alexxlab — Страница 3136 — Таловская средняя школа

Задачи по инвестиционному менеджменту с решениями: Математическое Бюро. Страница 404

alexxlab / 18.03.197117.09.2022 / Разное

Сущность, цели и задачи инвестиционного менеджмента

Инвестиционный менеджмент оформился в самостоятельную область знаний в 50-е годы ХХ века в связи с интенсивным развитием исследований в сфере портфельного инвестирования.

Комплекс вопросов, связанных с осуществлением инвестиционной деятельности предприятия и требующих специальных знаний теории и практики принятия управленческих решений в процессе инвестирования является предметом изучения инвестиционного менеджмента. Первоначально под инвестиционным менеджментом понималась система управления финансовыми инвестициями. Позднее инвестиционный менеджмент включил и систему управления реальными инвестициями.

Инвестиционный менеджмент представляет собой систему принципов и методов разработки и реализации управленческих решений, связанных с осуществлением различных аспектов инвестиционной деятельности предприятия.

Это самостоятельная область экономической науки, связанная с исследованием функционирования механизма рациональной инвестиционной деятельности.

Место инвестиционного менеджмента в общей системе управления предприятием представлено на рисунке 1.

Рис.1 Инвестиционный менеджмент в структуре управления предприятием

Инвестиционный менеджмент тесно связан с основными функциональными системами предприятия:

— с операционным менеджментом – эта связь опосредуется совместным управлением формированием и воспроизводством операционных внеоборотных активов;

— с финансовым менеджментом – формированием инвестиционных ресурсов за счет собственных и заемных источников;

— с системой инновационного менеджмента – формированием материальных и нематериальных активов инновационного характера.

Инвестиционный менеджмент базируется на основных положениях теории управления, имея при этом специфические аспекты процесса управления. Основными принципами инвестиционного менеджмента являются:

1. интегрированность с общей системой управления предприятием;

2. комплексный характер формирования управленческих решений;

3. высокий динамизм управления;

4. вариативность подходов к разработке отдельных управленческих решений;

5. ориентированность на стратегические цели развития предприятия.

С учетом содержания и принципов управления инвестиционной деятельностью формируются его цели и задачи.

Главная цель инвестиционного менеджмента – обеспечение максимизации благосостояния собственников предприятия в текущем и перспективном периоде на основе стоимостной концепции управления путем максимизации его рыночной стоимости.

Для реализации данной цели требуется решение следующих задач:

1. Обеспечение достаточной инвестиционной поддержки высоких темпов развития операционной деятельности предприятия.

2. Обеспечение максимальной доходности (прибыльности) отдельных реальных и финансовых инвестиций и инвестиционной деятельности предприятия в целом при предусматриваемом уровне инвестиционного риска.

3. Обеспечение минимизации инвестиционного риска отдельных реальных и финансовых инвестиций и инвестиционной деятельности предприятия в целом при предусматриваемом уровне доходности (прибыльности).

4. Обеспечение оптимальной ликвидности инвестиций и возможностей быстрого реинвестирования капитала при изменении внешних и внутренних условий осуществления инвестиционной деятельности.

5. Обеспечение формирования достаточного объема инвестиционных ресурсов и оптимальной их структуры в соответствии с прогнозируемыми объемами инвестиционной деятельности.

6. Обеспечение финансового равновесия предприятия в процессе осуществления инвестиционной деятельности.

7. Поиск путей ускорения реализации действующей инвестиционной программы предприятия.

Все задачи взаимосвязаны.

Объектом управления выступают инвестиции предприятия и его инвестиционная деятельность.

С позиций особенностей осуществления инвестиционной деятельности необходимо классифицировать предприятия как объекты инвестиционного менеджмента:

1. по формам собственности

2. по организационно-правовым формам

3. по отраслевому признаку

4. по размеру собственного капитала

5. по монопольному положению на рынке

6. по стадии жизненного цикла.

Субъекты инвестиционного менеджмента:

— собственник предприятия

— инвестиционный менеджер широкого профиля

— функциональный инвестиционный менеджер.

— менеджер инвестиционного проекта.

На поведение инвестиционных менеджеров воздействие оказывает институциональная структура, которая обеспечивает стимулы деятельности и диктует виды знаний и навыков, необходимых для максимизации выигрыша. Институциональная структура строится с учетом ограничений влияющих на выбор агента. Институциональная структура не только определяет совокупность альтернативных возможностей и тип будущих организаций, но и создает стимулы, способствующие активизации инвестиционной деятельности предприятия.

Инвестиционный менеджер, принимающий решение о привлечении финансовых ресурсов, имеет целью минимизацию стоимости привлекаемых ресурсов. Если решение принимается в детерминированных условиях, т. е. в стабильной институциональной структуре, то решением может быть двойственная задача линейного программировании, а если в условиях изменяющейся внешней среды, т. е. в условиях неполной информативности, то возникает задача теории игр, имеющая целью максимизацию полезности. Следовательно, результативность деятельности инвестиционного менеджера зависит от степени доступа к информации, которая не ограничена пространством, а ограничена законами об интеллектуальной собственности.

Реализация любой инвестиционной сделки нуждается в соответствующей институциональной структуре, которая способствовала бы снижению трансакционных издержек. Если сделка предполагает группы взаимосвязанных проектов или целевой инвестиционной программы, требующих крупных вложений на длительный срок, то возникает необходимость в формировании координирующей структуры, которая может включать несколько компаний по подпрограммам или блокам проектов.

Содержание инвестиционного менеджмента, его задачи и место в системе менеджмента предприятия

Ключевые задачи инвестиционного менеджмента
Функции инвестиционного менеджмента

Инвестиционный менеджмент – это самостоятельная сфера экономической науки, которая нацелена на успешное достижение установленных целей с помощью рационального вложения капитальных инвестиций. По сути, инвестиционный менеджмент выступает в качестве подвида функционального менеджмента, объектом которого является инвестиционная работа, инвестиционный процесс, проекты, реализуемые в определенной сфере народного хозяйства.

Основная задача инвестиционного менеджмента — полноценное обеспечение рационального осуществления стратегии инвестирования бизнес субъекта.

Традиционное содержание инвестиционного управления определяется с таких позиций:

с точки зрения механизма инвестиционного управления;
с точки зрения обособленной разновидности деятельности, вынесения решений;
с точки зрения науки менеджмента инвестирования, инвестиционных процессов.

Таким образом, с точки зрения управленческой науки, инвестиционный менеджмент базируется на фундаментальных концепциях общего менеджмента.

Примечание

Как разновидность управленческой работы, процесса вынесения решений, инвестиционный менеджмент состоит из комплекса процедур, которые интегрируют технологический порядок управления предприятием. С такой точки зрения он предполагает фиксацию задач, функций за определенными исполнителями на различных управленческих уровнях.

Как управленческий механизм инвестиционный менеджмент, как правило, реализует институциональные функции, состоит из таких элементов:

институты финансовых менеджеров – начальников различных уровней административной иерархии, которые являются субъектами менеджмента, имеют некоторые компетенции, что касается вынесения решений;
структура управления инвестициями, которая являет собой иерархическую систему, состоящую из отдельных управленческих органов.

Ключевые задачи инвестиционного менеджмента

Рациональная комбинация всех составляющих внешней и внутренней среды предприятия — одна из ключевых задач инвестиционного управления, которая в то же время может иметь экзогенный и эндогенный характер.

Внутренняя рациональная комбинация составляющих компонентов включает координирование эндогенных структурных элементов проекта инвестиций.

Для такой цели необходимо сформировать систему внутреннего корпоративного инвестиционного менеджмента, основные функции которой:

координация инвестиционной активности;
реализация мотивации труда персонала;
выполнение оперативного планирования финансирования процессов, контроль их реализации;
создание бизнес-плана инвестиций;
формирование стратегии инвестиционной активности предприятия.

В свою очередь внешние задачи предполагают взаимную координацию инвестиционного проекта с системой внешней окружающей среды, которые осуществляются посредством разнообразных мероприятий целевой направленности инвестиционной активности в контексте ограничений природной среды. Внешний характер комбинации составляющих проектов инвестиций предполагает решение следующих задач:

охрана природной среды, оценка текущей экологической обстановки;
реализация учета объективных направлений развития спроса на услуги (продукцию), НТП;
осуществление комплекса маркетинговых исследований, отбор основных источников финансирования проектов инвестиций.

Функции инвестиционного менеджмента

В целом, комплекс функций инвестиционного управления условно принято разделять на две подгруппы, детерминируемые содержанием исследуемой единой системы управления инвестиционной активностью.

Функции управления инвестициями, как управляющей системы, которые считаются составляющими элементами всех процедур управления вне зависимости от конкретного вида деятельности компании, ее организационно-правовой формы, размеров, а также формы собственности. Данные функции в теории менеджмента принято определять как общие.
Функции управления инвестициями, как обособленной сферы управления организацией, перечень которых детерминируется определенным объектом такой системы управления. Теория менеджмента такого рода функции определяет как специфические.

В системе функций управления инвестициями как управляющей системы базовыми принято считать:

Формирование стратегии инвестиционной деятельности фирмы. Во время осуществления такой функции опираясь на стратегии целостного экономического развития предприятия, а также на прогнозы состояния инвестиционного рынка разрабатывается общий комплекс целей, а также конечных показателей инвестиционной активности на долгосрочную перспективу; детерминируются задачи приоритетного характера, которые нужно разрешить в скором времени, устанавливается рабочая политика в соответствии с избранными формами инвестирования.
Разработка такой организационной структуры, которая целиком обеспечивает возможность утверждения, осуществления решений управленческого характера по всем нюансам инвестиционной работы компании. Данные структуры формируют по иерархическому либо функциональному признаку с детерминированием определенных «центров ответственности». В ходе осуществления представленной функции инвестиционного управления действительно важно гарантировать стабильную адаптацию данной организационной структуры к постоянно изменяющимся условиям работы предприятия, направлениям инвестиционной активности.
Формирование действенных информационных систем, которые способны полноценно обеспечить подтверждение имеющихся возможностей инвестиционных решений. Во время осуществления такой функции крайне важно установить содержание, объемы информационных потребностей инвестиционного управления; определить эндогенные, экзогенные источники данных, удовлетворяющие такие потребности; организовать проведение прогноза инвестиционной позиции компании, состояния инвестиционного рынка.
Осуществление оценки различных процессов инвестиционной работы предприятия. В ходе реализации данной функции выполняется экспресс-оценка определенных инвестиционных процедур; исследуется динамика, уровень базовых показателей продуктивности инвестиций в контексте их обособленных форм; осуществляется системная оценка факторов, которые оказывают воздействие на показатели инвестиционной активности в анализируемом периоде.
Осуществление планирования инвестиционной работы компании по ее ключевым направлениям. Реализация представленной функции тесно взаимосвязано с разработкой комплекса оперативных бюджетов, планов по основным направлениям инвестиционной активности, разновидностям и формам инвестирования в целом по компании, принимая во внимание определенную стратегию инвестирования.
Формирование системы эффективного стимулирования осуществления решений управленческого характера в сфере инвестиционной работы. В ходе реализации представленной функции детерминируется система мотивирования / наказания в разрезе управленцев, руководителей различных структурных департаментов за осуществление либо неосуществление установленных целевых показателей, планов, а также нормативов заданий.
Осуществление контроля выполнения утвержденных решений управленческого характера в области инвестиционной работы. Реализация указанной функции взаимосвязана с учреждением системы внутреннего контроля; определением комплекса контролируемых периодов, нормативов; распределением контрольных компетенций разных инвестиционных сотрудников, департаментов; оперативной реакцией на конечные результаты реализуемого контроля. Модель формирования детализированной многоуровневой функциональной управленческой системы подана на рисунке 1.

Рисунок 1. Функциональная модель системы управления инвестиционной активностью

В числе базовых функций инвестиционного управления как специальной сферы управления организацией выделяют:

Управление образованием ресурсов инвестиционного характера.
Управление инвестициями финансового характера.
Управление реальными инвестициями.

В целом, все представленные функции допустимо конкретизировать посредством более целенаправленного учета особенностей реализации инвестиционной работы конкретной организации.

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Сопротивление организационным изменениям Содержание понятия лидерства в управлении организацией Сравнительный анализ ситуационных моделей лидерства Системный подход Соответствие культуры принятой стратегии

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Содержание инвестиционного менеджмента, его задачи и место в системе менеджмента предприятия — Функции инвестиционного менеджмента — Помощь студентам Содержание инвестиционного менеджмента, его задачи и место в системе менеджмента предприятия

Оглавление:

Ряд вопросов, связанных с осуществлением инвестиционной деятельности компании, требует знания теории и практики принятия бизнес-решений применительно к инвестиционному процессу. Этот комплекс вопросов является предметом относительно новой отрасли знаний под названием «управление инвестициями».

Вопросы подготовки и принятия управленческих решений, связанных с инвестированием капитала на уровне предприятия (компании, фирмы), изначально рассматривались как одно из отдельных направлений системы финансового менеджмента, сформировавшейся как специализированная область на рубеже XIX-XX веков. В системе финансового менеджмента они рассматривались как «долгосрочные финансовые решения», связанные с развитием компании.

Инвестиционный менеджмент стал самостоятельной отраслью знаний в 1950-х годах благодаря интенсивному развитию исследований в области портфельных инвестиций.

Появление портфельной теории также связано с появлением термина «управление инвестициями», который первоначально обозначал систему управления финансовыми активами компании. Позже инвестиционный менеджмент включил в свою систему рассмотрение реальных инвестиционных вопросов. Сегодня управление инвестициями является одной из наиболее динамично развивающихся областей знаний — только за последние несколько десятилетий ряд исследователей получили Нобелевские премии за разработку вопросов управления инвестициями.

В нашей стране многие аспекты управления бизнес-инвестициями, являющиеся основным предметом рассматриваемой функциональной системы управления, еще находятся в стадии становления, сталкиваясь с объективными экономическими трудностями переходного периода, несовершенством нормативно-правовой базы, недостаточным уровнем подготовки специалистов для работы в сложных экономических условиях. Дальнейшее продвижение страны по пути рыночных реформ и преодоление кризисных тенденций в экономике позволит в полной мере применить теоретические результаты и накопленный зарубежный и отечественный опыт управления инвестициями в бизнес.

Инвестиционный менеджмент — это система принципов и методов разработки и реализации управленческих решений, связанных с осуществлением различных аспектов инвестиционной деятельности предприятия.

Функции инвестиционного менеджмента

Система инвестиционного менеджмента реализует свою главную цель и основные задачи путем осуществления определенных функций. Эти функции подразделяются на две основные группы, определяемые комплексным содержанием рассматриваемой системы управления инвестиционной деятельностью.

1 Функции инвестиционного менеджмента как управляющей системы. Эти функции являются составными частями любого процесса управления (любой управляющей системы) вне зависимости от вида деятельности предприятия, его организационно-правовой формы, размера, формы собственности и т.п. В теории управления эти функции характеризуются как общие.

2. Функции инвестиционного менеджмента как специальной области управления предприятием. Состав этих функций определяется конкретным объектом данной управляющей системы. Теория управления рассматривает эти функции как специфические.

Рассмотрим содержание основных функций инвестиционного менеджмента в разрезе отдельных групп. В группе функций инвестиционного менеджмента как управляющей системы основными из них являются:

1. Разработка инвестиционной стратегии предприятия. В процессе реализации этой функции исходя из общей стратегии экономического развития предприятия и прогноза конъюнктуры инвестиционного рынка формируется система целей и целевых показателей инвестиционной деятельности на долгосрочный период; определяются приоритетные задачи, решаемые в ближайшей перспективе и разрабатывается политика действий предприятия по основным формам его инвестирования. Инвестиционная стратегия предприятия рассматривается как неотъемлемая составная часть общей стратегии его экономического развития.

2. Создание организационных структур, обеспечивающих принятие и реализацию управленческих решений по всем аспектам инвестиционной деятельности предприятия. Такие структуры строятся по иерархическому или функциональному признаку с выделением конкретных «центров ответственности». В процессе реализации этой функции инвестиционного менеджмента необходимо обеспечить постоянную адаптацию этих организационных структур к меняющимся условиям функционирования предприятия и направлениям инвестиционной деятельности. Организационные структуры инвестиционного менеджмента должны быть интегрированы в общую организационную структуру управления предприятием.

3. Формирование эффективных информационных систем, обеспечивающих обоснование альтернативных вариантов инвестиционных решений. В процессе реализации этой функции должны быть определены объемы и содержание информационных потребностей инвестиционного менеджмента; сформированы внешние и внутренние источники информации, удовлетворяющие эти потребности; организован постоянный мониторинг инвестиционной позиции предприятия и конъюнктуры инвестиционного рынка.

4. Осуществление анализа различных аспектов инвестиционной деятельности предприятия. В процессе реализации этой функции проводится экспресс-анализ отдельных инвестиционных операций; исследуется уровень и динамика основных показателей эффективности инвестиций в разрезе отдельных их форм и «центров ответственности»; осуществляется фундаментальный анализ факторов, влияющих на отдельные показатели инвестиционной деятельности в рассматриваемом периоде.

5. Осуществление планирования инвестиционной деятельности предприятия по основным ее направлениям. Реализация этой функции связана с разработкой системы текущих планов и оперативных бюджетов по основным направлениям инвестиционной деятельности, видам и формам инвестирования и по предприятию в целом. Основой такого планирования является разработанная инвестиционная стратегия, требующая конкретизации на каждом этапе поступательного движения предприятия к поставленным стратегическим целям.

6. Разработка действенной системы стимулирования реализации управленческих решений в сфере инвестиционной деятельности. В процессе реализации этой функции формируется система поощрений и санкций в разрезе руководителей и менеджеров отдельных структурных подразделений предприятия за выполнение или невыполнение установленных целевых показателей, инвестиционных нормативов и плановых заданий. Индивидуализация системы стимулирования обеспечивается путем внедрения на предприятии контрактной формы оплаты труда руководителей и инвестиционных менеджеров.

7. Осуществление эффективного контроля за реализацией принятых управленческих решений в сфере инвестиционной деятельности. Реализация этой функции инвестиционного менеджмента связана с созданием систем внутреннего контроля на предприятии; разделением контрольных обязанностей отдельных служб и инвестиционных менеджеров; определением системы контролируемых показателей и контрольных периодов; оперативным реагированием на результаты осуществляемого контроля.

Механизм инвестиционного менеджмента

1. Рыночный механизм регулирования инвестиционной деятельности предприятия. Этот механизм формируется прежде всего в сфере инвестиционного рынка (в первую очередь, рынка ценных бумаг), а также товарного рынка (в первую очередь, рынка средств производства, предметов труда и готовой продукции) в разрезе отдельных их сегментов. Спрос и предложение на этих рынках формируют уровень цен и котировок по отдельным капитальным товарам и финансовым инструментам, определяют эффективность использования отдельных инструментов инвестирования, выявляют среднюю норму доходности инвестиций и среднерыночный уровень инвестиционного риска. По мере углубления рыночных отношений роль рыночного механизма регулирования инвестиционной деятельности предприятий, будет возрастать.

2. Государственное нормативно-правовое регулирование инвестиционной деятельности предприятия. Сложность и многогранность деятельности предприятий в этой области в условиях перехода к рыночной экономике определяют необходимость государственного ее регулирования. Как свидетельствует мировой опыт, такое многоаспектное государственное регулирование осуществляется во всех странах с развитой рыночной экономикой, не вступая при этом в противоречие с широкой самостоятельностью предприятий в выборе направлений и форм инвестирования. Характеризуя сложившуюся базу государственных нормативно-правовых актов в сфере регулирования деятельности предприятия в этой области, следует отметить, что она далеко не завершена и требует дальнейшего развития.

3. Внутренний механизм регулирования отдельных аспектов инвестиционной деятельности предприятия. Механизм такого регулирования формируется в рамках самого предприятия, соответственно регламентируя те или иные оперативные управленческие решения по вопросам эффективности его инвестиций. Так, ряд аспектов инвестиционной деятельности регулируется требованиями устава предприятия. Отдельные из этих аспектов регулируются разработанной на предприятии инвестиционной стратегией и целевой инвестиционной политикой по отдельным направлениям инвестирования. Кроме того, на предприятии может быть разработана и утверждена система внутренних нормативов и требований по отдельным аспектам инвестиционной деятельности.

4. Система конкретных методов осуществления управления инвестиционной деятельностью предприятия. В процессе анализа, планирования и контроля инвестиционной деятельности предприятия используется обширная система методов, с помощью которых достигаются необходимые результаты. К числу основных из них относятся методы: технико-экономических расчетов, балансовый, экономико-статистические, экономико-математические, сравнения и другие (их содержание будет подробно рассмотрено в последующих разделах).

Эффективный механизм инвестиционного менеджмента позволяет в полном объеме реализовать стоящие перед ним цели и задачи, способствует результативному осуществлению функций управления инвестиционной деятельностью предприятия.

Модель инвестиционного поведения предприятия в рыночной среде

В теории инвестиций важное место принадлежит исследованию проблемы инвестиционного поведения предприятия (фирмы) и его моделированию с учетом действия разнообразных факторов внутренней и внешней среды. Изучение основ формирования инвестиционного поведения предприятия является необходимым условием выработки эффективных управленческих решений в системе инвестиционного менеджмента.

Модель инвестиционного поведения характеризует теоретическую концепцию системы мотивации субъектов хозяйствования, побуждающую их к осуществлению инвестиционной деятельности на всех ее этапах и во всех ее формах.

Теория инвестиционного поведения предприятия основана на предположении, что каждый субъект хозяйствования ведет себя рационально, стараясь максимизировать эффект своей инвестиционной деятельности.

Изучение инвестиционного поведения субъектов хозяйствования является относительно новым направлением инвестиционной теории, хотя первые попытки его исследования на микроэкономическом уровне были предприняты еще Сениором (XIX в. ). Известная «теория удержания» Сениора позволила сформулировать основы системы мотивации формирования инвестиционных ресурсов предприятия с целью осуществления реальных (производственных) инвестиций.

Системное исследование основ инвестиционного поведения предприятия (фирмы) и его моделирование связывается обычно с неоклассическим направлением, в частности с американским экономистом И. Фишером. Вывод этого исследования состоял в том, что каждый хозяйствующий субъект в своем инвестиционном поведении руководствуется субъективными мотивами, ориентированными на максимизацию предстоящих доходов («эффект доходов»), однако критерии такого выбора носят объективный характер. И. Фишер первый изложил систему таких экономических критериев.

Наиболее широкое теоретическое обоснование модель инвестиционного поведения предприятия фирмы было предложено Дж. Кейнсом. Развивая выводы неоклассической школы, он расширил систему экономических критериев мотивации инвестиционных решений и сформулировал «закон предельной эффективности инвестирования». Кроме того, он первый изучил систему важнейших взаимосвязей между

инвестиционным поведением предприятия (фирмы) и внутренней макроэкономической политикой государства. Кейнсом и его последователями (неокейнсианцами) предложен обширный арсенал экономических методов в государственном механизме воздействия на инвестиционное поведение отдельных субъектов хозяйствования.

Определенный вклад в теорию инвестиционного поведения предприятия (фирмы) был внесен институалистами. Они существенно расширили систему мотивации инвестиционной деятельности за счет внеэкономических стимулов, показав, что эти стимулы в выборе индивидуальных инвестиционных решений иногда играют приоритетную роль.

Современный синтез теории инвестиционного поведения предприятия, приняв за основу выводы предшествующих исследователей в сфере реального инвестирования, существенно развивает систему мотивации в сфере финансовых инвестиций (получившую название «современной теории инвестиций»). Эта мотивация связана с оптимизацией параметров доходности и риска портфеля ценных бумаг отдельного инвестора на различных этапах осуществления финансового инвестирования. Теория инвестиционного поведения субъектов хозяйствования тесно увязывается с теорией «эффективного рынка» и особенностями обращения отдельных финансовых инструментов инвестирования.

Развитие современной теории инвестиционного поведения предприятия осуществляется по нескольким аспектами. Во-первых, она существенно расширяет спектр условий внутренней и внешней среды функционирования предприятия, влияющих на обоснование его инвестиционных решений. Во-вторых, она углубляет систему мотивационных критериев инвестиционного поведения предприятия на разных этапах его инвестиционной деятельности. Наконец, в-третьих, она направлена на совершенствование методологического аппарата прогнозирования отдельных показателей, связанных с мотивацией выбора альтернативных моделей инвестиционного поведения предприятия.

Рассмотрим основное содержание теоретической концепции модели инвестиционного поведения предприятия, синтезирующее результаты современных исследований.

Теория инвестиционного поведения предприятия, систематизируя мотивы побуждения их к инвестиционной деятельности, разделяют их на две основные группы — экономические и внеэкономические (институциональные). Внеэкономические мотивы принятия инвестиционных решений отдельными субъектами хозяйствования носят, как правило, индивидуальный характер и определяются миссией предприятия, общей его стратегией, составом персонала, характером окружающей среды и т.п. — по отношению к экономическим мотивам инвестирования они носят обычно подчиненный характер (хотя на отдельных этапах раз- вития предприятия отдельные из внеэкономических мотивов могут приобретать приоритетное значение). Экономические мотивы побуждения предприятий к инвестиционной деятельности связаны с действием всеобщих экономических законов, а соответственно, носят более унифицированный характер для предприятий различных сфер деятельности, форм собственности, организационно-правовых форм и т.п. Особенности современной инвестиционной деятельности предприятия определяют необходимость моделирования их инвестиционного поведения с учетом как экономической, так и внеэкономической мотивации.

В системе внеэкономическом мотивации принятия инвестиционных решений приоритетную роль играют социальные мотивы, связанные с различными аспектами социального развития персонала предприятия. Определенную роль в составе этой группы инвестиционной мотивации играют также экологические, инновационные, этические и политические мотивы, связанные с осуществлением хозяйственной деятельности предприятия.

Основу экономической мотивации инвестиционного поведения предприятия в соответствии с выводами традиционной теории составляют ожидаемый уровень инвестиционной прибыли, сопоставленный с нормой процента на кредитном рынке. Эти два взаимоувязанных критерия составляют основу сформированного еще Дж. Кейнсом «закона предельной эффективности инвестирования», в соответствии с которым предприятие (фирма), стремясь к максимизации инвестиционной прибыли будет вкладывать капитал в новые инвестиционные проекты (инструменты), заимствуя его до тех пор, пока прибыль от их реализации будет превышать стоимость кредитных ресурсов.

Современная инвестиционная теория уточнила оба эти критерия с учетом последних исследований.

Не подвергая сомнению тезис о том, что прибыль является важнейшим побудительным экономическим мотивом осуществления инвестиций, обеспечивающим рост благосостояния инвестора, современные экономисты определяют в качестве такого критериального показателя только чистую инвестиционную прибыль, «очищенную» от налогов и других обязательных платежей. Кроме того, установлено, что уровень чистой инвестиционной прибыли тесно коррелирует с уровнем инвестиционных рисков, поэтому во внимание должен браться индивидуальный инвестиционный риск по каждому проекту (инструменту). Наконец, с учетом нормы временного предпочтения, ожидаемая к получению в будущем периоде сумма чистой инвестиционной прибыли должна быть приведена к настоящей стоимости.

Норма процента на кредитном рынке характеризует стоимость заемного капитала. В то же время для осуществления инвестиционной деятельности привлекается не только заемный, но и собственный капитал. В этом случае базой сравнения выступает не норма ссудного процента, а средневзвешенная стоимость капитала, привлекаемого как инвестиционный ресурс.

Экономическая сущность инвестиций и инвестиционной деятельности

Инвестиции — одна из наиболее часто используемых в экономической системе категорий как на макро-, так и на микроуровне. Однако несмотря на исключительное внимание исследователей к этой ключевой экономической категории, научная мысль до сих пор не выработала универсальное определение инвестиций, которое отвечало бы потребностям как теории, так и практики, а также было бы адекватным с позиций конкретного субъекта их осуществления — государства, предприятия, домашнего хозяйства.

В современной литературе многообразные определения инвестиций часто трактуют эту категорию недостаточно четко или чрезмерно узко, акцентируя внимание лишь на отдельных ее сущностных сторонах.

Наиболее типичная неточность многих определений заключается в том, что под инвестициями понимается любое вложение финансовых средств, которое часто не связано с решением инвестиционных целей субъектов их осуществления. К ним иногда относятся так называемые «потребительские инвестиции» (покупка телевизоров, автомобилей и т.п.), которые по своему экономическому содержанию к инвестициям не относятся — средства в приобретение этих товаров расходуются в данном случае на долгосрочное их потребление (если их приобретение не преследует цели последующей их перепродажи для получения прибыли). Кроме того, часто не проводится различие между инвестиционными затратами финансовых средств и текущими их затратами, обслуживающими операционный процесс предприятия.

Многие существующие определения связывают инвестиции исключительно с целями прироста капитала или получения текущего дохода (прибыли). Хотя в условиях рыночной экономики эта цель является определяющей, инвестиции могут преследовать и иные как экономические, так и внеэкономические цели вложения капитала.

Частая ошибка, встречающаяся в литературе, — идентификация понятия «инвестиции» с понятием «капитальные вложения». Инвестиции в этом случае рассматриваются как вложение капитала в воспроизводство основных средств — как производственного, так и непроизводственного характера. Вместе с тем, инвестиции могут осуществляться и в прирост оборотных активов, и в различные финансовые инструменты, и в отдельные виды нематериальных активов. Следовательно, капитальные вложения являются более узким понятием и могут рассматриваться лишь как одна из форм инвестиций, но не как их аналог.

Во многих определениях инвестиций отмечается, что они являются вложением денежных средств. С такой трактовкой этой категории также нельзя согласиться. Инвестирование капитала может осуществляться не только в денежной, но и в других формах — движимого и недвижимого имущества (капитальных товаров), различных финансовых инструментов (прежде всего, ценных бумаг), нематериальных активов и т. п.

И наконец, в ряде определений отмечается, что инвестиции представляют собой долгосрочное вложение средств. Безусловно, отдельные формы инвестиций (в первую очередь, капитальные вложения, инвестиции в акции и т.п.) носят долгосрочный характер, однако инвестиции могут быть и краткосрочными (например, краткосрочные финансовые вложения в облигации, депозитные сертификаты с периодом обращения до одного года).

Многообразие понятий термина «инвестиции» в современной отечественной и зарубежной литературе в значительной степени определяется широтой сущностных сторон этой сложной экономической категории.

На странице курсовые работы по менеджменту вы найдете много готовых тем для курсовых по предмету «Менеджмент».

Здесь темы рефератов по менеджменту

Читайте дополнительные лекции:

Предмет науки менеджмента
Условия и факторы возникновения и развития менеджмента
Критерии оптимальности управленческого решения
Методы реализации функций управления
Механистический тип организации
Совершенствование организационных форм развития персонала
Принципы оценки рисков
Корпоративные ценности организационной культуры
Риски в процессе принятия управленческих решений
Управленческий персонал

Инвестиционный менеджмент как основа системы управления инвестициями на современном предприятии в России

Автор: Бычков Сергей Андреевич

Рубрика: Экономика и управление

Опубликовано в Молодой учёный №4 (39) апрель 2012 г.

Статья просмотрена: 1373 раза

Скачать электронную версию

Скачать Часть 1 (pdf)

Библиографическое описание:

Бычков, С. А. Инвестиционный менеджмент как основа системы управления инвестициями на современном предприятии в России / С. А. Бычков. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2012. — № 4 (39). — С. 99-102. — URL: https://moluch.ru/archive/39/4657/ (дата обращения: 17.09.2022).

В настоящее время проблема поиска научных подходов и практического применения теоретических основ и методологии совершенствования систем управления инвестициями на предприятиях в российской экономике особенна актуальна. Российские предприятия нуждаются в модернизации, в поднятии уровня эффективности и объемов вложений. Конкурентоспособность выпускаемой продукции, а также повышение объемов производства требуют значительных инвестиций. Но значительная часть прибыльных возможностей не используется, а несовершенство систем управления инвестициями не позволяет достичь запланированных результатов, сохраняя низкую эффективность капиталовложений.

При попытках менеджерами современных предприятий, совершенствовать систему управления инвестициями, используется метод проб и ошибок, т.е. менеджеры опираются на собственный опыт и традиции, что малоэффективно. Возникающие при таком подходе ошибки способствуют кризису системы управления и разрушению экономики всего предприятия.

В современных условиях каждая компания накапливает знания и проводит инновации в сфере управления инвестициями, отдельно от других. На первый взгляд каждое предприятие уникально, и анализ системы управления инвестициями является не планомерным, а интуитивным. А для того чтобы процесс развития данных систем управления был планомерным и успешным, необходимо обобщение опыта каждой компании, использованных ею эффективных мер направленных на сохранение и приумножение капитала.

Итак, инвестиционный менеджмент можно определить как систему эффективных мер, направленных на сохранение и приумножение капитала хозяйствующего субъекта, которые приносили бы наибольший доход и сопровождались наименьшим риском.

Большую роль в осуществлении результативного управления инвестиционным процессом играет инвестиционный менеджер.

Долгосрочная стратегия практически любого предприятия предполагает осуществление инвестиционной деятельности, связанной с капитальными вложениями в развитие и поддержание внеоборотных активов. При этом компании наряду со своей основной производственной деятельностью, как правило, пытаются одновременно реализовать несколько инвестиционных проектов. Проблема состоит в том, что инвестиционным менеджерам сложно спрогнозировать эффективность отдельных проектов, тяжело выделить среди множества возможных проектов наиболее перспективные в том случае, если проекты связаны между собой. Но даже если на этапе планирования и выбора наилучшего варианта эти задачи решаются, самые большие сложности возникают позднее на этапе реализации инвестиционных проектов, и связаны они с невозможностью выделения среди всей массы затрат предприятия тех затрат, которые относятся к конкретному инвестиционному проекту. Причем речь идет не только о косвенных затратах, чье соотнесение с конкретным инвестиционным проектом не всегда очевидно, но и о прямых затратах инвестиционного проекта (например, связанных с закупкой оборудования). Аналогичная ситуация складывается и с оценкой получаемых выгод от реализации данного проекта, которые могут быть связаны как с дополнительными доходами предприятия, так и с экономией затрат на уже существующих производственных процессах.

Таким образом, менеджмент компании сначала сталкивается с невозможностью осуществить обоснованный выбор необходимых инвестиционных проектов, а затем с невозможностью точной оценки их результатов. В результате решения, которые менеджмент принимает по инвестиционным проектам, плохо обоснованы, а зачастую не обоснованы вообще. В перспективе данная ситуация неизбежно приводит к ухудшению финансово-экономических показателей.

Основные причины возникновения данной проблемы состоят в следующем:

Отсутствие необходимой информации для принятия обоснованных решений по инвестиционным проектам, как в части планирования капитальных вложений, так и в части контроля за их исполнением;
Отсутствие персонала, обладающего соответствующими знаниями в области инвестиций и способного применить их на практике в процессе разработки инвестиционных проектов хозяйствующего субъекта.

Решение проблемы дефицита качественной информации, необходимой для планирования и контроля хода исполнения инвестиционных проектов, вместе с подготовкой квалифицированного персонала позволит менеджменту принимать обоснованные инвестиционные решения, отвечающие стратегии развития компании.

Решением описанных проблем является разработка и внедрение системы управления инвестициями, которая позволит решать следующие задачи:

Оценки и выбора наиболее перспективных инвестиционных проектов на основе разработанных критериев оценки;
Повышения эффективности использования финансовых ресурсов и их концентрации на более значимых проектах;
Обеспечения эффективной организации функций инвестиционного процесса: инициация, оценка, согласование, утверждение, реализация, контроль реализации инвестиционного проекта;
Развития Системы управленческого учета в направлении раздельного учета затрат и доходов инвестиционных проектов, а также точности и оперативности представления информации;
Повышения квалификации специалистов и руководства, участвующих в инвестиционном процессе Компании;

Внедряя систему управления инвестициями, компания получает эффективный инструмент, включающий в себя следующие элементы:

Нормативно-методологическая база инвестиционных процессов:
- позволяющая осуществлять анализ и оценку отдельных инвестиционных проектов, а также формировать оптимальный инвестиционный портфель;
- описывающая организационную структуру и функции субъектов, участвующих в инвестиционном процессе;
- регламентирующая инвестиционный процесс, включая регламенты, схемы основных функций, графики документооборота, рабочие инструкции.
Интегрированная в автоматизированную систему управленческого учета компании подсистема, обеспечивающая инвестиционное проектирование, планирование и учет информации по проектам.
Персонал, обученный навыкам применения технологии в рамках разработанной системы управления инвестициями.

При внедрении системы управления инвестициями на предприятии, можно выделить следующие этапы:

Этап 1 – Диагностика текущего состояния инвестиционного процесса Компании;

Этап 2 – Разработка концепции системы управления инвестициями;

Этап 3 – Разработка нормативно-методологической базы инвестиционного процесса;

Этап 4 – Проектирование и регламентация функций инвестиционного процесса Компании;

Этап 5 – Автоматизация системы управления инвестициями Компании.

Такой подход к созданию системы позволяет последовательно решить комплекс задач, возникающих по ходу проекта. На каждом из этапов решаются следующие задачи:

Этап 1 – Диагностика текущего состояния инвестиционного процесса Компании.

Основной задачей данного этапа является приобретение понимания бизнеса Компании и текущей инвестиционной политики, а также определение текущего состояния систем управленческого учета и планирования и их соответствия требованиям инвестиционного процесса Компании. Кроме того, на данном этапе будет проанализирована позиция менеджмента относительно состояния системы управления Компании и направления ее развития с точки зрения построения эффективного инвестиционного процесса Компании.

Результаты этапа:

Этап 2 – Разработка концепции системы управления инвестициями.

Основной задачей второго этапа является разработка концептуальной модели системы управления инвестициями, включающей в себя:

Разработка основных элементов политики управления инвестициями;
Разработка ключевых механизмов инвестиционного процесса Компании;
Разработка требований к системам учета и планирования инвестиционных проектов в части контроля экономических и технологических показателей по каждому инвестиционному проекту.

Результаты этапа:

Этап 3 – Разработка нормативно-методологической базы, являющейся основанием для дальнейшего построения системы управления инвестициями Компании.

Основной задачей данного этапа является разработка методических и нормативных материалов, сопровождающих систему управления инвестициями.

Результаты этапа:

Методики анализа и оценки инвестиционных проектов Компании, позволяющие формировать оптимальный инвестиционный портфель;
Требования к подготовке ТЭО, инвестиционных меморандумов и бизнес-планов инвестиционных проектов.

Этап 4 – Проектирование и регламентация функций инвестиционного процесса Компании.

Основной задачей данного этапа является проектирование инвестиционного процесса для постановки системы управления инвестициями. На данном этапе происходит формирование организационной структуры и функций субъектов, участвующих в инвестиционном процессе.

Результаты этапа:

Документы, регламентирующие инвестиционный процесс: регламенты и схемы основных функций инвестиционного процесса, графики документооборота; рабочие инструкции;
Положение о системе управления инвестициями Компании.

Этап 5 – Автоматизация системы управления инвестициями.

Основная задача данного этапа состоит в автоматизации системы управления инвестициями и максимальная ее интеграция в систему финансового управления Компанией. Реализация данного этапа зависит от состояния существующих автоматизированных систем учета и планирования Компании, поэтому может осуществляться по нескольким вариантам:

Вариант 1. Автоматизация системы управления инвестициями на базе семейства программ «1С: Предприятие». Выбор данного варианта предпочтителен для Компаний, использующих для обеспечения функций управленческого учета программное обеспечение «1С» или иные системы, в которых автоматизация системы управления инвестициями программно невозможна или экономически неэффективна.
Вариант 2. Автоматизация системы управления инвестициями на базе автоматизированных систем Компании. Выбор данного варианта предпочтителен для организаций, использующих для обеспечения функций управленческого учета системы, отличные от семейства программ «1С», в которых существует возможность создания эффективного и экономически выгодного решения.

Результаты этапа:

Вариант 1. Настроенное и интегрированное в систему управленческого учета программное обеспечение, принятое Компанией в эксплуатацию.
Вариант 2. Сформированные требования к программному обеспечению, техническое задание на автоматизацию разработанной системы:
- Контроль разработки и внедрения, осуществляемого третьим лицами;
- Консультационное сопровождение Компании-разработчика системы по вопросам методологии управления инвестициями;
- Тестирование внедренного программного обеспечения.

Для разработки стратегии инвестиционного менеджмента потребуется следующая информация о Компании.

Организационная структура Компании;
Список контактов ответственных лиц Компании, участвующих в проекте;
Документы, регламентирующие инвестиционные процессы Компании;
Документы, описывающие методологию и уровень автоматизации процессов управленческого/бухгалтерского учета;
Предложения от Компании по организации и составу предстоящих работ;
Цели и требования Компании к проектируемым системам;
Прочие документы по требованию Консультанта.

На этапе исполнения работ менеджментом компании будут сформированы дополнительные информационные запросы.

Таким образом, функция инвестиционного менеджмента в компании является необходимым условием успешного развития в условиях рыночных отношений. Разработанная стратегия инвестиционного менеджмента действительно может резко повысить оперативность и эффективность управления инвестициями. Также необходимо помнить, что необходимо стимулировать инновационную активность персонала, и повышать уровень заинтересованности работников в конечных результатах инвестиций.

Литература:

Система управления инвестициями [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://www.emd.ru/business/fk/ui.php (дата обращения: 01.04.2012).

Основные термины (генерируются автоматически): инвестиционный процесс, инвестиционный процесс Компании, инвестиция, Автоматизация системы управления, этап, проект, результат этапа, инвестиционный менеджмент, инвестиционный проект, основная задача.

None

Сущность, цель и задачи инвестиционного менеджмента — КиберПедия

Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные

Топ:

Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь. ..

Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда…

Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает…

Интересное:

Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются…

Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является…

Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом…

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 11Следующая ⇒

Инвестиционный менеджмент является частью общего менеджмента. Соответственно, инвестиционный менеджмент — это совокупность методов, принципов управления инвестиционным процессом, т.е. всеми аспектами инвестиционной деятельности фирмы (предприятия). Основной его целью является обеспечение наиболее эффективных путей реализации инвестиционной стратегии фирмы на отдельных этапах ее развития.

Инвестиционный менеджмент — это целое искусство. Оно проявляется в том, что определенному инвестору удается выбирать инвестиционные объекты, которые приносят больше дохода, чем другим инвесторам, причем иногда с меньшим риском. Но интуиции недостаточно. Без знаний, без расчетов, без соответствующего анализа инвестор не может добиться успешных результатов. Для плодотворной работы в области инвестиционного менеджмента требуются знания многих дисциплин. Разработаны теории, на основе которых созданы методика расчета рисков и доходности вложения денежных средств, оптимизации инвестирования, оценки эффективности инвестиционных проектов. Освоение подобных методик, методов, принципов желательно для каждого, кто намерен заниматься инвестированием.

Инвестиционный менеджмент выполняет ряд функций:

§ Планирующая функция – на этой стадии осуществляется разработка инвестиционной стратегии и инвестиционной политики. Планирование в инвестиционном менеджменте способствует составлению четких заданий или программы действий, разработке планов инвестиционных мероприятий, получению доходов, эффективного использования инвестиционных ресурсов. Инвестиционное планирование охватывает весь комплекс мероприятий от выработки плановых заданий до воплощения их в жизнь.

§ Организационная функция. Отвечает за определение потребности в финансовых средствах, соотношение между собственными и заемными средствами, поиск стратегических инвесторов, управление инвестиционным процессом в целом. Функция организации в инвестиционном менеджменте сводится к объединению людей, совместно реализующих инвестиционную программу. Она выражается в построении структуры аппарата управления, установлении взаимосвязей между управленческими подразделениями, разработке норм, нормативов, методик.

§ Координирующая функция. Осуществляет мониторинг и координацию всех действий и мероприятий, направленных на достижение предусмотренных инвестиционной политикой целей и задач. Предусматривает корректировку принятых решений на каждом этапе инвестиционного процесса. Координация обеспечивает согласованность работы всех звеньев системы управления инвестициями.

§ Функция прогнозирования – представляет собой разработку на длительную перспективу инвестиционной политики предприятия в целом и его составных частей. Особенностью этой функции является её альтернативность – здесь не стоит задача непосредственного осуществления на практике разработанных прогнозов, так как главная цель функции планирования — приготовиться к любому повороту событий.

§ Функция регулирования следит за тем, чтобы текущие мероприятия не отклонялись от графиков, плановых заданий, установленных норм и нормативов.

§ Функция стимулирования выражается в том, чтобы непосредственные исполнители, которые имеют дело с инвестиционными ресурсами, были заинтересованы в результатах своего труда.

§ Функция контроля в инвестиционном менеджменте сводится к проверке организации инвестиционной работы, сбора информации об использовании инвестиционных средств, выполнения планов, выявления дополнительных резервов и возможностей, внесения изменений в инвестиционные программы.

Инвестиционный менеджмент направлен на выполнение следующих задач:

1. Анализ, выбор и оценка инвестиционных объектов с учетом риска и доходности.

2. Обеспечение роста экономического и производственного развития предприятия за счет эффективной инвестиционной деятельности.

3. Максимизация доходности объекта за счет прибыли от инвестиционной деятельности.

4. Минимизация инвестиционных рисков.

5. Обеспечение финансовой устойчивости и платежеспособности фирмы в процессе осуществления инвестиционной деятельности;

6. Своевременная реализация инвестиционных проектов и программ.

Инвестиционный менеджмент содержит в своей основе:

1. систему управления инвестиционным процессом, исследование, планирование и разработка проекта;

2. непосредственно процесс реализации проектов;

3. процесс принятия решений, текущий контроль в ходе реализации проектов;

4. контроль принятых решений, оценка и анализ достигнутых результатов, корректировка целей.

Эффективное управление инвестиционной деятельностью предприятия обеспечивается осуществлением ряда принципов, основными из которых являются:
1. Интегрированность с общей системой управления предприятием. Обеспечение эффективности всех сфер деятельности предприятия прямо или косвенно связано с выбором направлений и форм инвестирования, обеспечением роста эффективности операционной деятельности, оптимальным финансированием инвестиционных проектов, внедрением достижений технологического прогресса и т.п. Это определяет необходимость органической интегрированности управления инвестиционной деятельностью с другими функциональными управляющими системами и общей системой управления предприятием.
2. Комплексный характер формирования управленческих решений. Все управленческие решения в области формирования и реализации инвестиций теснейшим образом взаимосвязаны и оказывают прямое или косвенное воздействие на конечные результаты финансовой деятельности в целом. Поэтому управление инвестициями должно рассматриваться как комплексная функциональная управляющая система, обеспечивающая разработку взаимозависимых управленческих решений, каждое из которых вносит свой вклад в общую результативность деятельности предприятия.
3. Высокий динамизм управления. Даже наиболее эффективные управленческие решения в области формирования и реализации инвестиций, разработанные и реализованные на предприятии в предшествующем периоде, не всегда могут быть повторно использованы на последующих этапах его инвестиционной деятельности. Прежде всего, это связано с высокой динамикой факторов внешней среды на стадии перехода к рыночной экономике, и в первую очередь, — с изменением конъюнктуры финансового или товарного рынков. Кроме того, меняются во времени и внутренние условия функционирования предприятия, особенно на этапах перехода к последующим стадиям его жизненного цикла. Поэтому системе управления инвестиционной деятельностью должен быть присущ высокий динамизм, учитывающий изменение факторов внешней среды, потенциала формирования финансовых ресурсов, темпов экономического развития, форм организации производственной и финансовой деятельности, финансового состояния и других параметров функционирования предприятия.
4. Вариативность подходов к разработке отдельных управленческих решений. Реализация этого принципа предполагает, что подготовка каждого управленческого решения в сфере формирования инвестиций и инвестиционных ресурсов предприятия должна учитывать альтернативные возможности действий. При наличии альтернативных проектов управленческих решений в этой области их выбор для реализации должен быть основан на системе критериев, определяющих инвестиционную идеологию, инвестиционную стратегию или конкретную инвестиционную политику предприятия в сфере функциональных систем управления. Система таких критериев в области управления инвестиционной деятельностью устанавливается самим предприятием.
5. Ориентированность на стратегические цели развития предприятия. Какими бы эффективными не казались те или иные проекты управленческих решений в области инвестиционной деятельности, они должны быть отклонены, если они вступают в противоречие с миссией (главной целью деятельности) предприятия, стратегическими направлениями его развития, подрывают экономическую основу эффективного развития инвестиций в предстоящем периоде.

Эффективная система управления инвестициями, организованная с учетом изложенных принципов, создает основу высоких темпов развития предприятия, достижения необходимых конечных результатов его инвестиционной деятельности и постоянного роста его рыночной стоимости.

Рассматривая главную цель управления инвестиционной деятельностью, следует отметить, что она неразрывно связана с главной целью хозяйственной деятельности предприятия в целом и реализуется с ней в едином комплексе. С развитием инвестиционной теории менялись и подходы экономистов к определению главной цели инвестиционной деятельности. В генезисе этой проблемы можно выделить три основных подхода.

1. Классическая экономическая теория утверждала, что главной целью инвестиционной и других видов хозяйственной деятельности предприятия является максимизация прибыли. Эта цель вытекала из положения А. Смита, что максимизация прибыли отдельных субъектов хозяйствования ведет к максимизации всего общественного благосостояния. Впервые она была четко сформулирована в 1938 году французским экономистом А. Курно и затем развита в работах представителей неоклассической школы. Реализация этой цели обеспечивалась путем достижения равенства показателей предельного дохода и предельных затрат предприятия.
Однако впоследствии эта формулировка главной цели хозяйственной (в том числе инвестиционной) деятельности предприятия была подвергнута критике многими экономистами. Так, было доказано, что максимизация прибыли далеко не всегда обеспечивает необходимые темпы экономического развития предприятия. Полученная высокая по сумме и уровню прибыль может быть полностью израсходована на цели текущего потребления, в результате чего предприятие будет лишено основного источника формирования собственных финансовых ресурсов для своего предстоящего развития (а неразвивающееся предприятие утрачивает в перспективе достигнутую конкурентную позицию на рынке, сокращает потенциал приращения собственного капитала за счет внутренних источников, что в конечном итоге приводит к снижению его рыночной стоимости).

Кроме того, высокий уровень прибыли предприятия может достигаться при высоком уровне финансового риска, генерирующего угрозу банкротства. Поэтому в рыночных условиях максимизация прибыли может выступать как одна из важнейших задач инвестиционной деятельности предприятия или как критерий оценки эффективности отдельных видов его инвестиций, но не как главная цель инвестиционного менеджмента.
2. Теория устойчивого экономического роста, развиваемая многими последующими экономистами, главной целью инвестиционной деятельности выдвигает обеспечение финансового равновесия предприятия в процессе его развития. По их мнению реализация этой цели обеспечивает длительное безкризисное развитие предприятия и поступательное расширение объема его хозяйственной деятельности в процессе инвестирования. Вместе с тем, такая цель инвестиционной деятельности предприятия с минимальным уровнем инвестиционных рисков, связанных с процессом реализации инвестиций, не позволяет реализовать в полной мере все резервы роста рентабельности их использования. Кроме того, механизм реализации этой цели недостаточно связан с колебаниями конъюнктуры финансового и товарного рынков, которые изменяют параметры условий формирования инвестиций конкретного предприятия при заданных темпах его экономического развития. В связи с изложенным, достижение и поддержание финансового равновесия не может рассматриваться как главная цель инвестиционной деятельности предприятия (хотя и является одной из важных задач инвестиционного менеджмента).

3. Современная экономическая теория в качестве главной цели инвестиционной деятельности предприятия выдвигает обеспечение максимизации благосостояния собственников предприятия в долгосрочной перспективе, которое получает конкретное выражение в максимизации рыночной стоимости предприятия. Это положение разделяется всеми современными теоретиками в области инвестиционного менеджмента, так как по их мнению оно наилучшим образом реализует финансовые интересы владельцев предприятия. В этой главной цели получают отражение факторы времени, доходности и риска, что является более полным отражением мотивации инвестиционной деятельности предприятия.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим…

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого…

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой…

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни. ..

Инвестиционный менеджмент — Образовательная платформа «Юрайт». Для вузов и ссузов.

Скопировать в буфер библиографическое описание
Погодина, Т. В. Инвестиционный менеджмент : учебник и практикум для академического бакалавриата / Т. В. Погодина. — Москва : Издательство Юрайт, 2018. — 311 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-00485-4. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/413312 (дата обращения: 17.09.2022).
Добавить в избранное

Учебник и практикум для академического бакалавриата

Учебник и практикум для академического бакалавриата»> Нравится
3 Посмотреть кому понравилось
Поделиться

Описание
Программа курса
Тесты: 12
Нет в мобильном приложении

Аннотация
Программа курса
Тесты 12

В издании последовательно раскрываются теоретические и практические вопросы, связанные с осуществлением инвестиционных процессов, оценкой эффективности и финансовой реализуемости инвестиционных проектов, управлением реальными и финансовыми инвестициями. Инвестиционные процессы исследуются на примере Российской Федерации и других стран. Целью учебника является формирование у студентов современных фундаментальных знаний в области теории управления инвестициями в компании, раскрытие сущностных основ взаимодействия теории и практики инвестиционного менеджмента, его роли, значения и содержания в современных рыночных отношениях. Выполнение практических заданий позволит будущим бакалаврам получить необходимые навыки и умения. Издание также будет полезно молодым специалистам, которые занимаются организацией и финансовым обеспечением инвестиций, а также управлением рисками, возникающими в процессе осуществления инвестиционной деятельности.

Управление инвестициями Определение

Что такое управление инвестициями?

Управление инвестициями относится к управлению финансовыми активами и другими инвестициями, а не только к их покупке и продаже. Управление включает в себя разработку краткосрочной или долгосрочной стратегии приобретения и реализации портфельных активов. Это также может включать банковские, бюджетные и налоговые услуги и сборы.

Этот термин чаще всего относится к управлению активами в инвестиционном портфеле и торговле ими для достижения конкретной инвестиционной цели. Управление инвестициями также известно как управление капиталом, управление портфелем или управление капиталом.

Основы управления инвестициями

Профессиональное управление инвестициями направлено на достижение конкретных инвестиционных целей в интересах клиентов, чьими деньгами они обязаны управлять. Эти клиенты могут быть индивидуальными инвесторами или институциональными инвесторами, такими как пенсионные фонды, пенсионные планы, правительства, образовательные учреждения и страховые компании.

Услуги по управлению инвестициями включают в себя распределение активов, анализ финансовой отчетности, выбор акций, мониторинг существующих инвестиций, а также стратегию и реализацию портфеля. Управление инвестициями может также включать услуги по финансовому планированию и консультированию, не только надзор за портфелем клиента, но и его согласование с другими активами и жизненными целями. Профессиональные менеджеры имеют дело с различными ценными бумагами и финансовыми активами, включая облигации, акции, товары и недвижимость. Менеджер также может управлять реальными активами, такими как драгоценные металлы, товары и произведения искусства. Менеджеры могут помочь привести инвестиции в соответствие с планированием выхода на пенсию и имуществом, а также с распределением активов.

В корпоративных финансах управление инвестициями включает обеспечение обслуживания, учета и правильного использования материальных и нематериальных активов компании.

Согласно ежегодному исследованию, проведенному исследовательской и консультационной фирмой Willis Towers Watson и финансовой газетой Pensions & Investments , индустрия управления инвестициями растет. Если исходить из совокупных активов 500 крупнейших инвестиционных менеджеров, в 2018 году в мировой отрасли под управлением находились активы на сумму около 93,8 трлн долларов США. К концу 2019 года эта цифра превысила 100 трлн долларов США. .

Ключевые выводы

Управление инвестициями означает управление финансовыми активами и другими инвестициями профессионалами для клиентов
Клиентами инвестиционных менеджеров могут быть как индивидуальные, так и институциональные инвесторы.
Управление инвестициями включает в себя разработку стратегий и осуществление сделок в рамках финансового портфеля.
Фирмы по управлению инвестициями, управляющие активами на сумму более 25 миллионов долларов, должны зарегистрироваться в SEC и взять на себя фидуциарную ответственность перед клиентами.

Управление фирмой по управлению инвестициями

Ведение бизнеса по управлению инвестициями включает в себя множество обязанностей. Фирма должна нанимать профессиональных менеджеров для заключения сделок, маркетинга, расчетов и подготовки отчетов для клиентов. Другие обязанности включают проведение внутренних аудитов и изучение отдельных активов или классов активов и промышленных секторов.

Помимо найма маркетологов и обучения менеджеров, которые управляют потоком инвестиций, те, кто возглавляет фирмы по управлению инвестициями, должны обеспечить, чтобы они действовали в рамках законодательных и нормативных ограничений, изучали внутренние системы и средства контроля, учитывали денежные потоки и должным образом отслеживали транзакции и оценку фондов.

Как правило, инвестиционные менеджеры, которые владеют активами под управлением (AUM) на сумму не менее 25 миллионов долларов или консультируют инвестиционные компании, предлагающие взаимные фонды, должны быть зарегистрированными инвестиционными консультантами (RIA). Как зарегистрированный консультант, они должны зарегистрироваться в Комиссии по ценным бумагам и биржам (SEC) и государственных администраторах ценных бумаг. Это также означает, что они берут на себя фидуциарные обязанности перед своими клиентами. В качестве фидуциаров эти консультанты обещают действовать в интересах своего клиента, иначе им грозит уголовная ответственность. Фирмы или консультанты, управляющие активами менее 25 миллионов долларов, обычно регистрируются только в штатах, в которых они работают.

Инвестиционные менеджеры обычно получают компенсацию в виде платы за управление, обычно в виде процента от стоимости портфеля, принадлежащего клиенту. Плата за управление варьируется от 0,35% до 2% годовых. Кроме того, комиссионные, как правило, имеют скользящую шкалу: чем больше активов у клиента, тем ниже комиссионные, с которыми он может договориться. Средняя комиссия за управление составляет около 1%.

Плюсы и минусы управления инвестициями

Хотя индустрия управления инвестициями может приносить прибыль, существуют и серьезные проблемы, связанные с управлением такой фирмой. Доходы фирм по управлению инвестициями напрямую связаны с поведением рынка. Эта прямая связь означает, что прибыль компании зависит от рыночных оценок. Значительное снижение цен на активы может вызвать снижение доходов фирмы, особенно если снижение цен велико по сравнению с текущими и стабильными эксплуатационными расходами компании. Кроме того, клиенты могут проявлять нетерпение в трудные времена и на медвежьем рынке, и даже доходность фонда выше среднего может быть не в состоянии поддерживать портфель клиента.

Плюсы

Профессиональный анализ
Полное усердие
Способность успеть или превзойти рынок
Способность защитить портфель во время простоя

С середины 2000-х годов отрасль также столкнулась с проблемами из двух других источников.

Увеличение числа роботов-консультантов — цифровых платформ, которые обеспечивают автоматизированные, основанные на алгоритмах инвестиционные стратегии и распределение активов
Доступность биржевых фондов, портфели которых отражают портфели эталонного индекса

Последнее препятствие является примером пассивного управления, поскольку управляющим фондами-людьми приходится принимать лишь несколько инвестиционных решений. В первой задаче вообще не используются люди — кроме программиста, пишущего алгоритм. В результате оба могут взимать гораздо меньшую комиссию, чем могут взимать управляющие фондами. Однако, согласно некоторым исследованиям, эти более дешевые альтернативы часто превосходят активно управляемые фонды — либо напрямую, либо с точки зрения общей доходности — в первую очередь из-за того, что у них нет высоких комиссий, которые тянут их вниз.

Давление со стороны этой двойной конкуренции является причиной того, что фирмы по управлению инвестициями должны нанимать талантливых, умных профессионалов. Хотя некоторые клиенты смотрят на работу отдельных инвестиционных менеджеров, другие проверяют общую эффективность фирмы. Одним из ключевых признаков способности компании по управлению инвестициями является не только то, сколько денег зарабатывают ее клиенты в хорошие времена, но и то, как мало они теряют в плохие времена.

Реальный пример управления инвестициями

Согласно упомянутому ранее отчету Willis Towers Watson, 20 ведущих фирм по управлению инвестициями контролируют рекордные 43% всех глобальных активов, находящихся под управлением, на сумму около 40,6 трлн долларов. В США в пятерку ведущих фирм входят в порядке убывания:

Bank of America Global Wealth & Investment Management, в который по состоянию на 2008 г. входит Merrill Lynch (1,25 трлн долларов в AUM)
Morgan Stanley Wealth Management (1,1 трлн $ в AUM)
J.P. Morgan Private Bank (677 млрд долларов в AUM)
UBS Wealth Management (579 млрд долларов США в активах)
Wells Fargo ($564 млрд в активах)

Управление инвестициями: что это такое и как это сделать

Вы для нас на первом месте.

NerdWallet, Inc. является независимым издателем и службой сравнения, а не инвестиционным консультантом. Его статьи, интерактивные инструменты и другой контент предоставляются вам бесплатно в качестве инструментов самопомощи и только в информационных целях. Они не предназначены для предоставления рекомендаций по инвестициям. NerdWallet не гарантирует и не может гарантировать точность или применимость любой информации в отношении ваших индивидуальных обстоятельств. Примеры являются гипотетическими, и мы рекомендуем вам обратиться за персональным советом к квалифицированным специалистам по конкретным инвестиционным вопросам. Наши оценки основаны на прошлых результатах рынка, и прошлые результаты не являются гарантией будущих результатов.

Мы считаем, что каждый должен уметь уверенно принимать финансовые решения. И хотя на нашем сайте представлены не все компании или финансовые продукты, доступные на рынке, мы гордимся тем, что рекомендации, которые мы предлагаем, информация, которую мы предоставляем, и инструменты, которые мы создаем, являются объективными, независимыми, простыми и бесплатными.

Итак, как мы делаем деньги? Наши партнеры компенсируют нам. Это может повлиять на то, какие продукты мы рассматриваем и о чем пишем (и где эти продукты появляются на сайте), но это никоим образом не влияет на наши рекомендации или советы, которые основаны на тысячах часов исследований. Наши партнеры не могут платить нам за предоставление положительных отзывов о своих продуктах или услугах. Вот список наших партнеров.

Управление инвестициями — это процесс создания портфеля акций, облигаций и других инвестиций на основе ваших целей. Вы можете нанять службу управления инвестициями или управлять своим собственным портфелем.

Многие или все продукты, представленные здесь, получены от наших партнеров, которые выплачивают нам компенсацию. Это может повлиять на то, о каких продуктах мы пишем, а также где и как продукт отображается на странице. Однако это не влияет на наши оценки. Наши мнения являются нашими собственными. Вот список наших партнеров и вот как мы зарабатываем деньги.

Информация об инвестировании, представленная на этой странице, предназначена только для образовательных целей. NerdWallet не предлагает консультационные или брокерские услуги, а также не рекомендует и не советует инвесторам покупать или продавать определенные акции, ценные бумаги или другие инвестиции.

Наем кого-то для управления вашим инвестиционным портфелем может показаться услугой, в которой нуждаются или могут себе позволить только богатые. Но управление инвестициями заключается в максимальном использовании ваших денег: независимо от того, сколько у вас есть в вашем портфеле, важно обеспечить оптимизацию каждого доллара.

Определение управления инвестициями

Управление инвестициями – это управление инвестиционным портфелем или совокупностью финансовых активов. Это может включать покупку и продажу активов, создание краткосрочных или долгосрочных инвестиционных стратегий, наблюдение за распределением активов портфеля и разработку налоговой стратегии. Управление инвестициями может осуществляться самостоятельно или с помощью инвестиционного менеджера.

Управление портфелем и управление активами — это другие термины, которые также в широком смысле относятся к услугам, обеспечивающим надзор за инвестициями клиента. Однако управление инвестициями заключается не только в управлении конкретными активами в портфеле — оно включает в себя обеспечение того, чтобы портфель продолжал соответствовать целям клиента, устойчивости к риску и финансовым приоритетам.

Как работают службы управления инвестициями?

Большинство фирм по управлению инвестициями требуют, чтобы вы открыли инвестиционный счет у них или у брокерской компании, которую они используют. Если у вас есть счета в других фирмах, например IRA, налогооблагаемые брокерские счета или активы пенсионного плана, все еще находящиеся в плане бывшего работодателя, они помогут вам перевести деньги.

Инвестиционные решения основаны на множестве факторов, начиная с целей ваших сбережений (пенсия, образование, крупная покупка) и временных рамок. Вы также ответите на вопросы, чтобы помочь инвестиционному менеджеру оценить вашу устойчивость к риску или вашу способность выдерживать колебания доходности инвестиций и колебания фондового рынка. Рыночные условия, исторические показатели, налоговая эффективность и инвестиционные сборы также влияют на инвестиционную стратегию управляющего.

Чем занимается инвестиционный менеджер?

Инвестиционный менеджер — это лицо или компания, которая управляет инвестиционным портфелем от имени клиента. Инвестиционные менеджеры разрабатывают инвестиционную стратегию для достижения целей клиента, а затем используют эту стратегию, чтобы решить, как разделить портфель клиента между различными типами инвестиций, такими как акции и облигации. Менеджер покупает и продает эти инвестиции для клиента по мере необходимости и следит за общей эффективностью портфеля.

Некоторые инвестиционные менеджеры также занимаются финансовым планированием, предоставляя целостные финансовые консультации по таким темам, как управление денежными потоками, налоги, страхование и планирование недвижимости. Другие работают с состоятельными клиентами для удовлетворения их потребностей в финансовом планировании и управлении инвестициями, а также координируют услуги других специалистов, таких как юристы и бухгалтеры. Это часто называют управлением капиталом. Управление капиталом предлагает больше областей знаний, таких как имущественное и налоговое планирование, бухгалтерские услуги и пенсионное планирование в дополнение к управлению инвестициями. Если вам нужна помощь в выборе инвестиций для вашей IRA, вам может помочь управление инвестициями. Управление капиталом, вероятно, было бы излишним.

Как управлять собственными инвестициями

Когда дело доходит до управления вашими инвестициями, вы можете сделать это самостоятельно или отдать на аутсорсинг (и оплатить эту услугу). Если вы хотите управлять своими собственными инвестициями, вам придется принять некоторые решения, такие как тип счета, с которого вы хотите инвестировать, в какие типы инвестиций вы хотите инвестировать и сколько денег вы хотите. инвестировать.

» Чувствуете себя подавленным? Узнайте все, что вам нужно знать о том, как инвестировать деньги

Получите управление своими инвестициями за вас

Если вы хотите передать управление инвестициями на аутсорсинг, у вас также есть несколько вариантов. Вот плюсы, минусы и типичные затраты, связанные с несколькими видами услуг по управлению инвестициями.

Робо-советники

Робо-советники — это простое и недорогое решение для всех типов инвесторов. Сложный компьютерный алгоритм определяет идеальное инвестиционное сочетание акций, фондов, облигаций и денежных средств на основе предоставленной вами информации о ваших инвестиционных целях и допустимом уровне риска.

Робо-консультанты дешевле, чем работа с традиционным инвестиционным менеджером, и многие из них имеют низкий или нулевой минимум счета, что делает их хорошо подходящими для начинающих инвесторов.

Стоимость: Роботы-консультанты обычно взимают от 0,25% до 0,50% от активов, которыми служба управляет для вас, но некоторые из них бесплатны.

Онлайн-услуги по финансовому планированию

Ваши инвестиции — это только часть вашей финансовой жизни. С течением времени управление деньгами становится все более сложным. Онлайн-сервисы финансового планирования предоставляют рекомендации, которые включают в себя управление инвестициями, но также распространяются и на другие услуги.

Некоторые службы предлагают вам доступ к группе финансовых консультантов; другие предлагают уровень обслуживания, который близко имитирует то, что вы получили бы от традиционной финансовой консультационной фирмы: в дополнение к низкозатратному управлению инвестициями, клиенты работают в паре с преданным человеческим финансовым консультантом, который разрабатывает финансовый консультант. план и помогает им выполнить совет.

Стоимость: услуга, которая предлагает вам доступ к команде финансовых консультантов, обычно стоит меньше, а сборы начинаются с 0,30% от активов под управлением. Более целостная служба финансового планирования, которая предоставляет специального сертифицированного специалиста по финансовому планированию или CFP, будет взимать фиксированную годовую плату (обычно от 400 долларов США).

Традиционные финансовые консультанты

Традиционные финансовые консультанты обеспечивают управление портфелем в сочетании с услугами финансового планирования. Клиенты встречаются лицом к лицу со специалистом по финансовому планированию, чтобы обсудить свою общую финансовую картину, инвентарные активы и обязательства. Вы можете нанять финансового консультанта для составления общего финансового плана или плана для достижения конкретных целей, таких как инвестирование в высшее образование. Офис может передать часть задач на аутсорсинг (а некоторые даже используют роботов-консультантов для управления инвестиционными счетами клиентов).

Стоимость: мы рекомендуем финансового консультанта, который платит только за вознаграждение, что означает, что они не получают комиссионных от инвестиций, которые они используют, что может привести к конфликту интересов. Стоимость услуг финансового консультанта варьируется, но большинство из них взимают плату за активы под управлением или AUM — обычно 1%; больше для небольших счетов и меньше для больших. Другие консультанты взимают с клиентов почасовую оплату или годовой гонорар.

Когда нанимать менеджера по инвестициям

Обычно в конечном итоге у вас есть набор инвестиционных счетов — несколько пенсионных счетов, пара старых 401(k) с прежних мест работы, тот брокерский счет, который вы открыли после того, как увидели Документальный фильм Уоррена Баффета. Управление инвестициями может упростить вашу финансовую жизнь за счет объединения счетов разных фирм под одной крышей, что упрощает выполнение согласованного инвестиционного плана.

Но даже если ваши инвестиции хранятся на одном счете, управление инвестициями полезно, если:

Вы не уверены в том, что самостоятельно принимаете инвестиционные решения (или хотите получить второе мнение).
Вы хотите, чтобы кто-то еще следил за вашим портфелем и ребалансировал активы, когда смесь отклонялась от исходной формулы.
Вы имеете дело со сложными вопросами, такими как наследование, планирование пенсионного дохода, налоговые стратегии или планирование наследия.
Вам нужен консультант для решения других финансовых вопросов, таких как планирование денежных потоков, страхование или управление долгом, в дополнение к управлению портфелем.
У вас произошло важное событие в жизни (например, свадьба или рождение ребенка) или значительное изменение дохода.

Является ли управление инвестициями хорошей карьерой?

Стать менеджером по инвестициям или основать фирму по управлению инвестициями может быть прибыльным карьерным шагом. Финансовые консультанты заработали в среднем 9 долларов.4170 в 2021 году, по данным Бюро статистики труда США, и эта область растет: BLS прогнозирует 5-процентный рост в период с 2020 по 2030 год.

Бюро статистики труда США

. Справочник по профессиональным перспективам: личные финансовые консультанты.

По состоянию на 15 июля 2022 г.

Просмотреть все источники

Инвестиционные менеджеры обычно имеют степень бакалавра и могут извлечь выгоду из получения степени магистра или определенного финансового сертификата, например, сертифицированного специалиста по финансовому планированию. Инвестиционным менеджерам часто необходимо зарегистрироваться либо в своем штате, либо в Комиссии по ценным бумагам и биржам США, в зависимости от их активов, находящихся под управлением.

Управление инвестициями клиента сопряжено с трудностями: управление инвестициями не является точной наукой, и часто даже профессионалы не могут точно предсказать рынок. Несмотря на это, гнев клиента может быть направлен на его консультанта во время финансовых потрясений, особенно если его портфель падает. Индустрия управления инвестициями также сталкивается с новыми проблемами, связанными с появлением роботов-консультантов, которые предлагают менее дорогую альтернативу традиционному управлению инвестициями.

Почему важно управление инвестициями?

Инвестирование может помочь вам увеличить благосостояние поколений. И чем раньше вы начнете, тем лучше. Наличные со временем теряют ценность из-за инфляции. Поэтому, если вы не инвестируете таким образом, чтобы помочь вам увеличить свои деньги, вы можете потерять деньги в долгосрочной перспективе. Управление инвестициями также является одним из способов, с помощью которого цветные люди могут сократить разрыв в уровне благосостояния и помочь увеличить свое благосостояние.

Согласно записке Совета управляющих Федеральной резервной системы, средняя семья чернокожих и латиноамериканцев или латиноамериканцев зарабатывает примерно вдвое меньше, чем средняя семья белых. Кроме того, эти домохозяйства владеют лишь на 15–20 процентов чистым богатством.

Совет управляющих Федеральной резервной системы

. Неравенство в богатстве и разрыв в расовом богатстве.

По состоянию на 15 апреля 2022 г.

Просмотреть все источники

Существует также пробел в отношении инвестиционных активов.

Согласно опросу Gallup 2021 года, 65% белых американцев владеют акциями. Это число падает до 45% для чернокожих американцев и 29% для латиноамериканцев.

Гэллап

. Какой процент американцев владеет акциями.

По состоянию на 15 апреля 2022 г.

Просмотреть все источники

Управление инвестициями может принести пользу инвесторам уже сейчас, и эти инвестиции могут быть переданы будущим поколениям.

Статьи по теме

Готовы начать? Вот что вам нужно знать об управлении вашими инвестициями.

Как начать инвестировать: руководство для начинающих

Лучшие роботы-консультанты

Лучшие биржевые онлайн-брокеры для начинающих

Что такое социально ответственное инвестирование и с чего начать

Об авторах: Даяна Йохим — бывший специалист NerdWallet по вопросам пенсионного обеспечения и инвестирования. Ее работы были отмечены Forbes, Real Simple, USA Today, Woman’s Day и Associated Press. Читать далее

Алана Бенсон — писатель-инвестор, освещающий социально ответственные и ESG-инвестиции, финансовые консультации и темы инвестирования для начинающих. Ее работы публиковались в The New York Times, The Washington Post, MSN, Yahoo Finance, MarketWatch и других изданиях. Подробнее

В том же духе…

Найдите лучшего брокера

Ознакомьтесь с подборкой NerdWallet для лучших брокеров 2022 года. you Ботанические статьи о денежных темах, которые наиболее важны для вас, а также о других способах помочь вам получить больше от ваших денег.

Комплексные решения для управления инвестициями с сквозной обработкой

За последние несколько лет произошли значительные изменения в том, как работают управляющие активами и представители отрасли закупок. Хотя сбои редко происходят в одночасье, наблюдается всплеск новых факторов, которые могут помочь компаниям достичь конкурентного преимущества и способности эффективно масштабировать глобальные бизнес-операции.

Среди этих факторов новые технологии, такие как блокчейн и искусственный интеллект, а также технологии, которые помогают соответствовать растущему количеству нормативных изменений. Оба могут оптимизировать операции управляющих активами, обеспечить более быструю обработку и предоставить пользователям представление обо всех действиях в режиме реального времени.

В этой статье Bobsguide беседует с Андреа Бесте, директором по продажам Patronas, о некоторых из самых серьезных проблем, с которыми сталкиваются традиционные управляющие активами, и о том, как использование данных и персонализация необходимы для успеха бизнеса и разработки продуктов.

Каковы некоторые из самых больших проблем, с которыми сталкиваются управляющие активами, когда речь идет о инвестиционных решениях?

Выбор между «единственным поставщиком» или «лучшим в своем классе» решением часто является самой большой проблемой и самым трудным решением, говорит Бесте. Преимущество решения «единого поставщика» состоит в том, что он охватывает все области — от начала до конца — с помощью одного программного обеспечения, предоставляемого одним единственным контрагентом. «Лучшее в своем классе» решение потребует, чтобы управляющий активами имел дело с различными поставщиками, договорной документацией и, что наиболее важно, с различными программными компонентами и оценивал их.

«В случае лучшего в своем классе решения ключевыми аспектами, которые необходимо учитывать, являются способы наилучшей интеграции различных программных насколько это возможно – общее понимание и стандартизация между различными структурами. Еще одна большая проблема связана с требованиями к данным», — говорит Бесте.

Она добавляет, что все требования к данным должны быть тщательно оценены, чтобы понять, какая информация требуется для какой части цепочки, и как можно защитить требуемый формат данных. «Импорт и экспорт основных, статических и рыночных данных, а также центральное хранилище данных — важные аспекты, которые следует учитывать», — говорит она9.0005

Современные технологии позволили системам сквозного управления стать более распространенным вариантом для покупателей. Каковы некоторые из преимуществ?

Бесте отмечает, что большинство современных поставщиков программного обеспечения предоставляют возможность взаимодействия со сторонними решениями через API или альтернативные механизмы импорта и экспорта. По словам Бесте, независимо от того, выбирает ли управляющий активами единое комплексное программное решение или лучшее в своем классе решение, оба предлагают очевидные преимущества для покупателя.

Преимущества значительны и включают в себя такие факторы, как более быстрая обработка за счет устранения перерывов в потоке данных, а также предоставление пользователям возможности просматривать все действия в режиме реального времени, чтобы гораздо быстрее реагировать на любые возможные чрезвычайные ситуации.

Ошибки также встречаются реже благодаря стандартизации данных и процессов. «Благодаря устранению ручного вмешательства между различными этапами обработки во многих случаях можно избежать дорогостоящих ошибок», — говорит Бесте. «Сотрудники могут сосредоточиться на важных задачах, а не тратить время на ручное выполнение стандартных процедур».

«Выбор сквозного управления дает очевидные преимущества. Высокая степень автоматизации, которая снижает потребность в человеческом вмешательстве, значительно экономит ресурсы, а также общее время обработки», — добавляет она. «Это, в свою очередь, улучшает обслуживание клиентов и их удовлетворенность».

Насколько важно использование данных и персонализация для успеха организаций?

По словам Бесте, одной из основных задач, связанных с разработкой продукта, является достижение высокого уровня стандартизации при одновременной адаптации к меняющимся требованиям рынка и предложению клиентам индивидуальной масштабируемости и надежности процессов.

Использование инструментов, обеспечивающих эффективный анализ данных, позволит принимать более квалифицированные решения с последующей разработкой соответствующих продуктов и адаптацией процессов. По словам Бесте, в ближайшие годы это будет приобретать все большее значение и станет важным фактором для компаний, ищущих способы выделиться среди конкурентов.

«Понимание данных и интегрированный анализ в режиме реального времени позволят пользователям принимать правильные решения», — объясняет она. «Современное программное обеспечение может работать со множеством данных и анализировать эти данные за короткое время — и чем больше можно использовать результатов, тем лучше программное обеспечение может быть адаптировано и персонализировано в соответствии с точными требованиями пользователей.

Поскольку управляющие активами в значительной степени полагаются на технические решения для решения сложной своей работы, как такая компания, как Patronas, помогает предприятиям разрабатывать свои инвестиционные стратегии и достигать своих целей?

Многолетний опыт, по словам Бесте, позволяет Patronas полностью понимать требования своих клиентов по управлению активами и регулярно адаптировать и развивать свое программное обеспечение соответствующим образом.

«Мы прилагаем много усилий, чтобы поддерживать постоянный контакт с нашими клиентами и наблюдать за нашими ключевыми рынками. Мы стремимся постоянно быть в курсе событий, когда речь идет о необходимости в новых классах активов или конкретных функциях, предоставляемых нашим программным обеспечением», — говорит она.

Бесте объясняет, что флагманский продукт Patronas — Patronas Opus — может предоставить управляющим активами эффективное сквозное решение, которое охватывает все ключевые аспекты управления активами и портфелями. Кроме того, API Opus позволяет заказчикам интегрироваться с любым дополнительным внутренним или сторонним решением для удовлетворения любых остающихся специфических требований.

«Это мощная модульная платформа, которая обеспечивает полную персонализацию с помощью концепций микросервисов, — говорит Бесте. «Одной из основных конкурентных особенностей является полностью интегрированный механизм соблюдения правил в режиме реального времени. Этот механизм гарантирует, что все решения, касающиеся модификации структуры портфеля, соответствуют нормативным требованиям и конкретным требованиям фонда».

Beste также подчеркивает важность надежности для любого бизнеса и почему каждое техническое решение должно быть стабильным и удобным для пользователя. «Патронас считает своим главным приоритетом быть ближе к своим клиентам и рынку, а также вкладывать значительные средства в постоянное развитие продукта и высокое качество обслуживания клиентов», — говорит она.

Индустрия управления активами должна ускорить свои усилия по оцифровке, но внедрение новых технологий всегда является проблемой. Какие опасения по поводу внедрения новых технологий чаще всего упоминаются управляющими активами?

По словам Бесте, многие управляющие активами, особенно в компаниях малого и среднего размера, в настоящее время не используют никаких автоматизированных решений.

«Для этих фирм это, очевидно, вопрос первоначальных инвестиций и связанного с ними риска», — говорит она. «Существует растущее давление на внедрение автоматизированных и, следовательно, более соответствующих нормативным требованиям решений, и поэтому большинству управляющих активами необходимо начать внимательно изучать, какие решения доступны на рынке».

Бесте отмечает, что есть несколько критериев, которые управляющие активами должны учитывать при выборе решения, причем стоимость является важным критерием; не только в отношении платы за лицензию на программное обеспечение, но и в отношении требований к оборудованию, программному обеспечению и ИТ-ресурсам в целом, а также убытков, связанных с возможным нарушением существующих процедур.

«Однако во многих случаях мы считаем, что большинство наших клиентов рассматривают технологии и автоматизацию как шанс для себя улучшить свои процессы, избежать ручных операций и вмешательства и в целом повысить прибыльность для себя и своих клиентов», — говорит Бесте.

Она добавляет, что подавляющее большинство клиентов Patronas получают выгоду от полного предложения хостинга и управления, что во многих случаях снижает их опасения по поводу рисков, связанных с новым решением. «Наши клиенты извлекают выгоду из нашей высококачественной поддержки и нашего многолетнего опыта в области автоматизации и разработки программного обеспечения, и мы будем более чем рады помочь многим другим управляющим активами в их усилиях по внедрению решений для улучшения автоматизированной обработки и управления активами», — говорит Бесте.

Управляющий инвестиционным фондом: должностная инструкция

Управляющие инвестиционными фондами предоставляют финансовые консультации и услуги частным и корпоративным клиентам по целому ряду инвестиционных вопросов, включая покупку и продажу инвестиционных фондов и акций или облигаций, чтобы помочь этим клиентам инвестировать свои деньги в лучшие места.

Чем занимается управляющий инвестиционным фондом? Типичные работодатели | Квалификация и обучение | Ключевые навыки

Управляющие инвестиционными фондами очень тесно сотрудничают с инвестиционными аналитиками: управляющие фондами принимают решения об инвестициях, а аналитики предоставляют им финансовую информацию и рекомендации, позволяющие принимать такие решения.

Типичные задачи включают в себя:

регулярные встречи с инвестиционными аналитиками и менеджерами компаний для обсуждения финансовых вопросов
исследовательские компании
собирая информацию
чтение финансовых брифингов (часто написанных инвестиционными аналитиками)
предоставление обоснованных финансовых рекомендаций и решений
быть в курсе последних новостей об экономике Великобритании, текущих финансовых новостях и финансовых рынках
оценка и интерпретация сложной финансовой информации
взаимодействие с клиентами.

Управление инвестициями — это управление деньгами путем инвестирования их в различные классы активов, включая акции (или акции) и облигации. Работа в этой области, также известной как управление активами или управление фондами, будет означать ежедневное использование вашего мозга, чтобы попытаться перехитрить тысячи других участников финансовых рынков.

Не занимайтесь управлением инвестициями, если вы цените уверенность и верите, что компьютер может дать точные ответы с точностью до трех знаков после запятой. Вы больше подходите для управления инвестициями, если вам любопытно, что происходит в мире, если вы способны оспаривать консенсус и не боитесь обсуждать проблемы со старшими коллегами.

Основная ежедневная задача — анализировать отдельные компании и пытаться оценить их перспективы, чтобы попытаться выяснить, какие компании могут превзойти рынок. Вы можете рассматривать множество различных отраслей промышленности и анализировать что угодно, от айфонов до нефтяных вышек или тенденций в области органических продуктов питания. Основные бизнес-цели управления инвестициями заключаются в том, чтобы обеспечить хорошие инвестиции для клиентов, а также хорошее обслуживание клиентов.

Инвестиционная работа обеспечивает высокий уровень ответственности, хорошие возможности продвижения по службе и внушительные финансовые вознаграждения для самых успешных сотрудников. Рабочее время может быть менее требовательным, чем другие инвестиционные роли, но они все же длинные по сравнению с другими карьерами.

Типичные работодатели управляющих инвестиционными фондами

Инвестиционные банки
Инвестиционные компании и компании по управлению активами
Биржевые маклеры
Страховые и страховые компании
банки

Объявления о вакансиях размещаются службами по трудоустройству, специализированными кадровыми агентствами, в Интернете, в газетах, в т. ч. Файнэншл Таймс а также Лондонский вечерний стандарт и в таких изданиях, как Business Week, Хроника инвесторов, The Economist а также Банкир , а также на соответствующих веб-сайтах.

Отраслевые и корпоративные исследования, сетевые и спекулятивные приложения очень полезны. За спекулятивные приложения, PIMFA перечисляет компании-члены на своем веб-сайте. Ранние заявки на вакансии желательны.

Требуемая квалификация и обучение

Эта профессия открыта как для выпускников, так и для выпускников школ. Выпускникам понадобится 2.1 степень по любому предмету , хотя бизнес, менеджмент, статистика, финансы, математика, бухгалтерский учет или экономика могут быть полезны, как и MBA или аналогичная профессиональная квалификация . Актуальны оплачиваемый или добровольный опыт особенно полезными являются полученные благодаря слежке за работой, работе в отпуске и стажировкам. Выпускники обычно входят в отрасль в качестве инвестиционных аналитиков и переходят на должности управляющих фондами с опытом.

Выпускники школ могут войти в профессию через ученичество и получить квалификацию в профессиональной организации, чтобы облегчить трудоустройство, начиная с квалификации базового уровня. Дополнительную информацию о маршрутах для выпускников школ см. финансовый сектор TARGETcareers , наш сайт ориентирован на выпускников школ.

Ключевые навыки для управляющих инвестиционными фондами

Уверенность
Определение
Самомотивация
Сильные навыки тайм-менеджмента
Способность эффективно работать под давлением
Хорошие вычислительные и компьютерные навыки
Аналитические способности и навыки решения проблем
Навыки работы в команде
Живой интерес и понимание финансовых рынков
Навыки коммуникации.

Далее: поиск стажировок и вакансий для выпускников

Посмотреть наш вакансии в инвестиционно-банковской сфере и инвестициях
Посмотреть наш стажировка вакансии в инвестиционно-банковской сфере и инвестициях

Инвестиционный менеджер | PSU Human Resources

Резюме

Категория работы:: Финансовые операции
Должность:: Менеджер по инвестициям

Определение категории работы:: Эта специальность охватывает процесс распределения и управления финансовыми ресурсами для улучшения приобретения и инвестирования единичных ресурсов, а также общее управление доходами и расходами. Функции включают в себя: управление казначейством, инвестиции, анализ денежных потоков, банковское дело, обслуживание долга, составление бюджета капитала и общее финансовое управление.
Определение должности:: Менеджер по инвестициям отвечает за разработку стратегий управления значительным портфелем инвестиций, включая встречи с управляющими фондами, подготовку и отчетность по анализу инвестиций и инвестиционных стратегий, работу с инвестиционными консультантами Университета; помогает в анализе различных видов деятельности казначейства, включая внутреннюю инвестиционную деятельность, внешние инвестиции, банковские отношения, управление денежными средствами и внешние связи; помогает в разработке стратегий финансирования и инвестиций для университета и его подразделений. Обязанности выполняются на различных уровнях в рамках определенного титула.
Условия работы:: Конкретные физические требования и усилия указаны в Рабочем листе должностных обязанностей (список основных должностных обязанностей и обязанностей, характерных для конкретной работы на уровне подразделения) в соответствии с Законом об американцах-инвалидах от 1990 г. (ADA).
Другие требования:

Уровни

Уровень 1
Уровень 2
Уровень 3
Уровень 4
Уровень 5

Уровень 1

Уровень 2

Уровень 3

Сведения об уровне
Код работы	Диапазон заработной платы	Статус FLSA
АКФН9103	л	Исключение

Должности уровня 3 обычно демонстрируют профессиональные способности в планировании работы, управлении проектами, финансовом планировании и разработке целей для выполнения сложных заданий подразделения; продемонстрировать осведомленность о новых тенденциях и изменениях в правилах, политике и процедурах занятости для активного решения проблем; проверять завершенную работу других на предмет соответствия политике и эффективности подхода; делегировать более сложные задачи другим; способствовать оптимальной групповой динамике и оценивать эффективность сотрудников при выполнении сложных рабочих заданий и рекомендовать соответствующие возможности для развития; разрабатывать и внедрять методы, способствующие культуре разнообразия, безопасности и экологической сознательности и способствующие эффективным отношениям между различными группами сотрудников; использовать дипломатию и передовые коммуникативные навыки в неструктурированных условиях; изменять, адаптировать или уточнять руководства, если это необходимо, для решения вопросов или проблем; разрабатывать, оценивать, улучшать и/или внедрять практики, процессы, процедуры или политику повышения качества, которые влияют на деятельность подразделения.

Типичное образование и опыт
Опыт работы от 4 лет Степень бакалавра или выше в области финансов или смежных дисциплин; MBA или аналогичная степень магистра предпочтительнее Или эквивалентное сочетание образования и опыта

Типичные рабочие обязанности
Управление деятельностью по поиску поставщиков для закрепленной части инвестиционных фондов Университета, включая профессиональные сети, оценку стратегии, интервью с менеджерами и комплексную проверку Разработка/внедрение модели распределения активов с учетом рисков и аналитики эффективности для подготовки рекомендаций для высшего руководства и инвестиционных консультантов университета Мониторинг/оценка портфелей путем общения с внешними менеджерами, составления отчетов для менеджеров, а также оценки ролей менеджеров и их соблюдения инвестиционной стратегии(й) фонда Изучить потенциальные дополнения/перераспределения портфеля, которые оптимизируют управление рисками и долгосрочную доходность определенных инвестиционных целей Подготовка и анализ инвестиционных отчетов для высшего руководства и комитетов Совета директоров Наблюдение и координация деятельности консультантов/персонала по поиску поставщиков, должной осмотрительности, мониторингу и отчетности

Этот профиль предназначен для указания видов задач и уровней сложности работы, которые потребуются для должностей в этой должности, и не должен толковаться как декларация конкретных обязанностей и ответственности какой-либо конкретной должности. Он не предназначен для ограничения или изменения права любого руководителя назначать, направлять и контролировать работу сотрудников, находящихся под его/ее руководством. Использование конкретного выражения или иллюстрации, описывающей обязанности, не должно рассматриваться как исключающее другие неупомянутые обязанности аналогичного рода или уровня сложности.

Уровень 4

Сведения об уровне
Код работы	Диапазон заработной платы	Статус FLSA
АКФН9104	Н	Освобожден

Должности уровня 4 обычно демонстрируют продвинутые навыки в области управления бюджетом, развития бизнеса, коммуникаций, лидерства и выполнения задач, имеющих решающее значение для успеха подразделения; предоставить подробные планы изменений конкретных политик и процедур, которые могут возникнуть в результате тенденций и изменений общего направления функциональных и/или организационных обязанностей; контролировать завершенную работу других, чтобы обеспечить обоснованность подхода, эффективность выполнения требований, осуществимость рекомендаций и соблюдение требований; оценивать и улучшать методы, которые способствуют твердой приверженности инклюзивным методам, которые поддерживают разнообразие, безопасность и экологическое сознание во всем университете; проявлять дипломатичность в убеждении и влиянии на самых разных людей для достижения результатов; решать сложные, противоречивые или беспрецедентные вопросы и проблемы и демонстрировать здравый смысл, учитывая ценности, риски, влияние и последствия действий в рамках всей организации; установить четкие ожидания и возложить на управленческую команду ответственность за эффективное обучение, наставничество и мотивацию соответствующих сотрудников; разрабатывать, оценивать, улучшать и/или внедрять практики, процессы, процедуры или политику повышения качества, которые влияют на деятельность Университета.

Типичное образование и опыт
Опыт работы от 6 лет Степень бакалавра или выше в области финансов или смежных дисциплин; MBA или аналогичная степень магистра предпочтительнее Или эквивалентное сочетание образования и опыта

Типичные рабочие обязанности
Управление поиском поставщиков для нескольких инвестиционных фондов (как с пожертвованиями, так и без пожертвований), включая создание профессиональных сетей, оценку стратегии, интервью с менеджерами и комплексную проверку Разработка/внедрение модели распределения активов с учетом рисков и аналитики эффективности для подготовки рекомендаций для высшего руководства, инвестиционных консультантов университета и Совета попечителей Управление многомиллиардными инвестиционными фондами; устанавливать цели эффективности, распределять ресурсы и оценивать политику, чтобы давать рекомендации высшему руководству, инвестиционным консультантам университета и Совету попечителей Мониторинг/оценка портфелей путем общения с внешними менеджерами, составления отчетов для менеджеров, а также оценки ролей менеджеров и их соблюдения инвестиционной стратегии(й) фонда Изучить потенциальные дополнения/перераспределения портфеля, которые оптимизируют управление рисками и долгосрочную доходность определенных инвестиционных целей Помощь в разработке и реализации стратегий долгосрочной финансовой стабильности и повышения эффективности в подразделениях университета Найм, контроль, обучение и оценка назначенного персонала/консультанта

Уровень 5

Сведения об уровне
Код работы	Диапазон заработной платы	Статус FLSA
АКФН9105	О	Освобожден

Должности уровня 5 обычно демонстрируют осведомленность об общих проблемах и тенденциях управления, оценивают влияние изменений политики и процедур и вносят соответствующие коррективы; применять принципы управления для обеспечения оптимальной работы всей организации; обеспечить развитие и поддержание надлежащих навыков на всех уровнях ответственности и перераспределить обязанности персонала в соответствии с желаемыми изменениями в организации и/или задаче университета; разрабатывать планы, методы и усилия для обеспечения оптимальной поддержки или разнообразия, безопасности и экологической сознательности во всем Университете; демонстрировать высокий уровень дипломатичности в убеждении и влиянии на широкий круг людей на разных уровнях и в разных местах для достижения результата; разрабатывать и внедрять решения очень сложных и часто противоречивых проблем, которые могут иметь влияние на весь университет и создавать новые прецеденты для решения проблем; разработать и сформулировать общие цели и задачи для подразделения с многофункциональным или общеуниверситетским влиянием; разрабатывать, оценивать, улучшать и/или внедрять методы, процессы, процедуры или политику повышения качества, которые имеют стратегическое влияние на деятельность Университета.

Типичное образование и опыт
Опыт работы от 10 лет Степень бакалавра или выше в области финансов или смежных дисциплин; MBA или аналогичная степень магистра предпочтительнее Или эквивалентное сочетание образования и опыта

Типичные рабочие обязанности
Поддержка общего управления инвестиционными программами Университета, включая установление и пересмотр инвестиционных целей и использование мультивалютных и мультиактивных портфельных стратегий для снижения риска и повышения долгосрочной эффективности Управление многомиллиардными инвестиционными фондами; устанавливать цели эффективности, распределять ресурсы и оценивать политику, чтобы давать рекомендации высшему руководству, инвестиционным консультантам университета и Совету попечителей Мониторинг/оценка портфелей путем общения с внешними менеджерами, составления отчетов для менеджеров, а также оценки ролей менеджеров и их соблюдения инвестиционной стратегии(й) фонда Оценка инвестиционных стратегий/процессов и предоставление рекомендаций по корректировкам для достижения долгосрочных целей, включая выбор фондов и распределение активов Исследовательская деятельность по прямым внутренним инвестициям; оценить существующих и потенциальных инвестиционных менеджеров, рынки капитала и другие связанные с инвестициями темы с количественной и качественной точки зрения Просматривать отчеты и предоставлять краткий анализ для рассмотрения высшим руководством, инвестиционным консультантом университета и Советом попечителей Разработка, рекомендация и помощь в реализации стратегий долгосрочной финансовой стабильности и повышения эффективности в подразделениях университета Нанимайте, контролируйте, обучайте и оценивайте назначенный персонал. Надзор и координация деятельности консультантов/персонала по поиску поставщиков, должной осмотрительности, мониторингу и отчетности

Менеджер по инвестициям – определение, описание работы, зарплата

Менеджер по инвестициям управляет инвестициями других, используя несколько стратегий для получения более высокой прибыли для них и увеличения их активов. Иногда их также называют портфельными управляющими, управляющими активами или управляющими активами. В некоторых случаях их также можно считать финансовыми консультантами, но обычно они менее вовлечены в аспект продаж.

Инвестиционный менеджер — это тот, кто управляет деньгами отдельных лиц или учреждений, используя различные стратегии, и делает это с целью получения возврата на инвестиции (ROI).
В их обязанности входит наблюдение за работой активов, которые они упускают из виду, определение момента покупки и продажи ценных бумаг, таких как акции и облигации.
Они также будут тесно сотрудничать с клиентом, чтобы оценить его финансовые цели, убедившись, что их цели совпадают со стратегией, которую они используют для достижения финансового успеха.
Чтобы выбрать карьеру в области управления инвестициями, вам потребуется как минимум степень бакалавра, а большинству работодателей потребуются дополнительные сертификаты или соответствующий опыт работы.

СОДЕРЖАНИЕ

Инвестиционный менеджер Определение
- Квалификация
- Рекомендуемые статьи

Вы можете свободно использовать это изображение на своем веб-сайте, в шаблонах и т. д. Пожалуйста, предоставьте нам ссылку с указанием авторства. Как указать авторство? Ссылка на статью должна быть гиперссылкой
Например:
Источник: Инвестиционный менеджер (wallstreetmojo.com)

Должностная инструкция инвестиционного менеджера вращается вокруг управления богатством и инвестициями других, чтобы помочь увеличить их деньги. Круг клиентов включает частных лиц, предприятия, государственные организации, финансовые органы, страховые компании и т. д.
Они рассмотрят различные методы инвестирования, реализуя стратегии, которые лучше всего подходят для клиента. Как правило, это будет состоять из создания инвестиционного пакета или портфеля на основе финансовых целей клиента и терпимости к риску. Толерантность к риску. Толерантность к риску — это потенциал и готовность инвесторов нести неопределенность, связанную с их инвестиционными портфелями. На него влияют многочисленные индивидуальные ограничения, такие как возраст инвестора, доход, цель инвестирования, обязанности и финансовое состояние. Подробнее. Они будут инвестировать для клиента в ценные бумаги, такие как
Акции
Облигации
и недвижимость
Сюда входит отслеживание ежедневных колебаний стоимости активов, определение необходимости покупки и продажи. Они будут давать рекомендации клиенту, исходя из того, что, по их мнению, лучше всего подходит для их финансового успеха.
Важная роль, которую они играют, включает анализ ценных бумаг и предоставление рекомендаций. В процессе они сосредотачиваются на инвестициях от имени клиента в активы, которые они считают лучшими инвестициями в соответствии со своими финансовыми целями.
Их роль также потребует надзора группы финансовых аналитиков. Другая обязанность может быть похожа на обязанность финансового планировщика. В этом случае менеджер предоставит консультацию и ответит на вопросы по различным финансовым темам, в том числе:
Налоги
Выход на пенсию
Денежный поток
Управление рисками
Планирование недвижимости

Обычно они начинают с анализа ценных бумаг с акциями и облигациями в качестве младшего аналитика. Младший аналитик может быть позицией начального уровня, которая обычно требует, чтобы вы имели как минимум степень бакалавра. Во время вашего пребывания в качестве младшего аналитика вы будете работать под руководством высшего руководства, анализируя ценные бумаги, чтобы определить их финансовое положение.

В качестве младшего аналитика вы будете исследовать и просматривать финансовые отчеты различных компаний, чтобы определять их финансовые показатели. Затем они иногда будут работать с командой, создавая электронные таблицы и другие иллюстрации для продвижения своих открытий.

После нескольких лет развития навыков и изучения того, что нужно для достижения успеха в этой области, вы можете получить повышение до старшего аналитика. Часто кандидаты решают вернуться в школу и продолжить свое образование, чтобы продвинуться по карьерной лестнице.

Как старший аналитик, вы будете в большей степени сосредоточены на конкретной отрасли или секторе, анализу которого вы будете уделять большую часть своего времени. Они будут тратить большую часть своего времени на разработку отчетов об исследованиях и обновление существующих по мере появления новых деталей.

После нескольких лет успешной работы в качестве старшего аналитика вы можете быть повышены до этой должности. Здесь вы будете контролировать инвестиции, покупать и продавать ценные бумаги, когда данные, которые предоставит вам ваша команда, указывают на то, что пришло время сделать это.

Если у вас есть хороший опыт работы в качестве менеджера по инвестициям, вы можете быть повышены до этой должности. Обязанности и ответственность будут в основном такими же, как и раньше, но вы будете контролировать более значительную сумму денег.

Исследование, проведенное на сайте pay. com, показывает, что средняя зарплата инвестиционного менеджера составляет 132 029 долларов США. Диапазон заработной платы обычно составляет от 90 000 до 152 000 долларов при нормальных обстоятельствах. Иногда им платят в зависимости от процента от активов, которыми они управляют, или взимают почасовую оплату.

По данным Бюро статистики труда США, финансовые менеджеры пользуются большим спросом, и ожидается, что к 2029 году количество рабочих мест вырастет на 15 процентов. Это намного выше среднего темпа роста числа рабочих мест, составляющего 4 процента.

Чтобы стать менеджером по инвестициям, вам необходимо иметь как минимум степень бакалавра в смежных областях, таких как финансы, экономика, бизнес или бухгалтерский учет. Кроме того, многие работодатели будут искать кандидатов со степенью магистра и особенно магистра делового администрирования (MBA).

Несмотря на то, что это не требуется, кандидаты также могут рассмотреть возможность получения статуса сертифицированного государственного финансового менеджера (CGFM) от Ассоциации государственных бухгалтеров (AGA). Работающим специалистам в сфере управления инвестициями также может потребоваться зарегистрироваться в Комиссии по ценным бумагам и биржам США для управления определенными активами.

Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 4 и 12 дм. боковая грань образует с большим основанием угол 60 градусов. Найдите высоту.
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика
История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика
Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика
Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы
Химия Черчение Экология Экономика Электроника
Читайте также:
Exersice II. Найдите соответствие между словосочетаниями в колонках А
III. Найдите синонимы в данной цепочке слов
IV. Найдите антонимы в данной цепочке слов
Wave 3 – новый флагман платформы bada на свежей версии 2.0. Модель в цельнометаллическом корпусе из анодированного алюминия и с большим (4”) экраном Super AMOLED.
А) Найдите в каждом абзаце текста 3 предложение, выражающее его основную мысль.
А380: ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ МАРШРУТОВ С БОЛЬШИМИ ПАССАЖИРОПОТОКАМИ
АЛГОРИТМ ДЕЛЕНИЯ В СИСТЕМЕ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ.

В пирамиде ABCS построим еще пирамиду A1B1C1S

Так как пирамида правильная следует полагать что плоскости построенные на треугольниках ABC и A1B1C1 параллельны. А значит что пирамида ABCS подобна A1B1C1S.

Тут идея простая если ∠BAC=∠ABS=60 градусов, то тогда получается что боковые грани AS,BS,CS пирамиды ABCS равны AB,BC,CA=12 дм.

То же самое могу сказать про пирамиду A1B1C1S. Нам точно известно что A1B1,B1C1,C1A1=4 дм. (но это не понадобится)

Итак для того чтобы найти высоту пирамиды ABCS — SO2 нужно обратить внимание на прямоугольный треугольник AO2S.

∠SAO2=60, а значит что угол ASO2=30. А напротив угла 30 градусов лежит сторона равная половине гипотенузы.

AO2=12/2=6

Значит высота AO2 пирамиды ABCS = √(144-36)=√9*4*3=6√3

Теперь на чем основывается принцип подобия фигур?

Если у нас пирамида ABCS подобная A1B1C1S имеет высоту равную 6√3, то другая будет иметь высоту во столько раз меньше, во сколько относятся стороны этих пирамид.

Иначе говоря найдем коэффициент подобия фигур

k=12/4=3

Значит что высота O1S=(6√3)/3=2√3

Получается что O1O2=6√3-2√3=4

Основанием пирамиды SABC служит треугольник, у которого АВ=ВС=20 с, АС=32 см; углы между плоскостью основания и каждой из боковых граней равны 45 (градусов). Найдите объем пирамиды

Пусть дана пирамида ABCD. В основание впишем окружность и найдем OE. ∠EOD=90, ∠OED=∠EDO=45 отсюда следует найдем EO найдем и высоту пирамиды.

EO=Rвпис.окр=Sосн/p, где p — полупериметр. p=(40+32)/2=36

DO=Sосн/36

Потом по формуле V=(Sосн)2/3

Найдем площадь основания по формуле Sосн=a*h, где a-AC, h=12 (Правило идеальных треугольников в принципе если непонятно просто проведи высоту к стороне AC, затем найди эту высоту по формуле Пифагора, просто облегчают такие цифры решение как 20-16-12, 10-8-6, 5-4-3 это все треугольники прямоугольные с такими сторонами запутал наверное).

Sосн=32*12=384

V=384*384/3=49152

Стороны прямоугольника относятся как 2:3.найдите отношение площадей основания тех цилиндров, боковая поверхность которых развертывается в такой прямоугольник.

Довольно простая задача. Просто одна сторона у прямоугольника например 4π, а вторая значит будет равна 6π.

При развертке цилиндра сторона которая будет равна длине окружности цилиндра.

Т.е. 2πR=4π, отсюда R=2 S=4π

теперь развернем по другому и получим 2πR=6π

R=3, S=9π

Получается что отношение площадей 9/4

Плоскость, паралл-ая оси цилиндра, пересекает основание цилиндра по хорде, составляющей с диагональю данного сечения угол бетта. Радиус осн.цилиндра, проведенный в один из концов хорды, образует с плоскостью сечения угол альфа. Высота цил.равна Н. Найти площ.осевого сечения.

Сечение ABCD

∠DBA=β

OA=OB=SC=SD=Rокр

∠SCB=α

CD,BA – хорды

Две параллельные плоскости α β пересекают сторону АВ треугольника АВС в точках D и D1,а сторону ВС-соответственно в точках Е и Е1. Найдите длину отрезка DЕ, если BD=12см,BD1=18, D1E1=54.

Никогда не забывайте. Что в результате пересечения двух параллельных плоскостей плоскостей, как показано на рисунке получаются два подобных треугольника BDE и BD1E1.

А мы знаем уже что такое коэффициент подобия и поэтому легко найдем DЕ.

k=18/12

k=D1E1/DE

18/12=54/DE

DE=54*12/18=36

В основании наклонной призмы ромб с диагональю равной 24 см и стороной равной 37 см. Определите объём призмы, если перпендикулярное сечение, проходящее через большую диагональ ромба, имеет площадь равную 1400 см2.отв: 16800 см3

Большая диагональ равна 2* √(37*37-12*12)=2*35=70

H=1400/70=20

V=Sосн*H=(24*70/2)*20=16800 см3ъ

Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 905 | Нарушение авторских прав

Читайте в этой же книге: Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти радиус описанного около пирамиды шара. | В основании пирамиды треугольник со сторонами 13см, 14 см, 15 см. Найти высоту пирамиды, если все высоты боковых граней 14 см. | Найдите площади боковой и полной поверхностей правильной треугольной усеченной пирамиды со сторонами основании 10 и 4см и боковым ребром 5см | Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2520 см(в кубе),а площадь основания 168 см(в квадрате),и длина на 2 см больше ширины. Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда. | Цилиндр катится по некоторой плоскости .Какую фигуру образует при этом ось цилиндра? | Найдите периметр ромба с наибольшей площадью если сумма длин его диагоналей равна 10. | Периметры двух подобных четырехугольников относятся как 2:3.Найдите отношение их площадей | В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 12см. Вычислите радиус шара. |
| следующая страница ==>
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 36. Найти длину гипотенузы | Полукруг свернут в коническую поверхность. сколько градусов содержит угол между образующей и высотой конуса.
mybiblioteka.su — 2015-2022 год. (0.012 сек.)
Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 6см … — Учеба и наука
Лучший ответ по мнению автора

02. 12.17
Лучший ответ по мнению автора

Андрей Андреевич

Читать ответы

Михаил Александров

Читать ответы

Eleonora Gabrielyan

Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Похожие вопросы
Задача. Полина старше Аллы на 9 лет вместе им 15. сколько бедет лет Алле через два года?
Решено
Синус двугранного угла при боковом ребре правильной четырёхугольной пирамиды равен 4√2/ 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если
Решено
Какую часть площади квадрата занимает вписанный в него круг? Ответ дайте в процентах, округлив его до целых.
Полина старше Аллы на 9 лет. Вместе им 15 лет. Сколько лет будет Алле через 2 года
Коля, Дима и Саша собрали…
Пользуйтесь нашим приложением
ПОВЕРХНОСТЬ ПИРАМИДЫ И УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
Определение: Площадью полной поверхности пирамиды (усечённой пирамиды) называется сумма площадей всех её граней.

Определение: Площадью боковой поверхности пирамиды (усечённой пирамиды) называется сумма площадей её боковых граней.

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра её основания на апофему.

Дано:

SABC – правильная пирамида; ;

; – апофема;

.

Доказать: .

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему.

Дано:

– правильная усечённая пирамида;

; ;

; ;

– апофема;

Доказать:

.

Пример: В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты которого равны а. Боковые рёбра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Дано:

— пирамида;

; ; ;

;

Определить:

Решение:

; ; ; ;

; ; .

по стороне и прилежащим к ней углам:

1) SO — общая сторона;

2) , так как , , ;

3) .

Из равенства треугольников следует, что и .

Точка О одинаково удалена от вершин треугольника АВС, следовательно, она является центром окружности, описанной около этого треугольника. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, есть середина гипотенузы. Точка О — середина гипотенузы.

.

; .

; ; ; ; .

; , следовательно, .

— равносторонний треугольник, значит, .

; .

по трём сторонам, следовательно, .

;

; ;

;

.

.

Ответ: .

Замечание: Площадь боковой поверхности неправильнойусечённой пирамиды вычисляется по определению, каксумма площадей её боковых граней.

Упражнения:

Найти площадь полной поверхности пирамиды, основанием которой служит ромб с диагоналями 12 см и 16 см, а высота проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 6,4 см.
Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ = 25 см и катетом ВC = 7 см. Ребро SA перпендикулярно основанию и равно 18 см. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, высота которой равна 4 дм, а боковое ребро равно 16 дм.
Найти площадь полной поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 18 см и 8 см, а высота равна 12 см.
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды вдвое меньше площади её полной поверхности. Стороны её оснований равны 12 дм и 6 дм. Найти высоту усечённой пирамиды.
Сторона нижнего основания правильной треугольной усечённой пирамиды равна 4 дм. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, если её высота равна 1 дм. АВС; SО = h.

Доказать:

9. ОБЪЁМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ — усечённая пирамида;

S(ABCD) = S_н_.о_.; S (A₁B₁C₁D₁) = S_в_.о_.

h — высота усечённой пирамиды;

Определить: V_ус.пир.— ?

.

Упражнения:

Диагональ квадратного основания правильной пирамиды равна 6 см, высота пирамиды равна 15 см. Найти её объём.
Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 14 дм, сторона её основания равна 2 дм. Найти объём пирамиды.
Основанием пирамиды является ромб со стороной 15 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Большая диагональ основания равна 24 см. Найти объём пирамиды.
Найти объём усечённой пирамиды, если площади её оснований равны 98 см² и 32 см², а высота соответствующей полной пирамиды равна 14 см.
В пирамиде через середину высоты проведена плоскость, параллельная её основанию. Определить объём образовавшейся усечённой пирамиды, если высота данной пирамиды равна 18 см, а площадь её основания равна 400 см².
Найти объём треугольной пирамиды, боковые рёбра которой попарно перпендикулярны и равны 10 см, 15 см, 9 см.
В треугольной усечённой пирамиде высота равна 10 см, стороны нижнего основания равны 27 м, 29 м, 52 м, а периметр верхнего основания равен 72 м. Найти объём усечённой пирамиды.
Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 40 см и 10 см. Площадь её полной поверхности равна 3400 см². Найти объём усечённой пирамиды.
ЦИЛИНДР. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, называется прямым круговым цилиндром.

