Автор: alexxlab

Синус и косинус

Я решил, что не будем слишком долго разжевывать теоретическую часть введения в тригонометрию так, как в любом случае мало кто ее будет читать и уж тем более маловероятно, что он там все поймет. Я считаю, что лучший способ изучения математики — это не зубрежка, а работа с конкретными примерами и чем больше тем лучше. Поэтому я решил опустить несколько скучных лекций и приступить сразу к главному.

Определение синуса и косинуса

Итак, в первую очередь, начнем с определения.

Во-первых построим числовую окружность и отметим на ней некоторые точки:

Если точка М числовой единичной окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа и обозначают , а ординату точки М называют синусом числа и обозначают .

Итак, судя по нашему рисунку мы видим, что

если , то

Отсюда следует, что

Вспомним, что каждая точка числовой окружности имеет в системе свои координаты, причем для точек:

• первой четверти:
• второй четверти
• третьей четверти:
• четвертой четверти:

Это нам с вами поможет составить таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям окружности:

В дальнейшем эту таблицу мы с вами продолжим, а также разберемся в каких случаях она применяется.

Основное тригонометрическое тождество

Надеюсь, все вы помните, что уравнение числовой окружности имеет вид:

Тем самым фактически мы можем получить важнейшее равенство, связывающее синус и косинус между собой, а именно:

В дальнейшем мы будем называть это равенство основным тригонометрическим тождеством. А если оно «основное», то знать его нужно всем обязательно, в отличие от большинства других формул тригонометрии.

Ну и последнее, что я хочу сказать по теории, это, конечно, таблицы значений синусов и косинусов, с которыми вы, наверное, уже сталкивались, если изучали курс геометрии.

Но для тех, у кого их нет, я выложу основные из значений:

1 часть таблицы (значения от 0 до 180º):

2 часть таблицы (значения до 360º):

С теорией покончено, давайте решим несколько примеров:

Решение уравнений и неравенств

ПРИМЕР 1 Вычислить и , если

а) ; б) ; в)

Решение

а) В первую очередь смотрим в таблицу значений синуса и косинуса и видим сразу, что такого значения t там нет, но, как вы должны знать, данная таблица составлена по числовой окружности, поэтому 0º = 360º. Т.е. все значения после будут повторяться. Остается лишь найти, в какой четверти находится .

Имеем,

Если, кому не понято, то вначале я неправильную дробь перевел в смешанное число, а дальше в принципе все понятно, если целая часть четная — то ее опускаем, т.к. будет (), а если нечетная — то в конце концов останется еще и его будем прибавлять к нашей обыкновенной дроби.

Отсюда следует, что числу  соответствует та же точка числовой окружности, что и .

Теперь заглянем в таблицу и видим, что

, а

б) Также переписываем неправильную дробь в виде смешанного числа:

;

-12 — четное число, поэтому забываем про него и значения смотрим по второму слагаемому —. В итоге у нас вышло отрицательное число, а значит, отсчитывать значения мы будет по часовой стрелке, т.е. начиная с четвертой четверти, а не с первой. Отсчитав, видим, что   соответствует , (чтобы было понятнее соответствует -60º,  а 360º — 60º = 300º, поэтому и смотрим ответ у , значит,

,  

в) Здесь все вообще супер — просто. . Как видите, в значении целая часть и причем она четная, а это значит, она будет соответствовать значению . Как видим представленное значение t соответствует значению нуля, т.е.

.

ПРИМЕР 2 Решить уравнение:

Решение:

Учтем, что sin t — это ордината точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой и записать, каким числам t они соответствуют.

В нашем случае, если посмотреть в таблицу мы видим, что данной ординате соответствуют точки и

Следовательно,

Ответ: ;

Как вы, надеюсь, понимаете с косинусом все будет наоборот, вы будете искать значение абсциссы (т.е. в таблице смотреть значения косинуса).

С уравнениями, думаю, все понятно. Перейдем к неравенствам. С ними обстоят дела похоже, но кое-чем отличаются.

ПРИМЕР 3 Решить неравенство

Решение:

Учтем, что cos t — абсцисса точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точку с абсциссой и записать, каким числам t они соответствуют. Прямая  пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству же соответствуют все точки открытой дуги (т.е. все что находится между этими точками пересечения). Согласно таблице, это точки и . Получается, решением неравенства будут все точки, входящие в данный интервал.

Ответ:  .

Завершая в данном уроке разговор о синусе и косинусе хотел бы вам также представить еще несколько важных формул, которые справедливы для любого значения t.

1. sin (-t) = -sin t;  cos (-t) = cos t

К примеру,

2. sin (t + 2πk) = sin t;  cos (t + 2πk) = cos t

Это очевидно, так как 2π — это период функции, равный одному кругу, а k  — это количество таких периодов. И вы, уже должны были понять, что, когда первый круг заканчивается 360º, то все начинается сначала, т.е. 390º будут соответствовать 30º

3. sin (t + π) = -sin t; cos (t + π) = -cos t

Это также очевидно, если вы внимательно изучали таблицу, то заметили, что значения после половины периода π соответствуют другому периоду, но с противоположным знаком.

4. sin (t + = cos t; cos (t + = -sin t

Также, если внимательно изучали таблицу, то и эту закономерность вы должны были заметить.

Ну вот с основными закономерностями таблицы синусов и косинусов мы ознакомились и на этом можно заканчивать.

Всем спасибо, если есть вопросы по теме пишите, обязательно отвечу!!!

Что такое тригонометрическая окружность? | О математике понятно

        Итак, друзья, я вас поздравляю! Начальный этап знакомства с тригонометрией благополучно пройден. Подытожим его. Теперь мы с вами:

        1. Знаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике.

        2. Знаем, как устроена связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла и умеем находить полный набор функций, если известна хотя бы одна из них. Кроме того, ещё мы умеем (надеюсь) пользоваться основными тригонометрическими формулами. А чего? Зря, что ли, примеры разбирали?)

        Это — самые азы тригонометрии. Без этих элементарных знаний и навыков — дальше никуда. Так что, прошу прогуляться и почитать, пока не поздно. Тем более там всё очень просто и доступно.)

        Идём дальше.

        Как мы уже с вами знаем, у каждого острого угла в прямоугольном треугольнике имеется свой джентльменский набор тригонометрических функций. Знаем длины катетов и гипотенузу, делим друг на друга и считаем себе. И так для любого острого угла. Всё элементарно.

        Вопрос: а если угол сделать тупым? Скажем, вот таким:

        Что делать? Развалился наш прямоугольный треугольник. Ни катетов больше нет, ни гипотенузы… А тригонометрические функции тоже ушли в небытие, да?

        Если бы древние математики не нашли выход из этой ситуации, то, возможно, вы бы сейчас и не читали этот сайт. Ибо не было бы у нас тогда ни планшетов, ни компьютеров, ни смартфонов, ни многих других полезных штучек…

        Так как можно определять любые тригонометрические функции любых углов без прямоугольного треугольника? Что ж, пришла пора взрослеть дальше. Знакомимся!

Тригонометрическая окружность. Единичная окружность. Числовая окружность. Что всё это значит?

        Это очень простые понятия. Более того, эти понятия — верный друг и надёжный помощник во всех разделах тригонометрии! От простой работы с углами в градусах или в радианах до тригонометрических уравнений и неравенств. Почему? А потому, что эта штука — своего рода шпаргалка! Причём совершенно законная! Обычно ведь что бывает: за шпоры выгоняют, двойки ставят…  А тут нарисовал окружность, угол, функцию — и сразу увидел всё что тебя интересует.

        Например, такое простое задание:

        Что больше — sin200° или sin(-100°)?

        Кто не в теме, тот отдыхает в сторонке. А кто в теме, тот нацарапает что-то типа вот такого наскального рисунка:

        и сразу же увидит всю необходимую информацию!

        И никто слова не скажет! Даже суровая комиссия в боевой обстановке ЕГЭ. Так зачем же такой шанс упускать, правда?

        Чуть позже, в соответствующем уроке, мы разберём эту страшную задачку. И про злые углы типа -100 градусов тоже поговорим.)

        А пока начнём. Для начала нарисуем самый обычный привычный нам острый угол. Назовём его, как обычно, «альфа». Вот так:

        Угол как угол, пока ничего выдающегося, но… Раз есть угол (пока что острый), то у него должны быть и свои тригонометрические функции! Косинус там или тангенс… А где их взять? Ни гипотенузы, ни катетов больше нет, только угол. Тупик?

        Спокойствие! Сейчас всё увидите.)

        Для начала нарисуем самые обычные и знакомые нам координатные оси. OX по горизонтали, OY — по вертикали, всё чин-чинарём… Нарисуем и… приколотим горизонтальную сторону угла к положительной полуоси OX. Приколотим покрепче, дабы не оторвать ненароком.) Вершину угла поместим в начало координат, точку О. А вот вторую сторону угла прибивать не будем и оставим подвижной. Зачем? А чтобы угол менять можно было. Хотим побольше, хотим поменьше. Хотим острый, хотим тупой — любой! Раздвижной у нас угол будет. Как угол раствора циркуля, только одна из его ножек будет прибитой.) Конец подвижной стороны обозначим буквой А.

        Получим вот такой незамысловатый рисунок:

        Итак, угол у нас пристроен, это хорошо. А где же его синус и косинус — спросите вы? Потерпите минутку, торопыги, сейчас всё увидите! Я же только начал.)

        Введём теперь координаты x и y конца подвижной стороны угла (точки А) и отметим их на осях. Это будут точки В и С соответственно. Ясное дело, что ОВ и ОС — какие-то числа. Длины отрезков. Или координаты точки А.

        ОВ = х

        ОС = у

        Так вот, оказывается, иксовая координата точки А (отрезок ОВ) будет косинусом угла альфа, а игрековая координата (отрезок ОС) — его синусом!

        Смотрим на рисунок:

        Стоп-стоп! С какого такого перепугу-то? Ведь мы же чётко зарубили себе на носу из прошлых двух уроков, что синус и косинус — это отношения сторон в прямоугольном треугольнике! Которые от длин этих самых сторон никак не зависят. А у нас тут координаты точки А присутствуют. Которые могут быть любыми!

        Всё верно. Любыми. Но! Давайте посмотрим внимательнее на треугольник АВО. Прямоугольный, между прочим.) Ибо координаты точки, они обычно перпендикулярами отмечаются на осях, да… По нашему заклинанию косинус угла альфа — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Или ОВ/ОА. Синус альфа — соответственно ОС/ОА. Причём мы с вами помним, что синус/косинус никак не зависят от длин сторон. А это совсем прекрасно! Почему? А потому, что мы имеем полное право выбирать длины сторон как хотим. Как нам удобно, так и выберем. В частности, мы имеем полное право принять длину гипотенузы ОА за единичку (ОА=1)! Причём единицы измерения нас вообще не волнуют — миллиметр, километр, миля, дюйм… Синус и косинус от этого всё равно не изменятся.)

        Почему именно гипотенуза (а не катеты) и именно единичка (а не 2, 10, 157 и т.д)? Потому, что так нам (и древним людям) очень удобно! Именно при таком выборе у нас достигаются максимальные упрощения. Смотрите, что получается:

        Вот и все дела.) Косинус — иксовая координата точки А, а синус — игрековая (если гипотенуза ОА — единичка). Да, ненаучно, да нестрого, но зато понятно. И запоминается проще. А запомнить очень важно. Причём, запомнить надёжно!

        Запоминаем:

        Косинус — по Х, синус — по Y.

        Именно в таком порядке. Не путаемся!

        Как видите, всё просто. Пока что всё идёт в рамках геометрии восьмого класса. С той лишь разницей, что катеты превратились у нас в координаты х и у точки А, а гипотенуза — та и вовсе превратилась в единичку. Очень удобное число.) Однако… Тема урока называется «Тригонометрическая окружность», не так ли? Пока ни слова про окружность не было!

        Всё правильно. Но остались совсем пустяки. Сейчас мы с вами резко повзрослеем и колоссально расширим наши возможности всего одним движением руки! Как? Очень просто. Берём подвижную сторону угла (т.е. ОА) и… проворачиваем её вокруг точки О на полный оборот! Как вы думаете, какую линию при этом опишет точка А? Ну, конечно! Окружность!

        Вот так:

        Вот и всё. Это и есть тригонометрическая окружность!

        Это научное название. А на математическом сленге обычно говорят «тригонометрический круг». Или совсем коротко — просто «круг». Или — «радар» :).

        Ну хорошо, окружность начертили. Но почему — тригонометрическая? Окружность как окружность… Вскрою тайну. Любой точке на окружности соответствуют два числа — координаты этой точки по X и координаты этой точки по Y. То есть, А(х; у). А икс и игрек у нас что? Только что разбирались… Да! Косинус и синус угла альфа. То есть, не что иное, как его тригонометрические функции. Вот и весь смысл.

        А теперь, вспомнив, что ОА = 1 и что ОА — радиус окружности, можно сообразить, что это же самое понятие — и единичная окружность тоже.

        А если вспомнить самый первый урок по тригонометрии (а чуть конкретнее — то, что синус и косинус — просто какие-то числа), то наша с вами тригонометрическая окружность будет ещё и числовой окружностью.

        Вот так. Сразу три термина в одном. Очень удобно и практично.

        Запоминаем:

        Тригонометрическая, единичная и числовая окружности — это всё одно и то же понятие. В рамках тригонометрии.

        Так, ну хорошо. Окружность изобразили. Угол у нас крутящийся, меняющийся. А раз крутящийся, то нам уже ничто не запрещает прокрутить подвижную сторону ОА куда угодно. Например, так, чтобы угол альфа стал каким-нибудь тупым!

        Хотя бы вот так:

        А как увидеть его синус и косинус? Не вопрос! Всё точно так же. Опускаем перпендикуляры из точки А на оси OX и OY и всё видим:

        Самые глазастые, возможно, уже заметили, что синус угла альфа у нас положительный (точка С лежит на положительной полуоси OY). А вот косинус альфа — отрицательный! Ибо точка В, иксовая координата точки А (т.е. не что иное, как косинус альфа!), лежит на отрицательной полуоси OХ. Значит, у любого тупого угла синус положительный, а косинус — отрицательный. Чего, кстати, принципиально не бывает в прямоугольном треугольнике: там все тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс, котангенс — положительные.

        А здесь — пожалуйста! Не зря же мы с вами расширили наши возможности!) Ну а коли так, раз уж мы столкнулись с отрицательным косинусом у тупого угла, то пришла пора разобраться и с такой важной штукой, как знаки синуса/косинуса по четвертям. До кучи и знаки тангенса/котангенса разберём сразу же.

Знаки синуса и косинуса, тангенса и котангенса по четвертям.

        Всё проще простого. Для начала напомню, что координатные четверти (или по-другому квадранты) в тригонометрии нумеруются точно так же, как и при работе с обычными задачами на координаты точек — против часовой стрелки.

        Вот так:

        А что же со знаками синуса/косинуса по четвертям? Тоже всё элементарно, Ватсон.) С первой и второй четвертями мы уже разобрались выше. Незаметно для себя.) С первой четвертью вообще вопросов нет. Там только острые углы, у которых все функции (в том числе и синус с косинусом) — положительные. Со второй четвертью тоже всё ясно: синус положительный, а косинус — отрицательный. Это мы уже выяснили, когда тупой угол рисовали.

        Осталось лишь разобраться с третьей и четвёртой четвертями. Как? Точно так же! Не зря же мы с вами тут углы мотать учимся потихоньку.)

        Мы же знаем, что ОА — подвижная сторона нашего угла альфа. Вот и продолжим её крутить от положительной полуоси ОХ в нужную нам сторону! В третью четверть. Получим вот такую картинку:

        Как видно из рисунка, для любого угла в третьей четверти уже станет отрицательным не только косинус, но и синус тоже:

        Для четвёртой четверти тоже ничего хитрого. Крутим и рисуем:

        И видим, что синус в четвёртой четверти остаётся по-прежнему отрицательным. А косинус? Да! Косинус снова становится положительным:

        Так, по всем четвертям пробежались. Как видите, всё просто. Для лучшего запоминания можно нарисовать знаки синуса/косинуса прямо на нашем круге.

        Запоминаются обе картинки достаточно просто и быстро. Особенно если железно помнить наше секретное заклинание: «Косинус — по икс, синус — по игрек.» Кстати, сопоставьте заклинание с картинками! Очень полезно.)

