Автор: alexxlab

как решать, правила вычисления, объяснение. Основные свойства определенного интеграла

Словари. Энциклопедии. История. Литература. Русский язык » Литература » Определенные и неопределенные интегралы сообщение. Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение. Основные свойства определенного интеграла

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Изучаем понятие « интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

« Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

В этой статье мы перечислим основные свойства определенного интеграла. Большинство этих свойств доказываются на основе понятий определенного интеграла Римана и Дарбу .

Вычисление определенного интеграла очень часто проводится с использованием первых пяти свойств, так что мы будем при надобности на них ссылаться. Остальные свойства определенного интеграла, в основном, применяются для оценки различных выражений.

Прежде чем перейти к основным свойствам определенного интеграла , условимся, что a не превосходит b .

Для функции y = f(x) , определенной при x = a , справедливо равенство .

То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Это свойство является следствием определения интеграла Римана, так как в этом случае каждая интегральная сумма для любого разбиения промежутка и любого выбора точек равна нулю, так как , следовательно, пределом интегральных сумм является ноль.

Для интегрируемой на отрезке функции выполняется .

Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное. Это свойство определенного интеграла также следует из понятия интеграла Римана, только нумерацию разбиения отрезка следует начинать с точки x = b .

для интегрируемых на отрезке функций y = f(x) и y = g(x) .

Доказательство.

Запишем интегральную сумму функции для данного разбиения отрезка и данного выбора точек :

где и — интегральные суммы функций y = f(x) и y = g(x) для данного разбиения отрезка соответственно.

Переходя к пределу при получим , что по определению интеграла Римана равносильно утверждению доказываемого свойства.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть, для интегрируемой на отрезке функции y = f(x) и произвольного числа k справедливо равенство .

Доказательство этого свойства определенного интеграла абсолютно схоже с предыдущим:


Пусть функция y = f(x) интегрируема на интервале X , причем и , тогда .

Это свойство справедливо как для , так и для или .

Доказательство можно провести, опираясь на предыдущие свойства определенного интеграла.

Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом внутреннем отрезке .

Доказательство основано на свойстве сумм Дарбу: если к имеющемуся разбиению отрезка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя – не увеличиться.

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке и для любого значения аргумента , то .

Это свойство доказывается через определение интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек при будет неотрицательной (не положительной).

Следствие.

Для интегрируемых на отрезке функций y = f(x) и y = g(x) справедливы неравенства:


Это утверждение означает, что допустимо интегрирование неравенств. Этим следствием мы будем пользоваться при доказательстве следующих свойств.

Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке , тогда справедливо неравенство .

Доказательство.

Очевидно, что . В предыдущем свойстве мы выяснили, что неравенство можно почленно интегрировать, поэтому, справедливо . Это двойное неравенство можно записать как .

Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке и для любого значения аргумента , тогда , где и .

Доказательство проводится аналогично. Так как m и M – наименьшее и наибольшее значение функции y = f(x) на отрезке , то . Домножение двойного неравенства на неотрицательную функцию y = g(x) приводит нас к следующему двойному неравенству . Интегрируя его на отрезке , придем к доказываемому утверждению.

Следствие.

Если взять g(x) = 1 , то неравенство примет вид .

Первая формула среднего значения.

Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке , и , тогда существует такое число , что .

Следствие.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то найдется такое число , что .

Первая формула среднего значения в обобщенной форме.

Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке , и , а g(x) > 0 для любого значения аргумента . Тогда существует такое число , что .

Вторая формула среднего значения.

Если на отрезке функция y = f(x) интегрируема, а y = g(x) монотонна, то существует такое число , что справедливо равенство .

Данные свойства используются для осуществления преобразований интеграла с целью его приведения к одному из элементарных интегралов и дальнейшему вычислению.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Причем a ≠ 0

5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:

Причем a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

Если , то

8. Свойство:

Если , то

Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной , который более подробно рассмотрен в следующем разделе.

Рассмотрим пример:

Сначала мы применили свойство 5, затем свойство 4, затем воспользовались таблицей первообразных и получили результат.

Алгоритм нашего онлайн калькулятора интегралов поддерживает все перечисленные выше свойства и без труда найдет подробное решение для вашего интеграла.

Данные свойства используются для осуществления преобразований интеграла с целью его приведения к одному из элементарных интегралов и дальнейшему вычислению.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Причем a ≠ 0

5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:

Причем a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

Если , то

8. Свойство:

Если , то

Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной , который более подробно рассмотрен в следующем разделе.

Рассмотрим пример:

Сначала мы применили свойство 5, затем свойство 4, затем воспользовались таблицей первообразных и получили результат.

Алгоритм нашего онлайн калькулятора интегралов поддерживает все перечисленные выше свойства и без труда найдет подробное решение для вашего интеграла.

В дифференциальном исчислении решается задача:под анной функции ƒ(х) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F » (x)=ƒ(х) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции ƒ(х) .

Функция F(x) называетсяпервообразной функции ƒ(х) на интервале (а; b), если для любого х є (а;b) выполняется равенство

F » (x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).

Например , первообразной функции у=х 2 , х є R, является функция, так как

Очевидно, что первообразными Будут также любые функции

где С — постоянная, поскольку

Tеоpeмa 29. 1. Если функция F(x) является первообразной функции ƒ(х) на (а;b), то множество всех первообразных для ƒ(х) задается формулой F(x)+С, где С — постоянное число.

▲ Функция F(x)+С является первообразной ƒ(х).

Действительно, (F(x)+C) » =F » (x)=ƒ(x).

Пусть Ф(х) — некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функции ƒ(х) , т. е. Ф » (x)=ƒ(х). Тогда для любого х є (а;b) имеем

А это означает (см. следствие 25. 1), что

где С — постоянное число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+С.▼

Множество всех пepвoобpaзныx функций F(x)+С для ƒ(х) называетсянеопределенным интегралом от функции ƒ(х) и обозначается символом∫ ƒ(х) dx.

Таким образом, по определению

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Здесь ƒ(х) называетсяподынтегральнoй функцией , ƒ(x)dx — подынтегральным выражением, х —переменной интегрирования , ∫ —знаком неопределенного интеграла .

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у=F(x)+C (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 166). График каждой первообразной (кривой) называетсяинтегральной кривой .

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?

Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (а;b) функция имеет на этом промежутке первообразную», а следoвaтельно, и неопределенный интеграл.

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) » =ƒ(х).

Дeйcтвительнo, d(∫ ƒ(х) dx)=d(F(x)+С)=dF(x)+d(C)=F » (x) dx =ƒ(х) dx

(∫ ƒ (x) dx) » =(F(x)+C)»=F»(x)+0 =ƒ (x).

Блaгoдapя этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

верно, так как (х 3 +4х+С)»=3x 2 +4.

2. Hеопpедeлeнный интеграл от диффepeнциaла некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

∫dF(x)= F(x)+C.

Действительно,

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

α ≠ 0 — постоянная.

Действительно,

(положили С 1 /а=С.)

4. Неопределенный интеграл от aлгeбpaическoй суммы конечного числа непрерывных функций равен aлгебpaичecкoй сумме интегралов от слагаемых функций:

Пусть F»(x)=ƒ(х) и G»(x)=g(x). Тогда

где С 1 ±С 2 =С.

5. (Инвариантность формулы интегрирования).

Если, где u=φ(х) — произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

▲ Пусть х — независимая переменная, ƒ(х) — непрерывная функция и F(x) — ее пepвoобpaзнaя. Тогда

Положим теперь u=ф(х), где ф(х) — непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию F(u)=F(φ(x)). В силу инвараинтности формы первого дифференциала функции (см. с. 160) имеем

Отсюда▼

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Так, из формулыпутем замены х на u (u=φ(х))получаем

В частности,

Пример 29.1. Найти интеграл

где С=C1+С 2 +С 3 +С 4 .

Пример 29.2. Найти интеграл Решение:

• 29.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул диффepeнциaльнoгo исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла.

Например , так как

d(sin u)=cos u . du,

Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных методов интегрирования.

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения пepвoобpaзных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования и может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (coгласнo свойству инвариантности формулы интeгpиpoвания).

В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв диффepeнциaл правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы.

Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция 1/u определена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.

Если u > 0, то ln|u|=lnu, тогда Поэтому

Eсли u Значит

Итак, формула 2 верна. Aнaлoгичнo, провepим формулу 15:

Таблица оснoвныx интегралов

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Теорема Ферма для чайников? Не бойтесь, это не больно… | Мир вокруг нас

1. Почему она так знаменита?

Великая теорема Ферма — математическая задача невероятной сложности, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство — даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго.

2. В чем же она состоит? Начнем с пифагоровых штанов

Формулировка действительно проста — на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны».

Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно:

Теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству х² + y² = z². Начиная с 3, 4, 5 — действительно, младшекласснику понятно, что

9+16=25.

Или 5, 12, 13:

25 + 144 = 169.

Замечательно. Ну и так далее.

А если взять похожее уравнение х³+ y³ = z³? Может, тоже есть такие числа? И так далее.

Так вот, оказывается, что их НЕТ.

Вот тут начинается подвох. Простота — кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.

Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? Легко: бац — а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен.

