Калькулятор для сравнения чисел: Онлайн калькулятор сравнения чисел

Сравнение натуральных чисел, знаки сравнения. Онлайн калькулятор

  • Равные и неравные натуральные числа
  • Равенства и неравенства
  • Правила чтения равенств и неравенств
  • Правила сравнения чисел
  • Двойные неравенства, тройные неравенства и т. д.
  • Калькулятор сравнения чисел

Сравнить два числа — это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое — меньше.

Равные и неравные натуральные числа

Если записи двух натуральных чисел одинаковы, то говорят, что эти числа равны между собой. Числа, которые равны, называются равными. Если записи двух натуральных чисел отличаются, то говорят, что эти числа не равны. Числа, которые не равны, называются неравными.

Пример. Натуральное число  34  равно числу  34  (их записи одинаковы), а натуральные числа  63  и  67  не равны (их записи различны). Следовательно числа  34  и  34  — равные, а  63  и  67  — неравные.

Равенства и неравенства

Для записи результата сравнения чисел используются следующие знаки:

=,   >   и   <.

При записи сравнения эти знаки располагают между числами.

Первый знак  =  называется знаком равенства и заменяет собой слово равно или равняется. Например, если числа  a  и  b  равны, то пишут  a = b  и говорят:  a  равно  b.

Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак  =  называется равенством.

Пример.

4 = 4  — равенство.

2 + 3 = 5  — равенство.

2 + 2 = 1 + 1 + 2  — равенство (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).

Равенства могут быть как верными (например,  5 = 5  — верное равенство), так и неверными (например,  11 = 14  — неверное равенство).

Два других знака  >  и  <  называются знаками неравенства и означают: знак  >  — больше, а знак  <  — меньше. Например, если число  a  больше числа  b,  то пишут  a > b  и говорят:  a  больше  b  или пишут  b < a  и говорят:  b  меньше  a.

Знаки  >  и  <  должны быть обращены остриём к меньшему числу.

Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак  >  или  <  называется неравенством.

Пример.

5 > 4  — неравенство.

2 < 7  — неравенство.

2 + 3 < 7  — неравенство (подобные записи представляют собой неравенство двух числовых выражений, и означают неравенство значений этих выражений).

Неравенства могут быть как верными (например,  2 < 9  — верное неравенство), так и неверными (например,  5 > 8  — неверное неравенство).

Кроме неравенств со знаками  >  и  <, которые называются строгими, используются нестрогие неравенства, для которых введены знаки  &ges;  и  &les;.  Знак  &ges;  читается больше или равно, знак  &les;  — меньше или равно. Нестрогое неравенство допускает случай равенства левой и правой его частей. Так, например,  7 &les; 7  — верное неравенство.

Также для записи неравенства двух натуральных чисел может применяться знак  .  Знак    читается не равно. Например, запись  a ≠ b  — означает  a  не равно  b.

Обычно, если не оговорено иное, понятие неравенства относится только к записям со знаками  ><&ges;  и  &les;.

Правила чтения равенств и неравенств

Равенства и неравенства читаются слева направо. Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая — в дательном.

Пример. 7 = 7  — семь равно семи.

Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая — в родительном.

Пример. 11 > 9  — одиннадцать больше девяти,  3 < 5  — три меньше пяти.

Правила сравнения чисел

Числа можно сравнивать двумя способами: с помощью натурального ряда и по их десятичной записи.

Правило сравнения с помощью натурального ряда:

Из двух натуральных чисел меньше то, которое в натуральном ряду встречается раньше (т. е. находится левее), и больше то, которое в натуральном ряду встречается позже (т. е. находится правее).

Следовательно, в натуральном ряде каждое число, кроме  1,  больше предыдущего.

Пример. Сравним числа  1  и  3,  7  и  4.  Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число  1  меньше числа  3  (1 < 3),  так как в натуральном ряду число  1  находится левее числа  3.  Число  7  больше числа  4  (7 > 4),  так как в натуральном ряду число  7  находится правее числа  4.

Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число  0  меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.

Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:

Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.

Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).

Пример. Сравним натуральные числа  4026  и  4019.  Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

4026
4019

Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство  4 = 4,  поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство  0 = 0,  переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство  2 > 1,  из которого делаем вывод, что число  4026  больше числа  4019  (4026 > 4019),  потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.

Если количество цифр в записи сравниваемых чисел разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.

Пример. Сравним натуральные числа  347 503  и  34 503.  Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

347 503
34 503

Записав числа одно под другим, можно наглядно заметить, что первое число имеет большее количество цифр, чем второе, следовательно  347 503 > 34 503.

Два натуральных числа равны, если у них одинаковое количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны.

Пример. Сравним числа  38 526 734  и  38 526 734.  Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

38 526 734
38 526 734

Записи данных чисел одинаковы (количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны), следовательно эти числа равны.

Двойные неравенства, тройные неравенства и т. д.

Когда нужно записать, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.

Пример. Известно, что  4 < 7,  а  7 < 16.  Эти два неравенства удобнее представить в виде двойного неравенства:

4 < 7 < 16.

Двойные неравенства принято читать с середины. Например, неравенство  2 < 4 < 5  читается так: четыре больше двух, но меньше пяти.

В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трёх натуральных чисел.

Пример. Допустим, нужно сравнить три натуральных числа  11,  34  и  8.  Сравнивая данные числа между собой, получим три неравенства  11 < 34,  8 < 11  и  34 > 8,  которые можно записать как двойное неравенство:

8 < 11 < 34.

Аналогичным образом строятся тройные, четверные и т. д. неравенства.

Пример. Известно, что  12 < 15,  47 > 15,  47 < 112,  тогда можно записать

12 < 15 < 47 < 112.

Калькулятор сравнения чисел

Данный калькулятор поможет вам сравнить натуральные числа. Просто введите два числа и нажмите кнопку Сравнить.

Калькулятор сравнения дробей

0
AC +/- ÷
7 8 9 ×
4 5 6
1 2 3 +
0 00 , =

Калькулятор сравнения дробей поможет сравнить как положительные, так и отрицательные дроби онлайн и даст подробное решение.

Дробь 1 Дробь 2

Что такое дробь

Дроби бывают обыкновенные, например,

и т. д. и десятичные (5.3, 3.4).

Обыкновенная дробь – это число, записанное в виде выражения

где a – числитель (делимое), b – знаменатель (делитель).

Числитель дроби всегда указывает на количество взятых долей, а знаменатель на сколько долей делят. Например, бабушка испекла пирог и разрезала его на три части, после этого дедушка съел 1 кусок. Сколько было съедено пирога?

Знаменатель дроби 3 – указывает на сколько кусков был разрезан пирог, а числитель – 1 на то сколько кусков было съедено.

Обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать, делить, а также сравнивать. Остановимся на сравнении более подробно.

Вернемся в приведенный выше пример, только теперь пирог бабушки разрежем на 4 части. Два куска пирога составляют половину, а это означает, что 2/4 пирога равны 1/2. Следовательно,

Как сравнивать дроби

Не всегда бывает наглядно видно, что дроби равны. Для сравнения дробей существует ряд правил.

Чтобы сравнить дроби нужно:

  1. Если дроби смешанные (есть целая часть) преобразовать их в неправильные.
  2. Привести дроби к общему знаменателю.
  3. Воспользоваться правилом: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель и меньше та, у которой меньше числитель. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Пример на сравнение дробей

Сравним дроби 4

и


1. Преобразуем смешанную дробь

в неправильную:


=

(4 · 7) + 3

7

=


2. Преобразуем смешанную дробь

в неправильную:


=

(4 · 9) + 5

9

=

3. Приведем дроби к общему знаменателю, для этого числитель первой дроби умножим на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби на знаменатель первой. Новым общим знаменателем будет произведение знаменателей первой и второй дроби.


=

31 ⋅ 9

7 ⋅ 9


=

41 ⋅ 7

7 ⋅ 9

4. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.



Вам могут также быть полезны следующие сервисы
Дроби
Калькулятор интервальных повторений
Учим дроби наглядно
Калькулятор сокращения дробей
Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
Калькулятор возведения дроби в степень
Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
Калькулятор сравнения дробей
Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
Калькуляторы (тригонометрия)
Калькулятор синуса угла
Калькулятор косинуса угла
Калькулятор тангенса угла
Калькулятор котангенса угла
Калькулятор секанса угла
Калькулятор косеканса угла
Калькулятор арксинуса угла
Калькулятор арккосинуса угла
Калькулятор арктангенса угла
Калькулятор арккотангенса угла
Калькулятор арксеканса угла
Калькулятор арккосеканса угла
Калькулятор нахождения наименьшего угла
Калькулятор определения вида угла
Калькулятор смежных углов
Калькуляторы систем счисления
Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
Системы счисления теория
N2 | Двоичная система счисления
N3 | Троичная система счисления
N4 | Четырехичная система счисления
N5 | Пятеричная система счисления
N6 | Шестеричная система счисления
N7 | Семеричная система счисления
N8 | Восьмеричная система счисления
N9 | Девятеричная система счисления
N11 | Одиннадцатиричная система счисления
N12 | Двенадцатеричная система счисления
N13 | Тринадцатеричная система счисления
N14 | Четырнадцатеричная система счисления
N15 | Пятнадцатеричная система счисления
N16 | Шестнадцатеричная система счисления
N17 | Семнадцатеричная система счисления
N18 | Восемнадцатеричная система счисления
N19 | Девятнадцатеричная система счисления
N20 | Двадцатеричная система счисления
N21 | Двадцатиодноричная система счисления
N22 | Двадцатидвухричная система счисления
N23 | Двадцатитрехричная система счисления
N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
N25 | Двадцатипятеричная система счисления
N26 | Двадцатишестеричная система счисления
N27 | Двадцатисемеричная система счисления
N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
N30 | Тридцатиричная система счисления
N31 | Тридцатиодноричная система счисления
N32 | Тридцатидвухричная система счисления
N33 | Тридцатитрехричная система счисления
N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
N35 | Тридцатипятиричная система счисления
N36 | Тридцатишестиричная система счисления
Калькуляторы (Теория чисел)
Калькулятор выражений
Калькулятор со скобками
Калькулятор разложения числа на простые множители
Калькулятор НОД и НОК
Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
Калькулятор деления числа в данном отношении
Калькулятор процентов
Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
Калькулятор экспоненциальной записи чисел
Калькулятор нахождения факториала числа
Калькулятор нахождения логарифма числа
Калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор остатка от деления
Калькулятор корней с решением
Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
Калькулятор больших чисел
Калькулятор округления числа
Калькулятор свойств корней и степеней
Калькулятор комплексных чисел
Калькулятор среднего арифметического
Калькулятор арифметической прогрессии
Калькулятор геометрической прогрессии
Калькулятор модуля числа
Калькулятор абсолютной погрешности приближения
Калькулятор абсолютной погрешности
Калькулятор относительной погрешности
Калькуляторы площади геометрических фигур
Площадь квадрата
Площадь прямоугольника
КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
Калькуляторы (Комбинаторика)
Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
Генератор Pdf с примерами
Тренажёры решения примеров
Тренажёр таблицы умножения
Тренажер счета для дошкольников
Тренажер счета на внимательность для дошкольников
Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
Тренажер решения примеров с разными действиями
Тренажёры решения столбиком
Тренажёр сложения столбиком
Тренажёр вычитания столбиком
Тренажёр умножения столбиком
Тренажёр деления столбиком с остатком
Калькуляторы решения столбиком
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
Калькулятор деления столбиком с остатком
Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
Калькулятор сложения и вычитания матриц
Калькулятор умножения матриц
Калькулятор транспонирование матрицы
Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
Калькулятор нахождения обратной матрицы
Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
Калькулятор сложения и вычитания векторов
Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
Калькулятор смешанного произведения векторов
Калькулятор умножения вектора на число
Калькулятор нахождения угла между векторами
Калькулятор проверки коллинеарности векторов
Калькулятор проверки компланарности векторов
Конвертеры величин
Конвертер единиц длины
Конвертер единиц скорости
Конвертер единиц ускорения
Цифры в текст
Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
Калькулятор вычисления времени движения
Калькулятор времени
Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома
Калькулятор Закона Кулона
Калькулятор напряженности E электрического поля
Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькуляторы по астрономии
Вес тела на других планетах
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
Генераторы
Генератор примеров по математике
Генератор случайных чисел
Генератор паролей

Калькулятор сравнения авто – сервис производящий сравнение авто по параметрам и ценам

1 автомобиль

Марка — выберите — Audi Bentley BMW Chery Chevrolet Citroen Daewoo Ferrari Ford Honda Hyundai Infiniti Kia Lamborghini Land Rover Lexus Mazda Mercedes-Benz MINI Mitsubishi Nissan Opel Peugeot Renault Rolls-Royce Skoda SsangYong Subaru Suzuki Tesla Toyota Volkswagen Volvo ВАЗ (Lada) ГАЗ УАЗ AC Acura Adler Alfa Romeo Alpina Alpine AM General AMC Ariel Aro Asia Aston Martin Audi Austin Autobianchi Baltijas Dzips Beijing Bentley Bertone Bitter BMW Borgward Brabus Brilliance Bristol Bufori Bugatti Buick BYD Byvin Cadillac Callaway Carbodies Caterham Changan ChangFeng Chery Chevrolet Chrysler Citroen Cizeta Coggiola Dacia Dadi Daewoo DAF Daihatsu Daimler Datsun De Tomaso DeLorean Derways DeSoto Dodge DongFeng Doninvest Donkervoort DS E-Car Eagle Eagle Cars Ecomotors FAW Ferrari Fiat Fisker Ford Foton FSO Fuqi Geely Geo GMC Gonow Gordon Great Wall Hafei Haima Haval Hawtai Hindustan Holden Honda HuangHai Hudson Hummer Hyundai Infiniti Innocenti Invicta Iran Khodro Isdera Isuzu IVECO JAC Jaguar Jeep Jensen JMC Kia Koenigsegg KTM Lamborghini Lancia Land Rover Landwind Lexus Liebao Motor Lifan Lincoln Lotus LTI Luxgen Mahindra Marcos Marlin Marussia Maruti Maserati Maybach Mazda McLaren Mega Mercedes-Benz Mercury Metrocab MG Microcar Minelli MINI Mitsubishi Mitsuoka Morgan Morris Nissan Noble Oldsmobile Opel Osca Packard Pagani Panoz Perodua Peugeot PGO Piaggio Plymouth Pontiac Porsche Premier Proton PUCH Puma Qoros Qvale Ravon Reliant Renaissance Renault Renault Samsung Rezvani Rimac Rolls-Royce Ronart Rover Saab Saleen Santana Saturn Scion SEAT ShuangHuan Skoda Smart Soueast Spectre Spyker SsangYong Subaru Suzuki Talbot TATA Tatra Tazzari Tesla Tianma Tianye Tofas Toyota Trabant Tramontana Triumph TVR Ultima Vauxhall Vector Venturi Volkswagen Volvo Vortex W Motors Wartburg Westfield Wiesmann Willys Xin Kai Zastava Zenos Zenvo Zotye ZX Автокам Бронто ВАЗ (Lada) ГАЗ Ё-мобиль ЗАЗ ЗИЛ ЗиС ИЖ Канонир Комбат ЛуАЗ Москвич СМЗ ТагАЗ УАЗ

Модель/ Модификация — выберите —

Комплектация — выберите —

2 автомобиль

Марка — выберите — Audi Bentley BMW Chery Chevrolet Citroen Daewoo Ferrari Ford Honda Hyundai Infiniti Kia Lamborghini Land Rover Lexus Mazda Mercedes-Benz MINI Mitsubishi Nissan Opel Peugeot Renault Rolls-Royce Skoda SsangYong Subaru Suzuki Tesla Toyota Volkswagen Volvo ВАЗ (Lada) ГАЗ УАЗ AC Acura Adler Alfa Romeo Alpina Alpine AM General AMC Ariel Aro Asia Aston Martin Audi Austin Autobianchi Baltijas Dzips Beijing Bentley Bertone Bitter BMW Borgward Brabus Brilliance Bristol Bufori Bugatti Buick BYD Byvin Cadillac Callaway Carbodies Caterham Changan ChangFeng Chery Chevrolet Chrysler Citroen Cizeta Coggiola Dacia Dadi Daewoo DAF Daihatsu Daimler Datsun De Tomaso DeLorean Derways DeSoto Dodge DongFeng Doninvest Donkervoort DS E-Car Eagle Eagle Cars Ecomotors FAW Ferrari Fiat Fisker Ford Foton FSO Fuqi Geely Geo GMC Gonow Gordon Great Wall Hafei Haima Haval Hawtai Hindustan Holden Honda HuangHai Hudson Hummer Hyundai Infiniti Innocenti Invicta Iran Khodro Isdera Isuzu IVECO JAC Jaguar Jeep Jensen JMC Kia Koenigsegg KTM Lamborghini Lancia Land Rover Landwind Lexus Liebao Motor Lifan Lincoln Lotus LTI Luxgen Mahindra Marcos Marlin Marussia Maruti Maserati Maybach Mazda McLaren Mega Mercedes-Benz Mercury Metrocab MG Microcar Minelli MINI Mitsubishi Mitsuoka Morgan Morris Nissan Noble Oldsmobile Opel Osca Packard Pagani Panoz Perodua Peugeot PGO Piaggio Plymouth Pontiac Porsche Premier Proton PUCH Puma Qoros Qvale Ravon Reliant Renaissance Renault Renault Samsung Rezvani Rimac Rolls-Royce Ronart Rover Saab Saleen Santana Saturn Scion SEAT ShuangHuan Skoda Smart Soueast Spectre Spyker SsangYong Subaru Suzuki Talbot TATA Tatra Tazzari Tesla Tianma Tianye Tofas Toyota Trabant Tramontana Triumph TVR Ultima Vauxhall Vector Venturi Volkswagen Volvo Vortex W Motors Wartburg Westfield Wiesmann Willys Xin Kai Zastava Zenos Zenvo Zotye ZX Автокам Бронто ВАЗ (Lada) ГАЗ Ё-мобиль ЗАЗ ЗИЛ ЗиС ИЖ Канонир Комбат ЛуАЗ Москвич СМЗ ТагАЗ УАЗ

Модель/ Модификация — выберите —

Комплектация — выберите —

Онлайн-калькулятор

Онлайн-калькулятор Math можно использовать для проверки своего решения по многим математическим и экономическим дисциплинам. Результат решения — это отчет в формате Word (и Excel при необходимости), содержащий ход решения с комментариями, исходные формулы и выводы.

Теория вероятностей и математическая статистика

Математическое ожидание дискретной случайной величины: нахождение дисперсии и среднеквадратического отклонения
Корреляционная таблица: ковариация и уравнения регрессии
Системы случайных величин: X и Y
Выборочный метод: оценка среднего значения, дисперсия, доверительные интервалы.
Другие калькуляторы

Информатика

Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Формат чисел с плавающей точкой
Сложение двоичных чисел
Таблица истинности: построение СКНФ и СДНФ с картами Карно (Вейча), минимизация булевой функции
Построение логической схемы (графически)
Другие калькуляторы

Линейная алгебра

Ранг матрицы
Обратная матрица через алгебраические дополнения . Определение миноров матрицы, алгебраических дополнений, транспонированной матрицы
Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Методы нахождения определителей: разложением по строкам и столбцам, методом треугольников, методом Гаусса (метод приведения к треугольному виду), методом декомпозиции

Умножение матриц
Преобразование матрицы до треугольной
LU разложение матрицы
Другие калькуляторы

Методы решения СЛАУ

Исследование системы линейных уравнений (на совместность и определенность)
Решения СЛАУ методом Гаусса (а также Жордано-Гаусса)
Решения СЛАУ методом Крамера
Решения СЛАУ методом обратной матрицы
Решения СЛАУ методом простой итерации
Решения СЛАУ методом Зейделя
Другие калькуляторы

Методы оптимизации

Метод Ньютона (метод дихотомии, модифицированный метод Ньютона, метод хорд, комбинированный метод, метод золотого сечения, метод итераций).
Метод множителей Лагранжа.
Все сервисы

Аналитическая геометрия

По координатам вершин треугольника найти площадь, уравнения сторон, уравнение медианы, уравнение биссектрисы
По координатам вершин пирамиды найти: угол между векторами, объем пирамиды, уравнение плоскости, расстояния от точки до плоскости, площадь треугольника.
Все сервисы

Математический сервис

Формула дискриминанта. Корни квадратичной функции.
Найти корни уравнения
Решить дифференциальные уравнения
Вычислить интеграл
Найти производную
Разложить на множители
Найти предел
Построить график функции
Градиент
Построить график функции методами дифференциального исчисления
Комплексные числа

Другие калькуляторы

Линейное программирование

Графический метод решения задач линейного программирования. Геометрический способ решения.
Решение симплексным методом (М-метод, двухэтапный метод, двухфазный метод)
Двойственный симплекс-метод (P-метод)
Двойственная задача линейного программирования

Транспортная задача
Задача коммивояжера
Задача о назначениях

Другие калькуляторы

Целочисленное программирование

Метод Гомори. Метод отсечений.
Графический метод.
Метод ветвей и границ.
Все сервисы

Динамическое программирование

Задача оптимального распределения инвестиций
Задача замены оборудования
Метод прямой и обратной прогонки
Все сервисы

Сетевое планирование

Сетевая модель. Параметры сетевой модели (ранний срок свершения событий, поздний срок свершения события, резерв времени)
Разрез сети. Минимальный разрез сети. Максимальный поток сети.

Модели теории игр

Оптимальная стратегия. Цена игры, седловая точка.
Игры с природой. Критерии Максимакса, Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица.
Биматричные игры.

Другие калькуляторы

Системы и модели массового обслуживания

Одноканальные модели систем массового обслуживания: Одноканальная СМО с отказами в обслуживании, Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди, Одноканальная СМО с неограниченной очередью.
Многоканальные модели систем массового обслуживания: Многоканальная СМО с отказами в обслуживании, Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди, Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Другие калькуляторы

Статистика

Выявление тренда методом аналитического выравнивания: по прямой, по параболе, по экспоненте, степенной функции, по гиперболе.

Группировка статистических данных.
Аналитическая группировка статистических данных.
Показатели вариации: средняя арифметическая, медиана, мода, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Доверительный интервал: для математического ожидания, для дисперсии, для генеральной доли.
Проверка гипотез о виде распределения: критерий согласия Пирсона.

Однофакторный дисперсионный анализ

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Коэффициент Фехнера

Другие калькуляторы

Эконометрика

Уравнение парной линейной регрессии. Коэффициент корреляции. Статическая надежность регрессионного моделирования с помощью F- критерия Фишера и с помощью t-критерия Стьюдента.
Уравнение нелинейной регрессии. Экспоненциальная, степенная, показательная, равносторонняя гипербола.

Уравнение множественной регрессии. Матричный метод. Матрица парных коэффициентов корреляции
Уравнение множественной регрессии для двух переменных с помощью формул Крамера. Система уравнений.

Другие калькуляторы


Полезные советы при пользовании сервисом

2 — Условия и операторы сравнения


Содержание

  1. Ввод данных и преобразование типов
  2. Почему нужно конвертировать строки в числа
  3. Условия
  4. Операторы сравнения
  5. Вложенные условные инструкции
  6. Тип данных bool
  7. Логические операторы
  8. Конструкция elif
  9. Задачи
    1. Знак числа
    2. Високосный год
  10. Ссылки по теме
  11. Домашнее задание

Ввод данных и преобразования типов

На прошлом занятии мы научились выводить данные с помощью функции print(). Например, чтобы вывести число 5 на экран нужно написать в интерпретаторе print(5), и он сделает свое дело.

Но что, если нужно что-то ввести в программу из внешнего мира? Например, если наш самописный калькулятор умеет складывать 2 числа и выводить ответ, то как ввести эти самые 2 числа? На помощь придет функция input(). Попробуем написать вышеописанный калькулятор.

Функции input() можно передать в качестве аргумента строку, которую увидит пользователь перед вводом.

>>> a = input('Введите число a: ')
Введите число a: 56
>>> b = input('Введите число b: ')
Введите число b: 23
>>> print(a + b)
5623

Как видно из примера, что-то пошло не так. Вместо заветных 46 после сложения 12 и 34 мы получили 1234. Все дело в типах данных. Функция input() всегда считывает данные в виде строки. Так и в примере она считала 12 и 34 как 2 строки и просто «слепила» их вместе. Мы же хотим складывать числа. Чтобы все работало хорошо, нужно выполнить преобразование типов данных.

В данном случае можно сделать вот так:

>>> a = int(input('Введите число a: '))
Введите число a: 56
>>> b = (input('Введите число b: '))
Введите число b: 23
>>> print(a + b)
79

То, чего мы и хотели.

Преобразовывать можно не только строку в целое число, но и наоборот. Вот несколько допустимых преобразований:

>>> # Преобразование числа в строку
>>> a = 34
>>> b = str(a)
>>> print('Преобразованное число:', b, ', его тип:', type(b))
Преобразованное число: 34 , его тип: <class 'str'>
>>> # Преобразование строки в число с плавающей точкой
>>> a = '45.34'
>>> b = float(a)
>>> print(a, type(a))
45.34 <class 'str'>
>>> print(b, type(b))
45.34 <class 'float'>
>>> b**2
2055.7156000000004
>>> # Преобразовать строку с НЕ числом в число не получится
>>> a = 'python'
>>> b = int(a)
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#22>", line 1, in <module>
    b = int(a)
ValueError: invalid literal for int() with base 10: 'python'

В примерах мы используем функцию type(). Как должно быть понятно из её названия, она выясняет тип переменной. Возвращает она что-то страшное вида <class 'str'>. Сейчас не стоит вникать почему так. Нам важно, что преобразование прошло правильно и получился тип str.

Как вы уже поняли, чтобы преобразовать что-то во что-то, надо взять и вызвать функцию, совпадающую по имени с названием типа данных. В нашем примере это str(), int() и float().

Почему нужно конвертировать строки в числа

Возможно, решая очередную задачу, вы случайно не переведете строки в числа, а программа все равно будет работать. Например, у вас будет такая программа, вычисляющая, какое из 2 введенных чисел больше:

>>> a = input('Введите целое число:')
Введите целое число:12
>>> b = input('Введите целое число:')
Введите целое число:45
>>> if a > b:
...     print('Большее число:', a)
... else:
...     print('Большее число:', b)
Большее число: 45

Вы удовлетворитесь ответом и пойдете домой. Но потом выяснится, что если ввести другие 2 числа, то все сломается:

>>> a = input('Введите целое число:')
Введите целое число:4
>>> b = input('Введите целое число:')
Введите целое число:30
>>> if a > b:
...     print('Большее число:', a)
... else:
...     print('Большее число:', b)
Большее число: 4

Значит, не все так просто…

Чтобы разобраться в вопросе, нужно знать как сравниваются строки.

Компьютер умеет работать только с одним типом данных — числами. Мы же помимо чисел используем кучу разных типов данных: числа, строки, списки, словари, кортежи (последние 3 будут обсуждаться дальше в курсе). Оказывается, что и они все хранятся и обрабатываются компьютером в виде чисел. Разберемся со строчками.

Когда люди задумались, как можно обрабатывать строки, им прошла в голову простая идея — а давайте создадим единую таблицу, в которой каждому символу поставим в соответствие число. Так появилась таблица ASCII (American standard code for information interchange).

Когда люди стали пользоваться компютером не только в Америке (точнее говоря, не только в англоговорящих странах), то встал вопрос о том, что в таблице не хватает места. Так появились другие таблицы кодировок:

  • Windows-1251
  • КОИ-8
  • ISO-8859
  • Юникод
  • и множество других…

Python версии 3 использует Unicode — кодировку, которая на данный момент включает в себя знаки почти всех письменных языков мира. Emoji в ней, кстати, тоже есть 😀😃😇👩‍💻🐁

При сравнении строк, Python переводит все символы строки в числа и производит сравнение чисел.

Если перевести “числовые” строки из примеров выше в списки чисел, то получится:

  • '12' = [49, 50]
  • '45' = [52, 53]
  • '4' = [52]
  • '30' = [51, 48]

Когда мы пишем '12' < '45', то Python сравнивает числа обоих строк по очереди: 49 < 52True, значит строка '12' меньше, чем строка '45'.

Когда же мы пишем '4' < '30', то Python снова сравнивает числа обоих строк по очереди, но на этот раз получается иначе: 52 < 51False и ответ получается '4' > '30', что абсолютно верно с точки зрения сравнения строк, но абсолютный бред с точки зрения сравнения чисел.

Python сравнивает числа по очереди. Если он уже на первом числе может ответить на вопрос “кто больше”, он прекращает сравнение и выдает ответ. Если же строки имеют одинаковую первую букву, то сравниваться они будут по второй и так далее. Такое сравнение называется лексикографическим

Поэтому, если вы работаете с числами, то всегда работайте с ними как с числами, а не как со строками.

Условия

Все рассматриваемые нами ранее программы имели линейную структуру — программа просто выполняла инструкции одну за другой сверху вниз. При этом никаких способов повлиять на ход выполнения у нас не было (разве что только на уровне выводимых на экран параметров). Также важно то, что наши предыдущие программы обязаны были выполнить все инструкции сверху вниз, в противном случае они бы завершались ошибкой.

Теперь предположим, что мы хотим определить абсолютное значение любого числа. Наша программа должна будет напечатать сам x в случае, если он неотрицателен и -x в противном случае. Линейной структурой программы здесь не обойтись*, поэтому нам на помощь приходит инструкция if (если). Вот как это работает в питоне:

>>> # Ввод данных с преобразованием типа
>>> x = int(input())
>>>
>>> if x > 0:
...     print(x)
>>> else:
...     print(-x)

На самом деле в python есть функция abs(), с помощью которой можно взять модуль числа. Но в качестве примера использования конструкции if и так хорошо.

Разберем этот кусочек кода. После слова if указывается проверяемое условие (x > 0), завершающееся двоеточием (это важно). После этого идет блок (последовательность) инструкций, который будет выполнен, если условие истинно. В нашем примере это вывод на экран величины x. Затем идет слово else (иначе), также завершающееся двоеточием (и это важно), и блок инструкций, который будет выполнен, если проверяемое условие неверно. В данном случае будет выведено значение -x.

Обратите особенное внимание на отступы во фрагменте кода выше. Дело в том, что в питоне, для того, чтобы определить, какой именно код выполнить в результате того или иного условия используется как знак двоеточия (в строке с самим условием), так и отступы от левого края строки.

Небольшая ремарка относительно табуляции. Мы используем 4 пробела! В современных текстовых редакторах при нажатии на tab автоматически вставляется 4 пробела. Не надо жать 4 раза кнопку space как вот тут. Никакой войны, никаких табов. Просто 4 пробела.

Во многих других языках вместо отступов используются конструкции, явно указывающие на начало (begin или открывающаяся фигурная скобка в Си) и конец инструкций, связанных с условием (end или закрывающаяся фигурная скобка в Си). Отступы же выполняют примерно ту же роль, но и заодно делают код более читаемым, позволяя читающему быстро понять, какой именно код относится к условию.

Таким образом, условные конструкции в питоне имеют следующий общий вид:

if Условие:
    блок инструкций, в случае если условие истинно
else:
    блок инструкций, в случае если условие не выполняется

Вторая часть условной конструкции (та, что с else) может и отсутствовать, например так:

>>> x = int(input())
>>>
>>> if x < 0:
...     x = -x
...
>>> print(x)

Эта программа тоже выведет абсолютное значение x, как и та, что была ранее.

Операторы сравнения

Все операторы сравнения в питоне достаточно интуитивны. Вот список основных:

> — больше. Условие истинно, если то, что слева от знака больше того, что справа.
< — меньше. Условие истинно, если то, что слева от знака меньше того, что справа.
>= — больше либо равно.
<= — меньше либо равно.
== — в точности равно.
!= — не равно.

Вложенные условные инструкции

Условия могут быть вложены одно в другое, чтобы реализовывать еще более сложную логику, например:

>>> a = int(input())
>>> b = int(input())
>>>
>>> if a > 0:
...     if b > 0:
...         print("a, b > 0")
...     else:
...         print("a > 0, b < 0")
... else:
...     if b > 0:
...         print("a, b < 0")
...     else:
...         print("a < 0, b > 0")
...

Главное, не забывать отступы и двоеточия.

Тип данных

bool

Операторы сравнения возвращают значения специального логического типа bool. Значения логического типа могут принимать одно из двух значений: True (истина) или False (ложь).

Если преобразовать логическое True к типу int, то получится 1, а преобразование False даст 0. При обратном преобразовании число 0 преобразуется в False, а любое ненулевое число в True. При преобразовании str в bool пустая строка преобразовывается в False, а любая непустая строка в True.

Рассмотрим несколько примеров:

>>> # Сравнение строки
>>> name = input('Введите своё имя:')
>>> if name != '':
>>> 	print('Привет,', name)
>>> else:
>>> 	print('Вы не ввели своё имя!')
>>> # Преобразование bool к int
>>> print(int(True))
1
>>> print(int(False))
0

Обратите внимание, ключевые слова True или False пишутся с большой буквы. Если написать их с маленькой, то python подумает, что это переменная, попытается её найти и сломается, когда не найдет :(. А если вы вздумаете называть свои переменные false или true, то сдать зачет по курсу вам не светит :). Учитесь сразу хорошему стилю программирования.

>>> # Преобразование bool к int
>>> print(int(true))
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#32>", line 1, in <module>
    print(int(true))
NameError: name 'true' is not defined

Логические операторы

Если мы хотим проверить два или более условий за раз, мы можем воспользоваться операторами and, or или not. Вот как они работают:

and (логическое И) возвращает истину (True) только в случае если оба условия по отдельности верны (тоже возвращают True)
or (логическое ИЛИ) вернет истину в случае, если хотя бы одно из условий верно.
not (логическое НЕТ) возьмет результат условия и “обратит” его. То есть, если результат условия True, то not примененный к этому условию вернет False и наоборот.

Давайте посмотрим как это работает на примере. Код ниже проверяет, что хотя бы одно число из двух нацело делится на 10 (кончается на 0) и если так, то печатает YES, а если нет, то печатает NO:

>>> a = int(input())
>>> b = int(input())
>>>
>>> if a % 10 == 0 or b % 10 == 0:
...     print('YES')
... else:
...     print('NO')
...

Пусть теперь мы хотим проверить, что числа a и b должны быть еще и обязательно больше нуля:

>>> a = int(input())
>>> b = int(input())
>>>
>>> if (a % 10 == 0 and a > 0) or (b % 10 == 0 and b > 0):
...     print('YES')
... else:
...     print('NO')
...

Как видите, мы можем не только использовать and и or в одном if, но и группировать условия скобками для того, чтобы явно обозначить приоритет вычисления условий.

Посмотрим пример с not. Пусть мы хотим проверить, что число a — положительное, а число b — неотрицательное. Это можно проверить вот таким условием:

>>> if a > 0 and not (b < 0):
...     pass
...

Оператор pass очень полезен, когда нужно ничего не делать. Если его не поставить, то будет синтаксическая ошибка. А так, код считается правильным!

Кстати, not (b < 0) можно было бы и заменить на b >= 0 и код бы работал точно так же.

Конструкция elif

Иногда писать конструкции if-else долго и утомительно, особенно если приходится проверять много условий разом. В этом случае на помощь придет elif (сокращение от else if). По сути elif позволяет существенно упростить конструкцию ниже:

>>> if a > 0:
...     pass
... else:
...     if b > 0:
...         pass
...

И сделать ее вот такой:

>>> if a > 0:
...     pass
... elif b > 0:
...     pass
...

Обратите внимание, мы избавились от одного уровня вложенности. То есть, сам код стал более читаемым, но при этом нисколько не проиграл в функциональности. Разумеется, конструкции типа if-elif могут завершиться и блоком else, например так:

>>> if a > 0:
...     pass
... elif b > 0:
...     pass
... elif c > 0:
...     pass
... else:
...     pass
...

Задача: знак числа

В математике есть функция sgn, показывающая знак числа. Она определяется так: если число больше 0, то функция возвращает 1. Если число меньше нуля, то функция возвращает -1. Если число равно 0, то функция возвращает 0. Реализуйте данную функцию — для введенного числа выведите число, определяющее его знак. Используйте операторы сравнения и конструкцию if-elif-else.

Возможное решение:

>>> x = int(input())
>>>
>>> if x > 0:
...     print(1)
... elif x < 0:
...     print(-1)
... else:
...     print(0)
...

Задача: високосный год

Дано натуральное число. Требуется определить, является ли год с данным номером високосным. Если год является високосным, то выведите YES, иначе выведите NO. Напомним, что в соответствии с григорианским календарем, год является високосным, если его номер кратен 4, но не кратен 100, а также если он кратен 400.

Возможное решение:

>>> year = int(input())
>>> if (year % 4 == 0 and year % 100 != 0) or (year % 400 == 0):
...     print('YES')
... else:
...     print('NO')
...

Ссылки по теме

  • http://pythontutor.ru/lessons/ifelse/
  • http://pythonicway.com/python-conditionals

Домашнее задание

Вам надо написать на питоне 6 программ, каждая из которых будет спрашивать у пользователя 3 числа (a, b, c) и печатать на экран удовлетворяют ли введенные числа перечисленным свойствам:

  1. a и b в сумме дают c
  2. a умножить на b равно c
  3. a даёт остаток c при делении на b
  4. c является решением линейного уравнения ax + b = 0
  5. a разделить на b равно c
  6. a в степени b равно c

Оформите каждую программу в виде отдельного файла с расширением . py.

Нейросетевой калькулятор для сложения и вычитания не очень больших чисел / Хабр

Мы рады представить хабросообществу наш смелый эксперимент: калькулятор, работающий на основе нейросети. Он работает следующим образом: математическое выражение преобразуется в изображение и подается на вход сверточной нейросети, которая генерирует изображение-результат. Полученный калькулятор генерирует изображения правильных ответов, не вычисляя заданное выражение в явном виде.

Работа уже опубликована на arXiv и сегодня будет представлена на конференции SIGBOVIK в формате аудиозаписи. В этом посте мы поделимся с вами результатами нашего эксперимента. Мотивация и детали реализации также под катом.


Генеративно-состязательные сети (Generative Adversarial Networks, GANs) успешно применяются во многих приложениях компьютерного зрения, включая генерацию кошек и аниме. До настоящего момента было не так много подтверждений, что такие нейросети хороши ещё и в математике.

Мы следуем тренду развития калькуляторов и представляем нейросетевой калькулятор, принимающий на вход изображение математического выражения и обученный с помощью adversarial-подхода (GAN). Схема работы калькулятора представлена на изображении выше.

Созданный калькулятор поддерживает сложение и вычитание двузначных чисел. Демо находится по адресу https://yandex.ru/lab/calc_tfjs. Как и положено калькулятору, он считается на устройстве. Для этого используется библиотека TensorFlow.js. Но если она не работает на вашем устройстве, то вы можете воспользоваться версией, запущенной на наших серверах.


Калькуляторы всегда волновали умы людей. Необходимость складывать и вычитать маленькие (а иногда и большие) числа шла рука об руку с развитием человеческой цивилизации. Существует много трудов, посвящённых этой теме, дальше мы приведём короткий обзор. Опустим часть, связанную с подсчётами на пальцах, отметками на стенах пещер и перейдём сразу же к достижениям индустриальной эпохи.


Короткая история калькуляторов: a — механический калькулятор из 1920-х, b — электронный калькулятор из 1980-х, с — калькулятор в Windows 3.x, d — калькулятор в поисковой системе, e — наше решение.

Механический зверь из 1920-х (см. рис. a) поддерживает сложение и вычитание двух девятизначных чисел. Взамен он требует лишь немного внимания и поворотов ручки. Умножение и деление также поддерживаются, но за 10 минут изучения предмета мы так и не поняли, как именно.

Изобретение электронных ламп, транзисторов и микросхем подстегнуло развитие электронных калькуляторов. Мультифункциональный калькулятор, работающий от батарейки (см. рис. b), стал вершиной человеческого творения в вещественном мире. Он сочетает в себе непревзойденную эффективность, удобство использования и функциональность. Идея, что эпоха электронных калькуляторов была лучшим временем человеческой цивилизации, подтверждается многими людьми и агентами. А. Смит сказал: «Поэтому Матрица стала такой. Воссоздан пик вашей цивилизации. Именно вашей цивилизации, ведь когда машины начали думать за вас, возникла наша цивилизация».

В любом случае потом что-то пошло не так и человечество изобрело компьютеры. Сначала для управления требовались перфокарты, потом консоль и, наконец, графический интерфейс.

Высокопроизводительный (относительно карманного калькулятора) компьютер хранит операционную систему в оперативной памяти и выполняет её в бесконечном цикле, видеокарта отрисовывает 60 кадров в секунду, и это всё лишь для того, чтобы отрисовать калькулятор. Монитор светит пикселями вместо того, чтобы использовать солнечный свет. Посмотрите на пример этого безумия (на рис. с): видно, что функциональность калькулятора упрощена, хотя потребление энергии увеличено в сотни раз.

Человечество оступилось в проектировании калькуляторов? Возможно. Нашло ли оно правильный путь? Насколько нам известно, нет. Современный калькулятор — это либо приложение на устройстве, либо веб-страница. Математические выражения — частый тип запросов к поисковым машинам (см. рис. d). Теперь для того, чтобы сложить два числа, требуется не только высокопроизводительное устройство, но и соединение с интернетом (который, без сомнения, очень сложная штука).

Итак, калькуляторы становятся более ресурсоёмкими и менее функциональными. Наш калькулятор (рис. e) — логическое продолжение процесса развития калькуляторов.


Мы применяем самые современные подходы компьютерного зрения для решения математических выражений. Так как нам не удалось найти в литературе готового датасета для обучения нашей модели, мы собрали собственный.

Мы обнаружили, что существует возможность создания парного датасета математических выражений (например, 5 + 2) и соответствующих им ответов (например, 7). Для сбора данных применялись калькуляторы предыдущих поколений. Для каждой пары выражений и ответов мы генерируем пару изображений, используя случайные числа соответствующих классов из датасета MNIST.

Мы взяли за основу UNet-подобную архитектуру, так как она позволяет принимать картинку на вход и генерировать картинку-результат. Основное отличие нашей модели в том, что мы убрали все skip-connections и добавили несколько полносвязных слоёв в ботлнек-модели. Это сделало модель больше не похожей на UNet. Зато это останавливает сеть от использования частей входной картинки в выходной.

К сожалению, задачу невозможно решить, обучая нейросеть просто с использованием функции потерь L1. Из-за того что изображения ответов собраны из случайных чисел MNIST, сеть сходится к генерации размытых ответов, напоминающих усреднённые числа из MNIST. Для того чтобы поощрять сеть генерировать различное написание чисел, мы предлагаем применять функции потерь GAN и perceptual. Для последней мы используем классификационную нейросеть VGG, обученную распознавать числа из MNIST.

Схема работы калькулятора показана на картинке вверху статьи. Нейросеть принимает отрендерированное выражение и возвращает изображение ответа в форме, которую может интерпретировать человек.


Используя процедуру, описанную выше, мы успешно обучили наш нейросетевой калькулятор. Он принимает числа от –99 до 99 и способен складывать и вычитать. Согласно нашему опыту, этого достаточно для покрытия всех повседневных нужд.

Качественные результаты калькулятора показаны на рисунке ниже. Результаты, отобранные вручную, показывают идеальное качество работы модели. Также можно взглянуть на наше демо.

Количественные сравнения нашего калькулятора с другими архитектурами представлены в следующей таблице:

Метод Качество
Большинство калькуляторов 100% успеха
Наш метод Мы не используем распознавание чисел как часть нашего решения, так как калькулятор предназначен для людей.


С тех пор как мы разработали этот калькулятор, мы показали его многим влиятельным людям в области компьютерного зрения. Некоторые из них посоветовали отправить работу на SIGBOVIK. Мы надеемся, что читатели оценят по достоинству нашу работу, начнут использовать более современный калькулятор и вступят в новую эру вычислений (шутка).

Нельзя не отметить, что нейросеть выучилась простой арифметике, обучаясь только на картинках. Можно было бы упростить задачу, разделив её на три части: распознавание входного изображения, вычисление ответа и генерация изображения ответа. Наша модель работает не так. Несмотря на то, что в ней нет явного арифметического шага, модель всё равно справляется с генерированием правильных ответов.



Важность этого эксперимента в том, чтобы показать, что нейросети способны обобщать даже вот такие логические задачи. Мы не первые, кто проводит подобный эксперимент, есть вот такая известная работа на этот счет. Отличие нашей работы в том, что мы используем различные написания символов и подаем на вход выражение одной картинкой, что усложняет задачу для нейросети. Но она все равно справляется.

Конечно, в основном Яндекс проводит более практичные исследования. Мы в Лаборатории машинного интеллекта занимаемся генеративными сетями, вот наша последняя научная работа. Все научные работы Яндекса собраны здесь.

Калькулятор процентной разницы

Создано Альваро Диесом и Домиником Черниа, докторантами

Отзыв от Jack Bowater

Последнее обновление: 18 июня 2022 г.

Содержание:
  • Что такое процентная разница?
  • Как найти процентную разницу?
  • Формула процентной разницы
  • Когда процентная разница полезна, а когда она сбивает с толку?
  • Значение процентной разницы в реальной жизни
  • Как лгать с данными, не лгая?
  • Часто задаваемые вопросы

Калькулятор процентной разницы поможет вам сравнить два числа. Здесь мы покажем вам, как рассчитать процентную разницу между двумя числами и, надеюсь, , чтобы правильно объяснить, что такое процентная разница , а также некоторые распространенные ошибки. В следующей статье мы также покажем вам формулу процентной разницы. Кроме того, мы объясним различия между различными процентными калькуляторами и то, как данные могут быть представлены вводящими в заблуждение, но технически верными способами для доказательства различных аргументов.

Если вы хотите рассчитать процентную разницу между процентными пунктами, воспользуйтесь нашим калькулятором процентных пунктов.

Что такое процентная разница?

Чтобы ответить на вопрос «что такое процентная разница?» сначала нам нужно понять , что такое процент . Процент — это просто еще один способ говорить о дроби. Процент также является способом описания отношения между двумя числами. Например, мы можем сказать, что 5 — это 20% от 25, или 2 — это 5% от 40. Когда мы говорим о процентах, мы можем думать о знаке % как о значении 1/100 . Возвращаясь к нашему последнему примеру, если мы хотим узнать, что составляет 5% от 40, мы просто перемножаем все переменные следующим образом:

5 * 1/100 * 40 = 200/100 = 2

Если вы будете следовать этой формуле, вы должны получить результат, который мы предсказывали ранее: 2 — это 5% от 40, или, другими словами, 5% от 40 — это 2. Если хотите, теперь вы можете попробовать проверить, равно ли 5 ​​20. % от 25.

Теперь, если мы хотим поговорить о разнице в процентах , нам сначала понадобится разница, то есть нам нужны два, не идентичных, числа. Возьмем, например, 23 и 31; их разница равна 8. Теперь нам нужно перевести 8 в проценты, а для этого нам нужна точка отсчета, и вы, возможно, уже задавались вопросом: Должен ли я использовать 23 или 31? Поскольку мы не предоставили никакого контекста для этих чисел, ни одно из них не является надлежащей точкой отсчета, поэтому самым честным ответом было бы использовать среднее или середина этих двух чисел.

Напоминаем, что, хотя мы и дали точный ответ на вопрос «что такое процентная разница?», точность не так распространена, как мы все надеемся, что это будет . Очень часто (преднамеренно или непреднамеренно) называют процентную разницу, которая на самом деле является процентным изменением. Это еще больше затрудняет определение процентной разницы без надлежащего точного поиска.

Мы рассмотрим эту проблему вместе с недобросовестным представлением данных в следующих разделах . Мы надеемся, что это поможет вам отличить хорошие данные от плохих данных, чтобы вы могли определить, какая процентная разница есть, а какая нет. А пока, , давайте посмотрим, как использовать этот калькулятор и как найти процентную разницу двух заданных чисел.

Как найти процентную разницу?

Чтобы вычислить процентную разницу между двумя числами, a и b , выполните следующие вычисления:

  1. Найдите абсолютную разницу между двумя числами: |a - b|
  2. Найдите среднее из этих двух чисел: (a + b) / 2
  3. Разность разделить на среднее: |a - b| / ((а + б) / 2)
  4. Выразите результат в виде процентов , умножив его на 100
  5. Или вместо этого используйте калькулятор процентной разницы Omni 😃

Вот как найти процентную разницу! Вы можете извлечь из этих расчетов формулу процентной разницы, но если вам лень, просто продолжайте читать, потому что в следующем разделе мы сделаем это за вас. Просто помните, что знание того, как рассчитать процентную разницу, не равно пониманию того, что такое процентная разница.

Ранее мы упоминали, что люди иногда путают процентную разницу с процентным изменением, которое является отличной (хотя и очень интересной) величиной, которую можно рассчитать с помощью другого из наших Омни-калькуляторов. Если вы читали, как рассчитать процентное изменение, вы должны знать, что у нас есть изменение либо на 50%, либо на -33,3333%, в зависимости от того, какое значение является начальным, а какое — конечным.

Формула процентной разницы

Прежде чем мы углубимся в более сложные темы, касающиеся процентной разницы, нам, вероятно, следует поговорить о конкретной формуле, которую мы используем для расчета этого значения. Формула процентной разницы выглядит следующим образом:

процентная разница = 100 * |a - b| / ((a + b) / 2)

Чтобы быть еще более конкретным, вы можете говорить о процентном увеличении или процентном уменьшении. Чтобы просто сравнить два числа, используйте калькулятор процентов. Или, если вы хотите рассчитать относительную ошибку, используйте калькулятор процентной ошибки.

Теперь вы знаете формулу процентной разницы и как ее использовать . Имейте в виду, что, поскольку в формуле присутствует абсолютное значение, калькулятор процентной разницы не будет работать в обратном порядке. Вот почему вы не можете ввести число в последние два поля этого калькулятора.

Когда разница в процентах полезна, а когда сбивает с толку?

Теперь пришло время углубиться в полезность процентной разницы в качестве измерения . Вас не должно удивлять, что полезность процентной разницы лучше всего проявляется при сравнении двух чисел; но это не всегда так. Возможно, нам следует воздержаться от разговора о разнице в процентах, когда мы имеем в виду одно и то же значение во времени. Мы думаем, что так и должно быть, потому что в повседневной жизни мы склонны думать о процентном изменении , а не о процентной разнице.

А пока давайте посмотрим пару примеров, где полезно говорить о процентной разнице . Допустим, вы хотите сравнить размер двух компаний с точки зрения их сотрудников. В этом примере в компании C работает 93 сотрудника, а в компании B — 117. Чтобы сравнить разницу в размере между этими двумя компаниями , разница в процентах является хорошей мерой. В этом случае, используя калькулятор процентной разницы, мы видим, что разница составляет 22,86%. Одной из ключевых особенностей процентной разницы является то, что она останется прежней, если вы поменяете количество сотрудников между компаниями. Как мы уже установили, 9Разница в процентах 0025 — это сравнение без направления.

Однако неверно утверждать, что компания C на 22,86% меньше, чем компания B , или что B на 22,86% больше, чем C . В этом случае мы будем говорить о процентном изменении , что не совпадает с процентной разницей . Другая проблема, с которой вы можете столкнуться при выражении сравнения с использованием разницы в процентах, заключается в том, что если сравниваемые числа не похожи, разница в процентах может ввести в заблуждение. Почему?

Представьте себе, что компания C объединяется с компанией A , в которой работает 20 000 сотрудников. Теперь в новой компании CA работает 20 093 сотрудника, а процентная разница между CA и B составляет 197,7%. Давайте поднимем его на ступеньку выше. Теперь новая компания T со 180 000 сотрудников объединяется с CA и образует компанию CAT . Мы не совсем уверены, чем занимается эта компания, но думаем, что это что-то связанное с кошачьими. CAT сейчас насчитывает 200 093 сотрудника. Теперь процентная разница между B и CAT увеличивается только до 199,8%, несмотря на то, что CAT на 895,8% больше, чем CA с точки зрения процентного увеличения.

» Как это вообще возможно? » Хороший вопрос. Причина здесь в том, что, несмотря на увеличение абсолютной разницы между этими двумя числами, изменение процентной разницы резко уменьшается. Эти два числа настолько далеки друг от друга, что такое большое увеличение на самом деле довольно мало с точки зрения их текущей разницы. Следовательно, если мы хотим сравнить числа, сильно отличающиеся друг от друга, с использованием разницы в процентах вводит в заблуждение . Если вы хотите избежать каких-либо из этих проблем, мы рекомендуем сравнивать только числа, которые отличаются не более чем на один порядок (два, если вы хотите подтолкнуть его). Если вы хотите узнать больше о порядках и о том, что означает этот термин, мы рекомендуем наш калькулятор научной записи.

Как и во всем, что вы делаете, вы должны быть осторожными при использовании калькулятора процентной разницы , а не просто использовать его вслепую. В нашем примере процентная разница не была хорошим инструментом для сравнения компаний CAT и B . В конце концов, может быть несколько способов снять кожу с CAT , но не все способы одинаковы.

Значение процентной разницы в реальной жизни

И вот мы, наконец, подошли к проблеме с процентной разницей и как она используется в реальной жизни, а точнее в СМИ . Разница в процентах представляет собой ненаправленную статистику между любыми двумя числами. Однако когда статистические данные представляются в СМИ, они очень редко преподносятся точно и точно. Даже при правильных намерениях использование неправильных инструментов сравнения может ввести в заблуждение и дать неверное представление о данной проблеме.

Что касается процентной разницы, проблема возникает, когда путают с процентным увеличением или процентным уменьшением. Мы видели, насколько обманчивыми могут быть эти меры, когда неверный расчет применяется к крайнему случаю, например, при сравнении количества сотрудников между CAT против B . Но теперь, мы надеемся, вы знаете лучше и можете видеть сквозь эти различия и понимать, что означают настоящие данные.

Еще одна проблема с данными заключается в том, что когда они представлены определенным образом, это может привести к тому, что зритель сделает неверные выводы или создаст неправильное впечатление. Давайте рассмотрим еще один пример и увидим, как изменение предоставленной статистики может явно повлиять на то, как мы рассматриваем проблему , даже если данные одинаковы.

Как лгать с данными, не лгая?

Первое, что вы должны признать, это то, что сами по себе данные (при условии, что они правильно собраны) не заботятся о том, что вы думаете, что является этическим или моральным ; это просто эмпирическое наблюдение мира. Это означает, что сила данных заключается в их интерпретации , в том, как мы их понимаем и как мы можем использовать их в своих интересах.

Давайте рассмотрим пример того, как представлять одни и те же данные по-разному для доказательства противоположных аргументов. Взяв, к примеру, уровень безработицы в США, мы можем изменить влияние представленных данных, просто изменив используемый инструмент сравнения или представив вместо этого необработанные данные. Уровень безработицы в США в 2018 году составлял около 90 025 4%, тогда как в 2010 году он составлял около 10 %. Оставив в стороне определения безработицы и , предполагая, что эти цифры верны , мы собираемся посмотреть, как эти статистические данные могут быть представлены.

Для первого примера можно сказать, что было уровень безработицы в целом снизился на 6% ( 10% - 4% = 6% ). В качестве альтернативы, мы могли бы сказать, что произошло процентное снижение на 60% , так как это процентное снижение между 10 и 4. Наконец, мы могли бы говорить о процентной разнице около 85% , которая произошла между безработицей в 2010 и 2018 годах. ставки.

Если же мы предпочитаем остаться с необработанными числами , мы можем сказать, что в настоящее время в США насчитывается примерно на 17 миллионов активных работников по сравнению с 2010 годом. Или мы могли бы сказать, что, поскольку рабочая сила сокращается за последние годы, существует около 9 миллионов безработных меньше человек, и это было бы столь же верно. Просто взглянув на представленные вам цифры, вы, вероятно, начали понимать истинные масштабы проблемы с данными и статистикой и то, насколько по-разному они могут выглядеть в зависимости от того, как они представлены.

Важным выводом из всего этого является то, что мы не можем свести данные только к одному числу , так как это становится бессмысленным. Вы должны знать, как было получено это число, , что оно представляет собой и почему оно может дать неверное представление о ситуации. Так что просто помните, люди могут заставить числа говорить все, что они хотят, так что будьте начеку и сохраняйте критическое мышление, когда сталкиваетесь с информацией .

Часто задаваемые вопросы

Равна ли процентная разница процентному изменению?

Нет , это два разных понятия . В процентной разнице точка отсчета представляет собой среднее из двух данных нам чисел, а в процентном изменении одно из этих чисел принимается за точку отсчета. Более того, в отличие от процентного изменения, процентная разница представляет собой сравнение без направления .

Какова процентная разница между 20 и 30?

Давайте пошагово определим процентную разницу между 20 и 30:

  1. Вычислите абсолютную разницу между нашими числами: |20 - 30| = |-10| = 10
  2. Вычислите также их среднее значение: (20 + 30) / 2 = 50 / 2 = 25
  3. Разделите разницу на среднее значение: 10/25 = 0,4
  4. Выразите результат в процентах: 0,4 * 100 = 40%

Когда процентная разница равна 100%?

Разница в процентах равна 100% тогда и только тогда, когда одно из чисел в три раза больше другого числа . Доказать это не сложно! Смотри:

  1. Процентная разница между a и b равна 100% тогда и только тогда, когда мы имеем a - b = (a + b) / 2 .

  2. Не ограничивая общности, мы предполагаем, что a ≥ b , поэтому мы можем опустить абсолютное значение в левой части. Отсюда следует, что 2a - 2b = a + b

  3. Следовательно, a = 3b , как и утверждалось!

Альваро Диэз и Доминик Черния, кандидат доктора философии

Значение

Значение B

Процентная разница

Разница

Advanced Mode

Если вы хотите рассчитать один процентный разница после другого, нажима Advanced Depode

. ниже.

Посмотреть 9 похожих калькуляторов процентов

Выигрыш в процентахПроцентная скидкаПроцентная ошибка… Еще 6

Сравнение целых чисел . . .

Использование а

Номер Линия

Сравнение Целые числа —

Сравнение Числа с использованием а Число Строка :

Каждый знаком с количество линии. Мы используем их в наша повседневная жизнь

на рутинная основа сравнивать ценности — меньше до больше — больше к меньше.

Например, спидометр в машине есть числовой ряд, а правитель — это числовой ряд, нумерация на футбольном мяче поле представляет собой числовой ряд, страницы в книга падает на числовой ряд, а ученики оценка падает на числовой ряд, циферблат на радио это числовой ряд, а термометр числовой ряд, и т. д.

Как Сравнивать Числа Используя Число Линия — нажмите описание

Возвращаться К «Числа» нажмите здесь




. . . Целые числа

Число линия делает это легко сравнить целые числа. А числовая линия использует визуальное концепции расстояние и близость к показать положение числа относительно одного еще один.

Когда двое другой цифры нанесен на горизонтальный числовой ряд, один из числа будут заговор на слева от другой номер. Число нанесен на слева находится меньшее число. Число нанесен на справа больше количество.

Когда двое другой цифры нанесен на вертикальное число линия, одна из цифры будет нанесен ниже другого количество. нанесенное число ниже другого номер меньшее число. Число самый высокий по вертикали числовая линия чем больше количество.

Для Пример:

Сравнивать десятичные дроби 3 а также -1 .

Число Строка

Числовая линия показывает, что -1 меньше чем 3 .

-1 < 3

Числовая линия показывает, что 3 лучше чем -1 .

3 > -1


Найдите больше или меньше

Узнайте, какая дробь, десятичная дробь, целое число или процент больше или меньше, с помощью этого бесплатного онлайн-калькулятора сравнения дробей. Да, это звучит достаточно странно, но поверьте нам, вы всего за несколько кликов получите точное сравнение дробей.

Итак, давайте продолжим и углубимся в концепцию!

Сосредоточься!

Как сравнивать дроби?

Существуют различные способы сравнения дробей как с дробями, так и с любым другим форматом числа, упомянутым выше. Более того, наш лучший калькулятор сравнения фракций также чутко учитывает это сравнение и отображает точные результаты сравнения.

Хорошо, давайте пройдемся по способам анализа, какая дробь больше или меньше и почему?

Десятичный метод:

Сравнение десятичных дробей — самый простой и надежный способ сравнения дробей. Да, здесь вам нужно преобразовать данные дроби в их эквивалентные десятичные обозначения. Таким образом, вы можете быстро связать их и выбрать больший или меньший. Чтобы сделать ваши расчеты еще быстрее, не существует другого способа, кроме нашего лучшего калькулятора десятичного сравнения. Так что используйте его и используйте эту возможность.

Тот же метод знаменателя:

Это еще один подход к распознаванию размера фракций. Если найдутся две дроби с одинаковым знаменателем, то большей будет считаться та дробь, у которой числитель больше. В то время как второй меньше, несомненно.

Другой метод знаменателя:

Здесь мы собираемся уловить суть концепции. Да, этот пункт достоин того, что он включает в себя понимание другого понятия. Давайте обсудим!

Здесь вам нужно рассчитать LCD. Это позволит вам сделать разные знаменатели одинаковыми. Когда вы получите одинаковые знаменатели, пришло время следовать описанному выше методу того же знаменателя, чтобы сравнить дроби. Без сомнения, смешивание нескольких понятий может сбивать с толку, но этот калькулятор дробей больше или меньше мгновенно применит их для отображения окончательного вывода на экране вашего устройства.

Один и тот же числитель Метод:

Всякий раз, когда у вас есть дроби с одинаковыми числителями, больше будет дробь с меньшим знаменателем.

Сравнение дробей с десятичными знаками и процентами:

Этот вид сравнения немного отличается от всех вышеперечисленных. Если у вас есть такие числа в разных форматах, то вам необходимо следить за ключевыми моментами ниже:

  • Для дроби разделить числитель на знаменатель
  • Чтобы получить процентное значение, разделите его на число 100
  • Теперь вы получите десятичные значения для обоих, сравните их и посмотрите, какое из них меньше или больше
  • В конце замените исходные числа правильным знаком, обозначающим их сравнение.

Чтобы избежать этих длительных вычислений, связанных с процессом, вы можете использовать этот бесплатный калькулятор десятичного сравнения, чтобы уменьшить сложность.

Сравнительная таблица фракций:

Ниже приведены несколько таблиц, в которых представлены большие и меньшие дроби при сравнении. Одна вещь, которую вы должны знать, это то, что все эти сравнения также можно проверить с помощью бесплатного онлайн-калькулятора сравнения дробей. Давайте посмотрим!

Таблица больших дробей:
Сравнение больших дробей Большая дробь
3/4 или 1/2 3/4
2/3 или 1/2 2/3
3/16 или 1/4 1/4
1/2 или 1/4 1/2
1/8 или 1/4 1/4
3/4 или 1/2 3/4
3/8 или 5/16 3/8
7/16 или 1/2 1/2
3/16 или 1/8 3/16
1/3 или 1/4 1/3
3/2 или 1 3/2
5/32 или 1/8 5/32
4/5 или 2/3 4/5
3/8 или 1/4 3/8
5/3 или 5/11 5/3
11/16 или 3/4 3/4
9/16 или 5/8 5/8
5/8 или 11/16 16. 11
5/8 или 9/16 5/8

 

Таблица меньших дробей:
Сравнение меньших дробей Меньшая фракция
1/64 или 1/32 1/64
5/6 или 3/8 3/8
3/7 или 6/7 3/7
8/9 или 4/3 8/9
6/9 или 3/7 3/7
3/4 или 9/12 13 сентября
12 февраля или 29 августа 2/12
5/8 или 12/16 5/8
2/3 или 3/4 2/3
6/3 или 6/9 6/9
3/2 или 4/3 4/3
1/3 или 1/2 1/3
1/8 или 1/4 1/8
5/8 или 7/2 5/8
5/9 или 7/8 5/9
21/4 или 66/5 21/4
13/55 или 7/4 13/55
2/1 или 5/8 5/8
3/8 или 3/7 3/8

 

Как сравнивать дроби?

Как насчет сравнения некоторых чисел в примерах? Давайте начнем!

Пример № 01:

2 3 против 3 4, какая дробь больше единицы?

Решение:

Итак, здесь мы должны сравнить дроби с разными знаменателями:

LCD:
Наименьший общий знаменатель обеих дробей равен 12.

Написание эквивалентных дробей:

8/12 против 9/12

Сравнение дробей:

Поскольку знаменатели одинаковы, дробь с большим числителем является большей.

9/12 больше, чем 8/12

Запись исходных дробей:
2/3 < 3/4

Пример № 02:

Какое из них меньше, 6/8 или 21%?

Решение:

Преобразование дроби в эквивалентное десятичное представление:

6/8 = 0,75 (для расчетов, фракция нажатия в десятичный калькулятор)

Преобразование 21% в десятичную нотация:

21% = 21/100 = 0,21

Сравнение оба десятичных > 0,21

Итак, мы имеем:

6/8 > 21%

Чтобы ускорить ваши расчеты, вам придется столкнуться с лучшим калькулятором сравнения дробей с десятичным калькулятором, так как это единственный способ сделать это.

Как работает калькулятор сравнения дробей?

Пусть этот окончательный калькулятор сравнения десятичных дробей свяжет комбинации десятичных дробей, дробей и процентов, чтобы найти, какая из них больше, меньше или даже равна.

Прежде чем приступить к работе с этим калькулятором, прочтите следующее руководство пользователя.

Ввод:

  • Введите любое дробное, десятичное или даже процентное число в пару специально отведенных полей
  • Нажмите кнопку расчета

Вывод:

Калькулятор свободного больше или меньше определяет:

  • Какое число больше, а какое меньше

Часто задаваемые вопросы:

Какие существуют альтернативные методы сравнения дробей?

Ниже приведены 8 различных способов сравнения дробей:

  • Модели с числами и линиями
  • Зональные модели
  • Контрольные показатели
  • Перекрестное умножение

Но пусть будет ясно, что лучшим среди всех является только калькулятор сравнения дробей.

Как упорядочить дроби от наименьшей к наибольшей?

Если у вас есть несколько дробей с разными знаменателями, найдите их общий знаменатель. Вы можете сделать это, используя ЖК-калькулятор мгновенно. После этого вы получите одинаковый знаменатель для всех дробей. Теперь учтите, что дробь с большим числителем больше, и наоборот. С помощью этого метода вы можете сортировать дроби от наименьшего к наибольшему.

3 4 против 7 8, какое из них меньше?

Дробь 3/4 меньше. Для подтверждения вы можете использовать этот бесплатный калькулятор сравнения дробей.

Составьте список дробей больше 1 2 до 5 дробей.

Здесь у нас есть необходимый список, который нас просят:
6/10, 7/10, 8/10, 9/10 и 10/10

Вывод:

Сравнение дробей необходимо для обучения старшеклассники. Это создает чувство юмора, когда с легкостью распознаются большие или меньшие дробные числа. И когда дело доходит до повышения скорости вычислений, этот бесплатный калькулятор сравнения дробей — отличный способ сделать это.

Ссылки:

Из источника Википедии: Из источника Википедии: Дробь, Формы дробей, Обратные числа и «невидимый знаменатель», Исторические понятия, Арифметика с дробями, Дроби в абстрактной математике

Из источника Хана Academy: Сравните дроби 

Из источника Lumen Обучение: Сравнение десятичных и дробных чисел, порядок десятичных дробей и дробей 

Калькулятор сравнения отношений | iCalculator™

Калькулятор сравнения коэффициентов, который позволяет сравнивать два или более коэффициентов, чтобы увидеть, являются ли они одинаковыми (с помощью этого калькулятора коэффициентов можно сравнить до 10 коэффициентов). Этот калькулятор коэффициентов также позволяет вам рассчитывать и сравнивать эквивалентные коэффициенты, чтобы подтвердить, равен ли один коэффициент другому коэффициенту, вы можете выбрать метод расчета, который вы предпочитаете, сравнение коэффициентов может быть рассчитано с использованием отношения к дроби, отношения к проценту или отношения. до десятичной. Варианты одинаково точны, но каждый из них позволяет увидеть, как сравниваются два коэффициента с использованием различных математических подходов.

После того, как Калькулятор сравнения соотношений сравнит введенные соотношения, он выделит (с зеленым фоном) соотношения, которые совпадают со сравниваемым соотношением, и создаст таблицу эквивалентных соотношений.

Калькулятор сравнения коэффициентов — Сравните два или более коэффициентов
🖹 Обычный вид🗖 Полный просмотр страницы
Сколько коэффициентов вы хотите сравнить? 2345678

121314151617181920

Выбор метода расчета отношения Ratio to FractionRatio to PercentageRatio to Decimal
Enter Ratio to Compare :
Ratio 1 :
Results for comparison of two or more ratios
Отношение к дробям Отношение к процентам Отношение к десятичным числам
Отношение 1:2
равно следующим отношениям
117:234
10:20
999:1098
100:200
16. 5:233
1000:2000
10000000:20000000
17:34
29:58

Внимание! Если фон красный, отношения не равны. Когда фон зеленый, отношения равны, и будут отображаться расчеты.

Если вы нашли Калькулятор сравнения отношений полезным, пожалуйста, найдите секунду, чтобы поделиться и / или оставить нам оценку. Ваша поддержка поможет нам бесплатно предоставить вам калькулятор и подобные инструменты.

[ 214 голосов ]

Зачем нам сравнивать коэффициенты?

Может показаться странным, зачем мы сравниваем коэффициенты? Ответ приходит во многих формах и формах, вы можете смешивать бетон в правильном соотношении, чтобы построить бетонный фундамент на строительной площадке, где необходимо учитывать три отдельных размера, или вы можете учитывать размер порции калорий в пицце, где у вас есть много пиццы и друзья приходят, некоторые могут съесть меньше пиццы, другие больше, и вы хотите подумать, как вы нарезаете свою пиццу, чтобы убедиться, что пиццы хватит на всех, и / или правильный размер калорий / порции. Это всего лишь два простых примера соотношений в повседневной жизни, когда у вас может быть несколько соотношений, и вам может потребоваться рассмотреть, совпадают ли эти соотношения. Поистине удивительно, как много ситуаций требует от вас расчета коэффициента.

Простые соотношения, такие как 1:2, 2:4, 3:9, 4:16, 5:15 и т. д., очень легко визуализировать, и сравнение соотношений, когда они являются небольшими числами, может быть довольно простой задачей с использованием ментальной арифметики. , на самом деле мозг, вероятно, вычисляет и сравнивает эти простые соотношения и формирует вывод еще до того, как вы начали записывать формулу вручную и начали сравнивать соотношения ручкой и бумагой.

Не все соотношения такие простые, а сложные соотношения, такие как 1234:98375, 194:2918, 177:199, 1982:1028763 может быть очень сложно сравнивать. При сравнении этих коэффициентов обычно быстрее использовать калькулятор сравнения коэффициентов, подобный этому, предоставленному iCalculator, поскольку он позволяет вам сравнивать несколько коэффициентов одновременно и видеть, одинаковы ли коэффициенты, независимо от того, насколько сложным является коэффициент. Вы также можете использовать Калькулятор сравнения отношений, чтобы проверить свои ответы, когда вы сравниваете два или более отношений вручную, это особенно полезно для проверки того, что вы используете правильную математическую формулу и вычисления при изучении математики.

Как сравнивать отношения

Вы можете сравнивать отношения, визуально сравнивая их и используя арифметику в уме, чтобы увидеть, совпадают ли два отношения, или вы можете использовать математическую формулу для сравнения отношений. Счет в уме идеально подходит для простого сравнения отношений, но более сложные отношения лучше всего сравнивать с математикой, особенно если вы работаете над сложной формулой для физики, химии или математики или, возможно, разрабатываете подробные допуски в рамках инженерного проекта. Существует три отдельных способа сравнения двух отношений с использованием математической формулы, а именно:

  1. Преобразование отношения в дробь
  2. Преобразование отношения в десятичное число
  3. Преобразование отношения в проценты

Конечно, вы можете использовать эти методы для сравнения более двух отношений, но обычно вы сравниваете одно отношение с другим неоднократно, поэтому мы склонны ссылаться на сравнение отношений и сравнение двух отношений, даже если вам может понадобиться сравнить несколько отношений. Важным моментом является то, что независимо от того, сравниваете ли вы два коэффициента или двадцать коэффициентов, метод расчета и сравнения коэффициентов остается одним и тем же. Рассмотрим подробно каждый метод сравнения коэффициентов

Как вы, наверное, заметили, сравнение двух или более соотношений изначально требует преобразования соотношений из их стандартного выражения в выражение, которое делает сравнение более практичным. Процесс преобразования коэффициента довольно прост, хотя важно убедиться, что коэффициенты выражены одинаково. В частности, это отношение части к части или части к целому. Большинство соотношений выражаются как часть к целому, это означает, что начальное число является частью второго числа. например 1:2 предполагает, что целое равно 2, а часть целого равна одному. Соотношение частей к частям — это когда и первое, и второе число составляют часть целого. Итак, если мы снова воспользуемся отношением 1:2, 1 — это часть, а два — тоже часть, так что целое на самом деле будет 1+2. Это означает, что в отношении части к части у нас фактически есть два соотношения, из нашего примера 1:2 часть к части такое же, как отношения части к целому 1:3 и 2:3. В большинстве ситуаций вы, как правило, сталкиваетесь с отношениями части к целому, и мы продолжим примеры в этом руководстве по отношениям, используя отношения части к целому.

Преобразование отношения в дробь

Преобразование отношения в дробь — очень простой процесс, хотя с более сложными отношениями может быть сложнее. Проще говоря, первое число в отношении становится числителем дроби, а второе число становится знаменателем дроби, давайте посмотрим на это на примере формулы:

A:B = A / B

Здесь мы предлагаем более подробное руководство и онлайн-калькулятор для преобразования отношения в дробь.

Преобразование отношения в десятичное число

Преобразование отношения в десятичное число вычисляется путем деления первого числа отношения на второе число в отношении, давайте посмотрим на это с помощью примера формулы:

A :B = A ÷ B

Преобразование отношения в проценты

Преобразование отношения в проценты — еще один простой расчет. Сначала вы повторяете шаги, необходимые для преобразования соотношения в дробь, а именно: берете первое число отношения и делите его на второе число внутри отношения. Затем мы умножаем полученное десятичное число на 100, чтобы получить процент, давайте посмотрим на это на примере формулы:

A:B = (A ÷ B) × 100

Как использовать калькулятор сравнения отношений

  1. Выберите, использовать ли калькулятор отношений в полноэкранном режиме в обычном режиме просмотра
  2. Выберите количество отношений, которые вы хотите сравнить
  3. Выберите метод расчета, который вы хотели бы использовать для сравнения коэффициентов, каждый из которых обеспечивает выбор разбивки расчетов в результатах
  4. Введите первый коэффициент, это коэффициент, с которым вы будете сравнивать все остальные коэффициенты с
  5. Введите дополнительные коэффициенты для сравнения
  6. Готово!! Калькулятор сравнения отношений сделает все остальное

Резюме

Мы надеемся, что это руководство и калькулятор для сравнения двух или более отношений были вам полезны. Теперь у вас должно быть хорошее представление о том, как сравнивать отношения, о методах сравнения отношений, и, конечно же, теперь у вас есть доступ к превосходному калькулятору отношений, когда вам нужно сравнить отношения. Вы также можете воспользоваться нашим Калькулятором эквивалентных соотношений, который позволяет генерировать несколько коэффициентов, равных исходному коэффициенту. Это удобно, когда вам нужно выразить коэффициент в другой числовой форме.

Калькулятор сравнения планов медицинского страхования

Бесплатный калькулятор для сравнения планов медицинского страхования на вашем рынке или у работодателя

Привет и добро пожаловать. Пара пунктов, прежде чем вы начнете:

1. Здесь нельзя использовать десятичные дроби, за исключением процентных полей. Не «возьмут». Округлить до долларов.

2. Если вы оставите это на некоторое время, сервер удалит ваши записи. Поэтому, если вам нужно уйти, вы должны сначала сделать снимок экрана, распечатать или загрузить данные, чтобы вы могли перенести их в электронную таблицу.

Какова ваша экспозиция? С таким количеством переменных сравнивать планы медицинского страхования может быть очень сложно. Сколько они будут платить и сколько они будут стоить, когда вы на самом деле их используете?

Этот калькулятор особенно хорошо помогает вам исключить плохие сделки и сосредоточиться на лучших. Введите страховые взносы (после субсидий) и другие значения для планов, которые вы рассматриваете, затем прокрутите линии на графике, чтобы увидеть свои общие расходы.

Пример использования:  Зачем кому-то покупать здесь фиолетовый план за дополнительную тысячу долларов в год вместо зеленого плана, который предлагает такую ​​же или лучшую финансовую защиту? Снимите синий и оранжевый флажки, чтобы четко увидеть это сравнение, и увеличьте масштаб по оси X, чтобы увидеть крупным планом, как будут проходить более типичные здоровые годы.

Примечание о совместном страховании с нулевым процентом. Если вы введете ноль для процента сострахования (доля, которую вы платите после того, как вы израсходовали лимит франшизы, пока вы не достигнете лимита наличных), график покажет, что вы никогда не платите больше франшизы — никогда ООП. Но некоторые вещи в вашем плане, вероятно, не являются 0% сострахованием. Вы будете платить больше, даже после вычета вашей франшизы. Итак: если в вашем плане сострахование составляет 0 %, все же введите процент — 10 % или что-то еще — в это поле, чтобы увидеть на графике фактический годовой риск наличных средств.

Что следует учитывать при использовании этого приложения

Доплаты и совместное страхование.  Лучше всего ввести процент сострахования плана для госпитализации, так как это ваш самый большой финансовый риск.

Многие планы предусматривают фиксированные (как правило, низкие) суммы доплаты вместо процентного «совместного страхования» для многих услуг, даже до того, как вы достигнете своей франшизы. Невозможно отобразить это без ввода количества посещений, лабораторных анализов и т. д., которое у вас может быть. (Слишком сложно.) Введите процент сострахования вашего плана, и вы поймете, что ваши расходы будут несколько ниже, чем вы видите выше, из-за низких фиксированных доплат за визиты в офис и т. д.

Дополнительные франшизы и доплаты. Ваши общие расходы, указанные выше, не включают дополнительные суммы, которые вы можете потратить в связи с некоторыми планами дополнительные доплаты и франшизы за экстренную/неотложную помощь, визиты к врачу, лекарства и т. д.

В большинстве планов нет этих дополнительных услуг, они сильно различаются между планами и обычно малы, когда они существуют. Но иногда они весьма значительны. Если план имеет большое количество исключений, подобных этому, они могут значительно увеличить ваши расходы по сравнению с тем, что вы видите выше (относительная значимость будет выше в «нормальные», относительно здоровые годы, показанные в левом нижнем углу графика). В большинстве случаев эти дополнительные расходы засчитываются в ваш годовой лимит наличных средств, поэтому они не влияют на сценарий «наихудшего случая» (вверху справа). Но внимательно проверяйте каждый план на наличие подобных «подводных камней».

Расходы вне сети.  Если вы рассчитываете получать все необходимые услуги от сетевых поставщиков («предпочтительные» поставщики, заключившие договор с вашей страховой компанией), вы можете не вводить информацию о внесетевых услугах и игнорировать линии внесетевых услуг на графике. .

Расходы вне сети в основном значительны в наихудших ситуациях — при некоторых особых травмах или заболеваниях, для лечения которых вам нужна специализированная клиника или врач, не входящий в сеть вашей страховой компании. (т. е. вам нужно лететь в клинику Майо или что-то подобное для специального лечения рака.)

Традиционно плата за услуги вне сети была более серьезной проблемой для сельских жителей, которым, возможно, приходилось ездить за медицинской помощью, но в наши дни страховщики серьезно сокращают свои сети, даже в городских центрах.

В некоторых планах нет лимита на оплату внесетевых платежей: в некоторых вы несете ответственность за неограниченный процент доплаты, в то время как в других (Exclusive Provider Organizations или EPO и многие, возможно, большинство HMO) нет — покрытия сети вообще; вы платите за все. Эти планы обычно позволяют сэкономить деньги на страховых взносах; вы должны решить, стоит ли эта экономия (возможно, маловероятного) риска, связанного с необходимостью внесетевого поставщика услуг. Риски: 1. За провайдера придется платить; 2. Вам придется решить, платить ли провайдеру.

Национальные и межгосударственные сети поставщиков.  Некоторые страховые планы заключаются с крупными национальными сетями поставщиков услуг, поэтому вы можете платить внутри сети даже поставщикам услуг в других городах и регионах. (Большинство планов покрывают чрезвычайные ситуации за пределами штата.) Другие предлагают внутрисетевое покрытие сразу в двух штатах для людей, проживающих в двух местах. Это может быть важно, например, для семей, в которых один член находится за пределами штата — например, ребенок в колледже.

Семья против отдельного человека.  В большинстве семейных планов предусмотрены индивидуальные и семейные франшизы и лимиты наличных средств. (Семья часто в два раза превышает индивидуальную сумму.) Это может затруднить оценку вашего воздействия и сравнение планов. Чтобы лучше оценить наихудший финансовый риск — что произойдет, если двое из вас действительно заболеют, — введите в калькулятор семейную франшизу и суммы собственных расходов, а не отдельные суммы. Этот наихудший сценарий с двумя болезнями, конечно, менее вероятен, но финансовый удар может быть серьезным, если он произойдет.

Стоимость лекарств. Некоторые планы просто включают расходы на лекарства в обычные суммы франшизы, доплаты и наличных средств. Но положения о лекарствах разных планов сильно различаются. Как и в случае с обычным покрытием, следите за большими подводными камнями, которые могут привести к серьезным финансовым потерям, если вам нужны дорогие лекарства в течение длительного периода. Некоторые планы покрывают только непатентованные лекарства (которые, как правило, дешевы в любом случае, так почему бы просто не заплатить за них самостоятельно?), но не покрывают более дорогие (часто намного более дорогие) фирменные препараты, которые могут вам понадобиться.

Непокрытые расходы. Некоторые вещи просто не охвачены. Внимательно прочитайте Сводку преимуществ вашего плана, чтобы оценить подверженность риску, если вы считаете, что можете почувствовать потребность в этих услугах.

Ознакомьтесь с ограничениями и исключениями . Обычно это , а не , включенные в Сводку преимуществ; вы должны попросить их специально. Например, некоторые планы не покрывают травмы, полученные в состоянии алкогольного опьянения или в состоянии алкогольного опьянения у вашего ребенка. (Это исключение является незаконным во многих штатах.) Это может привести к очень неприятным финансовым неожиданностям, , если они решат применить эти положения, когда придет крупный счет.

Итог. Страховщики не продают вам страховку, потому что они теряют на ней деньги. Как и в казино (здесь вы делаете ставку), дом всегда получает долю. Прокрутив левую часть графика, вы увидите, что в здоровые годы вы тратите больше, чем если бы вы сами платили за здравоохранение . (Хотя у вас не было бы переговорной силы страховщика / снижения цен сети, работающей на вас.) Это цена защиты себя от наихудших лет.

Так что, если вы покупаете планы «Кадиллак», которые оплачивают все (и выплачивают высокие страховые взносы, связанные с этими планами), ваша страховая берет комиссию со всего. Скорее всего, в течение жизни вы потратите больше страховых взносов плюс наличные расходы.

Урок: купите страховку с самой низкой премией, которую вы можете найти, которая защитит вас от расходов, которые могут значительно повредить вашим сбережениям, вашей жизни и вашему образу жизни. Вы должны решить, будет ли экономия на страховых взносах в течение здоровых лет (и дополнительные личные сбережения, которые вы может  но в результате может не пропасть) сделайте недорогой план разумным и стоящим.

Ах, но исключений всегда больше, не так ли? Вот два:

• Есть еще одно преимущество более дорогих планов с оплатой всего: вы более точно знаете, сколько вы будете тратить каждый год. Вы платите дополнительно за эту уверенность. Это может стоить того для вас.

• В соответствии с положениями ACA страховщики не могут взимать с вас дополнительные страховые взносы, поскольку у вас уже есть заболевание. Если вы знаете, что в ближайшие годы у вас будут значительные расходы на здравоохранение, план с оплатой всего с более высокой премией может привести к снижению общих расходов для вас. Если вы купите дешевый тарифный план с высокими франшизами и ограничениями на собственные расходы, вы можете сильно пострадать в течение одного года, но если эти сборы будут продолжаться, вы сможете перейти на тарифный план с оплатой всего в последующие годы. График выше может помочь вам оценить эти компромиссы.

Горячий совет:  Если вы покупаете индивидуальный план, а ваш доход достаточно низок, чтобы иметь право на субсидию,  ознакомьтесь с серебряными планами . Для этих планов предусмотрена дополнительная скрытая субсидия «Снижение затрат». Это не отображается как уменьшенная премия; скорее, вы платите ту же надбавку, что и люди с более высоким доходом, но получаете более низкий предел франшизы и / или наличных средств в зависимости от уровня вашего дохода. Это сделка. Здесь можно существенно сэкономить.

Напоследок: С наилучшими пожеланиями здоровья и благополучия Вам и Вашей семье!

Чтобы загрузить данные для графика: 

Когда вы вводите значения, приложение создает таблицу данных и отображает ее в виде графика. Если вы хотите возиться с данными в электронной таблице или в чем-то подобном, или просто сохранить их на потом, вот как это сделать:

1. Щелкните вкладку «Таблица данных» вверху.

2. Щелкните значок стрелки в нижней части таблицы данных и выберите «Данные» во всплывающем меню.

3. Нажмите «Загрузить все строки в виде текстового файла».

Обо мне и этой странице: 

Эта страница была создана мной, Стивом Ротом. Я создал электронную таблицу, чтобы провести этот анализ для себя, несколько лет назад, а затем нанял очень талантливого человека, чтобы он встроил ее в это веб-приложение. Полное раскрытие: если эта страница привлечет приличный объем трафика, я надеюсь разместить несколько объявлений и заработать немного денег. Но с этой целью я просто попытался предоставить самое полезное приложение и информацию, которые я могу.

Информация и анализ на этом сайте предоставляются бесплатно всем в Интернете, кто наткнется на них. Вы должны оценивать его с той же тщательностью, что и любую информацию в Интернете (или другую информацию). Несмотря на то, что были приложены огромные усилия, чтобы сделать приведенную здесь информацию и арифметические расчеты точными и полезными, нет никаких гарантий, явных или подразумеваемых. Эта страница и это приложение не являются работой страхового или медицинского работника. Это не профессиональный совет, и вы несете единоличную ответственность за его рассмотрение и использование с осторожностью и рассудительностью.

Комментарии и вопросы приветствуются! Пишите мне по адресу: info at health-plan-compare точка com.

Калькулятор сравнения чисел Суп Образование

Тип фильтра:

Калькулятор сравнения дробей

Детали: Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея. Для 5/6 умножьте числитель и знаменатель на 4, чтобы получить LCD = 24 в знаменателе. 5 6 × 4 4 = 20 24. Для 3/8 умножьте числитель и знаменатель на 3, чтобы получить LCD = 24 … сравните калькулятор десятичных дробей и дробей

› Подтверждено Только что

› Посмотреть: Детали

› Получить больше:  EducationView Education

Calculator Soup — онлайн-калькуляторы

Figures Calculators 900 Details: Significant 900s Calculator Soup — бесплатный онлайн-калькулятор. Здесь вы найдете бесплатный кредит, ипотеку, временную стоимость денег, математику, алгебру, тригонометрию, дроби, физику, … калькулятор сравнения целых чисел

› Проверено 1 дней назад

› View: Details

› Подробнее:  EducationView Education

Калькулятор сравнения чисел — RankUpturn

Details: Калькулятор сравнения чисел, который показывает работу, чтобы найти большее или меньшее. Пошаговый расчет поможет родителям помочь своим детям, изучающим 2-й класс, проверить шаги и ответы… сравнение калькулятора дробей суп

› Проверено 9 дней назад

› Просмотр: Детали

› Подробнее:  StudyView Education

Калькулятор сравнения чисел — Math Celebrity

Детали: Калькулятор сравнения чисел: Введите 2 числа, которые вы хотите сравнить. Калькулятор сравнения чисел. Меню. Начните здесь; подкаст; Игры; курсы; Бесплатное обучение. … калькулятор сравнения чисел

› Проверено 1 дня назад

› Просмотр: Детали

› Получите больше:  TrainingView Education

Больше, чем меньше, чем калькулятор Бесплатный онлайн-инструмент для …

Детали: Проверьте приведенный ниже пример: Найдите, какое число больше между двумя заданными числами: 35, 42. Мы могли видеть, что 42 — это наибольшее значение, поэтому мы можем записать его как 35 < 42. С другой стороны, для отрицательных чисел наименьшее число – это… калькулятор дробей сравнения и сопоставления

› Проверено 7 дней назад

› Посмотреть: Детали

› Узнать больше:  EducationView Education

Сравнение десятичных дробей Вычисление 9 путем сравнения …0272

Детали: Используйте этот простой геометрический калькулятор сравнения десятичных дробей для расчета путем сравнения чисел. AZCalculator.com. Главная (текущий) Калькулятор. Алгебра Гражданские вычисления… Сравните и контрастный калькулятор

›Проверено 6 дней назад

› Просмотр: Подробная информация

›Получить больше: EducationView Education

Сравнение номеров Калькулятор — Рангон.

. показывает работу, чтобы найти, что больше или меньше. Пошаговый расчет поможет родителям помочь своим детям, изучающим 2-й класс, проверить шаги и ответы… Калькулятор сравнения

› Проверено 8 дней назад

› Просмотреть: Детали

› Получить больше:  StudyView Education

Calculator Soup — Конверсионный калькулятор

Subscription6. net6.6. Генератор паролей. Конверсионный калькулятор. CC калькулятор десятичных дробей, калькулятор суповых дробей, калькулятор суповых часов, калькулятор суповых длинных …

› Проверено 9 дней назад

› Просмотр: Детали

› Подробнее:  EducationView Education

Калькулятор сравнения десятичных дробей — Бесплатный онлайн-калькулятор

Детали: Процедура использования калькулятора сравнения десятичных дробей следующая: Шаг 1: Введите два десятичных числа в поле ввода. Шаг 2: Теперь нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить…

› Проверено 8 дней назад

› Посмотреть: Детали

› Получить больше:  EducationView Education

суп сравнения десятичных дробей

2

2

0025 Подробности: Чтобы определить, какая дробь больше, а какая меньше, см. Калькулятор сравнения дробей. Мэтью Капуччи. Калькулятор преобразования углов. Для этого примера предположим, что Лиза выбрала …

› Подтверждено 4 дня назад

› Посмотреть: Сведения

› Получить больше:  ОбразованиеПросмотреть образование

Больше Меньше 92 902 902 0JUS Калькулятор — Бесплатный онлайн-калькулятор

0JUS Подробности: Процедура использования калькулятора больше чем меньше выглядит следующим образом: Шаг 1: Введите два числа (целое/десятичное число) в соответствующие поля ввода «a» и «b».

Онлайн калькулятор обычных дробей: Приведение дробей к общему знаменателю онлайн

Перевести обыкновенную дробь в десятичную. Калькулятор онлайн.

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Десятичные дроби стали использовать для более удобной записи обыкновенных дробей.

Чтобы записать десятичную дробь необходимо целую и дробную части отделить друг от друга запятой.

Если дробь не содержит целой части, необходимо поставить ноль перед запятой. Если дробь имеет знаменатель вида 10, 100, 1000 и т.д. и количество цифр в числителе меньше, чем в знаменателе, то для перевода такой дроби в обыкновенную необходимо посчитать число цифр в числителе и число нулей в знаменателе. Например, у дроби

12

1000

(ноль целых 12 тысячных) 2 цифры в числителе и 3 ноля в знаменателе. 3 – 2 = 1, следовательно, необходимо записать один ноль после запятой

12

1000

= 0,012

Приведем еще пример, дробь

У этой дроби в числителе 1 цифра, 3 ноля в знаменателе. 3 – 1 = 2, следовательно, необходимо записать два ноля после запятой

= 0,003

И последний пример, дробь

У данной дроби в числителе 2 цифры и в знаменателе 2 ноля. 2 – 2 = 0, следовательно, не нужно добавлять ноль после запятой

= 0,12

В случае если знаменатель дроби является числом отличным от чисел типа 10, 100, 1000 и т.д., то тогда необходимо такую дробь привести к знаменателю вида 10, 100, 1000 и т.д. Первым делом необходимо привести дробь к несократимому виду. Затем разложить знаменатель дроби на простые множители.

Если в разложении будет хотя бы один множитель отличный от 2 или 5, то такую дробь можно представить только в виде бесконечной десятичной дроби.

Если в разложении дроби все множители являются числами 2 или 5, тогда необходимо сделать так, чтобы число двоек и пятерок было одинаковым. Для этого нужно до множить числитель и знаменатель дроби на недостающее количество двоек или пятерок. Например,

=

1

2∙2∙2∙5

=

1∙5∙5

2∙2∙2∙5∙5∙5

=

25

1000

= 0,025

Приведем еще один пример

5

301

200

=

6

101

200

=

6

101

2∙2∙2∙5∙5

=

6

101∙5

2∙2∙2∙5∙5∙5

=

6

505

1000

= 6,505

Приведем пример бесконечной десятичной дроби

= 0,333333333333333. ..

При переводе данной дроби в десятичную получается бесконечная десятичная дробь.

Более подробно о десятичных дробях можно прочитать в данной статье.

Вам могут также быть полезны следующие сервисы
Дроби
Калькулятор интервальных повторений
Учим дроби наглядно
Калькулятор сокращения дробей
Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
Калькулятор возведения дроби в степень
Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
Калькулятор сравнения дробей
Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
Калькуляторы (тригонометрия)
Калькулятор синуса угла
Калькулятор косинуса угла
Калькулятор тангенса угла
Калькулятор котангенса угла
Калькулятор секанса угла
Калькулятор косеканса угла
Калькулятор арксинуса угла
Калькулятор арккосинуса угла
Калькулятор арктангенса угла
Калькулятор арккотангенса угла
Калькулятор арксеканса угла
Калькулятор арккосеканса угла
Калькулятор нахождения наименьшего угла
Калькулятор определения вида угла
Калькулятор смежных углов
Калькуляторы систем счисления
Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
Системы счисления теория
N2 | Двоичная система счисления
N3 | Троичная система счисления
N4 | Четырехичная система счисления
N5 | Пятеричная система счисления
N6 | Шестеричная система счисления
N7 | Семеричная система счисления
N8 | Восьмеричная система счисления
N9 | Девятеричная система счисления
N11 | Одиннадцатиричная система счисления
N12 | Двенадцатеричная система счисления
N13 | Тринадцатеричная система счисления
N14 | Четырнадцатеричная система счисления
N15 | Пятнадцатеричная система счисления
N16 | Шестнадцатеричная система счисления
N17 | Семнадцатеричная система счисления
N18 | Восемнадцатеричная система счисления
N19 | Девятнадцатеричная система счисления
N20 | Двадцатеричная система счисления
N21 | Двадцатиодноричная система счисления
N22 | Двадцатидвухричная система счисления
N23 | Двадцатитрехричная система счисления
N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
N25 | Двадцатипятеричная система счисления
N26 | Двадцатишестеричная система счисления
N27 | Двадцатисемеричная система счисления
N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
N30 | Тридцатиричная система счисления
N31 | Тридцатиодноричная система счисления
N32 | Тридцатидвухричная система счисления
N33 | Тридцатитрехричная система счисления
N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
N35 | Тридцатипятиричная система счисления
N36 | Тридцатишестиричная система счисления
Калькуляторы (Теория чисел)
Калькулятор выражений
Калькулятор со скобками
Калькулятор разложения числа на простые множители
Калькулятор НОД и НОК
Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
Калькулятор деления числа в данном отношении
Калькулятор процентов
Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
Калькулятор экспоненциальной записи чисел
Калькулятор нахождения факториала числа
Калькулятор нахождения логарифма числа
Калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор остатка от деления
Калькулятор корней с решением
Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
Калькулятор больших чисел
Калькулятор округления числа
Калькулятор свойств корней и степеней
Калькулятор комплексных чисел
Калькулятор среднего арифметического
Калькулятор арифметической прогрессии
Калькулятор геометрической прогрессии
Калькулятор модуля числа
Калькулятор абсолютной погрешности приближения
Калькулятор абсолютной погрешности
Калькулятор относительной погрешности
Калькуляторы площади геометрических фигур
Площадь квадрата
Площадь прямоугольника
КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
Калькуляторы (Комбинаторика)
Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
Генератор Pdf с примерами
Тренажёры решения примеров
Тренажёр таблицы умножения
Тренажер счета для дошкольников
Тренажер счета на внимательность для дошкольников
Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
Тренажер решения примеров с разными действиями
Тренажёры решения столбиком
Тренажёр сложения столбиком
Тренажёр вычитания столбиком
Тренажёр умножения столбиком
Тренажёр деления столбиком с остатком
Калькуляторы решения столбиком
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
Калькулятор деления столбиком с остатком
Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
Калькулятор сложения и вычитания матриц
Калькулятор умножения матриц
Калькулятор транспонирование матрицы
Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
Калькулятор нахождения обратной матрицы
Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
Калькулятор сложения и вычитания векторов
Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
Калькулятор смешанного произведения векторов
Калькулятор умножения вектора на число
Калькулятор нахождения угла между векторами
Калькулятор проверки коллинеарности векторов
Калькулятор проверки компланарности векторов
Конвертеры величин
Конвертер единиц длины
Конвертер единиц скорости
Конвертер единиц ускорения
Цифры в текст
Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
Калькулятор вычисления времени движения
Калькулятор времени
Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома
Калькулятор Закона Кулона
Калькулятор напряженности E электрического поля
Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькуляторы по астрономии
Вес тела на других планетах
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
Генераторы
Генератор примеров по математике
Генератор случайных чисел
Генератор паролей

Перевод обыкновенной дроби в десятичную



Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Все онлайн калькуляторы | Математические виджеты для Вашего сайта | (NEW)Решение контрольных по математике онлайн
75 
   

Запишем числа 18 и 75, как показано выше.

«, «
1875 
 &nbsp 

Начнем рассматривать по очереди числа, образованные цифрами числа 18, пока не дойдем до числа, которое больше или равно 75.
Сейчас выделено число 1, оно меньше 75, поэтому нужно продолжить движение вправо.

«, «
1875 
 &nbsp 

Сейчас выделено число 18, оно меньше 75, поэтому нужно продолжить движение вправо.

«, «
18,075 
 0, 

Мы достигли числа 180, которое больше 75. Число 180 является неполным делимым.
Поскольку в делимом мы при движении вправо перешли через запятую (было 18, а стало 18,0), то в частном пишем \»0,\»

«, «
18,075 
 0,2 

Определим, на какую цифру нужно умножить делитель 75, чтобы получить как можно большее число, меньшее или равное неполному делимому 180.
Очевидно, что на 2, т.к. 75 &middot 2 = 150, что меньше 180, а 75 &middot 3 уже равно 225, что больше 180. Поэтому запишем в частное цифру 2.

«, «
18,075 
15 00,2 

Теперь умножим 75 на 2 и запишем результат 150 под неполным делимым, как показано выше.

«, «
18,075 
15 00,2 
 3 0

Выполним вычитание в столбик. 180 — 150 = 30.

«, «
18,075 
15 00,2 
 3 00

Снесем из делимого следующую цифру 0.

«, «
18,075 
15 00,24 
 3 00

Определим, на какую цифру нужно умножить делитель 75, чтобы получить как можно большее число, меньшее или равное неполному делимому 300.
Очевидно, что на 4, т.к. 75 &middot 4 = 300, что как раз равно неполному делимому. Поэтому запишем в частное цифру 4.

«, «
18,075 
15 00,24 
 3 00
 3 00

Умножим 75 на 4 и запишем результат 300 под неполным делимым, как показано выше.

«, «
18,075 
15 00,24 
 3 00
 3 00
    0

Выполним вычитание в столбик. 300 — 300 = 0.

«]; var icon12=0; function IncArrcon12(){ if (icon120){ icon12=icon12-1; document.getElementById(«con12»).innerHTML=arrcon12[icon12]; document.getElementById(«num12»).innerHTML=icon12+1; } if (icon12==0){ document.getElementById(«to_begin»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»; document.getElementById(«prevois»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»; } document.getElementById(«to_end»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»; document.getElementById(«next»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»; } function BeginArrcon12(){ icon12=0; document.getElementById(«con12»).innerHTML=arrcon12[icon12]; document.getElementById(«num12»).innerHTML=icon12+1; document.getElementById(«to_begin»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»; document. getElementById(«prevois»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»; document.getElementById(«to_end»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»; document.getElementById(«next»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»; } function EndArrcon12(){ icon12=arrcon12.length-1; document.getElementById(«con12»).innerHTML=arrcon12[icon12]; document.getElementById(«num12»).innerHTML=icon12+1; document.getElementById(«to_end»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»; document.getElementById(«next»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons-inactive.png)»; document.getElementById(«to_begin»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»; document.getElementById(«prevois»).style.backgroundImage=»url(../images/buttons.png)»; }

Шаг 1 из


1875 
   

Запишем числа 18 и 75, как показано выше.

В ряде случаев при переводе обыкновенных дробей в десятичные в результате получаются десятичные периодические дроби – бесконечные дроби, у которых постоянно повторяется одна или несколько цифр после запятой. Например,

1/3 = 0,333… — эта дробь записывается как 0,(3). Период (повторяющиеся цифры) этой дроби 3
5/33 = 0,1515… — дробь записывается как 0,(15). Период (повторяющиеся цифры) этой дроби 15

Как проверить, получится ли периодическая дробь при переводе в десятичную? Очень просто:

  1. Если обыкновенная дробь сократима, сократить ее.
  2. Разложить на множители знаменатель дроби. Если в разложении присутствуют множители, отличные от 2 и 5, то получится периодическая дробь. Если все множители разложения равны 2 и 5, то получится конечная дробь.

