. Их число
обозначают Ckm. Рассчитывают по формуле:
m!
Ckm =
k!(m k )!
Задача:
Сколькими способами можно выбрать один цветок из 5 роз и 3 водяных
лилий?
5!
С = 1!4! =5
3!
1
С 3= 1!2! =3
1
5
Решение:
С13+С15=3+5=8 способов
Ответ: 8 способов.
Бином Ньютона.
Формула: (x-a)n=xn-naxn-1+C2na2xn-2-C3na3xn-3+…+(-1)kCkrakxn-k+…+(-1)nan.
Пример: Найдите разложения: а) (2y2-3y) 5 ; б) (1- 2)6
Решение: а) y5(2y – 3)5 = y5(32y5 – 16y4*5*3 + 8y3*10*9 – 4y2*10*27 + 2y*5*81 –
— 243) = 32y10 — 240y9 + 720y8 — 1080y7 + 810y6 – 243y5;
б) 1 — 6 2 + 15*2 – 20*2 2 +15*4 – 6*4 2 + 8 = 99 — 70 2.
Для нахождения коэффициентов в биноме Ньютона удобно использовать
треугольник Паскаля.
0-я степень
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
5
1
6
10
1
4
10
1
5
1
5-я степень
Коэффициент в разложении многочлена легко искать с
помощью треугольника Паскаля.
(х-а)3=х3-3х2а+3а2х-а3
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Элементы комбинаторики.
Перестановки, размещения, сочетания
Ниже калькулятор, подсчитывающий число перестановок, размещений и сочетаний. Под ним, как водится, ликбез, если кто подзабыл.
Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания
Число перестановок из n

Число размещений из n по m

Число размещений из n по m с повторениями

Число сочетаний из n по m

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет
Итак, есть множество из n элементов.
Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation).
Например, есть множество, состоящее из 3 элементов — А, В, и С. Пример перестановки — СВА. Число всех перестановок из n элементов:
Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА
Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement).
Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА — это два разных размещения. Число всех размещений из n по m
Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ
Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться.
Число всех размещений из n по m с повторениями:
Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC
Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination).
Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех сочетаний из n по m
Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ
Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями:
Обратите внимание, что внизу
основные формулы. Перестановки, размещения, сочетания.
Задачи по теории вероятностей с решением онлайн. Помощь студентам
Основные понятия и формулы
Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о
том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов
(элементов).
Правило умножения (основная формула комбинаторики)
Общее число

способов, которыми можно выбрать по одному
элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть
получить упорядоченную совокупность

),
равно:
Пример 1
Монету подбросили 3 раза.
Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?
Решение
Первая монета имеет

альтернативы – либо орел, либо решка. Для
второй монеты также есть

альтернативы
и т.д., т.е.

.
Искомое количество
способов:
Правило сложения
Если любые две группы

и

не имеют общих элементов, то выбор одного
элемента или из

,
или из

,
…или из

можно осуществить

способами.
Пример 2
На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4
экономических. Сколько существует способов
выбора одной математической или одной экономической книги.
Решение
Математическая книга может быть выбрана

способами, экономическая —

способами.
По правилу суммы существует

способа выбора математической или
экономической книги.
Размещения и перестановки
Размещения – это
упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом,
либо порядком элементов.
Размещения без повторений,
когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную
совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения,
а его результат – размещением без повторений из

элементов по

.
Число различных способов, которыми можно произвести
последовательный выбор без возвращения

элементов из генеральной совокупности объема

,
равно:
Пример 3
Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число
вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Решение
Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11,
отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования.
поэтому:
Перестановки – это
упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком
элементов. Число всех перестановок множества из

элементов равно

Пример 4
Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?
Решение
Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то
есть является перестановкой из 4 элементов:
Размещения с повторениями,
когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную
совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а
его результат — размещением с
повторениями из

элементов по

.
Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с
возвращением

элементов из генеральной совокупности объема

,
равно

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .
Пример 5
Лифт останавливается на 7
этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров,
находящихся в кабине лифта?
Решение
Каждый из способов
распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров
по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком.
Так как одном этаже может выйти как
один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут
повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с
повторениями из 7 элементов по 6:

Сочетания
Сочетаниями

из n элементов по k называются
неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним
элементом.
Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов
(либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается).
В результате такого одновременного неупорядоченного выбора

элементов из генеральной совокупности объема

получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из

элементов по

.
Число сочетаний из

элементов по

равно:
Пример 6
В ящике 9 яблок. Сколькими
способами можно выбрать 3 яблока из ящика?
Решение
Каждый вариант выбора
состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет
собой сочетания без повторений из 9 элементов:
Количество способов,
которыми можно выбрать 3 яблока из 9:
Пусть из генеральной совокупности объема

выбирается

элементов, один за другим, причем каждый
отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную
совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз,
однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности
называются сочетаниями с повторениями
из

элементов по

.
Число сочетаний с повторениями из

элементов по

:
Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .
Пример 7
На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить
6 открыток?
Решение
Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6:
Разбиение множества на группы
Пусть множество из

различных элементов разбивается на

групп так, то в первую группу попадают

элементов, во вторую —

элементов, в

-ю
группу —

элементов, причем

.
Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.
Число разбиений на

групп, когда в первую попадают

элементов, во вторую —

элементов, в k-ю группу —

элементов, равно:
Пример 8
Группу из 16 человек
требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек,
во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно
сделать?
Решение
Здесь

Число разбиений на 3 подгруппы:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Монету
подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?
Задача 2
Доступ к
файлу открывается, только если введен правильный пароль – определенный
трехзначный номер из нечетных цифр. Какова максимальное число возможных попыток
угадать пароль?
Задача 3
Группу из
10 человек требуется разбить на две непустые подгруппы

и

. Сколькими способами можно
это сделать?
Задача 4
Два
наборщика должны набрать 16 текстов. Сколькими способами они могут распределить
эту работу между собой.
Задача 5
Шесть
студентов-переводников нужно распределить по трем группам. Сколькими способами
это можно сделать?
Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .
Задача 6
Лифт
останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6
пассажиров, находящихся в кабине лифта?
Задача 7
В ящике 5
красных и 4 зеленых яблока. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из
ящика?
Задача 8
Из ящика,
в котором лежат 10 красных и 5 зеленых яблок, выбирают одно красное и два
зеленых яблока. Сколькими способами можно это сделать.
Задача 9
В группе
из 25 студентов нужно выбрать старосту и 3 членов студенческого комитета.
Сколькими способами можно это сделать.
Задача 10
Акционерное
собрание компании выбирает из 50 человек президента компании, председателя совета
директоров и 10 членов совета директоров. Сколькими способами это можно
сделать?
Задача 11
В
телевизионной студии работают 3 режиссера, 4 звукорежиссера, 5 операторов, 7
корреспондентов и 2 музыкальных редактора. Сколькими способами можно составить съемочную
группу, состоящую из одного режиссера, двух операторов, одного звукорежиссера и
двух корреспондентов.
Задача 12
На группу
из 25 человек выделены 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами
они могут быть распределены (не более одного билета в руки).
Задача 13
Имеются 7
билетов: 3 в один театр и 4 – в другой. Сколькими способами они могут быть
распределены между студентами группы из 25 человек?
Задача 14
Группу из
16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть
5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами
это можно сделать?
Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .
На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.
Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.
Калькулятор комбинаций и перестановок
Узнайте, сколько разных способов выбирать предметы.
Для более подробного объяснения формул, пожалуйста, посетите «Комбинации и перестановки».
Примечание. Здесь находится старая версия Flash.
Для более подробного объяснения, пожалуйста, посетите «Комбинации и перестановки».
Опытные пользователи!
Теперь вы можете добавить «Правила», которые уменьшат список:
Правило «имеет» , которое гласит, что определенные элементы должны быть включены (чтобы запись была включена).
Пример: имеет 2, a, b, c. означает, что запись должна иметь как минимум две из букв a, b и c.
Правило «нет» , которое означает, что некоторые элементы из списка не должны встречаться вместе.
Пример: no 2, a, b, c означает, что запись должна содержать , а не , две или более букв a, b и c.
Правило «шаблона» используется для наложения некоторого шаблона для каждой записи.
Пример: шаблон c, * означает, что буква c должна быть первой (может следовать все остальное)
Поместите правило в отдельной строке:
Пример: правило «имеет»
a, b, c, d, e, f, g
имеет 2, a, b
Комбинации a, b, c, d, e, f, g, которые имеют по крайней мере 2 из a, b или c
Правила в деталях
Правило «имеет»
За словом «имеет» следует пробел и число. Затем запятая и список элементов, разделенных запятыми.
Число говорит, сколько (минимум) из списка необходимо для того, чтобы этот результат был разрешен.
Пример имеет 1, a, b, c
Допускается, если есть a , или b , или c , или a и b , или a и c , или b и c , или все три a, b и с .
Другими словами, он настаивает на том, чтобы в результате присутствовали a, b или c.
Итак, {a, e, f} принято, но {d, e, f} отклонено.
Пример имеет 2, a, b, c
Допустим, если есть a и b , или a и c , или b и c , или все три a, b и c .
Другими словами, он настаивает на том, чтобы в результате было как минимум 2 из a, b или c.
Итак, {a, b, f} принято, но {a, e, f} отклонено.
Правило «нет»
Слово «нет», за которым следует пробел и число. Затем запятая и список элементов, разделенных запятыми.
Число указывает, сколько (минимум) из списка необходимо для отклонения.
Пример: n = 5, r = 3, Order = no, Replace = no
Что обычно дает:
{a, b, c} {a, b, d} {a, b, e} {a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d } {b, c, e} {b, d, e} {c, d, e}
Но когда мы добавляем такое правило «нет»:
а, б, в, г, д, е, г
№ 2, а, б
Получаем:
{a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d} {b, c, e} {b, d, e} {c, d, e }
Записи {a, b, c}, {a, b, d} и {a, b, e} отсутствуют, потому что правило говорит, что у нас не может быть 2 из списка a, b (имеющего a или b нормально, но не вместе)
Пример: № 2, а, б, в
Разрешает только это:
{a, d, e} {b, d, e} {c, d, e}
Он отклонил любые с a и b , или a и c , или b и c , или даже все три a, b и c .
Итак, {a, d, e) разрешено (в нем только один из a, b и c)
Но {b, c, d} отклоняется (у него 2 из списка a, b, c)
Пример: № 3, а, б, в
Разрешает все:
{a, b, d} {a, b, e} {a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d} {b, c, e } {b, d, e} {c, d, e}
Отсутствует только {a, b, c}, потому что это единственный, у которого 3 из списка a, b, c
Правило «шаблона»
Слово «шаблон», за которым следует пробел и список элементов, разделенных запятыми.
Вы можете включить эти «особые» предметы:
? (вопросительный знак) означает любой предмет. Это похоже на «подстановочный знак».
* (звездочка) означает любое количество элементов (0, 1 или более). Как «супер-шаблон».
Пример: узор?, C, *, f
Означает «любой элемент, за которым следует c, за которым следует ноль или более элементов, затем f»
Итак, {a, c, d, f} разрешено
И {b, c, f, g} также разрешены (между c и f нет элементов, и это нормально)
Но {c, d, e, f} нет, потому что перед c нет элемента.
Пример: сколькими способами можно выстроить Алекса, Бетти, Кэрол и Джона в ряд, с Джоном после Алекса.
Используйте: n = 4, r = 4, order = yes, replace = no.
Алекс, Бетти, Кэрол, Джон
узор *, Алекс, *, Джон
Результат:
{Алекс, Бетти, Кэрол, Джон} {Алекс, Бетти, Джон, Кэрол} {Алекс, Кэрол, Бетти, Джон} {Алекс, Кэрол, Джон, Бетти} {Алекс, Джон, Бетти, Кэрол} {Алекс, Джон , Кэрол, Бетти} {Бетти, Алекс, Кэрол, Джон} {Бетти, Алекс, Джон, Кэрол} {Бетти, Кэрол, Алекс, Джон} {Кэрол, Алекс, Бетти, Джон} {Кэрол, Алекс, Джон, Бетти} {Кэрол, Бетти, Алекс, Джон}
Лотереи
Лотерея — это разновидность азартных игр, при которой люди покупают билеты, а затем выигрывают, если выберут их числа.
«Лот» — это то, что происходит случайно. Возможно, вы слышали, как люди говорят: «Давайте решим жеребьевкой» или «Так что это мой удел».
Правила
У разных лотерей разные правила.
Здесь мы будем использовать типичную лотерею, в которой игрок выбирает 6 различных чисел из 49 .
Пример:
Вы участвуете в лотерее, купив билет и выбрав свои шесть чисел.
Вы выбираете: 1, 2, 12, 14, 20 и 21
В субботу проводится розыгрыш лотереи, и выигрышных номеров составляют:
3, 12, 18, 20, 32 и 43
Вы сопоставили два чисел (12 и 20):
Этого достаточно, чтобы выиграть что-нибудь? №
Обычно вы должны угадать не менее трех чисел , чтобы получить небольшой приз.
Если угадать четырех номеров , вы получите больший приз,
Соответствие пяти еще больше.
Но если вы угадаете ВСЕ ШЕСТЬ чисел, вы можете выиграть миллионов .
Шансы на выигрыш всех 6 номеров равны 1 из 13 983 816 (рассчитано ниже).
Выбор чисел
Они могут выиграть.
Цифры не знают, какие они!
Лотерея — это с такой же вероятностью, что выпадет «1,2,3,4,5,6», как «9,11,16,23,27,36»
Серьезно!
Вместо чисел это могут быть символы или цвета, лотерея все равно будет работать.
На самом деле получился результат ниже (Florida Fantasy 5 от 21 марта 2011 г.):
Так что неважно, какие числа вы выберете, шансы одинаковы.
Более вероятные номера?
Значит, вы читали, что одни числа встречаются чаще, чем другие? Ну, конечно, есть, это случайный случай.
У организаторов лотерей есть строгие правила, запрещающие «фальсификацию» результатов. Но случайный случай может иногда приводить к странным результатам.
Например, используя Spinner, я сделал 1000 вращений на 10 чисел и получил следующее:
Ух ты! 7 выпало 115 раз, ,
и 8 только 81 раз.
Означает ли это, что 7 теперь будет появляться чаще или реже ? На самом деле это ничего не значит, 7 с такой же вероятностью, как и любое число, будет выбрано.
Попробуйте сами и посмотрите, какие результаты вы получите.
Популярные номера
Но есть хитрость! У людей есть любимые числа, поэтому, когда выпадают популярные числа, вы делитесь выигрышем с множеством людей.
дней рождения — популярный выбор, поэтому люди выбирают 1–12 и 1–31 чаще. Также счастливые числа.
Так что, возможно, вам стоит выбрать непопулярных номеров , чтобы, когда вы действительно выиграете, вы получите больше денег.
(Предполагается, что в вашей лотерее призы распределяются между победителями.)
Сожаление
Не выбирайте одни и те же номера каждую неделю . Это ловушка! Если вы забыли неделю, вы беспокоитесь, что выпадут ваши числа , и это заставит вас покупать билет каждую неделю (даже если у вас есть другие более важные дела).
Мой совет:
Составьте список из множества непопулярных номеров.
Выбирать случайным образом из этого списка каждый раз.
Синдикаты
«Синдикат» — это группа людей, которые все вкладывают небольшие деньги, чтобы группа могла купить много билетов. Шансы на выигрыш повышаются, но каждый раз ваша выплата меньше (потому что вы делитесь).
Синдикаты могут быть интересными, потому что они общительны … способ завести и сохранить дружеские отношения. К тому же некоторые синдикаты любят тратить небольшие выигрыши на всех, кто собирается вместе пообедать.
Еще одна веская причина для присоединения к синдикату заключается в том, что ваши шансы на выигрыш повышаются (а то, что вы выигрываете, снижается).
Подумайте об этом … выигрыш Десяти миллионов действительно изменит вашу жизнь, но Один миллион также значительно улучшит вашу жизнь. Вы можете предпочесть десятикратный шанс выиграть миллион.
Вероятность выиграть большой приз
ОК. Каковы шансы выиграть большой приз?
Шансы на выигрыш всех 6 номеров равны 1 из 13 983816
Вы можете использовать калькулятор комбинаций и перестановок, чтобы вычислить это (используйте n = 49 , r = 6 , «Нет» для параметра «Важен ли порядок?» И «Нет» для параметра «Разрешено ли повторение?»)
Фактический расчет таков:
⁴⁹ С ₆ = 49! / (43! X 6!) = 13983816
Итак, сколько раз вам нужно сыграть, чтобы выиграть?
1 неделя
Предположим, вы играете каждую неделю
Вероятность выигрыша через 1 неделю:
1
13983816
= 0.0000000715 …
Таким образом, вероятность того, что не выиграют через 1 неделю, составляет:
1 —
1
13983816
= 0,9999999285 …
50 лет
Допустим, вы играете 50 лет, это 2600 недель.
Вероятность того, что не выиграют за 2600 недель, составляет:
(1 —
1
13983816
) ²⁶⁰⁰ = 0,999814 …
Это означает, что вероятность выигрыша (через 50 лет) составляет: 1 — 0. 999814 … = 0,000186 …
Еще только около 0,02%
И вы бы потратили тысячи на этот маленький шанс.
Вы могли хорошо провести отпуск за эти деньги.
НО это весело думать: «Я могу выиграть на этой неделе!»
Просто оставь это забавой , хорошо?
Твоя очередь
Теперь ваша очередь:
Узнайте правила выигрыша в лотерею в вашем регионе.
Сколько номеров вам нужно выбрать и из скольких номеров вы выбираете?
Рассчитайте вероятность выигрыша в любую неделю.
Подсчитайте вероятность выигрыша, если вы будете играть каждую неделю в течение 50 лет.
Сколько денег вы сэкономите, не играя? Что можно купить за эти деньги?
Биномиальное распределение
«Би» означает «два» (как у велосипеда два колеса) …
… так что это про вещи с два результата .

Подбрасывание монеты:
Получили ли мы головы (H) или
Хвосты (Т)
Мы говорим, что вероятность выпадения монеты H составляет ½
А вероятность выпадения монеты T составляет ½
Бросок кубика:
Мы получили четверку…?
… или нет?
Мы говорим, что вероятность четыре равна 1/6 (одна из шести граней равна четверке)
И вероятность того, что не четыре составляет 5/6 (пять из шести граней не четыре)
Обратите внимание, что матрица имеет 6 сторон, но здесь мы рассмотрим только два корпуса : «четыре: да» или «четыре: нет»
Подбросим монетку!
Подбросьте справедливую монету трижды … каков шанс получить две головы ?
Подбрасывая монету три раза ( H для орла, T для решки) можно получить любой из этих 8 результатов :
Какие результаты мы хотим?
«Две головы» могут быть в любом порядке: «HHT», «THH» и «HTH» имеют две головы (и один хвост).
Итак, 3 результата дают «Две головы».
Какова вероятность каждого исхода?
Каждый исход одинаково вероятен, а их 8, поэтому каждый исход имеет вероятность 1/8
Таким образом, вероятность события «Две головы» составляет:
Количество желаемых результатов Вероятность
каждого исхода
3 × 1/8 = 3/8
Таким образом, шанс получить две головы составляет 3/8
Мы использовали специальные слова:
Результат : любой результат трех подбрасываний монеты (8 различных возможностей)
Событие : «Две головы» из трех подбрасываний монеты (3 исхода имеют это)
3 головы, 2 головы, 1 голова, нет
Расчеты (P означает «Вероятность»):
P (три головки) = P ( HHH ) = 1/8
P (две головки) = P ( HHT ) + P ( HTH ) + P ( THH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
P (одна головка) = P ( HTT ) + P ( THT ) + P ( TTH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
P (нулевой напор) = P ( TTT ) = 1/8
Мы можем записать это в терминах случайной переменной, X, = «Количество голов при 3 подбрасываниях монеты»:
P (X = 3) = 1/8
P (X = 2) = 3/8
P (X = 1) = 3/8
P (X = 0) = 1/8
А вот как это выглядит в виде графика:
Он симметричный!
Создание формулы
А теперь представьте, что нам нужны шансы 5 решек за 9 бросков : перечисление всех 512 исходов займет много времени!
Итак, давайте составим формулу.
В нашем предыдущем примере, как мы можем получить значения 1, 3, 3 и 1?
Что ж, они действительно находятся в Треугольнике Паскаля!
Можем ли мы сделать их по формуле?
Конечно, можем, и вот он:
Его часто называют «n choose k»
n = общее количество
k = число, которое мы хотим
знак «!» означает «факториал», например 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Подробнее …
об этом в Комбинации и Перестановки.
Попробуем:
Пример: при 3 бросках, каковы шансы на 2 решки?
У нас есть n = 3 и k = 2 :
н! к! (Н-к)! = 3! 2! (3-2)!
= 3 × 2 × 1 2 × 1 × 1
= 3
Итак, есть 3 исхода с «2 головами»
(Мы это уже знали, но теперь у нас есть формула.)
Давайте ответим на более сложный вопрос:
Пример: при 9 бросках, каковы шансы на 5 бросков?
У нас есть n = 9 и k = 5 :
н! к! (Н-к)! = 9! 5! (9-5)!
= 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1
= 126
Значит, у 126 исходов будет 5 голов
А для 9 бросков всего 2 ⁹ = 512 исходов, поэтому получаем вероятность:
Количество желаемых результатов Вероятность
каждого исхода
126 × 1 512 = 126 512
Итак:
P (X = 5) = 126 512 = 0. 24609375
Примерно с вероятностью 25% .
(Легче, чем перечислить их все.)
Смещение!
До сих пор шансы на успех или неудачу равнялись и равны .
Но что, если монеты смещены (больше на одну сторону, чем на другую) или выбор не равен 50/50.
Пример: вы продаете бутерброды. 70% выбирают курицу, остальные выбирают что-то другое.
Какова вероятность продать 2 бутерброда с курицей следующим 3 покупателям?
Это похоже на пример орла и решки, но с 70/30 вместо 50/50.
Нарисуем древовидную диаграмму:
Ящики «Две курицы» выделены.
Вероятности для «двух цыплят» равны 0,147 , потому что мы умножаем два 0,7 и один 0,3 в каждом случае. Другими словами
0,147 = 0,7 × 0,7 × 0,3
Или, используя экспоненты:
= 0,7 ² × 0,3 ¹
0,7 — это вероятность каждого выбора, который мы хотим, назовем это p
2 — это количество вариантов, которое мы хотим, назовем его k
А у нас (пока):
= p ^k × 0. 3 ¹
0,3 — вероятность противоположного выбора, так что это: 1 − p
1 — это количество противоположных вариантов, так что это: n − k
Что дает нам:
= p ^k (1-p) ^(n-k)
Где
p — вероятность каждого желаемого нами выбора
k — это количество вариантов, которое мы хотим
n — общее количество вариантов
Пример: (продолжение)
р = 0.7 (шанс курицы)
k = 2 (выбор курицы)
n = 3 (всего вариантов)
Получаем:
п ^к (1-р) ^(н-к) = 0,7 ² (1-0,7) ^(3-2)
= 0,7 ² (0,3) ⁽¹⁾
= 0,7 × 0,7 × 0,3
= 0,147
, что у нас было раньше, но теперь используется формула
Теперь мы знаем, что вероятность каждого исхода равна 0,147
Но мы должны указать, что существует три таких способов: (курица, курица, другое) или (курица, другое, курица) или (другое, курица, курица)
Пример: (продолжение)
Общее количество исходов «два цыпленка»:
н! к! (Н-к)! = 3! 2! (3-2)!
= 3 × 2 × 1 2 × 1 × 1
= 3
И получаем:
Количество желаемых результатов Вероятность
каждого исхода
3 × 0. 147 = 0,441
Таким образом, вероятность события «2 человека из 3 выбирают курицу» = 0,441
ОК. Это был большой труд для того, что мы уже знали, но теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для более сложных вопросов.
Пример: Сэм говорит: «70% выбирают курицу, поэтому 7 из следующих 10 клиентов должны выбрать курицу» … каковы шансы, что Сэм прав?
Итак имеем:
И получаем:
п ^к (1-п) ^(н-к) = 0.7 ⁷ (1-0,7) ^(10-7)
= 0,7 ⁷ (0,3) ⁽³⁾
= 0,0022235661
Это вероятность каждого исхода.
И общее количество этих исходов:
н! к! (Н-к)! = 10! 7! (10-7)!
= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1
= 10 × 9 × 8 3 × 2 × 1
= 120
И получаем:
Количество желаемых результатов Вероятность
каждого исхода
120 × 0. 0022235661 = 0,266827932
Таким образом, вероятность того, что 7 из 10 выберут курицу, составляет всего около 27%
Мораль истории: даже при том, что долгосрочное среднее значение составляет 70%, не ожидайте 7 из следующих 10.
Собираем вместе
Теперь мы знаем, как вычислить , сколько :
н! к! (Н-к)!
И вероятность каждого :
п ^к (1-р) ^(н-к)
При умножении получаем:
Вероятность k из n способов:
П (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)
Общая формула биномиальной вероятности
Важные примечания:
Испытания независимые,
В каждом испытании есть только два возможных исхода,
Вероятность «успеха» в каждом испытании постоянна.
Quincunx
Поиграйте с Quincunx (затем прочтите Quincunx Explained), чтобы увидеть биномиальное распределение в действии.
Брось кубик
Честный кубик бросается четыре раза. Рассчитайте вероятности получения:
0 двоек
1 Два
2 двоих
3 двоих
4 двойки
В данном случае n = 4 , p = P (Два) = 1/6
X — это случайная переменная «Количество двоек из четырех бросков».
Подставьте x = от 0 до 4 в формулу:
P (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)
Вот так (до 4 знаков после запятой):
P (X = 0) = 4! 0! 4! × (1/6) ⁰ (5/6) ⁴ = 1 × 1 × (5/6) ⁴ = 0,4823
P (X = 1) = 4! 1! 3! × (1/6) ¹ (5/6) ³ = 4 × (1/6) × (5/6) ³ = 0.3858
P (X = 2) = 4! 2! 2! × (1/6) ² (5/6) ² = 6 × (1/6) ² × (5/6) ² = 0,1157
P (X = 3) = 4! 3! 1! × (1/6) ³ (5/6) ¹ = 4 × (1/6) ³ × (5/6) = 0,0154
P (X = 4) = 4! 4! 0! × (1/6) ⁴ (5/6) ⁰ = 1 × (1/6) ⁴ × 1 = 0,0008
Резюме: «для 4 бросков существует 48% вероятность отсутствия двоек, 39% вероятность 1 два, 12% вероятность 2 двоек, 1. Вероятность 5% на 3 двойки и крошечная вероятность 0,08% того, что все броски будут двойками (но это все равно может случиться!) »
На этот раз график несимметричный:
Это несимметрично!
Перекошено, потому что p не равно 0,5
Спортивные мотоциклы
Ваша компания занимается производством спортивных мотоциклов. 90% проходят окончательную проверку (а 10% не проходят и требуют исправления).
Каково ожидаемое среднее значение и отклонение от 4 следующих проверок?
Сначала посчитаем все вероятности.
X — случайная переменная «Количество проходов из четырех проверок».
Подставьте x = от 0 до 4 в формулу:
P (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)
Как это:
P (X = 0) = 4! 0! 4! × 0,9 ⁰ 0,1 ⁴ = 1 × 1 × 0,0001 = 0,0001
P (X = 1) = 4! 1! 3! × 0,9 ¹ 0. 1 ³ = 4 × 0,9 × 0,001 = 0,0036
P (X = 2) = 4! 2! 2! × 0,9 ² 0,1 ² = 6 × 0,81 × 0,01 = 0,0486
P (X = 3) = 4! 3! 1! × 0,9 ³ 0,1 ¹ = 4 × 0,729 × 0,1 = 0,2916
P (X = 4) = 4! 4! 0! × 0,9 ⁴ 0,1 ⁰ = 1 × 0,6561 × 1 = 0,6561
Резюме: «для следующих 4 велосипедов есть крошечный 0.Вероятность отсутствия передач 01%, вероятность отсутствия передач 0,36%, вероятность 2 передач 5%, вероятность 3 передач 29% и колоссальная вероятность 66%, что все они пройдут проверку «.
Среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение
Давайте рассчитаем среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение для проверок спортивных велосипедов.
Для них существуют (относительно) простые формулы. Их немного сложно доказать, но они работают!
Среднее или «ожидаемое значение»:
мк = np
Для спортивных мотоциклов:
μ = 4 × 0. 9 = 3,6
Итак, можно ожидать, что 3,6 мотоцикла (из 4) пройдут техосмотр.
На самом деле имеет смысл … 0,9 шанс для каждого велосипеда умножить на 4 велосипеда равняется 3,6
Формула дисперсии:
Отклонение: σ ² = np (1-p)
Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:
σ = √ (np (1-p))
Для спортивных мотоциклов:
Разница: σ ² = 4 × 0,9 × 0,1 = 0,36
Стандартное отклонение:
σ = √ (0.36) = 0,6
Примечание: мы также можем вычислить их вручную, составив такую таблицу:
X П (Х) X × P (X) X ² × P (X)
0 0,0001 0 0
1 0.0036 0,0036 0,0036
2 0,0486 0,0972 0,1944
3 0,2916 0,8748 2,6244
4 0,6561 2,6244 10,4976
СУММ: 3. 6 13,32
Среднее значение — это Сумма (X × P (X)) :
мк = 3,6
Дисперсия равна сумме (X ² × P (X)) минус Среднее ²:
Разница: σ ² = 13,32 — 3,6 ² = 0,36
Стандартное отклонение:
σ = √ (0,36) = 0,6
И мы получили те же результаты, что и раньше (ура!)
Сводка
Треугольник Паскаля
Одним из самых интересных шаблонов чисел является треугольник Паскаля (названный в честь Блеза Паскаля , известного французского математика и философа).
Чтобы построить треугольник, начните с «1» вверху, затем продолжайте размещать числа под ним в виде треугольника.
Каждое число — это числа непосредственно над ним, сложенные вместе.
(Здесь я выделил, что 1 + 3 = 4)
Узоры внутри треугольника
Диагонали
Первая диагональ, конечно же, всего «1» с
На следующей диагонали расположены счетные числа (1,2,3 и т. Д.).
На третьей диагонали расположены треугольные числа
(Четвертая диагональ, не выделенная, имеет четырехгранные числа.)
Симметричный
Треугольник тоже симметричный. Цифры на левой стороне имеют одинаковые совпадающие числа на правой стороне, как в зеркальном отображении.
Суммы по горизонтали
Что вы заметили в горизонтальных суммах?
Есть узор?
Они удваивают каждый раз (степени двойки).
Показатели из 11
Каждая строка также является степенью (показателем) 11:
11 ⁰ = 1 (первая строка — просто «1»)
11 ¹ = 11 (вторая строка — «1» и «1»)
11 ² = 121 (третья строка — «1», «2», «1»)
и т. Д.!
Но что происходит с 11 ⁵^{? Простой! Цифры просто перекрываются, вот так:}
То же самое происходит с 11 ⁶^{и т. Д.}
Квадраты
Для второй диагонали квадрат числа равен сумме чисел рядом с ним и под ними обоими.
Примеры:
3 ² = 3 + 6 = 9,
4 ² = 6 + 10 = 16,
5 ² = 10 + 15 = 25,
…
Есть и веская причина … ты можешь придумать это?
(Подсказка: 4 ² = 6 + 10, 6 = 3 + 2 + 1 и 10 = 4 + 3 + 2 + 1)
Последовательность Фибоначчи
Попробуйте следующее: сделайте узор, двигаясь вверх, а затем вдоль, затем сложите значения (как показано на рисунке)… вы получите последовательность Фибоначчи.
(Последовательность Фибоначчи начинается с «0, 1», а затем продолжается добавлением двух предыдущих чисел, например 3 + 5 = 8, затем 5 + 8 = 13 и т. Д.)
Шансы и эвены
Если вы раскрасите четные и нечетные числа, вы получите узор, такой же, как треугольник Серпинского
Использование треугольника Паскаля
Голова и решка
Треугольник Паскаля может показать вам, сколько способов совмещения орла и решки.Это может показать вам вероятность любой комбинации.
Например, если вы подбрасываете монету три раза, есть только одна комбинация, которая даст вам три решки (HHH), но есть три, которые дадут две решки и одну решку (HHT, HTH, THH), а также три, которые дают одну голову и два решки (HTT, THT, TTH) и по одному для всех решек (TTT). Это образец «1,3,3,1» в Треугольнике Паскаля.
Боссы Возможные результаты (сгруппированы) Треугольник Паскаля
1 H
T 1, 1
2 HH
HT TH
TT 1, 2, 1
3 HHH
HHT, HTH, THH
HTT, THT, TTH
TTT 1, 3, 3, 1
4 HHHH
HHHT, HHTH, HTHH, THHH
HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH
HTTT, THTT, TTHT, TTTH
TTTT 1, 4, 6, 4, 1
… и т. д …
Пример: Какова вероятность выпадения ровно двух орлов при подбрасывании 4 монет?
Есть 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (или 2 ⁴ = 16) возможных результатов, и 6 из них дают ровно две решки. Таким образом, вероятность составляет 6/16, или 37,5%
Комбинации
Треугольник также показывает, сколько комбинаций объектов возможно.
Пример: у вас есть 16 бильярдных шаров.Сколько разных способов вы можете выбрать только 3 из них (игнорируя порядок, в котором вы их выбираете)?
Ответ: спуститесь в начало строки 16 (верхняя строка — 0), а затем по трем разрядам (первое место — 0) и там значение будет вашим ответом, 560 .
Вот отрывок из строки 16:
1 14 ... 1 15 105 455 1365 ... 1 16120 560 1820 4368 ...
Формула для любого входа в треугольник
На самом деле существует формула из Комбинации для вычисления значения в любом месте треугольника Паскаля:
Обычно его называют «n выберите k» и пишут так:
Обозначение: «n выберите k» также можно написать C (n, k) , ⁿ C _k или даже _n C _k.
Знак «!» является «факториалом» и означает умножение ряда убывающих натуральных чисел. Примеры:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
Таким образом, треугольник Паскаля также может быть
треугольником «n выбрать k» , подобным этому.
(обратите внимание, что верхняя строка — это , нулевая строка
, а также крайний левый столбец — нулевой)
Пример: строка 4, член 2 в треугольнике Паскаля равен «6» …
… посмотрим, работает ли формула:
Да, работает! Попробуйте другое значение для себя.
Это может быть очень полезно … теперь вы можете вычислить любое значение в треугольнике Паскаля непосредственно (без вычисления всего треугольника над ним).
Полиномы
Треугольник Паскаля также может показать вам коэффициенты в биномиальном разложении:
Мощность Биномиальное разложение Треугольник Паскаля
2 (x + 1) ² = 1 x ² + 2 x + 1 1, 2, 1
3 (x + 1) ³ = 1 x ³ + 3 x ² + 3 x + 1 1, 3, 3, 1
4 (x + 1) ⁴ = 1 x ⁴ + 4 x ³ + 6 x ² + 4 x + 1 1, 4, 6, 4, 1
… и т. д …
Первые 15 строк
Для справки я включил строки с 0 по 14 треугольника Паскаля
.
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
130009 13
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
364
91
Китайцы знали об этом
Этот рисунок называется «Схема семи квадратов умножения по старинному методу».Просмотр полного изображения
Это с лицевой стороны книги Чу Ши-Чи « Ssu Yuan Yü Chien» (Драгоценное зеркало четырех элементов) , написанной в году нашей эры 1303 (более 700 лет назад и более чем на 300 лет до Паскаля!) В книге говорится, что треугольник был известен более чем за два столетия до этого.
Квинканкс
Удивительная маленькая машина, созданная сэром Фрэнсисом Гальтоном, представляет собой треугольник Паскаля, сделанный из колышков. Он называется Quincunx.
Шарики падают на первый колышек, а затем отскакивают до нижней части треугольника, где они собираются в маленькие ящики.
Сначала это выглядит совершенно случайным (и это так), но затем вы обнаруживаете, что шары складываются в красивый узор: нормальное распределение.
перестановок и комбинаций (алгебра 2, дискретная математика и вероятность) — Mathplanet
Прежде чем мы обсудим перестановки, мы собираемся взглянуть на то, что означает сочетание слов и перестановка.Вальдорфский салат — это смесь сельдерея, грецких орехов и салата. Неважно, в каком порядке мы добавляем наши ингредиенты, но если у нас есть комбинация для нашего замка, которая составляет 4-5-6, то порядок чрезвычайно важен.
Если порядок не имеет значения, то у нас есть комбинация, если порядок имеет значение, то у нас есть перестановка. Можно сказать, что перестановка — это упорядоченная комбинация.
Число перестановок n объектов, взятых r за раз, определяется по следующей формуле:
$$ P (n, r) = \ frac {n!} {(N-r)!} $$
Пример
Код состоит из 4 цифр в определенном порядке, цифры от 0 до 9.Сколько существует различных перестановок, если одну цифру можно использовать только один раз?
Четырехзначный код может быть любым от 0000 до 9999, следовательно, существует 10000 комбинаций, если каждая цифра может использоваться более одного раза, но поскольку в вопросе нам сказано, что можно использовать только одну цифру, если она ограничивает наше количество комбинаций . Чтобы определить правильное количество перестановок, мы просто подставляем наши значения в нашу формулу:
$$ P (n, r) = \ frac {10!} {(10-4)!} = \ Frac {10 \ cdot9 \ cdot8 \ cdot 7 \ cdot 6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} {6 \ cdot5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} = 5040 $$
В нашем примере порядок цифр был важен, если бы порядок не имел значения, у нас было бы определение комбинации. Количество комбинаций из n объектов, взятых r за раз, определяется по следующей формуле:
$$ C (n, r) = \ frac {n!} {(N-r)! R!} $$
Видеоурок
Четверо друзей сядут за стол с 6 стульями. Какими способами могут сидеть друзья?

Мир математики — Mathigon
Введение
Леонард Эйлер (1707 — 1783)
Комбинаторика — это раздел математики, который насчитывает примерно , считая , и мы откроем для себя множество захватывающих примеров «вещей», которые вы можете сосчитать.
Первые комбинаторные задачи изучали математики Древней Индии, Арабских стран и Греции. Интерес к этому предмету возрос в XIX и XX веках, вместе с развитием теории графов и таких проблем, как теорема о четырех цветах. Среди ведущих математиков — Блез Паскаль (1623–1662), Якоб Бернулли (1654–1705) и Леонард Эйлер (1707–1783).
Комбинаторика имеет множество приложений в других областях математики, включая теорию графов, кодирование и криптографию, а также вероятность.
Факториалы
Комбинаторика может помочь нам подсчитать количество приказов , в которых что-то может случиться. Рассмотрим следующий пример:
В классе стоят в ряд учеников V.CombA1 и стульев V.CombA1 . В скольких различных порядках ученики могут сидеть на этих стульях?
Перечислим возможности — в этом примере V.CombA1 разных зрачков представлены V.CombA1 разных цветов стульев.
Существует {2: 2, 3: 6, 4: 24, 5: 120} [V.CombA1] различных возможных порядка. Обратите внимание, что количество возможных порядков очень быстро увеличивается по мере увеличения количества учеников. У 6 учеников есть 720 различных возможностей, и перечислять их все становится непрактично. Вместо этого нам нужна простая формула, которая говорит нам, сколько имеется заказов на n человек, чтобы сесть на n стулья. Затем мы можем просто заменить 3, 4 или любое другое число на n , чтобы получить правильный ответ.
Предположим, у нас есть стульев V.CombB1 и мы хотим разместить V.CombB1 == 1? ‘Один ученик’: V.CombB1 == 2? ‘Два ученика’: V.CombB1 == 3? ‘Три ученика ‘: V.CombB1 == 4?’ Четыре ученика ‘: V.CombB1 == 5?’ Пять учеников ‘: V.CombB1 == 6?’ Шесть учеников ‘:’ семь учеников ‘ на них.
{7: «Семь учеников могут сесть на первый стул. Затем есть 6 учеников, которые могли бы сесть на второй стул. Есть 5 вариантов для третьего стула, 4 варианта для четвертого стула, 3 варианта для пятого стула, 2 варианта для шестого стула и только один вариант для последнего стула.’,
6: «Есть 6 учеников, которые могли бы сесть на первый стул. Затем есть 5 учеников, которые могли бы сесть на второй стул. Есть 4 варианта для третьего стула, 3 варианта для четвертого стула, 2 варианта для пятого стула и только один вариант для последнего стула. ‘,
5: «Пятеро учеников могли бы сесть на первый стул. Затем есть 4 ученика, которые могут сесть на второй стул. Есть 3 варианта для третьего стула, 2 варианта для четвертого стула и только один вариант для последнего стула.’,
4: «Есть 4 ученика, которые могли бы сесть на первый стул. Затем есть 3 ученика, которые могут сесть на второй стул. Есть 2 варианта для третьего стула и только один вариант для последнего стула. ‘,
3: «Есть 3 ученика, которые могут сесть на первый стул. Затем есть 2 ученика, которые могут сесть на второй стул. Наконец, остался только один ученик, чтобы сесть на третий стул. ‘,
2: «Есть 2 ученика, которые могут сесть на первый стул. Затем остается только один ученик, который может сесть на второй стул.’,
1: ‘Это только один вариант для одиночного стула.’} [V.CombB1]
Всего
возможностей. Чтобы упростить обозначения, математики используют знак «!» называется факториалом. Например, 5! («Пять факториалов») то же самое, что 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Выше мы только что показали, что существует n ! возможности заказать н объекта.
Насколько разными способами 23 ребенка могли сесть на 23 стула в классе математики? Если у вас 4 урока в неделю, а в году 52 недели, сколько лет нужно, чтобы изучить все возможности? Примечание: Возраст Вселенной составляет около 14 миллиардов лет.
Для 23 детей, чтобы сесть на 23 стула, их 23! = 25 852 016 738 884 800 000 000 возможностей (это число слишком велико для отображения на экране калькулятора). Испытание всех возможностей потребует
23! 4 × 52 = 124 288 542 000 000 000 000 лет.
Это почти в 10 миллионов раз больше нынешнего возраста Вселенной!
Перестановки
Вышеупомянутый метод требовал, чтобы у нас было столько же учеников, сколько стульев, на которых можно было бы сидеть.Но что будет, если стульев не хватит?
Сколько различных возможностей существует для любых Math.min (V.CombC1, V.CombC2) из V. CombC1 учеников, чтобы сесть на Math.min (V.CombC1, V.CombC2) стульев? Обратите внимание, что Math.max (0, V.CombC1-V.CombC2) останется включенным, и мы не должны включать его при перечислении возможностей.
Давайте начнем снова, перечислив все возможности:
Чтобы найти простую формулу, подобную приведенной выше, мы можем думать о ней очень похожим образом.
«Есть ученики« + V.CombC1 + », которые могут сесть на первый стул. ‘+
(((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 2 || (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3 || (Math.min (V.CombC1, V .CombC2)) == 4)? ‘Тогда есть’ + (V.CombC1-1) + ‘ученики, которые могли бы сесть на второй стул.’: ») +
(((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3 || (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 4)? ‘Тогда есть’ + (V.CombC1 -2) + ‘ученики, которые могли бы сесть на третий стул.’: ») +
(((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 4)? ‘Наконец, остался один ученик, который сядет на последний стул. ’:’ ‘) +
((V.CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 1 || V.CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 2 || V. CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3)? ‘Нас не волнуют оставшиеся’ + (V.CombC1-V.CombC2) + ‘дети, оставшиеся стоять.’: ‘ ‘)
Всего
возможностей. Мы снова должны подумать об обобщении этого. Мы начинаем, как и делали бы с факториалами, но останавливаемся, не дойдя до 1. Фактически мы останавливаемся, как только достигаем числа студентов без стула. При размещении 7 студентов на 3 стульях их
7 × 6 × 5 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 17 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7 ! 4! = 7 ! ( 7 — 3 )!
возможностей, так как 4 × 3 × 2 × 1 будут компенсировать друг друга.Опять же, для этого есть более простое обозначение: 7 P 3 . Если мы хотим разместить n объектов на m позиций, то будет
n P m = n ! ( n — m )!
возможностей. P означает « p ermutations», поскольку мы подсчитываем количество перестановок (порядков) объектов. Если m и n такие же, как и в задаче в начале этой статьи, мы имеем
n P n = n ! ( n — n )! = n ! 0 !.
Чтобы понять это, мы определяем 0! = 1. Теперь n P n = n ! как и следовало ожидать от нашего решения первой проблемы.
К сожалению, вы не можете вспомнить код своего четырехзначного замка. Вы только знаете, что не использовали ни одну цифру более одного раза. Сколько разных способов вы должны попробовать? Что вы делаете о безопасности этих замков?
Имеется 10 цифр (0, 1,…, 9), каждая из которых встречается не более одного раза.Число порядков этих цифр составляет 10 P 4 = 5040. Проверка такого количества комбинаций займет очень много времени, поэтому 4-значные блокировки очень безопасны.
Комбинации
Перестановки используются, когда вы выбираете предметы и заботитесь об их порядке — например, о порядке детей на стульях. Однако в некоторых задачах вы не заботитесь о порядке и просто хотите знать, сколько есть способов выбрать определенное количество объектов из большего набора.
В магазине есть пять разных футболок, которые вам нравятся: красного, синего, зеленого, желтого и черного цветов.К сожалению, у вас достаточно денег, чтобы купить три из них. Сколько существует способов выбрать три футболки из пяти, которые вам нравятся?
Здесь нас не волнует порядок (неважно, покупаем ли мы сначала черный, а затем красный или сначала красный, а затем черный), а только количество комбинаций футболок. Возможностей
, итого их 10. Если бы мы вычислили 5 P 3 = 60, мы бы дважды подсчитали некоторые возможности, как показано в следующей таблице:
При перестановках мы считаем каждую комбинацию из трех футболок 6 раз, потому что их 3! = 6 способов заказать три футболки. Чтобы получить количество комбинаций из количества перестановок, нам просто нужно разделить на 6. Мы пишем
5 C 3 = 5 P 33! = 606 = 10.
Здесь C означает « c комбинаций». В общем, если мы хотим выбрать r объекта из n , то будет
n C r = n P r r ! = n ! r ! ( n — r )!
различных комбинаций.Вместо n C r математики часто пишут n C r = ( n r ), как дробь в скобках, но без промежуточной линии. (Для упрощения набора мы продолжим использовать первую строчную нотацию.)
(a) В вашем классе 10 детей, но вы можете пригласить только пятерых на свой день рождения. Сколько разных комбинаций друзей вы могли бы пригласить? Объясните, следует ли использовать комбинации или перестановки.
(б) На вечеринке 75 человек. Каждый раз всем пожимает руку. Как часто в целом рукопожатие? Подсказка: сколько человек участвует в рукопожатии?
(a) Количество комбинаций друзей, которых вы можете пригласить, составляет 10 C 5 = 252. Мы использовали комбинации, потому что не имеет значения, в каком порядке мы приглашаем друзей, а на какие мы приглашаем.
(b) Вы хотите найти количество всех возможных пар гостей вечеринки.Это просто 75 C 2 = 2775. (Это много рукопожатий!)
Комбинаторика и треугольник Паскаля
Рассчитаем некоторые значения n C r . Начнем с 0 C 0. Затем находим 1 C 0 и 1 C 1. Затем 2 C 0, 2 C 1 и 2 C 2. Затем 3 C 0 , 3 C 1, 3 C 2 и 3 C 3. Мы можем записать все эти результаты в таблицу:
0 С 0 = 1
1 С 0 = 1 1 С 1 = 1
2 С 0 = 1 2 С 1 = 2 2 С 2 = 1
3 С 0 = 1 3 С 1 = 3 3 С 2 = 3 3 С 3 = 1
4 С 0 = 1 4 С 1 = 4 4 С 2 = 6 4 С 3 = 4 4 С 4 = 1
5 С 0 = 1 5 С 1 = 5 5 С 2 = 10 5 С 3 = 10 5 С 4 = 5 5 С 5 = 1
Это в точности треугольник Паскаля, который мы исследовали в статье о последовательностях. Его можно создать более легко, если учесть, что любая ячейка представляет собой сумму двух ячеек, указанных выше. В треугольнике Паскаля скрыто бесчисленное множество узоров и числовых последовательностей.
Теперь мы также знаем, что номер r в строке n также задается как n C r (но мы всегда должны начинать отсчет с 0, поэтому первая строка или столбец фактически нулевой ряд). Если мы применим то, что мы знаем о создании треугольника Паскаля, к нашим комбинациям, мы получим
( n r )
+
( n r + 1)
знак равно
( № + 1 № + 1)
.
Это известно как идентификатор Паскаля . Вы можете получить его, используя определение n C r в терминах факториалов, или вы можете думать об этом следующим образом:
Мы хотим выбрать r + 1 объектов из набора n + 1 объектов. Это в точности то же самое, что пометить один объект из n + 1 , который будет называться X, и либо выбрать X плюс r других (из оставшихся n), либо не выбрать X и r + 1 другие ( от оставшихся n).
Многие задачи комбинаторики имеют простое решение, если вы думаете о нем правильно, и очень сложное решение, если вы просто пытаетесь использовать алгебру…
Звезды и решетки
Решение
Пример
Зеленщик на рынке хранит большое количество из из различных видов фруктов. Какими способами мы можем собрать мешок из или фруктов? Обратите внимание, что r может быть меньше, равно или больше n .
Обратите внимание, что с r ≤ n существует n C r способов выбрать по одному фрукту каждого вида. Однако мы также можем съесть более одного фрукта каждого вида, например, два яблока, одну клубнику и один банан.
Мы можем представить любой допустимый выбор фруктов цепочкой звезд и полосок, как показано в этом примере:
★★★ | ★★ | | ★★ | ★
3 типа 1 2 типа 2 0 типа 3 2 типа 4 1 типа 5
Всего есть r звезды (что соответствует r фруктам, которые нам разрешено есть) и n — 1 столбик (деление n различных фруктов). Это составляет r + n — всего 1 место. Любой заказ r звезды и n — 1 батончик соответствует ровно одному действительному выбору фруктов.
Теперь мы можем применить наши комбинаторные инструменты: есть r + n — 1 мест, и мы хотим выбрать n — 1 из них как столбцы (все остальные — звездочки). Что есть ровно ( r + n — 1) C ( n — 1) возможностей для этого!
Предположим, есть пять видов фруктов, и мы хотим взять десять штук.Исходя из того, что мы подсчитали выше, всего
(10 + 5-1) C (5-1) = 14 C 4 = 24 024
возможностей. Подумайте об этом в следующий раз, когда пойдете за покупками!
Комбинаторика и вероятность
Комбинаторика имеет множество приложений в теории вероятностей. Вы часто хотите найти вероятность одного конкретного события, и вы можете использовать уравнение
P ( X ) = вероятность того, что X произойдет = количество исходов, при которых произошло X , общее количество возможных исходов
Вы можете использовать комбинаторику, чтобы вычислить «общее количество возможных результатов». Вот пример:
Четверо детей, которых зовут A, B, C и D, случайным образом сидят на четырех стульях. Какова вероятность того, что А сядет на первый стул?
Мы уже показали, что всего существует 24 способа сесть на четыре стула. Если вы посмотрите на наше решение, вы также обнаружите, что А сидит на первом стуле в шести случаях. Следовательно,
P (A сидит на первом стуле) = количество результатов, где A сидит на первом стуле, общее количество возможных результатов = 624 = 14.
Этот ответ был ожидаемым, поскольку каждый из четырех детей с одинаковой вероятностью сядет на первый стул. Но в других случаях все не так просто…
(a) Почтальон должен доставить четыре письма в четыре разных дома на улице. К сожалению, дождь стер адреса, поэтому он просто раздает их случайным образом, по одной букве на дом. Какова вероятность, что каждый дом получит нужную букву? (☆ Какова вероятность, что каждый дом получит неправильную букву?)
(b) В лотерее нужно угадать 6 номеров из 49. Какова вероятность того, что вы все сделаете правильно? Если каждую неделю отправлять 100 предположений, сколько времени в среднем вам понадобится, чтобы выиграть?
(а) Всего 4! = 24 способа случайного распределения букв и только один способ получить их все правильно. Таким образом, вероятность того, что каждое письмо будет доставлено в нужный дом, составляет 1/24 = 0,0417 = 4,17%.
Определить вероятность того, что каждое письмо будет доставлено не в тот дом, немного сложнее.Это не просто 1 — 0,0417, так как во многих случаях один или два, но не , все домов получают правильную букву. В этом простом случае самым простым решением было бы записать все 24 варианта. Вы обнаружите, что в 9 из 24 случаев каждый дом получает неправильную букву, что дает вероятность 0,375 = 37,5%. Если домов слишком много, чтобы записать все возможности, вы можете использовать идею, называемую принцип включения исключения .
(b) Существует 49 C 6 = 13 983 816 возможных результатов лотереи, поэтому вероятность получить правильное решение составляет 1/49 C 6 = 0. 000000072.
В среднем также потребуется 13 983 816 попыток, чтобы выиграть. Если мы отправляем 100 предположений каждую неделю, это соответствует 139 838 неделям, что равняется 2689 годам. Урок, который нужно усвоить: не играйте в лото!
Комбинаторика: формулы и примеры — урок математики [видео 2021]
Типичные комбинаторные вычисления
Факториал выражается как n !. Мы читаем это как: n факториал.
Некоторые факты о факторике включают:
Например:
Факториал появится в наших расчетах.Вот одна из этих формул:
Левая часть читается как: n взять k . Предположим, что n равно 5, а k равно 2. Затем мы получаем формулу с подключенными значениями, которые вы видите ниже, и которая в конечном итоге равна 10.
Кстати, верно и то, что:
Мы можем показать это в следующей формуле:
Наш последний тип математических вычислений выражается в двойных скобках, как вы можете видеть здесь:
Вот пример этого разыгрывания, которое, как вы можете видеть, в конечном итоге равняется 15.
Теперь мы можем изучить, как использовать эту математику для подсчета возможностей.
Подсчет возможностей
Прежде чем мы начнем использовать формулы, давайте посчитаем возможности для нашей ситуации рецепта. Затем мы можем использовать формулы и проверить результаты.
Для краткости мы будем использовать C для тмина, O для орегано и B для базилика.
При определении количества возможных вариантов выбора, когда мы выбираем k из n , мы сначала решаем, имеет значение порядок или нет.
Допустим, у нас есть эти три специи, и мы можем выбрать любые две для рецепта. Одна специя добавляется в начале процесса приготовления. Другая специя добавляется в конце. Здесь порядок имеет значение.
Теперь решаем, разрешено ли повторение. Предположим, что одна и та же переменная не повторяется (в нашем случае это пряность). Это называется перестановкой с недопустимым повторением . Формула имеет следующий вид:
Перечислим фактически возможные рецепты: ( C, O ), ( O, C ), ( C, B ), ( B, C ), ( O, B ) , ( Б, О ). Есть шесть возможных рецептов при выборе 2 из 3, где порядок имеет значение и нет повторений.
Что дает формула? Как видим, получается:
Мы можем думать об этом как о трех вариантах для первой специи и двух вариантах для второй. Это дает 3 x 2 = 6 возможных рецептов.
Перестановка с допустимыми повторениями имеет формулу:
В примере рецепта перестановки с повторениями могут произойти, если вы можете использовать одну и ту же специю в начале и в конце.Список комбинаций специй увеличился: ( C, C ), ( O, O ), ( B, B ), ( C, O ), ( O, C ), ( C, B ), ( B, C ), ( O, B ), ( B, O ). Есть 9 возможных рецептов.
Наша формула для перестановок с допустимыми повторениями будет:
Мы можем думать об этой ситуации как о том, что есть 3 варианта для первой специи и 3 варианта для второй специи.Тогда 3 x 3 = 9 возможных рецептов.
А теперь перейдем к случаям, когда порядок не имеет значения. Когда порядок не имеет значения и повторение не допускается, у нас есть комбинация без повторения . Формула:
Допустим, в этом рецепте мы можем использовать любые 2 из 3 специй. Если выбранные специи объединяются и добавляются один раз, то заказ не имеет значения. Кроме того, если мы не повторим одну и ту же специю для нашего выбора из двух специй, то у нас будет комбинация без повторения.
Вот список возможных рецептов: ( C, O ), ( C, B ), ( O, B ). Есть 3 возможных рецепта.
Давайте проверим это с помощью нашей формулы, которая, как мы видим, выглядит так:
Наша четвертая возможная группировка — это когда порядок не имеет значения и допускается повторение. Это называется комбинацией с повторением . Формула:
Что, если наш рецепт позволяет использовать две столовые ложки из трех доступных специй, и мы можем использовать одну и ту же специю дважды? Выбранные специи смешиваются и добавляются за один раз.Здесь порядок не имеет значения, повторение разрешено. Это сочетание с повторением.
Список рецептов: ( C, C ), ( O, O ), ( B, B ), ( C, O ), ( C, B ), ( О, В ). Есть 6 возможных рецептов.
Как видите, наша формула в конечном итоге дает нам:
Дополнительные примеры
Пример 1
Допустим, у вас есть класс с 15 учениками.Из этого класса мы хотели бы сформировать меньшую группу из трех учеников, которые будут представлять весь класс. Будет капитан, первый помощник и второй помощник. Сколько способов мы можем выбрать эту меньшую группу?
Решение 1. Здесь порядок имеет значение, и одно и то же лицо не повторяется. Это перестановка с недопустимым повторением. Как мы видим, это становится:
Пример 2
Мы хотели бы выбрать три шарика мороженого для смешивания с нашим молочным коктейлем.Доступные вкусы: шоколад, ваниль, фисташки и клубника. Сколько вариантов мы могли сделать?
Решение 2: Здесь порядок не имеет значения, повторение разрешено. Это сочетание с повторением. Мы видим, что это превращается в:
Итоги урока
Давайте кратко рассмотрим. Выбор количества доступных возможностей — это область комбинаторики . Когда порядок имеет значение, у нас есть так называемая перестановка .Если порядок не имеет значения, у нас комбинация . Мы также должны учитывать, разрешены ли повторений или нет. Это приводит к четырем формулам в этом исследовании комбинаторики.
Сочетанием из n элементов по k называют. Сочетания и теория вероятностей
В данной статье речь пойдет об особом разделе математики под названием комбинаторика. Формулы, правила, примеры решения задач — все это вы сможете найти здесь, прочитав статью до самого конца.
Итак, что же это за раздел? Комбинаторика занимается вопросом подсчета каких-либо объектов. Но в данном случае объектами выступают не сливы, груши или яблоки, а нечто иное. Комбинаторика помогает нам находить вероятность какого-либо события. Например, при игре в карты — какова вероятность того, что у противника есть козырная карта? Или такой пример — какова вероятность того, что из мешка с двадцатью шариками вы достанете именно белый? Именно для подобного рода задач нам и нужно знать хотя бы основы данного раздела математики.
Комбинаторные конфигурации
Рассматривая вопрос основных понятий и формул комбинаторики, мы не можем не уделить внимание комбинаторным конфигурациям. Они используются не только для формулировки, но и для решения различных Примерами таких моделей служат:
размещение;
перестановка;
сочетание;
композиция числа;
разбиение числа.
О первых трех мы поговорим более подробно далее, а вот композиции и разбиению мы уделим внимание в данном разделе. Когда говорят о композиции некого числа (допустим, а), то подразумевают представление числа а в виде упорядоченной суммы неких положительных чисел. А разбиение — это неупорядоченная сумма.
Разделы
Прежде чем мы перейдем непосредственно к формулам комбинаторики и рассмотрению задач, стоит обратить внимание на то, что комбинаторика, как и другие разделы математики, имеет свои подразделы. К ним относятся:
перечислительная;
структурная;
экстремальная;
теория Рамсея;
вероятностная;
топологическая;
инфинитарная.
В первом случае речь идет об исчисляющей комбинаторике, задачи рассматривают перечисление или подсчет разных конфигураций, которые образованы элементами множеств. На данные множества, как правило, накладываются какие-либо ограничения (различимость, неразличимость, возможность повтора и так далее). А количество этих конфигураций подсчитывается при помощи правила сложения или умножения, о которых мы поговорим немного позже. К структурной комбинаторике относятся теории графов и матроидов. Пример задачи экстремальной комбинаторики — какова наибольшая размерность графа, который удовлетворяет следующим свойствам… В четвертом пункте мы упомянули теорию Рамсея, которая изучает в случайных конфигурациях наличие регулярных структур. Вероятностная комбинаторика способна нам ответить на вопрос — какова вероятность того, что у заданного множества присутствует определенное свойство. Как нетрудно догадаться, топологическая комбинаторика применяет методы в топологии. И, наконец, седьмой пункт — инфинитарная комбинаторика изучает применение методов комбинаторики к бесконечным множествам.
Правило сложения
Среди формул комбинаторики можно найти и довольно простые, с которыми мы достаточно давно знакомы. Примером является правило суммы. Предположим, что нам даны два действия (С и Е), если они взаимоисключаемы, действие С выполнимо несколькими способами (например а), а действие Е выполнимо b-способами, то выполнить любое из них (С или Е) можно а+b способами.
В теории это понять достаточно трудно, постараемся донести всю суть на простом примере. Возьмем среднюю численность учеников одного класса — допустим, это двадцать пять. Среди них пятнадцать девочек и десять мальчиков. Ежедневно в классе назначается один дежурный. Сколько есть способов назначить дежурного по классу сегодня? Решение задачи достаточно простое, мы прибегнем к правилу сложения. В тексте задачи не сказано, что дежурными могут быть только мальчики или только девочки. Следовательно, им может оказаться любая из пятнадцати девочек или любой из десяти мальчиков. Применяя правило суммы, мы получаем достаточно простой пример, с которым без труда справится школьник начальных классов: 15 + 10. Подсчитав, получаем ответ: двадцать пять. То есть существует всего двадцать пять способов назначить на сегодня дежурного класса.
Правило умножения
К основным формулам комбинаторики относится и правило умножения. Начнем с теории. Допустим, нам необходимо выполнить несколько действий (а): первое действие выполняется с1 способами, второе — с2 способами, третье — с3 способами и так далее до последнего а-действия, выполняемого са способами. Тогда все эти действия (которых всего у нас а) могут быть выполнены N способами. Как высчитать неизвестную N? В этом нам поможет формула: N = с1 * с2 * с3 *…* са.
Опять же, в теории ничего не понятно, переходим к рассмотрению простого примера на применение правила умножения. Возьмем все тот же класс из двадцати пяти человек, в котором учится пятнадцать девочек и десять мальчиков. Только на этот раз нам необходимо выбрать двух дежурных. Ими могут быть как только мальчики или девочки, так и мальчик с девочкой. Переходим к элементарному решению задачи. Выбираем первого дежурного, как мы решили в прошлом пункте, у нас получается двадцать пять возможных вариантов. Вторым дежурным может быть любой из оставшихся человек. У нас было двадцать пять учеников, одного мы выбрали, значит вторым дежурным может быть любой из оставшихся двадцати четырех человек. Наконец, применяем правило умножения и получаем, что двоих дежурных можно избрать шестью сотнями способов. Мы данное число получили умножением двадцати пяти и двадцати четырех.
Перестановка
Сейчас мы рассмотрим еще одну формулу комбинаторики. В данном разделе статьи мы поговорим о перестановках. Рассмотреть проблему предлагаем сразу же на примере. Возьмем бильярдные шары у нас их n-ое количество. Нам нужно подсчитать: сколько есть вариантов расставить их в ряд, то есть составить упорядоченный набор.
Начнем, если у нас нет шаров, то и вариантов расстановки у нас так же ноль. А если у нас шар один, то и расстановка тоже одна (математически это можно записать следующим образом: Р1 = 1). Два шара можно расставить двумя разными способами: 1,2 и 2,1. Следовательно, Р2 = 2. Три шара можно расставить уже шестью способами (Р3=6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. А если таких шаров не три, а десять или пятнадцать? Перечислять все возможные варианты очень долго, тогда нам на помощь приходит комбинаторика. Формула перестановки поможет нам найти ответ на интересующий нас вопрос. Pn = n *P (n-1). Если попытаться упростить формулу, то получаем: Pn = n* (n — 1) *…* 2 * 1. А это и есть произведение первых натуральных чисел. Такое число называется факториалом, а обозначается как n!
Рассмотрим задачу. Вожатый каждое утро выстраивает свой отряд в шеренгу (двадцать человек). В отряде есть три лучших друга — Костя, Саша и Леша. Какова вероятность того, что они будут стоять рядом? Чтобы найти ответ на вопрос, нужно вероятность «хорошего» исхода поделить на общее количество исходов. Общее число перестановок составляет 20! = 2,5 квинтиллиона. Как посчитать количество «хороших» исходов? Предположим, что Костя, Саши и Леша — это один сверхчеловек. Тогда мы имеем всего восемнадцать субъектов. Число перестановок в данном случае равняется 18 = 6,5 квадриллионов. При всем этом, Костя, Саша и Леша могут произвольно перемещаться между собой в своей неделимой тройке, а это еще 3! = 6 вариантов. Значит всего «хороших» расстановок у нас 18! * 3! Нам остается только найти искомую вероятность: (18! * 3!) / 20! Что равняется примерно 0,016. Если перевести в проценты, то это получается всего 1,6%.
Размещение
Сейчас мы рассмотрим еще одну очень важную и необходимую формулу комбинаторики. Размещение — это наш следующий вопрос, который предлагаем вам рассмотреть в данном разделе статьи. Мы идем на усложнение. Предположим, что мы хотим рассмотреть возможные перестановки, только не из всего множества (n), а из меньшего (m). То есть мы рассматриваем перестановки из n предметов по m.
Основные формулы комбинаторики стоит не просто заучивать, а понимать их. Даже несмотря на то, что они усложняются, так как у нас не один параметр, а два. Предположим, что m = 1, то и А = 1, m = 2, то А = n * (n — 1). Если далее упрощать формулу и перейти на запись при помощи факториалов, то получится вполне лаконичная формула: А = n! / (n — m)!
Сочетание
Мы рассмотрели практически все основные формулы комбинаторики с примерами. Теперь перейдем к заключительному этапу рассмотрения базового курса комбинаторики — знакомство с сочетанием. Сейчас мы будем выбирать m предметов из имеющихся у нас n, при этом всем мы будем выбирать всеми возможными способами. Чем же тогда это отличается от размещения? Мы не будем учитывать порядок. Этот неупорядоченный набор и будет являться сочетанием.
Сразу введем обозначение: С. Берем размещения m шариков из n. Мы перестаем обращать внимание на порядок и получаем повторяющиеся сочетания. Чтобы получить число сочетаний нам надо поделить число размещений на m! (m факториал). То есть С = А / m! Таким образом, способов выбрать из n шаров немножко, равняется примерно столько, сколько выбрать почти все. Этому есть логическое выражение: выбрать немножко все равно, что выкинуть почти все. Еще в данном пункте важно упомянуть и то, что максимальное число сочетаний можно достигнуть при попытке выбрать половину предметов.
Как выбрать формулу для решения задачи?
Мы подробно рассмотрели основные формулы комбинаторики: размещение, перестановка и сочетание. Теперь наша задача — облегчить выбор необходимой формулы для решения задачи по комбинаторике. Можно воспользоваться следующей довольно простой схемой:
Задайте себе вопрос: порядок размещения элементов учитывается в тексте задачи?
Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой сочетания (С = n! / (m! * (n — m)!)).
Если ответ нет, то необходимо ответить на еще один вопрос: все ли элементы входят в комбинацию?
Если ответ да, то воспользуйтесь формулой перестановки (Р = n!).
Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой размещения (А = n! / (n — m)!).
Пример
Мы рассмотрели элементы комбинаторики, формулы и некоторые другие вопросы. Теперь перейдем к рассмотрению реальной задачи. Представьте, что перед вами лежат киви, апельсин и банан.
Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить? Для этого воспользуемся формулой перестановок: Р = 3! = 6 способов.
Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать один фрукт? Это очевидно, у нас всего три варианта — выбрать киви, апельсин или банан, но применим формулу сочетаний: С = 3! / (2! * 1!) = 3.
Вопрос третий: сколькими способами можно выбрать два фрукта? Какие есть у нас вообще варианты? Киви и апельсин; киви и банан; апельсин и банан. То есть три варианта, но это легко проверить при помощи формулы сочетания: С = 3! / (1! * 2!) = 3
Вопрос четвертый: сколькими способами можно выбрать три фрукта? Как видно, выбрать три фрукта можно одним-единственным способом: взять киви, апельсин и банан. С = 3! / (0! * 3!) = 1.
Вопрос пятый: сколькими способами можно выбрать хотя бы один фрукт? Это условие подразумевает, что мы можем взять один, два или все три фрукта. Следовательно, мы складываем С1 + С2 + С3 =3 + 3 + 1 = 7. То есть у нас есть семь способов взять со стола хотя бы один фрукт.
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторика — раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.
Правила сложения и умножения в комбинаторике
Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В — n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.
Пример 1.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?
Решение
Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.
Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие n 2 способами, третье — n 3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:
способами.
Пример 2.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Решение
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.
Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.
Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
Решение
Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?
.
Пример 4.
В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Решение
Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
.
Размещения без повторений. Размещения с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.
В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
Решение.
В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:
Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.
Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно вы б рать и разместить по m различным местам m из n предметов, с реди которых есть одинаковые?
Пример 6.
У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера- составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?
Перестановки без повторений . Перестановки с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Пример 7.
Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?
Решение
Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.
Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k
Пример 8.
Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
Решение
Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»
Число сочетаний
Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений .
Явные формулы
Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту
При фиксированном значении n производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из n по k является:
Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:
Ссылки
Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990.
Вычисление числа сочетаний онлайн
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое «Число сочетаний» в других словарях:
70 семьдесят 67 · 68 · 69 · 70 · 71 · 72 · 73 40 · 50 · 60 · 70 · 80 · 90 · 100 Факторизация: 2×5×7 Римская запись: LXX Двоичное: 100 0110 … Википедия
Световое число, условное число, однозначно выражающее внеш. условия при фотосъёмке (обычно яркость объекта съёмки и светочувствительность применяемого фотоматериала). Любому значению Э. ч. можно подобрать неск. сочетаний диафрагменное число… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Форма числа, выделяющая два предмета как по отношению к единичному предмету, так и по отношению к множеству предметов. В современном русском языке эта форма не существует, но остатки ее влияния сохранились. Так, сочетания два стола (ср. мн. ч.… … Словарь лингвистических терминов
Комбинаторная математика, комбинаторика, раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов нек рого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения… … Математическая энциклопедия
В комбинаторике сочетанием из по называется набор элементов, выбранных из данного множества, содержащего различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания… … Википедия
Занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… … Энциклопедия Кольера
1) то же, что математический Комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов… … Большая советская энциклопедия
— (греч. paradoxos неожиданный, странный) в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятым, устоявшимся мнением, отрицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле два противоположных утверждения, для… … Философская энциклопедия
— (или принцип включений исключений) комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом … Википедия
Математическая теория, занимающаяся определением числа различных способов распределения данных предметов в известном порядке; имеет особенно важное значение в теории уравнений и в теории вероятностей. Простейшие задачи этого рода заключаются в… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Книги
Число судьбы. Гороскоп совместимости. Желания. Страсти. Фантазии (количество томов: 3) , Майер Максим. Число судьбы. Как составить индивидуальный нумерологический прогноз. Нумерология — одна из самых древних эзотерических систем. Невозможно точно установить времяее возникновения. Однако в…
На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте — любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N — 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N — 1).
Это же можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — последний оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так далее.
Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов возможных перестановок равно произведению всех целых от 1 до N. Это произведение называется N и N! (читается «эн факториал»).
В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы размещениями.
Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.
Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N — 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N — M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N — M) неиспользованных элементов.
Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N — M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N — M)!.
Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N — M)!).
Источники:
количество сочетаний
Факториал натурального числа – это произведение всех предыдущих натуральных чисел, включая само число. Факториал нуля равен единице. Кажется, что посчитать факториал числа очень просто – достаточно перемножить все натуральные числа, не превышающие заданное. Однако, значение факториала настолько быстро возрастает, что некоторые калькуляторы не справляются с этой задачей.
Вам понадобится
калькулятор, компьютер
Инструкция
Чтобы посчитать факториал натурального числа перемножьте все , не превосходящие данное. Каждое число учитывается только один раз. В виде формулы это можно записать следующим образом:n! = 1*2*3*4*5*…*(n-2)*(n-1)*n, гдеn – натуральное число, факториал которого требуется посчитать.
0! принимается равным единице (0!=1).При возрастании аргумента значение факториала очень быстро увеличивается, поэтому обычный (бухгалтерский) уже для факториала 15-ти вместо результата может выдать об ошибке.
Чтобы посчитать факториал большого натурального числа, возьмите инженерный калькулятор. То есть, такой калькулятор на клавиатуре которого имеются обозначения математических функций (cos, sin, √). Наберите на калькуляторе исходное число, а затем нажмите кнопку вычисления факториала. Обычно такая кнопка как «n!» или аналогично (вместо «n» может стоять «N» или «х», но восклицательный знак «!» в обозначении факториала должен присутствовать в любом случае).
При больших значениях аргумента результаты вычислений начинают отображаться в «экспоненциальном» (показательном) виде. Так, например, факториал 50 будет представлен в форме: 3,0414093201713378043612608166065e+64 (или похожем). Чтобы получить результат вычислений в обычном виде, припишите к числу, показанному до символа «е», столько нулей, сколько указано после «е+» (если, конечно, хватит места).
Мы иногда делаем выбор из множества без учета порядка . Такой выбор называется комбинацией . Если вы играете в карты, например, вы знаете, что в большинстве ситуаций порядок, в котором вы держите карты, не имеет значения.
Пример 1 Найдите все комбинации 3-х букв, взятых из набора в 5 букв {A, B, C, D, E}.
Решение Эти комбинации следующие:
{A, B, C}, {A, B, D},
{A, B, E}, {A, C, D},
{A, C, E}, {A, D, E},
{B, C, D}, {B, C, E},
{B, D, E}, {C, D, E}.
Существует 10 комбинаций из трех букв, выбранных из пяти букв.
Когда мы находим все комбинации из набора с 5 объектами, если мы берем 3 объекта за один раз, мы находим все 3-элементные подмножества. В таком случае порядок объектов не рассматривается. Тогда,
{A, C, B} называется одним и тем же набором как и {A, B, C}.
Подмножество
Множество A есть подмножеством B, и означает что A это подмножество и/или совпадает с B если каждый элемент A является элементом B.
Элементы подмножество не упорядочены. Когда рассматриваются комбинации, не рассматривается порядок!
Комбинация
Комбинация, содержащая k объектов является подмножеством, состоящим из k объектов.
Мы хотим записать формулу для вычисления число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно.
Обозначения комбинации
Число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно, обозначается n C k .
Мы называем n C k число сочетаний . Мы хотим записать общую формулу для n C k для любого k ≤ n. Во-первых, это верно, что n C n = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножестов с n элементами, есть само множество. Во-вторых, n C 1 = n, потому что множество с n элементами имеет только n подмножеств с 1 элементом в каждом. Наконец, n C 0 = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножество с 0 элементами, то есть пустое множество ∅. Чтобы рассмотреть другие сочетания, давайте вернемся к примеру 1 и сравним число комбинаций с числом перестановок.
Обратите внимание, что каждая комбинация из 3-х элементов имеет 6, или 3!, перестановок.
3! . 5 C 3 = 60 = 5 P 3 = 5 . 4 . 3,
so
.
В общем, число сочетаний из k элементов, выбранных из n объектов, n C k раз перестановок этих элементов k!, должно быть равно числу перестановок n элементов по k элементов:
k!. n C k = n P k
n C k = n P k /k!
n C k = (1/k!). n P k
n C k =
Комбинации k объектов из n объектов
Общее число комбинаций к элементов из n объектов обозначается n C k , определяется
(1) n C k = ,
или
(2) n C k =
Другой тип обозначения для n C k это биноминальный коэффициент . Причина для такой терминологии будет понятна ниже.
Биноминальный коэффициент
Пример 2 Вычислите , используя формулы (1) и (2).
Решение
a) Согласно (1),
.
b) Согласно (2),

Имейте в виду, что не означает n/k.
Пример 3 Вычислите и .
Решение Мы используем формулу (1) для первого выражения и формулу (2) для второго. Тогда
,
используя (1), и
,
испоьлзуя формулу (2).
Обратите внимание, что
,
и используя результат примера 2 дает нам
.
Отсюда вытекает, что число 5-ти элементного подмножества из множества 7 элементов то же самое, что и число 2-элементного подмножества множества из 7 элементов. Когда 5 элементов выбираются из набора, они не включают в себя 2 элемента. Чтобы увидеть это, рассмотрим множество {A, B, C, D, E, F, G}:

В целом, мы имеем следующее. Этот результат дает альтернативный способ вычисления комбинации.
Подмножества размера k и размера
и n C k = n C n-k
Число подмножеств размера к множества с n объектами такое же, как и число подмножеств размера n — к. Число сочетаний k объектов из множества n объектов, такое же как и число сочетаний из n объектов, взятых одновременно.
Теперь мы будем решать задачи с комбинациями.
Пример 4 Мичиганская лотерея. Проводящаяся в штате Мичиган два раза в неделю лотерея WINFALL имеет джек-пот, который, по крайней мере, равен 2 млн. долларов США. За один доллар игрок может зачеркнуть любые 6 чисел от 1 до 49. Если эти числа совпадают с теми, которые выпадают при проведении лотереи, игрок выигрывает. (
4.2.3. Сочетания

Глава 4. Комбинаторика
4.2.

4.2.3.

Допустим теперь, что нас не интересует порядок, в котором идут выбранные элементы. Например, нужно из десяти человек выбрать троих дежурных. Такая операция называется неупорядоченной выборкой, или сочетанием, в отличие от упорядоченной выборки – размещений.

Всякая неупорядоченная выборка объёма k из множества, состоящего из n элементов, (k ≤ n) называется сочетанием из n элементов по k. Количество сочетаний обозначается и вычисляется по формуле

Символ читается «це из эн по ка».

Формулу для можно получить из следующих соображений.

Из любого набора, содержащего k элементов, можно получить k! перестановок. Поэтому упорядоченных выборок объёма k существует

штук. Значит,

Модель 4.4. Сочетания

Пример 1
Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?
Показать решение

Пример 2
Сколькими способами можно разместить 10 различных шаров по 4 ящикам так, чтобы в первом ящике оказалось 2 шара, во втором – 3, в третьем – 3 и в четвёртом снова два?
Показать решение

Для числа сочетаний справедливы некоторые тождества, в частности:

Пример 3
Докажите тождество
Показать решение

Запишем в «нулевой» строке число В первой строке напишем значения чисел и каждое из которых тоже равно 1, так, чтобы значение оказалось над промежутком между этими двумя числами. Во второй строке запишем числа и тоже равные 1, а между ними – число Обратим внимание, что число равно сумме двух чисел, стоящих над ним: Продолжим построение, записывая в n-й строке числа от до включительно.

1
Рисунок 4.2.3.1.
Треугольник Паскаля

Полученный числовой треугольник называется треугольником Паскаля. Согласно свойству любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке.

При помощи треугольника Паскаля удобно доказывать различные комбинаторные тождества.

Пример 4
Доказать, что
Показать решение

На языке множеств утверждение, доказанное в задаче, выглядит по-другому.

Число подмножеств множества из n элементов равно 2ⁿ.
Еще один интересный факт, связанный с треугольником Паскаля, мы приведём здесь без доказательства:

Бином Ньютона

Приведённое тождество называется биномом Ньютона.

Как и в случае с размещениями, существует понятие числа сочетаний с повторениями. Рассмотрим его на следующем примере.

Пример 5
В палитре художника 8 различных красок. Художник берет кистью наугад любую из красок и ставит цветное пятно на ватмане. Затем берет следующую кисть, окунает её в любую из красок и делает второе пятно по соседству. Сколько различных комбинаций существует для шести пятен? Порядок пятен на ватмане не важен.
2

Показать решение

Вообще, можно сформулировать следующее правило.

Если из множества, содержащего n элементов, выбирается поочередно m элементов, причём выбранный элемент каждый раз возвращается обратно, то количество способов произвести неупорядоченную выборку – число сочетаний с повторениями – составляет

Главная Онлайн учебники База репетиторов России Тренажеры по математике Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Адвокат допрос по уголовному делу
в уголовных делах. Обвиняемому, потерпевшему, свидетелям
zabolotnyy.ru
Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.

формулы, правила и примеры с решением задач и заданий
Оглавление:
Комбинаторика — это область математики, прежде всего связанная с подсчетом, как средство и цель получения результатов, так и с определением свойств конечных структур. Она тесно связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и применяется в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).
Комбинаторика (или комбинаторный анализ) — раздел математики, объектом исследования которого являются дискретные множества произвольной природы. Основной задачей комбинаторики является определение числа способов выполнения некоторых точно определенных операций, или, другими словами, определение числа подчиненных тем или иным условиям комбинаций, которые можно составить из заданной совокупности объектов.
Основные теоремы комбинаторики
Подмножества и выборки: Пусть задано произвольное множество из -объектов, которое мы обозначим за А, с элементами Последовательность произвольных элементов
называется выборкой объема r из А, причем каждый элемент из множества А может встречаться в выборке произвольное число раз. Объем выборки может превосходить объем исходного множества А. Если же все компоненты r-выборки
из -множества А различны, то и r-выборка представляет cобой r-подмножество А. Выборки подразумевают возможность наличия в них одинаковых элементов, а подмножество не допускает повторений элементов. Для отличия подмножеств от выборок в формулах для выборок введем подчеркивание сверху.
Если свойства выборки изменяются при транспозиции элементов (т.е. при перемене местами двух элементов), то выборка называется упорядоченной, в противном случае — неупорядоченной. Число появлений одного и того же элемента называется его кратностью и обозначается Типичным примером выборки может являться слово в фиксированном алфавите. Следовательно, если каждый элемент m-выборки Имеет кратность то выборка является просто m-подмножеством множества А. Упорядоченное m-подмножество n-множества называется m-перестановкой из n-элементов (или размещением из n-элементов по m).
Неупорядоченное m-подмножество n-множества называется m-сочетанием из m-элементов (или сочетанием из n-элементов по m). Число упорядоченных m-подмножеств n-множества равно
Если то число таких подмножеств есть
т. е. равно произведению всех первых n- натуральных чисел, так как по определению
читается: «n — факториал». Размещения из n элементов по n называются просто перестановками. Чтобы показать очень быстрый рост числа перестановок с ростом числа n, сравним числа Вычисляя, получим: Величина принимается равной единице, хотя она и не имеет комбинаторного смысла. Кроме того, по определению при значениях или если Имеет место рекуррентное (возвратное) соотношение
Подсчет при больших значениях n становится затруднительным. В этих случаях можно рекомендовать) использовать приближенную формулу Стирлинга:
Пример:
Сколько вариантов расположения слов допускает предложение: «Редактор вчера внимательно прочитал рукопись»? Так как в данном предложении нет никаких грамматических ограничений на порядок слов, то на первое место можно поставить любое слово (5 вариантов), на второе -любое другое, кроме выбранного (4 варианта) и т. д.; всего
Если рассматривается произведение первых натуральных только четных или только нечетных чисел, то такие произведения называются двойными факториалами и обозначаются так:
Число упорядоченных m-выборок из n-множеств равно
Пример:
Сколько всего телефонных номеров можно иметь в городе, если номер имеет шесть цифр? Решение. Каждый телефонный номер может содержать любые шесть цифр из десяти (0, 1, 2, …, 9). При этом одинаковые цифры могут повторяться до шести раз, и, кроме того, телефонные номера различны, даже если они отличаются лишь порядком цифр. На основании этого задача сводится к подсчету количества 6-выборок 10-множества, т. е.
Число неупорядоченных m-подмножеств n-множества (число сочетаний) равно
Сочетания — это соединения из n-элементов по m-элементов, которые отличаются друг от друга только самими элементами. Числа обычно называют биномиальными коэффициентами. Если в этой формуле заменить m на разность n — m, то получим »отношение
Рекуррентная формула для сочетаний
Принято считать, что при или при
Числа часто условно записывают в следующем виде:
Хотя величина не имеет комбинаторного смысла, понятие чисел можно распространить на отрицательные значения n, а именно:
Пример:
Абонент забыл последние три цифры телефонного номера. Какое наибольшее число вариантов номеров ему нужно перебрать, чтобы дозвониться (в этом случае необходимый номер набирается последним)? Очевидно, что таких номеров столько, сколько можно составить размещений из десяти цифр
по три, т. е.
Пример:
Требуется составить колонну из пяти автомашин. Сколькими способами это можно сделать? По условиям задачи порядок следования автомобилей может быть любым, поэтому количество способов составить автоколонну из пяти машин есть число перестановок из пяти:
Пример:
Читатель отобрал по каталогу 8 книг. Однако в библиотеке выдают одному читателю не более 5 книг. Сколько альтернатив взять книги есть у этого читателя? Решение. Поскольку читатель отобрал книг больше разрешенного числа, то он должен выбрать из них 5 книг. Естественно, что все книги, разные и все равно, в каком порядке их взять. Следовательно, каждая альтернатива есть неупорядоченное 5 — подмножество из 8 и число вариантов в выборе книг (число альтернатив) равно
Число неупорядоченных m-выборок из n-множества равно
Пример:
Кости домино можно рассматривать как сочетания с повторениями по два из семи цифр: 0,1,2,3,4, 5,6. Число всех таких сочетаний равно
Набор целых чисел называется разбиением числа n, если например 6=1+2+3.
Число разбиений. Число R упорядоченных — разбиений n-множества равно.
Замечание:
Числа R в (2.4) называют также полиномиальными коэффициентами. Это название обусловлено тем, что они являются коэффициентами при произведениях степеней переменных в разложении полинома по степеням
В частном случае, когда имеем соотношение
Число (m, n — m) — разбиений n-множества равно числу его упорядоченных m-подмножеств.
Пример:
Число различных слов, которое получим, переставляя буквы слова «математика», равно
так как кратность букв м равна двум, а — трем, т- двум, остальные буквы встречаются по одному разу.
Число неупорядоченных подмножеств. Число всех неупорядоченных подмножеств n-множества равно
Пример:
В комнате 4 различных светильника. Сколько вариантов включения светильников может быть реализовано?
Так как в задаче речь идет лишь о том, горит светильник или нет, то мы рассматриваем неупорядоченные разбиения, т. е. применима формула (вариантов).
Основные правила комбинаторики
Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами.
Правило суммы
Пусть существует разбиение множества изучаемых комбинаций на классы, т. е. каждая комбинация входит в один и только в один класс. Тогда полное число комбинаций равно сумме количества комбинаций, входящих в каждый из классов. Иными словами, если некоторый объект типа а можно выбрать m-способами, а объект типа b можно выбрать n-способами, то выбор одного из этих объектов можно осуществить — способами:
Это правило сумм справедливо лишь в том случае, если классы разбиения не пересекаются. Если же классы разбиения пересекаются, т. е. способы выбора объекта типа а совпадают со способами выбора объекта типа b, то из формулы (1.4) следует вычесть число k таких совпадений:
Пример:
Пусть а — число, делящееся на два; b — число, делящееся на три. Сколькими способами можно выбрать или а, или b, если задано множество Решение. Согласно формуле (1.4), имеем: (числа 2 и 4) и (число 3), т. е.
Если подобный выбор осуществляется из множества то необходимо использовать уже формулу (1.5), т.к. 6 делится и на 2 и на 3:
Обобщая формулы на случай i классов, получим формулу сумм
где — число способов выбора объектов i-го типа; — число совпадений способов выбора объектов i-го и j-го типа.
Правило произведения
Если объект типа а можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект типа b можно выбрать n способами, то выбор в указанном порядке пары можно осуществить -способами:
Если же при i-м способе выбора объекта типа а объект b может быть выбран -способами, то число способов такого выбора пары равно
Пример:
Сколько существует целых четырехзначных чисел, не делящихся на 5? Целое число не делится на 5, если оно не заканчивается на 5 или на 0. Поэтому первую значащую цифру можно выбирать девятью способами (все цифры, кроме нуля), вторую и третью — десятью способами, а четвертую лишь восемью (все цифры, кроме 0 и 5). Следовательно, искомое число есть
Комбинации объектов
Размещения с повторениями — это упорядоченные m-выборки из n-множества. Таких выборок будет штук.
Перестановки с повторениями — это упорядоченные разбиения п-множества , т. е. мы имеем
где — число повторений в перестановке элементов i-го типа.
Очевидно, что
Пример:
Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове «перепел»?
Решение:
Поскольку в слове имеются три буквы е и две буквы п, перестановки будут происходить с повторениями.
Поэтому искомое число есть
Сочетания с повторениями — это неупорядоченные m-выборки из n-множества. Поэтому число таких сочетаний, согласно теореме о числе неупорядоченных выборок, равно
Имеет место также следующее рекуррентное соотношение:
Пример:
Число целых неотрицательных решений уравнениях, равно числу сочетаний из m-элементов по n-элементов с повторениями. Это, в частности, означает, что уравнение имеет решений.
Комбинаторные задачи
Среди различных задач, которые приходится решать математикам, встречаются такие, где нужно ответить на вопрос: каким числом различных способов можно осуществить требуемое? Такие задачи принято называть комбинаторными задачами. Для решения таких задач созданы общие методы и выведены готовые формулы. Однако для того чтобы лучше ознакомиться с методами их решения, мы начнем не с общих методов и готовых формул, а с рассмотрения конкретных примеров.
Пример:
Каким числом способов можно обить 12 раз личных стульев, если есть 12 образцов обивочного материала, причем каждый материал имеется в любом количестве?
Решение:
Поскольку имеется 12 различных образцов обивочного материала, то один стул можно обить двенадцатью различными способами. То же самое справедливо и для второго стула, так как каждый обивочный материал имеется в любом количестве. Но каждый способ обивки первого стула можно соединить с любым способом обивки второго, так что число различных способов обивки двух стульев равно
При этом важно, что имеющиеся стулья различны. Если бы они были одинаковыми, то число различных способов обивки было бы меньшим, так как способы, при которых первый стул обит матералом а, а второй — материалом b, или, наоборот, первый стул обит материалом b, а второй—материалом а, нельзя было бы считать различными способами.
Итак, для двух различных стульев мы получили различных способов их обивки. Очевидно, что для каждого следующего стула остается в силе приведенное выше рассуждение: для каждого стула существует двенадцать возможных способов обивки, и каждый способ обивки данного стула можно соединить с любым способом обивки предыдущих. Отсюда следует, что для трех стульев число различных способов обивки составляет для четырех — и т. д. Для двенадцати стульев это число составляет
Пример:
Каким числом способов можно рассадить 12 гостей на имеющихся 12 различных стульях?
Решение:
Представим себе, что гости входят в комнату по одному. Первому из входящих гостей предоставляется выбор из 12 различных стульев, т. е. 12 возможностей, как и в предыдущем примере. Однако уже для следующего гостя остаются не те же две надцать возможностей, что и для первого, а всего лишь одиннадцать, поскольку один из стульев оказывается уже занятым. По-прежнему каждое место, занятое первым гостем, может комбинироваться с любым другим местом, занятым вторым; поэтому общее число различных способов, с помощью которых можно рассадить двух гостей, равно 12 • 11 = 132.
Дальнейший ход решения теперь уже ясен. Для гостя, входящего третьим, останется только 10 различных возможностей, так как из 12 мест два места окажутся уже занятыми. Поэтому для трех гостей число различных способов рассадить их составляет 12 • 11 • 10 = 1320. Продолжая аналогичные рассуждения, найдем, что общее число различных способов рассадить 12 гостей на 12 стульях составляет 12 • 11 • … • 2 • 1 = 12!= 479001600.
Пример:
В отделении 12 солдат. Каким числом способов можно составить наряд из двух человек, если один из них должен быть назначен старшим?
Решение этой задачи очень похоже на решение предыдущей. Действительно, если назначить сначала старшего по наряду, то для его выбора у нас имеется 12 различных возможностей: каждый солдат отделения может быть назначен старшим наряда. После того как старший наряда назначен, вторым в наряд может быть назначен любой из оставшихся одиннадцати. Как и во всех предыдущих случаях, общее число различных нарядов составляет 12- И = 132.
Пример:
Какое число различных парных нарядов можно назначить из 12 солдат отделения, если не требуется назначать старшего по наряду?
Решение:
Легко понять, что число таких нарядов должно быть меньше, чем в предыдущем примере. Действительно, наряды —Иванов (старший) и Петров или Петров (старший) и Иванов — различны, тогда как, если не требуется назначать старшего, эти два солдата в обоих случаях составляют один и тот же наряд. Каждый парный наряд без старшего можно превратить в два различных наряда со старшим. Поэтому число различных парных нарядов со старшим в два раза больше, чем нарядов без старших. Отсюда следует, что интересующее нас в данном примере число различных парных нарядов из 12 солдат отделения в два раза меньше, чем получено в предыдущем примере, т. е. равно
Пример:
Клавиатура пианино состоит из 88 клавиш. Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, допуская повторения одних и тех же нот в одной фразе?
Решение:
Как и в примере 1, в качестве первой ноты для музыкальной фразы можно взять любую из 88 нот, т. е. для первой ноты мы имеем 88 возможностей. Так как повторения допускаются, то для второй ноты мы снова имеем те же 88 возможностей, и поэтому музыкальных фраз из двух нот существует Продолжая рассуждения, как в примере 1, найдем, что число различных музыкальных фраз из 6 нот составляет
Пример:
Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, если не допускать в одной фразе повторений уже встречавшихся звуков?
Решение этой задачи так же отличается от решения предыдущей, как решение задачи примера 2 от примера 1. Действительно, при составлении произвольной музыкальной фразы для первой ноты мы имеем по-прежнему 88 возможностей. Для второй ноты число возможностей уменьшится уже до 87, так как нота, использованная первой, не должна больше употребляться. После того как выбрана вторая нота, для третьей остается уже только 86 возможностей. Теперь ясно, что общее число различных музыкальных фраз из 6 нот без повторений равно произведению 88 • 87 • 86 • 85 • 84 • 83 = 390 190489920.
Пример:
Сколько существует различных аккордов из шести нот?
Решение:
Аккорд отличается от музыкальной фразы тем, что все ноты, в него входящие, звучат одновременно. Отсюда следует, что все ноты аккорда должны быть различными. Кроме того, различные музыкальные фразы могут приводить к одному и тому же аккорду, если они состоят из одних и тех же нот, но расположенных в фразе в различном порядке. Поэтому, подобно примеру 4, так как число различных музыкальных фраз уже известно, нам остается определить, сколько различных музыкальных фраз могут «склеиваться» в один и тот же аккорд, или, наоборот, сколько различных фраз получается из одного и того же аккорда.
Мы приходим, таким образом, к задаче, аналогичной рассмотренной в примере 6: имеется аккорд из шести различных нот, сколько различных музыкальных фраз можно из него составить? В качестве первой ноты для составляемой музыкальной фразы можно взять любую из входящих в аккорд нот, то есть мы имеем для нее шесть различных возможностей. Для второй ноты остается уже только пять возможностей, для третьей — четыре и т. д.
Теперь уже ясно, что число различных музыкальных фраз, которые можно получить из одного аккорда из шести нот, равно 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 =6!= 720. Это означает, что 6! различных музыкальных фраз склеиваются в один и тот же аккорд, так что число возможных аккордов будет в 61 раз меньше, чем число различных музыкальных фраз. Итак, мы получаем, что число различных возможных аккордов из 6 нот равно:
Пример:
Из города А в город В ведет k дорог, а в город С — l дорог. В город D из города В ведет m дорог, а из города С — n дорог. Города В и С дорогами не соединяются. Сколько различных автобусных маршрутов можно провести между городами А и D?
Решение:
Число автобусных маршрутов определяется числом различных дорог между городами. Всего из города А выходит k + l дорог, а в город D входит m + n дорог. Мы не можем, однако, сказать, что общее число дорог равно произведению этих чисел, так как здесь невозможно комбинировать любую дорогу, выходящую из A, с любой дорогой, входящей в D . Если же рассматривать отдельно дороги, проходящие через В или через С, то такая комбинация возможна.
Рассмотрим всевозможные маршруты, идущие из A в D через В. Из A в В ведет k дорог, а из В в D —m дорог. Каждую из таких дорог, выходящих из A, можно комбинировать с любой дорогой,, входящей в D поэтому общее число различных маршрутов, как и во всех предыдущих задачах, получается перемножением числа возможностей и равно km, Следовательно, число различных маршрутов, идущих из A в D через В, равно km.
Аналогично подсчитывается число различных маршрутов, идущих из A в D через С; оно равно ln. Далее, мы замечаем, что всякий автобусный маршрут, соединяющий города A и D, должен проходить или через В, или через С, и, значит, он должен входить либо в число km маршрутов, идущих через В, либо в число ln маршрутов, идущих через С. Общее число различных маршрутов равнo тогда сумме km + ln.
Прежде чем перейти к следующим примерам, подведем некоторые итоги. Рассмотренные в предыдущем параграфе примеры имели между собой много общего и решались по существу одинаковыми приемами. Главная мысль, которая лежит в основе всех решений, может быть сформулирована в виде следующего общего правила: если некоторый выбор может быть сделан т различными способами, а для каждого из этих способов некоторый второй выбор может быть сделан п различными способами, то число способов для осуществления последовательности двух этих выборов равно произведению mn.
Фактически при решении всех задач мы пользовались этим общим правилом, и нужно было только определить число различных возможностей в том или ином случае. Это число менялось в зависимости от условий задачи.
Другое общее правило имеет следующий вид: если некоторый выбор может быть сделан т различными способами, а другой выбор—n различными способами {отличными от предыдущих), то общее число способов, которыми можно осуществить какой-нибудь один из этих выборов, равен сумме m +n.
Это правило также применялось нами в предыдущем параграфе (см. пример 8).
При внимательном рассмотрении задач предыдущего параграфа можно заметить, что мы имеем дело с очень небольшим числом различных типов задач. Чтобы сделать этот вывод более наглядным, рассмотрим еще несколько примеров.
Пример:
Во взводе 5 сержантов и 50 солдат. Сколькими способами можно составить наряд из одного сержанта и трех солдат?
Решение:
Очевидно, что одного сержанта из пяти можно выбрать пятью различными способами. В соответствии с приведенным выше правилом остается определить число возможностей выбора трех солдат, а затем числа возможностей выбора солдат и выбора сержантов между собой перемножить, поскольку каждого сержанта можно отправить в наряд с любой группой солдат.
Для определения числа возможностей выбора трех солдат нам придется снова воспользоваться первым правилом, как мы это уже и делали все время, не формулируя его явно. Нам придется при этом действовать в два приема.
Представим себе сначала, что назначаемых в наряд солдат мы вызываем по одному и строим в шеренгу. Тогда легко подсчитать, что при вызове первого солдата у нас есть 50 различных возможностей; после того как один солдат уже вызван, для выбора второго остается 49 возможностей, а для выбора третьего — лишь 48. Таким образом, применяя правило умножения, находим, что всего для выбора трех солдат в определенном порядке число возможностей равно произведению 50 • 49 • 48. На этом и заканчивается первая часть решения, но отнюдь не все решение.
В предыдущем абзаце совсем не зря выделены слова «в определенном порядке». Полученное произведение не равно числу возможностей выбора трех солдат, а больше этого числа, причем выделенные слова как раз и объясняют, почему. Дело в том, что мы можем получить один и тот же наряд, вызывая солдате различном порядке. Поэтому необходимо подсчитать, какое число раз может получиться один и тот же наряд, и разделить полученное выше произведение на это число.
Остается, следовательно, определить, в каком числе случаев будет получаться один и тот же наряд. Это можно подсчитать, решая в каком-то смысле обратную задачу: каким числом способов можно расставить в шеренгу трех солдат уже выбранного наряда. Очевидно, что это число равно требуемому. Но это число легко под считать, пользуясь обычным приемом: чтобы поставить какого-либо солдата на первое место, есть три различные возможности, на второе место остается два солдата и на третье — только один Поэтому общее число возможных перестановок трех солдат в шеренге равно 3 • 2 • 1 = 3! = 6.
Итак, каждый наряд из трех солдат можно расставить в шеренгу 3! различными способами, а, значит, в произведении 50 • 49 • 48, показывающем число возможностей при выборе трех человек в определенном порядке, каждый наряд считается ровно 3! раз. Поэтому общее число различных способов, которыми можно назначить в наряд трех солдат из пятидесяти, равно
Число различных нарядов из одного сержанта и трех солдат равно теперь
Пример:
Сколько членов, содержащих две буквы, получится после раскрытия скобок в выражении
Решение:
После раскрытия всех скобок мы получим сумму некоторого числа слагаемых (нетрудно подсчитать, что общее число слагаемых равно но для решения поставленной задачи это не существенно), каждое из которых состоит из шести множителей. Различные множители, входящие в одно и то же произведение, берутся из различных скобок. При этом для каждого множителя есть две различные возможности — он может быть либо буквой, либо единицей.
Вопрос, поставленный в условии, состоит в том, чтобы определить, каким числом способов можно из шести множителей выбрать две буквы. В такой постановке он решается уже совсем просто. Пользуясь уже часто употреблявшимися рассуждениями, мы можем сразу написать, что число различных слагаемых, содержащих две буквы, равно
Действительно, для выбора первой буквы у нас есть шесть возможностей, а для выбора второй — пять. Кроме того, каждую пару букв мы считаем дважды, один раз полагая первой одну из них, а другой раз — вторую.
Пример:
Подсчитаем, сколько в рассмотренном в предыдущем примере произведении слагаемых, содержащих четыре буквы.
Решение этой задачи аналогично решению предыдущей. Тем же методом можно подсчитать, что выбор четырех букв в определенном порядке может быть сделан 6 • 5 • 4 • 3 = 360 различными способами. С другой стороны, каждая четверка считается здесь несколько раз, именно столько, каким числом способов можно ее упорядочить. Число способов упорядочить четверку букв равно произведению 4 • 3 • 2 • 1 = 24. Поэтому число слагаемых, содержащих четыре буквы, равно
Этот ответ совпадает с ответом, полученным в предыдущем примере. Про это можно было бы догадаться заранее и, следовательно, обойтись без всяких вычислений, сославшись на предыдущий результат. В самом деле, легко понять, что комбинаций пар букв столько же, сколько комбинаций четверок: каждой паре букв соответствует одна-единственная определенная четверка, которая остается, когда мы удалим выбранную пару. Разным парам соответствуют разные четверки и, наоборот, разным четверкам соответствуют разные пары. Поэтому число различных пар и различных четверок букв одинаково.
Пример:
В классе m мест. Каким числом способов можно рассадить в нем n учеников (n < m)?
Решение:
Если в этой задаче и есть что-либо новое по сравнению с предыдущими, то только то, что в ней нет конкретных числовых данных. Способ решения задачи от этого, естественно, не изменяется.
Представим себе, что ученики входят в класс по одному. Тогда для первого из них имеется m возможностей выбрать место. После того как первый выбрал какое-то место, для второго остается m — 1 возможностей. Далее, для третьего будет m — 2 различных возможностей и т. д. Искомое число способов рассадить всех учеников выразится произведением
Найдем последний сомножитель этого произведения. Его можно определить по-разному, например так: каждый сомножитель на единицу меньше предыдущего и получается вычитанием из m числа, на единицу меньшего, чем номер сомножителя. Поэтому сомножитель с номером п получается вычитанием из т числа n — 1, то есть равен m — (n — 1) = m — n + 1.
Можно рассуждать и иначе: после того как все ученики рассядутся, в классе должно остаться m — n свободных мест. Перед входом последнего ученика свободных мест было на 1 больше, то есть m — n + 1. Таково же число возможностей для выбора мест последним учеником, то есть последний сомножитель в произведении.
Итак, искомое число различных способов рассадить n учеников на m местах равно произведению п последовательных целых чисел от m до m — n + 1 включительно:
Пример:
В комнате имеется пять лампочек. Сколько существует различных способов освещения?
Решение:
После всех рассмотренных примеров читатель уже самостоятельно справится с несложным подсчетом того, сколько существует способов освещения, при которых горит данное число лампочек. Сложив все полученные результаты для каждого числа лампочек (от нуля до пяти включительно), мы и получим ответ на поставленный вопрос. Однако этот способ решения, при всей своей простоте, потребует сравнительно длинных рассуждений и вычислений.
Между тем задача допускает простое и короткое решение, если проводить рассуждение в другом порядке. Рассмотрим сначала случай, когда в комнате имеется всего лишь одна лампочка. Тогда, очевидно, возможны ровно два различных способа освещения: лампочка либо горит, либо не горит.
Теперь присоединим к первой лампочке вторую. Она тоже может находиться в одном из двух состояний: гореть, либо не гореть. Так как каждое состояние второй лампочки можно комбинировать с любым состоянием первой, то для двух лампочек число различных состояний, то есть различных способов освещения, равно
Дальнейшие рассуждения теперь уже совершенно очевидны. Каждая из лампочек может находиться в двух состояниях. Поэтому, присоединяя новую лампочку к уже рассмотренным предыдущим, мы увеличиваем число возможных способов освещения вдвое. Следовательно, при трех лампочках будет различных способов освещения, при четырех — и, наконец, при пяти лампочках = 32 способа освещения.
Пример:
Чему равен коэффициент при и при в выражении после раскрытия скобок.
Решение:
Внимательный читатель сразу заметит, что этот пример очень похож на только что разобранный выше пример 4. Еще большую похвалу заслужит тот, кто заметит связь этого примера с примером 7 из предыдущего параграфа.
Выражение можно рассматривать как произведение 88 скобок; из каждой нужно выбрать в качестве множителя одно из слагаемых: либо а, либо b. Если мы ищем коэффициент при то нужно определить, каким числом способов можно выбрать из 88 букв а и b ровно шесть букв а. Но именно этот вопрос мы решали в примере 7 предыдущего параграфа, когда нужно было определить число различных аккордов из 6 нот.
Благодаря замеченной общности задач мы могли бы воспользоваться уже готовым результатом; но мы повторим совсем коротко приведенные там рассуждения в новых терминах, относящихся уже к данной задаче.
Шесть букв а можно разместить на 88 возможных местах числом способов, равным произведению
если выбрать эти буквы в определенном порядке. Поскольку порядок выбора букв нам безразличен, то каждая комбинация считается в этом произведении несколько раз: столько же, каким число способов можно переставлять между собой уже выбранные буквы на определенных шести местах.
Число возможных способов переставлять между собой шесть букв на шести местах, как мы уже видели, равно 6! Поэтому число различных способов выбрать шесть букв а из 88, а значит, и коэффициент при члене в разложении равно
Легко догадаться, что коэффициент при равен тому же числу. Соответствующее рассуждение уже приводилось в примере 4: способов выбрать по 82 буквы а из 88 равно столько же, сколько способов выбрать по 6, так как каждой группе по 6 букв соответствует определенная группа по 82 буквы, состоящая из оставшихся 82 мест. Но мы можем и не обращаться к этому рассуждению, рассматривая для члена не выбор 82 букв а, а, наоборот, выбор шести букв b. Отсюда снова вытекает, что коэффициенты при и а одинаковы.
Определения и формулы
Примеров, рассмотренных в двух предыдущих параграфах, вполне достаточно, чтобы заметить некоторые общие закономерности и поставить общие задачи. Заметим прежде всего, что во всех рассмотренных примерах нам приходилось иметь дело с некоторыми конечными множествами и различными их под множествами.
Нас интересовало или число всех возможных подмножеств (пример 5 из § 2), или число подмножеств, обладающих определенным количеством элементов (примеры 4, 7 из § 1, примеры 1, 2, 3, 6 из § 2). В других случаях нужно было рассматривать упорядоченные подмножества, в которых элементы были расположены определенным образом (примеры 3, 6 из § 1, пример 4 из § 2). Здесь нам нужно было знать число различных упорядоченных подмножеств, считая различным образом упорядоченные подмножества различными. Наконец, встречалась и задача, в которой нужно было определить количество различных способов упорядочить данное конечное множество, то есть расположить его элементы в определенном порядке (пример 2, § 1). Все эти задачи можно теперь рассмотреть в общем виде.
Рассмотрим прежде всего точное определение упоминавшегося выше термина упорядоченное множество.
Конечное множество, состоящее из n элементов, называется упорядоченным, если его элементы каким-либо образом занумерованы, числами 1, 2, …, n.
«Номера», которые при этом приписываются элементам множества, позволяют мыслить элементы этого множества «расположенными» в каком-то «порядке»: первый элемент «предшествует» второму (а второй «следует» за первым), второй предшествует третьему и т. д.
Одно и то же конечное множество можно, разумеется, упорядочить разными способами. Например, множество учеников данного класса можно упорядочить по росту (опять-таки двумя противоположными способами), по весу, по возрасту, по алфавиту фамилий и т. д. и т. п.
Не следует, однако, думать, что каждый такой «порядок» связан непременно с каким-либо «естественным правилом» упорядочения. Скажем, множество шахматных фигур (каждого цвета по отдельности или все 32) можно, конечно, упорядочить слева направо в порядке их расстановки на доске или по силе (а фигуры одинаковой силы — слева направо или еще как угодно), но можно считать «упорядочением» и «беспорядочную» последовательность, в которой мы случайно поставили их на доску для данной партии. А можно было бы их просто расставить в ряд в произвольном «порядке». Аналогично множество учеников данного класса можно считать упорядоченным в соответствии с тем (в достаточной мере случайным!) порядком, в котором они сегодня пришли в школу.
Короче говоря, «нумерация», о которой говорится в определении упорядоченного множества, не предполагает, вообще говоря, никакого заранее известного «закона» — упорядочивая конечное множество, мы просто приписываем каким-либо образом номера его элементам. И если в приведенных примерах легко было все же указать некоторые «естественные» способы упорядочения, то для упорядочения, например, множества муравьев в муравейнике или рыб в озере трудно указать более «естественный» способ, чем переловить их всех по очереди и перенумеровать в порядке попадания их в банку или на удочку…
Таким образом, речь, как правило, идет лишь о теоретическом, мысленном упорядочении, которое для конечного множества всегда возможно.
В отличие от соглашений, принятых нами выше (Введение, п. 1 и п. 6) для множеств неупорядоченных, упорядоченные множества мы будем считать совпадающими (или равными) лишь тогда, когда они не только состоят из одних и тех же элементов, но и упорядочены (расположены, занумерованы и т. п.) одинаковым образом.
Говоря о различных упорядоченных множествах, состоящих из одних и тех же элементов, мы уже несколько раз называли их различными упорядочениями какого-либо множества. Этим термином нам будет удобно пользоваться и в дальнейшем.
Поскольку в этой главе нам придется иметь дело только с конечными множествами и их подмножествами, мы не будем много говорить о распространении понятия упорядоченности на общий случай бесконечных множеств, ограничившись определением и парой примеров.
Множество (безразлично — конечное или бесконечное) называется упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое отношение, называемое отношением предшествования, обладающее следующими свойствами.
1) Для любых двух различных элементов а и b данного множества либо а предшествует b, либо b предшествует а.
2) Для любых элементов а, b и с данного множества из того, что а предшествует Ь, а Ь предшествует с, следует, что а предшествует с.
Примером упорядоченного множества может служить множество N натуральных чисел, «естественным» образом упорядоченное по величине: мы считаем, что n предшествует m , если n < m (можно, конечно, было бы выбрать и упорядочение, обратное «естественному», то есть считать, что n предшествует m , когда n > m ). Точно так же упорядочивается множество D всех действительных чисел. Множество K комплексных чисел, не обладающее никаким «естественным» порядком, можно, например, упорядочить, положив, что а+bi предшествует с+di, если а< с, а при а = с, если b < d. Все эти множества можно, разумеется, упорядочить и иными способами.
Введем теперь следующее
Определение:
Пусть дано конечное множество М, состоящее из m элементов. Размещением из m элементов по n элементов называют всякое упорядоченное подмножество множества М, состоящее из n элементов.
Из этого определения следует, что и что различные размещения отличаются друг от друга составом входящих в них элементов или порядком их расположения. Как видно из предыдущих параграфов, в комбинаторных задачах требуется знать число различных размещений из т элементов по n элементов. Это число принято обозначать символом (А — первая буква французского слова аrrаngement, что означает размещение, приведение в порядок).
Теорема:
Число различных размещений из т элементов по n элементов равно произведению п последовательных натуральных чисел, начиная от m и до m — n + 1 включительно:
Доказательство:
Формула (1) была уже получена нами при разборе примера 4 в § 2. Здесь мы дадим вывод этой формулы, основанный на методе полной математической индукции. Индукцию будем вести по индексу n.
Пусть дано множество М, состоящее из т элементов. Очевидно, что число различных подмножеств этого множества, содержащих по одному элементу, равно числу m элементов М, то есть (подмножества из одного элемента автоматически упорядочены, так как содержат только первый элемент).
Далее, из каждого размещения по одному элементу можно получить различные размещения по два элемента, присоединяя к выбранному первому элементу второй. Так как для выбора второго элемента мы имеем уже m — 1 возможностей (один из элементов уже использован!), то
Предположим теперь, что для некоторого значения n — k справедлива формула
и докажем, что такая же формула имеет место и для n = k + 1. Пусть образованы все размещения из m элементов по k элементов. Размещения по k + 1 элементу могут быть получены присоединением к каждому из полученных еще одного элемента на (k + 1)-е место.
Из одного размещения по к элементов получится столько размещений по k + 1 элементу, сколько различных элементов можно присоединить, то есть m — k. Все получающиеся размещения будут различными, так как они отличаются последним элементом. Размещения по k + 1 элементу, получающиеся из различных размещений по k элементов, также не могут совпасть, поскольку их первые k элементов не совпадают. Остается добавить, что таким способом будут получены все размещения по k + 1 элементу. Отсюда следует, что число размещений по k + 1 элементу удовлетворяет равенству
Воспользовавшись предположенной по индукции формулой для , найдем:
что и утверждалось. Справедливость этой формулы для n = 1 и n =2 была уже установлена выше; из принципа математической индукции следует, что формула (1) верна для всех
Определение:
Перестановками из n элементов называют различные упорядочения данного конечного множества, состоящего из n элементов.
Таким образом, различные перестановки отличаются друг от друга лишь порядком элементов. Число возможных различных перестановок из п элементов обозначается символом (от французского слова permutation— перестановка, перемещение).
Теорема:
Число различных перестановок из n элементов равно произведению всех последовательных целых чисел, начиная от n и до 1 включительно:
Доказательство этой теоремы окажется излишним, если мы заметим, что перестановки являются частным случаем размещений, а именно, при m = n. Значит, согласно формуле (1),
Впрочем, нетрудно доказать эту теорему и независимо от понятия размещения. Рассмотрим всевозможные перестановки из n элементов и подсчитаем, сколько из них начинаются одним и тем же определенным элементом. Если поставить выделенный элемент перед каждой из перестановок из остальных элементов, то мы получим все возможные перестановки, начинающиеся данным элементом. Следовательно, число всех перестановок из n элементов, начинающихся одним определенным элементом, равно . Но тогда для числа всех возможных перестановок из n элементов находим:
так как любой из п элементов может оказаться выделенным.
Формулу (3) можно использовать для доказательства нашей теоремы, пользуясь индукцией по числу элементов множества. Очевидно, что так как один элемент может находиться только на первом месте. Допустим, что формула (2) верна для множества, содержащего n — 1 элемент, то есть что
На основании формулы (3) найдем, что
Таким образом, формула (2) верна для любого n.
Теорема:
Число различных размещений из m элементов по n элементов равно числу перестановок из m элементов, деленному на число перестановок из m — n элементов:
Доказательство:
Формулу (4) легко получить из формул (1) и (2). Действительно,
Это доказательство, несмотря на простоту и очевидность, часто вызывает чувство неудовлетворенности, так как сводится к формальным выкладкам и не показывает существа дела. Поэтому мы приведем еще одно доказательство, опирающееся только на определения размещений и перестановок.
Пусть дано некоторое множество из т элементов и все размещения его элементов по n. Из каждого такого размещения можно получить перестановку элементов множества, присоединив к нему в произвольном порядке остальные m — n элементов. В результате мы получим в с е перестановки из m элементов множества.
Следовательно, каждое размещение из m элементов по n элементов порождает столько перестановок по m элементов, сколькими различными способами к нему можно присоединить m — n оставшихся элементов. Так как это можно сделать различными способами, то общее число перестановок из m элементов равно
откуда и следует равенство (4).
Определение:
Пусть дано конечное множество M, состоящее из m элементов. Сочетанием из m элементов по n элементов называется любое подмножество УИ, содержащее п элементов.
Таким образом, сочетания являются неупорядоченным и подмножествами, и различные сочетания различаются между собой только составом элементов. Число всех возможных сочетаний из m элементов по n обозначают через (от французского combinaison — сочетание, комбинация), а также через или С (m, n).
Теорема:
Число всех возможных сочетаний из m элементов по n элементов равно произведению n последовательных натуральных чисел от m до m — n + 1, деленному на произведение n последовательных натуральных чисел от n до 1:
Доказательство этой теоремы сводится к доказательству следующего утверждения: число сочетаний из m элементов по n элементов равно числу размещений из m элементов по n элементов, деленному на число перестановок из n элементов. В самом деле, из этого утверждения, пользуясь формулами (1) и (2), легко получаем формулу (5).
Чтобы доказать теперь это утверждение, заметим, что каждое размещение из m элементов по n элементов может быть получено из такого же сочетания путем различных перестановок его элементов. Следовательно, каждое сочетание порождает столько размещений, сколько возможно различных перестановок его элементов. Отсюда следует, что или
что и требовалось доказать.
Формулу (5) обычно приводят к более удобному для записи симметричному виду, умножая числитель и знаменатель на произведение всех натуральных чисел от m — n до 1 включительно. Тогда мы приходим к формуле:
Формула (7) означает, что
Рекомендуем читателю самостоятельно разобраться в комбинаторном смысле этого равенства, доказавши его непосредственно, исходя лишь из определения перестановок и сочетаний.
Как было указано в формулировке теоремы 4, символ имеет смысл при и означает количество подмножеств множества М , содержащих ровно по n элементов. Ясно, что это следует и из формулы (5), но формулу (7) в этом случае приме нить нельзя, так как она будет содержать бессмысленный символ О!. Для общности принято полагать 0! = 1. В этом случае формула (7) дает для то же значение 1.
Удобно также ввести в рассмотрение символ , что означает число пустых подмножеств множества М, то есть = 1. То же самое получится и из формулы (7), если воспользоваться принятым условием 0! = 1.
Принимаемое условие 0! = 1 имеет на самом деле более глубокий смысл, чем просто возможность вычислять или по формуле (7).
Более существенное основание для того, чтобы считать выражение 0! равным единице, состоит в следующем. Выражение n! можно рассматривать как функцию, определенную лишь для натурального аргумента В своей области определения она удовлетворяет функциональному уравнению справедливость которого легко проверяется для всех натуральных Действительно, Если же в этом равенстве положить n = 1, то мы получим
Однако все эти соображения являются не слишком убедительными, так как нельзя быть уверенным в том, что нам не встретится другая формула, в которой будет удобно полагать 0! равным какому-нибудь другому числу. Окончательное решение можно получить, идя вот каким путем. Естественно поставить вопрос: можно ли построить непрерывную функцию, определенную для всех значений х, и такую, которая для целых значений аргумента совпадает с то есть доопределить функцию расширив ее область определения? Напомним, что в математическом анализе такое расширение производится, например, для показательной функции которая вначале была определена лишь для натурального показателя степени.
Поставленный вопрос был решен Эйлером и Гауссом. С помощью различных формул (Эйлер — через интеграл, а Гаусс — через бесконечное произведение) они определили функцию, обладающую нужным свойством, и доказали единственность такой функции при некоторых естественных предположениях. Эта функция называется гамма-функцией и обозначается Г(х). Она определена для всех х > 0 и удовлетворяет функциональному уравнению Г(х)= хГ(х — 1), а для натуральных n принимает значения Г(n) = (n — 1)!.
Обе формулы, определяющие функцию Г(х), имеют смысл при х=1 и определяют значение Г(1) = 1. Но в силу равенства Г(n) = (n — 1)! под выражением 0! следует понимать именно значение Г(1).
Все выведенные нами в настоящем параграфе формулы для числа размещений, перестановок и сочетаний фактически уже не однократно выводились нами ранее для различных частных конкретных случаев при рассмотрении примеров в § 1, 2. Рассмотрим еще некоторые свойства сочетаний, которые потребуются в дальнейшем.
Теорема:
Число сочетаний из т элементов по п элементов равно числу сочетаний из m элементов по m — n элементов:
Доказательство:
Формально равенство (9) легко получить из формулы для числа сочетаний, записанной в виде (7). Действительно,
Комбинаторный смысл этого равенства также достаточно ясен. Каждому подмножеству из n элементов соответствует единственное определенное подмножество из m — n элементов—именно, тех, которые не вошли в первоначальное. Поэтому количество тех и других возможных подмножеств одинаково. При рассмотрении примеров (см. примеры 3 и 6 из § 2) мы фактически уже пользовались этим соображением.
Равенство (9) позволяет сокращать вычисления в тех случаях, когда n > m — n.
Теорема:
Число сочетаний из т элементов по п элементов равно сумме числа сочетаний из (m — 1) элементов по n элементов и по (n — 1) элементов:
Доказательство, как и в предыдущем случае, проведем двумя различными способами. Прежде всего, пользуясь формулой (7) для числа сочетаний, находим:
Второе доказательство состоит в следующем. Выделим некоторый фиксированный элемент а множества М и рассмотрим сочетания из m элементов по n элементов, содержащие или не содержащие этот элемент. Число сочетаний по n элементов, не содержащих элемента а, равно, очевидно, так как здесь рассматриваются подмножества по n элементов, образованные из элементов множества, содержащего m — 1 элемент (множество М без элемента а). Сочетания, содержащие а, можно получить так: образовать всевозможные сочетания по n — 1 элементу из того же множества М без элемента а и к каждому из них присоединить а. Отсюда ясно, что число таких сочетаний равно Так как каждое сочетание по n элементов либо содержит данный элемент а, либо не содержит его, то оно принадлежит либо одной, либо другой группе. Поэтому
что и утверждалось
Размещения, перестановки и сочетания вместе часто называют одним словом — соединения.
Соединения с повторениями
Если рассмотреть теперь снова задачи, разобранные в §§ 1 и 2, то мы увидим, что решение почти всех из них не требует уже никаких рассуждений, а получается непосредственным применением нужной формулы из выведенных в предыдущем параграфе. Собственно говоря, все рассуждения, которые приводились при решении задач, были не чем иным, как именно выводом соответствующей формулы, но только для данного конкретного случая. Формулы § 3 потому и являются общими, что они применимы ко всем соединениям одного типа, и рассуждения, проведенные при выводе формул, освобождают нас от необходимости повторять их при решении каждой отдельной задачи.
Однако в числе приведенных там примеров есть и такие, которые не укладываются в уже рассмотренные схемы. К ним относятся, скажем, примеры 1 и 5 из § 1. Дело в том, что при определении различных видов соединений в предыдущем параграфе мы брали некоторое определенное множество, элементы которого существо вали «в единственном экземпляре» и в каждое данное соединение могли входить только один раз. Между тем в некоторых случаях элементы в соединении могут повторяться, как например ноты в музыкальной фразе в примере 5 из § 1. Для того чтобы охватить общей теорией и такие задачи, необходимо рассмотреть соединения с повторениями, которым и посвящен настоящий параграф.
Пусть имеется m непересекающихся множеств каждое из которых содержит не менее чем n элементов. Для простоты мы будем называть элементы множества элементами 1-го сорта, элементы множества — элементами 2-го сорта, …, элементы множества — элементами m-го сорта. Иначе говоря, мы рассматриваем разбиение (см. п. 7 Введения) некоторого множества на непересекающиеся подмножества состоящие из элементов различных «сортов». Все элементы каждого подмножества, то есть элементы одного и того же сорта, будем считать одинаковыми, или совпадающими между собой.
Слова «одинаковые» или «совпадающие» употребляются здесь в том смысле, в каком одинаковыми являются, например, 12 белых или 12 черных шашек. Именно в таком смысле понимается распространенное выражение «множество с повторяющимися элементами», хотя оно и не согласуется с описанным во Введении пониманием терминов «множество» и «элемент» (согласно которому множества, содержащие одни и те же элементы, считаются совпадающими).
Вообще, в таких случаях правильнее говорить о множестве различных вхождений «одинаковых» (точнее — одноименных) эле ментов. Так, слово «алгебра» состоит из ш е с т и букв, но содержит семь вхождений букв (буква «а» входит дважды, остальные — по одному разу). С совершенно аналогичной по существу ситуацией мы уже имели дело о гл. I, говоря о «кратных» корнях многочленов.
Из элементов множества A, то есть элементов, входящих в различные его подмножества можно составлять различные упорядоченные множества, содержащие по n элементов в каждом. Такие упорядоченные множества принято называть размещениями с повторениями из элементов m сортов по n элементов, или, более коротко, просто размещениями с повторениями из m элементов по n.
В первом из этих терминов (более точном, но менее употребительном из-за своей громоздкости) явным образом указывается, что имеется не т различных элементов, а m различных сортов элементов; число же элементов любого сорта в размещении может быть каким угодно.
Для наглядности будем представлять себе, что элементами рассматриваемых множеств являются буквы. Если, например, m=3, то это могут быть буквы а, b, с. Тогда возможны следующие размещения с повторениями этих трех элементов по n = 2:
Размещения с повторениями можно рассматривать и в случае n > m, то есть неравенство которое считалось необходимым в предыдущем параграфе, здесь необходимым уже не является. На пример, из m = 2 элемента а, b можно образовать размещения по n = 3 элемента. Они будут иметь вид:
Число различных возможных размещений с повторениями из m элементов по n элементов будем обозначать
Теорема:
Число различных размещений с повторениями из m элементов по n элементов определяется по формуле:
Доказательство:
Прежде всего заметим, что размещения с повторениями по n элементов могут быть получены из размещений по (n — 1) элементу присоединением еще одного элемента. Так как к каждому размещению по (n — 1) элементу можно присоединить любой из имеющихся m элементов, то каждое размещение по (n — 1) элементу порождает т различных размещений по n элементов, то есть
Проведем теперь доказательство формулы (1) по индукции. Ясно, что при n = 1 число размещений равно m:
Допустим, что для некоторого числа n справедливо равенство
и найдем число размещений с повторениями из m элементов по n. Пользуясь формулой (2), получаем:
Таким образом, формула (1) справедлива для n — 1 и из ее справедливости для некоторого п следует и справедливость для n+1. Теорема доказана.
Для определения перестановки с повторениями рассмотрим множество, состоящее из п элементов, среди которых есть одинаковые. Как и раньше, мы можем представлять себе, что элементами этого множества являются буквы.
Определение:
Перестановкой с повторениями из n элементов называется любое упорядочение конечного множества, состоящего из n элементов, среди которых имеются совпадающие.
Пусть рассматриваемое множество состоит из букв букв букв букв l. Подсчитаем число возможных перестановок с повторениями для такого множества.
Занумеруем сначала все элементы а номерами буквы b — номерами …, и т. д. и будем считать все эти элементы различными. Тогда мы имеем множество, состоящее из
n различных элементов, и число перестановок этого множества, в силу теоремы 2 предыдущего параграфа, равно n!, причем
Теперь мы заметим, что элементы множества фактически не различаются между собой и поэтому среди всех n! перестановок имеются совпадающие, так что каждая перестановка с повторениями считается здесь несколько раз. Подсчитаем, сколько именно.
Ясно, что две перестановки, отличающиеся друг от друга лишь расположением элементов а, совпадают между собой. Таких перестановок существует столько, сколько возможно различных перестановок элементов между собой, то есть . Но то же самое относится и к элементу b: перестановки, отличающиеся лишь расположением элементов , совпадают между собой, и таких перестановок существует ровно и т. д.
Следовательно, в числе n! перестановок всех элементов каждая считается раз. Отсюда следует, что число различных перестановок с повторениями в нашем случае равно
Обозначая число перестановок через мы можем сформулировать полученный результат в виде следующей теоремы.
Теорема:
Число различных перестановок из п элементов, в ко торых элементы а, b, с, …, l повторяются соответственно раз, выражается формулой
Определение:
Сочетанием с повторениями из m элементов по n элементов называется всякое множество, содержащее n элементов, каждый из которых является элементом одного из данных m сортов.
Как видно из этого определения, сочетания с повторениями являются неупорядоченными множествами, так что расположение эле ментов в них несущественно. Различные сочетания отличаются друг от друга входящими в них элементами, причем каждый элемент может входить в сочетание несколько раз.
Например, из трех элементов а, b, с можно образовать такие сочетания с повторениями по два элемента:
Из тех же трех элементов сочетания с повторениями по три эле мента будут следующими:
Ясно, что из элементов а, b, с можно составлять сочетания с повторениями и по четыре элемента и вообще по любому числу n элементов, так что для сочетаний с повторениями неравенство не является необходимым, а можно рассматривать и случай m < n.
Число различных возможных сочетаний с повторениями из m элементов по n элементов мы будем обозначать символом Для его нахождения можно воспользоваться следующей теоремой.
Теорема:
Число различных возможных сочетаний с повторения ми из т элементов по п элементов может быть найдено по формуле
Доказательство:
Как уже говорилось выше, сочетания, в том числе с повторениями, являются неупорядоченными множествами. Поэтому всякое сочетание однозначно определяется тем, сколько элементов каждого сорта в него входит.
Например, если имеются элементы четырех сортов, то сочетание вполне определится, если сказать, что оно содержит два эле мента первого сорта, четыре элемента второго, ни одного элемента третьего и один элемент четвертого сорта. Это есть одно из возможных сочетаний с повторениями из четырех элементов по семи. Такое сочетание можно условно записать комбинацией четырех чисел (2, 4, 0, 1), показывающей, сколько элементов каждого сорта берется.
Другие сочетания определятся, например, комбинациями (3, 0, 0, 4) или (1, 1,2, 3). Первая из них определяет сочетание, состоящее из трех элементов первого сорта и четырех элементов четвертого. Элементы второго и третьего сорта в это сочетание не входят. Вторая комбинация определяет сочетание, содержащее один элемент первого сорта, один — второго, два — третьего и три элемента четвертого сорта. Заметим еще, что, пока мы рассматриваем сочетания из четырех элементов по семи, условная запись представляет комбинацию всегда четырех чисел — по одному числу на каждый имеющийся сорт элементов, и сумма этих чисел всегда равна семи, то есть общему числу элементов, входящих в сочетание.
В общем случае, если мы захотим условной комбинацией чисел изобразить некоторое сочетание с повторением из m элементов по n элементов, то придется написать уже m целых неотрицательных чисел, снова по одному числу на каждый имеющийся сорт элементов, обозначив их, скажем, причем сумма этих чисел должна равняться числу элементов в сочетании, то есть n:
Такую комбинацию мы будем записывать в виде
Комбинацию , определяющую сочетание, можно записать, пользуясь только цифрами 1 и 0. Сделаем это следующим образом. Вместо числа а 4, означающего количество элементов первого сорта в сочетании, напишем такое же число единиц. Затем таким же способом запишем число элементов второго сорта, а между этими двумя группами единиц поставим нуль для их разделения. Так же будем поступать и дальше. Комбинация (1, 1, 2, 3) изобразится тогда как (1010110111), а комбинация (2, 1, 2, 2) — как (1101011011). Запись (1011011101) соответствует комбинации (1, 2, 3, 1).
Если какое-либо из чисел равно нулю, то есть элементы данного сорта в сочетание не входят, то единиц на этом месте писать не будем, и два или несколько нулей могут тогда оказаться рядом. Например, комбинация (2, 4, 0, 1) запишется в виде (1101111001). Запись (1111000111) соответствует комбинации (4, 0, 0, 3).
Запись из нулей и единиц, соответствующая сочетанию из m элементов по n элементов, будет содержать ровно n единиц и m — 1 нулей. Действительно, количество единиц равно числу элементов в сочетании, а количество нулей на единицу меньше числа сортов элементов, поскольку нуль употребляется лишь для их разделения. Поэтому число сочетаний с повторениями из m элементов по n элементов равно числу перестановок из n единиц и m — 1 нулей. Как уже известно из теоремы 2, это число равно
Теорема доказана.
Если сравнить полученное выражение с формулой (7) для числа сочетаний без повторений, выведенной в предыдущем параграфе, то мы заметим, что
Таким образом, число сочетаний с повторениями из m элементов по n элементов равно числу сочетаний без повторений из n + m — 1 элементов по m — 1 элементов.
В этом параграфе мы рассмотрим еще несколько комбинаторных задач, при решении которых будем пользоваться установленными выше формулами и правилами.
Пример:
В некотором государстве каждые два человека отличаются набором зубов. Каково максимально возможное число жителей этого государства, если наибольшее число зубов у человека равно 32?
Решение:
Эту задачу можно решить двумя способами. Первый способ заключается в том, что мы сначала ищем, сколько людей может иметь k зубов, а потом просуммируем полученные результаты от k= 0 до k=32. Ясно, что k мест из 32 можно выбрать способами. Поэтому ровно кkзубов имеют не более чем жителей. А тогда общее число жителей не превосходит
Полученный этим способом ответ оказался очень громоздким. Выгоднее избрать другой путь, которым мы уже пользовались при решении примера 5 в § 2, — применить метод индукции.
Если речь идет об одном зубе, то возможны только два человека—один с зубом и второй без него. При двух зубах число возможных наборов зубов становится равным четырем: нет ни одного зуба, есть первый, есть второй и есть оба.
Увеличив число зубов до трех, мы удвоим число возможностей и получим восемь различных наборов. Действительно, каждый из рассмотренных наборов двух зубов может встретиться дважды — когда нет третьего зуба и когда он есть.
Обозначим число возможных наборов k зубов через Предыдущими рассуждениями мы доказали, что Допустим, что для некоторого k справедливо равенство и докажем, что аналогичное равенство справедливо и для случая k + 1 зубов. Среди всех различных наборов, входящих в имеется ровно наборов, в которых отсутствует (k+1)-й зуб, и столько же наборов, в которых (k+1)-й зуб имеется. Поэтому
Таким образом, при возможных n зубах число всех людей, отличающихся набором зубов, равно . В нашем случае n = 32, поэтому мы получаем Как известно, Поэтому так что возможное население этого государства больше нынешнего населения всего земного шара.
Заметим, что полученный нами результат на самом деле дает больше, чем только оценку возможного населения забавного государства. Сравнивая полученное значение N с написанным выше выражением N как суммы сочетаний, мы приходим к формуле:
Более того, из приведенного выше доказательства по индукции вытекает, что аналогичное равенство справедливо при любом n, то есть что имеет место формула
Пример:
Дана прямоугольная сетка квадратов размером m х n. Каково число различных дорог на этой сетке, ведущих из левого верхнего угла в правый нижний (рис. 46)? (Все звенья дороги предполагаются идущими или вправо, или вниз — без возвращений; сходная ситуация возникает, скажем, при выборе одного из кратчайших маршрутов между двумя городскими перекрестками.)
Решение:
Всякая дорога представляет собой ломаную, содержащую m горизонтальных и n вертикальных звеньев, то есть состоящую из m + n звеньев. Различные дороги отличаются одна от другой лишь порядком чередования горизонтальных и вертикальных звеньев. Поэтому число возможных дорог равно числу способов, которыми можно выбрать n вертикальных отрезкoв из общего числа m + n отрезков, а следовательно, есть
Можно было бы рассматривать число способов выбора не n вертикальных, а m горизонтальных отрезков и тогда мы получили бы ответ Но формула (9) из § 3 показывает, что
Полученный результат можно использовать для вывода еще одной интересной формулы. Пусть наша сетка является квадрат ной, то есть имеет размеры n х n. Тогда из приведенного выше решения следует, что число различных дорог, соединяющих левый верхний угол с правым нижним, равно
Вместе с тем число этих дорог можно подсчитать иначе. Рассмотрим диагональ, идущую из нижнего левого угла в верхний правый, и обозначим вершины, лежащие на этой диагонали, через Так как каждая дорога обязательно проходит через одну — и притом единственную—точку этой диагонали, то общее число дорог есть сумма числа дорог, идущих через точку через точку через точку через точку
Найдем число возможных дорог, идущих через точку Если нумерация точек произведена снизу вверх, ка это показано на рис. 47, то точка отстоит от нижней горизонтали на расстоянии k, считая за единицу измерения длину стороны квадрата сетки. От правой вертикали ее отделяют тогда n— k горизонтальных отрезка.
Дорог, соединяющих верхний левый угол с точкой , будет тогда , а дорог, соединяющих точку с нижним правым углом, будет (это видно из рассмотрения равных прямоугольников, противоположными вершинами которых служат верхний левый угол исходного квадрата и точка и соответственно точка и нижний правый угол квадрата). Поэтому общее число дорог, соединяющих верхний левый угол с нижним правым и проходящих через , равно Но тогда общее число всех дорог равно сумме
Сравнивая полученную сумму с найденным выше выражением для числа дорог, мы придем к формуле:
Пример:
Шесть пассажиров садятся на остановке в трамвайный поезд, состоящий из трех трамвайных вагонов. Каким числом различных способов могут они распределиться в вагонах?
Решение:
Прежде всего необходимо указать, что задача сформулирована недостаточно точно и допускает два различных толкования. Нас может интересовать или только число пассажиров в каждом вагоне или же кто именно в каком вагоне находится. Рассмотрим обе возможные формулировки.
Сначала рассмотрим случай, когда учитывается, кто в каком вагоне находится, то есть когда случаи «пассажир А в первом вагоне, а пассажир В — во втором» и «пассажир В в первом вагоне, а пассажир А — во втором» считаются различными.
Здесь мы имеем размещения с повторениями из трех элементов по шесть элементов: для каждого из шести пассажиров имеются три возможности. Пользуясь формулой (1) из § 4, получаем, что число различных способов, которыми шесть пассажиров могут распределиться в трех вагонах, равно:
Иной результат получится в том случае, если нас интересует лишь число пассажиров в каждом вагоне, так что случай «один пассажир в первом вагоне и один во втором» является единственным, независимо от того, кто из пассажиров где находится. Здесь нужно подсчитывать уже не размещения, а Сочетания с повторениями. По формуле (4) из §4 находим, что число различных способов распределения пассажиров в этом случае равно
Пример:
Сколькими способами можно распределить 28 костей домино между 4 игроками так, чтобы каждый получил 7 костей?
Решение:
Первый игрок может выбрать 7 костей способами. После этого второй игрок должен выбрать 7 костей из оставшихся 21 кости. Это можно сделать способами. Третий игрок может выбрать кости способами, а четвертый — способом. Всего получаем
способов раздела костей.
Эту задачу можно решить иначе. Упорядочим все кости и отдадим первые 7 костей первому игроку, вторые 7 костей — второму игроку и т. д. Так как 28 костей можно упорядочить 28! способами, то получаем 28! способов раздела. Но некоторые из этих способов приводят к одинаковым результатам — игрокам неважно, в каком порядке приходят к ним кости, а важно лишь, какие именно кости они получат. Поэтому результат не изменится, если мы как угодно переставим друг с другом первые 7 костей, потом вторые 7 костей и т. д. Первые 7 костей можно переставить 7! способами, вторые 7 костей — тоже 7! способами и т. д. Всего получим перестановок, дающих то же распределение костей, что и данная. Поэтому число способов раздела костей равно
Пример:
Сколькими способами можно разделить 40 яблок между 4 мальчиками (все яблоки считаются одинаковыми)?
Решение:
Возьмем три одинаковые перегородки и рассмотрим всевозможные перестановки 43 предметов: 40 яблок и 3 пере городок. Каждой такой перестановке соответствует свой способ раздела: первый мальчик получает все яблоки от начала до первой перегородки, второй — все яблоки между первой и второй перегородками, третий — все яблоки между второй и третьей перегородками, а четвертый — все остальные яблоки. (Если, например, первая и вторая перегородки оказались рядом, то второй мальчик ничего не получает. ) Значит, число способов раздела равно числу перестановок 40 яблок и 3 перегородок. По формуле числа перестановок с повторениями получаем, что это число равно
Пример:
Сколькими способами можно разделить 40 яблок между 4 мальчиками так, чтобы каждый получил по крайней мере 3 яблока (все яблоки по-прежнему считаются одинаковыми)?
Решение:
Сначала дадим каждому мальчику по 3 яблока. А потом разделим оставшиеся 28 яблок так, как было сделано в предыдущей задаче. Всего получаем
способов раздела.
Пример:
Имеется m различных сигнальных флагов и k мачт, на которых их вывешивают. Значение сигнала зависит от того, в каком порядке развешаны флаги. Сколько сигналов можно передать этими флагами, если все флаги должны быть использованы, но некоторые из мачт могут оказаться пустыми?
Решение:
Добавим к m флагам k — 1 перегородку и рассмотрим всевозможные перестановки из m различных флагов и k одинаковых перегородок. Как ив примере 5, каждой перестановке соответствует свой сигнал (на первую мачту вывешиваются по порядку все флаги от начала до первой перегородки и т. д.). Поэтому число сигналов равно числу таких перестановок, то есть равно
Если бы мы не потребовали, чтобы все флаги были использованы, то число сигналов оказалось бы больше. В этом случае задача решалась бы в два этапа. Сначала выберем, какие флаги будут участвовать в сигнале. Если число выбираемых флагов равно s, то выбор можно сделать способами. Как мы уже знаем, с помощью данных s флагов можно передать сигналов. По этому всего имеем сигналов, передаваемых s флагами. А общее число сигналов равно
Бином Ньютона и его обобщения
В главе I (§ 1, п. 8) была выведена формула бинома Ньютона:
Через мы обозначили коэффициент при в разложении Для было получено соотношение которое позволяет вычислять эти коэффициенты один за другим. Сейчас мы получим явную формулу для — для этого мы покажем, что коэффициенты — не что иное, как число сочетаний из n элементов по k (именно поэтому в гл. I и было выбрано обозначение
В самом деле, запишем в виде произведения n сомножителей:
— и раскроем скобки в этом произведении, причем будем записывать все множители в том порядке, в котором они нам встретятся. Например, запишем
или
Видно, что в формулу (3) входят все размещения с повторениями из букв х и а, по две буквы в каждом размещении , а в формулу (4) — размещения с повторениями из тех же букв, содержащие по три буквы. То же самое будет в общем случае — после раскрытия скобок в формуле (2) получаются все размещения с повторениями из букв х и а, по n букв в каждом размещении.
Приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв а (тогда и букв х в них будет поровну). Найдем число членов, содержащих k букв а (и, следовательно, n — k букв х). Эти члены являются всевозможными перестановками с повторениями, составленными из k букв а и n — k букв Их число равно
Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов коэффициент при окажется равным , то есть числу сочетаний из n элементов по k. Тем самым доказано, что числа в формуле (1) действительно являются числами сочетаний из n элементов по k .
Рассмотрим несколько задач, связанных с формулой бинома Ньютона.
Пример:
Определить коэффициент при в разложении
Решение:
Запишем данное нам выражение в виде:
где Отсюда видно, что может получиться только из члена, содержащего . В соответствии с формулой (1) этот член имеет вид:
Для получения нужно при раскрытии скобок взять член, содержащий в первой степени. Этот член имеет вид поэтому искомый коэффициент при равен произведению
Пример:
С каким коэффициентом входит в разложение
Решение:
Выясним сначала, каким числом способов можно представить в виде произведений для чего надо знать, какими способами можно представить число 30 в виде суммы слагаемых 3 и 7. Очевидно, что 30 можно представить в виде суммы десяти троек, и без участия слагаемого 7 других представлений нет. С участием 7 возможно только одно представление 30 = 7+7+7+3+3+3, так как число семерок, входящих в сумму, должно быть кратно трем, иначе сумма не будет делиться на 3.
Итак, для нахождения коэффициента при в нам нужно определить коэффициенты при членах
Как и в предыдущем примере, перепишем наше выражение в виде и воспользуемся формулой (1):
Слагаемое есть только в последнем из выписанных нами членов, и коэффициент при нем равен Еще одно слагаемое вида входит в слагаемое
при раскрытии произведения
Так как в этой последней скобке коэффициент при равен то коэффициент при члене равен произведению
Окончательно, искомый коэффициент при есть сумма
Подставляя в (1) х=1, получим другой вывод формулы (1) из § 5. Аналогично, приняв в (1) х = — 1, получим еще одну любопытную формулу:
или, иначе,
то есть для любого n сумма сочетаний из n элементов по четному числу элементов равна сумме сочетаний из п элементов по нечетному числу элементов.
Формулу, аналогичную формуле бинома Ньютона, можно получить и для возведения в степень суммы нескольких слагаемых. Если число слагаемых невелико, то ее легко получить, применяя несколько раз формулу бинома Ньютона. Например, для трех слагаемых можно написать:
раскрывая, в свою очередь, каждое слагаемое справа по формуле (2). При небольших n это нетрудно сделать.
Пусть, например, n = 2. Тогда получаем:
При n = 3 находим:
Таким образом, мы получили формулы для квадрата и куба суммы трех слагаемых, которые имеют вид:
Однако для больших n, не говоря уже о большом числе слагаемых , такой способ вывода формулы потребует уже чересчур сложных и громоздких вычислений.
Формулу для возведения в степень суммы нескольких слагаемых можно получить и непосредственно, подобно тому как мы это делали для формулы бинома Ньютона.
Действительно, n-я степень суммы есть произведение n одинаковых слагаемых вида Перемножив все скобки, мы получим сумму произведений, причем в каждом слагаемом будет n сомножителей. Общее число слагаемых равно числу размещений с повторениями из m элементов по n элементов, то есть так как множители, взятые из различных скобок, могут совпадать. Вследствие этого каждое отдельное слагаемое будет иметь вид
Показатели степени а удовлетворяют, очевидно, условиям и
то есть все они суть целые неотрицательные числа и их сумма равна n.
Чтобы определить коэффициент, который будет стоять у произведения после приведения подобных членов, нужно подсчитать, сколько раз такое произведение может встретиться. Это можно сделать следующим образом.
Каждому произведению (до приведения подобных членов) поставим в соответствие перестановку из элементов 1, 2, …, m . При этом если из первой скобки берется, например, множитель из второй — из третьей — и т. д., то перестановка имеет вид 2, 3, 1 … . Иначе говоря, в перестановке на первом месте ставится номер элемента, взятого из первой скобки, на втором — номер элемента из второй скобки и т.д. Например, произведению соответствует перестановка 1, 2, 4, 1, 4, 3.
Ясно, что произведению ставится в соответствие такая перестановка, в которой элемент 1 повторяется на различных местах ровно раз, элемент 2— ровно раз и т. д. В том случае, когда что возможно, соответствующий элемент к не входит в рассматриваемую перестановку вовсе.
Из сказанного вытекает, что произведение встречается среди слагаемых столько раз, сколько существует различных перестановок с повторениями из п элементов, в которых элемент 1 повторяется раз, элемент 2 повторяется раз,…, элемент m повторяется раз, то есть
(см. формулу (3) из § 4). Это же число служит коэффициентом при произведении в разложении n-й степени суммы m слагаемых.
Полученное можно выразить в виде следующей теоремы.
Теорема:
Результат возведения суммы m слагаемых в n-ю степень имеет вид:
где суммирование распространяется на все возможные системы целых неотрицательных чисел, удовлетворяющие условию
Эту теорему называют полиномиальной, а коэффициенты (5) — полиномиальными коэффициентами.
Легко убедиться в том, что формула бинома Ньютона является частным случаем полиномиальной формулы (6).
Решение заданий и задач по предметам:
Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат
Сочетания из n по k онлайн.
Формулы комбинаторики
Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.
Основная формула комбинаторики
Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *…*n k .
Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая — из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .
Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.
В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =…n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.
Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.
Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .
Число размещений из n элементов по m
Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.
Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:
Замечание: n!=1*2*3*…*n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.
Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:
Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
Число сочетаний из n элементов по m
Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:
Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?
Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:
Перестановки из n элементов
Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.
Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).
Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.
Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.
Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.
Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).
Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.
И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.
Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.
Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.
Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?
4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?
5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?
На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте — любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N — 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N — 1).
Это же можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — последний оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так далее.
Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов возможных перестановок равно произведению всех целых от 1 до N. Это произведение называется N и N! (читается «эн факториал»).
В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы размещениями.
Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.
Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N — 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N — M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N — M) неиспользованных элементов.
Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N — M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N — M)!.
Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N — M)!).
Источники:
количество сочетаний
Факториал натурального числа – это произведение всех предыдущих натуральных чисел, включая само число. Факториал нуля равен единице. Кажется, что посчитать факториал числа очень просто – достаточно перемножить все натуральные числа, не превышающие заданное. Однако, значение факториала настолько быстро возрастает, что некоторые калькуляторы не справляются с этой задачей.
Вам понадобится
калькулятор, компьютер
Инструкция
Чтобы посчитать факториал натурального числа перемножьте все , не превосходящие данное. Каждое число учитывается только один раз. В виде формулы это можно записать следующим образом:n! = 1*2*3*4*5*…*(n-2)*(n-1)*n, гдеn – натуральное число, факториал которого требуется посчитать.
0! принимается равным единице (0!=1).При возрастании аргумента значение факториала очень быстро увеличивается, поэтому обычный (бухгалтерский) уже для факториала 15-ти вместо результата может выдать об ошибке.
Чтобы посчитать факториал большого натурального числа, возьмите инженерный калькулятор. То есть, такой калькулятор на клавиатуре которого имеются обозначения математических функций (cos, sin, √). Наберите на калькуляторе исходное число, а затем нажмите кнопку вычисления факториала. Обычно такая кнопка как «n!» или аналогично (вместо «n» может стоять «N» или «х», но восклицательный знак «!» в обозначении факториала должен присутствовать в любом случае).
При больших значениях аргумента результаты вычислений начинают отображаться в «экспоненциальном» (показательном) виде. Так, например, факториал 50 будет представлен в форме: 3,0414093201713378043612608166065e+64 (или похожем). Чтобы получить результат вычислений в обычном виде, припишите к числу, показанному до символа «е», столько нулей, сколько указано после «е+» (если, конечно, хватит места).
В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Рождение комбинаторики как раздела связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.
Французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) рано проявил свои выдающиеся математические способности. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль доказал одну
из основных теорем проективной геометрии (теорема Паскаля), сконструировал суммирующую машину (арифмометр Паскаля), дал способ вычисления биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля), впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции, сделал существенный шаг в развитии анализа бесконечно малых, сыграл важную роль в зарождении теории вероятности. В гидростатике Паскаль установил ее основной закон (закон Паскаля). “Письма к провинциалу” Паскаля явились шедевром французской классической прозы.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. В математике наряду с И. Ньютоном разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Важный вклад внес в комбинаторику. С его именем, в частности, связаны теоретико-числовые задачи.
Готфрид Вильгельм Лейбниц имел мало внушительную внешность и поэтому производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды в Париже он зашел в книжную лавку в надежде приобрести книгу своего знакомого философа. На вопрос посетителя об этой книге книготорговец, осмотрев его с головы до ног, насмешливо бросил: “Зачем она вам? Неужели вы способны читать такие книги?” Не успел ученый ответить, как в лавку вошел сам автор книги со словами: “Великому Лейбницу привет и уважение!” Продавец никак не мог взять втолк, что перед ним действительно знаменитый Лейбниц, книги которого пользовались большим спросом среди ученых.
В дальнейшем важную роль будет играть следующая
Лемма. Пусть в множестве элементов, а в множестве — элементов. Тогда число всех различных пар , где будет равно .
Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества мы можем составить таких различных пар, а всего в множестве элементов.
Размещения, перестановки, сочетания
Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .
Определение. Размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по > элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и .
Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно
Доказательство. Пусть у нас есть элементы . Пусть — возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим — первый элемент размещения. Из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:
Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?
Решение. Искомое число трехполосных флагов:
Определение. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке.
Так, все различные перестановки множества из трех элементов — это
Число всех перестановок из элементов обозначается (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле
Пример. Сколькими способами можно расставить ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
Решение. Искомое число расстановки ладей
По определению!
Определение. k
Действительно, каждому -элементному подмножеству данного -элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.
Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .
Треугольник Паскаля
В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1, а каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Таким образом, этот треугольник позволяет вычислять числа .
Теорема.
Доказательство. Рассмотрим множество из элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из элементов данного
множества, в каждой из которых никакой элемент не встречается дважды?
1 способ. Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т. д. член
2 способ. Выберем сначала элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке
Домножим числитель и знаменатель этой дроби на :
Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 номеров из 36?
Искомое число способов
Задачи.
1. Номера машин состоят из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
2. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков?
3. Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на 5?
4. Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана?
5. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?
6. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?
7. Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр?
8. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
9. Сколькими способами можно расставить в ряд числа так, чтобы числа стояли рядом и притом шли в порядке возрастания?
10. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр , если каждую цифру можно использовать только один раз?
11. Из слова РОТ перестановкой букв можно получить еще такие слова: ТОР, ОРТ, ОТР, ТРО, РТО. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова ЛОГАРИФМ?
12. Назовем разбиением натурального числа представление его в виде суммы натуральных чисел. Вот, например, все разбиения числа :
Разбиения считаются разными, если они отличаются либо числами, либо порядком слагаемых.
Сколько существует различных разбиений числа на слагаемых?
13. Сколько существует трехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
14. Сколько существует четырехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
15. Сколькими способами можно рассадить в ряд 17 человек, чтобы и оказались рядом?
16. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?
17. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы все девочки сидели рядом?
Число сочетаний
Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений .
Явные формулы
Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту
При фиксированном значении n производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из n по k является:
Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:
Ссылки
Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990.
Вычисление числа сочетаний онлайн
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое «Число сочетаний» в других словарях:
70 семьдесят 67 · 68 · 69 · 70 · 71 · 72 · 73 40 · 50 · 60 · 70 · 80 · 90 · 100 Факторизация: 2×5×7 Римская запись: LXX Двоичное: 100 0110 … Википедия
Световое число, условное число, однозначно выражающее внеш. условия при фотосъёмке (обычно яркость объекта съёмки и светочувствительность применяемого фотоматериала). Любому значению Э. ч. можно подобрать неск. сочетаний диафрагменное число… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Форма числа, выделяющая два предмета как по отношению к единичному предмету, так и по отношению к множеству предметов. В современном русском языке эта форма не существует, но остатки ее влияния сохранились. Так, сочетания два стола (ср. мн. ч.… … Словарь лингвистических терминов
Комбинаторная математика, комбинаторика, раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов нек рого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения… … Математическая энциклопедия
В комбинаторике сочетанием из по называется набор элементов, выбранных из данного множества, содержащего различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания… … Википедия
Занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… … Энциклопедия Кольера
1) то же, что математический Комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов… … Большая советская энциклопедия
— (греч. paradoxos неожиданный, странный) в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятым, устоявшимся мнением, отрицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле два противоположных утверждения, для… … Философская энциклопедия
— (или принцип включений исключений) комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом … Википедия
Математическая теория, занимающаяся определением числа различных способов распределения данных предметов в известном порядке; имеет особенно важное значение в теории уравнений и в теории вероятностей. Простейшие задачи этого рода заключаются в… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Книги
Число судьбы. Гороскоп совместимости. Желания. Страсти. Фантазии (количество томов: 3) , Майер Максим. Число судьбы. Как составить индивидуальный нумерологический прогноз. Нумерология — одна из самых древних эзотерических систем. Невозможно точно установить времяее возникновения. Однако в…
Мы иногда делаем выбор из множества без учета порядка . Такой выбор называется комбинацией . Если вы играете в карты, например, вы знаете, что в большинстве ситуаций порядок, в котором вы держите карты, не имеет значения.
Пример 1 Найдите все комбинации 3-х букв, взятых из набора в 5 букв {A, B, C, D, E}.
Решение Эти комбинации следующие:
{A, B, C}, {A, B, D},
{A, B, E}, {A, C, D},
{A, C, E}, {A, D, E},
{B, C, D}, {B, C, E},
{B, D, E}, {C, D, E}.
Существует 10 комбинаций из трех букв, выбранных из пяти букв.
Когда мы находим все комбинации из набора с 5 объектами, если мы берем 3 объекта за один раз, мы находим все 3-элементные подмножества. В таком случае порядок объектов не рассматривается. Тогда,
{A, C, B} называется одним и тем же набором как и {A, B, C}.
Подмножество
Множество A есть подмножеством B, и означает что A это подмножество и/или совпадает с B если каждый элемент A является элементом B.
Элементы подмножество не упорядочены. Когда рассматриваются комбинации, не рассматривается порядок!
Комбинация
Комбинация, содержащая k объектов является подмножеством, состоящим из k объектов.
Мы хотим записать формулу для вычисления число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно.
Обозначения комбинации
Число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно, обозначается n C k .
Мы называем n C k число сочетаний . Мы хотим записать общую формулу для n C k для любого k ≤ n. Во-первых, это верно, что n C n = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножестов с n элементами, есть само множество. Во-вторых, n C 1 = n, потому что множество с n элементами имеет только n подмножеств с 1 элементом в каждом. Наконец, n C 0 = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножество с 0 элементами, то есть пустое множество ∅. Чтобы рассмотреть другие сочетания, давайте вернемся к примеру 1 и сравним число комбинаций с числом перестановок.
Обратите внимание, что каждая комбинация из 3-х элементов имеет 6, или 3!, перестановок.
3! . 5 C 3 = 60 = 5 P 3 = 5 . 4 . 3,
so
.
В общем, число сочетаний из k элементов, выбранных из n объектов, n C k раз перестановок этих элементов k!, должно быть равно числу перестановок n элементов по k элементов:
k!. n C k = n P k
n C k = n P k /k!
n C k = (1/k!). n P k
n C k =
Комбинации k объектов из n объектов
Общее число комбинаций к элементов из n объектов обозначается n C k , определяется
(1) n C k = ,
или
(2) n C k =
Другой тип обозначения для n C k это биноминальный коэффициент . Причина для такой терминологии будет понятна ниже.
Биноминальный коэффициент
Пример 2 Вычислите , используя формулы (1) и (2).
Решение
a) Согласно (1),
.
b) Согласно (2),

Имейте в виду, что не означает n/k.
Пример 3 Вычислите и .
Решение Мы используем формулу (1) для первого выражения и формулу (2) для второго. Тогда
,
используя (1), и
,
испоьлзуя формулу (2).
Обратите внимание, что
,
и используя результат примера 2 дает нам
.
Отсюда вытекает, что число 5-ти элементного подмножества из множества 7 элементов то же самое, что и число 2-элементного подмножества множества из 7 элементов. Когда 5 элементов выбираются из набора, они не включают в себя 2 элемента. Чтобы увидеть это, рассмотрим множество {A, B, C, D, E, F, G}:

В целом, мы имеем следующее. Этот результат дает альтернативный способ вычисления комбинации.
Подмножества размера k и размера
и n C k = n C n-k
Число подмножеств размера к множества с n объектами такое же, как и число подмножеств размера n — к. Число сочетаний k объектов из множества n объектов, такое же как и число сочетаний из n объектов, взятых одновременно.
Теперь мы будем решать задачи с комбинациями.
Пример 4 Мичиганская лотерея. Проводящаяся в штате Мичиган два раза в неделю лотерея WINFALL имеет джек-пот, который, по крайней мере, равен 2 млн. долларов США. За один доллар игрок может зачеркнуть любые 6 чисел от 1 до 49. Если эти числа совпадают с теми, которые выпадают при проведении лотереи, игрок выигрывает. (
Биномиальное распределение
«Би» означает «два» (как у велосипеда два колеса) …
… так что речь идет о вещах с двумя результатами .