Определение: Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

AB – ось симметрии, высота цилиндра;AB = H;

AD– радиус основания цилиндра;AD = R.

Определение: Расстояние между плоскостями оснований является высотой прямого кругового цилиндра.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Два круга являются основаниями прямого кругового цилиндра. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований, называется образующей прямого кругового цилиндра.

Определение: Прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности основания цилиндра, а другая – его высоте, называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Определение: Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Сечения цилиндра.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две его стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.

В частности, прямоугольником является осевое сечение. Осевое сечение — сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию − круг.

Сечение цилиндра плоскостью не параллельной основанию и его оси – овал.

Теорема: Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S_бок.= 2πRH, где R − радиус основания цилиндра, Н − высота цилиндра).

Определение: Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

S_осн.= πR² S_бок.= 2πRH S_полн.= 2πRH + 2πR².

Рассмотрим п-угольную прямую призму. При п→∞ периметр многоугольника, лежащего в основании призмы, будет стремиться к длине окружности основания цилиндра, площадь многоугольника, лежащего в основании призмы, будет стремиться к площади круга, являющегося основанием цилиндра. Объём п-угольной прямой призмы будет стремиться к объёму прямого кругового цилиндра.

Определение: Призма называется вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра.

Определение: Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания призмы.

Упражнения:

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найти: высоту, радиус основания, площадь основания цилиндра.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 см², а площадь основания — 5 см². Найти высоту цилиндра.

3. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а площадь его осевого сечения равна 72 см². Найти объём цилиндра.
Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор…
ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования…
ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между…
Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? — задался я вопросом…
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
Геометрия Усеченная пирамида

Материалы к уроку
Конспект урока
Многогранники. Усечённая пирамида.

Мы продолжаем знакомство с многогранниками.

На прошлом занятии вы познакомились с частным видом пирамиды –правильной пирамидой.

Напомню, что пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник. Высотой такой пирамиды называется отрезок, проведённый из вершины в центр основания.

Если ABCDE –правильный пятиугольник, то    SABCDE-правильная пирамида.

SO-высота.

SO┴( ABCDE)

1.Изобразим произвольную пирамиду SA₁ A₂… A_n.

2. Проведём секущую плоскость параллельно основанию, пересекающую боковые рёбра пирамиды в точках В₁ В₂… В_n.

3.Секущая плоскость разбила пирамиду на два многогранника, один из которых так же является пирамидой. , а другой называется усечённой пирамидой.

Итак, усечённой пирамидой называется многогранник, гранями которого являются многоугольники   А₁ А₂… А_n и В₁ В₂… В_n(верхнее и нижнее основания), расположенных на параллельных плоскостях и четырёхугольников А₁ А₂ В₁ В₂, А₂ А₃ В₂ В₃,…А_n_-1 А_n В_n_-1 В_n(боковые грани).

Отрезки, соединяющие вершины оснований называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.

На чертеже изображена усечённая пирамида ABCDA₁ B₁ C₁ D₁.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из любой точки основания к плоскости другого.

ABCDA₁ B₁ C₁ D₁-усечённая пирамида.

ABCD и A₁ B₁ C₁ D₁–основания

А А₁В₁ В-боковая грань

А А₁-боковое ребро

ОО₁-высота

Рассмотрим боковую грань А₁ А₂ В₁ В₂_{усечённой пирамиды .}

Стороны А₁ А₂ и В₁ В₂  параллельны, так как принадлежат параллельным прямым по которым плоскость S А₁ А₂ пересекается с параллельными плоскостями альфа и бета.

Стороны А₁ В₁ и А₂ В₂ не параллельны, так как их продолжения пересекаются в точке S.

Таким образом мы доказали, что боковая грань правильной усечённой пирамиды

А₁ А₂ В₁ В₂ -является трапецией.

Очевидно, что все боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями.



(желательно сопоставлять объекты чертежа со словами, можно анимацией либо просто выделять)

Если усечённая пирамида получена путём сечения параллельно основанию правильной пирамиды , то усеченная пирамида будет так же правильной.

Основания правильной усечённой пирамиды –это правильные многоугольники, а боковые грани- равнобедренные трапеции.

Высота боковой грани называется апофемой.

А А₁В₁ В- равнобедренная трапеция.

В₁Е-апофема.

Сумма площадей боковых граней называется площадью боковой поверхности усечённой пирамиды. Эта площадь равна произведению апофемы на полусумму периметров.

Доказательство следует из того, что боковые грани усечённой пирамиды- это равные равнобедренные трапеции, площади которых равны произведению полусуммы оснований на высоту- апофему. Вынося за скобку общий множитель –апофему и1/2, в скобках получим сумму оснований. А это в свою очередь есть периметр оснований- правильных многоугольников.

Применим свои знания при решении задач:

Задача 1.

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 4 дм и 2 дм. Точки О и О₁-центры оснований пирамиды. Найти высоту и апофему пирамиды, если боковое ребро равно 2 дм.

Для начала проведём краткий анализ задачи: так как усечённая пирамида правильная, то боковые рёбра-равные равнобедренные трапеции. В основании лежат правильные треугольники, значит все углы этих треугольников будут по 60 градусов.

Решение:

1. Дополнительное построение: построим СМ перпендикулярно АВ, С₁М₁ перпендикулярно А₁В₁ и соединим точки М₁ и М.

По теореме о трёх перпендикулярах М₁М перпендикулярен АВ(одновременно М₁М перпендикулярна А₁В₁), значит М₁М-апофема.

Дано:АВСА₁ В₁ С₁-усечённая пирамида, АВ=ВС=АС=4 дм, А₁В₁=В₁С₁=А₁С₁=2 дм, АА₁=2 дм

Найти: высоту, апофему

Решение:

1. Д.п. СМ┴АВ, С₁М₁┴ А₁В₁→ М₁М┴ АВ и

М₁М┴ А₁В₁( по т.т.п.)

М₁М-апофема.

2. ОО₁-высота h.

Д.п. С₁L┴ СМ, М₁ N┴ СМ.

С₁L= ОО₁₌ М₁ N=h(как расстояния между параллельными прямыми).

Ответ: M₁М=√3 дм, О₁О=2√6 дм

Сегодня мы расширили свои знания по теме многогранник, познакомились с новой фигурой-пирамидой и её элементами, научились решать задачи применяя новые полученные знания.

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ
Выбрать репетитора
Урок геометрии в 11-м классе: «Объём пирамиды»
Цели и задачи урока:
вывести формулы: объема пирамиды с использованием основной формулы объема тел и объема усеченной пирамиды.
систематизировать теоретические знания по теме нахождения объема пирамиды.
сформировать навык нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр вписанной или описанной около основания окружности.
выработать навыки решения типовых задач на применение формул объемов пирамиды и усеченной пирамиды.
Ход урока
I. Объяснение нового материала.
Доказательство теоремы выполняется с помощью мультимедийного проектора
Докажем теорему: объем пирамиды равен одной трети, произведения площади основания на высоту.
Рис. 1
Доказательство:
Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, затем для произвольной.
1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h . Проведем ось ох (ОМ₂— высота), рассмотрим сечение А₁В₁С₁пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М₁пересечения этой плоскости с осью ох, а через S{x) — площадь сечения. Выразим S(x) через S, h и х . Заметим, что
В самом деле , следовательно, .
Прямоугольные треугольники , тоже подобны (они имеют общий острый угол с вершиной О).
Применим теперь основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0, b = h получаем
Pис. 2
2. Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S . Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой h. Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель , получим в скобках сумму оснований треугольных пирамид, т.е. площадь S оснований исходной пирамиды.
Таким образом, объем исходной пирамиды равен . Теорема доказана.
II. решить задачи по готовым чертежам .
Задача 1. (рис. 3)
Дано: АВСD – правильная пирамида, АВ =3; AD= . Найти: а)Sосн; б) АО; в) DO г) V.
Задача 2. (рис. 4)
Дано: АВСDF – правильная пирамида, .
Задача 3. (рис. 5)
Дано : АВСDEKF – правильная пирамида,
Найти: а) S_осн; б) V.
Задача 4. (рис. 6)
Найти: V.
Проверка задач выполняется с помощью мультимедийного проектора с подробным анализом поэтапного решения.
Задача 1. (рис. 3)
Решение:
а) (используется формула для вычисления площади правильного треугольника)
АВ = = 3, имеем
б) (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника) .
Задача 2. (рис. 4)
Решение:
1) Рассмотрим следовательно,
– равнобедренный, ОС = FО = 2.
Задача 3. (рис. 5)
Решение:
Задача 4. (рис. 6)
Решение:
III. Проверка вывода формулы для вычисления объема усеченной пирамиды (сообщение ученика у доски выполняется с помощью мультимедийного проектора)
Ответ ученика:
Объем усеченной пирамиды рассматриваем как разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее плоскостью, параллельной основанию (рис. 1).
Подставим это выражение для х в первую формулу,
Pабота в форме теста, с проверкой через мультимедийный проектор.
1.В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение — прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы.
а) 10 см³, б) 42 см³, в) 60 см³, г) 30 см³.
2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см. Объем пирамиды равен 6 см³. Чему равна высота?
3. Объем пирамиды равен 56 см³, площадь основания 14 см². Чему равна высота?
а) 14 см, б) 12 см, в) 16 см.
4. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?
5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. найдите объем пирамиды.
а) 50 см³, б) 48 см³, в) 16 см³.
6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см³, высота 9 см. найти сторону основания.
а)12 см, б) 9 см, в) 3 см.
7. Объем усеченной пирамиды равен 210 см³, площадь нижнего основания 36 см², верхнего 9 см². Найдите высоту пирамиды.
а) 1см, б) 15 см, в) 10см.
8. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?
Таблица ответов.
Задача 1 2 3 4 5 6 7 8
Ответ б а б а б в в в
Домашняя работа: 1. Решить задачи №695в, №697, №690
2. Рассмотреть базовые задачи
Задача 1.
Докажите, что если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.
Pис. 2
Задача 2.
Докажите, что если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
Pис. 3
Пирамида. Усеченная пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани) (рис. 15). Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром.
Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой. Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.
1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.
2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.
3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.
Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.
Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.
Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС). Угол наклона бокового ребра (например SB) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD. Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB. Пусть длина отрезка BD равна 3а. Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO: Из находим:
Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.
Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:
Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Рис. 19

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А₁Е перпендикуляр из точки А₁ на плоскость нижнего основания, A₁D – перпендикуляр из А₁ на АС. А₁Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE.

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Рис. 20

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD.

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Рис. 21

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD. Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Рис. 22

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем

Тогда

Площадь трапеции:

Значит,

Ответ:

Пример 5.Основание пирамиды – равносторонний треугольник со стороной а. Одна из боковых граней – равнобедренный прямоугольный треугольник, плоскость которого перпендикулярна плоскости основания. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 23).

Рис. 23

Площадь боковой поверхности данной пирамиды SABC состоит из суммы площадей ее боковых граней. Боковые грани – треугольники, один из которых прямоугольный и равнобедренный ( ), два других – равные треугольники Рассмотрим – по условию. Вычислим его площадь: Так как равнобедренный, то а так как то и следовательно в

Тогда

Рассмотрим SE найдем из По теореме Пифагора имеем Найдем DE. Для этого рассмотрим равносторонний треугольник основания (рис. 24). В отрезок DE является средней линией, значит, Находим SE:

Рис. 24

Теперь

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно диагонали основания, длина которой см. Найдите высоту пирамиды и сторону ее основания.

1.2. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60º. Найдите высоту пирамиды.

1.3. Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды, зная, что апофема равна 10 см, а радиус окружности, описанной около основания, равен 6см.

1. 4. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, сторона которой 6 см, если ее объем равен объему куба со стороной 4 см.

1.5. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны b. Найдите объем пирамиды.

1.6. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды 8 см и 4 см. Боковое ребро см. Найдите высоту пирамиды.

1.7. Боковые ребра правильной усеченной шестиугольной пирамиды наклонены к плоскости нижнего основания под углом 45º. Стороны оснований равны 10 см и 5 см. Найдите длину бокового ребра и высоту пирамиды.

1.8. Боковая грань правильной семиугольной усеченной пирамиды – равнобедренная трапеция, средняя линия которой 13 см, а высота 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

1.9. Площадь полной поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды равна см². Стороны оснований 10 см и 6 см. Найдите тангенс угла между боковым ребром и стороной нижнего основания.

1.10. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 5 см и 17 см, боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45º. Вычислите объем пирамиды.

II уровень

2.1. По стороне основания, равной 5 см, и высоте, равной 12 см, Найдите апофему и боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды.

2.2. Найдите расстояние между центрами окружностей вписанных в смежные боковые грани тетраэдра. Радиус окружности равен дм.

2.3. Основание пирамиды – ромб со стороной 6см и углом 45º, все двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны 30º. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

2.4. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 8 см, а плоский угол при вершине – 30º. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2.5. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой » 150 м и боковым ребром » 220 м. Найдите объем этой пирамиды.

2.6. Определите объем правильной треугольной пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60º и удалена от противоположной вершины на расстояние, равное 3 см.

2.7. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 15 дм и 5 дм. Площадь диагонального сечения равна дм². Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2.8. Основания усеченной пирамиды – равнобедренные треугольники, их равные стороны – 8 см и 4 см, углы при вершинах треугольников равны по 120º. Ребро, проходящее через вершины данных углов, перпендикулярно плоскости оснований и равно 3 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

2.9. Правильная четырехугольная пирамида, сторона основания которой 1500 см и высота 2000 см, пересечена плоскостью параллельной основанию. Найдите объем усеченной пирамиды, если ее высота 1400 см.

2.10. В правильной усеченной треугольной пирамиде стороны оснований равны 7 см и 3 см, а апофема – 5 см. Найдите объем пирамиды.

III уровень

3.1. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, две другие образуют с плоскостью основания угол a. Найдите косинус угла между этими гранями.

3.2. Все диагональные сечения правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равновелики. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения SAC.

3.3. Точка М – середина ребра SB пирамиды SABC, основанием которой является правильный треугольник ABC, а боковое ребро SC перпендикулярно плоскости ABC и SC = 2AB. Найдите расстояние от точки М до прямой AC, если АВ = а.

3.4. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом a. Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом j. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3.5. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, острый угол которой a, а площадь Q. Каждая боковая грань образует с основанием угол b. Найдите объем пирамиды.

3.16. Основание усеченной пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 7 см. Вершина верхнего основания проектируется в точку пересечения диагоналей нижнего основания. Найдите длины остальных боковых ребер и угол наклона большего бокового ребра к плоскости основания.

3.7. Основания усеченной пирамиды – квадраты со сторонами 8 см и 4 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренной трапецией. Противолежащая ей грань образует с плоскостью основания угол 60º. Найдите площади боковых граней пирамиды.

3.8. Стороны оснований и высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды относятся, как 7 : 4 : 2, площадь боковой поверхности равна 110 дм². Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

3.9. Найдите объем правильной треугольной усеченной пирамиды, у которой стороны оснований равны 3 м и 2 м, а площадь боковой поверхности равна сумме площадей оснований.

3.10. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 см и 1 см, высота – 3 см. Через точку пересечения диагоналей пирамиды, параллельно основаниям пирамиды, приведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найдите объем каждой из полученных частей.

Цилиндр

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой параллельно данной прямой (рис. 25).

Данная кривая называется направляющей, а прямые – образующими цилиндрической поверхности.

Прямой круговой цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности перпендикулярно плоскости этой окружности. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть цилиндрической (рис. 26).

Цилиндром (прямым круговым цилиндром) называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим поверхности (рис. 27).

Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей одну из сторон прямоугольника.

Два круга, ограничивающие цилиндр, называются его основаниями. Прямая, проходящая через центры данных кругов, называется осью цилиндра. Отрезки, образующие цилиндрическую поверхность, называются образующими цилиндра. Высотой цилиндра называется расстояние между его основаниями. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось цилиндра. Разверткой боковой поверхности цилиндра называется прямоугольник со сторонами равными длине окружности основания и длине образующей цилиндра.

Рис. 25 Рис. 26 Рис. 27

Для цилиндра верны формулы:

(5)

(6)

где R – радиус основания;

H – высота;

S_осн – площадь основания;

S_бок – площадь боковой поверхности;

S_полн – площадь полной поверхности;

V – объем цилиндра.

Пример 1. Найти радиус основания цилиндра, если его высота равна 8 см, а диагональ осевого сечения составляет угол в 45º с плоскостью основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 28).

Рис. 28

Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, одна сторона которого образующая (высота) цилиндра, вторая сторона – диаметр основания цилиндра. Рассмотрим треугольник АВС, у которого катетами являются диаметр основания АС и высота ВС, а гипотенузой – диагональ сечения АВ. Так как то – равнобедренный и АС = ВС = 8 см. АС – диаметр, значит, радиус

Ответ: 4 см.

Пример 2. Цилиндр пересечен плоскостью параллельной оси. Найти площадь сечения, если радиус основания и высота цилиндра соответственно 5 см и 10 см, а расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения 3 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 29).

Рис. 29

Сечением цилиндра является прямоугольник, одна из сторон которого – хорда окружности основания (ВС), вторая – образующая цилиндра (ВА). Образующая равна высоте, значит ВА = 10 см. Необходимо найти хорду ВС. Расстояние от оси ОО₁ до плоскости сечения – это перпендикуляр опущенный из точки О₁ на хорду ВС. Проведя радиусы О₁С и О₁В, получим равнобедренный треугольник Высота O₁D является его медианой, значит BD = DC. Из найдем BD:

Тогда BC = 2BD = 8 см. Площадь сечения:

Ответ: 80 см².

Пример 3. Диагональ сечения цилиндра, параллельного его оси, равна d и образует угол a с образующей цилиндра. Найти площадь полной поверхности цилиндра, если секущая плоскость отсекает от окружности основания часть ее.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 30).

Рис. 30

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле (5).

Чтобы найти высоту Н (образующую), рассмотрим . В нем Тогда

Для нахождения радиуса рассмотрим равнобедренный в котором OA = OD = R. Так как по условию сечение отсекает от окружности основания часть, значит По теореме косинусов найдем радиус:

т.е. .

Тогда , откуда получаем

Вычисляем

Ответ:

Пример 4.Диагонали развертки боковой поверхности цилиндра образуют острый угол равный a. Высота цилиндра равна h. Найти объем цилиндра.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 31).

Рис. 31

Чтобы найти объем, необходимо знать радиус основания цилиндра. Рассмотрим развертку боковой поверхности цилиндра – прямоугольник ABCD: AD = h, BC = 2pR,где R – неизвестный радиус основания. Точка О – середина диагоналей. Из точки О опустим перпендикуляр OD,

с другой стороны

Приравнивая выражения для нахождения OD, находим R:

, т.е. .

Вычисляем объем цилиндра по формуле (6):

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, высота которого равна 8 см, а радиус основания – 3 см.

1.2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 64 см². Найдите площадь основания цилиндра.

1.3. Площадь осевого сечения цилиндра равна S, Найдите площадь его боковой поверхности.

1.4. Высота цилиндра равна 12 см, диагональ осевого сечения – 13 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

1.5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см и составляет угол 45º с плоскостью основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

1.6. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг меньшей из сторон. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ прямоугольника равна 6 см и наклонена к большей стороне под углом 30º.

1.7. Определите давление кирпичной цилиндрической колонны на фундамент, если высота колонны 2 м, диаметр основания равен 0,75 м. Вес одного кубического метра кирпича необходимо принять равным 1,8 т.

1.8. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 18 см. Найдите объем цилиндра.

1.9. Как изменится объем цилиндра, если радиус основания увеличить в три раза, а высоту уменьшить в четыре раза?

1.10. Два различных цилиндра имеют равные площади боковых поверхностей. Найдите отношение радиусов оснований, если их высоты относятся как 3 : 1.

II уровень

2.1. Цилиндр, радиус основания которого равен 13 см, а высота – 10 см, пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Определите, на каком расстоянии от оси цилиндра проведено сечение.

2.2. Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна 71 дм². Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

2.3. Радиус основания цилиндра в три раза меньше его высоты. Найдите угол между диагоналями осевого сечения цилиндра.

2.4. Цилиндрическая дымовая труба диаметром 60 см имеет высоту 20 м. Определите, сколько квадратных метров листового железа потребуется на ее изготовление, если на заклепки уходит 10 % всего необходимого количества железа.

2.5. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат. Найдите объем цилиндра, если радиус его основания на 3 см меньше высоты.

2.6. Площадь основания цилиндра равновелика площади развертки его боковой поверхности. Найдите тангенс угла наклона диагонали осевого сечения к плоскости основания цилиндра.

2.7. Прямоугольник со сторонами m и b является разверткой боковых поверхностей двух различных цилиндров. Найдите отношение объемов этих цилиндров.

2.8. Кусок льда, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, размером 0,6 м ´ 0,4 м ´ 0,5 м, помещен в цилиндрический сосуд диаметра 0,9м. Определите, какова будет высота слоя воды после того, как лед растает. Удельный вес льда необходимо считать равным 0,92 г/см³.

III уровень

3.1. Точка окружности верхнего основания цилиндра соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен a. Найдите угол между осью цилиндра и отрезком, соединяющим данные точки, если высота цилиндра равна его диаметру.

3.2. К цилиндру проведена касательная прямая под углом a к плоскости основания. Определите расстояние от центра нижнего основания до прямой, если расстояние от центра до точки касания равно d,а радиус основания равен R.

3.3. Высота цилиндра равна радиусу его основания и имеет длину а. Через ось цилиндра проведена вторая цилиндрическая поверхность, которая делит окружность основания на две дуги, длины которых относятся как 2 : 1. Найдите объем большей части цилиндра, на которые цилиндрическая поверхность делит цилиндр.

3.4. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см.

Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей, прямые – образующими, точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием. Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

(7)

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S_осн – площадь основания;

S_бок – площадь боковой поверхности;

S_полн – площадь полной поверхности;

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис. 35).

Рис. 35

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими. Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S_бок – площадь боковой поверхности;

S_полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1.Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О₁А и О₁В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO₂B и SO₁A, коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Из SO₁A

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Калькулятор объема треугольной пирамиды
Автор Анна Щепанек, доктор философии
Рецензию сделали Богна Шик и Джек Боуотер
Последнее обновление: 11 марта 2022 г.
Содержание:
Как пользоваться нашим калькулятором объема треугольной пирамиды?
Формула объема треугольной пирамиды
Как вручную найти объем треугольной пирамиды?
Объем тетраэдра
Объем прямоугольной пирамиды
Наш калькулятор объема треугольной пирамиды позволяет найти объем любой пирамиды с треугольным основанием, независимо от того, знаете ли вы площадь ее основания. Если вы хотите определить объем прямоугольной пирамиды или правильного тетраэдра, вы попали по адресу.
Вам нужно научиться находить объем треугольной пирамиды вручную? Продолжайте читать, поскольку мы даем как формулу, так и примеры того, как ее использовать.
Как пользоваться нашим калькулятором объема треугольной пирамиды?
Треугольная пирамида представляет собой твердый объект, образованный соединением треугольного основания с точкой, называемой вершиной . Это создает четыре грани , каждая из которых представляет собой треугольник. Если вы можете вращать пирамиду, каждая грань может играть роль основания пирамиды. Отрезок, перпендикулярный основанию и проходящий через вершину, называется 9.0026 высота пирамиды.
Здесь темно-синий треугольник — основание пирамиды, а черный пунктирный сегмент — высота:
Чтобы использовать наш калькулятор объема треугольной пирамиды, выполните следующие действия:
Знаете ли вы площадь основания пирамиды?
Если да, введите его в калькулятор.
Если нет, проверьте, какие данные о базе вам известны: выберите подходящий вариант в нашем калькуляторе и введите свои данные. Базовая площадь будет рассчитана для вас.
Введите высоту пирамиды.
Калькулятор объема треугольной пирамиды вернет объем вашей пирамиды 🙂
Формула объема треугольной пирамиды
Формула объема треугольной пирамиды напоминает формулу объема любой другой пирамиды или конуса:
V = A * H / 3
где:
A 9007 основание пирамиды
Н высота от основания до вершины
Прописью: объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания и высоты пирамиды.
Как вручную найти объем треугольной пирамиды?
В этой части текста мы покажем вам, как применять формулу объема треугольной пирамиды. В качестве примера рассмотрим треугольную пирамиду высотой 10 см и основанием со сторонами 3 см, 4 см и 5 см в длину (что делает ее египетским прямоугольным треугольником):
Определить площадь основания : площадь египетского треугольника можно вычислить как 3 * 4 / 2 = 6
Найдите высоту пирамиды : в нашем случае она равна 10
Применить формулу объема треугольной пирамиды : 6 * 10/3 = 20
Самым сложным шагом обычно является вычисление площади основания. Чтобы узнать больше об этом, вы можете проверить наш общий калькулятор площади треугольника или один из калькуляторов, предназначенных для каждого особого типа треугольника, будь то равносторонний, равнобедренный или прямоугольный (или один из частных случаев прямоугольного треугольника, треугольник 45 45 90 или треугольник 30 60 90).
Если вам нужно знать, как найти объем треугольной пирамиды, которая является правильным тетраэдром или прямоугольной треугольной пирамидой, то ознакомьтесь с двумя оставшимися разделами, где мы приводим соответствующие формулы.
Объем тетраэдра
Треугольная пирамида, гранями которой являются равносторонние треугольники, называется 9-гранной.0026 правильный тетраэдр .
Объем тетраэдра со стороной длиной a можно выразить как:
V = a³ * √2 / 12 ,
что примерно равно V = 0,12 * a³ .
Например, объем тетраэдра со стороной 10 см равен
V = 6³ * √2 / 12 = 18 √2 ,
, что можно приблизительно представить как 0,12 * 6³ = 20,67 90.
Объем прямоугольной пирамиды
Прямоугольная треугольная пирамида представляет собой треугольную пирамиду с равносторонним основанием, вершина которой находится непосредственно над центром тяжести основания (его центром масс), который в данном случае совпадает с ортоцентром (точкой пересечения всех трех высот). ).
Объем прямоугольной пирамиды со стороной длиной a и высотой H определяется по формуле:
В = a ² * Н * √3 / 12
С помощью теоремы Пифагора мы можем найти объем прямоугольной пирамиды с длиной стороны основания a , а ребра между основанием и вершиной имеют длину b . Формула гласит:
V = √ (B ² - A ² /3) * A ² * √3 / 12
Anna Szczepanek, PhD
Triangle Type
(B) Base Base B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B.)
. (h) Основание пирамиды Высота пирамиды (H) Объем Посмотреть 20 похожих калькуляторов трехмерной геометрии 📦 Площадь полушарияCubeCube Calc: найти v, a, d… еще 17 Калькулятор объема пирамиды и Стивен Вудинг Отзыв от Bogna Szyk, Jack Bowater и Adena Benn Последнее обновление: 10 сентября 2022 г. Содержание: Формула объема пирамиды Как рассчитать объем пирамиды? Пример расчета объема квадратной пирамиды Названия объемов пирамид Расчет объема тетраэдра Что дальше? Часто задаваемые вопросы Определите объем любой твердой пирамиды с помощью нашего калькулятора объема пирамиды. Выберите один из двух вариантов: рассчитать объем пирамиды с правильным основанием, поэтому вам нужно указать только сторону, форму и высоту, или напрямую ввести площадь основания и высоту пирамиды. У калькулятора нет проблем с определением объема тетраэдра или объема квадратной пирамиды. Если вы все еще не знаете, как использовать инструмент и как рассчитать объем пирамиды - продолжайте читать! Формула объема пирамиды Пирамида – это многогранник, образованный соединением многоугольного основания и вершины. Основная формула для объема пирамиды такая же, как и для конуса: объем = (1/3) * площадь основания * высота , где высота — высота от основания до вершины. Эта формула работает для любого типа базового многоугольника, наклонных и прямых пирамид. Все, что вам нужно знать, это эти два значения — площадь основания и высота. Однако есть и другие полезные формулы на случай, если вы не знаете базовую площадь. Для любой пирамиды с правильным основанием можно использовать уравнение: объем = (n/12) * высота * длина_стороны² * раскладушка (π/n) , где n — количество сторон основания правильного многоугольника Как рассчитать объем пирамиды? Пример расчета объема квадратной пирамиды Формулу мы знаем, а что дальше? Как использовать этот калькулятор объема пирамиды? Лучший способ продемонстрировать, как это работает, — самая известная в мире пирамида — пирамида Хеопса: Выберите форму основания . Пирамида Хеопса, также называемая пирамидой Хуфу, представляет собой квадрат. Конечно, это не идеальный квадрат, но можно предположить, что это так - разница между длинами ребер меньше 1‰. Введите высоту пирамиды . Высота пирамиды Хуфу равна 146 м (вы можете изменить единицы измерения на метры простым нажатием на единицу измерения. Также вы можете проверить наш конвертер объемов). Определить длину стороны . Длина ребра пирамиды Хеопса составляет в среднем 230,36 м. Приблизительный объем квадратной пирамиды равен 2 582 532 м³. Имена томов пирамиды Пирамида с n-сторонним основанием имеет: n+1 граней (n-треугольников + 1 n-угольник) 2 кромки n+1 вершин Название пирамиды происходит от формы ее основания: Грани Края Вершины Форма основания Название пирамиды 4 6 4 треугольник тетраэдр/треугольная пирамида 5 8 5 квадратный квадратная пирамида 6 10 6 пятиугольник пятиугольная пирамида 7 12 7 шестигранник шестигранная пирамида 8 14 8 семиугольник семиугольная пирамида 9 16 9 восьмиугольник восьмиугольная пирамида Расчет объема тетраэдра В качестве примера возьмем пирамиду из листового чая: Выберите форму основания . В нашем случае это правильный треугольник. Введите высоту пирамиды . Предположим, что для чайной пирамиды она равна 1,2 дюйма 9.0010 Введите длину стороны . Например, 1,5 дюйма Объем тетраэдра появляется ниже . Для нашей чайной пирамидки он равен 0,39 у.е. Если вы хотите рассчитать объем правильного тетраэдра - того, у которого все четыре грани являются равносторонними треугольниками, а не только основание - вы можете воспользоваться формулой: объем = a³/6√2 , где a — край твердого тела Высота в этом случае может быть рассчитана как: высота = a√3 / 6 ~ 0,2887 * a , поэтому, если вы хотите рассчитать, например, объем правильного многогранника с ребром = 3, введите 3 * 0,2887 в поле «Высота» калькулятора объема пирамиды. Что дальше? Теперь вы эксперт и точно знаете, как рассчитать объем пирамиды! Почему бы не проверить наши другие калькуляторы объемов? объем конуса объем цилиндра объем сферы Часто задаваемые вопросы Как найти объем пирамиды? Чтобы оценить объем любой пирамиды: Оцените площадь основания пирамиды . Умножьте площадь основания на высоту . Разделить все на 3 . Хорошо, что этот алгоритм отлично работает для всех типов пирамид, как для правильных, так и для наклонных . Как найти объем шестиугольной пирамиды? Чтобы получить объем правильная шестиугольная пирамида с длиной стороны a и высотой h : Возведите длину стороны в квадрат, чтобы получить a² . Умножить a² на высоту, h . Умножьте этого произведения на квадратный корень из трех, √3 . Разделить все на 2 . Результат - желаемый объем! Кроме того, вы можете записать это в виде одной формулы: В = √3 / 2 × a² × h . Каков объем Великой пирамиды Гизы? Объем Великой пирамиды в Гизе составляет примерно 92 миллиона футов³ или 2,6 миллиона м³ . Мы можем получить это значение, предположив, что пирамида Хуфу является прямоугольной пирамидой. Он имеет длину 756,4 футов (230,6 м) и высоту 481,4 футов (146,7 м) . Как найти объем пятиугольной пирамиды? Чтобы получить объем правильная пятиугольная пирамида с длиной стороны a и высотой h : Возведите длину стороны в квадрат, чтобы получить a² . Умножить a² на высоту, h . Умножьте этого произведения на √(25 + 10√5) . Разделить все на 12 . Вы также можете записать полученную формулу в виде: В = √(25 + 10√5) / 12 × a² × h . Как найти объем восьмиугольной пирамиды? Чтобы получить объем правильной восьмиугольной пирамиды с длиной стороны a и высотой h : Возведите длину стороны в квадрат, чтобы получить a² . Умножить a² на высоту, h . Умножить этого произведения на 2×(1 + √2) . Разделить все на 3 . Вот и все! Общая формула правильной восьмиугольной пирамиды гласит: V = 2 × (1 + √2) / 3 × a² × h . Ханна Памула, кандидат наук и Стивен Вудинг Базовый тип Формула объема работает как для прямых, так и для наклонных пирамид. Форма основания Высота (h) Длина стороны (a) Объем Используйте Расширенный режим , чтобы показать наклонную высоту, длину бокового края и площадь поверхности для прямоугольных пирамид. Посмотреть 20 похожих калькуляторов 3d геометрии 📦 Площадь полушарияКубКуб Рассчитать: найти v, a, d… еще 17 Объем усеченной пирамиды Объем усеченной пирамиды равен емкости усеченной пирамиды. Пирамида — это многогранник, представляющий собой объемную трехмерную фигуру с многоугольным основанием и вершиной, называемой вершиной. Когда пирамиду разрезают вдоль ее поперечного сечения, получают меньшую пирамиду и усеченную пирамиду. В этом разделе мы узнаем об объеме усеченной пирамиды. Оставайтесь с нами, чтобы узнать больше!!! 1. Каков объем усеченной пирамиды? 2. Формула объема усеченной пирамиды 3. Вывод объема усеченной пирамиды 4. Как найти объем усеченной пирамиды? 5. FAQ по объему усеченной пирамиды Каков объем усеченной пирамиды? Объем усеченной пирамиды — это количество кубических единиц, которые может вместить усеченная пирамида. Пирамида имеет вершину и только одну грань основания, тогда как усеченная пирамида не имеет вершины и имеет две грани основания, одну вверху и одну внизу. Только основание пирамиды — многоугольник, остальные грани — треугольники. Пирамида может быть «правой», в которой ее вершина находится прямо над центром тяжести над ее основанием, или же пирамида может быть «наклонной», что в основном является неправильным. Пирамиды называются по их основаниям, например, пирамида с треугольным основанием называется треугольным основанием, пирамида с квадратным основанием называется квадратной пирамидой, пирамида с восьмиугольным основанием называется восьмиугольной пирамидой и так далее. Пирамида с n-сторонним основанием имеет n+1 вершин, n+1 граней и 2n ребер. В случае усеченной пирамиды обе грани основания должны иметь равные стороны, поэтому усеченная пирамида с n-сторонними гранями основания имеет «2n» вершин, «n+2» граней и «3n» ребер. Например, это может быть выражено как m ³, см ³, в ³ и т. д. в зависимости от заданных единиц. Формула объема усеченной пирамиды Поскольку мы знаем, что усеченная пирамида образуется путем разрезания пирамиды вдоль ее поперечного сечения, это понятие поможет нам понять формулу объема усеченной пирамиды. Следовательно, объем усеченной пирамиды = объем всей пирамиды - объем малой пирамиды. Таким образом, формула объема усеченной пирамиды V = 1/3 × h × (a ² + b ² + ab), где «V», «h», «a» и « b" - объем усеченной пирамиды, высота усеченной пирамиды, длина стороны основания всей пирамиды и длина стороны основания меньшей пирамиды. Определение объема усеченной пирамиды Теперь найдем формулу объема усеченной пирамиды. Предположим, что основанием всей пирамиды является квадрат со стороной "a" единиц, а основанием маленькой пирамиды на вершине является квадрат со стороной "b" единиц. Также примем высоту всей пирамиды за «H» единиц, высоту усеченной пирамиды за «h» единиц, следовательно, высоту малой пирамиды за «H-h» единиц. Объем усеченной пирамиды, V = Объем всей пирамиды - Объем малой пирамиды. ⇒ V = (1/3 × площадь основания всей пирамиды × высота всей пирамиды) — (1/3 × площадь основания малой пирамиды × высота малой пирамиды) ⇒ V = (1/3 × a ² × H) — (1/3 × b ² × (H — h) ⇒ V = 1/3 × (а ² H - b ² (H - h)) ⇒ V = 1/3 × (a ² H - b ² H + b ² h) ⇒ V = 1/3 × ((a ² - b ² )H + b ² h) ...(1) Теперь соотношение между высотами всей пирамиды и малой пирамиды , Н:(Н - h) = а:b. Следовательно, соотношение между целой пирамидой и усеченной пирамидой будет H:h = a:(a - b) ⇒ Н/ч = а/(а - б) ⇒ H = (a/(a - b)) × h ...(2) Подставляя значение «H» из уравнения (2) в уравнение (1), получаем: ⇒ V = 1 /3 × ((a ² - b ² )(a/(a - b)) × h) + b ² h)) ⇒ V = 1/3 × (((a + b)(a - b) × a)/(a - b)) × h + b ² ч ⇒ V = 1/3 × (a + b) × a × h + b ² ч ⇒ V = 1/3 × h × (a ² + b ² + ab) Таким образом, объем усеченной пирамиды определяется как V = 1/3 × h × (a ² + б ² + аб). Как найти объем усеченной пирамиды? Мы можем найти объем усеченной пирамиды, используя следующие шаги: Шаг 1: Определите заданные размеры как высоту усеченной пирамиды, длину стороны основания всей пирамиды и сторону длина меньшей пирамиды. Шаг 2: Подставьте значения в формулу V = 1/3 × h × (a ² + б ² + аб) для определения величины объема усеченной пирамиды. Шаг 3: Запишите полученный ответ в кубических единицах. Пример: Найдите объем усеченной пирамиды, высота которой равна 9 единицам, если длина стороны основания всей пирамиды равна 5 единицам, а длина стороны основания меньшей пирамиды равна 3 единицам. Решение: Учитывая h = 9 единиц, a = 5 единиц и b = 3 единиц. Объем усеченной пирамиды, V = 1/3 × h × (a ² + b ² + ab) ⇒ V = 1/3 × 9 × (5 ² + 3 ² + 15) ⇒ V = 3 × 49 = 147 кубических единиц Таким образом, объем усеченной пирамиды равен 147 кубических единиц. Часто задаваемые вопросы об объеме усеченной пирамиды Каков объем усеченной пирамиды? Объем усеченной пирамиды определяется как емкость усеченной пирамиды. Усеченная пирамида получается, когда мы разрезаем пирамиду вдоль ее поперечного сечения. Таким образом, объем усеченной пирамиды получается, если из объема всей пирамиды вычесть объем меньшей пирамиды. Какова формула объема усеченной пирамиды? Объем усеченной пирамиды определяется по формуле V = 1/3 × h × (a ² + b ² + ab), где «V», «h», «a» и «b - объем усеченной пирамиды, высота усеченной пирамиды, длина стороны основания всей пирамиды и длина стороны основания меньшей пирамиды. Какие единицы измерения используются при нахождении объема усеченной пирамиды? Единицей объема усеченной пирамиды являются «кубические единицы». Например, это может быть выражено как m ³, см ³, в ³ и т. д. в зависимости от заданных единиц. Как найти объем усеченной пирамиды? Мы можем найти объем усеченной пирамиды, используя следующие шаги: Шаг 1: Обозначьте заданные размеры как "h", "a" и "b". Шаг 2: Теперь определим значение объема усеченной пирамиды, подставив значения в формулу V = 1/3 × h × (a ² + б ² + аб). Шаг 3: Полученный ответ представить в кубических единицах. Как найти объем усеченной пирамиды, если известны объемы всей пирамиды и меньшей пирамиды? Мы можем найти объем усеченной пирамиды, если даны объемы всей пирамиды и меньшей пирамиды, используя следующие шаги: Шаг 1: Определите данные размеры как объемы всей пирамиды и меньшей пирамида. Шаг 2: Теперь определим значение объема усеченной пирамиды, подставив значения в формулу V = Объем всей пирамиды - Объем малой пирамиды. Шаг 3: Полученный ответ представить в кубических единицах. Что произойдет с объемом усеченной пирамиды, если высоту пирамиды увеличить вдвое? Объем усеченной пирамиды удваивается, если высота пирамиды удваивается, поскольку «h» заменяется на «2h», что дает формулу V = 1/3 × h × (a ² + b ² + ab) = 1/3 × (2h) × (a ² + b ² + ab) = 2(1/3 × h × (a ² + b ^{) 2} + ab)) что дает удвоенное исходное значение объема. Что произойдет с объемом усеченной пирамиды, если высоту пирамиды уменьшить вдвое? Объем усеченной пирамиды уменьшится вдвое, если высота пирамиды уменьшится вдвое, поскольку «h» заменяется на «h/2», что дает формулу V = 1/3 × h × (a ² + b ² + ab) = 1/3 × (h/2) × (a ² + b ² + ab) = (1/2) × (1/3 × h × (a ² + b ^{) 2} + ab)) что дает половину первоначального значения объема. Вычислить объем усеченной пирамиды и площадь поверхности, отношение площади поверхности к объему, длину наклона и длину ребра для прямоугольных усеченных пирамид вершина отсекается плоскостью, параллельной основанию. Расстояние между нижним и верхним основаниями равно высоте усеченной пирамиды ч . На этой странице вычисляется объем любой усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой представляют собой прямоугольники со сторонами a , b и c , d соответственно. Эта усеченная пирамида имеет 6 граней: основание, вершину и 4 боковые грани. База a:База b: Верх c:Верх d:Высота h:дюйм:дюймфутсантиметрметрсм. другие единицы точность:0123456789Отношение поверхности к объему | Преобразуйте 196 дюйм³ в вес для: составов | еда | гравий показать все единицы The volume of the truncated pyramid = 196 centimeter³ 3 211.86 inch³ 196 foot³ 0.11 meter³ 0 показать все единицы измерения Длина ребра усеченной пирамиды = 328828005938"> 12,33 сантиметр 31,32 77 0091 inch 12.33 foot 1.03 meter 0.31 The surface to volume ratio of this truncated pyramid = 1.19 Surface area to volume Отношение также известно как отношение поверхности к объему и обозначается как sa÷vol, где sa — площадь поверхности, а vol — объем. Блок все The area of the base of the truncated pyramid = 35 top of the truncated pyramid = 3 centimeter² 225.81 19.35 foot² 0. 24 0.02 inch² 35 3 meter² 0.02 0 Unit all The area of the plane ac of the truncated pyramid = 36.5 bd of the truncated pyramid = 60.83 centimeter² 235.46 392.44 foot² 0.25 0.42 inch² 36.5 60.83 meter² 0.02 0.04 Unit all The lateral surface area of the truncated пирамида = 64840096954"> 194,65 Общая поверхность площадь усеченной пирамиды = 232,651 centimeter² 1 255.79 1 500.95 foot² 1.35 1.62 inch² 194.65 232.65 meter² 0.13 0,15 Блок все Длина основание сторона a = 5 53 base side b = 7 top side c = 1 top side d = 3 centimeter 12.7 17.78 2.54 7. 62 foot 0.42 0.58 0.08 0.25 inch 5 7 1 3 meter 0.13 0.18 0.03 0.08 Unit all The perimeter of the base of the Усеченная Pyramid = 24 Верх из Truncated Pyramid = 8 SENTIMET0317 foot 2 0.67 inch 24 8 meter 0.61 0.2 Unit all Длина высота h усеченная пирамида = 12 наклон _a 9021 усеченная пирамида0021 = 165525060596"> 12.17 slant _b of the truncated pyramid = 12.17 centimeter 30.48 30.9 30.9 foot 1 1.01 1.01 inch 12 12.17 12.17 МЕТР 0,3 0,31 0,31 Об этой странице: усопшированный пирамидный калькулятор , как нахожу на поисках VOMUTADATED TRA -TRA -TRA -TRA -TRA -TRA -TRA -TRA? V = 1⁄6×h×(A _{основание} +(a+c)×(b+d)+A _верх ) = 1/6×h×(a×b+(a+c)× (b+d)+c×d) Как найти площадь основания усеченной пирамиды? A _{основание} = a×b Как найти площадь вершины усеченной пирамиды? A _top = c×d Как найти площадь плоскости ac усеченной пирамиды? ^* A _ac = ½×(a+c)×slant _a = ½×(a+c)×√¼×(b−d)²+h² Как найти площадь плоскости бд усеченной пирамиды? ^* A _bd = ½×(b+d)×slant _b = ½×(b+d)×√¼×(a−c)²+h² Как найти боковую площадь поверхности усеченной пирамиды? ^* A _{боковой} = 2×A _ac +2×A _bd = (a+c)×наклон _a +(b d)×наклон _{)×√¼×(b−d)²+h²+(b+d)×√¼×(a−c)²+h²} Как найти полную площадь поверхности усеченной пирамиды? ^* A _Всего = A _BASE +A _TOP +A _Lateal = A × B +C × D +2 × A _AC +2 × A _BD = 2 × A _{BD _AC +2 × A _{BD _AC +2 × A _{BD _AC +2 × A _{BD _AC +2 × A _{BD _AC +2 × A _{BD _AC +2 × A _{BD _AC +2 × A +c×d+(a+c)×наклон _a +(b+d)×наклон _b = a×b+c×d+(a+c)×√¼×(b−d)²+h² +(b+d)×√¼×(a−c)²+h²}}}}}}} Как найти периметр основания усеченной пирамиды? p _{основание} = 2×(a+b) Как найти периметр вершины усеченной пирамиды? p _{вершина} = 2×(c+d) Как найти длину наклона _a усеченной пирамиды? +h² Как найти длину наклона _b усеченной пирамиды?* наклон _b = √¼×(a−c)²+h² Как найти длину ребра усеченной пирамиды?* e = √¼×(a−c)²+slant(a) ² = √¼×((a−c)²+(b−d)²)+h² где: наклон _a — расстояние между сторонами пирамиды a и c; наклон _b — расстояние между сторонами пирамиды b и d. [ * ] обозначает расчеты, действительные только для прямоугольных усеченных пирамид. Ссылка (ID: N/A) 1. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Герхард Мусиол, Хайнер Мюлиг. Справочник по математике 6-е изд. Спрингер. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк. 2015. Последний доступ: 29 августа 2020 г. (платная ссылка amazon.com). Пищевые продукты, питательные вещества и калории ЯДРА ПОПКОРНА, UPC: 051933345089 весят 203 грамма на метрическую чашку или 6,8 унций на чашку в США и содержат 361 калорию на 100 граммов (≈3,53 унции) вес к объему | объем к весу | цена | плотность ] 10787 продукты, содержащие витамин D . Список этих продуктов, начиная с самого высокого содержания витамина D и с самым низким содержанием витамина D, и рекомендуемых пищевых норм (RDA) для витамина D Гравий, вещества и масла CaribSea, Freshwater, Super Naturals, Zen Garden весит 1 473,7 кг/м³ (92,00009 фунтов/фут³) с удельным весом 1,4737 относительно чистой воды. Подсчитайте, сколько этого гравия требуется для достижения определенной глубины в цилиндрическом, четвертьцилиндрическом или прямоугольном аквариуме или пруду [вес к объему | объем к весу | цена ] Динитрат никеля гексагидрат [Ni(NO ₃) ₂ ⋅ 6H ₂ O] весит 2 050 кг/м³ (127,97732 фунта/фут³) [ вес к объему | объем к весу | цена | моль к объему и весу | масса и молярная концентрация | плотность ] Преобразование объема в вес, веса в объем и стоимости для Масло Lesquerella с температурой в диапазоне от 23,9°C (75,02°F) до 110°C (230°F) Веса и измерения A световой год на час в квадрате — это единица измерения ускорения Сила света – это световой поток, излучаемый источником света в определенном направлении в пределах телесного угла. Таблица преобразования дедвейта/мл в т/л, конвертер единиц дедвейта/мл в т/л или конвертация между всеми единицами измерения плотности. Калькуляторы Калькулятор стоимости электроэнергии в часах, днях, неделях, месяцах и годах Площадь поверхности пирамиды – объяснение и примеры Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим, что такое пирамида. В геометрии пирамида — это трехмерное тело, основанием которого является любой многоугольник, а боковыми гранями — треугольники. В пирамиде боковые грани (треугольники) сходятся в одной точке, называемой вершиной. Название пирамиды происходит от названия многоугольника, образующего ее основание. Например, квадратная пирамида, прямоугольная пирамида, треугольная пирамида, пятиугольная пирамида и т. д. Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. В этой статье мы обсудим как найти общую площадь поверхности и площадь боковой поверхности пирамиды . Как найти площадь поверхности пирамиды? Чтобы найти площадь поверхности пирамиды, вы должны получить площадь основания, а затем добавить площадь боковых сторон, которая равна одной грани, умноженной на количество сторон. Формула поверхности пирамиды Общая формула площади поверхности любой пирамиды (правильной или неправильной) задается следующим образом: Площадь поверхности = Площадь основания + Площадь боковой стороны Площадь поверхности = B + LSA Где TSA = общая площадь поверхности B = площадь основания LSA = площадь боковой поверхности. Для правильной пирамиды формула задается следующим образом: Общая площадь поверхности правильной пирамиды = B + 1/2 ps , где p = периметр основания, а s = высота наклона. Примечание. Никогда не путайте наклонную высоту (s) и высоту (h) пирамиды. Перпендикулярное расстояние от вершины до основания пирамиды известно как высота (h), а расстояние по диагонали от вершины пирамиды до края основания известно как наклонная высота (s). Площадь поверхности квадратной пирамиды Для квадратной пирамиды общая площадь поверхности = b (b + 2s) Где b = длина основания, а s = высота наклона Площадь поверхности треугольной пирамиды Площадь поверхности треугольной пирамиды = ½ b (a + 3s) Где, a = длина апофемы пирамиды b = длина основания s = высота наклона Площадь поверхности пятиугольной пирамиды Полная площадь поверхности правильной пятиугольной пирамиды равна; Площадь поверхности пятиугольной пирамиды = 5/2 b (a + s) Где, a = длина апофемы основания и b = длина стороны основания, s = высота наклона пирамиды Площадь поверхности шестиугольной пирамиды Шестиугольная пирамида — это пирамида с шестиугольником в основании. Общая площадь поверхности шестиугольной пирамиды = 3b (a + s) Площадь боковой поверхности пирамиды Как было сказано ранее, площадь боковой поверхности пирамиды – это площадь боковых граней пирамиды. Так как все боковые грани пирамиды треугольники, то площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания пирамиды на высоту наклона. Площадь боковой поверхности (LSA = 1/2 ps) Где p = периметр основания, а s = наклонная высота. Давайте получим представление о площади поверхности формулы пирамиды, решив несколько примеров задач. Пример 1 Какова площадь поверхности квадратной пирамиды, длина основания которой 4 см, а высота наклона 5 см? Раствор Дано: Длина основания, b = 4 см Наклонная высота, s =5 см По формуле, Общая площадь поверхности квадратной пирамиды = b (b + 2s) TSA = 4(4 + 2 x 5) = 4(4 + Пример 2 Решение Дано; Перпендикулярная высота, h = 8 м Длина основания, b =12 Чтобы получить наклонную высоту s, применим теорему Пифагора. S = √ [8 ² + (12/2) ²] S = √ [8 ² + 6 ²] S = √ (64 + 36) S = S = √ (64 + 36) S = S = √ (64 + 36) √100 = 10 Следовательно, наклонная высота пирамиды равна 10 м Теперь вычислите площадь поверхности пирамиды. SA = b (b + 2s) = 12 (12 + 2 x 10) = 12 (12 + 20) = 12 х 32 = 384 м ² . Пример 3 Вычислите площадь поверхности пирамиды, высота наклона которой равна 10 футов, а основание представляет собой равносторонний треугольник со стороной 8 футов. = 8 футов Наклонная высота = 10 футов Примените теорему Пифагора, чтобы получить длину апофемы пирамиды. а = √ [8 ² – (8/2) ² ] = √ (64 – 16) = √48 a = 6,93 фута Таким образом, длина апофемы пирамиды равна 6,93 фута. = площадь поверхности треугольника ½ B (A + 3S) TSA = ½ x 8 (6,93 + 3 x 10) = 4 (6,93 + 30) = 4 x 36,93 = 147,72 FT ² Пример 4. Найдите площадь поверхности пятиугольной пирамиды, у которой длина апофемы 8 м, длина основания 6 м, а высота наклона 20 м. Решение Дано; Длина апофемы, a = 8 м Длина основания, b = 6 м Наклонная высота, s = 20 м Площадь поверхности пятиугольной пирамиды = 5/2 b (a + s) TSA = 5 /2 x 6(8 + 20) = 15 x 28 = 420 м ² . Пример 5 Рассчитайте общую площадь поверхности и площадь боковой поверхности шестиугольной пирамиды с апофемой 20 м, длиной основания 18 м и наклонной высотой 35 м. Решение Дано; Апофема, a = 20 м Длина основания, b = 18 м Наклонная высота, s = 35 м Площадь поверхности шестиугольной пирамиды = 3b (a + s) = 3 x 1108 20 + 35) = 54 х 55 = 2970 м ² . Площадь боковой поверхности пирамиды =1/2 ps Периметр, p = 6 x 18 = 108 м LSA = ½ x 108 x 35 = 1890 м ² <noscript><img loading='lazy' src='' /></noscript> youtube.com/embed/vCf2yK4tzkk?rel=0;controls=0;showinfo=0;theme=light" frameborder="0" allowfullscreen="allowfullscreen"> Правильная треугольная пирамида - Калькулятор геометрии Геометрия | Формы | Контакты и конфиденциальность Геометрические калькуляторы Немецкий: Geometriechner, Formen 1DЛиния, дуга окружности, парабола, спираль, кривая Коха 2D Правильные многоугольники: Равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, многоугольник, десятиугольник, десятиугольник, додекагон, шестиугольник, N-угольник, кольцо многоугольника Другие многоугольники: Треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, ИК-треугольник, четырехугольник, прямоугольник, золотой прямоугольник, ромб, параллелограмм, полуквадрат, прямой змей, воздушный змей, правильная трапеция, равнобедренная трапеция, трехравносторонняя трапеция, трапеция , Тупоугольная трапеция, Циклический четырехугольник, Касательный четырехугольник, Острие стрелки, Вогнутый четырехугольник, Перекрещенный прямоугольник, Антипараллелограмм, Форма дома, Симметричный пятиугольник, Восьмиугольник, разделенный пополам по диагонали, Вырезанный прямоугольник, Вогнутый пятиугольник, Вогнутый правильный пятиугольник, Вытянутый пятиугольник, Прямой восьмиугольник, разделенный пополам, Вытянутый шестиугольник , симметричный шестиугольник, параллелогон, вогнутый шестиугольник, шестиугольник со стрелкой, прямоугольный шестиугольник, L-образная форма, острый излом, Т-образная форма, усеченный квадрат, вытянутый восьмиугольник, рамка, открытая рамка, сетка, крест, X-образная форма, H-образная форма, Threestar, Fourstar, Pentagram, Hexagram, Unicursal Hexagram, Oktagram, Star of Lakshmi, Double Star Polygon, Polygram, Polygon Круглые формы: Круг, Полукруг, Круглый сектор, Круглый сегмент, Круглый слой, Круглый центральный сегмент, Круглый угол, Круглый угол, Круговая касательная стрелка, Форма капли, Полумесяц, Заостренный овал, Два круга, Стрельчатая арка, Холм , Кольцо, Сектор кольца, Изогнутый прямоугольник, Скругленный многоугольник, Скругленный прямоугольник, Эллипс, Полуэллипс, Эллиптический сегмент, Эллиптический сектор, Эллиптическое кольцо, Стадион, Спираль, Бревно. Спираль, треугольник Рело, циклоида, двойная циклоида, астроида, гипоциклоида, кардиоида, эпициклоида, параболический сегмент, сердце, треугольник, междуговой треугольник, круговой треугольник, междуговой четырехугольник, межокружной четырехугольник, круговой четырехугольник, дуговой многоугольник, коготь, полуинь -Ян, Арбелос, Салинон, Выпуклость, Луна, Три круга, Многоугольник, Круглый многоугольник, Роза, Шестерня, Овал, Яйцо-профиль, Лемниската, Сквиркл, Круглый квадрат, Дигон, Сферический треугольник 3Д Platonic Solids: Tetrahedron, Cube, Octahedron, Dodecahedron, Icosahedron Archimedean Solids: Truncated Tetrahedron, Cuboctahedron, Truncated Cube, Truncated Octahedron, Rhombicuboctahedron, Truncated Cuboctahedron, Icosidodecahedron, Truncated Dodecahedron, Truncated Icosahedron, Snub Cube, Rhombicosidodecahedron , Truncated Icosidodecahedron, Snub Dodecahedron Catalan Solids: Triakis Tetrahedron, Rhombic Dodecahedron, Triakis Octahedron, Tetrakis Hexahedron, Deltoidal Icositetrahedron, Hexakis Octahedron, Rhombic Triacontahedron, Triakis Icosahedron, Pentakis Dodecahedron, Pentagonal Icositetrahedron, Deltoidal Hexecontahedron, Hexakis Icosahedron, Пятиугольный шестигранник Johnson Solid: пирамиды, Cupolae, ротонда, удлиненные пирамиды, гиросельные пирамиды, бипирамиды, удлиненные бипирамиды, дипирамиды 96060, дискоировая дипирамида, ах -дипирамиды, громфен -дипирамид, гиробифастиджий, дискенфен -дипирамид. Столб, Треугольная Пирамида, Квадратная Пирамида, Правильная Пирамида, Пирамида, Квадратная Усеченная, Правильная Усеченная, Усеченная, Изогнутая Пирамида, Правильная Бипирамида, Бипирамида, Двуусеченная, Усеченная-Пирамида, Пандус, Прямой Клин, Клин, Половина Тетраэдра, Ромбоэдр, Параллелепипед, Правильный Призма, призма, косая призма, антикуб, антипризма, призматоид, трапецоэдр, дисфеноид, угол, общий тетраэдр, клиновидный куб, полукубовид, косой кубоид, слиток, наклонная трехгранная призма, кубовид с вырезом, усеченный кубоид, кубовид с тупыми краями, Удлиненный додекаэдр, усеченный ромбоэдр, обелиск, изогнутый куб, полый куб, полая пирамида, полая усеченная пирамида, звездчатая пирамида, звездчатый октаэдр, Sma ll Звёздчатый додекаэдр, Большой звёздчатый додекаэдр, Большой додекаэдр, Большой икосаэдр Круглые формы: Сфера, полусфера, сферический угол, цилиндр, срезанный цилиндр, косой цилиндр, изогнутый цилиндр, эллиптический цилиндр, обобщенный цилиндр, конус, усеченный конус, наклонный круговой конус, эллиптический конус, усеченный эллиптический конус, общий конус , Общий усеченный конус, двояконус, усеченный двояконус, заостренный столб, закругленный конус, капля, сфероид, эллипсоид, полуэллипсоид, сферический сектор, сферическая крышка, сферический сегмент, сферический центральный сегмент, двойной калот, сферический клин, полуцилиндр, диагонально разделенный пополам Цилиндр, Цилиндрический клин, Цилиндрический сектор, Цилиндрический сегмент, Цилиндр с плоским концом, Полуконус, Конический сектор, Конический клин, Сферическая оболочка, Полусферическая оболочка, Цилиндрическая оболочка, Вырезанная цилиндрическая оболочка, Наклонная цилиндрическая оболочка, Полый конус, Усеченный полый конус, Сферический Кольцо, тор, тор веретена, тороид, сектор тора, сектор тора, арка, тетраэдр Рело, капсула, сегмент капсулы, двойная точка, антиконус, усеченный антиконус, Sphe повторный цилиндр, линза, вогнутая линза, бочонок, форма яйца, параболоид, гиперболоид, олоид, тела Штейнмеца, тело вращения 4Д Тессеракт, Гиперсфера Anzeige Вычисления на правильной треугольной пирамиде. Оставить комментарий on Стороны основания правильной усеченной треугольной пирамиды равны 4 и 8: Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 8 см.Высота усеченной пирамиды равна…/ Y x 2 sinx четная или нечетная: Mathway | Популярные задачи alexxlab / 16.03.197117.09.2022 / Разное 2 Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НОВЫЙ МАТЕРИАЛ Функция Область определения D(y) y=sin x Множество значений E(y) y=cos x y=tg x y=ctg x R R R R ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 1 (4,6), № 2 (4,6), № 3 (1,2), № 5 (2) стр.6 РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ 1. Найдите область определения функции: РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ 2. Найти множество значений функции: РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ 3. Найдите область определения функции: Решение 0     0 • -1 РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ 3. Найдите область определения функции: ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 11 класс ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ П.1.3 № 18, 32(а.б.в) Функции Чётные Ни чётные, ни нечётные Нечётные СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ОУ И НАЧАЛА КООРДИНАТ ЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения функции верно равенство f(-x) = f(x). Чтобы узнать является ли функция четной нужно в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную( –x ). ЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Например: является ли четной функция f(x) = 3x 2 + 2 f (-x) = 3(-x) 2 + 2 = 3x 2 + 2 = f(x) – функция четная ЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Проверим являются ли данные функции четными f( — x) = 2(-x) 4 – 3(-x) 2 = 2x 4 — 3x 2 — четная f ( — x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) 2 = – x 3 – 2x 2 Не является четной f(x) = 2x 4 — 3x 2 f (x) = x 3 — 2x 2 ГРАФИК ЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ График четной функции симметричен относительно оси ординат (ось ОУ). НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения функции верно равенство f(-x) = — f(x). чтобы узнать является ли функция нечетной нужно в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную ( – x ) и получить первоначальную функцию с противоположными знаками . НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Например: является ли нечетной функция f(x) = 3x 3 + х f (-x) = 3(-x) 3 + (-х) = — 3x 3 — х = -( 3x 3 + х)= = — f(x) – функция нечетная НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Проверим являются ли данные функции нечетными f ( — x) = 2(-x) 4 + 3(-x) = = 2x 4 — 3x — не является нечетной f ( — x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) = – x 3 + 2x нечетная f(x) = 2x 4 + 3x f (x) = x 3 — 2x ГРАФИК НЕЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ График нечетной функции симметричен относительно начала координат. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Функции могут быть как четными, нечетными , так и ни четными, ни нечетными. Пример: y (x) = x 2 + 2x y(-x) = (-x) 2 + 2(-x) = x 2 — 2x Для любого значения x верны равенства : Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x Следовательно : y= Sin x – нечетная функция y= Cos x – четная функция Так как для любого значения x из области определения функции y = tg x верно равенство tg(-x) = -tg x , то y = tg x – нечетная функция. ПРИМЕР Выяснить, является ли функция y = 2 + Sin 2 x четной или нечетной. Решение : y(-x) = 2 + Sin 2 (-x) = 2 + (-Sin x) 2 = =2 + Sin 2 x = y(x)   y = 2 + Sin 2 x – четная функция . Пример: определите, является ли данная функция четной или нечетной Решение: Работа в тетрадях Определите, являются ли данные функции четными или нечетными: Разбейте функции на три группы: четные нечетные не являются ни четными, ни нечетными Проверяем ответы четные нечетные 1 ни чет., ни нечет. 2 4 5 3 9 10 7 6 15 8 11 14 12 13 Подведение итогов урока y=sinx – нечетная функция, т.к. sin(-x)=-sinx График функции симметричен относительно начала координат 2. y=cosx – нечетная функция, т.к. cos(-x)=cosx График функции симметричен относительно оси Оу ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 11 класс Для любого значения x верны равенства : Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х Следовательно, значения Sin и Cos периодически повторяются при изменении аргумента на 2 π . Такие функции называются периодическими с периодом 2 π . Функция f(x) называется периодической , если существует такое число T ≠ 0 , что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство f(x – T) = f(x) = f(x + T). Число T называется периодом функции f(x). Функция y = cos x y y=cos x 1 -3 π /2 — π /2 π /2 π 3 π /2 0 — π x -1 Графиком функции у = cos x является косинусоида D(y) =R Периодическая Т=2  Четная cos(-x)=cos x Нули функции: у=0, cos x=0 при х = 1/2  n, n  Z sin(x+  /2)=cos x 32 32 ПОКАЖЕМ, ЧТО ЧИСЛО 2 Π ЯВЛЯЕТСЯ НАИМЕНЬШИМ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ ПЕРИОДОМ ФУНКЦИИ Y = COS X. Пусть Т › 0 – период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство Cos (x + T) = Cos x. Положив x = 0 , получим Cos T = 1. Отсюда T = 2 π k, k є Ζ . Так как Т › 0, то Т может принимать значения 2 π , 4 π , 6 π , …, и поэтому период не может быть меньше 2 π . Функция y=sin x и ее свойства y y=sin x 1 0 -3 π /2 3 π /2 π /2 — 2 π 2 π — π /2 — π π x -1 Графиком функции y=sin x является синусоида Свойства функции: D(y) =R Периодическая (Т=2  ) Нечетная ( sin(-x)=-sin x) Нули функции: у=0, sin x=0 при х =  n, n  Z 34 АНАЛОГИЧНО МОЖНО ДОКАЗАТЬ, ЧТО НАИМЕНЬШИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ФУНКЦИИ Y = SIN X ТАКЖЕ РАВЕН 2 Π Пример : Доказать, что f(x) = Sin 3x – периодическая функция с периодом ( 2 π ) /3. Доказательство : Данная функция определена для всех x є R , поэтому достаточно показать, что для любого x верно равенство f(x + T) = f(x) . f(x + (2 π )/3) = Sin 3(x + (2 π )/3) = = Sin (3x + 2 π ) = Sin 3x = f(x) Построение графика функции у= tg x на всей бласти определения: Функция у= tg x периодическая с периодом П, следовательно график этой функции получается на интервале от (-П/2;П/2) сдвигами вдоль оси абсцисс на П k, где Построить график функции y = — tg (x +  /2) . у y = ctg x х Т.к. — tg (x +  /2) = ctg x , то построен график функции y = ctg x . ПОКАЖЕМ, ЧТО ФУНКЦИЯ Y= TG X ЯВЛЯЕТСЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ С ПЕРИОДОМ Π . Если x принадлежит области определения этой функции, т.е. x ≠ — π /2 + π n, n є Ζ , то по формулам приведения получаем tg(x – π ) = -tg( π – x) = -(-tg x) = tg x tg(x + π ) = tg x Таким обтазом, tg(x – π ) = tg x = tg(x + π ). Следовательно, π – период функции у = tg x. ПОКАЖЕМ, ЧТО Π – НАИМЕНЬШИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ФУНКЦИИ Y = TG X. Пусть Т – период тангенса, тогда tg(x + T) = tg x, откуда при x = 0 получаем tg T = 0, T = k π , k є Ζ . Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то π – наименьший положительный период функции y = tg x. ДОКАЗАТЬ, ЧТО У = TG (X/3) – ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ С ПЕРИОДОМ 3 Π . Доказательство : Так как tg ((x + 3 π )/3) = tg (x/3 + π ) = tg (x/3) и tg((x — 3 π )/3) = tg(x/3 – π ) = tg (x/3), то tg(x/3) – периодическая функция с периодом 3 π . Чётность и нечётность, периодичность тригонометрических функций с изменениями Похожие презентации: Элементы комбинаторики ( 9-11 классы) Применение производной в науке и в жизни Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде» Знакомство детей с математическими знаками и монетами Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10 Методы обработки экспериментальных данных Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии Дифференциальные уравнения Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи 1. Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций 11 класс 2. Новый материал Функция Область определения D(y) Множество значений E(y) y=sin x R 1 у 1 y=cos x R 1 у 1 y=tg x y=ctg x х n , n Z 2 х n , n Z R R 3. Решение упражнений1. Найдите область определения функции: 1 а ) у cos х б ) у sin x D у ;0 0 ; D у 0 ; 4. Решение упражнений 3. Найдите область определения функции: а ) у sin x 1 б ) у lg sin x б ) sin x 0 ; Решение а ) sin x 1 0 ; sin x 1 ; 0 0 2 πn х π 2 πn , n Z Ответ : D у 2πn ; π 2πn , n Z -1 D y R ; Ответ : D y R . 5. Решение упражнений 3. Найдите область определения функции: в ) у 1 2 sin x Решение : 1 2 sin x 0 ; 7π 6 1 sin x ; 2 7π π 2 πn y 2 πn , n Z 6 6 π 7π Ответ : D у 2 πn ; 2 πn , n Z 6 6 1 2 π 6 6. Четность и нечетность тригонометрических функций 11 класс 7. Симметрия относительно оси Оу и начала координат 8. Четные функции Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения функции верно равенство f(-x) = f(x). Чтобы узнать является ли функция четной нужно в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную(–x). 9. Четные функции Например: является ли четной функция f(x) = 3×2 + 2 f(-x) = 3(-x)2 + 2 = 3×2 + 2 = f(x) – функция четная 10. Четные функции Проверим являются ли данные функции четными f(-x) = 2(-x)4 – 3(-x)2 = 2×4 — 3×2 f(x) = 2×4 — 3×2 четная f(x) = x3 — 2×2 f(-x) = (-x)3 – 2(-x)2 = – x3 – 2×2 Не является четной 11. График четной функции График четной функции симметричен относительно оси ординат (ось ОУ). 12. Нечетные функции Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения функции верно равенство f(-x) = — f(x). чтобы узнать является ли функция нечетной нужно в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную (–x) и получить первоначальную функцию с противоположными знаками. 13. Нечетные функции Например: является ли нечетной функция f(x) = 3×3 + х f(-x) = 3(-x)3 + (-х) = -3×3 — х = -(3×3 + х)= = — f(x) – функция нечетная 14. Нечетные функцииПроверим являются ли данные функции нечетными f(x) = 2×4 + 3x f(x) = x3 — 2x f(-x) = 2(-x)4 + 3(-x) = =2×4 — 3x — не является нечетной f(-x) = (-x)3 – 2(-x) = – x3 + 2x нечетная 15. График нечетной функции График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 16. Четные и нечетные функции Функции могут быть как четными, нечетными, так и ни четными, ни нечетными. Пример: y(x) = x2 + 2x y(-x) = (-x)2 + 2(-x) = x2 — 2x Для любого значения x верны равенства: Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x Следовательно: y= Sin x – нечетная функция y= Cos x – четная функция т.к. sin(-x)=-sinx 1. y=sinx – нечетная функция, График функции симметричен относительно начала координат 2. y=cosx – нечетная функция, т.к. cos(-x)=cosx График функции симметричен относительно оси Оу Так как для любого значения x из области определения функции y = tg x верно равенство tg(-x) = -tg x, то y = tg x – нечетная функция. 20. Пример Выяснить, является ли функция y = 2 + Sin2 x четной или нечетной. Решение: y(-x) = 2 + Sin2(-x) = 2 + (-Sin x)2 = =2 + Sin2x = y(x) y = 2 + Sin2x – четная функция. Пример: определите, является ли данная функция четной или нечетной Решение: Работа в тетрадях Определите, являются ли данные функции четными или нечетными: Разбейте функции на три группы: — четные нечетные не являются ни четными, ни нечетными Проверяем ответы четные нечетные ни чет., ни нечет. 1 4 2 3 5 7 9 10 11 6 8 14 15 12 13 Функция f(x) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0, что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство f(x – T) = f(x) = f(x + T). Число T называется периодом функции f(x). Для любого значения x верны равенства: Sin (x + 2π) = Sin x Cos (x + 2π) = Cos х Следовательно, значения Sin и Cos периодически повторяются при изменении аргумента на 2π. Такие функции называются периодическими с периодом 2π. 28. Покажем, что число 2π является наименьшим положительным периодом функции y = Cos x. Пусть Т › 0 – период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство Cos (x + T) = Cos x. Положив x = 0, получим Cos T = 1. Отсюда T = 2πk, k є Ζ. Так как Т › 0, то Т может принимать значения 2π, 4π, 6π, …, и поэтому период не может быть меньше 2π. 29. Аналогично можно доказать, что наименьший положительный период функции y = Sin x также равен 2π Пример: Доказать, что f(x) = Sin 3x – периодическая функция с периодом (2π)/3. Доказательство: Данная функция определена для всех x є R, поэтому достаточно показать, что для любого x верно равенство f(x + T) = f(x). f(x + (2π)/3) = Sin 3(x + (2π)/3) = = Sin (3x + 2π) = Sin 3x = f(x) 30. Покажем, что функция y= tg x является периодической с периодом π. Если x принадлежит области определения этой функции, т. е. x ≠ -π/2 + πn, n є Ζ, то по формулам приведения получаем tg(x – π) = -tg(π – x) = -(-tg x) = tg x tg(x + π) = tg x Таким обтазом, tg(x – π) = tg x = tg(x + π). Следовательно, π – период функции у = tg x. 31. Покажем, что π – наименьший положительный период функции y = tg x. Пусть Т – период тангенса, тогда tg(x + T) = tg x, откуда при x = 0 получаем tg T = 0, T = kπ, k є Ζ. Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то π – наименьший положительный период функции y = tg x. 32. Доказать, что у = tg (x/3) – периодическая функция с периодом 3π. Доказательство: Так как tg((x + 3π)/3) = tg (x/3 + π) = tg (x/3) и tg((x — 3π)/3) = tg(x/3 – π) = tg (x/3), то tg(x/3)– периодическая функция с периодом 3π. English Русский Правила Какая функция ни четная ни нечетная функция. Как определять четные и нечетные функции Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. 3 симметрична относительно начала координат. Исследование функции. 1) D(y) – Область опрделения: множество всех тех значений переменной х. при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл. Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл. 2) Свойства функции: четность/нечетность, периодичность: Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат). Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат). Ни чётная ни нечётная функция (функция общего вида) — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории. Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (или функциями общего вида). Нечётные функции Нечётная степень где — произвольное целое число. Чётные функции Чётная степень где — произвольное целое число. Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения. 3) Нули (корни) функции — точки, где она обращается в ноль. Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней). Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль. 4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них. Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак. Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна. ВЫШЕ оси абсцисс. НИЖЕ оси . 5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты). Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Устранимые точки разрыва Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке: , то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка). Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности , что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва. Точки разрыва первого и второго рода Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов : если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода; если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода . Аси́мпто́та — прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность. Вертикальная Вертикальная асимптота — прямая предела . Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например: Горизонтальная Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела . Наклонная Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот. Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует. если в п. 2. ), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, . 6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x ). Для этого находят производную f (x ) и решают неравенство f (x )0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x )возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0, функция f (x )убывает. Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием — локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках. {2}-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы: x −2 −1 0 1 2 3 y −4 −3 −2 −1 0 1 Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции. Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции. Четная и нечетная функция Функция является четной функцией , когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy . {2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1] . Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X . Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 . Возрастающая и убывающая функция О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) . Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ). а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x Экстремумы функции Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} — обозначение функции в точке min. Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) Необходимое условие Согласно теореме Ферма: f»(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_{0} , появится экстремум в этой точке. Достаточное условие Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума; x_{0} — будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} . Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке Шаги вычислений: Ищется производная f»(x) ; Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ; Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим . Для этого воспользуйтесь миллиметровкой или графическим калькулятором. Выберите несколько любых числовых значений независимой переменной x {\displaystyle x} и подставьте их в функцию, чтобы вычислить значения зависимой переменной y {\displaystyle y} . Найденные координаты точек нанесите на координатную плоскость, а затем соедините эти точки, чтобы построить график функции. {2}+1} мы получили следующие координаты точек: (1,3) и (-1,3) (2,9) и (-2,9) Обратите внимание, что при x=1 и x=-1 зависимая переменная у=3, а при x=2 и x=-2 зависимая переменная у=9. Таким образом, функция четная. На самом деле, чтобы точно выяснить вид функции, нужно рассмотреть более двух точек, но описанный способ является хорошим приближением.
Проверьте, симметричен ли график функции относительно начала координат. Начало координат – это точка с координатами (0,0). Симметрия относительно начала координат означает, что положительному значению y {\displaystyle y} (при положительном значении x {\displaystyle x} ) соответствует отрицательное значение y {\displaystyle y} (при отрицательном значении x {\displaystyle x} ), и наоборот. Нечетные функции обладают симметрией относительно начала координат.
Если в функцию подставить несколько положительных и соответствующих отрицательных значений x {\displaystyle x} , значения y {\displaystyle y} будут различаться по знаку. {2}} . Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени.
Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Определение 1.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Определение 2.
Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).
Доказать, что у = х 4 — четная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т. е. функция является четной.
Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными.
Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.
Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.
Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число , можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) — симметричные множества, в то время как }
Как выяснить четная или нечетная функция. Четность и нечетность функций. Алгоритм исследования функции на чётность
Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. 3 симметрична относительно начала координат.
Функция называется четной (нечетной), если для любогои выполняется равенство
.
График четной функции симметричен относительно оси .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 6.2. Исследовать на четность или нечетность функции
1) ; 2) ; 3) .
Решение .
1) Функция определена при . Найдем .
Т.е. . Значит, данная функция является четной.
2) Функция определена при
Т.е. . Таким образом, данная функция нечетная.
3) функция определена для , т.е. для
, . Поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Назовем ее функцией общего вида.
3. Исследование функции на монотонность.
Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Функции возрастающие (убывающие) на некотором интервале называются монотонными.
Если функция дифференцируема на интервале и имеет положительную (отрицательную) производную , то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Пример 6.3 . Найти интервалы монотонности функций
1) ; 3) .
Решение .
1) Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную .
Производная равна нулю, если и . Область определения – числовая ось, разбивается точками , на интервалы. Определим знак производной в каждом интервале.
В интервале производная отрицательна, функция на этом интервале убывает.
В интервале производная положительна, следовательно, функция на этом интервале возрастает.
2) Данная функция определена, если или
.
Определяем знак квадратного трехчлена в каждом интервале.
Таким образом, область определения функции
Найдем производную , , если , т.е. , но . Определим знак производной в интервалах .
В интервале производная отрицательна, следовательно, функция убывает на интервале . В интервале производная положительна, функция возрастает на интервале .
4. Исследование функции на экстремум.
Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Если функция в точкеимеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует (необходимое условие существования экстремума).
Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими.
5. Достаточные условия существования экстремума.
Правило 1 . Если при переходе (слева направо) через критическую точку производная меняет знак с «+» на «–», то в точкефункция имеет максимум; если с «–» на «+», то минимум; если не меняет знак, то экстремума нет.
Правило 2 . Пусть в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная существует и отлична от нуля. Если , то– точка максимума, если , то– точка минимума функции.
Пример 6.4 . Исследовать на максимум и минимум функции:
1) ; 2) ; 3) ;
4) .
Решение.
1) Функция определена и непрерывна на интервале .
Найдем производную и решим уравнение , т.е. .Отсюда – критические точки.
Определим знак производной в интервалах , .
При переходе через точки и производная меняет знак с «–» на «+», поэтому по правилу 1 – точки минимума.
При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «–», поэтому – точка максимума.
, .
2) Функция определена и непрерывна в интервале . Найдем производную .
Решив уравнение , найдем и – критические точки. Если знаменатель , т. е. , то производная не существует. Итак, – третья критическая точка. Определим знак производной в интервалах.
Следовательно, функция имеет минимум в точке , максимум в точках и .
3) Функция определена и непрерывна, если , т.е. при .
Найдем производную
.
Найдем критические точки:
Окрестности точек не принадлежат области определения, поэтому они не являются т. экстремума. Итак, исследуем критические точки и .
4) Функция определена и непрерывна на интервале . Используем правило 2. Найдем производную .
Найдем критические точки:
Найдем вторую производную и определим ее знак в точках
В точках функция имеет минимум.
В точках функция имеет максимум.
В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.
Регистрация участников открыта. Получите свой билет на Марс по этой ссылке .
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами
и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Очередной канун Нового Года… морозная погода и снежинки на оконном стекле… Все это побудило меня вновь написать о… фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.
Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. {2}-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:
x −2 −1 0 1 2 3
y −4 −3 −2 −1 0 1
Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.
Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.
Четная и нечетная функция
Функция является четной функцией , когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy . {2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1] .
Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .
Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .
Возрастающая и убывающая функция
О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .
Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1})
Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).
а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x
б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x
в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x
г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x
Экстремумы функции
Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} — обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)
Необходимое условие
Согласно теореме Ферма: f»(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_{0} , появится экстремум в этой точке.
Достаточное условие
Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
x_{0} — будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Шаги вычислений:
Ищется производная f»(x) ;
Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .
Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Определение 1.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Определение 2.
Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).
Доказать, что у = х 4 — четная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.
Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными.
Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.
Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.
Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число , можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. 3 симметрична относительно начала координат.
Графики четной и нечетной функции обладают следующими особенностями:
Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат. Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.
Пример. Построить график функции $y=\left|x \right|$.
Решение. Рассмотрим функцию: $f\left(x \right)=\left|x \right|$ и подставим вместо $x $ противоположное $-x $. В результате не сложных преобразований получим: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Другими словами, если аргумент заменить на противоположный по знаку, функция не изменится.
Значит эта функция — четная, а ее график будет симметричен относительно оси ординат (вертикальной оси). График этой функции приведен на рисунке слева. Это означает что при построении графика, можно строить только половину, а вторую часть (левее вертикальной оси рисовать уже симметрично правой части). Определив симметричность функции перед началом построения ее графика, можно намного упростить процесс построения или исследования функции. Если сложно выполнять проверку в общем виде, можно поступить проще: подставить в уравнение одинаковые значения разных знаков. Например -5 и 5. Если значения функции получатся одинаковыми, то можно надеяться что функция будет четной. С математической точки зрения такой подход не совсем правильный, но с практической — удобный. Чтобы увеличить достоверность результата можно подставить несколько пар таких противоположных значений.
Пример. Построить график функции $y=x\left|x \right|$.
Решение. Выполним проверку так же как в предыдущем примере: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right)$$ Это означает, что исходная функция является нечетной (знак функции поменялся на противоположный).
Вывод: функция симметрична относительно начала координат. Можно строить только одн половину, а вторую рисовать симметрично. 2$$ В результате получим, что: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ А это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.
Вывод: функция не симметрична ни относительно начала координат ни относительно центра системы координат. Это произошло потому, что она представляет собой сумму двух функций: четной и не четной. Такая же ситуация будет если вычитать две разные функции. А вот умножение или деление приведет к другому результату. Например, произведение четной и нечетной функций дает нечетную. Или частное двух нечетных приводит к четной функции.
Четность и нечетность функции являются одним из основных ее свойств, и на четность занимает внушительную часть школьного курса по математике. Она во много определяет характер поведения функции и значительно облегчает построение соответствующего графика.
Определим четность функции. Вообще говоря, исследуемую функцию считают четной, если для противоположных значений независимой переменной (x), находящихся в ее области определения, соответствующие значения y (функции) окажутся равными. (-x))=- h(x). Следовательно, h(x) — нечетная.
Кстати, следует напомнить, что есть функции, которые невозможно классифицировать по этим признакам, их называют ни четными, ни нечетными.
Четные функции обладают рядом интересных свойств:
в результате сложения подобных функций получают четную;
в результате вычитания таких функций получают четную;
четной, также четная;
в результате умножения двух таких функций получают четную;
в результате умножения нечетной и четной функций получают нечетную;
в результате деления нечетной и четной функций получают нечетную;
производная такой функции — нечетная;
если возвести нечетную функцию в квадрат, получим четную.
Четность функции можно использовать при решении уравнений.
Чтобы решить уравнение типа g(x) = 0, где левая часть уравнения представляет из себя четную функцию, будет вполне достаточно найти ее решения для неотрицательных значений переменной. Полученные корни уравнения необходимо объединить с противоположными числами. {2}-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:
x −2 −1 0 1 2 3
y −4 −3 −2 −1 0 1
Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.
Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.
Четная и нечетная функция
Функция является четной функцией , когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy . {2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1] .
Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .
Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .
Возрастающая и убывающая функция
О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .
Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1})
Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).
а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x
б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x
в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x
г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x
Экстремумы функции
Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} — обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)
Необходимое условие
Согласно теореме Ферма: f»(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_{0} , появится экстремум в этой точке.
Достаточное условие
Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
x_{0} — будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Шаги вычислений:
Ищется производная f»(x) ;
Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .
Мэтуэй | Популярные задачи
92-4 92-3sin(x)+1=0 92=25 9х 92=0
1 Найдите количество возможностей 7 выбрать 3
2 Найдите количество возможностей 8 выбрать 3
3 Найдите количество возможностей 5 выбрать 2
4 Найдите количество возможностей 4 выбрать 2
5 Найдите количество возможностей 8 выбрать 4
6 Найдите количество возможностей 10 выбрать 3
7 Найдите количество возможностей 7 выбрать 4
8 Найдите количество возможностей 6 выбрать 3
9 Найдите количество возможностей 9 выбрать 3
10 Найдите количество возможностей 3 выбрать 2
11 Найдите количество возможностей 6 выбрать 4
12 Найдите количество возможностей 5 выбрать 4
13 Найдите количество возможностей 7 переставить 3
14 Найдите количество возможностей 7 выбрать 2
15 Найдите количество возможностей 10 выбрать 5
16 Найдите количество возможностей 10 выбрать 6
17 Найдите количество возможностей 13 выбрать 5
18 Найдите количество возможностей 3 выбрать 3
19 Найдите количество возможностей 4 выбрать 1
20 Найдите количество возможностей 4 выбрать 4
21 Найдите количество возможностей 5 выбрать 1
22 Найдите количество возможностей 6 переставить 3
23 Найдите количество возможностей 8 выбрать 5
24 Найдите количество возможностей 9переставить 4
25 Найдите количество возможностей 13 выбрать 3
26 Найдите количество возможностей 12 выбрать 2
27 Найдите количество возможностей 12 выбрать 4
28 Найдите количество возможностей 12 выбрать 3
29 Найдите количество возможностей 9 выбрать 5
30 Найдите количество возможностей 9 выбрать 2
31 Найдите количество возможностей 7 выбрать 5
32 Найдите количество возможностей 6 переставить 6
33 Найдите количество возможностей 8 переставить 5
34 Найдите количество возможностей 8 переставить 3
35 Найдите количество возможностей 7 переставить 5
36 Найдите количество возможностей 52 выбрать 5
37 Найдите количество возможностей 5 переставить 3
38 Найдите количество возможностей 12 выбрать 5
39 Найдите количество возможностей 3 выбрать 1
40 Найдите количество возможностей 11 выбрать 5
41 Найдите количество возможностей 10 выбрать 2
42 Найдите количество возможностей 15 выбрать 3
43 Найдите количество возможностей 52 выбрать 4
44 Найдите количество возможностей 9 выбрать 4
45 Найдите количество возможностей 9 переставить 3
46 Найдите количество возможностей 7 переставить 4
47 Найдите количество возможностей 7 переставить 2
48 Найдите количество возможностей 11 выбрать 4
49 Найдите количество возможностей 11 выбрать 2
50 Найдите количество возможностей 11 выбрать 3
51 Найдите количество возможностей 10 переставить 5
52 Найдите количество возможностей 5 выбрать 5
53 Найдите количество возможностей 6 выбрать 1
54 Найдите количество возможностей 8 переставить 4
55 Найдите количество возможностей 8 выбрать 6
56 Найдите количество возможностей 13 выбрать 4
57 Оценить и
58 Найти любое уравнение, перпендикулярное прямой -7x-5y=7
59 Найдите количество возможностей 13 выбрать 2
60 Найдите количество возможностей 10 переставить 2
61 Найдите количество возможностей 10 переставить 3
62 Найдите количество возможностей 10 выбрать 7
63 Найдите количество возможностей 20 выбрать 4
64 Найдите количество возможностей 6 переставить 4
65 Найдите количество возможностей 5 переставить 4
66 Найдите количество возможностей 6 выбрать 5
67 Найдите количество возможностей 52 выбрать 3
68 Найдите количество возможностей 4 выбрать 0
69 Найдите количество возможностей 9переставить 7
70 Найдите количество возможностей 6 выбрать 2
71 Найдите количество возможностей 5 переставить 5
72 Найдите количество возможностей 5 переставить 2
73 Найдите количество возможностей 6 выбрать 6
74 Найдите количество возможностей 7 выбрать 6
75 Найдите количество возможностей 8 переставить 6
76 Найдите количество возможностей 7 переставить 7
77 Найдите количество возможностей 9 переставить 5
78 Найдите количество возможностей 2 переставить 2
79 Найдите количество возможностей 10 выбрать 8
80 Найдите количество возможностей 12 выбрать 7
81 Найдите количество возможностей 15 выбрать 5
82 Найдите обратное [[1,0,1],[2,-2,-1],[3,0,0]]
83 Найти диапазон 1/4x-7
84 Найдите количество возможностей 10 переставить 7
85 Найдите количество возможностей 12 выбрать 6
86 Найдите количество возможностей 2 выбрать 1
87 Найдите количество возможностей 30 выбрать 3
88 Найдите количество возможностей 9 выбрать 6
89 Найдите количество возможностей 8 переставить 2
90 Найдите количество возможностей 7 выбрать 1
91 Найдите количество возможностей 6 перестановка 2
92 Найдите количество возможностей 4 переставить 2
93 Найдите количество возможностей 4 переставить 3
94 Найдите количество возможностей 3 переставить 3
95 Найдите количество возможностей 46 выбрать 6
96 Найдите количество возможностей 5 переставить 1
97 Найдите количество возможностей 52 выбрать 7
98 Найдите количество возможностей 52 переставить 5
99 Найдите количество возможностей 93
6 Решить для ? cos(x)=1/2
7 Найти x sin(x)=-1/2
8 Преобразование градусов в радианы 225
9 Решить для ? cos(x)=(квадратный корень из 2)/2
10 Найти x cos(x)=(квадратный корень из 3)/2
11 Найти x sin(x)=(квадратный корень из 3)/2 92=9
14 Преобразование градусов в радианы 120 градусов
15 Преобразование градусов в радианы 180
16 Найти точное значение желтовато-коричневый(195)
38 Найти точное значение грех(255)
39 Оценить лог база 27 из 36
40 Преобразовать из радианов в градусы 2 шт.
43 Найти x tan(x)+ квадратный корень из 3=0
44 Найти x sin(2x)+cos(x)=0
45 Упростить (1-cos(x))(1+cos(x))
59 График f(x)=- натуральный логарифм x-1+3
60 Найдите значение с помощью единичного круга угловой синус(-1/2)
61 Найти домен квадратный корень из 36-4x^2 92=0
66 Найти x cos(2x)=(квадратный корень из 2)/2
67 График у=3
68 График f(x)=- логарифмическая база 3 x-1+3 92
71 Найти x квадратный корень из x+4+ квадратный корень из x-1=5
72 Решить для ? cos(2x)=-1/2
73 Найти x логарифмическая база x из 16=4
75 Упростить (cos(x))/(1-sin(x))+(1-sin(x))/(cos(x))
76 Упростить сек(х)sin(х)
77 Упростить кубический корень из 24 кубический корень из 18
96 Найти x 3x+2=(5x-11)/(8г)
97 Решить для ? sin(2x)=-1/2
98 Найти x (2x-1)/(x+2)=4/5 93)=\sin(u)$
Тогда можно сказать $\sin(-u) = -\sin(u)$?
Что мне кажется странным, так это то, что я не понимаю, почему правила для $\sin(x)$ должны работать для $\sin(f(x))$. Если кто-то может объяснить мне, что происходит, это было бы очень полезно. Спасибо.
алгебра-предварительное исчисление
функции
тригонометрия
$\endgroup$
1 93}$$
$\endgroup$
4
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
г.
Четные и нечетные функции — определение, свойства, графики, примеры
В математике мы изучаем различные типы функций. Мы можем определить, является ли функция четной или нечетной, алгебраически или графически. Четные и нечетные функции можно проверить, подставив отрицательные входные данные (-x) вместо x в функцию f(x) и рассмотрев соответствующее выходное значение. Четные и нечетные функции классифицируются на основе их отношений симметрии. Четные и нечетные функции названы на основании того, что степенная функция f(x) = x ⁿ — четная функция, если n четное, и f(x) — нечетная функция, если n нечетное.
Давайте изучим другие четные и нечетные функции и поймем их свойства, графики и использование четных и нечетных функций в интегрировании. Функция может быть четной или нечетной, или одновременно четной и нечетной, или ни четной, ни нечетной. Давайте рассмотрим различные примеры, чтобы понять концепцию.
1. Что такое четные и нечетные функции?
2. Четные и нечетные функции в тригонометрии
3. Интегральные свойства четных и нечетных функций
4. График четных и нечетных функций
5. Свойства четных и нечетных функций
6. Часто задаваемые вопросы о четных и нечетных функциях
Что такое четные и нечетные функции?
г.
Обычно мы считаем вещественную функцию четной или нечетной. Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, мы подставляем -x вместо x в функцию f(x), то есть мы проверяем выходное значение f(-x), чтобы определить тип функции. Четные и нечетные функции симметричны. Давайте сначала разберемся с их определениями.
Четные и нечетные функции Определение
Четная функция — Для функции f(x) с действительным знаком, когда выходное значение f(-x) совпадает с f(x), для всех значений x в области f функция называется четной функцией. Четная функция должна содержать следующее уравнение: f(-x) = f(x) для всех значений x в D(f), где D(f) обозначает область определения функции f. Другими словами, мы можем сказать, что уравнение f (-x) — f (x) = 0 выполняется для четной функции для всех x. Рассмотрим пример, f(x) = x ² .
f(-x) = (-x) ² = x ² для всех значений x, поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного значения числа. Отсюда следует f(-x) = f(x) для всех x. Следовательно, f(x) = x ² — четная функция. Точно так же такие функции, как x ⁴ , x ⁶ , x ⁸ и т. д., являются четными функциями.
Нечетная функция — Для функции f(x) с действительным знаком, когда выходное значение f(-x) совпадает с отрицательным значением f(x), для всех значений x в области определения f, функция называется нечетной. Нечетная функция должна содержать следующее уравнение: f(-x) = -f(x) для всех значений x в D(f), где D(f) обозначает область определения функции f. Другими словами, мы можем сказать, что уравнение f (-x) + f (x) = 0 выполняется для нечетной функции для всех x. Рассмотрим пример, f(x) = x ³ .
f(-x) = (-x) ³ = -(x ³ ) для всех значений x, поскольку куб отрицательного числа совпадает с отрицательным значением куба положительного значения числа . Отсюда следует f(-x) = -f(x) для всех x. Следовательно, f(x) = x ³ ^{— нечетная функция. Точно так же такие функции, как x ⁵ , x ⁷ , x ⁹ и т. д., являются нечетными функциями.}
И четные, и нечетные функции — Вещественнозначная функция f(x) называется одновременно четной и нечетной, если она удовлетворяет условию f(-x) = f(x) и f(-x) = -f (x) для всех значений x в области определения функции f(x). Существует только одна функция, которая одновременно является четной и нечетной, и это нулевая функция, f(x) = 0 для всех x. Мы знаем, что для нулевой функции f(-x) = -f(x) = f(x) = 0 для всех значений x. Следовательно, f(x) = 0 — четная и нечетная функция.
г.
Ни четная, ни нечетная функция — Говорят, что функция f(x) с действительным знаком не является ни четной, ни нечетной, если она не удовлетворяет f(-x) = f(x) и f(-x) = -f (x) хотя бы для одного значения x в области определения функции f(x). Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять определение. Рассмотрим f(x) = 2x ⁵ + 3x ² ^{+ 1, f(-x) = 2(-x) ⁵ + 3(-x) ² ^{+ 1 = -2x ⁵ + 3x ² ^{+ 1, что не равно ни f(x), ни -f(x). Следовательно, f(x) = 2x ⁵ + 3x ² ^{+ 1 не является ни четной, ни нечетной функцией.}}}}
Четные и нечетные функции в тригонометрии
В этом разделе мы разделим тригонометрические функции на четные и нечетные. У нас есть шесть тригонометрических отношений (синус, косинус, тангенс, котангенс, косеканс и секанс). Эти тригонометрические отношения дают положительные значения в разных квадрантах для различных мер углов.
В первом квадранте (где все координаты x и y положительны) все шесть тригонометрических отношений имеют положительные значения. Во втором квадранте положительны только синус и косеканс. В третьем квадранте положительны только тангенс и котангенс. В четвертом квадранте положительны только косинус и секанс. На основании этих признаков мы разделим их на четные и нечетные функции.
Если тригонометрическое соотношение четное или нечетное, можно проверить через единичный круг. Угол, измеренный в направлении против часовой стрелки, является положительным углом, тогда как угол, измеренный в направлении по часовой стрелке, является отрицательным углом.
sinθ = y, sin(-θ) = -y; Следовательно, sin(-θ) = -sinθ. Следовательно, sinθ — нечетная функция.
cosθ = y, cos(-θ) = y; Следовательно, cos(-θ) = cosθ. Следовательно, cosθ — четная функция.
tanθ = y, tan(-θ) = -y; Следовательно, tan(-θ) = -tanθ. Следовательно, tanθ — нечетная функция.
г.
cosecθ = y, cosec(-θ) = -y; Следовательно, cosec(-θ) = -cosecθ. Следовательно, cosecθ — нечетная функция.
секθ = у, сек(-θ) = у; Следовательно, sec(-θ) = secθ. Следовательно, secθ — четная функция.
кроватка θ = у, кроватка (-θ) = -у; Следовательно, cot(-θ) = -cotθ. Следовательно, cotθ — нечетная функция.
Интегральные свойства четных и нечетных функций
Интеграл функции дает площадь под кривой. Мы используем свойства четных и нечетных функций при решении определенных интегралов. Для этого нам нужно знать пределы интеграла и характер функции. Если функция четная или нечетная, а интервал равен [-a, a], мы можем применить следующие два правила: 9{а}\) f(x) dx = 0
График четных и нечетных функций
Теперь посмотрим, как графически ведут себя четные и нечетные функции. График четной функции симметричен относительно оси y . Другими словами, график четной функции остается прежним после отражения относительно оси у. Для любых двух противоположных входных значений x значение функции будет оставаться одинаковым на протяжении всей кривой.
Принимая во внимание, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат . Другими словами, график нечетной функции находится на одном и том же расстоянии от начала координат, но в противоположных направлениях. Для любых двух противоположных входных значений x функция имеет противоположные значения y. Вот несколько примеров четных и нечетных функций.
Свойства четных и нечетных функций
Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных функций нечетна.
Разница между двумя четными функциями четна, а разница между двумя нечетными функциями нечетна.
г.
Сумма четной и нечетной функций не является ни четной, ни нечетной, если только одна из них не является нулевой функцией.
Произведение двух четных функций является четным, и произведение двух нечетных функций также является четной функцией.
Произведение четной и нечетной функций нечетно.
Частное двух четных функций четно, и частное двух нечетных функций также является четной функцией.
Частное четной и нечетной функций нечетно.
г.
Композиция двух четных функций четна, а композиция двух нечетных функций нечетна.
Композиция четной и нечетной функций четна.
Важные замечания о четных и нечетных функциях
Функция f(x) является четной, если f(-x) = f(x), для всех значений x в D(f), и нечетной, если f (-x) = -f(x) для всех значений x.
В тригонометрии cosθ и secθ — четные функции, а sinθ, cosecθ, tanθ, cotθ — нечетные функции.
г.
График четной функции симметричен относительно оси Y, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
f(x) = 0 — единственная функция, которая является четной и нечетной функцией.
Темы, связанные с четными и нечетными функциями
Функция четности
Нечетная функция
Типы функций
Часто задаваемые вопросы о четных и нечетных функциях
Что такое четные и нечетные функции в математике?
Функция f(x) является четной, если f(-x) = f(x), для всех значений x в D(f), и нечетной, если f(-x) = -f(x), для все значения х. График четной функции симметричен относительно оси y, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Вещественная функция f(x) называется одновременно четной и нечетной, если она удовлетворяет f(-x) = f(x) и f(-x) = -f(x) для всех значений x в области функции f(x).
Как определить четные и нечетные функции алгебраически?
Чтобы проверить, является ли функция четной или нечетной алгебраически, мы проверяем, является ли f(-x) = f(x) или f(-x) = -f(x) для всех значений x соответственно. Если мы заменяем x на -x в функции и значение функции становится отрицательным, то функция называется нечетной функцией. Если мы заменим x на -x в функции и значение функции не изменится, то функция будет известна даже как функция.
Если функция f четная, то какой тип симметрии имеет график функции f?
Четные и нечетные функции демонстрируют разные типы симметрии. Даже функции имеют линейную симметрию. Линия симметрии является осью Y. Даже функции — это функции, в которых, когда мы заменяем x на -x, значение функции для этого конкретного x не меняется. График четной функции ведет себя одинаково для всех точек на оси X, которые находятся как слева от начала координат, так и справа от него.
Какие тригонометрические функции являются четными и нечетными функциями?
В тригонометрии cosθ и secθ — четные функции, а sinθ, cosecθ, tanθ, cotθ — нечетные функции. Различные тригонометрические отношения имеют положительные и отрицательные значения в разных квадрантах. Следовательно, используя единичный круг, мы можем видеть, что cosθ и secθ — четные функции, а остальные четыре тригонометрических отношения — нечетные.
Как определить графически четные и нечетные функции?
График четной функции симметричен относительно оси y. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. График четной функции остается прежним после отражения относительно оси у. График нечетной функции находится на одинаковом расстоянии от начала координат, но в противоположных направлениях. Используя те же критерии, мы можем идентифицировать четные и нечетные функции графически.
Если f и g являются четными функциями, является ли f+g четной и нечетной функцией?
Если f и g — четные функции, то f + g — четная функция. Рассмотрим функцию h(x) = f(x) + g(x). Замените x на -x в h(x), h(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = h(x). Поскольку f(x) и g(x) четные, f(-x) = f(x) и g(-x) = g(x). Следовательно, f + g — четная функция. Это не четная и нечетная функция одновременно.
Определенные интегралы четных и нечетных функций — Krista King Math
Что делать, если вы считаете, что функция четная или нечетная
Иногда мы можем упростить определенный интеграл, если узнаем, что интегрируемая функция является четной или нечетной функцией. Если функция не четная и не нечетная, то интегрируем как обычно.
Чтобы узнать, четная функция или нечетная, подставим ???-x??? в функцию для ???x???. Если мы вернем исходную функцию ???f(x)???, функция будет четной. Если мы вернем исходную функцию, умноженную на ???-1???, функция будет нечетной. Другими словами,
Если ???f(-x)=f(x)???, функция четная
Если ???f(-x)=-f(x)???, функция нечетная
Если мы обнаружим, что функция четная или нечетная, следующим шагом будет проверка пределов интегрирования (интервал, по которому мы интегрируем). Чтобы использовать специальные правила четных или нечетных функций для определенных интегралов, наш интервал должен быть в форме ???[-a,a]???. Другими словами, пределы интегрирования имеют одинаковое числовое значение, но разные знаки, например ???[-1,1]??? или ???[-5,5]???. 9а_{-а}f(x)\dx=0???
Вот два видео. Первый — это обход определенного интеграла четной функции; второй — прохождение определенного интеграла нечетной функции.
Четные функции:
Нечетные функции:
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 2? У меня есть пошаговый курс для этого.
a_0f(x)\dx??? 97+4\sin{x}\dx=0???
Получите доступ к полному курсу Calculus 2
Начать
Четная функция, нечетная функция, периодическая функция — QuantumStudy
Если f : X → Y — вещественнозначная функция такая, что для всех x ∈ D
⇒ − x ∈ D (где D = область определения f) и :
если f(− x) = f(x) для каждого x ∈ D, то f называется четной функцией
г., и если f(− x) = − f(x), то f называется нечетной функцией.
График четной функции симметричен относительно оси y (т. е. если (x , y) лежит на кривой, то (− x , y) также лежит на кривой), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (т. е. если (x, y) лежит на кривой , то (−x, −y) также лежит на кривой).
Примечания:
⋄ Иногда легко доказать, что f(x) − f(−x) = 0 для четных функций и f(x) + f(−x) = 0 для нечетных функций.
⋄ Функция может быть четной или нечетной или ни четной, ни нечетной.
⋄ Каждая функция, определенная в симметричном интервале D
(т.е. x∈ D ⇒ −x ∈ D), может быть выражена как сумма четной и нечетной функций.
$\large f(x) = (\frac{f(x) + f(-x)}{2}) + (\frac{f(x) — f(-x)}{2})$
Пусть $\large h(x) = (\frac{f(x) + f(-x)}{2}) \; а также \; g(x) = (\frac{f(x) – f(-x)}{2})$
Теперь легко показать, что h(x) четно, а g(x) нечетно.
⋄ Первая производная четной функции является нечетной функцией и наоборот. Это остается вам в качестве упражнения для доказательства.
⋄ Если x = 0 ∈ область определения f, то для нечетной функции f(x), непрерывной в точке x = 0, f(0) = 0, т.е. если для функции f(0) ≠ 0, то эта функция не может быть нечетным.
Отсюда следует, что для дифференцируемой четной функции f ‘(0) = 0, т. е. если для дифференцируемой функции f ‘(0) ≠ 0, то функция f не может быть четной
Иллюстрация : Какая из следующих функций ( являются) четными, нечетными или ни одним из них:
(i) f(x) = x ² sinx
(ii) $\large f(x) = \sqrt{1 + x + x^2} – \sqrt {1 – х + х^2} $ 9x}{2}$
= f(x)
Следовательно, f(x) четно
Расширение области:
Пусть функция определена в некоторой области, которая полностью неотрицательна (или не положительна). Область определения f(x) может быть расширена до множества
X = {−x : x∈ область определения f(x)} двумя способами:
(i) Четное расширение: Четное расширение равно получается определением новой функции f(−x) для x ∈ X, такой что f(−x) = f(x).
(ii) Нечетное расширение: 92 & \mathrm{,} \; -2 < x \le 0 \end{массив} \right. $
Периодическая функция:
Функция f: X → Y называется периодической функцией, если существует положительное действительное число p такое, что:
f(x + p) = f(x) , для все x ∈ X .
Наименьшее из всех таких положительных чисел p называется главным периодом или просто периодом f.
Все периодические функции могут быть проанализированы на интервале в один период в пределах домена, поскольку один и тот же шаблон должен повторяться во всем домене.
Пример:
sinx, cosx, secx — периодические функции с периодом 2π
tanx, cotx — периодические функции с периодом π (x) периодическая с периодом 1
(вы можете доказать это математически?).
На экзамене задают два типа вопросов. Вас могут попросить проверить периодичность функции или найти период функции.
В первом случае вам просто нужно показать, что f(x + T) = f(x) для одного и того же T ( > 0), не зависящего от x, тогда как во втором вам нужно найти наименьшее положительное число T, не зависящее от x. x, для которого выполняется f(x + T)=f(x).
Следует помнить следующие моменты:
Если f(x) периодична с периодом p, то af(x) +b, где a , b ∈ R (a ≠ 0), также периодична с периодом p.
∎ Если f(x) периодична с периодом p , то f(ax + b), где a, b ∈ R ( a ≠0) также периодична с периодом $\large \frac{p}{|a|} $ .
∎ Пусть f(x) имеет период p = m/n (m, n ∈ N и взаимно прост) и g(x) имеет период q = r/s (r, s ∈ N и взаимно прост) и пусть t будет НОК p и q, т.е. $\large t = \frac{LCM \; из (m , r)}{HCF \; из (r , s)}$
Тогда t будет периодом f + g при условии, что не существует положительного числа k (< t), для которого
f(k + x) + g(k + x) = f(x) + g( x), иначе k будет периодом.
То же правило применимо для любой другой алгебраической комбинации f(x) и g(x)
Примечания:
НОК p и q всегда существуют, если p/q — рациональная величина. Если p/q иррационально, то алгебраическая комбинация f и g непериодична.
∎ sin ⁿ x, cos ⁿ x, cosec ⁿ x и sec ⁿ x имеют период 2π, если n нечетно, и π, если n четно.
∎ tan ⁿ x и cot ⁿ x имеют период π независимо от того, является ли n нечетным или четным.
∎ Постоянная функция является периодической, но не имеет четко определенного периода.
∎ Если функция g является периодической, то туман всегда будет периодической функцией. Период тумана может быть, а может и не быть периодом g.
∎ Если f периодическая, а g строго монотонная (отличная от линейной), то туман непериодический. 93 x – cosec(3x-5)$
Период e ^lnsinx = 2π , tan ³ x = π
cosec(3x-5) = 2π/3 ; период = 2π
(ii) f(x) = x –[x-b] = b+{x –b}
⇒ период = 1
(iii) $\large f(x) = \frac{|sinx + cosx|}{|sinx| + |cosx|} $
Поскольку период |sinx + cox| = π и   период |sinx| + | cosx| равно π/2.
Оставить комментарий on Y x 2 sinx четная или нечетная: Mathway | Популярные задачи/
Какие из величин векторные: Какие величины в физике называются векторными и какие скалярными? Какие векторы называются равными? Что можно…
alexxlab / 15.03.197117.09.2022 / Разное
Векторная величина в физике. Примеры векторных величин
Векторная величина в физике. Примеры векторных величин
Физика и математика не обходятся без понятия «векторная величина». Это необходимо знать и распознавать, а также уметь управлять им. Обязательно стоит научиться, чтобы не запутаться и избежать глупых ошибок.
Содержание
1 Как отличить скалярную величину от векторной?
2 Какие действия чаще всего выполняются с векторами?
3 Какие векторы изучают в физике?
4 Первая величина — скорость
5 Вторая величина — сила
6 Третья величина — перемещение
7 Четвертая величина — ускорение
8 Пятая величина — импульс
9 Задача о неупругом ударе
10 Задача с разделением тела на части
11 Задача про выстрел под углом
12 Задача о переправе через реку
Как отличить скалярную величину от векторной?
У первого всегда есть только одна характеристика. Это его числовое значение. Большинство скаляров могут быть как положительными, так и отрицательными. Примеры включают электрический заряд, работу или температуру. Но есть скаляры, которые не могут быть отрицательными, например длина и масса.
Векторная величина, помимо числовой, всегда взятой по модулю, также характеризуется направлением. Поэтому его можно представить графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенном направлении.
При письме каждая векторная величина обозначается стрелкой на букве. Если мы говорим о числовом значении, то стрелка не пишется или берется по модулю.
Какие действия чаще всего выполняются с векторами?
Сначала противостояние. Они могут быть, а могут и не совпадать. В первом случае их модули совпадают. Но это не единственное условие. Они также должны иметь равные или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположностями. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, векторы не равны.
Затем идет добавление. Это можно сделать по двум правилам: треугольник или параллелограмм. Первый предписывает сначала отложить вектор, затем второй — от его конца. Результатом сложения будет то, что нужно нарисовать от начала первого до конца второго.
Правило параллелограмма можно использовать, когда вам нужно добавить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует отложить на один балл. Затем соберите их до параллелограмма. Результатом действия нужно считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.
Если одну векторную величину вычесть из другой, они снова откладываются от точки. Только результатом будет вектор, равный вектору, проведенному от конца второго до конца первого.
Какие векторы изучают в физике?
Их столько, сколько скаляров. Вы можете только вспомнить, какие векторные величины существуют в физике. Или узнать признаки, по которым их можно вычислить. Тем, кто отдает предпочтение первому варианту, такой столик пригодится. Перечисляет основные векторные физические величины.
Обозначение формулы Имя
v скорость
р в движении
а ускорение
Ф сила
р пульсировать
А ТАКЖЕ напряженность электрического поля
В магнитная индукция
М момент силы
Теперь немного подробнее о некоторых из этих ценностей.
Первая величина — скорость
Начать стоит, чтобы привести примеры векторных величин. Это связано с тем, что он изучается одним из первых.
Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Задайте числовое значение и направление. Итак, скорость — это векторная величина. Кроме того, его принято делить на виды. Первый — это линейная скорость. Он вводится при рассмотрении равномерного прямолинейного движения. В этом случае он оказывается равным отношению пути, пройденного телом, и времени движения.
Эту же формулу можно использовать для нерегулярных движений. Только тогда он будет средним. Кроме того, выбираемый временной интервал должен быть как можно короче. Когда временной интервал стремится к нулю, значение скорости уже мгновенное.
Если рассматривать произвольное движение, то здесь скорость всегда является векторной величиной. Ведь его нужно разложить на прямые составляющие по каждому вектору, который направляет координатные линии. Кроме того, он определяется как производная по времени от радиус-вектора.
Вторая величина — сила
Он определяет меру силы воздействия, которое приходит на тело от других тел или полей. Поскольку сила является векторной величиной, она обязательно имеет значение по величине и направлению. Поскольку он действует на тело, то здесь также важна сила. Чтобы получить визуальное представление о векторах силы, вы можете обратиться к следующей таблице.
Власть Пункт применения Направление
строгость центр тела в центре земли
вселенская гравитация центр тела в центре другого тела
эластичность место контакта взаимодействующих тел от внешних воздействий
трение между соприкасающимися поверхностями в обратном направлении движения
Кроме того, результирующая сила также является векторной величиной. Он определяется как сумма всех механических сил, действующих на тело. Для его определения необходимо провести сложение по принципу правила треугольника. Вам просто нужно отложить векторы по очереди с конца предыдущего. Результатом будет то, что связывает начало первого с концом последнего.
Третья величина — перемещение
Во время движения тело описывает определенную линию. Это называется траектория. Эта строчка может быть совершенно разной. Важнее не внешний вид, а начальная и конечная точки движения. Они соединены линией, называемой сдвигом. Это тоже векторная величина. Кроме того, он всегда направлен от начала движения к точке, где движение было остановлено. Его принято обозначать латинской буквой r.
Здесь может возникнуть вопрос: «Является ли путь векторной величиной?» В общем, это утверждение не соответствует действительности. Путь равен длине пути и не имеет определенного направления. Исключением является ситуация, когда рассматривается прямолинейное движение в одном направлении. Следовательно, величина вектора смещения совпадает по величине с траекторией, и их направление оказывается таким же. Следовательно, при рассмотрении движения по прямой без изменения направления движения, путь может быть включен в примеры векторных величин.
Четвертая величина — ускорение
это характеристика скорости изменения скорости. Кроме того, ускорение может иметь как положительные, так и отрицательные значения. При движении по прямой он направлен в сторону большей скорости. Если движение происходит по криволинейной траектории, вектор его ускорения раскладывается на две составляющие, одна из которых направлена к центру кривизны по радиусу.
Среднее и мгновенное значения ускорения разделены. Первое следует рассчитывать как отношение изменения скорости за определенный период времени к этому времени. Когда рассматриваемый временной интервал стремится к нулю, мы говорим о мгновенном ускорении.
Пятая величина — импульс
По-другому его еще называют количеством движения. Импульс — это векторная величина, потому что она напрямую связана со скоростью и силой, прилагаемой к телу. У них обоих есть направление и импульс.
По определению, последняя равна произведению веса тела и скорости. Используя понятие количества движения тела, вы можете иначе написать известный закон Ньютона. Оказывается, изменение количества движения равно произведению силы на временной интервал.
В физике важную роль играет закон сохранения количества движения, который гласит, что в замкнутой системе тел его полный импульс постоянен.
Мы очень кратко перечислили, какие (векторные) величины изучаются в курсе физики.
Задача о неупругом ударе
Состояние. На путях есть стационарная площадка. К вам приближается карета со скоростью 4 м / с. Вес платформы и вагона — 10 и 40 тонн соответственно. Автомобиль ударяется о платформу, происходит автоматическое сцепление. Необходимо рассчитать скорость системы платформы автомобиля после удара.
Решение. Сначала необходимо ввести следующие обозначения: скорость автомобиля до удара — v1, машина с платформой после спаривания — v, масса машины — m1, платформа — m2. В зависимости от состояния задачи необходимо знать значение скорости v.
Правила решения таких задач требуют схематического изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX целесообразно направить по рельсам в направлении движения каретки.
В этих условиях транспортную систему можно считать закрытой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и реакция опоры уравновешены, трение о рельсы не учитывается.
Согласно закону сохранения количества движения их векторная сумма до взаимодействия между автомобилем и платформой равна общей для сцепления после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был нулевым. Переместилась только машина, ее импульс — произведение m1 и v1.
Поскольку удар был неупругим, то есть автомобиль зацепился за платформу, а затем начал катиться вместе в одном направлении, импульс системы не изменил направление. Но его значение изменилось. А именно произведением суммы массы автомобиля с платформой на требуемую скорость.
Вы можете записать это равенство: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Это будет верно для проекции векторов момента на выбранную ось. Легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления желаемой скорости: v = m1 * v1 / (m1 + m2).
Согласно правилам, значения массы следует переводить из тонн в килограммы. Поэтому, когда вы подставляете их в формулу, вы должны сначала умножить известные значения на тысячу. Простые вычисления дают число 0,75 м / с.
Отвечать. Скорость вагона-платформы 0,75 м / с.
Задача с разделением тела на части
Состояние. Скорость летящей гранаты — 20 м / с. Он разделен на две части. Масса первого 1,8 кг. Продолжайте движение в том направлении, в котором летела граната, со скоростью 50 м / с. Второй осколок имеет массу 1,2 кг. Насколько это быстро?
Решение. Обозначьте массы фрагментов буквами m1 и m2. Их скорости будут v1 и v2 соответственно. Начальная скорость гранаты v. В задаче надо вычислить значение v2.
Чтобы более крупный осколок продолжал двигаться в том же направлении, что и вся граната, второй должен лететь в противоположном направлении. Если выбрать направление оси, которое было при начальном импульсе, то после разрыва большой фрагмент летит вдоль оси, а маленький — против оси.
В этой задаче допустимо использование закона сохранения количества движения в связи с тем, что взрыв гранаты происходит мгновенно. Поэтому, несмотря на то, что на гранату и ее части действует сила тяжести, она не успевает подействовать и изменить направление вектора импульса с его величиной по абсолютной величине.
Сумма значений вектора импульса после взрыва гранаты такая же, как и раньше. Если написать закон сохранения количества движения тела в проекции на ось OX, то он будет выглядеть так: (m1 + m2) * v = m1 * v1 — m2 * v2. Легко выразить требуемую скорость. Он будет определяться по формуле: v2 = ((m1 + m2) * v — m1 * v1) / m2. После подстановки числовых значений и расчетов получается 25 м / с.
Отвечать. Скорость маленького осколка — 25 м / с.
Задача про выстрел под углом
Состояние. Пушка установлена на платформе массой M. Из нее выстреливается снаряд массой m. Он взлетает под углом α к горизонту со скоростью v (заданной относительно земли). Необходимо знать значение скорости платформы после выстрела.
Решение. В этой задаче можно использовать закон сохранения количества движения в проекции на ось OX. Но только в том случае, если проекция возникающих внешних сил равна нулю.
Для направления оси OX нужно выбрать сторону, по которой будет лететь пуля, и параллельную горизонтальной линии. В этом случае проекции сил тяжести и реакция опоры на OX будут равны нулю.
Проблема будет решена в общем виде, так как конкретных данных для известных значений нет. Ответ — формула.
Импульс системы перед выстрелом был равен нулю, так как платформа и пуля были неподвижны. Пусть требуемая скорость платформы обозначается латинской буквой u. Тогда его импульс после выстрела будет определяться как произведение массы и проекции скорости. Поскольку платформа будет втягиваться (против направления оси OX), значение импульса будет со знаком минус.
Импульс снаряда является произведением его массы и проекции скорости на ось OX. Из-за того, что скорость направлена под углом к горизонту, ее проекция равна скорости, умноженной на косинус угла. В буквальном равенстве это будет выглядеть так: 0 = — Mu + mv * cos α. Из него путем несложных преобразований получается формула ответа: u = (mv * cos α) / M.
Отвечать. Скорость платформы определяется по формуле u = (mv * cos α) / M.
Задача о переправе через реку
Состояние. Ширина реки по всей длине одинакова и равна, берега параллельны. Известны скорость потока воды в реке v1 и собственная скорость лодки v2. 1). При переправе нос лодки направлен строго на противоположный берег. Как далеко он уйдет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно ориентировать нос лодки так, чтобы она доходила до противоположного берега строго перпендикулярно начальной точке? Сколько времени займет такой переход?
Решение. 1). Максимальная скорость лодки — это векторная сумма двух значений. Первый из них — течение реки, которая направляется по берегам. Второй — собственная скорость лодки перпендикулярно берегу. На чертеже изображены два одинаковых треугольника. Первый формируется шириной реки и расстоянием, пройденным лодкой. Второй — из векторов скорости.
Следующая запись следует: s / l = v1 / v2. После преобразования получается формула искомого значения: s = l * (v1 / v2).
2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v1 и v2. Синус угла, на который должен отклоняться собственный вектор скорости, равен отношению между модулями v1 и v2. Чтобы рассчитать время в пути, вам нужно разделить ширину реки на рассчитанную максимальную скорость. Величина последнего рассчитывается по теореме Пифагора.
v = (v22 — v12), поэтому t = l / (√ (v22 — v12)).
Отвечать. 1) s = l * (v1 / v2), 2) sin α = v1 / v2, t = l / (√ (v22 — v12)).
Поделиться:
Предыдущая записьРеки, вытекающие из Байкала. Единственная река, вытекающая из Байкала
Следующая записьБалтийское море: соленость, глубина, координаты, описание
×
Рекомендуем посмотреть
Adblock
detector
Векторная величина в физике. Примеры векторных величин
Физика и математика не обходятся без понятия «векторная величина». Ее необходимо знать и узнавать, а также уметь с нею оперировать. Этому обязательно стоит научиться, чтобы не путаться и не допускать глупых ошибок.
Как отличить скалярную величину от векторной?
Первая всегда имеет только одну характеристику. Это ее числовое значение. Большинство скалярных величин могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Их примерами может служить электрический заряд, работа или температура. Но есть такие скаляры, которые не могут быть отрицательными, например, длина и масса.
Векторная величина, кроме числовой величины, которая всегда берется по модулю, характеризуется еще и направлением. Поэтому она может быть изображена графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенную сторону.
При письме каждая векторная величина обозначается знаком стрелки на буквой. Если идет речь о числовом значении, то стрелка не пишется или ее берут по модулю.
Какие действия чаще всего выполняются с векторами?
Сначала — сравнение. Они могут быть равными или нет. В первом случае их модули одинаковые. Но это не единственное условие. У них должны быть еще одинаковые или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположными. Если не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то векторы не равны.
Потом идет сложение. Его можно сделать по двум правилам: треугольника или параллелограмма. Первое предписывает откладывать сначала один вектор, потом от его конца второй. Результатом сложения будет тот, который нужно провести от начала первого к концу второго.
Правило параллелограмма можно использовать, когда нужно сложить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует откладывать от одной точки. Потом достроить их до параллелограмма. Результатом действия следует считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.
Если векторная величина вычитается из другой, то они снова откладываются из одной точки. Только результатом будет вектор, который совпадает с тем, что отложен от конца второго к концу первого.
Какие векторы изучают в физике?
Их так же много, как скаляров. Можно просто запомнить то, какие векторные величины в физике существуют. Или знать признаки, по которым их можно вычислить. Тем, кто предпочитает первый вариант, пригодится такая таблица. В ней приведены основные векторные физические величины.
Обозначение в формуле Наименование
v скорость
r перемещение
а ускорение
F сила
р импульс
Е напряженность электрического поля
В магнитная индукция
М момент силы
Теперь немного подробнее о некоторых из этих величин.
Первая величина — скорость
С нее стоит начать приводить примеры векторных величин. Это обусловлено тем, что ее изучают в числе первых.
Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Ею задается числовое значение и направление. Поэтому скорость является векторной величиной. К тому же ее принято разделять на виды. Первый является линейной скоростью. Ее вводят при рассмотрении прямолинейного равномерного движения. При этом она оказывается равной отношению пути, пройденного телом, ко времени движения.
Эту же формулу допустимо использовать при неравномерном движении. Только тогда она будет являться средней. Причем интервал времени, который необходимо выбирать, обязательно должен быть как можно меньше. При стремлении промежутка времени к нулю значение скорости уже является мгновенным.
Если рассматривается произвольное движение, то здесь всегда скорость — векторная величина. Ведь ее приходится раскладывать на составляющие, направленные вдоль каждого вектора, направляющего координатные прямые. К тому же определяется он как производная радиус-вектора, взятая по времени.
Вторая величина — сила
Она определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Поскольку сила — векторная величина, то она обязательно имеет свое значение по модулю и направление. Так как она действует на тело, то важным является еще и точка, к которой приложена сила. Чтобы получить наглядное представление о векторах сил, можно обратиться к следующей таблице.
Сила Точка приложения Направление
тяжести центр тела к центру Земли
всемирного тяготения центр тела к центру другого тела
упругости место соприкосновения взаимодействующих тел против внешнего воздействия
трения между соприкасающимися поверхностями в сторону, противоположную движению
Также еще векторной величиной является равнодействующая сила. Она определяется как сумма всех действующих на тело механических сил. Для ее определения необходимо выполнить сложение по принципу правила треугольника. Только откладывать векторы нужно по очереди от конца предыдущего. Результатом окажется тот, который соединяет начало первого с концом последнего.
Третья величина — перемещение
Во время движения тело описывает некоторую линию. Она называется траекторией. Эта линия может быть совершенно разной. Важнее оказывается не ее внешний вид, а точки начала и конца движения. Они соединяются отрезком, который называется перемещением. Это тоже векторная величина. Причем оно всегда направлено от начала перемещения к точке, где движение было прекращено. Обозначать его принято латинской буквой r.
Здесь может появиться такой вопрос: «Путь — векторная величина?». В общем случае это утверждение не является верным. Путь равен длине траектории и не имеет определенного направления. Исключением считается ситуация, когда рассматривается прямолинейное движение в одном направлении. Тогда модуль вектора перемещения совпадает по значению с путем, и направление у них оказывается одинаковым. Поэтому при рассмотрении движения вдоль прямой без изменения направления перемещения путь можно включить в примеры векторных величин.
Четвертая величина — ускорение
Оно является характеристикой быстроты изменения скорости. Причем ускорение может иметь как положительное, так и отрицательное значение. При прямолинейном движении оно направлено в сторону большей скорости. Если перемещение происходит по криволинейной траектории, то вектор его ускорения раскладывается на две составляющие, одна из которых направлена к центру кривизны по радиусу.
Выделяют среднее и мгновенное значение ускорения. Первое следует рассчитывать как отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому времени. При стремлении рассматриваемого интервала времени к нулю говорят о мгновенном ускорении.
Пятая величина — импульс
По-другому его еще называют количеством движения. Импульс векторной величиной является из-за того, что напрямую связан со скоростью и силой, приложенной к телу. Обе они имеют направление и задают его импульсу.
По определению последний равен произведению массы тела на скорость. Используя понятие импульса тела, можно по-другому записать известный закон Ньютона. Получается, что изменение импульса равно произведению силы на промежуток времени.
В физике важную роль имеет закон сохранения импульса, который утверждает, что в замкнутой системе тел ее суммарный импульс является постоянным.
Мы очень кратко перечислили, какие величины (векторные) изучаются в курсе физики.
Задача о неупругом ударе
Условие. На рельсах стоит неподвижная платформа. К ней приближается вагон со скоростью 4 м/с. Массы платформы и вагона — 10 и 40 тонн соответственно. Вагон ударяется о платформу, происходит автосцеп. Необходимо вычислить скорость системы «вагон-платформа» после удара.
Решение. Сначала требуется ввести обозначения: скорость вагона до удара — v₁, вагона с платформой после сцепки — v, масса вагона m₁, платформы — m₂. По условию задачи необходимо узнать значение скорости v.
Правила решения подобных заданий требуют схематичного изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX разумно направить вдоль рельсов в ту сторону, куда движется вагон.
В данных условиях систему вагонов можно считать замкнутой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и реакция опоры уравновешены, а трение о рельсы не учитывается.
Согласно закону сохранения импульса, их векторная сумма до взаимодействия вагона и платформы равна общему для сцепки после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был равен нулю. Перемещался только вагон, его импульс — произведение m₁ и v₁.
Так как удар был неупругий, то есть вагон сцепился с платформой, и дальше он стали катиться вместе в ту же сторону, то импульс системы не изменил направления. Но его значение стало другим. А именно произведением суммы массы вагона с платформой и искомой скорости.
Можно записать такое равенство: m₁ * v₁ = (m₁ + m₂) * v. Оно будет верно для проекции векторов импульсов на выбранную ось. Из него легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления искомой скорости: v = m₁ * v₁ / (m₁ + m₂).
По правилам следует перевести значения для массы из тонн в килограммы. Поэтому при подстановке их в формулу следует сначала умножить известные величины на тысячу. Простые расчеты дают число 0,75 м/с.
Ответ. Скорость вагона с платформой равна 0,75 м/с.
Задача с разделением тела на части
Условие. Скорость летящей гранаты 20 м/с. Она разрывается на два осколка. Масса первого 1,8 кг. Он продолжает двигаться в направлении, в котором летела граната, со скоростью 50 м/с. Второй осколок имеет массу 1,2 кг. Какова его скорость?
Решение. Пусть массы осколков обозначены буквами m₁ и m₂. Их скорости соответственно будут v₁ и v₂. Начальная скорость гранаты — v. В задаче нужно вычислить значение v₂.
Для того чтобы больший осколок продолжал двигаться в том же направлении, что и вся граната, второй должен полететь в обратную сторону. Если выбрать за направление оси то, которое было у начального импульса, то после разрыва большой осколок летит по оси, а маленький — против оси.
В этой задаче разрешено пользоваться законом сохранения импульса из-за того, что разрыв гранаты происходит мгновенно. Поэтому, несмотря на то что на гранату и ее части действует сила тяжести, она не успевает подействовать и изменить направление вектора импульса с его значением по модулю.
Сумма векторных величин импульса после разрыва гранаты равна тому, который был до него. Если записать закон сохранения импульса тела в проекции на ось OX, то он будет выглядеть так: (m₁ + m₂) * v = m₁ * v₁ — m₂ * v₂. Из него просто выразить искомую скорость. Она определится по формуле: v₂ = ((m₁ + m₂) * v — m₁ * v₁) / m₂. После подстановки числовых значений и расчетов получается 25 м/с.
Ответ. Скорость маленького осколка равна 25 м/с.
Задача про выстрел под углом
Условие. На платформе массой M установлено орудие. Из него производится выстрел снарядом массой m. Он вылетает под углом α к горизонту со скоростью v (данной относительно земли). Требуется узнать значение скорости платформы после выстрела.
Решение. В этой задаче можно использовать закон сохранения импульса в проекции на ось OX. Но только в том случае, когда проекции внешних равнодействующих сил равна нулю.
За направление оси OX нужно выбрать ту сторону, куда полетит снаряд, и параллельно горизонтальной линии. В этом случае проекции сил тяжести и реакции опоры на OX будут равны нулю.
Задача будет решена в общем виде, так как нет конкретных данных для известных величин. Ответом в ней является формула.
Импульс системы до выстрела был равен нулю, поскольку платформа и снаряд были неподвижны. Пусть искомая скорость платформы будет обозначена латинской буквой u. Тогда ее импульс после выстрела определится как произведение массы на проекцию скорости. Так как платформа откатится назад (против направления оси OX), то значение импульса будет со знаком минус.
Импульс снаряда — произведение его массы на проекцию скорости на ось OX. Из-за того, что скорость направлена под углом к горизонту, ее проекция равна скорости, умноженной на косинус угла. В буквенном равенстве это будет выглядеть так: 0 = — Mu + mv * cos α. Из нее путем несложных преобразований получается формула-ответ: u = (mv * cos α) / M.
Ответ. Скорость платформы определяется по формуле u = (mv * cos α) / M.
Задача о переправе через реку
Условие. Ширина реки по всей ее длине одинакова и равна l, ее берега параллельны. Известна скорость течения воды в реке v₁ и собственная скорость катера v₂. 1). При переправе нос катера направлен строго к противоположному берегу. На какое расстояние s его снесет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно направить нос катера, чтобы он достиг противоположного берега строго перпендикулярно к точке отправления? Сколько времени t потребуется на такую переправу?
Решение. 1). Полная скорость катера является векторной суммой двух величин. Первая из них течение реки, которое направлено вдоль берегов. Вторая — собственная скорость катера, перпендикулярная берегам. На чертеже получается два подобных треугольника. Первый образован шириной реки и расстоянием, на которое сносит катер. Второй — векторами скоростей.
Из них следует такая запись: s / l = v₁ / v₂. После преобразования получается формула для искомой величины: s = l * (v₁ / v₂).
2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v₁ и v₂. Синус угла, на который должен отклоняться вектор собственной скорости, равен отношению модулей v₁ и v₂. Для расчета времени движения потребуется разделить ширину реки на сосчитанную полную скорость. Значение последней вычисляется по теореме Пифагора.
v = √(v₂² – v₁²), тогда t = l / (√(v₂² – v₁²)).
Ответ. 1). s = l * (v₁ / v₂), 2). sin α = v₁ / v₂, t = l / (√(v₂² – v₁²)).
PhysBook:Электронный учебник физики — PhysBook
Содержание
1 Учебники
2 Механика
2.1 Кинематика
2.2 Динамика
2.3 Законы сохранения
2. 4 Статика
2.5 Механические колебания и волны
3 Термодинамика и МКТ
3.1 МКТ
3.2 Термодинамика
4 Электродинамика
4.1 Электростатика
4.2 Электрический ток
4.3 Магнетизм
4.4 Электромагнитные колебания и волны
5 Оптика. СТО
5.1 Геометрическая оптика
5.2 Волновая оптика
5.3 Фотометрия
5.4 Квантовая оптика
5.5 Излучение и спектры
5.6 СТО
6 Атомная и ядерная
6.1 Атомная физика. Квантовая теория
6.2 Ядерная физика
7 Общие темы
8 Новые страницы
Здесь размещена информация по школьной физике:
материалы из учебников, лекций, рефератов, журналов;
разработки уроков, тем;
flash-анимации, фотографии, рисунки различных физических процессов;
ссылки на другие сайты
и многое другое.
Каждый зарегистрированный пользователь сайта имеет возможность выкладывать свои материалы (см. справку), обсуждать уже созданные.
Учебники
Формулы по физике – 7 класс – 8 класс – 9 класс – 10 класс – 11 класс –
Механика
Кинематика
Основные понятия кинематики – Прямолинейное движение – Криволинейное движение – Движение в пространстве
Динамика
Законы Ньютона – Силы в механике – Движение под действием нескольких сил
Законы сохранения
Закон сохранения импульса – Закон сохранения энергии
Статика
Статика твердых тел – Динамика твердых тел – Гидростатика – Гидродинамика
Механические колебания и волны
Механические колебания – Механические волны
Термодинамика и МКТ
МКТ
Основы МКТ – Газовые законы – МКТ идеального газа
Термодинамика
Первый закон термодинамики – Второй закон термодинамики – Жидкость-газ – Поверхностное натяжение – Твердые тела – Тепловое расширение
Электродинамика
Электростатика
Электрическое поле и его параметры – Электроемкость
Электрический ток
Постоянный электрический ток – Электрический ток в металлах – Электрический ток в жидкостях – Электрический ток в газах – Электрический ток в вакууме – Электрический ток в полупроводниках
Магнетизм
Магнитное поле – Электромагнитная индукция
Электромагнитные колебания и волны
Электромагнитные колебания – Производство и передача электроэнергии – Электромагнитные волны
Оптика.
СТО
Геометрическая оптика
Прямолинейное распространение света. Отражение света – Преломление света – Линзы
Волновая оптика
Свет как электромагнитная волна – Интерференция света – Дифракция света
Фотометрия
Фотометрия
Квантовая оптика
Квантовая оптика
Излучение и спектры
Излучение и спектры
СТО
СТО
Атомная и ядерная
Атомная физика. Квантовая теория
Строение атома – Квантовая теория – Излучение атома
Ядерная физика
Атомное ядро – Радиоактивность – Ядерные реакции – Элементарные частицы
Общие темы
Измерения – Методы решения – Развитие науки- Статья- Как писать введение в реферате- Подготовка к ЕГЭ — Репетитор по физике
Новые страницы
Запрос не дал результатов.
Что является векторной величиной?