Онлайн калькулятор перевода
обыкновенных дробей в десятичные

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, воспользуйтесь нашим калькулятором вверху страницы. Вы получите пошаговое, подробное объяснение процесса деления в столбик числителя на знаменатель.

© Максим Семенихин, 2013-2014

Калькулятор Дробей | Примеры И Формулы

Математические Калькуляторы

Этот бесплатный калькулятор дробей можно использовать для поиска результата сложения, вычитания, умножения и деления двух общих дробей.

Рассчитать обыкновенную дробь

Результат в десятичных дробях

?

Результат в долях

?

Оглавление
◦Что такое калькулятор дробей?
◦Что такое дробь?
◦Как пользоваться калькулятором обыкновенных дробей?
◦Могу ли я рассчитать отрицательные дробные числа с помощью калькулятора?
◦Формула числа дробей
◦Пример сложения дробных чисел
◦Пример вычитания дробного числа
◦Как умножать дроби?
◦Пример умножения дробного числа
◦Как делить дроби?
◦Пример деления дробного числа
◦Какая дробь находится между 0 и 1?
◦Резюме дробных чисел

Что такое калькулятор дробей?

Калькулятор дробей — это бесплатный онлайн-инструмент, который поможет вам с математикой, относящейся к обычным дробям. С помощью нашего калькулятора вы можете рассчитать результат сложения, вычитания, умножения и деления двух общих дробей. Наш калькулятор найдет наименьший общий знаменатель и покажет результат для ваших вычислений в дробях и десятичных дробях.

С помощью этого калькулятора вы можете делать следующее:

Сложение дробей

Вычитание дробей

Умножение дробей

Деление фракций

Пройти курс по дробям

Что такое дробь?

Дробь — это число, которое записывается двумя числами. Например, дробь 2/3 означает, что это две из трех равных частей. Читайте дальше и узнавайте больше о чудесном мире дробей!

Что такое дроби?

Как пользоваться калькулятором обыкновенных дробей?

Воспользоваться нашим калькулятором очень просто! Просто введите два фактора в эквивалентные поля ввода и выберите тип расчета, который вы хотите выполнить. Вы можете складывать, вычитать, умножать и делить дроби с помощью нашего калькулятора.

После заполнения дробей и выбора типа расчета просто нажмите рассчитать! После этого вы увидите результат расчета в поле результатов.

Могу ли я рассчитать отрицательные дробные числа с помощью калькулятора?

Чтобы вычислить отрицательные дробные числа, воспользуйтесь нашим калькулятором отрицательных дробей.

После того, как вы ввели значения дробных чисел в соответствующие поля, нажмите кнопку «Рассчитать»!

Формула числа дробей

Как делать дробные числа?

Пример сложения дробных чисел

⅓ + ⅔ = 1

Пример вычитания дробного числа

Как умножать дроби?

Научиться умножать дроби может быть трудной задачей, но с небольшой практикой это становится легко. Дроби — это особый тип математики, который имеет дело с числами, которые делятся на другие числа. При умножении дробей нужно помнить 3 основных правила: порядок действий, распределительное свойство и правило факторизации.

⅘ — ⅖ = ⅕

Пример умножения дробного числа

Как делить дроби?

В большинстве случаев делить дроби несложно. Просто сократите числители (верхние числа) дробей пополам и знаменатели (нижние числа) пополам. Например, если разделить 3/4 на 2, получится 1/2. Это всегда верно, независимо от типа дроби (десятичная, процентная или дробная).

½ * ½ = ¼

Пример деления дробного числа

½ / ½ = 1

Какая дробь находится между 0 и 1?

Чтобы любой фактор считался правильной дробью, он также должен быть правильным числом. Эти дроби будут иметь меньшее число вверху, чем внизу синтаксиса.

Математические правила о числах дробей

Резюме дробных чисел

Мир дробей может показаться сложным, но правила довольно просты! Используя наш бесплатный калькулятор дробей, работа с дробями должна быть простой и удобной.


Автор статьи

John Cruz

Джон — аспирант, увлеченный математикой и образованием. В свободное время Джон любит ходить в походы и кататься на велосипеде.


Калькулятор Дробей русский

Опубликовано: Wed Jul 28 2021

Последнее обновление: Fri Nov 19 2021

В категории Математические калькуляторы

Добавьте Калькулятор Дробей на свой сайт


Калькулятор Дробей на других языках

حاسبة الكسورCalculatrice De FractionsBruchrechner分数計算機भिन्न कैलकुलेटरKesirler HesaplayıcıKalkulator PecahanCalculator De FracțiiКалькулятар ДробаўKalkulačka Zlomkov

Как добавить Калькулятор Дробей на мой сайт?

Вы можете легко добавить Калькулятор Дробей на свой веб-сайт с помощью нашего кода. Вставьте код на свой веб-сайт, и калькулятор автоматически появится на этом месте!

Как добавить виджет Калькулятор Дробей на сайт WordPress?

Добавить Калькулятор Дробей на ваш сайт Wordpres быстро и легко! Найдите страницу, на которую вы хотите добавить калькулятор, перейдите в режим редактирования, нажмите «Текст» и вставьте туда код.

Как добавить HTML-виджет на страницу WordPress с помощью нового редактора кодаКак добавить HTML-виджет на страницу WordPress с помощью старого редактора кода

Другие математические калькуляторы

Калькулятор Векторного Произведения
Калькулятор Треугольников 30 60 90
Калькулятор Ожидаемой Стоимости
Математический Онлайн Калькулятор
Калькулятор Стандартного Отклонения
Калькулятор Процентов
Конвертер Фунтов В Чашки: Мука, Сахар, Молоко..
Калькулятор Окружности
Калькулятор Формулы Двойного Угла
Вычисление Корня
Калькулятор Площади Треугольника
Калькулятор Котерминального Угла
Калькулятор Скалярного Произведения
Калькулятор Средней Точки
Конвертер Значащих Цифр (калькулятор Sig Figs)
Калькулятор Длины Дуги Для Круга
Калькулятор Балльной Оценки
Калькулятор Процентного Увеличения
Калькулятор Процентной Разницы
Калькулятор Линейной Интерполяции
Калькулятор QR-разложения
Калькулятор Транспонирования Матрицы
Калькулятор Гипотенузы Треугольника
Калькулятор Тригонометрии
Калькулятор Стороны И Угла Прямоугольного Треугольника (калькулятор Треугольника)
45 45 90 Калькулятор Треугольника (калькулятор Прямоугольного Треугольника)
Калькулятор Умножения Матриц
Калькулятор Среднего
Генератор Случайных Чисел
Калькулятор Погрешности
Калькулятор Угла Между Двумя Векторами
LCM Calculator — Калькулятор Наименьшего Общего Кратного
Калькулятор Площади В Квадратных Футах
Калькулятор Экспоненты (калькулятор Мощности)
Калькулятор Математического Остатка
Правило Трех Калькуляторов — Прямая Пропорция
Калькулятор Квадратичных Формул
Калькулятор Суммы
Калькулятор Периметра
Калькулятор Z-счета (значение Z)
Калькулятор Фибоначчи
Калькулятор Объема Капсулы
Калькулятор Объема Пирамиды
Калькулятор Объема Треугольной Призмы
Калькулятор Объема Прямоугольника
Калькулятор Объема Конуса
Калькулятор Объема Куба
Калькулятор Объема Цилиндра
Калькулятор Масштабного Коэффициента Расширения
Калькулятор Индекса Разнообразия Шеннона
Калькулятор Теоремы Байеса
Калькулятор Антилогарифмов
Eˣ Калькулятор
Калькулятор Простых Чисел
Калькулятор Экспоненциального Роста
Калькулятор Размера Выборки
Калькулятор Обратного Логарифма (логарифма)
Калькулятор Распределения Пуассона
Мультипликативный Обратный Калькулятор
Калькулятор Процента Оценок
Калькулятор Отношения
Калькулятор Эмпирических Правил
Калькулятор P-значения
Калькулятор Объема Шара
Калькулятор Чистой Приведенной Стоимости

Онлайн сокращение дробей с буквами и степенями.

Сокращение дробей, определение и формула

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое , 4 — делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, — остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.

Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m — делимое, а знаменатель п — делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби .

Два последних преобразования называют сокращением дроби .

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .

Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 — целая часть, а \(\frac{2}{3} \) — дробная часть.

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) — ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)

Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).

Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .

Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)

Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.

Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

К этому же ответу можем прийти другим путем.

И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

И еще один вариант решения.

В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.

Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т.е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.

Дано:

Решение:

Выполнение сокращения дробей

проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби

1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби

2) Сокращение числителя и знаменателя дроби

сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби

3) Выделение целой части дроби

выделение целой части алгебраической дроби

4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

Помощь на развитие проекта сайт

Уважаемый Посетитель сайта.
Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту сайт всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:

  1. Чтобы выполнить сокращение алгебраической дроби введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя дроби. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым.
  2. Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби.
  3. В зависимости от задаваемой алгебраической дроби автоматически выполняется следующая последовательность действий:
  • определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби ;
  • сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД ;
  • выделение целой части дроби , если числитель итоговой дроби больше знаменателя.
  • перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь с округлением до сотых.
  • В результате сокращения может получиться неправильная дробь. В этом случае у итоговой неправильной дроби будет выделена целая часть и итоговая дробь будет переведена в правильную дробь.
  • II. Для справки:

    Дробь — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления. числитель дроби — число, стоящее над дробной чертой. Числитель показывает, сколько долей взяли у целого. знаменатель дроби — число, стоящее под дробной чертой. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. простая дробь — дробь, не имеющая целой части. Простая дробь может быть правильной или неправильной. правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому правильная дробь всегда меньше единицы. Пример правильных дроби: 8/7, 11/19, 16/17. неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей. Пример неправильных дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смешанная дробь — число, в состав которого входит целое число и правильная дробь, и обозначает сумму этого целого числа и правильной дроби. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь. Пример смешанных дробей: 1¼, 2½, 4¾.

    III. Примечание:

    1. Блок исходных данных выделен желтым цветом , блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом , блок решения выделен зеленым цветом .
    2. Для сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных или смешанных дробей воспользуйтесь онлайн калькулятором дробей с подробным решением.

    Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.

    Сокращение дробей, определение и формула.

    Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?

    Определение:
    Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .

    Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.

    \(\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}\)

    Рассмотрим пример:
    Сократите дробь \(\frac{9}{15}\)

    Решение:
    Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.

    \(\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}\)

    Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac{3}{5}\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.

    \(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)

    Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.

    Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

    Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

    Получите несократимую дробь \(\frac{48}{136}\).

    Решение:
    Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
    48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
    136=2⋅2⋅2⋅17
    НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

    \(\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}\)

    Правило сокращения дроби до несократимого вида.

    1. Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
    2. Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.

    Пример:
    Сократите дробь \(\frac{152}{168}\).

    Решение:
    Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
    152=2⋅2⋅2⋅19
    168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
    НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

    \(\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}\)

    Ответ: \(\frac{19}{21}\) несократимая дробь.

    Сокращение неправильной дроби.

    Как сократить неправильную дробь?
    Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

    Рассмотрим пример:
    Сократите неправильную дробь \(\frac{44}{32}\).

    Решение:
    Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

    \(\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}\)

    Сокращение смешанных дробей.

    Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

    Рассмотрим пример:
    Сократите смешанную дробь \(2\frac{30}{45}\).

    Решение:
    Решим двумя способами:
    Первый способ:
    Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

    \(2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}\)

    Второй способ:
    Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

    \(2\frac{30}{45}=\frac{45 \times 2 + 30}{45}=\frac{120}{45}=\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3} \times 2 \times 2}{3 \times \color{red} {3 \times 5}}=\frac{2 \times 2 \times 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\)

    Вопросы по теме:
    Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
    Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:

    Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .

    Решение:
    Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

    \(\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3\)

    На какие числа можно сокращать дробь?
    Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).

    Распишем на простые множители числа 100 и 150.
    100=2⋅2⋅5⋅5
    150=2⋅5⋅5⋅3
    Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

    \(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}\)

    Получили несократимую дробь \(\frac{2}{3}\).

    Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.

    \(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}\)

    Получили сократимую дробь \(\frac{50}{75}\).

    Какие дроби можно сокращать?
    Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

    Пример:
    Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).

    Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):

    \(\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}\)

    Отсюда получаем, \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)

    Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

    Пример:
    Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac{90}{65}\) б) \(\frac{27}{63}\) в) \(\frac{17}{100}\) г) \(\frac{100}{250}\)

    Решение:
    а) \(\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}\)
    б) \(\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}\)
    в) \(\frac{17}{100}\) несократимая дробь
    г) \(\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}\)

    Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.

    Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.

    Базовые знания

    Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.

    Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.

    Правила сокращения обыкновенных дробей

    Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.

    Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.

    Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.

    Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?

    Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.

    Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.

      Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.

      Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.

      Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.

      Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.

    Последовательность действий с дробями со степенями

    Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.

    Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.

    Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.

    Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.

    Пояснения десятичную дробь преобразуем. Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические дроби

    Материалов по дробям и изучать последовательно. Ниже для вас подробная информация с примерами и пояснениями.

    1. Смешанное число в обыкновенную дробь. Запишем в общем виде число:

    Запоминаем простое правило – целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, то есть:

    Примеры:


    2. Наоборот, обыкновенную дробь в смешанное число. *Конечно, это возможно сделать только с неправильной дробью (когда числитель больше знаменателя).

    При «небольших» числах никаких действий, в общем, и не нужно делать, результат «видно» сразу, например, дроби:

    *Подробнее:

    15:13 = 1 остаток 2

    4:3 = 1 остаток 1

    9:5 = 1 остаток 4

    А вот если числа будут более, то без вычислений не обойтись. Здесь всё просто – делим уголком числитель на знаменатель до тех пор пока остаток не получится менее делителя. Схема деления:


    Например:

    *Числитель у нас – это делимое, знаменатель – это делитель.


    Получаем целую часть (неполное частное) и остаток. Записываем – целое, затем дробь (в числителе остаток, а знаменатель оставляем тот же):

    3. Десятичную переводим в обыкновенную.

    Частично в первом пункте, где рассказывали про десятичные дроби мы уже коснулись этого. Как слышим так и записываем. Например — 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10,00015

    Первые три дроби у нас без целой части. А четвёртая и пятая её имеют, переведём их в обыкновенные, это делать уже умеем:

    *Мы видим, что дроби можно ещё и сократить, например 45/100 =9/20, 38/100=19/50 и другие, но мы здесь делать этого не будем. По сокращению вас ожидает отдельный пункт ниже, где подробно всё разберём.

    4. Обыкновенную переводим в десятичную.

    Тут не всё так просто. По каким-то дробям сразу видно и ясно, что с ней сделать, чтобы она стала десятичной, например:

    Используем наше замечательное основное свойство дроби – умножаем числитель и знаменатель соответственно на 5, 25, 2, 5, 4, 2, получим:


    Если имеется целая часть, то тоже ничего сложного:

    Умножаем дробную часть соответственно на 2, 25, 2 и 5, получим:

    А есть такие, по которым без опыта и не определить, что их можно перевести в десятичные, например:

    На какие числа умножать числитель и знаменатель?

    Тут опять на помощь приходит проверенный способ – деление уголком, способ универсальный, им для перевода обыкновенной дроби в десятичную можно пользоваться всегда:


    Так вы сможете всегда определить переводится ли дробь в десятичную. Дело в том, что не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, например такие как 1/9, 3/7, 7/26 не переводятся. А что же тогда получается за дробь при делении 1 на 9, 3 на 7, 5 на 11? Отвечаю – бесконечная десятичная (говорили о них в пункте 1). Разделим:


    На этом всё! Успеха вам!

    С уважением, Александр Крутицких.

    Говоря сухим математическим языком, дробь — это число, которое представляется в виде части от единицы. Дроби широко используются в жизни человека: при помощи дробных чисел мы указываем пропорции в кулинарных рецептах, выставляем десятичные оценки на соревнованиях или используем их для подсчета скидок в магазинах.

    Представление дробей

    Существует минимум две формы записи одного дробного числа: в десятичной форме или в виде обыкновенной дроби. В десятичной форме числа выглядят как 0,5; 0,25 или 1,375. Любое из этих значений мы может представить в виде обыкновенной дроби:

    • 0,5 = 1/2;
    • 0,25 = 1/4;
    • 1,375 = 11/8.

    И если 0,5 и 0,25 мы без проблем конвертируем из обыкновенной дроби в десятичную и обратно, то в случае с числом 1,375 все неочевидно. Как быстро преобразовать любое десятичное число в дробь? Существует три простых способа.

    Избавляемся от запятой

    Самый простой алгоритм подразумевает умножение числа на 10 до тех пор, пока из числителя не исчезнет запятая. Такое преобразование осуществляется в три шага:

    Шаг 1 : Для начала десятичное число запишем в виде дроби «число/1», то есть мы получим 0,5/1; 0,25/1 и 1,375/1.

    Шаг 2 : После этого умножим числитель и знаменатель новых дробей до тех пор, пока из числителей не исчезнет запятая:

    • 0,5/1 = 5/10;
    • 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
    • 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.

    Шаг 3 : Сокращаем полученные дроби до удобоваримого вида:

    • 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
    • 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
    • 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.

    Число 1,375 пришлось три раза умножать на 10, что уже не очень удобно, а что нам придется делать в случае, если понадобится преобразовать число 0,000625? В этой ситуации используем следующий способ преобразования дробей.

    Избавляемся от запятой еще проще

    Первый способ детально описывает алгоритм «удаления» запятой из десятичной дроби, однако мы можем упростить этот процесс. И вновь мы выполняем три шага.

    Шаг 1 : Считаем, сколько цифр стоит после запятой. К примеру, у числа 1,375 таких цифр три, а у 0,000625 — шесть. Это количество мы обозначим буквой n.

    Шаг 2 : Теперь нам достаточно представить дробь в виде C/10 n , где C – это значимые цифры дроби (без нулей, если они есть), а n – количество цифр после запятой. К примеру:

    • для числа 1,375 C = 1375, n = 3, итоговая дробь согласно формуле 1375/10 3 = 1375/1000;
    • для числа 0,000625 C = 625, n = 6, итоговая дробь согласно формуле 625/10 6 = 625/1000000.

    По сути, 10 n – это 1 с количеством нулей, равным n, поэтому вам не нужно заморачиваться с возведением десятки в степень — достаточно указать 1 с n нулей. После этого столь богатую на нули дробь желательно сократить.

    Шаг 3 : Сокращаем нули и получаем итоговый результат:

    • 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
    • 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.

    Дробь 11/8 — это неправильная дробь, так как числитель у нее больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. В этой ситуации мы вычитаем из 11/8 целую часть 8/8 и получаем остаток 3/8, следовательно, дробь выглядит как 1 и 3/8.

    Преобразование на слух

    Для тех, кто умеет правильно читать десятичные дроби, проще всего их преобразовать на слух. Если вы читаете 0,025 не как «ноль, ноль, двадцать пять», а как «25 тысячных», то у вас не будет никаких проблем с конвертацией десятичных чисел в обыкновенные дроби.

    0,025 = 25/1000 = 1/40

    Таким образом, правильное прочтение десятичного числа позволяет сразу же записать ее как обыкновенную дробь и сократить в случае необходимости.

    Примеры использования дробей в повседневной жизни

    На первый взгляд обыкновенные дроби практически не используются в быту или на работе и трудно представить ситуацию, когда вам понадобится перевести десятичную дробь в обычную за пределами школьных задач. Рассмотрим пару примеров.

    Работа

    Итак, вы работаете в кондитерском магазине и продаете халву на развес. Для простоты реализации продукта вы разделяете халву на килограммовые брикеты, однако мало кто из покупателей готов приобрести целый килограмм. Поэтому вам приходится каждый раз разделять лакомство на кусочки. И если очередной покупатель попросит у вас 0,4 кг халвы, вы без проблем продадите ему нужную порцию.

    0,4 = 4/10 = 2/5

    Быт

    К примеру, необходимо сделать 12 % раствор для покраски модели в нужный вам оттенок. Для этого нужно смешать краску и растворитель, но как правильно это сделать? 12 % — это десятичная дробь 0,12. Преобразовываем число в обыкновенную дробь и получаем:

    0,12 = 12/100 = 3/25

    Зная дроби, вы сможете правильно смешать компоненты и получить нужный цвет.

    Заключение

    Дроби широко используются в повседневной жизни, поэтому если вам часто необходимо преобразовывать десятичные значения в обыкновенные дроби, вам пригодится онлайн-калькулятор, при помощи которого можно мгновенно получить результат в виде уже сокращенной дроби.

    Зачастую дети, которые учатся в школе, интересуются, для чего в им в реальной жизни может понадобится математика, в особенности те разделы, которые уже заходят намного дальше, чем простой счет, умножение, деление, суммирование и отнимание. Многие взрослые также задаются данным вопросом, если их профессиональная деятельность очень далека от математики и разнообразных вычислений. Однако стоит понимать, что ситуации бывают всякие, и порой никак не обойтись без той самой, пресловутой школьной программы, от которой мы так пренебрежительно отказывались в детстве. К примеру, вовсе не все знают, как перевести дробь в десятичную дробь, а такие знания могут чрезвычайно пригодится, для удобства счета. Для начала, нужно полностью убедиться, что нужная вам дробь может быть преобразована в конечную десятичную. То же самое касается и процентов, которые также можно легко перевести в десятичные дроби.

    Проверка обычной дроби на возможность перевода ее в десятичную

    Прежде, чем что-либо считать, необходимо убедиться, что полученная в итоге десятичная дробь будет конечной, иначе она окажется бесконечной и высчитать окончательный вариант будет попросту невозможно. Причем бесконечные дроби также могут быть периодическими и простыми, но это уже тема для отдельного раздела.

    Перевести обыкновенную дробь в ее конечный, десятичный вариант можно только в том случае, если ее уникальный знаменатель способен раскладываться только на множители 5 и 2 (простые множители). Причем даже в том случае, если они повторяются произвольное количество раз.

    Уточним, что оба эти числа являются простыми, так в итоге разделить без остатка их можно только на самих себя, или же, на единицу. Таблицу простых чисел можно отыскать без проблем в сети интернет, это вовсе не сложно, хотя непосредственного отношения к нашему счету она и не имеет.

    Рассмотрим примеры:

    Дробь 7/40 поддается преобразованию из обычной дроби в ее десятичный эквивалент, потому что ее знаменатель можно без труда разложить на множители 2 и 5.

    Однако, если первый вариант даст в результате конечную десятичную дробь, то, к примеру, 7/60 уже никак не даст подобного результата, так как ее знаменатель не будет уже раскладываться на искомые нами числа, а будет иметь в числе множителей знаменателя тройку.

    Перевести обычную дробь в десятичную возможно несколькими способами

    После того, как стало понятно, какие дроби можно переводить из обычных в десятичные, можно приступить, собственно, к самому преобразованию. На самом деле, нет ничего сверхсложного, даже для того, у кого школьная программа окончательно «выветрилась» из памяти.

    Как переводить дроби в десятичные: наиболее простой метод

    Этот способ перевода обычной дроби в десятичную, действительно, является наиболее простым, однако многие люди даже не догадываются о его бренном существовании, так как в школе все эти «прописные истины» кажутся ненужными и не очень-то важными. Между тем, разобраться сможет не только взрослый, но легко воспримет подобную информацию и ребенок.

    Итак, чтобы преобразовать дробь в десятичную, нужно умножить числитель, равно как и знаменатель, на одно число. Однако все не так просто, так в результате, именно в знаменателе должно получиться 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 и так далее, до бесконечности. Не стоит забывать предварительно проверить, точно ли можно данную дробь превратить в десятичную.

    Рассмотрим примеры:

    Допустим, нам нужно провести преобразование дроби 6/20 в десятичную. Производим проверку:

    После того, как мы убедились, что перевести дробь в десятичную дробь, да еще и конечную, все же, возможно, так как ее знаменатель легко раскладывается на двоечки и пятерки, следует приступить к самому переводу. Самым лучшим вариантом, по логике вещей, чтобы умножить знаменатель и получить результат 100, является 5, так как 20х5=100.

    Можно рассмотреть дополнительный пример, для наглядности:

    Второй и боле популярный способ

    переводить дроби в десятичные

    Второй вариант несколько сложнее, однако он пользуется большей популярностью, ввиду того, что он гораздо проще для понимания. Тут все прозрачно и ясно, потому давайте сразу же перейдем к вычислениям.

    Стоит запомнить

    Для того, что правильно преобразовать простую, то есть обычную дробь в ее десятичный эквивалент, нужно числитель разделить на знаменатель. По сути, дробь – это и есть деление, с этим не поспоришь.

    Рассмотрим действие на примере:

    Итак, первым делом, чтобы перевести дробь 78/200 в десятичную, нужно ее числитель, то есть число 78, разделить на знаменатель 200. Но первым делом, что должно войти в привычку, нужно произвести проверку, о которой уже говорилось выше.

    После произведения проверки, нужно вспомнить школу и делить числитель на знаменатель «уголком» или «столбиком».

    Как видите, все предельно просто, и семи пядей во лбу, чтобы легко решать подобные задачки вовсе быть не требуется. Для простоты и удобства приведем также и таблицу самых популярных дробей, которые просто запомнить, и даже не прилагать усилий, чтобы их переводить.

    Как перевести проценты в десятичную дробь : нет ничего проще

    Вот наконец дошел ход и до процентов, которые, оказывается, как гласит все та же, школьная программа, можно перевести в десятичную дробь. Причем тут все будет еще гораздо проще, и пугаться не стоит. Справятся с задачей даже те, кто не заканчивал университеты, а пятый класс школы вовсе прогулял и ничего не смыслит в математике.

    Начать, пожалуй, нужно с определения, то есть разобраться, что такое, собственно, проценты. Процент – это одна сотая часть от какого-либо числа, то есть, абсолютно произвольно. От сотни, к примеру, это будет единица и так далее.

    Таким образом, чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно попросту убрать значок %, а потом разделить само число на сотню.

    Рассмотрим примеры:

    Причем, чтобы произвести обратную «конвертацию», нужно попросту сделать все наоборот, то есть, число нужно умножить на сотню и приписать к нему значок процента. Точно таким же образом, посредством применения полученных знаний, можно также и обычную дробь перевести в проценты. Для этого достаточно будет просто сперва преобразовать обычную дробь в десятичную, а потому уже ее перевести в проценты, а также легко можно произвести и обратное действие. Как видите, ничего сверхсложного нет, все это элементарные знания, которые просто необходимо держать в уме, в особенности, если имеете дело с цифрами.

    Путь наименьшего сопротивления: удобные онлайн сервисы

    Бывает и так, что считать совершенно не хочется, да и попросту нет времени. Именно для таких случаев, или же, особо ленивых пользователей, в сети интернет есть множество удобных и простых в применении сервисов, которые позволят перевести обычные дроби, а также проценты, в десятичные дроби. Это действительно дорога наименьшего сопротивления, потому пользоваться подобными ресурсами – одно удовольствие.

    Полезный справочный портал «Калькулятор»

    Для того, чтобы воспользоваться сервисом «Калькулятора», достаточно просто перейти по ссылке http://www.calc.ru/desyatichnyye-drobi.html , и ввести необходимые числа в нужные поля. Причем ресурс позволяет переводить в десятичные, как обычные, так и смешанные дроби.

    После краткосрочного ожидания, приблизительно секунды в три, сервис выдаст конечный результат.

    Точно таким же образом можно перевести в обычную дробь десятичную.

    Онлайн-калькулятор на «Математическом ресурсе» Calcs.

    su

    Еще одним, очень полезным сервисом можно назвать калькулятор дробей на «Математическом ресурсе. Тут также не придется ничего считать самостоятельно, просто выберите из предложенного списка то, что вам нужно и вперед, за орденами.

    Далее, в отведенное специально для этого поле, нужно ввести искомое число процентов, которые и нужно преобразовать в обычную дробь. Причем если вам нужны десятичные дроби, то вы легко можете уже сами справиться с задачей перевода или же воспользоваться тем калькулятором, который для этого и предназначен.

    В конечном итоге, стоит обязательно добавить, что сколько бы новомодных сервисов не было бы придумано, сколько ресурсов не предлагали бы вам свои услуги, но и голову тренировать периодически не помешает. Потому стоит обязательно применять полученные знания, тем более, что вы потом с гордостью сможете помогать делать уроки собственным детям, а затем и внукам. Для того же, кто страдает от вечной нехватки времени, подобные онлайн-калькуляторы на математических порталах окажутся как раз кстати и даже помогут понять, как перевести обычную дробь в десятичную.

    Мы уже говорили, что дроби бывают обыкновенные и десятичные . На данный момент мы немного изучили обыкновенные дроби. Мы узнали, что обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. Также мы узнали, что обыкновенные дроби можно сокращать, складывать, вычитать умножать и делить. И ещё мы узнали, что бывают так называемые смешанные числа, которые состоят из целой и дробной части.

    Мы ещё не до конца изучили обыкновенные дроби. Есть немало тонкостей и деталей, о которых следует поговорить, но уже сегодня мы начнём изучать десятичные дроби, поскольку обыкновенные и десятичные дроби достаточно часто приходиться сочетать. То есть, при решении задач приходиться применять оба вида дробей.

    Этот урок возможно покажется сложным и непонятным. Это вполне нормально. Такого рода уроки требуют, чтобы их именно изучали, а не просматривали поверхностно.

    Содержание урока

    Выражение величин в дробном виде

    Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:

    Это выражение означает, что один дециметр был поделен на десять частей, и от этих десяти частей была взята одна часть:

    Как видно на рисунке, одна десятая часть дециметра это один сантиметр.

    Рассмотрим следующий пример. Показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.

    Итак, требуется выразить 6 см и 3 мм в сантиметрах, но в дробном виде. 6 целых сантиметров у нас уже есть:

    но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах? На помощь приходят дроби. 3 миллиметра это третья часть сантиметра. А третья часть сантиметра записывается как см

    Дробь означает, что один сантиметр был разделен на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части (три из десяти).

    В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:

    При этом 6 показывает число целых сантиметров, а дробь — число дробных сантиметров. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра» .

    Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.

    Например, запишем без знаменателя. Для этого сначала запишем целую часть. Целая часть это число 6. Записываем сначала это число:

    Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:

    И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:

    Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью .

    Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:

    6,3 см

    Выглядеть это будет следующим образом:

    На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части стоят числа 10, 100, 1000 или 10000.

    Как и смешанное число, десятичная дробь имеет целую часть и дробную. Например, в смешанном числе целая часть это 6, а дробная часть это .

    В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби , то есть число 3.

    Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части. Дробь без знаменателя будет записана следующим образом:

    Читается как «ноль целых, пять десятых» .

    Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

    Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым переводим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.

    После того, как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример:

    Сначала

    И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части.

    Итак, считаем количество нулей в дробной части смешанного числа . В знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа , то есть число 2

    Таким образом, смешанное число при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2.

    Эта десятичная дробь читается так:

    «Три целых, две десятых»

    «Десятых» потому что в дробной части смешанного числа находится число 10.

    Пример 2. Перевести смешанное число в десятичную дробь.

    Записываем целую часть и ставим запятую:

    И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа . А мы видим, что в знаменателе дробной части два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.

    В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3

    Теперь можно перевести это смешанное число в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:

    И записываем числитель дробной части:

    Десятичная дробь 5,03 читается так:

    «Пять целых, три сотых»

    «Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 100.

    Пример 3. Перевести смешанное число в десятичную дробь.

    Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части должно быть одинаковым.

    Перед переводом смешанного числа в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.

    В первую очередь смотрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:

    Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это число 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед число 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:

    Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала целую часть и ставим запятую:

    и сразу записываем числитель дробной части

    3,002

    Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа одинаково.

    Десятичная дробь 3,002 читается так:

    «Три целых, две тысячных»

    «Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 1000.

    Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби

    Обыкновенные дроби, у которых в знаменателе числа 10, 100, 1000 или 10000, тоже можно перевести в десятичные дроби. Поскольку у обыкновенной дроби целая часть отсутствует, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части.

    Здесь также количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе должно быть одинаковым. Поэтому следует быть внимательным.

    Пример 1.

    Целая часть отсутствует, значит сначала записываем 0 и ставим запятую:

    Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там один ноль. И в числителе одна цифра. Значит можно спокойно продолжить десятичную дробь, записав после запятой число 5

    В полученной десятичной дроби 0,5 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.

    Десятичная дробь 0,5 читается так:

    «Ноль целых, пять десятых»

    Пример 2. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.

    Целая часть отсутствует. Записываем сначала 0 и ставим запятую:

    Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там два нуля. А в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество цифр и количество нулей одинаковым, добавим в числителе перед числом 2 один ноль. Тогда дробь примет вид . Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь:

    В полученной десятичной дроби 0,02 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.

    Десятичная дробь 0,02 читается так:

    «Ноль целых, две сотых».

    Пример 3. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.

    Записываем 0 и ставим запятую:

    Теперь считаем количество нулей в знаменателе дроби . Видим, что там пять нулей, а в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаковым, нужно в числителе перед числом 5 дописать четыре нуля:

    Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь. Записываем после запятой числитель дроби

    В полученной десятичной дроби 0,00005 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.

    Десятичная дробь 0,00005 читается так:

    «Ноль целых, пять стотысячных».

    Перевод неправильных дробей в десятичную дробь

    Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Встречаются неправильные дроби, у которых в знаменателе находятся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные дроби. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять целую часть.

    Пример 1.

    Дробь является неправильной дробью. Чтобы перевести такую дробь в десятичную дробь, нужно в первую очередь выделить у нее целую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к и изучить его.

    Итак, выделим целую часть в неправильной дроби . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10

    Посмотрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Число 11 будет целой частью, число 2 — числителем дробной части, число 10 — знаменателем дробной части.

    Мы получили смешанное число . Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

    Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:

    В полученной десятичной дроби 11,2 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.

    Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 11,2

    Десятичная дробь 11,2 читается так:

    «Одиннадцать целых, две десятых».

    Пример 2. Перевести неправильную дробь в десятичную дробь.

    Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе находится число 100.

    В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим 450 на 100 уголком:

    Соберём новое смешанное число — получим . А как переводить смешанные числа в десятичные дроби мы уже знаем.

    Записываем целую часть и ставим запятую:

    Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:

    В полученной десятичной дроби 4,50 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена верно.

    Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 4,50

    При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5

    Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Поставим между ними знак равенства:

    4,50 = 4,5

    Возникает вопрос: а почему так происходит? Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».

    Перевод десятичной дроби в смешанное число

    Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в смешанное число. Для этого достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 6,3 в смешанное число. 6,3 это шесть целых и три десятых. Записываем сначала шесть целых:

    и рядом три десятых:

    Пример 2. Перевести десятичную дробь 3,002 в смешанное число

    3,002 это три целых и две тысячных. Записываем сначала три целых

    и рядом записываем две тысячных:

    Пример 3. Перевести десятичную дробь 4,50 в смешанное число

    4,50 это четыре целых и пятьдесят сотых. Записываем четыре целых

    и рядом пятьдесят сотых:

    Кстати, давайте вспомним последний пример из предыдущей темы. Мы сказали, что десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Также мы сказали, что ноль можно отбросить. Попробуем доказать, что десятичные 4,50 и 4,5 равны. Для этого переведем обе десятичные дроби в смешанные числа.

    После перевода в смешанное число десятичная дробь 4,50 обращается в , а десятичная дробь 4,5 обращается в

    Имеем два смешанных числа и . Переведём эти смешанные числа в неправильные дроби:

    Теперь имеем две дроби и . Настало время вспомнить основное свойство дроби, которое говорит, что при умножении (или делении) числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не изменяется.

    Давайте разделим первую дробь на 10

    Получили , а это вторая дробь. Значит и равны между собой и равны одному и тому же значению:

    Попробуйте на калькуляторе разделить сначала 450 на 100, а затем 45 на 10. Забавная штука получится.

    Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь

    Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в обыкновенную дробь. Для этого опять же достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 0,3 в обыкновенную дробь. 0,3 это ноль целых и три десятых. Записываем сначала ноль целых:

    и рядом три десятых 0 . Ноль по традиции не записывают, поэтому окончательный ответ будет не 0, а просто .

    Пример 2. Перевести десятичную дробь 0,02 в обыкновенную дробь.

    0,02 это ноль целых и две сотых. Ноль по не записываем, поэтому сразу записываем две сотых

    Пример 3. Перевести 0,00005 в обыкновенную дробь

    0,00005 это ноль целых и пять сто тысячных. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем пять сто тысячных

    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    Используются чрезвычайно широко, причем в самых различных сферах человеческой деятельности будь то научные и прикладные вычисления, разработка и эксплуатация различной техники, экономический расчёт и так далее. В виду разного рода причин нередко приходится осуществлять обращение десятичной дроби , равно как и процесс, обратный ей. Следует заметить, что подобные преобразования производятся относительно легко, причем в соответствии с определенными правилами и методиками, существующими в математике уже на протяжении многих сотен лет.

    Обращение десятичной дроби в простую

    Преобразование десятичной дроби в дробь «обыкновенную » производится достаточно легко и просто. Для этого используется следующая методика: в качестве числителя новой дроби берется число, которое располагается справа от десятичной точки исходного числа, в качестве знаменателя используется число десять, в степени, равной количеству разрядов числителя. Что касается оставшейся целой части, то она сохраняется неизменной. Если же целая часть равна нулю, то после преобразования она просто опускается.

    ПРИМЕР 1

    Пятьдесят целых двадцать пять сотых равняется пятьдесят целых и двадцать пять разделить на сто равняется пятьдесят целых одна четвертая.

    Обращение простой дроби в десятичную

    Преобразование простой дроби в десятичную , по сути дела, является обратной обращению десятичной дроби в простую . Её осуществление также не вызывает никаких затруднений и является, по сути дела, довольно простым арифметическим действием. Для того чтобы обратить простую дробь в десятичную нужно разделить числитель на её знаменатель в соответствии с определенными правилами.

    ПРИМЕР 1

    Необходимо осуществить преобразование обычной дроби пять восьмых в десятичную дробь .

    При делении пяти на восемь получается десятичная дробь ноль целых шестьсот двадцать пять тысячных.

    =0.625

    Округление результата преобразования простой дроби в десятичную

    Следует заметить, что, в отличие от такого процесса, как преобразование десятичной дроби , эта процедура за частую может длиться бесконечно долго. В таких случаях говорят, что результат процедуры обращения обычной дроби в десятичную не может быть точным. Впрочем, практика показывает, что в подавляющем большинстве получение идеально точного результата и не требуется. Как правило, процесс деления заканчивается тогда, когда в его ходе уже получены значения тех десятичных долей, которые представляют в каждом конкретном случае практический интерес.

    ПРИМЕР 1

    Требуется разрезать кусок масла весом один килограмм на девять одинаковых по своей массе частей. При выполнении этой процедуры оказывается, что масса каждой из них равняется 1 / 9 килограмма. Если по всем правилам осуществлять преобразование этой обычной дроби в дробь десятичную , то получится, что масса каждой из получившихся частей равняется ноль целых и один в периоде килограмма.

    Округление ведется по стандартным правилам, предусмотренным в арифметике: если первая из «отбрасываемых» цифр имеет значение 5 и более, то последняя из значимых увеличивается на единицу. В противном случае она остается неизменной.

    ПРИМЕР 2

    Преобразовать обычную дробь одна восьмых в дробь десятичную.

    При делении единицы на восемь получается ноль целых сто двадцать пять тысячных или округлённо — ноль целых тринадцать сотых.

    Десятичные дроби. Калькулятор онлайн.Перевод десятичной дроби в обыкновенную

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень…»
    И для тех, кто «очень даже…»)

    Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

    Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

    Виды дробей.

    Преобразования.

    Дроби бывают трёх видов.

    1. Обыкновенные дроби , например:

    Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее — знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает…), скажите себе с выражением фразу: «Ззззз апомни! Ззззз наменатель — вниззззз у!» Глядишь, всё и ззззапомнится.)

    Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления — две точки.

    Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби «32/8» гораздо приятнее написать число «4». Т.е. 32 просто поделить на 8.

    32/8 = 32: 8 = 4

    Я уж и не говорю про дробь «4/1». Которая тоже просто «4». А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

    2. Десятичные дроби , например:

    Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания «В».

    3. Смешанные числа , например:

    Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните… На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

    Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

    Основное свойство дроби.

    Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

    Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

    А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но… человек — существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

    Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

    Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

    Например, надо упростить выражение:

    Тут и думать нечего, зачеркиваем букву «а» сверху и двойку снизу! Получаем:

    Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на «а». Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть «а» в выражении

    и получить снова

    Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на «а» уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

    Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё… пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

    Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

    Как переводить дроби из одного вида в другой.

    С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

    А если целых — не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель — то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

    А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

    Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела «В» получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются…

    Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно…)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

    Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000… Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

    А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333… Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

    Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе «В» в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

    Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками… Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

    Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

    Спокойно, без паники соображаем. Целая часть — это 1. Единица. Дробная часть — 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части — 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

    Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

    Обратная операция — перевод неправильной дроби в смешанное число — в старших классах редко требуется. Ну если уж… И если Вы — не в старших классах — можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

    Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

    Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

    Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм… злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

    0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

    Подведём итоги этого урока.

    1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

    2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

    3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное — перейти к обыкновенным дробям.

    Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

    3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

    Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

    На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего…) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил… Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

    Если Вам нравится этот сайт…

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    Десятичная дробь состоит из двух частей, которые разделены запятыми. Первая часть — это целая единица, вторая часть — это десятки (если число после запятой одно), сотни (два числа после запятой, как два нуля в ста), тысячные итд. Посмотрим на примеры десятичной дроби: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0,5. Всё это — десятичные дроби. Как же перевести десятичную дробь в обыкновенную?

    Пример первый

    У нас есть дробь, к примеру, 0,5. Как уже выше писалось, она состоит из двух частей. Первое число 0, показывает, сколько целых единиц у дроби. В нашем случае их нет. Второе число показывает десятки. Дробь даже читается ноль целых пять десятых. Десятичное число перевести в дробь теперь не составит труда, пишем 5/10. Если видите, что у цифр есть общий делитель, можете сократить дробь. У нас это число 5, поделив обе части дроби на 5, получаем — 1/2.

    Пример второй

    Возьмем более сложную дробь — 2,25. Читается она так — две целых и двадцать пять сотых. Обратите внимание — сотых, так как чисел после запятой две. Теперь можно перевести в обыкновенную дробь. Записываем — 2 25/100. Целая часть — 2, дробная 25/100. Как и в первом примере, эту часть можно сократить. Общим делителем для цифр 25 и 100 является число 25. Заметьте, что мы всегда подбираем наибольший общий делитель. Разделив обе части дроби на НОД, получили 1/4. Итак, 2, 25 это 2 1/4.

    Пример третий

    И для закрепления материала возьмем десятичную дробь 4,112 — четыре целых и сто двенадцать тысячных. Почему тысячных, думаю, ясно. Записываем теперь 4 112/1000. По алгоритму находим НОД чисел 112 и 1000. В нашем случае — это число 6. Получаем 4 14/125.

    Вывод

    1. Разбиваем дробь на целую и дробную части.
    2. Смотрим, сколько цифр после запятой. Если одна — это десятки, две — сотни, три -тысячные итд.
    3. Записываем дробь в обыкновенном виде.
    4. Сокращаем числитель и знаменатель дроби.
    5. Записываем полученную дробь.
    6. Выполняем проверку, делим верхнюю часть дроби на нижнюю. Если есть целая часть, прибавляем к полученной десятичной дроби. Получился исходный вариант — замечательно, значит, вы все сделали правильно.

    На примерах я показала, как можно перевести десятичную дробь в обыкновенную. Как видите, сделать это очень легко и просто.

    Материалов по дробям и изучать последовательно. Ниже для вас подробная информация с примерами и пояснениями.

    1. Смешанное число в обыкновенную дробь. Запишем в общем виде число:

    Запоминаем простое правило – целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, то есть:

    Примеры:


    2. Наоборот, обыкновенную дробь в смешанное число. *Конечно, это возможно сделать только с неправильной дробью (когда числитель больше знаменателя).

    При «небольших» числах никаких действий, в общем, и не нужно делать, результат «видно» сразу, например, дроби:

    *Подробнее:

    15:13 = 1 остаток 2

    4:3 = 1 остаток 1

    9:5 = 1 остаток 4

    А вот если числа будут более, то без вычислений не обойтись. Здесь всё просто – делим уголком числитель на знаменатель до тех пор пока остаток не получится менее делителя. Схема деления:


    Например:

    *Числитель у нас – это делимое, знаменатель – это делитель.


    Получаем целую часть (неполное частное) и остаток. Записываем – целое, затем дробь (в числителе остаток, а знаменатель оставляем тот же):

    3. Десятичную переводим в обыкновенную.

    Частично в первом пункте, где рассказывали про десятичные дроби мы уже коснулись этого. Как слышим так и записываем. Например — 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10,00015

    Первые три дроби у нас без целой части. А четвёртая и пятая её имеют, переведём их в обыкновенные, это делать уже умеем:

    *Мы видим, что дроби можно ещё и сократить, например 45/100 =9/20, 38/100=19/50 и другие, но мы здесь делать этого не будем. По сокращению вас ожидает отдельный пункт ниже, где подробно всё разберём.

    4. Обыкновенную переводим в десятичную.

    Тут не всё так просто. По каким-то дробям сразу видно и ясно, что с ней сделать, чтобы она стала десятичной, например:

    Используем наше замечательное основное свойство дроби – умножаем числитель и знаменатель соответственно на 5, 25, 2, 5, 4, 2, получим:


    Если имеется целая часть, то тоже ничего сложного:

    Умножаем дробную часть соответственно на 2, 25, 2 и 5, получим:

    А есть такие, по которым без опыта и не определить, что их можно перевести в десятичные, например:

    На какие числа умножать числитель и знаменатель?

    Тут опять на помощь приходит проверенный способ – деление уголком, способ универсальный, им для перевода обыкновенной дроби в десятичную можно пользоваться всегда:


    Так вы сможете всегда определить переводится ли дробь в десятичную. Дело в том, что не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, например такие как 1/9, 3/7, 7/26 не переводятся. А что же тогда получается за дробь при делении 1 на 9, 3 на 7, 5 на 11? Отвечаю – бесконечная десятичная (говорили о них в пункте 1). Разделим:


    На этом всё! Успеха вам!

    С уважением, Александр Крутицких.

    Говоря сухим математическим языком, дробь — это число, которое представляется в виде части от единицы. Дроби широко используются в жизни человека: при помощи дробных чисел мы указываем пропорции в кулинарных рецептах, выставляем десятичные оценки на соревнованиях или используем их для подсчета скидок в магазинах.

    Представление дробей

    Существует минимум две формы записи одного дробного числа: в десятичной форме или в виде обыкновенной дроби. В десятичной форме числа выглядят как 0,5; 0,25 или 1,375. Любое из этих значений мы может представить в виде обыкновенной дроби:

    • 0,5 = 1/2;
    • 0,25 = 1/4;
    • 1,375 = 11/8.

    И если 0,5 и 0,25 мы без проблем конвертируем из обыкновенной дроби в десятичную и обратно, то в случае с числом 1,375 все неочевидно. Как быстро преобразовать любое десятичное число в дробь? Существует три простых способа.

    Избавляемся от запятой

    Самый простой алгоритм подразумевает умножение числа на 10 до тех пор, пока из числителя не исчезнет запятая. Такое преобразование осуществляется в три шага:

    Шаг 1 : Для начала десятичное число запишем в виде дроби «число/1», то есть мы получим 0,5/1; 0,25/1 и 1,375/1.

    Шаг 2 : После этого умножим числитель и знаменатель новых дробей до тех пор, пока из числителей не исчезнет запятая:

    • 0,5/1 = 5/10;
    • 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
    • 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.

    Шаг 3 : Сокращаем полученные дроби до удобоваримого вида:

    • 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
    • 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
    • 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.

    Число 1,375 пришлось три раза умножать на 10, что уже не очень удобно, а что нам придется делать в случае, если понадобится преобразовать число 0,000625? В этой ситуации используем следующий способ преобразования дробей.

    Избавляемся от запятой еще проще

    Первый способ детально описывает алгоритм «удаления» запятой из десятичной дроби, однако мы можем упростить этот процесс. И вновь мы выполняем три шага.

    Шаг 1 : Считаем, сколько цифр стоит после запятой. К примеру, у числа 1,375 таких цифр три, а у 0,000625 — шесть. Это количество мы обозначим буквой n.

    Шаг 2 : Теперь нам достаточно представить дробь в виде C/10 n , где C – это значимые цифры дроби (без нулей, если они есть), а n – количество цифр после запятой. К примеру:

    • для числа 1,375 C = 1375, n = 3, итоговая дробь согласно формуле 1375/10 3 = 1375/1000;
    • для числа 0,000625 C = 625, n = 6, итоговая дробь согласно формуле 625/10 6 = 625/1000000.

    По сути, 10 n – это 1 с количеством нулей, равным n, поэтому вам не нужно заморачиваться с возведением десятки в степень — достаточно указать 1 с n нулей. После этого столь богатую на нули дробь желательно сократить.

    Шаг 3 : Сокращаем нули и получаем итоговый результат:

    • 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
    • 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.

    Дробь 11/8 — это неправильная дробь, так как числитель у нее больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. В этой ситуации мы вычитаем из 11/8 целую часть 8/8 и получаем остаток 3/8, следовательно, дробь выглядит как 1 и 3/8.

    Преобразование на слух

    Для тех, кто умеет правильно читать десятичные дроби, проще всего их преобразовать на слух. Если вы читаете 0,025 не как «ноль, ноль, двадцать пять», а как «25 тысячных», то у вас не будет никаких проблем с конвертацией десятичных чисел в обыкновенные дроби.

    0,025 = 25/1000 = 1/40

    Таким образом, правильное прочтение десятичного числа позволяет сразу же записать ее как обыкновенную дробь и сократить в случае необходимости.

    Примеры использования дробей в повседневной жизни

    На первый взгляд обыкновенные дроби практически не используются в быту или на работе и трудно представить ситуацию, когда вам понадобится перевести десятичную дробь в обычную за пределами школьных задач. Рассмотрим пару примеров.

    Работа

    Итак, вы работаете в кондитерском магазине и продаете халву на развес. Для простоты реализации продукта вы разделяете халву на килограммовые брикеты, однако мало кто из покупателей готов приобрести целый килограмм. Поэтому вам приходится каждый раз разделять лакомство на кусочки. И если очередной покупатель попросит у вас 0,4 кг халвы, вы без проблем продадите ему нужную порцию.

    0,4 = 4/10 = 2/5

    Быт

    К примеру, необходимо сделать 12 % раствор для покраски модели в нужный вам оттенок. Для этого нужно смешать краску и растворитель, но как правильно это сделать? 12 % — это десятичная дробь 0,12. Преобразовываем число в обыкновенную дробь и получаем:

    0,12 = 12/100 = 3/25

    Зная дроби, вы сможете правильно смешать компоненты и получить нужный цвет.

    Заключение

    Дроби широко используются в повседневной жизни, поэтому если вам часто необходимо преобразовывать десятичные значения в обыкновенные дроби, вам пригодится онлайн-калькулятор, при помощи которого можно мгновенно получить результат в виде уже сокращенной дроби.

    Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.

    Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:

    Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?

    Основной алгоритм

    На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.

    Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:

    Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». {3}}=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.

    Наконец, последний пример:

    Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.

    Что делать с целой частью

    На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.

    Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:

    Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:

    \[\frac{22}{25}\to 1\frac{22}{25}\]

    Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:

    \[\begin{align}& 2,15\to 0,15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\to 2\frac{3}{20}; \\& 13,8\to 0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\to 13\frac{4}{5}. \\\end{align}\]

    В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)

    В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.

    Преобразования «на слух»

    Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.

    А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.

    Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:

    Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому

    А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому

    В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому

    \[\begin{align}& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end{align}\]

    Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.

    На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «

    ‎App Store: Калькулятор дробей Plus #1

    Описание

    Калькулятор дробей Plus — лучшее и простое решение для дробей в повседневной жизни. Вычислять дроби: складывать, вычитать, делить и умножать. Легко конвертируйте дроби в десятичные.

    — Хотите проверить математические упражнения ваших детей? Теперь это больше не проблема, потому что вы можете просматривать дроби за считанные секунды.
    — Вам нужно изменить количество рецептов для более длинного списка гостей? Он рассчитает количество в чашках и чайных ложках для вас.
    — Вы работаете над ремеслом или строительным проектом с размерами в дюймах? Забудьте о двойных или тройных вычислениях на бумаге. Используйте дробь для правильных вычислений.

    Простой в использовании калькулятор дробей с большим дисплеем и большими кнопками.
    Особенности:

    — Цифры и кнопки четкие и большие, поэтому их можно прочитать с расстояния.
    — Удобный дисплей с тройной клавиатурой позволяет быстро печатать. Вам нужно всего лишь ввести три раза, чтобы ввести «три и три четверти»!
    — Каждая дробь автоматически уменьшается до простейшей формы, чтобы вам было проще.
    — НОВИНКА! Каждый результат также отображается в виде десятичного числа. Это делает преобразование легким.
    — Сложение, вычитание, умножение и деление дробей никогда не было проще.

    С калькулятором дробей Plus ваш мобильный телефон или планшет всегда рядом с вами в повседневной жизни.

    Версия 5.2.4

    — Исправлены мелкие проблемы, о которых сообщали пользователи.
    — Пожалуйста, пришлите нам свой отзыв!

    Рейтинги и обзоры

    13,5 тыс. оценок

    Да, наконец

    Итак, я могу сказать, что наконец-то нашел калькулятор дробей, который помогает мне в течение дня в мастерской высококлассного фрезерного станка. Я работаю для клиентов через GC и крупных архитекторов, которые занимаются проектированием и строительством тех, кто находится в стратосфере, мы говорим о верхнем конце пищевой цепочки. Богатые люди мира. Итак, как вы можете себе представить, что мы должны построить совершенство. НУЛЕВОЙ ДЕФЕКТ. Это начинается со знания многих измерений, которые находятся в 64-х. Поэтому, когда мне нужно добавить дроби на этом уровне, это калькулятор для работы. Я люблю это дело. Это делает мой день намного проще. Загрузите его, если вам нужно сложить дроби вместе. Оформление мне тоже нравится. Это позволяет очень легко вводить дроби и исправлять их, если они пропущены. Поверьте мне, это должно быть из всех многих, которые я скачал, а затем удалил, потому что он не делал того, что обещал делать бесплатно. Эта идея единственная.

    Отличное приложение

    Я лично узнаю много новых понятий в математике и забываю о простейших математических задачах и о том, как они должны решаться, хотя я действительно считаю, что в наши дни дети должны делать работу сами. Я также думаю, что это отличное приложение для учащихся, которые могут не помню их дроби. Шестиклассникам теперь необходимы калькуляторы, так почему бы не сделать их приложением. Я видел, как некоторые люди считают, что приложение не должно быть разрешено для маленьких детей и что у шестиклассников не должно быть калькуляторов, но в то же время шестиклассникам дается много дополнительных математических страниц и они изучают новые понятия и законы математики каждый день. Я действительно считаю, что дети не должны решаться на приложение, когда они не могут вспомнить свои дроби или что-то еще, но учитывая тот факт, что 6-й класс — это переходный год, и учителя должны учить их новым понятиям каждый день, я думаю, что это приложение потрясающее .

    Я ЛЮБЛЮ ЭТО🌸💖🌸

    Да, мне это нравится… потому что я в 5-м классе, у меня есть уроки игры на фортепиано, церковь и мой БРАТ
    , и иногда у меня просто не хватает времени, чтобы закончить все домашние задания 📚 поэтому я использую ЭТО ПРИЛОЖЕНИЕ, боже мой 😆 я могу не могу понять, насколько это просто ДА, у меня… «трудные» времена с математикой, поэтому, если я ЗАСТРЕЛ, я могу просто нажать кнопку, чтобы показать мне, КАК ОНИ ЭТО СДЕЛАЛИ Я не знаю, почему у кого-то может быть плохой отзыв кроме аддов, и они только в верхней части экрана… тааак
    Да, HATERS, и я знаю, что это звучит как добавление, но я не искал приложение или веб-сайт для чего-то подобного, ничто не сравнится, как будто я нашел одно приложение, и оно не показало мне, как это сделать, или не дало мне других вариантов, кроме добавления или вычитания. теперь они у меня есть, так что всем рекомендую.🌸✌️💖

    Разработчик, DigitAlchemy LLC, указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.

    Данные, используемые для отслеживания вас

    Следующие данные могут использоваться для отслеживания вас в приложениях и на веб-сайтах, принадлежащих другим компаниям:

    • Идентификаторы
    • Данные об использовании

    Данные, связанные с вами

    Следующие данные могут быть собраны и связаны с вашей личностью:

    • Идентификаторы
    • Данные об использовании
    • Диагностика

    Методы обеспечения конфиденциальности могут различаться, например, в зависимости от используемых вами функций или вашего возраста. Узнать больше

    Информация

    Продавец
    ООО «Цифровая Алхимия»

    Размер
    88,9 МБ

    Категория
    Производительность

    Возрастной рейтинг
    4+

    Авторское право
    © 2021 ООО «Диджиталхими»

    Цена
    Бесплатно

    • Сайт разработчика
    • Тех. поддержка
    • Политика конфиденциальности

    Еще от этого разработчика

    Вам также может понравиться

    Онлайн-калькулятор дробей поддерживает сложение, умножение, вычитание и деление дробей.

    Калькуляторы можно использовать для сложения, вычитания, умножения или деления дробей. Кроме того, существуют также инструменты, которые можно использовать для упрощения дробей или преобразования десятичных чисел в дроби и наоборот.

    Калькулятор правильных/неправильных дробей
    Этот калькулятор может выполнять сложение, вычитание, умножение или деление правильных и неправильных дробей. Ввод, указанный в любом из полей, может быть как положительным, так и отрицательным числом.

    Калькулятор смешанных чисел
    Этот калькулятор можно использовать для сложения, вычитания, умножения или деления смешанных дробей. Ввод, указанный в любом из полей, может быть как положительным, так и отрицательным числом.

    Упрощение калькулятора дробей
    Этот инструмент можно использовать для упрощения смешанных дробей. Здесь ввод, предоставленный в поле целого числа, может быть как положительным, так и отрицательным.

    Калькулятор десятичной дроби
    Этот калькулятор преобразует десятичные числа в дроби. Введенные здесь данные могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

    Калькулятор дроби в десятичную дробь
    Этот калькулятор преобразует дроби в десятичные числа. Ввод, указанный в любом из полей, может быть как положительным, так и отрицательным числом.

    Калькулятор дроби больших чисел
    Этот калькулятор можно использовать для расчетов дробей с очень большими целыми числами.

    Что такое дроби?
    Дроби используются для представления некоторой части целого. Дроби обычно имеют формат a/b. Здесь число до косой черты называется числителем, а число после косой черты называется знаменателем. Знаменатель представляет собой целое, а числитель представляет количество равных частей целого.

    Например: Предположим, все это представляет собой лоток с 12 яйцами. Когда лоток полон, его можно представить дробью 12/12. Теперь, если вы достанете из лотка 5 яиц, то вынутая часть будет представлена ​​дробью 5/12. Принимая во внимание, что часть, оставшаяся в лотке, будет представлена ​​дробью 7/12.

    В целом, существует три типа фракций, которые указаны ниже:

    1. Правильные дроби: В таких дробях значение числителя меньше значения знаменателя. Дроби, такие как 3/7, 2/9и т. д. можно назвать правильными дробями.
    2. Неправильные дроби: Для этих дробей значение числителя больше или равно знаменателю. Например, 9/5, 12/12, 267/23 и т. д. — все это неправильные дроби.
    3. Смешанные дроби: Эти дроби представляют собой другой способ представления неправильных дробей. Их также можно назвать упрощенной версией неправильных дробей. Например, неправильную дробь 19/4 можно представить как смешанную дробь 4 ¾.

    Дроби могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Знаменатель дроби не может быть равен нулю (0).

    Что такое калькулятор дробей?
    Приведенные выше калькуляторы дробей представляют собой цифровые инструменты, которые можно использовать для математических расчетов с использованием дробей. Эти калькуляторы можно использовать для сложения, вычитания, умножения или деления правильных, неправильных или смешанных дробей. Существуют также инструменты, которые можно использовать для упрощения смешанных дробей или преобразования десятичных чисел в дроби и наоборот.

    Как работают эти калькуляторы дробей?
    Будучи онлайн-инструментами, вышеупомянутые калькуляторы дробей могут быть легко доступны с таких устройств, как смартфон или ноутбук с подключением к Интернету. Ниже приводится краткое описание того, как работает каждый из этих калькуляторов:

    Калькулятор правильных/неправильных дробей
    Этот калькулятор может выполнять вычисления с правильными и неправильными дробями. В этом калькуляторе есть два раздела, где можно ввести нужные дроби. В каждом из этих разделов есть отдельное поле для ввода числителя и знаменателя дроби. Ввод, указанный в любом из этих полей, может быть как положительным, так и отрицательным. Между обоими разделами есть поле с раскрывающимся меню, в котором перечислены все математические функции, которые можно применять между обеими дробями. В этом меню пользователи могут выбрать сложение (+), вычитание (-), умножение (x) или деление (/). Введите необходимые данные и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы просмотреть результат.

    Отображение выходных данных: Страница результатов для этого калькулятора дает выходные данные в виде дроби, а также в десятичном виде. Шаги, задействованные в расчете, отображаются прямо под результатом. Кроме того, под ним есть кнопка «+ Показать дальнейшее объяснение», которую можно щелкнуть, чтобы просмотреть объяснение шагов, связанных с расчетом.

    Чтобы сделать новый расчет, нажмите кнопку «Очистить» и введите новый ввод.

    Калькулятор смешанных чисел
    Этот калькулятор предназначен для расчетов со смешанными дробями. Здесь есть два поля для ввода дробей. Чтобы предоставить ввод, пользователям сначала нужно ввести целое число, затем поставить пробел, затем ввести числитель, затем косую черту (/) и, наконец, ввести знаменатель. Ввод, указанный в любом из полей, может быть положительным или отрицательным. Между полями, предназначенными для ввода дробей, есть поле с выпадающим меню, где необходимая математическая функция — сложение (+), вычитание (-), умножение (x) или деление (/) — можно выбрать. Введите необходимые данные и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы просмотреть результат.

    Отображение выходных данных: Страница результатов для этого калькулятора дает выходные данные в виде дроби, а также в десятичном виде. Шаги, задействованные в расчете, отображаются прямо под результатом. Кроме того, под ним есть кнопка «+ Показать дальнейшее объяснение», которую можно щелкнуть, чтобы просмотреть объяснение шагов, связанных с расчетом.

    Чтобы сделать новый расчет, нажмите кнопку «Очистить» и введите новый ввод.

    Упрощение калькулятора дробей
    С помощью этого калькулятора можно упростить смешанные дроби. Калькулятор упрощенных дробей имеет три поля. Один для ввода целого числа, один для ввода числителя и еще один для ввода знаменателя смешанной дроби, которая должна быть предоставлена ​​​​в качестве входных данных. Ввод, предоставленный в поле, предназначенном для ввода целого числа, может быть как положительным, так и отрицательным. Введите соответствующую информацию во все поля и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы просмотреть результат.

    Отображение выходных данных: Страница результатов этого калькулятора дает выходные данные как в дробях, так и в десятичных числах. Шаги, задействованные в расчете, отображаются прямо под результатом.

    Чтобы сделать новый расчет, нажмите кнопку «Очистить» и введите новый ввод.

    Калькулятор десятичной дроби
    Этот калькулятор преобразует десятичные числа в дроби. Введите требуемое десятичное число в поле ввода и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы просмотреть результат. Предоставленный ввод может быть как положительным, так и отрицательным.

    Отображаемый вывод: Страница результатов этого калькулятора дает вывод в виде дроби. Шаги, задействованные в расчете, отображаются прямо под результатом.

    Чтобы сделать новый расчет, нажмите кнопку «Очистить» и введите новый ввод.

    Калькулятор дроби в десятичную дробь
    Этот калькулятор преобразует дроби в десятичные числа. Здесь есть два поля, в которые можно ввести искомый числитель и знаменатель дроби. Предоставленный ввод может быть как положительным, так и отрицательным. Укажите необходимые данные и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы просмотреть результат.

    Показан вывод: Страница результатов этого калькулятора дает вывод в виде десятичного числа.

    Чтобы сделать новый расчет, нажмите кнопку «Очистить» и введите новый ввод.

    Калькулятор дроби больших чисел
    Этот калькулятор можно использовать для дробей с очень большими целыми числами. Здесь есть два раздела для ввода дробей, каждый с полем числителя и знаменателя. Между обоими разделами есть поле с раскрывающимся меню, которое можно использовать для выбора соответствующей математической функции — сложения (+), вычитания (-), умножения (x) или деления (/) — для применяться между фракциями. Введите все необходимые данные и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы просмотреть результат.

    Отображаемый вывод: Страница результатов этого калькулятора дает вывод в виде дроби.

    Чтобы сделать новый расчет, нажмите кнопку «Очистить» и введите новый ввод.

    Калькулятор дробей — онлайн-инструмент для упрощения дробей

    Поиск инструмента

    Найдите инструмент в dCode по ключевым словам:

    Просмотрите полный список инструментов dCode

    Калькулятор с дробями

    Инструмент/калькулятор с дробями и упрощением. Вычисление с дробями включает в себя определенные шаги вычисления для числителя и знаменателя перед упрощением.

    Результаты

    Калькулятор с дробями — dCode

    Тег(и) : Символьные вычисления

    Поделиться

    dCode и многое другое

    dCode бесплатен, а его инструменты оказывают ценную помощь в играх, математике и задачах, геокэшинге решать каждый день!
    Предложение ? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

    Калькулятор дробей

    Выражение с дробями
    Режим Привести к общему знаменателю/частному
    Разложить в сумму несократимых дробей
    Упростить, удалив общие множители
    Максимально упростить дробь

    См. также: Неприводимые дроби — Упрощение математических выражений

    Ответы на вопросы (FAQ)

    Как упростить дроби до неприводимого вида?

    dCode сначала выполняет вычисления (сложение, вычитание, умножение или любое другое вычисление исходного математического выражения) и делает из них неприводимые дроби, приводя их к одному знаменателю. В результате дается упрощение, как дробь в неприводимой форме.

    Пример: $$ \frac12 + \frac14 = \frac34 $$

    dCode позволяет проверить результаты школьных упражнений и вскоре покажет пошаговый расчет, тем временем используйте инструменты LCM и GCD.

    Как привести к тому же знаменателю?

    dCode может вычислять наименьшее общее кратное LCM знаменателей для выполнения операций сложения и вычитания.

    Пример: Если знаменатели добавляемых дробей равны 8 и 3 , затем НОК(8,3)=24 , а в знаменателе дроби должно быть 24: 15/8-2/3 = 29/24

    Умножение числителя подразумевает умножение знаменатель, чтобы сохранить равенство дроби.

    Как складывать дроби?

    Сложение дробей требует приведения дробей к одному знаменателю (предварительно пытаясь упростить дроби, если возможно), а затем сложения числителей (пытаясь упростить полученную дробь, если это возможно).

    Пример: $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{ 3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} $$

    Как вычесть дроби?

    Вычитание дробей аналогично сложению, за исключением того, что вам нужно вычесть числители, а не складывать их.

    Пример: $$ \frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} — \frac{1 \times 2}{ 3 \times 2} = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} $$

    Как умножать дроби?

    Умножение дробей состоит в умножении числителя между ними, а затем знаменателей между ними (постарайтесь упростить дроби до и/или после, если это возможно).

    Пример: $$ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

    Как делить дроби?

    деление дробей можно записать как умножение первой дроби на обратную второй дроби (перестановка числителя и знаменателя). Затем примените технику умножения.

    Исходный код

    dCode сохраняет право собственности на исходный код «Калькулятор с дробями». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Калькулятор с дробями», апплета или фрагмента (конвертер, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Калькулятор с дробями». Фракции» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, сценарий или доступ к API для «Калькулятора с дробями» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
    Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

    Cite dCode

    Копирование и вставка страницы «Калькулятор с дробями» или любых его результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
    Цитировать как источник (библиографию):
    Калькулятор с дробями на dCode.fr [онлайн-сайт], получено 17 сентября 2022 г., https://www.dcode.fr/fractions-calculator

    Сводка

    • Калькулятор дробей
    • Как упростить дроби до неприводимого вида?
    • Как привести к тому же знаменателю?
    • Как складывать дроби?
    • Как вычитать дроби?
    • Как умножать дроби?
    • Как делить дроби?

    Similar pages

    • Math Expression Simplifier
    • Irreducible Fractions
    • Map Scale
    • Boolean Dual
    • Gaussian Elimination
    • Calculator
    • Boolean Expressions Calculator
    • DCODE’S TOOLS LIST

    Поддержка

    • PayPal
    • Patreon
    • Подробнее

    Форум/Справка

    Ключевые слова

    . ,выражение,математика,var,reduce,calculator

    Ссылки


    Калькулятор дробей | iCalculator™

    Используйте этот математический онлайн-калькулятор, чтобы складывать и вычитать дроби.

    Fractions Calculator
    +-

    [ 1030 Votes ]

    What are Дроби?

    С математической точки зрения, дробь — это числовая величина, которая не является целым числом: 1/2, 1/4, 3/8 и т. д.

    Как мне считать дроби?

    В следующих примерах показано, как выполнять математические действия с дробями.

    Как складывать дроби

    Хитрость при сложении дробей заключается в том, чтобы следить за числом под чертой, это число называется Знаменатель . Когда знаменатель обеих дробей один и тот же, сложение дроби простое. Вы просто добавляете числа над строкой (это число называется числителем ).

    Расчет дробей Пример 1: 1⁄3 + 1⁄3 = 2⁄3 Легко, а?

    Теперь сложение дробей становится немного (но только немного) сложнее, когда знаменатели (число внизу, под чертой) дробей, которые вы складываете, не совпадают. Существует простое правило при сложении дробей, номиналы всегда должны быть одинаковыми, математически это называется Общий знаменатель , так как все знаменатели имеют одинаковое «общее» значение.

    Итак, вы пытаетесь сложить дробь и вам нужен общий знаменатель, как его получить? Если вы работаете с двумя дробями, вы можете найти общий знаменатель, просто перемножив знаменатели:

    Пример расчета дроби 2a: 2⁄5 + 3⁄4 наши два знаменателя равны 5 и 4.

    Пример расчета дроби 2b: 5 x 4 = 20 Умножаем их: 20 — наш Общий знаменатель.

    Получилось? Большой. Теперь, чтобы сделать наши исходные дроби эквивалентными дробям .

    Эквивалентная дробь — это дробь одного и того же значения, записанная в другом формате, например, 1/2 совпадает с 2/4 и 5/10.

    Чтобы сделать наши дроби эквивалентными, мы должны выполнить то же действие с верхним числом (числителем), что и с нижним числом (знаменателем) умножьте 3 на 5, как мы ранее умножали 4 на 5.

    Пример расчета дроби 2d: 15/20 эквивалентно дроби 3/4.

    Затем мы повторяем упражнение для другой нашей дроби

    Пример расчета дроби 2e: 4 x 2 = 8 Умножаем 2 на 4, как ранее умножали 5 на 4.

    Пример расчета дроби 2f: 8⁄20 является эквивалентной долей 2/5.

    Отлично, теперь нам нужно сложить две дроби с общими знаменателями, так как мы превратили их в эквивалентные дроби, которые легче складывать.

    Пример расчета дробей 2g: 8/20 + 15/20 = 23/20.

    Наша дробь в этом случае больше единицы (23 части головоломки из 20 частей), поэтому мы можем записать дробь как 1 3/20

    Как вычитать дроби

    Хитрость с вычитанием дробей заключается в том, чтобы следить за число под чертой, это число называется Знаменатель . Когда знаменатель обеих дробей один и тот же, вычитание дроби выполняется просто. Вы просто добавляете числа над строкой (это число называется 9).0145 Числитель ).

    Расчет дробей Пример 1: 2⁄3 — 1⁄3 = 1⁄3 Легко, а?

    Теперь вычитание дробей становится немного (но только немного) более сложным, когда знаменатели (число внизу, под чертой) дробей, которые вы вычитаете, не совпадают. Существует простое правило при вычитании дробей: номиналы всегда должны быть одинаковыми, в математических терминах это называется общим знаменателем , поскольку все знаменатели имеют одинаковое «общее» значение.

    Итак, вы пытаетесь сложить дробь и вам нужен общий знаменатель, как его получить? Если вы работаете с двумя дробями, вы можете найти общий знаменатель, просто перемножив знаменатели:

    Пример расчета дроби 2a: 4/5 + 3/4 наши два знаменателя равны 5 и 4.

    Пример расчета дроби 2b: 5 x 4 = 20 Умножаем их: 20 — наш Общий знаменатель.

    Получилось? Большой. Теперь, чтобы сделать наши исходные дроби Эквивалентные дроби .

    Эквивалентная дробь — это дробь одного и того же значения, записанная в другом формате, например, 1/2 совпадает с 2/4 и 5/10.

    Чтобы сделать наши дроби эквивалентными, мы должны выполнить то же действие с верхним числом (числителем), что и с нижним числом (знаменателем) умножьте 3 на 5, как мы ранее умножали 4 на 5.

    Пример вычисления дроби 2d: 15/20 — эквивалентная доля 3/4.

    Затем мы повторяем упражнение для другой нашей дроби

    Пример вычисления дроби 2e: 4 x 4 = 16 Умножаем 4 на 4, как ранее умножали 5 на 4.

    Пример вычисления дроби 2f: 16⁄20 является эквивалентной долей 4/5.

    Отлично, теперь у нас есть две дроби для вычитания, которые имеют общие знаменатели, так как мы превратили их в эквивалентные дроби, которые легче вычитать.

    Пример расчета дроби 2g: 16/20 — 15/20 = 1/20.

    Тест на дроби

    Хорошо, вы прочитали приведенное выше руководство по сложению и вычитанию дробей, теперь вы эксперт, верно? Хорошо, независимо от того, являетесь ли вы экспертом по дробям или нет, попробуйте приведенный ниже тест дробей. Решите ответы, а затем используйте приведенный выше калькулятор единственных дробей, чтобы проверить свои ответы. Получить их все в порядке? Отлично, теперь вы готовы помочь своей семье с домашним заданием по математике и притвориться, что все это время вы были асом в дробях.

    Тест фракции 1 16–20 — 5–20 =

    Тест фракции 2 12-13 + 5–20 =

    Тест фракции 3 2–3 — 3–9 =

    . 4 16–20 + 15–25 =

    Тест фракции 5 6-10 — 2–9 =

    Тест фракции 6 5–7 + 9–11 =

    Фракционный тест 7 3⁄8 =

    — 1/15 =

    Проверка дроби 8 16/20 + 15/25 =

    Проверка дроби 9 3⁄7 — 3⁄21 =

    Проверка дробей 10 27⁄35 + 15⁄20 =

    Калькулятор дробей | Математический калькулятор

    • Дом
    • Математическая операция
    • Калькулятор дробей

    Калькулятор дробей

    Введите числитель 1

    Введите числитель 2

    +-*/

    Значение знаменателя должно быть больше нуля Введите знаменатель 1

    Знаменатель 2 должен быть больше нуля Введите Знаменатель 2

    Упрощение калькулятора фракций

    Введите числитель

    Войдите в основной

    Введите знаменатель Десятичное значение должно быть больше нуля

    Калькулятор десятичной дроби

    * Десятичное значение Введите десятичное значение Десятичное значение должно быть больше нуля

    Калькулятор дроби в десятичную дробь

    Введите числитель

    Знаменатель должен быть больше нуля Введите знаменатель

    Калькуляторы дробей

    Что такое Калькулятор дробей?

    Пример

    Что такое упрощение дробей?

    Пример

    Что такое десятичная дробь?

    Онлайн-калькулятор дробей с шагами

    w3.org/1999/xhtml» cellspacing=»0″>202020202020202020202020202.

    020202020202020202020202020 2

    0202020202020202 [Jiv…

    Big Sugar

    Лучшие обзоры калькулятора дробей!

    Калькулятор дробей — Заговор

    Не забывайте, используйте наши абсолютно бесплатные онлайн математические калькуляторы только в том случае, если вы уже понимаете, как решать задачи вручную. Конфискованные права или карточка должны быть переданы в районную полицию в течение одного дня после конфискации. Помимо самой игры, на том же сайте есть несколько удобных демонстраторов эквивалентности дробей.

    Для приготовления пищи требуется множество фракций, а в рецептах используется много полчашек и четвертинок. Частое использование дробей бесконечно, и вы должны понимать, как их использовать.

    Вы можете сравнивать несколько дробей. Объясните, что иногда их нужно переименовывать, чтобы с ними было легче работать. Со смешанными дробями работать непросто, и для выполнения расчетов требуется определенное время.

    Вычитание дробей в основном то же самое, что и сложение дробей. Они часто используются в математике, потому что они более точны, чем десятичный эквивалент. Дроби и десятичные дроби просто используются для представления любого числа, которое меньше единицы.

    Калькулятор дробей: больше не тайна

    Одна из проблем с дробями заключается в том, что они имеют разные значения в зависимости от контекста. Результат эквивалентен 23. Он равен 625.

    Должен признаться, что у меня смешанные чувства по поводу этого исследования. Это упражнение будет продолжать держать ваш ум активным и дополнительно поможет быстро проверить ваш ответ, если что-то пойдет не так, тогда вы сможете быстро получить представление о том, где ваш расчет был неверным, и исправить его. Как следствие, мы говорим, что это неопределенное выражение, которое является уникальным типом неопределенного выражения.

    Ложь, которую вам рассказали о калькуляторе дробей

    Финансы требуют особого внимания, поэтому важно всегда считать деньги. Калькулятор SIP покажет, как инвестиции, сделанные небольшими суммами через фиксированные промежутки времени, могут приносить более высокую прибыль в течение длительного времени. Пожалуйста, не обращайтесь за помощью к веб-мастеру.

    Например, один сайт может предложить вам начать откладывать 60 процентов вашего дохода, а другой посоветует вам начать откладывать 30 процентов. Если вы хотите воспользоваться этим правом, свяжитесь с нами, используя контактную информацию, указанную ниже. Пожалуйста, не обращайтесь за помощью к веб-мастеру.

    Текущие математические расчеты можно увидеть на более компактном дисплее, расположенном под наиболее важным экраном калькулятора. Кроме того, метод Calculate должен называться calculate, чтобы следовать соглашениям о кодировании Java. Теперь каждый раз, когда вы сбрасываете или перезапускаете приложение, вам будут отображаться эти значения по умолчанию.

    Как только вы это сделаете, вы просто сложите числители. Числитель позволяет узнать количество определенного качества (знаменатель), с которым вы имеете дело. Дроби, числители и знаменатели которых не имеют одинакового числового значения, не обязательно неравны.

    Чтобы использовать наилучший общий делитель для упрощения дробей, сначала нужно найти наилучший общий делитель числителя и знаменателя. Поэтому, когда вам нужно разделить числитель на число, вам также нужно разделить знаменатель на точно такое же число. 2 знаменателя должны быть изменены в точном знаменателе, прежде чем можно будет добавить.

    Важным моментом в правильном выполнении вычитания дробей является постоянное знание того, что самая важная часть дроби — это число под чертой, называемое знаменателем. Число внизу называется знаменателем. Верхняя половина известна как числитель.

    Хроники калькулятора дробей

    Решение дробных задач в научном калькуляторе или калькуляторе дробей является одной из наиболее важных задач для всех новичков. Нет необходимости в упрощении, так как лучший общий элемент равен 1. В этом разделе можно найти калькуляторы, которые помогут вам с простейшими арифметическими упражнениями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление.

    Нажмите кнопку равенства, если вы закончили со своей дробью. Экран должен отображаться на обложке целого числа 1542. Затем вы можете использовать другие кнопки, чтобы самостоятельно исследовать дробь.

    Этот способ также называется сокращением или уменьшением дроби. Процедура разложения на неполные дроби — это практика нахождения таких числителей. Этот вид пара производится с добавлением тепла выше порога насыщения пара.

    Этот калькулятор целых дробей создан для удовлетворения требований абсолютно всех, кому необходимо иметь дело с дробями. Если вы предпочитаете, подумайте о преобразовании a40 из одного масштаба в другой. Цель игры состоит в том, чтобы сравнить дроби и выбрать ту, у которой максимальное значение.

    Калькулятор дробей — Заговор

    Излишне говорить, что для многих вид пары дробей совсем не аппетитен. Таким образом, более крупный бриллиант будет дороже, чем оба более компактных бриллианта вместе взятых. Удерживая почти все эти руки, ваш покерный калькулятор подскажет вам сбросить карты.

    Принципы калькулятора дробей, которые вы можете изучить, начиная с сегодняшнего дня

    Поскольку в любом случае необходимо написать и метод, и его тест, вы можете сделать это в правильном порядке. Есть еще одно решение, которое вы хотите принять. Пожалуйста, следуйте приведенным ниже инструкциям, чтобы иметь возможность выполнять желаемую операцию с дробями.

    Калькулятор дробей — мошенничество?

    Кроме того, есть несколько инструментов налогового планирования, которые также помогают сократить обязательства, рекомендуя наиболее эффективные планы экономии налогов. Это позволит вам проверить и увидеть, понимаете ли вы такого рода проблемы. Другим недостатком является то, что не так много советов для людей, которые подозревают, что они могут понести дополнительные расходы на здравоохранение или расходы на содержание потенциальных иждивенцев.

    Важным моментом для правильного сложения дробей является постоянное знание того, что основной областью дроби является число под чертой, называемое знаменателем. Этот калькулятор дробей — полезный инструмент, но он не заменит эффективный математический ум! Дробь представляет собой часть целого или множество равных частей.

    Калькулятор дробей — жив или мертв?

    Дробь является следствием деления двух целых чисел. Функция здесь изображает сумму активности мозга, связанную с определенным числом. Если вам нужно упростить, обязательно разделите на лучший общий элемент.

    Калькулятор дробей Обзоры и руководство

    Не забывайте, используйте наши абсолютно бесплатные онлайн математические калькуляторы только в том случае, если вы уже понимаете, как решать задачи вручную. Конфискованные права или карточка должны быть переданы в районную полицию в течение одного дня после конфискации. Помимо самой игры, на том же сайте есть несколько удобных демонстраторов эквивалентности дробей.

    Используемые стратегии безжалостного калькулятора дробей

    В этом тесте вам будет предоставлен набор дробей и вам будет предложено упростить их настолько, насколько вы сможете. Частое использование дробей бесконечно, и вы должны понимать, как их использовать.

    Вам будет показана последовательность дробей напрямую. Для начала сократите дробь, если она еще не уменьшена. Хотя дроби не считаются слишком сложным понятием в современной алгебре, некоторым может показаться сложным управлять дробями, даже если мы говорим о выполнении довольно простых операций.

    Калькулятор умножения 3-х дробей — это простой и совершенно бесплатный онлайн-инструмент, с помощью которого можно легко вычислить произведение 3-х дробей. Они являются одним из самых больших ночных кошмаров в математике для большинства людей. Умножение и деление двух дробей.

    Что нужно сделать, чтобы узнать о калькуляторе дробей до того, как вас забросят

    Очевидно, что другой порядок дает тот же результат. По правде говоря, этого следовало ожидать. На самом деле, в одном смысле это не так.

    Должен признаться, у меня смешанные чувства по поводу этого исследования. Это упражнение будет продолжать держать ваш ум активным и дополнительно поможет быстро проверить ваш ответ, если что-то пойдет не так, тогда вы сможете быстро получить представление о том, где ваш расчет был неверным, и исправить его. Если выражение имеет десятичное число, вам нужно ожидать, что ответ будет в десятичной форме.

    Калькулятор дробей — Обзор

    Есть несколько причин, по которым вы должны выбрать лучший интернет-калькулятор там, где вы находитесь. Он генерирует точную налогооблагаемую сумму вместе с налогами, подлежащими уплате, чтобы помочь инвесторам легко подать налоговую декларацию. Во-первых, он путает количество транзакций с диапазоном платежей.

    Например, один сайт может предложить вам начать откладывать 60 процентов вашего дохода, а другой посоветует вам начать откладывать 30 процентов. Чтение интернет-обзоров будет иметь решающее значение, если вы обратитесь за услугами к экспертам, которые имеют опыт работы с лучшими интернет-калькуляторами. Здесь вы найдете простую информацию и советы о том, как упростить дробь.

    Подробная информация о калькуляторе фракций

    После того, как будет введена необходимая информация, рассчитанная солнечная фракция будет представлена ​​в базе электронной таблицы. Есть много причин использовать программный калькулятор, который имеет все функции дорогой физической версии. Калькулятор с кнопкой дроби — частый выбор для максимально научных вычислений наряду с графическими калькуляторами.

    Ловушка калькулятора дробей

    Из вышеизложенного мы уже знаем, что существуют эквивалентные дроби, которые имеют одинаковые значения, даже если у них разные числители и знаменатели. Если вам нужна смешанная дробь, вы можете получить новые числа.

    Конечным результатом будет новый числитель, а знаменатель останется прежним. Просто продолжайте упрощать дробь до тех пор, пока ее нельзя будет упростить. Процедура может немного усложниться, если мы столкнемся с обстоятельствами, когда знаменатели дробей, участвующих в расчете, различны.

    Важным моментом в правильном выполнении вычитания дробей является постоянное знание того, что самая важная часть дроби — это число под чертой, называемое знаменателем. Верхнее число известно как числитель, а нижнее число известно как знаменатель. Верхняя половина известна как числитель.

    Что необходимо знать о калькуляторе дробей

    CAS встроен в графический калькулятор HP 40gs для облегчения манипуляций, когда речь идет о числовых трудностях, которые необходимо решить. Основная причина заключается в том, что он использует алгоритм Евклида для сокращения дробей, который доступен на The Math Forum. Затем калькулятор попросит вас угадать, где находится точка пересечения.

    Нажмите кнопку равенства, если вы закончили со своей дробью. Клиентов следует попросить вынуть свое удостоверение личности из своего кошелька, чтобы с ним можно было работать и проверять его на наличие признаков изменения. Выберите любую операцию, которую вы хотите.

    Принципы калькулятора дробей, которые вы сможете изучить с самого начала

    Этот способ также называется сокращением или уменьшением дроби. Процедура разложения на неполные дроби — это практика нахождения таких числителей. При выборе оператора результат будет показан ниже после знака равенства.

    Следующим шагом является преобразование дроби в отношение. По мере того, как масштаб становится меньше, достоверность измерения снижается, потому что ряд особенностей на карте должен быть преувеличен, чтобы их можно было легко идентифицировать. Цель игры состоит в том, чтобы сравнить дроби и выбрать ту, у которой максимальное значение.

    Калькулятор битв фракций и как его выиграть

    В конце концов, это бесплатно, так что вы вряд ли захотите что-то еще. Поэтому, если кто-то спросит вас, сколько седьмых содержится в трех четвертях или что-то в этом роде, вы будете знать, что делать. Никто не хочет избавляться от денег, но всем хотелось бы, чтобы они приумножались.

    Правда о калькуляторе дробей

    Наш калькулятор выполняет широкий спектр операций, которые очень просто выполнить вручную. Вам не будут показаны какие-либо шаги относительно того, как был выполнен этот расчет. Вам больше не нужно составлять дроби на бумаге, а потом решать их шаг за шагом, у нас есть калькулятор специально для вас, чтобы не проходить традиционную процедуру решения дробей, которая утомительна.

    На самом деле их масштабы настолько велики, что полностью подрывают эффективные процедуры повторного использования в дальнейшем. Что касается коммуникации, то эта метрика просто гениальна, особенно для тех, кто хочет создать аргумент против PoW Биткойна. Использование калькулятора является хорошим средством для самопроверки того, что вы поняли свою дробь!

    Общий вес всех бриллиантов составляет одну точку двадцать семь карат. Очевидно, калькулятор сможет помочь вам составить такую ​​таблицу. Дробь представляет собой часть целого или множество равных частей.

    Дробь является следствием деления двух целых чисел. Функция здесь изображает сумму активности мозга, связанную с определенным числом. Если вам нужно упростить, обязательно разделите на лучший общий элемент.

    Особенности калькулятора дробей

    Ключевой особенностью здесь является главный индекс. Если вам необходимо изменить числитель, вы всегда можете вернуться к верхнему полю, нажав клавишу курсора вверх. Шаблон суммирования может использоваться для получения суммы последовательности.

    Важным моментом для правильного сложения дробей является постоянное знание того, что основной областью дроби является число под чертой, называемое знаменателем. Этот калькулятор дробей — полезный инструмент, но он не заменит эффективный математический ум! 1 подход к пониманию дроби как части целого.

    Поиск онлайн-калькулятора дробей

    Проверьте свои ответы на домашнее задание с помощью образца решения в качестве руководства, которое позволит вам ответить на вопросы, которые вам не нужны. Одним из основных преимуществ использования этого сайта является возможность узнать массу информации об операциях с дробями, поэтому вскоре вы сможете выполнять такие операции и решать задачи самостоятельно. Хорошим примером этого является то, как он рассматривает инфляцию в здравоохранении.

    В отличие от семерки, эта большая сумма может состоять из множества разных чисел. Давайте перейдем к выражениям, которые немного сложнее. Выполнение работы быстрее и эффективнее поможет вам заработать больше денег в целом.

    Особенности калькулятора дробей

    По их мнению, вы можете создать абстрактный класс. Понимание того, как находить и использовать дроби, поможет вам, когда вы столкнетесь с повседневными делами в своей жизни. Узнайте о дробях с помощью этой увлекательной игры для детей.

    Варианты калькулятора высших дробей

    Вы просто используете произведение обоих знаменателей в качестве частого знаменателя. Затем, чтобы получить числитель ответа, умножьте оба числителя исходных дробей. Дроби, числители и знаменатели которых не имеют одинакового числового значения, не обязательно неравны.

    Наибольший общий вид — это наибольшее число, используемое для деления числителя и знаменателя для нахождения простейшего типа дроби. Самый простой способ — умножить оба знаменателя. По правде говоря, подойдет любой частый знаменатель, но люди предпочитают встречаться с наименьшим знаменателем.

    Важным моментом в правильном выполнении вычитания дробей является постоянное знание того, что самая важная часть дроби — это число под чертой, называемое знаменателем. Самая лучшая часть известна как числитель и говорит нам, сколько этих частей у нас есть. Достаточно просто понять, что две половины составляют одну, но как насчет того, чтобы попытаться вычислить разницу между двумя дробями, у которых разные знаменатели.

    Значок с тремя полосками в левом верхнем углу откроет окно настроек, в котором вы сможете изменить значения по умолчанию, которые будут использоваться в виде дробей при каждом запуске приложения. Есть много причин использовать программный калькулятор, который имеет все функции дорогой физической версии. Калькулятор с кнопкой дроби — частый выбор для максимально научных вычислений наряду с графическими калькуляторами.

    Последующее число затем показывается деленным на точно такую ​​же степень 10, чтобы представить исходное число дроби. Есть 3 различных уровня. Найдите эти величины.

    Моим ученикам очень помогли простые пошаговые инструкции и объяснения того, как работает формула. Процедура использования нашего калькулятора для определения наклона линии очень проста и оптимизирована. Вам больше не нужно составлять дроби на бумаге, а потом решать их шаг за шагом, у нас есть калькулятор специально для вас, чтобы не проходить традиционную процедуру решения дробей, которая утомительна.

    Существует множество причин, по которым стоит выбрать лучший интернет-калькулятор в том месте, где вы находитесь. Он генерирует точную налогооблагаемую сумму вместе с налогами, подлежащими уплате, чтобы помочь инвесторам легко подать налоговую декларацию. Во-первых, он путает количество транзакций с диапазоном платежей.

    Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться к нам по электронной почте eBay. Чтение интернет-обзоров будет иметь решающее значение, если вы обратитесь за услугами к экспертам, которые имеют опыт работы с лучшими интернет-калькуляторами. Пожалуйста, не обращайтесь за помощью к веб-мастеру.

    Еще одна вещь, которую вы должны знать об онлайн-калькуляторах, это то, что они просты в использовании и, следовательно, вы можете избежать любых неудобств. Упражнение может очень легко соединиться с понятием умножения. К счастью, вы можете обойти проблему.

    Однако утверждения, основанные на фактах, могут оказаться сильнее. Это упражнение будет продолжать держать ваш ум активным и дополнительно поможет быстро проверить ваш ответ, если что-то пойдет не так, тогда вы сможете быстро получить представление о том, где ваш расчет был неверным, и исправить его. Как следствие, мы говорим, что это неопределенное выражение, которое является уникальным типом неопределенного выражения.

    Калькулятор дробей может быть интересен каждому

    Также существует ряд других форм расчета дробей. Кроме того, это также бесценно для понимания того, как преобразовать градусы Цельсия в градусы Фаренгейта. Смешанная дробь включает в себя целое число и дробь.

    Следующим шагом будет преобразование дроби в отношение. Если вы предпочитаете, подумайте о преобразовании a40 из одного масштаба в другой. Изготовление графена из углекислого газа было продемонстрировано в лабораторных масштабах в различных процессах.

    Fraction Frog — это интернет-калькулятор дробей, который не просто предлагает ответ на вопрос о дробях. Дроби могут быть отрицательными, но в этом калькуляторе нельзя делать отрицательные записи. Напишите тесты для всех общедоступных методов в Fraction.

    Возможно, вам потребуется сначала ввести общие знаменатели дробей. Умножать дроби просто, просто умножайте прямо. Упрощение дробей часто требуется, когда ваш ответ не соответствует форме, необходимой для задания.

    Отсюда можно при необходимости упростить дробь. Для начала сократите дробь, если она еще не уменьшена. Хотя дроби не считаются слишком сложным понятием в современной алгебре, некоторым может показаться сложным управлять дробями, даже если мы говорим о выполнении довольно простых операций.

    Двадцать пять двести: Склонение числа «225 (двести двадцать пять)» по падежам / Просклонять 225 (двести двадцать пять) по падежам

    Склонение числительного 225 (Двести двадцать пять) по падежам

    Склонение числительного 225 по падежам: именительный, родительный, дательный, винительный, творительный, предложный. Удобный поиск склонений для слов, более 83451 слов в нашей базе. Посмотрите обучающий видео урок  как правильно склонять числительные.

    ПадежВопросСлово
    именительныйКто, что?двести двадцать пять
    родительныйКого, чего?двухсот двадцати пяти
    дательныйКому, чему?двумстам двадцати пяти
    винительныйКого, что?двести двадцать пять
    творительныйКем, чем?двумястами двадцатью пятью
    предложныйО ком, о чём?о двухстах двадцати пяти

    Важно знать о склонении слов

    Склонение существительных

    Изменение имён существительных по падежам характеризуется изменением их окончаний, которые называются падежными формами. Всего в русском языке существует шесть падежей, каждый из которых имеет свой вспомогательный вопрос.

    Для того, чтобы определить падеж имени существительного, нужно попробовать задать к нему один из вспомогательных вопросов.

    Также существуют несклоняемые имена существительные, т.е. те, которые имеют во всех падежах одну и ту же форму. К несклоняемым относятся как имена нарицательные (например, «кофе» или «какао»), так и имена собственные (например, «Гёте»).

    Как правило, несклоняемыми существительными оказываются слова, заимствованные из иностранных языков. Они могут относиться ко всем трем родам.

    Склонение имен числительных

    Склонение числительных не имеет единого образца, оно представлено несколькими типами:

    1. Числительное один склоняется как прилагательное в единственном числе: один — одного (новый — нового).
    2. Числительные от пяти до десяти и числительные на -дцать и -десят склоняются как существительные 3-склонения. У числительных на -десят два окончания, так как изменяются обе части: пятидесяти, пятьюдесятью.
    3. Числительные сорок, девяносто, сто, полтора и полтораста, изменяясь по падежам, имеют только две формы: именительный и винительный падежи — сорок, девяносто, сто, полтора, полтораста; родительный, дательный, творительный, предложный падежи — сорока, девяноста, ста, полутора, полутораста.
    4. Числительные от двухсот до четырехсот и от пятисот до девятисот склоняются по особому типу.
    5. Собирательные числительные также склоняются по особому типу. Числительные оба, обе имеют два разных варианта склонения.
    6. Простые порядковые числительные склоняются как прилагательные: первый (новый) — первого (нового). У сложных порядковых числительных только одно окончание. У составных порядковых числительных изменяется только последняя часть.
    7. У дробных числительных при склонении изменяются обе части.

    Склонение прилагательных

    Склонение прилагательных – это изменение их по родам, падежам и числам.

    Однако не все прилагательные изменяются и по родам, и по числам, и по падежам. Краткие прилагательные не изменяются по падежам, а прилагательные в форме простой сравнительной степени вообще не склоняются.

    Для того, чтобы правильно склонять имена прилагательные, нужно знать их падежные вопросы в обоих числах.

    Важно понимать, что окончание прилагательного можно проверить окончанием вопроса.

    Видеоурок. Русский язык. Склонение имен числительных

    Склонение других чисел

    двести двадцать четыре двести двадцать шесть двести двадцать семь двести двадцать девять двести двадцать восемь двести тридцать два двести тридцать двести тридцать три сто шестьдесят три сто шестьдесят четыре



    Ещё никто не оставил комментария, вы будете первым.


    Начинается с цифры

    1 2 3 4 5 6 7 8 9


    ИБ1429.25-200 Пресс листогибочный гидравлический

    Производитель: Завод ПромСтройМаш

    Модель: ИБ1429.25-200

    Артикул: PSMK160031

    Цена: договорная

    Запросить КП

    Завод ПромСтройМаш является непосредственным производителем ИБ1429.25-200 Мы производим и продаём Пресс листогибочный гидравлический ИБ1429.25-200 во все регионы РФ и страны ближнего зарубежья, такие как Беларусь, Казахстан. ИБ1429.25-200 нашего производства хорошо зарекомендовали себя в Москве, Ярославле, Нижнем Новгороде, Екатеринбурге, Новосибирске и других городах России. Купить ИБ1429.25-200 вы можете непосредственно у нас или у наших дилеров.Усилие 80т;
    Ширина стола 2500мм;
    Система ЧПУ Estun 200P

    По Техническому Заданию заказчика прессы гидравлические листогибочные могут изготавливаться с шириной стола до 5000 мм, усилием до 200т, при этом могут измениться габаритные размеры и масса пресса. Подробное ТКП можно получить после предоставления Технического Задания.

    Пресс листогибочный гидравлический — предназначен для сгибания листового металла путём создания прямых гибочных усилий воздействующих на металл посредством гибочного инструмента(пуансон-матрица), пресса применяются для выполнения качественных повторяющихся гибов, например, при производстве фасадных кассет, металлических дверей, электрошкафов, приточно вытяжных систем, фильтров, облицовочных панелей и т.д.

    Усилие, т80
    Длина рабочего стола, мм2500
    Расстояние между колоннами, мм2010
    Глубина зева, мм250
    Ход пуансона, мм100
    Скорость хода траверсы рабочая, мм/с10
    Скорость обратного хода, мм/с80
    Мощность двигателя, кВт7. 5
    Габариты (ДхШхВ), мм2610х1730×2250
    Масса, кг5940

    Подробное описание: ИБ1429.25-200

    Общие сведения:

    Пресс листогибочный гидравлический имеет жесткое (через трубчатую траверсу) соединение двух силовых гидроцилиндров для синхронизации их работы. Эта схема проста и надёжна, применяется всеми мировыми производителями листогибочных прессов.

    Жесткость пресса обеспечивается прочной, сварной рамой, прошедшей термическую обработку для снятия напряжений.

    Мощные гидроцилиндры и надёжная гидравлическая система с компонентами, поставляемыми ведущими мировыми производителями, позволяют производить операции гибки с высокой скоростью и точностью.

    Станок оснащен ЧПУ Estun E210. Управление по оси Y осуществляется ЧПУ путем задания угла гиба, который затем пересчитывается к в положение механического упора, находящегося в гидроцилиндре. Это обеспечивает высокую точность и стабильность результата. Управление по оси X так же осуществляется ЧПУ. Перемещение упора по «Х» осуществляется шаговым двигателем через высокоточную ШВП с направляющими. Приводы по осям представляют собой комплектные сервоприводы (КСП) производства Estun

    Стандартная комплектация гибочного пресса:

    ЧПУ

    Estun E200P

    Приводы по осям

    Комплектные сервоприводы (КСП) производства Estun

    Клапаны

    Bosch-Rexroth

    Электроавтоматика

    Siemens и Schneider

    Масляный насос

    Шестеренный

    Инструмент

    Матрица 4-сторонняя/пуансон AMADA Promecam

    Оснащение заднего упора (пальцы)

    2 штуки

    Уплотнения г/ц

    NOK Japan

    Пульт управления

    На поворотном кронштейне

    Педаль управления

    Выносная, с кнопкой аварийного останова

    Профили, получаемые при использовании листогиба:

    Особенности гидравлического гибочного пресса:
    • Оптимальное сочетание цены и качества

      Недорогой и надежный станок для выполнения широкого круга работ с высокой повторяемостью изделий.

    • Широкий спектр функциональных характеристик

      Большой выбор размеров и функций позволяет выполнить практически любые требования производства.

    • Высокая производительность

      Мощные гидроцилиндры и надежная гидравлическая система позволяют производить операции гибки с высокой скоростью.

    • Надежность и износостойкость конструкции

      Конструкция пресса сварена из стальных плит, прошедших термическую обработку для снятия напряжения.