        Ну хорошо, с синусом/косинусом всё понятно. А тангенс и котангенс? Тоже никаких проблем. Если, конечно, помнить из второго урока, что тангенс — это синус поделить на косинус:

        А котангенс — наоборот.

        Вот теперь и прикинем. В первой четверти у нас всё шоколадно. Всё с плюсом — и синус и косинус. А плюс поделить на плюс — что будет? Конечно же, плюс! Во второй четверти знаки синуса и косинуса — разные. Плюс и минус. А это значит, что их отношение (что синуса к косинусу, что наоборот) будет всегда отрицательным. Ибо в борьбе минуса с плюсом всегда выигрывает минус. Так уж повелось в математике.) В третьей четверти как синус, так и косинус имеют знак «минус». А их отношение? Минус на минус — будет… будет… плюс! А в четвёртой четверти знаки синуса/косинуса опять разные. Стало быть, их отношение (тангенс с котангенсом) снова будет с минусом! Вот и все дела.)

        Получаем для тангенса/котангенса вот такую картинку:

        Запомнить знаки тоже проще простого: плюс-минус-плюс-минус. Простое чередование знаков.)

        И вот тут у некоторых назревает закономерный вопрос:

        А можно ли увидеть тангенс и котангенс на круге? Синус — по игрек, косинус — по икс. Это понятно.) А тангенс и котангенс???

        Ух, какие вы любопытные, оказывается! Все-то секреты вам раскрой сразу же! Да, можно! Можно увидеть тангенс и котангенс на числовой окружности! Любого угла. Только для этого на нашем рисунке необходим ещё один дополнительный взмах пера. Всего один. Какой именно — в спецтеме «Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности».

        Итак, полдела сделали. Нарисовали угол, с его помощью начертили окружность. Осталась вторая половина дела. А именно — научиться проделывать обратную операцию. По любой произвольной точке на окружности научиться определять сам угол! А вот эта задачка та ещё…

        Об этом — в следующей теме: «Как отсчитывать углы на тригонометрической окружности?».

APC Функции синуса и косинуса

Мотивирующие вопросы

• Что такое функции синуса и косинуса и как они возникают из точки, пересекающей единичный круг?

• Какими важными свойствами обладают функции синуса и косинуса?

• Как точно или приблизительно вычислить значения \(\sin(t)\) и \(\cos(t)\text{,}\)?

В разделе 2.1 мы увидели, как отслеживание высоты точки, пересекающей окружность, генерирует периодическую функцию, как показано на рисунке 2. 1.10. Затем в разделе 2.2 мы определили набор \(16\) особых точек на единичной окружности, как показано на рисунке 2.3.1.

Вы также можете использовать файл Desmos по адресу http://gvsu.edu/s/0xt ¹ для обзора и изучения особых точек на единичной окружности.

Предварительный просмотр 2.3.1.

Если мы рассмотрим единичный круг на рисунке 2.3.1, начнем с \(t = 0\text{,}\) и пройдем круг против часовой стрелки, мы можем увидеть высоту, \(h\text{,}\) точка пересечения как функция угла, \(t\text{,}\) в радианах. Оттуда мы можем построить получившиеся \((t,h)\) упорядоченные пары и соединить их, чтобы создать круговую функцию, изображенную на рисунке 2.3.2.

1. Каково точное значение \(f( \frac{\pi}{4})\text{?}\) для \(f( \frac{\pi}{3} )\text{?} \)

2. Заполните следующую таблицу точными значениями \(h\), которые соответствуют указанным входам.

   Таблица 2.3.3.

   \(т\)	\(0\)	\(\ гидроразрыва {\pi}{6}\)	\(\ гидроразрыва {\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\ гидроразрыва {\pi}{2}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\пи\)
   \(ч\)
   \(т\)	\(\пи\)	\(\frac{7\pi}{6}\)	\(\frac{5\pi}{4}\)	\(\frac{4\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(\frac{5\pi}{3}\)	\(\frac{7\pi}{4}\)	\(\frac{11\pi}{6}\)	\(2\пи\)
   \(ч\)

3. Каково точное значение \(f( \frac{11\pi}{4} )\text{?}\) для \(f( \frac{14\pi}{3} )\text{? }\)

4. Приведите четыре различных значения \(t\), для которых \(f(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\text{. }\)

Подраздел 2.3.1 Определение функции синуса

Круговая функция, которая отслеживает высоту точки на единичной окружности, проходящей против часовой стрелки из \((1,0)\) как функцию соответствующего центрального угла (в радианах), является одной из самых важных функций в математике. Таким образом, мы даем функции имя: функция sine .

Определение 2.3.4.

Дан центральный угол в единичной окружности, который измеряет \(t\) радиан и пересекает окружность в точках \((1,0)\) и \((a,b)\text{,}\), как показано на рисунке 2.3.5 мы определяем синус \(t\) , обозначенный \(\sin(t)\text{,}\) по правилу

\begin{уравнение*} \sin(t) = b\text{.} \end{equation*}

Из-за соответствия между мерой угла в радианах и расстоянием, пройденным на единичной окружности, мы можем также думать о \(\sin(t)\) как об идентификации \(y\)-координаты точки после того, как она прошла \( t\) единиц против часовой стрелки по окружности от \((1,0)\text{. }\) Обратите внимание, что мы можем рассматривать синус отрицательных входных данных: например, \(\sin(-\frac{\pi} {2}) = -1\текст{.}\)

Основываясь на нашей предыдущей работе с единичным кругом, мы знаем много различных точных значений синусоидальной функции и суммируем их в Таблице 2.3.6.

Более того, если мы теперь нанесем эти точки обычным способом, как мы это делали в предварительном просмотре 2. 3.1, мы получим знакомую круговую волновую функцию, которая получается при отслеживании высоты точки, пересекающей окружность. Мы часто называем график на рисунке 2.3.7 синусоида .

Подраздел 2.3.2 Определение функции косинуса

Для любого центрального угла в радианах \(t\) в единичной окружности с одной стороной, проходящей через точку \((1,0)\text{,}\), угол порождает единственную точку \((a,b )\), лежащий на окружности. Точно так же, как мы можем рассматривать \(y\)-координату как функцию \(t\text{,}\), \(x\)-координата также является функцией \(t\text{.}\) Поэтому мы даем следующее определение.

Определение 2.3.8.

Дан центральный угол в единичной окружности, который измеряет \(t\) радиан и пересекает окружность в точках \((1,0)\) и \((a,b)\text{,}\), как показано на рисунке 2.3.9 мы определяем косинус \(t\) , обозначаемый \(\cos(t)\text{,}\) по правилу

\begin{уравнение*} \cos(t) = а\текст{. } \end{equation*}

Опять же, из-за соответствия между радианной мерой угла и длиной дуги вдоль единичной окружности, мы можем рассматривать значение \(\cos(t)\) как отслеживание \(x\)-координаты точки, пересекающей единичный круг по часовой стрелке на расстоянии \(t\) единиц вдоль круга от \((1,0)\text{.}\) Теперь мы используем данные и информацию, которые мы получили о единичном круге, чтобы построить таблицу значения \(\cos(t)\), а также график кривой, которую он генерирует.

Мероприятие 2.3.2.

Пусть \(k = g(t)\) будет функцией, которая отслеживает координату \(x\) точки, пересекающей единичный круг против часовой стрелки от \((1,0)\text{.}\). То есть , \(g(t) = \cos(t)\text{.}\) Используйте информацию, известную нам о единичном круге, которая представлена ​​на рисунке 2.3.1, чтобы ответить на следующие вопросы.

1. Каково точное значение \(\cos(\frac{\pi}{6})\text{?}\) из \(\cos(\frac{5\pi}{6})\text {?}\) \(\cos(-\frac{\pi}{3})\text{?}\)

2. Заполните следующую таблицу точными значениями \(k\), которые соответствуют указанным входам.

   Таблица 2.3.10.

   \(т\)	\(0\)	\(\ гидроразрыва {\pi}{6}\)	\(\ гидроразрыва {\pi}{4}\)	\(\ гидроразрыва {\pi}{3}\)	\(\ гидроразрыва {\pi}{2}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\пи\)
   \(к\)
   \(т\)	\(\пи\)	\(\frac{7\pi}{6}\)	\(\frac{5\pi}{4}\)	\(\frac{4\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(\frac{5\pi}{3}\)	\(\frac{7\pi}{4}\)	\(\frac{11\pi}{6}\)	\(2\пи\)
   \(к\)

3. На осях, показанных на рисунке 2.3.11, нарисуйте точный график \(k = \cos(t)\text{.}\) Отметьте точное расположение нескольких ключевых точек на кривой.

   Рисунок 2.3.11. Оси для построения \(k = \cos(t)\text{.}\)

4. Каково точное значение \(\cos( \frac{11\pi}{4} )\text{?}\) для \(\cos( \frac{14\pi}{3} )\text {?}\)

5. Приведите четыре различных значения \(t\), для которых \(\cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}\)

6. Чем график \(k = \cos(t)\) отличается от графика \(h = \sin(t)\text{?}\) Чем графики похожи?

Когда мы работаем с функциями синуса и косинуса, всегда полезно помнить их определения в терминах единичной окружности и движения точки, пересекающей окружность. На http://gvsu.edu/s/0xe ² вы можете изучить и изучить полезную анимацию Desmos , которая показывает, как это движение по кругу генерирует каждый из соответствующих графиков.

Подраздел 2.3.3 Свойства функций синуса и косинуса

Поскольку функция синуса является результатом отслеживания координаты \(y\) точки, пересекающей единичный круг, а функция косинуса — координаты \(x\), эти две функции имеют несколько общих свойств круговых функций.

Свойства функций синуса и косинуса.

Для обоих \(f(t) = \sin(t)\) и \(g(t) = \cos(t)\text{,}\)

• домен функции — все действительные числа;

• диапазон функции: \([-1,1]\text{;}\)

• средняя линия функции равна \(y = 0\text{;}\)

• амплитуда функции равна \(a = 1\text{;}\)

• период функции равен \(p = 2\pi\text{.}\)

Также полезно сопоставить графики функций синуса и косинуса на одних и тех же координатных осях. Когда мы это делаем, как показано на рисунке 2.3.12, мы видим, что кривые можно рассматривать как горизонтальные переносы друг друга.

В частности, поскольку график синуса можно рассматривать как график косинуса, сдвинутый на \(\frac{\pi}{2}\) единиц вправо, отсюда следует, что для любого значения \(t\text{,}\ )

\begin{уравнение*} \sin(t) = \cos(t-\frac{\pi}{2})\text{.} \end{уравнение*}

Аналогично, поскольку график косинуса можно рассматривать как график синуса, сдвинутый влево,

\begin{уравнение*} \cos(t) = \sin(t + \frac{\pi}{2})\text{. } \end{уравнение*} 92(т) = 1\текст{.} \end{equation*}

На графиках двух функций есть дополнительные тенденции и закономерности, которые мы рассмотрим подробнее в следующем упражнении.

Мероприятие 2.3.3.

Используйте Рисунок 2.3.12, чтобы помочь ответить на следующие вопросы.

1. Приведите пример наибольшего из найденных интервалов, на котором \(f(t) = \sin(t)\) убывает.

2. Приведите пример наибольшего интервала, который вы можете найти, на котором \(f(t) = \sin(t)\) убывает и вогнут вниз.

3. Приведите пример наибольшего из найденных интервалов, на котором \(g(t) = \cos(t)\) возрастает.

4. Приведите пример наибольшего интервала, который вы можете найти, на котором \(g(t) = \cos(t)\) возрастает и вогнут вверх.

5. Без каких-либо вычислений, на каком интервале средняя скорость изменения \(g(t) = \cos(t)\) больше: \([\pi, \pi+0,1]\) или \([ \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} + 0. 1]\text{?}\) Почему?

6. В общем, как бы вы охарактеризовали места на графиках синуса и косинуса, где функции возрастают или убывают быстрее всего?

7. Думая с точки зрения единичного круга, для которого квадранты плоскости \(x\)-\(y\) являются \(\cos(t)\) отрицательными для угла \(t\), лежащего в этот квадрант?

Подраздел 2.3.4 Использование вычислительной техники

Мы установили, что знаем точное значение \(\sin(t)\) и \(\cos(t)\) для любого из \(t\)-значений в таблице 2.3.6, а также для любого такого \(t \pm 2j\pi\text{,}\), где \(j\) — целое число, из-за периодичности функций. Но что, если мы хотим узнать \(\sin(1.35)\) или \(\cos(\frac{\pi}{5})\) или значения для других входных данных, которых нет в таблице?

Любое стандартное вычислительное устройство, такое как научный калькулятор, Desmos , Geogebra или WolframAlpha , имеет возможность вычислять функции синуса и косинуса при любом входном сигнале, который мы пожелаем. Поскольку ввод рассматривается как угол, каждое вычислительное устройство может учитывать угол в радианах или градусах. Всегда важно знать, какой тип ввода ожидает ваше устройство. Наше вычислительное устройство — 9.0021 Десмос . В Desmos вы можете изменить тип ввода между радианами и градусами, щелкнув значок гаечного ключа в правом верхнем углу и выбрав нужные единицы измерения. Радианная мера используется по умолчанию.

Требуются основательные и сложные математические вычисления, чтобы вычислительное устройство могло вычислить функции синуса и косинуса при любом значении, которое мы захотим; алгоритмы включают идею исчисления, известную как бесконечный ряд. Несмотря на то, что ваше вычислительное устройство является мощным, полезно и важно понимать значение этих значений на единичной окружности и помнить специальные точки, для которых мы точно знаем выходные значения функций синуса и косинуса.

Мероприятие 2.3.4.

По возможности точно ответьте на следующие вопросы. Если вы оцениваете значение, делайте это с точностью не менее \(5\) знаков после запятой.

1. Координата \(x\) точки на единичной окружности, лежащей в третьем квадранте и координата \(y\) которой равна \(y = -\frac{3}{4}\text{. }\)

2. \(y\)-координата точки на единичной окружности, образованной центральным углом в стандартном положении, который измеряет \(t = 2\) радиан.

3. \(x\)-координата точки на единичной окружности, образованной центральным углом в стандартном положении, который измеряет \(t = -3,05\) радиан.

4. Значение \(\cos(t)\), где \(t\) — угол в квадранте II, удовлетворяющий условию \(\sin(t) = \frac{1}{2}\text{.}\ )

5. Значение \(\sin(t)\), где \(t\) — угол в квадранте III, для которого \(\cos(t) = -0,7\text{.}\)

6. Средняя скорость изменения \(f(t) = \sin(t)\) на интервалах \([0,1,0,2]\) и \([0,8,0,9]\текст{.}\)

7. Средняя скорость изменения \(g(t) = \cos(t)\) на интервалах \([0. 1,0.2]\) и \([0.8,0.9]\text{.}\)

Подраздел 2.3.5 Резюме

• Функции синуса и косинуса являются результатом отслеживания \(y\)- и \(x\)-координат точки, пересекающей единичный круг против часовой стрелки от \((1,0)\text{.}\) значением \(\sin(t)\) является \(y\)-координата точки, которая прошла \(t\) единиц по окружности от \((1,0)\) (или, что то же самое, соответствует к углу \(t\) радиан), а значение \(\cos(t)\) является \(x\)-координатой той же точки.

• Функции синуса и косинуса являются периодическими функциями, которые имеют одну и ту же область определения (множество всех действительных чисел), диапазон (интервал \([-1,1]\)), среднюю линию (\(y = 0\) ), амплитуда (\(a = 1\)) и период (\(P = 2\pi\)). Кроме того, функция синуса представляет собой горизонтальный сдвиг функции косинуса на \(\frac{\pi}{2}\) единиц вправо, поэтому \(\sin(t) = \cos(t-\frac{\ pi}{2})\) для любого значения \(t\text{.}\)

• Если \(t\) соответствует одному из известных нам специальных углов на единичной окружности (как на рис. 2.3.1), мы можем вычислить значения \(\sin(t)\) и \(\ cos(t)\) точно. Для других значений \(t\text{,}\) мы можем использовать вычислительное устройство для оценки значения любой функции при данном входе; когда мы это делаем, мы должны позаботиться о том, в каких единицах мы вычисляем: в радианах или в градусах. 9\circ)\)

  • Отрицательный

  • Положительный

  \(\sin(\frac{15\pi}{16})\)

  • Положительный

  • Отрицательный

  \(\cos(\frac{20\pi}{21})\)

  • Отрицательный

  • Положительный

  4.

  Вопрос 30:

  a) Напишите выражение (включая переменные \(a\) и \(h\)) для наклона отрезка, соединяющего \(S\) и \(T\) на рисунке выше .