А как доказать отсутствие? Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик:

А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) — не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:

Теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая, иначе он непременно упомянул бы о нём в этой статье. Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 году — для n = 5, Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, и так далее.
Доказательство самого Ферма для случая {\displaystyle n=4} n=4 в сорок пятом комментарии к «Арифметике» Диофанта
Фото: общественное достояние

Но все это были частные случаи, а не универсальное доказательство для ВСЕХ ЧИСЕЛ.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел.

Считается, что Великая теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств. Многие начинающие математики считали своим долгом подступиться к Великой теореме, но доказать ее все никак не удавалось.

Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: «Как же так? Ферма доказал, а я что, не смогу, что ли?», и некоторые из них на этой почве свихнулись в полном смысле этого слова.

Некоторые пытались прославиться от обратного: доказать, что она не верна. А для этого, как мы говорили, достаточно просто-напросто привести пример: вот три числа, одно в кубе плюс второе в кубе — равно третьему в кубе. И они искали такие тройки чисел. Но безуспешно… И никакие компьютеры, ни с каким быстродействием, никогда не смогли бы ни проверить теорему, ни опровергнуть ее, ведь все переменные этого уравнения (в том числе и показатели степени) могут возрастать до бесконечности.

4. Наконец-то!

Наконец 23 июня 1993 года в Кембридже состоялась самая важная лекция по математике в ХХ веке. Лектором был Эндрю Уайлс, англичанин, профессор Принстонского университета. Эндрю Уайлс продемонстрировал ученым полное доказательство Великой теоремы Ферма.

Он шел к этому 30 лет, буквально с десятилетнего возраста. Его доказательство потом еще было уточнено и усовершенствовано в 1995 году, но самое главное — Великая теорема была доказана!

На это человечеству понадобилось 358 лет. Для доказательства была применена «самая высшая» и самая современная математическая наука. Поэтому изложить это доказательство в рамках заметочки никак нельзя, и читателям придется поверить на слово мне, математикам Кембриджа и Принстона и так далее.

Это доказательство закрыло сразу две страницы истории математики: 350-летний поиск доказательств Великой теоремы и бесконечные нашествия ферматистов на все математические кафедры всех университетов и институтов в мире.

5. Кто такие ферматисты?

Как сказано выше, формулировка Великой теоремы очень проста и понятна, поэтому есть стойкая иллюзия, что и доказательство ее также должно быть простым, понятным и вкладываться в знания алгебры в объеме 5−6 классов. Это породило неисчислимые толпы жертв фанатизма, называемых ферматистами, которые пытались ее доказать, думали, что доказали, и атаковали кафедры и отдельных ученых с исписанными тетрадками в клеточку наперевес. Как все фанатики, они нетерпимы к критике, полны намерений снести все преграды и страшно самоуверенны. Обычно их толстые труды сразу выбрасывают или дают студентам кафедры теории чисел для поиска ошибки в качестве упражнения.

Как правило, все доказательства сводятся к нехитрым алгебраическим преобразованиям: там прибавил, тут вычел, возвел все в квадрат, извлек квадратный корень, свернул по формулам сокращенного умножения, применил бином Ньютона — и вот оно, доказал.

Интересно, что бОльшая часть доморощенных ферматистов даже не понимает сути теоремы — они доказывают не то, что уравнение с показателями степени больше 2 не имеет целых решений, а просто пытаются доказать, что х в степени N + y в степени N равно z в степени N, что, как вы уже, я надеюсь, понимаете, лишено всяческого смысла.

И ведь доказывают! Ошибка, как правило, возникает при очередном возведении уравнения в квадрат и последующем извлечении корня. Казалось бы: возвели в квадрат, потом извлекли корень — так на так и получится, но они всегда забывают о том, что х в квадрате и (минус х) в квадрате равны. Это элементарно, Ватсон!

Кафедры отбивались, как могли.

Учёный секретарь одного из московских академических институтов, не избежавшего нашествия ферматистов, однажды был в отпуске в Молдавии и на рынке купил какую-то снедь, которую ему завернули в местную газету.
Вернувшись с рынка, он стал просматривать этот листок и наткнулся на заметку, в которой сообщалось, что местный школьный учитель доказал теорему Ферма, и, как следствие, пелись всякие дифирамбы высокому уровню областной науки.
Учёный секретарь вырезал эту заметку, а по возвращении в Москву вставил её в рамку и повесил на стену своего кабинета. Теперь, когда на него «нападал» очередной ферматист, он широким жестом приглашал того ознакомиться с «текущим положением дел». Жизнь явно стала легче. (Саймон СИНГХ, «ВТФ»).

Я думаю, после всего, что между нами было, читатели уже смогут оценить попавшуюся мне как-то на кафедре в куче таких рукописей, тетрадок и бандеролей телеграмму:

ДОКАЗАЛ ТЕОРЕМУ ФЕРМА ТЧК ИКС СТЕПЕНИ Н ПЛЮС ИГРЕК СТЕПЕНИ Н РАВНО ЗЕТ СТЕПЕНИ Н ТЧК. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДВТЧ ПЕРЕНОСИМ ИГРЕК СТЕПЕНИ Н ПРАВУЮ ЧАСТЬ ТЧК ПОДРОБНОСТИ ПИСЬМОМ

Теги: теория, математика, теорема Ферма, история математики, математические задачи, фанатизм

15.

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Гилберт Стрэнг и Эдвин «Джед» Герман
• OpenStax

Цели обучения

• Распознать, когда функция трех переменных является интегрируемой по прямоугольному блоку.
• Вычислите тройной интеграл, представив его в виде повторного интеграла.
• Распознать, когда функция трех переменных интегрируема в замкнутой и ограниченной области.
• Упростите вычисления, изменив порядок интегрирования тройного интеграла.
• Вычислить среднее значение функции трех переменных. 93\) как

  \[B = \big\{(x,y,z)\,|\,a \leq x \leq b, \, c \leq y \leq d, \, e \leq z \leq f \большой\}. \nonumber \]

  Мы следуем той же процедуре, что и ранее. Разделим интервал \([a,b]\) на \(l\) подинтервалов \([x_{i-1},x_i]\) одинаковой длины \(\Delta x\) с

  \[\ Delta x = \dfrac{x_i — x_{i-1}}{l}, \nonumber \]

  разделить интервал \([c,d]\) на \(m\) подинтервалов \([y_{i -1}, y_i]\) одинаковой длины \(\Delta y\) с

  \[\Delta y = \dfrac{y_j — y_{j-1}}{m}, \nonumber \] 9*)\,\Delta x \Delta y \Delta z = \iiint_B f(x,y,z) \,dV \nonumber \], если этот предел существует.

  Когда тройной интеграл существует на \(B\), функция \(f(x,y,z)\) называется интегрируемой на \(B\). Кроме того, тройной интеграл существует, если \(f(x,y,z)\) непрерывен на \(B\). Поэтому в наших примерах мы будем использовать непрерывные функции. Однако преемственности достаточно, но не обязательно; другими словами, \(f\) ограничено на \(B\) и непрерывно, за исключением, быть может, границы \(B\). 2)\, dx \, dy \, dz. \номер\] 92 yz \,dV \nonumber \]

  где \(B = \big\{(x,y,z)\,|\, — 2 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 3 , \, 1 \leq z \leq 5 \big\} \), как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\).

  Рисунок \(\PageIndex{2}\): вычисление тройного интеграла по заданному прямоугольному блоку.

  Решение

  Порядок не указан, но повторный интеграл можно использовать в любом порядке без изменения уровня сложности. Выберите, скажем, сначала интегрировать \(y\), затем \(x\), а затем \(z\).

  93 =18(9-0) =162.\end{align*}\]

  Упражнение \(\PageIndex{1}\)

  Вычисление тройного интеграла

  \[\iiint_B z \, \sin \, x \, \cos \, y \, dV\nonumber \]

  где \(B = \big\{(x,y,z)\,|\,0 \leq x \leq \pi, \, \ dfrac{3\pi}{2} \leq y \leq 2\pi, \, 1 \leq z \leq 3 \big\}\).

  Подсказка

  Выполните действия, описанные в предыдущем примере.

  Ответить

  \[\iiint_B z \, \sin \, x \, \cos \, y \, dV = 8 \nonumber \] 9{u_2(y,z)} f(x,y,z) \, dx \right] \, dA. \nonumber \]

  Обратите внимание, что область \(D\) на любой из плоскостей может относиться к типу I или типу II, как описано выше. Если \(D\) в \(xy\)-плоскости относится к типу I (рис. \(\PageIndex{4}\)), то

  \[E = \big\{(x,y,z) \,|\,a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x), \, u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y) \big \}. \nonumber \]

  Рисунок \(\PageIndex{4}\): Блок \(E\), где проекция \(D\) на \(xy\)-плоскость имеет тип I.

  Тогда тройной интеграл становится 9{z=u_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz \, dx \, dy. \nonumber \]

  Пример \(\PageIndex{3A}\): вычисление тройного интеграла по общей ограниченной области

  Вычисление тройного интеграла функции \(f(x,y,z) = 5x — 3y\ ) над сплошным тетраэдром, ограниченным плоскостями \(x = 0, \, y = 0, \, z = 0\) и \(x + y + z = 1\).

  Решение

  На рисунке \(\PageIndex{6}\) показан объемный тетраэдр \(E\) и его проекция \(D\) на плоскость \(xy\).

