Автор: alexxlab

Данная формула помогает преобразовать м в миллиметры, и наш конвертер также использует ту же самую!

• мм = м x 1000

Для быстрого и умного преобразования вам просто нужно добавить значения в приведенный выше конвертер, он работает лучше всего для вас! И, если вы хотите сделать это самостоятельно, то просто перенимайте данные способы:

Проблема: Преобразовать 3,7 метра в миллиметры?

Решение:

Шаг 1 (формула):

• мм = m x 1000

Шаг 2 (введите значения):

• 3,7 x 1000

Шаг 3 (Результат):

• 3700 мм

Означает, что 3,7 м равно 3700 мм

Из источника wikidiff — основное различие, которое вам нужно знать о метрах и миллиметрах

Преобразование м в мм | метр в миллиметры

Преобразование метров в миллиметров значения в шкале единиц длины.

ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕ : из миллиметров в метры наоборот.

ПРЕОБРАЗОВАТЬ: между другими единицами измерения длины — полный список.

Сколько миллиметров в 1 метре? Ответ: 1 м равен 1000,00 мм

1000,00 мм конвертируется в 1 чего?

Единица измерения миллиметров 1000,00 мм преобразуется в 1 м, один метр. Это РАВНОЕ значение длины, равное 1 метру, но в миллиметрах.

Таблица преобразования —

1 метр в миллиметры = 1 000,00 мм

2 метра в миллиметры = 2 000,00 мм

3 метра в миллиметры = 3 000,00 мм 900 03

4 метра в миллиметры = 4 000,00 мм

5 метров в миллиметры = . .. ,000,00 мм

10 метров в миллиметров = 10 000,00 мм

11 метров в миллиметров = 11 000,00 мм

12 метров в миллиметров = 12 000,00 мм

13 метров в миллиметров = 13,00 0,00 мм

14 метров в миллиметры = 14 000,00 мм

15 метров в миллиметры миллиметры = 15 000,00 мм

Категория : главное меню • меню длины • метры

Преобразование длины метров (м) и миллиметров (мм) 900 08 единиц в обратном порядке из миллиметров в метры.

Единицы длины, расстояния, высоты и глубины

Расстояние в метрическом смысле — это мера между любыми двумя точками от А до Z. Применяется к физическим длинам, глубинам, высотам или просто дальности. Инструмент с несколькими единицами измерения расстояния, глубины и длины.

Первая единица: метр (м) используется для измерения длины.
Секунда: миллиметр (мм) — единица длины.

ВОПРОС :
15 м = ? мм

ОТВЕТ :
15 м = 15 000,00 мм

Аббревиатура или префикс счетчика:
m
Сокращение для миллиметра:
мм

Другие области применения этого калькулятора длины .

2. Тема: Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3. Цели урока:

4. План урока

5. Историческая справка

7. Большой вклад в развитие тригонометрии внесли:

8.

9. Повторение

10. Повторение

12. Угол поворота против часовой стрелки- положительный

13. Угол поворота по часовой стрелке — отрицательный

14. Угол поворота

15. Из курса геометрии известно:

16. Ответь на вопрос:

17.

18. Рассмотрим примеры

19. В Ы В О Д Существует бесконечно много углов поворота, при которых начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.

20. З А П О М Н И

21. В ы в о д: Эти углы не относятся ни к какой четверти.

22. Углом какой четверти является угол β,если:

23. Стр.153.- определение.

24. Лабораторная работа

25. В Ы В О Д: Синус, косинус, тангенс и котангенс не зависят от радиуса.

26. Запомни

27. Стр.154

29. Для единичной окружности:

30. Найти синус, косинус,тангенс и котангенс

32. Письменно

English     Русский Правила

Синусоидальная функция — Графическое упражнение

Показать рекламу

Скрыть рекламу
О рекламе

Синусоидальная функция дает очень красивую кривую,
но не верьте нам на слово, сделайте свою!

Синусоидальная функция

Сначала прочтите страницу о синусе, косинусе и тангенсе.

Теперь вы знаете, что синус любого угла равен длине дальней стороны треугольника («противоположная») разделить на длинную сторону («гипотенуза»):

Синус θ = Противоположный / Гипотенуза

Нарисовать треугольники

Чтобы построить график, нам нужно вычислить синус для разных углов, затем нанести эти точки на график и затем «соединить точки».

Шаг 1. Начертите линии под углом

Поставьте отметку в центре листа бумаги, затем с помощью транспортира отметьте каждые 15 градусов от 0° на 180° по полукругу. Затем поверните транспортир и снова отметьте от 180° до начала. Затем нарисуйте линии, расходящиеся от центра к каждой из ваших меток, чтобы в итоге у вас получилась такая иллюстрация:

Линии под углом 15° (щелкните, чтобы увеличить)

Или вы можете щелкнуть на изображении выше, а затем распечатать результат.

Шаг 2. Начертите и измерьте треугольники

Теперь мы можем превратить каждую из этих линий в треугольник, например:

Измерение треугольников

Когда вы закончите каждый треугольник, останется просто измерить линии . Помните, что синус длина прямой, противоположной углу разделить на гипотенузу (что должно все быть одинаковой длины, если хорошо нарисовали)

Запишите все свои мерки в таблицу. Вот что у меня получилось, но ваши размеры могут отличаться:

Здесь можно распечатать готовую для заполнения таблицу.

Важно: когда «противоположная» линия идет вниз, она отрицательна.

Совет: если вы хорошо нарисовали, вы можете воспользоваться симметрией 0-90, 90-180, 180-270 и 270-360.

График результатов

Возьмите миллиметровку и подготовьте ее, уменьшив масштаб от 0 до 360 с шагом 15 по оси x и масштабируя от -1 до +1 по оси Y. Вы можете использовать свою миллиметровую бумагу или распечатать этот график. paper

Теперь нанесите каждую точку из таблицы на график.

Затем соедините точки как можно аккуратнее.

Результат

Результат должен выглядеть примерно так, как показано на графике вверху.

Но вы сделали гораздо больше, чем просто нарисовали красивую кривую. Вы:

• узнали об одной из самых важных функций в математике
• узнал, что вам не обязательно верить тому, что говорят люди — вы можете попробовать это сами.
• имел опыт построения графиков
• узнал, как симметрия может сэкономить усилия

Надеюсь, вам понравилось!

Copyright © 2017 MathsIsFun.com

Синус, косинус и тангенс — объяснение, таблица, примеры решений и часто задаваемые вопросы

Что такое синус, косинус и тангенс?