Что является векторной величиной?
Векторная величина или вектор — это всякая величина, обладающая направлением. Скалярная величина или скаляр — это всякая величина, не обладающая направлением. Пример 1.
Что такое векторная величина в физике?
Векторная величина (вектор) – это физическая величина, которая имеет две характеристики – модуль и направление в пространстве. Примеры векторных величин: скорость, сила, ускорение, напряженность и т. д. Геометрически вектор изображается как направленный отрезок прямой линии, длина которого в масштабе – модуль вектора.
Что такое векторная величина 7 класс?
Ве́кторная величина́ — физическая величина, являющаяся вектором (тензором ранга 1). Противопоставляется с одной стороны скалярным (тензорам ранга 0), с другой — тензорным величинам (строго говоря — тензорам ранга 2 и более). Также может противопоставляться тем или иным объектам совершенно другой математической природы.
Какие из физических величин являются векторными?
Вектор — это величина, имеющая численное значение и направление. Например скорость, ускорение, сила, перемещение. 3. Скалярная величина, в отличии от векторной, не имеет направления.
Что называется векторной величиной?
Векторными величинами, или векторами, называют величины, имеющие и численное значение, и направление. … Примеры — скорость, сила, перемещение (перемещением движущейся точки в данный момент времени называют вектор с началом в точке начала ее движения, и концом в точке ее расположения в этот момент.
Какую величину называют скаляром приведите примеры?
scalaris «ступенчатый») в физике — величина, каждое значение которой может быть выражено одним (как правило, действительным) числом. … К скалярным величинам относятся длина, площадь, время, температура, электрический заряд, работа, статистический вес и т. д. Скалярная величина также называется скаляром.
Что не является скалярной величиной?
Не скалярные величины — величины, имеющие направление, векторные. Векторные величины (векторы) — величины, которые кроме численного значения имеют определённое направление в пространстве. Скорость, сила,ускорение, импульс, давление, напряженность электрического поля — векторные величины.
Какие величины называют векторными и скалярными приведите примеры?
Векторные величины имеют направление (примером может послужит сила «F» или ускорение «a»). … Скалярные же величины имеют лишь значение, например масса «m».
Какая физическая величина является скалярной а не векторной?
Скалярная величина (от лат. То есть скалярная величина определяется только значением, в отличие от вектора, который кроме значения имеет направление. … К скалярным величинам относятся длина, площадь, время, температура и т.
Что такое сила сила векторная величина или скалярная?
Си́ла — физическая векторная величина, являющаяся мерой воздействия на данное тело со стороны других тел или полей. Приложение силы обусловливает изменение скорости тела или появление деформаций и механических напряжений.
Как складываются векторные величины?
Для того чтобы сложить векторы и , нужно поместить начало вектора в конец вектора . Тогда вектор с началом в начале и концом в конце и будет равен их сумме. Точно так же можно складывать любое число векторов.
Что такое перемещение Какая это величина?
Перемещение, так же как и путь, обозначается буквой S и измеряется в метрах. Но это две разные величины, которые необходимо различать. Величины, кроме числового значения, имеют направление, называют векторными величинами. Перемещение — это векторная величина.
Какой формулой выражается перемещение?
Перемещение s→- перемещение; вектор, соединяющий начальную и конечную точки движения. Проекция вектора перемещения на данную ось: sx = x — x0. Путь (l) — длина траектории.
Что такое перемещение?
Перемеще́ние (в кинематике) — изменение положения физического тела в пространстве с течением времени относительно выбранной системы отсчёта. — от итал. spostamento (перемещение). — это модуль перемещения, в Международной системе единиц (СИ) измеряется в метрах; в системе СГС — в сантиметрах.
Что означает фраза перемещение векторная величина?
Перемещение — векторная величина! … Это вектор, который проведен из начальной точки отправления тела в конечную точку. Имеет численное значение, равное длине вектора.
Что такое траектория перемещения?
Траектория — воображаемая линия, по которой движется тело. Путь — длина траектории. Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положения тела.
Чему равно перемещение в физике?
Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальную точку и конечную при движении тела, но тело начало движение из той же точки, в которую вернулось, следовательно, перемещение мяча равно нулю: Δr=0.
Что такое перемещение от чего оно зависит?
Перемещение — это разница между этими точками, она не зависит от того, каким путём объект попал из первой точки во вторую. Пройденное же расстояние — это общая длина пути, пройденного объектом, пока он двигался от одной точки в другую.
Что больше Путь или перемещение?
Путь всегда больше или равен модулю перемещения. Путь не может быть отрицательным. Двигаясь по окружности радиусом , материальная точка совершила половину полного оборота.
Как найти перемещение по координатам?
Перемещение тела найдем по формуле: S = х — х0. Конечную координату х можно определить, подставляя в уравнение движения время t1: х = 4 — 3t1. В общем виде формула перемещения: S = 4 — 3t1 — х0 = 4 — 3t1 — 4 = — 3t1 = -3 · 2 = — 6 м (Тело движется в отрицательном направлении оси ОХ).
Как рассчитать перемещение при равномерном движении?
Скорость равномерного прямолинейного движения прямо пропорциональна перемещению тела и обратно пропорциональна значению времени этого перемещения. v → = s → t . Можно выразить перемещение из этой формулы, умножив обе части на значение времени: s → = v → ⋅ t .
Как найти перемещение по уравнению?
Если начальная скорость тела равна нулю, то формула проекции перемещения тела имеет вид: sx = . Чтобы получить уравнение движения тела, подставим в формулу проекции перемещения ее выражение через разность координат sx = x – x0. x = x0 + v0xt + .
Как вывести формулу перемещения при равноускоренном движении?
равноускоренном движении: Sх = V0x t + ахt2/2.
Как найти ускорение при равномерном движении?
Ускорение тела при его равноускоренном движении — это величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло: a → = v → − v 0 → t .
Как найти S при равноускоренном движении?
1. Скорость и путь при равноускоренном движении
Рассмотрим некоторые особенности перемещения тела при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости. …
s = v 0 t + a t 2 2 , где а — это ускорение. 2/2 выразить начальную скорость, ускорение.
Как вывести формулу пути равноускоренного движения?
Формулы для равноускоренного движения v=v0+at v = v 0 + a t . Здесь v0 — начальная скорость тела, a=const a = c o n s t — ускорение. Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v(t) имеет вид прямой линии. Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости.
Как в физике обозначается начальная скорость?
где ˉv0 – начальная скорость движения, ˉa=const .
Как определить пройденный путь?
Расчет пути при равномерном движении Чтобы определить путь, который прошло тело при равномерном движении, необходимо скорость движения тела умножить на время которое это тело двигалось. S=V*t.
Что такое путь пройденный телом?
Путь, пройденный телом— это длина траектории. А длина траектории-это линия по которой движется тело.
Скалярные и векторные величины в физике и математике
Величиной в физике и математике называют свойства физических тел, измеряемых при помощи выполнения математических операций. Они имеют единицы измерения и зависят от физических законов и аксиом. Выделяют скалярные и векторные величины, обладающие различными характеристиками и параметрами.
Содержание
Особенности скалярных величин
Определение положительного скаляра и его измерения
Особенности векторных величин
Свойства векторов
Особенности скалярных величин
Скалярные величины характеризуются только одним параметром — числовым значением. Они разделяются на 2 вида:
Чистые скаляры. Характеризуются числовым значением, не находящимся в зависимости от осей отсчета — линий пересечения плоских поверхностей в единой системе координат.
Псевдоскаляры. Находятся при помощи расчета числа, знак которого зависит от положительного направления осей в системе координат.
В физике в список скалярных величин входят:
Масса — определяет величину материи и ее гравитационные свойства. Измеряется в килограммах и обозначается буквой латинского алфавита m.
Температура — средняя кинетическая энергия физического тела. Выражается в кельвинах или градусах Цельсия.
Работа — мера действия силы на физическое тело или систему тел. Измеряется в Джоулях и обозначается латинской буквой A.
Длина — величина, определяющая дистанцию между 2 концами тела в продольном направлении. Исчисляется в метрах. Особым видом длины является путь — скаляр, выражающий расстояние между начальным и конечным положением объекта, осуществляющего перемещение по заданной траектории.
Время — продолжительность действия или события. Рассчитывается в секундах.
Период — время совершения 1 полного колебания. Обозначается символом T и измеряется в секундах.
Частота — величина, обратная периоду. Определяет количество полных колебаний в единицу времени. Рассчитывается в Герцах.
Объем — скаляр, обозначающий размер пространства, ограниченного поверхностями со всех сторон. Измеряется в м³.
Напряжение — измеряет изменение потенциальной энергии тела, приходящейся на единицу заряда. Обозначается буквой U и рассчитывается в Вольтах.
Сила тока — скаляр, показывающий число электрических зарядов, проходящих через сечение проводника в единицу времени. Обозначается символом I и рассчитывается в Амперах.
Энергия — обозначает способность тела осуществлять работу.
Если скаляры выражают одно единственное свойство физического тела, то они называются однородными. Величины, описывающие несколько свойств объекта, именуются разнородными. Однородные скаляры сравнимы: они либо равны, либо одна из них больше или меньше другой. Но скалярные величины разного рода не могут сравниваться друг с другом.

Определение положительного скаляра и его измерения
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения позволяет сравнивать между собой однородные скаляры. Положительная скалярная величина способна принимать значения строго выше 0. Она обозначается знаком «+». Если величина может принимать значения меньше 0, то она называется отрицательной и обозначается символом «-«. Большинство скаляров могут быть только положительными. Для их расчета используют единицы измерения — фиксированного размера объекта.
Чтобы получить скалярную величину, достаточно умножить ее числовое значение на ее единицу измерения. Для структуризации и стандартизации вычислений физических параметров тела была разработана Международная система СИ. Она устанавливает единицы измерения для каждой величины. Во время проведения расчетов скалярных величин применяют алгебраические действия — сложение, вычитание, деление и умножение (отдельный подвид — возведение в степень).
Особенности векторных величин
Их определение: «В физике векторными величинами называются свойства материи, характеризующиеся несколькими параметрами: модулем и направлением». Модулем вектора будет являться числовое значение величины, никогда не принимающее отрицательных значений. Он обозначается символом «||». Для обозначения направления используется стрелка, располагающаяся над символом вектора.
В физике и математике примерами векторных величин являются:
Сила — мера взаимодействия физических веществ. Обозначается латинской буквой F и измеряется в Ньютонах. Три закона Исаака Ньютона составляют основу классической механики. С их помощью можно определить массу тела и его ускорение.
Скорость — расстояние, пройденное материей за определенный временной промежуток. Маркируется символом V и рассчитывается в м/с. Скорость используется для определения пути и времени движения предмета при помощи формулы: S = V * t. Скорость, с которой тело движется по окружности, называется линейной.
Ускорение — величина, показывающая изменение показателей скорости физического тела. Ускорение свободного падения действует на все тела, придавая им силу тяжести. Оно направлено к ядру Земли и равняется 9,8 м/с²
Импульс — характеризует величину движения тела. Маркируется буквой латинского алфавита p и рассчитывается в кг*м/с. С помощью этой величины человек может определить массу физического тела и скорость ее передвижения.
На графиках функции векторные величины изображаются в виде прямой линии, имеющей направление и свои собственные координаты в заданном масштабе.

Свойства векторов
Вектор — математический элемент, представляющий собой прямой отрезок с направлением. Он обозначается либо 2 заглавными латинскими буквами, либо одной прописной. Длиной вектора является его модуль. Если длина вектора равняется 0, то он называется нулевым. Вектор, имеющий длину 1 см, именуется единичным. Длина ненулевого вектора выражается в виде расстояния между началом и концом направленного отрезка. Проекцией вектора на ось является строго положительный отрезок, сонаправленный с исходной осью. Свойства проекции:
Произведение вектора на косинус между осью и направленным отрезком равен проекции вектора.
Проекция на ось принимает значения меньше 0, если отрезок с осью образует тупой угол.
Проекция на ось принимает значение больше 0, если отрезок с осью образует острый угол.
Коллинеарные векторы — отрезки, располагающиеся либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен всегда. Если коллинеарные векторы направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными. Если отрезки направлены в диаметрально противоположные стороны, то они называются противоположно направленными. Коллинеарные векторы являются равными, если они одинаковы по модулю и направлению.
Построение отрезков с направлением на плоскости осуществляется при помощи его координат для осей абсцисса и ордината. Для изображения направленного отрезка необходимо построить точки, координаты которых соответствуют началу и концу вектора, и соединить их.
С векторами также можно производить операции сложения, деления, вычитания и умножения. Чтобы сложить два вектора, необходимо от произвольной точки на плоскости отложить первый направленный отрезок и от него отложить второй вектор. Отрезок, соединяющий начало первого вектора и конец второго, будет считаться их суммой. Этот способ сложения именуется методом треугольника.
Вторым способом нахождения суммы векторов является метод параллелограмма. От произвольной точки откладываются оба направленных отрезка. Полученный рисунок нужно достроить до параллелограмма. Диагональ фигуры будет являться суммой векторов.
Для осуществления вычитания необходимо отложить от произвольной точки первый вектор. От полученного отрезка откладывается следующий вектор. Второй отрезок нужно направить в противоположную сторону. Линия, соединяющая отрезки, будет являться разностью векторов.
С векторами также можно проводить операцию умножения. Произведение длин направленных отрезков на косинус угла между ними называется скалярным. В результате вычислений получается число — скаляр. Скалярное произведение равно 0 в случае, когда отрезки пересекаются под углом 90°. Зная скалярное произведение, человек сможет найти косинус угла между построенными векторами.

Полученные в результате выполнения алгебраических операций выражения применяются для исследования перемещения тел вокруг оси вращения и изучения элементов высшей математики. Также направленные отрезки нашли широкое применение в геометрии и астрономии.
Предыдущая
ФизикаПружинный маятник — формулы и уравнения нахождения величин
Следующая
ФизикаМатематический маятник — определение, формулы и принцип действия
Векторные величины
В физике имеются многие величины, для знания которых недостаточно знать, чему равна эта величина. Рассмотрим простую задачу. Пусть идет пешеход с постоянной скоростью 5 км/ч. Известно, что в 12 часов дня он находился в пункте А. Требуется определить, где будет находиться пешеход в 14 часов. Зная только величину скорости пешехода, мы можем только сказать, что в 14 часов он будет находиться на расстоянии 10 км от пункта А. Но все возможные точки нахождения пешехода будут находиться на окружности радиусом 10 км с центром в точке А. Для определения точного положения пешехода нам нужно еще знать в какую сторону он идет. Значит, для практических целей нам недостаточно знать величину скорости тела. Требуется еще знать, куда эта скорость направлена. Имеется еще очень много физических величин, для характеристики которых требуется знание, как размера этой величины так и ее направления.
Физические величины, характеризуемые размером величины и ее направлением, называются векторными. Размер векторной величины чаще называется ее модулем. В отличие от векторных, величины, характеризующиеся только своим значением, называются скалярными. Значение скалярной величины иногда может иметь знак. При этом говорят, что скалярная величина характеризуется своим значением (которое тоже часто называется модулем) и знаком. При этом имеются скалярные величины, которые по своему физическому смыслу не могут принимать отрицательные значения (например, масса или пройденный путь). А некоторые скалярные величины могут быть как положительными, так и отрицательными. Заметим, что векторные величины знаком не характеризуются, то есть не бывает отрицательных векторов.
Векторные величины на рисунках принято изображать в виде стрелок. Причем направление стрелки указывает направление векторной величины, а длина стрелки определяется ее модулем. Обозначаются векторные величины буквами. Причем на рисунках над буквой, обозначающей векторную величину рисуется стрелочка, а в печатном тексте эти буквы печатаются жирным шрифтом.
Пусть при своем движении тело переместилось из точки А в точку В. Величину изменения положения тела можно определить как расстояние от точки А до точки В. Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Определяемое таким образом пройденное расстояние называется перемещением. Причем, перемещение – векторная величина. Перемещением — Δr — называется вектор, начало которого совпадает с начальным положением тела (точка А), а конец — с конечным положением (точка В). Однако, тело из начальной точки в конечную перемещалось не обязательно по прямолинейной траектории. Поэтому существует еще одна величина, характеризующая величину изменения положения тела – путь. Пройденным путем — S — называется длина траектории перемещения тела. Путь – скалярная и всегда положительная величина. Причем путь всегда больше или равен модуля вектора перемещения. Так если в результате движения тело вернулось в исходное положение, то есть точки А и В совпадают, то перемещение тела равно нулю, а путь больше нуля.
Векторные величины можно складывать. Так пусть, например, тело сначала переместилось из точки А в точку В, а затем еще переместилось в точку С. Суммарное перемещение Δr_AC равно сумме перемещений Δr_A_В и Δr_В_C. На рисунке суммарный вектор Δr_AC является третьей стороной в треугольнике, образованном векторами Δr_A_В и Δr_В_C. Аналогичным образом складываются все векторные величины. Для того, чтобы сложить два вектора а и b, необходимо нарисовать их друг за другом так, чтобы начало вектора b совпадало с концом вектора а. Вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b и является суммой векторов а и b. (c = a + b). Этот способ сложения векторов называется правилом треугольника. Можно складывать вектора по правилу параллелограмма. Для этого складываемые вектора надо нарисовать из одной точки, дорисовать получившуюся фигуру до параллелограмма и провести в нем из той же точки диагональ. Она и будет суммой векторов. Для того, чтобы сложить более чем два вектора, можно сложить сначала два из них, затем к их сумме прибавить третий и так далее. Естественно, для суммы векторов справедливо правило: a + b = b + a.
Вектора можно вычитать. Для того, чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор противоположный вектору b: c = a – b = a + (-b). Заметим, что –b – это не отрицательный вектор, а вектор противоположный вектору b, то есть вектор по модулю равный вектору b, а по направлению противоположный ему. Кстати, введенный выше вектор перемещения равен разности конечного и начального радиус – векторов, определяющих положения тела: Δr = r₂ – r₁.
Вектор можно умножать на скаляр. Если вектор а умножить на скаляр α, то получится вектор с = α·а, направление которого совпадает с направлением вектора а, а модуль в α раз больше.
Вектора можно скалярно умножать друг на друга. Скалярным произведением векторов а и b называется скаляр , где и — модули векторов а и b, а α – угол между ними. Замети, что результатом скалярного произведения двух векторов является скаляр. Причем знак этого произведения может быть как положительный, так и отрицательный. Это определяется знаком косинуса. Если угол между векторами острый, то их скалярное произведение положительно, а если тупой – то отрицательно.
Пусть есть вектор а и координатная ось Х. Из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на координатную ось. Длина отрезка на координатной оси между основаниями этих перпендикуляров – а_х — является проекцией вектора а на ось Х. Проекция вектора на ось – величина скалярная. При этом она может быть положительной и отрицательной. Если вектор и ось направлены преимущественно в одну сторону, то проекция вектора на ось положительна, а если вектор и ось направлены в противоположные стороны, то отрицательна. Так проекция вектора а на ось Х положительная, а проекция вектора b на ту же ось отрицательная. Если вектор и ось взаимно перпендикулярны, то проекция вектора на ось равна нулю. Если угол между вектором а и осью Х равен α, то проекция вектора на ось равна: . На рисунке изображен вектор а и система координат XY. Если угол между вектором и осью Х равен α, то угол между вектором и осью Y равен 90° — α. При этом проекция вектора а на ось Х равна , а на ось Y -. Если известны проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат, то модуль вектора можно выразить как .
Если , то . Аналогично в проекции на ось Y.
Скалярное произведение векторов а и b можно выразить через их проекции: .
Любой вектор можно представить в виде суммы двух или более векторов. Часто вектора представляют в виде суммы двух взаимно перпендикулярных векторов, направленных вдоль координатных осей X и Y. На рисунке представлено разложение вектора а на два взаимно перпендикулярных вектора а_х и а_y. Вектора а_х и а_y называются составляющими вектора а по направлениям Х и Y.
Скаляры и векторы
Чтобы лучше понять науку движения необходимо использовать некоторые математические идеи из векторный анализ . Большинство людей знакомятся с переносчиками в старшей школе или колледже. но для учеников начальной и средней школы или математически сложных:
НЕ ПАНИКУЙ! .
В векторном анализе есть много сложных частей, и мы не будем их рассматривать. Мы собираемся ограничиться самыми основами. Векторы позволяют нам смотреть на сложные, многомерные проблемы как более простая группа одномерных задач. В основном нас будут интересовать определения Слова немного странные, но идеи очень мощный, как вы увидите. Если вы хотите узнать больше о векторах, вы можете скачать этот отчет о векторный анализ.
Математика и наука были изобретены людьми для описания и понимать окружающий мир. Мы живем в (по крайней мере) четырехмерном мире, управляемом течение времени и трех пространственных измерений; вверх и вниз, влево и вправо, и вперед и назад. Заметим, что существуют некоторые величины и процессы в наш мир, которые зависят от направления , в котором они происходят, и есть некоторые величины, которые не зависят по направлению. Например, объем объекта, трехмерное пространство, которое занимает объект, не зависит от направления. Если у нас есть блок железа объемом 5 кубических футов, и мы перемещаем его вверх и вниз и затем влево и вправо, у нас все еще есть 5-кубовый блок железа. С другой стороны, расположение, объекта зависит от направления. Если мы переместим блок объемом 5 кубических футов на 5 миль в север, результирующее местоположение сильно отличается от если мы переместим его на 5 миль на восток. Математики и ученые называют количество который зависит от направления a количество векторов . Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной .
Векторные величины имеют две характеристики: величину и направление. Скалярные величины имеют только величину. Когда сравнение две векторные величины одного и того же типа, вы должны сравнить обе величина и направление. Для скаляров вам нужно только сравнивать величина. При выполнении любой математической операции над векторной величиной (например, сложение, вычитание, умножение . .) вы должны рассмотреть возможность как по величине, так и по направлению. Это делает работу с вектором величины немного сложнее, чем скаляры.
На слайде мы перечисляем некоторые из обсуждаемых физических величин в Руководство для начинающих по аэронавтике и сгруппировать их либо в векторные, либо в скалярные величины. особенно интерес, силы которые работают на летающих самолетах, масса, тяга и аэродинамические силы, все векторные величины. Результирующий движение самолета по водоизмещению, скорости и ускорения также являются векторными величинами. Эти величины можно определить, применяя законы Ньютона для векторов. Скалярные величины включают большую часть термодинамическое состояние переменные, связанные с двигательной системой, такие как плотность, давление и температура пропеллентов. энергия, Работа, а также энтропия связанные с двигателями также скалярные величины.
Векторы имеют величину и направление, скаляры имеют только величину. Тот факт, что величина встречается как для скаляров, так и для векторов, может привести к некоторой путанице. Есть некоторые величины, такие как скорость , которые имеют очень специальные определения для ученых. По определению, скорость является скалярной величиной вектора скорости . Автомобиль едет по дороге со скоростью 50 миль в час. Его скорость составляет 50 миль в час в северо-восточном направлении. Это может стать очень сбивает с толку, когда термины используются взаимозаменяемо! Другой пример масса и масса . Вес — это сила, которая является вектором и имеет величину и направление. Масса является скаляром. Вес и масса связаны друг с другом, но это не одно и то же количество».
В то время как законы Ньютона описывают результирующее движение тела, существуют специальные уравнения, описывающие движение жидкостей, газы и жидкости. Для любой физической системы масса, импульс и энергия системы необходимо сохранить. Масса и энергия — скалярные величины, а импульс — вектор количество. В результате получается связанный набор уравнений, называется уравнения Навье-Стокса, которые описывают поведение жидкости под действием внешних сил. Эти уравнения являются жидким эквивалентом законов движения Ньютона. и очень трудно решить и понять. Упрощенная версия уравнений, называемая уравнения Эйлера может быть решена для некоторых проблем с жидкостями.
Деятельность:
Экскурсии с гидом
Навигация ..

Домашняя страница руководства для начинающих
Примеры векторных и скалярных величин в физике
При изучении физики существует множество различных аспектов измерения и множество типов инструментов измерения. Скалярные и векторные величины являются двумя из этих типов инструментов измерения. Продолжайте читать примеры скалярной величины и примеры векторной величины в физике.
инфографические скалярные и векторные примеры
Advertisement
Определение скалярных и векторных величин
Понимание разницы между скалярными и векторными величинами является важным первым шагом в физике. Основное различие в их определениях:
Скаляр является измерением единицы строго в величине .
Вектор — это измерение, которое относится как к величина единицы и направление движения единицы.
Другими словами, скалярная величина имеет величину, такую как размер или длина, но не имеет определенного направления. Когда у него есть конкретное направление, это векторная величина.
Примеры скалярных величин
Скалярные величины, как указано выше, являются измерениями, строго относящимися к величине среды. В скалярной величине совершенно нет направленных составляющих — только величина среды. Исследуйте 10 примеров скалярных величин.
Площадь
Если вы измеряете площадь поверхности участка земли или двумерного объекта, у него нет направления, только величина. Вы можете связать с ним направление, когда рассматриваемый объект является трехмерным, поскольку вы измеряете его в разных направлениях. Но площадь является скалярной, когда измерение простое и двумерное.
Плотность
Плотность объекта можно найти, разделив его массу на объем. Поскольку в этом расчете требуется только две точки, это скалярная величина. Направление не влияет на плотность объекта.
Расстояние
Сколько вы прошли? Измеряя расстояние, вы определяете величину пройденного вами пространства. Он не включает водоизмещение или скорость; скалярная величина расстояния обсуждает только то, сколько земли было пройдено.
Энергия
Как и другие скалярные величины, энергия является произведением двух факторов (в данном случае силы и перемещения). Он описывает величину использования энергии без измерения направления.
Реклама
Масса
Многие люди используют слова «вес» и «масса» как синонимы, но это не одно и то же. Масса – это количество материи, присутствующей в объекте. Это не зависит от направления; масса объекта одинакова независимо от того, в каком направлении движется объект.
Скорость
Может быть трудно понять разницу между скоростью и скоростью. Однако знание того, что скорость является скалярной величиной, может оказаться полезным, поскольку при измерении скорости направление не имеет значения.
Реклама
Температура
Когда вы измеряете температуру термометром, вы измеряете свою среднюю тепловую энергию. Поскольку вы уже знаете, что энергия является скалярной величиной, вы, вероятно, можете понять, что температура также скалярна.
Время
Скалярные величины часто относятся ко времени, которое включает в себя измерение лет, месяцев, недель, дней, часов, минут, секунд и даже миллисекунд. При измерении времени не учитывается или не измеряется направление, хотя кажется, что время всегда движется вперед.
Объем
Скалярное количество может относиться к объему среды, например, к ее объему. Все, от тонн и унций до граммов, миллилитров и микрограммов, — все это скалярные величины, если они применяются к измеряемой среде, а не к движению среды.
Работа
Работа – это энергия, переданная объекту силой. Это скалярная величина, поскольку она является произведением силы и перемещения. Работа — это не то же самое, что сила, которая является векторной величиной, потому что работа — это результат действия силы.
Примеры векторных величин
Векторные величины относятся как к направлению движения среды, так и к измерению скалярной величины. Вы можете заметить, что скалярные произведения часто являются произведениями двух векторных величин. Ознакомьтесь с этими 10 примерами векторных величин, встречающихся в вашей повседневной жизни.
Ускорение
Хотя скорость является скалярной величиной, ускорение отличается. Ускорение измеряет скорость изменения скорости объекта. Он учитывает период времени, а также направление, что делает его векторной величиной.
Реклама
Смещение
Скалярная величина расстояния измеряет землю, пройденную движением, а смещение измеряет, насколько далеко она сдвинулась от своего первоначального местоположения. Вы можете видеть, что направление и величина очень важны при измерении смещения!
Сила
Сила имеет как величину, так и направление. В отличие от скалярного количества работы, сила заставляет объект изменять свою скорость. Думайте о таких силах, как гравитация, когда решаете, является ли это векторной величиной.
Повышение/понижение температуры
Измерение температуры среды является скалярной величиной. Однако измерение повышения или понижения температуры среды является векторной величиной. У него есть направление и величина.
Магнитная поляризация
Поляризация указывает на то, что два устройства отошли друг от друга. Направление (вдали друг от друга), а также величина (насколько далеко или насколько) являются важными факторами при измерении поляризации.
Импульс
Импульс указывает, что объект находится в движении. Это произведение массы и скорости, и его можно рассчитать только в том случае, если вы знаете, как быстро движется объект (величина) и в каком направлении.
Положение
Может показаться, что фиксированное положение не имеет ни величины, ни направления. И это правильно — если вы определяете «позицию» таким образом. Вектор положения берется относительно начала системы координат; то есть он существует в конце прямой линии, которая соединяется с серединой оси. С этой точки зрения легко увидеть направление и величину.
Реклама
Тяга
Тяга — это тип силы реакции, которая также имеет величину и направление. Подумайте о том, что вас толкают или толкают по воздуху — вы определенно движетесь в направлении, имеющем огромную величину! Чаще всего он используется в механике и аэронавтике.
Скорость
Измерение скорости, с которой объект меняет положение, является векторной величиной. Чтобы измерить векторную величину среды, необходимо применить направленное измерение к скалярной величине. Другим элементом направления, который может быть применен к векторной величине, является разница между вертикальным и горизонтальным перемещениями.
Вес
Вес объекта является произведением его массы и действующего на него гравитационного ускорения. Поскольку это связано с силой тяжести, вес имеет направление (вниз), а также величину.
Реклама
Источник дополнительной технической информации в Интернете
Высокотехнические примеры и пояснения, касающиеся скалярных и векторных величин, можно найти на веб-сайте National Aeronautics and Space. Он содержит полное описание скаляров и векторов, а также примеры и способы их использования.
Физика вокруг нас
Итак, теперь у вас есть несколько примеров скалярных и векторных величин, и вы понимаете некоторые различия между ними. Для получения дополнительной информации о физике ознакомьтесь с этими примерами контактной силы, которые вы, вероятно, увидите в физическом мире. Вы также можете больше углубиться в законы физики с повседневными примерами инерции.
Штатный писатель
Объяснение урока: Векторные величины | Nagwa
В этом объяснителе мы научимся описывать, как векторы используются в механике для решения задач в двух измерениях.
При моделировании реального движения с помощью математики необходимо различать векторные и скалярные величины. Скалярная величина может принимать только положительные (или нулевые) значения, указывающие на величину определенных признаков независимо от направления. Расстояние и скорость являются скалярными величинами потому что они не задают направление, а соответствующие реальные признаки имеют конкретное направление. Например, если нам говорят, что самолет летит со скоростью 200 километров в час, это говорит нам о его скорости путешествует, но не туда, куда он идет. Такие величины, как время и масса, также считаются скалярами, поскольку они по своей сути не касаются направлений и, следовательно, может принимать только положительные значения.
С другой стороны, векторная величина указывает как направление, так и величину. Перемещение и скорость являются векторными аналогами расстояние и скорость соответственно. Другими словами, расстояние — это величина смещения, а скорость — величина скорости. Поскольку скорость объекта также указывает его направление, самолет, летящий на север со скоростью 200 километров в час будет отличаться от скорости другого самолета, летящего на юг. с той же скоростью.
Рассмотрим, как задается направление в одномерном (или линейном) движении. В линейном движении есть ровно два разных варианта для направлений, поэтому направления можно указать, поставив положительный или отрицательный знак перед их скалярными аналогами. Для этого мы можем использовать следующие шаги.
Практическое руководство. Определение направлений векторных величин в линейном движении
Чтобы указать направление движения объекта по прямой линии, нам нужно
определяют положительное направление, которое называют ориентацией движения,
сравнивают заданное направление с положительным направлением:
если направление совпадает с положительным направлением, перед ним ставится знак плюс (часто опускается). скалярный аналог;
если направление не совпадает с положительным направлением, перед скалярным аналогом ставится знак минус.
Рассмотрим скорости самолетов из приведенного выше примера. Здесь один самолет летит на север, а другой летит на юг с той же скоростью. Мы не можем определить скорости двух плоскостей, не назначив сначала либо север, либо юг положительной стороной. направление. Если мы говорим, что север является положительным направлением, скорость первой плоскости равна +200 км/ч или просто 200 км/ч, а второй самолет имеет скорость −200 км/ч. Заметим, что единица скорости равна скорости.
Заметим, что в первом случае мы опустили положительный знак в скорости, чтобы написать 200 км/ч, что соответствует его скорости. В таких случаях мы должны будьте осторожны, чтобы отличать векторные величины от скалярных величин. Говоря, что самолет имеет скорость 200 км/ч — это не то же самое, что сказать, что он имеет скорость 200 км/ч, так как последний содержит дополнительную информацию о его направлении. Даже когда эти две величины принимают одинаковую форму, они имеют разные значения. Следовательно, скалярные и векторные величины не сравнимы напрямую.
В нашем первом примере мы найдем скорость и смещение объекта относительно их скалярных аналогов, когда их направления указано.
Пример 1. Расчет скорости, скорости, расстояния и перемещения по прямым путям
Автомобиль движется по шоссе по указанному маршруту.
Расстояние между точками А и В составляет 60 км, а расстояние между точками B и C составляет 30 км. Автомобиль едет из А в С, проходит через В, затем возвращается в A, проходящий через B. Внутри каждого сегмента автомобиль движется с постоянной скоростью 90 км/ч. Чему равно перемещение автомобиля из С в В? Кроме того, что такое скорость этого отрезка?
Ответ
Перемещение и скорость являются векторными величинами, скалярными аналогами которых являются расстояние и скорость соответственно. Векторные величины представляют направление и величина, в то время как скалярные величины указывают только величину. Напомним, что при прямолинейном движении направление векторной величины можно определить только в терминах положительного или отрицательного знака. Данная цифра указывает на то, что положительное направление направлено вправо, что означает, что положительный знак означает правое направление, а отрицательный знак означает левое направление.
Сначала рассмотрим смещение. Скалярным аналогом смещения является расстояние. Так как мы хотим найти смещение от C до B, нам нужно сначала найти расстояние между этими двумя точками. Нам дано, что расстояние между B и C равно 30 км, что равно величине водоизмещения. Направление от С до B направлен влево, что обозначается знаком минус. Следовательно, смещение от C до B задается путем помещения отрицательного знака в фронт скалярного аналога, который составляет 30 км. Это дает нам −30 км.
Далее найдем скорость. Скалярным аналогом скорости является скорость, и нам известно, что автомобиль движется с постоянной скоростью. скорость 90 км/ч; следовательно, это равно величине скорости от C в B. Направление скорости автомобиля из C в B направлено влево, что противоположно положительному направлению. Следовательно, скорость от C до B задается путем помещения знака минус перед скалярным аналогом, 90 км/ч. Это дает нам −90 км/ч.
Следовательно, перемещение и скорость автомобиля на участке от C до B определяются выражением −30,−90/.kmkmh
В предыдущем примере мы нашли смещение и скорость объекта, используя их скалярные эквиваленты. Другой важный вектор движущимися величинами являются ускорение и сила. Подобно смещению и скорости, эти величины имеют определенные направления, связанные с их в движении, на что указывают их знаки в одномерном движении. Однако их скалярные аналоги не имеют специальных имен, как расстояние и скорость, поэтому мы называем их величиной ускорения или величиной силы. И векторные, и скалярные аналоги делят одни и те же единицы. Например, ускорение, как и величина ускорения, может иметь единицу метры в секунду в квадрате (м/с ² ), а условной единицей силы и ее величины является ньютоны (Н). Мы резюмируем векторные и скалярные аналоги в таблице ниже.
Vector Scalar Unit
Displacement Distance m
Velocity Speed m/s
Acceleration Magnitude of acceleration m/ с ²
Сила Величина силы Н
Мы помним, что ускорение — это скорость изменения скорости, поэтому его интерпретация тесно связана со скоростью объекта. В то время как скорость указывает направление движения, ускорение указывает, как изменяется скорость. Рассмотрим, как интерпретировать направления скорости и ускорения при прямолинейном движении.
Свойства: скорость и ускорение в линейном движении
Направления скорости и ускорения движущегося объекта связаны следующим образом:
Если скорость и ускорение имеют один и тот же знак, то скорость объекта увеличивается.
Если скорость и ускорение имеют разные знаки, то скорость объекта уменьшается.
Мы можем понять указанные выше свойства, рассмотрев следующую диаграмму.
На приведенной выше левой диаграмме скорость и ускорение направлены в одном направлении. Например, мы можем представить парусник, путешествующий вправо, где ветер, действующий как ускорение, дует в том направлении, в котором уже движется лодка. парусник двигаться быстрее, а это значит, что скорость лодки увеличится. Точно так же мы можем изобразить сценарий, представленный по схеме справа. В этом случае ветер дует против парусника, что замедляет движение лодки. Это приводит к скорость лодки уменьшается.
В нашем следующем примере мы рассмотрим взаимосвязь между скоростью объекта и его ускорением при линейном движении.
Пример 2. Интерпретация знаков векторных величин
Предположим, что положительное направление движения направлено вправо. Что из следующего правильно описывает движение частицы скорость которого отрицательна, а ускорение положительно?
Частица замедляется при движении вправо.
Частица замедляется при движении влево.
Частица ускоряется при движении вправо.
Частица ускоряется при движении влево.
Ответ
Напомним, что скорость и ускорение являются векторными величинами, знаки которых в контексте линейного движения указывают направление. Так как мы учитывая, что положительное направление движения направлено вправо, мы знаем, что положительный знак связан с правильным направлением, в то время как отрицательный знак означает левое направление.
Мы можем начать с определения направления скорости. Скорость частицы отрицательна; следовательно, направление его скорости равно оставил. Направление движения объекта указывается его скоростью, поэтому мы можем видеть, что частица движется влево.
Ускорение — это скорость изменения скорости, поэтому его значение всегда связано со скоростью. Чтобы интерпретировать знак ускорения, мы вспомнить связь между направлением скорости и ускорением:
Если скорость и ускорение имеют один и тот же знак, то скорость объекта увеличивается.
Если скорость и ускорение имеют разные знаки, то скорость объекта уменьшается.
Обратите внимание, что в этом примере скорость и ускорение имеют противоположные знаки. Отсюда скорость частицы, равная величине скорости, уменьшается.
Это приводит к ответу B, в котором говорится, что частица замедляется, когда движется влево.
До сих пор мы рассматривали векторные величины в линейном движении. Направление в линейном движении простое, потому что есть только два варианта направление. Когда мы рассматриваем движение на плоскости, т. е. двумерное или плоское движение, мы видим, что существует более двух возможные направления. Например, автомобиль может двигаться на север, юг, восток или запад, что дает нам четыре направления. Но это не единственные возможности направления в плоскостном движении. Автомобиль мог двигаться на северо-запад, северо-северо-запад или вообще в любом направлении, заданном угол, начинающийся с северного направления. Это приводит к бесконечному числу возможных направлений плоскостного движения. Следовательно, мы не можем надеемся уловить направление в двух измерениях так же, как мы это сделали для одномерного движения.
Вместо знаков мы указываем направления плоскостного движения с помощью векторов. Кратко остановимся на некоторых свойствах векторов. В двоем размеры, любой вектор можно записать в терминах стандартных единичных векторов ⃑𝑖 и ⃑𝑗. Эти стандартные единичные векторы представляют собой векторы вдоль горизонтальной и вертикальной осей, величина которых равна 1.
Мы можем написать общий двумерный вектор, начинающийся с начала координат и заканчивающийся в точке (𝑎,𝑏), умножая эти стандартные единичные векторы скалярами и сложением их вместе, что приводит к выражению 𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗, как показано ниже.
Напомним, что величина вектора определяется длиной стрелки, которая определяется выражением ‖‖𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗‖‖=√𝑎+𝑏.
Эта формула величины взята из теоремы Пифагора. Мы можем видеть это на рисунке выше, так как векторная стрелка (красная) образует гипотенуза прямоугольного треугольника в сочетании с горизонтальной и вертикальной компонентами. Следовательно, квадрат величины дается добавлением квадраты длин горизонтальной и вертикальной стрелок, равные 𝑎 и 𝑏 соответственно. Это приводит к приведенной выше формуле для величины 𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗.
Мы можем использовать векторы для представления векторных величин, таких как перемещение, скорость, ускорение и сила. Величины этих векторов соответствуют их скалярным аналогам, которые аналогичны тому, что мы обсуждали в контексте линейного движения. Когда мы знаем векторную величину движения, мы можно использовать теорему Пифагора, чтобы найти ее скалярный аналог.
В следующем примере мы найдем скорость объекта, найдя модуль скорости.
Пример 3: Расчет скорости по скорости
Скорость частицы равна 4⃑𝑖−3⃑𝑗 м/с. Найдите скорость частицы.
Ответ
Напомним, что скорость является скалярным эквивалентом скорости, которая является векторной величиной. Скорость имеет ту же единицу, что и скорость, и равна к величине скорости. В этом примере нам задана скорость частицы в виде вектора. Его скорость равна величине скорость, поэтому мы можем найти скорость, вычислив величину данного вектора.
Напомним, что величина вектора 𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗 определяется выражением ‖‖𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗‖‖=√𝑎+𝑏.
Из нашего заданного вектора мы видим, что 𝑎=4 и 𝑏=−3. Подставляя эти значения в приведенную выше формулу, мы получить величину заданного вектора: 4+(−3)=√25=5.
Используя те же единицы измерения, что и скорость, скорость частицы равна 5 м/с.
В предыдущем примере мы рассматривали величину векторной величины, которая приводит к ее скалярному эквиваленту. С другой стороны, направление векторных величин можно понять, используя угол по отношению к любому стандартному единичному вектору. Мы можем получить такие углы, построив соответствующий прямоугольный треугольник и используя тригонометрию, как показано ниже.
Если мы знаем, что вектор принимает форму 𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗, то мы знаем, что зеленые стороны прямоугольный треугольник выше задается 𝑎 и 𝑏 соответственно. Чтобы найти отмеченный угол между диагональным вектором и стандартный единичный вектор ⃑𝑖, мы можем использовать отношение тангенсов tan𝑏𝑎.
Когда угол между векторами превышает 90∘, этот метод потребует небольшого модификация. В таких случаях мы можем нарисовать прямоугольный треугольник, содержащий остроугольную часть этого угла, опустив прямой угол в процесса, как показано на следующей диаграмме.
На приведенной выше диаграмме мы по-прежнему получаем прямоугольный треугольник, а отмеченный угол можно найти, используя отношение тангенса загар|𝑎|𝑏. Однако нам нужно добавить прямой угол (90∘) к отмеченному углу, чтобы получить угол между ⃑𝑖 и 𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗.
В нашем следующем примере мы найдем угол между ускорением объекта и стандартным единичным вектором.
Пример 4. Расчет направления ускорения
Ускорение частицы равно 4⃑𝑖−3⃑𝑗 м/с ² . Найдите угол, округлив до ближайшего степени, что ускорение этой частицы делает с единичным вектором ⃑𝑖.
Ответ
Напомним, что ускорение — это векторная величина в движении, которая представляет скорость изменения скорости. В этом примере нам дается ускорение частицы как вектор. Начнем с рисования этого вектора и единичного вектора ⃑𝑖 на та самая сетка.
Мы ищем угол, который обозначен как 𝜃 на диаграмме выше. Мы видим, что вертикальные и горизонтальные стрелки вместе с диагональной стрелкой образуют прямоугольный треугольник. Две перпендикулярные стороны имеют длины 4 и 3 соответственно. Мы должны быть будьте осторожны, чтобы не ошибиться, что длина вертикальной стороны равна -3, поскольку длина является скалярной величиной, которая не может быть отрицательной.
Сторона длины 4 примыкает к углу 𝜃, а сторона длины 3 противоположна 𝜃. Тогда отношение тангенсов этого угла определяется выражением таннапротив соседнего𝜃==34.
Мы можем найти 𝜃 из этого уравнения, применяя арктангенс: 𝜃=34=36,87….tan∘
Округляя этот ответ до ближайшего градуса, угол между ускорение объекта, а единичный вектор ⃑𝑖 равен 37∘.
Полезность векторных величин в движении становится очевидной, когда мы применяем различные векторные операции. Хотя большинство этих операций зарезервировано для будущих уроков мы можем рассмотреть геометрическое приложение, включающее сложение векторов. Напомним, что сложение двух векторов ⃑𝑣 и ⃑𝑤 можно представить на декартовой сетке, соединив два вектора так что начальный конец одного вектора лежит на конце стрелки другого вектора. Затем полученный вектор можно нарисовать, соединив два конечных пункта. Это показано на диаграмме ниже.
Это геометрическое свойство сложения векторов полезно при моделировании реального движения. В нашем последнем примере мы будем использовать сложение векторов, чтобы найти расстояние между двумя точками при заданных перемещениях по трем точкам.
Пример 5. Расчет величины смещения с использованием векторов
Частица движется из точки 𝐴 в точку 𝐵 и затем в точку 𝐶. Водоизмещение из точки 𝐴 в точку 𝐵 есть 3⃑𝑖+5⃑𝑗 см, а перемещение из точки 𝐵 в точку 𝐶 равно ⃑𝑖−7⃑𝑗 см. Найдите расстояние между точкой 𝐴 и точка 𝐶 округляется до ближайшей одной сотой сантиметр.
Ответ
Напомним, что смещение — это векторная величина, которая указывает и направление, и величину, а расстояние — это скалярная величина, представляющая только величина. Расстояние, которое мы ищем, находится между точкой 𝐴 и точкой 𝐶, что является величиной смещение от 𝐴 к 𝐶. Сначала найдем это смещение.
Напомним, что сложение двух векторов можно представить на декартовой сетке, соединив два вектора так, чтобы начальный конец одного вектор лежит на конце стрелки другого вектора. Чтобы визуализировать этот процесс, давайте нарисуем диаграмму, содержащую три точки вместе с два заданных перемещения.
Нижний вектор представляет собой смещение от 𝐴 до 𝐶, которое мы ищем. Использование геометрического свойство сложения векторов, мы можем видеть, что путешествие из 𝐴 в 𝐵 затем из 𝐵 в 𝐶 эквивалентно перемещению из 𝐴 в 𝐶. Другими словами, 𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶.
Вычислим это сложение векторов: 3⃑𝑖+5⃑𝑗+⃑𝑖−7⃑𝑗=(3+1)⃑𝑖+(5+(−7))⃑𝑗=4⃑𝑖−2⃑𝑗.
Это говорит нам о том, что смещение от точки 𝐴 к точке 𝐶 равно 4⃑𝑖−2⃑𝑗 см. С расстояния является величиной смещения, мы можем найти расстояние между этими двумя точками, вычислив величину этого вектора. Напомним, что величина вектора 𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗 определяется выражением ‖‖𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗‖‖=√𝑎+𝑏. 
Следовательно, величину 4⃑𝑖−2⃑𝑗 можно найти, подставив 𝑎=4 и 𝑏=−2 в приведенную выше формулу: 4+(−2)=√20=4,4721….
Округлив до ближайшей одной сотой сантиметра, расстояние между точкой 𝐴 и точкой 𝐶 равно 4,47 см.
Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.
Ключевые точки
Векторные величины указывают как направление, так и величину, тогда как скалярные величины указывают только величину. Векторная величина несет в себе той же единице, что и его скалярный аналог.
Примеры векторных величин и их скалярных аналогов приведены в следующей таблице.
Vector Scalar Блок
Дистанция
VELOCITE ²
Сила Величина силы N
Чтобы задать направление движения объекта по прямой,
определить положительное направление,
сравнить заданное направление с положительным направлением:
если направление совпадает с положительным направлением , знак плюс ставится (часто опускается) перед скалярным аналогом;
если направление не совпадает с положительным направлением, перед скалярным аналогом ставится знак минус.
Направления скорости и ускорения движущегося объекта связаны следующим образом:
Если скорость и ускорение имеют один и тот же знак, то скорость объекта увеличивается.
Если скорость и ускорение имеют разные знаки, то скорость объекта уменьшается.
При плоском движении векторные величины представляются с помощью векторов.
Операции с векторами, такие как сложение векторов, могут быть полезны при моделировании реальных ситуаций.
Скаляр и вектор: определение, количество, примеры
В повседневной жизни мы взаимозаменяемо используем расстояние, перемещение, скорость, скорость, ускорение и т. д. Для физиков все величины, будь то статические или движущиеся, могут быть дифференцированы путем классификации их как либо скаляры, либо векторы.
Величина с величиной (размером) только называется скалярной величиной . Масса, энергия, мощность, расстояние и время — вот некоторые примеры скалярных величин, потому что с ними не связано направление.
Величина, имеющая величину и связанное с ней направление , является векторной величиной . Ускорение, сила, сила тяжести и вес являются некоторыми векторными величинами. Все векторные величины связаны с определенным направлением.
Скаляры и векторы: значение и примеры
Как мы уже говорили, величина, имеющая модуль и направление, называется векторной величиной.
Вес является примером векторной величины, поскольку он является произведением массы и ускорения свободного падения. ускорение силы тяжести направлено вертикально вниз , что делает вес векторной величиной.
Давайте рассмотрим несколько примеров скаляров и векторов.
Предположим, у вас есть ящик, и вы перемещаете его на расстояние 5 метров.
Рис. 1. Движение объекта из точки A в точку B в заданном направлении представляет собой вектор. Oğulcan Tezcan – StudySmarter Originals
Если вы скажете кому-нибудь, что расстояние между точками A и B составляет 5 метров, вы говорите о скалярная величина потому что вы не указываете направление . Пять метров — это всего лишь величина (расстояние), а направление может быть любым. Таким образом, расстояние является скалярной величиной.
Однако, если вы скажете кому-нибудь , что переместили ящик на 5 метров вправо (на восток) , как показано на рисунке 1, вы теперь говорите о векторной величине . Почему? Поскольку у вас есть , теперь указано направление, связанное с движением . А в физике это называется смещение . Следовательно, перемещение является векторной величиной.
Теперь предположим, что вам потребовалось 2 секунды, чтобы передвинуть коробку вправо.
Рис. 2. Диаграмма, показывающая вектор смещения относительно времени. Oğulcan Tezcan – StudySmarter Originals
Если бы вам нужно было вычислить, как быстро вы переместили коробку, вы вычислили бы скорость движения . В приведенном выше примере скорость равна:
Скорость является скалярной величиной , поскольку она не имеет направления.
Однако, если вы скажете, что ящик двигался со скоростью 2,5 м/с вправо , это становится векторной величиной . Скорость с направлением — это скорость, , а изменение скорости, в свою очередь, известно как ускорение (м/с ² ), которое также является векторной величиной.
Скаляр Вектор
Расстояние Перемещение
Скорость Скорость и ускорение
Масса и вес: что из них скалярная, а какая векторная?
Масса и вес тела могут казаться одинаковыми, но это не так.
Масса: количественная мера инерции тела , которая представляет собой тенденцию тела сопротивляться силе, которая может вызвать изменение его скорости или положения. Масса имеет единицу СИ килограмм.
Вес: Гравитационное притяжение , действующее на массу. Единицей измерения СИ являются ньютоны.
Скаляр
Масса не имеет никакого направления, и она будет одинаковой, где бы вы ни находились во Вселенной! Таким образом, мы можем классифицировать массу как скалярную величину .
Вектор
Вес, с другой стороны, это сила, действующая на объект, и поскольку сила имеет направление, вес является векторной величиной .
Другой способ посмотреть на это, если вы поместите один объект на Землю, а другой объект с той же массой на Луну. Оба объекта будут иметь одинаковую массу, но разный вес из-за гравитационного притяжения Луны (1,62 м/с ² ), что меньше по сравнению с Землей.
Как мы можем представить векторы?
Мы можем представить векторы стрелкой, как показано ниже.
Рис. 3. Представление вектора. Wikimedia Commons
Длина отображает величину, хвост — начальную точку вектора, смысл вектора определяется порядком двух точек на линии, параллельной вектору, а ориентация говорит вам, под каким углом вектор указывает. Комбинация ориентации и смысла определяет направление вектора.
Примеры векторов: как выполнить сложение векторов?
Давайте рассмотрим несколько примеров выполнения сложения векторов.
Допустим, у вас есть два вектора 10 северной широты и 15 северной широты, и оба они указывают на восток. Сумма этих векторов становится 25N на восток.
Рисунок 4. Добавление векторов в одном направлении. Усама Адил — StudySmarter Originals.
Теперь, если мы изменим направление 15 северной широты на запад (-15 северной широты), результирующий вектор становится -5 N (указывая на запад). Векторная величина может иметь положительные и отрицательные знаки . Знак вектора показывает, что направление вектора противоположно опорному направлению (которое произвольно).
Рис. 5. Вычитаются векторы в противоположном направлении. Usama Adeel — StudySmarter Originals
Теперь, конечно, все сложения векторов не так просты, как показано выше. Что бы вы сделали, если бы два вектора были перпендикулярны друг другу? Здесь нам нужно немного импровизировать.
Правило «голова к хвосту»
С помощью этого правила мы можем вычислить результирующий вектор, соединив конец первого вектора с началом второго вектора . Взгляните на рисунки ниже.
Рис. 6. Перпендикулярные векторы соединяются по правилу «голова к хвосту». Usama Adeel – StudySmarter Originals
Векторная сила 30 Н действует в восточном направлении, а векторная сила 40 Н действует в северном направлении. Мы можем вычислить результирующий вектор, соединив хвост вектора 30N с головой вектора 40N. Вектора перпендикулярны, поэтому мы можем используйте теорему Пифагора для решения результирующего вектора, как показано на рисунке 7.
Рисунок 7. Перпендикулярное сложение вектора. Usama Adeel – StudySmarter Originals
Немного тригонометрии и применения теоремы Пифагора результирующий вектор становится равным 50N. Теперь, как мы обсуждали, векторная величина имеет не только направление, но и величину, поэтому мы можем вычислить угол вектора 50N, используя арктангенс 40/30 (перпендикуляр/основание). Тогда угол составляет 53,1 ° от горизонтали для приведенного выше примера.
Разложение вектора на его компоненты
Используя тот же пример выше, что, если бы у нас была только векторная сила 50 Н с углом от горизонтали, и нас попросили найти ее горизонтальную и вертикальную составляющие?
Разделение одного вектора на два или более векторов, производящих эффект, аналогичный исходному вектору, называется разрешением векторов .
Давайте рассмотрим пример, объясняющий эту концепцию.
Предположим, что вектор силы F в 150 Н приложен под углом 30 градусов к поверхности.
Рис. 8. Вектор под углом. Usama Adeel – StudySmarter Originals
Мы можем разделить вектор F на горизонтальную составляющую (Fx) и вертикальную (Fy) составляющую, как показано ниже:
Рисунок 9. Разрешение векторов. Usama Adeel — StudySmarter Originals
Вычисление Fx и Fy с помощью тригонометрии дает нам:
Разложение компонентов силы на наклонной плоскости
Как вы, возможно, уже поняли, расчеты в физике никогда не бывают такими простыми ! Не каждая поверхность горизонтальна — иногда поверхности могут быть наклонными, и вам придется рассчитывать и разрешать компоненты вдоль наклонной плоскости.
Рисунок 10. Направление веса на наклонной плоскости. Usama Adeel – StudySmarter Originals
На рис. 10 показана коробка на поверхности под углом θ к горизонтали. Вес коробки, mg, действует вниз с массой m и гравитационным притяжением g.
Если мы разделим вектор mg на горизонтальную и вертикальную составляющие,
вертикальная составляющая будет перпендикулярна наклонной поверхности, а
горизонтальная составляющая mg будет параллельна к наклонной поверхности.
Рис. 11. Разрешение вектора мг на наклонной поверхности. Usama Adeel – StudySmarter Originals
Угол θ между mg и mgcosθ будет таким же, как угол наклонной поверхности от горизонтали. Сила, которая разгонит ящик вниз по склону, составит mgsin θ (Fg) , а сила реакции Fn (из третьего закона Ньютона) будет равна mgcos θ . Отсюда
Рис. 12. Разрешение векторов и направление движения на наклонной плоскости. Usama Adeel – StudySmarter Originals
Равновесие компланарных силовых систем
Если силы действуют на тело, и тело неподвижно или движется с постоянной скоростью (без ускорения), такой случай называется равновесием . Силовые линии должны проходить через одну и ту же точку, чтобы тело находилось в равновесии.
На приведенном ниже рисунке однородная лестница прислонена к гладкой стене (трение отсутствует). Вес лестницы действует вниз, а нормальная сила реакции действует под углом 90° к стене.
Рис. 13. Лестница, прислоненная к стене, является примером тела, находящегося в равновесии. Usama Adeel — StudySmarter Originals
Если вы расширите эти силы, вы увидите, что они пересекаются в определенной точке. Поскольку объект находится в равновесии, сила от земли также должна проходить через ту же точку, что и другие силы.
Рис. 14. Силовые линии пересекаются в одной точке, если тело находится в равновесии. Usama Adeel – StudySmarter Originals
При разделении силы от земли на ее вертикальную и горизонтальную составляющие, нормальная сила реакции от земли действует вверх, а сила трения от земли действует вдоль поверхности.
Рис. 15. Результирующая векторов трения и грунта. Usama Adeel – StudySmarter Originals
В сущности, происходит то, что все силы компенсируют друг друга.
Нормальная сила от стены (правая сила) = сила трения, действующая на землю (левая сила).
Вес от лестницы (сила, направленная вниз) = сила реакции от земли (сила, направленная вверх).
Скаляр и вектор – ключевые выводы
Скалярная величина имеет только величину, тогда как векторная величина имеет величину и направление.
Вектор может быть представлен стрелкой.
Чтобы найти результирующий вектор, векторы в одном направлении складываются, а векторы в противоположном направлении вычитаются.
Результирующий вектор двух векторов можно вычислить по правилу «голова к хвосту», а результирующий вектор перпендикулярных векторов можно рассчитать по теореме Пифагора.
Если вектор расположен под углом к горизонтали (или вертикали), его можно разложить на компоненты x и y.
Силовые линии должны пересекаться в одной точке и уравновешивать друг друга, чтобы объект находился в равновесии.
В чем разница между векторами и скалярами?
Скаляр — это величина, которая полностью определяется своей величиной и не имеет направления. Скаляр может быть описан либо безразмерно, либо в терминах некоторой физической величины. Примеры скаляров: масса, объем, расстояние, энергия и время.
Скалярными величинами можно управлять с помощью законов арифметики, применимых к натуральным числам. Например, если я добавляю 20 граммов сахара в рецепт, а затем добавляю еще 20 граммов, в результате получается 40 граммов сахара в рецепте. Если я куплю литровую (1000 мл) бутылку воды и выпью 250 мл, останется 750 мл.
Вектор – это величина, которая определяет как величину, так и направление. Такая величина может быть представлена геометрически стрелкой длины, пропорциональной ее величине, указывающей в заданном направлении. Примеры векторов: перемещение, скорость, ускорение, сила и электрическое поле. Векторы можно складывать простыми способами, как и скаляры. Например: Самолет летит на юг со скоростью 500 миль/час. Ветер дует с востока со скоростью 100 миль в час. Результирующая скорость не 600 миль в час и не 400 миль в час. 92)
R = 509,9 миль/ч.
Направление плоскости можно вычислить с помощью функции косинуса.
тангенс = 100/500 = 11,31 градуса
(Примечание: схема выполнена не в масштабе)

1. ___ _ пример скалярной величины а) скорость б) сила в) том г) ускорение
2. ___ является примером векторной величины а) масса б) сила в) том г) плотность
3. Скалярная величина: а) всегда имеет массу б) есть величина, полностью определяемая своей величиной в) показывает направление г) не имеет единиц
4. Векторная величина а) может быть безразмерной величиной б) указывает только величину в) указывает только направление г) определяет как величину, так и направление
5. Мальчик давит на стену с силой 50 фунтов. Стена не двигается. Результирующая сила: а) -50 фунтов б) 100 фунтов в) 0 фунтов г) -75 фунтов
6. Человек прошел 3 мили на север, затем повернул направо и прошел 4 мили на восток. Результирующее смещение: а) 1 миля ЮЗ б) 7 миль NE в) 5 миль NE d) 5 миль E
7. Самолет, летящий со скоростью 500 миль/час строго на север, имеет попутный ветер 45 миль/час, результирующая скорость: а) 545 миль/час на юг. б) 455 миль/час на север. c) 545 миль/ч строго на север. г) 455 миль/час строго на юг
8. Разница между скоростью и скоростью: а) скорость не имеет единиц б) скорость показывает только величину, а скорость представляет и величину (силу), и направление в) они используют разные единицы для представления своей величины г) скорость имеет большую величину
9. Результирующая величина двух векторов
а) всегда положительный б) никогда не может быть нулевым в) Никогда не может быть отрицательным г) Обычно равен нулю
10. Что из следующего неверно. а) скорость может быть отрицательной б) скорость есть вектор б) скорость является скаляром г) скорость может быть отрицательной

Сила, работа и энергия
Скорость, скорость и ускорение:   В чем разница между скоростью и скоростью? Что такое ускорение? График скорости и ускорения. Проверка вашего понимания.
Сила:   Что такое сила? Измерение сил. Описание Сил. Что делает сила? Что такое трение? Оценочные вопросы.
Векторы и скаляры:   Что такое векторная величина? Примеры векторов. Что такое скалярная величина? Примеры скаляров. Проверьте свое понимание векторов и скаляров.
Три закона движения Ньютона:   См. «Три закона Ньютона» на латыни и английский перевод. Приведены примеры для каждого закона..
Работа, энергия и мощность: определения работы, энергии и мощности. Виды энергии, расчет работы и мощности.
Разница между массой и весом:   Отличная страница для одаренных и талантливых учащихся! Несколько отличных сложных задач.
Гравитация, масса и вес:   Гравитация, масса и вес по отношению к Солнечной системе
Основные и производные единицы:    Основные и производные единицы, включая физические величины, символы единиц измерения.
Математические отношения в науке: см. лабораторную работу 5, Ускорение.
Связанные виды деятельности
Понимание скалярных и векторных величин
Все ресурсы по физике для старших классов
6 Диагностические тесты 233 практических теста Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
← Предыдущая 1 2 3 4 Следующая →
Школа физики Помощь » Вводные принципы » Понимание скалярных и векторных величин
Что из следующего может быть результатом произведения векторной величины на скалярную величину?
Возможные ответы:
Напряжение
Работа
Вес
Скорость
Все это результат произведения вектора и скаляра
900
Вес
Объяснение:
Скалярные величины определяются величиной без применимого направления. Напротив, векторные величины должны иметь как величину, так и направление действия.
Произведение векторной величины на скалярную величину всегда будет векторной величиной. Сила является результатом произведения массы (скаляр) и ускорения (вектор). Вес — это тип силы, создаваемой ускорением свободного падения.
Напряжение является скалярной величиной и может быть рассчитано как произведение тока (скалярное) на сопротивление (скалярное).
Работа является векторной величиной и может быть рассчитана как произведение силы (вектор) и смещения (вектор).
Скорость является вектором и может быть рассчитана как частное смещения (вектор) в единицу времени (скаляр).
Сообщить об ошибке
Скорость является скалярной величиной. Какая векторная величина представляет скорость в приложенном направлении?
Возможные ответы:
Расстояние
Перемещение
Скорость
Вес
Ускорение
Правильный ответ:
Скорость
Объяснение:
Скалярные величины определяются величиной без применимого направления. Напротив, векторные величины должны иметь как величину, так и направление действия.
Скорость определяется изменением расстояния в единицу времени. Поскольку расстояние и время являются скалярными величинами, результирующая скорость также является скалярной. Напротив, скорость определяется изменением смещения в единицу времени. Поскольку смещение является вектором, результирующая скорость также является вектором. Величина заданной скорости и заданной скорости могут быть равны, но член скорости будет представлять скорость, приложенную в определенном направлении.
Ускорение — векторная величина, определяемая изменением скорости в единицу времени. Вес создается силой тяжести на объекте; все силы являются векторами.
Сообщить об ошибке
Что из следующего является скалярной величиной?
Возможные ответы:
Ускорение
Сила
Расстояние
Смещение
Velocity
Правильный ответ:
Расстояние
Объяснение:
Скалярные величины определяются величиной без применимого направления. Напротив, векторные величины должны иметь как величину, так и направление действия.
Некоторыми распространенными скалярными величинами являются расстояние, скорость, масса и время. Некоторыми распространенными векторными величинами являются сила, скорость, смещение и ускорение.
Сообщить об ошибке
Что из этого является вектором?
Возможные ответы:
Емкость
Время
Скорость
Сила
Расстояние
Правильный ответ:
Сила
Объяснение:
Вектор имеет как величину, так и направление, тогда как скаляр имеет только величину. Спрашивая, является ли что-то вектором или скаляром, спросите, имеет ли смысл направление — в этом случае единственным вектором является сила. Хотя направление помогло бы со скоростью и расстоянием, они оба являются скалярами; векторная версия скорости — это скорость, а векторная версия расстояния — это перемещение.
Сообщить об ошибке
Какая из этих величин является скалярной?
Возможные ответы:
Velocity
Force
Momentum
Смещение
MASS
Правильный ответ:
MASS
Объяснение:
Скалярная величина может быть определена только величиной, тогда как векторная величина должна определяться как величиной, так и направлением действия.
Из предложенных вариантов ответа масса является единственной скалярной величиной. Масса имеет величину, как правило, в килограммах, но не может действовать в направлении. «7kg west», например, бессмысленно.
Напротив, перемещение, скорость, сила и импульс должны быть приложены в заданном направлении. Перемещение — это векторный эквивалент скалярной величины расстояния, а скорость — векторный эквивалент скалярной величины скорости. Силы должны всегда действовать в заданном направлении и не иметь скалярного эквивалента. Точно так же импульс всегда должен быть направленным.
Сообщить об ошибке
Ребенок катится по краю катка и финиширует там же, где и начал. Если каток имеет радиус , каково полное перемещение фигуриста?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Между измерением смещения и измерением расстояния есть четкое и важное различие. Расстояние является скалярной величиной, что означает, что оно зависит от пройденного пути и не зависит от пройденного направления. Расстояние измеряет общую пройденную длину без какой-либо привязки к начальной точке.
Смещение, напротив, является векторной величиной. Это означает, что при расчете необходимо учитывать как величину длины, так и ее направление. Смещение — это, по сути, чистое расстояние, пройденное относительно начальной точки, независимо от пройденного пути.
В этом вопросе фигуристка финиширует точно в том же месте, где и начала. Без какой-либо другой информации мы можем сделать вывод, что ее водоизмещение равно нулю. Неважно, какой путь она выбрала, чтобы вернуться к исходной точке; она могла сделать шаг вперед и шаг назад, проехать весь каток семнадцать раз или просто прыгнуть и приземлиться. Все эти возможности привели бы к нулевому смещению.
Сообщить об ошибке
Какая из следующих величин не является векторной?
Возможные ответы:
Смещение
Ускорение
Вязкость
Velocity
Force
Правильный ответ:
Взысканность
44. Пояснение:
Вязкость – это измерение «густоты» жидкости. Патока, например, является более вязкой жидкостью, чем вода.
Векторные измерения определяются величиной и направлением. Для жидкости иметь измеримую «толщину» логично, но жидкость не может иметь вязкость в направлении. Говорить о том, что жидкость имеет вязкость Восточная, не имеет смысла. Вязкость является скалярной величиной.
Перемещение, сила, скорость и ускорение имеют связанные направления и классифицируются как векторные величины.
Сообщить об ошибке
Какая из следующих величин является векторной?
Возможные ответы:
Расстояние
Масса
Яркость
Время
Сила
Правильный ответ:
2 Сила Объяснение:
Векторные величины определяются как величиной параметра, так и направлением действия. В контракте скалярные величины не зависят от направления и зависят только от величины параметра.
Масса, расстояние, время и яркость — все это скалярные величины. Это означает, что ни один из этих терминов не может быть применен в данном направлении. Было бы нелогично иметь «три грамма на запад» или «восемнадцать секунд налево». Расстояние является скалярным эквивалентом вектора смещения.
Сила всегда векторная величина, так как направление силы имеет значение при определении параметра. «Четыре ньютона вправо» количественно отличается от «четыре ньютона вниз» или «четыре ньютона влево».
Сообщить об ошибке
Каковы модуль и угол для следующего вектора, измеренного против часовой стрелки от оси x?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Величина вектора находится по формуле расстояния:

Чтобы вычислить угол, мы должны сначала найти арктангенс:
Это значение угла является главным арктангеном, но оно находится в четвертом квадранте, а наш вектор — во втором.

Грани	Края	Вершины	Форма основания	Название пирамиды
4	6	4	треугольник	тетраэдр/треугольная пирамида
5	8	5	квадратный	квадратная пирамида
6	10	6	пятиугольник	пятиугольная пирамида
7	12	7	шестигранник	шестигранная пирамида
8	14	8	семиугольник	семиугольная пирамида
9	16	9	восьмиугольник	восьмиугольная пирамида

Блок все	The area of the
base of the truncated pyramid = 35	top of the truncated pyramid = 3
centimeter²	225.81	19.35
foot²	0. 24	0.02
inch²	35	3
meter²	0.02	0

Unit all	The area of the plane
ac of the truncated pyramid = 36.5	bd of the truncated pyramid = 60.83
centimeter²	235.46	392.44
foot²	0.25	0.42
inch²	36.5	60.83
meter²	0.02	0.04

Unit all	The lateral surface area of the truncated пирамида = 64840096954"> 194,65	Общая поверхность площадь усеченной пирамиды = 232,651
centimeter²	1 255.79	1 500.95
foot²	1.35	1.62
inch²	194.65	232.65
meter²	0.13	0,15

Блок все	Длина
основание сторона a = 5 53	base side b = 7	top side c = 1	top side d = 3
centimeter	12.7	17.78	2.54	7. 62
foot	0.42	0.58	0.08	0.25
inch	5	7	1	3
meter	0.13	0.18	0.03	0.08

Unit all	The perimeter of the
base of the Усеченная Pyramid = 24	Верх из Truncated Pyramid = 8
SENTIMET0317
foot	2	0.67
inch	24	8
meter	0.61	0.2

Unit all	Длина
высота h усеченная пирамида = 12	наклон _a 9021 усеченная пирамида0021 = 165525060596"> 12.17	slant _b of the truncated pyramid = 12.17
centimeter	30.48	30.9	30.9
foot	1	1.01	1.01
inch	12	12.17	12.17
МЕТР	0,3	0,31	0,31

Проверяем порядок действий Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала. Выполните действия: Повторение №1 7470 : 18 = 415 1 а) (7470 : 18 – 319 ) – (103 ∙ 20 – 24 ∙ 45) : 28 415 – 319 = 96 2 103 ∙ 20 = 2060 3 24 ∙ 45 = 1080 4 2060 – 1080 = 980 5 980 : 28 = 35 6 96 – 35 = 61 7

Обсуждаем Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала. От железнодорожной станции до поселка 72 км. От станции и из поселка одновременно и навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Один из них едет со скоростью 13 км/ч, другой – 11 км/ч. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если будут ехать без остановок? ЗАДАЧА №3 72 : (13 + 11) = 3 (ч) ? . . 13 км/ч 11 км/ч . 72 км с п

Обсуждаем Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один шел со скоростью 4 км/ч, другой – со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? ЗАДАЧА №4 28 – (4 ∙ 3 + 5 ∙ 3 )= 1 (км) ? . . 4 км/ч 5 км/ч . 28 км с1 с2 . 3 ч 3 ч

Расстояние между шариками Скорость черного Скорость белого Время 2 м/с 3 м/с 4с 30 м 4 м/с 2 м/с 27 м 4 м/с 3 с Математическая разминка Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала. 1) Черный и белый шарики покатились одновременно в противоположных направлениях из одной точки. Какие величины должны стоять в пустых клетках таблицы? 20 м ? 5 с ? 5 м/с ?

Разбираем задачу Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут они за 1 ч до встречи? За 2 ч до встречи? Задача №5 (60 + 80) ∙ 1 = 140 км з а 1 ч до встречи . . 60 км/ч 80 км/ч . 1 ч п1 п2 . . (60 + 80) ∙ 2 = 280 км з а 2 ч до встречи

Движение по реке Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи . Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна 7 км/ч, а скорость течения реки – 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению, складывается из ее собственной скорости и скорости течения : 7 + 2 = 9 (км/ч) А скорость лодки против течения реки получается вычитанием из собственной скорости лодки скорости течения реки: 7 – 2 = 5 км/ч.

Скорость катера по течению реки равна 15 + 3 = (18 км/ч) За 2 часа он проплыл по течению 18 ∙ 2 = 36 (км) Скорость катера против течения реки равна 15 – 3 = ( 12 км/ч ) поэтому время, которое катер затратил на обратный путь, равно 36 : 12 = 3 (ч) Решим задачу Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи . Катер плывет от одной пристани до другой вниз по течению реки 2 ч. Какое расстояние проплыл катер, если его собственная скорость равна 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч? За какое время катер проплыл обратный путь, плывя против течения?

Движение по реке практикум б) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь – 2 ч. В каком направлении течет река? УЧЕБНИК У: № 291 Река течет в направлении от А к В, т. к. время движения от А к В меньше чем от В к А. ответ в) Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько километров река отнесет плот за 1 ч? За 5 ч? За 1 ч на 2км, за 5ч – на 10 км. ответ

Работаем устно практикум Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Задача №6 По течению – 20 км/ч. Против течения – 16 км/ч. ответ 1) С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? Против течения реки? По течению – 40 км. Против течения – 48 км. ответ 2) Какой путь пройдет катер по течению реки за 2 ч? Против течения реки за 3 ч?

Работаем устно практикум Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Задача №7 По течению – 4 ч. Против течения – 5 ч. ответ 3) Сколько времени затратит катер, чтобы пройти 80 км по течению реки? Против течения реки?

Решаем задачу практикум Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения реки. Какое расстояние проплыл катер за это время, если скорость течения реки 2 км/ч ? УЧЕБНИК № 294 (15 + 2) ∙ 2 + (15 – 2 ) ∙ 3 = 73 (км) решение

Движение по реке Проверка полученных результатов. Коррекция. . Расстояние между причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно если собственная скорость моторной лодки 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч? УЧЕБНИК №297 24 : (10 + 2) + 24 : (10 – 2 ) = 5 (ч) решение

Движение по реке (для продвинутых) Проверка полученных результатов. Коррекция. . Лодка плывет по течению реки. Скорость течения реки 2 км/ч. В некоторый момент гребец уронил в воду шляпу и, не заметив этого, продолжал плыть дальше. Какое расстояние будет между лодкой и шляпой через 15 мин, если собственная скорость лодки 9 км/ч? Изменится ли ответ, если скорость течения будет другой? Подумай! №8 Шляпа будет плыть по реке со скоростью течения реки. Скорость лодки в стоячей воде равна 9 ∙ 1000/60 = 150 (м/мин). Значит через 15 мин после падения шляпы расстояние между лодкой и шляпой будет равно 150 ∙ 15 = 2250 (м). При изменении скорости реки ответ не изменится. решение

Подведение итогов, рефлексия, домашнее задание. Подведем итоги — По каким вопросам ваше мнение не изменилось? — Объясните, почему вы так решили. — По каким вопросам ваше мнение изменилось и почему? Домашнее задание п.3.5, №292, №295

Проверочная работа Проверка полученных результатов. Коррекция. . 1) Реши задачу: Собственная скорость теплохода равна 20 км/ч, скорость течения реки – 2 км/ч. С какой скоростью теплоход идет по течению реки и с какой – против течения? : 2) Выполни действия : (7470 : 18 – 319 ) – (103 ∙ 20 – 24 ∙ 45) : 28

ВПР 5 класс математика (5 вариант) 05.05.2017 92403 При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. При необходимости можно пользоваться черновиком. Таблица умножения 08.07.2017 294387 Тест предназначен для закрепления изученного материала и его повторения. Удачи в прохождении! Натуральные числа на координатной прямой 07.08.2022 461 0 Тест по математике для учащихся 5 класса. Тема: «Натуральные числа на координатной прямой». Для любого УМК из действующего ФПУ. Прямая. Луч. Отрезок. 08.11.2020 5212 Данный тест будет полезным учителю для осуществления быстрого контроля на уроке, а также ребятам, которые желают проверить свои знания по данной теме. ВПР 5 класс математика (2 вариант) 05. 05.2017 16628 При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. При необходимости можно пользоваться черновиком. Математика решение задач 30.01.2021 57446 тест для учащихся 3-4 классов по математике задания не простые. Пожелаем удачи. таблица умножения от 2 до 15 04.10.2020 22795 13 заданий. Критерии: «5» — 13 баллов, «4» — 11-12 баллов, «3» — 9-10 баллов. Тест по математике «Натуральные числа» 16. 02.2021 1133 Данный тест предназначен для повторения материала по теме «Натуральные числа» ВПР 5 класс математика (3 вариант) 05.05.2017 7652 При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. При необходимости можно пользоваться черновиком. Десятичные дроби 06.03.2014 66739 Простой тест по математике для учащихся 5 класса из 10 вопросов. Данный тест поможет проверить свои навыки и умения выполнять тестовые задания, проверить знания учащихся по темам «Десятичная запись дробных чисел», «Сравнение десятичных дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей». Викторина о римских цифрах 02.03.2022 498 Викторина о цифрах, которые мы встречаем на циферблатах часов и в исторических датах.

Тест по математике. 5 класс 01.05.2017 62699 В этом тесте вам предлагается вспомнить краткий материал по математике из курса 5 класса. Округление десятичных дробей 10.04.2015 28959 Тест для учащихся 5 классов состоит из 7 вопросов по теме «Округление десятичных дробей». Выполняется для закрепления изученного материала. Олимпиада по математике 5 класс 27.01.2014 44400 Данный тест можно использовать как дистанционную олимпиаду. Сложение и вычитание десятичных дробей 21.05.2015 11625 Тест для учащихся 5 классов из 10 вопросов по теме курса «Сложение и вычитание десятичных дробей», выполняется при подготовке к контрольной работе. ВПР 5 класс математика (4 вариант) 05.05.2017 4216 При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. При необходимости можно пользоваться черновиком. Текстовые задачи на проценты (с десятичными дробями) 19.09.2020 1402 0 Задачи для закрепления материала по теме «Проценты». В тест случайным образом выбираются 5 задач из общей базы задач по теме. За каждое верно выполненное задание начисляется 1 балл. По окончании теста сразу видны результат и оценка. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Тест Обыкновенные дроби 5 класс 29.03.2020 32898 Тест по математике на тему: Обыкновенные дроби (5 класс) включает в себя 10 заданий ВПР 5 класс математика (6 вариант) 06.05.2017 3547 При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. При необходимости можно пользоваться черновиком. Десятичные дроби и проценты 14. 01.2016 17943 Тест для учащихся 5-6 классов по теме «Десятичные дроби и проценты» предназначен для отработки практических навыков учащихся по данной теме МАТЕМАТИКА 5 СИНФ 12.05.2020 3868 Тестҳои мазкур барои хонандагони синфи 5-уми мактабҳои тоҷикӣ ва ӯзбекӣ тайёр карда шудааст Тест по теме проценты для 5 класса по математике 01.02.2014 47119 Тест по математике с одним правильным вариантом ответа для 5 класса по теме проценты.

Самостоятельная работа №11. Нахождение части целого и целого по его части. 5 класс 11.04.2021 2278 0 Тест содержит 8 заданий. Задания в тест выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» 4-5 баллов, «4» 6-7 баллов, «5» 8 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста. Взаимно обратные числа. Деление 21.11.2020 810 0 В тест включены вопросы по темам «Взаимно обратные числа», «Деление обыкновенных дробей». Задания составлены с учетом типичных ошибок, которые допускают учащиеся. Готовимся к ВПР. Задание № 2 «Арифметические действия с числами» 29.07.2022 492 Готовимся к ВПР: задание № 2. Тест по теме: «Арифметические действия с числами». Предназначен для проверки знаний обучающихся о порядке действий в выражениях со скобками и без на основе четырех арифметических действий. ВПР 5 класс математика (7 вариант) 06.05.2017 2364 При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. При необходимости можно пользоваться черновиком. Уравнения. Математика 5 класс. 27.11.2019 16464 тест предназначен для контроля знаний по теме «Решение уравнений» в 5 классе Проценты. Решение задач 21.04.2020 2774 0 Тест по теме «Проценты. Решение задач» предназначен для обучающихся 5-6 классов, содержит текстовые задачи по теме «Процентные вычисления» 5 класс математика домашняя работа «Задачи на движение» 27. 04.2020 1199 0 Домашняя работа «Задачи на движение». Состоит из четырех задач. Домашняя самостоятельная работа по теме Луч, прямая и плоскость. 5 класс 17.09.2019 1619 Данный тест предназначен для домашней работы в качестве закрепления знаний по темам в 5 классе по учебнику Виленкин Луч и плоскость. Математика, 5 класс. Тест по теме «Натуральные числа и шкалы» 27.02.2018 2356 Данный тест создан на основе первых четырёх тестов по теме «Натуральные числа и шкалы» из учебно-методического пособия Л. П. Поповой «Контрольно-измерительные материалы. Математика. 5 класс». Тест содержит 18 вопросов, которые случайным образом выбираются из 56 сгруппированных по подтемам вопросов. Содержание некоторых вопросов было изменено. Также изменён тип некоторых вопросов (например, вместо выбора ответа из предложенных вариантов — ввод ответа с клавиатуры). К большинству вопросов имеются комментарии (просмотр доступен после ввода ответа), в которых даны ссылки на соответствующие тематике вопросов материалы, к некоторым вопросам в комментариях даны решения. Время выполнения теста не ограничено, однако рекомендуется выделить не более 45 минут. 5 класс. Математика. Чтение и запись натуральных чисел №2 21.07.2018 929 0 Тест предназначен для учащихся 5 классов при отработке навыка чтения и записи натуральных чисел. Задачи на дроби 30.06.2020 2879 Проверь, умеешь ли ты решать простейшие задачи на дроби. Тест содержит всего 6 задачек для решения которых нужно уметь находить часть от величины, величину по её части, какую часть составляет одна величина от другой. На этих задачах удобно «отрабатывать» применение моделей для решения задач где встречаются величины одного рода. Желаем удачи!

Сложение и вычитание натуральных чисел 15. 11.2013 11047 Тест состоит из 11 вопросов. Каждый вопрос имеет 4 варианта ответов. За верный ответ на 1 — 7,9 вопросы Вы получаете по 1 баллу, за верный ответ на 8 вопрос-2балла,за верный ответ на 10и11 вопросы-по 3 балла. Максимальное количество баллов -13. После окончания тестирования будет выведен итог. Обыкновенные дроби. Тест по математике 5 класс 14.03.2021 3143 Предлагаем вам пройти наш новый тест по математике для 5 классов. Итоговый тест в 5 классе 28.01.2013 73946 Тест для учащихся 5 классов из 10 вопросов по всем темам курса, выполняется при подготовке к итоговой контрольной работе. Сравнение обыкновенных дробей 04.03.2014 16279 Тест для учащихся 5 классов из 7 вопросов по теме «Сравнение дробей», выполняется при закреплении изученной темы. Тест по теме «Окружность» 5 класс 10.01.2015 7819 Тест проверяет усвоение понятий окружность, радиус окружности, диаметр окружности. Диагностический тест по математике 5 класс 04.09.2016 2762 С помощью данного теста можно повторить материал по математике за 4 класс и подготовиться к диагностической контрольной работе в 5 классе Таблица умножения 4 05. 02.2021 799 Это таблица умножения 4, от 1 до 100. Самая усложнённая венрсия на данный момент. Готовимся к ВПР. Задание № 3 «Арифметический метод». 31.07.2022 524 Готовимся к ВПР: задание № 3. Тест по теме: «Арифметический метод». Предназначен для проверки умения решать практико-ориентированные задачи. Тест по теме «Натуральные числа и шкалы» (вариант 1) 20.02.2014 5802 Тест по математике для 5 класса к учебнику Виленкина В.Я. по теме «Натуральные числа и шкалы». Умножение и деление десятичных дробей 29.03.2020 9400 Тестовые задания для проверки знаний учащихся для 5 класса. В тесте проверяются темы: умножение и деление на десятичную дробь, на разрядную единицу, решение текстовых задач Вычисление процентов от числа (50, 100, 150, 200, 300) 19.09.2020 1404 0 Тренировка на вычисление процентов от заданного числа (50, 100, 150, 200 и 300). В тесте 11 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы — 100 заданий. Оценка «5» — за 91-100%, «4» — за 70-90%, «3» — за 50-69% верных ответов.

8 задание ВПР 5 кл. Действия с процентами (10 вопросов) 08.05.2017 934 Восьмое задание ВПР по математике для 5 класса, действия с процентами. Обязательные ответы на все вопросы теста. Вновь открытый тест содержит другие вопросы из банка вопросов.

5 класс. Математика. Чтение и запись натуральных чисел №1 21.07.2018 438 Тест предназначен для учащихся 5 классов при отработке навыка чтения и записи натуральных чисел. Округление десятичных дробей 03. 12.2020 4090 0 В тест включены задания на округление десятичных дробей до тысяч, до сотен, до десятков, до единиц, до десятых, до сотых. В тест случайным образом выбираются 10 заданий из общей базы упражнений. Оценка «5» — за 91-100%, «4» — за 70-90%, «3» — за 50-69% верных ответов. Таблица умножения 2 02.02.2021 3720 Это тест по таблице умножения 2. Тут более все усложненноё и для 3 класса и выше. Удачи в прохождении и надеемся что наш тест вам понравится. Итоговый тест по математике за 5 класс 02.12.2021 2451 Назначение работы – определение соответствия содержания и качества подготовки обучающихся 5 класса федеральному государственному образовательному стандарту по математике для основной общей школы. математика 5 класс. (контрольная работа) 26.03.2020 2500 Это наш новый тест по математике для 5 класса.Темы,контрольная работа,тест.Решать только без калькулятора. Математика ,тест ,контроль знаний. Математика 5 класс. Тема «Умножение натуральных чисел и его свойства» 31.10.2015 10021 тест по математике с вариантами ответов проверяет знания учащихся по теме: «умножение натуральных чисел и его свойства» СРАВНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ 17. 04.2020 3960 Тест для обучающихся в 5 классе по темам «Запись десятичных дробей. Спавнение десятичных дробей» Тест по теме «Формулы» в формате PISA 5 классс 06.11.2020 684 Задания даны в формате PISA, требующие применение знаний обучающихся в нестандартных ситуациях. Деление с остатком 26.11.2012 7300 Умение решать текстовые задачи — показатель математической грамотности. Текстовые задачи позволяют ученику освоить способы выполнения различных операций, подготовиться к овладению алгеброй, к решению задач по геометрии, физике, химии. Тест по теме «Проценты» 31.03.2020 3972 Тест создан для обобщения и систематизации знаний по теме «Проценты». устный счёт «Сложение и вычитание в пределах 100″ 20.09.2020 1279 0 Задания для устного счета на сложение и вычитание натуральных чисел с переходом через десяток. В тесте 20 заданий, которые выбираются случайным образом из базы заданий. Оценка «5» — за 91-100%, «4» — за 70-90%, «3» — за 50-69% верных ответов.