  Рисунок \(\PageIndex{6}\): тело \(E\) имеет проекцию \(D\) на \(xy\)-плоскость типа I. 9{z=1-x-y}(5x — 3y)\,dz \, dy \, dx = \dfrac{1}{12}.\nonumber \]

  Так же, как мы использовали двойной интеграл \[\iint_D 1 \ ,dA \nonumber \] чтобы найти площадь общей ограниченной области \(D\) мы можем использовать \[\iiint_E 1\,dV \nonumber \] чтобы найти объем общей сплошной ограниченной области \(E\) . Следующий пример иллюстрирует метод.

  Пример \(\PageIndex{3B}\): нахождение объема путем вычисления тройного интеграла

  Найдите объем правильной пирамиды с квадратным основанием в плоскости \(xy\) \([-1, 1] \times [-1,1]\) и вершина в точке \((0, 0, 1)\), как показано на следующем рисунке.

  Рисунок \(\PageIndex{7}\): Нахождение объема пирамиды с квадратным основанием.

  Решение

  В этой пирамиде значение \(z\) изменяется от 0 до 1 и на каждой высоте \(z\) поперечное сечение пирамиды при любом значении \(z\) равно квадрату

  \[[-1 + z, \, 1 — z] \times [-1 + z, \, 1 — z].\nonumber \]

  Следовательно, объем пирамиды равен \[\iiint_E 1\ ,dV\nonumber \] где

  \[E = \big\{(x,y,z)\,|\,0 \leq z \leq 1, \, -1 + z \leq y \leq 1 — z, \, -1 + z \leq x \leq 1 — z \big\}. {x=3} \int_{y=-\sqrt{92}} 1\,dz \, dy \, dx \\ = 36 \pi \,\text{кубических единиц}. \конец{выравнивание*}\]

  Изменение порядка интегрирования

  Как мы уже видели в двойных интегралах по общим ограниченным областям, изменение порядка интегрирования делается довольно часто для упрощения вычислений. При тройном интеграле по прямоугольному ящику порядок интегрирования не меняет уровень сложности вычисления. Однако с тройным интегралом по общей ограниченной области выбор подходящего порядка интегрирования может немного упростить вычисления. Иногда изменение полярных координат также может быть очень полезным. Здесь мы демонстрируем два примера. 9{z=y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx. \nonumber \]

  Порядок интегрирования здесь первый относительно z , затем y , а затем x . Выразите этот интеграл, изменив порядок интегрирования так, чтобы он был сначала по \(x\), затем по \(z\), а затем по \(y\). Убедитесь, что значение интеграла такое же, если мы допустим \(f (x, y, z) = xyz\).

  Решение

  Лучший способ сделать это — нарисовать область \(E\) и ее проекции на каждую из трех координатных плоскостей. Итак, пусть 9{2\pi} \dfrac{64}{15} \,d\theta = \dfrac{128\pi}{15}\nonumber \]

  Среднее значение функции трех переменных

  Напомним, что мы нашли среднее значение функции двух переменных путем вычисления двойного интеграла по области на плоскости и последующего деления на площадь области. Точно так же мы можем найти среднее значение функции от трех переменных, вычислив тройной интеграл по сплошной области и затем разделив его на объем твердого тела.

  Среднее значение функции трех переменных

  Если \(f(x,y,z)\) интегрируема по твердой ограниченной области \(E\) с положительным объемом \(V \, (E),\), то среднее значение функции равно

  \[f_{ave} = \dfrac{1}{V \, (E)} \iiint_E f(x,y,z) \,dV. \nonumber \]

  Обратите внимание, что объем равен

  \[V \, (E) = \iiint_E 1 \,dV. {z=1-xy} (xy + 8z + 20 ) \, dz \, dy \, dx = \dfrac{147}{40}. \номер\] 9{z=1-x-y} 1 \,dz \, dy \, dx = \dfrac{1}{6}. \nonumber \]

  Следовательно, среднее значение равно

  \[ T_{ave} = \dfrac{147/40}{1/6} = \dfrac{6(147)}{40} = \dfrac{441} {20} \, \text{°}\text{C} \nonumber \].

  Упражнение \(\PageIndex{6}\)

  Найдите среднее значение функции \(f(x,y,z) = xyz\) по кубу со стороной 4 единицы в первом октанте с одной вершина в начале координат и ребра параллельны осям координат.

  Подсказка

  Выполните действия, описанные в предыдущем примере.

  Ответить

  \(f_{ср.} = 8\)

  ---

  Эта страница под названием 15.4: Тройные интегралы распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Странгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или Страница

     Автор

     ОпенСтакс

     Лицензия

     CC BY-NC-SA

     Версия лицензии

     4,0

     Программа OER или Publisher

     ОпенСтакс

     Показать страницу TOC

     нет

  2. Теги

     1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
     2. автор@Гилберт Странг
     3. Фубини там
     4. источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1
     5. тройной интеграл

  Введение в тройные интегралы — Math Insight

  Помните, как удвоить интегралы можно записать как повторные интегралы. Тройные интегралы — это, по сути, то же самое, что и двойные интегралы. (Мы просто добавим третье измерение.) Мы превратим тройные интегралы в (тройные) повторные интегралы.

  Как и в случае с двойными интегралами, единственная хитрость заключается в определении ограничения на повторные интегралы. (К сожалению, это сложнее рисовать в трех измерениях.)

  Перед обсуждением того, как настроить повторные интегралы, мы сначала обратимся к тому, как определить тройные интегралы так же, как мы определяем большинство наших интегралов: с суммой Римана.

  Определяется суммами Римана

  Пусть $f(x,y,z)$ — плотность трехмерного тела $\dlv$ в точке $(x,y,z)$ внутри тела. Мы хотите определить тройной интеграл от $f$ по $\dlv$ как сумму масса $\dlv$.

  Как и в случае двойных интегралов, мы определяем интеграл с помощью сумм Римана. Разбиваем сплошное $\dlv$ на маленькие коробочки, скажем размерами $\Delta х$, $\Delta y$, $\Delta z$. Если бы $\dlv$ оказался кубом, это измельчение может выглядеть примерно так.

  Объем каждой маленькой коробки \начать{выравнивать*} \Дельта V = \Дельта х \Дельта у \Дельта z. \конец{выравнивание*}

  Представьте себе, что коробки расположены слоями, каждый слой организованы в строки и столбцы. Затем мы можем проиндексировать блоки так, чтобы блок $ijk$ относится к блоку в $i$-й строке, $j$-м столбце и $k$-й слой.

  Для каждого блока мы выбираем точку в блоке, представляющую этот блок. Для ящик $ijk$, мы называем эту точку $(x_{ijk}, y_{ijk}, z_{ijk})$. Притворяться что плотность ящика $ijk$ постоянна, т. е. что плотность равна $f(x_{ijk}, y_{ijk}, z_{ijk})$ везде в этом поле. масса ящика $ijk$ равна его плотности, умноженной на объем: \начать{выравнивать*} f(x_{ijk}, y_{ijk}, z_{ijk}) \Delta V. \конец{выравнивание*}

  Суммируем эти приблизительные массы, чтобы оценить общую массу твердого тела. $\длв$. Мы получаем сумма Римана \начать{выравнивать*} \sum_{ijk} f(x_{ijk}, y_{ijk}, z_{ijk})\Delta V, \конец{выравнивание*} где сумма по всем маленьким ящикам.

  Пусть $\Delta x \to 0$, $\Delta y \to 0$ и $\Delta z \to 0$ (и пусть количество коробочек стремится к бесконечности). Сумма Римана приближается к тройному интегралу по твердому телу $\dlv$, \начать{выравнивать*} \iiint_\dlv f\, dV = \lim_{\Delta x, \Delta y, \Delta z \to 0} \sum_{ijk} f(x_{ijk}, y_{ijk}, z_{ijk}) \Delta V, \конец{выравнивание*} в предположении непрерывности $f$. Тройной интеграл — это реальная масса $\dlv$. 9б f(x,y,z) dx \right ) dy \right) dz. \конец{выравнивание*} Этот порядок интегрирования соответствует определенному способу упорядочения членов в сумме Римана: сначала мы суммируем по строкам $i$, затем суммируем по столбцам $j$ и наконец, суммируем по слоям $k$.

  Как и в случае с двойными интегралами, другие порядки интегрирования возможный. q f(x,y,z) dz \right ) dx \right) dy \конец{выравнивание*} 9д f(x,y,z) dz\, dx\, dy. \конец{выравнивание*}

  Повторный интеграл прост, когда тело $\dlv$ является прямоугольным твердый (как куб, но где все ребра не обязательно одинаковы) длина). Для более сложных форм нахождение пределов интеграция может быть сложной.

  В качестве первого шага просто запомните эти правила, которые аналогичны правилам мы имели для ограничений на двукратные повторные интегралы.

  1. Внешние пределы должны быть постоянными. Они не могут зависеть ни от чего переменных. 91 f(x,y,z) dx \, dy \, dz.}}} \конец{выравнивание*} Вы видите, почему? Внешние пределы интеграла зависят как от $x$, так и от $y$ (но $y$ не определен, пока вы не войдете внутрь среднего интеграла, а $x$ не определено, пока вы не войдете внутрь внутреннего интеграла). А также середина интегральные пределы зависят от $x$.

     Сложной частью тройных интегралов является определение пределов интегрирования (или границ).

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Геометрия Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки одной из основных геометрических фигур – прямоугольника. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его площадь и периметр.

• Определение прямоугольника
• Свойства прямоугольника
  • Свойство 1
  • Свойство 2
  • Свойство 3
  • Свойство 4
  • Свойство 5
  • Свойство 6
• Признаки прямоугольника
• Формулы

Определение прямоугольника

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90° (т. е. являются прямыми).

∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ADC = 90°

Прямоугольник состоит из:

• длины – более длинная пара сторон. Обычно обозначаются латинской буквой, например, a;
• ширины – более короткая пара сторон. Чаще всего обозначаются как b.

Сам прямоугольник обычно записывается путем перечисления его вершин, например, ABCD в нашем случае.

Примечание: Прямоугольник является разновидностью параллелограмма.

Свойства прямоугольника

Свойство 1

Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны и равны.

• AD = BC = a, AD || BC
• AB = CD = b, AB || CD

Свойство 2

Длина и ширина прямоугольника одновременно являются его высотами, т.к. они взаимно перпендикулярны.

• a – это высота h₁, проведенная к стороне b
• b – это высота h₂, проведенная к стороне a

Свойство 3

Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб.

Свойство 4

Квадрат диагонали (d) прямоугольника равняется сумме квадратов его смежных сторон.

d² = a² + b²

Это следует из теоремы Пифагора, которую можно применить к любому из прямоугольных треугольников, которые образуются в результате деления диагональю прямоугольника.

Свойство 5

Диагонали прямоугольника равны, и в точке пересечения делятся пополам.

• AC = BD = d
• AE = EC = BE = ED

Свойство 6

Около любого прямоугольника можно описать окружность, радиус (R) которой равен половине диагонали этого прямоугольника.

Следовательно, диаметр окружности равен полной длине диагонали прямоугольника.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если верно одно из следующих утверждений:

• Его диагонали равны.
• Все его углы равны.
• Если квадрат диагонали равен сумме квадратов его смежных сторон.

Формулы

1. Площадь прямоугольника (S):

S = a ⋅ b

2. Периметр прямоугольника (P):

P = a + a + b + b = 2a + 2b

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Прямоугольник, свойства, признаки и формулы

Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.

Поделиться в:

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник (понятие, определение)

Видеоурок “Прямоугольник“

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Формулы прямоугольника

Прямоугольник (понятие, определение):

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны между собой и все четыре угла равны между собой и каждый из них составляет 90 градусов.

Рис. 1. Прямоугольник

В свою очередь четырёхугольник (греч. τετραγωνον) – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.

@ https://youtu.be/_EVDcbOydAI

Свойства прямоугольника:

1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.

Рис. 2. Прямоугольник

AB || CD,   BC || AD

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

Рис. 3. Прямоугольник

AB = CD,  BC = AD

3. Стороны прямоугольника являются его высотами.

4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.

Рис. 4. Прямоугольник

AB ┴ BC,   BC ┴ CD,   CD ┴ AD,   AD ┴ AB

5. Каждый угол прямоугольника прямой и равен 90 градусам. Сумма всех углов прямоугольника составляет 360 градусов.

Рис. 5. Прямоугольник

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°,

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника равны.

Рис. 6. Прямоугольник

AC = BD

7. Каждая диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рис. 7. Прямоугольник

△ABD = △BCD, △ABC = △ACD

8. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (что вытекает из теоремы Пифагора).                                   

Рис. 8. Прямоугольник

AC² ​= AD​²​​+ CD​²

9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

Рис. 9. Прямоугольник

AO = BO = CO = DO = АС / 2 = BD / 2

10. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.

Рис. 10. Прямоугольник

АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника

11. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и является центром описанной окружности.

12. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если все его стороны равны, т. е. он является квадратом.

Рис. 11. Квадрат

AВ = ВC = AD = CD

Признаки прямоугольника:

– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;

– если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то он (параллелограмм) является прямоугольником;

– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником. 

Формулы прямоугольника:

Пусть a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, d – диагональ и диаметр описанной окружности прямоугольника, R – радиус описанной окружности прямоугольника, P – периметр прямоугольника, S – площадь прямоугольника.

Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):

,

,

,

. 

Формула диагонали прямоугольника:

,              

d = 2R.

Формулы периметра прямоугольника:

P = 2a + 2b,

P = 2(a + b). 

Формулы площади прямоугольника:

S = a · b. 

Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:

.

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Видео https://youtu.be/_EVDcbOydAI

Коэффициент востребованности 4 838

формул, что такое прямоугольник? Определение, примеры

Прямоугольник — это четырехугольник, в котором все углы равны, а противоположные стороны равны и параллельны. Вокруг нас много прямоугольных объектов. Каждая прямоугольная форма характеризуется двумя размерами: длиной и шириной. Более длинная сторона прямоугольника известна как длина, а более короткая сторона известна как ширина. В этой главе мы узнаем о форме прямоугольника и ее свойствах.

Что такое прямоугольник?

Прямоугольник — это замкнутая двумерная фигура с четырьмя сторонами. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны друг другу, а все углы прямоугольника равны 90°. Посмотрите на прямоугольник, приведенный ниже, чтобы увидеть его форму, стороны и углы.

Свойства прямоугольника

Прямоугольник – это замкнутая фигура, имеющая четыре стороны и угол, образованный смежными сторонами, равен 90°. Прямоугольник может иметь широкий спектр свойств. Некоторые из важных свойств прямоугольника приведены ниже.

• Прямоугольник — это четырехугольник.
• Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны друг другу.
• Внутренний угол прямоугольника при каждой вершине равен 90°.
• Сумма всех внутренних углов равна 360°.
• Диагонали делят друг друга пополам.
• Длины диагоналей равны.
• Длину диагоналей можно получить с помощью теоремы Пифагора. Длина диагонали со сторонами a и b равна, диагональ = √( a ² + b ² ).
• Поскольку стороны прямоугольника параллельны, его также называют параллелограммом.
• Все прямоугольники являются параллелограммами, но не все параллелограммы являются прямоугольниками.

Диагональ прямоугольника

Диагональ прямоугольника — это отрезок, соединяющий любые две его несмежные вершины. В следующем прямоугольнике AC и BD — диагонали, имеющие одинаковую длину. Диагональ делит прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника, в которых диагональ образует гипотенузу, а две смежные стороны прямоугольника образуют две другие стороны треугольника.

Формула диагонали прямоугольника

Формула диагонали прямоугольника выводится с помощью теоремы Пифагора. Следуя приведенному выше рисунку, рассмотрим прямоугольник длины l и ширины w. Пусть длина каждой диагонали равна «d». Применяя теорему Пифагора к треугольнику ABD, d ² = l ² + w ² . Извлекая квадратный корень с обеих сторон, √(d ² ) = √(l ² + w ² ). Таким образом, формула диагонали прямоугольника равна диагонали (d): √(l² + w²) и, таким образом, диагонали прямоугольника можно вычислить, когда длина и ширина прямоугольника известны.

Диагональ прямоугольника (d) = √(l² + w²)

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника — это количество единичных квадратов, которые могут поместиться в прямоугольник. Другими словами, пространство, занимаемое прямоугольником, является площадью прямоугольника. Некоторыми примерами прямоугольных форм являются плоские поверхности мониторов ноутбуков, классных досок, холста для рисования и т. Д. Мы можем использовать формулу площади прямоугольника, чтобы найти пространство, занимаемое этими объектами. Например, давайте рассмотрим прямоугольник длиной 4 дюйма и шириной 3 дюйма. Нарисуем единичные квадраты внутри прямоугольника. Каждый единичный квадрат представляет собой квадрат длиной 1 дюйм. Теперь подсчитайте количество единичных квадратов на рисунке ниже. Сколько квадратов вы можете наблюдать? Всего 12 квадратов. Мы уже знаем, что площадь измеряется в квадратных единицах. Поскольку единица измерения этого прямоугольника дана в дюймах, площадь измеряется и записывается в квадратных дюймах. Таким образом, Площадь прямоугольника = 12 квадратных дюймов. Таким образом, площадь прямоугольника можно вычислить, зная его стороны (длину и ширину).

Формула площади прямоугольника

Формула площади прямоугольника , длина и ширина которого равны «l» и «w» соответственно, является произведением его длины и ширины, то есть:

Площадь прямоугольника = (д × ш)

Периметр прямоугольника

Периметр прямоугольника — это длина всей границы прямоугольника. Его можно принять как сумму общей меры длины и ширины прямоугольника, и он выражается в линейных единицах, таких как сантиметры, дюймы и так далее. Например, если вам нужно украсить рамку вашего прямоугольного блокнота, вы можете легко рассчитать, сколько ленты вам понадобится, найдя периметр, или если вам нужно поставить забор вокруг вашего сада, периметр сада даст вам точную длину провода, который вам понадобится. Формула, используемая для вычисления периметра прямоугольника, объясняется ниже.

Формула периметра прямоугольника

Формула для периметра ‘P’ прямоугольника, длина и ширина которого равны ‘l’ и ‘w’ соответственно, равна 2(l + w).

Формула периметра прямоугольника = 2 (длина + ширина)

Типы прямоугольников

Четырехугольник, у которого противоположные стороны равны, а смежные стороны пересекаются под углом 90°, называется прямоугольником. У прямоугольника две равные диагонали. Длина диагоналей рассчитывается с использованием длины и ширины. Есть два типа прямоугольников:

• Квадрат
• Золотой прямоугольник

Квадрат

Квадрат представляет собой замкнутую двумерную фигуру с четырьмя равными сторонами и четырьмя равными углами. Это тип прямоугольника, у которого все четыре стороны равны. Внутренний угол в каждой вершине равен 90º, что соответствует определению прямоугольника. Обратите внимание на приведенный ниже квадрат, который соответствует всем свойствам прямоугольника.