Дата последнего обновления: 17 апреля 2023 г.

•

Всего просмотров: 243 тыс. тригонометрические функции, связывающие угол прямоугольного треугольника с отношением длин двух сторон. Обратными величинами синуса, косинуса и тангенса являются секанс, косеканс и котангенс соответственно. Каждая из шести тригонометрических функций имеет соответствующие обратные функции (также известные как обратные тригонометрические функции). Тригонометрические функции, также известные как круговые функции, угловые функции или гониометрические функции, широко используются во всех областях науки, связанных с геометрией, таких как навигация, небесная механика, механика твердого тела и т. д.

Прочтите ниже, чтобы узнать, что такое функция синуса, функция косинуса и функция тангенса.

Синус Косинус Тангенс Определение

Прямоугольный треугольник включает один угол в 90 градусов и два острых угла. Каждый острый угол прямоугольного треугольника сохраняет свойство синуса косинуса тангенса. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника определяются как отношение двух из трех сторон прямоугольного треугольника.

Как мы знаем, синус, косинус и тангенс основаны на прямоугольном треугольнике, было бы полезно дать имена каждому из треугольников, чтобы избежать путаницы.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

• «Сторона гипотенузы» — самая длинная сторона.

• «Смежная сторона» — это сторона, следующая за углом θ.

• «Противоположная сторона» — сторона, противоположная углу θ.

Соответственно,

Sin θ = Противоположная сторона/Гипотенуза

Cos θ = Прилегающая/Гипотенуза

Tan θ = Противоположная/Прилегающая

Что такое функция синуса?

В прямоугольном треугольнике функция синуса определяется как отношение длины противоположной стороны к длине стороны гипотенузы.

Sin θ = противолежащая сторона/сторона гипотенузы.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Например, функция синуса треугольника ABC с углом θ выражается как:

Sin θ = a/c

Что такое функция косинуса?

В прямоугольном треугольнике функция косинуса определяется как отношение длины прилежащей стороны к длине стороны гипотенузы.

Cos θ = смежная сторона/сторона гипотенузы

Пример:

Учитывая рисунок, приведенный выше, функция косинуса треугольника ABC с углом θ выражается как:

Cos θ = b/c

Что такое функция касательной?

В прямоугольном треугольнике функция касательной определяется как отношение длины противоположной стороны к длине прилежащей стороны.

Tan θ = Противоположная сторона/Смежная сторона

Пример:

Учитывая рисунок, приведенный выше, функция косинуса треугольника ABC с углом θ выражается как:

Tan θ = a/b

Синус Косинус Тангенс Таблица

Значения тригонометрических соотношений, таких как синус, косинус и тангенс, для некоторых стандартных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60° и 90 ° можно легко определить с помощью таблицы синус-косинус-тангенса, приведенной ниже. Эти значения очень важны для решения тригонометрических задач. Следовательно, важно знать значения тригонометрических отношений этих стандартных углов.

Приведенная ниже таблица синусов, косинусов и тангенсов включает значения стандартных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Таблица синусов, косинусов и тангенсов

Знаете ли вы?

• Синус и косинус были введены Арьябхаттой, тогда как функция тангенса была введена Мухаммадом ибн Мусой аль-Хорезми (782 г. н.э. — 850 г. н.э.).

• Формулы синуса, косинуса и тангенса можно легко выучить с помощью SOHCATOA. Поскольку синус — это сторона, противоположная стороне гипотенузы, косинус — сторона, примыкающая к стороне гипотенузы, а тангенс — сторона, противоположная стороне, примыкающей к стороне.

Решенные примеры:

1. Найдите Cos θ относительно следующего треугольника.

Ответ: Чтобы найти Cos θ, нам нужны и прилежащая сторона, и гипотенуза.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Прилегающая сторона в приведенном выше треугольнике равна BC = 8 см

Но сторона гипотенузы, т.е. AC, не указана.

Чтобы найти сторону гипотенузы, воспользуемся теоремой Пифагора

AC² = AB² + BC² =  6² + 8² = 100

                             = 4/5

Следовательно, Cos θ = 4/5

2.

Правила форума

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Корни комплексных чисел без Де Муавра

Поиск корней комплексных чисел может быть… сложным.

В этом посте описывается способ вычисления корней любых чисел — действительных или комплексных — с помощью систем уравнений без каких-либо преобразований в полярную форму или использования теоремы Де Муавра. Следуя «традиционному подходу», за одним примером, не связанным с технологиями, следует упрощение процесса CAS.

ТРАДИЦИОННЫЙ ПОДХОД:

Большинство источников описывают следующую процедуру для вычисления корней комплексных чисел (очевидно, включая подмножество действительных чисел).

• Запишите комплексное число, корень которого ищется, в общей полярной форме. При необходимости конвертируйте из декартовой формы.
• Примените теорему Де Муавра, чтобы получить полярную форму всех корней.
• При необходимости преобразовать числа из полярной формы обратно в декартову.

В качестве очень быстрого примера:

Вычислить все квадратные корни из -16.

Перефразируя, здесь запрашиваются все комплексные числа, z , которые удовлетворяют . Основная теорема алгебры гарантирует два решения этого квадратного уравнения.

 Комплексное декартово число, , преобразуется в полярную форму, , где . В отличие от декартовой формы, полярные представления чисел не уникальны, поэтому любое полное вращение от исходного представления было бы совпадающим и, следовательно, эквивалентным при преобразовании в декартово. Для любого целого числа n это означает

Привлечение теоремы Де Муавра,

Для , это дает полярные решения, и . Каждую из них можно преобразовать обратно в декартову форму, получив два квадратных корня из -16:  и . Возведение в квадрат дает -16, что подтверждает результат.

Я всегда находил вращательную симметрию комплексных корней любого числа красивой, особенно для корней более высокого порядка. Эта симметрия прекрасно отражена в теореме Де Муавра, но, возможно, существует более простой способ их вычисления.

НОВЫЙ(?) НЕТЕХНИЧЕСКИЙ ПОДХОД:

Поскольку решение для каждого вычисления комплексных чисел может быть записано в форме, открываются новые возможности. Исходный пример можно перефразировать:

Определите одновременные действительные значения x и y, для которых .

Начните с расширения и упрощения правой стороны обратно в форму. (Я писал о потенциально более простом подходе к упрощению степеней i в моем последнем посте.)