  Slope = (выражение, включающее переменные a и h )

  b) Оцените выражение для \(a = 1,6\) и \(h = 0,01\text{.}\) Округлите ответ до два десятичных знака.

  Наклон = (значение, округленное до двух знаков после запятой)

  5.

  2(t) = 1\text{.}\) Ниже приведены несколько предложенных тождеств. Для каждого ваша задача состоит в том, чтобы решить, является ли тождество истинным или ложным. Если это так, приведите убедительные аргументы в пользу того, почему это так; если неверно, приведите пример \(t\)-значения, для которого уравнение не выполняется. 92(т)\)

• \(\displaystyle \sin(t) + \cos(t) = 1\)

• \(\displaystyle \sin(t) + \sin(\frac{\pi}{2}) = \cos(t)\)

www.desmos.com/calculator/jgddn7tzxg

gvsu.edu/s/0xe

Тригонометрия — единичный круг

Поскольку тригонометрические отношения не зависят от размера треугольника, всегда можно использовать прямоугольный треугольник, в котором длина гипотенузы равна единице. Такой треугольник можно расположить в декартовой системе таким образом, что одна его вершина будет лежать на окружности с радиусом единица. Окружность, имеющая радиус один называется единичный круг . Когда гипотенуза равна единице, значения синуса и косинуса:

\[\sin\alpha = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\text{opp} \hspace{1cm} \cos \alpha = \frac{\text{adj}}{ \текст{гип}}=\текст{прил.}\]

Загрузить рабочий лист GeoGebra

Перетащите красную точку!

Как видно из рабочего листа, также верно, что \(\sin \alpha = y(A)\) и \(\cos \alpha = x(A)\), где \(x(A)\) и \(y(A)\) — это \(x\)- и \(y\)-координата соответственно \(A\). Используя координаты \(A\), вместо отношения сторон в прямоугольном треугольнике мы можем расширить определение синуса и косинуса, чтобы они были определены для всех углов. 9\круг\).

Если \(f(x)\) периодическая функция с периодом \(P\), то \(f(x)=f(x+P)\) для всех \(x\).

Построение тригонометрических функций с использованием градусов в GeoGebra

Вы можете заметить, что шкала по оси \(x\) не соответствует к углу. Причина этого в том, что GeoGebra использует радианы вместо градусов для углов. Если вы хотите, чтобы GeoGebra использовала градусы, вы должны ввести символ градуса, нажать Ctrl + O для записи знака степени. Введенный код должен быть sin(x°) или cos(x°) .

Изменение масштаба оси \(x\) нажав Shift , а затем перетащите ось \(x\). В окне свойств для графического представления вы можете изменить расстояние между метками и добавить символ градуса как единицу измерения.

Расширение определения тангенса и котангенса

Используя определение треугольника, тангенс и котангенс определяются как

\[\tan \alpha = \frac{\text{opp}}{\text{adj}} \hspace{1cm} \cot \alpha = \frac{\text{adj}}{\text{opp}}\ ] 907:35 Загрузить рабочий лист GeoGebra
Перетащите красную точку!

Используя подобные треугольники, вы можете показать, что конструкция на листе верна для углов, образующих прямоугольный треугольник. \circ \). 9\circ, n \in \mathbb{Z} \).

радиан

Загрузить рабочий лист GeoGebra

Координаты x задаются углом. Угловая единица — радиан.

На приведенном выше листе \(x\)-координаты синей, зеленой и оранжевой точек задаются углом. Как видно по меткам на оси \(x\), один оборот соответствует не 360, а \(2\pi\). Другими словами, один оборот соответствует полному пути, пройденному красной точкой, т. е. длина окружности единичного круга.

При использовании радиан в качестве единицы измерения углов,
один оборот соответствует \(2\pi\).

Вы можете изменить единицу измерения угла на радианы в GeoGebra в разделе Options->Settings... , затем выберите вкладку Advanced .

Упражнения

Упражнение 1

Дуги

• Проведите единичную окружность через две точки \(A=(0,0)\) и \(B=(1,0)\).
• Введите точку \(C\) на окружности и отметьте угол \(\угол BAC\).
• Убедитесь, что радианы выбрано на вкладке Advanced в разделе Options->Settings... .
• Используйте инструмент Дуга окружности в точках \(A, B, C\).
• Изменить радиус окружности и угол. Обратите внимание на длину дуги.

Какова длина дуги с точки зрения радиуса \(r\) и угла \(\alpha\), если радианы используются в качестве угловая единица?

Чему равна длина, если в качестве единицы угла используются градусы?

Упражнение 2

секторов

• Удалить дугу.
• Используйте инструмент Круговой сектор на точках \(A, B, C\).
• Изменить радиус окружности и угол. Обратите внимание на площадь сектора.

Чему равна площадь сектора по радиусу \(r\) и углу \(\alpha\), если в качестве угловая единица?

Чему равна площадь, если в качестве единицы угла используются градусы?

Малин Кристерссон в рамках Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Аналогично 2.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

y=3sinπ(t2−x4) представляет уравнение прогрессивной волны, где t в секундах, а x в метрах. Расстояние, пройденное волной за 5 секунд, равно

Вопрос

Обновлено: 26. 04.2023

KCET ДОКУМЕНТЫ ПРЕДЫДУЩЕГО ГОДА-KARNATAKA CET 2009-PHYSICS

РЕКЛАМА

Ответ

правильный ответ B

Решение

Данное уравнение бегущей волны имеет вид y=3sinπ(t2−x4)=3sin2π(t4−x8)…………I
Стандартное уравнение прогрессивной волны:
y=y0sin2π(tT−xλ) …………………. Ii
, сравнивая I и ii, получаем
T=4s,λ=8m
Скорость волны v=λT=84=2ms−1
Расстояние, пройденное волной за время t, равно
S=vt
или S=2×5= 10 м (при t=5 с (дано))

Ответ

Пошаговое решение от экспертов, которое поможет вам в решении сомнений и получении отличных оценок на экзаменах.

Ab Padhai каро бина объявления ке

Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке!

Похожие видео

Волна представлена ​​уравнением
y=y0sin[10πx−15πt+(π/3)]
, где x в метрах, а t в секундах. Уравнение представляет собой бегущую волну:

11447126

Волна распространяется в среде согласно уравнению смещения, заданному формулой y(x, t)=0,03 sin pi (2 t-0,01 x), где y и x выражены в метрах. и t в секундах. Длина волны равна

16002273

Волна представлена ​​уравнением y=7sin{π(2t−2x)}, где x в метрах, а t в секундах. Скорость волны

16002313

Уравнение прогрессивной волны: y =4 sin (4 pi t-0,04 x+pi/3), где x в метрах, а t в секундах. Скорость волны равна

112984778

Волна представлена ​​уравнением y=0.1sin(60t+2x), где x и y в метрах, а t в секундах. Это представляет собой волну

127328681

Поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси x, представлена ​​как: y(x,t)=8,0sin(0,5πx−4πt−π4), где x в метрах, а t в секундах. Скорость волны:

350235008

Уравнение бегущей волны в среде: y=asin(100πt+π10x), где x в метрах, t в секундах. Скорость волны в среде равна

376767944

Волна представлена ​​уравнением
y = 7 sin (7πt−0,04πx+π3)
, где x в метрах, а t в секундах. Скорость волны:

415584716

Волна, описываемая уравнением y = 0,25 sin (10 pi x — 2 pi t ), где x и y в метрах, а t в секундах, представляет собой волну, бегущую вдоль :

415584874

Смещение y волны, бегущей в направлении x, определяется выражением y=(2×10−3)sin(300t−2x+π4), где x и y измеряются в метрах, а t в секундах. Скорость волны

427221760

Поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси x, представлена ​​как
y(x,t) =80..Sin(0,5πx−4πt−π4). Где x в метрах, а t в секундах. Скорость волны:

427222250

Волна распространяется в среде в соответствии с уравнением смещения, заданным формулой y (x, t) = 0,03 sin {π(2t−0,01x)}, где y и x равны метров и t в секундах. Длина волны ………. .

427222719

Смещение y волны, бегущей в направлении x, определяется выражением y=(2×10−3)sin(300t−2x+π4), где x и y измеряются в метрах, а t в секундах. Скорость волны

427223251

Волна представлена ​​уравнением :y=Asin(10πx+15πt+π/3), где x в метрах, а t в секундах. Выражение представляет.

576405945

Текст Решение

Уравнение волны, бегущей по струне, имеет вид y=8 sin (5 x-4t), где x в метрах, а t в секундах. Затем

644162665

Текстовое решение

Калькулятор — sin(pi) — Solumaths

Грех, онлайн-исчисление

Резюме:

Тригонометрическая функция sin для вычисления синуса угла в радианах, градусов или градианов.

sin online

Описание:

Калькулятор позволяет использовать большинство из тригонометрических функций , есть возможность вычислить синус , косинус и касательная угла через одноименные функции.

Тригонометрическая функция синус отметил синус , позволяет вычислить синус угла онлайн , можно использовать разные угловые единицы: градус, градус и радианы, которые по умолчанию являются угловыми единицами.

1. Расчет синуса

Вычисление синуса угла в радианах

Калькулятор синуса позволяет через функцию sin вычислить онлайн синус синус угла в радианах, сначала нужно выберите нужную единицу, нажав на кнопку параметров расчетного модуля. После этого можно приступать к расчетам.

Чтобы вычислить синус онлайн от `pi/6`, введите sin(`pi/6`), после вычисления результат `1/2` возвращается.

Обратите внимание, что функция синуса способна распознавать некоторые специальные углы и делать расчеты со специальными связанными значениями в точной форме.

Вычислить синус угла в градусах

Чтобы вычислить синус угла в градусах, необходимо сначала выбрать нужную единицу измерения нажав на кнопку модуля расчета параметров. После этого можно приступать к вычислениям.

Для вычисления синуса 90, введите sin(90), после вычисления результат 1 возвращается.

Вычислить синус угла в градусах

Чтобы вычислить синус угла в градианах, необходимо сначала выбрать нужную единицу измерения нажав на кнопку модуля расчета параметров. После этого можно приступать к вычислениям.

Чтобы вычислить синус 50, введите sin(50), после вычисления, возвращается результат `sqrt(2)/2`.

Обратите внимание, что функция синуса способна распознавать некоторые специальные углы и выполнять исчисление со специальными ассоциированными точными значениями.

2. Таблица специальных синусоидальных значений

Синус допускает некоторые специальные значения, которые калькулятор может определить в точных формах. Вот таблица общих синусоидальных значений :

9018 8

sin(`2*pi`)	`0`
sin(`pi`)	`0`
sin(`pi/2`)	`1`
sin(`pi/4`)	`sqrt(2)/2` 901 85
грех( `pi/3`)	`sqrt(3)/2`
sin(`pi/6`)	`1/2`
sin(`2*pi/3`)	`SQRT (3)/2`
SIN (` 3*PI/4`)	`SQRT (2)/2`
SIN (` 5*PI/6`)
SIN (`5*PI/6`)
SIN (` 5*PI/6`)
SIN (`5*PI/6`)
1/2`
sin(`0`)	`0`
sin(`-2*pi`)	`0`
sin(`-pi`)	`0`
sin(` пи/2`)	`- 1`
sin(`-pi/4`)	`-sqrt(2)/2`
sin(`-pi/3`)	`-sqrt(3)/2`
sin(`-pi/6`)	`-1/2`
sin(`-2*pi/3`)	`-sqrt(3)/2`
sin(`-3*pi/4`)	`-sqrt(2)/2`
sin(`-5*pi/6`)	`-1/2`

3. Основные свойства

`AA x в RR, k в ZZ`,

• `sin(-x)= -sin(x)`
• `sin(x+2*k*pi)=sin(x)`
• `sin(pi-x)=sin(x) `
• `sin(pi+x)=-sin(x)`
• `sin(pi/2-x)=cos(x)`
• `sin(pi/2+x)=cos(x) `

Производная синуса равна cos(x).

Первообразная синуса равна -cos(x).

Функция sine является нечетной функцией, для каждого действительного x `sin(-x)=-sin(x)`. Следствием для кривой, представляющей синусоидальную функцию, является то, что она допускает начало отсчета как точку симметрии.

Калькулятор имеет решатель, который позволяет решать уравнение с синусом формы cos(x)=a . Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решать уравнения типа `sin(x)=1/2` или `2*sin(x)=sqrt(2)` с этапами расчета.

Синтаксис:

sin(x), где x — мера угла в градусах, радианах или градах.

Примеры:

sin(`0`), возвращает 0

Производная синус :

Чтобы дифференцировать функцию синуса онлайн, можно использовать калькулятор производной, который позволяет вычислить производную функции синуса

производная sin(x) is производная(`sin(x)`)=`cos(x)`

Первообразная синуса :

Калькулятор первообразной позволяет вычислить первообразную функции синуса.

Первопроизводная sin(x) есть первопроизводная(`sin(x)`)=`-cos(x)`

Предел синуса :

Калькулятор предела позволяет вычислить пределы функции синуса.

Предел sin(x) равен limit(`sin(x)`)

Обратная функция синуса :

обратная функция синуса представляет собой функцию арксинуса, отмеченную арксинусом.

График синуса :

Графический калькулятор может отображать синусоидальную функцию в заданном интервале.

Свойство функции синуса:

Функция синуса является нечетной функцией.

Расчет онлайн с sin (sine)

См. также

Список связанных калькуляторов:

• Арккосинус : arccos. Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа. Функция arccos является обратной функцией функции косинуса.
• Арксинус : арксинус. Функция arcsin позволяет вычислить арксинус числа. Функция arcsin является обратной функцией функции синуса.
• Арктангенс: арктангенс. Функция арктангенса позволяет вычислить арктангенс числа. Функция арктангенса является обратной функцией функции тангенса.
• Тригонометрический калькулятор: simple_trig. Калькулятор, который использует тригонометрическую формулу для упрощения тригонометрического выражения.
• Косинус: cos. Кос-тригонометрическая функция вычисляет косинус угла в радианах, градусов или градианов.
• Косеканс: косеканс Тригонометрическая функция sec позволяет вычислить секанс угла, выраженного в радианах, градусах или градусах.
• Котангенс : котанг. Тригонометрическая функция котана для вычисления котана угла в радианах, градусов или градианов.
• Тригонометрическое расширение: expand_trigo.

Интегрированный урок (алгебра + биология) «Решение задач с использованием формул геометрической прогрессии и построения экологических пирамид»

«Учиться можно только весело…
Чтобы переваривать знания,
надо поглощать их с аппетитом…»
Анатоль Франс

Цель урока: закрепить умения и навыки учащихся по решению задач геометрической прогрессии. Продолжать развивать интерес к математике через дидактические игры. Показать связь с другими науками — биологией. Продолжать воспитывать умения жить в социуме через работу в парах.

Задачи:

• образовательные – обеспечить закрепление материала, создать условия контроля и самоконтроля усвоения материала.
• развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, перенося знания в новую ситуацию.
• воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, трудиться коллективно.

Ход урока

1. Организационный момент

Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова французского писателя Анатоля Франса, прочитайте их. Давайте, сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя: постараемся быть активными и поглощать знания с большим желанием.
Вся работа на уроке сопровождается индивидуальным оценочным листом. Строится график зависимости «оценка – этапы урока», на каждом этапе урока вы сами выставляете себе оценку по пятибалльной системе, в конце урока строится график. По этому графику вы выводите среднюю оценку за урок, которая ставится в журнал.

2. Постановка цели

Сегодня на уроке будут рассмотрены задачи по теме «Геометрическая прогрессия». Должны научиться применять формулы геометрической прогрессии к решению задач. Применим эти знания при решении самостоятельной работы. Выполним самоконтроль знаний.

3. Повторение. Проверка домашнего задания

Проводится в виде взаимоконтроля. Работа в парах. Карандашом ставится оценка. Данную оценку отметьте на графике.

4. Повторение

На доске висят таблицы с формулами. Оставить те, которые подходят к теме сегодняшнего урока, а остальные убрать. Прочитайте выбранные формулы. Запишите их в тетрадь. Учитель записывает их на доске.

Решение задач

Зная формулы геометрической прогрессии можно решать задачи экологического равновесия.