    • Точность и простота настройки на работу с необходимой толщиной листа

      Манометр и регулятор усилия пресса позволяет точно настраивать пресс на работу с необходимой толщиной листа.

    • Простота в использовании

      На фронтальной части расположены кронштейны поддержки листа с регулируемым перекидным упором, облегчающие точное расположение листа на матрице.

      Большой просвет между плитами и большая рабочая поверхность обеспечивает оптимальное выполнение работы по всей рабочей длине.

    • Безопасность

      Наличие бокового и заднего защитного ограждения обеспечивает защиту от несанкционированного доступа людей в опасную зону. 


     Описание составных частей:

    Панель управления

    Справа от траверсы на поворотном кронштейне расположена панель управления. На панели управления расположен ЧПУ Estun E200P (память на 40 программ по 25 гибов в каждой программе, встроенная библиотека инструмента), на котором отображаются заданные и текущие положения рабочих органов по осям.

    С панели управления можно задать как координату «Y» (погружения ножа в матрицу) так и координату «Х» (перемещать ограничители подачи листа на нужную позицию). Также на панели управления расположен переключатель режима работы (толчковый/автоматический) и кнопка аварийного останова.


      Штанга положений подвижной траверсы

    При помощи ползунов, расположенных на дополнительной штанге, можно быстро задать высоту подъема ножа и устанавливать границу переключения скорости подачи и рабочего хода пуансона.


     Защита задней стенки

    Предохраняет от несанкционированного доступа посторонних людей в зону заднего упора.


     Концевой выключатель безопасности

    Отключает питание станка в случае открытия задней стенки.


     Синхронизация работы цилиндров через торсионный вал.


     T-образный паз на рабочем столе

    Служит для закрепления нижнего инструмента любых, даже нестандартных размеров и установки кронштейнов передней поддержки листа.


     Электро-шкаф

    Служит для размещения электрооборудования станка. В станках серии K используется электрооборудование компаний Siemens и Schneider Electric.


     Стандартные матрица и пуансон

    Верхний инструмент (Пуансон) имеет тип крепления AMADA-Promecam.

    Нижний инструмент (Матрица)– многоручьевая 4-х сторонняя матрица.


     Гидравлическая система Bosch-Rexroth (Германия)


    Дополнительные опции:

    Бомбирование ручное

    Позволяет корректировать форму стола для получения оптимального результата при гибки изделия с большим усилием и/или большой длины.


     

    Быстросъемный инструмент

    В разы ускоряет процесс смены инструмента.


     

    Задний упор с линейными направляющими

    Высокая точность базирования. Не требуется калибровка упора при перемещении пальцев.

    ИБП ИМПУЛЬС серии МУЛЬТИПЛЕКС 25-200 кВА

    • Главная
    • ИБП
    • Модульные ИБП

    Максимальная гибкость для защиты критически важных приложений

    Серия ИБП МУЛЬТИПЛЕКС – это масштабируемая система, выполненная по технологии двойного преобразования, с возможностью горячей замены модулей. Мощность системы варьируется от 25 до 200 кВА/кВт, что делает ее идеальным выбором для современного дата-центра. В силовых модулях используется новейшая трехуровневая IGBT-технология и технология полного DSP контроля, что делает систему МУЛЬТИПЛЕКС лучшей комбинацией надежности и гибкости.

    Области применения

    • IDC (Интернет дата-центры)
    • Коммутаторы, маршрутизаторы, сетевое оборудование
    • Системы контроля и управления
    • Коммуникационные системы
    • Серверные и рабочие станции
    • Дежурное освещение

    Серия МУЛЬТИПЛЕКС мощностью 25-200 кВА

    Преимущества

    • Высокая плотность мощности. Используемые силовые модули позволяют значительно сэкономить место и при этом легко масштабируются по мощности
    • Модульная архитектура дизайна. Модульный дизайн, возможность установки в стандартный 19″ шкаф, удобство интеграции с серверами
    • Холодный старт от батарей. ИБП МУЛЬТИПЛЕКС может быть запущен от батарей без подачи питания
    • Дружественный интерфейс. Цветной сенсорный графический дисплей с диагональю 7″ предоставляет всю необходимую информацию для пользователя

    Инструкции МУЛЬТИПЛЕКС 25-200 кВА

    Техническое описание (pdf)

    Решения на базе силовых модулей МУЛЬТИПЛЕКС СМ25

    МУЛЬТИПЛЕКС 150-25

    МУЛЬТИПЛЕКС 150-25

    Мощность готовых решений: 25-150 кВА / 25-150 кВт

    • Силовой модуль: СМ25 (25 кВА)
    • Мощность: 25 кВА / 25 кВт
    • Число фаз (вход/выход): 3/3
    • Габариты: 436х677х85 мм
    • Вес: 18 кг
    • Силовой шкаф: СТ150
    • Габариты шкафа: 482x916x931 мм
    • Максимальное количество модулей: 6 шт
    • Вес: 140 кг

    Варианты модульных ИБП на базе шкафа СТ150 и силового модуля СМ25

    Название:

    Мощность:

    Кол-во модулей:

    Свободные слоты:

    25 кВА / 25 кВт

    1

    5

    50 кВА / 50 кВт

    2

    4

    75 кВА / 75 кВт

    3

    3

    100 кВА / 100 кВт

    4

    2

    125 кВА / 125 кВт

    5

    1

    150 кВА / 150 кВт

    6

    0

    МУЛЬТИПЛЕКС 200-25

    МУЛЬТИПЛЕКС 200-25

    Мощность готовых решений: 25-200 кВА / 25-200 кВт

    • Силовой модуль: СМ25 (25 кВА)
    • Мощность: 25 кВА / 25 кВт
    • Число фаз (вход/выход): 3/3
    • Габариты: 436х677х85 мм
    • Вес: 18 кг
    • Силовой шкаф: СТ200
    • Габариты шкафа: 482x916x1550 мм
    • Максимальное количество модулей: 8 шт
    • Вес: 160 кг

    Варианты модульных ИБП на базе шкафа СТ200 и силового модуля СМ25

    Название:

    Мощность:

    Кол-во модулей:

    Свободные слоты:

    25 кВА / 25 кВт

    1

    7

    50 кВА / 50 кВт

    2

    6

    75 кВА / 75 кВт

    3

    5

    100 кВА / 100 кВт

    4

    4

    125 кВА / 125 кВт

    5

    3

    150 кВА / 150 кВт

    6

    2

    175 кВА / 175 кВт

    7

    1

    200 кВА / 200 кВт

    8

    0

    Силовые модули

    Силовые шкафы

    Силовой шкаф МУЛЬТИПЛЕКС СТ150

    • Тип: on-line
    • Число фаз на (вход/выход): 3/3
    • Габариты: 482x916x931 мм
    • Макс. кол-во модулей: 6
    • Силовой модуль: СМ25
    • Вес: 140 кг

    Подробнее

    Силовой шкаф МУЛЬТИПЛЕКС СТ200

    • Тип: on-line
    • Число фаз на (вход/выход): 3/3
    • Габариты: 482x916x1550 мм
    • Макс. кол-во модулей: 8
    • Силовой модуль: СМ25
    • Вес: 160 кг

    Подробнее

    Отзывы наших клиентов

    BSG 25-200-010 BSG Комплект передних тормозных колодок

    Комплект передних тормозных колодок

    0 из 10

    BSG

    BSG 25-200-010

    Толщина: 18 мм

    проверочное значение: R90 Homologated

    Длина: 123 мм

    Вес: 1,4 кг

    Количество датчиков износа: 2 на ось

    Высота 1: 53,4 мм

    Датчик износа: вкл. датчик износа

    Тормозная система: Bosch

    Сторона установки: передний мост

    номер компонента: BSG 25-200-010

    Показать все характеристики для BSG BSG 25-200-010

    Показать для каких автомобилей подходит BSG BSG 25-200-010

    Оригинальные номера производителей аналогом которых является BSG BSG 25-200-010

    Комплект тормозных колодок

    10 из 10

    Производитель: Bosch

    Артикул: 0 986 424 597

    Датчик износа: с интегрированным датчиком износа

    Дополнительный артикул / Дополнительная информация: с аксессуарами

    Дополнительный артикул / дополнительная информация 2: с прижимной пластиной

    Дополнительный артикул / дополнительная информация 2: с винтами

    Материал: Low-Metallic

    проверочное значение: ECE-R90

    WVA номер: 23705

    Толщина: 17 мм

    Ширина: 122,8 мм

    Высота: 53,3 мм

    Тормозная система: Bosch

    склад спб

    2 085 ₽

    (21)

    Все характеристики Применимость

    Комплект передних тормозных колодок

    7 из 10

    Производитель: Bosch

    Артикул: 0 986 495 255

    Номера артикулов рекомендуемых комплектующих: 1 987 474 282

    Сторона установки: передний мост

    Материал: Low-Metallic

    проверочное значение: ECE-R90

    WVA номер: 21436

    Толщина: 17 мм

    Ширина: 114,8 мм

    Высота: 54,7 мм

    склад спб

    1 334 ₽

    (17)

    Все характеристики Применимость

    Комплект тормозных колодок FIAT BRAVO II, DOBLO, LINEA, PANDA, PUNTO

    8 из 10

    Производитель: Ferodo

    Артикул: FDB1466W

    Толщина: 17,1 мм

    проверочное значение: R90 Homologated

    Длина: 123 мм

    Вес: 1,1 кг

    Количество датчиков износа: 1 на ось

    Высота 1: 53,4 мм

    Датчик износа: вкл. датчик износа

    Тормозная система: Bosch

    Дополнительный артикул / дополнительная информация 2: с винтами тормозных сателлитов

    WVA номер: 23705

    WVA номер: 23706

    склад спб

    1 955 ₽

    (12)

    Все характеристики Применимость

    Комплект тормозных колодок

    9 из 10

    Производитель: Delphi

    Артикул: LP1722

    WVA номер: 23705 23706 23707 23

    Тормозная система: Bosch

    Длина: 122,8 мм

    Высота: 53,3 мм

    Толщина 1: 17,8 мм

    Толщина 2: 17,8 мм

    склад спб

    3 011 ₽

    (12)

    Все характеристики Применимость

    Комплект тормозных колодок LAGUNA II 01=> MEGANE II-LATITUDE-VECTRA C 03=> FOCUS II 05=> CONNEC 06=> PRIMERA 02=>

    5 из 10

    Производитель: Opar

    Артикул: 872482

    склад спб

    1 159 ₽

    Колодки тормозные дисковые

    6 из 10

    Производитель: Vite

    Артикул: VBS1464PS

    склад псков

    1 362 ₽

    Найти фото товара в интернете

    Тормозные колодки

    0 из 10

    Производитель: Alfa/Fiat/Lancia

    Артикул: 77366134

    fitment_axle_original_name: front

    Ось установки: передняя ось

    2 056 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Комплект монтажный тормозных колодок

    4 из 10

    Производитель: Frenkit

    Артикул: 901298

    Сторона установки: передний мост

    Сторона установки: задний мост

    Тормозная система: Bosch

    49

    шт.

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    0 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (9)

    Применимость

    Комплект передних тормозных колодок

    3 из 10

    Производитель: ZEKKERT

    Артикул: BS-1167

    Сторона установки: передний мост

    ограничение производителя: BOSCH

    Длина: 122,7 мм

    Ширина: 53,1 мм

    Толщина: 17 мм

    Датчик износа: с интегрированным датчиком износа

    Длина предупреждающего контакта: 216 мм

    Количество датчиков износа: 1 на ось

    проверочное значение: E11 90R-01184/3623

    Вес: 1,41 кг

    Поставщик — дилер данного бренда

    20

    шт.

    2 дн

    Показать сроки доставки

    1 254 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (5)

    Все характеристики Применимость

    Колодки тормозные дисковые

    5 из 10

    Производитель: Sct

    Артикул: SP357

    4 дн

    Показать сроки доставки

    1 371 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (1)

    Комплект передних тормозных колодок

    2 из 10

    Производитель: Hi-Q

    Артикул: SP1201

    WVA номер: 23705

    WVA номер: 23706

    WVA номер: 23707

    WVA номер: 23979

    WVA номер: 23982

    Сторона установки: передний мост

    Внутренняя ширина: 123,00 мм

    Высота внутри: 53,30 mm

    Толщина 1: 17,80 мм

    выполняет нормы ЕЭК: E11 90R-02A01186/246

    50

    шт.

    4 дн

    Показать сроки доставки

    1 493 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (4)

    Все характеристики Применимость ОЕМ номера

    Колодки тормозные дисковые

    3 из 10

    Производитель: Kujiwa

    Артикул: KUR2702

    88

    шт.

    3 дн

    Показать сроки доставки

    1 701 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Комплект передних тормозных колодок

    2 из 10

    Производитель: Fenox

    Артикул: BP43205

    Сторона установки: передний мост

    Толщина: 17 мм

    Ширина: 123 мм

    Высота: 53,3 мм

    Датчик износа: с интегрированным датчиком износа

    Датчик износа: с звуковым предупреждением износа

    5 дн

    Показать сроки доставки

    1 704 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    0 дн

    Показать сроки доставки

    1 796 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (20)

    Все характеристики Применимость

    Колодки тормозные дисковые

    1 из 10

    Производитель: Lex

    Артикул: 23705

    5 дн

    Показать сроки доставки

    1 717 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Комплект тормозных колодок

    4 из 10

    Производитель: Mintex

    Артикул: MDB2239

    Ширина: 122,8 мм

    Высота: 53,3 мм

    Толщина: 17,8 мм

    Датчик износа: с интегрированным датчиком износа

    Количество датчиков износа: 1 на ось

    Дополнительный артикул / дополнительная информация 2: с винтами тормозных сателлитов

    Дополнительный артикул / Дополнительная информация: с аксессуарами

    WVA номер: 23705

    Тормозная система: Bosch

    Номера артикулов рекомендуемых комплектующих: MBA1298

    Длина упаковки: 15,2 см

    Ширина упаковки: 8,8 см

    Высота упаковки: 8,4 см

    4 дн

    Показать сроки доставки

    2 274 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Поставщик — дилер данного бренда

    20

    шт.

    2 дн

    Показать сроки доставки

    3 269 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (3)

    Все характеристики Применимость ОЕМ номера

    Комплект задних тормозных колодок

    1 из 10

    Производитель: Nibk

    Артикул: PN2702

    Сторона установки: задний мост

    Длина 1: 123 мм

    Длина 2: 123,1 мм

    Высота 1: 51 мм

    Высота 2: 51,8 мм

    Толщина: 16 мм

    3 дн

    Показать сроки доставки

    3 805 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    0 дн

    Показать сроки доставки

    3 936 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (29)

    Все характеристики Применимость

    Ремкомплект суппорта передний PEUGEOT 107 BOXER / FIAT PANDA 09-03-> / / OPEL AGILA / SUZU

    0 из 10

    Производитель: Segmatic

    Артикул: SG700082

    4 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    16

    шт.

    3 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (2)

    Комплект установочный тормозных колодок FORD MONDEO 00- TOYOTA AVENSIS 03- VW GOLF IV JETTA 05-

    0 из 10

    Производитель: MasterKit

    Артикул: 77AA027

    Info1: Тормозная система: Bosch

    Ось установки: передняя ось

    3 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Поставщик — дилер данного бренда

    20

    шт.

    2 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (13)

    Комплект передних тормозных колодок

    0 из 10

    Производитель: Dynamatrix-Korea

    Артикул: DBP1946

    Количество тормозных колодок: 4

    Качество: R90 Homologated

    Вес: 1,4 кг

    WVA номер: 23705

    Сторона установки: передний мост

    Длина: 123 мм

    Ширина: 53,4 мм

    Толщина: 18 мм

    Датчик износа: вкл. датчик износа

    Количество датчиков износа: 2 на ось

    Тормозная система: Bosch

    75

    шт.

    3 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (4)

    Все характеристики Применимость ОЕМ номера

    Комплект передних тормозных колодок

    0 из 10

    Производитель: Stellox

    Артикул: 000 243B-SX

    Сторона установки: передний мост

    Длина: 123 мм

    Толщина: 17,4 мм

    Высота: 51,7 мм

    49

    шт.

    4 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    50

    шт.

    3 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (3)

    ОЕМ номера

    Комплект передних тормозных колодок

    0 из 10

    Производитель: Stellox

    Артикул: 425 020-SX

    Сторона установки: передний мост

    Длина: 114,9 мм

    Толщина: 17 мм

    Высота: 55,4 мм

    Тормозная система: Bendix

    проверочное значение: E190R-01022/601

    Вес: 1,024 кг

    5 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    50

    шт.

    3 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (4)

    Все характеристики Применимость ОЕМ номера

    Комплект тормозных колодок

    0 из 10

    Производитель: Stellox

    Артикул: 425 020B-SX

    Сторона установки: передний мост

    Длина: 114,9 мм

    Толщина: 17 мм

    Высота: 55,4 мм

    5 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    50

    шт.

    3 дн

    Показать сроки доставки

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (4)

    ОЕМ номера

    Колодки тормозные дисковые

    0 из 10

    Производитель: Lex

    Артикул: 23708

    18

    шт.

    3 дн

    Показать сроки доставки

    1 077 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (5)

    Комплект передних тормозных колодок

    0 из 10

    Производитель: MILES

    Артикул: E100201

    ограничение производителя: BOSCH

    Сторона установки: передний мост

    Длина: 136,8 мм

    Высота: 57,3 мм

    Толщина: 18,6 мм

    Датчик износа: с звуковым предупреждением износа

    Дополнительный артикул / дополнительная информация 2: с винтами тормозных сателлитов

    Дополнительный артикул / Дополнительная информация: с аксессуарами

    проверочное значение: E9 90R — 01107/1407

    10

    шт.

    4 дн

    Показать сроки доставки

    1 101 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (4)

    Все характеристики Применимость

    Комплект передних тормозных колодок

    0 из 10

    Производитель: MILES

    Артикул: E400201

    ограничение производителя: BOSCH

    Сторона установки: передний мост

    Длина: 136,8 мм

    Высота: 57,3 мм

    Толщина: 18,6 мм

    Датчик износа: с звуковым предупреждением износа

    Дополнительный артикул / дополнительная информация 2: с винтами тормозных сателлитов

    Дополнительный артикул / Дополнительная информация: с аксессуарами

    проверочное значение: E9 90R — 01107/1407

    12

    шт.

    4 дн

    Показать сроки доставки

    1 101 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Поставщик — дилер данного бренда

    2 дн

    Показать сроки доставки

    1 311 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (2)

    Все характеристики Применимость

    Комплект передних тормозных колодок

    0 из 10

    Производитель: MILES

    Артикул: E100072

    ограничение производителя: BOSCH

    Сторона установки: передний мост

    Длина: 136,8 мм

    Высота: 57,3 мм

    Толщина: 18,8 мм

    Датчик износа: вкл. датчик износа

    Количество датчиков износа: 2 на ось

    Длина предупреждающего контакта: 215 мм

    Дополнительный артикул / дополнительная информация 2: с винтами тормозных сателлитов

    Дополнительный артикул / Дополнительная информация: с аксессуарами

    проверочное значение: E9 90R — 01107/1407

    10

    шт.

    0 дн

    Показать сроки доставки

    1 132 ₽

    Купить аналог BSG BSG 25-200-010

    Другие предложения (7)

    Все характеристики Применимость

    Насос EBARA CDX/I 200/25 IE3 артикул 1635250004I

    Насосы для перекачки чистой воды серии CDX/I 200/25 выпускаются в корпусах из нержавеющей стали марки AISI 304, отличающейся повышенной антикоррозионной стойкостью. Насосы центробежного типа оснащаются одним рабочим колесом, что определяет компактность, надежность и простоту эксплуатации при работе в любых условиях. Предназначены они для перекачки жидкостей определенной температуры. С грязной и морской водой и огнеопасными средами, а также химическими веществами насосы этой серии не работают.

    Сфера применения CDX/I 200/25 достаточно широка, сюда включены системы водоподготовки, холодное и горячее водоснабжение, а также:

    • фильтрационные системы;
    • установки повышения давления;
    • ирригационные сети;
    • автомобильные и промышленные мойки;
    • градирни;
    • криогенные установки;
    • отопительные сети общего назначения.

    Полные гидравлические характеристики трехфазной модели CDX/I 200/25

    ХарактеристикаПоказатель
    кВт2,5
    Потреб. ток (А)1,8
    Q = Производительностьл/мин20508090110130160180210250
    м31,234,85,46,67,89,610,812,615,0
    Н = Напор (м)36,826,535,634,733,63230,527,2

     

    Модель

    Р2

    л/мин

    20

    50

    80

    90

    110

    130

    160

    180

    210

    250

    Однофазный 230В

    Трехвазный 230/400В

    [л. с.]

    [кВт]

    м3

    1,2

    3

    4,8

    5,4

    6,6

    7,8

    9,6

    10,8

    12,6

    15

    CDX 200/25

    2.5

    1.8

    H

    36.8

    36.5

    35.6

    34.7

    33.3

    32.0

    30.0

    27.2

     

     

    Параметры электродвигателя

     

    Количество1
    Заголовок основной позицииTEFC_CDX 200/25_230_Three Phase
    НаименованиеTEFC_CDX 200/25_230_Three Phase
    ОбозначениеTEFC_CDX 200/25_230_Three Phase
    Отметить положение/ценуPRICE
    ПараметрTEFC_CDX 200/25_230_Three Phase
    ИзготовительEPE Standard
    Соединение полюсов1
    Число полюсов2
    Частота50 Hz
    Выбранная степень защитыIP 55
    Вид тока3~
    Степень защитыIP 55
    Класс изоляцииF
    Сервисный фактор1,15
    Число пусков в час40
    Число оборотов2800 1/min
    Момент измерения6,1388 Nm
    Потребление мощности P12,09 kW
    ИсполнениеIE3
    Выбрать вид напряжения230V
    Коррекция мощности DIN VDE 05301,8 kW
    Поправочный коэффициент температурыНет данных
    Подробное описание230V
    Ном. Напряжение230 V
    Способ запускаНеизвестный
    Номинальный ток8,2 A
    Условия пускового режимаUnbek
    Напряжения230 V
    токи8,2 A
    КПД86
    Номинальная скорость2800 1/min
    Число оборотов2800 1/min
    Мощность1,8 kW
    КПД86 %
    Мощность эл.двигателя при рабочей частоте вращения— kW

    Номинальный расход (м3/час) 10

    Номинальный напор (м.вод.ст) 34

    Материал корпуса AISI 304

    Материал раб. колеса AISI 304

    Всасывающее присоединение 1 и 1/2 дюйма

    Напорное присоединение 1 дюйм

    Рабочая среда Чистая вода

    Материал уплотнения Керамика/графит/NBR

    Температура жидкости от -5 до +90 °C

    Напряжение (В. ) 3х380В

    Мощность (кВт) 01.авг

    Вес 15.сен

    Напряжение питания (в.) 1278030104E

    Максимальная глубина погружения (м.) 94 238

    Материал раб колеса AISI 304

    Габариты и вес насоса EBARA CDX/I 200/25 IE3

     

     

    Модель

    А

    В

    C

    H

    h2

    h3

    h4

    (1)

    h5

    (2)

    M

    M1

    N

    N1

    R

     T

    V

    W

    DNA

    Вес

    (2)

    (1)

    *

    (1)

    *

    (2)

    (1)

    *

    CDX(M) 200/25

    232

    359

    371. 5

    198.5

    250

    118

    132

    237

    55

    40

    140

    180

    105.5

    PG11

    M20x1.5

    95

    G 1 ½

    15.9

    16.8

     

    Габариты упаковки

     

     

    X244
    Y308
    Z452

    Запасные части для насоса EBARA CDX/I 200/25 IE3. Для получения сведений о стоимости и сроках поставки необходимых запчастей необходимо назвать нашему специалисту ее артикул и номер детали на чертеже ниже.

     

     

    PositionCodeDescriptionNoteК-во

    1

    257419021BOTTOM CASING 1

    3

    240280563MOTOR BRAKET 1

    4

    251438006CASING COVER 1

    6

    275312856SHAFT 1

    7

    251450008IMPELLER 1

    11K

    364500003MECHANICAL SEAL KIT 1

    12

    277930236IMOTOR 1

    13

    230225090MOTOR COVER 1

    14

    369950000FAN 1

    15

    362250080FAN COVER 1

    16

    365950326TERMINAL 1

    17

    363232008TERMINAL BOX 1

    19

    360326212BEARING 1

    20

    360326210BEARING 1

    21

    360600040ADJUSTING RING 1

    22

    369393018TIE ROD 4

    24

    375192107PLUG 1

    25

    375192107PLUG 1

    42

    371415015FOOT 1

    50

    371415018SPACER 1

    56

    364700811GASKET 1

    58

    376565024CABLE ENTRY 1

    75

    367667000WASHER 1

    76

    367667000WASHER 1

    92

    360991522SEAL RING 1

    93

    360991523LIP SEAL 1

    200

    369641003SCREW 8

    Руководство по эксплуатации

    Насосы серии EBARA CDX

    Скачать
    Открыть

    Сертификаты

    Сертификат дилера

    Открыть

    Сертификат соответствия TP TC 00788

    Открыть

    Свидетельство о государственной регистрации

    Открыть

    номеров на английском языке | EF

    Количественные числительные (один, два, три и т. д.) являются прилагательными, относящимися к количеству, а порядковые числительные (первый, второй, третий и т. д.) относятся к распределению.

    Проверьте свои знания


    Номер Кардинал Порядковый номер
    1 один первый
    2 два секунд
    3 три третий
    4 четыре четвертый
    5 пять пятый
    6 шесть шестой
    7 семь седьмой
    8 восемь восьмой
    9 девять девятый
    10 десять десятый
    11 одиннадцать одиннадцатый
    12 двенадцать двенадцатый
    13 тринадцать тринадцатый
    14 четырнадцать четырнадцатый
    15 пятнадцать пятнадцатый
    16 шестнадцать шестнадцатый
    17 семнадцать семнадцатый
    18 восемнадцать восемнадцатый
    19 девятнадцать девятнадцатый
    20 двадцать двадцатый
    21 двадцать один двадцать первый
    22 двадцать два двадцать второй
    23 двадцать три двадцать третий
    24 двадцать четыре двадцать четвертый
    25 двадцать пять двадцать пятый
    26 двадцать шесть двадцать шестой
    27 двадцать семь двадцать седьмой
    28 двадцать восемь двадцать восьмой
    29 двадцать девять двадцать девятый
    30 тридцать тридцатый
    31 тридцать один тридцать первый
    40 сорок сороковой
    50 пятьдесят пятидесятый
    60 шестьдесят шестидесятый
    70 семьдесят семидесятый
    80 восемьдесят восьмидесятый
    90 девяносто девяностый
    100 сто сотый
    500 пятьсот пятисотый
    1000 одна тысяча тысячный
    1 500 одна тысяча пятьсот или полторы тысячи одна тысяча пятисотая
    100 000 сто тысяч стотысячный
    1 000 000 один миллион миллионный

    Чтение десятичных знаков

    Чтение десятичных знаков вслух на английском языке, произнося десятичную точку как «точка», затем читайте каждую цифру отдельно. Деньги так не читаются.

    Письменный Саид
    0,5 точка пять
    0,25 точка два пять

    0,73

    точка семь три

    0,05

    ноль пять

    0,6529

    точка шесть пять два девять

    2,95

    две целых девять десятых пять

    Чтение дробей

    Читать дроби, используя кардинальное число в качестве числителя и порядковое число в качестве знаменателя, делая порядковое число множественным, если числитель больше 1. Это относится ко всем числам, кроме числа 2, которое читается как «половина», когда это знаменатель и «половинки», если их больше одного.

    Письменный Саид
    1/3 одна треть
    3/4 три четверти
    5/6 пять шестых
    1/2 одна половинка
    3/2 три половинки

    Произношение процентов

    Проценты легко читать вслух на английском языке. Просто произнесите число, а затем добавьте слово «процент».

    Письменный Произносится
    5% пять процентов
    25% двадцать пять процентов
    36,25% тридцать шесть целых две десятых пять процентов
    100% сто процентов
    400% четыреста процентов

    Чтение денежной суммы

    Чтобы прочитать денежную сумму, сначала прочитайте целое число, затем добавьте название валюты. Если есть десятичная дробь, за ней следует десятичная дробь, произносимая как целое число, а если монета имеет название в валюте, добавьте это слово в конце. Обратите внимание, что обычные десятичные числа не читаются таким образом. Эти правила распространяются только на валюту.

    Письменный Разговорный
    25$ двадцать пять долларов
    52€ пятьдесят два евро
    140₤ сто сорок фунтов
    43,25 $ сорок три доллара и двадцать пять центов (в повседневной речи сокращается до «сорок три двадцать пять»)
    12,66 € двенадцать евро шестьдесят шесть
    ₤10,50 десять фунтов пятьдесят

    Произношение размеров

    Просто прочитайте число, за которым следует единица измерения, которая часто будет сокращена в письменной форме.

    Письменный Разговорный
    60 м шестьдесят метров
    25 км/ч двадцать пять километров в час
    11 футов одиннадцать футов
    2 л два литра
    3 столовые ложки три столовые ложки
    1 чайная ложка одна чайная ложка

    Произношение лет

    Читать годы на английском языке относительно сложно. В общем случае, когда год представляет собой четырехзначное число, читайте первые две цифры как целое число, а затем две вторые цифры как еще одно целое число. Есть несколько исключений из этого правила. Годы, находящиеся в пределах первых 100 лет нового тысячелетия, могут быть прочитаны как целые числа, даже если они четырехзначные, или как два двузначных числа. Тысячелетия всегда читаются как целые числа, потому что иначе их было бы трудно произнести. Новые века читаются как целые числа сотен. Мы не используем слово «тысяча», по крайней мере, не для чтения лет за последние 1000 лет.

    Годы, которые состоят только из трех цифр, могут быть прочитаны как трехзначное число или как однозначное число, за которым следует двузначное число. Годы, представляющие собой двузначное число, читаются как целое число. Вы можете предварять любой год словами «год», чтобы прояснить смысл, и это обычно для двух- и трехзначных годов. За годами до года 0 следует BC, произносимое как две буквы алфавита.

    Интересно, что эти правила применимы и к чтению уличных адресов.

    Письменный Разговорный
    2014 двадцать четырнадцать или две тысячи четырнадцать
    2008 две тысячи восемь
    2000 две тысячи
    1944 девятнадцать сорок четыре
    1908 девятнадцать восемь
    1900 тысяча девятьсот
    1600 тысяча шестьсот
    1256 двенадцать пятьдесят шесть
    1006 десять или шесть
    866 восемьсот шестьдесят шесть или восемь шестьдесят шесть
    25 двадцать пять
    3000 г. до н.э. три тысячи лет до нашей эры
    3250 г. до н.э. тридцать два пятьдесят до н.э.

    Как сказать 0

    Существует несколько способов произношения числа 0, используемых в разных контекстах. К сожалению, использование варьируется в разных англоязычных странах. Эти произношения применимы к американскому варианту английского языка.

    Произношение Применение
    ноль Используется для чтения самого числа, при чтении десятичных знаков, процентов и телефонных номеров, а также в некоторых фиксированных выражениях.
    o (буквенное название) Используется для чтения лет, адресов, времени и температуры
    нет Используется для сообщения спортивных результатов
    нет Не используется в США

    Примеры
    Письменный Саид
    3,04+2,02=5,06 Три точки ноль четыре плюс две точки ноль два дают пять целых ноль шесть.
    Вероятность дождя 0%. Вероятность дождя равна нулю.
    Температура -20⁰C. Температура двадцать градусов ниже нуля.
    Вы можете связаться со мной по телефону 0171 390 1062. Вы можете связаться со мной по ноль один семь один, три девять ноль, один ноль шесть два
    Я живу по адресу 4604 Smith Street. Я живу по адресу: сорок шесть часов четыре по Смит-стрит
    Он стал королем в 1409 году. Он стал королем в 14:09.
    Я ждал до 4:05. Я ждал до четырех или пяти.
    Счет был 4-0. Счет четыре нуля.

    Проверьте свои знания

    двести двадцать пять — перевод на португальский язык – Linguee

    32 vinte e t r s reais), […]

    переписка по предварительному номеру

    […]

    mdio de R$ 8,08 (oito reais e oito centavos) por ao.

    ri.mahle.com.br

    ri.mahle.com.br

    33 duzentos e s ei s milhes, novecentos e sessenta e oito mil , quinhentos e vinte e trs reais e cinq ent a e dois c en tav os), di vidido em 154.404.672 (cento e cinqenta e quatro milhes, quatrocentas e quatro mil, seiscentas e setenta e duas) […]

    ordinrias e 290.657.361 (duzentas e

    […]

    noventa milhes, seiscentas e cinqenta e sete mil, trezentas e sessenta e uma) aes Preferenciais, sem valor номинально.

    gerdau.com.br

    gerdau.com.br

    двести двадцать пять и 225 мкл переносили в две дополнительные лунки, т. е. разведение 1:5.

    eur-lex.europa.eu

    eur-lex.europa.eu

    Adicionar 2 25 л de sobrenadante de cada Culturete Supostamente infectada com vrus a cada um de dois alvolos, misturar e transferir 225 л para dois novos alvolos (разведение 1:5).

    eur-lex.europa.eu

    eur-lex.europa.eu

    Двести двадцать пять р o ли 9Для участия в парламентских выборах, которые должны состояться 15 декабря […]

    и парламент

    […]

    изберет новое правительство до 31 декабря этого года.

    europarl.europa.eu

    europarl.europa.eu

    P ara as ele i es legislativas, que devero realizar-se a 15 de Dezembro, regis ta RAM- SE Duzentos E Vinte E Cinco GRU POS 33 GRU .

    coligae, e o Parlamento

    […]

    eleger um novo Governo по адресу 31de Dezembro deste ano.

    europarl.europa.eu

    europarl.europa.eu

    Двести двадцать пять l o f культуральный супернатант вносят в лунки со свежими активно растущими клетками SHK-1 в 12-луночных планшетах и ​​инкубируют при 14 2 C до 18 дней.

    eur-lex.europa.eu

    eur-lex.europa.eu

    Em pl acas de 12 alvolos, adicionar 225 l de sobrenadante de culture a alvolos que contenham novas clulas SHK-1 em crescimento activo e incubar a 14 2 C por um perodo no superior a 18 диам.

    eur-lex.europa.eu

    eur-lex.europa.eu

    Географический район:

    […] производственная площадь компр is e s двести двадцать пять l o ca 9083 [. ..]

    округа Ла-Манча, Манча,

    […]

    Манча-Альта, Манча-Баха, Манчуэла и Сентро, в провинциях Альбасете, Сьюдад-Реаль, Куэнка и Толедо в автономном сообществе Кастилия-Ла-Манча.

    eur-lex.europa.eu

    eur-lex.europa.eu

    rea geogrfica: производственная зона

    […] cons ti tuda po r duzenta s e vinte cinco loc ali папа 3 tu 3 […]

    nas comarcas naturais de La Mancha,

    […]

    Mancha, Mancha Alta, Mancha Baja, Manchuela y Centro, todas elas pertencentes s provncias de Albacete, Ciudad Real, Cuenca y Toledo, na Comunidade Autnoma de Castilla-La Mancha.

    eur-lex.europa.eu

    eur-lex.europa.eu

    44,265,319.61 (forty four mill io n , two hundred and sixty five t h ou sand, three hundred and [. ..]

    девятнадцать евро и шестьдесят один цент).

    amorim.com

    amorim.com

    (кварен та е qu atro milhe s,

    […] duzentos e ses sent a e cinco m il , tr ezen to s e dezanove euro s e sessenta e u m cntimos).

    amorim.com

    amorim.com

    Пункт 5 — Подписной зарегистрированный капитал составляет 2 054 429 845,57 реалов (два миллиарда пятьдесят четыре миллиона четыреста двадцать девятнадцать тысяч восемьсот сорок пять реалов и пятьдесят семь сентаво), полностью оплаченный и разделенный на 314 482,496 (триста четырнадцать миллионов четыреста восемьдесят две тысячи четыреста девяносто шесть) акций без номинальной стоимости, из них 107 821 512 (сто семь миллионов,

    […]

    восемьсот

    [. ..] и через ДЕЙСТВИЯ SA N D Пять H U ND RED и TWELVE) NOMELVE) — нойте0833 ( двести пять м i ll ionсто пять […]

    и двадцать тысяч

    […]

    сто пять) являются привилегированными акциями категории «А», а 1 540 879 (один миллион пятьсот сорок тысяч восемьсот семьдесят девять) являются привилегированными акциями категории «В», обе являются бездокументарными.

    suzano.com.br

    suzano.com.br

    Арт. 5 — O Capital Social Subscrito de R$ 2.054.429.845,57 (dois bilhes, cinqenta equatro milhes,quatrocentos e vinte e nova mil,oitocentos e quarenta e cincoreais ecinquenta e setecentavos),integrmente realizado e dividido em 314.482.496 (trezentos e quatorze milhes, quatrocentos eoitenta e duasmil, quatrocentas e noventa e seis) aes, sem valor номинальный, das quais 107. 821.512 (cento e sete

    […]

    миль, оитоцентос

    […] евинте эм a mil, quatrocentos e no ve nta e seis) so ordinrias, nominativas, 205.120.105 ( du zento s e cinco mil hes, c в е […]

    vinte mil, cento e cinco)

    […]

    , поэтому предпочтительный класс «А» и 1.540.879 (um milho, quinhentos e quarenta mil, oitocentos e setenta en nove), поэтому предпочтительный класс «B», ambas escriturais.

    suzano.com.br

    suzano.com.br

    Таким образом, в соответствии с положениями вышеупомянутых положений Кодекса ценных бумаг, в силу упомянутых выше продаж, существенное участие, прямо или косвенно относящееся к LISORTA — Estufas e

    […]

    Assistncia Tcnica, Lda, теперь

    [. ..] 1 225 166 (одна мельница io n , двести двадцать пять т ч или песок, сто […]

    и шестьдесят шесть) акций которых

    […]

    представляют 18,85% уставного капитала и 18,99% прав голоса в Reditus SGPS, SA.

    reditus.pt

    reditus.pt

    Assim, nos termos das referidas disposis do CVM, por virtude das vendas acima referidas, a participao qualificada directa e косвенный imputvel LISORTA — Estufas e Assistncia Tcnica,

    […]

    Lda., Passa Ser de

    […] 1.225.166 (um mi lho, duzentas e vin te e cinco m il, ce nto e s es senta […]

    e seis) aces que представитель

    [. ..]

    18,85 % do Capital Social e 18,99 % dos direitos de voto na Reditus SGPS, SA.

    reditus.pt

    reditus.pt

    3 214 962 503 (три

    […] thousand, two hun dr e d and f o ur teen million, nine hun dr e d and sixty-two тысяч , пятьсот т ч re евро).

    sonaesierra.de

    sonaesierra.de

    3.214.962.503 ( Trs mil duzentos e ca to rze milh e s, novecentos e sessenta e dois mil, quinhentos e tr s евро).

    sonaesierra.de

    sonaesierra.de

    Поправка к Статье 5 Устава Компании отражает увеличение капитала, утвержденное на заседаниях Совета директоров, состоявшихся 25 июня 2009 г. и 27 августа 2009 г., на которых было утверждено увеличение уставного капитала на сумму 419 256 590,20 реалов

    […]

    (четыреста

    […] девятнадцать мельниц io n , двести пятьдесят s i x thousand , five hundred and n i ne ty Brazilian reais a n d twenty c e nt avos), представленный […]

    по 598 937 986

    […]

    (пятьсот девяносто восемь миллионов девятьсот тридцать семь тысяч девятьсот восемьдесят шесть) акций нового выпуска.

    brasilecodiesel.com.br

    brasilecodiesel.com.br

    Изделие из арт. 5 do Estatuto Social da Companhia reflete os aumentos de capital homologados nas Reunies do Conselho de Administrao realizadas em 25 de junho de 2009 e 27 de agosto de 2009, tendo sido homologado o aumento do capital social no valor de

    [. ..]

    419 256 590,20 реалов (кватроченто s e

    […] д ezenove milhes, duzen to s e cinqenta e s eis mil, qu inhentos e no venta reai s e vinte c en tavos), com a emisso de […]

    598.937.986

    […]

    (quinhentos en noventa e oito milhes, novecentos e trinta e sete mil e novecentos e oitenta e seis aes).

    brasilecodiesel.com.br

    brasilecodiesel.com.br

    1 267 573

    […] (one mil li o n two hundred and sixty s e v e n thousand five hundred and s e ve nty три […]

    евро) на голосование, а те документы

    [. ..]

    были одобрены единогласно присутствующими или представленными акционерами.

    прогиб

    прогиб

    1.267.573 ( UM MILH O DUZENTOS E SESSENTA E SETE MIL QUI NHENTOS E SE TENTA E TRS EUROS), […]

    тендо aqueles documentos sido aprovados

    […]

    por unanimidade dos accionistas представляет или представляет.

    прогиб

    прогиб

    Подарки стоимостью более 250 реалов (двести пятьдесят реалов) должны предварительно получить специальное разрешение от

    […]

    Ответственный офицер; и

    […] выше 2500 реалов .0 0 ( две тысячи пятьсот r e ai s) требуется главный [. ..]

    Утверждение исполнительного директора.

    ldcsev.com

    ldcsev.com

    A concesso de Presentes Acima de R$ 250,00 (duzentos e cinquenta reais)

    […]

    зависит от авторизации до

    […] Директор da r ea e, a ci ma de R $ 2,5 00, 00 (dois mil eq uinhentos rea is ), необходимо […]

    авторизованный директор-президент.

    ldcsev.com

    ldcsev.com

    Статья 5. Размер уставного капитала составляет 808 213 608,80 реалов (восемьсот восемь миллионов двести тринадцать тысяч шестьсот восемь реалов и

    ). […]

    восемьдесят центов), разделить на 725 248 727

    […] (seven hun dr e d and twenty five m i lli o n two hundred and f o rt y восемь тысяч [. ..]

    и семьсот двадцать

    […]

    семь) именных обыкновенных акций, все без номинальной стоимости.

    brasilecodiesel.com.br

    brasilecodiesel.com.br

    Artigo 5- O Capital Social de R$ 808.213.608,80 (oitocentos e oito milhes, duzentos e treze mil, seiscentos e oito reais e oitenta centavos),

    […]

    разделитель em

    […] 725.248.727 (setecen to s e v int e e cinco mil he s 9083s

    833 quar en ta e oito mil […]

    e setecentos e vinte e sete) aes ordinrias nominativas, todas sem valor номинально.

    brasilecodiesel.com.br

    brasilecodiesel.com.br

    279 762 520,32 (двести семьдесят девять миллионов) реалов

    [. ..] семь hun dr e d и шестьдесят две тысячи , five hundred and twenty r e a i s and t h ir ty-two cents) [. ..]

    в виде дивидендов, эквивалентных 0,24 реалов (двадцать четыре цента) на одну обыкновенную или привилегированную акцию.

    vale.com

    vale.com

    279 762 520,32 реалов (duzento s e s etenta e nove milhes,

    […] setecento s e sessenta e dois mil, quinhentos e vinte re ai s e tr inta e dois ce ntav os ) a ttulo [. ..]

    дивидендов, эквивалентных R$ 0,2 4 (винта и qu atro centavos) по обычному или льготному тарифу.

    vale. com

    vale.com

    В настоящее время CIBAL Halal

    […] Около 22 5 ( Двести , Двадцать пять ) 9333 ) 9333 3 ) 9333 3 ). в e s и b i rd s в Бразилии.

    cibalhalal.com.br

    cibalhalal.com.br

    Atualmente a CIBAL Halal conta com um quadro de

    […] funcionrios de 22 5 (duze nto s e vinte cinco), sen do respo ns vel por grande parte do abate Halal feito no Brasil, tanto de bo vinos , o vi nos e ave s .

    cibalhalal.com.br

    cibalhalal.com.br

    Комиссия должна выплатить г-ну Чемину

    [. ..] Сумма 29 592 евро (двадцать девять ты.

    и сумму 1

    евро […]

    (один) в качестве компенсации за причиненный нематериальный ущерб

    eur-lex.europa.eu

    eur-lex.europa.eu

    a Comisso condenada a pagar a P.

    […]

    Chemin o montante de 29

    […] 592 (vi nt en ov e mi l quinhentos e noven ta e dois) eur os a tt ul o de reparao dos danos materi ai s 3 3 o 908 […]

    де 1 (um) евро пункт

    […]

    reparao dos danos morais sofridos

    eur-lex.europa.eu

    eur-lex.europa.eu

    419 256 590,20 реалов (четыреста девятнадцать миллионов io n , two hundred and fifty s i x thousand , five hundred and n i ne ty Brazilian Реаис A N D Двадцать C E NT AVOS), AVOS SONDAL, AVOS, AVOS), AVOS, AVOS, AVOS), AVOS, AVOS, AVOS), AVOS, AVOS, AVOS), AVOS), AVOS, AVOS). сто восемьдесят шесть) акций новой эмиссии.

    brasilecodiesel.com.br

    brasilecodiesel.com.br

    O moti vo jurdico

    […] e econmico q ue leva a administrao a recomendar alterao do art. 5 do Estatuto Social da Companhia a necessidade de refletir os aumentos de capital homologado s nas R eunies do Conselho de Administrao realizadas em 25 de junho de 2009 e 27 de agosto aumento de 2009, tendoaumentaumento s социальная не доблесть де 419 реалов.256.590,20 (quatrocentos e dezenove milh es , du zent os e ci nqe nta e seis mil, 43 quinhentos e noven ta reai с е винте цен тавос ), […]

    Эмиссо де 598.937.986

    […]

    (quinhentos en noventa e oito milhes, novecentos e trinta e sete mil e novecentos e oitenta e seis aes).

    brasilecodiesel.com.br

    brasilecodiesel.com.br

    ( i ) twenty two p o i n t five p e rc ent (22, 5%), в инвестиции со сроком до o n e сот e i gh ty (180) дней

    santafe.com.br

    santafe.com.br

    ( i) 22,5 % (vinte e dois in teiro s e cinco dc imo s p or cento), e m aplicaes com prazo de a т 18 0 ( сенто эо ите нта) di as

    santafe.com.br

    santafe.com.br

    On 31/12/2009 ATPS, SGPS, SA, held 425. 182 (four hun dr e d and twenty-five t h ou sand, o n e сто и e i gh t y two ) r ep resentative shares of the capital of Ibersol, SGPS, SA, and 24 2.455.000 (two million, fo u r hundred and f i f t y five t h ou sand) representative shares of the capital [.. .]

    И.Э.С. — Indstria Engenharia e Servios,

    […]

    SGPS, SA, представлено 2 455 000 акций.

    web3.cmvm.pt

    web3.cmvm.pt

    A ATPS, SGPS, SA em 31/12/2009, detentora de 425.182

    [. ..] ( quatrocentas e vint e e cinco m il , ce nto e o i te nta e duas) ac es representativas do capital da Ibersol, SGPS, SA, e de 2.4 55 .000 (dois milh es e quatrocentas e cinq uent a e cinco m il ) ac es r representativas do capital da I.E.S. — Indst ri a Engenharia e Ser ви ос, СГПС, […]

    SA, представитель 2 455 000 асов.

    web3.cmvm.pt

    web3.cmvm.pt

    Затем был поставлен на голосование второй пункт повестки дня, касающийся консолидированной финансовой отчетности за две тысячи четвертый год, который также был утвержден, с

    […]

    семнадцать миллионов

    [. ..] сорок две тысячи с ev e n hundred and s e ven t y two ( 9 9. 85%) votes for, no votes agai ns t , and twenty-five t h ousa n d five hundred and s i xt een воздержались.

    edp.pt

    edp.pt

    Em seguida, foi submetido a votao o Ponto Dois da Ordem de Trabalhos, respeitante aos documentos consolidados de prestao de contas do exerccio de dois mil e quatro, tendo sido igualmente aprovados,

    […]

    com dezassete milhes,

    […] quare nt a e dois mil , setecentos e se te nta e dois (99,8 5% ) votos a favor, zero votos co nt ra e vin te e cinco mil quinhentas e de zasse is воздержался.

    edp.pt

    edp.pt

    На 31.12.2009 ATPS, SGPS, SA, 425.182 (четыре гун др е д and twenty-five t h ou sand, o n e hundred and e i gh t y два ) R EP РЕГОСЕРЯТНЫЕ АКЛИВА САПИСОВАНИЯ IBERSOL, SGPS, SA, 2,455,000 (два миллиона, FO 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333.0832 hundred and f i f t y five t h ou sand) representative shares of the capital of I.E.S. — Indstria Engenharia e Servios, SGPS, SA, представленная 2 455 000 акций.

    web3.cmvm.pt

    web3.cmvm.pt

    5 .67 6 ( синко ми L, SEISC ENTA S E S ETE NTA E SEIS) AC ES Представитель DO CAPALTE DA, SGP, SGP, SA). 31/12/2009, detentora de 425.182 (quatrocent as e vinte e cinco mi l, ce nt o e oiten ta e duas) ак эс р ep resentativas do capital da Ibersol, SGPS, SA, e de 2.455.000 (dois milh e s e q ua trocenta s e cinq uen ta e cinco mi l) ac es re […]

    сделать капитал да

    […]

    И.Э.С. — Indstria Engenharia e Servios, SGPS, SA, представлена ​​2 455 000 асов.

    web3.cmvm.pt

    web3. cmvm.pt

    Чистая прибыль за 2007 год, относящаяся ко всем компаниям, отчитывающимся по консолидированной отчетности Millenniumbcp Fortis Grupo Segurador, S.G.P.S., S.A., в соответствии с принципами бухгалтерского учета, установленными Instituto de Seguros de Portugal, составила

    евро

    . […]

    87.522.341,03 (восемьдесят

    […] семь мельниц io n , пятьсот двадцать два t h ou sand, three hundred forty one E ur o s and t h re e Euro cents).

    миллениумbcpfortis.pt

    миллениумbcpfortis.pt

    O resultado lquido referente todas as sociedades que integram as contas consolidadas da Millenniumbcp Fortis Grupo Segurador, S.G.P.S., S.A., apurado no exerccio de acordo de 2007 de acordo com as polticas contabilsticas locais foi de

    [. ..]

    Евро 87.522.341,03 (ойента

    […] e sete milhes quinhen to s e vinte e dois mi l t rezen tos e qu are nt a e u m Eu ro комплект r s cntimos).

    миллениумbcpfortis.pt

    миллениумbcpfortis.pt

    По состоянию на 31 декабря 2005 г. это базовое значение

    […]

    для минимума

    […] annual dividend is respectively: R$ 299,566,286 .0 8 ( two hundred and n i ni t y nine м i llio n , five hundred and sixty s i x thousand , two hundred and e i gh тай шесть бразильских реалов и восемь центов), [. ..]

    соответствует

    реалов

    […]

    0,72 (семьдесят два цента) за каждую привилегированную акцию в обращении или 260 441 380,18 (двести шестьдесят миллионов четыреста сорок одна тысяча и триста восемьдесят бразильских реалов и восемнадцать центов) реалов, что соответствует 0,63 реалов ( шестьдесят три цента).

    vale.com

    vale.com

    Em 31 декабря 2005 г., esse valor de referncia para o дивидендо mnimo anual de,

    […]

    соответственно, R$

    […] 299.566. 28 6,08 (duzentos e nov ent a e nove mil h es , quinhentos e sessenta e se is mil, duzentos e oienta e seis reais e oito centavos), что соответствует 0,72 R$ (setent a e dois c en tavos) [. ..]

    по льготному тарифу

    […]

    em circulao ou R$ 260.441.380,18 (duzentos e sessenta milhes, quatrocentos e quarenta e um mil, trezentos e oitenta reais e dezoito centavos), что соответствует R$ 0,63 (sessenta et trs centavos), por ao льготный em circulao.

    vale.com

    vale.com

    Обыкновенные акции, выпущенные Обществом, не обладают ликвидностью, и за последние десять лет было совершено семь сделок с 17 977 акциями (уже с учетом обратного дробления, проведенного 26.09.2005),

    […]

    на сумму 145 223,00 реалов

    […] (один гун др е д и f o r t y five thousand , two hundred and twenty t h re e Brazilian [. .. ]

    реалов), соответствующий

    […]

    по средней цене 8,08 реалов (восемь бразильских реалов и восемь центов) за акцию.

    ir.mahle.com.br

    ir.mahle.com.br

    As ordinrias de emisso da Companhia no so dotadas de liquidez, e nos ltimos dez anos verificou-se a realizao de sete negcios envolvendo 17.977 aes (j рассмотрит или сгруппирует де aes efetuado em

    […]

    26.09.2005) номер том общий де

    […] 145,22 реалов 3, 00 ( cento e qua ren ta e cinco m il, il,

    F o u r сто двадцать пять M e мб [. ..]

    подписал это заявление, отражая силу чувства к

    […]

    проблема не только среди депутатов Европарламента, но и среди наших избирателей.

    europarl.europa.eu

    europarl.europa.eu

    Quatrocentos e vinte e cinco de put ado s des ta Сборка […]

    assinaram a declarao, o que traduz a forum do sensio geral

    […]

    relativamente questo, no apenas entre os eurodeputados como tambm entre os nossos constituintes.

    europarl.europa.eu

    europarl.europa.eu

    (iii) 17,5%

    […] (семнадцать p oi n t пять o f a процентов со сроком погашения 30 часов a процентов)0833 e e hundred and sixty o n e days) up to 720 (s ev e n hundred and twenty ) d ay s

    vetorialasset. com.br

    vetorialasset.com.br

    (iii) 17,5%

    […] (dezes se te in tei ros e cinco d cim os por cento) , em a plicaes com prazo de 361 (tre ze ntos e sessenta e UM D IA S) A T 720 (SETECENTOS E VINTE ).

    Арт. 4 — Плата Компании

    […]

    капитал составляет

    реалов

    […] 5,206,968,523 ,5 2 ( five b i llio n , two hundred s i x миллионов девятьсот шестьдесят восемь тысяч и d , five hundred twenty t h re e Brazilian r ea i s and fifty two c e nt s), разделенных на 154 404 672 (сто пятьдесят четыре миллиона четыреста четыре шестьсот семьдесят две) обыкновенных акций и 290 657 361 (t w o сто н и нэ ты млн, [. ..]

    шестьсот пятьдесят

    […]

    семь тысяч триста шестьдесят одна) привилегированных акций без номинальной стоимости.

    gerdau.com.br

    gerdau.com.br

    Искусство. 4 — O Capital Social de R$ 5. 20 6.968 .52 3,5 2 (cinco bi lh es, 2

    Капитал компании составляет 629 293 220 евро. Он полностью подписан и оплачен,

    […]

    и делится

    […] в шесть вен др e d and twenty n i ne mill io n , two hundred and n i ne ty 3 тыс. an d , двести двадцать s 3ar h 9083 […]

    стоимость одного евро каждый.

    web3.cmvm.pt

    web3.cmvm.pt

    O Capital Social de 629 293 220 евро, встроенный подписной номер

    […]

    и реализовано и

    […] dividido em seiscent os e vinte e no ve milhe s duzentos e n ove nt a e t r s m il duzentas e vinte туз с номинальная доблесть [. ..]

    де ум евро када ума,

    […]

    не существует в категориях diferentes de aces.

    web3.cmvm.pt

    web3.cmvm.pt

    Уставный капитал составляет одна тысяча сто двадцать восемь миллионов восемь

    […] сто пятьдесят с я x тысяч пятьсот E U R o S и I I I I I I I 3 .

    португалтелеком.pt

    португалтелеком.pt

    O Capital Social de mil cento e vinte e oito milhes oitocentos e

    […] cinquenta e se is mil e quinhentos euro se e e ncon tr a-se встроенный [. ..]

    реализовано.

    португалтелеком.pt

    португалтелеком.pt

    Выставка в Париже делает хронологический тур

    […]

    более двадцати

    […] веков, показывая иконографическое изображение этой аллегорической фигуры thr ou g h двести пятьдесят w o рк с ст.

    miradaglobal.com

    miradaglobal.com

    Выставка в Париже,

    […]

    хронологическая форма,

    […] atravs de d uzent as cinquenta ob ras, a representao iconogrfica desta figura alegrica ao longo de ma is de vinte sculos .

    miradaglobal.com

    miradaglobal.com

    Как доехать до 2008 Twenty Five Philip Street в New Orleans на автобусе?

    Проложить маршрут сейчас

    См.

    Две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит, Лос-Анджелес, на карте

    Маршруты до Две тысячи восемьсот двадцать пять Philip Street (Новый Орлеан) на общественном транспорте

    Эти транспортные маршруты проходят редом с улица Филипа 2800

    Как доехать до 2008 Twenty Five Philip Street на автобусе?

    Нажмите на маршрут автобуса, чтобы увидеть пошаговые инструкции с картами, временем прибытия и обновленными расписаниями.

    • Из Лейквью, Новый Орлеан

      53 мин
    • Из Джентилли Вудс, Новый Орлеан

      54 мин
    • Из Академии Акили, Новый Орлеан

      54 мин
    • От I-10 и Crowder Blvd, Новый Орлеан

      59 мин
    • Из дома морепродуктов Лэндри, Новый Орлеан

      61 мин
    • Из Клуба джентльменов She She’s, Новый Орлеан

      72 мин
    • Из закусочной, Кеннер

      56 мин
    • Муниципальная учебная академия Нового Орлеана, Новый Орлеан

      62 мин
    • Северный кампус SUNO, Новый Орлеан

      57 мин
    • От I-10/I-610 Сплит, Новый Орлеан

      48 мин

    Автобусные станции возле Две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане

    Трамвайные остановки возле Две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане

    Автобусные маршруты до Две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане

    Название линии Направление
    27 Городской парк Дельгадо ПОСМОТРЕТЬ
    16 С. Клэйборн и Кэрроллтон ПОСМОТРЕТЬ
    15 Фререт и Бродвей ПОСМОТРЕТЬ
    91 Руссо и Сент-Эндрю ПОСМОТРЕТЬ
    28 Лойола и Пердидо ПОСМОТРЕТЬ

    Вопросы и ответы

    • Какие остановки находятся рядом с улица Филипа, две тысячи восемьсот двадцать пять?

      Ближайшие остановки к улица Филипа, две тысячи восемьсот двадцать пять :

      • Washington + S. Claiborne находится в 110 ярдах, 2 минуты пешком.
      • С. Клэйборн + Вашингтон находится в 110 м, 2 мин пешком.
      • Lasalle + Washington находится в 600 ярдах, 8 минут пешком.
      • 9Станция 3727 Poydras Street (O) находится в 708 ярдах, 9 минут пешком.
      • O C Haley + M L King находится в 900 м, 11 минут пешком.
      • M L King + S. Claiborne находится в 908 ярдах, 12 минут пешком.
      • Сент-Чарльз + Луизиана находится в 2228 ярдах, 26 минут пешком.
      Подробнее
    • Какие маршруты автобуса останавливаются около адреса: улица 280025 Philip Street

      Эти маршруты автобуса останавливаются около адреса: улица Филиппа 2800: 15, 16, 202, 27, 28.

      Подробнее
    • Как далеко находится трамвайная станция от две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане?

      Ближайшая остановка трамвая к улице Две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане — это 9мин пешком.

      Подробнее
    • Какая ближайшая станция трамвая к улице Две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане?

      Станция Poydras Street Station (O) — ближайшая к улице Две тысячи восемьсот двадцать пять Philip Street в Новом Орлеане.

      Подробнее
    • Как далеко находится автобусная остановка от улицы Две тысячи восемьсот двадцать пять на Филип-стрит в Новом Орлеане?

      Ближайшая автобусная остановка до улицы Две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане находится в 2 минутах ходьбы.

      Подробнее
    • Какая ближайшая автобусная остановка к улице Две тысячи восемьсот двадцать пять на Филип-стрит в Новом Орлеане?

      Washington + S. Claiborne и S. Claiborne + Washington — ближайшие автобусные остановки к улице Две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане.

      Подробнее
    • Во сколько идет первый трамвай до две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане?

      12 — это первый трамвай, который следует по адресу две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане. Он останавливается поблизости в 3:20 утра.

      Подробнее
    • Во сколько в Новом Орлеане идет последний трамвай на Филип-стрит две тысячи восемьсот двадцать пять?

      12 — последний трамвай, идущий на две тысячи восемьсот двадцать пять Филип-стрит в Новом Орлеане. Он останавливается поблизости в 3:20 утра.

      Подробнее
    • Во сколько отправляется первый автобус на Филип-стрит две тысячи восемьсот двадцать пять в Новом Орлеане?

      16 — первый автобус, следующий до улицы две тысячи восемьсот двадцать пять на Филип-стрит в Новом Орлеане. Он останавливается поблизости в 3:25 утра.

      Подробнее
    • Во сколько отправляется последний автобус до улицы две тысячи восемьсот двадцать пять на Филип-стрит в Новом Орлеане?

      91 — последний автобус, следующий до улицы две тысячи восемьсот двадцать пять на Филип-стрит в Новом Орлеане. Он останавливается поблизости в 2:44.

      Подробнее

    Слова, содержащие термин: сто двадцать пять

    В лирике

    По исполнителю

    По альбому

    #ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ НОВЫЙ

    Двадцать двадцать

    Tune Five Hundred

    The Five Hundred

    the twenty-five degrees …

    The One Hundred

    Haircut One Hundred

    One Hundred Percent

    Ник сотня0003

    Живой в двадцать пять [VI…

    Различные художники

    Del Shannon Sings Hank W…

    Del Shannon

    Пять сотен фунтов

    Big Sugar

    Jade Tree: Twenty Five Y…

    Разные художники

    Jade Tree: Twenty Five Y…

    0 Разные художники0021

    Luaka Bop: двадцать первого…

    Различные художники

    Матфея двадцать пять

    Седьмой день

    Текс:

    25 Сто

    Jahoss 9000 2

    Jahoss

    9000 2

    9000 2

    9000 2

    9000 2

    9000 2

    9000 2 9000 2

    9000 2 9000 2

    . Позвольте мне увидеть кое-что

    Мне нужно двадцать пять сто Вау Вау Да, , мне , нужно немного измениться. Да, я действительно пытаюсь куда-то пойти Тебе известно Я пытаюсь сделать

    Один Два Пять

    10cc

    Посмотрите Слышите?

    1980

      Один   сто  и  двадцать   пять 
    Бьет, бьет в минуту
      Один   сто  и  двадцать   пять 
    Вы получаете понятие с движением
    Тогда вас нет 

    Говоря о тяжелой работе

    Вуди Гатри

    This Land Is Your Land: The Asch Recordings, Vol. 1

    1997

     несколько раз
    Ну есть много других вещей, как это
      I  содержал  один   сто   двадцать   пять  диких лошадей
    И наденьте седла и уздечки более того 

    Talking Hard Work

    Woody Guthrie

    Folkways: The Original Vision

    1988

     несколько раз
    Ну есть много других вещей, как это
      I  содержал  один   сто   двадцать   пять  диких лошадей
    И наденьте седла и уздечки больше, чем на 

    Two Tone

    Playboi Beanz

     стойка, стопка за стопкой
    Стеллаж за стеллажом, стек за стеллажом
    Стеллаж за стеллажом, стек за стеллажом
      Единицы ,  Пятерки , Десятки,  Двадцатки , Пятидесятки,  Сотен 
      Единицы  ,  Пятерки  , Десятки ,  Двадцатки  

    125

    Стина Норденстам

    Мир Спасен

    2004

    9407 Те, кто знал параноиков Но мы будем использовать наших лучших ученых Чтобы вернуть контроль Один сто и двадцать пять пересекли канал Наша гордость

    Сезоны Любви

    Бродвеи

     любовь?
    Мера в любви
    Сезоны любви
    Сезоны любви
    Солист #  1  :  Пять   сто   двадцать пять  тысяч
    Шесть  сотен  минут
      Пять   сто   двадцать пять  тысяч 

    Водитель Аллеи Смерти

    Радуга

    Прямо Между Глаз

    1982

     скорость
    Водитель аллеи смерти . .. Да
    Водитель аллеи смерти ... кто знает, что вам нужно
    Водитель аллеи смерти...
      Один   сто   двадцать   пять  курить на поворотах 

    Seasons of Love [Gomi’s Lair Club Mix]

    Rent

    Thrivemix, Vol. 2: Сведение Вика Латино

    2006

     Измерение в любви
    Сезоны любви
    Сезоны любви
    Солистка номер  одна 
      Пять   сотен   двадцать пять  тысяч
    Шесть  сотен  минут
      Пять   сотня   двадцать пять  тысяч 

    Демоны

    Часть 3

     гребаная грязь
    Прогулка в функцию не вечеринка до  я  я там
      Один   сто   двадцать   пять  когда  я  пролетаю мимо тебя на бензе
    Зажгите косяк, чем упакуйте миску  i  

    Planet X

    (хэд) п.э.

    New World Orphans

    2009

     Информация
    Будет править на своем месте
    Скрытая помощь богов
    Что дети
    Можно играть на пляже
      пять  тысяч,  одна   сто 
      Двадцать   пять  еще лет 

    Двадцать пять

    Бенни Афро

     В  двадцать   пять  ,  двадцать   пять
    В  двадцать   пять   двадцать   пять  да
    В  двадцать   пять  ,  двадцать   пять 
    Напомни мне, когда  я   двадцать   пять  да
    На  двадцать   пять  ,  двадцать  

    Двадцать пятьсот

    Запад на зиму

      Двадцать пять   сто  миль это довольно долгий путь
    Чтобы увидеть тебя,  я  улыбнулась бы
    Если бы  я  знал  I  может быть близко
      Двадцать пять   Сто  миль, это так далеко 

    Половина твоей жизни

    Вечный самозванец

     игра в погоню
      Я  не буду играть в твою погоню
      Один   сто   двадцать   пять  ударов
    Кожа к плоти
    Слова, которые мы произносим сквозь стиснутые зубы
    Никогда не сможет 

    Планета Х

    Хед Пе

     Будет править на своем месте
    Скрытая помощь богов
    Что дети
    Можно играть на пляже
      пять  тысяч,  одна   сто 
      Двадцать   Пять  Еще лет
    Учить, 

    Галапагосские острова

    Лассен

     Почувствовать песок пальцами ног солнце на моих плечах
    Вода такая чистая, а черепахи старше  один   сто   двадцать   пять 
    Верно, но они 

    Мальчик-крокодил

    Рэнди Кейд

     Вспыльчив, как динамитная палка
    Ка-ка-ка Крокодил Мальчик
    Крокодил Мальчик
    Он кусает две тысячи  один   сто   двадцать   пять  фунтов на дюйм. .. 

    Горячая линия

    Мачито Понсе

    Малас Костумбрес

    Мачито-ЛАЙН 1993 9006 900 Тонта, детка, ты сексуальна на линии Один или сто двадцать семь сорок тридцать пять Давай Прюбейм Тонта, детка, ты сексуальна на линии One o

    25 лет

    Addae

     ниггер,  I  м  двадцать пять  , да
      Двадцать пять ,  двадцать пять  ( Двадцать пять , ага)
      Двадцать пять ,  двадцать пять  ( Двадцать пять , ага)
      Двадцать пять  ,  двадцать пять  (Два пять, 

    Человек на Марсе

    Овечья сила

    Настоящее Будущее

    2017

     относительно просторный
    В и из наших жилых единиц
    Дни будут тяжелыми
    
    С наружной температурой
    Минус  один   сто   двадцать   пять 
    А иногда 

    Крылья

    Падение

    Обратная сторона Падения

    1996

      сто  и  двадцать   пять  лет. 
    Небольшая переделка прошлого. Может превратить время в пространство.
    
    Оказался под Ардвикским мостом.
    С некоторыми ветеранами из 

    Мистер Хезелтайн встречает свою публику

    Чумбавамба

    Первые 2 пластинки

    1991

     молчи, до следующего раза. В следующий раз будет  один  тысяч восемь  сто  и  двадцать пять  дней. Ну, если свобода - это выбор между жадностью 

    На ногах

    Цветочек обыкновенный

      Один  тысяч, восемь  сто  и  двадцать 
      Пять  дней, что ты был в моей жизни
    Пять лет позади и считая до
    Время мы потеряем счет времени 

    24 часа

    Lil Durk

     порадовал вас (  пять   сто  тысяч долларов)
      Двадцать  -четыре часа, детка, двенадцать раз по два (двадцать четыре часа, детка)
    Семь дней в неделю  Я  хочу тебя видеть (семь 

    12345678910»4031

    12345»4031

    Ты нужен нам!

    Помогите собрать крупнейшую в сети коллекцию песен, отредактированных людьми!

    Крупнейший ресурс в Интернете для

    Музыка, песни и слова


    Член сети STANDS4

    Поиск текста песни по

    Жанры »

    Стили »

    Select a song styleAboriginalAbstractAcidAcid HouseAcid JazzAcid RockAcousticAfricanAfro-CubanAfro-Cuban JazzAfrobeatAlternative RockAmbientAndalusian ClassicalAORAppalachian MusicArena RockArt RockAudiobookAvant-garde JazzAvantgardeAxéBachataBalladBaltimore ClubBaroqueBass MusicBasslineBatucadaBayou FunkBeatBeatboxBeguineBerlin-SchoolBhangraBig BandBig BeatBlack MetalBluegrassBlues RockBoleroBollywoodBongo FlavaBoogalooBoogieBoogie WoogieBoom BapBopBossa NovaBossanovaBounceBrass BandBreakbeatBreakcoreBreaksBrit PopBritcoreBroken BeatBubblegumCajunCalypsoCandombeCanzone NapoletanaCape JazzCelticCha-ChaChacareraChamaméChampetaChansonCharangaChicago BluesChillwaveChiptuneChoralClassic RockClassicalColdwaveComedyCompasConjuntoConsciousContemporaryContemporary JazzContemporary R&BCool JazzCoplaCorridoCountryCountry BluesCountry RockCrunkCrustCuatroCubanoCumbiaCut-up /DJDance-popDancehallDanzonDark AmbientDarkwaveDeath MetalDeathcoreDeathrockDeep HouseDeep TechnoDelta BluesDescargaDial ogueDiscoDixielandDJ Battle ToolDonkDoo WopDoom MetalDowntempoDream PopDroneDrum n BassDubDub PoetryDub TechnoDubstepEarlyEast Coast BluesEasy ListeningEBMEducationEducationalElectric BluesElectroElectro HouseElectroclashEmoEtherealEuro HouseEuro-DiscoEurobeatEurodanceEuropopExperimentalFadoField RecordingFlamencoFolkFolk MetalFolk RockForróFree FunkFree ImprovisationFree JazzFreestyleFuneral Doom MetalFunkFunk MetalFusionFuture JazzG-FunkGabberGangstaGarage HouseGarage RockGhettoGhetto HouseGhettotechGlamGlitchGo-GoGoa TranceGogoGoregrindGospelGoth RockGothic MetalGrimeGrindcoreGrungeGuaguancóGuajiraGuarachaGypsy JazzHands UpHappy HardcoreHard BeatHard BopHard HouseHard RockHard TechnoHard TranceHardcoreHardcore Hip-HopHardstyleHarmonica BluesHarsh Noise WallHeavy MetalHi NRGHhighlifeHillbillyHindustaniHip HopHip-HouseHiplifeHonky TonkHorrorcoreHouseHyphyIDMIllbientImpressionistIndian ClassicalIndie PopIndie RockIndustrialIndustrialInstrumentalInterviewItalo HouseItalo-DiscoItalodanceJ-popJazz-F unkJazz-RockJazzdanceJazzy Hip-HopJump BluesJumpstyleJungleJunkanooK-popKaraokeKlezmerKrautrockKwaitoLaïkóLambadaLatinLatin JazzLeftfieldLight MusicLo-FiLouisiana BluesLoungeLovers RockMakinaMaloyaMamboMarchesMariachiMarimbaMath RockMedievalMelodic Death MetalMelodic HardcoreMemphis BluesMerengueMetalcoreMiami BassMilitaryMinimalMinimal TechnoMinneapolis SoundMizrahiModModalModernModern ClassicalModern Electric BluesMonologMouth MusicMovie EffectsMPBMusic HallMusicalMusique ConcrèteNeo SoulNeo-ClassicalNeo-RomanticNeofolkNew AgeNew BeatNew Jack SwingNew WaveNo WaveNoiseNordicNorteñoNoveltyNu MetalNu-DiscoNueva CancionNueva TrovaNursery RhymesOiOperaOperettaOttoman ClassicalP. FunkPachangaPacificParodyPersian КлассикаPiano BluesPiedmont BluesPipe & DrumPlenaPoetryPoliticalPolkaPop PunkPop RapPop RockPorroPost BopPost RockPost-HardcorePost-ModernPost-PunkPower ElectronicsPower MetalPower PopProg RockProgressive BreaksProgressive HouseProgressive MetalProgressive TrancePromotionalPsy-Tran cePsychedelicPsychedelic RockPsychobillyPub RockPublic BroadcastPublic Service AnnouncementPunkQuechuaRadioplayRaggaRagga HipHopRagtimeRaïRancheraReggaeReggae GospelReggae-PopReggaetonReligiousRenaissanceRhythm & BluesRhythmic NoiseRnB/SwingRock & RollRock OperaRockabillyRocksteadyRomaniRomanticRoots ReggaeRumbaRune SingingSalsaSambaSchlagerScoreScrewSea ShantiesShoegazeSkaSkiffleSludge MetalSmooth JazzSocaSoft RockSonSon MontunoSoneroSoukousSoulSoul-JazzSound ArtSoundtrackSouthern RockSpace RockSpace-AgeSpeechSpeed ​​GarageSpeed ​​MetalSpeedcoreSpoken WordSteel BandStoner RockStorySurfSwamp PopSwingSwingbeatSymphonic RockSynth-popSynthwaveTangoTech HouseTech TranceTechnicalTechnoTejanoTexas BluesThemeThrashThug RapTranceTrapTribalTribal HouseTrip HopTropical HouseTrovaTurntablismUK GarageVallenatoVaporwaveViking MetalVocalVolksmusikWestern КачелиWitch HouseYé-YéZoukZydeco

    Просмотр Lyrics.

    com

    #ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

    Викторина

    Вы мастер музыки?

    »

    Кто заменил Пола Ди’Анно на посту солиста Iron Maiden?
    • А. Стив Харрис

    • Б. Дэйв Мюррей

    • C. Адриан Смит

    • Д. Брюс Дикинсон

    Бесплатно, регистрация не требуется:

    Добавить в Chrome

    Получите мгновенное объяснение любой песни, которая поражает вас в любом месте в Интернете!

    Бесплатно, регистрация не требуется:

    Добавить в Firefox

    Получите мгновенное объяснение любой аббревиатуры или аббревиатуры, которая попадется вам в любом месте в Интернете!


    Ручное одеяло амишей с Эстер Миллер

    Дополнительная контактная почта (оставьте пустым)*

    Я полностью согласен ничего не получать*

    • LeseStoff-Bücher und Mehr
    • Jahreszeitliches
      • Вайнахтен
    • Японский Бюхер
      • Allgemein
      • Кляйдунг (японский)
      • Ташен (японский)
    • Немецкая бухгалтерия
      • Allgemein
      • Мола
      • Пэчворк
      • Ташен
      • Фильц
      • Галерея
    • Английский и не только
      • 2 блока
      • Бильдербюхер
      • Клеевая краска
      • Сумасшедшие одеяла
      • Создайте свои собственные одеяла
      • фото одеяла
      • Суетливая резка
      • Крючок, Punchneedle, Шерсть
      • Каталог
      • Пэчворк Грундлаген
      • Кусочек торта
      • Precuts
      • Вайнахтен
      • Wohnen mit Patchwork
      • Техника пэчворка
      • Der Stoff macht den Quilt
      • Falttechniken
      • Фундамент
      • Шнель Одеяла
      • Обновления
      • Стрип-пэчворк
      • 3D пэчворк
      • Одеяло Саммлунген
      • земли
      • Одеяла на память
      • Скандинавский Бюхер
      • Киндер и Бэби Пэчворк
      • Блок Саммлунген
      • Сбор лоскутного шитья
      • Пришивка- Мотив
      • Бревенчатый домик
      • Новые одеяла от старого фаворита
      • 1-,5-,7- и 9-Пластырь
      • Личная информация
      • Создайте свое собственное одеяло
      • Современный минимализм
      • Приложение
      • Наборы и границы
      • Ручное одеяло / сбор
      • амиши
      • Трапунто и Бутис
      • Одеяло — Машина
      • Спасиге Проекте
      • Kleidung und Mehr
      • Приклеить
      • Oberflächengestaltung
      • Смешанная техника
      • Stoff Färben und Bemalen
      • Узоры
      • Календарь
    • Фильц
    • Перлен, Кнёпфе, Шмук
    • Каталог
      • Каталог текстиля
    • Журнал
      • Английский журнал
      • Французский журнал
      • Японский журнал
    • Französische Bücher
      • Allgemein
      • Ручная работа
      • Японский Кюнстлер
      • Kleidung und Mehr
      • Одеяло Саммлунген
      • Трапунто и Бутис
      • Übersetzte Bücher
      • Wohnen mit Patchwork
    • Норвежский Бюхер
    • Фарбе
    • Сондеранжеботе
    • Абос
    • Картен
    • Папье
    • DVD
    • Раритет
    • Пораженный и Хекельн
    • Трагеташен
    • Begleitwerkzeug
    • тест

    【пять+сот+двадцать+пять+ 】 【Текст 】500 связанных текстов найдено

    пять + сто + двадцать + пять + 】 【Текст 】 Найдено 500 связанных текстов
    Вот результат для пунктов с 1 по 100; вы можете попытаться сузить результат, введя дополнительные слова.

    Альбом (ссылка на страницу) Песня (ссылка на страницу) (частичный текст)
    1 6. ЗОЛОТЫЕ СТОКИ в этих сотнях летать Бросьте несколько сотен, как те, что делают натуралку би Она только что трахнула меня на глазах у своих друзей, сказала мне, что она застенчивая И она ест все, что я скажу … заплатил за этоДжамбо Патек Четыре двадцать пять (Нет, это четыре -пятьдесят по-настоящему) я д
    2 15. Я НА ОДНОМ hn Madden Hundred ты пропылесосил, запечатал, я просто собираю его. Finessin — это спорт, пойманный мной, желтый, как Fabolous Four- … желтый, как Fabolous Four-двадцать пять, два камня, проверь четкость, на которой я нахожусь. один, я на одном, да, держись, помедленнее, подожди, догони (догони), я на одном, да, да, да … ненавижу быть в своих чувствах, я ненавижу двадцатидолларовые купюры, мы слишком знамениты, чтобы быть
    3 9.DJ FM AMJJASON не останавливайся) Двадцать четыре семь триста шестьдесят пять Меня зовут ди-джей DJ FM AMJJASON У меня 365 дней веселья Я благодарен за мои благословения каждый день365 означает, что нет отпусков Я бесконечен и . .. Круглосуточно (Не останавливайся) Двадцать четыре семь триста шестьдесят пять Я посылаю тебе свою любовь (Посылаю тебе свою любовь) Круглосуточно (Не останавливайся) … Круглосуточно (Не останавливайся) Двадцать четыре семь триста шестьдесят пять (верно, верно) Мое имя ди-джея DJ FM
    4 7. ПО ВСЕМУ МИРУ s быть драгоценными камнями Двадцать ты теряешь сознание, когда мы читаем эти гимны. См. лирически я [?] Стивен Карри с микрофоном, хотя конфетка Кайри Ирва с … Типовые потоки Де Ла Джонс возник Двадцать пять лет спустя не слишком многое изменилось B Владелец трех домов, я смотрю на систему поддержки Bently Drive Я никогда не мог быть с … но ты в этом холодном морозильнике Сто миль бега, поэтому я пробежал сто километров Мрачный жнец не ху
    5 3.Кастинг звонков Это вверх) Сто акров на особняке (особняке) Я наношу по последней моде (съел это) Суки должны назвать кастинг (да) Акк (Акк) Поместите бак … в матовый черный (скрт скрт) Двадцать Мотыги, если быть точным (да) Мне нужно десять, это десять центов, Хочешь пятак, это . .. десять центов, Хочешь пятак, это пять, Один, чтобы летать, один, чтобы скользить, Один, чтобы скользить, нет времени Положи тридцать на мою девятку. ниггер вне линии Мама плачет ниггеры умирают Wo … со страстью (бить его) Сто акров на t
    6 3. Такома Центр 1600 r тысяча шестьсот страдать бессонными ночами Ни звонков домой семьям ни чтения ни прав Миранды Второй уровень тюрьмы как будто первый… потерянные от депортации тролли Сто двадцать пять долларов за койку Сто двадцать пять долларов за голову И по выходным мы
    7 9. Город Новый Орлеан мастеров и двадцать пять мешков почты. На протяжении всей одиссеи, движущейся на юг, поезд отъезжает от Канкаки Роллс, мимо домов, ферм и полей. Пасси … в Новом Орлеане Меня не будет на пятьсот миль, когда день закончится. Играем в карты со стариками в клубной машине. Пенни за очко — никто не ведет счет. П … из Нового Орлеана Меня не будет в пятистах милях, когда день закончится. [x2] Спокойной ночи, Америка, как дела? Разве ты не знаешь меня, я твой физ
    8 6. My Blower (с участием JuicyJ) печать двадцать пятьсот завтра толкает в новый бе
    9 11. Оповещение о мяче пока что? Купе за четыреста тысяч долларов, припаркованное в проектах, Гардероб за полмиллиона долларов в шкафу, Единственный ниггер в городе488’Рари, я … к розетке, ниггер обратно в о-пять (да) Сделал четверть миллиона, продав наркотики на Севере Мемфис Сделал целый билетный ниггер только в Южном Мемфисе Помни все плохое … дай мне зажигалку) Я мог бы отправить двадцать к твоему порогу на Рождество (Счастливого Рождества) Они не хотят, чтобы мы баловались, они хотят, чтобы мы были в тюрьме (черт возьми ) Я провел в торговом центре e …
    10 10. Плохой бизнес и тридцать пять тысяч (да) Оттенки Cartier двадцать пять тысяч (да) Готовы сказать, я вижу это в ваших глазах, чувак (да) У меня нет прав, но я все еще вожу чувака (да) Два .. , Я все еще вожу чувака (да) Двести на тире очень быстро, да (2121) Проектная сука, настоящая задница, да (реальная задница) На этом Гленвуде я заработал много денег, да (реальные деньги) . .. oodclaat (кровавый клаат) Четыре-пять оставят вас со сгустком крови (кровь
    11 2.Без названия0206.23.2014. Бургундия Сотни из них Я знаю, что я жадный Застрял во чреве зверя Можешь ли ты помолиться за меня? Позови Бога по телефону, Сказал, что не будет… е Видел черных, превращающих их в бордовые Сотни из них Я знаю, что я жадный Застрял во чреве зверя Можешь ли ты помолиться за меня? Позови Бога по телефону, Сказал, что не будет… всю жизнь служит Воды около двух с половиной тысяч в месяц Что, если я опустошу свой банк?
    12 6.Mercedez(с участием G-Eazy&J.Doe) Четыреста Веди меня на поезде, смотри, как твой мальчик Перестраивается, потому что я не в купе, падаю Извините за то, что уронил мой топ, Бросьте мой топ на … несколько людей (людей) Двадцать пять мотыг, и я сплю закончился (спит
    13 6.Go(Газ) Потратил сто штук, а я не обналичил Если ты куришь OG, вынеси траву Эти ниггеры заправились, вытащи газ Я говорю о некоторых … Я делаю селфи с Эйфелевой башней Пятизвездочный генерал Странное будущее Я Эйзенхауэр сказал, что я не могу этого сделать, я покажу вам, ниггеры, как бороться с властью, воспламеняя кислое наблюдение . .. она сказала мне, что я надеваю Двадцать лет успеха, давайте выпьем за
    14 2. Wat’s Wrong (с участием Закари и Кендрика Ламара) ld жить сто лет, что быть реальным? Заплати мне, если я буду рифмовать эти омонимы. Безумно, мое другое шоу шло к моей маме. Мой папа сказал, Мерс … Зай, я лучший рэпер с двадцати пяти лет. Мне двадцать девять. Любой ниггер, который не согласен,
    15 11.My Blower (с участием Future&JuicyJ) печать двадцать пятьсот завтра толкает в новый бе
    16 4.Военная боль о; Статус пятизвездочного отеля Four Seasons. Эти болваны наверху, они знают, что сюда нельзя спускаться, играя в настоящих нигеров. Настроение я до сих пор c…s. Настроение Я все еще считаю пятьсот тысяч наличными. Ники в спальне, спи, жизнь прекрасна [Куплет 1: Meek Mill] Я сижу в своей камере уже неделю подряд Заперт… они даже не любят девушек Сто тысяч за самолет, да, это счет за полет Черт возьми четыре кирпича, чтобы перейти к LIV nigga Весь отряд на каком-то дерьме
    17 6. Атлантида Доллар двадцать пять Любой приз внизу мой Закрой глаза Загадай желание Шесть минут до начала шоу Политик нащупал свои реплики Я изменил … k: Blu] Atlantis[Verse3: Blu] Сто сорок четыре тысячи Публичное
    18 7. Это Рождество nauit Day Five Нуала Твоя щедрость не знает даров Пять золотых колец! Когда пришла посылка, я до смерти испугался, что это могут быть еще птицы, потому что запах в гостиной атро… бутылка виски Поверх ста двадцати четырех гран валиума Вы получите
    19 7. Я буду дома на Рождество в крысиных бегах на сто шестнадцать градусов. И эти крысы; они грызли достаточно долго. Теперь я не знаю, как выглядит mosey, но они п … брат Шейн были другими пятью. Я учился в четвертом классе в том возрасте, когда мальчики начинают мыслить больше как мужчины. И не было скучного момента, когда у меня был мой е … р. Но стоять перед двадцатью пятью девятилетними и петь а капелла? Это совсем другой вид храбрости. Другие дети искали
    20 5. Дурак на улице ухо я получил две тысячи пятьсот концертов. Твои рубашки отстой, парень
    21 24. Криминальная связь ven достигает двадцати трех Первоклассный выстрел, специальная доставка Без сомнения, вы хотите уйти, прежде чем намочить свою собственную кроватку Говорите о заднице в своем собственном ри … он танцует сцену Делая бой в сотню всю дорогу до Квинса [Кормега] Похоже, что продвигаться вперед вести быть мертвым или в федералах Я держал Глок в коробке из-под обуви под … подкладкой твоего жилета Мой единственный страх двадцать пять лет и смерть[Outro]{​X2}​ Ill m
    22 12.Привет-пять 12.Hi-Five Producer Metro Boomin[Intro] Это большой Gucci Wizzop Если молодое метро не доверяет тебе, я тебя пристрелю[Verse1] Я вложил восемь миллионов в свой … nspire ya Когда ты стоишь двадцать миллионов дети восхищаются тобой, когда твой послужной список похож на мой, они не возьмут тебя на работу, но когда ты подпишешься, как я, они могут … настоящий слабый трус … эти ниггеры висят, они не получают пять Gucci Mane, они говорят, что я г
    23 1. Все, что мне нужно (выпил за один месяц) больше зипов еще пять минут Все, что мне нужно, это еще один глоток, еще один глоток, Все, что мне нужно, это еще один глоток, еще один глоток, Все, что мне нужно, это еще один дра … еще больше сук Еще четыре зипа, еще пять минут Все, что мне нужно, это еще один выпил еще один выпил Все, что мне нужно, это еще один выпил еще один выпил Все, что мне нужно, это еще один ска … чашка фиолетового пунша высоко, черт возьми, Двадцать мазков сотен за счет в тысячу долларов Сотвори мое такси Все, что мне нужно, это еще один выпил еще два притупляет еще три суки четыре
    24 1. Мечтатель разбитого сердца ей исполнилось двадцать пять лет в городе, который не спит, Чувствовала себя полуживой от снов, которые я храню, И я продолжала ждать, только она ждет меня… нашла тебя, что твое сердце бьется сто тысяч раз в день, И это
    25 12.Рико Фристайл Двадцать пять Половина четверти за двадцать пять Партна моложе двадцати одного года, а получил двадцать пять (Ооооо) Адвокат заплатил булочки, сделал нигеров, получил друга (Получил друга) Получил булочку, которую партнер оставил в тюрьме (Это реально) То же самое ниггер дай . .. буду прыгать дерьмо Похороните меня с сотней пачек резинок и
    26 1. Рианна (с участием Young Thug) моя первая сотня тысяч В пятерках, десятках и двадцатках Это испортило мне мозг (Вау) Мне нужно было достать немного денег (денег) Все мои ниггеры — сотня (сотня) Это небо dw … Получил кирпичи Мадонны (кирпичи) Двадцать два вместо этих тридцати шести, потому что двое для моих бегунов Баленсиагас Я сделал их (Ууу) Особняк для мамы У меня нет дерьма ни на йоту … что мы делаем с единицами и пятерками Да, мы попали в Magic в понедельник ( пол
    27 9. Все, что мне нужно, подвиг. К лагерь больше зипов еще пять минут все, что мне нужно, это еще один глоток, еще один глоток, все, что мне нужно, это еще один глоток, еще один глоток вкладка на тысячу долларов Con
    28 3.Half Bae (с участием Пуйи) как будто ей двадцать пять, я не использую резину на этой мотыге, я просто бросаю кости, разорви ее, пойми ее правильно, даже если она не в моем вкусе, я подкрадусь, встану . .. и ее вырвало на член сто стоек в Civic, пока я загружаю
    29 7. польщен бах-бах Двадцать таких вещей Поднимите эти стойки Я сделал стойки для всех этих вещей Да, больше нет Закона, чувак, Это какие-то PT и кирпичи … ионы, полные смеха У тебя есть пять миллионов долларов для меня, тогда я польщен [Verse1] Подошел к суду, я воняю, Да, я воняю, теперь я моргаю, Запах ли … ионов, полных смеха, Ты получил за меня пять миллионов долларов, тогда я польщен [Verse2] Все любят Рэймонда, не так ли? Эти шлюхи съедят моих детей, не так ли?
    30 2. Ушел и прошел мимо деньги в двадцать пять я не могу себе это позволить Говядина сортируется как шоколад Godiva Ниггаз ты купил его Я оттягиваю затвор назад и вздергиваю его План сорвал тебя … Я лучше буду в туре, получая сто за штуку Фотографируюсь с кем-то
    31 13.Д.О.П.Е. ds на пятерке r-резинка на десятке Дал суке все дабы … десятка Дала суке все дабы сто тысяч на Benz Получил грузовик, полный дури, вилка на кокаине Рензел сделал, подошел прокуроры хотят знать Все допинг? . .. g переулки, как они, люди на мне, двадцать цепей получили наркотики от меня, VVS, которые
    32 5. Пот т. Как двадцатидолларовая шлюха. Пот. Господи, вот когда она вошла в дверь. Она сказала, что ее зовут Сэди, что она твоя кукла. Что л… ты о ее мужчине… Шесть футов пять дюймов и пуленепробиваемые триста фунтов мяса. Badder чем б
    33 15.Me So Cool Feat. Ca$h Out Yakki Divioshi и Me So Cool Получите!)» Двадцать пять сотен за Кристиана Луба. (Что!?) Re
    34 6. Из всех вещей Мои джинсы Пять восемь, а она весит всего сто двадцать Тощая, но у нее есть задница
    35 3. Жизнь слишком коротка Ублюдок пять раз И катаюсь вокруг, слушая мои рифмы [Крючок] (Слишком коротко) Жизнь ниггера (слишком коротка) Жизнь (слишком коротка) Жизнь ниггера (слишком шо … зарабатывая деньги для меня Потратил сотню гребаных групп на Совершенно новый автомобильДвадцать гребаных тысяч, да, я жесткий, я’
    36 6. Workin при участии Биг Шона и Трэвиса Скотта это дерьмо сто раз Если нет, мы будем здесь каждую ночь, пока ты работаешь, кричи моим людям с работой, я надеюсь, ты не . .. не влюбляйся, попадай в очередь Двадцать от пяти до жизни, я собираюсь заняться настоящим S
    37 2. Я не против мне даже не двадцать один Это ни слова теперь ты знаешь, что я чувствую, когда эти абсурдные рэперы говорят о вещах, которых никогда не было Черт возьми, нет … я не могу поверить в это дерьмо Сотня на запястье двести на Шея Yo пять на кнуте три милли в Escr
    38 12.1 Сутенер Time4 Earse Двести тире на этой суке сто клипов в [?] Получил деньги в каждом направлении Настоящий ниггер держит пистолет на память Я был тем мальчиком, что на улице … тинг в два литра Двадцать цепей на шее ниггера заставили меня загореться, Где вы, ниггеры, от любого ответа получаете «ну и что» Кривой [Переход: Сутенер C] Я не даю … с лохами-ниггерами, как они пять-о, я могу урвать суку с закрытыми глазами, если она попросит у меня денег, скажи ей «пока, нет».
    39 13.Трап-фанк l Особняк, двадцать пять комнат, у нас есть бананы, бабуины, Молодые ниггеры, мы принесли ловушку . .. назад Мы дали вам, так что, черт возьми, мы хотим вернуть это Не делайте этого ниггер … е, но нет Ох уж эти ниггеры старые, сотни называют их Громовыми Кошками Молодой н
    40 3. Ирландский вездеход тысяча восемьсот шесть мы отплыли из холодного моря Корка Мы отплыли с грузом кирпичей для большой ратуши Нью-Йорка … ее гнали пассаты У нее было двадцать семь мачт, и она выдержала несколько порывов ветра и они называли ее Ирландским Ровером Там был Барни МакГи с берегов Ли … львиные бочки с камнями У нас было пять миллионов свиней у нас было шесть миллионов до
    41 35. Водитель Аллеи Смерти э… Сто двадцать пять курю на поворотах Всегда на
    42 8.Right There (с участием French Montana и Chinx Drugz) этот газ двадцать пять мешок узкая талия все [?] без маски В этой позе лошади она кривоногий Когда она идет, она выглядит так, как будто она трясется … алк она выглядит так, как будто она трясется Двадцать футов в длину, я собираюсь изменить это Человек этот парень [?] Держите мой карманный шар, ударьте по клубу еще два, ваши деньги забавны, Дюваль, вы [ . .. имп, Flowin ‘state их gators Сотня групп в этой сотне групп в этой суке, затем мы катим Новый Орлеан Новый Орлеан получил что Superdome см., что это поп, что вы тве
    43 14. Sheep Lookin ‘Mutafucka (Lude II) Еду со скоростью сто двадцать пять миль в секунду, чтобы быть пастухом.
    44 8.Type Of Way (Remix) (Ft. Meek Mill & Rich Homie Quan) сложите стопку двадцатки стопку пятидесяти сотни Дай пять, потому что мой [крючок] (мой ниггер .. я бросаю т
    45 8. Пожиратели теней атер Сто семьдесят пять миллионов И три тысячи восемьсот двадцать девять жизней В истории приблизительно
    46 2. Я учусь eek Mill] Сотня великих на часах благословил Четверть мил за Mulsanne flex Все мои ниггеры собирают кассовые чеки И все вы, ниггеры смотрите … полиция Получила птиц за двадцать пять тысяч Звучит как сделка для меня Молодые ниггеры получаю деньги В Bentley никогда не похож на [?] И я не знаю, что такое без очереди в туалете … знаю, как выглядит без очереди Сотня плохих сучек вступают со мной ва-банк Получите их все бесплатно Начал с четверть унции хард-рока, а теперь
    47 10. 27 10.27 Двадцать семь лет, двадцать семь лет. Единственное, что я знаю. Написано шестьсот песен, только двенадцать спеты Восемьдесят семь тысяч сигарет прошли через эти легкие И каждый божий день мне жаль, что я не … и я все еще терял вес, блядь, Пять настоящих подружек и пять грязных
    48 9. Искусство рукопожатия длились около двадцати секунд И они просто продолжались, и они просто продолжались И они просто продолжались, и они просто продолжались Раньше было такое время… все рукопожатия длились секунд двадцать И они просто продолжались, и они просто продолжались они просто пошли, и они просто продолжили [Голос за кадром: Дэйв Петтитт] Хан … оружие или представляет угрозу За сотни лет это простое действие превратилось в иногда сложный ритуал и способ передать статус, взаимную принадлежность или Джу …
    49 1.10 Gs(Remix) Feat. Бёрдмэн и перестрелка и сделай еще двадцать десять G с этим позиция мальчика Рэп как ключи открывают хранилища к стеллажам Ниггеры вроде меня хотят всего этого и еще немного этого Продолжай и . .. ): Curren$y][Verse2: Birdman] Сотня G на одном блоке дали ремни, иди, двигай блоки Мы перемещаем блоки на один блок, я сказал моему ниггеру, что мы закрываем магазин’89мы прошли через это…
    50 6. Перспектива Кампус ge Двадцать школьников застрелены в Сэнди-Хук Чернокожий подросток убит из-за цвета кожи Такое ощущение, что хаос везде, где вы меня… подвергаете групповому изнасилованию в Индии Дрон оборвал жизни пятерых детей Я не знаю мне все равно, если ты живешь в многоэтажке Ты ничем не отличаешься от человека в хижине Каждый … тонна попадает под грязную бомбу Сотни человек ранены трое человек погибли
    51 1.Жизнь — сука Капюшон как пятипроцентники Но что-то должно проникнуть в нас, потому что все мы превратились в грешников Теперь некоторые отдыхают с миром, а некоторые сидят в Сан … е рано в день моего рождения Я двадцать лет благословения Суть Подросток покидает мое тело, теперь я свеж в Моем физическом теле празднуется, потому что я сделал это О .. . Богат или делает сотни лет Я изменил свой девиз — вместо этого о
    52 3. Включен Циклон Двадцать показывает восемнадцать сучек, а потом я лечу домой Плохой из-за того, что я стар, как гребаная Battle Star Galactica, чертовски впечатляющие зубы, дерьмо … зуд, потому что я безупречен. огнемет Некоторые рэперы тянутся к небу Думаю, я целюсь вот… Думаю, я целюсь ниже, Дрейк получает двадцать миллионов, я получаю сорок Gs Ему и сорок лет Мне пришлось убежать от сорока воров Ведите себя беспорядочно, больше трахайтесь, когда вам скучно. ..
    53 1.Без этикетки2 Введение time(30k) Двадцать пятьсот за мой Louboutin(Ha) Mansion El
    54 2.10 G’s Feat. Бёрдмэн и Каррен$и и сделай еще двадцать десять G с этим позиция мальчика Рэп как ключи открывают хранилища к стеллажам Ниггеры вроде меня хотят всего этого и еще немного этого Продолжай и … ): Curren$y][Verse2: Birdman] Сотня G на одном блоке дали ремни, иди, двигай блоки Мы перемещаем блоки на один блок, я сказал моему ниггеру, что мы закрываем магазин’89мы прошли через это. ..
    55 4. Звук оружия и отцы пятьсот убийств Пятьсот убийц грабителей [?] [?] Обещание Превратить мальчика в холод в ночи, ища тишины В солнечные времена отчеты о насилии Больше … Следите за ежедневными преступлениями, поднимающимися ежедневно Двадцать шесть и кал-кормэнс полный пакет о
    56 11. Адская кухня Еще двадцать по пути, как вы это видите, у меня есть рыба за доллар, вы видите это … рыба за доллар, вы видите это Пятьсот за Js, вы видите, я получаю деньги
    57 4.Где ты был? эн? Превратите пять в десять, в двадцать, в пятьдесят, в сто Мои негры получат деньги Я хочу их Я катаюсь по городу У моих негров есть вертолеты Моя сука, она такая хорошенькая Это моя Покахонтас … девятьсот твоих друзей Джузеппе с золотыми слитками Все б
    58 3. Я получил игру Двадцать третья катится, продаешь дурь клоунам. Твой банк толстый, но у тебя нет игры. Плюешь на уродов, бегаешь на суперфлай-сленге. детка хадда мотор Уложена по максимуму волосы до плеч Она старше но я умею лепить Уронила это г. .. не стучи четыре Я в большом пятисотом се л Салон горячий с запахом духов Взял на дом попал душ будет занят еще через час, утки выглядят бу
    59 3. Сменить полосу я Потрачу двадцать стоек, я вернусь завтра, Поднимись с такой большой сиськой, как Текарра. Вы никогда не видели, чтобы а’рари выглядел как сафари… rdi Air, я исправляю их, как два с половиной тысячи негров, называйте его хорошим тылом. Видеть
    60 17. Просто чтобы вы знали d мы знаем, Двадцать К, вы не можете получить бриллианты, сука, и вы знаете! Калифорнийская королевская мотыга, чтобы вы знали! И вы знаете, и вы знаете! Просто чтобы вы знали … ing серия. Айфон да ниггер! Пять домов да ниггеры! Новые курятники вернули на крышу Дорогая, улучшись, нужно вернуть доказательства И присоединиться к Северной Каролине, я ки … , за которой полиция наблюдает Сто тысяч на похоронах Суки зовут меня рэпом, Потому что я крутой ниггер, делающий хороший ниггер ! Я божий любимец, я бы хотел, чтобы ты…
    61 4. Они проглотили солнце идти пять дней к горам ржавчины И куда ты можешь идти? Эта земля заброшена, и ничего не вырастет И все боги знают, Что … орки, когда электричество включено Пятьсот лет сети нет Электронное искусство Закончилось тем, что просуществовало столько же, сколько пердеть Но это то, что вы получаете, когда вы любовь без … у нас плотный график! Двадцать горячих цыпочек на каждого старика…
    62 11. Баллин e Я ставлю сотню на «Лейкерс». Я должен сказать против них, вы знаете, что я еду с жарой. С кармой украли мою коробку Шеви. Коробка с резиной… встретите там банду и триста за унцию рефрижератора. Двадцать пять мешков ог куш и гранда
    63 5. Medusa (с участием Action Bronson и Roc Marciano) Эй, у меня сто тысяч накруток. Сейчас 10 утра, а я уже на седьмой унции. а
    64 12.Японский в’ Сто banz в myJ. Вы все застегиваете кодеин из журнала Nigga’s, говорите по-японски, тридцать кирпичей в’ A … anese тридцать кирпичей в’ Сто банз в моем J. .. она может застегнуть в моем .. По кругу с моей командой Держите этот zam в этом’ Got a’in a’ Превратите свой дом в свой f … kJapanese Тридцать ключей в a’ Сто ключей в моем’ Да, ниггер, ниггер, говорятJapanese Тридцать кирпичей и джип A … se Тридцать кирпичей и джип Сто трость в моем’ Да, я делаю это все время
    65 2.F….k Da City Up (с участием YoungJeezy) igga swag Стокаратная цепочка четверть мил в сумке Я больше не высовываю ярлыки Я просто позволяю им вешать Sucka nigga, делающий плохо Я просто делаю свое Thang … живот толстая добыча глубокая глотка Двадцать тысяч в моих штанах пятьдесят в моем peacoatJeezy трахнул меня, и мы трахнули город, шлюха
    66 1. Цифры на досках (одиночные) Приходите на сотню, уходите за борт, у меня есть деньги с лучшими из них, идите на удар за ударом с любым мексиканцем, не позволяйте вашим боковым сукам осесть в Migh … как деньги Биггс Берк в туре Двадцать пять кирпичей двигают работу как тяжелая работа Дважды попал в Делавэр . .. руда Дважды попал в Делавэр потребовалось еще двадцать пять Я вижу трещины в твоем диаметре
    67 4. Цифры на досках Приходите на сотню, уходите за борт, У меня есть деньги с лучшими из них. Идите на удар за ударом с любым мексиканцем. Дважды попал в Делавэр … руда Дважды попал в Делавэр потребовалось еще двадцать пять Я вижу трещины в твоем диам.
    68 2. Рассмотрение эти последние сто тысяч через денежный прилавок Перемещаю сумку, и я бегу в рекордные сроки, Женевская полоса сияет чрезмерным количеством бриллиантов … кирпич — это не тот, у меня есть тридцать пять выстрелов, да, обойма, которая тупая, и мой Пистолет, он выглядит дебильным, как вертолет Мы построили это с нуля, начав с бо … Американский оркестровый стенд Триста восьмидесятых заставил моего человека застрять Теперь это встретит меня в Little Caesars, мой ребенок, у меня есть кастрюли. ты остроумный…
    69 17.Надежда не делаешь двадцать пять И все, кого ты называешь, не лучше твоей жизни Люди взаперти лучше покажи свою нигеровскую любовь Ты не знаешь, как это . .. я расскажу тебе о них Сто лет в этом человеке лучший картофель
    70 19. Это то, что круто? es Как сто пятьдесят долларов жизнь ценится как … y долларов жизнь ценится как Двадцать пять к жизни для некоторых… И тяжело в гетто человек свет не ровный Но оставь его после нас ты подумаешь эта жизнь ко … г мое влияние! Беззаботные двадцать три молодых летают со мной, я круче, чем
    71 10.Кокаин час Тридцать пять сотен, получишь четыре в сплите. Вы все знаете, я знаю эту суку, я научил эту шлюху плавать. Я взял, сука, сценарий бриллиантового Лил Ки… Чувак, я был там уже двадцать лет. Чопперы капельницы и бопперы р
    72 8. Я понял tand Четыреста Оооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо Ну ладно, тогда есть сдача на … хорошо, тогда есть сдача на двадцать. Это здесь, в твоей дыре, в моем кармане Теперь это до зелени в твоем кошельке Это мое т . .. место еще Что, если бы я дал вам пять долларов только за то, чтобы выйти из этой комнаты (fa
    73 6. Баскетбольные шорты нужно сто миллионов долларов. Это то, о чем я думаю, когда выпиваю две бутылки красного вина и надеюсь, что еще одна мечта д … выйдет на сцену перед толпой из двадцати человек, и только пятеро из них заплатили. Подходят богатые ребята с высшим образованием и говорят: «К черту славу и деньги. Никогда (___?) Я люблю твою музыку, которую я скачиваю … гс, что я думаю, когда выпиваю пять бутылок красного вина и т
    74 4.Вся моя жизнь, часть 1 mil offa стодолларовые таблетки Выучить все коды и выучить все приемы И знать, какой рукой ей следует пользоваться в сделке Потерять все улыбки даже … авеню Жизнь — это то, почему она двадцать пять штук в сумке Подбирая странные вещи
    75 9. Где ты был p-1] От пяти до десяти, от двадцати до пятидесяти, до ста Мои ниггеры получают деньги, я хочу их (B
    76 11. Нет шансов ans on me Сотня тысяч на меня Она трахается только с балерами У тебя нет шансов, братан Получил чертову братан [Куплет 2: Gucci Mane] 1017 razine, вот что . .. cci Mane Dun ‘связал тебя Пять долларов керосина И теперь ты зажарился Ты взял этот член без вазалина Какого черта ты подписываешь, что я знаю, что ты сожалеешь … братан, у меня есть фанаты на мне Сотня тысяч на мне Она трахается только с балерами У тебя нет шансов, братан Получил чертов братан [Куплет 3: Bobby V] Домохозяйка пришла с тобой …
    77 8. Если она хочет этот город Зажги пять и десять центов и все, что она оставила, Потому что я ухожу, она может вернуться сейчас, если ей нужен этот город. Мой дедушка построил старый мост графства C … ummit И за сто двадцать лет это место никогда не менялось. Но для этого пустого человека никогда не будет прежним. Если ей нужен этот город, она может взять главн… ую остановку, проехать пять и десять центов и все, что она оставила позади. Потому что я ухожу, она может вернуться сейчас. О, есть одна дорога на одной дороге в одну сторону
    78 20. Ирландский вездеход тысяча восемьсот шесть Мы отплыли из сладкой бухты Корк Мы отплыли с грузом кирпичей Для великой ратуши в Нью-Й. .. у него было несколько взрывов у нее было двадцать семь мачт И мы назвали ее Ирландский Ровер. У нас был миллион тюков лучших тряпок Слайго. У нас было два миллиона бочек… львиных бочек костей. У нас было пять миллионов свиней, у нас было шесть миллионов.
    79 22. Раз-два-пять (одиночная версия) One-Two-Five (Single Version) Автор текста Эрик Стюарт, Грэм Гоулдман Композитор Эрик Стюарт, Грэм Гоулдман One … c Stewart, Грэм Гоулдман Сто двадцать пять ударов за ударом в минуту Сто двадцать пять Вы поняли идею с движением Тогда ты на полу Фаренгейт один … т на полу Фаренгейт сто два по Цельсию это доходит до тебя Твое сердце бьется восемь в баре Ты не можешь это контролировать
    80 11. Этьен умрет наши восемьсот и я подниму двести пятьсот баксов. Терпеть не могу Юг.
    81 1. Сделай дождь H заткнись Двадцать пять сотен в одном, я собираюсь намочить ее Ма
    82 8.Нет-Нет-Ничья Шесть футов пять двести двадцать фунтов Родом со дна
    83 10. THE FIGHTER (с участием Райана Теддера) Шесть футов пять двести двадцать фунтов Родом со дна
    84 8. Джордан Дидди ver У меня теперь сто миллионов я хочу оглянуться Я влюбился в пуэрториканца Я заинтересован в том, как они относятся ко мне У меня есть … как они относятся ко мне У меня есть пять разных Хозяйка, я затаился со своей белой сукой Да, я сука Майкл Джордан в каждом городе, я снимаю фильмы, в которые они собираются … и омрачают тебя Передние колеса на двадцать один Задние колеса на двадцать два Верхнее падение и пасхальная молния
    85 3. СЛР tes получить сто двадцать пять и чистую постель. И у нас есть большие пушки для досок, держите … у нас есть большие пушки для досок, вмещающие сотню Это для того, чтобы поедать киску, задницу, негр, хочу управлять ею. Что он делает Rolls? Как дела, Уэйн? Салют Stunner Gucci Mane. Негры … на Соссо послали их мальчиков на мою сотню D Тогда Тони хочет уйти, но его
    86 14.Бассейн выстрелил пять-шесть раз? Я покажу тебе, как испортить целый квартал. Сначала вы получаете АК с целым… вы получаете АК с целой сотней патронов. Налейте напиток. Хедшот выпил. Сиди пили. Встань, выпил. Выпил выпитый. Просыпайся пьяный. Увядший выпил. Причуда … блок. Деньги приходят сотнями, а не двадцатью десятками или пятью, и она катается на этом члене, но ее л
    87 16.Гриндмод детская кроватка на двадцати акрах Людовик V на корте Лейкерс Пожалуйста, не перепутайте, мой партнер будет судом по делу об убийстве Мы ни хрена не говорим, мы … Унг негр знает кое-что … Я плачу пятьсот долларов за моего больного Да я звезда
    88 11. Аболиционист Джон Браун Пятьдесят пять Видел, как эти канзасские мальчики лишились жизни За Компромисс Миссури Затем в пятьдесят шестом все полны храбрости Решительно жаждут крови Я … п Вагоны, залитые грязью Восемьсот человек и Шериф Джонс Оставили одного в Лоуренсе мертвым Итак Браун намеревался всадить пулю глубоко в голову Джона П. Дойла. Там есть Джейхок б … н, который может нести любой мужчина. Затем в двадцать три года я смотрел, как он умирает. Повешенный.
    89 8. Ваш сумасшедший становится ленивым? Мне сто двадцать пять, но твой сумасшедший становится ленивым
    90 4. Уважайте это Поставь мне пять, чтобы было похоже, что сейчас двадцать Говорят, что я похож на свою маму Я говорю, что я похож на свои деньги Ты не можешь сказать мне, что я не выгляжу, как чертов миллион пять, но я гриндер Не из тех ниггеров, которые специализируются на чем-то второстепенном Мои стрелки, как вербовщики, они придут и найдут тебя Хит … тлес, когда я в своем крутом дерьме Сотня тысяч на меня раз два цыпочка
    91 4. Уважайте это Поставь мне пять, чтобы было похоже, что сейчас двадцать Говорят, что я похож на свою маму Я говорю, что я похож на свои деньги Ты не можешь сказать мне, что я не выгляжу, как чертов миллион пять, но я гриндер Не из тех ниггеров, которые специализируются на чем-то второстепенном Мои стрелки, как вербовщики, они придут и найдут тебя Хит .. . тлес, когда я в своем крутом дерьме Сотня тысяч на меня раз два цыпочка
    92 2.Ла Ла Ла Ты пятьсот двадцать пять тысяч шестьсот человек, чтобы сказать мне, что никто
    93 2. Встряхните комнату сорок пять на жесткой хромоте Я смею вам сказать sum’n Standin на стороне сцены пару головорезов Mic check! Premier play sum’n(Play it! … H для меня, чтобы получить репутацию, как двадцать пять фунтов, я положил его на скамейку, три … упал, ударил по скамейке, триста на стойке, два глубоких вдоха и Я бросаю это дерьмо обратно! Как выстрел yack! Word up! [Припев: Flavor Flav] (Bumpy Knuckles) … et off jock!
    94 9. Федералы Я работал с опозданием на двадцать лет, и все равно ничего не изменилось Но мы играем, да, мы играем, как цепи, управляющие волнами, Да, мы никогда не собираемся останавливаться, пока мы все не … как тридцать штук в моих штанах, сто купюр, нет пятидесятых, двадцать пять с половиной за тридцать лет. что
    95 5.Возможно(Prod by The Avengerz) d на сотни Но у всех нас есть прошлое Сука, не суди меня, Потому что я нахожусь в печально известных местах, где много головорезов Дерьмо, это мой стиль Че . .. т Вы заинтересованы в том, чтобы взорвать двадцать мешков, потому что мы можем взорвать это все, девочка, я продолжаю работать так же, как и ты, придурки. Неудачные попытки залезть в твою юбку, я могу повредить ее … ум Хо, ты копейка Но я двадцатый мешок Спроси меня, где мои двадцатые в Не мог даже найти’ Я получил … не мог даже найти их, у меня есть сотни, и у меня есть деньги
    96 7. Ушел и прошел мимо деньги в двадцать пять я не могу себе это позволить Говядина сортируется как шоколад Godiva Ниггаз ты купил его Я оттягиваю затвор назад и вздергиваю его План сорвал тебя … Я лучше буду в туре, получая сто за штуку Фотографируюсь с кем-то
    97 2.К черту город! igga swag Стокаратная цепочка четверть мил в сумке Я больше не высовываю ярлыки Я просто позволяю им вешать Sucka nigga, делающий плохо Я просто делаю свое Thang … живот толстая добыча глубокая глотка Двадцать тысяч в моих штанах пятьдесят в моем peacoatJeezy трахнул меня, и мы трахнули город, шлюха
    98 3.