Обратите внимание, что два конца предыдущей строки — это два разных выражения для одного и того же комплексного числа. Следовательно, приравнивание действительных и мнимых коэффициентов дает систему уравнений:

Решение этой системы дает квадратные корни из -16.

Из последнего уравнения либо или . Подстановка в первое уравнение дает невозможное уравнение, потому что x и y являются действительными числами, как указано выше.

Подстановка в первое уравнение дает , что приводит к . Итак, и -ИЛИ-  и являются единственными решениями– и –те же решения, найденные ранее, но на этот раз без использования полярной формы или Де Муавра! Обратите также внимание на то, что наличие ДВУХ решений возникло естественным образом.

Корни более высокого порядка могут привести к гораздо более сложным системам уравнений, но CAS может решить эту проблему.

CAS ПОДХОД:

Определить все корни четвертой степени .

Это эквивалентно нахождению всех одновременных значений x и y, удовлетворяющих . Расширение правой стороны быстро выполняется на CAS. Из моего CAS TI-Nspire:

Обратите внимание, что вывод упрощен до формы, которая в контексте этого конкретного примера дает систему уравнений,

Использование моего CAS для решения системы,

Во-первых, обратите внимание, что, как и ожидалось, есть четыре решения. Переписывая приближенный числовой вывод, мы получаем четыре комплексных корня четвертой степени из : , , и . Каждый может быть быстро подтвержден на CAS:

ВЫВОД:

При наличии надлежащей технологии нахождение нескольких корней комплексного числа не требует использования полярных представлений или теоремы Де Муавра. Это действительно так же «просто», как расширение, где n — заданный корень, упрощение расширения до формы и решение полученной системы уравнений 2 × 2.

В тот момент, когда такие задачи будут представлены учащимся, их алгебраические знания должны быть такими, чтобы использование CAS для выполнения всей тяжелой алгебраической работы было вполне уместным.

В качестве последнего взгляда на красоту комплексных корней я ввел два уравнения из последней системы в Desmos, чтобы воспользоваться его очень хорошими неявными графическими возможностями. Вы видите четыре пересечения, соответствующие четырем решениям системы. Общеизвестно, что решения систем неявных уравнений трудно вычислить, поэтому я не удивился, когда Desmos не вычислил координаты точек пересечения, хотя график был красивым и на удивление быстрым.

Нравится:

Нравится Загрузка…

Запись опубликована в CAS с пометкой «комплексные числа», CAS, Теорема Де Муавра, Десмос, решение задач, корни, квадратный корень, TI Nspire. Добавьте постоянную ссылку в закладки.

Корни комплексных чисел

Мнимый корень квадратной или полиномиальной функции называется комплексным корнем. Эти комплексные корни, которые выражаются как α = a + ib и β = c + id, являются типом комплексного числа. Мнимые корни квадратных уравнений со значением дискриминанта меньше нуля (D<0)  представляются в виде комплексных целых чисел. Комплексные корни имеют действительную и мнимую части, и для вычисления комплексных корней можно использовать формулу i² = -1.

Комплексные корни — это мнимые корни квадратных уравнений, выраженные в виде комплексных целых чисел.

Поскольку извлечение квадратного корня из отрицательного числа невозможно, мы преобразуем его в комплексное число. Уравнения со значениями дискриминанта меньше нуля являются квадратными уравнениями.

b²-4ac<0 , я получаю сложные корни, преобразуя их с помощью. i²D в данном случае означает -D.

Комплексные целые числа a + ib используются для выражения комплексных корней. Реальная составляющая и искусственная сторона составляют комплексный корень. Z = a + ib — обычное представление комплексного корня. Здесь «а» обозначает действительную составляющую комплексного числа, т. е. Re(Z), а «b» обозначает мнимую часть, т. е. Im (Z). Здесь используется мнимое число ib.

Буква i обозначается как йота в мнимой составляющей комплексного числа. Чтобы определить квадратный корень из любого отрицательного числа, йота – i весьма полезна. Здесь i² = -1, а отрицательное число -N записывается как i²N, которое теперь стало положительным целым числом.

Величина комплексных корней

Комплексный корень α= a + ib представлен на плоскости Арганда в виде точки (a, +b), а расстояние между этой точкой и начало (0, 0) называется модулем комплексного числа.

Расстояние рассчитывается как основное линейное расстояние.

 r= √a²+b²

Модуль комплексного корня представлен гипотенузой прямоугольного треугольника, основанием является действительная составляющая, а высота — мнимая часть, что легко понять с помощью теоремы Пифагора.

Аргумент комплексных корней

Комплексный корень можно представить в виде точки на плоскости аргана, а линия, соединяющая эту точку с началом координат, образует угол с положительной осью x в плоскости аргана, который известен как аргумент комплексного числа.

Инверсия тригонометрического тангенса мнимой составляющей, деленная на действительную часть, дает аргумент комплексного корня. что равно Arg z(θ)=b / a

Полярное представление комплексных корней

Модуль и аргумент комплексного числа в плоскости арганда могут использоваться для представления комплексного корня в полярной форме.

r(cosθ + isinθ ) — полярная форма сложного корня α= a + ib. Модуль комплексного корня равен r, а его аргумент равен θ.

Сложный корень, обратный

С помощью обратного сложного корня можно разделить один сложный корень на другой сложный корень. Произведение одного сложного корня на обратную величину другого сложного корня равно делению одного сложного корня на другой сложный корень.

Обратный комплексный корень α=a+ib равен a-1=1 / a+ib=a-ib / a²+b²=a / a²+b²

При поиске корни комплексных чисел, помните о следующих процедурах.

• Обязательно преобразуйте комплексное число в полярную форму, если оно все еще имеет прямоугольную форму.
• Найдите или возведите в степень 1/n корень n-й степени
• Если нам нужно найти корень n-й степени, мы будем использовать формулу k= {0,1,2..n- 1}.
• Начните с деления θ на n, чтобы найти аргумент первого корня.

В этой статье мы делаем вывод, что мы можем легко получить корни комплексных чисел, взяв корень по модулю и разделив аргумент комплексных чисел на указанный корень.

постройте график функции y=x-8x+13 a) значения y = 1.5 b) значения х, при которых y = 2 с) нули функции промежутки в которых y 0 и в которых y — вопрос №2631849 — Учеба и наука

может быть x^2-8x+13? 24. 10.17 Лучший ответ по мнению автора

Другие ответы

24. 10.17

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Боря купил 4 книги.

