Автор: alexxlab

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Умножение разреженных матриц

Аннотация: В лекции рассматриваются типовые алгоритмы, применяемые в работе с плотными и разреженными матрицами. Рассказывается о некоторых форматах хранения этих матриц. Рассматриваются основные свойства матриц, методы решения СЛАУ, прямые и итерационные методы.

Ключевые слова: матрица, система линейных уравнений, вектор, норма, параметр, итерация, точность, компонент, Главная диагональ, представление, сходимость, дискретизация, выражение, радиус, решение системы линейных уравнений, функция, градиент, анализ, модель вычислений, операции

Цель лекции: Основной целью лекции является применение полученные знания о разработке и отладке параллельных программ в реализации численных алгоритмов для работы с матрицами.

Презентация к лекции

Видеозапись лекции — (объем — 707 МБ).

Прямые методы решения СЛАУ

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относятся к численным методам алгебры. При формальном подходе решение подобных задач не встречает затруднений: решение системы можно найти, раскрыв определители в формуле Крамера. Однако при непосредственном раскрытии определителей решение системы с n неизвестными требует арифметических операций; уже при n порядка 20 такое число операций недоступно для современных компьютеров. При сколько-нибудь больших n применение методов с таким порядком числа операций будет невозможно и в обозримом будущем. Другой причиной, по которой этот классический способ неприменим даже при малых n, является сильное влияние на окончательный результат округлений при вычислениях.

Методы решения алгебраических задач можно разделить на точные и итерационные. Классы задач, для решения которых обычно применяют методы этих групп, можно условно назвать соответственно классами задач со средним и большим числом неизвестных. Изменение объема и структуры памяти вычислительных систем, увеличение их быстродействия и развитие численных методов приводят к смещению границ применения методов в сторону систем более высоких порядков.

Например, в 80-х годах прошлого века точные методы применялись для решения систем до порядка 10⁴, итерационные – до порядка 10⁷, в 90-х – до порядков 10⁵ и 10⁸ соответственно. Современные суперкомпьютеры способны использовать точные методы при решении еще больших систем.

Мы будем рассматривать систему из n линейных алгебраических уравнений вида

( 7.1)

В матричном виде система может быть представлена как

( 7. 2)

где есть вещественная матрица размера ; b и x — вектора из n элементов.

Под задачей решения системы линейных уравнений для заданных матрицы А и вектора b мы будем считать нахождение значения вектора неизвестных x, при котором выполняются все уравнения системы.

Метод исключения Гаусса

В первую очередь рассмотрим алгоритмыы, предназначенные для решения системы

( 7.3)

с произвольной квадратной матрицей А. Основой для всех них служит широко известный метод последовательного исключения неизвестных, или же метод Гаусса.

Метод Гаусса основывается на возможности выполнения преобразований линейных уравнений, которые не меняют при этом решение рассматриваемой системы (такие преобразования носят наименование эквивалентных). К числу таких преобразований относятся:

• умножение любого из уравнений на ненулевую константу,
• перестановка уравнений,
• прибавление к уравнению любого другого уравнения системы.

Метод Гаусса включает последовательное выполнение двух этапов. На первом этапе, который называется прямой ход, исходная система линейных уравнений при помощи последовательного исключения неизвестных приводится к верхнему треугольному виду. При выполнении обратного хода (второй этап алгоритма) осуществляется определение значений неизвестных.

Последовательный алгоритм

intuit.ru/2010/edi»>Прямой ход состоит в последовательном исключении неизвестных в уравнениях решаемой системы линейных уравнений.

На итерации i, метода производится исключение неизвестной i для всех уравнений с номерами k, больших i(т.е.) Для этого из этих уравнений осуществляется вычитание строки i, умноженной на константу с тем, чтобы результирующий коэффициент при неизвестной в строках оказался нулевым – все необходимые вычисления могут быть определены при помощи соотношений:

( 7.4)

где — множители Гаусса.

В итоге приходим к системе с верхней треугольной матрицей

intuit.ru/2010/edi»>При выполнении прямого хода метода Гаусса строка, которая используется для исключения неизвестных, носит наименование ведущей, а диагональный элемент ведущей строки называется ведущим элементом. Как можно заметить, выполнение вычислений является возможным только, если ведущий элемент имеет ненулевое значение. Более того, если ведущий элемент

имеет малое значение, то деление и умножение строк на этот элемент может приводить к накоплению вычислительной погрешности и вычислительной неустойчивости алгоритма.