Золотой прямоугольник

Золотой прямоугольник — это прямоугольник, отношение длины к ширине которого аналогично золотому сечению, 1: (1+⎷5)/2. Его стороны определены по золотому сечению, то есть 1:1,618. Например, если ширина составляет около 1 фута, тогда длина будет равна 1,168 фута.

☛ Похожие статьи

• Свойства прямоугольника
• Разница между квадратом и прямоугольником
• Является ли квадрат прямоугольником?

Примеры свойств прямоугольника

1. Пример 1: Джордж имеет прямоугольную фоторамку длиной 6 дюймов и шириной 3 дюйма. Поможешь Джорджу найти его площадь?

   Решение:

   Мы знаем формулу для вычисления площади прямоугольника. Площадь прямоугольника = (длина × ширина). Таким образом, площадь прямоугольной рамки = 6 × 3 = 18 квадратных дюймов

   Следовательно, площадь фоторамки = 18 квадратных дюймов

2. Пример 2: Эльза хочет построить прямоугольный забор для своего сада. Периметр забора 30 метров. Длина забора 10 футов. Поможешь Эльзе найти ширину забора?

   Решение:

   Мы знаем, что формула для вычисления периметра прямоугольника: Периметр прямоугольника = 2 (длина + ширина). У нас есть периметр = 30 футов и длина = 10 футов, Итак, давайте найдем ширину, используя формулу периметра. Подставим известные значения в формулу Периметр прямоугольника = 2 (длина + ширина), 30 = 2 (10 + ширина). Решая ее дальше, получаем, 10 + ширина = 15, а ширина = 5 единиц

   Следовательно, ширина забора = 5 футов

3. Пример 3: Укажите верно или неверно:

   а. ) Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны друг другу.

   б.) Длина диагоналей может быть получена с помощью теоремы Пифагора.

   в.) Все параллелограммы являются прямоугольниками.

   Решение:

   а.) Верно, противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны друг другу.

   б.) Правда, длину диагоналей можно получить по теореме Пифагора.

   c.) Неверно, все прямоугольники являются параллелограммами, но не все параллелограммы являются прямоугольниками.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по прямоугольнику

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о прямоугольнике

Что такое прямоугольник в геометрии?

Прямоугольник — это двумерная фигура (2D-форма), у которой противоположные стороны параллельны и равны друг другу, а все четыре угла прямые. Меньшая сторона прямоугольника называется его шириной (шириной), а длинная сторона – длиной. Одной из самых распространенных геометрических фигур, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, является прямоугольник.

☛ Читайте также

• 3D фигуры
• Геометрические фигуры

Как найти длину прямоугольника?

Длину прямоугольника можно вычислить, если известны периметр и ширина. Например, если периметр прямоугольника равен 32 единицам, а его ширина равна 4 единицам, мы можем использовать формулу периметра, чтобы получить длину. Периметр прямоугольника = 2 (l + w). Подставим известные значения в формулу, 32 = 2 (длина + 4). Решив это, мы получим длину + 4 = 16, то есть длину = 12 единиц. Точно так же, если площадь прямоугольника и ширина известны, длину можно рассчитать, используя формулу площади прямоугольника и подставив известные значения.

Как найти ширину прямоугольника?

Ширину прямоугольника можно вычислить, если известны его площадь и длина. Например, если площадь прямоугольника составляет 48 единиц, а его длина — 12 единиц, мы можем использовать формулу площади, чтобы получить ширину. Площадь прямоугольника = l × w. Подставим известные значения в формулу, 48 = 12 × ширина. Решив это, мы получим ширину = 48/12, то есть ширину = 4 единицы. Точно так же, если периметр прямоугольника и длина известны, ширину можно рассчитать, используя формулу для периметра прямоугольника и подставив известные значения.

Как найти диагональ прямоугольника?

Длину диагонали прямоугольника можно вычислить, если известны длина и ширина. Поскольку диагональ прямоугольника образует со своими сторонами прямоугольный треугольник, диагональ становится гипотенузой, и ее значение можно вычислить с помощью теоремы Пифагора. Например, если длина прямоугольника равна 4 единицам, а ширина равна 3 единицам, мы можем найти длину диагонали, используя формулу, диагональ (d) = √ (л² + ш²). Итак, подставим в него значение длины и ширины. Диагональ (d) = √ (l² + w²) = √ (4² + 3²) = √ (16 + 9) = √ 25 = 5 единиц.

Почему прямоугольник не является правильным многоугольником?

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину и все углы имеют одинаковую величину. В прямоугольнике только противоположные стороны имеют одинаковую длину, следовательно, прямоугольник не является правильным многоугольником.

☛ Также проверьте:

• Типы полигонов
• Площадь полигонов

Какая формула площади прямоугольника?

Площадь прямоугольника — это площадь, занимаемая им. Площадь прямоугольника есть произведение его длины и ширины. Формула вычисления площади прямоугольника: Площадь = L × B; где (L) — длина, а (B) — ширина прямоугольника.

☛ Ознакомьтесь со списком формул для простых расчетов:

• Формулы периметра
• Объемные формулы
• Формулы площади поверхности
• Формулы измерения

Каковы свойства прямоугольника?

Основные свойства прямоугольника:

• Противоположные стороны параллельны и равны.
• Все углы равны 90°.
• Диагонали равны и делят друг друга пополам.

Площадь прямоугольника равна площади квадрата?

Нет, площадь квадрата не обязательно равна площади прямоугольника, потому что каждый квадрат является прямоугольником, но не все прямоугольники являются квадратами. Формула для вычисления площади прямоугольника: площадь прямоугольника = длина × ширина, а площадь квадрата = (сторона) ² .

Как найти периметр прямоугольника?

Периметр прямоугольника в два раза больше суммы его длины и ширины и выражается по формуле Периметр = 2 (Длина + Ширина). Он выражается в линейных единицах, таких как см, дюймы и т. д.

Как называется трехмерный прямоугольник?

Трехмерный прямоугольник называется прямоугольной призмой. Прямоугольная призма – это призма, основания которой также являются прямоугольниками. Всего у него 6 граней, из которых 3 пары одинаковых противоположных граней, т. е. в прямоугольной призме все противоположные грани одинаковы.

Как выглядит прямоугольник?

Прямоугольник выглядит как вытянутый квадрат, у которого 2 противоположные стороны равны и параллельны. Несколько распространенных примеров прямоугольников можно увидеть на экране ноутбука, ноутбука, мобильного телефона и так далее.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочий лист площади и периметра

Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника

Навигация по странице: Определение прямоугольника Основные свойства прямоугольника. Стороны прямоугольника Диагональ прямоугольника Периметр прямоугольника Площадь прямоугольника Описанная окружность прямоугольника (circumcircle) Угол между стороной и диагональю Угол между диагоналями

Определение.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и все углы прямые.

Прямоугольники отличаются только отношением длинной стороны к короткой, но четыре угла прямые, то есть 90 градусов.

Стороны прямоугольника — это обе его высоты.

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольник может быть параллелограммом, ромбом или квадратом, у которого все углы прямые.

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, т.е. равны:

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

3. Смежные стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

сумма всех углов прямоугольника равна 360 градусов:

6. Диагонали прямоугольника равны:

7 .Сумма квадратов двух диагоналей равна сумме квадратов сторон:

8. Каждая диагональ делит прямоугольник на две равные фигуры, а именно прямоугольный треугольник.

9. Диагонали прямоугольника пополам делят друг друга:

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника, а также центром описанной окружности (incenter).

11. Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусам:

13. В прямоугольнике с разные размеры сторон никогда не входят в вписанную окружность.

Стороны прямоугольника

Определение.

Длина прямоугольника называется длиной большей пары его сторон. шириной прямоугольника называется длина меньшей пары его сторон.

Формулы сторон прямоугольника A:

1. Формула сторон прямоугольника через диагональ и другую сторону прямоугольника:

2. Формула сторон прямоугольника через площадь и другую сторону прямоугольника:

3. Формула прямоугольника с точки зрения периметра и другой прямоугольной стороны: сторона: прямоугольник: сторона:

4. Formula of rectangle sides in terms диагонали и угла α:

5. Формула сторон прямоугольника через диагональ и угол β:

Диагональ прямоугольника

Определение.

Диагональ прямоугольника — это любой отрезок, соединяющий две противоположные вершины прямоугольника.

Формулы диагонали прямоугольника:

1. Формула диагонали прямоугольника через стороны прямоугольника (по теореме Пифагора):

2. Формула формулы Диагональ прямоугольника через квадрат и сторону прямоугольника:

3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и сторону прямоугольника:

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус вписанной окружности (внеокружности):

5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр вписанной окружности (внеокружности):

6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, примыкающего к диагонали и противоположной стороне угла:

8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадь прямоугольника

Периметр прямоугольника

Определение.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон прямоугольника.

Формулы периметра прямоугольника

1. Формула периметра прямоугольника через стороны прямоугольника:

2. Формула периметра прямоугольника через площадь и сторону прямоугольника:

4. Формула периметра прямоугольника через радиус описанной окружности (внеокружности) и сторону прямоугольника:

5. Формула описанного периметра прямоугольника через диаметр описанного прямоугольника окружность (внеокружность) и сторона прямоугольника:

Площадь прямоугольника

Определение.