Производные некоторых основных элементарных функций (Лекция №5)

1. y = xⁿ. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

   (a + b)ⁿ = aⁿ+n·a^n-1·b + 1/2∙n(n – 1)a^n-2∙b²+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ,

   можно доказать, что

   Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)ⁿ, и, следовательно,

   Δy=(x+Δx)ⁿ – xⁿ =n·x^n-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·x^n-2·Δx² +…+Δxⁿ.

   Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

   Найдем предел

   Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.

2. y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

   Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то

   Таким образом,

3. Аналогично можно показать, что

4. Рассмотрим функцию y= ln x.

   Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому

   Итак,

5. Используя свойства логарифма можно показать, что

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

2. .
3. (справедлива для любого конечного числа слагаемых).
4. .
5. .

   а) .

   б) .

Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.

Доказательство формулы 3.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).

Тогда

Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv.

Следовательно,

.

Доказательство формулы 4.

Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому

Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0.

Поэтому можем записать

На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,

y ‘ = u ‘·(v·w) + u·(v ·w) ‘ = u ‘·v·w + u·(v ‘·w +v·w ‘) = u ‘·v·w + u·v ‘·w + u·v·w ‘.

Доказательство формулы 5.

Пусть . Тогда

При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0.

Примеры.

1. Если , то
2. y = x³ – 3x² + 5x + 2. Найдем y ‘(–1).

   y ‘ = 3x² – 6x+ 5. Следовательно, y ‘(–1) = 14.

3. y = ln x · cos x, то y ‘ = (ln x) ‘ cos x + ln x (cos x) ‘ =1/x∙cos x – ln x · sin x.

5. Таким образом,

6. Аналогично для y= ctgx,

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Операция «функция от функции» может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x₀ производную и принимает в этой точке значение u₀ = u(x₀), а функция y= f(u) имеет в точке u₀ производную y ‘_u= f ‘(u₀), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y ‘_x= f ‘(u₀)·u ‘(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х₀ будем иметь u₀=u(x₀), у₀=f(u₀). Для нового значения аргумента x₀+Δx:

Δu= u(x₀ + Δx) – u(x₀), Δy=f(u₀+Δu) – f(u₀).

Т.к. u – дифференцируема в точке x₀, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y ‘_uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y ‘_x= y ‘_u·u ‘_x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от «внешней» функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от «внутренней» функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y ‘_x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y ‘_x= y ‘_u·u ‘_x . Применяя эту же теорему для u ‘_x получаем , т.е.

y ‘_x = y ‘_x· u ‘_v· v ‘_x = f ‘_u (u)·u ‘_v (v)·v ‘_x (x).

Примеры.

1. y = sin x². Тогда .

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Начнем с примера. Рассмотрим функцию y= x³. Будем рассматривать равенство y= x³ как уравнение относительно x. Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x: . Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Oxпересекает график функции y= x³ только в одной точке. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y. Функция называется обратной по отношению к функции y= x³.

Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения.

Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т. е. если x₂>x₁, то f(x₂) > f(x₁).

Аналогично функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих₂ < х₁ , то f(x₂) > f(х₁).

Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x), определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично).

Рассмотрим два различных значения х₁ и х₂. Пусть y₁=f(x₁), y₂=f(x₂). Из определения возрастающей функции следует, что если x₁<x₂, то у₁<у₂. Следовательно, двум различным значениям х₁ и х₂ соответствуют два различных значения функции у₁ и у₂. Справедливо и обратное, т.е. если у₁<у₂, то из определения возрастающей функции следует, чтоx₁<x₂. Т.е. вновь двум различным значениям у₁ и у₂ соответствуют два различных значенияx₁ и x₂. Т.о., между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. уравнение y=f(x) для каждого y (взятого из области значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x, и можно сказать, что x есть некоторая функция аргумента y: x= g(у).

Эта функция называется обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у).

Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х.

Пример. Пусть дана функция y = e^x. Эта функция возрастает при –∞ < x <+∞. Она имеет обратную функцию x = lny. Область определения обратной функции 0 < y < + ∞.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c; d].

Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций.

Пример. Функция y=x² определена при –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 функция – убывает и обратная для нее .

Замечание 3. Если функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными x и y. Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через x, а функцию через y и построим их в одной системе координат, то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла.

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.

Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у₀ имеет производную g ‘(v₀), отличную от нуля, то в соответствующей точке x₀=g(x₀) функция y=f(x) имеет производную f ‘(x₀), равную , т. е. справедлива формула.

Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y₀, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x₀=g(y₀). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.

Покажем, что .

Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Эту формулу можно записать в виде .

Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.

Примеры.

1. y = e^x. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что . Поэтому согласно сформулированной выше теореме

   Итак, (e^x) ‘ = e^x

2. Аналогично можно показать, что (a^x) ‘ = a^x·lna. Докажите самостоятельно.
3. y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале – π/2<y<π/2 монотонна. Ее производная x ‘ = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной обратной функции

   .

   Но на (–π/2; π/2) .

   Поэтому

4. Аналогично

   Докажите самостоятельно.

5. y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg y монотонна. По ранее доказанному .

   Следовательно, y ‘ = cos²y . Но .

   Поэтому

6.  

7. Используя эти формулы, найти производные следующих функций:

Какова производная f(x)=sin(ln(x)) ?

Исчисление

Наука

• Анатомия и физиология
• астрономия
• Астрофизика
• Биология
• Химия
• наука о планете Земля
• Наука об окружающей среде
• Органическая химия
• Физика

Математика

• Алгебра
• Исчисление
• Геометрия
• Преалгебра
• Предварительный расчет
• Статистика
• Тригонометрия

Гуманитарные науки

• Английская грамматика
• История США
• Всемирная история

.

В рабочем поле mathcad записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения системы уравнений численными методами.

Затем указывается начальное приближение для искомых переменных. Это нужно для увеличения скорости и точности решения системы. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю для всех переменных, при этом, если окажется, что система имеет несколько решений, то есть риск не определить все корни. Поэтому лучше всегда задавать приближение

Рис. 1. Ввод исходных данных в поле mathcad

Далее вводятся уравнения. Их можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа «ровно». На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)

Когда уравнения записаны вводится функция Find(x, y, z,…) (где х, y, z,… — переменные). Это функция, которая возвращает результат решения системы. Значение функции Find() можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа «:=» и использовать ее далее в расчетах (см. рис. 3). При решении систем уравнений в mathcad результатом всегда будет являтся матрица значений

Рис. 3. Ввод функции Find()

Для того чтобы увидеть результат решения системы уравнений, после Find(x, y, z,…) следует поставить символ «→» либо «=» из панели Evaluation (см. рис. 4).