Десятичные дроби. Разряды. Запись обыкновенной дроби в виде десятичной. 18.10.2020 2565 0 Задания для устного счета на десятичные дроби. В тесте три группы заданий: (1)Разрядность десятичных дробей, (2)Перевод обыкновенной дроби со знаменателем 10,100,1000 в десятичную, и (3)перевод обыкновенной дроби со знаменателем 2 и 4 в десятичную. В тест выбираются по 2 задания из каждой группы случайным образом. Критерии: «3» от 50 до 69%, «4» от 70 до 90%, «5» от 91 до 100%. Представление натуральных чисел на координатном луче. 22.11.2020 779 Данный тест будет полезным учителю для осуществления быстрого контроля на уроке, а также ребятам, которые желают проверить свои знания по данной теме. Тестовое задание на тему: «Действия с натуральными числами» для 5 класса. 25.03.2021 53 0 Тестовое задание на тему: «Действия с натуральными числами» для 5 класса. Учебник: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Издательство: Вентана-граф, 2016 г. 4 задание ВПР 5 кл. Нахождение части числа и числа по его части (15 вопросов) 08. 05.2017 3809 Четвертое задание ВПР по математике для 5 класса, нахождение части числа. Обязательные ответы на все вопросы теста. Вновь открытый тест содержит другие вопросы из банка вопросов. 11 задание ВПР 5 кл. Работа с таблицами, диаграммами (10 вопросов) 10.05.2017 2754 При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. Вновь открытый тест содержит другие вопросы из банка вопросов. Среднее арифметическое 21.04.2020 9991 Тест «Среднее арифметическое чисел» 5 класс. Данная разработка представляет собой работу по математике в 5 классе на тему: » Среднее арифметическое». Эта тема кажется ребятам достаточно простой, но на самом деле является очень важной и требует тщательной отработки. Необходимо научиться выражать любой элемент из определения среднего арифметического. Итоговая контрольная работа (Петерсон, 5 класс) 08.05.2020 707 Тест содержит 8 заданий. Максимальное количество баллов — 12.Система оценивания: более 83% выполнено верно — «5» от 71% до 82% выполнено верно — «4» от 50% до 70% выполнено верно — «3» менее 50% выполнено верно — «2» Оценка выставляется автоматически. Повторение материала 5 класса (Виленкин) 04. 05.2021 436 0 Тест №1 «Повторение материала 5 класса», автор Н.Я. Виленкин. Предназначен для учеников 5 класса, завершающих изучение материала. Проценты, вычисление процентов 09.06.2021 199 0 Тест на усвоение начального понятия по теме «Процеты», на решение простейших задач на перевод числа в проценты и процента в дробь, решение простейших задач на вычисление процентов Обозначение натуральных чисел 07.08.2013 1901 Самостоятельная работа в 5 классе по математике к учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 5 класс» Площадь квадрата и прямоугольника 11.12.2013 19111 Тест содержит 8 вопросов на знание формул площади квадрата и прямоугольника и умение применять их к решению задач. К каждому вопросу предлагается 4 варианта ответов.

ВПР 5 класс. Математика 2017 год 25. 04.2017 9482 При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. При необходимости можно пользоваться черновиком. 2 задание ВПР 5 кл. Обыкновенная дробь (15 вопросов) 07.05.2017 3818 Второе задание ВПР по математике для 5 класса, обыкновенные дроби. Обязательные ответы на все вопросы теста. Вновь открытый тест содержит другие вопросы из банка вопросов. Сравнение обыкновенных дробей 15.02.2018 635 Тест предназначен для учащихся 5 класса при изучении темы «Сравнение обыкновенных дробей». Тест проверяет умение применять изученные правила при сравнении обыкновенных дробей. Основное свойство дроби 5 класс 28.04.2020 434 Тест предназаначен для закрепления темы «Основное свойство дроби» курса математики 5 класса. Понятие дроби. 08.02.2021 576 0 Данный тест будет полезным учителю для осуществления быстрого контроля на уроке, а также ребятам, которые желают проверить свои знания по данной теме. ВПР по Математике 5 класс 28. 03.2021 336 Каждый месяц мы составляем варианты для самопроверки. Варианты составляются компьютером из новых заданий и заданий, оказавшихся самыми сложными по результатам предудущего месяца. По окончании работы система проверит ваши ответы, покажет правильные решения и выставит оценку.Чтобы целенаправленно тренироваться по определённым темам, вы можете составить вариант из необходимого количества заданий по конкретным разделам задачного каталога. Для быстрого составления типового варианта используйте кнопки справа. Контрольная работа №1 «Сложение и вычитание натуральных чисел» 03.10.2021 401 0 Тест предназначен для проверить знаний учащихся 5 класса по теме «Сложение и вычитание» . Тест по математике для 5 класса по теме «Вычитание десятичных дробей» 26. 08.2015 2379 Данный тест предназначен для учеников 5-х классов. Тема: «Вычитание десятичных дробей». Деление с остатком. 5 класс 18.11.2015 5132 Тип теста — контрольный. Проверяется умение находить компоненты при делении с остатком натуральных чисел: делимое, делитель, неполное частное, остаток. Контрольный устный счет «Действия с десятичными дробями» 08.12.2015 2104 Тест содержит 12 заданий на все действия с десятичными дробями. Тест можно использовать для проверки навыков устного счета учащихся 5-6 классов. Для того, чтобы выполнить задание, нужно использовать ответ предыдущего задания. Об этом нужно сообщить учащимся до выполнения теста. 5 класс. Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. 16.01.2016 7436 Тест предназначен для учащихся 5, 6 классов при отработке навыков устного счёта по теме «Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби».

7 задание ВПР 5 кл. Сюжетные задачи на все арифметические действия (10 вопросов) 08.05.2017 868 0 Седьмое задание ВПР по математике для 5 класса, сюжетные задачи. Обязательно решение всех задач теста. Вновь открытый тест содержит другие задачи из банка вопросов. 10 задание ВПР 5 кл. Задачи на покупки, логические задачи (8 вопросов) 10.05.2017 895 При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. Вновь открытый тест содержит другие вопросы из банка вопросов. Нахождение числа по проценту 5 класс 14. 04.2020 8107 0 Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Проценты». Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи!!! Круговые диаграммы 5 класс 25.04.2020 4904 Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Круговые диаграммы». Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи!!! Действия с десятичными дробями 5 класс 06.05.2020 1649 0 Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Действия с десятичными дробями». Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи!!! Объем прямоугольного параллелепипеда. 5 класс 10.05.2020 1598 Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Объем прямоугольного параллелепипеда» 5 класс. Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи!!! Итоговый тест по математике 5 класс (Мерзляк А.Г.) 07.06.2020 2323 0 Данный тест является итоговым за курс математики 5 класса ( УМК Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.). «Площадь прямоугольного треугольника и некоторых видов многоугольников», 5 кл 17. 04.2022 117 0 Тест предназначен для учащихся 5 классов. Тест состоит из пяти вопросов. Тест по наглядной геометрии 16.05.2013 3337 0 Итоговый тест по курсу «Наглядная геометрия» за 5 класс. Содержит как теоретические, так и практические вопросы Тест по теме «Натуральные числа и шкалы» (вариант 2) 21.02.2014 3641 Тест по математике для 5 класса к учебнику Виленкина В.Я. по теме «Натуральные числа и шкалы». Тест на тему «Делимость чисел» 06. 12.2015 2389 Образовательный тест по математике на тему «Делимость чисел». В данном тесте сосредоточены вопросы по основным свойствам делимости натуральных чисел. Тест подходит для учеников 5-6 классов.

1 задание ВПР 5 кл. Натуральное число (15 вопросов) 07.05.2017 1226 0 Первое задание ВПР по математике для 5 класса, натуральное число. Обязательные ответы на все вопросы теста. Вновь открытый тест содержит другие вопросы из банка вопросов. 3 задание ВПР 5 кл. Десятичная дробь (15 вопросов) 08.05.2017 1116 Третье задание ВПР по математике для 5 класса, десятичные дроби. Обязательные ответы на все вопросы теста. Вновь открытый тест содержит другие вопросы из банка вопросов. 5 задание ВПР 5 кл. Действия с рациональными числами (15 вопросов) 08.05.2017 499 0 Пятое задание ВПР по математике для 5 класса, действия с рациональными числами. Обязательные ответы на все вопросы теста. Вновь открытый тест содержит другие вопросы из банка вопросов.

1. Что такое собственная скорость катера? Ответ: скорость катера в стоячей воде (озере, пруду). 2. Что такое скорость течения? Ответ: на какое расстояние относит река предмет за единицу времени. 3. Как определяется скорость катера по течению реки? Ответ: как сумма скорости собственной и течения. 4. Как определяется скорость катера против течения? Ответ: как разность скорости собственной и течения. 5. Как определяется скорость движения плота по реке? Ответ: как скорость течения реки.

I вариант II вариант 1) Скорость моторной лодки в стоячей воде 15км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одной пристани до другой и обратно, если расстояние между пристанями 36 км?2) Vсоб, км /ч V теч, км/ч Vпо теч, км/ч V пр. теч, км/ч 13 4 ? ? 12 ? 14 ? 21 ? ? 16 ? 3 27 ? ? 2 ? 23 ? ? 24 20 1) Скорость моторной лодки в стоячей воде 10 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Сколько времени потратит моторная лодка на движение от одной пристани до другой и обратно, если расстояние между пристанями 24 км?2) V соб, км/ч V теч, км/ч Vпо теч, км/ч V пр. теч, км/ч 12 3 ? ? 14 ? 16 ? 22 ? ? 19 ? 4 28 ? ? 3 ? 25 ? ? 29 25

1. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. Математика: учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2008 г. 2. А.В.Шевкин. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах. – М.: «Русское слово», 2001г.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах и . Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на больше ». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы 🙂

На всякий случай повторим терминологию: Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых. Разность — результат вычитания. Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей. Частное — результат деления чисел.

. Из пункта в пункт , расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по км. Можно внести скорость — она равна и для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».


велосипедист
автомобилист

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение. ..), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.

А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю» или «Как раскрывать скобки» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города в город , расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найдите скорость велосипедиста на пути из в . Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из в равна . Тогда его скорость на обратном пути равна . Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — километров. Осталось записать время. Поскольку , на путь из в велосипедист затратит время , а на обратный путь время .


туда
обратно

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.


по течению
против течения

4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна км/ч, стоянка длится часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.


по течению
против течения

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на , получаем квадратное уравнение . Поскольку скорость течения положительна, получаем: .

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную километров в час — задача решена неверно.

5. Баржа в вышла из пункта в пункт , расположенный в км от . Пробыв в пункте — час минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в . Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из вычесть , а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что час минут придется перевести в часы: час минут часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно часа.


по течению
против течения

Математика Задачи на движение с решениями перейти к содержанию курса текстовых задач Первый турист проехал 2 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Отдохнув 2 ч, он отравился дальше с прежней скоростью. Спустя 4 ч после старта велосипедиста ему вдогонку выехал второй турист на мотоцикле со скоростью 56 км/ч. На каком расстоянии от места старта мотоциклист догонит велосипедиста? Решение Из пункта A в пункт B отправились три машины друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первой машины равна 50 км/ч, а второй — 60 км/ч. Найти скорость третьей машины, если известно, что она догнала первые две машины одновременно. Решение Поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда. Решение Расстояние между станциями A и B равно 103 км. Из A в B вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся до B путь проходил со скоростью, на 4 км/ч большей, чем прежняя. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся до B путь был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и что на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до нее. Решение Скорость автомобиля по ровному участку на 5 км/ч меньше, чем скорость под гору, и на 15 км/ч больше, чем скорость в гору. Дорога из A в B идет в гору и равна 100 км. Определить скорость автомобиля по ровному участку, если расстояние от A до B и обратно он проехал за 1 ч 50 мин. Решение Автобус проходит расстояние между пунктами A и B по расписанию за 5 ч. Однажды, выйдя из A, автобус был задержан на 10 мин в 56 км от A и, чтобы прибыть в B по расписанию, он должен был оставшуюся большую часть пути двигаться со скоростью, превышающей первоначальную на 2 км/ч. Найти скорость движения автобуса по расписанию и расстояние между пунктами A и B, если известно, что это расстояние превышает 100 км. Решение Поезд проходит мимо платформы за 32 с. За сколько секунд поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя, если длина поезда равна длине платформы? Решение Два поезда отправляются навстречу друг другу с постоянными скоростями, один из А в В, другой из В в А. Они могут встретиться на середине пути, если поезд из А отправится на 1,5 ч раньше. Если бы оба поезда вышли одновременно, то через 6 ч расстояние между ними составило бы десятую часть первоначального. Сколько часов каждый поезд тратит на прохождение пути между А и В? Решение От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз на 96 км, потом повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути расстоянии 24 км от А. Решение Пункт В находится по реке ниже пункта А. В одно и то же время из пункта А отплыли плот и первая моторная лодка, а из пункта В — вторая моторная лодка. Через некоторое время лодки встретились в пункте С, а плот за это время проплыл третью часть пути от А до С. Если бы первая лодка без остановки доплыла до пункта В, то плот за это время прибыл бы в пункт С. Если бы из пункта А в пункт В отплыла вторая лодка, а из пункта В в пункт А — первая лодка, то они встретились бы в 40 км от пункта А. Какова скорость обеих лодок в стоячей воде, а также расстояние между пунктами А и В, если скорость течения реки равна 3 км/ч? Решение Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях — через каждые 16 мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности? Решение Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка? Решение Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую последующую секунду проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/c и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся? Решение Задачи для самостоятельного решения Дорога от A до D длиной в 23 км идет сначала в гору, затем — по ровному участку, а потом — под гору. Пешеход, двигаясь из A в D, прошел весь путь за 5 ч 48 мин, а обратно, из D в A, — за 6 ч 12 мин. Скорость его движения в гору равна 3 км/ч, по ровному участку — 4 км/ч, а под гору — 5 км/ч. Определить длину дороги по ровному участку. Ответ: 8 км В 5 ч утра со станции A вышел почтовый поезд по направлению к станции B, отстоящей от A на 1080 км. В 8 ч утра со станции B по направлению к A вышел пассажирский поезд, который проходил в час на 15 км больше, чем почтовый. Когда встретились поезда, если их встреча произошла в середине пути AB? Ответ: в 5 ч дня Из пункта A впунктB отправились три велосипедиста. Первый из них ехал со скоростью 12 км/ч. Второй отправился на 0,5 ч позже первого и ехал со скоростью 10 км/ч. Какова скорость третьего велосипедиста, который отправился на 0,5 ч позже второго, если известно, что он догнал первого через 3 ч после того как догнал второго? Ответ: 15 км/ч Два поезда — товарный длиной в 490 м и пассажирский длиной в 210 м — двигались навстречу друг другу по двум параллельным путям. Машинист пассажирского поезда заметил товарный поезд, когда он находился от него на расстоянии 700 м; через 28 с после этого поезда встретились. Определить скорость каждого поезда, если известно, что товарный поезд проходит мимо светофора на 35 с медленнее пассажирского. Ответ: 36 км/ч; 54 км/ч Турист A и турист B должны были выйти одновременно навстречу друг другу из поселка M ипоселкаN соответственно. Однако турист A задержался и вышел позже на 6 ч. При встрече выяснилось, что A прошел на 12 км меньше, чем B. Отдохнув, туристы одновременно покинули место встречи и продолжили путь с прежней скоростью. В результате A пришел в поселок N через 8 ч, а B пришел в поселок M через 9 ч после встречи. Определить расстояние MN и скорости туристов. Ответ: 84 км; 6 км/ч; 4 км/ч. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них, а тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отстал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист? Ответ: 2 км Два туриста вышли одновременно из пункта A в пункт B. Первый турист проходил каждый километр на 5 мин быстрее второго. Пройдя 20% расстояния от A до B, первый турист повернул обратно, пришел в A, пробыл там 10 мин, снова пошел в B и оказался там одновремен- но со вторым туристом. Определить расстояние от A до B, если второй турист прошел его за 2,5 ч. Ответ: 10 км Рыбак проплыл на лодке от пристани против течения 5 км и возвратился обратно на пристань. Скорость течения реки равна 2,4 км/ч. Если бы рыбак греб с той же силой в неподвижной воде озера на лодке с парусом, увеличивающим скорость на 3 км/ч, то он за то же время проплыл бы 14 км. Найти скорость лодки в неподвижной воде. Ответ: 9,6 км/ч Моторная лодка проплыла по озеру, а потом спустилась вниз по реке, вытекающей из озера. Расстояние, пройденное лодкой по озеру, на 15% меньше расстояния, пройденного по реке. Время движения лодки по озеру на 2% больше, чем по реке. На сколько процентов скорость движения лодки вниз по реке больше скорости движения по озеру? Ответ: на 20% Турист проплыл в лодке по реке из города A в город B и обратно, затратив на это 10 ч. Расстояние между городами равно 20 км. Найти скорость течения реки, зная, что турист проплывал 2 км против течения реки за такое же время, как 3 км по течению. Ответ: 5/6 км/ч По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определить скорости точек. Ответ: 4 м/с; 3 м/с. Из точек A и B одновременно начали двигаться два тела навстречу друг другу. Первое в первую минуту прошло 1 м, а в каждую последующую проходило на 0,5 м больше, чем в предыдущую. Второе тело проходило каждую минуту по 6 м. Через сколько минут оба тела встретились, если расстояние между A и B равно 117 м? Ответ: через 12 мин. Два приятеля в одной лодке прокатились по реке вдоль берега и вернулись по одной и той же речной трассе через 5 ч с момента отплытия. Протяженность всего рейса составила 10 км. По их подсчетам получилось, что на каждые 2 км против течения в среднем потребовалось столько же времени, сколько на каждые 3 км по течению. Найти скорость течения реки, а также время проезда туда и время проезда обратно. Ответ: 5/12 км/ч; 2 ч и 3 ч. Метки движение, текстовые задачи. Смотреть запись. Занимательные задачи по математике (5 класс) Похожие презентации: Задачи на дроби. Урок математики 5 класс Урок математики. Занимательные задачи Эти увлекательные и занимательные задачи. 5 класс ЕГЭ по математике. Задачи Математика и космос. Задачи Готовимся к ОГЭ. Текстовые задачи по математике Задачи на движение. 5 класс Математика и спорт. Задачи ЕГЭ по математике. Решение заданий В13 (задачи на прогрессии ЕГЭ — 2017 по математике. Базовый уровень. Задачи на логику и смекалку Загадка: У нее нет ничего: Нет ни глаз, ни рук, ни носа, Состоит она всего Из условия с вопросом. Занимательные задачи Материал подготовила: учитель математики МКОУ «Хохольский лицей» Соболева Инна Ивановна. р/п Хохольский Хохольский район Воронежская область 1. Чтоб одеть тепло сыночков, Не хватает двух носочков. Сколько же в семье сынков, Если в доме шесть носков?… РЕШИ устно 3. К трем лягушкам у болота Прибежали два енота, Прискакала тетя жаба И пришла наседка Ряба. Сколько в камышах болотных Оказалось земноводных?… 2. Столько книжек у ребяток, Сколько у Алеши пяток. Принесла ребяткам Галя Мячик, книжку, мишек. Вы, ребята, посчитали, Сколько стало книжек?… 2 3. Задачи об многоэтажном доме ЗАДАЧИ ОБ МНОГОЭТАЖНОМ ДОМЕ 4. Лена живет на четвертом этаже, при этом, поднимаясь к себе домой, она проходит по лестнице 60 ступенек. Юля живет в этом же подъезде на втором этаже. Сколько ступенек проходит Юля, поднимаясь к себе домой на второй этаж? 5. Карл и Клара живут в многоэтажном доме . Клара живет на 12 этажей выше , чем Карл. Однажды Карл пошел в гости к Кларе. Пройдя половину пути , он оказался на 8 этаже. На каком этаже живет Клара ? 3 Задача о животных. Знаешь ли ты, что среди всех пород кошачьих только гепарды не втягивают когти. Когти у них всегда снаружи, как у собак. 6. Среди обитателей площадки в зоопарке молодняка 18 – котята и щенята разных пород. Из них 9 – щенята, а 13 не втягивают когти. Сколько обитателей – гепарды и сколько котят других пород? 4 5. Задача на движение. ЗАДАЧА НА ДВИЖЕНИЕ. 7. Могут ли три человека преодолеть расстояние 60 км за 3 часа, если в из распоряжении имеется двухместный мотоцикл? Скорость мотоцикла 50 км/ч, скорость пешехода 5 км/ч. 5 Решение: 1 час : Два человека (1 и 2) едут на мотоцикле и проезжают 50 км., а третий человек (3) идёт пешком и проходит 5 км. 2 час: Человек (2) сходит с мотоцикла и идёт пешком. Он проходит 5 км. Человек (3) идёт пешком и проходит ещё 5 км. Человек (1) возвращается на 40 км и ждёт человека (3) там. 3 час: Два человека (1 и 3) на мотоцикле добираются до пункта назначения. Человек (2) проходит ещё 5 км и оказывается в пункте назначения. 6 7. Задачи о профессиях ЗАДАЧИ О ПРОФЕССИЯХ 8. Один кирпич весит 1 килограмм и еще полкирпича. Сколько весит один кирпич? 9. Врач прописал больному 3 укола через каждые полчаса. Первый укол сделали в 8 часов. В какое время сделают последний укол? 7 8. Геометрическая задача (задача 10) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА (ЗАДАЧА 10) Сколько на этом рисунке треугольников? А четырёхугольников? Треугольников – 8, Четырёхугольников — 11 8 9. История одной геометрической игры ИСТОРИЯ ОДНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИГРЫ Древние греки любили геометрические игры. Одна из них называлась «СТОМАХИОН». В этой игре надо было из 14 частей квадрата складывать различные фигуры. Этой игрой увлекались настолько, что сам великий ученый АРХИМЕД написал о ней сочинение. Похожей игрой развлекались и древние китайцы. Только они делили квадрат не на 14, а на 7 частей и называли свою игру «ЧИ-ЧАО-ТЮ» (что означает «ХИТРОУМНЫЙ УЗОР ИЗ СЕМИ ЧАСТЕЙ»). Эту игру называют также «ТАНГРАМ». 9 10 11. Правила игры ПРАВИЛА ИГРЫ Суть игры заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов. Необходимо, чтобы В каждую собираемую фигуру вошли непременно все семь элементов. При составлении фигуры элементы не налегали друг на друга, т.е. располагались только в одной плоскости. Элементы фигур примыкали один к другому. 11 12 13 Игрой внешне близкой к «Танграм» являются пазлы. 14 15. И ещё задания… И ЕЩЁ ЗАДАНИЯ… Можно ли, не отрывая от бумаги и не проводя по линии дважды, нарисовать распечатанный конверт одним росчерком? А эту фигуру? 15 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Вася записал на листе бумаги несколько нечётных чисел. Петя их не видел, но утверждает, что по количеству записанных чисел легко определит, чётная или нечётная у них сумма. Прав ли Петя? 17 17. Домашнее задание: Если все наши задания Ты освоил(а) без труда, Если было интересно, А не скука-маята, Назовись на этой строчке Я ________имя твоё_________ МОЛОДЕЦ! И бегите гулять скорее, На сегодня всё, конец! English Русский Правила Ознакомьтесь с этими 50 задачами дня по математике для пятого класса Начните свой ежедневный урок математики со словесной задачи дня по математике для пятого класса — это отличный способ подготовить почву для обучения! Включите их в начале своего математического блока, чтобы укрепить уверенность, навыки критического мышления и обучающееся сообщество. Студенты привыкнут читать по смыслу, а также определять ключевую информацию. Предложите учащимся записывать уравнения и рисовать картинки, чтобы объяснить свое мышление, так как это помогает им увидеть свет, когда они застряли! Темы в этих математических задачах пятого класса охватывают закономерности и разрядность, сложение/вычитание, умножение, деление, дроби, десятичные дроби, измерения и сравнения. Если вы хотите еще математических задач из слов, мы ежедневно публикуем их на нашем сайте для детей: Daily Classroom Hub. Обязательно добавьте ссылку в закладки! Хотите весь этот набор текстовых задач в одном простом документе? Получите бесплатный пакет PowerPoint, отправив сообщение электронной почты здесь. Все, что вам нужно сделать, это опубликовать одну из задач на доске или экране проектора. Тогда пусть дети взять его оттуда. 1. Три поезда подошли к станции в 15:00. В поезде Menton было 2589 пассажиров. В Рестонском поезде был 671 пассажир. В поезде Пирсон-Сити было 1024 пассажира. Сколько пассажиров было вместе? 2. В магазин Grow Up Farmer’s Market было доставлено 4 ящика лимонов. В одном ящике было 2100 лимонов. В двух других ящиках было 2010 лимонов. В последнем ящике было 1999 лимонов. Сколько лимонов было доставлено всего? 3. Ruffle Truffle Candy Компания получила заказ на 850 шоколадных трюфелей от кондитерской. Они также получили заказ на 7 309трюфели из продуктового магазина. Затем поступил еще один заказ на 3125 трюфелей из ресторана. Сколько трюфелей должна произвести фабрика, чтобы выполнить эти заказы? 4. На полуострове Три-Сити есть 3 города. В Сансет-Сити проживает 405 245 человек. В Санрайз-Сити проживает 695 212 человек. В городе Сунуп проживает 415 937 человек. Сколько людей вместе проживает на полуострове Три-Сити? 5. Магазин поздравительных открыток Smiley’s в прошлом году заказал 25 294 поздравительных открытки и 15 280 открыток ко Дню матери. Они продали 11 065 открыток ко Дню матери и 24 229поздравительные открытки. Сколько поздравительных открыток у них осталось? 6. Авиакомпания Flyaway Airlines выполняет 3 рейса в Нью-Парк-Сити каждый день из Сан-Сандоса. Каждый самолет рассчитан на 400 пассажиров. В понедельник на первом рейсе было 325 пассажиров. На втором рейсе было 387 пассажиров. На третьем рейсе был 221 пассажир. Сколько свободных мест было всего вместе? 7. В 1999 году в Западной Дескатерии проживало миллион человек. 350 268 человек являются уроженцами этой страны. Остальные переехали туда из другой страны. Сколько людей переехало туда откуда-то еще? 8. Свечи ко дню рождения от The Happy Hippy Candle Company продаются упаковками по 8 штук. На прошлой неделе они произвели 6000 коробок и продали 8000 свечей. Сколько коробок свечей они продали на прошлой неделе? 9. Некоторые из новых книг в библиотеке Южного города были научно-популярными. Было выпущено 25 025 новых книг в твердом переплете и 7 333 новых книги в мягкой обложке. 15 000 экземпляров в твердом переплете были фикцией. Сколько книг в твердом переплете были научно-популярными? 10. Giganto Mall имеет 6 этажей. Каждый из 5 верхних уровней имеет по 2,950 рабочих. В торговом центре работает 15 000 человек. Сколько рабочих работает на нижнем уровне? 11. В морозильнике Frosty Food Mart находится 96 замороженных индеек и 65 ветчин. Каждая индейка весит 19 фунтов. Каждая ветчина весит 10 фунтов. Сколько весят индюки все вместе? 12. Каждый новый словарь, приобретенный для школы, содержит 355 страниц. Для каждого класса подготовлено 35 словарей. Они весят почти 300 фунтов. Сколько это всего страниц? 13. На каждом фруктовом дереве пингвинов 10 251 лист. В саду дяди Арча было 96 фруктовых деревьев. Половина из них были фруктовыми деревьями пингвинов. Сколько всего листьев было на фруктовых деревьях пингвинов? 14. Магазин Benny’s Bait Shop продает червей по 12 упаковок. В брутто двенадцать пачек. На этой неделе продали 12 брутто червей. Сколько червей они продали на этой неделе? 15. Компания по прокату автомобилей Kwik Kar имеет 27 офисов в 12 штатах. У них есть 1350 автомобилей, которые можно сдать в аренду. Если они равномерно распределит все автомобили по своим точкам, сколько машин получит каждая точка? 16. На футбольном матче был аншлаг. На мероприятии присутствовало 42 500 болельщиков. Каждое место было занято. Вокруг стадиона расположены 85 рядов сидений. В каждом ряду одинаковое количество мест. Сколько болельщиков сидело в каждом ряду? 17. У мистера Скетча в ящике для рисования в классе было 180 цветных карандашей. Он купил новые коробки цветных карандашей, по 10 штук в коробке. Теперь у него 400 цветных карандашей. Сколько новых коробок он купил? 18. На стадион на рок-концерт на автобусах прибыло 4500 человек. Еще 4500 человек прибыли поездом. Остальные приехали на машинах. Каждый автобус мог вместить 225 человек, и все автобусы были заполнены. Сколько автобусов было? 19. Super Duper Corporation каждый месяц платит арендную плату за свое большое здание штаб-квартиры. В прошлом году они заплатили 60 756 долларов за аренду и примерно столько же за отопление. Каждый месяц они платят одну и ту же сумму за аренду. Сколько стоит аренда в месяц? 20. В прошлом месяце компания Straight Arrow Dress Shirts продала много классических рубашек. Каждая рубашка имеет 7 пуговиц спереди и по 1 пуговице на каждом рукаве. Они использовали 72 000 пуговиц на рубашках, проданных в прошлом месяце. Сколько рубашек они продали? 21. На озере Луи есть лодки, которые отправляют туристов в круизы по озеру. В субботу 8 112 туристов захотели прокатиться по озеру. В смену курсируют 3 катера. Каждая лодка вмещает 500 человек. Круиз длится 30 минут. Сколько смен им нужно было отработать, чтобы каждый турист мог путешествовать? 22. Суперзвезда Сэм — профессиональный игрок в бейсбол и каждый день занимается подачей мяча. В июле он провел 12 000 минут, тренируясь. Он тренируется бить ватин 1 час каждую неделю. Сколько часов он тренировал свою подачу в июле? 23. Новый тротуар, ведущий к парадной двери начальной школы Elemental, имел длину 55 футов и ширину 36 дюймов. 25 футов из него были выкрашены в золото, а остальные — в серебро. Сколько дюймов в длину было серебряное сечение? 24. Горнодобывающая компания Dig-It выкапывала 12 000 фунтов редкого минерала, бободиума, каждый день в течение недели. Они продают его в коробках по 8 унций. Сколько коробок им понадобится, чтобы упаковать Бободиум на этой неделе? 25. Рита Райталот, известная писательница, посещает коллегиальный колледж и дарит всем, кто посетит одну из двух ее лекций, две свои книги. На ее первую лекцию пришло 600 человек. На вторую лекцию также пришла хорошая явка. Всего она раздала 2468 книг. Сколько человек пришло на ее вторую лекцию? 26. Мистер Удивительный готовит свое магическое действие. У него есть 12 366 золотых монет, которые он использует в одном из своих действий. Он использует некоторые из них в каждом запланированном появлении. Он откладывал по 229 золотых монет за каждое появление. Сколько выступлений он планирует? 27. У Рика 4/5 шоколадки. У Сида 6/7 шоколадки. У Ника 6/8 шоколадки. У кого самый большой кусок шоколадного батончика? 28. У Джинни 6/4 арбузов. У Уильяма есть 3/9 другого арбуза. У Стива есть ½ другого арбуза. У кого меньше всего арбузов? 29. Луз собирается приготовить сырный соус. Она купила ½ фунта американского сыра. Она также купила ¾ фунта швейцарского сыра и ¼ фунта сыра Чеддер. Сколько сыра она купила? 30. Мерси должна была выбрать, сколько пиццы пепперони она хочет. У нее могло быть 7/8, 8/16 или 8/10. Если она хочет больше всего пиццы, какую сумму ей выбрать? 31. Исследователь Elmo Adventure нашел древнее место с золотыми слитками. Он нашел три. Первый был 5/12 фунта. Второй слиток весил 7/12 фунта, а третий — 3/6 фунта. Сколько весили бруски все вместе? 32. Сэнди съела 3/4 буханки свежеиспеченного хлеба, приготовленного ее мамой. Половину она отдала своей кузине Стелле. Сколько хлеба осталось у Сэнди? 33. Учительница пятого класса, мисс Марвелус, съела 9/10 яблочного пирога. Она дала 3/10 своему директору, мистеру Палу, и 3/10 своему коллеге, миссис Мерри. Сколько пирога осталось у мисс Марвелус? 34. Грейс укладывала ленточки, которые у нее были, встык. Синий кусок был 3/12 фута. Красный кусок был ½ фута, а белый кусок был 8/12 фута в длину. Сколько времени было в общей сложности? 35. Роб читал книгу, в которой было 400 страниц. Он прочитал 1/3 его в понедельник и еще 1/4 во вторник. Какую часть книги ему осталось прочитать? 36. У Тая осталась половина торта на день рождения. Он отдал своей сестре Джанель четверть этой суммы. Сколько всего торта досталось Джанель? 37. Футбольная команда старшей школы впервые собиралась на тренировку. Было 64 игрока. ¾ из них были пенсионеры. Остальные были младшеклассниками. Сколько игроков было младшеклассниками? 38. Охотники за сокровищами выкопали обувную коробку с 1500 долларами. В команде охотников за сокровищами было пять человек, поэтому каждый должен был оставить себе 1/5 денег. Сколько денег осталось у каждого? 39. Тристану осталось покрасить только 1/8 колоды. Вся палуба имеет общую площадь 100 квадратных футов. Он рассчитывал, что сможет сделать половину того, что осталось, в пятницу, а остальное — в субботу. Какую часть общей колоды он планирует раскрасить в субботу? 40. Трое друзей следили за своим бегом. Таковы результаты их пробежек в субботу. Пейдж пробежала 0,75 мили. Таннер пробежал 0,09 мили. Лиза пробежала 0,706 мили. Кто пробежал дальше всех? 41. Профессиональные кикбольные карточки Гэри разделены между 3 командами. ¼ его карточек — игроки «Сан-Франциско Силз». 0,25 — игроки «Нью-Йорк Якс». Остальные играют за лосося Новой Шотландии. Какая десятичная дробь лучше всего описывает, сколько в его коллекции игроков из Лосося? 42. Шахтер Молли взвешивала небольшое количество золотой пыли. У нее было 3 пакета золотой пыли. Они весили 0,29 унции, 1,07 унции и 0,92 унции. Она должна получить 3 унции золотого песка, прежде чем продать его. Сколько еще золотой пыли ей нужно, чтобы совершить продажу? 43. У Хизер 4 банковских счета. В первом есть 25,09 долларов. У второго по 106,75 долларов, а у третьего и четвертого по 108,08 долларов. Какова общая сумма денег у Хизер на этих счетах? 44. Каждый член семьи Кирка получил выплату в размере 1070,09 долларов США от своего семейного бизнеса. В семье Кирка 12 человек, включая его самого. Их возраст варьируется от 12 до 99 лет. Сколько всего семья получила? 45. Количество футболок, которые Олли продает на блошином рынке, имеет предсказуемый характер. Он продал 120 рубашек в январе, 60 рубашек в феврале, 240 рубашек в марте, 120 рубашек в апреле, 480 рубашек в мае и 240 рубашек в июне. Если схема продаж сохранится, сколько рубашек он продаст в августе? 46. Для разблокировки специального хранилища используется числовой код. Необходимо ввести три цифры в правильном порядке на клавиатуре с цифрами от 0 до 100. Первое — нечетное число меньше 20, состоящее из 2 одинаковых цифр. Второе число четное и составляет ½ от числа, которое составляет ¼ от 16. Третье число является произведением первых двух чисел, а затем удвоено. Что такое код? 47. Ким заметила этот узор на старом листе пергамента. 2, 5, 11, 23, 47, 95. Ким вычислила следующие два числа. Кто они такие? 48. Эл на 5 лет старше Теда. Тед на 2 года старше Алисы. Алиса на год моложе Фрэн. Фрэн 8 лет. Сколько лет Алу? 49. Лиам наконец добрался до паромного причала в 4 часа дня. Он сел на поезд до парома со станции Чайртаун. Этому поезду потребовалось полчаса, чтобы добраться до парома. Чтобы добраться до станции, он ехал 4 с половиной часа из аэропорта Десквилл. Тем утром он прилетел в Десквилл из аэропорта Тейблтауна. Полет был 2 с половиной часа. Во сколько он вылетел из аэропорта Тейблтауна? 50. В субботу Крис работал на трех работах. Она косила газон и закончила это в 6 часов вечера. Она мыла окна 3 часа. Она также помыла, натерла воском и пропылесосила 3 машины. На каждую машину уходило полтора часа. Крис начала свой рабочий день в 9 утра. Сколько минут ей потребовалось, чтобы подстричь газон? Наслаждаетесь задачками по математике в пятом классе? Посетите наш центр пятого класса, чтобы получить еще больше ресурсов. Получите версию этих текстовых задач в формате PPT. 55 Сложные задачи со словами для 5-х классов Почему бы не добавить несколько красочных манипуляторов, чтобы сделать обучение в 5-м классе более конкретным, проверить основные навыки счета с помощью рабочих листов или включить их в ежедневный урок математики, чтобы развить беглость решения задач? Эти многошаговые словесные задачи включают сложение, вычитание, умножение и деление, а также время, деньги, разрядность и дроби. Поскольку они включают более одного шага, учащимся следует предлагать выражать свои мысли с помощью картинок и слов, чтобы помочь спланировать, решить и проверить каждую задачу. 1. Джейми проехал 4325 км за 640 дней. Сколько километров он проходил в среднем каждый день? 2. Мисс Джонс дала своим ученикам число 30 808 и попросила их написать это число в развернутом виде. Тэмми написала (3 х 10 000) + (8 х 10) + (8 х 1). Джек написал (3 х 10 000) + (8 х 100) + (8 х 1). Кто прав? Объясните свои рассуждения. 3. Джеймс купил мелки за 2,50 доллара и ластики за 4,50 доллара. Сколько сдачи он получил, если расплатился 20-долларовой купюрой? 4. В зоомагазине продается 89 щенков. 16 черных и 34 коричневых. Остальные имеют пятна. Сколько щенков имеют пятна? 5. Терренс и трое его друзей заработали 359 долларов в августе, 522 доллара в июле и 420 долларов в сентябре, продавая лимонад. Сколько бы каждый из них заработал, если бы они разделили свой заработок поровну? 6. Стив и Пол играли в футбол. Стив набрал 82 ярда, а Пол набрал 35 ярдов. Какое общее количество ярдов набрали оба мальчика во время игры? 7. Патрик купил обед на школьной ярмарке. Он купил 3 хот-дога по 4,50 доллара каждый и 2 гамбургера по 5,60 доллара каждый. Он также использовал купон на 2 доллара от цены обеда. Сколько всего денег он потратил на обед? 8. Школьный автобус рассчитан на 85 мест. На первой остановке из автобуса вышли 16 студентов. На второй остановке из автобуса вышли еще 18 студентов. Сколько учеников осталось в автобусе? 9. Сандра потратила 135 долларов на новую одежду. Она купила блузку за 48 долларов и две футболки по 23 доллара каждая. Сколько денег у нее осталось? 10. Четыре учителя раздали карандаши своим ученикам. В двух классах было по 24 ученика, в третьем классе было 29 учеников, а в четвертом — 27 учеников. Сколько всего карандашей было роздано? 11. Эндрю наблюдал за шимпанзе в зоопарке. 45 из них ели жуков, 36 играли с палками, а остальные дремали. Если всего было 122 шимпанзе, сколько дремало? 12. Уильям кормит своих рыбок 8 контейнерами корма для рыб каждый день. Каждый контейнер стоит 3,25 доллара. Сколько денег Уильям тратит на корм для рыб за неделю? 13. Элизабет делает ожерелья из ракушек для своих 7 друзей. Ей нужно 23 ракушки, чтобы сделать каждое ожерелье. На данный момент она собрала 89 ракушек. Сколько еще ракушек ей нужно, чтобы сделать все 7 ожерелий? 14. Эдвард и Карл играли в видеоигру. Эдвард набрал 835 очков, а Карл — 345 очков. На сколько больше очков набрал Эдвард, чем Карл? 15. Ава купила 8 печений по 2,25 доллара каждое, 5 плиток шоколада по 1,50 доллара каждое и 6 кексов по 1,25 доллара каждое. Сколько сдачи она должна получить, если расплачивается 50-долларовой купюрой? 16. В субботу парк аттракционов посетили 320 человек. В четыре раза больше посетителей в воскресенье. Сколько человек посетило парк развлечений в выходные? 17. Стефани купила 45 простых печенек по 2,20 доллара каждое. Она украсила их глазурью и продала по 3,75 доллара за штуку. Какую прибыль она получила, продавая свое украшенное печенье? 18. Майлз сделал 45 футболок для продажи в Интернете. Он продал каждую по 30 долларов, но ей пришлось заплатить налог в размере 8,50 долларов за каждую рубашку. Сколько денег он заработал всего? 19. Эми ходила в спортзал 15 лет. Каждый год она тренировалась три раза в неделю. Сколько раз она ходила в спортзал за 15 лет? 20. Лиза продавала свитера. Она продала 899 свитеров в первый год своего бизнеса, 1450 — во второй год и 2450 — в третий год. Сколько всего она заработала, если каждый свитер стоил 29 долларов?? 21. Тайлер ловил бабочек. За первый час он поймал 7 бабочек. За второй час он поймал 9 бабочек. За третий час он поймал 11 бабочек. Если бы эта закономерность продолжалась, сколько часов ему потребуется, чтобы поймать более 60 бабочек? 22. Каждую неделю Питер видит, как мимо его дома проезжает 144 машины. Сколько машин он увидит за 3 года? 23. Шеннон должна зарезервировать автобусы для экскурсии. У нее 271 ребенок, 12 учителей и 9родители. Каждый автобус рассчитан на 22 пассажира. Сколько автобусов ей понадобится и сколько свободных мест останется? 24. Джон хочет испечь 1400 кексов для школьной распродажи выпечки. Он может испечь 36 кексов в день. Он уже испек 396. За сколько дней он испечет 1400 кексов? 25. Бен и его 4 друга прочитали 60 книг за год. В каждой книге в среднем 235 страниц. Сколько всего страниц они прочитали за год? 26. У Мэнди день рождения. Она пригласила 25 друзей и испекла 432 печенья. Она хочет поделиться печеньем на своей вечеринке, но также хочет сохранить 35 для своих братьев и сестер. Сколько печенья получит каждый на вечеринке? 27. Эдвард хотел раздать свои марки 12 друзьям. У него 624 марки. Сколько марок получит каждый друг и сколько останется? 28. Билеты в кино стоят 24 доллара США за взрослого и 1/4 этой цены за ребенка. Сколько всего заплатит семья из 2 взрослых и 5 детей? 29. Мелисса заработала 560 долларов в сентябре и только 2/5 этой суммы в октябре. Сколько денег она заработала в октябре? 30. Пол съел 1¼ пиццы, а Сэм съел 3 ¾ пиццы. Сколько всего пицц они съели? 31. Джейми заработал 800 долларов за первый год работы в бизнесе. Если он поделится 3/4 своего заработка со своей семьей, сколько денег у него останется? 32. Саре нужно было распилить кусок дерева длиной 230 м на 5 частей. Какой длины будет каждая часть после разрезания? 33. Школа из 385 учеников и 12 учителей собиралась в поход и нуждалась в резервировании автобусов. Если один автобус может перевозить 70 человек, сколько автобусов им потребуется? 34. Джеймс продает свой дом. 70% прибыли он оставит себе, а 30% отдаст матери. Если дом будет продан за 300 000 долларов, сколько денег получит каждый из них? 35. Стивен заработал 200 долларов за 1 неделю работы. На следующей неделе он заработал на 30% больше. Сколько денег он заработал за 2 недели? 36. Алекс заработал 540 долларов, продавая пуговицы на гаражной распродаже, а Энди заработал 2/5 суммы Алекса. Сколько денег заработал Энди? 37. У Дженнифер есть задний двор размером 13 на 9 метров. Она хочет добавить сад размером 7 на 4 метра. Сколько метров площади останется у нее на заднем дворе? 38. Сандра купила школьных принадлежностей на 250 долларов. В магазине была распродажа, поэтому она получила 30% скидку. Сколько она должна была заплатить? 39. Дэнни строил большой игровой домик для своей дочери. Периметр кукольного домика представлял собой квадрат. Если бы длина одной стороны была 21 м, какой длины был бы весь периметр? 40. Кимберли нарисовала новую картину. Она потратила 530 долларов на краски, 223 доллара на мольберт, 55 долларов на раму и 421 доллар на холст. Она продала свою картину за 3264 доллара. Какую прибыль она получила? 41. Кайл, Джек и Джейми пошли на вечеринку с пиццей, где каждый съел по 3¼ куска пиццы. Сколько кусков пиццы они съели всего? 42. В феврале Сэм заработал 500 долларов на продаже бейсбольных карточек. В марте он заработал на 40% больше. Сколько он заработал за эти месяцы? 43. Мэри хочет добавить ковер в свою гостиную. Площадь ее гостиной составляет 123 м2, а ковер стоит 8 долларов за квадратный метр. Сколько вообще будет стоить ковер? 44. Эми покупала закуски для вечеринки. Она купила 35 упаковок чипсов по 2,50 доллара каждая, 6 бутылок газировки по 4,50 доллара каждая и большой торт по 77 долларов. Сколько всего она потратила на вечеринку? 45. Саманта хотела покрасить стены новыми обоями. Каждая стена была 8 м на 13 м, и ей нужно было покрыть 7 стен. Какую площадь она должна была покрыть всего? 46. Пэм купила новую стиральную машину за 1500 долларов и сушилку за 850 долларов. Она получила 20% от суммы. Сколько она должна была заплатить? 47. Тэмми купила пачку наклеек, внутри было 78 наклеек. Она решила оставить себе 2/3 из них и отдать 1/3 сестре. Сколько наклеек получила ее сестра? 48. Джеймс заработал 900 долларов в октябре на уборке газонов. Сэм заработал 8/9 этой суммы. Сколько денег заработал Сэм? 49. Патриция разрезала плитку шоколада на равные кусочки, чтобы разделить их с тремя друзьями. Если длина плитки шоколада 42,6 см, то какой длины каждая из трех частей? 50. Джеймс съел 4/5 торта, а Эми съела 2/3. Сколько всего они съели? 51. Родители Стэнли согласились позволить ему купить новую игровую приставку, если он заплатит за ее половину. Они дали ему 180 долларов за свою порцию. Если Стэнли уже сэкономил 108,70 долларов, сколько еще денег ему нужно, чтобы купить консоль? 52. Стефани приготовила пирожные для классной распродажи выпечки. На коробке написано, что из кастрюли получится 12 порций. Если каждая порция содержит 250 калорий, сколько калорий будет на всей сковороде? 53. Каждый месяц семья Смитов платит 45 долларов за базовый тарифный план мобильного телефона плюс 6,95 долларов за каждый из своих 4 телефонов. Они также платят 29,99 долларов за план передачи данных и текстовых сообщений и дополнительные 7,45 долларов в виде налогов. Сколько составляет их ежемесячный счет? 54. Длина жука составляет около 3/4 дюйма. Гремучая змея примерно в 30 раз длиннее. Какой длины гремучая змея? 55. Ясмин нужно было 45 фактов о жирафах для ее научного проекта. Она записала 2/5 необходимых ей фактов из первой книги, 12 фактов из второй книги и 1/9нужных ей фактов из третьей книги. Сколько еще фактов ей нужно, чтобы завершить свой проект? Задачи со словами Задачи со словами — это один из первых способов, с помощью которых мы знакомимся с прикладной математикой, а также одна из самых тревожных математических задач, с которыми сталкиваются многие школьники. На этой странице собрана большая коллекция текстовых задач, которые обеспечивают легкое введение в текстовые задачи для всех четырех основных математических операций. Вы найдете задачи на сложение слов, задачи на вычитание, задачи на умножение и деление слов, все они начинаются с простых простых вопросов, которые переходят в более сложные навыки, необходимые для многих стандартизированных тестов. По мере их продвижения вы также найдете набор операций, которые требуют от учащихся выяснить, какой тип сюжетной задачи им нужно решить. А если вам нужна помощь, ознакомьтесь с советами по решению задач со словами внизу этой страницы! Сложные задачи на сложение 20 рабочих листов с задачами на сложение Эти вводные задачи на сложение идеально подходят для первого или второго класса прикладной математики. Задачи на сложение Задачи на вычитание Рабочие листы с задачами на 20 слов Эти рабочие листы включают простые задачи на вычитание с меньшими количествами. Следите за такими словами, как разница и оставшийся. Словесные задачи на вычитание Смешанные словесные задачи на сложение и вычитание 8 Рабочие листы со словесными задачами Этот набор рабочих листов включает в себя смешанные словесные задачи на сложение и вычитание. Учащиеся должны выяснить, какую операцию применить в контексте проблемы. Смешанные словесные задачи на сложение и вычитание Словесные задачи на умножение 20 словесных задач Это первый набор рабочих листов с текстовыми задачами, в которых представлено умножение. Эти рабочие листы включают только задачи на умножение; см. рабочие листы в следующих разделах для смешанных операций. Задачи на умножение Задачи на деление Рабочие листы задач на 20 слов Эти задачки на деление имеют дело только с целыми делениями (частное без остатка). Это отличный первый шаг к распознаванию ключевых слов, которые сигнализируют о том, что вы решение задачи на деление слов. Дивизион Word Problems Girl Scout Cookie Division 20 Рабочих листов Word Tasks Если вы когда-нибудь работали Печенькой, Мама (или Папа!), вы знаете, какую математику мы практикуем … Эти рабочие листы в основном представляют собой задачи на деление слов, которые вводят остатки. Достаньте из коробки свои тагалонги или тонкие мятные леденцы и узнайте, сколько остатков вам будет разрешено съесть! Отдел печенья девочек-скаутов Задачи на деление с остатком 24 Рабочие листы со словесными задачами Рабочие листы в этом разделе состоят из задачников на деление и на остаток. Они похожи на задачи девочек-скаутов из предыдущего раздела, но с другими единицами измерения. Задачи на деление с остатком Смешанные задачи на умножение и деление Рабочие листы с задачами на 8 слов Эти рабочие листы сочетают в себе базовые задачи на умножение и деление. В задачах на деление не учитываются остатки. Эти рабочие листы требуют, чтобы учащиеся различали формулировку сюжетной задачи, требующей умножения, от задачи, требующей деления для получения ответа. Смешанные задачи на умножение и деление Смешанные задачи на операции 8 задач со словами Целая энчилда! Эти задания сочетают в себе задачи на сложение, вычитание, умножение и деление. Эти рабочие листы проверят способность учащихся выбирать правильную операцию на основе текста задачки. Словесные задачи со смешанными операциями Дополнительные факты Словесные задачи сложения 20 Рабочие листы текстовых задач Один из способов немного усложнить текстовую задачу — включить в текст задачи дополнительную (но неиспользованную) информацию. В этих рабочих листах есть задачи на добавление слов с дополнительными неиспользованными фактами в задаче. Дополнительные факты Словесные задачи на сложение Дополнительные факты Словесные задачи на вычитание 20 словесных задач Рабочие листы Словесные задачи на вычитание с дополнительными неиспользованными фактами в каждой задаче. Рабочие листы начинаются с задач на вычитание с меньшими значениями и переходят к более сложным задачам. Дополнительные факты Словесные задачи на вычитание Дополнительные факты Словесные задачи на сложение и вычитание 8 Рабочие листы со словесными задачами Рабочие листы со смешанными операциями на сложение и вычитание с дополнительными неиспользованными фактами в задачах. Дополнительные факты Словесные задачи на сложение и вычитание Дополнительные факты Умножение словесных задач 20 словесных задач Рабочие листы Словесные задачи на умножение с дополнительными неиспользованными фактами в задаче. Рабочие листы в этом наборе начинаются с задач на умножение с меньшими значениями и переходят к более сложным задачам. Дополнительные факты Задачи на умножение Дополнительные факты Задачи на деление Рабочие листы задач на 20 слов Рабочие листы в этом разделе включают математические задачи на деление с дополнительными неиспользованными фактами в задаче. Частные в этих задачах на деление не включают остатки. Дополнительные факты Словесные задачи на деление Дополнительные факты Умножение и деление словесные задачи 16 Словесные задачи Это набор рабочих листов со смешанными задачами на умножение и деление и дополнительными неиспользованными фактами в задаче. Частные в этих задачах на деление не включают остатки. Дополнительные факты Словесные задачи на умножение и деление Словесные задачи на время в пути (обычные) Рабочие листы на 28 словесных задач Эти сюжетные задачи касаются времени в пути, включая определение расстояния в пути, времени в пути и скорости с использованием миль ( обычные единицы). Это очень распространенный класс текстовых задач, и специальная практика с этими рабочими листами подготовит учащихся, когда они столкнутся с похожими задачами на стандартизированных тестах. Задания на время в пути (обычные) Задания на время в пути (метрические) 28 Рабочие листы с заданиями на время в пути Хотите знать, когда прибывает поезд? Эти сюжетные задачи касаются времени в пути, включая определение расстояния в пути, времени в пути и скорости с использованием километров (метрических единиц). Словесные задачи на время в пути (метрические) Приемы решения текстовых задач Рабочие листы по математике в этом разделе сайта посвящены простым текстовым задачам, подходящим для начальных классов. Задачи на простое сложение можно вводить очень рано, в первом или втором классе, в зависимости от способностей ученика. Следуйте этим рабочим листам со словесными задачами на вычитание после того, как будет рассмотрена концепция вычитания, а затем приступайте к умножению и делению словесных задач таким же образом. Проблемы со словами часто являются источником беспокойства для учащихся, потому что мы склонны вводить математические операции в абстракцию. Учащиеся с трудом применяют даже элементарные операции к текстовым задачам, если их не учили постоянно думать о математических операциях в повседневной жизни. Регулярные разговоры с детьми о том, «сколько еще вам нужно» или «сколько у вас осталось», или другие, казалось бы, простые вопросы, если их задавать регулярно, могут развить это базовое чувство числа, которое чрезвычайно помогает, когда начинают проявляться проблемы со словами и прикладная математика. . Существует множество приемов решения текстовых задач, которые могут заполнить пробел, и они могут быть полезными инструментами, если учащиеся либо не могут решить, с чего начать решение задачи, либо просто нуждаются в способе проверить свое мышление по конкретной проблеме. Убедитесь, что ваш ученик сначала прочитал задачу целиком. Очень легко начать читать словесную задачу и подумать после первого-двух предложений: «Я знаю, о чем они просят…», а затем заставить проблему принять совершенно другой оборот. Преодоление этой склонности к раннему решению может быть трудным, и гораздо лучше выработать привычку полностью обойти проблему, прежде чем выбрать путь к решению. Есть определенные слова, которые появляются в задачах со словами для различных операций, которые могут подсказать вам, какая операция может быть правильной для применения. Эти ключевые слова не являются безошибочным способом узнать, что делать с проблемой, но они могут стать полезной отправной точкой. Например, такие фразы, как «вместе», «всего», «вместе» или «сумма», очень часто сигнализируют о том, что задача будет включать сложение. В задачах на вычитание очень часто в формулировках используются такие слова, как «разница», «меньше» или «уменьшение». В задачах со словами для младших детей также используются такие глаголы, как «дали» или «поделились» в качестве замены для вычитания. Ключевые фразы, на которые следует обращать внимание при решении задач на умножение слов, включают очевидные фразы, такие как «times» и «product», но также обращайте внимание на «for each» и «every». задачки со словами могут быть сложными, особенно для детей младшего возраста, которые еще не полностью развили представление о том, для чего можно использовать деление… Но именно поэтому задачи со словами на деление могут быть такими полезными! Если вы видите такие слова, как «за» или «среди» в тексте словесной задачи, ваш радар дивизии должен звучать негромко и четко. Обратите внимание на «общий доступ» и убедитесь, что учащиеся не путают эту формулировку с задачей на вычитание. Это яркий пример того, когда внимание к языку очень важно. Нарисуй картинку! Один из ключевых советов, особенно для простых задач со словами, состоит в том, чтобы поощрять учащихся рисовать картинки. Большинство задач со словами в начальной школе представляют собой базовые упражнения на счет, когда вы имеете дело с количествами или наборами, которые довольно малы. Если учащиеся могут нарисовать проблему (даже используя простые представления, такие как квадраты или круги для единиц, обсуждаемых в задаче), это может помочь им точно визуализировать то, что происходит. Другой полезной стратегией визуализации является использование манипуляций. Вместо предмета задачи могут стоять скрепки, шашки или другие подручные предметы, что дает возможность проработать другие простые примеры с другими номерами. Бесплатные рабочие листы по математике для 5-го класса Вы здесь: Главная → Рабочие листы → 5 класс Это обширная коллекция бесплатных печатных листов по математике для 5 класса, организованных по таким темам, как сложение, вычитание, алгебраическое мышление, разрядность, умножение, деление, разложение на простые множители, десятичные числа, дроби, измерения, координатная сетка и геометрия. Они генерируются случайным образом, могут быть распечатаны из вашего браузера и содержат ключ ответа. Рабочие листы поддерживают любую математическую программу для пятого класса, но особенно хорошо подходят для математической программы IXL для 5-го класса и их новых уроков в нижней части страницы. Jump to: Algebra Addition and subtraction in columns Multiplication Division Factoring Place value & rounding Decimal addition Decimal subtraction Decimal multiplication Decimal division Measuring units Write fractions as mixed numbers или наоборот Упрощение и эквивалентные дроби Сложение и вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Дроби в десятичные дроби Координатная сетка Геометрия Рабочие листы генерируются случайным образом каждый раз, когда вы нажимаете на приведенные ниже ссылки. Вы также можете получить новый, другой, просто обновив страницу в браузере (нажмите F5). Вы можете распечатать их прямо из окна браузера, но сначала проверьте, как это выглядит в «Предварительном просмотре». Если рабочий лист не помещается на странице, отрегулируйте поля, верхний и нижний колонтитулы в настройках страницы вашего браузера. Другой вариант — настроить «шкалу» на 9.5% или 90% в режиме предварительного просмотра. В некоторых браузерах и принтерах есть опция «Печать по размеру», которая автоматически масштабирует рабочий лист в соответствии с областью печати. Все рабочие листы поставляются с ключом ответа, размещенным на 2-й странице файла. Алгебра Уравнения сложения 1 — три двузначных числа (отсутствует слагаемое) Уравнения сложения 2 — четыре числа, до 4 цифр (отсутствует слагаемое) Уравнения вычитания — двузначные числа (отсутствует уменьшаемое или вычитаемое) Уравнения вычитания — 4-значные числа (отсутствует уменьшаемое или вычитаемое) Уравнения сложения и вычитания — с использованием двузначных чисел и переменных Уравнения сложения и вычитания – с использованием трехзначных чисел и переменных Простые уравнения умножения и деления на основе таблиц умножения (математика в уме) Уравнения умножения и деления — с помощью двузначного делителя или двузначных множителей (решить с помощью длинного умножение или длинное деление) Порядок операций — 3 операции, без скобок Порядок операций — 3 операции, включая скобки Порядок операций — 4 операции, включая скобки Задача по математике для начальных классов Эдвард Заккаро Хорошая книга по решению проблем с очень разнообразными текстовыми задачами и стратегиями решения проблем. Включает главы: последовательности, решение проблем, деньги, проценты, алгебраическое мышление, отрицательные числа, логика, отношения, вероятность, измерения, дроби, деление. Вопросы каждой главы разбиты на четыре уровня: простые, несколько сложные, сложные и очень сложные. Сложение и вычитание в столбцах (числа друг под другом) Сложение 5- и 6-значных чисел, 4 слагаемых Сложение 5- и 6-значных чисел, 5 слагаемых Добавить 7- и 8-значные числа, 4 сложения Добавить 7- и 8-значные числа, 6 слагаемых Вычитание 6-значных чисел в столбцах Вычитание 7-значных чисел в столбцах Вычитание 8-значных чисел в столбцах Разрядное значение и округление Найдите недостающую часть пятизначного числа Найдите недостающую часть шестизначного числа (печать в альбомной ориентации) Найдите недостающую часть, до 8-значных чисел или сотен миллионов (печать в альбомной ориентации) Запишите до 7-значного числа, заданного в развернутом виде, в нормальной форме Запись до 10-значного номера в развернутом виде в обычном виде (печать в альбомной ориентации) Написать до 7-значного числа дано в развернутом виде в нормальной форме, части зашифрованы Запись до 10-значного числа дается в развернутом виде в нормальном виде, части зашифрованы (печать в альбомной ориентации) Запись до 5-значного числа в расширенной форме Запись до 8-значного числа в расширенной форме Запись до 10-значного числа в расширенной форме Пропуск счета Пропустить счет на 20 000, начиная с 550 000 Пропустить счет на 50 000, начиная со 120 000 Пропустить счет на 100 000, начиная с 1 350 000 Пропустить счет на 100 000, начиная с 628 000 Пропустить счет на 300 000, начиная с 4 250 000 Пропустить счет на 500 000, начиная с 750 000 Округление Округлить до десятых, в пределах 0–10 000 Округлить до сотни в пределах 0-1 000 000 Округлить до тысячи в пределах 0-1 000 000 Смешанные задачи округления 1 — округление до ближайших десятков, сотен или тысяч Смешанные задачи округления 2 — округление до ближайших десятков, сотен, тысяч или десяти тысяч Смешанные задачи округления 3 — как указано выше, но с округлением до подчеркнутой цифры Смешанные задачи округления 4 — округление до подчеркнутой цифры, округление до ближайшего миллиона Умножение Умножение в уме Умножение трехзначных чисел на 10, 100 или 1000 Умножение до 3-значных чисел на 10, 100 или 1000 — отсутствует множитель Умножение на целые десятки, целые сотни и целые тысячи (например, 20 × 3000) Умножение на целые десятки, целые сотни и целые тысячи — отсутствует множитель 9. 0816 Умножьте однозначное число на двузначное (используя частичные произведения мысленно) Умножать мысленно по частям (например, 3 × 97 или 4 × 208, используя распределительное свойство) Длинное умножение (в столбцах) Умножить 4-значное число на 1-значное число Умножить трехзначное число на двузначное число Умножить 4-значное число на 2-значное число Умножить 5-значное число на 2-значное Умножить трехзначное число на трехзначное число Умножить 4-значное число на 3-значное число Решите уравнения умножения — используя деление в большую сторону, 1 или 2-значный делитель Решите уравнения деления — используйте либо деление в большую сторону, либо умножение Отдел Ментальное отделение Разделите в уме трех- и четырехзначные числа на однозначные числа Деление с остатком в пределах 1-100 Деление с остатком, делитель целой десятки Деление с остатком, делитель целой сотни Длинное деление 1-значный делитель, 4-значное делимое, без остатка 1-значный делитель, 4-значное делимое, остаток 2-значный делитель, 4-значное делимое, делитель от 11 до 35 2-значный делитель, 4-значное делимое, без остатка — (делитель — любое двузначное число) 2-значный делитель, 4-значное делимое, с остатком — (делитель — любое двузначное число) Умножение уравнения (отсутствует множитель; решить делением в большую сторону) Уравнения деления (отсутствует делимое или делитель; решить путем умножения или деления в длину) Следующие четыре типа рабочих листов не Стандарты Common Core для пятого класса. 1-значный делитель, 5-значное делимое, без остатка 1-значный делитель, 5-значное делимое с остатком 2-значный делитель, 5-значный делимое, без остатка 2-значный делитель, 5-значное делимое с остатком Факторинг Разложение чисел от 4 до 100 на простые множители Сложный факторинг: числа множителей от 4 до 500 до простых множителей Перечислите все множители данного числа Сложение и вычитание дробей Подобные дроби/дробные части Сложите или вычтите 2 одинаковые дроби — знаменатели от 2 до 25 Сложите или вычтите 3 одинаковые дроби — знаменатели от 2 до 25 Сложите или вычтите 2 одинаковые дроби — знаменатели от 2 до 99 Сложите или вычтите 2 смешанных числа (например, знаменатели) Сложите или вычтите 3 смешанных числа (например, знаменатели) Сложение или вычитание смешанных чисел/дробей/целых чисел (например, знаменателей) Сложение или вычитание смешанных чисел/дробей/целых чисел (например, знаменателей) — отсутствует сложение В отличие от дробей/дробных частей Сложите или вычтите разные дроби — знаменатели 2, 3, 4, 5, 6, 8 и 10 Сложение или вычитание разных дробей — знаменатели 2-12 Задача: сложить или вычесть разные дроби — знаменатели 2-25 Задача: сложить или вычесть 3 разные дроби — знаменатели 2, 3, 4, 5, 6, 8 и 10 Сложение или вычитание смешанных чисел — знаменатели 2–12 Сложение или вычитание смешанных чисел — знаменатели 2-25 Сложение или вычитание смешанного числа и дроби или целого числа — знаменатели 2-12 Сложение или вычитание смешанного числа и дроби или целого числа — знаменатели 2-25 Умножение дробей Дробь, умноженная на целое число — легко Дробь, умноженная на целое число — среднее Умножение дроби 1 — специальные простые знаменатели Умножение дроби 2 — знаменатели 2-12 Умножение дроби 3 — три дроби, знаменатели 2-12 Умножение дроби 4 — вызов; знаменатели 2-25 Умножить смешанное число на дробь Умножение смешанных чисел 1 — легко Умножение смешанных чисел 2 — знаменатели 2-12 Практика смешанного умножения (на дроби, смешанные числа или целые числа) Задание: целое число, умноженное на дробь — пропущенный множитель Задача: дробь, умноженная на дробь — отсутствует множитель Дробное деление Разделить целое число на дробь (в уме) Разделить единичную дробь на целое число (в уме) Следующие типы рабочих листов не соответствуют стандартам Common Core. Разделить целое число на дробь — легко (в уме), ответы целые номера Разделить смешанное число на дробь — легко (в уме), ответы целые номера Преобразование дробей в смешанные числа и наоборот Смешать числа в дроби — легко (ответы НЕ упрощены; 12 задач на странице) Смешать числа в дроби — легко (ответы НЕ упрощены; 18 задач на странице) Смешать числа в дроби — легко (ответы упрощены) Смешанные числа с дробями — средний (ответы упрощены; 12 задач на странице) Смешанные числа с дробями — средний (ответы упрощены; 18 задач на странице) Смешанные числа в дроби — задача (ответы упрощены) Дроби к смешанным числам — легко (ответы НЕ упрощены; 12 задач на странице) Дроби к смешанным числам — легко (ответы упрощены; 12 задач на странице) Дроби к смешанным числам — легко (ответы упрощены; 18 задач на странице) Дроби к смешанным числам — средние (ответы упрощены) Эквивалентные дроби и упрощение дробей Упрощение дробей — легко Упростить дроби — сложнее Равнозначные дроби — простые Эквивалентные дроби — тверже Равнозначные дроби — самая твердая Запись дробей в виде десятичных и наоборот В таблицах ниже ключ ответа не дает дроби в упрощенной форме. Например, 0,24 задается как 24/100, а не как 6/25. Если вы предпочитаете, вы можете спросить ученик упростить. Запишите десятичные дроби (1-2 десятичных знака) (числа меньше 1) Запись десятичных дробей в виде смешанных чисел (1-2 десятичных разряда) Запись десятичных дробей в виде дробей (1-3 десятичных знака) Запись десятичных дробей в виде смешанных чисел (1-3 десятичных разряда) Запишите дроби в виде десятичных (десятых и сотых) (числа меньше 1) Запишите дроби в виде десятичных (до тысячных) (числа меньше 1) Запись смешанных чисел и дробей в виде десятичных дробей (до тысячных) Запишите неправильные дроби в виде десятичных (до сотых) Запишите неправильные дроби в виде десятичных (до тысячных) Десятичное сложение Математика в уме Десятичные цифры от 0 до 1 Два слагаемых, 0-1 десятичные цифры Три сложения, 0-1 десятичные цифры Четыре сложения, 0-1 десятичные цифры Два сложения, 0-1 десятичные цифры, отсутствует сложение Три сложения, 0-1 десятичные цифры, отсутствует сложение от 0 до 2 десятичных цифр Два слагаемых, 0-2 десятичных разряда Три сложения, 0-2 десятичные цифры (вызов) Два слагаемых, 0-2 десятичных разряда, отсутствующее сложение (проще) Два слагаемых, 0-2 десятичных разряда, отсутствующее сложение (сложнее) Два слагаемых, до 3 десятичных цифр Дополнение к колонке Добавить в столбцах (добавления имеют 0-2 десятичных знака) Сложение в столбцах (дополнения имеют 0-2 десятичных знака) (три сложения) Сложение в столбцах (сложения имеют 0-2 десятичных знака) (четыре сложения) Напишите десятичные знаки друг под другом, чтобы добавить в столбцах (0-2 десятичных знака; 2 слагаемых) Напишите десятичные дроби друг под другом, чтобы добавить их в столбцы (0-2 десятичные цифры; 3 сложения) Напишите десятичные дроби друг под другом, чтобы добавить их в столбцы (0-2 десятичные цифры; 4 сложения) Напишите десятичные знаки друг под другом, чтобы добавить в столбцы (0-3 десятичных знака; 2 слагаемых) Напишите десятичные дроби друг под другом, чтобы добавить их в столбцы (0-3 десятичных цифры; 4 сложения) Десятичное вычитание Математика в уме Десятичные цифры от 0 до 1 Вычесть десятичную дробь из целого числа Вычесть два десятичных числа Отсутствует уменьшаемое/вычитаемое Задачи на сложение и вычитание Вычесть десятичные дроби — два вычитаемых (например, 4,5 — 0,3 — 0,9) Отсутствует уменьшаемое/вычитаемое — два вычитаемых (например, 4,5 — ___ — 0,9 = 2,1) Задачи на сложение и вычитание с 3 числами от 0 до 2 десятичных цифр Вычесть десятичную дробь из целого числа Вычесть два десятичных числа Отсутствует уменьшаемое/вычитаемое Задачи: арифметика в уме Вычесть из целого числа два вычитаемых Вычитание десятичной дроби из целого числа, содержащего до 3 десятичных цифр Вычесть два десятичных числа Вычитание десятичных дробей — два вычитаемых Задачи на сложение и вычитание Вычитание столбцов Вычитание столбцами (0-2 десятичных знака) Напишите десятичные дроби друг под другом, чтобы вычесть столбцами (0-2 десятичных знака) Напишите десятичные дроби друг под другом для вычитания в столбцах (0-3 десятичных цифры) Напишите числа друг под другом и вычтите — два вычитаемых Задачи на сложение и вычитание с 3 числами Проблемы: алгебраическое мышление Уравнения сложения и вычитания — простые (0-1 десятичный знак) Уравнения сложения и вычитания — легко (0-2 десятичных знака Уравнения сложения и вычитания — сложнее (0-1 десятичный знак) Уравнения сложения и вычитания — сложнее (0-2 десятичных знака) Десятичное умножение Математика в уме Умножение целого числа на десятичную дробь — легко (одна десятичная цифра) Умножить целое число на десятичное — сложнее (одна десятичная цифра) Умножение целого числа на десятичное — отсутствует множитель (одна десятичная цифра) Умножение целое число и десятичное число (1-2 десятичных знака) Умножить целое число и десятичное число — пропущенный множитель (1-2 десятичных знака) Умножение целого числа на десятичную (1-3 десятичных цифры) Умножение целого числа на десятичное — пропущен множитель (1-3 десятичных знака) Умножить десятичные дроби на десятичные дроби Умножить десятичные дроби на десятичные дроби — отсутствует множитель Умножение десятичных дробей на десятичные или целые числа (смешанная практика) Умножение десятичных дробей на десятичные или целые числа — отсутствующий множитель (смешанный метод) Умножение на 10 или 100 (1-2 десятичных знака) Умножить на 10, 100 или 1000 (1-2 десятичных знака) Умножить на 10, 100 или 1000 — пропущен коэффициент (1-2 десятичных знака) Умножение на 10 или 100 (1-3 десятичных знака) Умножить на 10, 100 или 1000 (1-3 десятичных знака) Умножить на 10, 100, 1000, 10000 или 100000 (1-3 десятичных знака) Умножение десятичных знаков на 10, 100 или 1000 — пропущенный коэффициент (1-3 десятичных знака) Умножение столбцами Умножить десятичная дробь на целое число (0-2 десятичных знака) Умножить десятичная дробь на целое число (0-3 десятичных знака) Умножение десятичных знаков на десятичные (1-2 десятичных знака) Умножать десятичные дроби, записывая числа друг под другом (0-2 десятичные цифры) Умножение десятичных знаков, запись чисел друг под другом (задача; 0-3 десятичных знака) Десятичное деление Математика в уме Разделить десятичную дробь на целое число (1 десятичная цифра) Как указано выше — отсутствует делимое или делитель Разделить десятичную дробь на целое число (1–2 десятичных цифры) Как указано выше — отсутствует делимое или делитель Разделите десятичные дроби на десятичные дроби (Подумайте, сколько раз делитель входит в частное. ) Смешанные задачи на умножение и деление 1 (1 десятичная цифра) Деление целых чисел на 10, 100 или 1000 Как указано выше — отсутствует делимое или делитель Разделить десятичные или целые числа на 10 или 100 Как указано выше — отсутствует делимое или делитель Умножение или деление десятичных и целых чисел на 10, 100 и 1000 Длинная часть Деление десятичных дробей на целые числа (1-3 десятичные цифры; однозначный делитель) Деление десятичных дробей на целые числа (1-3 десятичные цифры; двузначный делитель) Разделить десятичную дробь на целое число, округлить ответы до трех знаков после запятой (нужно добавить нули к делимому) Разделить целое число или десятичную дробь на целое число, округлить ответы до трех знаков после запятой (нужно добавить нули к делимому) Преобразовать дробь в десятичную, используя деление в длину, округлив ответы до трех знаков после запятой Разделить целое число или десятичная дробь с использованием длинного деления Измерительные блоки Традиционная система Преобразование между дюймы и футы — проще Преобразование между дюймами и футами — сложнее Преобразование между дюймы, футы и ярды — проще Преобразование между дюймами, футами и ярдами — сложнее Преобразование между дюймами, футами и ярдами с десятичными дробями — используйте калькулятор Преобразование миль, ярдов и футов 1 — используйте калькулятор Преобразование между милями, ярдами и футами 2 — используйте калькулятор Преобразование между унциями и фунтами — проще Преобразование между унциями и фунтами — сложнее Преобразование между тоннами и фунтами — проще Преобразование между тоннами и фунтами — сложнее Преобразование между тоннами, фунтами и унциями с десятичными дробями — используйте калькулятор Преобразование между чашками, пинтами и квартами Преобразование между чашками, пинтами, квартами и галлонами Преобразование между унциями, чашками и квартами Все общепринятые единицы, кроме миль — смешанная практика Все обычные единицы, кроме миль — смешанная практика — вызов Преобразование между различными обычными единицами с десятичными дробями — используйте калькулятор Метрическая система Преобразование между мм, см и м — с использованием десятичных знаков Преобразование между мм, см, м и км — с использованием десятичных знаков Преобразование между мл и л и г и кг с использованием десятичных знаков Все упомянутые выше метрические единицы — смешанная практика — с использованием десятичных знаков Метрическая система: перевести единицы длины (мм, см, дм, м, дам, гм, км) Метрическая система: преобразование между единицами веса (мг, cg, dg, g, dag, hg, kg) Метрическая система: преобразование между единицами объема (мл, кл, дл, л, дал, гл, кл) Метрическая система: преобразование между единицами длины, веса и объема 90 816 Координатная сетка Нанесите точки и фигуры или сообщите координаты точек (сетка масштабируется от 0 до 10) Нанесите точки и фигуры или сообщите координаты точек (сетка масштабируется от 0 до 20) Переместить фигуру в координатной сетке в одном направлении (сетка масштабируется от 0 до 10) Переместить фигуру в координатной сетке в двух направлениях (сетка масштабируется от 0 до 10) Перемещение фигуры в двух направлениях (сетка масштабируется от 0 до 20) Геометрия Классифицируй треугольники по их сторонам Классифицируйте треугольники по их углам Классифицируйте треугольники по их сторонам и углам Классифицировать четырехугольники — квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм и трапецию (за исключением воздушного змея и разностороннего четырехугольника) Классифицировать четырехугольники — все семь типов Найти объем призмы или длину ребра куба (если известен его объем) (легко) Найдите объем призмы или длину ребра куба (когда известен его объем) (более сложная задача) Если вы хотите лучше контролировать такие параметры, как количество задач, размер шрифта, расстояние между задачами или диапазон чисел, просто щелкните по этим ссылкам, чтобы самостоятельно использовать генераторы рабочих листов: Меню математики 1 -й класс 2 -й класс 3 -й класс 4 -й класс . : сложение, вычитание, умножение и деление (включая целые числа) римские цифры разрядность и экспоненциальное представление Округление Время (часы) Традиционные единицы измерения Метрические единицы измерения Классификация треугольников Классификация четырехугольников Площадь и периметр прямоугольников Площадь треугольников и многоугольников Координатная сетка, движения, отражения Окружность Канадские деньги 8 Деньги Британские деньги Европейские деньги Южноафриканские деньги Рабочие листы дробей 1 Рабочие листы дробей 2 Сложение дробей Сравнение дробей Эквивалентные дроби Разложение простых чисел на множители GCF / LCM Калькулятор дробей Десятичные рабочие листы Десятичное умножение Десятичное разделение Фракция/десятичное значение Десятиц округления процент. Задачи на соотношение слов Порядок операций Переменные выражения Вычисление выражений Упрощение выражений Линейные уравнения Линейные неравенства Скорость, время и расстояние Графики и наклон Калькулятор уравнений Редактор уравнений Математические задачи KidZone [1 класс] [Оценка 2] [3-й степени] [Оценка 4] [5 класс] Введение: Задачи Word перечислены по классам и внутри каждого класса по тема. Я всегда нахожу, что предоставление сезонной рабочей таблицы помогает сохранить мою дочь с удовольствием выполняет свою работу. Уровни обучения являются ориентировочными. суждение, основанное на способностях и стремлении вашего ребенка (моя старшая дочь всегда использовал класс ниже, тогда как моя младшая дочь, кажется, класс или два выше — пойди разберись). Имейте в виду, что задачи по математике требует навыков чтения, понимания и математики, поэтому ребенок, хорошо разбирающийся в основные математические уравнения могут столкнуться с большими трудностями, чем вы ожидаете. с задачами по математике. Все текстовые задачи динамические (другими словами, они создают новую проблему каждый раз, когда вы их открываете). или нажмите «Обновить» в браузере). Слова в частности проблема не изменится, но цифры изменятся. Дети, которые борются преобразование текстовой задачи в математическое уравнение покажется обнадеживающим (построение уверенности) повторно обращаться к одним и тем же словесным подсказкам с разными чисел, поэтому рассмотрите возможность печати пары регенераций каждой задачи. В классе вы можете предложить проблему партнерам или группе учащиеся решают вместе, а затем обеспечивают регенерацию одного и того же проблема для детей, чтобы сделать соло. Со старшей дочерью, однажды я понял, насколько она боролся с математикой, когда она не была записана в красивом аккуратном уравнении, я часто решали с ней математическую задачу (выполняя большую часть работы себя), а затем предоставил ей несколько регенераций той же проблемы с разные номера для нее, чтобы сделать соло. Через несколько недель после этого она смог сделать их без прохождения от мамы. Она одна из те дети, которые говорят: «Это слишком сложно!» довольно быстро так укрепление доверия важно — если она думает, что не может что-то сделать она не может — если она думает, что может сделать что-то, она может. Теперь, как сделать Я убеждаю ее, что она МОЖЕТ содержать свою комнату в чистоте? *смех* Общие задачи со словами для 1 класса — Мешки с фасолью — Ковши — Собачьи кости — Время в школу (картинка предложений) Тематические задачи для 1 класса Примечание: проблема генерируется с новыми номерами каждый раз, когда вы нажимаете Осень Рождество Пружина День Земли ул. Патрика День Лето Пасха День Благодарения Зимний Хэллоуин День святого Валентина День Словесные задачи для 2 класса Тематические задачи со словами для 2 класса Примечание: проблема генерируется с новыми номерами каждый раз, когда вы нажимаете Осень Рождество Пружина День Земли ул. Патрика День Лето Пасха День Благодарения Зимний Хэллоуин День святого Валентина День Словесные задачи для 3 класса Тематические словесные задачи для 3 класса Примечание: проблема генерируется с новыми номерами каждый раз, когда вы нажимаете Осень Рождество Пружина День Земли ул. Патрика День Лето Пасха День Благодарения Зимний Хэллоуин День святого Валентина День Словесные задачи для 4 класса Тематические задачи для 4 класса Примечание: проблема генерируется с новыми номерами каждый раз, когда вы нажимаете Осень Рождество Весна День Земли ул. Патрика День Лето Пасха День Благодарения Зимний Хэллоуин День святого Валентина День Словесные задачи для 5 класса Тематические задачи для 5 класса Примечание: проблема генерируется с новыми номерами каждый раз, когда вы нажимаете Осень Рождество Пружина День Земли ул. Патрика День Лето Пасха День Благодарения Зимний Хэллоуин День святого Валентина День 3 совета по составлению математических задач, которые развивают критическое мышление учащихся начальной школы Образовательный фонд Джорджа Лукаса Edutopia Edutopia Поиск Критическое мышление Хорошо продуманные текстовые задачи дают учащимся начальной школы реальный контекст для понимания математических концепций. Брэкстон Холл 12 февраля 2021 г. ZUMA Press Inc / Alamy «У Дэнни 564 помидора. Затем он покупает 623 моркови. Сколько времени ему понадобится, чтобы вернуться домой?» Этот сценарий представляет собой то, что многие люди представляют, когда мы упоминаем проблемы со словами. Многие педагоги считают, что это табу. Некоторые утверждают, что многие учащиеся не могут получить доступ к контенту из-за чтения, а сами проблемы могут быть неуместными с культурной точки зрения. Все эти идеи можно считать верными, если словесная задача создана или выполнена неправильно. Как специальный педагог, который работал в городских и сельских школах, у меня всегда было отношение любви-ненависти к текстовым задачам. Раньше я был одним из учителей, которые заявляли: «Я пытаюсь оценить их математические рассуждения, а не навыки чтения». Мне было трудно понять, что задачи на истории могут дать нашим ученикам ощутимый контекст, с которым они могут связаться, чтобы понять концепцию, которую мы преподаем. Этот контекст важен при первом знакомстве наших студентов с более абстрактным содержанием. Я помню, как в начале учебного года работал с группой третьеклассников, обсуждая простую арифметическую задачу 25 + __ = 50. Этим ученикам показали, что 25 + 25 = 50, но они не понимали, почему пробел был в середине проблемы. Как только я придумала задачу-рассказ о размещении пакетов с горячим шоколадом в контейнерах для классной вечеринки, у учеников сразу же вспыхнули лампочки над головами. Затем они нарисовали представление задачи и решили, что им нужно продолжать прибавлять к 25, пока не получится 50. Я понял, что мы даем в основном числовые задачи, а не концептуальные словесные задачи. Это похоже на то, как мы предлагаем учащимся указания, как добраться до магазина, не показывая им ориентиры, которые им нужны, чтобы добраться до места назначения. Неудивительно, что они теряются в шагах, и наша инструкция становится скорее контрольным списком, а не отработкой навыков критического мышления и решения проблем. Создание задачи на правильное слово — это своего рода искусство. К счастью, как и в случае с художественным проектом, текстовые задачи не обязательно должны быть идеальными. 3 ключа к созданию сложных словесных задач 1. Они должны быть понятны учащимся. Это может показаться пустяком, но я вижу так много словесных задач, которые с самого начала похожи на мой пример. Слишком часто они говорят о чрезмерном количестве вещей или о теме, которую ученики не могут понять. При разработке текстовой задачи нам нужно убедиться, что учащиеся могут подключиться или представить себе, что происходит. Это происходит от знания ваших студентов и их интересов. В моем классе карточки с покемонами и мешочки со слизью — самые популярные вещи. Поэтому, когда мы создаем текстовые задачи и используем эти темы, учащиеся проявляют интерес к истории и могут визуализировать происходящее. Им особенно нравится, когда вы используете их имена, чтобы сделать их звездой словесной проблемы. Поскольку мы работаем над очень абстрактными темами рассуждений, учащимся нужно иметь что-то реальное, за что можно уцепиться, помогая им приземлиться к реальности во время выполнения задания. Не имея возможности понять проблему, мы, скорее всего, потеряем их, и они просто выберут операцию наугад и попытаются решить ее таким образом. 2. Словесные задачи должны быть разрешимы. Задачи не должны быть слишком сложными; простая задача, требующая критического мышления, поможет. Многие стандартизированные тесты создают каверзные формулировки при задании словесных задач и утверждают, что это усложняет решение задачи. На самом деле, если мы просто усложним формулировку, а не заставим ситуацию задуматься, все, что мы делаем, — это разочаровываем наших учеников, а не побуждаем их думать. 3. Словесные задачи должны быть открытыми. Последнее, что нужно задаче с функциональными словами, это быть открытым. «У Джона есть четыре игрушечных машинки, а затем он получает еще четыре. Сколько у него сейчас? скучно и довольно просто. Хотя это вызовет трудности у некоторых студентов на короткое время, это не заставит ни одного студента критически мыслить, и наши студенты могут решить ограниченное количество точек входа. Просто перефразировав вопрос, мы обеспечиваем задание, которое заставляет наших учащихся критически осмыслить происходящее в этой истории. «У Джона четыре машины. Его брат дал ему еще немного, и теперь у него их восемь. Сколько дал ему его брат?» Эта проблема позволяет использовать множество точек входа и возможностей попробовать различные стратегии, одновременно побуждая учащихся мыслить абстрактно с помощью математических рассуждений и чувства чисел. Как педагоги мы должны быть бдительны в отношении задач и текстовых задач, которые мы создаем. Рассматривая возможные текстовые задачи, мы должны спросить себя: «Интересна ли эта текстовая задача? Это разрешимо? Он открытый?» Если ответ на любой из этих вопросов отрицательный, подумайте о том, чтобы переоценить проблемы через призму критического мышления, чтобы сделать их более эффективными и полезными для ваших учеников.

0
AC		+/-	÷
7	8	9	×
4	5	6	—
1	2	3	+
0	00	,	=

`Калькулятор округления чисел, округлит числа, до целого (до единиц), десятых, сотых, тысячных, десятитысячных представленные: обыкновенной либо десятичной дробью и экспоненциальной записью и отобразит подробное решение.`