Задача 1

На опушке леса живут 4 куницы, которые питаются белками. Белки питаются орехами. Одна куница съедает 10 белок. Для улучшения плодородия сосны сибирской (кедр) нужны почвенные бактерии. Сколько нужно белок, орехов, бактерий, чтобы построить экологическую пирамиду данного участка леса, используя геометрическую прогрессию. С помощью учителя решается задача.

b₁ = 4, b₂ = 40, b₃ = ?, b₄ = ?
q = 40 / 4 = 10
b₃ = b₁ · q^n-1 = 4 · 10^3-1  = 4 · 10² = 400
b₄ = 4 · 10^4-1 = 4 · 10³ = 4000

Для экологического равновесия этого участка леса необходимо на 4 куницы 40 белок, 400 орехов, 4000 бактерий.

Вопрос классу: «Что такое экологическая пирамида?»

Выступление ученика: Всегда количество растительного вещества, служащего основой цепи питания, в несколько раз больше, чем общая масса растительноядных животных, а масса каждого из последующих звеньев пищевой цепи также уменьшается. Эту очень важную закономерность называют правилом экологической пирамиды.

Задача 2 (Учащиеся решают самостоятельно в парах. Слайд с правильным ответом появляется на доске. Учащиеся выставляют себе оценки в листе самоконтроля.)
Для построения 1 кг тела человека требуется 10000 кг фитопланктона. Найдите, сколько кг больших рыб съест человек, если пищу им составляют мелкие рыбы, потребляющие зоопланктон, который в свою очередь живёт за счёт фитопланктона. Вес зоопланктона 1000 кг.

Вопрос классу: «Как вы думаете, а в океане будет такая же экологическая пирамида чисел?»

Выступление ученика: Не смотря на то, что океан занимает 71% площади нашей планеты, его продукция в 3 раза, а биомасса водорослей в 10000 раз меньше, чем продукция и биомасса растений суши. Такая громадная разница биомассы растений суши и океана объясняется следующей причиной. Основные продуценты суши — деревья, а океана — мелкие одноклеточные водоросли.

Задача 3 (Решается совместно с учителем.)

Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится каждый час?
Составляем геометрическую прогрессию: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.
Находим знаменатель прогрессии по формуле:

Находим сумму геометрической прогрессии по формуле:

Ответ: 1023 бактерии куриной холеры появится за 10 часов.

6. Самостоятельная работа

Зная формулы геометрической прогрессии можно решить много интересных задач. И если вы правильно решите геометрические прогрессии, то узнаете фамилию замечательного русского человека. Задания решаются в парах самостоятельно, дифференцированно. Пара получает по две карточки, задания на карточках могут повторяться. Каждой букве соответствует правильный ответ. По мере решения карточек учитель открывает буквы на доске. В итоге получается фамилия русского биолога. Параллельно выставляются оценки учащимся, которые они выставляют в листе самоконтроля.

1. Найдите знаменатель прогрессии: -5; -10; -20 …
2. Найдите пятый член геометрической прогрессии: 1; 2 …
3. Найдите третий член геометрической прогрессии: b₁ = 1; q = 0,1
4. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии: b1 = 8; q = ½
5. Найдите четвёртый член геометрической прогрессии: 2; -6; …
6. Найдите первый член геометрической прогрессии: b₆ = 3; q = 3
7. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии: b₁ = 1; q = -2
8. Между числами 2 и 18 поставьте число, чтобы получилась геометрическая прогрессия.
9. Найдите сумму n первых членов геометрической прогрессии: -40; -20; …

Выступление ученика: Вернадский Владимир Иванович. Учёный-энциклопедист, естествоиспытатель, общественный деятель, академик. Занимался геологией, историей науки, философией естествознания. Разработал научные методы поиска месторождений полезных ископаемых, изучил физическое строение важнейших породообразующих минералов, создал учение о биосфере, обосновал понятие «ноосфера», создал ряд новых научных направлений (биогеохимию и др.). Одним из первых рассматривал производственную деятельность человека как фактор дальнейшей эволюции Земли. Труды, научная и общественная деятельность Вернадского оказали огромное влияние на развитие во 2-й половине 20 в. биосферно-экологического направления в науке.

7. Домашнее задание

Жгутиковые простейшие паразитируют на мелких насекомых. Тысячи их могут быть найдены на одной блохе. Постройте пирамиду чисел, используя геометрическую прогрессию, на основе следующей пищевой цепи: простейшие → блохи → травоядные млекопитающие. Известно, что всего блох – 1000 особей.

8. Итог урока

Мы рассмотрели несколько видов задач геометрической прогрессии. Приобретённые навыки позволят вам и в дальнейшем решать житейские задачи, которые основаны на свойствах геометрической прогрессии. Например: размножение бактерий, кроликов, мух и т.д. На своих листах самооценки соедините точки и постройте график. Выведите среднюю оценку за урок. Поставьте её карандашом и распишитесь. На обратной стороне графика самоконтроля напишите вопросы по темам геометрическая прогрессия и экологические пирамиды, которые необходимо осветить на консультациях.

Учащиеся сдают листки самоконтроля, оценки буду объявлены на следующем уроке.

Приложение 1, Приложение 2

Ədəbiyyat — 9

Исследование. Мяч, ударяясь о землю первый раз, поднимается на высоту 3 м. В каждый последующий раз поднимается на высоту, равную 60%-ам предыдущей высоты. График показывает зависимость между количеством ударов о землю и высотой мяча.
1) Высоты, на которые поднимается мяч, обозначьте через h₁, h₂, h₃, h₄, … . Выразите высоту, на которую поднимается мяч каждый раз через высоту, после первого удара о землю.
2) На какую высоту поднимется мяч после 8-го удара о землю?
3) Объясните возможность применения формулы h_n = 3⋅( 0,6)^n-1 для нахождения высоты поднявшегося мяча после n-го падения на землю.

Определение. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

То есть если для любого натурального числа n, будет выполнено условие: b_n ≠ 0 и b_n+1 = b_n · q, то последовательность (b_n) будет геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия символически обозначается ∺(b_n). Формула b_n+1 = b_n · q является представлением геометрической прогрессии по рекуррентному правилу. Из определения следует, что для любого натурального числа n, справедливо равенство: q = b_n+1
b_n. В частности, q = b₂
b₁ = b₃
b₂ = b₄
b₃ = …..

При q > 0, члены геометрической прогрессии имеют одинаковый знак.
При q < 0 знаки членов прогрессии чередуются.
При q = 1 получается стационарная последовательность.

1. Пример. a) Если b₁ = 2, q = 3, то получится геометрическая прогрессия 2; 6; 18; 54; 162 …; b) Если b₁ = 3, q = -2, то получится геометрическая прогрессия 3; -6; 12; -24; 48; … .

2. Пример. Какая из данных числовых последовательностей геометрическая прогрессия? a) 4; 12; 22; 34; 48. b) 625; 125; 25; 5; 1.
Решение. Отношение каждого члена геометрической прогрессии на предыдущий всегда остается постоянной. Проверим это условие для обеих прогрессий.

a) b₂
b₁ = 12
4 = 3       b₃
b₂ = 22
12 = 11
6

Последователность не является
геометрической прогрессией

b) b₂
b₁ = 125
625 = 1
5    b₃
b₂ = 25
125 = 1
5    b₄
b₃ = 5
25 = 1
5    b₅
b₄ = 1
5

Условие выпол няется, это пос ледователь ность геометрическая прогрессия.

Генерация геометрической прогрессии — онлайн-инструменты для работы с числами

Генерация чисел Numberwang

Создание списка чисел numberwang.

Создание магических чисел

Создание списка аккуратно выглядящих чисел.

Нарисовать магический квадрат

Создать матрицу чисел, в которой строки и столбцы имеют одинаковую сумму.

Переписать числа

Учитывая числа и грамматику, рекурсивно переписать их.

Создание числа с плавающей запятой

Создание числа из мантиссы, основания и экспоненты.

Визуализация числа с плавающей запятой

Показать, как число fp представляется в компьютере.

Преобразование числа в экспоненциальную запись

Преобразование числа в формат a×10 ^b .

Преобразование научной записи в число

Преобразование числа в научной записи в обычное число.

Создать унарную нумерацию

Создать список унарных чисел (1, 11, 111, 1111, …).

Создать символьную нумерацию

Создать список буквенных чисел (a, b, c, …, z, aa, ab, …).

Создать римскую нумерацию

Создать список римских цифр (i, ii, iii, iv, v…).

Создать нумерацию Брайля

Создать список цифр Брайля (⠂, ⠆, ⠒, ⠲, ⠢, …).

Создание случайных двоичных чисел

Создание списка случайных двоичных чисел.

Создание случайных восьмеричных чисел

Создание списка случайных восьмеричных чисел.

Генерация случайных десятичных чисел

Создать список случайных десятичных чисел.

Создание случайных шестнадцатеричных чисел

Создание списка случайных шестнадцатеричных чисел.

Вычислить текущую сумму

Вычислить кумулятивную сумму списка чисел.

Вычислить текущую разницу

Вычислить кумулятивную разницу списка чисел.

Вычисление текущего произведения

Вычисление кумулятивного произведения списка чисел.

Расчет числового коэффициента

Разделите два числа и найдите их частное.

Вычислить числовое частное

Разделить цифры заданного числа.

Вычислить факториал

Найти факториал числа.

Создание числовых анаграмм

Создание одной или нескольких числовых анаграмм.

Создание числовых биграмм

Создание списка цифровых биграмм из числа.

Создание числовых триграмм

Создание списка цифровых триграмм из числа.

Генерация числовых N-грамм

Создание списка цифровых nграмм из числа.

Создание полиномиальной последовательности

Создание списка чисел полиномиальной прогрессии.

Создание префиксов SI

Создание списка префиксов метрик.

Анализ числа

Сообщить, сколько цифр встречается сколько раз.

Преобразование числа в порядковое

Преобразование количественного числительного в порядковое.

Преобразование порядкового номера в число

Преобразование порядкового числа в кардинальное.

Преобразование числа в римское число

Преобразование арабских цифр в римские.

Преобразование римских чисел в обычные числа

Преобразование римских цифр в арабские.

Создание чисел Негафибоначчи

Вычисление серии расширенных чисел Фибоначчи.

Генерация простых чисел Фибоначчи

Поиск чисел, которые являются одновременно числами Фибоначчи и простыми числами.

Тест чисел Фибоначчи

Проверить, является ли число числом Фибоначчи.

Проверка простых чисел Фибоначчи

Проверяет, является ли число одновременно числом Фибоначчи и простым числом.

Построить слова Фибоначчи

Создать последовательность слов Фибоначчи.

Создать слова Трибоначчи

Создать последовательность слов Трибоначчи.

Создать слова Тетраначчи

Создать последовательность слов Тетраначчи.

Создать слова Пентаначчи

Создать последовательность слов Пентаначчи.

Генерировать числа Негалука

Вычислить серию расширенных чисел Лукаса.

Генерировать простые числа Лукаса

Вычислить серию расширенных чисел Лукаса.

Lucas Prime Test

Проверить, является ли число одновременно числом Лукаса и простым числом.

Генерация чисел Мозера де Брюйна

Вычисление последовательности чисел Мозера-Брейна.

Сгенерировать числа Колакоски

Вычислить последовательность чисел Ольденбургера-Колакоски.

Сгенерировать числа Стэнли

Вычислить последовательность чисел Стэнли.

Генерировать числа Гийсвейта

Вычислить последовательность самоописывающих чисел Гийсвейта.

Сгенерировать числа Рудина-Шапиро

Вычислить последовательность чисел Русина-Шапиро.

Генерация чисел Баума-Свита

Вычисление последовательности чисел Баума-Свита.

Генерация последовательности Туэ-Морса

Вычисление членов ряда чисел Туэ-Морса.

Создание идеальных чисел

Создание списка совершенных чисел.

Создание почти идеальных чисел

Создание списка почти идеальных чисел.

Создать последовательность избыточных чисел

Вычислить последовательность избыточных чисел.

Создать последовательность неполных чисел

Вычислить последовательность неполных чисел.

Вычислить числа Dragon Curve

Сгенерировать список порядковых номеров складывания бумаги.

Создать составные числа

Создать список чисел, которые не являются простыми.

Нарисовать число на ЖК-дисплее

Создать ЖК-дисплей, отображающий заданное число.

Нарисовать таблицу чисел

Создать таблицу чисел.

Проверить, является ли число совершенным

Проверить, является ли заданное число совершенным числом.

Проверить, является ли число обильным

Проверить, является ли данное число обильным числом.

Проверить, является ли число недостаточным

Проверить, является ли данное число недостаточным.

Вычислить модуль

Найти модуль числа.

Группировка цифр числа

Группировка цифр числа.

Разделить число на цифры

Создать список цифр из числа.

Printf Numbers

Применение функций sprintf или printf к числам.

Создайте номера Zalgo

Позвольте Zalgo уничтожить ваши номера.

Повторить цифру

Повторить число несколько раз.

Зеркальное отображение номера

Создание зеркальной копии номера.

Дополнение числа нулями

Добавление нулей к числу.

Пользовательское дополнение числа

Добавление пользовательских символов к числу.

Обратный порядок цифр

Обратный порядок цифр в числе.

Поворот числа

Циклический поворот цифр числа влево или вправо.

Увеличение числа

Добавить единицу к заданному числу.

Увеличить все цифры в числе

Добавить единицу к каждой цифре в числе.

Уменьшить число

Вычесть единицу из заданного числа.

Уменьшить все цифры в числе

Вычесть единицу из каждой цифры в числе.

Находить закономерности в числах

Находить закономерности в последовательностях чисел.

Подсчет числа вхождений

Узнайте, как часто появляются числовые значения.

Расчет процентов

Найти x% числа.

Распечатать Google

Распечатать номер Google/Google, который равен 10 ¹⁰⁰ .

Создание больших чисел

Создание списка больших чисел.

Создание малых чисел

Создание списка малых чисел.

Создание натуральных чисел

Создание списка натуральных чисел.

Создание рациональных чисел

Создание списка рациональных чисел.

Генерация постоянной последовательности

Создайте серию чисел, в которой все термины одинаковы.

Создание действительных чисел

Создание последовательности действительных чисел.

Создание комплексных чисел

Создание списка комплексных чисел.

Создание двоичных чисел

Создание последовательности двоичных чисел.

Создание пар чисел

Создание последовательности пар чисел.

Создание троек чисел

Создание последовательности троек чисел.

Создание кортежей чисел

Создание последовательности n-кортежей чисел.

Создать короткий номер

Создать номер с небольшим количеством цифр.

Создать длинный номер

Создать номер с большим количеством цифр.

Переплетение чисел

Переплетение двух или более чисел поразрядно.

Найти десятичное представление числа

Переписать число в десятичной форме.

Преобразование дроби в десятичную

Преобразование дроби в десятичное число.

Преобразование десятичного числа в дробь

Преобразование десятичного числа в дробь.

Преобразование двоичного числа в восьмеричное

Преобразование числа с основанием два в число с основанием восемь.

Преобразование двоичного числа в десятичное число

Преобразование числа с основанием два в число с основанием десять.

Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием два в число с основанием шестнадцать.

Преобразование восьмеричного числа в двоичное число

Преобразовать число с основанием восемь в число с основанием два.

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием десять.

Преобразование восьмеричного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием шестнадцать.

Преобразование десятичного числа в двоичное

Преобразование числа с основанием десять в число с основанием два.

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Преобразование десятичного числа в восьмеричное.

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием десять в число с основанием шестнадцать.

Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное число

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием два.

Преобразование шестнадцатеричного числа в восьмеричное

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием восемь.

Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное число

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием десять.

Преобразование любого числа в любое число с основанием

Преобразование любого числа в любой системе счисления в любую другую систему счисления.

Изменение мантиссы числа

Изменение значения числа.

Изменить показатель степени числа

Изменить степень числа.

Замена цифр буквами

Замена цифр в числе буквами алфавита.

Создание спирали чисел

Создание спирали из цифр числа.

Создать числовой круг

Сформировать круг из цифр числа.

Создать числовое дерево

Сформировать дерево из заданных чисел.

Создание дерева цифр числа

Создание дерева из цифр числа.

Удалить десятичную точку

Удалить десятичный разделитель из десятичного числа.

Добавить ошибки в числа

Изменить числа, чтобы они были почти одинаковыми, но содержали ошибки.

Создание поддельных номеров

Замена цифр в номере на двойники Unicode.

Число возмущений

Немного изменить указанные числа.

Возмущенные цифры числа

Немного измените цифры данных чисел.

Найти энтропию числа

Вычислить сложность (энтропию) числа.

Проверка числа Numberwang

Проверка, является ли данный номер числом numberwang.