Избежать подобной проблемы можно, если при выполнении каждой очередной итерации прямого хода метода Гаусса определить коэффициент с максимальным значением по абсолютной величине в столбце, соответствующем исключаемой неизвестной, т.е.

и выбрать в качестве ведущей строку, в которой этот коэффициент располагается (данная схема выбора ведущего значения носит наименование метода главных элементов).

Обратный ход алгоритма состоит в следующем. После приведения матрицы коэффициентов к верхнему треугольному виду становится возможным определение значений неизвестных. Из последнего уравнения преобразованной системы может быть вычислено значение переменной

, после этого из предпоследнего уравнения становится возможным определение переменной

и т.д. В общем виде выполняемые вычисления при обратном ходе метода Гаусса могут быть представлены при помощи соотношений:

Оценим трудоемкость метода Гаусса. При выполнении прямого хода число операций составит

Для выполнения обратного хода потребуется

Таким образом, общее время выполнения метода Гаусса при больших n можно оценить как

где время выполнения одной операции.

Параллельный алгоритм

При внимательном рассмотрении метода Гаусса можно заметить, что все вычисления сводятся к однотипным вычислительным операциям над строками матрицы коэффициентов системы линейных уравнений. Как результат, в основу параллельной реализации алгоритма Гаусса может быть положен принцип распараллеливания по данным. В качестве базовой подзадачи можно принять тогда все вычисления, связанные с обработкой одной строки матрицы A и соответствующего элемента вектора b. Рассмотрим общую схему параллельных вычислений и возникающие при этом информационные зависимости между базовыми подзадачами.

Для выполнения прямого хода метода Гаусса необходимо осуществить итерацию по исключению неизвестных для преобразования матрицы коэффициентов A к верхнему треугольному виду. Выполнение итерации i, , прямого хода метода Гаусса включает ряд последовательных действий. Прежде всего, в самом начале итерации необходимо выбрать ведущую строку, которая при использовании метода главных элементов определяется поиском строки с наибольшим по абсолютной величине значением среди элементов столбца i, соответствующего исключаемой переменной . Зная ведущую строку, подзадачи выполняют вычитание строк, обеспечивая тем самым исключение соответствующей неизвестной .

При выполнении обратного хода метода Гаусса подзадачи выполняют необходимые вычисления для нахождения значения неизвестных. Как только какая-либо подзадача i, , определяет значение своей переменной , это значение должно быть использовано всеми подзадачам с номерами k, : подзадачи подставляют полученное значение новой неизвестной и выполняют корректировку значений для элементов вектора b.

Выделенные базовые подзадачи характеризуются одинаковой вычислительной трудоемкостью. Однако размер матрицы, описывающей систему линейных уравнений, является существенно большим, чем число потоков в программе (т. е.,), и базовые подзадачи можно укрупнить, объединив в рамках одной подзадачи несколько строк матрицы. При этом применение последовательной схемы разделения данных для параллельного решения систем линейных уравнений приведет к неравномерной вычислительной нагрузке между потоками: по мере исключения (на прямом ходе) или определения (на обратном ходе) неизвестных в методе Гаусса для большей части потоков все необходимые вычисления будут завершены и они окажутся простаивающими. Возможное решение проблемы балансировки вычислений может состоять в использовании ленточной циклической схемы для распределения данных между укрупненными подзадачами. В этом случае матрица A делится на наборы (полосы) строк вида (см. рис. 7.1).

Рис. 7.1. Ленточная схема

Сопоставив схему разделения данных и порядок выполнения вычислений в методе Гаусса, можно отметить, что использование циклического способа формирования полос позволяет обеспечить лучшую балансировку вычислительной нагрузки между подзадачами.

Итак, проведя анализ последовательного варианта алгоритма Гаусса, можно заключить, что распараллеливание возможно для следующих вычислительных процедур:

• поиск ведущей строки,
• вычитание ведущей строки из всех строк, подлежащих обработке,
• выполнение обратного хода.