Вы можете выбрать тип округления, а так же указать количество чисел после запятой. Примеры записи числа, которое необходимо округлить: 5765, -1652, 1/3, -3/6, -5/-7, 34.012, 56,23, 2.3e+5, 5.8e-123 и т.д.Число Тип округления До целого (до единиц)До десятыхДо сотыхДо тысячныхДо десятитысячныхУказать количество чисел после запятой Пожалуйста, опишите возникшую ошибку. Подтвердите, что вы не робот Правила округления целых чисел Правило 1. Если справа от цифры до которой необходимо округлить число, стоит цифра: 0, 1, 2, 3, 4, то тогда необходимо просто заменить нулями все цифры до цифры до которой необходимо округлить число. Примеры: Красной чертой отделим округляемый разряд, а зеленым выделим цифру, которая стоит справа. Округлим число 423012324 до десятых 42301232|4 ≈ 423012320 Округлим число 423012324 до сотых 4230123|24 ≈ 423012300 Округлим число 423012324 до тысячных 423012|324 ≈ 423012000 Округлим число 423012324 до десятитысячных 42301|2324 ≈ 423010000 Округлим число 4.230123243 до семи знаков после запятой 42|3012324 ≈ 420000000 Правило 2. Если справа от цифры до которой необходимо округлить число, стоит цифра: 5, 6, 7, 8, 9, то тогда необходимо к цифре до которой необходимо округлить число прибавить 1. Примеры: Красной чертой отделим округляемый разряд, а зеленым выделим цифру, которая стоит справа. Округлим число 94856757 до тысячных Необходимо округлить до тысячных, значит после красной черты мы оставляем 3 цифры. Красной чертой отделим округляемый разряд, а зеленым выделим цифру, которая стоит справа. 94856|757 Если справа от красной черты, стоит цифра: 0, 1, 2, 3, 4 то тогда необходимо заменить нулями все цифры стоящие после красной черты, а если стоит цифра: 5, 6, 7, 8, 9 то тогда необходимо тоже заменить нулями все цифры стоящие после красной черты и к цифре стоящей слева от красной черты прибавить число 1. После красной черты у нас стоит цифра 7, значит мы должны заменить нулями все цифры стоящие после красной черты и прибавить 1 к цифре слева от красной черты. 94856 + 1 = 94857 94856757 ≈ 94857000 Правила округления десятичных чисел Правило 1. Если справа от цифры до которой необходимо округлить число, стоит цифра: 0, 1, 2, 3, 4, то тогда необходимо просто отбросить все цифры до цифры до которой необходимо округлить число. Примеры: Красной чертой отделим округляемый разряд, а зеленым выделим цифру, которая стоит справа. Округлим число 4.23012324 до целого (до единиц) 4.|23012324 ≈ 4 Округлим число 4.23012324 до десятых 4.2|3012324 ≈ 4.2 Округлим число 4.23012324 до сотых 4.23|012324 ≈ 4.23 Округлим число 4.23012324 до тысячных 4.230|12324 ≈ 4.230 Округлим число 4.23012324 до десятитысячных 4.2301|2324 ≈ 4.2301 Округлим число 4.230123243 до семи знаков после запятой 4.2301232|43 ≈ 4.2301232 Правило 2. Если справа от цифры до которой необходимо округлить число, стоит цифра: 5, 6, 7, 8, 9, то тогда необходимо к цифре до которой необходимо округлить число прибавить 1. Примеры: Красной чертой отделим округляемый разряд, а зеленым выделим цифру, которая стоит справа. Округлим число 12.56843 до целого (до единиц) Необходимо округлить до целого (до единиц), значит после точки мы оставляем 0 цифры. 12.|56843 Если справа от красной черты, стоит цифра: 0, 1, 2, 3, 4 то тогда необходимо просто отбросить все цифры стоящие после красной черты, а если стоит цифра: 5, 6, 7, 8, 9 то тогда необходимо тоже отбросить все цифры стоящие после красной черты и к цифре стоящей слева от красной черты прибавить число 1. После красной черты у нас стоит цифра 5, значит мы должны отбросить все цифры стоящие после красной черты и прибавить 1 к цифре слева от красной черты. 12 + 1 = 13 12.56843 ≈ 13 Округлим число 985.0029 до тысячных Необходимо округлить до тысячных, значит после точки мы оставляем 3 цифры. 985.002|9 Если справа от красной черты, стоит цифра: 0, 1, 2, 3, 4 то тогда необходимо просто отбросить все цифры стоящие после красной черты, а если стоит цифра: 5, 6, 7, 8, 9 то тогда необходимо тоже отбросить все цифры стоящие после красной черты и к цифре стоящей слева от красной черты прибавить число 1. После красной черты у нас стоит цифра 9, значит мы должны отбросить все цифры стоящие после красной черты и прибавить 1 к цифре слева от красной черты. 2 + 1 = 3 985.0029 ≈ 985.003 Вам могут также быть полезны следующие сервисы Калькуляторы (Теория чисел) Калькулятор выражений Калькулятор со скобками Калькулятор разложения числа на простые множители Калькулятор НОД и НОК Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых Калькулятор деления числа в данном отношении Калькулятор процентов Калькулятор перевода числа с Е в десятичное Калькулятор экспоненциальной записи чисел Калькулятор нахождения факториала числа Калькулятор нахождения логарифма числа Калькулятор квадратных уравнений Калькулятор остатка от деления Калькулятор корней с решением Калькулятор нахождения периода десятичной дроби Калькулятор больших чисел Калькулятор округления числа Калькулятор свойств корней и степеней Калькулятор комплексных чисел Калькулятор среднего арифметического Калькулятор арифметической прогрессии Калькулятор геометрической прогрессии Калькулятор модуля числа Калькулятор абсолютной погрешности приближения Калькулятор абсолютной погрешности Калькулятор относительной погрешности Дроби Калькулятор интервальных повторений Учим дроби наглядно Калькулятор сокращения дробей Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей Калькулятор возведения дроби в степень Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную Калькулятор сравнения дробей Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю Калькуляторы (тригонометрия) Калькулятор синуса угла Калькулятор косинуса угла Калькулятор тангенса угла Калькулятор котангенса угла Калькулятор секанса угла Калькулятор косеканса угла Калькулятор арксинуса угла Калькулятор арккосинуса угла Калькулятор арктангенса угла Калькулятор арккотангенса угла Калькулятор арксеканса угла Калькулятор арккосеканса угла Калькулятор нахождения наименьшего угла Калькулятор определения вида угла Калькулятор смежных углов Калькуляторы систем счисления Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел Системы счисления теория N₂ | Двоичная система счисления N₃ | Троичная система счисления N₄ | Четырехичная система счисления N₅ | Пятеричная система счисления N₆ | Шестеричная система счисления N₇ | Семеричная система счисления N₈ | Восьмеричная система счисления N₉ | Девятеричная система счисления N₁₁ | Одиннадцатиричная система счисления N₁₂ | Двенадцатеричная система счисления N₁₃ | Тринадцатеричная система счисления N₁₄ | Четырнадцатеричная система счисления N₁₅ | Пятнадцатеричная система счисления N₁₆ | Шестнадцатеричная система счисления N₁₇ | Семнадцатеричная система счисления N₁₈ | Восемнадцатеричная система счисления N₁₉ | Девятнадцатеричная система счисления N₂₀ | Двадцатеричная система счисления N₂₁ | Двадцатиодноричная система счисления N₂₂ | Двадцатидвухричная система счисления N₂₃ | Двадцатитрехричная система счисления N₂₄ | Двадцатичетырехричная система счисления N₂₅ | Двадцатипятеричная система счисления N₂₆ | Двадцатишестеричная система счисления N₂₇ | Двадцатисемеричная система счисления N₂₈ | Двадцативосьмеричная система счисления N₂₉ | Двадцатидевятиричная система счисления N₃₀ | Тридцатиричная система счисления N₃₁ | Тридцатиодноричная система счисления N₃₂ | Тридцатидвухричная система счисления N₃₃ | Тридцатитрехричная система счисления N₃₄ | Тридцатичетырехричная система счисления N₃₅ | Тридцатипятиричная система счисления N₃₆ | Тридцатишестиричная система счисления Калькуляторы площади геометрических фигур Площадь квадрата Площадь прямоугольника КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ Калькуляторы (Комбинаторика) Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия Калькулятор сложения и вычитания матриц Калькулятор умножения матриц Калькулятор транспонирование матрицы Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы Калькулятор нахождения обратной матрицы Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора Калькулятор сложения и вычитания векторов Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты Калькулятор векторного произведения векторов через координаты Калькулятор смешанного произведения векторов Калькулятор умножения вектора на число Калькулятор нахождения угла между векторами Калькулятор проверки коллинеарности векторов Калькулятор проверки компланарности векторов Генератор Pdf с примерами Тренажёры решения примеров Тренажёр таблицы умножения Тренажер счета для дошкольников Тренажер счета на внимательность для дошкольников Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ. Тренажер решения примеров с разными действиями Тренажёры решения столбиком Тренажёр сложения столбиком Тренажёр вычитания столбиком Тренажёр умножения столбиком Тренажёр деления столбиком с остатком Калькуляторы решения столбиком Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком Калькулятор деления столбиком с остатком Конвертеры величин Конвертер единиц длины Конвертер единиц скорости Конвертер единиц ускорения Цифры в текст Калькуляторы (физика) Механика Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения Калькулятор вычисления времени движения Калькулятор времени Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения. Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния. Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы. Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения Оптика Калькулятор отражения и преломления света Электричество и магнетизм Калькулятор Закона Ома Калькулятор Закона Кулона Калькулятор напряженности E электрического поля Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы Конденсаторы Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькуляторы по астрономии Вес тела на других планетах Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках Генераторы Генератор примеров по математике Генератор случайных чисел Генератор паролей Округление чисел онлайн калькулятор Число которое нужно округлить (используйте в качесте разделителя точку «.») Округлить до Целое число (0 знаков после запятой)Десятых (1 знак после запятой)Сотых (2 знака после запятой)Тысячных (3 знака после запятой)Десятитысячных (4 знака после запятой)Стотысячных (5 знаков после запятой)Миллионных (6 знаков после запятой)Десятимиллионных (7 знаков после запятой)Стомиллионных (8 знаков после запятой)Миллиардных (9 знаков после запятой) Результат округления: Калькулятор округления используется для округления больших чисел за короткое время до необходимого формата. Например, если вы хотите округлить число до сотых, вы можете использовать этот калькулятор. Содержание Основные правила округления чисел 1. Правило меньше 5 или больше 5 2. Проверьте единицу измерения, для которой нужно выполнить округление. Округление до ближайших десятых, сотен и тысяч разрядов Округление десятичных и значащих чисел 1. Все ненулевые числа значимы. 2. Ноль между двумя ненулевыми числами будет считаться значимым. Примеры округления Округление до десятых Округление до сотых Округление до тысячных Округление до ближайшего целого числа Округление до ближайшего целого числа десятков Основные правила округления чисел Процесс округления чисел состоит из нескольких этапов. Вот несколько правил, которые нужно использовать при округлении чисел. 1. Правило меньше 5 или больше 5 В процессе округления в качестве контрольной цифры используется цифра «5». Если число меньше 5, к числу слева ничего не добавляется и оно заменяется на 0. Аналогично, если число больше 5, к числу слева добавляется «1». 2. Проверьте единицу измерения, для которой нужно выполнить округление. Если есть число «4255», и его нужно округлить до ближайшего 10, будет отброшена только 5 в крайнем правом углу, а к 5 слева будет добавлена 1. Например, если вы рассмотрите 4255, это будет 4260 при округлении до ближайшей десятой. Точно так же, если округлить до ближайшей сотни, получится 4300. Округление до ближайших десятых, сотен и тысяч разрядов Предположим, у нас есть число 5776, которое нужно округлить до ближайших 10, 100 и 1000. Давайте проверим шаги, которые должен выполнить пользователь. Вам нужно начать с округления числа до десятой. Число в крайнем правом углу — 6. Согласно правилам округления, оно больше 5. Число слева от 6 — 7, поэтому к нему будет добавлена 1. Следовательно, число 5776 станет 5780. После того, как вы округлили число до сотни, начните процесс округления до ближайшей сотни. В числе 5780 требуется цифра 8. Поскольку эта цифра больше 5, к числу слева от нее будет добавлена 1. В данном случае это число 7. Таким образом, если округлить 5780 до ближайшей сотни, получится 5800. Теперь, если вы хотите еще больше округлить до ближайшей тысячи, число будет 6000. это потому, что цифра 8 больше 5, поэтому 1 будет добавлена к 5 числа. Округление десятичных и значащих чисел Когда вы говорите об округлении десятичных дробей, вам необходимо понимать правила значащих цифр. Например, если число 0,4556 нужно округлить до трех значащих цифр, округление потребует специальных правил. Вот правила, которые нужно использовать для значащих цифр. 1. Все ненулевые числа значимы. Это просто означает, что любое число больше нуля будет считаться значимым. Если у вас есть число 0,4521, оно будет иметь четыре значащих числа. Если вам нужно округлить его до 3 значащих цифр, 1 в крайнем правом углу будет отброшена, так как оно меньше 5. Следовательно, 0,4521, округленное до трех значащих цифр, будет 0,452. 2. Ноль между двумя ненулевыми числами будет считаться значимым. Если у вас есть число 0,452, количество значащих чисел равно 3. Точно так же число 0,4025 состоит из четырех значащих цифр. Здесь ноль между 4 и 2 считается значащей цифрой, потому что он находится между двумя ненулевыми числами. Примеры округления Округление до десятых Десятое число — это первая цифра после десятичной точки. Если вторая цифра больше или равна 5, добавьте 1, чтобы округлить до ближайшей десятой. Пример: 10,27 Вторая цифра — 7, прибавляем 1 к 2, получаем 10,3. Округление до сотых Сотое число — это вторая цифра после десятичной точки. Если третья цифра больше или равна 5, добавьте 1, чтобы округлить до ближайшей сотой. Пример: 10.276 Третья цифра — 6, прибавляем 1 к 7, получаем 10,28. Округление до тысячных Тысячная цифра — это третья цифра после десятичной точки. Если четвертая цифра больше или равна 5, добавьте 1, чтобы округлить до ближайшей тысячной. Пример: 10,2762 Четвертая цифра — 2, не нужно добавлять 1, получаем 10,276. Округление до ближайшего целого числа Число единиц — это первая цифра перед десятичной точкой. Если первая цифра после десятичной точки больше или равна 5, добавьте 1 к разряду десятков, чтобы вычислить округление до ближайшего числа. Пример: 10,7 Первая цифра после десятичной точки — 7, прибавляем 1 к 0 и получаем 11. Округление до ближайшего целого числа десятков Число десятков — это вторая цифра перед десятичной запятой. Если первая цифра перед десятичной точкой больше или равна 5, добавьте 1 к разряду десятков, чтобы вычислить округление до ближайшего числа десятков. Пример: 1067 Единичная цифра числа равна 7, прибавляем 1 цифру десятков и получаем 1070. Округление числа в Excel Excel Формулы и функции Другие функции Другие функции Округление числа в Excel Excel для Microsoft 365 Excel для Интернета Excel 2019 Excel 2016 Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Еще. ..Меньше Предположим, что необходимо округить число до ближайшего целого, так как десятичная часть не имеет для вас значения. Или вы хотите округление числа до кратного 10, чтобы упростить аппроксимацию сумм. Существует несколько способов округлки числа. Изменение количества знаков после запятой без изменения значения На листе Выделите ячейки, формат которых требуется изменить. Чтобы после запятой отображалось больше или меньше знаков, на вкладке Главная в группе Число нажмите кнопку Увеличить разрядность или Уменьшить разрядность . Во встроенном числовом формате На вкладке Главная в группе Число щелкните стрелку рядом со списком числовых форматов и выберите пункт Другие числовые форматы. В списке Категория выберите значение Денежный, Финансовый, Процентный или Экспоненциальный в зависимости от типа данных. В поле Число десятичных знаков введите требуемое число знаков после запятой. Округление числа вверх Используйте функцию ОКРУГЛВВЕРХ. В некоторых случаях может потребоваться использовать функции ЧЁТН и НЕЧЁТ для округления вверх до ближайшего четного или нечетного числа. Округление числа вниз Используйте функцию ОКРУГЛВНИЗ. Округление числа до ближайшего значения Используйте функцию ОКРУГЛ. Округление числа до ближайшего дробного значения Используйте функцию ОКРУГЛ. Округление числа до указанного количества значимых разрядов Значимые разряды — это разряды, которые влияют на точность числа. В примерах этого раздела используются функции ОКРУГЛ, ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ. Они показывают способы округления положительных, отрицательных, целых и дробных чисел, но приведенные примеры охватывают лишь небольшую часть возможных ситуаций. В приведенном ниже списке содержатся общие правила, которые необходимо учитывать при округлении чисел до указанного количества значимых разрядов. Вы можете поэкспериментировать с функциями округления и подставить собственные числа и параметры, чтобы получить число с нужным количеством значимых разрядов. Округляемые отрицательные числа прежде всего преобразуются в абсолютные значения (значения без знака «минус»). После округления знак «минус» применяется повторно. Хотя это может показаться нелогичным, именно так выполняется округление. Например, при использовании функции ОКРУГЛВНИЗ для округления числа -889 до двух значимых разрядов результатом является число -880. Сначала -889 преобразуется в абсолютное значение (889). Затем это значение округляется до двух значимых разрядов (880). После этого повторно применяется знак «минус», что дает в результате -880. При применении к положительному числу функции ОКРУГЛВНИЗ оно всегда округляется вниз, а при применении функции ОКРУГЛВВЕРХ — вверх. Функция ОКРУГЛ округляет дробные числа следующим образом: если дробная часть больше или равна 0,5, число округляется вверх. Если дробная часть меньше 0,5, число округляется вниз. Функция ОКРУГЛ округляет целые числа вверх или вниз аналогичным образом, при этом вместо делителя 0,5 используется 5. В общем при округлении числа без дробной части (целого числа) необходимо вычесть длину числа из нужного количества значимых разрядов. Например, чтобы округлить 2345678 вниз до 3 значимых разрядов, используется функция ОКРУГЛВНИЗ с параметром -4: = ОКРУГЛВНИЗ(2345678,-4). При этом число округляется до значения 2340000, где часть «234» представляет собой значимые разряды. Округление числа до заданного кратного Иногда может потребоваться округлить значение до кратного заданному числу. Например, допустим, что компания поставляет товары в ящиках по 18 единиц. С помощью функции ОКРУГЛТ можно определить, сколько ящиков потребуется для поставки 204 единиц товара. В данном случае ответом является 12, так как число 204 при делении на 18 дает значение 11,333, которое необходимо округлить вверх. В 12-м ящике будет только 6 единиц товара. Может также потребоваться округлить отрицательное значение до кратного отрицательному или дробное — до кратного дробному. Для этого также можно применять функцию ОКРУГЛТ. Округление чисел Главная Справочник Алгебра Числа Округление чисел Приближённые значения Округление чисел Как округлить число до целого Как округлить до десятых Как округлить число до сотых Как округлить число до тысячных Как округлить число до десятков Как округлить число до сотен Как округлить число до тысяч В практической деятельности человека бывают числа двух видов: точные и приближённые. Часто знание лишь о приближённом числе достаточно для понимания сути дела. Иногда употребляют приближённые числа, так как точное не требуется, а иногда точное число невозможно найти в принципе. Приближённые значения Иногда в вычисления нет необходимости использовать точные числовые значения. Для ускорения или упрощения расчётов очень часто достаточно получения приближенного результата. Для этого производят округления чисел, которые участвуют в расчетах а также и конечный результат вычислений. Приближённые значения используют тогда, когда точное значение чего-либо найти невозможно, или же это значение не важно для исследуемого предмета. Например можно сказать, что дорога до дома занимает полчаса. Это прибличительное значение, поскольку точно сказать сколько времени займет путь до дома или слишком сложно или в большинстве случаев не так важно. Главное обозначить порядок чисел и этого бывает вполне достаточно. В математике приближенные значения указываются с помощью специального знака. Чтобы указать приблизительное значение чего-либо, используют округление чисел. Округление чисел Суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч. Первое правило округления: Если при округлении чисел первая из отделяемых цифр меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то последняя из оставляемых цифр остаётся без изменений (усиления или увеличения не производится). Число 47,271 округлённо записывается как – 47,3. В данном случае цифра 2 будет усилена до 3, так как первая отсекаемая цифра 7, больше чем 5. Второе правило округления: Если при округлении чисел первая из отделяемых цифр больше 5 (5, 6, 7, 8, 9), то последняя из оставляемых цифр увеличивается на единицу (производится усиление). Число 64,28 округлённо записывается как – 64. Число 64 наиболее близко к округляемому числу, чем 65. Третье правило округления: Если отсекается цифра 5, а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная. Число 0,0465 округлённо записывается как – 0,046. В данном случае усиления не делается, так как последняя оставляемая цифра 6 является чётной. Число 0,935 округлённо записывается как – 0,94. Последняя оставляемая цифра 3 усиливается, так как она является нечётной. Как округлить число до целого Правило округления числа до целого Чтобы округлить число до целого (или округлить число до единиц), надо отбросить запятую и все числа, стоящие после запятой. Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то число не изменится. Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, предыдущую цифру нужно увеличить на единицу. Примеры округления числа до целого: Чтобы округлить число до целого, отбрасываем запятую и все стоящие после нее числа. Так как первая отброшенная цифра 2, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «восемьдесят шесть целых двадцать четыре сотых приближенно равно восьмидесяти шести целым». Округляя число до целого, отбрасываем запятую и все следующие за ней цифры. Так как первая из отброшенных цифр равна 8, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Двести семьдесят четыре целых восемьсот тридцать девять тысячных приближенно равно двести семидесяти пяти целым». При округлении числа до целого запятую и все стоящие за ней цифры отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 5, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых пятьдесят две сотых приближенно равно одной целой». Запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Нуль целых триста девяносто семь тысячных приближенно равно нуль целых». Первая из отброшенных цифр — 7, значит, стоящую перед ней цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать девять целых семьсот четыре тысячных приближенно равно сорока целым». И еще пара примеров на округление числа до целых: Как округлить до десятых Правило округления числа до десятых. Чтобы округлить десятичную дробь до десятых, надо оставить после запятой только одну цифру, а все остальные следующие за ней цифры отбросить. Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Примеры округления до десятых числа: Чтобы округлить число до десятых, оставляем после запятой первую цифру, а остальное отбрасываем. Так как первая отброшенная цифра 5, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Двадцать три целых семьдесят пять сотых приближенно равно двадцать три целых восемь десятых». Чтобы округлить до десятых данное число, оставляем после запятой лишь первую цифру, остальное — отбрасываем. Первая отброшенная цифра 1, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Триста сорок восемь целых тридцать одна сотая приближенно равно триста сорок одна целая три десятых». Округляя до десятых, оставляем после запятой одну цифру, а остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 6, значит, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Сорок девять целых, девятьсот шестьдесят две тысячных приближенно равно пятьдесят целых, нуль десятых». Округляем до десятых, поэтому после запятой оставляем только первую из цифр, остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 4, значит предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Семь целых двадцать восемь тысячных приближенно равно семь целых нуль десятых». Чтобы округлить до десятых данное число, после запятой оставляет одну цифру, а все следующие за ней — отбрасываем. Так как первая отброшенная цифра — 7, следовательно, к предыдущей прибавляем единицу. Читают: «Пятьдесят шесть целых восемь тысяч семьсот шесть десятитысячных приближенно равно пятьдесят шесть целых, девять десятых». Как округлить число до сотых Правило округления числа до сотых Чтобы округлить число до сотых, надо оставить после запятой две цифры, а остальные отбросить. Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Пример округления числа до сотых: Чтобы округлить число до сотых, оставляем после запятой две цифры, а следующую за ними цифру отбрасываем. Поскольку эта цифра — 9, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать две целых семьсот восемьдесят шесть тысячных приближенно равно тридцать две целых семьдесят девять сотых». Округляя данное число до сотых, оставляем после запятой две цифры, а третью — отбрасываем. Так как отброшенная цифра — 1, предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Шесть целых девятьсот шестьдесят одна тысячная приближенно равно шесть целых девяносто шесть сотых». При округлении до сотых оставляем после запятой две цифры, остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Семнадцать целых четыре тысячи тридцать девять десятитысячных приближенно равно семнадцать целых сорок восемь сотых». Чтобы округлить данное число до сотых, после запятой оставим лишь две цифры, а остальные — отбросим. Первая из отброшенных цифр равна 5, поэтому предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых тысяча двести пятьдесят четыре тысячных приближенно равно нуль целых тринадцать сотых». При округлении числа до сотых оставляем после запятой две цифры, остальные — отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 7, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читаем: «Пятьсот сорок девять целых, три тысячи семьдесят три десятитысячных приближенно равно пятьсот сорок девять целых, тридцать одна сотая». Как округлить число до тысячных Правило округления числа до тысячных Чтобы округлить десятичную дробь до тысячных, надо оставить после запятой только три цифры, а остальные следующие за ней цифры отбросить. Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Пример кругления числа до тысячных: Чтобы округлить число до тысячных, после запятой нужно оставить лишь три цифры, а четвертую — отбросить. Поскольку отброшенная цифра — 4, предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Три целых, семь тысяч восемьсот пятьдесят четыре десятитысячных приближенно равно три целых, семьсот восемьдесят пять тысячных». Чтобы округлить это число до тысячных, после запятой оставляем три цифры, а четвертую — отбрасываем. Отброшенная цифра — 6, значит предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать семь целых две тысячи семьдесят шесть десятитысячных приближенно равно тридцать семь целых двести восемь тысячных». Округляя число до тысячных, оставляем после запятой три цифры, а все остальные — отбрасываем. Так как первая из отброшенных цифр — 8, к предыдущей прибавляем единицу. Читают: «Шестьдесят девять целых девяносто девять тысяч девятьсот восемьдесят одна стотысячная приближенно равно семьдесят целых нуль тысячных». Округляем число до тысячных, поэтому после запятой оставляем первые три цифры, а следующие за ними — отбрасываем. Так как первая из отброшенных цифр — 2, то предыдущую цифру не меняем. Читают: «Восемьсот шестьдесят три целых двенадцать тысяч четыреста двадцать три стотысячных приближенно равно восемьсот шестьдесят три целых сто двадцать четыре тысячных». Чтобы округлить данное число до тысячных, первые три цифры, стоящие после запятой, оставляем, а все остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр равна 5, а это означает, что предыдущую цифру следует увеличить на единицу. Читают: «Нуль целых триста пятьдесят девять стотысячных приближенно равно нуль целых четыре тысячных». Как округлить число до десятков Правило округления числа до десятков Чтобы округлить число до десятков, нужно цифру в разряде единиц заменить нулем, а если в записи числа есть цифры после запятой, то их следует отбросить. Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Примеры округления числа до десятков: Чтобы округлить число до десятков, цифру в разряде единиц (то есть последнюю цифру в записи натурального числа) заменяем нулем. Так как эта цифра равна 3, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Пятьсот восемьдесят три приближенно равно пятьсот восемьдесят». Округляем до десятков, поэтому цифру в разряде единиц заменяем на нуль. Поскольку эта цифра — 7, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Тысяча тридцать семь приближенно равно тысяча сорок». Округляя десятичную дробь до десятков, цифру в разряде единиц (то есть последнюю цифру перед запятой) заменяем нулем, а запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Замененная на нуль цифра — 2, значит предыдущую цифру изменять не надо. Читают: «Триста пятьдесят две целых семьдесят восемь сотых приближенно равно триста пятьдесят». Чтобы округлить данную десятичную дробь до десятков, цифру в разряде единиц заменяем нулем, а цифры, стоящие после запятой, отбрасываем. Так как замененная нулем цифра равна 6, к предыдущей цифре прибавляем единицу. Читают: «Две тысячи четыреста семьдесят шесть целых пять сотых приближенно равно две тысячи четыреста восемьдесят». Округляя десятичную дробь до десятков, в разряде единиц заменяем цифру нулем, а запятую и все, что стоит после запятой, отбрасываем. Поскольку на нуль заменили 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Семьсот девяносто девять целых, одна десятая приближенно равно восемьсот». Как округлить число до сотен Правило округления числа до сотен Чтобы округлить число до сотен, надо цифры в разряде единиц и десятков заменить нулями. При округлении до сотен десятичной дроби запятую и все стоящие после нее цифры отбрасывают. Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Примеры округления числа до сотен: Чтобы округлить до сотен это число, цифры в разряде единиц и десятков (то есть две последние цифры в записи) заменяем нулями. Так как первая из замененных на нуль цифр равна 1, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Две тысячи триста семнадцать приближенно равно две тысячи триста». Округляя данное число до сотен, две последние цифры в его записи заменяем на нули. Поскольку первая из замененных нулем цифр равна 8, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Четыре тысячи пятьсот восемьдесят один приближенно равно четыре тысячи шестьсот». Округляем число до сотен, значит две последние цифры в записи числа — десятки и единицы — заменяем нулями. Первая из замененных нулем цифр равна нулю, поэтому предыдущую переписываем без изменений. Читают: «Семьдесят восемь тысяч пятьсот девять приближенно равно семьдесят восемь тысяч пятьсот». Чтобы округлить до сотен данное число, в разрядах десятков и единиц цифры заменяем на нули. Так как первая из замененных на нуль цифр — 9, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Девяносто три тысячи девятьсот пятьдесят два приближенно равно девяносто четыре тысячи». Чтобы округлить до сотен десятичную дробь, запятую и все стоящие после запятой цифры необходимо отбросить, а две последние цифры целой части (единицы и десятки) — заменить нулями. Первая из замененных на нуль цифр равна 7, поэтому к предыдущей цифре прибавляем единицу. Читают: «Тысяча четыреста семьдесят три целых двенадцать сотых приближенно равно тысяча пятьсот». Как округлить число до тысяч Правило округления числа до тысяч Чтобы округлить число до тысяч, надо цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменить нулями. При округлении до тысяч десятичной дроби запятую и все стоящие после нее цифры нужно отбросить. Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Примеры округления числа до тысяч : Чтобы округлить до тысяч это число, надо цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменить нулями (у тысяч три нуля в конце записи, столько же нулей в конце числа должно получиться и при округлении до тысяч). Так как первая из цифр, которую мы заменили на нуль, равна 3, то предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Восемьдесят две тысячи триста семьдесят один приближенно равно восемьдесят две тысячи». При округлении до тысяч три последних цифры — в разрядах сотен, десятков и единиц — заменяем на нули. Так как первая из замененных нулем цифр равна 6, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Сорок тысяч шестьсот двадцать восемь приближенно равно сорок одна тысяча». Округляя до тысяч данное число, цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменяем нулями. Первая из замененных нулем цифр равна 7, поэтому к предыдущей цифре прибавляем единицу. Читают: «Сто пятьдесят девять тысяч семьсот тридцать два приближенно равно сто шестьдесят тысяч». Округляем число до тысяч, поэтому цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменяем на нули. Так как первая из цифр, которую мы заменили нулем, равна 1, то предыдущую цифру переписываем без изменений. Читают: «Двести тридцать восемь тысяч сто девяносто семь приближенно равно двести тридцать восемь тысяч». Чтобы округлить десятичную дробь до тысяч, запятую и все цифры после запятой отбрасываем, а цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменяем нулями. Так как первая из замененных нулем цифр — 2, то предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Четыреста пятьдесят семь тысяч двести сорок девять целых, восемьдесят три сотых приближенно равно четыреста пятьдесят тысяч». В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX! Числа Формулы Алгебра Числа 355990 Как округлять числа на калькуляторе Содержание Приближённые значения Округление чисел Как округлить число до целого Как округлить до десятых Как округлить число до сотых Как округлить число до тысячных Как округлить число до десятков Как округлить число до сотен Как округлить число до тысяч Округление числа — это замена числа на его приближённое значение, записанное с меньшим количеством значащих цифр после запятой. Правило округления чисел №1: Числа имеющие значения более 0.5 в округляемом остатке округляются до большего целого. Число исходное = 1.7777 Число округленное = 1.778 Правило округления чисел №2: Числа имеющие значения менее 0.5 в округляемом остатке округляются отбрасыванием знаков. Число исходное = 1.3333 Число округленное = 1.333 Правило округления чисел №3: Числа имеющие значения равные 0.5 в округляемом остатке округляются до большего значения при математическом округлении или до ближайшего четного при банковском округлении. Число исходное = 1.1125 Число округленное по математичекому правилу = 1.113 Число округленное по банковскому правилу = 1.112 Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку. На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор округления чисел. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете округлить любое число. Онлайн калькулятор для округления чисел, до целого, разряда, десятков, сотен, тысяч. Округлить дробное число. Самое первое, что следует знать — округлить можно любое число. Независимо от того, какое число округляется целое или дробь, правило действует одно. Если нужно округлить число, это означает, что сократится его значение до сотых, десятков или тысячных, остальные значения откидываются. При округлении, число которое отбрасывается и будет играть главную роль. Если это чисто от до 5, то округляемое число остается без изменения. Когда число от 5 до 9, округляемое число увеличивается на 1. Пример: Нужно округлить число 35,948 до сотых. Это означает, что цифра 8 будет откинута. При этом предыдущая цифра, а это 4 в данном случае будет увеличена на 1. Имеем: 35,948 = 35,95 Пример: Нужно округлить число 0,738 до десятых. Значит, что нужно откинуть две последние цифры – 38, обращаем внимание на следующую после той, которая остается – это 3. В данном случае оно меньше 5, поэтому изменения не проводятся. Если цифра, которая отбрасывается равна 5, то к оставшейся добавляется 1. Когда нужно округлить, например число 0,795 до сотых, отбрасывается 5, значит к предыдущей цифре добавляется 1. Так как у нас это 9, получится 10, соответственно 7 превратится в 8: 0,795 = 0,80. В практической деятельности человека бывают числа двух видов: точные и приближённые . Часто знание лишь о приближённом числе достаточно для понимания сути дела. Иногда употребляют приближённые числа, так как точное не требуется, а иногда точное число невозможно найти в принципе. Приближённые значения Иногда в вычисления нет необходимости использовать точные числовые значения. Для ускорения или упрощения расчётов очень часто достаточно получения приближенного результата. Для этого производят округления чисел, которые участвуют в расчетах а также и конечный результат вычислений. Приближённые значения используют тогда, когда точное значение чего-либо найти невозможно, или же это значение не важно для исследуемого предмета. Например можно сказать, что дорога до дома занимает полчаса. Это прибличительное значение, поскольку точно сказать сколько времени займет путь до дома или слишком сложно или в большинстве случаев не так важно. Главное обозначить порядок чисел и этого бывает вполне достаточно. В математике приближенные значения указываются с помощью специального знака. Чтобы указать приблизительное значение чего-либо, используют округление чисел. Округление чисел Суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч. Первое правило округления: Если при округлении чисел первая из отделяемых цифр меньше 5 ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ), то последняя из оставляемых цифр остаётся без изменений (усиления или увеличения не производится). Число 47,271 округлённо записывается как – 47,3 . В данном случае цифра 2 будет усилена до 3 , так как первая отсекаемая цифра 7 , больше чем 5 . Второе правило округления: Если при округлении чисел первая из отделяемых цифр больше 5 ( 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ), то последняя из оставляемых цифр увеличивается на единицу (производится усиление). Число 64,28 округлённо записывается как – 64 . Число 64 наиболее близко к округляемому числу, чем 65 . Третье правило округления: Если отсекается цифра 5 , а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная. Число 0,0465 округлённо записывается как – 0,046 . В данном случае усиления не делается, так как последняя оставляемая цифра 6 является чётной. Число 0,935 округлённо записывается как – 0,94 . Последняя оставляемая цифра 3 усиливается, так как она является нечётной. Как округлить число до целого Правило округления числа до целого Чтобы округлить число до целого (или округлить число до единиц), надо отбросить запятую и все числа, стоящие после запятой. Если первая из отброшенных цифр 0 , 1 , 2 , 3 или 4 , то число не изменится. Если первая из отброшенных цифр 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , предыдущую цифру нужно увеличить на единицу. Примеры округления числа до целого: [ 86,underline 2 4 approx 86 ] Чтобы округлить число до целого, отбрасываем запятую и все стоящие после нее числа. Так как первая отброшенная цифра 2, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «восемьдесят шесть целых двадцать четыре сотых приближенно равно восьмидесяти шести целым». [ 274,underline 8 39 approx 275 ] Округляя число до целого, отбрасываем запятую и все следующие за ней цифры. Так как первая из отброшенных цифр равна 8, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Двести семьдесят четыре целых восемьсот тридцать девять тысячных приближенно равно двести семидесяти пяти целым». [ 0,underline 5 2 approx 1 ] При округлении числа до целого запятую и все стоящие за ней цифры отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 5, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых пятьдесят две сотых приближенно равно одной целой». [ 0,underline 3 97 approx 0 ] Запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Нуль целых триста девяносто семь тысячных приближенно равно нуль целых». [ 39,underline 7 04 approx 40 ] Первая из отброшенных цифр — 7, значит, стоящую перед ней цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать девять целых семьсот четыре тысячных приближенно равно сорока целым». И еще пара примеров на округление числа до целых: Как округлить до десятых Правило округления числа до десятых. Чтобы округлить десятичную дробь до десятых, надо оставить после запятой только одну цифру, а все остальные следующие за ней цифры отбросить. Если первая из отброшенных цифр 0 , 1 , 2 , 3 или 4 , то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Примеры округления до десятых числа: [ 23,7underline 5 approx 23,8 ] Чтобы округлить число до десятых, оставляем после запятой первую цифру, а остальное отбрасываем. Так как первая отброшенная цифра 5, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Двадцать три целых семьдесят пять сотых приближенно равно двадцать три целых восемь десятых». [ 348,3underline 1 approx 348,3 ] Чтобы округлить до десятых данное число, оставляем после запятой лишь первую цифру, остальное — отбрасываем. Первая отброшенная цифра 1, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Триста сорок восемь целых тридцать одна сотая приближенно равно триста сорок одна целая три десятых». [ 49,9underline 6 2 approx 50,0 ] Округляя до десятых, оставляем после запятой одну цифру, а остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 6, значит, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Сорок девять целых, девятьсот шестьдесят две тысячных приближенно равно пятьдесят целых, нуль десятых». [ 7,0underline 2 8 approx 7,0 ] Округляем до десятых, поэтому после запятой оставляем только первую из цифр, остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 4, значит предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Семь целых двадцать восемь тысячных приближенно равно семь целых нуль десятых». [ 56,8underline 7 06 approx 56,9 ] Чтобы округлить до десятых данное число, после запятой оставляет одну цифру, а все следующие за ней — отбрасываем. Так как первая отброшенная цифра — 7, следовательно, к предыдущей прибавляем единицу. Читают: «Пятьдесят шесть целых восемь тысяч семьсот шесть десятитысячных приближенно равно пятьдесят шесть целых, девять десятых». Как округлить число до сотых Правило округления числа до сотых Чтобы округлить число до сотых, надо оставить после запятой две цифры, а остальные отбросить. Если первая из отброшенных цифр 0 , 1 , 2 , 3 или 4 , то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Пример округления числа до сотых: [ 32,78underline 6 approx 32,79 ] Чтобы округлить число до сотых, оставляем после запятой две цифры, а следующую за ними цифру отбрасываем. Поскольку эта цифра — 9, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать две целых семьсот восемьдесят шесть тысячных приближенно равно тридцать две целых семьдесят девять сотых». [ 6,96underline 1 approx 6,96 ] Округляя данное число до сотых, оставляем после запятой две цифры, а третью — отбрасываем. Так как отброшенная цифра — 1, предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Шесть целых девятьсот шестьдесят одна тысячная приближенно равно шесть целых девяносто шесть сотых». [ 17,48underline 3 9 approx 17,48 ] При округлении до сотых оставляем после запятой две цифры, остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Семнадцать целых четыре тысячи тридцать девять десятитысячных приближенно равно семнадцать целых сорок восемь сотых». [ 0,12underline 5 4 approx 0,13 ] Чтобы округлить данное число до сотых, после запятой оставим лишь две цифры, а остальные — отбросим. Первая из отброшенных цифр равна 5, поэтому предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых тысяча двести пятьдесят четыре тысячных приближенно равно нуль целых тринадцать сотых». [ 549,30underline 7 3 approx 549,31 ] При округлении числа до сотых оставляем после запятой две цифры, остальные — отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 7, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читаем: «Пятьсот сорок девять целых, три тысячи семьдесят три десятитысячных приближенно равно пятьсот сорок девять целых, тридцать одна сотая». Как округлить число до тысячных Правило округления числа до тысячных Чтобы округлить десятичную дробь до тысячных, надо оставить после запятой только три цифры, а остальные следующие за ней цифры отбросить. Если первая из отброшенных цифр 0 , 1 , 2 , 3 или 4 , то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Пример кругления числа до тысячных: [ 3,785underline 4 approx 3,785 ] Чтобы округлить число до тысячных, после запятой нужно оставить лишь три цифры, а четвертую — отбросить. Поскольку отброшенная цифра — 4, предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Три целых, семь тысяч восемьсот пятьдесят четыре десятитысячных приближенно равно три целых, семьсот восемьдесят пять тысячных». [ 37,207underline 6 approx 37,208 ] Чтобы округлить это число до тысячных, после запятой оставляем три цифры, а четвертую — отбрасываем. Отброшенная цифра — 6, значит предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать семь целых две тысячи семьдесят шесть десятитысячных приближенно равно тридцать семь целых двести восемь тысячных». [ 69,999underline 8 1 approx 70,000 ] Округляя число до тысячных, оставляем после запятой три цифры, а все остальные — отбрасываем. Так как первая из отброшенных цифр — 8, к предыдущей прибавляем единицу. Читают: «Шестьдесят девять целых девяносто девять тысяч девятьсот восемьдесят одна стотысячная приближенно равно семьдесят целых нуль тысячных». [ 863,124underline 2 3 approx 863,124 ] Округляем число до тысячных, поэтому после запятой оставляем первые три цифры, а следующие за ними — отбрасываем. Так как первая из отброшенных цифр — 2, то предыдущую цифру не меняем. Читают: «Восемьсот шестьдесят три целых двенадцать тысяч четыреста двадцать три стотысячных приближенно равно восемьсот шестьдесят три целых сто двадцать четыре тысячных». [ 0,003underline 5 9 approx 0,004 ] Чтобы округлить данное число до тысячных, первые три цифры, стоящие после запятой, оставляем, а все остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр равна 5, а это означает, что предыдущую цифру следует увеличить на единицу. Читают: «Нуль целых триста пятьдесят девять стотысячных приближенно равно нуль целых четыре тысячных». Как округлить число до десятков Правило округления числа до десятков Чтобы округлить число до десятков, нужно цифру в разряде единиц заменить нулем, а если в записи числа есть цифры после запятой, то их следует отбросить. Если первая из отброшенных цифр 0 , 1 , 2 , 3 или 4 , то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Примеры округления числа до десятков: [ 58underline 3 approx 580 ] Чтобы округлить число до десятков, цифру в разряде единиц (то есть последнюю цифру в записи натурального числа) заменяем нулем. Так как эта цифра равна 3, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Пятьсот восемьдесят три приближенно равно пятьсот восемьдесят». [ 103underline 7 approx 1040 ] Округляем до десятков, поэтому цифру в разряде единиц заменяем на нуль. Поскольку эта цифра — 7, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Тысяча тридцать семь приближенно равно тысяча сорок». [ 35underline 2 ,78 approx 350 ] Округляя десятичную дробь до десятков, цифру в разряде единиц (то есть последнюю цифру перед запятой) заменяем нулем, а запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Замененная на нуль цифра — 2, значит предыдущую цифру изменять не надо. Читают: «Триста пятьдесят две целых семьдесят восемь сотых приближенно равно триста пятьдесят». [ 247underline 6 ,05 approx 2480 ] Чтобы округлить данную десятичную дробь до десятков, цифру в разряде единиц заменяем нулем, а цифры, стоящие после запятой, отбрасываем. Так как замененная нулем цифра равна 6, к предыдущей цифре прибавляем единицу. Читают: «Две тысячи четыреста семьдесят шесть целых пять сотых приближенно равно две тысячи четыреста восемьдесят». [ 79underline 9 ,1 approx 800 ] Округляя десятичную дробь до десятков, в разряде единиц заменяем цифру нулем, а запятую и все, что стоит после запятой, отбрасываем. Поскольку на нуль заменили 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Семьсот девяносто девять целых, одна десятая приближенно равно восемьсот». Как округлить число до сотен Правило округления числа до сотен Чтобы округлить число до сотен, надо цифры в разряде единиц и десятков заменить нулями. При округлении до сотен десятичной дроби запятую и все стоящие после нее цифры отбрасывают. Если первая из отброшенных цифр 0 , 1 , 2 , 3 или 4 , то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Примеры округления числа до сотен: [ 23underline 1 7 approx 2300 ] Чтобы округлить до сотен это число, цифры в разряде единиц и десятков (то есть две последние цифры в записи) заменяем нулями. Так как первая из замененных на нуль цифр равна 1, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Две тысячи триста семнадцать приближенно равно две тысячи триста». [ 45underline 8 1 approx 4600 ] Округляя данное число до сотен, две последние цифры в его записи заменяем на нули. Поскольку первая из замененных нулем цифр равна 8, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Четыре тысячи пятьсот восемьдесят один приближенно равно четыре тысячи шестьсот». [ 785underline 0 9 approx 78500 ] Округляем число до сотен, значит две последние цифры в записи числа — десятки и единицы — заменяем нулями. Первая из замененных нулем цифр равна нулю, поэтому предыдущую переписываем без изменений. Читают: «Семьдесят восемь тысяч пятьсот девять приближенно равно семьдесят восемь тысяч пятьсот». [ 939underline 5 2 approx 94000 ] Чтобы округлить до сотен данное число, в разрядах десятков и единиц цифры заменяем на нули. Так как первая из замененных на нуль цифр — 9, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Девяносто три тысячи девятьсот пятьдесят два приближенно равно девяносто четыре тысячи». [ 14underline 7 3,12 approx 1500 ] Чтобы округлить до сотен десятичную дробь, запятую и все стоящие после запятой цифры необходимо отбросить, а две последние цифры целой части (единицы и десятки) — заменить нулями. Первая из замененных на нуль цифр равна 7, поэтому к предыдущей цифре прибавляем единицу. Читают: «Тысяча четыреста семьдесят три целых двенадцать сотых приближенно равно тысяча пятьсот». Как округлить число до тысяч Правило округления числа до тысяч Чтобы округлить число до тысяч, надо цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменить нулями. При округлении до тысяч десятичной дроби запятую и все стоящие после нее цифры нужно отбросить. Если первая из отброшенных цифр 0 , 1 , 2 , 3 или 4 , то предыдущую цифру не изменяем. Если первая из отброшенных цифр 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Примеры округления числа до тысяч : [ 82underline 3 71 approx 82000 ] Чтобы округлить до тысяч это число, надо цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменить нулями (у тысяч три нуля в конце записи, столько же нулей в конце числа должно получиться и при округлении до тысяч). Так как первая из цифр, которую мы заменили на нуль, равна 3, то предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Восемьдесят две тысячи триста семьдесят один приближенно равно восемьдесят две тысячи». [ 40underline 6 28 approx 41000 ] При округлении до тысяч три последних цифры — в разрядах сотен, десятков и единиц — заменяем на нули. Так как первая из замененных нулем цифр равна 6, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Сорок тысяч шестьсот двадцать восемь приближенно равно сорок одна тысяча». [ 159underline 7 32 approx 160000 ] Округляя до тысяч данное число, цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменяем нулями. Первая из замененных нулем цифр равна 7, поэтому к предыдущей цифре прибавляем единицу. Читают: «Сто пятьдесят девять тысяч семьсот тридцать два приближенно равно сто шестьдесят тысяч». [ 238underline 1 97 approx 238000 ] Округляем число до тысяч, поэтому цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменяем на нули. Так как первая из цифр, которую мы заменили нулем, равна 1, то предыдущую цифру переписываем без изменений. Читают: «Двести тридцать восемь тысяч сто девяносто семь приближенно равно двести тридцать восемь тысяч». [ 457underline 2 49,83 approx 457000 ] Чтобы округлить десятичную дробь до тысяч, запятую и все цифры после запятой отбрасываем, а цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменяем нулями. Так как первая из замененных нулем цифр — 2, то предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Четыреста пятьдесят семь тысяч двести сорок девять целых, восемьдесят три сотых приближенно равно четыреста пятьдесят тысяч». Коэффициент корреляции онлайн где x·y, x, y — средние значения выборок; σ(x), σ(y) — среднеквадратические отклонения. Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции Пирсона может быть определен через коэффициент регрессии b: , где σ(x)=S(x), σ(y)=S(y) — среднеквадратические отклонения, b — коэффициент перед x в уравнении регрессии y=a+bx. Другие варианты формул: или К_xy — корреляционный момент (коэффициент ковариации) Для нахождения линейного коэффициента корреляции Пирсона необходимо найти выборочные средние x и y, и их среднеквадратические отклонения σ_x = S(x), σ_y = S(y): Линейный коэффициент корреляции указывает на наличие связи и принимает значения от –1 до +1 (см. шкалу Чеддока). Например, при анализе тесноты линейной корреляционной связи между двумя переменными получен коэффициент парной линейной корреляции, равный –1. Это означает, что между переменными существует точная обратная линейная зависимость. Вычислить значение коэффициента корреляции можно по заданным средним выборки, либо непосредственно по исходным табличным данным. Геометрический смысл коэффициента корреляции: r_xy показывает, насколько различается наклон двух линий регрессии: y(x) и х(у), насколько сильно различаются результаты минимизации отклонений по x и по y. Чем больше угол между линиями, то тем больше r_xy. Знак коэффициента корреляции совпадает со знаком коэффициента регрессии и определяет наклон линии регрессии, т.е. общую направленность зависимости (возрастание или убывание). Абсолютная величина коэффициента корреляции определяется степенью близости точек к линии регрессии. Свойства коэффициента корреляции |r_xy| ≤ 1;, -1≤x≤1 если X и Y независимы, то r_xy=0, обратное не всегда верно; если |r_xy|=1, то Y=aX+b, |r_xy(X,aX+b)|=1, где a и b постоянные, а ≠ 0; |r_xy(X,Y)|=|r_xy(a₁X+b₁, a₂X+b₂)|, где a₁, a₂, b₁, b₂ – постоянные. Поэтому для проверки направления связи выбирается проверка гипотезы при помощи коэффициента корреляции Пирсона с дальнейшей проверкой на достоверность при помощи t-критерия (пример см. ниже). Решение онлайн Видеоинструкция Оформление Word Типовые задачи Инструкция. Укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. Пример нахождения уравнения регрессии). Также автоматически создается шаблон решения в Excel. Подробнее. Количество строк (исходных данных) Заданы итоговые значения величин (∑x, ∑x², ∑xy, ∑y, ∑y²) Типовые задания (см. также нелинейная регрессия) Типовые задания Исследуется зависимость производительности труда y от уровня механизации работ x (%) по данным 14 промышленных предприятий. Статистические данные приведены в таблице. Требуется: 1) Найти оценки параметров линейной регрессии у на х. Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния. 2) На уровне значимости α=0.05 проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений. 3) С надежностью γ=0.95 найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии. Пример. На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется: Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95. Решение. Уравнение имеет вид y = ax + b Средние значения Дисперсия Среднеквадратическое отклонение Коэффициент корреляции Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая (определяется по шкале Чеддока). Уравнение регрессии Коэффициент регрессии: k = a = 4.01 Коэффициент детерминации R ²= 0.99 ² = 0.97, т.е. в 97% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая. Остаточная дисперсия: 3%. x y x² y² x·y y(x) (y_i-y)² (y-y(x))² (x-x_p)² 1 107 1 11449 107 103. 19 333.06 14.5 30.25 2 109 4 11881 218 107.2 264.06 3.23 20.25 3 110 9 12100 330 111.21 232.56 1.47 12.25 4 113 16 12769 452 115.22 150.06 4.95 6.25 5 120 25 14400 600 119.23 27.56 0.59 2.25 6 122 36 14884 732 123.24 10.56 1.55 0.25 7 123 49 15129 861 127. 26 5.06 18.11 0.25 8 128 64 16384 1024 131.27 7.56 10.67 2.25 9 136 81 18496 1224 135.28 115.56 0.52 6.25 10 140 100 19600 1400 139.29 217.56 0.51 12.25 11 145 121 21025 1595 143.3 390.06 2.9 20.25 12 150 144 22500 1800 147.31 612.56 7.25 30.25 78 1503 650 190617 10343 1503 2366. 25 66.23 143 Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии: y(1) = 4.01*1 + 99.18 = 103.19 y(2) = 4.01*2 + 99.18 = 107.2 ... ... ... Выдвигаем гипотезы: H₀: r_xy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными; H₁: r_xy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными; Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H₁ ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки): По таблице Стьюдента находим t_табл (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228 Поскольку Tнабл > t_табл, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал) r — Δ_r ≤ r ≤ r + Δ_r Δ_r = ±t_таблm_r = ±2.228 • 0.0529 = 0.118 0.986 — 0.118 ≤ r ≤ 0.986 + 0.118 Доверительный интервал для коэффициента корреляции: 0.868 ≤ r ≤ 1 Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии S_a=0.2152 Доверительные интервалы для зависимой переменной Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 7 (122.4;132.11) Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии 1) t-статистика Статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается (18.63>2.228). Статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается (62. 62>2.228). Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими (t_табл=2.228): (a — t_табл·S_a; a + t_табл·S _a) (3.6205;4.4005) (b — t_табл·S_b; b + t_табл·S_b) (96.3117;102.0519) 2) F-статистики Fkp = 4.96. Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (см. критерий Фишера). см. также Корреляционный анализ. Примеры решения задач. Пример №2 1. Расчет средних значений x, y: x = ∑x_i n = 660.6 11 = 60.05 y = ∑y_i n = 333. 94 11 = 30.36 x·y = ∑x_i·y_i n = 19952.07 11 = 1813.82 2. Расчет дисперсий: S²(x) = x_i² n — x² = 40337.2 11 — 60.05² = 60.47 S²(y) = y_i² n — y² = 10329.52 11 — 30.36² = 17.43 3. Расчет среднеквадратических отклонений: S(x) = √ S²(x) = √ 60.47 = 7.78 S(y) = √ S²(y) = √ 17. 43 = 4.17 4. Расчет линейного коэффициента корреляции Пирсона: r_xy = x·y — x·y S(x)·S(y) = 1813.82-60.05·30.36 7.78·4.17 = -0.2872 Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0.1 < r_xy < 0.3: слабая; 0.3 < r_xy < 0.5: умеренная; 0.5 < r_xy < 0.7: заметная; 0.7 < r_xy < 0.9: высокая; 0.9 < r_xy < 1: весьма высокая; В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и обратная. x y x² y² x·y y(x) (y_i-y)² (y-y(x))² 68. 5 22.39 4692.25 501.31 1533.72 29.06 63.49 44.44 75.7 29.24 5730.49 854.98 2213.47 27.95 1.25 1.67 52.7 32.92 2777.29 1083.73 1734.88 31.49 6.56 2.04 60.2 33.52 3624.04 1123.59 2017.9 30.34 10 10.14 62.3 30.98 3881.29 959.76 1930.05 30.01 0.39 0.94 48.3 37.17 2332.89 1381.61 1795.31 32.17 46.4 25 56. 5 32.12 3192.25 1031.69 1814.78 30.91 3.1 1.47 65.9 31.76 4342.81 1008.7 2092.98 29.46 1.97 5.3 56.2 28.48 3158.44 811.11 1600.58 30.95 3.53 6.11 51.1 23.17 2611.21 536.85 1183.99 31.74 51.67 73.42 63.2 32.19 3994.24 1036.2 2034.41 29.87 3.36 5.37 660.6 333.94 40337.2 10329.52 19952.07 333.94 191.71 175.9 Значимость линейного коэффициента корреляции Пирсона. t_набл = r_xy· √ n-2 √ 1-r_xy² = 0.2872· √ 9 √ 1-0.2872² = 0.9 По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=n-m-1=11-1-1=9 находим t_крит: t_крит(n-m-1;α/2) = t_крит(9;0.025) = 2.262, где m=1 — количество объясняющих переменных. Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции Пирсона признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — не значим В парной линейной регрессии t²_r = t²_b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии. Интервальная оценка для линейного коэффициента корреляции Пирсона ( r_xy — t_крит· 1-r_xy² √ n ; r_xy + t_крит· 1-r_xy² √ n ) Доверительный интервал для коэффициента корреляции ( 0.29 — 2.262· 1-0.29² √ 11 ; 0. 29 + 2.262· 1-0.29² √ 11 ) Доверительный интервал для линейного коэффициента корреляции Пирсона: r(-0.9129;0.3386) Перейти к онлайн решению своей задачи Результат: Калькулятор округления чисел Базовый калькулятор Калькулятор круглых чисел раунд: до: млрд. Сотни миллионов миллионов миллионов сотни тысяч тысяч тысяч сотни. (6)Десятимиллионные (7)Стомиллионные (8)Миллиардные (9)) Округлить до ближайшего разряда Ответ: 3 266,53 Округлено до ближайшего 0,01 или до сотых долей . Чем может быть лучше этот калькулятор? Поделиться этим ответом Ссылка: help Вставьте эту ссылку в электронное письмо, текст или социальные сети. Получить виджет для этого калькулятора © Calculator Soup Поделиться этим калькулятором и страницей Калькулятор Используйте калькулятор округления для округления чисел в большую или меньшую сторону до любого десятичного разряда. Выберите те, чтобы округлить число до ближайшего доллара. Выберите сотые, чтобы округлить сумму до ближайшего цента. Округление чисел Допустим, вы хотели округлить число 838.274. В зависимости от того, до какого места вы будете округлять, окончательный результат будет различаться. Округление 838.274: Округление до ближайшей сотни: 800 Округление до ближайших десяти: 840 Округление до ближайшего равно 838 Округление до десятых равно 838,3 Округление до сотых равно 838,27 Основные правила округления Когда вы «округляете до ближайшего _____», независимо от того, что находится в пробеле, шаги почти всегда одинаковы: Определите, до какого разряда вы округляете. Чем меньше разрядное значение, тем точнее будет конечный результат. Посмотрите на следующее наименьшее разрядное значение, цифру справа от разрядного значения, до которого вы округляете. Например, если вы хотите округлить до ближайших десяти, вы должны посмотреть на разряд единиц. Если цифра в следующем наименьшем разрядном значении меньше пяти (0, 1, 2, 3 или 4), вы оставляете цифру, которую хотите округлить, без изменений. Любые цифры после этого числа (включая следующее наименьшее разрядное значение, которое вы только что просмотрели) становятся нулями или выпадают, если они расположены после десятичной точки. Это называется округлением в меньшую сторону. Если следующее наименьшее разрядное значение больше или равно пяти (5, 6, 7, 8 или 9), вы увеличиваете значение цифры, до которой вы округляете, на единицу (+1). Как и прежде, любые оставшиеся цифры до запятой становятся нулями, а все после запятой отбрасываются. Это называется округлением. Округлить до ближайшей сотни: 3250 Определите цифру сотен: 2 из 3250 Определить следующее наименьшее разрядное значение: 5 из 3250 Эта цифра больше или равна пяти? Да так закругляться. Увеличьте цифру сотен на единицу, чтобы 2 стало 3. Каждая цифра после становится нулем. 3250 округлить до сотен будет 3300 Округлить до ближайших десятков: 323,5 Определите цифру десятков: 2 из 323,5 Определить следующее наименьшее разрядное значение: 3 из 323,5 Эта цифра больше или равна пяти? Нет, так округлим. Разряд десятков остается прежним, равным 2. Каждый последующий разряд становится нулем. Цифры после запятой отбрасываются. 323,5 округлить до десятых будет 320 Округлить до ближайшей десятки: 499 Определить разряд десятков: первые 9 в числе 499 Определить следующее наименьшее разрядное значение: вторые 9 из 499 Эта цифра больше или равна пяти? Да так закругляться. Разряд десятков увеличивается на единицу. Поскольку 9 + 1 = 10, вам нужно перенести 1 и добавить его к цифре в разряде сотен. Каждая цифра после становится нулем. 499 округление до десятых равно 500 округление до ближайших десятых: 0,74 Определите цифру десятых: 7 из 0,74 Определить следующее наименьшее разрядное значение: 4 из 0,74 Эта цифра больше или равна пяти? Нет, так округлим. Десятая цифра остается прежней, равной 7. Поскольку остальные цифры после запятой, вы просто отбрасываете их. 0,74 округлить до десятых будет 0,7 Округлить до сотых: 3,141 Определите цифру сотых: 4 в 3,141 Определить следующее наименьшее разрядное значение: второй 1 из 3,141 Эта цифра больше или равна пяти? Нет, так округлим. Сотая цифра остается прежней, равной 4. Отбросьте цифры справа от 4. 3.141 округление до сотых равно 3.14 Связанные калькуляторы Чтобы узнать, как округлить число до ближайшего кратного, см. Калькулятор округления до ближайшего множителя. Округление до кратных целых чисел или десятичных долей, таких как десятые, сотые, тысячные и т. д. Дополнительная литература About.com on Как округлять числа MathPlayground: Как ты делаешь раунд? Math.com имеет несколько уроков по оценке и округлению. Подписаться на CalculatorSoup: Калькулятор округления Создано Матеушем Мухой и Мацеем Ковальски, кандидатами наук Отредактировано Джеком Боуотером Последнее обновление: 21 июля 2022 г. Содержание: Режимы округления0047 Часто задаваемые вопросы Этот калькулятор округления чисел можно использовать для уменьшения точности числа, чтобы сделать его короче, проще и/или легче понять, когда вы выполняете дальнейшие операции с ним. Часто бывает так, что вам не нужен точный номер (например, 3324.238576 ), и вы с радостью согласитесь на 3324.34 , 3324 или даже 3300 ; этот калькулятор округления десятичных дробей позволит вам сделать именно это. Просто введите число и выберите нужную точность из списка. Если это не для вас, вы можете выбрать режим округления. Режимы округления В зависимости от ситуации вы захотите, чтобы этот алгоритм округления вел себя соответствующим образом. Иногда вам нужно округлить все ( 2.1 будет округлено до 3 ). Иногда вы хотите, чтобы точные половины были округлены вверх в половине случаев и вниз в другой половине, чтобы повысить вероятность того, что среднее значение будет близко к истине. Вот описание всех режимов, округлим до целого числа. до — округление от нуля. 3,2 и 3,6 становятся 4 , но -3,2 и -3,6 становятся -4 . вниз — округление до нуля. Вышеуказанные номера становятся 3 и -3 соответственно. ceil — округление в сторону большего числа. Он отличается от округления до способом обработки отрицательных чисел. Оба -3,2 и -3,6 становится -3 . этаж — округляется в сторону меньшего числа. Точно так же отрицательные числа идут в обратном направлении, чем в случае округления в меньшую сторону. -3,2 становится -4 . На этом принципе основан наш калькулятор по модулю. половина вверх (по умолчанию) — округление до ближайшего соседа. Если равноудалены, то округляются от нуля (так же, как в режиме до ). Например, 3,5 становится 4 и -3,5 становятся -4 . Так обычно выполняется округление. наполовину вниз — аналогично наполовину вверх, округляется до ближайшего соседа, если не равноудален — тогда округляется до нуля (так же, как в режиме вниз ). Вышеуказанные номера становятся 3 и -3 соответственно. наполовину четный — интересный. Округляет до ближайшего соседа, но если они равноудалены, то округляет до четного числа. Оба 1,5 и 2,5 округляются до 2 . 3,5 и 4,5 округляются до 4 . Он предотвращает кумулятивные ошибки округления, и именно поэтому он часто используется в науке (мы используем его по умолчанию в нашем калькуляторе сиг-фиг. Если округлять все время в большую сторону, среднее значение будет слишком высоким. .. вот почему мы в половине случаев округлить в большую сторону. То же правило (по той же причине) используется в бухгалтерском учете. Если вы хотите округлить до ближайшего цента, просто используйте получетных режим. half ceil — ближайший сосед, равноудаленные значения идут в сторону большего числа. половина этажа — ближайший сосед, равноудаленный от меньшего номера. Краткий обзор округления Если весь этот текст звучит устрашающе, вот краткая таблица, в которой вы можете проверить и понять все режимы округления, доступные в калькуляторе, а также некоторые дополнения в качестве бонуса. По заслугам: эта таблица взята из очень занимательного поста Макса Максфилда об алгоритмах округления, рекомендуемого к прочтению. Часто задаваемые вопросы Как округлить до ближайшего целого числа? Чтобы округлить число до ближайшего целого числа, нужно посмотреть на значение сразу после десятичной дроби : Если это одно из чисел 0, 1, 2, 3 или 4 , то мы округлить в меньшую сторону : вычеркнуть все, что идет после запятой, а оставить часть до запятой без изменений . Если это одно из чисел 5, 6, 7, 8, 9 , то округляем в большую сторону.: вычеркните все, что идет после десятичного числа, и увеличьте часть перед десятичным числом на единицу . 7,5 округляется вверх или вниз? Согласно наиболее популярному методу округления 7,5 округляется до 8 . Всякий раз, когда значение сразу после запятой меньше 5, мы округляем в меньшую сторону; в противном случае мы округляем. Во что округляется 2,47? 2,47 округлить до 2,5 если округлить до десятых . 2,47 округляется до 2 , если мы округляем до ближайшего целого числа . Почему мы округляем числа? Мы округляем числа, чтобы сделать их более простыми для понимания и более удобными для выполнения дальнейших вычислений. Округление дает числа, достаточно близкие к исходным значениям, поэтому сообщение, которое они несут, в основном сохраняется. Конечно, в некоторых ситуациях требуется большая точность — поэтому иногда округляем до ближайшего целого, а иногда до сотых. Матеуш Муха и Мацей Ковальски, кандидаты наук Номер Округлить до Результат Для нестандартных режимов округления воспользуйтесь расширенным режимом. Пример Посмотреть 60 похожих арифметических калькуляторов ➗ Абсолютное значениеСложениеАссоциативное свойство… Еще 57 Калькулятор округления | Лучший калькулятор округления Введение в калькулятор округления Округлением можно назвать замену числа другим числом, эквивалентным ему. Округление может использоваться для сокращения заданного числа, не лишая его первоначального значения. Например, нам нужно округлить 56,89.. Мы можем округлить его, заменив его на 57, что является ближайшим значением к 56. Калькулятор округления десятичных дробей — это цифровой способ округления до ближайших десяти или ближайшей тысячи путем выполнения нескольких щелчков мышью. Используя калькулятор округления, вы сэкономите время при расчетах вручную. Правила округления чисел Округление чисел несложно, так как вам нужно выяснить, до какого десятичного разряда числа вы хотите округлить. Калькулятор округления делает то же самое, а также округляет до ближайшего значения. Есть разные методы округления чисел , такие как половина вверх/вниз, округление вверх/вниз, округление половины до четного/нечетного. Существуют различные десятичные знаки, до которых число может быть округлено, например, десятки, сотни, тысячи, один десятичный знак, два десятичных знака и так далее, соответственно. Вы можете выбрать любой из этих вариантов в нашем калькуляторе округления . Если вы хотите узнать об оставшихся числах вычисления, попробуйте калькулятор обозначения остатка. Как округлять числа? Существует два способа округления чисел: ручной и цифровой. Ручной способ требует глубокого понимания и материала, над которым вы будете работать. В то время как в цифровом виде есть калькулятора округления , которые вы можете использовать. Итак, прежде чем округлять число, решите, до какого места вы хотите его округлить. Вы хотите, чтобы число округлялось до одного десятичного знака, до ближайших десяти, ближайших сотен или до любого другого знака? Например, у нас есть число «2678». Мы можем округлить это число до ближайших десяти и получить «2680» Или, если округлить до ближайшей сотни, то получится «2700». Что, если округлить «2678» до ближайшей тысячи? Если округлить до ближайшей тысячи, то получится «3000». Вы можете выбрать округление до ближайшей тысячи калькулятора , чтобы сделать это в мгновение ока. Что такое калькулятор округления чисел? Округление становится немного затруднительным, когда речь идет о десятичных числах. Чтобы округлить такие сложные значения, калькулятор округления предназначен для округления чисел в соответствии с требованиями. Калькулятор округления уменьшает точность любого заданного числа, чтобы сделать его проще и короче. Калькулятор округления чисел округляет значение заданного числа, чтобы сделать его короче, сохраняя при этом близкое к исходному значению. Как найти калькулятор раундов? Вы можете найти нужный калькулятор округления чисел во всемирной паутине или в Calculatored . Calculatored — это онлайн-портал, созданный для упрощения расчетов. Различные калькуляторы округления будут иметь разные функции, но вам нужно выбрать лучший. Наш калькулятор округления дает вам все необходимые параметры для округления любого числа, начиная с 1 и заканчивая миллиардным числом. Вы можете выбрать любой вариант среди них из наших калькулятор округления чисел , чтобы получить работу. Как работает калькулятор округления десятичных знаков? Чтобы узнать, как работает лучший калькулятор округления? вам просто нужно понять, как числа округляются до определенного десятичного знака. Ниже приведен список разрядов, до которых может быть округлено число: Единицы Десятки Сотни Тысячи Десять тысяч миллионов Десятки (1 десятичный знак) Сотые (2 знака после запятой) Тысячные ( 3 знака после запятой) Десятитысячные (4 знака после запятой) Стотысячные (5 знаков после запятой) Миллионные (6 знаков после запятой) Десять миллионов (7 знаков после запятой) Сотни миллионов (8 знаков после запятой) Миллиарды (9 знаков после запятой) Это 9Калькулятор округления чисел 0373 позволяет округлять числа до любого из вышеперечисленных мест. Вы также можете округлить числа до 1-9 знаков после запятой. Вам просто нужно указать значение числа, которое вы хотите округлить, и выбрать место, до которого оно должно быть округлено. Калькулятор округления округлит его в соответствии с заданным вводом. Рассмотрим еще несколько примеров округления. Примеры Нам нужно округлить значение 567888. Округление до десятых = 567890 Округление до сотых = 567900 Округление до ближайших тысячных = 568000 Округление до миллионных = 1000000 Каждое из соответствующих значений округления согласно 567888 место является ближайшим значением этого. Теперь давайте познакомим вас с округлением десятичных чисел. Например, у нас есть 678,9567 для округления. Округление до одного десятичного знака: 679,0 Округлить до двух знаков после запятой: 678,96 Округлить до трех знаков после запятой: 678,957 Округлить до четырех знаков после запятой: 678,9567 Аналогично, мы можем округлить это число до десятичного знака от 1 до 9 соответственно. Связанный: Также найдите калькулятор уравнения sig fig для вычисления значащих цифр чисел. Именно с помощью этого лучшего калькулятора округления можно округлить любое число до единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, миллионов, десятых (1 знак после запятой), сотых (2 знака после запятой), тысячных (3 знака после запятой) , Десяти тысячные (4 знака после запятой), Стотысячные (5 знаков после запятой), Миллионы (6 знаков после запятой), Десять миллионов (7 знаков после запятой), Стомиллионные (8 знаков после запятой) и Миллионы (9 знаков).десятичные разряды). Как использовать Калькулятор округления шаг за шагом? Наш калькулятор округления прост и удобен в использовании. Вам просто нужно выполнить следующие быстрые шаги: Шаг № 1: Откройте круглый калькулятор Calculatored . Шаг № 2: Введите значение, которое вы хотите округлить. Шаг №3: Выберите соответствующий параметр, значение которого вы хотите округлить. Шаг № 4: Нажмите кнопку «РАССЧИТАТЬ». Сразу после нажатия на кнопку наш калькулятор округления чисел округлит ваше значение в соответствии с вашими требованиями. Вы можете увидеть результаты вживую или скопировать или вставить оттуда. Мы надеемся, что вам понравился этот калькулятор округления и его работа. Вы можете использовать другие наши калькуляторы, такие как калькулятор процента ошибок, для практики и обучения. Присылайте нам свои отзывы, чтобы мы могли еще больше улучшить. Ваше здоровье! Внешние ресурсы: Как округлять числа. Правила округления. 6 способов округления чисел. Калькулятор округления — округление до ближайшей десятой сотой тысячи Калькулятор округления помогает округлять числа в большую или меньшую сторону до ближайших единиц, десятых, сотых, тысячных, десятитысячных, сотен тысяч и т. д. Проще говоря, это калькулятор округления чисел позволяет округлять числа вверх или вниз до любого десятичного знака. И попробуйте этот лучший и точный онлайн-калькулятор, чтобы узнать, сколько значащих цифр имеет данное число! Итак, прежде чем узнать об этом калькуляторе для округления чисел, давайте начнем с основного определения округления чисел в математике. Что такое округление чисел? Округление чисел означает корректировку цифр в большую или меньшую сторону, чтобы сделать сложные вычисления простыми и легкими. Результатом будет вероятный ответ, а не точный. Это делает цифры очень простыми, но в то же время сохраняет ценность близкой к тому, что было на самом деле. Пример: 0,63 будет округлено до ближайших десяти, то есть 0,60. Причина этого в том, что 0,63 ближе к 0,60, чем к 70. Но в случае 0,67 это будет 0,70. Таким образом, мы можем сказать, что округленное число имеет примерно то же значение, что и число, с которого мы начинаем, но имеет меньшую точность. Например, если у вас есть 1,89 доллара, то после округления получится 2,00 доллара. Причина этого в том, что 1,89 доллара ближе к 2,00 доллара по сравнению с 1,00 долларом 9.0003 Предположим, что необходимо округлить число 667.284. Это зависит от того, до какого числа после запятой вы будете округлять, окончательный результат будет отличаться. Итак, округление 667.284: Округление до ближайшей сотни равно 700 Округление до ближайших десяти: 670 Округление до ближайшего равно 667 Округление до десятых равно 667,3 Округление до сотых равно 667,28 Помните, что с помощью онлайн-калькулятора округления можно легко округлить числа до любой точности. Стандартная форма: Обычная система обозначения чисел указана в следующей таблице: 2 5 6 4 3 . 2 3 4 Десять тысяч тысяч Сотни Десятки Единицы Десятичная точка Десятки Сотые Тысячные До чего вы округляете? При округлении числа самое первое, на что нужно обратить внимание: до чего вы его округляете? Цифры можно округлять до десятков, сотен, тысяч и т. д. Пример: Если у вас есть число 4827, то оно может быть округлено следующим образом: Округление до ближайшей десятой будет: 4830 4827 будет округлено до ближайшей сотни: 4800 округлить до ближайших тысяч 4827 будет: 5000 Округленная таблица чисел: Наименование округления Соответствующий номер Число до (+), после (-1) запятой Миллион 1 000 000 7 Сотни тысяч 100 000 6 Десять тысяч 10 000 5 тысяч 1 000 4 Сотня 100 3 Десять 10 2 Блок 1 1 Десятый 0,1 -1 Сотый 0,01 -2 Тысячная 0,001 -3 Десятитысячный 0,0001 -4 Стотысячный 0,00001 -5 Миллионный 0,000001 -6 Каковы некоторые простые правила округления? Как округлять числа — сложное требование, требующее определенного набора правил для получения безошибочных результатов. Они объясняются ниже: Определите разрядное значение, которое вы собираетесь округлить. Если значение меньше, результаты будут более точными. Всегда ищите следующее наименьшее разрядное значение. Если цифра в данном числе имеет следующее наименьшее разрядное значение меньше пяти, то нет необходимости заменять ваше число более высокой цифрой. Вы просто уменьшите значение на 1. Если цифра в заданном числе больше пяти, то нужно увеличить значение на единицу (+1). Различные методы округления: Округление наполовину (общий метод округления) Наиболее распространенный метод округления заключается в изменении 0,5 в больших числах или в сторону увеличения. Взгляните на следующие сценарии 7.5: 7.5 можно округлить до 8. Нельзя сказать, что это фиксированный закон. Это просто стратегия, чтобы упростить расчеты. Полуокругление в меньшую сторону: Иногда 0,5 можно исключить, чтобы упростить вычисления. Это зависит от нашего выбора. Взгляните на следующие примеры округления: 7.6 после округления можно превратить в 8. 7.5 можно превратить в 7. 7.4 также можно записать как 7. Наш калькулятор округления чисел также использует метод полуокругления вверх и вниз при округлении чисел, ближайших к любой точности. Округление отрицательных чисел: Во многих ситуациях приходится иметь дело с отрицательными числами. Например, при работе с «-7,5» мы можем столкнуться со следующими двумя условиями: Округляет до -8? (поднимается) Или округляется до -7? (опускается) В таких ситуациях не нужно путаться. Если вы идете «вниз или вверх» в случае отрицательного числа, то вы просто поставите знак «минус» с вашей цифрой или числом при движении вверх следующим образом: Если у вас -7,4, то после округления, вы получите -7 Если у вас -7,5, то после округления вы можете получить -7 или -8 В случае -7,6 мы можем записать как -8 после округления. Симметричное округление: Если у вас есть число 7,5 или -7,5 и после округления вы превращаете его в 8 или -8, то вы уходите от нуля, и это называется симметричным округлением. Он включает округление в меньшую сторону или к нулю следующим образом: Округление от нуля: В этом методе любое число с 0,5 будет округлено до целого числа, чтобы оно было дальше от нуля, например: Если у вас 7.6 то оно будет округлено от нуля и превратится в 8 Если у вас есть отрицательное число, например -6,5, то оно будет равно -7 в случае округления от нуля. Округление до нуля: Работает только в обратном направлении округления от нуля. В этом методе вы будете округлять число, которое ближе к нулю. Например: Если у вас 6.4 то округляем до 6. Те же правила будут применяться к отрицательному числу. Таким образом, -6,4 станет -6. -7,4 раунда до -7, Округление до четных чисел: Этот метод часто используется как Банковское округление. При использовании этого метода вы будете округлять числа до ближайшего четного числа или цифры. Например: Если данный номер 7,5. Прежде всего, вы должны искать ближайшее четное число. В этом случае ближайшее четное число равно 8, поэтому 7,5 после округления превратится в 8. Кроме того, этот вид преобразования округляется. Если задано число 6,4, вам придется округлить число до ближайшего четного числа. Ближайший даже 6 по сценарию. Так оно и превратится в него. Четные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 и так далее. Округление до нечетных чисел: В этом методе вы должны найти ближайшее нечетное число в соответствии с заданными цифрами. Например: В случае 7,5 ближайшим нечетным числом является 7, следовательно, оно будет преобразовано в 7, но если у вас 6,4, то вы не можете просто округлить в меньшую сторону, и оно превратится в 6, потому что 6 — четное число. . В данной ситуации ближайшим нечетным числом является 7. Таким образом, 6,4 также превратится в 7,9.0047 Нечетные числа: Нечетные числа — это числа, которые при делении на 2 всегда дают в остатке 1. Например: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 и т. д. — нечетные числа. Пол Метод округления: В этом методе вам просто нужно округлить до ближайшего целого числа. Используя «метод пола», все числа будут уменьшаться, независимо от того, какая цифра выпадет. И вы можете попробовать наш калькулятор для округления до ближайшего целого числа. Теперь давайте посмотрим на пример ниже: Если у вас 7,8, то вы превратите его в 7. Вы не можете превратить его в 8, как в случае обычного округления. Потолочный метод округления: Этот метод работает в противоположном направлении от напольного метода. Поскольку ячейка представляет собой то, что находится вверху, таким же образом вы будете использовать только стратегию «поднимается». Например, если у вас 7.1, то вы должны сделать его только 8 (увеличивается). Округление чисел до ближайших десятых: Более реалистичный способ понять этот идентификатор метода — наблюдать за числовой линией перед округлением чисел. В соответствии с этой стратегией, если единица данного числа меньше пяти, вы будете следовать правилу «округления в меньшую сторону». Если заданное число больше 5, то будет применяться «округление». Например: Если у вас есть число 32, то оно будет округлено до 30 по правилу «в меньшую сторону». Если у вас есть число 38, то вы превратите его в 40 по правилу «увеличивается». Наш калькулятор округления также поможет вам округлить числа до ближайшей десятой точности. Давайте посмотрим дальше для лучшего понимания: Округлим до десятых: 0,84: Прежде всего, выясним число десятых: 8 в 0,84 Сразу после этого все, что вам нужно, чтобы определить следующее наименьшее разрядное значение: 4 из 0,84 Итак, эта цифра больше или равна пяти? Нет, так что просто округлите 9 в меньшую сторону. 0047 Десятая цифра остается прежней, равной 8. Поскольку остальные цифры после запятой, вам просто нужно их отбросить Итак, 0,84, округленное до десятых, равно 0,8 Округление чисел до ближайшей сотни: Если цифра десятков в заданном числе меньше 50, применяется правило «округления в меньшую сторону». применяться. Например, если у вас есть число 834, то десятка будет «34», что меньше 50, поэтому вы округлите число до 800. Точно так же в случае с 871 время «71» больше. чем 50, поэтому число будет преобразовано в 900. Проведите пальцем вниз! Округление до ближайшей сотни: 4360 Прежде всего, просто определите цифру сотен: 3 в 4360 Далее, просто определите следующее наименьшее разрядное значение: 6 в 4360 Посмотрите, цифра больше или равна пяти? Да, так что округляйте Теперь все, что вам нужно, это увеличить цифру сотен на единицу, так что 3 + 1 = 4. И каждая последующая цифра превращается в ноль 4360 округлить до сотен будет 4400 Округление чисел до ближайшей тысячи: Иногда требуется округлить четырехзначное число до ближайших десятков, сотен или тысяч. Например: Если задано число 2431 и нужно округлить до десятка, то будет 4230. Но если округлить до ближайшей 1000, то ваша сотня будет соблюдена; если оно меньше 50, то вы округляете число в меньшую сторону, а если оно больше 50, вы округляете число в большую сторону. Например: Если задано число 2839, то «83» больше 50, поэтому число будет округлено до 3000. Округление до сотых: При округлении до ближайшего цента, копейки или сотой будет применяться та же процедура. Все, что вам нужно сделать, это искать сотые места. Найдя 100-е место, посмотрите на цифру справа. Если эта цифра 5 или больше 5, число на 100-м месте будет увеличено на 1. Все те числа, которые присутствуют после него, будут просто отброшены. Чтобы избежать таких сложных расчетов вручную, вы можете воспользоваться возможностью калькулятора округления чисел. это сделает ваш расчет простым и безошибочным. Данный пример поможет вам в дальнейшем! Округлить до сотых: 4. 278: Прежде всего вычислить сотые доли: 7 в 4.278 Теперь определите следующее наименьшее разрядное значение: 8 из 4,278 Эта цифра больше или равна пяти? Да так округлим Итак, 7 + 1 = 8 4,278 округлить до сотых будет 4,28 Округление чисел до тысячных: Посмотрите на приведенный пример: Округление до тысячных: 34,4317 Сначала вычислите тысячную цифру: 1 из 34,4317 Теперь найдите наименьшее разрядное значение: 7 из 34,4317 Вы видите, что цифра больше пяти, поэтому округляйте . Итак, 1 + 1 = 2 34,4317 округлить до тысячных будет 34,432 Округление чисел до ближайших десятков: Просто посмотрите на примеры: Округление до ближайших десятков: 434.2: Просто определите цифру десятков: 3 в 434.2 Сразу после этого вам просто нужно вычислить следующее наименьшее значение разряда: 4 в 434,2 Посмотрите, эта цифра больше или равна пяти? Нет, так что просто округлите в меньшую сторону. Десятки останутся такими же, как 3, и каждая последующая цифра превратится в ноль. Здесь цифры после запятой опущены 434,2 округлить до десятых будет 430 Округлить до десятка: 387: Прежде всего вычислить цифру десятков: 8 в 387 Затем определите наименьшее разрядное значение: 7 из 387 Помните, что разряд десятков увеличивается на единицу. Итак, 8 + 1 = 9, всего-то надо перенести 1 и прибавить к цифре по сотне знаков. Здесь каждая цифра после превращается в ноль Итак, 387, округленное до десятых, равно 390 Примеры: Номер Наполовину поднятый Половинка Наполовину 0 От половины до 0 Получетный Половина нечетного Этаж Потолок 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7,6 8 8 8 8 8 8 7 8 7,5 8 7 8 7 8 7 7 8 7,4 7 7 7 7 7 7 7 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 -7 -7 -7 -7 -7 -7 -7 -7 -7 -7,4 -7 -7 -7 -7 -7 -7 -8 -7 -7,5 -7 -8 -8 -7 -8 -7 -8 -7 -7,6 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -7 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 Как округлять десятичные дроби: Округление всех чисел, содержащих десятичные дроби, имеет небольшую разницу по сравнению с целыми числами. Посмотрите ниже: Округление до десятичных разрядов: Всегда есть три условия; следующим образом: Обратите внимание на первую цифру после запятой, когда вы хотите округлить до одного десятичного знака. Вторая цифра будет наблюдаться, когда вы хотите округлить до двух знаков после запятой. Сосредоточьтесь на третьей цифре, если вы хотите округлить до трех знаков после запятой. Теперь один и тот же метод будет применяться ко всем вышеперечисленным случаям. Для вашего удобства просто нарисуйте вертикальную черту справа от требуемой разрядной цифры. Теперь просто посмотрите на следующую цифру. Если оно больше 5, предыдущие цифры будут увеличены на 1. Например: Если у вас есть число 248.561, то округление до одного и двух знаков после запятой будет следующим: Округляем до одного знака после запятой: проведем вертикальную черту после одной цифры: 248,5|61. 6 является следующей цифрой после вертикальной черты и больше 5. Следовательно, после округления мы получим 248,6, а остальные цифры будут отброшены. Округлите до двух знаков после запятой: проведите вертикальную черту после двух цифр следующим образом: 248,56|1 Теперь обратите внимание на цифру рядом с линией. В данном случае меньше 5. Следовательно, после округления будет 248,56. Десятичный округлитель можно использовать, чтобы избежать риска ошибки при работе с десятичными дробями. Наш калькулятор округления десятичных долей также поможет вам округлить до десятичных знаков. О калькуляторе округления: Онлайн-калькулятор округления — это инструмент, который просто позволяет округлять числа в большую или меньшую сторону до любого десятичного знака. С помощью этого калькулятора округления чисел вы можете легко округлять числа по вашему выбору до ближайших единиц, десятых, сотен, сотых, тысячных, тысячных и т. д. Все, что вам нужно, это выбрать единицы для округления до ближайшего доллара, сотые для округления до ближайшего цента и так далее! Основная цель этого калькулятора округления — производить максимально быстрые и точные измерения путем округления комплексных и десятичных чисел. Калькулятор округления может вернуть округленное число, ближайшее к: Целый номер Миллионы (-6) Сотни тысяч (-5) Десять тысяч (-4) Тысячи (-3) Сотни (-2) Десятки (-1) Единицы (0) Десятки (+1) Сотые (+2) Тысячные (+3) Десятитысячные (+4) Стотысячные (+5) Миллионные (+6) Десятимиллионные (+7) Сотни миллионов (+8) Миллиарды (+9) Десять миллиардных (+10) Сто миллиардных (+11) Триллионные (+12) Десять триллионных (+13) Сто триллионных (+14) Квадриллионные (+15) Десять квадриллионных (+16) Они также признаются точностью калькулятора округления. Кроме того, есть четыре режима округления: Половина Наполовину вниз Половина даже Половина нечетного Что ж, этот калькулятор округления поможет вам округлить числа онлайн, давайте посмотрим! Как округлить число/десятичное число с помощью этого калькулятора округления? Все, что вам нужно сделать, это просто ввести свое число в этот калькулятор округления чисел и выбрать желаемую точность в раскрывающемся меню. список. Вы также можете выбрать режим округления. Введите: Прежде всего, введите желаемый номер. Это число может быть как десятичным, так и целым. Выберите требуемую точность из раскрывающегося меню. Выберите режим округления в раскрывающемся меню. Нажмите кнопку расчета Вывод: У вас будет введенный вами номер. Вы получите число после округления. Чтобы сделать еще один расчет, просто нажмите кнопку пересчета. Часто задаваемые вопросы (округление числа/десятичные разряды): Что такое 3,7, округленное до ближайшего целого числа? Ближайшее целое число из 3,7 будет равно 4. Причина в том, что 0,7 больше 5, поэтому мы применим правило округления. Ниже приведены примеры для понимания концепции округления: Номер Число, округленное до ближайшего целого числа 8,7 9 7,7 8 5,7 6 6,7 7 Что такое 0,3, округленное до ближайшего целого числа? 0,3 можно превратить в 1, то есть в целое число. Он округляется до ближайшего целого числа. Однако, если вам нравится округлять 0,3 до десятых, оставляя только одно число после запятой, то вы попали в нужное место. Вы можете воспользоваться помощью онлайн-калькулятора округления, чтобы сделать расчет без стресса. Посмотрите ниже: 0,3 Округлено до десятых. Номер Округлено до десятых 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 Сколько будет 2,57, округленное до десятых? 2,57 можно округлить до десятых долей вручную или с помощью округляющего десятичного калькулятора следующим образом: Номер Округлено до десятых 2,57 2,6 2,67 2,7 2,77 2,8 2,87 2,9 Как на калькуляторе округлить до двух знаков после запятой? 3,141 можно округлить до сотых следующим образом: Определите цифру сотых: например, в 3. 141 4. Затем определите следующее наименьшее разрядное значение: например, вторая 1 в 3.141. Теперь посмотрим, больше или равно этой цифре пять? если нет, то округлить в меньшую сторону. Теперь сотая цифра остается прежней, равной 4. Отбросьте остальные цифры справа от 4. Что такое 44,197, округленное до ближайшего целого числа? Ближайшее целое число 44,197 округлено: Номер Округление до ближайшего целого числа 44,197 44 46,197 46 47,197 47 49,197 49 Что такое 2/5, округленное до ближайшего целого числа? Дроби можно округлять до ближайшего полного числа. Чтобы округлить десятичную дробь до ближайшего целого числа, достаточно посмотреть на первую цифру после запятой. Если цифра меньше 5 (1, 2, 3, 4), округлить ее до целого числа до запятой, а если цифра 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9) округлить до следующего большего числа. Является ли 2,5 целым числом? 2.5 не целое число, а десятичное. Сколько будет 3,944, округленное до сотых? Округление до ближайшей сотой или округление до ближайшего цента имеет тот же метод. Если у вас есть число 3,944 и вам нужно округлить его до сотых, то просто примите тысячное значение 3,944. В данном случае 4 меньше 5. В результате значение сотых долей 3,944 остается 4. Использование калькулятора округления может помочь в таких вычислениях. Какое число, округленное до ближайшей сотни, равно нулю? Всякий раз, когда вы собираетесь округлить число до сотни, просто сосредоточьтесь на десятках данного числа. Если эта цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, она будет округлена до предыдущей сотни, но если цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, вы примените правило округления до следующей сотни. . Что значит округлить до цента? Округление до ближайшего цента представляет собой округление любого заданного числа до сотых или округление дробей. Как округлить числа? Если число, которое вы собираетесь округлить, больше 5, вы просто округлите число в большую сторону. Пример: 39 будет округлено до ближайших десяти, то есть 40. Если заданное число меньше 5, вы просто округлите число в меньшую сторону. Пример: 34 будет округлено до ближайших десяти, то есть 30. Чтобы избежать таких нервных вычислений, калькуляторы округления чисел всегда готовы помочь вам. Что такое 52,81, округленное до ближайшего целого числа? Если у вас есть число 52,81, то его можно округлить до ближайшего целого числа, наблюдая за цифрой, стоящей после запятой. В этом случае оно больше 5, поэтому будет 53. Ниже приведены некоторые из связанных чисел: Номер Округление до ближайшего целого числа 52,81 53 54,81 55 55,81 56 56,81 57 Вывод: С помощью этого калькулятора округления вы можете легко уменьшить сложность любого числа, сделать его меньше, проще и с ним легче работать, выполняя с ним дополнительные операции. Всякий раз, когда вам не нужно точное число, такое как 3324,238576, используйте калькулятор округлений, чтобы преобразовать его в 3324,34, 3324 или даже 3300. Этот инструмент позволит вам сделать это просто для вашего удобства. Ссылки: Из Википедии, свободной энциклопедии – Округление – Типы округления – Округление до целого числа – Направленное округление до целого числа – Округление до ближайшего целого числа – Случайное округление до целого числа – Округление до другого значения От источник Wikihow – Соавторы: 8 – Недавно обновлено – Как округлить до десятых Из источника mathsisfun – недавно обновлена информация об округлении или округлении до числа и десятичных знаков – Методы округления – Существует множество способов раунд номер Из официального источника homeschoolmath– The World of Math Online – Округление до ближайшей сотни – как округлить до сотых число, сначала найдите место в числе, до которого вы хотите округлить. Во-вторых, посмотрите на цифру в следующем наименьшем разряде (цифра сразу справа от разряда округления), которую я называю коэффициент округления и выполните одно из следующих действий в зависимости от коэффициента округления. Если коэффициент округления меньше 5, оставьте место округления как есть. Если коэффициент округления больше 4, добавьте единицу к разряду округления. Если это приводит к тому, что разряд округления равен 10, введите ноль в разряд округления и прибавьте единицу к следующему разряду слева (повторяйте при необходимости до тех пор, пока добавление единицы к следующему разряду слева не создаст 10). Третий , обнулите знаки, которые встречаются между разрядом округления и десятичной запятой, и отбросьте знаки, которые встречаются после разряда округления и после десятичной запятой. Примеры округления Ниже приведены примеры округления чисел до наиболее популярных разрядов. В каждом примере я создал диаграмму значений десятичных разрядов для числа и выделил цветом расположение десятичной точки, столбец места округления и столбец коэффициента округления. Округлить до ближайшего цента Пример (сотые доли, или 0,01, или два десятичных знака) Номер: 34,6781 Ниже приведены шаги для округления 34,6781 до ближайших 0,01 или сотых долей без функции округления. T e n s O n e s T e n t h s H u n d r e d t h s T h o u s a n d t h s T e n T h o u s a n d t h s 3 4 6 7 8 1 3 4 6 8 Шаг #1 : обнаружите Digit на месте на месте на месте. находится в столбце соток. Шаг № 2 : Посмотрите на значение в разряде непосредственно справа от разряда округления (коэффициент округления), которым в данном случае является 8, расположенное в столбце тысячных. Если коэффициент округления больше 4, что в данном случае равно (8 > 4), увеличьте цифру в разряде округления на единицу (7 + 1 = 8). Шаг № 3 : Отбросьте оставшиеся 2 разряда после округления. Это оставляет вам округленное число 34,68 . Округление до ближайшего десятого Пример (0,1 или один десятичный знак) Номер: 14,6256 Ниже приведены шаги для округления 14,6256 до ближайшего 0,1 или десятого разряда без функции округления. T e n s O n e s T e n t h s H u n d r e d t h s 001″> T h o u s a n d t h s T e n T h o u s a n d t h s 1 4 6 2 5 6 1 4 6 Step #1 : Find the digit in the place you want to round to (место округления), которым в данном случае является 6, расположенное в десятом столбце. Шаг № 2 : Посмотрите на значение в разряде непосредственно справа от разряда округления (коэффициент округления), которым в данном случае является 2, расположенное в столбце сотен. Если коэффициент округления меньше 5, что в данном случае равно (2 < 5), оставьте цифру в месте округления как есть. Шаг № 3 : Отбросьте оставшиеся 3 разряда после округления. Это оставляет вам округленное число 14,6 . Округлить до ближайшего целого числа Пример (1 или единицы) Номер: 345,61 Ниже приведены шаги для округления 345,61 до ближайшей 1 или разряда единиц без функции округления. H u n d r e d s T e n s O n e s T e n t h s H u n d r e d t h s 3 4 5 6 1 3 4 6 Step #1 : Find the digit in the place you want to round to (rounding place) , в данном случае это цифра 5, расположенная в столбце единиц. Шаг № 2 : Посмотрите на значение в разряде непосредственно справа от разряда округления (коэффициент округления), которым в данном случае является 6, расположенное в столбце Десятых. Если коэффициент округления больше 4, что в данном случае равно (6 > 4), увеличьте цифру в разряде округления на единицу (5 + 1 = 6). Шаг № 3 : Отбросьте оставшиеся 2 разряда после округления. Это оставляет вам округленное число 346 . Пример округления до ближайших десятков (10 или разряд десятков) Число: 1 896,81 Ниже приведены шаги для округления 1896,81 до ближайших 10 или разряда десятков без функции округления. T h o u s a n d s H u n d r e d s T e n s O n e s T e n t h s H u n d r e d t h s 1 8 9 6 8 1 1 8 10 0 1 9 0 0 Шаг № 1 : Найдите цифру в том месте, до которого вы хотите округлить (место округления), в данном случае это цифра 9, расположенная в столбце десятков. Шаг № 2 : Посмотрите на значение в разряде непосредственно справа от разряда округления (коэффициент округления), которым в данном случае является 6, расположенное в столбце «Единицы». Если коэффициент округления больше 4, что в данном случае (6 > 4), увеличьте цифру в разряде округления на единицу (9+ 1 = 10). Однако, поскольку это приводит к тому, что разряд округления равен 10, оставьте ноль в разряде округления и добавьте единицу к следующему разряду слева. Шаг № 3 : Поместите ноль в 2 разряда после округления, но перед запятой, и отбросьте 2 знака после запятой. Это оставляет вам округленное число 1900 . Округление до ближайших сотен Пример (разряд сотен или сотен) Номер: 38 134,25 Ниже приведены шаги для округления 38134,25 до ближайших сотен или сотен без функции округления. T e n T h o u s a n d s T h o u s a n d s H u n d r e d s T e n s O n s 1 e 80011 E N T H S 01″> H U N D R E D T H S 3 3 3 3 3 . 2 5 3 8 1 0 0 18 . в данном случае это 1, расположенное в столбце «Сотни». Шаг № 2 : Посмотрите на значение в разряде непосредственно справа от разряда округления (коэффициент округления), которым в данном случае является 3 в столбце десятков. Если коэффициент округления меньше 5, что в данном случае равно (3 < 5), оставьте цифру в месте округления как есть. Шаг № 3 : Поместите ноль в 2 разряда после округления, но перед запятой, и отбросьте 2 знака после запятой. Это оставляет вам округленное число 38100 . Пример округления до ближайшей тысячи (1000 или разряд тысяч) Число: 3 461 874,1 Ниже приведены шаги для округления 3461874,1 до ближайших 1000 или разряда тысяч без функции округления. M i l l i o n s H u n d r e d T h o u s a n д с T e n T h o u s a n d s T h o u s a n d s H u n d r e d s T e n s O n e s T e n t h s 3 4 6 1 8 7 4 1 3 4 6 2 0 0 0 Step #1 : Find the digit in the place you want to round до (место округления), которым в данном случае является 1, расположенное в столбце «Тысячи». Шаг #2 : Посмотрите на значение в разряде непосредственно справа от разряда округления (коэффициент округления), которым в данном случае является 8, расположенное в столбце Сотни. Если коэффициент округления больше 4, что в данном случае равно (8 > 4), увеличьте цифру в разряде округления на единицу (1 + 1 = 2). Шаг № 3 : Поместите ноль в 3 разряда после округления, но перед запятой, и отбросьте разряд после запятой. Это оставляет вам округленное число 3462000 . Округление до ближайших десяти тысяч Пример (10000 или разряд десяти тысяч) Число: 42 986 251 Ниже приведены шаги для округления 42986251 до ближайших 10000 или разряда десяти тысяч без функции округления. T e n M i l l i o n s M i l l i o n s H u n d r e d T h o u s a n d s T e n T h o u s a n d s T h o u s a n d s H u n d r e d s T e n s O n e s 4 2 9 8 6 2 5 1 4 2 9 9 0 0 0 0 Step #1 : Найдите цифру в том месте, до которого вы хотите округлить (место округления), в данном случае это цифра 8, расположенная в столбце «Десять тысяч». Шаг № 2 : Посмотрите на значение в разряде непосредственно справа от разряда округления (коэффициент округления), которым в данном случае является 6, расположенное в столбце тысяч. Если коэффициент округления больше 4, что в данном случае равно (6 > 4), увеличьте цифру в разряде округления на единицу (8 + 1 = 9). Шаг № 3 : Поместите ноль в 4 разряда после округления, но перед запятой. Это оставляет вам округленное число 429 . Назад к КалькуляторуНазад к КалькуляторуВернуться к Калькулятору округленияВернуться к Калькулятору округления Эти числовые инструменты уже в пути Создание номеров Numberwang Создание списка номеров Numberwang. Переписать числа Учитывая числа и грамматику, рекурсивно переписать их. Создать число с плавающей запятой Создать число из мантиссы, основания и экспоненты. 9б форма. Преобразование научной записи в число Преобразование числа в научной записи в обычное число. Создать символьную нумерацию Создать список буквенных чисел (a, b, c, …, z, aa, ab, …). Создать римскую нумерацию Создать список римских цифр (i, ii, iii, iv, v…). Создать нумерацию Брайля Создать список цифр Брайля (⠂, ⠆, ⠒, ⠲, ⠢, …). Генерация случайных двоичных чисел Создать список случайных двоичных чисел. Создание случайных восьмеричных чисел Создание списка случайных восьмеричных чисел. Создание случайных десятичных чисел Создание списка случайных десятичных чисел. Создание случайных шестнадцатеричных чисел Создание списка случайных шестнадцатеричных чисел. Вычислить текущую сумму Вычислить кумулятивную сумму списка чисел. Вычисление текущего произведения Вычисление кумулятивного произведения списка чисел. Вычислить факториал Найти факториал числа. Создание числовых анаграмм Создание одной или нескольких числовых анаграмм. Создание числовых биграмм Создание списка цифровых биграмм из числа. Создание числовых триграмм Создание списка цифровых триграмм из числа. Генерация числовых N-грамм Создание списка цифровых nграмм из числа. Создание полиномиальной последовательности Создать список чисел полиномиальной прогрессии. Создание префиксов SI Создание списка префиксов метрик. Анализ числа Сообщить, сколько цифр встречается сколько раз. Преобразование числа в порядковое Преобразование количественного числительного в порядковое. Преобразование порядкового числа в число Преобразование порядкового числа в количественное. Преобразование числа в римское число Преобразование арабских цифр в римские. Преобразование римских чисел в обычные числа Преобразование римских цифр в арабские. Создание чисел Негафибоначчи Вычисление серии расширенных чисел Фибоначчи. Генерация простых чисел Фибоначчи Поиск чисел, которые являются одновременно числами Фибоначчи и простыми числами. Проверка числа Фибоначчи Проверка, является ли число числом Фибоначчи. Проверка простых чисел Фибоначчи Проверяет, является ли число одновременно числом Фибоначчи и простым числом. Построить слова Фибоначчи Создать последовательность слов Фибоначчи. Создать слова Трибоначчи Создать последовательность слов Трибоначчи. Генерировать числа Негалука Вычислить серию расширенных чисел Лукаса. Генерировать простые числа Лукаса Вычислить серию расширенных чисел Лукаса. Lucas Prime Test Проверить, является ли число одновременно числом Лукаса и простым числом. Вычисление следа матрицы Найдите сумму элементов главной диагонали матрицы. Вычислить собственные значения матрицы Найти собственные значения матрицы. Умножение матриц Вычисление произведения двух матриц. Добавить матрицы Вычислить сумму двух матриц. Вычитание матриц Вычисление разности двух матриц. Генерация чисел Мозера де Брюйна Вычисление последовательности чисел Мозера-Брейна. Сгенерировать числа Колакоски Вычислить последовательность чисел Ольденбургера-Колакоски. Сгенерировать числа Стэнли Вычислить последовательность чисел Стэнли. Генерировать числа Гийсвейта Вычислить последовательность самоописывающих чисел Гийсвейта. Сгенерировать числа Рудина-Шапиро Вычислить последовательность чисел Русина-Шапиро. Генерация чисел Баума-Свита Вычисление последовательности чисел Баума-Свита. Генерация последовательности Туэ-Морса Вычисление членов ряда чисел Туэ-Морса. Создание идеальных чисел Создание списка совершенных чисел. Создание почти идеальных чисел Создание списка почти идеальных чисел. Создать последовательность избыточных чисел Вычислить последовательность избыточных чисел. Создать последовательность неполных чисел Вычислить последовательность неполных чисел. Расчет чисел кривой дракона Создать список порядковых номеров для складывания бумаги. Создание составных чисел Создание списка чисел, которые не являются простыми. Нарисовать таблицу чисел Создать таблицу чисел. Проверить, является ли число совершенным Проверить, является ли заданное число совершенным числом. Проверить, является ли число обильным Проверить, является ли данное число обильным числом. Проверить, является ли число недостаточным Проверить, является ли данное число недостаточным. Вычислить модуль Найти модуль числа. Группировка цифр числа Группировка цифр числа. Разделить число на цифры Создать список цифр из числа. Printf Numbers Применение функций sprintf или printf к числам. Создайте номера Zalgo Позвольте Zalgo уничтожить ваши номера. Повторить номер Повторить номер несколько раз. Зеркальное число Создать зеркальную копию номера. Дополнение числа нулями Добавление нулей к числу. Обратный порядок цифр Обратный порядок цифр в числе. Поворот числа Циклический поворот цифр числа влево или вправо. Увеличить число Добавить единицу к заданному числу. Увеличить все цифры в числе Добавить единицу к каждой цифре в числе. Уменьшить число Вычесть единицу из заданного числа. Уменьшить все цифры в числе Вычесть единицу из каждой цифры в числе. Находить закономерности в числах Находить закономерности в последовательностях чисел. Подсчет числа вхождений Узнайте, как часто встречаются числовые значения. Вычисление процентов Найти x% числа. Создание больших чисел Создание списка больших чисел. Генерация малых чисел Создать список маленьких чисел. Создание натуральных чисел Создание списка натуральных чисел. Создание рациональных чисел Создание списка рациональных чисел. Создать последовательность констант Создать серию чисел, в которой все термины одинаковы. Создание действительных чисел Создание последовательности действительных чисел. Создание комплексных чисел Создание списка комплексных чисел. Создать двоичные числа Создать последовательность двоичных чисел. Создание пар чисел Создание последовательности пар чисел. Создание троек чисел Создание последовательности троек чисел. Создание кортежей чисел Создание последовательности n-кортежей чисел. Переплетение чисел Переплетение двух или более чисел поразрядно. Найти десятичное представление числа Переписать число в десятичной форме. Преобразование дроби в десятичную Преобразование дроби в десятичное число. Преобразование десятичного числа в дробь Преобразование десятичного числа в дробь. Преобразование двоичного числа в восьмеричное Преобразование числа с основанием два в число с основанием восемь. Преобразование двоичного числа в десятичное число Преобразование числа с основанием два в число с основанием десять. Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное Преобразование числа с основанием два в число с основанием шестнадцать. Преобразование восьмеричного числа в двоичное Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием два. Преобразование восьмеричного числа в десятичное Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием десять. Преобразование восьмеричного числа в шестнадцатеричное Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием шестнадцать. Преобразование десятичного числа в двоичное Преобразование числа с основанием десять в число с основанием два. Преобразование десятичного числа в восьмеричное число Преобразование десятичного числа в восьмеричное. Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное Преобразование числа с основанием десять в число с основанием шестнадцать. Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное число Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием два. Преобразование шестнадцатеричного числа в восьмеричное Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием восемь. Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное число Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием десять. Преобразование любого числа в любое основание Преобразование любого числа в любом основании в любое другое основание. Изменение мантиссы числа Изменение значения числа.

Уровень коммуникации — определённый способ взаимодействия между партнёрами, в котором отображаются цели этого взаимодействия и характер взаимоотношений между партнёрами. Выделяют следующие коммуникативные уровни:

1) Императивный (лат.imperativus — повелительный) уровень коммуникаций представляет собой, как правило, монологическое общение, когдаговорящий, обладая достаточными ресурсами (физической силой, статусом, властью, деньгами), открыто принуждает партнёра по общению к выполнению своей цели. В подобных случаях партнёр по общению рассматривается не как субъект коммуникации, а как объект, либо препятствующий, либо необходимый для решения определённых задач. Такой уровень коммуникаций используется при проведении жёстких переговоров, а также в общении руководителя с подчинёнными.

2) Манипулятивный уровень коммуникаций так же, как и императивный, предполагает неравенство в общении. Однако коммуникант, использующий манипулятивные техники, как правило, не обладает достаточными ресурсами, для того чтобы открыто принуждать партнёра к выполнению своей цели, в связи с чем вынужден прибегать к обману. Основная цель манипулятивных коммуникаций — оказать на сознание партнёра глубокое устойчивое воздействие и использовать данного партнёра для достижения собственных целей. Широко используется в создании рекламы, в процессе продажи услуг или продукции потребителям.

3) Формальный уровень коммуникаций используется в том случае, когда коммуникация нежелательна или безразлична одному из партнёров, однако формальный «сценарий» требует поддержания контакта. Например, светское общение, которое, предполагает соблюдение норм этикета и ведение диалога независимо от субъективного отношения к личности партнёра.

4) Гуманистический уровень коммуникаций отличается от вышеперечисленных коммуникативных уровней тем, что ожидаемым результатом общения является не поддержание социальных связей, как при формальном общении, не подчинение партнёра своей цели, как при императивном и манипулятивном общении, а совместное изменение представлений обоих партнёров. К ситуациям гуманистического общения относятся интимное, исповедальное, психотерапевтическое общение, где предполагается удовлетворение такой человеческой потребности, как потребность в сочувствии, понимании, сопереживании. Безоценочное восприятие партнерами друг друга, уважение к личности собеседника — отличительные признаки гуманистического уровня коммуникаций.

5) Игровой уровень коммуникации является более сложным, чем гуманистический, так как предполагает более тонкую настройку на состояние партнера и на особенности его поведения. Конечно, наиболее полно он реализуется в межличностном общении, однако и в деловой сфере искусство «делового флирта» осуществляется именно на игровом уровне, позволяя установить и поддерживать более ярко эмоционально окрашенные отношения. Данный уровень коммуникации позволяет снять психическое напряжение, связанное со значительными физическими и психологическими нагрузками. Существенным отличием игрового уровня коммуникаций от других коммуникативных уровней является готовность к активному эмоциональному взаимодействию с партнером, искренний интерес к своеобразию партнера.

6) Деловой уровень коммуникаций — это общение, направленное на согласование и объединение усилий людей с целью налаживания отношений и достижения общего результата. Деловой уровень отличается от всех предыдущих уровней коммуникаций повышенной концентрацией партнёров на обсуждении конкретных проблем (научных, производственных, финансовых и др. ). Поэтому эмоциональный фон делового общения связан не с интересом к индивидуальности партнёра, а с вниманием к информации, которую он сообщает. Искренний интерес к обсуждаемой проблеме — отличительный признак делового уровня коммуникаций.

7) Духовный уровень коммуникаций возможен между партнёрами, которые стремятся к внутреннему совершенствованию, к постижению тайн мироздания, к расширению собственных личностных возможностей в этом мире, к высоте духа. В основе духовного общения лежит доверие к личности собеседника — человека с богатым внутренним миром и большим жизненным опытом, восприятие его как носителя идеи, духовного начала. Духовное общение обогащает собеседников, выводит их из суеты будней, способствует духовному саморазвитию.

Уровень коммуникации — определённый способ взаимодействия между партнёрами, в котором отображаются цели этого взаимодействия и характер взаимоотношений между партнёрами. Выделяют следующие коммуникативные уровни:

1) Императивный

2) Манипулятивный

3) Формальный

4) Гуманистический

5) Игровой

6) Деловой

7) Духовный

Рассмотрим уровни коммуникаций.

1) Императивный (лат.imperativus — повелительный) уровень коммуникаций представляет собой, как правило, монологическое общение, когдаговорящий, обладая достаточными ресурсами (физической силой, статусом, властью, деньгами), открыто принуждает партнёра по общению к выполнению своей цели. В подобных случаях партнёр по общению рассматривается не как субъект коммуникации, а как объект, либо препятствующий, либо необходимый для решения определённых задач. Такой уровень коммуникаций используется при проведении жёстких переговоров, а также в общении руководителя с подчинёнными.

2) Манипулятивный уровень коммуникаций так же, как и императивный, предполагает неравенство в общении. Однако коммуникант, использующий манипулятивные техники, как правило, не обладает достаточными ресурсами, для того чтобы открыто принуждать партнёра квыполнению своей цели, в связи с чем вынужден прибегать к обману. Основная цель манипулятивных коммуникаций — оказать на сознание партнёра глубокое устойчивое воздействие и использовать данного партнёра для достижения собственных целей. Широко используется в создании рекламы, в процессе продажи услуг или продукции потребителям.

3) Формальный уровень коммуникаций используется в том случае, когда коммуникация нежелательна или безразлична одному из партнёров, однако формальный «сценарий» требует поддержания контакта. Например, светское общение, которое, предполагает соблюдение норм этикета и ведение диалога независимо от субъективного отношения к личности партнёра.

4) Гуманистический уровень коммуникаций отличается от вышеперечисленных коммуникативных уровней тем, что ожидаемым результатом общения является не поддержание социальных связей, как при формальном общении, не подчинение партнёра своей цели, как при императивном и манипулятивном общении, а совместное изменение представлений обоих партнёров. К ситуациям гуманистического общения относятся интимное, исповедальное, психотерапевтическое общение, где предполагается удовлетворение такой человеческой потребности, как потребность в сочувствии, понимании, сопереживании. Безоценочное восприятие партнерами друг друга, уважение к личности собеседника — отличительные признаки гуманистического уровня коммуникаций.

На базе гуманистического уровня коммуникаций формируются еще два уровня коммуникативного взаимодействия: игровой и деловой.

5) Игровой уровень коммуникации является более сложным, чем гуманистический, так как предполагает более тонкую настройку на состояние партнера и на особенности его поведения. Конечно, наиболее полно он реализуется в межличностном общении, однако и в деловой сфере искусство «делового флирта» осуществляется именно на игровом уровне, позволяя установить и поддерживать более ярко эмоционально окрашенные отношения. Данный уровень коммуникации позволяет снять психическое напряжение, связанное со значительными физическими и психологическими нагрузками. Существенным отличием игрового уровня коммуникаций от других коммуникативных уровней является готовность к активному эмоциональному взаимодействию с партнером, искренний интерес к своеобразию партнера.

6) Деловой уровень коммуникаций — это общение, направленное на согласование и объединение усилий людей с целью налаживания отношений и достижения общего результата. Деловой уровень отличается от всех предыдущих уровней коммуникаций повышенной концентрацией партнёров на обсуждении конкретных проблем (научных, производственных, финансовых и др.). Поэтому эмоциональный фон делового общения связан не с интересом к индивидуальности партнёра, а с вниманием к информации, которую он сообщает. Искренний интерес к обсуждаемой проблеме — отличительный признак делового уровня коммуникаций.

7) Духовный уровень коммуникаций возможен между партнёрами, которые стремятся к внутреннему совершенствованию, к постижению тайн мироздания, к расширению собственных личностных возможностей в этом мире, к высоте духа. В основе духовного общения лежит доверие к личности собеседника — человека с богатым внутренним миром и большим жизненным опытом, восприятие его как носителя идеи, духовного начала. Духовное общение обогащает собеседников, выводит их из суеты будней, способствует духовному саморазвитию.

Методические указания

Прочитайте:

1. Каменская Е. Н. Психология и этика делового общения. Ростов-на-Дону, 2004. С. 10

2. Конецкая В.П. Социология коммуникации. М., 1997. С. 7-9

3. Панфилова А.П. Деловая коммуникация в профессиональной деятельности. – СПб., 1999. С.11- 23

4. Пиз А. Язык телодвижений. – М., 1995.

5. Холл Э. Как понять иностранца без слов. – М., 1995. С.11-15

Ответьте на вопросы:

1. Дайте определения понятиям «коммуникация» и «общение» в человеческом обществе. Какова структура общения? Каковы функции общения?

2. Расскажите о видах коммуникаций. Каковы основания для их выделения?

3. Почему важно понимать язык телодвижений? Расскажите о группах невербальных средств.

4. Какие вы знаете уровни коммуникаций?

Выполните практические задания:

Задание 1.

Произнесите фразу с разными интонациями.

1. Умница! Молодец! (с благодарностью, с восторгом, иронично, огорченно, гневно)

2. Я этого никогда не забуду (с признательностью, с обидой, с восхищением, с гневом).

3. Спасибо, как это вы догадались! (искренне, с восхищением, с осуждением).

4. Ничем не могу вам помочь (искренне, с сочувствием, давая понять бестактность просьбы).

5. Вы поняли меня? (доброжелательно, учтиво, сухо, официально, с угрозой).

6. До встречи! (тепло, нежно, холодно, сухо, решительно, резко, безразлично).

7. Это я! (радостно, торжественно, виновато, грозно, задумчиво, небрежно, таинственно).

8. Я не могу здесь оставаться (с сожалением, значительно, обиженно, неуверенно, решительно).

Задание 2.

Известно, что слово «здравствуйте» может быть произнесено на все лады. Попробуйте выявить свой потенциал использования приветствия. Попросите кого-нибудь послушать и «оценить» подтекст, который вы вкладываете в приветствие.

Задание 3.

Прочитайте отрывок из романа М.Булгакова «Мастер и Маргарита» и ответьте на вопросы:

· Какие невербальные средства, используемые Маргаритой в общении с Мастером, способствовали их сближению?

· Какие различные эмоциональные состояния переживает Маргарита, и как это подтверждают невербальные средства?

« — Она несла в руках отвратительные, тревожные жёлтые цветы… И эти цветы очень отчётливо выделялись на чёрном её весеннем пальто.

Она несла жёлтые цветы! Нехороший цвет. Она повернула с Тверской в переулок и тут обернулась. По Тверской шли тысячи людей, но я вам ручаюсь, что увидела она меня одного и поглядела не то что тревожно, а даже как будто болезненно. И меня поразила не столько её красота, сколько необыкновенное, никем не виданное одиночество в глазах!

Повинуясь этому жёлтому знаку, я тоже свернул в переулок и пошёл по её следам…

И, вообразите, внезапно заговорила она:

— Нравятся ли вам мои цветы?

Я отчётливо помню, как прозвучал её голос, низкий довольно-таки, но со срывами, и, как это ни глупо, показалось, что эхо ударило в переулке и отразилось от жёлтой грязной стены. Я быстро перешёл на её сторону и, подходя к ней, ответил:

— Нет.

Она поглядела на меня удивлённо, а я вдруг, и совершенно неожиданно, понял, что я всю жизнь любил именно эту женщину!…

— Да, она поглядела на меня удивлённо, а затем поглядев, спросила так:

— Вы вообще не любите цветов?

В голосе её была, как мне показалось, враждебность…

— Нет, я люблю цветы, только не такие, — сказал я.

— А какие?

— Я розы люблю.

Тут я пожалел о том, что это сказал, потому что она виновато улыбнулась и бросила свои цветы в канаву. Растерявшись немного, я всё-таки поднял их и подал ей, но она, усмехнувшись, оттолкнула цветы, и я понёс их в руках.

Так шли молча некоторое время, пока она не вынула у меня из рук цветы, не бросила их на мостовую, затем продела свою руку в чёрной перчатке… в мою, и мы пошли дальше.»

! При выполнении данного задания, если возникнет необходимость, используйте примерный образец анализа невербальных средств, приведённый ниже. Образец анализа невербальных средств В представленном ниже отрывке из романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита» рассказывается о том, как поэта Ивана Бездомного, в сопровождении милиционеров и поэта Рюхина, прямо из ресторана отправили в психиатрическую клинику. Задание. Проанализируйте невербальное коммуникативное поведение Рюхина.

«Увидев вошедшего, Рюхин побледнел, кашлянул и робко сказал: –– Здравствуйте, доктор. Доктор поклонился Рюхину, но, кланяясь, смотрел не на него, а на Ивана Николаевича. Иван Николаевич сидел совершенно неподвижно, со злым лицом, сдвинув брови, и даже не шевельнулся при входе врача. –– Вот, доктор,–– почему-то таинственным шёпотом заговорил Рюхин, пугливо оглядываясь на Ивана Николаевича,–– известный поэт Иван Бездомный… вот, видите ли… мы опасаемся, не белая ли горячка… –– Тараканов, крыс, чёртиков или шмыгающих собак не ловил? –– Нет,–– вздрогнув, ответил Рюхин,–– я его вчера видел и сегодня утром. Он был совершенно здоров… –– А почему в кальсонах? С постели взяли? –– Он, доктор, в ресторан пришёл в таком виде… –– Так, так, так,–– сказал доктор и, повернувшись к Ивану, добавил: –– Зравствуйте! –– Здорово, вредитель! –– злобно и громко ответил Иван. Рюхин сконфузился до того, что не посмел поднять глаза на вежливого доктора.» В данной ситуации общения психическое состояние Рюхина можно назвать стрессовым, а сам он, по определениям Булгакова, в данном эпизоде был «крайне взволнованным» и «сконфуженным». Он как бы стыдился того, что оказался втянут в эту историю, стыдился разбуянившегося Ивана Николаевича, который в кальсонах разгуливал по городу, робел перед уважаемым доктором. И все невербальные средства передают эту сконфуженность: а) двигательные средства: ––– мимика: « Побледнел», «Не смел поднять глаза». ––– движения тела: « Пугливо оглянулся» (пугливо потому,что Рюхин побаивался грубого Ивана). б) околоречевые средства ––– звуки, сопутствующие речи: « Кашлянул». ––– громкость: « Таинственным шёпотом заговорил». ––– темп речи (медленный, с паузами: «…вот, видите ли… мы опасаемся, не белая ли горячка…) Таким образом, невербальное коммуникативное поведение Рюхинаможно назвать скорее закрытым, чем открытым (от робости и смущения), а все коммуникативные проявления включающими.

Задание 4.

Расскажите о такой форме коммуникативного события, как день открытых дверей в вузе. Какой это вид коммуникации (виды коммуникаций) по количеству коммуникантов, по цели сообщения, по направленности, по средствам, по форме коммуникативного события?

Задание 5.

Опишите, на каком коммуникативном уровне (уровнях) общаются пассажиры одного купе в поездах дальнего следования. Аргументируйте свой ответ.

Предыдущая1234567891011121314Следующая

1. Признаки: ориентация на решение проблемы, стремление к диалогу – незаинтересованность в получении результатов, отсутствие стремления к диалогу, соответствуют критерию оценки поведения участников переговоров… конструктивная позиция – незаинтересованная позиция компетентность – некомпетентность готовность – нежелание пойти навстречу партнеру готовность вести переговоры – или отсутствие интереса к переговорам
2. Признаки: выделение самого существенного, четкое и обзорное изложение, коротко и ясно – использование путей, перепрыгивание с темы на тему, поток слов, соответствуют критерию оценки поведения участников переговоров… гибкость – отсутствие гибкости аргументированность – голословность высказываний концентрация на теме – отклонение от темы интегративность мышления – консервативность мышления
3. Признаки: факты, рациональная аргументация, четкие выводы – недосказанные мнения, эмоциональные реакции, противоречивость во взглядах и утверждениях соответствуют критерию оценки поведения участников переговоров… гибкость – отсутствие гибкости аргументированность – голословность высказываний концентрация на теме – отклонение от темы интегративность мышления – консервативность мышления

1. «Ситуации социального взаимодействия подобны драматическим спектаклям, в которых актеры стремятся создавать и поддерживать благоприятные впечатления» – это утверждение соответствует … теории символического интеракционизма теории обмена теории управления впечатлениями психоаналитической теории
3. Признаки: взгляд на проблему в комплексе, вскрытие причинно-следственных взаимосвязей – игнорирование взаимосвязей, отсутствие прогноза возможных последствий, узковедомственный взгляд на проблему соответствуют критерию оценки поведения участников переговоров Аргументированность – голословность высказываний Интегративность мышления – консервативность мышления Гибкость – отсутствие гибкости Концентрация на теме- отклонении от темы
8. Переговоры с целью договориться по справедливости, идя на взаимные уступки, и если уж и обходить закон, то вместе — это … компромиссные переговоры справедливые переговоры светские переговоры исследовательские переговоры
9. Коммуникации, способствующие созданию благоприятного имиджа и позволяющие установить первичный контакт между партнерами, — это… межличностные коммуникации деловые коммуникации светские коммуникации формальные коммуникации
12. «Поза льва», когда человек стоит, опираясь на стол обеими руками, как будто нависая над ним и над собеседником, свидетельствует … об открытой коммуникации об авторитарности в общении о демократичности в общении о закрытой коммуникации
13. Создание атмосферы доверительности и недостаточная информированность партнера являются условиями … экспрессивной коммуникации ритуальной коммуникации убеждающей коммуникации суггестивной коммуникации познавательной коммуникации
14. В процессе общения мы используем три сферы нашей деятельности: интеллектуальную, волевую., мотивационную интеллектуальную, коммуникативную, эмоциональную поведенческую, мотивационную, когнитивную интеллектуальную, эмоциональную, поведенческую
18. Метод ведения переговоров, базирующийся на анализе аргументов и контраргументов партнера, настройке на него,стремлении понять его позицию,- это… метод интеграции вариационный метод метод уравновешивания компромиссный метод
21. Период обоснования партнерами собственной точки зрения, а также осмысления и обсуждения позиции партнера – это фаза … аргументации и убеждения концентрации установления контакта закрепления результата и завершения контакта подготовки анализа
25. Стереотип восприятия, заключающийся в том, что человек склонен переоценивать личность партнера, если тот превосходит его хотя бы по одному значимому для него параметру называется эффект первого впечатления эффект отношения к наблюдателю эффектом превосходства
26. Коммуникация, в результате которой происходит подчинение партнера своей цели через устойчивое изменение его установок и ценностных ориентаций называется Суггестивная Познавательная Экспрессивная Убеждающая Ритуальная
30. По предмету общения выделяют следующие виды делового общения:… свободное, собственно деловое, игровое, ритуальное речевое (вербальное), неречевое (невербальное), комбинированное личностно ориентированное, социально ориентированное приказ, беседе, совещание, переговоры, отчет соотнесенное, соподчиненное необходимое, желательное, нейтральное, нежелательное
31. Стиль речи, характеризующийся понятийной точностью и нейтральной лексикой, требующий предварительного обдумывания высказывания и очень строгого отбора языковых средств, называется … научным художественным публицистическим разговорным официально-деловым
32. По направленности или ориентированности выделяют следующие виды делового общения:… соотнесенное, соподчиненное речевое (вербальное), неречевое (невербапьное), комбинированное приказ, беседе, совещание, переговоры, отчет личностно ориентированное, социально ориентированное необходимое, желательное, нейтральное, нежелательное свободное, собственно деловое, игровое, ритуальное
33. Деловой этикет — это … наука о формах общения в обществе наука о поведение людей установленный порядок делового поведения в обществе поступки и формы общения людей, основанные на нравственности, эстетическом вкусе и соблюдении определенных норм и правил
40. Экстраверты в процессе делового общения … всегда идут на риск, импульсивны и несдержанны в общении стараются отгородиться от обилия информации, ориентируется только на собственные установки активны, деятельны, легко вступают в общение длительное время обдумывают принятие решения, сильно зависят на мнения коллег
43. Бессознательная, невольная подверженность человека определенным психическим состояниям, которая проявляется через передачу определенного эмоционального состояния или психологического настроя, — это … заражение убеждение подражание самопредставление внушение (суггестия)
46. Конфликт, возникший в результате борьбы за ограниченные ресурсы в организации между различными (формальными и неформальными) группами, называется … межличностным межгрупповым внутриличностным конфликтом по горизонтали смешанным конфликтом по вертикали
47. Форма делового общения в группе, предполагающая сочетание слабой настойчивости руководства и сильного стремления к сохранению хороших отношений с работниками, — это … приспособление взаимодействие взаимовыгода самоустранение конкуренция
48. Деловое общение — это … *межличностное (доверительно-неформальное) общение друзей, когда можно затронуть любую тему и необязательно прибегать к помощи слов — друг поймет вас и по выражению лица, движениям, интонации *общение, направленное на извлечение выгоды от собеседника, с использованием разных приемов (лесть, запугивание, «пускание пыли в глаза», обман, демонстрация доброты) в зависимости от особенностей личности собеседника *общение, при котором учитываются особенности личности, характера, возраста, настроения собеседника, но интересы дела более значимы, чем возможные личностные расхождения
49. Стиль делового общения в конфликте, в результате которого преобладают поиск путей для вовлечения всех участников в процесс разрешения конфликта и стремление к удовлетворению нужд всех, называется … уклонением сотрудничеством компромиссом соперничеством
63. Период снятия у партнера психического напряжения и снижения возможности внутреннего сопротивления – это фаза … подготовки установления контакта концентрации анализа аргументации и убеждения закрепления результата и завершения контакта
64. В форме бесед, митингов, рекламы, брифингов, пресс-конференций, тренингов осуществляется … познавательная коммуникация убеждающая коммуникация экспрессивная коммуникация суггестивная коммуникация ритуальная коммуникация
68. Повторение изложения просьбы, обоснование причины неудовлетворения просьбы и констатация отказа или отклонения предложения составляют содержание … письма-ответа письма-просьбы служебного письма-запроса сопроводительного письма
69. Переговоры с целью обеспечения возможности контактировать с партнером в будущем благодаря максимальному удовлетворению его интересов — это … исследовательские переговоры светские переговоры компромиссные переговоры справедливые переговоры
71. Прием управления коммуникацией, заключающийся в использовании обобщенных словосочетаний с целью побуждения партнера наполнять услышанную фразу своим смыслом — … «Право без права выбора» «Трюизм» «Переформирование» «Переход» «Номинализация»
72. Закон, в соответствии с которым люди часто автоматически, бессознательно повторяют движения и мимику друг друга, будучи эмоционально включенными в общение, называется … законом коммуникации этическим законом общения законом «отзеркаливания» законом «психологической подстройки»
73. «На межличностное взаимодействие оказывают сильное влияние представления, усвоенные в раннем детстве, и конфликты, пережитые в этот период жизни» — это утверждение соответствует … Отметьте правильный вариант ответа: теории управления впечатлениями психоаналитической теории теории обмена теории символического интеракционизма
80. Зона общения, предназначенная для самых близких, вызывающих доверие людей, с которыми можно легко перейти к телесному контакту, называется … суперинтимной (0-15 см) интимной (до 45-50 см) социальной (до 2,5 м) публичной (более 2,5 м) л ичной (до 1,5 м)
84. Аудиальному восприятию соответствуют слова:… «Ситуация настолько понятна, что нет смысла даже обсуждать это. Давайте лучше обсудим план, чтобы обеспечить согласованность действий» «Перспектива развития данного проекта слишком расплывчата, и я не вижу необходимости его развивать» «Мне тяжело смириться с обострением ситуации, возникшим в нашем коллективе. Сейчас мне так необходима теплота и поддержка»
85. Признаки: знание общих вопросов, деталей, объективные критерии оценки — или отсутствие понимания проблемы дефицит фактического материала, субъективные суждения, соответствуют критерию оценки поведения участников переговоров … конструктивная позиция — незаинтересованная позиция компетентность — некомпетентность готовность вести переговоры — или отсутствие интереса к переговорам готовность — нежелание пойти навстречу партнеру
87. Художественно оформленная пространственная среда и опора на традиции и нормы являются условиями … ритуальной коммуникации суггестивной коммуникации убеждающей коммуникации познавательной коммуникации экспрессивной коммуникации
89. В форме бесед, дискуссий, переговоров, п резентаци й, пресс-конференций, напутствий осуществляется экспрессивная коммуникация познавательная коммуникация суггестивная коммуникация ритуальная коммуникация убеждающая коммуникация
92. Прием управления коммуникацией, заключающийся в использовании утверждений-банальностей с целью перехода от конкретного явления к обобщению — … «Переход» 2) «Трюизм» «Номинализация» «Переформирование» «Право без права выбора»
96. Психологическая культура включает три элемента: познание себя, познание другого человека, саморегуляцию поведения коммуникативную компетентность, знание психологии людей, этичность познание другого человека, познание механизмов психологического воздействия, познание механизмов манипулирования познание себя, оценка своих сильных и слабых сторон, способности самопрезентации
97. Признаки: обдумывание контраргументов, способность изменить свою позицию, новая ориентация — игнорирование контраргументов, отстаивание своей позиции, упрямство соответствуют критерию оценки поведения участников переговоров … готовность вести переговоры — или отсутствие интереса к переговорам готовность – нежелание пойти навстречу партнеру конструктивная позиция — незаинтересованная позиция компетентность — некомпетентность

106 . Признаки: выдвижение различных вариантов при изменении условий — упорствование в своем мнении соответствуют критерию оценки поведения участников переговоров … гибкость — отсутствие гибкости аргументированность — голословность высказываний интегративность мышления — консервативность мышления. концентрация на теме – отклонение от темы

2. Визуальному восприятию соответствуют слова: … «Мне тяжело смириться с обострением ситуации, возникшим в нашем коллективе. Сейчас мне так необходима теплота и поддержка» «Ситуация настолько понятна, что нет смысла даже обсуждать это. Давайте лучше обсудим план, чтобы обеспечить согласованность действий» «Перспектива развития данного проекта слишком расплывчата, и я не вижу необходимости его развивать»
3. Способ ведения переговоров, допускающий установление строгих правил, режима, регламентации, способа подачи апелляций, а также контроль за соблюдением всего этого – это… жесткий компромисс жесткое давление скрытый компромисс мягкое давление
10. Прием управления коммуникацией, заключающийся в использовании слов, имеющих значение условия, с целью исключения пауз между предложениями — … «Переформирование» «Переход» «Номинализация» «Право без права выбора» «Трюизм»
11. Признаки: заинтересованность, оптимизм, чувство ответственности — или сдержанность, скептическое отношение, тактика проволочек, соответствуют критерию оценки поведения участников переговоров … готовность – нежелание пойти навстречу партнеру конструктивная позиция — незаинтересованная позиция компетентность — некомпетентность готовность вести переговоры — или отсутствие интереса к переговорам
17. Зона общения, предназначенная для общения с малознакомыми, неблизкими людьми (особенно, если интерес к ним отсутствует), называется … социальной (до 2,5 м) публичной (более 2,5 м) интимной (до 45-50 см) суперинтимной (0-15 см) личной (до 1,5 м)
18. Люди взаимодействуют друг с другом на основе своего опыта, взвешивая возможное вознаграждение и затраты – это утверждение соответствует … теории обмена теории символического интеракционизма теории управления впечатлениями психоаналитической теории
21. Кинестетическому восприятию соответствуют слова: … «Ситуация настолько понятна, что нет смысла даже обсуждать это. Давайте лучше обсудим план, чтобы обеспечить согласованность действий» «Перспектива развития данного проекта слишком расплывчата, и я не вижу необходимости его развивать» «Мне тяжело смириться с обострением ситуации, возникшим в нашем коллективе. Сейчас мне так необходима теплота и поддержка»
22. Понятие «деловой флирт» подразумевает под собой построение окрашенных положительными эмоциями деловых отношений … между руководителем и подчиненным с партнером противоположного пола с партнером, независимо от его пола между сотрудниками одного ранга
28. Коммуникации, направленные на достижение какой-то предметной договоренности и опосредованные конкретной целью, — это … светские коммуникации деловые коммуникации межличностные коммуникации формальные коммуникации
30. Поведение людей по отношению друг к другу и к предметам окружающего мира определяется значениями, которые они им придают – это утверждение соответствует … теории символического интеракционизма теории обмена теории управления впечатлениями психоаналитической теории
36. Способ ведения переговоров, предполагающий распределение ролей, позиций и приоритетов, разделение ответственности, выбор типа дальнейших взаимоотношений – это… жесткий компромисс жесткое давление скрытый компромисс мягкое давление
38. В форме совещаний, семинаров, докладов, отчетов, сообщений, лекций, конференций осуществляется … убеждающая коммуникация познавательная коммуникация ритуальная коммуникация экспрессивная коммуникация суггестивная коммуникация
43. Прием управления коммуникацией, заключающийся том, чтобы в процессе беседы быстро переставить акценты, изменяя оценку состояния партнера на прямо противоположную — … «Право без права выбора» «Трюизм» «Переформирование» «Переход» «Номинализация»
47. Период сосредоточения внимания на содержании проблемы, целях, задачах участников общения, а также сбора информации, касающейся предмета общения – это фаза … аргументации и убеждения анализа закрепления результата и завершения контакта установления контакта подготовки концентрации
51. Этика делового общения – это … *система этических ценностей, которые признаются человеком *учение о морали и нравственности в деловом общении, о взаимоотношениях деловых партнеров *важнейший способ нормативной регуляции общественных отношений, общения и поведения людей в самых различных сферах общественной жизни *процесс взаимодействия общественных субъектов, социальных групп, общностей или личностей, в котором происходит обмен информацией, опытом, способностями и результатами деятельности
56. Интеллектуальное воздействие на сознание личности через обращение к ее собственному критическому суждению, построенное на том, чтобы с помощью логического обоснования добиться согласия от партнера, принимающего информацию, – это … самопредставление заражение подражание убеждение внушение (суггестия)
57. Стиль делового общения в конфликте, в результате которого преобладает стремление к одностороннему выигрышу, к победе, к удовлетворению собственных интересов, называется … сотрудничеством уклонением соперничеством компромиссом
59. Форма делового общения в группе, при котором руководство стремиться реализовать свои подходы, стараясь сотрудничать со всеми членами организации, – это … взаимодействие самоустранение конкуренция компромисс приспособление
60. Форма делового общения в группе, когда человек не проявляет настойчивость и не стремиться к поиску путей сотрудничества с несогласными работниками, – это … конкуренция компромисс взаимодействие самоустранение приспособление
61. Стиль делового общения в конфликте, если конфликт не затрагивает прямых интересов сторон или возникшая проблема не столь важна для сторон и у них нет нужды отстаивать свои права, называется … сотрудничеством компромиссом уклонением соперничеством
62. По преобладанию тех или иных средств выделяют следующие виды делового общения: … свободное, собственно деловое, игровое, ритуальное необходимое, желательное, нейтральное, нежелательное речевое (вербальное), неречевое (невербальное), комбинированное соотнесенное, соподчиненное приказ, беседе, совещание, переговоры, отчет личностно ориентированное, социально ориентированное
64. Объявление своих целей и предъявление свидетельств своей компетентности и квалификации для того, чтобы быть оцененным по достоинству и благодаря этому, например, получить преимущества на выборах, при назначении на должность – это … самопредставление заражение убеждение внушение (суггестия) подражание
65. Эмоционально-волевое, целенаправленное неаргументированное воздействие одного партнера на другого, при котором осуществляется процесс передачи информации, основанный на ее некритическом восприятии, – это … подражание самопредставление убеждение внушение (суггестия) заражение
68. Опора на личностную мотивацию партнера и его интеллектуально-эмоциональную сферу происходит при … экспрессивной коммуникации суггестивной коммуникации убеждающей коммуникации ритуальной коммуникации познавательной коммуникации
71. Характерной чертой … общения является то, что другого человека оценивают как нужный или мешающий объект, а если получили от собеседника желаемое, то теряют дальнейший интерес к нему и не скрывают этого примитивного делового духовного формально-ролевого