прорисовка — Диаграмма с делениями в геометрической прогрессии

спросил 8 лет, 8 месяцев назад

Изменено 8 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 440 раз

$\begingroup$

Мне нужно отобразить диаграмму с осью, которая имеет отметки со следующими значениями:

 250, 500, 1000, 2000, 4000, 8000
 

Сначала я подумал, что это логарифмическая шкала.

ЧЕРЧЕНИЕ. Школьный интернет-учебник — Чтение чертежей 3-4

Способы построения изометрической проекции плоских фигур, геометрических тел и деталей

Для выполнения изометрической проекции любой детали не­обходимо знать правила построения изометрических проекций плоских и объемных геометрических фигур.

конвертировать файлы XLS онлайн (БЕСПЛАТНО)

+ —

Конвертируйте таблицу Excel в переносимый файл PDF за считанные секунды.

Определитель матрицы.

Определение Это число, которое ставится в соответствие каждой квадратной матрице по некоторому правилу.

Определителем N-ного порядка(если матрица такого же порядка) является

Прямоугольные матрицы не имеют определителя.

Определение Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента .

Обозначается определитель одним из символов .

Определение Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное .

Обозначается определитель одним из символов

.

Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.

Правило Сарруса для квадратных матриц 3 порядка.

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение.

{1,2,3…n}

Произвольная запись слева на право в определённом порядке данных n символов называется перестановкой

Р-число перестановок из n символов

Пара i, j образует инверсию, если большее стоит впереди меньшего(i>j)

Теорема: Все перестановки из n символов можно расположить

с лева на право последовательно так, что чётности соседних будут различны.

Доказывается с помощью леммы.

Лемма: Всякая перемена местами двух символов перестановки меняет её четность на противоположную.

Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.

Чётные перестановки = нечётные перестановки =

Подстановка из n символов.

Всякая подстановка записывается как двустрочная матрица, каждая строка является перестановкой из n символов.

Сумма чисел инверсий в обеих перестановках называется числом инверсий подстановки.

Если сумма чисел инверсий в двух строках чётно, то число инверсий подстановки чётно, а если нет, то нечётно.

Л юбую подстановку можно записать в стандартном виде.

34, 1  2, 2  1, 4  3

Детерминант порядка n – определитель.

Пусть дана матрица порядка n

(*)

Определение:

Определителем порядка n называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое слагаемое которой представляет из себя произведение n элементов определителя матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца определителя. При этом слагаемое берется со знаком “+”, если перестановка, составленная из номеров строк и номеров столбцов, входящих в это произведение – чётное и со знаком “-”, если она не четная.

(*) =

Разложение определителя 3-го порядка по строке и столбцу

Свойства определителя:

1. Определитель не меняется при транспонирование.

Следствие: всякое свойство, справедливое для строк, справедливо и для столбцов.

2. Если в определители есть строка, состоящая из 0, то определитель равен 0.

3. При перемене местами двух строк, определитель меняет знак.

4. Если в определители есть одинаковые строки, то он равен 0.

5. Общий множитель элементов любой строки можно выносить за знак определителя.

6. Если в определителе имеются пропорциональные строки, то определитель равен 0.

7. Если какая-то строка определителя представленна в виде суммы двух слагаемых(матричных строк) то определитель равен сумме двух определителей у которых все строки, кроме данной такие же как и в исходном определителе. А данная строка в первом слагаемом заменяется на первое слагаемое матричной строки, а во втором на вторую.

8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен 0.

9. Определитель не изменится, если к одной из его строк прибавить другую, его же, строку, предварительно умножив на любое число.

Миноры и алгебраические дополнения.

Определитель порядка k называется минором

1 k min

m=n A-квадратная матрица

Вычёркиваем выбранные k строк и k столбцов, остается (m-k) строк и столбцовю

M’- минор, оставшийся после отбрасывания выбрранных строк и столбцов.

M’ – дополнительный минор для M минора.

M’ – алгебраическое дополнение.

Теорема. Произведение любого минора |M| k-го порядка на его

алгебраическое дополнение в определителе является алгебраической суммой, слагаемые которой, получающиеся от умножения членов минора |М| на взятые со знаком (-1) Sm члены дополнительного минора |М’|, будут некоторыми членами определителя , причем их знаки в этой сумме совпадают с теми знаками, с какими они входят в состав определителя.

Доказательство. Доказательство этой теоремы начнем со случая, когда

минор |M| расположен в левом верхнем углу определителя:

т. е. в строках с номерами 1,2, …,k и в столбцах с такими же номерами.

Тогда минор |M‘| будет занимать правый нижний угол определителя. Число SM в этом случае будет четным:

SM =1+2+…+k+1+2+…+k=2(1+2+…k),

поэтому алгебраическим дополнением для |M| служит сам минор |M‘|.

Берем произвольный член

(1)

минора |M|; его знак в |M| будет , если l есть число инверсий в

подстановке

(2)

Произвольный член

(3)

минора |M‘| имеет в этом миноре знак , где l‘ есть число инверсий в подстановке

Перемножая члены (1) и (3), мы получим произведение n элементов

(4)

расположенных в разных строках и разных столбцах определителя; оно будет, следовательно, членом определителя . Знак члена (4) в

произведении |M||M‘| будет произведением знаков членов (1) и (3), т.е. . Такой же знак имеет, однако, член (4) и в определителе .

Действительно, нижняя строка подстановки

,

составленной из индексов этого члена, содержит лишь l+ l‘ инверсий, так как никакое  ни с одним не может составить инверсию: все не больше k, все не меньше k+1.

37. Определитель матрицы

Далее будем рассматривать только квадратные матрицы. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, называемое Определителем матрицы и вычисляемое по определенному правилу.

Определитель матрицы естественно возникает при решении систем линейных уравнений, или в свернутой форме , или в свернутой форме . Предыдущая формула получается разложением определителя по первой строке.

Возьмем теперь квадратную матрицу -го порядка

Для записи определителя -го порядка матрицы будем применять обозначения . При матрица состоит из одного элемента и ее определитель равен этому элементу. При получаем определитель .

Минором элемента матрицы называют определитель матрицы -го порядка, получаемого из матрицы вычеркиванием -той строки и -го столбца.

Пример 7. Найти минор матрицы:

.

По определению, минор элемента есть определитель матрицы, получаемой из матрицы вычеркиванием первой строки и второго столбца. Следовательно, .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента обозначается , следовательно, .

Пример 8. Найти алгебраическое дополнение элемента матрицы из примера 7.

.

Определителем квадратной матрицы -го порядка называется число:

Где ‑ элементы первой строки матрицы (9. 2), а их алгебраические дополнения.

Запись по формуле (9.3) называется Разложением определителя по первой строке.

Рассмотрим свойства определителей.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому определение определителя можно сформулировать так:

Определителем квадратной матрицы -го порядка называется число:

Где ‑ элементы первого столбца матрицы (9.2), а их алгебраические дополнения.

Свойство 2. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы , то ее определитель изменит знак на противоположный.

Свойства 1 и 2 позволяют обобщить формулы (9.3) и (9.4) следующим образом:

Определитель квадратной матрицы -го порядка (будем в дальнейшем говорить определитель -го порядка) равен сумме попарных произведений любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

, или .

Свойство 3. Определитель, у которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю.

Действительно, поменяем в определителе две одинаковые сроки местами. Тогда, по свойству 2 получим определитель , но с другой стороны, определитель не изменится, т. е. . Отсюда .

Свойство 4. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на число , то определитель умножится на .

.

Умножим элементы -той строки на . Тогда получим определитель:

.

Следствие 1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Определитель, у которого две строки (два столбца) пропорциональны, равен нулю.

Пусть -я строка пропорциональна -ой строке. Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 3 равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: у одного из них -той строкой (столбцом)служат первые слагаемые, а у другого – вторые.

Разложив определитель по -той строке получим:

.

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Прибавив к элементам -той строки определителя соответствующие элементы -ой строки, умноженные на число , получим определитель . Определитель равен сумме двух определителей: первый есть , а второй равен нулю, так как у него -тая и -тая строки пропорциональны.

Свойство 8. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т. е.:

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим вспомогательный определитель , который получается из данного определителя заменой -той строки -той строкой. Определитель равен нулю, так как у него две одинаковые строки. Разложив его по -той строке получим:

.

Большое значение имеет следующий критерий равенства определителя нулю. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если одна (один) из них является линейной комбинацией с действительными коэффициентами остальных.

Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих квадратных матриц, т. е. .

Что такое определитель матрицы? | Марсель Моосбруггер

Геометрическая интуиция, стоящая за детерминантами, может изменить ваше представление о них.

Marcel Moosbrugger

·

Follow

Опубликовано в

·

5 мин чтения

·

24 апр. 2021

Изображение автора (marcelmoos.com)

Вспоминая школьные годы, линейная алгебра была темой, которой я был особенно увлечен. Это дало мне умение решать большие системы линейных уравнений и геометрическую перспективу проблемы, что сделало весь процесс интуитивно понятным.

Однако, что касается определителей матриц, меня учили, что это числа для матриц, как их вычислять, и не более того. Только на курсах в университете я узнал красоту детерминантов.

Как только я узнал о геометрическом значении определителей, мне стало интересно, почему этому еще не учили в старшей школе, ведь это очень просто для понимания и поучительно.

В математике вопрос о том, как что-то вычислить, никогда не должен стоять на первом месте. Первый вопрос всегда: «Что это ТАКОЕ на самом деле?». Только тогда мы должны спросить: «Хорошо, теперь, когда мы знаем, что это такое, как мы можем это вычислить». Возьмем, к примеру, производные, поскольку большинство из нас знает, что такое производные:

Для заданной функции ее производной является ее наклон или скорость изменения.

Это такое простое описание. Тем не менее, определение производных таким образом очень мощно и освобождающе. Мы понимаем, что такое производная, независимо от конкретной функции или размерности функции и независимо от того, как ее вычислить. Фактическое вычисление производных сильно различается между разными функциями. Однако фундаментальный смысл производных связывает все воедино и вносит порядок в хаос.

Ни один учитель не стал бы знакомить учащихся с производными, например: «Для заданной функции производная — это просто еще одна функция, и вот как вы ее вычисляете…». Тем не менее, для определителей матриц такие объяснения, по-видимому, широко распространены. Определять детерминанты по их геометрическому смыслу, а не просто по некоторым числам, так же эффективно, как думать о производных как о наклонах, а не только как о функциях.

Прежде чем углубиться в детерминанты, давайте быстро вспомним, для чего они предназначены: Матрицы.

Матрица — это таблица чисел, представляющая линейную функцию , принимающую вектор в качестве входных данных и производящую другой вектор в качестве выходных:

Вместо матрицы, преобразующей один единственный вектор, мы также можем представить все) векторов одновременно:

Видишь? Похоже, что выбранная нами матрица растягивает пространство на расстояние . Какую бы область во входном пространстве мы ни выбрали, кажется, что после преобразования площадь становится больше. Это именно то, что является определителем!

Определитель матрицы — это коэффициент, на который площади масштабируются этой матрицей.

Поскольку матрицы представляют собой линейных преобразований, достаточно знать коэффициент масштабирования для одной отдельной области, чтобы знать коэффициент масштабирования для всех областей. Вернемся к нашему примеру:

Прямоугольник, вписанный розовым и синим единичными векторами и имеющий площадь 1. После применения нашего матричного преобразования этот прямоугольник превратился в параллелограмм с основанием 9.0065 2 и высота 2. Таким образом, имеет площадь 4. Это означает, что наша матрица масштабирует площади с коэффициентом 4 . Следовательно, определитель нашей матрицы равен 4 . Аккуратно, не так ли?

В этой истории есть одна оговорка: определители могут быть отрицательными! Если мы начнем с площади 1 и масштабируем ее с отрицательным коэффициентом, мы получим отрицательную площадь. А отрицательные области — ерунда. Итак, как мы можем понять наше красивое геометрическое определение при наличии отрицательных определителей? К счастью, исправление простое: если матрица имеет отрицательный определитель, скажем -2, площади масштабируются на 2. Минус просто означает, что пространство изменило свою ориентацию. «Что это теперь вообще значит?», спросите вы с полным правом. Давайте посмотрим:

Мы видим, что данная матрица масштабирует площади в 2 раз. Если мы посмотрим внимательно, то заметим, что синий вектор был справа от розового вектора, но оказался слева. Вот что значит «пространство изменило свою ориентацию». Поэтому определитель матрицы не равен 2 но -2 . Включая отрицательные определители, мы получаем полную картину:

Определитель матрицы — это знаковый коэффициент, на который площади масштабируются этой матрицей. Если знак отрицательный, матрица меняет ориентацию.

Все наши примеры были двумерными. Трудно рисовать многомерные графики. Геометрическое определение определителей применимо к высшим измерениям точно так же, как и к двум. В трехмерном пространстве определителем является масштабный коэффициент со знаком для объемов и даже в более высоких измерениях для гиперобъемов.

Имея это новое геометрическое определение определителей , мы можем легко решать задачи , с которыми без него было бы гораздо труднее справиться . Например, вы могли слышать или не слышать следующий факт:

Если определитель матрицы равен 0, она необратима.

Необратимость матрицы означает, что преобразование, которое представляет матрица, не может быть отменено или отменено. Если бы мы знали только, как вычисляются определители, и ничего не знали об их геометрическом значении, обосновать этот факт было бы сложно. В отличие от этого, используя нашу недавно установленную интуицию относительно определителей, объяснить, почему это верно, становится не так сложно:

Допустим, у нас есть матрица с определителем 0 . Это означает, что матрица масштабирует все области с коэффициентом 0 , что, в свою очередь, означает, что после преобразования все области становятся равными 0 . Это может произойти только в том случае, если матрица сжимает все пространство в более низкое измерение. Например, двумерное пространство будет сжато в одну линию или точку, и такое преобразование нельзя будет отменить.

Достигнув этого момента, мы можем собой гордиться. Мы ввели определители матриц как коэффициенты масштабирования площади и сумели обосновать известное свойство матриц и определителей. И все это мы сделали, даже не задумываясь о том, как вычисляются определители. Но этот вопрос в любом случае должен быть второстепенным.

Эта история показалась вам интересной? Вы можете поддержать меня, став участником Medium здесь: medium.com/@mmsbrggr/membership. Вы получите доступ ко всему Medium, и часть вашего членского взноса пойдет на прямую поддержку моего письма.

Не стесняйтесь обращаться ко мне с личными вопросами и комментариями в LinkedIn. Если вам понравился пост, дайте мне знать о моем информационном бюллетене: marcelmoos.com/newsletter.

Детерминанты: определение

Цели

1. Изучите определение определителя.
2. Научитесь находить на глаз матрицу с нулевым определителем и вычислять определители матриц верхнего и нижнего треугольников.
3. Изучите основные свойства определителя и способы их применения.
4. Рецепт: вычислить определитель, используя операции со строками и столбцами.
5. Теоремы: теорема существования, свойство обратимости, свойство мультипликативности, свойство транспонирования.
6. Словарные слова: диагональные , верхнетреугольные , нижнетреугольные , транспонированные .
7. Основное словарное слово: определитель .

В этом разделе мы определяем определитель и представляем один из способов его вычисления. Затем мы обсудим некоторые из многих замечательных свойств, которыми обладает определитель.

Определитель квадратной матрицы A является вещественным числом det(A). Он определяется своим поведением по отношению к операциям со строками; это означает, что мы можем использовать сокращение строк для его вычисления. Мы дадим рекурсивную формулу для определителя в разделе 4. 2. В этом подразделе мы также покажем, что определитель связан с обратимостью, а в разделе 4.3 — с объемами.

Определение

Определитель является функцией

det:CsquarematrixD−→R

, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Выполнение замены строки в A не меняет det(A).
2. Масштабирование строки A скаляром c умножает определитель на c.
3. При перестановке двух строк матрицы определитель умножается на −1.
4. Определитель единичной матрицы In равен 1.

Другими словами, каждой квадратной матрице A мы присваиваем число det(A) способом, который удовлетворяет указанным выше свойствам.

В каждом из первых трех случаев выполнение надстрочной операции над матрицей масштабирует определитель на ненулевое число . (Умножение строки на ноль не является операцией со строками.) Следовательно, выполнение операций со строками над квадратной матрицей A не меняет того, равен ли определитель нулю.

Основная мотивация использования этих конкретных определяющих свойств носит геометрический характер: см. раздел 4.3. Еще одна причина для этого определения заключается в том, что оно говорит нам, как вычислить определитель: мы уменьшаем количество строк и отслеживаем изменения.