Оценим трудоемкость рассмотренного параллельного варианта метода Гаусса. Пусть n есть порядок решаемой системы линейных уравнений, а p, , обозначает число потоков. При разработке параллельного алгоритма все вычислительные операции, выполняемые алгоритмом Гаусса, были распределены между потоками параллельной программы. Следовательно, время, необходимое для выполнения вычислений на этапе прямого хода, можно оценить как

Подставив выражение получим, что время выполнения вычислений для параллельного варианта метода Гаусса описывается выражением:

intuit.ru/2010/edi»>Теперь можно оценить величину накладных расходов, обусловленных организацией и закрытием параллельных секций. Пусть – время, необходимое на организацию и закрытие параллельной секции. Параллельная секция создается при каждом выборе ведущей строки, при выполнении вычитания ведущей строки из остальных строк линейной системы, подлежащих обработке, а также при выполнении каждой итерации обратного хода метода Гаусса. Таким образом, общее число параллельных секций составляет .

Сводя воедино все полученные оценки можно заключить, что время выполнения параллельного метода Гаусса описывается соотношением

( 7.5)

Связь метода Гаусса и LU-разложения

intuit.ru/2010/edi»>LU-разложение — представление матрицы A в виде

( 7.6)

где L — нижняя треугольная матрица с диагональными элементами, равными единице, а U — верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами. LU-разложение также называют LU-факторизацией. Известно [4], что LU-разложение существует и единственно, если главные миноры матрицы A отличны от нуля.

Алгоритм LU-разложения тесно связан с методом исключения Гаусса. В самом деле, пусть мы решаем систему уравнений вида (7.2). Непосредственно проверяется, что преобразования k-го шага метода Гаусса равносильны домножению системы (7. 2) слева на матрицу

где — множители Гаусса из (7.4). Как было рассмотрено в п. 7.1.1, прямой ход метода Гаусса преобразует исходную систему уравнений к виду

с верхней треугольной матрицей U. Зная матрицы , можно записать матрицу U и вектор c как

Обозначим Можно непосредственно проверить, что

Отсюда получаем .

Таким образом, матрицу L можно получить как нижнюю треугольную матрицу коэффициентов Гаусса, а матрицу U — как верхнюю треугольную матрицу, получаемую в результате работы метода Гаусса. При этом очевидно, что трудоемкость получения LU-факторизации будет такой же-.

Рассмотренный нами алгоритм LU-факторизации реализован с помощью исключения по столбцу. Следует отметить, что можно сформулировать аналогичный алгоритм, основанный на исключении по строке. В самом деле, основная идея алгоритма с помощью исключения по столбцу заключается в том, что на i-й итерации ведущая строка с подходящими множителями вычитается из строк, лежащих ниже, чтобы занулить все элементы матрицы, расположенные в i-м столбце ниже диагонали. Между тем возможно и другое: на каждой i-й итерации можно вычитать из i-й строки все строки, расположенные выше, умноженные на подходящие коэффициенты, так, чтобы занулить все элементы i-й строки левее диагонали. При этом элементы матрицы L ниже главной диагонали и элементы матрицы U на главной диагонали и выше нее можно вычислять на месте матрицы А. Как и в случае исключения по столбцу, приведенная схема требует проведения операций

Рассмотрим теперь еще один способ LU-факторизаци, называемый компактной схемой. Пусть матрица допускает LU-разложение (7.6), где

т.е. при а при . Из соотношения (7.6) следует, что

intuit.ru/2010/edi»>Преобразуем эту сумму двумя способами:

Отсюда находим

Оценка числа операций данного алгоритма LUфакторизаци также составляет

Если разложение (7.6) получено, то решение системы (7.2) сводится к последовательному решению двух систем уравнений с треугольными матрицами (обратный ход)

( 7.7)

Обратный ход требует операций.

Как следует из приведенных оценок, вычислительная сложность метода исключения Гаусса и метода LU-разложения одинакова. Однако если необходимо решить несколько систем с одинаковыми матрицами коэффициентов, но различными векторами свободных членов (правая часть СЛАУ), то метод LU-разложения окажется предпочтительным, так как в этом случае нет необходимости производить разложение матрицы коэффициентов многократно. Достаточно лишь сохранить полученные треугольные матрицы в памяти и, подставляя различные вектора свободных членов, получать решения методами прямой и обратной подстановки. Это позволит значительно сократить объем вычислений по сравнению с методом Гаусса.