Подбрасывание монеты:
Выпали ли мы орлом (H) или
Хвосты (Т)
Мы говорим вероятность выпадения монеты H равно ½
И вероятность выпадения монеты T равна ½
Бросание игральной кости:
Получили ли мы четыре . .. ?
… или нет?
Мы говорим, что вероятность четыре равна 1/6 (одна из шести граней является четверкой)
И вероятность того, что не четыре равна 5/6 (пять из шести граней не четыре)
Обратите внимание, что у игральной кости 6 граней, но здесь мы рассматриваем только 9.0007 два корпуса: «четыре: да» или «четыре: нет»
Подбросим монетку!
Подбросьте правильную монету трижды … какова вероятность того, что выпадет ровно два орла ?
Используя H для орла и T для решки, мы можем получить любой из этих 8 исходов :
ЧЧЧ
ННТ
ХТХ
ХТТ
ТХХ
ТГТ
ТТХ
ТТТ
Каких результатов мы хотим?
«Две головы» могут быть в любом порядке: «HHT», «THH» и «HTH» имеют две головы (и один хвост).
Итак, 3 исхода дают «Две головы».
Какова вероятность каждого исхода?
Все исходы равновероятны, а их 8, поэтому вероятность каждого исхода равна 1/8
Значит, вероятность события «Две головы» равна:
Количество
исходов, которые мы хотим Вероятность
каждого исхода
3 × 1/8 = 3/8
Таким образом, шанс выпадения двух голов равен 3/8
Мы использовали специальные слова:
Результат : любой результат трех подбрасываний монеты (8 различных вариантов)
Событие : «Два орла» из трех подбрасываний монеты (это 3 исхода)
3 головки, 2 головки, 1 головка, нет
Вычисления (P означает «Вероятность»):
P(три головки) = P( ЧЧЧ ) = 1/8
P(две головки) = P( HHT ) + P( HTH ) + P( THH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
P(одна головка) = P( HTT ) + P( THT ) + P( TTH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
P(Ноль головок) = P( TTT ) = 1/8
Мы можем записать это в терминах случайной переменной «X» = «Количество орлов при 3-х подбрасываниях монеты»:
Р(Х = 3) = 1/8
Р(Х = 2) = 3/8
Р(Х = 1) = 3/8
Р(Х = 0) = 1/8
А вот как это выглядит на графике:

Симметрично!
Создание формулы
А теперь представьте, что нам нужны шансы 5 голов за 9 бросков : чтобы перечислить все 512 исходов, потребуется много времени!
Давайте составим формулу.

Как в нашем предыдущем примере получить значения 1, 3, 3 и 1?

На самом деле они в Треугольнике Паскаля!

Можем ли мы сделать их по формуле?
Конечно можем, и вот оно:
Формула может показаться пугающей, но ее легко использовать. Нам нужны только два числа:
n = общее количество
k = номер, который нам нужен
«!» означает «факториал», например 4! = 1×2×3×4 = 24
Примечание: его часто называют «n select k» , и вы можете узнать больше здесь.
Давайте попробуем:
Пример: при 3 бросках, каковы шансы на 2 орла?
У нас есть n=3 и k=2 :
n! к!(н-к)! = 3! 2!(3-2)!
= 3×2×1 2×1 × 1
= 3
Таким образом, есть 3 исхода, которые имеют «2 орла»
(мы это уже знали, но теперь у нас есть формула для это. )
Давайте использовать его для более сложного вопроса:
Пример: при 9 бросках, каковы шансы на 5 орлов?
У нас n=9 и k=5 :
n! к!(н-к)! = 9! 5!(9-5)!
= 9×8×7×6×5×4×3×2×1 5×4×3×2×1 × 4×3×2×1
=126
Итак, 126 из исходов выпадет 5 орлов

И за 9 бросков всего 2 ⁹ = 512 исходов, поэтому мы получаем вероятность:

Число 1
исходов Вероятность
каждого исхода
126 × 1 512 = 126 512
Итак:
P(X=5) = 126 512 = 0,24609375
Примерно 25% шанс .
(Легче, чем перечислить их все.)
Предвзятость!
До сих пор шансы на успех или неудачу были равновероятными .
Но что, если монеты смещены (выпадают больше с одной стороны, чем с другой) или выбор не 50/50.
Пример: Вы продаете бутерброды. 70% людей выбирают курицу, остальные выбирают что-то другое.
Какова вероятность того, что 2 сэндвича с курицей будут проданы следующим 3 покупателям?
Это похоже на пример с орлом и решкой, но с 70/30 вместо 50/50.
Нарисуем древовидную диаграмму:
Кейсы «Два цыпленка» выделены.
Все вероятности для «двух цыплят» составляют 0,147 , потому что мы умножаем два 0,7 и одно 0,3 в каждом случае. Другими словами
0,147 = 0,7 х 0,7 х 0,3
Или, используя экспоненты:
= 0,7 ² × 0,3 ¹
0,7 — это вероятность каждого выбора, который мы хотим, назовем это р
2 — это количество вариантов, которые мы хотим, назовем их k
И у нас есть (пока):
= р ^к × 0,3 ¹
0,3 — это вероятность противоположного выбора, поэтому она равна: 1−p
1 — это количество противоположных вариантов, поэтому оно равно: n−k
Что дает нам:
= р ^к (1-п) ^(н-к)
Где
p вероятность каждого выбора, который мы хотим
k количество вариантов, которые мы хотим
n общее количество вариантов
Пример: (продолжение)
p = 0,7 (вероятность курицы)
k = 2 (выбор курицы)
n = 3 (всего вариантов)
Получаем:
р ^к (1-р) ^(n-k) =0. 7 ² (1-0.7) ^(3-2)
=0.7 ² (0.3) ⁽¹⁾
=0.7 × 0.7 × 0.3
=0.147
то, что мы получили раньше, но теперь используем формулу
Теперь мы знаем, что вероятность каждого исхода равна 0,147
Но надо учесть, что есть три таких способов, как это может произойти: (курица, курица, прочее) или (курица, прочее, курица) или (другое, курица, курица)
Пример: (продолжение)
Общее количество исходов «два цыпленка»:
n! к!(н-к)! = 3! 2!(3-2)!
= 3×2×1 2×1 × 1
=3
. Вероятность
каждого исхода 3 × 0,147 = 0,441

Значит, вероятность события «2 человека из 3 выбирают курицу» = 0,441
ОК. Это было много работы для того, что мы уже знали, но теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для более сложных вопросов.
Пример: Сэм говорит: «70% выбирают курицу, поэтому 7 из следующих 10 покупателей должны выбрать курицу»… каковы шансы, что Сэм прав?
Итак, имеем:
р = 0,7
n = 10
к = 7
И получаем:
р ^к (1-р) ^(н-к) =0,7 ⁷ (1-0,7) ^(10-7)
=0,17 7 9093 (3)
= 0,0022235661
Это вероятность каждого исхода.

И общее количество этих исходов:
n! к!(н-к)! = 10! 7!(10-7)!
= 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 7×6×5×4×3×2×1 × 3×2×1
= 10×9×8 3×2×1
= 120
Получаем:
Количество
исходов, которые мы хотим Вероятность
каждого исхода
120 × 0,0022235661 = 0,266827932

Таким образом, вероятность того, что 7 из 10 выберут курицу, составляет всего около 27%

Мораль этой истории: хотя долгосрочное среднее значение составляет 70%, не ожидайте, что 7 из следующие 10.
Собираем вместе
Теперь мы знаем, как посчитать сколько :
н! к!(н-к)!
И вероятность каждого :
стр ^к (1-п) ^(н-к)
При перемножении получаем:
Вероятность k из n способов:
P(k из n) = n! к!(н-к)! p ^k (1-p) ^(n-k)
Общая биномиальная формула вероятности
Важные примечания:
Испытания независимые,
В каждом испытании возможны только два исхода,
Вероятность «успеха» в каждом испытании постоянна.
Квинконс

Поиграйте с Quincunx (затем прочитайте «Объяснение Quincunx»), чтобы увидеть биномиальное распределение в действии.
Бросьте кубик
Правильная игральная кость подбрасывается четыре раза. Рассчитайте вероятности получения:
0 Двойки
1 Два
2 двойки
3 Двойки
4 двойки
В этом случае n=4 , p = P(Two) = 1/6
X — это случайная переменная «Количество двоек из четырех бросков».
Подставьте x = от 0 до 4 в формулу:
P(k из n) = n! к!(н-к)! п ^к (1-п) ^(н-к)
Вот так (до 4 знаков после запятой):
Р(Х = 0) = 4! 0!4! × (1/6) ⁰ (5/6) ⁴ = 1 × 1 × (5/6) ⁴ = 0,4823
Р(Х = 1) = 4! 1!3! × (1/6) ¹ (5/6) ³ = 4 × (1/6) × (5/6) ³ = 0,3858
Р(Х = 2) = 4! 2!2! × (1/6) ² (5/6) ² = 6 × (1/6) ² × (5/6) ² = 0,1157
Р(Х = 3) = 4! 3!1! × (1/6) ³ (5/6) ¹ = 4 × (1/6) ³ × (5/6) = 0,0154
Р(Х = 4) = 4! 4!0! × (1/6) ⁴ (5/6) ⁰ = 1 × (1/6) ⁴ × 1 = 0,0008
Резюме: «для 4 бросков существует вероятность 48% не выпадения двойки, 39% вероятность 1 двойки, 12% вероятность 2 двойки, 1,5% вероятность 3 двойки и крошечная 0,08% вероятность всех бросков быть двойкой (но это все еще может случиться!)»
На этот раз график несимметричен:

Не симметрично!
Он искажен, потому что p не 0,5

Спортивные велосипеды
Ваша компания производит спортивные велосипеды. 90% проходят окончательную проверку (а 10% не проходят и требуют исправления).
Каково ожидаемое среднее значение и отклонение от 4 следующих проверок?
Сначала посчитаем все вероятности.
n = 4,
p = P(прошел) = 0,9
X — Случайная переменная «Количество проходов из четырех проверок».
Подставьте x = от 0 до 4 в формулу:
P(k из n) = n! к!(н-к)! п ^к (1-п) ^(н-к)
Вот так:
Р(Х = 0) = 4! 0!4! × 0,9 ⁰ 0,1 ⁴ = 1 × 1 × 0,0001 = 0,0001
Р(Х = 1) = 4! 1!3! × 0,9 ¹ 0,1 ³ = 4 × 0,9 × 0,001 = 0,0036
Р(Х = 2) = 4! 2!2! × 0,9 ² 0,1 ² = 6 × 0,81 × 0,01 = 0,0486
Р(Х = 3) = 4! 3!1! × 0,9 ³ 0,1 ¹ = 4 × 0,729 × 0,1 = 0,2916
Р(Х = 4) = 4! 4!0! × 0,9 ⁴ 0,1 ⁰ = 1 × 0,6561 × 1 = 0,6561
Резюме: «для 4 следующих велосипедов есть крошечный шанс 0,01% не пройти, 0,36% шанс 1 прохода, 5% шанс 2 прохода, 29% шанс 3 проходов и колоссальный 66% шанс, что все они пройдут проверку. »
Среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение
Давайте рассчитаем среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение для проверок спортивных велосипедов.
Для них есть (относительно) простые формулы. Их немного трудно доказать, но они работают!
Среднее или «ожидаемое значение»:
мк = np
Для спортивных велосипедов:
μ = 4 × 0,9 = 3,6
Таким образом, мы можем ожидать, что 3,6 велосипеда (из 4) пройдут проверку.
Действительно имеет смысл… Шанс 0,9 для каждого велосипеда умножить на 4 велосипеда равно 3,6
Формула дисперсии:
Дисперсия: σ ² = np(1-p)
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
σ = √(np(1-p))
Для спортивных мотоциклов:
Отклонение: σ ² = 4 × 0,9 × 0,1 = 0,36
Стандартное отклонение:
σ = √(0,36) = 0,6

Примечание: мы также можем рассчитать их вручную, составив такую таблицу:
X П(Х) Х × Р(Х) Х ² × Р(Х)
0 0,0001 0 0
1 0,0036 0,0036 0,0036
2 0,0486 0,0972 0,1944
3 0,2916 0,8748 2,6244
4 0,6561 2,6244 10. 4976
СУММА: 3,6 13,32
Среднее значение равно сумме (X × P(X)) :
μ = 3,6
Дисперсия равна сумме (X ^{2 9072 × P008) минус 9 Среднее ²} :
Дисперсия: σ ² = 13,32 − 3,6 ² = 0,36
Стандартное отклонение:
σ = √(0,36) = 0,6
И мы получили те же результаты, что и раньше (ура!)

Резюме
8815, 8816, 8820, 8821, 8828, 8829, 8609, 8610, 8612, 8613, 8614, 8615
Треугольник Паскаля
Одной из самых интересных числовых моделей является треугольник Паскаля (названный в честь Блеза Паскаля , известного французского математика и философа).
Чтобы построить треугольник, начните с «1» вверху, затем продолжайте размещать числа под ним в виде треугольника.
Каждое число представляет собой сложенные вместе числа, находящиеся непосредственно над ним.
(Здесь я подчеркнул, что 1+3 = 4)
Узоры внутри треугольника
Диагонали
Первая диагональ это, конечно же, просто «1»
На следующей диагонали находятся Счетные числа (1,2,3 и т.д.).
Третья диагональ имеет треугольные числа
(Четвертая диагональ, не выделенная, имеет четырехгранные числа.)

Симметричный
Треугольник также симметричен. Числа на левой стороне имеют одинаковые совпадающие числа на правой стороне, как зеркальное отражение.

Горизонтальные суммы
Что вы заметили в горизонтальных суммах?
Есть образец?
Они удваивают каждый раз (степень двойки).

Экспоненты числа 11
Каждая строка также представляет собой степени (показатели) числа 11:
11 ⁰ =1 (первая строка просто «1»)
11 ¹ =11 (вторая строка «1» и «1»)
11 ² =121 (третья строка «1», «2», «1»)
и т. д.!
Но что происходит с 11 ⁵ ? Простой! Цифры просто перекрываются, вот так:
То же самое происходит с 11 ⁶ и т. д.

Квадраты
Для второй диагонали квадрат числа равен сумме чисел рядом с ним и под обоими из них.
Примеры:
3 ² = 3 + 6 = 9,
4 ² = 6 + 10 = 16,
5 ² = 10 + 15 = 25,
…
Есть и веская причина… ты можешь подумать? (Подсказка: 4 ² =6+10, 6=3+2+1 и 10=4+3+2+1)

Последовательность Фибоначчи
Попробуйте следующее: создайте фигуру, двигаясь вверх и вниз, затем сложите значения (как показано на рисунке)… вы получите последовательность Фибоначчи.
(Последовательность Фибоначчи начинается с «0, 1», а затем продолжается добавлением двух предыдущих чисел, например, 3+5=8, затем 5+8=13 и т. д.)

Шансы и четы
Если мы раскрасим нечетные и четные числа, мы получим узор, аналогичный треугольнику Серпинского
Пути
Каждая запись также содержит число различных путей сверху вниз.
Пример: есть только один путь сверху вниз к любой «1»
И мы видим, что есть 2 разных пути к «2»
То же самое вверх, есть 3 разных пути от 3:
Ваша очередь, посмотрите, сможете ли вы найти все пути вниз к «6»:
Использование треугольника Паскаля
Орел и решка
Треугольник Паскаля показывает нам, сколько способов может сочетаться орел и решка. Затем это может показать нам вероятность любой комбинации.
Например, если вы подбросите монету три раза, только одна комбинация даст три орла (HHH), но есть три комбинации, которые дадут два орла и одну решку (HHT, HTH, THH), а также три комбинации, которые дадут одна голова и две решки (HTT, THT, TTH) и одна для всех решек (TTT). Это паттерн «1,3,3,1» в треугольнике Паскаля.
Подбрасывает Возможные результаты (сгруппированные) Треугольник Паскаля
1 Х
Т 1, 1
2 HH
HT TH
TT 1, 2, 1
3 HHH
HHT, HTH, THH
HTT, THT, TTH
TTT 1, 3, 3, 1
4 HHHH
HHHT, HHTH, HTHH, THHH
HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH
HTTT, THTT, TTHT, TTTH
TTTT 1, 4, 6, 4, 1
. .. и т. д. …

Пример. Какова вероятность того, что при 4 подбрасываниях монеты выпадет ровно два орла?
Существует 1+4+6+4+1 = 16 (или 2 ⁴ =16) возможных результатов, и 6 из них дают ровно два орла. Таким образом, вероятность равна 6/16, или 37,5%
.
Комбинации
Треугольник также показывает нам, сколько комбинаций объектов возможно.
Пример: У вас есть 16 шаров для пула. Сколькими способами можно выбрать только 3 из них (игнорируя порядок их выбора)?
Ответ: спуститься к началу 16 ряда (верхний ряд 0), а потом по 3 местам (первое место 0) и значение там ваш ответ, 560 .
Вот выдержка из строки 16:
1 14 91 364 ... 1 15 105 455 1365 ... 1 16 120 560 1820 4368 ...

Формула для любого входа в треугольник
На самом деле существует формула из Комбинаций для определения значения в любом месте треугольника Паскаля:
Это обычно называется «n выбрать k» и пишется так:

н! к!(н-к)! = ( п к )
Обозначение: «n выбирает k» также может быть записано как C(n,k) , ⁿ C _k или _{n ^{4 C}} k 9. 0008
!
«!» является «факториалом» и означает умножение ряда убывающих натуральных чисел. Примеры:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1

Таким образом, Треугольник Паскаля также может быть
треугольником «n выбрать k» , подобным этому.
(Обратите внимание, что верхняя строка — это нулевая строка
, а также крайний левый столбец — ноль)
Пример: Строка 4, член 2 в треугольнике Паскаля равен «6» …
… посмотрим, работает ли формула:
( 4 2 ) = 4! 2!(4−2)! = 4! 2!2! = 4×3×2×1 2×1×2×1 = 6
Да, это работает! Попробуйте другое значение для себя.
Это может быть очень полезно… теперь мы можем найти любое значение в Треугольнике Паскаля непосредственно (без вычисления всего треугольника над ним).

Многочлены
Треугольник Паскаля также показывает нам коэффициенты в биномиальном разложении:
Мощность Биномиальное разложение Треугольник Паскаля
2 (х + 1) ² = 1 х ² + 2 х + 1 1, 2, 1
3 (x + 1) ³ = 1 x ³ + 3 x ² + 3 x + 1 1, 3, 3, 1
4 (x + 1) ⁴ = 1 x ⁴ + 4 x ³ + 6 x ² + 4 x + 1 9. 0013 1, 4, 6, 4, 1
… и т. д. …
Первые 15 строк
Для справки я включил строки с 0 по 14 треугольника Паскаля
.
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1 1
1
9
36
84
126
126
84
36 9 1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
2
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
55
11
1
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
495
220
0006 66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1

Китайцы знали об этом
Этот рисунок называется «Таблица старого метода семи умножающих квадратов». Просмотреть полное изображение
Это обложка книги Чу Ши-Чие « Ссу Юань Юй Цзянь» (Драгоценное Зеркало Четырех Элементов) , написанной в году нашей эры 1303 (более 700 лет назад и более 300 лет до Паскаля!) , а в книге написано, что треугольник был известен примерно за два с лишним века до этого.
Квинконс
Удивительная маленькая машина, созданная сэром Фрэнсисом Гальтоном, представляет собой треугольник Паскаля, сделанный из колышков. Называется Квинканкс.
Мячи падают на первый стержень, а затем отскакивают к нижней части треугольника, где собираются в маленькие корзины.
Сначала это выглядит совершенно случайным (и это так), но затем мы обнаруживаем, что шары складываются в красивый узор: нормальное распределение.

1297, 2467, 2468, 1298, 8366, 8367, 8368, 8369, 8370, 8371, 8372
Деятельность: Подмножества
Лотереи
Лотерея — это вид азартной игры, в которой люди покупают билеты, а затем выигрывают, если выпадают их номера.
«Много» — это то, что происходит случайно. Возможно, вы слышали, как люди говорят: «давайте решим по жребию» или «это мой жребий».
Правила
В разных лотереях действуют разные правила.
Здесь мы будем использовать обычную лотерею, в которой игрок выбирает 6 разных номеров из 49 .
Пример:
Вы участвуете в лотерее, покупая билет и выбирая шесть номеров.
Вы выбираете: 1, 2, 12, 14, 20 и 21
В субботу проводится лотерея, и выигрышных номеров :
3, 12, 18, 20, 32 и 2 Вы угадали с двумя числами (12 и 20):
Этого достаточно, чтобы выиграть? №
Обычно вы должны угадать как минимум три числа , чтобы получить небольшой приз.
Угадав четыре числа , вы получите больший приз,
Соответствует пять еще больше.
Но если вы угадаете ВСЕ ШЕСТЬ чисел, вы можете выиграть миллионы .
Вероятность совпадения со всеми 6 числами составляет 1 к 13 983 816 (рассчитано ниже).
Выбор чисел

Они могут победить.
Числа не знают, что они такое!
Лотерея с такой же вероятностью, что выпадет «1,2,3,4,5,6», как и «9,11,16,23,27,36»
Серьезно!
На самом деле приведенный ниже результат действительно имел место (Florida Fantasy 5, 21 марта 2011 г.):
Вместо чисел они могут быть цветами или символами, и лотерея все равно будет работать:
Так что неважно, какие числа вы выберете, шансы все одинаковы.
Более вероятные числа?
Итак, вы читали, что одни числа выпадают чаще, чем другие? Ну, конечно, они есть, это случайность.
У людей, которые проводят лотереи, есть строгие правила, запрещающие «фальсификацию» результатов. Но случайность иногда может привести к странным результатам.
Например, с помощью The Spinner я сделал 1000 вращений для 10 номеров и получил вот это:

Вау! 7 встречалось 115 раз ,
и 8 только 81 раз.
Значит ли это, что 7 теперь будет встречаться чаще или реже ? На самом деле это ничего не значит, 7 так же вероятно, как и любое другое число, будет выбрано.
Попробуйте сами и посмотрите, какие результаты вы получите.
Популярные номера
Но есть хитрость! У людей есть любимые номера, поэтому, когда выпадают популярные номера, вы делите выигрыш со многими людьми.
День рождения — популярный выбор, поэтому люди чаще выбирают 1-12 и 1-31. Также счастливые числа.
Так что, возможно, вам следует выбрать непопулярных номеров , чтобы, когда вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО выигрывали, вы получали больше денег.
(Предполагается, что в вашей лотерее призы распределяются между победителями.)
Сожаление
Не выбирать одни и те же номера каждую неделю . Это ловушка! Если вы забудете неделю, вы будете беспокоиться, что ваши номера выпадут на , и это вынуждает вас покупать билет каждую неделю (даже если вы очень заняты).
Мой совет:
Составьте список из множества непопулярных номеров.
Каждый раз случайным образом выбирать из этого списка.
Синдикаты
«Синдикат» — это группа людей, которые вложили немного денег, чтобы группа могла купить много билетов. Шанс на выигрыш увеличивается, но ваша выплата с каждым разом меньше (потому что вы делитесь).
Синдикаты могут быть забавными, потому что они общительны… способ заводить и поддерживать дружеские отношения. Кроме того, некоторые синдикаты любят тратить небольшие выигрыши на то, чтобы все вместе пообедали.
А выиграть меньшую сумму не так уж и плохо.
Подумайте об этом… выигрыш в десять миллионов действительно изменит вашу жизнь, но и в один миллион она тоже улучшится. Вы можете предпочесть десятикратный шанс выиграть миллион.
Шанс выиграть большой приз
ОК. Каковы шансы, что вы выиграете главный приз?
Шансы на выигрыш все 6 номеров 1 из 13 983 816
Для расчета можно использовать Калькулятор комбинаций и перестановок (используйте n=49 , r=6 , «Нет» для Важен ли порядок? и «Нет» для «Разрешено ли повторение?»)
Фактический расчет таков:
⁴⁹ С ₆ = 49! 43! × 6! = 13983816

Так сколько раз нужно сыграть, чтобы выиграть?
1 неделя
Предположим, вы играете в каждую неделю
Вероятность выигрыша через 1 неделю:
1 13983816 = 0,0000000715…
Таким образом, вероятность того, что не выиграют через 1 неделю, составляет:
1 — 1 13983816 = 0,9999999285…
50 лет
Допустим, вы играете 50 лет, это 2600 недель.
Вероятность того, что не выиграет за 2600 недель, составляет:
(1 – 1 13983816 ) ²⁶⁰⁰ = 0,999814…
Это означает Вероятность выигрыша (через 50 лет): 1 − 0,999814… = 0,000186…
Еще только около 0,02%
И ты бы потратил тысячи на этот маленький шанс.
За эти деньги вы могли хорошо отдохнуть.
НО это забавно думать: «Я могу выиграть на этой неделе!»
Просто пусть это будет забавным занятием, хорошо?
Ваша очередь
Теперь ваша очередь:
Узнайте правила выигрыша в лотерею в вашем регионе.
Сколько номеров вам нужно выбрать и из скольких номеров вы выбираете?
Рассчитайте вероятность выигрыша в любую неделю.
Рассчитайте вероятность выигрыша, если играть каждую неделю в течение 50 лет.
Сколько денег вы бы сэкономили, не играя? Что можно купить на эти деньги?

Простые перестановки и комбинации – BetterExplained
Я всегда путал «перестановку» и «комбинацию» — какая из них какая?
Вот простой способ запомнить: перестановка звучит сложно , не так ли? И это. В перестановках важна каждая мелочь. Алиса, Боб и Чарли отличаются от Чарли, Боба и Алисы (вставьте сюда имена ваших друзей).
Комбинации, с другой стороны, довольно просты. Детали не имеют значения. Алиса, Боб и Чарли такие же, как Чарли, Боб и Алиса.
Перестановки для списков (порядок имеет значение), а комбинации для групп (порядок не имеет значения).
Вы знаете, «кодовый замок» действительно должен называться «замком перестановки». Порядок, в котором вы ставите числа, имеет значение.
Настоящий «кодовый замок» будет принимать как 10-17-23, так и 23-17-10 как правильные.

Перестановки: Волосатые детали
Начнем с перестановок, или всех возможных способов что-то сделать. Мы используем модный термин «перестановка», поэтому мы позаботимся о каждой детали, включая порядок каждого элемента. Допустим, у нас есть 8 человек:
1: Алиса 2: Боб 3: Чарли 4: Дэвид 5: Ева 6: Фрэнк 7: Джордж 8: Горацио
Сколькими способами мы можем присудить 1-е, 2-е и 3-е место среди восьми участников? (Золото / Серебро / Бронза)
Мы собираемся использовать перестановки, поскольку порядок, в котором мы раздаем эти медали, имеет значение. Вот как это выглядит:
Золотая медаль: 8 вариантов: A B C D E F G H (умно, как я сопоставил имена с буквами, а?). Допустим, А выигрывает золото.
Серебряная медаль: 7 вариантов: B C D E F G H. Допустим, B выиграет серебро.
Бронзовая медаль: 6 вариантов: C D E F G H. Скажем… C выигрывает бронзу.
Мы выбрали определенных людей, чтобы выиграть, но детали не имеют значения: у нас было сначала 8 вариантов, затем 7, затем 6. Общее количество вариантов было 8 $ * 7 * 6 = 336 $.
Давайте посмотрим на детали. Пришлось заказывать 3 человека из 8. Для этого мы начинали со всех вариантов (8) потом забирали их по одному (7, потом 6) пока не кончились медали.
Мы знаем, что факториал:
К сожалению, это слишком много! Мы хотим только $8 * 7 * 6$. Как мы можем «остановить» факториал на 5?
Вот где перестановки становятся крутыми: обратите внимание, как мы хотим избавиться от $5 * 4 * 3 * 2 * 1$. Какое другое название для этого? 5 факториал!
Итак, если мы сделаем 8!/5! получаем:
А почему мы использовали цифру 5? Потому что она осталась после того, как мы взяли 3 медали из 8. Таким образом, лучше записать это так:
, где 8!/(8-3)! — это просто причудливый способ сказать: «Используйте первые 3 числа из 8!». Если у нас есть 9Всего 0319 n элементов и вы хотите выбрать k в определенном порядке, мы получаем:
И это причудливая формула перестановки: У вас есть n элементов и вы хотите найти количество способов k элементов можно заказать:
Комбинации, Хо!
Комбинации несложные. Порядок не имеет значения. Вы можете смешать это, и это будет выглядеть так же. Допустим, я скряга и не могу позволить себе отдельные золотые, серебряные и бронзовые медали. На самом деле, я могу позволить себе только пустые жестяные банки.
Сколькими способами я могу раздать 3 консервные банки 8 людям?
Ну, в данном случае порядок, в котором мы выбираем людей, не имеет значения. Если я даю банку Алисе, Бобу, а затем Чарли, это то же самое, что дать Чарли, Алисе, а затем Бобу. В любом случае, они одинаково разочарованы.
Это поднимает интересный момент — у нас есть некоторые излишества. Элис Боб Чарли = Чарли Боб Элис. На минутку давайте просто выясним, сколькими способами мы можем переставить 3 человек.
Итак, у нас есть 3 варианта для первого человека, 2 для второго и только 1 для последнего. Итак, у нас есть $3 * 2 * 1 $ способов переставить 3 человек.
Минуточку… это немного похоже на перестановку! Ты обманул меня!
Действительно. Если у вас есть N человек, и вы хотите знать, сколько аранжировок существует для 90 319 всех 90 320 из них, это просто N факториал или N!
Итак, если у нас есть 3 жестяных банки для раздачи, их будет 3! или 6 вариантов для каждого выбора, который мы выбираем. Если мы хотим выяснить, сколько комбинаций у нас есть, мы просто создаем все перестановки и делим на все избыточности . В нашем случае мы получаем 336 перестановок (сверху), делим на 6 избыточностей для каждой перестановки и получаем 336/6 = 56,9.0012
Общая формула:
, что означает «Найдите все способы выбрать k людей из n и разделите на k! варианты». Записав это, мы получим нашу формулу комбинации , или количество способов объединить k элементов из набора n:
Иногда C(n,k) записывается как: биномиальный коэффициент.
Несколько примеров
Вот несколько примеров комбинаций (порядок не имеет значения) из перестановок (порядок имеет значение).
Комбинация: Выбор команды из 3 человек из группы 10. $C(10,3) = 10!/(7! * 3!) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 120$.
Перестановка: выбор президента, вице-президента и мальчика-водителя из группы из 10 человек. $P(10,3) = 10!/7! = 10 * 9 * 8 = 720$.
Комбинация: выбор 3 десертов из меню из 10. C(10,3) = 120.
Перестановка: Перечислите 3 ваших любимых десерта по порядку из меню из 10. P(10,3) = 720.
Не запоминайте формулы, поймите, почему они работают. Комбинации звучат проще, чем перестановки, и это так. У вас меньше комбинаций, чем перестановок.
Другие сообщения из этой серии
Простые перестановки и комбинации
Навигация по сетке с использованием комбинаций и перестановок
Как понимать комбинации с помощью умножения
Почему мы умножаем комбинации?
Комбинаторный счет
Этот сайт является частью электронной лаборатории JavaScript учебных объектов для принятия решений. Другие JavaScript из этой серии относятся к разным областям применения в разделе МЕНЮ на этой странице.
Профессор Хоссейн Аршам
Ниже приведен набор JavaScript для вычисления перестановок и комбинаций, подсчитываемых с повторениями или без них.
Многие дисциплины и науки требуют ответа на вопрос: Сколько? В теории конечных вероятностей нам нужно знать, сколько исходов может быть для определенного события, и нам нужно знать общее количество исходов в выборочном пространстве.
Комбинаторика , также называемая Комбинаторная математика , представляет собой область математики, связанную с проблемами выбора, расположения и работы в конечной или дискретной системе. Его цель: Как считать, не считая. Поэтому одной из основных задач комбинаторики является определение числа возможных конфигураций объектов данного типа.
Вы спросите, почему комбинаторика? Если выборочные пространства содержат конечное множество результатов, определение вероятности события часто представляет собой проблему подсчета. Но часто числа просто слишком велики, чтобы считать их обычными способами 1, 2, 3, 4.
Фундаментальный результат: Если операция состоит из двух шагов, из которых первый можно выполнить n1 способами, а для каждого из них второй можно выполнить n2 способами, то всю операцию можно выполнить всего n1&times n2 способы.
Это простое правило можно обобщить следующим образом: если операция состоит из k шагов, из которых первый можно выполнить n1 способами, а для каждого из них второй шаг можно выполнить n2 способами, то для каждого из них можно выполнить третий шаг. сделать n3 способами и так далее, то всю операцию можно выполнить n1 × n2 × n3 × n4 ×.. × nk способами.
Числовой пример: Инспектор по контролю качества хочет выбрать одну деталь для проверки из каждой из четырех различных ячеек, содержащих 4, 3, 5 и 4 детали соответственно. Общее количество способов выбора деталей составляет 4×3×5×4 или 240 способов.
Факторная запись: запись n! (читается как n factorial) по определению означает произведение:
н! = (n)(n-1)(n-2)(n-3)…(3)(2)(1). Обратите внимание, что по соглашению 0! = 1, (т. е. 0! º 1) . Например, 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720
Перестановки и комбинации: Перестановка — это расположение объектов из набора объектов. То есть объекты выбираются из определенного набора и перечисляются в определенном порядке. Комбинация — это выбор объектов из набора объектов, то есть объекты выбираются из определенного набора и перечисляются, но порядок перечисления объектов не имеет значения.
Количество способов выстраивания k объектов за раз из n различных объектов обозначается _n P ^k , и по предыдущему имеем:
_n P ^k = (n)(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1) Следовательно, количество перестановок n различных объектов, взятых k за раз, можно записать как: _n P ^k = n! / (н — к) ! Комбинации: Есть много задач, в которых нас интересует определение числа способов, которыми можно выбрать k объектов из n различных объектов, независимо от порядка их выбора. Такие выборки называются комбинациями или k-множествами. Это может помочь думать о комбинациях как о комитете. Главное здесь — без оглядки на порядок.
Количество комбинаций k предметов из набора с n предметами равно _n C ^k . Например, комбинации {1,2,3,4}, взятые k=2 за раз, равны {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2, 4}, {3,4}, всего 6 = 4! / [(2!)(4-2) !] подмножества.
Общая формула:
_n C ^k = n! / [к! (н-к) !].
Перестановка с повторениями: Сколько различных расстановок букв можно составить, используя буквы P E P P E R?
В общем случае существуют полиномиальные коэффициенты:
н! / (n ₁ ! n ₂ ! n ₃ ! … n _r !) различные перестановки n объектов, из которых n ₁ одинаковы, n ₂ одинаковы, n ₃ одинаковы,….. n _r одинаковы. Следовательно, ответ 6! /(3! 2! 1!) = 60 возможных сочетаний букв P E P P E R.
МЕНЮ:
Перестановка n объектов в группе размера k
Перестановка n объектов в группе размером k, повторы разрешены
Объединение n объектов в группу размера k
Объединение n объектов в группу размера k, разрешены повторения
Введите положительные целые значения для n и k, а затем нажмите Вычислить .

Перестановка n объектов в группе размера k, k £ n
Перестановка n объектов в группе размером k, допускаются повторения
Объединение n объектов в группу размера k, k ≤ n
Объединение n объектов в группу размера k, разрешено повторение
Мир математики – Mathigon
Введение
Леонард Эйлер (1707 – 1783)
Комбинаторика — это раздел математики, которому около считает — и мы обнаружим много интересных примеров «вещей», которые можно считать.
Первые комбинаторные задачи изучались древнеиндийскими, арабскими и греческими математиками. Интерес к этому предмету возрос в 19-м и 20-м веках вместе с развитием теории графов и таких проблем, как теорема о четырех цветах. Некоторые из ведущих математиков включают Блеза Паскаля (1623–1662), Якоба Бернулли (1654–1705) и Леонарда Эйлера (1707–1783).
Комбинаторика имеет множество приложений в других областях математики, включая теорию графов, кодирование и криптографию, а также вероятность.
Факториалы
Комбинаторика
может помочь нам подсчитать количество порядков , в которых что-то может произойти. Рассмотрим следующий пример:
В классе стоят V.CombA1 учеников и V.CombA1 стульев, стоящих в ряд. В скольких различных порядках ученики могут сесть на эти стулья?
Давайте перечислим возможности – в этом примере V.CombA1 разных учеников представлены V. CombA1 разных цветов стульев.

Есть {2: 2, 3: 6, 4: 24, 5: 120}[V.CombA1] различных возможных порядков. Обратите внимание, что количество возможных заказов очень быстро увеличивается по мере увеличения числа учеников. С 6 учениками у нас есть 720 различных возможностей, и перечислить их все становится нецелесообразно. Вместо этого нам нужна простая формула, которая говорит нам, сколько заказов на n человек сидят на n стульях. Тогда мы можем просто заменить 3, 4 или любое другое число на n , чтобы получить правильный ответ.
Предположим, у нас есть V.CombB1 стульев, и мы хотим разместить V.CombB1==1?’один ученик’:V.CombB1==2?’два ученика’:V.CombB1==3?’три ученика. ‘:V.CombB1==4?’четыре ученика’:V. CombB1==5?’пять учеников’:V.CombB1==6?’шесть учеников’:’семь учеников’ на них. { 7: ‘На первый стул могут сесть 7 учеников. Тогда есть 6 учеников, которые могут сесть на второй стул. Есть 5 вариантов для третьего стула, 4 варианта для четвертого стула, 3 варианта для пятого стула, 2 варианта для шестого стула и только один вариант для последнего стула.’, 6: «На первый стул могут сесть 6 учеников. Тогда есть 5 учеников, которые могут сесть на второй стул. Есть 4 варианта для третьего стула, 3 варианта для четвертого стула, 2 варианта для пятого стула и только один вариант для последнего стула.’, 5: «На первый стул могут сесть 5 учеников. Тогда есть 4 ученика, которые могут сесть на второй стул. Есть 3 варианта выбора третьего стула, 2 варианта выбора четвертого стула и только один вариант выбора последнего стула.’, 4: «На первый стул могут сесть 4 ученика. Тогда есть 3 ученика, которые могут сесть на второй стул. Есть 2 варианта выбора третьего стула и только один вариант выбора последнего стула. ‘, 3: «На первый стул могут сесть 3 ученика. Затем есть 2 ученика, которые могут сесть на второй стул. Наконец, на третьем стуле остался только один ученик.’, 2: «Есть 2 ученика, которые могут сесть на первый стул. Далее на втором стуле остается только один ученик.’, 1: «Это только один вариант для одного стула».}[V.CombB1] Всего
возможностей. Для упрощения записи математики используют «!» называется факториалом. Например, 5! («пять факториалов») — это то же самое, что 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Выше мы только что показали, что существует n ! возможности заказать n предметов.
Упражнение
Решение
Сколькими способами 23 ребенка могут сесть на 23 стула на уроке математики? Если у вас 4 урока в неделю, а в году 52 недели, сколько лет потребуется, чтобы освоить все различные возможности? Примечание. Возраст Вселенной составляет около 14 миллиардов лет.
Для 23 детей, чтобы сидеть на 23 стульях есть 23! = 25 852 016 738 884 800 000 000 возможностей (это число слишком велико для отображения на экране калькулятора). Перепробование всех возможностей заняло бы
23,4 × 52 = 124 288 542 000 000 000 000 лет.
Это почти в 10 миллионов раз больше текущего возраста Вселенной!
Перестановки
Приведенный выше метод требовал, чтобы у нас было столько учеников, сколько стульев для сидения. Но что делать, если стульев не хватает?
Сколько существует различных возможностей для любого Math.min(V.CombC1,V.CombC2) из V.CombC1 учеников сесть на Math.min(V.CombC1,V.CombC2) стульев? Обратите внимание, что Math.max(0,V.CombC1-V.CombC2) останется в силе, что нам не нужно включать при перечислении возможностей.
Давайте начнем снова, перечислив все возможности:
min(V.CombC1,V.CombC2))==1)?29:(V.CombC1==2&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==1)?92:(V.CombC1==2&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==2)?156:(V.CombC1==3&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==1)?154:(V.CombC1==3&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==2)?250:(V.CombC1==3&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3)?336:(V.CombC1==4&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==1)?216:(V.CombC1==4&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==2)?480:(V.CombC1==4&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3)?532:586)»>
Чтобы найти простую формулу, подобную приведенной выше, мы можем думать об этом очень похожим образом. ‘Есть ученики ‘+V.CombC1+’, которые могли сесть на первый стул. ‘+ (((Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==2||(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3||(Math.min(V.CombC1,V .CombC2))==4)?’Тогда есть ‘+(V.CombC1-1)+’ учеников, которые могли бы сесть на второй стул. ‘:»)+ (((Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3||(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==4)?’Тогда есть ‘+(V.CombC1 -2)+’ ученики, которые могли сесть на третий стул. ‘:»)+ (((Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==4)?’На последнем стуле остался один ученик. ‘:»)+ ((V.CombC1-(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==1||V.CombC1-(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==2||V. CombC1-(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3)?’Нас не волнуют оставшиеся ‘+(V.CombC1-V.CombC2)+’ дочерние элементы, оставшиеся стоять. ‘:’ ‘) Всего
возможностей. Опять же, мы должны подумать об обобщении этого. Мы начинаем, как и с факториалов, но останавливаемся до того, как достигнем 1. На самом деле мы останавливаемся, как только достигаем количества студентов без стульев. При размещении 7 студентов на 3 стульев их становится
7 × 6 × 5   = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 17 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7 !4! = 7 !( 7 – 3 )!
возможностей, так как 4 × 3 × 2 × 1 аннулируют друг друга. Опять же, для этого есть более простое обозначение: 7 Р 3 . Если мы хотим разместить n объектов в м позиций, то есть
n P m   = n !( n – m )!
возможностей. P означает «перестановки p », так как мы подсчитываем количество перестановок (порядков) объектов. Если m и n такие же, как были в задаче в начале статьи, то имеем
n P n = n !( n – n )! = n !0!.
Чтобы понять это, мы определяем 0! = 1. Теперь n P n = n ! как и следовало ожидать от нашего решения первой проблемы.
Упражнение
Решение
К сожалению, вы не можете вспомнить код своего четырехзначного замка. Вы только знаете, что не использовали ни одну цифру более одного раза. Сколько разных способов нужно попробовать? Что вы можете сказать о безопасности этих замков?
Имеется 10 цифр (0, 1, …, 9), каждая из которых встречается не более одного раза. Количество порядков этих цифр равно 10 P 4 = 5040. Тестирование такого количества комбинаций заняло бы очень много времени, поэтому замки с 4 цифрами очень безопасны.
Комбинации
Перестановки используются, когда вы выбираете объекты и заботитесь об их порядке — например, о порядке детей на стульях. Однако в некоторых задачах вам не важен порядок, и вы просто хотите знать, сколько существует способов выбрать определенное количество объектов из большего набора.
В магазине есть пять разных футболок, которые вам нравятся, красного, синего, зеленого, желтого и черного цветов. К сожалению, у вас есть только достаточно денег, чтобы купить три из них. Сколькими способами можно выбрать три футболки из пяти понравившихся?
Здесь нас не волнует порядок (неважно, покупаем ли мы сначала черную, а затем красную или сначала красную, а затем черную), только количество комбинаций футболок. Возможности
, так что всего 10. Если бы мы вычислили 5 P 3 = 60, мы бы дважды посчитали некоторые возможности, как показано в следующей таблице:
С перестановками каждую комбинацию из трех футболок считаем 6 раз, потому что их 3! = 6 способов заказать три футболки. Чтобы получить количество комбинаций из количества перестановок, нам просто нужно разделить на 6. Пишем
5 C 3 = 5 P 33! = 606 = 10,
Здесь C означает « c комбинации». В общем, если мы хотим выбрать r объектов из общего числа n , то есть
n C r = n P r r ! = n ! р ! ( n – r )!
различных комбинаций. Вместо n C r математики часто пишут n C r = ( n r ), как дробь в скобках, но без черты между ними. (Чтобы упростить набор текста, мы продолжим использовать первое встроенное обозначение.)
Упражнения
Решения
(a) В вашем классе 10 детей, но вы можете пригласить только 5 на свой день рождения. Сколько различных комбинаций друзей вы могли бы пригласить? Объясните, следует ли использовать комбинации или перестановки.
(б) На вечеринке 75 человек. Все пожимают всем руку один раз. Как часто в целом пожимают руки? Подсказка: Сколько человек участвует в рукопожатии?
(a) Количество комбинаций друзей, которых вы можете пригласить, равно 10 C 5 = 252. Мы использовали комбинации, потому что не имеет значения в каком порядке мы приглашаем друзей, на каких мы приглашаем.
(b) Вы хотите найти количество всех возможных пар гостей вечеринки. Это просто 75 C 2 = 2775. (Много рукопожатий!)
Комбинаторика и треугольник Паскаля
Давайте посчитаем некоторые значения n C r . Начинаем с 0 C 0. Затем находим 1 C 0 и 1 C 1. Далее 2 C 0, 2 C 1 и 2 C 2. Затем 3 C 2. , 3 C 1, 3 C 2 и 3 C 3. Запишем все эти результаты в таблицу:
0 С 0 = 1
1 С 0 = 1 1 С 1 = 1
2 С 0 = 1 2 С 1 = 2 2 С 2 = 1
3 С 0 = 1 3 С 1 = 3 3 С 2 = 3 3 С 3 = 1
4 С 0 = 1 4 С 1 = 4 4 С 2 = 6 4 С 3 = 4 4 С 4 = 1
5 С 0 = 1 5 С 1 = 5 5 С 2 = 10 5 С 3 = 10 5 С 4 = 5 5 С 5 = 1
Это и есть треугольник Паскаля, который мы исследовали в статье о последовательностях. Его можно легко создать, заметив, что любая ячейка является суммой двух ячеек выше. В треугольнике Паскаля скрыты бесчисленные закономерности и числовые последовательности.
Теперь мы также знаем, что r -е число в n -й строке также задается как n C r (но мы всегда должны начинать отсчет с 0, поэтому первая строка или столбец на самом деле является нулевой строкой). Если мы применим то, что мы знаем о построении треугольника Паскаля, к нашим комбинациям, мы получим
.
( н р ) + ( п р + 1) знак равно ( n + 1 r + 1) .
Это известно как Личность Паскаля . Вы можете получить его, используя определение n C r в терминах факториалов, или вы можете думать об этом следующим образом:
Мы хотим выбрать r + 1 объектов из набора n + 1 объектов. Это точно так же, как пометить один объект из n + 1 как X и либо выбрать X плюс r других (из оставшихся n), либо не выбрать X и r + 1 других ( из оставшихся n).
Многие задачи по комбинаторике имеют простое решение, если правильно подумать, и очень сложное решение, если просто попробовать использовать алгебру…
Stars and Bars
Solution
Пример
Зеленщик на рынке хранит большое количество n различных видов фруктов. Сколькими способами можно составить мешок из и фруктов? Обратите внимание, что r может быть меньше, равно или больше, чем n .
Обратите внимание, что при r ≤ n существует n C r способов выбрать по одному фрукту каждого вида. Однако нам также разрешено брать более одного фрукта каждого вида, например, два яблока, одну клубнику и один банан.
Мы можем представить любой допустимый выбор фруктов с помощью цепочки звездочек и полос, как показано в этом примере:
★★★ | ★★ | | ★★ | ★
3 типа 1 2 типа 2 0 типа 3 2 типа 4 1 типа 5
Всего имеется r звездочек (представляющих r фруктов, которые нам разрешено брать) и n – 1 полоска (разделяющих n различных видов фруктов). Получается r + n – всего 1 место. Любой заказ r звездочек и n – 1 бруска соответствует только одному допустимому набору фруктов.
Теперь мы можем применить наши комбинаторные инструменты: есть r + n – 1 место, и мы хотим выбрать n – 1 из них в качестве баров (все остальные – звезды). Что есть ровно ( r + n – 1) C ( n – 1) возможности сделать это!
Предположим, есть пять видов фруктов, и мы хотим взять десять штук. Из того, что мы подсчитали выше,
(10 + 5 – 1) C (5 – 1) = 14 C 4 = 24 024
возможностей. Подумайте об этом в следующий раз, когда пойдете за покупками!
Комбинаторика и Вероятность
Комбинаторика имеет множество приложений в теории вероятностей. Вы часто хотите найти вероятность одного конкретного события, и вы можете использовать уравнение
P ( X ) = вероятность того, что произойдет X = количество исходов, при которых произойдет X , общее количество возможных исходов
Вы можете использовать комбинаторику для вычисления «общего количества возможных исходов». Вот пример:
Четверо детей, которых зовут A, B, C и D, произвольно сидят на четырех стульях. Какова вероятность того, что А сядет на первый стул?
Мы уже показали, что всего есть 24 способа сесть на четыре стула. Если вы вернетесь к нашему решению, вы также обнаружите, что А сидит на первом стуле в шести случаях. Поэтому
P (A сидит на первом стуле) = количество исходов, где A сидит на первом стуле, общее количество возможных исходов = 624 = 14,
Этот ответ был ожидаем, так как каждый из четырех детей с равной вероятностью сядет на первый стул. Но в других случаях все не так однозначно…
Упражнения
Решения
(a) Почтальон должен доставить четыре письма в четыре разных дома на улице. К сожалению, дождь стер адреса, поэтому он просто раздает их случайным образом, по одной букве на дом. Какова вероятность того, что каждый дом получит нужную букву? (☆ Какова вероятность того, что каждый дом получит неправильную букву?)
(b) В лотерее нужно угадать 6 номеров из 49.

График cosx 1 2: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / 24.01.197117.09.2022 / Разное

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Построить график у cosx 2. Графики тригонометрических функций кратных углов

«Графики функций и их свойства» — y = ctg x. 4) Ограниченность функции. 3) Нечётная функция. (График функции симметричен относительно начала координат). y = tg x. 7) Функция непрерывна на любом интервале вида (?k; ? + ?k). Функция y = tg x непрерывна на любом интервале вида. 4) Функция убывает на любом интервале вида (?k; ? + ?k). График функции y = tg x называется тангенсоидой.

«График функции Y X» — Шаблон параболы у = х2. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Пример 2. Построим график функции y = x2 + 1, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. График функции y=(x — m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0).

«Математика графики» — Как можно строить графики? Наиболее естественно функциональные зависимости отражаются с помощью графиков. Интересное применение: рисунки,… Зачем мы изучаем графики? Графики элементарных функций. Что вы можете нарисовать с помощью графиков? Рассматриваем применение графиков в учебных предметах: математике, физике,…

«Построение графиков с помощью производной» — Обобщение. Построить эскиз графика функции. Найти асимптоты графика функции. График производной функции. Дополнительное задание. Исследовать функцию. Назвать промежутки убывания функции. Самостоятельная работа учащихся. Расширить знания. Урок закрепления изученного материала. Оцените свои умения. Точки максимума функции.

«Графики с модулем» — Отобрази «нижнюю» часть в верхнюю полуплоскость. Модуль действительного числа. Свойства функции y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построения графика функции. Алгоритм построения. Функция y= lхl. Свойства. Самостоятельная работа. Нули функции. Советы великих. Решение самостоятельной работы.

«Уравнение касательной» — Уравнение касательной. Уравнение нормали. Если,то и кривые пересекаются под прямым углом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между графиками функций. Уравнение касательной к графику функции в точке. Пусть функция дифференцируема в точке. Пусть прямые заданы уравнениями и.

Всего в теме 25 презентаций

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:
1. Определение.
2. График функции.
3. Свойства функции Y=cos(X).
4. Примеры.

Определение функции косинуса у=cos(x)

Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).

Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X).

Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают.

График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X).

График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой.

Свойства функции cos(x)

Запишем свойства нашей функции:
Область определения – множество действительных чисел.
Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.
Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.
Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ cos(X) ≤ 1
Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk).
Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика.
Функция Y=cos(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки.

Примеры с функцией cos(x)

1. Решить уравнение cos(X)=(x — 2π) 2 + 1

Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x — 2π) 2 + 1 (см. рисунок).

y=(x — 2π) 2 + 1 — это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π.

2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0

Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по «кусочкам». Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x)
при x ≥ 0. Изобразим оба «кусочка» на одном графике.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4]

Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно.
Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.

4. Построить график функции y=cos(π/3 — x) + 1

Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.

Задачи для самостоятельного решения

1)Решить уравнение: cos(x)= x – π/2.
2) Решить уравнение: cos(x)= — (x – π) 2 — 1.
3) Построить график функции y=cos(π/4 + x) — 2.
4) Построить график функции y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке .
6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4].

Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число.

Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда

у 0 = sin x 0 .

Преобразуем это соотношение следующим образом:

Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.

Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.

Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция
у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π / x / 2 = 4π .

Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :

Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.

График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.

На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.

И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:

Упражнения

1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).

3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.

4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .

5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.

6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.

Функция у=cos x

Функция

y = cos x

её свойства и график

Функция y = cos x определена на всей числовой прямой, и множеством её значений является отрезок [−1;1].

Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y= −1 и y=1.

Так как функция y = cos x периодическая с периодом 2π , то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π , тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn, n∈Z, график будет таким же.

Рассмотрим поведение функции и отметим важнейшие точки на промежутке [0;  ]

В координатной плоскости

На числовой окружности

Функция y = cos x является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси ОУ

Для построения графика на отрезке — π≤x≤π достаточно построить его для 0≤x≤π , а затем симметрично отразить его относительно оси ОУ

График функции y = cos x

Кривая, являющаяся графиком функции y= cos x, называется косинусоидой .

Свойства функции y = cos x

1. Область определения — множество R всех действительных чисел. D(y) = (-∞ ; + ∞ )

2. Множество значений Е(у) = [−1;1]

3. Функция периодическая с периодом T= 2π .

4. Функция чётная cos(-x) = cos x

(график симметричен относительно оси ОУ ).

5 . Функция ограничена и сверху, и снизу.

6. Функция y= cos x принимает: — значение, равное 0 , при x=π /2+ πn,n∈Z; — наибольшее значение, равное 1 , при x=2πn,n∈Z ; — наименьшее значение, равное −1 , при x=π+2πn,n∈Z;

7. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения при

x ∈ ( -π/2+2π n; π/2+2π n), n ∈ Z

Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения при

x ∈ ( π /2+2 π n; 3 π / 2+2 π n), n ∈ Z

Функция возрастает на x ∈ [ π + 2 π n; 2 π n ] , n ∈ Z

функция убывает на x ∈ [ 2 π n ; π + 2 π n ] , n ∈ Z

Решение задач

Задача №1

Найти пределы изменения функции y = cos t на данном отрезке [  /6;  /2]

Решение

Функция монотонно убывает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у(  /6)=  3/2, а наименьшее значение принимает на его правом конце у(  /2) = 0

Задача №2

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = cos t на данном отрезке [  / 3 ; 7  / 6 ]

Решение

На данном промежутке функция немонотонна.

Наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у(  /3)=1/2, а наименьшее значение у(  ) = -1

Задача №3

Задача 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение: 1 + cos t = a

Решение

Построим график функции y = 1 + cos t

Уравнение

1 + cos t = a

имеет хотя бы одно решение при a Є [0;2]

В данном случае множество значений параметра совпадает со множеством значений функции.

Ответ: а Є [0; 2]

Задача №4

Решить уравнение

Решение

Построим в одних координатных осях графики функций

Графики имеют только одну общую точку

А(0; 1)

Ответ: х=0

Задача №5

Найти число корней уравнения

Решение

На промежутке [- π ; 0] функция у= cosx монотонно возрастает, функция у=х 2 монотонно убывает. Это значит, что на данном промежутке графики имеют только одну общую точку.

На промежутке [ 0; π ] функция у= cosx монотонно убывает, функция у=х 2 монотонно возрастает. Значит, и на этом промежутке графики имеют только одну общую точку.

Ответ: два корня

Задача №5

Построить график функции y=cos3x

Решение

Косинус – четная функция, строим график на участке

[0; π /3] , затем симметрично отображаем относительно оси y и получаем график на промежутке [- π /3; π /3] длина которого равна периоду. График сжимается к оси Оу в 3 раза.

Задания для самостоятельного решения

1) Постройте графики функций

1) у = cos x + 1;

2) у = cos x – 1;

3) у = cos (x + π /2)

4) у = cos (x – π /3)

2 ) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= cos (x) на отрезке [0; 4π/3]

3) Определить область значений функции y=−8cosx+3.

4) Определить чётность или нечётность функции:

f(x)=x5⋅cos6x.

5) Определить, возрастает или убывает функция y=cosx на отрезке: [−4π;−3π].

6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

y=cos 4 2x−sin 4 2x+4.

7) Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=cosx

на полуинтервале (−4π / 3;−π / 3].

Заключение.

Мы рассмотрели график функции

y = cos x ,

изучили особенности ее поведения, использовали их и свойства функции при решении задач, в том числе и задач с параметром

Функция y = cosx её свойства и график доклад, проект

Главная

Разное

Образование

Спорт

Естествознание

Природоведение

Религиоведение

Французский язык

Черчение

Английский язык

Астрономия

Алгебра

Биология

География

Геометрия

Детские презентации

Информатика

История

Литература

Математика

Музыка

МХК

Немецкий язык

ОБЖ

Обществознание

Окружающий мир

Педагогика

Русский язык

Технология

Физика

Философия

Химия

Шаблоны, фоны, картинки для презентаций

Экология

Экономика

Презентация на тему Функция y = cosx её свойства и график, предмет презентации: Алгебра. Этот материал в формате pptx (PowerPoint) содержит 16 слайдов, для просмотра воспользуйтесь проигрывателем. Презентацию на заданную тему можно скачать внизу страницы, поделившись ссылкой в социальных сетях! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам презентаций и могут быть удалены по их требованию.

Слайд 1Текст слайда:

Функция
y = cosx
её свойства и график

Слайд 2Текст слайда:

Цель:
Изучить функцию y = cos x
Задачи:
1. Изучить свойства функции у = cos x.
2. Уметь применять свойства функции у = cos x и читать график.
3. Формировать практические навыки построения графика функции у = cos x на основе изученного теоретического материала.
4. Закрепить понятия с помощью выполнения заданий.

Слайд 3Текст слайда:

Функция y = cos x определена на всей числовой прямой, и множеством её значений является отрезок [−1;1].

Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y= −1 и y=1.

Так как функция y = cos x периодическая с периодом 2π, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π, тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn, n∈Z, график будет таким же.

Слайд 4Текст слайда:

Рассмотрим поведение функции и отметим важнейшие точки на промежутке [0;π]

В координатной плоскости

На числовой окружности

Слайд 5Текст слайда:

Функция y = cos x является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси ОУ

Для построения графика на отрезке — π≤x≤π достаточно построить его для 0≤x≤π, а затем симметрично отразить его относительно оси ОУ

График функции y = cos x

Кривая, являющаяся графиком функции y=cos x, называется косинусоидой.

Слайд 6Текст слайда:

Свойства функции y = cos x

1. Область определения — множество R всех действительных чисел. D(y) = (-∞; + ∞)
2. Множество значений Е(у) = [−1;1]
3. Функция периодическая с периодом T= 2π.
4. Функция чётная cos(-x) = cos x
(график симметричен относительно оси ОУ).
5. Функция ограничена и сверху, и снизу.
6. Функция y=cos x принимает: — значение, равное 0, при x=π/2+πn,n∈Z; — наибольшее значение, равное 1, при x=2πn,n∈Z; — наименьшее значение, равное −1, при x=π+2πn,n∈Z;

Слайд 7Текст слайда:

7. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения при
x ∈ (-π/2+2πn; π/2+2πn), n ∈ Z
Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения при
x ∈ (π/2+2πn; 3π/2+2πn), n ∈ Z
Функция возрастает на x ∈ [π + 2 πn; 2 πn], n ∈ Z
функция убывает на x ∈ [2 πn; π+ 2 πn], n ∈ Z

Слайд 8Текст слайда:

Решение задач

Задача №1

Найти пределы изменения функции y = cos t на данном отрезке [π/6; π/2]

Функция монотонно убывает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у(π/6)=√3/2, а наименьшее значение принимает на его правом конце у(π/2) = 0

Решение

Слайд 9Текст слайда:

Задача №2

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = cos t на данном отрезке [π/3; 7π/6]

На данном промежутке функция немонотонна.

Решение

Наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у(π/3)=1/2, а наименьшее значение у(π) = -1

Слайд 10Текст слайда:

Задача 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение: 1 + cos t = a

Задача №3

Решение

Построим график функции y = 1 + cos t

Уравнение
1 + cos t = a
имеет хотя бы одно решение при aЄ [0;2]

В данном случае множество значений параметра совпадает со множеством значений функции.
Ответ: аЄ[0; 2]

Слайд 11Текст слайда:

Задача №4

Решить уравнение

Построим в одних координатных осях графики функций

Решение

Графики имеют только одну общую точку
А(0; 1)

Ответ: х=0

Слайд 12Текст слайда:

Задача №5

Найти число корней уравнения

Решение

На промежутке [-π; 0] функция у=cosx монотонно возрастает, функция у=х2 монотонно убывает. Это значит, что на данном промежутке графики имеют только одну общую точку.

На промежутке [0; π] функция у=cosx монотонно убывает, функция у=х2 монотонно возрастает. Значит, и на этом промежутке графики имеют только одну общую точку.

Ответ: два корня

Слайд 13Текст слайда:

Построить график функции y=cos3x

Задача №5

Косинус – четная функция, строим график на участке
[0; π/3], затем симметрично отображаем относительно оси y и получаем график на промежутке [-π/3; π/3] длина которого равна периоду. График сжимается к оси Оу в 3 раза.

Решение

Слайд 14Текст слайда:

Задания для самостоятельного решения
1) Постройте графики функций
1) у = cosx + 1;
2) у = cosx – 1;
3) у = cos (x + π/2)
4) у = cos (x – π/3)
2) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos (x) на отрезке [0; 4π/3]

Слайд 15Текст слайда:

3) Определить область значений функции y=−8cosx+3.
4) Определить чётность или нечётность функции:
f(x)=x5⋅cos6x.
5) Определить, возрастает или убывает функция y=cosx на отрезке: [−4π;−3π].
6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
y=cos42x−sin42x+4.
7) Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=cosx
на полуинтервале (−4π/3;−π/3].

Слайд 16Текст слайда:

Заключение.

Мы рассмотрели график функции
y = cos x ,
изучили особенности ее поведения, использовали их и свойства функции при решении задач, в том числе и задач с параметром

Скачать презентацию

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть

Cos x п 2 график.

Графики тригонометрических функций кратных углов
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Что будем изучать:
1. Определение.
2. График функции.
3. Свойства функции Y=cos(X).
4. Примеры.
Определение функции косинуса у=cos(x)
Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).
Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X).
Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают.
График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X).
График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой.
Свойства функции cos(x)
Запишем свойства нашей функции:
Область определения – множество действительных чисел.
Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.
Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.
Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ cos(X) ≤ 1
Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk).
Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика.
Функция Y=cos(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки.
Примеры с функцией cos(x)
1. Решить уравнение cos(X)=(x — 2π) 2 + 1
Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x — 2π) 2 + 1 (см. рисунок).

y=(x — 2π) 2 + 1 — это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π.
2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0
Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по «кусочкам». Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x)
при x ≥ 0. Изобразим оба «кусочка» на одном графике.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4]
Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно.
Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.

4. Построить график функции y=cos(π/3 — x) + 1
Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.
Задачи для самостоятельного решения
1)Решить уравнение: cos(x)= x – π/2.
2) Решить уравнение: cos(x)= — (x – π) 2 — 1.
3) Построить график функции y=cos(π/4 + x) — 2.
4) Построить график функции y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке .
6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4].
«Графики функций и их свойства» — y = ctg x. 4) Ограниченность функции. 3) Нечётная функция. (График функции симметричен относительно начала координат). y = tg x. 7) Функция непрерывна на любом интервале вида (?k; ? + ?k). Функция y = tg x непрерывна на любом интервале вида. 4) Функция убывает на любом интервале вида (?k; ? + ?k). График функции y = tg x называется тангенсоидой.
«График функции Y X» — Шаблон параболы у = х2. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Пример 2. Построим график функции y = x2 + 1, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. График функции y=(x — m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0).
«Математика графики» — Как можно строить графики? Наиболее естественно функциональные зависимости отражаются с помощью графиков. Интересное применение: рисунки,… Зачем мы изучаем графики? Графики элементарных функций. Что вы можете нарисовать с помощью графиков? Рассматриваем применение графиков в учебных предметах: математике, физике,…
«Построение графиков с помощью производной» — Обобщение. Построить эскиз графика функции. Найти асимптоты графика функции. График производной функции. Дополнительное задание. Исследовать функцию. Назвать промежутки убывания функции. Самостоятельная работа учащихся. Расширить знания. Урок закрепления изученного материала. Оцените свои умения. Точки максимума функции.
«Графики с модулем» — Отобрази «нижнюю» часть в верхнюю полуплоскость. Модуль действительного числа. Свойства функции y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построения графика функции. Алгоритм построения. Функция y= lхl. Свойства. Самостоятельная работа. Нули функции. Советы великих. Решение самостоятельной работы.
«Уравнение касательной» — Уравнение касательной. Уравнение нормали. Если,то и кривые пересекаются под прямым углом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между графиками функций. Уравнение касательной к графику функции в точке. Пусть функция дифференцируема в точке. Пусть прямые заданы уравнениями и.
Всего в теме 25 презентаций
Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число.
Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда
у 0 = sin x 0 .
Преобразуем это соотношение следующим образом:
Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.
Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.
График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.
Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция
у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π / x / 2 = 4π .
Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :
Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.
График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.
На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.
График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.
И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:
Упражнения
1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.
а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3
б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3
в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3
2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).
3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.
4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .
5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.
6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.
Преобразование графиков элементарных функций
Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать с элементарными функциями, которые получили из основных с помощью добавления констант и коэффициентов. Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.
Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y=-13x+232+2, графиком которой является парабола y=x2, которая сжата втрое относительно Оу и симметрична относительно Ох, причем сдвинутую на 23 по Ох вправо, на 2 единицы по Оу вверх. На координатной прямой это выглядит так:
Геометрические преобразования графика функции
Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что график изображается функцией вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b, когда k1>0, k2>0 являются коэффициентами сжатия при 0<k1<1, 0<k2<1 или растяжения при k1>1, k2>1 вдоль Оу и Ох. Знак перед коэффициентами k1 и k2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по Ох и по Оу.
Определение 1
Существует 3 вида геометрических преобразований графика:
Масштабирование вдоль Ох и Оу. На это влияют коэффициенты k1 и k2 при условии не равности 1, когда 0<k1<1, 0<k2<1, то график сжимается по Оу, а растягивается по Ох, когда k1>1, k2>1, то график растягивается по Оу и сжимается по Ох.
Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака «-» перед k1 симметрия идет относительно Ох, перед k2 идет относительно Оу. Если «-» отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
Параллельный перенос (сдвиг) вдоль Ох и Оу. Преобразование производится при наличии коэффициентов a и b неравных 0. Если значение a положительное, до график сдвигается влево на |а|единиц, если отрицательное a, тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси Оу, что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном – вниз.
Степенная функция
Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.
Пример 1
Преобразовать y=x23 и построить график функции y=-12·8x-423+3.
Решение
Представим функции таким образом:
y=-12·8x-423+3=-12·8x-1223+3=-2x-1223+3
Где k1=2, стоит обратить внимание на наличие «-», а=-12 , b=3. Отсюда получаем, что геометрические преобразования производятся с растяжения вдоль Оу вдвое, отображается симметрично относительно Ох, сдвигается вправо на 12 и вверх на 3 единицы.
Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что
при растягивании вдвое вдоль Оу имеем, что
Отображение, симметричное относительно Ох, имеет вид
а движение вправо на 12
движение на 3 единицы вверх имеет вид
Показательная функция
Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах.
Пример 2
Произвести построение графика показательной функции y=-1212(2-x)+8.
Решение.
Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что
y=-1212(2-x)+8=-12-12x+1+8=-12·12-12x+8
Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y=12x:
y=12x→y=12·12x→y=12·1212x→→y=-12·1212x→y=-12·12-12x→→y=-12·12-12x+8
Получаем, что исходная показательная функция имеет вид
Сжимание вдвое вдоль Оу дает
Растягивание вдоль Ох
Симметричное отображение относительно Ох
Отображение симметрично относительно Оу
Сдвигание на 8 единиц вверх
Логарифмическая функция
Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y=ln(x).
Пример 3
Построить функцию y=lne2·-12×3 при помощи преобразования y=ln(x).
Решение
Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:
y=lne2·-12×3=ln(e2)+ln-12×13=13ln-12x+2
Преобразования логарифмической функции выглядят так:
y=ln(x)→y=13ln(x)→y=13ln12x→→y=13ln-12x→y=13ln-12x+2
Изобразим график исходной логарифмической функции
Производим сжимание строе по Оу
Производим растягивание вдоль Ох
Производим отображение относительно Оу
Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем
Для преобразования графиков тригонометрической функции необходимо подгонять под схему решения вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b. Необходимо , чтобы k2 приравнивался к Tk2. Отсюда получаем, что 0<k2<1 дает понять, что график функции увеличивает период по Ох, при k1 уменьшает его. От коэффициента k1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.
Преобразования y = sin x
Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y=sinx.
Пример 4
Построить график y=-3sin12x-32-2 с помощью преобразований функции y=sinx.
Решение
Необходимо привести функцию к виду ±k1·f±k2·x+a+b. Для этого:
y=-3sin12x-32-2=-3sin12(x-3)-2
Видно, что k1=3, k2=12, a=-3, b=-2. Так как перед k1 имеется «-», а перед k2 — нет, тогда получим цепочку преобразований вида:
y=sin(x)→y=3sin(x)→y=3sin12x→y=-3sin12x→→y=-3sin12x-3→y=-3sin12(x-3)-2
Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y=sin(x) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T=2π. Нахождение максимума в точках π2+2π·k; 1, а минимума — -π2+2π·k; -1, k∈Z.
Производится растягивание по Оу втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T=2π — это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π2+2π·k; 3, k∈Z , минимумы — -π2+2π·k; -3, k∈Z.
При растягивании по Ох вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T=2πk2=4π. Максимумы переходят в π+4π·k; 3, k∈Z, минимумы – в -π+4π·k; -3, k∈Z.
Изображение производится симметрично относительно Ох. Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T=2πk2=4π. Переход максимума выглядит как -π+4π·k; 3, k∈Z, а минимума – π+4π·k; -3, k∈Z.
Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки -π+3+4π·k; 1, k∈Z, минимумов — π+3+4π·k; -5, k∈Z.
На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.
Преобразование функции y = cos x
Рассмотрим подробное преобразование функции y=cosx.
Пример 5
Построить график функции y=32cos2-2x+1 при помощи преобразования функции вида y=cosx.
Решение
По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ±k1·f±k2·x+a+b. Тогда получаем, что
y=32cos2-2x+1=32cos(-2(x-1))+1
Из условия видно, что k1=32, k2=2, a=-1, b=1, где k2 имеет «-», а перед k1 он отсутствует.
Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:
y=cos(x)→y=32cos(x)→y=32cos(2x)→y=32cos(-2x)→→y=32cos(-2(x-1))→y=32cos-2(x-1)+1
Пошаговое преобразование косинусоиды с графической иллюстрацией.
При заданной графике y=cos(x) видно, что наименьший общий период равняется T=2π. Нахождение максимумов в 2π·k; 1, k∈Z, а минимумов π+2π·k; -1, k∈Z.
При растягивании вдоль Оу в 32 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 32 раза.T=2π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2π·k; 32, k∈Z, минимумов в π+2π·k; -32, k∈Z.
При сжатии вдоль Ох вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число T=2πk2=π. Производится переход максимумов в π·k; 32, k∈Z,минимумов — π2+π·k; -32, k∈Z.
Симметричное отображение относительно Оу. Так как график нечетный, то он не будет изменяться.
При сдвигании графика на 1. Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T=π. Нахождение максимумов в π·k+1; 32, k∈Z, минимумов — π2+1+π·k; -32, k∈Z.
При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T=π и не изменен. Нахождение максимумов в π·k+1; 52, k∈Z, минимумов в π2+1+π·k; -12, k∈Z.
Преобразования функции косинуса завершено.
Преобразования y = tgx
Рассмотрим преобразования на примере y=tgx.
Пример 6
Построить график функции y=-12tgπ3-23x+π3 при помощи преобразований функции y=tg(x).
Решение
Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ±k1·f±k2·x+a+b, после чего получаем, что
y=-12tgπ3-23x+π3=-12tg-23x-π2+π3
Отчетливо видно, что k1=12, k2=23, a=-π2, b=π3, а перед коэффициентами k1 и k2 имеется «-». Значит, после преобразования тангенсоиды получаем
y=tg(x)→y=12tg(x)→y=12tg23x→y=-12tg23x→→y=-12tg-23x→y=-12tg-23x-π2→→y=-12tg-23x-π2+π3
Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.
Имеем, что исходный график – это y=tg(x). Изменение положительного периода равняется T=π. Областью определения считается -π2+π·k; π2+π·k, k∈Z.
Сжимаем в 2 раза вдоль Оу. T=π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид -π2+π·k; π2+π·k, k∈Z.
Растягиваем вдоль Ох в 32 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T=πk2=32π. А область определения функции с координатами -3π4+32π·k; 3π4+32π·k, k∈Z , меняется только область определения.
Симметрия идет по сторону Ох. Период не изменится в этот момент.
Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение Ох и Оу, тогда преобразуем до исходной функции.
При движении вправо на π2 видим, что наименьшим положительным периодом является T=32π. А изменения происходят внутри области определения -π4+32π·k; 5π4+32π·k, k∈Z.
При сдвигании графика на π3 получаем, что изменение области определения отсутствует.
Преобразование тангенса завершено.
Тригонометрическая функция вида y=arccosx
Рассмотрим на примере тригонометрической функции вида y=arccosx.
Пример 7
Построить график функции y=2arcsin13(x-1) при помощи преобразования y=arccosx.
Решение
Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций arcsin x+arcocos x=π2. Значит, получим, что arcsinx=π2-arccosx.
Видно, что y=arccosx→y=-arccosx→y=-arccosx+π2.
Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.
График, данный по условию
Производим отображение относительно Ох
Производим движение вверх на π2.
Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.
Видно, что k1=2, k2=13, a=-1, b=0, где отсутствует знак «-» у k1 и k2.
Отсюда получаем, что преобразования y=arcsinx примет вид:
y=arcsin(x)→y=2arcsin(x)→→y=2arcsin13x→y=2arcsin13(x-1)
Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.
График y=arcsinx имеет область определения вида x∈-1; 1, тогда интервал y∈-π2; π2 относится к области значений.
Необходимо растянуть вдвое по Оу, причем область определения останется неизменной x∈-1; 1, а область значений y∈-π; π.
Растягивание по Ох строе. Происходит расширение области определения x∈-3; 3, но область значений остается неизменной y∈-π; π.
Производим сдвигание вправо на 1, причем область определения становится равной x∈-2; 4. Без изменений остается область значений y∈-π; π.
Задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершена. Если по условию имеются сложные функции, тогда необходимо прибегнуть к полному исследованию функция.
Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Мэтуэй | Популярные задачи
92
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктан(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение тан(пи/2)
45 Найти точное значение грех(300)
46 Найти точное значение соз(30)
47 Найти точное значение соз(60)
48 Найти точное значение соз(0)
49 Найти точное значение соз(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение сек(60 градусов)
53 Найти точное значение грех(300 градусов)
54 Преобразование градусов в радианы 135
55 Преобразование градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3
58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов
59 Преобразование градусов в радианы 60
60 Найти точное значение грех(135 градусов)
61 Найти точное значение грех(150)
62 Найти точное значение грех(240 градусов)
63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов)
64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4
65 Найти точное значение грех(225)
66 Найти точное значение грех(240)
67 Найти точное значение cos(150 градусов)
68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45)
69 Оценить грех(30 градусов)
70 Найти точное значение сек(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение КСК(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение загар((5pi)/3)
75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0)
76 Оценить грех(60 градусов)
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение угловой синус(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение КСК(45)
83 Упростить арктан( квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение грех(135)
85 Найти точное значение грех(105)
86 Найти точное значение грех(150 градусов)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение загар((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4
90 Найти точное значение грех(пи/2)
91 Найти точное значение сек(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение угловой синус(0)
95 Найти точное значение грех(120 градусов)
96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97 Найти точное значение соз(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов
Мэтуэй | Популярные задачи
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение соз(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32 Преобразование градусов в радианы 92
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктан(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение тан(пи/2)
45 Найти точное значение грех(300)
46 Найти точное значение соз(30)
47 Найти точное значение соз(60)
48 Найти точное значение соз(0)
49 Найти точное значение соз(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение сек(60 градусов)
53 Найти точное значение грех(300 градусов)
54 Преобразование градусов в радианы 135
55 Преобразование градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3
58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов
59 Преобразование градусов в радианы 60
60 Найти точное значение грех(135 градусов)
61 Найти точное значение грех(150)
62 Найти точное значение грех(240 градусов)
63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов)
64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4
65 Найти точное значение грех(225)
66 Найти точное значение грех(240)
67 Найти точное значение cos(150 градусов)
68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45)
69 Оценить грех(30 градусов)
70 Найти точное значение сек(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение КСК(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение загар((5pi)/3)
75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0)
76 Оценить грех(60 градусов)
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение угловой синус(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение КСК(45)
83 Упростить арктан( квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение грех(135)
85 Найти точное значение грех(105)
86 Найти точное значение грех(150 градусов)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение загар((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4
90 Найти точное значение грех(пи/2)
91 Найти точное значение сек(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение угловой синус(0)
95 Найти точное значение грех(120 градусов)
96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97 Найти точное значение соз(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов
Лучшая математика
Навигация
Home
Год 12 (13 NZ, KS 5)
Год 12 Темы
ТРИГОМОМОМОМАТИЧЕСКИЙ Уравнение
1818181818 гг. х и загар х.
Их можно решить с помощью тригонометрических графиков и, при необходимости, калькулятора. Можно использовать другой метод, использующий общие решения.
Поскольку тригонометрические функции являются периодическими и продолжаются вечно, эти тригонометрические уравнения часто имеют бесконечное число решений, если область определения (значения x) не фиксирована. Обычно домен предоставляется.
Для иллюстрации различных методов, которые можно использовать, будет приведено несколько различных типов примеров. Решения даны в тех же единицах, в которых написан вопрос. Градусы или радианы.
Углы, используемые в особых треугольниках, часто встречаются в тригонометрических уравнениях и снова показаны ниже в качестве напоминания.
Особые треугольники
Такие углы, как 30 ° (  ), 45 ° (  ) и 60 ° (  ), используются часто, и тригонометрические отношения этих углов получаются из двух специальных треугольников (см. Блок 38, 12 год). Они приведены ниже:
sin 30°
cos 30°
желтовато-коричневый 30°
sin 45°
cos 45°
желтовато-коричневый 45°
sin 60°
cos 60°
желтовато-коричневый 60°
1
√3
Если ответы могут быть даны с использованием точных значений из специальных треугольников, они должны быть даны. Калькулятор следует использовать только в том случае, если не используются специальные углы треугольника.
Тригонометрические уравнения
Пример 1
Решите sin x = 0,5 для 0° ≤ x ≤ 360°. Дайте ответы в градусах.
Рассмотрим функции y = sin x и прямую y = 0,5. Там, где встречаются линия и кривая, и будут решения. Калькулятор можно использовать, чтобы найти первое значение, найдя sin ^-1 (0,5)

Калькулятор можно использовать для первого решения        30° и второе решение, найденное из симметрии график (180 ° — 30° = 150°).
Набор решений {30°, 150°}
Аналогичные методы можно использовать для уравнений, содержащих косинус и тангенс.
Пример 2
Решите 2sin ² x + sin x = 0 для 0 ≤ x ≤ 2π . Дайте ответы в радианах.
Это квадратное уравнение, поэтому, если возможно, разложите его на множители.
sin x(2sin x + 1) = 0
Имеется два набора решений:
sin x = 0 и 2sin x + 1 = 0, что дает sin x = -0,5
Решения sin x = 0 равны 0, 3,14π и 2π
Решения sin x = -0,5 равны 7π/6 и 11π/6
Набор решений составляет {0, π, 7π/6, 11π/6, 2π}
Пример 3
43 Solve nember 2x 218. Дайте ответы в терминах π .
Функция косинуса изолируется делением обеих частей на √2. Потому что 2 x необходимо изучить график cos x от 0 до 4π, чтобы найти все корни.
√ 2, потому что 2x = 1
потому что 2x = 1 / √ 2
Первое решение можно найти с помощью специальных треугольников выше или с помощью калькулятора. Остальные решения находятся из симметрии графа:
2x = ,
2x = 2π −  =
г.
2x = 2π +  =
2x = 4π −  =
х =
х =
х =
х =

Набор решений {, , }
Пример 4
Решите sin 3x + sin x = 0 для 0 ≤ x ≤ 2π . Дайте ответы в терминах π .
Здесь используется формула суммы в произведение.
2sin 2x cos x = 0
Следовательно, sin 2x = 0      или       cos x = 0
2x = {0, π, 2π, 3π, 4π} или x = { , }
Набор решений равен {0, , π , , 2π }
Обратный косинус – формула, график, примеры
Арккосинус — важная обратная тригонометрическая функция. Математически это записывается как cos ^-1 (x) и является обратной функцией тригонометрической функции косинуса, cos(x). Важно отметить, что арккосинус не является обратной величиной cos x. Существует 6 обратных тригонометрических функций: sin ^-1 x, cos ^-1 x, tan ^-1 x, csc ^-1 x, sec ^-1 x, cot ^-1 x.
Арккосинус используется для определения меры угла по значению тригонометрического отношения cos x. В этой статье мы разберемся с формулами функции арккосинуса, ее областью определения и диапазоном и, следовательно, с ее графиком. Мы также определим производную и интеграл от cos, обратный x, чтобы лучше понять его свойства.
1. Что такое арккосинус?
2. Домен и диапазон арккосинуса
3. График арккосинуса
4. Производная обратного косинуса x
5. Интеграл арккосинуса
6. Свойства арккосинуса
7. Часто задаваемые вопросы об арккосинусе
Что такое арккосинус?
Арккосинус — это функция, обратная функции косинуса. Это одна из важных обратных тригонометрических функций. Cos, обратный x, также может быть записан как arccos x. Если y = cos x ⇒ x = cos ^-1 (y). Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как работает функция арккосинуса.
потому что 0 = 1 ⇒ 0 = потому что ^-1 (1)
, потому что π/3 = 1/2 ⇒ π/3 = потому что ^-1 (1/2)
, потому что π/2 = 0 ⇒ π/2 = потому что ^-1 (0)
, потому что π = -1 ⇒ π = потому что ^-1 (-1)
В прямоугольном треугольнике косинус угла (θ) равен отношению его прилежащей стороны к гипотенузе, то есть cos θ = (прилежащая сторона) / (гипотенуза). Используя определение арккосинуса, θ = cos ^-1 [(прилегающая сторона) / (гипотенуза)].
Таким образом, арккосинус используется для нахождения неизвестных углов в прямоугольном треугольнике.
Домен и диапазон арккосинуса
Мы знаем, что областью определения функции косинуса является R, то есть все действительные числа, и ее диапазон [-1, 1]. Функция f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда она биективна (один-один и один). Поскольку cos x не является биективной функцией, поскольку она не является взаимно однозначной, арккосинус не может иметь R в качестве своего диапазона. Следовательно, нам нужно сделать функцию косинуса взаимно однозначной, ограничив ее область определения. Область определения функции косинуса можно ограничить до [0, π], [π, 2π], [-π, 0] и т. д. и получить соответствующую ветвь арккосинуса.
Область определения функции косинуса обычно ограничена [0, π], а ее диапазон остается равным [-1, 1]. Следовательно, ветвь cos, обратная x со значением [0, π], называется главной ветвью. Поскольку область определения и область значений функции становятся областью значений и областью значений ее обратной функции, соответственно, область определения арккосинуса равна [-1, 1], а ее область значений равна [0, π], то есть cos, обратная x, равна функция из [-1, 1] → [0, π].
График арккосинуса
Поскольку область определения и область значений функции арккосинуса равны [-1, 1] и [0, π] соответственно, мы построим график косинуса, обратного х, в пределах главной ветви. Поскольку мы знаем значения функции косинуса для конкретных углов, мы будем использовать те же значения для построения точек и, следовательно, графика арккосинуса. Для y = cos ^-1 x имеем:
Когда x = 0, y = π/2
Когда x = 1/2, y = π/3
Когда х = 1, у = 0
Когда x = -1, y = π
г.
Когда x = -1/2, y = 2π/3
Cos, обратный x производная
Теперь определим производную функции арккосинуса, используя некоторые тригонометрические формулы и тождества. Предположим, что y = cos ^-1 x ⇒ cos y = x. Дифференцируйте обе части уравнения, потому что y = x по x, используя цепное правило. (1)
Так как cos ² y + sin ² y = 1, то sin y = √(1 — cos ² y) = √(1 — x ² ) [Поскольку cos y = x]
Подставив sin y = √(1 — x ² ) в (1), мы получим
dy/dx = -1/√(1 — x ² )
знаменатель √(1 — x ² ) равен 0, и, следовательно, производная не определена, поэтому x не может быть -1 и 1.
Следовательно, производная cos, обратная x, равна -1/√(1 — x ² ), где -1 < x < 1
Интегрирование арккосинуса
Найдем интеграл арккосинуса, то есть ∫cos ^-1 x dx, используя интегрирование по частям (ILATE).
∫cos ^-1 x = ∫cos ^-1 x · 1 dx
Используя интегрирование по частям,
∫f(x) . g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx − ∫(f′(x) ∫g(x) dx) dx + C
Здесь f(x) = cos ^-1 x и g (x) = 1,
∫cos ^-1 x · 1 dx = cos ^-1 x ∫1 dx — ∫ [d(cos ^-1 x)/dx ∫1 dx]dx + C
∫cos ^-1 x dx = cos ^{— 1} х . (x) — ∫ [-1/√(1 — x²)] x dx + C
Мы вычислим этот интеграл ∫ [-1/√(1 — x²)] x dx методом подстановки. Предположим 1-x ² = u. Тогда -2x dx = du (или) x dx = -1/2 du.
∫cos ^-1 x dx = x cos ^-1 x — ∫(-1/√u) (-1/2) du + C
= x cos ^-1 x — 1/2 ∫u ^-1/2 du + C
= x cos ^-1 x — (1/2) (u ^1/2 /(1/2)) + C
= x cos ^-1 x — √u + C
= x cos ^-1 x — √(1 — x²) + C
Следовательно, ∫cos ^-1 x dx = x cos ^-1 x — √(1 — x²) + C
Свойства арккосинуса
Некоторые свойства или формулы функции арккосинуса приведены ниже. Они очень полезны при решении задач, связанных с cos, обратным x, в тригонометрии.
cos(cos ^-1 x) = x, только если x ∈ [-1, 1] (когда x ∉ [-1, 1], cos(cos ^-1 x) НЕ определено)
cos ^-1 (cos x) = x, только когда x ∈ [0, π] (когда x ∉ [0, π], примените тригонометрические тождества, чтобы найти эквивалентный угол x, лежащий в [0, π ])
, потому что ^-1 (-x) = π — потому что ^-1 x
cos ^-1 (1/x) = сек ^-1 x, когда |x| ≥ 1
грех ^-1 x + cos ^-1 x = π/2, когда x ∈ [-1, 1]
d(cos ^-1 x)/dx = -1/√(1 — x ² ), -1 < x < 1
∫cos ^-1 x dx = x cos ^-1 x — √(1 — x²) + C
Важные замечания по инверсному косинусу x
Инверсный косинус НЕ совпадает с (cos x) ^-1 как (cos x) ^-1 = 1/(cos x) = sec x.
θ = cos ^-1 [ (прилежащая сторона) / (гипотенуза) ], θ ∈ [0, π]
г.
d(cos ^-1 x)/dx = -1/√(1 — x ² ), -1 < x < 1
∫cos ^-1 x dx = x cos ^-1 x — √(1 — x²) + C
, потому что ^-1 (-x) = π — потому что ^-1 x
Связанные темы об арккосинусе
sin cos tan
Тригонометрические функции
Закон синусов
Тригонометрическая таблица
Часто задаваемые вопросы об арккосинусе
Что такое арккосинус в тригонометрии?
Обратный косинус — функция, обратная косинусу. Арккосинус x также может быть записан как cos ^-1 x или arccos x. Тогда по определению арккосинуса θ = cos ^-1 [(прилежащая сторона)/(гипотенуза)].
Что такое формула арккосинуса?
По определению арккосинуса θ = cos ^-1 [(прилежащая сторона)/(гипотенуза)]. Здесь θ — угол между прилежащей стороной и гипотенузой и лежит между 0 и π.
Что такое производная арккосинуса?
Производная cos, обратная x, равна -1/√(1 — x ² ), где -1 < x < 1. Ее можно вычислить с помощью цепного правила.
Что такое домен и диапазон арккосинуса?
Область определения арккосинуса – [-1, 1], поскольку диапазон функции косинуса – [-1, 1]. Диапазон cos, обратный x, cos ^– 1 x ^{, равен [0, π]. Нам нужно сделать косинус функцией один-один, ограничив его область определения R главной ветвью [0, π], что делает диапазон арккосинуса равным [0, π].}
Как вычислить интеграл арккосинуса?
Интеграл от cos, обратного х, можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Интеграл арккосинуса задается выражением ∫cos ^-1 x dx = x cos ^-1 x — √(1 — x²) + C
Что такое косинус косинуса, обратный x?
Cos от cos, обратного x, равен x, то есть cos(cos ^-1 x) = x, если x ∈ [-1, 1]. Если x ∉ [-1, 1], то cos(cos ^-1 x) не определен.
Что такое арккосинус для Cos x?
Арккосинус cos x равен x, то есть cos ^-1 (cos x) = x, если x ∈ [0, π]. Если x ∉ [0, π], то примените тригонометрические тождества, чтобы найти эквивалентный угол x, лежащий в [0, π].
Sin X Cos X Tan X
Чтобы набросать тригонометрические графики функций – синуса, косинуса и тангенса, нам нужно знать поток, стадию, амплитуду, максимальную и минимальную точки поворота. Эти графики используются во многих областях техники и науки. Несколько примеров — рост животных и растений, двигателей и волн и т. д. Кроме того, у нас есть графики для всех
тригонометрические функции
.
Графическое представление функций синуса, косинуса и тангенса здесь кратко объясняется с помощью соответствующего графика. Студенты могут узнать, как построить график тригонометрической функции здесь и далее с практическими вопросами, основанными на этом.
Графики тригонометрических функций

Синус, косинус и тангенс являются важными тригонометрическими соотношениями, на основании которых функции различаются. Ниже приведены графики трех тригонометрических функций sin x, cos x и tan x.
На этих тригонометрических графиках центральные по оси x значения углов выражены в радианах, а по оси y берется ее f(x) — значение функции при каждом заданном угле.
График грехов

у = грех х
Корни или нули y = sin x кратны π
График sin проходит ось x одинаково sin x = 0 в этом месте
Менструация синуса функции 2π
г. Высота кривой в каждой точке равна линейному значению синуса
Максимальное значение графика Минимальное значение графика
1 в
π/2 -1 в (три
π/2)
График Cos
Максимальное значение графика Минимальное значение графика
один в 0, четыре π
-один на 2
π
Между графиками синуса и косинуса есть несколько сходств:
Оба принимают один и тот же изгиб, сдвинутый вперед по оси x.
Оба имеют амплитуду 1
Примите за
йод 360
° или 2π радиан
Комбинированный график функции синуса и косинуса может быть представлен через каждый бит.
г.
График загара
Управление загаром полностью отличается от функции sin and cos. Функция здесь проходит между отрицательной и положительной бесконечностью, пересекая 0 за период π радиан.
г = загар х
График касательной имеет неопределённую амплитуду, если изгиб стремится к бесконечности
У него также есть менструация o
f 180
°, т.е. на восток. №
Графики тригонометрических функций
Тригонометрические функции vi:
Синус
Косинус
Тангенс
Косеканс
секанс
Котангенс
Тригонометрические графики для этих тригонометрических функций можно построить, если вы знаете следующее:
Амплитуда
Это ударенное значение любого числа, умноженное на информатику на тригонометрическую часть.
Высота от средней линии до пика (или впадины) выбирается по амплитуде.
г.
Вы также можете измерить высоту от самых высоких до обычных точек, а затем разделить информационные технологии на 2.
Это в основном говорит о том, насколько альпийским или коротким является поворот.
Также обратите внимание, что функция находится в обычной ориентации или перевернута в зависимости от знака минус или плюс значения амплитуды.
Период

Menstruum
переходит от любого сигнала (один пик) к следующему указанию совпадения.
Ниже приведено графическое изображение потока и амплитуды роли.
г.
Фаза
Насколько функция сдвинута от обычного положения
по горизонтали
называется Фазой.
Максимальная и минимальная точки поворота.
Приведенные выше условия слишком важны, чтобы использовать
график тригонометрических формул
.
Как нарисовать график тригонометрической части?
Для описания графика тригонометрической функции можно использовать различные методы. Подробное объяснение одного из эффективных методов приведено ниже.
г.
Пока рисуете график синусоидальной функции, преобразуйте данную функцию в общую форму как
a sin (bx – c) + d
в золоте, чтобы обнаружить различные параметры, такие как амплитуда каждого бита, фазовый сдвиг, вертикальный сдвиг и менструации.
Где,
|а| = Амплитуда
2π/|b| = период
c/b = фазовый сдвиг
d = вертикальное смещение
Точно так же для функции косинуса мы можем использовать формулу
а cos (bx – c) + d
.
Таким образом, графики всех шести тригонометрических функций выглядят так, как показано на рисунке ниже.
видео урок
Максимальное и минимальное значение тригонометрических функций
График функций триггера Упражнение
Позвольте попрактиковаться в том, что мы узнали в предыдущих параграфах, с несколькими вопросами графических функций тригонометрии.
1) Нарисуйте график

у = v sin 2x
°
+ 4
два) Нарисуйте график числа
y = 4 cos 3x° + 7
Чтобы получить больше, чем просто тригонометрию и связанные с ней понятия, зарегистрируйтесь на сайте BYJU’Southward.
Исчисление | ScienceDirect
ScienceDirect
РегистрацияВойти
Книга • Второе издание • 1981
Авторы:
Стэнли И. Гроссман
Книга • Второе издание • 1981
Стрелка.
Исчисление, второе издание обсуждает методы и теоремы исчисления. В этом издании представлены функции синуса и косинуса, распределяются ?-? материал в течение нескольких глав, а … прочитать полное описание
Поиск в этой книге
Просмотр содержания
Соглашение
Действия для выбранных главах
Выберите All / Deselect All
Выберите All Front Matter
Полный текст
13
. Выберите All Front Matter
.
Copyright
ПРЕДИСЛОВИЕ
ПРЕПОДАВАТЕЛЮ
Выберите ОДИН — ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Глава книгиТолько реферат
ОДИН — ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Страницы 1-52
Выбрать два — ограничения и производные
Книга Глава.
ТРИ — ЕЩЕ О ПРОИЗВОДНЫХ
Страницы 134-183
Выбрать ЧЕТЫРЕ — ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Глава книгиТолько реферат
ЧЕТЫРЕ — ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Страницы 184-249
SELECT FIVE — Интегральная
Книга Глава. — ЭКСПОНЕНТЫ И ЛОГАРИФМЫ
Страницы 324-383
Выберите СЕМЬ — ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Глава книгиТолько реферат
2805
Страницы 384-425
Выбрать восемь — методы интеграции
Книга Глава. только главаAbstract
ДЕВЯТЬ — ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Страницы 482-525
Выберите ДЕСЯТЬ — ТЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Книга Глава. — НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ И СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава книгиТолько реферат
ДВЕНАДЦАТЬ — НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ И СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Страницы 576-598
Выбор тринадцать — полиномов Тейлора и приближения
Книга Глава.
Страницы 614-667
Выбрать ПЯТНАДЦАТЬ — ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
Глава книгиТолько реферат
ПЯТНАДЦАТЬ — ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
Страницы 668-688
Выбрать шестнадцать — векторные функции, векторная дифференциация и параметрические уравнения
ГЛАВА ГЛАВА Выберите СЕМНАДЦАТЬ — ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава книгиТолько реферат
СЕМНАДЦАТЬ — ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Страницы 739-792
1831
Книга Глава Абстракт только
Восемнадцать — дифференциация функций двух и трех переменных
Страницы 793-876
SELECT NINETEEN — Несколько интеграций
ГЛАВА ГЛАВА.
Выберите ДВАДЦАТЬ — ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Глава книгиТолько реферат
ДВАДЦАТЬ — ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Страниц 928-989
Выбрать двадцать один-обычные дифференциальные уравнения
Глава. доступ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 — ОБЗОР ТРИГОНОМЕТРИИ
Страницы A1-A14
Выбрать ПРИЛОЖЕНИЕ 2 — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
Глава книги Нет доступа
APPENDIX 2 — MATHEMATICAL INDUCTION
Pages A15-A18
Select APPENDIX 3 — DETERMINANTS
Book chapterNo access
APPENDIX 3 — DETERMINANTS
Pages A19-A28
Select APPENDIX 4 — THE BINOMIAL THEOREM
Глава книги Нет доступа
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ТЕОРЕМА О БИНОМЕ
Страницы A29-A31
Выбрать ПРИЛОЖЕНИЕ 5.1831
Книга Capterno Access
Приложение 5 — Доказательства некоторых теорем о пределах, непрерывности и дифференциации
Страницы A32 -A38
Select Appendix 6 — Комплексные номера
КОНФЕРСА.

Дифференцирование дроби: Производная дроби — доказательство — примеры

alexxlab / 23.01.197117.09.2022 / Разное

III.3. Дифференцирование функции одной переменной

Глава III. Введение в математический анализ и основы дифференциального исчисления функции одной переменной‎ > ‎

(схема 30)

При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.

Пусть явно задана функция y=f (x). Функция, зависящая непосредственно от переменной x, называется простой. Рассмотрим для простой функции точку x, принадлежащую ее области определения. Дадим приращение аргументу ∆x в точке x. Функция получит при этом соответствующее (3.9) приращение ∆y=f(x+∆x)—f(x).

Производной функции y=f (x) по переменной x в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, то есть

. (3.15)

Функция, имеющая в точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием и обозначается .

Производная характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности заданной точки.

Приведем таблицу производных основных элементарных функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые и явно заданные.

Теорема 3.9. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна

Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет

Существуют такие точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема. Так, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 3.6). Такие точки называются угловыми или точками излома функции. Данный случай показывает, что обратное утверждение к теореме 3.9 неверно.

Среди явных функций особое место занимают обратные функции, производная которых находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.10. Если строго монотонная функция y=f (x) дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция x=φ(y) также дифференцируема на этом интервале, при этом:

(3. 30)

Доказательство. Дадим функции y=f (x) в точке x бесконечно малое приращение аргумента ∆x→0, функция при этом получит соответствующее приращение ∆y. Так как по условию теоремы функция дифференцируема в каждой точке интервала Х, то в каждой точке этого интервала функция непрерывна (по теореме 3.9). Следовательно, по определению непрерывности функции выполняется: , это означает, что при ∆x→0; ∆y→0.

По определению производной можно записать:

, теорема доказана

Среди явных функций выделяют класс сложных функций.

Функция называется сложной, если она представляет собой композицию нескольких функций: y=f (φ(x)). Функция f называется внешней, а φ — внутренней функцией, выступающей в качестве независимого переменного.

Теорема 3.11. Чтобы продифференцировать сложную функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней, считая внутреннюю функцию независимой переменной, затем продифференцировать внутреннюю функцию по независимому переменному и результаты дифференцирования перемножить, то есть

(3.31)

Пример 3.8. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.19), (3.29) имеем:

К явным функциям можно отнести функции, заданные параметрически, вида:,

где t – параметр. Производную такой функции несложно получить:

. (3. 32)

Пример 3.9. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.32) и с учетом табличных формул (3.18), (3.19) имеем:

Примечание. Функция, заданная в примере 3.9, представляет собой параметрическое уравнение окружности радиуса a. Действительно, возведем оба уравнения в квадрат и сложим их почленно, получим:

Помимо таблицы производных имеют место правила дифференцирования.

Теорема 3.12. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

(3.33)

Данная теорема может быть обобщена для произвольного конечного числа функций-слагаемых.

Пример 3.10. Найти производную функции.

Решение. Согласно формулам (3.33) и (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.20), (3.23) имеем:

Теорема 3.13. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции–сомножителя, то есть

(3.34)

Пример 3.11. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.34) и с учетом табличных формул (3.22), (3.24) имеем:

Теорема 3.14. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, то есть

(3. 35)

Пример 3.12. Найти производную функции.

Решение. Согласно формуле (3.35) и с учетом табличных формул (3.17), (3.29) имеем:

Все рассмотренные выше при дифференцировании функции были заданы в явном виде, то есть уравнением y=f (x), разрешенным относительно y.

Функция называется неявно заданной, если она имеет вид F (x;y)=0. Неявный способ задания к свойствам функции отношения не имеет. В этом случае любое выражение, содержащее переменную y, нужно рассматривать как функцию сложную. Следовательно, при нахождении производной неявных функций следует применять теорему о дифференцировании сложной функции. В процессе отыскания все слагаемые, содержащие , оставляют в левой части равенства и выносят из них за скобки как общий множитель. Слагаемые, не содержащие , переносят в правую часть, и полученное уравнение разрешают относительно искомой .

Пример 3.13. Найти производную неявной функции .

Решение. Согласно формуле (3.31) дифференцирования сложной функции и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.17) и (3.18) имеем:

Иногда для упрощения процесса дифференцирования громоздких функций применяют их предварительное логарифмирование (логарифмическое дифференцирование). Данный метод целесообразен в тех случаях, когда функция представляет собой произведение и (или) частное различных функций, таких как показательные и степенные выражения (особенно иррациональные). Логарифмическое дифференцирование используется также для нахождения производных показательно-степенных функций, которые без предварительного логарифмирования вообще не дифференцируются. При использовании данного метода в левой части получают производную от натурального логарифма y, которая равна . После этого обе части умножают на y, при этом в правой части заменяют y на заданную по условию функцию.

Пример 3.14. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем заданную функцию .

По свойству логарифма степени имеем:. Согласно формуле (3.31) дифференцирования сложной функции и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.19) и (3.29) можно записать

После умножения обеих частей последнего равенства на y окончательно получим:. Заметим, что без предварительного логарифмирования производную заданной функции найти невозможно, так как нельзя обосновать использование формул дифференцирования (3.17) или (3.22)

Пусть функция y=f (x) дифференцируема в некоторой текущей точке x и при этом . Тогда по определению производной и формуле (3.15) можно записать: . Иначе: приращение функции имеет вид

. (3. 36)

Дифференциалом функции y=f (x) в точке x называется главная часть приращения этой функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента:

. (3.37)

Найдем дифференциал независимой переменной x, то есть дифференциал функции y=x. Так как , то по формуле (3.37) имеем dy=dx=∆x. Тогда формула (3.37) для вычисления дифференциала функции может быть записана в виде:

. (3.38)

Если в формуле (3.36) отбросить бесконечно малую величину α∙∆x, то получим приближенное равенство . Подставляя в него выражения для ∆y и dy из формул (3.9) и (3.37), получим или

. (3.39)

Формула (3.39) применяется для вычисления приближенных значений функций.

Пример 3.15. Вычислить приближенно значение .

Решение. Рассмотрим функцию . По формуле (3.39) имеем:

Так как x+∆x=0,95, то при x=1 и ∆x=-0,05 получаем:

Процесс дифференцирования может быть многократным. Производная от первой производной называется второй производной функции или производной 2-го порядка. Производная от последней, в свою очередь, является производной 3-го порядка и так далее. Производная функции n-го порядка – это производная от предыдущей производной (n-1)-го порядка заданной функции, то есть

. (3.40)

Вопросы для самопроверки

9

Основные правила дифференцирования. Сумма.

Выведем несколько правил вычисления производных, В этом пункте значения функций u и v и их производных в точке х₀ обозначаются для краткости так: u(х₀) = u, v(х₀) = v, u'(х₀) = u’, v'(х₀)=v`. Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u+v)’ = u’ + v’.

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных. 1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: Δ(u+v) = u (х₀+Δx)+ v(х₀+Δx) – (u(х₀)+v(х₀)) = (u(х₀+Δx)-u(х₀)) + (v(х₀+Δx)-v(х₀)) = Δu + Δv 2)

3) Функции u и v дифференцируемы в точке х₀, т. е. при Δх→0

Тогда

при Δх→0 (см. правило 3, а) предельного перехода), т. е. (u+v)’ = u’+v’

Основные правила дифференцирования. Произведение.

Если функции и и v дифференцируемы в точке х₀, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(uv)’ = u’v+uv’.

1) Найдем сначала приращение произведения:

Δ(uv) = u(х₀+Δx)v(х₀+Δx)-u(х₀)v(х₀)=(u(х₀)+ Δu)(v(х₀)+ Δv)-u(х₀)v(х₀) =

=u(х₀)v(х₀)+ Δuv(х₀)+u(х₀) Δv+ΔuΔv-u(х₀)v(х₀)= Δuv(х₀)+u(х₀) Δv+ΔuΔv

3) В силу дифференцируемости функций u и v в точке х₀ при Δx→0 имеем

Поэтому

т. е. (uv)’ = u’v+uv’, что и требовалось доказать. Следствие. Если функция u дифференцируема в х₀, а С — постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и

(Сu)’ = Сu’.

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной. Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из пункта о производной, фактом С’ = 0:

(Сu)’ = Сu’ + С’u = Cu’ + 0⋅u = Cu’.

Пример.

Продифференцировать функцию .

Решение.

В данном примере . Применяем правило производной произведения:

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:

Основные правила дифференцирования. Частное

Если функции u и v дифференцируемы в точке x₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x₀ и

Выведем сначала формулу

1) найдем приращение функции 1/v:

2) Отсюда

3) При Δx→0 имеем Δv/Δx→v’ (в силу дифференцируемости v в точке x₀), Δv→0 (по доказанной лемме). Поэтому

Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произведения функций, находим производную частного:

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1. Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

Производная сложной функции.

Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х₀, причем

h’(x₀) = g’(f(x₀))•f’(x₀) (1)

Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что

при Δx→0. Введем обозначения:

Δy = f(x₀+Δx)-f(x₀)= Δf

Тогда Δh = h(х₀ + Δх) — h(x₀) = g(f(x₀ +Δx)) — g(f(x₀)) = g(y₀ + Δy) — g(y₀) = Δg. Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x₀. Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х₀. Тогда

при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x₀) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y₀) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.

Пример.НА ВСЯКИЙ СЛУЧАЙ !! ! ! !!! http://www.mathelp.spb.ru/book1/proizvodnaya.htm

Производная обратной функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле .

Примеры.

Найти производную обратной тригонометрической функции y = arcsinx. Обратная функция x = siny и , по формуле для обратной функции .

Найдем функции y = arctgx. Обратная функция x = tgy,

Производная суммы, производная разности.

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных

Пример.

Найти производную функции

Решение.

Упростим вид исходной функции

Используем правило производной суммы (разности):

В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

Производная e в степени x и показательной функции. Удивительная особенность производной e в степени х

Содержание

Производные простых функций
Что такое предел
Виды логарифмов
Как находить производные сложных логарифмических функций?
Общая формула производной логарифма
Случай отрицательных значений y
Внутренняя и внешняя функции
Понятие производной сложной функции
Правила нахождения производных
Некоторые свойства и практические примеры
Сложные производные
Синтаксис описания формул
Производная натурального логарифма
Прикладное использование производной
Таблица производных
Некоторые интересные факты о числе е
Что такое логарифмическое дифференцирование?
Производная экспоненты

Производные простых функций

1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:
5´ = 0

Пояснение:
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях – скорость его изменения всегда равна нулю.
2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.
3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

Откуда следует, что
(cx + b)’ = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.
5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( x^c )’= cx^c-1, при условии, что x^c и сx^c-1,определены а с ≠ 0
Пример:
(x² )’ = 2x
(x³)’ = 3x²
Для запоминания формулы:
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x² – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x³ – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x² . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.
6. Производная дроби 1/х
(1/х)’ = – 1 / x²
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)’ = (x^-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x^-1 )’ = -1x^-2 = – 1 / х²
7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
( 1 / x^c )’ = – c / x^c+1
Пример:
( 1 / x² )’ = – 2 / x³
8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
( √x )’ = 1 / ( 2√x ) или 1/2 х^-1/2
Пример:
( √x )’ = ( х^1/2 )’ значит можно применить формулу из правила 5
( х^1/2 )’ = 1/2 х^-1/2 = 1 / (2√х)
9. Производная переменной под корнем произвольной степени
( ⁿ√x )’ = 1 / ( n ⁿ√x^n-1 )
.

Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть.

Что такое предел

Вначале разберемся с понятием предела. Рассмотрим какое-нибудь математическое выражение, например, i = 1/n. Можно увидеть, что при увеличении «n «, значение «i «будет уменьшаться, а при стремлении «n» к бесконечности (которая обозначается значком ∞), «i» будет стремиться к предельному значению (называемого чаще просто пределом), равному нулю. Выражение предела (обозначаемого как lim) для рассматриваемого случая можно записать в виде lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Существуют различные пределы для различных выражений. Одним из таких пределов, вошедших в советские и российские учебники как второй замечательный предел, является выражение lim n →∞ (1+1/ n) ⁿ. Уже в Средневековье было установлено, что пределом этого выражения является число е.

К первому же замечательному пределу относят выражение lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Как найти производную e^x – в этом видео.

Виды логарифмов

Прежде, чем перейти к формулам производных, напомним, что для некоторых логарифмов предусмотрены отдельные названия:

1. Десятичный логарифм (lg x)

lg x = log₁₀x

Т.е. это логарифм числа x основанию 10.

2. Натуральный логарифм (ln x)

ln x = log_e x

Т.е. это логарифм числа x по основанию e (экспонента).

Как находить производные сложных логарифмических функций?

Что можно сказать о производной логарифмической функции y = lnx на основании таблицы производных? Можно сказать, что она существует и выражается формулой

(1)

Однако в большинстве задач математического анализа, с которыми придётся столкнуться в дальнейшем, присутствует сложная логарифмическая функция. Она вычисляется несколько иначе.

В случае сложной логарифмической функции y = lnu, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (1) примет вид

(2)

Пользуясь формулой (2), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть

В результате применения свойств логарифмов:

Так как – постоянный множитель, то – постоянный множитель, то

или

(3)

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Применяя правило дифференцирования дроби (частного), а затем формулу (3), получим

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Используя свойства логарифмов, данную функцию можно записать проще:

Это сложная логарифмическая функция. Применяя правило о том, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, а затем формулу (2) при

получаем

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Общая формула производной логарифма

Производная логарифма x по основанию a равняется числу 1, разделенному на произведение натурального логарифма a и числа x.

Случай отрицательных значений y

Теперь рассмотрим случай, когда переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае возьмем логарифм от модуля и найдем его производную:
.
Отсюда
(3) .
То есть, в общем случае, нужно найти производную от логарифма модуля функции .

Сравнивая (2) и (3) мы имеем:
.
То есть формальный результат вычисления логарифмической производной не зависит от того, взяли мы по модулю или нет. Поэтому, при вычислении логарифмической производной, мы можем не беспокоится о том, какой знак имеет функция .

Прояснить такую ситуацию можно с помощью комплексных чисел. Пусть, при некоторых значениях x, отрицательна: . Если мы рассматриваем только действительные числа, то функция не определена. Однако, если ввести в рассмотрение комплексные числа, то получим следующее:
.
То есть функции и отличаются на комплексную постоянную :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю, то
.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция – это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. 3+2x+1) – внутренняя, а – внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось – будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Понятие производной сложной функции

Пусть y – сложная функция x, т.е. y = f(u), u = g(x), или

Если g(x) и f(u) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g(x), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

Типичная ошибка при решении задач на производные – машинальное перенесение правил дифференцирования простых функций на сложные функции. Будем учиться избегать этой ошибки.

Посмотрите на формулу 9 в таблице производных. Исходная функция является функцией от функции, причём аргумент x является аргументом лишь второй функции, а вторая функция является аргументом первой функции, или, согласно более строгому определению – промежуточным аргументом по независимой переменной x.

А теперь посмотрите на картинку ниже, которая иллюстрирует решение задач на сложные производные по аналогии с простым примером из кулинарии – приготовлении запечёных яблок, фаршированных ягодами.

Итак, “яблоко” – это функция, аргументом которой является промежуточный аргумент, а промежуточный аргумент по независимой переменной x, в свою очередь, является “фаршем” (ягодами). Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем яблоко с фаршем в особую (физико-математическую) духовку и устанавливаем режим 1. При таком режиме духовка воздействует только на “яблоко”, поскольку нужно, допустим, больше пропечь яблоко, а фарш из ягод оставить более сочным, то есть обрабатывать в другом режиме. Итак, в при режиме 1 обрабатывается яблоко, а фарш остаётся незатронутым, или, ближе к нашим задачам, находим производную функции лишь от промежуточного аргумента, то есть, “яблока”. Затем в духовке устанавливается режим 2, который воздействует только на фарш, иначе говоря, записываем производную функции, являющейся промежуточным аргументом по независимой переменной x. И, в конце концов, записываем произведение производной “яблока” и производной “фарша”. Можно подавать!

Пример 1.Найти производную функции

Сначала определим, где здесь “яблоко”, то есть функция по промежуточному аргументу u, а где “фарш”, то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x. Определяем: возведение в степень – это функция по промежуточному аргументу, то есть “яблоко”, а выражение в скобках (разность двух тригонометрических функций) – это промежуточный аргумент, то есть “фарш”.

Тогда

Далее по таблице производных (производная суммы или разности, производные синуса и косинуса) находим:

Требуемая в условии задачи производная (готовое “фаршированое яблоко”):

Нахождение производной сложной логарифмической функции имеет свои особенности, поэтому у нас есть и урок “Производная логарифмической функции”.

Пример 2.Найти производную функции

Неправильное решение:вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:

Правильное решение:опять определяем, где “яблоко”, а где “фарш”. Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках – это “яблоко”, то есть функция по промежуточному аргументу u, а выражение в скобках – “фарш”, то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x.

Тогда (применяя формулу 14 из таблицы производных)

Во многих реальных задачах выражение с логарифмом бывает несколько сложнее, поэтому и есть урок “Производная логарифмической функции”.

Пример 3.Найти производную функции

Неправильное решение:

Правильное решение.В очередной раз определяем, где “яблоко”, а где “фарш”. Здесь косинус от выражения в скобках (формула 7 в таблице производных)- это “яблоко”, оно готовится в режиме 1, воздействующем только на него, а выражение в скобках (производная степени – номер 3 в таблице производных) – это “фарш”, он готовится при режиме 2, воздействующей только на него. И как всегда соединяем две производные знаком произведения. Результат:

Производная сложной логарифмической функции – частое задание на контрольных работах, поэтому настоятельно рекомендуем посетить урок “Производная логарифмической функции”.

Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Но в практических заданиях нередко требуется найти производную сложной функции, где промежуточный аргумент или сам является сложной функцией или содержит такую функцию. Что делать в таких случаях? Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования. Когда найдена производная промежуточного аргумента, она просто подставляется в нужное место формулы. Ниже – два примера, как это делается.

Кроме того, полезно знать следующее. Если сложная функция может быть представлена в виде цепочки из трёх функций

то её производную следует находить как произведение производных каждой из этих функций:

Для решения многих ваших домашних заданий может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пример 4.Найти производную функции

Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:

Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:

Второе слагаемое – корень, поэтому

Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень – сложная функция, а то, что возводится в степень – промежуточный аргумент по независимой переменной x.

Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:

Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель, не забываем, что производная константы равна нулю:

Теперь можем найти производную промежуточного аргумента, нужного для вычисления требуемой в условии задачи производной сложной функции y:

Тогда

Пример 5.Найти производную функции

Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:

Здесь возведение синуса в степень – сложная функция, а сам синус – промежуточный аргумент по независимой переменной x. Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, попутно вынося множитель за скобки:

Теперь находим второе слагаемое из образующих производную функции y:

Здесь возведение косинуса в степень – сложная функция f[g(x)], а сам косинус – промежуточный аргумент по независимой переменной x. Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Результат – требуемая производная:

Правила нахождения производных

Пример 1. Найти производную функции y=cos⁴x.
Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x), получим
(cos⁴x)′_{cos x} = 4cos^4-1x = 4cos³x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной хcos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим
y′_x = (cos⁴x)′_{cos x}·(cosx)′_x = 4·cos³x·(-sin x) = -4·cos³x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.

Пример 2. Найти производную функции
.

.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x))^v(x), или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования.

Пример 3. Найти производную функции
.
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию

Учитывая, что , будем иметь

Но , откуда
, откуда
.

Пример 4. Найти производную функции y=x^{e^x}
Решение.
.

Некоторые свойства и практические примеры

Приведем правило для нахождения производной обратной функции.

Пусть дана функция

y=f(x)y=f(x)

y=f(x), в которой переменная x является аргументом. Полагая теперь аргументом переменную y, получим функцию в виде

x=g(y)x=g(y)

x=g(y). 2+2x}

f′(x)=(ln(x2+2x))′=(x2+2x)′⋅x2+2×1=x2+2x2x+2

Пример 3
Найти производную функции
f(x)=sin⁡(ln⁡2x)f(x)= sin {(ln {2x})}
f(x)=sin(ln2x)
Решение
Полагаем
ln⁡2x=vln {2x}=v
ln2x=v
Тогда:
f′(x)=(sin⁡v)v′⋅v′=cos⁡v⋅(ln⁡2x)′=cos⁡(ln⁡2x)⋅(2x)′⋅12x=cos⁡(ln⁡2x)xf'(x)=(sin {v})’_v cdot v’ = cos {v} cdot (ln {2x})’ =cos{(ln {2x})} cdot (2x)’ cdot dfrac {1} {2x} = dfrac {cos(ln{2x})} {x}
f′(x)=(sinv)v′⋅v′=cosv⋅(ln2x)′=cos(ln2x)⋅(2x)′⋅2×1=xcos(ln2x)
Сложные производные
После предварительной артподготовки будут менее страшны примеры, с 3-4-5 вложениями функций. Возможно, следующие два примера покажутся некоторым сложными, но если их понять (кто-то и помучается), то почти всё остальное в дифференциальном исчислении будет казаться детской шуткой.
Пример 2
Найти производную функции
Как уже отмечалось, при нахождении производной сложной функции, прежде всего, необходимо правильно РАЗОБРАТЬСЯ во вложениях. В тех случаях, когда есть сомнения, напоминаю полезный приём: берем подопытное значение «икс», например, и пробуем (мысленно или на черновике) подставить данное значение в «страшное выражение».
1) Сначала нам нужно вычислить выражение , значит, сумма , значит, сумма – самое глубокое вложение.
2) Затем необходимо вычислить логарифм:
3) Далее косинус:
4) Потом косинус возвести в куб:
5) На пятом шагу разность:
6) И, наконец, самая внешняя функция – это квадратный корень:
Формула дифференцирования сложной функции применятся в обратном порядке, от самой внешней функции, до самой внутренней. Решаем:
Вроде без ошибок….
(1) Берем производную от квадратного корня.
(2) Берем производную от разности, используя правило
(3) Производная тройки равна нулю. Во втором слагаемом берем производную от степени (куба).
(4) Берем производную от косинуса.
(5) Берем производную от логарифма.
(6) И, наконец, берем производную от самого глубокого вложения .
Может показаться слишком трудно, но это еще не самый зверский пример. Возьмите, например, сборник Кузнецова и вы оцените всю прелесть и простоту разобранной производной. Я заметил, что похожую штуку любят давать на экзамене, чтобы проверить, понимает студент, как находить производную сложной функции, или не понимает.
Следующий пример для самостоятельного решения.
Пример 3
Найти производную функции
Подсказка: Сначала применяем правила линейности и правило дифференцирования произведения
Полное решение и ответ в конце урока.
Настало время перейти к чему-нибудь более компактному и симпатичному.
Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, а трёх функций. Как найти производную от произведения трёх множителей?
Пример 4
Найти производную функции
Сначала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в произведение двух функций? Например, если бы у нас в произведении было два многочлена, то можно было бы раскрыть скобки. Но в рассматриваемом примере все функции разные: степень, экспонента и логарифм.
В таких случаях необходимо последовательно применить правило дифференцирования произведения два раза
Фокус состоит в том, что за «у» мы обозначим произведение двух функций: , а за «вэ» – логарифм: , а за «вэ» – логарифм: . Почему так можно сделать? А разве – это не произведение двух множителей и правило не работает?! Ничего сложного нет:
Теперь осталось второй раз применить правило к скобке к скобке :
Можно еще поизвращаться и вынести что-нибудь за скобки, но в данном случае ответ лучше оставить именно в таком виде – легче будет проверять.
Готово.
Рассмотренный пример можно решить вторым способом:
Оба способа решения абсолютно равноценны.
Пример 5
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения, в образце он решен первым способом.
Рассмотрим аналогичные примеры с дробями.
Пример 6
Найти производную функции
Здесь можно пойти несколькими путями:

или так:

или так:
Но решение запишется более компактно, если в первую очередь использовать правило дифференцирования частного , приняв за , приняв за весь числитель:
В принципе, пример решён, и если его оставить в таком виде, то это не будет ошибкой. Но при наличии времени всегда желательно проверить на черновике, а нельзя ли ответ упростить? Приведём выражение числителя к общему знаменателю и избавимся от трёхэтажности дроби:
Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку уже не при нахождении производной, а при банальных школьных преобразованиях. С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и просят «довести до ума» производную.
Более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти производную функции
Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим типовой случай, когда для дифференцирования предложен «страшный» логарифм
Пример 8
Найти производную функции
Тут можно пойти длинным путём, используя правило дифференцирования сложной функции:
Но первый же шаг сразу повергает в уныние – предстоит взять неприятную производную от дробной степени , а потом ещё и от дроби , а потом ещё и от дроби .
Поэтому перед тем как брать производную от «навороченного» логарифма, его предварительно упрощают, используя известные школьные свойства:

! Если под рукой есть тетрадь с практикой, перепишите эти формулы прямо туда. Если тетради нет, перерисуйте их на листочек, поскольку оставшиеся примеры урока буду вращаться вокруг этих формул.
Само решение можно оформить примерно так:
Преобразуем функцию:
Находим производную:
Предварительное преобразование самой функции значительно упростило решение. Таким образом, когда для дифференцирования предложен подобный логарифм, то его всегда целесообразно «развалить».
А сейчас пара несложных примеров для самостоятельного решения:
Пример 9
Найти производную функции
Пример 10
Найти производную функции
Все преобразования и ответы в конце урока. — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.
Производная натурального логарифма
Производная от натурального логарифма числа x равняется единице, разделенной на x.
Данная формула получена следующим образом:
Сокращение ln e в данном случае возможно благодаря свойству логарифма:
Производная натурального логарифма сложной функции u = u (x):
Прикладное использование производной
Вычисление производной первого и второго порядка используется во многих прикладных задачах. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
Нахождение экстремумов функции одной переменной осуществляют приравниванием к нулю производной: f'(x)=0. Этот этап является основным для построения графика функции методом дифференциального исчисления.
Значение производной в точке x₀ позволяет находить уравнение касательной к графику функции.
Отношение производных позволяет вычислять пределы по правилу Лопиталя.
В математической статистике плотность распределения f(x) определяют как производную от функции распределения F(x).
При отыскании частного решения линейного дифференциального уравнения требуется вычислять производную в точке.
В методе Ньютона с помощью производной отделяют корни нелинейных уравнений.
Таблица производных
Производная степенной функции:

Производная показательной функции:

Производная экспонециальной функции:

Производная логарифмической функции:

Производные тригонометрических функций:
,
,
,

Производные обратных тригонометрических функций:
,
,
,

Производные гиперболических функций:

Некоторые интересные факты о числе е
С этим числом связаны фамилии таких ученых, как Непер, Отред, Гюйгенс, Бернулли, Лейбниц, Ньютон, Эйлер, и другие. Последний собственно и ввел обозначение е для этого числа, а также нашел первые 18 знаков, используя для расчета открытый им ряд е = 1 + 1/1! + 2/2! + 3/3! …
Число e встречается в самых неожиданных местах. Например, оно входит в уравнение цепной линии, которое описывает провис каната под действием собственного веса, когда его концы закреплены на опорах.
Что такое логарифмическое дифференцирование?
Если функция дана в виде
,
то перед тем, как находить её производную, часто бывает выгодно прологарифмировать эту функцию.
Это прежде всего случаи, когда требуется найти производную произведения или частного функций, а также степенной функции, когда основание и степень – функции.
На основании свойств сложных функций доказано, что производная функции, вид которой приведён выше, может быть найдена по формуле
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Логарифмируем обе части равенства и находим:
Решение. Окончательно находим производную данной функции:
Пример 4. Найти производную функции
.
Решение. Логарифмируем обе части равенства:
Дифференцируем:
Выражаем и находим производную данной функции:
Производная экспоненты
Экспонентой называется показательная функция, в качестве основания которой находится число е. Она обычно отображается в виде F (x) = e^x, где показатель степени x является переменной величиной. Данная функция обладает полной дифференцируемостью во всем диапазоне вещественных чисел. С ростом x она постоянно возрастает и всегда больше нуля. Обратная к ней функция — логарифм.
Известный математик Тейлор сумел разложить эту функцию в ряд, названный его именем e^x = 1 + x/1! + x ²/2! + x ³/3! + … в диапазоне x от — ∞ до + ∞.
Закон, базирующийся на этой функции, называется экспоненциальным. Он описывает:
возрастание сложных банковских процентов;
увеличение популяции животных и населения планеты;
время окоченения трупа и многое другое.
Повторим еще раз замечательное свойство данной зависимости — значение ее производной в любой точке всегда равно значению функции в этой точке, то есть (e^x)’ = e^x .
Приведем производные для наиболее общих случаев экспоненты:
(e^ax)’ = a ∙ e^ax
(e^{f (x)})’ = f'(x) ∙ e^{f (x)}.
Используя данные зависимости, несложно найти производные для других частных видов этой функции.
Источники
https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course17/lesson251/
https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/udivitelnaya-osobennost-proizvodnoj-e-v-stepeni-h
https://MicroExcel.ru/proizvodnye-logarifmov/
https://function-x.ru/proizvodnaya_logarifmicheskoi_funkcii. html
https://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/nayti/logarifmicheskaya/
http://cos-cos.ru/math/254/
https://function-x.ru/derivative2.html
https://math.semestr.ru/math/diff.php
https://studwork.org/spravochnik/matematika/proizvodnye/proizvodnaya-naturalnogo-logarifma
http://www.mathprofi.ru/slozhnye_proizvodnye_logarifmicheskaja_proizvodnaja.html
https://planetcalc.ru/675/?thanks=1
https://planetcalc.ru/675/

SavePearlHarbor

Опубликовано 16.09.2022 автором admin

Разработка софта это не только про код. Разработка софта это во многом про Toolchain(ы). Прежде чем начать исполняться исходники проходят гигантский путь и с каждым годом выходят все более и более массивные системы сборки. Современные технологии разработки софта настолько многостадийные, что понять их не просто.

Toolchain это как длинный конвейер. Есть действия, которые следуют одни за другими. После чего получается результат (артефакты). Большинство IDE(IAR, KEIL, MsVisualStudio и пр.) скрывают весь этот конвейер преобразования файлов. И программисты, которые привыкли торчать в IDE(шках) часто даже не догадываются, что в программировании существует что-то кроме *.h и *.с файликов. В этом плане IDE оказывают своим покупателям медвежью услугу, так как программисты привыкшие работать только в IDE имеют тенденцию становиться очень слабыми разработчиками.

По-настоящему разобраться как варятся артефакты сложно. Как же это сделать?