Пример

Вычислим detA2114B. Сначала уменьшаем строку, затем вычисляем определитель в обратном порядке:

M2114Ndet=7R1 ←→R2——-→M1421Ndet=-7R2=R2-2R1——-→M140-7Ndet=-7R2=R2÷-7——-→ M1401Ndet=1R1=R1-4R2——-→M1001Ndet=1

Сокращенная эшелонная форма строки матрицы представляет собой единичную матрицу I2, поэтому ее определитель равен 1. Предпоследним шагом в сокращении строки была замена строки, поэтому вторая конечная матрица также имеет определитель 1. Предыдущий шаг в сокращение строки было масштабированием строки на -1/7; поскольку (определитель второй матрицы, умноженный на -1/7) равен 1, определитель второй матрицы должен быть равен -7. Первым шагом в сокращении строк была замена строк, поэтому определитель первой матрицы отрицателен, как определитель второй. Таким образом, определитель исходной матрицы равен 7,9.0005

Обратите внимание, что наш ответ согласуется с этим определением определителя.

Пример

Пример

Вот общий метод вычисления определителей с использованием редукции строк.

Рецепт: вычисление определителей путем редукции строк

Пусть A — квадратная матрица. Предположим, что вы выполняете некоторое количество операций со строками над A, чтобы получить матрицу B в форме эшелона строк. Затем

det(A)=(−1)r·(произведение диагональных элементов B)(произведение использованных коэффициентов масштабирования),

, где r — количество выполненных перестановок строк.

Другими словами, определитель A является произведением диагональных вхождений формы эшелона строк B, умноженных на коэффициент ±1, полученный из числа сделанных вами перестановок строк, деленное на произведение коэффициентов масштабирования, используемых в сокращение ряда.

Пример

Пример

Пример (Определитель матрицы 2 × 2)

Воспользуемся рецептом для вычисления определителя общей матрицы 2×2 A=AabcdB.

• Если а=0, то

  detMabcdN=detM0bcdN=-detMcd0bN=-bc.

• Если аВ=0, то

  detMabcdN=a·detM1b/acdN=a·detM1b/a0d-c·b/aN=a·1·(d-bc/a)=ad-bc.

В любом случае мы восстанавливаем формулу из раздела 3.5:

detMabcdN=ad-bc.

Если матрица уже имеет форму эшелона строк, то вы можете просто прочитать определитель как произведение диагональных элементов. Оказывается, это верно для немного большего класса матриц, называемого треугольный .

Определение

• диагональных элементов матрицы A — это элементы a11,a22,…:a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34GKIHLJa11a12a13a21a22a23a31a32a33a41a42a43GK KKIHLLLJдиагональные входы
• Квадратная матрица называется верхнетреугольной , если все ее ненулевые элементы лежат выше диагонали, и называется нижнетреугольной , если все ее ненулевые элементы лежат ниже диагонали. Называется диагональ , если все его ненулевые элементы лежат на диагонали, т. е. если он одновременно является верхнетреугольным и нижнетреугольным. AAAA0AAA00AA000AGKKKIHLLLJверхний треугольныйA000AA00AAA0AAAAGKKKIHLLLJнижний треугольныйA0000A0000A0000AGKKKIHLLLJдиагональный

Предложение

Пусть A — матрица размера n × n.

1. Если A имеет нулевую строку или столбец, то det(A)=0.
2. Если A является верхнетреугольным или нижнетреугольным, то det(A) является произведением его диагональных элементов.

Доказательство

1. Предположим, что A имеет нулевую строку. Пусть B — матрица, полученная инвертированием нулевой строки. Тогда det(A)=-det(B) по второму определяющему свойству. Но A=B, поэтому det(A)=det(B):

   E123000789FR2=-R2—-→E123000789F.

   Если сложить их вместе, получится det(A)=−det(A), поэтому det(A)=0.

   Теперь предположим, что A имеет нулевой столбец. Тогда A необратима по теореме об обратимой матрице из раздела 3.6, так что ее редуцированная ступенчатая форма строк имеет нулевую строку. Поскольку операции со строками не меняются, если определитель равен нулю, мы заключаем, что det(A)=0.

2. Сначала предположим, что A является верхнетреугольным и что один из диагональных элементов равен нулю, скажем, aii=0. Мы можем выполнять операции со строками, чтобы очистить записи над ненулевыми диагональными записями:

   GKIa11AAA0a22AA000A000a44HLJ−−−→GKIa110A00a22A00000000a44HLJ

   В результирующей матрице i-я строка равна нулю, поэтому det(A)=0 по первой части.

   По-прежнему предполагая, что A является верхнетреугольным, теперь предположим, что все диагональные элементы A отличны от нуля. Затем A можно преобразовать в единичную матрицу, масштабируя диагональные элементы и затем выполняя замену строк:

   EaAA0bA00cFscalebya-1,b-1,c-1——-→E1AA01A001Frowreplacements——-→E100010001Fdet=abc ←———det=1 ←——- −det=1

   Поскольку det(In)=1, и мы масштабировали по обратным величинам диагональных элементов, отсюда следует, что det(A) является произведением диагональных элементов.

   Тот же аргумент работает для нижних треугольных матриц, за исключением того, что замены строк идут вниз, а не вверх.

Пример

Матрица всегда может быть преобразована в ступенчатую форму с помощью ряда операций над строками, а матрица в ступенчатой ​​форме строк является верхнетреугольной. Таким образом, мы полностью оправдали рецепт вычисления определителя.

Определитель характеризуется своими определяющими свойствами, поскольку мы можем вычислить определитель любой матрицы, используя сокращение строк, как в приведенном выше рецепте. Однако мы еще не доказали существование функции, удовлетворяющей определяющим свойствам! Сокращение строк будет вычислять определитель , если он существует , но мы не можем использовать сокращение строк, чтобы доказать существование, потому что мы еще не знаем, что вы вычисляете одно и то же число путем сокращения строк двумя разными способами.

Теорема (Существование определителя)

Существует одна и только одна функция из набора квадратных матриц для действительных чисел, которая удовлетворяет четырем определяющим свойствам.

Мы докажем теорему существования в разделе 4.2, представив рекурсивную формулу для определителя. Опять же, реальное содержание теоремы существования таково:

Независимо от того, какие операции со строками вы выполняете, вы всегда будете вычислять одно и то же значение для определителя.

В этом подразделе мы обсудим ряд удивительных свойств, которыми обладает определитель: свойство обратимости, свойство мультипликативности и свойство транспонирования.

Свойство обратимости

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда det(A)B=0.

В силу свойства обратимости матрица, которая не удовлетворяет ни одному из свойств теоремы об обратимой матрице из раздела 3.6, имеет нулевой определитель.

Следствие

Пусть A — квадратная матрица. Если строки или столбцы A линейно зависимы, то det(A)=0.

В частности, если две строки/столбца A кратны друг другу, то det(A)=0. Мы также восстанавливаем тот факт, что матрица со строкой или столбцом нулей имеет нулевой определитель.

Пример

Доказательства свойства мультипликативности и свойства транспонирования ниже, а также теоремы о разложении кофакторов в разделе 4.2 и теоремы об определителях и объемах в разделе 4.3 используют следующую стратегию: определить другую функцию d: {n×nmatrices}→R , и докажите, что d удовлетворяет тем же четырем определяющим свойствам, что и определитель. По теореме существования функция d равна определителю . В этом преимущество определения функции через ее свойства: чтобы доказать, что она равна другой функции, нужно только проверить определяющие свойства.

Свойство мультипликативности

Если A и B матрицы размера n×n, то

det(AB)=det(A)det(B).

Напомним, что взять степень квадратной матрицы A означает взять произведение A на себя:

А2=ААА3=АААи т.д.

Если A обратим, то мы определяем

А-2=А-1А-1А-3=А-1А-1А-1 и т. д.

Для полноты мы устанавливаем A0=In, если AB=0.

Следствие

Если A — квадратная матрица, то

дет(Ан)=дет(А)n

для всех n≥1. Если A обратим, то уравнение верно и для всех n≤0; в частности,

det(A−1)=1det(A).

Пример

Вот еще одно применение свойства мультипликативности.

Следствие

Пусть A1,A2,…,Ak — матрицы размера n × n. Тогда произведение A1A2···Ak обратимо тогда и только тогда, когда обратимо каждое Ai.

Доказательство

Определитель произведения есть произведение определителей по свойству мультипликативности:

det(A1A2···Ak)=det(A1)det(A2)···det(Ak).

По свойству обратимости это не равно нулю тогда и только тогда, когда A1A2···Ak обратим. С другой стороны, det(A1)det(A2)···det(Ak) отличен от нуля тогда и только тогда, когда каждый det(Ai)B=0, что означает, что каждый Ai обратим.

Пример

Для определения свойства транспонирования нам необходимо определить транспонирование матрицы.

Определение

Транспонирование матрицы A размера m×n представляет собой матрицу размера n×m AT, строки которой являются столбцами матрицы A. Другими словами, элемент ij матрицы AT равен aji.

a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34GKKIHLLJAa11a21a31a12a22a32a13a23a33a14a24a34GKKKKKIHLLLLLJATBip

Как и инверсия, транспозиция меняет порядок умножения матриц на обратный.

Факт

Пусть A — матрица размера m×n, а B — матрица размера n×p. Затем

(АВ)Т=БТАТ.

Транспонировать свойство

Для любой квадратной матрицы A мы имеем

дет(А)=дет(А).

Свойство транспонирования очень полезно. Отметим для конкретности, что det(A)=det(AT) означает, например, что

detE123456789F=detE147258369F.

Это означает, что у определителя есть любопытная особенность, заключающаяся в том, что он также хорошо ведет себя по отношению к операциям со столбцом . В самом деле, операция со столбцом над A аналогична операции над строкой над AT, и det(A)=det(AT).

Следствие

Определитель удовлетворяет следующим свойствам в отношении операций со столбцами:

1. Выполнение замены столбца в A не меняет det(A).
2. Масштабирование столбца A скаляром c умножает определитель на c.
3. При перестановке двух столбцов матрицы определитель умножается на −1.

Предыдущее следствие упрощает вычисление определителя: при упрощении матрицы можно выполнять строк и операций со столбцами. (Конечно, нужно еще следить за тем, как операции со строками и столбцами изменяют определитель.)

Пример

Мультилинейность

Резюме: Магические свойства определителя

1. Существует одна и только одна функция det:{n×nmatrices}→R, удовлетворяющая четырем определяющим свойствам.
2. Определитель верхнетреугольной или нижнетреугольной матрицы является произведением диагональных элементов.
3. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда det(A)B=0; в этом случае, det(A−1)=1det(A).
4. Если A и B матрицы размера n×n, то

   det(AB)=det(A)det(B).

5. Для любой квадратной матрицы A имеем

   дет(АТ)=дет(А).

Mathway | Популярные задачи

1	Найти объем	сфера (5)	
2	Найти площадь	окружность (5)	
3	Найти площадь поверхности	сфера (5)	
4	Найти площадь	окружность (7)	
5	Найти площадь	окружность (2)	
6	Найти площадь	окружность (4)	
7	Найти площадь	окружность (6)	
8	Найти объем	сфера (4)	
9	Найти площадь	окружность (3)	
10	Вычислить	(5/4(424333-10220^2))^(1/2)
11	Разложить на простые множители	741
12	Найти объем	сфера (3)	
13	Вычислить	3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
14	Найти площадь	окружность (10)	
15	Найти площадь	окружность (8)	
16	Найти площадь поверхности	сфера (6)	
17	Разложить на простые множители	1162
18	Найти площадь	окружность (1)	
19	Найти длину окружности	окружность (5)	
20	Найти объем	сфера (2)	
21	Найти объем	сфера (6)	
22	Найти площадь поверхности	сфера (4)	
23	Найти объем	сфера (7)	
24	Вычислить	квадратный корень из -121
25	Разложить на простые множители	513
26	Вычислить	квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
27	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2)	
28	Найти длину окружности	окружность (6)	
29	Найти длину окружности	окружность (3)	
30	Найти площадь поверхности	сфера (2)	
31	Вычислить	2 1/2÷22000000
32	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)	
33	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10)	
34	Найти длину окружности	окружность (4)	
35	Перевести в процентное соотношение	1. 2-4*-1+2
45	Разложить на простые множители	228
46	Вычислить	0+0
47	Найти площадь	окружность (9)	
48	Найти длину окружности	окружность (8)	
49	Найти длину окружности	окружность (7)	
50	Найти объем	сфера (10)	
51	Найти площадь поверхности	сфера (10)	
52	Найти площадь поверхности	сфера (7)	
53	Определить, простое число или составное	5
54	Перевести в процентное соотношение	3/9
55	Найти возможные множители	8
56	Вычислить	(-2)^3*(-2)^9
57	Вычислить	35÷0. 2
60	Преобразовать в упрощенную дробь	2 1/4
61	Найти площадь поверхности	сфера (12)	
62	Найти объем	сфера (1)	
63	Найти длину окружности	окружность (2)	
64	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12)	
65	Сложение	2+2=
66	Найти площадь поверхности	прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3)	
67	Вычислить	корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7
68	Вычислить	7/40+17/50
69	Разложить на простые множители	1617
70	Вычислить	27-( квадратный корень из 89)/32
71	Вычислить	9÷4
72	Вычислить	2+ квадратный корень из 21
73	Вычислить	-2^2-9^2
74	Вычислить	1-(1-15/16)
75	Преобразовать в упрощенную дробь	8
76	Оценка	656-521
77	Вычислить	3 1/2
78	Вычислить	-5^-2
79	Вычислить	4-(6)/-5
80	Вычислить	3-3*6+2
81	Найти площадь поверхности	прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)	
82	Найти площадь поверхности	сфера (8)	
83	Найти площадь	окружность (14)	
84	Преобразовать в десятичную форму	11/5
85	Вычислить	3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6
86	Вычислить	(11/-7)^4
87	Вычислить	(4/3)^-2
88	Вычислить	1/2*3*9
89	Вычислить	12/4-17/-4
90	Вычислить	2/11+17/19
91	Вычислить	3/5+3/10
92	Вычислить	4/5*3/8
93	Вычислить	6/(2(2+1))
94	Упростить	квадратный корень из 144
95	Преобразовать в упрощенную дробь	725%
96	Преобразовать в упрощенную дробь	6 1/4
97	Вычислить	7/10-2/5
98	Вычислить	6÷3
99	Вычислить	5+4
100	Вычислить	квадратный корень из 12- квадратный корень из 192

Корень и его свойства — intmag24.

ru

Тема в математике «Корень и его свойства» нередко вызывает затруднения у школьников, особенно при решении примеров. В данной статье описаны основные свойства корней, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления. Наглядные примеры помогаю понять, как решать задания с корнями.

Определение «Корень»

 Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если число a возвести во вторую степень (в квадрат).
Например, √64 = 8 (√64 равно числу 8).

Формула: √a² = a

Число, стоящее под знаком корня, называется подкоренным числом. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его называют подкоренным выражением.
Свойство квадратного корня: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа, так как возведение числа в квадрат будет всегда неотрицательным числом.

Извлечение корней: примеры

Извлечь корень — значит найти значение корня (то есть найти число, при возведении которого в степень, получается подкоренное значение).
Например, извлечь корень из 64 – значит найти √64.

Найти корень из числа можно одним из следующих способов:

• Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д. В данном случае нужно просто найти нужное число в таблице и посмотреть, какому значению оно соответствует.

• Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители.
  Порядок нахождения корня в этом случае будет следующим:
  1. Разложение подкоренного значения на простые множители,
  2. Объединение одинаковых множителей и их представление в виде степени с необходимым показателем.
  Например, √144 = √2х2х2х2х3х3 = √(2х2)х(2х2)х(3х3) = √2²х2²х3² = √12² = 12
  3. В случае, если невозможно найти корень из числа, то можно упростить подкоренное выражение (число). В этом случае применяется следующее правило: корень из произведения чисел равен произведению корней этих чисел.
  Например, √72 = √2х2х2х3х3 = √(2х2)х2х(3х3) = √2²х2х3² = √6²х2 = 6√2
• Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.
  Например, √130=√13х5х2 – упростить нельзя.

• Извлечение корня из дроби. В этом случае применяются следующие правила:
  1. дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби;
  2. корень из дроби равен частному от деления корня числителя на корень знаменателя.
  Например, √3,24 = √324/100 = √81/25 = √81 / √25 = 9/5 = 1,8.
• Извлечение нечетной степени из отрицательных чисел. Чтобы извлечь корень нечетной степени из отрицательного числа необходимо извлечь его из положительного числа и поставить перед ним знак минус.
  Например, чтобы найти корень третьей степени из (-125), нужно найти корень третьей степени из 125 (будет 5) и подставить знак минуса (будет -5).