Запись опубликована 12. 03.2021 автором reshenie-testov-mti в рубрике Тесты Синергия.Сайт работает на WordPress коммуникативных навыков | Cadre Раздел 4: Навыки общения В этом разделе вы найдете: Три компонента связи Отправка сообщений Вербальные сообщения Невербальные сообщения Паравербальные сообщения Важность согласованности ПОЛУЧЕНИЕ СООБЩЕНИЙ Слушание Уделение полного физического внимания говорящему Осведомленность о невербальных сообщениях говорящего Обращение внимания к словам и чувствам Навыки рефлексивного слушания Дополнительные средства вербальной коммуникации ПРЕПЯТСТВИЯ ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОЙ КОММУНИКАЦИИ Барьеры вербального общения Барьеры невербального общения Вернуться к оглавлению КОММУНИКАТИВНЫЕ НАВЫКИ разговор. Когда отношения работают, акт общения, кажется, протекает относительно легко. Когда отношения ухудшаются, акт общения может быть таким же разочаровывающим, как восхождение на песчаную горку». — Чип Роуз, адвокат и посредник Три компонента коммуникации На ежедневной основе мы работаем с людьми, которые имеют разные мнения, значения, беливы и потребности. наш. Наша способность обмениваться идеями с другими, понимать точки зрения других, решать проблемы и успешно использовать шаги и процессы, представленные в этом тренинге, будет в значительной степени зависеть от того, насколько эффективно мы способны общаться с другими. Акт общения включает вербальные, невербальные и паравербальные компоненты. Вербальный компонент относится к содержанию нашего сообщения‚ выбору и расположению наших слов. Невербальный компонент относится к сообщению, которое мы посылаем через язык нашего тела. Паравербальный компонент относится к тому, как мы говорим то, что говорим: к тону, темпу и громкости наших голосов. Чтобы эффективно общаться, мы должны использовать все три компонента, чтобы делать две вещи: 1. Отправлять четкие, лаконичные сообщения. 2. Слышать и правильно понимать сообщения, которые кто-то нам отправляет. Коммуникация включает три компонента: 1. устные сообщения — Слова, которые мы выбираем 2. Паравербальные сообщения — Как говорим слова 3. Невербальные сообщения — Наш. язык тела Эти три компонента используются для: 1. Отправлять четкие, лаконичные сообщения 2. Получать и правильно понимать сообщения , отправленные нам. ОТПРАВКА СООБЩЕНИЙ Устные сообщения Наше использование языка создает огромную силу в той атмосфере, которая позволяет решать проблемы за столом. Критические, обвиняющие, осуждающие или обвинительные слова, как правило, создают сопротивляющееся и оборонительное мышление, которое не способствует продуктивному решению проблем. С другой стороны, мы можем подобрать слова, которые нормализуют вопросы и проблемы и уменьшают сопротивление. Такие фразы, как «в некоторых районах люди могут …», «нередко для …» и «для некоторых людей в подобных ситуациях» являются примерами этого. Отправка эффективных сообщений требует, чтобы мы излагали нашу точку зрения как можно короче и емче. Слушать бессвязного, неорганизованного говорящего утомительно и обескураживающе — зачем продолжать слушать, когда нет обмена? Длинные рассуждения и окольные объяснения сбивают с толку слушателя, и сообщение теряет свою конкретность, актуальность и воздействие. Это ваша возможность помочь слушателю понять ВАШУ перспективу и точку зрения. Подбирайте слова, чтобы сделать ваше сообщение максимально ясным, избегая жаргона и ненужной, второстепенной информации. Эффективные словесные сообщения: 1. являются краткими, лаконичными и организованными 2. свободны от жаргона 3. Не создайте сопротивление у слушателя 3. Не создайте сопротивление у слушателя 3. Невербальные сообщения Нельзя недооценивать силу невербального общения. В своей книге « Безмолвные сообщения » профессор Альберт Мехрабян говорит, что сообщения, которые мы посылаем через нашу позу, жесты, выражение лица и пространственное расстояние, составляют 55% того, что воспринимается и понимается другими. На самом деле посредством языка тела мы всегда общаемся, хотим мы того или нет! Вы не можете не общаться. Невербальные сообщения являются основным способом передачи эмоций: Выражение лица : Лицо, возможно, является самым важным средством передачи эмоциональной информации. Лицо может светиться энтузиазмом, энергией и одобрением, выражать смущение или скуку, хмуриться от недовольства. Глаза особенно выразительны при телеграфировании радости, печали, гнева или замешательства. Позы и жесты : Позы нашего тела могут создать ощущение теплой открытости или холодного отторжения. Например, когда кто-то стоит перед нами, спокойно сидя, свободно сложив руки на коленях, создается ощущение предвкушения и интереса. Поза со скрещенными на груди руками выражает чувство негибкости. Действия по сбору материалов и дотягиванию до кошелька сигнализируют о желании закончить разговор. Невербальные сообщения: 1. Составляют около 55% того, что воспринимается и понимается другими. 2. Передаются через наше выражение лица, а также позы и жесты. Паравербальные сообщения Паравербальное общение относится к сообщениям, которые мы передаем с помощью тона, высоты тона и темпа нашего голоса. Это , как мы что-то говорим, , а не , что мы говорим. Профессор Меграбян утверждает, что паравербальное сообщение составляет примерно 38% того, что кому-то сообщается. Предложение может передавать совершенно разные значения в зависимости от ударения слов и тона голоса. Например, утверждение «Я не говорил, что ты глупый» имеет шесть разных значений, в зависимости от того, на каком слове делается ударение. Некоторые моменты, которые следует помнить о нашем паравербальном общении: Когда мы злимся или взволнованы, наша речь становится более быстрой и высокой. Когда нам скучно или мы подавлены, наша речь замедляется и становится монотонной. Когда мы защищаемся, наша речь часто бывает резкой. Паравербальные сообщения: 1. Составляют около 38% того, что воспринимают и понимают другие. 2. Включить тон, высоту тона и темп нашего голоса Важность последовательности Во всех наших сообщениях мы стремимся посылать последовательные вербальные, паравербальные и невербальные сообщения. Когда наши сообщения непоследовательны, слушатель может запутаться. Непоследовательность может также привести к отсутствию доверия и подорвать возможность построить хорошие рабочие отношения. Когда человек отправляет сообщение с противоречивой вербальной, паравербальной и невербальной информацией, невербальной информации, как правило, верят. Рассмотрим пример человека, который через сжатые челюсти, жесткие глаза и стальной голос говорит вам, что он не сумасшедший. Чему вы, скорее всего, поверите? Что вы видите или что вы слышите? ПОЛУЧЕНИЕ СООБЩЕНИЙ Прослушивание Ключом к эффективному получению сообщений является прослушивание. Слушание — это сочетание умения слышать то, что говорит другой человек, и психологической вовлеченности говорящего. Чтобы слушать, нужно больше, чем просто слышать слова. Это требует желания понять другого человека, отношения уважения и принятия, а также готовности открыть свой разум, чтобы попытаться увидеть вещи с точки зрения другого человека. Слушание требует высокого уровня концентрации и энергии. Это требует, чтобы мы отложили в сторону собственные мысли и планы, поставили себя на место другого и попытались увидеть мир глазами этого человека. Истинное слушание требует, чтобы мы воздерживались от осуждения, оценки и одобрения в попытке понять систему отсчета, эмоции и отношения другого человека. Слушать, чтобы понять, действительно трудная задача! Часто люди беспокоятся, что, если они внимательно и терпеливо слушают человека, который говорит что-то, с чем они не согласны, они непреднамеренно посылают сообщение о согласии. Когда мы внимательно слушаем, мы получаем информацию, которая помогает понять проблему так, как ее видит другой человек. Мы лучше понимаем восприятие другого человека. Ведь истина субъективна и зависит от восприятия. Когда у нас есть более глубокое понимание восприятия другого человека, согласны мы с ним или нет, мы держим ключ к пониманию мотивации, отношения и поведения этого человека. У нас есть более глубокое понимание проблемы и возможных путей достижения согласия. Слушание 1. Требуется концентрация и энергия 2. Включает психологическую связь с 3. Включает желание и готовность. вещи с точки зрения другого 4. Требует, чтобы мы воздерживались от суждения и оценки через них, чтобы найти человека, который раскрывается. Слушание — это поиск сокровища истинного человека, раскрытого вербально и невербально. Конечно, есть семантическая проблема. Слова имеют для вас другое значение, чем они. для меня. Следовательно, я никогда не могу сказать вам, что вы сказали, а только то, что я слышал. Мне придется перефразировать то, что вы сказали, и проверить это w с вами, чтобы удостовериться, что то, что покинуло ваш разум и сердце, прибыло в мой разум и сердце в целости и без искажений». — Джон Пауэлл, богослов Научиться быть эффективным слушателем — трудная задача для многих людей. Тем не менее, конкретные навыки эффективного слушания можно освоить. Наша конечная цель — интегрировать эти навыки в чувствительный и унифицированный способ слушания. Основные навыки слушания: Невербальные навыки: Уделение полного физического внимания говорящему; Осознание невербальных сообщений говорящего; Устно: Обратите внимание на слова и выражаемые чувства; Использование инструментов рефлексивного слушания, таких как перефразирование, размышление, подведение итогов и вопросы, чтобы улучшить понимание сообщения и помочь говорящему рассказать свою историю. Уделение полного физического внимания говорящему Посещение — это искусство и умение уделять полное физическое внимание другому человеку. В своей книге « Навыки работы с людьми » Роберт Болтон, доктор философии, называет это «слушанием всем телом». Эффективное посещение — это тщательный баланс бдительности и расслабления, который включает в себя соответствующие движения тела, зрительный контакт и «позу участия». Полное присутствие говорит говорящему: «То, что вы говорите, очень важно. Я полностью присутствую и намерен понять вас». Мы создаем позицию вовлеченности за счет: Осторожно наклонитесь к говорящему; Прямо лицом к другому человеку; Сохранение открытой позы с не скрещенными руками и ногами; Поддержание надлежащего расстояния между нами и говорящим; Движение тела в ответ на говорящего, т. е. соответствующее кивание головой, выражение лица. Как пишет психиатр Франклин Эрнст-младший в своей книге Кто слушает? «. «Слушать — значит двигаться. Слушать — значит быть взволнованным говорящим — физически и психологически… Неподвижный, немигающий человек может быть надежно оценен как не слушающий. .. Когда другие видимые движения прекратилось, а частота моргания упала до менее чем одного раза за шесть секунд, прослушивание в практических целях прекратилось». Осведомленность о невербальных сообщениях говорящего Когда мы обращаем внимание на язык тела говорящего, мы получаем представление о том, что он чувствует, а также об интенсивности чувств. Благодаря пристальному вниманию к языку тела и паравербальным сообщениям мы можем догадываться о том, что говорит говорящий (или слушатель). Затем мы можем, благодаря нашим навыкам рефлексивного слушания, проверить точность этих догадок, выражая своими словами наше впечатление от того, что сообщается. Внимание к словам и чувствам Для того чтобы понять полное значение сообщения, мы должны быть в состоянии понять как чувство , так и содержание сообщения. Нам часто удобнее иметь дело с содержанием, а не с чувствами (то есть отношениями), особенно когда чувства интенсивны. Наша тенденция состоит в том, чтобы попытаться игнорировать эмоциональный аспект сообщения/конфликта и перейти непосредственно к сути проблем. < 4.2 Типы невербального общения – общение в реальном мире Цели обучения Дать определение кинесике. Определение тактильных ощущений. Дайте определение вокалике. Определение проксемики. Дайте определение хронемии. Приведите примеры типов невербального общения, подпадающих под эти категории. Обсудите, как личная презентация и окружающая среда обеспечивают невербальные сигналы. Подобно тому, как вербальный язык подразделяется на различные категории, существуют также различные типы невербального общения. Когда мы узнаем о каждом типе невербального сигнала, имейте в виду, что невербальные сигналы часто работают согласованно друг с другом, комбинируясь, чтобы повторить, изменить или опровергнуть посылаемое вербальное сообщение. Kinesics Слово kinesics происходит от корня слова kinesis , что означает «движение» и относится к изучению движений рук, тела и лица. В частности, в этом разделе будет описано использование жестов, движений головы и позы, зрительного контакта и мимики в качестве невербальной коммуникации. Жесты Существует три основных типа жестов: адаптеры, эмблемы и иллюстраторы (Andersen, 1999). Адаптеры — это тактильное поведение и движения, которые указывают на внутренние состояния, обычно связанные с возбуждением или тревогой. Адаптеры могут быть нацелены на себя, объекты или других. В обычных социальных ситуациях адаптация возникает из-за беспокойства, беспокойства или общего ощущения, что мы не контролируем свое окружение. Многие из нас подсознательно щелкают ручками, трясут ногами или используют другие адаптеры во время занятий, собраний или в ожидании, чтобы сделать что-то с нашей избыточной энергией. Студенты, изучающие публичные выступления, которые смотрят видеозаписи своих выступлений, замечают невербальные адаптеры, о которых они не знали, что они их использовали. В ситуациях публичных выступлений люди чаще всего используют само- или объектно-ориентированные адаптеры. Обычные действия, связанные с прикосновением к себе, такие как почесывание, накручивание волос или ерзание пальцами или руками, считаются самоадаптирующими. Некоторые самоадаптеры проявляются внутренне, как кашель или звуки откашливания. Моя личная слабость — объектные адаптеры. В частности, я подсознательно тяготею к металлическим предметам, таким как канцелярские скрепки или скобы, которые скрепляют мои заметки, и ловлю себя на том, что сгибаю их или ерзаю ими во время разговора. Другие люди играют с маркерами, карточками для заметок, мелочью в карманах или на кафедре во время разговора. Использование адаптеров для предметов также может сигнализировать о скуке, когда люди играют с соломинкой в своем напитке или снимают этикетку с бутылки пива. Смартфоны стали обычными объектными адаптерами, поскольку люди могут возиться со своими телефонами, чтобы уменьшить тревогу. Наконец, как уже отмечалось, другие адаптеры более распространены в социальных ситуациях, чем в ситуациях публичных выступлений, учитывая расстояние говорящего от аудитории. Другие адаптеры включают в себя приспособление или уход за другими, подобно тому, как приматы, такие как шимпанзе, отрывают вещи друг от друга. Было бы определенно странно, если бы оратор подошел к слушателю и содрал с его или ее свитера ворсинки, починил кривой галстук, заправил бирку или погладил выбившиеся волосы посреди выступления. Эмблемы — это жесты, имеющие определенное согласованное значение. Они по-прежнему отличаются от знаков, используемых людьми с нарушениями слуха или другими людьми, которые общаются с помощью американского языка жестов (ASL). Несмотря на то, что они имеют общепринятое значение, они не являются частью формальной системы знаков, такой как ASL, которой явно обучают группу людей. Поднятый большой палец автостопщика, знак «ОК», когда большой и указательный пальцы соединены в круг, а остальные три пальца торчат вверх, и поднятый средний палец — все это примеры эмблем, которые имеют согласованное значение или значения с культурой. Эмблемы могут быть неподвижными или движущимися; например, вращение указательным пальцем вокруг головы говорит: «Он или она сошла с ума», или вращение руками перед собой снова и снова говорит: «Двигайся дальше». Точно так же, как мы можем проследить историю слова или его этимологию, мы можем также проследить происхождение некоторых невербальных сигналов, особенно эмблем. Поднятие указательного и среднего пальцев в форме буквы «V» ладонью внутрь — это оскорбительный жест в Британии, который в основном означает «подними свой». Этот жест восходит к тому времени, когда основным оружием войны были лук и стрелы. Когда лучники попадали в плен, их враги часто отрезали эти два пальца, что считалось высшим оскорблением и хуже, чем казнь, поскольку лучник больше не мог стрелять из лука и стрел. Таким образом, поднятие двух пальцев было провоцирующим жестом, используемым лучниками, чтобы показать своим врагам, что у них все еще есть стреляющие пальцы (Pease & Pease, 2004). Иллюстраторы являются наиболее распространенным типом жестов и используются для иллюстрации словесного сообщения, которое они сопровождают. Например, вы можете использовать жесты рук, чтобы указать размер или форму объекта. В отличие от эмблем, иллюстраторы обычно не имеют значения сами по себе и используются более подсознательно, чем эмблемы. Эти в значительной степени непроизвольные и кажущиеся естественными жесты исходят от нас, когда мы говорим, но различаются по интенсивности и частоте в зависимости от контекста. Хотя нас никогда специально не учат использовать иллюстративные жесты, мы делаем это автоматически. Подумайте о том, как вы все еще жестикулируете во время анимированного разговора по телефону, даже если другой человек вас не видит. Движения головы и поза Я объединяю движения головы и позу вместе, потому что они часто используются для признания других и выражения интереса или внимания. Что касается движений головы, кивок головы является универсальным знаком признания в культурах, где формальный поклон больше не используется в качестве приветствия. В этих случаях кивок головы по существу служит сокращенным поклоном. Врожденное и универсальное движение головы — это качание головой вперед и назад, сигнализирующее «нет». Этот невербальный сигнал начинается с рождения, еще до того, как ребенок узнает, что он имеет соответствующее значение. Младенцы качают головой из стороны в сторону, чтобы отвергнуть материнскую грудь, а затем качают головой, чтобы отвергнуть попытки кормления с ложки (Pease & Pease, 2004). Затем это биологически обоснованное движение остается с нами, чтобы быть узнаваемым сигналом «нет». Мы также двигаем головой, чтобы показать интерес. Например, поднятая голова обычно указывает на заинтересованное или нейтральное отношение, наклон головы указывает на интерес и является врожденным жестом подчинения, который обнажает шею и подсознательно заставляет людей чувствовать к нам больше доверия, а опущенная голова сигнализирует о негативном или агрессивном отношении. Пиз и Пиз, 2004). Существуют четыре основные позы человека: стоя, сидя, сидя на корточках и лежа (Hargie, 2011). В каждой из этих поз существует множество вариаций, и в сочетании с определенными жестами или другими невербальными сигналами они могут выражать множество различных значений. Большая часть нашего общения происходит, когда мы стоим или сидим. Одна интересная поза стоя включает в себя размещение рук на бедрах и является невербальным сигналом, который мы используем подсознательно, чтобы казаться крупнее и проявлять напористость. Когда локти направлены, это мешает другим так же легко пройти мимо нас и является признаком попытки доминирования или жестом, говорящим о том, что мы готовы к действию. С точки зрения сидения, откидывание назад показывает неформальность и безразличие, положение верхом на стуле является признаком доминирования (но также и некоторой неуверенности, поскольку человек защищает уязвимую переднюю часть своего тела), а наклон вперед показывает интерес и внимательность (Pease и Пиз, 2004). Зрительный контакт Мы также общаемся через зрительное поведение, в основном зрительный контакт. Хотя поведение глаз часто изучается в рамках категории кинесики, у них есть собственная ветвь невербальных исследований, называемая окулесикой, которая происходит от латинского слова oculus , что означает «глаз». Лицо и глаза находятся в центре внимания во время общения, и наряду с нашими ушами наши глаза воспринимают большую часть коммуникативной информации вокруг нас. Высказывание «Глаза — зеркало души» на самом деле верно с точки зрения того, где люди обычно думают, что другие «находятся», то есть прямо за глазами (Андерсен, 19).99). Определенное поведение глаз стало привязываться к личностным чертам или эмоциональным состояниям, о чем свидетельствуют такие фразы, как «голодные глаза», «злые глаза» и «глаза в спальне». Чтобы лучше понять окулесику, мы обсудим характеристики и функции зрительного контакта и расширения зрачка. Зрительный контакт выполняет несколько коммуникативных функций, начиная от регулирования взаимодействия и заканчивая мониторингом взаимодействия, передачей информации и установлением межличностных связей. С точки зрения регулирования общения, мы используем зрительный контакт, чтобы сигнализировать другим, что мы готовы говорить, или мы используем его, чтобы побудить других говорить. Я уверен, что все мы были в той неловкой ситуации, когда учитель задает вопрос, никто другой не предлагает ответа, и он или она смотрит прямо на нас, как бы говоря: «Что вы думаете?» В этом случае зрительный контакт учителя используется, чтобы побудить нас ответить. Во время взаимодействия зрительный контакт также меняется, когда мы переключаемся с говорящего на слушателя. Американцы обычно меняют зрительный контакт во время разговора — отводят взгляд от слушателя, а затем каждые несколько секунд оглядываются на его или ее лицо. Ближе к концу нашего выступления мы устанавливаем более прямой зрительный контакт с нашим слушателем, чтобы показать, что мы заканчиваем. Во время прослушивания мы склонны поддерживать более продолжительный зрительный контакт, не отводя взгляда так регулярно, как во время разговора (Martin & Nakayama, 2010). Помимо регуляции разговора, зрительный контакт также используется для наблюдения за взаимодействием, получения обратной связи и других невербальных сигналов, а также для отправки информации. Наши глаза передают визуальную информацию, необходимую нам для интерпретации движений, жестов и зрительного контакта людей. Говорящий может использовать зрительный контакт, чтобы определить, занята ли аудитория, смущена или ей скучно, а затем соответствующим образом адаптировать свое сообщение. Наши глаза также посылают информацию другим. Люди знают, что нельзя перебивать, когда мы глубоко задумались, потому что мы естественным образом отворачиваемся от других, когда обрабатываем информацию. Зрительный контакт с другими также сообщает, что мы обращаем внимание и заинтересованы в том, что говорит другой человек. Как мы узнаем из главы 5 «Слушание», зрительный контакт является ключевой частью активного слушания. Зрительный контакт также может быть использован для запугивания других. У нас есть социальные нормы относительно продолжительности зрительного контакта с людьми, и эти нормы различаются в зависимости от обстановки и человека. Взгляд на другого человека в некоторых контекстах может свидетельствовать о запугивании, а в других контекстах — о флирте. Как мы узнали, зрительный контакт — это ключ к непосредственному поведению, и он сигнализирует другим, что мы доступны для общения. Как только общение начинается, зрительный контакт помогает установить взаимопонимание или связь. Мы также можем использовать зрительный контакт, чтобы сигнализировать о том, что мы не хотим устанавливать связь с другими. Например, в общественном месте, таком как аэропорт или спортзал, где люди часто ведут светскую беседу, мы можем избегать зрительного контакта с другими, чтобы показать, что мы не хотим вступать в светскую беседу с незнакомцами. Однако другой человек может использовать зрительный контакт, чтобы попытаться уговорить вас заговорить. Например, когда один человек продолжает смотреть на другого человека, который не отвечает взаимностью на зрительный контакт, человек, избегающий зрительного контакта, может в конце концов сдаться, проявить любопытство или раздражение и сказать: «Могу ли я чем-нибудь вам помочь?» Как видите, зрительный контакт посылает и получает важные коммуникативные сообщения, которые помогают нам интерпретировать поведение других, передавать информацию о наших мыслях и чувствах, а также облегчать или препятствовать установлению взаимопонимания или связи. В этом списке рассматриваются конкретные функции зрительного контакта: Регулировать взаимодействие и подавать сигналы поворота Отслеживайте общение, получая невербальное общение от других Сигнальная когнитивная активность (мы отводим взгляд при обработке информации) Экспресс-вовлечение (мы показываем людям, что слушаем их глазами) Запугивание Экспресс флирт Установить взаимопонимание или связь Расширение зрачка — тонкий компонент окулесики, которому не уделяется столько внимания ученых при общении, сколько зрительному контакту. Расширение зрачка относится к расширению и сужению черной части центра наших глаз и считается биометрической формой измерения; это непроизвольно и поэтому рассматривается как действительная и надежная форма сбора данных, в отличие от самоотчетов об опросах или интервью, которые могут быть предвзятыми или вводящими в заблуждение. Наши зрачки расширяются при недостатке освещения и сужаются при его избытке (Guerrero & Floyd, 2006). Боль, сексуальное влечение, общее возбуждение, тревога/стресс и обработка информации (мышление) также влияют на расширение зрачка. Исследователи измеряют расширение зрачка по ряду причин. Например, рекламодатели используют расширение зрачков как индикатор потребительских предпочтений, предполагая, что большее расширение указывает на возбуждение и влечение к продукту. Мы не считываем сознательно расширение зрачков других людей в наших повседневных взаимодействиях, но экспериментальные исследования показали, что мы подсознательно воспринимаем расширение зрачков, что влияет на наши впечатления и общение. В целом расширенные зрачки повышают привлекательность человека. Даже если мы не осознаем этот тонкий невербальный сигнал, у нас есть социальные нормы и практики, которые могут подсознательно основываться на расширении зрачка. Возьмем, к примеру, понятие декоративного освещения и обычную практику создания «романтической» атмосферы при свечах или свете камина. Более мягкий и непрямой свет приводит к расширению зрачков, и хотя мы намеренно манипулируем освещением, чтобы создать романтическую атмосферу, а не расширять зрачки, расширенные зрачки все же воспринимаются подсознательно, что усиливает восприятие привлекательности (Andersen, 19). 99). Выражение лица Наши лица — самая выразительная часть нашего тела. Подумайте о том, как фотографии часто предназначены для того, чтобы запечатлеть определенное выражение лица «в мгновение ока», чтобы сохранить его для последующего просмотра. Несмотря на то, что фотография представляет собой снимок во времени, мы все же можем интерпретировать многое из человеческого лица, пойманного в момент выражения, а основные выражения лица узнаваемы людьми во всем мире. Многие исследования подтверждают универсальность основной группы выражений лица: счастья, печали, страха, гнева и отвращения. Первые четыре особенно узнаваемы в разных культурах (Андерсен, 1999). Однако триггеры для этих выражений и культурные и социальные нормы, влияющие на их проявления, по-прежнему культурно разнообразны. Если вы провели много времени с младенцами, вы знаете, что они способны выражать все эти эмоции. Возможность увидеть чистые и врожденные выражения радости и удивления на лице ребенка — вот что делает игру в прятки такой увлекательной для взрослых. По мере того, как мы становимся старше, мы учимся и начинаем следовать правилам отображения мимики и других сигналов эмоций, а также учимся лучше контролировать свое эмоциональное выражение на основе норм нашей культуры. Улыбки — это мощные коммуникативные сигналы и, как вы помните, ключевой момент поведения. Хотя выражения лица обычно считаются врожденными, а некоторые из них общеузнаваемы, они не всегда связаны с эмоциональным или внутренним биологическим стимулом; на самом деле они могут служить более социальной цели. Например, большинство улыбок, которые мы производим, предназначены в первую очередь для других, а не просто непроизвольное отражение внутреннего эмоционального состояния (Андерсен, 1999). Эти социальные улыбки, однако, немного, но ощутимо отличаются от более искренних улыбок. Люди обычно воспринимают улыбки как более искренние, когда другой человек улыбается «глазами». Этот конкретный тип улыбки трудно, если вообще возможно, подделать, потому что мышцы вокруг глаз, которые активируются, когда мы спонтанно или искренне улыбаемся, не находятся под нашим произвольным контролем. Именно непроизвольное и спонтанное сокращение этих мышц приводит в движение кожу вокруг наших щек, глаз и носа, создавая улыбку, которая отличается от фальшивой или вежливой улыбки (Evans, 2001). Люди способны различать эти улыбки, поэтому фотографы часто шутят со взрослыми или используют реквизит с детьми, чтобы вызвать искреннюю улыбку перед тем, как сделать снимок. Мы узнаем больше о компетентном кодировании и декодировании выражений лица в Разделе 4.3 «Компетентность в невербальной коммуникации» и Разделе 4.4 «Невербальная коммуникация в контексте», но поскольку вы, вероятно, произносите речи в этом классе, давайте узнаем о роли лицо в публичных выступлениях. Выражение лица помогает задать эмоциональный тон речи. Чтобы задать позитивный тон, прежде чем начать говорить, кратко посмотрите на аудиторию и улыбнитесь, чтобы продемонстрировать дружелюбие, открытость и уверенность. Помимо вашего вступительного и приветственного выражения лица, выражения лица передают ряд эмоций и могут использоваться для вывода о чертах характера и суждений о достоверности и компетентности говорящего. Выражение лица может сообщить, что говорящий устал, взволнован, зол, сбит с толку, разочарован, грустен, уверен в себе, самодовольен, застенчив или скучает. Например, даже если вам не скучно, вялое лицо с небольшой анимацией может привести аудиторию к мысли, что вам надоела ваша речь, что вряд ли вызовет у них интерес. Поэтому убедитесь, что выражение вашего лица передает эмоции, настроение или личностные черты, которые, по вашему мнению, будут благосклонно восприняты вашей аудиторией и которые помогут вам достичь целей речи. Также убедитесь, что выражение вашего лица соответствует содержанию вашей речи. Когда вы говорите что-то беззаботное или юмористическое, улыбка, яркие глаза и слегка приподнятые брови невербально усиливают ваше вербальное сообщение. Когда вы говорите что-то серьезное или мрачное, нахмуренные брови, сжатый рот и даже легкий кивок головы могут усилить это сообщение. Если ваши выражения лица и содержание речи не совпадают, ваша аудитория может быть сбита с толку смешанными сообщениями, что может привести к тому, что они усомнятся в вашей честности и достоверности. Тактильные ощущения Подумайте о том, как прикосновение может утешить кого-то в минуту печали, когда одни слова не могут этого сделать. Этой положительной силе прикосновения противостоит потенциальная угроза прикосновения из-за его связи с сексом и насилием. Чтобы узнать о силе прикосновения, мы обратимся к тактильным ощущениям, которые относятся к изучению общения посредством прикосновения. Вероятно, мы получаем более подробные советы и инструкции о том, как использовать прикосновение, чем любую другую форму невербального общения. Отсутствие невербальной коммуникативной компетенции, связанной с прикосновением, может иметь негативные межличностные последствия; например, если мы не последуем совету, который нам дали о важности крепкого рукопожатия, человек может вынести негативное суждение о нашей уверенности или надежности. Недостаток компетентности может иметь более тяжелые негативные последствия, включая юридическое наказание, если мы прикасаемся к кому-то неподобающим образом (преднамеренно или непреднамеренно). Прикосновение необходимо для социального развития человека, и оно может быть приветственным, угрожающим или убеждающим. Исследовательские проекты показали, что студенты более положительно оценивали библиотеку и ее сотрудников, если библиотекарь кратко прикасался к посетителю, возвращая его или ее читательский билет, что официанты-женщины в ресторане получали более крупные чаевые, когда они касались посетителей, и что люди с большей вероятностью подписывали прошение, когда проситель прикасался к ним во время их взаимодействия (Андерсен, 1999). Существует несколько типов прикосновений, в том числе функционально-профессиональные, социально-вежливые, дружеские-теплые, любовно-близкие и сексуально-возбуждающие прикосновения (Heslin & Apler, 1983). На функционально-профессиональном уровне прикосновение связано с целью или частью рутинного профессионального взаимодействия, что делает его менее опасным и более ожидаемым. Например, мы позволяем парикмахерам, парикмахерам, врачам, медсестрам, татуировщикам и охранникам прикасаться к нам способами, которые в противном случае считались бы интимными или неуместными, если бы не в профессиональном контексте. На социально-вежливом уровне социально санкционированное прикосновение помогает инициировать взаимодействие и показать, что другие участвуют и уважают. Рукопожатие, похлопывание по руке и по плечу — примеры вежливых прикосновений. На самом деле рукопожатие — это сокращенный жест рукопожатия, но мы знаем, что продолжительное рукопожатие было бы сочтено слишком интимным и, следовательно, неуместным на функционально-профессиональном или социально-вежливом уровне. На функционально-профессиональном и социально-вежливом уровнях прикосновение по-прежнему имеет значение для межличностных отношений. Прикосновения, хотя и профессиональные и не интимные, между парикмахером и клиентом или между медсестрой и пациентом, могут быть терапевтическими и утешительными. Кроме того, социально-вежливый обмен прикосновениями играет роль в формировании первоначального впечатления, которое может иметь важные последствия для развития взаимодействия и отношений. Конечно, прикосновения важны и на более интимном уровне. На уровне дружбы-теплоты прикосновение важнее и неоднозначнее, чем на уровне социально-вежливого. На этом уровне сенсорные взаимодействия важны, потому что они служат цели поддержания отношений и сообщают о близости, симпатии, заботе и заботе. Типы прикосновений на этом уровне также сильно различаются: от более формальных и ритуализированных до более интимных, что означает, что друзьям иногда приходится договариваться о своем собственном уровне комфорта с различными типами прикосновений, и они могут столкнуться с некоторой двусмысленностью, если их предпочтения не совпадают с их отношениями. партнера. Например, в дружбе слишком много прикосновений может сигнализировать о сексуальном или романтическом интересе, а слишком мало прикосновений может сигнализировать о отдалении или недружелюбии. На уровне любви-близости прикосновения носят более личный характер и обычно обмениваются только между значимыми людьми, такими как лучшие друзья, близкие члены семьи и романтические партнеры. Прикосновения к лицам, рукопожатия и полные объятия — примеры прикосновений на этом уровне. Хотя этот уровень прикосновения не является сексуальным, он усиливает чувство близости и близости и может привести к прикосновению сексуального возбуждения, которое является наиболее интимной формой прикосновения, поскольку оно предназначено для физической стимуляции другого человека. Прикосновение также используется во многих других контекстах, например, во время игры (например, армрестлинг), во время физического конфликта (например, пощечина) и во время разговора (например, чтобы привлечь чье-то внимание) (Jones, 1999). Мы также непреднамеренно отправляем сообщения через случайное прикосновение (например, наткнувшись на кого-то). Одна из моих профессоров по межличностному общению призналась, что ей нравилось ходить в рестораны, чтобы наблюдать за «поведением на первом свидании», и хвасталась, что может предсказать, будет ли второе свидание, основываясь на невербальном общении пары. Какое трогательное поведение указывает на хорошее или плохое первое свидание? Во время первого свидания или менее формальных начальных взаимодействий быстрые мимолетные прикосновения свидетельствуют о заинтересованности. Например, похлопывание по спине — это сокращенное объятие (Andersen, 1999). В общем, наличие или отсутствие прикосновения подсказывает нам эмоции людей. Так как партнеры сидят напротив друг друга, один человек может слегка похлопать другого по руке после того, как он или она сказал что-то смешное. Если партнеры сидят рядом, один человек может скрестить ноги и наклониться к другому человеку так, чтобы колени или ступни каждого человека время от времени соприкасались. Прикосновение как способ выражения чувств часто бывает взаимным. За легким прикосновением одного датера последует легкое прикосновение другого, что указывает на то, что первое прикосновение было в порядке. Хотя вербальное общение также может использоваться для обозначения романтического интереса, многие люди чувствуют себя слишком уязвимыми на этом раннем этапе отношений, чтобы выразить что-то словами. Если ваше свидание немного передвинулось, а вы не заинтересованы, также маловероятно, что вы сразу же выйдете и скажете: «Извините, но мне это не очень интересно». Вместо этого, из-за распространенных ритуалов вежливости, вы, скорее всего, отреагируете другими формами невербального общения, например, отступите назад, скрестите руки или просто не подтвердите прикосновение. Я нахожу поведение, связанное с объятиями, особенно интересным, возможно, из-за того, что я росла в очень благоприятной для объятий среде на юге Соединенных Штатов, а затем жила в другом месте, где существуют другие нормы. Объятия могут быть обязательными, что означает, что вы делаете это, потому что чувствуете, что должны, а не потому, что хотите. Даже если вы думаете, что этот тип объятий не передает эмоции, это определенно так. Вялое, слабое или отступающее объятие может свидетельствовать о гневе, амбивалентности или раздражении. Подумайте о других видах объятий и о том, как вы обнимаете разных людей. Некоторые типы объятий — это объятия крест-накрест, объятия за шею и поглощающие объятия (Флойд, 2006). Объятие крест-накрест — довольно типичное объятие, при котором рука каждого человека находится ниже или выше руки другого человека. Это объятие распространено среди друзей, романтических партнеров, членов семьи и, возможно, даже коллег. Объятие за шею и талию обычно происходит в более интимных отношениях, поскольку оно включает в себя руки одного человека вокруг шеи другого и руки другого человека вокруг талии другого. Я думаю об этом типе объятий как о «медленных танцевальных объятиях». Поглощающее объятие похоже на медвежье объятие в том смысле, что один человек полностью обнимает другого, в то время как этот человек в основном стоит там. Такое поведение с объятиями обычно происходит, когда кто-то очень взволнован и без предупреждения обнимает другого человека. Некоторые другие типы объятий — это «сначала встряхните, а потом коснитесь» и «похлопайте по спине». Я замечаю, что эти объятия чаще всего между мужчинами. Объятие «сначала встряхните, а затем коснитесь» включает в себя модифицированное рукопожатие, при котором руки больше соединены большим и указательным пальцами, чем ладонями, а локти согнуты так, что дрожание происходит между грудями двух обнимающих. Объятие происходит после того, как рукопожатие было начато, когда одна рука обнимает другого человека, как правило, всего одно касание, затем шаг назад и рукопожатие отпускают. В этом поведении с объятиями рукопожатие, которое поддерживается между сундуками, сводит к минимуму физическую близость и близость, которую можно интерпретировать из перекрестного или поглощающего объятия, когда соприкасается большинство туловищ обнимающих. Этот отход от физической близости, вероятно, связан с американской нормой, которая ограничивает физическое выражение привязанности мужчинами из-за гомофобии или беспокойства о том, что их будут воспринимать как геев. Объятие пощечины также является менее физически интимным объятием и включает в себя объятие, когда один или оба человека неоднократно хлопают другого человека по спине, часто во время разговора друг с другом. Я видел, как этот тип объятий длится много секунд и с разной степенью силы, связанной с пощечиной. Когда пощечина больше похожа на постукивание, это на самом деле признак того, что один человек хочет отпустить. Видеозапись того, как тогдашний президент Билл Клинтон обнимал Монику Левински, которая появилась после расследования обвинений в том, что у них был роман, показывает, что она держалась, в то время как он постукивал с самого начала объятий. «Критика» Обыски в аэропорту: закон, конфиденциальность и прикосновения Каждый, кто летал за последние десять лет, сталкивался с неуклонным увеличением количества проверок на предмет безопасности. После терактов 11 сентября 2001 г. в аэропортах по всему миру повысилась безопасность. В то время как пассажиры уже давно подвергаются обыску, если они срабатывают с помощью металлоискателя или вызывают подозрения, недавно раскрытые террористические заговоры сделали досмотр пассажиров более личным. «Бомбардировщик обуви» привел к обязательному снятию обуви и досмотру, а недавнее использование неметаллических взрывчатых веществ, спрятанных в одежде или в полостях тела, привело к использованию сканеров тела, которые могут видеть сквозь одежду для поиска скрытых объектов (Thomas, 2011). . Протесты и беспокойство по поводу сканеров тела, более известных в просторечии как «голые рентгеновские аппараты», привели к новым методам «усиленного обыска» для пассажиров, которые отказываются проходить сканеры, или пассажиров, которые выбираются случайным образом или вызывают подозрения. другими способами. Ожидается сильная реакция, учитывая то, что мы узнали о силе прикосновения как формы невербального общения. Новые обыски обычно включают касание областей вокруг груди и/или гениталий пассажира скользящим движением руки. Управление транспортной безопасности (TSA) отмечает, что обследуемые области не изменились, но изменилась степень прикосновения, поскольку досмотрщики теперь нажимают и растирают более сильно, но раньше использовали более легкие прикосновения (Kravitz, 2010). Интересно, что полиция уже давно может использовать более инвазивные обыски, но только при наличии вероятной причины. В случае случайного выбора в аэропорту не требуется соблюдения положения о вероятной причине, что дает агентам TSA больше свободы действий, чем полицейским. Эксперты по авиационной безопасности по-разному оценивают значение обысков и других процедур обеспечения безопасности. Несколько экспертов призвали пересмотреть процесс случайного отбора в пользу более целенаправленных проверок. То, что организации по защите гражданских прав критикуют как расовое профилирование, говорят активисты по защите прав потребителей и некоторые эксперты по безопасности, позволяет более эффективно использовать ресурсы и меньше неудобств для большинства пассажиров (Thomas, 2011). Хотя TSA внесла некоторые изменения в процедуры проверки безопасности и объявила о дальнейших действиях, некоторые пассажиры сами вызвали негативную реакцию. Было несколько случаев, когда пассажиры раздевались до нижнего белья или полностью раздевались в знак протеста против обысков, в то время как нескольким другим пассажирам было предъявлено обвинение в нападении за «ощупывание» агентов TSA в отместку. Видеозаписи обысков малышей и бабушек в инвалидных колясках, а также загруженные самими людьми видеоролики, в которых люди рассказывают о своем опыте обысков, стали вирусными на YouTube. Какие ограничения, по вашему мнению, должны быть на использование осязания в процедурах досмотра в аэропорту? В июне 2012 года пассажирке было предъявлено обвинение в нанесении побоев после того, как она «нащупала» начальника службы безопасности, чтобы, как она утверждает, продемонстрировать обращение, которое она получила во время проверки. Вы можете прочитать больше об этой истории и посмотреть видео здесь: — статья-1.1098521. Считаете ли вы, что ее действия мы оправдали? Почему или почему нет? Считаете ли вы, что более целенаправленная проверка, в отличие от случайных проверок, при которых каждый человек имеет равные шансы быть выбранным для усиленного обыска, является хорошей идеей? Почему? Как вы думаете, можно ли рассматривать такой целенаправленный отбор как случай неэтичного расового профилирования? Почему или почему нет? Вокал Ранее мы узнали, что параязык относится к вокализованным, но невербальным частям сообщения. Вокалика — это изучение параязыка, которое включает в себя вокальные качества, сопровождающие вербальные сообщения, такие как высота тона, громкость, скорость, качество голоса и вербальные наполнители (Андерсен, 19).99). Тон помогает передать смысл, регулировать ход разговора и передать интенсивность сообщения. Даже младенцы узнают предложение с более высоким окончанием как вопрос. Мы также узнаем, что приветствия имеют восходящий акцент, а прощания — нисходящий. Конечно, никто никогда не говорит нам об этом прямо; мы изучаем их через наблюдение и практику. Мы не улавливаем некоторые более тонкие и/или сложные паттерны параязыка, включающие высоту звука, пока не станем старше. Дети, например, с трудом воспринимают сарказм, который обычно передается через паралингвистические характеристики, такие как высота и тон, а не через произносимые слова. Взрослые с интеллектом ниже среднего и дети с трудом улавливают сарказм в голосе другого человека и вместо этого могут буквально интерпретировать то, что они говорят (Андерсен, 19 лет). 99). Параязык обеспечивает важный контекст для вербального содержания речи. Например, громкость помогает передать интенсивность. Более громкий голос обычно считается более интенсивным, хотя тихий голос в сочетании с определенным тоном и выражением лица может быть столь же интенсивным. Обычно мы регулируем громкость в зависимости от настроек, расстояния между людьми и отношений. В наш век компьютерного общения ВВОД ЗАГЛАВНЫМИ БУКВАМИ обычно считается оскорбительным, поскольку приравнивается к крику. Низкий голос или шепот могут быть очень уместны при отправке скрытого сообщения или флирта с романтическим партнером, но это не повысит авторитет человека, если использовать его во время профессиональной презентации. Скорость речи определяет, насколько быстро или медленно говорит человек, и может заставить других составить впечатление о нашем эмоциональном состоянии, достоверности и интеллекте. Как и в случае с громкостью, изменения в темпе речи могут мешать другим воспринимать и понимать устные сообщения. Медленно говорящий может утомить других и отвлечь их внимание. За быстрым говорящим может быть трудно следить, а быстрая подача может отвлекать от сообщения. Однако говорить немного быстрее обычных 120–150 слов в минуту может быть полезно, поскольку люди, как правило, находят говорящих со скоростью выше среднего более надежными и умными (Buller & Burgoon, 19).86). Говоря быстрее, чем обычно, важно, чтобы говорящий четко формулировал и произносил свои слова. Бумхауэр, персонаж сериала «Царь горы », является примером говорящего, чья быстрая скорость речи в сочетании с отсутствием артикуляции и произношения создает поток слов, понятный только ему. Более высокая скорость речи в сочетании с приятным тоном голоса также может способствовать достижению согласия и убеждению. Тембром нашего голоса можно в некоторой степени управлять с помощью высоты тона, громкости и акцента, но каждый голос имеет особое качество, известное как вокальный почерк. Голоса различаются по резонансу, высоте и тону, и некоторые голоса более приятны, чем другие. Люди обычно находят приятные голоса, которые используют вокальное разнообразие, не монотонны, имеют более низкий тон (особенно для мужчин) и не демонстрируют особого регионального акцента. Многие люди негативно воспринимают гнусавые голоса и приписывают им негативные личностные характеристики (Андерсен, 1999). Подумайте о людях, у которых очень отчетливый голос. Будь то общественный деятель, такой как президент Билл Клинтон, знаменитость, такая как Снуки из Шор Джерси , или вымышленный персонаж, такой как Питер Гриффин из Гриффины , голоса некоторых людей остаются с нами и производят благоприятное или неблагоприятное впечатление. Вербальные наполнители — это звуки, которые заполняют пробелы в нашей речи, когда мы думаем о том, что сказать дальше. Они считаются частью невербального общения, потому что они не похожи на типичные слова, которые заменяют определенное значение или значения. Вербальные наполнители, такие как «гм», «э-э», «нравится» и «а-а», распространены в обычном разговоре и обычно не мешают. Как мы узнали ранее, использование вербальных наполнителей может помочь человеку «держать слово» во время разговора, если ему нужно сделать паузу, чтобы подумать, прежде чем продолжить вербальное общение. Вербальные наполнители в более формальной обстановке, такой как публичное выступление, могут подорвать доверие к говорящему. Ниже приводится обзор различных коммуникативных функций вокалистов: Повторение. Вокальные сигналы усиливают другие вербальные и невербальные сигналы (например, высказывание «Я не уверен» неуверенным тоном). Дополнение. Вокальные реплики уточняют или модифицируют вербальное и невербальное значение (например, высота и громкость, используемые в выражении «Я люблю сладкий картофель», добавляют контекст к смыслу предложения, например, степени, в которой человек любит сладкий картофель, или использование сарказма). Акцентирование. Вокальные реплики позволяют нам выделять определенные части сообщения, что помогает определить смысл (например, « Она моя подруга», или «Она моя подруга », или «Она моя подруга »). Замена. Вокальные сигналы могут заменять другие вербальные или невербальные сигналы (например, фраза «ага» вместо «я слушаю и понимаю, что вы говорите»). Регулирование. Вокальные сигналы помогают регулировать ход разговора (например, понижение высоты тона и замедление темпа речи обычно указывают на окончание речевого оборота). Противоречие. Вокальные сигналы могут противоречить другим вербальным или невербальным сигналам (например, человек может сказать «Я в порядке» быстрым коротким тоном, что указывает на обратное). Проксемика Проксемика относится к изучению влияния пространства и расстояния на общение. Нам достаточно взглянуть на то, как пространство проявляется в общих метафорах, чтобы увидеть, что пространство, коммуникация и отношения тесно связаны. Например, когда мы довольны кем-то и привлечены к кому-то, мы говорим, что мы «близки» к нему или к ней. Когда мы теряем связь с кем-то, мы можем сказать, что он или она «далеки». В целом пространство влияет на то, как люди общаются и ведут себя. Небольшие пространства с более высокой плотностью людей часто приводят к нарушениям наших личных космических пузырей. Если это обстановка, в которой такой тип плотности ожидается заранее, например, на многолюдном концерте или в поезде в час пик, тогда мы вносим различные коммуникативные корректировки, чтобы решить проблему пространства. Неожиданные нарушения личного пространства могут привести к негативным реакциям, особенно если мы чувствуем, что кто-то нарушил наше пространство добровольно, а это означает, что ситуация скопления людей не вынудила их войти в наше пространство. Кроме того, исследования показали, что скопление людей может привести к преступному или делинквентному поведению, известному как «менталитет толпы» (Andersen, 19).99). Чтобы лучше понять, как проксемика функционирует в невербальной коммуникации, мы более подробно рассмотрим проксемические дистанции, связанные с личным пространством и концепцией территориальности. Proxemic Distances У всех нас есть разные определения того, что такое наше «личное пространство», и эти определения контекстуальны и зависят от ситуации и отношений. Хотя наши пузыри невидимы, люди социализированы в соответствии с нормами личного пространства в рамках своей культурной группы. Ученые выделили четыре зоны для американцев США: публичная, социальная, личная и интимная дистанция (Hall, 19).68). Зоны скорее эллиптические, чем круглые, и занимают больше места спереди, где находится линия нашего обзора, чем сбоку или сзади, где мы не можем следить за тем, что делают люди. Вы можете увидеть, как эти зоны соотносятся друг с другом и с человеком на рисунке 4.1 «Проксемические зоны личного пространства». Даже внутри определенной зоны взаимодействие может различаться в зависимости от того, находится кто-то во внешней или внутренней части зоны. Рисунок 4.1 Проксимальные зоны личного пространства Общественное пространство (12 футов и более) Общественные и социальные зоны относятся к пространству в четырех или более футах от нашего тела, и общение, которое обычно происходит в этих зонах, носит формальный, а не интимный характер. Общественное пространство начинается примерно в двенадцати футах от человека и простирается оттуда. Это наименее личная из четырех зон и обычно используется, когда человек произносит официальную речь и удаляется от аудитории, чтобы аудитория могла видеть, или когда высокопоставленный или влиятельный человек, такой как знаменитость или руководитель, поддерживает такое расстояние как знак силы или по соображениям безопасности. Что касается регулярного взаимодействия, мы часто не обязаны и не ожидаем, что будем признавать или взаимодействовать с людьми, которые входят в нашу общественную зону. Было бы трудно вести глубокий разговор с кем-то на этом уровне, потому что вы должны говорить громче и не иметь физической близости, которая часто необходима для обеспечения эмоциональной близости и/или установления взаимопонимания. Социальное пространство (4–12 футов) Общение, которое происходит в социальной зоне, которая находится на расстоянии от четырех до двенадцати футов от нашего тела, обычно происходит в контексте профессионального или случайного общения, но не интимного или публичного. Это расстояние предпочтительнее во многих профессиональных условиях, потому что оно снижает подозрения в любых нарушениях. Выражение «держать кого-то на расстоянии вытянутой руки» означает, что кого-то держат вне личного пространства и держат в социальном/профессиональном пространстве. Если бы два человека подняли руки и встали так, что соприкасались бы только кончики пальцев, они бы находились примерно в четырех футах друг от друга, что воспринимается как безопасное расстояние, поскольку возможности преднамеренного или непреднамеренного прикосновения не существует. Также возможно иметь людей во внешней части нашей социальной зоны, но не чувствовать себя обязанными взаимодействовать с ними, но когда люди подходят к нам намного ближе, чем на шесть футов, мы часто чувствуем себя обязанными, по крайней мере, признать их присутствие. Во многих классных комнатах типичного размера большая часть вашей аудитории для выступления на самом деле будет в вашей социальной зоне, а не в вашей общественной зоне, что на самом деле полезно, потому что помогает вам установить лучшую связь с ними. Студенты в больших лекционных классах должны подумать о том, чтобы сидеть в социальной зоне профессора, поскольку студенты, которые сидят в этой зоне, с большей вероятностью запомнятся профессором, будут признаны в классе и сохранят больше информации, потому что они находятся достаточно близко, чтобы воспринимать. важные невербальные и визуальные сигналы. Студенты, которые разговаривают со мной после уроков, обычно стоят на расстоянии четырех-пяти футов, когда они разговаривают со мной, что удерживает их во внешней части социальной зоны, типичной для профессионального взаимодействия. Когда у студентов появляется больше личной информации для обсуждения, они подходят ближе, что приводит их во внутреннюю часть социальной зоны. Личное пространство (1,5–4 фута) Личная и интимная зоны относятся к пространству, которое начинается у нашего физического тела и простирается на четыре фута. Эти зоны зарезервированы для друзей, близких знакомых и других значимых лиц. Большая часть нашего общения происходит в личной зоне, которую мы обычно называем нашим «пузырем личного пространства» и которая простирается от 1,5 до 4 футов от нашего тела. Даже если мы приближаемся к физическому телу другого человека, мы можем использовать словесное общение в этот момент, чтобы показать, что наше присутствие в этой зоне носит дружественный, а не интимный характер. Даже людям, которые знают друг друга, может быть неудобно проводить слишком много времени в этой зоне без необходимости. Эта зона разбита на две подзоны, что помогает нам договариваться о тесном взаимодействии с людьми, с которыми мы, возможно, не близки в межличностных отношениях (Маккей, Дэвис и Фаннинг, 19).95). Внешне-личная зона простирается от 2,5 футов до 4 футов и полезна для разговоров, которые должны быть конфиденциальными, но происходят между людьми, которые не являются близкими людьми. Эта зона обеспечивает относительно близкое общение, но не передает той близости, которую могло бы обеспечить более близкое расстояние, что может быть полезно в профессиональной обстановке. Внутренняя личностная зона простирается от 1,5 футов до 2,5 футов и представляет собой пространство, предназначенное для общения с людьми, с которыми мы близки или пытаемся познакомиться. В этой подзоне мы можем легко коснуться другого человека во время разговора с ним, ненадолго положив руку на его или ее руку или участвуя в других легких социальных прикосновениях, которые способствуют разговору, самораскрытию и ощущению близости. Интимное пространство Когда мы нарушаем невидимую линию, которая находится в 1,5 футах от нашего тела, мы входим в интимную зону, которая предназначена только для самых близких друзей, семьи и романтических/интимных партнеров. Невозможно полностью игнорировать людей, когда они находятся в этом пространстве, даже если мы пытаемся сделать вид, что игнорируем их. Нарушение этого пространства может быть утешительным в одних контекстах и раздражающим или пугающим в других. Нам нужен регулярный человеческий контакт, не только словесный, но и физический. Мы уже обсуждали важность прикосновения в невербальном общении, и для того, чтобы это столь необходимое прикосновение произошло, люди должны войти в наше интимное пространство. Быть рядом с кем-то и ощущать его физическое присутствие может быть очень утешительно, когда слова не помогают. Существуют также социальные нормы относительно степени такого рода близости, которую можно демонстрировать на публике, поскольку некоторым людям становится неудобно даже видеть, как другие взаимодействуют в интимной зоне. В то время как некоторым людям комфортно участвовать или наблюдать, как другие участвуют в PDA (публичных проявлениях привязанности), другим это не нравится. Так что же происходит, когда наше пространство нарушается? Хотя эти зоны хорошо известны в исследованиях личных предпочтений американцев в отношении пространства, люди различаются по своей реакции на людей, входящих в определенные зоны, и определение того, что представляет собой «нарушение» пространства, является субъективным и контекстуальным. Например, присутствие другого человека в наших социальных или общественных зонах обычно не вызывает подозрений или негативных физических или коммуникативных реакций, но может в некоторых ситуациях или с определенными людьми. Однако многие ситуации приводят к тому, что наше личное и интимное пространство нарушаются другими против нашей воли, и эти нарушения, скорее всего, расстроят, даже когда они ожидаются. Нам всем приходилось заходить в переполненный лифт или стоять в длинной очереди. В таких ситуациях мы можем полагаться на некоторое устное общение, чтобы уменьшить безотлагательность и показать, что мы не заинтересованы в близости и знаем, что нарушение произошло. Люди комментируют толпу, говоря: «Мы действительно набиты здесь, как сардины», или используют юмор, чтобы показать, что они приятны, хорошо приспособлены и чувствуют себя неловко из-за нарушения, как любой «нормальный» человек. Интересно, что, как мы узнаем из нашего обсуждения территориальности, мы не часто используем вербальное общение для защиты своего личного пространства во время обычных взаимодействий. Вместо этого мы больше полагаемся на невербальное общение, такое как движение, скрещивание рук или избегание зрительного контакта, чтобы справиться с нарушениями пространства. Территориальность Территориальность — это врожденное стремление занимать и защищать пространство. Это стремление разделяют многие существа и сущности, начиная от стай животных и заканчивая отдельными людьми и нациями. Будь то территория банды, район, на который претендует конкретный продавец, предпочитаемое вами место для сидения в ресторане, ваша обычная парта в классе или место, которое вы отметили как экономное при получении уступок на спортивном мероприятии, мы утверждаем, что пространства как наши собственные. Существует три основных подразделения территории: первичное, вторичное и общественное (Hargie, 2011). Иногда наши претензии на пространство носят официальный характер. Эти пространства известны как наши основные территории, потому что они отмечены или считаются исключительно нашими и находятся под нашим контролем. Дом человека, двор, комната, письменный стол, край кровати или полка в аптечке могут считаться первичными территориями. Второстепенные территории не принадлежат нам и не находятся исключительно под нашим контролем, но они связаны с нами, что может привести нас к предположению, что пространство будет открыто и доступно для нас, когда нам это нужно, без нашего взятия дальнейшие шаги, чтобы зарезервировать его. Это происходит в классах регулярно. Студенты часто сидят за той же партой или, по крайней мере, в том же месте, что и в первый день занятий. В первые пару недель могут быть небольшие корректировки, но к месяцу семестра я не замечаю, чтобы студенты добровольно двигались. Когда кто-то другой занимает обычную парту студента, он или она, как правило, раздражаются. Я наблюдаю в классе за ассистентами-выпускниками, которых я курирую, что означает, что я прихожу в класс к середине семестра и сажусь сзади, чтобы оценить занятие в классе. Хотя я не собираюсь занимать чье-то место, меня не раз встречали растерянные или даже сверкающие глаза студента, чья рутина внезапно прерывалась, когда они видели, что я сижу на «своем месте». Общественные территории открыты для всех людей. Людям разрешается отмечать общественную территорию и использовать ее в течение ограниченного периода времени, но пространство часто находится в свободном доступе, что затрудняет управление общественным пространством для некоторых людей и может привести к конфликту. Чтобы избежать подобных ситуаций, люди используют различные объекты, которые обычно распознаются другими как невербальные сигналы, обозначающие место как временно зарезервированное, например куртки, сумки, бумаги или напитки. Однако есть некоторая двусмысленность в использовании маркеров. Полупустая чашка кофе может быть воспринята как мусор и выброшена, что станет неприятным сюрпризом для человека, который оставил ее, чтобы отметить свой столик во время посещения туалета. Неофициальные наблюдения одного ученого показали, что полный напиток, стоящий на столе, может зарезервировать место в университетской столовой более чем на час, но чашка, заполненная лишь наполовину, обычно служит маркером территории менее чем на десять минут. Люди должны решить, какую ценность они хотят, чтобы их маркер имел. Очевидно, что оставление ноутбука на столе указывает на то, что стол занят, но это также может привести к краже ноутбука. Карандаш, с другой стороны, можно было просто убрать с дороги, и пространство было узурпировано. Хрономика Хрономика относится к изучению того, как время влияет на общение. Время можно разделить на несколько различных категорий, включая биологическое, личное, физическое и культурное время (Andersen, 1999). Биологическое время относится к ритмам живых существ. Люди следуют циркадному ритму, а это означает, что мы находимся в суточном цикле, который влияет на то, когда мы едим, спим и просыпаемся. Когда наши естественные ритмы нарушаются из-за бессонных ночей, смены часовых поясов или других аномалий в расписании, может пострадать наше физическое и психическое здоровье, наша способность к общению и личные отношения. Помните о биологическом времени, когда общаетесь с другими. Помните, что ранние утренние разговоры и речи могут потребовать большей подготовки, чтобы вы достаточно проснулись, чтобы хорошо общаться, и более терпеливой или энергичной речи, чтобы приспособиться к другим, которые, возможно, все еще разогреваются перед своим днем. Личное время относится к тому, как люди воспринимают время. То, как мы воспринимаем время, зависит от нашего настроения, уровня нашего интереса и других факторов. Подумайте о том, как быстро проходит время, когда вы чем-то интересуетесь и поэтому занимаетесь чем-то. Я вел пятидесятиминутные занятия, которые, казалось, тянулись вечность, и трехчасовые занятия, которые пролетали незаметно. Люди также различаются в зависимости от того, ориентированы ли они на будущее или прошлое. Люди с ориентацией на прошлое могут захотеть вспомнить о прошлом, воссоединиться со старыми друзьями и посвятить много времени сохранению воспоминаний и сувениров в альбомах для вырезок и фотоальбомах. Люди с ориентацией на будущее могут тратить одинаковое количество времени на составление карьерных и личных планов, составление списков дел или изучение будущих отпусков, потенциальных мест выхода на пенсию или книгу, которую они собираются прочитать следующей. Физическое время относится к фиксированным циклам дней, лет и сезонов. Физическое время, особенно времена года, может влиять на наше настроение и психологическое состояние. Некоторые люди испытывают сезонное аффективное расстройство, которое приводит к эмоциональному стрессу и беспокойству при смене времен года, прежде всего от теплого и яркого к темному и холодному (лето к осени и зиме). Культурное время относится к тому, как большая группа людей смотрит на время. Полихронные люди не рассматривают время как линейную прогрессию, которую необходимо разделить на маленькие части и запланировать заранее. Полихронные люди придерживаются более гибкого графика и могут заниматься несколькими делами одновременно. Монохронические люди склонны более жестко планировать свое время и делать одно дело за раз. Полихроническая или монохронная ориентация во времени влияет на нашу социальную реальность и на то, как мы взаимодействуем с другими. Кроме того, то, как мы используем время, в некоторой степени зависит от нашего статуса. Например, врачи могут заставлять своих пациентов ждать в течение длительного периода времени, а руководители и знаменитости могут постоянно отставать от графика, заставляя других ждать их. Оперативность и количество времени, которое является социально приемлемым для опоздания и ожидания, варьируется в зависимости от человека и контекста. Хрономика также охватывает количество времени, которое мы тратим на разговоры. Мы уже узнали, что разговорные обороты и модели очередности зависят от социальных норм и помогают нашему разговору развиваться. Мы все знаем, как раздражает, когда человек доминирует в разговоре или когда мы не можем заставить человека что-то сделать. Личное представление и окружающая среда Личное представление включает в себя два компонента: наши физические характеристики и артефакты, которыми мы украшаем и окружаем себя. Физические характеристики включают форму тела, рост, вес, привлекательность и другие физические особенности нашего тела. У нас нет такого контроля над кодированием этих невербальных сигналов, как над многими другими аспектами невербальной коммуникации. Как отмечалось в главе 2 «Коммуникация и восприятие», эти характеристики играют большую роль в формировании первоначального впечатления, хотя мы знаем, что «не должны судить о книге по ее обложке». Хотя идеалы привлекательности различаются в зависимости от культуры и человека, исследования неизменно показывают, что люди, которых считают привлекательными на основании физических характеристик, имеют явные преимущества во многих аспектах жизни. Этот факт, наряду с изображениями в средствах массовой информации, которые часто отражают нереалистичные идеалы красоты, способствовал буму индустрии красоты и здоровья, диеты, тренажерного зала и пластической хирургии. В то время как были некоторые спорные реалити-шоу, которые стремятся изменить физические характеристики людей, например, Экстремальный макияж , Лебедь и Самый большой неудачник , относительная легкость, с которой мы можем изменить артефакты, которые посылают невербальные сигналы о нас, привела ко многим другим показам стиля и преобразования пространства. Пытались ли вы когда-нибудь сознательно изменить свой «внешний вид»? Я отчетливо помню два раза в своей жизни, когда я вносила довольно большие изменения в то, как я представляла себя с точки зрения одежды и аксессуаров. В старших классах, в разгар повального увлечения «комиссионными магазинами», я начал ежедневно носить одежду из местного секонд-хенда. Конечно, большинство из них были старой одеждой, поэтому я в основном стремился к «ретро» образу, который, как мне казалось, действительно подходил мне в то время. Затем, на первом курсе колледжа, когда наконец-то на горизонте замаячил выпускной и я почувствовала, что вступаю в новую стадию взрослой жизни, я начала каждый день носить в школу деловую повседневную одежду, придерживаясь философии «одевайся для работы, которую хочешь». В обоих случаях эти изменения определенно повлияли на то, как меня воспринимали другие. Телевизионные программы типа Что не носить стремятся показать силу гардероба и изменения личного стиля в том, как люди общаются с другими. Помимо одежды, украшения, боди-арт, прически и другие политические, социальные и культурные символы посылают другим сообщения о том, кто мы есть. В Соединенных Штатах пирсинг и татуировки за последние несколько десятилетий превратились из субкультуры в мейнстрим. Физическое расположение, размер и количество татуировок и пирсинга играют большую роль в том, считаются ли они подходящими для профессионального контекста, и многие люди с татуировками и/или пирсингом делают сознательный выбор в отношении того, когда и где они будут демонстрировать свое боди-арт. Волосы также посылают сообщения, находятся ли они на нашей голове или на нашем теле. Мужчины с короткими волосами обычно считаются более консервативными, чем мужчины с длинными волосами, но мужчины с бритыми головами могут рассматриваться как агрессивные. Независимо от того, есть ли у человека пробор в волосах, ирокез, искусственный ястреб, конский хвост, кудри или ярко-розовые волосы, он также посылает невербальные сигналы другим. Ювелирные изделия также могут отправлять сообщения с разной степенью прямого смысла. Кольцо на «безымянном пальце» левой руки человека обычно указывает на то, что он женат или состоит в иных серьезных отношениях. Кольцо на большом пальце или кольцо правой руки на «безымянном пальце» не передает такого прямого сообщения. Люди также украшают свою одежду, тело или вещи религиозными или культурными символами, такими как крест, указывающий на христианскую веру человека, или радужный флаг, указывающий на то, что человек является геем, лесбиянкой, бисексуалом, трансгендером, гомосексуалистом или союзником одного из них. или более из этих групп. Теперь люди носят различные типы резиновых браслетов, которые стали популярной формой социального маркетинга, чтобы показать, что они отождествляют себя с движением «Livestrong», или поддержать осведомленность о раке груди и исследования. Наконец, среда, в которой мы взаимодействуем, влияет на наше вербальное и невербальное общение. Это включено, потому что мы часто можем манипулировать невербальной средой так же, как мы манипулируем нашими жестами или тоном голоса, чтобы удовлетворить наши коммуникативные потребности. Книги, которые мы кладем на журнальный столик, журналы, которые доктор хранит в своей приемной, свежие цветы в фойе или кусочек мятного шоколада на подушке в гостиничной кровати, — все это посылает определенные сообщения и может быть легко воспринято. измененный. Размещение предметов и мебели в физическом пространстве может помочь создать формальную, отдаленную, дружелюбную или интимную атмосферу. С формальной точки зрения, мы можем использовать невербальную коммуникацию для передачи доминирования и статуса, что помогает определить и согласовать власть и роли в отношениях. Модные автомобили и дорогие часы могут служить символами, отличающими генерального директора от сотрудника начального уровня. Комната с мягким освещением, небольшой фонтан, создающий окружающие звуки текущей воды, и удобное кресло могут облегчить взаимодействие между терапевтом и пациентом. Таким образом, знаем мы это или нет, наши физические характеристики и артефакты, которые нас окружают, многое сообщают друг другу. «Подключение к сети» Аватары Аватары — это сгенерированные компьютером изображения, которые представляют пользователей в онлайн-среде или создаются для взаимодействия с пользователями в онлайн- и оффлайн-ситуациях. Аватары могут быть созданы по подобию людей, животных, инопланетян или других нечеловеческих существ (Allmendinger, 2010). Аватары различаются по функциональности и технической сложности и могут включать в себя стационарные изображения, такие как значки друзей, мультяшные, но похожие на человека анимации, такие как персонаж Mii на Wii, или очень похожие на человека анимации, предназначенные для обучения или помощи людям в виртуальной среде. Совсем недавно трехмерные голографические аватары стали помогать путешественникам в аэропортах Парижа и Нью-Йорка (Strunksy, 2012; Tecca, 2012). Исследования показали, однако, что человекоподобные аватары влияют на людей, даже если они не сложны с точки зрения функциональности и адаптивности (Baylor, 2011). Аватары особенно мотивируют и влияют, когда они похожи на наблюдателя или пользователя, но более точно представляют идеальное «я» человека. Внешний вид был отмечен как один из наиболее важных атрибутов аватара, предназначенный для влияния или мотивации. Было показано, что привлекательность, крутость (с точки зрения одежды и прически) и возраст являются факторами, которые увеличивают или уменьшают влияние аватара на пользователей (Baylor, 2011). Люди также создают свои собственные аватары в различных онлайн-средах, от ролевых онлайн-игр, таких как World of Warcraft и Second Life , до некоторых онлайн-систем управления обучением, используемых колледжами и университетами. Исследования показывают, что грань между реальностью и виртуальной реальностью может стать размытой, когда дело доходит до дизайна и идентификации аватара. Это может стать еще более заметным, если учесть, что некоторые пользователи, особенно в ролевых онлайн-играх, проводят около двадцати часов в неделю в качестве своего аватара. Аватары не просто представляют людей в сетевых мирах; они также влияют на их поведение в автономном режиме. Например, одно исследование показало, что люди, которые смотрели аватар, который выглядел так, как будто они тренируются и худели в онлайн-среде, больше тренировались и питались более здоровой пищей в реальном мире (Fox & Bailenson, 2009). Увидев их старую версию в Интернете, участники установили более конкретную социальную и психологическую связь со своими будущими «я», что побудило их вложить больше денег в пенсионный счет. Действия людей в сети также отражают ожидания в отношении определенных физических характеристик, даже если пользователь не демонстрирует эти характеристики и не может выбрать их для своего аватара. Например, экспериментальные исследования показали, что люди, использующие более привлекательные аватары, были более экстравертными и дружелюбными, чем те, у кого менее привлекательные аватары, что также является невербальным паттерном общения, существующим среди реальных людей. Таким образом, люди имеют возможность самостоятельно выбирать физические характеристики и личное представление для своих аватаров так, как они не могут в реальной жизни. Люди начинают видеть свои аватары как часть самих себя, что открывает для аватаров возможность влиять на онлайн- и оффлайн-общение пользователей (Kim, Lee, & Kang, 2012). Опишите аватар, который вы создали для себя. Что привело вас к созданию аватара таким образом, и как, по вашему мнению, ваш выбор отражает вашу типичную невербальную самопрезентацию? Если бы вы никогда не создавали аватар, каким бы вы его сделали и почему? В 2009 году мужчина в Японии стал первым человеком, который женился на известном нам аватаре. Хотя он утверждает, что его аватар лучше, чем любая человеческая девушка, его критиковали за оторванность от реальности. Вы можете прочитать больше об этом союзе человека и аватара по следующей ссылке: http://articles.cnn.com/2009-12-16/мир/japan.virtual.wedding_1_virtual-world-sal-marry?_s=PM:МИР. Как вы думаете, границы между человеческой реальностью и фантазией аватара будут продолжать стираться по мере того, как мы становимся более технологически слитым миром? Как вы относитесь к большему взаимодействию с аватарами в ситуациях обслуживания клиентов, таких как упомянутый выше аватар в аэропорту? Что вы думаете о том, чтобы иметь аватаров в качестве наставников, образцов для подражания или учителей? Ключевые выводы Каталожные номера Аллмендингер, К., «Социальное присутствие в синхронных ситуациях виртуального обучения: роль невербальных сигналов, отображаемых аватарами», Обзор психологии образования 22, вып. 1 (2010): 42. Andersen, PA, Невербальная коммуникация: формы и функции (Mountain View, CA: Mayfield, 1999), 36. Бейлор, А. Л., «Дизайн мотивационных агентов и аватаров», Исследования и разработки в области образовательных технологий 59, вып. 2 (2011): 291–300. Буллер, Д. Б. и Джуди К. Бургун, «Влияние вокала и невербальной чувствительности на соблюдение», Human Communication Research 13, вып. 1 (1986): 126–44. Эванс, Д., Эмоции: наука о чувствах (Нью-Йорк: Oxford University Press, 2001), 107. Флойд, К., Передача привязанности: межличностное поведение и социальный контекст (Кембридж: издательство Кембриджского университета, 2006), 33–34. Фокс, Дж. и Джереми М. Бейленсон, «Виртуальное самомоделирование: влияние заместительного подкрепления и идентификации на поведение при выполнении упражнений», Media Psychology 12, no. 1 (2009 г.): 1–25. Герреро, Л.К. и Кори Флойд, Невербальное общение в близких отношениях (Махва, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум, 2006): 176. Hall, ET, «Proxemics», Current Anthropology 9, no. 2 (1968): 83–95. Hargie, O., Квалифицированное межличностное взаимодействие: исследования, теория и практика , 5-е изд. (Лондон: Routledge, 2011), 63. . Хеслин, Р. и Тари Аплер, «Прикосновение: связывающий жест», в Невербальное взаимодействие , ред. Джон М. Вейманн и Рэндалл Харрисон (Лонгон: Sage, 1983), 47–76. Джонс, С.Э., «Общение с помощью прикосновений», в The Nonverbal Communication Reader: Classic and Contemporary Readings, , 2-е изд., ред. Лаура К. Герреро, Джозеф А. Девито и Майкл Л. Хехт (Prospect Heights, IL: Waveland Press, 1999). Ким С., Сан-Ган Ли и Минчоэль Канг, «Я стал привлекательным человеком в виртуальном мире: идентификация пользователей с виртуальными сообществами и аватарами», Компьютеры в поведении человека , 28, вып. 5 (2012): 1663–69 Кравиц, Д., «Обыски в аэропортах вызывают растущую негативную реакцию пассажиров», The Washington Post , 13 ноября 2010 г., по состоянию на 23 июня 2012 г. , http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/ content/article/2010/11/12/AR2010111206580.html?sid=ST2010113005385. Мартин, Дж. Н. и Томас К. Накаяма, Межкультурная коммуникация в контексте , 5-е изд. (Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill, 2010), 276. Маккей, М., Марта Дэвис и Патрик Фаннинг, 9 лет0458 Сообщения: Книга по навыкам общения , 2-е изд. (Окленд, Калифорния: New Harbinger Publications, 1995), 59. Пиз, А. и Барбара Пиз, The Definitive Book of Body Language (Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Bantam, 2004), 121. Strunksy, S., «Новый представитель службы аэропорта жесткая и фальшивая, но она дружелюбная», NJ.COM , 22 мая 2012 г., по состоянию на 28 июня 2012 г., http://www.nj.com/news/ index.ssf/2012/05/new_airport_service_rep_is_sti.html. Tecca, «В аэропортах Нью-Йорка устанавливаются новые дорогие голограммы, чтобы помочь вам найти дорогу», стр. г! Технология: Yahoo! Блог новостей , 22 мая 2012 г., по состоянию на 28 июня 2012 г. , http://news.yahoo.com/blogs/technology-blog/york-city-airports-install-expensive-holograms-help-way-024937526.html . Томас, А. Р., Мягкая посадка: стратегия, обслуживание и безопасность авиационной отрасли (Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Apress, 2011), 117–23. Отношения и общение — Better Health Channel Действия для этой страницы Резюме Читать полный информационный бюллетень Общение играет важную роль в отношениях. Нам нужно говорить открыто и быть хорошими слушателями. Большинство людей могут научиться общаться более эффективно. Поделитесь с ним положительными эмоциями о своем партнере. Если у вас возникли трудности, лучше действовать заранее, чем ждать, пока ситуация ухудшится. Важность общения Хорошее общение является важной частью всех отношений и неотъемлемой частью любого здорового партнерства. Во всех отношениях бывают взлеты и падения, но здоровый стиль общения может помочь справиться с конфликтом и построить более прочное и здоровое партнерство. Мы часто слышим о важности общения, но не о том, что это такое и как мы можем использовать хорошее общение в наших отношениях. Что такое связь? По определению, общение — это передача информации из одного места в другое. В отношениях общение позволяет вам объяснить кому-то, что вы испытываете и каковы ваши потребности. Акт общения не только помогает удовлетворить ваши потребности, но также помогает вам быть на связи в ваших отношениях. Четкое общение в отношениях Говорите друг с другом. Независимо от того, насколько хорошо вы знаете и любите друг друга, вы не можете читать мысли своего партнера. Мы должны общаться четко, чтобы избежать недопонимания, которое может вызвать боль, гнев, негодование или замешательство. Для отношений нужны два человека, и у каждого человека разные потребности и стиль общения. Пары должны найти способ общения, который подходит их отношениям. Здоровые стили общения требуют практики и тяжелой работы. Связь никогда не будет идеальной все время. Будьте ясны при общении с вашим партнером, чтобы ваше сообщение могло быть получено и понято. Дважды проверьте свое понимание того, что говорит ваш партнер. Когда вы разговариваете со своим партнером, постарайтесь: выделить время, чтобы поговорить без посторонних людей или отвлекающих факторов, таких как телефоны, компьютеры или телевизор подумать о том, что вы хотите сказать четко понимать, что вы хотите для общения сделайте свое сообщение четким, чтобы ваш партнер точно его услышал и понял, что вы имеете в виду говорите о том, что происходит и как это влияет на вас говорите о том, что вы хотите, в чем нуждаетесь и чувствуете – используйте утверждения «я», такие как «мне нужно», «я хочу» и «я чувствую» примите на себя ответственность за ваши собственные чувства слушайте своего партнера. Отложите на время свои собственные мысли и постарайтесь понять их намерения, чувства, потребности и желания (это называется эмпатией) поделитесь с партнером положительными чувствами, например, что вы цените и восхищаетесь в нем, и насколько они важны тебе следите за тоном своего голоса ведите переговоры и помните, что вам не обязательно всегда быть правым. Если проблема, с которой вы столкнулись, не так уж важна, постарайтесь отпустить ее или согласиться не соглашаться. Невербальное общение Когда мы общаемся, мы можем многое сказать, не говоря ни слова. Поза нашего тела, тон голоса и выражение лица — все это передает сообщение. Эти невербальные средства общения могут рассказать другому человеку, как мы к нему относимся. Если наши чувства не соответствуют нашим словам, часто «услышанными» и верящими являются невербальные сообщения. Например, говоря «Я люблю тебя» своему партнеру ровным, скучающим тоном, вы получите 2 совершенно разных сообщения. Обратите внимание, отражает ли ваш язык тела то, что вы говорите. Умение слушать и общение Умение слушать — очень важная часть эффективного общения. Хороший слушатель может побудить своего партнера говорить открыто и честно. Советы для хорошего слушания включают в себя: Сохраняйте зрительный контакт (там, где это приемлемо с культурной точки зрения). Наклонитесь к другому человеку и сделайте жесты, чтобы показать интерес и заботу. Примите открытую, незащищенную, довольно расслабленную позу, не скрещивая руки и ноги. Лицом к другому человеку – не сидеть и не стоять боком. Сядьте или встаньте на одном уровне, чтобы не смотреть вверх или вниз на другого человека. Избегайте отвлекающих жестов, таких как ерзание ручкой, взгляд на бумагу или постукивание ногой или пальцами. Имейте в виду, что физические барьеры, шум или помехи затрудняют общение. Отключите звук телефонов или других устройств связи, чтобы убедиться, что вы действительно слушаете. Пусть другой человек говорит без перерыва. Проявите искреннее внимание и интерес. Используйте настойчивые утверждения, такие как «Я чувствую… о…», «Мне нужно…». Следите за своим тоном. Будьте готовы взять тайм-аут, если вы действительно чем-то рассержены. Возможно, лучше успокоиться, прежде чем решать проблему. Спросите мнение другого человека о том, как вы его слушаете. Улучшение общения в отношениях Открытому и ясному общению можно научиться. Некоторым людям трудно говорить, и им может потребоваться время и поддержка, чтобы выразить свое мнение. Эти люди могут быть хорошими слушателями, а могут быть людьми, чьи действия говорят громче, чем их слова. Вы можете улучшить свое общение, если: наладить дружеские отношения – поделиться опытом, интересами и заботами со своим партнером, а также проявить любовь и признательность интимная близость – это не только сексуальная связь. Близость создается моментами ощущения близости и привязанности к вашему партнеру. Это значит уметь утешать и быть утешенным, быть открытым и честным. Акт близости может заключаться в том, чтобы принести вашему партнеру чашку чая, потому что вы можете сказать, что он устал найти один или два ключевых вопроса, по которым вы можете прийти к соглашению, например, как распределяются финансы, ваша цель или ваши стили или стратегии воспитания. Чтобы улучшить способ общения, начните с вопросов, таких как: Что вызывает конфликт между вами и вашим партнером? Это потому, что вы не слушаете друг друга? Какие вещи приносят вам счастье и чувство связи? Какие вещи вызывают у вас разочарование и боль? О чем вы не говорите и что мешает вам говорить о них? Как бы вы хотели, чтобы ваше общение с партнером было другим? Если возможно, задайте эти вопросы своему партнеру и поделитесь своими ответами. Подумайте и попробуйте разные способы общения. Посмотрите, улучшат ли результаты ваше общение. Когда вы будете лучше понимать, как вы общаетесь, вы сможете лучше контролировать то, что происходит между вами. Хотя поначалу это может быть непросто, открытие новых областей общения может привести к более полноценным отношениям. О некоторых вещах трудно сообщить Большинству из нас трудно говорить о некоторых событиях или темах. Это может быть что-то, что причиняет нам боль или заставляет нас чувствовать себя некомфортно. Например, некоторым людям трудно выражать свои эмоции. Часто то, о чем нельзя говорить, причиняет боль больше всего. Если вам трудно выразить себя или поговорить о чем-то со своим партнером, вам может помочь беседа с консультантом. Управление конфликтом связи Советы по урегулированию конфликтов при общении включают: Избегайте использования молчания. Не делайте поспешных выводов. Выясните все факты, а не стройте догадки о мотивах. Обсудите, что произошло на самом деле. Не судите. Учитесь понимать друг друга, а не побеждать друг друга. Говорите, используя будущее и настоящее время, а не прошедшее время. Сконцентрируйтесь на главной проблеме и не отвлекайтесь на другие мелкие проблемы. Поговорите о проблемах, которые задевают ваши чувства или чувства вашего партнера, затем перейдите к проблемам, связанным с расхождениями во мнениях. Используйте утверждения «Я чувствую», а не утверждения «Вы есть». Обращение за помощью по вопросам общения Если вы не можете улучшить общение в ваших отношениях, подумайте о том, чтобы поговорить с консультантом по отношениям. Консультанты обучены распознавать модели общения пары, которые вызывают проблемы, и помогать изменять эти модели, а также предлагать стратегии, советы и безопасное место для изучения проблем. Вы также можете пройти курс, связанный с вашими отношениями. Лучше действовать заранее и поговорить с кем-то о своих опасениях, чем ждать, пока все станет еще хуже. Где получить помощь Консультант Отношения Австралия Тел. 1300 364 277 Федерация психотерапии и консультирования Австралии (PACFA) Тел. (03) 9486 3077 1800 РЕСПЕКТ Тел. 1800 737 732 Beyond Blue Тел. 1300 22 4636 Консультация по вопросам семейных отношений Тел. 1800 050 321 MensLine Australia Тел. 1300 78 99 78 Qlife Тел. 1800 184 527 WIRE (Обмен информацией и рекомендациями для женщин) Тел. 1300 134 130 Partners: руководство по успешным отношениям для взрослых, Relationships Australia. Эта страница была подготовлена в консультации с и одобрена по: Эта страница была подготовлена в консультации с и одобрена по: Оставить отзыв об этой странице Была ли эта страница полезной? Дополнительная информация Заявление об отказе от ответственности Содержание этого веб-сайта предоставляется только в информационных целях. Информация о терапии, услуге, продукте или лечении никоим образом не одобряет и не поддерживает такую терапию, услугу, продукт или лечение и не предназначена для замены рекомендаций вашего врача или другого зарегистрированного медицинского работника. Информация и материалы, содержащиеся на этом веб-сайте, не предназначены для использования в качестве исчерпывающего руководства по всем аспектам терапии, продукта или лечения, описанным на веб-сайте. Всем пользователям настоятельно рекомендуется всегда обращаться за советом к зарегистрированному специалисту в области здравоохранения для диагностики и ответов на свои медицинские вопросы, а также для выяснения того, подходит ли конкретная терапия, услуга, продукт или лечение, описанные на веб-сайте, в их обстоятельствах. Штат Виктория и Министерство здравоохранения не несут никакой ответственности за использование любым пользователем материалов, содержащихся на этом веб-сайте. Пересмотрено: 24 февраля 2022 г. 5 ключевых принципов невербального общения Обновлено: 14. 02.2022 Переход последних лет на виртуальную/удаленную среду изменил то, как мы работаем и общаемся. Тенденции на рабочем месте указывают на то, что удаленная или гибридная рабочая среда останется, по крайней мере, в обозримом будущем. Независимо от того, общаетесь ли вы с клиентом или коллегой через Zoom или другое виртуальное пространство для встреч, распознавание и интерпретация их невербального общения теперь важнее, чем когда-либо. Когда вы начнете оттачивать свои навыки восприятия невербальных сигналов, важно помнить о пяти ключевых принципах. Культура, возраст, пол и географическое положение имеют решающее значение. Жесты могут означать очень разные вещи в разных регионах. Культурные и семейные нормы также влияют на то, как мы реагируем на невербальные сигналы. Поместите вещи в контекст. Если кто-то скрестил руки на груди, это может означать, что ему холодно. Прежде чем делать поспешные выводы, поместите разговор и человека в контекст темы, времени и других внешних факторов. Найдите комбинацию сигналов. Нашему телу чрезвычайно трудно лгать всем телом. Люди способны скрывать свои истинные намерения, но настоящий смысл часто просачивается по многим каналам. Несоответствие может означать многое. Когда слова и невербальные сигналы не совпадают, в дело вступают наши естественные инстинкты. Психологический дискомфорт может указывать на то, что вы являетесь получателем неправды, но это неловкое чувство может означать и другое. Совершенствуя свою способность лучше настраиваться на невербальные сигналы, можно увеличить способность быть в большей гармонии со своими собственными инстинктами. Доверьтесь своей интуиции. Интуиция — это бессознательная обработка информации (например, тонких невербальных сигналов), проявляющаяся в виде физических ощущений. Подлинность является ключевым моментом, поскольку люди легко улавливают неаутентичное и неискреннее общение. Чем больше человек осознает сказанное и невысказанное, тем сильнее обостряются его собственные инстинкты. В виртуальной среде могут возникать уникальные проблемы, связанные с мимикой. Поскольку наш взгляд ограничен только верхней частью тела, мы не так сильно отвлекаемся на другие вещи, которые могут происходить в пространстве. Семь зон невербальных сигналов Чтобы овладеть искусством невербального общения, нужно знать, где искать и понимать значение сигналов. В то время как есть семь областей (зон) тела, которые представляют собой ворота к невысказанному смыслу разговора в ситуациях лицом к лицу, пребывание в виртуальной среде ограничивает нашу способность видеть все зоны. Таким образом, ограниченный взгляд заставляет уделять пристальное внимание тонкостям. Улучшение ваших общих коммуникативных навыков начинается с принятия к сведению отдельных сигналов, которые мы можем видеть и слышать, а также коллективной интерпретации всех сигналов. Лицо Лицо часто подает самые очевидные и мощные сигналы. Он чрезвычайно выразителен, способен передать бесчисленное количество эмоций, не говоря ни слова. В отличие от других зон, находящихся под сильным влиянием культурных норм, мимика наиболее универсальна. В частности, выражения счастья, печали, гнева, удивления, страха и отвращения одинаковы в разных культурах. В виртуальной среде могут возникать уникальные проблемы, связанные с мимикой. Поскольку наш взгляд ограничен только верхней частью тела, мы не так сильно отвлекаемся на другие вещи, которые могут происходить в пространстве. Это заставляет нас уделять больше внимания человеку, с которым мы разговариваем, и видеть то внимание, которое отвечает нам взаимностью. Однако виртуальная среда также создает уникальные проблемы. Например, многие системы отображают ваше собственное изображение, а также изображения других участников. Это может привести к тому, что люди будут стесняться своей внешности на видео или создавать проблемы из-за плохого освещения или угла камеры. Следовательно, технология может оказывать большее влияние на лицевые сигналы, чем на невысказанные слова, а это означает, что еще более важно принимать во внимание все взаимодействие. Глаза Глаза могут указывать на мыслительные процессы или когнитивные функции. Важно не придавать слишком большого значения отсутствию зрительного контакта, поскольку многие люди обычно отводят взгляд, когда думают. Глаза также могут выполнять функцию наблюдения. От межличностных отношений до публичных выступлений, мы можем отслеживать эффективность нашего общения, глядя на других и отслеживая их отзывы. В виртуальной среде глаза являются нашим ключевым индикатором вовлеченности другого человека. Поскольку виртуальные встречи происходят за компьютером, легко отвлечься на входящие электронные письма и другие текущие рабочие проекты. Как часто во время видеозвонка у вас открывался другой экран или программа? Если вы находитесь на виртуальной встрече с кем-то и замечаете, что он смотрит в другие части экрана, это может сигнализировать о том, что он отвлекся. Чтобы улучшить свои невербальные сигналы во время виртуальных встреч, подумайте о том, чтобы отключить уведомления на время разговора, закрыть другие программы и перевести встречу на полный экран, чтобы ограничить возможность отвлекаться на другие вещи. Имейте в виду, что виртуальная среда сильно отличается от личной встречи. Даже по прошествии всего этого времени многие до сих пор не имеют правильно расположенной камеры, а тем более не знают, куда смотреть. Еще одна рекомендация — делать встречи короткими и назначать их на время, когда маловероятно, что вас будут отвлекать — раннее утро, обеденное время или поздний вечер. Руки и жесты При общении движения рук и жесты передают огромное количество информации. На самом деле, движения рук и жесты являются индикаторами, на которые больше всего влияют культурные или географические нормы. Однако в виртуальной среде нормой является сведение жестов рук к минимуму, поскольку камера создает искажения, когда рука приближается к объективу. Если вы участвуете в виртуальной встрече с кем-то, не связанной с демонстрацией или демонстрацией экрана, ключевым показателем того, что он занимается чем-то другим и не уделяет вам всего своего внимания, является то, что он начинает печатать или использовать мышь. Подтверждение того, что время встречи по-прежнему работает для всех участников, — отличный способ сохранить участие всех. Готовьтесь к виртуальным встречам так же, как вы готовитесь к личной встрече. Очистите рабочий стол от отвлекающих факторов, закройте лишние программы и сосредоточьтесь на разговоре. Осанка В большинстве случаев осанка человека отражает его общее отношение, уверенность и физическое благополучие. В виртуальной среде поза человека также может указывать на уровень вовлеченности. При личном наклоне или ссутуливании указывает на отсутствие интереса; однако в виртуальной среде комфорт и время суток существенно влияют на осанку. Чем больше времени человек провел, сидя за письменным столом в мобильной среде, тем больше вероятность того, что осанка является результатом физического дискомфорта и плохого кровообращения, а не обсуждаемой темы. Делайте перерывы, вставайте и потягивайтесь, особенно перед важными разговорами. Положение головы Положение вашей головы рассказывает историю и отражает намерение или позицию. Положение головы на виртуальной встрече — еще один ключевой показатель заинтересованности и вовлеченности в разговор. Человек, который держит голову рукой, не так бодрствует и занят, как тот, кто держит руки по бокам и смотрит вперед. Когда голова переходит из опущенного положения в прямое или даже слегка приподнятое, это признак внезапного интереса или потребности в ясности. Это движение указывает на то, что слушатель вернулся к разговору. Используйте движение головы как сигнал, чтобы задать вопросы или внести свой вклад от других участников. Есть много причин, по которым люди не всегда говорят то, что думают. Понимание всего смысла любого сообщения означает не только слушание того, что говорится, но и выяснение смысла невысказанного. Многие люди опасаются, что общение пострадает из-за этой относительно новой виртуальной среды, но это не должно иметь негативных последствий. В то время как виртуальная среда требует более пристального внимания к небольшим индикаторам и тонким движениям, помните, что вы общаетесь с другим человеком. Принимая во внимание время и продолжительность, а также наши собственные привычки, мы можем преодолеть виртуальный разрыв, который создает технология. Кристин Холлинден, CPSM, является директором и основателем Hollinden | входящие маркетологи + стратеги со штаб-квартирой в Хьюстоне, штат Техас. В дополнение к маркетинговой стратегии, входящему маркетингу и услугам по автоматизации маркетинга, Кристин обучает профессионалов навыкам общения и использованию их сильных сторон для продвижения по карьерной лестнице. СОДЕРЖАНИЕ ДЛЯ ПАРТНЕРОВ: 07.12.2021 01.02.2022 Коммуникация и старение — PMC 1. Каакинен Дж. Разговор пожилых обитателей домов престарелых. Топ расстройство Ланга. 1995; 15:36–46. [Google Scholar] 2. Вербрюгге Л.М., Ян Л.С. Старение с инвалидностью и инвалидность со старением. J Disabil Pol Stud. 2002;12(4):253. [Google Scholar] 3. Hoffman JM, Yorkston KM, Shumway-Cook A, et al. Влияние коммуникативной инвалидности на удовлетворенность медицинским обслуживанием: опрос получателей Medicare. Am J Speech Ланг Патол. 2005;14(3):221–8. [PubMed] [Академия Google] 4. Уорролл Л.Э., Хиксон Л.М. Инвалидность общения в старости: от профилактики к вмешательству. Клифтон-Парк (Нью-Йорк): Delmar Learning; 2003. [Google Scholar] 5. Карузо А.Дж., Мюллер П.Б., Шадден Б.Б. Влияние старения на речь и голос. Phys Occup Ther Geriatr. 1995;13(1–2):63–79. [Google Scholar] 6. Зрайк Р.И., Грегг Б.А., Уайтхаус Э.Л. Речевые и голосовые характеристики гериатрических ораторов: обзор литературы и призыв к исследованиям и обучению. J Med Speech Ланг Патол. 2006;14(3):133–42. [Академия Google] 7. Райан Э.Б. Нормальное старение и язык. В: Лубински Р., редактор. Деменция и общение. Сан-Диего (Калифорния): Singular Publishing Co; 1996. С. 84–97. [Google Scholar] 8. Любинский Р., изд. Деменция и общение. Сан-Диего (Калифорния): Singular Publishing Group; 1995. с. 147. [Google Scholar] 9. Verdonck-de Leeuw IM, Mahieu HF. Вокальное старение и влияние на повседневную жизнь: лонгитюдное исследование. Джей Голос. 2004;18(2):193–202. [PubMed] [Google Scholar] 10. Yorkston KM, Klasner ER, Bowen J, et al. Особенности рассеянного склероза в зависимости от тяжести речевых нарушений. J Med Speech Ланг Патол. 2003;11(2):73–85. [Академия Google] 11. Белый CP, Белый MB, Russell CS. Невидимые и видимые симптомы рассеянного склероза: какие из них более предсказуемы для ухудшения здоровья? J Neurosci Нурс. 2008;40(2):85–95. 102. [PubMed] [Google Scholar] 12. Yorkston KM, Klasner ER, Swanson KM. Общение в контексте: качественное исследование опыта людей с рассеянным склерозом. Am J Speech Ланг Патол. 2001;10(2):126–37. [Google Scholar] 13. Финлейсон М., Ван Дененд Т., Хадсон Э. Старение при рассеянном склерозе. J Neurosci Нурс. 2004;36(5):245–51. [PubMed] [Академия Google] 14. Брингфельт П., Хартелиус Л., Ранмаркер Б. Коммуникационные проблемы при рассеянном склерозе: 9-летнее наблюдение. Int J MS Care. 2006; 8: 130–40. [Google Scholar] 15. Стареющая Америка. Тенденции и прогнозы. Вашингтон, округ Колумбия: Министерство здравоохранения и социальных служб; 1991. [Google Scholar] 16. Samii A, Nutt JG, Ranson BR. Болезнь Паркинсона. Ланцет. 2004;363(9423):1783–93. [PubMed] [Google Scholar] 17. Национальный институт глухоты и других коммуникативных расстройств. Афазия: [По состоянию на 18 февраля 2009 г.]. Доступно по адресу: http://www.nidcd.nih.gov/health/voice/aphasia.htm. [Google Scholar] 18. Desrosiers J, Bourbonnais D, Noreau L, et al. Участие после инсульта по сравнению с нормальным старением. J Rehabil Med. 2005;37(6):353–7. [PubMed] [Google Scholar] 19. Plassiman BL, Langer KM, Fisher GG, et al. Распространенность деменции в США: изучение старения, демографии и памяти. Нейроэпидемиология. 2007;29(1–2):125–32. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 20. Брандт Дж., Рич Дж.Б. Нарушения памяти при деменциях. В: Баддели А.Д., Уилсон Б.А., Уоттс Ф.Н., редакторы. Справочник по расстройствам памяти. Чичестер (Великобритания): Wiley; 1995. С. 243–70. [Google Scholar] 21. Grady CL, Haxby JV, Horwitz B, et al. Продольное исследование ранних нейропсихологических и церебральных метаболических изменений при деменции альцгеймеровского типа. Дж. Клин Нейрофизиол. 1988; 10: 576–96. [PubMed] [Google Scholar] 22. Fricke J, Unsworth C. Использование времени и важность инструментальной деятельности в повседневной жизни. Aust Occup Ther J. 2001; 48: 118–31. [Академия Google] 23. Хиггинботэм Д.Дж., Уилкинс Д.П. Проскальзывание во временном потоке: социальные проблемы времени и времени в дополненных взаимодействиях. В: Duchan J, Kovarsky D, Maxwell M, редакторы. Социальная конструкция языковой некомпетентности. Махва (Нью-Джерси): Лоуренс Эрлбаум; 1999. С. 49–82. [Google Scholar] 24. Баландин С., Берг Н., Уоллер А. Оценка одиночества пожилых людей с церебральным параличом. Реабилитация инвалида. 2006;28(8):469–79. [PubMed] [Google Scholar] 25. Баллин Л., Баландин С. Исследование одиночества: общение и социальные сети пожилых людей с церебральным параличом. J Интеллект Дев Инвалид. 2007;32(4):315–27. [PubMed] [Академия Google] 26. Starks H, Morris M, Yorkston K, et al. Синхронизация или рассинхронизация: качественное исследование адаптации пар к изменениям при рассеянном склерозе. Реабилитация инвалида. 2010;32(3):196–206. [PubMed] [Google Scholar] 27. Heine C, Erber NP, Osborn R, et al. Восприятие общения пожилых людей с сенсорной потерей и их партнеров по общению: последствия для вмешательства. Реабилитация инвалида. 2002;24(7):356–63. [PubMed] [Google Scholar] 28. Heine C, Browning CJ. Коммуникация и психосоциальные последствия сенсорной потери у пожилых людей: обзор и направления реабилитации. Реабилитация инвалида. 2002;24(15):763–73. [PubMed] [Академия Google] 29. Гарстецки Д.К., Эрлер С. Слух у пожилых людей. В: Shadden BB, Toner MA, редакторы. Старение и общение. Остин (Техас): ProEd; 1997. С. 97–116. [Google Scholar] 30. Дэвидсон Б., Уорролл Л., Хиксон Л. Идентификация коммуникативной активности пожилых людей с афазией: данные натуралистического наблюдения. Афазиология. 2003;17(3):243–64. [Google Scholar] 31. Дэвидсон Б., Уорролл Л., Хиксон Л. Социальная коммуникация в пожилом возрасте: уроки людей с афазией. Реабилитация после инсульта. 2006;13(1):1–13. [PubMed] [Академия Google] 32. Рубен Р.Дж. Новое определение выживания сильнейших: коммуникативные расстройства в 21 веке. Ларингоскоп. 2000; 10: 241–5. [PubMed] [Google Scholar] 33. Эберт Д.А., Хекерлинг П. Коммуникативные нарушения у стационарных больных. N Engl J Med. 1998; 339: 271–3. [PubMed] [Google Scholar] 34. Bartlett G, Blais T, Tamblyn R, et al. Влияние проблем с общением с пациентами на риск предотвратимых нежелательных явлений в условиях неотложной помощи. Can Med Assoc J. 2008;178(12):1555–62. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 35. Iezzoni LI, Davis RB, Soukup J, et al. Параметры качества, которые больше всего беспокоят людей с физическими и сенсорными нарушениями. Arch Intern Med. 2003; 163: 2085–92. [PubMed] [Google Scholar] 36. Адельман Р.Д., Грин М.Г., Ори М.Г. Общение между пожилыми пациентами и их лечащими врачами. Клин Гериатр Мед. 2000;16(1):1–24. [PubMed] [Google Scholar] 37. Райан Э.Б., Батлер Р.Н. Коммуникация, старение и здоровье: к пониманию отношений медицинского работника с пожилыми клиентами. Община здоровья. 1996;8(3):191–8. [Google Scholar] 38. Фаркуар М. Определение качества жизни пожилыми людьми. соц. мед. 1995;41(10):1439–46. [PubMed] [Google Scholar] 39. Cruice M, Worrall L, Hickson L. Перспективы качества жизни людей с афазией и их семей: предложения для успешной жизни. Реабилитация после инсульта. 2006;13(1):14–24. [PubMed] [Google Scholar] 40. Williams MV, Davis T, Parker RM, et al. Роль медицинской грамотности в общении пациента и врача. Фам Мед. 2002; 34(5):383–9.. [PubMed] [Google Scholar] 41. Каган А., Леблан К. Мотивация к изменению инфраструктуры: к коммуникативно доступной, основанной на участии системе помощи при инсульте для всех, кто страдает афазией. J Коммун Дис. 2002;35(2):153–69. [PubMed] [Google Scholar] 42. Министерство здравоохранения и социальных служб США. Разговор с врачом. [По состоянию на 18 февраля 2009 г.]; Публикация NIH № 05-3452. 2005 г. Доступно по адресу: http://www.nia.nih.gov/HealthInformation/Publications/TalkingWithYourDoctor/9.0006 43. Биллек-Сони Б., Рейхертер Э.А. Грамотность и пожилые люди: образовательные соображения для медицинских работников. Верхний реабилитационный гериатр. 2005;21(4):275–81. [Google Scholar] 44. Hoffmn T, Worrall L. Разработка эффективных письменных материалов по санитарному просвещению: рекомендации для медицинских работников. Реабилитация инвалида. 2004;26(19):1166–73. [PubMed] [Google Scholar] 45. Beukelman DR, Yorkston KM, Garrett KL. Команды AAC, принимающие решения: достижение изменений и сохранение социальной поддержки. В: Beukelman DR, Garrett KL, Yorkston KM, редакторы. Вмешательство AAC для взрослых в медицинских учреждениях: интегрированные протоколы оценки и лечения. Балтимор (Мэриленд): Brookes Publishing; 2007. С. 369.–90. [Google Scholar] 46. Буржуа М.С., Кэмп С, Роуз М. и др. Сравнение стратегий обучения для улучшения использования внешних вспомогательных средств людьми с деменцией. J Коммун Дис. 2003; 36: 361–78. [PubMed] [Google Scholar] 47. Lubinski R, Organe JB. Основа для оценки и лечения функциональной коммуникации при деменции. В: Worral LE, Frattali CM, редакторы. Нейрогенные коммуникативные расстройства: функциональный подход. Нью-Йорк: Тиме; 2000. С. 220–47. [Академия Google] 48. Beukelman DR, Garrett KL, Yorkston KM, editors. Стратегии дополнительной коммуникации для взрослых с острыми и хроническими заболеваниями. Балтимор (Мэриленд): Brookes Publications; 2007. С. 369–90. [Google Scholar] 49. Буржуа М.С., Хикки Э.М. Деменция: от диагностики к лечению — функциональный подход. Оксфорд (Великобритания): Тейлор и Фрэнсис; 2009. [Google Scholar] 50. Буржуа М.С., Мейсон Л.А. Вмешательства с кошельком памяти в условиях детского сада для взрослых. Поведение Интерв. 1996;11(1):3–18. [Google Scholar] 5 типов стилей общения Обновлено 2 февраля 2022 г. Прочитав это руководство, вы узнаете о множестве различных стилей общения, что поможет лучше понять, как люди общаются. Это поможет вам улучшить общение между вашими сотрудниками, повысить эффективность обучения, найма и многих других процессов в вашей организации. Пока вы изучаете эту статью и думаете о стилях общения, с которыми вы сталкиваетесь в своей организации, и о стилях, которые вы хотели бы видеть больше, стоит подумать о том, что общение является значительной частью как стилей управления, так и стилей управления конфликтами. . Эти три концепции являются основополагающими, когда речь идет о хорошем управлении и создании успешной бизнес-среды. Узнавая о них больше и применяя их в своей организации, вы можете создать динамичную позитивную среду, которая приведет к лучшим результатам в бизнесе. Узнайте: 5 Типы стилей общения Напористый стиль общения Агрессивный стиль общения Пассивный стиль общения Passive-aggressive communication style Manipulative communication style How your communication type can affect your message Analytical Intuitive Functional Personal 5 Types of Communication Styles Some ситуации потребуют определенных стилей, или вы можете обнаружить, что один стиль особенно эффективен с одним сотрудником, а другой лучше работает с кем-то другим. Стили можно комбинировать, и люди используют стили, отличные от стиля по умолчанию, в зависимости от того, с кем они общаются. Нет смысла неизменно использовать только один стиль для общения с каждым человеком, с которым вы сталкиваетесь в течение рабочего дня, хотя некоторые стили, как правило, более эффективны, чем другие. 1. Напористый стиль общения Этот стиль общения считается наиболее эффективным. Человек, использующий этот стиль, уверен в своих убеждениях, но следит за тем, чтобы в разговоре он не принижал и не запугивал других. Они не прибегают к манипуляциям или расширению границ, а скорее ищут компромисс и консенсус, активно слушая и четко выражая свои желания и потребности. Напористые коммуникаторы, как правило, имеют естественно высокую самооценку, и они не склоняются к пассивному или агрессивному общению. Отличительной чертой уверенного общения является использование утверждений типа « I », таких как « Я чувствую, что вы перебиваете меня во время встречи с клиентом, подрывая мой опыт, «, а не » Вам нужно вести себя тихо во время встреч с клиентами, так как вы настаиваете на том, чтобы постоянно прерывать «. Этот стиль общения рекомендуется в большинстве деловых ситуаций. Как стать более напористым в общении? Говорите с уверенностью. Вы лучше всех знаете, что вам нужно для успеха, доверяйте себе.0439 Учитывайте как свои потребности, так и потребности тех, с кем вы общаетесь. Старайтесь быть ориентированным на решение, позитивным и чутким к точке зрения другого человека. Посмотрите на свои глаголы. Не приукрашивайте вещи и не смягчайте их. Скажите « будет » вместо « может быть » или « должно быть ». Подумайте, насколько по-разному звучат эти два предложения: « Я возьму на себя инициативу в этом проекте. » против « Я мог бы возглавить этот проект» .» Как эффективно работать с напористым коммуникатором? Дайте им возможность высказаться. Они расскажут вам о своих идеях и решениях, вам просто нужно выслушать и дать им возможность пообщаться. Спросите их, что они думают, и не отклоняйте их, если они критичны. Если они думают, что вы тратите их время впустую, они не станут вам помогать. Ожидайте, что они также спросят ваше мнение. беседы и ориентированы на решение. Принесите свои собственные решения и критические замечания и ожидайте, что разговор будет уважительным. 2. Агрессивный стиль общения Этот стиль общения может быть враждебным, угрожающим и исходить из желания победить любой ценой. Агрессивный коммуникатор ведет себя так, как будто его вклад в беседу важнее, чем кто-либо другой, и содержание его сообщения часто теряется из-за тона его подачи. Этот тип общения может привести к тому, что люди почувствуют себя униженными, подавленными и запуганными. В некоторых случаях они могут реагировать на агрессивного коммуникатора не потому, что коммуникатор неправ, а просто потому, что сообщение настолько неприятно, что они инстинктивно не соглашаются. Этот тип общения наблюдался у некоторых бизнес-лидеров, которые могут достаточно контролировать свой стиль, чтобы показаться смелыми, а не властными, но для этого требуется умение. В повседневной работе это не тот стиль, который вызовет симпатию у коллег, и в большинстве случаев рекомендуется избегать этого стиля. Как изменить свой агрессивный стиль, чтобы лучше общаться Уверенность агрессивного коммуникатора очень близка к самоуверенности напористого коммуникатора. Большая разница в том, что напористый коммуникатор ценит чувства другого человека, а агрессивный коммуникатор — нет. Измените свой стиль, подумайте, как ваша просьба и то, как вы ее донесете, повлияет на человека, с которым вы разговариваете. Взгляните на свой язык тела. Агрессивные коммуникаторы используют физическую близость, тон голоса и жесты, чтобы подчеркнуть свою силу в разговоре. Это не поможет вашему общению добиться успеха. Сделайте шаг назад и снизьте тон. Коллеги гораздо лучше реагируют на новый, более спокойный стиль разговора. Измените свою точку зрения. Вы не хотите «выиграть» разговор, вы хотите решить проблему. У вас гораздо больше шансов сделать это, если вы работаете с другими. Как эффективно работать с агрессивным коммуникатором? Это сложно. Общеизвестно, что с агрессивными коммуникаторами трудно работать. Если вы не можете помочь им скорректировать свой стиль, приготовьтесь к их резкому тону и неприятному изложению. Если вы находитесь в положении, когда вы можете посоветовать человеку его поведение, познакомив его со стилями общения и приведенными выше советами по его корректировке, разговор может стать плодотворным. Немедленно переведите их к делу и постарайтесь упорядочить разговор, чтобы он не отвлекался на неприятные или не относящиеся к делу темы. 3. Пассивный стиль общения Этот тип общения также известен как подчиненный стиль общения. Другой способ описать это — тип «угодный людям». Этот тип общения скромный, избегающий конфликтов и спокойный. Это не значит, что пассивный коммуникатор всегда счастлив — на самом деле, такой стиль общения может со временем привести к накоплению обиды, потому что человек не может четко выразить свое мнение, потребности и желания. Пассивные коммуникаторы, как правило, отступают и позволяют другим, более напористым или агрессивным, идти впереди. Им может быть трудно эффективно выражать свои мысли, и они хотят избежать конфронтации любой ценой. Это может напрямую привести к тому, что их хорошие идеи никогда не будут услышаны, или к возникновению недопонимания. В бизнесе этот стиль общения может использоваться в качестве реакции на агрессивное общение, особенно при работе с клиентом или другим лицом, с которым другие стили общения не работают. Однако в команде или отделе менеджеры должны работать над тем, чтобы помочь пассивным коммуникаторам получить доступ к более напористому стилю, чтобы их ценные идеи и идеи не остались незамеченными. Как изменить пассивный стиль общения, чтобы лучше общаться Будьте уверены в ценности своего вклада. Если это сложно для вас, попробуйте притворяться, пока не сделаете это совет, который мы дали выше для тех, кто надеется стать более напористым. Начните с малого и укрепите свою уверенность. Узнайте значение « № ». Вы можете взять на себя только ограниченное количество работы, и возможность установить здоровые границы рабочего места поможет вам быть уверенным, что ваша тарелка не перегружена теми, кто хочет воспользоваться вашим умением угождать людям. Вы уже умеете идти на компромисс, но убедитесь, что вы не ставите под угрозу все. Ищите решения, в которых может выиграть каждый, и предлагайте их. Как эффективно работать с пассивным коммуникатором? Прямо спросите их мнение по вопросам. Дайте им место в разговоре, чтобы высказать свое мнение, и дайте им время, чтобы правильно их выразить. Не отвергайте их идеи. Они усердно работают, чтобы укрепить свою уверенность, если идея не сработает, указать на ценность идеи и выделить ее положительные стороны, а не обрубать их коротким «» Ну, это не сработает .» Держите разговоры позитивными и ориентированными на решение. Не злитесь и не конфликтуйте, это заставит их полностью закрыться. 4. Пассивно-агрессивный стиль общения Этот стиль общения, как следует из названия, сочетает в себе аспекты пассивного и агрессивного стилей общения. Пассивное существует на поверхности, а агрессивное кипит под ним. Внешне коммуникаторы кажутся милыми и покладистыми, но действуют они с места гнева и обиды. Это пузырится и может быть показано с помощью сарказма, покровительства, распространения слухов или сплетен. Их неудовлетворенность проявляется косвенными путями, но они будут иметь тот же эффект, что и прямолинейная агрессия; коллеги не захотят с ними работать. Этот стиль имеет тенденцию быть очень токсичным на рабочем месте, распространяя недовольство и обиду в команде или отделе. Не бывает случаев, чтобы этот стиль общения был уместным в деловой обстановке . Если в вашей организации есть коммуникаторы, которые по умолчанию придерживаются этого стиля, важно, чтобы им помогли приспособиться к менее разрушительному стилю. Как изменить свой пассивно-агрессивный стиль, чтобы лучше общаться Определите, откуда исходит ваш гнев. Вам кажется, что ваша команда не слушает вас? Вы чувствуете, что ваш вклад игнорируется? Узнайте о проблеме и сообщите об этом своему менеджеру. Посмотрите на свою мотивацию при общении. Вы исходите из того, что хотите помочь решить проблему, или вы набрасываетесь? Измените свой подход к разговору и постарайтесь вместо этого сосредоточиться на позитивных, ориентированных на решение утверждениях. Поймите, что деловые отношения могут быть сложными. Уверенный и последовательный подход к разговору в позитивной и приятной манере может значительно улучшить вашу рабочую жизнь. Вы не можете контролировать то, как люди относятся к вам, но вы можете контролировать то, как вы на них реагируете. Изменение стиля общения может кардинально изменить ваши отношения на работе. Как эффективно работать с пассивно-агрессивным коммуникатором? Попытайтесь понять их мотивы, если это возможно. Если есть внешняя сила, заставляющая их общаться таким образом, то, возможно, в ваших силах помочь решить эту проблему. Постоянно ли они используют этот стиль при общении с агрессивным коммуникатором? Это происходит только тогда, когда они сталкиваются с короткими сроками? Подумайте, из-за чего это происходит. Не встречайте их в одном стиле. Может возникнуть соблазн ответить тем же, но это продолжает нездоровый цикл общения. Вместо этого сосредоточьтесь на настойчивом общении. Если вы предлагаете ответы, которые подчеркивают их вклад, предлагают беспроигрышные решения и не принижают их, они увидят ценность другого стиля общения. Сосредоточьтесь на их сообщении и перефразируйте его в напористой манере. Измените тон, демонстрируя стиль общения, в котором вы бы предпочли, чтобы их сообщение было доставлено. 5. Манипулятивный стиль общения Этот стиль общения использует хитрость, обман и влияние, чтобы контролировать исход разговора и, следовательно, действия окружающих людей. Коммуникаторы-манипуляторы редко говорят то, что имеют в виду, вместо этого они прячут свои истинные цели под слоями запутанности, чтобы добиться своего так, что другой человек даже не осознает этого. Этот стиль часто характеризуют как неискренний и снисходительный, и когда люди понимают, что их разыграл манипулятор, они не будут хорошо реагировать на этого человека в будущем общении. Хотя некоторые манипуляции могут оказаться полезными при работе с клиентами, когда необходимо успокоить раздраженного клиента, этот стиль может привести к конфликтам внутри команд или отделов, если один сотрудник использует его постоянно. Там, где это возможно, коммуникатор, склонный к манипулированию, должен перейти к напористому общению. Манипулятор знает, чего хочет достичь, и имеет четкие цели, просто они не выбирают лучший путь для достижения цели. Уделяя приоритетное внимание потребностям каждого, а не только своим собственным, они могли бы достичь лучших результатов, не расстраивая коллег. Как изменить свой манипулятивный стиль, чтобы лучше общаться Работайте над тем, чтобы более прямо выражать свои желания и потребности. Практикуйтесь прямо спрашивать о том, чего бы вы хотели, и проявляйте благодать, если ответ не такой, какой вам хотелось бы. Поймите, что такой стиль общения быстро вызывает обиду у коллег. Когда вы будете корректировать свой стиль, ожидайте, что они будут немного настороженно относиться к вашим мотивам! Будьте последовательны в своих изменениях и не забывайте искать решения, которые принесут пользу всем, а не только вам. Не используйте эмоциональные аргументы. Будьте правдивы, точны и прямолинейны в своем общении. Как эффективно работать с манипулятивным коммуникатором? Как и в случае с агрессивным коммуникатором, вы должны постараться направить его к напористому общению. Вы можете попробовать перенаправить их, когда они пытаются использовать эмоциональные аргументы, не позволяя им сводить разговор к своим собственным целям и упорно придерживаться темы разговора. Не отвечайте на них критикой, а используйте тактику настойчивого переформулирования, чтобы прояснить, что они говорят, и показать, как вы хотите, чтобы они это сказали. Вы должны быть бдительны с этими типами коммуникаторов, чтобы они тайно не вводили свою повестку дня в разговоры. Проявите терпение и сохраняйте спокойствие во время разговоров. Будьте тверды в своих убеждениях, и они увидят, что вы не являетесь эффективной мишенью для их стиля общения. Твердо, но вежливо отказываясь позволить им манипулировать вами, они изменят свой подход. Как ваш тип общения может повлиять на ваше сообщение Эти стили в большей степени сосредоточены на том, как говорящий передает информацию в ходе разговора. У каждого человека будет предпочитаемый способ общения, и попытка использовать его может помочь убедиться, что вы эффективно доносите свое сообщение. Неважно, какой у вас стиль, вы можете настроить его под эти четыре типа, в зависимости от стиля человека, с которым вы общаетесь. Это может потребовать некоторой практики, но это сделает вас гораздо более эффективным коммуникатором. 1. Аналитический Аналитический коммуникатор предпочитает данные и точные цифры. Им нужна количественная информация, и они игнорируют эмоциональные заявления как слишком расплывчатые или неважные. Это означает, что они предпочтут такое заявление, как « в этом квартале, продажи выросли на 8,2%, и мы собираемся превзойти наши прогнозы на 1,4% «, а не что-то вроде « мы убиваем его по продажам в этом месяц!«. При общении с такими людьми сначала проведите исследование! Выложи цифры, потом ответь со своим запросом. Положительным моментом этого является то, что аналитический коммуникатор хорошо смотрит на проблемы логически. Проблем с эмоциями не будет. Если аналитический коммуникатор не работает хорошо, вы можете принести ему цифры, которые показывают, в чем он не прав, и он согласится с тем, что ему нужно улучшить свои навыки в этих областях. Недостатком является то, что они могут показаться холодными или бесчувственными. Они могут заставить коллег чувствовать себя некомфортно или увольнять тех, кто не общается так же. Это может вызвать некоторые проблемы в командах, у которых разные стили общения, такие как личные коммуникаторы. Им также может потребоваться слишком много времени для анализа, расчета и проверки деталей, что приводит к медленному реагированию на проблемы и приводит к упущенным возможностям. 2. Интуитивно понятный Интуитивно понятный коммуникатор — это общая картина. Это тот тип людей, которые не любят погружаться в мельчайшие детали проекта, они предпочитают получить общее представление. Они быстро видят общую картину и легко делают выводы, иногда предлагая отличные идеи о том, как лучше всего завершить проект. Когда вы общаетесь с таким человеком, укажите версию Cliff’s Notes: « В этом новом маркетинговом проекте будет использоваться новый алгоритм для еще более точного нацеливания на потенциальных клиентов! » вместо » Сначала мы собираемся провести A/B-тестирование нового алгоритма, затем мы собираемся разработать три уровня специализированного контента, затем мы собираемся развернуть проект, затем мы собираемся использовать эти показатели для измерить наш успех. » Положительным моментом является то, что этот тип коммуникатора быстро понимает идеи и уже предлагает решения возможных проблем. Им не нужно иметь карманный компьютер, они уже работают. нестандартные идеи и получайте удовольствие, бросая вызов себе и другим. Недостатком является то, что это нетерпение может привести к ошибкам. Интуитивные коммуникаторы ненавидят вникать в скучные детали, но, пропуская это, они рискуют упустить важную информацию. Их также будут раздражать коммуникаторы, которые должны объяснять идеи или проекты шаг за шагом, как функциональные коммуникаторы. 3. Функциональный Функциональный коммуникатор живет по другую сторону спектра от интуитивного коммуникатора. Они предпочитают проходить этапы процесса, обрисовывая в общих чертах каждый из них, пока не придут к заключению и не смогут связать все это в один аккуратный пакет. Они ориентированы на детали, хорошо понимают, какие процессы будут наиболее полезными для обеспечения успеха, и им можно доверять создание функциональных графиков, распределение задач и выполнение проектов. При разговоре с работающим коммуникатором убедитесь, что вы готовы! Они захотят узнать все детали проекта, вы не хотите зацикливаться на метриках, чувствах или общем мышлении, вместо этого вы должны прийти с проектом, изложенным и готовым к проверке. Использование предложения типа « Мы хотим создать улучшенное руководство пользователя. Мы хотели бы, чтобы вы написали план, проконсультировались с разработчиками, наняли технического писателя и отредактировали готовый продукт. » послужит вам гораздо лучше, чем » Вам не кажется, что руководство пользователя нуждается в некотором улучшении? Можете ли вы позаботиться об этом? » Преимущество функционального коммуникатора в том, что его внимательный к деталям ум точно не пропустит ни одного важного шага. Им легко сосредоточиться на реализации проектов, и у них есть естественное понимание того, что потребуется для достижения цели. Их тщательный характер обеспечит успешное выполнение проекта. Обратной стороной этого является то, что их упорное внимание к процессу, улучшению каждого шага и стадии, иногда может привести к тому, что они упустят из виду общую картину и не достигнут фактических целей проекта. Их утомительный, пошаговый стиль также может утомить аудиторию, особенно если функциональный коммуникатор сочетается с интуитивно понятным коммуникатором. Эти два стиля немного похожи на масло и воду; ни один из них не очень ценит общение другого. Однако, если все сделано правильно, функциональный коммуникатор может взять на себя мелкие детали проекта, в то время как интуитивно понятный коммуникатор имеет дело с общей картиной. 4. Личный Личный коммуникатор противоположен аналитическому коммуникатору в этом спектре стилей общения. Они предпочитают использовать эмоциональный язык и ценят человеческое общение, стремясь узнать, что чувствуют их коллеги, а также что они думают. Этот тип коммуникатора склонен быть дипломатом, помогающим разрешать конфликты и искать мирные решения межведомственных и внутриведомственных вопросов. Для этого типа коммуникатора вы хотите опираться на эмоциональную составляющую. Что-то вроде « Вы чувствуете, что наша команда по работе с клиентами в последнее время чувствует себя выгоревшей? Их число сократилось. Пожалуйста, изучите это подробнее и посмотрите, чувствуют ли они, что им нужна дополнительная поддержка. » принесет вам гораздо больше успеха, чем » В этом году наши показатели удовлетворенности клиентов упали на 11%, и мы не можем достичь наших целей. Нам нужно найти и исправить эту проблему, чтобы вернуть результаты в этой четверти. » Преимущество этого стиля в том, что персональный коммуникатор без особых усилий строит глубокие связи в своей команде. Он сосредоточен на создании сплоченности и часто берется за решение проблем, когда у других возникают трудности в общении. Недостатком этого стиля общения является то, что он может стать слишком эмоциональным для других коммуникаторов. Аналитические коммуникаторы особенно не оценят такой подход и вполне могут проигнорировать то, что говорят личные коммуникаторы, что может привести к обиде или обиде. Резюме Все эти коммуникативные стили существуют в спектре. Люди редко будут на 100% принадлежать одному стилю, скорее у них будут первичные и вторичные, а иногда даже третичные стили. Человек может быть в первую очередь аналитическим, но во вторую — функциональным. Вы увидите, как люди переключаются между стилями по мере необходимости, в зависимости от ситуации, человека, с которым они разговаривают, и многих других факторов. В общем, вы обнаружите, что сочетание всех этих стилей общения приведет к улучшению команды. У каждого стиля есть свои преимущества и недостатки, и сочетание всех четырех гарантирует, что у вас не будет больших слепых зон. Если у вас есть команда, состоящая только из аналитиков, то вы обнаружите, что отстаете от графика, так как ваша команда проверяет и перепроверяет данные, но никогда не предпринимает никаких действий. То же самое касается команды, состоящей только из интуитивных людей: ваша общая картина будет идеальной, но ваш процесс ее достижения будет неполным, заброшенным вашей командой как неинтересным и неважным.