Надо прибегнуть к народной

Читать далее →

Рубрика: Без рубрики | Добавить комментарий
Опубликовано 16.09.2022 автором admin
Давние читатели “crawl” могут вспомнить, что у меня никогда не хватало терпения для идеи “Искусственный Интеллект просто хочет жить”. Я растоптал её ещё в своём самом первом романе —
“Эксперты-свидетели защиты, включая умный гель онлайн из Ратгерского университета, показали, что в культурах нейронов отсутствуют примитивные структуры среднего мозга, необходимые для того, чтобы испытывать боль и страх или стремиться к самосохранению. Защита же утверждала, что концепция “права” предназначена для защиты отдельных лиц от необоснованных страданий. Поскольку умные гели лишены возможности морального или физического страдания, то у них нет права на защиту, независимо от уровня их самосознания. Защита красноречиво резюмировала это рассуждение во время заключительного выступления: “Сами гели не заботятся о своей жизни и смерти. Почему тогда мы должны?” Приговор ещё находится на стадии обжалования.“
— который должен был служить противовесом для
Читать далее →
Рубрика: Без рубрики | Добавить комментарий
Опубликовано 16. 09.2022 автором admin
Краткое описание проекта
В данном проекте перед нами стояла задача – с помощью чат-бота разгрузить КЦ, а также оперативно и качественно отвечать на вопросы студентов и школьников группы образовательных организаций.
В группе состоят 9 образовательных учреждений, у каждого из которых есть свой сайт с виджетом и бот в Telegram. Конечные каналы общения подключены к омниканальной платформе Helpdeskeddy.
В качестве платформы для low-code создания бота и настройки интеграции с Helpdeskeddy была выбрана чат-бот платформа chatme.ai.
Интеграция с Helpdeskeddy
На платформе chatme.ai нет встроенного коннектора к Helpdeskeddy. Поэтому интеграция к Helpdeskeddy реализована внутри бота через HTTP-запросы, а на стороне Helpdeskeddy настроены правила отправки вебхуков. Интеграционные возможности конструктора платформы позволили быстро реализовать подобную интеграцию и в отсутствие встроенного коннектора.
Создание бота
На старте нам был предоставлен набор интентов и
Читать далее →
Рубрика: Без рубрики | Добавить комментарий
Опубликовано 16. 09.2022 автором admin
Компания Honeywell решила свернуть свой существующий бизнес и операции в России и Беларуси. Для многих нефтегазовых предприятий России это стало неприятным событием. Дело в том, что на опасных производственных объектах для обучения персонала обязаны использоваться компьютерные имитационные тренажеры и да, большинство компьютерных имитационных тренажеров в нефтегазовой промышленности создавалось именно на базе программного обеспечения Honeywell Unisim. Спустя некоторое время начался процесс остановки таких программных и программно-аппаратных комплексов, т.к. необходима актуальная лицензия на Unisim, а продлить ее невозможно.
На рынке РФ, к сожалению, практически отсутствуют компании, ведущие разработку аналогичных тренажеров для нефтегазовых объектов, не используя UniSim. Причина достаточна проста, сейчас на рынке нет
Читать далее →
Рубрика: Без рубрики | Добавить комментарий
Опубликовано 16. 09.2022 автором admin
Продолжаю дорабатывать небольшой скрипт на языке PowerShell для работы в программах-оболочках «Windows PowerShell» версии 5.1 и «PowerShell» версии 7 (я работаю в операционной системе «Windows 10»). Скрипт разбирает заданный файл с кодом на языке HTML с помощью методов библиотеки «HTML Agility Pack» и выводит в консоль HTML-дерево HTML-страницы из файла. При выводе в консоль HTML-дерева внимание пользователя с помощью цвета фокусирую на значениях атрибутов «class» HTML-элементов. Далее выполняю анализ названий БЭМ-сущностей на соответствие методологии БЭМ («Блок, Элемент, Модификатор»). Скрипт может быть полезен при изучении методологии БЭМ, схем именования в БЭМ и так далее.
Про визуализацию HTML-дерева я писал в статье «PowerShell: обход и визуализация HTML-дерева из файла». Про методологию БЭМ и соглашениях по именованию, использующихся в рамках этой методологии, я писал в статье «PowerShell: классическая схема именования в БЭМ и регулярные выражения».
В данной статье
Читать далее →
Рубрика: Без рубрики | Добавить комментарий
Формулы и правила дифференцирования в математике с примерами решения и образцами выполнения
Оглавление:
Формулы дифференцирования
Выгодно иметь такие правила, которые позволяли бы находить производные проще, с минимальной затратой времени. Действительно, такие правила имеются, причем они выводятся из основного правила дифференцирования.
Производная постоянной
Пусть С — постоянная величина; тогда равенство
у = С
можно рассматривать как выражение функции, не меняющей своего значения с изменением аргумента. В справедливости этого можно убедиться, представив это равенство графически, т. е. в виде прямой линии АВ, параллельной оси Ох (рис. 85).
Действительно, с изменением абсциссы точек этой прямой ординаты их остаются постоянными.
Для нахождения производной функции у = С применим основное правило дифференцирования:
т. е. производная постоянной равна нулю.
Не следует производную постоянной смешивать с пределом постоянной, который, как известно, равен самой постоянной.
Производная функции у = х
Применяя основное правило дифференцирования, получим:
т. е. производная функции у = х равна единице, или: производная независимой переменной равна единице.
Производная алгебраической суммы функций
Возьмем функцию
где — функции от х и имеющие производные по х. Если аргументу х дать приращение то и функции и, v и w получат приращения, соответственно равные , и , а потому у также получит приращение . По основному правилу находим:
Слагаемые правой части последнего равенства являются производными функций . Указанное равенство можно переписать:
или
т. e. производная алгебраической суммы конечного числа функций равна алгебраической сумме производных каждой из них.
Производная произведения двух функций
Пусть дана функция
где и и v — функции от х имеющие производные по x. Дадим аргументу х приращение тогда согласно основному правилу будем иметь:
Но и и v не зависят от , а потому их нужно считать постоянными *)
*) Это можно иллюстрировать на рис. 86. Здесь
при ; согласно следствию 1 теоремы IV можем написать:
Приращение же функции и меняется с изменением , поэтому согласно теореме IV имеем:
Таким образом,
Но
Далее, так как и дифференцируема, то она непрерывна, следовательно.
Если то не меняется.
Поэтому
Итак,
т. е. производная произведения двух функций равна сумме произведений первой функции на производную второй и второй функции на производную первой.
Производная произведения постоянной на функцию
Возьмем функцию
где
причем функция и имеет производную по х. Применяя правило (IV), получим:
т. е. производная произведения постоянной на функцию равна произведению постоянной на производную функции.
Производная степени с целым положительным показателем
Возьмем сначала функцию
Представив ее в виде произведения и применяя правило (IV), получим:
Найдем производную новой функции:
Заменив ее произведением и опять применяя то же правило (IV), найдем:
Поступив точно так же с функцией
найдем:
Если продолжать дифференцирование функций и т. д. этим способом, то получим результаты, подчиняющиеся одной и той же формуле:
Таким образом, производная степени , где т— целое положительное число, равна произведению показателя степени на основание х в степени, на единицу меньшей чем данная.
Однако выведенное правило справедливо для любого показателя т, что мы и докажем.
Производная функции . Представив функцию в виде степени с дробным показателем и применяя правило (VI), получим:
Таким образом,
т. е. производная функции равна единице, деленной на удвоенную функцию.
Производная функции .
Заменив на и дифференцируя по правилу (VI), получим:
т. е. производная дроби равна отрицательной дроби, равной единице, деленной на квадрат знаменателя.
Производная частного
Возьмем функцию
где и и v — функции от х, имеющие производные по x, причем при значении х, при котором находится производная. Применим основное правило дифференцирования.
4-й шаг: применяя теоремы V, III, II и следствие 1 теоремы IV , находим:
Здесь, как и при выводе формулы (IV), нужно считать и и v не зависящими от , а .
Итак,
т. е. производная частного равна дроби, знаменатель которой есть квадрат делителя, л числитель есть разность между произведением делителя на производную делимого и произведением делимого на производную делителя.
Применение формул дифференцирования
Рассмотрим несколько примеров на применение выведенных правил.
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
По правилу (III) имеем:
Применяя к первым трем слагаемым правило (V), а к последнему— правило (I), получим:
Согласно правилам (VI) и (II) будем иметь:
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
По правилу (IV) имеем:
По правилу (III):
По правилам (V), (II). (I) и (VI):
Этот пример можно решить иначе: сначала перемножить выражения в скобках, а затем продифференцировать полученную сумму:
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Преобразуем данную функцию следующим образом:
Применяя правила (V) и (VI), будем иметь:
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Представим данную функцию в следующем виде:
Применяя правила (III) и (V), получим:
По правилам (VIII), (VII) и (VI) имеем:
По правилам (VIII), (VII) и (VI) имеем:
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
По правилу (IX) имеем:
Дифференцируя сумму по правилу (III), получим:
Наконец, по правилам (VI), (II), (I) и (V) найдем:
Можно иначе продифференцировать данную функцию, разделив в правой части данного уравнения почленно числитель на знаменатель, получим:
или
отсюда
Функция от функции (сложная функция)
Пусть нам даны две функции:
и
Если в (1) заменить и его выражением из (2), то получим:
Из уравнений (1) и (2) видно, что у есть функция от и, но и в свою очередь функция от х\ таким образом, функция у зависит от функции
Функцию (3) называют функцией от функции или слоэюной функцией.
Всякую сложную функцию можно представить в виде нескольких простых. Разберем примеры.
Пример:
Представить функцию
в виде двух простых.
Решение:
Положим
тогда
Мы получили две функции и и у более простого вида, чем данная.
Пример:
То же для функции
Решение:
Положим
тогда
Производная сложной функции
Возьмем функцию
причем
Пусть функция (2) имеет производную при данном х; тогда при и , Пусть также и функция (1) имеет производную при значении и, соответствующем тому же значению х. Напишем тождество
Применяя к правой части тождества (3) теорему о пределе произведения, получим:
Но, как известно,
Поэтому равенство (4) можно переписать:
Формула (5) служит для дифференцирования сложной функции, составленной из двух простых.
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Представим данную функцию в виде следующих двух:
Найдем сначала (т. е. производную функции у по аргументу и), а затем и (т. е. производную функции и по аргументу х):
Искомая производная будет:
или, заменяя и его значением,
Как видно из формулы (5), производная сложной функции выражается произведением производных простых функций и, конечно, перестановка сомножителей не изменит результата. Однако удобней находить эти сомножители в одной определенно выбранной последовательности, которую полезно запомнить как правило. Так, например, для разобранного случая степенной функции это правило можно высказать следующим образом:
для дифференцирования сложной степенной функции*) нужно взять производную сначала от степени по основанию (принимая основание за аргумент), а потом от выражения, стоящего в основании, по независимой переменной и результаты перемножить.
*) Под сложной степенной функцией будем разуметь степень, основание которой есть функция от х.
Если — сложная степенная функция, то ее производная согласно этому правилу запишется так:
Пусть, например, требуется найти производную функции
Положив
и, применяя правило (6), будем иметь:
В дальнейшем для каждого особого случая будут даваться аналогичные правила, устанавливающие свою последовательность дифференцирования.
Разберем еще пример. Пусть требуется найти производную функции
Разбив ее на две простые функции, получим:
отсюда
Следовательно,
И здесь можно установить последовательность в нахождении производной, которая выразится следующим правилом: для дифференцирования сложной функции нужно сначала взять производную от этой функции по подкоренному выражению и (считая и аргументом), а потом от подкоренного выражения по независимой переменной и результаты перемножить; таким образом, считая и функцией от x получаем:
Так, например, производная функции
но вышеуказанному правилу найдется так:
Если дан корень другой степени, то его нужно предварительно преобразовать в степень с дробным показателем и применить правило для дифференцирования сложной степенной функции. Например,
Производные тригонометрических функций
По общему правилу дифференцирования находим:
1-й шаг:
2-й шаг:
Преобразуя разность синусов, будем иметь:
3-й шаг:

После деления числителя и знаменателя дроби на 2 получим:
4-й шаг:
Но
поэтому
Следовательно
2.
По формуле приведения можно написать:
отсюда
Для дифференцирования сложной функции представим ее в виде двух простых:
Согласно формуле (5) имеем:
Следовательно,
3.
Заменив tg x отношением и применяя правило дифференцирования частного, получим:
Итак, имеем:
4.
Как и в случае 3, имеем:
Таким образом,
В п. 2 настоящей лекции мы дифференцировали сложную функцию , пользуясь формулой (5) .
Однако эту операцию можно произвести и по следующему правилу:
для дифференцирования сложной тригонометрической функции *) нужно сначала взять производную от тригонометрической функции по выражению, стоящему под ее знаком (принимая его за аргумент), а потом от этого выражения по независимой переменной и результаты перемножить;
*) Под сложной тригонометрической функцией будем понимать тригонометрическую функцию сложного аргумента.
поэтому, считая и функцией от х, получаем:
Пользуясь правилом (1), процесс дифференцирования функции sin можно записать таким образом:
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Согласно правилу (2) настоящей лекции найдем:
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Переписав функцию в виде найдем по правилу (6)
Но сложная тригонометрическая функция, а потому согласно правилу (1) настоящей лекции имеем:
Следовательно,
Процесс дифференцирования данной функции можно записать следующим образом:
Производная логарифмической функции
Пусть дана функция
Для ее дифференцирования применим общее правило.
или
Положим
отсюда
Подставив значения и в равенство (1), получим:
или, после потенцирования
Из равенства (2) следует, что, если
4-й шаг. Принимая во внимание условие (3), напишем:
Множитель не зависит от n поэтому его можно считать постоянным при ; следовательно,
В подробных курсах анализа доказывается теорема: предел логарифма переменной величины равен логарифму предела этой же переменной величины; поэтому
Но, согласно,
Равенство (4) будет иметь вид
Следовательно,
т. е. производная натурального логарифма равна единице, деленной на аргумент.
Если дан десятичный логарифм, то его нужно предварительно выразить через натуральный. Мы знаем, что
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:
или
т. е. производная десятинного логарифма равна произведению производной натурального логарифма на постоянный множитель 0,4343.
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Данная функция сложная; положим
тогда
Отсюда согласно формуле (5) имеем:
Производную сложной логарифмической функции *) можно найти и по следующему правилу:
для дифференцирования сложной логарифмической функции нужно сначала взять производную от логарифма по выражению, стоящему под знаком логарифма (принимая его за аргумент), а потом от выражения, стоящего под знаком логарифма, по независимой переменной и результаты перемножить;
*) То-есть логарифмической функции сложного аргумента.
поэтому, считая и функцией х получаем:
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Согласно правилу (5) найдем:
Но cos ( 1—х) — сложная тригонометрическая функция; применяя к ней правило (2) , получим:
или
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Преобразуем сначала данную функцию, применив правила логарифмирования корня и дроби:
Продифференцировав полученную функцию [ln х по правилу (XIV), а ln (1 + x) по правилу (5)], найдем:
Производная степени при любом показателе
Мы вывели формулу
для m целого положительного. Докажем теперь справедливость этой формулы для любого показателя. Положим, что в равенстве
m имеет любое постоянное значение; логарифмируя это равенство по основанию е, получим:
Приняв во внимание, что ln у — сложная функция ( ln у зависит от у, а у зависит от x), дифференцируем обе части равенства (1) по х:
отсюда
Следовательно,
Производная показательной функции
Дана показательная функция
Прологарифмировав равенство (1) по основанию е, получим:
Дифференцируем это равенство по х, считая )ln у сложной функцией:
отсюда
Следовательно,
т. е. производная показательной функции равна произведению самой функции на натуральный логарифм основания.
Если дана показательная функция
где е — основание натурального логарифма, то производная ее найдется по формуле (XVI):
или
т. е. производная показательной функции равна самой функции.
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Заменив данную сложную функцию двумя простыми, получим:
Согласно формуле (5) имеем:
Данную функцию можно дифференцировать и по следующему правилу:
для дифференцирования сложной показательной функции *) нужно сначала взять производную от показательной функции по выражению, стоящему в показателе (считая его аргументом), а потом от выражения, стоящего в показателе, по независимой переменной и результаты перемножить;
*) То-есть показательной функции сложного аргумента.
поэтому, считая и функцией от х, получаем:
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
По правилу (3) настоящей лекции
Но согласно правилу (3)
Следовательно,
Производные обратных тригонометрических функций
1.
В силу определения арксинуса получаем:
Здесь sin у представляет сложную функцию (sin y зависит от у, а у зависит от х; дифференцируя обе части этого равенства по х, напишем):
или
откуда
Приняв во внимание, что
*) Здесь радикал берется с плюсом, так как значения arcsin х заключены между и , а в этом промежутке cos у имеет положительные значения.
а также равенство (1), получим:
или
2.
Согласно определению арккосинуса имеем:
Дифференцируя обе части этого равенства по x, считая cos у сложной функцией, найдем:
или
отсюда
Но
**) И здесь радикал берется с плюсом, так как значения arccos х заключены между 0 и ; в этом же промежутке sin у имеет положительные значения.
поэтому
или

*) Здесь радикал берется с плюсом, так как значения arcsin х
К . TZ
заключены между — у и +у,ав этом промежутке cos у имеет
положительные значения.
**) И здесь радикал берется с плюсом, так как значения arccos х заключены между 0 и я; в этом же промежутке sin у имеет положительные значения.
3.
Согласно определению арктангенса имеем:
Дифференцируя обе части этого равенства по х, как и в предыдущих случаях, получим:
или
отсюда
Но
Приняв во внимание равенство (2), получим:
Следовательно,
4.
Для данной функции имеем:
После дифференцирования этого равенства получим:
или
отсюда
Но
Следовательно,
т. е.
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Заменим данную сложную функцию двумя простыми:
Согласно формуле (5) имеем:
Для дифференцирования этой функции можно воспользоваться и следующим правилом:
для дифференцирования сложной обратной тригонометрической функции*) нужно сначала взять производную от обратной тригонометрической функции по выражению, стоящему под ее знаком (принимая его за аргумент), а потом от этого же выражения по независимой переменной и результаты перемножить;
*) То-есть обратной тригонометрической функции сложного аргумента.
таким образом, считая и функцией от х, получаем:
Пример:
Продифференцировать функцию .
Решение:
Данная функция — обратная тригонометрическая и притом сложная; применяя вышеуказанное правило для производной аrсsin u, найдем:
Но тоже сложная функция; согласно правилу (7) имеем:
Следовательно,
Производная неявной функции
Пусть неявная функция у задана уравнением
Найдем производную у’, полагая, что она существует. Для этого дифференцируем обе части уравнения (1), применяя правило для производной алгебраической суммы, получим:
Так как ху — произведение переменных величин, то:
Таким образом, равенство (2) примет вид
или
Решая последнее уравнение относительно у’, найдем
Для дифференцирования данной функции можно было бы сначала выразить у через х, а потом уже найти производную от явной функции. В самом деле, из уравнения (1) имеем:
откуда
По внешнему виду этот результат отличается от найденного ранее, но если мы в равенстве (3) подставим значение у, то получим:
Таким образом, результаты дифференцирования в обоих случаях оказались одинаковыми. Однако переход от неявной к явной функции можно делать только в простейших случаях. Встречаются неявные функции, которые обратить в явные очень трудно и даже невозможно. Например, функцию у, заданную уравнением
ху + х = sin у, явно выразить нельзя. Поэтому приходится дифференцировать такие функции как неявные.
Разберем другой пример. Пусть требуется найти производную неявной функции у, заданной уравнением
Применяя правило дифференцирования алгебраической суммы, имеем:
Но сложная функция ( зависит от у, а у зависит от х). По правилу дифференцирования сложной степенной функции имеем:
Следовательно, равенство (4) примет вид
или
откуда
Производная второго порядка
Пусть функция у = f(x) имеет производную у’ = f'(x). Производная от f'(x) по x , если она существует, называется второй производной или производной второго порядка.
Вторую производную функции у = f(x) принято обозначать так:
Пример:
Найти вторую производную функции
Решение:
Механический смысл второй производной
Пусть тело движется прямолинейно по закону
Мы установили, что скорость v движения тела в данный момент t определяется как производная пути по времени, т. е.
Если тело движется неравномерно, то скорость v с течением времени изменяется и за промежуток времени ät получает приращение . В этом случае величина отношения показывающая изменение скорости в единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t + .
Положим, что , тогда среднее ускорение
стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент времени t. Обозначив это ускорение через j, будем иметь:
Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.
Пример:
Точка движется прямолинейно по закону
Найти скорость и ускорение точки в момент t = 5.
Решение:
Для определения скорости нужно найти первую производную данной функции при t = 5. Таким образом:
и
Ускорение j равно второй производной функции при t = 5, т. е.
Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения t, значит, движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением.
Дополнение к формулам дифференцирования
Смотрите также:
Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.
Решение заданий и задач по предметам:
Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат
Производная частного двух функций (производная дроби).

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника
⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 89Следующая ⇒
Помощь в ✍️ написании работы
Имя
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно — исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое
Нажимая кнопку «Продолжить», я принимаю политику конфиденциальности
Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X.

По определению производной

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1. Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

В заключении, давайте соберем все правила в одном примере.

Пример.

Найти производную функции , где a – положительное действительное число.

Решение.

А теперь по порядку.

Первое слагаемое .

Второе слагаемое

Третье слагаемое

Собираем все вместе:

4.Вопрос.Производные Основных элементарных функций.

Задание. Найти производную функции

Решение. Используем правила дифференцирования и таблицу производных:

Ответ.

5.Вопрос.Производная сложной функции примеры

Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Пусть 1) функция u=φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную u′x=φ′(x0), 2) функция y=f(u) имеет в соответствующей точке u0=φ(x0) производную y′u=f′(u). Тогда сложная функция y=f(φ(x)) в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций f(u) и φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

или, в более короткой записи: y′x=y′u⋅u′x.

В примерах этого раздела все функции имеют вид y=f(x) (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной x). Соответственно, во всех примерах производная y′ берётся по переменной x. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной x, часто вместо y′ пишут y′x.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

Пример №1

Найти производную функции y=ecosx.

Решение

Нам нужно найти производную сложной функции y′. Так как y=ecosx, то y′=(ecosx)′. Чтобы найти производную (ecosx)′ используем формулу №6 из таблицы производных. Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае u=cosx. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения cosx вместо u:

Итак,

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1. 1)

Теперь нужно найти значение выражения (cosx)′. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя u=x в формулу №10, имеем: (cosx)′=−sinx⋅x′. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Так как x′=1, то продолжим равенство (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Итак, из равенства (1.3) имеем: y′=−sinx⋅ecosx. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

Ответ: y′=−sinx⋅ecosx.

Пример №2

Найти производную функции y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

Решение

Нам необходимо вычислить производную y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Для начала отметим, что константу (т. е. число 9) можно вынести за знак производной:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Теперь обратимся к выражению (arctg12(4⋅lnx))′. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. В эту формулу подставим u=arctg(4⋅lnx) и α=12:

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2.2)

Примечание: показать\скрыть

Теперь нужно найти (arctg(4⋅lnx))′. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё u=4⋅lnx:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Немного упростим полученное выражение, учитывая (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Равенство (2. 2) теперь станет таким:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2.3)

Осталось найти (4⋅lnx)′. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Для того, чтобы найти (lnx)′ используем формулу №8, подставив в нее u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Так как x′=1, то (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅1x=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

Ответ: y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Пример №3

Найти y′ функции y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Решение

Для начала немного преобразим функцию y, выразив радикал (корень) в виде степени: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Теперь приступим к нахождению производной. Так как y=(sin(5⋅9x))37, то:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)

Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё u=sin(5⋅9x) и α=37:

((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′

Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)

Теперь нужно найти (sin(5⋅9x))′. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё u=5⋅9x:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)

Осталось найти (5⋅9x)′. Для начала вынесем константу (число 5) за знак производной, т. е. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Для нахождения производной (9x)′ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё a=9 и u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Так как x′=1, то (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Теперь можно продолжить равенство (3.3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав (sin(5⋅9x))−47 в виде 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Тогда производная будет записана в такой форме:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Ответ: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Пример №4

Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.

Решение

В формуле №2 таблицы производных записана производная функции uα. Подставляя α=−1 в формулу №2, получим:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Так как u−1=1u и u−2=1u2, то равенство (4.1) можно переписать так: (1u)′=−1u2⋅u′. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё α=12:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Так как u12=u−−√ и u−12=1u12=1u−−√, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Полученное равенство (u−−√)′=12u−−√⋅u′ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения α.

Пример №5

Найти y′, если y=arcsin2x.

Решение

Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.

Ответ: y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Пример №6

Найти y′, если y=7⋅lnsin3x.

Решение

Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.

Ответ: y′=21⋅ctgx.

Пример №7

Найти y′, если y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Решение

6 Вопрос. Производная обратной функции примеры.

Производная обратной функции

Формула

Известно свойство степеней, что

тогда

Используя производную степенной функции:

будем иметь:

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Имя
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно — исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое
Нажимая кнопку «Продолжить», я принимаю политику конфиденциальности
⇐ Предыдущая12345678910111213141516Следующая ⇒
Поиск по сайту:
2 \ = \ 8 \ $ описывает «наклонный» эллипс (см. 2 \ \ = \ \ 8 \ \ \Rightarrow \ \ \frac{ 5·92 \ \ = \ \ \frac{72}{80} \ \ = \ \ \frac{9}{10} $$ $$ \Rightarrow \ \ x \ \ = \ \ \pm\frac{3}{\ sqrt{10}} \ \ = \ \ \pm\frac{3\sqrt{10}}{10} \ \ , \ \ y \ \ = \ \ -\frac{10}{6}· \left(\ pm \ frac {3 \ sqrt {10}} {10} \ right) \ \ = \ \ \ mp \ frac {\ sqrt {10}} {2} \ \ . $$

Заметим, что $ \ (10x \ + \ 6y) \ + \ (6x \ + \ 10y)·\frac{dy}{dx} \ = \ 0 \ \ $ можно рассматривать как линейное уравнение с $ \ \frac{dy}{dx} \ $ как «неизвестное». Итак, если вам даны координаты точки на эллипсе, вы можете вставить их в уравнение и найти $\\frac{dy}{dx}\$ напрямую. (На самом деле вам нужно написать выражение $ \ \frac{-10x-6y}{6x+10y} \ $, только если домашнее задание или экзаменационная задача требуют этого.) Если вам 9 лет0007, учитывая наклон касательной линии и запрашивая точки, в которых происходит этот наклон, вы можете вставить это значение для $ \ \frac{dy}{dx} \ $ в то же уравнение, чтобы получить уравнение для линии, которая пересекает эллипс в этих точках. 2 \ \ = \ \ \frac{40}{16 } \ \ = \ \ \frac{10}{4} $$ $$ \Rightarrow \ \ x \ \ = \ \ \pm\frac{\sqrt{10}}{2} \ \ , \ \ y \ \ = \ \ -\frac{6}{10}· \left(\pm\frac{\sqrt{10}}{2} \right) \ \ = \ \ \mp\frac{3\sqrt{10}} {10} \ \ . $$

[Обратите внимание, что точки касания по горизонтали и вертикали расположены симметрично относительно линии $ \ y \ = \ -x \ \ ; \ $ это потому, что большая ось эллипса лежит на этой линии.

Также, как и следовало ожидать, соотношения $ \ \frac{dy}{dx} \ = \ -\frac{10x+6y}{6x+10y} \ \ $ и $ \ \frac{dx}{dy } \ = \ -\frac{6x+10y}{10x+6y} \ \ $ обратны друг другу.

Чтобы вернуться к предыдущей точке, вертикальные точки касания «делят» эллипс на две части, которые являются кривыми неявной функции $ \ x \ \ . $ Мы можем получить их, применив квадратичную формулу к уравнению эллипса: 92} \ \ . $

Дробное дифференцирование – обзор

ScienceDirect

РегистрацияВход

Подробно обсуждается концепция дробного дифференцирования и интегрирования, предложенная Капуто и Фабрицио.

Из: Дробные операторы с постоянным и переменным порядком с приложением к геогидрологии, 2018 г.

PlusAdd to Mendeley

Абдон Атангана, Седа Игрет Араз, в новой числовой схеме с многочленом Ньютона, 2021 г.

Abstract

Дробное дифференцирование и интегрирование с обобщенным ядром Миттаг-Леффлера были предложены в 2016 году и привлекли внимание многих исследователей из всех научных областей. Было признано, что эти дифференциальные и интегральные операторы обладают многими свойствами, наблюдаемыми в задачах реального мира, например, перекрестным поведением. Обыкновенные дифференциальные уравнения с этими производными очень сложны для аналитического решения, поэтому численные схемы являются адекватными инструментами для решения этих уравнений. Были предложены некоторые числовые схемы с некоторыми преимуществами и недостатками. В этой главе мы используем двухшаговый многочлен Ньютона для получения численной схемы, которая будет использоваться также для решения дифференциальных и интегральных уравнений с дробными производными Атанганы-Балеану.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780323854481000135

Abdon Atangana, в приложении к операторам Geo с постоянными и дробными порядками -Гидрология, 2018

Реферат

В этой главе представлены различные виды дробного дифференцирования и интегрирования. Он начинается с краткого генезиса концепции дробного исчисления, затем представляет концепцию дробного дифференцирования со степенным ядром, известным как производные Римана-Лиувилля и Капуто с дробным порядком, и их свойства. Таким образом, понятие локальной производной дробного порядка представлено с его различными свойствами. Подробно обсуждается концепция дробного дифференцирования и интегрирования, введенная Капуто и Фабрицио. Дробные дифференциальные операторы с ядром Миттаг-Леффлера, введенные Атанганой и Балеану, анализируются вместе с их соответствующими свойствами. Наконец, представлены физическая интерпретация, ограничения и преимущества концепции дробного дифференцирования и интегрирования.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128096703000059

Abdon Atangana, в приложении к операторам Geo с постоянными и дробными порядками -Hydrology, 2018

8.4 Ограничение дробной производной для модели загрязнения подземных вод

Хотя концепции дробной дифференциации и интегрирования кажутся лучшими математическими инструментами для описания движения потока подземных вод внутри геологической формации, называемой водоносным горизонтом, обратите внимание, что эта концепция имеет свои ограничения. Сообщим, что полевые и численные эксперименты по транспорту растворенных веществ через неоднородные пористые и трещинные водоносные горизонты показывают, что движение шлейфов загрязняющих веществ может не иметь постоянного масштабирования; тем не менее, вместо этого переходные диффузионные состояния, то есть, демонстрируют сложную диффузию, такую как супердиффузия, субдиффузия и фиковская диффузия, которые происходят в нескольких транспортных масштабах. Поэтому эти переходы, вероятно, связаны с физическими свойствами геологических образований, например с изменчивостью неоднородности среды. В геологической формации, через которую происходит движение или перенос растворенного вещества, многие возможные механизмы могут быть причиной возникновения, а точнее, перехода между состояниями диффузии. Начнем с так называемой нормальной диффузии, обычно происходящей в определенных пространственно-временных масштабах, которая может переходить или, возможно, переходить из любой другой нефиковской диффузии, связанной со свойствами геологических формаций и трассеров. Дробное броуновское движение предполагается для частиц-примесей в однородных геологических формациях по шкале Дарси или также на больших расстояниях, намного превышающих максимальный масштаб корреляции неоднородности в стационарной геологической формации, что обусловлено теорией центрального предела. Ограничение здесь состоит в том, что для нестационарной геологической формации, тем не менее, приблизительный Фикиан может быть не получен, поскольку характеристики периода ожидания частиц изменяются с масштабом перемещения, как это было изучено в [188, 189]. ] и такая динамическая система называется аномальной диффузией. Другая проблема заключается в супердиффузии, которую можно рассматривать как зависящую от пространства, когда скорость масштабирования может влиять на свойства местного водоносного горизонта, при этом наиболее обычным условием для быстрого переноса является предпочтительный путь потока, к которому может получить доступ загрязняющее вещество. В этом случае можно было бы ожидать, что скорость масштабирования или сила смещения будут либо увеличиваться, то есть, когда поток становится более специфичным на пути растворенного вещества, загрязняющих частиц, либо также уменьшаться, когда низкопроницаемые отложения окружают и разделяют поток, в зависимости, конечно на положение плюма в основной породе и геометрию водоносного горизонта. Последней проблемой является так называемая субдиффузия из-за массообмена, происходящего между зонами или слоями осадконакопления с высокой и низкой проницаемостью, который может зависеть как от времени, так и от пространства. Многие из этих моделей могут описать аналогичный переход от нефиковской к фиковской из-за захвата растворенной частицы загрязняющего вещества в зонах с низкой скоростью. Заметим, что сверхдиффузия, вызванная быстрым движением, и субдиффузия, вызванная массообменом, могли бы происходить одновременно, если бы сосуществовали предпочтительные пути течения и зоны застоя. В этом случае физическая математическая модель должна быть способна точно воспроизвести характеристику не только для каждой супердиффузии или субдиффузии, но и для того и другого, что может быть очень сложно обрабатывать с дробными производными постоянного порядка.

Просмотреть книгу Глава покупки

Читать полная глава

URL: https://www.sciendirect.com/science/article/pii/b9780128096703000084

в математике в науке и инженерном. Линейность

Подобно дифференцированию целого порядка, дробное дифференцирование является линейной операцией:

(2. 176)Dp(λf(t)+µg(t))=λDpf(t)+µDpg(t),

где D ^p обозначает любую мутацию дробного дифференцирования, рассматриваемую в этой книге.

Линейность дробного дифференцирования непосредственно следует из соответствующего определения. Например, для дробных производных Грюнвальда–Летникова, определяемых формулой (2.43), имеем:

0Dtp(λf(t)+μg(t))=lim h→0nh=t−ah−p∑r=0n(−1)r(pr)(λf(t−rh)+μg(t−rh )) = ΛLim H → 0NH = T -AH -P∑R = 0N (−1) r (pr) f (t -rh)+мклм H → 0nh = t -a -p∑r = 0n (−1) r (pr) g (t -rh) = λAdtpf (t)+µAdtpg (t).

Аналогично, для дробных производных Римана–Лиувилля 9-го порядка0007 p ( k −1 ≤ p < k ), определяемое формулой (2.103), имеем

0Dtp(λf(t)+µg(t))=1Γ(k−p)dkdtk∫at(t−τ)k−p−1(λf(τ)+µg(τ))dτ=λΓ(k −p)dkdtk∫at(t−τ)k−p−1f(τ)dτ+µΓ(k−p)dkdtk∫at(t−τ)k−p−1g(τ)dτ=λaDtpf(t)+ μaDtpg(t).

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www. sciencedirect.com/science/article/pii/S00765300216

-Гидрология, 2018

7.5.2 Единственность решения

Однако нам нужно показать, что решение единственно. Пусть h и h2 — два возможных решения нашей начальной краевой задачи. Затем, используя уравнение (7.66) будем иметь

(7.68)h(r,t)−h′(r,t)=2(1−α)(2−α)M(α)[K(r,t,h )−K(k,t,h′)]+2α(2−α)M(α)∫0t[K(k,t,h)−K(k,t,h′)]ds.

Применяя норму к обеим сторонам, имеем

‖h(r,t)−h′(r,t)‖=‖2(1−α)(2−α)M(α)[K(r ,t,h)−K(r,t,h′)]+2α(2−α)M(α)∫0t[K(r,t,h)−K(r,t,h′)]ds ‖⩽2(1−α)(2−α)M(α)‖K(r,t,h)−K(r,t,h′)‖+2α(2−α)M(α)∫0t ‖K(r,t,h)−K(r,t,h′)‖dс использованием условия Липшица оператора kernelundefinedK⩽2(1−α)L(2−α)M(α)‖h−h′ ‖+2αL(2−α)M(α)∫0t‖h−h′‖ds

Тогда имеем

(7.69)‖h(r,t)−h′(r,t)‖⩽(2(1−α)L(2−α)M(α)+2αL(2−α )M(α))‖h(r,t)−h′(r,t)‖.

Отсюда следует, что ′(r,t)‖⩽0.

Если предположить, что

(1−2(1−α)L(2−α)M(α)+2αL(2−α)M(α))≠0,

, то

‖h(r ,t)−h′(r,t)‖=0.

Отсюда следует, что

h(r,t)=h′(r,t).

Делаем вывод, что решение единственное.

Здесь мы представляем численное решение уравнения. (7.62). Для этого представление первого приближения локальной производной и производных Капуто–Фабрицио показано вместе со вторым приближением.

(7.71)∂S∂x=12[(si+1n+1−si−1n+1)−(si+1n−si−1n)2(Δx)]

(7.72)∫0t∂s∂ zexp⁡(−α1−α(t−z))dz=12∑k=0n(sik+1−sik)di,n,k1

(7.73)di,n,k1=exp⁡(−kα1−α (n−j+1))−exp⁡(−kα1−α(n−j)).

Кроме того,

(7,74)∫0t∂s∂zexp⁡(−α1−α(t−z))dz=12∑k=0n(sik+1−sik)di,n,k2

(7,75 )di,n,k2=exp⁡(−kD(n−j+1))−exp⁡(−kD(n−j)).

Тогда со вторым приближением для локальной производной имеем следующее si−1n)2(∆x)2.

Таким образом, составляя уравнения. (7.76), (7.74), (7.72) и (7.71) в уравнение. (7.62) дает:

(7.77)T((si+1n+1−2sin+1+si−1n+1)+(si+1n−2sin+si−1n)2(∆x)2+1ri(12 [(si+1n+1−si−1n+1)−(si+1n−si−1n)2(∆x)]))=S(12∑k=0n(sik+1−sik)di,n, k1)+DSy(12∑k=0n(sik+1−sik)di,n,k2)

Переставляя, получаем следующее:

(7. 78)(−T(∆x)2−Sdi,n,n12 −DSydi,n,n22)sin+1

(7,79)=(T(∆x)2−Sdi,n,n12−DSydi,n,n22)sin−−1ri(12[(si+1n+1−si −1n+1)−(si+1n−si−1n)2(∆x)])+S(12∑k=0n(βik)di,n,k1)+DSy(12∑k=0n−1(βik )di,n,k2)βik=sik+1−sik.

Приведенную выше рекурсивную формулу можно использовать для численного решения уравнения подземных вод для безнапорного водоносного горизонта с дробной производной Капуто–Фабрицио.

Подземные воды, протекающие в безнапорном водоносном горизонте с дробной производной Атангана-Балеану

В этом разделе поток подземных вод в безнапорном водоносном горизонте рассматривается с использованием вновь установленной дробной дифференциации, основанной на нелокальном и несингулярном ядре. Эта модификация мотивирована тем, что не все природные явления могут быть смоделированы с использованием концепции степенного закона, которая является основным предположением при использовании Капуто и производной Римана–Лиувилля с дробным порядком. Поэтому в этом разделе ядро, основанное на степени x−α, будет заменено обобщенной функцией Миттаг–Леффлера. Важно отметить, что данные, полученные в непосредственной близости от скважины, из которой осуществляется отбор воды для оценки параметров водоносного горизонта, более надежны, чем данные, полученные вдали от скважины. Однако модель, основанная на Капуто и Римане-Лиувилле, имеет сингулярное ядро в начале координат, поэтому она может быть не в состоянии точно воспроизвести наблюдаемые факты. С другой стороны, производная Атанганы-Балеану с дробным порядком имеет в качестве ядра функцию Миттаг-Леффлера, которая имеет хорошее представление в окрестности начала координат, поэтому она может дать четкую и точную информацию о наблюдаемых фактах в окрестности скважины. Здесь пересмотренное уравнение потока подземных вод в пределах безнапорного водоносного горизонта может быть представлено следующим образом:

(7.80)T(∂2s∂r2+∂sr∂r)=S(Dtα0ABC(s))+DSy∫0t∂s∂zexp⁡(−D(t−z))dz,

, где производная по времени заменяется производной Атанганы-Балеану в смысле Капуто. Анализ будет состоять из представления сначала о существовании единственного решения с использованием некоторой теоремы о неподвижной точке, а затем с последующим выводом приближенного решения с использованием некоторого рекурсивного метода. Начнем с существования единственного решения. Отметим, что уравнение (7.80) эквивалентно

(7.81)αAB(α)Γ(α)∫0t(t−y)1−α(T(∂2s∂r2+∂sr∂r)−DSy∫0t∂s∂zexp⁡ (−D(t−z))dz)dy

(7.82)+1−αAB(α)(T(∂2s∂r2∂sr∂r)−DSy∫0t∂s∂zexp⁡(−D(t−z))dz)=Ss(r,t )−Ss(r,0).

Для простоты рассмотрим следующее отображение ))дз.

Просмотр книги Глава Чита

Читать полная глава

URL: https://www.sciendirect.com/science/article/pii/b9780128096703000072

в математике в науке и инженерном. коэффициенты

Для реализации метода дробных разностей вычисления дробных производных необходимо вычислить коэффициенты

(7.22)wk(α)=(−1)k(αk),undefinedk=0,1,2,….

, где α — порядок дробного дифференцирования.

Одним из возможных подходов является использование рекуррентных соотношений

(7.23)w0(α)=1;undefinedwk(α)=(1−α+1k)wk−1(α),undefinedk=1,2,3,…

Этот подход подходит для фиксированного значения α. Это позволяет создать массив коэффициентов, которые можно использовать для дробного дифференцирования различных функций и других подобных повторяющихся операций.

Однако в некоторых задачах (например, при идентификации системы) необходимо найти наиболее подходящее значение α; это означает, что рассматриваются различные значения α, и для каждого конкретного значения α коэффициенты wk(α) необходимо вычислять отдельно. В таком случае рекуррентные соотношения (7.23) не очень подходят. Вместо этого можно использовать метод быстрого преобразования Фурье [105].

Коэффициенты wk(α) можно рассматривать как коэффициенты степенного ряда для функции (1 − z ) ^α :

(7.24)(1−z)α=∑k=0∞(−1)k(αk)zk=∑k=0∞wk(α)zk.

Замена z=e−iφ имеем

(7.25)(1−e−iφ)α=∑k=0∞wk(α)e−ikφ,

и коэффициенты wk(α) выражаются через преобразование Фурье:

(7.26)wk(α)=12πi∫02πfα(φ)eikφdφ, undefinedfα(φ)=(1−e−iφ)α.

Технически коэффициенты wk(α) можно вычислить с помощью любой реализации быстрого преобразования Фурье. Так как в этом случае мы всегда получаем лишь конечное число коэффициентов wk(α) метод быстрого преобразования Фурье всегда следует сочетать с принципом «короткой памяти» (см. раздел 7.3).

Просмотр книги Глава Чита

Читать полная глава

URL: https://www.sciencerect.com/science/article/pii/s00765300265

в математике в науке и технике, 1999 3 9 3

. Теорема единственности как метод решения

В некоторых случаях. Теорему 3.4 можно использовать непосредственно как метод решения дифференциальных уравнений дробного порядка. Мы проиллюстрируем это ниже на двух примерах.

Пример 3.1

Рассмотрим начальную задачу в терминах последовательных дробных производных (обозначения те же, что и в теореме 3.4):

(3.33)0Dtσny(t)=λy(t)

(3.34)[0Dtσk−1y(t)]t=0=bk, k=1,….,n.

В этом случае мы имеем f ( t, y ) = λ y . В соответствии с доказательством теоремы 3.4 возьмем

(3.35)y0(t)=∑i=1nbitσi−1Γ(σi),

(3.36)ym(t)=y0(t)+λΓ(σi)∫0t(t−τ)σn−1ym− 1 (τ) dτ = y0 (t)+λ0dt — σnym — 1 (t), m = 1,2,3,….

Используя (3.35) и (3.36) и применяя формулу дробного дифференцирования степенной функции (2.117), получаем:

y1(t)=y0(t)+λ 0Dt−σn{∑i=1nbitσi−1Γ(σi)}=y0(t)+λ∑i=1nbitσn+σi−1Γ(σn+σi),y2( t)=y0(t)+λ 0Dt−σny1(t)=y0(t)+λ 0Dt−σn{y0(t)+λ∑i=1nbitσn+σi−1Γ(σn+σi)}=y0(t )+λ∑i=1nbitσn+σi−1Γ(σn+σi)+λ2∑i=1nbit2σn+σi−1Γ(2σn+σi)=∑i=1nbi∑k=02λktkσn+σi−1Γ(kσn+σi),

и по индукции можно показать, что

(3.37)ym(t)=∑i=1nbi∑k=0mλktkσn+σi−1Γ(kσn+σi), m=1,2,3,….

Принимая предел (3.37) в виде м → ∞, получаем решение задачи (3.33) (3.34):

(3.38)y(t)=∑i=1nbi∑k=0∞λktkσn+σi−1Γ(kσn+σi)=∑i=1nbitσi−1Eσn,σi(λtσn),

, где E _{α ,β} ( z ) — функция Миттаг-Леффлера (см. раздел 1.2). В данном конкретном примере решение (3.38) также может быть получено методом преобразования Лапласа.

Если n = 1 и α ₁ = 1, то начальная задача (3.33)–(3.34) принимает вид

(3.39)y′(t)=λy(t), y(0)=b1,

и с учетом соотношения (1.57) формула (3.38) дает классическое решение задачи ( 3.39):

y(t)=b1E1,1(λt)=eλt.

Пример 3.2

[4] Рассмотрим следующую начальную задачу в терминах дробных производных Римана–Лиувилля:

(3.40)0Dtαy(t)=tαy(t), [0Dtα−1y(t)]t=0=b,

где 0 < α < 1.

В данном случае f ( т, у ) = т ^α у . В соответствии с доказательством теоремы 3.4 возьмем

(3.41)y0(t)=btα−1Γ(α),

(3.42)ym(t)=btα−1Γ(α)+1Γ(α)∫0t(t−τ)α−1ταym−1 (τ)dτm=1,2,3….

Используя (3.35) и (3.36) и применяя формулу дробного дифференцирования степенной функции (2. 117), по индукции можно показать, что

ym(t)=btα−1Γ(α)+b∑k=1mΓ(2α)Γ(4α)….Γ(2kα)Γ(α)Γ(3α)….Γ(2kα+α)tα( 2k+1)−1,m=1,2,3….

и принятие предела м → ∞ дает решение:

(3.43)y(t)=btα−1Γ(α)+b∑k=1∞Πj=1kΓ(2jα)Πj=1kΓ(2jα+α)tα(2k+1)−1.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S00765300228

-Гидрология, 2018

12.2 Моделирование с помощью переменных Капуто Порядок

Доказано, что концепция переменного порядка с дифференциацией является очень мощным математическим инструментом для моделирования анонимных диффузионных процессов благодаря их способности включать в математическую модель эффект неоднородности геологической формации, по которой перемещается загрязнение. Для очень сложной системы было показано, что использование концепции дробного дифференцирования с постоянным дробным порядком нельзя применять только при однородной неоднородности. Следовательно, если неоднородность почвы неравномерна, придется использовать очень сложный математический оператор для воспроизведения наблюдаемых фактов в математической формулировке. Таким образом, в этом разделе мы будем заниматься обобщением модели адвективной дисперсии с использованием концепции дифференциальных операторов переменного порядка. Оператор, используемый в этом разделе, имеет смысл Капуто, а также мы будем рассматривать одномерную модель, состоящую из достаточно протяженной неоднородной изотропной пористой среды со стационарным однородным потоком, включающим скорость фильтрации В . Комплексное соединение вводится, начиная с одного конца модели, на этапе времени t0, что означает, что входная концентрация изменяется как экспоненциальная функция времени. Значение этого химического поглощения в любой момент процесса t и на расстоянии х от границы инжекции, допускающей разложение и адсорбцию, можно получить из математического решения следующей системы уравнений [142] (подробнее об этой модели см. в [142]). Рассмотрим

(12.1)D∂2C∂x2−v∂C∂x−λRC=R∂C∂t+f(x,t),

при начальных и граничных условиях:

(12.2)C(x ,0)=0,undefinedC(0,t)=c0exp⁡(−αt),undefinedCx(∞,t)=0.

Для данного уравнения параметр D – коэффициент дисперсии, V – скорость миграции загрязнения в пределах геологической формации, R – замедление, обусловленное свойствами матричной почвы, λ приходится на константу радиоактивного распада, c0 считается начальным входом концентрации, α — положительная константа, и, наконец, f(x,t) — любой источник и сток в системе. С другой стороны, для модели движения загрязнений подземных вод пренебрегается f(x,t), так как предполагается, что в исследуемой системе отсутствует стоковая функция. Следовательно, в этом разделе также пренебрегается функцией стока. Имея в виду, что неоднородность геологической формации может быть включена в математическую формулировку с использованием концепции дифференциации переменного порядка, в этом разделе классическая дифференциация адвективной модели будет заменена дифференциацией переменного порядка в смысле Капуто. И измененное уравнение дается следующим образом:

(12.3)f(x,t)+D∂2C∂x2−v∂C∂x−λRC=RD0α(t,x)C,

при начальных и граничных условиях:

(12.4)C (x,0)=0,не определеноC(0,t)=c0exp⁡(−γt),не определеноCx(∞,t)=0.

В этом уравнении также α(t,x) является непрерывной функцией в (0,1), которую можно измерить по фактам полевых наблюдений. В этой новой модели или модифицированной модели аналитическое решение было введено только в [187]; также здесь представлено существование точного решения.0003

Read full chapter

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128096703000126

In Mathematics in Science and Engineering, 1999

10.8 Fractional Multipoles

Recently N. Энгета [60] предложил определение мультиполей дробного порядка плотности электрического заряда. Понятие мультиполей дробного порядка служит интерполяцией между случаями точечных мультиполей целого порядка, таких как точечные монополи, точечные диполи, точечные квадруполи и т. д. Подход, предложенный Н. Энгетой, основан на дифференцирование дельта-функции Дирака (см. формулу (2.160)) и позволяет сформулировать распределения электрических источников, потенциалы которых получают дробным дифференцированием или интегрированием потенциалов точечных мультиполей целого порядка.

Поскольку термины монополь, диполь, квадруполь, и т. д. связаны со степенью двойки (а именно, 2 ⁰ , 2 ¹ , 2 ² и т. д.), мультиполи дробного порядка называется 2 ^α -полюса.

В трехмерном случае Н. Энгета обнаружил, что потенциальная функция точечного мультиполя с полюсом 2 ^α вдоль оси z , 0 < α < 1, может быть выражена через уравнение Римана-Лиувилля дробная производная с нижним выводом т = -∞:

(10.92)Φ2α,z(x,y,z)=qlα4π∈ −∞Dtα(1×2+y2+z2),

, где q – так называемый электрический монопольный момент, а ∈ – известный физический постоянная (диэлектрическая проницаемость однородного изотропного пространства).

Постоянная, которая принимается в виде л ^α,, где л имеет размерность длины, вводится для получения традиционной размерности результирующей объемной плотности заряда как Кулон/м ³ .

Оценка дробной производной (10.92) дает [60] где P _α ( z ) — функция Лежандра первого рода нецелой степени α [63].

Очевидно, что электростатический потенциал действует на монополь,

Φ1(x,y,z)=q4π∈1×2+y2+z2,

и для диполя

Φ2(x,y,z)=q4π∈cosθx2+y2+z2, cosθ=zx2+y2+z2,

являются частными случаями функции Φ2α,z(x,y,z) при α = 0 и α = 1.

В этом примере применения дробного исчисления интересно, что рассматривается статический объект, а дробная производная с нижней конечной t = −∞ применяется по отношению к пространственной переменной.

В другой статье [61] Н. Энгета приводит примеры структур, содержащих клинья и конусы, потенциалы которых можно описать как электростатические потенциалы наборов распределений заряда, которые ведут себя как мультиполи дробного порядка. Порядки соответствующих мультиполей дробного порядка зависят от угла клина (в двумерном случае) и от угла конуса (в трехмерном случае). Контуры соответствующих потенциалов аналогичны графикам концентрации напряжений в задачах механики разрушения при наличии особенностей границы. В обоих случаях известное локальное поведение решения вблизи особых точек границы может быть эффективно использовано в процессе численного решения.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S00765300290

L. Zheng, X. Zhang, in Modeling and Analysis of Modern Fluiding Проблемы, 2017

7.6.1 Основное уравнение

Определяющие уравнения несжимаемого обобщенного Олдройда-Б: μ(1+θDβDtβ)A1,

, где T denotes the Cauchy stress tensor, − p I is the indeterminate spherical stress, S is the extra-stress tensor, A ₁ = L + L ^T is первый тензор Ривлина–Эриксена с градиентом скорости L = град V , μ динамическая вязкость жидкости, λ и θ – времена релаксации и торможения, α 7

08 и

β параметры дробного исчисления такие, что 0 ≤ α ≤ β ≤ 1, и

(7. 163)DαSDtα=DtαS+(V·∇)S−1β-SLT, 7,163

DtβA1+(V·∇)A1−LA1-A1LT,

, в котором Dtα и Dtβ — операторы дробного дифференцирования порядка α и β на основе определения Римана–Лиувилля, определяется как (Miller and Ross, 1993; Samko и др., 1993):

(7,165)Dtp[f(t)]=1Γ(1−p)ddt∫0tf(τ)(t−τ)pdτ,0≤p≤1.

Γ(·) обозначает гамма-функцию. Эта модель сводится к обычной модели Олдройда-Б, когда α = β = 1.

Далее мы определим поле скоростей и дополнительное напряжение вида: y,z,t),0,0),S=S(y,z,t),

где u ( y , z , t ) скорость в x -координатное направление.

Подставляя уравнение (7.166) в (7.162) и с учетом начального условия S ( Y , Z , 0) = 0 (жидкость находится в состоянии покоя до момента T = 0), мы получаем S _YY = S _YY = S _yz = S _zz = 0 (Havlin and Ben-Avraham, 2002; Tan and Masuoka, 2005a) и соответствующие уравнения в частных производных: (1+θDtβ)∂yu(y,z,t),

(7. 168)(1+λDtα)τ2=µ(1+θDtβ)∂zu(y,z,t),

, в котором τ ₁ = S _XY и τ ₂ = S _xz — касательные.

Баланс линейного количества движения в отсутствие объемных сил сводится к (Havlin and Ben-Avraham, 2002): yp=∂zp=0,

, где ρ — постоянная плотность жидкости, а ∂ p /∂ x — градиент давления вдоль x — ось. Исключая τ ₁ и τ ₂ между уравнениями. (7.167) и (7.168) и предполагая наличие постоянного градиента давления в направлении потока, находим определяющее уравнение в виде:

(7.171)(1+λDtα)∂u(y,z,t)∂t =ν(1+θDtβ)(∂2∂y2+∂2∂z2)u(y,z,t)−1ρ(1+λDtα)∂p∂x,

, в котором ν = μ / ρ – кинематическая вязкость жидкости.

Посмотреть главуКнига покупок

Читать главу 9 полностью0003

URL: https://www. sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128117538000074

Частичные дроби

Способ «разбиения» дробей, содержащих многочлены.

Что такое частичные дроби?

Мы можем сделать это напрямую:

Вот так:

2 х-2 + 3 х+1 = 2(х+1) + 3(х−2) (х-2)(х + 1)

Который можно упростить с помощью Rational Expressions до:

= 2x+2 + 3x−6 x ² +x−2x−2

= 5x−4 x ² −x−2

… но как нам двигаться в обратном направлении?

Вот что мы собираемся открыть:

Как найти «части», из которых состоит одна дробь
(« частичных дробей »).

Зачем они нам?

Во-первых… зачем они нам?

Потому что каждая неполная дробь на проще .

Это может помочь решить более сложную дробь. Например, это очень полезно в интегральном исчислении.

Разложение на неполные дроби

Итак, позвольте мне показать вам, как это сделать.

Метод называется «Разложение на частичные дроби» и выглядит следующим образом:

Шаг 1: Фактор дна

Шаг 2: Напишите по одной частичной дроби для каждого из этих множителей

Шаг 3: Умножьте на низ, чтобы у нас больше не было дробей

Теперь найдите константы 907 ₁ и A ₂

Замена корней или «нулей» (x−2)(x+1) может помочь:

И у нас есть ответ: 3

3

Это было просто! … почти слишком просто …

… потому что может быть намного сложнее !

Теперь подробно рассмотрим каждый шаг.

Правильные рациональные выражения

Во-первых, это работает только для правильных рациональных выражений, где степень верхней на меньше нижней на .

Степень является наибольшим показателем степени , который имеет переменная.

Если ваше выражение неверно, сначала выполните полиномиальное деление в длину.

Разложение нижнего многочлена на множители

Факторирование нижнего многочлена зависит от вас. См. Факторинг в алгебре.

Но не разлагайте их на комплексные числа… вам может понадобиться остановить некоторые множители на квадратичных (называемых неприводимыми квадратичными числами, потому что любое дальнейшее разложение на множители приводит к комплексным числам):

Пример: (x

² −4)( x ² +4)
x ² −4 можно разложить на (x−2)(x+2)
Но х ² +4 делит на комплексные числа, так что не делайте этого

Таким образом, лучшее, что мы можем сделать, это:
(x−2)(x+2)(x ² +4)

Таким образом, множители могут быть комбинацией
5 множителей.
неприводимые квадратичные множители
Если у вас есть квадратичный множитель, вам необходимо включить эту частичную дробь:
B ₁ x + C ₁ (Ваш квадрат)
Факторы с показателями степени
Иногда вы можете получить множитель с показателем степени, например (x−2) ³ …
Вам нужна частичная дробь для каждого показателя степени из 1 вверх.
Like this:
Example:
1 (x−2) ³
Has partial fractions
A ₁ x−2 + A ₂ (х−2) ² + А ₃ (x — 2) ³
То же самое может также произойти с квадратиками:
Пример:
1 (x ² +2x +3) ²
. :
B ₁ x +C ₁ x ² +2x +3 + B ₂ x +C ₂ (X ^{2 9010 +2 +2 +2 9015 +2 9015 +2 9010 +2 9010 +2 9010 +2 (x 903 2}

Иногда использование корней не решает проблему
Даже после использования корней (нулей) основания вы можете получить неизвестные константы.
Итак, следующее, что нужно сделать, это:
Собрать все степени х вместе, а затем решить это как систему линейных уравнений.

Боже мой! Это много, чтобы справиться! Итак, пример, который поможет вам понять:
Большой пример, объединяющий все это
Вот хороший большой пример для вас!
x ² +15 (x+3) ² (x ² +3)
Поскольку (x+3) ² имеет показатель степени 2, требуется два члена (A ₁ и A ₂ ).
And (x ² +3) является квадратичным, поэтому потребуется Bx + C:
x ² +15 (x +3) ² (x ² +3) = A ₁ x +3 + A x +3 + A0315 2 (x +3) ² + BX +C x ² +3
Теперь умножьте по (x +3) ² (x ² +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3. ) :
x ² +15 = (x+3)(x ² +3)A ₁ + (x ² +3)A ₂ + (x+3) 2 (Bx + C)
На x = −3 стоит ноль (поскольку x+3=0), поэтому попробуем:
(−3) ² +15 = 0 + ( (−3) ² +3) A ₂ + 0
и упростите его до:
24 = 12A ₂
SO ₂ = 2
Дайте нам заменить A ₂ 2:
. Дайте нам заменить A ₂ 2:
.
x ² +15 = (x+3)(x ² +3)A ₁ + 2x ² +6 + (x+3) ² (Bx + C)
Теперь разверните всего:
x ² +15 = (x ³ +3x+3x ² +9)A ₁ + 2x ² +6 + (x ^{3 9)0105 +6x ² +9x)B + (x ² +6x+9)C}
Суммировать степени x вместе:
x ² +15 = x ³ (A _{6 +B _{1 )+x ² (3A ₁ +6B+C+2)+x(3A ₁ +9B+6C)+(9A ₁ +6+9C)}}
Разделить степени и записать как Системы линейных уравнений:
x ³ : 0 = А ₁ +Б
х ² : 1 = 3А ₁ +6В+С+2
х: 0 = 3А ₁ +9В+6С
Константы: 15 = 9А ₁ +6+9С
Упростите и организуйте аккуратно:
0 = А ₁ + Б
−1 = 3А ₁ + 6Б + С
0 = 3А ₁ + 9Б + 6С
1 = А ₁ + С
Теперь решите.
Вы можете выбрать свой способ решения этого… Решил для начала вычесть 4-е уравнение из 2-го:
0 = А ₁ + Б
−2 = 2А ₁ + 6Б
0 = 3А ₁ + 9Б + 6С
1 = А ₁ + С
Затем вычесть 2 раза 1-е уравнение из 2-го:
0 = А ₁ + Б
−2 = 4Б
0 = 3А ₁ + 9Б + 6С
1 = А ₁ + С
Теперь я знаю, что B = −(1/2) .
Мы куда-то движемся!
И из 1-го уравнения я могу вычислить, что A ₁ = +(1/2) .
И из 4-го уравнения я могу вычислить, что C = +(1/2) .
Окончательный результат:
A ₁ =1/2 А ₂ =2 Б=-(1/2) С=1/2

Теперь мы можем записать наши дроби:
х ² +15 (х+3) ² (х ² +3) знак равно 1 2(х+3) + 2 (х+3) ² + −x + 1 2(х ² +3)
Фу! Много работы. Но это может быть сделано.
(Примечание: на это у меня ушло почти
час , потому что Пришлось исправлять
2 глупые ошибки на этом пути!)
Резюме
Начните с Правильных Рациональных выражений (если нет, сначала выполните деление)
Разложите нижнюю часть на:
линейные коэффициенты
или «неприводимые» квадратичные множители
Запишите частичную дробь для каждого множителя (и каждого показателя степени каждого)
Умножить все уравнение на нижнюю часть
Решите для коэффициентов по
подставляя нули снизу
составить систему линейных уравнений (в каждой степени) и решить
Запиши свой ответ!

Воздействие на миомиР с помощью богатой токотриенолом фракции для стимулирования дифференцировки миобластов | Гены и питание
Исследования
Открытый доступ
Опубликовано: 29 ноября 2018 г.
Азраул Мумтазах Разак ¹ ,
Шай Циан Хор ¹ ,
Файзул Джаафар ¹ ,
Норвахида Абдул Карим ¹ и
…
Сюзана Макпол ORCID: orcid.org/0000-0002-5239-6196 ¹
Гены и питание том 13 , номер статьи: 31 (2018) Процитировать эту статью
1886 доступов
6 цитирований
1 Альтметрика
Сведения о показателях
Abstract
Background
Некоторые специфичные для мышц микроРНК (myomiR) по-разному экспрессируются во время клеточного старения. Однако роль пищевых соединений в миомиР остается неясной. Это исследование было направлено на выяснение модулирующей роли богатой токотриенолом фракции (TRF) на myomiRs и миогенные гены во время дифференцировки миобластов человека. Миобласты молодых и стареющих скелетных мышц человека (HSMM) обрабатывали 50 мкг/мл TRF в течение 24 часов до и после индуцирования дифференцировки.
Результаты
Индекс слияния и площадь поверхности мышечной трубки были выше ( p < 0,05) на 3-й и 5-й дни, чем на 1-й день дифференцировки. Старение снижает скорость дифференцировки, о чем свидетельствует снижение как индекса слияния, так и площади поверхности мышечных трубок в стареющих клетках ( p < 0,05). Лечение TRF значительно увеличивало дифференцировку молодых и стареющих миобластов на 1, 3 и 5 дни. В стареющих миобластах TRF увеличивал экспрессию miR-206 и miR-486 и сниженная экспрессия PTEN и PAX7 . Однако экспрессия IGF1R повышалась во время ранней дифференцировки и снижалась при поздней дифференцировке при обработке TRF. В молодых миобластах TRF способствует дифференцировке путем модулирования экспрессии miR-206 , что приводит к снижению экспрессии PAX7 и усилению IGF1R .
Вывод
TRF потенциально может способствовать дифференцировке миобластов путем модулирования экспрессии myomiR, которые регулируют экспрессию миогенных генов.
История вопроса
Сателлитные клетки, расположенные между базальной пластинкой и сарколеммой, действуют как жизненно важные компоненты ткани скелетных мышц, поскольку обладают способностью к регенерации. Эти сателлитные клетки находятся в состоянии митотического покоя и останавливаются в фазе G ₀. Эти клетки экспрессируют ограниченное количество генов и белков [1]. В ответ на стресс, такой как повреждение мышц или физиологические изменения, сателлитные клетки активируются и подвергаются миогенезу, который включает ряд процессов [2]. Эти клетки мигрируют к поврежденному участку и удаляются из G9.0315 0 для повторного входа в клеточный цикл. Затем клетки подвергаются пролиферации, дифференцировке и впоследствии сливаются с соседним мышечным волокном, образуя новое мышечное волокно [3]. В этом пролиферирующем состоянии сателлитные клетки известны как миобласты. С возрастом регенеративная способность скелетных мышц постепенно снижается, что приводит к снижению мышечной массы и силы [4]. Это способствует мышечной слабости, вызванной возрастом или травмой, что приводит к дряхлости у пожилых людей, что является одной из основных проблем со здоровьем.
Миогенная программа контролируется различными семействами факторов транскрипции, такими как семейство парных генов box, состоящее из PAX3 и PAX7, и семейство миогенных регуляторов, включающее MYOD1, MYOG, Myf5 и Myf6 [1, 3]. Транскрипционный фактор PAX7 необходим для биогенеза мышечных сателлитных клеток и спецификации линии миогенных предшественников [5]. Функционируя выше семейства MYOD, PAX7 экспрессируется в пролиферирующих миобластах, но быстро подавляется во время дифференцировки. У мышей потеря экспрессии PAX7 приводила к дифференцировке сателлитных клеток в фибробласты вместо миобластов [6]. Большинство активированных сателлитных клеток пролиферируют, подавляют PAX7 и способствуют переходу MYOD к дифференцировке. Различные факторы роста и гормоны, такие как инсулиноподобный фактор роста (IGF) [7], миостатин и фоллистатин [8], факторы, ингибирующие лейкемию [9], факторы роста гепатоцитов и нейрональная синтаза оксида азота участвуют в мышечной гипертрофии [10]. Все эти модуляторы активируют несколько путей, которые модулируют экспрессию миогенных факторов транскрипции.
МикроРНК (миРНК) привлекли огромное внимание и открывают новые возможности для понимания механизма регуляции развития скелетных мышц. miRNAs представляют собой эволюционно консервативные малые РНК, которые были идентифицированы как посттранскрипционные регуляторы для подавления экспрессии генов-мишеней. Подавление экспрессии генов опосредуется связыванием микроРНК с 3′-нетранслируемой областью (UTR) мРНК-мишени [11]. Было обнаружено, что микроРНК участвуют в регуляции различных путей, которые способствуют модулированию нескольких заболеваний, поскольку одна микроРНК может нацеливаться на несколько мРНК. miRNAs экспрессируются в специфических тканях, и те miRNAs, которые специфически экспрессируются в поперечно-полосатых мышцах, известны как myomiRs [12]. Было идентифицировано несколько миомиР, в том числе miR-1 , miR-133a , miR-133b , miR-206 , miR-486 и miR-499 [11]. Каждый myomiR имеет свою собственную специфическую или перекрывающуюся мРНК-мишень, которая способствует пролиферации и дифференцировке миобластов и по-разному экспрессируется во время миогенеза. Во время дифференцировки миобластов повышается экспрессия миР-133b , миР-206 и миР-486 , что приводит к подавлению PAX7 мРНК, которая способствует миогенной дифференцировке [5]. Таким образом, микроРНК играют незаменимую роль в регуляции дифференцировки скелетных мышц.
Выяснение участия миомиР во время дифференцировки сателлитных клеток человека дает текущую информацию о возможных взаимодействиях между факторами транскрипции, миомиР и их мРНК-мишенями, особенно при модулировании пищевыми соединениями. Мы предложили витамин Е в качестве многообещающего агента для модуляции экспрессии миомиР. Витамин Е состоит из α-, β-, γ- и δ-токоферола и α-, β-, γ- и δ-токотриенола, которые являются мощными жирорастворимыми антиоксидантами. Было обнаружено, что добавки витамина Е предотвращают повреждение мышц [13]. Однако молекулярный механизм воздействия витамина Е на здоровье мышц остается неясным. Помимо изомера токоферола, смесь токотриенолов, в частности известная как богатая токотриенолом фракция (TRF), которая менее изучена, показывает лучший эффект по сравнению с одиночным изомером токоферола [14]. TRF обычно извлекают из пальмового масла и состоят из α-токоферола и α-, β-, γ- и δ-токотриенола. Сообщается, что он защищает от окислительного повреждения и подавляет выработку активных форм кислорода (АФК) [15]. Предыдущее исследование показало, что TRF предотвращает репликативное старение клеток миобластов и способствует миогенной дифференцировке, при которой его активность выше, чем у изомера токоферола [16]. Интересно, что другое исследование показало, что TRF предотвращает репликативное старение фибробластов, ингибируя экспрессию miR-34a и увеличение экспрессии CDK4 [17]. Поскольку известно, что TRF модулирует экспрессию микроРНК, это исследование было направлено на выяснение его модулирующей роли в миомиР и миогенных генах во время дифференцировки миобластов человека.
Материалы и методы
Клеточная культура и серийное пассирование
Система клеток Clonetics® Skeletal Muscle Myoblast Cell System, содержащая нормальные человеческие миобласты скелетных мышц (HSMM; каталожный номер CC-2580, партия 0000257384), полученные из четырехглавой мышцы 17 труп женщины в возрасте 1 года, приобретенный в компании Lonza, США. Клетки поддерживали в ростовой среде, среде для роста скелетных мышц-2 (среда SkGM™-2), которая состояла из базальной среды SkBM™-2. Набор SkGM™-2 SingleQuots™ [номер по каталогу. CC-3244, содержащий человеческий эпидермальный фактор роста (hEGF), дексаметазон, L-глутамин, эмбриональную бычью сыворотку (FBS) и гентамицин/амфотерицин B (GA)]. Популяции клеток обрабатывали трипсином, когда они достигали 70-80% слияния. Для пассирования культуральную среду нагревали до 37 °С и высевали клетки при плотности 5000–7500 клеток/см 9 .0104 2 и инкубировали при 37 °C во влажной атмосфере, содержащей 5% диоксида углерода (CO ₂). При каждом пассаже число делений рассчитывали как log(N/n)/log 2, где N представляет собой количество клеток во время пассажа, а n представляет собой количество первоначально высеянных клеток. Клетки были разделены на 2 группы: молодые клетки с удвоением популяции 14 (MPD 14) и стареющие клетки с удвоением популяции 21 (MPD 21) [18].
Индукция дифференцировки
Среду для дифференцировки готовили путем добавления 2% лошадиной сыворотки к среде DMEM-F12. Для индуцирования дифференцировки обе группы клеток высевали при плотности 20 000 клеток/см 9 . 0104 2 в 24-луночных полистироловых планшетах для культивирования клеток (Thermo Fisher™ Nunc™, Waltham, США) и инкубировали в течение ночи в питательной среде в инкубаторе для культивирования клеток (37 °C, 5% CO ₂). На следующее утро среду для роста заменили средой для дифференцировки, а в группах, получавших TRF, как молодые, так и стареющие клетки обрабатывали группами TRF в дозе 50 мкг/мл) [18]. Затем культуры инкубировали в течение 5 дней.
Определение миогенной чистоты
Миогенную чистоту культур контролировали путем определения экспрессии десмина, белка цитоскелета, который экспрессируется только в миогенных клетках, но не в фибробластах. Количество десмин-позитивных клеток, представленное в процентах от общего числа ядер, определяли как миогенную чистоту культуры клеток, и подсчитывали не менее 500 клеток. Иммуноцитохимию проводили с использованием антител, специфичных к десмину, в разведении 1:50 (клон D33; DAKO, Дания). Клетки промывали × 1 фосфатно-солевым буфером (PBS) и фиксировали 100% этанолом в течение 10 мин. Фиксирующий агент удаляли путем трехкратной промывки × 1 PBS в течение 5 мин. Сайты неспецифического связывания блокировали 1% FBS, разведенным в PBS, в течение 30 мин. Затем клетки инкубировали с первичными антителами против десмина. Специфическое связывание антител определяли с помощью Alexa Fluor 488 (Invitrogen, США), непосредственно связанного со вторичным антителом в разведении 1:500. Ядра выявляли флуоресцентно методом Hoechst (Sigma, США) в разведении 0,0001% с / с . Все изображения были оцифрованы с помощью программного обеспечения ImageJ.
Количественное определение площади поверхности миотрубочек и миоядер
Оценивали положительные флуоресцентные области пяти случайно выбранных полей из трех отдельных экспериментов. Для каждой обработки использовали среднюю площадь необработанной группы для расчета процентного увеличения или уменьшения площади мышечных трубочек.
Количественное определение индекса слияния
Для расчета индекса слияния подсчитывали количество ядер, включенных в мышечные трубки (> 2 ядер), и определяли отношение этого числа к общему количеству ядер.
Подготовка и обработка TRF
В этом исследовании использовали Gold Tri E 70 (Sime Darby Bioganic Sdn. Bhd., Малайзия). Этот Gold Tri E 70 состоит из 25% α-токоферола и 75% токотриенола. Кроме того, ВЭЖХ-анализ Gold Tri E 70 показал, что он состоит из 173,6 мг/г α-токоферола, 193,4 мг/г α-токотриенола, 26,2 мг/г β-токотриенола, 227,7 мг/г γ-токотриенола и 98,2 мг/мг δ-токотриенол. Исходный раствор TRF готовили в темноте путем растворения 1 г Gold Tri E 70 (Sime Darby Bioganic Sdn. Bhd., Малайзия) в 1 мл 100% этанола (1:1) и хранили при - 20 °C в течение более 1 месяца. TRF активировали путем инкубации 45 мкл исходного раствора TRF (1 г/1 мл) с 60 мкл FBS в течение ночи при 37 °C. Чтобы приготовить TRF в концентрации 50 мкг/мл, 9К активированному TRF добавляли 0 мкл DMEM с 10% FBS и 105 мкл 100% этанола, после чего добавляли 600 мкл смеси, содержащей FBS и 100% этанол (1:1). Раствор TRF (50 мкг/мл) готовили с использованием культуральной среды. Миобласты обрабатывали 50 мкг/мл TRF в течение 24 ч, а необработанные миобласты инкубировали со средой SKGM-2 (Lonza, США) для анализа пролиферации и со средой DMEM-F12 (Lonza, США) для анализа дифференцировки. Серия титрований доз, проведенная в предыдущем исследовании, показала, что обработка 50 мкг/мл TRF в течение 24 часов приводит к наибольшему проценту жизнеспособных молодых и стареющих миобластов [16]. Кроме того, клетки миобластов, используемые в настоящем исследовании, аналогичны клеткам в нашем предыдущем исследовании [16]. Среду как для необработанных, так и для TRF-клеток меняли одновременно, и обе группы клеток собирали в один и тот же день.
Дизайн праймеров
Прямые праймеры для микроРНК были разработаны в соответствии с последовательностями микроРНК, перечисленными в базе данных miRBase (http://www.mirbase.org). Для miR-486 для синтеза прямого праймера была выбрана форма miR-486-5p . В таблице 1 показаны последовательности прямых праймеров для проверенных микроРНК. Праймеры для человека GAPDH , PAX7 , IGF1R и PTEN были разработаны из перечисленных баз данных NIH GenBank с использованием программного обеспечения Primer 3 и обработаны последовательностями в базе данных GenBank для подтверждения специфичности. Эффективность и специфичность каждого набора праймеров подтверждали оценкой профиля плавления. Последовательности праймеров для количественного анализа экспрессии генов показаны в таблице 2.
Таблица 1 Последовательности праймеров проверенных микроРНК
Полная таблица
Таблица 2 Последовательности праймеров для количественного анализа экспрессии генов
Полная таблица
Экстракция РНК Центр молекулярных исследований, Цинциннати, США) в соответствии с инструкциями производителя. К каждому экстрагированному образцу добавляли полиакриловый носитель (Molecular Research Center, Cincinnati, USA) для осаждения суммарной РНК. Осадок экстрагированной РНК промывали 75% этанолом и сушили перед растворением в дистиллированной воде без РНКазы. Аликвоты тотальной РНК хранили при температуре - 80 °C сразу после экстракции. Выход и чистоту выделенной суммарной РНК определяли нанокапельном спектрофотометре (Thermo Scientific, США).
qRT-PCR в реальном времени
Для количественного анализа микроРНК сначала выполняли обратную транскрипцию (ОТ) с 10 нг общей РНК с использованием набора Taqman microRNA Reverse Transcription Kit (Applied Biosystems, США) в соответствии с инструкциями производителя. Затем проводили реакции ПЦР для количественного определения уровней экспрессии миомиР (миР-206, миР-133b и миР-486) с использованием Taqman Universal PCR Master Mix No AmpErase UNG (Applied Biosystems, США) в соответствии с инструкциями производителя и анализа микроРНК Taqman. набор (Applied Biosystems, США) использовали для выявления интересующих миомиР. ПЦР-амплификацию проводили на приборе iQ5 Multicolor Real-Time PCR iCycler (Bio-Rad, США) при 9{\ mathrm {Ct} \ \ mathrm {value} \ \ mathrm {of} \ \ mathrm {RNU} 6 \ mathrm {B} — \ mathrm {Ct} \ \ mathrm {value} \ \ mathrm {of} \ \ mathrm{miRNA}} $$
Экспрессию генов PAX7 , IGF1R и PTEN анализировали с использованием набора KAPA SYBR Fast One Step qRT-PCR kit (KAPA Biosystems, США) и iQ5 Multicolor Real-Time PCR iCycler ( Био-Рад, США). Каждая смесь qRT-PCR содержала 11,7 мкл воды, свободной от нуклеаз, 10 мкл мастер-микса KAPA SYBR Fast, 0,3 мкл фермента RT, 1 мкл 100 мкМ прямого праймера, 1 мкл 100 мкМ обратного праймера и 1 мкл общей РНК (50–100 нг). Реакции проводили на iQ5 Multicolor Real-Time PCR iCycler (Bio-Rad, США) при 42°C в течение 5 мин и 9{\ mathrm {Ct} \ \ mathrm {value} \ \ mathrm {of} \ \ mathrm {GAPDH} — \ mathrm {Ct} \ \ mathrm {value} \ \ mathrm {of} \ \ mathrm {} \ \ mathrm{gene}\ \mathrm{of}\ \mathrm{interest}} $$
Определение профиля клеточного цикла
Необработанные контрольные и обработанные TRF миобласты субкультивировали в 10 см ² чашках для тканевых культур. После 24 часов инкубации клетки собирали и готовили для анализа клеточного цикла с использованием набора реагентов ДНК CycleTEST PLUS (Becton Dickinson, США) в соответствии с инструкциями производителя. Состояние клеточного цикла анализировали на проточном цитометре FACS Calibur (Becton Dickinson, США) с использованием иодида пропидия (PI) в качестве специфического флуоресцентного красителя. Для каждого образца измеряли интенсивность флуоресценции PI 15000 клеток.
Статистический анализ
Данные представлены в виде среднего ± SD. Эксперименты проводили не менее трех раз, данные анализировали с помощью критерия Стьюдента t и однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA). Значимость была принята на уровне 90 691 p 90 692 < 0,05.
Результаты
Влияние TRF на морфологию и миогенную чистоту миобластов скелетных мышц
Молодые миобласты (PD 14) имели нормальную веретенообразную форму с круглыми ядрами (рис. 1a, b, c), в то время как стареющие миобласты были крупнее и уплощеннее и состоял из выступающих промежуточных филаментов (рис. 1г, д). Стареющие миобласты проявляли различные морфологические особенности при обработке TRF. Большинство клеток имели веретенообразную форму (рис. 1f), что напоминало молодые миобласты, обработанные TRF (рис. 1c). Миогенность миобластов составила более 90% в обеих группах лечения (таблица 3). Сравнение между различными группами лечения показало, что миогенность была одинаковой во всех группах лечения.
Рис. 1 Морфология молодых и стареющих миобластов для контрольных и обработанных TRF клеток. Наблюдение проводили в условиях фазово-контрастной ( а , d ) и флуоресцентной микроскопии ( b , с , е , f ) (увеличение × 40). Клетки миобластов окрашивали антителом против десмина (зеленый), а ядра окрашивали Hoechst (синий). Контрольные стареющие миобласты казались более крупными и плоскими с наличием более заметных промежуточных филаментов (9).0746 d , e ) по сравнению с контрольными молодыми миобластами ( a , b ). Некоторые стареющие миобласты, обработанные TRF ( f ), оставались веретенообразными, что напоминало молодой контроль, в то время как некоторые демонстрировали более плоскую и крупную морфологию. В молодых миобластах, обработанных TRF ( c ) морфологических изменений не наблюдалось
Таблица 3. Миогенная чистота миобластов в культуре
Полноразмерная таблица
0049
Индекс слияния (рис. 2) и площадь поверхности мышечной трубки (рис. 3) были больше на 3-й и 5-й дни, чем на 1-й день дифференцировки. Старение вызывает значительное снижение скорости дифференцировки стареющих миобластов на 3-й и 5-й дни по сравнению с молодыми миобластами (контроль) ( p < 0,05), что наблюдается по уменьшению индекса слияния и площади поверхности миотрубочек. Лечение TRF значительно увеличивало скорость дифференцировки с увеличением индекса слияния и площади поверхности миотрубочек на 1, 3 и 5 день как в молодых, так и в стареющих миобластах (9).0691 р < 0,05).
Рис. 2
Влияние TRF на дифференцировку миобластов. Индекс слияния измеряли как индекс дифференцировки. ^A обозначает P <0,05 по сравнению с молодым контролем, ^B P <0,05 по сравнению с контролем старения, ^C P <0,05 по сравнению с молодым обработкой, ^D 1. 1-й день того же лечения и ^e p < 0,05 по сравнению с 3-м днем того же лечения. Данные представлены как среднее ± SD, n = 3
Изображение полного размера
Рис. 3
Влияние TRF на дифференцировку миобластов, измеренное по площади поверхности миотуба. ^A обозначает P <0,05 по сравнению с молодым контролем, ^B P <0,05 по сравнению с контролем старения, ^C P <0,05 по сравнению с молодым обработкой, ^D 1. 1-й день того же лечения и ^e p < 0,05 по сравнению с 3-м днем того же лечения. Данные представлены как среднее ± SD, n = 3
Изображение полного размера
Обработка TRF модулирует экспрессию myomiR
Изменения экспрессии микроРНК наблюдались во всех группах миобластов. Экспрессия miR-133b была значительно снижена в стареющих миобластах во время фазы пролиферации (рис. 4a). Однако наблюдалось значительное увеличение экспрессии miR-133b в молодых миобластах при обработке TRF ( p < 0,05). Во время фазы дифференцировки miR-133b 9Экспрессия 0692 была снижена в стареющих миобластах ( p < 0,05). Не наблюдалось значительных изменений в экспрессии miR-133b , когда молодые и стареющие миобласты обрабатывали TRF во время дифференцировки по сравнению с контрольной группой (рис. 4b).
Рис. 4
Влияние TRF на экспрессию микроРНК при пролиферации и дифференцировке молодых и стареющих миобластов. Экспрессия miR-133b ( a , b ), miR-206 ( c , d ) и miR-486 ( e , f ) в молодых контрольных миобластах, TRF-обработанных молодых миобластах, стареющих контрольных миобластах. ^a Обозначает p < 0,05 по сравнению с молодым контролем, ^b p < 0,05 по сравнению со стареющим контролем и ^c p 0,5 по сравнению с молодым Foбластом, обработанным моими TRобластами 0,5 по сравнению с молодыми Данные представлены в виде относительного значения экспрессии (REV), нормализованного до Экспрессия RNU6B (среднее ± SD, n = 3)
Полноразмерное изображение
Экспрессия miR-206 была значительно снижена в стареющих миобластах во время фазы пролиферации (рис. 4c). После обработки TRF экспрессия miR-20 6 значительно увеличилась в молодых миобластах ( p < 0,05). Во время фазы дифференцировки экспрессия miR-206 в стареющих миобластах значительно снизилась ( p < 0,05). Однако при лечении TRF экспрессия miR-206 значительно увеличивалась в молодых миобластах с 1-го по 3-й день фазы дифференцировки и увеличивалась только в 1-й день фазы дифференцировки в стареющих миобластах (рис. 4d).
Экспрессия miR-486 была значительно снижена в стареющих миобластах во время фаз пролиферации и дифференцировки (рис. 4e, f). Однако при обработке TRF наблюдалось значительное увеличение экспрессии miR-486 в стареющих миобластах в фазе пролиферации и на 1-й и 5-й дни в фазе дифференцировки (9).0691 р < 0,05).
Обработка TRF модулирует экспрессию генов-мишеней и вышестоящих регуляторов миомиР
Стареющие миобласты показали значительное снижение экспрессии PAX7 во время фазы пролиферации ( p < 0,05) (рис. 5a). После обработки TRF экспрессия PAX7 значительно увеличивалась в молодых миобластах во время пролиферации. Во время фазы дифференцировки наблюдалось значительное снижение экспрессии PAX7 в стареющих миобластах (9).0691 р < 0,05). Обработка TRF во время фазы дифференцировки вызывала значительное снижение экспрессии PAX7 в молодых миобластах на 3 и 5 день и на 1 и 5 день в стареющих миобластах (рис. 5b).
Рис. 5
Влияние TRF на экспрессию нижестоящих генов. Экспрессия PAX7 ( A , B ), PTEN ( C , D ) и IGF1 R ( E , FRISED My , , ). миобласты, стареющие контрольные миобласты и стареющие миобласты, обработанные TRF. ^a Обозначает p < 0,05 по сравнению с молодым контролем, ^b p < 0,05 по сравнению со стареющим контролем и ^c p < 0,05 обработанных миобластов по сравнению с молодыми. Данные представлены в виде относительного значения экспрессии (REV), нормализованного к экспрессии GAPDH (среднее значение ± SD, n = 3)0691 p < 0,05) (рис. 5в, г). Обработка TRF вызывала значительное снижение экспрессии PTEN в молодых и стареющих миобластах во время фазы пролиферации. Во время фазы дифференцировки обработка TRF снижала экспрессию PTEN в стареющих миобластах в 1-й день дифференцировки (рис. 5d).
Стареющие миобласты демонстрируют значительно сниженную экспрессию IGF1R во время фазы пролиферации и на 3-й день фазы дифференцировки ( p < 0,05) (рис. 5д, е). Обработка TRF вызывала значительное увеличение экспрессии IGF1R в молодых и стареющих миобластах во время фазы пролиферации. Во время фазы дифференцировки обработка TRF вызывала значительное увеличение экспрессии IGF1R в стареющих миобластах на 1-й день, которая снижалась на 5-й день (рис. 5f).
Влияние TRF на профиль клеточного цикла
Анализ профиля клеточного цикла в день 0 показал, что популяция миобластов в G₀ /G ₁ была значительно выше, а в фазе S популяция стареющих клеток была значительно ниже, чем в молодых клетках ( p < 0,05) (рис. 6). Лечение TRF вызвало значительное снижение доли стареющих миобластов в фазе G ₀ /G ₁ и значительное увеличение доли молодых и стареющих миобластов в фазе S ( p < 0,05) (рис. . 6д).
Рис. 6
Профиль клеточного цикла молодых и стареющих миобластов в день 0 дифференцировки. Проточная цитометрия анализ прогрессии клеточного цикла молодых контрольных миобластов ( a ), молодых миобластов, обработанных TRF ( b ), стареющих контрольных миобластов ( c ) и стареющих миобластов, обработанных TRF ( d ). Количественный анализ развития клеточного цикла молодых и стареющих миобластов ( и ). ^a Обозначает p < 0,05 по сравнению с молодым контролем. ^b p < 0,05 по сравнению со стареющим контролем и ^c p < 0,05 по сравнению с молодой обработанной группой. Данные выражены в виде среднего ± SD ( n = 6)
Полноразмерное изображение
На 1-й день дифференцировки процент миобластов в фазе G ₀ /G ₁ был значительно выше в стареющих клетках, чем что в молодых клетках ( p < 0,05), тогда как процент клеток в S и G ₂ /M фазы было значительно снижено в обеих группах миобластов (рис. 7). Сравнение профиля клеточного цикла между 0-м и 1-м днями дифференцировки показало достоверную разницу в процентном содержании клеток в фазах G ₀ /G ₁ , S и G ₂ /M в обеих группах ( пк). < 0,05).
Рис. 7
Профиль клеточного цикла молодых и стареющих миобластов в 1-й день дифференцировки. Проточная цитометрия анализ прогрессии клеточного цикла молодых контрольных миобластов ( a ), обработанные TRF молодые миобласты ( b ), стареющие контрольные миобласты ( c ) и стареющие миобласты, обработанные TRF ( d ). Количественный анализ развития клеточного цикла молодых и стареющих миобластов ( и ). ^a Обозначает p < 0,05 по сравнению с молодым контролем и ^d p < 0,05 по сравнению с тем же лечением в 0-й день дифференцировки. Данные выражены как среднее ± SD ( n = 6)
Увеличенное изображение
Обсуждение
Целостность клеточной структуры миобластов, а также формирование миотрубок поддерживают цитоскелет, клеточная мембрана и внеклеточный матрикс (ВКМ) [21]. Молодые миобласты морфологически представляют собой веретенообразные и удлиненные структуры. Напротив, стареющие миобласты проявляют морфологические изменения с уплощенной структурой и большей цитоплазмой. После индукции дифференцировки миобласты сливаются вместе, образуя многоядерную мышечную трубку. Молодые миобласты образуют миотубы с крупными разветвлениями, тогда как стареющие миобласты образуют более мелкие миотубы [16]. По мере старения клеток уровень активных форм кислорода (АФК) пропорционально увеличивается. Кроме того, уровень антиоксидантов обратно пропорционален уровню АФК на протяжении всего процесса старения. Накопление АФК в клетках вызывает окислительный стресс, который вызывает окислительное повреждение макромолекул, таких как ДНК, РНК, белки и липиды [22]. Следовательно, некоторые пути и клеточный метаболизм изменяются, что приводит к изменениям в цитоскелете, клеточной мембране и ВКМ [23], что приводит к фенотипическим изменениям в стареющих миобластах, как наблюдается в настоящем исследовании. Следовательно, предполагается, что введение антиоксидантов в измененную систему уменьшит окислительный стресс, тем самым задержав старение миобластов.
Витамин Е, особенно TRF, играет ключевую роль в удалении пероксильных радикалов и предотвращает перекисное окисление макромолекул, тем самым улучшая окислительный статус клеток [24]. Витамин Е состоит из двух изомеров: токоферола и токотриенола. Сообщается, что токотриенол обладает лучшей антиоксидантной активностью и эффективно снижает окислительный стресс в липофильной среде [25]. В этом исследовании лечение TRF улучшило морфологическую структуру стареющих миобластов и показало черты, сходные с молодыми миобластами. Предыдущее исследование показало, что обработка TRF стареющих фибробластных клеток изменяет морфологическую структуру с образованием молодых фибробластов [26]. Точно так же в предыдущем исследовании Khor et al. сообщалось, что стареющие миобласты, обработанные TRF, по-видимому, имеют сходные морфологические особенности с молодыми миобластными клетками [16]. Это наблюдение может быть связано с модуляцией экспрессии белка, который участвует в поддержании клеточной структуры. Матриксная металлопротеиназа (ММР), ответственная за деградацию проколлагена, высоко экспрессируется в стареющих клетках. Этот белок изменяет поддержание клеточной структуры в стареющих клетках [27]. Однако TRF увеличивает экспрессию проколлагена в стареющих фибробластных клетках [28], тем самым улучшая морфологическую структуру стареющих клеток, как это наблюдалось в этом исследовании.
Гомеостаз между пролиферацией и дифференцировкой клеток миобластов во время миогенеза жестко регулируется для предотвращения неконтролируемой пролиферации [29]. В настоящем исследовании процент популяции стареющих клеток миобластов был выше в фазе G ₀ /G ₁ и ниже в фазе S, чем у молодых клеток, во время пролиферации. Аналогичный результат наблюдался и в дифференцированных стареющих миобластах. Интересно, что обработка TRF как пролиферирующих молодых, так и стареющих клеток миобластов усиливала прогрессирование клеточного цикла, поскольку клеточная популяция в G₀ /G ₁ и S фазы уменьшены и увеличены соответственно. Однако во время индукции дифференцировки TRF способствует прерыванию клеточного цикла в молодых клетках миобластов. Как и у других соматических клеток, способность клеток миобластов к пролиферации ограничивается репликативным старением из-за прогрессирующей потери длины теломер [30]. Чтобы предотвратить прогрессирование опухоли, контрольные точки клеточного цикла действуют как барьеры для предотвращения репликации поврежденной ДНК, в результате чего клетки останавливаются на уровне G9.0315 0 /G ₁ фаза [29].
Все контрольные точки клеточного цикла регулируются несколькими циклин-зависимыми киназами (CDK) и циклиновыми белками. В зависимости от раздражителей или клеточной среды, таких как реакция на повреждение ДНК (укорочение теломер), ингибиторы CDK, такие как p16 или p21, экспрессируются для ингибирования образования комплекса CDK/циклин, тем самым останавливая прогрессирование клеточного цикла на уровне G ₀ /G _{. 1} фаза [31]. Предыдущие исследования показали, что обработка стареющими фибробластными клетками TRF повышает экспрессию теломеразы и увеличивает удлинение теломер [26]. Кроме того, обработка стареющих клеток γ-токотриенолом подавляет p16, циклин D1 и гипофосфорилированный Rb, все из которых участвуют в остановке клеточного цикла [32]. Таким образом, постулируется, что TRF модулирует экспрессию теломеразы, увеличивает экспрессию белков, участвующих в клеточном цикле, для предотвращения остановки клеточного цикла и способствует пролиферации миобластов. Лечение TRF увеличивало процент клеток миобластов в G9.0315 0 /G ₁ Фаза 1-го дня индукции дифференцировки, указывающая на стимуляцию остановки клеточного цикла и ингибирование клеточной пролиферации для возникновения дифференцировки. Это может быть связано с TRF, который зависит от клеточной среды или стимулов. Предыдущие исследования показали, что γ- и δ-токотриенолы стимулируют дифференцировку остеобластов, которые, в свою очередь, усиливают формирование кости [33]. Кроме того, предыдущее исследование показало, что комбинированная активность TRF намного лучше способствует дифференцировке миобластов, чем однократное лечение α-токотриенолом [16]. Однако полное понимание механизма TRF в стимулировании пролиферации и дифференцировки миобластов остается неуловимым.
На молекулярном уровне регуляция пролиферации и дифференцировки клеток миобластов в процессе миогенеза связана с несколькими генами и миомиР (миР) [11]. Во время обновления клеток покоящиеся сателлитные клетки усиливают экспрессию PAX7 и подавляют экспрессию его целевых генов миогенного регуляторного фактора (MRF), MYOD1, и MYOG. Экспрессия PAX7 способствует повторному включению покоящихся сателлитных клеток в ход клеточного цикла и усиливает пролиферацию миобластов [6]. В настоящем исследовании выражение 9Ген 0691 PAX7 был увеличен в дифференцированных миобластах, и эта повышенная экспрессия оставалась постоянной после нескольких дней индукции дифференцировки. Однако обработка TRF увеличивала экспрессию гена PAX7 во время пролиферации и снижала его экспрессию во время дифференцировки. Сообщалось, что повышенная экспрессия PAX7 с последующим подавлением ингибиторов миогенеза Id2 и Id3 повышает экспрессию MYOD1 и MYOG [34]. MYOD1 непосредственно вовлечен в активацию экспрессии p21, циклина D3 и Rb, которые имеют решающее значение для необратимого выхода клеток миобластов из G 9 в клеточном цикле.0315 0 /G ₁ в фазе дифференцировки и терминальной фазе дифференцировки [35].
Экспрессия PAX7 регулируется миР-206 и миР-486. По мере увеличения экспрессии MYOD1 этот транскрипционный фактор, который имеет сайт связывания в промоторных областях miR-206 и miR-486 , облегчает экспрессию этих двух myomiR [5]. Интересно, что обработка TRF повышала экспрессию miR-206 во время пролиферации, и эта экспрессия дополнительно повышалась во время дифференцировки. Еще один миомиР, miR-486 повышалась при обработке TRF в пролиферирующих и дифференцированных миобластах. Напротив, обработка TRF не повышала экспрессию miR-486 во время дифференцировки. Предыдущие исследования показали, что супрессия гена PAX7 с помощью miR-206 и miR-486 усиливала приверженность клеток миобластов к дифференцировке [5]. Однако сверхэкспрессия PAX7 способствует неконтролируемой пролиферации [36]. Следовательно, в настоящем исследовании TRF может играть роль в поддержании пролиферации и дифференцировки миобластов, модулируя экспрессию гена PAX7 , miR-206 и miR-486 , не нарушая гомеостаза миогенеза.
Различные модуляторы, которые регулируют активность сателлитных клеток и используют различные сигнальные пути, включая путь IGF1R/P13K, контролируют миогенез. Этот путь опосредует функции IGF, поскольку и IGF-1, и IGF-2 связываются с IGF1R. IGF1R был подавлен на поздней стадии дифференцировки из-за присутствия ответного элемента (MRE) miR-133 , расположенного в 3’UTR [9]., 37]. Это могло бы объяснить прямое влияние miR-133 на IGF1R как на негативный регулятор PI3K/Akt. miR-133 подавляет фосфорилирование Akt посредством ингибирования белка IGF1R, который отвечает за метаболизм глюкозы, пролиферацию клеток и апоптоз [37, 38]. Снижение фосфорилирования Akt наблюдалось во время дифференцировки миобластов C2C12. miR-133 важен для регулирования и балансировки активности IGF в мышечных клетках. Было обнаружено, что IGF1R не регулируется при рабдомиосаркоме (RMS), где его экспрессия постоянно увеличивалась, и, следовательно, предполагается, что он является первоначальным фактором, ответственным за онкогенную трансформацию мышечных клеток [39].]. Длительная и последовательная экспрессия IGF1R приводила к усилению пролиферации и предотвращению фазы дифференцировки [37].
Активация Akt также активирует mTOR и ингибирует GSK3B, негативный регулятор синтеза белка и роста мышц. PTEN представляет собой фосфатазу PI3K, которая деактивирует Akt, ингибируя рост и выживание мышечных клеток [40]. Снижение экспрессии PTEN стимулирует путь PI3K/Akt для продвижения и экспрессии миогенных факторов транскрипции, таких как MYOD1, MYOG и Myf5, во время пролиферации и дифференцировки миобластов. В предыдущем исследовании сообщалось о снижении экспрессии miR-486 при мышечной дистрофии Дюшенна [41] и старении [42]. miR-486 действует как медиатор для MYOD1 и регулирует путь PI3K/Akt. miR-486 транскрибируется с интрона гена Ank1 , состоящего из 39а экзона, кодирующего специфичный для мышц белок Ank1, который соединяет саркомер с саркоплазматическим ретикулумом [43]. Экспрессия транскрипта гена Ank1 контролируется промоторным сайтом, содержащим два консервативных Е-бокса, взаимодействующих с MYOD [43]. Увеличение экспрессии miR-486 TRF показывает, что TRF обладает способностью задерживать фенотип старения и саркопению во время старения.
В настоящем исследовании также было показано, что лечение TRF увеличивает экспрессию myomiR в молодых и стареющих миобластах как в фазах пролиферации, так и в фазах дифференцировки. Таким образом, TRF может прямо или косвенно играть роль в биогенезе миомиР, который включает несколько процессов [11]. Первоначально myomiR транскрибируется в ядре как первичный транскрипт или pri-myomiR со структурой ствол-петля. Здесь процесс транскрипции модулируется различными транскрипционными факторами. Затем pri-myomiR подвергается процессингу с образованием pre-myomiR путем удаления обеих концевых цепей. Позже в цитоплазме петля pre-myomiR отщепляется и раскручивается геликазой с образованием одноцепочечной зрелой myomiR. В эти процессы модификации вовлечены различные белки, и они могут быть одной из прямых или косвенных мишеней TRF. На транскрипционном уровне miR-206 регулируется транскрипционным фактором FOXO3a [11]. Предыдущее исследование показало, что лечение TRF увеличивает экспрессию гена FOXO3a [44]. В другом открытии также сообщалось, что γ- и δ-токотриенол увеличивали экспрессию гена FOXO3a [45]. Следовательно, предполагается, что TRF модулирует биогенез myomiR посредством регуляции его фактора транскрипции.
Поскольку наблюдалось снижение экспрессии myomiRs в стареющих миобластах, мы предложили другой механизм TRF-опосредованной регуляции myomiRs, который может быть связан с его эффектом удаления радикалов. Фермент RNase III, Dicer, отвечает за отщепление петли от pre-miRNA (главный шаг в процессе биогенеза) с образованием двухцепочечных зрелых miRNAs [11]. Этот фермент ингибируется различными стрессорными факторами, в том числе АФК, которые накапливаются при старении [46]. Другое открытие показало, что экспрессия Dicer снижалась с повышенным уровнем окислительного стресса и повреждения ДНК. Поскольку TRF эффективно снижает уровни ROS, особенно в стареющих клетках, предполагается, что TRF модулирует myomiRs путем снижения окислительного стресса, что, в свою очередь, повышает активность и экспрессию Dicer. Следовательно, TRF может быть вовлечен в биогенез myomiRs посредством модуляции экспрессии Dicer. Следовательно, чтобы проверить специфичность ответа TRF на экспрессию Dicer, необходимы дальнейшие исследования с использованием других антиоксидантов или путем ингибирования функции miRNA анти-miR олигонуклеотидами.
TRF в природе существует в виде смеси различных форм витамина Е; все формы токотриенолов присутствуют в TRF в высокой концентрации. Однако каждая клетка по-своему предпочитает различные формы витамина Е. Предыдущее исследование показало, что концентрация α- и δ-токотриенола была самой высокой в миобластах [18], тогда как γ- и δ-токотриенола были наиболее распространенными формами. в фибробластах [47]. Как описано ранее, обработка TRF продемонстрировала лучший эффект, чем обработка одним изомером. Следовательно, предпочтительное и избирательное поглощение формы витамина Е клеткой представляет собой наилучший синергетический эффект между формами витамина Е и пригодностью, которая зависит от клеточной среды. На рисунке 8 суммировано модулирующее влияние TRF на экспрессию myomiR и миогенных регуляторных факторов. Наши результаты показали, что TRF является потенциальным агентом дифференцировки мышц, который модулирует экспрессию myomiRs и его генов-мишеней, участвующих в дифференцировке миобластов во время миогенеза.
Рис. 8
Модулирующие эффекты TRF на экспрессию миомиР и миогенных регуляторных факторов
Изображение в натуральную величину экспрессию myomiRs, в частности, miR-133b , miR-206 и miR-486 , тем самым модифицируя экспрессию их генов-мишеней, которые участвуют в миогенезе, чтобы способствовать дифференцировке мышц в молодых и стареющих миобластах.
Ссылки
Инь Х, Прайс Ф, Рудницкий М.А. Сателлитные клетки и ниша мышечных стволовых клеток. Physiol Rev. 2013; 93 (1): 23–67.
КАС Статья Google ученый
Сакияма К., Абэ С., Тамацу Ю., Идэ Ю. Влияние растягивающих усилий на белки мышечного сокращения миобластов скелетных мышц. Биомед Рез. 2005;26(2):61–8.
КАС Статья Google ученый
Дюмон Н.А., Ван Ю.С., Рудницкий М.А. Внутренние и внешние механизмы регуляции функции сателлитных клеток. Разработка. 2015;142(9):1572–81.
КАС Статья Google ученый
Соуза-Виктор П., Муньос-Кановес П. Регенеративное снижение стволовых клеток при саркопении. Мол Асп Мед. 2016;50:109–17.
КАС Статья Google ученый
«>
Dey BK, Gagan J, Dutta A. miR-206 и-486 индуцируют дифференцировку миобластов путем подавления Pax7. Мол Селл Биол. 2011;31(1):203–14.
КАС Статья Google ученый
Zammit PS, Relaix F, Nagata Y, Ruiz AP, Collins CA, Partridge TA, et al. Pax7 и миогенная прогрессия в сателлитных клетках скелетных мышц. Дж. Клеточные науки. 2006; 119(9):1824–32.
КАС Статья Google ученый
Yamaguchi A, Sakuma K, Fujikawa T, Morita I. Экспрессия специфических IGFBP связана с маркерами пролиферации и дифференциации в регенерирующей подошвенной мышце крысы. J Physiol Sci. 2013;63(1):71–7.
КАС Статья Google ученый
Баузер М., Херберг С., Арунлейт П., Ши Х., Фулзеле С., Хилл В.Д. и др. Влияние системы активин А-миостатин-фоллистатин на старение костных и мышечных клеток-предшественников. Опыт Геронтол. 2013;48(2):290–7.
КАС Статья Google ученый
Spangenburg EE, Booth FW. Множественные сигнальные пути опосредуют индуцированную LIF пролиферацию сателлитных клеток скелетных мышц. Am J Physiol Cell Physiol. 2002; 283(1):C204–C11.
КАС Статья Google ученый
Возняк А.С., Андерсон Дж.Е. Зависимость от оксида азота активации и покоя сателлитных стволовых клеток в нормальных волокнах скелетных мышц. Дев Дин. 2007;236(1):240–50.
КАС Статья Google ученый
Horak M, Novak J, Bienertova-Vasku J. Мышечно-специфические микроРНК в развитии скелетных мышц. Дев биол. 2016;410(1):1–13.
КАС Статья Google ученый
Маккарти Дж.Дж. Сеть MyomiR в пластичности скелетных мышц. Exerc Sport Sci Rev. 2011;39(3):150.
Артикул Google ученый
Сантос С.А., Сильва Э.Т., Карис А.В., Лира Ф.С., Туфик С., Дос Сантос Р.В. Добавка витамина Е подавляет повреждение мышц и воспаление после умеренных физических упражнений в условиях гипоксии. Диета J Hum Nutr. 2016;29(4):516–22.
КАС Статья Google ученый
Али С.Ф., Вудман О.Л. Богатый токотриенолом экстракт пальмового масла более эффективен, чем чистые токотриенолы, в улучшении эндотелий-зависимой релаксации при окислительном стрессе. Оксидативный Мед Селл Лонгев. 2015;2015:10.
Артикул Google ученый
Будин С.Б., Хан К.Дж., Джаюсман П.А., Тайб И.С., Газали А.Р., Мохамед Дж. Антиоксидантная активность богатой токотриенолом фракции предотвращает вызванное фенитротионом повреждение почек у крыс. J Токсикол Патол. 2013;26(2):111–8.
Артикул Google ученый
Khor SC, Razak AM, Wan Ngah WZ, Mohd Yusof YA, Abdul Karim N, Makpol S. Богатая токотриенолом фракция превосходит токоферол в продвижении миогенной дифференцировки в предотвращении репликативного старения миобластов. ПЛОС Один. 2016;11(2):e0149265.
Артикул Google ученый
Gwee Sian Khee S, Mohd Yusof YA, Makpol S. Экспрессия связанных со старением микроРНК и генов-мишеней при клеточном старении и модуляция богатой токотриенолом фракцией. Оксидативный Мед Селл Лонгев. 2014;2014:12.
Артикул Google ученый
Khor SC, Ngah W, Zurinah W, Yusof M, Anum Y, Abdul Karim N, et al. Обогащенная токотриенолом фракция улучшает механизмы антиоксидантной защиты и улучшает окислительный стресс, связанный с репликативным старением, в миобластах человека. Оксидативный Мед Селл Лонгев. 2017;2017:17.
Щесны Б., Олах Г., Уокер Д.К., Вольпи Э., Расмуссен Б.Б., Сабо С. и др. Дефицит восстановления митохондриального генома делает пролиферирующие миобласты чувствительными к окислительному повреждению. ПЛОС Один. 2013;8(9):e75201.
КАС Статья Google ученый
Моккегиани Э., Костарелли Л., Джаккони Р., Малавольта М., Бассо А., Пьяченца Ф. и др. Взаимодействие витамина Е с генами при старении и воспалительных возрастных заболеваниях: значение для лечения. Систематический обзор. Aging Res Rev. 2014; 14:81–101.
КАС Статья Google ученый
Адамс JC, Watt FM. Регуляция развития и дифференцировки внеклеточным матриксом. Разработка. 1993;117(4):1183–98.
КАС пабмед Google ученый
«>
Davalli P, Mitic T, Caporali A, Lauriola A, D’Arca D. ROS, клеточное старение и новые молекулярные механизмы старения и возрастных заболеваний. Оксидативный Мед Селл Лонгев. 2016;2016:18.
Huang X, Chen L, Liu W, Qiao Q, Wu K, Wen J и др. Участие окислительного стресса и нарушения цитоскелета в индуцированном микроцистином апоптозе в клетках CIK. Аква токсикол. 2015; 165:41–50.
КАС Статья Google ученый
Ники Е. Роль витамина Е в качестве жирорастворимого поглотителя пероксильных радикалов: данные in vitro и in vivo. Свободный Радик Биол Мед. 2014;66:3–12.
КАС Статья Google ученый
Виола В., Пиллоли Ф., Пиродди М., Пьерпаоли Э., Орландо Ф., Провинсиали М. и др. Почему токотриенолы работают лучше: взгляд на противораковый механизм витамина Е in vitro. Genes Nutr. 2012;7(1):29.
КАС Статья Google ученый
Макпол С., Дюрани Л.В., Чуа К.Х., Юсоф М., Анум Ю., Нгах В. и др. Обогащенная токотриенолом фракция предотвращает остановку клеточного цикла и удлиняет длину теломер в стареющих диплоидных фибробластах человека. Биомед Рез Инт. 2011;2011(11):506171.
Google ученый
Хияма А., Сакаи Д., Рисбуд М.В., Танака М., Араи Ф., Абэ К. и др. Усиление старения клеток межпозвонкового диска за счет экспрессии матриксной металлопротеиназы, индуцированной передачей сигналов WNT/β-катенина. Ревмирующий артрит. 2010;62(10):3036–47.
КАС Статья Google ученый
Макпол С., Джам Ф.А., Хор С.С., Исмаил З., Юсоф М., Анум Ю. и др. Сравнительное влияние биодинов, богатой токотриенолом фракции и токоферола на усиление синтеза коллагена и ингибирование деградации коллагена в модели преждевременного старения диплоидных фибробластов человека, вызванного стрессом. Оксидативный Мед Селл Лонгев. 2013;2013:8.
Уолш К., Перлман Х. Выход из клеточного цикла при миогенной дифференцировке. Curr Opin Genet Dev. 1997;7(5):597–602.
КАС Статья Google ученый
Zhu CH, Mouly V, Cooper RN, Mamchaoui K, Bigot A, Shay JW, et al. Клеточное старение в миобластах человека преодолевается человеческой теломеразной обратной транскриптазой и циклинзависимой киназой 4: последствия старения мышц и терапевтические стратегии при мышечных дистрофиях. Стареющая клетка. 2007;6(4):515–23.
КАС Статья Google ученый
Harley CB, Futcher AB, Greider CW. Теломеры укорачиваются при старении фибробластов человека. Природа. 1990;345(6274):458.
КАС Статья Google ученый
Zainuddin A, Chua K-H, Tan J-K, Jaafar F, Makpol S. γ-Токотриенол предотвращает остановку клеточного цикла в старых клетках фибробластов человека через путь p16INK4a. J Physiol Biochem. 2017;73(1):59–65.
КАС Статья Google ученый
Чин К.Ю., Има-Нирвана С. Влияние добавок токотриенола, полученного из аннато, на остеопороз, вызванный дефицитом тестостерона у крыс. Clin Interv Старение. 2014;9:1247.
Артикул Google ученый
Кумар Д., Шадрах Д.Л., Вейджерс А.Дж., Лассар А.Б. Id3 является прямой мишенью транскрипции Pax7 в покоящихся сателлитных клетках. Мол Биол Селл. 2009 г.;20(14):3170–7.
КАС Статья Google ученый
Cenciarelli C, De Santa F, Puri PL, Mattei E, Ricci L, Bucci F, et al. Критическая роль, которую играет циклин D3 в опосредованной MyoD остановке клеточного цикла во время дифференцировки миобластов. Мол Селл Биол. 1999;19(7):5203–17.
КАС Статья Google ученый
Риуцци Ф., Сорчи Г., Сагедду Р., Сидони А., Аладжио Р., Нинфо В. и др. Дефицит передачи сигналов RAGE в клетках рабдомиосаркомы вызывает активацию PAX7 и неконтролируемую пролиферацию. Дж. Клеточные науки. 2014;127(8):1699–711.
КАС Статья Google ученый
Хуан М.Б., Сюй Х., Се С.Дж., Чжоу Х., Цюй Л.Х. Рецептор инсулиноподобного фактора роста-1 регулируется микроРНК-133 во время скелетного миогенеза. ПЛОС Один. 2011;6(12):e29173.
КАС Статья Google ученый
Скьяффино С., Маммукари С. Регуляция роста скелетных мышц с помощью пути IGF1-Akt/PKB: выводы из генетических моделей. Скелетная мышца. 2011;1(1):4.
КАС Статья Google ученый
«>
Вернер Х., Маор С. Ген рецептора инсулиноподобного фактора роста-I: нижестоящая мишень для онкогенного и противоопухолевого супрессорного действия. Тенденции Эндокринол Метаб. 2006;17(6):236–42.
КАС Статья Google ученый
Crackower MA, Oudit GY, Kozieradzki I, Sarao R, Sun H, Sasaki T, et al. Регуляция сократимости миокарда и размера клеток с помощью различных сигнальных путей PI3K-PTEN. Клетка. 2002; 110(6):737–49..
КАС Статья Google ученый
Александр М.С., Касар Дж.К., Мотохаши Н., Виейра Н.М., Айзенберг И., Маршалл Дж.Л. и др. Зависимая от микроРНК-486 модуляция сигнальных путей DOCK3/PTEN/AKT улучшает симптомы, связанные с мышечной дистрофией. Джей Клин Инвест. 2014;124(6):2651–67.
КАС Статья Google ученый
Lai CY, Wu YT, Yu SL, Yu YH, Lee SY, Liu CM, et al. Модулированная экспрессия микроРНК периферической крови человека от младенчества до взрослой жизни и ее роль в старении. Стареющая клетка. 2014;13(4):679–89.
КАС Статья Google ученый
Смолл Э.М., О’Рурк Дж.Р., Мореси В., Сазерленд Л.Б., МакЭналли Дж., Джерард Р.Д. и др. Регуляция передачи сигналов PI3-киназы/Akt с помощью обогащенной мышцами микроРНК-486. Proc Natl Acad Sci. 2010;107(9):4218–23.
КАС Статья Google ученый
Durani L, Jaafar F, Tan J, Tajul Arifin K, Mohd Yusof Y, Wan Ngah W. Нацеливание на гены инсулин-ассоциированного сигнального пути, повреждение ДНК, пути пролиферации и дифференцировки клеток с помощью богатой токотриенолом фракции в предотвращении клеточное старение диплоидных фибробластов человека. Клин Тер. 2015;166:e365–e73.
КАС пабмед Google ученый
«>
Шин-Канг С., Рамзауэр В.П., Лайтнер Дж., Чакраборти К., Стоун В., Кэмпбелл С. и др. Токотриенолы ингибируют активацию AKT и ERK и подавляют пролиферацию раковых клеток поджелудочной железы, подавляя путь ErbB2. Свободный Радик Биол Мед. 2011;51(6):1164–74.
КАС Статья Google ученый
Смит-Викос Т., Слэк Ф.Дж. МикроРНК и их роль в старении. Дж. Клеточные науки. 2012;125(1):7–17.
КАС Статья Google ученый
Джаафар Ф., Абдулла А., Макпол С. Клеточное поглощение и биодоступность богатой токотриенолом фракции в ингибированных SIRT1 диплоидных фибробластах человека. Научный доклад 2018; 8 (1): 10471.
Артикул Google ученый
Ссылки на скачивание
Благодарности
Данное исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства высшего образования в рамках Схемы грантов для фундаментальных исследований FRGS/2/2014/SKK01/UKM/01/1 и гранта Университета Кебангсаан Малайзии UKM-FF -2014-301. Авторы хотели бы выразить благодарность всем исследователям и сотрудникам кафедры биохимии медицинского факультета Малайзийского медицинского центра Университета Кебангсаан.
Информация об авторе
Авторы и организации
Кафедра биохимии, медицинский факультет, уровень 17, доклинический корпус Малайзийского медицинского центра Университета Кебангсаан (UKMMC), Джалан Яакоб Латиф, Бандар Тун Разак, Черас, 56000, Куала-Лумпур , Малайзия
Azraul Mumtazah Razak, Shy Cian Khor, Faizul Jaafar, Norwahidah Abdul Karim и Suzana Makpol
Авторы
Azraul Mumtazah Razak
Посмотреть публикацию автора0003
Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar
Shy Cian Khor
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar
Faizul Jaafar
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar
Norwahidah Abdul Karim
Посмотреть публикации автора
Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar
Suzana Makpol
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar
Вклады
AMR провела эксперименты, проанализировала данные и подготовила рукопись. SCK и FJ проанализировали данные и составили рукопись. SM и NAK разработали исследование, интерпретировали данные и отредактировали рукопись. Все авторы читали и одобрили окончательный вариант рукописи.
Автор, ответственный за переписку
Переписка с Сюзанна Макпол.
Заявление об этике
Конкурирующие интересы
Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов.
Примечание издателя
Springer Nature остается нейтральной в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и институциональной принадлежности.
Права и разрешения
Открытый доступ Эта статья распространяется в соответствии с условиями международной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая разрешает неограниченное использование, распространение, и воспроизведение на любом носителе, при условии, что вы укажете автора(ов) оригинала и источник, предоставите ссылку на лицензию Creative Commons и укажете, были ли внесены изменения. Отказ Creative Commons от права на общественное достояние (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/) применяется к данным, представленным в этой статье, если не указано иное.
Перепечатки и разрешения
Об этой статье
Анализ внеклеточной объемной доли миокарда для дифференциации обратимого и необратимого повреждения миокарда и прогнозирования неблагоприятного ремоделирования левого желудочка после инфаркта миокарда с подъемом сегмента ST
Сохранить цитату в файл
Формат: Резюме (текст)PubMedPMIDAbstract (текст)CSV
Добавить в коллекции
Создать новую коллекцию
Добавить в существующую коллекцию
Назовите свою коллекцию:
Имя должно содержать менее 100 символов
Выберите коллекцию:
Не удалось загрузить вашу коллекцию из-за ошибки
Повторите попытку
Добавить в мою библиографию
Моя библиография
Не удалось загрузить делегатов из-за ошибки
Повторите попытку
Ваш сохраненный поиск
Название сохраненного поиска:
Условия поиска:
Тестовые условия поиска
Эл. адрес: (изменить)
Который день? Первое воскресеньеПервый понедельникПервый вторникПервая средаПервый четвергПервая пятницаПервая субботаПервый деньПервый будний день
Который день? воскресеньепонедельниквторниксредачетвергпятницасуббота
Формат отчета: SummarySummary (text)AbstractAbstract (text)PubMed
Отправить максимум: 1 шт. 5 шт. 10 шт. 20 шт. 50 шт. 100 шт. 200 шт.
Отправить, даже если нет новых результатов
Необязательный текст в электронном письме:
Создайте файл для внешнего программного обеспечения для управления цитированием
Полнотекстовые ссылки
Спрингер
Полнотекстовые ссылки
. 2021 Январь; 31 (1): 504-514.
doi: 10.1007/s00330-020-07117-9. Epub 2020 12 августа.
Бин-Хуа Чен ^# ¹ , Донг-Аолей Ан ^# ¹ , Цзе Хэ ² , Чун-Вэнь Ву ¹ , Тин Юэ ¹ , Руй Ву ¹ , Руо-Ян Ши ¹ , Халид Этир ³ , Бобби Джозеф ³ , Джиани Ху ³ , Цзянь-Ронг Сюй ⁴ , Лянь-Мин Ву ⁵ , Июн Пу ⁶
Принадлежности
¹ Отделение рентгенологии, больница Ренджи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика.
² Отделение кардиологии, больница Рэндзи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика.
³ Кафедра радиологии, Государственный университет Уэйна, Детройт, Мичиган, 48201, США.
⁴ Отделение рентгенологии, больница Ренджи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].
⁵ Кафедра радиологии, Больница Ренджи, Медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 PuJian Road, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].
⁶ Отделение кардиологии, больница Ренджи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь Роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].
^# Внесли поровну.
PMID: 32785772
DOI: 10.1007/s00330-020-07117-9
Бин-Хуа Чен и др. Евро Радиол. 2021 янв.
. 2021 Январь; 31 (1): 504-514.
дои: 10.1007/s00330-020-07117-9. Epub 2020 12 августа.
Авторы
Бин-Хуа Чен ^# ¹ , Донг-Аолей Ан ^# ¹ , Цзе Хэ ² , Чун-Вэнь Ву ¹ , Тин Юэ ¹ , Руй Ву ¹ , Руо-Ян Ши ¹ , Халид Этир ³ , Бобби Джозеф ³ , Джиани Ху ³ , Цзянь-Ронг Сюй ⁴ , Лянь-Мин Ву ⁵ , Июн Пу ⁶
Принадлежности
¹ Кафедра радиологии, Больница Ренджи, Медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 PuJian Road, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика.
² Отделение кардиологии, больница Рэндзи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика.
³ Кафедра радиологии, Государственный университет Уэйна, Детройт, Мичиган, 48201, США.
⁴ Отделение рентгенологии, больница Ренджи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].
⁵ Кафедра радиологии, Больница Ренджи, Медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 PuJian Road, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].
⁶ Отделение кардиологии, больница Рэндзи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].
^# Внесли поровну.
PMID: 32785772
DOI: 10.1007/s00330-020-07117-9
Абстрактный
Цели: Наше исследование было направлено на изучение прогностической ценности радиометрической ТА (анализ текстуры) при количественном картировании фракции ECV (внеклеточный объем) для дифференциации обратимого и необратимого повреждения миокарда и прогнозирования неблагоприятного ремоделирования левого желудочка у пациентов с реперфузированным ИМпST (инфаркт миокарда с подъемом сегмента ST). ).
Методы: Это обсервационное проспективное когортное исследование выявило 70 пациентов (62 ± 9 лет, 62 мужчины [85,70%)] с ИМпST по поводу ТА, которым последовательно выполняли нативное и контрастное Т1-картирование. Особенности текстуры были извлечены из каждого набора карт ECV на основе анализа ROI (области интереса).
Полученные результаты: После выбора признаков текстуры и уменьшения размеров пять выбранных признаков текстуры оказались статистически значимыми для дифференциации степени повреждения миокарда. Анализ кривой ROC (рабочей характеристики приемника) для дифференциации инфаркта, подлежащего восстановлению, и миокарда, подлежащего спасению, продемонстрировал значительно более высокую AUC (площадь под кривой) (0,9).1 [95% ДИ, 0,86–0,96], p < 0,0001) для горизонтальной фракции, чем для других характеристик текстуры (p < 0,05). LVAR (неблагоприятное ремоделирование левого желудочка) можно было предсказать по этим выбранным признакам. Различия в качественных и количественных исходных параметрах и горизонтальных фракциях были достоверными между пациентами с LVAR и без него. LGE (позднее усиление гадолинием) и характеристики горизонтальной фракции инфарктного миокарда при остром ИМпST были единственными двумя параметрами, выбранными для формирования оптимальной общей многофакторной модели для LVAR через 6 месяцев.
Выводы: Рентгенологический анализ ECV может отличить обратимое от необратимого повреждения миокарда после ИМпST. LGE, а также радиомика TA (анализ текстуры) ECV может предоставить альтернативу для прогнозирования LVAR и функционального восстановления.
Ключевые моменты: • Количественная оценка ECV позволила отличить инфарктный миокард от неинфарктного миокарда. • Рентгенологический анализ ECV может отличить обратимое повреждение миокарда от необратимого. • Анализ Radiomics TA показывает многообещающее сходство с результатами LGE, которые могут помочь в прогнозировании пациентов с инфарктом миокарда.
Ключевые слова: Внеклеточный матрикс; магнитно-резонансная томография; Инфаркт миокарда; Ремоделирование желудочков.
Похожие статьи
Объемная доля внеклеточного объема миокарда позволяет дифференцировать обратимое и необратимое повреждение миокарда и прогнозировать неблагоприятное ремоделирование левого желудочка при инфаркте миокарда с подъемом сегмента ST.
Chen BH, An DA, He J, Xu JR, Wu LM, Pu J. Чен Б.Х. и др. J Magn Reson Imaging. 2020 авг; 52 (2): 476-487. doi: 10.1002/jmri.27047. Epub 2020 14 января. J Magn Reson Imaging. 2020. PMID: 31943526
CMR Native T1 Mapping позволяет дифференцировать обратимое и необратимое повреждение миокарда при инфаркте миокарда с подъемом сегмента ST: исследование OxAMI (Оксфордский острый инфаркт миокарда).
Лю Д., Борлотти А., Вилиани Д., Йерош-Херольд М., Алхалил М., Де Мария Г.Л., Фарни Г., Докинз С., Виджесурендра Р., Фрэнсис Дж., Феррейра В., Печник С., Робсон М.Д., Баннинг А., Чоудхури Р., Нойбауэр С., Чэннон К., Харбанда Р., Далл’Армеллина Э. Лю Д. и др. Циркулярная кардиоваскулярная визуализация. 2017 авг;10(8):e005986. doi: 10.1161/ОБЪЕМНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ.116.005986. Циркулярная кардиоваскулярная визуализация. 2017. PMID: 28798137 Бесплатная статья ЧВК.
Оценка внеклеточного объема миокарда с помощью CMR позволяет прогнозировать функциональное восстановление после острого инфаркта миокарда.
Кидамби А., Мотвани М., Уддин А., Рипли Д.П., МакДиармид А.К., Свобода П.П., Бродбент Д.А., Муса Т.А., Эрхайем Б., Лидер Дж., Круазиль П., Кларисс П., Гринвуд Д.П., Плейн С. Кидамби А. и др. JACC Cardiovasc Imaging. 2017 сен; 10 (9): 989-999. doi: 10.1016/j.jcmg.2016.06.015. Epub 2016 19 октября. JACC Cardiovasc Imaging. 2017. PMID: 27771398 Бесплатная статья ЧВК.
Повышенная оксигенация связана с воспалением миокарда и неблагоприятным регионарным ремоделированием после острого инфаркта миокарда с подъемом сегмента ST.
Ши К., Ма М., Ян М.С., Ся К.С., Пэн В.Л., Хе И., Ли З. Л., Го Ю.К., Ян З.Г. Ши К. и др. Евро Радиол. 2021 Декабрь; 31 (12): 8956-8966. doi: 10.1007/s00330-021-08032-3. Epub 2021 18 мая. Евро Радиол. 2021. PMID: 34003352
T ₁ — Картирование и оценка внеклеточного объема у детей с мышечной дистрофией Дюшенна и у здоровых лиц контрольной группы при 3T.
Мафоро Н.Г., Маграт П., Мулен К., Шао Дж., Ким Г.Х., Проспер А., Ренелла П., Ву Х.Х., Халнон Н., Эннис Д.Б. Мафоро Н.Г. и соавт. J Cardiovasc Magn Reson. 2020 10 декабря; 22 (1): 85. дои: 10.1186/с12968-020-00687-з. J Cardiovasc Magn Reson. 2020. PMID: 33302967 Бесплатная статья ЧВК.
Посмотреть все похожие статьи
Цитируется
[Искусственный интеллект и радиомика: значение в МРТ сердца].
Рау А., Сощинский М., Тарон Дж., Рюйл П., Шлетт К.Л., Бамберг Ф., Краусс Т. Рау А и др. Радиология (Хайдельб). 2022 г., 25 августа. doi: 10.1007/s00117-022-01060-0. Онлайн перед печатью. Радиология (Хайдельб). 2022. PMID: 36006439Обзор. Немецкий.
Прогнозирование функции миокарда после коронарного шунтирования с использованием радиомикроскопических функций МРТ и алгоритмов машинного обучения.
Ариан Ф., Амини М., Мостафаи С., Резаи Калантари К., Хаддади Аввал А., Шахбази З., Касани К., Битарафан Раджаби А., Чаттерджи С., Овейси М., Шири И., Заиди Х. Ариан Ф. и др. J цифровое изображение. 2022 г., 22 августа. doi: 10.1007/s10278-022-00681-0. Онлайн перед печатью. J цифровое изображение. 2022. PMID: 35995896
Качество научных данных и отчетность по радиомике в исследованиях магнитно-резонансной томографии сердца: систематический обзор.
Чанг С., Хань К., Су Ю.Дж., Чой Б.В. Чанг С. и др. Евро Радиол. 2022 июль; 32 (7): 4361-4373. doi: 10.1007/s00330-022-08587-9. Epub 2022 1 марта. Евро Радиол. 2022. PMID: 35230519
Магнитно-резонансный анализ текстуры при инфаркте миокарда.
Пэн Ф., Чжэн Т., Тан С., Лю Ц., Сунь З., Фэн З., Чжао Х., Гун Л. Пэн Ф. и др. Front Cardiovasc Med. 2021 28 окт;8:724271. doi: 10.3389/fcvm.2021.724271. Электронная коллекция 2021. Front Cardiovasc Med. 2021. PMID: 34778395 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.
использованная литература
Mehta RH, Harjai KJ, Cox D et al (2003)Клинические и ангиографические корреляты и результаты субоптимального коронарного кровотока у пациентов с острым инфарктом миокарда, подвергающихся первичному чрескожному коронарному вмешательству. Дж. Колл Кардиол 42: 1739–1746 — DOI
Rodriguez-Palomares JF, Gavara J, Ferreira-Gonzalez I et al (2019)Прогностическое значение исходного ремоделирования левого желудочка у пациентов с реперфузионным ИМпST. JACC Cardiovasc Imaging. https://doi.org/10.1016/j.jcmg.2019.02.025
Кэррик Д., Хейг С., Раухаламми С. и др. (2015)Патофизиология ремоделирования ЛЖ у выживших после ИМпST: воспаление, отдаленный миокард и прогноз. JACC Cardiovasc Imaging 8: 779–789 — DOI
Пфеффер М. А., Браунвальд Э. (1990)Ремоделирование желудочков после инфаркта миокарда. Экспериментальные наблюдения и клинические последствия. Тираж 81: 1161–1172. — DOI
Bulluck H, Rosmini S, Abdel-Gadir A et al (2016)Остаточное миокардиальное железо после внутримиокардиального кровоизлияния во время фазы выздоровления реперфузированного инфаркта миокарда с подъемом сегмента ST и неблагоприятного ремоделирования левого желудочка. Circ Cardiovasc Imaging 9: 1–10 — DOI
термины MeSH
вещества
Грантовая поддержка
81873886 / Национальный фонд естественных наук Китая
81873887 / Национальный фонд естественных наук Китая
2017YQ031 / Муниципальная комиссия Шанхая по здравоохранению и планированию семьи, отличная программа для молодых талантов
SHDC12018X21 / Шанхайский центр развития больницы Шэнькан, проект клинических исследований и развития
YG2017QN44 / Проект медицинского кросса Шанхайского университета Цзяо Тонг
19DZ2203800 / Шанхайский план действий по инновациям в области науки и техники, стандартный технологический проект
2019–1904 Шанхайский университет Цзяо Тонг, медицинский факультет, проект «Двойная сотня выдающихся людей»
Полнотекстовые ссылки
Спрингер
Укажите
Формат: ААД АПА МДА НЛМ
Отправить по телефону
Разложение на неполные дроби: повторяющиеся и неприводимые факторы
Вернуться к Указатель уроков  | Делайте уроки в заказе | Подходит для печати страница
Неполная дробь Разложение: как обращаться с повторяющимися и неприводимыми факторами (стр. 2 из 3)
Разделы: Общие методики, Как справляться с повторяющимися и неустранимыми факторами, Примеры
Иногда встречается множитель в знаменателе больше одного. Например, в дроби ¹³ / ₂₄ , знаменатель 24 факторы как 2223. Фактор 2 происходит три раза. Чтобы получить ¹³/₂₄ , может быть ¹ / ₂ или ¹ / ₄ или а ¹ / ₈ который был включен в оригинальное дополнение. Вы не можете сказать, глядя по конечному результату.
Таким же образом, если рациональное выражение имеет повторяющийся множитель в знаменателе, вы не можете сказать, просто взглянув, какие знаменатели могли быть включены в первоначальное дополнение. Вы должны учитывать каждую возможность.
Найдите неполную дробь разложение следующего выражения:
Фактор x 1 встречается в знаменателе три раза. Я учту это, составив дроби, содержащие возрастающие степени этого множителя в знаменателе, вот так:
Теперь умножаю на общее знаменатель, чтобы получить:
Я мог бы использовать систему уравнений, чтобы решить для A , B , С и Д , но другой метод казался более легким. Два числа обнуления x = 1 и х = 0: так
х = 1: 1 + 1 = 0 + 0 + С + 0, значит С = 2
х = 0: 1 = 0 + 0 + 0 Д , поэтому D = 1
Но что мне теперь делать? у меня есть два других переменные, а именно A и Б , для которых мне нужны значения. Но так как у меня есть значения для C и Д , Я могу выбрать любые два других значения x , подключите их и получите систему уравнений, которую я могу решить для A и Б . Конкретные значения x Я выбираю неважные, поэтому выберу поменьше:
х = 2: Авторские права Элизабет Стапель 2006-2011 Все права защищены
(2) ² + 1 = А (2)(2 1) ² + В (2)(2 1) + (2)(2) + (1)(2 1) ³
4 + 1 = 2 А + 2 Б + 4 1
5 = 2 А + 2 В + 3
1 = А + В
х = 1:
(1) ² + 1 = А (1)(1) 1) ² + В (1)(1 1) + (2)(1) + (1)(1 1) ³
1 + 1 = 4 А + 2 Б 2 + 8
2 = 4 А + 2 В + 6
2 А В = 2
Я все еще не могу решить систему уравнений, но используя более простой метод решения для C и Д , Теперь у меня есть более простая система для решения. Складывая два уравнения, я получаю 3 А = 3, так А = 1. Тогда B = 0 (так что этот член в разложении «исчезает»), а полное разложение это:
В приведенном выше примере один из коэффициентов оказался нулевым. Это случается не часто (на уроках алгебры, в любом случае), но не удивляйтесь, если вы получите ноль или даже дроби для некоторые из ваших коэффициентов. Учебники обычно придерживаются довольно близко к красивым аккуратным целым числам, но не всегда. Не думайте, что дробь или ноль — неправильный ответ. Например:
…раскладывается как:
Примечание. Вы также можете обрабатывать дроби вот так:
Если знаменатель вашего рационального выражения имеет нефакторизуемый квадратичный, то у вас есть для учета возможного «размера» числителя. Если знаменатель содержит множитель второй степени, то числитель может не быть просто числом; она может быть первой степени. Таким образом, вы будете иметь дело с квадратичный множитель в знаменателе путем включения линейного выражения в числитель.
Найдите неполную дробь разложение следующего:
Факторизируя знаменатель, я получаю x ( x ² + 3). Я не могу факторизовать квадратное бит, поэтому моя расширенная форма будет выглядеть так:
Обратите внимание, что числитель для » x ² + 3″ дробь является линейным многочленом, не просто постоянный срок.
Умножение на общий знаменатель, Я получаю:
Единственный ноль в исходном знаменателе х = 0, так:
Затем А = 1. Так как у меня нет другого полезного x — значения для работы, я думаю, что возьму одно значение, которое я решил ибо приравняем оставшиеся коэффициенты и посмотрим, что мне это даст:
(Нет единственного «правильного» пути решить значения коэффициентов. Используйте любой метод, который «чувствует» право на данное упражнение.)
Тогда разложение:
<< Предыдущая Топ | 1 | 2 | 3 | Возвращаться к индексу Далее >>
Процитировать эту статью как:
Стапель, Элизабет. «Разложение на неполные дроби: как обращаться с повторяющимися и Неустранимые факторы.»
     Purplemath .
Оставить комментарий on Дифференцирование дроби: Производная дроби — доказательство — примеры/
Нок 4 15: НОК (15 и 4) =??? помогите пожалуйста!))
alexxlab / 22.01.197117.09.2022 / Разное
2
41 норвежская крона (NOK) в евро (EUR) на сегодня
Стоимость 41 норвежской кроны в евро на сегодня составляет 4,06 € по данным ЦБ РФ, по сравнению со вчерашним днём курс валюты уменьшился на -0,34% (на -0,0003 €). Курс норвежской кроны по отношению к евро на графике, таблица динамики стоимости в процентах за день, неделю, месяц и год.
Конвертер валют
Норвежская крона
NOK Норвегия
Евро
EUR Евросоюз
С помощью конвертера валют вы можете перевести 41 норвежскую крону в евро и узнать сколько сейчас стоит сорок одна крона в евро. Также, вы можете произвести обратный расчёт и узнать текущую стоимость 41 евро в кронах.
39 NOK в EUR 40 NOK в EUR 41 NOK в EUR 42 NOK в EUR 43 NOK в EUR
3,86 € 3,96 € 4,06 € 4,16 € 4,25 €
График изменений курса 41 норвежской кроны к евро
Выберите период для построения графика:
Курс норвежской кроны к евро на графике позволяет отслеживать изменения за различные периоды и делать выводы о возможных прогнозах курса одной валюты по соотношению к другой.
Динамика стоимости 41 кроны в евро
Сравните стоимость 41 норвежской кроны в евро в прошлом с текущей ценой на данный момент.
Изменения за неделю (7 дней)
Дата День недели 41 NOK в EUR Изменения Изменения %
9 сентября 2022 г. пятница 41 NOK = 4,07 EUR -0,01 EUR -0,30%
10 сентября 2022 г. суббота 41 NOK = 4,07 EUR -0,0003 EUR -0,01%
11 сентября 2022 г. воскресенье 41 NOK = 4,12 EUR +0,05 EUR +1,31%
12 сентября 2022 г. понедельник 41 NOK = 4,11 EUR -0,01 EUR -0,23%
13 сентября 2022 г. вторник 41 NOK = 4,07 EUR -0,05 EUR -1,16%
14 сентября 2022 г. среда 41 NOK = 4,07 EUR +0,0043 EUR +0,11%
15 сентября 2022 г. четверг 41 NOK = 4,06 EUR -0,01 EUR -0,34%
Стоимость 41 крона (NOK) в евро за неделю (7 дней) уменьшилась на -0,01 € (ноль евро один евроцент).
Изменения за месяц (30 дней)
Дата День недели 41 NOK в EUR Изменения Изменения %
16 августа 2022 г. вторник 41 NOK = 4,17 EUR +0,01 EUR +0,35%
15 сентября 2022 г. четверг 41 NOK = 4,06 EUR -0,11 EUR -2,76%
Стоимость 41 крона (NOK) в евро за месяц (30 дней) уменьшилась на -0,11 € (ноль евро одиннадцать евроцентов).
Изменения за год (365 дней)
Дата День недели 41 NOK в EUR Изменения Изменения %
15 сентября 2021 г. среда 41 NOK = 4,05 EUR +0,03 EUR +0,82%
15 сентября 2022 г. четверг 41 NOK = 4,06 EUR +0,01 EUR +0,18%
Стоимость 41 крона (NOK) в евро за год (365 дней) увеличилась на +0,01 € (ноль евро один евроцент).
Кросс-курс 41 NOK к другим валютам
RUB
Российский рубль
Россия
242,07 RUB
Изменение за неделю
-8,89 ₽
-3,67%
USD
Доллар США
США
4,06 USD
Изменение за неделю
-0,07 $
-1,70%
BTC
Биткоин
Криптовалюта
0,0002 BTC
Изменение за неделю
+0,000009 BTC
+4,22%
CNY
Китайский юань
КНР
28,37 CNY
Изменение за неделю
-0,22 ¥
-0,79%
Повар (4 уровень квалификации)
77.039.02.31
г Уфа, пр-кт Октября, д 67
Показать на карте Открыть
77. 039.02.75
Уфа, ул Российская, д 100/3
Показать на карте Открыть
77.039.05.32
г Хасавюрт, Махачкалинское шоссе, д 1А
Показать на карте Открыть
77.039.14.83
г Якутск, ул Строда, д 7
Показать на карте Открыть
77.039.23.36
г Сочи, ул Чайковского, д 43
Показать на карте Открыть
77.039.24.01
г Красноярск, пр-кт Металлургов, д 4
Показать на карте Открыть
77.039.24.67
г Красноярск, ул Курчатова, д 15
Показать на карте Открыть
77.039.27.57
г Хабаровск, ул Московская, д 6
Показать на карте Открыть
77. 039.27.69
г Николаевск-на-Амуре, ул Попова, д 24
Показать на карте Открыть
77.039.27.70
р-н Имени Лазо рп Хор, Менделеева, 13
Показать на карте Открыть
77.039.27.72
г Комсомольск-на-Амуре, ул Пионерская, д 73
Показать на карте Открыть
77.039.27.73
г Советская Гавань, ул Чкалова, д 12
Показать на карте Открыть
77.039.30.37
г Астрахань, ул Куликова, д 46А
Показать на карте Открыть
77.039.30.74
г Астрахань, ул Куликова, д 42
Показать на карте Открыть
77. 039.31.51
г Белгород, ул Привольная, д 2
Показать на карте Открыть
77.039.42.16
г Кемерово, ул Радищева, д 7
Показать на карте Открыть
77.039.44.50
г Кострома, ул Долматова, д 25А
Показать на карте Открыть
77.039.44.52
г Кострома, Кинешемское шоссе, д 45/51
Показать на карте Открыть
77.039.44.82
г Шарья, ул Имени 50-летия Советской Власти, д 7
Показать на карте Открыть
77.039.45.04
г Курган, ул Некрасова, д 10
Показать на карте Открыть
77.039.54. 09
г Татарск, ул Ленина, д 91А
Показать на карте Открыть
77.039.54.10
г Новосибирск, ул Зорге, д 2
Показать на карте Открыть
77.039.54.39
г Новосибирск, ул Богдана Хмельницкого, д 67
Показать на карте Открыть
77.039.54.62
г Новосибирск, ул Геодезическая, д 15
Показать на карте Открыть
77.039.61.27
г Таганрог, ул Свободы, д 34
Показать на карте Открыть
77.039.61.28
г Ростов-на-Дону, пер Островского, д 153
Показать на карте Открыть
77.039.61.29
г Ростов-на-Дону, ул Чебанова, д 10
Показать на карте Открыть
77. 039.61.30
г Ростов-на-Дону, пр-кт Шолохова, д 128
Показать на карте Открыть
77.039.61.80
г Новочеркасск, ул Атаманская, д 40
Показать на карте Открыть
77.039.61.81
г Новошахтинск, ул Школьная, д 7
Показать на карте Открыть
77.039.61.84
ст Мятикинская, ул. Ленина, д. 13
Показать на карте Открыть
77.039.63.07
г Новокуйбышевск, ул Успенского, д 2
Показать на карте Открыть
77.039.63.55
г Самара, ул Молодогвардейская, д 72
Показать на карте Открыть
77. 039.65.45
г Южно-Сахалинск, ул Комсомольская, д 212
Показать на карте Открыть
77.039.66.06
г Екатеринбург, ул Мамина-Сибиряка, д 16
Показать на карте Открыть
77.039.66.11
г Екатеринбург, пр-кт Ленина, д 2
Показать на карте Открыть
77.039.66.12
г Екатеринбург, ул Большакова, д 65
Показать на карте Открыть
77.039.66.22
г Каменск-Уральский, ул Олега Кошевого, д 21
Показать на карте Открыть
77.039.66.25
г Нижний Тагил, пр-кт Ленина, д 2А
Показать на карте Открыть
77. 039.66.38
г Березовский, ул Мира, д 5
Показать на карте Открыть
77.039.66.68
г Талица, ул Кузнецова, д 73
Показать на карте Открыть
77.039.68.02
г Тамбов, ул Мичуринская, д 110
Показать на карте Открыть
77.039.70.40
г Колпашево, ул Победы, д 12
Показать на карте Открыть
77.039.70.60
Село Мельниково, Улица Чапаева, д. 60
Показать на карте Открыть
77.039.70.64
г Томск, ул Ивана Черных, д 97
Показать на карте Открыть
77.039.70.66
г Асино, ул им. Гончарова, д 46
Показать на карте Открыть
77.039.72.03
г Тюмень, ул Киевская, д 63
Показать на карте Открыть
77.039.73.15
г Ульяновск, ул Кузнецова, д 18
Показать на карте Открыть
77.039.73.61
рп. Кузоватово, ул. Октябрьская, д 30
Показать на карте Открыть
77.039.73.63
г Димитровград, ул Прониной, зд 19
Показать на карте Открыть
77.039.77.01
г Москва, Мурманский проезд, д 10
Показать на карте Открыть
77.039.77.02
г Москва, Шипиловский проезд, д 37 к 1
Показать на карте Открыть
77. 039.91.33
г Симферополь, ул Севастопольская, д 54 к 1
Показать на карте Открыть
77.039.91.34
г Ялта, ул 16 апреля 1944 года, д 19
Показать на карте Открыть
77.039.91.53
г Евпатория, ул им.Крупской, д 7
Показать на карте Открыть
77.039.91.54
г Симферополь, ул Дыбенко, д 14
Показать на карте Открыть
77.039.91.76
г Белогорск, ул Луначарского, зд 48а
Показать на карте Открыть
77.039.91.77
г Феодосия, ул Карла Маркса, д 48
Показать на карте Открыть
77. 039.91.78
Советский район, с. Пруды, ул. Керченская, д.18
Показать на карте Открыть
77.039.91.79
г Саки, ул Заводская, д 52
Показать на карте Открыть
77.039.92.65
г Севастополь, пр-кт Октябрьской революции, д 89
Показать на карте Открыть
77.054.14.06
п. Жатай, ул. Строда, д.7
Показать на карте Открыть
77.054.15.01
г Владикавказ, ул Астана Кесаева, д 12А
Показать на карте Открыть
77.054.77.01
г Москва, ул Татарская Б., д 9
Показать на карте Открыть
77. 054.77.03
г Москва, ул Отрадная, д 2Б
Показать на карте Открыть
Курс валют Норвежская крона/Российский рубль (NOK RUB) — Investing.com
Обзор NOK/RUB
Пред. закр.
5,8776
Спрос
5,9113
Дн. диапазон
5,8344-5,9118
Открытие
5,8776
Предл.
5,9113
52 недель
5,0983-17,4095
Изменение за год
-30,32%
Каков ваш прогноз по инструменту NOK/RUB?
В данный момент рынок закрыт. Голосование будет доступно во время торговых часов.
Тип
5 мин
15 мин
1 час
1 день
1 месяц
Скол. средние Активно покупать Активно покупать Покупать Активно продавать Активно продавать
Тех. индикаторы Активно покупать Активно покупать Активно покупать Активно продавать Активно продавать
Резюме Активно покупать Активно покупать Активно покупать Активно продавать Активно продавать
Модель
Временной период
Надежность
Х свечей назад
Время
Завершенные модели
Three Black Crows 1M 4 Май ’22
Three Outside Up 1M 8 Янв. ’22
Engulfing Bullish 1M 9 Дек. ’21
Doji Star Bearish 30 12 16.09.2022 17:30
Doji Star Bullish 1H 13 16.09.2022 10:00
Котировки NOK/RUB
Биржа
Цена
Спрос
Предл.
Объем
Изм. %
Валюта
Время
Форекс в реальном времени
5,9113 5,9113 5,9113 0 +0,57% RUB 16/09
Москва
11,9318 11,9318 11,9318 0 0,00% RUB 16/09
Центральные банки
Банк Норвегии()
Текущая ставка 0,00%
Председатель Øystein Olsen
Центральный банк Российской Федерации(CBR)
Текущая ставка 7,50%
Председатель Набиуллина Эльвира
Карта валют
Норвежская крона
Азия
NOK/JPY
JPY/NOK
NOK/INR
INR/NOK
NOK/CNY
CNY/NOK
NOK/IDR
NOK/KRW
NOK/LKR
NOK/MYR
NOK/HKD
HKD/NOK
NOK/NPR
NOK/PHP
PHP/NOK
NOK/PKR
NOK/SGD
SGD/NOK
NOK/THB
THB/NOK
NOK/TWD
TWD/NOK
Южная Америка
NOK/ARS
ARS/NOK
NOK/BRL
BRL/NOK
NOK/CLP
NOK/VES
VES/NOK
Северная Америка
NOK/CAD
CAD/NOK
NOK/MXN
MXN/NOK
NOK/USD
USD/NOK
Европа
NOK/DKK
DKK/NOK
NOK/SEK
SEK/NOK
NOK/CHF
CHF/NOK
NOK/CZK
NOK/EUR
EUR/NOK
NOK/GBP
GBP/NOK
NOK/HUF
NOK/ISK
NOK/PLN
PLN/NOK
NOK/RON
NOK/RUB
RUB/NOK
NOK/TRY
TRY/NOK
Тихий океан
NOK/AUD
AUD/NOK
NOK/NZD
NZD/NOK
Африка
NOK/EGP
NOK/KES
NOK/MAD
NOK/NAD
NOK/XAF
NOK/XOF
NOK/ZAR
ZAR/NOK
Ближний Восток
NOK/AED
AED/NOK
NOK/BHD
NOK/ILS
ILS/NOK
NOK/JOD
NOK/LBP
NOK/OMR
NOK/QAR
NOK/SAR
SAR/NOK
Карибы
NOK/BBD
NOK/JMD
NOK/XCD
Центральная Америка
NOK/PAB
Camping Le Balze, Volterra — Обновлены цены на 2023 год.
Посмотреть цены и забронировать
Последнее бронирование
От 25,45 £/29,00 €/43,22 A$/29,05 $/38,53 CA$/28,03 CHF/303,14 SEK/215,67 DKK/295,98 NOK/4 054 ISK/4 169,94 ARS/26 792 CLP/112,63 PEN/48,49 NZ$/510,54 ZAR/136,92 PLN/152,56 R$/711,16 CZK/3 403 RSD/11 736,78 HUF/1 757,33 ₽/202,86 CN¥ (за 1 ночь, 2 взрослых)
Может, указать подробности и посмотреть точную цену?
Общая информация
Семейный кемпинг в потрясающе живописных холмах Тосканы
Пять минут до Вольтерры и винодельческого региона Кьянти
Бассейн, бар-кафетерий и небольшой магазинчик в кемпинге
Приезжайте отдыхать в Le Balze — семейный кемпинг в пяти минутах езды от центра города Вольтерра в тосканской провинции Пиза.
Это тихое место, куда не забредают толпы туристов, осаждающие Пизанскую башню, галерею Уффици во Флоренции или город Сан-Джиминьяно, включенный в список Всемирного наследия ЮНЕСКО… Однако до всех этих достопримечательностей можно добраться за час-полтора, если вы захотите добавить культурных впечатлений в свой отпуск (что, безусловно, стоит сделать).
Прикоснуться к истории и культуре можно и поближе к кемпингу: достаточно съездить в Вольтерру, где есть не только музеи, но и целый археологический парк, акрополь, средневековый квартал, дворец и кафедральный собор. Не любите города? Тогда лучше поездить по природе, а заодно посетить пару виноградников: их тут несколько десятков в пределах часа езды. Неудивительно — в конце концов, это регион Кьянти…
Достаточно надегустировались? Возвращайтесь в кемпинг, чтобы поесть, ведь после вина у вас наверняка разыграется аппетит. Можете перекусить (и выпить еще бокал-другой) на террасе бара-кафе или купить свежий хлеб и другие необходимые продукты в небольшой лавке. А если на следующий день вы будете не в состоянии куда-то выходить и захотите провести день в кемпинге, то пара часов под тосканских солнцем в шезлонге у бассейна должны исцелить любую головную боль и слабость после забега по винодельням.
Открыто с 26.03.2022 по 30.09.2022
Тип объекта
Оценка совета по туризму

Персонал говорит на этих языках:
&check; Английский
&check; Итальянский
Внимание
Автомобили/мотоциклы запрещено оставлять возле участка/единицы размещения. Весь автотранспорт должен быть припаркован в специально отведенном месте.
Лиц младше 18 лет должен сопровождать кто-то из родителей или законный опекун.
Открытый (уличный) бассейн работает с 15/06 по 15/09 (при благоприятных погодных условиях).
Дисконтные карты и подарочные ваучеры не применяются к бронированиям через Pitchup. com.
Продуктовый магазин работает с 07/05 по 13/10.
Ваша собака должна быть татуирована клеймом или чипирована.
The bar is open between 07/05 and 13/10.

Проверить наличие мест в Camping Le Balze…
Заезд:

Отъезд: (2 ночи)
Группа:
Изменить поиск…
Участок для палатки
Участок для автофургона
Участок для автодома или дома на колесах
Хижина, охотничий домик, домик-капсула или избушка
Аренда фургона
Типи, юрта, вигвам, купол, круглая палатка
Взрослые
0123456789101112131415161718192021222324252627282930
Дети
Возраст детей
Бронируете группой?
—
Макс. количество человек: 2 x
На участке можно разместить одну единицу категории Палатка.
Размер участка : Макс 3,0m ширина x 2,0m глубина (9,8ft ширина x 6,6ft глубина) Площадь: 6,0m² (64,6ft²)
Тип поверхности: с травой и гравийным покрытием
—
Макс. количество человек: 6 x
На участке можно разместить одну единицу категории Палатка или Палатка-автоприцеп.
Размер участка : без ограничений
Тип поверхности: с травой и гравийным покрытием
—
Макс. количество человек: 6 x
На участке можно разместить одну единицу категории Дом на колесах или Автодом.
Размер участка : без ограничений
Тип поверхности: с травой и гравийным покрытием
—
Макс. количество человек: 6 x
На участке можно разместить одну единицу категории Автофургон.
Размер участка : без ограничений
Тип поверхности: с травой и гравийным покрытием
Отзывы
7,5
Общая оценка на основании 25 отзывов

84% порекомендовали бы это место друзьям.
76% приехали бы сюда снова.