В зависимости от сложности системы через определенное время MathCad выведет результат. На рис. 5 можно рассмотреть синтаксис и результат решения системы уравнений. Обратите внимание, что можно присваивать результат решения системы матричной переменной и можно работать с отдельными ее элементами

Mathcad позволяет решать системы уравний в символьном виде. Обычно это полезно, когда требуется получить не точное значение переменных, а их выражения через константы. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, y и z, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 6). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ «→» для вывода результата. Как правило, символьное решение получается громоздким, поэтому не всегда рекомендуется использовать этот метод

Использование метода

Как показывает практика, методом solve иногда удается решить системы уравнений, которые не поддаются решению с помощью функции Find()

Синтаксис следующий: на панели matrix нажимаем иконку Matrix or Vector и в появившемся окне указываем количество уравнений входящих в систему. В нашем примере их будет три (см. рис. 7)

Заполняем систему, вводя последовательно все уравнения используя логический символ «ровно» из панели Boolean. Каждый элемент матрицы-столбца содержит одно уравнение (см. рис. 8)

Когда все уравнения введены, убедитесь, что курсор ввода находится в вашей матрице и затем нажмите кнопку «solve» из панели Symbolic. Появится служебное слово (функция) solve. Далее поставте запятую и введите последовательно все переменные, относительно которых необходимо решить систему уравнений (см. рис. 9)

Уведите курсор в свободное поле mathcad и дождитесь окончания решения системы. Обратите внимание, что мы не вводили начальные приближения. Даный метод их назначает автоматически. Обратите так же внимание, что для решения системы в символьном виде синтаксис аналогичен (см. рис. 10)

Как показывает моя инженерная практика, решение систем в символьном виде сопряжено с большими вычислительными трудностями. То есть иногда решение системы занимает массу времени, и в итоге mathcad выдает выражение для одной переменной непомерной длины, которое нельзя использовать. Поэтому рекомендуется прменять эту возможность лишь в крайних случаях и по возможности «помогать» mathcad, заменяя константы известными числовыми значениями

Инструмент для работы с графами онлайн

Визуализация графа, поиск кратчайшего пути и многое другое. В разделе Справка вы найдете обучающие видео.

Graph

Создание алгоритмы

Задайте матрицу смежности. Используйте запятую «,» в качестве разделителя

Для мультиграфа матрица содержит значения минимальных дуг между вершинами.

Мартрица имеет неправильный формат. Используйте запятую «,» в качестве разделителя. Матрица должна иметь одинаковое количество столбцов и строк.

Задайте матрицу инцидентности. Используйте запятую «,» в качестве разделителя

Мартрица имеет неправильный формат. Используйте запятую «,» в качестве разделителя.

Ваш алгоритм отправлен на модерацию и в случае успеха он будет добавлен на сайт.

Ошибка создания графа. Матрица смежности имеет неправильный формат. Нажимте кнопку «исправить матрицу» чтобы исправить матрицу или кнопку «справка» чтобы открыть справку о формате матрицы

Ошибка создания графа. Матрица инцидентности имеет неправильный формат. Нажимте кнопку «исправить матрицу» чтобы исправить матрицу или кнопку «справка» чтобы открыть справку о формате матрицы

Ошибка создания графа. Список рёбер имеет неправильный формат. Нажимте кнопку «исправить» чтобы исправить список или кнопку «справка» чтобы открыть справку о формате

Какие функции нам добавить в первую очередь?

Пожалуйста, напишите, какого алгоритма вам не хватает. Поддержвать проект.

Сервис уже поддерживает следущий функционал: Поиск пути алгоритмом Дейкстры, матрицу смежности, матрицу инцидентности.

Прозрачность

Выделите и перемещайте объекты или перемещайте рабочую область.

Перемещайте курсор для перемещения объекта

Выделите и перемещайте объекты или перемещайте рабочую область.

Перемещайте курсор для перемещения объекта

Кликните на рабочую область, чтобы добавить вершину. Нумерация вершин

Выделите первую вершину для создания дуги

Выделите вторую вершину, которую хотите соединить

Выделите вершину, из которой хотите найти кратчайших путь

Выделите конечную вершину кратчайшего пути

Расстояние между вершинами %d

Пути не существует

Кликните по объекту, который хотите удалить

Добавить ребро

Ориентированную

Неориентированную

Матрица смежности

Сохранить

Отмена

Мин. расстояние =

Матрица инцидентности

Сохранение графа

закрыть

Число компонентов связности графа равно

Число слабо связных компонентов равно

Что вы думаете о сайте?

Имя (email для ответа)

Написать

Отправить

Напишите нам

исправить матрицу

справка

Матрица имеет неправильный формат

Сохранение изображения графа

Полный отчёт

Краткий отчёт

Граф не содержит Эйлеров цикл

Граф содержит Эйлеров цикл

Обработка…

Добавить вершину

Переименовать вершину

Переименовать

ru

Изменить вес

ненагруженный

Групповое переименование

Опрос

Рекомендовать алгоритмы

Граф не содержит Эйлерову цепь

Граф содержит Эйлерову цепь

Граф минимальных расстояний.

Нажмите для сохранения

Показать матрицу расстояний

Матрица расстояний

Выделите исток максимального потока

Выделите сток максимального потока

Максимальный поток из %2 в %3 равен %1

Поток из %1 в %2 не существует

Исток

Сток

Граф не содержит Гамильтонов цикл

Граф содержит Гамильтонов цикл

Граф не содержит Гамильтонову цепь

Граф содержит Гамильтонову цепь

Выбирете начальную вершину обхода

Порядок обхода:

Изгиб дуги

Отменить

Сохранить граф

По умолчанию

Стиль отрисовки вершины

Стиль отрисовки дуги

Цвет фона

Мультиграф не поддерживает все алгоритмы

ненагруженный

Выделите несколько объектов используя Cmd⌘.

Выделите несколько объектов используя Ctrl.

Перемещайте группу.