Скачать программу «Корни квадратные», которая формирует задания на вычисление квадратных корней, в том числе: приведение, сложение, вычитание, умножение и деление.

Приведение корней с разными показателями

Для того, чтобы упростить выражение с корнями, которое содержит корни разных степеней, необходимо привести все корни к одной степени.

Для этого воспользуемся следующим свойством дроби: a = ⁿ√aⁿ.

Например, есть квадратный корень (второй степени √2 ) и кубический корень (третьей степени ³√3).
Во-первых, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для степеней. В нашем примере НОК=6 (2х3).
Во-вторых, применим свойство a = ⁿ√aⁿ: √2 = ²√2 = ⁶√2³ = ⁶√8; ³√3 = ⁶√3² = ⁶√9
Получилось два корня одинаковой степени, с которыми можно совершать различные математические действия.

Корень: сложение и вычитание корней

Основное правила сложения и вычитания квадратных корней: сложение и вычитание квадратного корня возможны только при условии одинакового подкоренного выражения. 

Примеры:
2√3 + 3√3 = 5√3
2√3 + 2√4 – не выполняется.

При этом, нужно рассмотреть возможность упростить выражения.
Пример: 2√3 + 3√12 = 2√3 + 3√2х2х3 = 2√3 + 3√ 2²х3 = 2√3 + 6√3 = 8√3.

Алгоритм действия:
1. Упростить подкоренное выражение путем разложения на простые множители.
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. 
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Корень: умножение

Умножение корней без множителей

Произведение корней из чисел равно корню из произведения этих чисел.
√a*b=√a*√b
Важно: между собой можно умножать только одинаковые степени корней, то есть можно умножить один квадратный корень на другой, но нельзя умножить квадратный корень на корень кубической степени.
Примеры:
√2 х √3 = √6
√6 х √3 = √18 = √3х3х2 = 3√2

Умножение корней с множителями

При умножении корней с множителями нужно отдельно перемножить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно перемножать между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени (см. умножение корней без множителей). В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Примеры:
3√2 х √5 = (3х1) √(2*5) = 3√10
4√2 х 3√3 = (3х4) √(2х3) = 12√6

Корень: деление

Основной правило деления —  подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители.
√a:b=√a:√b
В процессе деления квадратных корней дроби упрощаются.

Деление корней без множителей

Частное корней из чисел равно корню из частного этих чисел.
Важно: между собой можно делить только одинаковые степени корней, то есть можно делить один квадратный корень на другой, но нельзя делить квадратный корень на корень кубической степени.
Пример. √21:√3=√21:3=√7

Деление квадратных корней с множителями

При делении корней с множителями нужно отдельно разделить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно делить между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени. В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Пример. 12√32 : 6√16 = (12:6) √(32:16) = 2√2.

Примеры для практики

Скачать программу «Корни квадратные», которая формирует задания на вычисление квадратных корней, в том числе: приведение, сложение, вычитание, умножение и деление.

Квадратные и кубические корни

Примечание:   Квадратные и кубические корни, а также операции с ними часто включаются в книги по алгебре.

Чтобы найти квадратный корень из числа, вам нужно найти число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Другими словами, чтобы найти квадратный корень из 25, вам нужно найти число, которое при умножении само на себя дает 25. Таким образом, квадратный корень из 25 равен 5. Символом для квадратного корня является . Ниже приведен неполный список совершенных (целых) квадратных корней.

Примечание:   Если перед квадратным корнем не стоит знак (или знак плюс), требуется положительный ответ. Отсутствие знака означает, что позитив понят. Отрицательный ответ требуется только в том случае, если перед квадратным корнем стоит знак минус. Это обозначение используется во многих текстах, а также в этой книге. Следовательно,

Чтобы найти кубический корень числа, вам нужно найти некоторое число, которое при двукратном умножении само на себя дает исходное число. Другими словами, чтобы найти кубический корень из 8, нужно найти число, которое при двукратном умножении само на себя дает 8. Таким образом, кубический корень из 8 равен 2, поскольку 2 × 2 × 2 = 8. Обратите внимание, что символом кубического корня является подкоренной знак с маленькой тройкой (называемой индексом) сверху и слева, . Аналогично определяются и идентифицируются другие корни по заданному индексу. (В квадратном корне индекс 2 понимается и обычно не записывается.) Ниже приводится неполный список совершенных (целых) кубических корней.

Чтобы найти квадратный корень из числа, не являющегося полным квадратом, необходимо найти приблизительный ответ, используя процедуру, приведенную в примере .

Приблизительно.

находится между  и 

и 

Следовательно,

Поскольку 42 находится почти посередине между 36 и 49,  это почти посередине между и . То есть примерно 6,5. Для проверки умножьте следующее:

6,5 × 6,5 = 42,25 или около 42,

Приблизительно.

Поскольку немного ближе к , чем к , 

Проверьте ответ.

Приблизительно.

Сначала проведите операцию под радикалом.

Поскольку немного ближе к , чем к .

Квадратные корни несовершенных квадратов можно аппроксимировать, найти в таблицах или найти с помощью калькулятора. Вы можете иметь в виду эти два, потому что они обычно используются.

Иногда вам придется упростить квадратных корня или записать их в простейшей форме. В дробях  можно упростить до . Квадратные корни можно упростить до .

Существует два основных метода упростить квадратный корень .

Метод 1:

Разложите число под   на два множителя, один из которых представляет собой максимально возможный правильный квадрат. (Совершенные квадраты — это 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т. д.)

Метод 2:

Полностью разложите число под  на простые множители, а затем упростите, выделив все множители, которые шли парами.

Упростить .

Метод 1.

Извлеките квадратный корень из числа

в совершенном квадрате.

Наконец, запишите это как одно выражение.

Метод 2.

Переписать парами под корнем

В Примере самый большой правильный квадрат легко увидеть, и метод 1, вероятно, является более быстрым методом.

Упростить .

Метод 1.

Метод 2.

В Примере не так очевидно, что самый большой полный квадрат равен 144, поэтому метод 2, вероятно, является более быстрым.

Упростить .

Метод 1.

Метод 2.

Запомните:   Большинство квадратных корней не могут быть упрощены, поскольку они уже представлены в простейшей форме, например , , .

Квадратные и кубические корни | Показатели 9{2}\) (квадратный сантиметр), то стороны этого квадрата равны \(8 \text{ см}\).

Посмотрите на первые десять положительных квадратных чисел.

9{2}$$

Номер	$$\mathbf{1}$$	$$\mathbf{2}$$	$$\mathbf{3}$$	$$\mathbf{4}$$	$$\mathbf{5}$$	$$\mathbf{6}$$	$$\mathbf{7}$$	$$\mathbf{8}$$	$$\mathbf{9}$$	$$\mathbf{10}$$
Умножить на себя	$$1 \раз 1$$	$$2 \ умножить на 2$$	$$3\умножить на 3$$	$$4 \ умножить на 4$$	$$5 \умножить на 5$$
Квадрат	$$1$$	$$4$$	$$9$$	$$16$$	$25$$	$36$$	$49$$	$64$$	$81$$	$100$$

Видите закономерность в последней строке таблицы выше?

\[4 — 1 = 3\] \[9 — 4 = 5\] \[16 — 9 = 7\] \[25 — 16 = 9\] \[36 — 25 =\текст{ ?}\]

Разница между последовательными квадратными числами всегда является нечетным числом.

Чтобы найти квадратный корень из числа, мы задаем вопрос: какое число было умножено само на себя, чтобы получить квадрат?

Квадратный корень из \(16\) равен \(4\), потому что \(4 \умножить на 4 = 16\).

Вопрос: «Какое число умножили само на себя, чтобы получить \(16\)?» записывается математически как \(\sqrt{16}\).

Ответ на этот вопрос записывается как \(\sqrt{16} = 4\).

Посмотрите на первые двенадцать квадратных чисел и их квадратные корни.

{3}\) (кубических сантиметров), то стороны этого куба равны \(3 \text{ см}\).

Посмотрите на первые десять положительных кубических чисел.

Номер	$$\mathbf{1}$$	$$\mathbf{4}$$	$$\mathbf{9}$$	$$\mathbf{16}$$	$$\mathbf{25}$$	$$\mathbf{36}$$	$$\mathbf{49}$$	$$\mathbf{64}$$	$$\mathbf{81}$$	$$\mathbf{100}$$	$$\mathbf{121}$$	$$\mathbf{144}$$
Квадратный корень	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$	$$6$$	$$7$$	$$8$$	$$9$$	$$10$$	$$11$$	$12$$
Чек	$$1 \раз 1$$	$$2 \раз 2$$	$$3\умножить на 3$$	$$4 \ умножить на 4$$	$$5 \умножить на 5$$	$$6 \умножить на 6$$	$$7 \умножить на 7$$	$$8 \ умножить на 8$$	$$9 \ умножить на 9$$	$$10\умножить на 10$$	$$11\умножить на 11$$	$$12 \ умножить на 12$$

Номер	$$\mathbf{1}$$	$$\mathbf{2}$$	$$\mathbf{3}$$	$$\mathbf{4}$$	$$\mathbf{5}$$	$$\mathbf{6}$$	$$\mathbf{7}$$	$$\mathbf{8}$$	$$\mathbf{9}$$	$$\mathbf{10}$$
Умножить на себя дважды	$$1 \раз 1\раз 1$$	$$2 \times 2 \times 2$$	$$3 \раз 3\раз 3$$	$$4 \раз 4\раз 4$$	$$5 \раз 5 \раз 5$$ 9{3}$$
Куб	$$1$$	$$8$$	$27$$	$64$$	$125$$	$216$$	$343$$	$$512$$	$729$$	$1000$$

Чтобы найти кубический корень числа, задаем вопрос: Какое число было умножено само на себя и еще раз на самому получить куб?

Кубический корень из \(64\) равен \(4\), потому что \(4 \умножить на 4 \умножить на 4 = 64\).

Вопрос: «Какое число умножили на себя и еще раз на себя (или возвели в куб), чтобы получить \(64\)?» математически записывается как \(\sqrt[3]{64}\).

Ответ на этот вопрос записывается как \(\sqrt[3]{64} = 4\).

Посмотрите на первые десять кубических чисел и их кубические корни.

Номер	$$\mathbf{1}$$	$$\mathbf{8}$$	$$\mathbf{27}$$	$$\mathbf{64}$$	$$\mathbf{125}$$	$$\mathbf{216}$$	$$\mathbf{343}$$	$$\mathbf{512}$$	$$\mathbf{729}$$	$$\mathbf{1 000}$$
Кубический корень	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$	$$6$$	$$7$$	$$8$$	$$9$$	$$10$$
Чек	$$1 \раз 1\раз 1$$	$$2 \times 2 \times 2$$	$$3 \раз 3\раз 3$$	$$4 \раз 4\раз 4$$	$$5 \умножить на 5 \умножить на 5$$	$$6 \умножить на 6 \умножить на 6$$	$$7\раз 7\раз 7$$	$$8 \x 8 \times 8$$	$$9\раз 9 \раз 9$$	$$10\х10\х10$$

Иногда нужно произвести некоторые вычисления, чтобы найти корень.

Рабочий пример 3.6: Нахождение квадратных корней

Упростите и вычислите квадратный корень.

1. \[\sqrt{4 \times 5 — 4}\]
2. \[\sqrt{3 \times (10 + 2)}\]
3. \[\sqrt{120 — 10 \умножить на 2}\]
4. \[\sqrt{33\\раз\3 + 1}\]

Сначала вычислите квадратный корень.

1. \[\sqrt{4 \times 5 — 4} = \sqrt{20 — 4} = \sqrt{16}\]
2. \[\sqrt{3 \times (10 + 2)} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36}\]
3. \[\sqrt{120 — 10 \times 2} = \sqrt{120 — 20} = \sqrt{100}\]
4. \[\sqrt{33 \times 3 + 1} = \sqrt{99 + 1} = \sqrt{100}\]

Найдите квадратный корень из ответа.

1. \[\sqrt{16} = 4\]
2. \[\sqrt{36} = 6\]
3. \[\sqrt{100} = 10\]
4. \[\sqrt{100} = 10\]

Рабочий пример 3.

7: Нахождение кубических корней

Упрости и найди кубический корень.

1. \[\sqrt[3]{200 + 16}\]
2. \[\sqrt[3]{1000 — 271}\]
3. \[\sqrt[3]{500 + 500}\]
4. \[\sqrt[3]{13 + 26 + 25}\]

Сначала выполните вычисления с кубическим корнем.

1. \[\sqrt[3]{200 + 16} = \sqrt[3]{216}\]
2. \[\sqrt[3]{1000 — 271} = \sqrt[3]{729}\]
3. \[\sqrt[3]{500 + 500} = \sqrt[3]{1000}\]
4. \[\sqrt[3]{13 + 26 + 25} = \sqrt[3]{64}\]

Найдите кубический корень ответа.

1. \[\sqrt[3]{216} = 6\]
2. \[\sqrt[3]{729} = 9\]
3. \[\sqrt[3]{1000} = 10\]
4. \[\sqrt[3]{64} = 4\]

Упражнение 3. 8. Нахождение квадратных корней дробей и десятичные дроби

Запишите дробь как произведение двух равных множителей для извлечения квадратного корня.

1. \[\фракция{81}{121}\]
2. \[\фракция{64}{81}\]
3. \[\фракция{49}{169}\]
4. \[\фракция{100}{225}\]

Мы знаем, что для нахождения квадратного корня нужно найти число, которое при умножении само на себя дает квадрат. В этом примере мы ищем произведение двух одинаковых дробей.

1. \[\frac{81}{121} = \frac{9\times 9}{11 \times 11} = \frac{9}{11} \times \frac{9}{11}\]
2. \[\frac{64}{81} = \frac{8 \times 8}{9 \times 9} = \frac{8}{9} \times \frac{8}{9}\]
3. \[\frac{49}{169} = \frac{7 \times 7}{13 \times 13} = \frac{7}{13} \times \frac{7}{13}\]
4. \[\frac{100}{225} = \frac{10 \times 10}{15 \times 15} = \frac{10}{15} \times \frac{10}{15}\]

Вы видите узор? Чтобы найти квадратный корень из дроби, найдите квадратный корень из числитель и знаменатель. Итак, \(\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \фракция{2}{3}\).

Определите следующее.

1. \[\ sqrt{\ гидроразрыва {16} {25}}\]
2. \[\ sqrt{\ гидроразрыва {9} {49}} \]
3. \[\ sqrt{\ гидроразрыва {81} {144}} \]
4. \[\ sqrt{\ гидроразрыва {400} {900}} \]

Используйте правило, которое вы открыли в вопросе 1, чтобы найти эти квадратные корни.

1. \[\ sqrt {\ frac {16} {25}} = \ frac {\ sqrt {16}} {\ sqrt {25}} = \ frac {4} {5} \]
2. \[\ sqrt {\ гидроразрыва {9{49}} = \ гидроразрыва {\ sqrt {9}} {\ sqrt {49}} = \ гидроразрыва {3} {7} \]
3. \[\ sqrt {\ frac {81} {144}} = \ frac {\ sqrt {81}} {\ sqrt {144}} = \ frac {9} {12} \]
4. \[\ sqrt {\ frac {400} {900}} = \ frac {\ sqrt {400}} {\ sqrt {900}} = \ frac {20} {30} = \ frac {2} {3} \ ]

1. Используйте тот факт, что \(\text{0,01}\) можно записать как \(\frac{1}{100}\) для вычисления \(\sqrt{\text{0,01}}\ ).

2. Используйте тот факт, что \(\text{0,49}\) можно записать как \(\frac{49}{100}\) для вычисления \(\sqrt{\text{0,49}}\).

1. Мы знаем, что \(\text{0,01}\) можно записать как \(\frac{1}{100}\).
   Таким образом, 1}{10} = \text{0,1}\).
2. Мы знаем, что \(\text{0,49}\) можно записать как \(\frac{49}{100}\).
   Таким образом, 7}{10} = \text{0,7}\).

Вы видите узор? Чтобы найти квадратный корень из десятичного числа:

Шаг 1: Найдите квадратный корень из числа без запятой.

Шаг 2: Проверьте количество цифр справа от запятой в заданном десятичном числе. Переместите запятую на половину числа мест в ответе.

Например, \(\sqrt{\text{0,36}}\).