Distribution requires 3 reviews or more.
10 20%
9 0%
8 48%
7 0%
6 20%
5 0%
4 12%
3 0%
2 0%
1 0%
Больше оценок
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
Чистота
Wifi
Показать отзывы от:
Все авторы обзоровСемьи с маленькими детьмиСемьи с детьми постаршеЗрелые парыМолодые парыПутешественники-мужчиныПутешественники-женщиныГруппы в основном из мужчинГруппы в основном из женщин
Сортировка по: Месяц (по убыванию давности)Общая оценка (по возрастанию)Общая оценка (по убыванию)Самые полезные сверху
Где останавливались:
Все типы размещенияУчастки для палатокУчастки для автофургоновУчастки для автодомовХижины, охотничьи домики, домики-капсулы или избушкиАренда фургоновАренда палатки
Оригинальный язык отзыва:
Все языкиАнглийский (США)Английский (Австралия)Французский (Бельгия)Португальский (Бразилия)Английский (Канада)КаталанскийЧешскийДатскийНидерландскийАнглийскийФранцузскийФранцузский (Канада)НемецкийГреческийВенгерскийАнглийский (Ирландия)ИтальянскийАнглийский (Новая Зеландия)НорвежскийПольскийРусскийУпрощенный китайскийАнглийский (ЮАР)ИспанскийШведский
Показывать только отзывы о вариантах, забронированных на Pitchup. com
Показаны отзывы только за последние 30 мес.
Сбросить фильтры
Ниже находятся отзывы на других языках.
Ankommen-Genießen!16.09.2022
Alexandra B.Подтверждено
В целом
10
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
(Нет оценки)
Чистота
Wifi
Zeer slechte faciliteiten, wel vriendelijk personeel en goede plaats. 30.07.2022
АнонимныйПодтверждено
В целом
4
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
Чистота
Wifi
This was our second time at Camping Le Balze. The …25.07.2022
Bódis R.Подтверждено
В целом
10
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
Чистота
Wifi
Location and swimming pool13.07.2022
АнонимныйПодтверждено
В целом
4
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
(Нет оценки)
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
(Нет оценки)
Чистота
Wifi
Non ci torneremo perché è più simile ad un area sosta che ad un campin15. 06.2022
cristina n.Подтверждено
В целом
4
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
Чистота
Wifi
(Нет оценки)
Struttura molto buona con servizi puliti e personale molto gentile09.06.2022
АнонимныйПодтверждено
В целом
8
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
Чистота
Wifi
(Нет оценки)
Freundliches Personal, Super Pool, und alles war sauber07. 06.2022
АнонимныйПодтверждено
В целом
8
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
(Нет оценки)
Чистота
Wifi
Nice campsite if you don’t need electric07.06.2022
Nicola B. Подтверждено
В целом
6
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
(Нет оценки)
Чистота
Wifi
(Нет оценки)
Ben situat a prop de Vetralla.10.06.2022
АнонимныйПодтверждено
В целом
8
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
Чистота
Wifi
(Нет оценки)
Sehr schöne und ruhige Lage. Das Zentrum von Volterra ist …25.05.2022
Sandra C.Подтверждено
В целом
8
Место
Соотношение цены и качества
Условия проживания
Удобства/виды активности
Обслуживание
Подходит для детей
(Нет оценки)
Чистота
Wifi
Характеристики
Развлечения в кемпинге
Бар или клуб
Бассейн на улице
Велопрокат
Вечерняя развлекательная программа
Водный спорт
Детский клуб
Еда на вынос
Игровая комната
Игровая площадка
Крытый бассейн
Ресторан/кафе при объекте
Рыбалка
ТВ-зал
Теннис
Фитнес-центр
Удобства на месте
Composting toilet
Dog park
Portaloo
Pub toilets
WiFi
Бесплатный WiFi
Доступ в Интернет
Есть ванна
Есть душ
Место для мытья посуды
Охлаждение пакетами со льдом
Парковка возле участка/единицы размещения
Прачечная
Продуктовый магазин
Сушильная комната
Телефон общего пользования
Трансфер от остановки общественного транспорта
Туалет
Туалет для родителей с детьми
Удобства для инвалидов
Можно группой
Подходит для групп одного пола
Подходит для мотоциклистов
Подходит для семейного отдыха
Подходит для собраний
Подходит для студенческих компаний
Правила
Гриль предоставляется
Коммерческий транспорт разрешен
Можно жечь костры
Можно использовать гриль
Можно с собаками
Можно с собаками круглый год
Темы
Бюджет / пеший туризм
Живописный вид
Удобства
Electric car charging point(s)
Возобновляемый источник энергии
Газовые баллоны в наличии
Места для зарядки устройств
Переработка мусора
Утилизация химреагентов
Места поблизости
Dog walk nearby
Бар рядом
Магазин рядом
Остановка общественного транспорта рядом
Тип
Средний (26-50 участков)
Развлечения поблизости
Велопрокат рядом
Верховая езда рядом
Гольф рядом
Крытый бассейн рядом
Маунтинбайк рядом
Открытый бассейн рядом
Парк развлечений/тематический парк рядом
Ресторан рядом
Автодома и автофургоны
Подключение водоснабжения для автодомов
Подключение канализации для автодомов
Пункт обслуживания автодомов
Место
[[ campsite. name ]]
Этот объект сейчас не принимает бронирования через Pitchup.com.
Бронировать сейчас
Изменить поиск
Проверить наличие мест
[[ place.name ]]
Внимание: все расстояния на этой странице рассчитаны напрямик — пожалуйста, воспользуйтесь кнопкой «Как добраться» выше, чтобы уточнить фактическое расстояние в зависимости от вашего способа передвижения.
Правила
Возможное время заезда/отъезда
Размещение в собственных палатках и автодомах
Заезд: любое время – 19:00
Отъезд до: 10:00
Camping Le Balze — правила отмены
Возврат остатка: без штрафа
Плохая погода, поздний заезд или ранний отъезд не являются причинами для возврата денег или применения скидки.
Если вам нужно отменить или изменить бронирование, пожалуйста, сообщите об этом как можно раньше, чтобы ваше место могли занять другие. Возможно, вас заинтересует возможность страхования на случай отмены, а также страхования собственности и страхования от несчастных случаев на время вашего путешествия.
Обратите внимание, что сумма залога выплачивается сервису Pitchup.com и не подлежит возврату.
Оплата
Невозвратный залог в размере 15% подлежит оплате прямо сейчас.
Остаток уплачивается непосредственно Camping Le Balze при заезде.
Налог
Местный городской налог в размере 1,00 € (60,60 ₽) с человека за ночь для минимального возраста 12 до 3 ночей не включен в стоимость и подлежит уплате при заезде.
Какие способы оплаты принимаются на объекте
Maestro
MasterCard
Visa
Наличные
Условия и положения
850e2af437f2.css»>
Сколько нужно заплатить вперед? При бронировании нужно внести переводной залог в размере 15%. Остаток уплачивается при заезде. Читать дальше
Есть ли бассейн в Camping Le Balze? Да Смотреть все характеристики
Можно ли приезжать в Camping Le Balze с собаками? Да Смотреть все характеристики
Что интересного рядом с Camping Le Balze? В первую очередь стоит посетить Вольтерру, до которой всего пять минут езды: история этого знаменитого (и очень красивого) города на вершине горы уходит корнями в VII век до нашей эры, и это … Читать дальше
Когда оформляется заезд/выезд из Camping Le Balze?
Размещение в собственных палатках и автодомах
Заезд: любое время – 19:00
Отъезд до: 10:00
Читать дальше
Сколько стоит проживание в Camping Le Balze? От 1 733,34 ₽ (за 1 ночь, 2 взрослых) — цена может отличаться в зависимости от дат проживания и количества гостей. Смотреть цены и наличие мест
Министерство здравоохранения Российской Федерации
Ваше уведомление успешно отправлено. Спасибо за ваш отзыв!
Расширенный поиск
Вид документаВыберите из спискаФедеральный законРаспоряжение Правительства РФАналитический обзорДокладЗаконВедомственный приказИнформацияПисьмоСтандартРекомендацииКлинические рекомендацииМониторингСовместный приказПротоколПроектПостановлениеПостановление Правительства Российской ФедерацииФормаМетодические указанияОтчетСправкаПереченьСтатистические материалыИнформация Порядок оказания медицинской помощипереченьРаспоряжениеПостановление Правительства РФПорядок оказания медицинской ПриказМетодическое письмоПостановление УказПланПрограммаМПЗЗрекомендацияПриказ ПриказприказПлан мероприятийинформацияУказ Президента Российской ФедерацииПравительственная телеграммаКомментарийИнформационное письмо МатериалыИнформационно-методическое письмоРаспоряжение ПамяткаСтатистикаИнформационное письмоМетодологическое письмоПроект приказаПорядок оказания медицинской помощи Международный актПроект федерального законаИнструкцияТелеграмма
Принявший органВыберите из спискаФедеральный законМинистерство здравоохрания Российской ФедерацииМинистерство здравоохрания Российской Федерации Министерство здравоохранения Российской Федерацииот Министерство здравоохранения Российской ФедерацииМинистерство здравоохранения Российской ФедерациФедеральный Фонд обязательного медицинского страхованияМинистерство здравоохранения Российской ФедерацииМинистерство здравоохранения Российской Федерации548Министерство здравоохранения Российской Федарации Министерство финансов Российской ФедерацииПрезидент РФМинистерство здравоохранения Министерство здравоохранения Российской Федерации Правительственная комиссия по координации деятельности открытого правительстваПрезидент Российской ФедерацииМинистерства труда и социальной защиты РФМинистерствоздравоохранения Российской Федерации Минздрав РоссииМинистерства здравоохранения Российской ФедерацииМинздрав России Правительствj Российской ФедерацииМинистерство здравоохранения Российской Министерство здравоохранения и социального развития Российской ФедерацииМинздравсоцразвитияПравительство РФМЧС РФ Минздрав РоссииМинистерствj здравоохранения Российской Федерации Правительство Российской ФедерацииУказ ПрезидентаМинистерство здравоохранения Российской Федеррации Министерства здравоохранения Российской Федерации Министерство здравоохранения Российской Федерации Министерства здравоохранения Российской ФедерацииМинистерсто здравоохранения Российской Федерации
Номер документа
Область поискаВыберите из спискаВсе данныеТолько заголовки
Опубликован в категорииВыберите из спискаОбщественный совет при Минздраве России приказпорядки оказания медицинской помощипорядок оказания медицинской помощи приказДепартамент организации экстренной медицинской помощи и экспертной деятельностианкеты независимая оценка качестваМКБ Х стандарты приказДепартамент инфраструктурного развития и государственно-частного партнерстваДепартамент инновационной политики и наукипорядки оказания медицинской помощи приказдонорство органов и трансплантацияДепартамент анализа, прогноза и инновационного развития здравоохраненияДепартамент лекарственного обеспечения и регулирования обращения медицинских изделийнезависимая оценка качестванезависимая оценка качества приказтиповые отраслевые нормы времени врач приказкодекс этики и служебного поведения приказприказ независимая оценка качестваприказ стандарты МКБ Хпорядок оказания медицинской помощиОбщественный совет при Минздраве Россиимедицинские кадры и образованиемеждународное сотрудничествоинформатизация здравоохраненияобращение лекарственных средствМКБ X стандарты приказПротиводействие коррупции приказспортивная медицинадокладприказ порядок Минздрав РоссииматериалыФедеральный Фонд обязательного медицинского страхованияправительственная телеграммаотчетспециализированная медицинская помощьстандартраспоряжениепроектписьмоМинздрав РоссииПравительство РФметодические указанияурологияпротоколтелеграммасправкаотраслевое соглашениеторакальная хирургияревматологияинформацияПрезидент РФДепартамент международного сотрудничества и связей с общественностьюстатистикаДепартамент информационных технологий и связиплатная медицинская помощьтребованияправиларазъясненияпландемографическая политикапамятканаркотические средствапособиеобразованиегинекологияДТПстрахованиефедеральное агентствоинформационное письмоплан-графикмедицинские изделия20112014постановлениепрограммаФинансово-экономический департаментперечень лекарствконкурсбеременностьположениеорфанные заболеванияприказдиспансеризациясовет по этикепорядокуказвнештатаные специалистыЕГИСЗмедицинские информационные системыструктурапервая медицинская помощьмедицина катастрофтуберкулезслужба кровифедеральные целевые программы приказбланкзаконМинздрав России приказбесплатная медицинская помощьслужба медицины катастрофгосударственные закупкипроверкаАдминистративный регламентстанднартыстандартыбюджетзащита населения и территорий от чрезвычайных ситуацийВИЧДепартамент управления делами и кадроввакцинациястандарыстандатысандартыМКБпркиазстандартныепрказстанартыобеспечение лекарственными средствамиприказыМКБ Хконтрольная деятельностьМКБ Xстадартынезависимая оценка качества приказыприказ Противодействие коррупциигосударственная службаПротиводействие коррупцииДепартамент государственного регулирования обращения лекарственных средствцентры здоровьямедицинская помощь детямвысокотехнологичная медицинская помощьпрофилактикаонкологияборьба с курениемДепартамент охраны здоровья и санитарно-эпидемиологического благополучия человекарегионыДепартамент медицинской помощи детям и службы родовспоможенияВероника СкворцоваМинистрскорая медицинская помощьДепартамент медицинского образования и кадровой политикиколлегияДепартамент организации медицинской помощи и санаторно-курортного деламедицинская помощьрекомендациивниманию регионовДепартамент учетной политики и контроляобщественный совет про НОКпереченьсовет общественных организаций по защите прав пациентов при Минздраве России
Принят позже, чем …
Принят раньше, чем …
Порядок сортировкиПо убыванию даты (сначала новые)По возрастанию даты (сначала старые)По релевантности
30 мая 2022
Приказ Министерства здравоохранения РФ от 10.
07.2015 № 434н «Об утверждении Методических рекомендаций по расчету финансовых затрат на оказание медицинской помощи по каждому протоколу клинической апробации методов профилактики, диагностики, лечения и реабилитации»
Приказ
434н
Минздрав России
2015-07-10
30 мая 2022
Приказ Минздрава России от 28 апреля 2022 г. № 294 «Об утверждении состава совета по этике»
Приказ
294
Минздрав России
2022-04-28
13 апреля 2022
Федеральный закон о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации
МПЗЗ
№64-ФЗ
Федеральный закон
2022-03-26
13 апреля 2022
Указ Президента Российской Федерации
МПЗЗ
№474
Указ Президента
2020-07-21
13 апреля 2022
Приказ Минздрава России
МПЗЗ
№698н
Минздрав России
2021-07-01
13 апреля 2022
Постановление Правительство РФ
МПЗЗ
№ 2299
Правительство Российской Федерации
2020-12-28
13 апреля 2022
Постановление Правительства РФ
МПЗЗ
№505
Правительство Российской Федерации
2022-03-29
13 апреля 2022
Приказ Минстроя России
МПЗЗ
№63пр
Минздрав России
2022-02-01
07 апреля 2022
Памятка для работодателей в случаях, связанных с размещением вакансий
Памятка
Минздрав России
2022-04-05
04 апреля 2022
План адаптации к изменениям климата
31 марта 2022
Перечень редких (орфанных) заболеваний
Перечень
Минздрав России
2022-03-31
27 декабря 2021
Приказ МЗ от 25 октября 2021 г.
N 1008 О внесении изменений в некоторые приказы Министерства здравоохранения Российской Федерации об утверждении ОФС и ФС
Приказ
1008
Министерство здравоохранения Российской Федерации
2021-10-25
18 ноября 2021
Перечень редких (орфанных) заболеваний
Перечень
Минздрав России
2021-11-18
10 ноября 2021
Постановление Правительства Российской Федерации от 12.10.2021 № 1730 «Об утверждении Правил предоставления иных межбюджетных трансфертов из федерального бюджета бюджетами субъектов Российской Федерации, признанных территориями, «свободными от COVID-19»
Постановление Правительства Российской Федерации
1730
2021-10-12
27 сентября 2021
Перечень редких (орфанных) заболеваний
Перечень
Минздрав России
2021-09-27
21 сентября 2021
Методические рекомендации для руководителей медицинских организаций первичного звена здравоохранения
МПЗЗ
2021-09-21
13 сентября 2021
Инструкция по оказанию первой помощи с применением Аптечки для оказания первой помощи работникам
Инструкция
Минздрав России
2021-09-13
13 сентября 2021
Инструкция по оказанию первой помощи с применением укладки для оказания первой помощи пострадавшим на железнодорожном транспорте
Инструкция
Минздрав России
2021-09-13
13 сентября 2021
Инструкция по оказанию первой помощи с применением укладки для оказания первой помощи пострадавшим в ДТП сотрудниками ГИБДД
Инструкция
Минздрав России
2021-09-13
13 сентября 2021
Инструкция по оказанию первой помощи с применением укладки для оказания первой помощи в сельских поселениях
Инструкция
Минздрав России
2021-09-13
Всего документов: 4145.
Northrop Grumman Corporation (NOC) CFO David Keffer Presents at JPMorgan Industrials Conference (Transcript)
Transcripts
Industrial
Mar. 15, 2022 4:32 PM ETNorthrop Grumman Corporation (NOC)
SA Transcripts
130.6 K Подписчики
Корпорация Northrop Grumman (NYSE:NOC) Конференция JPMorgan Industrials 15 марта 2022 г. 14:10 по восточному времени
Участники компании
Сет Сейфман — JPMorgan
Участники телефонной конференции
Тодд Эрнст – IR
Дэвид Кеффер – финансовый директор
Сет Сейфман
Хорошо. Добрый день. Добро пожаловать обратно на трек аэрокосмической обороны на конференции JPMorgan Industrials 2022. Я Сет Сейфман, аналитик по акциям аэрокосмической обороны США, и мы очень благодарны за то, что сегодня днем с нами будет руководство Northrop Grumman, а также Дэйв Кеффер, финансовый директор, и Тодд Эрнст, который занимается IR и казначейством, и приветствует ребят. Спасибо за то, что вы здесь. Я думаю, что Тодд начнет это, а затем мы пойдем к Дейву и поможем нам подготовить сцену с тем, что происходит в компании, а затем мы погрузимся в некоторые вопросы и ответы.
Тодд Эрнст
Отлично. Спасибо, Сет. Добрый день всем. Сегодня мы собираемся сделать несколько прогнозных заявлений, и эти заявления связаны с рисками и неопределенностями, и информацию об этих рисках и неопределенностях можно найти в наших документах SEC.
На этом я передам его Дэйву.
Дэвид Кеффер
Отлично. Спасибо, Тодд. Сет упомянул, что я Дэйв Кеффер, финансовый директор компании. Несколько вступительных комментариев просто для того, чтобы закрепить общее понимание бизнеса и текущей рыночной ситуации, а затем я передам их вам, Сет, для дальнейших вопросов.
2021 год был действительно успешным для компании, и мы были рады обеспечить 3% органического роста в этом году. Мы увеличили операционную маржу сегмента на 40 базисных пунктов, даже несмотря на растущую базу затрат на развитие благодаря новым крупным программам, которые мы получили в последние годы. Так что мы гордимся этим.
Отличные показатели прибылей и убытков. Мы также генерировали сильные денежные потоки в сочетании с доходами от продажи нашего бизнеса в области ИТ-услуг. Этот сильный денежный поток позволил нам вернуть нашим акционерам 4,7 млрд долларов США в течение 2021 года, в том числе около 3,7 млрд долларов США в виде деятельности по обратному выкупу акций, что свидетельствует о нашей неизменной приверженности возврату денежных средств акционерам по средней цене около 344 долларов США. Поэтому мы считаем, что в процессе мы создали сильную экономическую ценность.
Мы начинаем 2022 год с сильной опорой. Мы по-прежнему прогнозируем органический рост от 2% до 3% в нашем прогнозе на 2022 год, а также стабильную и по-прежнему сильную операционную маржу сегмента, соответствующую прошлогоднему уровню в 11,7–11,9% в этом году, а также продолжающиеся высокие доходы и генерирование свободных денежных средств. И теперь мы предоставили прогноз свободного денежного потока на три года с двузначным среднегодовым темпом роста свободных денежных средств с 22 по 24 год.
Как вы можете себе представить, все это основано на все более сильной бюджетной среде, как внутри страны, так и за рубежом, и мы поговорим об этом подробнее, я уверен, в течение этих 40 минут. В самом ближайшем будущем большое внимание было уделено некоторым временным препятствиям, связанным с цепочками поставок и сбоями в работе, связанными с COVID.
Мы с оптимизмом смотрим на то, что в этом году эти встречные ветры ослабнут по мере продвижения года в дополнение к новому бюджету, который был принят этой весной на 22 финансовый год, положивший конец продолжающейся резолюции. Эти временные встречные ветры, я думаю, будут все более и более управляемыми в течение года. В этом квартале мы даже видели, что встречные ветры Omicron, связанные с производительностью и невыходами на работу, немного ослабли, поскольку квартал развивался, как и следовало ожидать, учитывая более широкую среду COVID.
Мы ожидаем аналогичного ослабления некоторых проблем в цепочках поставок, с которыми наша отрасль сталкивалась в прошлом году, и в 2022 году. Итак, то, что мы сказали нашим инвесторам ожидать в этом году, отличается от прошлого года, когда мы росли быстрее в годовом исчислении в первой половине года, чем во второй, мы ожидаем, что этот год будет годом, когда наш органический рост в годовом исчислении улучшается в течение года.
Таким образом, первый квартал может выглядеть скорее как 24% от прогнозного диапазона за весь год, улучшающегося до 25% и 26%, как вы можете себе представить, в течение года. И этот тип траектории роста в течение года согласуется как с более широкой средой спроса, так и с текущим взглядом на среду предложения.
Когда мы говорим о более широкой среде спроса, очевидно, что краткосрочное внимание сосредоточено на событиях, происходящих в Украине, и международной напряженности, которая продолжается в процессе. Конечно, мы хотели бы сосредоточить обсуждение на среднесрочной и долгосрочной среде, среде угроз и вытекающих из этого бюджетных тенденциях, которые мы ожидаем в результате, когда у нас есть мнение, что среда оборонного бюджета сильна и становится сильнее. Даже в последние несколько месяцев мы наблюдаем усиление поддержки, а затем окончательное принятие сводного законопроекта на 2022 год на уровне более 740 миллиардов долларов для министерства обороны, первоначальный запрос президента составлял 715 миллиардов долларов. Так существенно выше этого уровня
И затем первоначальная дискуссия, разговоры о перспективах бюджета на оборону на 2023 год также сильны, так что мы слышим, как люди по обе стороны прохода поддерживают идею реального роста бюджета на оборону в 2023 году помимо воздействия инфляции. на кафедре. Поэтому я думаю, что все это подкрепляется средой угроз, которая продолжает оставаться движущей силой долгосрочной среды спроса для нашего бизнеса, независимо от изменений в администрации и руководстве Конгресса и так далее.
Что касается приоритетов в рамках бюджета, мы по-прежнему видим, что почти равноправная среда угроз является основной средой следующего десятилетия и далее, что передовые технологии, связанные со стратегическим сдерживанием, и ядерная триада, работающие в — Разрешительная среда, подобная той, которую создали бы Китай, Россия и другие близкие к ним угрозы, — вот что направляет наше оборонное ведомство в плане принятия инвестиционных решений и типов программ, которым они будут уделять приоритетное внимание в течение следующего десятилетия.
Мы считаем, что в Northrop Grumman очень хорошо понимают эти приоритеты. Мы поддерживаем в первую очередь две ветви ядерной триады, и мы также поддерживаем третью. У нас большой космический бизнес. Это была наша быстро-самая быстрорастущая часть нашего бизнеса, которая по-прежнему видит широкие возможности для роста в 2022 году и далее.
В нашем бизнесе миссионерских систем, как и в будущем, я хотел бы отметить виды работ, которые они выполняют в области сетей и связи, кибернетических и других сенсорных миссий, я думаю, они находятся на переднем крае и очень соответствуют программам. приоритет в правительстве в эти дни. Таким образом, в целом мы видим здоровую среду и очень хорошо согласованный портфель для продолжения работы в этой среде роста.
На этом я передам его вам, если возникнут вопросы.
Сессия вопросов и ответов
Q — Сет Сейфман
Отлично, отлично. Это было, это было прекрасное описание ситуации, оно касалось всего, но на самом деле не предвосхищало мои вопросы. Я благодарен за это. Но вы затронули ряд тем, которые мы рассмотрим, и, возможно, я начну с пары вопросов, а затем мы выйдем к аудитории.
Я думаю, что раньше, может быть, мы перейдем к прогнозу бюджета и текущим событиям. вы говорили о влиянии COVID и проблем с цепочками поставок на компанию, и я думаю, что за последние два квартала мы, вероятно, больше всего видели F-35, и поэтому, можете ли вы рассказать о влиянии, которое COVID оказал на это? программы, и как обстоят дела с точки зрения восстановления темпов производства, которые вы, ребята, ожидаете, без каких-либо сюрпризов?
Дэвид Кеффер
Конечно. Таким образом, программа F-35 для нас является нашей крупнейшей программой высокопроизводительного производства. Это фиксированная цена с большим содержанием труда Northrop Grumman. И в результате возникает ряд проблем в среде, где есть проблемы с производительностью и прогулами, такие как COVID создал для нас и многих других компаний.
Мы столкнулись с ними в форме изменений EAC во второй половине 2021 года. Как вы упомянули, они были вызваны в основном в четвертом квартале изменением производительности, которое мы сочли необходимым для сглаживания производственного потока программы. . А затем достичь ускорения этого темпа за пару интервалов в течение 2022 года в лучших условиях труда, с меньшим количеством прогулов и большей производительностью. Это тот тип среды, который мы сейчас наблюдаем в течение последнего месяца или более, поскольку показатели заболеваемости Omicron снизились, уровни производительности улучшились, и существует возможность действительно вернуться на эту прочную основу в таких программах, как F-35.
Итак, есть другие программы, в которых мы можем говорить о других элементах цепочки поставок, но для F-35 основной упор в этой программе на то, чтобы вернуть его на правильную основу в последние месяцы, был сделан на нашем труде. И это то, в чем мы уверены в более управляемой среде COVID.
Сет Сейфман
Хорошо. И затем, когда мы думаем о том, что находится за пределами F-35, и о том, труд или материалы, и что-то вроде чипов, и конкретно здесь мы думаем о системах миссий, как дела там продвигались, и я думаю, может быть, вы упомянули тот факт, что эти встречные ветры отступят, когда мы двигаться через год. Итак, в какой степени мы должны думать о том, что они все еще присутствуют, скажем, в первом тайме?
Дэвид Кеффер
Конечно. Эти более широкие экономические последствия, особенно для нашей цепочки поставок, которые, возможно, возникли в результате воздействия COVID, но больше не привязаны строго к показателям заболеваемости COVID, не исчезнут в любой момент. Я думаю, что им потребовалось больше времени, чтобы прибыть, и им потребуется немного больше времени, чтобы угаснуть. И именно поэтому мы видим, что год идет именно так. И я думаю, что некоторые из наших коллег по отрасли тоже.
Мы видели очаги проблем на стороне цепочки поставок, такие области, как полупроводники, логистика и доставка, были очагами особых проблем. Некоторые товарные области также были проблемой, но я отдаю должное нашей команде. Мы проделали большую работу по смягчению этих последствий в максимально возможной степени, управляя их влиянием на наши программы, сроки и этапы доставки и, следовательно, на успех миссии наших клиентов.
В эти дни мы внимательно следим за инфляцией. Наш бизнес и наш рынок имеют лучшую способность оградить себя от инфляционного давления, чем некоторые другие рынки, но это, безусловно, то, на чем мы должны продолжать фокусироваться, смягчать и управлять каждый день посредством работы по контракту, путем переговоров с нашими поставщиками, поддержания фиксированных ценовые соглашения с нашими поставщиками, когда у нас есть соглашения о фиксированных ценах с нашими клиентами, переоценка этих программ на ежегодной основе, где это возможно, и другие договорные средства. Таким образом, эта среда продолжает развиваться, но мы надеемся, что она будет улучшаться в течение 2022 года9.0009
Сет Сейфман
Хорошо. Это интересное замечание по поводу инфляции. Я предполагаю, что мыслительный процесс обычно заключается в том, что защита в некоторой степени защищена, потому что через нее проходит много затрат, и это правда, но есть своего рода… могут быть различия во времени, могут быть многолетние соглашения, и поэтому я догадываюсь, в какой степени Приходилось ли вам находить пыль в книге пьес, с которой, возможно, люди не были знакомы в течение очень долгого времени с точки зрения принятия этих мер и обеспечения защиты полей.
Дэвид Кеффер
Это замечательно, очень важно, потому что мы не были в такой инфляционной среде уже много лет. Таким образом, с точки зрения приоритетов переговоров с нашими клиентами и поставщиками, она отличается от среды, в которой мы находились в последние годы. И это не значит, что условия переговоров в последние годы стали более простыми и прямолинейными. Это просто добавляет другую проблему, чем те, с которыми мы имели дело в других средах.
Таким образом, мы быстро стряхнули пыль и очень усердно относимся к этой пьесе в последние кварталы. И ситуация варьируется от контракта к контракту, от материала к материалу или от поставщика к поставщику, но во всех случаях мы пытаемся управлять нашими рисками, уменьшая наши риски, насколько это возможно.
Конечно, по вашему мнению, это более простое упражнение для бизнеса с затратами, чем для бизнеса с фиксированной ценой. Большая часть нашего портфеля контрактов с фиксированной ценой переоценивается ежегодно. Для тех и других программ, цены на которые пересматриваются реже, мы работаем над тем, чтобы в контрактах были предусмотрены такие вещи, как корректировка цен, если инфляция достигает определенного уровня, или повторное открытие при определенных условиях. Таким образом, в нашей отрасли имеются инструменты для снижения рисков, связанных с инфляцией, и мы делаем для этого все возможное.
Сет Сейфман
Хорошо. Если мы, я думаю, если мы обратимся к бюджету, Конгресс наконец согласовал пакет ассигнований на 22 финансовый год на прошлой неделе. Есть ли что-то, что вы могли бы выделить для Northrop Grumman в плане того, что все пошло не так, как вы могли ожидать?
Дэвид Кеффер
Принятый бюджет? Омнибус, который был принят в марте, я думаю, соответствовал тому, на что мы и другие представители отрасли надеялись и считали вероятным, и отвечал интересам правительства, но было приятно видеть, что он был принят своевременно без дополнительного прохождения CR. что продлило это дальше до конца первой четверти или позже.
Если говорить конкретно, то теперь у нас есть оборонный бюджет на 2022 год, который составляет более 740 миллиардов долларов с дополнительными суммами в виде дополнений, связанных с поддержкой Украины. Также доступно некоторое дополнительное финансирование COVID. С точки зрения конкретных областей поддержки, наиболее важных для Northrop Grumman. мы действительно видели плюсы для некоторых из наших ключевых программ.
Таким образом, в программу Triton было добавлено два дополнительных самолета. В программе F-18 мы также являемся ключевым поставщиком дополнительных самолетов. Мы увидели мощную поддержку каждой из составляющих ядерной триады, которые имеют решающее значение для нашего бизнеса. Космический портфель в Northrop Grumman также получил очень хорошую поддержку, программы в портфеле систем миссии, такие как Sabre и Gator, снова получили значительную поддержку в окончательном утвержденном бюджете. Программа IBCS, в рамках которой мы получили конкурсную награду за производство в декабре, также хорошо поддержана в бюджете.
Итак, я думаю, что если вы сложите все это, вы увидите сильную поддержку типов работ, которые мы выполняем для наших клиентов, передовые возможности, инновационную высокотехнологичную инженерную работу в поддержку угроз следующего поколения. И это очень хорошо согласуется с набором приоритетов, который мы описали ранее. И тот, который, как мы думаем, пользуется большей откровенной поддержкой, чем когда-либо внутри страны и за рубежом,
Сет Сейфман
Когда мы думаем о, я думаю, направлении пересмотра бюджета, как мы думаем о 2023 году, сейчас, вероятно, вверх, и мы думаем о том, что была ориентация на равных конкурентов и особенно на Китай, и компания довольно хорошо с этим согласуется, но в той степени, в которой есть дополнительные доллары, теперь в Европе есть другая угроза, которая выглядит немного по-другому.
Делает ли это появление этой угрозы, или, я думаю, всегда существует, но тот факт, что она более выражена сейчас, повышает вероятность того, что некоторые из устаревших программ, которые могли быть встречными ветрами в аэронавтике, для например, что, может быть, это вино в конечном итоге будет немного лучше поддерживаться на какое-то время?
Дэвид Кеффер
Я думаю, что время покажет на этом фронте, и еще рано быть слишком конкретным с ожиданиями. В целом, мы считаем, что тенденции, которые существовали в течение последнего года или более и которые, как мы ожидали, сохранятся в течение следующих нескольких лет, сохранятся, и что будут компромиссы, которые необходимо найти. сделанный. Несмотря на то, что может существовать сильная и укрепляющаяся бюджетная среда, по-прежнему необходимо искать компромиссы с точки зрения унаследованных программ, которые менее актуальны в театре будущего, чем они были в театре прошлого. И есть небольшие части нашего портфолио, которые попадают в эту категорию.
Опять же, мы чувствуем себя очень хорошо в соответствии с областями роста, которые заменят их, и я думаю, что было бы наивно полагать, что прилив поднимет все лодки, движущиеся вперед, но, скорее, некоторые из этих компромиссных решений необходимо будет продолжать принимать. . Окончательное время может быть еще в разработке, но мы все равно сосредоточены на этих возможностях следующего поколения,
Сет Сейфман
Я думаю, что с точки зрения этих возможностей следующего поколения, многие из них находятся в космосе. Я был на конференции в округе Колумбия на прошлой неделе с несколькими начальниками служб и секретарями, и большое внимание было уделено космосу. Я думаю, что основным драйвером роста космического бизнеса Northrop за последний год или около того была программа GBSD, и это то, на что мы все можем смотреть сами по себе, но остальная часть портфеля также довольно неплохо росла.
Не всегда так просто анализировать эту часть портфеля, потому что многие из них ограничены, но можете ли вы рассказать о возможностях, которые будут стимулировать, отложив в сторону GBSD, возможности, которые будут стимулировать рост пространства в 2023 г. , 2024, 2025? Что, каковы — есть ли какие-то возможности или программы, которые выделяются?
Дэвид Кеффер
Конечно. Я не могу пролить свет ни на возможности, ни на программы, потому что считаю, что и то и другое важно в этом отношении. Рост, который мы обеспечиваем в нашем космическом бизнесе, и рост, который мы прогнозируем в будущем в нашем космическом бизнесе, имеют гораздо более широкую основу, чем GBSD, и даже гораздо более широкую основу, чем GBSD и ограниченный портфель, о котором вы также упомянули.
С точки зрения программы, работа в качестве перехватчика следующего поколения — это важнейшая программа противоракетной обороны, в которой мы сейчас являемся одним из двух кандидатов на важный этап в течение следующих нескольких лет, это важнейшая долгосрочная программа для нашего заказчика. набор и хороший элемент нашего двигателя роста в эти дни.
На гражданской стороне космоса миссии Артемиды являются для нас источником роста. Контракт SLS, который мы получили в 2021 году на стороне ракеты-носителя, а также программа Halo, в рамках которой мы разрабатываем среду обитания и логистический аванпост для гражданской части космоса, я думаю, являются хорошими примерами роста программы, которую мы в этой части космического рынка, часть того, что мы делаем в сфере национальной безопасности, мы не можем обсуждать, но есть и другие примеры роста, и я указываю на два, о которых было объявлено только в этом квартале.
Один по имени Темный; DARC, который занимается наземными станциями и поддерживает космические силы, другой, названный первым траншейным транспортным уровнем SDA, добавил Northrop Grumman в качестве нового лауреата, который не был лауреатом на. .. или подрядчиком на нулевой стороне траншеи. Это хорошая возможность роста для компании, чтобы служить важной миссии для агентства космического развития в будущем. Итак, все это хорошие примеры в неограниченной области.
С точки зрения возможностей, мы очень твердо уверены в нашей способности обслуживать широкий спектр рынков в космосе, от самых ограниченных работ до гражданской работы и даже отдельных коммерческих работ, которые также являются вспомогательными для правительственного космоса. И это в возможностях, включая слежение за ракетами, которые, как вы можете себе представить, в эпоху сосредоточения внимания на гиперзвуке являются критически важными возможностями для правительства.
Наша программа HBTSS является примером одного из важных уровней этого многоуровневого подхода. ISR продолжает оставаться ключевой возможностью и для правительства. И затем, конечно, мы не уделяли много внимания GBSD, но это многомиллиардная программа в год, которая является ключевой частью ядерной триады и поэтому чрезвычайно хорошо поддерживается, когда мы думаем о бюджетной среде и общей политической обстановке. в эти дни в своей критически важной миссии сдерживания, поддержка которой, я думаю, очевидна в эти дни.
Сет Сейфман
Да, нет, согласен. Когда мы смотрим на инвестиции, сделанные в космос, которые, я думаю, мы можем увидеть в раскрытом количестве капиталовложений или в год. Большая часть этого была для GBSD или есть способ вернуться к разбивке конверта, это в первую очередь GBSD или это было по всему портфелю?
Дэвид Кеффер
Это намного шире, чем GBSD, но, безусловно, включает GBSD. Рост нашего космического бизнеса уже несколько лет измеряется двузначными числами, и когда у вас есть бизнес, растущий так быстро, который, по прогнозам, в 2022 году станет крупнейшим сегментом нашего бизнеса с оборотом в 10 с лишним миллиардов долларов, очевидно, что будет некоторое облегчение. , дополнительные инвестиции в новые инструменты, которые сопровождают такой рост, чтобы убедиться, что мы хорошо капитализированы, поскольку мы стремимся продолжать расти и предоставлять эти возможности для наших клиентов. Таким образом, GBSD был, возможно, самой крупной отдельной частью, но далеко не единственной частью большого и растущего портфеля, который имеет определенные требования к капиталу в процессе.
Сет Сейфман
Хорошо. Я думаю, что пространство, безусловно, является одним из непреходящих требований. Когда мы думаем о краткосрочной перспективе, мы обычно не думаем о том, что у Northrop есть компания с очень коротким циклом, но когда мы думаем о дополнительных срочных требованиях, возможно, связанных с конфликтом в Украине, есть ли места, где компания там есть экспозиция?
Дэвид Кеффер
Я бы охарактеризовал это так: мы готовы поддерживать наших американских и международных клиентов, в данном случае Европу, с определенными возможностями, расходными материалами и боеприпасами и т. д. в той степени, в которой эти требования должны быть выполнены. встретились в эти дни в свете конфликта. Но, по вашему мнению, это небольшой процент портфолио Northrop Grumman. И поэтому мы бы не назвали это перспективной возможностью роста для компании в ближайшем будущем.
Я думаю, что более эффективны среднесрочные и долгосрочные возможности, которые существуют в условиях растущего оборонного бюджета как в США, так и, как вы указываете, в Европе. Германия и другие страны очень четко заявили о своих намерениях вкладывать больше средств в свой оборонный потенциал. Мы считаем, что это будет включать в себя возможности для нас определить и продолжить нашу поддержку ряда стран ЕС. Великобритания была нашим важным клиентом на протяжении многих лет, и на международном уровне важно не забывать о важнейших миссиях Японии и Южной Кореи, Австралии и других стран за пределами Европы в течение следующего десятилетия.
Сет Сейфман
Хорошо. Может быть, я просто остановлюсь на короткую секунду здесь. Посмотрите, есть ли вопросы из зала. Хорошо, мы продолжим. Может быть, возвращаясь назад, мы говорили о космосе, а космос — это область, в которой мы видели много новых инвестиций, некоторые из них в средней военной части, некоторые нет, новые компании выходят на публику чаще, чем я могу. помните, в мое время освещать пространство было довольно увлекательно, но где вы видите больше всего возможностей для партнерства с этими нетрадиционными поставщиками со стартапами, это своего рода доступ к этим местам, где происходят новые инвестиции в важную часть вашего бизнеса. стратегия, будь то в космосе или где-либо еще в коммуникациях компании?
Дэвид Кеффер
Да, это так. Мы прекрасно относимся к нашему собственному положению в космосе, но мы тщательно осознаем, что новые участники с новыми технологиями и новыми идеями могут также предложить инновационные технологии и инновационные решения для наших клиентов. И поэтому сотрудничество с ними, поиск возможностей для миноритарных инвестиций для стратегического партнерства также должно быть частью нашей космической стратегии.
И когда мы думаем о том, где существуют подходящие возможности для этих типов нетрадиционных партнерских отношений, инвестиций и командных отношений, это прежде всего те части космического рынка, которые. .. которые пересекаются с коммерческими рынками. Таким образом, определенные элементы разросшегося рынка Leo, определенные небольшие спутниковые возможности, определенные элементы рынка связи, безусловно, запускают услуги. Это области, в которых новые участники играют сегодня определенные роли, и мы считаем, что сочетание возможностей Northrop Grumman и существующих программ клиентского доступа может иметь смысл с точки зрения совместной работы и даже в некоторых случаях с точки зрения стратегических инвестиций.
Итак, на сегодняшний день мы разобрались с некоторыми из них. Мы будем продолжать делать это в будущем, такие компании, как SpaceX и Blue Origin, были для нас отличными партнерами. В другое время есть конкуренты, и поэтому мы будем продолжать использовать подходящие возможности для работы с такими компаниями, а также с гораздо меньшим, более новым входом с возможностями нишевого года в будущем.
Сет Сейфман
Хорошо. Думаю, немного вернемся к финансам. Вы, ребята, дали долгосрочную или, я думаю, многолетнюю перспективу или денежный поток на последнем отчете о прибылях и убытках в январе. После этого мы увидели бюджет на 22 финансовый год, который появился выше — мы знали, что он может появиться на этом уровне, но его не было в сумке. Кажется вероятным, что финансовый 23 год будет выше того, о чем многие из нас думали в то время.
Что это такое, а потом это бизнес с длинным циклом, где все требует времени, чтобы сдвинуться с мертвой точки. Итак, с более высокими, чем ожидалось, бюджетами в 22 и 23 годах, каковы последствия того, что вы уже рассказали нам о движении денежных средств в 2024 году, создает ли это возможность быть в верхнем диапазоне или немного выше этого диапазона?
Дэвид Кеффер
Это отличный вопрос, который нам сегодня задавали несколько раз. Я думаю, лучший способ охарактеризовать его так: мы действительно хорошо относимся к темпам роста, подразумеваемым нашим свободным периодом с 22 до 24 лет. руководство по денежным потокам на севере 10%. У нас есть базовый сценарий, который мы предполагаем, который намного шире, чем просто одно предположение о росте бюджета или одно предположение о росте компании или предположение о норме прибыли.
У нас есть, как мы говорили в нашем отчете о прибылях и убытках, предположения об улучшении оборотного капитала, которые определяют часть роста этого свободного денежного потока, особенно в 2024 году, когда мы видим определенные возможности для поэтапных и поощрительных выплат. У нас также есть возможность, основанная на нашем текущем прогнозе увеличения свободного денежного потока за счет снижения капитальных затрат в 2024 году, учитывая текущий набор программных требований и потребностей, которые мы ожидаем в течение следующих нескольких лет.
Вы упомянули GBSD, одну из немногих программ, которые, как мы ожидаем, сейчас находятся на пиковом уровне инвестиций. И за последние год или два мы ожидаем снижения объемов капитальных затрат к тому времени, когда мы достигнем 2024 года. Так что это полный набор предположений, которые входят в эту математику для 24 года. Прогноз свободного денежного потока. Я бы не стал указывать ни на одно изменение, будь то среда спроса или рост бюджета и т. д., чтобы резко изменить наше мышление. Со временем мы будем информировать вас о каждом из этих элементов прогноза свободных денежных потоков, но, безусловно, мы уверены в долгосрочном влиянии этих бюджетов на бизнес.
Сет Сейфман
Хорошо. Хорошо. Превосходно. Один из вопросов, на который я хотел ответить, не таков, я не думаю, что я когда-либо задавал его раньше, но он касается ESG, и я думаю, что Northrop занимает более видное место в этой области, чем некоторые другие, говоря об ESG. за последние годы. Вы являетесь крупным оборонным подрядчиком, так что же ESG означает для оборонного подрядчика и как компания может гарантировать, что растущее внимание к ESG не помешает максимально широкому кругу инвесторов владеть ценными бумагами, ценными бумагами Northrop,
Дэвид Кеффер
Возможно, мы говорили об ESG чаще, чем о других, потому что считаем, что это правильное направление для компании. Мы считаем, что наши инвесторы также должны сосредоточиться на этом, и мы гордимся нашим послужным списком по каждому из основных принципов ESG. За последние годы мы добились резкого сокращения нашего углеродного следа и выбросов. Мы гордимся раскрытием информации, которую мы предоставляем, и которую мы продолжаем улучшать каждый год в отношении наших экологических целей в среднесрочной и долгосрочной перспективе.
Они были ключевым элементом в центре внимания компании задолго до того, как ESG стала фикцией среди наших инвесторов. То же самое относится и к социальной стороне, и инициативы DE&I [ph] были частью нашей… основы нашей культуры на протяжении многих лет, и мы гордимся нашим послужным списком улучшения процентной доли нашего населения, нашего лидерства. населения, которые являются цветными женщинами, и где мы планируем продолжать достигать новых и более важных целей вокруг DE&I каждый год. Мы считаем правильным поступать независимо от общей перспективы ESG инвестора. Это особенно хорошо согласуется с этой точкой зрения.
С точки зрения оборонного бизнеса, мы гордимся своей работой и миссиями, которые мы поддерживаем для правительства США и наших союзников. В последние недели и месяцы мы, возможно, видели большую поддержку, чем когда-либо, для миссий, которые мы поддерживаем. Мы внимательно относимся к типу выполняемой нами работы. И мы сократили элементы портфеля за последние пару лет, такие как наша работа по биометрии, работа, связанная с кассетными боеприпасами, чтобы убедиться, что у нас лучший послужной список, чем когда-либо, с точки зрения нашего оборонного портфеля, но на фундаментальном уровне. , мы оборонная компания. Мы гордимся тем, что являемся одним из них, и мы гордимся миссией, которую мы поддерживаем от имени наших клиентов.
Сет Сейфман
Да. И мне любопытно, какие отзывы вы получили от американских инвесторов на тему ESG, если честно, это не упоминается в куче моих разговоров с инвесторами, но, может быть, если кто-то говорит со мной, они они уже определились, что думают об ESG.
Дэвид Кеффер
Мы получаем очень положительные отзывы от наших инвесторов о наших инициативах ESG. Мы получаем много отзывов о качестве раскрытия информации, которое мы предоставляем, о том, что мы включаем ESG в нашу структуру поощрений. У нас есть значимые нефинансовые показатели, включенные в наши ежегодные показатели поощрения, и они, опять же, являются частью того, как мы стимулируем и стимулируем поведение в компании. И то, как мы отчитываемся перед внешними организациями, позволяет нам получать хорошие отзывы обо всем этом, в том числе о работе, которую мы проделали в рамках нашего портфолио. Таким образом, мы думаем об этом как о отличительной черте, но, безусловно, все это основано на ощущении того, что правильно делать бизнес правильным образом.
Сет Сейфман
Правильно. Есть ли, я не знаю, слишком ли рано говорить, но есть мысль, что недавние события могут вызвать изменение в том, как рынок видит эту тему, и особенно в Европе, где, я думаю, было много акций, ориентированных на оборону. было трудно инвестировать в них.
Дэвид Кеффер
Еще рано. Я согласен составить полное представление об этом, но, безусловно, мы видим некоторые признаки того, что инвесторы, которые в прошлом ограничивали количество акций, связанных с обороной, в которые они могут инвестировать, по крайней мере, переосмысливают эту позицию, если еще не меняют ее формально. . Мы с оптимизмом смотрим на то, что акцент, который в наши дни делается на национальную безопасность и оборону, и важность типов миссий, которые мы поддерживаем как для внутренних, так и для международных клиентов, будут признаны лучше, чем когда-либо, в этой среде.
И чтобы инвесторы, которые особенно сосредоточены на ESG, независимо от того, базируются ли они в Европе, США или других частях Северной Америки, могли понять, что, возможно, можно взглянуть на это свежим взглядом на любые исключения прошлого . Конечно, я думаю, что есть веские основания для оптимизма по этому поводу. И ряд инвесторов уже начали делать шаги вперед и ослаблять некоторые из этих прошлых ограничений.
Сет Сейфман
Хорошо. Я остановлюсь на мгновение здесь, просто посмотрите, есть ли какие-либо вопросы в аудитории. Хорошо. Может быть, если мы вернемся к портфолио, так что беспилотные средства, беспилотные воздушные средства также будут в центре будущего — будущих оборонных усилий страны. И это область, в которой Northrop исторически играла важную роль. Но также там, где не всегда было так много новых программ, где возможности компании на высоком уровне не всегда были в моде с точки зрения того, для чего нужны клиенты.
Что вы думаете об автономном бизнесе в аэронавтике, и есть ли возможности для этого бизнеса начать расти по сравнению с одним — расти снова, как только глобальный ястреб перезагрузится, и эти возможности больше на высоком уровне на низком уровне или оба?
Дэвид Кеффер
Отличный вопрос. Автономная часть рынка развивается быстрее, чем за последние несколько лет. Безусловно, авиационный бизнес — это наш бизнес с самым длинным циклом. Таким образом, изменения темпов роста в этом бизнесе не происходят в одночасье. Но, безусловно, в этой среде мы видим возможности для долгосрочного роста нашего портфеля беспилотных летательных аппаратов.
Секретарь ВВС Фрэнк Кендалл недавно четко заявил о приоритетности продвижения нескольких конкретных программ, которые предоставят возможности следующего поколения в беспилотной части флота, которые служат сопровождением истребителей и бомбардировщиков, которые есть или могут быть быть укомплектованным. И поэтому это сопровождение, я думаю, может принимать форму спектра возможностей от высокого до низкого уровня, основываясь на том, что сказал отдел.
Возможности более высокого уровня будут больше соответствовать нашему историческому основному портфелю, вплоть до среднего и нижнего уровня возможностей, которые могут по-прежнему быть кандидатами для нашего участия, будь то в качестве основного или через наш бизнес систем миссии. предстоит определить немногие перспективы и специфику этих программ. И, конечно же, мы будем внимательно следить за требованиями правительства. Но мы по-прежнему видим светлое будущее для возможностей на рынке беспилотных и автономных систем, и мы чувствуем, что наше наследие и наше положение на нем таковы, что у нас есть хорошая возможность стать ключевым участником.
Сет Сейфман
Хорошо. Отлично. Размышляя о размещении капитала, об акциях, я думаю, вы упоминали ранее, что средняя цена выкупа в прошлом году составляла 3,44, 3,44 и, таким образом, сейчас примерно на 100 долларов выше. Но изменится ли это в целом, как вы думаете об использовании денежных средств для выкупа теперь, когда цена акций выше,
Дэвид Кеффер
Доходы акционеров и выкуп акций являются ключевым элементом нашей стратегии использования денежных средств, и мы мы не будем пытаться рассчитать рынок таким образом, чтобы у нас всегда были пиковые уровни активности по покупке акций в периоды, когда цена акций подавлена. Конечно, это входит в число факторов, которые мы учитываем, но это основной элемент нашей стратегии по предоставлению дискреционных денежных средств обратно нашим инвесторам.
В этом году мы пообещали акционерам получить 1,5 миллиарда или более доходов в форме покупки акций в дополнение к нашей конкурентоспособной программе дивидендов, и это остается нашим обязательством. Мы по-прежнему считаем, что это ключевой элемент нашей стратегии, нашей стратегии размещения капитала и финансовой стратегии в целом, и в таком бизнесе, как наш, который продолжает генерировать значительные объемы денежных средств, у нас есть возможность направлять капитал нашим акционерам, а также продолжать инвестировать в бизнес и управлять нашим балансом в будущем.
Сет Сейфман
Круто. Хорошо, он прибил это. Я думаю, что часы были на нуле. Это хорошее, хорошее время. Но да, Дэйв, Тодд, большое спасибо за то, что вы здесь. Мы действительно это ценим.
Дэвид Кеффер
Спасибо, что пригласили нас, Сет.
Комментарий
Рекомендуется для вас
Чтобы этого не произошло в будущем, включите Javascript и файлы cookie в своем браузере.
Часто ли это происходит с вами? Пожалуйста, сообщите об этом на нашем форуме обратной связи.
Если у вас включен блокировщик рекламы, вам может быть заблокировано продолжение. Пожалуйста, отключите блокировщик рекламы и обновите страницу.
Показана ли ПЭТ/КТ ⁶⁸Ga-DOTA-NOC пациентам с клиническими, биохимическими или рентгенологическими подозрениями на нейроэндокринную опухоль?
. 2012 авг; 39 (8): 1278-83.
doi: 10.1007/s00259-012-2146-4. Epub 2012 15 мая.
Валентина Амброзини ¹ , Давиде Кампана, Кристина Нанни, Сильвия Камбиоли, Паола Томассетти, Доменико Рубелло, Стефано Фанти
принадлежность
¹ Ядерная медицина, Университетская клиника С. Орсола-Мальпиги, Болонья, Италия. [email protected]
PMID: 22584487
DOI: 10.1007/s00259-012-2146-4
Валентина Амброзини и др. Eur J Nucl Med Mol Imaging. 2012 авг.
. 2012 авг; 39 (8): 1278-83.
doi: 10.1007/s00259-012-2146-4. Epub 2012 15 мая.
Авторы
Валентина Амброзини ¹, Давиде Кампана, Кристина Нанни, Сильвия Камбиоли, Паола Томассетти, Доменико Рубелло, Стефано Фанти
принадлежность
¹ Ядерная медицина, Университетская клиника С. Орсола-Мальпиги, Болонья, Италия. [email protected]
PMID: 22584487
DOI: 10.1007/s00259-012-2146-4
Абстрактный
Цель: В последние годы позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ)/КТ с (68)Ga-DOTA-пептидами все чаще используется для исследования пациентов с нейроэндокринными опухолями (НЭО). Однако проведение специализированных обследований в соответствующем конкурсе является обязательным как по медицинским, так и по экономическим причинам. Цель исследования — оценить потенциальную полезность (68)Ga-DOTA-NOC ПЭТ/КТ у пациентов с подозрением на НЭО.
Методы: Среди пациентов, прошедших ПЭТ/КТ (68)Ga-DOTA-NOC в нашем центре, мы рассмотрели пациентов, обследованных с подозрением на НЭО, на основании наличия либо клинических признаков/симптомов, либо изображений, либо повышенных биохимических маркеров, либо комбинации этих состояний. Результаты ПЭТ/КТ сравнивали с клиническими и визуализирующими данными в течение как минимум 1 года или с патологией.
Полученные результаты: Всего был включен 131 случай с подозрением на НЭО. Наиболее частым состоянием, подозрительным на НЭО, было увеличение маркеров крови (66), за которым следовали неубедительные результаты при обычной визуализации (ДИ, 41), клинические признаки/симптомы (10), сомнительная (18) F-фтордезоксиглюкоза (ФДГ) ПЭТ. (7) или сцинтиграфия соматостатиновых рецепторов (SRS, 4), или их комбинация (3). Результаты ПЭТ/КТ были истинно положительными в 17 случаях, истинно отрицательными в 112 и ложноотрицательными в 2 (общая чувствительность 89).0,5 %, специфичность 100 %). Интересно, что повышенные маркеры крови и клинические признаки/симптомы были связаны с самой низкой частотой истинно положительных результатов (1/66 и 1/10 соответственно), в то время как результаты КИ были подтверждены в одной трети случаев (13/41). В целом частота НЭО в исследуемой популяции составила 14,5 % (19/131).
Вывод: Наши данные подтверждают хорошую точность (98 %) ПЭТ/КТ (68)Ga-DOTA-NOC при обнаружении поражений NET. Однако наши результаты также показывают, что (68) Ga-DOTA-NOC ПЭТ / КТ не может быть рекомендована рутинно пациентам с подозрением на НЭО на основании простого обнаружения повышенных маркеров крови или клинических симптомов. Положительный КИ сам по себе или в сочетании с клиническими/биохимическими данными, напротив, связан с более высокой вероятностью истинно положительных результатов.
Похожие статьи
Роль 68Ga-DOTA-NOC ПЭТ/КТ в оценке нейроэндокринных опухолей: реальный опыт двух крупных центров нейроэндокринных опухолей.
Хайдар М., Шамседдин А., Панайотидис Э., Джрейге М., Мукерджи Д. , Асси Р., Абусаид Р., Ибрагим Т., Хаддад М.М., Винджамури С. Хайдар М. и др. Nucl Med Commun. 2017 фев; 38 (2): 170-177. doi: 10.1097/MNM.00000000000000623. Nucl Med Commun. 2017. PMID: 278
Двойная функциональная визуализация гастроэнтеропанкреатических нейроэндокринных опухолей с использованием ПЭТ-КТ с 68Ga-DOTA-NOC и ПЭТ-КТ с 18F-FDG: конкурентные или дополнительные?
Насва Н., Шарма П., Гупта С.К., Карунанити С., Редди Р.М., Патнеча М., Лата С., Кумар Р., Малхотра А., Бал С. Насва Н. и др. Клин Нукл Мед. 2014 янв;39(1):e27-34. doi: 10.1097/RLU.0b013e31827a216b. Клин Нукл Мед. 2014. PMID: 24217539
Оценка необычных нейроэндокринных опухолей с помощью ПЭТ с 68Ga-DOTA-NOC.
Фанти С., Амброзини В. , Томассетти П., Кастеллуччи П., Монтини Г., Аллегри В., Грассетто Г., Рубелло Д., Нанни К., Франки Р. Фанти С. и др. Биомед Фармаколог. 2008 декабрь; 62 (10): 667-71. doi: 10.1016/j.biopha.2008.01.010. Epub 2008 3 марта. Биомед Фармаколог. 2008. PMID: 18358680
Ga-68 DOTA-пептиды и F-18 FDG ПЭТ/КТ у пациентов с нейроэндокринной опухолью: обзор.
Евангелиста Л., Равелли И., Биньотто А., Чеккин Д., Зуккетта П. Евангелиста Л. и др. Клин Имиджинг. 2020 ноябрь;67:113-116. doi: 10.1016/j.clinimag.2020.05.035. Epub 2020 9 июня. Клин Имиджинг. 2020. PMID: 32559681 Обзор.
⁶⁸Га-меченые пептиды для диагностики гастроэнтеропанкреатической НЭО.
Амброзини В., Кампана Д., Томассетти П., Фанти С. Амброзини В. и др. Eur J Nucl Med Mol Imaging. 2012 Февраль; 39 Приложение 1: S52-60. doi: 10.1007/s00259-011-1989-4. Eur J Nucl Med Mol Imaging. 2012. PMID: 22388622 Обзор.
Посмотреть все похожие статьи
Цитируется
ПЭТ / КТ-визуализация соматостатиновых рецепторов для обнаружения и определения стадии панкреатической сети: систематический обзор и метаанализ.
Bauckneht M, Albano D, Annunziata S, Santo G, Guglielmo P, Frantellizzi V, Branca A, Ferrari C, Vento A, Mirabile A, Nappi AG, Evangelista L, Alongi P, Laudicella R. Bauckneht M, et al. Диагностика (Базель). 2020 16 августа; 10 (8): 598. doi: 10.3390/diagnostics10080598. Диагностика (Базель). 2020. PMID: 32824388 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.
Ядерная визуализация нейроэндокринных опухолей.
Поллард Дж., Макнили П., Менда Ю. Поллард Дж. и соавт. Surg Oncol Clin N Am. 2020 апр; 29(2):209-221. doi: 10.1016/j.soc.2019.11.007. Surg Oncol Clin N Am. 2020. PMID: 32151356 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.
Долгосрочное наблюдение за пациентом с первичной пресакральной нейроэндокринной опухолью: клинический случай с обзором литературы.
Ким М.Р., Шим Х.К. Ким М.Р. и др. Представитель Am J, 2019 г.31 декабря; 20:1969-1975. doi: 10.12659/AJCR.9. Представитель Am J, 2019 г. PMID: 31889046 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.
Полезность ⁶⁸ Ga-DOTATATE позитронно-эмиссионной томографии/компьютерной томографии в диагностике, лечении, последующем наблюдении и прогнозировании нейроэндокринных опухолей.
Тирош А., Кебебеу Э. Тирош А. и др. Онкол будущего. 2018 Январь; 14 (2): 111-122. дои: 10.2217/фон-2017-0393. Epub 2017, 26 октября. Онкол будущего. 2018. PMID: 2
93 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.
Визуализация нейроэндокринных опухолей: обновление для клинициста.
Максвелл Дж. Э., Хоу Дж. Р. Максвелл Дж. Э. и соавт. Int J Endocr Oncol. 2015;2(2):159-168. doi: 10.2217/ije.14.40. Int J Endocr Oncol. 2015. PMID: 26257863 Бесплатная статья ЧВК.
Просмотреть все статьи «Цитируется по»
использованная литература
Опухоль биол. 2011 Февраль;32(1):13-22 — пабмед
Дж. Клин Онкол. 2008 июнь 20; 26 (18): 3063-72 — пабмед
Мол Визуализация Биол. 2003 янв-февраль;5(1):42-8 — пабмед
Дж Нукл Мед. 2010 Май; 51 (5): 669-73 — пабмед
Простата. 1997 1 января; 30 (1): 1-6 — пабмед
термины MeSH
вещества
Мероприятий, Поездок и Пакетов | Открытый центр Нантахала
Фильтр по фильтрам
Показано 48 поездок
Даты поездки
Расстояние
Почтовый индекс или город/штат
Радиус Любой500 миль100 миль50 миль10 миль
Пункт назначения
Галапагосские острова
Белиз
Южная Америка
Эквадор
Чили
Аргентина
Перу
Северная Каролина
Маршалл, Северная Каролина
Брайсон-Сити, Северная Каролина
Канада
британская Колумбия
Грузия
Розуэлл, Джорджия
Атланта, Джорджия
Клейтон, Джорджия
Скандинавия
Исландия
Норвегия
Центральная Америка
Теннесси
Гатлинбург/Пиджен-Фордж, Теннесси
Бентон, Теннесси
Африка
Река Замбези
Пакет
Пошаговая
Легкая-Умеренная
От реки до хребта: пакет «Рафтинг и зиплайн»
Брайсон-Сити, Северная Каролина
от 147 $
5 (95 отзывов / 6 вопросов и ответов)
Объедините два наших самых популярных приключения и сэкономьте с нашим пакетом River to Ridge! Пролетите более двух миль по канатной дороге в небе над Смоки-Маунтин в рамках тура NOC Mountaintop Zip Line Tour! В сочетании с рафтингом с гидом вы получите день приключений, который вы никогда не забудете!
10+ лет
март-октябрь
100-250 фунтов
6-7 часов
Пакет
С направляющей
Легкая
Сплав по реке Нантахала: полный гид в Северной Каролине
Брайсон-Сити, Северная Каролина
от $57
5 (594 отзыва / 25 вопросов и ответов)
Классический семейный рафтинг по знаменитой горной реке. Это популярное путешествие идеально подходит для семей и гребцов любого уровня подготовки.
7+ лет
Март-октябрь
Минимум 60 фунтов
3 часа
Управляемый
Умеренно-сложный
Сплав по реке Чаттуга: Раздел IV (с обедом)
Клейтон, Джорджия
от $130
5 (166 отзывов / 7 вопросов и ответов)
Примите участие в одном из самых знаковых рафтинг-туров на юго-востоке по дикой и живописной реке Чаттуга. Природная красота и захватывающие пороги делают это «делом № 1, которое должен сделать каждый южанин».
12+ лет
март-октябрь
5-6 часов
Пакет
Пошаговый
Легкий-средний
Приключенческий билет Нантахала
Брайсон-Сити, Северная Каролина
из $79
Доступен День памяти и День труда!
Пропуск Nantahala Adventure Pass — это бесспорно лучшее предложение для дня, наполненного множеством приключений и веселья. Объедините рафтинг с гидом или аренду с тремя другими мероприятиями, чтобы сэкономить более 50 долларов на человека!
6+ лет
День памяти — День труда
60-250 фунтов
5-8 часов
Направляемый
Умеренный
Мидл-Окои Высокое приключение
Бентон, Теннесси
из $85
The Middle Ocoee High Adventure — это новый и захватывающий способ испытать «самое популярное речное путешествие в Америке». с пятью милями захватывающих порогов и бурной воды. Эта экскурсия на полдня с гидом идеально подходит для тех, кто ищет приключений в Теннесси.
13+ лет
июнь-сентябрь
4+ часа
Направляемый
Умеренный
Сплав по реке Окои: Средний Окои
Бентон, Теннесси
от 45 $
5 (152 отзыва / 9 вопросов и ответов)
Мидл-Окои — «самое популярное речное путешествие в Америке» с пятью милями захватывающих порогов и бурной воды. Эта экскурсия на полдня с гидом идеально подходит для тех, кто ищет приключений в Теннесси.
12+ лет
апрель-октябрь
3-3,5 часа
Направляемый
Умеренный
Катание на горных велосипедах с гидом в Цали
Брайсон-Сити, Северная Каролина
из $95
Испытайте веселые тропы и живописные виды во время экскурсии на горном велосипеде по Цали! Всего в нескольких минутах езды от нашего главного кампуса гости получат первоклассное оборудование, инструкции и рекомендации, а также закуски на тропе!
10+ лет
апрель-октябрь
3-4 часа
Пошаговый
Легкий-средний
Флинт-Ридж Катание на горных велосипедах с гидом
Брайсон-Сити, Северная Каролина
от $70
Прокатитесь по местным тропам с опытным проводником NOC!
Насладитесь веселыми тропами и живописными видами во время экскурсии на горном велосипеде с гидом по Флинт-Ридж, расположенной прямо на территории нашего главного кампуса!
10+ лет
апрель-октябрь
3-4 часа
Направляемый
Умеренный
Тур по канатной дороге на вершине горы
Брайсон-Сити, Северная Каролина
из $110
5 (160 отзывов / 6 вопросов и ответов)
Летите по небу Смоки-Маунтин в рамках тура NOC Mountaintop Zip Line Tour! Эта поездка с почти двумя милями зиплайнов от верхушки дерева до верхушки дерева считается лучшим опытом в горах Северной Каролины.
10+ лет
март-ноябрь
100-250 фунтов
3-3,5 часа
С направляющей
Легкий
Сплав по реке Пиджен: Нижнее ущелье Голубей
Гатлинбург/Пиджен-Фордж, Теннесси
от $39
5 (71 отзыв / 4 вопроса и ответа)
2023 Даты уже скоро!
Рафтинг по реке Пиджен является изюминкой семейного отдыха в Смокис. Прыгучие волны и пологие пороги делают эту поездку идеальной для семей с маленькими детьми от 3 лет или тех, кто ищет расслабляющий живописный опыт.
3+ лет
3,5 часа
Пошаговый
Легкий-средний
French Broad Rafting: Deluxe на полдня (с обедом)
Маршалл, Северная Каролина
от 67 $
4. 9 (41 отзыв / 0 вопросов и ответов)
Эта поездка на полдня предлагает семейный рафтинг на Французской Броуд с веселыми порогами, живописным видом на горы в лесу Фасга и обедом на берегу реки. Одно из лучших занятий в Эшвилле, Северная Каролина.
8+ лет
март-октябрь
3-5 часов
Направляемый
Умеренный
Сплав по реке Голуби: Верхнее Голубиное ущелье
Гатлинбург/Пиджен-Фордж, Теннесси
от $45
5 (242 отзыва / 11 вопросов и ответов)
2023 Даты уже скоро!
Испытайте захватывающий рафтинг с потрясающими пейзажами Смоки-Маунтинс, который идеально подходит для семей и гостей, желающих отключиться на открытом воздухе. Это приключение обеспечивает безостановочное действие за несколько коротких часов, что делает его удобным и незабываемым.
8+ лет
Май-сентябрь
Мин. 70 фунтов
Продолжительность 2,5 часа
Пакет
Самоуправляемый
Легкий-средний
Nantahala Adventure Pass с арендой плота или утки в Северной Каролине
Брайсон-Сити, Северная Каролина
от $79
4.9 (15 отзывов / 2 вопроса и ответа)
Доступен от Дня памяти до Дня труда
Совместите несколько занятий, чтобы провести незабываемый день приключений! Проведите свой собственный плот или надувной каяк по реке Нантахала, прыгайте, карабкайтесь и балансируйте в парке приключений Zip Line и приключенческих сетях Tree Top, а также катайтесь на горных велосипедах по местным тропам по одной отличной цене!
7+ лет
60-250 фунтов
5-8 часов
Самоуправляемый
Легкий
Трубопровод реки Чаттахучи – Розуэлл
Розуэлл, Джорджия
от $30
Стреляйте в «Хуч» во время поездки на тюбинге недалеко от Атланты в Розуэлле. Поплавайте по реке Чаттахучи с семьей и друзьями, наслаждаясь ее потрясающими пейзажами и прохладными нежными течениями.
8+ лет
апрель-сентябрь
2-4 часа
Самоуправляемый
Легкий
Трубопровод реки Чаттахучи – Метро
Атланта, Джорджия
от $30
Стрельба по «Хучу» — одно из лучших занятий за пределами Атланты! Поплавайте по реке Чаттахучи с семьей и друзьями, наслаждаясь ее потрясающими пейзажами и прохладными нежными течениями.
8+ лет
Апрель-сентябрь
Полдня
Самоуправляемый
Легкий
Аренда гребной доски Chattahoochee River Stand Up Paddleboard (SUP) — Розуэлл
Розуэлл, Джорджия
от $30
Катайтесь на серфинге с помощью доски для серфинга (SUP), взятой напрокат в NOC. Доска для гребли отлично подходит для опытных гребцов или для новичков, ищущих дополнительных испытаний, и предлагает уникальный взгляд на классическое путешествие по реке Атланта.
11+ лет
Апрель-октябрь
Многократная продолжительность поездки
Самоуправляемый
Легкий
Аренда каяков на реке Чаттахучи – Розуэлл
Розуэлл, Джорджия
от $30
5 (1 отзыв / 2 вопроса и ответа)
Исследуйте красоту и безмятежность реки Чаттахучи, взяв напрокат каяк. NOC предлагает сидеть на верхних байдарках в одиночном или тандемном исполнении, чтобы вы могли наслаждаться с другом.
5+ лет
Апрель-сентябрь
Многократная продолжительность поездки
С направляющей
Легкая
Прогулки на байдарках с гидом на рассвете и закате на реке Чаттахучи
Розуэлл, Джорджия
от 60 $
Уникальный способ насладиться красотой реки Чаттахучи
Выберите сидячий каяк или доску для серфинга с веслом и наслаждайтесь групповым катанием на веслах, пока солнце встает или садится над речным пейзажем.
18+ лет
апрель-сентябрь
2-3 часа
Самоуправляемый
Легкий
Аренда плотов по реке Чаттахучи – Розуэлл
Розуэлл, Джорджия
из $140
Катайтесь на лодке Hooch с семьей и друзьями, взяв напрокат плот от NOC. Отлично подходит для групп и детей от 5 лет, чтобы плавать или грести, наслаждаясь живописным видом на реку Чаттахучи.
5+ лет
Самоуправляемый
Легкий
Аренда каноэ по реке Чаттахучи – Розуэлл
Розуэлл, Джорджия
от 60 $
Исследуйте реку Чаттахучи на каноэ. NOC предлагает поездки туда и обратно или поездки на каноэ, отправляющиеся из парка Азалия в Розуэлле.
5+ лет
Апрель-сентябрь
Многократная продолжительность поездки
С направляющей
Легкая
Тур на велосипедах и птицах с природным центром Чаттахучи
Розуэлл, Джорджия
из $50
Специальное программирование с ограниченными датами!
Наслаждайтесь специальным туром с Природным центром Чаттахучи и НОК. Гости будут кататься на велосипеде по парку Азалия, пока натуралист указывает на местных птиц, флору и фауну. Этот тур также включает в себя остановку в Центре природы для демонстрации живых птиц.
Возраст и вес варьируются
Апрель-октябрь
Апрель-сентябрь
3,5 часа
Самоуправляемый
Легкий
Прокат велосипедов на реке Чаттахучи – Розуэлл
Розуэлл, Джорджия
из $25
Езда на велосипеде по реке Чаттахучи — отличный способ насладиться прекрасным речным коридором через парки Дон Уайт и Азалия. NOC предлагает современные велосипеды и электровелосипеды напрокат, идеально подходящие для семей, маленьких детей и пожилых людей в любое время года.
Возраст и вес Варьируются
Апрель-сентябрь
Продолжительность 2-3 часа
Самоуправляемый
Легкий
Аренда каяков на реке Чаттахучи – метро
Атланта, Джорджия
от $40
4 (1 отзыв / 0 вопросов и ответов)
Прогуляйтесь по реке Чаттахучи на байдарке. Аренда байдарок с сидячими местами NOC позволяет гребцам создать свой собственный речной опыт, тренируясь или расслабляясь.
5+ лет
Апрель-сентябрь
Полдня
Управляемый
Умеренно-сложный
Рафтинг по реке Окои: комбо на целый день (с обедом)
Бентон, Теннесси
от $110
5 (67 отзывов / 0 вопросов и ответов)
Эта поездка с гидом на целый день сочетает в себе насыщенные событиями Верхний и Нижний Окои и обед на берегу реки. Испытайте захватывающие пороги олимпийского калибра через горы в Теннесси.
13+ лет
Май-сентябрь
5,5 часов
Пошаговый
Легкий-средний
Парк приключений Zip Line
Брайсон-Сити, Северная Каролина
от $50
4.9 (29 отзывов / 3 вопроса и ответа)
Отлично подходит для детей и семей!
Соревнуйтесь с друзьями на двойных зиплайнах длиной 550 футов, когда вы входите в этот воздушный парк испытаний с более чем 16 захватывающими препятствиями. Экспертные воздушные гиды NOC дают советы, когда вы исследуете два уровня парка на высоте до 40 футов над уровнем земли!
6+ лет
Март-октябрь
60-250 фунтов
2 часа
Самоуправляемый
Легкий
Аренда плотов по реке Чаттахучи – Метро
Атланта, Джорджия
от 40 $
5 (12 отзывов / 3 вопроса и ответа)
Катайтесь на лодке Hooch с семьей и друзьями, взяв напрокат плот от NOC. Отлично подходит для групп и детей от 5 лет, чтобы плавать или грести, наслаждаясь живописным видом на реку Чаттахучи.
5+ лет
Апрель-сентябрь
Полдня
Управляемый
Легкий
Pedal and Pour: велосипедный тур и пивоварня с From The Earth Brewing Company
Розуэлл, Джорджия
из $55
Наслаждайтесь живописной поездкой на велосипеде с гидом по парку Азалия с остановкой в From the Earth Brewing для эксклюзивного тура и дегустации.
21+ лет
апрель-октябрь
2-4 часа
Двухдневный детский и подростковый лагерь для катания на горных велосипедах
Розуэлл, Джорджия
из $325
Двухдневный лагерь для детей и подростков от 12 до 15 лет!
Этот многодневный лагерь для катания на горных велосипедах — отличная возможность для детей и подростков отправиться в путь, освоить новые навыки, завести новых друзей и повеселиться!
12-15 лет
июнь-август
2 дня
Четырехдневный лагерь River Explorer для детей и подростков, река Чаттахучи
Атланта, Джорджия
из $325
Четырехдневный лагерь для детей от 12 до 15 лет всех уровней подготовки
Дети и подростки всех уровней подготовки имеют возможность попробовать себя в различных видах спорта на реке Чаттахучи! Отдыхающие будут веселиться и заводить новых друзей, изучая новые навыки.
12-15 лет
июнь-июль
4 дня
Двухдневный детский и подростковый лагерь River Explorer — река Чаттахучи
Розуэлл, Джорджия
из $160
Двухдневный лагерь для детей от 12 до 15 лет всех уровней подготовки
Дети и подростки всех уровней подготовки имеют возможность попробовать себя в различных видах спорта на реке Чаттахучи! Отдыхающие весело проведут время, заведут новых друзей и освоят новые навыки!
12-15 лет
июнь-июль
2 дня
Курс каякинга для подростков – река Чаттахучи
Атланта, Джорджия
из 450 $
Двухдневный курс, предназначенный для молодежи в возрасте от 13 до 17 лет с любым уровнем подготовки.
Подростки всех уровней подготовки имеют возможность практиковаться, учиться и улучшать свои навыки гребли на байдарках под руководством инструкторов Школы гребли NOC!
13-17 лет
июнь-июль
2 дня
Пошаговый
Легкий-средний
Введение в курс каякинга Whitewater
Брайсон-Сити, Северная Каролина
от $150
5 (1 отзыв / 0 вопросов и ответов)
Отличный курс начального уровня для начинающих гребцов.
Этот однодневный курс посвящен основам бурной воды для новых и начинающих гребцов. Этот курс подходит для всей семьи и подходит для детей от 8 лет. Он включает в себя новейшее снаряжение, высококачественные инструкции, транспорт и обед.
8+ лет
Весь день
Пошаговый
Легкий-средний
Река Чаттахучи — введение в курс каякинга Уайтуотер
Атланта, Джорджия
от 140 $
5 (1 отзыв / 0 вопросов и ответов)
Отличный курс для начинающих по гребле на бурной воде!
Поднимите свои навыки гребли на новый уровень с помощью курса «Введение в каякинг». Высококвалифицированные инструкторы NOC научат новичков базовым навыкам гребли и маневрирования, которые идеально подходят для индивидуальных, семейных или групповых занятий.
13+ лет
Май-август
Весь день
Самоуправляемый
Легкий
Сети для приключений на верхушках деревьев
Брайсон-Сити, Северная Каролина
от $8
5 (1 отзыв / 1 вопрос/ответ)
В настоящее время сети работают в определенное время, уточняйте наличие по телефону.
Дети в возрасте от трех лет теперь могут исследовать небо в NOC! На этой полностью покрытой сеткой воздушной площадке участники перемещаются по туннелям, горкам и даже управляют этой игровой площадкой в корабельной тематике за штурвалом массивного штурвала корабля. Это идеальное место для игр, пока взрослые наслаждаются отдыхом на берегу реки с едой и напитками из Big Wesser.
3+ года
апрель-октябрь
2 часа или полный день
Умеренный
Курс командообразования
Брайсон-Сити, Северная Каролина
из $35
Этот курс испытаний на земле отлично подходит для развития командной работы, общения и единства в вашей группе! Команды будут перемещаться по огромной «паутине», качающимся бревнам, элементам баланса и многому другому, поскольку они полагаются на товарищей по команде, чтобы помочь им в общении по стратегии.
11+ лет
март-октябрь
2,5 часа
Направляемый
Умеренный
Сплав по реке Нантахала: путешествие на утках с гидом
Брайсон-Сити, Северная Каролина
от 69 $
4. 9 (23 отзыва / 1 вопрос/ответ)
Отправляйтесь в свое приключение на надувной байдарке вместе с профессионально подготовленным гидом NOC. Отлично подходит для изучения новых методов работы с бурной водой и изучения реки Нантахала.
9+ лет
март-октябрь
3 часа
Направляемый
Умеренный
Рафтинг по реке Чаттуга: часть III (с обедом)
Клейтон, Джорджия
от $115
5 (100 отзывов / 7 вопросов и ответов)
Рейтинг «Что должен сделать каждый южанин № 1», испытайте семейный рафтинг по дикой и живописной реке Чаттуга.
8+ лет
март-октябрь
5-6 часов
Самоуправляемый
Умеренный
Аренда плотов и уток по реке Нантахала в Северной Каролине
Брайсон-Сити, Северная Каролина
от $32
4. 9 (138 отзывов / 2 вопроса и ответа)
Прогуляйтесь по живописной реке Нантахала в своем собственном темпе, взяв напрокат плот или утку. Идеально подходит для опытных гребцов и групп любого размера.
7+ лет
Март-октябрь
Мин. 60 фунтов
Бревна 2-3 часа
Самоуправляемый
Умеренный
Прокат горных велосипедов в Флинт-Ридж
Брайсон-Сити, Северная Каролина
из $40
Возьмите напрокат лучший в отрасли специализированный велосипед в центре активного отдыха Нантахала и отправляйтесь в путь по ущелью Нантахала! От местной тропы Флинт-Ридж до известной тропы Цали, расположенной чуть дальше по дороге, гиды NOC всегда готовы помочь вам спланировать экскурсию.
Апрель-октябрь
Рост: 4 фута 11–6 футов 5 дюймов
Весь день
Направляемый
Умеренный
Тур на зиплайне на вершине Лунной горы
Брайсон-Сити, Северная Каролина
от 165 $
5 (1 отзыв / 1 вопрос/ответ)
Экскурсия на зиплайне на вершине горы Лунный свет в Центре под открытым небом Нантахала — это захватывающее приключение для тех, кто ищет приключения, вызывающие выброс адреналина. Парите под ночным небом под руководством полной луны, наслаждаясь видами и звуками ночной жизни в притихших горах Голубого хребта.
10+ лет
Май-сентябрь
100-250 фунтов
3,5 часа
Самоуправляемый
Легкий-средний
Аренда надувных каяков / уток на реке Чаттахучи — метро
Атланта, Джорджия
от $45
5 (6 отзывов / 1 вопрос/ответ)
Прогуляйтесь по живописной реке Чаттахучи, взяв напрокат надувной каяк. Утки идеально подходят для любого уровня навыков, чтобы исследовать их с семьей и друзьями.
5+ лет
Апрель-сентябрь
Полдня
Самоуправляемый
Легкий-средний
Аренда досок для серфинга на реке Чаттахучи (SUP) – метро
Атланта, Джорджия
из $50
Катайтесь на гребле с помощью доски для серфинга, арендованной у NOC. Этот спуск по реке SUP лучше всего подходит для более опытных гребцов, так как он требует баланса и точной гребли.
11+ лет
Апрель-сентябрь
Полдня
Направляемый
Умеренный
Сплав по французской широкой реке: полный день (с обедом)
Маршалл, Северная Каролина
от 95 $
5 (48 отзывов / 5 вопросов и ответов)
Это путешествие на целый день предлагает семейный рафтинг на Французской Броуд с веселыми порогами, живописным видом на горы в лесу Фасги и обедом на берегу реки. Одно из лучших занятий в Эшвилле, Северная Каролина.
8+ лет
март-октябрь
5-8 часов
Пошаговый
Легкий-средний
Сплав по французской широкой реке: полдня
Маршалл, Северная Каролина
от $55
5 (74 отзыва / 3 вопроса и ответа)
Семейный рафтинг по реке Френч-Брод предлагает веселые стремительные пороги и живописный вид на горы национального леса Фасги. Одно из лучших занятий в Эшвилле, Северная Каролина.
8+ лет
март-октябрь
3-4 часа
Направляемый
Умеренный
Дымчатые горные приключения
Гатлинбург/Пиджен-Фордж, Теннесси
из $88
Исследуйте Смоки-Маунтинс в штате Теннесси, совершив пешеходную экскурсию с гидом и совершив рафтинг недалеко от Пиджен-Фордж и Гатлинбурга.
8+ лет
Май-сентябрь
Минимум 70 фунтов
5 часов
Направляемый
Умеренный
Походы с гидом
Брайсон-Сити, Северная Каролина
Откройте для себя естественную флору и фауну ущелья Нантахала в этом коротком, но познавательном походе! Нюхайте, открывайте и даже пробуйте традиционные травы — идентифицируйте растения и обсуждайте методы «Не оставлять следов».
6+ лет
март-октябрь
С направляющей
Легкая
Экскурсия по озеру Фонтана с гидом
Брайсон-Сити, Северная Каролина
из $50
Исследуйте скрытую природу на озере Фонтана с одним из гидов NOC, который покажет вам путь! Управляйте собственной лодкой под руководством опытного гида NOC, чтобы вы чувствовали себя комфортно на протяжении всей поездки.
4+ года
Сентябрь-октябрь
3 часа
Men’s Basketball vs NOC-Enid, 03.01.2022 — Box Score
Перейти к основному содержанию
Общественный колледж округа Неошо
Посмотреть PDF
Общественный колледж округа Неошо (95, ) против Колледжа Северной Оклахомы, Энид (94, )
Коробка Оценка
Детали игры
Дата
03. 01.22
Время
19:30
Зона
Неошо
ВИД
История матчей против Колледж Северной Оклахомы-Энид
Колледж Северной Оклахомы, Энид 94
Колледж Северной Оклахомы, Энид 94
## Игрок ГС МИН ФГ 3PT футов ОРБ-ДРБ РЭБ ПФ А ДО ЧЕР СТЛ ПТС
0 0 Счетчик Джлинн * 1 10-25 3-6 8-8 2-2 4 2 9 5 0 1 31
35 35 Джамарион Батлер * 1 7-15 0-2 2-3 0-3 3 1 2 1 0 0 16
12 12 Квентин Харви * 1 4-9 1-2 2-4 2-4 6 5 0 1 3 0 11
5 5 Крис Уайзман * 1 2-3 0-0 1-4 1-6 7 5 2 0 3 0 5
33 33 Кейшон Спотвуд * 1 0-2 0-1 0-0 1-2 3 1 1 0 0 1 0
2 2 Джейден Робинсон 1 3-4 0-0 2-4 2-3 5 4 0 2 0 0 8
15 15 Донован Скотт 1 3-6 1-3 1-1 0-3 3 3 6 2 0 0 8
20 20 Рауль Нуньес 1 3-8 0-5 0-0 0-1 1 1 3 1 2 0 6
1 1 Алекс Рейфорд 1 2-6 1-5 0-0 1-0 1 0 0 0 0 0 5
4 4 Матус Скубен 1 1-4 0-2 2-4 1-0 1 0 1 1 0 0 4
ТМ Команда ТМ 0 0-0 0-0 0-0 0-0 0 0 0 0 0 0 0
Итого — 10 35-82 6-26 18-28 10-24 34 22 24 13 8 2 94
Сводка команды ФГ 3PT футов
Итого 35-82 6-26 18-28
42,7 % 23,1 % 64,3 %
Общественный колледж округа Неошо 95
Общественный колледж округа Неошо 95
## Игрок ГС МИН ФГ 3PT футов ОРБ-ДРБ РЭБ ПФ А ДО ЧЕР СТЛ ПТС
3 3 Мика Джонс * 1 6-18 4-10 12-13 2-3 5 0 5 4 0 0 28
4 4 Заакир Сойер * 1 11-19 0-1 0-2 1-5 6 0 2 2 0 0 22
1 1 Джерри Каррауэй * 1 5-15 4-8 5-6 2-5 7 0 2 3 0 3 19
0 0 Эзрах Вайгафа * 1 2-6 0-1 3-6 3-4 7 0 4 1 0 1 7
13 13 Аюэль Аюэль * 1 1-3 1-1 1-4 1-2 3 0 1 0 0 1 4
12 12 Майкл Одинго 1 2-5 2-4 0-0 0-4 4 0 1 0 0 0 6
23 23 Давонте Йейтс 1 2-3 0-1 0-1 2-3 5 0 2 2 1 0 4
14 14 Макье Логгинс 1 1-4 1-3 0-0 0-1 1 0 0 1 0 0 3
5 5 Джаарон Харриот 1 1-1 0-0 0-0 1-3 4 0 0 0 0 0 2
ТМ Команда ТМ 0 0-0 0-0 0-0 0-0 0 0 0 0 0 0 0
Итого — 9 31-74 12-29 21-32 12-30 42 0 17 13 1 5 95
Сводка команды ФГ 3PT футов
Итого 31-74 12-29 21-32
41,9 % 41,4 % 65,6 %
Анализ игры
Баллы за обороты
Команда Всего
Колледж Северной Оклахомы, Энид
Общественный колледж округа Неошо г.
Очки 2-го шанса
Команда Всего
Колледж Северной Оклахомы, Энид г.
Общественный колледж округа Неошо
Наконечники
Команда Всего
Колледж Северной Оклахомы, Энид
Общественный колледж округа Неошо
Свинец получен
Команда Всего
Колледж Северной Оклахомы, Энид г.
Общественный колледж округа Неошо
Точки в краске
Команда Всего
Колледж Северной Оклахомы, Энид
Общественный колледж округа Неошо
Точки быстрого останова
Команда Всего
Колледж Северной Оклахомы, Энид г.
Общественный колледж округа Неошо
Счет равен
Команда Всего
Колледж Северной Оклахомы, Энид
Общественный колледж округа Неошо
Нижний колонтитул
© 2022 Общественный колледж округа Неошо
Липучка
Результаты
有温泉有馬グランドホテル・公式サイト【最低価格保証｜旅館旅館
有馬有馬グランドホテル公式サイト【最低保証】｜旅館旅館旅館旅館空室検索
《9・10月限定》クーポン利用でお得！
1 予約につき5,000円お得な
宿泊プランをご用意しました。
【1日10室限定】
詳細はこちら
兵庫県民割でお得な日帰りプラン(最大45%OFF)
県民割の条件を満たしている方は
お一人様5,000円引きいたします。
【お日にち限定】
詳細はこちら
あんしん巣ごもりプラン
夕食、朝食共にお部屋でごゆっくりとお召し上がりいただけます。
詳細はこちら
名門と名泉を満喫するゴルフ旅
ここでしか体験のできないプレミアムなゴルフ旅プラン
詳細はこちら
カスタム会席
100 種類のメニューからつくるあなただけの会席料理
詳細はこちら
【エステ・アロマ】CAZE SPA・公式HPシーズン特別割引
日曜～木曜日限定で人気のアロマボディをお得にご利用いただけます。
詳細はこちら
.
通常価格 17 600 йен
→ 特別価格 16 500 йен（税込）
90 分通常価格 25 300 йен
→ 特別価格 22 500 йен（税込）
ご予約はお電話から
ТЕЛ：078-904-0181（ホテル代表）
電話受付0：014：014）
【DOG UP VILLA】3 周年記念イベントについてのプレスリリース
詳細はこちら
バラ風呂
毎週水曜日はバラ風呂。「女性浴場沙の湯」ホワイトイオン露天風呂にてご用意いす0た0た0た0た0た0た
詳細はこちら
毎週水曜日はバラ風呂
「女性浴場沙の湯」ホワイトイオン露天風呂にてご用意いたします。超音波のな泡が作るやわらかな乳白色の湯になバラの芳香、大量のでこの上リラックスを体感ていただけます。。。。
設定日毎週水曜日
※都合により日程を変更する場合がございます
ご利用時間 12:00 — 22:30
ベストレート（最低価格）保証
当サイトからのご予約が最もお得です
唯一無二有馬で、、

かけがえの一日を。
六甲雄大な自然囲まれ、
四季折々の表情をことができる有馬。。。。泉泉表情をををににににに選ばれる
温泉効能豊かで、、
かつて太閤秀吉も
湯治に訪れたされています。
また摂津・播磨但馬・・淡路
また摂津・・但馬丹波・淡路
2106 からなる
兵庫国の中心にに
位置その地は、、
各地からの味覚が集まる
食宝庫でもあります。
そこすべてが無二場所場所ますますます。。。。。。。。。ますますますますますますますますます場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所場所ここここここここここここここにしかないとと
最幸おもてなしで、、
すべてお客様のすべての一日を、
かけがえない一へと誘います
別墅銀泉露天風呂付き貴賓室室
別墅柔の間和洋室
中央館庭側和洋室
北館和室
中央館風ツイン
.
客室まで、
お様の多様なご要望にに
お応えさまざまなな
タイプお部屋を
ごしてます。
兵庫五国のを、、

お好きなスタイルで
兵庫五国の恵み
兵庫の恵み
兵庫の恵み
摂津播磨・但馬・丹波・
淡路なる兵庫県。
その中心位置する有馬、、
食宝庫。
なひとときに花を添えます。
展望大雲海雲海
ゆらり紗の湯
ゆらりの湯
アクアテラス
プライベートスパ
金泉と銀泉が

体とをを
解きほぐす
太閤秀吉をはじめ、
多く偉人たちを
癒やしてきた温泉。
療養効果優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ優れ「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「「療養療養療養療養療養療養療養療養療養療養療養療養療養療養療養療養療養療養療養効果泉」を、
四季折々の表情を見せる
六甲の自然とともに
ご堪能いただけます。
有馬随一会議場がが

新しい旅のを開く開く
森羅
森羅
多様会議・宴
最大〇〇名規模のの
大型をはじめ、、
大小さまざまな
会議・宴会場を完備。
セミナー学会に各イベント ︙ ︙ ︙。

コミュニケーションの
スタイルがあります。
ガーデンプール
ロビールシェッロルシェッロ
ガーデンプール
ドッグ・アップ・ヴィラ
バーベキュー会場
他にはない体験が

かけがえのない思い出に
お子様に人気のプールから
大人楽しめる楽しめる
バーベキューテラス、、
愛犬の新しい旅を提案するするするするする、、充実した施設数々々。。。。。、なながががががががががががががががががががががががが一日をかけがえのない
一日へと誘います。
人生を、

ともにするホテル
人生は、一期一会。
一生に一度の記念日も、
いつもと変わらない一日も。
毎日がかけがえのない一日であると、
私たちは考えます。
この世に生をうけたときから、
人生を終えるときまで。
一期一会の日々に、ずっと寄り添い続ける。
そして、人生を振り返ったときに、
いい思い出とともにいつもある。
みなさまにとってそんなホテルであれる、、
私たち今日今日も最幸のおもてなしで
お迎えます。
有馬グランドホテル想い
大阪・京都駅からは高速バスで 40 分。。
三宮はは 30 分程度お越しいただけます。
また伊丹空港や神戸空港ももでででででででででででででででででタクシー旅行ご快適です。
【夕朝食｜お部屋食確約】旬菜会席｜黒毛和牛と旬の味覚をご堪能
ご予約はこちら
【巣ごもりプラン】夕朝お部屋食で更にグレード！特選お造りと神戸牛陶板焼きの会席
ご予約はこちら
【あんしん巣ごもりプラン】露天風呂付き夕朝お部屋食｜厳選懐石　≪クラブフロア≫ 90
ご予約はこちら
. 0009
ご予約はこちら
ＫＡＩＳＥＫＩ｜石窯で絶妙な火入れの牛フィレ肉をメインに【ダイニング時分時】
ご予約はこちら
ダイニング時分時｜音や香りも愉めるライブ感溢れる本格串揚げコース
ご予約はこちら
ベストレート（最低））保証
有ホテルのご予約は、当当公式ページからご予約がお得は。。当当公式ページからご予約一番お得です。。。当当ホームページからご予約一番です。。。。。。。。。当公式ページからご予約一番お得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。するするするするするするするするするするするするするするするするするするするするするするするする宿泊宿泊宿泊はははは申込み時点他社インターネットサイトよりもお得な料金であることをします。。
有馬グランド公式サイトへご予約ください。
ご予約 24 時間以内に同一ホテルタイプ宿泊予約後後時間以内、、日程で
より料金がみつかった場合、当館予約係まで申し出ください。。
お申し出内容を確認、承認さた場合、宿泊料金をを
お様お知らせ最低価格でをををででででででででででででことを保証いたし。。
ベストレート保証条件
ベストレートを保証するにあたり、下記の条件満たす必要がます。。ににに、下記のを満たす必要ございます。。。ににあたり下記の条件満たす必要がます。。。にににあたり下記の条件満たす必要がます。。。。ににに、下記のを満たす必要ございます。。。。ににに、下記のを満たす必要ございます。。
有ホテルサイトの予約ことことことことことことことことことことことことことことことこと
同一ホテル
同一宿泊日（到着日・出発日）
同一宿泊プラン
同一宿泊人数（お子様は除く）
同一お部屋タイプ
同一精算方法
同一サービス、販売条件、キャンセル条件
ベストレート対象外外
ベストレート保証にあたり、下記のは比較対象から除外せていただき。
予めご了承願います。
法人契約料金など、一般には公示されていない料金 9004
特定の会員組織を対象とした料金
宿泊以外の施設利用や交通機関、食事などを伴うパッケージ料金
ポイントや金券等の付与された特典を割引とみなした料金
旅行業者による販売（手配旅行等）など販売金額をホテルが関与できない料金
クーポン券、バウチャー、クレジットカードなどによる前払いを条件とした料金
お問い合わせはこちら
有馬グランドホテル・予約係（9:00～21:00）
078-900
Noc Noc — Бар в Лоуэр-Хейт
«Отличный выбор кислого пива, интригующая атмосфера, дружелюбный босс. «(10 советов)
«Это место действительно похоже на выставку Тима Бёртона.»(3 подсказки)
«Все самое лучшее бельгийское пиво!»(2 подсказки)
«Битлджус — дизайнер интерьера этого места.»(3 подсказки)
86 Tips and reviews
Filter:
beer
sake
casual
tim burton
happy hour
beetlejuice
good for a late night
wine
cider
cozy
lagunitas
authentic
music
interior design
restrooms
beets
fridge
blueberries
liquor
(15 more)
Great odd bar to check out if вы ищете что-то другое.
Довольно странный интерьер Алисы и Страны Чудес. Супер фанк и хорошее бельгийское пиво.
Правда, это место похоже на выставку Тима Бёртона. Очень темный с корявым декором. Музыка была на удивление классной. Они сыграли какой-то микс из SoundCloud. Выбор блюд для пива и много посадочных мест.
Самый старый бар в Нижнем Хайте. Даже люди, посещающие его годами, всегда находят что-то новое. Счастливый час по будням и после полуночи по выходным — это, безусловно, час ведьм здесь. Читать далее
Довольно большой выбор бутылочного пива, погрузитесь в сумасшедшую атмосферу и наслаждайтесь.
Бар, который выглядит как внутренняя часть потерпевшего крушение инопланетного космического корабля с большим списком крафтового пива. Я продан!
Фантастический выбор пива! закажите бельгийские на разлив или в холодильнике — мой любимый бар в городе.
Один из моих любимых пивных баров в городе. Странная атмосфера. Если бы Тим Бертон спроектировал бар, это был бы он.
Играете в назначенного водителя или ищете вкусный безалкогольный напиток? Имбирное пиво восхитительно. Попытайся! М-м-м.
Большой выбор пива, феноменальный дизайн интерьера. Отличное место для отдыха в Хейт-Эшбери!
Не отвлекайтесь только на краны — большой выбор бутылок
Большой выбор кислого пива, интригующая атмосфера, дружелюбный босс. Специальное предложение в Сан-Франциско!
Было веселое, эксцентрично оформленное место. Холодная атмосфера, хорошее пиво и выбор вин.
Наполовину сидр, наполовину пиво — идеальное сочетание
Если бы доктор Сьюз и Трент Резнор вместе занялись барным бизнесом, они бы придумали вот что. Декор описывается как постапокалиптический индастриал. Зайти выпить после работы. Подробнее
Счастливый час — это здорово. Декор как нигде — ищите бомбу, свисающую с потолка!
Посетите единственное место в Хейте, которое работает до 22:00. Пообщайтесь с нео-хиппи и другими наследниками эстетики Хейт-Эшбери. Читать дальше
Хороший выбор более необычного пива на разлив, интересная мебель и декор и удивительно хорошая туалетная бумага.
Темный и вычурный, отлично подходит для задушевных бесед. Шикарный выбор пива.
Лучший бар на планете — лучший владелец, лучшее пиво — много бельгийцев — рай
Очень хороший выбор кислого пива люблю это место.
Пиво, мужик! Отличное место для дайвинга, и здесь меньше людей, чем в Торонадо.
Хорошее место для свидания, если вы действительно хотите послушать друг друга.
Эклектичный бар с большим выбором пива. Подходит для собак!!
Холодильный бар. Как панк-рок Флинтстоуны.
Один из самых эклектичных/интересных баров для дайвинга.
Японец впервые увидел этот бар во сне. Мои друзья уверяют меня, что это правда
Пиво, вино, сакэ и черный свет. Иди заведи новых друзей.
Абсолютно эклектичное местечко. Здесь можно только пить. Триповый хаус, даунтемп и т. д. музыка, играющая, когда я там, просто создает мне настроение. Это как зайти в пещеру, где Читать далее
Отличное место для отдыха с друзьями
Местная жемчужина, о которой часто забывают. Вы никогда не забудете это место.
В бутылке есть 1 или 2 пива без глютена. Отличная атмосфера. Подробнее
отличный выбор пива и жутко красивый интерьер
Брюхо зверя из Burning Man. Такой фанковый и веселый.
Старые места для прогулок, когда я жил в Хейте. Сядь на пол и выпей саке.
Люблю это место за вечернее саке и пиво
Осторожно: это место недавно было переполнено автобусными йиппи с полуострова!
Лиз — лучший бармен всех времен. гонщик 5 FTW. Я видел собаку, которая пила пиво с пола прошлой ночью.
Лазертаг Тима Бертона; это лучшее описание декора.
Пиво и сидр без глютена.

Найти определитель приведением матрицы к треугольному виду онлайн: Приведение матрицы к треугольному виду онлайн

alexxlab / 21.01.197117.09.2022 / Разное

Приведение матрицы к треугольному виду

Ниже два калькулятора для приведения матриц к треугольному, или ступенчатому, виду. Первый использует для этого метод Гаусса, второй — метод Барейса. Описание методов и немного теории — под калькуляторами.

Приведение матрицы к треугольному виду (метод Гаусса)

3 2 3 4 4 4 3 2 1 4 4 3 2 3 1 1

Матрица

Точность вычисления

Знаков после запятой: 4

Треугольная матрица (метод Гаусса)

Треугольная матрица (метод Гаусса с выбором максимума в столбце)

Треугольная матрица (метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице)

Приведение матрицы к треугольному виду (метод Барейса)

3 2 3 4 4 4 3 2 1 4 4 3 2 3 1 1

Матрица

Точность вычисления

Знаков после запятой: 4

Треугольная матрица (метод Барейса)

Треугольная матрица (метод Барейса с выбором максимума в столбце)

Треугольная матрица (метод Барейса с выбором максимума по всей матрице)

Итак, для начала определимся с понятием треугольной, или ступенчатой матрицы:
Матрица имеет ступенчатый вид, если:

Все нулевые строки матрицы стоят последними
Первый ненулевой элемент строки всегда находится строго правее первого ненулевого элемента предыдущей строки
Все элементы столбца под первым ненулевым элементом строки равны нулю (это впрочем следует из первых двух пунктов)

Пример ступенчатой матрицы:
1 0 2 5
0 3 0 0
0 0 0 4

Понятие треугольной матрицы более узкое, оно используется только для квадратных матриц (хотя я думаю, что это не строго), и формулируется проще: треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Строго говоря, это даже определение верхнетреугольной матрицы, но мы будем использовать его. Понятно, что такая верхнетреугольная матрица является также и ступенчатой.

Пример треугольной (верхнетреугольной) матрицы:
1 0 2 5
0 3 1 3
0 0 4 2
0 0 0 3
Кстати, определитель треугольной матрицы вычисляется простым перемножением ее диагональных элементов.

Чем же так интересны ступенчатые (и треугольные) матрицы, что к ним надо приводить все остальные? — спросите вы.
У них есть замечательной свойство, а именно, любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.

Что же такое элементарные преобразования? — спросите вы.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы
умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля, число
сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.

И что? — спросите вы.
А то, что элементарные преобразования матрицы сохраняют эквивалентность матриц. А если вспомнить, что системы линейных алгебраический уравнений (СЛАУ) записывают как раз в матричной форме, то это означает, что элементарные преобразования матрицы не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Приведя матрицу системы линейных уравнений AX=B к треугольной форме A’X = B’, то есть, с соответствующими преобразованиями столбца B, можно найти решение этой системы так называемым «обратным ходом».

Чтобы было понятно, используем треугольную матрицу выше и перепишем систему уравнений в более привычной форме (столбец B я придумал сам):

Понятно, что сначала мы найдем , потом, подставив его в предыдущее уравнение, найдем и так далее — двигаясь от последнего уравнения к первому. Это и есть обратный ход.

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Также его еще называют Гауссовым исключением, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к эквивалентной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Теперь про сам метод.
Собственно, как можно занулить переменную во втором уравнении? Вычтя из него первое, домноженное на коэффициент
Поясним на примере:

Зануляем во втором уравнении:

Во втором уравнении больше не содержится

Обобщенно алгоритм метода Гаусса можно представить следующим образом:

где N — число строк,
— i-тая строка,
— элемент, находящийся в i-той строке, j-том столбце

И все бы ничего, да и метод отличный, но. Дело все в делении на , присутствующем в формуле. Во-первых, если диагональный элемент будет равен нулю, то метод работать не будет. Во-вторых, в процессе вычисления будет накапливаться погрешность, и чем дальше, тем больше. Результат будет отличаться от точного.

Для уменьшения погрешности используют модификации метода Гаусса, которые основаны на том, что погрешность тем меньше, чем больше знаменатель дроби. Эти модификации — метод Гаусса с выбором максимума в столбце и метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице. Как следует из названия, перед каждым шагом исключения переменной по столбцу (всей матрице) ищется элемент с максимальным значением и проводится перестановка строк (строк и столбцов), таким образом, чтобы он оказался на месте .

Но есть еще более радикальная модификация метода Гаусса, которая называется методом Барейса (Bareiss).
Как можно избавиться от деления? Например, умножив перед вычитанием строку на . Тогда вычитать надо будет строку , домноженную только на , без всякого деления.
.
Уже хорошо, но возникает проблема с ростом значений элементов матрицы в ходе вычисления.

Барейс предложил делить выражение выше на и показал, что если исходные элементы матрицы — целые числа, то результатом вычисления такого выражения тоже будет целое число. При этом принимается, что для нулевой строки .

Кстати, то, что в случае целочисленных элементов исходной матрицы алгоритм Барейса приводит к треугольной матрице с целочисленными элементами, то есть без накопления погрешности вычислений — довольно важное свойство с точки зрения машинной арифметики.

Алгоритм Барейса можно представить следующим образом:

Алгоритм, аналогично методу Гаусса, также можно улучшить поиском максимума по столбцу(всей матрице) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).

 Барейсс линейная алгебра Математика матрица метод Барейса метод Гаусса треугольная матрица

Определитель матрицы.

Навигация по странице:

Определение определителя матрицы
Свойства определителя матрицы
Методы вычисления определителя матрицы
- Определитель матрицы 1×1
- Определитель матрицы 2×2
- Определитель матрицы 3×3
  - Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка
  - Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка
- Определитель матрицы произвольного размера
  - Разложение определителя по строке или столбцу
  - Приведение определителя к треугольному виду
  - Теорема Лапласа

Онлайн калькулятор. Определитель матрицы.

Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:

det(A) =	Σ	(-1)^{N(α₁,α₂,…,α_n)}·a_α₁1·a_α₂2·…·a_{α_nn}
	(α₁,α₂,…,α_n)

где (α₁,α₂,…,α_n) — перестановка чисел от 1 до n, N(α₁,α₂,…,α_n) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Свойства определителя матрицы

Определитель единичной матрицы равен единице:
det(E) = 1
Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.
Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.
При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:
det(A) = det(A^T)
Определитель обратной матрицы:
det(A^-1) = det(A)^-1
Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.
Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).
Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

a₁₁	a₁₂	. ..	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
.	.	.	.
k·a_i1	k·a_i2	…	k·a_in
.	.	.	.
a_n1	a_n2	…	a_nn

= k

a₁₁	a₁₂	…	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
.	.	.	.
a_i1	a_i2	…	a_in
.	.	.	.
a_n1	a_n2	…	a_nn

Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:
B = k·A => det(B) = kⁿ·det(A)
где A матрица n×n, k — число.

Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

a₁₁	a₁₂	…	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
.	.	.	.
b_i1 + c_i1	b_i2 + c_i2	…	b_in + c_in
.	.	.	.
a_n1	a_n2	…	a_nn

a₁₁	a₁₂	. ..	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
.	.	.	.
b_i1	b_i2	…	b_in
.	.	.	.
a_n1	a_n2	…	a_nn

a₁₁	a₁₂	…	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
.	.	.	.
c_i1	c_i2	…	c_in
.	.	.	.
a_n1	a_n2	…	a_nn

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:
det(A·B) = det(A)·det(B)

Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1×1

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a₁₁| = a₁₁

Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

∆ =

a₁₁	a₁₂
a₂₁	a₂₂

= a₁₁·a₂₂ — a₁₂·a₂₁

Пример 1.

Найти определитель матрицы A

A =

	5	7
	-4	1

Решение:

det(A) =

= 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Вычисление определителя матрицы 3×3

Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.


+		–

∆ =

a₁₁	a₁₂	a₁₃
a₂₁	a₂₂	a₂₃
a₃₁	a₃₂	a₃₃

= a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ — a₁₃·a₂₂·a₃₁ — a₁₁·a₂₃·a₃₂ — a₁₂·a₂₁·a₃₃

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

∆ =

a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₁	a₁₂
a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₁	a₂₂
a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₁	a₃₂

= a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ — a₁₃·a₂₂·a₃₁ — a₁₁·a₂₃·a₃₂ — a₁₂·a₂₁·a₃₃

Пример 2.

Найти определитель матрицы A

A =

5	7	1
-4	1	0
2	0	3

Решение:

det(A) =

5	7	1
-4	1	0
2	0	3

= 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 — 1·1·2 — 5·0·0 — 7·(-4)·3 =

= 15 + 0 + 0 — 2 — 0 + 84 = 97

Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

	n
det(A) =	Σ	a_ij·A_ij — разложение по i-той строке
	j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

	n
det(A) =	Σ	a_ij·A_ij — разложение по j-тому столбцу
	i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A

A =

2	4	1
0	2	1
2	1	1

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

det(A) =

2	4	1
0	2	1
2	1	1

= 2·(-1)¹⁺¹·

+ 0·(-1)²⁺¹·

+ 2·(-1)³⁺¹·

= 2·(2·1 — 1·1) + 2·(4·1 — 2·1) = 2·(2 — 1) + 2·(4 — 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6

Пример 4.

Найти определитель матрицы A

A =

2	4	1	1
0	2	0	0
2	1	1	3
4	0	2	3

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) =

2	4	1	1
0	2	0	0
2	1	1	3
4	0	2	3

= -0·

4	1	1
1	1	3
0	2	3

+ 2·

2	1	1
2	1	3
4	2	3

— 0·

2	4	1
2	1	3
4	0	3

+ 0·

2	4	1
2	1	1
4	0	2

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 — 1·1·4 — 2·3·2 — 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2·0 = 0

Приведение определителя к треугольному виду

Правило:

Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 — 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5.

Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду

A =

2	4	1	1
0	2	1	0
2	1	1	3
4	0	2	3

Решение:

det(A) =

2	4	1	1
0	2	1	0
2	1	1	3
4	0	2	3

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку помноженную на 2:

det(A) =

2	4	1	1
0	2	1	0
2 — 2	1 — 4	1 — 1	3 — 1
4 — 2·2	0 — 2·4	2 — 2·1	3 — 2·1

2	4	1	1
0	2	1	0
0	-3	0	2
0	-8	0	1

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбци:

det(A) = —

2	1	4	1
0	1	2	0
0	0	-3	2
0	0	-8	1

Получим нули во третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец умноженный на 8:

det(A) = —

2	1	4 + 8·1	1
0	1	2 + 8·0	0
0	0	-3 + 8·2	2
0	0	-8 + 8·1	1

= —

2	1	12	1
0	1	2	0
0	0	13	2
0	0	0	1

= -2·1·13·1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ — определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

Матрицы. вступление и оглавлениеМатрицы: определение и основные понятия.Сведение системы линейных уравнений к матрице.Виды матрицУмножение матрицы на число.Сложение и вычитание матриц.Умножение матриц.Транспонирование матрицы.Элементарные преобразования матрицы.Определитель матрицы.Минор и алгебраическое дополнение матрицы.Обратная матрица.Линейно зависимые и независимые строки.Ранг матрицы.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Метод приведения матрицы к треугольному виду

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к верхнему (или нижнему) треугольному виду (метод Гаусса). Отсюда следует, что любой определитель, используя перечисленные выше элементарные преобразования, можно привести к треугольному виду, а затем вычислить согласно п.3 замечаний 2.2.

Итак, метод состоит из двух шагов.

1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.

2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.

Пример 2.12. Вычислить определитель четвёртого порядка

приводя его к треугольному виду.

Решение. 1. При помощи элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду. Взяв элемент первой строки в качестве ведущего, все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-4):

Заметим, что при использовании этих элементарных преобразований III типа определитель не изменяется.

Умножим элементы второй строки на (-1), а элементы третьей строки — на 0,5, при этом, чтобы не нарушить равенство, надо полученный определитель разделить на , т.е. умножить на (-2):

В полученной матрице нужно сделать равными нулю элементы и второго столбца, стоящие ниже главной диагонали. Для этого берем в качестве ведущего элемента и прибавляем к третьей и четвертой строкам вторую строку, умноженную на 1 и на 7 соответственно:

Осталось сделать равным нулю элемент . К четвертой строке прибавим третью, умноженную на 2 (определитель при этом не изменится):

Получили определитель треугольного вида.

2. Вычислим определитель верхней треугольной матрицы, перемножая элементы, стоящие на главной диагонали:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Метод сведения определителя к треугольному виду использует те же преобразования, что и метод эффективного понижения порядка. Только при вычислении определителя методом эффективного понижения порядка мы постепенно уменьшаем порядок определителя, а для метода сведения к треугольному виду порядок определителя остаётся неизменным до конца процесса решения. Суть метода сведения к треугольному виду такова: с помощью действий со строками (или столбцами) преобразовать определитель к виду, когда все элементы, лежащие ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Т.е. после преобразований определитель должен принять одну из двух форм (элементы на главной диагонали выделены синим цветом):

Хотя разницы и нет, обычно приводят к первому случаю, когда нули расположены под главной диагональю. После преобразований определитель вычисляется простым умножением элементов, расположенных на главной диагонали. Для того, чтобы обнулить требуемые элементы и вычислить определитель, нам пригодятся несколько свойств определителей, которые указаны в теме «Некоторые свойства определителей». Я запишу ниже несколько свойств, которые нам пригодятся при решении. В примечании после каждого свойства будет указан пример его применения.

Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то знак определителя изменится на противоположный.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| egin 2 & 5 \ 9 & 4 end
ight|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$left| egin 2 & 5 \ 9 & 4 end
ight|=2cdot 4-5cdot 9=-37.$$

Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель $left| egin 9 & 4 \ 2 & 5 end
ight|$. Вычислим полученный определитель: $left| egin9 & 4 \ 2 & 5 end
ight|=9cdot 5-4cdot 2=37$. Итак, значение исходного определителя равнялось (-37), а у определителя с изменённым порядком строк значение равно $-(-37)=37$. Знак определителя изменился на противоположный.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| egin -7 & 10 & 0\ -9 & 21 & 4 \ 2 & -3 & 1 end
ight|$. Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это действие так: $r_2+5cdot$. Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| egin -7 & 10 \ -9 & 21 end
ight|$. Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:

$$left| egin -7 & 10 \ -9 & 21 end
ight|=left| egin-7 & 10 \ 3cdot(-3) & 3cdot 7 end
ight|$$

Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Буквами $r$ (от слова «row») станем обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее. Буквами $c$ (от слова «column») станем обозначать столбцы: $c_1$ – первый столбец, $c_2$ – второй столбец и так далее.

Найти определитель $Delta = left|egin -8 & 2 & 9 & 17\ -3 & 1 & 2 & 6\ 13 & -3 & -7 & -26\ 11 & 1 & 23 & 6end
ight|$.

В принципе, начинать решение можно и не преобразовывая определитель. Однако очень удобно, когда первым элементом первой строки является единица (ну, или (-1) на крайний случай). Единицы есть во втором столбце нашего определителя. Сделаем так, чтобы второй столбец стал первым. Для этого просто поменяем местами первый и второй столбцы, используя свойство (1). Не забываем, что при смене мест двух столбцов перед определителем появится знак «минус»:

$$Delta = left|egin -8 & 2 & 9 & 17\ -3 & 1 & 2 & 6\ 13 & -3 & -7 & -26\ 11 & 1 & 23 & 6end
ight|=-left|egin2 & -8 & 9 & 17\ 1 & -3 & 2 & 6\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6end
ight|.$$

Итак, столбцы поменяли, однако единица покамест не вышла на первое место в первой строке, – но это дело поправимое. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом перед определителем вновь возникнет знак «минус». Ну, а так как «минус» на «минус» даёт «плюс», то получим мы следующее:

Начнём решение. Нам нужно получить нули под главной диагональю. Для этого придётся осуществить несколько шагов, на которых будем изменять строки нашего определителя. На первом шаге мы должны сделать так, чтобы все элементы первого столбца стали нулями – кроме элемента на главной диагонали, выделенного красным цветом:

$$ left|egin oldred <1>& -3 & 2 & 6\
ormgreen <2>& -8 & 9 & 17\
ormblue <-3>& 13 & -7 & -26\
ormpurple <1>& 11 & 23 & 6end
ight| $$

Преобразования со строками, которые нужно выполнить, чтобы обнулить «серые» элементы, получаются так:

Запись $r_2-2r_1$ означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, умноженные на два. Полученный результат записали вместо прежней второй строки. Остальные записи расшифровываются аналогично. Согласно свойству (2) значение определителя от таких действий не изменится. Для наглядности я запишу это действие отдельно:

После выполнения всех требуемых операций со строками, мы получим новый определитель. Записывается это так:

$$ Delta=left|egin 1 & -3 & 2 & 6\ 2 & -8 & 9 & 17\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6end
ight| eginphantom <0>\ r_2-2r_1 \ r_3+3r_1 \ r_4-r_1 end= left|egin1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 14 & 21 & 0end
ight|. $$

Перед тем, как мы пойдём дальше, обратим внимание на то, что все элементы четвёртой строки делятся на 7. Согласно свойству (3) число 7 можно вынести за знак определителя:

$$ left|egin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 14 & 21 & 0end
ight|=7cdot left|egin1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 2 & 3 & 0end
ight| $$

Теперь нам нужно обнулить элементы во втором столбце (под главной диагональю). Т.е., обнулению подлежат элементы, выделенные зелёным и синим цветом. Элемент на главной диагонали, который останется без изменений, выделен красным цветом:

$$ left|egin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & oldred <-2>& 5 & 5\ 0 &
ormblue <4>& -1 & -8 \ 0 &
ormblue <2>& 3 & 0end
ight| $$

А если бы вместо числа -2 возник ноль? показатьскрыть

Если бы вместо числа -2 получился ноль, мы бы поменяли местами строки или столбцы. Например, вот так:

$$ left|egin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & 0 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 2 & 3 & 0end
ight| =[r_2leftrightarrow] =-left|egin1 & -3 & 2 & 6\ 0 & 2 & 3 & 0\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 0 & 5 & 5 end
ight| $$

Или же может возникнуть иная ситуация: когда обнулятся все элементы во втором столбце под первой строкой. Вот так:

$$ left|egin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & 0 & 5 & 5\ 0 & 0 & -1 & -8 \ 0 & 0 & 3 & 0end
ight| $$

В этом случае имеем пропорциональность столбцов, т.е. $c_2=-3c_1$, а это означает, что определитель равен 0.

В принципе, мы можем получить (-1) на месте диагонального «красного элемента». Для этого достаточно поменять местами второй и третий столбцы, а затем поменять местами вторую и третью строки. Однако в нашем случае этого можно и не делать, так как все «синие элементы» нацело делятся на «красный элемент», т. е. на (-2). Следовательно, никакой работы с дробями не предвидится. Впрочем, тут дело вкуса: можете попробовать для тренировки продолжить решение, поменяв местами строки и столбцы, чтобы «красным элементом» стала (-1). Выполним такие операции со строками:

Отдельно выписывать действия со строками не станем, так как они полностью аналогичны рассмотренным ранее. Наш определитель станет таким:

$$ Delta=7cdot left|egin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 2 & 3 & 0end
ight| eginphantom <0>\ phantom <0>\ r_3+2r_2 \ r_4+r_2end= 7cdot left|egin1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & 8 & 5end
ight|. $$

Осталось последнее действие. Нужно обнулить элемент 8 под главной диагональю:

$$ left|egin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & oldred <8>& 5end
ight| $$

Тут уже придется поработать с дробями. Обычно такой работы стараются избегать – и до этого момента нам это удавалось – но теперь уже деваться некуда:

$$ Delta = 7cdot left|egin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & 8 & 5end
ight| eginphantom <0>\ phantom <0>\ phantom <0>\ r_4-frac<8><9>r_3 end= 7cdot left|egin1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & 0 & frac<29><9>end
ight|. $$

Преобразования окончены. Осталось лишь использовать свойство (4) и переменожить элементы, расположенные на главной диагонали:

$$ Delta=7cdot 1cdot (-2)cdot 9 cdot frac<29><9>=-406. $$

Ответ получен. Полное решение без пояснений выглядит так:

$$ Delta = left|egin -8 & 2 & 9 & 17\ -3 & 1 & 2 & 6\ 13 & -3 & -7 & -26\ 11 & 1 & 23 & 6end
ight| =[c_1leftrightarrow] =left|egin2 & -8 & 9 & 17\ 1 & -3 & 2 & 6\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6end
ight| =[r_1leftrightarrow]=\ =left|egin1 & -3 & 2 & 6\ 2 & -8 & 9 & 17\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6end
ight| eginphantom <0>\ r_2-2r_1 \ r_3+3r_1 \ r_4-r_1 end= 7cdot left|egin1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 2 & 3 & 0end
ight| eginphantom <0>\ phantom <0>\ r_3+2r_2 \ r_4+r_2 end=\ =7cdot left|egin1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & 8 & 5end
ight| eginphantom <0>\ phantom <0>\ phantom <0>\ r_4-frac<8><9>r_3end=7cdot left|egin1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & 0 & frac<29><9>end
ight| =7cdot 1cdot (-2)cdot 9 cdot frac<29><9>=-406. $$

В принципе, преобразования метода сведения к треугольному виду просты, однако стоит иметь в виду свойства определителей, изложенные соответствующей теме. Например, на каком-то шаге может обнулиться строка или столбец, или же окажется, что некие строки или столбцы пропорциональны. Это будет означать, что рассматриваемый определитель равен 0.

Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду. Рассмотрим приведение определителя матрицы к треугольному виду.

Для того чтобы привести матрицу к треугольному используйте свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами. Для нахождения определителя нужно умножить все элементы на главной диагонали.

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Сделаем элемент a_2,1 равный нулю.

Из строки №2 вычтем строку №1, умноженную на 1 элемент строки №2, т. е. на 3

Сделаем элемент a_3,1 равный нулю.

Из строки №3 вычтем строку №1, умноженную на 1 элемент строки №3, т.е. на 8

Сделаем элемент a_4,1 равный нулю.

Из строки №4 вычтем строку №1, умноженную на 1 элемент строки №4, т.е. на 6

Сделаем элемент a_3,2 равный нулю.

Из строки №3 вычитаем строку №2, умноженную на 5

Сделаем элемент a_4,2 равный нулю.

Из строки №4 вычитаем строку №2, умноженную на 2

Сделаем элемент a_4,3 равный нулю.

Из строки №4 вычтем строку №3, умноженную на 9/21.

Умножим элементы матрицы находящиеся на диагонали.

теоремы и примеры нахождения определителей

Содержание:

Вычисления определителей второго порядка
Методы вычисления определителей третьего порядка
Приведение определителя к треугольному виду
Правило треугольника
Правило Саррюса
Разложение определителя по строке или столбцу
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Теорема Лапласа

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$
$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.
Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$

Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.
Решение.
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$
Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$

Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Пример
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$
Решение. {1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$
Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
$$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$
$$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
$$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
$$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. {2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$
Замечание
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):
$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {-10} & {-10} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|$$
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
$$\Delta=-10 \left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|=$$
$$=-10 \cdot \left| \begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-8}\end{array}\right|=(-10) \cdot 1 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot(-8)=-80$$
Ответ. $\Delta=-80$

Теорема Лапласа
Теорема
Пусть $\Delta$ — определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.
Пример
Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|$
Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):
$$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {4} & {-5}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+4} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \\ {3} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {1}\end{array}\right|+$$
$$+\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {4} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+5} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \\ {3} & {1} & {0} \\ {1} & {2} & {-2}\end{array}\right|+\left| \begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {-5} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+5} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \\ {3} & {2} & {1} \\ {1} & {1} & {2}\end{array}\right|=$$
$$=-23+128+90=195$$
Ответ. $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=195$
Читать дальше: обратная матрица.
Определитель 4 порядка. Калькулятор
Определители четвертого и старших порядков возможно вычислять по упрощенным схемам, которые заключаются в разложении по элементам строк или столбцов или сведении к треугольному виду. Оба метода для наглядности будут рассмотрены на матрицах 4-го порядка.
Первый пример мы рассмотрим с подробными объяснениями всех промежуточных действий.
Пример 1. Вычислить определитель методом разложения.
Решение. Для упрощения вычислений разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки (содержит нулевой элемент). Они образуются умножением элементов на соответствующие им дополнения (образуются вычеркивания строк и столбцов на пересечении элемента, для которого исчисляются — выделено красным)

В результате вычисления сведутся к отысканию трех определителей третьего порядка, которые находим по правилу треугольников

Найденные значения подставляем в выходной детерминант
Результат легко проверить с помощью матричного калькулятора YukhymCALC . Для этого в калькуляторе выбираем пункт Матрицы-Определитель матрицы, размер матрицы устанавливаем 4*4.
Далее вводим же матрицу и осуществляем вычисления. Результатом расчетов будет следующий вывод данных
Результаты совпадают, следовательно вычисления проведены верно.
Пример 2. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка.
Решение.
Как и в предыдущем задании осуществим вычисления методом разложения. Для этого выберем элементы первого столбца. Упрощенно определитель можно подать через сумму четырех детерминант третьего порядка в виде
Далее переходим к отысканию определителей по правилу треугольников

Вычисления не слишком сложные, главное не напутать со знаками и треугольниками. Найденные величины подставляем в главный определитель и суммируем
Результат проверяем матричным калькулятором YukhymCALC . Правильность расчетов подтверждается следующим рисунком
Метод возведения определителя к треугольному виду
Данный метод позволяет ряд определителей вычислить достаточно быстрый способ. Суть его заключается в объединении определителя к треугольному виду, при этом следует учитывать все множители на которые увеличиваем или уменьшаем строки и учете при конечных расчетах. Из данного определения Вы ничего для себя не поймете, поэтому лучше все показать на конкретных примерах.
Пример 3. Найти определитель матрицы сведением к треугольному виду
Решение.
Сначала осуществляем математические манипуляции, чтобы получить все нулевые элементы кроме первого в первом столбце. Для этого от второй строки вычитаем первый, умноженный на два. В результате получим
Далее есть два варианта: от третьей строки вычесть первый умноженный на три, или от третьего вычесть сумму первых двух строк. Последний вариант позволит получить сразу два нуля в строке, его и выбираем
Дальше целесообразнее от четвертой отнять удвоенную вторую строчку. В результате элементарных преобразований определитель примет вид
Осталось превратить в ноль один элемент в третьем столбце. Для этого от четвертой строки вычитаем удвоенную третью в предварительно записанном определителе
По свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

По желанию можно проверить результат матричным калькулятором.
В этом примере никаких умножений строк, в которых зануливали элементы мы не выполняли, поэтому полностью раскрыть метод на этом примере не получилось.
Рассмотрим более сложный.
Пример 4.
Найти определитель матрицы 4-го порядка
Решение.
Элементарными преобразованиями сводим определитель к треугольного вида. Для этого от каждой строки вычитаем первый. В результате преобразований получим следующий детерминант
Для удобства вычислений, меняем третью строчку со вторым местами..
По свойству определителей любая замена строк местами ведет к изменению знака определителя. Учитываем это в некотором множителе k=-1.
От третьей строки вычитаем второй, умноженный на минус три. После упрощений получим
Превращаем в ноль последний элемент во втором столбце, для этого вычитаем вторую строчку умноженный на 2.
Результат будет следующим
От удвоенного четвертой строки вычитаем третий. По свойству, умножения строки на постоянную а ведет к изменению определителя в а раз. Данное изменение фиксируем в множителе k=-1*2=-2.
Окончательное значение определителя будет равно произведению диагональных элементов разделенных (или нормированных) на множитель k, который отвечает за изменение детерминанта при элементарных преобразованиях. Выполняем вычисления
Проверка матричным калькулятором подтверждает правильность производимых вычислений.
Метод разложения определителя по элементам строк или столбцов достаточно быстрым при исчислении определителей больших размеров. Метод сведения к треугольного вида эффективен, если элементарные преобразования легко проследить и не приводят к большим произведений. В других случаях нужно пользоваться комбинацией этих методов, в последнее образовывать как можно больше нулевых элементов, а методом разложения по строкам или столбцам уменьшать количество выполненных операций. Это позволит без проблем вычислять определители третьего, четвертого и даже пятого порядка.
Виды матриц. Ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому и треугольному виду
Матрица — это особый объект в математике. Изображается в форме прямоугольной или квадратной таблицы, сложенной из определенного числа строк и столбцов. В математике имеется большое разнообразие видов матриц, различающихся по размерам или содержанию. Числа ее строк и столбцов именуются порядками. Эти объекты употребляются в математике для упорядочивания записи систем линейных уравнений и удобного поиска их результатов. Уравнения с использованием матрицы решаются посредством метода Карла Гаусса, Габриэля Крамера, миноров и алгебраических дополнений, а также многими другими способами. Базовым умением при работе с матрицами является приведение к стандартному виду. Однако для начала давайте разберемся, какие виды матриц выделяют математики.
Нулевой тип
Все компоненты этого вида матрицы — нули. Между тем, число ее строк и столбцов абсолютно различно.
Квадратный тип
Количество столбцов и строк этого вида матрицы совпадает. Иначе говоря, она представляет собой таблицу формы «квадрат». Число ее столбцов (или строк) именуются порядком. Частными случаями считается существование матрицы второго порядка (матрица 2×2), четвертого порядка (4×4), десятого (10×10), семнадцатого (17×17) и так далее.
Вектор-стобец
Это один из простейших видов матриц, содержащий только один столбец, который включает в себя три численных значения. Она представляет ряд свободных членов (чисел, независимых от переменных) в системах линейных уравнений.
Вектор-строка
Вид, аналогичный предыдущему. Состоит из трех численных элементов, в свою очередь организованных в одну строку.
Диагональный тип
Числовые значения в диагональном виде матрицы принимают только компоненты главной диагонали (выделена зеленым цветом). Основная диагональ начинается с элемента, находящегося в левом верхнем углу, а заканчивается элементом в правом нижнем соответственно. Остальные компоненты равны нулю. Диагональный тип представляет собой только квадратную матрицу какого-либо порядка. Среди матриц диагонального вида можно выделить скалярную. Все ее компоненты принимают одинаковые значения.
Единичная матрица
Подвид диагональной матрицы. Все ее числовые значения являются единицами. Используя единичный тип матричных таблиц, выполняют ее базовые преобразования или находят матрицу, обратную исходной.
Канонический тип
Канонический вид матрицы считается одним из основных; приведение к нему часто необходимо для работы. Число строк и столбцов в канонической матрице различно, она необязательно принадлежит к квадратному типу. Она несколько похожа на единичную матрицу, однако в ее случае не все компоненты основной диагонали принимают значение, равное единице. Главнодиагональных единиц может быть две, четыре (все зависит от длины и ширины матрицы). Или единицы могут не иметься вовсе (тогда она считается нулевой). Остальные компоненты канонического типа, как и элементы диагонального и единичного, равны нулю.
Треугольный тип
Один из важнейших видов матрицы, применяемый при поиске ее детерминанта и при выполнении простейших операций. Треугольный тип происходит от диагонального, поэтому матрица также является квадратной. Треугольный вид матрицы подразделяют на верхнетреугольный и нижнетреугольный.
В верхнетреугольной матрице (рис. 1) только элементы, которые находятся над главной диагональю, принимают значение, равное нулю. Компоненты же самой диагонали и части матрицы, располагающейся под ней, содержат числовые значения.
В нижнетреугольной (рис. 2), наоборот, элементы, располагающиеся в нижней части матрицы, равны нулю.
Ступенчатая матрица
Вид необходим для нахождения ранга матрицы, а также для элементарных действий над ними (наряду с треугольным типом). Ступенчатая матрица названа так, потому что в ней содержатся характерные «ступени» из нулей (как показано на рисунке). В ступенчатом типе образуется диагональ из нулей (необязательно главная), и все элементы под данной диагональю тоже имеют значения, равные нулю. Обязательным условием является следующее: если в ступенчатой матрице присутствует нулевая строка, то остальные строки, находящиеся ниже нее, также не содержат числовых значений.
Таким образом, мы рассмотрели важнейшие типы матриц, необходимые для работы с ними. Теперь разберемся с задачей преобразования матрицы в требуемую форму.
Приведение к треугольному виду
Как же привести матрицу к треугольному виду? Чаще всего в заданиях нужно преобразовать матрицу в треугольный вид, чтобы найти ее детерминант, по-другому называемый определителем. Выполняя данную процедуру, крайне важно «сохранить» главную диагональ матрицы, потому что детерминант треугольной матрицы равен именно произведению компонентов ее главной диагонали. Напомню также альтернативные методы нахождения определителя. Детерминант квадратного типа находится при помощи специальных формул. Например, можно воспользоваться методом треугольника. Для других матриц используют метод разложения по строке, столбцу или их элементам. Также можно применять метод миноров и алгебраических дополнений матрицы.
Подробно разберем процесс приведения матрицы к треугольному виду на примерах некоторых заданий.
Задание 1
Необходимо найти детерминант представленной матрицы, используя метод приведения его к треугольному виду.
Данная нам матрица представляет собой квадратную матрицу третьего порядка. Следовательно, для ее преобразования в треугольную форму нам понадобится обратить в нуль два компонента первого столбца и один компонент второго.
Чтобы привести ее к треугольному виду, начнем преобразование с левого нижнего угла матрицы — с числа 6. Чтобы обратить его в нуль, умножим первую строку на три и вычтем ее из последней строки.
Важно! Верхняя строка не изменяется, а остается такой же, как и в исходной матрице. Записывать строку, в четыре раза большую исходной, не нужно. Но значения строк, компоненты которых нужно обратить в нуль, постоянно меняются.
Далее займемся следующим значением — элементом второй строки первого столбца, числом 8. Умножим первую строку на четыре и вычтем ее из второй строки. Получим нуль.
Осталось только последнее значение — элемент третьей строки второго столбца. Это число (-1). Чтобы обратить его в нуль, из первой строки вычтем вторую.
Выполним проверку:
detA = 2 x (-1) x 11 = -22.
Значит, ответ к заданию: -22.
Задание 2
Нужно найти детерминант матрицы методом приведения его к треугольному виду.
Представленная матрица принадлежит к квадратному типу и является матрицей четвертого порядка. Значит, необходимо обратить в нуль три компонента первого столбца, два компонента второго столбца и один компонент третьего.
Начнем приведение ее с элемента, находящегося в нижнем углу слева, — с числа 4. Нам нужно обратить данное число в нуль. Удобнее всего сделать это, умножив на четыре верхнюю строку, а затем вычесть ее из четвертой. Запишем итог первого этапа преобразования.
Итак, компонент четвертой строки обращен в нуль. Перейдем к первому элементу третьей строки, к числу 3. Выполняем аналогичную операцию. Умножаем на три первую строку, вычитаем ее из третьей строки и записываем результат.
Далее видим число 2 во второй строке. Повторяем операцию: умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из второй.
Нам удалось обратить в нуль все компоненты первого столбца данной квадратной матрицы, за исключением числа 1 — элемента главной диагонали, не требующего преобразования. Теперь важно сохранить полученные нули, поэтому будем выполнять преобразования со строками, а не со столбцами. Перейдем ко второму столбцу представленной матрицы.
Снова начнем с нижней части — с элемента второго столбца последней строки. Это число (-7). Однако в данном случае удобнее начать с числа (-1) — элемента второго столбца третьей строки. Чтобы обратить его в нуль, вычтем из третьей строки вторую. Затем умножим вторую строку на семь и вычтем ее из четвертой. Мы получили нуль вместо элемента, расположенного в четвертой строке второго столбца. Теперь перейдем к третьему столбцу.
В данном столбце нам нужно обратить в нуль только одно число — 4. Сделать это несложно: просто прибавляем к последней строке третью и видим необходимый нам нуль.
После всех произведенных преобразований мы привели предложенную матрицу к треугольному виду. Теперь, чтобы найти ее детерминант, нужно только произвести умножение получившихся элементов главной диагонали. Получаем: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Следовательно, решением является число 160.
Итак, теперь вопрос приведения матрицы к треугольному виду вас не затруднит.
Приведение к ступенчатому виду
При элементарных операциях над матрицами ступенчатый вид является менее «востребованным», чем треугольный. Чаще всего он используется для нахождения ранга матрицы (т. е. количества ее ненулевых строк) или для определения линейно зависимых и независимых строк. Однако ступенчатый вид матрицы является более универсальным, так как подходит не только для квадратного типа, но и для всех остальных.
Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, сначала нужно найти ее детерминант. Для этого подойдут вышеназванные методы. Цель нахождения детерминанта такова: выяснить, можно ли преобразовать ее в ступенчатый вид матрицы. Если детерминант больше или меньше нуля, то можно спокойно приступать к заданию. Если же он равен нулю, выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду не получится. В таком случае нужно проверить, нет ли ошибок в записи или в преобразованиях матрицы. Если подобных неточностей нет, задание решить невозможно.
Рассмотрим, как привести матрицу к ступенчатому виду на примерах нескольких заданий.
Задание 1. Найти ранг данной матричной таблицы.
Перед нами квадратная матрица третьего порядка (3×3). Мы знаем, что для нахождения ранга необходимо привести ее к ступенчатому виду. Поэтому сначала нам необходимо найти детерминант матрицы. Воспользуемся методом треугольника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) — (1 x 1 x 4) — (2 x 3 x 0) — (6 x 5 x 2) = 12.
Детерминант = 12. Он больше нуля, значит, матрицу можно привести к ступенчатому виду. Приступим к ее преобразованиям.
Начнем его с элемента левого столбца третьей строки — числа 2. Умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из третьей. Благодаря этой операции как нужный нам элемент, так и число 4 — элемент второго столбца третьей строки — обратились в нуль.
Далее обращаем в нуль элемент второй строки первого столбца — число 3. Для этого умножаем верхнюю строку на три и вычитаем ее из второй.
Мы видим, что в результате приведения образовалась треугольная матрица. В нашем случае продолжить преобразование нельзя, так как остальные компоненты не удастся обратить в нуль.
Значит, делаем вывод, что количество строк, содержащих числовые значения, в данной матрице (или ее ранг) — 3. Ответ к заданию: 3.
Задание 2. Определить количество линейно независимых строк данной матрицы.
Нам требуется найти такие строки, которые нельзя какими-либо преобразованиями обратить в нуль. Фактически нам нужно найти количество ненулевых строк, или ранг представленной матрицы. Для этого выполним ее упрощение.
Мы видим матрицу, не принадлежащую к квадратному типу. Она имеет размеры 3×4. Начнем приведение также с элемента левого нижнего угла — числа (-1).
Прибавляем первую строку к третьей. Далее вычитаем из нее вторую, чтобы обратить число 5 в нуль.
Дальнейшие ее преобразования невозможны. Значит, делаем вывод, что количество линейно независимых строк в ней и ответ к заданию — 3.
Теперь приведение матрицы к ступенчатому виду не является для вас невыполнимым заданием.
На примерах данных заданий мы разобрали приведение матрицы к треугольному виду и ступенчатому виду. Чтобы обратить в нуль нужные значения матричных таблиц, в отдельных случаях требуется проявить фантазию и правильно преобразовать их столбцы или строки. Успехов вам в математике и в работе с матрицами!
Онлайн калькулятор: Калькуляторы матричной триангуляции
  Учеба  Математика  Алгебра  линейная алгебра
Матричная триангуляция с использованием методов Гаусса.
Ниже приведены два калькулятора для матричной триангуляции.
Первый использует метод Гаусса, второй метод Барейса. Описание методов и их теории ниже.
Матричная триангуляция (метод Гаусса)
3 2 3 4 4 4 3 2 1 4 4 3 2 3 1 1
Матрица
ПРОТИВАЯ ПЕЗИЦИЯ
цифры после десятичной точки: 4
ТРИАНГУЛЯЙСКА с максимальным выбором по всей матрице):

Матричная триангуляция (метод Барейса)
3 2 3 4 4 4 3 2 1 4 4 3 2 3 1 1
Матрица
Точность вычислений
Знаки после запятой: 4
Треугольная матрица (метод Барейса)

Треугольная матрица (метод Барейса с максимальным выбором в столбце)

Треугольная матрица с максимальным выбором во всем методе Барейса матрица)

Сначала дадим понятие треугольной или ступенчатой матрице строк:
Матрица имеет ступенчатую форму строк, если:
все нулевые строки, если они есть, принадлежат низу матрицы
Старший коэффициент (первое ненулевое число слева, также называемое точкой опоры) ненулевой строки всегда находится строго справа от старшего коэффициента строки над ним
Все ненулевые строки (строки, содержащие хотя бы один ненулевой элемент) выше любых строк, содержащих все нули
Пример эшелонированной матрицы строк:
1 0 2 5
0 3 0 0
0 0 0 4
Понятие треугольной матрицы является более узким и используется только для квадратных матриц. Это выглядит так: треугольная матрица — это квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
Пример верхней треугольной матрицы:
1 0 2 5
0 3 1 3
0 0 4 2
0 0 0 3
Кстати, определитель треугольной матрицы вычисляется простым перемножением всех ее диагональных элементов.
Вы спросите, что интересного в этих ступенчатых (и треугольных) матрицах? Что ж, у них есть удивительное свойство — любую прямоугольную матрицу можно свести к ступенчатой матрице с помощью элементарных преобразований.
Итак, что же такое элементарные преобразования, спросите вы?
Элементарными преобразованиями матрицы являются следующие операции:
Переключение строк (строка в матрице может быть заменена другой строкой)
Умножение строк (каждый элемент в строке может быть умножен на ненулевую константу)
Добавление строки (строка может быть заменена суммой этой строки и кратным другой строки)
Что теперь?
Элементарные преобразования матриц сохраняют эквивалентность матриц. А, если вспомнить, что системы линейных алгебраических уравнений записываются только в матричной форме, то это означает, что элементарные матричные преобразования не меняют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Путем триангуляции матрицы линейного уравнения AX=B к A’X = B’, т.е. с соответствующим преобразованием столбца B, вы можете сделать так называемую «обратную подстановку».
Для пояснения воспользуемся приведенной выше треугольной матрицей и перепишем систему уравнений в более общем виде (я составил столбец B):
Понятно, что сначала найдем , а потом подставим в предыдущее уравнение, найти и так далее – переход от последнего уравнения к первому. Это то, что называется обратной заменой.
Этот алгоритм сокращения строк называется методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных уравнений. Его также называют методом исключения Гаусса, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований системы уравнений приводятся к ступенчатой (или треугольной) форме строк, в которую помещаются все остальные переменные (начиная с последний).
Теперь немного мыслей об этом методе.
Как обнулить переменную во втором уравнении?
Вычитая из него первую единицу, умноженную на коэффициент
Вот пример:
Нуль в первом уравнении
Во втором уравнении нет
В обобщенном смысле метод Гаусса можно представлена следующим образом:
где N – размерность строки,
– i-я строка,
– элемент в i-й строке, j-й столбец в формуле. Во-первых, если диагональный элемент равен нулю, этот метод не сработает. Во-вторых, при расчете отклонение будет возрастать и чем дальше, тем больше. Так что результат не будет точным.
Для уменьшения отклонения используются модификации метода Гаусса. Они основаны на том, что чем больше знаменатель, тем меньше отклонение. Этими модификациями являются метод Гаусса с максимальным выбором в столбце и метод Гаусса с максимальным выбором во всей матрице. Как следует из названия, перед каждым стеблем исключения переменных в строке (во всей матрице) ищется элемент с максимальным значением и выполняется перестановка строк, поэтому он поменяется местами с .
Однако существует радикальная модификация метода Гаусса – метод Барейса.
Как можно избавиться от деления? Умножая строку на перед вычитанием. Затем вам нужно вычесть , умножить на без деления.
.
Вроде хорошо, но возникает проблема увеличения значения элемента при вычислениях
Барейс предложил разделить приведенное выше выражение на и показал, что если исходными элементами матрицы являются целые числа, то результирующее число будет целым. Также предполагается, что для нулевой строки .
Кстати, тот факт, что алгоритм Барейса сводит целые элементы исходной матрицы к треугольной матрице с целыми элементами, т.е. без накопления отклонений, является весьма важной особенностью с точки зрения машинной арифметики.
Алгоритм Барейса можно представить в виде:
Этот алгоритм можно модернизировать, аналогично Гауссу, с максимальной выборкой в столбце (вся матрица) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).
URL скопирован в буфер обмена
Похожие калькуляторы
• Калькулятор обратной матрицы
• Решение неоднородной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
• Модульная обратная матрица
• Матрица транспонирования квадрата
90 матрицы на симметричные и кососимметричные матрицы
• раздел линейной алгебры (14 калькуляторов)
 0011
  PlanetCalc, Матриц-триангуляционные калькуляторы
 Timur  2020-12-04 10:52:17
Верхний и нижний матричный
Что такое верхние треугольные матрицы и нижние треугольные матрицы?
Верхние треугольные матрицы — это матрицы, в которых все элементы ниже главной диагонали равны ???0???. Главная диагональ — это набор элементов, идущих от верхнего левого угла матрицы вниз к нижнему правому углу матрицы.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Нижние треугольные матрицы — это матрицы, в которых все элементы выше главной диагонали равны ???0???.
Вот главные диагонали в этих верхних треугольных матрицах,
и в этих нижних треугольных матрицах:
Мы обвели главную диагональ в каждой матрице, так что мы можем видеть, что все элементы в верхней треугольной матрице ниже главной диагонали равны ???0???, и что все элементы в нижней треугольной матрице матрицы выше главной диагонали равны ???0???.
Определитель треугольных матриц
Поскольку мы можем найти определитель матрицы в любой строке или столбце, который нам нужен, для верхних треугольных матриц всегда нужно выбирать первый столбец (или последнюю строку) , так как он включает в себя больше всего ???0??? записи.
Например, мы хотим найти определитель верхней треугольной матрицы ???A???:
Обратите внимание, что ???A??? включает ???0??? запись в ???a_{(2,3)}???. Это нормально. У нас могут быть нулевые значения на главной диагонали или выше нее. Чтобы считаться верхней треугольной матрицей, единственное, что имеет значение, это то, что все элементы ниже главной диагонали равны ???0???.
Определитель ???A??? по первому столбцу
Последние три члена обнуляются.
Упростим оставшиеся ???3\times3??? определитель снова по первому столбцу.
Последние два члена обнуляются.
???|A|=1\влево[-2((5)(-1)-(3)(0))\вправо]???
???|A|=1\влево[(-2)(5)(-1)\вправо]???
???|А|=(1)(-2)(5)(-1)???
???|А|=10???
В этом результате мы хотим отметить две вещи.
Во-первых, вычисление было намного проще, чем обычное ???4\times4??? определителя, поэтому работа с первым столбцом является хорошей стратегией, когда мы вычисляем определитель верхней треугольной матрицы.
Во-вторых, значением определителя было произведение ???(1)(-2)(5)(-1)???, которое является произведением всех элементов на главной диагонали ???A ???.
На самом деле, для всех верхних треугольных матриц это всегда будет верно! Учитывая любую верхнюю треугольную матрицу, вы можете найти значение определителя, просто перемножив вместе все элементы вдоль главной диагонали матрицы. Это также говорит вам, что если у вас есть ???0??? в любом месте на главной диагонали верхней треугольной матрицы определитель будет равен ???0???. Это означает, что если матрица содержит полную строку нулей в любом месте матрицы, то определитель будет равен ???0???.
То же верно и для нижних треугольных матриц. Если бы вы вычисляли определитель традиционным способом, вам нужно было бы вычислять его по первой строке или последнему столбцу, так как в них больше всего ???0??? записи.
Если бы вы сделали это, то обнаружили бы, что определитель нижней треугольной матрицы является произведением элементов вдоль главной диагонали, как мы это сделали для верхних треугольных матриц.
Преобразование матрицы в верхний треугольный или нижний треугольный вид — отличный способ быстро найти определитель.
Определение и построение верхних треугольных матриц и нижних треугольных матриц
Пройти курс
Хотите узнать больше о линейной алгебре? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Приведение матрицы к треугольной форме
Пример
Поставить ???A??? в верхний или нижний треугольный вид, чтобы найти определитель.
В ???A??? у нас не больше нулей ниже главной диагонали, чем над ней, или наоборот, так что мы действительно можем работать в любом направлении. Давайте начнем с того, что перепишем матрицу как определитель, который мы пытаемся найти.
Теперь поменяйте местами первую и вторую строки, чтобы у нас была сводная запись в первой строке. Помните, что когда мы меняем строки, определитель умножается на ???-1???.
Главная диагональ — это набор элементов, идущих от верхнего левого угла матрицы вниз к нижнему правому углу матрицы.
Теперь выполним ???2R_1+R_2\to R_2???.
Теперь выполните ???-3R_2+R_3\to R_3???.
Теперь, когда у нас есть ???A??? в верхнетреугольной форме определитель — это просто произведение элементов вдоль главной диагонали. Не забудьте знак минус перед матрицей, которую мы поставили для переключения строк.
???|А|=-(1)(2)(-28)???
???|А|=56???
Получите доступ к полному курсу линейной алгебры
Изучение математикиКриста Кинг 8 февраля 2021 г. математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, линейная алгебра, верхние треугольные матрицы, нижние треугольные матрицы, верхние и нижние треугольные матрицы, главная диагональ, главная диагональ матрицы, определитель треугольная матрица
0 лайков
Найти определитель с помощью сокращения строк
   
Приведены примеры и вопросы с их решениями о том, как найти определитель квадратной матрицы, используя ступенчатую форму строк. Основная идея состоит в том, чтобы привести заданную матрицу к треугольной форме, а затем вычислить ее определитель. Определитель данной матрицы вычисляется из определителя треугольной с учетом перечисленных ниже свойств.
Определяющие свойства и сокращение строк
Данную матрицу приведем к ступенчатой форме строк (верхней треугольной или нижней треугольной) с учетом следующих свойств определителей:
Свойство 1: Если линейную комбинацию строк данной квадратной матрицы добавить к другой строке той же квадратной матрицы, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.
Свойство 2: Если две строки данной матрицы поменять местами, то определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, умноженному на — 1.
Свойство 3: Если строку данной матрицы умножить на скаляр k, то определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, умноженному на k.
Примеры нахождения определителя с использованием редукции строк
Пример 1
Объедините строки и используйте вышеуказанные свойства, чтобы переписать приведенную ниже матрицу 3 3 в треугольной форме и вычислить ее определитель. \[ А = \begin{bmatrix} 2 и -1 и 3 \\ -2&5&6\ 4 и 6 и 7 \end{bmatrix} \]
Решение примера 1
Пусть D определитель данной матрицы.
шаг 1: добавить строку (1) к строке (2) — см. свойство (1) выше — определитель не меняется D \[ \color{красный}{\begin{matrix} \\ Р_2 = Р_2+Р_1 \\ \\ \конец{матрица} } \begin{bmatrix} 2 и -1 и 3 \\ 0 и 4 и 9\\ 4 и 6 и 7 \end{bmatrix} \]
шаг 2: вычесть 2 раза строку (1) из строки (3) — см. свойство (1) выше — определитель не изменится D \[ \color{красный}{\begin{matrix} \\ \\ R_3 -2 \крат R_1\\ \конец{матрица} } \begin{bmatrix} 2 и -1 и 3 \\ 0 и 4 и 9\\ 0 и 8 и 1 \end{bmatrix} \]
шаг 3: вычесть 2 раза строку (2) из строки (3) — см. свойство (1) выше — определитель не изменится D \[ \color{красный}{\begin{matrix} \\ \\ Р_3 — 2 \раз Р_2\\ \конец{матрица} } \begin{bmatrix} 2&-1&3 \\ 0 и 4 и 9\\ 0 и 0 и -17 \end{bmatrix} \] Теперь, когда матрица имеет треугольную форму, определитель данной матрицы вычисляется как произведение элементов на главной диагонали (слева вверху справа внизу).
Определитель треугольной матрицы = (2)(4)(-17) = — 136 = D = Det(A)
Пример 2
Объедините строки и используйте вышеуказанные свойства, чтобы переписать приведенную ниже матрицу 5 5 в треугольной форме и вычислить ее определитель. \[ А = \begin{bmatrix} -1&0&-1&3&6\\ 1&1&-1&0&4\\ 1&-3&0&-2&2\\ -1&2&2&1&-3\\ 0&-1&2&0&2 \end{bmatrix} \] Решение примера 2
Пусть D определитель матрицы A.
Шаг 1: мы добавляем строки к другим строкам, как показано ниже, и согласно свойству (1) определитель не меняет D.
\[ \color{red}{\begin{matrix} \\ Р_2+Р_1\ R_3 + R_1\\ R_4 + R_2\\ \\ \конец{матрица} } \begin{bmatrix} -1&0&-1&3&6\\ 0&1&-2&3&10\\ 0&-3&-1&1&8\\ 0&3&1&1&1\\ 0&-1&2&0&2 \end{bmatrix} \]
Шаг 2: мы добавляем кратные строки к другим строкам, как показано ниже, и согласно свойству (1) определитель не меняет D.
\[ \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ R_3 + 3 \раз R_2\\ Р_4- 3 \раз Р_2\\ Р_5 + Р_2 \конец{матрица} } \begin{bmatrix} -1&0&-1&3&6\\ 0&1&-2&3&10\\ 0&0&-7&10&38\\ 0&0&7&-8&-29\\ 0&0&0&3&12 \end{bmatrix} \]
Шаг 3: мы добавляем строку к другой строке, как показано ниже, и согласно свойству (1) определитель не меняет D.
\[ \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ \\ R_4+R_3\\ \\ \конец{матрица} } \begin{bmatrix} -1&0&-1&3&6\\ 0&1&-2&3&10\\ 0&0&-7&10&38\\ 0&0&0&2&9\\ 0&0&0&3&12 \end{bmatrix} \]
Шаг 4: мы добавляем кратное строки к другой строке, как показано ниже, и согласно свойству (1) определитель не меняет D.
\[ \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ \\ \\ R_5 — \dfrac{3}{2} R_4 \конец{матрица} } \begin{bmatrix} -1&0&-1&3&6\\ 0&1&-2&3&10\\ 0&0&-7&10&38\\ 0&0&0&2&9\\ 0&0&0&0&-\dfrac{3}{2} \end{bmatrix} \]
Теперь матрица имеет треугольную форму, и ее определитель определяется произведением элементов на главной диагонали.
Определитель треугольной матрицы = (-1)(1)(-7)(2)(-3/2) = — 21 = D = Det(A)
Примечание: Сравните этот метод вычисления определителя квадратной матрицы с методом кофакторов в определителе квадратной матрицы. Какой метод эффективнее?
Пример 3
вычислить определитель матрицы \[ А = \begin{bmatrix} -1&2&4&6\\ 0&0&1&7\\ -1&2&4&14\\ 0&2&4&6 \end{bmatrix} \]
Решение примера 3
Пусть D — определитель данной матрицы.
Шаг 1: из строки (3) вычесть строку (1) и согласно свойству (1) определитель не изменится.
\[ \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ Р_3 — Р_1\\ \\ \конец{матрица} } \begin{bmatrix} -1&2&4&6\\ 0&0&1&7\\ 0&0&0&8\\ 0&2&4&6 \end{bmatrix} \]
Шаг 2: поменять местами строки (3) и (4) и согласно свойству (2) знак определителя изменить на — D
\[ \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ \текст{от} R_4\\ \текст{от} R_3\\ \конец{матрица} } \begin{bmatrix} -1&2&4&6\\ 0&0&1&7\\ 0&2&4&6\\ 0&0&0&8 \end{bmatrix} \]
Шаг 3: поменять местами строки (2) и (3) и согласно свойству (2) знак определителя изменить на -(- D)
\[ \color{red}{\begin{matrix} \\ \текст{от} R_3\\ \text{от} R_2 \\ \\ \конец{матрица} } \begin{bmatrix} -1&2&4&6\\ 0&2&4&6\\ 0&0&1&7\\ 0&0&0&8 \end{bmatrix} \]
Теперь матрица имеет треугольную форму, а ее определитель равен произведению элементов на главной диагонали.
Определитель треугольной матрицы = (-1)(2)(1)(8) = — 16 = -(- D) = D = Det(A)
Вопросы об определителе и сокращении строк
Часть 1
Используйте метод эшелонированной формы строк для вычисления определителя матриц.
$ А = \begin{bmatrix} 1&-1&-3&0&1\\ -1&0&0&1&5\\ 1&-1&1&4&5\\ 0&0&1&0&-1\\ 1&0&1&2&2 \end{bmatrix} $
Часть 2
Определитель матрицы $ A = \begin{bmatrix} а&б&в\\ д&е&е\\ г&ч&к \end{bmatrix} $ равно D.
Найдите определитель в терминах D следующих матриц
а) $ \begin{bmatrix} 2а&2б&2в\\ д&е&е\\ -3г&-3ч&-3к \end{bmatrix} $ , б) $ \begin{bmatrix} д&е&е\\ а&б&в\\ 7г&7ч&7к \end{bmatrix} $
Ответы на вышеуказанные вопросы
Часть 1
Пусть D — определитель данной матрицы A.
шаг 1: поменять местами строки 4 и 5; согласно свойству (2) определитель меняет знак на: — D.
\[ \begin{bmatrix} 1&-1&-3&0&1\\ -1&0&0&1&5\\ 1&-1&1&4&5\\ 1&0&1&2&2 \\ 0&0&1&0&-1 \end{bmatrix} \]
шаг 2: добавьте несколько строк к другим строкам; определитель не меняется: — D.
\[ \color{red}{\begin{matrix} \\ R_2+R_1 \\ Р_3-Р_1\ Р_4-Р_1\\ \\ \конец{матрица} } \begin{bmatrix} 1&-1&-3&0&1\\ 0&-1&-3&1&6\\ 0&0&4&4&4\\ 0&1&4&2&1\\ 0&0&1&0&-1 \end{bmatrix} \]
шаг 3: добавить кратное количество строк в другую строку; определитель не меняется: — D.
\[ \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ \\ R_4+R_2\\ \\ \конец{матрица} } \begin{bmatrix} 1&-1&-3&0&1\\ 0&-1&-3&1&6\\ 0&0&4&4&4\\ 0&0&1&3&7\\ 0&0&1&0&-1 \end{bmatrix} \]
шаг 4: добавьте несколько строк к другим строкам; определитель не меняется: — D.
\[ \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ \\ Р_4-(1/4)Р_3\\ R_5 — (1/4)R_3 \end{матрица}} \begin{bmatrix} 1&-1&-3&0&1\\ 0&-1&-3&1&6\\ 0&0&4&4&4\\ 0&0&0&2&6\\ 0&0&0&-1&-2 \end{bmatrix} \]
шаг 5: добавить кратное количество строк в другую строку; определитель не меняется: — D.
\[ \color{red} {\begin{matrix} \\ \\ \\ \\ R5 + (1/2)R4 \конец{матрица} } \begin{bmatrix} 1&-1&-3&0&1\\ 0&-1&-3&1&6\\ 0&0&4&4&4\\ 0&0&0&2&6\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix} \]
Теперь матрица имеет треугольную форму, а ее определитель равен произведению элементов на главной диагонали.
Определитель треугольной матрицы = (1)(-1)(4)(2)(1) = — 8 = — D
Определитель D данной матрицы равен D = 8.
Часть 2
а) строка (1) умножается на 2, а строка (3) на -3, следовательно, согласно свойству (3) выше, определитель равен 2 (-3) D = — 6 D.
б) строки (1) и (2) поменять местами, а строку (3) умножить на 7, следовательно, согласно свойствам (2) и (3), определитель
равен (-1) 7 D = — 7 D.
Дополнительные ссылки
Дополнительные ссылки
определитель квадратной матрицы
Матрицы с примерами и вопросы с решениями
Калькулятор формы эшелона строки
Линейная алгебра
линейная алгебра — Найдите треугольную матрицу и определитель.
Задавать вопрос
спросил 8 лет, 2 месяца назад
Изменено 4 года, 2 месяца назад
Просмотрено 5к раз
$\begingroup$
У меня есть матрица 4×4, и я хочу найти треугольную матрицу (нижние половины равны нулю).
$$А= \begin{bmatrix} 2 и -8 и 6 и 8\\ 3 и -9 и 5 и 10\\ -3 и 0 и 1 и -2\\ 1 и -4 и 0 и 6 \end{bmatrix} $$
Вот элементарные операции со строками, которые я выполнил, чтобы привести его к треугольной форме.
поменять местами строку 1 и строку 4
$r_2 — 3\cdot r_1$ заменить $r_2$
$r_3 + 3\cdot r_1$ заменить $r_3$
$r_4 — 2\cdot r_1$ заменить $r_4 $
Я получаю эту матрицу
$$A= — \begin{bmatrix} 1 и -4 и 0 и 6\\ 0 и 3 и 5 и -8\\ 0 и -12 и 1 и 16\\ 0 и 0 и 6 и -4 \end{bmatrix} $$
Затем я сделал $4\cdot r_2 + r_3$ для замены $r_3$ и получил
$$A= — \begin{bmatrix} 1 и -4 и 0 и 6\\ 0 и 3 и 5 и -8\\ 0 и 0 и 21 и -16\\ 0 и 0 и 6 и -4 \end{bmatrix} $$
Затем я сделал $-21\cdot r_4 + 6\cdot r_3$ для замены $r_4$ и получил
$$A= — \begin{bmatrix} 1 и -4 и 0 и 6\\ 0 и 3 и 5 и -8\\ 0 и 0 и 21 и -16\\ 0 и 0 и 0 и -12 \end{bmatrix} $$
Я не уверен, что сделал это правильно, но определитель матрицы должен быть -36. Когда я умножаю диагональные записи, это не -36. Я не могу понять, что я делаю неправильно.
линейная алгебра
матрицы
определитель
$\endgroup$
$\begingroup$
«Затем я сделал -21*строку 4 + 6*строку 3, чтобы заменить строку 4, и получил»
Это операция изменения определителя, а не элементарная операция.
Не пишите, что $A$ равно чему-то, что не является $A$.
Подбирая то, где вы ошиблись, и используя ту же идею, что и у вас, получается:
$$\begin{align} \begin{bmatrix} 1 и -4 и 0 и 6\\ 0 и 3 и 5 и -8\\ 0 и 0 и 21 и -16\\ 0 и 0 и 6 и -4 \end{bmatrix}&\leadsto \begin{bmatrix} 1 и -4 и 0 и 6\\ 0 и 3 и 5 и -8\\ 0 & 0 & 6\cdot 21 & -6\cdot 16\\ 0 & 0 & -21\cdot 6 & (-21)\cdot (-4) \end{bmatrix}\\ &\ ведет к \begin{bmatrix} 1 и -4 и 0 и 6\\ 0 и 3 и 5 и -8\\ 0 и 0 и 6\cdot 21 и -16\\ 0 и 0 и 0 и -12 \end{bmatrix}_. \end{align}$$
Получение надлежащей компенсации дает $$\det(A)=-\dfrac{1\cdot 3\cdot (6\cdot 21)\cdot (-12)}{-21\cdot 6}=-36.$$
$\endgroup$
4
$\begingroup$
«Затем я сделал -21⋅r4+6⋅r3, чтобы заменить r4 и получил». взят как делитель со знаком вне определителя. Например, У вас есть матрица A, и ее определитель равен |A|
Если мы выполняем следующую операцию, Р3 -> 3 Р2 — 5Р3 Операционный крик можно выполнить, взяв (-1/5) наружу. Идея заключается в том, что с помощью этой операции мы косвенно умножаем строку 3 на (-5). Нам не нужно беспокоиться о множителе 3 с R2, так как он не повлияет на значение определителя (мы изменяем строку 3, следовательно, оставшиеся коэффициенты строки не повлияют на |A|).
В вашем случае, до последнего шага, операции со строками не имели коэффициентов для конкретных изменений строк. В последнем шаге вы сделали,
R4 -> -21 R4 + 6 R3 Итак, вы должны взять (-1/21) снаружи. После выхода наружу вычисление определителя будет выглядеть так:
|A| = — (-1/21) (1) (3) (21) (-12) = -36
$\endgroup$
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Верхняя треугольная матрица — обзор
ScienceDirect
ЗарегистрироватьсяВойти
Сумма верхней треугольной матрицы и нижней треугольной матрицы представляет собой симметричную матрицу.
Из: Элементарная линейная алгебра (четвертое издание), 2010 г.
PlusAdd TO Mendeley

Fred E. Szabo PhD, в руководстве по линейной алгебре, 2015

Манипуляции
■
(1 (Matrilix
[MATRIALIRENIX
[MATRIALER
[MATRILIRELERIRELERIRIX
(1000111 (1000111 [1000111. 2 а, 3}, {4, 5, 6 б}, {7, 8в, 9}}]], {а, − 2, 2, 1}, {б, − 3, 3, 1}, {в , − 5, 5, 1}]
Мы используем Manipulate, MatrixForm, и UpperTriangularize для построения и исследования верхнетреугольных матриц. Если мы позволим a = 1, b = 2 и c = 3, то функция UpperTriangualize преобразует матрицу
MatrixForm[{{1, 2, 3}, {4, 5, 12}, { 7, 24, 9}}]
12345127249
к матрице верхней части триангулярного article/pii/B978012409520550028X

Стивен Андрилли, Дэвид Хекер, Элементарная линейная алгебра (четвертое издание), 2010 г.