Глава 4. Комбинаторика 4.1. 4.1.3. Рассмотрим некоторое множество E, которое будем называть основным, и не будем интересоваться его природой. Будем считать, что все множества, которые рассматриваются в данном пункте, являются подмножествами основного множества. Объединением двух множеств A и B называется множество A B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B. Пересечением множеств A и B называется множество A B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B. Аналогично определяется пересечение и объединение любого числа множеств. Для удобства множества изображают в виде кругов, а основное множество в виде прямоугольника, их содержащего. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера–Венна. Модель 4. 1. Множества на плоскости Пример 1 Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти и Показать решение Пример 2 Пусть A = [−2; 1] и B = (0; 3). Найти и Показать решение Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами. Если то Например, Следует заметить, что мощность объединения и пересечения двух конечных множеств связаны следующим соотношением: (здесь мощность множества A обозначена как |A|). Для бесконечных множеств это равенство неверно. Если хотя бы одно из множеств A и B бесконечно, то мощность объединения Пусть теперь A и B − некоторые множества в основном множестве E. Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность между основным множеством E и множеством A называется дополнением множества A в E и обозначается Кратко это можно записать так: Очевидно, что для любого Пример 3 Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти A \ B и B \ A. Показать решение Для любых двух множеств A и B основного множества E справедливы законы де Моргана. Законы де Моргана можно проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера–Венна. Главная Онлайн учебники База репетиторов России Тренажеры по математике Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн удобрение этиссо growboom. ru перезарядка огнетушителей оп pogkontrol.ru Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия. А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru. Операции над множествами с примерами решения Содержание: Примеры с решением Разность двух множеств Множества можно определять и при помощи операций над другими множествами. Равенство множеств. Множества А и В считаются разными (совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначают так: Если множества не равны, то пишут: Доказательство равенства множеств состоит из двух частей: 1) для любого элемента множества А (формальная запись — ) доказывается, что он принадлежит и множеству В. Формально это записывается так: 2) для любого элемента В доказывается, что он принадлежит и множеству К. формально это можно записать так: Отсюда следует, что запись равенства двух множеств «А = В» эквивалентна записи По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике: Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением Примеры с решением Пример 1. Доказать, что множество равно множеству В корней уравнения то есть Для доказательства этого утверждения решим уравнение. Получим: Следовательно, Затем непосредственной подстановкой убеждаемся, что любое из чисел 0, 2, 3 удовлетворяет уравнению, следовательно: Только теперь можно записать, что Объединение (сумма) множеств. Объединением множеств А и В называется такое множество С, каждый элемент которого содержится хотя бь/в одном из множеств А или В. Обозначается: Возможно вам будут полезны данные страницы: Уравнение плоскости по трем точкам Метод Симпсона Что такое производная Определение производной Пример 2. Если , то Можно рассматривать объединение п множеств: при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств Например, множество всех действительных чисел R состоит из множества положительных чисел R\ множества отрицательных чисел R’ и множества , содержащего один элемент — ноль, то есть Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума часто используются круги Эйлера или диаграммы Венна. Универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества — соответствующими кругами. Операция объединения и другие операции иллюстрируются кругами Эйлера представленными на рис. 1.1—1.5. Пересечение (умножение) множеств. Пересечением множеств А и В называется множество D, составленное из общих для множеств А и В элементов. Обозначение: Для множеств из примера 5 имеем: Можно рассматривать пересечение множеств: при этом в А входят только, те элементы, которые входят во все множества Пересечение двух множеств иллюстрируется на рис 1.2. Пусть есть некоторое множество А. Говорят, что задано разбиение множества А на классы если Классы — это такие подмножества разбиваемого множества, которые не имеют общих элементов, а их объединение образует исходное множество А. Следовательно, каждый элемент множества А входит в один и только в один класс. Например, разбиение всех студентов одного факультета университета на учебные группы, разбиение книги на страницы, а страницы на абзацы, разбиение уголовного кодекса на статьи и т. п. Разность двух множеств Разностью двух множеств называется множество G, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В. Обозначение: . Отметим, что в А могут находиться не все элементы из вычитаемого множества В (см. рис.1.3). Например, Если В — подмножество то разность . называется дополнением к В до А. Например, если и то множество — дополнение к В до А. Операция дополнения иллюстрируется на рис. 1.4. Дополнение к А до универсума U имеет особое обозначение: (см. рис. 1.5). Пример 3. Пусть Такое множество называется множеством неотрицательных чисел. Тогда это множество отрицательных чисел. Перечисляемые ниже свойства операций над множествами справедливы для любых множеств, поэтому их часто называют законами, часть которых имеет специальные наименования. 1. Коммутативный, или переместительный, закон имеет место, как для операции объединения, так и для операции пересечения: 2. Ассоциативный, или сочетательный, закон также имеет место и для операции объединения и для операции пересечения: Так как порядок выполнения операций несущественен, то скобки в записи опускают. 3. Дистрибутивный, или распределительный, закон: 4. Закон идемпотентности: 5. Закон поглощения: 6. Закон двойственности де Моргана: 7. 8. 9. 10. Если и одновременно 11. 12. Анализируя свойства 1—13, можно сформулировать принцип двойственности: всякое равенство, тождественно выполняемое в теории множеств, переходит также в тождественно выполняющееся равенство при замене знака объединения на знак пересечения множество универсум на пустое множество и наоборот. 04. Множества и операции над ними. Числовые множества. Некоторые обозначения Множество – первичное неопределяемое понятие. Обозначают множества прописными латинскими буквами A, B, C, X, …. Под множеством понимают совокупность (группу, набор и т. д.) элементов, которые характеризуются одинаковыми свойствами. Множества изображают Диаграммами (кругами) Эйлера-Венна (рис. 1.2). Рис. 1.2 Если элемент А принадлежит множеству А, то пишут A Î A; если элемент А не принадлежит множеству А, то пишут A Ï A. Множество может задаваться с указанием его характеристического свойства. Например, если A состоит из элементов X, для которых выполняется свойство P(X), то пишут Если каждый элемент множества A есть элемент множества B, то множество A называется Подмножеством множества B (или говорят, что A Включено в B), пишут A Ì B (или B É A) (рис. 1.3). Два множества A, B называются Равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов: A = B тогда и только тогда, когда A Ì B и B Ì A. Множество, которое не имеет элементов, называется Пустым И обозначается символом Æ. К основным операциям над множествами относят пересечение, объединение, разность, дополнение. Пересечением множеств A, B называется множество A Ç B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B (рис. 1.4). Объединением множеств A, B называется множество A È B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат или множеству A, или множеству B (хотя бы одному из множеств A, B) (рис. 1.5). Разностью множеств A\B называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B (рис. 1.6). Дополнением множества A до конкретного (универсального) множества U называется множество , которое определяется равенством (рис. 1.7). A Ì B A Ç B A È B Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рис. 1.5 А\В Рис. 1.6 Рис. 1.7 Для произвольных множеств A, B, C справедливы свойства: 1) Коммутативность объединения; 2) коммутативность пересечения; 3) Ассоциативность объединения; 4) Ассоциативность пересечения; 5) , дистрибутивность; 6) ; 7) ; 8) ; 9) . Пусть – количество элементов множеств А и В соответственно, тогда справедлива формула (1.8) Рассматривают следующие числовые множества: 1) Множество натуральных чисел; 2) Множество целых чисел; 3) Q – Множество рациональных чисел: это множество всех обыкновенных дробей, т. е. чисел вида где Множество Q определяется также, как множество всех бесконечных десятичных периодических дробей; 4) I – Множество иррациональных чисел: это множество всех бесконечных десятичных непериодических дробей; 5) R – Множество действительных чисел: . Верны соотношения: , , . Произведение первых N натуральных чисел называется Факториалом, для него введен специальный символ: . По определению принимают 0! = 1. Для всякого определены следующие понятия: Целая часть (антье) числа X, определяется как целое число такое, что ; Дробная часть (мантисса), определяется равенством ; – Знак числа (сигнум), определяется следующим образом: Если некоторые действительные числа, то Сумму Этих величин обозначают с использованием Знака суммы: , Где K – Индекс суммирования. Свойства суммы: 1) – сумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс суммирования; 2) 3) 4) – свойство сдвига индекса суммирования. Пример 1. Доказать равенство (1.9) Доказательство. Пусть Согласно определению разности, получаем и Поскольку выполняются оба эти условия, то это возможно только в случае Получаем, что и т. е. Этим мы доказали, что (1.10) Допустим, что Тогда и но это означает, что Два условия и которые имеют место, означают, что т. е. (1.11) Равенство (1.9) доказано, поскольку установлена справедливость включений (1.10) и (1.11). Пример 2. На первом курсе учатся 200 студентов. Из них своевременно сдали зачет по математике 175 человек, а по физике – 185 человек. Не сдали зачет ни по математике, ни по физике 10 человек. Сколько студентов сдали оба зачета? Решение. Пусть A – множество всех студентов курса; B – множество студентов, которые сдали зачет по математике, C – по физике (рис. 1.8). Согласно условию задачи, , , , и надо найти . Рис. 1.8 Находим, сколько человек сдали хотя бы один зачет: Используем далее формулу (1. 8), из которой выражаем Получаем Пример 3. Сократить дробь Решение. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе. Очевидно, что Поэтому Пример 4. Вычислить сумму Решение. Получим последовательно слагаемые, придавая значения 1, 2, …, 7: Вычисляя, приходим к ответу < Предыдущая Следующая > 6.2. Операции над множествами Объединение множеств. Объединением множеств и называется множество , элементы которого принадлежат либо множеству , либо множеству . Принятое обозначение: . Аналогично определяется объединение любого (конечного или счётного) числа множеств : множество содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств . Пересечение множеств. Пересечением множеств и называется множество , элементы которого принадлежат как множеству , так и множеству . Обозначение: . Пересечением любого (конечного или счётного) числа множеств называется множество элементов, содержащееся в каждом из множеств . Операции объединения и пересечения множеств коммутативны, ассоциативны и взаимно дистрибутивны. Разность множеств. Разностью множеств и называется множество , состоящее из тех элементов множества , которые не принадлежат множеству . Обозначение: . Дизъюнктивная сумма (симметрическая разность) двух множеств и определяется как объединение разностей и . Для её обозначения используют символ , т. е. по определению . Дополнение множества. Дополнением множества до универсального множества называется множество , определяемое из соотношения: . Очевидно, , т. е. если то , а значит, В общем случае имеет место формула: Разбиение множества. Рассмотрим некоторое множество и систему множеств . Систему множеств называют разбиением множества , если выполняются следующие условия: 1) , 2) , 3) . Пример 25. Пусть – универсальное множество, – его подмножество, т. е. , например, Выпишем для каждого элемента из степень его принадлежности множеству : Это позволяет представить множество через все элементы множества с указанием для каждого из них значения функции принадлежности: . Очевидно, Выясним, как задаётся функция принадлежности пересечению и объединению множеств и . По определению: Т. е. где «» – операция булева произведения, которую можно задать такой таблицей: . Аналогично, т. е. , где «» – булева сумма, значения которой определяются таблицей: . Пример 26. Пусть задано универсальное множество и его подмножества и . Найти , , , и . Решение. Представим множества и в виде: Тогда: И для дополнений к этим множествам имеем: Так как: То для дизъюнктивной суммы множеств и получим: . Пример 27. На первом курсе факультета компьютерных информационных технологий обучается 80 студентов. Известно, что из них легкой атлетикой занимаются 35 студентов, посещают бассейн 23, играют в настольный теннис 30, занимаются легкой атлетикой и посещают бассейн 10, занимаются легкой атлетикой и играют в настольный теннис 11, посещают бассейн и играют в настольный теннис 7, занимаются во всех трех спортивных секциях 4 студента. Остальные студенты не посещают ни одной спортивной секции. Дайте ответы на следующие вопросы: Сколько студентов посещают только бассейн? Сколько студентов занимаются легкой атлетикой, но при этом не играют в настольный теннис? Сколько студентов не посещают ни одной спортивной секции? Сколько студентов не занимаются легкой атлетикой и не посещают бассейн? Решение. Построим диаграмму Венна в виде пересекающихся кругов, изображающих множества студентов, занимающихся легкой атлетикой, плаванием и настольным теннисом соответственно (рисунок 3). Введем обозначения: – множество всех студентов курса (= 80), – множество студентов, занимающихся легкой атлетикой (= 35), – множество студентов, посещающих бассейн (= 23), – множество студентов, играющих в настольный теннис (= 30), – множество студентов, занимающихся легкой атлетикой и посещающих бассейн (, = 10), – множество студентов, занимающихся легкой атлетикой и играющих в настольный теннис (, = 11), – множество студентов, посещающих бассейн и играющих в настольный теннис (, = 7), – множество студентов, посещающих эти три спортивные секции (, = 4). Определим множество студентов, занимающихся легкой атлетикой и посещающих бассейн, но не играющих в настольный теннис . Ясно, что . Множество студентов, занимающихся легкой атлетикой и играющих в настольный теннис, но не посещающих бассейн , и . Аналогично, множество студентов, посещающих бассейн и играющих в настольный теннис, но не занимающихся легкой атлетикой: , а . Теперь с помощью диаграммы Венна можно определить число студентов, занимающихся только в одной из трех спортивных секций. Только легкой атлетикой занимаются студентов; только в бассейн ходят студентов; только в настольный теннис играют студентов. Множество студентов, занимающихся хотя бы в одной из этих спортивной секций . Таких студентов . Следовательно, студентов, не занимающихся ни в одной из трех спортивных секций . Окончательно, диаграмма Венна примет вид, представленный на рис. 3. Ответим на поставленные в задаче вопросы: Количество студентов, посещающих только бассейн . Количество студентов, занимающихся легкой атлетикой, но при этом не играющих в настольный теннис . Количество студентов, которые не посещают ни одной спортивной секции . Количество студентов, которые не занимаются легкой атлетикой и не посещают бассейн , поскольку в это число входят студенты, которые не занимаются ни в одной спортивной секции либо занимаются только настольным теннисом. Рисунок 3 < Предыдущая Следующая > Операции над множествами Пересечение множеств Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла. Друзья Джона = { Том, Фред, Макс, Джорж } Друзья Майкла = { Лео, Том, Фред, Эван } Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла. Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла. Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда: Общие друзья Джона и Майкла = { Том, Фред } В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла. Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств. В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла. Обозначим множество друзей Джона через букву A, множество друзей Майкла — через букву B, а множество общих друзей Джона и Майкла обозначим через букву C: A = { Том, Фред, Макс, Джордж } B = { Лео, Том, Фред, Эван } C = { Том, Фред } Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом: A ∩ B = C Символ ∩ означает пересечение. Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом: «Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C». Или еще проще: «Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла». Теперь представим, что у Джона и Майкла нет общих друзей. Для удобства, как и прежде обозначим множество друзей Джона через букву A, а множество друзей Майкла через букву B A = { Макс, Джордж } B = { Лео, Эван } В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅ A ∩ B = ∅ Пример 2. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 2, 3, 5, 7 и множество B, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 A = { 1, 2, 3, 5, 7 } B = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 } Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B C = { 1, 2, 3 } Множество С является пересечением множеств A и B, поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B Пример 3. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 5, 7, 9 и множество B, состоящее из чисел 1, 4, 5, 7 A = { 1, 5, 7, 9 } B = { 1, 4, 5, 7 } Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B C = { 1, 5, 7 } Множество С является пересечением множеств A и B, поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B. Пример 4. Найти пересечение следующих множеств: A = { 1, 2, 3, 7, 9 } B = { 1, 3, 5, 7, 9} С = { 3, 4, 5, 8, 9} Пересечением множеств A, B и C будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств A, B и C. Этими элементами являются числа 3 и 9. Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения ∩ запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D D = { 3, 9} A ∩ B ∩ C = D Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов. К примеру, пусть первое множество состоит из элементов 1, 3, 5, а второе из элементов 2, 3, 5. Пересечением в данном случае является множество, состоящее из элементов 3 и 5. Чтобы записать пересечение, можно воспользоваться прямым перечислением: { 1, 3, 5 } ∩ { 2, 3, 5 } = { 3, 5 } Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток. Например, отрезок [2; 6] можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку: 2, 3, 4, 5, 6 ∈ [2; 6] Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку [2; 6] также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным. Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6): 3, 4, 5 ∈ (2; 6) Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров. Пример 5. Даны два числовых промежутка: [2; 6] и [4; 8]. Найти их пересечение. Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [2; 6] и [4; 8]: 2, 3, 4, 5, 6 ∈ [2; 6] 4, 5, 6, 7, 8 ∈ [4; 8] Видно, что числа 4, 5, 6 принадлежат как первому промежутку [2; 6], так и второму [4; 8]. Тогда пересечением числовых промежутков [2; 6] и [4; 8] будет числовой промежуток [4; 6] [2; 6] ∩ [4; 8] = [4; 6] Изобразим промежутки [2; 6] и [4; 8] на координатной прямой. На верхней области отметим числовой промежуток [2; 6], на нижней — промежуток [4; 8] Видно, что числа, принадлежащие промежутку [4; 6], принадлежат как промежутку [2; 6], так и промежутку [4; 8]. Можно также заметить, что штрихи, входящие в промежутки [2; 6] и [4; 8] пересекаются в промежутке [4; 6]. В такой ситуации, когда перед глазами есть координатная прямая, понятие пересечения множеств можно понимать в прямом смысле что очень удобно. Пример 6. Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и [4; 7] Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и [4; 7]: −2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3] 4, 5, 6, 7 ∈ [4; 7] Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество: [−2; 3] ∩ [4; 7] = Ø Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются: Пример 7. Дано множество из одного элемента { 2 }. Найти его пересечение с промежутком (−3; 4) Множество, состоящее из одного элемента { 2 }, на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков: Пересечением множества { 2 } и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента { 2 }, поскольку элемент 2 принадлежит как множеству { 2 }, так и числовому промежутку (−3; 4) { 2 } ∩ (−3; 4) = { 2 } На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам. По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки. Например, чтобы решить систему неравенств , мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств. В данном примере решением первого неравенства x ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток [3; +∞) Решением второго неравенства x ≤ 6 является множество всех чисел, которые меньше 6 (включая само число 6). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток (−∞; 6] А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] Если мы изобразим множество решений системы на координатной прямой, то увидим, что эти решения принадлежат промежутку [3; 6], который в свою очередь является пересечением промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] [3; +∞) ∩ (−∞; 6] = [3; 6] Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку [3; 6], то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства x ∈ [3; 6] Пример 2. Решить неравенство Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств. Решением первого неравенства является числовой промежуток (−∞; −1). Решением второго неравенства является числовой промежуток (−∞; −5). Решением третьего неравенства является числовой промежуток (−∞; 4). Решением системы будет пересечение числовых промежутков (−∞; −1), (−∞; −5) и (−∞; 4). В данном случае этим пересечением является промежуток (−∞; −5). (−∞; −1) ∩ (−∞; −5) ∩ (−∞; 4) = (−∞; −5) На рисунке представлены числовые промежутки и неравенства, которыми эти числовые промежутки заданы. Видно, что числа, принадлежащие промежутку (−∞; −5), одновременно принадлежат всем исходным промежуткам. Запишем ответ к системе с помощью числового промежутка: x ∈ (−∞; −5) Пример 3. Решить неравенство Решением первого неравенства y > 7 является числовой промежуток (7; +∞). Решением второго неравенства y < 4 является числовой промежуток (−∞; 4). Решением системы будет пересечение числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4). В данном случае пересечением числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) является пустое множество, поскольку эти числовые промежутки не имеют общих элементов: (7; +∞) ∩ (−∞; 4) = ∅ Если изобразить числовые промежутки (7; +∞) и (−∞; 4) на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются: Объединение множеств Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств. На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6. A = { 1, 2, 3 } B = { 4, 5, 6 } Зададим новое множество C и добавим в него все элементы множества A и все элементы множества B C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом: A ∪ B = C Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ. Тогда выражение A ∪ B = C можно прочитать так: Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C. В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Вернёмся к созданному нами множеству C, куда входят все элементы множеств A и B. Возьмём для примера из этого множества элемент 5. Что можно про него сказать? Если 5 является элементом множества C, а множество С является объединением множеств A и B, то можно с уверенностью заявить, что элемент 5 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Так оно и есть: A = { 1, 2, 3 } B = { 4, 5, 6 } C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Возьмем ещё один элемент из множества С, например, элемент 2. Что можно про него сказать? Если 2 является элементом множества C, а множество С является объединением множеств A и B, то можно с уверенностью заявить, что элемент 2 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Так оно и есть: A = {1, 2, 3} B = {4, 5, 6} C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Если мы захотим объединить два или более множества и вдруг обнаружим, что один или несколько элементов принадлежат каждому из этих множеств, то в объединение повторяющиеся элементы будут входить только один раз. Например, рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3, 4 и множество B с элементами 2, 4, 5, 6. A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 5, 6} Видим, что элементы 2 и 4 одновременно принадлежат и множеству A, и множеству B. Если мы захотим объединить множества A и B, то новое множество C будет содержать элементы 2 и 4 только один раз. Выглядеть это будет так: C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Чтобы при объединении не допустить ошибок, обычно поступают так: сначала в новое множество добавляют все элементы первого множества, затем добавляют элементы второго множества, которые не принадлежат первому множеству. Попробуем сделать такое объединение с множествами A и B. Итак, у нас имеются следующие исходные множества: A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 4, 5, 6 } Зададим новое множество С и добавим в него все элементы множества A C = { 1, 2, 3, 4, Теперь добавим элементы из множества B, которые не принадлежат множеству A. Множеству A не принадлежат элементы 5 и 6. Их и добавим во множество C C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Пример 2. Друзьями Джона являются Том, Фред, Макс и Джордж. А друзьями Майкла являются Лео, Том, Фред и Эван. Найти объединение множеств друзей Джона и Майкла. Для начала зададим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла. Друзья Джона = { Том, Фред, Макс, Джорж } Друзья Майкла = { Лео, Том, Фред, Эван } Зададим новое множество с названием «Все друзья Джона и Майкла» и добавим в него всех друзей Джона и Майкла. Заметим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла, поэтому мы добавим их в новое множество только один раз, поскольку сразу двух Томов и двух Фредов не бывает. Все друзья Джона и Майкла = { Том, Фред, Макс, Джордж, Лео, Эван } В данном случае множество всех друзей Джона и Майкла является объединением множеств друзей Джона и Майкла. Друзья Джона ∪ Друзья Майкла = Все друзья Джона и Майкла Пример 3. Даны два числовых промежутка: [−7; 0] и [−3; 5]. Найти их объединение. Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этим промежуткам: −7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0 ∈ [−7; 0] −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5] Объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5], который содержит все числа промежутка [−7; 0] и [−3; 5] без повторов некоторых из чисел −7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5] Обратите внимание, что числа −3,−2, −1 принадлежали и первому промежутку и второму. Но поскольку в объединение допускается включать такие элементы только один раз, мы включили их единоразово. Значит объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5] [−7; 0] ∪ [−3; 5] = [−7; 5] Изобразим на координатной прямой промежутки [−7; 0] и [−3; 5]. На верхней области отметим числовой промежуток [−7; 0], на нижней — промежуток [−3; 5] Ранее мы выяснили, что промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5]. Здесь полезно вспомнить про определение объединения множеств, которое было приведено в самом начале. Объединение трактуется, как множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств. Действительно, если взять любое число из промежутка [−7; 5], то окажется, что оно принадлежит хотя бы одному из промежутков: либо промежутку [−7; 0] либо промежутку [−3; 5]. Возьмём из промежутка [−7; 5] любое число, например число 2. Поскольку промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5], то число 2 будет принадлежать хотя бы одному из этих промежутков. В данном случае число 2 принадлежит промежутку [−3; 5] Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −4. Это число будет принадлежать хотя бы одному из промежутков: [−7; 0] или [−3; 5]. В данном случае оно принадлежит промежутку [−7; 0] Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −2. Оно принадлежит как промежутку [−7; 0], так и промежутку [−3; 5]. Но на координатной прямой оно указывается только один раз, поскольку в одной точке сразу два числа −2 не бывает. Не каждое объединение числовых промежутков является числовым промежутком. Например, попробуем найти объединение числовых промежутков [−2; −1] и [4; 7]. Идея остаётся та же самая — объединением числовых промежутков [−2;−1] и [4; 7] будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из промежутков: [−2; −1] или [4; 7]. Но это множество не будет являться числовым промежутком. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этому объединению: [−2; −1] ∪ [4; 7] = { −2, −1, 4, 5, 6, 7 } Получили множество { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }. Это множество не является числовым промежутком по причине того, что числа, располагающиеся между −1 и 4, не вошли в полученное множество Числовой промежуток должен содержать все числа от левой границы до правой. Если одно из чисел отсутствует, то числовой промежуток теряет смысл. Допустим, имеется линейка длиной 15 см Эта линейка является числовым промежутком [0; 15], поскольку содержит все числа в промежутке от 0 до 15 включительно. Теперь представим, что на линейке после числа 9 сразу следует число 12. Эта линейка не является линейкой в 15 см, и её нежелательно использовать для измерения. Также, её нельзя назвать числовым промежутком [0; 15], поскольку она не содержит все числа, которые должна была содержать. Решение неравенств, содержащих знак ≠ Некоторые неравенства содержат знак ≠ (не равно). Например, 2x ≠ 8. Чтобы решить такое неравенство, нужно найти множество значений переменной x, при которых левая часть не равна правой части. Решим неравенство 2x ≠ 8. Разделим обе части данного неравенства на 2, тогда получим: Получили равносильное неравенство x ≠ 4. Решением этого неравенства является множество всех чисел, не равных 4. То есть если мы подставим в неравенство x ≠ 4 любое число, которое не равно 4, то получим верное неравенство. Подставим, например, число 5 5 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 5 не равно 4 Подставим 7 7 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 7 не равно 4 И поскольку неравенство x ≠ 4 равносильно исходному неравенству 2x ≠ 8, то решения неравенства x ≠ 4 будут подходить и к неравенству 2x ≠ 8. Подставим те же тестовые значения 5 и 7 в неравенство 2x ≠ 8. 2 × 5 ≠ 8 2 × 7 ≠ 8 Изобразим множество решений неравенства x ≠ 4 на координатной прямой. Для этого выколем точку 4 на координатной прямой, а всю оставшуюся область с обеих сторон выделим штрихами: Теперь запишем ответ в виде числового промежутка. Для этого воспользуемся объединением множеств. Любое число, являющееся решением неравенства 2x ≠ 8 будет принадлежать либо промежутку (−∞; 4) либо промежутку (4; +∞). Так и записываем, что значения переменной x принадлежат (−∞; 4) или (4; +∞). Напомним, что для слова «или» используется символ ∪ x ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞) В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат промежутку (−∞; 4) или промежутку (4; +∞). Неравенства, содержащие знак ≠, также можно решать, как обычные уравнения. Для этого знак ≠ заменяют на знак =. Тогда получится обычное уравнение. В конце решения найденное значение переменной x нужно исключить из множества решений. Решим предыдущее неравенство 2x ≠ 8, как обычное уравнение. Заменим знак ≠ на знак равенства =, получим уравнение 2x = 8. Разделим обе части данного уравнения на 2, получим x = 4. Видим, что при x, равном 4, уравнение обращается в верное числовое равенство. При других значениях равенства соблюдаться не будет. Эти другие значения нас и интересуют. А для этого достаточно исключить найденную четвёрку из множества решений. Пример 2. Решить неравенство 3x − 5 ≠ 1 − 2x Перенесем −2x из правой части в левую часть, изменив знак, а −5 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак: Приведем подобные слагаемые в обеих частях: Разделим обе части получившегося неравенства на 5 Решением неравенства x ≠ 1,2 является множество всех чисел, не равных 1,2. Изобразим множество решений неравенства x ≠ 1,2 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка: x ∈ (−∞; 1,2) ∪ (1,2; +∞) В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x принадлежат промежутку (−∞; 1,2) или промежутку (1,2; +∞) Решение совокупностей неравенств Рассмотрим ещё один вид неравенств, который называется совокупностью неравенств. Такой тип неравенств, возможно, вы будете решать редко, но для общего развития полезно изучить и их. Совокупность неравенств очень похожа на систему неравенств. Различие в том, что в системе неравенств нужно найти множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству, образующему эту систему. А в случае с совокупностью неравенств, нужно найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность. Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой. Например, следующая запись из двух неравенств является совокупностью: Решим данную совокупность. Сначала нужно решить каждое неравенство по отдельности. Решением первого неравенства x ≥ 3 является числовой промежуток [3; +∞). Решением второго неравенства x ≤ 6 является числовой промежуток (−∞; 6]. Множество значений x, при которых верно хотя бы одно из неравенств, будет принадлежать промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6]. Так и записываем: x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6] В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в совокупность принимает все значения, принадлежащие промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6]. А это то, что нам нужно. Ведь решить совокупность означает найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность. А любое число из промежутка [3; +∞) или промежутка (−∞; 6] будет удовлетворять хотя бы одному неравенству. Например, число 9 из промежутка [3; +∞) удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3. А число −7 из промежутка (−∞; 6] удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6. Посмотрите внимательно на выражение x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6], а именно на его правую часть. Ведь выражение [3; +∞) ∪ (−∞; 6] представляет собой объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]. Точнее, объединение множеств решений первого и второго неравенства. Стало быть, решением совокупности неравенств является объединение множеств решений первого и второго неравенства. Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] Объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является промежуток (−∞; +∞). Точнее, объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть [3; +∞) ∪ (−∞; 6] = (−∞; +∞) Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее: x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6] либо заменить на более короткий: x ∈ (−∞; +∞) Возьмём любое число из полученного объединения, и проверим удовлетворяет ли оно хотя бы одному неравенству. Возьмем для примера число 8. Оно удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3. 8 ≥ 3 Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 1. Оно удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6 1 ≤ 6 Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 5. Оно удовлетворяет и первому неравенству x ≥ 3 и второму x ≤ 6 Пример 2. Решить совокупность неравенств Чтобы решить эту совокупность, нужно найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность. Для начала найдём множество решений первого неравенства x < −0,25. Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25). Множеством решений второго неравенства x ≥ −7 является числовой промежуток [−7; +∞). Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства. x ∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) Объединением числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) является является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) = (−∞; +∞) Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее: x ∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) либо заменить на более короткий: x ∈ (−∞; +∞) Пример 3. Решить совокупность неравенств Решим каждое неравенство по отдельности: Множеством решений первого неравенства x < −3 является числовой промежуток (−∞; −3). Множеством решений второго неравенства x ≤ 0 является числовой промежуток (−∞; 0]. Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства. x ∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0] Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0] Объединением числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0] является числовой промежуток (−∞; 0] (−∞; −3) ∪ (−∞; 0] = (−∞; 0] Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее: x ∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0] либо заменить на более короткий: x ∈ (−∞; 0] Задания для самостоятельного решения Задание 1. Найдите пересечение и объединение следующих множеств: А = { 1, 2, 5 } B = { 3, 4, 5 } Решение: A ∩ B = { 5 } A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Показать решение Задание 2. Найдите пересечение и объединение следующих множеств: А = { −3, −2, −1, 0, 1, 2 } B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Решение: A ∩ B = { 1, 2 } A ∪ B = { −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 } Показать решение Задание 3. Найдите пересечение и объединение следующих множеств: А = { 1, 2, 3 } B = { 3, 4 } Решение: A ∩ B = { 3 } A ∪ B = { 1, 2, 3, 4 } Показать решение Задание 4. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков: [−2; 7) и (0; 10] Решение: [−2; 7) ∩ (0; 10] = (0; 7) [−2; 7) ∪ (0; 10] = [−2; 10] Показать решение Задание 5. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков: (−∞; 3] и [−2; 1) Решение: (−∞; 3] ∩ [−2; 1) = [−2; 1) (−∞; 3] ∪ [−2; 1) = (−∞; 3] Показать решение Задание 6. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков: (3; +∞) и [2; +∞) Решение: (3; +∞) ∩ [2; +∞) = (3; +∞) (3; +∞) ∪ [2; +∞) = [2; +∞) Показать решение Задание 7. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков: [−3; −1] и (−2; 4] Решение: [−3; −1] ∩ (−2; 4] = (−2; −1] [−3; −1] ∪ (−2; 4] = [−3; 4] Показать решение Задание 8. Решите неравенство: Решение: Показать решение Задание 9. Решите неравенство: Решение: Показать решение Задание 10. Решите совокупность неравенств: Решение: Показать решение Задание 11. Решите совокупность неравенств: Решение: Показать решение Задание 12. Решите совокупность неравенств: Решение: Показать решение Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже Опубликовано Автор Решение некоторых задач по теории множеств На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств. Введем определение множества, а так же некоторые обозначения. Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком. Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит. Можно сделать такую запись определения множества: , где “” – принадлежит; “=>“ – следовательно; “ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента. Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов Например: Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т. е. если , то , где “С” знак подмножества или включения. Графически это выглядит так (рис.1): (рис.1) Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами. Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2). Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств. Это определение можно записать с помощью обозначений: А υ В, где где “ υ ” – знак объединения, “ / ” – заменяет слова ”таких что“ (рис.2) Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко: А ∩ В = С, где “∩“ – знак пересечения. (рис.3) (рис.3) Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается ĀЕ или Ā (рис.4) Е (рис.4) Примерами для понимания этих понятий являются свойства: _ А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā _ А ∩ Ā= Ø Ē = Ø (Ā)=А Свойства дополнения имеют свойства двойственности: ________ _ _ АВ = А∩В ________ _ _ АВ = АUВ Введем еще одно понятие – это мощность множества. Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А. Из определение следуют свойства: m (A) + m (Ā) = m (E) А = В => m(A) = m(B) Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения: m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В) m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ) m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) — m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С). А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию. Задача №1 В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи? Сколько учащихся решили только две задачи? Сколько учащихся решили только одну задачу? Задача № 2 Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов. Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу? Задача № 3 В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников. Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта? Решение задачи № 1 Запишем коротко условие и покажем решение: m (Е) = 40 m (А) = 20 m (В) = 18 m (С) = 18 m (А∩В) = 7 m (А∩С) = 8 m (В∩С) = 9 ___________ m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37 Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис. 5). (рис.5) К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре; К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии; К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии; К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии; К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи; К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии; К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии; К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи. Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления: m (К5) = m (А∩В∩С)= m (АВС) — m (А) — m (В) — m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С) m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5 m (К2) = m (А∩В) — m (К5) = 7-5=2 m (К4) = m (А∩С) — m (К5) = 8-5=3 m (К6) = m (В∩С) — m (К5) = 9-5=4 m (К1) = m (А) — m (К2) — m (К4) — m (К5) = 20-2-3-5=10 m (К3) = m (В) — m (К2) — m (К6) — m (К5) = 18-2-4-5=7 m (К7) = m (С) — m (К4) — m (К6) — m (К5) = 18-3-4-5 =6 m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи; m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу. Ответ: 5 учеников решили три задачи; 9 учеников решили только по две задачи; 23 ученика решили только по одной задаче. С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так: Решение задачи № 2 m (АВ) = 33 m (АС) = 31 m (ВС) = 32 m (К2) + m (К4) + m (К6) + m (К5) = 20 Найти m (К1) + m (К3) + m (К7) m (АUВ) = m (К1) + m (К2) + m (К3) + m (К4) + m (К5) + m (К6) = m (К1) + m (К3) + 20 = 33 => m (К1) + m (К3) = 33 – 20 = 13 m (АUС) = m (К1) + m (К4) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) = m (К1) + m (К7) + 20 = 31 => m (К1) + m (К7) = 31 – 20 = 11 m (ВUС) = m (К3) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) + m (К4) = m (К3) + m (К7) + 20 = 32 => m (К3) + m (К7) = 32 – 20 = 12 2m (К1) + m (К3) + m (К7) = 13+11=24 2m (К1) + 12 = 24 m (К3)= 13-6=7 m (К7)=12-7=5 m (К1) + m (К3) + m (К7) = 6+7+5=18 Ответ: Только одну контрольную работу решили 18 учеников. Решение задачи № 3 m (Е) = 35 m (А∩В∩С)= m (К5) = 6 m (А∩В)= 15 m (А∩С)= 13 m (В∩С)= 9 Найти m (К1) + m (К3) + m (К7) m (К2) = m (А∩В) — m (К5) = 15-6=9 m (К4) = m (А∩С) — m (К5) = 13-6=7 m (К6) = m (В∩С) — m (К5) = 9-6=3 m (К1) + m (К3) + m (К7) = m (Е) — m (К4) — m (К2) — m (К6) — m (К5) = 35-7-9-3-6=10 Ответ: Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников. Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности» Набор операций | Союз | Пересечение | Дополнение | Разница | Взаимоисключающие | Перегородки | Закон де Моргана | Распределительный закон ← предыдущий следующий → Объединение двух множеств представляет собой множество, содержащее все элементы, находящиеся в $A$ или в $B$ (возможно, оба). Например, $\{1,2\}\cup\{2,3\}=\{1,2,3\}$. Таким образом, мы можем написать $x\in(A\cup B)$ тогда и только тогда, когда $(x\in A)$ или $(x\in B)$. Обратите внимание, что $A \cup B=B \cup A$. На рисунке 1.4, объединение множеств $A$ и $B$ показано заштрихованной областью на диаграмме Венна. 9{n} A_i.$$ Например, если $A_1=\{a,b,c\}, A_2=\{c,h\}, A_3=\{a,d\}$, то $\bigcup_{i} A_i=A_1 \cup А_2 \cup A_3=\{a,b,c,h,d\}$. Аналогичным образом мы можем определить объединение бесконечного числа множеств $A_1 \чашка A_2 \чашка A_3 \чашка\cdots$. Пересечение двух множеств $A$ и $B$, обозначаемое $A \cap B$, состоит из всех элементов которые оба находятся в $A$ $\underline{\textrm{and}}$ $B$. Например, $\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}$. На рис. 1.5 пересечение множеств $A$ и $B$ показано заштрихованной областью с помощью диаграммы Венна. 9с$. Рис.1.8 — Заштрихованная область показывает множество $A-B$. Два множества $A$ и $B$ являются взаимоисключающими или непересекающимися , если они не имеют общих элементы; т. е. их пересечение есть пустое множество $A \cap B=\emptyset$. В общем, несколько наборов называются непересекающимися, если они попарно не пересекаются, т. е. никакие два из них не имеют общих элементов. На рис. 1.9 показаны три непересекающихся множества. Рис.1.9 — Множества $A, B,$ и $C$ не пересекаются. Если земная поверхность является нашим эталонным пространством, мы можем захотеть разделить его на разные континенты. Точно так же страна может быть разделена на разные провинции. В общем, набор непустых наборы $A_1, A_2,\cdots$ — это разбивает множества $A$, если они не пересекаются и их объединение равно $A$. На рис. 1.10 множества $A_1, A_2, A_3$ и $A_4$ образуют разбиение универсального множества $S$. Рис.1.10 — Набор множеств $A_1, A_2, A_3$ и $A_4$ является разбиением $S$. Вот несколько правил, которые часто бывают полезны при работе с множествами. Вскоре мы увидим примеры их использования. Теорема : Закон Де Моргана Для любых множеств $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$ имеем 9с$. Теорема : Закон распределения Для любых множеств $A$, $B$ и $C$ имеем $A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A\cap C)$; $A \чашка (B \крышка C)=(A \чашка B) \крышка (A\чашка C)$. Пример Если универсальный набор задан как $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ и $A=\{1,2\}$, $B=\{2, 4,5\}, C=\{1,5,6\} $ — три множества, найдите следующие множества: $A\чашка B$ $A\cap B$ 9c=\{3,4,5,6\} \cap \{1,3,6\}=\{3,6\}.$$ Имеем $$A \cap (B \cup C)=\{1,2\} \cap \{1,2,4,5,6\}=\{1,2\},$$, что равно такой же как $$(A \cap B) \cup (A\cap C)=\{2\} \cup \{1\}=\{1,2\}.$$ A Декартово произведение двух множеств $A$ и $B$, записанное как $A\times B$, представляет собой множество, содержащее упорядоченных пары из $A$ и $B$. То есть, если $C=A \times B$, то каждый элемент $C$ имеет вид $(x,y)$, где $x \in A$ и $y \in B$: $$A \times B = \{(x,y) | x \in A \textrm{ и } y \in B \}. $$ Например, если $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{H,T\}$, то $$A \times B=\{(1,H),(1,T),(2,H),(2,T),(3,H),(3,T)\}.$$ Обратите внимание, что здесь пары упорядочены, например, $(1,H)\neq (H,1)$. Таким образом, $A \times B$ равно не то же, что $B \times A$. Если у вас есть два конечных множества $A$ и $B$, где $A$ состоит из $M$ элементов, а $B$ состоит из $N$ элементов, то $A \times B$ имеет $M \times N$ элементов. Это правило называется принципом умножения на и очень полезно при подсчете количества элементов в наборах. Количество элементов в множестве обозначается $|A|$, поэтому здесь мы пишем $|A|=M, |B|=N$ и $|A \times B|=MN$. В приведенном выше примере $|A|=3, |B|=2$, поэтому $|A \times B|=3 \times 2 = 6$. Аналогично можно определить декартово произведение $n$ множеств $A_1, A_2, \cdots, A_n$ как $$A_1 \times A_2 \times A_3 \times \cdots \times A_n = \{(x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_1 \in A_1 \textrm{ и } x_2 \in A_2 \textrm{ и }\cdots x_n \in A_n \}.$$ Принцип умножения утверждает, что для конечных множеств $A_1, A_2, \cdots, A_n$, если $$|A_1|=M_1, |A_2|=M_2, \cdots, |A_n|=M_n,$$ затем $$\mid A_1 \times A_2 \times A_3 \times \cdots \times A_n \mid=M_1 \times M_2 \times M_3 \times \cdots \times M_n. $$ 93=\mathbb{R}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ и так далее. ← предыдущая следующая → Печатная версия книги доступна на Amazon здесь. Операции над множествами – формула, свойства, примеры Операции над множествами – это концепция, аналогичная основным операциям над числами. Множества в математике имеют дело с конечным набором объектов, будь то числа, алфавиты или любые объекты реального мира. Иногда возникает необходимость установить связь между двумя или более множествами. Возникает понятие операций над множествами. Существует четыре основных операции над множествами, включая объединение множеств, пересечение множеств, дополнение множеств и разность множеств. В этой статье мы изучим различные операции с множествами, обозначения представления множеств, способы работы с множествами и их использование в реальной жизни. 1. Что такое операции над множествами? 2. Базовый набор операций 3. Свойства операций над множествами 4. Часто задаваемые вопросы по операциям набора Что такое операции над множествами? Набор определяется как набор объектов. Каждый объект внутри набора называется «Элемент». Множество может быть представлено в трех формах. Это форма заявления, форма списка и нотация построителя наборов. Операции над множествами — это операции, которые применяются к двум или более множествам для установления связи между ними. Существует четыре основных типа операций над множествами, которые заключаются в следующем. Набор комплектов Пересечение наборов Дополнение к набору Разница между комплектами/относительное дополнение Прежде чем мы перейдем к обсуждению различных операций над множествами, давайте вспомним концепцию диаграмм Венна, поскольку она важна для понимания операций над множествами. Диаграмма Венна — это логическая диаграмма, показывающая возможную связь между различными конечными множествами. Диаграмму Венна можно представить следующим образом. Базовый набор операций Теперь, когда мы знаем концепцию множества и диаграммы Венна, давайте подробно обсудим каждую операцию над множеством. Различные операции над множествами: Объединение множеств Для двух заданных множеств A и B, A∪B (читается как объединение B) представляет собой множество различных элементов, которые принадлежат множеству A и множеству B или обоим. Количество элементов в A ∪ B определяется выражением n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B), где n(X) — количество элементов в множестве X. Чтобы Чтобы лучше понять эту операцию объединения множеств, давайте рассмотрим пример: если A = {1, 2, 3, 4} и B = {4, 5, 6, 7}, то объединение A и B равно определяется как A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Пересечение множеств Для двух заданных множеств A и B, A ∩ B (читается как пересечение A B) — это множество общих элементов, принадлежащих множествам A и B. Количество элементов в A ∩ B определяется выражением n(A∩B) = n(A)+n(B)−n(A∪B), где n(X) — количество элементов в множестве X. Чтобы лучше понять эту операцию пересечения множеств, рассмотрим пример: если A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5, 7}, то пересечение A и B задается A ∩ B = {3, 4} . Установить разницу Разность между множествами подразумевает вычитание элементов из множества, что аналогично понятию разности между числами. Разница между наборами A и набором B, обозначенная как A − B, перечисляет все элементы, которые находятся в наборе A, но не в наборе B. Чтобы лучше понять эту операцию над набором разности наборов, рассмотрим пример: если A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5, 7}, то разница между множествами A и B определяется соотношением A — B = {1, 2}. Дополнение к наборам Дополнение множества A, обозначаемое как A′ или A ^c (читается как дополнение A), определяется как множество всех элементов данного универсального множества (U), которые не присутствуют в множестве A. Чтобы понять эту операцию дополнения множеств лучше, рассмотрим пример: если U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и A = {1, 2, 3, 4}, тогда дополнение множества A задается как A’ = {5, 6, 7, 8, 9}. На изображении выше показаны различные операции над наборами с помощью диаграмм Венна. Когда элементы одного множества B полностью лежат в другом множестве A, то B называется собственным подмножеством A. Когда два множества не имеют общих элементов, они называются непересекающимися множествами. Теперь давайте рассмотрим свойства операций над множествами. Свойства операций над множествами Свойства операций над множествами аналогичны свойствам основных операций над числами. Важные свойства операций над множествами указаны ниже: Закон перестановочности . Для любых двух заданных множеств A и B свойство перестановочности определяется как A ∪ B = B ∪ A Это означает, что множественная операция объединения двух множеств коммутативна. А ∩ В = В ∩ А Это означает, что множественная операция пересечения двух множеств коммутативна. Ассоциативный закон — Для любых трех заданных наборов A, B и C свойство ассоциативности определяется как (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Это означает, что операция объединения множеств ассоциативна. (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) Это означает, что операция пересечения множеств ассоциативна. Закон Де-Моргана — Закон Де Моргана гласит, что для любых двух множеств A и B мы имеем (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ и (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ А ∪ А = А А ∩ А = А А ∩ ∅ = ∅ А ∪ ∅ = А А ∩ В ⊆ А А ⊆ А ∪ В Важные примечания по операциям над множествами Формула операции над множествами для объединения множеств: n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) множества есть n(A∩B) = n(A)+n(B)−n(A∪B). Объединение любого множества с универсальным множеством дает универсальное множество, а пересечение любого множества A с универсальным множеством дает множество A. Объединение, пересечение, разность и дополнение — это различные операции над множествами. Дополнением универсального множества является пустое множество U′ = ϕ. Дополнением пустого множества является универсальное множество ϕ′ = U. Темы, связанные с операциями над множествами Надмножество Силовой набор Конечные и бесконечные наборы Часто задаваемые вопросы по операциям набора Что такое Операции над множествами в теории множеств? Операции над множествами — это операции, применяемые к двум или более множествам для установления связи между ними. Существует четыре основных вида операций над множествами. Каковы различные операции над наборами? Существует четыре основных вида операций с наборами: Набор комплектов Пересечение наборов Дополнение к набору Разница между комплектами/относительное дополнение Как мы используем операции над множествами в реальной жизни? Набор — это набор элементов. Некоторыми реальными примерами множеств являются список всех штатов в стране, список всех фигур в геометрии, список всех целых чисел от 1 до 100. Мы можем определить общие области, используя операцию пересечения множества. Как вы решаете проблемы с работой набора? Для решения задач с операциями над множествами мы используем диаграмму Венна для представления отношений между множествами и применяем формулу операций над множествами для объединения, пересечения, разности или дополнения множества. Какие из операций над множествами являются коммутативными и некоммутативными? Объединение и пересечение множеств являются коммутативными операциями над множествами, в то время как разность множеств не является коммутативной. Что такое набор символов операций? Существуют различные символы, используемые для различных операций с множествами, которые называются обозначениями множеств. Для объединения множеств мы используем ‘ ∪ ‘, для пересечения множеств используем ‘∩’, для разности множеств используем ‘-‘, а для дополнения множества A мы пишем как A’ или A ^c. Как найти разницу между двумя наборами? Для любых двух наборов A и B разность A-B перечисляет все элементы набора A, которых нет в наборе B. Как найти дополнение к набору? Для заданного универсального множества U и множества A дополнение множества A определяется как множество всех элементов универсального множества, отсутствующих в множестве A. Что такое операции объединения и пересечения множеств ? Для любых двух наборов A и B объединение определяется как комбинация элементов как в наборе A, так и в наборе B. Пересечение наборов дает общие элементы в наборе A и наборе B. Операции над множествами — теория, отношения, приложения & Примеры Теория множеств и ее Операции , вероятно, являются наиболее фундаментальной областью математики, необходимой для любого тщательного изучения математики. Математики, такие как Джордж Кантор , Ричард Дедекинд , Цермело и Франкель , расширили наши современные знания о теории множеств. Теория множеств включает в себя математические объекты, называемые множествами, и их операции называются операциями над множествами. Это исследование расширяет наши знания, чтобы узнать о различных типах операций над множествами и их важности. Георг Кантор (Источник) История Статья, посвященная теории множеств: «О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел» (1874) Джорджа Кантора. Около 1900 года Джордж Кантор обнаружил несколько парадоксов в теории множеств. Самым известным парадоксом был « парадокс Рассела ». Эти парадоксы вызвали потребность в более совершенной теории множеств. Ernst Zermelo и Abraham Fraenkel разработали Теория множеств Цермело-Френкеля сегодня как современная теория, свободная от парадоксов. Объяснение операций с множествами Операция с множествами — это математический процесс, который принимает набор(ы) в качестве входных данных и дает результат (число или набор). Примеры операций над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение, мощность, декартово произведение, множество мощности и т. д. Объединение множества Пусть A и B — два множества. Объединение A и B, обозначаемое $A \cup B$, представляет собой множество, содержащее те элементы, которые находятся либо в A, либо в B, либо в обоих. Ни один элемент не повторяется. Диаграмма Венна $A \cup B$ (Источник) $A \cup B = \{ x : x \in A \mbox{ or } x \in B \}$ Пример: Если $A = \{ 1,2,3,4 \}$ и $B = \{ 2, 5, 4, 6, 7 \}$, то $A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}$ . Вот некоторые существенные соотношения: Если A непустое множество, а B нулевое множество, то $A \cup B = A$. Если S — универсальное множество, а A — непустое множество, то $A \cup S = S$. $A \чашка B = B \чашка A$ ( Коммутативный ) $(A \cup B ) \cup C = A \cup ( B \cup C)$ ( Ассоциативный ) Пересечение множества Пусть A и B два набора. Пересечение A и B, обозначаемое $A \cap B$, представляет собой множество, содержащее те элементы, которые есть как в A, так и в B. Ни один элемент не повторяется. Диаграмма Венна $A \cap B$ (Источник) $A \cap B = \{ x : x \in A \mbox{ и } x \in B \}$ Пример: Если $A =\{1, 2, 3, 4 \}$ и $B = \{ 2, 5, 4, 6, 7 \}$, то $A \cap B =\{ 2, 4 \}$. Вот некоторые важные соотношения: Если A — непустое множество, а B — нулевое множество, то $A \cap B = \phi$. Если S — универсальное множество, а A — непустое множество, то $A \cap S = A$. $A \cap B = B \cap A$ ( Коммутативный ) $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ ( Ассоциативный ) Разность множества Пусть A и B — два множества. Разность A и B, обозначаемая $A – B$, представляет собой множество всех элементов A, которые не входят в B . Диаграмма Венна $B-A$ (Источник) $A – B = \{ x : x \in A \mbox{ и } x \not \in B \}$ Пример: Если $ A = \{1, 2, 3, 4 \}$ и $B = \{ 2, 5, 4, 6, 7 \}$, тогда $A – B = \{ 1\}$ . Точно так же $B – A = \{ 5, 6, 7 \}$. Читать о типах отношений Дополнение множества Пусть A — любое множество, а S — универсальное множество. Тогда A является подмножеством S ($A \subset S$). Дополнение A, обозначаемое A’ или $\bar{A}$, равно $A’ = S – A = \bar{A}$. Дополнительная диаграмма Венна (Источник) Пример: Если $S = \{ 1, 2, \ldots, 10 \}$ и $A = \{ 1, 2 , 3 \}$, то \ (A’ = \{ 4, 5, \ldots , 10 \}\) Вот некоторые существенные соотношения: Если A — нулевое множество, то $A’ = S$ . Если S универсальное множество, то $S’ = \phi$. $(А’)’ = А$. Мощность набора Мощность набора есть не что иное, как количество элементов набора ( неповторяющийся ). Пример: Если $A = \{ 0, 1, 2, \ldots , 10 \}$ , то мощность A , обозначаемая через $n(A)$, равна $n(A) = 11$. Декартово произведение множеств Пусть A и B — любые два множества. Декартово произведение или перекрестное произведение A и B — это множество $A \times B$, содержащее все упорядоченные пары элементов A и B. $A \times B = \{ (x, y) : \forall x \in A , y \in B \}$ Пример: Если $A = \{ 1, 2, 3 \}$ и $B = \{ 3, 4 \}$ тогда, 92 = 4\). Некоторые важные отношения с операциями над множествами чашка B \чашка C ) = n(A) +n (B) + n(C) — n(A \крышка B) — n (A \крышка C) + n( A \крышка B \крышка C)\) $A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )$ ( Распределительный ) $A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C )$ ( Распределительный ) $A \cup \phi = A$ $A \cup A’ = S$ $A \cap \phi = \phi$ $A \cap A ‘ = \phi$ $(A \cup B)’ = A’ \cap B’$ ( Закон Де Моргана ) $(A \cap B )’ = A’ \cup B’$ ( Закон Де Моргана ) Применение Теория множеств и операции Теория множеств и алгебра множеств находят применение в широком спектре областей — Статистика, физика, теория чисел, теория групп, теория вероятностей, инженерия, экономика и т. д. Теория множеств в основном используется в Исследование аксиоматической вероятности . Наиболее распространенные наборы: $\mathbb(R)$ — Набор действительных чисел. $\mathbb(Z)$ – множество целых чисел. $\mathbb(C)$ — Набор комплексных чисел. $\mathbb(N)$ — Набор натуральных чисел. $\mathbb(Q)$ — Набор рациональных чисел. $\mathbb(W)$ – Набор целых чисел. Примеры по Операции с установками Вопрос 1. Нарисуйте диаграммы Венна для законов Де Моргана. Ответ. Диаграмма закона Венна Де Морганса (Источник) Вопрос 2. При опросе 400 учащихся в школе 100 были указаны как употребляющие яблочный сок, 150 – как употребляющие апельсиновый сок, а 75 – употребляющие оба яблока как а также апельсиновый сок. Найдите, сколько студентов не употребляли ни яблочный, ни апельсиновый сок. Ответ. Пусть $U$ обозначает множество опрошенных студентов, $A$ обозначает множество студентов, пьющих яблочный сок, а $B$ обозначает множество студентов, пьющих апельсиновый сок. Затем $n (U) = 400, n (A) = 100, n (B) = 150$ и $n (A \cap B) = 75$. Теперь $n (A′ \cap B′) = n (A \cup B)′$ $= n(U) – n(A \cup B)$ $= n (U) – n (A) – n (B) + n (A \cap B) $ =>$= 400 – 100 – 150 + 75 = 225$. Таким образом, 225 учащихся не употребляли ни яблочный, ни апельсиновый сок. Вопрос 3. Перечислите все подмножества множества {–1, 0, 1}. Ответ. Подмножества: $\phi , \{ -1\} , \{ 0 \} , \{ 1 \} , \{ -1, 0 \} , \{ -1, 1\} , \{ 0, 1 \} , \{ -1, 0 , -1 \} $. Часто задаваемые вопросы Для чего используются декартовы произведения? Декартовы произведения составляют основу для определения домена и ко-домена функций и отношений. Например, вещественная функция — это отображение из $\mathbb(R) \times \mathbb(R)$ в $\mathbb(R) \times \mathbb(R)$. Какова мощность набора нулей? Набор мощностей нулевого набора является нулевым набором. Он имеет нулевую мощность. Какое кардинальное уравнение для объединения 4 множеств? $n(A \чашка B \чашка C \чашка D ) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) – n(A \cap B)$ $– n(B \cap C ) – n(C \cap D) + n(A \cap B \cap C) + n(A \cap B \cap D)$ $– n ( A \ крышка B \ крышка C \ крышка D )$. Наборы Python — операции и примеры Если вы новичок в Python, скорее всего, вы сталкивались со списками. Но слышали ли вы о множествах в Python? В этом уроке мы рассмотрим, что такое наборы, как их создавать и какие операции с ними можно использовать. В Python наборы точно такие же, как списки, за исключением того факта, что их элементы являются неизменяемыми (это означает, что вы не можете изменить/мутировать элемент набора после его объявления). Однако вы можете добавлять/удалять элементы из набора. Если это сбивает с толку, позвольте мне попытаться резюмировать: Набор — это изменяемая неупорядоченная группа элементов, где сами элементы неизменны. Еще одной характеристикой набора является то, что он может включать в себя элементы разных типов. Это означает, что вы можете иметь группу чисел, строк и даже кортежей в одном наборе! РЕКЛАМА Наиболее распространенный способ создания набора в Python — использование встроенной функции set() . >>> first_set = set(("Коннор", 32, (1, 2, 3))) >>> первый_набор {32, "Коннор", (1, 2, 3)} >>> >>> second_set = set("Коннор") >>> второй_набор {'н', 'С', 'р', 'о'} Вы также можете создавать наборы с помощью фигурной скобки {} синтаксис: >>> Third_set = {"Яблоки", ("Бананы", "Апельсины")} >>> тип (третий_набор) Функция set() принимает итерируемый и возвращает список объектов, которые будут вставлены в набор. Синтаксис {} помещает сами объекты в набор. Как вы, наверное, поняли, используете ли вы set() или {} для создания набора, каждый элемент должен быть неизменяемым объектом. Поэтому, если вы добавите список (который является изменяемым объектом) в набор, вы столкнетесь с ошибкой: >>> correct_set = {"Яблоки", ["Бананы", "Апельсины"]} Traceback (последний последний вызов): Файл "", строка 1, в TypeError: unhashable type: 'list' Мы уже знаем, что наборы изменяемы. Это означает, что вы можете добавлять/удалять элементы в наборе. Вот пример добавления элементов в набор с помощью update() функция. >>> add_set = набор ((1, 2, 3, 4)) >>> add_set {1, 2, 3, 4} >>> >>> add_set.update((1,)) >>> add_set {1, 2, 3, 4} >>> add_set.update(("виолончель", "скрипка")) >>> add_set {1, 2, 3, 4, 'скрипка', 'виолончель'} Но обратите внимание, что ничего не меняется, когда мы снова пытаемся добавить в набор «виолончель»: >>> add_set. update(("виолончель" ,)) >>> add_Set {1, 2, 3, 4, "скрипка", "виолончель"} Это связано с тем, что наборы в Python не могут содержать дубликаты. Итак, когда мы попытались снова добавить «виолончель» в набор, Python распознал, что мы пытаемся добавить повторяющийся элемент, и не обновил набор. Это одно предостережение, которое отличает наборы от списков. Вот как можно удалить элементы из набора: >>> sub_set = add_set >>> sub_set.remove("скрипка") >>> подмножество {1, 2, 3, 4, "виолончель"} remove(x) 9Функция 0699 удаляет элемент x из набора. Он возвращает KeyError , если x не является частью набора: >>> sub_set.remove("гитара") Traceback (последний последний вызов): Файл "", строка 1, в KeyError: 'гитара' Есть несколько других способов удалить элемент(ы) из набора: метод discard(x) удаляет x из набора, но не вызвать любую ошибку, если х в комплекте нету. метод pop() удаляет и возвращает случайный элемент из набора. метод clear() удаляет все элементы из набора Вот несколько примеров для иллюстрации: >>> m_set = set((1, 2, 3, 4)) >>> >>> m_set.discard(5) # ошибка не возникает, хотя '5' отсутствует в наборе >>> >>> m_set.pop() 4 >>> m_set {1, 2, 3} >>> >>> m_set.clear() >>> m_set установить() Если вы помните базовую математику в средней школе, вы, вероятно, вспомните математические операции над множествами, такие как объединение , пересечение , разность и симметричная разность . Что ж, вы можете добиться того же с наборами Python. РЕКЛАМА 1. Объединение множеств Объединением двух множеств является множество всех элементов обоих множеств без дубликатов. Вы можете использовать метод union() или метод | Синтаксис для поиска объединения набора Python. >>> first_set = {1, 2, 3} >>> второй набор = {3, 4, 5} >>> first_set.union(second_set) {1, 2, 3, 4, 5} >>> >>> первый_набор | second_set # с использованием оператора `|` {1, 2, 3, 4, 5} 2. Пересечение множеств Пересечением двух множеств является множество всех общих элементов обоих множеств. Вы можете использовать метод пересечения() и , чтобы найти пересечение набора Python. >>> first_set = {1, 2, 3, 4, 5, 6} >>> second_set = {4, 5, 6, 7, 8, 9} >>> first_set.intersection(second_set) {4, 5, 6} >>> >>> first_set и second_set # с помощью оператора `&` {4, 5, 6} 3. Разница между наборами Разница между двумя наборами представляет собой набор всех элементов первого набора, которые отсутствуют во втором наборе. Вы бы использовали метод разницы() или оператор - для достижения этого в Python. >>> first_set = {1, 2, 3, 4, 5, 6} >>> second_set = {4, 5, 6, 7, 8, 9} >>> first_set. difference(second_set) {1, 2, 3} >>> >>> first_set - second_set # с использованием оператора `-` {1, 2, 3} >>> >>> второй_набор - первый_набор {8, 9, 7} РЕКЛАМА 4. Set Symmetric Difference Симметричная разность между двумя наборами — это набор всех элементов, равных 9` оператор {1, 2, 3, 7, 8, 9} Каждая из операций set() , которые мы обсуждали выше, может использоваться для модификации существующего набора Python. Подобно тому, как вы использовали бы расширенный синтаксис присваивания, такой как += или *= , для обновления переменной, вы можете сделать то же самое для наборов: >>> a = {1, 2, 3, 4, 5, 6} >>> б = {4, 5, 6, 7, 8, 9} >>> >>> a.update(b) # операция "объединения" >>> а {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9= b # операция "симметричная разность" >>> а {7, 8, 9} Они встречаются не так часто, но помогают увидеть, как наборы соотносятся с другими. метод a.issubset(b) или <= возвращает true, если a является подмножеством = Оператор возвращает true, если a является надмножеством из b метод a. isdisjoint(b) возвращает true, если нет общих элементов между наборами a и b означает, что вы не можете использовать их в качестве ключей словаря. Python позволяет обойти это, используя вместо этого замороженный набор . Он имеет все свойства набора, за исключением того, что он неизменяемый (это означает, что вы не можете добавлять/удалять элементы из замороженного набора). Его также можно хешировать, поэтому его можно использовать в качестве ключей к словарю. Тип данных frostset имеет все методы множества (такие как Different() , symmetric_difference и union ), но поскольку он неизменяем, у него нет методов для добавления/удаления элементов. >>> а = замороженный набор ((1, 2, 3, 4)) >>> b = заморозка((3, 4, 5, 6)) >>> >>> a.issubset(b) ЛОЖЬ >>> a.update(b) # вызывает ошибку Traceback (последний последний вызов): Файл "", строка 1, в AttributeError: объект «замороженный» не имеет атрибута «обновление» И использовать замороженный набор s в качестве ключей словаря так же просто, как 1, 2, 3: >>> a = замороженный набор ((1, 2, 3, 4)) >>> b = замороженный набор(("w", "x", "y", "z")) >>> >>> d = {а: "привет", б: "мир"} >>> д {frozenset({1, 2, 3, 4}): 'привет', frostset({'w', 'x', 'y', 'z'}): 'world'} Вот и все! Вы узнали о том, что такое наборы, как их создавать и работать с ними, а также о различных операциях, которые вы можете с ними использовать. После того, как наборы были готовы, вы должны освоиться с большинством встроенных функций Python. Все, что вам нужно сделать сейчас, это практика. Удачи! Не забудьте подписаться на меня в Твиттере, чтобы быть в курсе новых новостей. Удачи! Научитесь программировать бесплатно. Учебная программа freeCodeCamp с открытым исходным кодом помогла более чем 40 000 человек получить работу в качестве разработчиков. Начать РЕКЛАМА операторов набора SQL | Работа и типы операторов множества в SQL Операторы набора SQL используются для объединения результатов, полученных из двух или более запросов, в один результат. Запросы, содержащие два или более подзапросов, называются составными запросами. Существует четыре основных типа операторов SQL, а именно: Union Все соединения Пересечение Минус Вот абстрактная таблица всего, что мы будем изучать в этой статье. Оператор набора SQL Функция Союз Объединяет разные результаты двух или более операторов SELECT. Соединение Все Объединяет все результаты двух или более операторов SELECT, включая дубликаты. Пересечение Возвращает только общие записи, полученные из двух или более операторов SELECT. Минус Возвращает только те записи, которые являются эксклюзивными для первой таблицы. Syntax and Parameters of SQL Set Operators The generic syntax for working with SQL set operators is as follows: Syntax: SELECT column_name FROM table_name_1 SET OPERATOR SELECT column_name FROM table_name_2 SET OPERATOR SELECT имя_столбца FROM имя_таблицы_3 . . . Параметры: Различные параметры, используемые в синтаксисе: ОПЕРАТОР НАСТРОЙКИ: Укажите тип операции с множествами, которую вы хотите выполнить из {Объединение, Объединение всех, Пересечение, Минус} имя_столбца: Укажите имя столбца, над которым вы хотите выполнить операцию над набором и хотите получить в наборе результатов FROM table_name_1: Укажите имя первой таблицы, из которой должен быть извлечен столбец FROM table_name_2: Укажите имя второй таблицы, из которой должен быть извлечен столбец Из вышеперечисленных параметров все параметры являются обязательными. Вы можете использовать предложения WHERE GROUP BY и HAVING в зависимости от ваших требований. Работа Вот несколько моментов, о которых следует помнить при работе с операторами набора SQL: Количество столбцов в операторе SELECT, к которым мы применили операторы набора SQL, должно быть одинаковым. Выбранные столбцы должны иметь одинаковый тип данных. Порядок столбцов должен быть таким же, как указано в операторе SELECT. Далее мы подробно обсудим вышеупомянутые функции. Чтобы эффективно продемонстрировать и объяснить операторы множества в SQL, мы будем использовать следующие таблицы. Эти примеры таблиц — «customers_jan» и «customers_dec». Эти таблицы содержат 10 записей, каждая из которых содержит идентификатор, имя, город и страну клиента. Давайте посмотрим на записи в таблицах customers_jan и customers_dec. Чтобы позже мы могли понять, чем полезны операции над множествами. Схема для обсуждаемых таблиц заключается в следующем. : 1. Оператор множества Union Оператор множества UNION используется для объединения результатов, полученных из двух или более операторов SELECT. Вот пример, иллюстрирующий использование оператора UNION. Пример: Найдите имена всех клиентов ВЫБЕРИТЕ имя ИЗ customers_dec ОБЪЕДИНЕНИЕ ВЫБЕРИТЕ имя ИЗ customers_jan; Примечание : Уникальный выбор только различных значений. Это может создать проблемы, когда у нас есть клиенты с одним и тем же именем, но в разных странах или городах. Вы заметите, что есть два клиента по имени Акшай Гупта, один из Дели, а другой из Бангалора. Но оператор Union вернул только одно имя клиента. То же самое для Аканши Сингха. Чтобы решить вышеупомянутую проблему, мы можем использовать оператор UNION ALL. 2. Оператор объединения всех множеств Оператор множества UNION используется для объединения всех результатов, полученных из двух или более операторов SELECT. В отличие от оператора Union, он учитывает повторяющиеся значения и включает их в окончательный результат. Вот пример, иллюстрирующий использование оператора UNION ALL. Пример: Найдите имена всех клиентов, которые зарегистрировались в декабре или январе. ВЫБЕРИТЕ имя ИЗ customers_dec ОБЪЕДИНЕНИЕ ВСЕХ ВЫБЕРИТЕ имя ИЗ customers_jan; Вы заметите, что есть два разных клиента по имени Акшай Гупта, один из Дели, а другой из Бангалора. Оператор Union ALL тоже принял во внимание и дважды вернул Акшая Гупту. То же самое и с Аканшей Сингхом. 3. Оператор множества пересечений Оператор множества пересечений, используемый для объединения всех результатов двух операторов SELECT. Но возвращает только те записи, которые являются общими для обоих операторов SELECT. Примечание . Оператор INTERSECT не поддерживается в базах данных MYSQL. Мы можем использовать предложение IN или EXIST IN для выполнения подобных операций. Вот пример, иллюстрирующий использование оператора INTERSECT. Пример: Найдите информацию о покупателях, совершивших покупки в декабре и январе. ВЫБЕРИТЕ имя, город ОТ customers_dec INTERSECT ВЫБЕРИТЕ имя, город ОТ customers_jan; 4. Оператор минус-сет Оператор набора МИНУС используется для объединения всех результатов двух или более операторов SELECT. Но возвращает только те записи, которые присутствуют исключительно в первой таблице. Примечание . Оператор МИНУС поддерживается только в базах данных Oracle. Для других баз данных, таких как SQL Server, PostgreSQL и SQLite, мы можем использовать оператор EXCEPT для выполнения аналогичных операций. Вот пример, иллюстрирующий использование оператора EXCEPT. Пример: Найдите сведения о покупателях, которые совершали покупки только в декабре, но не в январе. ВЫБЕРИТЕ имя, город ИЗ customers_dec ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ВЫБЕРИТЕ имя, город ИЗ customers_jan; Рекомендуемые статьи Это руководство по операторам набора SQL. Здесь мы обсуждаем работу, типы и функции операторов множества SQL, а также синтаксис и параметры. Вы также можете просмотреть следующие статьи, чтобы узнать больше – Список предложений SQL | Синтаксис и пример Как использовать запрос LIKE в SQL? Как НЕ работает условие в MySQL? Оператор SQL IN Узнайте значение, операции, примеры и свойства! Алгебра операций над множествами выполняется над двумя или более множествами для получения смеси элементов в соответствии с операцией, выполняемой над заданными множествами. Набор определяется как четко определенный набор объектов, и эти объекты известны как элементы набора. Набор обозначается заглавными буквами. Например: P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Компоненты множества в математике, как видно из приведенного выше примера, вложены в фигурные скобки, разделенные запятыми. Основные операции, которые можно выполнять над отношениями множества: пересечение множеств, объединение множеств, дополнение множества и разность множеств. В этой статье мы постараемся изучить основные операции теории множеств, свойства с примерами и многое другое. Что такое набор операций? В математике совокупность элементов или групп вещей означает заданное значение. Существуют различные типы наборов, такие как пустой набор, конечный набор, бесконечный набор, равный набор, набор мощности, эквивалентный набор, подмножество, надмножество и универсальный набор. Фундаментальная операция над множествами — это понятие, аналогичное операциям над числами. Там, где требуется установить связь между двумя или более множествами, возникает понятие операций над множествами. Существует четыре основных операции набора, а именно: Объединение множеств Пересечение множеств Дополнение множества Различие между множествами Операции над базовыми множествами К множеству можно обращаться в трех формах. а именно; форма оператора, форма реестра, форма построителя набора и операции с наборами являются фундаментальными операциями, которые используются на двух или более чем двух наборах для установления отношений между данными наборами. Теперь давайте узнаем и поймем диаграмму Венна, прежде чем переходить к различным операциям на съемочной площадке. Диаграмма Венна — это логическое представление данных, показывающее возможную взаимосвязь между различными конечными множествами. Пример показан ниже. Мы узнаем больше об использовании диаграммы Венна через различные операции над множествами. Объединение множеств Если мы рассмотрим два множества, скажем P и Q, то объединение P и Q содержит все элементы, существующие в множестве P и множестве Q. Объединение множеств обозначается как P∪Q и представлено как: P ∪ Q = {a: a ∈ P или a ∈ Q} Здесь «а» обозначает элементы, которые присутствуют как в P, так и в Q. Количество элементов в P ∪ Q определяется по формуле: n(P∪Q) = n(P) + n(Q) − n(P∩Q) . Объединение множеств Диаграмма Венна выглядит следующим образом: Заштрихованная область указывает P∪Q. Пример: Чтобы лучше понять эту операцию объединения множеств, рассмотрим пример: если P = {1, 2, p, q} и Q = {3, 4, s, t} , то объединение P и Q берется в виде P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, p, q, s, t}. 9nP_i\) Пересечение множеств Для любых двух заданных множеств, скажем P и Q, пересечение P и Q содержит все общие элементы, принадлежащие множествам P и Q. Символически представляется как: P∩Q Операция пересечения представлена в виде: P∩Q = {x : x ∈ P и x ∈ Q} Здесь x — общая компонента обоих множеств P и Q. Пересечение множеств P и Q также можно рассчитать по формуле, как показано: P∩Q = n(P) + n(Q) – n(P∪Q) Здесь n(P) обозначает кардинальное число множества P. n(B) обозначает кардинальное число множества Q. n(P ∪ Q) обозначает кардинальное число объединения множеств P и Q. Диаграмма Венна пересечения множеств выглядит следующим образом: Заштрихованное место показывает P ∩Q. Заштрихованная область на приведенной выше диаграмме Венна показывает P∩Q∩R. Пример: Если P = {3, 5, r, s} и Q = {4, 5, p, s}, то пересечение P и Q определяется как P ∩ B = {5, s}, как ' 5' и 's' являются общими для обоих данных наборов. Если $P_1, P_2, P_3,⋯, P_n$ — n множеств, то их множество пересечений включает все элементы, присутствующие во всех заданных множествах. Мы можем составить это пересечение по формуле: $\cap_iP_i$ Ознакомьтесь с этой статьей о декартовом произведении множеств. Установить разницу Разность наборов указывает на вычитание компонентов из набора, что эквивалентно вычислению разницы между числами/цифрами. Если нам даны два множества P и Q, то разница между двумя множествами эквивалентна множеству, которое охватывает элементы, присутствующие в P, но не в Q. Разность множеств представляется как P-Q. Диаграмма Венна разности множеств. Заштрихованное пространство указывает P-Q. Установить разницу Пример 9{с}\). Пример: Если U = {a, b, c, d, e, f, g, i} и P = {a, b, c, d}, то дополнение множества P определяется выражением Р' = {е, е, г, я}. Непересекающееся множество Два заданных множества считаются непересекающимися, если их пересечение приводит к пустому множеству. т. е. множества не содержат общих элементов. Выше приведена диаграмма Венна непересекающегося Q. Пример Пусть P = {a, e, i, o, u} и Q = {b, c, d, f, g }0003 Здесь P и Q непересекающиеся множества, поскольку оба они не содержат общих элементов. Ознакомьтесь с другими темами по математике здесь. Свойства операций над множествами Множество представлено как совокупность объектов, элементы которых фиксированы и не могут быть изменены. В свойствах множества используется понятие, аналогичное свойствам основных операций в системе счисления. Различные свойства перечислены ниже: Коммутативное свойство Для любых двух заданных множеств P и Q свойство коммутативности представлено в виде: как и пересечение двух множеств, носит коммутативный характер. Ассоциативное свойство Для заданных 3 множеств P, Q и R ассоциативное свойство изображается как: (P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R) Также: ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R) Это означает, что объединение множеств, а также пересечение множеств носят ассоциативный характер. Распределительное свойство Для заданных 3 множеств P, Q и R распределительное свойство изображается как: P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) Узнайте больше об отношениях и функциях здесь. Закон Де-Моргана Закон гласит, что для любых двух множеств P и Q мы имеем (P ∪ Q)’ = P’ ∩ Q’ и (P ∩ Q)’ = P’ ∪ Q’ 92-4y-5=0\right\}\) можно представить в обжарщике следующим образом: B = {-1, 5}. Пусть C = (A ∩ B) = {-1}. ⇒ A ∪ C = {-1, 3} Следовательно, A ∪ (A ∩ B)={-1, 3} Также читайте о последовательностях и сериях здесь. Вопрос 2: Какое из следующих утверждений верно для любых двух множеств A и B? I (A∪B)′=A′∩B′ (A∩B)′=A′∪B′ III. (A−B)=A∩B′ Решение: По закону Деморгана: Для любых двух множеств A и B имеем (A∪B)′=A′∩B′ и (A∩B)′=A′∪B′ Кроме того, A – B = {c | c ∈ A и c ∉ B} = A ∩ B’. Следовательно, все три варианта верны. Пример 3: В классе каждый ученик изучает либо английский, либо математику, либо и то, и другое. Было обнаружено, что 300 студентов изучают английский язык, 250 студентов изучают математику и 150 студентов изучают и то, и другое. Найдите, сколько учеников было в классе, используя формулу операции над множествами. Решение: Пусть количество студентов, изучающих английский язык, равно n(E), а количество студентов, изучающих математику, равно n(M). Имеем n(E) = 300, n(M) = 250 и n(E ∩ M) = 150. Мы знаем, что n(E∪M) = n(E) + n(M) − n (E∪M) Следовательно, n(E∪M)=(300+250)−150 n(E∪M) = 400 Общее количество студентов в вызовах равно 400. Мы надеемся что приведенная выше статья об операциях над множествами полезна для вашего понимания и подготовки к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам. Часто задаваемые вопросы об операциях с наборами В.1. Какие существуют типы наборов? Ответ 1 Различные типы множеств: пустое множество, конечное множество, одноэлементное множество, эквивалентное множество, подмножество, множество мощности, универсальное множество, надмножество и бесконечное множество. Q.2 Что означает набор? Ответ 2 В математике совокупность элементов или групп вещей означает набор значений. Q.3 В чем разница между набором и набором? Ответ 3 Коллекция может содержать различные типы элементов. Однако набор — это четко определенная группа отдельных компонентов, заключенная в квадратные скобки. Q.4 Каковы некоторые приложения теории множеств в реальной жизни? Ans. 4 Приложения теории множеств чаще всего используются в науке, физике и математике, а также в компьютерной и электрической технике. При подготовке логических основ по геометрии, по созданию алгебры топологии и многого другого. В.5 В чем разница между наборами? Ответ 5 Разность множеств указывает на вычитание компонентов из множества, что эквивалентно вычислению разницы между числами. Q.6 Каковы 4 операции множеств? Ответ 6 Четыре важные операции над множествами: Объединение множеств. Пересечение множеств. Комплектация наборов. Разница между наборами Q.7 Каковы основные свойства наборов? Ответ 7 Основные свойства множеств: Коммутативность. Ассоциативное свойство. Распределительное свойство. Q.8 Что вы подразумеваете под операцией на съемочной площадке? Ответ 8 Когда два или более набора объединяются для создания одного набора при данных обстоятельствах, выполняются операции над наборами.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a→ с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA→, значит, OA→=OAx2+OAy2.

Если вектор a→ дан в виде разложения по координатным векторам a→=ax·i→+ay·j→, то вычислить его длину можно по той же формуле a→=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a→ в заданной системе координат.