Метод Гаусса — ПриМат

Определение. Метод Гаусса — метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он заключается в решении системы уравнений, приведением её к ступенчатому виду, путем исключения неизвестных. В отличии от метода Крамера и матричного метода, метод немецкого математика подходит для системы уравнений с бесконечным количеством решений.

Метод Гаусса построен на элементарных преобразованиях СЛАУ.

Определение. Элементарные преобразования системы линейных уравнений это операции, с помощью которых получаем линейно эквивалентную исходной систему уравнений. Такие как: умножение уравнений на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другое.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если уравнения одной системы являются линейной комбинацией уравнений другой. Также они имеют одинаковые решения или обе решений не имеют.

Алгоритм решения методом Гаусса заключается в следующих действиях:

1. Прямой ход. Допустим, нам дана СЛАУ из $k$ уравнений с $n$ неизвестными $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_{n}=b_2,\\
   a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_{n}=b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+a_{k3}x_3+\ldots+a_{kn}x_n=b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Сначала исключим неизвестное $x_1$ из уравнений ниже первого. Предположим $a_{11} \ne 0$ (в обратном случае — можно записать первым уравнение с коэффициентом при $x_1$, отличным от нуля). Теперь умножим обе части первого уравнения системы на $\frac{a_{21}}{a_{11}}$ и вычтем его из второго уравнения, затем обе части первого уравнения умножим на $\frac{a_{31}}{a_{11}}$ и вычтем из третьего и так пока не исключим во всех уравнениях ниже первого переменную $x_1$ (то есть пока коэффициенты при $x_1$ не будут равны нулю). Получаем эквивалентную системе (1) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
   \bar a_{32}x_2+\bar a_{33}x_3+\ldots+\bar a_{3n}x_{n}=\bar b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   \bar a_{k2}x_2+\bar a_{k3}x_3+\ldots+\bar a_{kn}x_n=\bar b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Далее делаем аналогичные действия со СЛАУ (2) (исключаем неизвестное $x_2$), но с уравнениями ниже второго при $a_{22} \ne 0$. Получим следующую эквивалентную системе (2) (значит и системе (1)) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
   \tilde a_{33}x_3+\ldots+\tilde a_{3n}x_{n}=\tilde b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   \tilde a_{k3}x_3+\ldots+\tilde a_{kn}x_n=\tilde b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Все эти действия нужно сделать, пока не получим систему ступенчатого вида.
2. Обратный ход. Второй этап решения системы уравнений заключается в решении полученной нами системы ступенчатого вида. Количество уравнений в преобразованной системе может быть меньше, чем в изначальной. Получаем систему с $t (t\leqslant k)$ уравнениями и $n$ переменными. Выражаем через последнее уравнение неизвестную переменную $x_t$. И через неё выражаем остальные переменные. Получим решение, которое содержит зависимые (слева) и свободные (справа) переменные: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   x_t=c_{tt+1}x_{t+1}+a_{tt+2}x_{t+2}+\ldots+c_{tn}x_{n,}\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   x_3=c_{3t+1}x_{t+1}+a_{3t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{3n}x_{n},\\
   x_2=c_{2t+1}x_{t+1}+a_{2t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{2n}x_{n},\\
   x_1=c_{1t+1}x_{t+1}+a_{1t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{1n}x_{n}.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Для получения решения, в свободные переменные $x_{t+1} \ldots x_n$ мы подставляем произвольные значения в систему уравнений. Из чего находим зависимые переменные $x_1 \ldots x_t$.