Особенности
■
Определитель верхней (или нижней) треугольной матрицы представляет собой произведение элементов главной диагонали.
■
Строковая операция типа (I), включающая умножение на c , умножает определитель на c .
■
Строковая операция типа (II) не влияет на определитель.
■
Строковая операция типа (III) инвертирует определитель.
■
Если n × n матрица A умножается на c для получения B , то | Б | = с ^н | А |.
■
Определитель матрицы можно найти, приведя матрицу к верхней треугольной форме и отслеживая выполняемые операции над строками и их влияние на определитель.
■
Ан n × n матрица A невырожденна тогда и только тогда, когда | А | ≠ 0 тогда и только тогда, когда ранг( A ) = n .
Просмотр книги Глава Черта
Читать полная глава
URL: https://www.sciendirect.com/science/article/pii/B9780123747518000226

747518000226

747518000226

747518000226

747518000226

747518000226

747518000226

7
9.3 Решение верхней и нижней треугольных систем
В этом разделе представлены алгоритмы решения верхне- и нижнетреугольных систем уравнений. В дополнение к предоставлению дополнительных алгоритмов для изучения нам потребуется использовать оба этих алгоритма на протяжении всей книги.
Верхнетреугольная матрица — это матрица n × n , в которой единственные ненулевые элементы находятся ниже главной диагонали; другими словами
aij=0,j
Если U является n × n верхнетреугольной матрицы, мы знаем, как решить линейную систему Ux = b с помощью обратной подстановки. Фактически, это последний шаг в алгоритме исключения Гаусса, который мы обсуждали в главе 2. Вычислите значение x _n = b _n /u _nn , а затем подставьте это значение в уравнение ( n − 1) найти x _{n — 1} . Продолжайте, пока не найдете x 9.0552 ₁ . Алгоритм 9.4 представляет обратную замену в псевдокоде.
Алгоритм 9,4
Решение верхней треугольной системы
Функция Backsolve (U, B)
%Найдите решение до UX = B , где U- N , B , где U- UX = B , где U- UX = B . треугольная матрица.
x _n = b _n /u _nn
для i = n-1:-2:1 do0202
sum = 0. 0
for j = i+1:n do
sum = sum + u _ij x _j
end for
x ( i ) = ( b ( i ) − sum ) / u _ii
end for
return x
end function
NLALIB : Функция обратного решения реализует алгоритм 9..4.
Нижнетреугольная матрица — это матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны 0; другими словами
aij=0,j>i,1≤i,j≤n.
Система нижнего треугольника представляет собой систему с матрицей коэффициентов нижнего треугольника.
a1100…0a21a220…0a31a32a33…0………⋱0an1an2…an,n−1annx1x2x3⋮xn=b1b2b3⋮bn
Решение системы нижнего треугольника является обратным алгоритму решения системы верхнего треугольника — использовать прямую замену . Решите первое уравнение для x1=b1a11 и подставьте это значение во второе уравнение, чтобы найти x ₂ и так далее. Пример 9.7 : х=1-423/5T.
Алгоритм 9.5
Решение системы нижнего треугольника
функция FORSOLVE(L,b)
% Найти решение системы Lx = b , где L — нижнетреугольная матрица n × n .
x ₁ = b ₁ / l ₁₁
for i = 2:n do
sum = 0.0
for j = 1:i -1 DO
Сумма = Сумма + L _IJ x _J
END для
1. 9052 (
(
1. 9052 (
(
1
(0551 I ) = ( B ( I ) — Сумма )/ л _II
Конец
return x
22020202020 21202020202020 2120202020202020 220202020 220202020 220202020 22020120120 2
2020202020 2120120102AL. forsolve реализует алгоритм 9.5. Пример 9.8
>> U = [1 -1 3;0 2 9;0 0 1];
>> L = [1 0 0;-1 2 0;3 4 5];
>> b = [1 9 -2]’;
>> x = backsolve(U,b)
x =
20.5000
13.5000
-2.0000
>> U\b
ans =
20.5000
13.5000
-2.0000
>> y = forsolve (l, b)
y =
1
5
-5
>> L \ B
ANS =
1
5
-5
1
5
-5
9.3.1 Анализ эффективности
Алгоритм 9.4 выполняет 1 деление, а затем начинает внешний цикл, содержащий n − 1 итераций. Внутренний цикл выполняется n — ( i + 1) + 1 = n — i раза, и каждая итерация цикла выполняет 1 сложение и 1 умножение, всего 2 ( n 5-1 i 90 ) проваливается. После завершения внутреннего цикла выполняется 1 вычитание и 1 деление. Общее количество необходимых флопов равно
1+∑i=1n−12n−i+2=1+2n−1+2∑i=1n−1n−i=1+2n−1+2n−1+n− 2+⋯+1=1+2n−1+2nn−12=n2+n−1
Таким образом, обратная замена представляет собой O ( n ² )(квадратичный) алгоритм. В качестве упражнения остается показать, что алгоритм 9.5 имеет точно такое же количество флопов.
Просмотр книги Глава покупки
Читать полная глава
URL: https://www.sciendirect.com/science/article/pii/b9780123944351000090

Biswa Nath Datta Datta, в цифровой цифре.
Вычисление инерции симметричной матрицы
Если A симметрично, то закон инерции Сильвестра обеспечивает недорогой и численно эффективный метод вычисления его инерции.
Симметричная матрица A допускает треугольную факторизацию:
A=UDUT,
, где U — произведение элементарной единичной верхней треугольной матрицы и матрицы перестановки, а D — симметричная блочная диагональ с блоками порядка 1 или 2. Это известно как факторизация с диагональным поворотом . Таким образом, по закону инерции Сильвестра In( A ) = In( D )). Как только получена эта диагональная поворотная факторизация, инерция симметричной матрицы A может быть получена из элементов D следующим образом:
. порядок 2, с р + 2 д = н. Предположим, что ни один из блоков 2 × 2 D не является сингулярным. Предположим, что из p блока 1-го порядка, p ′ из них положительных, p ″ отрицательных и p ″ из них нулевых (т.е. p ′ + p ″ + p ″ = р ). Тогда
π(A)=p′+q,v(A)=p″+q,δ(A)=p‴.
Разложение на диагональные повороты может быть достигнуто численно устойчивым способом. Требуется только n ³ /3 флопа. Подробную информацию о факторизации с диагональным поворотом см. в Bunch (19).71), Банч и Парлетт (1971) и Банч и Кауфман (1977).
Реализация LAPACK: Метод диагонального поворота реализован в подпрограмме LAPACK SSYTRF.
Просмотреть главуКнига покупок
Прочитать всю главу
URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B97801220350112

Richard Bronson, издание Метод Коста Б. ), 2009

3.2 Вычисление инверсий
В разделе 2.3 мы разработали метод преобразования любой матрицы в сокращенную по строкам форму с использованием элементарных операций со строками. Если мы теперь ограничим наше внимание квадратными матрицами, мы можем сказать, что результирующие матрицы с редуцированными строками являются верхними треугольными матрицами, имеющими либо единичный, либо нулевой элемент в каждом элементе на главной диагонали. Это обеспечивает простой тест для определения того, какие матрицы имеют обратные.
Теорема 1 Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда приведение к приведенной по строкам форме с помощью элементарных операций над строками приводит к матрице, имеющей все единичные элементы на главной диагонали .
Мы докажем эту теорему в заключительных комментариях к этой главе как
Теорема 2 Матрица размера n × n имеет обратную тогда и только тогда, когда она имеет ранг n .
Теорема 1 не только дает тест для определения того, является ли матрица обратимой, но также предлагает метод получения обратной, когда она существует. Как только матрица преобразована в редуцированную по строкам матрицу с единичными элементами на главной диагонали, ее несложно еще больше свести к единичной матрице. Это делается путем применения элементарной операции со строками (E3) — добавления к одной строке матрицы скаляра, умноженного на другую строку той же матрицы, — к каждому столбцу матрицы, , начиная с последнего столбца и последовательно продвигаясь к первому столбцу , размещая нули во всех позициях над диагональными элементами.
Пример 1 Используйте элементарные операции со строками для преобразования верхней треугольной матрицы
A=[121013001]
в единичную матрицу.
Решение
[121013001] → [121010001] {Добавляя вторую строку (−3) раз в третьем ряду → [120010001] {Добавляя первую строку (−1) время третья строка → [100010001] {добавляя к первой строке (−2), умноженное на вторую строку,
Итак, теперь мы знаем, что квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее можно преобразовать в единичную матрицу с помощью элементарных операций над строками. Более того, из предыдущего раздела следует, что каждая элементарная операция со строками представлена элементарной матрицей E , которая генерирует операцию со строками при умножении EA. Следовательно, A имеет обратную тогда и только тогда, когда существует последовательность элементарных матриц. E ₁ , E ₂ ,…, E _k такие, что
Но если мы обозначим произведение этих элементарных матриц как B, , то мы получим BA = I, , откуда следует, что B = A ⁻¹ . То есть обратная квадратная матрица A полного ранга есть произведение тех элементарных матриц, которые сводят A к единичной матрице! Таким образом, чтобы вычислить обратное число A, нам нужно только вести учет элементарных операций со строками или, что то же самое, элементарных матриц, которые использовались для сведения A к I. Это достигается путем одновременного применения одних и тех же элементарных операций со строками к обоим A и единичная матрица того же порядка, потому что если
EkEk−1⋯E3E2E1A=I.
, затем
(EkEk−1⋯E3E2E1)I=EkEk−1⋯E3E2E1=A−1.
Таким образом, у нас есть следующая процедура для вычисления инверсий, когда они существуют. Пусть A — матрица n × n , которую мы хотим инвертировать. Поместите рядом с ней другую n × n матрицу B которая изначально является тождественной. Используя элементарные операции со строками над A, преобразуют его в тождество. Каждый раз, когда операция выполняется над A, повторяет точно такую же операцию над B. После преобразования A в тождество матрица, полученная в результате преобразования B , будет равна 9.0201 А ⁻¹ .
Если A не может быть преобразовано в матрицу идентичности, что эквивалентно утверждению, что его преобразование по строкам содержит хотя бы одну нулевую строку, то A не имеет обратной.
Пример 2 Invert
A = [1234]
Решение
[12103401] → [12100–2–31] {добавив вторую строку (–3) Время от первой строки → [12100132 — 12] {путем умножения второй строки на (−12)
A был преобразован в уменьшенную по строкам форму с главной диагональю, состоящей только из единичных элементов; у него есть инверсия. Продолжая процесс преобразования, мы получаем
→[10−210132−12] {путем прибавления к первой строке (–2), умноженной на вторую строку
Таким образом,
A−1=[−2132−12].
Пример 3 Найдите обратное число
A=[58102143−1].
Решение
[58110002101043–1001] → [11,60,20,20,20002101043 —1001] {путем умножения ряда на (0,2) → [11,60,20,2000210100-3,4–1,8–0,801]. ) умножить на первую строку→[11.60.20.200010.500.500−3.4−1.8−0.801] {путем умножения второй строки на (0.5)→[11.60.20.200010.500.5000−0.1−0.81.71] ) умножить на вторую строку→[11.60.20.200010.500.500018−17−10] {путем умножения третьей строки на (−0,1)
A преобразован в сокращенную по строкам форму с главной диагональю, состоящей только из единичных элементов; у него есть инверсия. Продолжая процесс преобразования, мы получаем
→[11.60.20.200010−4950018−17−10] {путем прибавления ко второй строке (−0,5), умноженной на третью строку→[11. 60−1.43.42010−4950018−17−10] {путем прибавления к первой строке (-0,2), умноженной на третью строку→[1005-11-6010-4950018-17-10]. {добавляя к первой строке (-1,6), умноженное на вторую строку
Таким образом,
A-1=[5-11-6-4958−17−10].
Пример 4 Найдите обратное число
A=[011111113].
Решение
[0111001110113001] → [1110100111100113001] {Благодаря взаимосвязи первой и второй строки → [111010010010020111] {добавив в третью строку (−1) Время от первой строки → [11101111111111111111111111111111111111111111111111. умножая третью строку на (12)→[111010010112−120010−1212] {путем прибавления ко второй строке(−1), умноженной на третью строку→[110032−12010112−120010−1212] {прибавления к первой строке(−1), раз третья строка→[100−110010112−120010−1212] {путем добавления к первой строке (−1), умноженной на вторую строку,
Таким образом,
A−1=[−110112−120−1212].
Пример 5 Инвертировать
A=[1224].
Решение
[12102401]→[121000−21]. {путем добавления ко второй строке (−2) tiems первая строка
A была преобразована в сокращенную по строкам форму. Поскольку главная диагональ содержит нулевой элемент, здесь в позиции 2−2 матрица A не имеет обратной. Это единственное число.
Проблемы 3.2
В задачах 1−20 найти обратные заданные матрицы, если они существуют.
1.
[1134],
2.
[2112],
3.
[4444],
[4444],
[4444],
.
5.
[8352],
6.
[1121213],
7.
[110101011],
8.
[001100010],
9.
[20−1012311],
10.
[123456789],
11.
[200510411],
12.
[21503−1002 ],
13.
[321401392],
14.
[12–1201–113],
15.
9
1111118 9000
111111111111111111111111111 гг.
16.
[2433-4-450-1],
17.
[50−12−1223−1],
18.
[31113−123−1],
19.
[111201−110023000−2],
20.
[10002−1004620324−1].
21.
Используя результаты задач 11 и 20, выведите теорему об обратных матрицах нижнего треугольника.
22.
Используя результаты задач 12 и 19, выведите теорему об обратных верхнетреугольных матрицах.
23.
Инверсия матрицы может использоваться для кодирования и декодирования конфиденциальных сообщений для передачи. Первоначально каждой букве в алфавите присваивается уникальное положительное целое число, причем простейшим соответствием является
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ↓↓↓мерапоминапоминаристи спутилщенпоминашенияменментня.
Нули используются для разделения слов. Таким образом, сообщение
ОНА ВИДЯЩАЯ
закодировано
1985091
955180
Однако эту схему слишком легко расшифровать, поэтому перед передачей добавляется эффект скремблирования. Одна схема состоит в том, чтобы упаковать закодированную строку в виде набора двойных кортежей, умножить каждую двойку на обратимую матрицу 2 × 2, а затем передать новую строку. Например, используя матрицу
A=[1223],
, приведенное выше закодированное сообщение будет зашифровано в
[1223][198]=[3562],[1223][50]=[510],[1223 ][919]=[4775], и т. д.
и зашифрованное сообщение становится
35625104775…
Обратите внимание на немедленную выгоду от скремблирования: буква S, которая изначально всегда кодировалась как 19 в каждом из трех ее вхождений, теперь кодируется как 35 в первый раз и как 75 во второй раз. Продолжите скремблирование и определите окончательный код для передачи вышеуказанного сообщения.
24.
Зашифруйте сообщение ОНА ВИДЯЩАЯ, используя матрицу
A=[2−345].
25.
Зашифруйте сообщение AARON IS A NAME, используя матрицу и шаги, описанные в задаче 23.
26.
Передаваемые сообщения расшифровываются путем повторной упаковки полученного сообщения в 2-кортежи и умножения каждого вектора на число, обратное A. Для декодирования зашифрованного сообщения В задаче 23 мы сначала вычисляем
A−1=[−322−1]
, а затем
[−322−1][1831]=[85],[−322−1][4472]=[1216 ].
Расшифрованное сообщение:
851216
, что, согласно буквенно-целочисленному соответствию, данному в Задаче 23, переводится как ПОМОЩЬ. Используя ту же процедуру, расшифруйте зашифрованное сообщение
2643406018312851.
27.
Используйте процедуру декодирования, описанную в задаче 26, но с матрицей A , данной в задаче 24, для расшифровки переданного сообщения. −39131−27453876−5112.
28.
Зашифруйте сообщение ОНА ВИДЯЩАЯ, упаковав закодированные буквы в тройки и умножив их на обратимую матрицу 3 × 3
А=[101011110].
Добавьте столько нулей, сколько необходимо в конец сообщения, чтобы сгенерировать полные 3-кортежи.
Просмотр книги Глава Черта
Читать полная глава
URL: https://www.sciendirect.com/science/article/pii/B9780080
6500097

22225600097

22225600097

22225600097

2225600097

2222500097

LU Факторизация методом исключения Гаусса с частичным поворотом
Поскольку перестановка двух строк матрицы эквивалентна предварительному умножению матрицы на матрицу перестановок, матрица A ^{( k )} связан с A ^{( k − 1)} следующим соотношением:
A(k)=MkPkA(k−1),k=1,2, …, N — 1,
, где p _K — матрица перестановки, полученная путем взаимозаменяемости строк K и R _K51 9052. 9052 и идентификатор 9052 и идентификаторов 9052 и идентификаторов 9052 и идентификаторов 9052 и идентификаторов 9052 и идентификаторов 9052 и идентификаторов 9052. 9052. 9052. 9052.. . — элементарная нижняя треугольная матрица, полученная в результате процесса исключения. Итак,
U=A(n-1)=Mn-1Pn-1A(n-2)=Mn-1Pn-1Mn-2Pn-2A(n-3) =⋯=Mn−1Pn−1Mn−2pn−2⋯M2P2M1P1A .
Setting M = M _{n -1} P _{n -1} M _{n -2} P _{n -2} … M ₂ P ₂ M ₁ P ₁ , мы имеем следующую факторизацию A :
Вышеуказанная факторизация может быть записана в форме: PA = LU , где P = P _{N -1} P _{9552 955155155155155155155155155155155151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151555552-1} . 2 P ₁ , U = A ^{( n -1)} , а матрица L представляет собой единичную нижнюю треугольную матрицу, образованную из множителей. Подробности см. у Голуба и Ван Лоана (1996, стр. 99).
Для n = 4 приведение A к верхней треугольной матрице U можно схематически описать следующим образом:
1. ××0×××0×××)=А(1).
2.
A(1)⟶P2P2A(1)⟶M1M2P2A(1)=M2P2M1P1A=(××××0×××00×××00××)=A(2).
3.
A(2)⟶P3P3A(2)⟶M3M3P3A(2)=M3P3M2P2M1P1A=(××××0×××00××000×)=A(3)=U.
Единственная разница между L здесь и матрица L из исключения Гаусса без поворота заключается в том, что множители в k -м столбце теперь переставлены в соответствии с матрицей перестановок P˜k=Pn−1Pn−2⋯Pk+1.
Таким образом, чтобы построить L , снова не нужны явные произведения или обращения матриц. Мы проиллюстрируем это ниже.
Рассмотрим случай n = 4, и предположим, что P ₂ меняет местами ряды 2 и 3, а P ₃ меняет местами строки 3 и 4.
Тогда матрица L определяется как:
L=(1000−m31100−m21−m4210−m41−m32−m341).
Пример 3.4.1.
А=(124456789).
K = 1
1.
Вход PIVOT составляет 7: R ₁ = 3.
2.
111
2.

9000 2. ),P1A=(789456124).
3.
Сформируйте множители: a21≡m21=−47,a31≡m31=−17.
4.
A (1) = M1P1A = (100–4710–1701) (789456124) ≡ (78
7067197) ..
197) ..
197) ..
197). запись 67,r2=3.
2.
Поменяйте местами ряды 2 и 3.
P2=(100001010),P2A(1)=(789703767).
3.
Сформируйте множитель: m32=−12
A(2)=M2P2A(1)=(1000100−121)(789703767)=(789700−12).
Форма L=(100−m3110−m21−m321)=(100171047121).
P=P2P1=(001100010).
Подтвердить. PA=(7856)=LU..
Счетчик флопа. Исключение Гаусса с частичным поворотом требует всего 23n3 флопов. Кроме того, процесс с частичным поворотом требует не более O ( n ² ) сравнений для определения поворотов.
Просмотр главыКнига покупок
Полный текст главы
URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B97801220350070

БИСВА НАТ ДАТТА, Численные методы для линейных систем управления, 2004
.
Алгоритм Шура для e ^A .
Вход. A ∈ ℝ ^{n x n}
Выход. е ^А .
Шаг 1.
Преобразовать A в R, верхнюю треугольную матрицу, используя итерационный алгоритм QR (Глава 4):
PTR=.2
( Note that when the eigenvalues of A are all real, the RSF is upper triangular. )
Step 2.
Compute e ^R = G = ( g _и ):
For i = 1,…, n do
g _ii = e ^{r _ii}
End
For k = 1, 2,…, n − 1 do
For i = 1, 2,…, n – k do
Set j = i + k
gij=1(rii−rjj)[rij(gii−gjj)+∑p=i+1j−1(giprpj−ripgpj)].
END
END
Шаг 3.
Compute E ^A = PE ^A = PE ^A = PE ^A = PE ^A = PE ^A.
Количество флопов: Вычисление e ^R на шаге 2 требует примерно (2 n ³/3) флопов.
MATCONTROL примечание: Алгоритм 5.3.2 реализован в функции MATCONTROL экспмшр .
Просмотреть главуКнига покупок
Прочитать главу полностью
URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B97801220350094

George Lindfield, John Penny, in Numerical Editions, 2019, George Lindfield, John Penny, Numerical Methods.

2.9 QR-разложение
Мы видели, как квадратную матрицу можно разложить или разложить на множители в произведение нижней и верхней треугольных матриц с помощью элементарных операций над строками. Альтернативное разложение A находится в верхней треугольной матрице и ортогональной матрице, если A действительное число, или в верхней треугольной матрице и унитарной матрице, если A комплексное. Это называется QR-разложением. Таким образом,
A=QR
, где R — верхняя треугольная матрица, а Q — ортогональная или унитарная матрица. Если Q является ортогональным, Q-1=QT, а если Q является унитарным, Q-1=QH. Предыдущие свойства очень полезны.
Существует несколько процедур, обеспечивающих декомпозицию QR; здесь мы представляем метод Хаусхолдера. Чтобы разложить реальную матрицу, метод Хаусхолдера начинается с определения матрицы P таким образом:
(2.21)P=I−2wwT
, где w — вектор-столбец, а P — симметричная матрица. При условии, что wTw=1, P также является ортогональным. Ортогональность можно легко проверить, разложив произведение PTP=PP следующим образом: я
, так как wTw=1.
Чтобы разложить A на QR , мы начинаем с формирования вектора w1 из коэффициентов первого столбца A следующим образом:
w1T=µ1[(a11−s1)a21a31…an1]
где
µ1=12s1(s1−a11) и s1=±(∑j=1naj12)1/2
Подставив µ1 и s1 в w1, можно проверить, что необходимое условие ортогональности, w1Tw1=1, выполняется. . Подставив w1 в (2.21), мы получим ортогональную матрицу P(1).
Теперь матрица A(1) создается из произведения P(1)A. Легко проверить, что все элементы в первом столбце матрицы A(1) равны нулю, кроме элемента на главной диагонали, который равен s1. Таким образом,
A(1)=P(1)A=[s1+⋯+0+⋯+⋮⋮⋮0+⋯+0+⋯+]
В матрице A(1) + указывает на не- нулевой элемент.
Теперь мы начинаем второй этап процесса ортогонализации, формируя w2 из коэффициентов второго столбца A(1) таким образом:
w2T=µ2[0(a22(1)−s2)a32(1)a42( 1)⋯an2(1)]
, где aij — коэффициенты A и
μ2=12s2(s2−a22(1)) и s2=±(∑j=2n(aj2(1))2)1/2
Тогда ортогональный матрица P(2) создается из
P(2)=I−2w2w2T
Затем матрица A(2) создается из произведения P(2)A(1) следующим образом:
A(2)= P(2)A(1)=P(2)P(1)A=[s1+⋯+0s2⋯+⋮⋮⋮00⋯+00⋯+]
Обратите внимание, что A(2) имеет нулевые элементы в первом два столбца, за исключением элементов на главной диагонали и над ней. Мы можем продолжить этот процесс n−1 раз, пока не получим верхнюю треугольную матрицу Р . Таким образом,
(2.22)R=P(n−1)…P(2)P(1)A
Заметим, что поскольку P(i) ортогонален, произведение P(n−1) … P( 2)P(1) также ортогонален.
Мы хотим определить ортогональную матрицу Q такую, что A=QR. Таким образом, R=Q-1A или R=QTA. Отсюда из (2.22)
QT=P(n−1)…P(2)P(1)
Помимо знаков, связанных со столбцами Q и строками R , разложение уникален. Эти знаки зависят от того, извлекается ли положительный или отрицательный квадратный корень при определении s1, s2 и т. д. Полное разложение матрицы требует 2n3/3 умножений и n квадратных корня. Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим разложение матрицы
A=[4−2762−3344]
Таким образом,
s1=42+62+32=7,8102µ1=12×7,8102×(7,8102−4)=0,1296w1T =0,1296[(4−7,8102)63]=[−0,49390,77770,3889]
Используя (2.21), мы получаем P(1) и, следовательно, A(1) таким образом:
P(1)=[0,51210,76820,38410,7682 −0. 2097−0.60490.3841−0.60490.6976]
A(1)=P(1)A=[7.81022.04862.81680−4.37533.587300.81237.2936]
A элементы первого столбца (1) ниже главной диагонали к нулю. Продолжаем второй этап таким образом:
с2=-4,37532+0,81232=4,4501μ2=12×4,4501×(4,4501+4,3753)=0,1128w2T=0,1128[0(-4,3753−4,4501)0,8123]=[0−0,,09017] 90 P =[1000−0.98320.182500.18250.9832]
R=A(2)=P(2)A(1)=[7.81022.04862.816804.4501−2.1956007.8259]
Обратите внимание, что мы сократили первые два столбцы A(2) ниже ведущей диагонали равны нулю. На этом завершается процесс определения верхней треугольной матрицы R . Наконец, мы определяем ортогональную матрицу Q следующим образом:
Q=(P(2)P(1))T=[0,5121−0,68520,51790,76820,0958−0,63300,38410,72200,5754]
Читателю нет необходимости выполнять предыдущие вычисления, поскольку Matlab предоставляет функция qr для выполнения этого разложения. Например,
>> A = [4 -2 7;6 2 -3;3 4 4]
A =
4 -2 7
6 2 -3
3 4 4
> > [Q R] = qr(A)
Q =
-0,5121 0,6852 0,5179
-0,7682 -0,0958 -0,6330
-0,3841 -0,7220 0,5754
r =
-7,8102 -2,0486 -2,8168
0 -4,4501 2,1956
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111115
10,8118
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111РУС. в выходных данных Matlab являются отрицательными результатами ручных вычислений Q и R выше. Это не имеет значения, так как их произведение равно A , а при умножении знаки сокращаются.
Одним из преимуществ QR-разложения является то, что его можно применять к неквадратным матрицам, разлагая матрицу размера m×n на ортогональную матрицу размера m×m и верхнюю треугольную матрицу размера m×n. Заметим, что если m>n, то разложение неоднозначно.
Просмотреть главуКнига покупок
Прочитать главу полностью
URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128122563000117

Stephen Andrilli,
Stephen Linear Hecker, издание Elementary Firefal Alge Hecker 2016

Вычисление определителя путем редукции строк
Теперь мы проиллюстрируем, как использовать операции со строками для вычисления определителя заданной матрицы A путем нахождения верхней треугольной матрицы B , который эквивалентен строке A .
Пример 4
Пусть
A=0−14−8132−206.
Приводим A по строке к верхнетреугольной форме следующим образом, отслеживая влияние на определитель на каждом шаге: Поскольку последняя матрица B имеет верхнетреугольную форму, мы останавливаемся. (Обратите внимание, что мы не нацеливаемся на элементы выше главной диагонали, как в сокращенной эшелонированной форме строки.) Из теоремы 3.2 B=(1)(1)467=467. Поскольку | B |=+114|A|, мы видим, что |A|=14|B|=14(467)=92.
Более удобный метод вычисления A заключается в создании переменной P (для «продукта») с начальным значением 1 и обновлении P соответствующим образом при выполнении каждой операции строки. То есть мы заменяем текущее значение P на
P×c для операций со строками типа (I) P×(−1) для операций со строками типа (III).
Конечно, операции со строками типа (II) не влияют на определитель. Затем, используя окончательное значение P , мы можем решить для | А | используя A=(1/P)B, где B — верхний треугольный результат процесса сокращения строк. Этот метод проиллюстрирован в следующем примере.
Пример 5
Повторим расчет для A в примере 4. Мы создаем переменную P и инициализируем P значением 1. Ниже перечислены операции над строками, используемые в этом примере для преобразования A в верхнюю треугольную форму B , с B=467. После каждой операции мы обновляем значение Р соответственно.
Row Operation Effect P
(III): 1↔2 Multiply P by − 1 − 1
(II): 3 ← 21+3 Нет. 3 Без изменений 114
Тогда A равно обратной величине конечного значения P умножить на B; то есть A=(1/P)|B|=14×467=92.
Просмотреть главуКнига покупок
Прочитать главу полностью
URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B978012800853
37

Stephen Andrilli, издание Fith, David Hecker, in Elementary 2016

Упражнения по разделу 8.10
1.
В каждой части этого упражнения дана квадратичная форма Q :Rn→R. Find an upper triangular matrix C and a symmetric matrix A such that, for every x∈Rn, Q ( x ) = x ^T Cx = x ^Т Топор .
⋆(a)
Q ([ x , y ]) = 8 x ^{2 5} − 1 9
30 2 + 12 xy
(b)
Q ([ x , y ]) = 7 x ² + 11 y ² − 17 xy
⋆(c)
Q([x1,x2,x3])=5×12−2×22+4x1x2−3x1x3+5x2x3
2.
In each part of this exercise, use метод квадратичной формы для диагонализации заданной квадратичной формы Q :Rn→R. Ваши ответы должны включать матрицы A , P и D , определенные этим методом, а также ортонормированный базис B . Наконец, вычислите Q ( x ) для заданного вектора x двумя следующими способами: во-первых, используя данную формулу для Q , и во-вторых, вычислив Q=[x]BTD[x]B где [ x ] _B = P ⁻¹ x и D = P ^{−1
1 AP 9}
1 AP0202 .
⋆ (a)
Q ([ x , Y ] = 43 x ² + 57 Y ² + 57 Y 9052 0 2 + 57 Y 9052 2 0 2 + 57 Y 9052 0 2 + 57 Y ² + 57 9051 Y ² + 57 9051 Y ². x = [1,−8]
(б)
Q([x1,x2,x3])=−5×12+37×22+49×32+32x1x2+80x1x3+32x2x3; x = [7,−2,1]
⋆(c)
Q([x1,x2,x3])=18×12−68×22+x32+96x1x2−60x1x3+36x2x3; x = [4,−3,6]
(г)
Q([x1,x2,x3,x4])=x12+5×22+864×32+864×42−24x1x3+24x1x4+120x2x3+120x2x4+1152x3x4; x = [5,9,−3,−2]
3.
Пусть Q :Rn→R — квадратичная форма, а A и B симметричные матрицы так что Q ( x ) = x ^T Ax = x ^T2 Bx902. Докажите, что A = B (утверждение единственности из теоремы 8.14). (Подсказка: используйте x = e _i, чтобы показать, что a _ii = b _{ii 3 ii. Then use x = e _i + e _j to prove that a _ij = b _ij when i ≠ j .)}
⋆4.
Пусть Q :Rn→R — квадратичная форма. Верхнее треугольное представление для Q обязательно уникальный? That is, if C ₁ and C ₂ are upper triangular n × n matrices with Q ( x ) = x ^T C ₁ x = x ^T C ₂ x , для всех x∈RN, должен C ₁ = 0202902 0202. . . . 02. 02. 02. . . . . . . . . . . Докажите свой ответ.
5.
A quadratic form Q ( x ) on Rn is positive definite if and only if both of the following conditions hold:
(i)
Q ( x ) ≥ 0 для всех x∈Rn.
(ii)
Q ( x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 .
Квадратичная форма, обладающая только свойством (i), называется положительно-полуопределенной .
Пусть Q — квадратичная форма на Rn, а A — симметричная матрица такая, что Q ( x ) = x ^T
A x 9.
(a)
Докажите, что Q положительно определено тогда и только тогда, когда каждое собственное значение A положительно.
(b)
Докажите, что Q является положительно полуопределенным тогда и только тогда, когда каждое собственное значение A неотрицательно.
⋆6.
Верно или Неверно:
(A)
IF Q ( x ) = x ^T CX ^T CX ^T 020120120102010201020102010201020201020102020. и CX ^{. ), тогда Q ( x ) = x ^T Ax .}
(b)
Q ( x , y ) = xy не является квадратичной формой, потому что она не имеет x ² или y ² терминов.
(C)
Если x ^T AX = x ^T 202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202023.
(d)
Каждую квадратичную форму можно диагонализовать.
(e)
Если A является симметричной матрицей и Q ( x ) = x ^T Ax является квадратичной формой, которая диагонализируется до Q(x)=[x]BTD[x]B, тогда элементы главной диагонали D являются собственными значениями A .
Просмотреть книгу Глава Черта
Читать полную главу
URL: https://www.sciendirect.com/science/article/pii/b978012800853
86
resportser in verians in resporter in in repormant in in resportser in veriviner in verivin in resportser in verivin in resporter in veriviner in veriviner in verivin in resporter in verivin in repormant in repormant in repormanst , мы научимся находить определитель треугольной матрицы.
Начнем с того, что вспомним, как найти определитель обычной матрицы 3×3. Сделать это, нам нужно знать определения миноров и кофакторов.
Определение: Миноры
Пусть 𝐴=𝑎 — матрица порядка 𝑚×𝑚. Затем младших элемента 𝑎 (обозначается 𝐴) является определителем Полученная матрица (𝑚−1)×(𝑚−1) после удаления строки 𝑖 и столбца 𝑗 из 𝐴.
Определение: Кофакторы
Пусть 𝐴=𝑎 — матрица порядка 𝑚×𝑚. Затем кофактор элемента 𝑎 (обозначается 𝐶) 𝐶=(−1)𝐴, где 𝐴 — минор элемента 𝑎.
Определитель можно записать с помощью расширения кофактора следующим образом.
Определение: определитель матрицы 3 × 3 (кофакторное разложение)
Пусть 𝐴=(𝑎) — матрица 3×3. Тогда для любого фиксированный 𝑖=1,2 или 3, определитель 𝐴 равен det(𝐴)=𝑎𝐶+𝑎𝐶+𝑎𝐶, где каждый 𝐶 является кофактором входа 𝑎. это известно как 9Расширение кофактора 0003 (или расширение Лапласа) по строке 𝑖. Альтернативно, для любого фиксированного 𝑗=1,2 или 3 имеем det(𝐴)=𝑎𝐶+𝑎𝐶+𝑎𝐶. 
Это расширение кофактора по столбцу 𝑗.
Мы также отмечаем, что альтернативная, возможно, более удобная формулировка состоит в том, чтобы записать приведенные выше формулы явно в терминах определителей 2 × 2. Итак, для разложения первой строки имеем det(𝐴)=𝑎|||𝑎𝑎𝑎𝑎|||−𝑎|||𝑎𝑎𝑎𝑎|||+𝑎|||𝑎𝑎𝑎𝑎|||. 
Важным аспектом расширения кофактора, который следует учитывать, является то, что мы можем выбирать, какую строку или столбец мы хотим расширяться вместе. Насколько это существенно, становится ясно, если мы рассмотрим, например, матрица как 𝐴=413100−3−24.
Если бы мы рассматривали первую строку, то вычисление определителя было бы det(𝐴)=4||00−24||−1||10−34||+3||10−3−2||.
Это выполнимо, но требует написания и вычисления трех определителей 2×2. С другой стороны, если бы мы использовали вместо этого вторую строку, мы бы просто получили det(𝐴)=1||13−24||, поскольку 𝑎 и 𝑎 равны 0. Несмотря на то, что это вычисление намного проще, мы все равно получаем тот же результат в конце, потому что все формы расширения кофактора эквивалентны.
Давайте помнить о том, что выбор строки или столбца с большим количеством нулей упрощает расчет при рассмотрении нашего первого примера.
Пример 1. Нахождение определителя матрицы, содержащей строку нулей
Найдите значение ||||5−180260000||||.
Ответ
Чтобы вычислить определитель матрицы 3×3, вспомните, что мы можем использовать разложение кофактора по любой строке по формуле det(𝐴)=𝑎𝐶+𝑎𝐶+𝑎𝐶, где 𝑖=1,2 или 3, и по любому столбцу.
Хотя любой выбор строки или столбца даст нам одно и то же значение определителя, это всегда проще выбрать тот, который имеет наибольшее количество нулей. В частности, мы видим, что третий ряд сплошь нули:
Следовательно, если 𝑖=3, определитель расчет будет det(𝐴)=𝑎𝐶+𝑎𝐶+𝑎𝐶=0×𝐶+0×𝐶+0×𝐶=0. 
Как показано в последнем примере , так как в третьей строке матрицы для каждого элемента были нули, определитель был равен нулю. Естественно, так как расширение кофактора может быть применено к любой строке или столбцу, тот же результат будет верным, если вся строка или столбец матрицы равны нулю, и это можно обобщить. для матриц любого размера.
Свойство: определители с нулевыми строками или столбцами
Если 𝐴 — квадратная матрица, в которой каждый элемент в определенной строке или столбце равен нулю, тогда det(𝐴) равно нулю.
Некоторые примеры этого включают
Всякий раз, когда нас просят найти определитель, мы всегда должны помнить, чтобы проверить, есть ли строки или столбцы нулевые, так как это позволяет нам сразу заключить, что определитель равен нулю, используя это имущество.
В следующем примере мы рассмотрим еще один частный случай вычисления определителя.
Пример 2.
Нахождение значения определителя верхнетреугольной матрицы
Заполните пропуск: Значение определителя ||||30−2057004||||=.
Ответ
Когда вас попросят найти определитель матрицы 3×3, вспомните, что мы можем использовать разложение кофактора по любой строке по формуле det(𝐴)=𝑎𝐶+𝑎𝐶+𝑎𝐶, где 𝑖=1,2 или 3, и по любому столбцу.
Для нас всегда выгодно выбрать для расширения строку или столбец с наибольшим числом нулевых записей, так как это приводит к меньшему количеству необходимых вычислений. Если мы исследуем данную матрицу, мы находим, что первый столбец и третья строка являются лучшими кандидатами, так как они оба содержат две записи, равные нулю:
Если мы выберем третью строку, то 𝑖=3. Итак, мы получаем det(𝐴)=𝑎𝐶+𝑎𝐶+𝑎𝐶=0×𝐶−0×𝐶+4||3005||=4×3×5=60.
Давайте рассмотрим важный аспект этого примера. В итоге вычисление определителя просто перемножал три записи по главной диагонали вместе. Как оказалось, причиной тому расчет был настолько простым, потому что матрица была верхней треугольной матрицей. Позволь нам Вспомните определение этого типа матрицы.
Определение: треугольная матрица
Если элементы под главной диагональю равны нулю, матрица является верхней треугольной матрицей .
Если элементы выше главной диагонали равны нулю, матрица является нижней треугольной матрицей .
Показаны верхняя и нижняя треугольные матрицы:
Матрица является треугольной , если она либо верхняя, либо нижняя треугольная (или обе).
Причина, по которой нахождение определителей треугольных матриц так просто, заключается в том, что нули в одной половине матрицы удалить большую часть вычислений. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим расчет определитель общей верхней треугольной матрицы с использованием разложения на кофакторы по третьей строке: ||||𝑎𝑏𝑐0𝑑𝑒00𝑓||||=0×𝐶+0×𝐶+𝑓𝐶=𝑓|||𝑎𝑏0𝑑|||=𝑓(𝑎𝑑−0×𝑏)=𝑎𝑑𝑓. 
Другими словами, конечный результат — это просто произведение трех элементов на главной диагонали. Точно так же для нижних треугольных матриц расширение кофактора по первой строке дает нам |||| 𝑎00𝑏𝑐0𝑑𝑒𝑓 |||| = 𝑎𝐶+0 × 𝐶+0 × 𝐶 = 𝑎 ||| 𝑐0𝑒𝑓 ||| = 𝑎 (𝑐𝑓 -0 × 𝑒) = 𝑎𝑐𝑓.
Это дает нам следующее свойство.
Свойство: определители треугольных матриц
Определитель треугольной матрицы является произведением элементов на главной диагонали:
В качестве примечания, это свойство также охватывает подкласс треугольных матриц: диагональные матрицы. Напомним, что диагональная матрица — это та, в которой только элементы на главной диагонали отличны от нуля. Поскольку диагональные матрицы являются и верхними, и нижними треугольными матрицами одновременно время, они, естественно, обладают одним и тем же свойством:
Это также относится к единичным матрицам (где произведение диагональных элементов всегда равно 1) и нулевые матрицы (где произведение всегда равно 0), так как это частные случаи диагонали, и, следовательно, треугольные матрицы.
Давайте посмотрим, как мы можем использовать это свойство для упрощения наших решений в следующем примере.
Пример 3. Сравнение значений определителей двух треугольных матриц
Верно или неверно: если 𝐴=142036004,𝐵=100530674, тогда detdet(𝐴)=(𝐵).
Ответ
Один из способов ответить на этот вопрос — вычислить каждый определитель с помощью кофактора расширение по строкам или столбцам. Однако мы можем более эффективно ответить на этот вопрос, если обращаем внимание на то, что 𝐴 — верхнетреугольная матрица, а 𝐵 — нижняя треугольная матрица. Мы можем видеть это, потому что в 𝐴 записи ниже главная диагональ равна нулю, а в 𝐵 элементы над главной диагональю равны ноль:
Таким образом, мы можем воспользоваться тем свойством, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали. Как видим, 𝐴 и 𝐵 имеют одинаковые диагональные элементы. Следовательно,
То есть detdet(𝐴)=(𝐵)=12, так что ответ верный.
Давайте подробнее рассмотрим примеры, в которых нам нужно найти определители треугольных матриц. В некоторых случаях легкой частью будет определение того, что матрица является треугольной, и применение свойство для определителей, а трудная часть будет включать дальнейшие вычисления для достижения требуемый ответ.
Пример 4. Решение уравнений путем нахождения определителя диагональной матрицы
Рассмотрим уравнение ||||𝑥−1000𝑥+𝑥+10001||||=2.
Определите значение 𝑥.
Ответ
Первое, что бросается в глаза, когда мы видим эту матрицу, это то, что она диагональная, а это означает, что все элементы не на главной диагонали равны нулю: ||||𝑥−1000𝑥+𝑥+10001||||.
Диагональные матрицы представляют собой особый вид треугольных матриц, и мы можем вспомнить, что определитель такой матрицы находится путем произведения элементов на главной диагонали. Следовательно, определитель ||||𝑥−1000𝑥+𝑥+10001||||=(𝑥−1)×𝑥+𝑥+1×1=𝑥+𝑥+𝑥−𝑥−𝑥−1=𝑥+𝑥−𝑥+ 𝑥−𝑥−1=𝑥−1.
Теперь мы хотим найти 𝑥, используя тот факт, что этот определитель равен 2. То есть, 𝑥−1=2. 
Отсюда можно найти 𝑥, используя свойства индексов, в частности что 𝑥=𝑥. Переставляя и возводя в квадрат обе стороны, мы имеем 𝑥=3𝑥=3𝑥=9.
В качестве последнего примера найдем определитель матрицы, заданной тремя переменными, которая нам придется найти, найдя определители меньших матриц.
Пример 5. Нахождение значения определителя, включающего неизвестные, с использованием свойств
Если det𝑥44𝑦=0, det𝑦99𝑧=0, и det𝑥11𝑧=0, найти дет𝑥120𝑦300𝑧.
Ответ
Поскольку нам дано несколько уравнений с определителями и тремя неизвестными переменными, наиболее очевидным было бы найти эти детерминанты и посмотреть, дает ли это нам любую информацию о переменных, поэтому давайте сделаем это.
Прежде всего, для матриц 2×2 мы можем найти их определители по формуле дет𝑎𝑏𝑐𝑑=𝑎𝑑−𝑏𝑐.
Для первого уравнения имеем det𝑥44𝑦=0𝑥𝑦−4×4=0𝑥𝑦=16.
Для второго уравнения имеем det𝑦99𝑧=0𝑦𝑧−9×9=0𝑦𝑧=81.
Наконец, третье уравнение 2×2 дает нам det𝑥11𝑧=0𝑥𝑧−1×1=0𝑥𝑧=1.
Мы могли бы использовать эти уравнения сами по себе, чтобы найти 𝑥, 𝑦 и 𝑧, но это может быть больше работы, чем необходимо. Сначала найдем Определитель 3×3, чтобы мы могли видеть, какая информация от нас требуется. Мы можем упростить вычисление этой матрицы, заметив, что это верхняя треугольная матрица, так как записи ниже главной диагонали равны нулю:
Следовательно, определитель будет просто произведением элементов на главной диагонали, давая нам
Чтобы найти 𝑥𝑦𝑧, обратите внимание, что мы можем взять произведение 𝑥𝑦, 𝑦𝑧 и 𝑥𝑧 (поскольку мы уже вычислили эти значения) а потом извлеките квадратный корень. То есть у нас есть (𝑥𝑦𝑧)=(𝑥𝑦)(𝑦𝑧)(𝑥𝑧)=16×81×1=1296.
Тогда, извлекая квадратный корень, получаем 𝑥𝑦𝑧=±36.
Мы должны знать, что здесь возможны как положительные, так и отрицательные 36. Эти разные значения возникают из-за различных возможных значений 𝑥, 𝑦 и 𝑧, поэтому значение определителя будет зависеть от значений переменных.
Следовательно, определитель равен либо −36, либо 36.

Решение иррациональных уравнений онлайн калькулятор с подробным решением: Калькулятор иррациональных уравнений

alexxlab / 20.01.197117.09.2022 / Разное

Решение иррациональных уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Иррациональные уравнения бывают от простых до сложных — и всех их можно решить онлайн и с подробным решением с помощью калькулятора онлайн.

Итак:

Простые иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения средней сложности

Сложные иррациональные уравнения

Простые иррациональные уравнения

Будем считать, что простые уравнения будут содержат только одну часть иррациональности. Тогда рассмотрим пример:

2*x + sqrt(-x + 3) = 3

Введём это уравнение в форму калькулятора

Тогда, вы получите подробное решение:

Дано уравнение


  _______          
\/ 3 - x  + 2*x = 3


  _______          
\/ 3 - x  = 3 - 2*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                 2
3 - x = (3 - 2*x)


                      2
3 - x = 9 - 12*x + 4*x

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус


        2           
-6 - 4*x  + 11*x = 0

Это уравнение вида


a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 4 * (-4) * (-6) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или


x1 = 3/4


x2 = 2

Т.к.


  _______          
\/ 3 - x  = 3 - 2*x


  _______     
\/ 3 - x  >= 0

то


3 - 2*x >= 0

или


x <= 3/2


-oo < x

Тогда, окончательный ответ:


x1 = 3/4

Средние иррациональные уравнения

Средними же будем считать уравнения, которые содержат две иррациональные части в уравнении.

Например,

sqrt(4*x + 1) + sqrt(3*x — 2) = 2

надо ввести в форму в калькуляторе

Результат будет таким:

Дано уравнение


  _________     __________    
\/ 1 + 4*x  + \/ -2 + 3*x  = 2

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                            2    
/  _________     __________\     
\\/ 1 + 4*x  + \/ -2 + 3*x /  = 4

или


 2                 _____________________    2              
1 *(3*x - 2) + 2*\/ (3*x - 2)*(4*x + 1)  + 1 *(4*x + 1) = 4

или


          __________________          
         /                2           
-1 + 2*\/  -2 - 5*x + 12*x   + 7*x = 4

преобразуем:


     __________________          
    /                2           
2*\/  -2 - 5*x + 12*x   = 5 - 7*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                2            2
-8 - 20*x + 48*x  = (5 - 7*x)


                2                   2
-8 - 20*x + 48*x  = 25 - 70*x + 49*x

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус


       2           
-33 - x  + 50*x = 0

Это уравнение вида


a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 4 * (-1) * (-33) = 2368

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или


              ____
x1 = 25 - 4*\/ 37


              ____
x2 = 25 + 4*\/ 37

Т.к.


   __________________          
  /                2    5   7*x
\/  -2 - 5*x + 12*x   = - - ---
                        2    2


   __________________     
  /                2      
\/  -2 - 5*x + 12*x   >= 0

то


5   7*x     
- - --- >= 0
2    2

или


x <= 5/7


-oo < x


              ____
x1 = 25 - 4*\/ 37

проверяем:


              ____
x1 = 25 - 4*\/ 37


       __________     ___________    
-2 + \/ 1 + 4*x1  + \/ -2 + 3*x1  = 0


   _______________________      ________________________        
  /       /         ____\      /        /         ____\         
\/  1 + 4*\25 - 4*\/ 37 /  + \/  -2 + 3*\25 - 4*\/ 37 /  - 2 = 0

— тождество

Тогда, окончательный ответ:


              ____
x1 = 25 - 4*\/ 37

Сложные иррациональные уравнения

Самыми сложными же будут уравнения с тремя частями иррациональностями, значит будет такой пример:

sqrt(x + 5) — sqrt(x — 1) = sqrt(2*x + 4)

В форме калькулятора это будет выглядеть так:

Тогда получите подробное объяснение

Дано уравнение


  _______     ________     _________
\/ 5 + x  - \/ -1 + x  = \/ 4 + 2*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                        2          
/  _______     ________\           
\\/ 5 + x  - \/ -1 + x /  = 4 + 2*x

или


 2               _________________       2                  
1 *(x + 5) - 2*\/ (x + 5)*(x - 1)  + (-1) *(x - 1) = 4 + 2*x

или


         _______________                
        /       2                       
4 - 2*\/  -5 + x  + 4*x  + 2*x = 4 + 2*x

преобразуем:


      _______________    
     /       2           
-2*\/  -5 + x  + 4*x  = 0

преобразуем


      2          
-5 + x  + 4*x = 0

Это уравнение вида


a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 4 * (1) * (-5) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или


x1 = 1


x2 = -5

проверяем:


x1 = 1


  ________     _________     __________    
\/ 5 + x1  - \/ -1 + x1  - \/ 4 + 2*x1  = 0


  _______     ________     _______    
\/ 5 + 1  - \/ -1 + 1  - \/ 4 + 2  = 0

— тождество


x2 = -5


  ________     _________     __________    
\/ 5 + x2  - \/ -1 + x2  - \/ 4 + 2*x2  = 0


  _______     ________     ____________    
\/ 5 - 5  - \/ -1 - 5  - \/ 4 + 2*(-5)  = 0


-2*i*sqrt(6) = 0

— Нет

Тогда, окончательный ответ:


x1 = 1

Решение уравнений онлайн калькулятор с подробным решением. Калькулятор иррациональных уравнений онлайн. Бесплатный онлайн калькулятор иррациональных уравнений

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www. . Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Инструкция

Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().

Шаг 1. Введите заданный пример, состоящий из дробей.

Шаг 2. Нажмите кнопку “Решить”.

Шаг 3. Получите подробный результат.

Чтобы калькулятор посчитал дроби правильно, вводите дробь через знак: “/”. Например: . Калькулятор посчитает уравнение и даже покажет на графике, почему получился такой результат.

Что такое уравнение с дробями

Уравнение с дробями – это уравнение, в котором коэффициенты являются дробными числами. Линейные уравнения с дробями решается по стандартной схеме: неизвестные переносятся в одну сторону, а известные – в другую.

Рассмотрим на примере:

Дроби с неизвестными переносятся влево, а остальные дроби – вправо. Когда переносятся числа за знак равенства, тогда у чисел знак меняется на противоположный:

Теперь нужно выполнить только действия обеих частей равенства:

Получилось обыкновенное линейное уравнение. Теперь нужно поделить левую и правую части на коэффициент при переменной.

Решить уравнение с дробями онлайн обновлено: 7 октября, 2018 автором: Научные Статьи.Ру

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. {nm}:\]

Прибавляем к исходному уравнению:

Вынесем за скобки \

Выразим \

Поскольку степени одинаковые, отбрасываем их:

Ответ: \

Где можно решить показательное уравнение онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Что такое иррациональные уравнения и как их решать

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень, называются иррациональными . Когда мы имеет дело с дробной степенью, то мы лишаем себя многих математических действий для решения уравнения, поэтому иррациональные уравнения решаются по-особенному.

Иррациональные уравнения, как правило, решают при помощи возведения обеих частей уравнения в одинаковую степень. При этом возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень – это равносильное преобразование уравнения, а в четную – неравносильное. Такая разница получается из-за таких особенностей возведения в степень, таких как если возвести в чётную степень, то отрицательные значения “теряются”.

Смыслом возведения в степень обоих частей иррационального уравнения является желание избавиться от “иррациональности”. Таким образом нам нужно возвести обе части иррационального уравнения в такую степень, чтобы все дробные степени обоих частей уравнения превратилась в целые. После чего можно искать решение данного уравнения, которое будет совпадать с решениями иррационального уравнения, с тем отличием, что в случае возведения в чётную степень теряется знак и конечные решения потребуют проверки и не все подойдут.

Таким образом, основная трудность связана с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень – из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни. Поэтому обязательна проверка всех найденных корней. Проверить найденные корни чаще всего забывают те, кто решает иррациональное уравнение. Также не всегда понятно в какую именно степень нужно возводить иррациональное уравнение, чтобы избавиться от иррациональности и решить его. Наш интеллектуальный калькулятор как раз создан для того, чтобы решать иррациональное уравнение и автоматом проверить все корни, что избавит от забывчивости.

Бесплатный онлайн калькулятор иррациональных уравнений

Наш бесплатный решатель позволит решить иррациональное уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте.

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

aх + b = 0 , где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения .

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9: 3.

Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3 .

Если а = 0 и b = 0 , то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х — любое число .

Если а = 0 и b ≠ 0 , то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме :

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2 ), третьего (Пример. 1, 3 ) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное х = 1/4: 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

– 30 + 18х = 8х – 7

18х – 8х = – 7 +30

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3 7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ . Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Расчет объемной теплоты сгорания газа

Электропроводность воды, или что такое кондуктометрия

Калькулятор иррациональные уравнения: Калькулятор онлайн — Решение иррациональных уравнений и неравенств — ЭкоДом: Дом своими руками

Содержание

Калькулятор онлайн — Решение иррациональных уравнений и неравенств

Введите иррациональное уравнение или неравенство

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Решение иррациональных уравнений и неравенств

1. Иррациональные уравнения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в
дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.

Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом
следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование
уравнения, а в чётную — НЕравносильное. 4 =16 \end{array}\right. \)

Решив её, находим:
$ \left\{\begin{array}{l} u_1=0 \\ v_1 =2; \end{array}\right. $
$ \left\{\begin{array}{l} u_2=2 \\ v_2 =0 \end{array}\right. $

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений:
$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =0 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =2; \end{array}\right. 2(2x+1) =0 \Rightarrow $

$ x_1= -0{,}5; \; x_2=0 $

Проверка. 2+3x >4 \Rightarrow \)

$ (x+4)(x-1) >0 \Rightarrow $

$ x1 $

Ответ: $ x1 $.

Решение иррациональных уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Итак:

Простые иррациональные уравнения

2*x + sqrt(-x + 3) = 3

Введём это уравнение в форму калькулятора

Тогда, вы получите подробное решение:

Дано уравнение


  _______          
\/ 3 - x  + 2*x = 3


  _______          
\/ 3 - x  = 3 - 2*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 4 * (-4) * (-6) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Т.к.


  _______          
\/ 3 - x  = 3 - 2*x

то

или

Тогда, окончательный ответ:

Средние иррациональные уравнения

Средними же будем считать уравнения, которые содержат две иррациональные части в уравнении.

Например,

sqrt(4*x + 1) + sqrt(3*x — 2) = 2

надо ввести в форму в калькуляторе

Результат будет таким:

Дано уравнение


  _________     __________    
\/ 1 + 4*x  + \/ -2 + 3*x  = 2

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                            2    
/  _________     __________\     
\\/ 1 + 4*x  + \/ -2 + 3*x /  = 4

или


 2                 _____________________    2              
1 *(3*x - 2) + 2*\/ (3*x - 2)*(4*x + 1)  + 1 *(4*x + 1) = 4

или


          __________________          
         /                2           
-1 + 2*\/  -2 - 5*x + 12*x   + 7*x = 4

преобразуем:


     __________________          
    /                2           
2*\/  -2 - 5*x + 12*x   = 5 - 7*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                2            2
-8 - 20*x + 48*x  = (5 - 7*x)


                2                   2
-8 - 20*x + 48*x  = 25 - 70*x + 49*x

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 4 * (-1) * (-33) = 2368

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Т.к.


   __________________          
  /                2    5   7*x
\/  -2 - 5*x + 12*x   = - - ---
                        2    2


   __________________     
  /                2      
\/  -2 - 5*x + 12*x   >= 0

то

или

проверяем:


       __________     ___________    
-2 + \/ 1 + 4*x1  + \/ -2 + 3*x1  = 0


   _______________________      ________________________        
  /       /         ____\      /        /         ____\         
\/  1 + 4*\25 - 4*\/ 37 /  + \/  -2 + 3*\25 - 4*\/ 37 /  - 2 = 0

— тождество

Тогда, окончательный ответ:

Сложные иррациональные уравнения

Самыми сложными же будут уравнения с тремя частями иррациональностями, значит будет такой пример:

sqrt(x + 5) — sqrt(x — 1) = sqrt(2*x + 4)

В форме калькулятора это будет выглядеть так:

Тогда получите подробное объяснение

Дано уравнение


  _______     ________     _________
\/ 5 + x  - \/ -1 + x  = \/ 4 + 2*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                        2          
/  _______     ________\           
\\/ 5 + x  - \/ -1 + x /  = 4 + 2*x

или


 2               _________________       2                  
1 *(x + 5) - 2*\/ (x + 5)*(x - 1)  + (-1) *(x - 1) = 4 + 2*x

или


         _______________                
        /       2                       
4 - 2*\/  -5 + x  + 4*x  + 2*x = 4 + 2*x

преобразуем:


      _______________    
     /       2           
-2*\/  -5 + x  + 4*x  = 0

преобразуем

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 4 * (1) * (-5) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

проверяем:


  ________     _________     __________    
\/ 5 + x1  - \/ -1 + x1  - \/ 4 + 2*x1  = 0


  _______     ________     _______    
\/ 5 + 1  - \/ -1 + 1  - \/ 4 + 2  = 0

— тождество


  ________     _________     __________    
\/ 5 + x2  - \/ -1 + x2  - \/ 4 + 2*x2  = 0


  _______     ________     ____________    
\/ 5 - 5  - \/ -1 - 5  - \/ 4 + 2*(-5)  = 0

— Нет

Тогда, окончательный ответ:

Решение иррациональных неравенств онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Иррациональные неравенства бывают как простые но так и сложные — и всех их можно решить онлайн и с подробным решением с помощью калькулятора неравенств.

Итак:

Простые иррациональные неравенства

Будем считать, что простые неравенства будут содержат только одну часть иррациональности. Тогда рассмотрим пример:

2*x >= sqrt(2/3 + x) + 3

Введём это неравенство в форму калькулятора

Тогда, вы получите подробное решение:

Дано неравенство:


             _________
2*x >= 3 + \/ 2/3 + x

Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:


            _________
2*x = 3 + \/ 2/3 + x

Решаем:

Дано уравнение


            _________
2*x = 3 + \/ 2/3 + x

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус


   _________          
-\/ 2/3 + x  = 3 - 2*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                        2
2/3 + x = 9 - 12*x + 4*x

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус


  25      2           
- -- - 4*x  + 13*x = 0
  3

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 4 * (-4) * (-25/3) = 107/3

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или


            _____
     13   \/ 321 
x1 = -- - -------
     8       24


            _____
     13   \/ 321 
x2 = -- + -------
     8       24

Т.к.


  _________           
\/ 2/3 + x  = -3 + 2*x


  _________     
\/ 2/3 + x  >= 0

то

или


            _____
     13   \/ 321 
x2 = -- + -------
     8       24


            _____
     13   \/ 321 
x1 = -- + -------
     8       24


            _____
     13   \/ 321 
x1 = -- + -------
     8       24

Данные корни


            _____
     13   \/ 321 
x1 = -- + -------
     8       24

являются точками смены знака неравенства в решениях.

Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:

Возьмём например точку


       _____    
13   \/ 321     
-- + ------- - 1
8       24


      _____
5   \/ 321 
- + -------
8      24

подставляем в выражение


             _________
2*x >= 3 + \/ 2/3 + x


                                 ______________________
  /       _____    \            /            _____     
  |13   \/ 321     |           /  2   13   \/ 321      
2*|-- + ------- - 1| >= 3 +   /   - + -- + ------- - 1 
  \8       24      /        \/    3   8       24


      _____             ______________
5   \/ 321             /        _____ 
- + ------- >=        /  31   \/ 321  
4      12      3 +   /   -- + ------- 
        \/    24      24

но


      _____            ______________
5   \/ 321            /        _____ 
- + ------- <        /  31   \/ 321  
4      12     3 +   /   -- + ------- 
       \/    24      24

Тогда


            _____
     13   \/ 321 
x <= -- + -------
     8       24

не выполняется

значит решение неравенства будет при:


            _____
     13   \/ 321 
x >= -- + -------
     8       24


         _____  
        /
-------•-------
       x1

Средние иррациональные неравенства

Средними же будем считать уравнения, которые содержат две иррациональные части в неравенстве.

Например,

sqrt(x — 13) > sqrt(x + 8) — 3

надо ввести в форму в калькуляторе

Результат будет таким:

Дано неравенство:


  _________          _______
\/ -13 + x  > -3 + \/ 8 + x

Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:


  _________          _______
\/ -13 + x  = -3 + \/ 8 + x

Решаем:

Дано уравнение


  _________          _______
\/ -13 + x  = -3 + \/ 8 + x

преобразуем:


  _________     _______     
\/ -13 + x  - \/ 8 + x  = -3

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                         2    
/  _________     _______\     
\\/ -13 + x  - \/ 8 + x /  = 9

или


 2                __________________       2            
1 *(x - 13) - 2*\/ (x - 13)*(x + 8)  + (-1) *(x + 8) = 9

или


          _________________          
         /         2                 
-5 - 2*\/  -104 + x  - 5*x  + 2*x = 9

преобразуем:


      _________________           
     /         2                  
-2*\/  -104 + x  - 5*x  = 14 - 2*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                 2             2
-416 - 20*x + 4*x  = (14 - 2*x)


                 2                   2
-416 - 20*x + 4*x  = 196 - 56*x + 4*x

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус

Переносим свободные слагаемые (без x)

из левой части в правую, получим:

Разделим обе части ур-ния на 36

Т. к.


   _________________         
  /         2                
\/  -104 + x  - 5*x  = -7 + x


   _________________     
  /         2            
\/  -104 + x  - 5*x  >= 0

то

или

проверяем:


      __________     ________    
3 + \/ -13 + x1  - \/ 8 + x1  = 0


  __________         ________    
\/ -13 + 17  + 3 - \/ 8 + 17  = 0

— тождество

Тогда, окончательный ответ:

Данные корни

являются точками смены знака неравенства в решениях.

Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:

Возьмём например точку

подставляем в выражение


  _________          _______
\/ -13 + x  > -3 + \/ 8 + x


  __________          ________
\/ -13 + 16  > -3 + \/ 8 + 16


  ___            ___
\/ 3  > -3 + 2*\/ 6

Тогда

не выполняется

значит решение неравенства будет при:


         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Сложные иррациональные неравенства

Самыми сложными же будут неравенства с тремя частями иррациональностями, значит будет такой пример:

sqrt(x + 5) — sqrt(x — 1) <= sqrt(2*x + 4)

В форме калькулятора это будет выглядеть так:

Реши мне уравнение.

Калькулятор иррациональных уравнений онлайн. Решаем реальные примеры простых линейных уравнений
Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид
aх + b = 0
, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением

с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.
Например, все уравнения:
2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.
Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением

или корнем уравнения

.
Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.
А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.
Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида
aх + b = 0.
Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим
Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a
.
Пример 1.

Решите уравнение 3х + 2 =11.
Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.
Выполним вычитание, тогда
3х = 9.
Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9: 3.
Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.
Ответ: х = 3
.
Если а = 0 и b = 0
, то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.
Пример 2.
Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.
Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.
5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Приведем подобные члены:
0х = 0.
Ответ: х — любое число
.
Если а = 0 и b ≠ 0
, то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .
Пример 3.
Решите уравнение х + 8 = х + 5.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.
Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.
Ответ: нет решений.
На рисунке 1

изображена схема решения линейного уравнения
Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.
Пример 4.

Пусть надо решить уравнение
1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.
2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)
3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .
4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.
6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.
Как видим, корень уравнения равен семи.
Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме
:
а) привести уравнение к целому виду;
б) раскрыть скобки;
в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;
г) привести подобные члены;
д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.
Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2
), третьего (Пример. 1, 3
) и даже с пятого этапа, как в примере 5.
Пример 5.
Решите уравнение 2х = 1/4.
Находим неизвестное х = 1/4: 2,
х = 1/8
.
Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6.
Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.
2х + 6 = 5 – 6х
2х + 6х = 5 – 6
Ответ: ‒ 0, 125
Пример 7.
Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.
– 30 + 18х = 8х – 7
18х – 8х = – 7 +30
Ответ: 2,3
Пример 8. Решите уравнение

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24
9х – 12 = 28х + 24
9х – 28х = 24 + 12
Пример 9.
Найдите f(6), если f (x + 2) = 3 7-х
Решение
Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.
Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.
Если х = 4, тогда
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Ответ: 27.
Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ . Буду рада Вам помочь!
Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.
сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2. Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки
2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y. Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения
3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно
. Без шуток.
Что такое иррациональные уравнения и как их решать
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень, называются иррациональными
. Когда мы имеет дело с дробной степенью, то мы лишаем себя многих математических действий для решения уравнения, поэтому иррациональные уравнения решаются по-особенному.
Иррациональные уравнения, как правило, решают при помощи возведения обеих частей уравнения в одинаковую степень. При этом возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень – это равносильное преобразование уравнения, а в четную – неравносильное. Такая разница получается из-за таких особенностей возведения в степень, таких как если возвести в чётную степень, то отрицательные значения “теряются”.
Смыслом возведения в степень обоих частей иррационального уравнения является желание избавиться от “иррациональности”. Таким образом нам нужно возвести обе части иррационального уравнения в такую степень, чтобы все дробные степени обоих частей уравнения превратилась в целые. После чего можно искать решение данного уравнения, которое будет совпадать с решениями иррационального уравнения, с тем отличием, что в случае возведения в чётную степень теряется знак и конечные решения потребуют проверки и не все подойдут.
Таким образом, основная трудность связана с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень – из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни. Поэтому обязательна проверка всех найденных корней.
Проверить найденные корни чаще всего забывают те, кто решает иррациональное уравнение. Также не всегда понятно в какую именно степень нужно возводить иррациональное уравнение, чтобы избавиться от иррациональности и решить его. Наш интеллектуальный калькулятор как раз создан для того, чтобы решать иррациональное уравнение и автоматом проверить все корни, что избавит от забывчивости.
Бесплатный онлайн калькулятор иррациональных уравнений
Наш бесплатный решатель позволит решить иррациональное уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все,
что вам необходимо
сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то
вы
можете задать их в нашей группе ВКонтакте.
Инструкция
Примечание:
π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().
Шаг 1.
Введите заданный пример, состоящий из дробей.
Шаг 2.
Нажмите кнопку “Решить”.
Шаг 3.
Получите подробный результат.
Чтобы калькулятор посчитал дроби правильно, вводите дробь через знак: “/”. Например: . Калькулятор посчитает уравнение и даже покажет на графике, почему получился такой результат.
Что такое уравнение с дробями
Уравнение с дробями – это уравнение, в котором коэффициенты являются дробными числами. Линейные уравнения с дробями решается по стандартной схеме: неизвестные переносятся в одну сторону, а известные – в другую.
Рассмотрим на примере:
Дроби с неизвестными переносятся влево, а остальные дроби – вправо. Когда переносятся числа за знак равенства, тогда у чисел знак меняется на противоположный:
Теперь нужно выполнить только действия обеих частей равенства:
Получилось обыкновенное линейное уравнение. Теперь нужно поделить левую и правую части на коэффициент при переменной.
Решить уравнение с дробями онлайн
обновлено: 7 октября, 2018
автором: Научные Статьи.Ру
На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.
Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!
При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.
Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.
Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.
Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.
Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.
Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!
Калькулятор, решение квадратных уравнений онлайн. / math5school.ru

Этот калькулятор достаточно прост в использовании. Он позволяет:
использовать рациональные числа [0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [. y];
выводить на экран значение числа π с девятью цифрами после запятой [pi];
считать значения синуса [sin], косинуса [cos] и тангенса [tg] положительных и отрицательных углов, заданных своей градусной мерой;
использовать возможности запоминания промежуточных результатов с последующим их использованием [↔M], [→M], [←M].
Клавиша:
[=] выводит результат на дисплей калькулятора;
[С] очищает дисплей от предыдущих записей;
[←] удаляет последний символ из набранных или появившихся как результат.
Кроме того, предоставлена возможность решения квадратных уравнений стандартного вида. Введя последовательно значения старшего, второго коэффициентов и свободного члена в калькулятор, и, нажав клавишу [Решить уравнение], Вы мгновенно получите решения. При этом калькулятор считает и действительные, и комплексные корни.

Иррациональное уравнение

3.1. Подходы к решению. Возведение в степень. (Exponentiation)
Если обе части иррационального уравнения строятся в той же нечетной степени и избавиться от радикалов, то получится уравнение, эквивалентное исходному уравнению. {2} 4х-5}}=4х-8} уравнения!!!
Итак, мы знаем, что корни исходного уравнения не может быть меньше, чем 2, и все же корень x = 23 15 ≈ 1.533333. \{\свойства стиль отображения значение х={\фрац {23}{15}} приблизительно 1.533333.} меньше двух, то оно не может быть корнем исходного уравнения.
Ответ: x ∈ { 3 } {\свойства стиль отображения значение Х\в \{3\}}
Решение неравенств любого вида. Онлайн калькулятор с примерами
Решение неравенств онлайн
Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.
Не важно каким является неравенство – строгим () или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).
Поясним что означает решить неравенство?
После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!
Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?
Как решать неравенства?
Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.
Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.
Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.
Как правильно записывать решение неравенства?
Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?
Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.
Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.
Важный момент
Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.
Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.
А у неравенства |x|
Для чего нужен калькулятор неравенств?
Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.
Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?
Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.
Упростите радикальные, рациональные выражения с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
В разделе 3 главы 1 есть несколько очень важных определений, которые мы использовали много раз. Поскольку эти определения приобретают новое значение в этой главе, мы повторим их.
Когда алгебраическое выражение состоит из частей, соединенных знаками + или -, эти части вместе с их знаками называются членами выражения.
a + b состоит из двух членов.
2x + 5y — 3 состоит из трех членов.
В a + b термины a и b. В 2x + 5y — 3 термины 2x, 5y и -3.
Когда алгебраическое выражение состоит из частей, которые нужно умножить, эти части называются коэффициентами выражения.
ab имеет множители a и b.
Очень важно уметь различать термины и факторы. Правила, применяемые к условиям, в целом не применяются к факторам. Называя термины или факторы, необходимо учитывать все выражение.
С этого момента во всей алгебре вы будете использовать слова , термин и коэффициент , . Убедитесь, что вы понимаете определения.
Показатель степени — это число, которое указывает, сколько раз коэффициент должен использоваться в продукте. Показатель степени обычно записывается как меньшее (по размеру) число немного выше и правее множителя, на который влияет показатель степени.
Показатель степени иногда называют «степенью». «Например, 5 ³ можно обозначить как« пять в третьей степени ».
Обратите внимание на разницу между 2x ³ и (2x) ³. Используя круглые скобки в качестве символов группировки, мы видим, что
2x ³ означает 2 (x) (x) (x), тогда как (2x) ³ означает (2x) (2x) (2x) или 8x ³.
Если не используются скобки, показатель степени влияет только на коэффициент, непосредственно предшествующий ему.
В таком выражении, как 5x ⁴
5 — коэффициент ,
x — основание ,
4 — показатель степени .
5x ⁴ означает 5 (x) (x) (x) (x).
Обратите внимание, что экспонента влияет только на основание.
Многие студенты допускают ошибку, умножая основание на показатель степени. Например, они скажут 3 ⁴ = 12 вместо правильного ответа,
3 ⁴ = (3) (3) (3) ( 3) = 81.
Когда мы пишем буквальное число, такое как x, будет понятно, что коэффициент равен единице, а показатель степени равен единице. Это может быть очень важно во многих операциях.
x означает 1x ¹.
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете правильно применить первый закон экспонент.
Теперь, когда мы рассмотрели эти определения, мы хотим установить очень важные законы экспонент.Эти законы вытекают непосредственно из определений.
Первый закон экспонент Если a и b — натуральные числа, а x — действительное число, то
Чтобы умножить множители с одинаковым основанием, сложите экспоненты.
Применительно к любому правилу, закону или формуле мы всегда должны быть очень осторожны, чтобы выполнить требуемые условия, прежде чем пытаться применить их. Обратите внимание, что в приведенном выше законе база одинакова для обоих факторов.Этот закон применяется только при соблюдении этого условия.
Эти факторы не имеют одинакового основания.
Показатель степени 1 обычно не записывается. Когда мы пишем x, предполагается показатель степени: x = x1. Это необходимо для применения законов экспонент.
Если выражение содержит результат различных оснований, мы применяем закон к одинаковым основаниям.
УМНОЖЕНИЕ МОНОМОВ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
Распознать моном.
Найдите произведение нескольких одночленов.
Моном — это алгебраическое выражение, в котором буквальные числа связаны только операцией умножения.
не является мономом, поскольку задействована операция сложения.
предполагает операцию разделения.
Чтобы найти произведение двух одночленов , умножьте числовые коэффициенты и примените первый закон экспонент к буквальным множителям.
Вы помните первый закон экспонентов?
Умножьте 5 на 3 и сложите показатели x.
Помните, что если показатель не записан, подразумевается показатель, равный единице.
МОНОМИЛЫ, УМНОЖЕННЫЕ НА ПОЛИНОМЫ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
Распознавать многочлены.
Определите биномы и трехчлены.
Найдите произведение одночлена на двучлен.
Многочлен — это сумма или разность одного или нескольких одночленов.
Обычно, если существует более одной переменной, многочлен записывается в алфавитном порядке.
Для некоторых многочленов используются специальные имена. Если полином состоит из двух членов, он называется биномом .
Если многочлен состоит из трех членов, он называется трехчленом .
В процессе удаления скобок мы уже отметили, что на все термины в скобках влияет знак или число, стоящее перед скобками. Теперь мы расширим эту идею, чтобы умножить одночлен на многочлен.
Размещение 2x непосредственно перед скобками означает умножение выражения в скобках на 2x. Обратите внимание, что каждый член умножается в 2 раза.
Опять же, каждый член в круглых скобках умножается на 3y ²
И снова каждый член в круглых скобках умножается на 3y ².
В каждом из этих примеров мы используем свойство распределения .
ПОЛИНОМИЧЕСКИЕ ТОВАРЫ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
Найдите произведение двух биномов.
Используйте свойство распределения, чтобы умножить любые два полинома.
В предыдущем разделе вы узнали, что произведение A (2x + y) расширяется до A (2x) + A (y).
Теперь рассмотрим произведение (3x + z) (2x + y).
Поскольку (3x + z) находится в круглых скобках, мы можем рассматривать его как единственный множитель и расширять (3x + z) (2x + y) так же, как A (2x + y). Это дает нам
Если мы теперь расширим каждый из этих терминов, у нас будет
Обратите внимание, что в окончательном ответе каждый член одной круглой скобки умножается на каждый член другой круглой скобки.
Обратите внимание, что это приложение свойства распределения.
Обратите внимание, что это приложение свойства распределения.
Так как — 8x и 15x — аналогичные термины, мы можем объединить их, чтобы получить 7x.
В этом примере мы смогли объединить два термина, чтобы упростить окончательный ответ.
Здесь мы снова объединили некоторые термины, чтобы упростить окончательный ответ. Обратите внимание, что порядок терминов в окончательном ответе не влияет на правильность решения.
Свойство коммутативности позволяет изменять порядок.
Попытайтесь создать систему для умножения каждого члена одной круглой скобки на каждый член другой.В этих примерах мы взяли первый член в первом наборе круглых скобок и умножили его на каждый член во втором наборе круглых скобок. Затем мы взяли второй член первого набора и умножили его на каждый член второго набора, и так далее.
ПОЛНОМОЧИЯ И КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
Правильно применяйте второй закон экспонент.
Найдите квадратные корни и главные квадратные корни чисел, являющихся точными квадратами.
Теперь мы хотим установить второй закон экспонент. Обратите внимание на следующие примеры, как этот закон выводится с использованием определения показателя степени и первого закона экспоненты.
по значению показателя 3.
Теперь по первому закону экспонент имеем
В целом отметим, что
Это означает, что ответ будет
.
Помните, чтобы умножить общее основание, добавьте экспоненты.
Если мы просуммируем член a b раз, мы получим произведение a и b. Отсюда мы видим, что
Второй закон экспонент Если a и b — натуральные числа, а x — действительное число, то
.
Другими словами, «чтобы возвести степень основания x в степень, умножьте степень».
.
Обратите внимание, что каждый показатель должен быть умножен на 4.
Обратите внимание, что когда факторы сгруппированы в круглых скобках, на каждый фактор влияет показатель степени.
.
Опять же, каждый множитель должен быть возведен в третью степень.
Используя определение показателей, (5) ² = 25. Мы говорим, что 25 — это квадрат 5. Теперь мы вводим новый термин в наш алгебраический язык. Если 25 равно квадрату 5, то говорят, что 5 является квадратным корнем из 25.
Если x ² = y, то x представляет собой квадратный корень из y.
Обратите внимание, мы говорим, что 5 — это , это квадратный корень из , а не , как квадратный корень из . Вы скоро поймете, почему.
.
Из последних двух примеров вы заметите, что 49 имеет два квадратных корня, 7 и — 7. Это правда, что на самом деле каждое положительное число имеет два квадратных корня.
Фактически, один квадратный корень положительный, а другой отрицательный.
.
Каковы квадратные корни из 36?
Главный квадратный корень положительного числа — это положительный квадратный корень.
Символ «» называется радикальным знаком и обозначает главное
обозначает главный квадратный корень или положительный квадратный корень из 9.
Обратите внимание на разницу в этих двух задачах.
а. Найдите квадратные корни из 25.
b. Находить .
Очень важно понимать разницу между этими двумя утверждениями.
Для а. ответ будет +5 и -5, поскольку (+ 5) ² = 25 и (- 5) ² = 25.
Для б. ответ будет +5, поскольку знак корня представляет собой главный или положительный квадратный корень.
Целые числа, такие как 16, 25, 36 и т. Д., Квадратные корни которых являются целыми числами, называются полными квадратными числами . В настоящее время нас интересуют только квадратные корни из полных квадратных чисел. В следующей главе мы будем иметь дело с оценкой и упрощением указанного квадратного корня из чисел, которые не являются точными квадратными числами.
Иногда можно увидеть символ +/-.Это означает, что требуются оба квадратных корня из числа. Например,
+/- 5 — это краткий способ написания + 5 и -5.
ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО О ПОДДЕРЖКЕ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы должны уметь правильно применять третий закон экспонент.
Прежде чем приступить к установлению третьего закона экспонент, мы сначала рассмотрим некоторые факты о действии деления.
Разделение двух чисел можно обозначить знаком деления или написанием одного числа над другим с полосой между ними.Шесть, разделенная на два, записывается как
.
Деление связано с умножением по правилу, если тогда а = быть. Это проверка для всех проблем с разделением. Например, мы знаем это, потому что 18 = (6) (3).
Деление на ноль невозможно. Для оценки нам необходимо найти число, которое при умножении на ноль даст 5. Такого числа не существует.
Ненулевое число, разделенное на себя, равно 1.
. Умножьте значения в кружках, чтобы получить.
Это очень важно! Если a — любое ненулевое число, то не имеет значения.
Из (3) мы видим, что такое выражение как не имеет смысла, если мы не знаем, что y 0. В этом и будущих разделах всякий раз, когда мы будем писать дробь, будет предполагаться, что знаменатель не равен нулю. Теперь, чтобы установить закон деления показателей, воспользуемся определением показателей.
Важно! Прочтите этот абзац еще раз!
Мы знаем, что = 1. Мы также предполагаем, что x представляет собой ненулевое число.
В таком примере нам не нужно разделять количества, если мы помним, что количество, разделенное само на себя, равно единице. В приведенном выше примере мы могли бы написать
Три x в знаменателе делят три x в числителе.
Помните, что 1 должна быть записана, если это единственный член в числителе.
Из предыдущих примеров мы можем обобщить и прийти к следующему закону:
Третий закон экспонент Если a и b — натуральные числа, а x — ненулевое действительное число, то
Если мы попытаемся использовать только ту часть закона, которая указывает на такое выражение, как, например, мы получим
На данный момент отрицательные показатели не определены. Мы обсудим их позже.
РАЗДЕЛЕНИЕ МОНОМИАЛА НА МОНОМИАЛ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете упростить выражение, уменьшив дробь, включающую коэффициенты, а также используя третий закон экспонент.
Мы должны помнить, что коэффициенты и показатели управляются разными законами, потому что они имеют разные определения. При делении одночленов коэффициенты делятся, а показатели вычитаются согласно закону деления показателей.
Если деление невозможно или если с помощью коэффициентов возможно только уменьшение дроби, это не влияет на использование закона экспонент для деления.
Уменьшите этот тип дроби в два этапа:
1. Уменьшите коэффициенты.
2. Используйте третий закон экспонент.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМА НА МОНОМИАЛ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете разделить многочлен на одночлен.
Разделение многочлена на одночлен требует еще одного очень важного факта в дополнение к тому, что мы уже использовали. Дело в том, что если в числителе дроби несколько членов, то каждый член нужно разделить на знаменатель.
Таким образом, мы фактически используем в этом процессе свойство распределения.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМА НА БИНОМИАЛ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете правильно применить алгоритм деления в столбик для деления полинома на бином.
Процесс деления многочлена на другой многочлен будет ценным инструментом в последующих разделах. Здесь мы разработаем методику и обсудим причины, по которым она работает в будущем.
Этот метод называется алгоритмом длинного деления . Алгоритм — это просто метод, которому необходимо точно следовать. Поэтому представим его в пошаговом формате и на примере.
Вспомните три выражения в разделе деления:
Если нас попросят расположить выражение в порядке убывания, мы напишем. Нулевой коэффициент дает 0x ³ = 0. По этой причине член x ³ отсутствовал или не был записан в исходном выражении.
Решение
Шаг 1: Расположите делитель и делимое в порядке убывания переменной (это означает, что сначала наивысший показатель степени, затем следующий наивысший второй и т. Д.) И укажите нулевой коэффициент для любых пропущенных членов. (В этом примере нет необходимости менять расположение и отсутствуют пропущенные термины. ) Затем расположите делитель и делимое следующим образом:
Шаг 2: Чтобы получить первый член частного, в этом случае разделите первый член дивиденда на первый член делителя. Мы записываем это следующим образом:
Шаг 3: Умножьте весь делитель на член, полученный на шаге 2. Вычтите результат из делимого следующим образом:
Убедитесь, что вы указываете частное непосредственно над количеством, на которое делите. В этом случае x делится на x ² x раз.
Шаг 4: Разделите первый член остатка на первый член делителя, чтобы получить следующий член частного. Затем умножьте весь делитель на полученный член и снова вычтите следующим образом:
Первый член остатка (-2x — 14) равен -2x.
Умножьте (x + 7) на -2.
Этот процесс повторяется до тех пор, пока остаток не станет равен нулю (как в этом примере) или степень первого члена остатка не станет меньше степени первого члена делителя.
Как и в арифметике, деление проверяется умножением. Мы должны помнить, что (частное) X (делитель) + (остаток) = (делимое).
Чтобы проверить этот пример, мы умножаем (x + 7) и (x — 2), чтобы получить x ² + 5x — 14.
Поскольку это дивиденд, ответ правильный.
Опять же, (частное) X (делитель) + (остаток) = (делимое)
Ответ: x — 3. Проверяя, находим (x + 3) (x — 3)
Распространенная ошибка — забыть записать пропущенный член с нулевым коэффициентом.
РЕЗЮМЕ
Ключевые слова
Моном — это алгебраическое выражение, в котором буквальные числа связаны только операцией умножения.
Многочлен — это сумма или разность одного или нескольких одночленов.
Бином — это многочлен, состоящий из двух членов.
Трехчлен — это многочлен, состоящий из трех членов.
Если x ² = y, то x представляет собой квадратный корень из y.
Главный квадратный корень положительного числа — это положительный квадратный корень.
Символ называется корнем и указывает на главный квадратный корень числа.
Квадратный корень совершенного квадратного числа имеет целые числа.
Процедуры
Первый закон экспонент: x ^a x ^b = x ^{a + b}.
Чтобы найти произведение двух одночленов, умножьте числовые коэффициенты и примените первый закон экспонент к буквальным множителям.
Чтобы умножить многочлен на другой многочлен, умножьте каждый член одного многочлена на каждый член другого и объедините одинаковые члены.
Второй закон экспонент: (x ^a) ^b = x ^ab.
Третий закон экспонент
Чтобы разделить одночлен на одночлен, разделите числовые коэффициенты и используйте третий закон экспонент для буквальных чисел.
Чтобы разделить многочлен на одночлен, разделите каждый член многочлена на одночлен.
Чтобы разделить многочлен на бином, используйте алгоритм деления в столбик.
Калькулятор иррационального квадратного корня
i \qquad x_{c_3,\,c_4} \ приблизительно -0,62771 \pm 0,41092i \]
Как работает калькулятор радикальных уравнений?
Калькулятор радикальных уравнений работает путем выделения радикального члена в одной части уравнения и возведения обеих сторон в квадрат до , удаляя знак радикала. После этого он переносит все переменные и постоянные члены в одну часть уравнения, оставляя 0 на другом конце. Наконец, он находит корни уравнения, которое теперь является стандартным полиномом некоторой степени d.
Многочлены высшего порядка
Калькулятор может быстро найти многочлены со степенью больше четырех. Это важно, поскольку не существует общей формулировки для решения полиномов d-степени с d > 4.
Извлечение корней этих полиномов более высокого порядка требует более сложного метода, такого как итеративный метод Ньютона . Вручную этот метод занимает много времени, потому что он является итеративным, требует начальных догадок и может не сойтись для определенных функций/догадок. Впрочем, для калькулятора это не проблема!
Решенные примеры
В следующих примерах мы будем придерживаться полиномов более низкого порядка, чтобы объяснить основную концепцию, поскольку решение многочленов более высокого порядка с помощью метода Ньютона займет много времени и места.
Пример 1
Рассмотрим следующее уравнение:
\[ 11 + \sqrt{x-5} = 5 \]
По возможности вычислите корни. Если невозможно, объясните, почему.
Решение
Выделение радикального члена:
\[ \begin{aligned} \sqrt{x-5} &= 5-11 \\ &= -6 \end{aligned} \]
Поскольку квадратный корень числа не может быть отрицательным, мы видим, что для этого уравнения не существует решения. Калькулятор это тоже подтверждает.
2 = 9 \]
Переставив все члены в одну сторону:
5x+3y-9 = 0
Это уравнение прямой! Решение для y:
3y = -5x+9
Деление обеих сторон на 3:
\[ y = -\frac{5}{3}x + 3 \]
Y-пересечение этого линия на 3. Давайте проверим это на графике:
Рисунок 1
Калькулятор также дает эти результаты. Обратите внимание, что поскольку у нас было только одно уравнение, решение не является одной точкой. Вместо этого он ограничивается линией. Точно так же, если бы вместо этого у нас было три переменных, множество возможных решений лежало бы на плоскости! 92-4(10)(-9)}}{2(10)} \\\\ & = \frac{-20 \pm \sqrt{400+360}}{20} \\\\ & = \frac {-20 \pm \sqrt{760}}{20} \\\\ & = \frac{-20 \pm 27,5681}{20} \\\\ & = -1 \pm 1,3784 \end{align*}
Получаем корни:
\[ \следовательно , x_1 = 0,3784 \quad , \quad x_2 = -2,3784 \]
Калькулятор выдает корни в их точном виде:
\[ x_1 = -1 + \sqrt {\ frac {19} {10}} \ приблизительно 0,3784 \ quad, \ quad x_2 = -1- \ sqrt {\ frac {19} {10}} \ приблизительно -2,3784 \]
График ниже: 92-4(20)(324)}}{2(20)} \\\\ & = \frac{-163 \pm \sqrt{26569 – 25920}}{40} \\\\ &= \frac{ -163 \pm \sqrt{649}}{40} \\\\ & = \frac{-163 \pm 25,4755}{40} \\\\ & = -4,075 \pm 0,63689 \end{align*}
\[ \следовательно \,\,\, x_1 = -3,4381 \quad , \quad x_2 = -4,7119 \]
Однако, если мы подставим $x_2$ = -4,7119 в наше исходное уравнение, две стороны не равны :
\[ 6. 9867-6 \neq 0 \]
Тогда как с $x_1$ = -3.4381 мы получаем:
\[ 6.04-6 \приблизительно 0 \]
Небольшая ошибка из-за десятичной аппроксимации. Мы также можем убедиться в этом на рисунке:
Рисунок 3
Все графики/изображения были созданы с помощью GeoGebra.
Список математических калькуляторов
144 калькулятора, разделенных по уровню навыков и типу
Используйте наш бесплатный калькулятор
Мы сотрудничаем с Mathway, чтобы предложить бесплатный онлайн-калькулятор алгебры. Обширный список других инструментов алгебры находится ниже.
Содержание
Обзор
ЧАСТЬ I – 54 Калькуляторы базовой алгебры
Решатели 11 уравнений
Калькулятор 13 экспонент
13 Калькулятор полиномов
Калькулятор 10 радикалов
7 Калькуляторы соотношений и пропорций
ЧАСТЬ II – 50 алгебраических калькуляторов среднего уровня
10 Алгебра 2 Решатели уравнений
13 Калькуляторы комбинаций и перестановок
8 Калькулятор факторинга
7 калькуляторов неравенств
Калькулятор 12 квадратных уравнений
ЧАСТЬ III – 40 продвинутых алгебраических калькуляторов
Калькулятор 5 биномов
8 калькуляторов комплексных чисел
8 калькуляторов логарифмов
Калькулятор 14 матриц
5 Калькуляторы рациональных выражений
Обзор
Как отмечает Академия Хана, алгебра является «привратником» математики. Важно иметь четкое представление об этом, прежде чем приступать к математике и естественным наукам более высокого уровня.
В сети доступно множество алгебраических калькуляторов. Может быть трудно просеять их все, чтобы найти то, что лучше всего соответствует вашим потребностям. Ниже представлена коллекция из 144 калькуляторов алгебры, разделенных по уровню и типу навыков.

ЧАСТЬ I — 54 Базовые алгебраические калькуляторы
11 Решатели уравнений
Как объясняет MathIsFun.com, уравнения показывают, что две вещи равны. Часто целью уравнения является решение относительно неизвестной переменной. Ниже приведен набор решателей уравнений, которые помогут вам в этом:
Калькулятор алгебры Symbolab.com. Этот калькулятор имеет четкий, простой в использовании дизайн и включает примеры уравнений, которые показывают пошаговые объяснения того, как их решать.
Калькулятор алгебры MathPapa.com. Этот калькулятор прост в использовании. Вставьте свое уравнение, а затем оно предоставит решение вместе с пошаговым объяснением того, как уравнение было решено.
Калькулятор уравнений и решатель AlgebraHelp.com. Этот калькулятор содержит «Краткое руководство» с учебными материалами по решению уравнений. Он также показывает свою работу, когда решает уравнение, чтобы вы могли видеть шаги, предпринятые для получения результата.
Решатель алгебры Tiger-Algebra.com, Simplifier и Evaluator – Этот калькулятор прост в использовании. Он также предоставляет пошаговое объяснение того, как находятся результаты.
Алгебра-решатель и математический упрощатель от Algebra.com. Этот калькулятор, специализирующийся на решении алгебраических уравнений в средней школе, предоставляет подробное объяснение того, как он решил ваше уравнение, включая анимацию, которая проведет вас через каждый шаг.
Калькулятор алгебры Mathway.com – Этот калькулятор имеет лаконичный дизайн. Нажмите кнопку «Справка», чтобы увидеть примеры нескольких различных типов задач по алгебре.
Бесплатный математический решатель Algebra-Class.com – Как объясняется в этом калькуляторе, это отличный инструмент для проверки ответов на домашнее задание. Он работает для нескольких навыков алгебры, таких как выражения, уравнения, неравенства, функции и многое другое.
Система вычислительных знаний WolframAlpha.com – Этот калькулятор быстрый и простой в использовании. Введите уравнение в поле, и калькулятор предоставит решение вместе с другой информацией, такой как графики или визуальное представление вашего уравнения.
Marble Software Solutions Online Algebra Solver – Этот калькулятор прост в использовании и предоставляет простые для понимания пошаговые решения того, как решались задачи. Помимо уравнений, калькулятор также решает выражения, системы уравнений и матрицы.

Калькулятор Cymath.com – Этот калькулятор имеет понятный, простой в использовании дизайн и предоставляет пошаговые объяснения того, как решались проблемы.
SolveMyMath.com Equation Solver Calculator – С этим калькулятором решения находятся в одном клике. Получив решение, нажмите «Показать график», чтобы увидеть графическое представление вашего уравнения.
13 Экспоненты Калькуляторы
Как объясняет PurpleMath, экспоненты — это « сокращение для многократного умножения одного и того же самого на себя». Ниже представлена коллекция калькуляторов показателей степени, которые помогут вам лучше понять, как с ними работать:
CalculatorSoup.com — эти калькуляторы содержат обучающую информацию вместе с примерами. Калькулятор «Экспоненты» отлично подходит для тех, кто имеет базовое представление об экспонентах. В то время как калькулятор «Дробные показатели степени» и калькулятор «Решение для показателей степени» помогут тем, у кого более продвинутое понимание показателей степени.
Экспоненты
Дробные показатели
Решить экспоненты
Калькулятор показателей степени от RapidTables. com. Этот калькулятор имеет четкий дизайн и прост в использовании, а также предоставляет законы и правила показателей степени в качестве справочного материала.
Упрощение алгебраического термина WebMath.com с использованием показателей степени и/или степени. Если у вас есть базовый уровень понимания показателей степени, этот калькулятор станет для вас отличным инструментом.
Калькулятор показателей степени на Calculator.net. Этот калькулятор включает в себя базовое объяснение показателей степени и предоставляет основные законы показателей степени в качестве справки.
Калькулятор показателей степени на сайте TutorVista.com. Этот калькулятор предоставляет отличную учебную информацию, а также выделенную цветом информацию о том, как вычислять показатели степени.
Калькулятор показателей степени EndMemo.com – Этот калькулятор быстрый и простой в использовании.
Калькулятор показателей степени с дробями на EndMemo.com – Для тех, кто лучше разбирается в показателях степени, этот калькулятор предоставляет некоторую учебную информацию и несколько примеров, чтобы показать пользователям, какие числа они должны вводить и где при работе с показателями степени с дробями.
Средство расчета показателей степени EndMemo.com – Этот простой в использовании калькулятор помогает пользователям найти неизвестный показатель степени.
Free-Online-Calculator-Use.com Калькулятор степени – Этот калькулятор предоставляет учебную информацию, объясняющую показатели степени и отрицательные степени. Наряду с вашим решением, он предоставляет серию умножения, используемую для получения ответа.
Калькулятор показателей степени WolframAlpha.com – Этот калькулятор прост в использовании. Просто введите базовое число и показатель степени в соответствующие поля.
Калькулятор возведения в степень на MiniWebTool.com – Этот калькулятор прост в использовании и содержит некоторую учебную информацию по возведению в степень для пользователей.
13 Калькуляторы полиномов
Как поясняет MathIsFun.com, полиномы возникают, когда три или более членов, которые могут включать константы, переменные или показатели степени, соединяются сложением, вычитанием, умножением и делением. Ниже представлена коллекция программ для решения полиномиальных уравнений:
EasyCalculation.com — для пользователей, имеющих опыт работы с полиномами, эти калькуляторы упрощают ввод чисел для решения полиномиальных уравнений.
Решатель полиномиальных уравнений
Полиномиальное деление
Умножение многочленов
Многочлены умножения WolframAlpha.com – Вместе с решением этот калькулятор показывает «возможные промежуточные шаги», которые можно использовать для его получения.
Решатель полиномиальных уравнений MathPortal.org — этот калькулятор содержит примеры, показывающие, как вводить данные. Он также включает в себя учебный раздел, который включает в себя четырехэтапное объяснение того, как решить полином.
Калькулятор полиномиальных уравнений от Symbolab.com. Этот простой в использовании калькулятор предоставляет пошаговые инструкции по решению введенных полиномов.
Полиномиальные калькуляторы SolveMyMath. com. Получите быстрые результаты с помощью этих калькуляторов, которые выполняют основные операции — сложение, вычитание, умножение и деление:
Сложение и вычитание
Умножение и деление
WebGraphing.com’s Polynomial Long Division Calculator – Для тех, кто изучает полиномиальное деление, этот калькулятор вместе с результатом показывает длинные шаги деления, необходимые для его получения.
Калькулятор многочленов на длинное деление Calc101.com. Следуйте шагам деления на длинное деление, предоставленным этим калькулятором, чтобы увидеть, соответствует ли ваш ответ его решениям.
Средство поиска полиномиальных корней HVKS.com. Этот калькулятор дает быстрые результаты и может стать отличным инструментом для перепроверки ваших собственных ответов.
Калькулятор полиномиального корня Tiger-Algebra.com. Наряду с решениями этот калькулятор предоставляет подробную информацию о том, как он получил свои результаты.
Калькулятор полиномов Algebra. com. Этот калькулятор складывает, вычитает и умножает многочлены. Он предоставляет пошаговые объяснения того, как он получает результаты, включая анимацию, которая проведет вас через каждый шаг.
10 Калькулятор радикалов
Если выражение, над которым вы работаете, включает символ квадратного корня, «√», то это радикал. Ниже представлена коллекция калькуляторов, помогающих упростить и решить радикальные уравнения.
Калькулятор радикальных уравнений Symbolab.com. Этот простой в использовании калькулятор содержит примеры с пошаговыми объяснениями решения задач.
MathPortal.org. Эти калькуляторы содержат инструкции по их использованию. Просто замените радикальный знак на «r» в радикальных выражениях, и он готов помочь.
Упрощение радикальных выражений
Рационализировать калькулятор радикального знаменателя
CalculatorSoup.com — Эти калькуляторы содержат пояснения к своим возможностям и предназначены для быстрого и легкого ввода данных.
Калькулятор радикалов или корней
Калькулятор простых радикальных выражений
Упрощение термина под радикальным знаком на WebMath.com. Этот калькулятор предоставляет пошаговое объяснение того, как он упрощает введенные термины.
RapidTables.com Калькулятор радикалов и корней. Этот калькулятор быстр и удобен в использовании и упрощает ввод данных.
Калькулятор упрощенных подкоренных выражений EasyCalculation.com – Этот калькулятор прост в использовании. Для тех, кому нужна дополнительная помощь, в нем также приведены примеры типов данных, которые вы будете вводить, — переменных, значений и выражений.
Калькулятор радикальных уравнений WolframAlpha.com – Отлично подходит для перепроверки ваших собственных результатов, этот калькулятор быстрый и простой в использовании, но не показывает шагов для решения.
Калькулятор Simplify Radical Expressions от MathCelebrity.com – Этот калькулятор предоставляет подробные, простые для понимания инструкции о том, как решить вашу задачу.
7 Калькуляторы отношений и пропорций
Как объясняет MathPlanet.com, отношения сравнивают два числа, а пропорции — это уравнения, которые «утверждают, что два отношения эквивалентны». Ниже представлена коллекция калькуляторов, которые помогут вам узнать больше о соотношениях и пропорциях:
Калькулятор пропорций AlgebraHelp.com – Этот калькулятор прост в использовании и содержит образец пропорции, который поможет вам начать работу. Он предоставляет пошаговое объяснение вместе с его результатами.
Калькулятор пропорций на сайте Basic-Mathematics.com. Этот калькулятор прост в использовании и содержит примеры в виде текстовых задач, облегчающие понимание пропорций.
Справка WebMath.com по калькулятору пропорций — этот калькулятор содержит учебную информацию о соотношениях и пропорциях. Он также дает объяснение своим результатам.
Калькулятор пропорций TutorVista.com. Здесь представлены два калькулятора: один для нахождения неизвестной переменной в пропорции и один для проверки равенства отношений. Также предоставляется обучающая информация о соотношениях и пропорциях.
Калькулятор пропорций MiniWebTool.com – этот калькулятор прост и быстр в использовании. Просто подставьте три числа, чтобы найти неизвестную переменную.
Калькулятор отношений TutorVista.com – Этот калькулятор помогает упростить отношения и предоставляет краткую учебную информацию.
Калькулятор пропорций CalculatorSoup.com. Этот калькулятор также вычисляет пропорции. Он может найти отсутствующее значение или оценить, является ли отношение или пропорция истинным или ложным.
ЧАСТЬ II — 50 Калькуляторы среднего уровня
Теперь, когда вы знаете основы, пришло время заняться более сложными уравнениями, узнать о факторинге и познакомиться с миром неравенств.
10 Алгебра 2 Решатели уравнений
В промежуточной алгебре уравнения становятся немного сложнее. Ниже представлена коллекция калькуляторов, помогающих решать системы уравнений и другие более сложные выражения.
WebMath.com Калькуляторы алгебры. Если вы только начинаете изучать алгебру 2, этот калькулятор прост в использовании и помогает с различными типами двухуровневых уравнений алгебры.
Решатель систем уравнений SolveMyMath.com – Этот калькулятор очень помогает при решении сложных систем уравнений.
Калькуляторы алгебры QuickMath.com — Этот набор калькуляторов упрощает работу с алгебраическими выражениями. Он содержит учебную информацию по алгебре и концепциям расширения, факторизации, упрощения и сокращения при работе с выражениями. Он также предоставляет информацию о дробях, поскольку они связаны с этими выражениями. Каждый калькулятор имеет базовый, промежуточный и расширенный режимы.
Расширение (базовый, средний, расширенный)
Фактор (базовый, средний, продвинутый)
Упрощение (базовый, средний, продвинутый)
Отмена (базовый, промежуточный, расширенный)
Частичные дроби (базовый, расширенный)
Объединение фракций (базовый, средний, продвинутый)
Калькулятор уравнений преобразования алгебры для решения алгебры EasyCalculation. com – Этот калькулятор помогает разделить неизвестную переменную в одной части уравнения, чтобы упростить его решение.
13 Калькуляторы комбинаций и перестановок
Комбинации и перестановки используются для группировки объектов. Как объясняет факультет математики Иллинойского университета в Урбана-Шампейн, «в перестановках порядок имеет значение, а в комбинациях порядок не имеет значения». Ниже приводится коллекция калькуляторов, которые помогут вам узнать больше о комбинациях и перестановках:
MathIsFun.com Комбинации и перестановки — этот калькулятор отлично подходит для тех, кто только начинает изучать эту концепцию. Он включает в себя объяснения правил комбинаций и перестановок.
Калькулятор комбинаций и перестановок StatTrek.com – Помимо простоты использования, этот калькулятор предоставляет учебную информацию о комбинациях и перестановках, а также примеры задач с пояснениями к каждому шагу.
Калькулятор комбинаций и перестановок EasyCalculation. com – С помощью этого калькулятора очень легко вводить данные. Он также предоставляет основную учебную информацию о комбинациях и перестановках.
Калькулятор комбинаций и перестановок TutorVista.com. Этот калькулятор обеспечивает пошаговые расчеты и четкое объяснение примеров задач, чтобы помочь вам лучше понять эту концепцию.
Калькуляторы комбинаций и перестановок CalculatorSoup.com. Каждый из этих калькуляторов содержит подробную учебную информацию и необходимые формулы.
Калькулятор комбинаций
Калькулятор перестановок
Калькулятор комбинаций и перестановок CalcTool.org. Этот калькулятор предоставляет некоторую учебную информацию. Он не дает пошаговых объяснений того, как он получает результаты, но является отличным инструментом для перепроверки результатов ваших собственных расчетов.
Калькулятор комбинаций и перестановок на сайте StatisticsHowTo.com. Этот калькулятор предоставляет понятную учебную информацию, обучающую различиям между комбинациями и перестановками и предоставляющую необходимые формулы.
Калькулятор комбинаций и перестановок NCalculators.com. Этот калькулятор не показывает шаги для получения результатов, но предоставляет понятную учебную информацию.
Калькулятор комбинаций и перестановок CSGNetwork.com. Ввод данных в этот калькулятор осуществляется быстро и легко. Он содержит некоторую учебную информацию и формулы, используемые для решения комбинаций и перестановок.
Калькулятор комбинаций и перестановок PlanetCalc.com. Этот калькулятор предоставляет дополнительную информацию для тех, кто плохо знаком с этим математическим навыком или пересматривает его.
Генераторы комбинаций и перестановок TextMechanic.com — эти генераторы забавны и просты в использовании. Каждый содержит подробные инструкции о том, как заполнить ваши данные, и каждый дает четкие результаты:
Генератор комбинаций
Генератор перестановок
8 Факторинговые калькуляторы
Как объясняет сайт MathIsFun.com, в своей основе разложение на множители — это просто нахождение множителей выражения. В промежуточной алгебре вас попросят разложить более сложные выражения. Ниже приведен набор калькуляторов, облегчающих факторинг:
Калькулятор факторинга AlgebraHelp.com – Этот калькулятор предлагает краткое руководство для пользователей с пояснениями о том, как лучше всего вводить выражение.
Калькулятор полиномиального факторинга MathPortal.org – Этот калькулятор содержит примеры, облегчающие использование калькулятора. Он также показывает свою работу, чтобы пользователи могли лучше понять, как было найдено решение.
Калькулятор факторинга SolveMyMath.com – Этот калькулятор прост в использовании и дает четкие и точные результаты. Он предлагает примеры, облегчающие ввод данных.
Калькулятор факторинга WolframAlpha.com – С этим калькулятором нет наворотов. Просто введите свои данные, и он обеспечивает результат.
MathWorksheetsGo.com Калькулятор факторинга трехчленов – Этот калькулятор отлично подходит для тех, кто занимается более сложным расчетом трехчленов.
Калькулятор факторизации CalculatorSoup.com — этот калькулятор прост в использовании и содержит учебную информацию о том, как выполнять факторизацию.
Факторинговый калькулятор QuickMath.com. Этот калькулятор имеет базовый, промежуточный и расширенный режимы. Он предоставляет некоторые, но не все шаги, используемые для получения результатов.
Калькулятор коэффициентов от Symbolab.com. Этот калькулятор прост в использовании и содержит примеры с пошаговыми пояснениями о том, как работает факторинг.
7 Калькуляторы неравенств
В неравенствах вы решаете, является ли переменная больше, меньше, больше или равна или меньше или равна значению. Как отмечает MathIsFun.com, цель состоит в том, чтобы получить переменную «сама по себе» в левой части неравенства. Ниже представлена коллекция калькуляторов неравенств, которые помогут вам решать неравенства:
Калькулятор неравенств Symbolab.com. Этот калькулятор имеет простой дизайн и прост в использовании. Он также включает примеры с пошаговыми объяснениями решения проблем.
Калькулятор решения неравенства WebMath.com — этот калькулятор быстрый и простой в использовании.
Калькуляторы неравенств QuickMath.com. Этот калькулятор может работать на базовом, среднем или продвинутом уровне.
Калькулятор неравенств TutorVista.com. Этот калькулятор содержит инструкции о том, как подойти к решению проблемы, и примеры, которые показывают пошаговые объяснения того, как калькулятор пришел к решению.
Средство решения неравенств и уравнений WolframAlpha.com. Этот калькулятор прост и удобен в использовании. Он может предоставить решения для простых и сложных неравенств.
Калькулятор решения линейных неравенств EasyCalculation.com – Этот калькулятор содержит некоторую учебную информацию, которая поможет пользователям лучше понять линейные неравенства. Для дальнейшего объяснения он также предоставляет свойства неравенств для сложения, вычитания, умножения и деления.
Калькулятор решения абсолютных неравенств EndMemo.com – Этот калькулятор предоставляет вам пример функции, который поможет вам начать работу.
12 Калькуляторы квадратных уравнений
Квадратные уравнения появляются как ax2 + bx + c = 0. Как объясняет MathIsFun.com, квадратные уравнения можно решать с помощью разложения на множители, завершения квадрата или с помощью квадратной формулы. Ниже представлена коллекция калькуляторов, которые помогут вам узнать больше о квадратных уравнениях:
Квадратное уравнение MathPortal.org. Этот калькулятор прост в использовании и содержит учебную информацию, объясняющую два метода решения квадратных уравнений.
Калькулятор квадратных уравнений Symbolab.com — этот калькулятор прост в использовании. Он включает примеры с пошаговыми объяснениями того, как решаются уравнения.
Средство решения квадратных уравнений от MathIsFun.com. Этот калькулятор содержит учебную информацию для тех, кто только начинает изучать квадратные уравнения. Он также имеет функцию графика, которая отображает результаты вашего уравнения.
Сайт WebMath.com «Решение квадратного уравнения с помощью факторинга» — этот калькулятор объясняет, как решать квадратные уравнения с помощью факторинга.
Калькулятор квадратных уравнений Algebra.com. Этот калькулятор предоставляет подробные объяснения того, как он решил введенное уравнение. Он также отображает введенное уравнение в виде графика.
Калькулятор квадратных уравнений CalculatorSoup.com (многочлен 2-го порядка) – Используйте этот калькулятор для решения многочлена 2-го порядка.
Решатель квадратных уравнений SolveMyMath.com – Этот калькулятор прост в использовании и предоставляет пошаговые объяснения того, как он решает каждое уравнение.
Средство решения квадратных уравнений EndMemo.com – Этот калькулятор выполняет вычисления по мере ввода данных, поэтому результаты мгновенны.
Калькулятор квадратных уравнений и неравенств MathCelebrity. com. Этот калькулятор предлагает подробные пошаговые объяснения того, как найти решения. Он также может решать неравенства.
Калькуляторы квадратных уравнений EasyCalculation.com — эти калькуляторы просты в использовании и выполняют определенные функции для решения квадратных уравнений:
Дискриминантный решатель квадратных уравнений EasyCalculation.com
Продукт корней квадратного уравнения EasyCalculation.com
Комбинированный решатель квадратных уравнений EasyCalculation.com
ЧАСТЬ III – 40 Advanced Calculators
По мере расширения ваших знаний по алгебре вы начнете изучать более сложные элементы алгебры, такие как логарифмы, комплексные числа и многое другое.
5 Калькуляторы биномов
Как поясняет Образовательный портал, биномы представляют собой выражения с двумя членами. В продвинутой алгебре вас попросят комбинировать, расширять и выполнять другие действия с биномами. Вы также узнаете о биномиальной теореме. Ниже приведен набор калькуляторов, которые помогут вам лучше понять и работать с биномами:
Калькулятор биномиального умножения MathCelebrity.com – При предоставлении решений этот калькулятор показывает, как он использовал метод FOIL (первый-снаружи-внутри-последний) для получить результаты.
Калькулятор умножения биномов MathWorksheetsGo.com – В этот калькулятор можно быстро и легко вводить данные. Он также предоставляет пошаговое объяснение того, как было получено решение с использованием метода FOIL.
Калькулятор биномиального расширения WolframAlpha.com. Вместе с решением этот калькулятор шаг за шагом показывает, как он получил результаты.
Калькулятор биномиальной теоремы CalCul.com – Этот калькулятор использует биномиальную теорему для вычисления биномиального разложения.
Калькулятор биномиальной теоремы от Kusashi.com. Этот калькулятор также использует биномиальную теорему. Это расширит биномиал до восьми членов.
8 Калькуляторы комплексных чисел
Как объясняет сайт MathIsFun.com, комплексные числа получаются, когда вы комбинируете действительное и мнимое числа, которые являются отрицательными при возведении в квадрат. Ниже представлена коллекция калькуляторов, которые помогут вам работать с комплексными числами:
Калькулятор комплексных чисел MathIsFun.com – Этот калькулятор прост в использовании и содержит краткие пошаговые инструкции по получению решения.
Калькуляторы комплексных чисел MathPortal.org. Для тех, кто хорошо разбирается в алгебре 2, MathPortal предоставляет три калькулятора для использования в качестве инструментов при работе с комплексными числами.
Калькулятор комплексных чисел MathWorksheetsGo.com. В этот калькулятор можно быстро и легко вводить данные. Он также показывает каждый шаг, предпринятый, когда он предоставляет решение.
Калькулятор комплексных чисел WolframAlpha.com. Этот калькулятор предоставляет базовый результат наряду с другими итерациями, включая десятичную форму, полярные координаты, положение на комплексной плоскости и альтернативную форму.
Калькулятор комплексных чисел 1728.org. Этот калькулятор умножает и делит комплексные числа. Ввод данных осуществляется быстро и легко, и это отличный способ перепроверить собственные результаты.
Калькулятор комплексных чисел SolveMyMath.com. Этот калькулятор выполняет основные операции для вычисления комплексных чисел, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Он не показывает своих шагов, но является отличным инструментом для перепроверки ваших собственных расчетов.
Калькулятор комплексных чисел EasyCalculation.com. Этот калькулятор умножает, делит и находит квадратный корень из введенного выражения. Он вычисляет, когда вы вводите данные, поэтому результаты мгновенны. Чтобы упростить сложные выражения, используйте этот калькулятор.
Калькуляторы комплексных чисел EndMemo.com. На этой странице представлены специальные калькуляторы для конкретных операций. Представленные калькуляторы можно использовать для сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. На странице также есть учебная информация и формулы комплексных чисел.
8 Калькуляторы логарифмов
В Алгебре I вы узнали о показателях степени. Как объясняет PurpleMath.com, логарифмы — это «противоположность экспонент». Ниже представлена коллекция калькуляторов, которые помогут вам работать с логарифмами:
Калькулятор логарифмов на сайте RapidTables.com. Этот калькулятор включает в себя правила логарифмирования и предназначен для быстрого и легкого ввода данных.
Калькулятор логарифмических уравнений Symbolab.com — Этот простой в использовании калькулятор содержит примеры логарифмов, которые помогут вам начать работу. Он также предоставляет пошаговые объяснения того, как он получает свои решения.
Калькулятор логарифмов 1728.org. Этот калькулятор предоставляет подробные инструкции о том, как вводить данные, чтобы гарантировать получение четких результатов.
Калькулятор логарифмов NCalculators.com. Этот калькулятор содержит учебную информацию по логарифмам и примеры расчетов логарифмов.
Калькулятор логарифмов MiniWebTool.com. Этот калькулятор содержит учебную информацию и формулы, связанные с логарифмами. Ввод данных осуществляется быстро и легко.
Калькулятор логарифмов Rechneronline.de – это простой калькулятор логарифмов без каких-либо наворотов. Ввод данных осуществляется быстро и легко.
Калькулятор логарифмов TutorVista.com. Этот калькулятор предоставляет некоторую учебную информацию и необходимые формулы.
Калькулятор логарифмов A-Calculator.com – Этот калькулятор прост в использовании. В нем также содержится подробное объяснение того, как найти натуральный логарифм без использования калькулятора.
14 Калькуляторы матриц
Как объясняет Академия Хана, матрицы — это «способы организации чисел». Ниже приведены калькуляторы, которые помогут вам сделать больше с матрицами:
Матричный калькулятор MathIsFun.com. Этот калькулятор упрощает ввод данных и может выполнять основные матричные операции, такие как сложение, вычитание и умножение.
Калькуляторы матриц от MathPortal.org. Эти калькуляторы матриц от MathPortal выполняют множество функций. Он включает в себя базовый калькулятор матриц, калькулятор Elgenvalues & Elgenvectors и калькулятор декомпозиции матрицы и позволяет пользователям копировать и вставлять данные из электронной таблицы Excel.
Калькулятор матриц MatrixCalc.org. Этот калькулятор служит отличным калькулятором «все в одном» для работы с матрицами. Он включает в себя инструкции о том, как вводить данные в калькулятор.
Сайт EasyCalculation.com «Расчет по MATRIX Math» — EasyCalculation.com предоставляет множество матричных калькуляторов для выполнения определенных функций, от базовых операций, таких как сложение и вычитание, до более сложных функций, таких как LU-разложение.
Калькулятор матриц Symbolab.com — этот калькулятор имеет простой дизайн и прост в использовании. Он включает примеры с пошаговыми объяснениями решения матричных операций.
Матричный калькулятор Meta-Calculator. com – Пользоваться этим калькулятором легко и быстро. Ввод данных прост, и он выполняет такие операции, как сложение, вычитание, умножение и многое другое.
Калькулятор матриц SolveMyMath.com – Используйте этот калькулятор для решения таких аспектов матрицы, как определитель, обратная, трассировка и норма.
Калькулятор умножения, сложения и вычитания матриц от SolveMyMath.com – Этот калькулятор прост в использовании для умножения, сложения и вычитания матриц.
Калькуляторы матриц QuickMath.com – Этот калькулятор содержит учебную информацию о матрицах и матричных аспектах, таких как определитель и обратный. Существуют определенные версии калькулятора для каждого аспекта.
Обратный калькулятор
Калькулятор определителя
Матричный калькулятор Math.uh.edu – Этот калькулятор, разработанный математическим факультетом Хьюстонского университета, позволяет легко вводить данные в этот калькулятор. Он выполняет основные матричные операции, такие как сложение, вычитание и умножение.
Матричные калькуляторы EndMemo.com – EndMemo.com предоставляет калькуляторы для определенных операций. Вводить данные в эти калькуляторы легко, и они дают четкие результаты:
Калькулятор сложения матриц EndMemo.com
Калькулятор матричного вычитания EndMemo.com
Калькулятор умножения матриц EndMemo.com
5 Калькуляторы рациональных выражений
Как объясняет сайт MathIsFun.com, рациональное выражение представляет собой «отношение двух многочленов».
Калькулятор упрощения рациональных выражений MathPortal.org. В этом калькуляторе есть вкладка «Основные выражения» и вкладка «Расширенные выражения». Решения, представленные калькулятором «Основные выражения», также содержат пошаговое объяснение того, как было упрощено выражение.
Калькуляторы рациональных выражений WolframAlpha.com — на этом сайте представлены три простых в использовании калькулятора для выполнения конкретных расчетов рациональных выражений:
Упрощение рациональных выражений
Сложение и вычитание рациональных выражений
Умножение и деление рациональных выражений
Калькуляторы Simplify Rational Expressions от QuickMath. com. Эти калькуляторы обеспечивают простые, но быстрые результаты. Есть базовый, средний и расширенный режимы.
Наших пользователей:
Это программное обеспечение для алгебры обладает исключительными возможностями для индивидуальных пользователей. Предлагая помощь с домашним заданием по алгебре, он также заставляет ученика изучать основы математики. Часть программы «Репетитор по алгебре» предоставляет простые для понимания объяснения каждого шага решения задачи по алгебре.
J.S., Алабама
Мои родители очень счастливы. Вчера я принес домой свою первую пятерку по математике и знаю, что не смог бы сделать это без алгебратора.
Саманта Джордан, NV
Алгебратор — отличный продукт. Мне нравится, насколько легко ею пользоваться и насколько простой с ней кажется алгебра.
Барбара, LA
Ничего себе, какой отличный и простой способ писать сложные выражения, я использовал другое программное обеспечение алгебры, он предпочел пойти к черту больше, чем писать сложные выражения, для их использования нужен профессионал, но этот Алгебратор идеален.
Тереза Сондерс, OR
Студенты, решающие всевозможные алгебры, узнают, что наше программное обеспечение спасает жизнь. Вот поисковые фразы, которые использовали сегодняшние поисковики, чтобы найти наш сайт.
2 + 3y $. 2-4x + 1,25} $
Калькулятор действительных чисел
Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с действительными числами, натуральными числами, целыми числами, рациональными и иррациональными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о порядке расчета. Решайте задачи с двумя, тремя или более действительными числами в одном выражении. Пошаговое сложение, вычитание и умножение действительных чисел. Этот калькулятор выполняет сложение, вычитание, умножение или деление для вычислений положительных или отрицательных действительных чисел.Этот онлайн-калькулятор действительных чисел поможет вам понять, как складывать, вычитать, умножать и делить действительные числа.
Вещественные числа — это числа, которые можно найти в числовой строке. Сюда входят натуральные числа (1,2,3 …), целые числа (-3), рациональные (дроби) и иррациональные числа (например, √2 или π). Положительные или отрицательные, большие или маленькие, целые или десятичные числа — это вещественных чисел . Мнимые числа и комплексные числа можно нарисовать не в числовой прямой, а в комплексной плоскости.2
Действительные числа в задачах с текстом:
Обратный
Вычисляет обратные числа для заданных действительных чисел.
Экспоненциальное уравнение
Решите экспоненциальное уравнение (в действительных числах): 9 ^8x-2 = 9
Открытые интервалы
Открытые интервалы A = (x-2; 2x-1) и B = (3x-4; 4) дано. Найдите наибольшее действительное число, для которого применимо A ⊂ B.
Операции смешивания с числами
Вычтите дважды число -23,6 из разности чисел -130 и -40.2.
Расстояние чисел
Какое число находится на одинаковом расстоянии от чисел -5,65 и 7,25 на числовой оси?
Мнимые числа
Найдите два мнимых числа, сумма которых является действительным числом. Как связаны два мнимых числа? Какая его сумма?
Квадратное уравнение
Определите числа b, c, что числа x ₁ = -1 и x ₂ = 3 были корнями квадратного уравнения:?
Недвижимость
Жилой дом имеет три подъезда, пронумерованных нечетными числами в арифметической прогрессии. Сумма двух чисел на угловых входах равна 50. Вычислите наибольшее из этих трех чисел.
Среднее геометрическое
Вычислите среднее геометрическое чисел a = 15,2 и b = 25,6. Определите среднее значение по построению, где a и b — длина линий.
Котангенс
Если угол α острый, а котан α = 1/3. Определить значение sin α, cos α, tg α.
Логарифмическое уравнение
Решите уравнение: log ₁₃ (7x + 12) = 0
Тригонометрические функции
В правом треугольнике находится:? Найдите значение s и c:? ?
Комплексный
Являются ли эти числа 2i, 4i, 2i + 1, 8i, 2i + 3, 4 + 7i, 8i, 8i + 4, 5i, 6i, 3i комплексными?
Равно
Равно следующие термины? -9 ²¹ = (-9) ²¹
Biquadratic
Путем введения новой переменной решите биквадратное уравнение:?
Координата
Определите недостающую координату точки M [x, 120] графика функции f bv. Правило: y = 5 ^x
События
Событие P имеет вероятность 0. 84. Какова вероятность того, что событие P произойдет в 3, 5, 7 попытках.
следующие математические задачи »
Калькулятор квадратичных формул | Комплексный
Если вам нужно решить уравнение вида Ax² + Bx + C = 0 , этот калькулятор квадратной формулы здесь, чтобы помочь вам. Всего за несколько кликов вы сможете решить даже самые сложные задачи. В этой статье подробно описывается, что такое квадратная формула и что обозначают символы A, B и C. Также объясняется, как решать квадратные уравнения, которые имеют отрицательный определитель и не имеют действительных корней.
Что такое квадратная формула?
Квадратичная формула является решением полиномиального уравнения второй степени следующего вида:
Ax² + Bx + C = 0
Если вы можете переписать свое уравнение в этой форме, это означает, что оно может быть решено с помощью формулы корней квадратного уравнения. Решение этого уравнения также называется корнем уравнения.
Квадратичная формула имеет следующий вид:
х = (-B ± √Δ) / 2A
где:
Используя эту формулу, вы можете найти решения любого квадратного уравнения.Учтите, что есть три возможных варианта получения результата:
Квадратное уравнение имеет два уникальных корня, когда Δ> 0. Тогда первое решение квадратной формулы будет x₁ = (-B + √Δ) / 2A , а второе — x₂ = (-B - √ Δ) / 2А .
Квадратное уравнение имеет только один корень, когда Δ = 0. Решение равно x = -B / 2A . Иногда его называют повторным или двойным корнем.
Квадратное уравнение не имеет вещественных решений при Δ
Вы также можете построить график функции y = Ax² + Bx + C . Его форма представляет собой параболу, а корни квадратного уравнения являются точками пересечения по оси x этой функции.
Коэффициенты квадратного уравнения
A, B и C — коэффициенты квадратного уравнения. Все они действительные числа, не зависящие от x. Если A = 0, то уравнение не квадратичное, а линейное.
Если B² , то определитель Δ будет отрицательным.Это означает, что у такого уравнения нет реальных корней.
Как использовать решатель квадратичных формул
Запишите уравнение. Предположим, это 4x² + 3x - 7 = -4 - x .
Приведите уравнение к виду Ax² + Bx + C = 0 . В этом примере мы сделаем это в следующие шаги:
4x² + 3x - 7 = -4 - x
4x² + (3 + 1) x + (-7 + 4) = 0
4x² + 4x - 3 = 0
Вычислить определитель.
Δ = B² - 4AC = 4² - 4 * 4 * (- 3) = 16 + 48 = 64 .
Решите, будет ли определитель больше, равен или меньше нуля. В нашем случае определитель больше 0, что означает, что это уравнение имеет два уникальных корня.
Вычислите два корня по формуле корней квадратного уравнения.
x₁ = (-B + √Δ) / 2A = (-4 + √64) / (2 * 4) = (-4 + 8) / 8 = 4/8 = 0,5
x₂ = (-B - √Δ) / 2A = (-4 -√64) / (2 * 4) = (-4-8) / 8 = -12/8 = -1. 5
Корни вашего уравнения: x₁ = 0,5 и x₂ = -1,5 .
Вы также можете просто ввести значения A, B и C в наш калькулятор квадратных уравнений и позволить ему выполнять все вычисления за вас.
Убедитесь, что вы записали правильное количество цифр с помощью нашего калькулятора значащих цифр.
Решение квадратных уравнений с отрицательным определителем
Даже если калькулятор квадратной формулы указывает, что уравнение не имеет действительных корней, можно найти решение квадратного уравнения с отрицательным определителем.Эти корни будут комплексными числами.
Комплексные числа имеют действительную и мнимую части. Мнимая часть всегда равна числу i = √ (-1) , умноженному на действительное число.
Квадратичная формула в этом случае остается прежней.
х = (-B ± √Δ) / 2A
Обратите внимание, что при Δ
Re (x) = -B / 2A
Im (x) = ± (√Δ) / 2A
Если, узнав все о решении квадратных уравнений, вы все еще захотите больше математики? В Omni есть более 240 математических калькуляторов. Мы также рекомендуем вам посетить веб-страницу Computer Technology For Math Excellence. У них есть обширная коллекция ресурсов, чтобы узнать все о математике, с особым вниманием к учебной программе Common Core.
Калькулятор уравнения рациональной экспоненты
Наших пользователей:
Теперь вы можете забыть о том, что вас приземлили за плохие оценки по алгебре. С Алгебратором требуется всего несколько минут, чтобы полностью понять и сделать домашнее задание.
Джек Гарнер, Иллинойс
Я начал с таких программ, потому что учусь в онлайн-классе, и бывают случаи, когда «я понятия не имею». Мне легче следовать вашей программе. БЛАГОДАРЮ ВАС!
Паола Рэнди, IN
Алгебратор прост в использовании и понимании, и поэтому алгебра стала для меня такой же. Я благодарен, что получил это.
M.H., Иллинойс
Студенты, решающие всевозможные алгебры, узнают, что наше программное обеспечение спасает жизнь.
Вот поисковые фразы, которые использовали сегодняшние поисковики, чтобы найти наш сайт. Можете ли вы найти среди них свою?
Поисковые фразы, использованные в 2010-07-29:
бесплатные решатели трехчленов
практика разделения властей
nj glencoe course 1 продажа приложений и концепций
как преобразовать смешанное число в целое
лист сравнения отрицательных целых чисел
решить ограничение в строке
свойство квадратного корня
Уровень колледжа с перестановкой и комбинацией
решить уравнение путем извлечения квадратных корней
процентные формулы
Математика для 4-го класса / совместимый
бесплатных рабочих наборов для отрицательных чисел
СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ 8 КЛАССА ОНЛАЙН
бесплатный английский рабочий лист
смена баз на ти-83
целочисленное вычитание игр
powerpoint для сложения и вычитания отрицательных чисел
найти листы умножения, сложения, вычитания и деления десятичных знаков
Калькулятор квадратных уравнений на множители
вычислить наклон линейного графика по двум точкам
формулировка задачи по алгебре
как решать экспоненты и квадратные корни
ТИ-83, абсолютная мощность
сложение 10, 20, 30 лист
«Макдугал Литтел» Практическое пособие по геометрии ответы «
геометрия Гленко ответы
заниматься алгебраическими выражениями 8 класс
факторинговый биномиальный калькулятор
простая математика для 3 класса
уменьшить радикальную дробь с переменным показателем алгебры
наибольший общий делитель 32 и 81
Need Workbook Практика английского языка для 5-х классов
решить каждое уравнение или формулу для указанной переменной
как построить график уравнения с 3 переменными
год 9 правил и формул алгебры
факторизация комплексных чисел
графический калькулятор степеней y и x
порядок операций номер урока куб рабочий лист план игра в средней школе
корень третьей степени
жк-калькулятор
как заниматься алгеброй
«основная бизнес-статистика» «ключ ответа»
упростить в 2 раза sqrt 12 + 4 раза в sqrt 27
Упражнение по математике для 5-го класса
листы рекурсивного определения
пример возрастных задач по алгебре
как найти пересечение двух уравнений на графическом калькуляторе ti 83
осенний лист 2 сорт 3
простой способ решения систем линейных уравнений с тремя переменными
Таблицы по математике для третьего класса
Целочисленный рабочий лист распределительных свойств
математическая сила 10 ontario edition
как решать задачи по алгебре 2
инструмент для математического факторизации linux
модель алгебраического выражения
n-й семестр онлайн-калькулятор
clep РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АЛГЕБРЫ
дайте мне ответы на домашнее задание по математике
таблица сложения отрицательных и положительных целых чисел
скачать решенные вопросы о способностях
2379876
Алгебра 2 Рабочий лист, Урок 1-3, ответы
Пример объединения похожих терминов
КАК РАСЧЕТАТЬ LCM?
контрольные вопросы для печати по математике
Раздаточные материалы, объединяющие одинаковые термины
год 4 математика шри-ланка
как вычесть более двух чисел
Алгебра 2 Учебное пособие
квадратное уравнение корни нули функции горизонтальный отрезок
программа для решения задач по алгебре 1
бесплатный графический калькулятор онлайн y = mx + b
уравнение многих переменных гипербола
как рассчитать степень дроби
как разместить вершины на графике calc
правила вычитания и сложения целых чисел
Задачи по алгебре для 9 класса
как ввести квадратные уравнения в ti-83
как преобразовать смешанное число в десятичное
Упрощенный калькулятор алгебры
калькулятор алгебры
ti 84 программных кодов наклон
как решать производные на калькуляторе
справка по алгебре
рабочие листы равных выражений
Калькулятор квадратичных формул | Math Goodies
Наш калькулятор квадратных уравнений позволяет найти корни квадратного уравнения. Лучше всего сначала решить эти проблемы самостоятельно, а затем вы можете использовать этот калькулятор для проверки своей работы.
Введите значения в поля ниже и нажмите Решить . Результаты появятся в полях с метками Root 1 и Root 2 . Например, для квадратного уравнения ниже вы должны ввести 1, 5 и 6. После нажатия Решить ваши результирующие корни будут -2 и -3. Нажмите Сбросить , чтобы ввести новые значения.
Важные термины для квадратных уравнений
Квадратичным называется многочлен, старший показатель которого равен 2.Стандартная формула квадратного уравнения выглядит так:
f ( x ) = ax ² + bx + c
Коэффициент при x² называется ведущий коэффициент . В этом случае X — неизвестная переменная, тогда как a, b и c — константы или числовые коэффициенты. Одно абсолютное правило состоит в том, что первая константа, a , не может быть нулем.
Квадратичная формула используется для нахождения решения квадратного уравнения. Квадратичная формула выглядит так:
Каждое квадратное уравнение дает два значения неизвестной переменной, и эти значения называются корнями уравнения. Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни .
Корни функции — это точки пересечения по оси x. Координата y точек, лежащих на оси x, равна нулю. Поэтому, чтобы найти корни квадратичной функции, мы полагаем f (x) = 0 и решаем уравнение.
Квадратное уравнение имеет два корня, которые могут быть неравными действительными числами, равными действительными числами или числами, которые не являются действительными. Если квадратное уравнение имеет два действительных равных корня, мы говорим, что уравнение имеет только одно действительное решение.
Дискриминант квадратичной формулы говорит вам о природе корней, которые имеет уравнение.
Например:
b2−4ac = 0, одно действительное решение
b2−4ac> 0, два действительных решения
b2−4ac
Если дискриминант представляет собой полный квадрат, корни рациональные , а когда это не полный квадрат, корни иррациональные .
Пример решения квадратного уравнения с квадратичной формулой:
Другие калькуляторы
.
Решить уравнение и найти сумму его корней 3x 1 2 x
Обновлено: 16.09.2022
Наш калькулятор поможет вам решить рациональное уравнение или неравенство. Искусственный интеллект, который лежит в основе калькулятора, даст ответ с подробным решением и пояснениями.
Калькулятор полезен старшеклассникам при подготовке к контрольным работам и экзаменам, для проверки знаний перед ЕГЭ, родителям школьников с целью контроля решения многих задач по математике и алгебре.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!
Рациональные уравнения
В рациональных уравнениях обе части уравнения представляют собой рациональные выражения вида: s(x) = 0 или расширено: s(x) = b(x), где s(x), b(x) – рациональные выражения.
Рациональное выражение является алгебраическим выражением, которое состоит из рациональных чисел и переменной величины, соединенных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Таким образом, это целые и дробные выражения без радикалов.
Действия с рациональными числами обладают свойствами действий с целыми числами.
К примеру, при умножении рациональных чисел есть дополнительное свойство – умножение взаимно обратных чисел. Для того чтобы умножить два рациональных числа, необходимо умножить модули этих чисел, а перед ответом поставить «плюс», если у множителей одинаковые знаки и «минус», если знаки разные.
Умножение рационального числа на ноль. Когда в рациональном уравнении хоть один множитель – ноль, то и произведение будет равняться нолю.
Умножение рациональных чисел с разными знаками. При умножении нескольких чисел с разными знаками, необходимо умножить модули каждого из этих чисел. Если количество множителей с отрицательными знаками – четное, то произведение всегда будет со знаком «плюс», если количество множителей с отрицательными знаками – нечетное, то и произведение будет со знаком «минус».
Делить на ноль в рациональных уравнениях, как и в обычных нельзя.
Чтобы решить рациональное уравнение, необходимо определить тип этого уравнения и применить некоторые математические хитрости, созданные для этого типа. Если Вы не помните этих хитростей, то можете воспользоваться калькулятором для решения рациональных уравнений, который быстро подберёт все корни данного уравнений.
Решением рационального уравнения будут являться корень – конкретное число, при постановке которого в уравнение даст верное равенство. Корней рационального уравнения может быть много и важно в решении не упустить ни один корень.
Бесплатный онлайн калькулятор
Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!
Если вы это читаете, значит вас интересует вопрос решения уравнений.
Да, наши калькуляторы могут решить все уравнения, которые встречаются в школьном курсе и не только. Но нужно понимать, что большинство уравнений имеют несколько способов решения, а калькулятор выдает лишь только какое-то одно.
Бесспорно все способы решения хороши по-своему, но каждому методу отводится свое место в программе обучения.
Поэтому не стоит злоупотреблять калькуляторами, если ваш школьный учитель или личный репетитор требует решить уравнение одним способом, а вы предоставляете ему альтернативное решение.
Да, это может быть похвально, но опытный педагог сразу поймет, что решение уравнения не ваше.
Калькулятор решения уравнений
Калькулятор уравнений незаменимый помощник. Именно помощник, а не решатель проблем. Всегда старайтесь своими силами решать уравнения, а калькулятор используйте в качестве проверки вашего ответа.
Для грамотного учителя не столько важен конечный ответ, сколько сам ход решения уравнения.
Как вы могли заметить, при решении некоторых уравнений, например, квадратных, калькулятор может выполнить три разных способа решения. Это разложение уравнения на множители, выделение полного квадрата или найти корни уравнения через дискриминант.
Попытайтесь сначала самостоятельно решить заданное уравнение, вспомните чему вас учили на уроке.
Даже если вы ошибетесь в числах, то ничего страшного, ученик имеет право на ошибку, главное правильно мыслить.
С нашим калькулятором уравнений вы с легкостью исправите допущенную в вычислениях ошибку.