Пример 1Вычислить длину вектора a→=7;e, заданного в прямоугольной системе координат. Решение Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатамa→=ax2+ay2: a→=72+e2=49+e Ответ: a→=49+e. Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже) В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA→=OAx2+OAy2+OAz2. Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2. Пример 2Вычислить длину вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, где i→,j→,k→ — орты прямоугольной системы координат. Решение Дано разложение вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, его координаты равны a→=4,-3,5. Используя выше выведенную формулу получим a→=ax2+ay2+az2=42+(-3)2+52=52. Ответ:a→=52. Длина вектора через координаты точек его начала и конца Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца. Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB→ имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB→ можно вычислить по формуле AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2 Пример 3Найти длину вектора AB→, если в прямоугольной системе координат A1, 3, B-3, 1. Решение Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2: AB→=(-3-1)2+(1-3)2=20-23. Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: AB→=(-3-1; 1-3)=(-4; 1-3); AB→=(-4)2+(1-3)2=20-23.- Ответ: AB→=20-23. Пример 4Определить, при каких значениях длина вектора AB→ равна 30, еслиA(0, 1, 2); B(5, 2, λ2) . Решение Для начала распишем длину вектора AB→ по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2=(5-0)2+(2-1)2+(λ2-2)2=26+(λ2-2)2 Затем полученное выражение приравняем к 30, отсюда найдем искомые λ: 26+(λ2-2)2=3026+(λ2-2)2=30(λ2-2)2=4λ2-2=2 или λ2-2=-2 λ1=-2, λ2=2, λ3=0. Ответ: λ1=-2, λ2=2, λ3=0. Нахождение длины вектора по теореме косинусов Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора. Пусть заданы длины двух векторов AB→, AC→ и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC→ или CB→. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора. Рассмотрим такой случай на следующем примере. Пример 5Длины векторов AB→ и AC→ равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π3. Вычислить длину вектора BC→. Решение Длина вектора BC→ в данном случае равна длине стороны BC треугольника △ABC. Длины сторон AB и AC треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов:BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos∠(AB,→AC→)=32+72-2·3·7·cosπ3=37 ⇒BC=37 Таким образом, BC→=37. Ответ:BC→=37. Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a→=ax2+ay2 или a→=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов. Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р. Автор: Ирина Мальцевская Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта Вычисление длины вектора — Программные вопросы #1 OFFLINE Onix Отправлено 21 Август 2008 — 14:01 Как можно узнать или вычислить при помощи какой программы длину вектора? В АртКаме есть, но там нужно выбирать по одному вектору Заранее благодарен! Похожие темы: Как в АртКаме посчитать периметр вырезаемого объекта? Программа для вычисление обьема детали Наверх #2 OFFLINE vv92 Отправлено 21 Август 2008 — 14:03 plotcalc. com Знаю технику безопасности как свои три пальца.Эксперт — это существо, которое перестало мыслить, ибо оно знает!В мире еще много граблей, на которые не ступала нога человека. Пожалуйста! Исправляйте мои глупые ошибки (но оставьте мои умные ошибки)! Наверх #3 OFFLINE Sherak Отправлено 21 Август 2008 — 14:11 Есть очень удобный плагин для CorelDraw — Measure Perimeter называется. measure_perimeter_1_1.zip 9,01К 2892 скачиваний WBR, Anatoly Наверх #4 OFFLINE Onix Отправлено 21 Август 2008 — 14:26 Спасибо будем пробовать )))! П. С. Весьма доволен форумом!!! Сообщение отредактировал 3D-BiG: 21 Август 2008 — 15:10 Наверх #5 OFFLINE Sherak Отправлено 21 Август 2008 — 14:40 http://plotcalc.com/ Блин, она платная… WBR, Anatoly Наверх #6 OFFLINE 3D-BiG Отправлено 21 Август 2008 — 15:18 Sherak: Все в этом мире имеет две ценности, хотя plotcalc написан русским программистом и стоит честно говоря — копейки, а дает экономию — бааальшие рубли. .. А ряд функций работают и в демо-режиме… Наверх #7 OFFLINE vv92 Отправлено 21 Август 2008 — 15:53 Измерение длины работает в демке. Знаю технику безопасности как свои три пальца.Эксперт — это существо, которое перестало мыслить, ибо оно знает!В мире еще много граблей, на которые не ступала нога человека. Пожалуйста! Исправляйте мои глупые ошибки (но оставьте мои умные ошибки)! Наверх #8 OFFLINE Onix Отправлено 21 Август 2008 — 18:35 Нашел ломаную версию, только проблема в том что у меня Корел 14 а он только для 13 написал, перевешивать нехочется, а в принцепе хорошая софтина! Пока measure perimeter меня устраивает! Наверх #9 OFFLINE Buzl Отправлено 22 Август 2008 — 10:44 В арткаме когда создаешь УП там есть значок блокнотика там пишет и длину реза и свободного перемещения и время Наверх #10 OFFLINE woodman Отправлено 01 Сентябрь 2008 — 12:41 в программе TypeEdit (Type3) есть такая функция. Выбираешь любой векторный объект нажимаешь соответсвующую кнопку и получаешь результат. Наверх #11 OFFLINE wizard Отправлено 01 Сентябрь 2008 — 13:16 Я давно пользуюсь простенькой программкой PLTV.EXE. Инсталяшка весит 100 с мелочью Килобайт.. И клиентам почти всем ее пристроил.. Токо сначала приходится сохранять в PLT- формате.. Если кому надо- кину.. Не делай добро..Не бросай его в воду.. Наверх #12 OFFLINE vv92 Отправлено 01 Сентябрь 2008 — 13:19 Plotcalc удобен тем, что можно расчитать стоимость (длину реза) прямо из присланного файла (не нужно делать массы лишних операций и сделать это может менеджер). Знаю технику безопасности как свои три пальца.Эксперт — это существо, которое перестало мыслить, ибо оно знает!В мире еще много граблей, на которые не ступала нога человека. Пожалуйста! Исправляйте мои глупые ошибки (но оставьте мои умные ошибки)! Наверх #13 OFFLINE Sherak Отправлено 01 Сентябрь 2008 — 13:30 Если менеджер умеет пользоваться Корелом, как в этом случае, то проще таки выделить все, что нужно для резки и жамкнуть кнопку меасура периметра. А получившуюся длину умножить на стоимость за метр уже на калькуляторе. WBR, Anatoly Наверх #14 OFFLINE rexti64 Отправлено 01 Сентябрь 2008 — 14:58 Если про длину векторов, то в аркаме выделяешь вектор щелкаешь правой кнопкой выбираешь свойства и там тебе пропишется все и длина вектора и пощадь и тп (только с единичным вектором). А если про длину всех выбранных веторов — сам писал програмку на дельфи если надо могу скинуть. Выбираешь все вектора делаешь УП Обработка вдоль векторов глубина любая фреза любая и сохраняешь ее в формате выходного файла Cipher (*.plt) (с этим форматом работает моя программа). Наверх #15 OFFLINE rexti64 Отправлено 02 Сентябрь 2008 — 08:41 Извиняюсь насчет глубины. Глубина должна быть для прохода один раз фрезой (я ставлю 0). Наверх #16 OFFLINE Sherak Отправлено 17 Ноябрь 2008 — 08:26 На счет плоткалка. 2 месяца работы с ним меня полностью убедили, что работать с ним невозможно. Это окно постоянно мешается во всех прогах что неизбежно приводит к его закрытию, после чего по закону подлости возникает острая необходимость что-нибудь измерить. Расскидывает объекты коряво на мой взгляд — вручную проще и экономичнее. Метод упрощения чистки пленки у нас как-то не прижился. Меасуре и проще и удобнее. Все ИМХО WBR, Anatoly Наверх #17 OFFLINE rexti64 Отправлено 17 Ноябрь 2008 — 14:08 Программка: V_Length.rar 300,28К 1476 скачиваний Наверх #18 OFFLINE gost2 Отправлено 22 Март 2009 — 23:49 8.2008, 14:01″>Как можно узнать или вычислить при помощи какой программы длину вектора? В АртКаме есть, но там нужно выбирать по одному вектору Заранее благодарен! Есть также макросы для Corel: Perimeter Perimeter.rar 6,37К 1073 скачиваний, GetArea Text (считает также площадь) GetAreaText.rar 16,44К 924 скачиваний Наверх #19 OFFLINE kontrolnaya Отправлено 05 Сентябрь 2009 — 21:51 Как можно узнать или вычислить при помощи какой программы длину вектора? В АртКаме есть, но там нужно выбирать по одному вектору Заранее благодарен! Длина вектора онлайн Наверх #20 OFFLINE 3D-BiG Отправлено 06 Сентябрь 2009 — 00:22 kontrolnaya, здесь в этом разделе под длиной вектора жаргонно подразумевается периметр линии заданной кривыми Бельзъе и отрезками — базис Corel. .. Наверх длина суммы векторов и теорема косинусов Сложение векторов: как действовать Сложение векторов: решение примеров Сложение векторов — онлайн калькулятор Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора ) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов. Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами». Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте. При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть и — векторы, — угол между ними, а — сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение: , где — угол, смежный с углом . У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше). Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины: . В случае вычитания векторов () происходит сложение вектора с вектором , противоположным вектору , то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и и и между и являются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов: косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки. Перейдём к примерам. Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов) Пример 1. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность . Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что . Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами: Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла: Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн. Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение Пример 2. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность . Правильное решение и ответ. Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности . Решение. Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его: Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс. Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла: Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн. Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы . Решение. Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его: Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и : Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла: Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн. Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов) Пример 5. Векторы и взаимно перпендикулярны, а их длины . Найти длину их суммы и и длину их разности . Решение. Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их: Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения: 1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. , 2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. , 3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ? Решение. Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение: То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол. Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение: Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1). Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение: Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол. Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов) Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн. Назад Листать Вперёд>>> Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! К началу страницы Пройти тест по теме Векторы Поделиться с друзьями Начало темы «Векторы» Векторы: определения и действия над векторами Продолжение темы «Векторы» Линейная зависимость векторов Базис системы векторов. Аффинные координаты Векторное и смешанное произведение векторов Сообщество Экспонента Публикация 15.09.2022 Системы управления, Другое Видел видос на канале экспоненты по созданию топливной системы. Вопрос заключается в наличии более полного описания готового примера или соответсвующее документации. Я новичок в симулинке и ещё многого не знаю. Адекватных и раскрытых пособий по созданию гидрав… Моделирование гидравлических систем в simulink Публикация 10.09.2022 Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое Планирую написать книгу про модельно-ориентированное программирование с автоматическим генерированием кода применительно к разработке разнообразных микропроцессорных систем управления электроприводов. В этой книге в научно-практическо-методической форме я план… Планирую написать книгу про модельно-ориентированное программирование с автоматическим генерированием кода применительно к разработке разнообразных микропроцессорных систем управления электроприводов. Публикация 24.08.2022 Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика &… Здесь собрана литература по комбинированным методам множественного доступа, в которых используется разделение пользователей в нескольких ресурсных пространствах. вопрос 23.08.2022 Математика и статистика, Радиолокация, Цифровая обработка сигналов Есть записанный сигнал с датчика (синус с шумом). Как определить соотношение сигнал/шум? Есть записанный сигнал с датчика (синус с шумом). Как определить соотношение сигнал/шум? 4 Ответа ЦОС цифровая обработка сигналов 23.08.2022 Публикация 23.08.2022 Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика &. .. Здесь соборана литература по методам множественного доступа с поляризационным разделением и разделением по орбитальном угловому моменту. Публикация 16.08.2022 Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика Здесь собрана литература по методам множественного доступа с пространственным разделением. вопрос 22.07.2022 Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Математика и статистика, Биология, Встраиваемые системы, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Автоматизация испытаний, ПЛИС и СнК, Системы управления, Другое Здравствуйте. Мне нужно обработать большое количество файлов с похожими названиями, каждый блок файлов относится к отдельному объекту, например: file_1_1.txt file_1_2.txt file_1_3.txt file_1_4.txt fil… Здравствуйте. Мне нужно обработать большое количество файлов с похожими названиями, каждый блок файлов относится к отдельному объекту, например: file_1_1.txt file_1_2.txt file_1_3.txt file_1_4.txt fil… 2 Ответа чтение 22.07.2022 вопрос 17.07.2022 Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов Уважаемые коллеги, добрый вечер! В общем, возникла проблема следующего характера. Имеется сигнал, достаточно большой объем точек, длительность порядка 35-40 секунд. Он представлят собой последовательн… Уважаемые коллеги, добрый вечер! В общем, возникла проблема следующего характера. Имеется сигнал, достаточно большой объем точек, длительность порядка 35-40 секунд. Он представлят собой последовательн… MATLAB Signal Processing 17.07.2022 вопрос 15.07.2022 Системы связи, Цифровая обработка сигналов Здравствуйте! Сделала в симулинке модель сигнала с модуляцией QPSK. На входе сигнала подала последоватльномть с Генератора Бернули бинарного. Sample time: 1/8000. ПРи выводе сигнала на анализатор спек… Здравствуйте! Сделала в симулинке модель сигнала с модуляцией QPSK. На входе сигнала подала последоватльномть с Генератора Бернули бинарного. Sample time: 1/8000. ПРи выводе сигнала на анализатор спек… сигнал модуляция qpsk скорость бита битрейт символьная скорость скорость передачи информации цифровая манипуляция 15.07.2022 Публикация 13.07.2022 Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика &… Здесь собрана литература по методам множественного доступа с кодовым разделением Результаты поиска Нет результатов поиска, попробуйте задать другие параметры. Нежное введение в векторные нормы в машинном обучении Дата публикации 2018-02-05 Вычисление длины или величины векторов часто требуется либо непосредственно как метод регуляризации в машинном обучении, либо как часть более широких векторных или матричных операций. В этом уроке вы узнаете, как рассчитать длину или величину вектора, называемую векторной нормой. После завершения этого урока вы узнаете: Норма L1, которая рассчитывается как сумма абсолютных значений вектора. Норма L2, которая рассчитывается как квадратный корень из суммы квадратов векторных значений. Максимальная норма, которая рассчитывается как максимальные значения вектора. Давайте начнем. Обновление март / 2018: Исправлена опечатка в уравнении максимальной нормы. Обновление сентябрь / 2018: Исправлена опечатка, связанная с размером заданных векторов. Обзор учебника Этот урок разделен на 4 части; они есть: Вектор Норма Вектор L1 Норма Вектор L2 Норма Вектор Макс Норм Вектор Норма Вычисление размера или длины вектора часто требуется либо непосредственно, либо как часть более широкой операции над вектором или векторной матрицей. Длина вектора называется векторной нормой или величиной вектора. Длина вектора представляет собой неотрицательное число, которое описывает экстент вектора в пространстве, и иногда его называют величиной или нормой вектора. — Страница 112,Руководство по линейной алгебре, 2017 Длина вектора всегда является положительным числом, за исключением вектора со всеми нулевыми значениями. Он рассчитывается с использованием некоторой меры, которая суммирует расстояние вектора от начала векторного пространства. Например, источником векторного пространства для вектора с 3 элементами является (0, 0, 0). 1. Обозначения для нормы L1 вектора: || v || 1, где 1 — индекс. Таким образом, эту длину иногда называют нормой такси или нормой Манхэттена. l1(v) = ||v||1 Норма L1 рассчитывается как сумма абсолютных значений вектора, где абсолютное значение скаляра использует обозначение | a1 |. По сути, норма — это вычисление манхэттенского расстояния от начала векторного пространства. ||v||1 = |a1| + |a2| + |a3| Норма L1 вектора может быть вычислена в NumPy с помощью функции norm () с параметром для указания порядка нормы, в данном случае 1. # l1 norm of a vector from numpy import array from numpy.linalg import norm a = array([1, 2, 3]) print(a) l1 = norm(a, 1) print(l1) Сначала определяется вектор 1 × 3, затем вычисляется норма вектора L1. При выполнении примера сначала печатается определенный вектор, а затем норма L1 вектора. [1 2 3] 6.0 Норма L1 часто используется при подборе алгоритмов машинного обучения в качестве метода регуляризации, например метод, позволяющий сохранять коэффициенты модели малыми, и, в свою очередь, модель менее сложной. 2) Норму L2 вектора можно рассчитать в NumPy с помощью функции norm () с параметрами по умолчанию. # l2 norm of a vector from numpy import array from numpy.linalg import norm a = array([1, 2, 3]) print(a) l2 = norm(a) print(l2) Сначала определяется вектор 1 × 3, затем вычисляется норма вектора L2. При выполнении примера сначала печатается определенный вектор, а затем норма L2 вектора. [1 2 3] 3.74165738677 Как и норма L1, норма L2 часто используется при подборе алгоритмов машинного обучения в качестве метода регуляризации, например метод, позволяющий сохранять коэффициенты модели малыми и, в свою очередь, модель менее сложной. Безусловно, норма L2 чаще используется, чем другие векторные нормы в машинном обучении. Вектор Макс Норм Длина вектора может быть рассчитана с использованием максимальной нормы, также называемой максимальной нормой. Максимальная норма вектора называется L ^ inf, где inf — верхний индекс и может быть представлен символом бесконечности. Обозначения для максимальной нормы: || x || inf, где inf — индекс. maxnorm(v) = ||v||inf Максимальная норма вычисляется как возвращающая максимальное значение вектора, отсюда и название. ||v||inf = max(|a1|, |a2|, |a3|) Максимальная норма вектора может быть вычислена в NumPy с помощью функции norm () с параметром порядка, установленным в inf. # max norm of a vector from numpy import inf from numpy import array from numpy.linalg import norm a = array([1, 2, 3]) print(a) maxnorm = norm(a, inf) print(maxnorm) Сначала определяется вектор 1 × 3, затем вычисляется максимальная норма вектора. При запуске примера сначала печатается определенный вектор, а затем максимальная норма вектора [1 2 3] 3.0 Максимальная норма также используется в качестве регуляризации в машинном обучении, например, в весах нейронных сетей, называемой максимальной нормализацией. расширения В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить. Создайте 5 примеров, используя каждую операцию, используя ваши собственные данные. Реализуйте каждую матричную операцию вручную для матриц, определенных как списки списков. Найдите документы по машинному обучению и найдите 1 пример каждой используемой операции. Если вы исследуете какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать. Дальнейшее чтение Этот раздел предоставляет больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться. книги Введение в линейную алгебру, 2016 Глава 2, Линейная алгебра,Глубокое обучение, 2016 API API numpy.linalg.norm () статьи Норма (математика) в Википедии Резюме В этом уроке вы обнаружили различные способы вычисления длины или величины вектора, называемые векторной нормой. В частности, вы узнали: Норма L1, которая рассчитывается как сумма абсолютных значений вектора. Норма L2, которая рассчитывается как квадратный корень из суммы квадратов векторных значений. Максимальная норма, которая рассчитывается как максимальные значения вектора. У вас есть вопросы? Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я сделаю все возможное, чтобы ответить. Оригинальная статья Векторы. Действия с векторами Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов. Как обычно, немного самой необходимой теории. Вектор — это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец: Здесь точка А — начало вектора, а точка В — его конец. У вектора есть два параметра: его длина и направление. Длина вектора — это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены: Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны: Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора , и — коллинеарны. Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если , и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на : =k: Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора : Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма: Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор : : Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора ( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого): Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ: 1. Задание 4 (№ 27709) Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и . 2. Задание 4 (№ 27710) Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи). 3. Задание 4 (№ 27711) Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов и . 4. Задание 4 (№ 27712) Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи). 5. Задание 4 (№ 27713) Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора . 6. Задание 4 (№ 27714) Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + . 7.Задание 4 (№ 27715) Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .(чертеж из предыдущей задачи). 8.Задание 4 (№ 27716) Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора — . 9. Задание 4 (№ 27717) Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + . 10. Задание 4 (№ 27718) Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .(чертеж из предыдущей задачи). 11.Задание 4 (№ 27719) Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи). 12. Задание 4 (№ 27720) Стороны правильного треугольника ABC равны Найдите длину вектора +. 13. Задание 4 (№ 27721) Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи). 14. Задание 4 (№ 27722) Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи). Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать Firefox И.В. Фельдман, репетитор по математике. Длина вектора – определение, формулы и примеры Длина вектора позволяет нам понять, насколько велик вектор с точки зрения размеров. Это также помогает нам понимать векторные величины, такие как перемещение, скорость, сила и т. д. Понимание формулы для вычисления длины вектора поможет нам установить формулу для длины дуги векторной функции. Длина вектора (известная как величина) позволяет нам количественно оценить свойство данного вектора. Чтобы найти длину вектора, просто добавьте квадрат его компонентов, затем извлеките квадратный корень из результата . В этой статье мы расширим наше понимание величин до трехмерных векторов. Мы также рассмотрим формулу длины дуги векторной функции. К концу нашего обсуждения наша цель состоит в том, чтобы вы уверенно работали над различными задачами, связанными с векторами и длинами векторных функций. Какова длина вектора? Длина вектора представляет собой расстояние вектора в стандартной позиции от начала координат. В нашем предыдущем обсуждении векторных свойств мы узнали, что длина вектора также известна как 9-кратная длина вектора. 2}\конец{выровнено} Фактически, мы можем расширить наше понимание трехкоординатных систем и векторов, чтобы доказать формулу для длины вектора в пространстве. Доказательство формулы длины вектора в 3D Предположим, что у нас есть вектор, $\textbf{u} = x_o \textbf{i} + y_o \textbf{j} +z_o \textbf{k}$ , мы можем переписать вектор как сумму двух векторов. Следовательно, мы имеем следующее: \begin{aligned}\textbf{v}_1 &= \\ \textbf{v}_2 &= <0 , 0, z_o>\\\textbf{u} &= \\&= +<0 ,0, z_o>\\&=\textbf{v}_1+ \textbf{v}_2\end{выровнено} 92}\end{aligned} Это означает, что для вычисления длины вектора в трех измерениях все, что нам нужно сделать, это сложить квадраты его компонентов, а затем извлечь квадратный корень из результата. Длина дуги векторной функции Мы можем распространить это понятие длины на векторные функции — на этот раз мы аппроксимируем расстояние векторной функции на интервале $t$. Длину вектор-функции $\textbf{r}(t)$ в интервале $[a, b]$ можно рассчитать по приведенной ниже формуле. 9{b} |\textbf{r}\prime(t)| \phantom{x} dt\end{aligned} Мы рассмотрели все основные определения длин векторов и длин векторных функций, теперь пришло время применить их для вычисления их значений. Как вычислить длину вектора и векторную функцию? Мы можем вычислить длину вектора, применив формулу для величины . Вот разбивка шагов для вычисления длины вектора: 92}\\&=\sqrt{4 + 16 + 1}\\&= \sqrt{21}\end{aligned} Следовательно, длина вектора $\textbf{u}$ равна $\sqrt{21}$ единиц или примерно равно $4,58$ единиц. Как мы показали в предыдущем обсуждении, длина дуги векторной функции зависит от касательного вектора . Вот подсказка, которая поможет вам вычислить длину дуги векторной функции: Перечислите компоненты вектора и возведите их квадраты. 9{b} |\textbf{r}\prime(t)| \phantom{x} dt$, где $\textbf{r}\prime(t)$ представляет собой касательный вектор. 2} \\&= \sqrt{ 20}\end{выровнено} 94\\&= 2\sqrt{5}( 4 -0)\\&= 8\sqrt{5}\end{aligned} Это означает, что длина дуги $\textbf{r}(t)$ от $t=0$ до $t=4$ равно $8\sqrt{5}$ единиц или приблизительно $17,89$ единиц. Это два замечательных примера того, как мы можем применять формулы для длин векторов и векторных функций. Мы приготовили для вас еще несколько задач, так что переходите к следующему разделу, когда будете готовы! Пример 1 Вектор $\textbf{u}$ имеет начальную точку в $P(-2, 0, 1 )$ и конечную точку в $Q(4, -2, 3)$ . Какова длина вектора? 92}\\&= \sqrt{36+ 4+ 4}\\&= \sqrt{44}\\&= 2\sqrt{11}\\&\приблизительно 6,63 \end{aligned} Это означает, что вектор $\textbf{u}$ имеет длину $2\sqrt{11}$ единиц или примерно $6,33$ единиц. Пример 2 Вычислить длину дуги вектор-функции, $\textbf{r}(t) = \left<2\cos t, 2\sin t, 4t\right>$, если $t$ находится внутри интервала, $t \in [0, 2\pi]$. Решение Теперь мы ищем длину дуги векторной функции, поэтому воспользуемся формулой, показанной ниже. 9{b} |\textbf{r}\prime(t)| \phantom{x}dt\end{aligned} Сначала возьмем производную каждой компоненты, чтобы найти $\textbf{r}\prime(t)$. \begin{выровнено}x\prime(t)\end{выровнено} \begin{align}x\prime(t) &= \dfrac{d}{dt}(2 \cos t)\\&= 2(-\sin t)\\&= -2\sin t \end {выровнено} \begin{выровнено}y \prime(t)\end{выровнено} \begin{выровнено}y\prime(t) &= \dfrac{d}{dt}(2 \sin t)\\&= 2(\cos t)\\&= 2\cos t\end{выровнено } \begin{выровнено}z\prime(t)\end{выровнено} \begin{выровнено}y\prime(t) &= \dfrac{d}{dt}(2 4t)\\&= 4(1)\\&= 4\end{выровнено} \begin{выровнено}\textbf{r}\prime(t) &= \left\\&= \left <-2\sin t, 2\cos t, 4\right>\end{выровнено} Теперь найдем величину $\textbf{r}\prime(t)$, добавив квадраты компонентов касательного вектора. Запишите квадратный корень из суммы, чтобы выразить величину через $t$. 9{2\pi} \phantom{x}dt\\&= 2\sqrt{5}(2\pi – 0)\\&= 4\sqrt{5}\pi\\&\примерно 28,10\end{выровнено } Это означает, что длина дуги векторной функции составляет $4\sqrt{5}\pi$ или приблизительно $28,10$ единиц. Практические вопросы 1. Вектор $\textbf{u}$ имеет начальную точку в точке $P(-4, 2, -2 )$ и конец в точке $Q(-1, 3, 1)$. Какова длина вектора? 2. Вычислить длину дуги вектор-функции $\textbf{r}(t) = \left$, если $t$ находится в пределах интервал, $t \in [0, 2\pi]$. Ключ ответа 1. Вектор имеет длину $\sqrt{19}$ единиц или примерно $4,36$ единиц. 2. Длина дуги примерно равна $25,343$ единиц. Трехмерные изображения/математические чертежи создаются с помощью GeoGebra. Векторы в двух- и трехмерных декартовых координатах Во введении к векторам мы обсуждали векторы без привязки к какой-либо системе координат. Работая только с геометрическим определением величины и направления векторов, мы смогли определить такие операции, как сложение, вычитание, и умножение на скаляры. Мы также обсудили свойства этих операций. Часто система координат оказывается полезной, потому что проще управлять координатами вектора, чем непосредственно его величиной и направлением. Когда мы выражаем вектор в системе координат, мы идентифицируем вектор с помощью списка чисел, называемых координатами или компонентами, которые определяют геометрию вектора в терминах системы координат. Здесь мы обсудим стандартные декартовы системы координат на плоскости и в трехмерном пространстве. Векторы на плоскости Мы предполагаем, что вы знакомы со стандартной декартовой системой координат $(x,y)$ на плоскости. Каждая точка $\vc{p}$ на плоскости отождествляется со своими компонентами $x$ и $y$: $\vc{p} = (p_1,p_2)$. Чтобы определить координаты вектора $\vc{a}$ на плоскости, первый шаг — перевести вектор так, чтобы его хвост находился в начале координат системы координат. 2$, чтобы обозначить, что его можно описать двумя действительными координатами. 92} = 5$. Приведенный ниже апплет, повторяющийся из введения вектора, позволяет вам исследовать взаимосвязь между компонентами вектора и его величиной. Величина и направление вектора. Синяя стрелка обозначает вектор $\vc{a}$. Два определяющих свойства вектора, величина и направление, показаны красной полосой и зеленой стрелкой соответственно. Длина красной полосы — это величина $\|\vc{a}\|$ вектора $\vc{a}$. Зеленая стрелка всегда имеет длину единицу, но ее направление совпадает с направлением вектора $\vc{a}$. Единственным исключением является случай, когда $\vc{a}$ является нулевым вектором (единственным вектором с нулевой величиной), для которого направление не определено. Вы можете изменить любой конец $\vc{a}$, перетащив его мышью. Вы также можете переместить $\vc{a}$, перетащив середину вектора; однако изменение положения $\vc{a}$ таким образом не меняет вектор, так как его величина и направление остаются неизменными. Дополнительная информация об апплете. Векторные операции, которые мы определили во введении к векторам, легко выразить в терминах этих координат. Если $\vc{a}=(a_1,a_2)$ и $\vc{b}=(b_1,b_2)$, их сумма просто $\vc{a}+\vc{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$, как показано на рисунке ниже. Также легко видеть, что $\vc{b}-\vc{a} = (b_1-a_1,b_2-a_2)$ и $\lambda \vc{a} = (\lambda a_1, \lambda a_2)$ для любого скаляра $\lambda$. Приведенный ниже апплет, также повторяющийся из введения вектора, позволяет вам исследовать взаимосвязь между геометрическим определением сложения векторов и суммированием компонентов вектора. Сумма двух векторов. Сумма $\vc{a}+\vc{b}$ вектора $\vc{a}$ (синяя стрелка) и вектора $\vc{b}$ (красная стрелка) показана зеленой стрелкой . Поскольку векторы не зависят от их начального положения, обе синие стрелки представляют один и тот же вектор $\vc{a}$, а обе красные стрелки представляют один и тот же вектор $\vc{b}$. Сумму $\vc{a}+\vc{b}$ можно составить, поместив хвост вектора $\vc{b}$ в начало вектора $\vc{a}$. То же самое можно сделать, поместив хвост вектора $\vc{a}$ в начало вектора $\vc{b}$. Обе конструкции вместе образуют параллелограмм, сумма $\vc{a}+\vc{b}$ которого является диагональю. (По этой причине закон перестановки $\vc{a}+\vc{b}=\vc{b}+\vc{a}$ иногда называют законом параллелограмма.) Вы можете изменить $\vc{a} $ и $\vc{b}$, перетаскивая желтые точки. Дополнительная информация об апплете. Вы могли заметить, что мы используем одни и те же обозначения для обозначения точки и вектора. Мы не склонны подчеркивать какое-либо различие между точкой и вектором. Вы можете думать о точке как о представлении вектора, хвост которого зафиксирован в начале координат. Вам придется выяснить по контексту, думаем ли мы о векторе или нет. как с фиксированным хвостом в начале координат. Другой способ обозначения векторов — стандартные единичные векторы обозначаются $\vc{i}$ и $\vc{j}$. Единичный вектор — это вектор, длина которого равна единице. Вектор $\vc{i}$ является единичным вектором в направлении положительной оси $x$. В координатах мы можем написать $\vc{i}=(1,0)$. Точно так же вектор $\vc{j}$ является единичным вектором в направлении положительной оси $y$: $\vc{j}=(0,1)$. Мы можем записать любой двумерный вектор в терминах этих единичных векторов как $\vc{a}=(a_1,a_2) = a_1\vc{i}+a_2\vc{j}$. Векторы в трехмерном пространстве В трехмерном пространстве существует стандартная декартова система координат $(x,y,z)$. Начиная с точки, которую мы называем началом координат, построим три взаимно перпендикулярные оси, которые мы называем осью $x$, осью $y$ и осью $z$. Вот один из способов изобразить эти оси. Встаньте в углу комнаты и посмотрите вниз, в точку, где стены соприкасаются с полом. Затем пол и стена слева от вас пересекаются по линии, являющейся положительной осью $x$. Пол и стена справа от вас пересекаются по линии, являющейся положительной осью $y$. Стены пересекаются по вертикальной линии, являющейся положительной осью $z$. Эти положительные оси изображены в приведенном ниже апплете и помечены как $x$, $y$ и $z$. Отрицательная часть каждой оси находится на противоположной стороне начала координат, где оси пересекаются. Загрузка апплета Трехмерные декартовы оси координат. Представление трех осей трехмерной декартовой системы координат. Положительная ось $x$, положительная ось $y$ и положительная ось $z$ — это стороны, помеченные $x$, $y$ и $z$. Начало — это пересечение всех осей. Ветвь каждой оси на противоположной стороне от начала координат (немаркированная сторона) является отрицательной частью. Вы можете перетащить фигуру с помощью мыши, чтобы повернуть ее. Дополнительная информация об апплете. Мы установили относительное расположение положительных осей $x$, $y$ и $z$ чтобы сделать систему координат правой системой координат . Обратите внимание, что если согнуть пальцы правой руки от положительной оси $x$ к положительной оси $y$, большой палец правой руки будет указывать в направлении положительной оси $z$. Если вы поменяли местами положительную ось $x$ и положительную ось $y$, тогда у вас будет левосторонняя система координат. Если вы сделаете это, вы будете жить в математической вселенной, в которой некоторые формулы будут отличаться на знак минус от формулы во вселенной, которую мы здесь используем. Ваша вселенная будет такой же достоверной, как и наша, но будет много путаницы. Мы предлагаем вам жить в нашей вселенной, изучая эти страницы. С помощью этих осей любой точке $\vc{p}$ в пространстве можно присвоить три координаты $\vc{p}=(p_1,p_2,p_3)$. Например, учитывая приведенную выше аналогию с углом комнаты, предположим, вы начинаете с угла комнаты и проходите четыре метра по оси $x$, затем поворачиваете налево и проходите три метра вглубь комнаты. Если ваш рост два метра, то ваша макушка находится в точке $(4,3,2)$. 93$ для обозначения того, что его можно описать тремя действительными координатами. Суммы, разности и скалярные умножения трехмерных векторов выполняются для каждого компонента. Если $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$ и $\vc{b}=(b_1,b_2,b_3)$, то $\vc{a}+\vc{b}=(a_1+ b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$, $\vc{b}-\vc{a}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)$ и $\lambda\vc{a}= (\лямбда а_1, \лямбда а_2, \лямбда а_3)$. Загрузка апплета Вектор в трехмерном пространстве. Представление вектора $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$ в трехмерной декартовой системе координат. Вектор $\vc{a}$ изображается в виде зеленой стрелки с хвостом, закрепленным в начале координат. Вы можете перетащить мышкой кончик зеленой стрелки, чтобы изменить вектор. Чтобы показать трехмерную перспективу, розовый треугольник соединяет вектор с его проекцией $(a_1,a_2,0)$ на $xy$-плоскость (серая стрелка). Фиолетовые векторы показывают проекции $\vc{a}$ на каждую ось и представляют координаты $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Вы также можете перетаскивать головки фиолетовых векторов, чтобы изменить только одну из координат вектора. Или перетащите вершину серого вектора в плоскости $xy$, чтобы изменить только координаты $x$ и $y$. Дополнительная информация об апплете. Так же, как и в двух измерениях, мы также можем обозначать трехмерные векторы is в терминах стандартных единичных векторов $\vc{i}$, $\vc{j}$ и $\vc{k}$. Эти векторы являются единичными векторами в положительных направлениях $x$, $y$ и $z$ соответственно. В терминах координат мы можем записать их как $\vc{i}=(1,0,0)$, $\vc{j}=(0,1,0)$ и $\vc{k}= (0,0,1)$. Мы можем выразить любой трехмерный вектор как сумму скалярных кратных этих единичных векторов в форме $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3) = a_1\vc{i}+a_2\vc{j}+a_3\vc{k}$. Загрузка апплета Стандартные единичные векторы в трех измерениях. Стандартные единичные векторы в трех измерениях, $\vc{i}$ (зеленый), $\vc{j}$ (синий) и $\vc{k}$ (красный), представляют собой векторы длины один, которые указывают параллельно ось $x$, ось $y$ и ось $z$ соответственно. Перемещение их с помощью мыши не меняет вектора, поскольку они всегда указывают в положительном направлении соответствующей оси. Дополнительная информация об апплете. Какова длина вектора $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$? Мы можем разложить вектор на $(a_1,a_2,a_3) = (a_1,a_2,0)+(0,0,a_3)$, где два вектора справа соответствуют двум зеленым сегментам линии в вышеуказанном апплете. 2}.$$ 9n$, где $n$ — некоторое натуральное число. Перейти в более высокое измерение легко со списками чисел, хотя, конечно многомерные векторы нелегко (невозможно?) визуализировать. Вы можете прочитать больше о многомерных векторах или проверить примеры $n$-мерных векторы, которые иллюстрируют, как собираются размеры число выше трех может быть полезным во многих ситуациях. ` 13.3: Длина дуги и кривизна Последнее обновление Сохранить как PDF Идентификатор страницы 2596 Гилберт Стрэнг и Эдвин «Джед» Герман OpenStax Цели обучения Определите длину пути частицы в пространстве с помощью функции длины дуги. Объясните значение кривизны кривой в пространстве и назовите ее формулу. Объясните, что означают векторы нормали и бинормали кривой в пространстве. В этом разделе мы изучаем формулы, относящиеся к кривым как в двух, так и в трех измерениях, и видим, как они связаны с различными свойствами одной и той же кривой. Например, предположим, что вектор-функция описывает движение частицы в пространстве. Мы хотели бы определить, какое расстояние прошла частица за заданный интервал времени, который можно описать длиной дуги пути, по которому она следует. Или предположим, что вектор-функция описывает дорогу, которую мы строим, и мы хотим определить, насколько круто изгибается дорога в данной точке. Это описывается кривизной функции в этой точке. В этом разделе мы исследуем каждую из этих концепций. 9{b}_{a} \|\vecs r′(t)\|dt . \label{Arc3D} \end{align} \] Эти две формулы очень похожи; они отличаются только тем, что пространственная кривая имеет три составляющие функции вместо двух. Обратите внимание, что формулы определены для гладких кривых: кривых, где вектор-функция $\vecs r(t)$ дифференцируема с ненулевой производной. Условие гладкости гарантирует, что кривая не имеет точек возврата (или углов), которые могли бы сделать формулу проблематичной. Пример $\PageIndex{1}$: определение длины дуги 9{3/2})≈37,785\) единиц Теперь вернемся к спирали, представленной ранее в этой главе. Вектор-функцию, описывающую спираль, можно записать в виде \[\vecs r(t)=R \cos \left(\dfrac{2πNt}{h}\right) \,\hat{\mathbf {i}} +R \sin\left(\dfrac{2πNt}{h}\right) \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}},0≤t ≤h, \nonumber \] где $R$ представляет радиус спирали, $h$ представляет высоту (расстояние между двумя последовательными витками), а спираль завершает $N$ витков. Давайте выведем формулу для длины дуги этой спирали, используя уравнение \ref{Arc3D}. Во-первых, 92}.\end{align*}\] Это дает формулу для длины провода, необходимой для формирования спирали с $N$ витками, которая имеет радиус $R$ и высоту $h$ . Параметризация длины дуги Теперь у нас есть формула для длины дуги кривой, определяемой векторнозначной функцией. Давайте сделаем еще один шаг вперед и рассмотрим, что такое функция длины дуги . Если векторнозначная функция представляет положение частицы в пространстве как функцию времени, то функция длины дуги измеряет, как далеко эта частица проходит как функцию времени. Формула для функции длины дуги непосредственно следует из формулы для длины дуги: 92} дю. \label{arclength3} \] Если кривая двухмерная, то под квадратным корнем внутри интеграла появляются только два члена. Причина использования независимой переменной u состоит в том, чтобы различать время и переменную интегрирования. Поскольку $s(t)$ измеряет пройденное расстояние как функцию времени, $s′(t)$ измеряет скорость частицы в любой момент времени. Поскольку у нас есть формула для $s(t)$ в уравнении \ref{arclength3}, мы можем дифференцировать обе части уравнения: 9{t}_{a} ‖\vecs r′(u)‖\,du \nonumber \] Кроме того, \[\dfrac{ds}{dt}=‖\vecs r′(t)‖> 0. \nonumber \] Если $‖\vecs r′(t)‖=1$ для всех $t≥a$, то параметр $t$ представляет длину дуги от начальной точки в \ (т=а\). Полезным применением этой теоремы является нахождение альтернативной параметризации данной кривой, называемой параметризацией длины дуги . Напомним, что любую вектор-функцию можно перепараметрировать заменой переменных. Например, если у нас есть функция $\vecs r(t)=⟨3 \cos t,3 \sin t⟩,0≤t≤2π$, которая параметризует окружность радиуса 3, мы можем изменить параметр с $t$ в $4t$, получив новую параметризацию $\vecs r(t)=⟨3 \cos 4t,3 \sin 4t⟩$. Новая параметризация по-прежнему определяет окружность радиуса 3, но теперь нам нужно использовать только значения $0≤t≤π/2$, чтобы пройти круг один раз. Предположим, что мы нашли функцию длины дуги $s(t)$ и можем решить эту функцию для $t$ как функцию от $s$ . Затем мы можем перепараметрировать исходную функцию $\vecs r(t)$, подставив выражение для $t$ обратно в $\vecs r(t)$. Теперь вектор-функция записывается в терминах параметра $s$ . Поскольку переменная $s$ представляет длину дуги, мы называем это параметризацией длины дуги исходной функции $\vecs r(t)$. Одним из преимуществ нахождения параметризации длины дуги является то, что расстояние, пройденное вдоль кривой, начиная с $s=0$, теперь равно параметру $s$. Параметризация длины дуги также появляется в контексте кривизны (которую мы рассмотрим позже в этом разделе) и линейных интегралов. Пример $\PageIndex{2}$: поиск параметризации длины дуги Найдите параметризацию длины дуги для каждой из следующих кривых: $\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+ 4 \sin t \,\hat{\mathbf{j}},\quad t≥0$ $\vecs r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩,\quad t≥3$ Решение Сначала найдем функцию длины дуги, используя уравнение \ref{arclength3}: \[\begin{align*} s(t) &= \int_a^t ‖\vecs r′(u)‖ \,du \\[4pt] &= \int_0^t ‖⟨−4 \sin u, 4 \cos u⟩‖ \,du \\[4pt] &= \int_0^t \sqrt{(−4 \sin u)^2+(4 \cos u)^2} \,du \\[4pt] &= \int_0^t \sqrt{16 \sin ^2 u+16 \cos ^2 u} \,du \\[4pt] &= \int_0^t 4\,du = 4t, \end{align*} \] , который дает связь между длиной дуги $s$ и параметром $t$ как $s=4t;$, то есть $t=s/4$. Далее заменяем переменную $t$ в исходной функции $\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+4 \sin t \,\hat{\mathbf {j}}$ с выражением $s/4$, чтобы получить \[\vecs r(s)=4 \cos\left(\frac{s}{4}\right) \,\hat{\mathbf{i}} + 4 \sin\left(\frac{s} {4}\справа) \,\шляпа{\mathbf{j}}. \номер\] Это параметризация длины дуги $\vecs r(t)$. Поскольку исходное ограничение на $t$ было задано выражением $t≥0$, ограничение на 9t 3 \,du \\[4pt] &= 3t — 9. \end{align*}\] Следовательно, связь между длиной дуги $s$ и параметром $t$ равна $s=3t−9$, поэтому $t= \frac{s}{3}+3$. Подстановка этого в исходную функцию $\vecs r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩ $ дает \[\vecs r(s)=⟨\left(\frac{s}{3}+3\right)+3,\,2\left(\frac{s}{3}+3\right)− 4,\,2\влево(\frac{s}{3}+3\вправо)⟩=⟨\frac{s}{3}+6, \frac{2s}{3}+2,\frac{2s {3}+6⟩.\номер \] Это параметризация длины дуги $\vecs r(t)$. Исходное ограничение на параметр $t$ было $t≥3$, поэтому ограничение на $s$ равно $(s/3)+3≥3$ или $s≥0 $. Упражнение $\PageIndex{2}$ Найдите функцию длины дуги для спирали \[\vecs r(t)=⟨3 \cos t, 3 \sin t,4t⟩,\quad т≥0. \nonumber \] Затем используйте связь между длиной дуги и параметром $t$, чтобы найти параметризацию длины дуги для $\vecs r(t)$. Подсказка Начните с нахождения функции длины дуги. Ответить $s=5t$ или $t=s/5$. Подстановка этого в $\vecs r(t)=⟨3 \cos t,3 \sin t,4t⟩$ дает \[\vecs r(s)=⟨3 \cos\left(\frac{s}{5}\right),3 \sin\left(\frac{s}{5}\right),\frac{ 4s}{5}⟩,\quad s≥0 \nonumber \] Кривизна Кривизна является важной темой, связанной с длиной дуги. Понятие кривизны позволяет измерить, насколько резко поворачивает гладкая кривая. Окружность имеет постоянную кривизну. Чем меньше радиус окружности, тем больше кривизна. Представьте, что вы едете по дороге. Предположим, что дорога лежит на дуге большого круга. В этом случае вам едва ли придется крутить руль, чтобы оставаться на дороге. Теперь предположим, что радиус меньше. В этом случае вам нужно будет поворачивать более резко, чтобы остаться на дороге. В случае кривой, отличной от окружности, часто полезно сначала вписать окружность в кривую в данной точке так, чтобы она касалась кривой в этой точке и «обнимала» кривую как можно теснее в заданной точке. окрестности точки (рис. $\PageIndex{1}$). Затем кривизна графика в этой точке определяется как такая же, как кривизна вписанной окружности. Рисунок $\PageIndex{1}$: График представляет кривизну функции $y=f(x).$ Чем круче поворот на графике, тем больше кривизна и меньше радиус вписанный круг. Определение: кривизна Пусть $C$ — гладкая кривая на плоскости или в пространстве, заданная формулой $\vecs r(s)$, где $s$ — параметр длины дуги. Кривизна $κ$ в точке $s$ равна \[κ =\bigg{\|}\dfrac{d\vecs{T}}{ds}\bigg{\|}=‖\vecs T «(с)». \nonumber \] Посмотрите это видео, чтобы узнать больше о кривизне пространственной кривой. Формула определения кривизны не очень полезна с точки зрения вычислений. В частности, напомним, что $\vecs T(t)$ представляет собой единичный касательный вектор к заданной вектор-функции $\vecs r(t)$, а формула для $\vecs T(t) $ равно \[\vecs T(t)=\frac{\vecs r′(t)}{∥\vecs r′(t)∥}. \nonumber \] Чтобы использовать формулу для кривизны, сначала необходимо выразить $\vecs r(t)$ через параметр длины дуги $s$, затем найти единичный касательный вектор \ (\vecs T(s)\) для функции $\vecs r(s)$, то возьмем производную от $\vecs T(s)$ по $s$. Это утомительный процесс. К счастью, существуют эквивалентные формулы для кривизны. 9{3/2}}.\label{EqK4} \] Доказательство Первая формула непосредственно следует из цепного правила: \[\dfrac{d\vecs{T}}{dt} = \dfrac{ d\vecs{T}}{ds} \dfrac{ds}{dt}, \nonumber \] , где $s$ — длина дуги вдоль кривой $C$. Разделив обе части на $ds/dt$ и взяв величину обеих сторон, мы получим \[\bigg{\|}\dfrac{d\vecs{T}}{ds}\bigg{\|}= \left\lVert\frac{\vecs T'(t)}{\dfrac{ds}{dt}}\right\rVert.\nonumber \] Так как $ds/dt=‖\vecs r'(t )‖$, это дает формулу кривизны $κ$ кривой $C$ в терминах любой параметризации $C$: 93}.\nonumber \] Это доказывает $\ref{EqK3}$. Чтобы доказать $\ref{EqK4}$, мы начнем с предположения, что кривая $C$ определяется функцией $y=f(x)$. Затем мы можем определить $\vecs r(t)=x \,\hat{\mathbf{i}}+f(x) \,\hat{\mathbf{j}}+0 \,\hat{\ mathbf{k}}$. Используя предыдущую формулу для кривизны: \[\begin{align*} \vecs r'(t) &=\,\hat{\mathbf{i}}+f'(x)\,\hat{\mathbf {j}} \\[4pt] \vecs r″(t) &=f″(x)\,\hat{\mathbf{j}} \\[4pt] \vecs r′(t)×\vecs r ″(t) &= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f»(x) & 0 \end{vmatrix} =f»(x)\,\hat{\mathbf{k}}. \end{выравнивание*}\] 9{3/2}}≈0,0059\) Нормальный и бинормальный векторы Мы видели, что производная $\vecs r′(t)$ вектор-функции является касательным вектором к кривой, заданной $\vecs r(t) $, а единичный касательный вектор $\vecs T(t)$ можно рассчитать, разделив $\vecs r′(t)$ на его величину. При изучении движения в трех измерениях для описания движения частицы по траектории в пространстве полезны два других вектора: главный единичный вектор нормали и вектор бинормальный вектор . Определение: бинормальные векторы Пусть $C$ — трехмерная гладкая кривая, представленная $\vecs r$ на открытом интервале $I$ . Если $\vecs T′(t)≠\vecs 0$, то главный единичный вектор нормали в точке $t$ определяется как \[\vecs N(t)=\dfrac{\vecs T′(t)}{‖\vecs T′(t)‖}. \label{EqNormal} \] Вектор бинормалей в точке $t$ определяется как \[\vecs B(t)=\vecs T(t)×\vecs N(t),\label{EqBinormal } \] где $\vecs T(t)$ — единичный касательный вектор. Обратите внимание, что бинормали по определению ортогональны как единичному касательному вектору, так и вектору нормали. Кроме того, $\vecs B(t)$ всегда является единичным вектором. Это можно показать, используя формулу для величины векторного произведения. \[‖\vecs B(t)‖=‖\vecs T(t)×\vecs N(t)‖=‖\vecs T(t)‖‖\vecs N(t)‖ \sin \theta, \nonumber \] , где $\theta$ — угол между $\vecs T(t)$ и $\vecs N(t)$. Поскольку $\vecs N(t)$ является производной единичного вектора, свойство (vii) производной вектор-функции говорит нам, что $\vecs T(t)$ и $\vecs N(t)$ ортогональны друг другу, поэтому $\theta=π/2$. Кроме того, они оба являются единичными векторами, поэтому их величина равна 1. Следовательно, $‖\vecs T(t)‖‖\vecs N(t)‖ \sin \theta=(1)(1) \sin (π/ 2)=1$ и $\vecs B(t)$ — единичный вектор. Главный единичный вектор нормали может быть сложным для вычисления, поскольку единичный вектор касательной включает частное, а это частное часто имеет квадратный корень в знаменателе. В трехмерном случае нахождение векторного произведения единичного касательного вектора и единичного вектора нормали может быть еще более громоздким. К счастью, у нас есть альтернативные формулы для нахождения этих двух векторов, и они представлены в разделе «Движение в пространстве». Пример $\PageIndex{4}$: нахождение вектора нормали к главной единице и вектора бинормали 92 t}} \\[4pt] &=− \cos t\,\hat{\mathbf{i}}+ \sin t\,\hat{\mathbf{j}}. \end{align*}\] Обратите внимание, что единичный вектор касательной и главный единичный вектор нормали ортогональны друг другу для всех значений $t$: \[\begin{align*} \vecs T (t)·\vecs N(t) &=⟨− \sin t,− \cos t⟩·⟨− \cos t, \sin t⟩ \\[4pt] &= \sin t \cos t−\cos т \sin т \\[4pt] &=0. \end{align*}\] Кроме того, главный единичный вектор нормали указывает к центру окружности из каждой точки окружности. Поскольку $\vecs r(t)$ определяет кривую в двух измерениях, мы не можем вычислить вектор бинормалей. 92−3t)\,\hat{\mathbf{i}}+(4t+1)\,\hat{\mathbf{j}}\) и оценить его при $t=2$. Подсказка Сначала найдите $\vecs T(t)$, затем используйте $\ref{EqNormal}$. Ответить $\vecs N(2)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\,\hat{\mathbf{i}}−\,\hat{\mathbf{j}})$ Для любой гладкой кривой в трех измерениях, заданной вектор-функцией, теперь у нас есть формулы для единичного касательного вектора $\vecs T$, единичного вектора нормали $\vecs N$ и бинормальный вектор $\vecs B$. Единичный вектор нормали и вектор бинормали образуют плоскость, перпендикулярную кривой в любой точке кривой, называемую плоскостью нормали. Кроме того, эти три вектора образуют систему отсчета в трехмерном пространстве, называемую 9.0008 Система координат Френе (также называемая системой координат TNB ) (рис. $\PageIndex{2}$). Наконец, плоскость, определяемая векторами $\vecs T$ и $\vecs N$, образует соприкасающуюся плоскость $C$ в любой точке $P$ на кривой. Рисунок $\PageIndex{2}$: На этом рисунке показана система отсчета Френе. В каждой точке $P$ на трехмерной кривой вектора единичной касательной, единичной нормали и бинормали образуют трехмерную систему отсчета. Предположим, мы образуем окружность в соприкасающейся плоскости $С$ в точке $Р$ на кривой. Предположим, что окружность имеет ту же кривизну, что и кривая в точке $P$, и пусть окружность имеет радиус $r$. Тогда кривизна круга определяется как $\frac{1}{r}$. Мы называем $r$ радиусом кривизны кривой, и он равен обратной величине кривизны. Если эта окружность лежит на вогнутой стороне кривой и касается кривой в точке $P$, то эта окружность называется соприкасающийся круг из $C$ в точке $P$, как показано на рисунке $\PageIndex{3}$. Рисунок $\PageIndex{3}$: В этой соприкасающейся окружности окружность касается кривой $C$ в точке $P$ и имеет ту же кривизну. Для получения дополнительной информации о соприкасающихся окружностях см. эту демонстрацию кривизны и кручения, эту статью о соприкасающихся окружностях и это обсуждение формул Серре. Чтобы найти уравнение соприкасающейся окружности в двух измерениях, нам нужно найти только центр и радиус окружности. 9{3/2}}. \nonumber \] Это дает $κ=6$. Следовательно, радиус соприкасающейся окружности определяется выражением $R=\frac{1}{κ}=\dfrac{1}{6}$. Далее мы вычисляем координаты центра круга. Когда $x=1$, наклон касательной равен нулю. 2=\frac{1}{36}\). График и его соприкасающийся круг показаны на следующем графике. 9{3/2}}\) В точке $x=1$ кривизна равна $4$. Следовательно, радиус соприкасающейся окружности равен $\frac{1}{4}$. Далее появится график этой функции: Вершина этой параболы находится в точке $(1,3)$. Кроме того, центр соприкасающейся окружности находится прямо над вершиной. Следовательно, координаты центра равны $(1,\frac{13}{4})$. Уравнение соприкасающейся окружности 9{3/2}}\) Вектор нормали к главной единице $\vecs N(t)=\frac{\vecs T′(t)}{‖\vecs T′(t)‖}$ Вектор бинормалей $\vecs B(t)=\vecs T(t)×\vecs N(t)$ Глоссарий функция длины дуги функция $s(t)$, которая описывает длину дуги кривой $C$ как функцию $t$ параметризация длины дуги репараметризация вектор-функции, в которой параметр равен длине дуги бинормальный вектор единичный вектор, ортогональный единичному касательному вектору и единичному вектору нормали кривизна производная единичного касательного вектора по параметру длины дуги Система координат Френе (кадр TNB) система отсчета в трехмерном пространстве, образованная единичным касательным вектором, единичным вектором нормали и бинормальным вектором обычный самолет плоскость, перпендикулярная кривой в любой точке кривой соприкасающийся круг окружность, касающаяся кривой $C$ в точке $P$ и имеющая ту же кривизну соприкасающаяся плоскость плоскость, определяемая единичной касательной и единичным вектором нормали вектор нормали к главной единице вектор, ортогональный единичному касательному вектору, определяемый формулой $\frac{\vecs T'(t)}{‖\vecs T'(t)‖}$ радиус кривизны обратная кривизна гладкая кривых, где вектор-функция $\vecs r(t)$ дифференцируема с ненулевой производной Эта страница под названием 13. 3: Длина дуги и кривизна распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу. Наверх Была ли эта статья полезной? Тип изделия Раздел или страница Автор ОпенСтакс Лицензия СС BY-NC-SA Версия лицензии 4,0 Программа OER или Publisher ОпенСтакс Показать страницу Содержание нет Теги Длина дуги функция длины дуги параметризация длины дуги автор @ Эдвин «Джед» Герман автор@Гилберт Странг бинормальный бинормальный вектор кривизна Система координат Френе обычный самолет соприкасающийся круг соприкасающаяся плоскость вектор нормали к главной единице радиус кривизны гладкая источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1 MathScene — Векторы — Урок 3 MathScene — Векторы — Урок 3 2008 Расмус Эф и Джанн Сак Урок 3 Векторы в системе координат Пример 1 точка А имеет координаты (2, 2), а точка В — координаты (6, 5) (см. схему). Координаты вектора Мы можно использовать формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти расстояние между A и B, то есть длина вектора (см. Правило Пифагора в уроке 2). Формула выглядит следующим образом: Подставляя заданные координаты в формулу получаем: Мы видим, что числа под квадратным корнем — это просто координаты вектор. Это, конечно, потому, что длина вектора — это просто гипотенуза в прямоугольном треугольнике с более короткими сторонами 3 и 4. Формула длины вектора, начинающегося в точке А = (х ₁ , y ₁ ) и заканчивается на B = (x ₂ , у ₂ ) это: Если координаты вектора то имеем следующее правило: Пример 2 Найдите вектор что параллельно и который имеет длину 2 единицы (видеть диаграмму). Два треугольника на диаграмме подобны, поэтому соответствующие стороны находятся в одинаковом соотношении. || = т∙||. Число t есть отношение между соответствующими сторонами. Отношение такое. Мы можем найти координаты как следует: Если векторы а также находятся параллельно, то существует число t такое, что: = т∙ Пример 3 Какие из следующих векторов параллельны а также . Если векторы а также находятся параллельно, то существует число t такое, что = т∙. Если векторы а также находятся параллельно существует число r такое, что знак равно р∙. Мы можно найти числа t и r, используя координаты x, а затем проверить, чтобы увидеть найдены ли те же значения, когда мы используем координаты y. = т∙ 3 = t∙13 дает t = 3/13 = 2/9 4 = t∙18 также дает t = 4/18 = 2/9 векторы и есть параллель . = р∙ 3 = r∙6 дает r = 4 = r∙9 дает r = 4/9 векторы и есть не параллельно (Это означает, что а также находятся тоже не параллельно). Вектор на диаграмме имеет координаты . вектор начинается в точке (0, 0) и заканчивается в (3, 2), поэтому координаты конечная точка совпадает с координатами самого вектора. Это относится к все векторы, которые начинаются в начале системы координат, то есть в точка (0, 0). Вектор, который начинается в точке (0, 0), имеет те же координаты, что и его конечная точка. Этот вектор называется вектором положения для A. Каждая точка в системе координат может быть представлена своим вектором положения. Координаты точки и вектор ее положения совпадают. Это может быть очень полезно при просмотре переводов в системе координат. Пример 4 Треугольник, показанный на диаграмме, должен быть переведен вектором . Мы используем векторы положения вершинных точек (−3, 0), (2, −2) и (3, 1) и добавляем вектор каждому из них. Это дает нам новый вектор положения каждой вершины. Диаграмма ниже показывает перевод. Пример 5 Теперь мы будем использовать векторы положения, чтобы найти середину отрезка AB, если А = (1, 2) и В = (4, 3). Как обычно, точка O является началом системы координат. Если M середина AB тогда: знак равно + ∙ Вектор является вектор положения точки M и, следовательно, имеет те же координаты, что и точку М, которую мы хотим вычислить. Вектор – это вектор положения A. Чтобы достичь середины M, нам нужно добавить половину вектор . Нарисуйте схему, чтобы увидеть это. Сначала нам нужно найти вектор . Теперь мы можем найти . знак равно + ∙ Координаты M такие же, как у вектора положения или (2, 2) . Легко найти формулу, по которой можно найти координаты точки. середина отрезка АВ. Из диаграммы видно, что в середину М можно попасть из двух направлениях, от O через A до M и от O через B до M. Таким образом, мы можем написать два векторных уравнения для . знак равно + ∙ знак равно — ∙ Складывая эти два уравнения вместе, мы получаем 2 = + ∙ + — ∙ Мы видим, что вектор положения середины отрезка представляет собой своего рода среднее значение векторов положения конечных точек. Поэтому мы можем найти координаты средней точки, найдя среднее значение координат x и y координаты соответственно. Это приводит нас к правилу, которое мы называем правилом средней точки. Середина М отрезка АВ определяется по правилу: При использовании координат правило: Пример 6 Вершинами треугольника ABC являются A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0). Найдите длину прямой, проведенной от А до середины стороны ВС (медиану стороны ВС). треугольник АВС). Мы начнем с нахождения середины BC, используя приведенное выше правило. Назовем середину M и найдем ее вектор положения (видеть схему). = ∙ + ∙ Следовательно, M, середина ВС, имеет координаты . М = (3, 1). Далее находим координаты вектора . Наконец, мы можем найти длину вектора как требуется. ≈ 2,55 Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центр треугольника (обозначен Т на диаграмме). Если мы знаем координаты вершин треугольника можно найти координаты T по простой формуле. Эта формула находится аналогично Правило средней точки. Мы можем достичь T через все три вершины треугольника, тогда мы добавляем три векторных выражения вместе. В уроке 2 о треугольниках мы видели, что все медианы пересекаются в одной точке. точки, делящие друг друга в соотношении 2:1 или 2/1. Отсюда мы знаем, что длина вектора в два раза больше, чем и поэтому знак равно ∙ а также знак равно −∙. Используя это, мы можем написать три уравнения: = + ∙ = + ∙ — ∙ = — ∙ — ∙ Когда мы сложим их вместе, выходит и получаем: 3= + + Чтобы найти координаты T, мы берем среднее значение x и y координаты вершин соответственно. Таким образом, мы находим точку пересечения T медиан треугольника путем нахождения своего рода среднего векторов положения вершины. Таким образом, это правило является расширением правила средней точки. Пример 7 Найдите точку пересечения Т медиан треугольника АВС ( центр ) при условии, что A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0) (см. схему). Центр Т = (2, 1) . Попробуйте Викторина 3 на Векторы. Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу. Исчисление III. Длина дуги с векторными функциями Онлайн-заметки Пола Главная / Исчисление III / Трехмерное пространство / Длина дуги с векторными функциями Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания Мобильное уведомление Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. Раздел 1-9: Длина дуги с векторными функциями В этом разделе мы переведем старую формулу в термины векторных функций. Мы хотим определить длину векторной функции, \[\vec r\left( t \right) = \left\langle {f\left( t \right),g\left( t \right),h\left( t \right)} \right\rangle \ ] на интервале $a \le t \le b$. Мы уже знаем, как это сделать. Напомним, что мы можем записать векторную функцию в параметрическую форму, \[x = f\left( t \right)\hspace{0.25in}y = g\left( t \right)\hspace{0. 25in}z = h\left( t \right)\] 9{{\,b}}{{\влево\| {\ vec r ‘\ влево ( т \ вправо)} \ вправо \ | \, dt}} \] Давайте рассмотрим быстрый пример этого. Пример 1 Определить длину кривой $\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \right)} \right\rangle $ на отрезке $0 \le t \le 2\pi $. Показать решение Сначала нам понадобится касательный вектор и его величина. 9{{\, т}} {{\ влево \| {\ vec r ‘\ влево ( и \ вправо)} \ вправо \ | \, du}} \] Прежде чем мы рассмотрим, почему это может быть важно, давайте рассмотрим небольшой пример. Пример 2. Определить функцию длины дуги для $\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \право)} \право\угол $. Показать решение Из предыдущего примера мы знаем, что \[\слева\| {\ vec r ‘\ влево ( т \ вправо)} \ вправо \ | = 2\квадрат {10} \] 9т = 2\sqrt {10} \,т\] Ладно, только зачем нам это? Что ж, давайте возьмем результат примера выше и решим его для $t$. \[t = \frac{s}{{2\sqrt {10} }}\] Теперь, взяв это и подставив в исходную векторную функцию, мы можем репараметризовать функцию в виде $\vec r\left( {t\left( s \right)} \right)$. Для нашей функции это . \[\ vec r\left( {t\left(s\right)} \right) = \left\langle {\ frac {s}{{\ sqrt {10}}},3\sin \left( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \right), 3 \ cos \ left ( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \ right)} \ right \ rangle \] Итак, зачем нам это? Что ж, с репараметризацией мы теперь можем сказать, где мы находимся на кривой после того, как мы прошли расстояние $s$ вдоль кривой. Также обратите внимание, что мы начнем измерение расстояния с того места, где мы находимся в точке $t = 0$. Пример 3. Где на кривой $\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \right )} \right\rangle $ после путешествия на расстояние $\displaystyle \frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}$? Показать решение Чтобы определить это, нам нужна репараметризация, которую мы получили сверху. \[\ vec r\left( {t\left(s\right)} \right) = \left\langle {\ frac {s}{{\ sqrt {10}}},3\sin \left( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \right), 3 \ cos \ left ( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \ right)} \ right \ rangle \] Затем, чтобы определить, где мы находимся, все, что нам нужно сделать, это подставить сюда $s = \frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}$, и мы получим наше местоположение. \[\ vec r \ left ( {t \ left ( {\ frac {{\ pi \ sqrt {10}}} {3}} \ right)} \ right) = \ left \ langle {\ frac {\ pi} {3},3\sin\left({\frac{\pi}{3}}\right),3\cos\left({\frac{\pi}{3}}\right)} \right\rangle = \ left \ langle {\ frac {\ pi} {3}, \ frac {{3 \ sqrt 3}} {2}, \ frac {3} {2}} \ right \ rangle \] Итак, пройдя расстояние $\frac{{\pi \sqrt {10}}}{3}$ по кривой, мы находимся в точке $\left( {\frac{\pi }{ 3},\frac{{3\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{2}} \right)$. Видео-вопрос: вычисление длин двух векторов по их векторному произведению при условии, что векторы перпендикулярны друг другу Стенограмма видео Два вектора 𝐚 и 𝐛 имеют одинаковую длину и перпендикулярны друг другу. Векторное произведение 𝐚 и 𝐛 имеет величину девять. Какова длина каждого вектора? Итак, это вопрос о векторных произведениях. В этом вопросе нам сообщают величину векторного произведения двух векторов 𝐚 и 𝐛. И нам говорят, что эти векторы имеют одинаковую длину и что они перпендикулярны друг другу. Нас просят найти длину каждого вектора. Давайте начнем с того, что возьмем информацию, которую дает нам вопрос о векторах 𝐚 и 𝐛, и попробуем использовать ее для записи выражений для 𝐚 и 𝐛 в компонентной форме. Нам ничего не говорят об абсолютной ориентации обоих векторов, только то, что они перпендикулярны друг другу. Таким образом, мы вольны ориентировать их по своему усмотрению. Абсолютное направление в пространстве не повлияет на наш ответ. И вообще, в этом случае проще всего выбрать ориентацию векторов по осям координат для выполнения расчета. Итак, давайте представим, что наш вектор 𝐚 указывает вдоль оси 𝑥, а наш вектор 𝐛 указывает на 𝑦-ось. Это выполняет требование вопроса о том, что два вектора перпендикулярны друг другу. Затем мы можем записать наши векторы 𝐚 и 𝐛 в компонентной форме. Напомним, что 𝐢 — это единичный вектор в 𝑥-направлении, поэтому вектор 𝐚 можно записать как величину 𝐚, умноженную на единичный вектор 𝐢, а 𝐣 — единичный вектор в 𝑦-направлении, поэтому вектор 𝐛 можно записывается как величина 𝐛, умноженная на единичный вектор 𝐣. Но на самом деле вопрос дал нам еще одну информацию о векторах 𝐚 и 𝐛. Нам сказали, что эти два вектора имеют одинаковую длину. Теперь длина и величина вектора эквивалентны. Итак, это означает, что величина вектора 𝐚 должна равняться величине вектора 𝐛. Итак, давайте установим величину 𝐚 и величину 𝐛 равными одному и тому же значению, которое мы будем называть 𝑚 для величины. Тогда мы имеем, что вектор 𝐚 равен 𝑚, умноженному на единичный вектор 𝐢, и у нас есть, что 𝐛 равен 𝑚, умноженному на единичный вектор 𝐣. Итак, теперь у нас есть выражения для вектора 𝐚 и вектора 𝐛 в компонентной форме. Итак, мы достигли первого шага. Что дальше? Что ж, другая часть информации, которую дал нам вопрос, касается векторного произведения 𝐚 и 𝐛. Нам говорят, что это векторное произведение имеет величину девять. Итак, разумным следующим шагом было бы вычисление векторного произведения 𝐚 и 𝐛. И затем нашим последним шагом будет использование векторного произведения, чтобы найти длину 𝑚 каждого из векторов 𝐚 и 𝐛. Итак, давайте вспомним определение векторного произведения двух векторов. Сначала мы определим два общих вектора в 𝑥𝑦-плоскости, заглавную 𝐀 и заглавную 𝐁. Мы можем записать их в компонентной форме следующим образом. Заглавная 𝐀 равна 𝑥-компонентной заглавной 𝐴 индексу 𝑥, умноженной на единичный вектор 𝐢 плюс 𝑦-компонентная заглавная 𝐴 нижняя индекса 𝑦, умноженной на единичный вектор 𝐣, и аналогично для заглавной 𝐁 с 𝑥-компонентной заглавной 𝐵 нижним индексом 𝑥 и 𝑦-компонентный заглавный 𝐵 нижний индекс 𝑦. Тогда векторное произведение 𝐀 пересечения 𝐁 равно 𝑥-компоненте 𝐴, умноженной на 𝑦-компоненту 𝐵 минус 𝑦-компонента 𝐴, умноженной на 𝑥-компоненту 𝐵, умноженной на 𝐤, который является единичным вектором в 𝑧-направлении. Итак, давайте применим это к нашим векторам из вопроса, строчным 𝐚 и 𝐛. Мы можем немного прояснить, что происходит, если явно включим как 𝑥-, так и 𝑦-компоненты для обоих векторов. Вектор 𝐚 имеет только 𝑥-компоненту. Но мы можем переписать это как 𝐚 равно 𝑚, умноженное на 𝐢 плюс ноль, умноженное на 𝐣, чтобы явно включить 𝑦-компоненту нуля. И мы можем сделать то же самое для вектора 𝐛, который имеет только 𝑦-компоненту. Но мы можем явно включить 𝑥-компоненту нуля и переписать ее как ноль, умноженный на 𝐢 плюс 𝑚, умноженный на 𝐣. Итак, теперь мы хотим вычислить векторное произведение 𝐚 и 𝐛. Но должны ли мы рассчитывать 𝐚 крест 𝐛 или 𝐛 крест 𝐚? На самом деле оказывается, что не имеет значения, какой из них мы выбираем для расчета. Чтобы понять почему, давайте вернемся к нашему общему выражению для векторного векторного произведения. Если бы вместо этого мы написали 𝐁 через 𝐀, наш первый член был бы 𝑥-компонентой 𝐵, умноженной на 𝑦-компоненту 𝐴. И наш второй член будет 𝑦-компонентой 𝐵, умноженной на 𝑥-компоненту 𝐴. А потом все это будет умножено на наш единичный вектор 𝐤 в 𝑧-направлении. Вынесение из скобок множителя минус один дает нам здесь это выражение. Затем эти два знака минус сокращаются, давая нам плюс. А если поменять местами эти два члена в скобках, то получится, что векторное произведение 𝐁 крест 𝐀 равно минус единице умноженному на 𝐵 нижнего индекса 𝑦 умноженному на 𝐴 нижнему индексу 𝑥 минус 𝐵 нижнему индексу 𝑥 умноженному на 𝐴 нижнему индексу 𝑦 снова умноженному на единицу вектор 𝐤 в 𝑧-направлении. Давайте посмотрим на наш первый член в скобках 𝐵 нижний индекс 𝑦, умноженный на 𝐴 нижний индекс 𝑥. Мы должны помнить, что когда мы умножаем два числа, порядок этих двух чисел в умножении не имеет значения. Таким образом, этот термин эквивалентен индексу 𝐴 𝑥, умноженному на индекс 𝐵 𝑦. Итак, давайте перепишем его. И аналогично, для нашего второго члена в скобках, 𝐵 нижнего индекса 𝑥, умноженного на 𝐴 нижнего индекса 𝑦, мы можем переписать это как 𝐴 нижнего индекса 𝑦, умноженного на 𝐵 нижнего индекса 𝑥. Тогда, если мы сравним наше выражение для 𝐁 cross 𝐀 с нашим определением 𝐀 cross 𝐁, мы увидим, что эти биты в скобках абсолютно одинаковы в каждом случае. И единственная разница в том, что в нашем 𝐁 кроссе 𝐀 у нас этот коэффициент минус один впереди. Этот фактор просто дает нам общий знак минус. Итак, мы можем сказать, что 𝐁 крест 𝐀 равен отрицательному 𝐀 кресту 𝐁. А поскольку в этом вопросе нас интересует только величина векторного произведения, то не имеет значения, вычисляем ли мы 𝐀 крест 𝐁 или 𝐁 крест 𝐀, потому что они оба имеют одинаковые величины. Они просто имеют противоположные знаки, поэтому векторы указывают в противоположных направлениях. Итак, возвращаясь к вопросу и нашим двум векторам в нижнем регистре 𝐚 и нижнем регистре 𝐛, давайте решим вычислить векторное произведение 𝐚 крест 𝐛. Это векторное произведение задается 𝑥-компонентой 𝐚, которая равна 𝑚, умноженной на 𝑦-компоненту 𝐛, которая также является 𝑚, за вычетом 𝑦-компоненты 𝐚, равной нулю, умноженной на 𝑥-компоненту 𝐛, что также равно нулю. А потом все это умножается на единичный вектор 𝐤. Поскольку единичный вектор 𝐤 по определению имеет величину единицу, то величина векторного произведения 𝐚 крест 𝐛 задается этой частью выражения здесь. Мы можем записать это как 𝑚 в квадрате. Итак, мы можем сказать, что величина креста 𝐛 равна 𝑚 в квадрате. Итак, к этому моменту мы определенно выполнили второй шаг и вычислили векторное произведение 𝐚 и 𝐛. Все, что осталось, — это третий шаг, который состоит в том, чтобы использовать эту величину векторного произведения, чтобы найти длину 𝑚 каждого вектора. Вопрос говорит нам, что величина векторного произведения равна девяти. Итак, мы можем установить нашу величину 𝐚 крест 𝐛 равным 𝑚 в квадрате равным девяти. Теперь нас попросили найти длину или величину каждого из векторов 𝐚 и 𝐛.

В алгебре, пожалуй, одной из самых распространённых операций является возведение дроби в степень. Это довольно простое действие, которое похоже на умножение. Обучают ему на уроках математики в восьмом классе. Вычисление ответа заключается в различных нюансах, зависящих от типа дробного выражения. Но при этом существует универсальное правило. Используя его, можно находить как положительную, так и отрицательную степень.

Представления о степени сложились ещё во времена существования Древнего Египта. Впервые упоминание о её вычислении встречается в знаменитом учебнике по математике Диофанта Александрийского «Арифметика». В своих трудах он описывает понятие как некоторое количество единиц, из которых состоят любые числа, увеличивающиеся до бесконечности. Он выделяет:

Французский учёный Никола Шюке дополнил этот степенной ряд, введя отрицательный параметр. Современное же обозначение степени предложил Рене Декарт. В «Геометрии» он использовал верхний надстрочный знак для указания величины степени. Что интересно, квадрат математик продолжал обозначать как произведение чисел, то есть в виде n * n. И только потом Лейбниц настоял на универсальной записи для любого возведения в степень.

Под операцией возведения понимается бинарное действие, определяемое в результате умножения числа на себя. То есть справедлива следующая запись: dⁱ = d * d* d *… * dk, где k — число, обозначающее количество перемножаемых чисел, равное n. Например, 11² = 11 * 11 = 121. Степень, присущая числу, может быть отрицательной, рациональной, десятичной, вещественной и даже комплексной. Фактически получается, что для того, чтобы посчитать степень числа, его нужно умножить на себя столько раз, сколько указано в степенном показателе.

Но при этом существует нюанс возведения в нулевую степень. Любое число, вне зависимости от вида, в нулевой степени даст единицу. Например, (2/32)⁰ = 1, -142⁰ = 1. Выражение же ноль в нулевой степени не имеет смысла, поэтому ответ считается неопределённым.

В основе правила возведения дроби в степень лежит её определение с дробным показателем. Согласно ему, для решения задачи нужно отдельно возвести сначала числитель выражения, а затем знаменатель, не меняя занимаемые ими позиции. Например, дробь три шестых во второй степени будет равна: (3/6)² = 9/36. Используя свойства сокращения дробей, числитель и знаменатель можно разделить на девять. В итоге получится равенство: (3/6)² = 1/4.

Доказать это правило можно выполнив элементарные алгебраические действия. Для рассмотренного примера, согласно правилу арифметики, сначала необходимо выполнить деление, а после возведение в степень. Так, три разделить на шесть будет равно: 3/6 = 1/2 = 0,5. Затем полученное число следует возвести в квадрат: 0,5² = 0,5 * 0,5 = 0,25. Найденный ответ можно переписать в виде дроби 1/4, которая при сравнении полностью совпадает с ранее вычисленной.

Утверждение справедливо для любого вида дроби с произвольной степенной функцией. Например, (11 / 14)³. Используя закон, можно записать следующее: (11 / 14)³ = 11³/ 14³ = (11 * 11 * 11) / (14 * 14 * 14) = 1331 / 2744. Эту дробь сократить, то есть упростить, нельзя. Если нужно получить численное значение, то следует просто разделить числитель на знаменатель: 1331 : 2744 = 0,485.

Чтобы убедиться в истинности правила, можно и тут выполнить проверку. Дробь три разделить на пять в степени три можно решить, выполнив сначала деление, а после полученное число возвести в кубическую степень: (11 / 14)³ = (0,78)³ = 0,78 * 0,78 * 0,78 = 0,485. Ответ идентичен предыдущему, что и следовало доказать.

Если показатель степени небольшой, то возведение можно выполнить просто умножив дробь на саму себя необходимое число раз. Например, (2/32)³ = (2/32) * (2/32) *(2/32) = 1/4096. Алгоритм обыкновенного расчёта обычно не вызывает трудности, но часто приходиться иметь дело не только с обыкновенными дробями. При этом степень может быть даже отрицательной.

Но в любом случае нужно помнить, что если верхнюю и нижнюю часть дроби умножить или разделить на одно и то же число, то количественный показатель полученного выражения не изменится. Это важно, так как при возведении приходится часто выполнять преобразования.

Так, согласно алгебраическим правилам, для простых чисел a и b, при условии, что a < b, справедливо выражение: c^a / c^b = c^a^{— b}. Тут нужно отметить, что основание не должно быть равным нулю, иначе получится недопустимое деление на ноль. Если a = b, то равенство можно переписать в виде: c^a / c^b = c^a^{— a} = c⁰. Так как c другой стороны частное c^a / с^a = 1, то можно утверждать, что с⁰ = 1.

Для нулевой степени такой подход использовать будет некорректно. При основании, которое равно нулю, применяя предыдущее равенство, можно записать, что ноль в степени a умноженный на ноль в степени ноль, равняется нулю с показателем a. То есть выражение может быт переписано как 0 = 0. Оно будет правильным при любом натуральном показателе, при этом не будет зависеть от того, чему равно выражение 0⁰.

Чтобы знать, как возвести дробь в отрицательную степень, нужно вспомнить свойство произведения с равными основаниями: c^a * c^b = c^a^{+ b}. Предположив, a = -b, при условии, что основание не равняется нулю, можно записать: c^−a* c^a= c^-a+a= a⁰= 1. Несложно сделать вывод о том, что положительный и отрицательный показатель взаимно обратный. Отсюда выходит, что если число нужно возвести в отрицательную степень, то его можно представить в виде дроби: c^—^a = 1 / c^a.

Получается, что для минусового показателя ответ определяется дробью, при условии, что основание отлично от нуля и показатель — натуральное число. Фактически необходимо перевернуть дробь и возвести её по правилу, при этом знак показателя изменить на положительный. Например, (23 / 37)^-2 = 1 / (11 / 37)² = (37 / 22)² или (1 / 5)^-2 = (5 / 1)² = 5² = 25.

В состав рациональных чисел входят все целые и дробные значения. По сути, ими называют значения, которые можно представить в виде обыкновенной или отрицательной дроби, как цифру ноль. При этом в числителе находится целое число, а в знаменателе – натуральное. Для того чтобы определить степень, нужно выяснить, что же представляет собой число с показателем в дробной форме.

Используя полученное выражение, логично предположить, что c^{a / b} = ^a√c^b, но это лишь справедливо, когда показатель степени целый. Можно сделать вывод о том, что если выражение ^a√c^bсправедливо, что степенью числа c дробным показателем b / a является корень из c в степени b.

Если принять, что основание больше либо равно нулю, когда b является положительным числом, то буде справедливым равенство: с^a^/^b = ^a√c^b. При этом можно утверждать, что если основание будет равным нулю, то ответом будет тоже ноль: 0^a^/^b = ^a√0^{b =}0.

Тут нужно оговориться, что для некоторых одночленов приведённое правило не работает. Например, для ³√ (-12 /3)² или ⁴√ -12² оно верное, а для (-1 / 3)^{-2 / 3} или (-3 / 2)^{2 / 5} не имеет смысла, так как основание не может быть отрицательным. Поэтому вводится условие, по которому выражение ^a√ c^b имеет смысл, при любых значениях неотрицательного основания.

Что же касается минусовой величины в показателе корней, оно в основании должно отличаться от нуля. Иными словами, если в любом уравнении или равенстве выражение a / b нельзя упростить (сократить), то a * i / b * I = c^a^—ⁱ^/^b^—, причём степень можно заменить на c^a^/^b.

Для того чтобы понять и усвоить теорию, нужно попрактиковаться. Начинать необходимо с простых заданий, постепенно переходя к более сложным примерам. Возвести дробь в степень можно и на онлайн-калькуляторах, но желательно уметь выполнять это действие самостоятельно. Из наиболее типичных примеров, охватывающих все возможные ситуации, можно выделить следующие:

Возведение дроби с простым показателем. Пусть дан многочлен (11 / 21)² + (9 / 10)³ , необходимо вычислить ответ. Согласно правилу, сначала следует убрать скобки, а после выполнить сложение. Решение задания будет следующим: ( 11 * 11 ) / (21 * 21 ) + ( 9 * 9 * 9 ) / ( 10 * 10 * 10) = 121 / 441 + 729 / 100 = (121 * 1000) / (441 * 1000) + (729 * 441) / (1000 * 441) = 442489/441000.

Вычисление сложных уравнений. Определить верность выражения: (16 / 11)⁰ – (2 / 8)^-1 + 4 *(-3 / 2)^1/2 > e^-3. Сначала следует раскрыть все скобки, а уже после выполнить алгебраические операции: (16 / 11 )⁰ – (2 / 8)^-1 + 4 *(-3 / 2)² = 1 – 8 / 2 + 4 * (9 / 4) = 1 – 4 + (-3 * (-3 ) ) / (4 * 4) = -3 + 9/16 = 9/16 – 3/1 = (9 * 1) / (16 * 1)) – (3 * 16) / (1 * 16) = 9 /16 – 48 /16 = (9 -48) / 16 = — 39 / 16 = — 2,43. Так как буквой e обозначают экспоненту, то e^—³ = 2,718^-3 = 0,049. Отсюда можно сделать вывод, что знак в неравенстве неверный: -2,43 < 0,049

В сети существуют сервисы, автоматически выполняющие арифметические операции. Воспользоваться этими сайтами может каждый, имеющий доступ к интернету. Порталы предлагают свои услуги бесплатно. С их помощью можно находить функции, рассчитывать градусы и углы, решать уравнения и неравенства, вычислять дроби и степени.

Для решения дробей со степенями на онлайн-калькуляторах не нужно обладать какими-то особыми знаниями. Всё что требуется от пользователя — вести в предложенную форму задание и нажать кнопку «Рассчитать». Весь процесс вычисления занимает несколько секунд.

Полезной особенностью таких сайтов является и возможность обучиться правилам расчёта, узнать, как должны обозначаться те или иные операции и действия. Из различных калькуляторов можно выделить три наиболее популярных:

ruСодержание Как возвести в степень смешанное число Правило возведения алгебраической дроби в степень, его доказательство Примеры, решения Возведение дроби в степень. Наш онлайн-калькулятор позволяет возводить в степень любую дробь. Чтобы задать смешанную дробь заполните поля, соответствующие целой части, числителю и знаменателю. Если дробь не имеет целой части, то тогда оставьте соответствующее поле незаполненным. Если необходимо задать отрицательную дробь – для этого нажмите кнопку [+/-].После нажатия на кнопку «Вычислить» калькулятор выдаст ответ. Ниже под калькулятором будет приведено подробное решение с последовательностью действий, которые необходимо совершить. При возведении в степень дроби нужно возвести в степень и числитель, и знаменатель. Данное свойство соответствует другой записи свойства № 5 «Степень частного», расмотренного на предыдущей странице. Примеры возведения в степень дроби. ( 3 · b 5c ) 2 = 3 2 · b 2 5 2 · c 2 = 9 · b 2 25 · c 2 = 9b 2 25c 2 Как возвести в степень смешанное число Чтобы возвести в степень смешанное число, сначала избавляемся от целой части, превращая смешанное число в неправильную дробь. После этого возводим в степень и числитель, и знаменатель. Формулу возведения в степень дроби применяют как слева направо, так и справа налево, то есть, чтобы разделить друг на друга степени одинаковыми показателями, можно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным. Пример. Найти значение выражения рациональным способом. На нашем сайте вы также можете проверить свои вычисления и возвести число в степень онлайн. Тема сводится к тому, что нам необходимо производить умножение одинаковых дробей. Данная статья расскажет, какое необходимо использовать правило, чтобы верно возводить алгебраические дроби в натуральную степень. Правило возведения алгебраической дроби в степень, его доказательство Перед тем, как начать возводить в степень, необходимо углубить знания при помощи статьи про степень с натуральным показателем, где имеется произведение одинаковых множителей, которые находятся в основании степени, причем их количество определено показателем. К примеру, число 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 . Читайте также: Составить уравнение касательной к гиперболе перпендикулярной прямой При возведении в степень чаще всего используем правило. Для этого в отдельности возводят в степень числитель и отдельно знаменатель. Рассмотрим на примере 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Правило применимо для возведения дроби в натуральную степень. При возведении алгебраической дроби в натуральную степень получаем новую, где числитель имеет степень исходной дроби, а знаменатель – степень знаменателя. Это все имеет вид a b n = a n b n , где а и b являются произвольными многочленами, b является ненулевым, а n натуральным числом. Доказательство данного правила записывается в виде дроби, которую необходимо возвести в степень, основываясь на самом определении с натуральным показателем. Тогда получаем умножение дробей вида a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n Примеры, решения Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель , потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной. Произвести возведение дроби x 2 3 · y · z 3 в квадрат. Необходимо зафиксировать степень x 2 3 · y · z 3 2 . По правилу возведения алгебраической дроби в степень получаем равенство вида x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Теперь необходимо произвести преобразование полученной дроби к виду алгебраической, выполняя возведение в степень. Тогда получим выражение вида x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 2 · 2 3 2 · y 2 · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 Все случаи возведения в степень не предполагают подробного разъяснения, поэтому сам решение имеет краткую запись. То есть, получаем, что x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 Ответ: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 . Если числитель и знаменатель имеют многочлены, тогда необходимо возводить всю дробь в степень, после чего применять формулы сокращенного умножения для его упрощения. Возвести дробь 2 · x – 1 x 2 + 3 · x · y – y в квадрат. Из правила имеем, что Читайте также: Телевизор lg сбрасывает каналы после выключения 2 · x – 1 x 2 + 3 · x · y – y 2 = 2 · x – 1 2 x 2 + 3 · x · y – y 2 Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых в знаменателе, а в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение. Получим: 2 · x – 1 2 x 2 + 3 · x · y – y 2 = = 2 · x 2 – 2 · 2 · x · 1 + 1 2 x 2 2 + 3 · x · y 2 + – y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · ( – y ) + 2 · 3 · x · y · – y = = 4 · x 2 – 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y – 2 · x 2 · y – 6 · x · y 2 Ответ: 2 · x – 1 2 x 2 + 3 · x · y – y 2 = 4 · x 2 – 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y – 2 · x 2 · y – 6 · x · y 2 Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь. Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень. Автор: Мария Сухоруких Распечатать Оцените статью: (0 голосов, среднее: 0 из 5) Поделитесь с друзьями! Калькулятор десятичной дроби — MathCracker.com Инструкции: Используйте этот калькулятор, чтобы преобразовать заданное десятичное число, которое вы предоставляете, в дробь, показывая все шаги. Введите одно десятичное число (например, число типа «3,4673» или число типа «.345279») в форму ниже: Об этом калькуляторе десятичной дроби Что такое десятичная дробь? Десятичная дробь относится к способу выражения чисел с использованием числа десять в качестве основания, а также степеней десяти и десятых долей. Проще говоря, десятичные дроби — это числа, какими вы их знаете, это последовательность цифр (числа от 0 до 9), за которой, возможно, следуют десятые части, представленные точкой «.» и последовательность цифр Пример цифры: Например, 45,34556 и 0,5678 — это цифры. Цифры, которые имеют только «0» слева от «.» обычно пишут как .4534, для краткости. Как преобразовать десятичную дробь в дробь? Стратегия проста: нам нужно попытаться «исключить» десятичные дроби (цифры справа от «.»), умножив число на степень 10. Как только вы это сделаете, вы обратите внимание на степень 10, которую вы использовали для достижения этого, потому что затем вы будете использовать ее для преобразования данного числа в десятичное число. k}\] и, возможно, вы захотите уменьшить дробь справа от наименьшего выражения. Таблица десятичных дробей Существуют классические диаграммы, которые дают вам четкое представление об эквивалентности наиболее часто используемых дробей и их десятичных преобразованиях. Преимущества и недостатки использования диаграммы по сравнению с формулой преобразования десятичных знаков в дробь Использование диаграммы прямое: вы просто смотрите на диаграмму и сразу получаете преобразование десятичной дроби в дробь. Проблема с диаграммой заключается в том, что там нет точного десятичного числа или дроби, которую вы ищете. Используя формулу преобразования, вы уверены, что можете преобразовать ЛЮБОЕ число, но вам действительно нужно поработать над расчетом. Калькуляторы о дробях и процентах Естественно, как вы, вероятно, уже поняли, дроби, десятичные числа и проценты тесно связаны между собой. И часто это просто разные форматы для представления одной и той же информации более удобным способом для данного контекста. Например, использование калькулятора процентов в дроби выполняет ту же работу, что и этот калькулятор десятичных дробей, с той разницей, что сначала вам нужно будет преобразовать десятичную дробь в проценты. Естественно, вы можете столкнуться с обратной ситуацией. Может быть, вы хотите преобразовать дробь до десятичной , который является просто общим алгоритмом арифметики деления. Обратите внимание, что преобразование дроби в десятичную может привести к конечному десятичному числу или потенциально к повторяющемуся десятичному числу. Например, дробь $\displaystyle \frac{3}{5}$ соответствует простому числу 0,6 (простому конечному десятичному числу), а дробь $\displaystyle \frac{1}{3}$ соответствует повторяющемуся десятичному числу 0,33333. …. Пример: Преобразование десятичной дроби в дробь Вопрос : Вычислите число 3,4563 как дробь. Решение: Вы ввели следующее десятичное число $D = \displaystyle 3.4563$, и цель состоит в том, чтобы преобразовать его в дробь. Шаг 1: Нам нужно умножить $D = 3. {4} \] \[ = 3.4563 \times 10000= 34563 \] Итак, разделив обе части на \(10000$, мы получим \[ 3.4563 = \displaystyle \frac{34563}{10000} \] а поскольку найденная дробь уже упрощена, делается вывод, что простейшая дробь, эквивалентная $3.4563$, равна $3.4563$. Следовательно, выражение десятичной дроби в простейшем виде — $\displaystyle 3.4563 = \frac{ 34563}{ 10000}$, что завершает вычисление. Пример 2 Вопрос Выразите 0,625 в виде дроби. Решение: Алгебра Египетские дроби. Часть вторая Египетские (аликвотные) дроби По сегменту определить радиус окружности Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами Деление треугольника на равные площади параллельными Определение основных параметров целого числа Свойства обратных тригонометрических функций Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ Аутотрофные и миксотрофные организмы Рассечение круга прямыми на равные площади Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений. Представить дробь, как сумму её множителей Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений Расчет основных параметров четырехполюсника Цепочка остатков от деления в кольце целого числа Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн Уравнение пятой степени. Частное решение. Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными Онлайн разложение дробно рациональной функции Корни характеристического уравнения Имя пользователя при работе с Excel Распределение частот появления букв русского алфавита в текстах Поиск по сайту Русский и английский алфавит в одну строку Часовая и минутная стрелка онлайн. Угол между ними. Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн Перемешать буквы в тексте онлайн Массовая доля химического вещества онлайн Декoдировать текст \u0xxx онлайн Частотный анализ текста онлайн Поворот точек на произвольный угол онлайн Площадь многоугольника по координатам онлайн Остаток числа в степени по модулю Расчет процентов онлайн Обратный и дополнительный код числа онлайн Как перевести градусы в минуты и секунды Поиск объекта по географическим координатам Расчет пропорций и соотношений Время восхода и захода Солнца и Луны для местности DameWare Mini Control. Настройка. Растворимость металлов в различных жидкостях Калькулятор географических координат Теория графов. Матрица смежности онлайн Географические координаты любых городов мира Расчет значения функции Эйлера Перевод числа в код Грея и обратно Онлайн определение эквивалентного сопротивления Произвольный треугольник по заданным параметрам НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF) Площадь пересечения окружностей на плоскости Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней Непрерывные, цепные дроби онлайн Построить ненаправленный граф по матрице Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление Месторождения золота и его спутники Сообщество животных. Кто как называется? Расчет понижающего конденсатора Система комплексных линейных уравнений Из показательной в алгебраическую. Подробно Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн Проекция точки на плоскость онлайн Определение формулы касательной к окружности Расчет параметров конденсатора онлайн Онлайн расчеты Подписаться письмом Eˣ Калькулятор | Возведен В Степень X Математические Калькуляторы Этот удивительный инструмент позволит вам вычислить e в степени любого числа, которое вы выберете. X) Оглавление ◦Каково значение e на дисплее калькулятора калькулятора? — е к числу х ◦Как ввести e в калькулятор? — Рассчитать e до числа x ◦Что это означает на практике? Как вы вычисляете от е до х? ◦Что означает эксп? ◦Как перевести е в степень х без калькулятора? ◦Что эквивалентно e отрицательной бесконечности? ◦Чему равна производная от е до х? Каково значение e на дисплее калькулятора калькулятора? — е к числу х e — две самые фундаментальные константы в математике. е нельзя записать в виде дроби. Оно также имеет бесконечное количество десятичных разрядов, как и его двоюродный брат пи ( ). e можно назвать много вещей в математике. Оно может быть известно как число Эйлера или натуральные числа. Его значение равно 2,7182818284590452353602… и продолжает считать! Теперь мы знаем, что это такое и сколько это стоит. x. Автор статьи Parmis Kazemi Пармис — создатель контента, который любит писать и создавать новые вещи. Она также очень интересуется технологиями и любит узнавать что-то новое. Eˣ Калькулятор русский Опубликовано: Mon May 16 2022 В категории Математические калькуляторы Добавьте Eˣ Калькулятор на свой сайт Eˣ Калькулятор на других языках هˣ آلة حاسبةCalculatrice EˣEˣ RechnerEˣ計算機ईˣ कैलकुलेटरEˣ Hesap MakinesiEˣ KalkulatorEˣ CalculatorEˣ КалькулятарEˣ Kalkulačka Как добавить Eˣ Калькулятор на мой сайт? Вы можете легко добавить Eˣ Калькулятор на свой веб-сайт с помощью нашего кода. Вставьте код на свой веб-сайт, и калькулятор автоматически появится на этом месте! Как добавить виджет Eˣ Калькулятор на сайт WordPress? Добавить Eˣ Калькулятор на ваш сайт Wordpres быстро и легко! Найдите страницу, на которую вы хотите добавить калькулятор, перейдите в режим редактирования, нажмите «Текст» и вставьте туда код. Как добавить HTML-виджет на страницу WordPress с помощью нового редактора кодаКак добавить HTML-виджет на страницу WordPress с помощью старого редактора кода Другие математические калькуляторы Калькулятор Векторного Произведения Калькулятор Треугольников 30 60 90 Калькулятор Ожидаемой Стоимости Математический Онлайн Калькулятор Калькулятор Стандартного Отклонения Калькулятор Процентов Калькулятор Дробей Конвертер Фунтов В Чашки: Мука, Сахар, Молоко.. Калькулятор Окружности Калькулятор Формулы Двойного Угла Вычисление Корня Калькулятор Площади Треугольника Калькулятор Котерминального Угла Калькулятор Скалярного Произведения Калькулятор Средней Точки Конвертер Значащих Цифр (калькулятор Sig Figs) Калькулятор Длины Дуги Для Круга Калькулятор Балльной Оценки Калькулятор Процентного Увеличения Калькулятор Процентной Разницы Калькулятор Линейной Интерполяции Калькулятор QR-разложения Калькулятор Транспонирования Матрицы Калькулятор Гипотенузы Треугольника Калькулятор Тригонометрии Калькулятор Стороны И Угла Прямоугольного Треугольника (калькулятор Треугольника) 45 45 90 Калькулятор Треугольника (калькулятор Прямоугольного Треугольника) Калькулятор Умножения Матриц Калькулятор Среднего Генератор Случайных Чисел Калькулятор Погрешности Калькулятор Угла Между Двумя Векторами LCM Calculator — Калькулятор Наименьшего Общего Кратного Калькулятор Площади В Квадратных Футах Калькулятор Экспоненты (калькулятор Мощности) Калькулятор Математического Остатка Правило Трех Калькуляторов — Прямая Пропорция Калькулятор Квадратичных Формул Калькулятор Суммы Калькулятор Периметра Калькулятор Z-счета (значение Z) Калькулятор Фибоначчи Калькулятор Объема Капсулы Калькулятор Объема Пирамиды Калькулятор Объема Треугольной Призмы Калькулятор Объема Прямоугольника Калькулятор Объема Конуса Калькулятор Объема Куба Калькулятор Объема Цилиндра Калькулятор Масштабного Коэффициента Расширения Калькулятор Индекса Разнообразия Шеннона Калькулятор Теоремы Байеса Калькулятор Антилогарифмов Калькулятор Простых Чисел Калькулятор Экспоненциального Роста Калькулятор Размера Выборки Калькулятор Обратного Логарифма (логарифма) Калькулятор Распределения Пуассона Мультипликативный Обратный Калькулятор Калькулятор Процента Оценок Калькулятор Отношения Калькулятор Эмпирических Правил Калькулятор P-значения Калькулятор Объема Шара Калькулятор Чистой Приведенной Стоимости 1 целая минус 1 2 в кубе Автор Сфера закона На чтение 5 мин Просмотров 4 Опубликовано 25 августа 2022 Содержание Калькулятор дробей Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со скобками с буквами Таблица кубов Таблица кубов Теория Скачать таблицу кубов Калькулятор степеней — возвести в степень онлайн Что такое натуральная степень числа? Как возвести число в натуральную степень? Что такое отрицательная степень числа? Как возвести число в целую отрицательную степень? Калькулятор дробей Онлайн калькулятор дробей позволяет производить простейшие арифметические операции с дробями: сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Чтобы произвести вычисления, заполните поля соответствующие числителям и знаменателям двух дробей. Если дробь имеет вид «смешанной дроби», то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если у дроби нет целой части, т.е. дробь имеет вид «простой дроби», то оставьте данное поле пустым. Затем нажмите кнопку «Вычислить». Дробью в математике называется число, представляющее часть единицы или несколько её частей. Обыкновенная дробь записывается в виде двух чисел, разделенных обычно горизонтальной чертой, обозначающей знак деления. Число, располагающееся над чертой, называется числителем. Число, располагающееся под чертой, называется знаменателем. Знаменатель дроби показывает количество равных частей, на которое разделено целое, а числитель дроби — количество взятых этих частей целого. Дроби бывают правильными и неправильными. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Если у дроби числитель больше знаменателя, то такая дробь называется неправильной. Смешанной называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, и понимается как сумма этого числа и дробной части. Соответственно, дробь, не имеющая целую часть,называется простой дробью. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь (см. пример ниже). Источник Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со скобками с буквами Данный онлайн калькулятор дробей предназначен для сложения, вычитания, деления и умножения между собой обыкновенных дробей. А так же дробей с целой частью и десятичных дробей. Основные возможности: Сложение, вычитание, деление и умножение дробей. Расчет дробей с подробнейшим решением. Расчет дробей со степенями, скобками и буквами. Сокращение дробей. Поддержка до трех дробей онлайн. Постоянная ссылка на результат этого расчета На данном калькуляторе можно посчитать сложение вычитание деление или умножение дробей. (-2) +1. При сложении дробей состоящих только из чисел калькулятор вычисляет НОД и НОК. При расчете сразу трех дробей сначала выполняется операция умножение(деления), затем сложения(вычитания). Для изменения этого порядка поставьте галочку в поле «Большие скобки» и выберите нужный порядок расчета. В этом случае первой будет выполняться операция в больших скобках. Источник Таблица кубов Таблица кубов или таблица возведения чисел в третью степень. Интерактивная таблица кубов и изображения таблицы в высоком качестве. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 2 8000 9261 10648 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389 3 27000 29791 32768 35937 39304 42875 46656 50653 54872 59319 4 64000 68921 74088 79507 85184 91125 97336 103823 110592 117649 5 125000 132651 140608 148877 157464 166375 175616 185193 195112 205379 6 216000 226981 238328 250047 262144 274625 287496 300763 314432 328509 7 343000 357911 373248 389017 405224 421875 438976 456533 474552 493039 8 512000 531441 551368 571787 592704 614125 636056 658503 681472 704969 9 729000 753571 778688 804357 830584 857375 884736 912673 941192 970299 Таблица кубов Теория Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью: Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе». Скачать таблицу кубов Нажмите на картинку чтобы посмотреть в увеличенном виде. Нажмите на надпись «скачать», чтобы сохранить картинку на свой компьютер. Изображение будет с высоким разрешением и в хорошем качестве. Источник Калькулятор степеней — возвести в степень онлайн Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные). Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным. Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить. Что такое натуральная степень числа? Число p называют n -ой степенью числа a , если p равно числу a , умноженному само на себя n раз: p = a n = a·. ·a n — называется показателем степени, а число a — основанием степени. Как возвести число в натуральную степень? Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров: Пример 1. Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 3 4 Решение: как было сказано выше, 3 4 = 3·3·3·3 = 81 . Ответ: 3 4 = 81 . Пример 2. Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 5 5 Решение: аналогично, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125 . Ответ: 5 5 = 3125 . Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз. Что такое отрицательная степень числа? При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль. Как возвести число в целую отрицательную степень? Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат. Пример 1. Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2 -4 Решение: как было сказано выше, 2 -4 = Источник Сложение, вычитание, деление и умножение дробей Инструкции по использованию Введите дроби в приведенный выше калькулятор. Выберите математическую операцию, которую вы хотите выполнить (сложение, вычитание, умножение, деление), используя серый раскрывающийся список между двумя дробями. Результаты будут обновляться автоматически при каждом изменении любого значения в калькуляторе. Флажок под калькулятором позволяет выбрать между сокращением дроби до эквивалента наименьшего общего знаменателя (если флажок установлен) или не уменьшением (если флажок не установлен). Как вручную считать дроби Как складывать дроби Найдите наименьший общий знаменатель, умножив каждый знаменатель на другой. Умножьте каждый числитель на те же числа, на которые были умножены знаменатели. Сложите числители. Уменьшить результат до максимально упрощенного числа. Как вычитать дроби Найдите наименьший общий знаменатель, умножив каждый знаменатель на другой. Умножьте каждый числитель на те же числа, на которые были умножены знаменатели. Добавьте второй числитель к первому. Уменьшить результат до максимально упрощенного числа. Как умножать дроби Перемножьте числа в верхней части вместе. Перемножьте числа внизу вместе. Уменьшить результат до максимально упрощенного числа. Как делить дроби Переверните вторую дробь вверх ногами, чтобы получить обратное число. Умножьте дроби вместе (точно так же, как в разделе умножения выше). Уменьшить результат до максимально упрощенного числа. Дроби: история, актуальность и популярное использование — Руководство Автор Corin B. Arenas , опубликовано 22 октября 2019 г. Практически каждый день мы имеем дело с дробями. Подумай об этом. Получаете ли вы монеты за размен, покупаете одежду со скидкой 75 % или готовите на полстакана масла, вы используете дроби. В этом разделе мы поговорим о происхождении дробей, их значении для передачи информации и золотом сечении. Что такое дроби? Дроби представляют собой части целого числа или любого количества равных частей. Он функционирует чтобы описать, как части соотносятся с целым числом. Для иллюстрации представьте целое число как торт. Если вы разрежете торт на 4 равные части, один кусок будет частью этого торта. В данном случае это 1/4 часть всего торта. 1 представляет одну часть или часть целого числа, которое называется числителем . 4 представляет собой общее количество частей в целом числе, которое называется знаменателем . Краткая история дробей Происхождение слова: Термин дробь происходит от латинского слово дробь что означает «сломать». В раннем английском языке это означает «отломанный кусок или фрагмент». Английское слово «перелом» также имеет такое же происхождение слова. Концепция дробей существует уже более 4000 лет. Но разные цивилизации по-своему стандартизируют дроби для универсального использования. Египтяне Согласно Математика сквозь века : Нежная история для учителей и других, египтяне были одними из первых, кто изобрел форму дроби еще в 1800 г. до н.э. Их концепция в основном ограничивалась частями, иначе известными как единичные дроби. Единичные дроби используют 1 в качестве числителя. Египетские математики создали систему с основанием 10 идея, которая похожа на системы счисления, которые мы используем сегодня. Цифра иероглифы представляли их числа, а значит, символы соответствовали определенное значение. Так как числитель всегда равен 1, нужно было указать только знаменатель. Египтяне отмечали знаменатель овалом или точкой над значением. Вот несколько примеров из Math Through the Ages : Части были выражены в виде суммы единичных дробей. Однако система не позволяла повторять дробные единицы в этой последовательности, что затрудняло расчеты. Чтобы решить эту проблему, египтяне создали обширные списки таблиц, в которых были указаны двойные значения различных частей. Вавилоняне Еще одна цивилизация, создавшая сложную систему для Фракции были вавилонянами, по словам преподавателя математики и автора Лиз Памфри. Вавилоняне организовали фракции в группы по 60 человек (базовое 60). Сегодня мы обычно объединяем числа в группы по 10. Но для вычислений, таких как углы и минуты для времени, мы также используем основание 60. Система группировала дроби по 10 и использовала два символа, один для единицы, а другой для 10. Ниже приведены символы, представляющие вавилонскую систему счисления от 1 до 20: Однако у них не было символа для нуля (который они позже добавили около 311 г. до н.э.) или знака, функционирующего как десятичная точка для указать доли целого числа. Это затрудняло интерпретацию чисел. Например, приведенные ниже числа читаются как 12 и 15. Согласно Памфри, символы также могут значения: 12 и 15 отдельными номерами 15/12 12 15/60 720 + 15 Как видите, отсутствие индикатора дроби делает его трудно отделить целые числа от дробей. Вероятно, они полагались на контекст, чтобы разобраться в числовых значениях. И египетская, и вавилонская системы позже были переданы людям в Греции, а затем и средиземноморской цивилизации. Греки В Греции практика использования дробных значений в качестве сумм долей единицы была довольно распространена до средневековья. Например, Либер Abbaci итальянского математика Фибоначчи известный текст 13 века. Он широко использовал дроби, описывая различные способы преобразования других дробей в суммы единичных дробей. Чтобы лучше понять, ниже приведена таблица греческих цифровые символы. Обратите внимание, что они такие же, как буквы в греческом языке. алфавит: греческий запись дробей требует от читателей понимания контекста для правильного интерпретация. Чтобы выделить дробь, они ставят диакритический знак (‘) после знаменателя дроби. Например, число β (2) становится ½ при записи через диакритический знак, β’ . Аналогично, µβ (42) становится 1/42 при записи в виде µβ’ . Однако здесь возникает путаница: µβ’ также может означать 40 ½. Вот почему понимание контекста имеет решающее значение при интерпретации греческих дробей. Римлянам Для римлян дроби выражались только словами, которые затрудняло какие-либо расчеты. Их система была основана на единице веса, называемой «ас». При таком подходе 1 «ас» равнялся 12 унциям (римская основная единица измерения, положенная в основу современной унции). Таким образом, дроби имеют знаменатели со значениями, делящимися на 12. В таблице ниже показаны римские дроби с соответствующими терминами: Китайцы Китайцы написали Девять Главы по математическому искусству , датируемому примерно 100 г. до н.э. Он включает в себя текст о дробях, похожих на те, которые мы используем сегодня. В соответствии с Math Through the Ages , он содержал большинство обычных правил вычисления с дробями, например, как складывать, делить и умножать дроби, а также приводить дробь к наименьшему значению. Однако их система избегала использования неправильных дробей. Например, вместо неправильной дроби 9/4 они использовали эквивалентную ей смешанную дробь 2 1/4. В отличие от западной математики, китайцы сосредоточились на практических приложениях, а не на теоретических рассуждениях и геометрии. Индийцы Индийцы разработали способ записи дробей, ближе к тому, что мы используем сегодня. Согласно ресурсному сайту The Story of Mathematics, до 1000 г. до н.э. индуистские мантры в ранний ведический период вызывали силы от десяти до сотен и даже до триллиона. Это свидетельствует о том, что ранняя индийская цивилизация использовала сложные математические операции, включая дроби, квадраты, кубы и корни. Около 500 г. до н.э. они придумали систему письма под названием брахми, которая состояла из 9числовые символы и ноль. Учитель математики и писатель Лиз Памфри отмечает, что эти числа во многом повлияли на современные числа, которыми мы пользуемся сегодня. См. изображение ниже. Индийская система записывала дроби, помещая одно значение поверх другого, точно так же, как сегодня числитель пишется над знаменателем. Тем не менее, они не провели черту между ними. Например, дробь 4/5 будет выглядеть так: Позднее эту систему использовали арабы при торговле с индийцами. Именно арабы провели черту, чтобы отличить верхнее число от младшего в дроби. Это в конечном итоге привело к тому, как мы пишем дроби в современную эпоху. Как дроби улучшают способ передачи информации По словам доктора Петерсона из MathForum.org: «Дроби были изобретены, чтобы обеспечить способ работы с величинами меньше единицы». Если бы люди использовали только целые числа, единственный способ обратиться к меньшее количество заключается в использовании меньших единиц. Так поступали римляне — они использовали целые числа для измерения футов и использовали дюймы, когда им нужно было учитывать более мелкие единицы. Например, вместо 1/12 фута длина будет равна 1 дюйму, а 1/4 фута будет равна 3 дюймам. Но что, если вы имеете в виду 2 с половиной фута? Как насчет 1 и 3/4 футов? Если вы основываете стандартную длину на футах, это сбивает с толку постоянное обращение к футам и дюймам одновременно. В принципе, дроби позволяют проводить измерения, не обязательно создавая новые юниты. Было бы лучше учитывать измерения в последовательная мода. В США чаще используют дроби (английское измерение), поскольку они используют чашки, а не весы для измерения при приготовлении пищи и выпечке. Американцам еще предстоит перейти на метрическую систему, которая десятичная система, в которой используются единицы, связанные с коэффициентами 10. метрическая система обычно использует граммы и литры вместо американской системы измерения для унций, чашек, пинт и так далее. В таблице ниже показано преобразование объема из английского измерения в его метрический эквивалент: Преобразование объема в США в метрическую единицу Кроме того, сохранение измерений в одной единице позволяет нам легко складывать, вычитать, умножать и делить дроби. Это устраняет проблему преобразования, которая невозможна, если измерение производится между двумя разными единицами измерения. Для более простого расчета дробей используйте калькулятор в верхней части этой страницы. Хотя десятичные дроби обеспечивают альтернативный способ указания дроби (и более простой способ расчета дробей с помощью калькулятора), это необходимо понимать традиционные дроби и то, как их значения влияют на целое число. По данным Thoughtco.com, учащиеся, не усвоившие дроби в первые годы жизни, склонны запутаться и испытать математическую тревогу. Они также упомянули половину американской восьмерки оценщики не могут расположить дроби в порядке их значения. Интуитивное изучение дробей помогает детям лучше понять теоретические математические концепции, позволяя им использовать их в реальной жизни. Это намного лучше, чем запоминать таблицы с единицами измерения или символами. Золотое сечение и последовательность Фибоначчи В математике отношение — это сравнение двух числа, которые зависят от вида сравниваемых чисел. Вы можете встретить пример, написанный так: 1:3 или 1 из 3. Например, бутылка концентрата апельсинового сока состоит из 1 части апельсинового сока и 3 части воды. Это также может быть записано в виде дроби, 1/3. Соотношения связаны с дробями, потому что они сравнивают разные значения, которые могут представлять собой целое. В этом примере вся часть — это бутылка. апельсинового сока. Золотое сечение это специальное число, представленное греческим символом фи ( φ ) с приблизительным значением 1,618. Получается путем деления линии на 2 части так, чтобы длинная часть (а) деленная на короткий участок (б) равна всей длине, деленной на длинный раздел. Чтобы дать вам лучшее представление, вот иллюстрация со стандартным уравнением: сооружения, такие как Парфенон и пирамиды Египта. В Великой пирамиде Гизы, отношение основания к высоте составляет примерно 1,5717, что составляет близко к золотому сечению. Он также встречается в повторяющихся закономерностях в природе, таких как как лепестки цветов, ракушки, ветки деревьев и спиральные галактики. С другой стороны, Фибоначчи последовательность — еще одна известная формула в математике. Последовательность получена из сумма двух предшествующих ему чисел. Многие источники говорят, что Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанский) популяризировал его в своей книге Либер Абакчи . Но согласно Live Science, математик Кит Девлин, автор книги « В поисках Фибоначчи: поиски Откройте для себя заново забытого математического гения, изменившего мир 90 100 что Леонардо Фибоначчи на самом деле не «открыл» эту последовательность. Древние санскритские писания, в которых использовалось индийско-арабское числительное системы были первыми, кто обсудил ее за столетия до Леонардо Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи выглядит так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811 и так далее… Когда математики строят квадраты на основе этой последовательности, они могут нарисовать спираль. Как золотое сечение связано с последовательностью Фибоначчи? Исследователи заметили, что когда вы берете любые два последовательных числа Фибоначчи, их соотношение очень близко к золотому сечению. Таким образом, φ примерно равно 1,618. Чтобы дать вам представление, посмотрите таблицу ниже. Итог Концепция дробей была разработана различными древними цивилизациями. Одними из первых, кто разработал дробную систему с обширными таблицами, были египтяне. Другие древние общества, такие как вавилоняне, греки, римляне и китайцы, также внесли свой вклад в его улучшение. Но на современные цифры и то, как мы пишем дроби, больше всего повлияли индийцы, которые ввели индийско-арабскую систему счисления. Использование дробей помогает нам легко передавать информацию об измерениях. Это удерживает людей от использования разных единиц измерения, облегчая их вычисление. Наконец, дроби связаны со знаменитой золотой пропорцией и последовательностью Фибоначчи, которые в значительной степени повлияли на то, как мы проектируем всевозможные структуры. Об авторе Корин — страстный исследователь и автор финансовых тем, изучающих экономические тенденции, их влияние на население, а также то, как помочь потребителям принимать более разумные финансовые решения. Другие ее тематические статьи можно прочитать на Inquirer.net и Manileno.com. Она имеет степень магистра творческого письма Филиппинского университета, одного из ведущих учебных заведений мира, и степень бакалавра коммуникативных искусств Колледжа Мириам. Забавные математические мультфильмы efunda: Калькулятор дробей Преобразовать дюйммм в дюймовые дроби. 1/8 1/16 1/32 1/64 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 0/8 0 0/16 0 0/32 0 0/64 0 (точный) (точный) (точный) (точный) Калькулятор дробей Этот калькулятор дробей можно использовать для сложения, вычитания, умножения и деления дробей и смешанных чисел. Чтобы вычислить смешанные числа, установите флажок «Рассчитать смешанные числа». Входные данные числителя и знаменателя принимают только целые числа. При вычислении смешанных чисел можно использовать десятичные дроби, если числитель и знаменатель пусты. После вычисления десятичные дроби будут преобразованы в дроби. Ответы представляют собой дроби в низших единицах или смешанные числа в сокращенной форме. Процесс, используемый для поиска ответа, также предоставляется. Что такое дробь? Дробь представляет собой количество равных частей целого и состоит из числителя и знаменателя: Числитель — это верхнее число (1) дроби, а знаменатель — нижнее число (8 ). Линия, разделяющая числитель и знаменатель дроби, называется чертой дроби и указывает на деление. Вышеупомянутая дробь читается как «одна восьмая», что означает, что она представляет собой 1 равную часть от восьми полных частей, например, 1 кусок пиццы для пиццы, нарезанной на 8 кусочков. Если вы съели 3 куска пиццы, значит, вы съели 3 части всей пиццы или, используя дроби, пиццы. Дроби — это эффективный способ представления частей целого с помощью чисел, вместо того чтобы описывать понятие словами. Дроби можно разделить на несколько категорий. Например, это и простая дробь, и правильная дробь. Это правильная дробь, потому что числитель меньше знаменателя, и простая дробь, потому что и числитель, и знаменатель — целые числа. Что такое правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа? Правильные дроби Дроби представляют собой часть целого, поэтому имеет смысл считать «правильными» дробями дроби, у которых числитель меньше знаменателя. Числитель представляет количество равных частей целого, а знаменатель представляет собой целое. Таким образом, правильная дробь всегда имеет значение меньше 1. Используя пример пиццы, разрезанной на 8 ломтиков, ломтики считаются правильной дробью, но (или 1) не является правильной дробью, поскольку значение равно 1, и 8 частей из 8 представляют всю пиццу, а не часть целого. Неправильные дроби Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Для неправильной дроби дробь представляет больше, чем целое. Используя пример пиццы, разрезанной на 8 кусков, мы можем думать о неправильной дроби как о наличии более 1 целой пиццы; если у нас есть кусочки пиццы, то у нас есть 1 целая пицца, но если у нас есть кусочки пиццы, у нас есть 1 целая пицца и 1 часть из 8 пиццы 2 ^и. Неправильные дроби — это эффективный способ выражения частей целого таким образом, который сообщает нам размер целого, а также позволяет нам представлять значения, превышающие 1. Смешанные числа Смешанные числа (или смешанные дроби) — еще один способ представления неправильных дробей. Вместо неправильной дроби, где числитель больше знаменателя, смешанные числа записываются как комбинация целого числа и правильной дроби. Например, 1 целая пицца и 1 дополнительный кусок пиццы представлены как неправильная дробь; чтобы записать это как смешанное число, посчитайте количество целых и количество частей целого. В этом случае имеется 1 целое, или , и 1 часть целого, или . Объединив их, неправильная дробь записывается как смешанное число. Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте знаменатель на целое число, затем добавьте числитель. Например: Преобразование неправильных дробей в смешанные числа Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделите числитель на знаменатель и запишите целое число, а затем остаток над знаменателем. Например: Сложение дроби Чтобы складывать дроби, знаменатели дробей должны совпадать. Это связано с тем, что дроби используются для представления частей целого, где знаменатель говорит нам, сколько частей составляет целое, а числитель говорит нам, сколько частей целого у нас есть. Тогда имеет смысл, что дроби нельзя складывать, если знаменатели дробей различны, поскольку 1 часть целого, состоящая из 8 частей, отличается от 1 части целого, состоящего из 4 частей. Когда знаменатели совпадают Если знаменатели складываемых дробей одинаковы, сложите числители и запишите результат над общим знаменателем. Например: Это верно независимо от того, является дробь правильной или неправильной. Например: В этом случае одна из складываемых дробей является неправильной дробью, поэтому в результате получается также неправильная дробь. Однако обратите внимание, что дроби добавляются таким же образом. Пока знаменатели одинаковы, сложение дробей относительно простое. Когда знаменатели не совпадают Когда знаменатели не совпадают, преобразуйте дроби так, чтобы все дроби имели одинаковый знаменатель, затем сложите числители и запишите результат над общим знаменателем. Процесс преобразования набора дробей в дроби с общим знаменателем называется нахождением общего знаменателя. Существует бесконечное количество способов представить одно и то же значение в виде дроби. Например: Все приведенные выше дроби представляют одно и то же значение (половину целого), но имеют разные числитель и знаменатель. является наиболее упрощенной формой дроби, представляющей половину целого. Каждая последующая дробь, указанная выше, представляет собой просто первую дробь , умноженную на дробное представление числа 1. Напомним, что любое значение, умноженное на 1, равно тому же самому значению, и что любая дробь, в которой числитель и знаменатель имеют одинаковое значение равно 1. Эти факты позволяют преобразовать любую дробь в дробь, имеющую одно и то же значение, представленное разными числителями и знаменателями; эти дроби называются эквивалентными дробями. Например, отметив, что умножение дробей включает умножение числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, и так далее. Таким образом, один из способов найти общий знаменатель между двумя дробями — просто умножить их знаменатели, не забывая также умножать числители на соответствующий знаменатель, чтобы значения дробей не менялись. Например: В этом случае 32 является общим знаменателем. Мы всегда можем найти общий знаменатель, просто перемножая каждый другой знаменатель, но, как мы видим из приведенного выше примера, это не всегда приводит к дроби в простейшей форме. Для этого примера мы могли бы оставить в покое, если бы знали, что 8 является общим знаменателем для двух дробей: 8 в этом примере обозначается как наименьший общий знаменатель. Если мы найдем наименьший общий знаменатель двух или более дробей, возможно, нам не придется упрощать результат. Вычитание дробей Подобно сложению дробей, вычитание дробей требует, чтобы знаменатели дробей были одинаковыми. Обратитесь к разделу сложения фракций для более подробной информации. Когда знаменатели одинаковы Когда знаменатели дробей одинаковы, вычтите числители дробей, затем запишите результат над общим знаменателем и упростите: Когда знаменатели не совпадают Когда знаменатели дробей не совпадают, преобразуйте дроби в эквивалентные дроби с общим знаменателем, затем вычтите их числители и запишите результат над общим знаменателем. Есть несколько способов найти общий знаменатель. Самый простой способ найти общий знаменатель — это умножить знаменатели участвующих дробей, но этот метод часто приводит к дроби не самой простой формы. Например, предположим, что мы хотим вычесть следующее: Числители пока нельзя вычитать, так как знаменатели дробей не совпадают. Умножение 4×8=32 дает нам общий знаменатель дробей. Чтобы преобразовать дроби в эквивалентные дроби с этим общим знаменателем, умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на знаменатель другой дроби: Теперь, когда дроби имеют одинаковый знаменатель, числители можно вычесть, и дроби упрощены следующим образом: Также можно найти наименьший общий знаменатель, но методы для этого здесь не обсуждаются. В этом случае мы могли бы заметить, что 8 является наименьшим общим знаменателем между двумя дробями, и могли бы вместо этого вычесть дроби, преобразовав их в эквивалентную дробь со знаменателем 8: Умножение дроби Умножение дроби почти так же, как обычное умножение; просто найдите произведение числителей перемножаемых дробей и запишите результат над произведением знаменателей. Количество перемножаемых дробей не меняет процесс. Например: Чтобы умножить смешанные числа, сначала преобразуйте их в неправильные дроби, а затем умножьте: При умножении двух смешанных чисел следите за тем, чтобы не умножать целые и дробные части по отдельности. Сначала нужно преобразовать смешанные числа в неправильные дроби. Деление дробей Деление дробей аналогично умножению дробей, за исключением того, что мы умножаем дробь, которую делим, на то, что называется обратной величиной другой дроби. Обратная дробь — это та дробь, в которой местами числитель и знаменатель поменялись местами. Например, обратная величина . Таким образом, чтобы разделить две дроби, просто найдите обратную величину делителя, затем умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Например: Упрощение дробей Упрощение дробей включает в себя нахождение формы дроби, в которой все общие делители числителя и знаменателя вынесены на множители так, что единственный общий делитель между числителем и знаменателем равен 1; эта окончательная форма дроби называется ее простейшей формой. Этот процесс также иногда называют уменьшением фракции. Одним из способов упрощения дробей является деление числителя и знаменателя на общие простые множители (или их кратные), начиная с первого простого числа 2 через каждое последующее простое число до тех пор, пока дробь уже нельзя будет сократить. Это может быть утомительно в зависимости от дроби, но это надежный и простой способ уменьшить дробь. Например, учитывая, что мы хотим упростить , мы знаем, что 78 и 156 имеют общий делитель 2, потому что они оба четные, поэтому мы можем начать с деления обоих на 2: Следующее простое число равно 3, и в этом случае 39 и 78 делят этот множитель, поэтому разделите оба на 3: разделите их оба на 13: Поскольку единственный общий множитель в этой точке равен 1, дробь не может быть уменьшена дальше, и поэтому она имеет простейшую форму. Несмотря на то, что числитель и знаменатель в этом примере относительно малы, мы видим, что сокращение дробей с помощью этого процесса может быстро стать утомительным. Еще один более эффективный способ упрощения дробей заключается в нахождении наибольшего общего делителя (НОД), хотя процесс нахождения НОД здесь подробно обсуждаться не будет. Короче говоря, мы, возможно, поняли, что 78 — это GCF 78 и 156, и мы могли бы немедленно разделить оба числа на 78, чтобы получить простейшую форму. Таким образом, если мы можем определить НОД числителя и знаменателя, упрощение дробей просто включает деление и числителя, и знаменателя на их НОД. Преобразование дробей в десятичные числа Дроби и десятичные дроби — это два разных способа выражения одного и того же значения. В зависимости от ситуации мы можем предпочесть выражать значение в дробной или десятичной форме, поэтому полезно иметь возможность конвертировать между ними. Преобразование десятичных дробей в дроби Преобразование десятичных дробей в дроби относительно просто, если мы понимаем, что такое десятичные дроби и разрядные значения. Вкратце, каждая позиция в десятичной дроби соответствует степени 10. Например, 0,5 читается как «пять десятых», потому что 5 стоит на 10-й позиции, что соответствует 10 ^-1 . 0,05 читается как «пять сотых» и соответствует 10 ^-2 . 0,005 читается как «пятитысячные» и соответствует 10 ^-3 и так далее. Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробную, сдвиньте десятичную точку вправо, отслеживая, сколько раз она смещается, пока она не окажется после последнего ненулевого значения (крайнего справа). Тогда число должно быть целым числом, и это число является числителем дроби. Знаменатель дроби равен 10, возведенному в степень, сколько раз мы сдвигали запятую. Для 0,5 нам пришлось бы один раз сдвинуть запятую, чтобы получить целое число 5. Таким образом, числитель равен 5, а знаменатель равен 10 ¹, так как мы один раз передвинули десятичную точку. Таким образом, 0,5 в форме дроби: Если десятичная дробь также имеет целую часть, например 1,5, процесс такой же, за исключением того, что значение до десятичной точки будет целой частью смешанного числа. Таким образом, 1,5 в форме смешанного числа: Преобразование дробей в десятичные Преобразование дробей в десятичные обычно сложнее, чем преобразование десятичных дробей в дроби. В тех случаях, когда мы можем преобразовать дробь в эквивалентную дробь со знаменателем, равным степени 10, мы можем использовать обратную логику, используемую для преобразования десятичных дробей в дроби (см. выше). Например: Однако во многих случаях это невозможно, а преобразование дробей в десятичные представляет собой утомительный процесс, требующий длительного деления. Даже в этом случае многие дроби могут не иметь конечного десятичного знака. Например, в десятичной форме это 0,3333…, где «…» означает, что 3 повторяется бесконечно. Другие значения, такие как π, просто никогда не заканчиваются и не имеют повторяющихся значений. Таким образом, если нам придется прибегнуть к делению в большую сторону, десятичная форма дроби часто будет оценочной. Чтобы преобразовать дробь с помощью деления в большую сторону, разделите числитель на знаменатель, оставив десятичную точку в частном на том же месте, что и в числителе. Вот и все, но в идеале это нужно делать с помощью компьютера или калькулятора, так как преобразование дробей таким способом очень утомительно. Калькулятор неполных дробей + онлайн-решатель с бесплатными шагами Калькулятор неполных дробей используется для решения задач на неполные дроби. Этот калькулятор приводит к двум составляющим дробям, которые составляют исходную дробь в наших задачах, и используется процесс 9.0067 Расширение неполной дроби . Что такое калькулятор неполных дробей? Калькулятор частичных дробей — это онлайн-калькулятор, предназначенный для разложения полиномиальной дроби на составляющие ее части. Этот калькулятор работает по методу Расширение частичной дроби . Мы рассмотрим это подробнее по мере продвижения вперед. Как пользоваться калькулятором неполных дробей? Для использования калькулятора частичных дробей , вы должны ввести числитель и знаменатель в поля ввода и нажать кнопку «Отправить». Теперь пошаговое руководство по использованию этого калькулятора можно увидеть здесь: Шаг 1 Введите числитель и знаменатель в соответствующие поля ввода. Шаг 2 Нажмите кнопку «Отправить», и будет создано решение вашей проблемы. Шаг 3 Если вы хотите продолжать пользоваться калькулятором, введите новые данные и получите новые результаты. Количество раз, когда вы можете использовать этот калькулятор, не ограничено. Как работает калькулятор неполных дробей? Калькулятор неполных дробей работает, разлагая предоставленную ему многочленную дробь на составляющие дроби, используя метод неполных дробей. Он также упоминается как частичное расширение дроби , и мы углубимся в этот метод далее в этой статье. Теперь давайте посмотрим на многочлены, из которых состоят дроби. Многочлены Многочлены представляют класс математических функций , которые выражаются в определенном формате, это может включать алгебраические, экспоненциальные, основные математические операции и т. д. . И этот процесс называется LCM или также известен как наименьшее общее кратное . А теперь мы рассмотрим этот метод ниже. Наименьшее общее кратное Итак, Наименьшее общее кратное — очень распространенный метод сложения дробей. Он всемирно известен как LCM , и его работу можно увидеть следующим образом. Здесь мы примем пару полиномиальных дробей: \[ \frac {p} {q} + \frac {r} {s} \] Чтобы решить эту задачу, мы должны умножить Знаменатель на каждой дроби на числитель другой, а также умножить их друг на друга, чтобы создать новый знаменатель . Это можно увидеть в действии следующим образом: \[ \frac{ p x s } { q x s } + \ frac { r x q } { s x q } = \ frac { ( p x s ) + ( r x q ) } { q x s } \] Можно удивиться, что этот метод не используется в Ultimate Solution , но действительно важно знать, как работает этот метод. Учитывая, что метод, который мы рассматриваем, а именно метод разложения на частичные дроби , является противоположностью этому математическому процессу . Неполные дроби Частичная дробь — это метод преобразования дроби в составные полиномы, которые можно сложить вместе, чтобы получить эту дробь, используя метод НОК . Теперь мы можем углубиться в то, как работает этот метод, и разделить дробь на две дроби. Пусть есть полиномиальная дробь, и она выражается следующим образом: \[ f (x) = \frac {p(x)} {q_1(x) q_2(x)} \] Здесь мы возьмем числители для двух дробей, составляющих эту дробь, и назовем их А и В. Это делается здесь: \[ f (x) = \frac {p(x)} { q_1(x) q_2(x)} = \frac {A} {q_1(x)} + \frac {B} {q_2(x) } \] Теперь возьмем знаменатель исходной дроби, умножим и разделим его на обе части уравнения. Это можно увидеть здесь: \[ p(x) = \frac {A} {q_1(x)} \times ( q_1(x) q_2(x)) + \frac {B} {q_2(x)} \times ( q_1(x) q_2(x)) \] p(x) = A . q2(x) + B . q1(x) На этом этапе мы берем выражения q1(x) и q2(x) и решаем их по отдельности, противопоставляя их нулю. Это дает два результата, в одном из которых член, содержащий q1(x), обращается в нуль, а в другом q2(x) обращается в нуль. Таким образом, мы получаем наши значения A и B. Где q1(x) = 0, p(x) = A x q2(x), $\frac { p(x) }{ q_2(x) }$ = A Аналогично, Где q2(x) = 0, p(x) = B x q1(x), $\frac { p(x)}{q_1(x)}$ = B Здесь мы в основном сравниваем переменных чтобы получить наши результаты. Таким образом, мы получаем решение нашей задачи о дробях. Решенные примеры Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять концепции. Пример 1 Рассмотрим полиномиальную дробь: 92 – x – 2 } = \frac { 5x – 4 } { ( x – 2 ) ( x + 1 ) } \] Теперь давайте разделим числитель на A и B. И это делается здесь: \[ \frac { 5x – 4 } { ( x – 2 ) ( x + 1 ) } = \ frac { A } { ( x – 2 ) } + \ frac { B } { ( x + 1 ) } \] Здесь мы умножим и разделим знаменатель на обе части.