    Как различать сочетания размещения и перестановки: Различия размещений и сочетаний — урок. Алгебра, 11 класс.

    Перестановки, размещения, сочетания

    Перестановки, размещения, сочетания

    Характерная примета в задачах из области комбинаторики – вопрос в них обычно можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов: «Сколькими способами…».

    Первые задачи такого типа встречались уже, например, в древней и средневековой Индии.

    «О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов» (Махавира, IX в.). Условие этой задачи, возможно, не очень понятно; судя по решению, здесь речь идет об ожерельях, которые бы отличались не по количеству или расположению камней одного и того же типа, а по наличию тех или иных камней – например, ожерелье из бриллиантов, из бриллиантов и кораллов, из бриллиантов, изумрудов и жемчугов и т.  д.

    Решение

    «Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, горьким, вяжущим, кислым, соленым, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей» (Шридхара, IX–X вв.).

    Решение

    Классическими понятиями комбинаторики являются перестановки, размещения и сочетания.

    Перестановкой называется какой-либо способ упорядочения данного множества. Чтобы найти число всех перестановок множества из n предметов (это число обозначается Pn, от французского permutation – перестановка) – например, число способов, которыми можно расставить n томов на книжной полке, – обычно рассуждают таким образом. Первым можно поставить любой из n предметов, вторым – любой из (n – 1) оставшихся предметов, третьим любой из (n – 2) оставшихся предметов и т. д. В результате число перестановок будет равно произведению n множителей n (n – 1) (n – 2) … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1.

    Рис. 1. Перестановки (варианты размещения четырех предметов по четырем ячейкам)

    Упорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется размещением из n по m. С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, нетрудно найти, что число размещений из n по m (оно обозначается , от французского arrangement – размещение) равно произведению m множителей

    n (n – 1) (n – 2) … (n – m + 2) (n – m + 1).

     

    Рис.  2. Размещения (варианты размещения четырех предметов по трем ячейкам)

    Наконец, неупорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется сочетанием из n по m. Число сочетаний обозначается , от французского combinaison – сочетание. Поскольку одному и тому же сочетанию соответствует Pm размещений (получаемых с помощью различных перестановок одного и того же набора m элементов), число сочетаний из n по m меньше числа размещений из n по m в Pm раз:

     

    Рис. 3. Сочетания (неупорядоченные размещения)

    Впервые понятия перестановки, размещения и сочетания в их взаимосвязи появились в написанной на древенееврейском языке арифметике (1321 г. ) жившего в Провансе (Юго-Восточная Франция) Льва Герсонида, или Леви бен Гершона, однако его труд не был известен большинству последующих европейских математиков. В основном элементы комбинаторики были открыты и упорядочены математиками XVII и начала XVIII вв.

    Например, термин permutation – перестановка – появился в учебнике «Теория и практика арифметика» (1656 г.) у работавшего в Лувене и Антверпене (ныне Бельгия) преподавателя математики Андре Таке, учебники которого получили большое распространение в XVII–XVIII вв. Понятие размещений и равенство вновь появились только у Я. Бернулли, давшего наиболее полное изложение комбинаторики во второй части «Искусства предположений», изданного в 1713 г. спустя четыре года после смерти автора и ставшего фундаментальной работой по теории вероятностей.

    А вот история сочетаний, как мы сейчас убедимся, более давняя: а именно, числа сочетаний – оказывается, ни что иное, как давно знакомые нам биномиальные коэффициенты, которые мы (вслед за Эйлером) обозначали

    Дело тут вот в чем: число – это коэффициент при an – mbm в разложении выражения (a + b)n. Когда бином (a + b) возводится в n-ую степень, т. е. перемножаются n выражений (a + b), множитель bm получается из m выражений (a + b), а an – m – из оставшихся (n – m) таких же выражений. Коэффициент равен числу, указывающему, сколько раз произведение an – mbm появляется в этом разложении, т. е. сколько раз можно выбрать m из n множителей. Слово combinaison – сочетание – употреблял уже Б. Паскаль, который, как уже было указано, уделил большое внимание свойствам биномиальных сочетаний, образующих треугольник Паскаля.

    Соответственно, на числа сочетаний переносятся все уже известные свойства биномиальных коэффициентов, в частности, свойство

    Это свойство можно доказать новым способом, исходя из комбинаторного смысла чисел . Сумма – это совокупное число, которым можно выбрать последовательно из n имеющихся элементов: ноль элементов (это можно сделать только одним способом), один элемент (это, разумеется, можно сделать n способами), два элемента и т.  д., наконец, n элементов (снова одним способом). Каково же это суммарное число? Обратимся к способу решения вышеприведенной задачи об ожерельях! В данном сочетании первый элемент либо присутствует, либо нет – две возможности. Независимо от первого, второй либо присутствует, либо нет – значит, для присутствия или отсутствия первого и второго четыре возможности. Независимо от первого и второго, третий может присутствовать, может не присутствовать – итого 8 возможностей и т. д. Всего получается 2n всевозможных сочетаний, где каждый элемент может присутствовать, а может и отсутствовать, вплоть до одновременного отсутствия всех n элементов (единственный возможный вариант сочетания из n по 0): правда, индийская задача как раз этот – единственный – случай и исключала: ожерелье вовсе без камней – вообще не ожерелье.

    Также по-новому, исходя из комбинаторного определения сочетаний, можно доказать и свойство , гарантирующее, вместе с очевидными равенствами , что числа сочетаний можно найти с помощью треугольника Паскаля. Попробуйте!

    Доказательство

    Т. н. мультипликативное представление биномиальных коэффициентов

     = (n (n – 1) (n – 2) … (n – m + 2) (n – m + 1)) / (m (m – 1) (m – 2) … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1)

    впервые (после Леви бен Гершона) установил парижский преподаватель математики П. Эригон (1634 г.), но широкую известность оно получило благодаря работе Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», опубликованной в 1665 г. после смерти автора. Пожалуй, проще всего этот результат доказывается с помощью равенства . Впрочем, мы сейчас обычно записываем «мультипликативное представление» несколько иначе, с помощью знака факториала. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Факториалом 0 считается 1. Термин «факториал» впервые предложил французский математик Л. Ф. А. Арбогаст (1800 г.). Факториал числа n обозначается n! Это обозначение ввел в 1808 г. немецкий математик К. Крамп. Итак, n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n, 0! = 1. В этих обозначениях

    Pn = n!,


    Что касается самого слова «комбинаторика», то оно восходит к «Рассуждению о комбинаторном искусстве» двадцатилетнего Лейбница (1666 г.), которое положило начало этому разделу математики как самостоятельной науке. «Рассуждение» Лейбница содержало ряд теорем о сочетаниях и перестановках, но, кроме того, автор провозглашал весьма широкую применимость новой науки к таким разнообразным предметам, как замки, органы, силлогизмы, смешение цветов, стихосложение, логика, геометрия, военное искусство, грамматика, юриспруденция, медицина и богословие. В дальнейшем Лейбниц продолжил вынашивать грандиозный замысел комбинаторики, полагая, что, как обычная математика занимается большим и малым, единым и многим, целым и частью, так комбинаторика должна заниматься одинаковым и различным, похожим и непохожим, абсолютным и относительным местоположением. Лейбниц предвидел приложения комбинаторики к кодированию и декодированию, к играм, статистике, теории наблюдений. Следует отметить, что, хотя ныне мы понимаем комбинаторику более узко, тем не менее, предвидения Лейбница относительно развития математических теорий, относящихся к указанным предметам, ныне вовсе не выглядят такими беспочвенными, какими казались в его время.

    Перестановки. Сочетания. Размещения — презентация онлайн

    1. Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно. Конфуций

    Перестановки.
    Сочетания.
    Размещения.
    Проказница-Мартышка, Осел, Козел да косолапый
    Мишка
    Затеяли сыграть Квартет.
    Достали нот, баса, альта, две скрипки
    И сели на лужок под липки Пленять своим искусством свет.
    Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
    «Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. — Погодите!
    Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.
    И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не
    идет.
    Вот пуще прежнего пошли у них разборы
    И споры,
    Кому и как сидеть…
    Решение:
    1 * 2 * 3 * 4 = 24
    «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл
    да косолапый Мишка задумали сыграт
    квартет». Сколькими способами они
    могут выбрать каждый для себя по
    одному инструменту из 10 данных
    различных инструментов?

    7. Комбинаторика

    Комбинаторикой называется раздел математики, в
    котором исследуется, сколько различных комбинаций
    (всевозможных объединений элементов), подчиненных
    тем или иным условиям, можно составить из элементов,
    принадлежащих данному множеству.
    Слово «комбинаторика» происходит от латинского
    слова combinare, которое означает «соединять, сочетать».
    Термин «комбинаторика» был введён знаменитым
    Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно
    известным немецким учёным.
    ПОНЯТИЕ ФАКТОРИАЛА
    n! = 1·2·3 … n, где n — натуральное число
    Принято считать, что 0! = 1
    Пример:
    Решить уравнение:
    Решение:
    Ответ:
    (n 2)!
    20;
    n!
    n!( n 1)( n 2)
    20; Решаем квадратное уравнение:
    n!
    n1 3; n2 6
    ( n 1)( n 2) 20;
    n 3
    8

    9.

    Задания для повторенияВычислите:

    10. Ответы

    1) 42
    2) 3003
    3)

    11. Решаем самостоятельно

    2 вариант
    1 вариант
    • 1
    • 1
    • 2
    • 2
    • 3
    • 3

    12. Проверяем: «5» — верных ответов 4 «4» – верных ответов 3 «3» – верных ответов 2

    Проверяем:
    1 вариант
    1) 100
    2) 8,25
    3) 48,2
    «5» — верных ответов 4
    «4» – верных ответов 3
    «3» – верных ответов 2
    2 вариант
    • 1) 2015
    • 2) 40
    • 3) 1,1

    13. 1) установить различие между задачами 2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему 3) предложить способ

    решения
    • Задача 1.
    Имеются три различных фрукта:
    апельсин(A),банан (B), слива (C). Сколькими
    способами можно два из них отдать Пете и Коле?
    • Задача 2.
    Имеются три различных фрукта:
    апельсин(A),банан (B), слива (C). Сколькими
    способами из них два для обеденного перекуса?

    16. Различают три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

    Сочетания
    Во 2 задаче идет речь о сочетании
    Сочетаниями называют различные комбинации из объектов,
    которые выбраны из множества различных объектов, и
    которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом.
    Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная
    выборка из элементов, в которой не важен их порядок
    (расположение). Общее же количество таких уникальных
    сочетаний рассчитывается по формуле .
    n = 3. m = 2 С32 = = 3
    А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:
    Решение задачи №2

    17. Размещения

    Размещениями называют различные комбинации из объектов,
    которые выбраны из множества различных объектов, и
    которые отличаются друг от друга как составом объектов в
    выборке, так и их порядком. Количество размещений
    рассчитывается по формуле:
    m!
    Amn
    (m n)!
    Решение задачи №1
    n = 3. m = 2 А32 = 6
    А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:
    A83
    8!
    1 2 3 4 5 6 7 8
    6 7 8 336(способов)
    (8 3)!
    1 2 3 4 5

    18.

    ПерестановкиПерестановками называют
    комбинации, состоящие из одних и тех
    же различных объектов и отличающиеся
    только порядком их расположения.
    Количество всех возможных перестановок
    выражается формулой
    Решение задачи из басни :
    n = 4.
    P4 = 4! = 1*2*3*4=24
    «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да
    косолапый Мишка задумали сыграть
    квартет». Сколькими способами они могут
    выбрать каждый для себя по одному
    инструменту из 10 данных различных
    инструментов?
    ( Ответ:
    )

    21. Графический диктант


    а) судья хоккейного матча и его помощник;
    б) три ноты в аккорде;
    в) «Шесть человек останутся убирать класс!»
    г) две серии для просмотра из многосерийного фильма
    д) составление букета
    е) выбор солистов хора
    ж) составление расписания уроков
    з) составление меню блюд в столовой
    и) очередь в кассе
    к) распределение золотой и серебряной медали по итогам
    олимпиады
    Выбрать и решить задачи, где рассматривается комбинация
    ПЕРЕСТАНОВКИ,СОЧЕТАНИЯ, РАЗМЕЩЕНИЯ
    1.
    2.
    3.
    4.
    5.
    6.
    7.
    8.
    9.
    10.
    11.
    12.
    Изменяя порядок слов: руки, мою, я, составьте всевозможные предложения.
    Сколькими способами в игре «спортлото» можно выбрать 6 номеров из 49?
    Сколькими способами можно выбрать 2 буквы из слова «конверт»?
    Из коллектива работников в 25 человек нужно выбрать председателя, заместителя,
    бухгалтера и казначея. Каким количеством способов это можно сделать?
    Сколько существует способов выбора трёх ребят из 4-х желающих дежурить в столовой?
    На собрании пожелали выступить 5 человек – Иванов, Петров, Сидоров, Белочкин и
    Пеночкин. Сколькими способами можно составить список ораторов?
    Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 человек, можно создать из 5
    преподавателей?
    Сколько различных трехзначных чисел, в каждом из которых все цифры различны, можно
    составить из цифр 1, 2, 3, 4?
    Сколько различных четырехзначных чисел, в каждом из которых все цифры различны,
    можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?
    Сколькими способами можно составить расписание на день из 4 различных уроков, если
    изучается 10 предметов?
    Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30?
    В хирургическом отделении работают 40 врачей. Сколькими способами из них можно
    образовать бригаду в составе хирурга и ассистента?

    24. ПЕРЕСТАНОВКИ

    1
    Изменяя порядок слов: руки, мою, я, составьте
    всевозможные предложения.
    6 На собрании пожелали выступить 5 человек – Иванов,
    Петров, Сидоров, Белочкин и Пеночкин. Сколькими
    способами можно составить список ораторов.
    9 Сколько различных четырехзначных чисел, в каждом из
    которых все цифры различны, можно составить из цифр
    1, 2, 3, 4?
    11 Сколькими способами можно записать в виде
    произведения простых множителей число 30?

    25. СОЧЕТАНИЯ

    2
    Сколькими способами в игре «спортлото»
    можно выбрать 6 номеров из 49?
    3 Сколькими способами можно выбрать 2 буквы
    из слова «конверт»?
    5 Сколько существует способов выбора трёх
    ребят из 4-х желающих дежурить в столовой?
    7 Сколько экзаменационных комиссий, состоящих
    из 3 человек, можно создать из 5 преподавателей?

    26. РАЗМЕЩЕНИЯ

    4 Из коллектива работников в 25 человек нужно выбрать
    председателя, заместителя, бухгалтера и казначея. Каким
    количеством способов это можно сделать?
    8 Сколько различных трехзначных чисел, в каждом из
    которых все цифры различны, можно составить из цифр 1,
    2, 3, 4?
    10 Сколькими способами можно составить расписание на
    день из 4 различных уроков, если изучается 10 предметов?
    12 В хирургическом отделении работают 40 врачей.
    Сколькими способами из них можно образовать бригаду в
    составе хирурга и ассистента?

    27. Ответы

    1.
    2.
    3.
    4.
    5.
    6.
    7.
    8.
    9.
    10.
    11.
    12
    Я мою руки. Руки мою я. Мою я руки. Я руки мою. Руки я мою.
    Мою руки я. = 6
    С499 = 1383816
    С72 = 21
    А254 = 303600
    С43 = 4
    Р5 = 120
    С73 = 35
    А43 = 24
    Р4 = 24
    А 104 = 30240
    Р3 = 6
    А402 = 1560

    28. Проверь себя

    1.Определите вид соединений:
    а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг
    от друга только порядком расположения в них
    элементов, называются __________перестановки
    б) Соединения из m элементов по n, отличающихся
    друг от друга только составом элементов,
    называются _______________сочетания
    в) Соединения из m элементов по n, отличающихся
    друг от друга составом элементом и порядком
    их расположения, называются _________
    размещения

    29.

    2.Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта1
    Amn
    m!
    (m n)!
    2
    Pn n!
    3
    m!
    C
    (m n)!n!
    n
    m
    А сочетания
    В размещения
    С перестановки

    30. Задача

    Встретились несколько друзей и все
    обменялись рукопожатиями. Всего было
    сделано 15 рукопожатий. Сколько
    встретилось друзей?

    31. Исторические сведения

    • Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в.
    параллельно с возникновением теории вероятностей.
    • Первые научные исследования по этой теме
    принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н.
    Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и
    французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П.
    Ферма.
    • Комбинаторику,
    как
    самостоятельный
    раздел
    математики, первым стал рассматривать немецкий
    ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве
    комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также
    впервые ввел термин «Комбинаторика».
    Пьер Ферма
    1601-1665
    Готфрид
    Вильгельм
    Лейбниц
    1646-1716
    Первые научные
    исследования по
    комбинаторике
    принадлежат:
    Леонард Эйлер
    1707-1783
    Блез Паскаль
    1623-1662

    33.

    Спасибо за внимание!!.

    Перестановки, сочетания и размещения — презентация онлайн

    Похожие презентации:

    Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

    Применение производной в науке и в жизни

    Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

    Знакомство детей с математическими знаками и монетами

    Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

    Методы обработки экспериментальных данных

    Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

    Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

    Дифференциальные уравнения

    Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

    1. Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно. Конфуций

    Перестановки.
    Сочетания.
    Размещения.
    Проказница-Мартышка, Осел, Козел да косолапый
    Мишка
    Затеяли сыграть Квартет.
    Достали нот, баса, альта, две скрипки
    И сели на лужок под липки Пленять своим искусством свет.
    Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
    «Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. — Погодите!
    Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.
    И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не
    идет.
    Вот пуще прежнего пошли у них разборы
    И споры,
    Кому и как сидеть…
    Решение:
    1 * 2 * 3 * 4 = 24

    5. Исторические сведения

    • Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в.
    параллельно с возникновением теории вероятностей.
    • Первые научные исследования по этой теме
    принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н.
    Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и
    французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П.
    Ферма.
    • Комбинаторику,
    как
    самостоятельный
    раздел
    математики, первым стал рассматривать немецкий
    ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве
    комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также
    впервые ввел термин «Комбинаторика».
    Пьер Ферма
    1601-1665
    Готфрид
    Вильгельм
    Лейбниц
    1646-1716
    Первые научные
    исследования по
    комбинаторике
    принадлежат:
    Леонард Эйлер
    1707-1783
    Блез Паскаль
    1623-1662

    7.

    КомбинаторикаКомбинаторикой называется раздел математики, в
    котором исследуется, сколько различных комбинаций
    (всевозможных объединений элементов), подчиненных
    тем или иным условиям, можно составить из элементов,
    принадлежащих данному множеству.
    Слово «комбинаторика» происходит от латинского
    слова combinare, которое означает «соединять, сочетать».
    Термин «комбинаторика» был введён знаменитым
    Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно
    известным немецким учёным.
    ПОНЯТИЕ ФАКТОРИАЛА
    n! = 1·2·3 … n, где n — натуральное число
    Принято считать, что 0! = 1
    Пример:
    Решить уравнение:
    Решение:
    Ответ:
    (n 2)!
    20;
    n!
    n!( n 1)( n 2)
    20; Решаем квадратное уравнение:
    n!
    n1 3; n2 6
    ( n 1)( n 2) 20;
    n 3
    8

    9. 1) установить различие между задачами 2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему 3) предложить способ

    решения
    • Задача 1.
    Имеются три различных фрукта:
    апельсин(A),банан (B), слива (C). Сколькими
    способами можно два из них отдать Пете и Коле?
    • Задача 2.
    Имеются три различных фрукта:
    апельсин(A),банан (B), слива (C). Сколькими
    способами можно два из них выбрать для
    обеденного перекуса?

    12. Различают три вида комбинаций: перестановки, размещения и сочетания.

    Перестановками называют комбинации,
    состоящие из одних и тех же различных
    объектов и отличающиеся только порядком их
    расположения. Количество всех возможных
    перестановок выражается формулой
    Сочетания
    Сочетаниями называют различные комбинации из объектов,
    которые выбраны из множества различных объектов, и
    которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом.
    Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная
    выборка из элементов, в которой не важен их порядок
    (расположение). Общее же количество таких уникальных
    сочетаний рассчитывается по формуле
    n = 3. m = 2 С32 = 3
    А теперь решим ту же задачу для случая m=3, n=8:
    Решение задачи №2

    14.

    РазмещенияРазмещениями называют различные комбинации из объектов,
    которые выбраны из множества различных объектов, и
    которые отличаются друг от друга как составом объектов в
    выборке, так и их порядком. Количество размещений
    рассчитывается по формуле:
    m!
    Amn
    (m n)!
    Решение задачи №1
    n = 2. m = 3 А32 = 6
    А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:
    A83
    8!
    1 2 3 4 5 6 7 8
    6 7 8 336(способов)
    (8 3)!
    1 2 3 4 5
    «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да
    косолапый Мишка задумали сыграть
    квартет». Сколькими способами они могут
    выбрать каждый для себя по одному
    инструменту из 10 данных различных
    инструментов?
    ( Ответ:
    )

    17. Задания для повторения

    Вычислите:

    18. Ответы

    1) 42
    2) 3003
    1
    3)
    6

    19. Практическое занятие

    20. 1. Вычислите (каждое выражение – 1 балл).

    1 вариант
    • 1
    2 вариант
    • 1
    • 2
    • 2
    • 3
    • 3
    2. Решите задачи на подсчет перестановок, сочетаний,
    размещений, подобрав соответствующую формулу
    (Каждая задача – 2 балла).
    1.
    2.
    3.
    4.
    5.
    6.
    Изменяя порядок слов: руки, мою, я, составьте всевозможные
    предложения.
    Сколькими способами в игре «спортлото» можно выбрать 6 номеров
    из 49?
    На собрании пожелали выступить 5 человек – Иванов, Петров,
    Сидоров, Белочкин и Пеночкин. Сколькими способами можно
    составить список ораторов?
    Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 человек, можно
    создать из 5 преподавателей?
    Сколько различных трехзначных чисел, в каждом из которых все
    цифры различны, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?
    Сколькими способами можно составить расписание на день из 4
    различных уроков, если изучается 10 предметов?
    Критерии оценки:
    «5» – 14-15 баллов
    «4» – 10-до 14 баллов
    «3» – 7- до 10 баллов
    «2» – менее 7баллов

    English     Русский Правила

    перестановка — Перестановки, размещения и сочетания


    Подборка по базе: реферат Выбор места размещения предприятия.rtf, Петров Оптимизация размещения ЭС-конвертирован. pdf, Особенности размещения интернет-рекламы.pptx, Курсовая Особенности организации службы приема и размещения.docx, Способы размещения государственного и муниципального контракта п, milanaarrt Курсовая работа Система классификации гостиниц и ины, Оптимизация размещения и порядка бурения многоствольных скважин , 17ЗСКД Кузнецова Планирование производственно технологической де, Регламент размещения КГТ.docx, Схема размещения (копия).pptx

    Тема урока: Перестановки, размещения и сочетания.
    Цели урока:

    Образовательная:


    • познакомить с понятием «комбинаторика»;

    • познакомить с правилами комбинаторики;

    • обеспечить в ходе урока усвоение понятия размещений, перестановок и сочетаний;

    • сформировать умения решать комбинаторные задачи.

    Воспитательная:

    • воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений;

    • воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.

    Развивающая:

    • развитие логического мышления посредством решения комбинаторных задач, сообразительности;

    • развитие математической речи, внимания.

    Обучающийся должен:

    знать:


    • определения трех важнейших понятий комбинаторики:

    • размещения из n элементов по m;

    • сочетания из n элементов по m;

    • перестановки из n элементов;

    • основные комбинаторные формулы

    уметь:

    • отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;

    • применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.

    Методы обучения: 


    • словесно-информационный (рассказ),

    • словесно-репродуктивный(опрос),

    • практически-репродуктивный( выполнение заданий),

    • наглядно-иллюстративный .

    Структура урока


    1. Организационный момент

    2. Мотивация учебной деятельности

    3. Сообщение темы и цели урока.

    4. Объяснение нового материала.

    5. Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.

    6. Домашнее задание

    7. Подведение итогов

    8. Список литературы

    Ход урока


    1. Организационный момент

    Приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку.

    1. Мотивация учебной деятельности

    Задача из басни С. Крылова «Квартет»

    Проказница Мартышка

    Осёл,

    Козёл,

    Да косолапый Мишка

    Затеяли играть квартет

    Стой, братцы стой! –

    Кричит Мартышка, — погодите!

    Как музыке идти?

    Ведь вы не так сидите…

    И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

    Вот пуще прежнего пошли у них разборы

    И споры,

    Кому и как сидеть…

    — Как вы думаете сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно? (учащиеся предлагают свои варианты)

    — В конце урока вы узнаете кто дал правильный ответ.

    3. Сообщение темы и цели урока.

    Тема сегодняшнего урока «Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания». Сегодня на уроке вам предстоит рассмотреть общие правила комбинаторики, ознакомится с основными понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки), научиться решать простейшие комбинаторные задачи.

    4.Объяснение нового материала.

    Одним из важнейших понятий современной математики является понятие множества. Говорят о множестве учащихся в группе, о множестве букв в алфавите, о множестве изделий в упаковке и т.д.

    Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и формально через другие более простые понятия не определяется. Оно воспринимается конкретно, посредством знакомства с различными примерами множества. Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами множества.

    Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка {abc, … , ef}.

    Во множестве порядок элементов роли не играет, так {ab} = {ba}.

    Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множествоми обозначается символом ø.

    Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В

    Множество {ab} является подмножеством множества {abc, … , ef}.

    Задача: Перечислите возможные варианты подмножества множества {345, 7, 9}.

    При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Например — парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные команды. Задачи которые рассматривают такие соединения и находится число различных соединений, называют комбинаторными.

    Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами». Комбинаторика возникла и развивалась одновременно с теорией вероятностей. И первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр.

    Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин «комбинаторика» был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно известным немецким учёным.

    Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества.

    При большом числе возможных последствий испытания способы прямого перебора возможных вариантов малоэффективны. На помощь приходят комбинаторные методы, в основе которых лежат два следующих правила называемых соответственно правилами умножения и сложения.

    ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ

    Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в соответствии   и   способами, тогда какое-то одно из этих действий можно выполнить   способами.

    Пример №1

    Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?

    Решение. Проезд из А в В на поезде, самолете или автобусе являются событиями, которые не могут выполняться одновременно одним человеком (взаимоисключающими), поэтому общее количество маршрутов можно вычислить суммированием способов передвижения

    N=12+13+23=38

    Пример № 2

    В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение. Конечно, n способами.

    Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать?

    Решение. Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k различными способами, всего N = m + k способами.

    ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

    Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть осуществлены в соответствии   и   способами. Тогда обе они могут быть выполнены   способами.

    Пример № 3

     В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места?

    Решение. Первое место займет одна из 8 команд, второе — одна из 7, третье — одна из 6, так как каждая из них не может претендовать одновременно на два призовых места. Поэтому таких способов будет ровно

    N=8 7 6 =336

    Пример № 4

    Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

    Решение. Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел 

    N = m ·k = 9·10 =90.

    Пример № 5

    В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

    Решение.  По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет N =182 + 30 = 212.

    Типы соединений

    Множества элементов называются соединениями.

    Различают три типа соединений:


    • перестановки из n элементов;

    • размещения из n элементов по m;

    • сочетания из n элементов по m (m n).

    Перестановки. Число перестановок

    На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых мы должны разместить их. Такая ситуация встречается часто – рассадить n человек на n мест, или приписать каждому человеку номер. Первый человек может выбрать любое из n мест, второй человек выбирает из (n — 1) оставшихся мест, третий человек может выбрать из уже (n — 2) мест, …, предпоследний человек выбирает из 2 мест, последний человек получает последнее место. Мы получаем произведение всех целых чисел от n до 1.

    В общем виде произведение всех целых чисел от 1 до n включительно обозначают 

    n! = 1·2·3…(n – 2) · (n – 1) · n.

    Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его элементов.

    Определение: Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов.

    Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой – на втором, какой- на третьем, …, какой – на n-м месте.

    Перестановки можно образовывать из элементов любого конечного множества. Число перестановок из n элементов обозначают Рn. Возьмем одноэлементное множество {a}. Ясно, что один элемент можно упорядочить единственным образом, следовательно, Р1 = 1.

    Перестановки– это такие соединения по n элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов.

    Возьмем двух элементное множество {ab}. В нем можно установить два порядка: {ab} или {ba}. Следовательно, число перестановок из двух элементов Р2 = 2.

    Три буквы во множестве {abc} можно расположить, по порядку шестью способами: {abc}{acb}{bac}{bca}{cba}{cab}.

    Следовательно, общее число способов упорядочения трех элементов множества

    Р3 = 3 · Р2 = 3 · 2 · 1 = 6.

    Рn = n · (n — 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

    Определение: Пусть n — натуральное число. Через n! (читается «эн факториал») обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:

    n! = 1 · 2 · 3 · . .. · n.

    В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1.

    Пример № 6

    Найдем значения следующих выражений:
    1! = 1
    2! = 1 · 2 = 2
    3! = 1 · 2 · 3 = 6

    Пример № 7

    Чему равно а)Р5 ; б) Р3.

    Решение. 

    Рn =  n! =n · (n — 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

    Р5=5! = 5 · 4 · 3 · 2 ·1 = 120

    Р3=3! = 1 · 2 · 3 = 6

    Пример № 8

    Упростите

    а) 7! · 8 = 8!

    б) 12! · 13 ·14 = 14!

    в) κ! · (κ + 1) = (κ + 1)!

    Пример № 9

    Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

    Решение. 

    n =8

    Р8=8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320

    Размещения.

    Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

    Определение. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное множество из m элементов, состоящее из элементов n элементного множества.

    Число размещений из элементов по n обозначают  (от французского «arrangement» — «размещение») и вычисляют по формуле:

    Пример № 9

    Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

    Решение. 

    Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество (урока) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре, то есть A94:

    Пример № 10

    Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать старосту и помощника старосты?

    Решение.  

    Имеем 24-элементное множество, элементы которого ученики класса. При выборах старосты и помощника старосты мы будем выбирать 2-элементное подмножество (ученика) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре(m=24, n=2), то есть A242:

    Сочетания.

    Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

    Определение. Сочетанием без повторений из n элементов по m -называется любое m элементное подмножество n -элементного множества

    Число сочетаний из n элементов по m обозначают   (от французского «combination» — «сочетание») и вычисляют по формуле:

    Пример № 11

    Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать два дежурных ?

    Решение.  

    n =24, m=2

    5.Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.

    При решении комбинаторных задач и выборе типа соединений важно ответить на следующие вопросы:


    • Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

    • Все ли элементы входят в соединение?

    Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?


    ДА

    НЕТ


    Все ли элементы входят в соединение?


    ДА

    НЕТ


    СОЧЕТАНИЯ


    ПЕРЕСТАНОВКИ
    Рn =  n! =n · (n — 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

    РАЗМЕЩЕНИЯ

    Определить к какому типу относится соединений относится задача.


    1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

    • Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)

    • Все ли элементы входят в соединение? (да)

    Вывод: перестановка

    1. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

    • Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)

    • Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)

    Вывод: сочетания
    3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

    • Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)

    • Все ли элементы входят в соединение? (нет)

    Вывод: размещение

    Решить задачи:


    1. У нас имеется 5 книг. Известно, что у нас всего одна полка, и на ней вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

    Решение. 

    • Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)

    • Все ли элементы входят в соединение? (нет)

    Вывод: размещение

    n =5, m=3



    1. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

    Решение. 

    • Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)

    • Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)

    Вывод: сочетания

    n =5, m=3



    1. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

    Решение.  

    • Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)

    • Все ли элементы входят в соединение? (нет)

    Вывод: сочетания

    n =8, m=3



    1. Вернемся к решению задачи о музыкальном квартете

    Проказница Мартышка

    Осёл,

    Козёл,

    Да косолапый Мишка

    Затеяли играть квартет

    Стой, братцы стой! –

    Кричит Мартышка, — погодите!

    Как музыке идти?

    Ведь вы не так сидите…

    И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

    Вот пуще прежнего пошли у них разборы

    И споры,

    Кому и как сидеть…

    Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно?

    Решение. 


    • Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)

    • Все ли элементы входят в соединение? (да)

    Вывод: перестановка

    Рn =  n! =n · (n — 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

    n =4

    Р4 =  4! = 4 · 3 · 2 ·1=24
    Работа в группе
    В результате решения заданий учащиеся ответят на вопрос: кто является автором высказывания «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»? (русский математик, физик, механик, кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов).

    Задания для групп
    Первая группа


    задания

    Задания

    Ответ

    Буква



    Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

    Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать трех студентов?

    Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?



    Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?

    Вторая группа

    задания

    Задания

    Ответ

    Буква







    Сколькими способами можно установить дежурство по одному человек в день среди семи учащихся класса в течении семи дней?

    -2168

    В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

    Третья группа

    задания

    Задания

    Ответ

    Буква

    — 3

    Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать четырех студентов?







    Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой?

    Четвертая группа

    задания

    Задания

    Ответ

    Буква





    Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать



    (подсказка 0!=1)

    Ответы к заданиям
    Задания для первой группы:

    задания

    Задания

    Буква

    Ответы

    =

    А

    12

    Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

    Л

    Размещение

    Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать трех студентов?

    Е

    Сочетания

    Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

    К

    Перестановки

    =

    С

    21

    Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?

    Е

    Сочетания

    Задания для второй группы:

    задания

    Задания

    Буква

    Ответы

    =

    Й





    Н

    120

    =

    И

    56

    Сколькими способами можно установить дежурство по одному человек в день среди семи учащихся класса в течении семи дней?

    К

    Перестановки

    -2168=

    О

    132

    В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

    Л

    Размещение

    Задания для третьей группы:

    задания

    Задания

    Буква

    Ответы

    – 3= -3=5 -3=12

    А

    12

    Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать четырех студентов?

    Е

    Сочетания



    В

    720



    И

    56

    =

    Ч

    6720

    Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой?

    К

    Перестановки

    Задания для четвертой группы:

    задания

    Задания

    Буква

    Ответы



    Р

    5040



    Ы

    9

    Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать

    Л

    Размещение

    =

    О

    132

    =

    (подсказка 0!=1)


    В

    720

    6. Домашнее задание

    Выучить конспект и формулы.

    С. 143 № 7,8,9

    С. 145 №1,4

    С. 145 №5

    7. Подведение итогов урока


    • Какие типы соединений вы знаете?

    • В чем отличие перестановок и размещений?

    • В чем отличие размещений и сочетаний?

    1. Список литературы

    Математика автор: Л.П.Стойлова

    определение, формула. Примеры решения задач из комбинаторики

    1. Размещения без повторений
    2. Размещения с повторениями
    3. Примеры

    п.

    3=125. }\)
    Всего 125 паролей.
    Результат можно получить непосредственно из правила произведения. Действительно, на первой позиции 5 вариантов символов, на второй – 5 вариантов, и на третьей – 5 вариантов. Итого, по правилу произведения: 5 · 5 · 5 = 53 = 125 паролей.

    п.3. Примеры

    Пример 1. Исследуйте различие между перестановкой без повторений и размещением без повторений 〈3,2〉-выборок для трёх разноцветных фишек. Изобразите полученные решения.

    Рассматриваем фишки:

    1) Для перестановок, 〈3,3〉-выборок, получаем:

    В каждом ряду – отдельная перестановка.
    Видно, как образуется факториал. Для каждой отдельной фишки – одна перестановка. Для каждой пары фишек – две перестановки: 2 · 1. Когда добавляем третью, получаем: 3 · 2 · 1
    Итого: P3 = 3 · 2 · 1 = 6 перестановок.

    2) Для размещений без повторений, 〈3,2〉-выборок, получаем:

    В каждом ряду – отдельное размещение. 3\cdot 9}{2}=8145 } $$ Ответ: 1) 604 800 2) 10 000 000; 3) 10 000; 4) 8145.

    Рейтинг пользователей

    за неделю

    • за неделю
    • один месяц
    • три месяца

          Помогай другим

          Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю

          См. подробности

          Основные понятия комбинаторики в теории вероятностей

          Элементами называются объекты, из которых составлены соединения.
          Различают следующие три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.
          Перестановками из n элементов называют соединения, содержащие все n элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов.

          Число перестановок из n элементов находится по формуле

          Pn=n!
          где n! (читается “эн-факториал”) – произведение натуральных чисел от 1 до n включительно, т. е.
          n! = 1*2*3*...*n
          Например, P6=6!=1*2*3*4*5*6=120

          Размещениями из n элементами по k в каждом (n > k) называются такие соединения, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.
          Число размещений из n элементов по k находят по формуле
          Ank = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)
          или, пользуясь факториалами,


          Например,

          Сочетаниями из n элементов по k (n > k) называют соединения, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом.
          Число сочетаний из n элементов по k находят по формуле

          или, пользуясь факториалами,


          Для упрощения вычислений при полезно использовать следующее свойство сочетаний:

          Например,
          Задача. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, м, р, т, ю. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной и расположенных “в одну линию” карточках можно будет прочесть слово “юрта”.
          Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 4 карточки из 5, т. е. равно — числу размещений из 5 элементов по 4. Благоприятствует появлению слова “юрта” лишь один исход.
          Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих появлению события, к числу всех элементарных исходов
          Задача. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, а вторым стрелком 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.
          Решение. События А (первый стрелок поразил мишень) и В (второй стрелок поразил мишень) независимые. Искомая вероятность того, что оба стрелка поразят мишень по теореме умножения вероятностей независимых событий равна:
          P(AB)=P(A)*P(B)=0. 8*0.9=0.72
          Задача. Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле равно 25. Найти вероятность того, что первые два дня июля будут ясными.
          Решение. Вероятность того, что первого июля будет ясный день (событие A), равна
          Вероятность того, что второго июля будет ясный день (событие B), при условии, что первого июля также был ясный день, т. е. условная вероятность события В, равна


          Искомая вероятность того, что первые два дня июля будут ясными, по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна
          Задача. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,9. Найти вероятность того, что относительная частота отклонится от вероятности появления события (по абсолютной величине) не более чем на 0,03.
          Решение. Обозначим искомую вероятность через Р. Воспользуемся формулой

          По условию: n=100, e =0,03, p=0,9, q=1-р=1-0,9=0,1. Следовательно,
          По таблице найдем Ф(1)=0,3413. Искомая вероятность
          P ≈ 2*0.3413 = 0.6826
          При решении задач на повторные независимые испытания, в которых вероятности появления события различны, удобно пользоваться производящей функцией вероятностей (через Pn(k) обозначена вероятность того, что в n испытаниях событие появится ровно k раз).
          Пусть вероятность появления события в первом испытании равна p1, во втором – p2, … , в n-м – pn.

          Производящей функцией вероятностей Pn(k) называют функцию, определяемую равенством:
          φn(z) = (p1z+q1)(p2z+q2)...(pnz+qn)
          Пусть производят ряд испытаний, причем вероятность появления события в первом испытании равна p1, во втором – p2 и т. д. Тогда вероятность Pn(k) того, что при n испытаниях события появятся ровно k раз, равна коэффициенту zk при разложении производящей функции по степеням z. Например, если n=2, то
          φ2(z) = (p1z+q1)(p2z+q2) = p1p2z2+(p1q2+p2q1)z+q1q2
          Здесь коэффициент p1p2 при z2 равен вероятности P2(2) того, что в двух испытаниях событие появится ровно два раза; коэффициент p1q2+p2q1 при z равен вероятности P2(1) того, что событие появится ровно один раз; свободный член q1q2 равен вероятности P2(0) того, что событие не появится ни одного раза.

          Задача. Устройство состоит из двух независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы (за время t) первого элемента p1=0,8, а второго p2=0,9. Найти вероятности того, что за время t будут работать безотказно: а) 2 элемента, б) 1 элемент, в) ни один из элементов.
          Решение. Так как вероятности безотказной работы элементов равны соответственно 0,8 и 0,9, то вероятности того, что элементы откажут равны: q1=1- 0,8=0,2; q2=1- 0,9=0,1.
          Составим производящую функцию:
          φ2(z) = (0.8z+0.2)(0.9z+0.1) = 0.72z2+0.26z+0.02
          Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту z2 при P2(2)=0.72.
          Вероятность того, что 1 элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при z: P2(1)=0.26
          Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену: P2(0)=0.02
          Контроль: 0,72+0,26+0,02=1.

          Одним из основных понятий современных теорий массового обслуживания и надежности является понятие простейшего (пуассоновского) потока.
          Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примеры потоков: поступление вызовов на АТС, поступление вызовов на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие кораблей в порт, последовательность отказов элементов устройства.
          Простейшим называют поток, обладающий свойствами стационарности, отсутствием последействия и ординарности.
          Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий за время длительностью t не зависит от начала отсчета промежутка времени, а зависит лишь от его длительности. Например, вероятности появления пяти событий на промежутках времени (1; 4), (6; 9), (8; 11) одинаковой длительности t = 3 ед. времени равны между собой.
          Свойство отсутствия последействия характеризуется тем; что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, сколько событий появилось до начала рассматриваемого промежутка.
          Свойство ординарности характеризуется тем, что вероятность появления двух и более событий пренебрежимо мала, сравнительно с вероятностью появления одного события.
          Интенсивностью потока l называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Доказано, что если известна постоянная интенсивность потока l , то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой
          .

          Задача. Среднее число заявок, поступающих на АТС в 1 мин равно двум. Найти вероятности того, что за 4 мин поступит а) три вызова, б) менее трёх вызовов, в) не менее трёх вызовов.
          Решение 1: По условию λ=3, t= 4, k=3. По формуле Пуассона после подстановки получим
          .
          Решение 2: Найдём вероятность того, что за 4 мин поступит менее трёх вызовов, т. е. ни одного вызова, или один вызов, или два вызова. Поскольку эти события не совместны, применима теорема сложения:
          P4(k<3) = P4(0)+P4(1)+P4(2) ≈ 0.01
          Решение 3: Найдём вероятность того, что за 4 мин поступило не менее трёх вызовов: так как события “поступило менее трёх вызовов” и “поступило не менее трёх вызовов” — противоположные, то сумма вероятностей этих событий равна единице:
          P4(k<3) + P4(k≥3) = 1
          Отсюда: P4(k≥3) = 1-0. 01 = 0.99

          Перейти к онлайн решению своей задачи

          Задание:
          10.1. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется черным.
          10.2. В каждой из двух урн содержится 8 черных и 2 белых шара. Из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в первую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из первой урны, окажется черным.
          10.3. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7; для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков поразит цель; б) только два стрелка поразят цель; в) все три стрелка поразят цель.
          10.4. Из трёх орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадёт в цель; б) только два снаряда попадут в цель; в) все три снаряда попадут в цель.
          10.5. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.
          10.6. Две команды по 20 спортсменов производят жеребьёвку для присвоения номеров участникам соревнований. Два брата входят в состав различных команд. Найти вероятность того, что братья будут участвовать в соревнованиях под одним и тем же номером 18.
          10.7. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени каждым из стрелков равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка поразят мишень; б) оба стрелка промахнутся; в) только один стрелок поразит мишень; г) хотя бы один из стрелков поразит мишень.
          10.8. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность четырёх попаданий при пяти выстрелах.
          10. 9. Из аэровокзала отправились 2 автобуса-экспресса к трапам самолётов. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса в аэропорт равна 0,95. Найти вероятность того, что: а) оба автобуса придут вовремя; б) оба автобуса опоздают; в) только один автобус прибудет вовремя; г) хотя бы один автобус прибудет вовремя.
          10.10 Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,1; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,2. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица.
          11.1. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно четырём. Найти вероятность того, что за 2 мин поступит: а) 6 вызовов; б) менее шести вызовов; в) не менее шести вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.
          11.2. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) 5 вызовов; б) менее пяти вызовов; в) более пяти вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.
          11.3. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 ч, равно трём. Найти вероятность того, что за 4 ч в порт зайдут: а) 6 кораблей; б) менее шести кораблей; в) не менее шести кораблей. Предполагается, что поток кораблей – простейший.
          11.4. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 ч, равно четырём. Найти вероятность того, что за 3 ч поступит: а) 6 заявок; б) менее шести заявок; в) не менее шести заявок.
          11.5. Среднее число самолётов, прибывающих в аэропорт за 1 мин, равно трём. Найти вероятность того, что за 2 мин прибудут: а) 4 самолёта; б) менее четырёх самолётов; в) не менее четырёх самолётов.
          11.6. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 60 раз в 100 испытаниях.
          11.7. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 20 и не более 30 раз.
          11.8. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что событие наступит 12 раз в 100 испытаниях.
          11.9. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем на 0,04.
          11.10. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Произведено 400 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более, чем на 0,09.

          Разница между перестановкой и комбинацией (с примером и сравнительной таблицей)

          В математике вы, возможно, неоднократно слышали понятия перестановки и комбинации, но представляли ли вы когда-нибудь, что это два разных понятия? Принципиальным отличием перестановки от комбинации является порядок предметов, в перестановке порядок предметов очень важен, т. е. расположение должно быть в оговоренном порядке количества предметов, взятых только по частям или все сразу.

          В отличие от этого, в случае комбинации порядок вообще не имеет значения. Не только в математике, но и в практической жизни мы регулярно пользуемся этими двумя понятиями. Хотя мы никогда этого не замечаем. Итак, внимательно прочитайте статью, чтобы узнать, чем отличаются эти два понятия.

          Содержание: перестановка и комбинация

          1. Сравнительная таблица
          2. Определение
          3. Ключевые отличия
          4. Пример
          5. Вывод

          Сравнительная таблица

          Основание для сравнения Перестановка Комбинация
          Значение Перестановка относится к различным способам расположения набора объектов в последовательном порядке. Комбинация относится к нескольким способам выбора элементов из большого набора объектов, порядок которых не имеет значения.
          Заказ АктуальныйНеактуально
          Обозначает Расположение Выбор
          Что это? Заказные элементы Незаказные наборы
          Ответы Сколько различных композиций можно создать из заданного набора объектов? Сколько различных групп можно выбрать из большей группы объектов?
          Производное Множественная перестановка из одной комбинации. Одна комбинация из одной перестановки.

          Определение перестановки

          Мы определяем перестановку как различные способы расположения некоторых или всех элементов множества в определенном порядке. Он подразумевает все возможные упорядочивания или перестановки данного набора в различимом порядке.

          Например, Все возможные перестановки, созданные с помощью букв x, y, z –

          • Если взять все три одновременно, это xyz, xzy, yxz, yzx, zxy, zyx.
          • Взяв по два за раз, xy, xz, yx, yz, zx, zy.

          Общее количество возможных перестановок n вещей, взятых по r за раз, можно рассчитать как:

          Определение комбинации

          Комбинация определяется как различные способы выбора группы путем взятия некоторых или всех элементы множества без следующего порядка.

          Например, Все возможные комбинации, выбранные с буквой m, n, o –

          • Если нужно выбрать три буквы из трех, то единственная комбинация – mno
          • Если нужно выбрать две буквы из трех, то возможны комбинации мн, нет, ом.

          Общее количество возможных комбинаций из n вещей, взятых по r за один раз, может быть рассчитано как:

          Основные различия между перестановкой и комбинацией

          Различия между перестановкой и комбинацией четко прочерчены на следующих основаниях:

          1. Термин перестановка относится к нескольким способам расположения набора объектов в последовательном порядке. Комбинация подразумевает несколько способов выбора элементов из большого пула объектов, порядок которых не имеет значения.
          2. Основным отличительным признаком между этими двумя математическими понятиями является порядок, размещение и положение, т. е. в перестановочных характеристиках, упомянутых выше, имеет значение, что не имеет значения в случае комбинации.
          3. Перестановка обозначает несколько способов расположения предметов, людей, цифр, алфавитов, цветов и т. д. С другой стороны, комбинация указывает на различные способы выбора пунктов меню, еды, одежды, предметов и т. д.
          4. Перестановка — это не что иное, как упорядоченная комбинация, в то время как Комбинация подразумевает неупорядоченные наборы или пары значений в рамках определенных критериев.
          5. Из одной комбинации можно получить множество перестановок. И наоборот, из одной перестановки можно получить только одну комбинацию.
          6. Ответы на перестановки Сколько различных композиций можно создать из заданного набора объектов? В отличие от комбинации, которая объясняет, сколько различных групп можно выбрать из большей группы объектов?

          Пример

          Предположим, имеется ситуация, когда необходимо узнать общее количество возможных выборок двух из трех объектов A, B, C. В этом вопросе, прежде всего, необходимо понять, вопрос связан с перестановкой или комбинацией, и единственный способ узнать это — проверить, важен ли порядок или нет.

          Если порядок значим, то вопрос связан с перестановкой, и возможные выборки будут такими: AB, BA, BC, CB, AC, CA. Где AB отличается от BA, BC отличается от CB, а AC отличается от CA.

          Если порядок не имеет значения, то вопрос связан с комбинацией, и возможные образцы будут AB, BC и CA.

          Заключение

          Из приведенного выше обсуждения становится ясно, что перестановка и комбинация — это разные термины, которые используются в математике, статистике, исследованиях и в нашей повседневной жизни. В отношении этих двух концепций следует помнить, что для данного набора объектов перестановка всегда будет выше, чем ее комбинация.

          Знайте о разнице между перестановкой и комбинацией

          Перестановка и комбинация являются важными частями подсчета. Подсчет чисел с помощью чистой логики сам по себе является большой задачей. Без подсчета мы не можем решить вероятностные задачи. Вот почему мы изучаем перестановки и комбинации непосредственно перед вероятностью.

           

          Здесь мы увидим, как различать перестановку и комбинацию, в чем разница между комбинацией и перестановкой и разница между перестановкой и комбинацией на различных примерах.

           

          Что такое перестановка?

          Перестановка — это процесс выбора, в котором порядок имеет значение. Перестановку можно просто определить как количество способов упорядочить несколько или все элементы в определенном порядке. Это все о термине Перестановка.

           

          Пример. Перестановки букв в небольшом наборе {a, b, c}: набор или группа n. Обычно это записывается в \[nP_k\].

           

          Формула:

          \[nP_{k} = \frac{n!}{(n — k)!} = \frac{n(n−1)(n−2)\ldots(n−n +1)}{(n-k)(n-k−1)(n-k−2)\ldots(n-k−n-k+1)} \]

           

          Существует два типа перестановок:

          1. Перестановки с повторением

          При выборе r чего-либо (числа или любого элемента), имеющего n различных типов, перестановки будут следующими:

          \[n \times n \times \ldots\] (r times)

          (другими словами, нет возможностей для первого процесса выбора, ТОГДА нет возможностей для второго процесса выбора и т. д., и каждый раз умножается.) 9{r}\]

          , где n — количество элементов для выбора (т. е. набор или сток элементов), и мы выбираем r из них, повторение разрешено, и порядок имеет значение.

          1. Перестановки без повторения

          Без повторения наш выбор каждый раз уменьшается.

           

          Давайте возьмем самый простой и широко используемый пример:                   

          Сколько различных четырехкарточных комбинаций можно составить из колоды карт?

           

          В этой задаче порядок не имеет значения, так как не имеет значения, в каком порядке мы выбираем карты. Мы начинаем с четырех строк, чтобы представить нашу комбинацию из 4 карт.

           

          Предполагая, что все 52 карты доступны для первого розыгрыша, поместите «52» в первый пробел. Когда вы выбираете карту, это означает, что одна карта уже выбрана, поэтому в следующем розыгрыше выбора будет на одну карту меньше. Таким образом, во втором бланке будет доступен 51 вариант. Кроме того, в следующем розыгрыше в колоде будет на две карты меньше, так что теперь есть 50 вариантов и так далее. Формула написана:

          \[P\binom{n}{r} = nP_{r} = \frac{n!}{(n — k)!} \]

          По формуле получаем

          \[P\binom{ 52}{4} = 52P_{4} = \frac{52!}{48!} \]

          , где n — количество вещей, из которых можно выбирать (т. е. набор или сток элементов), и мы выбираем r из их, никаких повторений и порядок имеет значение.

           

          Что такое комбинация?

          Комбинация — это способ выбора элементов из большой коллекции, при котором (несходные перестановки) порядок выбора не имеет значения. Мы можем сказать, что в меньших случаях мы сможем подсчитать количество комбинаций. Комбинация относится к комбинации n вещей, взятых k за раз без повторений. Комбинация — это выбор r вещей из набора n вещей без замены и порядок не имеет значения.

           

          \[C\binom{n}{r} = nC_{r} =\frac{nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n — k)!} \]

          Давайте возьмем пример и поймем это,

           

          У нас есть три цифры (1,2,3), и мы хотим сделать трехзначное число, Таким образом, следующие числа, которые будут возможны, это 123, 132, 213, 231, 312, 321..

           

          Комбинации дают нам простой способ вычислить, сколькими способами «1 2 3» можно расположить в определенном порядке, и мы это уже видели. Ответ:

           

          3! = 3 \[\times\] 2 \[\times\] 1 = 6

           

          Итак, мы перепечатываем формулу нашей Перестановки, чтобы сократить ее количество способов, которыми объекты могут располагаться по порядку (поскольку нас не интересует их закажи еще).

           

          Разница между перестановкой и комбинацией с примерами

          Получить разницу между перестановкой и комбинацией не слишком легко и не слишком сложно. Мы рассмотрим несколько примеров, чтобы понять разницу между ними.

          Перестановки

          • Расположение людей, цифр, чисел, алфавитов, букв и цветов и т. д.

          • Выбор капитана команды или вратаря и конкретного из группы.

          • Выбор двух любимых цветов по порядку из каталога цветов.

          • Выбор победителей первого, второго и третьего призов.

           

          Комбинации

          • Выбор меню, еды, одежды, тематики, команды и т. д.

          • Выбор трех членов команды из группы.

          • Выбор двух цветов из каталога цветов.

          • Только три победителя.

           

          Как отличить перестановку от комбинации

          Перестановки и комбинации относятся к различным способам выбора объектов из набора, как правило, без замены, для формирования подмножеств (или мы можем сказать количество подмножеств). за комплект). Этот выбор подмножеств называется перестановкой, когда порядок выбора является фактором, и комбинацией, когда порядок не является фактором. (Проще говоря, выбор подмножеств — это перестановка, а не дробный порядок выбора называется комбинацией).

           

          Сходства между перестановкой и комбинацией

          С точки зрения математических понятий «перестановка» и «комбинация» связаны друг с другом. Комбинация — это подсчет выборок, которые мы делаем из n объектов. Принимая во внимание, что перестановка подсчитывает количество аранжировок из n объектов.

          Мы должны помнить, что Комбинации делают акцент не на порядке, расположении или размещении, а на выборе.

          Как учащиеся могут повторять перестановки и комбинации в Веданту?

          Vedantu — это надежная онлайн-платформа для обучения студентов, которую могут использовать все студенты абсолютно бесплатно. В нем есть соответствующий материал о перестановках и комбинациях для изучения, если кто-то узнает о разнице между перестановками и комбинациями.

          На этой странице описаны основы каждого из них, а затем описаны сходства и различия. Все расписано доходчиво и простым языком. Объяснено, как происходит подбор музыки, еды, одежды и других предметов быта.


          Перестановки и комбинации — довольно интересная тема, к которой нужно подходить стратегически.

          Где учащиеся узнают о разнице между перестановками и комбинациями в Интернете?

          Студенты могут найти то же самое на Vedantu. Эта страница очень информативна с точки зрения объяснения перестановок и комбинаций. Эта глава имеет решающее значение в математике, и если учащиеся усвоят основы этой темы, они будут хорошо подготовлены к таким темам, как вероятность и статистика позже. Студентам просто нужно войти на портал Vedantu, чтобы получить к ним доступ.

          комбинаторика — Разница между перестановкой и комбинацией?

          спросил

          Изменено 6 лет, 10 месяцев назад

          Просмотрено 75 тысяч раз

          $\begingroup$

          Перестановка: $$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

          Комбинация: $$C(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!r!}$$

          Очевидно, вы используете комбинацию, когда порядок не имеет значения . Большой. Я вижу, как комбинация даст вам все возможные комбинации. Однако я не вижу , что именно тогда делает перестановка .

          • комбинаторика
          • перестановки

          $\endgroup$

          1

          $\begingroup$

          Если вы видите, как работают комбинации, значит, вы почти у цели. Скажем, я хочу выбрать 3 буквы из ABCDE. Есть $C(5,3)$ способы сделать это. Но если порядок имеет значение, то некоторые вещи, которые я считал одинаковыми, теперь изменились. Выбор $ABC$ теперь генерирует $ABC,ACB,BAC,BCA,CBA,CAB$ как различных вариантов, которых раньше не было. Сколько существует различных вариантов? Ну, это количество способов, которыми я могу переставить выбранные буквы $r$, то есть $r!$. Итак, если перестановки имеют значение:

          $$P(n,r)=r!\cdot C(n,r)=\frac{r!n!}{(n-r)!r!}=\frac{n!}{(n-r)! }$$

          Перестановки — это количество различных упорядоченных вариантов выбора $r$ элементов из набора $n$.

          $\endgroup$

          $\begingroup$

          Я просто хочу продемонстрировать на рисунке разницу между перестановкой и комбинацией. Надеюсь, полезно для вас.

          $\endgroup$

          $\begingroup$ 9{th}$ один.

          Перемножив все вместе, вы получите ряд возможностей: $$ n(n-1)\cdots (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!} $$

          $\endgroup$

          $\begingroup$

          Существует некоторая путаница между этими двумя терминами.

          Слово «перестановка» обычно относится к одному из трех вещей в зависимости от контекста. Это может означать порядок (расположение) множества, как в комбинаторике. Или это может относиться к расположению подмножества заданного размера, как и в комбинаторике. Или это может относиться к ОПЕРАЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ в пространстве такие операции, как в теории групп, что совсем другое дело.

          «Комбинация» относится только к составу (электорату) подмножества без понятия порядка.

          Термин «комбинации» относится к количеству подмножеств заданного размера, содержащих различные составляющие.

          Комбинаторные значения обоих этих терминов остаются действительными применительно к наборам с повторяющимися элементами. Перестановка (расстановка или перестановка) может применяться к набору или подмножеству, содержащему дубликаты. Но «комбинация» обычно предполагает отдельные элементы в подмножестве, хотя исходный набор может содержать дубликаты. Конечно, если это указано, комбинация также может содержать дубликаты. Наличие дубликатов влияет на комбинаторные формулы для всех из них.

          $\endgroup$

          Твой ответ

          Зарегистрируйтесь или войдите в систему

          Зарегистрируйтесь с помощью Google

          Зарегистрироваться через Facebook

          Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

          Опубликовать как гость

          Электронная почта

          Требуется, но не отображается

          Опубликовать как гость

          Электронная почта

          Требуется, но не отображается

          Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

          .

          Комбинаторика — Разница между формулами перестановки и комбинации для повторения и не

          Комбинации

          Формула $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n — k)!}$$ — количество способов выбрать подмножество из $k$ объектов из набора $n$ объектов, то есть количество способов сделать неупорядоченный выбор $k$ объектов из набора $n$ объектов.

          Пример. Сколькими способами можно выбрать комитет из пяти человек из группы из двенадцати человек?

          Решение. Поскольку порядок, в котором выбираются члены комитета, не имеет значения, количество таких комитетов равно количеству подмножеств по пять человек, которые могут быть выбраны из группы из двенадцати человек, т.е. $$\binom{12}{5}$$

          Примечание. Формула $$\binom{n}{k}$$ также подсчитывает количество способов, которыми $k$ неразличимых объектов можно поместить в $n$ различных ящиков, если мы ограничены размещением одного объекта в каждом ящике. В этом случае мы выбираем подмножество из $k$ ящиков, которые будут заполнены объектом. 9k$ подсчитывает количество способов разместить $k$ различных объектов в $n$ различных ящиках, если каждый ящик может содержать не менее $k$ объектов, поскольку у нас есть выбор из $n$ ящиков для каждого из $k$ объектов.

          Перестановки

          Формула $$P(n, k) = \frac{n!}{(n — k)!}$$ представляет количество способов сформировать последовательность из $k$ различных объектов из набора из $n$ объектов, то есть сделать выборку $k$ объектов из набора из $n$ объектов, когда порядок имеет значение.

          Пример. Сколькими способами можно выбрать президента, секретаря и казначея французского клуба с двенадцатью членами, если каждый из них занимает не более одной должности?

          Раствор. Поскольку выбор Андреа в качестве президента, Брюса в качестве секретаря и Клары в качестве казначея отличается от выбора Андреа в качестве президента, Клары в качестве секретаря и Брюса в качестве казначея, порядок выбора имеет значение. Следовательно, президента можно выбрать двенадцатью способами, секретаря — одиннадцатью способами, а казначея — десятью способами. Таким образом, офисы могут быть заполнены $$12 \cdot 11 \cdot 10 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!} = \frac{12!}{9!} = \frac{12!}{(12 — 3)!} = P(12, 3)$$ способы.

          Примечание. Формула $P(n, k)$ также подсчитывает количество инъективных (однозначных) функций $$f: \{1, 2, 3, \ldots, k\} \to \{1, 2, 3, \ldots, n\}$$

          Примечание. Еще одна интерпретация состоит в том, что $P(n, k)$ – это число способов распределения $k$ различных объектов по $n$ различным ящикам, если в каждый ящик можно положить только один предмет, поскольку важно, какой предмет помещен в какая коробка.

          Комбинации с повторением

          Формула $$\binom{k + n — 1}{n — 1} = \binom{k + n — 1}{k}$$ подсчитывает количество способов, которыми можно выбрать $k$ объектов из $n$ типов объектов, когда разрешено повторение.

          Пример. Сколькими способами можно выбрать двенадцать шоколадок из шести сортов шоколада?

          Раствор. Пусть $x_i$ — количество выбранных конфет типа $i$. затем $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 12$$ которое представляет собой уравнение с целыми неотрицательными числами.

          Частное решение уравнения соответствует размещению пяти знаков сложения в ряд из двенадцати единиц. Например, $$1 1 1 + + 1 1 1 1 1 + 1 + 1 1 + 1$$ соответствует решению $x_1 = 3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 5$, $x_4 = 1$, $x_5 = 2$, $x_6 = 1$. Число таких решений равно $$\бином{12 + 6 — 1}{6 — 1} = \бином{17}{5}$$ так как мы должны выбрать, какие пять из семнадцати позиций, необходимых для двенадцати единиц и пяти знаков сложения, будут заполнены знаками сложения.

          Примечание. Формула $$\binom{n + k — 1}{k — 1}$$ также подсчитывает количество способов поместить $k$ неразличимых предметов в $n$ различных ящиков, если каждый ящик может содержать не менее $k$ предметов.

          Пример. Сколькими способами можно раздать двенадцать неразличимых карандашей шести детям?

          Раствор. Пусть $x_i$ — количество карандашей, подаренных $i$-му ребенку. затем $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 12$$ Поскольку мы не обязаны давать карандаш каждому ребенку, это уравнение с целыми неотрицательными числами. Выше мы показали, что это уравнение имеет $$\бином{12 + 6 — 1}{6 — 1} = \бином{17}{5}$$ решения.

          Примечание. Количество способов разместить $k$ неразличимых предметов в $n$ различных ящиках, если в каждый ящик помещен хотя бы один предмет, равно $$\binom{n — 1}{k — 1}$$

          Пример. Сколькими способами можно раздать двенадцать неразличимых карандашей пятерым детям, если каждый ребенок получит хотя бы один карандаш?

          Раствор. Пусть $x_i$ — количество карандашей, подаренных $i$-му ребенку. затем $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 12$$ Это уравнение с целыми положительными числами, поскольку каждый ребенок получает хотя бы один карандаш. Частное решение уравнения соответствует размещению пяти знаков сложения в одиннадцати промежутках между последовательными в ряду из двенадцати единиц. $$1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1$$ Например, $$1 1 + 1 1 1 + 1 + 1 1 1 + 1 + 1$$ соответствует решению $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 1$, $x_4 = 3$, $x_5 = 1$, $x_6 = 1$. Количество таких решений — это количество способов, которыми мы можем разместить знак сложения в пяти из одиннадцати пробелов между последовательными знаками в ряду из двенадцати единиц, т. е. $$\binom{12 — 1} {6 — 1} = \binom{11} {5}$$

          GRE Math: в чем разница между комбинацией и перестановкой?

          Крис Леле, , 10 августа 2016 г. , ОБНОВЛЕНО 20 апреля 2019 г., анализ данных GRE, GRE Math

          Знаете ли вы разницу между перестановкой и комбинацией? Нет? Ты не одинок. Когда дело доходит до анализа данных GRE, комбинации и перестановки становятся бичом многих студентов. Тем не менее, за прошедшие годы я заметил, что проблема не столько в том, что они оба, сколько в том, какой из них использовать для конкретной проблемы: вопрос о комбинации или перестановке. Другими словами, учащимся нетрудно определить, является ли вопрос проблемой комбинаций/перестановок. Трудность заключается в том, чтобы точно знать, что это — комбинации или перестановки?

          Комбинации и перестановки

          Один из способов думать об этом состоит в том, чтобы думать о перестановках как о количестве аранжировок или порядков внутри фиксированной группы. Например, если у меня есть пять учеников, и я хочу выяснить, сколькими способами они могут сесть на пять стульев, я воспользуюсь формулой перестановок. Во-первых, номер в группе фиксированный. Во-вторых, я ищу, сколькими способами я могу «рассадить» учеников на пять стульев.

          Комбинации , с другой стороны, полезны при выяснении того, сколько групп я могу сформировать из большего числа людей. Например, если я тренер по баскетболу и хочу узнать, сколько различных команд я могу сформировать на основе группы людей, я хочу использовать комбинации.

          Чтобы убедиться, что вы понимаете это важное различие, вот три разных сценария. Ваша задача состоит не в том, чтобы решить вопрос, а в том, чтобы определить, используете ли вы комбинации или формулу перестановок для их решения.

          Комбинация против перестановки: решать вам

          1. У Джоан дома есть пять панно, которые она хочет раскрасить. У нее есть пять разноцветных красок, и она собирается раскрасить каждую панель в свой цвет. Сколькими способами она может раскрасить пять панелей?

          2. Сколько уникальных комбинаций слова МАГУШ можно составить, перепутав буквы?

          3. Семь астронавтов пытаются попасть в команду из трех человек для космического полета. Сколько разных летных групп можно сформировать?

           

          Разница между комбинацией и перестановкой: ответы

          1. Перестановки

          Она хочет расставить цвета. Количество панелей фиксировано. Если бы она выбирала пять панелей из 8, скажем, тогда нам нужно было бы использовать комбинации.

          2. Перестановки

          Хорошо, это был небольшой трюк, так как я использовал слово «комбинации». Но это слово я использовал в разговорной речи, а не математически. В этом случае количество букв фиксировано. Мы просто их переставляем.

          3. Комбинации

          Мы выбираем группу из большей группы. Один из способов представить это так: когда вы используете слово «выбирать» в контексте выбора из группы, вы имеете дело с комбинациями. И «выбрать», и «комбинации» начинаются с буквы «С». Из этого правила есть исключение, о котором я расскажу в следующем разделе.

          Разница между перестановкой и комбинацией: суть

          Большая идея: если вы формируете группу из большей группы и размещение внутри меньшей группы важно, то вы хотите использовать перестановки.

          Представьте, что группа из 12 спринтеров борется за золотую медаль. Во время церемонии награждения будут вручены золотая, серебряная и бронзовая медали. Сколькими способами можно раздать эти три медали?

          Помните, что порядок перестановок является ключевым. Несмотря на то, что первые три места для спринтеров образуют подгруппу, большое значение имеет порядок внутри этой подгруппы, и это разница между золотой, серебряной и бронзовой медалью. Простой способ решить этот вопрос математически — представить, что черточки внизу — это подиум, на котором будет стоять каждый спринтер (хотя черточки находятся на одном уровне):

          ____ ____ ____
          золото серебро бронза

          Чтобы узнать количество различных расстановок, спросите себя, сколько спортсменов может стоять на пьедестале почета? Всего у нас 12 спортсменов. А как насчет подиума с серебряной медалью? Теперь у нас на одного спортсмена меньше, так как один уже на пьедестале почета. Таким образом, у нас всего 11 очков за серебряную медаль. Наконец, это оставляет нам 10 спортсменов для бронзовой медали.

          Математика выглядит так:

          12 х 11 х 10 = 1320

          Вы могли заметить, что это основной принцип счета. Идея в том, что когда мы ищем общее количество результатов, мы перемножаем числа — или, в данном случае, числа, которые стоят над каждым тире — вместе. Например, если у меня есть шесть пар шорт и четыре пары футболок, и мне интересно, сколько различных комбинаций шорт и футболок я могу надеть, я хочу умножить каждую, а не умножить их:

          ___4_______ х _____6______ = 24
          # рубашек # шорт

          Я не хочу добавлять их, что дало бы мне 10, неправильный ответ, в данном случае.

          Причина, по которой я упоминаю фундаментальный принцип подсчета, заключается в том, что некоторые вопросы на самом деле будут сочетать комбинации с фундаментальным принципом подсчета (хотя вы, вероятно, будете чаще использовать фундаментальный принцип подсчета с вопросами о перестановках). Чтобы дать вам представление о том, как комбинации могут проявляться вместе с фундаментальным принципом подсчета, попробуйте ответить на следующий вопрос:

          В классе миссис Пирсон 4 мальчика и 5 девочек. Она должна выбрать 2 мальчиков и 2 девочек для работы в своей аттестационной комиссии. Если одна девочка и один мальчик уйдут до того, как она сможет сделать выбор, то сколько уникальных комитетов может получиться в результате приведенной выше информации?
          (А) 9
          (Б) 12
          (В) 18
          (Г) 22
          (Д) 120

          Первым шагом в решении этой проблемы является определение того, имеем ли мы дело с комбинациями или перестановками. Поскольку я «выбираю» из большей группы, в данном случае из двух отдельных групп, я хочу использовать комбинации. Помните: после того, как мы выбрали 2 мальчиков или 3 девочек, позиция в комитете не имеет значения. То есть либо вы в комитете, либо вне комитета (золотых медалистов здесь нет!)

          Следующее, на что следует обратить внимание в этой задаче, это то, что из первоначальных 9 учеников, 2 уволенных, один мальчик и одна девочка. Итак, у нас осталось 3 мальчика и 4 девочки. Мы хотим выбрать по два. Поэтому мы должны установить одну комбинацию для мальчиков и одну для девочек.

          Для мальчиков у нас 3C2, а для девочек 4C2. Это дает нам: 3C2 = 3 и 4C2 = 6
          . Последним шагом является то, что после того, как мы выяснили приведенные выше комбинации, мы должны использовать фундаментальный принцип подсчета и умножить общее количество возможностей в комитете, а не складывать их: 3 х 6 = 18, ответ (С).
          Многие ученики застревают на этом шаге и недоумевают, почему я не добавляю их. Это хороший вопрос, так что я хочу, чтобы вы представили, что у вас есть 3 рубашки и 3 штана. Сколько разных комбинаций рубашка-брюки вы можете надеть? Ну и к каждой рубашке есть 3 варианта штанов. Поэтому умножаем и получаем 9.

          Мой совет — попробовать еще 5 или 6 задач на комбинации/перестановки, чтобы вы могли освоиться. Немного попрактиковавшись, вы сможете справиться с большинством проблем, которые ставит перед вами GRE. Даже если вы пропустили какой-то вопрос — вероятно, потому, что он очень сложный — основ в этом посте должно быть достаточно, чтобы помочь вам понять объяснение этого вопроса, чтобы вы могли правильно задать аналогичный вопрос в будущем.

           

          Примечание редактора. Этот пост был первоначально опубликован в мае 2011 г. и был обновлен для обеспечения свежести, точности и полноты.

          Автор

          • Крис Леле

            Крис Леле — главный менеджер учебной программы (и помощник по словарному запасу) в Magoosh. Крис окончил Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе со степенью бакалавра психологии и имеет 20-летний опыт работы в индустрии подготовки к экзаменам. Его цитируют как предметного эксперта во многих публикациях, включая US News, GMAC и Business Потому что. За время работы в Magoosh Крис научил бесчисленное количество студентов уверенно сдавать экзамены GRE, GMAT, SAT, ACT, MCAT (CARS) и LSAT. Некоторые из его учеников даже получили почти идеальные оценки. Вы можете найти Криса на YouTube, LinkedIn, Twitter и Facebook!

            Просмотреть все сообщения

          ← Предыдущий

          Следующий →

          Разница между перестановками и комбинациями

          Вероятность связана со шансом или возможностью того, что событие может произойти или не произойти, если существует «n» возможностей. Проще говоря, вероятность говорит нам о проценте наступления события. Вероятность может быть выражена числом от 0 до 1 или в процентах.

          Событие

          Событие означает результат эксперимента. Например, когда мы бросаем кубик (бросание кубика — это эксперимент), на верхней грани игрального кубика может выпасть любое число из 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Появление любого из этих цифры на кубике — это событие. Как указано выше, вероятность находится в пределах от 0 до 1. Событие, которое обязательно произойдет, имеет вероятность 1 (100%), а событие, которое вообще не может произойти, называется невозможным событием, и его вероятность равна 0,9.0005

          Пространство выборки  

          Пространство выборки — это набор всех возможных результатов эксперимента. В приведенном выше примере с бросанием игральной кости набор всех возможных исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) представляет собой выборочное пространство.

          Другой пример — подбрасывание двух монет или подбрасывание одной монеты два раза. Здесь выборочное пространство равно (HH, HT, TH, TT). Необходимо четко понимать, что сумма вероятностей всех отдельных событий в пространстве выборки всегда равна 1.

          Формула вероятности  

          Самая основная формула для расчета вероятности:  

          P = количество благоприятных исходов события / общее количество исходов в эксперименте.

          Например, при подбрасывании двух монет мы видим, что общее количество исходов равно 4, из которых орёл выпадает 2 раза (HT, TH). Таким образом, вероятность выпадения одной решки равна P(выпадение одной решки) = 2/4 = 1/2.

          Перестановки 

          Перестановка – это понятие, означающее расположение заданного набора элементов в определенном порядке. Здесь важна последовательность расположения. Простой способ понять перестановку: если у нас есть какие-то объекты и мы хотим их упорядочить (неважно, какой объект вы выберете первым или последним), то сколькими способами вы можете их упорядочить. Возьмем пример,

          Если взять три английских алфавита – p, q и r и мы хотим расположить их, то их можно расположить так (p, q, r), (p, r, q), (q, p, r ), (q, r, p), (r, p, q) и  (r, q, p). Возможны только эти шесть вариантов. Теперь расположение слов здесь называется Перестановкой, т.е. возможны только эти шесть перестановок.

          Формула для нахождения количества перестановок

          Если даны «n» элементов, из которых мы хотим упорядочить «r» элементов, то количество возможных перестановок или перестановок определяется как,  

          n r P  = n! / (н – р)!

          Посмотрите на несколько примеров в конце этой статьи.

          Комбинация

          Комбинация – это понятие, связанное с выбором некоторых элементов из заданного набора элементов. Здесь порядок, в котором выбираются элементы, не важен. Теперь мы рассмотрим концепцию комбинирования дальше. Понятие комбинирования подразумевает выделение некоторых объектов из данных объектов. Комбинация не связана с расположением выбранных объектов.

          Например, выбор 11 игроков из большого количества игроков для команды по крикету подпадает под комбинацию (вот и все, только выбор), но какой игрок будет бить первым, кто вторым и так далее, такое расположение игроков попадает под перестановку.

          Формула для нахождения количества комбинаций

          Если у нас есть «n» элементов, из которых мы хотим выбрать «r» элементов, то количество возможных комбинаций определяется как  

          n г С = п! / г!(п – г)!

          В чем разница между комбинациями и перестановками?

          Определения перестановки и комбинации приведены выше и подробно описаны. Теперь давайте посмотрим на разницу между ними:

          Перестановки Комбинации
          • Комбинация означает общее количество способов, которыми мы можем выбрать некоторые элементы из заданного набора элементов.
          • Порядок размещения элементов очень важен.
          • Порядок выбора элементов не важен.
          • Например, при подбрасывании трех монет HHT отличается от HTH.
          • Комбинация HHT аналогична HTH. Порядок не имеет значения.
          • Перестановка может производиться с повторением или без повторения элементов.
          • Комбинация не связана с повторением или без повторения элементов.

          Примеры задач

          Вопрос 1: Сколькими способами можно расположить буквы слова СТАТЬЯ, беря по 4 буквы за раз, без повторений, чтобы образовать слова со смыслом или без?

          Решение:  

          Здесь из 7 букв слова СТАТЬЯ мы должны составить из любых 4 букв разные слова.

          Итак, n = 7 и r = 4.  

          Используя формулу перестановки n r P = n! / (н – р)!

          4 7 П = 7! / (7 – 4)!

          = 7!/3!

          = (7 × 6 × 5 × 4 × 3!) / 3! = 7 × 6 × 5 × 4 = 840

          Таким образом, существует 840 различных способов, которыми мы можем расположить 4 буквы из 7 букв слова ARTICLE, чтобы получились разные слова.

          Вопрос 2: Сколько шестизначных пин-кодов можно составить из цифр от 0 до 9, если каждый пин-код начинается с 48 и ни одна цифра не повторяется?

          Решение:

          Здесь расставьте 6 цифр от 0 до 9, но первые две цифры пин-кода уже определены (4 и 8).

          Итак, теперь нам нужно расположить только 4 цифры из оставшихся 8 цифр (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9).

          Итак, n = 8 и r = 4,  

          8 4 Р = 8! / (8 – 4)!

          = 8! / 4!

          = (8 × 7 × 6 × 5 × 4!) / 4!

          = 8 × 7 × 6 × 5

          = 1680

          Таким образом, можно сформировать 1680 различных перестановок, в которых могут быть сформированы 6-значные пин-коды.

          Вопрос 3: Из 10 студентов выбрать 4 для поездки. Сколькими способами можно сделать выбор?

          Решение:

          В этом вопросе выберите 4 учеников из заданных 10. Таким образом, здесь будет использована комбинация, чтобы найти ответ.

          n = 10 и r = 4,  

          10 4 С = 10! / 4!(10 – 4)!

          = 10! / 4!6!

          = (10 × 9 × 8 × 7 × 6!) / (4 × 3 × 2 × 1 × 6!)

          = (10 × 9 × 8 × 7)/(4 × 3 × 2 × 1)

          = 210

          Таким образом, существует 210 различных способов выбрать 4 учеников из 10.

          Вопрос 4: В мешке находятся 3 красных, 5 черных , и 4 синих шара. Сколькими способами можно вынуть три шара так, чтобы вынуть все цвета?

          Решение:

          Возьмите по три шара каждого цвета. Порядок извлечения шаров не имеет значения. Так что используйте комбинацию, чтобы найти ответ.

          Равносильности алгебры логики: Равносильные формулы алгебры высказываний / Алгебра логики [Г.И. Просветов, Е.А. Фоминых, Ф.Г. Кораблёв] / 3dstroyproekt.ru

          Равносильные формулы алгебры высказываний / Алгебра логики [Г.И. Просветов, Е.А. Фоминых, Ф.Г. Кораблёв] / 3dstroyproekt.ru

          Две формулы алгебры высказываний $A$ и $B$ называются равносильными или эквивалентными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.

          Равносильность формул будем обозначать знаком $\equiv$, а запись $A\equiv B$ означает, что формулы $A$ и $B$ равносильны.

          Например, равносильны формулы:

          $\overline { \overline { X } } \equiv X$,

          $X\vee X\equiv X$,

          Тождественно истинная формула

          Формула $A$ называется тождественно истинной { или тавтологией } , если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

          Например, тожественно истинны формулы $X\vee \overline { X } $, $X\rightarrow (Y\rightarrow X)$

          Тождественно ложная формула

          Формула $A$ называется тождественно ложной { или противоречием } , если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее высказываний.

          Например, тождественно ложна формула $X\wedge \overline { X } $

          Выполнимая формула

          Формула $A$ называется выполнимой, если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее высказываний.

          Например, выполнима формула $X\vee \overline { X } $

          Ясно, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

          Группы равносильностей

          Между понятиями равносильности и операцией $\leftrightarrow$ существует следующая связь: если формулы $A$ и $B$ равносильны, то формула $A\leftrightarrow B$ — тавтология, и обратно, если формула $A\leftrightarrow B$ — тавтология, то формулы $A$ и $B$ равносильны.

          Важнейшие равносильности алгебры высказываний можно разбить на следующие группы.

          Равносильности алгебры Буля

          Закон двойного отрицания: $\overline { \overline { X } } \equiv X$

          Коммутативность: $X\wedge Y\equiv Y\wedge X$; $X\vee Y\equiv Y\vee X$

          Ассоциативность: $X\wedge (Y\wedge Z)\equiv (X\wedge Y)\wedge Z$; $X\vee (Y\vee Z)\equiv (X\vee Y)\vee Z$

          Дистрибутивность $\wedge$ относительно $\vee$: $X\wedge (Y\vee Z)\equiv (X\wedge Y)\vee (X\wedge Z)$; $(X\vee Y)\wedge Z\equiv (X\wedge Z)\vee (Y\wedge Z)$

          Дистрибутивность $\vee $ относительно $\wedge $: $X\vee (Y\wedge Z)\equiv (X\vee Y)\wedge (X\vee Z)$; $(X\wedge Y)\vee Z\equiv (X\vee Z)\wedge (Y\vee Z)$

          Законы де Моргана: $\overline { X\wedge Y } \equiv \overline { X } \vee \overline { Y } $; $\overline { X\vee Y } \equiv \overline { X } \wedge \overline { Y } $

          Законы поглощения: $X\wedge (Y\vee X)\equiv X$; $X\vee (Y\wedge X)\equiv X$

          Законы идемпотентности: $X\wedge X\equiv X$; $X\vee X\equiv X$

          Свойства констант: $X\wedge 1\equiv X$; $X\vee 1\equiv 1$; $X\wedge 0\equiv 0$; $X\vee 0\equiv X$

          Закон противоречия: $X\wedge \overline { X } \equiv 0$

          Закон исключения третьего: $X\vee \overline { X } \equiv 1$

          Равносильности, выражающие одни логические операции через другие

          $X\leftrightarrow Y\equiv (X\rightarrow Y)\wedge (Y\rightarrow X)$

          $X\leftrightarrow Y\equiv (\overline { X } \vee Y)\wedge (\overline { Y } \vee X)$

          $X\leftrightarrow Y\equiv (X\wedge Y)\wedge (\overline { Y } \wedge \overline { X } )$

          $X\rightarrow Y\equiv \overline { X } \vee Y$

          $X\wedge Y\equiv \overline { \overline { X } \vee \overline { Y } } $

          $X\vee Y\equiv \overline { \overline { X } \wedge \overline { Y } } $

          $X | Y\equiv \overline { X\cdot Y } $

          $X \downarrow Y\equiv \overline { X\vee Y } $

          $X \rightarrow Y\equiv \overline { X } \vee Y$

          $X \bigoplus Y\equiv (X \cdot \bar { Y } )\vee (\bar { X } \cdot Y)$

          $X \sim Y\equiv \overline { X \bigoplus Y } \equiv (XY)\vee (\bar { X } \bar { Y } )$

          Далее:

          Вычисление двойного интеграла

          Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

          Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл

          Теорема об аналоге СДНФ в Pk

          Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай

          СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице

          Класс M. Теорема о замкнутости класса M

          Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

          Логические операции над высказываниями

          Примеры применения цилиндрических и сферических координат

          Равносильные формулы алгебры высказываний

          Несобственные интегралы от неограниченной функции

          Полином Жегалкина. Пример.

          Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

          Определение криволинейного интеграла второго рода

          Огравление $\Rightarrow $

          04 сентября 2016, 13:38    проектирование км, кмд, кж Алгебра логики [Г. И. Просветов, Е.А. Фоминых, Ф.Г. Кораблёв] 0    21960 0

          1. Основные равносильности.

          законы идемпотентности.

          — закон противоречия

          — закон исключенного третьего

          — закон снятия двойного отрицания

          законы поглощения

          2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

          1. 4..

          2. . 5..

          3. . 6..

          Здесь 3, 4, 5, 6 – законы Моргана.

          Ясно, что равносильности 5 и 6 получаются из равносильностей 3 и 4, соответственно, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания.

          Таким образом, в доказательстве нуждаются первые четыре равносильности. Докажем одну из них : первую .

          Так как при одинаковых логических значениях x и y истинными являются формулы , то истинной будет и конъюнкция. Следовательно, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.

          Пусть теперь x и y имеют различные логические значения. Тогда будут ложными эквивалентность и одна из двух импликацийили. Но при этом будет ложной и конъюнкция.

          Таким образом, и в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые логические значения.

          Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.

          Из равносительностей этой группы следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

          Дальнейшее исключение логических операций невозможно. Так, если мы будем использовать только конъюнкцию, то уже такая формула как отрицание не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.

          Однако существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из пяти логических операций, которыми мы пользуемся. Такой операцией является, например, операция “Штрих Шеффера”. Эта операция обозначается символом  и определяется следующей таблицей истинности:

          x

          y

          xy

          1

          1

          0

          1

          0

          1

          0

          1

          1

          0

          0

          1


          3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

          1. — коммутативность конъюнкции.

          2. — коммутативность дизъюнкции.

          3. — ассоциативность конъюнкции.

          4. — ассоциативность дизъюнкции.

          5. — дистрибутивность конъюнкции относительно

          дизъюнкции.

          6. — дистрибутивность дизъюнкции относительно

          конъюнкции.

          4. Дополнительные законы.

          1. Закон склеивания (расщепления).

          , ;

          , .

          2. Законы поглощения.

          ; .

          3. Закон Блейка- Порецкого.

          .

          4. Закон свертки логического выражения (СЛВ).

          .

          5. Закон двойственности.

          Определение.

          Формулы А и А*называются двойственными, если формула А*получается из формулы А путем замены в ней каждой операции на двойственную.

          Имеет место следующий закон двойственности: если формулы А и В равносильны, то равносильны и им двойственные формулы, т. е. А*В*.

          Равносильные преобразования формул.

          Используя равносильности, приведенные в §4, можно часть формулы или всю формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными. (Аналог тождественным преобразованиям в арифметике, алгебре и тригонометрии).

          Равносильные преобразования используются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.

          Формула А считается проще равносильной ей формулы В, если она содержит меньше букв, меньше логических операций. При этом обычно операции эквивалентность и импликация заменяются операциями дизъюнкция и конъюнкция, а отрицание относят к элементарным высказываниям.

          Для удобства использования и ссылок при проведении равносильных преобразований перечень наиболее часто употребляемых равносильностей (законов логических операций над высказываниями) можно свести в единую таблицу (см. следующий лист), в которой рассмотренные выше равносильности даны в сквозной нумерации.

          При проведении равносильных преобразований каждый шаг основывается на использовании того или иного закона. Номер соответствующей формулы (из общей таблицы) мы будем указывать над знаком равносильности, предшествующим очередному шагу.

          Рассмотрим ряд примеров равносильных преобразований.

          Пример 1. Доказать равносильность .

          6-10.

          Нормальные формы функций.

          При решении ряда задач, связанных с использованием формул алгебры высказываний, важную роль играют формулы, построенные особым образом из высказывательных переменных с помощью только операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания и называемые ДИЗЪЮНКТИВНЫМИ и КОНЪЮНКТИВНЫМИ НОРМАЛЬНЫМИ ФОРМАМИ (ДНФ и КНФ).

          8.1 Элементарные дизъюнкции и конъюнкции.

          Пусть задана система высказывательных переменных

          (x1,x2,…,xn). (1)

          Элементарной дизъюнкцией высказывательных переменных из системы (1) называется дизъюнкция некоторых высказывательных переменных этой системы или их отрицаний.

          ЭЛЕМЕНТАРНОЙ КОНЪЮНКЦИЕЙ называется конъюнкция некоторых высказывательных переменных этой системы или их отрицаний.

          Если в элементарную дизъюнкцию (конъюнкцию) входит каждое высказывательное переменное из системы (1) (с отрицанием или без него) и притом только один раз, то она называется ПОЛНОЙ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ДИЗЪЮНКЦИЕЙ (КОНЪЮНКЦИЕЙ).

          Из “n” высказывательных переменных можно образовать 2n всевозможных неэквивалентных полных элементарных дизъюнкций и столько же полных элементарных конъюнкций. Каждая полная элементарная дизъюнкция  только для одного варианта значений высказывательных переменных системы (1) принимает значение, равное нулю, а именно – когда каждое высказывательное переменное xi, не находящееся в  под знаком отрицания, равно нулю, а каждое отрицательное – единице.

          Систему значений высказывательных переменных, для которой данная полная элементарная дизъюнкция принимает значение, равное нулю, назовем нулем этой полной элементарной дизъюнкции.

          Так, нулями элементарных дизъюнкций (2) являются: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1).

          Если обратиться к полным элементарным конъюнкциям, то можно обнаружить, что каждая из них только один раз принимает значение, равное единице – когда неотрицаемое переменное равно единице, а отрицаемое – нулю. Такую систему значений высказывательных переменных назовем ЕДИНИЦЕЙ соответствующей ПОЛНОЙ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ КОНЪЮНКЦИИ.