Примеры решений

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
3x_1-2x_2-5x_3+x_4=3,\\
2x_1-3x_2+x_3+5x_4=-3,\\
x_1+2x_2-4x_4=-3,\\
x_1-x_2-4x_3+9x_4=22.\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Запишем матрицу из коэффициентов системы уравнений и преобразуем (если переменной нет в уравнении, то коэффициент равен нулю) $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}3 & -2 & -5 & 1 \\
2 & -3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0 & -4 \\
1 & -1 & -4 & 9\end{array}\right|\begin{array}{r}3 \\ -3 \\ -3 \\ 22 \end{array}\right).$$ Поменяем местами первое уравнение с последним для удобства вычислений: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9\\
2 & -3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0 & -4\\
3 & -2 & -5 & 1 \end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -3 \\ -3 \\ 3 \end{array}\right). $$ Умножим теперь первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения. Затем, умножив на 1, вычтем из третьего. И умножив на 3, вычтем из четвертого. Получаем: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 3 & 4 & -13 \\
0 & 1 & 7 & -26\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -25 \\ -63 \end{array}\right).$$ Далее умножаем второе уравнение на -3, затем вычтем из третьего. Теперь второе уравнение умножаем на -1 из четвертого: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 0 & 31 & -52 \\
0 & 0 & 16 & -39\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -110 \end{array}\right).$$ Итак, последние действия прямого хода. Умножаем третье уравнение на $-\frac{16}{31}$ и вычитаем из четвертого. Получаем:$$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 0 & 31 & -52 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{377}{31}\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -\frac{754}{31} \end{array}\right). $$ Получаем систему уравнений с новыми коэффициентами, которую будем решать обратным ходом: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
x_1-x_2-4x_3+9x_4=22,\\
-x_2+9x_3-13x_4=-47,\\
31x_3-52x_4=-166,\\
-\frac{377}{31}x_4=-\frac{754}{31}.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$ Решение получается одно. Находим его: $$x_4=2,\\
x_3=\frac{-166+104}{31}=-2,\\
x_2=-(-47+18+26)=3,\\
x_1=22+3-8-18=-1.$$

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:$$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
4x_1-3x_2+x_3+5x_4-7=0,\\
x_1-2x_2-2x_3-3x_4-3=0,\\
3x_1-x_2+2x_3+1=0,\\
2x_1+3x_2+2x_3-8x_4+7=0.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Сначала перенесем все свободные члены вправо и выпишем расширенную матрицу. Преобразуем её: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}4 & -3 & 1 & 5\\
1 & -2 &-2 & -3\\
3 & -1 & 2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\3\\-1\\-7\end{array}\right). $$ Поменяем местами первую строку со второй: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
4 & -3 & 1 & 5\\
3 & -1 & 2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\7\\-1\\-7\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\
0 & 5 & 8 & 9\\
0 & 7 & 6 & -2\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-10\\-13\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\
0 & 0 & -1 & -8\\
0 & 0 & -\frac{33}{5} & -\frac{129}{5}\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\20\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\0
& 0 & -1 & -8\\
0 & 0 & 0 & 27\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\27\end{array}\right). $$ Получаем ответ: $$x_4=1,$$ $$x_3=-3,$$ $$x_2=1,$$ $$x_1=2.$$

[свернуть]

Пример 3. Решить систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
3x_1-7x_2+4x_3+5x_4=-11,\\
2x_1+5x_2+x_3-2x_4=5,\\
x_1+2x_2-3x_3+4x_4=7,\\
7x_1+2x_2-x_3+11x_4=6.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Записываем матрицу системы и преобразуем её: $$\left(\left
.\begin{array}{rrrr}3 & -7 & 4 & 5\\
2 & 5 & 1 & -2\\
1 & 2 & -3 & 4\\
7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}-11\\5\\7\\6\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
2 & 5 & 1 & -2\\
3 & -7 & 4 & 5\\
7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\5\\-11\\6\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & 7 & -10\\
0 & -13 & 13 &-7\\
0 & -12 & 20 & -17\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-32\\-43\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\0 & 1 & 7 & -10\\
0 & 0 & 104 & -137\\
0 & 0 & 104 & -137\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-151\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & 7 & -10\\
0 & 0 & 104 & -137\\
0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-2\end{array}\right).$$ Видим, что у нас получилось уравнение с нулевыми коэффициентами при ненулевом свободном члене, значит тут мы можем уже остановиться — система несовместна, то есть решений не имеет.

[свернуть]

Пример 4. Решите систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}7x_1+3x_2-2x_3+4x_4=0,\\
-6x_1-x_2-x_3+x_4=1,\\
9x_1+7x_2-8x_3+14x_4=2,\\
x_1+2x_2-3x_3+5x_4=1.\end{aligned}\right.\end{equation}$$