Площадь прямоугольника пространство ограничено сторонами прямоугольника или периметром прямоугольника.

Формулы площади прямоугольника

1. Формула площади прямоугольника через стороны прямоугольника:

2. Формула площади прямоугольника через периметр и сторону прямоугольника:

3. Формула Площадь прямоугольника с точки зрения диагональной и прямоугольной стороны.

4. Формула площади прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и диагональю Прямоугольник:

5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности (внеокружности) и сторону прямоугольника: a ² = b√4R ² — b ²

6. Формула площади прямоугольника через диаметр вписанной окружности (внеокружности) и сторону прямоугольника:

Описанная окружность прямоугольника (circumcircle)

Определение.

Описанная окружность прямоугольника (circumcircle) Окружность, проходящая только через четыре вершины угла и имеющая центр на пересечении диагоналей прямоугольника.

Формулы радиуса прямоугольника:

1. Формула описанного радиуса прямоугольника через стороны прямоугольника:

3. Формула описанного радиуса прямоугольника через площадь и сторону прямоугольника:

4. Formula описанного радиуса прямоугольника через диагональ:

Угол между диагональю и стороной прямоугольника

Угол между диагональю и стороной прямоугольника формулы

1. Формула угла между диагональю и стороной прямоугольника через диагональ и сторону прямоугольника:

2. Formula of angle between the diagonal and rectangle сторону через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника

Угол между диагоналями прямоугольника формулы:

1. Формула угла между диагоналями прямоугольника через угол между диагональю и стороной прямоугольника:

2. Формула угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ прямоугольника:

Формулы геометрии Квадрат. Формулы и свойства квадрата Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника Параллелограмм. Формулы и свойства параллелограмма Ромб. Формулы и свойства ромба Круг, диск, сегмент, сектор. Формулы и свойства Эллипс. Формулы и свойства эллипса Цилиндр. Формулы и свойства цилиндра Конус.

Постановка задачи

АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИЙ

Кафедра

Автоматизированные системы обработки информации и управления

Курсовая робота на тему:

Астрахань – 2015

информационная часть:

СОДЕРЖАНИЕ содержание собирать в конце из заголовков

Введение

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнениемпервой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.

Данная работа раскрыла вопрос решения систем уравнений, а также определила, как на практике использовать знания из курса «Алгебра и геометрия» для решения задач различного типа. Множество прикладных и чисто математических задач приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений. Без преувеличения можно утверждать, что это одна из важнейших задач вычислительной математики. Значимость задачи породила целый ряд методов ее решения. Среди этих методов есть универсальные и специализированные. Методы отличаются друг от друга эффективностью, требованиями к объемам машинной памяти, закономерностями накопления ошибок в ходе расчетов.

Использование объектно ориентированного программирования Объектно-ориентированные программы — это не просто процедурные программы, переведенные на новый синтаксис. Они должны строится на новой философии разработки. Для них требуется новая стратегия программирования, которую часто бывает трудно освоить . Основная идея ООП: программа состоит из группы объектов, часто связанных между собой. В С++ объекты описываются при помощи нового типа данных class. Класс включает в себя набор переменных (данных) и операций (методов или функций-членов), которые действуют на эти переменные. Полученными объектами можно управлять при помощи сообщений. В ООП объекты включают в себя не только данные (данные-члены), но и методы (функции-члены) воздействия на эти данные. Эти две части в сочетании образуют функциональную единицу программы. Другими словами, объекты содержат данные и методы работы с этими данными. Ниже приведены три основных преимущества объектно-ориентированных программ по сравнению с эквивалентными программами, разработанными сверху вниз. Сопровождение программы. Программы проще читать и понимать, ООП позволяет управлять сложностью программы, оставляя видимыми программисту только существенные детали. Модификация программы (добавление или исключение возможностей). Вы можете часто делать дополнения или исключения в программе, например при работе с базой данных, просто добавляя и исключая объекты. Новые объекты могут наследовать все свойства базовых объектов, необходимо только добавить или убрать отличающиеся свойства. Повторное использование. Можно сохранить грамотно разработанный объект в наборе полезных программ и затем вставить его в новую программу с небольшими изменениями или без изменений. ООП полностью принадлежит к миру С++, поскольку в С нет основного ядра- абстрактного типа данных class Поэтому переписать процедурно-ориентированную программу как объектно-ориентированную гораздо сложнее, чем просто подставить вместо одного ключевого слова другое. ООП представляет собой технику программирования, которая позволяет рассматривать основные идеи как множество объектов. Используя объекты, можно представить задачи, которые необходимо выполнить, их взаимодействие и любые заданные условия, которые должны быть соблюдены. Структура данных часто образует основы объектов; таким образом в С или С++ тип struct может образовывать элементарный объект.

Связь с объектом можно организовать при помощи сообщений. Использование сообщений похоже на вызов функций в процедурно-ориентированной программе. Когда объект получает сообщение, вступают в действие методы, содержащиеся в объекте. Методы (их иногда называют фунциями-членами) аналогичны функциям процедурно-ориентированного программирования. Тем не менее метод является частью объекта, а не чем-то отдельным, как было бы в процедурном аналоге.

С++ -язык предметно-ориентированного программирования. Язык С++ поддерживает процедурную и объектно-ориентированную парадигмы программирования.

Объектно-ориентированное программирование — это новый способ подхода к программированию. Такое программирование, взяв лучшие черты структурного программирования, дополняет его новыми идеями, которые переводят в новое качество подход к созданию программ.

Метод Гаусса при решении системы уравнений можно разделить на два этапа: прямой и обратный ход. Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода появляется возможность вычислить неизвестную переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее помощью из предпоследнего уравнения находим следующую неизвестную переменную и так далее. Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Пусть дана система:

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы. Последовательно умножая первое уравнение на и складывая с i-м уравнение, исключим из всех уравнений кроме первого. Получим систему

Аналогичным образом из полученной системы исключим . Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида

Описанная процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Заметим, что ее выполнение было возможно при условии, что все , не равны нулю.

Выполняя последовательные подстановки в последней системе, (начиная с последнего уравнения) можно получить все значения неизвестных.

Метод Гаусса в математическом варианте

1. ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля;

2. используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент a_k1/a₁₁ .

3. переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.

Программистский вариант метода Гаусса

1. индексы строк и столбцов матрицы начинаются с нуля, а не с единицы;

2. недостаточно найти просто ненулевой элемент в столбце. В программировании все действия с вещественными числами производятся приближенно, поэтому можно считать, что точного равенства вещественных чисел вообще не бывает. Некоторые компиляторы даже выдают предупреждения на каждую операцию проверки равенства вещественных чисел. Поэтому вместо проверки на равенство нулю числа a_ij следует сравнивать его абсолютную величину _ij‌ с очень маленьким числом ε (например, ε = 0. 00000001). Если _ij‌ =< ε, то следует считать элемент a_ij нулевым;

3. при обнулении элементов j-го столбца, начиная со строки i + 1, мы к k-й строке, где k > i, прибавляем i-ю строку, умноженную на коэффициент

r = -a_kj/a_ij .

Такая схема работает нормально только тогда, когда коэффициент r по абсолютной величине не превосходит единицы. В противном случае, ошибки округления умножаются на большой коэффициент и, таким образом, экспоненциально растут. Математики называют это явление неустойчивостью вычислительной схемы. Если вычислительная схема неустойчива, то полученные с ее помощью результаты не имеют никакого отношения к исходной задаче. В нашем случае схема устойчива, когда коэффициент r = -a_kj/a_ij не превосходит по модулю единицы. Для этого должно выполняться неравенство Отсюда следует, что при поиске разрешающего элемента в j-м столбце необходимо найти не первый попавшийся ненулевой элемент, а максимальный по абсолютной величине. Если он по модулю не превосходит ε, то считаем, что все элементы столбца нулевые; иначе меняем местами строки, ставя его на вершину столбца, и затем обнуляем столбец элементарными преобразованиями второго рода.

Основная идея метода Гаусса- привести матрицу систему к диагональному виду, то есть все элементы главной диагонали –нули. Для приведения матрицы к такому виду, мы выбираем самую верхнюю строку матрицы, и вычитаем её из всех остальных строк, умножив её для каждой строки на некий коэффициент, так, что самый левый столбец ниже главной диагонали заполнен нулями. Вычитаемая с коэффициентом строка называется текущей строкой. Выбирая текущую строку вначале верхнюю, а потом всё ниже и ниже, мы добьёмся, что все элементы ниже главной диагонали будет равны нулю. Эту часть метода- обработка строк по текущей строке и предстоит распараллеливать.

Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ≠ 0, затем: 1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т. д. Получим:

,

где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j

i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

,

откуда получаем:x₃ = 2;x₂ = 5;x₁= 1.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ метод Гаусса | Презентация к уроку:

Слайд 1

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ метод Гаусса

Слайд 2

Цели и задачи: Цель: Научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Задачи: Изучить решение СЛАУ методом Гаусса Рассмотреть возможные варианты решений системы

Слайд 3

Содержание Правило Крамера Метод Гаусса Матричный способ решения СЛАУ

Слайд 4

Введение Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может: 1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Слайд 5

Метод Гаусса Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу!

Слайд 6

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в последовательном исключении во втором уравнении первой неизвестной, в третьем уравнении первой и второй неизвестных и т. д. Пока не получится система треугольного или трапецеидального вида. Метод удобнее применять на расширенной матрице

Слайд 7

Пример Решить методом Гаусса систему уравнений : Запишем расширенную матрицу системы:

Слайд 8

Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица . Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Слайд 9

Теперь нужно получить нули вот на этих местах: Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2 :

Слайд 10

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3 .