          3. Равносильные формулы алгебры логики

          Формула Хназываетсятождественно истинной (или тавтологией),если она превращается в истинное высказывание, то есть принимает значение 1, при всех наборах значений входящих в нее переменных. Тавтологии представляют собой схемы построения истинных высказываний, независимо от содержания и истинности составляющих элементарных высказываний.

          Формула Хназываетсятождественно ложной,если она принимает значение 0 при всех наборах значений входящих в нее переменных.

          Две формулы алгебры логики XиYназываютсярав­носильными, если при любых значениях входящих в них высказывательных переменных логические значения высказываний, получающихся из формулXиY, совпадают. Для указания равносильности формул использу­ют обозначение.

          Существует тесная связь между понятием равно­сильности формул и понятием тавтологии.

          Признак равносильности формул.Две формулыXиYалгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда формулаявляется тавто­логией, и обратно, если формула– тавтология, то формулыXиYравносильны.

          Отношение равносильности между формулами алгебры высказываний:

          а) рефлексивно: ;

          б) симметрично: если , то ;

          в) транзитивно: если и, то.

          3.2 Примеры равносильных формул.Равносильности формул алгебры логики часто называютзаконами логики.

          Вот наиболее важные из них:

          1. –закон тождества.

          2. –закон противоречия.

          3. –закон исключенного третьего.

          4. –закон двойного отрицания.

          5. .

          6. .

          7. .

          8. .

          9. ; – законы идемпотентности.

          10. ; – законы поглощения.

          11. ; – законы склеивания.

          12. законы коммутативности (переместительности):

          –коммутативность конъюнкции;

          –коммутативность дизъюнкции.

          1. законы ассоциативности (сочетательности):

          –ассоциативность конъюнкции;

          –ассоциативность дизъюнкции.

          1. законы дистрибутивности (распределительности):

          –дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

          –дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

          1. ; – законы де Моргана.

          Доказать эти равносильности можно, например, с помощью таблиц истинности.

          Пример.

          Докажем равносильность – закон де Моргана. При любых комбинациях значений, от которых зависят формулыXиY, эти формулы принимают некоторые логические значения. Всего будет четыре способа распределения логических значенийXиY. Надо показать, что в каждом из этих случаев значения левой и правой части равносильностисовпадают.

          X

          Y

          0

          0

          1

          1

          0

          1

          1

          0

          1

          1

          0

          0

          1

          1

          1

          0

          0

          1

          0

          1

          1

          1

          1

          0

          0

          1

          0

          0

          Логические значения в последних двух столбцах совпадают, следовательно, закон де Моргана справедлив.

          Имеют место равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

          Импликация выражается через:

          1. –дизъюнкцию и отрицание;

          2. –конъюнкцию и отрицание.

          Эквиваленциявыражается через:

          1. –конъюнкцию и импликацию;

          2. –конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание;

          3. –конъюнкцию и отрицание.

          Из этих равносильностей следует вывод, что любую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, которая будет содержать только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание. Дальнейшее исключение логических операций невозможно.

          Существует логическая операция, через которую можно выразить любую из пяти логических операций, которыми мы пользуемся: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Эта операция называется «штрих Шеффера», обозначается символом и определяется таблицей истинности

          X

          Y

          1

          1

          0

          1

          0

          1

          0

          1

          1

          0

          0

          1

          Согласно таблице, имеем: ;.

          Тема 2 Формулы алгебры логики

          2.1 Равносильные формулы алгебры логики

          2.2 Законы алгебры логики

          Как и в элементарной математике из «элементарных» булевых функций с помощью логических операций можно строить формулы. В настоящем разделе изучаются формулы алгебры логики.

          2.1 Равносильные формулы алгебры логики. Приведем определение формулы алгебры логики.

          1) каждая «элементарная» булева функция – формула;

          2) если некоторое выражение N есть формула, то тоже формула;

          3) если некоторые выражения M и N есть формулы, то выражения , , , тоже формулы;

          4) других формул, кроме построенных по п. п.1), 2), 3), нет.

          Формулы алгебры логики мы будет обозначать большими N, M, … Например, следующие выражения являются формулами алгебры логики:

          , .

          С целью упрощения формул, условимся, что операция конъюнкции «сильнее» операции дизъюнкции, импликации и эквивалентности, т. е. если нет скобок, то вначале выполняется операция конъюнкции.

          Формула алгебры логики определяет некоторую булеву функцию, значение которой совпадает со значениями данной формулы для всех наборов значений переменных.

          Две формулы N и M называются Равносильными, если они определяют одну и ту же булеву функцию (запись N=M будет означать, что формулы N и M равносильны).

          Пример 1. Формулы и равносильны, т. е. .

          Действительно, построим таблицы истинности для данных формул.

          0

          0

          0

          1

          1

          1

          1

          0

          1

          0

          1

          1

          0

          1

          1

          0

          0

          1

          0

          1

          1

          1

          1

          1

          0

          0

          0

          0

          Из таблицы видно, что формулы и определяют одну и ту же булеву функцию и, следовательно, являются равносильными.

          Очевидно, что отношение равносильности формул алгебры логики является:

          1. рефлексивным, т. е. N=N для любой формулы N;

          2. симметричным, т. е. если N=M, то M=N для любых формул N и M;

          3. транзитивным, т. е. если N=M и M=J, то N=J для любых формул N, M,J.

          Таким образом, отношение равносильности является отношением эквивалентности.

          Если какую-нибудь формулу N1, являющуюся частью формулы N заменить формулой N2, равносильной N1, то полученная формула окажется равносильной N. Это свойство лежит в основе преобразования формул с целью их упрощения или приведения к определенной форме.

          При преобразовании формул алгебры логики используются свойства логических операций, которые будут рассмотрены ниже.

          2.2 Законы алгебры логики. Приведем перечень важнейших равносильностей (законов) алгебры логики. Эти равносильности выражают свойства логических операций.

          1. — закон тождества;

          2. — закон противоречия;

          3. — закон исключительного третьего;

          4. — закон двойного отрицания;

          5. , — законы идемпотентности;

          6. , — законы коммутативности;

          7. , — законы дистрибутивности;

          8. , — законы ассоциативности;

          9. , — законы де Моргана;

          10. ,

          11. ,

          12. , — законы поглощения;

          13. , — законы склеивания.

          Перечисленные законы алгебры логики доказываются с помощью таблицы истинности. В качестве примера докажем справедливость закона .

          0

          0

          0

          0

          0

          0

          0

          0

          0

          0

          1

          0

          0

          0

          1

          0

          0

          1

          0

          0

          0

          1

          0

          0

          0

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          0

          0

          0

          1

          1

          1

          1

          1

          0

          1

          0

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          0

          0

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          Из таблицы видно, что формулы и определяют одну и ту же булеву функцию. Следовательно, они равносильны.

          Логические операции – конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность, вообще говоря, не являются независимыми друг от друга. В самом деле,

          ,

          ,

          Первые две равносильности легко доказываются с помощью таблиц истинности. Две последние равносильности докажем с помощью законов де Моргана и двойного отрицания:

          ; .

          Итак, справедливы следующие утверждения:

          1) импликацию и эквивалентность можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание;

          2) конъюнкцию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание;

          3) дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию и отрицание;

          4) все операции посредством равносильных выражений можно заменить двумя: конъюнкцией и отрицанием или дизъюнкцией и отрицанием.

          Естественно возникает следующий вопрос. Для чего вводить пять логических операций, когда можно обойтись двумя? Использование лишь двух операций существенным образом усложнило бы запись, что привело бы к громоздким формулам. Однако в некоторых приложениях математической логики удобно ограничиться двумя операциями. Аналогичная ситуация имеет место в арифметике. Всякое натуральное число можно записать с помощью цифр 0 и 1. Однако записи чисел и выкладки в двоичной системе громоздки. К этой системе прибегают лишь в некоторых случаях.

          Множество булевых функций, рассматриваемое вместе с операциями отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, называют Булевой алгеброй. Законы 1-13 являются Основными законами булевой алгебры.

          Обратим внимание на характер соответствий между равносильностями, объединенными в пару под номерами (5-13). В этих соответствиях проявляется так называемый закон двойственности.

          Назовем формулу алгебры логики Двойственной к формуле , если =.

          Будем говорить, что операция конъюнкции двойственна операции дизъюнкции и наоборот.

          Как показано в пункте 2.2, всякая формула алгебры логики может быть приведена равносильными преобразованиями к формуле, содержащей только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Поэтому, учитывая законы де Моргана и двойного отрицания, две формулы алгебры логики N и M, содержащие только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, будут двойственными, если одна получается из другой заменой каждой операции на двойственную и 1 заменяется на 0, а 0 на 1.

          Например, формула двойственная к формуле , а формула двойственная к формуле .

          Теперь сформулируем закон двойственности.

          Теорема 2. Если формулы алгебры логики N и M равносильны, то и двойственные им формулы N* и M* равносильны.

          Докажем данный закон. Пусть N(X1,X2,…,XN) = M(X1,X2,…,XN). Согласно определению двойственной формулы

          и .

          Так как N(X1,X2,…,XN) и M(X1,X2,…,XN) принимают одинаковые значения при любых значениях переменных X1,X2,…,XN, то

          =.

          Отсюда следует, что

          .

          Так как формулы и равносильны соответственно формулам и , то они равносильны между собой.

          Принцип двойственности позволяет сократить усилие на вывод равносильностей.

          Пример 2. Из равносильности вытекает равносильность . Из равносильности вытекает равносильность .


          < Предыдущая   Следующая >

          Классификация формул алгебры логики. Законы логики.

          Классификация формул алгебры логики. Законы логики.

          .

          Определение. Две формулы алгебры логики A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний (переменных).

          Обозначение. A≡B.

          Пример.

          .

          Определение. Формула A называется тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных (напр. , ).

          Определение. Формула A называется тождественно ложной (противоречием), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных (напр., ).

          Утверждение. Отношение равносильности рефлексивно, симметрично, транзитивно.

          Связь между понятиями равносильности и эквивалентности: если формулы A и B равносильны, то формула A↔B тавтология, и обратно, если формула A↔B тавтология, то формулы A и B равносильны.

          Равносильности алгебры логики можно разбить на 3 группы:

          1.     Основные равносильности.

          ·         – законы идемпотентности;

          ·        ;

          ·        ;

          ·        ;

          ·        ;

          ·         – закон противоречия;

          ·         – закон исключенного третьего;

          ·         – закон снятия двойного отрицания;

          ·         – законы поглощения.

          2.     Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

          ·        ;

          ·        ;

          ·        ;

          ·        ;

          ·        ;

          ·        .

          Замечание. Из равносильностей группы 2 следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание, или дизъюнкцию и отрицание. Дальнейшее исключение операций невозможно. Например, если использовать только конъюнкцию, то уже такая простая формула, как  не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.

          Существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из 5 логических операций:

          1)     Связка Шеффера – дизъюнкция отрицаний.

          Обозначение. x|y («x не совместно с y»).

          Логические значения связки Шеффера описываются следующей таблицей истинности:

          x

          y

          x|y

          1

          1

          0

          1

          0

          1

          0

          1

          1

          0

          0

          1

          Имеют место следующие равносильности: а) ; б) .

          2)     Стрелка Пирса – конъюнкция отрицаний.

          Обозначение.  xy («ни x, ни y»).

          Логические значения стрелки Пирса описываются следующей таблицей истинности:

          x

          y

          xy

          1

          1

          0

          1

          0

          0

          0

          1

          0

          0

          0

          1

           

          3.     Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:

          ·         – коммутативность конъюнкции;

          ·         – коммутативность дизъюнкции;

          ·         – ассоциативность конъюнкции;

          ·         – ассоциативность дизъюнкции;

          ·         – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

          ·         – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

          Замечание. Равносильности группы 3 показывают, что над формулами алгебры логики можно проводить те же преобразования, что и в алгебре чисел.

          2

          «Алгебра логики». Использование мобильных приложений на уроке информатики

          Дисциплина: Информатика.

          Цели урока:

          Образовательные:

          • закрепить знания учащихся по теме «Алгебра логики: основные законы алгебры логики»;
          • дать учащимся представление о подходах к пониманию алгебры высказываний;

          Воспитательные:

          • воспитание самостоятельности, коммуникабельности, формирование понимания значения логики в современном информационном мире;
          • сочетание индивидуальной и коллективной работы;
          • ответственность за выполнение домашнего задания;

          Развивающие:

          • развитие познавательного интереса учащихся;
          • памяти; внимания; развитие способности применять усвоенные теоретические знания в практической работе;
          • развить логическое мышление;
          • сформировать практические умения решать логические задачи.

          Тип урока: Комбинированный урок.

          Межпредметные связи: математика.

          Оборудование урока: ПК, мультимедийное оборудование, презентация к уроку на тему «Алгебра логики: таблицы истинности и основные законы алгебры логики», раздаточный материал – карточки с заданиями, электронные таблицы Microsoft Excel, мобильное приложение «Сканер» и «Logic Calculator».

          Ход урока

          I. Теоретический этап

          Доброе утро, ребята! На прошлых уроках мы изучили тему «Алгебра логики», на которых познакомились с определениями логика и логическое высказывание и основными логическими операциями, которые задаются таблицами истинности. А также узнали, что в алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Давайте вспомним и повторим материал прошлых уроков? (Повторение пройдённого материала по предыдущей теме проводится в виде кроссворда, вопросы которого зашифрованы в QR-кодах и распечатаны на карточках (Приложение 1, Приложение 2, Приложение 3), для расшифровки, которых необходимо воспользоваться смартфоном с установленным приложением «Сканер QR-кодов». Кроссворд также выведен на экран (Слайд 2)).

          1. Проведение интерактивной беседы

          Интерактивная беседа сопровождается презентацией, содержащей теоретическое описание и иллюстративное отображение изучаемой темы, каждый элемент которых является обобщением или подтверждением некоторого этапа обсуждения, отдельных элементов выполнения решения, обучающихся под руководством преподавателя.

          2. Постановка цели и задач урока

          Скажите, пожалуйста, для чего нужна логика? Связана ли алгебра логики с появлением первого персонального компьютера? (Студенты должны ответить)

          Поначалу алгебра логики не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор). Хотя это не единственная сфера применения данной науки.

          Во-первых, для получения представления об устройстве компьютера необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения. Теперь мы можем сформулировать цель нашего урока: (Для понимания принципа работы таких элементов нужно изучить основные начальные понятия алгебры логики).

          Во-вторых, важной составляющей алгоритмов являются логические условия. Вычисление и построение, которых осуществляется в соответствии с законами алгебры логики.

          В-третьих, человек с древних времен стремился познать законы правильного мышления, т. е. логические законы. Законы развития есть у природы, общества, любой сложной системы и, конечно же, у самого мышления. Существует даже мнение, что всякое движение нашей мысли, постигающей истину, добро и красоту, опирается на логические законы. Познание истины – одна из важнейших потребностей человека. Каждый человек и человечество в целом стремятся к истине, добру и красоте. Все люди нуждаются в истинном знании, получении новой информации о мире, в котором они живут. Для чего? Для того, чтобы жить, что в данном случае означает ориентироваться в быстро меняющейся обстановке, принимать правильные решения и на их основе совершать правильные действия.

          Таким образом, сегодня на уроке мы вспомним понятия основных логических операций и закрепим эти понятия на основе построения таблиц истинности по логическим выражениям с использованием компьютера и мобильного приложения.

          3. Объяснение теоретического материала

          В кроссворде мы с вами встретили два имени знаменитых математиков и логиков, которые внесли большой вклад в развитие математической логики. Сейчас я расскажу о них подробнее.

          (Слайд 4) Джордж Буль (англ. George Boole; 2 ноября 1815 – 8 декабря 1864) – английский математик и логик. Профессор математики Королевского колледжа Корка с 1849 года. Один из основателей математической логики.

          Джордж Буль родился и вырос в семье небогатого ремесленника Джона Буля, увлечённого наукой. Отец, интересуясь математикой и логикой, дал первые уроки своему сыну, но тот не сумел рано обнаружить свои выдающиеся таланты в точных науках, и его первым увлечением стали классические авторы.

          Лишь к семнадцати годам Буль дошёл до высшей математики, продвигаясь медленно из-за отсутствия действенной помощи.

          С шестнадцати лет Буль начал работать помощником учителя в частной школе в Донкастере и, так или иначе, продолжал преподавание на разных должностях в течение всей жизни. Он был женат (с 1855 г.) на Мэри Эверест (з. Эверест-Буль), племяннице знаменитого географа Джорджа Эвереста, также занимавшейся наукой и преподаванием, а после смерти мужа много сил уделившей популяризации его вклада в логику.

          Четыре их дочери снискали известность как учёные (геометр Алисия, химик Люси), или члены учёных семей (Мэри, жена математика и писателя Ч.Г.Хинтона, и Маргарет, мать математика Дж. И. Тейлора), а пятая – Этель Лилиан Войнич – прославилась как писатель.

          Буль умер на пятидесятом году жизни от воспаления лёгких.

          Огастес (Август) де Мо́рган (англ. Augustus de Morgan, 27 июня 1806 – 8 марта 1871) – шотландский математик и логик, профессор математики в Университетском колледже Лондона. Первый президент (1866) Лондонского математического общества.

          Основные труды: по математической логике и теории рядов; к своим идеям в алгебре логики Огастес де Мо́рган пришёл независимо от Дж. Буля. В 1847 изложил элементы логики высказываний и логики классов, дал первую развитую систему алгебры отношений. С его именем связаны известные теоретико-множественные соотношения (законы де Моргана).

          Законы де Мо́ргана (законы общей инверсии для логического сложения и для логического умножения) – логические правила, связывающие пары логических операций при помощи логического отрицания. И звучат так:

          (Слайд 5-6) Общая инверсия двух логических слагаемых равносильна логическому умножению инвертированных переменных:

          (A ˅ B) = A &B

          Общая инверсия двух логических сомножителей равносильна логическому сложению инвертированных переменных:

          (A & B) = A ˅B

          Диаграммы Венна, описывающие законы де Моргана представлены на рисунках 1 и 2:

          II. Практический этап
          Практическое задание №1

          В электронных таблицах доказать справедливость первого (A ˅ B) = A &B и второго (A & B) = A ˅ B законов де Моргана (Слайд 7), используя таблицы истинности (рис.3).

          Рис.3

          Далее студентам необходимо воспользоваться мобильным приложением Logic Calculator и доказать справедливость первого (A ˅ B) = A &B и второго (A & B) = A ˅ B законов де Моргана, используя приложение Logic Calculator.

          1. (A ˅ B) = A &B

          2. (A & B) = A ˅ B

          Практическое задание №2

          В мобильном приложении Logic Calculator построить таблицу истинности логического выражения: (A ˅ B) & (A ˅ B). Ответ записать в тетради.

          Практическое задание №3

          В мобильном приложении Logic Calculator построить таблицу истинности логического выражения: A & (B ˅ B &C). Ответ записать в тетради.

          III. Заключительный этап

          1. Сообщение о достижении целей урока.
          2. Оценка работы обучающихся, комментарии.
          3. Выдача домашнего задания. (Доказать с использованием приложения Logic Calculator равносильность выражений (A ˅ B ˅ C) & (A ˅ B ˅ C) и (B &A & C)

          2.5: Логические эквивалентности — Mathematics LibreTexts

          1. Последнее обновление
          2. Сохранить как PDF
        • Идентификатор страницы
          23239
          • Harris Kwong
          • Государственный университет Нью-Йорка во Фредонии через OpenSUNY

          Тавтология и противоречие

          Определение

          Тавтология — это предложение, которое всегда истинно, независимо от значений истинности содержащихся в нем пропозициональных переменных.

          Определение

          Предложение, которое всегда ложно, называется противоречием .

           Предложение, которое не является ни тавтологией, ни противоречием, называется случайностью . Термин случайность не так широко используется, как термины тавтология и противоречие.

          Пример \(\PageIndex{1}\label{eg:logiceq-01}\)

          Из следующей таблицы истинности \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & \overline{p} & p \vee \overline{p} & p \wedge \overline{p} \\ \hline \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F} \\ \hline \end{array}\] получаем, что \(p\vee\overline{p}\ ) — тавтология, а \(p\wedge\overline{p}\) — противоречие.

          На словах \(p\vee\overline{p}\) говорит, что либо утверждение \(p\), либо утверждение \(\overline{p}\) истинно (то есть \( р\) неверно). Это утверждение всегда верно.

          Составное утверждение \(p\wedge\overline{p}\) утверждает, что \(p\) истинно, и в то же время \(\overline{p}\) также истинно (что означает \( р\) неверно). Это явно невозможно. Следовательно, \(p\wedge \overline{p}\) должно быть ложным.

           

          Пример \(\PageIndex{2}\label{eg:logiceq-02}\)

          Показать, что \((p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{q} \Rightarrow \overline{p} )\) — тавтология.

          Ответить

          Мы можем использовать таблицу истинности для проверки утверждения. \[\begin{array}{|*{7}{c|}} \hline p & q & p\Rightarrow q & \overline{q} & \overline{p} & \overline{q}\Rightarrow\overline {p} & (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{q} \Rightarrow \overline{p}) \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text {T} &  \text{T} & \text{F} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{ F} & \text{F} & \text{T} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T } & \text{T} \\ \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \end{array}\] Обратите внимание, как мы работаем над каждым компонентом составного оператора отдельно, прежде чем объединить их для получения окончательного ответа.

          Пример \(\PageIndex{3}\label{eg:logiceq-03}\)

          Показать, что аргумент

          «Если \(p\) и \(q\), то \(r\). Следовательно, если не \(r\), то не \(p\) или не \(q\)».

          действителен. Другими словами, покажите, что логика, использованная в аргументе, верна.

          Ответить

          Символически аргумент выглядит так: \[[(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})]. \label{eqn:tautology}\] Мы хотим показать, что это тавтология. Это легко проверить с помощью таблицы истинности. Мы также можем доказать, что это составное утверждение всегда истинно, показав, что оно никогда не может быть ложным.

          Предположим, напротив, что ([уравнение: тавтология]) ложно для некоторых вариантов выбора \(p\), \(q\) и \(r\). Тогда \[(p \wedge q) \Rightarrow r \quad \mbox{должно быть true}, \qquad\mbox{and}\qquad \overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q }) \quad \mbox{должно быть ложным}. \] Чтобы второе следствие было ложным, нам нужно, чтобы \[\overline{r} \quad\mbox{было истинным}, \qquad\mbox{and}\qquad \overline{p} \vee \overline{q} \quad\mbox{to be false}.\] Они, в свою очередь, подразумевают, что \(r\) ложно, и оба \(\overline{p}\) и \ (\overline{q}\) ложны; следовательно, и \(p\), и \(q\) верны. Это сделало бы \((p \wedge q) \Rightarrow r\) ложным, что противоречит предположению, что это правда. Таким образом, ([eqn:tautology]) не может быть ложным, это должна быть тавтология.

          практическое упражнение \(\PageIndex{1}\label{he:logiceq-01}\)

          Используйте таблицу истинности, чтобы показать, что \[[(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\ overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})]\] является тавтологией.

           

          Ответ

          Нам нужно восемь комбинаций значений истинности в \(p\), \(q\) и \(r\). Мы перечисляем значения истинности в соответствии со следующим соглашением. В первом столбце для значений истинности \(p\) заполните верхнюю половину T, а нижнюю половину F. В следующем столбце для значений истинности \(q\) повторите тот же шаблон отдельно, с верхней половиной и нижней половиной. Таким образом, мы разделяем верхнюю половину второго столбца на две половины, заполняем верхнюю половину T, а нижнюю половину F. Аналогичным образом разделяем нижнюю половину второго столбца на две половины, заполняем верхнюю половину T, а нижнюю половина с F. Повторите тот же шаблон с третьим столбцом для значений истинности \(r\), и так далее, если у нас есть больше пропозициональных переменных.

          Заполните следующую таблицу: \[\begin{array}{|*{11}{c|}} \hline p & q & r & p\wedge q & (p\wedge q)\Rightarrow r & \overline{ r} & \overline{p} & \overline{q} & \overline{p}\vee\overline{q} & \overline{r} \Rightarrow (\overline{p}\vee\overline{q}) & [(p \клин q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\overline{r}\Rightarrow(\overline{p} \vee \overline{q})] \\ \hline \text{T} & \text{T } & \text{T} &&&&&&&& \\ \text{T} & \text{T} & \text{F} &&&&&&&&& \\ \text{T} & \text{F} & \text{T} &&&&&&&& \\ \text{T} & \text{F} & \text{F} &&&&&&&& \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} &&&&&&&& & \\ \text{F} & \text{T } & \text{F} &&&&&&&& \\ \text{F} & \text{F} & \text{T} &&&&&&&&& \\ \text{F} & \text{F} & \text{F} &&&&&&&& \\ \hline \end{array}\] Вопрос: Если в предложении четыре пропозициональных переменных, сколько строк в таблице истинности?

           

          Биусловность и эквивалентность

          Примечание

          Две логические формулы \(p\) и \(q\) логически эквивалентны , обозначены \(p\equiv 90,\) 2. 2) тогда и только тогда, когда \(p \Leftrightarrow q\) является тавтологией.

          Мы , а не , говоря, что \(p\) равно \(q\). Поскольку \(p\) и \(q\) представляют два разных оператора, они не могут быть одинаковыми. Мы говорим о том, что они всегда дают одно и то же значение истинности, независимо от значений истинности лежащих в их основе пропозициональных переменных. Вот почему мы пишем \(p\equiv q\) вместо \(p=q\).

          Пример \(\PageIndex{4}\label{eg:logiceq-04}\)

          Мы узнали, что \[p\Leftrightarrow q \equiv (p\Rightarrow q) \wedge (q\Rightarrow p), \] именно поэтому мы называем \(p\Leftrightarrow q\) биусловным оператором.

          Пример \(\PageIndex{5}\label{eg:logiceq-05}\)

           

          Используйте таблицы истинности для проверки следующих эквивалентных утверждений.

          • \(p \Rightarrow q \equiv \overline{p} \vee q\). [эквив1]
          • \(p \клин (q \vee r) \equiv (p \клин q) \vee (p \клин r)\). [экв2]
          Ответить

          Таблицы истинности для (а) и (б) изображены ниже. \[\begin{array}{|*{5}{c|}} \hline p & q & p\Rightarrow q & \overline{p} & \overline{p}\vee q \\ \hline \text{ T} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{F } & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \text{F} & \text{F } & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \end{массив}\] \[% \arraygap{1.25} \begin{массив}{|*{8}{ c|}} \hline p & q & r & q\vee r & p\клин (q\vee r) & p\клин q & q\клин r & (p\клин q)\vee(p\клин r ) \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T}\phantom{(q\vee{})} & \text{T } & \text{T} & \text{T} \\ \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T}\phantom{(q\ vee{})} & \text{T} & \text{F} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \ text{T}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{T} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{ F} & \text{F} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{F}\phantom{(q\v ee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \ text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{ T} & \text{T} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text {F} \\ \hline \end{array}\] Пример ([equiv1]) является важным результатом. Он говорит, что \(p \Rightarrow q\) истинно, когда происходит одно из следующих двух событий: (i) когда \(p\) ложно, (ii) в противном случае (когда \(p\) истинно) \(q \) должно быть правдой.

          Практическое упражнение \(\PageIndex{2}\label{he:logiceq-02}\)

          Используйте таблицы истинности для установления этих логических эквивалентностей.

          1. \(p \Стрелка вправо q \equiv \overline{q} \Стрелка вправо \overline{p}\)
          2. \(p \vee p \equiv p\)
          3. \(p \клин q \equiv \overline{\overline{p} \vee \overline{q}}\)
          4. \(p \Стрелка влево q \equiv (p \Стрелка вправо q) \клин (q \Стрелка вправо p)\)

           

          Ответить

          Мы накрыли стол для (а), а остальное предоставим вам.

          \[\begin{array}[t]{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p\Стрелка вправо q & \overline{q} & \overline{p} & \ overline{q}\Rightarrow\overline{p} \\ \hline \text{T} & \text{T} &&&& \\ \text{T} & \text{F} &&&& \\ \text{F} & \ текст{T} &&&& \\ \text{F} & \text{F} &&&& \\ \hline \end{массив}\]

          практическое упражнение \(\PageIndex{3}\label{he:logiceq-03}\)

           

          Логическая связка исключающее ИЛИ, обозначаемая \(p\veebar q\), означает либо \(p\ ) или \(q\), но не оба вместе. Следовательно, \[p\veebar q \equiv (p\vee q) \wedge \overline{(p\wedge q)} \equiv (p\wedge\overline{q}) \vee (\overline{p}\wedge q).\] Постройте таблицу истинности для проверки этого утверждения

           

          Свойства

          Свойства логической эквивалентности. Обозначим через \(T\) и \(F\) тавтологию и противоречие соответственно. Имеются следующие свойства для любых пропозициональных переменных \(p\), \(q\) и \(r\).

          1. Коммутативные свойства : \(\begin{array}[t]{l} p \vee q \equiv q \vee p, \\ p \wedge q \equiv q \wedge p. \end{array} \)

          2. Ассоциативные свойства : \(\begin{array}[t]{l} (p \vee q) \vee r \equiv p \vee (q \vee r), \\ (p \wedge q) \клин г \эквив п \клин (q \клин г).\end{массив}\)

          3. Распределительные законы : \(\begin{array}[t]{l} p \vee (q \wee r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r), \\ p \клин (q \vee r) \equiv (p \клин q) \vee (p \клин r). \end{массив}\)

          4. Законы идемпотента : \(\begin{array}[t]{l} p \vee p \equiv p, \\ p \wedge p \equiv p. \end{array}\)

          5. Законы Де Моргана : \(\begin{array}[t]{l} \overline{p\vee q} \equiv \overline{p}\wedge\overline{q}, \\ \overline{ p\клин q} \equiv \overline{p}\vee \overline{q}.\end{массив}\)

          6. Законы исключенного третьего , или обратные законы : \(\begin{array}[t]{l} p \vee \overline{p} \equiv T, \\ p \wedge \overline{p} \equiv F. \ конец{массив}\)

          7. Законы тождества : \(\begin{array}[t]{l} p \vee F \equiv p, \\ p \wedge T \equiv p. \end{array}\)

          8. Законы доминирования : \(\begin{array}[t]{l} p \vee T \equiv T, \\ p \wedge F \equiv F. \end{array}\)

          9. Эквивалентность импликации и ее контрапозиции: \(p \Rightarrow q \equiv \overline{q} \Rightarrow \overline{p}\).

          10. Запись импликации в виде дизъюнкции: \(p \Rightarrow q \equiv \overline{p} \vee q\).

          11. Отрицание импликации: \(\overline{p \Rightarrow q} \equiv p \wedge \overline{q} \)

          Убедитесь, что вы поняли и запомнили последние три эквивалентности, потому что мы будем часто использовать их в оставшейся части курса.

          Запоминать названия всех этих свойств может быть непросто; однако все они должны иметь для вас смысл. Важное название — законы Де Моргана. Объясним их словами и сравним с аналогичными операциями над действительными числами:

          1. Коммутативные свойства : Короче, говорят, что «порядок операции не имеет значения». Неважно, какое из двух логических утверждений стоит первым, результат конъюнкции и дизъюнкции всегда дает одно и то же истинностное значение. Сравните это со сложением действительных чисел: \(x+y=y+x\). Вычитание не является коммутативным, потому что не всегда верно, что \(x-y=y-x\). Это объясняет, почему мы должны убедиться, что операция коммутативна.

          2. Ассоциативные свойства : Грубо говоря, эти свойства также говорят о том, что «порядок выполнения не имеет значения». Однако между ними и коммутативными свойствами есть ключевое различие.

            • Коммутативные свойства применяются к операциям над двумя логическими операторами , но ассоциативные свойства включают три логических оператора . Поскольку \(\wedge\) и \(\vee\) равны двоичных операций, мы можем работать только с парой операторов одновременно. Учитывая три утверждения \(p\), \(q\) и \(r\), расположенные в указанном порядке, над какой парой утверждений мы должны работать в первую очередь? Ответ таков: это не имеет значения. Именно порядок группировки (отсюда термин ассоциативный) не имеет значения в ассоциативных свойствах.

            • Важным следствием свойства ассоциативности является то, что, поскольку не имеет значения, над какой парой утверждений мы должны выполнить операцию первой, мы можем убрать круглые скобки и записать, например, \[p\vee q\vee r\] не беспокоясь о какой-либо путанице.

            • Не все операции ассоциативны. Вычитание не ассоциативно. Имея три числа 5, 7 и 4 в таком порядке, как мы должны выполнить два вычитания? Какую интерпретацию мы должны использовать: \[(5-7)-4, \qquad\mbox{или}\qquad 5-(7-4)?\] Поскольку они приводят к разным результатам, мы должны быть осторожны, где разместить скобки.

          3. Распределительные законы : Когда мы смешиваем два различных операций над тремя логическими операторами, один из них должен сначала работать с парой операторов, формируя «внутреннюю» операцию. Затем следует «внешняя» операция для завершения составного оператора. Распределительные законы говорят, что мы можем распределить «внешнюю» операцию по внутренней.

          4. Законы идемпотента : Когда операция применяется к паре идентичных логических операторов, результатом является один и тот же логический оператор. 2=x\), где \(x\) — действительное число. Это верно только тогда, когда \(x=0\) или \(x=1\). Но логические эквивалентности \(p\vee p\equiv p\) и \(p\wedge p\equiv p\) верны для всех \(p\).

          5. Законы Де Моргана : Когда мы отрицаем дизъюнктуру (соответственно конъюнкцию), мы должны отрицать два логических утверждения и менять операцию дизъюнкции на конъюнкцию (соответственно конъюнкцию дизъюнкции).

          6. Законы исключенного третьего , или обратные законы : Любое утверждение либо истинно, либо ложно, поэтому \(p\vee\overline{p}\) всегда истинно. Точно так же утверждение не может быть одновременно истинным и ложным, поэтому \(p\wedge\overline{p}\) всегда ложно.

          7. Законы тождества : Сравните их с уравнением \(x\cdot1=x\): значение \(x\) не меняется после умножения на 1. Мы называем число 1 мультипликативным тождеством. Для логических операций идентичность дизъюнкции — F, а идентичность конъюнкции — T.

          8. Законы доминирования : Сравните их с уравнением \(x\cdot0=0\) для действительных чисел: результат всегда равен 0, независимо от значения \(x\). «Ноль» для дизъюнкции — это Т, а «ноль» для конъюнкции — это F.

          Пример \(\PageIndex{6}\label{eg:logiceq-07}\)

          Что такое отрицание \(2\leq x\leq 3\)? Дайте логическое объяснение, а также графическое объяснение.

          Ответить

          Неравенство \(2\leq x\leq 3\) означает \[(x\geq 2) \клин (x\leq 3).\] Его отрицание, согласно законам Де Моргана, равно \[(x<2 ) \vee (x>3).\] Неравенство \(2\leq x\leq 3\) дает замкнутый интервал. Его отрицание дает два открытых интервала. Их графическое представление на прямой с действительными числами изображено ниже.

          (130,60)(-20,-45) (-20,0)(1,0)130 (30,0)(30,0)2 (20,-25)(20,20)\(2 \) (50,-25)(20,20)\(3\) ( 0,-50)(90,20)\((x\geq 2)\клин(x\leq 3)\) (30, 0)(1,0)30 ​​

          (130,60)(-20,-45) (-20,0)(1,0)130 (30,0)(30,0)2 (20,-25)(20,20)\(2 \) (50,-25)(20,20)\(3\) ( 0,-50)(90,20)\((x<2)\vee(x>3)\) (-20, 0 )(1,0)48 ( 62, 0)(1,0)48

          Обратите внимание на две конечные точки 2 и 3. Они меняются от включения к исключению, когда мы принимаем отрицание.

          практическое упражнение \(\PageIndex{4}\label{he:logiceq-04}\)

          Поскольку \(0\leq x\leq 1\) означает «\(x\geq 0\) и \(x\leq 1\)», его отрицание должно быть «\(x<0\) или \( х>1\)». Объясните, почему неуместно и даже неправильно писать «\(0>x>1\)».

          практическое упражнение \(\PageIndex{5}\label{he:logiceq-05}\)

          Развернуть \((p\vee q) \wedge (r\vee s)\).

          Пример \(\PageIndex{7}\label{eg:logiceq-09}\)

           

          Мы использовали таблицу истинности, чтобы убедиться, что \[[(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [ \overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})]\] является тавтологией. Мы можем использовать свойства логической эквивалентности, чтобы показать, что это составное утверждение логически эквивалентно \(T\). Такому типу доказательства обычно труднее следовать, поэтому рекомендуется давать пояснения на каждом этапе. Вот полное доказательство: \[% \arraygap{1. 2} \begin{array}{lcl@{\quad}l} [(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\overline{r} \Rightarrow ( \overline{p} \vee \overline{q})] &\equiv& \overline{(p \wedge q) \Rightarrow r} \vee [\overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline {q})] & \mbox{(импликация как дизъюнкция)} \\ &\equiv& \overline{(p \wedge q) \Rightarrow r} \vee [\overline{\overline{p} \vee \overline{q }} \Rightarrow r] & \mbox{(импликация как дизъюнкция)} \\ &\equiv& \overline{(p \wedge q) \Rightarrow r} \vee [(p \wedge q) \Rightarrow r] & \mbox {(Закон Де Моргана)} \\ &\equiv& T & \mbox{(обратный закон)} \end{массив}\] Это именно то, что мы назвали методом слева направо для доказательства тождества (в данном случае , логическая эквивалентность).

          Пример \(\PageIndex{8}\label{eg:logiceq-10}\)

          Напишите \(\overline{p \Rightarrow q}\) как союз.

           

          Ответ

          Важно помнить, что \[\overline{p\Rightarrow q} \not\equiv q\Rightarrow p,\] и \[\overline{p\Rightarrow q} \not\equiv \overline{p}\Rightarrow \overline{q}\] либо. Вместо этого, поскольку \(p\Rightarrow q \equiv \overline{p}\vee q\), из закона Де Моргана следует, что \[\overline{p \Rightarrow q} \equiv \overline{\overline{p} \ vee q} \equiv p \wedge \overline{q}.\] В качестве альтернативы мы можем рассуждать следующим образом. Интерпретируйте \(\overline{p \Rightarrow q}\) как утверждение \(p \Rightarrow q\) ложно. Это требует, чтобы \(p\) было истинным, а \(q\) — ложным, что преобразуется в \(p \wedge \overline{q}\). Таким образом, \(\overline{p\Rightarrow q} \equiv p\wedge \overline{q}\).

           

          Резюме и обзор

          • Два логических утверждения логически эквивалентны, если они всегда дают одно и то же значение истинности.
          • Следовательно, \(p\equiv q\) равносильно утверждению, что \(p\Leftrightarrow q\) является тавтологией.
          • Помимо дистрибутивного закона и закона Де Моргана, помните также и эти две эквивалентности; они очень полезны при работе с последствиями. \[p \Rightarrow q \equiv \overline{q} \Rightarrow \overline{p} \qquad\mbox{and}\qquad p \Rightarrow q \equiv \overline{p} \vee q. \]

          Упражнения \(\PageIndex{}\)    

          Упражнение \(\PageIndex{1}\label{ex:logiceq-01}\)

          Используйте таблицу истинности для проверки закона Де Моргана \(\overline{p \vee q} \equiv \overline{p}\wedge\overline{q}\).

          Ответить

          \(\begin{array}[t]{ {|c | c | c | c | c | c |}} \hline p & q & p\vee q & \overline{p\vee q} & \overline {p} & \overline{q} & \overline{p}\wedge\overline{q} \\ \hline T & T & T & F & F & F & F \\ T & F & T & F & F & T & F \\ F & T & T & F & T & F & F \\ F & F & F & T & T & T & T \\ \hline \end{array}\)

          Упражнение \(\PageIndex{2}\label{ex:logiceq-02}\)

          Используйте таблицы истинности для проверки двух ассоциативных свойств.

          Упражнение \(\PageIndex{3}\label{ex:logiceq-03}\)

          Постройте таблицу истинности для каждой приведенной ниже формулы. Какие из них являются тавтологиями?

          1. \((\overline{p} \vee q)\Стрелка вправо p\)
          2. \((p\Стрелка вправо q) \vee (p\Стрелка вправо \overline{q})\)
          3. \((p\Стрелка вправо q) \Стрелка вправо r\)
          Ответить

          Только (b) является тавтологией, как указано в таблицах истинности ниже.

          (a) \(\begin{array}[t]{|*{5}{c|}} \hline p & q & \overline{p} & \overline{p}\vee q & (\overline{ p}\vee q)\Rightarrow p \\ \hline T & T & F &  T & \qquad\;T \\ T & F & F & F & \qquad\;T \\ F & T & T & T & \qquad\;F \\ F & F & T & T & \qquad\;F \\ \hline \end{массив}\)

          (b) \(\begin{array}[t]{|*{6}{c|}} \hline p & q & p\Rightarrow q & \overline{q} & p\Rightarrow\overline{q} & (p\Rightarrow q)\vee(p\Rightarrow\overline{q}) \\ \hline T &T &T & F & F & F &T \\ T &F &F & T & T &T \\ F &T &T & F & T &T \\ F &F &T & T & T &T \\ \hline \end{массив}\)

          (c) \(\begin{array}[t]{|*{5}{c|}} \hline p & q & r & p\Rightarrow q & (p\Rightarrow q)\Rightarrow r \\ \ hline T &T &T & T & \qquad\quad T \\ T & T & F & T & \qquad\quad F \\ T &F &T & F & \qquad\quad T \\ T &F &F & F & F & \qquad \quad T \\ F &T &T & T & \qquad\quad T \\ F &T &F & T & \qquad\quad F \\ F &F &T & T & \qquad\quad T \\ F &F &F & T & \qquad\quad F \\ \hline \end{массив}\)

          Упражнение \(\PageIndex{4}\label{ex:logiceq-04}\)

          Используйте таблицы истинности для проверки этих логических эквивалентностей.

          1. \((p\клин q)\стрелка влево p \equiv p\стрелка вправо q\)
          2. \((p\клин q)\Rightarrow r \equiv p\Rightarrow(\overline{q}\vee r)\)
          3. \((p\Rightarrow\overline{q}) \wedge (p\Rightarrow\overline{r}) \equiv \overline{p\wedge(q\vee r)}\)

           

          Упражнение \(\PageIndex{5}\label{ex:logiceq-05}\)

          Использовать только свойства логических эквивалентностей для проверки (b) и (c) в задаче 4.

          Ответ

          Пробы показаны ниже без пояснений. Обязательно заполните их.

          (b) \( \begin{array}[t]{lcl@{\quad(\hskip1.5in)}} (p\wedge q)\Rightarrow r &\equiv& \overline{p\wedge q}\vee r \\ &\equiv& (\overline{p}\vee\overline{q})\vee r \\ &\equiv& \overline{p}\vee(\overline{q}\vee r) \\ &\equiv& p\Rightarrow(\overline{q}\vee r) \end{массив}\)

          (c) \( \begin{array}[t]{lcl@{\quad(\hskip1.5in)}} (p\Rightarrow\overline{q}) \wedge (p\Rightarrow\overline{r}) &\equiv& (\overline{p}\vee\overline{q}) \wedge (\overline{p}\vee\overline{r}) \\ &\equiv& \overline{p}\vee(\overline{q }\wedge\overline{r}) \\ &\equiv& \overline{p}\vee\overline{q\vee r} \\ &\equiv& \overline{p\wedge(q\vee r)} \end{ массив}\)

          Упражнение \(\PageIndex{6}\label{ex:logiceq-06}\)

           

          Определить, являются ли формулы \(u\) и \(v\) логически эквивалентными (можно использовать таблицы истинности или свойства логических эквивалентностей).

          \(u:\;(p\Rightarrow q)\клин (p\Rightarrow\overline{q})\) \(v:\;\overline{p}\)
          \(u:\;p\стрелка вправо q\) \(v:\;q\стрелка вправо\)
          \(u:\;p\Стрелка влево q\) \(v:\;q\стрелка влево p\)
          \(u:\;(p\Стрелка вправо q)\Стрелка вправо r\) \(v:\;p\Стрелка вправо(q\Стрелка вправо r)\)

          Упражнение \(\PageIndex{7}\label{ex:logiceq-07}\)

          Найдите обратное, обратное и противоположное этих следствий.

          1. Если треугольник \(ABC\) равнобедренный и содержит угол 45 градусов, то \(ABC\) прямоугольный.
          2. Если четырехугольник \(ABCD\) является квадратом, то он одновременно и прямоугольник, и ромб.
          3. Если четырехугольник \(ABCD\) имеет две стороны одинаковой длины, то это либо прямоугольник, либо ромб.
          Ответить

          (а)

          Конверс: Если треугольник \(ABC\) прямоугольный, то \(ABC\) равнобедренный
            и содержит угол 45 градусов.
          Обратное: Если треугольник \(ABC\) не равнобедренный или не содержит угла
            с углом 45 градусов, то \(ABC\) не является прямоугольным треугольником.
          Противоположный: Если треугольник \(ABC\) не прямоугольный, то \(ABC\) не равнобедренный
            или не содержит угол 45 градусов.

          (б)

          Конверс: Если четырехугольник \(ABCD\) является и прямоугольником, и ромбом,
           , то \(ABCD\) — квадрат.
          Обратное: Если четырехугольник \(ABCD\) не является квадратом,
            то это не прямоугольник и не ромб.
          Противоположный: Если четырехугольник \(ABCD\) не прямоугольник и не ромб,
           , то \(ABCD\) не является квадратом.

          (с)

          Конверс: Если четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником или ромбом,
           , то \(ABCD\) имеет две стороны одинаковой длины.
          Обратное: Если четырехугольник \(ABCD\) не имеет двух сторон одинаковой длины,
           , то это не прямоугольник и не ромб.
          Противоположный: 92>0 \Стрелка вправо x>0\).
        • Если \(PQRS\) — квадрат, то \(PQRS\) — параллелограмм.
        • Если \(n>1\) простое, то \(n+1\) составное.
        • Если \(x\) и \(y\) такие целые числа, что \(xy\geq1\), то либо \(x\geq1\), либо \(y\geq1\).
        • Упражнение \(\PageIndex{9}\label{ex:logiceq-09}\)

          Определите, верны или нет следующие формулы:

          1. \(\overline{p\Leftrightarrow q} \equiv \overline {p} \Leftrightarrow \overline{q}\)
          2. \((p\Rightarrow q) \wedge (p\Rightarrow\overline{q}) \equiv \overline{p}\)
          3. \(p\Стрелка вправо q \equiv q\Стрелка вправо p\)
          Ответить

          (а) неверно (б) верно (в) неверно

          Упражнение \(\PageIndex{10}\label{ex:logiceq-10}\)

          Определите, верны или нет следующие формулы:

          1. \((p\Rightarrow q)\Rightarrow r \equiv p \Стрелка вправо (q\Стрелка вправо r)\) 92\не>0\), затем \(х\не>0\).
          Ответить

          Только (б).

          Упражнение \(\PageIndex{12}\label{ex:logiceq-12}\)

          Определите, являются ли следующие формулы тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим:

          1. \((p\Rightarrow q) \wedge \ линия {p}\)
          2. \((p\Rightarrow\overline{q}) \клин (p\клин q)\)
          3. \((p\Стрелка вправо\над чертой{q}) \клин q\)

          Упражнение \(\PageIndex{13}\label{ex:logiceq-13}\)

          Упростите следующие формулы:

          1. \(p\wedge(p\wedge q)\)
          2. \(\overline{\overline{p}\vee q}\)
          3. \(\overline{p\Rightarrow\overline{q}}\)
          Ответить

          (a) \(p\клин q\)
          (b) \(p\клин \overline{q}\)
          (c) \(p\клин q\)

          Упражнение \(\PageIndex{14}\label{ex:logiceq-14}\)

          Упростите следующие формулы:

          1. \((p\Rightarrow\overline{q}) \wedge (\overline{q}\Rightarrow p)\)
          2. \(\перечеркнутый {p\клин \перечеркнутый{q}}\)
          3. \(p\клин(\overline{p}\vee q)\)

           

          Упражнение \(\PageIndex{15}\)

          T означает тавтологию, а F означает противоречие.

          Правда или ложь?

          а. \(F\стрелка вправо\над чертой{q}\)

          б. \(п\вее Т\)

          с. \(F \клин p \)

          d. \(\overline{T}\vee F\)

          Ответ

          (а) верно (б) верно (в) неверно (г) неверно

           

          Упражнение \(\PageIndex{16}\)

          T означает тавтологию, а F означает противоречие.

          Упростить до эквивалентного выражения, состоящего из одной буквы ( T , F , p или ~ p )

          а. \(\overline{T} \vee F \equiv \)

          b. \(T \клин p \эквив\)

          c. \(F \клин\оверлайн{р} \эквив\)

          d. \(F \vee \overline{p}\equiv\)

          e. \((F \vee T) \vee F\equiv\)

          f. \((F \vee T) \клин T\equiv\)


          Эта страница под названием 2.5: Logical Equivalences распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA, автором, ремиксом и/или куратором этой страницы является Харрис Квонг (OpenSUNY) .

          1. Наверх
            • Была ли эта статья полезной?
            1. Тип изделия
              Раздел или Страница
              Автор
              Харрис Квонг
              Лицензия
              CC BY-NC-SA
              Показать страницу TOC
              да
            2. Теги
                На этой странице нет тегов.

            Логические эквиваленты

            Что означает совпадение двух логических утверждений? В этом разделе мы познакомимся с идеей логической эквивалентности и рассмотрим два метода, чтобы показать эквивалентность двух утверждений.

            Подраздел

            Определение 2.1.1. Тавтологии и противоречия.

            Выражение, включающее логические переменные, истинное для всех значений, называется тавтологией .

            Выражение с логическими переменными, которое является ложным для всех значений, называется противоречием .

            Утверждения, не являющиеся тавтологиями или противоречиями, называются случайностями .

            Большинство операторов являются непредвиденными. Именно тавтологии и противоречия являются особыми, которые мы будем выделять до конца семестра.

            Определение 2.1.2. Логическая эквивалентность.

            Мы говорим, что два предложения \(p\) и \(q\) логически эквивалентны , если \(p \leftrightarrow q\) является тавтологией. Мы обозначаем это через \(p \equiv q\text{.}\)

            Первый способ показать, что два утверждения \(p \и q\) эквивалентны, состоит в том, чтобы построить таблицу истинности, чтобы найти значения истинности \(p ​​\leftrightarrow q\text{. }\)

            Поскольку \(p \leftrightarrow q\) истинно, если \(p \и q\) имеют одинаковые значения истинности, в этом курсе мы будем часто строить таблицы истинности для двух утверждений, а затем отмечать, являются ли их столбцы истинными. одинаковые или разные.

            Пример 2.1.3.

            Докажите, что следующие утверждения эквивалентны, используя таблицу истинности.

            1. \(\displaystyle (\neg p \to (q \wedge \neg q)) \equiv p\)

            2. \(\displaystyle p \vee (p \wedge q) \equiv p \)

            3. \(\displaystyle p \vee (q \wee r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)\)

            4. \(\displaystyle \neg(p \to q) \equiv p \wedge \neg q\)

            5. \(\displaystyle p \to q \equiv \neg p \vee q\)

            Мы используем \(p \to q \equiv \neg p \vee q\) достаточно часто, чтобы это имело название. Мы назовем это следствием

            .

            Видео/Ответ.

            Раствор.

            Вот решение для \((\neg p \to (q \wedge \neg q)) \equiv p\text{:}\)

            Таблица 2.1.4. Отображение \(( \neg p \to (q \wedge \neg q))\leftrightarrow p\) является тавтологией

            T Т Ф Ф Т Т
            Т Ф Ф Ф Т Т
            Ф Т Т Ф Ф Т
            Ф Ф Т Ф Ф Т

            Следующая таблица представляет собой набор основных тавтологий, которые мы будем использовать до конца курса. В следующем за ними примере мы покажем, как мы можем использовать эти существующие тавтологии (которые мы будем называть законами), чтобы делать выводы о более сложных утверждениях.

            Вам нужно их запомнить? Абсолютно!

            Список 2.1.5. Фундаментальные логические эквивалентности

            . Пусть \(p, q\) и \(r\) — логические предложения.

            Коммутативные законы

            \(p \lor q\equiv q\lor p\)
            \(p \land q\equiv q \land p\)

            Ассоциативные законы

            \((p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r)\)
            \((p \land q) \land r\equiv p \land (q \land r)\ )

            Распределительные законы

            \(p \land (q \lor r) \equiv (p \land q ) \lor (p \land r)\)
            \(p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q ) \land (p \lor r)\)

            Законы о личности

            \(p \lor F\экв p\)
            \(p \land T \equiv p\)

            Законы отрицания

            \(p\land \neg p\equiv F\)
            \(p\lor \neg p\equiv T\)

            Законы идемпотента

            \(p \lor p \equiv p\)
            \(p\land p \equiv p\)

            Законы господства

            \(p \land F \equiv F\)
            \(p \lor T \equiv T\)

            Законы о поглощении

            \(p \land (p\lor q)\equiv p\)
            \(p \lor (p \land q) \equiv p\)

            Законы ДеМоргана

            \(\neg (p \lor q) \equiv (\neg p) \land (\neg q)\)
            \(\neg (p \land q) \equiv (\neg p) \lor (\ отрицательный q)\)

            Закон двойного отрицания

            \(\displaystyle \neg (\neg p)\equiv p\)

            Значение

            \(\displaystyle p \to q \equiv \neg p \lor q\)

            Вы заметите, что те законы, которые имеют две разные формы, выглядят очень похоже, только с разными операциями и заменой местами истинности и ложности. Это не только означает, что вам на самом деле нужно запомнить вдвое меньше, для этого есть четкая причина, которую мы рассмотрим, когда будем обсуждать булевы алгебры в Discrete 2!

            Пример 2.1.6.

            Используйте логические законы из списка 2.1.5, чтобы показать, что следующие эквивалентны.

            1. \(\displaystyle p \wedge q \equiv \neg(p \to \neg q)\)

            2. \(\displaystyle (p \to r) \vee (q \to r) \equiv (p \wedge q) \to r\)

            3. \(\displaystyle q \to p \equiv \neg p \to \neg q\)

            4. \(\displaystyle (\neg p \to (q \wedge \neg q)) \equiv p\)

            Видео/Ответ.

            Это ваш первый опыт работы с логическим доказательством! Это не будет последним. Большая часть этого класса посвящена тому, чтобы научиться понимать и аргументировать строго.

            Упражнения Упражнения

            1.

            Определите, являются ли следующие два утверждения логически эквивалентными: \(\neg(p \to q)\) и \(p \wedge \neg q\text{. }\) Объясните, откуда вы знаете, что вы правы.

            Раствор.

            Составьте для каждого таблицу истинности и сравните. Высказывания логически эквивалентны.

            2.

            Являются ли утверждения \(p \to (q\vee r)\) и \((p \to q) \vee (p \to r)\) логически эквивалентными?

            Раствор.

            Давайте начнем с левой стороны и будем двигаться вправо, чтобы выяснить это.

            \begin{выравнивание*} p \to (q \lor r) \amp\equiv \neg p \lor (q \lor r) \amp \text{импликация} \\ \amp\equiv \neg p \lor q \lor r \amp \text{ассоциативный, убрать скобки}\\ \amp\equiv \neg p \lor \neg p \lor q \lor r \amp \text{idempotent}\\ \amp\equiv \neg p \lor q \lor \neg p \lor r \amp \text{communitive}\\ \amp\equiv (\neg p \lor q) \lor (\neg p \lor r) \amp \text{associative}\\ \amp\equiv (p \to q) \lor (p \to r) \amp \text{импликация} \end{выравнивание*}

            , что мы и хотели показать.

            3.

            Используйте таблицу истинности, чтобы показать, что \((p \to q) \land (p \to r)\) и \(p \to (q \land r)\) логически эквивалентны.

            Раствор.

            Вот альтернативное решение, использующее предыдущие эквивалентности (не таблица истинности):

            \begin{align*} (p \to q) \land (p \to r) & \equiv (\neg p \lor q) \land (\neg p \lor r) \\ &\equiv \neg p \lor (q \land r)\\ &\equiv p \to (q \land r) \end{выравнивание*}

            4.

            Упростите следующие операторы (чтобы отрицание появлялось только непосредственно перед переменными).

            1. \(\neg(p \to \neg q)\text{.}\)

            2. \((\neg p \vee \neg q) \to \neg (\neg q \wedge r)\text{.}\)

            3. \(\neg((p \to \neg q) \vee \neg (r \wedge \neg r))\text{.}\)

            Видео/Ответ.

            1. \(p \клин q\text{.}\)

            2. \((\neg p \vee \neg r) \to (q \vee \neg r)\) или, заменив импликацию сначала дизъюнктией: \((p \wedge q) \vee (q \vee \нег г)\текст{.}\)

            3. \((p \клин q) \клин (r \клин \neg r)\text{. }\) Это обязательно ложно, поэтому также эквивалентно \(p \клин \neg p\text{. }\)

            4. Либо Сэм не мужчина, а Крис не женщина, либо Крис женщина.

            5.

            Используйте законы ДеМоргана и любые другие известные вам факты логической эквивалентности, чтобы упростить следующие утверждения. Покажи все свои шаги. В ваших окончательных утверждениях отрицания должны появляться только непосредственно рядом с переменными предложения или предикатами (\(p\text{,}\) \(q\text{,}\) и т. д.), а не двойными отрицаниями. Было бы неплохо использовать только союзы, дизъюнкции и отрицания.

            1. \(\neg((\neg p \wedge q) \vee \neg(r \vee \neg s))\text{.}\)

            2. \(\neg((\neg p \to \neg q) \wedge (\neg q \to k))\) (осторожнее с последствиями).

            3. \(\displaystyle (p\land q) \to (p \lor q)\)

            Раствор.

            1. \begin{выравнивание*} \neg((\neg p \wedge q) \vee \neg(r \vee \neg s)) \amp\equiv \neg(\neg p \wedge q) \land \neg \neg(r \vee \neg с) \\ \amp\equiv \neg(\neg p \wedge q) \land (r \vee \neg s)\\ \amp\equiv (\neg\neg p \lor \neg q) \land (r \lor \neg s)\\ \amp\equiv (p \lor \neg q) \land (r \lor \neg s) \end{выравнивание*}

            2. \begin{выравнивание*} \neg((\neg p \to \neg q) \wedge (\neg q \to k)) \amp \equiv \neg((\neg \neg p \lor \neg q) \wedge (\neg \neg д \лор к))\\ \amp\equiv \neg((p \lor \neg q) \wedge (q \lor k))\\ \amp \equiv \neg(p \lor \neg q) \lor \neg (q \lor k)\\ \amp \equiv (\neg p \land \neg \neg q) \lor (\neg q \land \neg k)\\ \amp \equiv (\neg p \land q) \lor (\neg q \land \neg k) \end{выравнивание*}

            3. \begin{выравнивание*} (p\land q) \to (p \lor q) \amp\equiv \neg (p\land q) \lor (p \lor q) \\ \amp \equiv (\neg p \lor \neg q) \lor (p \lor q)\\ \amp \equiv \neg p \lor \neg q \lor p \lor q\\ \amp \equiv \neg p \lor p \lor \neg q \lor q\\ \amp \equiv (\neg p \lor p) \lor ( \neg q \lor q )\\ \амп\экв (Т) \лор (Т)\\ \ампер\экв Т \end{выравнивание*}

              . .. это тавтология!

            Подраздел Форум Сообщения об этом разделе

            таблиц истинности, тавтологии и логические эквивалентности

            таблицы истинности, тавтологии и логические эквивалентности

            Математики обычно используют двузначное число . логика : Каждое утверждение либо Истинно , либо Ложь . Это называется Закон исключенного среднего .

            Утверждение в сентенциальной логике строится из простых утверждений с использованием логические связки , , , и . Правда или ложь утверждения, построенного с помощью этих связок, зависит от истинности или ложность его составляющих.

            Например, составной оператор строится с использованием логических связок , и . Правда или ложность зависит от истины или ложность P, Q и R.

            Таблица истинности показывает, как правда или ложь составного утверждения зависит от истинности или ложности простого утверждения, из которых он построен. Итак, мы начнем с рассмотрения таблицы истинности для пяти логических связок.

            Вот таблица отрицания:

            Эту таблицу легко понять. Если P равно true , его отрицание ложно . Если P равно false , то true .

            должно быть true , когда оба P и Q true и false иначе:

            является истинным , если либо P является истинным , либо Q является верно (или оба — помните, что мы используем «или» во включающем смысле). всего ложь , если оба P и Q ложно .

            Вот таблица логических следствий:

            Чтобы понять, почему эта таблица именно такая, рассмотрим следующее. пример:

            «Если ты получишь пятерку, я дам тебе доллар».

            Утверждение будет верным , если я сдержу свое обещание и ложь если нет.

            Предположим, что верно , что вы получаете пятерку, а это 9. 0037 правда что я даю вам доллар. Поскольку я сдержал свое обещание, верно . Это соответствует первой строке таблицы.

            Предположим, что верно , что вы получили пятерку, но ложно что я даю вам доллар. Поскольку я не сдержал своего обещания, подразумевается false . Это соответствует второму строку в таблице.

            Что, если это ложь, что вы получили пятерку? Независимо от того, дам ли я вам долларов, я не нарушил своего обещания. Таким образом, вывод не может быть ложно, поэтому (поскольку это двузначная логика) оно должно быть истинным. Этот объясняет последние две строки таблицы.

            означает, что P и Q равны эквивалент . Таким образом, двойная импликация верна , если P и Q оба истинны или если P и Q оба ложны ; в противном случае двойная импликация ложна.

            Вы должны помнить — или уметь составлять — таблицы истинности для логических связок. Вы будете использовать эти таблицы для построения таблицы для более сложных предложений. Легче продемонстрировать что делать, чем описать это словами, так вы увидите порядок выработано на примерах.

            Примечание. (а) Когда вы строите правду таблице, вы должны рассмотреть все возможные назначения True (T) и False (F) для операторов компонентов. Например, предположим, составные операторы — это P, Q и R. Каждый из этих операторов может быть либо правда, либо ложь, так что есть возможности.

            Когда вы перечисляете возможности, вы должны присвоить значения истинности к операторам компонентов систематическим образом, чтобы избежать дублирования или упущение. Самый простой подход — использовать лексикографический порядок . Таким образом, для составного оператора с три компонента P, Q и R, я бы перечислил возможности этого путь:

            (б) Существуют различные способы составления таблиц истинности. Вы можете, для например, запишите значения истинности «под» логическим связки составного высказывания, постепенно дорастающие до столбец для «основной» связки.

            Я буду записывать вещи длинным путем, создавая столбцы для каждого «кусочек» составного высказывания и постепенно наращивая к составному утверждению. Любой стиль хорош, пока вы показываете достаточно работы, чтобы оправдать ваши результаты.

            Пример. Построить таблицу истинности для формула .

            Во-первых, я перечисляю все альтернативы для P и Q.

            Затем в третьем столбце я перечисляю значения на основе значений P. Я использую таблицу истинности для отрицание: когда P истинно, ложно, а когда P ложно, правда.

            В четвертом столбце я перечисляю значения для . Проверьте сами, что это только ложь («F»), если P истинно («T»), а Q ложно («Ф»).

            В пятом столбце приведены значения моего составного выражения. Это «и» из (третий столбец) и (четвертый столбец). «И» верно только в том случае, если обе части «и» верны; в противном случае оно ложно. Поэтому я смотрю на третья и четвертая колонки; если оба верны («T»), я ставлю T в пятой колонке, иначе ставлю F.


            тавтология есть формула, которая «всегда истинно» — то есть истинно для всякого присвоения истины значения его простых компонентов. Вы можете рассматривать тавтологию как правило логики .

            Противоположностью тавтологии является число . противоречие , формула, которая «всегда ложна». В Другими словами, противоречие ложно для любого присвоения истины значения его простых компонентов.


            Пример. Покажите, что это тавтология.

            Я строю таблицу истинности и показываю, что формула всегда верна.

            Последний столбец содержит только Т. Следовательно, формула представляет собой тавтология.


            Пример. Построить таблицу истинности для .


            Вы можете видеть, что построение таблиц истинности для утверждений с большим количеством связок или большого количества простых утверждений довольно утомительно и подвержен ошибкам. Хотя могут быть некоторые приложения этого (например, для цифровые схемы), в какой-то момент лучше всего было бы написать программа для построения таблиц истинности (и это наверняка было сделано).

            Суть здесь в том, чтобы понять, как значение истинности сложного утверждение зависит от истинностных значений его простых утверждений и его логические связи. В большинстве работ математики обычно не операторы использования, которые очень сложны с логической точки зрения. Посмотреть.

            Пример. (a) Предположим, что P ложно и истинно. Скажите, является ли Q истинным, ложным или его истинной стоимость не может быть определена.

            б) Предположим, что это неверно. Рассказывать является ли Q истинным, ложным или его истинностное значение не может быть определено.

            а) Поскольку истинно, то либо Р истинно, либо истинно. Поскольку P ложно, оно должно быть истинным. Следовательно, Q должно быть ложным.

            (b) Утверждение «если-то» ложно, когда часть «если» истина, а часть «тогда» ложна. Поскольку ложно, верно. Утверждение «и» истинно только когда обе части верны. В частности, должно быть истинным, поэтому Q ложно.


            Пример. Предположим

            » » правда.

            » » неверно.

            «У Кельвина Баттербола фиолетовые носки» — это правда.

            Определить истинность утверждения

            Для простоты пусть

            П = «».

            Q = «».

            R = «У Кэлвина Баттербола фиолетовые носки».

            Я хочу определить истинное значение . Поскольку мне были даны конкретные значения истинности для P, Q, и R, я составил таблицу истинности с одной строкой, используя данные значения для P, Q и R:

            Следовательно, утверждение верно .


            Пример. Определить истинное значение утверждение

            Утверждение » » неверно. Вы не можете сказать действительно ли утверждение «Икабод Ксеркс ест шоколад кексы» истинны или ложны — но это не имеет значения. Если «если» часть утверждения «если-то» ложна, то утверждение «если-то» истинно. (Проверьте правду таблица для тех, кто не уверен в этом!) Так что данное утверждение должно быть истинным.


            Два утверждения X и Y логически равны . эквивалент , если это тавтология. Другой способ сказать это: Для каждого присвоения значений истинности простым операторы , составляющие X и Y, операторы X и Y имеют одинаковые значения истинности.

            С практической точки зрения вы можете заменить оператор в доказательство любым логически эквивалентным утверждением.

            Чтобы проверить, являются ли X и Y логически эквивалентными, вы можете настроить таблица истинности, чтобы проверить, является ли тавтологией — что есть ли «все Т в столбце». Однако проще настроить таблицу, содержащую X и Y, а затем проверьте, совпадают ли столбцы для X и для Y.


            Пример. Покажите, что и логически эквивалентны.

            Поскольку столбцы для и идентичны, два оператора логически эквивалент. Эта тавтология называется Условное Разъединение . Вы можете использовать эту эквивалентность для замены условно дизъюнкцией.


            Существует бесконечное количество тавтологий и логических эквивалентностей; Я перечислил несколько ниже; более обширный список приведен в конце эта секция.

            Когда тавтология имеет форму бикондиционала, два утверждения которые составляют бикондиционал, логически эквивалентны. Следовательно, вы можно заменить одну сторону другой без изменения логического значение.


            Вам часто придется отрицать математическое утверждение. К посмотрим, как это сделать, мы начнем с того, что покажем, как отрицать символические заявления.

            Пример. Запишите отрицание следующие операторы, упрощая так, чтобы только простые операторы отрицается.

            (а)

            (б)

            (a) Я отрицаю данное утверждение, затем упрощаю, используя логические эквивалентности. Я дал имена логических эквивалентностей на правильно, чтобы вы могли видеть, какие из них я использовал.

            (б)

            Я показал это и есть логически эквивалентны в предыдущем примере.


            В следующих примерах мы будем отрицать утверждения, написанные словами. Это более типично для того, что вам нужно делать в математике. идея состоит в том, чтобы преобразовать слово-выражение в символическое высказывание, затем используйте логические эквивалентности, как в предыдущем примере.

            Пример. Используйте закон Де Моргана, чтобы написать отрицание следующего утверждения, упрощая так, что отрицаются только простые операторы:

            «Кэлвина нет дома или Бонзо в кино».

            Пусть С будет утверждением «Кальвин дома», а В будет заявление «Бонзо в движении». Данное утверждение является . Я должен отрицать утверждение, затем упростите:

            Результат: «Кальвин дома, а Бонзо нет на кино».


            Пример. Используйте закон Де Моргана, чтобы написать отрицание следующего утверждения, упрощая так, что отрицаются только простые операторы:

            «Если Фиби покупает пиццу, то Кэлвин покупает попкорн».

            Пусть P будет утверждением «Фиби покупает пиццу», а C будет заявление «Кэлвин покупает попкорн». Данное утверждение является . Чтобы упростить отрицание, я буду использовать тавтологию Условная дизъюнкция , которая гласит:

            То есть я могу заменить на (или наоборот).

            Вот вам и отрицание и упрощение:

            Результат: «Фиби покупает пиццу, а Кэлвин не покупает». попкорн».


            Далее мы применим нашу работу с таблицами истинности и отрицающими утверждениями к задачи на построение обратной, обратной и противопоставляется утверждению «если-то».

            Пример. Замените следующий оператор на его противоположность:

            «Если x и y рациональны, то рационально».

            По контрапозитивной эквивалентности это утверждение совпадает с «Если не рационально, то это не так что и х, и у рациональны».

            Этот ответ правильный в его нынешнем виде, но мы можем выразить его в немного лучший способ, который удаляет некоторые явные отрицания. Большинству людей позитивное утверждение легче понять, чем отрицательное утверждение.

            По определению, действительное число равно 9.0037 иррациональный если это не рационально. Поэтому я мог бы заменить часть «если» противопоставляется слову «иррационально».

            Часть противопоставления «тогда» есть отрицание утверждение «и». Вы могли бы переформулировать это так: «Это не случае, когда и x рационально, и y рационально». (Слово «оба» гарантируют, что отрицание применяется ко всему утверждение «и», а не только «х рационально». )

            По закону Де Моргана это эквивалентно следующему: «x не является рациональным или y нерационально». В качестве альтернативы я мог бы сказать: «x есть иррационально или у иррационально».

            Собрав все вместе, я мог бы выразить противоположное как: «Если иррационально, то либо х иррационально или у иррационально».

            (Как обычно, я добавил слово «либо», чтобы было понятно, что часть «тогда» — это целое выражение «или».)


            Пример. Покажите, что обратное и обратные условные логически эквивалентны.

            Пусть условно. Обратное есть. Обратное.

            Я мог бы показать, что обратное и обратное эквивалентны построение таблицы истинности для . Вместо этого я буду использовать некоторые известные тавтологии.

            Начните с:

            Помните, что я могу заменить утверждение логическим эквивалент. Например, на последнем шаге я заменил на Q, потому что два утверждения эквивалентны Двойное отрицание.


            Пример. Предположим, что x — действительное число. Рассмотреть возможность заявление

            «Если , то ».

            Постройте обратное, обратное и контрапозитивное. Определите истинность или ложность четырех утверждений — исходное утверждение, обратное, обратное и контрапозитивное — используя свои знания по алгебре.

            Обратное: «Если , то».

            Обратное: «Если , то».

            Противоположное: «Если , то».

            Исходное утверждение неверно: , но . Поскольку исходное утверждение эквивалентно контрапозитив, то контрапозитив также должен быть ложным.

            Обратное верно. Обратное логически эквивалентно обратное, значит верно и обратное.


            \новая страница

            \centerline{\bigssbold Список тавтологий}


            Контактная информация

            Домашняя страница Брюса Икенаги

            Copyright 2019 Брюс Икенага

            1.1 Логические операции

            Математика обычно включает в себя объединение истинных (или гипотетически истинных) утверждения различными способами для получения (или доказательства) новых истинных утверждений. Начнем с разъяснения некоторых из этих фундаментальных идей.

            Под предложением мы подразумеваем утверждение, имеющее определенное истинностное значение , истина (T) или ложь (F) — например,

            «В 1492 году Колумб плыл по синему океану». (T)

            «Наполеон выиграл битву при Ватерлоо». (Ф)

            В более общем смысле под формулой мы подразумеваем утверждение, возможно, с некоторыми переменными, которое либо истинно, либо false всякий раз, когда мы присваиваем определенные значения каждой из переменных. Мы будем использовать заглавные буквы для обозначения формул. Если правда а формула зависит от значений, скажем, $x$, $y$ и $z$, мы будем использовать обозначение типа $P(x,y,z)$ для обозначения формулы. 92+y = 12$», то $P(2,8)$ и $P(3,3)$ верно, а $P(1,4)$ и $P(0,6)$ ложны. Если $Q(x,y,z)$ равно «$x+y

            Является ли предложение истинным или ложным, обычно зависит от того, что мы говорят о том, что одно и то же предложение может быть истинным или ложным в зависимости от по контексту; например, формула $x|y$ означает, что `$x$ делит $у$’. То есть $x|y$, если существует некоторый $z$ такой, что $y=x\cdot z$. В настоящее время, правда ли, что $3|2$? Это зависит: если мы говорим о целых числах, ответ — нет; если мы говорим о рациональных числах, то ответ да, потому что $2=3\cdot(2/3)$. (Конечно, если $x\not=0$ и $y$ любые рациональных чисел, затем $x|y$, так что это не очень полезное понятие. При обычном использовании внешний вид формулы «$x|y$» подразумевает , что $x$ и $y$ являются целыми числами.)

            Вселенная дискурса для конкретной области математики представляет собой набор, который содержит все, что представляет интерес для этой темы. Когда мы изучение математических формул типа «$x$ делит $y$» на переменные предполагается, что они принимают значения в любом дискурсивном универсуме подходит для конкретного предмета. Вселенная дискурса обычно ясно из обсуждения, но иногда нам нужно будет идентифицируйте его явно для ясности. Вселенная дискурса обычно обозначается $U$.

            Сложные предложения и формулы составляются из более простых, используя небольшое количество логических операций . Просто горстка этих операций позволит нам сказать все, что мы должны сказать в математика.

            Если $P$ — это формула, то «не $P$» — это другая формула. формула, которую мы символически запишем как $\lnot P$. Конечно, $\lне P$ ложно, если $P$ истинно, и наоборот, например,

            «6 не является простым числом» или «Неверно, что 6 премьер» или «$\lnot(\hbox{6 простое число})$» (T)

            «Рональд Рейган не был президентом». (Ф)

            Предположим, что $P$ и $Q$ — формулы. затем «$P$ и $Q$» — это формула, записанная символически как $P\land Q$, называемое соединением из $P$ и $Q$. Чтобы $P\land Q$ были истинными как $P$, так и $Q$ должно быть истинным, иначе оно ложно, например,

            «5 долларов = 6 долларов и 7 долларов = 8 долларов». (F)

            «Сиэтл находится в Вашингтоне, а Бойсе — в Айдахо». (T)

            «Толстой был русским, а Диккенс был Французский.» (Ф)

            Если $P$ и $Q$ являются формулами, то формула «$P$ или $Q$» записывается символически как $P\lor Q$, называемая дизъюнкция $P$ и $Q$. это важно отметить, что это включительно или, то есть, «либо или оба». Таким образом, если $P$, $Q$ или оба $P$ и $Q$ истинны, то же самое и с $P\lor Q$. Единственный случай, когда $P\lor Q$ может быть ложным, состоит в том, что оба $P$ и $Q$ ложны, например,

            «Вашингтон в Канаде или Лондон в Англии». (T)

            «$5

            «Ленин был испанцем или Ганди был итальянцем». (Ф)

            Если $P$ и $Q$ — формулы, то «если $P$, то $Q$» или «$P$ означает, что $Q$» написано $P\подразумевает Q$, используя условный символ , $\подразумевает$. Не очевидно (по крайней мере, для большинства людей), под чем обстоятельства $P\имеет Q$ должно быть правдой. Отчасти это потому, что «if… then» используется в обычном английском языке более чем одним способом, однако нам нужно исправить правило, которое позволит нам точно знать, когда $P\ подразумевает Q$ верно. Конечно, если $P$ истинно, а $Q$ ложно, $P$ не может подразумевают $Q$, поэтому $P\implis Q$ в этом случае ложно. Чтобы помочь нам с в других случаях рассмотрим следующее утверждение:

            «Если $x$ меньше 2, то $x$ меньше 4».

            Это утверждение должно быть верным независимо от значения $x$. (при условии, что вселенная дискурса является чем-то знакомым, например целые числа). Если $x$ равно 1, оно оценивается как $\rm T\имплицитно T$, если $x$ равно 3, оно становится $\rm F\implis T$, а если $x$ равно 5, становится $\rm F\ подразумевает F$. Таким образом, оказывается, что $P\implis Q$ истинно, если только $P$ истинно, а $Q$ ложно. Это правило, которое мы принимаем.

            Наконец, бикондиционал , написанный $\Leftrightarrow$, соответствует фраза «если и только если» или «если» коротко. Таким образом, $P \Leftrightarrow Q$ истинно, когда и $P$, и $Q$ имеют одинаковое истинностное значение, иначе оно ложно.

            Пример 1.1.2 Предположим, что $P(x,y)$ равно «$x+y=2$» и $Q(x,y)$ равно «$xy>1$». Тогда, когда $x=1$ и $y=1$, $\lnot P(x,y)$, $P(x,y)\land Q(x,y)$, $P(x,y)\lor Q(x,y)$, $P(x,y)\имеет Q(x,y)$ и $P(x,y)\Leftrightarrow Q(x,y)$ имеют значения истинности F, F, T, F, F соответственно, а когда $x=2$ и $y=3$ имеют истинностные значения Т, Ф, Т, Т, Ф соответственно. $\квадрат$

            Используя операции $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\implies$, $\Leftrightarrow$, мы можем построить составных выражений, таких как $$ (P\land (\lnot Q))\ подразумевает ((\lnot R)\lor ((\lnot P)\land Q)). $$ Как показывает этот пример, иногда необходимо включать много круглых скобок, чтобы группировать термины в формуле ясно. Как и в алгебре, где умножение имеет приоритет перед сложением, мы можем убрать некоторые скобки согласование определенного порядка, в котором логически операции выполняются. Мы будет применять операции в этом порядке, начиная с от первого к последнему: $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\implies$ и $\Leftrightarrow$. Так $$A\подразумевает B\или C\land\lnot D $$ сокращение от $$A\подразумевает (B\или (C\land (\lnot D))). $$ Как и в алгебре, часто разумно включать несколько дополнительных скобок, чтобы убедиться, что предполагаемый смысл понятен. Большая часть информации, которую мы обсудили, может быть резюмирована в таблицы истинности . Например, таблица истинности для $\lnot P$:

            $P$ $\lnot P$
            Т Ж
            Ф Т

            В этой таблице две строки, потому что есть только две возможности для истинное значение $P$. Другие логические операции используют две переменные, поэтому им требуется 4 строки в их таблицах истинности.

            $P$ $Q$ $P\land Q$ $P \lor Q$ $P\Rightarrow Q$ $P\Leftrightarrow Q$
            Т Т Т Т Т Т
            Ж Т Ж Т Т Ж
            Т Ж Ж Т Ж Ж
            Ф Ф Ф Ф 9п$ строки в таблице, потому что есть много разных способов назначить T и F для $n$ простых формул в составном выражении. Таблица истинности для $(P\land Q)\lor \lnot R$ такова:

            $P$ $Q$ $R$ $P \land Q$ $\lnot R$ $(P \land Q)\lor\lnot R$
            Т Т Т Т Ф Т
            Ж Т Т Ж Ж Ж
            Т Ж Т Ж Ж Ж
            Ж Ж Т Ж Ж Ж
            Т Т Ж Т Т Т
            Ж Т Ж Ж Т Т
            Т Ф Ф Ф Т Т
            Ж Ж Ж Ж Т Т

            Обратите внимание, как включение промежуточных шагов облегчает работу с таблицей. посчитай и прочитай.

            Тавтология — это логическое выражение, которое всегда оценивается как T, то есть последний столбец его таблицы истинности состоит только из Т. Иногда говорят, что тавтология равна 9.1693 действительный ; хотя «действительный» используется в других контекстах как ну, это не должно вызывать путаницы. Например, $(P\land Q)\lor P\Leftrightarrow P$ является тавтологией, поскольку ее таблица истинности такова:

            $P$ $Q$ $P\land Q$ $(P\land Q)\lor P$ $(P\land Q)\lor P\Leftrightarrow P$
            Т Т Т Т Т
            Ж Т Ф Ф Т
            Т Ж Ж Т Т
            Ж Ж Ж Ж Т

            Мы перечисляем несколько важных тавтологий в следующей теореме.

            Теорема 1.1.3. Справедливы следующие утверждения.

              а) $P\стрелка влево \lnot\lnot P$

              б) $P\lor Q\Leftrightarrow Q\lor P$

              c) $P\land Q\Стрелка влево Q\land P$

              d) $(P\land Q)\land R\Стрелка влево P\land(Q\land R)$

              e) $(P\lor Q)\lor R\Стрелка влево P\lor(Q\lor R)$

              f) $P\land (Q\lor R)\Leftrightarrow (P\land Q)\lor (P\land R)$

              g) $P\lor (Q\land R)\Стрелка влево (P\lor Q)\land (P\lor R)$

              h) $(P\подразумевает Q)\Стрелка влево (\lnot P\lor Q)$

              i) $P\имеет (P\или Q)$

              j) $P\land Q\имплицит Q$

              k) $(P\стрелка влево Q)\стрелка влево ((P\подразумевает Q)\land (Q\подразумевает P))$

              l) $(P\подразумевается Q)\стрелка влево (\lnot Q\подразумевается \lnot P)$

            Доказательство. Доказательства оставлены в качестве упражнений. $\qed$

            Заметим, что (b) и (c) — коммутативные законы, (d) и (e) — ассоциативные законы и (е) и (ж) говорят, что $\land$ и $\lor$ распределяются друг над другом. Это говорит о том, что существует форма алгебры для логических выражений, аналогичная алгебре для числовых выражений. Этот предмет называется Булева алгебра и имеет множество применений. особенно в информатике.

            Если две формулы всегда принимают одно и то же истинностное значение независимо от того, элементы из вселенной дискурса, которые мы заменяем различными переменных, то мы говорим, что они эквивалентны . Стоимость эквивалента формулы в том, что они говорят одно и то же. Это всегда правильный шаг в доказательстве заменить некоторую формулу эквивалентной. Кроме того, многие тавтологии содержат важные идеи для построения доказательств. За например, (k) говорит, что если вы хотите показать, что $P\Leftrightarrow Q$, это можно (и часто целесообразно) разбить доказательство на два части, одна из которых доказывает импликацию $P\implis Q$, а вторая доказывая обратное , $Q\имеет P$.

            При чтении теоремы 1.1.3 у вас может возникнуть заметил, что $\land$ и $\lor$ обладают многими схожими свойствами. Они называются «двойственными» понятиями — для любого свойства один, есть почти идентичное свойство, которому удовлетворяет другой, экземпляры двух операций поменялись местами. Это часто означает, что когда мы доказываем результат, включающий одно понятие, мы получаем соответствующий результат для своего двойственного без дополнительной работы.

            Джордж Буль. Буль (1815–1864) имел только обычное школьное образование, хотя и выучил Греческий и латынь самостоятельно. Он начал свою карьеру в качестве элементарного школьным учителем, но решил, что ему нужно больше узнать о математики, поэтому он начал изучать математику, а также языки, необходимые ему для чтения современной литературы на математика. В 1847 году он опубликовал короткую книгу «Математический анализ». Анализ логики , который, можно справедливо сказать, лег в основу исследования. математической логики. Ключевой вклад работы заключался в переопределить «математику» так, чтобы она означала не просто «изучение чисел и величина», но изучение символов и манипулирование ими в соответствии с к определенным правилам. Важность этого уровня абстракции для будущее математики трудно переоценить. Вероятно, на Благодаря этой работе он перешел на должность в Куинс-колледж в Корке.

            В «Исследовании законов мысли» , опубликованном в 1854 г., Буль установил настоящую формальную логику, развивая то, что сегодня называется Булева алгебра или иногда алгебра множеств . Он использовал символы для сложение и умножение как операторы, но в совершенно абстрактном смысл. Сегодня эти символы все еще иногда используются в булевых выражениях. алгебре, хотя символы `$\land$’ и `$\lor$’, и `$\cap$’ и `$\cup$’ также используются. Буль применил алгебраическую манипуляцию к процесс рассуждения. Вот простой пример типа манипуляцию, которую он проделал: уравнение $xy=x$ (которое сегодня можно было бы записать $x\land y = x$ или $x\cap y = x$) означает, что «все вещи, удовлетворяющие $x$ удовлетворяет $y$’, или, говоря нашим языком, $x\имеет y$. Если также $yz=y$ (что есть $y\implis z$), то подстановка $y=yz$ в $xy=x$ дает $x(yz)=x$ или $(xy)z=x$. Заменив $xy$ на $x$, получим $xz=x$, или $x\подразумевает z$. Этот простой пример логического рассуждения используется более и далее по математике. 92+bD+c=0$, обработка $D$ как номер , предоставляет информацию о решениях для дифференциальное уравнение.

            Информация здесь взята из A History of Mathematics, by Карл Б. Бойер, Нью-Йорк: John Wiley and Sons, 1968. Подробнее информацию см. Лекции о десяти британских математиках , автор Александр Макфарлейн, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1916.

            Пример 1.1.1 Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:

              а) $(P\land Q)\или \lnot P$

              б) $P\имеет (Q\land P)$

              c) $(P\land Q)\Стрелка влево (P\lor \lnot R)$

              d) $\lnot P\подразумевает \lnot(Q\lor R)$

            Пример 1.1.2 Проверьте тавтологии в теореме 1.1.3.

            Пример 1.1.3 Предположим, что $P(x,y)$ — это формула «$x+y=4$», а $Q(x,y)$ — это формула «$x

            $P(x,y)\land Q(x,y)$,    $\lnot P(x,y)\lor Q(x,y)$,

            $P(x,y)\подразумевает \lnot Q(x,y)$,    $\lnot(P(x,y)\Leftrightarrow Q(x,y))$,

            , используя значения:

              а) $x=1, y=3$ c) $x=1, y=2$
              б) $x=3, y=1$ d) 95 $x=2, y=1$

            Пример 1. 1.4

              а) Найти таблицы истинности для $$ P\land (\lnot Q)\land R, \quad\quad (\lnot P)\land Q\land (\lnot R) $$

              b) Используйте их, чтобы найти таблицу истинности для $$ (P\land (\lnot Q)\land R)\lor ((\lnot P)\land Q\land (\lnot R)) $$

              c) Используйте метод, предложенный частями (a) и (b) найти формулу со следующей таблицей истинности.

              9n$ T и F — это последний столбец таблицы истинности для некоторой формулы из $n$ букв.

              Пример 1.1.5 Если $P_1, P_2,\ldots, P_n$ — это список из $n$ формул, максимальное количество составных формул, использующих этот список, может быть построено, никакие два из которых не эквивалентны?

              Эквивалентность и значение ADS

              Рассмотрим два предложения, порожденные \(p\) и \(q\text{:}\) \(\neg (p \land q)\) и \(\neg p \lor \neg q\text{. } \) На первый взгляд, это разные предложения. По форме они разные, но смысл у них один. Один из способов увидеть это — заменить \(p\) и \(q\text{;}\) фактическими предложениями, такими как \(p\text{:}\) Я был в Торонто; и \(q\text{:}\) я был в Чикаго.

              Затем \(\neg (p \land q)\) переводится как «Я не был ни в Торонто, ни в Чикаго», а \(\neg p \lor \neg q\) — как «Я не был в Торонто или я не был в Чикаго». Определите истинностные значения этих предложений. Естественно, для одних они будут истинными, а для других ложными. Важно то, что независимо от того, какие значения истинности они имеют, \(\neg (p \land q)\) и \(\neg p \lor \neg q\) будут иметь одно и то же значение истинности. Самый простой способ убедиться в этом — изучить таблицы истинности этих утверждений.

              Таблица 3.3.1. Таблицы истинности для \(\neg (p \land q)\) и \(\neg p \lor \neg q\)

              $P$ $Q$ $R$ ???
              Т Т Т Т
              Ж Т Т Ж
              Т Ж Т Ж
              Ж Ж Т
              \(p\) \(к\) \(\neg (p\land q)\) \(\отр р\лор \отр д \)
              0 0 1 1
              0 1 1 1
              1 0 1 1
              1 1 0 0

              Во всех четырех случаях \(\neg (p \land q)\) и \(\neg p \lor \neg q\) имеют одинаковое значение истинности. Кроме того, когда к ним применяется оператор биусловия, результатом во всех случаях является значение true. Такое предложение называется тавтологией.

              Подраздел 3.3.1 Тавтологии и противоречия

              Определение 3.3.2. Тавтология.

              Выражение с логическими переменными, верное во всех случаях, является тавтологией. Число 1 используется для обозначения тавтологии.

              Пример 3.3.3. Некоторые тавтологии.

              Все нижеследующее является тавтологией, потому что их таблицы истинности состоят из столбца единиц.

              1. \((\neg (p \land q))\leftrightarrow ( \neg p \lor \neg q)\text{.}\)

              2. \(\displaystyle p \lor \neg p\)

              3. \(\displaystyle (p \land q)\to p\)

              4. \(\displaystyle q\to (p\lor q)\)

              5. \(\displaystyle (p \lor q)\leftrightarrow (q \lor p)\)

              Определение 3.3.4. Противоречие.

              Выражение с логическими переменными, ложное во всех случаях, называется противоречием. Число 0 используется для обозначения противоречия.

              Пример 3.3.5. Некоторые противоречия.

              \(p \land \neg p\) и \((p\lor q)\land (\neg p) \land (\neg q)\) являются противоречиями.

              Подраздел 3.3.2 Эквивалентность

              Определение 3.3.6. Эквивалентность.

              Пусть \(S\) будет набором предложений, и пусть \(r\) и \(s\) будут предложениями, порожденными \(S\text{.}\) \(r\) и \(s\) эквивалентны тогда и только тогда, когда \(r\leftrightarrow s\) является тавтологией. Эквивалентность \(r\) и \(s\) обозначается \(r \iff s\text{.}\)

              Эквивалентность для логики, как равенство для алгебры. Точно так же, как существует множество способов записи алгебраического выражения, одно и то же логическое значение может быть выражено многими различными способами.

              Пример 3.3.7. Некоторые эквиваленты.

              Ниже приведены все эквиваленты:

              1. \((p \land q)\lor (\neg p \land q)\iff q\text{.}\)

              2. \(\displaystyle p \to q \iff\neg q \rightarrow \neg p\)

              3. \(p \lor q \iff q \lor p\text{. }\)

              Все тавтологии эквивалентны друг другу.

              Пример 3.3.8. Эквивалентность \(1\).

              \(p\lor \neg p\iff 1\text{.}\)

              Все противоречия эквивалентны друг другу.

              Пример 3.3.9. Эквивалентность \(0\).

              \(p\land \neg p\iff 0\text{.}\)

              Подраздел 3.3.3 Значение

              Рассмотрим два предложения:

              Таблица 3.3.10.

              \(x\text{:}\) Деньги за дверью А; и
              \(y\text{:}\) Деньги находятся за дверью A или дверью B.

              Представьте, что вам сказали, что за одной из двух дверей, отмеченных A и B, находится крупная сумма денег, и что одно из двух утверждений \(x\) и \(y\) истинно, а другое ложно. Какую дверь вы бы выбрали? Все, что вам нужно понять, это то, что если \(x\) истинно, то \(y\) также будет истинно. Поскольку мы знаем, что это не может быть так, \(y\) должно быть истинным предложением, а деньги находятся за дверью B.

              Это пример ситуации, в которой истинность одного предложения приводит к истинности другого. Конечно, \(y\) может быть истинным, когда \(x\) ложным; но \(х\) не может быть истинным, когда \(у\) ложным. В этом случае мы говорим, что \(x\) подразумевает \(y\text{.}\)

              Рассмотрим таблицу истинности \(p \to q\text{,}\) Таблица 3.1.7. Если из \(p\) следует \(q\text{,}\), то третий случай можно исключить, поскольку именно он делает условное суждение ложным.

              Определение 3.3.11. Значение.

              Пусть \(S\) будет набором предложений, и пусть \(r\) и \(s\) будут предложениями, порожденными \(S\text{.}\). Мы говорим, что \(r\) влечет \( s\), если \(r \to s\) — тавтология. Мы пишем \(r \Rightarrow s\), чтобы указать на это следствие.

              Пример 3.3.12. Разделительное дополнение.

              Часто используемая импликация, называемая «дизъюнктивным сложением», имеет вид \(p \Rightarrow (p \lor q)\text{,}\), что подтверждается таблицей истинности Таблица 3.3.13.

              Таблица 3.3.13. Таблица истинности, чтобы убедиться, что \(p \Rightarrow (p \lor q)\)

              \(р\) \(к\) \(р\лор д\) \(п\к п\лор д\)
              0 0 0 1
              0 1 1 1
              1 0 1 1
              1 1 1 1

              Если мы позволим \(p\) представлять «Деньги за дверью A», а \(q\) представлять «Деньги за дверью B», \(p \Rightarrow (p \lor q)\) является формализованной версией рассуждений, использованных в примере 3. 3.12. Обычное название этой импликации — дизъюнктивное сложение. В следующем разделе мы рассмотрим некоторые из наиболее часто используемых импликаций и эквивалентностей.

              Когда мы определяли, что мы подразумеваем под предложением, порожденным набором, мы не включали условные и биусловные операторы. Это произошло из-за двух эквивалентностей \(p \to q \Leftrightarrow \neg p \lor q\) и \(p \leftrightarrow q \Leftrightarrow (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q) \text{.}\) Таким образом, любое предложение, включающее условные или биусловные операторы, может быть записано эквивалентным образом с использованием только конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Мы могли бы даже обойтись без дизъюнкции, поскольку \(p \lor q\) эквивалентно предложению, в котором используются только конъюнкция и отрицание.

              Подраздел 3.3.4 Универсальная операция

              Мы завершаем этот раздел последней логической операцией, обводкой Шеффера, которая обладает тем интересным свойством, что из нее могут быть созданы все остальные логические операции. Вы можете изучить эту операцию в упражнении 3.3.5.8

              .
              Определение 3.3.14. Инсульт Шеффера.

              Удар Шеффера — это логический оператор, определяемый следующей таблицей истинности:

              Таблица 3.3.15. Таблица истинности для инсульта Шеффера

              \(р\) \(к\) \(п \середина кв\)
              0 0 1
              0 1 1
              1 0 1
              1 1 0

              Упражнения 3.3.5 Упражнения

              1.

              Даны следующие предложения, порожденные \(p\text{,}\) \(q\text{,}\) и \(r\text{,}\), которые эквивалентны друг другу?

              1. \(\displaystyle (p \land r) \lor q\)

              2. \(\displaystyle p\lor (r\lor q)\)

              3. \(\displaystyle r \land p\)

              4. \(\displaystyle \neg r \lor p\)

              5. \(\displaystyle (p\lor q)\land (r\lor q)\)

              6. \(\displaystyle г\п\)

              7. \(\displaystyle r \lor \neg p\)

              8. \(\displaystyle p\to r\)

              Ответ.

              \(a\Стрелка влево e, d\Стрелка влево f, g\Стрелка влево h\)

              2.
              1. Построить таблицу истинности для \(x= (p \land \neg q) \lor (r \land p)\text{.}\)

              2. Приведите пример, отличный от самого \(x\), предложения, порожденного \(p\text{,}\) \(q\text{,}\) и \(r\), которое эквивалентно \( х\текст{.}\)

              3. Приведите пример предложения, отличного от \(x\), из которого следует \(x\text{.}\)

              4. Приведите пример предложения, отличного от \(x\), которое следует из \(x\text{.}\)

              3.

              Является ли импликация эквивалентной своей обратной? Проверьте свой ответ с помощью таблицы истинности.

              Раствор.

              Нет. В символической форме вопрос звучит так: Is \((p\to q)\Leftrightarrow (q\to p)\text{?}\) \(\begin{array}{ccccc} p & q & p\to q & q\to p & (p\to q)\leftrightarrow (q\to p) \\ \hline 0 и 0 и 1 и 1 и 1\\ 0 и 1 и 1 и 0 и 0\\ 1 и 0 и 0 и 1 и 0 \\ 1 и 1 и 1 и 1 и 1 \\ \конец{массив}\)

              Эта таблица показывает, что импликация не всегда эквивалентна своей обратной. 4\) возможных предложений.

              6.

              Найдите предложение, эквивалентное \(p \lor q\) и использующее только союз и отрицание.

              7.

              Объясните, почему противоречие влечет за собой любое суждение, а любое суждение влечет за собой тавтологию.

              Ответ.

              \(0\to p\) и \(p\to 1\) являются тавтологиями.

              8.

              Значение хода Шеффера состоит в том, что это «универсальная» операция, из которой можно построить все остальные логические операции.

              1. Докажите, что \(p | q\) эквивалентно \(\neg (p \land q)\text{.}\)

              2. Докажите, что \(\neg p \Leftrightarrow p | p\text{.}\)

              3. Построить \(\land\), используя только обводку Шеффера.

              4. Построить \(\lor\), используя только обводку Шеффера.

              9.

              Эквивалентны ли обратное и обратное условного суждения? Проверьте свой ответ с помощью таблицы истинности.

              Раствор.

              Да. В символической форме вопрос заключается в том, является ли условное суждение \(p \to q\text{,}\) \((q\to p)\Leftrightarrow (\neg p\to \neg q)\text {?}\)

              \(\begin{массив}{ccccc} p & q & q\to p & \neg p\to \neg q & (q \to p)\leftrightarrow (\neg p\to \neg q) \\ \hline 0 и 0 и 1 и 1 и 1\\ 0 и 1 и 0 и 0 и 1\\ 1 и 0 и 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 1 и 1 и 1 \\ \end{array}\)

              Эта таблица показывает, что обратное всегда эквивалентно обратному.

              Раздел 1.1

              Раздел 1.1
              Логические формы и эквиваленты

              Логическая форма и логическая Эквивалентность | Определения | Сложный Заявления | Таблицы истинности

              Логическая эквивалентность | Законы Де Моргана | Таблица логических эквивалентов

              Логический Форма и логическая эквивалентность

              Содержание инструкции не совпадает с логической формой. Например, рассмотрим 2 следующих утверждения:

                Если Салли проснется поздно или опоздает на автобус, она опоздает на работу. Поэтому, если Салли приходит на работу вовремя, она не проснулся поздно и не опоздал на автобус.

                Если x действительное число такое, что x < -2 или x > 2, то x 2 > 4. Следовательно, если x 2 < 4, то х > -2 и х < 2.

              Логический анализ не помогает определить ценность аргумента. Вместо это помогает проанализировать форму аргумента, чтобы определить, верна ли вывод следует из истинности предыдущих утверждений. В то время как содержание двух приведенных выше утверждений различно, их логическая форма похожий.

              Пусть p обозначает утверждения «Салли просыпается поздно». и «x — действительное число, такое что x < -2».
              Пусть q будет обозначать утверждения «Салли опаздывает на автобус». и «x — действительное число, такое что x > -2».
              Пусть r обозначают утверждения «Салли опаздывает на работу». и «х 2 > 4».


              Тогда общая форма для обоих приведенных выше аргументов:

              Практические упражнения


              ОПРЕДЕЛЕНИЕ
                Аргумент: последовательность утверждений, направленных на демонстрацию истины высказывания или утверждения.
                Выписка: предложение, которое либо истинно, либо ложно, но не оба. Его еще называют предложением.
                Отрицание: если p — это операторная переменная, отрицание p — это «не p «, обозначаемое ~ p . Если р верно, то ~ p ложно.
                Соединение:  , если p и q являются переменными оператора, соединение p и q равно « p и q «, обозначен pq . Конъюнкция истинна только тогда, когда истинны обе переменные. Если 1 или обе переменные ложные, pq является ложным.
                Отключение:, если p и q являются переменными оператора, дизъюнкция p и q есть « p или q «, обозначен pq . Дизъюнкция истинна, если истинны одна или обе переменные. pq ложно, только если обе переменные ложны.
                Тавтология: Форма заявления, которая всегда верна. Правда делает не полагаться на значения отдельных утверждений, заменяемых переменные оператора, а на логическую структуру самого оператора. (т. е. вы получите пятерку в этом классе или нет).
                Противоречие:   Форма заявления, которая всегда ложна. Как тавтология, ложность заключается не в отдельных переменных высказываниях, а в логическая структура самого высказывания. (т. е. я всегда лгу).


              Составные операторы

              использовать символы (логический И), (логическое ИЛИ), и ~ (НЕ) для построения сложных логических утверждений из более простых.

              Пусть p = «Жарко» и пусть q = «Солнечно»  Тогда утверждение «Не жарко, но солнечно». можно написать символически как:

                   ~ р д      
              Практические упражнения


              Однако утверждения должны иметь четко определенные значения истинности — они должны быть либо истинными, либо ложными. Истинность утверждения может быть выражена на Таблица правды . А таблица истинности для данного утверждения отображает результирующие значения истинности для различных комбинации значений истинности для переменных. Истина о соединении утверждение может быть логически выведено с использованием известных значений истинности для различных части высказывания.
                 Таблица истинности для ~п   Таблица истинности для  pq   Таблица истинности для  pq  
              р р q шт. р q шт.
              Т Ф Т Т Т Т Т Т
              Ф Т Т Ф Ф Т Ф Т
                    Ф Т Ф Ф Т Т
                    Ф Ф Ф Факс Ф Ф
              Практические упражнения

              Логическая эквивалентность:

              Две инструкции логически эквивалентны тогда и только тогда, когда их результирующие формы логически эквивалентны, когда идентичны переменные операторов используются для представления операторов компонентов.