Решение

Записываем матрицу системы уравнений и преобразуем: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}7 & 3 & -2 & 4\\
-6 & -1 & -1 &1 \\
9 & 7 & 8 & 14 \\
1 & 2 & -3 & 5\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\1\\2\\1\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
-6 & -1 & -1 &1 \\
9 & 7 & 8 & 14 \\
7 & 3 & -2 & 4\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\1\\2\\0\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
0 & 11 & -19 & 31\\
0 & -11 & 35 & -31\\
0 & -11 & 19 &-31\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\-7\\-7\end{array}\right)\sim~$$$$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
0 & 11 & -19 & 31\\
0 & 0 & 16 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\0\\0\end{array}\right)$$ Видим, что у нас появилась нулевая строка. Это значит, что это уравнение можно убрать. Так как мы получили систему, в которой количество уравнений меньше, чем количество переменных, значит система неопределённая, то есть имеет бесконечное множество решений. Количество зависимых переменных определяем по рангу матрицы. У нас получается 3 зависимых переменных. Возьмем $x_4$ за свободную переменную. Выражаем остальные 3 переменные через свободную и получаем общее решение: $$x_3=0$$ $$x_2=\frac{7-31x_4}{11}$$ $$x_1=1-2\times\frac{7-31x_4}{11}-5x_4.$$ Теперь можем подставить любое значение в переменную $x_4$ и получить один из бесконечного множества ответов, например: $$x_4=0,$$ $$x_3=0,$$ $$x_2=\frac{7}{11},$$ $$x_1=-\frac{3}{11}.$$

[свернуть]

Пример 5. Решить систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
2x_1-x_2+2x_4=0,\\
x_1+2x_2-x_3=0,\\
5x_1+x_2-x_3+2x_4=0,\\
x_1+x_2+x_3+x_4=1.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Запишем матрицу системы: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}2 & -1 &0 &2\\
1 & 2 &-1 & 0\\
5 & 1 &-1 & 2\\
1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & -1 & 0\\
5 & 1 & -1 & 2\\
2 & -1 & 0 & 2\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\0\\0\\0\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 &1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & -4 & -6 & -3\\
0 & -3 & -2 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-5\\-2\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & 0 & -14 & -7\\
0 & 0 & -8 & -3\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\-5\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & 0 & -14 & -7\\
0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\\frac{1}{7}\end{array}\right).$$ Получаем ответ: $$x_4=\frac{1}{7},$$ $$x_3=\frac{4}{7},$$ $$x_2=\frac{2}{7},$$ $$x_1=0.$$

[свернуть]

Смотрите также

• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 стр. 15-23
• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 примеры №567, 568
• Баландина Н. Н. Матричное вычисление: метод. указания для студ. первого курса направления подготовки “Психология” / Н. Н. Баландина, С. В. Федоровский. – Одесса: Одесский нац. ун-т, 2015. стр. 31-33
• Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 стр. 119-121

Метод Гаусса

Пройдите тест, чтобы проверить насколько точно вы поняли материал.

Суммирование по Гауссу | Поговорим о науке

Суммарность Гаусса названа в честь Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Он был немецким математиком. Гаусс — один из самых влиятельных математических мыслителей в истории. Легенда гласит, что Гаусс придумал новый метод суммирования последовательностей в очень молодом возрасте. Легенда гласит, что его учитель математики попросил класс сложить числа от 1 до 100. Другими словами, учитель хотел, чтобы они сложили 1 + 2 + 3 + 4 + 5… вплоть до 100!

Учитель предполагал, что это займет у учеников очень много времени. Подумайте, сколько времени вам понадобится, чтобы сложить все числа от 1 до 100 одно за другим. Однако Гаусс ответил 5050  почти сразу.

Эта история может быть не совсем правдой. Но это напоминает нам, что самые младшие ученики иногда открывают новые математические закономерности. Теперь давайте подумаем о шаблоне, который Гаусс использовал для быстрого решения этой проблемы.

Уловка, которую использовал Гаусс для решения этой задачи, заключается в том, что не имеет значения, в каком порядке мы складываем числа. В каком бы порядке мы ни следовали, мы получим один и тот же результат.

Например:

2 + 3 имеет тот же ответ, что и 3 + 2.

Мы можем переставить числа от 1 до 100 хитрым способом. Это может помочь нам добавить их быстрее. Вот простой пример, который покажет вам, как работает эта стратегия группировки.

Допустим, вы хотите сложить числа от 1 до 10.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ?

 

Шаблон, показывающий сложение пар от одного до десяти (© Let’s Talk Science, 2021).

Возможно, вы заметили кое-что странное. Каждая из этих пар в сумме дает 11. Итак, мы можем думать о нашей задаче так:

(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = ?