Шаг 1: \(\sqrt{36} = 6\)

Шаг 2: \(\text{0,36}\) содержит две цифры после запятой. В ответе должна быть только одна цифра.

Итак, \(\sqrt{\text{0,36}} = \text{0,6}\).

Рабочий пример 3.8: Нахождение квадрата корни дробей и десятичных дробей

Рассчитайте следующее.

1. \[\ SQRT {\ текст {0,09}}\]
2. \[\sqrt{\текст{0,64}}\]
3. \[\sqrt{\текст{1,44}}\]
4. \[\sqrt{\текст{1,69}}\]

Найдите квадратный корень из числа без запятая.

1. \[\sqrt{09} = 3\]
2. \[\sqrt{64} = 8\]
3. \[\sqrt{144} = 12\]
4. \[\sqrt{169} = 13\]

Проверьте количество цифр справа от запятой в заданном десятичном числе.

Переместите запятую наполовину количество мест в ответе.

1. \(\text{0,09}\) имеет две цифры после запятой, поэтому ответ содержит только одну цифру.

   \(\sqrt{\text{0,09}} = \text{0,3}\) (\(\sqrt{9} = 3\) и только одно место после запятой: \(\text{0 ,3}\))

2. \(\text{0,64}\) имеет две цифры после запятой, поэтому ответ содержит только одну цифру.

   \(\sqrt{\text{0,64}} = \text{0,8}\) (\(\sqrt{64} = 8\) и только один знак после запятой: \(\text{0 ,8}\))

3. \(\text{1,44}\) имеет две цифры после запятой, поэтому ответ содержит только одну цифру.

   \(\sqrt{\text{1,44}} = \text{1,2}\) (\(\sqrt{144} = 12\) и только один знак после запятой: \(\text{1 ,2}\))

4. \(\text{1,69}\) имеет две цифры после запятой, поэтому ответ содержит только одну цифру.

   \(\sqrt{\text{1,69}} = \text{1,3}\) (\(\sqrt{169} = 13\) и только один знак после запятой: \(\text{1 ,3}\))

Упражнение 3.9. Нахождение кубических корней дробей и десятичных дробей

Найдите кубические корни следующих дробей и десятичных дробей.

1. \[\ sqrt [3] {\ гидроразрыва {8} {27}} \]
2. \ [\ sqrt [3] {\ гидроразрыва {343} {1000}} \]
3. \[\sqrt[3]{\text{0,343}}\]
4. \[\sqrt[3]{\frac{8000}{27000}}\]

1. \[\ sqrt [3] {\ frac {8} {27}} = \ frac {\ sqrt [3] {8}} {\ sqrt [3] {27}} = \ frac {2} {3} \ ]
2. \[\ sqrt [3] {\ frac {343} {1000}} = \ frac {\ sqrt [3] {343}} {\ sqrt [3] {1000}} = \ frac {7} {10} = \текст{0,7}\]
3. \[\sqrt[3]{\text{0,343}} = \text{0,7}\]

   Убедитесь, что ответ работает: \(\text{0,7} \times \ \text{0,7} \times \text{0,7} = \text{0,49} \раз \текст{0,7} = \текст{0,343}\).

обнаружение максимума и минимума OTUS

Математики и Data Science-специалисты должны хорошо разбираться в функциях. Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций.

Максимум

Задумываясь над тем, как найти максимальное значение функции, нужно четко понимать, с чем предстоит иметь дело. Для этого нужно запомнить такое определение:

Наибольшее значение функции y = f(x) на промежутке x – это max y = f(x₀). Оно будет при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство: f(x)≤f(x₀).

Максимальное значение (максимум) – это точка на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних «отметках».

Минимум

Наименьшее значение функции находить так же легко, как и наибольшее. Но сначала нужно понимать, что это такое.

Значение функции на отрезке будет считаться минимумом, если оно меньше, чем в соседних «отметках». Здесь действует такое определение:

Наименьшее значение функции y=f(x) на промежутке x – это miny=f(x₀), которое при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство f(x)≥f(x₀).

Соответствующие определения являются достаточными и очевидными. Если говорить простыми словами, то максимум функции – это ее самое большое значение на заданном промежутке (участке) при абсциссе x₀, а минимум – самое маленькое.

Стационарные точки

При решении вопроса о том, как найти наибольшее или наименьшее значение функции, стоит обратить внимание на так называемые «стационарные точки». Это – значения аргумента функции, при которых ее производная будет равняться нулю.

Стационарная точка – это «отметка», в которой расположен экстремум дифференцируемой функции. А именно – локальный минимум или максимум. В одной из таких «отметок» записанное выражение будет достигать своих предельных параметров.

Здесь рекомендуется запомнить следующее:

1. Экстремум функции – это минимумы и максимумы.
2. Если определить производную в точках экстремумов, она будет равно 0.
3. Когда говорят «экстремумы», подразумевается значение функции. Если же речь идет об «отметках» экстремумов, рассматривать стоит x, в которых достигаются соответствующие пределы.

 Этого достаточно для того, чтобы разобраться, как найти наибольшее на заданном отрезке у выражения. Для реализации поставленной задачи вовсе не обязательно составлять график. Поэтому сначала воспользуемся записями формул и вычислений.

План действий

Пример – дана функция f(x) на отрезке [a, b]. Наибольшее и наименьшее значение такой непрерывной функции достигаются в определенных местах. Это – критические точки. Там, где производная записанного выражения будет равно нулю.

Для того, чтобы найти наибольшие значения уравнения, потребуется придерживаться следующего алгоритма:

1. Узнайте, какая перед вами функция. Для этого нужно проверить ее на непрерывность. В расчет обязательно берется заданный отрезок.
2. Если запись непрерывная – ищем производную.
3. После того, как найдем производную, приравниваем ее к нулю. Это поможет найти точки экстремумов. В результате получаются корни.
4. Образовавшиеся корни – это критические точки. Нужно выбрать те «параметры», что относятся к промежутку [a, b].
5. Вычислить значения функции на концах отрезка [a, b].
6. Определить значения имеющегося выражения в критических «отметках».

Теперь понятно, как найти наибольшие функции на заданном отрезке. После произведенных подсчетов остается выбрать из результатов M (максимум) и m (минимум).

На отрезке

Разобравшись в тем, как найти наибольшие «параметры» выражения «на бумаге», стоит рассмотреть соответствующий процесс на графиках. Определять максимумы/минимумы в данном случае будет проще.

Первый график указывает на выражение, у которого точка минимума и максимума находятся в стационарных точках на промежутке [-6;6]. Соответствующие «пределы» обозначены жирным.

Второй график указывает на изменение отрезка. Теперь он будет [1;6]. Минимальное значение останется прежним. А вот максимальное – изменится. Оно образуется в правой части в точке с абсциссой. Поиск минимального «параметра» окажется в критической точке.

Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок. Здесь функция принадлежала промежутку [-3;2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее в таком случае, предстоит учитывать абсциссы. В них достигаются соответствующие пределы.

Открытый интервал

Если промежуток задан конкретным числом, определить экстремумы будет не так сложно. Иначе происходит, если интервал открыт.

Здесь:

1. Функция будет принимать максимум/минимум по значению в стационарных точках на открытом интервале от -6 до 6. Ответ – на 4 рисунке.
2. Если взять отрезок [1;6), минимум будет достигнут в стационарной точке. А вот максимум – неизвестен. Связано это с тем, что 6 не принадлежит к заданному интервалу. Если бы «шестерка» относилась к соответствующему промежутку, ответ на вопрос относительно определения максимума оказался понятным. Максимальный параметр был бы в точке с абсциссой 6.
3. На рисунке 6, задумываясь, как найти наименьшие «параметры», нужно обратить внимание на заданный интервал. Он равен (-3;2]. Минимум будет достигнут в правой границе. А вот максимум – не определен.

Найти значения на графиках обычно проще, чем «в чистых формулах». Соответствующие задания можно отыскать тут.

Бесконечность

Иногда значения функций нужно найти на бесконечном промежутке. Графически возможны такие ситуации:

На 7 рисунке функция достигает максимума в стационарной точке с абсциссой 1. Минимум окажется на границе интервала справа. На минус бесконечности значения приближаются к y=3 асимптотически.

Если взять интервал от 2-х до «плюс бесконечности», заданная функция не будет иметь ни максимумов, ни минимумов. Значения здесь стремятся к бесконечности. Связано это с тем, что x=2 является вертикальной асимптотой. Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, значения будут асимптотически подходить к y=3. Соответствующий пример показан на рисунке 8.

Чтобы не приходилось долго разбираться с тем, как найти наименьшее у заданной функции, не путаться с тем, какие знаки производной использовать, а также легко строить графики, можно воспользоваться специальными онлайн калькуляторами. А еще – закончить тематические дистанционные онлайн курсы.

Как найти точки минимума и максимума функции, анализируя функцию, её производную и область определения

Поиск точки максимума и минимума функции — довольно распространенная задача в математическом анализе. Иногда требуется экстремум. Многие думают, что под словом «экстремум» подразумевают наибольшее или наименьшее значение функции. Это не совсем верно. Значение может быть наибольшим или минимальным, но не являться экстремумом.

Содержание:

• Глобальный и локальный максимум
• Исследование
  • Область допустимых аргументов
  • Асимптоты
  • Производная и экстремумы
  • Концы интервала и сравнение результатов
• Видео

Глобальный и локальный максимум

Максимум бывает локальным или глобальным. Точка локального максимума — это аргумент, который при подстановке в f(x) даёт значение не меньше, чем в других точках из области около этого аргумента. Для глобального максимума эта область расширяется до всей области допустимых аргументов. Для минимума всё наоборот. Экстремум — это локальное экстремальное — минимальное или максимальное — значение.

Как правило, если математиков интересует глобально самое большое значение f(x), то в интервале, не на всей оси аргументов. Подобные задачи обычно сформулированы фразой «найдите точку максимума функции на отрезке». Здесь подразумевается, что надо выявить аргумент, при котором она не меньше, чем на всём остальном указанном отрезке. Поиск локального экстремума является одним из шагов решения такой задачи.

Дано y = f(x). Требуется определить пик функции на указанном отрезке. f(x) может достигать его в точке:

• экстремума, если она попадает в указанный отрезок,
• разрыва,
• ограничивающей заданный отрезок.

Исследование

Пик f(x) на отрезке или в интервале находится путём исследования данной функции. План исследования для нахождения максимума на отрезке (или интервале):

1. Найти область допустимых аргументов и пересечения этой области с областью исследования. 2 определена на всей оси аргументов. А y = 1/x определена для всех аргументов, кроме x = 0.

   Найти пересечение области допустимых аргументов и исследуемого отрезка (интервала) требуется для того, чтобы исключить из рассмотрения ту часть интервала, где функция не определена. Например, требуется найти минимум y = 1/x на отрезке от -2 до 2. На самом деле требуется исследовать два полуинтервала от -2 до 0 и от 0 до 2, так как уравнение у = 1/0 не имеет решения.

   Асимптоты

   Асимптота — это такая прямая, к которой функция тянется, но не дотягивается. Если f(x) существует на всей числовой прямой и неразрывна на ней, то вертикальной асимптоты у неё нет. Если же она разрывна, то точка разрыва является вертикальной асимптотой. Для y = 1/x асимптота задаётся уравнением x = 0. Эта функция тянется к нулю по оси аргументов, но дотянется до него, только устремившись в бесконечность.

   Если на исследуемом отрезке имеется вертикальная асимптота, около которой функция стремится в бесконечность с плюсом, то пик f(x) на здесь не определяется. 3. У неё не может быть экстремумов, она убывает на всей оси аргументов.

   2) Достаточно, чтобы при пересечении точки экстремума у производной менялся знак. То есть, до максимума f(x) растёт, а после максимума она убывает — производная была положительной, а стала отрицательной.

   После того как аргументы для локального максимума были найдены их надо подставить в исходное уравнение и получить максимальное значение f(x).

   Концы интервала и сравнение результатов

   При поиске максимума на отрезке необходимо проверить значение на концах отрезка. Например, для y = 1/x на отрезке [1; 7] максимум будет в точке x = 1. Даже если внутри отрезка есть локальный максимум, нет никакой гарантии, что значение на одном из концов отрезка не будет больше этого максимума.

   Теперь необходимо сравнить значения в точках разрыва (если f(x) здесь не стремится в бесконечность), на концах исследуемого интервала и экстремум функции. Наибольшее из этих значений и будет максимумом функции на заданном участке прямой. 3 — 3xy + 2$ 92 = 4$

   Но я не уверен, что делать дальше и как решить эти уравнения для $x$ и $y$ и $\lambda$. Честно говоря, я даже не уверен, что это лучший способ ответить на этот вопрос.

   Если бы кто-нибудь мог показать мне, как я могу найти максимум и минимум функции в этой области с помощью лучшего метода, или помочь мне продолжить с моим, это действительно помогло бы.

   • многомерное исчисление
   • частная производная
   • максимумы-минимумы 92 = 4$, $x = y$ дает точку $(\sqrt2, \sqrt2)$, которую вы должны проверить.

     Наконец, проверьте граничные точки $(0, 0), (2, 0)$ и $(0, 2)$.

     Максимум $10$ в точках $(2, 0)$ и $(0, 2)$, минимум $1$ в точке $(1, 1)$.

     $\endgroup$

     6

     $\begingroup$

     Напишите $\mu = \frac{2}{3} \lambda$, уравнения примут вид

     \begin{align} \мю х &= х^2 — у, \\ \mu у &= у ^ 2 — х, \\ х^2 + у^2 &=4. 2 &= 4. \end{выравнивание}

     $\endgroup$

     4

     исчисление — Максимальное значение функции

     $\begingroup$

     Является ли общим правилом/теоремой, что абсцисса максимального значения функции находится там, где производная этой функции равна нулю? Меня попросили найти абсциссу, когда интеграл максимален, поэтому я решил, что это будет та же абсцисса, где его производная равна нулю. Заранее спасибо.

     • исчисление
     • производные

     $\endgroup$

     4

     $\begingroup$

     Есть некоторые уточнения. Функция должна быть дифференцируемой и иметь максимум внутри рассматриваемого интервала (а не в конце). Если да, то производная функции в максимуме равна $0$.

     Может быть несколько точек, в которых производная равна $0$: это могут быть локальные максимумы, локальные минимумы или точки перегиба.

     $\endgroup$

     1

     $\begingroup$

     Функция не может иметь экстремум (максимум или минимум), если производная не равна нулю. Обратите внимание, что если производная не определена, то производная не равна ничему, кроме нуля. (Некоторая осторожность необходима при рассмотрении конечных точек.)

     Чтобы понять, почему это так, предположим, что вы ищете максимальное значение, а производная положительна. Затем вы можете увеличить значение функции, увеличив абсциссу (для тех, кто не знаком с «абсциссой», это в основном означает «x»). Если производная отрицательна, то можно найти большее значение, уменьшив абсциссу.

     Для интеграла интегрирование является обратным дифференцированию (с точностью до константы, поэтому вам нужен +C для неопределенных интегралов).

Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Главная » Линейная алгебра » Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Содержание

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен , то есть, если

,

то

.

Правило умножения матрицы на число

Умножение матрицы на число — есть умножение на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу на число .

Решение: Чтобы умножить матрицу на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на .

.

Пример 3

Даны матрицы и . Вычислите .

Решение:

.

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы и .

,

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

.

Таким образом, получаем:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Правило умножения матрицы на матрицу

Чтобы получить элемент надо все элементы -й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

 и .

Решение:

Находим произведение матриц .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

, .

Решение:

.

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц и . Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения.

;

.

Очевидно, что . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

 — сочетательный закон умножения,

 — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы и . Найдем произведение этих матриц:

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы:

 xx <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow=2, ncol=3, byrow=T)
yy <- matrix(c(10, 100), nrow=2, ncol=1, byrow=T)
 

 > zz
      [1] [2] [3]
[1,] 10 20 30
[2,] 400 500 600
 

 хх * с(уу)
# [1] [2] [3]
# [1,] 10 20 30
# [2,] 400 500 600
 

 diag(c(yy)) %*% xx
 

 (xx, 1, yy, `*`)
# [1] [2] [3]
#[1,] 10 20 30
#[2,] 400 500 600
 

 xx * yy[строка(xx),]
 

 применять(xx, 2, function(x) x * yy)
     [1] [2] [3]
[1,] 10 20 30
[2,] 400 500 600
 

 xx * yy[1]
# [1] [2] [3]
#[1,] 10 20 30
#[2,] 400 500 600