Слайд 11

Не нужно считать всё сразу и одновременно . Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО :

Слайд 12

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»: В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

Слайд 13

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2 : В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Слайд 14

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх. В третьем уравнении у нас уже готовый результат: z=4 Смотрим на второе уравнение: y-z=1 . Y-4=1 Y=5 Значение «зет» уже известно, таким образом: X+2*5-4=9 X=3 Ответ: (3;5;4)

Слайд 15

Выводы: Метод Гаусса универсальный, позволяет решать любую СЛАУ. Слау может иметь единственное решение, если расширенная матрица преобразуется в треугольную, причем имеет уравнение вида а* х=в . Слау может иметь бесконечно много решений, если, если матрица преобразуется в трапецеидальный вид. Слау не имеет решения, если расширенная матрица преобразуется в треугольную, причем имеет уравнение вида 0* х=а

анаграмм SLOUGH — слово

Решайте анаграммы, расшифровывайте слова, исследуйте и многое другое. Идеально подходит для словесных игр, включая Words With Friends, Scrabble, Quiddler и кроссворды.

Введите сюда слова или буквы

Анаграммы и слова с использованием букв слова «slough»

Слова из 6 букв, которые можно составить из SLOUGH

ghoulsloughsslough

Слова из 5 букв, которые можно составить из SLOUGH

ghoulholusloughsough

Слова из 4 букв, которые можно составить из SLOUGH0009

Hugogoshgulsgushhogsholshugslogslugslushshogshulslogslugsoulsughughs

3 Letter Words You can Make With SLOUGH

GusLosLougulhoghugloglugohssolsouugh

2 Letter Words You can Make With SLOUGH

GULUgoholoohossouhus

Direct Anagrams and Compound Word Anagrams of slough

• slough
• упырей
• смех
• ГУ отв.
• ЛУ черт возьми
• ЛУ свиней
• ЛУ шог
• Лос объятия
• Потеря
• будь пышным
• иди шул
• черт возьми LU
• гул охс
• гуль хо
• гуль ой
• фонтанировать вот
• хо гулс
• проушины
• хо слизняк
• свиней LU
• отверстие ГУ
• обнять Лос
• обнять соль
• объятия
• вот фонтан
• Ло обнимает
• ло юг
• ло
• лог э
• наконечник ohs
• проушины хо
• проушины о
• пышная иди
• ой гул
• проушины
• о слизняк
• ох гул
• проушина
• шог LU
• сходить
• угар
• слизень хо
• слизняк о
• соль объятия
• соль ух
• сугх ло
• тьфу Лос
• тьфу соль
• тьма
• журналы
• ух

Из блога

Как решить криптограмму за 8 шагов

Опубликовано 1 неделю назад6 мин чтения

Испытываете ли вы чувство удовлетворения каждый раз, когда решаете головоломную головоломку? Если вы это сделаете, то вам обязательно понравятся криптограммы и вызовы, которые они приносят. ..

Читать далее →

Как решить анаграмму за 6 шагов

Опубликовано 2 недели назад4 минуты чтения

Если вы такой человек, который может мгновенно решить анаграмму в течение первых нескольких секунд после ее просмотра, когда все буквы волшебным образом закручиваются и плавают на месте, как будто вы Шерлок Холмс, тогда, пожалуйста, знайте, что мы все вам завидуем…

Читать далее →

Лучшие приложения для тренировки мозга 2021 года

Опубликовано 3 недели назад7 мин чтения

Никогда потребность в тренировке мозга не была такой большой, как сегодня. Большинство из нас провели 2020 год дома во время изоляции, подростки смотрели в свои экраны, и многие из нас, как следствие, страдали от тумана в голове. Итак, что может быть лучше для улучшения здоровья нашего мозга, чем попробовать некоторые методы тренировки мозга…

Читать далее →

сообщить об этом объявлении

Скоро.

Раз в неделю мы будем присылать на ваш почтовый ящик бесплатную головоломку.

Ваш адрес электронной почты

Топь – определение, значение и синонимы

топь; шелушение;

Когда вы отвалите, избавитесь от грубого. Для шелушения является снятие внешнего слоя, как спиливание сухой кожи с ног. Вы также можете избавиться от эмоций, таких как хеби-джиби, которые вы получаете, думая об омертвевшей коже на ногах людей. Фу.

Slough рифмуется со словом «грубый». Не похоже, что это даст вам прекрасный результат, но когда вы сбрасываете старую кожу, появляется новая кожа. Змеи сбрасывают или сбрасывают кожу по мере роста и избавления от неприглядных клеток, и люди делают то же самое, хотя, к счастью, мы не сбрасываем одну большую кожу, как это делают змеи. Может быть, лучше сбросить этот мысленный образ с более приятным.

Определения оползня

1. глагол

   сбросить волосы, кожу, рога или перья

   синонимы: линять, линять, линять, сбрасывать

2. существительное

   любое внешнее покрытие, которое можно сбросить или сбросить (например, сброшенная кожа змеи)

3. существительное

   некротическая ткань; омертвевшая или гангренозная часть или масса

   синонимы: гангрена, сфацелюс

4. существительное

   яма, заполненная грязью

5. существительное

   стоячее болото (особенно в составе протоки)

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: Эти примеры предложений появляются в различных источниках новостей и книгах, чтобы отразить использование слова «неглубокий» .

Круги Эйлера в информатике

Сегодня разберём задачи на круги Эйлера в информатике.

Леонард Эйлер — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, сыгравший огромную роль в развитии этих наук.

Задача (Простая)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Пушкин & Лермонтов? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

Видим, что по запросу «Пушкин» в поисковике нашлось 3500 страниц. По запросу «Лермонтов» — 2000 страниц.

Запрос «Пушкин | Лермонтов» обозначает, что поисковик выдаст страницы, где есть слова про «Пушкина», и страницы, где есть слова про «Лермонтова», а так же могут быть страницы, где написано и про «Пушкина», и про «Лермонтова» одновременно.

Если сложить страницы, в которых написано про «Пушкина» и про «Лермонтова» получается 3500 + 2000 = 5500 страниц. Но почему же при запросе «Пушкин | Лермонтов» получается меньше страниц, всего 4500 ?

Этот факт обозначает то, что когда мы подсчитывали страницы про «Пушкина» (3500 страниц), мы подсчитали и те страницы, где было написано и про «Пушкина», и про «Лермонтова» одновременно.

Тоже самое и для количества страниц, где написано про «Лермонтова» (2000 страниц). В этом числе находятся и те, в которых одновременно упоминается и про «Пушкина», и про «Лермонтова».

В вопросе спрашивается, сколько страниц будет по запросу «Пушкин & Лермонтов«. Это обозначает, что как раз нужно найти количество страниц, где будет одновременно написано и про «Пушкина», и про «Лермонтова».

Отсюда получается:

Это и будет ответ!

Теперь решим эту задачу с помощью Кругов Эйлера!

У нас всего есть две сущности: «Пушкин» и «Лермонтов». Поэтому рисуем два пересекающихся круга, желательно разными цветами.

Объединение двух кругов в общую фигуру (показано фиолетовым цветом), показывает операцию «Пушкин | Лермонтов». Эта операция всегда стремится увеличить площадь, объединить площади других фигур!

Обратите внимание, что круги пересекаются, из-за этого сумма площадей двух кругов по отдельности (3500 + 2000 = 5500) больше чем у фигуры, которая характеризует логическую операцию «ИЛИ» «Пушкин | Лермонтов» (4500).

Нужно найти площадь фигуры Пушкин & Лермонтов, которая закрашена золотистым цветом. Данная логическая операция «И» стремится уменьшить площадь. Она обозначает общую площадь других фигур.

Найдём сначала заштрихованную часть синего круга. Она равна: площадь фиолетовой фигуры (4500) минус площадь красного круга (3500).

Теперь легко найти площадь золотистой фигуры. Для этого нужно от площади синего круга вычесть площадь заштрихованной части. Получается:

Получается, что по запросу Пушкин & Лермонтов будет найдено 1000 страниц.

Ответ: 1000

Рассмотрим ещё одну не сложную разминочную задачу.

Задача (Разминочная)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Ананас?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

У нас две сущности: Кокос и Ананас. Нарисуем два круга Эйлера, которые пересекаются между собой. Так же отменим все имеющееся данные.

Найдём заштрихованную часть красного круга.

Весь красный круг 2100. Золотистая область равна 900. Заштрихованная часть равна 2100 — 900 = 1200.

После того, как нашли заштрихованную часть (такой полумесяц), можно найти уже площадь синего круга. Для этого нужно от площади фиолетовой фигуры отнять площадь заштрихованной части!

Ответ: 2200

Разберём классическую задачу из информатики по кругам Эйлера.

Задача (Классическая)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тыс. ) будет найдено по запросу Космос & Звезда?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

В этой задаче у нас три сущности: Космос, Планета, Звезда. Поэтому рисуем три круга Эйлера, которые пересекаются между собой.

Могут ли круги не пересекаться ? Могут! Если мы докажем, что площади по отдельности двух кругов в сумме дают площадь фигуры, которая получается при применении операции логического «ИЛИ».

Теперь отметим на нашем рисунке запрос (Космос & Звезда) | (Космос & Планета).