              Две формы операторов логически эквивалентны тогда и только тогда, когда их результирующие таблицы истинности идентичны для каждого варианта переменных утверждения.

                   р          q       pq      qp  
              Т Т Т Т
              Т Ф Ф Ф
              Ф Т Ф Ф
              Ф Ф Ф Ф

              шт. и qp имеют одинаковые значения истинности, поэтому они равны логически эквивалентен.

              Другие логически эквивалентные операторы включают:

              (стр. д) ~(р q) р xor д эксклюзивный или
              р ~(~п) Двойное отрицание

               

              Чтобы проверить логическую эквивалентность двух операторов, создайте таблицу истинности, которая включает каждую переменную для оценки, а затем проверить чтобы увидеть, эквивалентны ли результирующие значения истинности двух утверждений.




              Законы Де Моргана

              Отрицание союза (логическое И) двух операторов логически эквивалентна дизъюнкции (логическому ИЛИ) каждого оператора отрицание. Это звучит как полный рот, но это означает, что «не (A и B) « логически эквивалентно » не А или не В» .  

              Аналогично, отрицание дизъюнкции двух утверждений логически эквивалентна конъюнкции отрицания каждого утверждения. Помещать просто, «не (А или Б)» логически эквивалентно «не А и не Б» . Символически это можно записать как

              .
                  ~(pq) ~ р ~q      . . . а также . . .   ~(пк) ~ р ~q  

               

              Эти два оператора логически эквивалентны (нажмите здесь для определения), и это можно проверить с помощью таблицы истинности.




              Таблица логических Эквиваленты:

              Следующая таблица может помочь сократить составные операторы до более простые формы. Учитывая переменные оператора p, q, и r , тавтология t и противоречие c, следующие правил логики:

              Коммутативный р qq стр р д д стр
              Ассоциативный (стр. р) рп (q р) (стр. р) рп (q р)
              Распределительный р (q г) (р р) (р р) р (q г) (р р) (р г)
              Личность р тп р кп
              Отрицание р ~ пт ~шт.
              Двойное отрицание ~(~р)р      
              Идемпотент р стр стр стр
              Законы Де Моргана ~(pq)~p ~q ~(pq)~p ~q
              Универсальный переплет р тт р копия
              Поглощение р (р д)р р (р к)р
              Отрицания t и c ~тк ~ карат

               

              Логические эквивалентности можно использовать для упрощения форм выписок, для подтверждения или опровергнуть эквивалентность, чтобы создать эффективный и логически правильный компьютер программ или для помощи в разработке цифровых логических схем.

              Что дает минус на плюс в математике: Почему минус на минус всегда даёт плюс? – статья – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

              Как понять, почему «плюс» на «минус» дает «минус» ?

              Как понять, почему «плюс» на «минус» дает «минус» ?

              Слушая учителя математики, большинство учеников воспринимают материал как аксиому. При этом мало кто пытается копнуть глубже и понять, почему «минус» на «плюс» дает знак «минус», а при умножении двух отрицательных чисел получается положительное.

              Содержание

              • 1 Законы математики
              • 2 Аксиома кольца
              • 3 Выведение аксиом для отрицательных чисел
              • 4 Умножение и деление двух чисел со знаком «-»
              • 5 Общие математические правила

              Законы математики

              Большинство взрослых не могут объяснить себе или своим детям, почему это так. Они прочно усвоили этот материал в школе, но даже не пытались понять, откуда взялись эти правила. Но тщетно. Часто современные дети не так уверены в себе, они должны докопаться до сути вопроса и понять, например, почему «больше» за «меньше» дает «меньше». А иногда сорванцы специально задают сложные вопросы, чтобы насладиться моментом, когда взрослые не могут дать внятного ответа. А если молодой учитель попадет в беду, это настоящая катастрофа…

              Кстати, следует отметить, что приведенное выше правило действует как для умножения, так и для деления. Произведение отрицательного и положительного числа даст только «минус». Если мы говорим о двух цифрах со знаком «-», результатом будет положительное число. То же самое и с делением. Если одно из чисел отрицательное, частное также будет со знаком «-».

              Чтобы объяснить правильность этого закона математики, необходимо сформулировать аксиомы кольца. Но для начала нужно понять, что это такое. В математике кольцом принято называть множество, в котором задействованы две операции с двумя элементами. Но лучше всего подойти к этому на примере.

              Аксиома кольца

              Есть несколько математических законов.

              • Первый из них является смещаемым, по его словам, C + V = V + C.
              • Второй называется комбинацией (V + C) + D = V + (C + D).

              Они также подчиняются умножению (V x C) x D = V x (C x D).

              Никто не отменял правила, согласно которым открываются круглые скобки (V + C) x D = V x D + C x D, также верно, что C x (V + D) = C x V + C x D.

              Кроме того, было обнаружено, что в кольцо может быть введен специальный нейтральный элемент сложения, использование которого будет истинным: C + 0 = C. Кроме того, для каждого C существует противоположный элемент, который можно обозначить как (- C). В этом случае C + (-C) = 0.

              Выведение аксиом для отрицательных чисел

              Приняв вышеуказанные утверждения, можно ответить на вопрос: «Какой знак« плюс »у« минуса »?» Зная аксиому об умножении отрицательных чисел, необходимо подтвердить, что действительно (-C) x V = — (C x V). А также, что верно следующее равенство: (- (- C)) = C.

              Для этого вам сначала нужно будет доказать, что у каждого из элементов есть только один противоположный «брат». Рассмотрим следующий демонстрационный пример. Попробуем представить, что для C два числа противоположны — V и D. Отсюда следует, что C + V = 0 и C + D = 0, т.е. C + V = 0 = C + D. Помня о законах смещения и о свойствах числа 0 можно считать сумму всех трех чисел: C, V и D. Попробуем вычислить значение V. Логично, что V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, потому что значение C + D, как принято выше, равно 0. Следовательно, V = V + C + D.

              Аналогично отображается значение D: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Исходя из этого, становится ясно, что V = D.

              Однако, чтобы понять, почему «больше» за «меньше» дает «меньше», необходимо понимать следующее. Итак, для элемента (-C), C и (- (- C)) противоположны, то есть они равны друг другу.

              Тогда очевидно, что 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Отсюда следует, что C x V противоположен (-) C x V, поэтому (- С) х V = — (С х V).

              Для полной математической строгости также необходимо подтвердить, что 0 x V = 0 для любого элемента. Если следовать логике, то 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Это означает, что добавление продукта 0 x V никак не меняет установленное количество. Ведь этот товар нулевой.

              Зная все эти аксиомы, можно вывести не только, сколько «больше» дает «меньше», но также и то, что получается при умножении отрицательных чисел.

              Умножение и деление двух чисел со знаком «-»

              Если не вникать в математические нюансы, можно попробовать более простой способ объяснить правила действий с отрицательными числами.

              Предположим, что C — (-V) = D, согласно этому C = D + (-V), то есть C = D — V. Переносим V и получаем, что C + V = D. То есть C + V = C — (-V). Этот пример объясняет, почему в выражении, в котором подряд идут два «минуса», указанные знаки следует заменить на «плюс». Теперь займемся умножением.

              (-C) x (-V) = D, вы можете добавлять и вычитать два идентичных продукта к выражению, что не изменит его значение: (-C) x (-V) + (C x V) — (C x V) = D.

              Вспоминая правила работы со скобками, получаем:

              1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

              2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

              3) (-C) x 0 + C x V = D;

              4) C x V = D.

              Отсюда следует, что C x V = (-C) x (-V).

              Точно так же вы можете доказать, что разделение двух отрицательных чисел приведет к положительному.

              Общие математические правила

              Конечно, такое объяснение не сработает для учеников начальной школы, которые только начинают учить абстрактные отрицательные числа. Им лучше всего объяснять видимые объекты, манипулируя знакомым термином через зеркало. Например, там есть придуманные, но несуществующие игрушки. Они могут отображаться со знаком «-». Умножение двух зеркальных объектов переносит их в другой мир, который приравнивается к настоящему, то есть в результате мы получаем положительные числа. Но умножение абстрактного отрицательного числа на положительное дает только знакомый всем результат. Ведь умножение «больше» на «меньше» дает «меньше». Правда, в младшем школьном возрасте дети не особо стараются вникать во все математические нюансы.

              Хотя, если смотреть правде в глаза, для многих людей даже с высшим образованием многие правила остаются загадкой. Все принимают как должное то, чему их учат учителя, не колеблясь вникают во все трудности, с которыми сопряжена математика. «Меньше» за «меньше» дает «больше» — это знают все без исключения. Это верно как для целых, так и для дробных чисел.

              Поделиться:

              • Предыдущая записьКукушкин лен: строение и размножение
              • Следующая записьВал — это что такое? Значение, происхождение, синонимы

              ×

              Рекомендуем посмотреть

              Adblock
              detector

              Отрицательные числа

              Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

              Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

              Например, −10 градусов холода:

              Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

              При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

              Координатная прямая

              Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

              Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

              Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

              Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

              (−∞; +∞)

              Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

              Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

              Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.


              Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:

              Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.


              Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

              Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

              Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

               

              Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

              Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше». Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.


              Сравнение отрицательных и положительных чисел

              Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

              Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

              Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

              Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

              −5 < 3

              «Минус пять меньше, чем три»


              Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

              Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.

              Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

              Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

              −4 < −1

              Минус четыре меньше, чем минус единица


              Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

              Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

              Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше». И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

              0 > −3

              Ноль больше, чем минус три


              Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

              Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

              Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

              0 < 4

              Ноль меньше, чем четыре

              Задания для самостоятельного решения

              Задание 1. Сравните числа −2 и 1

              −2 < 1

              Показать решение

              Задание 2. Сравните числа −5 и −2

              −5 < −2

              Показать решение

              Задание 3. Сравните числа −5 и −16

              −5 > −16

              Показать решение

              Задание 4. Сравните числа 15 и 20

              15 < 20

              Показать решение

              Задание 5. Сравните числа −7 и 0

              −7 < 0

              Показать решение

              Задание 6. Сравните числа 5 и 0

              Показать решение

              Задание 7. Сравните числа 5 и 7

              Показать решение


              Понравился урок?
              Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

              Возникло желание поддержать проект?
              Используй кнопку ниже

              Опубликовано

              Умножение целых чисел. — tutomath.ru репетитор по математике

              Произведение вы уже проходили в теме умножения натуральных чисел. Отличия произведения натуральных от целых чисел в том, что появляются целые отрицательные числа. Сейчас этой теме мы рассмотрим тему умножение целых чисел подробнее.

              Основные понятия, обозначение и смысл произведения целых чисел.

              Вспомним, что такое умножение или произведение.
              Числа, которые мы умножаем называются множителями, а результат умножения называется произведением.

              Обозначается умножение символом таким:
              a∙b=c  или a*b=c или a×b=c

              Произведение в буквенном написании обозначается как a∙b или c.

              Так же вспомним смысл произведения.
              Произведение 2∙11=22 можно записать в виде суммы мы сложим 11 раз число 2, это будет выглядеть так:

              Правило произведения целых чисел.

              Определение:
              Произведением двух целых чисел не равных нулю называют произведение их модулей и результат будет со знаком плюс, если эти числа одинаковых знаков, и со знаком минус, если они разных знаков.

              Самое главное в произведении целых чисел это правильно посчитать знак ответа. Например, оба множителя могут быть положительными или оба отрицательными числами, или один множитель положительный, а другой отрицательный.

              Нужно запомнить:

              Плюс на плюс дает плюс.
              “+ ∙ + = +”

              Минус на минус дает плюс.
              “– ∙ – =+”

              Минус на плюс дает минус.
              “– ∙ + = –”

              Плюс на минус дает минус.
              “+ ∙ – = –”

              Каждый случай ниже разберем подробно.

              Умножение или произведение положительных целых чисел.

              В данном случае мы умножаем два числа положительных знаков, поэтому тут все просто “ плюс на плюс дает плюс”. Произведение положительных целых чисел дает в результате положительное целое число. Рассмотрим пример:

              Для наглядности разберем умножение со знаками.
              (+5)∙(+8)=(+40)
              В умножении не принято писать знак “+”, поэтому его можно опустить. Если перед число не стоит ни какого знака, то считается то перед этим числом стоит знак “+”.
              5∙8=40

              Умножение отрицательных целых чисел.

              Правило умножения двух целых отрицательных чисел:
              При умножении двух отрицательных целых чисел, будет равно произведению модулей этих чисел.

              |-a|=a и |-b|=b
              -a∙(-b)=a∙b

              Или другими словами “минус на минус дает плюс”. При произведении двух отрицательных чисел, ответ будет равен положительному целому числу.

              Пример:
              Вычислите произведение целых чисел -12∙(-3).

              Решение:
              Два минуса при умножении дают в результате плюс. В ответе число будет с плюсом.
              -12∙(-3)=36

              Ответ: 36

              Произведение целых чисел с разными знаками.

              Не важен порядок множителей положительное число умножаем на отрицательное или отрицательное число умножаем на положительное, в результате всегда будет отрицательное целое число.

              Правило умножения двух целых чисел с разными знаками:
              При умножении двух целых чисел с разными знаками, их произведение будет равно целому отрицательному числу.

              Если упростить определение то, обычно говорят:
              “Минус на плюс дает минус”.
              “Плюс на минус дает минус”.

              Разберем пример:
              Вычислить произведение целых чисел.
              -4∙6=-24

              А теперь докажем правильность этого решения.
              -4+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=-4∙6=-24
              Шесть раз сложили число (-4).

              Такой же ответ будет, если поменять местами числа.
              6∙(-4)=-24

              Пример:
              -34∙2=-68

              Умножение целого числа на нуль.

              Правило умножения целых чисел на нуль.
              Если любое целое число умножить на нуль, ответ будет равен нулю.
              a∙0=0  или 0∙a=0

              Пример:
              Найдите произведение целого положительного числа 209 на нуль.

              Решение:
              209∙0=0

              Пример:
              Найдите произведение целого отрицательного числа (-39) на нуль.

              Решение:
              0∙(-39)=0

              Умножение целого числа на 1.

              Правило умножения целого числа на единицу:
              Произведение целого числа a и 1 равно a.
              a∙1=a или 1∙a=a

              Пример:
              Вычислить произведение положительного целого числа 49 и единицы.

              Решение:
              49∙1=49

              Пример:
              Вычислить произведение отрицательного целого числа (-35 860) и единицы.

              Решение:
              1∙(-35 860)=-35 860

              Пример:
              Найдите произведение нуля и единицы.

              Решение:
              0∙1=0

              Проверка результата умножения целых чисел.

              Не всегда мы выполняем умножение простых чисел, бывают число объемные и сложные, поэтому нужно уметь проверять правильность выполненного умножения.
              Как проверить результат умножения?

              Умножение проверяется делением. Мы делим произведение на один из множителей.

              Например:
              Выполните умножение и сделайте проверку.
              5∙12=60

              5 – множитель;
              12 – множитель;
              60 – произведение.

              Проверка:
              60:12=5  или  60:5=12

              Умножение или произведение нескольких целых чисел.

              Чтобы посчитать произведение нескольких целых чисел, нужно умножать числа по парно или последовательно, например:
              (-3) ∙5∙(-11) ∙(-9) ∙1=((-3) ∙5)∙((-11) ∙(-9)) ∙1=((-15) ∙99) ∙1=(-1485) ∙1=-1485

              Сначала сгруппировали по два числа ((-3) ∙5) и ((-11) ∙(-9)), потом ((-15) ∙99) и нашли ответ.

              При перемножении целых чисел, результат всегда будет целым числом.

              Вопросы по теме:
              Как влияет при умножении на целое число (-1)?
              Ответ: так как (-1) отрицательное число, при умножении на целое число происходит смена знака числа.
              Пример: (-1) ∙3=-3 . Число 3 было со знаком “+”, а стало со знаком “–”.
              Еще пример: (-1) ∙(-5)=5 . Число (-5) было со знаком “–”, а стало со знаком “+”.

              Пример №1:
              Найти произведение двух целых чисел: а) (-2) ∙235 б) (-34) ∙(-17) в) 1∙(-12) г) 0∙4983

              Решение:
              а) (-2) ∙235=-470
              б) (-34) ∙(-17)=578
              в) 1∙(-12)=-12
              г) 0∙4983=0

              Пример №2:
              Чему равно произведение последовательных целых чисел, начинающихся числом -100 и оканчивающихся числом 100?

              Решение:
              Между числами -100 и 100 находится нуль, а любое число, умноженное на 0 равно 0. Поэтому произведение последовательных целых чисел от -100 до 100 равно 0.
              Ответ: 0.

              Пример №3:
              Чему равно произведение всех целых чисел?

              Решение:
              Целые числа состоят из целых положительных и отрицательных чисел, а также нуля. При умножении любого числа на нуль будет 0. Поэтому произведение всех целых чисел равно 0.
              Ответ: 0.

              ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

              • Авторы
              • Руководители
              • Файлы работы
              • Наградные документы

              Семенов Д. У. 1


              1

              Джамбаева Ф.Н. 1


              1

              Автор работы награжден дипломом победителя III степени

              Диплом школьникаСвидетельство руководителя

              Текст работы размещён без изображений и формул.
              Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

               Введение

              Мир чисел очень загадочен и интересен. Числа очень важны в нашем мире. Я хочу узнать как можно больше о происхождении чисел, об их значении в нашей жизни. Как их применять и какую роль они играют в нашей жизни?

              В прошлом году на уроках математики мы начали изучать тему «Положительные и отрицательные числа». У меня возник вопрос, когда возникли отрицательные числа, в какой стране, какие ученые занимались этим вопросом. В Википедии я прочитал, что отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

              В итоге я решил исследовать историю возникновения отрицательных чисел.

              Целью данной работы является исследование истории возникновения отрицательных и положительных чисел.

              Объект исследования — отрицательные числа и положительные числа

              История положительных и отрицательных чисел

              Люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Эти числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей.

              Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. и то, были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись.

              Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» — красным, «фу» — черным. Это можно заметить в книге «Арифметика в девяти главах» (Автор Чжан Цань). Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.

              Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием. Бхасхара прямо писал: «Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел. ..». Вот как индийский математик Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму». «Сумма двух имуществ есть имущество».

              (+х) + (+у) = +(х + у)‏ (-х) + (-у) = — (х + у)‏

              (-х) + (+у) = — (х — у)‏ (-х) + (+у) = +(у — х)‏

              0 – (-х) = +х 0 – (+х) = -х

              Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 — 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 — 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга». Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 — 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 — 3000.

              Чуть позже в Древней Индии и Китае догадались вместо слов «долг в 10 юаней» писать просто «10 юаней», но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков «+» и «–» в древности не было ни для чисел, ни для действий.

              Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как «недоступный». И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком.

              Правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них. В то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное».

              В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII–XIII вв., но до XVI в. большинство ученых считали их «ложными», «мнимыми» или «абсурдными», в отличие от положительных чисел – “истинных”. Положительные числа так же толковались как «имущество», а отрицательные – как «долг», «недостача». Даже знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, — сказал Фибоначчи, — невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг». Однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной.

              Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта. Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел – ввел координатную прямую. (1637 г.).

              Положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел способствовало к их признанию.

              В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…»

              Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.

              Так же и Жирар считал отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо.

              Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах — числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-«. (Например: термометр, шкала глубин и высот)

              Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и «абсурдные числа» получили всеобщее признание.

              Определение понятия числа

              В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие.

              Существует большое количество определений понятию «число».

              Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). Еще раньше Евклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

              Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.

              Натуральные числа возникли при счете предметов. Об этом я узнала в 5 классе. Затем я узнала, что потребность человека измерять величины не всегда выражается целым числом. После расширения множества натуральных чисел до дробных стало возможным делить любое целое число на другое целое число (за исключением деления на нуль). Появились дробные числа. Вычитать же целое число из другого целого числа, когда вычитаемое больше уменьшаемого, долгое время казалось невозможным. Интересным для меня оказался тот факт, что долгое время многие математики не признавали отрицательных чисел, считая, что им не соответствуют какие-либо реальные явления.

              Происхождение слов «плюс» и «минус»

              Термины произошли от слов plus – «больше», minus – «меньше». Сначала действия обозначали первыми буквами p; m. Многие математики предпочитали или Возникновение современных знаков «+», «–» не совсем ясно. Знак «+», возможно, происходит от сокращенной записи et, т.е. «и». Впрочем, может быть он возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке «–», а при восстановлении запаса их перечеркивали, получался знак «+».

              Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса.

              Современные знаки «+» и появились в Германии в последнее десятилетие XVв. в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (1489г. ). Чех Ян Видман уже писал «+» и «–» для сложения и вычитания.

              Чуть позднее немецкий ученый Михель Штифель написал «Полную Арифметику», которая была напечатана в 1544 году. В ней встречаются такие записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего». Числа второго вида назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего». Вам, конечно, понятны эти названия, потому что «ничего» – это 0.

              Отрицательные числа в Египте

              Однако, не смотря на такие сомнения, правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них (сейчас мы в этом качестве используем знак «минус»). Правда, ученые спорят, обозначал ли символ Диофанта именно отрицательное число или просто операцию вычитания, потому что у Диофанта отрицательные числа не встречаются изолированно, а только в виде разностей положительных; и в качестве ответов в задачах он рассматривает только рациональные положительные числа. Но в то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное» (то, что сейчас обычно формулируют: «Минус на минус дает плюс, минус на плюс дает минус»).

              (–) (–) = (+), (–) (+) = (–).

              Отрицательные числа в Древней Азии

              Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» — красным, «фу» — черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.

              Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 — 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 — 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга».

              Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 — 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 — 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления.

              В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийские математики используют отрицательные числа с VII в. н. э.: Брахмагупта сформулировал правила арифметических действий с ними. В его произведении мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».

              Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.

              Отрицательные числа в Европе

              Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование «имущество-долг» вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, как можно «складывать» или «вычитать» имущества и долги, какой реальный смысл может иметь «умножение» или «деление» имущества на долг? (Г. И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)

              Вот почему с большим трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной (Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988)

              Современное истолкование отрицательных чисел

              В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…» (Г.И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)

              После этого Штифель полностью посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Один из первых в Европе после Николы Шюке начал оперировать отрицательными числами.

              Знаменитый французский математик Рене Декарт в «Геометрии» (1637 год) описывает геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию природы отрицательных чисел, способствовало их признанию.

              Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Р. Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.

              Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « — » применил немецкий математик Видман. Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что Штифель и некоторые другие мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Развитое затем математиком А. Жираром представление об отрицательных числах как о точках на некоторой прямой, располагающихся по другую сторону от нуля, чем положительные, оказалось решающим в обеспечении этим числам прав гражданства, особенно в результате развития метода координат у П. Ферма и Р. Декарта.

              Вывод

              В своем работе я исследовал историю возникновения отрицательных чисел. В ходе исследования я сделал вывод:

              Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

              При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:

              а) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;

              б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.

              К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

              Все эти множества чисел я постараюсь изучить.

              Приложение

              СТИХОТВОРЕНИЕ

              «Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками»

              Если уж захочется вам сложить

              Числа отрицательные, нечего тужить:

              Надо сумму модулей быстренько узнать,

              К ней потом знак «минус» взять да приписать.

              Если числа с разными знаками дадут,

              Чтоб найти их сумму, все мы тут как тут.

              Больший модуль быстро очень выбираем.

              Из него мы меньший вычитаем.

              Самое же главное – знак не позабыть!

              — Вы какой поставите? – мы хотим спросить

              — Вам секрет откроем, проще дела нет,

              Знак, где модуль больше, запиши в ответ.

              Правила сложения положительных и отрицательных чисел

              Минус с минусом сложить,

              Можно минус получить.

              Если сложишь минус, плюс,

              То получится конфуз?!

              Знак числа ты выбирай

              Что сильнее, не зевай!

              Модули их отними,

              Да все числа помири!

              — Правила умножения можно истолковать и таким образом:

              «Друг моего друга — мой друг»: + ∙ + = + .

              «Враг моего врага — мой друг»: ─ ∙ ─ = +.

              «Друг моего врага — мой враг»: + ∙ ─ = ─.

              «Враг моего друга – мой враг»: ─ ∙ + = ─.

              Знак умножения есть точка, в ней три знака:

              Прикрой из них два, третий даст ответ.

              Например.

              Как определить знак произведения 2∙(-3)?

              Закроем руками знаки «плюс» и «минус». Остаётся знак «минус»

              Список литературы

              1. «История древнего мира», 5 класс. Колпаков, Селунская.

              2. «История математики в древности», Э. Кольман.

              3. «Справочник школьника». ИД «ВЕСЬ», Санкт-Петербург. 2003 г.

              4. Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.

              5. Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.

              6. Вигасин А.А,.Годер Г.И., «История древнего мира» учебник 5 класса, 2001г.

              7. Википедия. Свободная энциклопедия.

              8. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.

              9. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.

              10. Гельфман Э. Г. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.

              11. Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.

              12. Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.

              13. Глейзер Г. И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1981 г.

              14. Детская энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.

              15. История математики в школе , IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.

              16. История математики в школе , IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.

              17. М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005.

              18. Малыгин К.А.

              19. Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988.

              20. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г

              21. Учебник 5 класс. Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.

              22. Фридман Л. М.. «Изучаем математику», учебное издание, 1994 г.

              23. Э.Г. Гельфман и др., Положительные и отрицательные числа в театре Буратино. Учебное пособие по математике для 6 класса. 3-е издание, испр., — Томск: Издательство Томского университета, 1998г.

              24. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика

              17

              Просмотров работы: 24855

              Действия с нулём

              В математике число ноль занимает особое место. Дело в том, что оно, по сути дела, означает «ничто», «пустоту», однако его значение действительно трудно переоценить. Для этого достаточно вспомнить хотя бы то, что именно с нулевой отметки начинается отсчет координат положения точки в любой системе координат.

               

              Ноль широко используется в десятичных дробях для определения значений «пустых» разрядов, находящихся как до, так и после запятой. Кроме того, именно с ним связано одно из основополагающих правил арифметики, гласящее о том, что на ноль делить нельзя. Его логика, собственно говоря, проистекает из самой сути этого числа: действительно, невозможно представить, чтобы некая отличное от него значение (да и само оно – тоже) было разделено на «ничто».

              Примеры вычисления

              С нулем осуществляются все арифметические действия, причем в качестве его «партнеров» по ним могут использоваться целые числа, обычные и десятичные дроби, причем все они могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Приведем примеры их осуществления и некоторые пояснения к ним.

              Сложение

              При прибавлении нуля к некоторому числу (как целому, так и к дробному, как к положительному, так и к отрицательному) его значение остается абсолютно неизменным.

              Пример 1

              Двадцать четыре плюс ноль равняется двадцать четыре.

              24 + 0 = 24

              Пример 2

              Семнадцать целых три восьмых плюс ноль равняется семнадцать целых три восьмых.

              17

              3

              8

              + 0 = 17

              3

              8

              Вычитание

              При вычитании нуля из некоторого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) оставляет его полностью неизменным.

              Пример 1

              Две тысячи сто пятьдесят два минус ноль равняется две тысячи сто пятьдесят два.

              21520 = 2152

              Пример 2

              Сорок одна целая три пятых минус ноль равняется сорок одна целая три пятых.

              41

              3

              5

              – 0 = 41

              3

              5

              Умножение

              При умножении любого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) на ноль получается ноль.

              Пример 1

              Пятьсот восемьдесят шесть умножить на ноль равняется ноль.

              586 × 0 = 0

              Пример 2

              Ноль умножить на сто тридцать пять целых шесть седьмых равняется ноль.

              0 × 135 = 0

              Пример 3

              Ноль умножить на ноль равняется ноль.

              0 × 0 = 0

              Деление

              Правила деления чисел друг на друга в тех случаях, когда одно из них представляет собой ноль, различаются в зависимости от того, в какой именно роли выступает сам ноль: делимого или делителя?

              В тех случаях, когда ноль представляет собой делимое, результат всегда равен ему же, причем вне зависимости от значения делителя.

              Пример 1

              Ноль разделить на двести шестьдесят пять равняется ноль.

              0 : 265 = 0

              Пример 2

              Ноль разделить на семнадцать пятьсот девяносто шестых равняется ноль.

              0 :

              17

              596

              = 0

              Делить ноль на ноль согласно правилам математики нельзя. Это означает, что при совершении такой процедуры частное является неопределенным. Таким образом, теоретически оно может представлять собой абсолютно любое число.

              0 : 0 = 8 ибо 8 × 0 = 0

              В математике такая задача, как деление нуля на ноль, не имеет никакого смысла, поскольку ее результат представляет собой бесконечное множество. Это утверждение, однако, справедливо в том случае, если не указаны никакие дополнительные данные, которые могут повлиять на итоговый результат.

              Таковые, при их наличии, должны состоять в том, чтобы указывать на степень изменения величины как делимого, так и делителя, причем еще до наступления того момента, когда они превратились в ноль. Если это определено, то такому выражению, как ноль разделить на ноль, в подавляющем большинстве случаев можно придать некий смысл.

              Репетитор по математике о работе с правилом вычитания отрицательных чисел — Колпаков Александр Николаевич

              Выработка вычислительных навыков – важнейшая цель, преследуемая программами по математике с 1 по 6 класс. От того, насколько быстро и правильно ребенок научится выполнять арифметические действия, будет зависеть скорость выполнения им логических (смысловых) операции в старших класах и уровень понимания предмета в целом. Репетитор по математике довольно часто сталкивается с вычислительными проблемами учащихся, мешающими добиваться высоких результатов.

              С какими только учениками не приходится работать репетитору. Родителям нужна подготовка к ЕГЭ по математике, а их чадо не может разобраться в обыкновенных дробях или путается в отрицательных числах. Какие действия должны предприниматься репетитором по математике в таких случаях? Как помочь ученику? Времени на неспешное и последовательное изучение правил у репетитора нет, поэтому традиционные методы часто приходится заменять некими искусственными «полуфабрикатами-ускорителями», если можно так выразиться. В этой статье я опишу один из возможных путей формирования навыка выполнения действий с отрицательными числами, а именно вычитания таковых.

              Предположим, что репетитор по математике имеет удовольствие работать с очень слабым учеником, знания которого дальше простейших вычислений с положительными числами не распространяются. Предположим также, что репетитору удалось объяснить законы сложения и вплотную подойти к правилу a-b=a+(-b). Какие моменты должен учесть репетитор по математике?

              Сведения вычитания к сложению не является простым и очевидным преобразованием. Учебники предлагают строгие и точные математические формулировки: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо к числу «а» прибавить число, противоположное к « b». Формально к тексту не придерешься, но как только он начинает применяться репетитором по математике в качестве инструкции к выполнению конкретных вычислений — возникают проблемы. Одна только фраза чего стоит: «Чтобы вычесть – надо прибавить». Без внятного комментария репетитора ученик не разберется. В самом деле, что же делать: вычитать или складывать?

              Если работать с правилом согласно замыслу авторов учебника, то помимо отработки понятия «противоположное число», нужно научить школьника соотносить обозначения «а» и «b» с реальными числами в примере. А на это потребуется время. Учитывая еще и тот факт, что ученик думает и пишет одновременно, задача репетитора по математике еще большет усложняется. Хорошей зрительной, смысловой и двигательной памятью слабый ученик не обладает, а поэтому лучше предложить альтернативный текст правила:

              Чтобы из первого числа вычесть второе, нужно
              А) Первое число переписать
              Б) Поставить плюс
              B) Заменить знак второго числа на противоположный
              Г) Сложить полученные числа

              Здесь этапы алгоритма четко разделяются по пунктам и не привязываются к буквенным обозначениям.

              По ходу решения практического задания на переводы, репетитор по математике перечитывает этот текст ученику по нескольку раз (для запоминания). Я советую записать его в теоретическую тетрадь. Только после отработки правила перехода к сложению можно записать общую форму a-b=a+(-b)

              Движение знаков «минус» и «плюс» в голове ребенка (как маленького, так и слабого взрослого) в чем-то напоминает броуновское. Навести порядок в этом хаосе репетитору по математике нужно как можно быстрее. В процессе решения примеров применяются опорные подсказки (словесные и визуальные), которые в сочетании аккуратным и подробным офофрмлением делают свое дело. Нужно помнить, что каждое слово, произнесенное репетитором по математике в момент решения любой задачи несет или подсказку или помеху. Каждая фраза анализируется ребенком на предмет установления связи с теми или иным математическим объектом (явлением) и его образом на бумаге.

              Типичная проблема слабых школьников — отделение знака действия от знака числа в нем участвующего. Одинаковый визуальный образ мешает распознавать уменьшаемое «a» и вычитаемое «b» в разности a-b. Когда в процессе объяснений репетитор по математике читает выражение, нужно следить за тем, чтобы вместо «-» употреблялось слово «вычесть». Это обязательно! Например, запись следует читать так: «Из минус пяти вычесть минус три». Нельзя забывать и о правиле перевода в сложение: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо … ».

              Если у репетитора по математике постоянно слетит с языка «минус 5 минус минус 3», то понятно, что ученику будет труднее представить себе структуру примера. Однозначное соответствие между словом и арифметическим действием помогает репетитору по математике точно транслировать информацию.

              Как репетитору объяснить переход к сложению?

              Конечно, можно обратиться к определению понятия «вычесть» и искать число, которое надо прибавить к «b» для получения «а». Однако, слабый ученик мыслит далек от строгой математики и репетитору в работе с ним потребуются некие аналогии с простыми действиями. Я часто говорю своим шестиклашкам: «В математике нет такого арифметического действия, как «разность». Запись 5 – 3 является простым обозначением результата сложения 5+(-3). Знак «плюс» просто опускают и не пишут».

              Дети удивляются словам репетитора и непроизвольно запоминают, что нельзя вычитать числа напрямую. Репетитор по математике объявляет 5 и -3 слагаемыми, и для большей убудительности своих слов сравнивает результаты действий 5-3 и 5+(-3). После этого записывается тождество a-b=a+(-b)

              Каков бы ни был ученик, и сколько бы времени не отводилось репетитору по математике на занятия с ним, нужно вовремя отработать понятие «противоположное число». Отдельного внимания репетитора по математике заслуживает запись «-х». Ученик 6 класса должен усвоить, что она отображает не отрицательное число, а противоположное к иксу.

              Необходимо отдельно остановиться на вычислениях с двумя знаками «минус», расположенными рядом. Возникает проблема понимания операции их одновременного удаления. Нужно аккуратно пройти по всем пунктам изложенного алгоритма перехода к сложению. Будет лучше, если в работе с разностью -5- (-3) до каких-либо комментариев репетитор по математике выделит числа -5 и -3 в рамочку или подчеркнет их. Это поможет ученику выделить компоненты действия.

              Нацеленность репетитора по математике на запоминание


              Надежное запоминание – результат практического применения математических правил, поэтому репетитору важно обеспечить хорошую плотность самостоятельно решенных примеров. Для улучшения устойчиваости запоминания можно призвать на помощь визуальные подсказки — фишечки. Например, интересный способ перевовода вычитания отрицательного числа в сложение. Репетитор по математике соединяет два минуса одной линией (как показано на рисунке), и взору ученика открывается знак «плюс» (в пересечении со скобкой).

              Для предотвращения рассеивания внимания я рекомендую репетиторам по математике выделять уменьшаемое и вычитаемое рамками. Если репетитор по математике использует рамки или кружочки для выделения компонентов арифметического действия, то ученик легче и быстрее найчится видеть структуру примера и соотносить ее с соответствующим правилом. Не следует располагать кусочки целого объекта при оформлении решений на разных строчках тетрадного листа, а также приступать к сложению до тех пор, пока оно не будет записано. Все действия и переходы в обязательном порядке показываются (по крайней мере на старте изучения темы).

              Некоторые репетиторы по математике стремятся к 100% точному обоснованию правил перевода, считая эту стратегию единственно правильной и полезной для формирования вычислительных навыков. Однако, практика показывает, что этот путь не всегда приносит хорошие дивиденды. Потребность в осознании того, что человек делает, чаще всего появляется после запоминания этапов применяемого алгоритма и практического закрепления вычислительных операций.

              Крайне важно отработать переход к сумме в длинном числовом выражении с несколькими вычитаниями, например . Перед тем, как приступить к подсчету или преобразованию, я заставляю ученика обвести в кружочки числа вместе с их знаками, расположенными слева. На рисунке показан пример того, как репетитор по математкие выделяет слагаемые Для очень слабых шестиклассников можно дополнительно подкрашивать кружочки. Для положительных слагаемых использовать один цвет, а для отрицательных другой. В особых случаях беру в руки ножницы и режу выражение на кусочки. Их можно произвольно перекладывать, иммитируя таким образом перестановку слагаемых. Ребенок увидит, что знаки перемещаются вместе с самими слагаемыми. То есть, если знак минус стоял слева от числа 5, то куда бы мы не перекладывали соответствующую карточку, он от пятерки не оторвется.

              Колпаков А.Н. Репетитор по математике 5-6 класс. Москва. Строгино.

              Почему отрицательное время является отрицательным положительным? – The Reflective Educator

              Возможны разные ответы на этот вопрос, в зависимости от необходимого стандарта доказательства и исходных знаний, которые человек привносит в вопрос.

               

              Математическая согласованность и закономерности

              Попробуйте решить каждую из этих задач, обращая внимание на предыдущий набор задач. Ищите закономерности, чтобы упростить решение задач.

              3 × 3 = ?
              3 × 2 = ?
              3 × 1 = ?
              3 × 0 = ?
              3 × -1 = ?
              3 × -2 = ?
              3 × -3 = ?
              2 × -3 = ?
              1 × -3 = ?
              0 × -3 = ?
              -1 × -3 = ?
              -2 × -3 = ?
              -3 × -3 = ?

              Ответы на эти задачи приведены ниже, но я настоятельно рекомендую сначала самостоятельно решить приведенные выше задачи, чтобы вы поняли, как учащиеся могут продумать этот набор задач.

              3 × 3 = 9
              3 × 2 = 6
              3 × 1 = 3
              3 × 0 = 0

              На этом этапе многие люди заметят, что ответы каждый раз становятся на 3 меньше, а число, умножаемое на 3, каждый раз уменьшается на единицу, поэтому они продолжают использовать эту схему, чтобы ответить на следующие вопросы.

              3 × -1 = -3
              3 × -2 = -6
              3 × -3 = -9

              Теперь уменьшим первое число в шаблоне на 3, и нужно сделать некоторые выводы о том, что ответ должно быть.

              2 × -3 = -6
              1 × -3 = -3
              0 × -3 = 0

              Теперь можно заметить, что ответы увеличиваются на 3 каждый раз, когда мы увеличиваем первое число, и поэтому разумно продолжать эту схему.

              -1 × -3 = 3
              -2 × -3 = 6
              -3 × -3 = 9

              Хотя для некоторых эта закономерность может показаться очевидной, когда кто-то еще находится в середине изучения этой концепции, у них есть меньше когнитивных способностей, доступных для выполнения поставленной задачи (умножения чисел) и выполнения дополнительной задачи по поиску закономерностей в их ответах, так что именно здесь кто-то еще побудит их остановиться и поискать закономерности в их работе до сих пор будет очень полезный.

              Необходимые знания : Нужно знать, что означают эти символы, что подразумевается под нахождением одного числа, умноженного на другое, и как работают отрицательные числа с точки зрения обратного отсчета и вычитания.

               

              Математическая непротиворечивость и математические свойства

              Давайте рассмотрим задачу, которую мы можем решить несколькими способами, заимствованными из Академии Хана.

              5 × (3 + -3) = ?

              Если мы сначала добавим числа в скобках, то это будет 5 умножить на 0, что равно 0, так как 3 + -3 = 0,

              5 × (3 + -3) = 0

              Но что, если мы сначала распределим 5 через оба слагаемых?

              5 × 3 + 5 × -3 = ?

              Поскольку распределение 5 по сложению не меняет значение выражения, мы знаем, что оно по-прежнему равно 0.

              5 × 3 + 5 × -3 = 0

              Но это означает, что 5 × 3 и 5 × -3 противоположные знаки, так как 5 × 3 = 15, то 5 × -3 равно -15. Давайте посмотрим на другой пример.

              -5 × (3 + -3) = ?

              Мы знаем, что это то же самое, что -5 умножить на 0, так что это значение равно 0,

              -5 × (3 + -3) = 0

              Как и раньше, мы распределяем -5 через оба слагаемых.

              -5 × 3 + -5 × -3 = ?

              Опять же, распределение членов не меняет значения выражения в левой части уравнения, поэтому результат по-прежнему равен 0.

              -5 × 3 + -5 × -3 = 0

              Мы заранее известно, что -5 × 3 равно -15, поэтому мы можем заменить это значение на -5 × 3 в левой части уравнения.

              -15 + -5 × -3 = 0

              Следовательно, -15 и -5 × -3 являются противоположностями, поскольку они добавляют к 0, поэтому -5 × -3 должно быть положительным.

              Ничто из того, что мы сделали для двух приведенных выше примеров, не относится к значению 5 × 3, поэтому мы можем повторить этот аргумент для любого другого факта умножения, который мы хотим вывести, так что эти две идеи можно обобщить.

              Необходимые знания : Нужно знать, что означают эти символы, что подразумевается под нахождением одного числа, умноженного на другое, как работает распределительное свойство и как отрицательные числа могут быть определены как противоположные положительным числам.

               

              Представление на числовой прямой

              Представьте, что мы представляем умножение в виде скачков на числовой прямой.

              3 раза по 3 на числовой прямой

              Для 3 × 3 мы рисуем 3 группы по 3, двигаясь вправо. Как количество групп, так и направление каждой группы указаны справа.

              А как насчет 3 × -3? Теперь у нас есть еще 3 группы числа, но число отрицательное.

              3 раза -3 на числовой прямой

              Если мы находим -3 × 3, размер и направление умножаемого числа те же, но теперь мы находим -3 группы этого числа. Один из способов подумать об этом — подумать об удалении 3 групп числа. Другой вариант — рассматривать число, умноженное на -3, как отражение 3-кратного одного и того же числа.

              -3 умножить на 3 на числовой прямой

              Таким образом, -3 × -3 является отражением 3 × -3 на числовой прямой.

              -3 умножить на -3 на числовой прямой

              Однако в некотором смысле этот визуальный аргумент является просто математической последовательностью, представленной с помощью числовой прямой. Если умножение на отрицательное число является отражением через 0 на числовой прямой, а мы думаем об отрицательных числах как отражение через 0 на числовой прямой, то умножение отрицательного числа на отрицательное число является двойным отражением.

               

              Контекст

              У Карен Лью есть аналогия.

              Умножение на минус — это повторное вычитание. Когда мы умножаем отрицательное число на отрицательное число, мы получаем меньше отрицательного числа.

              Эта аналогия между умножением, сложением и вычитанием помогает учащимся красиво связать эти два понятия.

              Джозеф Рурк поделился этим контекстом.

              Игрок проигрывает 10 долларов в день. Насколько больше денег у них было 5 дней назад?

              Здесь убыток за день — это одно отрицательное значение, а движение назад во времени — другое.

              @M_Teacher_w_T поделился этой аналогией:

              «Враг моего врага — мой друг».

              Это направлено не на алгебраические или арифметические свойства чисел, а скорее на противоположность отрицательных чисел.

              Необходимые знания: Все контексты, формирующие новое понимание, требуют, чтобы учащиеся достаточно хорошо понимали части контекста, поэтому особенно важно выяснить, как учащиеся понимают идею, когда она представлена ​​в контексте.

               

              Алгебраическое доказательство из первых принципов

              От доктора Алекса Юстиса мы получили это алгебраическое доказательство того, что отрицание, умноженное на отрицательное, является положительным.

              Во-первых, он формулирует набор аксиом, применимых к любому кольцу с единицей. Кольцо — это, по сути, система счисления с двумя операциями. Каждая операция является закрытой, а это означает, что использование этих операций (таких как сложение и умножение действительных чисел) приводит к другому числу в системе счисления. Каждая операция также имеет элемент идентичности или элемент, который не изменяет другой элемент в системе при применении к ней. Например, при добавлении 0 является аддитивной идентичностью. При умножении 1 является мультипликативным тождеством. Полный набор необходимых аксиом приведен ниже.

              A × C (LOATE LAPED). : ( B + C ) × A = B × A + C × A
              Axiom 1 : a + b = b + a (Additive commutivity)
              Axiom 2 : ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (Additive associativity)
              Axiom 3 : 0 + a = a (Additive identity)
              Axiom 4 : существует — A Удовлетворяет A + ( — A ) = 0 (Additial Relverse)
              AXIOM 5

              : 1 × = = = = = = = = = = . = a
              (мультипликативная идентичность)
              Axiom 6 : ( A × B ) × C = A × 4544544544544. 415441544. . . . . . 4. ). ассоциативность)
              Axiom 7 : A × ( B + C ) = A × B + A × C (правая размножение PROPLACTION). отрицательный раз отрицательный является положительным. Ниже я воспроизведу доказательство доктора Юстиса и включу ссылку на использованные аксиомы. Сначала докажем, что a = -(- a ).

              Corrolarary 1

              a. a ))
              A = A + 0 (Axiom 3 и Axiom 1)
              4 A 40189
              4 A A
              A.
              (Axiom 4, применяемый к — A )
              A = ( A + ( — A )) + ( — ( — A. ) 9055)) + ( — ( — A ) )) + ( — A

              )) + ( — A. ))) + ( A + ( — A )) + ( A + ( — A )) + ( A + ( — A )) + ( A + ( — A )) + ( A + ( — A )). 2 – ассоциативное свойство)
              A = 0 + ( — ( — A )) (аксиома 4)
              A = — ( A )

              ). мы знаем, что если ввести отрицательные числа , то будет равно -(-?).

              Corrolary 2


              9

              9

              4

              0 = A + ( — A ) (AXIOM 4)
              0 = (0 + 1)
              0 = (0 + 1)
              0 = (0 + 1)
              0 = (0 + 1)
              0 = (0 + 1)
              (0 + 1)
              (0 + 1)
              (0 + 1). (Axiom 3 и Axiom 5)
              0 = 0 × A + 1 × A + ( — A ) (AXIOM 8)
              (AXIOM 8)
              (AXIOM 8)
              (AXIOM 8)
              (AXIOM 8) (AXIOM 8) (AXIOM 8). ( a + (− a )) (Axiom 5 and Axiom 2)
              0 = 0 × a + 0 (Axiom 4)
              0 = 0 × a (Аксиома 3 и Аксиома 1)

              Доказательство того, что 0 = 0 × a — это до боли очевидная идея, которая едва ли требует доказательств, но она устанавливает связь между умножением и аддитивной идентичностью в действительных числах. который еще не включен в приведенные выше аксиомы.

              Далее докажем, что (−1) × a = − a .

              Corrollary 3

              9017 — + 5 a =
              A = — A + 0 × A (Corrolary 2 и Axiom 3)
              (Corrolary 2 и Axiom 3)
              (Corrolary 2 и Axiom 3). + (−1)) × a (аксиома 4)
              a = − a + 1 × a + (−1) ×

              4 a 5

              a = (− a + a ) + (−1) × a (аксиома 5 и аксиома 2)
              × A (Axiom 4)
              A = 0 + (−1) × A (Axiom 3)
              (AXIOM 3)
              (AXIOM 3). a ) × (− b ) = ab .

              0314

              Это последнее «доказательство» вряд ли оправдывает тот факт, что отрицательный результат, умноженный на отрицательный, является положительным для любого студента. Это то, что является необходимым уровнем обоснования для математика, заинтересованного в строгом доказательстве, который, вероятно, счел бы другие обоснования «шаблонными» и недостаточными.

              Критическая идея доказательства, однако, заключается в том, что целевая аудитория доказательства остается убежденной в том, что идея верна, и поэтому я утверждаю, что представленное здесь алгебраическое «доказательство» вообще не является доказательством почти для всех.

              Необходимые знания : Пока я прорабатывал и добавлял обоснование для каждого отсутствующего шага доказательства, мне нужно было достаточно бегло обращаться с первоначальным набором аксиом. Мне также нужно было не упускать из виду общую цель и уметь распознавать структуру каждой части аргумента и сопоставлять эту структуру с аксиомами.

               

              Более простое алгебраическое доказательство

              Это алгебраическое доказательство Бенджамина Дикмана намного проще, чем возвращение к доказательству, основанному на аксиомах арифметики.

              A + ( — A ) = 0
              A × B + ( — A ) × B = 0 × B
              AB = 0 × B
              AB + ( B
              AB +) ( B ) AB + ( B ). = 0

              Отсюда мы можем показать, что ab и – ab имеют противоположные знаки и, следовательно, положительное произведение на отрицательное является отрицательным. Используя факт, умножение коммутативно, отрицательное произведение, умноженное на положительное, также является отрицательным.

              Точно так же мы можем доказать, что отрицательное произведение, умноженное на отрицательное, является положительным.

              a + (− a ) = 0
              a × (− b ) + (− a ) × (− b ) = 0 × (4 − 90 5 ) 0 5 b 3 0 5 (0 − 90) ab + (− a ) × (− b ) = 0

              Поскольку мы знаем, что − ab отрицательно, а сумма этих двух членов равна 0, поэтому (− a ) × (− b ) положительный.

              Предварительные знания : Необходимые знания для этого доказательства намного меньше, чем для другого, но оно предполагает достаточное владение алгебраическими структурами.

               

              Вывод:

              Учитывая, что цель аргумента в пользу истинности чего-либо состоит в том, чтобы убедить другого человека в истинности аргумента, всякий раз, когда кто-либо использует какое-либо обоснование, репрезентацию или доказательство, следует убедиться, что аудитория убеждена.

              1.5 Почему NEGATIVE TIMES NEGATIVE POSITIVE?

              Когда мы обнаруживаем отрицательные числа, мы естественно, даже без сомнения, предполагаем, что они подчиняются тем же законам арифметики, что и обычные положительные счетные числа. То есть нам нравится верить, что основные законы, такие как \(a\times b=b\times a\) и (a\times 1=a\) и \(a \times 0=0\) выполняются для всех числа, как положительные, так и отрицательные, и что мы можем раскрывать скобки даже с отрицательными значениями и так далее. Конечно, эти правила предполагают, что мы знаем априори умеют умножать отрицательные числа.

              УМНОЖЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

              В начальной учебной программе умножение вводится в контексте целых счетных чисел и определяется там как многократное сложение. Например, \(4 \times 5\) читается как «четыре группы по пять» и вычисляется следующим образом: \(4 \times 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20\).

              На самом деле довольно неожиданно, что \(5 \умножить на 4\), «пять групп по четыре» дает тот же числовой ответ, что и четыре группы по пять. Расчет совсем другой, когда числа 5 и 4 поменялись ролями.

               

              Вопрос: Как бы вы убедили молодого студента в том, что 193 группы по 307 обязательно будут иметь такое же значение, как 307 групп по 193? Почему мы хотим верить, что \(a \times b = b \times a\) для подсчета чисел? (СОВЕТ: расставьте точки прямоугольными рядами.)

               

              Повторное сложение позволяет нам умножать положительное число и отрицательное число. Например, \(2 \times \left(-3\right)\) может быть прочитано как «две группы отрицательных трех» и поэтому вычисляется как \(2 \times \left(-3\right)=-3 +\;-3=-6\). С помощью свай и отверстий это выглядит так:

              Интерпретация отрицательного числа, умноженного на положительное, и отрицательного, умноженного на отрицательное путем многократного сложения, однако, проблематична.

              Что может означать \(\left(-2\right) \times 3\) ? «Отрицательные две группы по три» не имеет смысла.

              И \(\left(-2\right) \times \left(-3\right)\) одинаково странно: «отрицательные две группы отрицательных трех».

               

              Правда в том, что умножение здесь не имеет смысла в контексте многократного сложения. Мы вступили на новую территорию, и если мы хотим открыть наш мир для новых типов чисел, неудивительно, что ранее конкретные, буквальные определения начинают колебаться. Таким образом, мы должны осуществить изощренный сдвиг мышления, отпустив вопрос 9. 0054 Что такое умножение? , чтобы вместо этого спросить:

              Как бы мы хотели, чтобы вело себя умножение?  

               

              Комментарий: Позвольте мне подчеркнуть этот момент. Вопрос «Что означает умножение отрицательных чисел?» — это вводящий в заблуждение вопрос, и это не тот вопрос, который стоит задавать на данном этапе нашей работы: мы все еще пытаемся решить вопрос о том, чем может быть умножение в мире отрицательных чисел. Чтобы подойти к этому, мы сначала должны четко определить, какие особенности арифметики, по нашему мнению, должны оставаться верными.

               

              ДУМАЕМ ЧЕРЕЗ ВЕЩИ

              Положительное время Отрицательное :  Кажется убедительным придерживаться понятия «повторяющегося сложения» для произведения отрицательного и положительного:

              9002 \(2\002 с \left(-3\right)=\) две группы отрицательных троек \(=-3+-3=-6\).

              Большинство людей согласны с тем, что мы должны придерживаться этой идеи.

               

              Отрицательное время Положительное : Это проблематично: \(\left(-2\right)\times 3=?\)

              Но кажется убедительным утверждение, что коммутативный закон \(a \times b = b\times a\) должен выполняться для всех типов чисел, включая отрицательные числа. В этом случае мы можем написать:

              \(\left(-2\right)\times 3 =3\times \left(-2\right)\) три группы отрицательных двух \(=-2+-2+ -2=-6\).

               

              Отрицательное время Отрицательное : Как мы должны вычислить \(\влево(-2\вправо) \умножить на \влево(-3\вправо)\)?

              Применение коммутативного закона и представление об этом как \(\влево(-3\вправо) \times \влево(-2\вправо)\) в этом случае не помогает. Итак, какая математика могла бы направить нас в нашем мышлении здесь?

              Мы говорили, что нам нравится верить, что все обычные законы арифметики ( \(a\times b=b\times a\), \(a \times 1=a\), \(a \times 0= 0\), раскрывающиеся скобки и т. д.) должны выполняться для всех типов чисел. Поскольку модель площади — это просто представление нашей веры в расширение скобок, модель площади должна работать и для отрицательных чисел!

              КЛЮЧЕВОЙ ПРИМЕР: Вот три способа вычислить \(17\умножить на 18\), представляя  \(17\) либо как \(10+7\), либо как  \(20+\влево(-3\вправо). )\) и \(18\) как \(10+8\) или \(20 + \влево(-2\вправо)\). Хотя с геометрической точки зрения нет смысла иметь отрицательную длину стороны геометрической фигуры, мы видим, что математика, которую представляет каждая диаграмма, по-прежнему является правильной математикой.

              Но есть и четвертая возможная картинка!

              Математика раскрывающихся скобок предполагает, что правильное значение \(\left(-2\right)\times\left(-3\right)\) равно \(+6\). (В произведении по-прежнему должен быть ответ \(306\).)

               

              УПРАЖНЕНИЕ: Нарисуйте четыре диаграммы, представляющие \(26\x 35\), и используйте последнюю, чтобы продемонстрировать, почему мы должны установить \(\ влево(-4\вправо)\раз\влево(-5\вправо)=+20\).

               

              ТОЧНЫЙ ЛОГИЧЕСКИЙ АРГУМЕНТ, ПОЧЕМУ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ВРЕМЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ДОЛЖНО БЫТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ ) и \(\left(-3\right)\times 2=-6\) (через веру в коммутативность), что отрицательное, умноженное на отрицательное, является положительным, является вынужденным логическим следствием следующих двух основных убеждений арифметики: \( a\times 0 = 0\) и \(a\left(b+c\right)=ab+ac\). Вот почему:

               

              Докажем \(\влево(-2\вправо)\раз\влево(-3\вправо)=+6\).

               

              По первому из правил мы должны сказать: \(\left(-2\right)\times 0 = 0\).

              Переписав первый ноль, мы должны договориться, что: \(\влево(-2\вправо)\times \влево(3+\влево(-3\вправо)\вправо) = 0\).

              При распределении мы также должны согласиться с тем, что: \(\влево(-2\вправо)\умножить на 3 + \влево(-2\направо)\раз\влево(-3\направо)=0\).

              Это выглядит так: \(-6 + \влево(-2\вправо)\times\влево(-3\вправо)=0\).

              Отсюда следует, что \(\влево(-2\вправо)\times\влево(-3\вправо)\) должно быть \(+6\).

               

              УПРАЖНЕНИЕ: Создайте аналогичный аргумент, чтобы установить, что \(\left(-4\right)\times\left(-5\right)=+20\).

               

              Итак… ЧТО ТАКОЕ УМНОЖЕНИЕ?

               

              В контексте положительных целых чисел повторяется сложение.

               

              В контексте положительных и отрицательных целых чисел я лично не знаю, что это такое, кроме математически согласованного набора операций, так что если \(a\) и \(b\) — положительные целые числа, тогда \(a\times \left(-b\right)=-ab\) и с логическими последствиями \(\left(-a\right)\times b = b \times \left(-a\right) =-ab\) и \(\left(-a\right)\times\left(-b\right) = ab\).

               

              Люди пытаются придать всему этому конкретный смысл с моделями солдат, марширующих по числовым линиям, поворачивающих в разные стороны, системами прибыли и долга, работающими при плюсовых и минусовых температурах и так далее. Каждая модель хороша для иллюстрации НЕКОТОРЫХ аспектов арифметики отрицательных чисел, но не всех. Например, идея «убрать пять градусов холода — это то же самое, что добавить пять градусов тепла» может помочь некоторым объяснить, почему \(-\left(-5\right)\) должно равняться \(5\) , но само по себе это не объясняет, почему отрицательное, умноженное на отрицательное, называется положительным.

               

              С педагогической точки зрения нам нужно отойти от того, чтобы ученик начал думать об умножении отрицательных чисел с помощью моделей, которые пытаются, но должны в какой-то момент потерпеть неудачу, «объяснить», что такое умножение отрицательных чисел. Вместо этого мы должны начать с обсуждения того, что, по нашему мнению, должно быть верным в отношении умножения в целом и как оно ведет себя. Раскрытие скобок с помощью модели площадей дает убедительную студенческую иллюстрацию того, что математика «хочет», чтобы отрицательные числа, умноженные на отрицательные, были положительными. (А для студентов, готовых к этому, аксиоматический подход завершает это.) Что на самом деле означает выражение «отрицательное, умноженное на отрицательное, становится положительным» — я понятия не имею. Я просто знаю, что это алгебраически непротиворечиво.

               

              УПРАЖНЕНИЕ:  а) Докажите, что \(-a\) и \(\left(-1\right) \times a\) — одно и то же число. (СОВЕТ: \(a+\left(-1\right)\times a = 1\times a + \left(-1\right)\times a = \ldots\) .)

              b) Если вы верите что \(-\left(-5\right) = 5\) объясняют, почему теперь следует, что \(\left(-1\right) \times \left(-1\right) = 1\).

               

              Присоединяйтесь к обсуждению в Facebook и Twitter и поделитесь этой страницей, используя кнопки ниже.

              Facebook

              Twitter

              абстрактная алгебра — Почему отрицательное умножение на отрицательное = положительное?

              $\begingroup$

              Это довольно мягко, но однажды я видел аналогию в Интернете, чтобы объяснить это.

              Если вы снимаете человека, бегущего вперед ($+$), а затем воспроизводите фильм вперед ($+$), он все еще бежит вперед ($+$). Если вы воспроизведете фильм в обратном направлении ($-$), он покажется бегущим в обратном направлении ($-$), поэтому результат умножения положительного и отрицательного будет отрицательным. То же самое происходит, если вы снимаете человека, бегущего задом наперед ($-$) и воспроизводите его в обычном режиме ($+$), кажется, что он все еще бежит назад ($-$). Теперь, если вы снимаете человека, бегущего назад ($-$), и воспроизводите его в обратном направлении ($-$), кажется, что он бежит вперед ($+$). Уровень, до которого вы ускоряете перемотку, не имеет значения ($-3x$ или $-4x$), эти результаты остаются верными. $$\text{назад} \times \text{назад} = \text{вперед}$$ $$ \text{отрицательный} \times \text{отрицательный} = \text{положительный}$$ Это не идеально, но вводит понятие числовой прямой, по крайней мере, имеющей направления.

              $\endgroup$

              4

              $\begingroup$

              Неформальное обоснование $\text{positive} \times \text{negative} = \text{negative}$

              Продолжите шаблон:

              $$ \начать{массив}{г} 2 & \times & 3 & = & 6\\ 2 & \раз & 2 & = & 4\\ 2 & \times & 1 & = & 2\\ 2 & \times & 0 & = & 0\\ 2 & \times & -1 & = & ? & (\текст{Ответ} = -2 )\\ 2 & \times & -2 & = & ? & (\текст{Ответ} = -4)\\ 2 & \times & -3 & = & ? & (\текст{Ответ} = -6 )\\ \конец{массив} $$

              Число в правой части продолжает уменьшаться на 2.


              Неформальное обоснование $\text{negative} \times \text{negative} = \text{positive}$

              Продолжите шаблон:

              $ $ \начать{массив}{г} 2 & \times & -3 & = & -6\\ 1 & \times & -3 & = & -3\\ 0 & \times & -3 & = & 0\\ -1 & \times & -3 & = & ? & (\текст{Ответ} = 3 )\\ -2 & \times & -3 & = & ? & (\текст{Ответ} = 6 )\\ -3 & \times & -3 & = & ? & (\текст{Ответ} = 9)\\ \конец{массив} $$

              Число справа постоянно увеличивается на 3.

              $\endgroup$

              9

              $\begingroup$

              Что ж, если бы я мог объяснить это кому-то интуитивно (или, по крайней мере, попытаться), я хотел бы провести аналогию с ходьбой по реальной линии, согласившись, что ходьба налево будет идти в отрицательном направлении и идти прямо в положительном направлении.

              Затем я попытаюсь передать идею о том, что если вы умножаете два числа (предположим, что они целые, чтобы было проще представить), то произведение $2*3$ просто означает, что вы должны идти прямо (в положительном направлении) расстояние в 2$ (например, мили) три раза, то есть сначала вы проходите 2$ мили, затем еще 2$ мили и, наконец, еще 2$ мили вправо.

              Теперь вы представляете, где вы находитесь? Ну, вы справа от начала координат, так что вы находитесь в положительной части. Но точно так же вы можете обыграть эту идею с негативом, умноженным на позитив.

              Имея в виду тот же пример, что будет означать $-2*3$? Во-первых, предположим, что $-2$ просто указывает, что вам придется пройти налево расстояние в $2$ миль. Тогда сколько раз вы пройдете это расстояние? Так же, как и раньше, раз на $3$, и в конце концов вы окажетесь на $6$ миль левее исходной точки, так что вы окажетесь в отрицательной секции.

              Наконец, вам нужно попытаться представить, что может означать $(-2)*(-3)$. Может быть, вы могли бы подумать о отрицательном знаке во втором факторе, означающем, что вы меняете направление, то есть заставляет вас развернуться и начать идти указанное расстояние. Таким образом, в этом случае $-2$ говорит вам пройти налево расстояние в $2$ миль, но $-3$ говорит вам сначала развернуться, а затем пройти $3$, умноженные на $2$ миль, в другом направлении, так что вы в конечном итоге пойдете вправо и закончите в точке, которая находится в $6$ милях справа от начала координат, так что вы окажетесь в положительном сечении, и $(-2)*(-3) = 6$.

              Я не знаю, поможет ли это, но это единственный способ, которым я могу думать об этом в каком-то интуитивном смысле.

              $\endgroup$

              1

              $\begingroup$

              Кто-то недавно прислал мне это:

              Я даю вам три купюры по 20 долларов: +3 * +20 = +\$60 для вас
              Я даю вам три долга по 20 долларов: +3 * -20 = -\60 долларов для вас
              Я беру от вас три купюры по 20 долларов: -3 * +20 = -\$60 для вас 9{\Large =\,0})(\color{#c00}{-y}) + xy = xy$

              Эквивалентно, $ $ оценить $\rm\,\ \overline{(-x)(-y) \ +\ } \overline{ \underline {\color{#c00}{x(-y)}}}\underline{\phantom{(}\! +\,\color{#0a0}{xy}}\, $ в $\:\!2\:\!$ способами (обратите внимание на подчеркнутые термины $ = 0)$

              Сказано больше концептуально $\rm (-x)(-y)\ $ и $\rm\ :\color{#0a0}{xy}\:$ являются аддитивными инверсиями $\rm\ \color{#c00}{x(-y)}\ $, поэтому они равны в силу единственности инверсий: $ $ т. е. если $\rm\,\color{#c00}a\,$ имеет две аддитивные обратные $\rm\,{-a}\,$ и $\rm\,\color{#0a0}{-a}, \,$ затем 9{\ large = \, 0} + \ color {# 0a0} {-a} \, = \, \ color {# 0a0} {-a} \ qquad $ $

              Эквивалентно, $ $ оценить $ \ rm \ ,\ \overline{-a\, +\!\!} \overline{\phantom{+}\! \underline {\color{#c00}{a}}}\underline{\ + \color{#0a0}{-a}}\ $ $\,2\,$ способами (обратите внимание на подчеркнутые термины $ = 0 )$

              В этом доказательстве Закона Знаков используются хорошо известные законы натуральных чисел (особенно распределительный закон ), поэтому, если мы потребуем, чтобы эти законы сохранялись в других «числовых» системах, то Закон Знаков является логическим следствием этих основных законов (абстрагированных от законов (положительных) целых чисел).

              Эти фундаментальные законы «чисел» аксиоматизированы алгебраической структурой, известной как кольцо, и различными ее специализациями. Поскольку приведенное выше доказательство использует только кольцевых закона (в первую очередь дистрибутивного закона ), закон знаков выполняется в каждом кольце, например. кольца полиномов, степенные ряды, матрицы, дифференциальные операторы и т. д. На самом деле каждая нетривиальная кольцевая теорема (т. е. та, которая не вырождается в теорему о лежащей в основе аддитивной группе или мультипликативном моноиде) должна использовать дистрибутивный закон, поскольку это единственный закон, который связывает аддитивную и мультипликативную структуры, которые в совокупности образуют кольцевую структуру. Без дистрибутивного закона кольцо вырождается в множество с двумя совершенно не связанными между собой аддитивной и мультипликативной структурами. Итак, в каком-то смысле распределительный закон — это краеугольный камень кольцевой структуры.

              Замечание $\ $ В более общем случае Закон знаков выполняется для любых нечетных функций под композицией, т.е. многочлены, все члены которых имеют нечетную степень. Действительно, у нас есть

              $$\begin{align}\rm f(g)\ =\ (-f)\ (-g)\ =\:\! -(f(-g)) \iff\,&\rm \ f(-g)\ = -(f(g))\\ \rm \overset{ \large g(x)\,=\,x}\iff&\rm \ f(-x)\ = -f(x),\ \ \text{т. е. $\rm\:f\:$ нечетно} \end{align}\qquad$$

              Обычно такие функции имеют только более слабую рядом с — кольцевая структура. В приведенном выше случае колец из дистрибутивности следует, что умножение линейно, следовательно, нечетно (рассматривая кольцо в стиле Кэли как кольцо эндоморфизмов своей абелевой аддитивной группы, т. е. представление каждого кольцевого элемента $\rm\r\$ линейным отображением $\rm\x\to r\x,\$ т. е. как $1$-мерная матрица).

              $\endgroup$

              5

              $\begingroup$

              Я думаю, что многие ответы либо слишком просты, либо слишком сильно отклоняются от математики. Просто помните, что умножение — это многократное сложение. При работе с отрицательными числами это становится повторным вычитанием.

              Я бы просто сказал в этом контексте:

              1. Уравнение: $$\begin{уравнение*}\begin{массив}{c} \фантом{\times9}2\\ \подчеркнуть{\раз\фантом{9}2}\\ \фантом{\times9}4\\ \end{массив}\end{уравнение*}$$ просто добавляет положительный $ 2 $, два раза.

              2. Уравнение: $$\begin{уравнение*}\begin{массив}{c} \фантом{\times999}2\\ \подчеркнуть{\раз\фантом{1}-2}\\ \фантом{\times9}-4\\ \end{массив}\end{уравнение*}$$ это просто добавление положительных $2$, отрицательных два раза, что означает, что вместо добавления в положительном направлении вы добавляете в отрицательном направлении (вычитание).

                Вы также можете просто сказать, что добавляете $-2$ (или вычитаете $2$) два раза.

              3. Уравнение: $$\begin{уравнение*}\begin{массив}{c} \фантом{\times9}-2\\ \подчеркнуть{\раз\фантом{1}-2}\\ \фантом{\times999}4\\ \end{массив}\end{уравнение*}$$ добавляет $-2$, минус два раза. Добавление $-2$ два раза дает диаграмму в (2). Поскольку вам нужно сложить с минусом два раза, вы измените направление сложения.

                Можно также сказать, что вы вычитаете $-2$ два раза.

              $\endgroup$

              5

              $\begingroup$

              Простой ответ: $$ (-а)б + аб = (-а)б + аб $$ $$(-a)b + ab = b(a-a) $$ $$(-a)b + ab = b(0) $$ $$(-a)b + ab = 0 $$ $$(-a)b = -ab $$ $$(-a)(-b) + (-ab) = (-a)(-b) + (-a)b $$ $$(-a)(-b) + (-ab) = (-a)(b-b) $$ $$(-a)(-b) + (-ab) = (-a)(0) $$ $$(-a)(-b) + (-ab) = 0 $$ $$*(-a)(-b) = аб $$ Надеюсь, это поможет (Кредит исчисления Майкла Спивака)

              ~ Алан

              $\endgroup$

              3

              $\begingroup$

              Это действительно один из тех важных вопросов, которые заставляют многих людей говорить: «Математика — отстой!». На самом деле, для многих студентов математика потеряла смысл где-то в процессе. Медленно или драматично они сдавались на поле как безнадежно непонятном и сложном и вырастали взрослыми, которые, уверенные в том, что другие разделяют их опыт, небрежно заявляют: « Математика была просто не для меня » или « Я никогда не был хорош в этом. ” Обычно процесс идет постепенно, но для Рута Макнейл, поворотный момент был четко определен. В статью в Journal of Mathematical Behavior, она описал как это было:

              Меня привлекла идея, что отрицательное число раз отрицательное число превращается в положительное количество. Это казалось (и до сих пор кажется) по своей сути маловероятно — контринтуитивно, как говорят математики. Я боролся с идеей того, что я себе представляю несколько недель, пытаясь получить разумное объяснение от моего учителя, моих одноклассников, моих родителей, любого- тело. Какие бы объяснения они ни предлагали, они не могли преодолеть мое сильное чувство, что умножение что-то усиливает, и, таким образом, два отрицательных числа умноженные вместе должны должным образом давать очень отрицательный результат. С тех пор мне предложили умеренно убедительное объяснение, в котором фигурирует фильм бассейн осушается, что возвращается назад- палаты через проектор. Однако в то время меня ничего не убедило. Самый здравый смысл все школьные предметы отказались от здравого смысла; Я был возмущен и сбит с толку.

              Тем временем учебная программа продолжалась, и я мог видеть, что я не могу оставаться позади, застряв на отрицательном тивные времена отрицательные. я бы обратил внимание на следующая тема и единственный практический курс, открытый для Мне нужно было притвориться, что согласен с тем, что отрицательные времена отрицательные. тивное равно положительному. Книга и учитель и общее мнение выживших после алгебры так- общество было явно более могущественным, чем я. я капито- поздно Я сделал остальную часть алгебры, и геометрии, и тригонометрия; Я делал их в продвинутых разделах, и у меня часто возникало приятное чувство «ага!» когда я мог внезапно увидеть, как придет доказательство вне. Но под ней какая-то обида и затаилось предательство, и я не удивился и не встревожился из-за дальнейших глупостей моих учителей математики рукава… Интеллектуально я был свободен, и когда математика стала не нужна, я взял немецкий вместо.


              В этом ответе я покажу, что: отрицательный $\times$ отрицательный $=$ положительный на самом деле совсем не противоречит здравому смыслу! Есть много способов, которые мы можем использовать, чтобы показать этот результат, но я хотел бы показать мой личный способ думать о последнем.

              Представим, что мы сидим у дороги, а рядом с ней движется автомобиль с постоянной скоростью. У нас также есть часы, и поэтому мы можем измерять время.

              Прежде чем двигаться дальше, мы должны сначала указать некоторые предположения, например, если автомобиль движется вправо, то его скорость будет положительной, а если он движется в левом направлении, то его скорость будет отрицательной.

              Теперь представьте, что у вас есть видео с показанной выше сценой, и время положительно, если вы воспроизводите видео в обычном режиме, но отрицательно, если вы воспроизводите его в обратном порядке. Мы также знаем следующее: $$\rm Velocity=\dfrac{\rm Distance}{\rm Time}.$$ Находя расстояние, получаем: $$\rm Velocity\times{\rm Time}={\rm Distance}.$$ Здесь наступает важная часть, если машина движется в направлении $+$ и время воспроизведения видео положительное, т.е. видео воспроизводится нормально, то вы увидите, что машина движется в направлении $+$ и вы подсчитаете, что он перемещается на «положительное расстояние». Поэтому верно следующее: $$\rm положительный\times положительный=положительный.$$

              Если машина движется в направлении $-$ и время воспроизведения видео положительное, т.е. видео воспроизводится нормально, то вы увидите, что машина движется в направлении $-$, тогда вы посчитаете, что он перемещается на «отрицательное расстояние». Таким образом: $$\rm отрицательное\раз положительное=отрицательное.$$

              Если же автомобиль движется в направлении $+$, но время воспроизведения видео отрицательное, т.е. видео воспроизводится в обратном направлении, то вы увидите, что машина движется в направлении $-$, и вы подсчитаете, что она перемещается на «отрицательное расстояние». Таким образом: $$\rm положительное\times отрицательное=отрицательное.$$

              Если машина движется в направлении $-$, но время воспроизведения видео отрицательное, т.е. видео воспроизводится в обратном направлении, вы увидите, что машина движется в направлении $+$! Таким образом, он перемещается на «положительное расстояние». И, следовательно,: }}}$$ Как вы уже убедились, нужно лишь немного воображения, чтобы понять смысл.

              Надеюсь, это поможет.
              С наилучшими пожеланиями, $\mathcal H$akim.

              $\endgroup$

              3

              $\begingroup$

              Элементарную интуицию, стоящую за произведением двух отрицаний, можно представить следующим образом. У вас есть банковский счет. Вы оплачиваете 3 счета по 40 долларов каждый, на ваш счет зачисляется 3$ \cdot (-40) = -120$.

              Противоположностью выставления счетов будет выставление счетов кому-то другому.

              Итак, если вы выставите счет трем людям по 40 долларов каждому, на ваш счет будет добавлено $(-3) \cdot (-40)$. Это значение должно быть положительным, поскольку в результате вы получаете деньги.

              $\endgroup$

              $\begingroup$

              Вот доказательство. Во-первых, для всех $x$ $x\cdot 0=x\cdot(0+0)=x\cdot 0 +x\cdot 0$. Вычитая $x\cdot0$ с каждой стороны, $x\cdot0=0$. Теперь для всех $x$ и $y$ $0=x\cdot0=x\cdot(-y+y)=x\cdot(-y)+x\cdot y$. Вычитая $x\cdot y$ с обеих сторон, $x\cdot(-y)=-(x\cdot y)$. Применяя это дважды вместе с тождеством $-(-a)=a$, $(-x)\cdot(-y)=-(-x)\cdot y=-(-(x\cdot y))=x \cdot у$.

              Ваше доказательство неявно использует тот факт, что $-xy=(-x)y$, и предполагает, что есть только две возможности, $xy$ или $-xy$, а затем показывает, что последнее невозможно. Это кажется правдоподобным предположением, но я старался быть очень осторожным в своем доказательстве выше (таким образом, используя $-(x\cdot y)$, а не просто $-xy$, чтобы не путать с $(-x)\cdot y$ ).

              У меня есть только смутное интуитивное представление, которое я, вероятно, не могу хорошо объяснить, но я иногда думаю об отрицательном числе, таком как $-5$, как о «$5$ в другом направлении», и поэтому умножаю на $-5$ означает «умножить на $5$ и изменить направление», т. е. знак. Это означает, что если вы умножаете $-5$ на отрицательное число, вы должны изменить его направление обратно на положительное.

              $\endgroup$

              0

              $\begingroup$

              Я всегда рассматривал отрицательные числа как «переворот» на числовой прямой.

              Например, -2 то же самое, что и 2, но отражено с другой стороны от нуля.

              Умножение тогда работает следующим образом:

              2 x 3 не имеет переворотов, так что это просто 2×3 = 6.

              -2 x 3 имеет один переворот, поэтому вы начинаете с 2×3 = 6, но с одним переворотом, так что получается -6 вместо.

              2 x -3 то же самое, только один переворот, поэтому 2×3 = 6, но перевернутый до -6.

              -2 x -3 имеет два переворота, поэтому вы начинаете с 2×3 = 6. Когда вы применяете два переворота, вы возвращаетесь к тому, с чего начали, потому что вы переворачиваете на отрицательное значение, а затем переворачиваете обратно. Значит -3 х -2 = 6,

              $\endgroup$

              $\begingroup$

              Довольно хорошее объяснение состоит в том, что кто-то хочет, чтобы закон распределения работал вообще с положительными величинами, когда вы добавляете (меньшие) отрицательные величины: Если $x>a\ge0$ и $y>b\ge0$, то $$ (xa)(yb)=(x+(-a))(y+(-b))=xy+(-a)y+x(-b)+(-a)(-b) $$ Чтобы это всегда работало, нужно $(-a)y=-(ay)$ в случае $b=0$, $x(-b)=-xb$ в случае $a=0$ и $(- а)(-б)=аб$.

              $\endgroup$

              $\begingroup$

              Я думаю, что x и y немного мешают; вы можете увидеть важные шаги, используя только 1 и -1. На самом деле вы показали, что (-1)(-1)=-1 приводит к противоречию. Если мы разделим на -1, то получим -1=1, что неверно!

              Чтобы получить правильный ответ (-1)(-1)=1, нужно сделать еще пару шагов: Во-первых, вы должны согласиться с тем, что (1)+(-1)=0, (1)(-1)=- 1 и (0)(-1)=0.

              Теперь умножим первое уравнение на (-1) и воспользуемся свойством распределения, чтобы получить (-1)(-1)+(-1)(1)=(-1)(0). Теперь упростим известные нам части, чтобы получить (-1)(-1)+(-1)=0. Решите для (-1)(-1), и вы получите (-1)(-1)=1.

              Итак, мы должны иметь (-1)(-1)=1, если мы принимаем основные правила арифметики: 0 — аддитивная единица, 1 — мультипликативная единица, -1 — аддитивная обратная единице, а умножение распределяется по добавление.

              Одним из физических объяснений отрицательного * отрицательного = положительного, которое людям часто нравится, является коэффициент умножения. Вы можете снимать человека, идущего вперед (положительный показатель) или задом наперёд (отрицательный показатель). Теперь воспроизведите фильм, но в обратном порядке (еще одна отрицательная скорость). Что вы увидите, если воспроизведете фильм о том, как кто-то идет задом наперёд? Вы видите человека, идущего вперед, потому что отрицательно*отрицательно=положительно!

              $\endgroup$

              $\begingroup$

              Расширение действительных чисел до комплексной плоскости. Умножение на $-1$ — это поворот на $\pi$ радиан. Когда вы умножаете на два минуса, вы поворачиваете на $2\pi$. 🙂

              $\endgroup$

              $\begingroup$

              Необходимо понимать, что этот закон нельзя доказать так же, как можно доказать законы положительной рациональной и интегральной арифметики. Причина этого в том, что у негативов нет никакого «внешнего» (внешнего по отношению к математике, т.е. доаксиоматическое, интуитивное, концептуальное, эмпирическое, физическое, и т. д. ) определение.

              Например. Даже не вдаваясь в аксиомы Пеано, я могу доказать, что, где $a$ и $b$ — натуральные числа, $ab=ba$. Действительно, $ab$ — это просто процесс взятия $a$ наборов из $b$. Возьмем по одному элементу из каждого из этих наборов, сформировав таким образом набор из $a$ элементов. Повторите это $b$ раз: вы явно израсходуете ровно все элементы и получите $b$ наборов из $a$ элементов, другими словами, $ba$. Подобные неформальные (но вполне убедительные, разумные и, я бы сказал, неопровержимые) рассуждения можно использовать, скажем, для демонстрации правил обращения с положительными дробями.

              Обратите внимание, что в приведенном выше абзаце я использовал тот факт, что как положительные целые числа, так и положительное целочисленное умножение имеют доаксиоматическое, «физическое» определение.

              Спросите кого-нибудь, почему произведение двух отрицательных чисел положительно, и лучшее, что они могут сделать, это объяснить , а не доказать . «Ну, отрицательный вид означает «противоположное», поэтому сделать противоположное дважды означает сделать обычное, то есть положительное» не является доказательством, а просто объяснением, служащим для того, чтобы сделать общепринятую математическую аксиому менее удивительной. Другая распространенная начинается со слов «мы хотели бы, чтобы обычные свойства арифметики сохранялись, поэтому предположим, что они выполняются…», но затем остается объяснить, почему так важно, чтобы выполнялись обычные законы арифметики. Сам Эйлер в одной из первых глав своего учебника по алгебре дал следующие в высшей степени сомнительное обоснование. Обосновав $(-a)b=-(ab)$ аналогиями с долгами, он пишет:

              Осталось решить случай, в котором — умножается на -; или, например, -a на -b. Что касается букв, на первый взгляд очевидно, что произведение будет ab; но сомнительно, чтобы знак + или знак — был поставлен перед ним, все, что мы знаем, это то, что это должен быть один или другой из этих знаков. Теперь я говорю, что это не может быть знак -: ибо -а на +b дает -ab, а -а на -b не может дать того же результата, что -а на +b…

              При всем уважении к Эйлеру (особенно с учетом того, что это было задумано как вводный учебник), я думаю, мы можем согласиться с тем, что это довольно сомнительный с философской точки зрения аргумент.

              Причина, по которой это невозможно, заключается в том, что не существует доаксиоматического определения того, чем на самом деле является отрицательное число или отрицательное умножение. О, вы, вероятно, могли бы придумать определение, включающее противоположные «направления» и понятия симметрии, но это было бы совершенно искусственным и вовсе не очевидно «лучшим» определением. На мой взгляд, негативы в конечном счете лучше всего понимать как чисто абстрактные объекты. Так уж получилось — и это весьма загадочно — что эти совершенно абстрактные законы расчета приводят к физически значимым результатам. Это было прекрасно выражено в 1778 году математиком Джоном Плейфером, когда он обращался к тогдашним спорным вопросам об отрицательных и комплексных числах:0003

              Вот парадокс, который еще предстоит объяснить. Если операции этой воображаемой арифметики непонятны, то почему они не совсем бесполезны? Является ли исследование настолько механическим искусством, что его можно проводить с помощью определенных ручных операций? Или истина так легко открывается, что интеллект не нужен для успеха наших исследований?

              Цитируется по книге «Отрицательная математика: как математические правила могут быть положительно изогнуты» Альберто А. Мартинеса.

              Один из способов решения проблемы состоит в том, что отрицательных числа — это другое название для вычитания . Различия между вычитанием и сложением вынуждают нас, если мы отвергаем отрицания, создавать множество различных правил, охватывающих все различные возможности ($a — b$, $b — a$ и $a + b$, и если конкретная теорема или проблема включает более двух переменных, сложность усугубляется еще больше…). Идею отрицаний можно описать как понимание того, что вместо двух операций и одного типа числа у нас может быть одна операция и два вида числа . В самом деле, если вы начнете с некоторых совершенно физически значимых аксиом о вычитании, вы обнаружите, что закон $(-1)(-1)=1$, по-видимому, подразумевается в них. Подсказка: исходя из очень разумных аксиом $a(b-c)=ab-ac\ ,\ a — (b — c) = a — b + c$, рассмотрим произведение $(a-b)(c-d)$.

              Но и это объяснение меня не вполне удовлетворяет. Я пришел к убеждению, что мое образование обмануло меня в том, насколько глубока идея отрицательных чисел, и я ожидаю, что они останутся озадаченными еще много лет. В любом случае, я надеюсь, что что-то из вышеперечисленного будет кому-то полезно.

              $\endgroup$

              3

              $\begingroup$

              Возможно, можно получить некоторую интуицию, нанеся на числовую прямую положение каждого числа. Инверсия любого числа визуализируется путем зеркального отображения исходного графика. Таким образом, обратным положительному числу (точке справа от нуля) является отрицательное число (точка слева от нуля на том же расстоянии от нуля). Точно так же обратное отрицательному числу является положительным числом. Если мы согласимся с тем, что умножение числа на -1 — это то же самое, что и нахождение обратного числа, то мы увидим, что произведение двух отрицательных чисел должно быть положительным, потому что зеркальное отражение зеркального изображения — это исходное изображение. 9{-1}а\cточка б$$ $$(1)а\cdot б$$ $$=a\cdot b$$

              $\endgroup$

              3

              $\begingroup$

              Я предпочитаю объяснение моего любимого математика В. И. Арнольда (на самом деле физика, поскольку, по его собственным словам, «математика есть часть физики» и «экспериментальная наука»). Я считаю, что это наиболее естественное (но полностью математическое) объяснение такого базового понятия, как умножение отрицательных чисел.

              Это отрывок из замечательных мемуаров Арнольда «Вчера и давно» (3-е изд. , доступно на английском языке в Springer), полных всемирной истории, драмы и остроумного повествования. Перевод 2007 года на английский, я считаю, не самого лучшего качества, но пока единственный.

              из рассказа Семья Арнольдов

              Я столкнулся с настоящей трудностью со школьной математикой через несколько лет после таблицу умножения: нужно было выучить, что «минус умножить на минус будет плюс» Я хотел знать доказательство этого правила; Я никогда не мог выучить наизусть то, что неправильно понял. Я попросил отца объяснить, почему (—1) • (—2) = (+2). Он, будучи учеником великих алгебраистов С. О. Шатуновского и Э. Нётер, дал следующее «научное объяснение»: «Точка — сказал он, — что числа образуют поле такое, что дистрибутив закон (x+y)z=xz+yz выполняется. А если бы произведение минус на минус не имело был бы плюс, этот закон был бы нарушен».

              Однако для меня это «дедуктивное» (фактически юридическое) объяснение ничего не докажешь — ну и что! Можно изучать любые аксиомы! С в этот день я сохранил здоровое отвращение натуралиста к аксиоматический метод с его немотивированными аксиомами.

              Аксиомофил Рене Декарт утверждал, что «ни экспериментальные проверки что аксиомы отражают реальность, ни сравнение теоретических результатов с реальностью должны быть частью науки» (почему результаты должны соответствуют действительности, если исходные принципы не соответствуют Это?).

              Еще один тезис декартовской теории и методов воспитания даже своеобразнее и современнее: «Надо запретить все прочие методы обучения кроме моего потому что только этот метод политкорректно : с моим чисто дедуктивным методом любой скучный ученик может обучаться так же успешно, как и самый одаренный , при этом с другими методами воображение и даже рисунки используются неизбежно, и по этой причине гении продвигаются быстрее чем балбесы ».

              Вопреки дедуктивным теориям моего отца и Декарта, как десять лет, я начал думать о естественно-научном смысле правила знаков , и я пришел к следующему выводу. А действительное (положительное или отрицательное) число есть вектор на оси координаты (если число положительное, соответствующий вектор положительно направлена ​​вдоль этой оси).

              Произведение двух чисел равно площади прямоугольника, стороны которого соответствуют этим числам (один вектор вдоль одной оси и другой вдоль перпендикулярной оси в плоскости). Дан прямоугольник упорядоченной парой векторов, обладает как часть плоскости определенная ориентация (поворот от одного вектора к другому может по часовой или против часовой стрелки). Вращение против часовой стрелки есть обычно считается положительным, и тогда вращение по часовой стрелке отрицательный. И, наконец, площадь параллелограмма (например, прямоугольник), порожденный двумя векторами х и х (снято в определенного порядка), исходящих из одной точки плоскости, считается быть положительным , если пара векторов (взятых в этом порядке) определяет положительная ориентация плоскости (и отрицательная, если поворот от направления вектора х к направлению вектора у отрицательный).

              Таким образом, правило знаков — это не аксиома, взятая на ровном месте, а становится естественным свойством ориентации что легко проверить экспериментально.

              из рассказа Аксиоматический метод

              Моя первая проблема в школе была вызвана правилом умножения отрицательных чисел, и я попросил отца объяснить это своеобразное правило.

              Он, как верный ученик Эмми Нётер (и, следовательно, Гильберта и Дедекинд) начал объяснять своему одиннадцатилетнему сыну принципы аксиоматической науки: определение выбирается таким, чтобы распределительная идентичность a(b+c)=ab+ac сохраняется.

              Аксиоматический метод требует принятия любой аксиомы с надеяться, что его следствия будут плодотворными (вероятно, это может быть понял к тридцати годам, когда можно было бы читать и оцените «Анну Каренину»). Отец тоже ни слова не сказал о ориентированная площадь прямоугольника или около любой нематематической интерпретация знаков и продуктов.

              Это «алгебраическое» объяснение не могло поколебать ни моего сердечного любовь к отцу или глубокое уважение к его науке. Но с тех пор время мне не нравился аксиоматический метод с его немотивированным определения. Вероятно, именно по этой причине к этому времени я получил привыкли разговаривать с неалгебраистами (вроде Л. И. Мандельштама, И. Тамм, П.С. Новиков, Э.Л. Файнберг, М.А. Леонтович, А.Г. Гурвич), которые относились к несведущему собеседнику с полным уважением и пытались объяснить нетривиальные идеи и факты различных наук, таких как как физика и биология, астрономия и радиолокация.

              Отрицательные числа я понял год спустя, когда выводил «уравнение времени», учитывающее поправку на продолжительность суток, соответствующая времени года. Это невозможно объяснить алгебраистам, что их аксиоматический метод в основном бесполезна для студентов.

              Надо спросить у детей: во сколько завтра будет прилив, если сегодня в 15:00? Это посильная задача, и она помогает детям понимать отрицательные числа лучше, чем алгебраические правила. Однажды я читал у античного автора (вероятно, у Геродота), что приливы «всегда бывают три и девять часов». Чтобы понять, что месячный вращение Луны вокруг Земли влияет на график приливов и отливов. нет необходимости жить рядом с океаном. Здесь не в аксиомах заложена истина математика.

              $\endgroup$

              4

              $\begingroup$

              Почему бы нам не рассказать историю ! Банда подлых Далтонов на свободе, но Эл Катчем идет по их следу и чуть не настигает их во время последнего ограбления. При выезде с парковки есть несколько вариантов:

              • Эл быстр, справляется со своей задачей и ловит дальтоны,
              • Машина Ала глохнет, и Далтоны убегают,
              • Далтонам рано сообщают об этом и они убегают, или
              • Машины Далтона глохнут, они захвачены, а город спасен.

              Итого:

              • положительный $\times$ положительный: Если хорошая вещь случается с хорошим человеком , это хорошо! 🙂
              • отрицательный $\times$ положительный: Если плохая вещь случается с хорошим человеком , это плохо. 🙁
              • положительный $\times$ отрицательный: Если хорошая вещь случается с плохим человеком , это тоже плохо. 🙁
              • отрицательный $\times$ отрицательный: Но если плохая вещь случается с плохим человеком , это хорошо !! 🙂

              $\endgroup$

              11

              $\begingroup$

              Я бы объяснил это цифрами.

              Во-первых, чтобы установить, что положительное, умноженное на отрицательное, равно отрицательному: $3 \times 2 = 6, 3 \times 1 = 3, 3 \times 0 = 0$. Обратите внимание, что в каждом случае, когда мы уменьшаем второй фактор на 1, продукт уменьшается на 3. Таким образом, для согласованности следующий продукт в шаблоне должен быть $0 — 3 = -3$. Следовательно, у нас есть $3 \times (-1) = -3, 3 \times (-2) = -6$, а также отрицательное значение для любого другого положительного числа, умноженное на отрицательное.

              Во-вторых, чтобы установить, что отрицательное, умноженное на отрицательное, является положительным: теперь мы знаем, что $3 \times (-2) = -6, 2 \times (-2) = -4, 1 \times (-2) = — 2, 0 х (-2) = 0$. Обратите внимание, что в каждом случае, когда мы уменьшаем первый множитель на 1, произведение увеличивается на 2. Таким образом, для согласованности следующим произведением в шаблоне должно быть $0 + 2 = 2$. Следовательно, мы имеем $(-1) \times (-2) = 2, (-2) \times (-2) = 4$, а также положительное значение для любого другого отрицательного числа, умноженное на отрицательное.

              $\endgroup$

              2

              $\begingroup$

              Я бы выбрал переворачивающее объяснение отрицательных чисел: умножение на отрицательное число переворачивает с положительного на отрицательное и с отрицательного на положительное.
              Представьте, он понимает, что умножение на 1 не имеет значения, тогда все очень просто:
              -1 * 1 = -1 может означать две вещи (для детей факт коммутативности умножения очевиден):
              — либо сохраняет -1 как -1
              — либо переворачивает +1 (положительное число) в отрицательную сторону

              -1 * (-1), либо просто переворачивает обратно с отрицательной в положительную сторону.

              Удачи

              $\endgroup$

              $\begingroup$

              Если ваш сын имеет четкое представление о деньгах и знает, что такое кредитная карта, это может быть хорошим объяснением:

              Представьте , что вы говорите своему сыну, что купите ему $\color{green}{\mathrm Подарочные сертификаты на {семь}}$ на сумму £$\color{green}{5}$ каждый и оплатите их кредитной картой. Объясните сыну, что теперь вы должны денег, и скажите, что это $7 \times -5=-\mathrm{£}35$. Не является частью вашего вопроса; но это покрывает случай $ \text{positive} \times \text{negative} = \text{negative}$.

              Вы ужинаете со своим лучшим другом, когда приходит счет от кредитной компании. Когда ваш друг видит счет, он великодушно настаивает на том, чтобы оплатить его за вас. Теперь у вас есть подарочные купоны на £$\color{blue}{35}$, вы ничего не заплатили.

              Итак, вы говорите своему сыну, что ваш лучший друг $\color{red}{\fbox{забрал}}$ семь $\color{red}{\fbox{debts}}$ из £5$ ($\color {red}{-7}\times\color{red}{-5}$), и это равняется выигрышу в £$\color{blue}{35}$.

              $\endgroup$

              1

              $\begingroup$

              Возможно, ваш ребенок познакомился со знаком минус с помощью слова напротив . Это отличный термин для использования в ваших разговорах. В самом деле, $a$ и $-a$ являются противоположностями в том смысле, что они являются аддитивными инверсиями. На числовой прямой противоположные числа зеркально отражены на расстоянии от нуля, что также обеспечивает хорошую визуальную помощь. Мы можем использовать этот термин для описания арифметических операций:

              Число, противоположное трем, умноженным на пять, равно числу, противоположному числу 15. $$-3 \times 5 = -15$$

              Противоположное число трижды, противоположное пяти, противоположно противоположному пятнадцати… что равно пятнадцати. $$-3 \times -5 = 15$$

              Итак, мы можем использовать язык, чтобы лучше понимать отрицательные числа. А как насчет физического примера? Ну, вот симпатичный, который мне однажды рассказал друг. Немного наигранно, но думаю, что суть ясна. Вы также можете превратить это в демонстрацию.

              Предположим, кубик льда снижает температуру напитка на $1$ градус.

              Помещение трех кубиков льда в стакан понизит температуру на $3$ градуса, или $$ 3 \раз -1 = -3$$

              Удаление двух кубиков льда повысит температуру на $2$ градуса, или $$ -2 \times -1 = 2$$

              $\endgroup$

              7

              $\begingroup$

              Проще всего объяснить, используя целые числа. Предположим, что $P$ — некоторое положительное число. Тогда $-P$ отрицательно. Теперь $-2P$ — это $P$, вычтенное из $-P$, поэтому оно по-прежнему отрицательно. Вычтите еще один $P$, и вы получите $-3P$, что по-прежнему отрицательно. Аналогично для $-4P, -5P$ и так далее. Таким образом, отрицательное время, положительное, является положительным. Та же идея для положительных времен отрицательных.

              Когда дело доходит до отрицательного, умноженного на отрицательное, это немного сложнее… Но как насчет… $-P$ отрицательное, поэтому $-(-P)$ теперь положительное, переворачивая вокруг $0$. Таким образом, $-2(-P)$, добавленное к самому себе $-(-P)$, по-прежнему положительно. В общем, добавление $-(-P)$ к самому себе $Q$ раз дает $(-Q)(-P)$, что, следовательно, также положительно.

              $\endgroup$

              $\begingroup$

              1. Объясните определение отрицательных чисел.
              2. Укажите, что из определения $-x$ следует, что $-(-x) = x$.
              3. Объясните, что $-x = (-1)\times x$.
              4. Обратите внимание, что из (2) и (3) следует, что $(-1)\times(-1) = 1$.

              $\endgroup$

              4

              $\begingroup$ 9{\circ}$ против часовой стрелки, чтобы умножить на $i$.

              Но это уже другая история.

              $\endgroup$

              $\begingroup$

              Символика: $$\begin{align*} -a \times -b &= (-1 \times a)\times (-1 \times b) \\ &= -1 \раз a \раз -1 \раз b \\ &= -1 \times -1 \times a \times b \\ &= (-1 \times -1) \times (a \times b) \\ &= а \ умножить на б. \end{align*}$$

              Что происходит?:
              Рассмотрим числовую прямую. Когда я умножаю что-то на $2$, я удваиваю расстояние от $0$. Это происходит независимо от того, является ли «что-то» положительным или отрицательным. Когда я умножаю что-то на $-2$, я удваиваю расстояние от $0$ до , а переворачиваю на другую сторону числовой прямой. Например, $-2 \times 3 : 3 \rightarrow 6 \rightarrow -6$. Если я начну с отрицательного числа, оно уже находится в отрицательной половине числовой строки и будет перевернуто на положительную половину: $-2 \times -3 : -3 \rightarrow -6 \rightarrow 6$.

              То есть умножение на минус это то же самое, что два шага: умножение на вещь, как если бы она не имела минуса, затем применение знака минус. Об этом говорит символика выше: умножение на $-a$ равносильно умножению на $a$, затем на $-1$ и аналогично для $-b$. Но тогда два «переворота на другую половину числовой строки», два «$-1$», вызывают два переворота. Но два переворота что-то удаляют, а затем возвращают обратно к себе, так что два переворота на самом деле ничего не делают. Таким образом, $-1 \times -1$ равносильно ничегонеделанию или умножению на $1$. Вот почему в приведенных выше символах мы можем опустить «$-1 \times -1$» — это то же самое, что умножить на $1$.

              $\endgroup$

              1

              $\begingroup$

              Ну… это всегда имело смысл для меня (но я обнаружил, что это не имеет смысла для других)

              A) Умножение — это сложение числа несколько раз.

              1) Отрицательные числа — это числа, которые меньше нуля. Сокращение положительных чисел. Это античисла

              Итак)i) положительное х положительное: сложите кучу положительных чисел положительное количество раз. Результат: Большой положительный прирост.

              ii) положительное x отрицательное: добавьте кучу отрицательных античисел. Результатом является большое количество потенциальных отмен. Результат: отрицательный.

              iii) отрицательное x положительное: возьмите кучу положительных чисел и уберите их. Результат: убыток; отрицательный.

              iv) отрицательный x отрицательный: возьмите кучу античисел и уберите их. Убирая отнятие, остается вернуть вещи. Если вы аннигилируете аннигиляцию, результатом будет чистая прибыль: Результат: положительный.

              $\endgroup$

              $\begingroup$

              Почему бы не посмотреть таблицу умножения? Давайте сделаем маленький, включая несколько отрицательных чисел. Конечно, вы можете сделать его больше, чтобы узоры были более четкими. Начнем с того, что мы уже знаем: $$\begin{массив}{|с|с|с|с|с|с|} \hline &\textbf{-2}& \textbf{-1} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{2} \\ \hline \textbf{-2} & & & & &\\ \hline \textbf{-1} & & & & & &\\ \hline \textbf{0} & & & 0 & 0 & 0\\ \hline \textbf{1} & & &0 &1 &2 \\ \hline \textbf{2} & & & 0& 2&4\\ \hline \end{массив}$$ Теперь давайте просто заметим, что третья строка (то есть первая заполненная единицей) постоянна — это просто набор нулей, поэтому мы должны расширить ее аналогичным образом. Четвертая строка, если читать справа налево, отсчитывает $2$, затем $1$, затем $0$, поэтому мы должны продолжать обратный отсчет, чтобы заполнить $-1$ и $-2$. Последняя строка отсчитывается по двое, поэтому она должна продолжаться до $-2$, а затем до $-4$. Давайте заполним это: $$\begin{массив}{|с|с|с|с|с|с|} \hline &\textbf{-2}& \textbf{-1} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{2} \\ \hline \textbf{-2} & & & & &\\ \hline \textbf{-1} & & & & & &\\ \hline \textbf{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline \textbf{1} & -2&-1 &0 &1 &2 \\ \hline \textbf{2} &-4 & -2& 0& 2&4\\ \hline \end{массив}$$ Если мы в каждом столбце проделаем то же самое, мы сможем заполнить таблицу. Например, первый столбец считает вверх на $2$, когда мы движемся вверх — он идет $-4$, затем $-2$, затем $0$, поэтому мы должны продолжать считать таким образом до $2$, затем $4$. Если мы применим те же рассуждения к каждому столбцу, мы можем заполнить всю таблицу $$\begin{массив}{|с|с|с|с|с|с|} \hline &\textbf{-2}& \textbf{-1} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{2} \\ \hline \textbf{-2} &4& 2& 0& -2& -4\\ \hline \textbf{-1} &2& 1& 0& -1& -2\\ \hline \textbf{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline \textbf{1} & -2&-1 &0 &1 &2 \\ \hline \textbf{2} &-4 & -2& 0& 2&4\\ \hline \end{массив}$$ И если мы проследим шаги, которые мы использовали для создания этой правильной таблицы, мы можем восстановить $(-1)\times (-1)=1$ следующим образом:

              • Во-первых, заметим, что один раз что-то оставляет эту вещь неизменной. Итак, $1\times(-1)=-1$.