Вы учитесь? Тогда данные сервисы должны вам помочь. Решение уравнений онлайн позволяет быть уверенным в правильности решения вашего уравнения.
В каждом из разделов приведены различные способы для помощи вам. Правила ввода уравнений указаны на соответствующих страницах, внимательно прочитайте их и у вас должно получиться.
Вообще этот калькулятор сделан только как вспомогательный инструмент. Вы должны сами научиться решать уравнения — это пригодится Вам в жизни (поможет по жизни мыслить логически в финансовых, экономических и инженерных вопросах).
Данный сервис позволяет проверить свои решения на правильность.
Наш калькулятор поможет вам решить иррациональное уравнение или неравенство. Искусственный интеллект, который лежит в основе калькулятора, даст ответ с подробным решением и пояснениями.
Калькулятор полезен старшеклассникам при подготовке к контрольным работам и экзаменам, для проверки знаний перед ЕГЭ, родителям школьников с целью контроля решения многих задач по математике и алгебре.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!
Иррациональные уравнения
Что такое иррациональные уравнения и как их решать
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень, называются иррациональными. Когда мы имеет дело с дробной степенью, то мы лишаем себя многих математических действий для решения уравнения, поэтому иррациональные уравнения решаются по-особенному.
Иррациональные уравнения, как правило, решают при помощи возведения обеих частей уравнения в одинаковую степень. При этом возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень – это равносильное преобразование уравнения, а в четную – неравносильное. Такая разница получается из-за таких особенностей возведения в степень, таких как если возвести в чётную степень, то отрицательные значения “теряются”.
Смыслом возведения в степень обоих частей иррационального уравнения является желание избавиться от “иррациональности”. Таким образом нам нужно возвести обе части иррационального уравнения в такую степень, чтобы все дробные степени обоих частей уравнения превратилась в целые. После чего можно искать решение данного уравнения, которое будет совпадать с решениями иррационального уравнения, с тем отличием, что в случае возведения в чётную степень теряется знак и конечные решения потребуют проверки и не все подойдут.
Таким образом, основная трудность связана с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень – из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни. Поэтому обязательна проверка всех найденных корней. Проверить найденные корни чаще всего забывают те, кто решает иррациональное уравнение. Также не всегда понятно в какую именно степень нужно возводить иррациональное уравнение, чтобы избавиться от иррациональности и решить его. Наш интеллектуальный калькулятор как раз создан для того, чтобы решать иррациональное уравнение и автоматом проверить все корни, что избавит от забывчивости.
Бесплатный онлайн калькулятор иррациональных уравнений
Наш бесплатный решатель позволит решить иррациональное уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!
Читайте также:

Тайм аут отдых цитаты

Deus ex клинок протез

Список предметов майнкрафт 1 17

Схема самодельная пушка fallout 76

В каких странах есть русская мафия

Генератор иррациональных корней
Пользователи Google нашли нас сегодня, используя эти математические термины:
Java программа суммы n чисел, «целые числа» «рабочий лист» «разделить» «умножить», Решение дробных уравнений умножение и деление и дроби, магистр алгебры, пример графического уравнения, рождественские математические мелочи.
Основные рабочие листы наибольшего общего множителя, как установить Алгебратор для TI-89, решение обыкновенных дифференциальных уравнений+второго порядка, квадратный маршрут 28 в упрощенной радикальной форме, экзаменационные вопросы c cat для канадских учащихся 4 класса.
Алгебра метода подстановки 2, как быстро решить дроби, онлайн факторинг, бумага для проверки способностей к рисованию бесплатно, повседневное использование полиномиальных уравнений, лкм ти-84, рабочие листы линейных и обратных уравнений.
Как решить геометрическую последовательность, RE KS3 yr.11 прошлые экзаменационные работы, ключи ответов к предварительной алгебре\рабочему листу, найти калькулятор вершин.
Решение уравнений с несколькими переменными в Matlab, математика для чайников, алгебра 1 рабочие листы и ответы, Уроки математики для шестого класса о вычитании дробей из целых чисел.
программа Алгебра 2, помогите мне с домашним заданием по разделению математики?, калькулятор наименьшего общего знаменателя, помощь в решении задач по математике в колледже, нахождение основания чисел, когда было задано квадратное уравнение, Вероятностная викторина, 8 класс Интерактивный обзор.
Распечатать сложные математические листы для 6-го класса, бесплатные рабочие листы для начальной школы преобразования по математике, решить эту задачу по алгебре.
Бесплатные рабочие листы по алгебре, какая самая сложная задача по химии в мире., термины, подобные преалгебре, vhdl НОД.
Решить( модель ti, руководство пользователя texas tools T1-92, бесплатно, упражнения по алгебре в колледже, MATh, что значит решить по правилу квадрата, применение тригнометрии в повседневной жизни, листы десятичной развернутой формы.
Бесплатное онлайн решение квадратного решателя, бесплатные РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ по алгебре, рабочие листы по сложению и вычитанию матриц, написать уравнение по графику.
Упростите квадратные корни, Glencoe CA книга по химии ответ, рабочие листы по математике для 7 класса, факторинг дробных и отрицательных показателей, Бесплатный рабочий лист факторинга кубического уравнения.
Как преобразовать смешанное число в десятичное, умножая силы, Квадратное уравнение двух переменных + правила факторизации, Полином факторинга «британский метод».
Бесплатные целые положительные отрицательные рабочие листы, учебник по решению кубических уравнений, изучение базовой алгебры, Формула коэффициента Джини Excel.
Сдать пробный экзамен в 9 классе бесплатно, линейные уравнения + графики, решение дифференциальных уравнений+ti-89, информация о корнях математики в 6 классе, Калькулятор факторинговых рациональных выражений.
Рабочий лист свободной площади, калькулятор алгебры, решать одновременные уравнения в excel, упорядочить дроби от наименьшей к наибольшей, Рабочие листы наклона.
Кубические корни, Забытые ошибки в книге по алгебре, бесплатный калькулятор триггеров, триггерные ответы, неоднородное дифференциальное уравнение теплопроводности, решить факториальное уравнение.
Как упростить квадратный корень, если его умножить на другое число? формула для определения GCF, решатель калькулятора промежуточной алгебры, обучающие игры по алгебре, рациональный калькулятор, java решение векторных уравнений, занятия по египетской алгебре.
Рабочие листы для печати по поиску наименьшего общего кратного бесплатно, 275377, г. Учебник по алгебре Прентиса Холла 1 с ответами.
Как научиться делению дроби проще всего, идентификатор бесплатной лицензии — решение задач по алгебре, решение квадратных уравнений путем извлечения квадратного корня.
решатель алгебраических дробей, как рассчитать НОД, Завершение задачи с квадратным словом по алгебре 2 glencoe.
Рабочий лист по объективным вопросам векторного анализа, онлайн-учебник по дивизиону 5-го класса, одновременные уравнения Matlab.
Бесплатные вопросы о способностях с ответами, скачать бесплатно книгу «Бухгалтерский учет для чайников», линейные уравнения PowerPoint.
Самый простой способ получить lcm, одновременное нелинейное уравнение Matlab, бесплатные математические ответы для многочленов.
Рабочие листы по архитектуре для учащихся третьего класса, бесплатные печатные листы линейных уравнений, переводческие листы, упрощающие полиномы, 313310.
Расширение математики для 8 класса в масштабе, KS3 Наука Физические процессы Рабочая тетрадь Вопросы по чтению Весы Ответы, бесплатный калькулятор полиномов от деления длинной.
Пример построения отражения алгебры, рабочий лист радикальных дробей, алгебра 1 Холт издание, код программы для решения линейных уравнений.
Как решить график функции, числа в радикальную форму, учебное пособие для 6-х классов Алгебра и функции, как решать фазовые плоскости, как решить проблемы между профессором и студентами.
Колледж Алгебра: Рабочие листы по функциям, тетради по математике для 5 класса, учить алгебру 2, Макдугал Литтел Инк. рабочие тетради, матричный калькулятор, расчет возраста apti вопросы.
Добавить вычесть квадратный корень, бесплатные рабочие листы по алгебре для 7 класса, 6-й класс сложение и вычитание дробей бесплатные рабочие листы.
Онлайн калькулятор дробей с читами, обзоры «элементарная математика с изюминкой», преобразование десятичного измерения в смешанное число, промежуточные экзамены по алгебре 1, линейные отношения + учебник по алгебре, преобразовать число смеси в десятичное число.
Словесные задачи по промежуточной алгебре, как заниматься алгеброй, пдф на ти-89.
Экспресс -2x-4=90 как целые числа или дроби, математический генератор ответов, бесплатный т1-83 онлайн калькулятор, тест по математике онлайн кс3, таблица соотношений свободных соединений, Когда математики начали использовать +exponets?.
Правила упорядочивания дробей от наименьшей к наибольшей, десятичные дроби в смешанные числа, как найти точку пересечения наклона на графическом калькуляторе, промежуточная алгебра ti84 загрузки.
Радикальные показатели, где зародилась концепция алгебры?, программа факторных квадратичных функций, деятельность по алгебре буквенных уравнений.
Как складывать, вычитать и умножать дроби, с помощью графического калькулятора для комплексных чисел, бесплатные рабочие листы по математике для шестого класса, разделяющие десятичные дроби, бесплатные рабочие листы логарифмов с ответами.
Тилола Митчелл, ti 89 преобразовать полярную в прямоугольную, математическая линейная независимость, апплет синтетического деления.
Скачать ТИ 84, умножение и деление сил, превращение десятичных дробей в калькулятор дробей, все о простой алегбре, преобразовать смешанные дроби в десятичные, итоговое задание сложное — тригонометрия, Онлайн-решатель тригонометрических доказательств.
План урока по обучению семиклассников алгебраическим выражениям, Репетиторство по математике Poulsbo wa, оценить калькулятор алгебраических выражений онлайн, переменные и уравнения деятельности.
Precalculus holt ответы, заметки по алгебре вероятностей, 55% в виде дроби и десятичной дроби, уравнение наклона на ti 83, формулы + рабочий лист для печати, Решение полиномов второй степени с помощью Matlab.
Промежуточный выпускной экзамен по алгебре, калькулятор квадратичного коэффициента, онлайн игры на целые числа, как узнать целое число или нет +java, однородный.
Уравнения факторизации стандартный класс, БУМАГА ДЛЯ КОШКИ, графические системы уравнений, практика навыков, Алгебра Гленко 1, алгебраические уравнения для показаний температуры, программа, решающая математическую задачу, справка по математике для 9 класса онлайн, умножение нечетных дробей.
Помощник по домашним заданиям по крикету и решатель проблем, попрактиковаться в вопросах тригонометрии 11 класса, полиномиальное длинное деление/калькулятор, Графы и функции по математике в Прентис-холле.
Введение в целочисленные рабочие листы, Ти-89устранение Гаусса, комплексный решатель комплексных уравнений в ti 89.
факторинговый биномиальный калькулятор, средние века pretest 7-й класс prentice hall, калькулятор свойства квадратного корня, квадратичный, используя ti 89 для решения преобразований Лапласа, Формула НАКЛОН в Excel.
Онлайн-инструмент алгебраического факторинга, математические решения для 8 класса Алгебра 1, решение уравнений рабочих листов дроби, стандартное отклонение популяции на Ti 83 plus, примеры того, как треугольник Паскаля соединяется с исследовательской работой биномиальных показателей.
Электронная книга учета затрат бесплатно, бесплатный онлайн калькулятор квадратного корня с переменными, решатель задач по алгебре 2, алгебра чтит структуру и метод, как сделать логарифм на ti 89, дробь умножить рабочие листы.
Прентис холл алгебра 1 издание для учителя, алгебра калькулятор дробей с переменными, формула дробей и десятичных знаков, как посчитать процент возраста c#, код vb решения уравнения 3 класса, Коды ПЗУ TI-83, объединение одинаковых терминов в алгебраические выражения — 6 класс.
Упрощение выражений квадратного корня, бесплатный лист по алгебре в колледже, ответы на рабочий лист Half Life, простое предварительное алгебраическое объяснение, бесплатный решатель задач по алгебре для начинающих, интегрирование подстановочным решателем.
Холт алгебра один, Предварительный лист по алгебре Regents «геометрическая последовательность», ax+bx+c завершить квадрат, калькулятор рационализации знаменателей онлайн, тетради по алгебре для 3 класса, рабочие листы по теории пифагора, программные инструменты, используемые для поиска теоремы Кэли Гамильтона.
Бесплатный учебник по бухгалтерскому учету, правила экспоненты для печати, читы по математике, листы сложения и вычитания отрицательных чисел.
Как изучать алгебру, 1998 алгебра 2 книга онлайн, онлайн-ресурсы по математике третьего уровня, вопросы и ответы, связанные с логикой, английским языком и математикой, заданные в тесте способностей, Уравнения Баланс шагов, алгебраический способ деления и умножения дроби и десятичных дробей.
Тест с множественным выбором по математике, образец 5-го и 6-го класса, рабочие листы уравнений умножения и деления, АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ, системы уравнений алгебраически и по окружности, как решить «нелинейный» pde второго порядка, преобразование функции в вершинную форму.
Перевести проценты в алгебраическое выражение, гидромеханик ти-89 калькулятор, умножение, сложение, вычитание, смешанные числа, алгебра 2 экспоненциальные функции практические задачи и ответы, Радикальный калькулятор, помощь по средней алгебре, объединяя подобные термины, рабочие листы по алгебре.
Четвероклассник изучает конгруэнтную окружность бесплатные распечатки, северная каролина учебник математики для 6 класса, решить рациональное выражение в простейшей форме, бесплатные печатные рабочие листы с двухшаговым неравенством, пример мелочи.
Как рассчитать НОД двух чисел, факторинг с кубами, факторинговый решатель полиномов, Формула для преобразования десятичной дроби в дробь, алгебра с пиццей!@творческие публикации.
Бесплатный печатный лист по единичной ставке, Практика по алгебре в 4 классе, квадратное уравнение, решатель на ти-86.
Как избавиться от квадратного корня в конце дроби, ти-89 пдф, основы физики расширенные 8 пошаговые решения, решение трех одновременных уравнений с 3 неизвестными, решатель наклона и перехвата y, онлайн-калькулятор алгебры.
радикалы калькулятора алгебры 2, математические стихи об алгебре, freedownload оценка тестового учета, сложная таблица сложения и вычитания дробей, ti-89 решает рациональные числа.
Рабочие листы по математике для печати ged, T1 83-Квадратичная формула, вершинная форма абсолютного значения, вспомогательное ПО по алгебре, Глава 5 справочник Макдугал Литтл.
Формула пересечения наклона, объединение дробей и десятичных знаков в алгебраических уравнениях, фракция рабочих листов периметра и площади, макгроу по физике 7-е издание практические викторины, Системы линейных уравнений и неравенств с двумя и тремя переменными, шаги к множителю 2 бинома, решен вопрос о совмещении.
Калькулятор поиска правил алгебры, упростить произведения радикалов, переменные в показателях равны.
Рабочие листы элементарных алгебраических выражений, полное решение теоремы бернулли скачать бесплатно, история символов в квадрате, квадратичная формула ти-84 плюс комплексное число, калькулятор алгебры.
Как научить писать и вычислять алгебраическое выражение для заданной ситуации, используя до трех переменных, решить квадратное уравнение ти-83 плюс, линейные уравнения: рабочие листы для печати, рабочие листы дерева факторов, линейные уравнения, калькулятор у радикалов, как решить квадратное уравнение алгебраически.
лкм читер, Лекция с примером редактора программы TI 89, Математические листы для печати 3 класса, Морин Гамильтон Натик, лестничный метод GCF.
Рассчитать делитель резистора, решение неоднородных линейных уравнений с использованием матриц, рабочий лист с десятичными знаками 7 класс, распределительное свойство в алгебре с использованием дробей, kumon тренировочный лист скачать, уравнения с несколькими переменными, Рудин Глава 7.
Книги тренера SOL Прентис Холл, решать+одновременные уравнения в частных производных, распределительное свойство с использованием показателей.
Бесплатный интергер лист, квадратный корень с переменными, онлайн-калькуляторы алгебраических уравнений.
Решить нелинейную оду, что такое смешанное десятичное число, «положительные и отрицательные интергеры», Матлаб решает дифференциальное уравнение.
Основы гидромеханики (ppt), онлайн-учебник по алгебре прентис-холла 1, алгебра, как упростить выражения.
Пропорции рабочего листа решают 100 задач, ti 89 скачать флеш приложения, нахождение области определения и диапазона рациональной функции с использованием интервальной записи, ВТИ Ти-89скачать ром, дифференциальная задача на собственные значения однородная, рабочий лист наименьшего общего знаменателя, покажите мне, как решить задачу дробного слова.
вопрос по булевой алгебре, решение неравенств путем добавления или вычитания рабочего листа, ti 83 плюс решение квадратных уравнений.
Практическая шкала математической алгебры, «калькулятор показывает работу», алгебраические выражения разность, сумма, как делать алгебраические уравнения для 5 класса, упрощение сложного рационального алгебраического уравнения, квадратное уравнение в кубе, примеры перестановки и комбинации gre.
Онлайн-экзамен бесплатно на java, преобразование десятичных дробей в квадратные корни, Прентис Холл Математика Алгебра 1 Практическая тетрадь.
Как преобразовать десятичные дроби в смешанные числа, делать исследовательские проекты по математике, «расчетные тесты», добавление теста на вычитание, умножение и деление целых чисел, Онлайн калькулятор т-83, функции и парабола и практика словесных задач, научный калькулятор бесплатно онлайн алгебра процентов.
обучение алгебре, т84 онлайн калькулятор, 1,574 в дроби, «Концептуальная физика студенческого зала» отвечает, синтетическое подразделение онлайн-решателя, алгебра 8 класс бесплатно.
Как сделать кубический корень на ти, калькулятор факторинга и решения полиномиальных уравнений, онлайн калькулятор добавить проценты, вращения для печати gcse бесплатно.
Алгебра Гленко 1 книга.pdf NC Edition, «седьмой класс» математика | математика «словные задачи» график* алгебра* Техас, книги, которые помогут учащимся средних классов с алгеброй?, решение одновременных уравнений.
Математика в 7 классе стала проще, отличный калькулятор общего множителя, как решать квадратные корни с переменными, пошаговые инструкции по перечислению всех возможных рациональных нулей, бесплатный калькулятор алгебры, задачи на сложение, вычитание, умножение и деление дробей, Макгроу Хилл Как перевести десятичную дробь в проценты Математика 6 класса.
Математика в первом классе, АЛГЕБРАТОР, порядок работы рабочий лист ti 84, скачать бесплатно для Разрушителя Алгебры, преобразовать int в исполняемый файл maple, сформируйте главу 7 математической алгебры Прентиса Холла, Рабочие листы с квадратными корнями для 8 класса.
Упростите линейные уравнения, вводный блиц по алгебре 3 выпускной экзамен накопительный обзор, ти-89 pdf, игра наклон и перехват, заранее выполнить домашнее задание по алгебре, помочь синтетическому делению.
Рабочие листы с задачами по алгебре для 8-го класса для печати, упрощение показательных дробей, как умножить десятичную дробь на целое число, Рабочие листы пропорций.
экзаменационные вопросы по квадратичной математике, нелинейные однородные уравнения первого порядка, Как десятичное число превратить в смешанное, Ответы на викторину по алгебре Аддисона-Уэсли.
тест по математике с несколькими вариантами ответов 5-6 класс, лист упрощения выражений, онлайн-калькулятор одновременных уравнений с 3 переменными.
Рабочий лист деления целых чисел, тестовые бумаги кумон, десятичной до смешанной дроби.
Правила сложения квадратных корней, 84 собственных значения программ калькулятора, граф базовой алгебры, крестики-нолики уравнение.
перевод листа математики, Решатель одновременных уравнений, упростить комплексные числа, бесплатные программы для решения квадратных уравнений, бесплатная информация о формах для преобразования десятичных знаков для четвертого класса, Glencoe алгебра 1 учебное пособие для учителей издание.
Онлайн факториза, найти n-й корень с помощью TI84Plus, бесплатные печатные рабочие листы по математике для третьего класса, квадратичный решатель ти-89, предалгебраические дроби умножают переменные.
ДЕЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПРАКТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ С КЛЮЧОМ ОТВЕТА, правила сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел, Алгебраическое выражение 4 класса.
Расширенный учебник по алгебре, лист формул предварительного исчисления Ларсон 3-й, как перевести десятичную дробь в неправильную.
Продвинутая помощь по алгебре, Решите и начертите неравенства с одной переменной, числовые строки, бесплатная онлайн-помощь, шпаргалка по тригонометрии, Мир химии по Макдугалу.
Программа Ti-83 для мнимых чисел с дробями, заполнить квадратный калькулятор, Почему важен факторинг в математике.
Калькулятор специальных продуктов факторинга, PDF в ТИ-89, Промежуточные рабочие листы по алгебре бесплатно.
Преобразование смешанных чисел в десятичные, 5-3 рабочий лист Предварительная алгебра Холла, бесплатная печатная рабочая тетрадь ged, Рабочие листы уравнения 3 класса.
Преобразовать смешанное число процентов в дробь, Как решить алгебраическое уравнение в excel, клеп чит тесты, как преобразовать числа в подкоренные выражения.
Какое алгебраическое выражение содержит радикал?, решатель делящих полиномов, упростить квадратный корень из 3/5, в каком году была изобретена алгебра, как узнать квадратный корень на калькуляторе, математические головоломки, рабочий лист ks2, КАЛЬКУЛЯТОР РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ.
Правила сложения умножения деления вычитания для целых чисел, онлайн-калькулятор с графикой для печати, помощь по алгебре для 8 класса, добавление вычитания, умножения, деления дробей, рабочих листов 8 класса, программа логарифмирования для ti-83 plus, Макгроу Хилл по математике отвечает на 6-6 для проверки 6 класса, сложение/вычитание/умножение/деление многочленов практический тест.
Алгебра рисования масштаба, поисковик ответов по математике, корневая квадратичная программа, вычисление общего знаменателя, как найти остатки на ти-84, решение одноэтапного рабочего листа уравнений, Макдугал Литтел Алгебра 2 Руководство по ведению заметок.
Как списать на экзамене по алгебре в колледже, калькулятор выражений упрощения радикалов, факторинг главной оси spss, уравнения с двумя переменными, стандарт алгебры, упрощенная форма, как найти вершину и точку пересечения y на графическом калькуляторе.
Стихи с 3 шагами, чтобы сбалансировать химические уравнения, помогите решить задачу по алгебре линейный график powerpoint, математические выражения houghton mifflin в формате pdf, 5-й класс, калькулятор деления рациональных чисел.
Формула уравнения процентов, ti 89+ преобразований Лапласа, предварительные рабочие листы по формуле алгебры, АЛГЕБРИЧЕСКИЙ, Вычисление n-го корня с помощью калькулятора, калькулятор вычитания целых чисел.
Бесплатный код ключа удержания, упорядочивание листов с целыми числами, онлайн-калькуляторы, которые могут описать каждый шаг, используемый при решении уравнения, линейное уравнение, сдвиг, модуль.
Найдите простую факторизацию знаменателя, бесплатные рабочие листы для порядка работы, упростить радикалы с помощью калькулятора дробей, упрощение математики.
Учет типов вопросов о способностях, математические стихи о показателях, ключ возведения в степень на ti 83, расчеты+математическая заметка, обзор теста SAT 6-го класса, Нелинейные уравнения с двумя входами.
Упрощая и добавляя подкоренные выражения, бесплатный калькулятор коэффициента срабатывания, примеры коэффициента масштабирования, изучите базовую алгебру.
калькулятор булевой алгебры, лестничный метод, калькулятор коэффициента уравнения, рабочие листы оценивают дискриминант, печатные «листы с решетчатым умножением».
Вопросы-викторины для второклассников, www. фракционный калькулятор, задачи по алгебре для 9-х классов, научиться умножать уравнения алгебраических дробей.
Скачать эмулятор ti 84, тест на знание английского, freehelp Я могу решить задачу по алгебре.
Алгебра Упрощение путем умножения, «Математика Прентиса Холла: ключ к ответу на курс 2», алгебра для чайников, решатель рациональных выражений, рабочие листы на склоне.
Квадратная формула 3-го порядка, решать уравнения с играми с дробями, математическая формула, уравнения деления, смешанные дроби в десятичные игры, распечатываемые листы ассоциативных свойств.
Шпаргалки по статистике Ти-84, радикал 3 исчисления, начальная программа по алгебре, математические стихи, наименее распространенные проблемы с несколькими историями.
Гистограмма терминов алгебры 5-го класса показывает, как решать задачи по алгебре, Геометрические ответы Гленко, учебники по фракциям, Бесплатный решатель уравнений, решение алгебраических уравнений методом подстановки, Формуляр для 9 класса.
Распечатанный шаблон математических процентов для 8 класса, упрощение сложных рациональных показателей, символьно решающие формулы, онлайн калькулятор от меньшего к большему.
Рабочие листы пятого класса по масштабированию треугольников, балансировка игр, решение уравнений, наследственность 6 карта собака, порядок операций умножения и деления целых чисел бесплатный онлайн калькулятор.
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ДОЛЯ КАЛЬКУЛЯТОР, калькулятор деления рациональных выражений, В уравнении 2×3=6 кратно ли 2 6?, LCM-печать, решение квадратных уравнений с рабочим листом мнимых решений.
Бесплатные рабочие листы по математике для колледжей, бесплатно 11+ математических работ, МААТХ 1 КЛАСС, Рудин» глава 9″ решение, угол поворота рабочего листа, Начальный и средний язык алгебры и математический символизм Джеймс У. образцы книг зала.
Рабочие наборы по алгебре линейных и нелинейных графов, Порядок работы Математическая поэма, калькулятор наименьшего общего кратного онлайн с x и y, предварительный рабочий лист алгебры дроби «один шаг» уравнения, добавление радикальных форм.
McDougal Littell Study Guide отвечает на вопросы биологии, решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата, уравнение в кубе, Бухгалтерский учет Книга Скачать.
Рабочие листы прямого варианта, решающий многочлен 3-го порядка, как решить задачу, если известны их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, бесплатные распечатки домашних заданий по саксонской математике, скачиваемый калькулятор т1-84, калькулятор алгебраических выражений, поиск рабочих листов коэффициента масштабирования.
Решите, используя метод идеального квадрата с двумя переменными, просмотр, сложение, вычитание положительных и отрицательных чисел, листы деления десятичных дробей, рабочий лист научной нотации положительные показатели, Бесплатные печатные рабочие листы по математике для уровней от E до F.
Целочисленный рабочий лист абсолютных значений, как построить параметрические гиперболы на графическом калькуляторе, таблица линейных дробей, бесплатный решатель математической алгебры, Балансировка активности химического уравнения, набор задач по уравнениям по алгебре для 6 класса, Калькулятор решения систем линейных уравнений с 3 переменными.
Как превратить десятичные дроби в дроби, выражения дробной экспоненты, Есть ли разница между решением системы уравнений алгебраическим методом и графическим методом? Почему или почему нет?, «Математические листы» «Преобразование десятичных дробей в дроби», простые способы выучить логарифмы, формула преобразования квадратич.
Как решить рацион, добавление алгебраических уравнений с дробями, упрощение примеров квадратных корней, как поставить уравнение в третью степень.
Простые шаги для решения уравнения Бернулли, Триномиальный факторинг 8-го класса штата Нью-Йорк, квадратные уравнения в пропорциях, www.mathmaticsgames.com, калькулятор радикальных форм, десятичный учебный лист.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО +АЛГЕРБРА ФАКТОР КАЖДОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, рабочая тетрадь по математике с пиццей, Карточки «Концептуальная химия», 3-е издание, кнопка квадратного корня онлайн графический калькулятор, калькулятор упрощения подкоренных выражений.
От наименьшего до наибольшего десятичного калькулятора, бесплатные загружаемые рабочие листы с целыми числами, Калькулятор уравнений по алгебре для 4 класса, бесплатные учебники по учету затрат онлайн.
Как пользоваться калькулятором casio, упрощенный способ умножения целых чисел и квадратных корней, ОПРЕДЕЛЕНИЕ CUBOID FX, рабочий лист линейных уравнений, упражнение по алгебре для 9 класса.
Преобразователь радикальных уравнений, Саксонская математика, 3 способа показать деление, решение нелинейного дифференциального уравнения, термины для уравнения вычитания, прентис холл математика алгебра 2 ключ ответа, Упрощение кубического корня, разделенного на кубический корень.
Решение уравнений с помощью сложения и вычитания, решатель делящихся алгебраических дробей, решение дифференциальных уравнений второго порядка, когда только одно решение, алгебра с модными креативными публикациями, общий знаменатель/алгебра, Калькулятор формулы средней точки с радикалами.
3 неизвестных 3 решения уравнений, Экспонирует (математика) определение, как настроить техасский инструментальный калькулятор для вычисления квадратного уравнения, как использовать квадратный корень на калькуляторе, факторная программа на ти 84, решить задачу по алгебре онлайн.
Мне нужен хороший калькулятор алгебры, пример сложения и вычитания, шпаргалка по алгебре колледжа 150, самое главное преалгебра.
алгебраические суммы, глава 4 алгебра гленко 1, разница между выражением оценки и упрощения, упростить квадратный корень из 10.
Продемонстрируйте использование плиток алгебры для умножения биномов + PowerPoint, формула алгебры, Основы перестановок и комбинаций книги скачать бесплатно.
Четыре основных математических понятия, используемых при оценке выражения, калькулятор радикального умножения, факторизующие уравнения с квадратными корнями в них, обратная матрица, математические комбинации в повседневной жизни.
Алгоритм квадратного уравнения целочисленный корень, упростить квадратный корень или кубический корень, решение квадратных уравнений в кубе, наклон квадратичной формулы, Пример решения задачи по алгебре 1 со смешанными дробями, предварительная алгебра с пиццейской книгой D-28, как решать математические выражения.
Почему вы делите диагональ от переменной, книги по алгебре, Практический тест по математике для 8 класса, программа неполных дробей ТИ-89, математические мелочи о линейном уравнении.
бесплатные онлайн-учебники по математике, листы чтения 4-го сола, Онлайн-калькулятор буквальных уравнений, примеры переменных алгебраических выражений для начинающих.
Ребусы по математике на 8 ст, edhelper простые рабочие листы радикалов, бесплатные тесты на управленческие способности, ответы на рабочие листы по химии для учеников холла.
Как заниматься алгеброй, помощник перед домашним заданием по алгебре, серия фурье ти 89, предварительные испытания площади и объема квадратных и треугольных призм, программа скачать решатель одновременных уравнений, «Рассказ о порядке действий».
Рабочий лист перестановки и комбинации, индийские учебники по математике для пятого класса, Как умножать, используя [[ на калькуляторах, программа c, чтобы узнать сумму n чисел, используя цикл while, найти наклон 3x-6y+8.
Неразрешимая задача по алгебре, html код счетчики в м2 калькулятор, бесплатные онлайн калькуляторы алгебры 1, Электронная книга по учету затрат.
Уравновешивание химических уравнений с дробями, вычисление длины с помощью алгебры отношений, квадратичная формула для ti-89, как делать логарифмы на ти-89, ти 84 приложения по алгебре, десятичные дроби как смешанные числа, Уравнения и пропорции 9 класс.
Игры на деление целых чисел, умножение рациональных показателей, пример математических викторин для детей, Чем операции с рациональными выражениями (сложение, вычитание, умножение и деление) похожи или отличаются от операций с дробями?
Графические уравнения Lotus 123, Бесплатный печатный практический тест GED, калькулятор коэффициента квадратного уравнения, бесплатные онлайн дроби дрели, запишите каждую функцию в вершинной форме, алгебра 1 решатель задач.
Бесплатный рабочий лист алгебраического уравнения, решать простые уравнения, ответы геометрия 1 макдугал литтелл 2008 огайо, посмотреть pdf ти 89, радикалы в excel.
Правила предварительной алгебры, физика определения квадратичных отношений, понимание факторизации квадратных выражений, замедление химических реакций, рабочие листы журнала глава 10 Houghton Mifflin.
задачи по алгебре для третьеклассников, как быстро выучить алгебру, добавление листа целых чисел, образцы документов класса VIII, макдугал литтелл читы на геометрию, бесплатный печатный рабочий лист функции машины третьего класса.
Как решать квадратные корни с десятичными дробями, решать математические задачи бесплатно, обучение логарифмам Alevel, Факторинг и упрощение, программа для разработки перестановок и комбинаций в JAVA.
Ввод алгебры в словоформе, руководство по оценке 3-го класса бесплатный рабочий лист, бесплатные положительные и отрицательные числа 7 класса, Упрощение кубического корня, руки на рабочих листах уравнений, упростить радикалы с помощью онлайн-калькулятора переменных.
Бесплатные вопросы о способностях, PowerPoint по построению графика нелинейного уравнения, скачать книги о способностях, триггерная диаграмма для 3.14, Упростите sin(x + 2p), используя формулу сложения.
Бесплатные математические упражнения онлайн, вычисление подкоренных выражений калькулятор, Уроки повышения квалификации по математике в Канзас-Сити, штат Миссури.
Бесплатные рабочие листы алгебраических выражений, узнайте, как вычислить показатели степени деления бесплатно, рабочие листы дерева факторов 4-го класса, бесплатная онлайн функциональная математика, умножение и деление сил.
Рабочие листы по сложению, вычитанию, умножению и делению целых чисел, бесплатное решение задач по алгебре в колледже, книга ответов ca алгебра 2.
Как посчитать логарифм на серебре ти 84, решение с помощью калькулятора метода подстановки, + формула эллипса, логарифмические функции на TI-83 plus, скорость волейбольного мяча по алгебраической формуле, вопрос о способностях, сколько цифр в 2 suare, перестановочные листы средней школы.
Решить калькулятор методом подстановки, Покажите мне, как решать некоторые элементарные задачи по алгебре?, Рассказы третьего класса с умножением по математике, проблемы масштабного фактора, пдф ти 89, решение кода C++ нелинейной системы, пример решения 2 двучлена.
Бесплатные рабочие листы по алгебре, упорядочивать дроби и десятичные дроби от наименьшего к наибольшему, ошибка 13 размер ти-86, ти-89 упростить трехчлен, скачать бесплатно Алгебратор для ti 84, Математическая таблица операций с заказами.
Множественное алгебраическое уравнение, Алгебра Бастер против Алгебратор, ответы Прентис Холла до алгебры калифорнийского издания, вычисление подкоренных выражений, как сделать наклон линии перпендикулярным?, факторизатор комплексных чисел.
Биномиальная теория, калькулятор деления переменных и показателей, многошаговые текстовые задачи для 3-го класса, решатель динамики ti 89, простая для понимания алгебра текстовых задач, арифметические формулы.
Программа, которая разлагает трехчлены на TI-84, веселый рабочий лист уравнения в один шаг, как получить дробь из-под квадратного корня, факторинг в кубе.
документы Геда, Бесплатный калькулятор перехватов уклона, бесплатные рабочие листы простые проценты, онлайн-калькулятор рационального наименьшего общего кратного, математические последовательности онлайн-решатель задач, рабочий лист умножение и деление десятичных чисел, бесплатные электронные книги способности.
Программный код разложения на частичные дроби для ti 84, Сложение, вычитание, умножение и деление положительных и отрицательных чисел с переменными, алгебра 2 книга ответов glencoe, Рабочий лист с текстовыми задачами «Возраст алгебры» и pdf.
Алгебра 1 Мерриль, работая с уравнениями вершинной формы, бесплатные рабочие листы по перекрестному умножению, калькулятор упрощающих радикалов.
Решите, заполнив определение квадрата, java-код для преобразования экспоненциального выражения в десятичный формат, «калькулятор уравнений» ти-83, упрощение кубических корней рациональных показателей, пробный экзамен по алгебре. 9Икс, как ты делаешь уравнения и дроби, бесплатные рабочие листы по алгебраическим выражениям.
Переменные в показателях и в, java пока примеры, визуальный базовый решатель уравнений третьей степени, экзамен по математике для учащегося 6 класса, тригономические примеры.
Листы факторизации смешанные, делится на в java?, КОЛЛЕДЖНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЛИСТЫ, образцы алгебры отрицательных показателей, как обмануть mac1147, порядок работы задачи с ответом 4. выражение должно содержать дроби, целые числа и десятичные дроби.
Разница между оценкой, упрощением и решением, бесплатный онлайн калькулятор тригонометрии, упростить экспоненты каждого выражения, комбинации перестановок mathtype, скачать бесплатно химический балансировщик для ti-84 plus, алгебраическое решение для указанной переменной, бесплатные печатные рабочие листы по алгебре.
Примечания ТИ-89, ти-83 инверс ф, как вычитать дроби с отрицательными знаками, пошаговое квадратное уравнение, сложное факторинг.
Факторинг по программам ti 83, узоры из полосок математика 7 отличий, примеры вопросов по алгебре для 7 класса, Ти-89квадратичный, оценка уравнений и рабочего листа, 6 класс математика, налоги, дробные рациональные показатели и рабочий лист.
Бесплатные математические приложения калькулятор ti-84, система нелинейных уравнений в матлабе, наименьшее общее кратное трех чисел и переменной, Программа MATLAB для решения нелинейного уравнения в частных производных.
Упрощать сложные рациональные выражения, ответы в тетради по физике, частное решить для переменной в экспоненте, упростить калькулятор квадратных уравнений, рабочие листы комбинаций, пицца/алгебра.
проект бесплатной викторины Vb6, перепишите систему уравнений так, чтобы выражения, содержащие x, были равны между собой, Как решать системы алгебраических уравнений с двумя переменными matlab, ГГмейн, сложение вычитания умножающих показателей, калькулятор сложения и вычитания рациональных выражений, онлайн-учебник по алгебре 2 логарифма.
Первичный тест свободной линии, полосы и пиктограммы, рабочие листы преобразования бесплатно, Решения квадратного уравнения для прямоугольника 18 футов на 13 футов.
Приложения векторной алгебры в повседневной жизни, онлайн-решатель пропорций, мелочи по вычислению законов показателей, изменить тип файла формулы: ppt, рабочие листы ротации.
Ответы на книгу по геометрии CPM, Предварительные алгебраические уравнения, глава 4 растворы рудина, Инструкция по эксплуатации графического калькулятора T183.
Решение квадратных уравнений с использованием системы счисления, макдугал литтел, курс математики в средней школе 3, практические ответы в рабочей тетради, калькулятор деления многочленов с показателями степени, калькулятор правила Крамера с C #, Математика средней школы с ответами Pizzazz Book E.
Комплексные квадратные уравнения, Бесплатный рабочий лист по элементарной алгебре, разница двух квадратов, если у вас нечетное число, сложение, вычитание, умножение и деление дробей справедливого проекта, мой калькулятор не будет решать квадратные корни?, преобразование чисел в радикалы, glencoe математика геометрия ответы глава 10.
Решение тригонометрических функций ТИ-89, как составлять уравнения в процентах, Решение радикалов, Рабочие листы по статистике GCSE, провести предварительную алгебраическую практику 5-6.
Упростить рабочий лист выражения, программа формулы уклона, генератор факторизации квадратных уравнений, Бесплатные рабочие листы по алгебре для колледжа.
Онлайн Ti 83 Калькулятор алгебры, рабочие листы пропорций алгебры, показатель степени Проблемы с базовым калькулятором, макдугал литтел математика курс 1 авнсерс, Как решить f(x)=0 на калькуляторе, калькулятор общего знаменателя.
Умножить дробь на онлайн калькуляторе техасских инструментов, бесплатный учебник бухгалтерского учета для скачивания, онлайн-калькуляторы для вычитания и упрощения дробей.
метод калькулятора НОД, клен решает систему нелинейных уравнений, сохранить экран выключить диск, уроки дроби в 1 классе, рабочие листы по географии для 6 класса, шаги по нахождению уклона.
Как пользоваться синтетическим калькулятором Casion, калькулятор вычисления определенных интегралов, квадратные корни из фольги с мнимой переменной.
Как рассчитать мономы lcm, бесплатный онлайн-калькулятор полярных графиков, «задачи на биномиальную теорему», лист свойств целых чисел, калькулятор теоремы знаков декарта, делящие полиномы рабочие листы.
Калькулятор деления экспоненты, формулы рекурсии на ti-85, решить биономиальное направление.
Бесплатный калькулятор алгебраических радикалов, решить одну переменную, используя две переменные, неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка операторными методами.
Упрощая уравнения квадратного корня, формула времени и расстояния с двумя переменными, граф гипербола, бесплатные практические рабочие листы абсолютного неравенства, решатель сложных дробей.
Веб-сайт Маккега, шестое издание тригонометрии, пример алгебры clep, треугольник Паскаля соединяется с биномиальным показателем, повседневное использование полинома.
[pdf]триггерные листы ответов, алгебра в колледже поможет рассчитать процентную ставку, как можно показать, что уравнение является функцией?.
Гре проблемы с комбинацией перестановок, разложение рациональных показателей, Вы можете получить ti 84 на фактор?, преобразовать формулу десятичной дроби, скачать бесплатное приложение инструмент laplace texas, радикальный калькулятор.
Решение проблем с рабочими листами ks2, что такое логические переменные в excel, держать рабочие листы.
Лог2 на ти-83, калькулятор сложных трехчленов, вопрос о способностях с ответом, дискретная математика алгебра Упражнения, алгебра колледжа в контексте второго издания, бесплатные онлайн игры на общий знаменатель, множители и т.д..
Калькулятор дробных показателей, алгебра прентис холл 2 учителя издание, бесплатный вопрос об общих способностях, распределительное свойство с дробями в алгебре, двухэтапное уравнение PowerPoint, рабочий лист экспоненциальной записи пятого класса, алгебра 2: вершинная форма.
Математика +Алгебра +Программное обеспечение, листы для печати основных свойств чисел, ответы на книгу Холта алгебра 2, Добавление похожих рабочих листов терминов, онлайн TI 84 скачать, Макдугал Литтел, ответы на книгу ресурсов по геометрии.
Структура алгебры и методическая книга 1 ответы, -20t+45t=h по квадратичной формуле, ответы в рабочей тетради прентис холл, Дроби в порядке от наименьшего к наибольшему.
Как сложение и вычитание десятичных дробей связано с LCM и gcfs, 11+ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРАКТИЧЕСКИХ ЛИСТОК, репетиторская программа по алгебре 1, построить линейные функции из реальных задач.
математические уравнения для 6 класса, практика элементарной алгебры, преобразование int в biginteger java, разложение полиномов в кубе.
урок алгебры в 5 классе, решение линейного уравнения на ti83, формула наклона, рудин «глава 7» растворы, различные способы умножения, онлайн графический калькулятор рекурсивный.
Обведите рабочие листы проверки gcse, Макдугал Литтел репетитор по 3 курсу математики, добавить вычесть умножение рабочих листов.
Учим дроби с корнями, как вы упрощаете или оцениваете целые числа, бесплатный онлайн калькулятор 7 класса, решатель кубических уравнений, викторины в холле для учеников по математике алгебра 1, бесплатный калькулятор уравнений, образцы работ для VIII класса.
Алгебра Макдугала Литтелла 1 2007 ответ, Макдугал Литтел Математика 6-й класс Он-лайн тесты, упрощенный калькулятор квадратных корней, простое сравнение и порядок целых чисел, Как сделать факторинг на калькуляторе, вычисление наименьшего общего множителя.
Www.tx. glencoealgerbra 2 .com, ti- 84 plus- скачать пазл пак, номер состояния ти-89, уравновешивание атомов элемента в уравнении 6-го класса, математика для чайников, решение Голдфорда об алгебре глава 4, образец частичного продукта по математике.
викторина по биологии McDougal littell, рабочий лист целых чисел, Рабочие листы математических алгебраических выражений для 4 класса, возвести в квадрат сумму, просто возведя в квадрат каждый член суммы, руководство по решению реального и комплексного анализа от rudin скачать, как списать на плато алгебра 2 вопросы, бесплатные ответы по тригонометрии.
Решатель математических задач, решение уравнения в частных производных второго порядка, как преобразовать десятичные дроби в квадратные корни, математический калькулятор для алгебры колледжа, решение уравнений дробей на вычитание, формулы алгебры составляются ежеквартально.
Как записать смешанную дробь в виде десятичной?, веб-сайт, который позволит мне складывать дроби на калькуляторе, вычитание корней показателей, как преобразовать десятичную меру в смешанное число, онлайн-решатель уравнений, калькулятор выражения квадратного корня, факторизация алгебраических уравнений.
задачи по физике в 9 классе, Балансирующий решатель химических уравнений, используя ti 89 для обмана, рабочий лист системы двух линейных уравнений, онлайн-калькулятор с графиком для печати, бесплатные тесты по математике онлайн ks3 yr 7.
Бесплатный тест по алгебре, тесты по математике для 8 класса, факторизовать квадратичный калькулятор, Программа факторинга ТИ 83.
Формулировка задач на треугольник, извлечение квадратного корня бесплатно, правила суммирования квадратного корня, поэтапное решение квадратного корня, решать одновременные уравнения в excel, решение одночленов в квадрате.
Комбинации и перестановки матлаб, рабочая тетрадь houghton mifflin плюс рабочие листы, бесплатный онлайн калькулятор ти-83, каково наименьшее общее кратное 4 и 25, Алгебра Холта Макдугала 2, глава 2, тест, квадратный корень из 108.
Рабочие листы функций первого класса, как построить решение уравнения с двумя переменными на координатной сетке, линейно-независимые функции, калифорнийские ответы на домашние задания по математике, решать уравнения путем умножения и деления вкшт.
Книга ответов на математический писк, погонные метры, преобразованные в квадратные метры, сложение и вычитание рабочих листов по сбору подобных терминов, начальная алгебра, проблемы комбинаций перестановок.
Преобразование процентов в целые числа или смешанные десятичные дроби, Учетная единица 9практический экзамен: книга ответов, математическая область.
трехчленный калькулятор, программа графического калькулятора, которая может принимать производные, математические мелочи в геометрии, Упрощение путем умножения первого радикала.
Наименее распространенный множественный калькулятор, уравнение сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел, рабочий лист перевода квадратных уравнений.
Частное решение для переменной в листе экспоненты, клавиши калькулятора ТИ-83, ти89 лаплас, онлайн графического компьютера, как решить линейное уравнение символьным методом?, основы алгебраического мышления (теоретическая вероятность), конвертировать дроби в десятичные учебник.
Как делать дроби на t.i. 83, уравнения пятого класса, линейная первого порядка ti 89, калькулятор преобразования погонных метров, метод подстановки в алгебре, девятый класс математики «образец работ», твердые документы по математике.
Графический калькулятор онлайн указывает линию одновременно, ti 84 как я могу вводить уравнения с дробными показателями, как решить уравнение на деление в 6 классе, cpm ответы на домашние задания, рациональное выражение умножения, решение одношаговых алгебраических уравнений, матлаб решает нелинейную оду.
легкая алгебра, провести предварительную практику по алгебре и домашнюю работу 5-7, рабочие листы по математике холла, упрощение алгебраических выражений путем факторизации многочленов, 10 класс простая формула умножения биномов, ответы на математику.
рабочий лист по математике для 7 класса, как пользоваться калькулятором.com, тест на умножение и деление отрицательных чисел, рабочие листы уравнений абсолютного значения, Образец алгебры для 10 класса Северной Каролины.
Калькулятор факторинговых полиномов бесплатно, Алгебра с шикарными ответами, решение уравнений в excel.
вопросы по алгебре, решатель кврт, калькулятор квадратного корня с индексом, попрактиковаться в алгебре перед колледжем, TRIVIA MATH: рабочий лист PRE-ALGEBRA Creative Publications, Калькулятор общего решения дифференциального уравнения.
Решите вершину, онлайн учебник по алгебре, Решения домашних заданий в формате PDF для AP Calc, математическое упражнение, элементарная словесная задача GCF LCM, алгебра средней школы + склоны, glencoe. com/math/ebooks/, решить квадратное уравнение методом факторизации.
Саксонская алгебра 1/2 генератор тестов, таблица дробей 6 класс, интеграция с калькулятором замен, система линейных уравнений с 3 переменными на калькуляторе.
Комбинации и перестановки на уроках математики в средней школе, калькулятор подкоренных выражений, объединяя подобные термины с дробями, калькулятор фактор квадратных уравнений.
Обведите решение самой сложной простой геометрической задачи в мире, lcm алгебраический ppt, БЕСПЛАТНЫЕ БИНОМАЛЬНЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ, фракционные вопросы добавления и вычитания рабочего листа, вычислить ноль на ti83+, Почему важно упрощать подкоренные выражения перед сложением или вычитанием? Чем добавление радикальных выражений похоже на добавление полиномиальных выражений? Чем отличается?.
Наименее распространенные проблемы с несколькими словами, элементарный тест по математике pdf скачать для детей, таблица соотношений KS$, калькулятор переменного квадратного корня, бесплатная игра вычитание целых чисел, вычисление степени дроби, бесплатные рабочие листы и перехваты.
онлайн викторина по булевой алгебре, ответы по математике Макдугала Литтела, практическая рабочая тетрадь, курс 2, глава 4, «дивизионные листы» 3 класс, рабочая тетрадь glencoe algbera, глава 9, лист ответов, покажи мне, как сделать фактор дерева для числа 36 для пятого класса математики.
Ти-84 «перевести десятичную дробь в дробную», бесплатные задания по алгебре, калькулятор квадратичного факторинга.
+»предварительная алгебра» +репетитор, онлайн-решатель задач по алгебре в колледже, aptitude бесплатные онлайн книги, целочисленные правила сложения и вычитания, онлайн калькулятор ti 83.
Бесплатные рабочие листы по сложным процентам для учащихся средней школы, уравнения для алгебры Холта-Райнхарта и Уинстона 2 2007, решение десятичных дробей от меньшего к большему, Как посчитать кубический без калькулятора, поиск формул алгебры, Онлайн факторинговый калькулятор трехчленов.
Javascript наименьший общий делитель, используя графики для поиска комбинаций алгебра1, рабочие листы дроби 6 класс, всемирная история связи с сегодняшним днем ответ ключ, решатель эллипсов, РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ, тренировочные листы последовательностей.
Придерживайтесь кода ключа, матлаб одновременных уравнений, рабочие листы с целыми числами для 6 класса, выражения умножения и деления, примеры рационального умножения и деления, современная химия, глава 7, раздел 4, рабочие листы, Холт математика и рабочий лист.
Математика с трудной задачей, множественный выбор показателей, факторинговый трехчленный калькулятор.
Округление решает с помощью калькулятора, Ответы на уравнения баланса, рабочие листы по вычитанию двухзначных чисел, информация о методе алгебры исключения, планы уроков отрицательные показатели.
Как тяжело сдать алгебру, клеп, Факторинг игр по алгебре, преобразование с базовыми пятью частями, ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО СТИХОТВОРЕНИЯ, Уравнения баланса для начинающих, найти калькулятор уклона, алгебра 2 ответы БЕСПЛАТНЫЕ ЧИТЫ.
Экзаменационные работы 6 класс, раздел 3 ключ ответов шестого класса для алгебраических выражений, Калькулятор наибольшего общего делителя со степенями, Math Review Умножение и деление целых чисел и уравнений, онлайн-калькулятор для вычисления многочленов, Решатели факторинговых полиномов.
Извлечение совершенного корня из подкоренного выражения, рабочие листы решетчатого умножения, программа принимает первообразную, решение нелинейных одновременных уравнений, Многочлен + корни +Excell, современная биология глава 7 тест A ответы, умножение рабочих листов.
Колледж алгебры CLEP, как найти корни на калькуляторе ti, решение пределов по абсолютной величине, решение алгебраических выражений с одной переменной без рабочих листов, решить уравнения, содержащие радикальные выражения графического калькулятора.
Рабочие листы в радикалах, математические мелочи, ответы на уравнения сложения и вычитания, печатная квадратичная практика факторинга, инструкции по алгебре, каковы шаги к уравновешиванию уравнений, «разложение на неполные дроби» «онлайн калькулятор».
Решатель трехчленов, покажи мою работу по устранению гаусса, мой ти-83 сделает это за меня?, математические ребусы для 8 класса, полиномиальный упрощающий калькулятор, планы уроков про умножение показателей.
Примеры математических мелочей, Рабочие листы GCF и LCM, разложение на множители трехчленов в кубе, Парабола +поинты +фокус, радикальный решатель.
Объяснение правила Крамера в математике, Практика Геометрия Тесты 10-го класса, ответы для Макдугала Литтела, учебник по математике, курс 3, 0,416666667 в виде дроби, Упростите термин под радикальным решателем знака, важность алгебры, интегрированная математика — рациональные выражения.
Онлайн балансировщик, упрощение вычитания сложения радикалов, Как преобразовать дробь в десятичную, математические мелочи, стратегии и трюки, статистическая перестановка и комбинация, Ответы Макдугала Литтела на английском в 11 классе.
Корневой ключ на калькуляторе Texas Instruments, решить полиномиальное уравнение Matlab, кубические корни до алгебры, электронная книга учета затрат.pdf, как решить квадратичную функцию в вершинной форме, вычитание плюсов и минусов.
Как решить систему с неизвестными и известными в матлабе, графики планов уроков по неравенству, бесплатные печатные экзаменационные работы по английскому языку, умножение деление на десятки, упорядочивание десятичных знаков от наименьшего к наибольшему листам, скачать ти 84 плюс.
Ответы по алгебре 1 книга Флорида издание, вершинная форма алгебры 2, 6 класс Как умножать и делить десятичные дроби.
Программа на C++, которая вычисляла gcd с делителями, которые не делятся, алгебра 2 учитель издание ответы, выпускной экзамен перед алгеброй, скачать калькулятор ти 84.
Граф алгебры II знает вершину, вершинная форма в алгебре, пробный научный калькулятор ти-84 скачать, алгебра математическое уравнение для графиков.
Упростите и оцените калькулятор, перевод квадратных футов в футы, рабочие листы математических алгебраических формул колледжа, наклон и y-перехват интернет-активностей, Основы тригонометрии.
Предварительная алгебра с решением сложных задач, извлечение корней квадратных уравнений, бесплатный печатный рабочий лист абсолютного значения, практический лист кросс-продуктов, программа для решения нелинейных уравнений, решение уравнений с ti-83, калькулятор трехчленного множителя.
Процентные уравнения, Предтест по алгебре для 8 класса, математический решатель логарифмов, Физические науки онлайн +практический тест.
помощь с домашним заданием по алгебре, софтмат, найти уравнение гиперболы, калькулятор сложения и вычитания рациональных выражений, бесплатно 9рабочие листы и ответы по математике для th класса, доля выражения радикальной формы.
Решатель рациональных уравнений, Математический тест третьего класса Нью-Йорка, Алгебра с пиццей, онлайн алгебраический решатель, сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел ppt, Калькулятор факторинга и раскладывания полиномов.
Преобразуйте каждое десятичное измерение в смешанное число, бесплатные рабочие листы задач на дроби по математике для 6 класса, ответы на шпаргалку по алгебре glencoe 1, решение квадратных уравнений, завершающих квадрат, c вопросы о способностях +pdf.
Бесплатная алгебра CD, творческие публикации алгебраический наклон и перехват y, калькулятор перевода+квадратных метров в погонные метры, график линейных уравнений с точкой и наклоном на ti-83, скачать рабочие листы и ответы по базовой математике.
Калькулятор корней комплексных чисел, алгебраическая оценка и замена, см. pdf в ti-89.
Используя ti 89 для решения преобразований Лапласа, Алгебратор бесплатно, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АЛГЕБРОВЫЙ РАБОЧИЙ ТИСТ ДЛЯ МАТЕМАТИКИ С PIZZAZZ, бесплатные печатные учебные пособия ged, онлайн экзамен по java, как упростить алгебраические выражения в pre-alegebra.
Корни полинома третьего порядка matlab, Веселые задачи на проценты, 6 класс, математика — задачи на порядок действий.
Распечатки для первоклассников, лист формулы прыжка 7-го класса, бесплатная бухгалтерская книга, бесплатные рабочие листы умножение и деление рациональных чисел.
Шаг за шагом вычислить неопределенный интеграл;, предалгебраическое двухэтапное решение задачи уравнения, бесплатный математический решатель онлайн, какие два метода можно использовать при попытке решить квадратное уравнение, кубический символ маршрута, обучение алгебре бесплатно.
Заказ, графический калькулятор онлайн система неравенств, решить уравнение прямых на калькуляторе ТИ-83, бесплатные печатные планы уроков математики и учебники для пятиклассников, Бесплатный рабочий лист пиктограммы для 1 класса.
5-е математические рабочие листы «скачать бесплатно» «критическое мышление», решение математических неоднородных дифференциальных уравнений, решение многомерного уравнения высокого порядка, решатель радикальных факторов.
Графики линейных уравнений с двумя переменными, экзамен по тригонометрии с ответами, демонстрация алгебраических трехчленных кубов, решение уравнений с дробями и переменными предалгеброй, онлайн калькулятор абсолютных уравнений, тренировать сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей.
Калькулятор раскрывающихся скобок, обучение сочетанию подобных терминов, построение эллипсов на калькуляторе, Упрощение выражений сложение вычитание умножение и деление.
3х-6у=12, факторинг 8 лет, срыв триггерных функций, девятый класс графически отображает тестовые образцы склонов, добавить вычисление рационального выражения, рабочий лист математических графических уравнений.
эмулятор Ti 84 plus, паспорт по алгебре и геометрии помощь с домашним заданием, линейная алгебра артин, полиномиальная программа с одной переменной в c.
Ответы на триггер, преобразование процентов в дроби [уменьшено], Решите многовариантную обратную матрицу линейного уравнения, бесплатный онлайн Ti 83 Калькулятор алгебры.
Рабочая тетрадь по математике для 3 класса, алгебра 1 неравенство печатные листы, формула нахождения наибольшего общего делителя, математическая помощь/наклоны и графики.
Решите сложение и вычитание подкоренных выражений, книга решений по алгебре 1 холт, упорядочить числа от меньшего к большему, Решатель уравнения линейного дифференцирования.
Сопоставить закономерности химического поведения ряда соединений с их структурами Льюиса и молекулярными моделями, бесплатные рациональные выражения симуляции математики Java, рабочие листы по алгебре по построению графиков неравенств, текстовые задачи в реальной жизненной ситуации для уравнений с 2 переменными.
Квадратные метры в погонном метре, как факторизовать многочлен в кубе, оценить радикал 3x, x равно -4.
Алгебра процентов, рабочие листы вычитания целых чисел, добавление целых рабочих листов.
Как решать вероятности с помощью калькулятора ТИ-83, помогите решить задачи по алгебре, скачать бесплатно документы с вопросами о способностях, алгебра, max min значения формы вершины.
программное обеспечение алгебры колледжа, используя калькулятор наименьшего общего знаменателя, решение нелинейных уравнений в матлабе, решение уравнений со свойством квадратного корня.
Скачать бесплатную электронную книгу статистики, экзамен по английскому 8 класс, факторинг онлайн, бесплатное учебное пособие по математике в колледже CLEP.
«упрощение» рабочего листа по алгебре, рабочие листы по алгебре для 8 класса, гибридный метод Пауэлла для решения нулей, бесплатные рабочие листы для теста 6 класса, Эмулятор программы TI 84, калькулятор у.е. радикал, 14,5 преобразовано в дробь.
Рабочий лист логарифма 11 класс, решение уравнений с калькулятором дробей, ПРОЦЕДУРА PEMROGRAMAN CRAMER DALAM MAPLE, решение уравнения для графика линейных функций, укажите, чем ядерное уравнение, показывающее радиоактивность, отличается от обычного химического уравнения, ответы из учебника по математике.
Поиск неизвестных в стандарте excel и стандарте, линейные функции 5 класс, как ввести кубические корни в ti83, задать уравнения дживса + наклон-пересечение, оценивать рациональные выражения, тесты по математике 7,8,9 класс, ответы на вопросы по геометрии Макдугала Литтела.
Добавить рабочий лист вычитания целых чисел, преалгебра+книги+скачать, дробный план урока 5 класс, разложение полиномов на множители, бесплатные рабочие листы по соотношениям и порциям.
Рабочий лист вычитания дроби, бесплатные онлайн-ответы по алгебре 1 от Glencoe/McGraw-Hill, Свободная загрузка книг для чтения с пониманием для учащихся среднего уровня.
Формула десятичной дроби, факторинг числа в кубе, ключ к ответам на Макдугала Литтела, учебник по математике, курс 3, калькулятор факторных квадратных уравнений, калькулятор конвертации долготы в метры, задачи на умножение и деление дробей.
Таблица перестановок и комбинаций статистики и ответы, докажите, что квадрат суммы квадрата a и квадрата b, а c sqre равен 2, умноженной на сумму a в степени 4, b в степени 4 и c в степени 4, МАТЕМАТИКА + ПРАКТИЧЕСКИЙ ТЕСТ ДЛЯ GED, алгебраические формулы, онлайн-решатель дробей.
Измените проценты смешанных чисел на десятичные, порядок работы с рабочими листами, калькулятор положительных и отрицательных целых чисел с вычитанием сложения, TI-83 плюс инструкция по алгебраическим уравнениям.
Шпаргалка по геометрии Холта, глава 4, полиномиальные стихи, составить программу с использованием циклов для нахождения суммы квадратов целых чисел от 1 до 14, факторинговый калькулятор трехчленов, упростить уравнение.
Примеры вопросов по алгебре, Наименее распространенный множественный конкулятор, как научиться умножать и делить выражения с квадратными корнями, ПРАКТИЧЕСКАЯ ВИКТОРИНА ПО КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ ФИЗИКЕ, ДОБАВЛЯЯ, УМНОЖАЯ НАУЧНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, Упрощение калькулятор, Бесплатный онлайн репетитор по математике.
Сложение и вычитание, как рабочий лист дробей бесплатно, алгебра с пиццей стр. 161, завершение квадрата на ti 89, лист операций с целыми числами.
Рабочий лист по факторингу распределительной собственности, как решать задачи с графиками, функциями и моделями, предварительное исчисление Холта, графический подход бесплатно, скачать учет затрат.
Основные вопросы и ответы по алгебре, Запись десятичных дробей в виде смешанных чисел, калькулятор алгебры колледжа.
Логарифмы для чайников, квадратный корень упрощенный с переменными онлайн калькулятор, введите уравнение в вершинной форме, вычисление решателя радикальных выражений, введите ваши домашние задания, мы дадим вам ответ бесплатно, саксонская алгебра 1 ответы.
Бесплатное онлайн-обучение английскому языку и чтению для 7-го класса до алгебры, истории, естественных наук, Разделение десятичных знаков, МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ВОПРОСНИКИ 7-Й STD ИСТОРИЯ, Примеры вопросов теста вероятности для 7-го класса Онтарио.
Алгебра 1 холт, экзаменационные работы по английскому языку 11 лет, решатель возведения в квадрат радикальных выражений, бухгалтерские ответы к главе 12 рабочей тетради, издание для учителя, Добавление вычитания умножения и деления алгебры, Линейная функция кода Java, Решение разностных уравнений.
Бесплатный онлайн-калькулятор уравнений, самые сложные примеры задач на перестановки, математические мелочи для второго класса, калькулятор для упрощения радикального выражения.
Matlab нелинейные дифференциальные уравнения, онлайн-книга по математике прентис холл, общий знаменатель с переменными, «графические линейные уравнения» ppt, калькулятор решения задач, пфд к ти 89.
Фактор сумм и разностей кубов онлайн-вычисления, Веселые рабочие листы для средней школы, решение динамической системы с помощью Matlab, математические комбинации.
Алгебра Пицца! Творческие публикации 1978 г., формула математической алгебры бесплатно, квадратное уравнение интервалов абсолютного минимума, рабочий лист таблицы значений алгебры, лист формул математического куба.
Решение одновременных уравнений в excel, калькулятор факторинговых квадратичных выражений, как смешанную дробь перевести в десятичную, Холт перед алгеброй практика 5-7.
Ответы по саксонской математике в пятом классе, почему знак уравнения меняется при умножении отрицательных чисел, игры на сложение, вычитание и умножение дробей, умножение и деление отрицательных чисел на листах, решение квадратных уравнений на ТИ-89, арифметические явные и рекурсивные последовательности для печати рабочих листов.
Целочисленные рабочие листы, мульт. и рациональное выражение деления, скачать бесплатное программное обеспечение для Algebra Buster, уроки алгебры для начинающих, тригонометрия для идиотов, статистика гипербола, десятичная в простейшей форме.
Как сделать исключение Гаусса с ti 89, как складывать, вычитать, делить и умножать многочлены на листе, объемная онлайн-викторина по математике, решить задачу по алгебре, нелинейные дифференциальные уравнения Matlab.
Юго-западный рабочий лист ответы, бесплатная студенческая алгебра для чайников, гипербола граф, листы сложения, вычитания, умножения и деления дробей, Изучение Алгебры 1, нахождение корней многочлена в кубе.
Английский Образец вопросника VI класса SEBA, онлайн-калькулятор полярных графиков, Форма вершины, начальный лист предварительной алгебры, упростить квадратный корень, квадрат, решение системы уравнений в клен, бесплатные рабочие листы, включающие наборы и подмножества.
Макдугал немного рассказывает нам историю, глава 11, сек. 4, рабочий лист, графики гиперболы как сделать график, расширяющие факторинговые игры полиномов, дробь в десятичную онлайн калькулятор, квадратные корни и показатели, калькулятор нахождения наименьшего общего знаменателя, Вопрос об экзаменах по бухгалтерскому учету.
Нахождение недостающего числителя или знаменателя дробей, Прентис Холл, практика математики, онлайн калькулятор с возведением в квадрат, образец теста на знание ИТ Вопросы и ответы, операции над функциями по математике в школе.
Решение уравнений, содержащих рабочий лист дробей, факторные алгебраические выражения, показывающие работу решателя, круговой рабочий лист, математика, сложение вычитание умножение деление быстро, переменная упростить калькулятор, 8, 9, 10 математический материал решенных задач.
Калькулятор булевой алгебры, как выучить дроби, Алгебра 1 Рабочие листы 9 класс, квадратичная формула, дополняющая квадратные корни.
Фактор квадратичный в комплексный, учебник по алгебре Мичиганское издание, ЖК РАБОЧИЕ ЛИСТЫ, задачи на неравенство, мелочи о математической алгебре, сложение квадратного корня.
Как учитывать ти-83 плюс, графическое отображение кубических корней, решатель частичных дробей, алгебра Холта 1, casio калькулятор решает одновременные уравнения, Вы складываете или вычитаете сначала в алгебре, Образ калькулятора ti 83.
Упростите подкоренные выражения, используя ode45 в Matlab, когда x 0 — это диапазон чисел, репетитор по факторингу.
Решите систему уравнений — 2 вар — вычисл, сложные математические мелочи, как решать вопросы на арифметические способности пропущенные числа возрастные трюки, Учебник по предварительной алгебре Прентиса Холла — научная запись.
Алгебра факторизовать, общий вопрос о способностях, решение уравнений с десятичными знаками, уроки математики масштабного коэффициента.
Фундаментальная теория алгебры, скачать бесплатно учебник по бухгалтерскому учету для 12 класса, Флорида Алгебра 1 книга Прентис Холл Математика.
Саксонский лист ответов по математике, игры с квадратным кубиком, рабочие листы общего знаменателя, 3 метода построения графика линейного уравнения с 2 переменными, компьютерные игры по математике с уравнениями в 5 классе, калькулятор конвертирует смешанные дроби в десятичные.
Добавление рабочих листов уравнений, функции, примеры полиномиальных словесных задач, попробуйте алгебраический решатель задач.
Алгебратор, предварительные тесты на площадь и объем квадратных и треугольных призм по саксонской математике, бесплатные полиномиальные рабочие листы, как изменить стандартную форму на форму вершины.
Тест на вычитание, умножение и деление целых чисел для 7 класса, квадратные корни точный ответ бесплатный калькулятор, пройти бесплатный онлайн-тест перед алгеброй, 7 класс математика помогает масштабировать пропорции, Ти-89квадратный корень из минуса, распределительное имущество 1.7.
Решение рациональных показателей, как найти квадратный корень из х в квадратном уравнении, калькулятор наибольшего общего делителя, бесплатные рабочие наборы уравнений абсолютного значения.
образцы математических головоломок, бесплатный онлайн-решатель уравнений, квадратные футы в погонные футы калькулятор, Алгебра Холта 1, квадратный корень упростить калькулятор, бесплатная математическая практика, сатт-бумага ks3, упростить радикальные выражения.
Как пользоваться калькулятором casio, умножение и деление дробей + текстовые задачи, бесплатный рабочий лист для первичной факторизации мономов.
Дети учите себя алгебре, упрощение радикальных выражений, найти калькулятор наименьшего общего знаменателя, числовая строка, добавляющая рабочий лист вычитания десятичных знаков, ПОМОГИТЕ С ПРЕАЛГЕРБРА, рабочая тетрадь для третьего класса по математике, Графический онлайн-калькулятор гиперболы.
Как решить наклон и y-перехват, рабочий лист по физике 12-1 Холт ответы по физике, решение логов на ти-83, функция и уравнения 5 класса, «рабочие листы для извлечения квадратного корня», добавление вычитания умножить деление практики многочленов.
Предварительная алгебра, глава 5, форма 2D, шаговый калькулятор, квадратные корни степени.
Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел, решить «Одновременные уравнения» matlab, бесплатно скачать бухгалтерскую книгу в pdf.
ТИ-83 плюс делящиеся корни, бревна ти-89, бесплатный онлайн-решатель неравенства.
Биномиальный коэффициент в кубе, способы изучения алгебры, бесплатный онлайн радикальный решатель, бесплатные рабочие листы с положительными и отрицательными числами, тригнометрические формулы факторизации.
Рабочий лист решения пропорций с переменными, комплексный решатель частичных дробей с ti-89, ограничения с помощью графического калькулятора, Как выполняются операции (сложение, вычитание, умножение и деление) над рациональными выражениями s, алгебра в степени, стихи об алгебре.
Практические тесты по математике уровень 2, график линейных уравнений в powerpoint, Эмулятор графического калькулятора T183 скачать бесплатно, бесплатный целочисленный рабочий лист, формула игры калькулятор, формула сложения дробей.
кубический корень Ti83, упростить радикалы КАЛЬКУЛЯТОР, номер фактора ti 83, упрощение экспоненциальных выражений, рабочие листы по сложению целых чисел, бесплатные печатные рабочие листы по алгебре для детей.
Научите себя абстрактной алгебре, рабочие листы вероятностей для гр 8, факторизующие кубики, как решать полиномиальные задачи, найти общий знаменатель, бесплатные рабочие листы по алгебре по прямой вариации.
Преобразование смешанной дроби в десятичную, алгебра вершинных форм, пошаговая помощь по алгебре бесплатно.
Словесные задачи на процент, соотношение и основание для 6-го класса, Планы уроков по уравнениям в 5-м классе, Чтобы решить систему уравнений, вы можете заменить переменную равным значением или выражением., химические уравнения для 6 класса, Алгебра Холта 1 помощь.
Запрограммируйте свой калькулятор на факторизацию квадратных уравнений, рабочий лист алгебра простые сложные проценты, (Логические схемы по математике для 6 класса).
Пользователи Yahoo пришли на эту страницу вчера, введя эти ключевые слова:
по какому правилу вычитаются дроби как отрицательные
ответы на glencoe глава 10 урок 1
простое экспоненциальное выражение
casio калькулятор fx 83 es пример среднего
неоднородный ОДУ второго порядка
ответить на вопросы по алгебре
Калькулятор
для вычисления у-фактора
бесплатно онлайн начальная линейка алгебра ведио
больших общих множителя с переменными
алгебра 1 понятия и навыки ответы
развитие навыков по алгебре книга б решения
бесплатное ручное решение векторной механики для инженеров
запись десятичного квадратного корня в подкоренной форме
метод квадратного корня
Алгебра Меррилла 1 ответы
решить четвертый квадратный корень в excel
разность квадратов
смешанное число как десятичный калькулятор
листы сложения и вычитания целых чисел
Почему важно упрощать подкоренные выражения перед сложением или вычитанием?
полиномы деления ti-89
Бумага 4 листа 4 2004 для ментальной арифметики
год. 8 математических листов
решить путем извлечения корней
алгебра 2 книги на линии
шагов калькулятора статистики
как рассчитать полярные уравнения
Решатель математических задач
mcdougal littell Inc. рабочие листы
преобразовать уравнение в вершинную форму
бесплатный образец SAT 4 класс
учебники по учету затрат
интегральный калькулятор метод
дробный квадратный корень
GA EOCT Практический тест по алгебре
учить алгебру онлайн бесплатно
бесплатный решатель уравнения эллипса
визуальная базовая линейная функция PowerPoint
алгебра наименьшее общее кратное двух выражений
алгебраические методы
как получить ti 83 по базе 5
логарифмы для начинающих
трехчленный линейный решатель
корня многочлена третьего порядка
как складывать и вычитать дроби с помощью lcm
как решать уравнения путем извлечения корней
решетчатая сетка для печати онлайн
калькулятор преобразования десятичных дробей в дроби
экзаменационные работы по математике для 7 уровня
решить балансирующие уравнения химии онлайн бесплатно
Программное обеспечение Алгебра 2
преобразовать в экспоненту и упростить
скачать учебник по бухгалтерскому учету
расчет НОД
ti 84 кода программирования
алгебра 1 для чайников
программа дефакторизации онлайн
бесплатный онлайн графический калькулятор матрицы
бесплатно алгебра Холта 1 ответы
запись диапазона функции абсолютного значения с использованием записи интервала
посмотреть . pdf на ти-89
алгебра 1 ответы онлайн (исключение с помощью умножения)
графические рабочие листы линейных уравнений
ТИ-89 Физика
упрощение квадратных корней в порядковом наборе
калькулятор алгебры
Решение уравнений на вычитание рабочий лист
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка
бесплатных распечатки по алгебре с ответом
рабочих листа с предварительными алгебраическими упражнениями
Подготовка к экзамену по алгебре в Айове
упрощающие радикалы с переменной
задачи на деление десятичных дробей
Наименьший общий знаменатель
бесплатные ответы по алгебре онлайн
документы по английскому языку
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
многочлены деления/определение
квадратные уравнения
квадратное уравнение 3-й степени
Рабочие листы по реальным и сложным системам
В C Преобразование десятичных разрядов в целое число
крестики-нолики, чтобы решить квадратное уравнение
упорядочивание дробей от наибольшего к наименьшему листу
упростить уравнения корней
как извлекать кубический корень на калькуляторе
листы практики английского языка для 5 класса
бесплатный калькулятор упрощения алгебры
десятичный квадрат
softmath. com
формула как найти квадратный корень из дроби
алгебра 2 помощь
как сдать экзамен по алгебре в колледже
Машина наибольшего общего делителя
Программа
, которая поможет с домашним заданием по алгебре
Чем операции (сложение, вычитание, умножение и деление) с рациональными выражениями отличаются от операций с дробями
Практический тест по алгебре рациональных чисел для 8-го класса
Предварительная алгебра 6-го класса
смешанная фракция проценты
год 11 математический вопрос
решить уравнение с 2 переменными в Maple
как решить систему уравнений с TI 84
решатель уравнения с общим делителем
калькулятор подстановки алгебры
кубический корень на ti89
Рабочий лист
показателей и игры
разложение на множители кубического многочлена
Калькулятор умножения рациональных выражений
интегрировать secx
Математическое стихотворение
Алгебра Холта один ответ
извлечение квадратов
определите наименьший общий знаменатель чисел 50 и 89
выражения умножения
Macintosh Ускоренная книга по предварительной алгебре
решение уравнений с дробями путем сложения и вычитания
Курс Макдугала 3 рабочих листа
рабочие листы со свободным уклоном
калькулятор факторинга
умножение и деление дробей Рабочие листы 8 класс
факторизация алгебраических сумм
учебник по алгебре 2 ответы
Как построить график задач по алгебре
клен два уравнения
Рабочие листы по структуре предложений для 2 класса
онлайн учебник по алгебре для учеников холла
алгебра с прикольными ответами
решатель логарифмов
как сдать тест по алгебре в колледже
Прентис холл Математика Алгебра 1 онлайн задачи
Exercices corrigés de Algebra1, Hungerford, Thomas W.
9 КЛАСС График алгебры
бесплатно Решатель квадратных уравнений с радикалами
история тригонометрии
Радикальное экспоненциальное упрощение
учебника по решению базовой алгебры
куда мне обратиться за помощником по домашней работе по алгебре
экспоненциальные уроки пятого класса
Рабочие листы делимости 5-го класса
бесплатный радикальный калькулятор алгебры
как найти квадратный корень из дроби
рабочий лист с отсутствующим числом + добавить* + вычесть*
самый быстрый способ выучить математику и алгебру
умножение и деление десятичных дробей уровень 7 рабочий лист
печатные рабочие листы с алгебраическими уравнениями и таблицами
Рабочие листы по умножению деления целых чисел
SAT 2 прошлые экзаменационные работы по математике бесплатно
Тест по математике для 6 класса
специальное полярное уравнение
комбинированных математических листа для начальной школы
практические задачи на умножение и деление квадратных корней
Комплексная проверка дифференциальных уравнений второго порядка
ti 89 свертка
калькулятор вершин
преобразовать смешанную дробь в десятичную
Алгебра 2 Рабочие листы + линейные системы
Обзор математики с приложениями, шестое издание — ответы
практика сложения, вычитания, умножения, деления смешанные
рабочие листы для решения уравнений
онлайн-калькулятор формула биномиального коэффициента для расчета биномиального коэффициента для 7-го члена полиномиального разложения, когда степень бинома равна 8.
решение квадратного уравнения, заполнение квадратного листа
алгебра квадратный корень
решение свертки
онлайн калькулятор параболы
калькулятор задачки по математике для детей
Основы прикладной математики-Ответы
корень многочлена третьего порядка
перестановка дискретных математических примеров сумм и комбинаций
квадратное уравнение по двум точкам
решение рациональных выражений
квадратичные задачи со словами pdf
деление и умножение радикалов выражение факторинг
вычитание дробей из целых чисел на листах
Калькулятор
рациональных выражений.
Метод квадратного корня
онлайн калькулятор рациональных корней
ти-84 плюс серебряный эмулятор
ОБЪЕКТИВНЫХ ТИПОВ вопросов по булевой алгебре
перевести радикалы в степени ti 89
ПОКАЗАТЕЛИ ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ
алгебра год 8 вопросов
ПО для алгебры 2
Упражнения по алгебре для 9 класса
математический калькулятор на радикалах
бесплатный калькулятор обратного логарифма
временная стоимость денег образцы расчетов
простых метода решения сумм перестановок и комбинаций
ti-83 plus silver edition квадратное уравнение
алгебра 1 рабочая тетрадь Glencoe
Как использовать дистрибутивные свойства на TI 84 PLUS
Glencoe Mathematics Algebra 2, глава 5, тест
стишки и стишки по алгебре математике
калькулятор решения и заполнения квадратов
математика 9 практических листов
ответы на основные вопросы по алгебре
США школьная математика онлайн
математические рабочие листы алгебра преобразования скорости
РАСЧЁСКА КАК ТЕРМИН ПРОБЛЕМЫ ДЛЯ ПЕЧАТИ
онлайн-учебник по алгебре 2, конус
Matlab системы дифференциальных уравнений
факторизация уравнений в кубе
пример экзамена по математике в восьмом классе
скачать операцию monomils math
как найти lcm числа с помощью лестничного метода
решение систем уравнений ти-89
как решить уравнение прямых в TI-83
базовая конверсия ти-89
общий знаменатель с примерами переменных
онлайн-калькулятор с функцией таблицы
Полиномы 3-й степени по экономике
завершение квадратной практики
калькулятор степени упрощения
формула для преобразования ph в концентрацию ионов гидроксония
можете ли вы факторизовать разницу кубов на т. и. 83?
многочлен 3-го порядка
напишите выражение для упрощения с помощью группировки, возведения в степень и умножения
правила работы со сложным рациональным выражением
уравнения дополнительные листы 7 класс
T1 83 Графический онлайн-калькулятор
комплекса квадратных уравнений ответы
математические листы с десятичной дробью от наименьшей до наибольшей
алгебра 2 сумма и разность кубов практические задачи
решение логарифмов онлайн
решить полный квадрат (калькулятор)
бесплатные книги по современной алгебре
макдугал литтел геометрия ответы
печатный смешанный обзор сложения, вычитания, умножения, деления
бесплатных рабочих листа с линейным графиком
умножить и упростить радикальный решатель
СКАЧАТЬ ВОПРОСЫ О СПОСОБНОСТИ
график экспоненциальный плюс линейный
предварительная алгебра упрощает рабочий лист выражения
задачи по алгебре для 6 класса
преобразование в номер смеси
Расчет сводки
с использованием Casio
Калькулятор подкоренных выражений
Шпаргалка по математическим процентам
Начальный рабочий лист по алгебре
Matlab для одновременного выполнения уравнения
уроки алгебры в 10 классе
распечатываемые математические страницы для манекенов
квадратные дроби
как решить если знаменатель дроби
минимизировать квадратную систему уравнений
Рабочий лист 9 для 6 класса. 0005
правила дифференциального уравнения второго порядка
бесплатных онлайн-печатных рабочих листа TAKS
решатель тригонометрических тождеств
ответы по алгебре
бесплатные таблицы перевода детей в десятичные дроби
онлайн-решатель полиномов умножения
TI-89 Преобразования Лапласа
запись десятичной дроби или смешанного числа в простейшей форме
рабочая тетрадь по математике для средней школы Холта ответы
математические формулы проценты
дроби от наименьшей до наибольшей помощи
+»Решение системы нелинейных уравнений» +Excel
фракционные рабочие листы
Алгебратор
Алгебра легко объясняется
Скотт Форман математика 6 класс онлайн листы
как использовать регрессию в расчете шаг за шагом
как решать линейные дифференциальные уравнения
бесплатный лист для печати, перекрестное умножение
математические стихи
таблица покрытия с десятичной точностью до футов
типичная задача по алгебре
бесплатный онлайн полярный калькулятор распечатать
рабочий лист преобразования показателей степени в логарифмы
система уравнений, экзамен
бесплатные вопросы по тригонометрии для 11 класса
нелинейное неоднородное уравнение первого порядка
предварительное алгебраическое уравнение для распределения и GCF
как сохранить выражение в TI-89
код Matlab для решения дифференциального уравнения 2-го порядка
СТИХОТВОРЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГЕБРЫ
ответы на домашнее задание по математике
Бухгалтерский учет Glencoe, Расширенный курс скачать
практический тест Prenhall Books
Решение задач для четвертого класса бесплатное онлайн-обучение
Переменная решения для TI-84 плюс
минимизация квадратного уравнения
решатель математических задач синтетический отдел
решить неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
онлайн калькулятор трехчленного коэффициента
конечные математические задачи-радикалы
Алгебра стала проще
умножить отрицательные дроби
ти 84 лямбда
решение разностного уравнения второй степени с использованием смешанных разностей
Упрощенная математика для 7-го класса
вычитание смешанных чисел с перегруппировкой игр
выражение показателей степениhtml
график эллипс ti-89
печатных рабочих листа с абсолютными значениями
как решить подкоренное выражение
рабочих листа по математике факторинг
алгебра здоровья 2 ответы
с помощью TI-84 определить наклон и точки пересечения x и y
дробь в десятичное вычисление
преобразовать десятичную дробь в обыкновенную
Масштабные коэффициенты по математике для 7 классов
учебное пособие и практическая рабочая тетрадь курс математики для учеников холла ключ к ответам
найти квадратный корень квадратного уравнения
как решить задачу методом квадратного корня
сложить вычесть умножить разделить десятичные дроби
как извлечь десятичный квадратный корень
Кубики для 4 класса
калькулятор линейной алгебры
алгебра 2 ответы для Макдугала Литтелла
Калькулятор наименьшего общего знаменателя
ti 84 двоичное преобразование
математические формулы процентов
бесплатных рабочих листа по факторингу путем нахождения gcf
ПОКАЗАТЕЛИ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
алгебра с pizzazz. com
действия по сложению, вычитанию, умножению и делению дробей
упростить калькулятор уравнений sqrt
учебник по математике макдугал литтел урок 6 84 85 ответы 6 класс
бесплатный алгебраический решатель уравнений
решение полинома третьей степени
основы ковалентной связи кл плюс кл примеры 8 класс
БЕСПЛАТНАЯ РАБОЧАЯ ТАБЛИЦА GED
решение системы дифференциальных уравнений в Matlab
TI-83 плюс использование в уравнениях
Ричард Холовчак
вопросы и ответы по алгебре
прентис холл алгебра 1 ответы
решение полиномов с помощью калькулятора
онлайн игры с целыми числами
бесплатных рабочих листа по алгебре
Калькулятор квадратного корня
тригонометрический решатель тождеств
как вы используете калькулятор для решения задач по алгебре
рабочих листа по алгебре с использованием метода FOIL
Предварительная алгебра Холта — сложение и вычитание с разными знаменателями
Калькулятор энной силы
решить для указанной переменной
логин для домашнего задания по геометрии комплексный подход хит
умножение радикалов онлайн калькулятор
найти квадратный корень из десятичного числа
онлайн-экзаменационных работ
как решать десятичные дроби и дроби
написать дифференциальное уравнение второго порядка как два первого порядка
однородные дифференциальные уравнения
Порядок от наименьшей до наибольшей дроби
Предварительная алгебра с пиццей
бесплатно o уровень математики
Образец рабочего листа
по законам показателя степени
Практический тестовый лист с использованием десятичных знаков
решить многочлен третьего порядка y=
онлайн графический калькулятор ti 83
уравнение для боковой параболы в функциональном обозначении
TI-84 Plus программа квадратного уравнения
математические факты для шестого класса
как решить для склонов
онлайн калькулятор деления дробей пошагово домашнее задание
Решение сложных выражений онлайн
Формула
для коэффициента
деление целыми дробями
бесплатный решатель числовых последовательностей
координаты рабочего листа изображений
ti 83 программы факторинга
ответа для учебника McDougal Littell NC edition Algebra 1
Тейлор серии клен многопараметрический
можно ли упростить выражения на моем ti83 plus
комбинации Matlab
игра умножение целых чисел
как упростить радикальную форму
решение набора задач по алгебре артина
математические уравнения мелочи
основных шага по использованию графического калькулятора
программа квадратного уравнения для калькулятора ti
Рабочий лист «Умножение и деление по основанию чисел»
пропорции с несколькими переменными
Калькулятор деления
решение уравнений с дробью и скобками/два неизвестных и два уравнения
алгебра Холта 1 глава 5
решение для рабочего листа «n» дроби
Основные принципы гидромеханики. ppt
образец математических стихов
Рабочий лист
разделить дроби на дроби
В
учительских магазинов в Сан-Антонио
занимаюсь алгеброй с формулами и томами
посмотреть план урока-математика 5 класс
калькулятор упрощения члена под знаком корня
Программы химии
по ионным и ковалентным соединениям для TI-83 плюс
как решить сложное рациональное выражение
математика + мелочи
смешанное число в десятичный калькулятор
Калькулятор предалгебраических выражений
комплексное число нелинейных уравнений
тесты на умножение десятичных дробей
вершинная алгебра
онлайн факторинг
вычислитель с двумя переменными
Макдугал Литтел Алгебра 2 учебное пособие
читы когнитивного репетитора
Калькулятор уравнения факторинга
печатные графические пазлы координатной плоскости
листы вероятностей glencoe
Калькулятор факторинговых выражений
наибольший общий делитель 27 и 51
бесплатный тест по алгебре 8 класс
приложение ti-89 скачать конечные разности
Модульное возведение в степень ti84
пример вопросов по алгебре в колледже
Prentice Hall Онлайн-алгебра 2 книги
калькулятор с переменными и дробями
электронные книги по бухгалтерскому учету скачать бесплатно
рабочие листы по неравенству для 5-х классов
Калькулятор сложения и вычитания радикалов
учебники по алгебре среднего уровня
какой код доступа к учебнику по алгебре для школьников?
листы с делением десятичных дробей (весело)
как построить эллипс на графическом калькуляторе
бесплатный рабочий лист математических соотношений
алгебра 2
важность алгебраического факторинга
Как построить график системы уравнений
однородное уравнение теплопроводности, преобразование Фурье
квадратичная формула, извлечение квадратного корня
Калькулятор общего коэффициента
изменить смешанную дробь на процент
ТИ-89 +pdf
решить уравнение с радикалами в упрощенной форме
научиться составлять квадратный многочлен 3-й степени
Выражения и операции с квадратными корнями
Треугольник
паскаля на ti 84 плюс
linux линейная регрессия gnuplot
математическое квадратное выражение
как преобразовать длинные в минуты в java
полиномиальный код Java
как решать квадратные уравнения графически уравнение
Решатель алгебры колледжа
нахождение общих знаменателей для каждой группы дробей
упростить дробь с квадратным корнем
алгебра 1 понятие и навыки ответы
Рабочий лист
lcm и уменьшающих дробей
вычитание квадратных корней со степенями
Алгебра 1/Рабочая тетрадь по математике для учеников
тригономические уравнения
решение задач по алгебре
сложение и вычитание 4 цифр
Справочник по математике. бесплатно, pdf
искатель уклона и точки пересечения
преобразование десятичных дробей в смешанные числа
Как решать уравнения с показателями, возведенными в квадрат или в куб
Экзаменационные работы для 11 класса
? ответы на домашнее задание 4 практика с примером .com
Бесплатные онлайн-рабочие листы по алгебре
2-Й СЕМЕСТР АЛГ. 2 СОВОКУПНЫЙ ОБЗОР
графических вопросов для 4-х классов
СДАЧА 0024 ВЫХОДНОЙ ЭКЗАМЕН
уравнения для процента
как преобразовать смешанное число в десятичное
сложение переменных в квадрате
math power 9 западное издание стр. 247
как научить перестановкам и комбинациям
Алгебра для первого класса
как решить сложное уравнение дроби
тренировочный тест erb
ti 83 плюс уравнение с несколькими корнями техасская экспоненциальная
сложение/вычитание/умножение/деление многочленов практический тест
полиномы бесплатные электронные книги
бесплатно уменьшать кратное и делить дробь онлайн калькулятор
Калькулятор наименьшего общего знаменателя
бесплатных ответа на математические задачи
история лайнера equations
Алгебра 9 класс
Калькулятор квадратного корня
добавить вычесть
как решать гиперболические уравнения
Нью-Мексико Макдугал Литтел Алгебра 1 Практика ответы
найти lcm экспоненциальных выражений
построение графиков линейных функций t
десятичный рабочий лист легко с диаграммами
Холт онлайн книга по алгебре
Гленко Макгроу Хилл Алгебра 1
разложение полиномов в кубе
радикалы алгебры помогают
Рабочий лист по алгебре для 5 класса
решение неоднородного дифференциального уравнения с подстановкой
Примеры математических мелочей
загружаемых вопроса о способностях
план урока Факторные полиномиальные выражения
как решать дроби с переменными
прентис холл математика алгебра 1 ответы
шага построения графика в калькуляторах
Алгебра 6 класс
Рабочий лист факторизации
раствор голодфорд
Решатель алгебраического метода подстановки
бесплатные тестовые образцы из Айовы 8-й класс
КАК ВЫ РЕШАЕТЕ ДРОБЬ С +РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
предварительная алгебра с прикольными ответами
Квадратичная факторизация — правило квадратного корня — интерактивное
часа учитель отвечает на домашнее задание
Тип файла программирования Java = ppt
решения систем уравнений алгебраически сравнением
— это до алгебры 8 или 9 класса. математика
класс
Решатель уравнений неравенства
бесплатные многошаговые рабочие листы по алгебре
бесплатных рабочих листа сложения или вычитания квадратных корней
Калькулятор задач по факторной алгебре
помогите мне решить мою математику
вычислить НОД
алгебра квадратный корень
бесплатные онлайн-калькуляторы, преобразующие дроби в десятичные
упростить калькулятор показателей степени
алгебра 1 студенты находят ошибки
деление экспонентов радикалов
вопрос о способностях с ответом
алгебра, значение десятичных знаков
забытая алгебра
уравнения дробей на вычитание
калькулятор вершин путем заполнения квадрата
математический бесплатный решатель
T1-83 переменная X
перевести дробь в мм
Пользователь
вводит число и находит все простые числа в java
Лучшие программы TI 84 по алгебре
Алгебра 9 класс 1
Практика математических дробей Печать
экзамен по математике в прошлом году расширение Тейлора
факторизация уравнений в кубе
скачать вопросы по aptitude
пример вопроса по математике
СОВЕТЫ ПО РЕШЕНИЮ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ ТРИГОНОМЕТРИИ
решение уравнения в частных производных с использованием MATLAB
Учебное пособие по базовой статистике
калькуляторы алгебраических уравнений для корней
онлайн-эмулятор графики
бесплатный учебник по тригонометрии pdf
Математика в средней школе с пиццей! Книга Е
решение лимитов онлайн
лист добавления целых чисел
завершить квадратный калькулятор
в чем разница между алгебраическим выражением и алгебраическим уравнением?
ti 83 рабочих листа
примера математических молитв
графический калькулятор+Консоль
завершение квадратного калькулятора с использованием i-обозначения
квадрат алгебры
Калькулятор наименьшего общего знаменателя
бесплатная бухгалтерская книга
бесплатная алгебра для начинающих онлайн
переписать деление как калькулятор умножения
бесплатное решение математических задач
статистика бесплатные книги pdf
написание уравнений интерактивные игры
листы с переменными и выражениями 6 класс
распечатка работы репетитора по математике
печатные рабочие листы по алгебре для 7-го класса
ЖК-калькулятор дробей
калькулятор сложения дробей с переменными
бесплатная помощь с домашним заданием по логарифмам
решение уравнений кубический корень рациональные показатели степени
Марвин. Л.Биттингер Основы математики Введение в алгебру девятое издание Практические упражнения
бесплатные рабочие листы kumon скачать
как преподавать алгебру в 9 классе
Тест уровня 6 класса
решить квадратное уравнение и ограничение
ключи ответов для platoweb
Бесплатная онлайн алгебра 2 класс
Посетители Bing нашли нас вчера, используя эти ключевые фразы:
ПОШАГОВАЯ ИНСТРУКЦИЯ ПО АЛГЕБРЕ, бесплатно скачать книги по английскому языку, как решать радикальные уравнения с несколькими квадратными корнями, бесплатная книга учета затрат, уравнение второго порядка с двумя переменными matlab, факторинг алгебраических уравнений.
Калькулятор методом подстановки уравнений, техники деления и умножения, математика документы за 11 лет, Бесплатный онлайн-репетитор по математике, алгебраическое уравнение 4-го порядка.
Решение линейного уравнения с двумя переменными с дробями, калькулятор трехчленного множителя, ТРИГОНОМЕТРИЯ ВСЕ ФОРМУЛЫ ДИАГРАММА, Предварительная алгебра Биттингер Элленбоген.
Печатные листы пятого класса, коэффициенты квадратного уравнения, алгебра факторинга длинное деление.
+ Листы практики по алгебре с ответами, бесплатные рабочие листы для 4 класса, бесплатные рабочие листы по математике для 8 класса, алгебра упрощает переменные, как ввести кубический корень в калькулятор TI 83 plus.
Страницы учебника по алгебре Прентис-холла, Современные решения абстрактной алгебры, Рабочий лист Kumon отвечает, Решатель математических задач, вопросы и задачи с ответами по промежуточной алгебре, Проблемы с aptitude скачать бесплатно.
Неправильные квадратичные трехчлены, примеры математической поэмы математики, упрощение с переменными, алгебра 1 книга в техасе, корни апплета многочлена 3-го порядка, квадратные уравнения для чайников, обучение факторингу.
Алгебра мелочи, решатель алгебраических выражений, Исследовательский проект по математике, Ти-89диаграммы Венна.
Матлаб квадратичный, АЛГЕБРА СТИХИ, ТИ 84 бесплатно онлайн, выучить алгебру бесплатно, рассчитать gcd с помощью сценария оболочки.
курс алгебры 1+9 класс, как быстро выучить алгебру, как решить длинное деление, Алгебра Решатель Бесплатно, объем эллипса.
Скачать электронную книгу о способностях и головоломках, Алгебра Стихи, построение графиков линейных равенств и неравенств, рабочие листы предсказания линейного уравнения, процентные формулы, Калькулятор факторинговых трехчленов.
Алгебра Холта 1 решение, Заполнение квадратного калькулятора, как получить квадратный корень, решить многочлен с показателем степени дроби, решатель задач по алгебре в колледже.
стихи по алгебре, контрольная по математике в 5 классе, бесплатно базовая математика ppt, Бесплатный тестовый образец бухгалтерского учета, предварительно алгебраический отрицательный плюс отрицательный, бесплатное программное обеспечение ти 89, простые алгебраические выражения для распечатки.
Бесплатные печатные тесты по алгебре, преалгебра для идиотов, учителя геометрии гленко дополнение огайо, Java-код для удаления знаков препинания.
Масштабный коэффициент алгебры, как преобразовать алгебру компаса в предалгебру, как преобразовать строку во время в Java, как вставить уравнения в графический калькулятор.
Нахождение общих факторов с ti 83+, решатель уравнений алгебры колледжа, игры для обучения комплексному подходу, Алгебратор, Алгебра линейных уравнений, бесплатный рабочий лист онлайн для предварительной алгебры.
Бесплатный тест по алгебре, определить уклон на ti 89, дифференциальное уравнение второго порядка в Matlab, Печатные формы для практики 6-го класса, GA, найти НОК множества многочленов.
GRE решил работы по компьютерной архитектуре, решение квадратных уравнений по свойству квадратного корня, Excel для инженеров-химиков, Тесты онлайн-игр на пересмотр для восьмого года, матлаб «нелинейные уравнения».
Решение уравнений алгебраической дроби с несколькими переменными, абсолютное значение линейного программирования, сингапурский метод математики, бесплатный репетитор по квадратному корню, скачать калькулятор стирлинга, перестановка и комбинация основных понятий.
Пошаговые инструкции по упрощению радикальных уравнений, репетитор по математике 9 класссвободно, прошлые работы, биология, 10 класс, метры, разделительный фракционный лист, УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 9 КЛАССА ОНЛАЙН БЕСПЛАТНО.
TI-89 Изучение Лапласа, Прикладная гидромеханика в единицах СИ, 8-е издание, математические мелочи с ответами с объяснением.
дроби калькулятора рациональных выражений, математическая формула женщины = зло, бесплатный онлайн урок математики в средней школе, практические приложения по алгебре, Рабочие листы по математике для пятого класса.
Факторирование трехчленного метода Кумона, скачать бесплатно 9уроки математики в первом классе, решение уравнений в переменных дробной формы, пример алгебры колледжа, преобразование нелинейного дифференциального уравнения в линейное дифференциальное уравнение, формула уклона, Логический код lcm в java.
Женщины = злое уравнение, образцы листов для 7 класса по математике, игры с квадратными уравнениями.
Преобразование нелинейного дифференциального уравнения первого порядка в линейное дифференциальное уравнение, базовые основы алгебры для 10 класса, бесплатные тесты по математике для детей 11 лет, биномиальный ti89, бесплатно скачать книги по булевой алгебре.
Стихи с использованием геометрических слов, определитель линейной алгебры нелинейные уравнения excel, учебник по наибольшему общему делителю, интегрирование подстановочными калькуляторами.
Калькулятор дробей с квадратными корнями, «калькулятор тригонометрических функций» онлайн, бумага для режима проверки способностей, Презентация Powerpoint о линейных функциях, онлайн игры для 11 класса, Рабочие листы по уклону для 8 класса.
Диаграмма квадратного корня, написать выражение в упрощенной подкоренной форме, как преобразовать десятичное значение в кратное 5 в javascript, «средняя школа» + «теплообмен» + физика + рабочие листы, идеи для планов уроков в третьем классе с использованием файлов cookie, решение переменных в показателе степени, КАК НАЙТИ НАИВЫСШИЙ ОБЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ ДЛЯ БОЛЕЕ ТРЕХ ЗНАЧЕНИЙ.
Комбинации перестановок gre prep, решение дифференциального уравнения в матлабе, макдугал литтел современная всемирная история ответ скачать, ответы в рабочей тетради по концептуальной физике прентис холл, правильный ответ на вопрос, excel решить для показателей.
Алгебра, рабочий лист по алгебре для первокурсников, рабочие листы с уравнениями для 8 класса, квадратные корни для алгебры II, разумный тест на пригодность решенных документов.
Решать уравнения онлайн игры, ответы на рабочий лист по геометрии glencoe, бесплатная алгебра mcq pdf, учебное пособие по алгебре для средней школы 1, более простой способ разложения трехчленов на множители, бесплатная онлайн-игра для семиклассников.
Тригонометрия для чайников скачать бесплатно, как вычислить НОД двух чисел на примере, бесплатное добавление вычитания, деления и умножения для рабочих листов 5-го класса, КАК Я ДЕЛАЮ ЭЛЕМЕНТАРНУЮ АЛГЕБРУ.
Скачать рабочую тетрадь по математике для 5 класса, ЖК калькулятор, прентис холл алгебра 1 калифорния электронная книга, как найти простой корень, преобразовать десятичные дроби в дроби, бесплатный решатель алгебры.
Школьные экзаменационные работы за 3 класс бесплатно, БЕСПЛАТНО ОНЛАЙН 9МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ ДЛЯ ПЕРВОГО КЛАССА, деление дробных показателей, Масштабный факторинг, книга ответов кумон, смысл математических мелочей, скачать игры ti-84-plus.
Абстрактная алгебра Фрели, упростить выражение с помощью калькулятора корня, решатель задач по алгебре с примерами, элементарный план единицы алгебры.
Примеры математических мелочей, рабочий лист средней точки алгебры, предварительные рабочие листы по алгебре, покажите мне, как определить, является ли график перпендикулярным, Калькулятор коэффициента упрощения.
Алгреба вопросы, решить алгебру за один термин калькулятор, вопросы теста способностей скачать бесплатно, решить нелинейное уравнение C++, Сложение и вычитание отрицательных целых чисел.
Рабочие проблемы квадратный корень, формула НОД, примеры java-программ на простые числа, бесплатно 11+ п[аперсов онлайн, ЖК калькулятор дробей онлайн.
Рабочие листы по алгебре для шестого класса, Бесплатный одновременный решатель уравнений, положительные и отрицательные целые уроки, калькулятор факторов, клавиши для вычитания целых чисел.
Математический ответ на викторину, математика для онлайн-практики 7 класса, pdf конвертировать в texas ti 84.
Как решать задачи по алгебре, многочлен в excel, РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПЕЧАТИ НА LCD И GCD.
Как делать весы по математике, онлайн-решатель математических вероятностей, предварительное исчисление пятое издание + Ларсон, умножение команд калькулятора, преобразовать fractino в long в java, Бесплатные онлайн сложные математические игры, онлайн-калькулятор подкоренных выражений.
строка «калькулятор делений», Рабочие листы по математике 5-го класса по сложению и вычитанию с целыми числами, алгебраические выражения сложение вычитание умножение, печатаемые математические листы, калькулятор общего знаменателя, оценить калькулятор алгебры выражений.
«вычислить кубический корень» excel, сценарий оболочки для вычисления gcd двух чисел, задачи по алгебре для 8 класса, онлайн неявный калькулятор.
бесплатные рабочие листы по математике ks2, книги ответов кумон, заказ, бесплатные печатные точки сюжета mathematica kids.
График полярных уравнений, формула Пифагора, квадратичная формула для чайников, Применение геометрических последовательностей в повседневной жизни, Рабочие листы по математике для 5 класса бесплатно.
Бесплатные вопросы и ответы на вопросы об обучении, Кумон отвечает, наилучшая полиномиальная функция Java, вопросы перестановки комбинаций gre, наименее распространенные множественные виды деятельности, стихи, связанные с математикой.
Powerpoints Колледж Алгебра, история символа квадратного корня, преобразовывать числа в квадратный корень и кубический корень, TI-84 плюс загрузки+экономика, Мнимое радикальное умножение, шпаргалки по линейному программированию, Программа «Уравнение факторинга».
Уравнение Excel из нелинейных одновременных данных, бесплатно + тест способностей + вопросы + pdf + скачать, образцы работ для 8 класса.
Электронная книга по учету затрат, упрощенная математика, листы деления десятичных дробей\, бесплатные печатные листы по математике для 7-х классов, программа квадратного уравнения TI-84, комбинации перестановок функция матлаб, Заполнение квадратного калькулятора.
алгебра, упрощение радикальной записи, рабочие листы с отрицательными и положительными целыми числами для детей, тригонометрическая таблица, рабочий лист выражений, онлайн-калькулятор построения конических сечений.
Конверсионный лист по математике, скачать бесплатные электронные книги для семиклассников по математике и английскому языку, калькулятор решения квадратного корня, комбинации перестановок матлаб, решение уравнения с ti-89.
тригономические уравнения, формула процента, калькулятор 9 лет онлайн, найти абсолютное значение вектора в vba, Калькулятор уравнения факторинга, программа для вычисления НОД двух входных чисел. , Алгебра Холта 1кн.
Матрица Клеп, веб-сайт, посвященный алгебре Джеймса У. Бреннан, решения книги по тригонометрии, тест на управленческие способности старые бумаги, апплеты focus-directrix conics, анекдоты про алгебру в колледже.
викторина на знание java, практика веб-сайта добавить вычесть умножить целые числа, 4-й корень, калькулятор наименьших общих факторов, женщина = уравнение зла, онлайн-решатель корней для многочленов.
Разделительный биномиальный калькулятор, Порядок выполнения домашних заданий по математике в четвертом классе, квадратный корень в java.
Бесплатный+печатный+лист+перевод+слов+в+алгебраические+уравнения, Pretice Hall, курс 3, предварительный тест, калькулятор метода исключения онлайн, бесплатные математические графические читы.
Glencoe Pre-Algebra, Illinois Student Edition, стр. сложение алгебраических дробей, найти вершину ti84.
Программа для вычисления НОД двух чисел, классные мелочи про математику, вопросы разложения и факторизации алгебраических уравнений, упрощение выражений, когда для переменной нет значения, калькулятор комбинированного факторинга, алгебра 10 класс в помощь.
Печатные планы уроков в шестом классе для домашнего обучения, суммы по перестановкам и сочетаниям, решенные головоломки и способности с объяснением, Калькулятор полиномиального факторинга, бесплатный калькулятор степени и корней, рационализация знаменателей для чайников.
Решение уравнений в excel, проблемы с перестановкой и комбинацией и решения, стихи по алгебре, бесплатные рабочие листы квадратных уравнений для чайников, бесплатный тестовый лист по математике 6 класс, Викторина по математике+ks3 maths+ppt.
Комплексное рациональное выражение, математические формулы процентов, словесные задачи на сложение и вычитание целых чисел, упрощение корневых радикалов.
Упрости радикал на калькуляторе, калькулятор упрощения алгебры, сложный математический десятичный лист, алгебра для чайников +онлайн, упростить радикальное выражение на калькуляторе техасских инструментов, Издание для учителя алгебры Чарльза П. Маккега, Оцените рабочий лист алгебраического выражения.
Статистика среднего шрифта, алегра квадратный корень, калькулятор деления алгебры.
Упрощение калькулятор радикальных выражений, альг 2 книга,долчиани, решение калькулятора а+би, простая тетрадь по алгебре, surd рабочие листы вводят, Бесплатный решатель задач по алгебре, в чем разница между методами линейного уравнения и линейного неравенства?.
C программа для поиска lcm, Готовые рабочие листы по математике для 7-го класса, предалгебра, Банки вопросов о способностях, программное обеспечение для алгебры колледжа, которое решает задачу и показывает работу.
Лестница + квадратный корень, тестовые вопросы по английскому языку для университетов примеры, бесплатные вопросы о способностях и ответы, квадратичная формула, завершение квадрата и разложение на множители, Решение уравнений с калькулятором рациональных выражений.
Решенные вопросы о способностях скачать бесплатно, функция мощности наклона линии наилучшего соответствия Excel, математические мелочи для ребенка, алгебра калькулятор скачать бесплатно.
Изучите базовую алгебру, показатель квадратного корня, цена режима бесплатной алгебры, образец теста на пригодность для BBA, простые способы выучить математику 6-й класс.
Томпсон, исчисление стало проще, индийское издание, лучшая программа по алгебре, рабочие листы по алгебре для 8 класса, бесплатно 11+ статей онлайн, помощь по алгебре, бесплатный онлайн-решатель задач по алгебре в колледже.
алгебра Холта, как решать уравнения в частных производных уравнение Лапласа, как решать алгебраические дроби.
Самая сложная задача на логарифм СОВЕТЫ ДЛЯ ЛЕГКОГО УПРОЩЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ, бесплатный онлайн калькулятор балансировки формулы, Упрощение калькулятор радикальных выражений, проблема практики формулы вероятности.
Предварительно алгебра (десятичная), Рабочие листы для печати эквивалентных дробей 3-й класс, лучшая программа по алгебре, упрощение рабочего листа алгебраических уравнений, ответы уравнения квадратного корня.
Завершение Квадрата для чайников, крутые способы преподавать алгебру в 5 классе, ti 83 плюс общие делители 3, единственность решения уравнения в частных производных первого порядка, ода второго порядка матлаб, «график * уравнения» «график * функции» другой.
Воспользуйтесь графическим калькулятором бесплатно онлайн, уроки математических задач на проценты, генератор ответов по математике из фольги, жк алгебра, как решить специальный факторинг.
Программа решает символьную матрицу, нахождение другой концевой хорды параболы?, почему сложение и вычитание дробей важнее, чем умножение и деление дробей?, триггерный расчет.
Калькуляторы метода подстановки систем уравнений, могу ли я получить ответы на вопросы о способностях с помощью видео, банк вопросов о способностях, выучить алгебру онлайн бесплатно, программного обеспечения, бесплатные рабочие листы для 6-го класса, вопросы на математические способности.
БЕСПЛАТНАЯ алгебра РЕШЕНИЕ ОНЛАЙН, бесплатные рабочие листы для 4 класса, рабочие листы для 8-х классов, книги способностей для перестановок и комбинаций.
Лиал Хорнсби Макгиннис, второе издание, глава 6, форма B, Распечатки Скотта Форесмана для первого класса, исследовательский проект, бесплатные настоящие тестовые листы ks2, Упрощение уравнений.
Алгебраический расчет процентов неизвестного, перевести дробь в децимель, найти учебники по математике для планов уроков в 4 классе, область абсолютного значения, продавец программного обеспечения для алгебры, программа для поиска полиномиального решения, математический радикал.
Образцы работ по математике для VIII класса, до н.э. 5 класс решить математику онлайн, рабочий лист математической формулы недвижимости, бесплатная полезная математическая программа, базовая алгебра, Лист домашнего задания для 5 класса.
Бесплатные трудные математические листы, Бесплатные рабочие тетради по алгебре для семиклассников, трехчленный калькулятор, Бесплатная помощь с домашними заданиями по физике2, решение радикальных уравнений с несколькими квадратными корнями, тест по математике в 8 классе, + бесплатные учебники по математике, чтобы стать электриком.
Примеры подкоренных выражений перед сложением или вычитанием, образцы тестовых работ с ответами, упрощать числа до степени дробей, Ответы из школьного учебника математики.
Процентные рабочие листы с графиками, рабочий лист упрощенной дроби четвертого класса, егэ по математике для чайников, вероятностные задачи по алгебре 2, решение алгебраических уравнений с корнями, алгебра для 6 класса.
Онлайн калькулятор ti 83, задачи по алгебре для 9 класса, решение одновременных нелинейных уравнений, Ти-89ограничить домен, экзаменационные документы Appitude, «9 класс» математика онлайн «интерактивные игры» канада, концептуальная физика отвечает.
Рабочий лист по математике для индийских детей, Изучите простой метод удаления квадратного корня, предварительный алгебраический долгосрочный проект, решение дифференциального уравнения второго порядка.
Разностное алгебраическое выражение, алгебраическое уравнение, Оценка тестов KS2 SATS, Код MATLAB для получения гиперболы, бесплатно скачать учет затрат, умственная арифметика, чтобы добавить или вычесть действия.
Решатель системы алгебраических дифференциальных уравнений c++, добавление отрицательных чисел, рабочий лист процентов 5 класс, уравнение спроса и предложения алгебры колледжа, рабочие листы полиномиальных алгебраических уравнений, калькулятор делящих многочленов.
Упрощенный калькулятор радикалов, действия по решению алгебраических выражений, онлайн-таблицы умножения целых чисел, решатель рациональных дробей сложения и вычитания, калькулятор радикал.
Объективная математика, рабочий лист уклона, Бесплатное решение математических задач, решатель рациональных выражений, как посчитать квадратные метры по математике, самопрограммирование ти-84, 9матричный справочник.
Алгебра средней школы с Pizzazz, вычислить НОД двух входных чисел. \, Решатель полиномиального деления, бесплатные онлайн-графики по алгебре с искателем точек.
Рабочие листы, решающие квадратные уравнения с использованием игры с квадратными формулами, рабочие листы для седьмого класса решить x, калькулятор рациональных выражений, Помощь факторинг полиномов, учебники по математике для курса электрика, упрощение извлечения квадратного корня с помощью решателя дробей, понимание алгебры.
умножение 5 класса, преалгебра Ферстера, Пример математических викторин, вопрос и ответы теста способностей, бесплатные математические (пи) рабочие листы.
Загрузка матрицы шаблона Paf больше 1, бесплатные онлайн-бумаги, программное обеспечение алгебры колледжа, сочинение в 6 классе, математические мелочи.
Ответы на вкладыш по алгебре, 3d рабочий лист по тригонометрии, Умножение выражений, изучение функций в алгебре, бесплатные печатные рабочие листы для третьеклассников, решатель рациональных уравнений.
Применение квадратичной функции в повседневной жизни, нахождение x точек пересечения квадратных уравнений с использованием факторинга, бесплатная презентация powerpoint химия 9 класс 10 класс, комплексный вычислитель бетона, Полином 8-й степени, используемый в реальной жизни.
стандартный лист с заданиями по математике для 7 класса, Ti84 плюс решение квадратичной формулы, векторная механика для инженеров, динамика Единицы СИ скачать бесплатно, учебники по математике для 9 класса.
Викторина Вопрос и ответ для 7-го стандарта по математике, решение квадратного уравнения шаг за шагом, Обучение алгебре 1 и тригонометру/шаг за шагом, калифорнийские рабочие листы для второго класса, рабочие листы факторных деревьев.
тест по алгебре для начинающих, деление с рациональными показателями, добавление радикального калькулятора, печатные уравнения, Промежуточный учет, 12-е издание, решение, Бесплатные рабочие листы по алгебре для 7-го класса.
Онлайн полином crc, уравновешивание математических уравнений, решить многочлен третьего порядка, освободить рабочий лист с параллельными линиями.
Бесплатные онлайн-рабочие листы по научным методам, сочетание сумм, алгебра в девятом классе, математика седьмой год, проблемы с математикой.com, предварительные уравнения для 9й классники.
Вводная справка по алгебре, Бесплатная загрузка GED Math Worksheet, как решить алгебраическое выражение, начало викторины по математике в шестом классе.
Тестовые листы способностей с ответами, бесплатные бухгалтерские книги, решить линейное дифференциальное уравнение, Рабочая тетрадь для 8 класса.
Скачать бесплатно книгу Aptitude, насколько велик погонный метр, бесплатные учебники по математике для решения квадратных уравнений.
Решатель уравнений с несколькими переменными, КОЛЛЕДЖ АЛГЕБРА SOLVER, умножение квадратных корней с переменными, решение уравнений с несколькими переменными.
Целые числа — сложение дробей, бесплатные тренировочные листы для поступления в колледж по алгебре, 4 уравнения 4 неизвестных, скачать бесплатно книги по бухгалтерскому учету в формате pdf, Бесплатный учебник по тригонометрии в формате pdf.
Разностный рабочий лист, математическая таблица, Алгебра и тригонометрия, структура и методы, книга 2, руководство по решениям, онлайн 84 калькулятор.
Квадратное и линейное совместное уравнение, планы уроков по математике в 6 классе, перестановка формул gmat, квадратный корень из абсолютного значения, тригометрическая функция с проблемами.
Каков уровень точности в алгебре, преобразовать десятичную дробь в уменьшенную дробь\, как ты графические уравнения в алгебре, правила области математики, решение дробных квадратных уравнений.
Сценарий оболочки для вычисления gcd двух чисел, Английский для первого дополнительного языка, 9 класс (рабочая тетрадь с отрицаниями и вопросами), Программа для вычисления НОД двух чисел.
Программа разности площадей Ti 83, Проверка Double для ненулевого десятичного числа, упрощенная радикальная форма, Онлайн-калькулятор записи интервалов, Клен квадратный, одновременные уравнения в simulink.
Рабочий лист построения парабол, код калькулятора перестановок java, символьное решение, система нелинейных уравнений, написание рабочих листов с алгебраическими выражениями.
Тестовые документы Apptitude бесплатно, сложные математические уравнения, как решать уравнения с квадратным корнем, математические формулы степени, бесплатные загрузки вопросов и ответов \aptitude, решатель задач по алгебре.
Презентации Powerpoint по рациональным выражениям, дроби, Алгебра здоровья 2 с тригонометрическим компьютером.
Т1 83 плюс игры, бесплатная книга способностей, СПОСОБНОСТИ МАТЕМАТИКА ВОПРОСЫ, Онлайн-калькулятор Rational Expressions, дробные показатели, решающие уравнения, +окружность.
Подкоренные слова «упрощающие подкоренные выражения», найти наклон уравнения калькулятор, сложение, умножение, деление положительных и отрицательных целых чисел, Практические рабочие листы для законов показателей, рабочие листы для 8 класса, ответы параболы.
«алгебраический факторинг», форма 5 добавить ответ по математическому проекту, Промежуточные занятия по алгебре, сценарий оболочки для НОД двух чисел, ti 85 калькулятор ПЗУ, тестирование в девятом классе.
Бесплатное решение математических задач, урок «сочетание одинаковых терминов», Алгебра 2 Решатель, онлайн-калькулятор, решающий системы линейных неравенств, рабочие листы с квадратным корнем для 8-х классов, бесплатный учебник по программному обеспечению для 6-го класса.
Уравнения, бесплатный учебник по биологии онлайн стандарта 10 класса, рабочий лист кумон, бесплатные листы домашних заданий для 8-летних, ответы из книги по алгебре.
Математика в 10 классе в Онтарио, бесплатно+рабочий+перевод+слов+в+алгебраические+уравнения, KS3 ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИКИ, Использование уравнений для решения задач по математике, изменение чисел со стандартного на рабочий лист словесной формы (5-й класс), преобразовать неправильную дробь в десятичный калькулятор, изучение базовой алгебры.
Комбинация и перестановка, ти 89 читы на химию, калькулятор биномиального расширения отрицательное целое число, бесплатный рабочий лист для полиномиальных дробей, ПОМОЩЬ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПЕРВОГО КЛАССА.
Лист математических задач, частичная дифференциация для идиотов, Пошаговый решатель производных TI-83+.
Печатные листы для девятого класса, решения упражнений по анализу Рудина, мгновенно решить математический метод замены.
Факторинг рабочего листа «Разница между двумя квадратами», общий вступительный тест, бесплатные тесты на пригодность.
алгебраические уравнения TI-30x, курсы алгебры бесплатно, Алгебра 9 класс 1 акт пробные тесты, Бумага для тестирования способностей модели, алгебра.
«формула деления рациональных выражений», Биномиальный символ Matlab, промежуточный тест по алгебре, шаги к умножению и делению полиномиальных выражений, ЖК полином.
Эмулятор TI-84 Plus, экзамены за прошлый год, трехчленные калькуляторы.
Техника решения математических задач, формула лкм, найти жк в дробях, мелочи о векторе, Онлайн-графический калькулятор, сложение дробей с разными знаменателями с переменными, кумон читбук.
Решение выражения Matlab, организующее выражение, ти-84 плюс эксплуатация, картинки печенья, листы практики дивизиона для 8 класса, Рабочие листы 9 класса, бесплатные рабочие листы по математике для 8 класса.
ERB, пробный тест, КОЭФФИЦИЕНТ РАЗНИЦЫ КВАДРАТОВ упростить, упрощенный калькулятор показателей, значение пирога в математике.
Помогите решить задачи на логарифмы РЕШЕНИЕ рабочих листов радикальных выражений, калькулятор рациональных выражений, растворение радикалов, бесплатные онлайн уроки алгебры для 8-х классов.
Кубическое уравнение в Visual Basic, примеры как преобразовать смешанные проценты в дробь, система счисления дробь ti89.
Добавление рабочих листов с положительными и отрицательными целыми числами, Уроки математики по перестановке и комбинации, бесплатное скачивание книг по тестированию способностей?.
Образцы контрольных работ и ответов по математике для 10 класса, калькулятор для решения системы уравнений с 3 переменными, РЕШЕНИЕ КУБА БИНОМА ОНЛАЙН, решение квадратного уравнения для подготовки к тесту способностей, 9математические формулы х класса, ежегодные экзамены по общей математике в 11 классе, 5-й практический экзамен по математике в штате Нью-Йорк.
Бесплатные рабочие листы Excel для чайников онлайн, математика для чайников/онлайн программы, Ключ к ответу Холта Райнхарта «Современная химия».
Книга Харкорта по математике+pdf, Предварительный алгебраический тест, смешать числа, алегбра математика, задачки с часами по алгебре, шпаргалка по алгебре в колледже.
Информация: преобразовать десятичное число в целое, решить полиномио в экселе, алгебра мелочи.
Рабочие листы по математике для печати для 6-х классов, решение функций и линейных уравнений, алгебраический обратный.
Бесплатное решение задач по алгебре в колледже, эмулятор TI-84 plus, решение задач по одновременным уравнениям, алгебра я пересматриваю т. н.
Распечатанные игры дроби третьего класса, калькулятор квадратного корня алгебры колледжа, процентные уравнения, «шаг за шагом» помощь по алгебре, История США и всемирная, уровень колледжа, рабочие листы, вопросы и ответы.
Рабочие листы по математике с использованием пропорций gr 4, рабочий лист по элементарной алгебре, основная алгебра, Практика вопросов по алгебре в 10 классе.
Калькулятор корней показательных уравнений, руководство по алгебре 2, найти верный корень, бесплатные распечатанные уроки 9 класс, способность распечатать тестовую бумагу по математике, программа решает одновременные уравнения.
Изучайте алгебру бесплатно, онлайн, gnuplot линейная регрессия, примечание к уравнению вкладыша из 2, символ маршрута куба, онлайн-колледж алг. методическое пособие.
Решая одновременное уравнение, «Рабочие листы по математике для 9 класса», формула НОД, процентная задача для 9-х классов, программа для вычисления НОД двух входных чисел.
алгебра биркгоф, совершенный факторизованный полином, с языком программирования C я хочу напечатать первые десять простых чисел, как?, Начальный/средний уровень алгебры Университета Феникса с руководством пользователя ALEKS.
работа 3 класса, алгебраическое вычитание, вопросы о способностях с подробными ответами, бесплатные мелочи по тригонометрии, Элементарная математика мелочи, Квадратичные и радикальные неравенства.
Решение 3 уравнений, Студенты начального среднего алгебраического колледжа, как решить суровую проблему, образец работы за 11+математика, расчет НОД, TI-83 Онлайн кал.
Бесплатный рабочий лист по математике для 9 класса, тест Неймана распределения уравнения в частных производных, бесплатная математическая работа уровня o.
Алгебра 1 обучение, Программное обеспечение для колледжей по алгебре, математические мелочи с ответами, практический рабочий лист WISC четвертое издание, Калькулятор общих знаменателей, Формула наименьшего общего кратного.
Изучайте алгебру онлайн, NCS Learning Aria Sturdy Guide Для 12 класса, бесплатные рабочие листы по функциям комплексных переменных в формате pdf.
Полет, квадрат разные, справочная программа по алгебре.
Шаги к алгебре, печатные листы для пятого класса, решение метода исключения онлайн, бесплатные задачи по тригонометрии, бесплатный онлайн-экзамен по тестированию программного обеспечения, распечатки по математике для первого класса, пример уровня точности в алгебре.
Рабочие листы стандартной формы, «уравнение 4 класса», график функции 8-й степени, Компьютеризированная система алгебры.
Напишите задачу и решите ее, бесплатные загрузки справки по алгебре, Пример математических викторин с ответом, исследования «Алгебра 2», как вычислить длину параболы.
Простые школьные листы, полиномиальный решатель задач, учебник алгебры 2 .pdf, первичное и композитное решение от Bittinger, бесплатный учебник по алгебре, обзоры бесплатных печатных листов для теста по математике GED, калькулятор алегбры.
«четные ответы» исчисление ларсона, прошлые работы 1 и ответы по математике 11 класс, бесплатная книга по тригонометрии, квадратная формула в excel.
«ТИ-83 Плюс Ром», калькулятор преобразования десятичной дроби в знаменатель дроби, Учебники 5 класса.
Умножение квадратных корней сопряженных, наименьшее общее кратное рациональное, сложное алгебраическое выражение.
Переменные в алгебре знаменателя, комбинационная формула квадрата строки, «Как стать репетитором по математике».
Алгебра I рабочая тетрадь, шпаргалка по алгебре для студентов колледжей второе издание, работа с алгебраическими формулами, матлаб дифференциальные уравнения второго порядка, Формула квадратного уравнения TI-84, решатель рациональных выражений, правила отношения алгебры.
Колледж алгебры специальный факторинг, математические исследовательские проекты, GCE EXAM TESTскачать, алгебра 2 вероятности.
Ввод кубических корней в графический калькулятор ti-83, простой способ решения сложных рациональных выражений, GCES O УРОВЕНЬ ТЕСТА ОБРАЗЕЦ ПРАКТИКИ СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО, межевой рабочий лист, калькулятор добавления рациональных выражений.
Решайте задачи по алгебре бесплатно, АЛГЕБРАТОР, изучение алгебры онлайн и рабочий лист, бесплатный калькулятор алгебры, Бесплатная онлайн-справка по элементарной алгебре, Рабочий лист теста по чтению в Аризоне для 8-го класса с ответами, Векторная механика для инженеров Руководство по решению динамических задач, стр.
листы с упражнениями по алгебре, упрощение кубических корней в алгебре, бесплатные математические решатели для начинающих по алгебре, Print Prentice Hall перед занятиями по алгебре, нули уравнения онлайн калькулятор.
Алгебрический калькулятор загружаемый, Предварительный самопроверка по алгебре, наименьшее общее кратное 23, 28 и 33, Умножение рациональных выражений.
Рабочий лист расчета перехватов, калькулятор сумм и разностей совершенных кубов, Найдите число такое, что число 89 на 7 меньше, чем в 3 раза.., ключ ответа по алгебре для glencoe, алгебра2 начинающий, калькуляторы, факторизующие трехчлены?, решения свойства квадратного корня.
Какая самая сложная математическая задача?, бесплатный загружаемый справочник по математике для девятого класса, квадратные корни и показатели.
Руководство для идиотов по уравнению спроса и предложения, практика алгебры в старшей школе Онтарио, какое наименьшее общее кратно 3, 5 и 8, Задачи на умножение и деление, онлайн-экзаменационные документы по тестированию программного обеспечения скачать бесплатно, конвертация дробей в vb6, упростить выражение с помощью корня.
Google книги по учету затрат, математические программы решения, факторное правило и целые числа для преалгебры, калькулятор рациональных выражений и функций, Современное решение абстрактной алгебры, Ставьте математические задачи и решайте их бесплатно.
Ирвинский вступительный тест по алгебре, Бесплатная средняя алгебра, пошаговое решение домашней работы по математике, упрощенные формы выражений с показателями степени, решить биномиальное уравнение, быстро выучить алгебру, визуальный решатель основных уравнений.
Алгебра Холта 1, java извлекает цифры из объекта bigdecimal, бесплатные вопросы о способностях + pdf, бесплатный полиномиальный факторинг пошаговый калькулятор, бесплатный рабочий лист по английскому языку для среднего, добавление минусов калькулятор, книжный магазин сингапур математика mcq.
Несколько отрицательных дробей, рабочие листы по упрощению дробей четвертого класса, 20 квадратный корень из 100.
Простые способы решения текстовых задач с использованием квадратичной формулы, квадратичные «два неизвестных», При построении графика линейного неравенства, как узнать, представляет ли неравенство площадь над линией?, книги способностей для процентов и соотношений, бесплатный онлайн-калькулятор геометрии с квадратным маршрутом.
Как легко вычислить суммы квадратов маршрута, решение одновременных нелинейных уравнений в exel, вопрос о способностях + java.
Линейные уравнения — алгебраические дроби, ВЕРОЯТНОСТЬ, АЛГЕБРА 2, Алгебраические выражения для начинающих Алгебра.
Математическая викторина 8 класс, бесплатно распечатать домашнее задание для 3 класса, решатель задач по алгебре вводите пошаговое решение задачи, исследовательский проект на начальном уровне БЕСПЛАТНО.
Gcd 2-значного кода в сценарии оболочки, формулы для перевода десятичных чисел в дроби, бесплатное ПО для алгебры, бесплатное программное обеспечение для решения математических задач, полиномиальное программное обеспечение «четырех степеней», среднеквадратичное упростить.
Гре математические формулы, решение нелинейных дифференциальных уравнений в Matlab, почему одни переменные алгебры лучше других, Экзамен по уравнениям с переменными, графические эллипсы.
бесплатный онлайн-тест для 9-го класса, Используйте графический калькулятор, освоение физики ответы онлайн или читы, Бесплатные домашние задания для 8-го класса.
Работа седьмой класс бесплатно онлайн, т1-83 плюс графический калькулятор, методы решения уравнения в частных производных Matlab, калькулятор биномиального расширения, формула математики для быстрого решения вопроса для среднего уровня в Индии, 9й и 10й практические листы по математике, vb6 образцы кодов бухгалтерского учета скачать.
Справка по квадратному корню, texas TI 83 plus функция кубического корня калькулятора, упрощение радикалов с помощью факторизации, Предварительная алгебраическая практика 6-го класса, Как узнать, что уравнение имеет бесконечно много решений.
11plus экзаменационные работы для распечатки, квадратный корень переменных, печатные триггерные таблицы, ОТВЕТЫ АРАБСКОГО РАБОЧЕГО ЛИСТКА (1-й семестр), онлайн калькулятор наименьшего общего знаменателя, дробь при сложении целого числа.
Математика для чайников, 8 класс предварительная алгебра, Вопросы о способностях и решения, вычисление НОД, уравнение для процентов, Матлаб одновременные дифференциальные уравнения.
Как запрограммировать мои калькуляторы casio, решение нелинейных уравнений в матлабе, как научить наклону ученика шестого класса.
Алгебра формула для объема, программное обеспечение для перестановки и комбинирования, учет затрат для чайников, уравнение+основы+уроки, как ввести в лог базу 2 на TI.
Онлайн-бумага по математике, Дифференциальные геометрические кривые и поверхности с кленом, решить нелинейное совместное уравнение, репетиторы по алгебре в магистратуре, Мировая задача по алгебре.
Завершение калькулятора квадратов, вычисление умножения радикалов, упростить выражение, используя корневой тип в задаче для ответа, кс2 английский тестовый образец бумаги.
Бесплатный онлайн-репетитор по алгебре, шпаргалка по науке ged, перевод дроби в основание 8.
Игры по алгебре для детей 7 класса/бесплатно в интернете, ти-83 плюс решение обратной матрицы, рабочий лист вычитания целых чисел, Алгебратор с открытым исходным кодом.
ЕСТЬ ЛИ БЕСПЛАТНАЯ ПРОГРАММА, КОТОРАЯ МОЖЕТ ПОМОЧЬ МНЕ ПОНЯТЬ АЛГЕБРУ, уравнения гиперболы, решение нелинейных дифференциальных уравнений, Преобразование десятичной дроби в дробную Алгебра II Прентис Холл.
Упрощенный калькулятор показателей, решатель Квадратное диофантово уравнение, кто изобрел алгебру.
Примеры математических мелочей математики, о вопросе о приспособлении, преобразование десятичных дробей в рабочие листы дробей, Калькулятор рациональных выражений, основы физики 8-я загрузка, дроби квадратного корня.
Java-программа для поиска числовых слов с тремя буквами в предложении, помощь по алгебре для средней школы, построение гипербол, парабол методом наименьших квадратов, бесплатные рабочие листы Кумон, сложить вычесть умножить разделить целые числа, решить мою задачу по алгебре.
Калькулятор сокращения алгебраических дробей, Правила сложения вычитания деления и умножения действительных чисел, + таблица факторов.
Помогите с промежуточной алгеброй четвертое издание, упростить алгебраические уравнения, Формула скорости изменения.
Упражнение по факторной математике, рабочие листы вычитания целых чисел, Уравнения с использованием рабочих листов вычитания, геометрия макдугал литтел заметки, комбинация + перестановка.
Короткий способ расчета процентов в математике, бесплатные задачи по алгебре, формула процент числа от второго числа.
Ответы на практические страницы концептуальной физики, таблица задач по математике для 9 класса, конвертировать числа в квадратный корень и кубический корень советы и рекомендации, введя градусы минуты секунды на ти-83 конвертировать в десятичные числа, рабочий лист о квадрате многочленов, банк вопросов>6 класс, визуальный базовый пример практики.
Три неизвестных из квадратного уравнения, радикалы 10 класс уроки математики, формула нахождения наибольшего общего знаменателя, кубические корни в алгебре, «уравнения с квадратным корнем», простой способ выучить алгебру 2?, Формула для расчета соотношения в арифметике.
Бесплатный онлайн-калькулятор для нахождения касательной к точке, алгебра сложение вычитание умножение деление, математика 20 чистая бесплатно онлайн, продвинутая алгебра 2 вероятность.
Объяснение параболы и как их решить, преобразовать десятичную дробь в дробь в excel, факторинг комплексных чисел на ti 83 plus, уравнение гиперболы графика, работа с полиномами+примеры, бесплатные электронные книги по алгебре, кубический корень + базовый калькулятор.
Образец теста по построению графиков систем линейных неравенств с двумя переменными, печатные обзоры тестов GED по математике, уравнение для сложения часов на калькуляторе.
Ti 89 решить абсолютно, как поставить индекс в радикале на калькуляторе, помочь решить задачи по алгебре в колледже, рабочие листы переменных, примеры контрольных по биологии 5 класса, Математика 6 класс + распечатать рабочие листы.
распечатки по математике 7 класса, Образцы предварительных задач по алгебре, 10 год помогите с графиками числовых плоскостей парабола гипербола, рабочие листы по алгебре, Дискретная математика и ее приложения, решение упражнения к гл. № 10 — Дерево, триггерная диаграмма, как найти gcd двух чисел в сценарии оболочки.
Примечания о перестановке и комбинации, формула соотношения, бесплатно Холт Физика скачать, решение рабочего листа рационального выражения, Т-1 83 Плюс экономические уравнения, печатная алгебра 2 помощника, Практика по математике в 11 классе.
Бесплатная электронная книга, реальный и комплексный анализ, уравнения сложной алгебры, Работа в девятом классе, наибольший общий делитель 50 и 70, программа уравнение «четвертый класс», скачать бесплатно электронные книги для начальных классов по математике.
Суммируя квадраты цифр в java, промежуточная бухгалтерия скачать бесплатно, рабочие листы по математике умножение и деление, добавить 8 рабочих листов, самый простой способ расчета режима, задачи по тригонометрии для 12-классников, онлайн калькулятор символ квадратного корня.
Комплексные общие знаменатели в алгебре, онлайн-тест по математике в 7-м классе штата Нью-Йорк, бесплатные рабочие листы для построения координат, математика для чайников.
Рабочие листы девятого класса, стандартное уравнение вершинной формы, перевести шаг в метр.
Ответы на задачи по прикладной математике, сложение и вычитание целого рабочего листа, выучить девятый год математику, рабочие листы уклонов.
Операции над полиномами, программы ТИ-84 плюс+экономика, вычисление кубического корня — ТИ 83.
Рабочий лист алгебры десятичных знаков, Алгебра Решатель, Шаг за шагом рассчитать растворы смесей, листы распечатки для девятого класса, клеп алгебра, как ввести базу логов на TI.
Рабочий лист общего знаменателя, кумон тест, бесплатный онлайн калькулятор алгебры, добавление рабочего листа дробей, проверить, делится ли int на число java, алгебра Холта 1, как решить математический расчет в четвертой степени.
Являются ли способы выучить алгебру 2 быстрыми?, основы булевой алгебры.ppt, значение d в квадратных уравнениях.
Книги «Учет затрат», упрощение выражения с помощью онлайн-калькулятора свойств, сложение и вычитание подкоренных выражений бесплатные ответы.
Ответы на алгебру 2, как распознать зависимую систему при решении сложением, решатель полиномов, бесплатная книга в формате pdf по учету затрат, калькулятор подкоренных выражений, шесть математических словесных задач и решений с несколькими операциями.
Онлайн-калькулятор полиномиального факторинга, ти-89 решает комплексное число, Сколькими способами можно найти общий знаменатель.
Изучая элементарную алгебру, алгебра для начинающих, формула параболы, несовершенные квадратные корни, квадратичные уравнения.
Бесплатно скачать тестовую бумагу для экзаменов 11 класса, «как рассчитать погонные футы», бесплатно скачать книги по базовой математике gre, история математического значения «пирога», формула для получения процента от числа.
группа Ли «современная алгебра», упростить калькулятор, Комплексные числа, решающие уравнения с использованием степеней i, алгебра структура и метод курс 1, Содержание «Математика Прентиса Холла: АЛГЕБРА 1», гипербола первой степени.
Бесплатная помощь по элементарной алгебре, полином упрощения четвертого порядка, введите кубический корень на калькуляторе в ti-84.
Скотт Форман — Аддисон Уэсли Практика мастеров 6 класс рабочие листы, образцы тестов по математике для 9-х классов, Упрощая рациональные выражения с отрицательными показателями, бесплатные тестовые листы для кошек test year 7, калькулятор отрицательного коэффициента, многошаговый решатель уравнений, бесплатно скачать книги по профориентации.
Распределительное свойство умножения целых чисел, Marvin.L.Bittinger Basic Mathematics Introductory Algebra, девятое издание учебника, суммы по алгебре, Алгебра Прентиса Холла 2.
+способности +тест +образец +математика, онлайн-калькулятор неявного дифференцирования, тест на знание java с ответом, преуспеть в решении дифференциального уравнения, java конвертировать во времени, рабочие листы для математических формул и расчетов.
Тригонометрия для 7-х классов, происхождение квадратных неравенств-математика, как рассчитать стоимость операции + отстой, как извлекать кубические корни на TI, правила с квадратным корнем неравенства, бесплатная предварительная алгебра Макдугала Литтела В ТЕКСТЕ.
Смешанные номера в ti 83, ТИ 84 сумма, программное обеспечение для алгебры колледжа, обзоры.
Веб-сайт репетитора одной книги по алгебре в Висконсине, расчет погонных метров из квадратных метров, факторинг с комплексными числами.
Математические задачи для 10 класса, функция ти-89 ЛУ, Эмулятор ТИ-84.
Добавление и вычитание радикального рабочего листа, решение квадратных уравнений комбинации/перестановки третьеклассники, вычислитель полиномиального корня, Расширенные рабочие листы по алгебре, ti 89 десятичная дробь.
Расчет переменной Bash, ks3 банк общих научных вопросов, математика для чайников.
математические занятия в 7 классе, решение кинематических уравнений контура, gre перестановка и комбинация, основы линейных уравнений и неравенств зажигают заметки, Бесплатные онлайн математические игры для 3-х классов, Онтарио математические линейные уравнения 10 класс, чит линейного программирования.
Калькулятор неравенства, показывающий шаги, умножение целых чисел, Элементарные «математические стихи» для печати, скачать электронные книги aptitude бесплатно, читать pdf на ти-89, линейная прогрессия 7 класс, математический исследовательский проект.
Самое сложное уравнение, Уравнение факторинга с кубическим корнем, Рабочие листы 10 класса.
ключ к алгебре, бесплатное обучающее программное обеспечение для 12-го урока физики, дроби на пятую, бесплатная распечатка, математические формулы проценты, Объявление BigDecimal в JAVA.
Ti84 приложения линейных уравнений, показывать только 2 десятичных цифры java, задачи и ответы по алгебре, рабочий лист законов индексов, тригонометрические члены одновременных нелинейных уравнений, скачать книги по профориентации.
Таблицы преобразования квадратных футов в линейные футы, бесплатный онлайн калькулятор квадратного маршрута, рабочий лист мощности и индексов по математике, Научная практика для 9 класса, алгебра восьмой класс дроби рабочие задачи и отрицательные целые числа.
Геометрия, вычислить НОД двух входных чисел., документы модели теста управленческих способностей, бесплатные бухгалтерские книги.
Лестничный метод деления, рассчитать погонные футы, как преобразовать стандартную форму в вершинную форму, проверить, сколько раз символ встречается в строке java, решенные документы о способностях, гленко алгебра 2 ответы, алгебра с pizazz.
Алгебра упростить, Алгебра 9-го класса 1. Рабочие листы бесплатно, решение уравнений с квадратным корнем, распечатки практики GED, ответы на математические уравнения.
Интерактивные балансирующие химические уравнения, рабочие листы с дробями для четвертого класса, вопрос-ответ на банковский экзамен, общие радикалы упрощены, Чит на алгебру ti-83.
Примеры вопросов по алгебре pdf, бесплатные тренировочные листы 5-й фракции, примеры математических задач по математике, печатные решатели задач 8 класс.
Исследовательский проект по геометрии, рабочие листы по алгебре для 8 класса, пример математической головоломки викторины, великий общий застройщик основных детей.
Калькулятор для упрощения алгебраических выражений, комбинация и перестановка в программировании на Java, формулы, решение нелинейных уравнений с помощью Maple.
Символьный матлаб одновременного уравнения, репетиторство в средней школе Нью-Йорка, контрольная работа по английскому кс2 онлайн бесплатно, каковы шестые корни математики -27i, Умножение выражений с квадратным корнем, формула нахождения НОД, специальные книги по тригонометрии.
Факторный полиномиальный решатель, алгебра второе отличие, решение линейного уравнения на языке c, десятичной в восьмеричной java.
Проблемы со словом.com, десятичный квадрат, сложение и вычитание целых листов головоломок, многочлены от одной переменной, Введение в проблемы учета затрат и решения, бесплатный онлайн калькулятор алгебраических выражений, алгебра среднего уровня + учебное пособие.
Метод замещения, процент математических формул, поставьте x в уравнении ti 83, страницы практики по математике в шести классах, Рабочие листы 8 класса.
Клеппинг промежуточная алгебра, Калькулятор и рациональные выражения, как написать масштабный коэффициент.
Решение калькулятора исключения трех переменных, как написать формулу медианы в vba, пример плана урока в квадратном уравнении, решает алгебру и показывает шаги бесплатно онлайн.
Онлайн математические решатели, процентные уравнения, Бумаги с вопросами о способностях, бесплатные онлайн обучающие игры для 9 класса.
Форма с простым фактором, бесплатные рабочие листы по математике для шестиклассников, как написать уравнение по его графику, бесплатный графический онлайн-калькулятор с режимом последовательности, меткий вопрос, Электронные книги по математике для 10 класса.
Калькулятор упрощения рациональных выражений, как решить многочлен третьего порядка, как вычислить точку пересечения квадратной формулы.
Преобразовать 0,0625 по основанию 10 в основание 16, уравнения Кумона, Какой основной принцип можно использовать для упрощения многочлена? Каково значение порядка операций при упрощении полинома?, написание уравнений в Power Point.
О факторинге суммы кубов в агебре, решение сложных дробей с трехчленом, онлайн решатель, бесплатное онлайн-обучение по математике для учащихся средней школы, Ключи к ответам на высокие оценки регентов по химии стали проще.
Третье издание «Начало алгебры» Лиала / Миллера, квадратичный решатель ти-89, абсолютное значение, квадратичный, линейный,.
интерактивные сайты по алгебре для 2 класса, помощь по алгебре в колледже, книги о способностях к вероятности, самые сложные математические игры, узнать gcd в сценарии оболочки, b com итоговая годовая книга по учету затрат, самая сложная викторина по математике.
Десятичное смешанное число, решатель рациональных выражений, Бесплатные (Chemical Equation) + учебники по химии для девятого стандарта, параболическая линейная алгебра, продвинутые функции экзаменационных работ.
Окружность эллипса, рабочий лист сложения и вычитания целых чисел, рабочие листы деревьев математических факторов, рабочие листы с задачами для колледжа, два одновременных уравнения для трех неизвестных, Предварительный тест по алгебре.
Тест на знание алгебры в колледже, как получить книгу основы физики 7 издание pdf онлайн бесплатно, калькулятор уравнений, чтобы упростить шаг за шагом.
Алгебратор бесплатно, подготовка к тетради по алгебре, обучение в 9 классе онлайн, документы о размещении тестирования геометрического программного обеспечения, Алгебра 1 8 класс рабочий лист, Руководство по сдаче экзамена по алгебре CLEP® в колледже pdf, Рабочие листы соотношений и пропорций.
Исследовательский проект по математике, Листы домашних заданий для печати Для игровых школ, разделить умножить вычесть добавить сбить, пошаговые инструкции по решению уравнений и дробей, радикальный онлайн-решатель.
Дайте мне совет, как лучше успевать по интегрированной математике в 10-м классе, лист упрощения рациональных выражений, заметки по дискретной математике для начинающих, ТАБЛИЧКИ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПЕРВОГО КЛАССА.
Как термины, рабочий лист, УРАВНЕНИЯ ФИЗИКИ ПОМОГАЮТ НА ВСТУПИТЕЛЬНОМ ЭКЗАМЕНЕ, заметки о том, как решать десятичные дроби, Скачать бесплатно на языке C Вопросы и ответы, сложение и вычитание многочленов объяснение.
Бесплатный пробный тест cpt mdc, пожалуйста, научите меня, как упростить показатели степени в форме дроби, +тесты способностей для учащихся 7 класса, десятичный расчет, начинающая алгебра, тесты способностей.pdf.
Калькулятор с клавишами (+/-,% и квадратный корень), матлаб система нелинейных уравнений символическая, одновременные линейные уравнения с двумя переменными, контрольные работы 8 класс, Преобразование (десятичное (30, 8)), Как извлечь корень на TI-83, Невозможное математическое уравнение.
Бесплатные конспекты лекций и вопросы по gmat, Как рассчитать уровень pH на калькуляторе Ti 83, простой способ решить проблемы со склонностями, коэффициенты математических упражнений, GMAT APTITUDE ВОПРОСЫ.
ЭйДжеймейн, бесплатные книги учета затрат, бесплатно скачать тест на пригодность.
Бесплатные решения задач по тригонометрии, синтетическое деление многочленов (примеры задач с дробями), численное решение дифференциального уравнения второго порядка+matlab, Упростите показательные дроби, алгебра калькулятор квадратный корень из рационального квадрата, шкала графика excel «2 логарифма», скачать бесплатное руководство по тестированию способностей.
Фактор, полиномиальный в степени четырех, бесплатные рабочие листы кумон, разница между оценкой и исследованием.
Решение наклона, allinurl: *(ppt) алгебра, Колледж алгебры, 9-е издание, сайт-компаньон для студентов Lial, логарифмическая база e с калькулятором экспоненты, РЕШИТЬ ЗАДАЧУ ПО АЛГЕБРЕ, сдать бесплатные экзамены 9 класс.
ПО для загрузки Aptitude, второе дифференциальное уравнение «1/y», GRE + задачи перестановки/комбинации, электронные книги по предварительному исчислению, Комплексные корни второй формулы квадратного уравнения.
Тестовые документы для компаний-разработчиков программного обеспечения, факторы алгебраического уравнения, рациональные показатели и корни, ap 10 учебник по математике.
Значение вычитания целых чисел, Факторинг уравнений с двумя переменными, Учебник по решению линейных равенств.
Умножение отрицательных дробей в скобочном калькуляторе, решатель выражений, предварительная алгебра для 8-х классов, алгебра 2 калькулятор для решения уравнений, рабочие листы для решения уравнений, рациональное выражение неопределенный решатель проблем.
Рабочий лист упрощения радикальных выражений, Самое сложное алгебраическое уравнение, наименьшее общее кратное действительных чисел, ответы на шестое издание современной абстрактной алгебры, как сделать радикалы на калькуляторе.
Пример алгебры проблем возраста, упрощение терма под радикальным калькулятором, Целочисленные рабочие листы, Калькулятор дробей больше 2.
Пробные программы по алгебре, вопросы о структурах данных, алгебраическое уравнение 6-го порядка, программа перехвата ти-84 плюс склон, как использовать двухатомные молекулы при балансировке уравнений, Образцы стандартов онлайн-графических программ.
Легкие алгебраические задачи, онлайн-таблица по математике для 7 класса, Уроки перестановки и комбинирования, решатель уравнения квадратного корня, расчет НОД, Уравнения первого порядка (линейные и нелинейные), рабочие листы по алгебре.
Калькулятор нахождения общего знаменателя, как определить простое число с помощью цикла do while, Ms Word 2007 — Повторяющийся десятичный символ.
гиперболический cos Ti-83, алгебраические решения, сложная математическая задачка, Как определить, является ли полимониал разностью двух квадратов?, нужны ответы на домашнее задание по математике, выучить алгебру 1 бесплатно онлайн, а уровень биология химия физика английский mcqs бесплатно.
C программа для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, математические коды деятельности4год, сценарий оболочки для gcd двух чисел, кроме того, предсказание чисел, композиция функций в алгебре -5x + 4 и g(x) = 2x + 2, читы на тригонометрию, алгебра как решать логарифмы с дробями.
Примеры задач по алгебре в колледже, Решение системы уравнений модуля с двумя переменными, алгебра здоровья 1 комплексный подход-ответ.
КАКИЕ СЛОВА САМЫЕ РАСПРОСТРАНЕННЫЕ В МАТЕМАТИКЕ, рабочий лист порядка 7 класса, листы наименьшего общего знаменателя, рационализировать определение дроби квадратного корня, сравнение целых чисел и дробей, научный.
Лучший учебник математики, вычислить НОД двух чисел с помощью сценария оболочки, фактор трехчленного калькулятора, Фазовая диаграмма T-x сплава Se-Te, clep обзор алгебры колледжа, Холт Физика скачать.
Алгебра вершинной формы 2, «Сумма первых 100 целых чисел равна», выучить математику в девятом классе онлайн, бесплатная координатная плоскость рабочего листа, классные уравнения excel, калькулятор умножения и деления рациональных выражений, мелочи о математике.
Глава 23 Учет стоимости домашних заданий, деления, как алгебраические термины, используя метод регрессии для решения квадратного уравнения, мелочи об алгебре математике.
Упростить выражение умножения, сложные вопросы концептуальной физики, Образец теста на знание английского языка с ответами, тетради по математике для 6 класса, факторинг по ТИ-83+, уравнение excel из нелинейных данных, годовой процент математики.
Калькулятор упрощения рациональных выражений, шаги для решения задач по алгебре 6-го класса, печатная алгебра 2 заметки.
Квадратный корень из -1, рабочие листы по математике 8 лет, Листы по математике 3 класса.
Образец уравнения по физике 8 класс, как взять кубический корень на TI83, бесплатные рабочие листы для GCSE по физике и математике, калькулятор четырехкратного корня.
Бесплатный рабочий лист шестого класса по английскому языку, калькулятор дробей, решатель рациональных уравнений, рабочая тетрадь по алгебре «Метод Кумона», печатные математические листы на ЖК-дисплее с алгебраическими уравнениями, бесплатные онлайн тесты кс3, Экзамен GMAT + комбинация + перестановка.
Ключ ответа для продвинутой алгебры по интегрированной математике, бесплатные загрузки по элементарной алгебре, 6-я корневая функция excel, ti-89 система уравнений Гаусса-Жордана, бесплатные рабочие листы для 8-х классов, одновременные квадратичные уравнения в матлабе, неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Справочник по учету затрат бесплатная электронная книга, бесплатный решатель алгебры онлайн, ЗАДАЧИ АЛГЕБРЫ ТРЕХНОМЫ, программа для работы с таблицами по алгебре, как решать уравнения третьего класса.
вопросы на математические способности, решения по алгебре шаг за шагом бесплатно, формула дроби, javascript отрицательное целое число делает положительным, бесплатный решатель задач по алгебре, бесплатно онлайн кс2 английская версия.
Бесплатная тригонометрия ks3, Промежуточная алгебра Упростить умножение, что важно для упрощения подкоренного выражения, самая сложная математическая задача в мире, калькулятор факторинговых биномов, задачи по алгебре для выпускников.
Переменная квадратного корня в java, решатель булевой алгебры, задачи по математике в 6 классе, «Бесплатные книги по статистике», трехчленный куб картинки, решить квадратное выражение, завершающее квадрат.
Рабочие листы по алгебре для 7 класса, бинарная теорема онлайн математика бесплатно, учить алгебру онлайн, архитектура математического решателя, четверные корни решены.
Основные элементарные математические мелочи, калькулятор умножения подкоренных выражений, TI84 вычисляет кубические функции, читы кумон, онлайн-калькулятор построения графиков рациональных функций, сценарий оболочки для вычисления gcd, Вопрос о способностях Электронные книги скачать бесплатно.
Образец экзамена по алгебре, математические формулы для процента уклона, как вычитать уравнения с дробями, АЛЬГАБРА.
Поиск химической формулы, викторина по истории для 9-классника, LCM ответы уравнений, Произведение рабочих листов полномочий, Наименее общий фактор.
Бесплатное программное обеспечение для алгебры в колледже, онлайн калькулятор решить многочлен 3-й степени, упростить уравнение куба.
МНОЖЕСТВЕННЫЕ РАЗДЕЛЯЮЩИЕ ИГРЫ, ти ромс, конвертировать квадратный метр калькулятор, преобразовать 8-битный в 10-битный десятичный калькулятор, Концепции и приложения по алгебре для учителя в продаже, Основные правила MS Excel для расчета оценки.
Колледж алгебра отвечает, 12% в виде десятичной дроби, решать задачи по алгебре в колледже, план урока квадратичной функции на четвертый год, листы факторинга, решатель уравнений, множественные неизвестные, онлайн Подготовка к девятому классу.
Предалгебра Миффлина Хоутона pdf, бесплатное скачивание книги apptitude, факторизовать онлайн.
Шпаргалка по алгебре для студентов, второе издание, викторины вопросы-математика символы, попрактиковаться в начальной алгебре, Excel алгебраические уравнения.
Калькулятор квадратичного коэффициента, викторина по одновременным уравнениям, РАБОТА В 9 КЛАССЕ, пример кумон, Бесплатные распечатанные образцы тестов Bank Reasoning.
Решение уравнений с помощью рабочих листов вычитания, наибольший общий делитель, включая переменные и показатели степени, формула алгебры, решатель графов, приложение для поиска уклона, бумага для вопросов о способностях, решать математические задачи с помощью метода подстановки Веб-сайт.
Рабочий лист умножения радикалов, Уравнение формулы наклона, алгебраические функции 1 класс, «БАЗОВЫЕ УРОКИ МАТЕМАТИКИ».
Какова алгебраическая формула безубыточности, бесплатные распечатываемые математические листы онлайн, электронные бухгалтерские книги, PowerPoint слайды по тригонометрическому кругу.
Прошлые g c e O LEVEL MCQ, тригонометрия перестановок, скачать алгебраизатор математики бесплатно, бесплатные образцы математики перестановок и комбинаций GRE, y=x во 2-й степени — 11x +28 с учетом множителя.
Преобразовать десятичное время, математические формулы для журнала, примеры по математике за 11 лет, решение задач алгебры линейного программирования, комбинации/перестановки математические дети, как решить LCM для детей.
тест по алгебре Айовы, Помощь с домашним заданием по учету затрат, алгебраическое выражение для деления, предварительное исчисление исследовательских проектов, экзамен по математике в шестом классе штата Нью-Йорк, бесплатная работа в 9 классе.
Взяв примеры уравнений LCM, тетради по математике за 7 класс, бесплатные рабочие листы по математике для девятого класса + достижения.
ДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ, алгебра для шестиклассников, бесплатные печатные листы по математике для взрослых.
Математическая викторина бесплатно для малайцев, листы с корнями, викторина, оценка алгебраических выражений, Метод квадратного корня, задание по математике для 5 класса, математика перестановок и комбинаций.
Любой калькулятор вопросов алегбры, Matlab интегрирует нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, однозначная алгебра онлайн «бесплатно», уравнения Алегра.
Нахождение произведения, задачи и разницы по математике, баскетбол формула параболы, как превратить экспоненту в рациональное выражение, pdf рабочие листы по математике для 9 класса, Калькулятор одновременных уравнений онлайн.
Простые способы расчета, Решите вертикальную асимптоту логарифмической функции, расчет погонных метров, помогите с дробями сложить вычесть умножить разделить решатель графа уравнения алгебры.
Решать задачи по алгебре, войти на ти 89, задачи 5-классника на деление (решение), линейная алгебра для начинающих, примеры математических мелочей, как установить уравнение в офисе xp.
Бесплатная физика с пиццей, ла 13 размеры, скачать демо-версию алгебратора, квадрат дробей, шпаргалка по алгебре в колледже.
Альгибра, 10-е руководство по математике в Тамилнаду, как решить уравнение 6 степени в матлабе, Книги, используемые в школах Англии для преподавания алгебры, алгебра онлайн обзор, простой способ расчета чисел.
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ, домашнее задание по математике в первом классе, бесплатный онлайн научный калькулятор с дробями, умножать и делить рациональные выражения, Бесплатный предварительный тест по математике для шестого класса, главный знаменатель, решатель сложных неравенств.
Три способа легко найти общий знаменатель, сложные уравнения, суммировать числа с java, упростить третьи корни, Загрузка базовой инженерной программы TI, дроби для чайников, тест по математике для 9й класс.
Алгебра + pdf, формулы соотношения, java-код для удаления знаков препинания, Цена книги «Введение в алгебру: ежедневные исследования» авторства Kaseberg, 2007 г.
Мелочи по тригонометрии, книги по учету смежных классов, распечатки упражнений по математике для 9 класса, алгебра 2 примечания к пересмотру.
ЖК калькулятор дробей онлайн, образец теста на решение двоичного, десятичного, шестнадцатеричного, восьмеричного с ключом ответа, скачать бесплатно текст aptitute.
Парабола- части параболы- математики, вопросник модели способностей с ответами, ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, арифметический, материалы для теста способностей скачать бесплатно, решить систему линейных уравнений с помощью графического калькулятора, неоднородное уравнение теплопроводности.
Алгебра 2: параболы, Рабочий лист линейной функции пересечения наклона, бесплатные рабочие листы для 8 класса, вопрос о способностях и ответ, практикуя математические формулы 8-го класса, 9 лет занятия по математике, разница между вычитанием и сложением.
Колледжская алгебра для чайников, Набор решений Algerba 2 для многочленов, таблицы дробей 3 класс, мат 0024 блок 5 обзор, учить алгебру, решатель программ Ван дер Уоллса, АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА.
Клеп по алгебре в колледже, бесплатный онлайн-калькулятор по алгебре, Переменные с дробью, Сложные трехчлены, бесплатная книга формул для 8-го стандарта, шпаргалка по алгебре II.
Помогите решить логарифмические задачи онлайн калькулятор, как решить многомерное неравенство, упрощение алгебраических выражений, заполнение квадратного листа, вопросы по алгебре в матрице, уравнения с двумя переменными в математике.
Стандартная форма факторинга, комбинированные суммы, Решатель уравнений онлайн, основные домашние задания по эллипсу, продвинутый пакет алгебры +ti 83, сложение и вычитание рациональных выражений.
Экспоненты квадратные корни, сухие отходы, бесплатно скачать книгу способностей.
Формула эллипса круга репетиторства по математике, Образцы эог науки NC, примеры по алгебре для 9 класса, как вычислить НОД двух чисел.
Бесплатный загружаемый базовый тест способностей, рабочие листы по алгебре для начальных классов, продвинутая алгебра для 9 класса, как сдать тест в 7 классе, Если вы умножаете более двух целых чисел, как узнать, будет ли окончательный ответ положительным или отрицательным?, «:0 и чуть меньше для «, образец в исследовательском проекте по математике.
Учи алгебру + бесплатно, «рациональные выражения я оцениваю», бесплатная алгебра для чайников, Базовая алгебра (учебник) Макдугал-Литтел, онлайн-компьютеры, помогающие вычислять радикальные уравнения.
Загрузки по элементарной алгебре, Правила сложения квадратных корней, печатные платы по математике решетки, кумон английский рабочий лист ответ, упрощение калькуляторов, бесплатные рабочие листы по математике.
Бесплатная электронная книга для способностей, решение уравнений 3-го порядка, бесплатные печатные листы для восьмиклассников, Как получить радикал из числителя, распечатываемые листы домашних заданий для первого класса, преобразование смешанной дроби в десятичную.
Бесплатная электронная книга для промежуточной загрузки бухгалтерского учета, бесплатные распечатанные дробные упражнения, решить квадратную формулу с матрицей, алгебра, скачать тест на пригодность с ответами, контрольные работы и ответы на способности, алгебраический калькулятор решить для x.
Рабочие листы по математике в конце третьего класса, нахождение неизвестного в знаке квадратного корня, бесплатно, Дискретная математика для начинающих, уравнения Кумона, java объявить BigDecimal, ПОКАЗАТЬ ШАГ ЗА ШАГОМ ЗАДАЧИ СТАТИСТИКИ, самый сложный тест в мире 20 вопросов.
Ступенчатая функция Ti89, Изучение базовой статистики, проценты» Бесплатный рабочий лист, формула решения задач gmat, бесплатно решить x рабочих листов для седьмого класса, пошаговый онлайн калькулятор алгебры, Рабочие листы правил Cramers.
Тест Gmat Printable Practice Paper, решение дифференциальных уравнений символически кленовым, алгебра2 начинающий студент, Рассчитать линейные футы, математика помощь алгебра пропорции.
Умножение и деление химических уравнений с разными основаниями, алгебра прямоугольный треугольник cALculator, Шаги к решению разностного отношения, выражение для упрощения, которое включает рациональные (дробные) показатели.
Тест на умножение и деление для 6-го класса, теория частичных дробей, самый простой способ решить для перехватов в графике.
Тригонометрические мелочи, задачи по числовой математике, gmat прошлый экзамен вопрос.
Бесплатный упроститель уравнений, онлайн тест по математике кс3, запишите 4,38% в виде десятичной дроби, сделать рабочие листы алегры.
Сценарий оболочки для НОД двух заданных целых чисел, правила квадратного корня, английский help-ks3, бесплатные тесты на пригодность.
Калькулятор решения радикальных уравнений
Учебники по алгебре!