Копировать

Удалить

Поиск в ширину

Раскраска графа

Найти компоненты связности

Поиск в глубину

Найти Эйлеров цикл

Найти Эйлерову цепь

Алгоритм Флойда — Уоршелла

Упорядочить граф

Найти Гамильтонов цикл

Найти Гамильтонову цепь

Поиск максимального потока

Поиск минимального остовного дерева

Визуализация на основе весов

Поиск радиуса и диаметра графа

Поиск кратчайший путь алгоритмом Дейкстры

Рассчитать степень вершин

Вес минимального остовного дерева равен

Мы игнорировали ориентацию дуг при рассчете.

Граф не является связным

Выделите первый граф для проверки на изоморфизм. Кликните по любой вершине графа

Выделите второй граф для проверки на изоморфизм.

Равные десятичные дроби – это две конечные десятичные дроби, у которых равны соответствующие им обыкновенные дроби. В противном случае десятичные дроби являются неравными.

Опираясь на данное определение, просто обосновать такое утверждение: если в конце заданной десятичной дроби подписать или, наоборот, отбросить несколько цифр 0, то получится равная ей десятичная дробь. К примеру: 0,5 = 0,50 = 0,500 = …. Или: 130,000 = 130,00 = 130,0 = 130. По сути, дописать или отбросить нуль в конце дроби справа — значит умножить или разделить на 10 числитель и знаменатель соответствующей обыкновенной дроби. Добавим к сказанному основное свойство дробей (умножая или деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, получаем дробь, равную исходной) и имеем доказательство вышеуказанного утверждения.

К примеру, десятичной дроби 0,7 соответствует обыкновенная дробь 710. Дописав нуль справа, получим десятичную дробь 0,70, которой соответствует обыкновенная дробь 70100, 7·70100:10. Т.е.: 0,7 = 0,70. И наоборот: отбрасывая в десятичной дроби 0,70 нуль справа, получаем дробь 0,7 – таким образом, от десятичной дроби 70100 мы переходим к дроби 710, но 710=70:10100:10 Тогда: 0,70 = 0,7.

Теперь рассмотрим содержание понятия равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей.

Равные бесконечные периодические дроби – это бесконечные периодические дроби, у которых равны отвечающие им обыкновенные дроби. Если же соответствующие им обыкновенные дроби не равны, то заданные для сравнения периодические дроби также являются неравными.

Данное определение позволяет сделать следующие выводы:

— если записи заданных периодических десятичных дробей совпадают, то такие дроби являются равными. К примеру, периодические десятичные дроби 0,21(5423) и 0,21(5423) равны;

— если в заданных десятичных периодических дробях периоды начинаются с одной и той же позиции, первая дробь имеет период 0, а вторая – 9; значение разряда, предшествующего периоду 0, на единицу больше, чем значение разряда, предшествующего периоду 9, то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. К примеру, равными являются периодические дроби 91,3(0) и 91,2(9), а также дроби: 135,(0) и 134,(9);

— две любые другие периодические дроби не являются равными. Например: 8,0(3) и 6,(32); 0,(42) и 0,(131) и т.д.

Осталось рассмотреть равные и неравные бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби представляют из себя иррациональные числа, и их невозможно перевести в обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей не сводится к сравнению обыкновенных.

Равные бесконечные непериодические десятичные дроби – это непериодические десятичные дроби, записи которых полностью совпадают.

Логичным будет вопрос: как сравнить записи, если увидеть «законченную» запись таких дробей невозможно? Сравнивая бесконечные непериодические десятичные дроби, нужно рассматривать только некоторое конечное число знаков заданных для сравнения дробей так, чтобы это позволило сделать вывод. Т.е. по сути сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей заключается в сравнении конечных десятичных дробей.

Такой подход дает возможность утверждать о равенстве бесконечных непериодических дробей только с точностью до рассматриваемого разряда. Например, дроби 6,73451… и 6,73451… равны с точностью до стотысячных, т.к. равными являются конечные десятичные дроби 6,73451 и 6,7345. Дроби 20,47… и 20,47… равны с точностью до сотых, т.к. равными являются дроби 20,47 и 20,47 и так далее.

Неравенство бесконечных непериодических дробей устанавливается вполне конкретно при явных различиях в записях. Например, неравными являются дроби 6,4135… и 6,4176… или 4,9824… и 7,1132… и так далее.

Правила сравнения десятичных дробей. Решение примеров

Если установлен факт неравенства двух десятичных дробей, обычно также необходимо определить, какая из них больше, а какая – меньше. Рассмотрим правила сравнения десятичных дробей, которые дают возможность решить вышеуказанную задачу.

Очень часто достаточно лишь сравнить целые части заданных к сравнению десятичных дробей.

Та десятичная дробь, у которой целая часть больше, является бОльшей. Меньшей является та дробь, у которой целая часть меньше.

Указанное правило распространяется как на конечные десятичные дроби, так и на бесконечные.

Необходимо сравнить десятичные дроби: 7,54 и 3,97823… .

Решение 

Совершенно очевидно, что заданные десятичные дроби равными не являются. Целые их части равны соответственно: 7 и 3. Т.к. 7 > 3, то 7,54 >  3,97823… .

Ответ: 7,54 >  3,97823… .

В случае, когда целые части заданных к сравнению дробей равны, решение задачи сводится к сравнению дробных частей.  Сравнение дробных частей производится поразрядно – от разряда десятых к более младшим.

Рассмотрим сначала случай, когда нужно сравнить конечные десятичные дроби.

Необходимо выполнить сравнение конечных десятичных дробей 0,65 и 0,6411.

Решение

Очевидно, что целые части заданных дробей равны (0 = 0). Проведем сравнение дробных частей: в разряде десятых значения равны (6 = 6), а вот в разряде сотых значение дроби 0,65 больше, чем значение разряда сотых в дроби 0,6411 (5 > 4). Таким образом, 0,65 > 0,6411.

Ответ: 0,65 > 0,6411.

В некоторых задачах на сравнение конечных десятичных дробей с разным количеством знаков после запятой необходимо к дроби с меньшим количеством десятичных знаков приписывать нужное количество нулей справа. Удобно уравнивать таким образом количество десятичных знаков в заданных дробях еще до начала сравнения.

Необходимо сравнить конечные десятичные дроби 67,0205 и 67,020542.

Решение

Данные дроби очевидно не являются равными, т.к. записи их различны. При этом их целые части равны: 67 = 67. Прежде чем приступить к поразрядному сравнению дробных частей заданных дробей, уравняем количество знаков после запятой, дописав нули справа в дроби с меньшим количеством знаков. Тогда получим для сравнения дроби: 67,020500 и 67,020542. Проводим поразрядное сравнение и видим, что в разряде стотысячных значение в дроби 67,020542 больше, чем соответствующее в дроби 67,020500 (4 > 0). Таким образом, 67,020500 < 67,020542, а значит 67,0205 < 67,020542.