              • Во-вторых, снова взглянув на таблицу, мы видим, что умножение на $(-1)$ «меняет» порядок нашего обычного счета — то есть $(-1)\times 2$ равно $-2$, тогда $( -1)\times 1$ — это еще один при $-1$ и $(-1)\times 0 =0$. Таким образом, когда мы получаем $(-1)\times (-1)$, мы должны быть на больше , чем $0$, поскольку $-1$ на один меньше , чем $0$.

              Также может быть хорошо, чтобы смотрел на стол — это очень симметрично. Мы видим, например, во втором и четвертом столбцах (умножение на $1$ и $-1$) явное изменение порядка, что более или менее говорит нам о том, что на самом деле делает умножение на $-1$.

              $\endgroup$

              0

              $\begingroup$

              Ну, я думаю об этом так. У нас есть неотрицательные целые числа (0,1,2,3,4 и т. д.).

              Мы вводим отрицательные числа и должны определить умножение с отрицательными числами, чтобы иметь внутреннюю согласованность.

              Мы хотим сохранить свойство 0*что-либо = 0, отрицательное или положительное.

              Мы также хотим сохранить дистрибутивную собственность.

              Чтобы сохранить два вышеуказанных свойства, мы вынуждены определить произведение двух отрицательных чисел как положительное.

              0*(-3) = 0

              (5 + (-5))*(-3) = 0 (подставляю 5+ (-5) вместо нуля)

              5*(-3) + (-5)*(-3) = 0 (распределительное свойство)

              добавить 5*3 к обеим сторонам. 5*3 отменяется с помощью 5*(-3)

              (-5)*(-3) = 5*3

              $\endgroup$

              Как умножать отрицательные числа

              Как умножать отрицательные числа — ACT Math

              —>

              • Войти
              • Биографии репетитора
              • Подготовка к тесту
                СРЕДНЯЯ ШКОЛА
                • ACT Репетиторство
                • SAT Репетиторство
                • Репетиторство PSAT
                • ASPIRE Репетиторство
                • ШСАТ Репетиторство
                • Репетиторство STAAR
                ВЫСШАЯ ШКОЛА
                • Репетиторство MCAT
                • GRE Репетиторство
                • Репетиторство по программе LSAT
                • Репетиторство по GMAT
                К-8
                • Репетиторство AIMS
                • Репетиторство по HSPT
                • Репетиторство ISEE
                • Репетиторство по ISAT
                • Репетиторство по SSAT
                • Репетиторство STAAR
                Поиск 50+ тестов
              • Академическое обучение
                репетиторство по математике
                • алгебра
                • Исчисление
                • Элементарная математика
                • Геометрия
                • Предварительное исчисление
                • Статистика
                • Тригонометрия
                репетиторство по естественным наукам
                • Анатомия
                • Биология
                • Химия
                • Физика
                • Физиология
                иностранные языки
                • французский
                • немецкий
                • Латинский
                • Китайский мандарин
                • Испанский
                начальное обучение
                • Чтение
                • Акустика
                • Элементарная математика
                прочее
                • Бухгалтерский учет
                • Информатика
                • Экономика
                • Английский
                • Финансы
                • История
                • Письмо
                • Лето
                Поиск по 350+ темам
              • О
                • Обзор видео
                • Процесс выбора наставника
                • Онлайн-репетиторство
                • Мобильное обучение
                • Мгновенное обучение
                • Как мы работаем
                • Наша гарантия
                • Влияние репетиторства
                • Обзоры и отзывы
                • Освещение в СМИ
                • О преподавателях университета

              Мы открыты в субботу и воскресенье!

              Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

              (888) 888-0446

              Все математические ресурсы ACT

              14 Диагностические тесты 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

              ACT Math Help » Арифметика » Целые числа » Отрицательные числа » Как умножить отрицательные числа

              Если a = –2 и b = –3, затем оцените 3 + B 2

              Возможные ответы:

              5

              17

              8

              1

              Правильный ответ:

              1

              Объяснение:

              При умножении отрицательных чисел мы получаем отрицательный ответ, если умножается нечетное количество отрицательных чисел. Мы получаем положительный ответ, если умножаем четное число отрицательных чисел.

              a 3 + b 2 становится (–2) 3 + (–3) 2 что равно –8 + 9 = 1

              0 Сообщить об ошибке

              Оценка:

              –3 * –7

              Возможные ответы:

              –10

              10

              –21

              21

              4

              Правильный Ответ:

              21

              9 . Объяснение:

              Умножение отрицательного числа на другое отрицательное число дает положительное произведение.

              Сообщить об ошибке

              Оценить.

              Возможные ответы:

              Правильный ответ:

              Объяснение:

               

              Умножение отрицательного и положительного числа дает отрицательное произведение:

                    

              Сообщить об ошибке

              Решить.

              Возможные ответы:

              Правильный ответ:

              Объяснение:

              Отрицательное число, умноженное на положительное число, всегда будет отрицательным.

              Отчет о ошибке

              Оценка 3x 3 + x 2 , если x = 2

              . 14

              Правильный ответ:

              20

              Объяснение:

              При умножении отрицательного числа нечетное число раз ответ будет отрицательным. При умножении отрицательного числа четное число раз ответ положительный. Также применяется порядок операций: Скобки, Экспоненты, Умножение и деление, Сложение и вычитание, слева направо. Мнемоника для запоминания порядка действий: «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли».

              3 ( 2) 3 + ( 2) 2

              = 3 ( 8) + (4)

              = 24 + 4

              44444444444 = 554 + 4

              4444444444 = 24 + 4

              44444444 = 24 + 4

              844444444444 = 24 + 4). 20

              Отчет о ошибке

              Упростить следующее выражение: (–4) (2) ( — 1) ( — 3)

              Возможные ответы:

              –24

              –16

              24

              12

              Правильный ответ:

              –24

              Объяснение:

              Сначала мы умножаем –4 на 2. Перемножение отрицательного и положительного числа дает отрицательное число, поэтому (–4)(2) = –8. Отрицательное, умноженное на отрицательное, является положительным, поэтому (–8)(–1) = 8. (8)(–3) = –24.

              Сообщить об ошибке

              Оцените следующее:

              Возможные ответы:

              Правильный ответ:

              Объяснение:

              Умножение двух нечетных чисел всегда дает четное число. Просто умножьте два, как если бы они были четными. Таким образом

              Сообщить об ошибке

              Уведомление об авторских правах

              Посмотреть репетиторов ACT по математике

              Наташа Мохамед
              Сертифицированный репетитор

              Малабарский христианский колледж, бакалавр наук, математика. Учебный колледж Фарука, бакалавр педагогики, преподаватель математики…

              View ACT Math Tutors

              Josiah
              Сертифицированный репетитор

              Университет Миссури-Сент-Луис, бакалавр наук, мульти-/междисциплинарные исследования, общие.

              Посмотреть ACT Репетиторы по математике

              Woo
              Сертифицированный преподаватель

              Университет Сунгюнкван в Сеуле, Корея, бакалавр технических наук, металлургическая инженерия.

              Все математические ресурсы ACT

              14 диагностических тестов 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

              Ресургоголик: умножение негатива

              «Отрицательное, умноженное на отрицательное, становится положительным». Это трудно объяснить. Мы все учили его в школе и практиковали до беглой речи, но только после того, как нас спросят почему это работает, что мы остановимся и подумаем об этом.

              Числовые линии и визуализации очень полезны при обучении сложению и вычитанию отрицательных чисел. А вот с умножением и делением не все так однозначно.

              Давайте рассмотрим несколько подходов и ресурсов.

              1 . Pattern Spotting
              Нарисуйте стандартную таблицу умножения и расширьте ее, включив в нее отрицательные числа. Это простая схема, которую все учащиеся должны уметь заметить и продолжить. Предложите учащимся сделать это, используя упражнение Колина Фостера на странице 5 его главы «Отрицательные числа».

              2. Сетки умножения
              Возьмите два двузначных числа и умножьте их вместе, используя умножение сетки. Для простоты возьмем 12 x 11:

              Здесь мы записали 12 как 10 + 2 и 11 как 10 + 1. Но было бы также хорошо, если бы мы выражали эти числа по-другому. Вместо этого давайте запишем 12 как 15 — 3 и 11 как 15 — 4. Мы должны получить тот же ответ:

              Это работает, только если -3 x -4 = 12.

              Обратите внимание, что это объяснение требует, чтобы учащиеся сначала поняли, что положительный х отрицательный = отрицательный. Это относительно просто объяснить с точки зрения многократного добавления.

              3. Доказательство
              Вот доказательство, ясное и доступное для нас, опытных математиков. Я не уверен, насколько это доступно для учащихся 7 класса, но оно того стоит.

              a и b положительные
              а + (-а) = 0
              [а +(-а)]•b = 0•b
              a•b + (-a)•b = 0
              a•b положительный. Следовательно, (-a)•b отрицательно

              б + (-б) = 0
              (-а)•[б + (-б)] = (-а)•0
              (-а)•б + (-а)•(-б) = 0
              Поскольку (-a)•b отрицательно, мы заключаем, что (-a)•(-b) положительно.

              Возможно, вместо формального доказательства начните с числового примера.

              3 + (-3) = 0
              Умножить все на -4
              3(-4) + (-3)(-4) = 0(-4)  
              -12 + (-3)(-4)  = 0  
              (-3)(-4) должно равняться 12, чтобы это утверждение было верным.  

              Дополнительная литература
              Рекомендуется прочитать о теме, прежде чем преподавать ее, даже относительно простые темы, которые вы преподавали много раз ранее. Вот несколько полезных ссылок:

              • На страницах часто задаваемых вопросов на Math Forum всегда можно найти интересные ответы: Почему отрицательное число, умноженное на отрицательное, является положительным?
              • Мне нравятся эссе Джеймса Тантона из учебного плана: Почему отрицательное время становится отрицательным положительным?
              • Я был вдохновлен на написание этого поста после просмотра отличного видео «Негатив, умноженный на негатив, это. ..» от Mathologer (мой новый любимый канал на YouTube!).
              • Стоит прочитать «Историю отрицательных чисел» от NRICH.

              Мне нравится этот клип из Stand and Deliver:

              Здесь важна формулировка. «Отрицательное, умноженное на отрицательное, равно положительному» явно предпочтительнее, чем «два минуса дают плюс». Последнее сбивает с толку и может привести к неправильным представлениям. Пример распространенной ошибки показан ниже (взято с mathmistakes.org через Nix the Tricks).

              Задачи и ресурсы
              Вот несколько рекомендаций по ресурсам по этой теме:

              • Мне очень нравится задание Дона Стюарда «Направленные пробелы в числах» — оно хорошо работает с любой группой года
              • В MathsPad есть множество головоломок с отрицательными числами, включая арифмагоны (некоторые из этих ресурсов доступны только подписчикам)
              • В главе
              • CIMT об отрицательных числах есть задания по умножению отрицательных чисел.

              Колин Фостер предлагает вам попросить учеников составить десять умножений и десяти делений, каждое из которых дает ответ –8 (например, –2 × –2 × –2 или –1 × 8 и т. д.).

              Возведение в квадрат и куб (и т.д.) отрицательных значений стоит обсудить — учащиеся должны заметить, что четная степень дает положительное значение (например, каково значение (-1) 100 ?).

              Возможно, стоит также изучить поведение калькулятора (например, некоторые калькуляторы требуют квадратных скобок при возведении в квадрат отрицательного значения). Важно, чтобы учащиеся знали, как правильно пользоваться калькулятором. Для этого есть отличный ресурс от MathsPad — Using a Calculator: Odd One Out.

              К этой теме возвращаются в последующие годы, когда учащиеся практикуют замещение. Например, если a = 3, b = -2 и c = -5, найдите значения: abc; до н.э. 2 ; (бк) 2 ; а 2 б 3 и так далее. Эта головоломка с заменой от mathsteaching. wordpress.com становится довольно сложной.

              Сообщите мне, если вы используете интересный метод или ресурс для обучения умножению отрицательных чисел.

              «Минус, умноженный на минус, дает плюс,
              Причину этого нам не нужно обсуждать»
              — Огден Нэш

              Умножить или добавить сначала? Преподавание порядка действий Правила

              Вернуться к форме

              Математика

              Фигурный посох

              9 мин Чтение

              Когда учащиеся 3-х классов и старше сначала учатся складывать, вычитать, умножать, делить и работать с основными числовыми выражениями, они начинают с выполнения операций над двумя числами. Но что происходит, когда выражение требует нескольких операций? Например, вы сначала складываете или умножаете? А умножить или разделить? В этой статье объясняется, что такое порядок операций, и приводятся примеры, которые вы также можете использовать со студентами. Он также содержит два урока, которые помогут вам представить и развить эту концепцию.

              Стандартный ключ:

              • Выполнять арифметические операции, включая сложение, вычитание, умножение и деление в обычном порядке, независимо от того, есть скобки или нет. (Класс 3)

              Порядок операций является примером очень процедурной математики. Легко запутаться, потому что это не столько концепция, которую вы осваиваете, сколько список правил, которые вы должны запомнить. Но не обманывайте себя, думая, что процедурные навыки не могут быть глубокими! В нем могут быть представлены сложные задачи, подходящие для старших школьников и созревшие для обсуждения в классе:

              • Изменяется ли правило слева направо, когда умножение подразумевается, а не прописывается? (Например, \(3g\) или \(8(12)\) вместо \(3 \times g\) или \(8 \cdot 12\).)
              • Где факториал попадает в порядок операций ?
              • Что произойдет, если вы возвели один показатель степени в другой показатель степени, но скобок нет? (Обратите внимание, что этот урок не включает показатели, хотя, если учащиеся готовы, вы можете расширить свой урок, включив их. )

              Что важнее в порядке операций?

              Со временем математики пришли к соглашению о наборе правил, называемых порядком операций , чтобы определить, какую операцию выполнять первой. Когда выражение включает только четыре основные операции, действуют следующие правила:

              1. Умножение и деление слева направо.
              2. Сложение и вычитание слева направо.

              При упрощении выражения, такого как \(12 \div 4 + 5 \times 3 — 6\), сначала вычислите \(12 \div 4\), поскольку порядок операций требует сначала вычисления любого умножения и деления (в зависимости от того, что произойдет сначала) слева направо перед оценкой сложения или вычитания. В данном случае это означает, что сначала нужно вычислить \(12 \div 4\), а затем \(5 \times 3\). Как только все умножение и деление завершены, продолжайте складывать или вычитать (в зависимости от того, что наступит раньше) слева направо. Шаги показаны ниже.

              (− a ) × (− b ) = ( a × (−1)) × (− b ) (Следствие 3)
              (− a ) × (− b 9 (05 × ) 4 = −1) × (− b )) (аксиома 6)
              (− a ) × (− b ) = a × (−01 7 955 b 9 ) (Следствие 3)
              (− a ) × (− b ) = a × b (Следствие 1)
              \(12 \дел 4 + 5 \умножить на 3 — 6\)
              \(3 + 5 \умножить на 3 — 6\) Потому что \(12 \дел 4 = 3\)
              \(3 + 15 — 6\) Потому что \(5 \х3 = 15\)
              \(18 — 6\) Потому что \(3 + 15 = 18\)
              \(12\) Потому что \(18 — 6 = 12\)

              Рассмотрим в качестве примера другое выражение:

              \(6 + 4 \times 70186
              \(6 + 28 — 3\) Потому что \(4 \times 7 = 28\), что выполняется первым, потому что сначала вычисляются умножение и деление.
              \(34 — 3\) Потому что \(6 + 28 = 34\)
              \(31\) Потому что \(34 — 3 = 31\) 9018 6 мы могли бы захотеть убедиться, что сложение или вычитание выполняется в первую очередь. Символы группировки , такие как круглые скобки \(( )\), скобок \([ ]\) или скобок \(\{ \}\) позволяют нам определить порядок выполнения конкретных операций.

              Порядок операций требует, чтобы операции внутри группирующих символов выполнялись до операций вне их. Например, предположим, что выражение 6 + 4 заключено в круглые скобки:

              \((6 + 4) \times 7 — 3\)
              \(10 \times 7 — 3\) Потому что \(6 + 4 = 10\), что делается первым, потому что оно заключено в круглые скобки.
              \(70 — 3\) Потому что \(10 \times 7 = 70\), и скобок больше нет.
              \(67\) Потому что \(70 — 3 = 67\)

              Обратите внимание, что выражение имеет совершенно другое значение! Что, если вместо этого мы заключим в скобки \(7 — 3\)?

              \(6 + 4 \умножить на (7 — 3)\)
              \(6 + 4 \умножить на 4\) На этот раз \(7 — 3\) в скобках, поэтому мы делаем это в первую очередь.
              \(6 + 16\) Поскольку \(4 \times 4 = 16\), и когда не осталось скобок, мы продолжаем умножение перед сложением.
              \(22\) Потому что \(6 + 16 = 22\)

              Этот набор скобок дает еще один ответ. Итак, когда задействованы круглые скобки, правила порядка операций следующие:

              1. Выполнять операции в круглых скобках или группировать символы.
              2. Умножение и деление слева направо.
              3. Сложение и вычитание слева направо.

              Знакомство с концепцией: порядок операций

              Прежде чем ваши учащиеся будут использовать скобки в математике, они должны четко понимать порядок операций без скобок. Начните с повторения правил сложения и умножения в порядке выполнения операций, а затем покажите учащимся, как круглые скобки могут повлиять на этот порядок.

              Материалы: Белая доска или способ писать для класса публично

              Необходимые навыки и концепции: Учащиеся должны уметь оценивать и обсуждать выражения сложения, вычитания, умножения и деления.

              • Спросить : Какую операцию выполнить первой в выражении \(5 \times 7 + 3\) ? Почему?

                Запишите выражение публично. Если студенты не согласны, попросите их объяснить, не говоря им, правы они или нет. При необходимости напомните им, что по порядку операций умножение и деление предшествуют сложению и вычитанию.

              • Спросите : Каково значение этого выражения?

                Попросите учащихся оценить выражение. \(5 \times 7 = 35\), поэтому выражение становится \(35 + 3\), что равно \(38\).

              • Спросите : Что произойдет, если я поменяю местами символы сложения и умножения? Какое значение я получу?

                Перепишите выражение как \(5 + 7 \умножить на 3\) и выполните вычисление. \(7 \times 3 = 21\), поэтому выражение становится \(5 + 21\), что равно \(26\).

              • Спросите : Получили ли мы другие значения при изменении операций?

                Этот результат, вероятно, не удивит ваших учеников. Скорее всего, они знают, что выполнение разных операций над одними и теми же числами даст разные значения. Если позволяет время и учащиеся готовы, предложите им найти выражение, в котором перестановка символов сложения и умножения, как вы сделали, дает одно и то же значение. Если кто-то из учащихся преуспеет, попросите их показать, как они получили выражения. Обратите внимание, что это возможно только тогда, когда среднее число равно 1 (например, \(5 \times 1 + 3\) или \(5 + 1 \times 3\)) или внешние числа равны (например, \(3 \times 7). + 3\) или \(3 + 7 \умножить на 3\)).

              • Спросите : Что делать, если я хочу оставить символы умножения и сложения на одном месте (\(5 \times 7 + 3\)) , но выполнить \(7 + 3\) сначала ? Как вы думаете, как я мог это сделать?

                Кратко обсудите вопрос, затем напишите на доске \(5 \раз (7 + 3)\). Обратите внимание на скобки.

              • Скажем : Мы называем эти символы скобками. Если в выражении есть скобки, сначала сделайте то, что внутри скобок.
              • Спросите : Что находится в скобках в выражении \(5 \times (7 + 3)\) ?

                Убедитесь, что учащиеся правильно понимают, что число \(7 + 3\) находится внутри скобок и что оно должно оцениваться перед вычислением с помощью \(5\).

              • Скажем : Теперь давайте закончим вычисление значения. (Значение равно \(5 \times 10\) или \(50\).) Это то же самое значение, которое мы получили раньше?

                Помогите учащимся заметить, что значение не совпадает ни с исходным выражением, ни с выражением с переключенными символами операций.

              Это подходящий момент для обсуждения математической практики с учетом точности . В математике очень важно, чтобы мы преднамеренно писали математические выражения и делали математические утверждения. Небольшие перепутывания с математическими правилами операций или скобками могут привести к радикальным изменениям! Представьте себе неправильное вычисление выражения, например, при расчете дозировки или стоимости лекарства.

              Дайте учащимся еще несколько примеров, показывающих выражение со скобками и без них. Попросите студентов-добровольцев оценить выражения и сравнить их значения. Когда учащиеся приходят к разным значениям, не говорите им, правы они или нет. Вместо этого предложите им найти сходства и различия в своих стратегиях и направьте обсуждение так, чтобы учащиеся увидели, какая стратегия соответствует правилам порядка действий.

              Разработка концепции: Порядок действий

              Материалы: Белая доска или способ записи в классе публично

              Предварительные навыки и понятия: Учащиеся должны быть знакомы с порядком действий и чувствовать себя готовыми применять его на практике.

              Продолжая обучать своих студентов работе со скобками, убедитесь, что они не всегда изменяют значение выражения, хотя часто изменяют.

              • Спросить : Какую операцию выполнить первой в выражении \(3 + 5 \times 8\) и почему?

                Запишите выражение публично. Убедитесь, что учащиеся ясно понимают, что порядок операций требует, чтобы они выполняли умножение перед сложением.

              • Спросите : Что произойдет, если я хочу добавить 3 и 5 до умножения на 8?

                Позвольте учащимся обсудить идеи о том, как изменить порядок операций. Не говорите ученикам, что они правы, а что нет. Вместо этого поощряйте математический дискурс и сравнивайте разные мнения, чтобы исправить неправильные представления. Обратите внимание, что вариантов ответов может быть много! Например, в задаче может быть явно указано «сначала добавьте 3 и 5», или исторически существовали другие способы группировки, такие как использование горизонтальных черт над выражением. Если они не упоминают скобки, напомните им, что вы делали на первом уроке.

              • Скажем : Заключив скобки вокруг \(3 + 5\) , мы говорим, что мы должны сначала сложить 3 и 5, а затем умножить на 8. Сегодня мы собираемся попрактиковаться в нахождении значения выражений с и без скобок и посмотрите, какое значение имеют скобки.
              • Напишите следующие три выражения публично, чтобы все учащиеся могли их увидеть.
                • \(3 + 6 \умножить на 2\)
                • \((3 + 6) \умножить на 2\)
                • \(3 + (6 \умножить на 2)\)
              • Произнесите : Вычислите все три выражения.

                Дайте учащимся время закончить вычисления. Затем пусть студенты-добровольцы сообщат о том, что они нашли.

              • Спросите : Вы получили одинаковое значение для всех трех выражений? Почему или почему нет?

                Учащиеся должны заметить, что выражения 1 и 3 дают одно и то же значение, а выражение 2 отличается. Обсудите, что выражение 2 требует сложения перед умножением, а выражения 1 и 3 требуют умножения перед сложением. Цель состоит в том, чтобы учащиеся увидели, что использование скобок иногда меняет значение выражения, а иногда нет.

              • Напишите следующие два выражения публично, чтобы все учащиеся могли их увидеть.
                • \((8 \дел 4) — 2\)
                • \(8 \дел (4 — 2)\)
              • Произнесите: Вычислите оба выражения.

                Дайте учащимся время закончить вычисления. Затем пусть студенты-добровольцы сообщат о том, что они нашли.

              • Спросите : Являются ли значения этих выражений одинаковыми? Почему или почему нет?

                Еще раз учащиеся должны увидеть значение использования скобок.

              • Скажите: Теперь мы попробуем задание со многими возможными решениями. Ваша цель — найти выражение, в котором можно перемещать скобки без изменения значения. Проблема заключается в том, что круглые скобки должны быть около сложения или вычитания .

                Пройдите пример. Покажите, как в двух приведенных ниже выражениях скобки окружают выражение сложения, и когда они перемещаются, значение выражения остается прежним: 7.

                • \((3 + 4) \умножить на 1\)
                • \(3 + (4 \умножить на 1)\)
              • Если это возможно, попросите учащихся работать в парах, чтобы создать дополнительные примеры. Учащимся, которые застряли, попросите их заменить 3 и/или 4 в приведенных выше выражениях.
              • Спросите : Как вы создавали выражения, которые позволяли вам «двигать» скобки? С какими проблемами вы столкнулись?

                Организуйте обсуждение различных выражений, сделанных учащимися. Предложите учащимся сравнить сходства и различия как в выражениях, которые они сделали, так и в стратегиях, которые они использовали для их выражения.

              Подведение итогов и советы по оценке

              Важно, чтобы учащиеся могли запомнить правила порядка операций как со скобками, так и без них. Избегайте давать рабочие листы механического обучения. Вместо этого ищите математические задачи, которые естественным образом приводят к выражениям, которые необходимо вычислить, например, подстановка значений в формулу, и попросите учащихся попрактиковаться в порядке выполнения операций в контексте других задач.

              ***

              Хотите повысить уверенность учащихся в математике, помимо практики математических правил порядка операций? Исследуйте HMH Into Math , наше базовое математическое решение K–8.

              Математика 3-5 классы 6-8 классы Занятия и уроки

              Дополнительная литература

              • Ричард Бланкман
                Фасонный Редактор

              • Зои Дель Мар
                Форма Посох

              Исключающее ИЛИ, сумма по модулю 2 (XOR)
              @Импликация (ЕСЛИ-ТО)
              %Обратная импликация
              =≡ (~, ↔)Эквивалентность (РАВНО)
              Логическое выражение: Вывод промежуточных таблиц для таблицы истинности
              Построение СКНФ
              Построение СДНФ
              Построение полинома Жегалкина
              Построение карты Вейча-Карно
              Минимизация булевой функции методом Квайна

              Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
              Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис.
              Для булевой функции, заданной вектором значений (например, 00111011) используйте ввод данных через таблицу.

              Правила ввода логической функции
              1. Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак +. y).
              2. Максимальное количество переменных равно 10.
              Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики — алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: «НЕ» (отрицание), «И» (конъюнкция), «ИЛИ» (дизъюнкция).
              Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
              Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2n её значения, где n – число выходных переменных.
              Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
              Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
              Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:
              • словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
              • описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
              • описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
                а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
                1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1.
                2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
                3) полученное произведение логически суммируется.
                Fднф= X123 ∨ Х1x2Х3 ∨ Х1Х2x3 ∨ Х1Х2Х3
                ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
                б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
                КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
                1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
                2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
                3) логически перемножаются полученные суммы.
                Fскнф=(X1 V X2 V X3) ∧ (X1 V X2 V X3) ∧ (X1 V X2 V X3) ∧ (X1 V X2 V X3)
                КНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг.

              По алгебраической форме можно построить схему логического устройства, используя логические элементы.

              Рисунок1- Схема логического устройства

              Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2N строк, так как существует 2N различных комбинаций возможных значений аргументов.

              Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)

              Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:
              • если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
              • если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
              Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
              не А, Ā, not A, ¬А, !A
              Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:
              A не А
              0 1
              1 0

              Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

              Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

              Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
              Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
              Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
              A B А или B
              0 0 0
              0 1 1
              1 0 1
              1 1 1

              Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

              Операция И — логическое умножение (конъюнкция)

              Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
              Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
              Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:
              A B А и B
              0 0 0
              0 1 0
              1 0 0
              1 1 1

              Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

              Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)

              Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.
              Применяемые обозначения:
              если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
              Таблица истинности:
              A B А → B
              0 0 1
              0 1 1
              1 0 0
              1 1 1

              Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

              Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

              Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.
              Таблица истинности:
              A B А↔B
              0 0 1
              0 1 0
              1 0 0
              1 1 1

              Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

              Операция «Сложение по модулю 2» (XOR,

              исключающее или, строгая дизъюнкция) Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.
              Таблица истинности:
              A B А⊕B
              0 0 0
              0 1 1
              1 0 1
              1 1 0

              Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

              Приоритет логических операций

              • Действия в скобках
              • Инверсия
              • Конъюнкция ( & )
              • Дизъюнкция ( V ), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
              • Импликация ( → )
              • Эквивалентность ( ↔ )

              Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

              Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:
              1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x1,x2,…xn).
              2. Все логические слагаемые формулы различны.
              3. Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
              4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

              СДНФ можно получить или с помощью таблиц истинности или с помощью равносильных преобразований.
              Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.

              Совершенная конъюнктивная нормальная форма

              Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:
              1. Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x1,x2,…xn).
              2. Все элементарные дизъюнкции различны.
              3. Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
              4. Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.

              1.1. Логические выражения и логические операции

              Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики).  Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).

              Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

              Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

              Примеры высказываний:

              1. Москва – столица России.
              2. Число 27 является простым.
              3. Волга впадает в Каспийское море.

              Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.

              Следующие предложения высказываниями не являются:

              • Давай пойдем гулять.
              • 2*x>8.
              • a*x2+b*x+c=0.
              • Который час?

              Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.

              С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

              Примеры высказываний:

              1. Сегодня светит солнце.
              2. Трава растет.

              Каждое из этих высказываний характеризует свойства или состояние конкретного объекта (в пермом предложении — погоды, во втором — окружающего мира). Каждое из этих высказываний несет значение «истина» или «ложь».

              В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно — 0.

              Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные — логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С.

              Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

              В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.

              Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных

              Истина

              И

              True

              T

              1

              Ложь

              Л

              False

              F

              0

              Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.

              С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

              Логическое выражение — это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

              Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсияконъюнкциядизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение. 

              Введем перечисленные логические операции.

              Конъюнкция — логическое умножение (от латинского conjunctio — союз, связь):

              • в естественном языке соответствует союзу «И»;
              • в алгебре высказываний обозначение «&»;
              • в языках программирования обозначение «And».

              Конъюнкция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И»сложное высказывание также считается ложным.

              В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам. 

              Таблица истинности

              Диаграмма Эйлера-Венна

              A

              А&В

               1

               1

              1

               1

               0

               0

               1

               0

               0

              Итак, если два высказывания соединены союзом «И», то полученное сложное высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.

               

              Дизъюнкция — логическое сложение (от латинского disjunctio — разобщение, различие):

              • в естественном языке соответствует союзу «ИЛИ»;
              • в алгебре высказываний обозначение «V» или «+»;
              • в языках программирования обозначение «Or».

              Дизъюнкция — это логическая операция, которая каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

              В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.  

              Таблица истинности

              Диаграмма Эйлера-Венна

              A

              A + B 

               1

               1

              1

               1

               0

               1

               0

               1

               1

               0

               0

               0

              Итак, если два высказывания соединены союзом «ИЛИ», то полученное сложное высказывание истинно когда истинно хотя бы одно из составляющих высказываний.

              Рассмотренные выше операции были двуместными (бинарными), т.е. выполнялись над двумя операндами (высказываниями). В алгебре логики определена и широко используется и одноместная (унарная) операция отрицание.

              Инверсия — отрицание (от латинского disjunctio — разобщение, различие):

              • в естественном языке соответствует словам «неверно, что…» и частице «не»;
              • в алгебре высказываний обозначение «¬» или «-»;
              • в языках программирования обозначение «Not».

              Отрицание — логическая операция, которая с помощью связки «не» каждому исходному высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

              В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т. е. множеству получившемуся в результате отрицания множества А соответствует множество, дополняющее его до универсального множества. 

              Таблица истинности

              Диаграмма Эйлера-Венна

              A

              ¬ А

               0

               1

               1

               0

              Итак, если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным.

               

              Логическое следование (импликация):

              Высказывание, составленное из двух высказываний при помощи связки «если . .., то …», называется логическим следованием, импликацией (импликация от латинского implico — тесно связываю). 

              A

              A=>B

               1

               1

              1

               1

               0

               0

               0

               1

               1

               0

               0

               1

              A => B 

              «Из А следует В»

              Итак, новое высказывание, полученное с помощью импликации, является ложным тогда и только тогда, когда условие (посылка А) — истинно, а следствие (заключение В) — ложно и истинно во всех остальных случаях.  

              Пример. Дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло». Требуется записать его в виде логической формулы. Обозначим через А простое высказывание «выглянет солнце», а через В — «станет тепло». Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A -> B.

               

              Эквивалентность (логическое тождество):

              Высказывание, составленное из двух высказываний при помощи связки «тогда и только тогда, когда», называется эквивалентностью (эквивалентность — логическое тождество, равнозначность, взаимная обусловленность. 

              A

              А<=>В

               1

               1

              1

               1

               0

               0

               0

               1

               0

               0

               0

               1

              A <=> B 

              «А равносильно В»

              Итак, новое высказывание, полученное с использованием эквивалентности, является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

               

              В алгебре логики логические связки и соответствующие им логические операции имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:

              Логическая связка

              Название логической операции

              Обозначения

              не

              Отрицание, инверсия

              Ø, ù

              и, а, но

              Конъюнкция, логическое умножение

              &, • , Ù

              или

              Дизъюнкция, логическое сложение

              V, +

              если …, то

              Импликация, следование

              Þ,®

              тогда и только тогда, когда

              эквивалентность, эквиваленция, равнозначность

              Û, ~, º, «

              Примеры записи сложных высказываний с помощью обозначения логических связок:

              1. «Быть иль не быть — вот в чем вопрос. » (В. Шекспир) А V ¬ A <=> В
              2. «Если хочешь быть красивым, поступи в гусары.» (К. Прутков) А => В

              Что такое булевская логика и как она используется в программировании

              Булева логика является ключевой концепцией любого языка программирования, независимо от того, создаете ли вы видеоигру на C++, разрабатываете следующее лучшее приложение на Swift, выполняете поиск в реляционных базах данных на SQL, или работа с большими данными в Python. В этой статье мы расскажем, что такое логическая логика, как она работает и как создавать собственные логические выражения.

              Что такое булева логика?

              Булева логика — это тип алгебры, в котором результаты рассчитываются либо как ИСТИНА, либо как ЛОЖЬ (известные как значения истинности или переменные истинности). Вместо использования арифметических операторов, таких как сложение, вычитание и умножение, логическая логика использует три основных логических оператора: И, ИЛИ и НЕ.

              ИСТИНА и ЛОЖЬ: их может быть только два

              За булевой логикой стоят два очень простых слова: ИСТИНА и ЛОЖЬ.

              Обратите внимание, что логическое значение TRUE или FALSE очень отличается от ввода строк «True» и «False» в ваш код. На самом деле языки программирования помещают эти два логических значения в свой собственный тип объекта, отдельный от целых чисел, строк и чисел с плавающей запятой. Но в то время как числовые или строковые значения в программировании могут быть практически бесконечными, есть только два возможных логических значения: ИСТИНА и ЛОЖЬ.

              Как это работает? Булева логика рассматривает сообщаемую связь между вещами и определяет, сохраняется ли эта связь. Например, возьмем уравнение:

              2 + 2 = 4

              Здесь у нас есть две части, 2 + 2 и 4, и мы сообщаем, что эти две части равны друг другу. Это правильно? Да, так что логический результат этого будет ИСТИНА. В этом примере комбинация двух частей 2 + 2 и 4 вместе с отношением (= равно) называется логическим выражением.

              Давайте посмотрим на другое логическое выражение:

              10 – 4 = 5

              Здесь мы сообщаем, что 4, вычитаемое из 10, равно 5. Верно? Конечно, нет, и именно поэтому это логическое выражение вернет значение FALSE.

              Boolean Expression

              Result

              2 + 2 = 5

              FALSE

              5 – 1 = 4

              TRUE

              4 * 5 > 10

              TRUE

              40 / 10 < 1

              FALSE

              Building Boolean expressions

              Keep in Имейте в виду, что булевская логика работает только тогда, когда выражение может быть ИСТИНА или ЛОЖЬ. Например, выражение 3 + 8 не является логическим выражением, потому что оно не сравнивается и не связано с чем-то другим. Но выражение 3 + 8 = 10 является логическим выражением, потому что теперь мы можем оценить каждую сторону и посмотреть, является ли отношение между ними ИСТИННЫМ или ЛОЖНЫМ (в данном случае ЛОЖНЫМ).

              Мы можем строить логические выражения со всеми видами данных, включая переменные. Например, предположим, что мы присвоили эти значения переменным x и y где-то в нашем коде:

              x равно 7
              y равно 3

              Теперь мы можем построить логические выражения, используя наши переменные:

              Логическое выражение

              Результат

              x + y < 11

              4 ЛОЖЬ0003

              x * y = 21

              TRUE

              x / y > 10

              FALSE

              x + (2 * y) = 13

              TRUE

              Логические выражения также могут определять, идентичны ли две строки. Просто помните, что большинство языков программирования чувствительны к регистру.

              Boolean Expression

              Результат

              «I Love Codecademy» = «I Love Codecademy»

              True

              «I True

              « I Love ».

              «Я люблю Codecademy» = «Я ЛЮБЛЮ Codecademy»

              FALSE

              Существует множество других способов построения булевых выражений, в зависимости от языка программирования. Например, вы можете использовать логическое выражение, чтобы определить, содержится ли число в списке в Python или текстовая строка находится в таблице базы данных SQL.

              Булевы операторы

              Теперь, когда вы понимаете основы булевых выражений, давайте рассмотрим еще один ключевой аспект булевой логики: булевы операторы. Есть три основных логических оператора: И, ИЛИ и НЕ.

              Чтобы лучше понять, как работают логические операторы, давайте на мгновение представим, что мы находимся в магазине мороженого. Скажем, мы собираемся приготовить мороженое из двух шариков с разными вкусами. Но я немного привередлив в еде, поэтому могу не принимать каждую комбинацию пломбира, которую получаю. Мы можем использовать логические выражения и логические операторы, чтобы выяснить, буду ли я есть мороженое или нет.

              AND

              Логический оператор AND используется для подтверждения истинности двух или более логических выражений.

              Например, в моем мороженом я хочу, чтобы первый вкус был шоколадным, а второй — ванильным. Мы могли бы превратить это в логическое выражение с оператором И, которое выглядит примерно так:

              Аромат_1 = Шоколад И Аромат_2 = Ваниль

              Это означает, что первый аромат должен быть шоколадным, а второй аромат должен быть ванильным. В противном случае я не буду есть мороженое.

              Мы могли бы организовать эту ситуацию в таблицу таких возможностей, как это:

              Flavor_1

              Flavor_2

              ETH SUNDAE?

              Chocolate

              Vanilla

              Yes

              Chocolate

              Strawberry

              No

              Mango

              Vanilla

              No

              Mango

              Strawberry

              No

              Tables like this are used in Boolean logic all the time. Их называют таблицами истинности, и мы можем составить одну из них для нашего примера с мороженым. Если что-то соответствует моим придирчивым условиям вкуса мороженого, то это ПРАВДА. Если нет, то это ЛОЖЬ.

              Вот как выглядела бы приведенная выше таблица в виде таблицы истинности:

              Flavor_1

              Flavor_2

              Result

              TRUE

              TRUE

              TRUE

              TRUE

              ЛОЖЬ

              ЛОЖЬ

              ЛОЖЬ

              ИСТИНА

              6 3 ЛОЖЬ

              60041

              ЛОЖЬ

              ЛОЖЬ

              ЛОЖЬ

              ИЛИ

              9

              Например, если бы я хотел, чтобы первым ароматом была клубника, а вторым ароматом был манго, то логическое выражение было бы таким:

              Аромат_1 = Клубника ИЛИ Аромат_2 = Манго

              Мы могли бы организовать возможности как:

              Аромат_1

              Аромат_2

              Ешьте мороженое?

              Strawberry

              Mango

              Yes

              Strawberry

              Cherry

              Yes

              Cherry

              Mango

              Да

              Vanilla

              Raspberry

              No

              And the truth table would look like this:

              Flavor_1

              Flavor_2

              Результат

              ИСТИНА

              ИСТИНА

              ИСТИНА

              33UE0036

              FALSE

              TRUE

              FALSE

              TRUE

              TRUE

              FALSE

              FALSE

              FALSE

              Note что оператор ИЛИ возвращает ИСТИНА, если одно из двух логических выражений истинно, а также когда оба выражения истинны. По этой причине этот оператор ИЛИ также известен как включающий оператор ИЛИ. В качестве альтернативы есть также оператор XOR (исключающее или), который возвращает ИСТИНА только тогда, когда одно из двух выражений истинно.

              NOT

              Логический оператор NOT отличается от AND и OR тем, что принимает только один аргумент. Он проверяет, является ли значение FALSE или нет. Иными словами, он меняет значения TRUE на FALSE, а значения FALSE на TRUE. Например, я ненавижу ромовый изюм и абсолютно не буду есть ничего с ромовым изюмом. Как это может выглядеть в виде таблицы?

              Вкус

              Ешь мороженое?

              Chocolate

              Yes

              Rum Raisin

              No

              The truth table looks like this:

              Flavor

              Результат

              False

              True

              True

              FALSE

              FALSE

              0082

              You can combine Boolean expressions to express my sundae preference when Rum Raisin is involved like so:

              NOT (Flavor_1 = Rum Raisin OR Flavor_2 = Rum Raisin)

              Flavor_1

              Flavor_2

              Ешьте мороженое?

              Шоколад

              Малина

              Да

              Peach

              Rum Raisin

              No

              Rum Raisin

              Mint

              No

              Rum Raisin

              Rum Raisin

              No

              Предложение ИЛИ в круглых скобках вернет TRUE для всего, что содержит ромовый изюм. Применение к нему НЕ изменит значение выражения ИЛИ с ИСТИНА на ЛОЖЬ и наоборот. Подобно операторам в арифметике, логические операторы имеют порядок старшинства: сначала обращаются к элементам в круглых скобках, затем к оператору НЕ, И и, наконец, к ИЛИ. Наша новая таблица истинности выглядит так:

              Flavor_1

              Flavor_2

              Result

              FALSE

              FALSE

              TRUE

              FALSE

              ИСТИНА

              ЛОЖЬ

              ИСТИНА

              ЛОЖЬ

              ЛОЖЬ3

              30041

              True

              True

              False

              Применение своей логики Boolean

              Итак, что следующее после изучения базовых знаний логика Boolean??

              Булева логика имеет решающее значение для создания кода, который помогает вашей программе быстро принимать решения относительно данных и входных данных, поэтому попробуйте применить свои логические знания в онлайн-курсе программирования. И если вы не уверены, какой курс выбрать следующим, взгляните на наши карьерные пути разработчиков. Мы поможем вам сосредоточиться на лучших навыках, необходимых для достижения желаемой должности.


              Курсы и учебные пособия по основам кода | Codecademy

              Хотите научиться программировать, но не знаете, с чего начать? Наша область Code Foundations предоставляет обзор основных приложений программирования и учит важным концепциям, которые вы найдете в каждом языке программирования. Этот контент подготовит вас к тому, чтобы наметить курс на более техническое обучение…

              Codecademy

              {{#сравнить сложность «==» «Новичок»}} Подходит для начинающих {{еще}} {{~#сравнить сложность «==» «Продвинутая»~}}{{/compare}} {{сложность}} {{/сравнивать}} {{урокКоличество}} Уроки

              Логические выражения — Visual Basic

              Обратная связь Редактировать

              Твиттер LinkedIn Фейсбук Эл. адрес

              • Статья
              • 3 минуты на чтение

              Логическое выражение — это выражение, результатом которого является значение логического типа данных: True или False . Булевы выражения могут принимать несколько форм. Самым простым является прямое сравнение значения логической переменной с литералом Boolean , как показано в следующем примере.

               Если новыйКлиент = Истина Тогда
                  ' Вставьте код для выполнения, если newCustomer = True.
              Еще
                  ' Вставьте код для выполнения, если newCustomer = False.
              Конец, если
               

              Два значения оператора =

              Обратите внимание, что оператор присваивания newCustomer = True выглядит так же, как выражение в предыдущем примере, но выполняет другую функцию и используется по-другому. В предыдущем примере выражение newCustomer = True представляет логическое значение, а знак = интерпретируется как оператор сравнения. В автономном операторе знак = интерпретируется как оператор присваивания и присваивает значение справа переменной слева. Следующий пример иллюстрирует это.

               Если новыйКлиент = Истина Тогда
                  новыйКлиент = Ложь
              Конец, если
               

              Для получения дополнительной информации см. Сравнение значений и заявления.

              Операторы сравнения

              Операторы сравнения, такие как = , < , > , <> , <= и >= , производят сравнение выражений в левой части логических выражений оператор к выражению в правой части оператора и оценивая результат как Верно или Ложно . Следующий пример иллюстрирует это.

              42 < 81

              Поскольку 42 меньше 81, логическое выражение в предыдущем примере оценивается как True . Дополнительные сведения об этом типе выражений см. в разделе Сравнение значений.

              Операторы сравнения в сочетании с логическими операторами

              Выражения сравнения можно комбинировать с использованием логических операторов для получения более сложных логических выражений. В следующем примере демонстрируется использование операторов сравнения в сочетании с логическим оператором.

              x > y And x < 1000

              В предыдущем примере значение общего выражения зависит от значений выражений с каждой стороны оператора And . Если оба выражения равны True , то общее выражение оценивается как True . Если какое-либо из выражений равно False , то все выражение оценивается как False .

              Операторы короткого замыкания

              Логические операторы AndAlso и OrElse проявляют поведение, известное как короткое замыкание . Оператор короткого замыкания сначала оценивает левый операнд. Если левый операнд определяет значение всего выражения, то выполнение программы продолжается без вычисления правого выражения. Следующий пример иллюстрирует это.

               Если 45 < 12 И также testFunction(3) = 81 Тогда
                  'Добавить код для продолжения выполнения.
              Конец, если
               

              В предыдущем примере оператор оценивает левое выражение, 45 < 12 . Поскольку левое выражение оценивается как False , все логическое выражение должно оцениваться как False . Таким образом, выполнение программы пропускает выполнение кода в блоке If без оценки правильного выражения, testFunction(3) . В этом примере не вызывается testFunction() , поскольку левое выражение искажает все выражение.

              Аналогично, если левое выражение в логическом выражении с использованием OrElse оценивается как True , выполнение переходит к следующей строке кода без оценки правильного выражения, поскольку левое выражение уже проверило все выражение.

              Сравнение с операторами без короткого замыкания

              Напротив, обе стороны логического оператора оцениваются, когда используются логические операторы И и Или . Следующий пример иллюстрирует это.

               Если 45 < 12 И testFunction(3) = 81 Тогда
                  'Добавить код для продолжения выполнения.
              Конец, если
               

              В предыдущем примере вызывается testFunction() , хотя левое выражение оценивается как False .

              Выражения в скобках

              Скобки можно использовать для управления порядком вычисления логических выражений. Выражения, заключенные в круглые скобки, вычисляются первыми. Для нескольких уровней вложенности приоритет отдается наиболее глубоко вложенным выражениям. Внутри круглых скобок оценка выполняется в соответствии с правилами приоритета операторов. Дополнительные сведения см. в разделе Приоритет операторов в Visual Basic.

              См. также

              • Логические и побитовые операторы в Visual Basic
              • Сравнение значений
              • Заявления
              • Операторы сравнения
              • Эффективная комбинация операторов
              • Приоритет оператора в Visual Basic
              • Логический тип данных

              Обратная связь

              Отправить и просмотреть отзыв для

              Этот продукт Эта страница

              Просмотреть все отзывы о странице

              логических выражений

              логических выражений

              Логический тип данных — bool

              В C++ тип данных bool используется для представления логических данных. Каждая константа или переменная bool содержит один из два значения: true или false .

              true и false — это две константы C++.
              true имеет значение 1 .
              false имеет значение 0 .

              Если проверочное выражение не имеет тип bool ,
              оно автоматически приводится к типу bool , когда оно оценивается.
              Ненулевое значение приводится к true , а нулевое значение приводится к false .

              Логические выражения

              Логическое выражение может быть простым логическим значением или более сложное выражение, включающее один или несколько реляционных и логических операторов. Реляционные операторы принимают два операнда и проверяют связь между ними. их. В следующей таблице показаны реляционные операторы и соответствующие символы C++.
              Реляционные операторы
              Символ С++ Описание
              == равно
              != не равно
              > больше
              < меньше
              >= больше или равно
              <= меньше или равно
              Например, логическое выражение
              номер 1
              оценивается как  true , если значение, хранящееся в  number1 ,
              меньше, чем значение, хранящееся в  number2  , и оценивается как
               ложь  иначе. 
              

              Когда оператор отношения применяется между переменными типа char , утверждение с точки зрения того, где два операнда попадают в сопоставление последовательность определенного набора символов. Например,

              символ1 <символ2
               
              оценивается как true , если значение, хранящееся в character1 , приходит перед символом, хранящимся в символ2 в последовательности сопоставления машины, на которой вычисляется выражение. Вы можете думать о последовательность сопоставления в алфавитном порядке, чтобы помочь вам понять ее. Набор символов ASCII широко используется в качестве последовательности сопоставления.

              Простое логическое выражение является либо логической переменной, либо логическим константа или выражение, включающее операторы отношения, которое оценивает либо истина или ложь . Эти простые логические выражения могут быть объединены с использованием логических операций , определенных над логическими значениями. Там три логических оператора: И, ИЛИ и НЕ . Вот таблица показывая, как они используются в C++.

              Логические операторы
              Символ С++ Описание
              && и Логический оператор:
              • А — это бинарный оператор, помещаемый между двумя булевыми выражениями.
              • Если операнд еще не является логическим выражением, он будет приведен к истинному или ложному.
              • Если оба операнда истинны, то и результат истинен.
              • В противном случае результат будет ложным.
              || Логический оператор или :
              • или — это бинарный оператор, помещаемый между двумя булевыми выражениями.
              • Если операнд еще не является логическим выражением, он будет приведен к истинному или ложному.
              • Если один или оба операнда истинны, результат истинен.
              • В противном случае, если оба операнта ложны, результат будет ложным.
              ! Логический оператор , а не .
              • Не инвертирует значение своего операнда
              • Это унарный оператор, стоящий перед операндом.
              • Если операнд еще не является логическим выражением, он будет приведен к истинному или ложному.
              • Если операнд истинен, результат ложен.
              • Если операнд ложный, результат истинный.

              Приоритет операторов

              Если реляционные операторы и логические операторы объединены в одном выражение в C++, логический оператор NOT ! имеет наивысший приоритет, реляционные операторы имеют следующий наивысший приоритет, а логические операторы И && и ИЛИ || имеют самые низкие. Выражения в скобках всегда оцениваются первыми .

              В следующей таблице приведены приоритеты всех операторов C++. мы видели до сих пор.

               Наивысший приоритет 
              |
              ( ) |
              |
              ++х --х |
              |
              ! Унарный + Унарный - |
              |
              * / % |
              |
              + - |
              |
              << >> |
              |
              < <= > >= |
              |
              == != |
              |
              && |
              |
              || |
              |
              = |
              |
              х++ х-- |
              В
               Самый низкий приоритет 
               

              Операторы в одной строке таблицы имеют одинаковый приоритет. Если выражение содержит несколько операторов с одинаковым приоритетом, большинство группы операторов слева направо. Некоторые операторы имеют различный приоритет на основе того, где переменные находятся по отношению к ним, для них x представляет переменную.

               


               

              © Департамент компьютерных наук Университета Регины.

              Правила логических выражений — Документация по базе данных векторов Milvus

              Обзор

              Выражение-предикат выводит логическое значение. Milvus проводит скалярную фильтрацию путем поиска с помощью предикатов. Выражение предиката при оценке возвращает либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ. См. Справочник по Python SDK API для получения инструкций по использованию предикатных выражений.

              Правила грамматики EBNF описывают правила булевых выражений:

               Expr = LogicalExpr | НОЛЬ
              LogicalExpr = LogicalExpr BinaryLogicalOp LogicalExpr
                            | UnaryLogicalOp LogicalExpr
                            | "("ЛогическоеВыражение")"
                            | Одновыражение;
              BinaryLogicalOp = "&&" | "и" | "||" | "или же";
              UnaryLogicalOp = "не";
              Одновыражение = ТерминВыражение | СравнитьВыражение;
              TermExpr = IDENTIFIER "in" ConstantArray;
              Константа = ЦЕЛОЕ ЧИСЛО | ПЛАВАТЬ
              КонстантаВыражение = Константа
                             | ConstantExpr BinaryArithOp
                             | UnaryArithOp КонстантаВыражение;
                                                                        
              ConstantArray = "[" ConstantExpr { "," ConstantExpr } "]";
              UnaryArithOp = "+" | "-"
              BinaryArithOp = "+" | "-" | "*" | "/" | "%" | "**";
              CompareExpr = IDENTIFIER CmpOp IDENTIFIER
                            | ИДЕНТИФИКАТОР CmpOp ConstantExpr
                            | ИДЕНТИФИКАТОР CmpOp ConstantExpr
                            | ConstantExpr CmpOpRestricted IDENTIFIER CmpOpRestricted ConstantExpr;
              CmpOpRestricted = "<" | "<=";
              CmpOp = ">" | ">=" | "<" | "<=" | "=="| знак равно
              MatchOp = "нравится" | "КАК";
               

              В следующей таблице приведено описание каждого символа, упомянутого в приведенных выше правилах логических выражений.

              Обозначение Описание
              = Определение.
              , Конкатенация.
              ; Прекращение.
              | Чередование.
              {...} Повторение.
              (...) Группировка.
              НОЛЬ Пусто. Выражение может быть пустой строкой.
              ЦЕЛОЕ ЧИСЛО Целые числа, такие как 1, 2, 3.
              ПЛАВАЮЩИЙ Числа с плавающей запятой, такие как 1.0, 2.0.
              КОНСТ Целые числа или числа с плавающей запятой.
              ИДЕНТИФИКАТОР Идентификатор. В Milvus ИДЕНТИФИКАТОР представляет имя поля.
              Логическая операция LogicalOp — это логический оператор, поддерживающий объединение более одной реляционной операции в одном сравнении. Возвращаемое значение LogicalOp либо TRUE (1), либо FALSE (0). Существует два типа LogicalOps, включая BinaryLogicalOps и UnaryLogicalOps.
              UnaryLogicalOp UnaryLogicalOp относится к унарному логическому оператору «не».
              Двоичная логическая операция Двоичные логические операторы, выполняющие действия над двумя операндами. В сложном выражении с двумя или более операндами порядок вычисления зависит от правил приоритета.
              Арифметическая операция ArithmeticOp, а именно арифметический оператор, выполняет математические операции, такие как сложение и вычитание над операндами.
              UnaryArithOp UnaryArithOp — это арифметический оператор, выполняющий операцию над одним операндом. Отрицательный UnaryArithOp изменяет положительное выражение на отрицательное или наоборот.
              Бинарарифоп BinaryArithOp, а именно бинарный оператор, выполняет операции над двумя операндами. В сложном выражении с двумя или более операндами порядок вычисления зависит от правил приоритета.
              CmpOp CmpOp — это оператор отношения, который выполняет действия над двумя операндами.
              CmpOpRestricted CmpOpRestricted ограничено значениями «Меньше чем» и «Равно».
              КонстантЭкспр ConstantExpr может быть константой или BinaryArithOp для двух ConstExpr или UnaryArithOp для одного ConstantExpr. Он определяется рекурсивно.
              Массив констант ConstantArray заключен в квадратные скобки, а ConstantExpr может повторяться в квадратных скобках. ConstArray должен включать хотя бы один ConstantExpr.
              ТерминВыражение TermExpr используется для проверки наличия значения IDENTIFIER в массиве констант. TermExpr представлен "in".
              СравнитьВыражение CompareExpr, а именно выражение сравнения, может быть реляционной операцией над двумя IDENTIFIER, или реляционной операцией над одним IDENTIFIER и одним ConstantExpr, или тернарной операцией над двумя ConstantExprs и одним IDENTIFIER.
              Одновыражение SingleExpr, а именно одиночное выражение, может быть либо TermExpr, либо CompareExpr.
              Логическое выражение LogicalExpr может быть BinaryLogicalOp для двух LogicalExpr, или UnaryLogicalOp для одного LogicalExpr, или LogicalExpr, сгруппированным в круглых скобках, или SingleExpr. LogicalExpr определяется рекурсивно.
              Выражение Expr, аббревиатура, означающая выражение, может быть LogicalExpr или NIL.
              МатчОп MatchOp, а именно оператор сопоставления, сравнивает строку со строковой константой или константой префикса строки.

              Операторы

              Логические операторы:

              Логические операторы выполняют сравнение двух выражений.

              Символ Операция Пример Описание
              'и' && и выражение1 && выражение2 Истинно, если оба выражения expr1 и expr2 верны.
              'или' || или выражение1 || выражение2 Истинно, если либо expr1, либо expr2 истинны.

              Двоичные арифметические операторы:

              Двоичные арифметические операторы содержат два операнда и могут выполнять основные арифметические операции и возвращать соответствующий результат.

              Символ Операция Пример Описание
              + Дополнение а + б Добавьте два операнда.
              - Вычитание а-б Вычесть второй операнд из первого операнда.
              * Умножение а*б Умножить два операнда.
              / Подразделение а/б Разделить первый операнд на второй операнд.
              ** Мощность а ** б Возвести первый операнд в степень второго операнда.
              % Модуль а % б Разделить первый операнд на второй и получить оставшуюся часть.

              Операторы отношения:

              Операторы отношения используют символы для проверки равенства, неравенства или относительного порядка между двумя выражениями.

              Символ Операция Пример Описание
              < Менее а < б Истинно, если a меньше b.
              > Больше а > б Истинно, если a больше b.
              == Равно а == б Истинно, если a равно b.
              != Не равно а != б Истинно, если a не равно b.
              <= Меньше или равно а <= б Истинно, если a меньше или равно b.
              >= Больше или равно а >= б Истинно, если a больше или равно b.

              Приоритет и ассоциативность операторов

              В следующей таблице перечислены приоритеты и ассоциативность операторов. Операторы перечислены сверху вниз в порядке убывания приоритета.

              Приоритет Оператор Описание Ассоциативность
              1 + - UnaryArithOp Слева направо
              2 не UnaryLogicOp Справа налево
              3 ** Двоичный АрифОп Слева направо
              4 * / % Двоичный АрифОп Слева направо
              5 + - Двоичный АрифОп Слева направо
              6 < <= > >= CmpOp Слева направо
              7 == != CmpOp Слева направо
              8 как НРАВИТСЯ MatchOp Слева направо
              9 && и BinaryLogicOp Слева направо
              10 || или BinaryLogicOp Слева направо

              Выражения обычно оцениваются слева направо. Сложные выражения оцениваются по одному. Порядок, в котором вычисляются выражения, определяется приоритетом используемых операторов.

              Если выражение содержит два или более операторов с одинаковым приоритетом, оператор слева вычисляется первым.

              Например, 10/2 * 5 будет вычислено как (10/2), а результат умножен на 5.

              Когда операция с более низким приоритетом должна быть обработана первой, она должна быть заключена в круглые скобки.

              Например, 30 / 2 + 8. Обычно это вычисляется как 30, деленное на 2, а затем к результату добавляется 8. Если вы хотите разделить на 2 + 8, это должно быть записано как 30 / (2 + 8).

              Скобки могут быть вложены в выражения. Сначала оцениваются самые внутренние выражения в скобках.

              Использование

              Примеры использования всех доступных логических выражений в Milvus перечислены ниже ( int64 представляет скалярное поле, содержащее данные типа INT64, float представляет скалярное поле, содержащее данные типа с плавающей запятой, и VARCHAR представляет скалярное поле, содержащее данные типа VARCHAR):

              1. CmpOp
               "int64 > 0"
               
               "0 < int64 < 400"
               
               "500 <= int64 < 1000"
               
               VARCHAR > "str1"
               
              1. BinaryLogicalOp и скобки
               "(int64 > 0 && int64 < 400) или (int64 > 500 && int64 < 1000)"
               
              1. TermExpr и UnaryLogicOp

              Milvus поддерживает удаление только сущностей с четко указанными первичными ключами, что может быть достигнуто просто с помощью терм-выражения в .

               "int64 не в [1, 2, 3]"
               
               VARCHAR отсутствует в ["str1", "str2"]
               
              1. TermExpr, BinaryLogicalOp и CmpOp (в разных полях)
               "int64 в [1, 2, 3] и float != 2"
               
              1. BinaryLogicalOp и CmpOp
               "int64 == 0 || int64 == 1 || int64 == 2"
               
              1. CmpOp и UnaryArithOp или BinaryArithOp
               "200+300 < int64 <= 500+500"
               
              1. MatchOp (совпадение префикса)
               VARCHAR как "префикс%"
               

              Что дальше

              Теперь, когда вы знаете, как работают наборы битов в Milvus, вы также можете:

              • Узнать, как проводить гибридный поиск.
              • Узнайте, как использовать строки для фильтрации результатов поиска.

              Полезна ли эта страница?

              Writing Logical Expressions

              Writing Logical Expressions

              Writing Logical Expressions

              In this section:

              • Relational Expressions
              • Boolean Expressions
              • Evaluating Logical Expressions

              A logical expression determines whether a particular condition правда. Существует два вида логических выражений: реляционные и логические. Сущности, которые вы хотите сравнить, определяют тип выражения.

              Реляционное выражение возвращает ИСТИНА или ЛОЖЬ на основе сравнения двух отдельных значений (либо переменных, либо констант). Логическое выражение возвращает TRUE или FALSE в зависимости от результатов двух или более реляционных выражений.

              Вы можете использовать логическое выражение для присвоения значения числовой переменной. Если выражение истинно, переменная получает значение 1. Если выражение ложно, переменная получает значение 0.


              К началу страницы


              x

              Выражения отношения

              Выражение отношения возвращает ИСТИНА или ЛОЖЬ на основе сравнения двух отдельных значений (либо переменных, либо констант). В следующем синтаксисе перечислены операторы, которые можно использовать в реляционном выражении:

               character_expression char_operator character_constant 
               numeric_expression numeric_operator numeric_constant 

              где:

              char_operator

              Может быть любым из следующих: EQ, NE, OMITS, CONTAINS.

              numeric_operator

              Может быть любым из следующих: EQ, NE, LE, LT, GE, GT.


              К началу страницы


              x

              Логические выражения

              Как:

              • Использование логических выражений

              Логические выражения возвращают значение true (1) или false (0) в зависимости от результата двух или более выражений отношения. Логические выражения часто используются в условных выражениях, которые описаны в разделе Написание условных выражений. Вы также можете присвоить результат логического выражения числовой или символьной переменной, которая будет равна 1 (если выражение истинно) или 0 (если ложно). Они строятся с использованием переменных и констант, связанных операторами.


              К началу страницы


              x

              Синтаксис: использование логических выражений

              Синтаксис логического выражения:

               (реляционное_выражение) {И|ИЛИ} (реляционное_выражение)
              НЕ (логическое_выражение) 

              Логические выражения сами по себе могут использоваться в качестве строительных блоков для более сложных выражений. Используйте И или ИЛИ, чтобы соединить выражения и заключить каждое выражение в круглые скобки.


              К началу страницы


              x

              Оценка логических выражений

              Ссылка:

              • Логические операторы
              7 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000. , 1 или 0. ИСТИНА и 1 эквивалентны, как и ЛОЖЬ и 0. Числовая переменная может иметь значения 1 или 0.

              Буквенно-цифровые константы со встроенными пробелами, используемые в выражении, должны быть заключены в одинарные кавычки. Пример:

               IF NAME EQ 'JOHN DOE' 

              ИЛИ нельзя использовать между константами в выражении отношения. Например, следующее выражение недопустимо:

               IF COUNTRY EQ 'США' ИЛИ ​​'БРАЗИЛИЯ' ИЛИ ​​'ГЕРМАНИЯ' 

              Вместо этого оно должно быть закодировано как последовательность относительных выражений:

               IF (COUNTRY EQ 'США') ИЛИ (СТРАНА EQ 'БРАЗИЛИЯ') ИЛИ (СТРАНА EQ 'ГЕРМАНИЯ') 

              К началу страницы


              x

              Справочник: Логические операторы

              В следующем списке показаны логические операторы, которые можно использовать в выражении:

              Описание

              Оператор

              Равенство

               Эквалайзер 

              Неравенство

               СВ 

              Менее

               LT 

              Больше

               ГТ 

              Меньше или равно

               ЛЭ 

              Больше или равно

               ГЭ 

              Содержит указанную строку символов

               СОДЕРЖИТ 

              Пропускает указанную строку символов

               ПРОПУСКАЕТ 

              Отрицание

               НЕ 

              Соединение

               И 

              Разъединение

               ИЛИ 

              Логические операторы оцениваются после числовых операторов слева направо в следующем порядке приоритета:

              Заказ

              Операторы

              1

               EQ NE LE LT GE GT НЕ СОДЕРЖИТ ПРОПУСК 

              2

               И 

              3

               или 

              Webfocus

              Boolean Elements

              , будь то создание уравнений. объединить логические условия.

              Обозначение

              Булевы (логические) уравнения выражаются аналогично математическим уравнениям. Однако переменные в логических выражениях имеют только два возможных значения: истина или ложь . Для уравнения, использующего логическое выражение, эквивалентные стороны знака равенства, = , будут только истинными или ложными .

              В следующем списке показаны основные элементы записи логических выражений.

              • ~A : инверсия ( NOT ) A , когда A равно верно , ~A равно ложно

                2

              • A + B : значение А ИЛИ Б
              • A · B : значение A И B
              • A ⊕ B : значение исключающего ИЛИ ( XOR ) A с B
              • Q : эквивалентное значение результата (ВЫХОД) логического выражения

              Результирующее значение Q из логического выражения выглядит следующим образом:

              Q = A + B

              Уравнение, показывающее логически эквивалентные выражения (где обе части имеют одинаковое результирующее значение), может выглядеть следующим образом:

              ~(A + B) = ~A · ~B

              Логические операторы

              Все Логические выражения являются результатом комбинации условий и операторов. Эти операторы объединяют отдельные условия вместе и вычисляют одно условие true или false . Ниже приведены основные логические операторы. Их использование как в булевой алгебре, так и в коде показано вместе с их таблицей истинности.

              Идентичность

              Идентичность означает, что значение результата совпадает с самим условием.

              Q = A

               пусть A = ложь
              let Q = A 
              Пример - Мигание пикселей при нажатии
               let A = false
              навсегда (функция () {
                  A = input.buttonA.isPressed()
                  если) {
                      свет.setAll (0xff0000)
                  } еще {
                      свет.очистить()
                  }
                  пауза(500)
              }) 
              Таблица истинности
              A А
              Ф Ф
              Т Т

              НЕ (Отрицание)

              Оператор НЕ называется отрицанием или обратным. Он принимает одно логическое значение и делает его противоположным: true переходит в false и false переходит в true .

              Q = ~A

               пусть A = ложь
              let Q = !(A) 
              Пример - Мигание пикселей при ненажатии
               пусть А = ложь
              навсегда (функция () {
                  A = input.buttonA.isPressed()
                  если)) {
                      свет.setAll (0xff0000)
                  } еще {
                      свет.очистить()
                  }
                  пауза(500)
              }) 
              Таблица истинности
              A
              Ф Т
              Т Ф

              ИЛИ (Дизъюнкция)

              Оператор ИЛИ дает true , когда одно или несколько условий равны верно .

              Q = A + B

               пусть A = ложь
              пусть B = ложь
              пусть Q = А || B 
              Пример — Мигание при любом нажатии
               пусть A = false
              пусть B = ложь
              навсегда (функция () {
                  A = input.buttonA.isPressed()
                  B = input.buttonB.isPressed()
                  если (А || В) {
                      свет.setAll (0xff0000)
                  } еще {
                      свет.очистить()
                  }
                  пауза(500)
              }) 
              Таблица истинности
              A Б А + В
              Ф Ф Ф
              Т Ф Т
              Ф Т Т
              Т Т Т

              И (соединение)

              Оператор И требует, чтобы все условия были истинными , чтобы результат был истинным .

              Q = A · B

               пусть A = ложь
              пусть B = ложь
              пусть Q = A && B 
              Пример — мигание только при двойном нажатии
               пусть A = false
              пусть B = ложь
              навсегда (функция () {
                  A = input.buttonA.isPressed()
                  B = input.buttonB.isPressed()
                  если (А && В) {
                      свет.setAll (0xff0000)
                  } еще {
                      свет.очистить()
                  }
                  пауза(500)
              }) 
              Таблица истинности
              A Б А · В
              Ф Ф Ф
              Т Ф Ф
              Ф Т Ф
              Т Т Т

              Исключающее ИЛИ (исключающее ИЛИ)

              Исключающее ИЛИ (исключающее ИЛИ) означает, что выполняется только одно или другое условие. Оба условия не могут быть истинными одновременно. XOR распространен в булевой алгебре, но не имеет оператора в JavaScript.

              Производная что это такое для чайников: Производная — что это такое? Определение, значение, перевод

              Производная, введение и определение в 10 классе по алгебре

              Дата публикации: .

              Что будем изучать:
              1. Введение в понятие производной.
              2. Чуть-чуть истории.
              3. Определение производной.
              4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной.
              5. Алгоритм нахождения производной функции.
              6. Дифференцирование функции.
              7. Примеры.

              Введение в понятие производной


              Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:

              а) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет.
              б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.
              в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.
              г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной.
              Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.

              Чуть-чуть истории


              Термин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.
              Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно.
              Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.

              Определение производной


              Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0).


              Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком:
              На математическом языке: производная — предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
              На обычном языке: производная – скорость изменения функции в точке x0.
              Давайте посмотрим на графики трех функций:

              Ребята, как вы думаете, какая из кривых растет быстрее?
              Ответ, кажется, очевиден всем 1 кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами — насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

              Производная на графике функции. Геометрический смысл производной


              Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:

              Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

              Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

              f’ (x0)=tg(α)

              Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
              И так производная нашей функции равна:


              И так производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной.

              Алгоритм нахождения производной функции


              Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).
              а) Зафиксировать значение x, найти f(x).
              б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).
              в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).
              г) Составить соотношение: Δy/Δx
              д) Вычислить


              — это и есть производная нашей функции.

              Дифференцирование функции


              Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).
              Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную.
              И так запишем выше сказанное как определение:
              Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
              Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. 3$.

              О производных / Хабр

              Когда-то в школе я не понимал производных. Не подумайте, что я был совсем уж дураком — я знал определение, умел их брать (в рамках простеньких школьных примеров) и оценки по математике имел неплохие. Но вот смысл этого понятия от меня ускользал. Я понимал насколько важен график некоторой функции — по нему легком можно увидеть зависимость функции от аргумента. Глянул в какую-нибудь точку — и сразу ясно положение дел в данном конкретном месте. А что мне с производной? Ну, знаю я «предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует» — и что? В общем, не понимал я это дело. И не любил.
              И только значительно позже, уже в ВУЗе, когда оказалось, что ни одна мало-мальски важная задача по физике, электротехнике, системам автоматического управления, мат.анализу и многим другим предметам без производных не решается — я понял, какая это важная вещь — знание не только текущего положения дел, но и динамики их изменения. Казалось бы, и что статья с таким началом может делать в этом блоге?

              А вот что. Представьте себе двух людей. Пусть их будут звать Коля и Петя.

              Коля и Петя — одного возраста, пола, с одинаковым образованием и работают в одной и той же фирме, на должностях одного уровня и получают одинаковую зарплату.

              Какие на основании данной вводной можно сделать выводы? Можно ли сказать, что их жизнь складывается одинаково? Можно ли утверждать, что они одинаково довольны в финансовом и личном плане? Можно ли сказать, что их карьеры строятся схожим образом?
              Конечно же, нифига подобного!
              Дело в том что Коля — всегда был очень умён, трудолюбив и раньше, до наблюдаемого нами момента, его карьера шла очень хорошо. Он был начальником начальника Пети и зарабатывал раз в 25 больше. Но потом в его жизни что-то поменялось — может жена ушла, может в секту попал, а может пить начал. Или всё вместе. Блеск в глазах пропал, после двух сорванных проектов в должности его понизили и на горизонте замаячил злорадный силуэт увольнения.
              А вот Петя — гением никогда не был. Он был обычным неглупым трудягой, который честно работал. Без героических свершений и позорных провалов. Его карьера медленно и плавно двигалась в гору и кресло начальника отдела уже, в принципе, было готово принять в себя его попу.

              Вот это и есть важность понимания динамики процесса. Глянем для закрепления материала на еще одну ситуацию.
              У нас есть Маша, Даша и Наташа.

              Они, как и их друзья Коля и Петя, полностью идентичны в своём текущем состоянии (возраст, работа, зарплата, семейное положение ну и т.д.). Более того, мы даже кое-что знаем об их прошлом. Никто из них никогда не забирался выше текущего места в жизни, никаких форс-мажоров у них не было, и у нас есть еще одна важная вещь — информация о некотором моменте в прошлом (скажем, год назад). И согласно этой информации — опять таки, все объективные параметры этих девушек были равны. Вернёмся к нашим вопросам. Как на счёт оценки положения дел у этих дам? Можно ли говорить об одном уровне карьерного роста, амбициях, достижениях и о том, где каждая из них будет через 5 лет?
              И, конечно же, опять — нифига подобного!

              Глянем вот на этот график:

              Даша — стабильный середнячок. Она растет в меру своих сил, этих сил на все хватает и будет хватать.
              Наташа — пока еще справляется, но уже без былого энтузиазма. Большего, чем сейчас, ей не хочется и не светит. Это почти её предел.
              Маша — сильная и амбициозная личность. Текущая точка — просто досадное недоразумение, первая ступенька в лестнице её карьеры. Ну просто времени еще было мало и выше забраться пока не удалось. Но обязательно удастся и на это будут брошены все силы.

              К чему это я?

              1. Частенько в разговорах между давно не встречавшимися или только познакомившимися людьми проскакивают фразы в духе:

              • А где работаешь?
              • А кем?
              • Сколько получаешь?

              и т.д.
              Люди получают ответы на эти вопросы и судят по ним о собеседнике. А ведь это всего лишь «положение дел в данной точке», которое, как мы уже выяснили, информации несёт мало. Не судите поспешно.

              2. Иногда человек смотрит сам на себя со стороны и приходит к выводу, что, мол «я ничтожество, нищий и убогий, а еще дурак и бездарь» или наоборот «я всего добился, я крут, бел и пушист». В первом случае люди зря ставят на себе крест и лезут в петлю, хотя вполне еще можно выбраться, во втором — слишком рано расслабляются и почивают на лаврах, хотя из-за какого-нибудь угла легко может подкрасться кризис, капец и конец света.

              3. Посмотрите на графики сверху. Где Ваш? А Вы уверены? А почему? А Вы по нему двигаетесь? А на Вашей должности и в Вашей компании вообще по нему можно двигаться? Что Вас останавливает? Хотите ли Вы через 5 лет быть в той же точке? А на том же графике?

              Каков знак Вашей производной?

              определение, как найти, примеры решений. Правила вычисления производных

              Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

              Геометрический и физический смысл производной

              Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

              Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

              Иначе это можно записать так:

              Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

              производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


              Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

              Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

              Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

              Правило первое: выносим константу

              Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

              Пример. Вычислим производную:

              Правило второе: производная суммы функций

              Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

              Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

              Найти производную функции:

              Правило третье: производная произведения функций

              Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

              Пример: найти производную функции:

              Решение:

              Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

              В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

              В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

              Правило четвертое: производная частного двух функций

              Формула для определения производной от частного двух функций:

              Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

              С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

              Приложение

              Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты — веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление — есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.

              На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

              Примеры. Найти производные функций.

              1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

              y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

              2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

              y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

              Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

              Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

              В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

              Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

              Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

              Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

              Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

              Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

              Учим новые формулы!

              Примеры.

              1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое —4,01 .

              Решение.

              Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

              2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

              Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

              Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

              2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f «(х 0) = 1 .

              Решение.

              Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f «(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

              Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

              3. Вывести формулу производной функции y=x n .

              Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

              При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)» = nx n-1 .

              Вот эти формулы.

              Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

              1. Производная постоянной величины равна нулю.

              2. Икс штрих равен единице.

              3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

              4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

              5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

              6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

              7. Производная синуса равна косинусу.

              8. Производная косинуса равна минус синусу.

              9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

              10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

              Учим правила дифференцирования .

              1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

              2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

              3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой «у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

              4. Частный случай формулы 3.

              Учим вместе!

              Страница 1 из 1 1

              Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

              Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

              Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

              Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

              Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

              Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g» означает, что мы будем находить производную функции g.

              Таблица производных

              Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

              1. (sin x)»=cos x
              2. (cos x)»= –sin x
              3. (x n)»=n x n-1
              4. (e x)»=e x
              5. (ln x)»=1/x
              6. (a x)»=a x ln a
              7. (log a x)»=1/x ln a
              8. (tg x)»=1/cos 2 x
              9. (ctg x)»= – 1/sin 2 x
              10. (arcsin x)»= 1/√(1-x 2)
              11. (arccos x)»= — 1/√(1-x 2)
              12. (arctg x)»= 1/(1+x 2)
              13. (arcctg x)»= — 1/(1+x 2)
              Пример 1.
              Найдите производную функции y=500.

              Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

              Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .

              Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

              (x 100)»=100 x 99

              Пример 3. Найдите производную функции y=5 x

              Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

              Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x

              Производную логарифма найдем по формуле 7.

              (log 4 x)»=1/x ln 4

              Правила дифференцирования

              Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С — константа.

              1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

              Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8

              Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

              (6*x 8)» = 6*(x 8)»=6*8*x 7 =48* x 7

              2. Производная суммы равна сумме производных

              (f + g)»=f» + g»

              Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x

              Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)»=100 x 99 и (sin x)»=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

              (x 100 +sin x)»= 100 x 99 +cos x

              3. Производная разности равна разности производных

              (f – g)»=f» – g»

              Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x

              Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)»= – sin x.

              (x 100 – cos x)»= 100 x 99 + sin x

              Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .

              В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

              (e x)»=e x , (tg x)»=1/cos 2 x, (x 2)»=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

              (e x +tg x– x 2)»= e x +1/cos 2 x –2 x

              4. Производная произведения

              (f * g)»=f» * g + f * g»

              Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x

              Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)»=–sin x и (e x)»=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

              (cos x* e x)»= e x cos x – e x *sin x

              5. Производная частного

              (f / g)»= f» * g – f * g»/ g 2

              Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x

              Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)»=50 x 49 и (sin x)»= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

              (x 50 /sin x)»= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

              Производная сложной функции

              Сложная функция — это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:

              (u (v))»=u»(v)*v»

              Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) — сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v — внутренней.

              Например:

              y=sin (x 3) — сложная функция.

              Тогда y=sin(t) — внешняя функция

              t=x 3 — внутренняя.

              Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.

              (sin t)»=cos (t) — производная внешней функции (где t=x 3)

              (x 3)»=3x 2 — производная внутренней функции

              Тогда (sin (x 3))»= cos (x 3)* 3x 2 — производная сложной функции.

              Операция отыскания производной называется дифференцированием.

              В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

              Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

              Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

              Пример 1. Найти производную функции

              Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

              Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

              Пример 2. Найти производную функции

              Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

              Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

              Таблица производных простых функций

              1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
              2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса». Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
              3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
              4. Производная переменной в степени -1
              5. Производная квадратного корня
              6. Производная синуса
              7. Производная косинуса
              8. Производная тангенса
              9. Производная котангенса
              10. Производная арксинуса
              11. Производная арккосинуса
              12. Производная арктангенса
              13. Производная арккотангенса
              14. Производная натурального логарифма
              15. Производная логарифмической функции
              16. Производная экспоненты
              17. Производная показательной функции

              Правила дифференцирования

              1. Производная суммы или разности
              2. Производная произведения
              2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
              3. Производная частного
              4. Производная сложной функции

              Правило 1. Если функции

              дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

              причём

              т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

              Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

              Правило 2. Если функции

              дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

              причём

              т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

              Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

              Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

              Например, для трёх множителей:

              Правило 3. Если функции

              дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

              т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

              Где что искать на других страницах

              При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .

              Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

              А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

              Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

              По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

              Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.

              Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

              Пошаговые примеры — как найти производную

              Пример 3. Найти производную функции

              Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

              Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

              Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

              Пример 4. Найти производную функции

              Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

              Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

              Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .

              Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .

              Пример 5. Найти производную функции

              Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

              Пример 6. Найти производную функции

              Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

              Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

              определение, как найти, примеры решений

              Производная — главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x

              Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

              Наиболее употребительны следующие обозначения производной :

              Пример 1. Пользуясь определением производной , найти производную функции

              Решение. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления.

              Дадим аргументу приращение (дельта) и найдём приращение функции:

              Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

              Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть требуемую в условии задачи производную:

              Физический смысл производной

              К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона свободного падения тел, а в более широком смысле — задачи о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения точки.

              Пусть камешек поднят и затем из состояния покоя отпущен. Путь s , проходимый за время t , является функцией времени, то есть. s = s (t ). Если задан закон движения точки, то можно определить среднюю скорость за любой промежуток времени. Пусть в момент времени камешек находился в положении A , а в момент — в положении B . За промежуток времени (от t до ) точка прошла путь . Поэтому средняя скорость движения за этот промежуток времени, которую обзначим через , составляет

              .

              Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постоянно возрастает. И средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути. Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени . Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения (или скоростью в данный момент времени t ) называется предел средней скорости при :

              (при условии, что этот предел существует и конечен).

              Так выясняется, что мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции s (t ) к приращению аргумента t при Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:.

              .

              Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной . Итак, производной функции y=f (x ) в точке x называется предел (если он существует и конечен) приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

              Пример 2. Найти производную функции

              Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления.

              Шаг 1. Дадим аргументу приращение и найдём

              Шаг 2. Найдём приращение функции:

              Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

              Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при , то есть производную:

              Геометрический смысл производной

              Пусть функция определена на интервале и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента , а точка Р – значению . Проведём через точки М и Р прямую и назовём её секущей . Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, что этот угол зависит от .

              Если существует

              проходящую через точку , называют предельным положением секущей МР при (или при ).

              Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МР при , или, что то же при .

              Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел

              ,

              причём предел равен углу наклона касательной к оси .

              Теперь дадим точное определение касательной.

              Касательной к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент , т.е. прямая, уравнение которой

              Из этого определения следует, что производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x . В этом состоит геометрический смысл производной.

              На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

              Примеры. Найти производные функций.

              1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

              y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

              2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

              y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

              Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

              Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

              В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

              Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

              Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

              Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

              Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

              Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

              Учим новые формулы!

              Примеры.

              1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое —4,01 .

              Решение.

              Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

              2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

              Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

              Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

              2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f «(х 0) = 1 .

              Решение.

              Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f «(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

              Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

              3. Вывести формулу производной функции y=x n .

              Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

              При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)» = nx n-1 .

              Вот эти формулы.

              Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

              1. Производная постоянной величины равна нулю.

              2. Икс штрих равен единице.

              3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

              4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

              5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

              6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

              7. Производная синуса равна косинусу.

              8. Производная косинуса равна минус синусу.

              9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

              10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

              Учим правила дифференцирования .

              1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

              2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

              3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой «у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

              4. Частный случай формулы 3.

              Учим вместе!

              Страница 1 из 1 1

              Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на светтаблицы производных и правил дифференцирования . Начало положено в статьео смысле производной , которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,

              рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную?и Производная сложной функции.

              Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это безпределов функций . Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, чтопроизводная

              функции в точке определяется формулой:

              Напоминаю обозначения и термины: называютприращением аргумента ;

              – приращением функции;

              – это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).

              Очевидно, что является «динамической» переменной,– константой и результат вычисления предела– числом(иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью) .

              В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение, принадлежащееобласти определения функции, в котором существует производная.

              Примечание : оговорка «в котором существует производная» –в общем случае существенна ! Так, например, точкахоть и входит в область определения функции, но производной

              там не существует. Поэтому формула

              не применима в точке,

              и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.

              Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:

              Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела

              является производная функция.

              Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:

              – Найти производную в точке , используя определение производной.

              – Найти производную функцию , используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.

              Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность) , а во втором –

              функцию . Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

              Как ?

              Составить отношение и вычислить предел.

              Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу

              Кажется волшебством, но в

              действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожитьтаблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

              По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

              Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

              Рассмотрим некоторую (конкретную) точку, принадлежащуюобласти определения функции, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:

              Вычислим предел:

              Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим

              числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

              Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .

              Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точкуинтервала

              То, осуществив замену, получаем:

              В который раз порадуемся логарифмам:

              Найти производную функции , пользуясь определением производной

              Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от

              подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву.

              Рассмотрим произвольную точку, принадлежащуюобласти определения функции(интервалу), и зададим в ней приращение. А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

              Тогда соответствующее приращение функции:

              Найдём производную:

              Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может

              возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

              Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

              (1) Используем свойство логарифма .

              (2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

              (3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы

              воспользоваться замечательным пределом , при этом в качествебесконечно малой величины выступает.

              Ответ : по определению производной:

              Или сокращённо:

              Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

              Найти производную по определению

              В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

              Найти производную по определению

              А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

              Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены

              формулой .

              Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5

              Найти производную функции , используя определение производной

              Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку, принадлежащую, и зададим в ней приращение аргумента. Тогда соответствующее приращение функции:

              Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку(число) и находим в ней значение функции:, то есть в функцию

              вместо «икса» следует подставить. Теперь берём

              Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

              Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

              Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

              В итоге:

              Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём заменуи получим.

              Ответ :по определению.

              В целях проверки найдём производную с помощью правил

              дифференцирования и таблицы:

              Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

              Найти производную функции по определению производной

              Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

              Вернёмся к стилю №2: Пример 7

              Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :

              Решение : рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращение аргументаи составим приращение

              Найдём производную:

              (1) Используем тригонометрическую формулу

              (2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

              (3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

              (4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом

              указываем, что слагаемое .

              (5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

              Ответ :по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в

              сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

              Пользуясь определением, найти производную функции

              Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.

              Разберём более редкую версию задачи:

              Найти производную функции в точке, пользуясь определением производной.

              Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:

              Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формулевместо

              рассматривается конкретное значение.

              Зададим в точке приращениеи составим соответствующее приращение функции:

              Вычислим производную в точке:

              Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение кпервому

              замечательному пределу:

              Ответ :по определению производной в точке.

              Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить наили простов зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

              Пример 10 Используя определение, найти производную функциив точке

              Это пример для самостоятельного решения.

              Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:

              Будет ли дифференцируема функция в точке?

              Решение : очевидно, что кусочно-заданная функциянепрерывна в точке, но будет ли она там дифференцируема?

              Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:

              1) Находим левостороннюю производнуюв данной точке: .

              2) Находим правостороннюю производнуюв данной точке: .

              3) Если односторонние производныеконечны и совпадают:

              , то функциядифференцируема в точкеи

              геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной ).

              Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным) , то функция не дифференцируема в точке.

              Если же обе односторонние производные равны бесконечности

              (пусть даже разных знаков), то функция не

              дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику(см. Пример 5 урока Уравнение нормали ) .

              Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

              Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности, бесконечно малые величины . Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела , которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций . Заодно освоите/вспомните их решение.

              Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные , в том числе производные сложных функций . Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования , даже не осознавая сущности своих действий.

              К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всё-таки не решил поставить его раньше.

              Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

              Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

              Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

              Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

              Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

              На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

              Какие особенности у данного графика?

              На интервалах функция возрастает , то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

              Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума , то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум , и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое).

              Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто , чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

              Скорость изменения функции

              Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

              1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

              Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

              Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

              Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

              2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

              3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

              Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

              Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

              Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

              – Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

              – Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

              Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым .

              По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

              Что такое производная? Определение производной.
              Геометрический смысл производной и дифференциала

              Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

              Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на :

              К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной) .

              Производная характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

              1) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх».

              2) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»).

              3) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции , в частности в точках минимума и максимума .

              Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции .

              Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной :
              Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

              Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

              Вычисление производной часто встречается в заданиях ЕГЭ. Данная страница содержит список формул для нахождения производных.

              Правила дифференцирования

              1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
              2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
              3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
              4. Производная сложной функции. Если y=F(u), а u=u(x), то функция y=f(x)=F(u(x)) называется сложной функцией от x. Равна y′(x)=Fu′⋅ ux′.
              5. Производная неявной функции. Функция y=f(x) называется неявной функцией, заданной соотношением F(x,y)=0, если F(x,f(x))≡0.
              6. Производная обратной функции. Если g(f(x))=x, то функция g(x) называется обратной функцией для функции y=f(x).
              7. Производная параметрически заданной функции. Пусть x и y заданы как функции от переменной t: x=x(t), y=y(t). Говорят, что y=y(x) параметрически заданная функция на промежутке x∈ (a;b), если на этом промежутке уравнение x=x(t) можно выразить в виде t=t(x) и определить функцию y=y(t(x))=y(x).
              8. Производная степенно-показательной функции. Находится путем логарифмирования по основанию натурального логарифма.

              Советуем сохранить ссылку, так как эта таблица может понадобиться еще много раз.

              определение, как найти, примеры решений

              Определение производной от функции есть обратная операция интегрированию функции. Для элементарных функций вычислить производную не составляет труда, достаточно воспользоваться таблицей производных. Если же нам необходимо найти производную от сложной функции, то дифференцирование будет уже намного сложнее, потребует большей внимательности и времени. При этом очень легко допустить описку или незначительную ошибку, которая приведет к окончательному неверному ответу. Поэтому всегда важно иметь возможность проверить своё решение. Это вы можете сделать с помощью данного онлайн-калькулятора, который позволяет находить производные от любых функций онлайн с подробным решением бесплатно, без регистрации на сайте. Нахождение производной функции (дифференцирование) это отношение приращения функции к приращению аргумента (численно производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции). Если необходимо вычислить производную от функции в конкретной точке, то нужно в полученном ответе вместо аргумента x подставить его численное значение и рассчитать выражение. При решении производной онлайн вам необходимо ввести функцию в соответсвующее поле: при этом аргументом должна быть переменная x , поскольку дифференцирование идёт именно по нему. Для вычисления второй производной нужно продифференцировать полученный ответ.

              Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически.

              Производная функции — одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени , если известен путь в зависимоти от времени , задача о нахождении касательной к функции в точке.

              Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует.

              Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется предел, если он существует

              Как вычислить производную функции?

              Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования и научиться пользоваться таблицей производных .

              Правила дифференцирования

              Пусть и — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, — некоторая вещественная постоянная. Тогда

              — правило дифференцирования произведения функций

              — правило дифференцирования частного функций

              0″> — дифференцирование функции с переменным показателем степени

              — правило дифференцирования сложной функции

              — правило дифференцирования степенной функции

              Производная функции онлайн

              Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку.

              Операция отыскания производной называется дифференцированием.

              В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

              Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

              Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

              Пример 1. Найти производную функции

              Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

              Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

              Пример 2. Найти производную функции

              Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

              Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

              Таблица производных простых функций

              1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
              2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса». Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
              3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
              4. Производная переменной в степени -1
              5. Производная квадратного корня
              6. Производная синуса
              7. Производная косинуса
              8. Производная тангенса
              9. Производная котангенса
              10. Производная арксинуса
              11. Производная арккосинуса
              12. Производная арктангенса
              13. Производная арккотангенса
              14. Производная натурального логарифма
              15. Производная логарифмической функции
              16. Производная экспоненты
              17. Производная показательной функции

              Правила дифференцирования

              1. Производная суммы или разности
              2. Производная произведения
              2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
              3. Производная частного
              4. Производная сложной функции

              Правило 1. Если функции

              дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

              причём

              т. е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

              Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

              Правило 2. Если функции

              дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

              причём

              т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

              Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

              Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

              Например, для трёх множителей:

              Правило 3. Если функции

              дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

              т. е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

              Где что искать на других страницах

              При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .

              Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

              А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

              Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

              По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

              Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.

              Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

              Пошаговые примеры — как найти производную

              Пример 3. Найти производную функции

              Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

              Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

              Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

              А проверить решение задачи на производную можно на .

              Пример 4. Найти производную функции

              Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

              Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

              Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .

              Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .

              Пример 5. Найти производную функции

              Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

              Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

              Пример 6. Найти производную функции

              Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

              Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

              Вычисление производной — одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:

              • Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций

              Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена «шпаргалка» основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.

              Производные простых функций

              1. Производная от числа равна нулю
              с´ = 0
              Пример:
              5´ = 0

              Пояснение :
              Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.

              2. Производная переменной равна единице
              x´ = 1

              Пояснение :
              При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

              3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
              сx´ = с
              Пример:
              (3x)´ = 3
              (2x)´ = 2
              Пояснение :
              В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

              Откуда следует, что
              (cx + b)» = c
              то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

              4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
              |x|» = x / |x| при условии, что х ≠ 0
              Пояснение :
              Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

              5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
              (x c)»= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
              Пример:
              (x 2)» = 2x
              (x 3)» = 3x 2
              Для запоминания формулы :
              Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

              6. Производная дроби 1/х
              (1/х)» = — 1 / x 2
              Пример:
              Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
              (1/x)» = (x -1)» , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
              (x -1)» = -1x -2 = — 1 / х 2

              7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
              (1 / x c)» = — c / x c+1
              Пример:
              (1 / x 2)» = — 2 / x 3

              8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
              (√x)» = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
              Пример:
              (√x)» = (х 1/2)» значит можно применить формулу из правила 5
              (х 1/2)» = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

              9. Производная переменной под корнем произвольной степени
              (n √x)» = 1 / (n n √x n-1)

              Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

              Геометрический и физический смысл производной

              Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

              Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

              Иначе это можно записать так:

              Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

              производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


              Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

              Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

              Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

              Правило первое: выносим константу

              Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

              Пример. Вычислим производную:

              Правило второе: производная суммы функций

              Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

              Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

              Найти производную функции:

              Правило третье: производная произведения функций

              Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

              Пример: найти производную функции:

              Решение:

              Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

              В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

              В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

              Правило четвертое: производная частного двух функций

              Формула для определения производной от частного двух функций:

              Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

              С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

              определение, как найти, примеры решений

              Приложение

              Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты — веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление — есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.

              Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

              Геометрический и физический смысл производной

              Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

              Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

              Иначе это можно записать так:

              Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

              производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


              Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

              Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

              Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

              Правило первое: выносим константу

              Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

              Пример. Вычислим производную:

              Правило второе: производная суммы функций

              Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

              Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

              Найти производную функции:

              Правило третье: производная произведения функций

              Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

              Пример: найти производную функции:

              Решение:

              Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

              В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

              В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

              Правило четвертое: производная частного двух функций

              Формула для определения производной от частного двух функций:

              Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

              С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

              При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

              Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

              Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

              Производная степенной функции.

              Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

              Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

              Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

              Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

              Следовательно,

              Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

              Производная показательной функции.

              Вывод формулы производной приведем на основе определения:

              Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

              Выполним подстановку в исходный предел:

              Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

              Производная логарифмической функции.

              Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

              Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

              Производные тригонометрических функций.

              Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

              По определению производной для функции синуса имеем .

              Воспользуемся формулой разности синусов:

              Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

              Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

              Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

              Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

              Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

              Производные гиперболических функций.

              Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

              Производная обратной функции.

              Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, — это производная функции f(x) по x .

              Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

              Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

              Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

              Давайте проверим справедливость этих формул.

              Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x — аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

              Из таблицы производных видим, что и .

              Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:


              Дата: 20.11.2014

              Таблица производных.

              Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

              Это знакомство позволит:

              Понимать суть несложных заданий с производной;

              Успешно решать эти самые несложные задания;

              Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

              Сначала — приятный сюрприз.)

              Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

              Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.

              Приступим к знакомству?)

              Термины и обозначения.

              В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

              Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

              Дифференцирование — действие над функцией.

              Производная — результат этого действия.

              Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.

              Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т. п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

              Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: или f»(x) или S»(t) и так далее.

              Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)

              Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)» , (x 3 , (sinx)» и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

              Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

              Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

              1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

              3. Производная сложной функции.

              Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

              Таблица производных.

              В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

              Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

              Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

              Функция
              y
              Производная функции y
              1C (постоянная величина)C» = 0
              2xx» = 1
              3x n (n — любое число)(x n)» = nx n-1
              x 2 (n = 2)(x 2)» = 2x
              4sin x(sin x)» = cosx
              cos x(cos x)» = — sin x
              tg x
              ctg x
              5arcsin x
              arccos x
              arctg x
              arcctg x
              4a x
              e x
              5log a x
              ln x (a = e )

              Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

              Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету…

              Рассмотрим несколько примеров:

              1. Найти производную функции y = x 3

              Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

              (x 3) » = 3·x 3-1 = 3x 2

              Вот и все дела.

              Ответ: y» = 3x 2

              2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

              Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция.

              По табличке находим синус и соответствующую производную:

              y» = (sin x)» = cosx

              Подставляем ноль в производную:

              y»(0) = cos 0 = 1

              Это и будет ответ.

              3. Продифференцировать функцию:

              Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

              Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…

              Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

              Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

              Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это — табличная функция. Сразу получаем:

              Ответ: y» = — sin x .

              Пример для продвинутых выпускников и студентов:

              4. Найти производную функции:

              Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

              А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

              Вот и всё. Это будет ответ.

              Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

              Деривативы для детей и начинающих: #1 Простое объяснение

              Новостная статья CBS о Риши Вамдатте: «11-летний вундеркинд, который предлагает бесплатные финансовые консультации тысячам онлайн»
              • Фейсбук
              • Твиттер
              • LinkedIn

              Что такое производные? Investing 101: Easy Peasy Finance для детей и начинающих


              Посмотреть это видео на YouTube


              Введение в деривативы для детей и подростков

              В этом видео просто и лаконично объясняется концепция деривативов для детей и начинающих. Его могут использовать дети и подростки, чтобы узнать о деривативах, или использовать его в качестве денежного и личного финансового ресурса родителями и учителями в рамках курса финансовой грамотности или учебной программы K-12.

              Подходит для учащихся от классов:

              • Киндбарт
              • Начальная школа
              • Средняя школа
              • Средняя школа

              Охватываемые темы:

              • . Каковы производные
              • различные виды дериваверов
              • ARIVATIONS
              • мировой пример
              • Почему они используются
              • Как работает торговля деривативами
              • Стоит ли инвестировать в деривативы

              Что такое деривативы?

              Производные инструменты — это сложные финансовые инструменты, которые имеют стоимость только потому, что они связаны с чем-то еще, называемым базовым активом. Другими словами, производные получают свою стоимость из базового инструмента, которым могут быть акции, облигации, валюта, процентные ставки, товары и т. д.

              Сами по себе производные не имеют стоимости. Цена дериватива определяется и зависит от цены базового актива.

              Существуют ли разные виды производных?

              Да, наиболее распространенными деривативами являются фьючерсы, форварды, свопы и опционы.

              На высоком уровне фьючерсы, форварды и свопы являются обязательными для держателя контракта, что означает, что стороны, заключающие соглашение, должны выполнить свои обязательства. Опционы, как следует из названия, дают держателю опциона право, но не обязательство купить или продать базовый инструмент.

              Мы подробно рассказываем о каждом производном инструменте в отдельных видеороликах.

              [Это партнерская ссылка: без каких-либо дополнительных затрат для вас, мы будем получать комиссию, если вы нажмете и совершите покупку]

              Хмм… Это сложно! Можете ли вы объяснить это на примере?

              Допустим, Бен, фермер, выращивающий кукурузу, обеспокоен тем, что цена на кукурузу упадет к тому времени, когда его урожай будет готов к уборке, и хочет зафиксировать цену продажи по текущей рыночной цене.

              С другой стороны, Сэм, производитель попкорна, считает, что цены на кукурузу вырастут через несколько месяцев, и хочет заблокировать свои покупка цена по текущей рыночной цене.

              В этом случае Бен и Сэм заключают форвардный контракт, который представляет собой соглашение между Беном о продаже, а Сэмом о покупке фиксированного количества кукурузы в будущем, скажем, через 3 месяца, по сегодняшней цене. Таким образом, они оба хеджировали свой риск, основываясь на своей оценке будущей цены на кукурузу.

              Для чего используются производные?

              Производные инструменты были в первую очередь созданы для хеджирования рисков, как мы обсуждали в примере.

              Однако деривативы представляют собой инструменты с высокой долей заемных средств, по которым стороны могут торговать, внося вперед лишь небольшой процент от стоимости сделки, называемый маржой. Это делает их инвестициями с высоким риском и высокой прибылью, и поэтому они используются любителями риска для спекуляций.

              Как работает торговля деривативами? И как я могу инвестировать в деривативы?

              Некоторые деривативы торгуются на биржах, как и акции. Их можно покупать и продавать через ваш обычный брокерский счет, если вы зарегистрировались для инвестиций в деривативы.

              Но большинство деривативов торгуются напрямую между двумя сторонами, обычно финансовыми учреждениями, такими как банки, с условиями контракта, взаимно согласованными между двумя сторонами. Они называются внебиржевыми или внебиржевыми производными.

              Стоит ли инвестировать в производные инструменты?

              Производные инструменты обеспечивают кредитное плечо, что оказывает усиленное влияние на ваши доходы: как прибыль, так и убытки могут быть огромными. Для успешного инвестирования необходимо глубокое понимание инструментов, рынков и сопутствующих рисков.

              Таким образом, деривативы лучше оставить опытным инвесторам, и их следует избегать новым или неопытным инвесторам.

              Заключение

              Что вы думаете о деривативах? Вы инвестировали в любой? Пожалуйста, дайте нам знать через ваши комментарии ниже!


              Загрузить расшифровку: идеально подходит для использования учителями в своих планах уроков для обучения детей и подростков

              Подкаст: Что такое производные

              типов, рекомендации, плюсы и минусы

              Что такое производная?

              Термин производный относится к типу финансового контракта, стоимость которого зависит от базового актива, группы активов или эталона. Производный инструмент устанавливается между двумя или более сторонами, которые могут торговать на бирже или внебиржевом рынке (OTC).