jpg»>
года.

Суббота, 17 сентября

Дом
Вычисления с отрицательными числами
Решение линейных уравнений
Системы линейных уравнений
Решение линейных уравнений графически
Алгебра Выражения
Вычисление выражений и решение уравнений
Правила дробей
Факторинг квадратных трехчленов
Умножение и деление дробей
Деление десятичных дробей на целые числа
Сложение и вычитание радикалов
Вычитание дробей
Разложение многочленов на множители по группам
Наклоны перпендикулярных линий
Линейные уравнения
Корни — Радикалы 1
График линии
Сумма корней квадратного числа
Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки
Факторинг трехчленов со старшим коэффициентом 1
Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки
Упрощение выражений с отрицательными показателями
Решение уравнений 3
Решение квадратных уравнений
Графики родителей и семьи
Сбор похожих терминов
n-й Корень
Степень частного свойства показателей
Сложение и вычитание дробей
Проценты
Решение линейных систем уравнений методом исключения
Квадратичная формула
Дроби и смешанные числа
Решение рациональных уравнений
Умножение специальных биномов
Округление чисел
Факторинг по группировке
Полярная форма комплексного числа
Решение квадратных уравнений
Упрощение сложных дробей
Алгебра
Общие журналы
Операции над числами со знаком
Умножение дробей в общем
Деление многочленов
Многочлены
Высшие степени и переменные показатели
Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков
Написание рационального выражения в минимальных терминах
Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков
Решение линейных уравнений
Квадрат бинома
Свойства отрицательных показателей
Обратные функции
дроби
Вращение эллипса
Умножение чисел
Линейные уравнения
Решение уравнений с одним логарифмическим членом
Объединение операций
Эллипс
Прямые линии
Графическое отображение неравенств с двумя переменными
Решение тригонометрических уравнений
Сложение и вычитание дробей
Простые трехчлены как произведения двучленов
Соотношения и пропорции
Решение уравнений
Умножение и деление дробей 2
Рациональные числа
Разность двух квадратов
Разложение многочленов на множители по группам
Решение уравнений, содержащих рациональные выражения
Решение квадратных уравнений
Деление и вычитание рациональных выражений
Квадратные корни и действительные числа
Порядок действий
Решение нелинейных уравнений подстановкой
Формулы расстояния и средней точки
Линейные уравнения
График с использованием точек пересечения x и y
Свойства показателей степени
Решение квадратных уравнений
Решение одношаговых уравнений с использованием алгебры
Относительно простые числа
Решение квадратного неравенства с двумя решениями
Квадратика
Операции над радикалами
Разложение на множители разности двух квадратов
Прямые линии
Решение квадратных уравнений с помощью факторинга
Графики логарифмических функций
Упрощение выражений, включающих переменные
Добавление целых чисел
Десятичные числа
Разложение на множители полностью общих квадратных трехчленов
Использование шаблонов для умножения двух двучленов
Сложение и вычитание рациональных выражений с отличающимися знаменателями
Рациональные показатели
Горизонтальные и вертикальные линии

Калькулятор радикальных уравнений
Связанные темы:
онлайн-решатель задач статистики | отрицательные целые бесплатные рабочие листы | бесплатная онлайн-викторина по алгебре | показатели степени и квадратный корень | лист сложения и вычитания целых чисел | руководство по решению winston | ти калькулятор скачать | пп. детская математическая симметрия | применение логарифма в каждой жизни | mcdougallittell математический ключ ответа | химия прентис холл ответ ключ
Автор Сообщение
vaceniniace
Зарегистрирован: 05.10.2002
От:
Размещено: Пятница, 29 декабря, 09:33
Я действительно в плохом состоянии. Кто-нибудь, помогите мне, пожалуйста. Я сталкиваюсь с множеством проблем с наибольшим общим делителем, записью интервалов и добавлением дробей и особенно с калькулятором решения радикальных уравнений. Я хочу показать быстрый прогресс в математике. Я читал, что в Интернете доступны различные программные инструменты, которые могут помочь вам в алгебре. Я также могу потратить немного денег на эффективное и недорогое программное обеспечение, которое поможет мне в учебе. Любая подсказка приветствуется. Спасибо.
Наверх
амеич
Зарегистрирован: 21.03.2005
Откуда: Прага, Чехия
Размещено: Воскресенье, 31 декабря, 07:51
Эй друг ! Обучение решению калькулятора радикальных уравнений онлайн может стать кошмаром, если вы не являетесь профессионалом в этом деле. Я тоже не был экспертом и очень сожалел о своем выборе, пока не нашел Algebrator. С тех пор это маленькое программное обеспечение стало моим другом. Теперь я легко могу решить проблемы.
Наверх
Noddzj99
Дата регистрации: 03.08.2001
Откуда: 11-е измерение
Размещено: Воскресенье, 31 декабря, 19:37.
Это так верно, даже я использую это программное обеспечение с некоторых пор, и оно действительно помогло мне в решении проблем с моими запросами на решение калькулятора радикальных уравнений и калькулятор решения радикальных уравнений. Я также использовал его, чтобы развеять свои сомнения по таким темам, как определение функции и знаменатели. Если у вас мало времени, то я очень рекомендую это программное обеспечение, и даже если у вас есть много времени в запасе, я бы все равно это сделал!
Наверх
Double_J
Зарегистрирован: 25.11.2004
Откуда: Нидерланды
Размещено: вторник, 02 января, 12:42
Настоящим программным обеспечением для алгебры является Algebrator. Даже я сталкивался с подобными проблемами при решении биномов, смешанных чисел и линейных неравенств. Просто напечатайте в задачнике и нажмите «Решить» — и пошаговое решение моего домашнего задания по алгебре будет готово. Я использовал его на нескольких занятиях по алгебре — промежуточной алгебре, базовой математике и базовой математике. Очень рекомендую программу.
Наверх
Ссатдыдаг
Дата регистрации: 12.04.2003
От:
Размещено: Четверг, 04 января, 11:40
Вау, это крутая информация! Я был в таком стрессе, но теперь я очень взволнован тем, что смогу улучшить свои оценки! Спасибо за ответ, ребята! Тогда мне просто нужно получить программу и сделать домашнюю работу на завтра. Где можно узнать о нем подробнее и купить?
Наверх
Свиз
Зарегистрирован: 10.03.2003
Откуда: Словения
Размещено: Суббота, 06 января, 09:29
Да. Вы можете найти его здесь — https://polymathlove.com/solving-one-step-equations-using-алгебра.html. Существует процедура быстрой покупки, и я думаю, что они также дают классную гарантию возврата денег. Они знают, что программное обеспечение отличное, и вы никогда не будете его использовать. Наслаждаться!
Наверх
Авторские права © 2005-2022
Калькулятор радикальных уравнений + онлайн-решатель с бесплатными шагами 92+10x}+4x-7 = 0 \]
Калькулятор поддерживает уравнения с несколькими переменными , но предполагается использование для уравнений с одной переменной . Это потому, что калькулятор принимает только одно уравнение за раз и не может решать системы одновременных уравнений, где у нас есть n уравнений с m неизвестными.
Таким образом, для уравнений с несколькими переменными калькулятор выводит корни через другие переменные.
Что такое калькулятор радикальных уравнений?
Калькулятор радикальных уравнений — это онлайн-инструмент, который вычисляет корни заданного радикального уравнения, представляющего полином любой степени, и выводит результаты на график.
Интерфейс калькулятора состоит из одного текстового поля с надписью «Уравнение». Это не требует пояснений — здесь вы вводите радикальное уравнение, которое нужно решить. Вы можете использовать любое количество переменных, но, как упоминалось ранее, предполагается использование полиномов с одной переменной любой степени. 92)-2x-4=0» без кавычек.
Примечание: Не вводите только часть уравнения с полиномом! В противном случае в результатах не будет корней.
Шаг 2
Нажмите кнопку Submit , чтобы получить результаты.
Результаты
Раздел результатов в основном состоит из:
Ввод: Интерпретация калькулятором входного уравнения. Полезно для проверки уравнения и проверки правильности его обработки калькулятором.
Корневые графики: 2D/3D-графиков с выделенными корнями. Если хотя бы один из корней комплексный, калькулятор дополнительно рисует их на комплексной плоскости.
Корни/Решение: Это точные значения корней. Если они представляют собой смесь комплексных и действительных значений, калькулятор показывает их в отдельных разделах «Реальные решения», и «Комплексные решения».
Так же есть пара второстепенных разделов (возможно больше для разных входов):
Числовая линия: Действительные корни, попадающие на числовую прямую.
Альтернативные формы: Различные перестановки входного уравнения.
Для примера уравнения калькулятор находит смесь действительных и комплексных корней:
\[ x_{r} \приблизительно 0,858578 \]
\[ x_{c_1,\,c_2} \приблизительно 0,12875 \ pm 0,
Решатель радикальных уравнений
Expression
Equation
Inequality
Contact us
Simplify
Factor
Expand
GCF
LCM
Solve
Graph
System
Solve
Graph
Система
Математический решатель на вашем сайте
Наших пользователей:
Мой сын боролся с математикой все время, пока он был в школе. Простые пошаговые решения Алгебратора заставили его учиться с удовольствием. Благодарю вас!
Брайан Джонсон, Вирджиния
Я на самом деле доволен тем, что программное обеспечение для алгебры ориентировано на контент. Мы можем использовать это в нашем курсе вторичных методов, а также в математических методах.
Сет Лор, ИА
Я только что купил вашу программу. Я купил Personal Algebra Tutor (PAT) и очень им разочарован. Причины: 1) если компьютер выходит из строя, вы должны отправить им пароль по электронной почте (там, где я живу, в горах с сильным ветром, у нас часто бывают перебои с электричеством), а также удары молнии; 2) сказали, что проблемы можно набрать и решение будет предоставлено. Половина математических задач, которые у меня были, не работают с их программой; 3) они говорят отправить им вопросы по электронной почте, и они предоставят решения, но это может занять до 24 часов, а иногда это слишком долго, чтобы ждать ответа. Чтобы показать подтверждение моей подтвержденной покупки программы PAT, я приложил копию квитанции, которую мне прислали.
Оскар Петерман, Нью-Джерси
Это более интуитивно понятно. И даже «взял» мои негативные научные аннотации и показал мне, как упростить! Спасибо!!!
Джейкоб Мэтисон, Флорида
Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь.
Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?
Поисковые фразы, использованные 27.11.2011:
правило преобразования дроби в десятичную
алгебра 2 рабочие тетради
алгебра гленко 1 ответы 529
задачи на сложение и вычитание целых чисел
TI-89 построение графиков и решение неравенств
бесплатное решение математических задач
квадратичных графических листов
сложные математические задачи для шестого класса
определение как решать алгебру
тригонометрия для ti 89
для практики расчетов в таблицах Excel
смешанная дробь до десятичной
алгебра колледжа CLEP
Калькулятор решения логарифмических уравнений
рабочий лист умножить и разделить
бесплатно онлайн множить многочлен
математические задачи по тригонометрии и ответы
алгебра, упрощающая игры
факторизация задачи куба
простое упрощенное подкоренное выражение
решение для рабочих листов переменных
рабочие листы математических свойств
нахождение определителей для TI-38
Рабочий лист
, развернуть и упростить
преобразовать систему дифференциальных уравнений второго порядка в систему дифференциальных уравнений первого порядка
нахождение нулей с радикалами
показатель степени корневой дроби
решение абстрактной алгебры Фрелея, раздел 8
шагов задачи по алгебре
Проблемы с коэффициентом масштабирования
предварительная алгебра/подобные фигуры и рисунки лепешек
американский школьный экзамен по алгебре 3 ответы
как разделить
простые рабочие листы по алгебре для начальной школы
БЕСПЛАТНЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 5-ГО КЛАССА
бесплатных рабочих листа по сложению и вычитанию калорий
Glencoe Economics 2004 ключ ответа
решение уравнений третьего порядка
Вершинная форма квадратичного
смешанное число как десятичный калькулятор
Учебник по программированию на TI 83+ C
самое сложное уравнение в мире
Свободная балансировка рабочего листа по математике для первого класса
факторизация уравнений калькулятора трехчленов
решение линейных уравнений в excel
заполните квадрат 3 переменные
10-й образец вопроса по математике
решение по алгебре «сдвинь и раздели
Запись формул треугольного ряда Фурье в виде формулы exel
изобретенные дроби
макдугал 2 учитель алгебры 2 дл
правила сложения и вычитания целых чисел
скачать калькулятор t89
точки построения математических листов
два неизвестных калькулятор двух уравнений
Java-код для решения уравнений
Калькулятор исключения с двумя переменными
решение самой сложной задачи по геометрии
как решать логарифмы на графическом калькуляторе
математика 10 чистых рабочих листов
Тестовая практика Айовы для печати 3-го класса
перевод рабочих листов с математическими символами
решение линейных одновременных уравнений второго порядка
предварительное исчисление графическое, числовое, алгебраическое руководство по решению шестого издания
Набор {1, 3, 7, 9} ? Z={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} выполнить операцию умножения в Z10
рабочая задача по алгебре
решение разностного отношения
размер укуса gcse, функции и графики
алгебра 1 решения
формулы алгебры
дополнительная алгебра, дополнительная вертикальная программа Powerpoint
помощь по математической комбинации
вопросников по английскому языку
формула для преобразования десятичных дробей
как решить систему уравнений с ti 89
Деятельность упрощающих дробей для 3 класса
Рабочий лист по умножению алгебраических плиток
рабочие листы по английскому языку для девятиклассников
Складной для сложения и вычитания чисел со знаком
Целые числа для детей
+ алгебраический термин том
двухшаговое решение уравнения онлайн бесплатно
зеленые глобусы чит-коды
тест по всемирной истории для печати 6 класс
Алгебра за 10 класс
Стандартная форма по алгебре
мошенничество с домашним заданием по математике
Предыдущая Далее
Radical calculator with fractions
Expression
Equation
Inequality
Contact us
Simplify
Factor
Expand
GCF
LCM
Решить
График
Система
Решить
График
Система
Математический решатель
Наших пользователей:
Учительница математики моей дочери порекомендовала программу под названием «Алгебратор», чтобы помочь ей с домашним заданием по алгебре. Я бы хотел, чтобы эта программа была рядом, когда я учился в колледже!
Британская Колумбия, Мальта-ЕС
Алгебратор потрясающий и не от мира сего! Спасибо, что сделали мою жизнь намного проще!
Чак Джонс, Лос-Анджелес
Я использовал вашу систему, и она справилась со всеми проблемами, которые не удалось решить с помощью PAT. Я действительно впечатлен удобной для пользователя настройкой и возможностями вашей системы. Спасибо еще раз!
Оуэн Паттон, Юта.
Вы сделали меня верующим. Ваша поддержка и быстрый ответ являются ключевыми. Еще раз спасибо за вашу профессиональную поддержку, легкость в общении, понимание и терпение.
Рик Эдмондсон, Техас
Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?

Поисковые фразы, использованные 24 апреля 2014 г.

Задачи целочисленного линейного программирования онлайн: Метод Гомори онлайн

alexxlab / 19.01.197117.09.2022 / Разное

Метод Гомори. Решение задач и контрольных работ по линейному программированию онлайн

Краткая теория

Метод Гомори является одним из методов решения задач целочисленного линейного программирования. Идея метода Гомори заключается в следующем.
Отбрасывается условие целочисленности и полученная задача линейного программирования решается симплекс-методом. Если оптимальное решение задачи является целочисленным, то оно является и решением исходной задачи. Если оптимальное решение задачи не является целочисленным, то к основным ограничениям добавляется новое линейное ограничение, обладающее следующими свойствами:
1) оптимальный нецелочисленный план задачи ему не удовлетворяет;
2) любой целочисленный план задачи ему удовлетворяет.
Затем решается расширенная задача. Процесс повторяется до получения целочисленного решения. Способы построения дополнительного линейного ограничения различны для полностью и частично целочисленных задач линейного программирования. В силу свойств 1 и 2 дополнительное ограничение еще называют отсечением Гомори, а метод Гомори - методом отсечения.
Если задача разрешима в целых числах, то через конечное число итераций оптимальный целочисленный план будет найден.
Если в процессе решения появится строка с нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В таком случае и исходная задача неразрешима в целых числах.
Несмотря на точность метода Гомори, он имеет ограниченное применение. С его помощью целесообразно решать задачи небольшой размерности, поскольку число итераций может быть очень большим.
Алгоритм метода Гомори рассмотрим на конкретном примере.

Пример решения задачи

Решить задачу целочисленного программирования методом Гомори.

– целые
Решение
Приведем задачу к каноническому виду.
Решаем задачу симплекс-методом.
Заполняем симплексную таблицу 0-й итерации.
БП Симплексные
отношения
7 -9 0 0 0
0 9 2 1 1 0 0 9/2
0 7 0 3 0 1 0 —
0 5 4 5 0 0 1 5/4
0 -7 9 0 0 0
Переходим к таблице 1-й итерации:
БП Симплексные
отношения
7 -9 0 0 0
0 13/2 0 -3/2 1 0 -1/2
0 7 0 3 0 1 0
7 5/4 1 5/4 0 0 1/4
35/4 0 71/4 0 0 7/4
В индексной строке все члены неотрицательные, поэтому получено следующее решение задачи линейного программирования (выписываем из столбца свободных членов):

Так как оптимальное решение не удовлетворяет условию целочисленности, продолжим решение, используя алгоритм Гомори.
Выбираем базисную переменную с наибольшей дробной частью.

По 1-й строке строим дополнительное ограничение:

Ограничение принимает вид:

Введем в ограничение дополнительную переменную:

Домножим последнее ограничение на -1:

Припишем это ограничение к последней симплексной таблице, и, следуя методу Гомори, выполним симплексные преобразования:
БП Симплексные
отношения
7 -9 0 0 0 0
0 13/2 0 -3/2 1 0 -1/2 0 —
0 7 0 3 0 1 0 0 7/3
7 5/4 1 5/4 0 0 1/4 0 1
0 -1/2 0 -1/2 0 0 -1/2 1 1
35/4 0 71/4 0 0 7/4 0
Просматриваем строку, содержащую отрицательное число в столбце свободных членов, и выбираем любое отрицательное число в этой строке. Выбранное число будет определять разрешающий столбец.
Ключевой столбец соответствует .
Находим ключевую строку, для этого определяем:

На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е. 5/4.
Вектор выводим из базиса и вводим вектор .
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Переходим к таблице 1-й итерации:
БП Симплексные
отношения
7 -9 0 0 0 0
0 8 6/5 0 1 0 -1/5 0 20/3
0 4 -12/5 0 0 1 -3/5 0 —
-9 1 4/5 1 0 0 1/5 0 5/4
0 0 2/5 0 0 0 -2/5 1 0
-9 -71/5 0 0 0 -9/5 0
Переходим к таблице 2-й итерации:
БП Симплексные
отношения
7 -9 0 0 0 0
0 8 0 0 1 0 1 -3 8
0 4 0 0 0 1 -3 6 —
-9 1 0 1 0 0 1 -2 1
7 0 1 0 0 0 -1 5/2 —
-9 0 0 0 0 -16 71/2
Переходим к таблице 3-й итерации:
БП Симплексные
отношения
7 -9 0 0 0 0
0 7 0 -1 1 0 0 -1
0 7 0 3 0 1 0 0
0 1 0 1 0 0 1 -2
7 1 1 1 0 0 0 1/2
7 0 16 0 0 0 7/2
В индексной строке все члены неотрицательные, поэтому получено следующее решение задачи линейного программирования (выписываем из столбца свободных членов):

Найденное оптимальное решение удовлетворяет условию целочисленности и является решением исходной задачи.

Метод Гомори
Метод Гомори решения задач целочисленного программирования является методом отсечения.
Суть метода заключается в построении ограничений, отсекающих нецелочисленные решения задачи линейного программирования, но не отсекающих ни одного целочисленного плана. Для этого сначала решается ослабленная задача линейного программирования без учета условия целочисленности переменных.
Если полученное решение задачи линейного программирования является целочисленным, то задача целочисленного программирования также решена и найденное решение является оптимальным и для нее. Если же в найденном решении задачи линейного программирования одна или большее число переменных не целые, то для отыскания целочисленного решения задачи добавляются новое линейное ограничение, которое отсекает нецелочисленные решения. При продолжении решения расширенной задачи двойственным симплексным методом с учетом этого ограничения получается целочисленный план.
Для нахождения целочисленного решения задачи методом Гомори используется следующий алгоритм.
Решаем ослабленную задачу симплексным методом без учета условия целочисленности. Если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования. Если обнаруживается неразрешимость задачи, то и неразрешима задача целочисленного программирования.
Если в результате решения задачи линейного программирования в полученном оптимальном плане есть нецелая базисная переменная, то к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:
— оно должно быть линейным;
— должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;
— не должно отсекать ни одного целочисленного плана.
Если нецелых базисных переменных несколько, то для составления ограничения выбираем компоненту оптимального плана с наибольшей дробной частью (если таких переменных несколько, то выбираем любую).
Этой переменной соответствует строка симплексной таблицы, называемая строкой, производящей отсечение (производящей строкой).
Для изложения метода вводим следующие понятия. Пусть a – действительное число.
Под целой частью некоторого числа а понимается максимальное целое число [a], не превосходящее данного.
Под дробной частью некоторого числа а понимается наименьшее неотрицательное число такое, что разность между ним иа есть [a] – целая часть числа).
Для выбранной базисной переменной с наибольшей дробной частью находим дробную часть этой переменной и дробные части всех коэффициентов при переменныхi — й строки системы ограничений (производящей строкой).
Обозначим ицелые части чисел и . Величины дробных частейи() определяются следующим образом
Составляем неравенство Гомори и включаем его в систему ограничений исходной задачи.
Для этого по производящей строке симплексной таблицы выписывается уравнение, предполагая, что первые m переменных являются базисными для данного оптимального плана
или
Переносим все целые части коэффициентов в одну сторону, оставляя все дробные в другой:
Так как <1, то заменяя в правой части , получим строгое неравенство
Так как левая часть неравенства должна принимать целые значения, то, следовательно, необходимое условие ее целочисленности можно записать только в следующем виде:
Неравенство преобразуется в уравнение путем введения дополнительной неотрицательной переменной и включается в оптимальную симплексную таблицу.
Решаем задачу, используя двойственный симплексный метод. Если новый оптимальный план расширенной задачи будет целочисленным, то задача решена. Если же решение нецелое, то нужно повторять алгоритм метода Гомори вплоть до получения целочисленного решения.
Пример. Методом Гомори найти решение задачи целочисленного программирования, состоящей в определении максимального значения функции при условии
Решение. Выравнивая неравенства с помощью вспомогательных переменных х₃, х₄, получаем задачу линейного программирования в канонической форме:
Решаем задачу линейного программирования симплексным методом, используя поэтапный переход от одного базиса к другому. Ход решения задачи и полученное оптимальное решение представлены в таблицах.
Б
С_Б
В
С₁=5
С₂=11
С₃=0
С₄=0
а₁
а₂
а₃
а₄
а₃
0
3
4
1
0
а₄
0
10
2
5
0
1
∆_j=Z_j–С_j
0
-5
-11
0
0
С_Б
В
С₁=5
С₂=11
С₃=0
С₄=0
а₁
а₂
а₃
а₄
а₂
11
1
0
а₄
0
0
1
∆_j=Z_j–С_j
0
0
В найденном оптимальном плане значение переменной х₂ равно дробному числу. Находим его дробную часть и дробные части всех элементов строки, содержащей переменную х₂ , а именно:
Теперь составляем для найденных значений дробных частей неравенство Гомори:
.
Выравниваем неравенство Гомори с помощью новой вспомогательной переменной х₅, переносим свободный член уравнения в правую часть и получаем новое ограничение:
.
Добавляем в симплексную таблицу строку, содержащую новое ограничение, и столбец, содержащий новую переменную, и продолжаем решать задачу двойственным симплексным методом, так как теперь в таблице записан псевдоплан.
Б
С_Б
В
С₁=5
С₂=11
С₃=0
С₄=0
С₅=0
а₁
а₂
а₃
а₄
а₅
а₂
110
1
0
0
а₄
0
0
1
0
а₅
0
0
0
1
∆_j=Z_j–С_j
0
0
0
Б
С_Б
В
С₁=5
С₂=11
С₃=0
С₄=0
С₅=0
а₁
а₂
а₃
а₄
а₅
а₂
11
1
0
1
0
0
1
а₄
0
0
0
1
а₁
0
1
0
0
∆_j=Z_j–С_j
0
0
0
Полученное оптимальное решение расширенной задачи содержит нецелое значение переменной х₁, поэтому находим для этой строки дробные части всех нецелых чисел, а именно:
и новое неравенство Гомори имеет вид:
Выравниваем неравенство Гомори с помощью новой вспомогательной переменной х₆, переносим свободный член уравнения в правую часть и получаем новое ограничение: .
Добавляем его к решаемой задаче, выравниваем с помощью вспомогательной переменной и решаем расширенную задачу
Б
С_Б
В
С₁=5
С₂=11
С₃=0
С₄=0
С₅=0
С₆=0
а₁
а₂
а₃
а₄
а₅
а₆
а₂
110
1
0
1
0
0
1
0
а₄
0
0
0
1
0
а₁
0
1
0
0
0
а₆
0
0
0
0
1
∆_j=Z_j–С_j
0
0
0
0
Б
С_Б
В
С₁=5
С₂=11
С₃=0
С₄=0
С₅=0
С₆=0
а₁
а₂
а₃
а₄
а₅
а₆
а₂
110
1
0
1
0
0
1
0
а₄
0
5
0
0
0
1
-1
-2
а₁
0
0
1
0
0
0
-2
1
а₃
0
0
0
1
0
2
-3
∆_j=Z_j–С_j
11
0
0
0
0
1
5
Таким образом, найдено оптимальное решение задачи целочисленного программирования: Z_max =11 при .
Замечания:
Если в процессе решения в симплексной таблице появится уравнение с нецелой компонентой и целыми коэффициентами в соответствующей строке системы ограничений, то данная задача не имеет целочисленного решения.
6 Целочисленное программирование. Метод отсекающих плоскостей (метод…
Привет, сегодня поговорим про целочисленное программирование, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое целочисленное программирование, метод отсекающих плоскостей, метод гомори, метод ветвей и границ , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математические методы исследования операций .Теория игр и расписаний..
целочисленное программирование .
Общая постановка задачи целочисленного программирования отличается от общей задачи ЛП лишь наличием дополнительного ограничения. Этим ограничением является требование целочисленности: значения всех или части переменных модели в оптимальном решении являются целыми неотрицательными числами, то есть принадлежат множеству N. Если это требование распространяется на все переменные, то задачу ЦП называют полностью целочисленной задачей. Если оно относится лишь к части переменных, задача называется частично целочисленной. Задача ЛП, отличающаяся от задачи ЦП лишь отсутствие требований целочисленности, называют задачей с ослабленными ограничениями, соответствующей данной задаче ЦП.
Задача целочисленного программирования — это задача математической оптимизации или выполнимости, в которой некоторые или все переменные должны быть целыми числами^{. Часто термин адресуется к целочисленному линейному программированию (ЦЛП), в котором целевая функция и ограничения (за исключением требования целочисленности) линейны.}
Целочисленное программирование является NP-трудной задачей. Специальный случай, 0-1 целочисленное линейное программирование, в которой переменные принимают значения 0 или 1, является одной из 21 NP-полных задач Карпа.
Каноническая и стандартная виды ЦЛП
Задача целочисленного линейного программирования в каноническом виде выражается как
максимизировать
при условиях

и ,
а в стандартном виде
максимизировать
при условиях

и
где — векторы, а — матрица, все элементы которых являются целыми числами. Заметьте, что, как и в случае линейного программирования, ЦЛП-задача, не находящаяся в стандартном виде, может быть приведена к стандартному виду путем исключения неравенств введением дополнительных и искусственных переменных и заменой переменных, на которые не наложено ограничение неотрицательности, двумя переменными.
Пример
Целочисленный многогранник с линейным ослаблением
Рисунок справа показывает следующую задачу.
Допустимые целые точки показаны красным и красные пунктирные линии показывают выпуклую оболочку этих точек, которая является наименьшим многоугольником, содержащим все эти точки. Синие линии вместе с координатными осями определяют многоугольник линейного ослабления, который задается неравенствами без требования целочисленности. Цель оптимизации — сдвинуть черную пунктирную линию так, чтобы она была как можно выше, но касалась многоугольника. Оптимальные решения целочисленной задачи — точки и , на которых целевая функция принимает значение 2. Единственное решение ослабленной (линейной) задачи — точка , в которой целевая функция принимает значение 2.8. Заметим, что если мы округлим решение задачи линейного программирования до ближайших целых, решение будет недопустимо для ЦЛП.
Доказательство NP-трудности
Следующее рассуждение является сведением задачи минимизации вершинного покрытия к задаче целочисленного программирования, что доказывает NP-трудность.
Пусть — неориентированный граф. Определим задачу линейного программирования следующим образом:
Если наложить требование, чтобы принимали значения 0 или 1, любое допустимое решение для целочисленного программирования является подмножество вершин. Из первого ограничения следует, что по меньшей мере один конец каждого ребра включена в подмножество. Таким образом, решение дает покрытие вершин. Кроме того, если задано вершинное покрытие C, можно присвоить значение 1 для любого и 0 для любого , что дает нам допустимое решение задачи целочисленного программирования. Отсюда мы может заключить, что при минимизации суммы мы получим также минимальное вершинное покрытие^.
Варианты
В смешанном целочисленном линейном программировании (СЦЛП) только для части переменных требуется целочисленность, в то время как остальные переменные могут быть нецелочисленными.
В булевом программировании переменные должны принимать значения 0 или 1. Заметим, что любая ограниченная целочисленная переменная может быть выражена как комбинация булевых переменных^{. Например, если есть целочисленная переменная , ее можно выразить через булевых переменных:}
Приложения
Есть две основные причины для использования целых переменных при моделировании задач линейного программирования:
Целочисленные переменные представляют величины, которые могут быть исключительно целыми. Например, невозможно построить 3.7 автомобилей.

Целочисленные переменные представляют решения, которые принимают значения 0 или 1.

Эти соглашения на практике встречаются часто и, таким образом, целочисленное линейное программирование может быть использовано во многих областях, некоторые из которых коротко освещены ниже.
Производственное планирование
Смешанное целочисленное программирование имеет много приложений в производстве, включая моделирование календарного планирования. Один из примеров встречается при производственном планировании^[en] в сельском хозяйстве для определения выхода продукции, которая может иметь общие ресурсы (такие как земля, труд, расходы, семена, удобрения и т.д.). Возможной целью оптимизации может быть максимизация дохода без выхода за границы имеющихся ресурсов. В некоторых случаях задача может быть выражена как задача линейного программирования, но переменные при этом должны быть целыми.
Планирование
В этих задачах нужно обеспечить обслуживание и расписание работы транспортной сети . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Например, задача может состоять в расстановке автобусов или поездов по маршрутам, чтобы соблюсти расписание, а также обеспечить подвижный состав водителями. Здесь булевы переменные (т.е. принимающее значение 0 или 1) определяют, назначен ли автобус или поезд на маршрут, и назначен ли водитель на конкретный автобус/поезд.
Сети передачи данных
Целью этой задачи является построение сети передачи данных так, чтобы обеспечить предопределенные требования за минимальную цену^{. В этой задаче требуется оптимизация как топологии сети, так и пропускной возможности элементов сети. Во многих случаях пропускная способность выражается дискретными величинами, что приводит к целочисленным переменным. Обычно накладываются зависящие от применяемой технологии другие ограничения, которые могут моделироваться целочисленными или булевыми переменными.}
Сотовые сети
Задача планирования частот в мобильных сетях GSM требует распределение допустимых частот по антеннам, чтобы обеспечить связь и минимизировать интерференцию между антеннами^{. Эту задачу можно сформулировать как задачу линейного программирования, в которой булевы переменные отражают, назначена ли конкретная частота конкретной антенне.}
Методы решения задач ЛП.
Наивный путь решения задачи ЦЛП — просто игнорировать ограничение целочисленности на переменные
x, решить соответствующую задачу ЛП (которая называется линейным ослаблением ограничений задачи ЦЛП), а затем округлить компоненты решения полученной задачи. Однако полученное решение может оказаться не только не оптимальным, оно может оказаться даже недопустимым, то есть некоторые ограничения могут быть нарушены.
На первый взгляд естественным методом решения задачи ЦП является метод округления, реализация которого состоит из двух этапов. На первом этапе находят оптимальное решение задачи ЛП с ослабленными ограничениями. На втором этапе значения переменных в оптимальном решении X*, не являющиеся целыми, округляют так, чтобы получить допустимое решение X** с целочисленными значениями.
Состоятелен ли такой метод?
Пример. Рассмотрим полностью целочисленную задачу:
x₁ + 1,5x₂ max
2x₁ + 4x₂ 17, 10x₁ + 4x₂45
x₁_,x₂0, x_1,x₂ N.
Задача ЛП с ослабленными ограничениями получается снятием ограничений
x₁_,x₂N. Ее оптимальное решение может быть получено графическим методом.
Оптимальное решение достигается в точке А. Целевая функция равна при этом f=7,25. Оптимальное решение X*=(7/2, 5/2)^Т. По методу округления примем X**=(3, 2)^Т. Значение целевой функции при этом равно 6. Однако на самом деле оптимальное решение X^o=(2, 3)^Т, а f^опт=6,5.
Итак, метод округления дает неоптимальное решение. Поэтому он не состоятелен как общий метод решения задач ЦП. Кроме того, многие задачи ИО могут быть сформулированы как задачи ЦП, в которых переменные модели принимают значения из множества .
Рассмотрим метод, известный как метод отсечений.
Рассмотрим целочисленную задачу.
Допустимым решениям этой задачи соответствуют не все точки множества допустимых решений G, а лишь те, которые удовлетворяют требованиям целочисленности. Теоретически из множества G всегда можно выделить множество G* такое, что:
а) оно содержит все точки множества G, удовлетворяющие требованию целочисленности;
б) оно является выпуклым множеством;
в) координаты всех его крайних точек удовлетворяют требованиям целочисленности.
Если множество G допустимых решений заменить множеством G*, это не может привести к изменению оптимального решения, так как G* получено из G путем отсечения от него подмножества, заведомо не содержащего допустимых решений, удовлетворяющих требованию целочисленности. Но в этом случае оптимальное решение задачи ЛП с ослабленными ограничениями и множеством G* допустимых решений соответствует крайней точке множества G*. Как следствие, оно удовлетворяет требованию целочисленности и обеспечивает экстремальное значение не только на G*, но и на G.
В основе комбинаторных методов решения задач ЦП лежит идея перебора всех элементов множества G допустимых решений, удовлетворяющих требованию целочисленности.
Наиболее известным комбинаторным методом является метод ветвей и границ . Он начинается с решением задачи ЛП с ослабленными ограничениями. Если оптимальное решение X* (точка B) не удовлетворяет требованию целочисленности, то из множества G выделяют два пересекающихся выпуклых подмножества K₁ иK₂, содержащих все допустимые решения из G, удовлетворяющие требованию целочисленности, но не содержащие X*. Этим задача ЦП заменяется совокупностью двух эквивалентных ей (в смысле оптимального решения X^o G) задач с множествами допустимых решений K₁ и K₂, т.к. X^oK₁ или X^oK₂.
Разработано много методов решения задач ЦП. Почти все эти методы можно описать на основе единой принципиальной схемы, состоящей из трех элементов.
Элемент 1. Предусматривается процедура формирования и решения последовательности взаимосвязанных задач, которые называют задачами, порожденными исходной задачей или задачами – истоками. При этом оптимальное решение по крайней мере одной из задач – истоков должно совпадать с оптимальным решением породившей их задачи.
Элемент 2. Каждой задаче, порожденной исходной задачей, ставится в соответствие так называемая ослабленная задача (задача с ослабленными ограничениями). Ее оптимальное решение может быть найдено с гораздо меньшими затратами, чем оптимальное решение соответствующей ей задачи – истока.
Элемент 3. В результате анализа решения ослабленной задачи принимается решение, относящееся к задаче – истоку:
а) исключить ее из рассмотрения;
б) заменить одной порожденной задачей, выбранной по определенному правилу;
в) заменить системой порожденных задач.
Использование полной унимодулярности
Хотя, в общем случае, целочисленность решения ослабленной задачи не гарантирована, если ЦЛП имеет вид при условиях , где и имеют в качестве элементов целых чисел и является вполне унимодулярной, тогда любое базисное допустимое решение будет целочисленным. Следовательно, решение, которое дает симплекс-метод, будет заведомо целочисленным^{. Чтобы показать, что любое базисное решение такой задачи целочисленно, пусть — произвольное допустимое решение. Поскольку допустимо, мы знаем, что . Пусть — элементы, соответствующие базисным столбцам базисного решения . По определению базиса существует некоторая квадратная подматрица матрицы с линейно независимыми столбцами, такая, что .}
Поскольку столбцы линейно независимы и матрица квадратная, матрица неособенная, а потому при предположениях, что унимодулярна, выполняется . Поскольку не является особенной, матрица обратима, а потому . По определению, . Здесь означает союзную матрицу для и она целочисленна, поскольку целочисленна. Таким образом,
целочисленна
целочисленен
Любое базисное допустимое решение целочисленно.
Таким образом, если матрица ЦЛП вполне унимодулярна, вместо решения задачи ЦЛП можно использовать линейное ослабление задачи, которое даст целочисленное решение.
Точные алгоритмы
Если матрица не является вполне унимодулярной, существует ряд алгоритмов, решающих задачу целочисленного линейного программирования точно. Один из классов таких алгоритмов — методы секущих плоскостей (методы Гомори), которые работают путем решения ослабленной линейной задачи с последующим добавлением линейных ограничений, которые отсекают нецелочисленное решение задачи без отсечения целочисленных допустимых решений.
Другой класс алгоритмов — варианты метода ветвей и границ. Например, метод ветвей и отсечений^[en], комбинирующий метод ветвей и границ с методами секущих плоскостей. Методы ветвей и границ имеют ряд преимуществ перед алгоритмами, использующими исключительно отсекающие плоскости. Одно из преимуществ — алгоритм можно завершить рано, как только хотя бы одно допустимое целочисленное решение найдено, хотя и не оптимальное. Кроме того, решение ослабленной линейной задачи может быть использовано для оценки, насколько далеко полученное от оптимального. Наконец, методы ветвей и границ можно использовать, чтобы получить несколько оптимальных решений.
Ленстра в 1983 показал^{, что в случае фиксированного числа переменных допустимое решение задачи целочисленного программирования может быть найдено за полиномиальное время.}
Эвристические методы
Поскольку задачи целочисленного линейного программирования NP-трудны, многие задачи трудноразрешимы, так что приходится использовать эвристические методы. Например, может быть использован поиск с запретами^{. Для использования поиска с запретами для решения задачи ЦЛП шаг алгоритма можно определить как увеличение или уменьшение целочисленной переменной, в то время как остальные целочисленные переменные остаются неизменными. Затем находится решение для переменных, на которых ограничение целочисленности не наложено. Для хранения предыдущих попыток может использоваться кратковременная память, в то время как более долговременная память может состоять из значений целочисленных переменных, для которых получены бо́льшие значения целевой функции (в предположении задачи максимизации). Наконец, долгая память может быть использована для поиска целочисленных значений, которые еще не пробовали.}
Другие эвристические методы, которые могут быть применены для решения ЦЛП
Восхождение по выпуклой поверхности^[en]

Алгоритм имитации отжига

Пассивная поисковая оптимизация

Муравьиный алгоритм

Нейронная сеть Хопфилда

Есть также некоторые другие, зависящие от задачи эвристические методы, такие как k-opt эвристика для задачи коммивояжера. Заметим, что недостатком эвристических методов является то, что в случае неудачи поиска решения метод не определяет, произошло это вследствие отсутствия допустимого решения, или просто алгоритм его найти не может. Далее обычно невозможно определить, насколько близко к оптимальному полученное этим методом решение.
метод отсекающих плоскостей ( метод гомори ).
Метод разработан Р. Гомори в 1957- 1958 гг. МОП относится к методам отсечений и называется методом правильных отсечений.
Пример. Пусть необходимо найти решение полностью целочисленной задачи:
2x₁ + x₂max
0,75x₁ + 1,5x₂ 4,8 (1)
x₁_,x₂0, x_1,x₂ N.
Пусть есть некоторая задача ЛП:
с ограничениями:
, i= (2)
x_j 0, j= (3)
с целочисленными ограничениями:
x_j N, j= (4)
Целой частью вещественного числа а называется наибольшее целое число [a], не превышающее а. Дробная часть а есть число {a}=a – [a].
Метод Гомори состоит в следующем. Пусть решена ослабленная задача (1) – (3) и на последней итерации получена система:
x₁_{+α₁_m₊₁x_m₊₁+…+ α₁_nx_n=β₁,}
x₂_{+α₂_m₊₁x_m₊₁+…+ α₂_nx_n=β₂, (5)}
. . . . . . . . . . . . . .
x_m_{+α_nm₊₁x_m₊₁+…+ α_mnx_n=β_m}
т.е. решение задачи есть
(β₁,…, β_m, 0, …,0) (6)
Предположим, что это решение не удовлетворяет условию целочисленности (4), т.е. некоторое β_i, i=1,…, m, нецелое.
Добавим к системе (6), которая эквивалентна системе (2) ограничение:
{ β_i } — (7)
Строка i называется производящей. Это ограничение отсекает от исходного многогранника решений оптимальную точку (β₁,…, β_m, 0, …,0), не затрагивая ни одной из целочисленных точек множества.
Покажем, что допустимое целочисленное решение удовлетворяет соотношению (7). Из системы (5) мы имеем:
x_i+, или x_i+
Пусть x=(x₁, …,x_n) – целочисленное допустимое решение. Тогда левая часть последнего выражения целочисленна, т.е. целочисленным является и значение:
{β_i} —
Тогда, если бы соотношение (7), не выполнялось, т.е. выполнялось бы:
{ β_i } — ,
то в силу того, что 0 {β_i}<1 , 0{α_ik}<1, x_k 0, должно было бы выполняться соотношение:
{ β_i } — ,
а это противоречит целочисленности {β_i} — .
Теперь проверим условие отсечения. Т.к. для оптимального решения { β_i }>0, x_i=0, i=m+1, …,n, т. е. это решение действительно не удовлетворяет (7).
Итак, если к (6) или к (2) – что равносильно – добавить ограничение (7) и решить задачу (1) – (3) и (7), то получим решение, отличное от (β₁,…, β_m, 0, …,0), которое тоже может оказаться нецелочисленным. Это потребует добавления новых ограничений вида (7). Если при этом каждый раз индекс i в ограничениях (7) выбирать так, чтобы это был индекс первый по порядку переменной с нецелочисленным значением, допустимое множество задачи (1) – (3) ограниченно и не пусто, значит алгоритм Гомори конечен, т.е. заканчивается за конечное число шагов решением целочисленной задачи.
Несмотря на то, что метод Гомори – надежное решение для задач ЦП, его практическое применение нецелесообразно, если исходная задача имеет большую размерность.
Иллюстрация метода Гомори.
Z=7x₁+10x₂,
-x₁+3x₂ 6,
7x₁+x₂35,
x_1,x₂0, x_1,x_{2 _N.}
Отсечения не отбрасывают ни одной исходной допустимой целочисленной точки, но должны проходить, по меньшей мере, через одну целочисленную точку (допустимую или недопустимую).
Метод ветвей и границ.
Впервые его предложили Ленд и Дойч в 1960г. затем усовершенствовали Литтл, Мурти, Суни, Кэрол.
Рассмотрим следующую целочисленную задачу ЛП:
z=5x₁+4x₂max
x₁+x₂ 5
10x₁+6x₂45
x₁,x₂0,
Соответствующая ослабленная задача ЛП имеет решение: x₁=3.75, x₂=1.25, z=23.75
Оптимальное решение задачи ЛП0 (обозначим ее так) не удовлетворяет условию целочисленности.
Метод ветвей и границ изменяет пространство решений задачи ЛП так, что в конечном счете образуется оптимальное решение задачи ЦП. Для этого сначала выбирается одна из целочисленных переменных, значение которой в оптимальном решении ЛП0 не является целочисленным. Например, выбирая x₁(=3.75), замечаем, что область 31<4 пространства допустимых решений задачи ЛП0 не содержит целочисленных значений x₁, и следовательно ее можно исключить из рассмотрения как бесперспективную. Это эквивалентно замене исходной задачи ЛП0 двумя новыми задачами ЛП1 и ЛП2:
Пространство допустимых решений ЛП1=Пространство допустимых решений ЛП0+(x₁ 3),
Пространство допустимых решений ЛП2=Пространство допустимых решений ЛП0+(x₁4).
Все допустимые решения задачи ЦП остались, задачи ЛП1 и ЛП2 «не потеряют» ни одного решения.
Новые ограничения (x₁3) и (x₁4) взаимно исключаемы, так что задачи ЛП1 и ЛП2 нужно рассматривать как независимые. Дихотомизация задач ЛП — основа концепции ветвления в методе ветвей и границ. В этом случае x₁ называется переменной ветвления.
Оптимальное решение находится либо в ПДЗ задачи ЛП1, либо задачи ЛП2. Следовательно обе задачи должны быть решены.
Решаем ЛП1:
z=5x₁+4x₂max
x₁+x₂ 5
10x₁+6x₂45
x₁3
x₁,x₂0
Решение: x₁=3, x₂=2, z=23.
Оптимальное решение задачи ЛП1 удовлетворяет условию целочисленности переменных x₁ и x₂. В этом случае говорят, что задача ЛП1 прозондирована. Это значит, что задача ЛП1 не должна больше зондироваться, она не может содержать лучшего решения задачи ЦП, чем уже есть.
Пока мы можем сказать, что z=23 – нижняя граница.
Теперь переходим к задаче ЛП2. Так как в задаче ЛП0 оптимальное значение z=23,75 и все ее коэффициенты целые числа, невозможно получить целочисленное решение в задаче ЛП2. Задачу ЛП2 отбрасываем и считаем ее прозондированной.
Реализация метода ветвей и границ завершена. Оптимальное решение: x₁=3, x₂=2, z=23.
Остались без ответа два вопроса:
1) Можно ли было в задаче ЛП0 выбрать переменную x₂ в качестве переменной ветвления вместо x₁?
2) Можно ли было сначала решить задачу ЛП2 вместо ЛП1?
Оба ответа положительные, но дальнейший ход решения может отличаться. Если решать задачу ЛП2, то получим такую схему:
Последовательность подзадач наихудшая. Пример указывает на основную слабость метода ветвей и границ: как выбирать переменную ветвления и как выбирать следующую подзадачу? На этот счет нет строгой теории.
См. также
Метод наименьших квадратов с ограничениями

Методы оптимизации

Метод золотого сечения

Дихотомия

Метод парабол

Перебор по сетке

Метод равномерного блочного поиска

Метод Фибоначчи

Троичный поиск

Метод Пиявского

Метод Стронгина

Я хотел бы услышать твое мнение про целочисленное программирование Надеюсь, что теперь ты понял что такое целочисленное программирование, метод отсекающих плоскостей, метод гомори, метод ветвей и границ и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математические методы исследования операций .Теория игр и расписаний.
Целочисленного программирования — КиберПедия

Навигация:
Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные

Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров…
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие…
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья…

Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений. ..
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления…
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей…

Дисциплины:
Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Если в задаче целочисленного программирования количество управляющих переменных равно двум, а ограничения имеют вид неравенств, то ее можно решить графическим методом. При этом процесс решения состоит из двух этапов.

Этап 1. Решение исходной задачи обычным графическим методом. Если найденное оптимальное решение является целочисленным, то решение прекращают. Если же найденное оптимальное решение содержит хотя бы одно дробное значение, то переходят к этапу 2.
Этап 2. В непосредственной близости от границ ОДР задачи со стороны, где расположена вершина оптимального решения нецелочисленной задачи (т.е. вблизи тех границ ОДР, куда указывает вектор градиента целевой функции), строят точки, координатами которых являются целые числа. Дальнейшее решение в точности повторяет графическое решение обычной задачи линейного программирования, с тем лишь отличием, что, продвигая в направлении вектора градиента линию уровня целевой функции, находят последнюю из целочисленных точек на пути продвижения. Именно ее координаты и будут являться оптимальным целочисленным решением исходной задачи.

ПРИМЕР: Найдите графическим методом оптимальное решение целочисленной задачи линейного программирования, заданной моделью вида:
Вначале решим поставленную задачу графическим методом без ограничения на целочисленность управляющих переменных.
Рис. 4.

Как следует из рассмотрения рис. 4, ОДР задачи есть трапеция ОАВС, а оптимальным решением задачи будут являться координаты точки В, т.е. получено нецелочисленное оптимальное решение задачи в виде: .
Построим внутри ОДР целочисленную сетку и примем во внимание точки D, E и F, имеющие целые значения координат. Очевидно, что наиболее близкой к точке В оказывается точка Е, координаты которой и будут являться искомым целочисленным решением: и при этом .
Метод Гомори решения задач целочисленного
Программирования

Для решения задач целочисленного программирования с любым количеством управляющих переменных может быть успешно применен метод Гомори. Алгоритм решения задачи этим методом содержит два этапа.

Этап 1. Решение задачи линейного программирования без условия целочисленности управляющих переменных обычным симплекс – методом. Если все значения управляющих переменных оптимального плана – целые числа, то решение заканчивают. Если же полученное оптимальное решение содержит хотя бы одно дробное значение управляющих переменных, то переходят к этапу 2.

Этап 2. Составление дополнительного ограничения (сечения) и решение расширенной задачи обычным симплекс – методом. При этом дополнительное ограничение (сечение) отсекает нецелочисленные решения, оставляя только целочисленные.

Целой частью [r] рационального числа r называется наибольшее целое число, не превосходящее числа r. Дробной частью числа r называется правильная дробь {r}, определяемая соотношением: {r} = r – [r].
Пример 1. Для числа 5 имеем: [5] = 5 и {5} = 0.
Пример 2. Для числа 4/5 имеем: [4/5] = 0 и {4/5} = 4/5.
Пример 3. Для числа 8/3 имеем: [8/3] = 2 и {8/3} = 2/3.
Пример 4. Для числа – 4/5 имеем: [- 4/5] = — 1 и {- 4/5} = 1/5.
Пример 5. Для числа – 8/3 имеем: [- 8/3] = — 3 и {- 8/3} = 1/3.
Поясним, каким образом составляется сечение (дополнительное ограничение). Пусть выполнен этап 1, т.е. найдено оптимальное решение задачи в виде:
и пусть некоторое — дробное число. Рассмотрим i-ое ограничение задачи:

С учетом обозначений: и дополнительное ограничение (сечение) для переменной можно записать в виде:
, где .
Очевидно, что при дополнении исходной задачи этим ограничением, получают задачу большей размерности. На практике поступают так: последнюю симплекс-таблицу, содержащую оптимальное (нецелочисленное) решение дополняют еще одной строкой с переменной в списке базисных переменных и еще одним столбцом, соответствующим этой же дополнительной переменной, а в дополнительную строку записывают числовые коэффициенты сечения, включая значение свободного члена. После чего, обычно в одну итерацию, продолжают решение задачи симплекс – методом и, наконец, получают искомое целочисленное решение исходной задачи.
Если при решении целочисленной задачи симплекс – методом (на этапе 1) получено несколько дробных значений, то дополнительное ограничение следует составлять для значения, имеющего максимальную дробную часть.
ПРИМЕР: Найдите методом Гомори целочисленное решение задачи примера подраздела 3.3.1.
Решив поставленную задачу симплекс-методом, получим последнюю симплекс-таблицу, содержащую оптимальное (не целочисленное) решение, (убедитесь в этом сами) в виде:

БП СЧ
1 0 1 –1/2 3/2
0 1 0 1/2 5/2
L 0 0 1 1/2 13/2

Поскольку оба свободных члена имеют одинаковую дробную часть, равную 1/2, для определенности будем составлять сечение по Гомори для переменной . Его можно записать в виде:

.
Введя это ограничение и дополнительную базисную переменную в приведенную симплекс-таблицу, получим новую симплекс-таблицу, из которой в одну итерацию получим искомое целочисленное решение поставленной задачи.

БП СЧ
1 0 1 –1/2 0 3/2
0 1 0 1/2 0 5/2
0 0 0 1/2 –1 1/2
L 0 0 1 1/2 0 13/2
1 0 1 0 –1 2
0 1 0 0 1 2
0 0 0 1 –2 1
L 0 0 1 0 1 6

Из последней симплекс-таблицы следует и при этом: .

Рекомендуемая литература по теме 3: [1 ÷ 4].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 3:
1. Чем отличаются целочисленные задачи от обычных задач линейного программирования?

2. В чем суть графического метода решения задач целочисленного программирования?

3. В чем суть метода Гомори решения задач целочисленного программирования?

4. Для какой управляющей переменной составляется дополнительное ограничение по Гомори?

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого…
Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни…
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰). ..
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой…

Целочисленное решение задач линейного программирования методом ветвей и границ с помощью Excel

В большинстве экономико-математических моделей, сформулированных как задачи линейного программирования, часть или все компоненты вектора-решения должны выражаться в целых числах, т. е. быть целочисленными. К ним относятся, например, задачи, в которых переменные означают количество единиц неделимой продукции, число станков при закупке оборудования, количество домов при очередности строительства и т. д. [3, c. 180]
С другой стороны, это могут быть задачи, в которых при моделировании используются логические (булевы) переменные со значениями 1 и 0, что означает, например, взимать или не взимать арендную плату, создавать или не создавать дополнительный пункт производства и т. д. Покажем особенности фактора целочисленности на следующем примере, который в учебных целях генерируется на компьютере в виде индивидуальных заданий. Оптимальное решение в примере, в принципе, не может быть получено каким-либо округлением решения соответствующей задачи линейного программирования.
Для решения рассмотренного класса задач математического программирования, как правило, используется универсальный метод решения под названием «метод ветвей и границ». [2, с. 158]
Продемонстрируем основные идеи этого метода на примере решения задачи целочисленного линейного программирования (ЦЛП).
Эти задачи включают в себя требования целочисленности ко всем искомым переменным. Они относятся к классу задач полностью целочисленного линейного программирования (задача ЦЛП). В свою очередь, эти задачи являются частным случаем задачи частично целочисленного линейного программирования (ЧЦЛП). [2, с. 160]
При решении задач частично-целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ на определенных этапах решаются вспомогательные задачи линейного программирования (ЛП), для которых применяется симплекс-метод.
Рассмотрим развернутую экономико-математическую модель задачи.
Система переменных: x1_,x2
Система ограничений: 2x1 + x2 ≤ 9
5x1 + 4x2 ≤ 29
Целевая функция: F = 27x1 + 21x2 → max
Решение задачи осуществляется симплексным методом [1, с. 176] с помощью сервисной функции MS Excel «Поиск решения».
Описание шагов алгоритма «метода ветвей и границ»
Решение вспомогательной задачи линейного программирования.
Вспомогательная задача № 1 получается из данной задачи целочисленного линейного программирования путём игнорирования требования целочисленности. Решим задачу симплексным методом с помощью Excel. В результате получим: х1=2,3, х2=4,3, Fmax=154 (схема 1).
2.Очередное ветвление вспомогательной задачи на две вспомогательные подзадачи нижнего уровня.
Так как вышеполученное решение нецелочисленное, то оно дает верхнюю границу F = 154 для максимума целевой функции искомого оптимального решения исходной задачи.
В этом случае одна из переменных, имеющих дробное значение, в данном случае x1, берется за основу для разбиения (ветвления) данной вспомогательной задачи № 1 на вспомогательные подзадачи под номерами 1.1 и 1.2 по нижеприведенной методике:
Так как 2
задача 1.1. → задача 1.2.
2×1 + x2 ≤ 9 → 2×1 + x2 ≤ 9
5×1 + 4×2 ≤ 29 → 5×1 + 4×2 ≤ 29
х1=3
х1>=0, х2>=0х1>=0, х2>=0
F = 27×1+21×2 → max → F = 27×1+21×2 → max
При решении подзадачи 1.1. в Excel добавим ограничение х1
В результате получим:
х1=2, х2=4,75 Fмах=153,75.
153,75 — уточненная верхняя граница
При решении подзадачи 1.2. в Excel добавим ограничение х2>=3
В результате получим:
х1=3, х2=3, Fмах=144
Таким образом, получим первый целочисленный рекорд.
Проверка оптимальности текущего целочисленного рекорда после очередного ветвления на основе формулировки критерия оптимальности текущего целочисленного рекорда по методу ветвей и границ:Текущий целочисленный рекорд объявляется оптимальным решением исходной задачи в том и только том случае, если при данном состоянии дерева решений на концах других ветвей не существует верхних границ, превосходящих значение рекорда.
В данном случае критерий не выполняется, так как 153,75 больше 144.
Ветвление следует продолжить по подзадаче № 1.1, которая дает наибольшую на данный момент верхнюю границу из подзадач, находящихся на концах ветвей. В качестве основы для ветвления выбирается дробное значение переменной х2 = 4,75.
Так как 4
задача 1.1.1. → задача 1.1.2.
2×1+x2≤9 → 2×1+x2≤9
5×1+4×2≤29 → 5×1+4×2≤29
х2=5
х1
х1>=0, х2>=0х1>=0, х2>=0
F=27×1+21×2 → max → F=27×1+21×2 → max
При решении подзадачи 1.1.1. в Excel добавим ограничение х2
В результате получим:
х1=2, х2=4, Fмах=138
При решении подзадачи 1.1.2. в Excel добавим ограничение х2>=5
В результате получим:
х1=1,8, х2=5, Fмах=153,6
153,6 — уточненная верхняя граница.
Проверка оптимальности текущего целочисленного рекорда после очередного ветвленияпоказывает, что критерий вновь не выполняется, так как 153,6 больше 138.
Продолжаем ветвление по подзадаче 1. Рассмотрим подзадачу 1.3.В качестве основы для ветвления выбирается дробное значение переменной х2 =4,3.
Так как 3
задача 1.3. → задача 1.4.
2×1+x2≤9 → 2×1+x2≤9
5×1+4×2≤29 → 5×1+4×2≤29
х2=5
х1>=0, х2>=0х1>=0, х2>=0
F=27×1+21×2 → max → F=27×1+21×2→ max
При решении подзадачи 1.3. в Excel добавим ограничение х2
В результате получим:
х1=2,5, х2=4, Fмах=151,5
При решении подзадачи 1.4. в Excel добавим ограничение х2>=5
В результате получим:
х1=1,8, х2=5, Fмах=153,6
Продолжим ветвление по подзадаче 1.4.
В качестве основы для ветвления выбирается дробное значение переменной х1 = 1,8.
Так как 1
2×1+x2≤9 → 2×1+x2≤9
5×1+4×2≤29 → 5×1+4×2≤29
х2>=5 х2>=2
х1
х1>=0, х2>=0 → х1>=0, х2>=0
F=27×1+21×2 →max → F=27×1+21×2 → max
При решении подзадачи 1. 4.2. — поиск не может найти подходящего решения.
При решении подзадачи 1.4.1. в Excel добавим ограничение х2
В результате получим: х1=1, х2=6, Fмах=153
Таким образом, значение 153 является новым текущим целочисленным рекордом, отменяющим прежний рекорд 144.
Оптимальным решением этой задачи будет Fмах=153, при х1=1, х2=6.
Следует отметить, что никаким округлением решения вспомогательной задачи № 1 (х1=2,3, х2=4,3) в принципе невозможно получить оптимальное решение х1=1, х2=6.
Рис. 1. Алгоритм «метода ветвей и границ» Дерево решений
Литература:
Гармаш А. Н., Орлова И. В. Математические методы в управлении: Учебное пособие. — М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2014. — 272 — c.
Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве / Гатаулин А. М., Гаврилов Г. В., Сорокина Т. М. и др. ; Под ред. А. М. Гатаулина. — СПБ.: ООО «ИТК ГРАНИТ», 2009. — 432 с.
Савиных В. Н. Математическое моделирование производственного и финансового менеджмента [Текст]: учеб. пособие / В. Н. Савиных. — Новосибирск: СГГА, 2007. — 219 с.
Алексеев Г. В. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация [Электронный ресурс]: учебное пособие / Алексеев Г. В., Холявин И. И.— С.: Вузовское образование, 2013. 195— c. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/16905. — ЭБС «IPRbooks».
Основные термины (генерируются автоматически): задача, решение подзадачи, вспомогательная задача, линейное программирование, целочисленное линейное программирование, ветвление, дробное значение переменной, качество основы, метод ветвей, текущий целочисленный рекорд.
Автоматизация табличного симплекс-метода решения задач линейного программирования с использованием программы С++
Глава 1. Аналитическая часть 1.1 История развития экономико-математического планирования В 1938-1939 гг. ленинградский математик (впоследствии академик, лауреат Ленинской, Государственных и Нобелевской премий) Л.В. Канторович в результате анализа ряда проблем организации и планирования производства сформулировал новый класс условно-экстремальных задач и предложил методы их решения. Так было положено начало новой отрасли прикладной математики линейному программированию. В более поздних работах Л. В. Канторович расширил область применения линейного программирования в социалистической экономике, сформулировав задачи отраслевого и народнохозяйственного оптимального планирования. А через два десятилетия после своего возникновения линейное программирование стало основным инструментом планово-экономических решений на всех уровнях социалистического народного хозяйства. [1] В том же 1939 г. ленинградский экономист В. В. Новожилов, рассматривая эффективность плановых и проектных решений, сформулировал важные теоретические положения, ставшие потом органической частью теории оптимального планирования социалистической экономики. Далее методы планирования продолжали совершенствоваться, но только развитие вычислительной техники в конце 50-х гг. позволило сделать плановые многовариантные расчеты достаточно распространенными. Важную роль в организации и пропаганде экономико-математических исследований в этот период сыграл академик В. С. Немчинов. Именно в эти годы получают развитие некоторые разделы прикладной математики, связанные с решением оптимизационных задач: линейное и нелинейное программирование, теория оптимального управления и др. В 60-е гг. основное внимание исследователей сосредоточивается на разработке оптимизационных моделей различных типов и их практическом применении к решению задач планирования. Было построено большое количество экономико-математических моделей, на основе которых проведены расчеты по составлению реальных оптимальных планов (оптимальные планы перевозок, эксплуатации подвижного состава транспорта, использования топлива, загрузки оборудования предприятий; оптимальное размещение отдельных отраслей промышленности и предприятий отрасли; оптимальное планирование и распределение капиталовложений и т. д.), что дало большой народнохозяйственный эффект. Наряду с расширением сферы применения математических моделей в экономике и планировании осуществляется процесс усовершенствования моделей и использования более адекватного математического аппарата: переход от статических моделей к динамическим, от жестко детерминированных к стохастическим моделям, учитывающим случайность и неопределенность экономических процессов, применение дискретного программирования, методов статистического моделирования, создание новых алгоритмов, позволяющих решать задачи большой размерности. 1.2 Необходимость решения задач линейного программирования Применение экономико-математических методов и моделей позволяет существенно улучшить качество планирования и получить дополнительный экономический эффект без вовлечения в общественное производство дополнительных ресурсов, что чрезвычайно важно в условиях перехода экономики на преимущественно интенсивный путь развития. В настоящее время область возможного применения экономико-математических методов в планировании чрезвычайно велика и с каждым годом она расширяется. Однако область фактического их применения в практике плановых расчетов намного скромнее. Это объясняется трудностями широкого внедрения экономико-математических методов. К числу их следует отнести: сложность определения критерия оптимальности в ряде экономических задач; трудности при решении проблемы «встраивания» математических моделей в существующую систему планирования и управления, приводящие к необходимости создания новой технологии планирования, базирующегося на системном использовании экономико-математических методов и ЭВМ; стохастический и динамический характер экономических процессов, требующий усложнения используемого математического аппарата и программного обеспечения ЭВМ, увеличения объема вычислений; трудность измерений многих экономических явлений и получения массовой достоверной информации для наполнения разработанных моделей; трудность проверки правильности (верификации) экономико-математических моделей, ориентированных не столько на подтверждение действительности, сколько на решение новых социально-экономических задач (это в первую очередь относится к моделям планирования и прогнозирования), и т. д. Но главная трудность заключается в сложности моделируемых экономических процессов и явлений. Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием «сложная система». При изучении систем недостаточно (а иногда и невозможно) пользоваться методом расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Кроме того, моделирование существенно усложняется тем, что экономика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения. Моделировать производственные отношения невозможно, не учитывая поведение людей, их интересы и индивидуально принятые решения. В результате производственно-хозяйственная или социально-экономическая ситуация, в которой приходится принимать плановые решения, часто оказывается намного богаче и сложнее тех моделей, которые используются в планировании в этой ситуации. В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решений, в том числе и в финансовой математике. Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Эти программы и системы снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов. В развитие и совершенствование этих систем вложен труд и талант многих математиков, аккумулирован опыт решения тысяч задач. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области прикладной математики. 1.3 Линейное программирование Линейное программирование — математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Линейное программирование — это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их использования можно довольно просто проиллюстрировать. [17] Целевая функция задачи линейного программирования достигает своего экстремума (минимума или максимума) в вершине допустимой области. Если целевая функция достигает экстремального значения более, чем на одной вершине, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих вершин. К задачам линейного программирования сводится множество практических задач, встречающихся в разных областях экономики и техники. Теоретическая и практическая сторона решения задачи линейного программирования на сегодняшний день хорошо разработана однако отдельные вопросы, связанные с так называемой проблемой вырожденности были разрешены не так давно. Полученные в рамках борьбы с вырожденностью результаты представляют самостоятельный интерес и являются основой для предлагаемого в настоящей работе нового алгоритма. Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, еще до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации. Первым исследованием по линейному программированию является работа Л.B. Kантфовича “Математические методы организации и планирования производства”, опубликованная в 1939 г. В нем дана постановка задач линейного программирования, разработан метод разрешающих множителей решения задач линейного программирования и дано его теоретическое обоснование. Прямая задача линейного программирования является математической формулировкой проблемы составления такого плана использования различных способов производства, который позволяет получить максимальное количество однородного продукта при имеющихся в наличии ресурсах. Математическое программирование — это прикладная отрасль математики, которая является теоретической основой решения задач оптимального планирования. Существуют следующие разделы математического программирования: линейное, параметрическое, нелинейное и динамическое программирование. Наиболее разработанным и широко применяемым разделом математического программирования является линейное программирование, целью которого служит отыскивание оптимума (max, min) заданной линейной функции при наличии ограничений в виде линейных уравнений или неравенств. Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим: — математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных; — данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ; — многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение; — некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования. 1.4 Математическая формулировка задачи линейного программирования Прямая задача линейного программирования является математической формулировкой. Проблемы составления такого плана использования различных способов производства позволяет получить максимальное количество однородного продукта при имеющихся в наличии ресурсах. Математическое программирование — это прикладная отрасль математики, которая является теоретической основой решения задач оптимального планирования. Математическим программированием принято называть науку о моделях и методах отыскания таких значений переменных некоторой целевой функции, при которых она достигает своего наибольшего или наименьшего значения в рамках поставленных ограничений (условий). Целевая функция – это математическое представление зависимости критерия оптимальности от искомых переменных. Существуют следующие разделы математического программирования: линейное, параметрическое, нелинейное и динамическое программирование. Наиболее разработанным и широко применяемым разделом математического программирования является линейное программирование, целью которого служит отыскивание оптимума (max, min) заданной линейной функции при наличии ограничений в виде линейных уравнений или неравенств. Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи. В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЛП) записывается как: L(?x)= c_1 x_1+ c_2 x_2+?+ c_j x_j+?+ c_n x_(n )>max?? (min)? при ограничениях: a_11 x_1+ a_12 x_2+?+ a_1j x_j+?+ a_1n x_n=b_1, a_21 x_1+ a_22 x_2+?+ a_2j x_j+?+ a_2n x_(n )=b_2 ………………………………………………………… a_i1 x_1+ a_i2 x_2+?+ a_ij x_j+?+ a_in x_n=b_i ………………………………………………………… a_m1 x_1+ a_m2 x_2+?+ a_mj x_j+?+ a_mn x_n=b_m x_j?0,i=?(1,m,j),j=?(1,n) где xj — неизвестные; aij, bi, cj— заданные постоянные величины. Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств. n-a_ij x_j=b_i,x_i?0,i=?(1,m),j=?(1,n). Допустимым решением (планом) зада¬чи линейного программирования называется вектор x ? = (x1, x2,…, xп), удовлетворяющий системе ограничений. Множество допустимых решений образует область допус¬тимых решений (ОДР). Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называ¬ется оптимальным решением задачи линейного программиро¬вания и обозначается ?xопт. Иногда на xi также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя ее во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции f). Такую задачу называют «основной» или «стандартной» в линейном программировании. Базисное допустимое решение x ?(х1, х2,…, xr, 0, …, 0) яв¬ляется опорным решением, где r — ранг системы ограничений. Математическая модель задачи ЛП может быть каноничес¬кой и неканонической. Если все ограничения системы заданы урав¬нениями и переменные xj неотрицательные, то такая модель задачи называется канонической. Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи линейного программирования является неканонической. Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную xn+i. Если знак неравенства ?, то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства ?, то — минус. В целевую функ¬цию балансовые переменные не вводятся. Чтобы составить математическую модель задачи ЛП, не¬обходимо: — ввести обозначения переменных; — исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию; — учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономернос¬ти, записать систему ограничений. 1.5 Постановка задачи целочисленного программирования Значительная часть задач оптимального планирования по смыслу может иметь решения только в целых числах. Такие задачи связаны с определением количества единиц неделимой продукции, например, числа станков при загрузке оборудования, численности работников в структурных подразделениях предприятия и т. д. Такие задачи решаются методами целочисленного программирования, где общая постановка задачи линейного программирования дополняется требованием о том, чтобы найденные переменные в оптимальном плане были целыми. Под задачей целочисленного программирования (ЦП) понимается задача, в которой все или некоторые переменные должны принимать целые значения. В том случае, когда ограничения и целевая функция задачи представляют собой линейные зависимости, задачу называют целочисленной задачей линейного программирования. В противном случае, когда хотя бы одна зависимость будет нелинейной, это будет целочисленной задачей нелинейного программирования. Если функция и ограничения в таких задачах линейны и на переменные задачи наложено условие целочисленности, то такие задачи называются задачами линейного целочисленного программирования. Сформулируем основную задачу линейного программирования, в которой переменные могут принимать только целые значения. В общем виде эту задачу можно записать следующим образом. n-c_ij x_j=b_i, (i=?(1,m)) x_j?0 (j=?(1,n)) x_j-цели (j=?(1,n)) Если найти решение задачи симплексным методом, оно может быть как целочисленным, так и нет. В таком случае для нахождения оптимального плана задачи нужны специальные методы. В настоящее время есть несколько таких методов, из которых наиболее известны графический метод и метод Гомори. Особый интерес к задачам ЦП вызван тем, что во многих практических задачах необходимо находить целочисленное решение ввиду дискретности ряда значений искомых переменных. В сфере лесного комплекса к их числу относятся следующие задачи: задачи оптимизации раскроя; оптимальное проектирование лесных машин и оборудования; оптимизации системы сервиса и технического обслуживания машинно-тракторного парка; и т.д. Как уже отмечалось, часто задачу ЦП решают без учета условий целочисленности переменных, а затем округляют полученное решение с избытком или недостатком. Это не гарантирует получение оптимального целочисленного решения задачи. Поэтому для нахождения оптимального решения целочисленных задач применяют специальные методы, в которых учитывается, что число возможных решений любой целочисленной задачи является конечным. Следовательно, можно рассмотреть все возможные сочетания целочисленных переменных и проверить, удовлетворяют ли они ограничениям, и из числа удовлетворяющих ограничениям, выбрать наилучшее с точки зрения целевой функции. Такой метод называют методом полного перебора. Его трудоемкость с ростом числа переменных и расширением области граничных условий значительно возрастает. Поэтому для реальных задач он неприменим. На практике для решения реальных задач следует использовать методы, в котором все возможные альтернативы не рассматриваются. Наиболее распространенным является метод ветвей и границ.
Решатели NEOS
Ниже перечислены доступные решатели, организованные по типу проблемы. Ан дополнительный список доступен для поиска с помощью Solver, если вы предпочитаете.
Если вам нужна помощь в выборе решателя, обратитесь к Дерево оптимизации руководства НЕОС. Затем выбор решателя определяет доступные параметры ввода для определения задачи оптимизации.
Каждый решатель содержит примеры задач и справочную информацию о решателе. Обязательно отправьте образец задачи, чтобы понять, как ее отправить. проблемы с оптимизацией для NEOS. Если у вас возникнут проблемы, обратитесь к Часто задаваемые вопросы по серверу NEOS, или свяжитесь с нами, нажав на кнопку Комментарии и вопросы ссылка внизу страницы.

Тип проблемы
Решатель
Просмотр очереди заданий
Просмотр результатов задания / Завершение задания
ПРЕОБРАЗОВАТЬ [ГАМС]
Домино [jpeg]
ЕСМ [CSV] [один_текст] [zip]
Фишверкс [CSV]
Приложение для планирования [JSON]
Л-БФГС-Б [АМПЛ]
БикМак [РАЗДЕЛЬНЫЙ]
согласие [TSP]
Вязание [АМПЛ]
МИЛЬ [ГАМС]
НЛПЭК [ГАМС]
ПУТЬ [АМПЛ] [ГАМС]
Германия [ГАМС]
ДЖЕМ [ГАМС]
АНТИГОНА [ГАМС]
АСА [АМПЛ]
БАРОН [АМПЛ] [ГАМС]
Куэнн [АМПЛ] [ГАМС]
значков [АМПЛ]
ЛГО [АМПЛ]
ЛИНДОГлобал [АМПЛ] [ГАМС]
ОКТЕРАКТ [АМПЛ] [ГАМС] [Нидерланды]
ПГАПакет [АМПЛ]
PSтеплый [АМПЛ]
РАПОСа [АМПЛ]
код [АМПЛ] [КОМПЛЕКС] [ГАМС] [MPS] [ОСИЛ] [ЗИМПЛ]
РЕЛАКС4 [ДИМАКС] [РЕЛАКС4]
ударов в минуту [АМПЛ] [LP] [MPS] [QPS]
клп [MPS]
КОПТ [АМПЛ] [ГАМС] [LP] [MPS] [Нидерланды]
КОМПЛЕКС [АМПЛ] [ГАМС] [LP] [MPS] [Нидерланды]
ФИКО-Экспресс [АМПЛ] [ГАМС] [МОЗЕЛЬ] [MPS] [Нидерланды]
Гуроби [АМПЛ] [ГАМС] [LP] [MPS] [Нидерланды]
Высокие [АМПЛ] [ГАМС] [LP] [MPS]
МОСЕК [АМПЛ] [ГАМС] [LP] [MPS] [Нидерланды]
ОКТЕРАКТ [АМПЛ] [LP] [MPS] [Нидерланды]
ООКП [АМПЛ]
Соплекс 80 бит [LP] [MPS]
фильтрМПЭК [АМПЛ]
Вязание [АМПЛ] [ГАМС]
НЛПЭК [ГАМС]
КВС [АМПЛ] [ГАМС] [MPS]
КОПТ [АМПЛ] [ГАМС] [LP] [MPS] [Нидерланды]
КОМПЛЕКС [АМПЛ] [ГАМС] [LP] [MPS] [Нидерланды]
feaspump [АМПЛ] [КОМПЛЕКС] [MPS]
ФИКО-Экспресс [АМПЛ] [ГАМС] [МОЗЕЛЬ] [MPS] [Нидерланды]
Гуроби [АМПЛ] [ГАМС] [LP] [MPS] [Нидерланды]
Высокие [АМПЛ] [ГАМС] [LP] [MPS]
МИНТО [АМПЛ]
МОСЕК [АМПЛ] [ГАМС] [LP] [MPS] [Нидерланды]
ОКТЕРАКТ [АМПЛ] [LP] [MPS] [Нидерланды]
прокси [КОМПЛЕКС] [MPS]
qsopt_ex [АМПЛ] [LP] [MPS]
код [АМПЛ] [КОМПЛЕКС] [ГАМС] [MPS] [ОСИЛ] [ЗИМПЛ]
СИМФОНИЯ [MPS]
АльфаЭКП [ГАМС]
АНТИГОНА [ГАМС]
БАРОН [АМПЛ] [ГАМС]
Бонмин [АМПЛ] [ГАМС]
Куэнн [АМПЛ] [ГАМС]
ДИКОПТ [ГАМС]
ФилМИНТ [АМПЛ]
Вязание [АМПЛ] [ГАМС]
ЛИНДОГлобал [АМПЛ] [ГАМС]
МИНЛП [АМПЛ]
ОКТЕРАКТ [АМПЛ] [ГАМС] [Нидерланды]
СББ [ГАМС]
код [АМПЛ] [КОМПЛЕКС] [ГАМС] [MPS] [ОСИЛ] [ЗИМПЛ]
ВЫСТРЕЛ [ГАМС]
МУСКОД-II [АМПЛ]
кондор [АМПЛ]
АНТИГОНА [ГАМС]
КОНОПТ [АМПЛ] [ГАМС]
ФИКО-Экспресс [МОЗЕЛЬ]
фильтр [АМПЛ]
Ипопт [АМПЛ] [ГАМС] [Нидерланды]
Вязание [АМПЛ] [ГАМС] [Нидерланды]
ЛАНСЕЛОТ [АМПЛ]
ЛОКО [АМПЛ]
МИНОС [АМПЛ] [ГАМС]
ОКТЕРАКТ [АМПЛ] [ГАМС] [Нидерланды]
ПАТНЛП [ГАМС]
СНИМОК [АМПЛ] [ГАМС] [Нидерланды]
КОПТ [MPS]
КОМПЛЕКС [АМПЛ] [ГАМС] [MPS] [Нидерланды]
ФИКО-Экспресс [АМПЛ] [ГАМС] [МОЗЕЛЬ] [MPS] [Нидерланды]
Гуроби [АМПЛ] [ГАМС] [MPS] [Нидерланды]
МОСЕК [КБФ] [ГАМС] [MPS]
код [АМПЛ] [КОМПЛЕКС] [MPS]
нсипс [АМПЛ]
csdp [MATLAB_BINARY] [SPARSE_SDPA]
мосек [MATLAB_BINARY] [SPARSE_SDPA]
пенсдп [MATLAB_BINARY] [SPARSE_SDPA]
scipsdp [SPARSE_SDPA]
СДПА [MATLAB_BINARY] [SPARSE_SDPA]
сдплр [СДПЛР] [SPARSE_SDPA]
сдпт3 [MATLAB_BINARY] [SPARSE_SDPA]
седуми [MATLAB_BINARY] [SPARSE_SDPA]
бнбс [SMPS]
ддсип [LP] [MPS]
ДСП [SMPS]
сд [SMPS]
Целочисленное программирование – Оптимизация онлайн
Опубликовано: 30 августа 2022 г.
Алекс Данбар
Саумья Синха
Эндрю Дж. Шефер
Категории Целочисленное программирование, Многокритериальная оптимизация Метки целочисленное программирование, лагранжева двойственность, лагранжева релаксация, многокритериальная двойная оптимизация, супераддитивная
Многоцелевые целочисленные программы (MOIP) одновременно оптимизируют несколько целевых функций по набору линейных ограничений и целочисленных переменных. В этой статье мы представляем непрерывную релаксацию выпуклой оболочки и лагранжеву релаксацию для MOIP и исследуем взаимосвязь между ними. Релаксация выпуклой оболочки точна на поддерживаемых решениях, т. Е. На тех, которые можно получить путем скаляризации … Читать далее
Опубликовано: 15 августа 2022 г.
Кристофер Мьюир
Люк Маршалл
Алехандро Ториелло
Категории (Смешанные) Целочисленное линейное программирование, Многогранники, Планирование Метки Комбинаторная оптимизация, Целочисленное программирование, Интервальное планирование, Временное бинарное планирование, Сопоставление многогранников
Вдохновленные приложениями в облачных вычислениях, мы изучаем временную проблему упаковки корзины с заданиями, которые занимают половину емкости корзины. Экземпляр задается набором заданий, каждое из которых имеет время начала и окончания, в течение которых оно должно быть обработано, т. е. назначено ячейке. Мусорный бак может вместить два рабочих места … Читать далее
Опубликовано: 18.07.2022
Сэмюэл Крогер
Хамидреза Валиди
Илья В. Хикс
Категории Комбинаторная оптимизация, Целочисленное программирование, Оптимизация сети Метки целочисленное программирование, социальная устойчивость, задача k-03 с максимальной привязкой
Руководствуясь важностью социальной устойчивости как решающего элемента в каскадном уходе пользователей из социальной сети, мы изучаем определение наибольшего расслабленного варианта связанного подграфа на основе степеней: проблема k-core с максимальным закреплением. Учитывая граф G = (V, E) и целые числа k и b, задача k-ядра с максимальной привязанностью стремится найти наибольшее… Читать далее
Опубликовано: 05. 07.2022
Андреас Берманн
Патрик Гемандер
Александр Мартин
Категории (Смешанные) Целочисленное линейное программирование, Стохастическое программирование, Транспорт Теги проблема клики, потребление энергии, целочисленное программирование, множественный выбор ограничений, железная дорога составление расписания, стохастическая оптимизация
Мы рассматриваем проблему в контексте энергоэффективного расписания метрополитена, в котором существующий проект расписания улучшается за счет незначительного изменения времени отправления и движения. На практике синхронизация между ускоряющимися и тормозящими поездами для использования рекуперативного торможения играет важную роль для энергоэффективности расписания. Поскольку отклонения от запланированного графика … Читать дальше
Опубликовано: 07.06.2022
Barkel Mathijs
Maxence Delorme
Категории Комбинаторная оптимизация Теги Формула дугового потока, упаковка в контейнеры, генерация ограничений, целочисленное программирование, Двухгистограммы
Мы рассматриваем упаковку двухгистограмм (2-BCPP), недавнюю задачу комбинаторной оптимизации, цель которой состоит в том, чтобы упаковать набор одномерных элементов в минимальное количество ячеек. В отличие от хорошо известной проблемы упаковки в контейнеры, пары предметов группируются в гистограммы, и решение возможно только в том случае, если первое и… Читать далее
Опубликовано: 28 мая 2022 г.
Изува Аханор
Медал Хью Р.
Эндрю К. Трапп
Категории Приложения — Наука и техника, Целочисленное программирование, Другие темы Теги разнообразие, целочисленное программирование, почти оптимальные решения, узел -правила выбора
Хотя большинство методов решения задач оптимизации со смешанными целыми числами вычисляют единственное оптимальное решение, разнообразный набор почти оптимальных решений часто может быть более полезным. Мы представляем новый метод поиска набора разнообразных решений, подчеркивая разнообразие в поиске решений, близких к оптимальным. В частности, в рамках схемы ветвей и границ мы исследуем параметризованный выбор узлов… Подробнее
Опубликовано: 10 мая 2022 г.
Т. Ван дер Бик
Дж.Т. Ван Эссен
Дж. Прюйн
Карен И. Аардал
Категории (Смешанные) Целочисленное линейное программирование, Подходы к секущей плоскости Теги Гибкая структура проекта, целочисленное программирование, планирование проекта, Задача планирования проекта с ограниченными ресурсами
Задача планирования проекта с ограниченными ресурсами с гибкой структурой проекта (RCPSP-PS) является обобщением проблемы планирования проекта с ограниченными ресурсами (RCPSP). Цель RCPSP-PS состоит в том, чтобы найти минимальное расписание выполнения с учетом приоритета и ограничений ресурсов, при этом необходимо выполнить только подмножество всех действий. Представляем общий … Читать дальше 9{N-p}_+\}$, в котором подзадача, возникающая при фиксированном $x$, имеет специальную структуру. Одним из таких примеров является задача размещения мощностей с единым источником, в которой релаксация линейного программирования подзадачи представляет собой транспортировку … Читать далее
Опубликовано: 16 марта 2022 г.
Бруно Колонетти
Эрлон Финарди
Виктор М. Завала
Сэмюэл Брито
0003 Блок
уже более 50 лет находится в центре работы энергосистемы. Однако эту проблему нельзя считать решенной из-за ее масштабности и сложности. Сегодня операторы полагаются на готовые решения для оптимизации, чтобы решить эту сложную проблему, и часто прибегают к упрощениям, чтобы сделать проблему более понятной и решаемой в … Подробнее
Опубликовано: 03.02.2022
Ануп К.П.
Meenarli Sharma
Категории Приложения — операционные и управленческие науки, Транспорт Теги консолидация грузов, целочисленное программирование, Мультимодальные перевозки, Скидка за объем
Мы рассматриваем реальную проблему мультимодальных грузовых перевозок, которая возникает в организации по производству продовольственного зерна в Индии. Эта задача направлена на то, чтобы удовлетворить спрос на набор складов для различных видов продовольственного зерна из другого набора складов с избыточными количествами в течение нескольких периодов времени железнодорожным и автомобильным транспортом, при этом минимизируя … Читать далее
Оптимизация с помощью Python — настоящий Python
Линейное программирование — это набор методов, используемых в математическое программирование , иногда называемое математической оптимизацией, для решения систем линейных уравнений и неравенств при максимизации или минимизации некоторой линейной функции. Это важно в таких областях, как научные вычисления, экономика, технические науки, производство, транспорт, военные, менеджмент, энергетика и так далее.
Экосистема Python предлагает несколько всеобъемлющих и мощных инструментов для линейного программирования. Вы можете выбирать между простыми и сложными инструментами, а также между бесплатными и коммерческими. Все зависит от ваших потребностей.
В этом уроке вы узнаете:
Что такое линейное программирование и почему оно важно
Какие инструменты Python подходят для линейного программирования
Как построить модель линейного программирования на Python
Как решить задачу линейного программирования с помощью Python
Сначала вы изучите основы линейного программирования. Затем вы узнаете, как реализовать методы линейного программирования в Python. Наконец, вы познакомитесь с ресурсами и библиотеками, которые помогут вам в дальнейшем развитии линейного программирования.
Бесплатный бонус: 5 Thoughts On Python Mastery, бесплатный курс для Python-разработчиков, который показывает вам дорожную карту и образ мышления, которые вам понадобятся, чтобы вывести свои навыки Python на новый уровень.
Объяснение линейного программирования
В этом разделе вы познакомитесь с основами линейного программирования и родственной дисциплины — линейного программирования смешанных целых чисел. В следующем разделе вы увидите несколько практических примеров линейного программирования. Позже вы будете решать задачи линейного программирования и смешанно-целочисленного линейного программирования с помощью Python.

Представьте, что у вас есть система линейных уравнений и неравенств. Такие системы часто имеют множество возможных решений. Линейное программирование представляет собой набор математических и вычислительных средств, позволяющих найти частное решение данной системы, соответствующее максимуму или минимуму какой-либо другой линейной функции.
Смешанное целочисленное линейное программирование является расширением линейного программирования. Он обрабатывает проблемы, в которых по крайней мере одна переменная принимает дискретное целое число, а не непрерывное значение. Хотя задачи со смешанными целыми числами на первый взгляд похожи на задачи с непрерывными переменными, они предлагают значительные преимущества с точки зрения гибкости и точности.
Особенно важным типом целочисленной переменной является двоичная переменная . Он может принимать только значения ноль или единица и полезен при принятии решений «да» или «нет», например, следует ли строить завод или включать или выключать машину. Вы также можете использовать их для имитации логических ограничений.
Линейное программирование — это фундаментальный метод оптимизации, который десятилетиями использовался в наукоемких и математических областях. Он точен, относительно быстр и подходит для целого ряда практических приложений.
Смешанно-целочисленное линейное программирование позволяет преодолеть многие ограничения линейного программирования. Вы можете аппроксимировать нелинейные функции кусочно-линейными функциями, использовать полунепрерывные переменные, моделировать логические ограничения и многое другое. Это инструмент, требующий значительных вычислительных ресурсов, но прогресс в компьютерном оборудовании и программном обеспечении делает его более применимым с каждым днем.
Значение линейного программирования, и особенно линейного программирования смешанных целых чисел, с течением времени возрастало по мере того, как компьютеры становились более производительными, алгоритмы совершенствовались, а более удобные программные решения становились доступными.
Задачи линейного программирования со смешанными целыми числами решаются с помощью более сложных и ресурсоемких методов, таких как метод ветвей и границ , в котором используется линейное программирование. Некоторые варианты этого метода метод ветвей и отсечений , который включает использование секущих плоскостей, и метод ветвей и цен .
Существует несколько подходящих и хорошо известных инструментов Python для линейного программирования и линейного программирования смешанных целых чисел. Некоторые из них с открытым исходным кодом, а другие являются проприетарными. Нужен ли вам бесплатный или платный инструмент, зависит от размера и сложности вашей проблемы, а также от потребности в скорости и гибкости.
Стоит отметить, что почти все широко используемые библиотеки линейного программирования и смешанно-целочисленного линейного программирования являются родными и написаны на Fortran, C или C++. Это связано с тем, что линейное программирование требует интенсивной вычислительной работы с (часто большими) матрицами. Такие библиотеки называются решатели . Инструменты Python — это просто оболочки для решателей.
Python подходит для создания оболочек нативных библиотек, поскольку хорошо работает с C/C++. Для этого руководства вам не понадобится язык C/C++ (или Fortran), но если вы хотите узнать больше об этой замечательной функции, ознакомьтесь со следующими ресурсами:
.
Создание модуля расширения Python C
Внутреннее устройство CPython
Расширение Python с помощью C или C++
По сути, когда вы определяете и решаете модель, вы используете функции или методы Python для вызова низкоуровневой библиотеки, которая выполняет реальную работу по оптимизации и возвращает решение вашему объекту Python.
Несколько бесплатных библиотек Python специализированы для взаимодействия с решателями линейного или смешанно-целочисленного линейного программирования:
Оптимизация SciPy и поиск корней
Пульпа
Пиомо
CVXOPT
В этом руководстве вы будете использовать SciPy и PuLP для определения и решения задач линейного программирования.

Независимые переменные, которые вам нужно найти — в данном случае x и y — называются переменными решения . Функция переменных решения, которую необходимо максимизировать или минимизировать, — в данном случае z — называется целевой функцией , функцией стоимости или просто целью . Неравенства, которые вам необходимо удовлетворить, называются ограничениями неравенства . Вы также можете иметь уравнения среди ограничений, называемых ограничениями равенства .
Красная линия представляет функцию 2 x + y = 20, а красная область над ним показывает, где выполняется красное неравенство , а не . Точно так же синяя линия представляет собой функцию −4 x + 5 y = 10, а синяя область запрещена, поскольку нарушает синее неравенство. Желтая линия — это — 90 540 x 90 541 + 2 90 540 y 90 541 = —2, а желтая область под ней — это место, где желтое неравенство неверно.
Если не учитывать красную, синюю и желтую области, останется только серая область. Каждая точка серой области удовлетворяет всем ограничениям и является потенциальным решением проблемы. Эта область называется допустимая область , а ее точки допустимые решения . В этом случае существует бесконечное количество возможных решений.
Вы хотите максимизировать z . Допустимое решение, соответствующее максимальному z , является оптимальным решением . Если бы вместо этого вы пытались минимизировать целевую функцию, то оптимальное решение соответствовало бы ее допустимому минимуму.
Обратите внимание, что z является линейным. Вы можете представить его как плоскость в трехмерном пространстве. Вот почему оптимальное решение должно быть на вершина или угол допустимой области. В этом случае оптимальным решением будет точка пересечения красной и синей линий, как вы увидите позже.
Теперь решение должно удовлетворять зеленому равенству, поэтому допустимая область больше не является всей серой областью. Это часть зеленой линии, проходящая через серую область от точки пересечения с синей линией до точки пересечения с красной линией. Последний пункт является решением.
Например, рассмотрим, что произойдет, если вы добавите ограничение x + y ≤ −1. Тогда по крайней мере одна из переменных решения ( x или y ) должен быть отрицательным. Это противоречит заданным ограничениям x ≥ 0 и y ≥ 0. Такая система не имеет допустимого решения, поэтому она называется недопустимой.
Задача линейного программирования равна неограниченный , если его допустимая область не ограничена и решение не является конечным. Это означает, что по крайней мере одна из ваших переменных не ограничена и может достигать положительной или отрицательной бесконечности, что также делает цель бесконечной.
Например, предположим, что вы берете исходную задачу, описанную выше, и отбрасываете красные и желтые ограничения. Удаление ограничений из проблемы называется ослаблением проблемы. В таком случае 90 540 x 90 541 и 90 540 y 90 541 не будут ограничены с положительной стороны. Вы могли бы увеличить их до положительной бесконечности, получив бесконечно большое число 9.0540 z
В предыдущих разделах вы рассмотрели абстрактную задачу линейного программирования, которая не была привязана к какому-либо реальному приложению. В этом подразделе вы найдете более конкретную и практическую проблему оптимизации, связанную с распределением ресурсов в производстве.
Предположим, что фабрика производит четыре различных продукта, и ежедневное количество первого продукта составляет 90 540 x 90 541 ₁, а количество второго продукта составляет x ₂ и так далее. Цель состоит в том, чтобы определить максимизирующий прибыль ежедневный объем производства каждого продукта, принимая во внимание следующие условия:
На каждую единицу первого продукта расходуется три единицы сырья А. Для каждой единицы второго продукта требуется две единицы сырья А и одна единица сырья В. Для каждой единицы третьего продукта требуется одна единица А и две единицы В. Наконец, для каждой единицы четвертого продукта требуется три единицы сырья. ед. Б.
Целевая функция (прибыль) определяется в условии 1. Ограничение по рабочей силе следует из условия 2. Ограничения на сырье А и В могут быть получены из условий 3 и 4 путем суммирования потребностей в сырье для каждого продукта.
PuLP позволяет выбирать решатели и формулировать задачи более естественным образом. Решатель по умолчанию, используемый PuLP, — это COIN-OR Branch and Cut Solver (CBC). Он подключен к решателю линейного программирования COIN-OR (CLP) для линейной релаксации и библиотеке генератора разрезов COIN-OR (CGL) для генерации разрезов.
При желании вы можете загрузить, установить и использовать GLPK. Это бесплатное приложение с открытым исходным кодом, которое работает на Windows, MacOS и Linux. Позже в этом руководстве вы увидите, как использовать GLPK (в дополнение к CBC) с PuLP.
>>> объект = [-1, -2] >>> # ─┬ ─┬ >>> # │ └┤ Коэффициент для y >>> # └────┤ Коэффициент для x >>> lhs_ineq = [[ 2, 1], # Красное ограничение слева ... [-4, 5], # Синее ограничение слева ... [ 1, -2]] # Желтое ограничение слева >>> rhs_ineq = [20, # Красное ограничение справа ... 10, # Синее ограничение справа ... 2] # Желтая правая сторона ограничения >>> lhs_eq = [[-1, 5]] # Зеленое ограничение слева >>> rhs_eq = [15] # Зеленое ограничение справа
.
>>>
>>> bnd = [(0, float("inf")), # Границы x ... (0, float("inf"))] # Границы y
Этот оператор является избыточным, поскольку linprog() использует эти границы (от нуля до положительной бесконечности) по умолчанию.
Примечание: Вместо float("inf") , вы можете использовать math.inf , numpy.inf или scipy.inf .
Наконец, пришло время оптимизировать и решить интересующую вас проблему. Вы можете сделать это с помощью linprog() :
>>>
>>> opt = linprog(c=obj, A_ub=lhs_ineq, b_ub=rhs_ineq, ... A_eq=lhs_eq, b_eq=rhs_eq, bounds=bnd, ... метод = "пересмотренный симплекс") >>> выбрать против: массив ([0.]) весело: -16.818181818181817 сообщение: «Оптимизация успешно завершена». нит: 3 слабина: массив ([ 0. , 18.18181818, 3.36363636]) статус: 0 успех: правда х: массив ([7. 72727273, 4.54545455])
Параметр c относится к коэффициентам целевой функции. A_ub и b_ub связаны с коэффициентами из левой и правой частей ограничений неравенства соответственно. Аналогично, A_eq и b_eq относятся к ограничениям равенства. Вы можете использовать границ , чтобы задать нижнюю и верхнюю границы для переменных решения.
Вы можете использовать параметр , метод , чтобы определить метод линейного программирования, который вы хотите использовать. Есть три варианта:
method="interior-point" выбирает метод внутренней точки. Этот параметр установлен по умолчанию.
method="пересмотренный симплекс" выбирает пересмотренный двухфазный симплексный метод.
method="simplex" выбирает устаревший двухфазный симплексный метод.
linprog() возвращает структуру данных со следующими атрибутами:
. кон — остатки ограничений равенства.
.fun — оптимальное значение целевой функции (если оно найдено).
.message — статус решения.
.nit — количество итераций, необходимых для завершения вычисления.
.slack — это значения переменных резерва или разница между значениями левой и правой частей ограничений.
.status — целое число от 0 до 4 , которое показывает состояние решения, например 0 , когда оптимальное решение найдено.
.success — логическое значение, показывающее, найдено ли оптимальное решение.
.x — это массив NumPy, содержащий оптимальные значения переменных решения.
Вы можете получить доступ к этим значениям отдельно:
>>>
>>> опт.удовольствие -16,818181818181817 >>> опт.успех Истинный >>> опт.х массив ([7.72727273, 4.54545455])
Вот как вы получаете результаты оптимизации. Вы также можете показать их графически:
Как обсуждалось ранее, оптимальные решения задач линейного программирования лежат в вершинах допустимых областей. В этом случае возможная область — это только часть зеленой линии между синей и красной линиями. Оптимальным решением является зеленый квадрат, представляющий собой точку пересечения зеленой и красной линий.
Если вы хотите исключить ограничение равенства (зеленый), просто удалите параметры A_eq и b_eq из вызова linprog() :
>>>
>>> opt = linprog(c=obj, A_ub=lhs_ineq, b_ub=rhs_ineq, bounds=bnd, ... метод = "пересмотренный симплекс") >>> выбрать против: массив ([], dtype = float64) весело: -20. 714285714285715 сообщение: «Оптимизация успешно завершена». нит: 2 слабина: массив([0. , 0. , 9.85714286]) статус: 0 успех: правда х: массив ([6.42857143, 7.14285714]))
Решение отличается от предыдущего случая. Вы можете увидеть это на графике:
В этом примере оптимальным решением является фиолетовая вершина допустимой (серой) области, где пересекаются красные и синие ограничения. Другие вершины, например желтая, имеют более высокие значения целевой функции.
Пример 2
Вы можете использовать SciPy для решения проблемы распределения ресурсов, указанной в предыдущем разделе:
Как и в предыдущем примере, вам нужно извлечь необходимые векторы и матрицу из задачи выше, передать их в качестве аргументов в .linprog() и получить результаты:
>>>
>>> obj = [-20, -12, -40, -25] >>> lhs_ineq = [[1, 1, 1, 1], # Рекруты ... [3, 2, 1, 0], # Материал А ... [0, 1, 2, 3]] # Материал B >>> rhs_ineq = [ 50, # Рекруты . .. 100, # Материал А ... 90] # Материал В >>> opt = linprog(c=obj, A_ub=lhs_ineq, b_ub=rhs_ineq, ... метод = "пересмотренный симплекс") >>> выбрать против: массив ([], dtype = float64) удовольствие: -1900.0 сообщение: «Оптимизация успешно завершена». нит: 2 слабина: массив ([ 0., 40., 0.]) статус: 0 успех: правда х: массив ([ 5., 0., 45., 0.])
Результат говорит о том, что максимальная прибыль составляет 1900 и соответствует х ₁ = 5 и х ₃ = 45. Вторую и четвертую продукцию при данных условиях производить невыгодно. Здесь можно сделать несколько интересных выводов:
Третий продукт приносит наибольшую прибыль на единицу, поэтому фабрика будет производить его больше всего.
Первый резерв равен 0 , что означает, что значения левой и правой частей ограничения рабочей силы (первого) одинаковы. Фабрика производит 50 штук в сутки, и это ее полная мощность.
Второй резерв равен 40 , потому что фабрика потребляет 60 единиц сырья А (15 единиц для первого продукта плюс 45 единиц для третьего) из потенциального 100 шт.
Третий резерв равен 0 , что означает, что фабрика потребляет все 90 единиц сырья B. Все это количество потребляется для третьего продукта. Поэтому фабрика вообще не может произвести второй или четвертый продукт и не может произвести более 45 единиц третьего продукта. Не хватает сырья B.
опт.статус это 0 и опт.успех равно True , что указывает на то, что задача оптимизации была успешно решена с помощью оптимального допустимого решения.
Возможности линейного программирования
SciPy полезны в основном для небольших задач. Для более крупных и сложных задач вам могут подойти другие библиотеки по следующим причинам:
SciPy не может запускать различные внешние решатели.
SciPy не может работать с целочисленными переменными решения.
SciPy не предоставляет классы или функции, облегчающие построение моделей. Вы должны определить массивы и матрицы, что может быть утомительной и подверженной ошибкам задачей для больших задач.
SciPy не позволяет напрямую определять задачи максимизации. Вы должны преобразовать их в задачи минимизации.
SciPy не позволяет вам определять ограничения, используя знак «больше или равно» напрямую. Вместо этого вы должны использовать меньше или равно.
К счастью, экосистема Python предлагает несколько альтернативных решений для линейного программирования, которые очень полезны для решения более крупных задач. Одним из них является PuLP, который вы увидите в действии в следующем разделе.

Необходимо указать нижнюю границу с lowBound=0 , поскольку значение по умолчанию равно отрицательной бесконечности. Параметр upBound определяет верхнюю границу, но здесь его можно опустить, поскольку по умолчанию он равен положительной бесконечности.
Примечание: Вы можете складывать или вычитать переменные или выражения, а также умножать их на константы, потому что классы PuLP реализуют некоторые специальные методы Python, которые эмулируют числовые типы, такие как __add__() , __sub__() и __mul__() . Эти методы используются для настройки поведения таких операторов, как +, - и *.
Имея это в виду, следующим шагом будет создание ограничений и целевой функции, а также назначение их вашей модели. Вам не нужно создавать списки или матрицы. Просто напишите выражения Python и используйте оператор += , чтобы добавить их к модели:
В приведенном выше коде вы определяете кортежи, содержащие ограничения и их имена. LpProblem позволяет добавлять ограничения в модель, указывая их как кортежи. Первый элемент — это экземпляр LpConstraint . Второй элемент — это удобочитаемое имя для этого ограничения.
.
# Добавляем в модель целевую функцию модель += lpSum([x, 2 * y])
Выдает тот же результат, что и предыдущий оператор.
Теперь вы можете увидеть полное определение этой модели:
>>>
>>> модель небольшая проблема: МАКСИМИЗИРОВАТЬ 1*х + 2*у + 0 ПРИ УСЛОВИИ red_constraint: 2 х + у <= 20 blue_constraint: 4 x - 5 y >= -10 yellow_constraint: - x + 2 y >= -2 green_constraint: - х + 5 у = 15 ПЕРЕМЕННЫЕ х Непрерывный г Непрерывный
Строковое представление модели содержит все необходимые данные: переменные, ограничения, цель и их имена.
Наконец-то вы готовы решить проблему. Вы можете сделать это, вызвав .solve() для объекта вашей модели. Если вы хотите использовать решатель по умолчанию (CBC), вам не нужно передавать никаких аргументов:
# Решаем проблему статус = модель.решить()
. solve() вызывает базовый решатель, изменяет модель и возвращает целочисленный статус решения, который будет равен 1 , если оптимум найден. Остальные коды состояния см. в разделе LpStatus[] .
Вы можете получить результаты оптимизации как атрибуты модели . Функция value() и соответствующий метод .value() возвращают фактические значения атрибутов:
>>>
>>> print(f"status: {model.status}, {LpStatus[model.status]}") статус: 1, Оптимальный >>> print(f"цель: {model.objective.value()}") цель: 16.8181817 >>> для var в model.variables(): ... print(f"{var.name}: {var.value()}") ... х: 7,7272727 г: 4,5454545 >>> для имени, ограничения в model.constraints.items(): ... print(f"{name}: {constraint.value()}") ... red_constraint: -9.999999939e-08 blue_constraint: 18.181818300000003 yellow_constraint: 3.3636362999999996 green_constraint: -2.0000000233721948e-07)
model. objective содержит значение целевой функции, model.constraints содержит значения резервных переменных, а объекты x и y имеют оптимальные значения переменных решения. model.variables() возвращает список с переменными решения:
>>>
>>> модель.переменные() [х, у] >>> model.variables()[0] равно x Истинный >>> model.variables()[1] есть у Истинный
Как видите, этот список содержит в точности объекты, созданные с помощью конструктора LpVariable .
Результаты примерно такие же, как у SciPy.
Примечание: Будьте осторожны с методом .solve() — он меняет состояние объектов x и и !
Вы можете увидеть, какой решатель использовался, вызвав .solver :
>>>
>>> модель.решатель <объект pulp.apis.coin_api.PULP_CBC_CMD по адресу 0x7f60aea19e50>
Вывод информирует вас о том, что решатель — CBC. Вы не указали решатель, поэтому PuLP назвал его по умолчанию.
Если вы хотите запустить другой решатель, вы можете указать его в качестве аргумента .solve() . Например, если вы хотите использовать GLPK и он уже установлен, вы можете использовать Solr=GLPK(msg=False) в последней строке. Имейте в виду, что вам также нужно будет импортировать его:
из целлюлозы импортной ГЛПК
Теперь, когда вы импортировали GLPK, вы можете использовать его внутри .solve() :
# Создать модель модель = LpProblem (имя = «маленькая проблема», смысл = LpMaximize) # Инициализировать переменные решения x = LpVariable (имя = "x", lowBound = 0) y = LpVariable(name="y", lowBound=0) # Добавляем ограничения в модель модель += (2 * x + y <= 20, "red_constraint") модель += (4 * x - 5 * y >= -10, "blue_constraint") модель += (-x + 2 * y >= -2, "yellow_constraint") модель += (-x + 5 * y == 15, "green_constraint") # Добавляем целевую функцию в модель модель += lpSum([x, 2 * y]) # Решать проблему статус = model. solve(решатель=GLPK(msg=False))
Параметр msg используется для отображения информации от решателя. msg=False отключает отображение этой информации. Если вы хотите включить информацию, просто опустите msg или установите msg=True .
Ваша модель определена и решена, поэтому вы можете проверить результаты так же, как и в предыдущем случае:
>>>
>>> print(f"status: {model.status}, {LpStatus[model.status]}") статус: 1, Оптимальный >>> print(f"цель: {model.objective.value()}") цель: 16.81817 >>> для var в model.variables(): ... print(f"{var.name}: {var.value()}") ... х: 7,72727 г: 4,54545 >>> для имени, ограничения в model.constraints.items(): ... print(f"{name}: {constraint.value()}") ... red_constraint: -1.0000000000509601е-05 blue_constraint: 18.181830000000005 yellow_constraint: 3.3636299999999997 green_constraint: -2.000000000279556e-05
Вы получили практически тот же результат с GLPK, что и с SciPy и CBC.
Давайте посмотрим, какой решатель использовался на этот раз:
>>>
>>> модель.решатель <объект pulp.apis.glpk_api.GLPK_CMD по адресу 0x7f60aeb04d50>
Как вы определили выше с помощью выделенного оператора model.solve(solver=GLPK(msg=False)) , решатель — GLPK.
Вы также можете использовать PuLP для решения задач линейного программирования со смешанными целыми числами. Чтобы определить целочисленную или двоичную переменную, просто передайте cat="Integer" или cat="Binary" в LpVariable . Все остальное остается прежним:
# Создать модель модель = LpProblem (имя = «маленькая проблема», смысл = LpMaximize) # Инициализировать переменные решения: x — целое число, y — непрерывное x = LpVariable(name="x", lowBound=0, cat="Integer") y = LpVariable(name="y", lowBound=0) # Добавляем ограничения в модель модель += (2 * x + y <= 20, "red_constraint") модель += (4 * x - 5 * y >= -10, "blue_constraint") модель += (-x + 2 * y >= -2, "yellow_constraint") модель += (-x + 5 * y == 15, "green_constraint") # Добавляем целевую функцию в модель модель += lpSum([x, 2 * y]) # Решать проблему статус = модель. решить()
В этом примере у вас есть одна целочисленная переменная, и вы получаете другие результаты:
>>>
>>> print(f"status: {model.status}, {LpStatus[model.status]}") статус: 1, Оптимальный >>> print(f"цель: {model.objective.value()}") цель: 15,8 >>> для var в model.variables(): ... print(f"{var.name}: {var.value()}") ... х: 7,0 у: 4,4 >>> для имени, ограничения в model.constraints.items(): ... print(f"{name}: {constraint.value()}") ... red_constraint: -1,5999999999999996 blue_constraint: 16.0 yellow_constraint: 3.8000000000000007 green_constraint: 0.0) >>> модель.решатель
Теперь x является целым числом, как указано в модели. (Технически он содержит значение с плавающей запятой с нулем после запятой.) Этот факт меняет все решение. Покажем это на графике:
Как видите, оптимальное решение — крайняя правая зеленая точка на сером фоне. Это допустимое решение с наибольшими значениями обоих x и y , что дает максимальное значение целевой функции.
ГЛПК способен решить и такие задачи.
Пример 2
Теперь вы можете использовать PuLP для решения проблемы распределения ресурсов сверху:
Подход к определению и решению проблемы такой же, как и в предыдущем примере:
# Определить модель модель = LpProblem(name="resource-allocation", смысл=LpMaximize) # Определяем переменные решения x = {i: LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0) для i в диапазоне (1, 5)} # Добавляем ограничения модель += (lpSum(x.values()) <= 50, "рабочая сила") модель += (3 * x[1] + 2 * x[2] + x[3] <= 100, "material_a") модель += (x[2] + 2 * x[3] + 3 * x[4] <= 90, "материал_б") # Установите цель модель += 20 * х[1] + 12 * х[2] + 40 * х[3] + 25 * х[4] # Решаем задачу оптимизации статус = модель.решить() # Получить результаты print(f"статус: {model.status}, {LpStatus[model.status]}") print(f"цель: {model. objective.value()}") для var в x.values(): print(f"{var.name}: {var.value()}") для имени ограничение в model.constraints.items(): печать (f"{имя}: {ограничение.значение()}")
В этом случае вы используете словарь x для хранения всех переменных решения. Этот подход удобен тем, что словари могут хранить имена или индексы переменных решения в качестве ключей и соответствующих LpVariable объектов в качестве значений. Также могут быть полезны списки или кортежи экземпляров LpVariable .
Приведенный выше код дает следующий результат:
статус: 1, Оптимальный цель: 1900.0 х1: 5,0 х2: 0,0 х3: 45,0 х4: 0,0 рабочая сила: 0.0 материал_а: -40.0 материал_б: 0.0
Как видите, решение совпадает с решением, полученным с помощью SciPy. Наиболее выгодное решение – произвести 5,0 единиц первого продукта и 45,0 единиц третьего продукта в сутки.
Давайте сделаем эту задачу более сложной и интересной. Скажем, фабрика не может производить первый и третий продукты параллельно из-за проблем с оборудованием. Какое самое выгодное решение в этом случае?
Теперь у вас есть еще одно логическое ограничение: если x ₁ положительно, то x ₃ должно быть равно нулю, и наоборот. Здесь очень полезны бинарные переменные решения. Вы будете использовать две бинарные переменные решения, y ₁ и y ₃, которые будут обозначать, генерируются ли вообще первый или третий продукты:
1model = LpProblem(name="resource-allocation", смысл=LpMaximize) 2 3# Определите переменные решения 4x = {i: LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0) для i в диапазоне (1, 5)} 5y = {i: LpVariable(name=f"y{i}", cat="Binary") для i в (1, 3)} 6 7# Добавить ограничения 8model += (lpSum(x.values()) <= 50, "рабочая сила") 9model += (3 * x[1] + 2 * x[2] + x[3] <= 100, "material_a") 10модель += (x[2] + 2 * x[3] + 3 * x[4] <= 90, "материал_б") 11 12М = 100 13model += (x[1] <= y[1] * M, "x1_constraint") 14model += (x[3] <= y[3] * M, "x3_constraint") 15model += (y[1] + y[3] <= 1, "y_constraint") 16 17# Установить цель 18модель += 20 * х[1] + 12 * х[2] + 40 * х[3] + 25 * х[4] 19 20# Решить задачу оптимизации 21статус = модель. решить() 22 23print(f"статус: {model.status}, {LpStatus[model.status]}") 24print(f"цель: {model.objective.value()}") 25 26для var в model.variables(): 27 print(f"{var.name}: {var.value()}") 28 29для имени ограничение в model.constraints.items(): 30 print(f"{name}: {constraint.value()}")
Код очень похож на предыдущий пример, за исключением выделенных строк. Вот отличия:
Строка 5 определяет двоичные переменные решения y[1] и y[3] , содержащиеся в словаре y .
Строка 12 определяет произвольно большое число M . Значение 100 в этом случае достаточно, потому что вы не можете иметь более 100 единиц в день.
Строка 13 говорит, что если y[1] равно нулю, то x[1] должно быть равно нулю, иначе это может быть любое неотрицательное число.
Строка 14 говорит, что если y[3] равно нулю, то x[3] должно быть равно нулю, иначе это может быть любое неотрицательное число.
Строка 15 говорит, что либо y[1] , либо y[3] равно нулю (или оба равны), поэтому либо x[1] , либо x[3] также должны быть равны нулю.
Вот решение:
статус: 1, Оптимальный цель: 1800.0 х1: 0,0 х2: 0,0 х3: 45,0 х4: 0,0 у1: 0,0 у3: 1.0 рабочая сила: -5,0 материал_а: -55.0 материал_б: 0.0 x1_constraint: 0.0 x3_constraint: -55.0 у_ограничение: 0.0
Получается, что оптимальный подход — исключить первый продукт и произвести только третий.

Линейное программирование и линейное программирование смешанных целых чисел — очень важные темы. Если вы хотите узнать о них больше — а узнать можно гораздо больше, чем то, что вы видели здесь, — то вы можете найти множество ресурсов. Вот несколько для начала:
Gurobi Optimization — компания, которая предлагает очень быстрый коммерческий решатель с Python API. Он также содержит ценные ресурсы по линейному программированию и линейному программированию со смешанными целыми числами, в том числе следующие:
Это лишь часть того, что доступно. Линейное программирование и линейное программирование смешанных целых чисел являются популярными и широко используемыми методами, поэтому вы можете найти бесчисленное количество ресурсов, которые помогут углубить ваше понимание.
Так же, как существует множество ресурсов, которые помогут вам изучить линейное программирование и линейное программирование смешанных целых чисел, существует также широкий спектр решателей с доступными оболочками Python. Вот неполный список:
Теперь вы знаете, что такое линейное программирование и как использовать Python для решения задач линейного программирования. Вы также узнали, что библиотеки линейного программирования Python — это всего лишь оболочки для нативных решателей. Когда решатель завершает свою работу, оболочка возвращает статус решения, значения переменных решения, резервные переменные, целевую функцию и т. д.
Вы использовали SciPy с его собственным решателем, а также PuLP с CBC и GLPK, но вы также узнали, что существует множество других решателей линейного программирования и оболочек Python. Теперь вы готовы погрузиться в мир линейного программирования!
Этот JavaScript хорошо работает в Netscape Navigator версии 4 (например, 4.7). Если это для вас невыполнимо, вы можете загрузить (бесплатно) программный пакет, который решает модели линейных программ с помощью симплексного метода и/или метода двухтактного взаимодействия:
Этот учебный объект JavaScript E-labs предназначен для поиска оптимального решения и постоптимального анализа линейных программ небольшого размера. Он обеспечивает оптимальное значение и оптимальную стратегию для переменных решения. Созданы необходимые инструменты для выполнения различных анализов чувствительности коэффициентов целевой функции и правых значений ограничений.
Другие учебные объекты JavaScript для принятия решений в этой серии классифицируются по разным областям применения на уровне 9.0007 Раздел МЕНЮ на этой странице.
При вводе данных для перехода от ячейки к ячейке в матрице данных используйте клавишу Tab , а не клавиши со стрелками или клавиши ввода.
Инструкции и предварительные сведения:
Этот JavaScript предназначен для экспериментов по углублению понимания концепций и методов LP. Поэтому он предназначен для задач LP с не более чем 3 переменными решения и не более чем с 3 ограничениями. То есть 3 на 3 — это самый большой размер задачи.
Имена переменных решения должны состоять из одной буквы, например, X, Y, Z.
Преобразовать задачу минимизации в задачу максимизации (умножив целевую функцию на -1).
Каждая переменная решения, фигурирующая в любых ограничениях, должна также фигурировать в целевой функции, возможно, с нулевым коэффициентом, если это необходимо.
Все переменные решения должны быть неотрицательными.
Чтобы выполнить это требование, преобразуйте любую неограниченную переменную X в две неотрицательные переменные, заменив X на T — X. Это увеличит размерность задачи только на единицу (введите одну переменную y) независимо от того, сколько переменных не ограничено. Например, если Y также неограниченная переменная, то замена — Y вместо Y.
Если какая-либо переменная, скажем, X ограничена неположительностью, замените — X на каждый X. Это уменьшит сложность задачи.
Все переменные решения должны появляться в левой части ограничений, а числовые значения должны появляться в правой части ограничений (поэтому эти числа называются значениями RHS).
Все значения RHS должны быть неотрицательными. Умножьте обе части ограничения на -1, если необходимо.
Для нецелочисленных коэффициентов для переменных решения, целевой функции и ограничений используйте дробный эквивалент в скобках, например, для X/5 используйте (1/5)X.
Все ограничения должны быть в форме ≤ и/или ≥. Вы можете войти в условия неотрицательности, если хотите.
Любое строгое ограничение равенства должно быть заменено двумя одновременными неравенствами формы ≤ и ≥ с одинаковым значением RHS.
Выходные данные включают оптимальное значение и оптимальную стратегию для переменных решения. Оптимальное значение резерва/излишка для каждого ограничения может быть найдено путем оценки каждого ограничения с использованием доступной оптимальной стратегии для переменных решения.
Выходные данные также содержат необходимые инструменты для выполнения различных анализов чувствительности коэффициентов целевой функции и правых значений ограничений. Эти инструменты применимы к любой задаче ЛП, имеющей единственное оптимальное решение.
Решите стандартную отформатированную задачу, а затем подставьте эти изменения обратно, чтобы получить значения исходных переменных и оптимальное значение.
Пример: Рассмотрим следующую задачу с ограничением равенства:
Максимизация 3x + 2y + z
при условии:
4x + 2y + 3z = 12
х + г ≥ 1
х, у и г ≥ 0.
Преобразовывая ограничения равенства в два ограничения неравенства, мы получаем следующую эквивалентную задачу:
Максимизация 3x + 2y + z
при условии:
4x + 2y + 3z ≤ 24
4x + 2y + 3z ≥ 24
х + г ≥ 1
х, у и г ≥ 0.
Введите стандартную задачу LP в следующую таблицу, затем нажмите кнопку «Рассчитать».
г.
При вводе данных для перехода от ячейки к ячейке в матрице данных используйте клавишу Tab , а не клавиши со стрелками или клавиши ввода.
Введите свой LP с помощью Netscape Navigator. Нажмите на «Пример», чтобы увидеть, как:
В соответствии с

Вы можете ввести ограничения неотрицательности ниже:

Оптимальная ценность и оптимальные стратегические решения:

Инструменты анализа чувствительности для LP с уникальным решением:
Для получения технических сведений о линейном программировании (LP), вернуться к:
Linear Optimization
Для получения технических сведений о построении области чувствительности см. Вернуться к:
Построение области чувствительности для LP-моделей.
Пожалуйста, отправьте ваши комментарии по электронной почте:
Профессор Хоссейн Аршам
24 лучших сервиса линейного программирования для покупки онлайн | Fiverr
114 Услуги доступны
M
MUHAMMED_AZMAT
Уровень 1 Продавец
I будет моделировать и выполнять исследования, линейное задание программирования
5,0 (
5
)
, начиная с . 5
)
, начиная с . 5
)
.
Уровень 1 Продавец
Я буду моделировать, кодировать операции и задачи линейного программирования
5.0(
3
)
, начиная с € 15 ⁷⁵ S
SHEHROZ_29
Уровень 1 Продавец
Я буду решать проблемы с линейным программированием.
BestOne786
I будет моделировать, исследования по эксплуатации и линейные задачи программирования
5,0 (
5
)
Начиная с € 10⁵⁰ H
. оптимизационная задача
5.0(
1
)
Starting at €5 ²⁵ m
master_alfa
I will assist operation research linear programming excel solver
5.0(
4
)
Starting at € 15 ⁷⁵ d
datasci_master
Продавец 1-го уровня
Я займусь линейным программированием и оптимизацией исследования операций
5.0(
17
) Начиная с
8 8€ 15 ⁷⁵ E
ENGR_EJAZ
Уровень 2 Продавец
I помогу вам в линейном программировании с использованием Excel Solver
5,0 (
3
)
, начиная с 3
)
, начиная с 3
)
68, начиная с 3

) . Уровень 2 Продавец

Я буду моделировать, кодировать, исследовать операции и решать задачи линейного программирования

5.0(

30

)
Начиная с €15 ⁷⁵ i
iftiarka, excel linear3, excel 904, iftiarka 904 программирование и исследование операций
5.0(

4

)
Starting at €5 ²⁵ d
dr_saffina

I will tutor operation research, linear programming, asset management, complex networks

5.0(

2

)
Начиная с €5 ²⁵ f
farzanbashir

Продавец 1-го уровня

Выполню экспертные задачи по линейному программированию и исследованию операций см.
мои отзывы
5.0(

9
3
3)
, начиная с € 15 ⁷⁵ I
IOTTIO

I будет делать линейные не линейные целочисленные программирование оптимизация Excel Solver и Lingo

4.9 (

6

)
4.9 (

6

)
4.9 (

6

)
4.9.
lakshmanphd

Level 1 Seller

I will model operations research and linear programming tasks

4.7(

1

)
Starting at €21a
alfasol2022

Level 1 Seller

Я буду линейным программированием в исследовании операций

5,0 (

1

)
Начиная с € 10 ⁵⁰ J
GOEYJONES03

I DRAIT ARGING RESHING RESSIC
1

)
Начиная с €5 ²⁵ e
examassignmen

Я буду заниматься исследованием операций, линейным программированием, решателем Excel, оптимизацией

5. 0(

1

)
, начиная с € 5 ²⁵ C
Charli_BRO

Уровень 1 Продавец

I поможет исследованию программы Excel Excel Optimization

5.0 (

211
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
19919
19
19
19
19
1999999.
5.0. €10 ⁵⁰ a
albertochave956

Продавец 1-го уровня

Я сделаю линейные, смешанные целочисленные или логические модели оптимизации программирования

4.9(

19

3 )
31868, начиная с
€ 5 ²⁵ A
Alijanjua1

Уровень 2 Продавец

I будет провести исследование операций Линейное программирование и связанные с ними проекты

5,0 (

123

)
5,0 (

123

)
5,0 (

123

)
5,0 (

123

)
5,0 (

123
)
5,0 (

.
Solver

Solver

Решение проблем

Оптимизация

Исследование операций

Исследование операций

Управление операциями

Minitab

Microsoft excel

Матлаб

Программное обеспечение и решатели для линейного и смешанно-целочисленного программирования с открытым исходным кодом

Посмотреть видео

Узнайте, как производительность, надежность, интерфейсы и поддержка являются ключевыми отличиями Gurobi Optimizer от бесплатных решателей.