Сначала отменим для себя то, что находится в скобках. Первое Космос & Звезда

Теперь отметим вторую скобку Космос & Планета.

В выражении (Космос & Звезда) | (Космос & Планета) две скобки соединяет знак логического «ИЛИ». Значит, эти две области нужно объединить! Область (Космос & Звезда) | (Космос & Планета) отмечена фиолетовым цветом!

Отметим Космос & Планета ещё раз, т.к. для этого выражения известно количество страниц.

Площадь фигуры для выражения Космос & Планета & Звезда будет очень маленькая. Это общая часть для всех трёх кругов. Отметим её оранжевым цветом! Каждая точка этой фигуры должна одновременно быть в трёх кругах!

Найти нужно Космос & Звезда. Отменим на рисунке чёрным цветом ту область, которую нужно найти. Мы эту область уже отмечали салатовым цветом.

Теперь у нас есть все компоненты, чтобы решить эту задачу.

Найдём заштрихованную область.

Вся область Космос & Планета равна 600. А заштрихованная часть равна: область Космос & Планета (600) минус оранжевая область (50).

Тогда черная область легко находится: фиолетовая область (1100) минус заштрихованная область (550).

Ответ: 550

Закрепляем материал по задачам на Круги Эйлера.

Задача (На закрепление)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Море & Пляж & Солнце? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

В задаче используются три сущности: Море, Пляж, Солнце. Поэтому нарисуем три пересекающихся круга Эйлера.

Отметим все области для которых нам даны количество страниц.

В начале отметим Море & (Пляж | Солнце). Для начало нарисуем область, которая в скобках (Пляж | Солнце)

Теперь нужно очертить общую часть фиолетовой области и зелёного круга и получится Море & (Пляж | Солнце). Отметим оранжевым цветом.

Теперь отметим Море & Пляж.

Теперь отметим Море & Солнце.

Найти нужно ту область, которая получается в результате выделения общей части для всех трёх кругов! Обозначим её чёрным цветом!

Найдём заштрихованную область!

Чтобы найти искомую чёрную область, нужно из Море & Пляж (355) вычесть заштрихованную область (175).

Ответ: 180

Решим ещё одну тренировочную задачу из информатики на Круги Эйлера.

Задача (с 4 сущностями)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

Нужно нарисовать 4 пересекающихся круга. Сначала нарисуем три круга, как обычно, оставив немного места для четвёртого круга.

Четвёртый круг для Ирландии нужно нарисовать так, чтобы он проходил через область (Англия & Уэльс & Шотландия). Это нам подсказывает сама таблица, где есть количество страниц для Англия & Уэльс & Шотландия, а так же для Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия.

Нужно отметить на рисунке Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия). Это будем делать, как всегда поэтапно.

Область Уэльс & Шотландия выглядит так:

Добавим к этой области Ирландию через логическое «ИЛИ». Получается область (Уэльс & Шотландия | Ирландия). Произошло объединение серой области и жёлтого круга!

Теперь нужно сделать операцию логического «И» получившийся области с «Англией». Тогда область Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия) примет вид:

Т.е. это общее между предыдущем серым контуром и красным кругом!

Отметим Англия & Уэльс & Шотландия — это общая территория трёх кругов: Красного, Синего и Зелёного. Отмечено оранжевым цветом.

Отметим Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия — это общая территория четырёх кругов. Область получается ещё меньше. Если взять точку в этой области, то мы будем находится сразу в четырёх кругах одновременно. Отмечено фиолетовым цветом.

Отметим то, что нужно найти Англия & Ирландия чёрным цветом.

Искомую чёрную область легко найти, если из серой области вычесть кусочек, окрашенный в бирюзовый цвет!

Найдём, сколько страниц приходится на бирюзовый кусочек:

Найдём искомую чёрную область.

Это и будет ответ!

Ответ: 324.

Разберём задачу из реального экзамена по информатике, которая была в 2019 году в Москве! (Сейчас в 2021 задачи не встречаются на Круги Эйлера)

Задача (ЕГЭ по информатике, 2019, Москва)

В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашёл поисковый сервер по этим запросам в некоторым сегменте Интернета:

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу

Решение:

Видим, что у нас три поисковых разных слова, поэтому будет три разных круга Эйлера!

Так же видим, что логическое «И» между словами Корзина и Эклер даёт 0 страниц. Это значит, что эти круги не пересекаются! Так же круги бы не пересекались, если бы операция логического «ИЛИ» совпадала бы с суммой этих кругов.

Видим, что Суфле имеет с двумя кругами пересечения, а Корзина и Эклер не пересекаются.

Отметим всё, что нам дано в условии.

Жёлтым цветом отмечено Суфле | Корзина | Эклер . Объединение всех трёх кругов. Это то, что нужно найти.

Искомая жёлтая фигура складывается из заштрихованных областей и красного круга! Площадь красного круга мы знаем. Нужно найти площади заштрихованных частей.

Левая заштрихованная область находится просто:

Так же найдём площадь правой заштрихованной области:

Теперь можно найти искомую жёлтую область

Количество страниц (Суфле | Корзина | Эклер) =
= Красный круг (450) + лев. заштрих. область (310) + прав. заштрих. область (130) =
= 450 + 330 + 130 = 910

Задача решена, можно писать ответ.

Ответ: 910

Разберём ещё одну задачу из реального ЕГЭ уже 2020 года

Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва)

В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашёл поисковый сервер по этим запросам в некоторым сегменте Интернета:

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу

Решение:

Количество страниц при запросе Заря & Крейсер равно нулю. Значит, эти два круга не будут пересекаться.

Нарисуем все данные на рисунке.

Нужно найти для начала заштрихованную правую часть.

Левую заштрихованную область легко найти.

Тогда для правой заштрихованной области получается:

Тогда искомую область легко найти:

Ответ: 16

На этом всё! Надеюсь, вы теперь будете с удовольствием решать задачи по информатике с помощью Кругов Эйлера.

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

 Задача №1

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Торты?Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение задачи №1

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Торты │Пироги =  А+Б+В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б+В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300

Сектор А равен 4300, следовательно

Торты = А+Б = 4300+6500 = 10800

Задача №2

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Выпечка?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Решение задачи №2

Для решения задачи отобразим множества Пироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка =  А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти сектор В, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множество Пироженое.

Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А+Б+В-(А+Б) = В = 14200–9700 = 4500

Сектор В равен 4500, следовательно  Выпечка = Б + В = 4300+5100 = 9400

Задача №3
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение задачи №3

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4

Задача №4

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение задачи №4

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1

Задача №5В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение задачи №5

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K —  канарейки,

Щ – щеглы,

С – содержание,

Р – разведение.

Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.

Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу. 

Задачи для самостоятельного решения

Задача №6

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Задача №7

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Использованные материалы >>> 

Решение подобных задач  по информатике >>>

Ответы к задачам для самостоятельного решения

Кенигсбергские мосты.

«В целом в математике верно утверждение, что между математическим открытием и моментом, когда оно становится полезным, существует промежуток времени». — Джон фон Нейман (1903–1957)

Промежуток времени между математиком, пришедшим с идеей, и тем, кто впоследствии нашел применение этой идее, может быть долгим. Мы можем увидеть это, особенно когда смотрим на что-то вроде информатики, предмета, являющегося приложением математики. Например, Бертран Рассел был очень стар, прежде чем его теория типов, которую он разработал, когда ему было за тридцать, стала использоваться при разработке языков программирования. Прошло почти столетие, прежде чем идеи логики Джорджа Буля были применены к цифровой электронике.

Но в качестве примера действительно большого промежутка времени мы можем взять Теорию Графов, нечто фундаментальное для информатики, но впервые придуманное за двести лет до формального существования этого предмета. Чтобы увидеть этот пример зачаточной компьютерной науки в действии, нам придется вернуться в Пруссию восемнадцатого века.

Река Преголя протекает через центр Калининграда, образуя не только северную и южную стороны, но и два крупных острова внутри него. В восемнадцатом веке этот город был прусским и назывался Кенигсберг. В те дни между четырьмя массивами суши было семь мостов. Они были так прекрасны, что жители с удовольствием прогуливались по городу каждое воскресенье, следя за тем, чтобы пройти каждый мост. Когда они это делали, это была популярная игра, в которой они пытались выяснить маршрут, чтобы они могли пройти по каждому мосту, но только по одному разу.

Как бы долго ни существовала эта традиция, к 1730-м годам никто еще не смог проложить такой маршрут. Вероятно, было заманчиво заявить, что это невозможно после всех этих лет попыток, но как они могли доказать это? Интуитивное чувство или подозрение, каким бы сильным оно ни было, не является доказательством. В конце концов, есть много перестановок; может быть, они просто еще не нашли подходящего.

Проблема показалась мэру Кенигсберга достаточно важной, чтобы он убедил местного гения Леонарда Эйлера избавить всех от страданий. Эйлер был плодовитым математиком и занятым человеком, но что еще поделаешь, если мэр обращается к вам за помощью? Несомненно, со вздохом он отложил свои рукописи и сел решать пустяковую игру. Нам повезло, что он это сделал, потому что в процессе решения головоломки он заложил основы одной из самых важных концепций информатики: теории графов.

  title={Онлайн-проблема абстракции для диаграмм Эйлера},
  автор = {Дженнаро Кордаско, Росарио Де Кьяра и Эндрю Фиш},
  booktitle={ED@Диаграммы},
  год = {2012}
}