              Эти контракты могут использоваться для торговли любым количеством активов и несут свои риски. Цены на деривативы зависят от колебаний базового актива. Эти финансовые ценные бумаги обычно используются для доступа к определенным рынкам и могут продаваться для хеджирования рисков. Производные могут использоваться либо для снижения риска (хеджирование), либо для принятия на себя риска с ожиданием соразмерного вознаграждения (спекуляция). Производные могут переместить риск (и сопутствующие вознаграждения) от людей, не склонных к риску, к тем, кто ищет риск.

              Ключевые выводы

              • Производные инструменты — это финансовые контракты, заключенные между двумя или более сторонами, стоимость которых определяется базовым активом, группой активов или эталоном.
              • Производным инструментом можно торговать на бирже или внебиржевом рынке.
              • Цены на производные финансовые инструменты зависят от колебаний базового актива.
              • Производные инструменты обычно являются инструментами с использованием заемных средств, что увеличивает их потенциальные риски и выгоды.
              • Обычные производные инструменты включают фьючерсные контракты, форварды, опционы и свопы.
              Производные: Мой любимый финансовый термин

              Понимание деривативов

              Производный инструмент — это сложный тип финансового обеспечения, устанавливаемого между двумя или более сторонами. Трейдеры используют деривативы для доступа к определенным рынкам и торговли различными активами. Как правило, деривативы считаются формой продвинутого инвестирования. Наиболее распространенными базовыми активами для деривативов являются акции, облигации, товары, валюта, процентные ставки и рыночные индексы. Стоимость контракта зависит от изменения цены базового актива.

              Производные можно использовать для хеджирования позиции, спекуляций на направленном движении базового актива или предоставления кредитного плеча вложениям. Эти активы обычно торгуются на биржах или OTC и покупаются через брокерские конторы. Чикагская товарная биржа (CME) — одна из крупнейших в мире бирж деривативов.

              Важно помнить, что когда компании хеджируют, они не спекулируют на цене товара. Вместо этого хеджирование — это просто способ для каждой стороны управлять риском. Каждая сторона имеет свою прибыль или маржу, встроенную в цену, и хеджирование помогает защитить эту прибыль от уничтожения рыночными движениями цены товара.

              Внебиржевые деривативы, как правило, имеют большую вероятность риска контрагента, что представляет собой опасность дефолта одной из сторон, участвующих в сделке. Эти контракты торгуются между двумя частными сторонами и не регулируются. Чтобы хеджировать этот риск, инвестор может приобрести валютный производный инструмент, чтобы зафиксировать определенный обменный курс. Производные инструменты, которые можно использовать для хеджирования такого рода рисков, включают валютные фьючерсы и валютные свопы.

              Биржевые деривативы стандартизированы и регулируются более жестко, чем внебиржевые.

              Особые указания

              Первоначально деривативы использовались для обеспечения сбалансированного обменного курса товаров, торгуемых на международном рынке. Международные трейдеры нуждались в системе для учета различной стоимости национальных валют.

              Предположим, у европейского инвестора есть инвестиционные счета, деноминированные в евро (EUR). Допустим, они покупают акции американской компании через американскую биржу, используя доллары США (USD). Это означает, что они теперь подвержены риску обменного курса, удерживая эти акции. Риск обменного курса – это угроза роста стоимости евро по отношению к доллару США. Если это произойдет, любая прибыль, полученная инвестором при продаже акций, станет менее ценной при конвертации в евро.

              Спекулянт, который ожидает повышения курса евро по отношению к доллару, может получить прибыль, используя производный инструмент, стоимость которого растет вместе с евро. При использовании деривативов для спекуляций на движении цены базового актива инвестору не нужно иметь холдинг или портфель в отношении базового актива.

              Многие производные инструменты используют заемные средства, что означает, что требуется небольшая сумма капитала, чтобы иметь долю в большой сумме стоимости базового актива.

              Типы производных финансовых инструментов

              Деривативы сегодня основаны на широком спектре транзакций и имеют гораздо больше применений. Существуют даже производные, основанные на данных о погоде, таких как количество осадков или количество солнечных дней в регионе.

              Существует множество различных типов деривативов, которые можно использовать для управления рисками, спекуляций и увеличения позиции. Рынок деривативов продолжает расти, предлагая продукты, отвечающие практически любым потребностям и допустимым рискам.

              Существует два класса производных продуктов: «замок» и «опцион». Продукты блокировки (например, фьючерсы, форварды или свопы) связывают соответствующие стороны с самого начала согласованными условиями в течение всего срока действия контракта. С другой стороны, опционные продукты (например, опционы на акции) предлагают держателю право, но не обязательство, купить или продать базовый актив или ценную бумагу по определенной цене в день истечения срока действия опциона или до него. Наиболее распространенными типами деривативов являются фьючерсы, форварды, свопы и опционы.

              Фьючерсы

              Фьючерсный контракт или просто фьючерс — это соглашение между двумя сторонами о покупке и поставке актива по согласованной цене в будущем. Фьючерсы — это стандартизированные контракты, которые торгуются на бирже. Трейдеры используют фьючерсные контракты, чтобы хеджировать свои риски или спекулировать на цене базового актива. Участвующие стороны обязаны выполнить обязательство по покупке или продаже базового актива.

              Например, предположим, что 6 ноября 2021 года компания А покупает фьючерсный контракт на нефть по цене 62,22 доллара за баррель, срок действия которого истекает 19 декабря., 2021. Компания делает это, потому что ей нужна нефть в декабре, и она обеспокоена тем, что цена вырастет до того, как компании нужно будет покупать. Покупка фьючерсного контракта на нефть хеджирует риск компании, поскольку продавец обязан поставить нефть компании А по цене 62,22 доллара за баррель по истечении срока действия контракта. Предположим, что цены на нефть вырастут до 80 долларов за баррель к 19 декабря 2021 года. Компания А может принять поставку нефти от продавца фьючерсного контракта, но если ей больше не нужна нефть, она также может продать контракт до истечения срока действия и сохранить прибыль.

              В этом примере и покупатель фьючерса, и продавец хеджируют свои риски. Компания А нуждалась в нефти в будущем и хотела компенсировать риск того, что цена может вырасти в декабре, с помощью длинной позиции по фьючерсному контракту на нефть. Продавцом может быть нефтяная компания, обеспокоенная падением цен на нефть, которая хочет устранить этот риск, продавая фьючерсные контракты или открывая короткие позиции по фьючерсным контрактам с фиксированной ценой, которую она получит в декабре.

              Также возможно, что одна или обе стороны являются спекулянтами с противоположным мнением о направлении декабрьской нефти. В этом случае можно получить выгоду от контракта, а можно и нет. Возьмем, к примеру, фьючерсный контракт на нефть West Texas Intermediate (WTI), который торгуется на CME и представляет собой 1000 баррелей нефти. Если бы цена на нефть выросла с 62,22 до 80 долларов за баррель, трейдер с длинной позицией — покупатель — по фьючерсному контракту получил бы прибыль в размере 17 780 долларов [(80 долларов — 62,22 доллара) x 1000 = 17 780 долларов]. Трейдер с короткой позицией — продавец — в контракте получит убыток в размере 17 780 долларов.

              Расчеты фьючерсами наличными

              Не все фьючерсные контракты рассчитываются по истечении срока действия путем поставки базового актива. Если обе стороны фьючерсного контракта являются спекулянтами или трейдерами, маловероятно, что кто-либо из них захочет договориться о поставке большого количества баррелей сырой нефти. Спекулянты могут прекратить свои обязательства по покупке или поставке базового товара, закрыв (раскрутив) свой контракт до истечения срока действия с помощью компенсационного контракта.

              Многие деривативы на самом деле рассчитываются наличными, а это означает, что прибыль или убыток в сделке — это просто бухгалтерский денежный поток на брокерский счет трейдера. Фьючерсные контракты с расчетами наличными включают многие фьючерсы на процентные ставки, фьючерсы на фондовые индексы и более необычные инструменты, такие как фьючерсы на волатильность или погодные фьючерсы.

              Форварды

              Форвардные контракты, или форварды, аналогичны фьючерсам, но ими не торгуют на бирже. Эти контракты торгуются только на внебиржевом рынке. При создании форвардного контракта покупатель и продавец могут настроить условия, размер и процесс расчетов. Как внебиржевые продукты, форвардные контракты несут большую степень контрагентского риска для обеих сторон.

              Риск контрагента — это тип кредитного риска, заключающийся в том, что стороны могут быть не в состоянии выполнить обязательства, изложенные в договоре. Если одна из сторон становится неплатежеспособной, другая сторона может не иметь права регресса и может потерять ценность своей позиции.

              После создания стороны форвардного контракта могут компенсировать свои позиции с другими контрагентами, что может увеличить потенциал контрагентских рисков по мере того, как все больше трейдеров будут участвовать в одном и том же контракте.

              Обмен

              Свопы — еще один распространенный тип деривативов, часто используемый для обмена одного вида денежного потока на другой. Например, трейдер может использовать процентный своп, чтобы переключиться с кредита с плавающей процентной ставкой на кредит с фиксированной процентной ставкой или наоборот.

              Представьте, что компания XYZ занимает 1 000 000 долларов и выплачивает по кредиту переменную процентную ставку, которая в настоящее время составляет 6%. XYZ может быть обеспокоен ростом процентных ставок, которые увеличат стоимость этого кредита, или столкнуться с кредитором, который не хочет предоставлять больше кредита, в то время как компания имеет этот риск переменной ставки.

              Предположим, что XYZ создает своп с компанией QRS, которая готова обменять платежи, причитающиеся по кредиту с переменной процентной ставкой, на платежи, причитающиеся по кредиту с фиксированной процентной ставкой в ​​размере 7%. Это означает, что XYZ выплатит QRS 7% от основной суммы в размере 1 000 000 долларов, а QRS выплатит XYZ 6% от той же основной суммы. В начале свопа XYZ просто заплатит QRS разницу в 1 процентный пункт между двумя ставками свопа.

              Если процентные ставки упадут так, что переменная ставка по первоначальному кредиту теперь составит 5%, компания XYZ должна будет выплатить компании QRS разницу в 2 процентных пункта по кредиту. Если процентные ставки вырастут до 8%, то QRS придется выплатить XYZ разницу в 1 процентный пункт между двумя ставками свопа. Независимо от того, как изменятся процентные ставки, своп достиг первоначальной цели XYZ по превращению кредита с плавающей процентной ставкой в ​​кредит с фиксированной процентной ставкой.

              Свопы также могут быть созданы для обмена валютным риском или риском дефолта по кредиту или денежным потокам от другой коммерческой деятельности. Свопы, связанные с денежными потоками и потенциальными дефолтами по ипотечным облигациям, являются чрезвычайно популярным видом дериватива. На самом деле, они были слишком популярны в прошлом. Именно контрагентский риск подобных свопов в конечном итоге привел к кредитному кризису 2008 года.

              Опции

              Опционный контракт похож на фьючерсный контракт тем, что это соглашение между двумя сторонами о покупке или продаже актива в заранее определенную дату в будущем по определенной цене. Ключевое различие между опционами и фьючерсами заключается в том, что покупатель опциона не обязан выполнять свое соглашение о покупке или продаже. Это только возможность, а не обязательство, как фьючерсы. Как и в случае с фьючерсами, опционы могут использоваться для хеджирования или спекуляций на цене базового актива.

              Что касается времени вашего права на покупку или продажу, это зависит от «стиля» опциона. Американский опцион позволяет держателям реализовать права опциона в любое время до и включая день истечения срока действия. Европейский опцион может быть исполнен только в день экспирации. У большинства акций и биржевых фондов есть опционы в американском стиле, а у индексов акций, включая S&P 500, — опционы в европейском стиле.

              Представьте, что инвестор владеет 100 акциями по цене 50 долларов за акцию. Они считают, что стоимость акций в будущем будет расти. Однако этот инвестор обеспокоен потенциальными рисками и решает застраховать свою позицию с помощью опциона. Инвестор может купить опцион пут, который дает ему право продать 100 акций базового актива по цене 50 долларов за акцию (так называемая цена исполнения) до определенного дня в будущем, известного как дата истечения срока действия.

              Предположим, что к моменту истечения срока действия акции падают в цене до 40 долларов за акцию, и покупатель пут-опциона решает реализовать свой опцион и продать акции по первоначальной цене исполнения 50 долларов за акцию. Если покупка опциона пут стоила инвестору 200 долларов, то он потерял только стоимость опциона, потому что цена исполнения была равна цене акции, когда они первоначально купили опцион пут. Подобная стратегия называется защитным путом, потому что она хеджирует риск падения акций.

              В качестве альтернативы предположим, что инвестор не владеет акциями, которые в настоящее время стоят 50 долларов за акцию. Они считают, что его стоимость вырастет в течение следующего месяца. Этот инвестор может купить опцион колл, который дает ему право купить акцию за 50 долларов до или после истечения срока действия. Предположим, что этот колл-опцион стоил 200 долларов, а акции выросли до 60 долларов до истечения срока действия. Покупатель теперь может воспользоваться своим опционом и купить акцию стоимостью 60 долларов за акцию по цене исполнения 50 долларов за первоначальную прибыль в размере 10 долларов за акцию. Опцион колл представляет собой 100 акций, поэтому реальная прибыль составляет 1000 долларов за вычетом стоимости опциона — премии — и любых брокерских комиссий.

              В обоих примерах продавцы обязаны выполнять свою часть договора, если покупатели решат исполнить договор . Однако, если цена акции выше цены исполнения по истечении срока действия, пут будет бесполезен, и продавец (продавец опциона) получает право удерживать премию по истечении срока действия опциона. Если цена акции ниже страйк-цены на момент экспирации, колл будет бесполезен, и продавец колла удержит премию.

              Мелисса Линг {Авторское право} Investopedia, 2019.

              Преимущества и недостатки производных инструментов

              Преимущества

              Как показывают приведенные выше примеры, деривативы могут быть полезным инструментом как для бизнеса, так и для инвесторов. Они позволяют сделать следующее:

              • Фиксация цен
              • Защита от неблагоприятных колебаний ставок
              • Снижение рисков

              Эти плюсы часто могут быть получены за ограниченную стоимость.

              Производные также часто можно приобрести с маржей, что означает, что трейдеры используют заемные средства для их покупки. Это делает их еще менее дорогими.

              Недостатки

              Производные трудно оценить, потому что они основаны на цене другого актива. Риски для внебиржевых деривативов включают риски контрагента, которые трудно предсказать или оценить. Большинство производных также чувствительны к следующему:

              • Изменения времени до экспирации
              • Стоимость владения базовым активом
              • Процентные ставки

              Эти переменные затрудняют точное сопоставление стоимости производного инструмента с базовым активом.

              Поскольку дериватив не имеет внутренней стоимости (его стоимость зависит только от базового актива), он уязвим для рыночных настроений и рыночного риска. Факторы спроса и предложения могут вызывать рост и падение цены дериватива и его ликвидности независимо от того, что происходит с ценой базового актива.

              Наконец, деривативы обычно являются инструментами с использованием заемных средств, а использование заемных средств работает в обоих направлениях. Хотя это может увеличить норму прибыли, это также ускоряет рост убытков.

              Плюсы

              • Фиксация цен

              • Хеджирование риска

              • Можно использовать

              • Диверсифицировать портфель

              Минусы

              • Трудно оценить

              • При условии невыполнения обязательств контрагентом (если внебиржевой)

              • Сложный для понимания

              • Чувствительные к факторам спроса и предложения

              Что такое производные?

              Производные ценные бумаги – это ценные бумаги, стоимость которых зависит от базового актива или получена от него. Например, фьючерсный контракт на нефть — это тип производного инструмента, стоимость которого основана на рыночной цене нефти. В последние десятилетия деривативы становятся все более популярными: общая стоимость находящихся в обращении деривативов оценивалась в 610 триллионов долларов США по состоянию на 30 июня 2021 года.

              Каковы некоторые примеры деривативов?

              Типичными примерами деривативов являются фьючерсные контракты, опционные контракты и дефолтные свопы. Помимо этого, существует огромное количество деривативных контрактов, адаптированных для удовлетворения потребностей различных контрагентов. На самом деле, поскольку многие деривативы торгуются на внебиржевом рынке (OTC), их в принципе можно бесконечно настраивать.

              Каковы основные преимущества и риски деривативов?

              Производные инструменты могут быть очень удобным способом достижения финансовых целей. Например, компания, которая хочет застраховаться от рисков, связанных с сырьевыми товарами, может сделать это, покупая или продавая производные энергетические инструменты, такие как фьючерсы на сырую нефть. Точно так же компания может хеджировать свой валютный риск, покупая валютные форвардные контракты. Производные инструменты также могут помочь инвесторам использовать свои позиции, например, покупая акции через опционы на акции, а не акции. К основным недостаткам деривативов относятся контрагентский риск, неотъемлемые риски использования заемных средств и тот факт, что сложная сеть деривативных контрактов может привести к системным рискам.

              Ускоренный курс по деривативам для чайников

              Обзор постов, представляющих бесплатный вводный курс для начинающих с простыми примерами для ознакомления с базовыми ванильными деривативами, а также различиями между форвардами, фьючерсами и опционами. Более подробный ускоренный курс по корпоративным финансам для создания основ, необходимых для прохождения этого курса, см. в дорожной карте Руководства по обучению корпоративным финансам.

              В нашем Ускоренном курсе по деривативам мы начинаем с профилей производных выплат и синтетического конструирования продуктов, после чего следует ряд простых оценочных опросов, ценообразование деривативов и справочник по уравнениям. За ускоренным курсом следует промежуточный курс, в котором рассматриваются варианты продукта и основные концепции ценообразования. Цель здесь состоит в том, чтобы просто представить производные понятия небольшими кусочками.

              • Мастер-класс: Интенсивный курс опционов и производных: Первая сессия: Терминология
              • Мастер-класс: Ускоренный курс опционов и производных инструментов: Сессия вторая: форварды, фьючерсы и опционы
              • Мастер-класс: Ускоренный курс опционов и деривативов: Сессия третья: Профили выплат – Форварды
              • Мастер-класс: Ускоренный курс по опционам и производным инструментам: Сессия четвертая: Профили выплат – опционы, коллы и путы
              • Мастер-класс: Ускоренный курс опционов и деривативов: Сессия пятая: Синтетика
              • Мастер-класс
              • : Ускоренный курс деривативов: что вы пропустили на синтетической форвардной диаграмме выше

              Ускоренный курс по деривативам — обучающие семинары и стенограммы

              • Понимание процесса продажи деривативов: введение в функцию банковского казначейства 
              • Продажа производных продуктов клиентам казначейства

              Ценообразование производных финансовых инструментов Материалы для чтения и обучения

              • Ценообразование опционов с использованием биномиальных деревьев в Excel
              • Опционное ценообразование — создание симуляторов Монте-Карло в Excel 
              • Оценка опционов с использованием моделирования Монте-Карло – Обзор модели
              • Ценообразование опционов — ценовая лестница опционов с использованием симуляторов Монте-Карло в Excel 
              • Построение поверхностей подразумеваемой и локальной волатильности в Excel
              • Поверхности волатильности, подразумеваемая волатильность, улыбки и перекосы
              • Поверхность волатильности, опционы без денег и лотерейные билеты.
              • Разница между подразумеваемой и локальной волатильностью – поверхности волатильности
              • Создание набора данных поверхности волатильности с использованием подразумеваемой волатильности
              • Поверхности подразумеваемой и локальной волатильности в Excel – заключительные шаги
              • Расчет форвардной подразумеваемой волатильности в Excel

              Ускоренный курс по деривативам – Понимание греков

              Ни одно введение в деривативы не будет полным без обзора греков и хеджирования Delta. В первых двух постах представлен краткий обзор опционных греков. В последнем посте описывается пошаговый процесс построения модели хеджирования Delta в Excel с использованием моделирования Монте-Карло.

              • Понимание опционных греков – краткое справочное руководство по Delta, Gamma, Vega, Theta и Rho
              • Понимание вариантов греков — второй взгляд на дельту и гамму
              • Опционы колл-опционы на дельта-хеджирование — создание симулятора Монте-Карло в Excel
              • Понимание греков – моделирование дельта-хеджирования расширено для опционов пут
              • Греческие опционы и дельта-хеджирование – Расчет и моделирование денежного PnL
              • Греческий опцион
              • и дельта-хеджирование – PnL, подразумеваемая волатильность и Rho
              • Under Option Греки – Представляем Gamma
              • Рассечение теты и временных премий для колл-опционов
              • Подразумеваемая волатильность и хеджирование прибылей и убытков. Картирование распределения прибылей и убытков

              Ускоренный курс деривативов – хеджирование Греки высшего порядка

              Дельта-хеджирование полезно при хеджировании доли опциона от небольших приращений цены базового актива. Однако для больших скачков цены базового актива в наш портфель хеджирования необходимо включить греки более высокого порядка, такие как Gamma и Vega.

              В первом посте показано, как будет выглядеть распределение прибылей и убытков, если мы учтем гамму в нашей модели дельта-хеджирования. В то время как во втором посте представлена ​​серия уроков, в которых обсуждаются причины, по которым Гамма-хеджирование отличается от дельта-хеджирования (т. е. почему оно не включает покупку или продажу базового актива), и представлена ​​модель в EXCEL, использующая функциональность Решателя для хеджирования одной опционной позиции как а также портфолио опционов.

              • Гамма-коррекция, дельта-хеджирование прибылей и убытков и частота ребалансировки
              • Хеджирование греков высшего порядка — хеджирование гаммы и веги с использованием Microsoft EXCEL

              Ускоренный курс деривативов — Другие варианты второго порядка и волатильности.

              Греки

              Мы рассмотрим некоторые связанные показатели и их использование:

              • Расчет гаммы тени — подход Талеба для варианта второго порядка, греческий.
              • Вега, Волга и Ванна. Вариант волатильности греков.
              • Понимание альфа или гамма ренты

              Дополнительные материалы для чтения

              Если вы хотите узнать больше об этой теме, мы также рекомендуем второй, более продвинутый курс по производным продуктам, который углубляется в эту тему.

              Также см. обзор деривативов с фиксированным доходом, MTM и моделей оценки для обзора процентных свопов, ограничений и уровней. В курсе по производным инструментам с фиксированным доходом, MTM и моделям оценки также рассматриваются основы построения простой модели оценки.

              Кроме того, после завершения Обзор деривативов с фиксированным доходом , вы также должны ознакомиться с двумя пошаговыми примерами ценообразования. В первом случае рассматривается процесс построения прогнозируемой кривой форвардной процентной ставки с использованием метода начальной загрузки. Во втором случае рассматривается процесс переоценки по рыночной стоимости для процентного свопа в рамках первоначальной структуры срока, а также пересмотренной и обновленной структуры срока процентной ставки 6 месяцев спустя.

              Между двумя случаями мы строим 5-ступенчатую 5-летнюю кривую, а затем расширяем ее для хеджирования 10-ступенчатой ​​полугодовой ссуды с плавающей процентной ставкой с процентным свопом.

              а. Начальная начальная кривая нулевой и форвардной процентных ставок в Excel

              b. Ценообразование, MTM, оценка процентных свопов с использованием форвардных кривых в Excel

              Ценообразование экзотических опционов с использованием таблицы Excel моделирования Монте-Карло

              Что такое деривативы для чайников? [Решено] (2022)

              производная, в математике скорость изменения функции по отношению к переменной . Производные лежат в основе решения математических и дифференциальных уравнений…. читать дальше ›

              Производные инструменты для начинающих — Основное введение — YouTube. .. подробнее ›

              Определение производного простого объяснения — YouTube… продолжить чтение ›

              Производные инструменты — это сложные финансовые инструменты, которые имеют стоимость только потому, что они связаны с чем-то другим, называемым базовым активом . Другими словами, деривативы получают свою стоимость от базового инструмента, которым могут быть акции, облигации, валюта, процентные ставки, товары и т. д…. см. подробности ›

              Общие примеры деривативов включают фьючерсные контракты, опционные контракты и дефолтные свопы . Помимо этого, существует огромное количество производных контрактов, адаптированных для удовлетворения потребностей различных контрагентов…. продолжить чтение ›

              Производные можно использовать для оценки функций, для создания бесконечных рядов . Их можно использовать для описания того, насколько изменяется функция — увеличивается или уменьшается функция и насколько. Они также имеют множество применений в физике. Производные используются в правиле Лопиталя для оценки пределов…. подробнее ›

              Basic Derivative Rules — Ярлык с использованием степенного правила — YouTube… подробнее ›

              Производная сообщает нам наклон функции в любой точке. Есть правила, которым мы можем следовать, чтобы найти множество производных.

              Производные правила.

              Общие функции Функция Производная
              Различие Правило F — G F ‘ — G’
              Правило продукта FG F G ‘ + F’ G
              QUTING Правила
              QUTING
              FR ‘ + F’ G
              FR ‘ + F’ G
              Fr ‘ + F’ G
              Fr ‘ + F’ G
              . 2
              Правило взаимности 1/f −f’/f 2
              24 строки

              … прочитайте больше ›

              Производные финансовые инструменты могут быть трудны для понимания широкой публикой отчасти потому, что они включают незнакомые термины . Например, у многих инструментов есть контрагенты, которые выступают на другой стороне сделки. В структуре дериватива может быть цена исполнения…. подробнее ›

              Определение производной — понятие

              Определение производной — это наклон линии , которая касается кривой в определенной точке . Предел мгновенной скорости изменения функции при уменьшении времени между измерениями до нуля является альтернативным определением производной…. читать дальше ›

              Применение деривативов в реальной жизни

              Для расчета прибыли и убытков в бизнесе с использованием графиков . Чтобы проверить изменение температуры. Для определения скорости или пройденного расстояния, таких как мили в час, километры в час и т. д. Производные используются для получения многих уравнений в физике…. подробнее ›

              Использование формулы (определение первой производной) — YouTube… подробнее ›

              Хитрости с производными (о которых, вероятно, вам не расскажут учителя) — YouTube… подробнее ›

              Более сложные задачи на производные — Пример 1 — YouTube… подробнее ›

              Информация о статье

              Автор: Rueben Jacobs

              Последнее обновление: 28.09.2022

              Просмотров: 6768

              Рейтинг: 4,7 / 5 (77 проголосовали)

              7 10 отзывов считают эту страницу полезной 84% читателей Информация о авторе

              Имя: Rueben Jacobs

              День рождения: 1999-03-14

              Адрес: 951 Caterina Walk, Schambergerside, CA 67667-0896

              Телефон: +688186846329

              Job. , Кабаре, Пои, Азартные игры, Скалолазание, Резьба по дереву, Компьютерное программирование

              Введение: Меня зовут Рубен Джейкобс, я общительный, красивый, добрый, удобный, гламурный, открытый, великолепный человек, который любит писать и хочет поделиться с вами своими знаниями и пониманием.

              Ускоренный курс по производным

              Наука

              Что такое производная и зачем она нужна в физике? Вот очень краткое введение в производные, чтобы вы могли пройти свой первый курс физики.

              Быстрый набросок, показывающий изменение функции. Это основа производной. Быстрый набросок, показывающий изменение функции. Это основа производной.

              Вы находитесь на вводном курсе физики. В требованиях к курсу сказано, что вы должны быть на Calculus 101 (вероятно, он так не называется), чтобы записаться на Physics 101. Почему? Есть две математические вещи, которые вам, вероятно, нужно знать, чтобы выжить на курсе физики. Вам нужно понимать производные и интегрирование (а также векторы, но это обычно также рассматривается в физике).

              Но что, если ваш курс математики не охватывает производные к тому моменту, когда они понадобятся вам в физике? Вот для этого я здесь. Это ваш ускоренный курс по деривативам (об интеграции я напишу позже).

              Производные: все об изменении

              Предположим, у вас есть некоторая функция (она не обязательно должна быть x против y , это может быть что угодно). Что, если я хочу знать, как эта функция изменяется при изменении переменной? Это то, что говорит вам производная. Позвольте мне начать с нескольких примеров.

              Автомобиль движется, и его положение в направлении x можно описать следующей функцией.

              Если я построю эту функцию, она будет выглядеть так (я добавляю две точки, чтобы мы могли посмотреть на изменение положения).

              Как эта функция меняется со временем? Если я возьму две точки ( t 1 и t 2 ), я могу вычислить изменение x , деленное на изменение t . Да, это будет наклон функции.

              Это дает мне среднюю скорость изменения позиции в течение временного интервала от t 1 до t 2 . В физике мы также назвали бы это средней скоростью x . В этом случае не имеет значения, какие две точки я выберу на графике. Я всегда получаю уклон 2,5 м/с (да, уклон и производные имеют единицы измерения). Я мог бы построить горизонтальную скорость, и это выглядело бы так.

              Хорошо, это было довольно просто и не так интересно. Как насчет другого примера? Предположим, у меня есть эта функция для положения объекта в направлении x?

              Вот график этой функции вместе с некоторыми точками на кривой.

              В этом случае средняя скорость (наклон) при переходе от точки 2 к 3 отличается от среднего наклона при переходе от точек 4 к 5. Как же построить график зависимости скорости от времени? С каким временем мы свяжем среднюю скорость? Вероятно, единственно справедливым было бы взять две временные точки и найти наклон, а затем связать наклон со средним значением этих двух моментов. На самом деле, это прекрасно работает с вышеуказанной функцией. Когда вы это сделаете, вы получите следующий график зависимости наклона (скорости) от времени.

              Этот трюк со «средним временем» не всегда работает. Однако я могу заставить его почти работать, если использую очень маленькие временные интервалы. В этом случае не имеет значения, какое время (начало, конец, середина) связано со временем. Таким образом, крошечные временные интервалы хороши.

              Самые популярные

              Что если вы используете нулевой интервал времени? Ну, ты не можешь этого сделать. Однако вы можете сделать что-то близкое к нулевому интервалу секунд. Вы можете найти значение средней скорости в пределе, когда Δt стремится к нулю секунд. Это и есть то, что мы называем производной. Мы можем записать это как:

              Да, математики не так определяют производную, но я согласен с этим. Это показывает важный момент, что производная — это просто способ выразить изменение функции.

              Пример: Функция синуса

              Вы ведь знаете функцию синуса? Помнишь, ты встретил его на той вечеринке в прошлом году? Хорошо, поскольку вы уже знаете друг друга, предположим, что масса колеблется взад и вперед со следующей функцией положения.

              Теперь позвольте мне построить это вместе с некоторыми точками.

              Здесь вы можете видеть, что, просто выбрав некоторую точку (равномерно расположенную) на функции, я мог найти наклон между этими точками. Однако есть несколько случаев, когда эта скорость изменения для этих точек не является хорошим представлением наклона этой функции. Да, мы можем сделать это лучше, расположив точки намного ближе друг к другу. Если я использую временной интервал 0,01 секунды, я получаю следующее для скорости как функции времени.

              Да, это похоже на функцию косинуса, и НЕТ, я не просто нарисовал функцию косинуса. На самом деле, вот точная программа, которую я использовал для создания этой программы.

              Если вы не все там понимаете, не волнуйтесь. Важная часть просто проходит по точкам и вычисляет наклон («для i в диапазоне… часть»). Если вы хотите, вы можете изменить количество точек, используемых для расчета наклона — это было бы весело.

              Если бы я хотел, я мог бы построить следующую функцию.

              Я бы получил ТОЧНО такой же сюжет, как и выше. Итак, вы можете видеть две вещи. Во-первых, производная — это просто скорость изменения функции за очень маленькие промежутки времени. Во-вторых, эта производная обычно может быть записана как другая реальная математическая функция. В общем случае мы записываем производную как:

              Здесь Δs заменены на d , чтобы показать, что мы смотрим на предел, когда Δt стремится к нулю. Вот и все.

              Но как взять производную?

              Ммм. .. разве я не сделал это выше? О, вы думаете, что использование компьютера — это жульничество? Хорошо, я могу это понять. Но на самом деле это не обман. Численная программа получает производную, используя конечные (но очень маленькие) интервалы времени. В реальной жизни мы всегда имеем дело с этим, а наука имеет дело с реальным миром.

              Но как получить математическую функцию без использования компьютера? Я не буду вдаваться в подробности — для этого и существуют ваши уроки математики. Все, что меня волнует (как тренера по физике), это то, что вы понимаете, что такое производная и как ее найти. Итак, вот некоторые «правила».

              Самые популярные

              Правило произведения. У вас никогда не будет простой функции. Как правило, это две меньшие функции, умноженные (например, 9).0063 a*t — даже если a является константой). Предположим, у меня есть функция g и f (обе функции t ). Теперь у меня есть функция положения ( x(t) ), такая что:

              Я могу найти производную этой функции, найдя производную g(t) и f(t) в следующем способ.

              Я буду использовать это в коротком примере.

              Силовое правило. Если у вас есть многочлен, найти производную довольно просто. Предположим, у меня есть такая функция:

              Где n — просто константа. В этом случае производная этой функции будет:

              Триггерные функции. Помните, я не вывожу их. Я просто говорю вам «ответ» — вот производные от двух наиболее распространенных триггерных функций.

              Я сжульничал — пропустил небольшой шаг выше. Извиняюсь. Чтобы по-настоящему понять тригонометрические производные, вам также понадобится цепное правило.

              Цепная линейка. Что делать, если у вас есть функция функции (составная функция)? Вот пример.

              В этом случае я могу взять производную от x как:

              Это может быть немного сложнее объяснить — будем надеяться, что вы скоро расскажете об этом в своем курсе математики.

              Зачем нужны производные в физике?

              Помните, что производная на самом деле просто скорость изменения. Мы обычно думаем о скорости изменения в физике как о производной по времени. Это приводит к некоторым знакомым величинам:

              Но мы используем не только производные по времени. Если вы знаете потенциальную энергию как функцию положения, вы можете найти силу, которая идет вместе с этим потенциалом, с пространственной производной.

              Если бы вы знали функцию потенциальной энергии пружины, вы могли бы использовать ее, чтобы найти силу, действующую на пружину (в направлении x).

              На самом деле это не лучший пример, так как вы обычно определяете силу пружины как функцию и используете ее для получения функции потенциальной энергии пружины, но в любом случае это все еще пример.

              Все эти примеры из первого семестра физики (механика и прочее). Надеюсь, что ко второму семестру вводной физики вы увидите множество производных на уроках математики. Поверьте мне, есть еще много случаев, когда вам придется использовать производные во втором семестре физики.

              Последнее предупреждение. Помните, это был всего лишь «ускоренный курс» по деривативам. Это не должно использоваться в качестве замены фактического курса математики по исчислению.

              Ретт Аллейн — адъюнкт-профессор физики Университета Юго-Восточной Луизианы. Он любит преподавать и говорить о физике. Иногда он разбирает вещи и не может собрать их обратно.

              Темы, исчисление, математика, числовые расчеты

              Еще из WIRED

              Построение интуиции для производной – BetterExplained

              Как бы вы хотели, чтобы вам объяснили производную? Вот мое мнение.

              Псс! Производная — это сердце исчисления, скрытое внутри этого определения:

              Но что это значит?

              Допустим, я дал вам волшебную газету, в которой перечислены ежедневные изменения на фондовом рынке в течение следующих нескольких лет (+1% в понедельник, -2% во вторник…). Что ты можешь сделать?

              Ну, вы применяете изменения одно за другим, рассчитываете будущие цены и покупаете дешево / продаете дорого, чтобы построить свою империю. Вы даже можете перестать использовать обезьян, которые случайным образом выбирают акции для своего портфеля.

              Как и эта волшебная газета, производная — это хрустальный шар, который точно объясняет, как изменится узор. Зная это, вы можете строить планы на прошлое/настоящее/будущее, находить минимумы/максимумы и, следовательно, принимать более правильные решения. Это довольно интересно, больше, чем типичное описание «производная есть наклон функции».

              Давайте отойдем от грубого уравнения. Уравнения существуют для передачи идей: понимайте идею, а не грамматику.

              Производные создают идеальную модель изменений из несовершенного предположения.

              Этот результат пришел к нам за тысячи лет размышлений, от Архимеда до Ньютона. Давайте посмотрим на аналогии, стоящие за этим.

              Мы все живем в сверкающем континууме

              Бесконечность — постоянный источник парадоксов («головных болей»):

              • Линия состоит из точек? Конечно.
              • Значит, на линии бесконечное количество точек? Ага.
              • Как пересечь комнату, если есть бесконечное количество точек для посещения? (Ну и дела, спасибо, Зенон).

              И все же мы движемся. Моя интуиция состоит в том, чтобы бороться с бесконечностью с бесконечностью. Конечно, между 0 и 1 есть бесконечные точки. Но я перемещаю две бесконечности точек в секунду (каким-то образом!) и преодолеваю разрыв за полсекунды.

              Расстояние имеет бесконечные точки, движение возможно, поэтому движение выражается в «бесконечности точек в секунду».

              Вместо того, чтобы думать о различиях («Как далеко до следующей точки?»), мы можем сравнивать скорости («Как быстро вы движетесь по этому континууму?»).

              Странно, но 10/5 можно представить как «Мне нужно пройти 10 «бесконечностей» за 5 отрезков времени. Для этого я прохожу 2 «бесконечности» за каждую единицу времени».

              Аналогия: см. деление как скорость движения через континуум точек

              Что после нуля?

              Еще одна головоломка: какое число идет после нуля? 0,01? . 0001?

              Хрм. Все, что вы можете назвать, я могу назвать меньше (я просто уменьшу ваше число вдвое… ня!).

              Несмотря на то, что мы не можем вычислить число после нуля, оно должно быть там, верно? Подобно демонам прошлого, это «число, которое нельзя записать, чтобы не быть пораженным».

              Вызвать пробел до следующего числа $dx$. Я точно не знаю, насколько он велик, но он есть!

              Аналогия: dx — это «скачок» к следующему числу в континууме.

              Измерения зависят от прибора

              Производная предсказывает изменение. Хорошо, а как мы измеряем скорость (изменение расстояния)?

              Офицер

              : Вы знаете, как быстро вы ехали?

              Водитель: Понятия не имею.

              Офицер: 95 миль в час.

              Водитель: Но я не был за рулем в течение часа!

              Нам явно не нужен «полный час», чтобы измерить вашу скорость. Мы можем провести измерение до и после (скажем, более 1 секунды) и получить вашу мгновенную скорость. Если вы продвинулись на 140 футов за одну секунду, вы идете примерно на 95 миль в час. Просто, верно?

              Не совсем так. Представьте себе видеокамеру, направленную на Кларка Кента (альтер-эго Супермена). Камера записывает 24 кадра в секунду (40 мс на фото), и Кларк кажется неподвижным. Каждую секунду он не двигается, и его скорость равна 0 миль в час.

              Опять неправильно! Между каждой фотографией, в течение этих 40 мс, Кларк превращается в Супермена, раскрывает преступления и возвращается в свое кресло, чтобы сделать красивую фотографию. Мы измерили 0 миль в час, но он действительно двигается — он движется слишком быстро для наших приборов!

              Аналогия: Подобно камере, наблюдающей за Суперменом, скорость, которую мы измеряем, зависит от инструмента!

              Запуск беговой дорожки

              Мы приближаемся к жевательному, слегка острому центру производной. Нам нужны измерения до и после, чтобы обнаружить изменения, но наши измерения могут быть ошибочными.

              Представьте голого Санту на беговой дорожке (давай, я подожду). Мы собираемся измерить его частоту сердечных сокращений в ходе стресс-теста: мы прикрепим десятки тяжелых холодных электродов и заставим его бегать.

              Санта пыхтит, пыхтит, и его пульс подскакивает до 190 ударов в минуту. Должно быть, это его «стрессовый» сердечный ритм, верно?

              Нет. Видишь ли, само присутствие суровых ученых и холодных электродов участило его сердцебиение! Мы, , измерили со скоростью 190 ударов в минуту, но кто знает, что бы мы увидели, если бы не электроды! Конечно, если бы не электроды, у нас не было бы измерения.

              Что делать? Ну, посмотрите на систему:

              • измерение = фактическое количество + эффект измерения

              Ах. После множества исследований мы можем обнаружить: «О, каждый электрод добавляет 10 ударов в минуту к частоте сердечных сокращений». Делаем замер (несовершенная оценка 190) и убираем эффект электродов («идеальная оценка»).

              Аналогия: Уберите «электродный эффект» после измерения

              Кстати, «электродный эффект» проявляется везде. Научные исследования имеют эффект Хоторна, когда люди меняют свое поведение , потому что их изучают . Боже, кажется, что все, кого мы тщательно изучаем, придерживаются своей диеты!

              Понимание производной

              Вооружившись этим пониманием, мы можем увидеть, как меняются модели производной:

              Начните с некоторой системы для изучения, $f(x)$: дх$)

            • Получить разницу до и после: $f(x + dx) — f(x)$
            • Мы точно не знаем, насколько мал $dx$, и нам все равно: получите скорость движения через континуум: $[f(x + dx) — f(x)] / dx$
            • Эта скорость хоть и мала, но имеет некоторую ошибку (наши камеры слишком медленные!). Предскажите, что произойдет, если измерение будет идеальным, если $dx$ не будет.
            • Волшебство на последнем этапе: как снять электроды? У нас есть два подхода:

              • Ограничения: что происходит, когда $dx$ сжимается до нуля, за пределами любой погрешности?
              • Бесконечно малые числа: что, если $dx$ — крошечное число, неразличимое в нашей системе счисления?

              Оба способа формализовать понятие «Как нам выбросить $dx$, когда он не нужен?».

              Моя любимая мозоль: Пределы — это современный формализм, во времена Ньютона их не существовало. Они помогают заставить $dx$ исчезнуть «чисто». Но учить их перед производной — все равно, что показывать руль без машины! Это инструмент, помогающий производной работе, а не то, что нужно изучать в вакууме. 92 = 5$). Из чего состоит «5»?

              • Измеренная скорость = фактическая скорость + ошибка
              • $5 = 2x + dx$
              • 5 долларов = 2(2) + 1
              • долларов

              Конечно, мы измерили «5 единиц, перемещаемых в секунду», потому что мы перешли от 4 к 9 за один интервал. Но наши инструменты обманывают нас! 4 единицы скорости пришли от реального изменения, а 1 единица — из-за дрянных инструментов (1.0 — это большой скачок, не так ли?).

              Если мы ограничимся целыми числами, 5 будет идеальной мерой скорости от 4 до 9. Нет «ошибки» в предположении, что $dx = 1$, потому что это истинный интервал между соседними точками. 92 = 0,41$

              Помните, 0,41 — это то, что мы изменили в интервале 0,1. Наша скорость на единицу равна 0,41/0,1 = 4,1. И снова имеем:

              • Измеренная скорость = Фактическая скорость + Ошибка
              • 4,1$ = 2x + dx
              • $

              Интересно. При $dx=0,1$ измеренная и фактическая скорости близки (от 4,1 до 4, погрешность 2,5%). Когда $dx=1$, ставки сильно отличаются (от 5 до 4, ошибка 25%).

              Следуя схеме, мы видим, что выбрасывание электродов (пусть $dx=0$) показывает истинную скорость $2x$. 92$ изменений, нашел «несовершенное» измерение $2x + dx$ и вывел «идеальную» модель изменения как $2x$.

              Производная как «непрерывное деление»

              Я считаю интеграл лучшим умножением, когда вы можете применить изменяющуюся величину к другой.

              Производная — это «лучшее деление», где вы получаете скорость в континууме в каждый момент времени. Что-то вроде 10/5 = 2 говорит: «у вас постоянная скорость 2 в континууме».

              Когда ваша скорость меняется по ходу движения, вам нужно описать свою скорость в каждый момент времени. Это производная. 92$, при $x=22$ мы меняем на 44 (конкретная скорость изменения).

            • «Производная равна $dx$» может относиться к крошечному гипотетическому переходу на следующую позицию. Технически $dx$ является «дифференциалом», но термины путаются. Иногда люди говорят «производная от $x$» и имеют в виду $dx$.

            • Подсказка: наши модели могут быть несовершенными

              Мы нашли «идеальную» модель, проведя измерения и улучшив ее. Иногда этого недостаточно — мы предсказываем, что произошло бы , если бы $dx$ не было, но мы добавили $dx$, чтобы получить наше первоначальное предположение!

              Некоторые функции с плохим поведением не поддаются предсказанию: есть разница между удалением $dx$ с пределом и тем, что на самом деле происходит в этот момент. Они называются «разрывными» функциями, которые, по сути, «не могут быть смоделированы с ограничениями». Как вы можете догадаться, производная не работает с ними, потому что мы не можем на самом деле предсказать их поведение.

              Прерывистые функции на практике встречаются редко и часто существуют как «Попался!» контрольные вопросы («О, ты пытался взять производную от разрывной функции, у тебя не получилось»). Осознайте теоретическую ограниченность производных, а затем осознайте их практическое использование для измерения любых природных явлений. Почти каждая функция, которую вы увидите (синус, косинус, e, многочлены и т. д.), является непрерывной.

              Попался: интеграции на самом деле не существует

              Связь между производными, интегралами и антипроизводными имеет нюансы (и изначально я ошибся). Вот метафора. Начните с тарелки, ваша задача изучить:

              • Дифференциация — это разбивание тарелки на осколки. Существует определенная процедура: взять разницу, найти скорость изменения, а затем предположить, что $dx$ здесь нет.
              • Интеграция взвешивает осколки: ваша первоначальная функция была «вот такой» большой. Есть процедура, накопительное сложение, но она вам не говорит 92$. 2$ не одно и то же? Да, но это не очевидно: это теорема Пифагора!»). Спасибо Джошуа Цукеру. за помощь разобраться со мной

                Чтение математики

                Математика — это язык, и я хочу «читать» исчисление (а не «декламировать» исчисление, т.е. как мы можем декламировать средневековые немецкие гимны). Мне нужно сообщение позади определений.

                Мой самый большой ага! осознавал временную роль $dx$: он производит измерение и удаляется, чтобы создать совершенную модель. Пределы/бесконечно малые числа — это формализм, мы не можем зацикливаться на них. Ньютон, казалось, обходился без них.

                Вооружившись этими аналогиями, становятся интересными другие математические вопросы:

                • Как измерить различные размеры бесконечности? (В каком-то смысле все они «бесконечны», в других смыслах диапазон (0,1) меньше, чем (0,2))
                • Каковы реальные правила того, как заставить $dx$ «уйти»? (Как на самом деле работают бесконечно малые и пределы?)
                • Как мы описываем числа, не записывая их? «Следующее число после 0» — это начало анализа (которому я хочу научиться).

              Окружность определение: Что такое окружность: определение, свойства, формулы

              Окружность. Основные теоремы

              \[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

              Определения

              Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

               

              Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

               

              Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

               

              Теорема

              Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

               

              Доказательство

              Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:


               

              Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).

               

              Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

               

              1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

               

              2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.


               

              Следствия

              1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

               

              2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

               

              3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.  

              \[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

              Определения

              Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

               

              1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

               

              2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

               

              3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).


               

              Теорема

              1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

               

              2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

               

              Следствие

              Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

               

              Доказательство

              Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):


               

              Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).

               

              Следствие

              Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\).  

              \[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

              Теорема об угле между секущими

              Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

               

              Доказательство

              Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:


               

              Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\). \circ — \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

               

              Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

              Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

               

              И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

               

              Доказательство

              1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).


               

              \(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

               

              2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).

               

              Теорема

              Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

              Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.


               

              Доказательство

              1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).

               

              Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).

               

              2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).

               

              Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\).  

              \[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

              Теорема о произведении отрезков хорд

              Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

               

              Доказательство

              Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).

              Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). 2\).

               

              Следствие

              Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):


               

              Что такое единичная окружность в тригонометрии: определение, связь, понятие

              Определение

              Единичная окружность — это окружность с радиусом, равным единице, и центром в начале прямоугольной декартовой системы координат.

              Уравнения для задания единичной окружности: x2+y2=1

              Понятие единичной окружности непосредственно связано с тригонометрией. Угол поворота можно рассматривать, как движение по окружности. При этом величина угла поворота не зависит от радиуса окружности, что делает использование единичной окружности при математических описаниях очень удобным.

              Через координаты точек на единичной окружности дается определение основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обосновываются их свойства и выводятся основные формулы тригонометрии.

                                                   

              С использованием уравнения единичной окружности и определения синуса и косинуса может быть записано основное тригонометрическое тождество: sin2x+cos2x=1.

              Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

              Автор: Ирина Мальцевская

              Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

              Навигация по статьям

              Предыдущая статья

              Тригонометрия

              Следующая статья

              Основные тригонометрические формулы

              • Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
              • Градусы и радианы
              • Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
              • Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса
              • Основные тригонометрические тождества
              • Все темы по математике
              • Курсовые работы
              • Рефераты
              • Контрольные работы
              • Отчет по практике
              • Эссе

              Узнать подробнее

            • ПЛАСТИНЧАТЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК В Компас А Бумага теплообменник кожухотрубчатый

              • Вид работы:

                Чертёж

              • Выполнена:

                27 июня 2022 г.

              • Стоимость:

                2 400 руб

              Заказать такую же работу

            • Математические модели инфодемии

              Заказать такую же работу

            • Нужно рассчитать теплообменник

              • Вид работы:

                Контрольная работа

              • Выполнена:

                28 апреля 2022 г.

              • Стоимость:

                3 600 руб

              Заказать такую же работу

            • Задания прикреплены

              • Вид работы:

                Контрольная работа

              • Выполнена:

                21 января 2022 г.

              • Стоимость:

                1 400 руб

              Заказать такую же работу

            • Особенности исторической застройки Красноярска от появления острога до конца века

              • Вид работы:

                Реферат

              • Выполнена:

                27 декабря 2021 г.

              • Стоимость:

                1 000 руб

              Заказать такую же работу

            • по Строительным материалам

              • Вид работы:

                Решение задач

              • Выполнена:

                30 ноября 2021 г.

              • Стоимость:

                1 100 руб

              Заказать такую же работу

            • Смотреть все работы по чертежам в компас

              Что такое центр окружности определение. Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики

              Разбираемся в том что такое окружность и круг. Формула площади круга и длины окружности.

              Мы каждый день встречаем множество предметов, по форме которые образовывают круг или напротив окружность. Иногда возникает вопрос, что такое окружность и чем она отличается от круга. Конечно же, мы все проходили уроки геометрии, но иногда не помешает освежить знания весьма простыми объяснениями.

              Что такое длина окружности и площадь круга: определение

              Итак, окружность является замкнутой кривой линией, которая ограничивает или же напротив, образует круг. Обязательное условие окружности — у нее есть центр и все точки равноудалены от него. Проще говоря, окружность это гимнастический обруч (или как его часто называют хула-хуп) на плоской поверхности.

              Длина окружности это общая длина той самой кривой, которая образует окружность. Как известно вне зависимости от размеров окружности соотношение ее диаметра и длины равно числу π = 3,141592653589793238462643.

              Из этого следует, что π=L/D, где L — длина окружности, а D — диаметр окружности.

              Если Вам известен диаметр, то длину можно найти по простой формуле: L= π* D

              В случае если известен радиус: L=2 πR

              Мы разобрались, что такое окружность и можем перейти к определению круга.

              Круг — это геометрическая фигура, которая окружена окружностью. Или же, круг это фигура, рубеж которой состоит из большого количества точек равноудаленных от центра фигуры. Вся площадь, которая находится внутри окружности, включая ее центр, называется кругом.

              Стоит заметить, что у окружности и круга, который находится в ней значения радиуса и диаметра одинаковые. А диаметр в свою очередь в два раза больше чем радиус.

              Круг имеет площадь на плоскости, которую можно узнать при помощи простой формулы:

              Где S — площадь круга, а R — радиус данного круга.

              Чем круг отличается от окружности: объяснение

              Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:

              • Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности;
              • Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью;
              • Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр;
              • У круга и окружности единый центр;
              • В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг;
              • У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности.

              Круг и окружность: примеры, фото

              Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность.

              Формула длины окружности и площади круга: сравнение

              Формула длины окружности L=2 πR

              Формула площади круга S= πR²

              Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе.

              Площадь круга по длине окружности: формула

              S=π(L/2π)=L²/4π, где S — площадь круга, L — длина окружности.

              Видео: Что такое круг, окружность и радиус

              И круг — геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. есть граничная ломаная линия (кривая) круга ,

              Определение. Окружность — замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности.

              Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия.

              Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами, сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R ). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности.

              Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D ).

              Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам .

              d = 2r
              D = 2R

              Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14.

              Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C ). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру:

              C = ¶d
              C = 2¶r

              • Примеры
              • Дано: d = 100 см.
              • Длина окружности: C = 3,14 * 100 см = 314 см
              • Дано: d = 25 мм.
              • Длина окружности: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

              Секущая окружности и дуга окружности

              Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги. Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй.

              Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности.

              Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности.

              Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше — большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой , уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности.

              Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности.

              Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга.

              Так как круг — это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь.

              Правило. Площадь круга (S ) равна произведению квадрата радиуса (r 2 ) на число ¶.

              • Примеры
              • Дано: r = 100 см
              • Площадь круга:
              • S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
              • Дано: d = 50 мм
              • Площадь круга:
              • S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

              Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами . Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности .

              Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

              Данная точка (O) называется центром окружности .
              Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
              Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
              Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
              Длина единичной полуокружности обозначается через π .
              Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
              Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
              Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
              Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
              Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

              Взаимное расположение прямой и окружности

              1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
              2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
              3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
              4. .

              Центральные и вписанные углы

              Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности.
              Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

              Теорема о вписанном угле

              Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

              • Следствие 1.
                Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

              • Следствие 2.
                Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

              Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

              Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

              Основные формулы

              • Длина окружности:

              C = 2∙π∙R

              • Длина дуги окружности:

              R = С/(2∙π) = D/2

              • Диаметр:

              D = C/π = 2∙R

              • Длина дуги окружности:

              l = (π∙R) / 180∙α ,
              где α — градусная мера длины дуги окружности)

              • Площадь круга:

              S = π∙R 2

              • Площадь кругового сектора:

              S = ((π∙R 2) / 360)∙α

              Уравнение окружности

              • В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:

              (x — x о) 2 + (y — y о) 2 = r 2

              • Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

              x 2 + y 2 = r 2

              Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.

              Окружность: определение и основные средства описания

              Окружность — это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

              Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.

              Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, — это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.

              Свойства хорд

              1. Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней — радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
              2. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
              3. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.

              Длина окружности: общее понятие и основные формулы

              Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа «π», отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.

              Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L — это длина окружности, D — диаметр, R — радиус.

              Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.

              Что такое окружность: основные постулаты

              • не иметь общих точек;
              • иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
              • иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.

              2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.

              3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.

              4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.

              5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?

              • одинаковая кривизна линии в любой из точек;
              • относительно точки О;
              • зеркальная симметрия относительно диаметра.

              6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.

              7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.

              Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него

              Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками.

              1. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника.
              2. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
              3. Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
              4. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является

              Основные утверждения об окружности и четырехугольниках

              1. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
              2. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
              3. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
              4. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
              5. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.

              Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности. {\circ}}

            • Используя радианную меру: CD = \alpha R
            • Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

              В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

              AN\cdot NB = CN \cdot ND

              Касательная к окружности

              Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

              Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

              Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

              Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

              AC = CB

              Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть. {\circ}

              \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

              На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

              Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

              \angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

              Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

              \angle M = \angle CBD — \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC — \cup AlB \right)

              Вписанная окружность

              Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

              В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

              Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

              Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

              S = pr ,

              p — полупериметр многоугольника,

              r — радиус вписанной окружности.

              Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

              r = \frac{S}{p}

              Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

              AB + DC = AD + BC

              В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

              Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

              r = \frac{S}{p} ,

              где p = \frac{a + b + c}{2}

              Описанная окружность

              Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника . {\circ}

              Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

              Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

              R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

              R = \frac{abc}{4 S}

              a , b , c — длины сторон треугольника,

              S — площадь треугольника.

              Теорема Птолемея

              Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

              Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

              AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

              Что такое окружность? : Геометрия

              Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное



              Правила форума

              В этом разделе нельзя создавать новые темы.

              Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

              Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

              Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

              Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.


               
              AlgolHater 

               Что такое окружность?

              22.03.2008, 14:21 

              17/02/08
              7

              Всем привет.

              Тут на лекции дали такое определение:

              Цитата:

              Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости

              При этом лектор уделил внимание этой части определения: «от некоторой фиксированной точки этой плоскости». Сказал, что некоторые авторы это почему-то забывают писать. И начертил нечто вроде конуса (нечто, потому что образующие, вершина и внутренняя область окружности на плоскости к самой окружности, естественно, не относятся). Спорить с ним там было несколько неудобно, в особенности глядя на его уверенность.

              Но я не понял, что он хотел этим доказать. Что полученная фигура, постоенная относительно фиксированной точки, находящаяся вне плоскости получемой фигуры не является окружностью? Или дело в том, что назвать фиксированной точку можно только в случае однозначного её местонахождения, что невозможно сделать без введения единичного отрезка для указания расстояния на котором находится эта точка от данной плоскости?

              Так есть ли разница относительно какой фиксированной точки строить эту окружность? Я не согласен с лектором. А вы?


                 

                                

              enko 

               Re: Что такое окружность?

              22.03.2008, 14:39 

              19/08/07
              113
              Краснодар

              AlgolHater писал(а):

              Так есть ли разница относительно какой фиксированной точки строить эту окружность? Я не согласен с лектором. А вы?

              Действительно и в вашем случае получится окружность, но что будет если равное расстояние R больше либо равно расстоянию от точки до плоскости.


                 

                                

              Профессор Снэйп 

               Re: Что такое окружность?

              22.03.2008, 15:21 

              Заморожен

              18/12/07
              8774
              Новосибирск

              AlgolHater писал(а):

              Тут на лекции дали такое определение:

              Цитата:

              Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости

              При этом лектор уделил внимание этой части определения: «от некоторой фиксированной точки этой плоскости».

              Без этой оговорки получится, что и одна точка, и пустое множество точек являются окружностями.


                 

                                

              Бабай 

               

              22.03.2008, 17:18 

              29/12/05
              228

              Цитата:

              Без этой оговорки получится, что и одна точка, и пустое множество точек являются окружностями.

              А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса?

              С пустым множеством я бы был осторожен. Как там вообще вводить метрику собираемся?

              Я думаю что оговорка здесь не особо нужна. Лектор может этим хотел только подчеркнуть, что определяя окружность, мы не обязятельно находимся на двумерном подпространстве. Но какой толк в этом? Определите, что такое n-мерный шар, и отсекайте от него гиперплоскостями шары измерением меньше! Тогда и отпадёт надобность в фиксировании точек.


                 

                                

              незваный гость 

               

              22.03.2008, 22:18 

              Заслуженный участник

              17/10/05
              3709

              Бабай писал(а):

              А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса?

              Вопрос, удобно ли такое определение? Например, можно опустить требование «большее 1» в определении простого числа, но что нам это даст?

              Принадлежность же центра плоскости столь же важна, сколь и положительность радиуса. Мы можем не оговаривать, что радиус положительный, но радости с этого мало.


                 

                                

              Бабай 

               

              22.03.2008, 23:31 

              29/12/05
              228

              Цитата:

              Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости

              В первой строке определения говорится, что окружность сама по себе уже двумерная фигура. 2. Вся плоскость — это объединение непересекающихся окружностей — орбит точек плоскости, включая орбиту начала отсчёта -окружность нулевого радиуса. Так вот, если точку не принимать за окружность, то смысла в этом действии было бы мало. Ну хотя эта ситуация, конечно, довольно специфическая.
              Ну скажем так — окружность эквивалентна точке, потому что строение евклидова пространства позволяет стянуть окружность в точку.


                 

                                

              Gordmit 

               

              23.03.2008, 01:33 

              Заслуженный участник

              19/06/05
              486
              МГУ

              Бабай писал(а):

              А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса?

              Получится порочный круг: точка и окружность будут определяться друг через друга. С одной стороны, точка — это окружность нулевого радиуса, а с другой стороны окружность — это множество точек

              , равноудаленных от данной фиксированной точки


                 

                                

              AlgolHater 

               

              23.03.2008, 01:45 

              17/02/08
              7

              Цитата:

              но что будет если равное расстояние R больше либо равно расстоянию от точки до плоскости

              Не понял.

              Равно (и меньше) быть просто не может — у прямоугольного треугольника гипотенуза (расстояние от фиксированной точки до какой-либо из точек, образующих окружность) всегда больше катетов (т.е. и больше перпендикуляра, опущенного из фиксированной точки на данную плоскость).
              Ну а если больше — то всё хорошо.

              UPD. Хм…Имеете ввиду просто перпендикуляр, опущенный на плоскость к точке, которая будет по определнию и называться окружностью?


                 

                                

              Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
                Страница 1 из 1
               [ Сообщений: 8 ] 

              Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



              Кто сейчас на конференции

              Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


              Вы не можете начинать темы
              Вы не можете отвечать на сообщения
              Вы не можете редактировать свои сообщения
              Вы не можете удалять свои сообщения
              Вы не можете добавлять вложения

              Найти:

              Определение по окружности.

              Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики

              Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

              Данная точка (O) называется центром окружности .
              Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
              Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
              Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
              Длина единичной полуокружности обозначается через π .
              Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
              Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
              Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
              Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
              Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

              Взаимное расположение прямой и окружности

              1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
              2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
              3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
              4. .

              Центральные и вписанные углы

              Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности.
              Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

              Теорема о вписанном угле

              Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

              • Следствие 1.
                Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

              • Следствие 2.
                Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

              Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

              Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

              Основные формулы

              • Длина окружности:

              C = 2∙π∙R

              • Длина дуги окружности:

              R = С/(2∙π) = D/2

              • Диаметр:

              D = C/π = 2∙R

              • Длина дуги окружности:

              l = (π∙R) / 180∙α ,
              где α — градусная мера длины дуги окружности)

              • Площадь круга:

              S = π∙R 2

              • Площадь кругового сектора:

              S = ((π∙R 2) / 360)∙α

              Уравнение окружности

              • В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:

              (x — x о) 2 + (y — y о) 2 = r 2

              • Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

              x 2 + y 2 = r 2

              Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. {\circ}}

            • Используя радианную меру: CD = \alpha R
            • Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

              В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

              AN\cdot NB = CN \cdot ND

              Касательная к окружности

              Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

              Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

              Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

              Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

              AC = CB

              Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть. {\circ}

              \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

              На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

              Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

              \angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

              Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

              \angle M = \angle CBD — \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC — \cup AlB \right)

              Вписанная окружность

              Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

              В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

              Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

              Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

              S = pr ,

              p — полупериметр многоугольника,

              r — радиус вписанной окружности.

              Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

              r = \frac{S}{p}

              Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

              AB + DC = AD + BC

              В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

              Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

              r = \frac{S}{p} ,

              где p = \frac{a + b + c}{2}

              Описанная окружность

              Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника . {\circ}

              Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

              Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

              R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

              R = \frac{abc}{4 S}

              a , b , c — длины сторон треугольника,

              S — площадь треугольника.

              Теорема Птолемея

              Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

              Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

              AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

              Разбираемся в том что такое окружность и круг. Формула площади круга и длины окружности.

              Мы каждый день встречаем множество предметов, по форме которые образовывают круг или напротив окружность. Иногда возникает вопрос, что такое окружность и чем она отличается от круга. Конечно же, мы все проходили уроки геометрии, но иногда не помешает освежить знания весьма простыми объяснениями.

              Что такое длина окружности и площадь круга: определение

              Итак, окружность является замкнутой кривой линией, которая ограничивает или же напротив, образует круг. Обязательное условие окружности — у нее есть центр и все точки равноудалены от него. Проще говоря, окружность это гимнастический обруч (или как его часто называют хула-хуп) на плоской поверхности.

              Длина окружности это общая длина той самой кривой, которая образует окружность. Как известно вне зависимости от размеров окружности соотношение ее диаметра и длины равно числу π = 3,141592653589793238462643.

              Из этого следует, что π=L/D, где L — длина окружности, а D — диаметр окружности.

              Если Вам известен диаметр, то длину можно найти по простой формуле: L= π* D

              В случае если известен радиус: L=2 πR

              Мы разобрались, что такое окружность и можем перейти к определению круга.

              Круг — это геометрическая фигура, которая окружена окружностью. Или же, круг это фигура, рубеж которой состоит из большого количества точек равноудаленных от центра фигуры. Вся площадь, которая находится внутри окружности, включая ее центр, называется кругом.

              Стоит заметить, что у окружности и круга, который находится в ней значения радиуса и диаметра одинаковые. А диаметр в свою очередь в два раза больше чем радиус.

              Круг имеет площадь на плоскости, которую можно узнать при помощи простой формулы:

              Где S — площадь круга, а R — радиус данного круга.

              Чем круг отличается от окружности: объяснение

              Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:

              • Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности;
              • Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью;
              • Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр;
              • У круга и окружности единый центр;
              • В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг;
              • У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности.

              Круг и окружность: примеры, фото

              Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность.

              Формула длины окружности и площади круга: сравнение

              Формула длины окружности L=2 πR

              Формула площади круга S= πR²

              Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе.

              Площадь круга по длине окружности: формула

              S=π(L/2π)=L²/4π, где S — площадь круга, L — длина окружности.

              Видео: Что такое круг, окружность и радиус

              Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.

              Окружность: определение и основные средства описания

              Окружность — это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

              Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.

              Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, — это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.

              Свойства хорд

              1. Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней — радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
              2. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
              3. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.

              Длина окружности: общее понятие и основные формулы

              Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа «π», отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.

              Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L — это длина окружности, D — диаметр, R — радиус.

              Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.

              Что такое окружность: основные постулаты

              • не иметь общих точек;
              • иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
              • иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.

              2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.

              3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.

              4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.

              5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?

              • одинаковая кривизна линии в любой из точек;
              • относительно точки О;
              • зеркальная симметрия относительно диаметра.

              6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.

              7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.

              Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него

              Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками.

              1. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника.
              2. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
              3. Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
              4. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является

              Основные утверждения об окружности и четырехугольниках

              1. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
              2. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
              3. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
              4. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
              5. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.

              Окружность и её элементы. Знакомство с понятиями. 2-й класс

              УМК: «Начальная школа XXI века».

              Цели урока:

              • Образовательная: создать условия для формирования представления об окружности и круге, как о геометрических фигурах и познакомить с их элементами, развивать практическое умение – пользоваться циркулем.
              • Развивающая: создать условия для развития творческой деятельности, речи и мыслительных операций: обобщение, анализ, сравнение.
              • Воспитательные: создать условия для воспитания трудолюбия, самостоятельности, активности, способности к познанию.

              Оборудование: геометрические фигуры (квадрат, куб, шар, круг), модель круга (на каждого ученика), учебник для 2 класса В. Н. Рудницкой  «Математика» 1 часть, рабочая тетрадь, циркуль, линейка, картинка с изображением Карандаша (человечка), альбомные листы с изображением окружностей, карточки.

              Ход урока

              I. Организация класса

              «Долгожданный дан звонок,
              Начинается урок.
              Тут затеи и задачи,
              Игры, шутки, всё для вас!
              Пожелаю всем удачи —
              За работу, в добрый час!»

              II. Актуализация знаний

              Игра. На столе разложены различные геометрические фигуры (накрыты платком).

              — Найдите на ощупь: квадрат, куб, шар, круг.

              — Чем отличаются? (учитель держит в руках и показывает шар и круг).

              III. Сообщение темы урока

              — Сегодня на уроке, мы с вами отправимся в удивительную страну геометрию, где познакомимся с новой геометрической фигурой и её элементами.

              IV. Работа по теме урока

              1. Знакомство с понятием «окружность».

              — Найдите на столе у каждого из вас круг. Возьмите его в руки. Обведите пальчиком границу круга так же как я.

              — Может быть, кто-нибудь из вас знает, как называется граница круга? (выслушав ответы детей, учитель вывешивает карточку на доску).

              — Прочитайте слово: по слогам, с ударением. Закройте глаза, представьте это слово и ещё раз проговорите его по слогам.

              — Какие буквы в этом слове похожи на окружность? («О»). А что вы можете рассказать об этих буквах? (Это безударные гласные, которые нужно запомнить.)

              — А теперь возьмите круг, положите его на страницу тетради и обведите шаблон по его границе.

              — Уберите шаблон. Посмотрите, у вас получилась окружность. Но для того, что бы построить окружность, не обязательно каждый раз пользоваться шаблоном.

              2. Построение окружности с помощью циркуля.

              а) — Для построения окружности существует специальный инструмент.

              — Послушайте загадку:

              «Сговорились две ноги
              Делать дуги и круги».  Это …… (циркуль).

              Учитель вывешивает карточку на доску и показывает инструмент.

              — Обратите внимание на гласную, которая пишется после буквы «Ц». Кто может объяснить?

              — Какое слово спряталось в слове «циркуль»? («цирк»).

              — Слово «цирк» в переводе с латинского языка означает «круг».

              — Как вы думаете, почему значение слова связано с кругом? Вспомните, как выглядит арена. (Она круглая,  как-будто её построили с помощью циркуля).

              б) — У циркуля есть 2 ножки: одна — с остриём, другая — с грифелем.

              С циркулем нужно работать очень осторожно. Назовите правила пользования циркулем (нельзя подносить к лицу и глазам, нельзя передавать циркуль соседу иглой вперёд, нельзя им играть, циркуль должен находиться в специальном футляре).

              — А теперь посмотрите, как работают с этим инструментом (показ учителя): «Разведу ножки  на небольшое расстояние: ножку с остриём ставлю на бумагу, а ножка с грифелем касается бумаги. Аккуратно поворачиваем циркуль вокруг своей оси, при этом сохраняя расстояние между ножками, и получаем окружность. Если расстояние изменится — окружность не получится».

              в) — Начертите окружность в тетрадях так же как я. (самостоятельная работа детей, помощь учителя), но сначала повторим порядок работы.

              г) Обобщение:

              — Что вы начертили? (окружность). Как вы думаете, почему её так назвали?

              — Окружность — линия, которая идёт по границе круга.

              — Посмотрите на свои фигуры. Чем круг отличается от окружности? (показать).

              — Круг — это окружность вместе с внутренней областью, ограниченной этой окружностью; его можно погладить. Погладьте. Окружность — это только граница круга (проведите пальчиком по линии), внутри пустая. Круг и окружность как брат и сестра. Они всегда вместе! Нарисовали окружность — возник круг, вырезали круг — ножницы обозначили окружность.

              Физминутка.

              — А теперь отдохнём, встаньте!- Начертите окружность:

              • левой рукой в воздухе;
              • правой ногой на полу;
              • на спине у соседа;
              • носом на потолке.

              —  Садитесь! Продолжаем работать дальше!

              3. Работа по учебнику.

              — Откройте учебник на странице 88, найдите №6.

              Рассмотрите: как изображаются на плоскости круг и окружность. Сравните. В чём сходство и различие?

              — А  какие предметы в учебнике на странице 87 в №1 являются окружностью? (Обруч, огненное кольцо, оправа от очков). Назовите предметы, которые имеют форму круга. (Стекло от очков, леденец, солнышко). Приведите свои примеры.

              — Ребята, к нам на урок пришёл гость — весёлый Карандаш и принёс с собой замечательную песенку про круг и окружность (вывешивается картинка с изображением Карандаша).

              — Послушайте её (учитель поёт):

              «У круга есть одна подруга
              Знакома всем её наружность.
              Она идёт по краю круга
              И называется ….. » (окружность).

              4. Элементы окружности

              — Дома вы можете сочинить свою песенку про круг и окружность.

              — А сейчас Карандашик просит вас помочь ему выполнить некоторые задания:

              а) — Как и любая фигура, окружность тоже имеет свой центр. Помогите найти её Карандашу.

              — Как вы думаете, где она будет находиться? (Найдите у себя прокол от острой ножки циркуля — это и есть центр окружности).

              — Отметьте его точкой и обозначьте латинской буквой «O».

              б)  — На странице 87 учебника, на чертеже найдите центр окружности.

              — А какой ещё элемент окружности вы видите на чертеже? Прочитайте!

              — Карандашик просит вас помочь ему построить радиус окружности.

              — Как же это сделать?

              в) — Отметим на окружности точку в любом месте. Я здесь, а вы можете поставить точку в другом месте (показать), но обязательно на окружности и обозначим её латинской буквой «А». (Учитель и дети работают одновременно).

              — Соедините точку «А» с центром окружности (по линейке, цветным карандашом).

              — Какая получилась фигура? (отрезок ОА).

              — Отрезок ОА и есть радиус.

              — Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на окружности.

              — А можно ещё провести радиус? Кто сможет, попробуйте? (2 ученика у доски).

              — Как можно узнать длину радиуса? (с помощью линейки и циркуля).

              — Как вы думаете, радиусы, которые мы построили  будут одинаковыми или разными? Докажите! (измерьте с помощью линейки или циркуля).

              г) — А ведь знаете, в математике есть ещё одно определение окружности.

              — Представьте себе, что вы бы отметили множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии  от центра, и когда их соединили между собой, то, что получилось тогда? (окружность).

              — Вот вы и сами дали второе определение окружности: окружность — это множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

              5. Рефлексия

              — А теперь подведём итог урока, то есть выясним: какие же открытия вы совершили сегодня для себя на уроке? (высказываются дети).

              — Ребята, а полученные знания вам в жизни пригодятся? Где?

              — Итак, что такое окружность? (2 определения: Окружность — это граница круга, замкнутая кривая линия. Окружность — это множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности).

              — Как называется этот элемент окружности? (учитель показывает на центр окружности)

              — Как называется расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на окружности? (радиус)

              6. Творческое задание

              – Вы сегодня отлично поработали на уроке, узнали много нового. Молодцы!

              А теперь Карандашик предлагает вам немного отдохнуть и выполнить творческое задание.

              а)  – Посмотрите, что изображено у каждого из вас на альбомном листе? (окружность)

              — Проявив свою фантазию, дорисуйте окружности так, чтобы получились разные предметы. А для этого вам пригодятся знания, полученные на уроках «Окружающего мира» и «Технологии».

              — А может быть, кто-нибудь из вас захочет использовать в своей работе не окружность, а круг.

              — Что же тогда нужно сделать? Как превратить окружность в круг? (закрасить).

              — Итак, приступаем к работе. А интересные работы вы  продемонстрируете нашему Карандашику в конце урока. (Включить музыку).

              б) Просмотр интересных работ детей и учителя (эмблема олимпийского флага – на основе окружности и дорожный знак «Движение пешеходов запрещено» — на основе круга).

              7. Домашнее задание
              • Дома потренироваться в построении окружности с помощью циркуля и нахождении её элементов: центра и радиуса (всем учащимся обязательно).
              • Сочинить песенку или стихотворение про круг и окружность (по желанию учащихся).

              Окружность Определение и значение | Dictionary.com

              • Верхние определения
              • Синонимы
              • Викторина
              • Связанный контент
              • Примеры
              • British
              • Scientific
              • Cultural

              Это показывает уровень класса, основанный на сложности слова.

              [ ser-kuhm-fer-uhns ]

              / sərˈkʌm fər əns /

              Сохранить это слово!

              См. синонимы к слову окружность на Thesaurus.com

              Показывает уровень обучения в зависимости от сложности слова.


              сущ.

              внешняя граница, особенно круглой области; периметр: длина окружности.

              длина такой границы: окружность в одну милю.

              область внутри ограничивающей линии: обширная окружность его разума.

              ДРУГИЕ СЛОВА ДЛЯ окружности

              1 периферия, контур.

              См. синонимы к слову окружность на Thesaurus.com

              ТЕСТ

              Сыграем ли мы «ДОЛЖЕН» ПРОТИВ. «ДОЛЖЕН» ВЫЗОВ?

              Следует ли вам пройти этот тест на «должен» или «должен»? Это должно оказаться быстрым вызовом!

              Вопрос 1 из 6

              Какая форма используется для указания обязательства или обязанности кого-либо?

              Начало окружности

              1350–1400; Среднеанглийское <позднелатинское окружность, эквивалентное окружности- + fer- (основа от ferre для переноски) + -entia-ence

              СЛОВА, КОТОРЫЕ МОГУТ СПУТАТЬСЯ С окружностью

              окружность , диаметр, радиус, касательная

              Слова рядом с окружностью

              обрезание, обрезание, обрезание, околостолбцовый, обрезание, окружность, окружность, окружность волокнистого хряща, окружность пластинки, окружность, циркумфикс

              Dictionary. com Unabridged Основано на словаре Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc., 2022

              Слова, относящиеся к окружности

              обхват, амбит, граница, граница, границы, контур, компас, границы, оконечность, бахрома, пределы, губа, край, контур , периферия, ободок, грань

              Как использовать окружность в предложении

              • Эта шапка будет расти вместе с вашими детьми, подходит для размера окружности от 7 до 12 дюймов.

                Лучшие зимние шапки: удобные шапки, которые согреют вас|Carsen Joenk|20 января 2021 г.|Popular-Science

              • Вместо этого, помимо измерения окружности талии, ваш лечащий врач отметит клинические маркеры, указывающие на висцеральные ожирение, говорит Джей.

                Некоторые тренеры рекламируют ВИИТ как лучший способ сжечь жир на животе. Вот что говорит наука.|Пэм Мур|15 декабря 2020 г.|Washington Post

              • Прицельная дальность — это расстояние, на котором вы можете надежно поместить выстрел в пределах круга, который соответствует размеру жизненно важных органов животного — примерно окружности бумажной тарелки для оленя или лося.

                Руководство по охоте для начинающих|Ян Форман|30 октября 2020 г.|Outside Online

              • Каждый ремешок поставляется с двумя разными длинами для более длинной стороны, чтобы соответствовать запястьям с окружностью от 5 до 8 дюймов.

                Аксессуары для умных часов, которые можно подарить вашим высокотехнологичным друзьям и родным|Команда PopSci Commerce|1 октября 2020 г.|Popular-Science

              • Для пейзажных снимков установите камеру в экранный режим, чтобы вас не ослеплял видоискатель, и снимайте прямо на солнце и вокруг него.

                11 замечательных микроприключений, которые вы можете совершить прямо сейчас|Редакция|1 октября 2020 г.|Внешний Интернет

              • Остальное, что выходит за пределы окружности мяса, быстро тает на поверхности плоской поверхности.

                Настоящий чизбургерный рай|Джейн и Майкл Стерн|22 июня 2014 г.|DAILY BEAST

              • Пи официально определяется как отношение длины окружности к ее диаметру.

                17 фактов, чтобы разгадать тайну числа Пи|Эбби Хэглейдж|14 марта 2013 г.|DAILY BEAST

              • Трасса составляет около полутора миль в окружности, а «прямая» – около пяти фарлонгов в длину.

                Бирмингемский словарь Шоуэлла | Томас Т. Харман и Уолтер Шоуэлл

              • Их ветви описывают круг более восьмидесяти футов в окружности, но они больше не приносят плодов.

                Кругосветное путешествие женщины|Ида Пфайффер

              • Высота скалы достигает двухсот пятидесяти футов, а ее окружность составляет около мили.

                Британские автомагистрали и переулки от автомобиля|Томас Д. Мерфи

              • Его окружность не очень велика, но почти одинакова на всем протяжении, что придает ему вид башни.

                Кругосветное путешествие женщины|Ида Пфайффер

              • По окружности ствола расположены зубья шестерни, и эти зубья входят в зацепление с соответствующими зубьями на оси центра.

                The Wonder Book of Knowledge|Various

              British Dictionary definitions for circumference

              circumference

              / (səˈkʌmfərəns) /


              noun

              the boundary of a specific area or geometric figure, esp of a circle

              длина замкнутой геометрической кривой, особенно окружности. Длина окружности равна диаметру, умноженному на π

              Производные формы окружности

              окружность (səˌkʌmfəˈrɛnʃəl), прилагательное окружность, наречие

              Происхождение слова для окружности

              C14: от старофранцузского circonference, от латинского окружность — носить, от окружности + ferre — медведь

              Английский словарь Коллинза — полное и полное цифровое издание 2012 г. © William Collins Sons & Co. Ltd., 1979, 1986 © HarperCollins Publishers 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012

              Научные определения окружности

              окружность

              [ sər-kŭm′fər-əns ]

              0020 Граничная линия круга.

              Граничная линия фигуры, области или объекта.

              Длина такой границы. Длина окружности вычисляется путем умножения диаметра на число Пи.

              Научный словарь American Heritage® Авторские права © 2011. Опубликовано издательством Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены.

              Культурные определения окружности

              окружность

              [ (suhr-kum-fuhr-uhns) ]


              Мера расстояния по окружности.

              Новый словарь культурной грамотности, третье издание Авторское право © 2005 г., издательство Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Опубликовано издательством Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены. Определение

              в кембриджском словаре английского языка

              Примеры окружности

              Окружность

              Исследователи обнаружили, что бедро окружность и рост были тесно связаны с жировыми отложениями.

              Из ВРЕМЕНИ

              1-е тысячелетие
              IV век — V век — VI век — VII век — VIII век
              490-е490491492493494495496497498499
              500-е500501502503504505506507508509
              510-е510511512513514515516517518519
              520-е520521522523524525526527528529
              530-е530531532533534535536537538539
              540-е540541542543544545546547548549
              550-е550551552553554555556557558559
              560-е560561562563564565566567568569
              570-е570571572573574575576577578579
              580-е580581582583584585586587588589
              590-е590591592593594595596597598599
              600-е600601602603604605606607608609
              Хронологическая таблица

              Это незавершённый список века. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив его.

              IV

              V

              VI

              VII

              VIII

              IX

              X

              XI

              XII

               

              Здесь следует отметить один интересный факт: IV и IX можно читать как «один до пяти» (4) и «один до десяти» (9). ). Однако 4 традиционно пишется как IIII на большинстве циферблатов с римскими цифрами.

              Другое распространенное использование включает номера годов для памятников и зданий, а также даты авторских прав на титульных экранах фильмов и телепередач. MCM, что означает «1000», и на 100 меньше, чем другая 1000, означает 1900, поэтому 1912 записывается как MCMXII. ММ указывает 2000 год для этого века. Итак, MMXIX — это текущий год.


              Если вы хотите сделать это по «правилам»

              Каждое правило понятно само по себе, опираясь на предыдущее. Любые технические термины при первом использовании объясняются. Хотя каждое правило должно быть достаточно кратким, оно не должно сводиться к непонятности. Чтобы сделать их ясными, некоторые правила требуют примечания или двух.

              Римские цифры — это неформальное соглашение для обозначения чисел, основанное на классическом использовании Римской империи. Это условное обозначение выражается следующими правилами:

              1. Счет в латинском языке преимущественно десятичный (сотни, десятки и единицы). В римских цифрах это отражает каждую степень десяти, отмеченную отдельно, слева направо, как и в случае со стандартными «арабскими» цифрами. Каждая степень имеет свое обозначение, поэтому:

              1. Символы обозначают единицы

              I (= 1) и V (= 5)

              1. Символы экспрессируют TENS

              x (10) и L (= 50).

              C (=100) и D (=500)

              2. Для каждой степени несколько основных символов (I, X, C) строятся как сумма, и поэтому:

              1. I=1, II=2, III=3
              2. X=10, XX=20, XXX=30
              3. C=100, CC=200, CCC=300

              Это дополнение к основному счету называется аддитивной записью.

              3. Для каждой степени числа десять есть промежуточный символ, представляющий 5 базовых символов подсчета.

               

              1. V=5
              2. L=50
              3. D=500

              Такие числа называются пятеричными.

              4. Для каждой степени пятеричное число, которому предшествует основное число, представляет 4 (5-1) основных символа.

              1. IV=4
              2. XL=40
              3. CD=400

              Это пример «вычитательной записи». Единственным «регулярным» исключением из этого правила является то, что обычно на циферблате 4 (IV) обозначается как «IIII».

               

              5. Подсчет основных чисел следует за пятеричным числом, чтобы можно было представить остальные значения этой степени.

              1. VI=6, VII=7, VIII=8
              2. LX=60, LXX=70, LXXX=80
              3. DC=600, DCC=700, DCCC=800

              6. Для каждой мощности базовый символ для следующего повышения мощности, которому предшествует базовый символ, представляет 9 (10-1) базовых символов.

              1. IX=9
              2. XC=90
              3. CM=900

              «M» используется в качестве базового символа тысяч для целей этого правила, но M(=1000) является особым случаем- например, для 5000 не существует стандартизированного пятерного числа. Не существует классического прецедента современного использования «М» в качестве аддитивного символа в (скажем) MMXVIII, тогда как римские цифры для чисел больше 3,999 (MMMCMXCIX), в настоящее время не используются или не применяются на практике.

               

              7. С точки зрения этих правил никакая комбинация избыточных символов с обычным числом, описанная в любом из предыдущих правил, не является «правильной», хотя в некоторых случаях может быть надпись. аддитивное число (VV = X = 10), вычитающее число (IIX = VIII = 8), пятизначные числительные, которые были двусмысленными или сокращались (IXI = X = 10). три избыточных повторения любого символа, так что такое обозначение является правильным только в исключительном случае циферблатов.0024


              Не понимаете правил?

              Несомненно, правила римских цифр сложны для понимания. Более того, когда вы спешите перевести дату в римские цифры, вы не можете пройтись по каждому правилу и преобразовать ее самостоятельно. Поэтому мы разработали конвертер дат с римскими цифрами, чтобы конвертировать даты легко и быстро.

              Вы можете выбрать формат даты, например, ДД.ММ.ГГГГ или ММ.ДД.ГГГ

              Аналогичным образом, вы также можете выбрать разделитель, например, маркер ( . ), тире (-), точка (.), пробел ( ), подчеркивание (_), косая черта (/).

              Как только вы выберете дату для конвертации, наш преобразователь даты в римские цифры мгновенно преобразует дату в римскую. Конвертер дат с римскими цифрами — удобный инструмент для преобразования десятичных дат в числовые. Калькулятор римских цифр отлично работает как конвертер дат в римские цифры для каждого года и каждой даты.


              Интересные римские цифры Даты

              Даты, написанные римскими цифрами, или год, например, 2018, цифрами — это мода на опечатки среди пользователей социальных сетей. Даты римскими цифрами пишут уже много лет. Дата римскими цифрами для больших чисел в настоящее время используется в основном в виде числа года, как в этих исторических примерах:

              • 1776 (M+DCC+LXX+VI) = MDCCLXXVI (дата, указанная в книге, хранящейся у Статуи Свободы).
              • 1954 (M+CM+L+IV) = MCMLIV (как в трейлере к фильму Последний раз, когда я видел Париж ).
              • 2014 (MM+X+IV) = MMXIV (год проведения XXII (22-х) Олимпийских зимних игр (в Сочи).
              • Текущий год (2019 цифрами)  MMXIX .

              Наибольшее число, которое может быть представлено в этих обозначениях, равно 3,999 ( MMMCMXCIX ).

               


              Roman numerals table

              Roman numeral Decimal number
              I 1
              V 5
              X 10
              L 50
              C 100
              D 500
              M 1000

              Roman numerals Years table

              0053 2005
              Year Roman numeral
              1000 M
              1100 MC
              1200 MCC
              1300 MCCC
              1400 MCD
              1500 MD
              MD
              1600 MDC
              1700 MDCC
              1800 MDCCC
              1900 MCM
              1990 MCMXC
              1991 MCMXCI
              1992 MCMXCII
              1993 MCMXCIII
              1994 MCMXCIV
              1995 MCMXCV
              1996 MCMXCVI
              1997 MCMXCVII
              1998 MCMXCVIII
              1999 MCMXCIX
              2000 MM
              2001 MMI
              2002 MMII
              2003 MMIII
              2004 MMIV 9 MMV
              2006 MMVI
              2007 MMVII
              2008 MMVIII
              2009 MMIX
              2010 MMX
              2011 MMXI
              2012 MMXII
              2013 MMXIII
              2014 Mmxiv
              2014 MMXIV0054
              2015 MMXV
              2016 MMXVI
              2017 MMXVII
              2018 MMXVIII
              2019 MMXIX
              2020 MMXX
              2021 MMXXI
              2022 MMXXII
              2023 MMXX425250053 2024 MMXXIV
              2025 MMXXV

              Roman Numerals I, V, X, C, D, D, M -3 -й класс Math

              7666666666666666.

              Числа типа I, VI и IX называются римскими цифрами (или римскими цифрами ).

              👉 Эти числа придумали древние римляне почти 3000 лет назад!

              г. Вы все еще увидите римские цифры, используемые сегодня. 🤗

              В этом уроке давайте научимся читать и писать римские числа. 🤗

              Римские цифры 1 — 10

              Вот как считать от 1 до 3 римскими цифрами:

              I = 1
              II = 2
              III = 3

              Легко, верно?

              Можете ли вы угадать, что такое 4? Вы можете подумать, что это 4 I, но на самом деле это:

              IV = 4

              Что это за символ V ? 🤔

              Римскими цифрами, V — это символ 5.  

              V = 5

              Римскими цифрами нельзя писать более 3 одинаковых символов подряд.

              Поэтому после III идет IV.

              Как вы думаете, что идет после V? 🤔

              Добавляем еще одну I.

              VI = 6

              Мы можем добавить еще одну I , чтобы получить 7.

              VII = 7

              В римских цифрах нормально иметь 3 любых символа подряд, но не более. Итак, после 7 идет:

              VIII = 8

              Что теперь делать? Мы не можем добавить еще одну I. Поэтому нам нужно использовать новый больший символ:

              X = 10

              Чтобы получить 9, мы отнимем 1 от 10:

              IX = 9

              Помните: , когда мы пишем I перед более крупный символ, такой как V или X, мы отнимаем от этого числа.

              Молодец, научился считать от I до X римскими цифрами!

              Чтобы сосчитать до 10, нужно использовать 3 символа, составляющих римские цифры: I, V, X.

              Теперь давайте изучим остальные 4 символа: L, C, D, и M.

              .

              mramp Все римские цифры состоят из семи символов.

              You just learned I, V, and X. Here are the 4 bigger symbols:

              L = 50
              C = 100

              Tip: a c entury это 100 лет. Он начинается с c.

              D = 500
              M = 1000

              TINIT: A M Illennium ! Начинается с м.

              СОВЕТ!

              😎 Вы можете использовать это предложение , чтобы помочь вам запомнить порядок:

              Правила для римских цифр

              ✅ Все римские цифры представляют собой комбинации0955 из основных 7 символов.

              Эти комбинации соответствуют четырем важным правилам:

              Правилу 1:

              Например,

              VI = 5 + 1 =
              = 4

              955 = 5 .

              XX = 10 + 10 = 20
              CCLX = 100 + 100 + 50 + 10 = 260

              Правило 3: Когда меньший символ появляется перед большим символом, из него вычитается .

              Например,

              I X = 10 1 = 9
              X L = 50 10 = 40
              C M = 1000 100 = 900

              Rule 4: The same symbol cannot быть б/у больше чем три раза подряд.

              For example,

              XXX = 10 + 10 + 10 = 30, but 40 is not XXXX .
              ССС = 100 + 100 + 100 = 300, , но 400 не CCCC .

              Римские цифры — основные числа

              🤗 Теперь давайте воспользуемся этими правилами, чтобы выучить некоторые основные римские цифры.

              1 = I
              2 = 1 + 1 = II
              3 = 1 + 1 + 1 = III
              4 = 5 1 = I V
              5 = V
              6 = 5 + 1 = VI
              7 = 5 + 1 + 1 = VII
              8 = 5 + 1 + 1 + 1 = VIII
              9 = 10 1 = I X
              10 = X
              20 = 10 + 10 = XX
              30 = 10 + 10 + 10 = XXX
              40 = 50 10 = X L
              50 = L
              60 = 50 + 10 = LX
              70 = 50 + 10 + 10 = LXX
              80 = 50 + 10 + 10 + 10 = LXXX
              90 = 100 10 = X C
              100 = C
              200 = 100 + 100 = CC
              300 = 100 + 100 + 100 = CCC
              400 = 500 100 = C D
              500 = D
              600 = 500 + 100 = DC
              700 = 500 + 100 + 100 = DCC
              800 = 500 + 100 + 100 + 100 = DCCC
              900 = 1000 100 = C M
              1000 = M

              Great work! 👏

              Преобразование римских цифр в цифры

              👉 Посмотрите на эту римскую цифру.

              CDLXIV

              Как вы будете конвертировать его в цифры? 🤔

              Правильно! 😎

              В преобразуйте в Римские цифры в цифры, найдите значение каждого символа в нем, а затем добавьте или вычтите.

              Попробуем сделать это прямо сейчас!

              ✅ Сначала найти значение каждого символа.

              ✅ Теперь давайте посмотрим, есть ли меньших символов до больших символов.

              Это потому, что нам нужно вычесть этих значений ( Правило 3 )!

              Вот Правило 3 еще раз:

              Правило 3: Когда меньший символ появляется перед большим символом, он вычитается.

              ✅ Теперь давайте сложим/вычтем значения.

              C DLX I V = ( 500 100 ) + ( 50 + 10 ) + ( 5 1 )
              = 400 + 60 + 4

              🤓 Какое римское число?

              Правильно! 🤗

              CDLXIV = 464

              Отлично!

              Давайте попробуем еще один пример.

              👉 Преобразуйте эту римскую цифру в цифры.

              MDCXLI

              Давайте сделаем это! 😃

              С чего начать? 🤔

              ✅ Сначала находим значений всех символов.

              ✅ Далее мы находим любые меньшие символы, которые появляются перед большими символами.

              ✅ Теперь добавим/вычтем значения.

              MDC X LI = 1000 + 500 + 100 + ( 50 10 ) + 1
              = 1000 + 600 + 40 + 1

              Итак, значение этой римской цифры:

              MDCXLI = 1,641

              Отлично! 😎

              Преобразование цифр в римские цифры

              👉 Теперь попробуем преобразовать это число в римскую цифру.

              2 342

              Как вы это сделаете? 🤔

              Очень хорошо! 😎

              В преобразовать в число в в римскую цифру, разделить число на значения I, V, 09, 93, C0, X, L. пытаться!

              2342 = 2000 + 300 + 40 + 2

              Итак, каков ответ? 😃

              2,342 = MMCCC X LII

              Отличная работа! 👏

              Давайте попробуем последний пример.

              👉 Превратите это число в римскую цифру.

              978

              Давайте сделаем это!

              978 = 900 + 70 + 8

              Итак, каков ответ? 🤓

              978 = С MLXXXVIII

              Вы поняли! 🤗

              Вы хорошо изучили римские цифры! 👏 Теперь попробуйте практические вопросы.

              Римские цифры: их происхождение, влияние и ограничения

              Обзор

              Система счисления, разработанная римлянами, использовалась большинством европейцев почти 1800 лет, намного дольше, чем существует нынешняя индийско-арабская система. Хотя римская система счисления позволяла легко складывать и вычитать, другие арифметические операции оказались более сложными. В сочетании с отсутствием эффективной системы использования дробей и отсутствием понятия нуля громоздкость римской системы счисления, хотя она и служила большинству потребностей римлян, препятствовала будущим математическим достижениям.

              История вопроса

              Римская система счисления для представления чисел была разработана около 500 г. до н.э. Поскольку римляне завоевали большую часть известного им мира, их система счисления распространилась по всей Европе, где римские цифры оставались основным способом представления. цифры на века. Около н.э. 1300 г. римские цифры были заменены на большей части Европы более эффективной индийско-арабской системой, используемой до сих пор.

              Перед изучением ограничений, связанных с использованием римских цифр, необходимо понять, как используются римские цифры. Цифра — это любой символ, используемый для представления числа. В индийско-арабской системе счисления цифра 3 представляет собой число три. Когда число 3 удерживается на месте одним или несколькими нулями, значение увеличивается на порядок, например, 30, 300, 3000 и так далее. В римской системе счисления числа обозначаются различными буквами. Основные числа, используемые римлянами, следующие: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Эти числа можно соединить вместе, и в этом случае они будут складываются для представления большего числа. Например, число 72 будет представлено как LXXII (L + X + X + I + I или 50 + 10 + 10 + 1 + 1 в арабских цифрах).

              Чтобы числа не становились слишком длинными и громоздкими, римляне также допускали вычитание, когда меньшее числительное предшествует большему числительному. Следовательно, число 14 будет представлено как XIV вместо XIIII. В соответствии с этой системой цифра может предшествовать другой цифре, которая в десять раз превышает значение меньшего числа или меньше. Например, I может только предшествовать и, таким образом, быть вычтенным из V и X, которые соответственно равны пяти- и десятикратному значению I. По этому правилу число 1999 не может быть представлено как MIM, потому что M равно тысячекратному значению I. Римское представление 1999 — это MCMXCIX, или M (1000) + CM (1000-100) + XC (100-10) + IX ( 10-1). Большинство из этих правил, которые часто использовались римлянами, не были стандартизированы до средних веков. Таким образом, в некоторых старых документах можно найти 9, представленное как VIIII вместо IX.

              Поскольку самым большим числом, используемым римлянами, было М или 1000, оказалось непрактичным записывать очень большие числа, такие как 1 000 000, в виде строки из 1000 мс. Чтобы избежать этой проблемы, римляне написали черту, называемую 9.0793 vinculum над цифрами, чтобы выразить эту цифру как число, в 1000 раз превышающее исходное значение. Вместо того, чтобы писать 6000 как ММММММ, 6000 можно просто записать как VĪ, а 1 000 000 как M̄. Используя эту форму записи, римляне могли записывать большие числа.

              Удар

              Римляне заимствовали символы, которые они использовали для своих чисел, из различных источников, включая их греческие аналоги. Происхождение I для представления одного является прямым, происходящим от счета на руке, где один палец, напоминающий I, равен одному из того, что считалось. V стала обозначать пять, потому что, когда на руке насчитывают пять предметов, V образуется пространством между большим и указательным пальцами.

              Первоначально римляне использовали греческую букву X, или хи, для обозначения 50. Изучая транскрипции памятников, историки смогли определить, что L заменила X как 50, а X стала обозначать 10. Как X стала обозначать 10 не совсем понятно. Одна теория предполагает, что X был получен из одного V или пяти, помещенных поверх другого, перевернутого V. Таким образом, два V образовывали X. Другая теория предполагает, что при счете до 10 римляне делали это, делая десять вертикальных отметки, а затем зачеркивая их знаком X, чтобы легко сосчитать группы по десять. Это похоже на то, как американцы ведут подсчеты группами по пять человек, когда четыре вертикальные отметки пересекаются с пятой диагональной отметкой. В конце концов римляне приняли просто Х для обозначения 10. Символ С стал обозначать 100, потому что это первая буква латинского слова, обозначающего сто, 9.0793 центум . Точно так же М было принято для 1000, потому что латинское слово для тысячи — милле .

              В отличие от греков, римляне не интересовались чистой математикой, такой как теория чисел, геометрические доказательства и другие абстрактные идеи. Вместо этого римляне предпочитали утилитарную математику. Римляне в основном использовали математику для подсчета личных и государственных счетов, ведения военных записей и помощи в строительстве акведуков и зданий. Римская система счисления допускала простое сложение и вычитание. Кроме того, римляне просто выстраивали все числительные из добавляемых чисел и упрощали. Например, чтобы решить задачу 7 + 22, или VII + XXII, числительные сначала располагались в порядке убывания, или XXVIII. Потому что VIII, или 9, не в приемлемой форме, это было изменено на IX, общепризнанный способ написания 9. Правильный ответ остается, XXIX или 29. Вычитание может быть выполнено аналогичным образом, вычеркивая одинаковые цифры из двух разных чисел.

              Тот факт, что умножение и деление были довольно сложными операциями для римлян стимулировала разработку счетных досок для помощи в этих операциях. Счетные доски, которые напоминали знакомые счеты, также можно было использовать для сложения и вычитания. Счетные доски римского образца использовались по всей Европе вплоть до Средневековья. Даже с этими счетными досками умножение и деление больших чисел оставалось трудной задачей. Поэтому римляне разработали и часто обращались к таблицам умножения и деления для решения задач, связанных с большими числами.

              Помимо трудностей с умножением и делением чисел, несколько других проблем серьезно ограничивали использование и эффективность римских цифр. Одним из недостатков римской системы счисления было отсутствие способа численного выражения дробей. Римляне знали о дробях, но использовать их было сложно, так как они записывались. Римляне написали бы три восьмых как tres octavae . Римляне обычно выражали дроби числом 9.0793 унция . Первоначально унция означала 1/12 римской меры веса (английский язык получил слово «унция» от uncia). Однако вскоре uncia стало означать 1/12 чего угодно. Хотя использование дробей основывалось на 1/12, римляне могли выражать одну шестую, одну четвертую, одну треть и половину. В то время как современное числовое выражение одной четверти равно ¼, римляне выражали одну четверть как три унции ( 3 / 12 = ¼). Эта система позволяла римлянам измерять приблизительно, но они не могли легко выразить точные размеры.

              Еще одним недостатком, ограничивавшим римскую математику, было отсутствие понятия нуля. Как и в предыдущих системах счисления шумеров, вавилонян и египтян, у римлян не было системы позиционных значений, которая включала бы концепцию нуля в качестве заполнителя для чисел. Это вынудило римлян принять громоздкую систему с цифрами, которые представляли 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, как описано выше. В отличие от древних греков, римляне также не понимали и не исследовали концепцию иррациональных чисел. Это сильно ограничивало римлян в геометрии, потому что большая часть геометрии основана на понимании π, отношения длины окружности круга к его диаметру.

              Несмотря на то, что с практической инженерной точки зрения эти недостатки не ограничивают возможности римской математической системы, они ограничивают развитие математической теории в Риме. После римских завоеваний большая часть Европы приняла римскую систему счисления и использовала ее на протяжении всего средневековья. Соответственно, теоретические математические достижения также застопорились на протяжении большей части западной цивилизации почти на 1000 лет. Отсутствие нуля и иррациональных чисел, непрактичные и неточные дроби, а также трудности с умножением и делением помешали римлянам и европейцам, которые позже использовали эту систему, добиться успехов в теории чисел и геометрии, как это сделали греки в пифагорейской и евклидовой школах.

              © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

              Карта сайта