Ответ: 67,0205 < 67,020542.

Если необходимо сравнить конечную десятичную дробь с бесконечной, то конечная дробь заменяется бесконечной, ей равной с периодом 0. Затем производится поразрядное сравнение. 

Необходимо сравнить конечную десятичную дробь 6,24 с бесконечной непериодической десятичной дробью 6,240012…

Решение

Мы видим, что целые части заданных дробей равны (6 = 6). В разрядах десятых и сотых значения обеих дробей также являются равными. Чтобы иметь возможность сделать вывод, продолжаем сравнение, заменяя конечную десятичную дробь равной ей бесконечной с периодом 0 и получаем: 6,240000… . Дойдя до пятого знака после запятой, находим различие: 0 < 1, а значит: 6,240000… < 6,240012…. Тогда: 6,24 < 6,240012… .

Ответ: 6,24 < 6,240012… .

Сравнивая бесконечные десятичные дроби, также применяют поразрядное сравнение, которое окончится тогда, когда значения в каком-то разряде у заданных дробей окажутся различными.

Необходимо сравнить бесконечные десятичные дроби 7,41(15) и 7,42172… .

Решение

В заданных дробях — равные целые части, значения десятых также равны, а вот в разряде сотых мы видим различие: 1 < 2. Тогда: 7,41(15) < 7,42172… .

Ответ: 7,41(15) < 7,42172… .

Необходимо сравнить бесконечные периодические дроби 4,(13) и 4,(131).

Решение: 

Понятными и верными являются равенства: 4,(13) = 4,131313… и 4,(133) = 4,131131… . Сравниваем целые части и поразрядно дробные, и на четвертом знаке после запятой фиксируем расхождение: 3 > 1.  Тогда: 4,131313… > 4,131131…, а 4,(13) > 4,(131).

Ответ: 4,(13) > 4,(131).

Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами

Чтобы получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом, необходимо сравнить целую часть заданной дроби с заданным натуральным числом. При этом надо учесть, что периодические дроби с периодами 0 или 9 нужно предварительно представить в виде равных им конечных десятичных дробей.

Если целая часть заданной десятичной дроби меньше заданного натурального числа, то и вся дробь является меньшей по отношению к заданному натуральному числу. Если целая часть заданной дроби больше или равна заданному натуральному числу, то дробь больше заданного натурального числа.

Необходимо сравнить натуральное число 8 и десятичную дробь 9,3142… .

Решение: 

Заданное натуральное число меньше, чем целая часть заданной десятичной дроби (8 < 9), а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Ответ: 8 < 9,3142… .

Необходимо сравнить натуральное число 5 и десятичную дробь 5,6.

Решение

Целая часть заданной дроби равна заданному натуральному числу, тогда, согласно вышеуказанному правилу, 5 < 5,6.

Ответ: 5 < 5,6.

Необходимо сравнить натуральное число 4 и периодическую десятичную дробь 3,(9).

Решение

Период заданной десятичной дроби равен 9, а значит перед сравнением необходимо заменить заданную десятичную дробь равной ей конечной или натуральным числом. В данном случае: 3,(9) = 4. Таким, образом исходные данные равны.

Ответ: 4 = 3,(9).

Чтобы произвести сравнение десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом, необходимо:

— записать обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби, а затем выполнить сравнение десятичных дробей или
— записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби (за исключением бесконечной непериодической), а затем выполнить сравнение с заданной обыкновенной дробью или смешанным числом.

Необходимо сравнить десятичную дробь 0,34 и обыкновенную дробь 13.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Запишем заданную обыкновенную дробь 13 в виде равной ей периодической десятичной дроби: 0,33333… . Тогда становится необходимым произвести сравнение десятичных дробей 0,34 и 0,33333… . Получим: 0,34 > 0,33333…, а значит 0,34 > 13.
2. Запишем заданную десятичную дробь 0,34 в виде равной ей обыкновенной. Т.е.: 0,34 = 34100 = 1750. Сравним обыкновенные дроби с разными знаменателями и получим: 1750 > 13. Таким образом, 0,34 > 13.

Ответ: 0,34 > 13.

Необходимо сравнить бесконечную непериодическую десятичную дробь 4,5693… и смешанное число 438.

Решение

Бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя представить в виде смешанного числа, но возможно перевести смешанное число в неправильную дробь, а ее, в свою очередь, записать в виде равной ей десятичной дроби. Тогда: 438= 358 и

Т.е.: 438= 358= 4,375. Проведем сравнение десятичных дробей: 4,5693… и 4,375 (4,5693… > 4,375) и получим: 4,5693… > 438.

Ответ: 4,5693… > 438.

Калькулятор преобразования повторяющихся десятичных чисел в дроби

Этот калькулятор преобразования повторяющихся десятичных чисел в дроби можно использовать для преобразования повторяющихся десятичных чисел в исходную дробную форму.

Просто введите повторяющуюся часть десятичной дроби (повторяющуюся) и ее неповторяющуюся часть (где применимо). Например, если вы конвертируете 0,6 в 2/3, оставьте неповторяющееся поле пустым.

Как преобразовать повторяющиеся десятичные дроби в дроби

Когда дробь представляется в виде десятичной дроби, она может принимать форму завершающей десятичной дроби; например:

3/5 = 0,6 и 1/8 = 0,125,

или повторяющаяся десятичная дробь; например,

19/70 = 0,2714285 и 1/6 = 0,16

Полоска, изображенная выше, представлена ​​над повторяющимся элементом числовой строки. Это известно как повторение. Вы можете преобразовать дробь в десятичную, чтобы упростить сложение и вычитание величин. Однако в практической математике часто встречаются повторяющиеся десятичные дроби при преобразовании дробей в проценты или десятичные дроби, что снижает точность вычислений.

Вы можете преобразовать десятичную дробь в исходную дробь, выполнив шаги, описанные ниже. Однако, если вы хотите немного облегчить себе жизнь, воспользуйтесь нашим калькулятором преобразования десятичной дроби в дробную.

Шаг 1: Отделите неповторяющуюся часть десятичного числа от повторяющейся части. Например, предположим, что вы хотите преобразовать следующее число в дробь:

0,3210708

Полоса располагается над неповторяющейся частью десятичной дроби. Таким образом, вы должны отделить 321 от 0708.