Изучение вариантов среди решателей с открытым исходным кодом

Мы знаем, что существует целый ряд решателей, бесплатных и платных, на выбор. Мы также знаем, что в некоторых ситуациях вам может понадобиться бесплатный решатель. Эта страница предназначена для того, чтобы помочь вам лучше понять свой выбор среди бесплатных решателей, их относительную производительность и задать некоторые вопросы, чтобы решить, какой тип решателя вам подходит. В частности, на этой странице мы рассмотрим следующие темы:

список некоторых из ведущих бесплатных решателей линейного и смешанного целочисленного программирования

относительное сравнение производительности решателя

когда бесплатный решатель может быть лучшим выбором

общее сравнение бесплатных и коммерческих решателей

Обратите внимание: поскольку вы изучаете бесплатные решатели, мы предполагаем, что вы не академик. Если да, мы предлагаем несколько типов лицензий Gurobi совершенно бесплатно для академических пользователей, соответствующих определенным критериям. Если вы являетесь академическим пользователем (студентом, преподавателем или сотрудником) в учебном заведении, присуждающем ученую степень, или если вы в настоящее время проходите онлайн-курс по оптимизации, загляните на нашу академическую страницу.

Распространенные бесплатные решатели для линейного и смешанного целочисленного программирования

Вы обнаружите, что доступно множество бесплатных решателей. Ниже приведен краткий обзор двух наиболее популярных решателей с открытым исходным кодом:

Solver Общий обзор

ГЛПК

GLPK ( GNU L inear P rogramming K it) представляет собой набор подпрограмм, написанных на C и организованных в виде вызываемой библиотеки

GLPK решает задачи линейного программирования (LP) и смешанного целочисленного программирования (MIP)

Ссылка: GLPK (сторонний веб-сайт)

LP_Solve

LP_Solve написан на C и компилируется как в Linux, так и в Windows

LP_Solve решает задачи линейного программирования (LP), смешанно-целочисленного программирования (MIP), полунепрерывных и специальных упорядоченных множеств (SOS)

Ссылка: LP_Solve (сторонний веб-сайт)

Сравнение относительной производительности решателя

Производительность обычно является решающим фактором при выборе решателя. Чтобы дать представление об относительной производительности различных вариантов решателя, перечисленных выше, мы обобщили результаты независимых эталонных тестов, проведенных Хансом Миттельманном из штата Аризона. Если мы посмотрим на производительность моделей смешанного целочисленного программирования (MIP) в широком наборе тестовых моделей, в таблице ниже показаны результаты по двум ключевым параметрам: а) смог ли решатель решить модель, и б) как быстро модель решено?

г.

Решатель # решенных задач эталона (из 87) Относительная производительность MIP

ГЛПК 0 н/д (GLPK решила 0 моделей тестового набора)

LP_Solve 5 н/д (LP_Solve решила 5 моделей тестового набора)

Гуроби 87 1,0X (самый быстрый)

Как видно из результатов, производительность разных решателей сильно различается. Хотя в приведенной выше таблице производительность представлена в количественном выражении, мы видели несколько случаев, когда производительность решателя имела очень качественный эффект. В частности, мы знаем нескольких человек, которые построили модели оптимизации с помощью бесплатных решателей и не смогли решить полученные модели за приемлемое время. Из этого они сделали вывод, что технология оптимизации не подходит для решения их задач, хотя, по всей вероятности, более способный решатель без труда решил бы их.

Когда бесплатный решатель может быть лучшим выбором

Как видно из приведенных выше данных, бесплатные решатели имеют тенденцию бороться с практическими моделями, либо не решая их вообще, либо решая их относительно медленно. Однако мы не хотим создать у вас впечатление, что бесплатные решатели никогда не будут правильным выбором. Ниже приведены несколько сценариев, в которых вы можете рассмотреть возможность использования бесплатного решателя.

Нет утвержденного бюджета

Часто, когда компания впервые рассматривает возможность использования оптимизационного решателя в своем бизнесе, может не быть утвержденного бюджета. Руководство, возможно, все еще пытается определить, какую роль оптимизация может сыграть в планировании и принятии решений, а команда, выполняющая работу, все еще «накачивает ноги».

Хотя бесплатная пробная версия Gurobi (с ограничением до 2000 переменных решений и 2000 ограничений) или неограниченная временная ознакомительная лицензия Gurobi могут удовлетворить ваши потребности, если ваша проблема больше, чем позволяет пробная версия, и/или ваш временной горизонт больше, чем подходит для ознакомительной версии, бесплатный решатель может быть хорошим способом начать работу.

Вы предпочитаете программировать на C или C++

Большинство бесплатных решателей написаны на C или C++ и не предлагают других API. GLPK требует, чтобы вы использовали C.

Gurobi предлагает API-интерфейсы C и C++, а также полный набор других API-интерфейсов, включая Python, на ваш выбор.

Решаемая(ые) модель(и) малы и относительно легко решаются вы уверены, что ваша проблема не станет более сложной в будущем, то бесплатное решение может быть разумным выбором.
Мы хотим подчеркнуть, что вы должны учитывать будущий рост модели. Мы видели много ситуаций, когда бесплатные решатели хорошо работали на небольшом прототипе, но не могли справиться с производственной моделью. Это может привести к большому количеству переделок, которых можно избежать.

Прежде чем сделать выбор в пользу использования бесплатного решателя, мы предлагаем вам оценить относительную производительность моделей такого же размера и сложности, как и те, которые вы, вероятно, захотите решить в конечном итоге. Мы рады помочь, если хотите. У нас есть очень большая библиотека моделей, и мы можем провести конкретное сравнение.

Как избежать ловушки «ложноотрицательного результата»…

Один из самых важных вопросов, который обычно задают люди, впервые изучающие решатели, — подходит ли оптимизация для их бизнеса. Мы видели случаи, когда кто-то выбирал бесплатный решатель, пытался построить модель, а решатель просто не мог решить проблему. В результате они решили, что их проблема слишком сложна, чтобы использовать методы оптимизации. С другой стороны, они обнаружили, что его слишком сложно использовать, учитывая, что решатель не поддерживает предпочитаемый ими язык программирования, они не могут получить поддержку и т. д. Затем команда завершает проект и движется дальше. Это печально, так как при наличии правильных инструментов и поддержки проект мог бы иметь большой успех. Если вы оказались в такой ситуации, пожалуйста, свяжитесь с нами. Возможно, мы сможем помочь направить вас в правильном направлении, чтобы вы получили результаты, необходимые для поддержки продолжения проекта.

Обзор бесплатных и платных решателей

Существует несколько важных различий между бесплатными и коммерческими решателями, которые следует учитывать при сравнении бесплатных и платных решателей.

Класс решателя Деталь

Бесплатные решатели

Без платы за лицензию или обслуживание

Нет прямой поддержки, необходимо ответить в «сообществе» для получения поддержки

Уровни обслуживания и постоянного улучшения различаются в зависимости от бесплатных решателей

Способен решать более мелкие/простые модели в рамках этих типов задач, но может быть не в состоянии решать более сложные модели или может решать их очень медленно

Платные решатели

Плата за лицензию и обслуживание (для поддержки и обновлений)

Прямая поддержка доступна от компании

Отсутствие риска нарушения кода

Активно поддерживается и совершенствуется с течением времени

Способность решать более широкий спектр задач, включая задачи линейного программирования (LP) и смешанно-целочисленного программирования (MIP), а также задачи квадратичного (QP) и квадратичного программирования с ограничениями (QCP)

Предложение широкого спектра API языков программирования и моделирования

Предлагайте функции распределенной оптимизации

Гораздо лучше решает сложные модели и решает их быстрее

Тестируйте Gurobi бесплатно

Мы уверены, что когда вы сами попробуете, вы придете к такому же выводу, что и многие другие компании: Gurobi — разумная альтернатива «бесплатным» решателям.

26 число четное: Определить чётное или нечётное число онлайн
alexxlab / 18.01.197117.09.2022 / Разное

26 — двадцать шесть. натуральное четное число. в ряду натуральных чисел находится между числами 25 и 27. Все о числе двадцать шесть.
26 — двадцать шесть. натуральное четное число. в ряду натуральных чисел находится между числами 25 и 27. Все о числе двадцать шесть.
Главная

О числе 26

26 — двадцать шесть. Натуральное четное число. В ряду натуральных чисел находится между числами 25 и 27.
Like если 26 твое любимое число!
Распространенные значения и факты
26 регион — Ставропольский край
Столица

Ставрополь

Автомобильный код

26, 126

Федеральный округ

Южный

Экономический район

Северо-Кавказский

Дата образования

13 февраля 1924 г.

Территория

66,5 тыс. кв. км 0,39 % от РФ 48 место в РФ

Население

Общая численность 2 730,5 тыс. чел. 1,88 % от РФ 14 место в РФ

Изображения числа 26
Склонение числа «26» по падежам
Падеж Вспомогательное слово Характеризующий вопрос Склонение числа 26
Именительный Есть Кто? Что? двадцать шесть
Родительный Нет Кого? Чего? двадцати шести
Дательный Дать Кому? Чему? двадцати шести
Винительный Видеть Кого? Что? двадцать шесть
Творительный Доволен Кем? Чем? двадцатью шестью
Предложный Думать О ком? О чём? двадцати шести
Перевод «двадцать шесть» на другие языки
Азербайджанский

iyirmi altı

Албанский

Njëzet e gjashtë

Английский

twenty six

Арабский

ستة وعشرين

Армянский

քսան վեց

Белорусский

дваццаць шэсць

Болгарский

двадесет и шест

Вьетнамский

hai mươi sáu

Голландский

zesentwintig

Греческий

εικοσιέξι

Грузинский

ოცი ექვსი

Иврит

עשרים ושש

Идиш

26

Ирландский

fiche sé

Исландский

Tuttugu og sex

Испанский

veintiséis

Итальянский

ventisei

Китайский

26

Корейский

스물여섯

Латынь

sex et viginti,

Латышский

divdesmit sešas

Литовский

dvidešimt šešių

Монгольский

хорин зургаан

Немецкий

sechsundzwanzig

Норвежский

tjueseks

Персидский

بیست و شش

Польский

dwadzieścia sześć

Португальский

vinte e seis

Румынский

douăzeci și șase

Сербский

двадесет шест

Словацкий

dvadsaťšesť

Словенский

Šestindvajset

Тайский

26

Турецкий

yirmi altı

Украинский

двадцять шість

Финский

kaksikymmentäkuusi

Французский

vingt-six

Хорватский

dvadeset šest

Чешский

šestadvacet

Шведский

tjugosex

Эсперанто

dudek ses

Эстонский

kahekümne kuuest

Японский

26

Перевод «26» на другие языки и системы
Римскими цифрами
Римскими цифрами

XXVI

Сервис перевода арабских чисел в римские
Арабско-индийскими цифрами
Арабскими цифрами

٢٦

Восточно-арабскими цифрами

۲۶

Деванагари

२६

Бенгальскими цифрами

২৬

Гурмукхи

੨੬

Гуджарати

૨૬

Ория

୨୬

Тамильскими цифрами

௨௬

Телугу

౨౬

Каннада

೨೬

Малаялам

൨൬

Тайскими цифрами

๒๖

Лаосскими цифрами

໒໖

Тибетскими цифрами

༢༦

Бирманскими цифрами

၂၆

Кхемерскими цифрами

២៦

Монгольскими цифрами

᠒᠖

В других системах счисления
26 в двоичной системе

11010

26 в троичной системе

222

26 в восьмеричной системе

32

26 в десятичной системе

26

26 в двенадцатеричной системе

22

26 в тринадцатеричной системе

20

26 в шестнадцатеричной системе

1A

Известные люди умершие в 26 лет
Сколимовская, Камила Польская метательница молота; скоропостижная лёгочная эмболия. Смерть наступила в 2009 году в 26 лет.

Мруз-Ольшевская, Агата Чемпионка Европы по волейболу. Смерть наступила в 2008 году в 26 лет.

Стершель, Франсуа Бельгийский футболист; автокатастрофа. Смерть наступила в 2008 году в 26 лет.

Эшли Астон Мур Американская киноактриса; бронхит 11 декабря Борис Баркас (54) советский поэт-песенник. Смерть наступила в 2007 году в 26 лет.

Тоше Проески Македонский певец. Смерть наступила в 2007 году в 26 лет.

Левченко, Сергей Николаевич Украинский футболист, нападающий. Смерть наступила в 2007 году в 26 лет.

Дымченко, Дмитрий Валерьевич Украинский журналист. Смерть наступила в 2005 году в 26 лет.

Рыжий, Борис Борисович Российский поэт; самоубийство. Смерть наступила в 2001 году в 26 лет.

Кузьмин, Фёдор Васильевич Герой Российской Федерации, оперуполномоченный УБОПа при УВД Пермской области, младший лейтенант милиции. Смерть наступила в 1996 году в 26 лет.

Фомкин, Алексей Леонидович Актёр. Смерть наступила в 1996 году в 26 лет.

Долонин, Владислав Александрович Герой России. Смерть наступила в 1995 году в 26 лет.

Медков, Илья Алексеевич Российский предприниматель, с 1991 один из руководителей «Прагмабанка», основатель и президент нефтяного концерна «ДИАМ» и одноимённого банка; заказное убийство. Смерть наступила в 1993 году в 26 лет.

Крпеян, Татул Жоржикович Национальный Герой Армении, участник Карабахской войны. Смерть наступила в 1991 году в 26 лет.

Хиллел Словак Гитарист Red Hot Chili Peppers с 1982 по 1988 годы. Смерть наступила в 1988 году в 26 лет.

Словак, Хиллел Американский гитарист израильского происхождения. Смерть наступила в 1988 году в 26 лет.

Ващук, Николай Васильевич Ликвидатор аварии на Чернобыльской АЭС, командир отделения 6-й самостоятельной военизированной пожарной части по охране города Припять, Герой Украины. Смерть наступила в 1986 году в 26 лет.

Тишура, Владимир Иванович Ликвидатор аварии на Чернобыльской АЭС, старший пожарный 6-й самостоятельной военизированной пожарной части по охране города Припять, Герой Украины. Смерть наступила в 1986 году в 26 лет.

Белов, Александр Александрович Советский баскетболист, заслуженный мастер спорта СССР. Смерть наступила в 1978 году в 26 лет.

Реддинг, Отис Американский соул-певец; авиакатастрофа. Смерть наступила в 1967 году в 26 лет.

Онезорг, Бенно Немецкий студент по специальностям романистика и германистика; убит во время мирной демонстрации против визита главы Ирана шаха Мохамеда Реза Пехлеви в Западный Берлин и ФРГ; гибель Онезорга стала поводом к созданию боевой. Смерть наступила в 1967 году в 26 лет.

Все люди умершие в 26 лет (81)
QR-код, MD5, SHA-1 числа 26
Адрес для вставки QR-кода числа 26, размер 500×500:
http://pro-chislo. ru/data/moduleImages/QRCodes/26/89de53d64ebaadde33f4e78bdb0ff176.png
MD2 от 26
e6fe73b5acbd203d29fe79170d2158c8
MD4 от 26
e7a0aec7d26c2c0bc3fb9b5321dc4044
MD5 от 26
4e732ced3463d06de0ca9a15b6153677
SHA1 от 26
887309d048beef83ad3eabf2a79a64a389ab1c9f
SHA256 от 26
5f9c4ab08cac7457e9111a30e4664920607ea2c115a1433d7be98e97e64244ca
SHA384 от 26
6e28f15d9912d365a5a06ae3120b2fce1caa1f1bc9afbe0c115d9393b92858fb00beb69cd321a5c3164088af213e7cbe
SHA512 от 26
e053886e1b797bc5a80f932302f0201265a599d82e2502d41941d6e652614ef88fa058e009094d26655f880200df12c2100f690254fd1e5bae75d7441763cd33
GOST от 26
9507880e0cc8c4390dd19291f2b509e4303309e13bda6ad948ba67c9e2a056e5
Base64 от 26
MjY=
26й день в году
26й день в не високосном году — 26 января
Всемирный день таможенника
26й день в високосном году — 26 января
Математические свойства числа 26
Простые множители
2 * 13
Делители
1, 2, 13, 26
Количество делителей
4
Сумма делителей
42
Простое число
Нет
Предыдущее простое
23
Следующее простое
29
26е простое число
101
Число Фибоначчи
Нет
Число Белла
Нет
Число Каталана
Нет
Факториал
Нет
Регулярное число (Число Хемминга)
Нет
Совершенное число
Нет
Полигональное число
Нет
Квадрат
676
Квадратный корень
5. 0990195135928
Натуральный логарифм (ln)
3.2580965380215
Десятичный логарифм (lg)
1.4149733479708
Синус (sin)
0.7625584504796
Косинус (cos)
0.64691932232864
Тангенс (tg)
1.1787535542063
Фильмы про 26
26-ое июля в Баристе (26th July at Barista), 2008 год
Фильм, основанный на реальных событиях, произошедших в Мумбаи в тот день, когда ливневые дожди переросли в настоящую катастрофу. 26 июля…
Все фильмы о числе 26 (1)
Комментарии о числе 26
← 25
27 →
Распространенные значения и факты
Изображения числа 26
Склонение числа «26» по падежам
Перевод «двадцать шесть» на другие языки
Перевод «26» на другие языки и системы
Известные люди умершие в 26 лет
QR-код, MD5, SHA-1 числа 26
26й день в году
Математические свойства числа 26
Фильмы про 26
Комментарии о числе 26
7 класс.
Алгебра. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 11
Действительные числа

Натуральные числа
Простые и составные числа

Ответы к стр. 11
38. Выпишите первые 25 простых чисел в порядке возрастания.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
39. Выпишите все составные числа, не превышающие 50, в порядке возрастания.
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49.
40. Доказываем. Докажите, что 2 − единственное чётное простое число.
2 − единственно чётное простое число, так как имеет только два делителя: число 1 и само число 2. Все остальные чётные числа делятся на 1, сами на себя и на число 2, то есть имеют более двух делителей и являются составными.
41. Запишите числа 48 и 96 в виде разности квадратов двух простых чисел.
48 = 169 — 121 = 13² − 11²;
96 = 121 — 25 = 11² – 5².
Исследуем (42-43)
42. Можно ли простое число записать в виде суммы:
а) двух чётных чисел; б) двух нечётных чисел;
в) чётного и нечётного чисел?
а) нельзя, так как сумма двух чётных чисел является чётным числом и делится на 2;
б) можно, единственный случай: 1 + 1 = 2;
в) можно, например: 2 + 3 = 5, 2 + 5 = 7.
43. Леонард Эйлер предложил такую формулу простых чисел: p = n² – n + 41. Сколько простых чисел дает эта формула при подстановке в неё последовательных натуральных чисел, начиная с 1? Выполните вычисления до получения первого составного числа.
Чтобы сумма делилась на какое−то число, нужно чтобы каждое слагаемое делилось на это число. Так как число 41 простое, значит оно может делиться только на 41, значит n² и n тоже должны делиться на 41, а это достигается при n = 41, так как 412 ⋮ 41 и 41 ⋮ 41.
Таким образом, эта формула при подстановке в неё последовательных натуральных чисел, начиная с 1, даёт 40 простых чисел (при n = 41 получается составное число, которое делится на 41):
при n = 1 ⇒ p = 1² – 1 + 41 = 1 + 40 = 41 − простое число;
при n = 2 ⇒ p = 2² – 2 + 41 = 4 + 39 = 43 − простое число;
при n = 3 ⇒ p = 3² – 3 + 41 = 9 + 38 = 47 − простое число;
при n = 4 ⇒ p = 4² – 4 + 41 = 16 + 37 = 53 − простое число;
при n = 5 ⇒ p = 5² – 5 + 41 = 25 + 36 = 61 − простое число;
при n = 6 ⇒ p = 6² – 6 + 41 = 36 + 35 = 71 − простое число;
при n = 7 ⇒ p = 7² – 7 + 41 = 49 + 34 = 83 − простое число;
при n = 8 ⇒ p = 8² – 8 + 41 = 64 + 33 = 97 − простое число;
при n = 9 ⇒ p = 9² – 9 + 41 = 81 + 32 = 113 − простое число;
при n = 10 ⇒ p = 10² – 10 + 41 = 100 + 31 = 131 − простое число;
при n = 11 ⇒ p = 11² – 11 + 41 = 121 + 30 = 151 − простое число;
при n = 12 ⇒ p = 12² – 12 + 41 = 144 + 29 = 173 − простое число;
при n = 13 ⇒ p = 13² – 13 + 41 = 169 + 28 = 197 − простое число;
при n = 14 ⇒ p = 14² – 14 + 41 = 196 + 27 = 223 − простое число;
при n = 15 ⇒ p = 15² – 15 + 41 = 225 + 26 = 251 − простое число;
при n = 16 ⇒ p = 16² – 16 + 41 = 256 + 25 = 281 − простое число;
при n = 17 ⇒ p = 17² – 17 + 41 = 289 + 24 = 313 − простое число;
при n = 18 ⇒ p = 18² – 18 + 41 = 324 + 23 = 347 − простое число;
при n = 19 ⇒ p = 19² – 19 + 41 = 361 + 22 = 383 − простое число;
при n = 20 ⇒ p = 20² – 20 + 41 = 400 + 21 = 421 − простое число;
при n = 21 ⇒ p = 21² – 21 + 41 = 441 + 20 = 461 − простое число;
при n = 22 ⇒ p = 22² – 22 + 41 = 484 + 19 = 503 − простое число;
при n = 23 ⇒ p = 23² – 23 + 41 = 529 + 18 = 547 − простое число;
при n = 24 ⇒ p = 24² – 24 + 41 = 576 + 17 = 593 − простое число;
при n = 25 ⇒ p = 25² – 25 + 41 = 625 + 16 = 641 − простое число;
при n = 26 ⇒ p = 26² – 26 + 41 = 676 + 15 = 691 − простое число;
при n = 27 ⇒ p = 27² – 27 + 41 = 729 + 14 = 743 − простое число;
при n = 28 ⇒ p = 28² – 28 + 41 = 784 + 13 = 797 − простое число;
при n = 29 ⇒ p = 29² – 29 + 41 = 841 + 12 = 853 − простое число;
при n = 30 ⇒ p = 30² – 30 + 41 = 900 + 11 = 911 − простое число;
при n = 31 ⇒ p = 31² – 31 + 41 = 961 + 10 = 971 − простое число;
при n = 32 ⇒ p = 32² – 32 + 41 = 1024 + 9 = 1033 − простое число;
при n = 33 ⇒ p = 33² – 33 + 41 = 1089 + 8 = 1097 − простое число;
при n = 34 ⇒ p = 34² – 34 + 41 = 1156 + 7 = 1163 − простое число;
при n = 35 ⇒ p = 35² – 35 + 41 = 1225 + 6 = 1231 − простое число;
при n = 36 ⇒ p = 36² – 36 + 41 = 1296 + 5 = 1301 − простое число;
при n = 37 ⇒ p = 37² – 37 + 41 = 1369 + 4 = 1373 − простое число;
при n = 38 ⇒ p = 38² – 38 + 41 = 1444 + 3 = 1447 − простое число;
при n = 39 ⇒ p = 39² – 39 + 41 = 1521 + 2 = 1523 − простое число;
при n = 40 ⇒ p = 40² – 40 + 41 = 1600 + 1 = 1601 − простое число;
при n = 41 ⇒ p = 41² – 41 + 41 = 1681 + 0 = 1681 − составное число, делится на 41.
Доказываем (44-45)
44. Докажите, что найдется такое натуральное число n, для которого n² – n + 41 является составным числом.
n² – n + 41 = n² + (−n) + 41
Чтобы сумма делилась на какое−то число, нужно чтобы каждое слагаемое делилось на это число. Так как число 41 простое, значит оно может делиться только на 41, значит n² и (−n) − должны делиться на 41, а это достигается при n = 41, так как 41² = 412 ⋮ 41 и 41 ⋮ 41.
Значит, при n = 41 выражение n² − n + 41 (41² – 41 + 41 = 41 • 41 = 1681) делится на 1, 41, 1681, то есть имеет более двух натуральных делителей и является составным числом.
45. а) Докажите, что одно из трёх соседних нечётных чисел делится на 3.
б) Известно, что p, p + 2, p + 4 − простые числа. Найдите p. Докажите, что других p не существует.
а) Пусть х — одно из нечётных чисел, тогда следующие за ним нечётные числа х + 2 и х + 4. При делении числа на 3 в остатке может получится 0 или 1 или 2.
Если при делении числа х на 3 остаток получился 0, то это деление нацело.
Если при делении числа х на 3 остаток получился 1, то можно представить результат деления, как сумму целой части n (получившейся при делении) и единицы: n + 1, а число х представить в виде: 3n + 1 (поскольку целая часть n кратна делителю 3). Тогда можно заменить х в числах х + 2 и х + 4 на 3n + 1:
х + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3 • (n + 1) — это число делится на 3, так как один из его множителей делится на 3;
х + 4 = 3n + 1 + 4 = 3n + 5 — это число не делится на 3.
Если при делении числа х на 3 остаток получился 2, то можно представить результат деления, как сумму целой части n (получившейся при делении) и двух: n + 2, а число х представить в виде: 3n + 2 (поскольку целая часть n кратна делителю 3). Тогда можно заменить х в числах х + 2 и х + 4 на 3n + 2:
х + 2 = 3n + 2 + 2 = 3n + 4 — это число не делится на 3;
х + 4 = 3n + 2 + 4 = 3n + 6 = 3 • (n + 2) — это число делится на 3, так как один из его множителей делится на 3 .
Получается, что из трёх последовательных нечётных чисел на 3 может делиться первое число, а если оно не делится (с остатком 1), то может делиться второе число или третье число (если первое число не делится на 3 с остатком 2).
б) Чётных простых чисел, кроме числа 2, не существует. Поскольку при сложении чётных чисел получается чётное число, то р — нечётное простое число, а представленная в условии задачи последовательность — последовательность трёх соседних нечётных чисел.
Из пункта а) известно, что из трёх последовательных нечётных чисел одно обязательно делится на 3, следовательно, р = 3 (р + 2 = 3 + 2 = 5, а р + 4 = 3 + 4 = 7, что соответствует условию задачи).
Пусть p > 3. Тогда числа p, p + 2 и p + 4 дают при делении на 3 различные остатки, среди которых есть 0. Следовательно, среди чисел p, p + 2 и p + 4 найдётся число, делящееся на 3 без остатка. И оно больше трёх, а значит, делится на 1, на 3 и на само себя — это составное число, что противоречит условию задачи.

ГДЗ. Ответы по алгебре. 7 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.
Алгебра. 7 класс
сколько четных цифр
Определить чётное или нечётное число
Чётным является целое число, которое делится на 2 без остатка (нацело).
Все многозначные числа, оканчивающиеся на 0,2,4,6 или 8, являются чётными числами:
10 , 12, 134, 2786, 6389246858 и др.
Примеры
Чётное ли число 10?
Десять разделилось на два без остатка, следовательно 10 является чётным числом.
Чётное ли число 1?
После деления единицы на два мы получаем нецелое число, следовательно 1 не является чётным числом.
Чётность нуля
Чётное ли число 0?
Ноль чётное число, так как оно делится на два без остатка: 0 ÷ 2 = 0
В числовом ряду с обоих сторон от чётного числа стоят нечётные числа, и ноль тут не исключение, так как -1 это нечётное число:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Нечётные числа
Нечетным является целое число, которое не делится на 2 без остатка.
Все многозначные числа, оканчивающиеся на 1,3,5,7 или 9, являются нечётными числами:
11 , 113, 1245, 43547, 63563469 и др.
Пример
Для примера рассмотрим число 67. Так как оно заканчивается цифрой 7 (нечётной), уже можно утверждать, что оно нечётное. Для пущей уверенности разделим 67 на два:
67 ÷ 2 = 33.5, то есть 33 и остаток 1 (67 = 33 ⋅ 2 + 1)
Окончательно делаем вывод, что число 67 является нечётным числом.
Сколько чётных и нечётных чисел в ряду
Сколько чётных и нечётных чисел находится в ряду между n и m?
Если n и m разные по чётности
Если n и m разные по чётности числа, то есть одно из них четное, а второе нечётное, то количество чётных и нечётных чисел в ряду одинаковое:
Кол _{чёт/нечёт} = (m — n +1) ÷ 2 , m > n
Пример
Возьмём ряд чисел между n = 22 и m = 31:
22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31
Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.
Так как 22 и 31 являются числами разной чётности делаем вывод, что чётных и нечётных чисел в данном ряду поровну:
Кол _{чёт/нечёт} = (31 — 22 + 1) / 2 = 10 / 2 = 5
5 чётных и 5 нечётных
22 24 26 28 30
23 25 27 29 31
Если n и m чётные
Если n и m чётные числа, то чётных чисел в ряду будет на одно больше, чем нечётных:
Кол _чёт = (m — n) ÷ 2 + 1 , m > n
Кол _нечёт = (m — n) ÷ 2 , m > n
Пример
Возьмём ряд чисел между n = 10 и m = 20:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.
Кол _чёт = (20 — 10) ÷ 2 + 1 = 6
Кол _нечёт = (20 — 10) ÷ 2 = 5
6 чётных и 5 нечётных
10 12 14 16 18 20
11 13 15 17 19
Если n и m нечётные
Если n и m нечётные числа, то чётных чисел в ряду будет на одно меньше, чем нечётных:
Четные и нечетные числа
Стремление человека делить и половинить сопровождает его всю жизнь. Нас хлебом не корми, дай поделить на два.
Прежде чем разобраться, зачем и почему мы это делаем, давайте познакомимся с определениями.
Четное число — это число, которое делится нацело на 2.
4 : 2 = 2
Это значит, что 4 — четное число.
Нечетное число — это число, которое не делится на 2 без остатка.
5 не делится на 2 без остатка — значит, 5 это нечетное число.
Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то это число четное.
Если число оканчивается на 1, 3, 5, 7, 9, то это число нечетное.
Если двузначное число круглое, то это число четное. Например, 20, 30, 40, 50 и т. д. — четные числа.
Свойства четных и нечетных чисел
Если сложить два четных числа, получится четное число:
8 + 8 = 16
16 : 2 = 8
Если сложить два нечетных числа, получится четное число:
3 + 3 = 6
6 : 2 = 3
Если сложить четное число с нечетным, получится нечетное число:
4 + 5 = 9
9 : 2 = 4 (остаток 1)
Если четное число умножить на четное число, получится четное число:
2 × 2 = 4
4 : 2 = 2
Если четное число умножить на нечетное число, получится четное число:
4 × 3 = 12
12 : 2 = 6
Если нечетное число умножить на нечетное, получится нечетное:
3 × 3 = 9
Четные и нечетные числа чередуются друг с другом
1 — нечетное,
2 — четное,
3 — нечетное,
4 — четное,
5 — нечетное,
6 — четное,
7 — нечетное,
8 — четное,
9 — нечетное.
Внимательно рассмотрите таблицу четных и нечетных чисел. На ней хорошо видно, как они чередуются между собой.
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Умение быстро определять четность и нечетность поможет в решении примеров, особенно, когда нужно посчитать в уме. Вот шпаргалка — держите ее под рукой, чтобы быстро ориентироваться в цифрах и числах.
Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Однозначные числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Четные числа: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26.
Нечетные числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25.
Круглые числа: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120.
Онлайн-курсы по математике для детей помогут быстрее освоить новую тему при поддержке опытного преподавателя.
Задачи для практики
Давайте проверим, как хорошо вы научились определять четность и нечетность. Выполним несколько несложных заданий.
Задачка 1. Назовите числа, которые спрятаны за ♥. Назовите их по порядку. Какие из них — четные, а какие — нечетные?
1 ♥ 17
2 10 ♥
♥ 11 19
4 ♥ 20
5 13 ♥
♥ 14 22
7 15 23
8 ♥ ♥
Ответ: 3 — нечетное, 6 — четное, 9 — нечетное, 12 — четное, 16 — четное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.
Задачка 2. Вставьте в таблицу пропущенные числа. Определите, четное или нечетное получилось число.
X 2 4 6 8 10
X × 2
X : 2
X 2 4 6 8 10
X × 2 4 8 12 16 20
X : 2 1 2 3 4 5
2 × 2 = 4 — четное
2 : 2 = 1 — нечетное
4 × 2 = 8 — четное
4 : 2 = 2 — четное
6 × 2 = 12 — четное
6 : 2 = 3 — нечетное
8 × 2 = 16 — четное
8 : 2 = 4 — нечетное
10 × 2 = 20 — четное
10 : 2 = 5 — нечетное
Задачка 3. В коробке 44 конфеты: 15 шоколадных и 12 — с карамелью. А все остальные с воздушным рисом. Сколько в коробке конфет с воздушным рисом? Получившееся значение — четное или нечетное?
Посчитаем, сколько в сумме конфет шоколадных и с карамелью:
15 + 12 = 27 (к)
Отнимем от общего количества конфет получившееся число:
44 — 27 = 17 (к)
Ответ: в коробке 17 конфет с воздушным рисом. 17 — нечетное число.
Задачка 4. В инстаграме у Маши четное количество фотографий. Она добавила еще пять фотографий. Теперь фотографий 51. Сколько у Маши изначально было фотографий?
51 — 5 = 46 (ф)
46 — четное число.
Ответ: изначально у Маши в инстаграме было 46 фотографий.
Задачка 5. Назовите числа, закрытые ☆. Распределите их по четности и нечетности. Сложите их и назовите получившееся значение.
1 ☆ 3 ☆ 5
6 ☆ ☆ 9 10
☆ 12 13 ☆ 15
16 ☆ ☆ 19 20
☆ 22 23 ☆ 25
Ответ:
2 — четное, 4 — четное, 7 — нечетное, 8 — четное, 11 — нечетное, 14 — четное, 17 — нечетное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.
Складываем сначала четные: 2 + 4 + 8 + 14 + 18 + 24 = 70
Затем складываем нечетные: 7 + 11 + 17 + 21 = 56
70 + 56 = 126
Число 126 оканчивается на четную цифру 6. Значит, число 126 — четное.
Четное число
Что такое четное число, какое число называется четным, можно ли вывести все четные числа!? Вывести все однозначные, двузначные , трехзначные , четырехзначные четные числа.
О четных числах
Что такое четное число
Определение Что такое четное число!? Есть несколько способов заполнить, Что такое четное число
Любое число, которое делится на 2 без остатка будет четным!
Как еще можно определить, что это четное число!?
Любое число, которое оканчивается цифрой :
Наименьшее(целое,положительное) четное число
Изначально, вопрос был «наименьшее четное число«, но все же нужно уточнить, что это должно звучать так:
наименьшее(целое,положительное) четное число
Четное число число делится
Четное число делится как минимум на 2 и на себя! И главный признак четного числа — как было сказано выше, что оно(число) должно делиться на 2.
Вывести все четные числа
Когда вы ищите вывести все четные числа, то, что конкретно вы имеете ввиду говоря эту фразу.
Если произвести математическую операцию и вывести все четные числа например через цикл, то у вас памяти на компьютере не хватит открыть такую страницу. потому, что все четные числа будут стремиться к бесконечности.
Однозначные положительные четные числа
А вот вывести все четные цифры — это вполне возможно, потому, что их не так много. их всего 4 :
Четные числа до 100
Вот интересный вопрос : четные числа до 100 — включая 100 или нет!? Вручную я выводить четные числа до 100 не буду у нас есть «[php]», а там есть цикл
Еще более интересный вопрос — сколько четных чисел от 0 до 100, слева выведем нумерацию по счету.
Если интересно, то эти четные числа сегментированы программой:
for ($i=2; $i < 100; $i += 2)
Четные двузначные числа
Вывести все двухзначные четные двухзначные числа. Двузначные это от 10 до 99 :
10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98,
Четные трехзначные числа
Вывести все трехзначные четные двухзначные числа. Двузначные это от 100 до 999 :
100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140, 142, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158, 160, 162, 164, 166, 168, 170, 172, 174, 176, 178, 180, 182, 184, 186, 188, 190, 192, 194, 196, 198, 200, 202, 204, 206, 208, 210, 212, 214, 216, 218, 220, 222, 224, 226, 228, 230, 232, 234, 236, 238, 240, 242, 244, 246, 248, 250, 252, 254, 256, 258, 260, 262, 264, 266, 268, 270, 272, 274, 276, 278, 280, 282, 284, 286, 288, 290, 292, 294, 296, 298, 300, 302, 304, 306, 308, 310, 312, 314, 316, 318, 320, 322, 324, 326, 328, 330, 332, 334, 336, 338, 340, 342, 344, 346, 348, 350, 352, 354, 356, 358, 360, 362, 364, 366, 368, 370, 372, 374, 376, 378, 380, 382, 384, 386, 388, 390, 392, 394, 396, 398, 400, 402, 404, 406, 408, 410, 412, 414, 416, 418, 420, 422, 424, 426, 428, 430, 432, 434, 436, 438, 440, 442, 444, 446, 448, 450, 452, 454, 456, 458, 460, 462, 464, 466, 468, 470, 472, 474, 476, 478, 480, 482, 484, 486, 488, 490, 492, 494, 496, 498, 500, 502, 504, 506, 508, 510, 512, 514, 516, 518, 520, 522, 524, 526, 528, 530, 532, 534, 536, 538, 540, 542, 544, 546, 548, 550, 552, 554, 556, 558, 560, 562, 564, 566, 568, 570, 572, 574, 576, 578, 580, 582, 584, 586, 588, 590, 592, 594, 596, 598, 600, 602, 604, 606, 608, 610, 612, 614, 616, 618, 620, 622, 624, 626, 628, 630, 632, 634, 636, 638, 640, 642, 644, 646, 648, 650, 652, 654, 656, 658, 660, 662, 664, 666, 668, 670, 672, 674, 676, 678, 680, 682, 684, 686, 688, 690, 692, 694, 696, 698, 700, 702, 704, 706, 708, 710, 712, 714, 716, 718, 720, 722, 724, 726, 728, 730, 732, 734, 736, 738, 740, 742, 744, 746, 748, 750, 752, 754, 756, 758, 760, 762, 764, 766, 768, 770, 772, 774, 776, 778, 780, 782, 784, 786, 788, 790, 792, 794, 796, 798, 800, 802, 804, 806, 808, 810, 812, 814, 816, 818, 820, 822, 824, 826, 828, 830, 832, 834, 836, 838, 840, 842, 844, 846, 848, 850, 852, 854, 856, 858, 860, 862, 864, 866, 868, 870, 872, 874, 876, 878, 880, 882, 884, 886, 888, 890, 892, 894, 896, 898, 900, 902, 904, 906, 908, 910, 912, 914, 916, 918, 920, 922, 924, 926, 928, 930, 932, 934, 936, 938, 940, 942, 944, 946, 948, 950, 952, 954, 956, 958, 960, 962, 964, 966, 968, 970, 972, 974, 976, 978, 980, 982, 984, 986, 988, 990, 992, 994, 996, 998,
Четные четырехзначные числа
Вывести все четырехзначные четные двухзначные числа. Двузначные это от 1000 до 9999 :
1000, 1002, 1004, 1006, 1008, 1010, 1012, 1014, 1016, 1018, 1020, 1022, 1024, 1026, 1028, 1030, 1032, 1034, 1036, 1038, 1040, 1042, 1044, 1046, 1048, 1050, 1052, 1054, 1056, 1058, 1060, 1062, 1064, 1066, 1068, 1070, 1072, 1074, 1076, 1078, 1080, 1082, 1084, 1086, 1088, 1090, 1092, 1094, 1096, 1098, 1100, 1102, 1104, 1106, 1108, 1110, 1112, 1114, 1116, 1118, 1120, 1122, 1124, 1126, 1128, 1130, 1132, 1134, 1136, 1138, 1140, 1142, 1144, 1146, 1148, 1150, 1152, 1154, 1156, 1158, 1160, 1162, 1164, 1166, 1168, 1170, 1172, 1174, 1176, 1178, 1180, 1182, 1184, 1186, 1188, 1190, 1192, 1194, 1196, 1198, 1200, 1202, 1204, 1206, 1208, 1210, 1212, 1214, 1216, 1218, 1220, 1222, 1224, 1226, 1228, 1230, 1232, 1234, 1236, 1238, 1240, 1242, 1244, 1246, 1248, 1250, 1252, 1254, 1256, 1258, 1260, 1262, 1264, 1266, 1268, 1270, 1272, 1274, 1276, 1278, 1280, 1282, 1284, 1286, 1288, 1290, 1292, 1294, 1296, 1298, 1300, 1302, 1304, 1306, 1308, 1310, 1312, 1314, 1316, 1318, 1320, 1322, 1324, 1326, 1328, 1330, 1332, 1334, 1336, 1338, 1340, 1342, 1344, 1346, 1348, 1350, 1352, 1354, 1356, 1358, 1360, 1362, 1364, 1366, 1368, 1370, 1372, 1374, 1376, 1378, 1380, 1382, 1384, 1386, 1388, 1390, 1392, 1394, 1396, 1398, 1400, 1402, 1404, 1406, 1408, 1410, 1412, 1414, 1416, 1418, 1420, 1422, 1424, 1426, 1428, 1430, 1432, 1434, 1436, 1438, 1440, 1442, 1444, 1446, 1448, 1450, 1452, 1454, 1456, 1458, 1460, 1462, 1464, 1466, 1468, 1470, 1472, 1474, 1476, 1478, 1480, 1482, 1484, 1486, 1488, 1490, 1492, 1494, 1496, 1498, 1500, 1502, 1504, 1506, 1508, 1510, 1512, 1514, 1516, 1518, 1520, 1522, 1524, 1526, 1528, 1530, 1532, 1534, 1536, 1538, 1540, 1542, 1544, 1546, 1548, 1550, 1552, 1554, 1556, 1558, 1560, 1562, 1564, 1566, 1568, 1570, 1572, 1574, 1576, 1578, 1580, 1582, 1584, 1586, 1588, 1590, 1592, 1594, 1596, 1598, 1600, 1602, 1604, 1606, 1608, 1610, 1612, 1614, 1616, 1618, 1620, 1622, 1624, 1626, 1628, 1630, 1632, 1634, 1636, 1638, 1640, 1642, 1644, 1646, 1648, 1650, 1652, 1654, 1656, 1658, 1660, 1662, 1664, 1666, 1668, 1670, 1672, 1674, 1676, 1678, 1680, 1682, 1684, 1686, 1688, 1690, 1692, 1694, 1696, 1698, 1700, 1702, 1704, 1706, 1708, 1710, 1712, 1714, 1716, 1718, 1720, 1722, 1724, 1726, 1728, 1730, 1732, 1734, 1736, 1738, 1740, 1742, 1744, 1746, 1748, 1750, 1752, 1754, 1756, 1758, 1760, 1762, 1764, 1766, 1768, 1770, 1772, 1774, 1776, 1778, 1780, 1782, 1784, 1786, 1788, 1790, 1792, 1794, 1796, 1798, 1800, 1802, 1804, 1806, 1808, 1810, 1812, 1814, 1816, 1818, 1820, 1822, 1824, 1826, 1828, 1830, 1832, 1834, 1836, 1838, 1840, 1842, 1844, 1846, 1848, 1850, 1852, 1854, 1856, 1858, 1860, 1862, 1864, 1866, 1868, 1870, 1872, 1874, 1876, 1878, 1880, 1882, 1884, 1886, 1888, 1890, 1892, 1894, 1896, 1898, 1900, 1902, 1904, 1906, 1908, 1910, 1912, 1914, 1916, 1918, 1920, 1922, 1924, 1926, 1928, 1930, 1932, 1934, 1936, 1938, 1940, 1942, 1944, 1946, 1948, 1950, 1952, 1954, 1956, 1958, 1960, 1962, 1964, 1966, 1968, 1970, 1972, 1974, 1976, 1978, 1980, 1982, 1984, 1986, 1988, 1990, 1992, 1994, 1996, 1998, 2000, 2002, 2004, 2006, 2008, 2010, 2012, 2014, 2016, 2018, 2020, 2022, 2024, 2026, 2028, 2030, 2032, 2034, 2036, 2038, 2040, 2042, 2044, 2046, 2048, 2050, 2052, 2054, 2056, 2058, 2060, 2062, 2064, 2066, 2068, 2070, 2072, 2074, 2076, 2078, 2080, 2082, 2084, 2086, 2088, 2090, 2092, 2094, 2096, 2098, 2100, 2102, 2104, 2106, 2108, 2110, 2112, 2114, 2116, 2118, 2120, 2122, 2124, 2126, 2128, 2130, 2132, 2134, 2136, 2138, 2140, 2142, 2144, 2146, 2148, 2150, 2152, 2154, 2156, 2158, 2160, 2162, 2164, 2166, 2168, 2170, 2172, 2174, 2176, 2178, 2180, 2182, 2184, 2186, 2188, 2190, 2192, 2194, 2196, 2198, 2200, 2202, 2204, 2206, 2208, 2210, 2212, 2214, 2216, 2218, 2220, 2222, 2224, 2226, 2228, 2230, 2232, 2234, 2236, 2238, 2240, 2242, 2244, 2246, 2248, 2250, 2252, 2254, 2256, 2258, 2260, 2262, 2264, 2266, 2268, 2270, 2272, 2274, 2276, 2278, 2280, 2282, 2284, 2286, 2288, 2290, 2292, 2294, 2296, 2298, 2300, 2302, 2304, 2306, 2308, 2310, 2312, 2314, 2316, 2318, 2320, 2322, 2324, 2326, 2328, 2330, 2332, 2334, 2336, 2338, 2340, 2342, 2344, 2346, 2348, 2350, 2352, 2354, 2356, 2358, 2360, 2362, 2364, 2366, 2368, 2370, 2372, 2374, 2376, 2378, 2380, 2382, 2384, 2386, 2388, 2390, 2392, 2394, 2396, 2398, 2400, 2402, 2404, 2406, 2408, 2410, 2412, 2414, 2416, 2418, 2420, 2422, 2424, 2426, 2428, 2430, 2432, 2434, 2436, 2438, 2440, 2442, 2444, 2446, 2448, 2450, 2452, 2454, 2456, 2458, 2460, 2462, 2464, 2466, 2468, 2470, 2472, 2474, 2476, 2478, 2480, 2482, 2484, 2486, 2488, 2490, 2492, 2494, 2496, 2498, 2500, 2502, 2504, 2506, 2508, 2510, 2512, 2514, 2516, 2518, 2520, 2522, 2524, 2526, 2528, 2530, 2532, 2534, 2536, 2538, 2540, 2542, 2544, 2546, 2548, 2550, 2552, 2554, 2556, 2558, 2560, 2562, 2564, 2566, 2568, 2570, 2572, 2574, 2576, 2578, 2580, 2582, 2584, 2586, 2588, 2590, 2592, 2594, 2596, 2598, 2600, 2602, 2604, 2606, 2608, 2610, 2612, 2614, 2616, 2618, 2620, 2622, 2624, 2626, 2628, 2630, 2632, 2634, 2636, 2638, 2640, 2642, 2644, 2646, 2648, 2650, 2652, 2654, 2656, 2658, 2660, 2662, 2664, 2666, 2668, 2670, 2672, 2674, 2676, 2678, 2680, 2682, 2684, 2686, 2688, 2690, 2692, 2694, 2696, 2698, 2700, 2702, 2704, 2706, 2708, 2710, 2712, 2714, 2716, 2718, 2720, 2722, 2724, 2726, 2728, 2730, 2732, 2734, 2736, 2738, 2740, 2742, 2744, 2746, 2748, 2750, 2752, 2754, 2756, 2758, 2760, 2762, 2764, 2766, 2768, 2770, 2772, 2774, 2776, 2778, 2780, 2782, 2784, 2786, 2788, 2790, 2792, 2794, 2796, 2798, 2800, 2802, 2804, 2806, 2808, 2810, 2812, 2814, 2816, 2818, 2820, 2822, 2824, 2826, 2828, 2830, 2832, 2834, 2836, 2838, 2840, 2842, 2844, 2846, 2848, 2850, 2852, 2854, 2856, 2858, 2860, 2862, 2864, 2866, 2868, 2870, 2872, 2874, 2876, 2878, 2880, 2882, 2884, 2886, 2888, 2890, 2892, 2894, 2896, 2898, 2900, 2902, 2904, 2906, 2908, 2910, 2912, 2914, 2916, 2918, 2920, 2922, 2924, 2926, 2928, 2930, 2932, 2934, 2936, 2938, 2940, 2942, 2944, 2946, 2948, 2950, 2952, 2954, 2956, 2958, 2960, 2962, 2964, 2966, 2968, 2970, 2972, 2974, 2976, 2978, 2980, 2982, 2984, 2986, 2988, 2990, 2992, 2994, 2996, 2998, 3000, 3002, 3004, 3006, 3008, 3010, 3012, 3014, 3016, 3018, 3020, 3022, 3024, 3026, 3028, 3030, 3032, 3034, 3036, 3038, 3040, 3042, 3044, 3046, 3048, 3050, 3052, 3054, 3056, 3058, 3060, 3062, 3064, 3066, 3068, 3070, 3072, 3074, 3076, 3078, 3080, 3082, 3084, 3086, 3088, 3090, 3092, 3094, 3096, 3098, 3100, 3102, 3104, 3106, 3108, 3110, 3112, 3114, 3116, 3118, 3120, 3122, 3124, 3126, 3128, 3130, 3132, 3134, 3136, 3138, 3140, 3142, 3144, 3146, 3148, 3150, 3152, 3154, 3156, 3158, 3160, 3162, 3164, 3166, 3168, 3170, 3172, 3174, 3176, 3178, 3180, 3182, 3184, 3186, 3188, 3190, 3192, 3194, 3196, 3198, 3200, 3202, 3204, 3206, 3208, 3210, 3212, 3214, 3216, 3218, 3220, 3222, 3224, 3226, 3228, 3230, 3232, 3234, 3236, 3238, 3240, 3242, 3244, 3246, 3248, 3250, 3252, 3254, 3256, 3258, 3260, 3262, 3264, 3266, 3268, 3270, 3272, 3274, 3276, 3278, 3280, 3282, 3284, 3286, 3288, 3290, 3292, 3294, 3296, 3298, 3300, 3302, 3304, 3306, 3308, 3310, 3312, 3314, 3316, 3318, 3320, 3322, 3324, 3326, 3328, 3330, 3332, 3334, 3336, 3338, 3340, 3342, 3344, 3346, 3348, 3350, 3352, 3354, 3356, 3358, 3360, 3362, 3364, 3366, 3368, 3370, 3372, 3374, 3376, 3378, 3380, 3382, 3384, 3386, 3388, 3390, 3392, 3394, 3396, 3398, 3400, 3402, 3404, 3406, 3408, 3410, 3412, 3414, 3416, 3418, 3420, 3422, 3424, 3426, 3428, 3430, 3432, 3434, 3436, 3438, 3440, 3442, 3444, 3446, 3448, 3450, 3452, 3454, 3456, 3458, 3460, 3462, 3464, 3466, 3468, 3470, 3472, 3474, 3476, 3478, 3480, 3482, 3484, 3486, 3488, 3490, 3492, 3494, 3496, 3498, 3500, 3502, 3504, 3506, 3508, 3510, 3512, 3514, 3516, 3518, 3520, 3522, 3524, 3526, 3528, 3530, 3532, 3534, 3536, 3538, 3540, 3542, 3544, 3546, 3548, 3550, 3552, 3554, 3556, 3558, 3560, 3562, 3564, 3566, 3568, 3570, 3572, 3574, 3576, 3578, 3580, 3582, 3584, 3586, 3588, 3590, 3592, 3594, 3596, 3598, 3600, 3602, 3604, 3606, 3608, 3610, 3612, 3614, 3616, 3618, 3620, 3622, 3624, 3626, 3628, 3630, 3632, 3634, 3636, 3638, 3640, 3642, 3644, 3646, 3648, 3650, 3652, 3654, 3656, 3658, 3660, 3662, 3664, 3666, 3668, 3670, 3672, 3674, 3676, 3678, 3680, 3682, 3684, 3686, 3688, 3690, 3692, 3694, 3696, 3698, 3700, 3702, 3704, 3706, 3708, 3710, 3712, 3714, 3716, 3718, 3720, 3722, 3724, 3726, 3728, 3730, 3732, 3734, 3736, 3738, 3740, 3742, 3744, 3746, 3748, 3750, 3752, 3754, 3756, 3758, 3760, 3762, 3764, 3766, 3768, 3770, 3772, 3774, 3776, 3778, 3780, 3782, 3784, 3786, 3788, 3790, 3792, 3794, 3796, 3798, 3800, 3802, 3804, 3806, 3808, 3810, 3812, 3814, 3816, 3818, 3820, 3822, 3824, 3826, 3828, 3830, 3832, 3834, 3836, 3838, 3840, 3842, 3844, 3846, 3848, 3850, 3852, 3854, 3856, 3858, 3860, 3862, 3864, 3866, 3868, 3870, 3872, 3874, 3876, 3878, 3880, 3882, 3884, 3886, 3888, 3890, 3892, 3894, 3896, 3898, 3900, 3902, 3904, 3906, 3908, 3910, 3912, 3914, 3916, 3918, 3920, 3922, 3924, 3926, 3928, 3930, 3932, 3934, 3936, 3938, 3940, 3942, 3944, 3946, 3948, 3950, 3952, 3954, 3956, 3958, 3960, 3962, 3964, 3966, 3968, 3970, 3972, 3974, 3976, 3978, 3980, 3982, 3984, 3986, 3988, 3990, 3992, 3994, 3996, 3998, 4000, 4002, 4004, 4006, 4008, 4010, 4012, 4014, 4016, 4018, 4020, 4022, 4024, 4026, 4028, 4030, 4032, 4034, 4036, 4038, 4040, 4042, 4044, 4046, 4048, 4050, 4052, 4054, 4056, 4058, 4060, 4062, 4064, 4066, 4068, 4070, 4072, 4074, 4076, 4078, 4080, 4082, 4084, 4086, 4088, 4090, 4092, 4094, 4096, 4098, 4100, 4102, 4104, 4106, 4108, 4110, 4112, 4114, 4116, 4118, 4120, 4122, 4124, 4126, 4128, 4130, 4132, 4134, 4136, 4138, 4140, 4142, 4144, 4146, 4148, 4150, 4152, 4154, 4156, 4158, 4160, 4162, 4164, 4166, 4168, 4170, 4172, 4174, 4176, 4178, 4180, 4182, 4184, 4186, 4188, 4190, 4192, 4194, 4196, 4198, 4200, 4202, 4204, 4206, 4208, 4210, 4212, 4214, 4216, 4218, 4220, 4222, 4224, 4226, 4228, 4230, 4232, 4234, 4236, 4238, 4240, 4242, 4244, 4246, 4248, 4250, 4252, 4254, 4256, 4258, 4260, 4262, 4264, 4266, 4268, 4270, 4272, 4274, 4276, 4278, 4280, 4282, 4284, 4286, 4288, 4290, 4292, 4294, 4296, 4298, 4300, 4302, 4304, 4306, 4308, 4310, 4312, 4314, 4316, 4318, 4320, 4322, 4324, 4326, 4328, 4330, 4332, 4334, 4336, 4338, 4340, 4342, 4344, 4346, 4348, 4350, 4352, 4354, 4356, 4358, 4360, 4362, 4364, 4366, 4368, 4370, 4372, 4374, 4376, 4378, 4380, 4382, 4384, 4386, 4388, 4390, 4392, 4394, 4396, 4398, 4400, 4402, 4404, 4406, 4408, 4410, 4412, 4414, 4416, 4418, 4420, 4422, 4424, 4426, 4428, 4430, 4432, 4434, 4436, 4438, 4440, 4442, 4444, 4446, 4448, 4450, 4452, 4454, 4456, 4458, 4460, 4462, 4464, 4466, 4468, 4470, 4472, 4474, 4476, 4478, 4480, 4482, 4484, 4486, 4488, 4490, 4492, 4494, 4496, 4498, 4500, 4502, 4504, 4506, 4508, 4510, 4512, 4514, 4516, 4518, 4520, 4522, 4524, 4526, 4528, 4530, 4532, 4534, 4536, 4538, 4540, 4542, 4544, 4546, 4548, 4550, 4552, 4554, 4556, 4558, 4560, 4562, 4564, 4566, 4568, 4570, 4572, 4574, 4576, 4578, 4580, 4582, 4584, 4586, 4588, 4590, 4592, 4594, 4596, 4598, 4600, 4602, 4604, 4606, 4608, 4610, 4612, 4614, 4616, 4618, 4620, 4622, 4624, 4626, 4628, 4630, 4632, 4634, 4636, 4638, 4640, 4642, 4644, 4646, 4648, 4650, 4652, 4654, 4656, 4658, 4660, 4662, 4664, 4666, 4668, 4670, 4672, 4674, 4676, 4678, 4680, 4682, 4684, 4686, 4688, 4690, 4692, 4694, 4696, 4698, 4700, 4702, 4704, 4706, 4708, 4710, 4712, 4714, 4716, 4718, 4720, 4722, 4724, 4726, 4728, 4730, 4732, 4734, 4736, 4738, 4740, 4742, 4744, 4746, 4748, 4750, 4752, 4754, 4756, 4758, 4760, 4762, 4764, 4766, 4768, 4770, 4772, 4774, 4776, 4778, 4780, 4782, 4784, 4786, 4788, 4790, 4792, 4794, 4796, 4798, 4800, 4802, 4804, 4806, 4808, 4810, 4812, 4814, 4816, 4818, 4820, 4822, 4824, 4826, 4828, 4830, 4832, 4834, 4836, 4838, 4840, 4842, 4844, 4846, 4848, 4850, 4852, 4854, 4856, 4858, 4860, 4862, 4864, 4866, 4868, 4870, 4872, 4874, 4876, 4878, 4880, 4882, 4884, 4886, 4888, 4890, 4892, 4894, 4896, 4898, 4900, 4902, 4904, 4906, 4908, 4910, 4912, 4914, 4916, 4918, 4920, 4922, 4924, 4926, 4928, 4930, 4932, 4934, 4936, 4938, 4940, 4942, 4944, 4946, 4948, 4950, 4952, 4954, 4956, 4958, 4960, 4962, 4964, 4966, 4968, 4970, 4972, 4974, 4976, 4978, 4980, 4982, 4984, 4986, 4988, 4990, 4992, 4994, 4996, 4998, 5000, 5002, 5004, 5006, 5008, 5010, 5012, 5014, 5016, 5018, 5020, 5022, 5024, 5026, 5028, 5030, 5032, 5034, 5036, 5038, 5040, 5042, 5044, 5046, 5048, 5050, 5052, 5054, 5056, 5058, 5060, 5062, 5064, 5066, 5068, 5070, 5072, 5074, 5076, 5078, 5080, 5082, 5084, 5086, 5088, 5090, 5092, 5094, 5096, 5098, 5100, 5102, 5104, 5106, 5108, 5110, 5112, 5114, 5116, 5118, 5120, 5122, 5124, 5126, 5128, 5130, 5132, 5134, 5136, 5138, 5140, 5142, 5144, 5146, 5148, 5150, 5152, 5154, 5156, 5158, 5160, 5162, 5164, 5166, 5168, 5170, 5172, 5174, 5176, 5178, 5180, 5182, 5184, 5186, 5188, 5190, 5192, 5194, 5196, 5198, 5200, 5202, 5204, 5206, 5208, 5210, 5212, 5214, 5216, 5218, 5220, 5222, 5224, 5226, 5228, 5230, 5232, 5234, 5236, 5238, 5240, 5242, 5244, 5246, 5248, 5250, 5252, 5254, 5256, 5258, 5260, 5262, 5264, 5266, 5268, 5270, 5272, 5274, 5276, 5278, 5280, 5282, 5284, 5286, 5288, 5290, 5292, 5294, 5296, 5298, 5300, 5302, 5304, 5306, 5308, 5310, 5312, 5314, 5316, 5318, 5320, 5322, 5324, 5326, 5328, 5330, 5332, 5334, 5336, 5338, 5340, 5342, 5344, 5346, 5348, 5350, 5352, 5354, 5356, 5358, 5360, 5362, 5364, 5366, 5368, 5370, 5372, 5374, 5376, 5378, 5380, 5382, 5384, 5386, 5388, 5390, 5392, 5394, 5396, 5398, 5400, 5402, 5404, 5406, 5408, 5410, 5412, 5414, 5416, 5418, 5420, 5422, 5424, 5426, 5428, 5430, 5432, 5434, 5436, 5438, 5440, 5442, 5444, 5446, 5448, 5450, 5452, 5454, 5456, 5458, 5460, 5462, 5464, 5466, 5468, 5470, 5472, 5474, 5476, 5478, 5480, 5482, 5484, 5486, 5488, 5490, 5492, 5494, 5496, 5498, 5500, 5502, 5504, 5506, 5508, 5510, 5512, 5514, 5516, 5518, 5520, 5522, 5524, 5526, 5528, 5530, 5532, 5534, 5536, 5538, 5540, 5542, 5544, 5546, 5548, 5550, 5552, 5554, 5556, 5558, 5560, 5562, 5564, 5566, 5568, 5570, 5572, 5574, 5576, 5578, 5580, 5582, 5584, 5586, 5588, 5590, 5592, 5594, 5596, 5598, 5600, 5602, 5604, 5606, 5608, 5610, 5612, 5614, 5616, 5618, 5620, 5622, 5624, 5626, 5628, 5630, 5632, 5634, 5636, 5638, 5640, 5642, 5644, 5646, 5648, 5650, 5652, 5654, 5656, 5658, 5660, 5662, 5664, 5666, 5668, 5670, 5672, 5674, 5676, 5678, 5680, 5682, 5684, 5686, 5688, 5690, 5692, 5694, 5696, 5698, 5700, 5702, 5704, 5706, 5708, 5710, 5712, 5714, 5716, 5718, 5720, 5722, 5724, 5726, 5728, 5730, 5732, 5734, 5736, 5738, 5740, 5742, 5744, 5746, 5748, 5750, 5752, 5754, 5756, 5758, 5760, 5762, 5764, 5766, 5768, 5770, 5772, 5774, 5776, 5778, 5780, 5782, 5784, 5786, 5788, 5790, 5792, 5794, 5796, 5798, 5800, 5802, 5804, 5806, 5808, 5810, 5812, 5814, 5816, 5818, 5820, 5822, 5824, 5826, 5828, 5830, 5832, 5834, 5836, 5838, 5840, 5842, 5844, 5846, 5848, 5850, 5852, 5854, 5856, 5858, 5860, 5862, 5864, 5866, 5868, 5870, 5872, 5874, 5876, 5878, 5880, 5882, 5884, 5886, 5888, 5890, 5892, 5894, 5896, 5898, 5900, 5902, 5904, 5906, 5908, 5910, 5912, 5914, 5916, 5918, 5920, 5922, 5924, 5926, 5928, 5930, 5932, 5934, 5936, 5938, 5940, 5942, 5944, 5946, 5948, 5950, 5952, 5954, 5956, 5958, 5960, 5962, 5964, 5966, 5968, 5970, 5972, 5974, 5976, 5978, 5980, 5982, 5984, 5986, 5988, 5990, 5992, 5994, 5996, 5998, 6000, 6002, 6004, 6006, 6008, 6010, 6012, 6014, 6016, 6018, 6020, 6022, 6024, 6026, 6028, 6030, 6032, 6034, 6036, 6038, 6040, 6042, 6044, 6046, 6048, 6050, 6052, 6054, 6056, 6058, 6060, 6062, 6064, 6066, 6068, 6070, 6072, 6074, 6076, 6078, 6080, 6082, 6084, 6086, 6088, 6090, 6092, 6094, 6096, 6098, 6100, 6102, 6104, 6106, 6108, 6110, 6112, 6114, 6116, 6118, 6120, 6122, 6124, 6126, 6128, 6130, 6132, 6134, 6136, 6138, 6140, 6142, 6144, 6146, 6148, 6150, 6152, 6154, 6156, 6158, 6160, 6162, 6164, 6166, 6168, 6170, 6172, 6174, 6176, 6178, 6180, 6182, 6184, 6186, 6188, 6190, 6192, 6194, 6196, 6198, 6200, 6202, 6204, 6206, 6208, 6210, 6212, 6214, 6216, 6218, 6220, 6222, 6224, 6226, 6228, 6230, 6232, 6234, 6236, 6238, 6240, 6242, 6244, 6246, 6248, 6250, 6252, 6254, 6256, 6258, 6260, 6262, 6264, 6266, 6268, 6270, 6272, 6274, 6276, 6278, 6280, 6282, 6284, 6286, 6288, 6290, 6292, 6294, 6296, 6298, 6300, 6302, 6304, 6306, 6308, 6310, 6312, 6314, 6316, 6318, 6320, 6322, 6324, 6326, 6328, 6330, 6332, 6334, 6336, 6338, 6340, 6342, 6344, 6346, 6348, 6350, 6352, 6354, 6356, 6358, 6360, 6362, 6364, 6366, 6368, 6370, 6372, 6374, 6376, 6378, 6380, 6382, 6384, 6386, 6388, 6390, 6392, 6394, 6396, 6398, 6400, 6402, 6404, 6406, 6408, 6410, 6412, 6414, 6416, 6418, 6420, 6422, 6424, 6426, 6428, 6430, 6432, 6434, 6436, 6438, 6440, 6442, 6444, 6446, 6448, 6450, 6452, 6454, 6456, 6458, 6460, 6462, 6464, 6466, 6468, 6470, 6472, 6474, 6476, 6478, 6480, 6482, 6484, 6486, 6488, 6490, 6492, 6494, 6496, 6498, 6500, 6502, 6504, 6506, 6508, 6510, 6512, 6514, 6516, 6518, 6520, 6522, 6524, 6526, 6528, 6530, 6532, 6534, 6536, 6538, 6540, 6542, 6544, 6546, 6548, 6550, 6552, 6554, 6556, 6558, 6560, 6562, 6564, 6566, 6568, 6570, 6572, 6574, 6576, 6578, 6580, 6582, 6584, 6586, 6588, 6590, 6592, 6594, 6596, 6598, 6600, 6602, 6604, 6606, 6608, 6610, 6612, 6614, 6616, 6618, 6620, 6622, 6624, 6626, 6628, 6630, 6632, 6634, 6636, 6638, 6640, 6642, 6644, 6646, 6648, 6650, 6652, 6654, 6656, 6658, 6660, 6662, 6664, 6666, 6668, 6670, 6672, 6674, 6676, 6678, 6680, 6682, 6684, 6686, 6688, 6690, 6692, 6694, 6696, 6698, 6700, 6702, 6704, 6706, 6708, 6710, 6712, 6714, 6716, 6718, 6720, 6722, 6724, 6726, 6728, 6730, 6732, 6734, 6736, 6738, 6740, 6742, 6744, 6746, 6748, 6750, 6752, 6754, 6756, 6758, 6760, 6762, 6764, 6766, 6768, 6770, 6772, 6774, 6776, 6778, 6780, 6782, 6784, 6786, 6788, 6790, 6792, 6794, 6796, 6798, 6800, 6802, 6804, 6806, 6808, 6810, 6812, 6814, 6816, 6818, 6820, 6822, 6824, 6826, 6828, 6830, 6832, 6834, 6836, 6838, 6840, 6842, 6844, 6846, 6848, 6850, 6852, 6854, 6856, 6858, 6860, 6862, 6864, 6866, 6868, 6870, 6872, 6874, 6876, 6878, 6880, 6882, 6884, 6886, 6888, 6890, 6892, 6894, 6896, 6898, 6900, 6902, 6904, 6906, 6908, 6910, 6912, 6914, 6916, 6918, 6920, 6922, 6924, 6926, 6928, 6930, 6932, 6934, 6936, 6938, 6940, 6942, 6944, 6946, 6948, 6950, 6952, 6954, 6956, 6958, 6960, 6962, 6964, 6966, 6968, 6970, 6972, 6974, 6976, 6978, 6980, 6982, 6984, 6986, 6988, 6990, 6992, 6994, 6996, 6998, 7000, 7002, 7004, 7006, 7008, 7010, 7012, 7014, 7016, 7018, 7020, 7022, 7024, 7026, 7028, 7030, 7032, 7034, 7036, 7038, 7040, 7042, 7044, 7046, 7048, 7050, 7052, 7054, 7056, 7058, 7060, 7062, 7064, 7066, 7068, 7070, 7072, 7074, 7076, 7078, 7080, 7082, 7084, 7086, 7088, 7090, 7092, 7094, 7096, 7098, 7100, 7102, 7104, 7106, 7108, 7110, 7112, 7114, 7116, 7118, 7120, 7122, 7124, 7126, 7128, 7130, 7132, 7134, 7136, 7138, 7140, 7142, 7144, 7146, 7148, 7150, 7152, 7154, 7156, 7158, 7160, 7162, 7164, 7166, 7168, 7170, 7172, 7174, 7176, 7178, 7180, 7182, 7184, 7186, 7188, 7190, 7192, 7194, 7196, 7198, 7200, 7202, 7204, 7206, 7208, 7210, 7212, 7214, 7216, 7218, 7220, 7222, 7224, 7226, 7228, 7230, 7232, 7234, 7236, 7238, 7240, 7242, 7244, 7246, 7248, 7250, 7252, 7254, 7256, 7258, 7260, 7262, 7264, 7266, 7268, 7270, 7272, 7274, 7276, 7278, 7280, 7282, 7284, 7286, 7288, 7290, 7292, 7294, 7296, 7298, 7300, 7302, 7304, 7306, 7308, 7310, 7312, 7314, 7316, 7318, 7320, 7322, 7324, 7326, 7328, 7330, 7332, 7334, 7336, 7338, 7340, 7342, 7344, 7346, 7348, 7350, 7352, 7354, 7356, 7358, 7360, 7362, 7364, 7366, 7368, 7370, 7372, 7374, 7376, 7378, 7380, 7382, 7384, 7386, 7388, 7390, 7392, 7394, 7396, 7398, 7400, 7402, 7404, 7406, 7408, 7410, 7412, 7414, 7416, 7418, 7420, 7422, 7424, 7426, 7428, 7430, 7432, 7434, 7436, 7438, 7440, 7442, 7444, 7446, 7448, 7450, 7452, 7454, 7456, 7458, 7460, 7462, 7464, 7466, 7468, 7470, 7472, 7474, 7476, 7478, 7480, 7482, 7484, 7486, 7488, 7490, 7492, 7494, 7496, 7498, 7500, 7502, 7504, 7506, 7508, 7510, 7512, 7514, 7516, 7518, 7520, 7522, 7524, 7526, 7528, 7530, 7532, 7534, 7536, 7538, 7540, 7542, 7544, 7546, 7548, 7550, 7552, 7554, 7556, 7558, 7560, 7562, 7564, 7566, 7568, 7570, 7572, 7574, 7576, 7578, 7580, 7582, 7584, 7586, 7588, 7590, 7592, 7594, 7596, 7598, 7600, 7602, 7604, 7606, 7608, 7610, 7612, 7614, 7616, 7618, 7620, 7622, 7624, 7626, 7628, 7630, 7632, 7634, 7636, 7638, 7640, 7642, 7644, 7646, 7648, 7650, 7652, 7654, 7656, 7658, 7660, 7662, 7664, 7666, 7668, 7670, 7672, 7674, 7676, 7678, 7680, 7682, 7684, 7686, 7688, 7690, 7692, 7694, 7696, 7698, 7700, 7702, 7704, 7706, 7708, 7710, 7712, 7714, 7716, 7718, 7720, 7722, 7724, 7726, 7728, 7730, 7732, 7734, 7736, 7738, 7740, 7742, 7744, 7746, 7748, 7750, 7752, 7754, 7756, 7758, 7760, 7762, 7764, 7766, 7768, 7770, 7772, 7774, 7776, 7778, 7780, 7782, 7784, 7786, 7788, 7790, 7792, 7794, 7796, 7798, 7800, 7802, 7804, 7806, 7808, 7810, 7812, 7814, 7816, 7818, 7820, 7822, 7824, 7826, 7828, 7830, 7832, 7834, 7836, 7838, 7840, 7842, 7844, 7846, 7848, 7850, 7852, 7854, 7856, 7858, 7860, 7862, 7864, 7866, 7868, 7870, 7872, 7874, 7876, 7878, 7880, 7882, 7884, 7886, 7888, 7890, 7892, 7894, 7896, 7898, 7900, 7902, 7904, 7906, 7908, 7910, 7912, 7914, 7916, 7918, 7920, 7922, 7924, 7926, 7928, 7930, 7932, 7934, 7936, 7938, 7940, 7942, 7944, 7946, 7948, 7950, 7952, 7954, 7956, 7958, 7960, 7962, 7964, 7966, 7968, 7970, 7972, 7974, 7976, 7978, 7980, 7982, 7984, 7986, 7988, 7990, 7992, 7994, 7996, 7998, 8000, 8002, 8004, 8006, 8008, 8010, 8012, 8014, 8016, 8018, 8020, 8022, 8024, 8026, 8028, 8030, 8032, 8034, 8036, 8038, 8040, 8042, 8044, 8046, 8048, 8050, 8052, 8054, 8056, 8058, 8060, 8062, 8064, 8066, 8068, 8070, 8072, 8074, 8076, 8078, 8080, 8082, 8084, 8086, 8088, 8090, 8092, 8094, 8096, 8098, 8100, 8102, 8104, 8106, 8108, 8110, 8112, 8114, 8116, 8118, 8120, 8122, 8124, 8126, 8128, 8130, 8132, 8134, 8136, 8138, 8140, 8142, 8144, 8146, 8148, 8150, 8152, 8154, 8156, 8158, 8160, 8162, 8164, 8166, 8168, 8170, 8172, 8174, 8176, 8178, 8180, 8182, 8184, 8186, 8188, 8190, 8192, 8194, 8196, 8198, 8200, 8202, 8204, 8206, 8208, 8210, 8212, 8214, 8216, 8218, 8220, 8222, 8224, 8226, 8228, 8230, 8232, 8234, 8236, 8238, 8240, 8242, 8244, 8246, 8248, 8250, 8252, 8254, 8256, 8258, 8260, 8262, 8264, 8266, 8268, 8270, 8272, 8274, 8276, 8278, 8280, 8282, 8284, 8286, 8288, 8290, 8292, 8294, 8296, 8298, 8300, 8302, 8304, 8306, 8308, 8310, 8312, 8314, 8316, 8318, 8320, 8322, 8324, 8326, 8328, 8330, 8332, 8334, 8336, 8338, 8340, 8342, 8344, 8346, 8348, 8350, 8352, 8354, 8356, 8358, 8360, 8362, 8364, 8366, 8368, 8370, 8372, 8374, 8376, 8378, 8380, 8382, 8384, 8386, 8388, 8390, 8392, 8394, 8396, 8398, 8400, 8402, 8404, 8406, 8408, 8410, 8412, 8414, 8416, 8418, 8420, 8422, 8424, 8426, 8428, 8430, 8432, 8434, 8436, 8438, 8440, 8442, 8444, 8446, 8448, 8450, 8452, 8454, 8456, 8458, 8460, 8462, 8464, 8466, 8468, 8470, 8472, 8474, 8476, 8478, 8480, 8482, 8484, 8486, 8488, 8490, 8492, 8494, 8496, 8498, 8500, 8502, 8504, 8506, 8508, 8510, 8512, 8514, 8516, 8518, 8520, 8522, 8524, 8526, 8528, 8530, 8532, 8534, 8536, 8538, 8540, 8542, 8544, 8546, 8548, 8550, 8552, 8554, 8556, 8558, 8560, 8562, 8564, 8566, 8568, 8570, 8572, 8574, 8576, 8578, 8580, 8582, 8584, 8586, 8588, 8590, 8592, 8594, 8596, 8598, 8600, 8602, 8604, 8606, 8608, 8610, 8612, 8614, 8616, 8618, 8620, 8622, 8624, 8626, 8628, 8630, 8632, 8634, 8636, 8638, 8640, 8642, 8644, 8646, 8648, 8650, 8652, 8654, 8656, 8658, 8660, 8662, 8664, 8666, 8668, 8670, 8672, 8674, 8676, 8678, 8680, 8682, 8684, 8686, 8688, 8690, 8692, 8694, 8696, 8698, 8700, 8702, 8704, 8706, 8708, 8710, 8712, 8714, 8716, 8718, 8720, 8722, 8724, 8726, 8728, 8730, 8732, 8734, 8736, 8738, 8740, 8742, 8744, 8746, 8748, 8750, 8752, 8754, 8756, 8758, 8760, 8762, 8764, 8766, 8768, 8770, 8772, 8774, 8776, 8778, 8780, 8782, 8784, 8786, 8788, 8790, 8792, 8794, 8796, 8798, 8800, 8802, 8804, 8806, 8808, 8810, 8812, 8814, 8816, 8818, 8820, 8822, 8824, 8826, 8828, 8830, 8832, 8834, 8836, 8838, 8840, 8842, 8844, 8846, 8848, 8850, 8852, 8854, 8856, 8858, 8860, 8862, 8864, 8866, 8868, 8870, 8872, 8874, 8876, 8878, 8880, 8882, 8884, 8886, 8888, 8890, 8892, 8894, 8896, 8898, 8900, 8902, 8904, 8906, 8908, 8910, 8912, 8914, 8916, 8918, 8920, 8922, 8924, 8926, 8928, 8930, 8932, 8934, 8936, 8938, 8940, 8942, 8944, 8946, 8948, 8950, 8952, 8954, 8956, 8958, 8960, 8962, 8964, 8966, 8968, 8970, 8972, 8974, 8976, 8978, 8980, 8982, 8984, 8986, 8988, 8990, 8992, 8994, 8996, 8998, 9000, 9002, 9004, 9006, 9008, 9010, 9012, 9014, 9016, 9018, 9020, 9022, 9024, 9026, 9028, 9030, 9032, 9034, 9036, 9038, 9040, 9042, 9044, 9046, 9048, 9050, 9052, 9054, 9056, 9058, 9060, 9062, 9064, 9066, 9068, 9070, 9072, 9074, 9076, 9078, 9080, 9082, 9084, 9086, 9088, 9090, 9092, 9094, 9096, 9098, 9100, 9102, 9104, 9106, 9108, 9110, 9112, 9114, 9116, 9118, 9120, 9122, 9124, 9126, 9128, 9130, 9132, 9134, 9136, 9138, 9140, 9142, 9144, 9146, 9148, 9150, 9152, 9154, 9156, 9158, 9160, 9162, 9164, 9166, 9168, 9170, 9172, 9174, 9176, 9178, 9180, 9182, 9184, 9186, 9188, 9190, 9192, 9194, 9196, 9198, 9200, 9202, 9204, 9206, 9208, 9210, 9212, 9214, 9216, 9218, 9220, 9222, 9224, 9226, 9228, 9230, 9232, 9234, 9236, 9238, 9240, 9242, 9244, 9246, 9248, 9250, 9252, 9254, 9256, 9258, 9260, 9262, 9264, 9266, 9268, 9270, 9272, 9274, 9276, 9278, 9280, 9282, 9284, 9286, 9288, 9290, 9292, 9294, 9296, 9298, 9300, 9302, 9304, 9306, 9308, 9310, 9312, 9314, 9316, 9318, 9320, 9322, 9324, 9326, 9328, 9330, 9332, 9334, 9336, 9338, 9340, 9342, 9344, 9346, 9348, 9350, 9352, 9354, 9356, 9358, 9360, 9362, 9364, 9366, 9368, 9370, 9372, 9374, 9376, 9378, 9380, 9382, 9384, 9386, 9388, 9390, 9392, 9394, 9396, 9398, 9400, 9402, 9404, 9406, 9408, 9410, 9412, 9414, 9416, 9418, 9420, 9422, 9424, 9426, 9428, 9430, 9432, 9434, 9436, 9438, 9440, 9442, 9444, 9446, 9448, 9450, 9452, 9454, 9456, 9458, 9460, 9462, 9464, 9466, 9468, 9470, 9472, 9474, 9476, 9478, 9480, 9482, 9484, 9486, 9488, 9490, 9492, 9494, 9496, 9498, 9500, 9502, 9504, 9506, 9508, 9510, 9512, 9514, 9516, 9518, 9520, 9522, 9524, 9526, 9528, 9530, 9532, 9534, 9536, 9538, 9540, 9542, 9544, 9546, 9548, 9550, 9552, 9554, 9556, 9558, 9560, 9562, 9564, 9566, 9568, 9570, 9572, 9574, 9576, 9578, 9580, 9582, 9584, 9586, 9588, 9590, 9592, 9594, 9596, 9598, 9600, 9602, 9604, 9606, 9608, 9610, 9612, 9614, 9616, 9618, 9620, 9622, 9624, 9626, 9628, 9630, 9632, 9634, 9636, 9638, 9640, 9642, 9644, 9646, 9648, 9650, 9652, 9654, 9656, 9658, 9660, 9662, 9664, 9666, 9668, 9670, 9672, 9674, 9676, 9678, 9680, 9682, 9684, 9686, 9688, 9690, 9692, 9694, 9696, 9698, 9700, 9702, 9704, 9706, 9708, 9710, 9712, 9714, 9716, 9718, 9720, 9722, 9724, 9726, 9728, 9730, 9732, 9734, 9736, 9738, 9740, 9742, 9744, 9746, 9748, 9750, 9752, 9754, 9756, 9758, 9760, 9762, 9764, 9766, 9768, 9770, 9772, 9774, 9776, 9778, 9780, 9782, 9784, 9786, 9788, 9790, 9792, 9794, 9796, 9798, 9800, 9802, 9804, 9806, 9808, 9810, 9812, 9814, 9816, 9818, 9820, 9822, 9824, 9826, 9828, 9830, 9832, 9834, 9836, 9838, 9840, 9842, 9844, 9846, 9848, 9850, 9852, 9854, 9856, 9858, 9860, 9862, 9864, 9866, 9868, 9870, 9872, 9874, 9876, 9878, 9880, 9882, 9884, 9886, 9888, 9890, 9892, 9894, 9896, 9898, 9900, 9902, 9904, 9906, 9908, 9910, 9912, 9914, 9916, 9918, 9920, 9922, 9924, 9926, 9928, 9930, 9932, 9934, 9936, 9938, 9940, 9942, 9944, 9946, 9948, 9950, 9952, 9954, 9956, 9958, 9960, 9962, 9964, 9966, 9968, 9970, 9972, 9974, 9976, 9978, 9980, 9982, 9984, 9986, 9988, 9990, 9992, 9994, 9996, 9998,
Вопросы о четных числах.
Четные числа — довольно простой вопрос, и написал данную страницу лишь потому, что количество поисковых запросов касающихся понятию четного числа и около, достигает почти 100 000. Вы только вдумайтесь это число! Не поленился и посчитал. до 19 строки дошел, потом притомился.
Четно ли число
Как я уже написал выше, чтобы узнать «четно ли число» — это число должно отвечать одному из условий описанных в первом пункте.
Нумерация недель
Размер:
AAA
Цвет: C C C
Изображения Вкл. Выкл.
Обычная версия сайта
Найти ближайший филиал Версия для слабовидящих Версия для слабовидящих
Сибирский университет потребительской кооперации (СибУПК)

ОТДЕЛ ОРГАНИЗАЦИИ ПРИЕМА: 8-913-703-0522
БУХГАЛТЕРИЯ (ПО ВОПРОСАМ ОПЛАТЫ): +7 (383) 346-54-25

Университет
Сведения об образовательной организации
Внутренняя система оценки качества образования (ВСОКО)
Руководство
Портал для сотрудников
Новости
Ученый совет
Календарь событий
Информационно-библиотечный центр
Устав
Факультеты и кафедры
История
Вакансии
Подразделения
Виртуальный музей
Филиалы
Наши выпускники
Абитуриентам
Приемная кампания 2022
Приемная кампания 2021
Направления подготовки
Личный кабинет абитуриента
Иностранным абитуриентам
Целевое обучение
Олимпиада «Стань магистром!»
Олимпиада «Яркая жизнь»
Студентам
Расписание занятий
Оплата обучения
Электронный кабинет
Электронная зачетка
Воспитательная работа и молодежная политика
Спортивная жизнь
Практика и трудоустройство
Штаб студенческих отрядов
Справочник студента
Анкетирование по преподавателям
Информация об общежитиях
Колледж
Дополнительное образование
Наука
Отдел магистратуры и аспирантуры
Отдел координации НИР
Совет по науке
Отдел проектной работы
Научно-теоретический журнал «Вестник СибУПК»
Предстоящие научные мероприятия
Гранты
Научные школы
Сборники конференций
Студенческое научное объединение
Дистанционное обучение
Международное сотрудничество
Региональная сеть
English
Контакты
Главная
›
Студентам
›
Расписание занятий
›
Нумерация недель
0 четное или нечетное число.
Чётные и нечётные числа
Определения
Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …
Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …
В соответствии с этим определением нуль является чётным числом.
Если m чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .
В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции.
В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше ), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли.
Например, вполне допустимо подарить юной даме букет из 12 или 14 цветов или срезов кустового цветка, если они имеют множество бутонов , у которых они, в принципе, не подсчитываются.
Тем более это относится к б́ольшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое «Чётные и нечётные числа» в других словарях:
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Слегка избыточное число, или квазисовершенное число избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора,… … Википедия
Целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = 1+2+3 и 28 = 1+2+4+7+14 являются совершенными. Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные С. ч. можно… …
Целые (0, 1, 2,…) или полуцелые (1/2, 3/2, 5/2,…) числа, определяющие возможные дискретные значения физических величин, которые характеризуют квантовые системы (атомное ядро, атом, молекулу) и отдельные элементарные частицы.… … Большая советская энциклопедия
Книги
Математические лабиринты и ребусы, 20 карточек , Барчан Татьяна Александровна, Самоделко Анна. В наборе: 10 ребусов и 10 математических лабиринтов на темы: — Числовой ряд; — Чётные и нечётные числа; — Состав числа; — Счёт парами; — Упражнения на сложение и вычитание. В комплекте 20…
Чётность нуля — вопрос, считать ли ноль чётным или нечётным числом . Ноль — чётное число . Однако чётность нуля вызывает сомнения в среде людей, недостаточно знакомых с математикой. Большинство людей задумываются дольше, прежде чем идентифицировать 0 как чётное число, по сравнению с идентификацией обычных чисел вроде 2, 4, 6 или 8. Некоторые студенты, изучающие математику, и даже некоторые преподаватели, ошибочно считают ноль нечётным числом, или чётным и нечётным одновременно, или не относят его ни к одной категории.
По определению, чётное число — такое целое число , которое делится на без остатка. Ноль обладает всеми свойствами, которые присущи чётным числам, например, 0 с обеих сторон граничит с нечетными числами, каждое десятичное целое число имеет такую же чётность, как и последняя цифра этого числа, поэтому, поскольку 10 является чётным, то 0 также будет чётным. Если y {\displaystyle y} является четным числом, тогда y + x {\displaystyle y+x} имеет такую чётность, что имеет x {\displaystyle x} , а x {\displaystyle x} и 0 + x {\displaystyle 0+x} всегда имеют одинаковую чётность.
Ноль также соответствует закономерностям, которые образуют другие чётные числа. Правила чётности в арифметике, такие как чётное−чётное=чётное , предполагают, что 0 также должно быть чётным числом. Ноль является аддитивным нейтральным элементом группы чётных чисел, и он является началом, с которого рекурсивно определены другие чётные натуральные числа . Применение такой рекурсии по теории графов к вычислительной геометрии полагается на то, что ноль является чётным. Ноль делится не только на 2, он делится на все степени двойки. В этом смысле, 0 является «наиболее чётным» числом из всех чисел.
Почему ноль является чётным
Чтобы доказать, что ноль является чётным, можно непосредственно использовать стандартное определение «чётного числа». Число называют чётным, если это число кратно 2. Например, причиной того, что число 10 является чётным, является то, что оно равно 5 × 2 . В то же время, ноль также является целым кратным 2, то есть 0 × 2 , следовательно ноль является чётным .
Кроме того, можно объяснить, почему ноль является чётным, не применяя формальных определений.
Простые объяснения
Числа можно изобразить с помощью точек на числовой оси . Если на ней нанести чётные и нечётные числа, их общая закономерность становится очевидной, особенно если добавить и отрицательные числа:
Чётные и нечётные числа чередуются между собой. Нет причины пропустить число ноль .
Математический контекст
Численные результаты теории обращаются к основной теореме арифметики и алгебраическим свойствам чётных чисел, поэтому вышеупомянутая конвенция имеет далеко идущие последствия. Например, факт, что положительные числа имеют уникальную факторизацию , означает, что для отдельного числа можно определить, имеет ли оно чётное или нечётное количество различных простых множителей. Поскольку 1 не является простым числом, а также не имеет простых множителей, оно является пустым произведением простых чисел; поскольку 0 — чётное число, 1 имеет чётное количество простых множителей. Из этого следует, что функция Мёбиуса принимает значение μ (1) = 1, что необходимо, чтобы она была мультипликативной функцией и работала формула вращения Мёбиуса .
В образовании
Вопрос, является ли ноль чётным числом, поднимался в системе школьного образования Великобритании. Проводились многочисленные опросы мнения школьников по данному вопросу. Выяснилось, что ученики по-разному оценивают чётность нуля: некоторые считают его чётным, некоторые — нечётным, иные полагают, что он является особым числом — и тем и другим одновременно или ни тем ни другим. Причём ученики пятых классов дают правильный ответ чаще, чем ученики шестых классов .
Как показали исследования, даже преподаватели в школах и вузах недостаточно осведомлены о чётности нуля. Так, например, порядка 2/3 преподавателей Университета Южной Флориды ответили «нет» на вопрос «Является ли ноль чётным числом?» .
Примечания
Литература
Anderson, Ian (2001), A First Course in Discrete Mathematics , London: Springer, ISBN 1-85233-236-0
Anderson, Marlow & Feil, Todd (2005), A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields , London: CRC Press, ISBN 1-58488-515-7
Andrews, Edna (1990), Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language , Durham: Duke University Press, ISBN 0-8223-0959-9
Arnold, C. L. (January 1919), «The Number Zero «, The Ohio Educational Monthly Т. 68 (1): 21–22, . Проверено 11 апреля 2010.
Arsham, Hossein (January 2002), Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives , . Проверено 24 сентября 2007. Архивная копия от 25 сентября 2007 на Wayback Machine
Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C. & Bass, Hyman (2005), «Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? «, American Educator , . Проверено 16 сентября 2007.
Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer & Thames, Mark Hoover (2008), «Making mathematics work in school «, Journal for Research in Mathematics Education Т. M14: 13–44 and 195–200, . Проверено 4 марта 2010.
Barbeau, Edward Joseph (2003), Polynomials , Springer, ISBN 0-387-40627-1
Baroody, Arthur & Coslick, Ronald (1998), Fostering Children»s Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8 , Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 0-8058-3105-3
Berlinghoff, William P. ; Grant, Kerry E. & Skrien, Dale (2001), A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts (5th rev. ed.), Rowman & Littlefield, ISBN 0-7425-0202-3
Border, Kim C. (1985), Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory , Cambridge University Press, ISBN 0-521-38808-2
Brisman, Andrew (2004), Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways , Sterling, ISBN 1-4027-1300-2
Bunch, Bryan H. (1982), Mathematical Fallacies and Paradoxes , Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5
Caldwell, Chris K. & Xiong, Yeng (27 December 2012), «What is the Smallest Prime? «, Journal of Integer Sequences Т. 15 (9),
Column 8 readers (10 March 2006a), Column 8 (First ed.), с. 18, Factiva SMHH000020060309e23a00049
Column 8 readers (16 March 2006b), Column 8 (First ed.), с. 20, Factiva SMHH000020060315e23g0004z
Crumpacker, Bunny (2007), Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count , Macmillan, ISBN 0-312-36005-3
Cutler, Thomas J. (2008), The Bluejacket»s Manual: United States Navy (Centennial ed.), Naval Institute Press, ISBN 1-55750-221-8
Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge & Giraux, Pascal (1993), «The mental representation of parity and numerical magnitude «, Journal of Experimental Psychology: General Т. 122 (3): 371–396, doi :10.1037/0096-3445.122.3.371 , . Проверено 13 сентября 2007.
Devlin, Keith (April 1985), «The golden age of mathematics», New Scientist Т. 106 (1452)
Diagram Group (1983), The Official World Encyclopedia of Sports and Games , Paddington Press, ISBN 0-448-22202-7
Dickerson, David S & Pitman, Damien J (July 2012), Tai-Yih Tso, ed., «Advanced college-level students» categorization and use of mathematical definitions «, Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Т. 2: 187–195,
Dummit, David S. & Foote, Richard M. (1999), Abstract Algebra (2e ed. ), New York: Wiley, ISBN 0-471-36857-1
Educational Testing Service (2009), Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test , Educational Testing Service, . Проверено 6 сентября 2011.
Freudenthal, H. (1983), Didactical phenomenology of mathematical structures , Dordrecht, The Netherlands: Reidel
Frobisher, Len (1999), Anthony Orton, ed., Primary School Children»s Knowledge of Odd and Even Numbers , London: Cassell, с. 31–48
Gouvêa, Fernando Quadros (1997), p-adic numbers: an introduction (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4
Gowers, Timothy (2002), Mathematics: A Very Short Introduction , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-285361-5
Graduate Management Admission Council (September 2005), The Official Guide for GMAT Review (11th ed.), McLean, VA: Graduate Management Admission Council, ISBN 0-9765709-0-4
Grimes, Joseph E. (1975), The Thread of Discourse , Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-X
Hartsfield, Nora & Ringel, Gerhard (2003), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction , Mineola: Courier Dover, ISBN 0-486-43232-7
Hill, Heather C.; Blunk, Merrie L.; Charalambous, Charalambos Y. & Lewis, Jennifer M. (2008), «Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study «, Cognition and Instruction Т. 26 (4): 430–511, DOI 10.1080/07370000802177235
Hohmann, George (25 October 2007), Companies let market determine new name , с. P1C, Factiva CGAZ000020071027e3ap0001l
Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, 2005 Edition , Simon and Schuster, ISBN 0-7432-6035-X
Keith, Annie (2006), Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers , IAP, ISBN 1-59311-495-8
Krantz, Steven George (2001), Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry , CRC Press, ISBN 1-58488-052-X
Levenson, Esther; Tsamir, Pessia & Tirosh, Dina (2007), «Neither even nor odd: Sixth grade students» dilemmas regarding the parity of zero «, The Journal of Mathematical Behavior Т. 26 (2): 83–95, DOI 10.1016/j.jmathb.2007.05.004
Lichtenberg, Betty Plunkett (November 1972), «Zero is an even number», The Arithmetic Teacher Т. 19 (7): 535–538
Lorentz, Richard J. (1994), Recursive Algorithms , Intellect Books, ISBN 1-56750-037-4
Lovas, William & Pfenning, Frank (22 January 2008), «A Bidirectional Refinement Type System for LF «, Electronic Notes in Theoretical Computer Science Т. 196: 113–128, doi :10.1016/j.entcs.2007.09.021 , . Проверено 16 июня 2012.
Lovász, László ; Pelikán, József & Vesztergombi, Katalin L. (2003), Discrete Mathematics: Elementary and Beyond , Springer, ISBN 0-387-95585-2
Morgan, Frank (5 April 2001), Old Coins , The Mathematical Association of America, . Проверено 22 августа 2009.
Nipkow, Tobias; Paulson, Lawrence C. & Wenzel, Markus (2002), Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic , Springer, ISBN 3-540-43376-7
Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke & Willmes, Klaus (July 2004), «Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect «, The Quarterly Journal of Experimental Psychology A Т. 57 (5): 835–863, DOI 10.1080/02724980343000512
Partee, Barbara Hall (1978), Fundamentals of Mathematics for Linguistics , Dordrecht: D. Reidel,
Определения
Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …
Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …
В соответствии с этим определением нуль является чётным числом.
Если m чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .
В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции.
В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше ), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли.
Например, вполне допустимо подарить юной даме букет из 12 или 14 цветов или срезов кустового цветка, если они имеют множество бутонов , у которых они, в принципе, не подсчитываются.
Тем более это относится к б́ольшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Маарду
Сверхпроводимость
Смотреть что такое «Чётные и нечётные числа» в других словарях:
Нечётные числа
Чётные числа — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Нечётное — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Нечётное число — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Нечетные числа — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Четные и нечетные числа — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Четные числа — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19). … … Википедия
Слегка избыточные числа — Слегка избыточное число, или квазисовершенное число избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора,… … Википедия
Совершенные числа — целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = 1+2+3 и 28 = 1+2+4+7+14 являются совершенными. Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные С. ч. можно… …
Квантовые числа — целые (0, 1, 2,…) или полуцелые (1/2, 3/2, 5/2,…) числа, определяющие возможные дискретные значения физических величин, которые характеризуют квантовые системы (атомное ядро, атом, молекулу) и отдельные элементарные частицы.… … Большая советская энциклопедия
Книги
Математические лабиринты и ребусы, 20 карточек , Барчан Татьяна Александровна, Самоделко Анна. В наборе: 10 ребусов и 10 математических лабиринтов на темы: — Числовой ряд; — Чётные и нечётные числа; — Состав числа; — Счёт парами; — Упражнения на сложение и вычитание. В комплекте 20…
Четные и нечетные числа, задачи на определение четных и нечетных чисел в 1 и во 2 классе
Дата публикации: 12 апреля 2017.
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать: Четные и нечетные числа (PDF)
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 1 класса
Электронное учебное пособие к учебнику Моро М.И.
Электронное учебное пособие к учебнику Петерсон Л.Г.

Определение четных и нечетных чисел от 1 до 10 с картинками.
1. Сколько собачек на картинке? Это число четное или не четное?
2. Сколько клоунов на картинке? Это число четное или не четное?
3. Сколько стульев на картинке? Это число четное или не четное?
4. Сколько ламп на картинке? Это число четное или не четное?
5. Сколько мужчин на картинке? Это число четное или не четное?
6. Сколько морковок на картинке? Это число четное или не четное?
7. Сколько девочек на картинке? Это число четное или не четное?
Четные и нечетные числа до 10
1. Обведите все нечетные числа.
10, 8, 7, 9, 5, 6, 4, 1, 3
2. Обведи все четные числа.
9, 7, 3, 4, 8, 5, 2, 1, 10,
3. Выбери наибольшее четное число из числового ряда.
2, 3, 6, 5, 1
4. Выбери наименьшее четное число из числового ряда.
1, 7, 9, 6, 5
5. Выбери наибольшее нечетное число из числового ряда.
5, 4, 2, 6, 7
6. Выбери наименьшее нечетное число из числового ряда.
4, 10, 6, 6, 1
7. Выбери наибольшее четное число из заданной числовой последовательности.
8, 4, 1, 8, 6
Сложи или вычти числа от 1 до 10.
Определи, является ли результат четным или нечетным. Подчеркни правильный ответ.
2 + 2 = _____ четное/нечетное 4 + 5 = _____ четное/нечетное 3 + 5 = _____ четное/нечетное 4 + 2 = _____ четное/нечетное 3 + 1 = _____ четное/нечетное 8 + 2 = _____ четное/нечетное 7 + 3 = _____ четное/нечетное 8 + 2 = _____ четное/нечетное 3 + 3 = _____ четное/нечетное 8 + 1 = _____ четное/нечетное 7 + 2 = _____ четное/нечетное 1 + 3 = _____ четное/нечетное 6 + 4 = _____ четное/нечетное 4 + 2 = _____ четное/нечетное 4 + 4 = _____ четное/нечетное 3 + 6 = _____ четное/нечетное 1 + 4 = _____ четное/нечетное 2 + 1 = _____ четное/нечетное 9 + 1 = _____ четное/нечетное 2 + 1 = _____ четное/нечетное 3 - 3 = _____ четное/нечетное 8 - 1 = _____ четное/нечетное 7 - 2 = _____ четное/нечетное 1 - 3 = _____ четное/нечетное 6 - 3 = _____ четное/нечетное 4 - 2 = _____ четное/нечетное 4 - 4 = _____ четное/нечетное 3 + 6 = _____ четное/нечетное 1 + 4 = _____ четное/нечетное 2 - 1 = _____ четное/нечетное 9 - 1 = _____ четное/нечетное 2 - 1 = _____ четное/нечетное 4 - 4 = _____ четное/нечетное 3 + 6 = _____ четное/нечетное 1 + 4 = _____ четное/нечетное 2 - 1 = _____ четное/нечетное 9 - 1 = _____ четное/нечетное 2 - 1 = _____ четное/нечетное
Определение четных и нечетных чисел о 1 до 20 с картинками.
1. Количество головок чеснока четное или нечетное? _______
2. Количество очков четное или нечетное? _______
3. Количество зонтов четное или нечетное? _______
4. Количество туфель четное или нечетное? _______
5. Количество мальчиков четное или нечетное? _______
Четные и нечетные числа до 20
1. Обведи все нечетные числа.
7, 10, 11, 14, 1, 1, 2, 12, 11, 10
2. Обведи все четные числа.
12, 4, 8, 7, 14, 7, 20, 17, 15, 8
3. Обведи все нечетные числа.
15, 19, 14, 4, 15, 11, 1, 10, 15, 9
4. Обведи все четные числа.
15, 9, 1, 7, 5, 9, 14, 8, 3, 15
5. Подчеркни все нечетные числа.
9, 18, 20, 13, 12, 10, 6, 20, 10, 2
6. Подчеркни все четные числа.
7, 17, 3, 3, 15, 10, 8, 14, 17, 1
7. Выбери наибольшее четное число из заданной числовой последовательности.
5, 5, 15, 7, 15, 4, 17, 19, 17, 11
8. Выбери наименьшее четное число из заданной числовой последовательности.
11, 16, 8, 8, 19, 10, 15, 15, 15, 9
9. Выбери наибольшее нечетное число из заданной числовой последовательности.
3, 9, 6, 7, 13, 11, 11, 13, 6, 3
10. Выбери наименьшее нечетное число из заданной числовой последовательности.
20, 20, 8, 12, 8, 1, 18, 2, 2, 17
11. Выбери наибольшее четное число из заданной числовой последовательности.
8, 7, 15, 15, 8, 2, 5, 19, 15, 5
12. Выбери наибольшее нечетное число из заданной числовой последовательности.
20, 11, 2, 13, 3, 1, 14, 5, 19, 2
13. Выбери наименьшее четное число из заданной числовой последовательности.
4, 11, 20, 9, 15, 14, 16, 9, 17, 13
14. Выбери наименьшее нечетное число из заданной числовой последовательности.
15, 20, 8, 18, 16, 17, 9, 5, 12, 8
Сложи или вычти числа от 1 до 20. Определи, является ли результат четным или нечетным. Подчеркни правильный ответ.
2 + 4 = _____ четное/нечетное 16 - 5 = _____ четное/нечетное 5 + 13 = _____ четное/нечетное 14 + 4 = _____ четное/нечетное 7 + 9 = _____ четное/нечетное 16 - 16 = _____ четное/нечетное 7 + 10 = _____ четное/нечетное 2 + 18 = _____ четное/нечетное 18 - 6 = _____ четное/нечетное 9 - 6 = _____ четное/нечетное 3 + 7 = _____ четное/нечетное 5 + 11 = _____ четное/нечетное 15 - 2 = _____ четное/нечетное 18 - 6 = _____ четное/нечетное 20 - 18 = _____ четное/нечетное 2 + 5 = _____ четное/нечетное 19 - 5 = _____ четное/нечетное 4 + 9 = _____ четное/нечетное 1 + 3 = _____ четное/нечетное 14 - 11 = _____ четное/нечетное 3 + 7 = _____ четное/нечетное 5 + 8 = _____ четное/нечетное 15 + 2 = _____ четное/нечетное 18 - 6 = _____ четное/нечетное 20 - 18 = _____ четное/нечетное 2 + 5 = _____ четное/нечетное 19 - 5 = _____ четное/нечетное 4 + 9 = _____ четное/нечетное 1 + 3 = _____ четное/нечетное 14 - 11 = _____ четное/нечетное
Четные и нечетные числа до 50
1. Обведи все нечетные числа.
6, 36, 22, 25, 19, 24, 10, 39, 48, 37, 26, 50, 8, 35, 7, 3, 40, 47, 11, 9, 38, 28, 43, 41, 18, 23, 21, 1, 46, 30
2. Обведи все нечетные числа.
18, 31, 12, 28, 29, 35, 10, 4, 40, 39, 20, 6, 45, 30, 14, 36, 16, 48, 25, 24, 47, 37, 34, 11, 46, 32, 42, 2, 27, 41
3. Обведи все нечетные числа.
28, 35, 32, 47, 37, 43, 22, 14, 45, 24, 39, 29, 21, 42, 8, 41, 17, 36, 20, 9, 38, 46, 1, 23, 15, 27, 4, 12, 34, 26
4. Обведи все четные числа.
17, 36, 48, 12, 29, 49, 20, 9, 47, 27, 28, 6, 37, 4, 16, 25, 7, 34, 41, 18, 42, 32, 5, 23, 40, 2, 39, 45, 26, 14
5. Обведи все четные числа.
13, 47, 18, 50, 6, 5, 34, 48, 45, 33, 15, 3, 42, 26, 17, 22, 39, 25, 2, 30, 29, 4, 38, 8, 16, 35, 40, 31, 20, 23
6. Выбери наибольшее четное число из заданной числовой последовательности.
30, 39, 46, 40, 2, 17, 50, 16, 19, 31, 50, 9, 20, 2, 12
7. Выбери наибольшее четное число из заданной числовой последовательности.
15, 37, 38, 45, 46, 26, 49, 25, 35, 22, 33, 42, 13, 8, 31
8. Выбери наибольшее нечетное число из заданной числовой последовательности.
39, 28, 50, 14, 32, 11, 8, 40, 18, 34, 6, 45, 21, 37, 43
9. Выбери наибольшее нечетное число из заданной числовой последовательности.
24, 41, 49, 35, 21, 37, 20, 10, 1, 36, 8, 25, 4, 12, 40
10. Выбери наименьшее четное число из заданной числовой последовательности.
2, 21, 10, 45, 36, 48, 40, 14, 38, 13, 25, 28, 30, 42, 8
11. Выбери наименьшее нечетное число из заданной числовой последовательности.
39, 6, 26, 11, 50, 17, 7, 30, 10, 24, 19, 33, 1, 25, 31
12. Выбери наименьшее четное число из заданной числовой последовательности.
28, 42, 21, 36, 39, 10, 2, 37, 13, 20, 38, 11, 17, 18, 40
Сложи или вычти числа от 1 до 50. Определи, является ли результат четным или нечетным. Подчеркни правильный ответ.
21 + 18 = _____ четное/нечетное 42 + 3 = _____ четное/нечетное 10 + 40 = _____ четное/нечетное 12 + 14 = _____ четное/нечетное 7 + 29 = _____ четное/нечетное 15 - 3 = _____ четное/нечетное 5 + 12 = _____ четное/нечетное 47 - 1 = _____ четное/нечетное 46 - 46 = _____ четное/нечетное 47 - 26 = _____ четное/нечетное 38 - 41 = _____ четное/нечетное 23 + 25 = _____ четное/нечетное 24 + 13 = _____ четное/нечетное 7 + 40 = _____ четное/нечетное 19 + 2 = _____ четное/нечетное 26 + 8 = _____ четное/нечетное 8 + 36 = _____ четное/нечетное 19 + 28 = _____ четное/нечетное 40 + 9 = _____ четное/нечетное 25 + 15 = _____ четное/нечетное 22 + 14 = _____ четное/нечетное 19 + 24 = _____ четное/нечетное 46 - 48 = _____ четное/нечетное 13 + 23 = _____ четное/нечетное 21 + 21 = _____ четное/нечетное 36 + 2 = _____ четное/нечетное 20 - 19 = _____ четное/нечетное 14 + 13 = _____ четное/нечетное 35 - 23 = _____ четное/нечетное 39 - 34 = _____ четное/нечетное 43 + 4 = _____ четное/нечетное 6 + 10 = _____ четное/нечетное 20 + 26 = _____ четное/нечетное 2 + 43 = _____ четное/нечетное 17 + 23 = _____ четное/нечетное 37 + 5 = _____ четное/нечетное 16 + 15 = _____ четное/нечетное 22 + 15 = _____ четное/нечетное 33 + 6 = _____ четное/нечетное
Четные и нечетные числа до 100.
1. Обведи все нечетные числа.
25, 72, 53, 47, 14, 92, 91, 45, 73, 27, 31, 7, 19, 28, 26, 82, 66, 65, 32, 69, 90, 13, 40, 77, 88, 86, 12, 16, 38, 59
2. Обведи все нечетные числа.
8, 16, 42, 62, 36, 64, 45, 35, 51, 98, 99, 81, 83, 65, 77, 82, 43, 4, 10, 33, 68, 27, 13, 34, 48, 21, 49, 90, 11, 25
3. Обведи все нечетные числа.
83, 42, 13, 99, 27, 37, 73, 67, 38, 95, 66, 63, 6, 92, 12, 89, 5, 77, 74, 21, 39, 59, 78, 15, 35, 20, 54, 32, 75, 81
4. Обведи все четные числа.
49, 74, 2, 1, 100, 32, 54, 7, 51, 82, 33, 47, 96, 46, 78, 65, 36, 69, 75, 19, 31, 77, 35, 64, 97, 84, 37, 98, 85, 30
5. Обведи все четные числа.
22, 77, 90, 33, 10, 41, 23, 49, 53, 40, 84, 32, 13, 8, 60, 85, 89, 31, 30, 42, 96, 28, 62, 27, 45, 65, 66, 26, 55, 56
6. Выбери наибольшее четное число из заданной числовой последовательности.
9, 20, 55, 7, 100, 37, 52, 65, 19, 28, 47, 61, 32, 57, 93
7. Выбери наибольшее четное число из заданной числовой последовательности.
62, 90, 12, 34, 74, 37, 75, 91, 97, 53, 33, 60, 45, 16, 61
8. Выбери наибольшее нечетное число из заданной числовой последовательности.
81, 12, 49, 3, 52, 33, 34, 64, 41, 94, 93, 83, 80, 23, 24
9. Выбери наибольшее нечетное число из заданной числовой последовательности.
56, 4, 67, 34, 60, 88, 76, 85, 99, 33, 17, 79, 61, 7, 10
10. Выбери наименьшее четное число из заданной числовой последовательности.
94, 95, 25, 80, 71, 32, 99, 24, 8, 44, 69, 93, 38, 4, 68
11. Выбери наименьшее нечетное число из заданной числовой последовательности.
20, 12, 5, 68, 32, 54, 57, 13, 64, 82, 35, 38, 52, 92, 46
12. Выбери наименьшее четное число из заданной числовой последовательности.
2, 70, 82, 87, 27, 38, 55, 73, 84, 37, 60, 23, 63, 4, 86
Сложи или вычти числа от 1 до 100. Определи, является ли результат четным или нечетным. Подчеркни правильный ответ.
9 + 18 = _____ четное/нечетное 46 + 28 = _____ четное/нечетное 43 + 52 = _____ четное/нечетное 76 - 43 = _____ четное/нечетное 84 - 42 = _____ четное/нечетное 12 + 84 = _____ четное/нечетное 95 - 87 = _____ четное/нечетное 38 + 6 = _____ четное/нечетное 84 - 48 = _____ четное/нечетное 94 - 53 = _____ четное/нечетное 69 - 48 = _____ четное/нечетное 96 - 39 = _____ четное/нечетное 27 + 62 = _____ четное/нечетное 48 - 26 = _____ четное/нечетное 44 + 32 = _____ четное/нечетное 26 + 52 = _____ четное/нечетное 37 + 48 = _____ четное/нечетное 97 - 43 = _____ четное/нечетное 74 - 36 = _____ четное/нечетное 30 + 3 = _____ четное/нечетное 69 + 2 = _____ четное/нечетное 37 + 44 = _____ четное/нечетное 34 + 55 = _____ четное/нечетное 44 + 38 = _____ четное/нечетное 25 + 26 = _____ четное/нечетное 55 + 43 = _____ четное/нечетное 33 + 92 = _____ четное/нечетное 44 + 35 = _____ четное/нечетное 64 + 34 = _____ четное/нечетное 5 + 46 = _____ четное/нечетное 67 + 2 = _____ четное/нечетное 73 + 42 = _____ четное/нечетное 51 - 33 = _____ четное/нечетное 9 + 23 = _____ четное/нечетное 48 - 34 = _____ четное/нечетное 34 + 35 = _____ четное/нечетное 21 - 6 = _____ четное/нечетное 42 - 20 = _____ четное/нечетное 71 - 50 = _____ четное/нечетное 4 + 94 = _____ четное/нечетное 36 + 53 = _____ четное/нечетное 39 + 48 = _____ четное/нечетное 99 - 33 = _____ четное/нечетное 83 - 34 = _____ четное/нечетное 87 - 83 = _____ четное/нечетное 42 + 4 = _____ четное/нечетное 8 + 15 = _____ четное/нечетное 24 + 50 = _____ четное/нечетное 39 + 46 = _____ четное/нечетное 81 - 30 = _____ четное/нечетное
Список четных чисел — ChiliMath
Поиск
Чтобы ознакомиться с концепцией четного числа, пожалуйста, ознакомьтесь с моим уроком по четным числам. Вы можете щелкнуть изображение ниже мышью, чтобы перейти к уроку.
Теперь, если вы ищете полный список четных чисел от 0 до 1000 , вы попали по адресу!
Чтобы вам было легче найти то, что вам нужно, я разбил четные числа от 0 до 1000 на десять (10) групп.
Even Numbers from 0 to 100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
Even Numbers from 101 to 200
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
152
154
156
158
160
162
164
166
168
170
172
174
176
178
180
182
184
186
188
190
192
194
196
198
200
Even Numbers from 201 to 300
202
204
206
208
210
212
214
216
218
220
222
224
226
228
230
232
234
236
238
240
242
244
246
248
250
252
254
256
258
260
262
264
266
268
270
272
274
276
278
280
282
284
286
288
290
292
294
296
298
300
Even Numbers from 301 to 400
302
304
306
308
310
312
314
316
318
320
322
324
326
328
330
332
334
336
338
340
342
344
346
348
350
352
354
356
358
360
362
364
366
368
370
372
374
376
378
380
382
384
386
388
390
392
394
396
398
400
Even Numbers from 401 to 500
402
404
406
408
410
412
414
416
418
420
422
424
426
428
430
432
434
436
438
440
442
444
446
448
450
452
454
456
458
460
462
464
466
468
470
472
474
476
478
480
482
484
486
488
490
492
494
496
498
500
Even Numbers from 501 to 600
502
504
506
508
510
512
514
516
518
520
522
524
526
528
530
532
534
536
538
540
542
544
546
548
550
552
554
556
558
560
562
564
566
568
570
572
574
576
578
580
582
584
586
588
590
592
594
596
598
600
Even Numbers from 601 to 700
602
604
606
608
610
612
614
616
618
620
622
624
626
628
630
632
634
636
638
640
642
644
646
648
650
652
654
656
658
660
662
664
666
668
670
672
674
676
678
680
682
684
686
688
690
692
694
696
698
700
Even Numbers from 701 to 800
702
704
706
708
710
712
714
716
718
720
722
724
726
728
730
732
734
736
738
740
742
744
746
748
750
752
754
756
758
760
762
764
766
768
770
772
774
776
778
780
782
784
786
788
790
792
794
796
798
800
Even Numbers from 801 to 900
802
804
806
808
810
812
814
816
818
820
822
824
826
828
830
832
834
836
838
840
842
844
846
848
850
852
854
856
858
860
862
864
866
868
870
872
874
876
878
880
882
884
886
888
890
892
894
896
898
900
Even Numbers from 901 to 1,000
902
904
906
908
910
912
914
916
918
920
922
924
926
928
930
932
934
936
938
940
942
944
946
948
950
952
954
956
958
960
962
964
966
968
970
972
974
976
978
980
982
984
986
988
990
6
Список нечетных чисел
Что такое четное?
Что такое нечетное число?
My Even Number Calculator
Онлайн расчет четных чисел с таблицей
1
Секунды вверх Количество попыток задать вопрос: Количество правильных ответов:
Число ниже четное или нет?
Да — четное число НЕчетное число
Результаты:
Тип вопросов:
SimpleMediumComplex

Скачать таблицу четных чисел в формате PDF
3
4 Таблица четных чисел 1 — 500
Таблица четных чисел
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
62 64 66 68 70 72 74 76 78 80
82 84 86 88 90 92 94 96 98 100
102 104 106 108 110 112 114 116 118 120
122 124 126 128 130 132 134 136 138 140
142 144 146 148 150 152 154 156 158 160
162 164 166 168 170 172 174 176 178 180
182 184 186 188 190 192 194 196 198 200
202 204 206 208 210 212 214 216 218 220
222 224 226 228 230 232 234 236 238 240
242 244 246 248 250 252 254 256 258 260
262 264 266 268 270 272 274 276 278 280
282 284 286 288 290 292 294 296 298 300
302 304 306 308 310 312 314 316 318 320
322 324 326 328 330 332 334 336 338 340
342 344 346 348 350 352 354 356 358 360
362 364 366 368 370 372 374 376 378 380
382 384 386 388 390 392 394 396 398 400
402 404 406 408 410 412 414 416 418 420
422 424 426 428 430 432 434 436 438 440
442 444 446 448 450 452 454 456 458 460
462 464 466 468 470 472 474 476 478 480
482 484 486 488 490 492 494 496 498 500
При поддержке: mymathtables. com
Найти четные и нечетные множители любого числового числа?
Что такое четное число? Если число «N» дает остаток «0» при делении на 2, оно называется ЧЕТНЫМ числом, в противном случае оно называется НЕЧЕТНЫМ числом.
Например: 2 — ЧЕТНОЕ число, так как при делении на «2» получается остаток «0»
Например: 11 — НЕЧЕТНОЕ число, так как при делении на «2» получается остаток «1»
mymathtables содержит множество математических диаграмм для печати. Это поможет детям и студентам узнать основные факты о числах. Диаграммы простых чисел красочны и представляют собой отличный PDF-файл для обучения детей и студентов.
Следует помнить три важных правила:
ЧЕТНЫЕ x ЧЕТНЫЕ = ЧЕТНЫЕ
НЕЧЕТНЫЕ x НЕЧЕТНЫЕ = НЕЧЕТНЫЕ
НЕЧЕТНОЕ x ЧЕТНОЕ = ЧЕТНОЕ
Пустая таблица четных чисел
Пустая таблица четных чисел поможет вам попрактиковаться. Калькулятор возраста коровы, Калькулятор возраста кошки, Калькулятор возраста собаки, Калькулятор возраста человекаКалькулятор 100-дневной давностиКалькулятор разницы дат
связанные страницы ►
Создание собственного теста и практики
Простое число
Четное число
Нечетное число
По возрастанию
Убыточный приказ
наименьшее число
Римские цифры преобразователь
Самое большое число
Счет пропуска по 1-2 / 3-4 / 5-10
Сравните номера
Отсутствие номера
Уравнение математики
Преобразователь текста

Математическая таблица умножения (от 101 до 180)
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129130
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
Что такое четные числа? Определение и примеры — 1-й класс
Обзор
Четные числа — это суммы, которые могут быть точно равны , разделенным на на два . Вы всегда можете создать две равные группы из четного количества объектов!
Четные числа легко узнать, потому что они заканчиваются на…
0, 2, 4, 6 или 8
Взгляните на числовую таблицу ниже. Четные числа заштрихованы разными цветами.

Когда вы считаете только четные числа, начинающиеся с нуля, вы Считаете с пропуском на два . Как высоко вы можете сосчитать только четными числами? Вы можете использовать приведенную ниже числовую таблицу, чтобы помочь вам.
Мы очень часто используем четные числа. Например, при подсчете большого количества предметов, чтобы мы могли двигаться быстрее, считая по два за раз. Кроме того, нас окружает множество четных вещей: у бабочки 2 крыла, у автомобиля 4 колеса, у нас 10 пальцев, и это лишь некоторые из них.
Но как определяются четные числа? и каковы их основные свойства? Это то, что мы собираемся обнаружить.
Что такое четные числа?
Интуитивно мы думаем о четном числе как о числе, которое можно разделить на две равные части. Давайте представим группу морских животных где-то в глубинах океана… Прямо как на картинке!
Можно ли разделить группу рыб на две подгруппы одинакового размера? Да мы можем! Как на картинке ниже. Это означает, что 6 (количество рыб) равно 9.0005 четное число , потому что его можно разделить на две группы по 3 размера каждая.
А количество морских звезд? Это даже? Что ж, если мы разделим группу из 3 морских звезд на две подгруппы, мы всегда получим еще одну звезду в одной из подгрупп, как показано ниже. Таким образом, 3 не является четным числом, потому что его нельзя разделить на две равные части.
Другими словами, когда мы разделяем 3 морские звезды на две части, они кажутся «странными», потому что не выглядят гармоничными или сбалансированными. Так мы называем нечетные числа: они нечетные числа.
Кстати, 4 тоже четное число! Чтобы убедиться в этом, попробуйте разделить набор из 4 морских коньков на две равные части: как показано ниже, в каждой части по 2 морских конька.
Формально мы говорим, что целое число равно , если при делении на 2 мы получаем 0 в остатке. Или, что то же самое, целое число четно, если 2 — один из его множителей. Как в примере с океаном: 6 = 2 × 3 означает, что когда мы делим 6 на 2, мы получаем 3 как частное.
Это частное соответствует количеству рыб в каждой равной части. Кроме того, 4 = 2 × 2, то если мы разделим 4 на 2 части, то в каждой части будет по 2 элемента.
Мы знаем, что при делении целого числа на 2 возможно два остатка: 0 или 1. Что происходит, когда остаток равен 1? Ну, в таком случае мы говорим, что число нечетное. Другими словами, целое число является нечетным , если 2 не является одним из его множителей. Как то, что произошло с морскими звездами: 2 не является фактором 3, поэтому 3 нечетно, а не четно!
Другими четными числами являются, например, 10, 36 и 568, потому что 10 = 2 × 5, 36 = 2 × 18 и 568 = 2 × 284. Можем ли мы увидеть закономерность в этих выражениях? Давайте обсудим это дальше.
Как распознать четные числа?
Во-первых, поскольку любое четное число имеет 2 в качестве одного из своих делителей, любое четное число имеет форму
, где k — целое число.
Посмотрите на предыдущие примеры: 10 = 2 × 5, таким образом, k = 5; и 36 = 2 × 18, таким образом, k = 18 в этом случае. На самом деле мы получаем четное число для каждого значения k.
Например, если k = 25, то 50 = 2 × 25 четно. Кроме того, значение k может быть отрицательным; например, если k = -7, то -14 = 2 × (-7) — четное число.
Мы можем распознавать четные числа и в числовой строке, где они расположены попеременно. На картинке ниже мы видим четные числа: -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8 и 10.
Да! 0 — четное число, поскольку его можно записать как 0 = 2 × 0. Кроме того, интуитивно понятно, если мы начнем с 0 элементов и разделим их на две части, каждая часть будет иметь одинаковый размер: 0 элементов.
Мы видим в числовой строке, что каждое четное число имеет два нечетных числа в качестве соседей с обеих сторон.
Например, 4 имеет 3 и 5 с обеих сторон, которые являются нечетными числами. Точно так же у -6 есть -7 и -5 с обеих сторон, которые также являются нечетными числами.
Первые четные целые числа: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 и так далее.
Обратите внимание, что в числовой строке между 6 и 8, например, нет другого четного числа. Когда это происходит, числа называются последовательных четных чисел . Точно так же 2 и 4, -6 и -4 являются последовательными четными числами.
Однако числа 4 и 8 не являются последовательными, поскольку 6 — еще одно четное число между ними. Любое целое число между двумя последовательными четными числами является нечетным числом. Например, 7 находится между последовательными четными числами 6 и 8.
Что, если мы хотим перечислить четные числа между 105 и 120? Ну а так как 2 × 52 = 104 и 2 × 53 = 106, то 104 и 106 — последовательные четные числа, а 105 — нечетное. Таким образом, первое число в списке равно 106.
Точнее, числа в списке имеют вид 2 × k, где k больше 52 и меньше или равно 60, как показано в таблице.
Теперь рассмотрим большое число, например 3 187 074. Это даже? Чтобы определить, является ли какое-либо заданное число четным, достаточно посмотреть на цифру, стоящую на разряде единиц. Если разряд единиц в числе равен 0, 2, 4, 6 или 8, то число четное.
Таким образом, наше большое число 3 187 074 четное, потому что цифра в разряде единиц равна 4. И наоборот, 24 046 243 не является четным, потому что цифра в разряде единиц равна 3, что отличается от 0, 2, 4, 6 и 8.
Знаете ли вы, что…?
Почти всегда кукуруза имеет четное число рядов в каждом початке? На самом деле, кукуруза с нечетным числом рядов более странная, чем четырехлистный клевер! В среднем большинство початков имеют 16 рядов.

Давайте попрактикуем то, что мы узнали, на следующем примере.
Практический вопрос 1
На дне рождения было нечетное количество детей. Каждый ребенок съел одинаковое четное количество кексов. Среди всех детей было съедено 60 кексов.
Сколько детей было на вечеринке?
Практический вопрос 2
Продолжаем считать по четным числам!
Какие четные числа идут дальше?
2, 4, 6, ___, ___, ___
См. связанные листы:
2-й класс
Даже снеговики могут быть причудливыми
Рабочие листы
Снеговик на этом листе определенно прикольный! Студентам понравится охотиться с ним за четными числами. Это …
2 класс
Поквитаемся!
Рабочие листы
Этот рабочий лист понравится даже детям, которые не любят снег! Они будут скатываться из снежка в снежок, решив…
2 класс
Странно уютные снеговики
Рабочие листы
Могут ли снеговики быть уютными? Этот может! Мы знаем, что это «странно»! Студенты будут «кататься» на этих снегоходах. ..
2 класс
Дед Мороз спасает нечетное число
Рабочие листы
Этот рабочий лист «снег» очень весело! Учащиеся рассмотрят каждое число и решат, од…
Просмотреть все рабочие листы
Соответствующие темы:
Попробуйте ArgoPrep для
БЕСПЛАТНО Учить больше Попробуйте ArgoPrep за БЕСПЛАТНО
Поделитесь хорошим контентом с друзьями и получите скидку 15% на 12-месячную подписку
Поделиться в фейсбуке Поделиться в твиттере
Четные числа
Любое число, которое точно делится на 2, называется четным числом. т. е. если число при делении на 2 не оставляет остатка, то число называется четным числом.
Если число при делении на 2 оставляет остаток, то число является нечетным.
Давайте посмотрим на несколько примеров и проверим, четное число или нет.
2 – если мы разделим данное число 2 на 2, т. е. 2 ÷ 2, то в остатке будет 0. Таким образом, данное число 2 является четным числом.
10 — опять же, если мы разделим данное число 10 на 2, т.е. 10 ÷ 2, тогда остаток будет 0. Таким образом, данное число 10 является четным числом.
5 – если мы разделим 5 на 2, т.е. 5 ÷ 2, то в остатке получится 1, поэтому данное число 5 не является четным числом. Это нечетное число.
11 – проверить тем же способом. Вы обнаружите, что 11 ÷ 2 дает остаток 1. Таким образом, 11 не является четным числом. Это нечетное число.
Примеры четных чисел:– 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 42, 50, 98, 100 и т. д.
Как проверить, является ли заданное число четным или нет без Разделив его на 2.
Число можно проверить, четное оно или нет, не деля его на 2. Это можно сделать, просто проверив разряд единиц данного числа. Если в разряде единиц данного числа стоят цифры 0, 2, 4, 6 и 8. Тогда данное число является четным числом.
Единица измерения четного числа содержит любую из следующих цифр: 0, 2, 4, 6 или 8.
Единица измерения нечетного числа содержит одну из следующих цифр: 1, 3, 5, 7 или 9.
С помощью этого метода вы можете проверить, является ли данное большое число четным или нечетным. Рассмотрим два числа — (1) 72580 и (2) 2311. Теперь вы можете ясно проверить, что в первом числе 72580 единица измерения равна 0. Итак, 72580 четно. А для второго числа 2311 цифра единиц равна 1. Значит, 2311 нечетное.
Существует 50 четных чисел от 1 до 100. Они приведены в таблице ниже.
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Properties of Even numbers
Свойство сложения четных чисел
Чет + Чет = Чет
Напр. 12 + 14 = 26.
       10 + 8 = 18.
Четное + нечетное = нечетное
Напр. 12 + 11 = 23.
       10 + 7 = 17.
Свойство вычитания четных чисел
18 — 14 = 4.
   10 — 4 = 6.
б ) Четное — нечетное = нечетное
Напр. 12 — 11 = 1.
— 7 = 15.
Свойство умножения четных чисел
Четный x Четный = Четный
Напр. 8 x 2 = 16.
12 x 4 = 48.
Четное x нечетное = Четное
Например. 2 x 3 = 6.
8 x 7 = 56.
Решенные примеры
Q1. Выберите четные числа из заданного набора чисел. 11, 8, 91, 07, 31, 143, 500, 252, 581, 1794.
Ответ.
Четные числа: 8, 500, 252 и 1794.
Q2. Напишите первые 10 четных чисел.
Анс.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Q3. Какое самое маленькое четное число?
Анс.
2 — наименьшее четное число.
Q4. Как проверить, является ли заданное число четным или нечетным?
Анс.
Единица измерения четного числа: 0, 2, 4, 6 или 8. Единица измерения нечетного числа: 1, 3, 5, 7 или 9.
Q5. Каким будет результирующее число (четное или нечетное) для следующих операций
67347 + 9846
58731 x
11235 – 10110
23421 x 12895
99981 + 85789
Ответ
A) нечетное B) четное C) нечетное D) нечетное E) четное
Знать определение, список от 1 до 100, свойства здесь
Четные числа противоположны нечетным числам. Определение четных и нечетных чисел является важным навыком, которому дети должны научиться, чтобы лучше понять нашу систему счисления и подготовиться к операциям с целыми числами. Это также поможет детям в изучении деления, простых чисел и квадратных корней. В этой статье мы изучим, что такое четные числа, определение четных чисел, список четных чисел, четные числа от 1 до 100, нечетные и четные числа, сумму четных чисел, сумму первых n четные числа , медиана четных чисел, что такое четное простое число, свойства четных чисел, примеры решения четных чисел и часто задаваемые вопросы
четные числа
четные числа являются частью системы счисления. Понимание четных чисел является базовой математикой и важной темой алгебры. Все числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 и 8, являются четными числами . Например, такие числа, как 14, 26, 32, 40 и 88, являются четными числами. Если мы разделим число на две группы с равным количеством элементов в каждой, то число будет четным числом. Понятие четных чисел преподается в начальной школе для детей, чтобы различать четные и нечетные числа. С другой стороны, нечетные числа — это целые числа, которые не делятся на 2 или оканчиваются на 1, 3, 5, 7 и 9..
Определение четных чисел
Четное число — это целое число, которое можно разделить на два на два равных целых числа Числа 0, 2, 4, 6 и 8 — четные числа. Список четных чисел бесконечен, потому что счет продолжается до бесконечности. Любое число, которое точно делится на 2, называется четным числом. т. е. если число при делении на 2 не оставляет остатка, то число называется четным числом.
Как узнать, четное число или нечетное?
Четное число — это число, которое делится на два и оставляет 0 в остатке. Число, которое не делится на два, называется нечетным числом. В случае нечетного числа остаток всегда равен «1». Четность — это качество, которое позволяет нам классифицировать целое число как четное или нечетное в математике.
Наименьшее четное число
В системе счисления есть два вида чисел: натуральные числа и целые числа. Натуральные числа можно определить как основные счетные числа, начинающиеся с 1, а целые числа — это набор чисел, начинающийся с 0.
Следовательно, наименьшее четное целое число равно 0, а наименьшее четное натуральное число равно 2. 2 также является единственным четным простым числом.
Изучите различные концепции биномиальной теоремы здесь.
Список четных чисел
Мы можем легко определить четное число в диапазоне от 1 до 10, от 1 до 20, от 1 до 50 и от 1 до 100. Знание четного числа в этих диапазонах поможет вам решить многие математические задачи. Вы можете легко решать такие задачи, как GCD, LCM, факторизация и т. д.
Список четных чисел от 1 до 10
Существует пять четных чисел от 1 до 10. Список четных чисел от 1 до 10: 2, 4, 6, 8 и 10.
Even Numbers from 1-10
2
4
6
8
10
List of even numbers from 1 to 20
Есть 10 четных чисел до 20. Список четных чисел от 1 до 20: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 и 20
Even Numbers from 1-20
2 12
4 14
6 16
8 18
10 20
Список четных чисел от 1 до 50
Всего 25 четных чисел до 50. Список четных чисел от 1 до 50: 2, 4, 10, 6, 8, 8, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48 и 50.
Even Numbers from 1-50
2 12 22 32 42
4 14 24 34 44
6 16 26 36 46
8 18 28 38 48
10 20 30 40 50
Список четных чисел от 1 до 100 , 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58 , 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98 и 100. Четные числа от 1 до 100 2 22 42 62 82 4 24 44 64 84 6 26 46 66 86 8 28 48 68 88 10 30 50 70 90 12 32 52 72 92 14 34 54 74 94 16 36 56 76 96 18 38 58 78 98 20 40 60 80 100
You can also read about Matrices here.
Свойства четных чисел
Некоторые из важных свойств четных чисел приведены ниже:
Свойство сложения четных чисел
Давайте разберемся со свойствами сложения четных чисел ниже:
6 Свойство сложения двух четных чисел: Это свойство утверждает, что при сложении двух четных чисел результатом всегда будет четное число. Например. 10 + 4 = 14
Свойство сложения одного нечетного и одного четного числа: Это свойство указывает, что при сложении четного и нечетного числа результат всегда будет нечетным. Например. 9 + 4 = 13
Свойство сложения двух нечетных чисел: Это свойство утверждает, что при сложении двух нечетных чисел всегда получается четное число. Например. 7 + 3 = 10
Свойство вычитания четных чисел
Давайте разберемся со свойствами вычитания четных чисел ниже:
Свойство вычитания двух четных чисел: Это свойство указывает, что при вычитании двух четных чисел результатом всегда будет четное число. Например. 10 – 4 = 6
Свойство вычитания одного нечетного и одного четного числа: Это свойство утверждает, что при вычитании четного и нечетного числа результат всегда будет нечетным. Например. 9 – 4 = 5
Свойство вычитания двух нечетных чисел: Это свойство утверждает, что при вычитании двух нечетных чисел всегда получается четное число. Например. 7 – 3 = 4
Свойство умножения четных чисел
Давайте попробуем узнать свойства умножения четных чисел ниже:
Свойство умножения двух четных чисел: Это свойство утверждает, что при умножении двух четных чисел , результатом всегда будет четное число. Например. 10 × 4 = 40
Свойство умножения одного нечетного и одного четного числа: Это свойство утверждает, что при умножении четного числа на нечетное число всегда получается четное число. Например. 7 × 6 = 42
Свойство умножения двух нечетных чисел : Это свойство утверждает, что при умножении двух нечетных чисел всегда получается нечетное число. Например. 7 × 5 = 35
Difference between Odd and Even Numbers
The difference between an odd number and an even number is as follows:
Odd Numbers Even Numbers
Целое число, которое нельзя разделить на 2, является нечетным числом Целое число, которое можно разделить на 2, является четным числом.
При делении на нечетное число остается напоминание 1 При делении на четное число остается напоминание 0
Все числа, оканчивающиеся на 1, 3, 5, 7 и 9, являются нечетными. Все числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 и 8, являются четными.
Нечетные числа не могут быть сгруппированы в пары. Четные числа можно объединять в пары.
: Если последняя цифра заданного числа нечетная, число нечетное. Если последняя цифра заданного числа четная, то и число четное.
Четные простые числа
Простые числа — это положительное целое число, которое не делится без остатка ни на какое целое число, кроме самого себя и 1. Простое число не может делиться ни на какие другие числа без остатка. За исключением числа 2, все простые числа нечетные, так как четное число делится на 2, что делает его составным. Следовательно, расстояние между любыми двумя простыми числами в строке не меньше 2,9. 0003
Прочтите эту статью о среднем арифметическом.
Решенные примеры для четных чисел
Теперь давайте посмотрим несколько решенных примеров для четных чисел, которые часто задают на многих экзаменах.
Q1: Здесь объясняются примеры четных и нечетных чисел. Являются ли следующие числа четными или нечетными? 18, 22, 35, 165
Решение:
Мы знаем, что четные числа делятся на 2. Итак, давайте проверим приведенные выше числа для теста на делимость.
18: Мы знаем, что 9 х 2 = 18. Следовательно, 18 четно.
22: Мы знаем, что 11 х 2 = 22. Следовательно, 22 четно.
35 : 35 не делится на 2. Следовательно, 35 нечетно.
165: 165 не делится на 2. Следовательно, 165 нечетно.
Q2: Какова медиана 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10?
Решение:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Ясно, что число членов четно, и два числа, разделяющие все множество, 5 и 6.
Медиана = (5+6) / 2
= 11/ 2
= 5,5
Следовательно, медиана ряда равна 5,5.
Q3: Верно или неверно: число 341 — четное число.
Решение: 341 не делится на 2. Следовательно, 341 не четное число. Итак, приведенное выше утверждение неверно.
Q4: Выберите правильный ответ. Сумма двух четных чисел
всегда будет четным числом
всегда нечетное число
иногда бывает нечетным, а иногда четным
может быть ни нечетным, ни четным
результат всегда четное число.
Например,
10 + 4 = 14
Следовательно, правильный ответ — вариант 1. Четное число + Четное число = Четное число
В5: Как проверить, является ли число четным или нечетным?
Решение:
Есть два способа определить, является ли число четным или нечетным. Они следующие:
Метод 1. В местоположении единицы проверьте цифру числа:
Чтобы определить, является ли число нечетным или четным, мы должны проверить его на месте «единицы» или «единицы». или последняя цифра номера.
Нечетные числа — это те, которые заканчиваются цифрами 1,3,5,7 и 9.
7,11,283,5735,9859 и так далее.
Данное число является нечетным, так как число 2835 заканчивается цифрой 5 (нечетное число).
Кроме того, четными считаются числа, оканчивающиеся цифрами 0, 2, 4, 6 и 8.
Данное число является четным, поскольку число 2838 оканчивается цифрой 8 (четное число).
Способ 2. По группировке:
Всего на этой картинке 11 точек. Все точки не связаны. На картинке не хватает одной точки.
Нечетные числа — это числа, которые нельзя поставить вместе парами.
Нечетные числа — это любые числа, которые не делятся точно на два.
Теперь 12 точек. Поскольку все точки парные и не осталось ни одной непарной точки, мы можем сделать вывод, что 12 — четное число.
Мы можем сделать вывод, что четные числа — это все те, которые можно разделить на пары.
Надеюсь, эта статья о четных числах была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!
Часто задаваемые вопросы по четным числам
Q.1 Четное или нечетное число?
Ответ 1 Все числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 и 8, являются четными числами. С другой стороны, нечетные числа — это целые числа, которые не делятся на 2 или оканчиваются на 1, 3, 5, 7 и 9.
В.2 Что называется нечетным числом?
Ответ 2 Числа, которые нельзя разделить на пары поровну, называются нечетными.
Q.3 Какое число является четным и простым?
Ответ 3 Простые числа — это положительное целое число, которое не делится без остатка ни на какое целое число, кроме самого себя и 1. Простое число нельзя разделить ни на какое другое число без остатка. За исключением числа 2, все простые числа нечетные, так как четное число делится на 2, что делает его составным.
Q.4 Что не является простым числом?
Ответ 4 Простое число — это натуральное число больше 1, которое не является произведением двух меньших натуральных чисел. Простое число — это положительное натуральное число, имеющее только два положительных натуральных делителя — единицу и само число. Простые числа — это подмножество натуральных чисел.
Q.5 Как число является четным?
Ответ 5 Четное число — это целое число, которое можно разделить на два на два равных целых числа Числа 0, 2, 4, 6 и 8 — четные числа.
Скачать публикацию в формате PDF
Суммирование последовательных чисел
Возраст от 11 до 14 лет

Уровень сложности
Свати из Международной школы сада начал с перечисления чисел до 15 и попытался представить их в виде суммы последовательных чисел:
2
3 = 1+2
4
5 = 2+3
6 = 1+2+3
7 = 3+4
8
9 = 4+5 = 2+3+4
10 = 1+ 2+3+4
11 = 5+6
12 = 3+4+5
13 = 6+7
14 = 2+3+4+5
15 = 7+8 = 4+5+6 = 1+ 2+3+4+5
Мы не можем записать каждое число в виде суммы последовательных чисел — например, 2, 4 и 8 нельзя записать в виде суммы последовательных чисел. В приведенном выше примере 9 и 15 были единственными числами, которые я смог найти и которые можно было записать более чем одним способом.
Многие заметили закономерность, что все нечетные числа (кроме 1) можно записать как сумму двух последовательных чисел. Например, Матильда и Тамарис писали:
Если сложить два последовательных числа, сумма будет нечетной, например
1+2=3
2+3=5
3+4=7
4+5=9
5+6=11
6+7=13
и так далее…
Молодцы ученики Kenmont Primary School, которые заметили это и объяснили, что нечетное плюс четное всегда является нечетным.
Некоторые заметили аналогичную закономерность для чисел, кратных 3. Джулия и Лиззи сказали:
Если сложить вместе любые 3 последовательных числа, оно всегда будет кратно 3, например.
1+2+3=6
2+3+4=9
3+4+5=12
4+5+6=15
5+6+7=18
Продолжая узоры, Lumen Christi Команда программы повышения квалификации по математике для 5/6 классов прислала нам:
Мы обнаружили, что сумма четырех последовательных чисел дает нам числовую последовательность 10, 14, 18, 22, 26, 30 и так далее. Все они были четными числами, половина которых составляла нечетное число.
1+2+3+4=10
2+3+4+5=14
3+4+5+6=18…
Хизер из Уоллингтонской средней школы для девочек объяснила эту закономерность:
10   — 1+2+3+4
14   — 2+3+4+5
18   — 3+4+5+6
22   — 4+5+6+7
Во всех столбцах на каждое место прибавляется 1 каждый раз, так что в общей сложности вы добавляете 4 каждый раз.
Руби сказал:
Числа, кратные 5, начиная с 15, являются суммами 5 последовательных чисел:
1+2+3+4+5=15
2+3+4+5+6=20
3+4+5+6+7=25…
Фергус и Сами заметили аналогичную закономерность:
Если вы допускаете отрицательные числа, вы можете легко найти сумму для любого числа, кратного 7. Каждый раз, когда вы добавляете одно число по обе стороны от суммы, ваша сумма увеличивается на 7, например.
3+4=7
2+3+4+5=14
1+2+3+4+5+6=21
0+1+2+3+4+5+6+7=28
— 1+0+1+2+3+4+5+6+7+8=35…
Отлично! (Есть способ заставить этот паттерн работать даже без использования отрицательных чисел — вы его заметили?) Почему возникают все эти паттерны?
Бекки заметила другой тип шаблона:
Мы обнаружили, что степень двойки (2, 4, 8, 16. ..) никогда не может быть получена путем сложения последовательных чисел.
Интересно! Интересно, почему?
Команда Lumen Christi предлагает способ построения множества кратных нечетных чисел:
Мы выяснили, что если разделить число, кратное 3, на 3 и назвать ответ n, то исходное число будет суммой (n-1), n и (n+1).
Затем мы обнаружили, что числа, кратные 5, можно записать как 5 последовательных чисел. Это то же самое, что правило для 3 последовательных чисел. Возьмите число и разделите его на 5, назовите его n, и тогда ваше число будет суммой (n-2), (n-1), n, (n+1) и (n+2).
Затем мы сделали предположение, что, поскольку это верно для 3 и 5, оно будет работать и для 7, 9.и любое другое нечетное число. Мы проверили это, и это сработало. Например, 63 кратно 7 и 9:
7 чисел: 6+7+8+ 9 +10+11+12=63
(63/7 = 9)
9 чисел: 3+4+ 5+6+ 7 +8+9+10+11=63
(63/9 = 7)
Как мы можем продолжить это исследование? Артур спросил:
Есть ли другие шаблоны?
Можем ли мы изучить возможности двоих дальше?
Есть ли хороший способ записать определенные числа (например, все остальные четные числа) в виде суммы последовательных чисел?
Оттилия предложила:
Вместо сложения вы могли бы умножить последовательные числа и посмотреть, какие закономерности появятся. Вы также можете добавлять только последовательные четные числа или только последовательные нечетные числа. Все эти вещи могут иметь что-то общее, или между ними может быть закономерность, а может быть, вообще ничего?
Магнус спросил:
Всегда ли верно правило, что силы двух нельзя сделать равными? Можно ли составить все числа, кроме степеней двойки?
9n$ из четного числа последовательных чисел?
Четное число последовательных чисел не будет иметь в среднем целое число. Среднее значение будет средним из двух средних чисел. Итак:
Сумма = (сумма двух средних чисел) $\times \frac{1}{2} \times$ количество последовательных чисел
= (сумма двух последовательных чисел) $\times$ ($\frac{1 }{2}\times$ Четное число)
= (сумма двух последовательных чисел) $\times$ целое число
Но если сложить два последовательных числа, ответ всегда будет нечетным. Таким образом, подобная сумма должна снова иметь нечетное число в качестве множителя, но $ 2 ^ n $ не имеет.
Оставить комментарий on 26 число четное: Определить чётное или нечётное число онлайн/
« Предыдущая 1 … 3 139 3 140 3 141 3 142 3 143 … 3 230 Следующая »
Пагинация записей
Предыдущая 1 … 3 137 3 138 3 139 3 140 3 141 3 142 3 143 3 144 3 145 … 3 230 Следующая