Шаг 2: Запишите неповторяющуюся часть десятичной дроби в степени 10, содержащую столько нулей, сколько чисел содержится в неповторяющейся части десятичной дроби (включая все нули). Например, поскольку 321 состоит из трех чисел, мы представляем дробь как 321/1000.

Шаг 3: Запишите повтор с таким количеством девяток, сколько цифр в этом повторе (опять же, включая нули). Например, поскольку 0708 состоит из четырех цифр, он представляется как 0708/9.999. Затем разделите эту дробь на степень 10, примененную на шаге 2. Например, поскольку мы применили 1000 на шаге два, мы вычислим следующее: (0708/9999)/1000 = 0708/9999000 = 708/9999000.

Шаг 4: Сложите две дроби, полученные на шагах 2 и 3 соответственно (согласно правилам сложения дробей, убедитесь, что вы даете им общий знаменатель). Например:

321/1000 + 708/9999000

= 3209679/9999000 + 708/9999000

= 3210387/9999000

Шаг 5: Уменьшите дробь, полученную на шаге 4. Например, и 3210387, и 9999000 можно разделить на 3. Таким образом, мы делим числитель и знаменатель на 3, чтобы получить следующее:

1070129/3333000.

Это дробная часть, эквивалентная 0,3210708.

Почему этот метод работает?

С помощью алгебры можно продемонстрировать, что все повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными числами. Например, допустим, у нас есть x = 0,3210708 . Следующие алгебраические шаги можно применить, чтобы продемонстрировать, что x можно представить в виде дроби:

x = 0,3210708

x = 321/1000 + 0,0000708

x − 321/1000 = 0,0000708

10000 (1000 (х — 321/1000)) = 708,0708

10000 (1000 (х — 321/1000)) = 708 + 0,0708

10000 (1000 (х — 321/10) 00)) = 708 + 1000 ( х — 321/1000)

10000000х — 3210000 = 708 + 1000х — 321

9999000х = 3210387

x = 3210387/9999000 = 1070129/3333000

Вас также может заинтересовать наш Sig Fig Calculator

Калькулятор повторяющихся десятичных дробей | Математические калькуляторы

Калькулятор повторяющихся десятичных дробей используется для вычисления того, сколько число, записанное повторяющимися десятичными цифрами, может быть записано дробями. Этот простой на вид онлайн-калькулятор на самом деле вычисляет 6 шагов для выполнения задачи преобразования.

★ ★ ★ ★ ★ [ 47 Голосов ] 90 003

Все, что вам нужно знать о повторяющемся калькуляторе десятичной дроби

Есть предположения, сколько времени у вас уйдет на все эти расчеты? Правильно, больше, чем вы думаете.

Итак, двигаясь дальше, каждый расчет, который вы делаете, процессор будет делать намного быстрее, давая вам точные результаты, чем вы способны произвести. Однако, учитывая тот факт, что время имеет решающее значение и есть и другие задачи, которые необходимо выполнить, iCalculator разработал повторяющийся калькулятор десятичной дроби, чтобы помочь вам сэкономить время.

Что такое повторяющееся преобразование десятичной дроби в дробную?

Прежде чем мы начнем с деталей калькулятора десятичной дроби, давайте сначала разберемся в его функции. Как указано в его названии, этот калькулятор вычисляет преобразование повторяющегося десятичного числа в его дробный эквивалент.

Чтобы лучше понять это, предположим, что вам нужно найти дробный эквивалент, скажем, 0,333333

Преобразование повторяющихся десятичных чисел в дроби для одной повторяющейся цифры

Итак, дайте ему имя, скажем, x.

Сейчас,

• x = 0,333333———-(1)
• 10x = 3,33333——(2)
• Вычесть (1) из (2)
• 9x = 3
• x = 3/9
• x = 1/3

Таким образом, ясно, что 1/3 является дробным эквивалентом 0,333333

Но нет, это относится к одной повторяющейся цифре после запятой. Что, если у вас есть число с двумя повторяющимися десятичными цифрами, например, 0,21212121. В таком случае

Повторяющееся преобразование десятичной дроби в дробную для двух повторяющихся цифр

x = 0,21212121—(1)

Теперь мы не можем умножить обе части на 10, потому что это изменит порядок повторяющихся десятичных знаков. Итак, нам нужно умножить обе части на 100. Итак, теперь у нас есть

100x = 21,212121 — (2)

Теперь вычтите (1) из (2), и мы получим

.
• 99x = 21
• x = 21/99
• x = 7/33

Преобразование повторяющихся десятичных чисел в дроби для трех повторяющихся цифр

Аналогичным образом, если повторяющиеся десятичные цифры находятся в наборе из трех , ты нужно обе части умножить на 1000, например, допустим

x = 0,738738738738

Учитывая вышеизложенное правило,

• 1000x = 738,738738738
• 999x = 738
• x = 738/999
• x = 82/111

Проще говоря, чтобы найти дробный эквивалент повторяющегося десятичного числа, вам нужно умножить обе части на показатель степени 10, экспоненциальное значение которого равно количеству повторяющихся цифр.

Однако, если у вас есть однозначное повторяющееся десятичное число, такое как 738,333333, то как вы будете решать эту проблему? Звучит сложно? Нет, запомните правило. Просто умножьте 738,333333 на 10, и вы получите 7383,33333. Это то же самое путешествие сейчас, верно? Нет. Это даст вам неправильный ответ.

Повторяющееся преобразование десятичной дроби в смешанную дробь

Это потому, что в таком случае число слева от десятичной точки (или число перед десятичной точкой, как вам лучше запомнить) не используется. Затем вы работаете с данной дробью, как обычно.

Таким образом, работая над 0,33333, вы получите долю 1/3. Теперь идет поворот смешанных фракций. 738, которые вы отложили, станут причиной того, что дробь станет смешанной, и у вас будет

x = 738⅓

Для подтверждения просто умножьте 738 на 3, прибавьте к нему 1 и разделите сумму на 3, и вы получите 738,33333.

В конце концов, все сводится к тому, насколько быстро вы упрощаете дроби. И помните, не было бы онлайн-калькуляторов или любых других математических калькуляторов, если бы упрощение дробей было таким простым.

Использование калькулятора десятичной дроби в реальной жизни

От выпечки до банковских операций и химических экспериментов, этот конкретный математический расчет играет важную роль во всех них.