(11) + (11) + (11) + (11) + (11) = ?

Поскольку у нас 5 пар, наш ответ:

11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 11 x 5 = 55

Что ж, это куда-то идет!

Давайте посмотрим на это по-другому. Вместо того, чтобы выстраивать числа в один ряд. Расставь цифры в два ряда. В первом ряду числа увеличиваются. Во втором ряду числа уменьшаются. От 1 до 10 это будет выглядеть так.

Image — Text Version

Числа от 1 до 10 выстроены в порядке возрастания в верхнем ряду. Числа от 10 до 1 выстраиваются в порядке убывания в нижнем ряду.

 

Теперь просуммируйте каждый столбец.

Изображение — Версия текста

Сумма каждого столбца равна 11.

 

Сумма всех приведенных выше чисел равна количеству пар , умноженному на сумму каждой пары . Но нам нужна сумма только одной строки, а не обеих строк. Итак, нам нужно разделить наш ответ на 2.

Мы можем записать это как: 

Изображение – Текстовая версия

Сумма – это количество пар, умноженное на сумму каждой пары, и эта сумма делится на 2. В нашем случае десять умножается на одиннадцать, а затем делится на два. . Это дает окончательную сумму 55.

 

Мы можем использовать алгебру , чтобы представить этот шаблон. Алгебра использует буквы и другие символы для представления чисел в уравнениях. Мы можем использовать букву n , чтобы представить, сколько чисел в нашем списке. Это самое большое число. В нашем примере n будет равно 10. Количество пар будет равно этому числу, деленному на 2. Вы заметите, что размер пары равен количеству пар плюс 1. Таким образом, мы могли бы написать использовать n для записи

(количество пар) x (сумма каждой пары) = n/2 x (n +1)

Но помните, как и раньше, нам нужна сумма только одной строки, а не обеих. Таким образом, мы делим приведенную выше формулу на 2 и получаем:

Изображение — Версия текста

n вне скобки, за которой следует n плюс один внутри скобки. Это делится на 2.

 

Можем ли мы сделать то же самое для суммы, которая является нечетным числом, скажем, 67? Попробуйте сами, прежде чем смотреть ответ ниже.

Вопрос:

1 + 2 + 3 + 4 ….. 66 + 67 =?

(Ответ внизу страницы)

Шаблон, показывающий сложение пар от одного до десяти (© Let’s Talk Science, 2021).

Реальные приложения

Эта задача является примером нахождения суммы арифметической последовательности . Последовательность   – это набор упорядоченных чисел. В арифметической последовательности расстояние между любыми двумя последовательными числами одинаково. Мы можем использовать метод Гаусса, чтобы найти сумму любой арифметической прогрессии.

Последовательность извлечения кусочков пиццы (Источник: Lebazele через iStockphoto).

 

Нахождение суммы последовательности может помочь людям решить множество реальных задач. Компании находят сумму последовательностей, чтобы оценить затраты или доход. Даже расчет стоимости проезда на такси представляет собой сумму арифметической последовательности. Вы начинаете с базового тарифа. Ваша общая стоимость увеличивается на ту же сумму каждую минуту.

Нахождение суммы последовательности также является распространенным вопросом информатики. Компьютерщики используют для этого метод Гаусса. Вопрос «Отсутствующий номер» — это распространенный вопрос технического собеседования. Для ее решения нужен метод Гаусса. Многие из этих приложений используют сложные на вид формулы. Однако на самом деле они просто используют метод Гаусса для нахождения суммы последовательности.

 

ОТВЕТ

1 + 2 + 3 + 4……66 + 67 = ?

n = 67, n + 1 = 68

n(n + 1)/2

67 x 68/2

= 2 278

 

Уловка Гаусса. Семинар для сотрудников

Начало работы

Можете ли вы сложить в уме первые 10 чисел? Как насчет первых 100 или первой тысячи? В вашей голове!

Карл Фридрих Гаусс был специальным математиком. История гласит, что в школе, в возрасте 8 лет, он очень быстро смог сложить первые 100 чисел. Мне нравится думать об учителе, который использовал этот трюк много раз, чтобы занять класс в течение длительного времени, пока он вздремнул. Он знал, что его ждет долгий период тишины, пока класс работает в поте лица. Даже если один из них получил ответ, учитель мог попросить его проверить его, чтобы занять больше времени. Но он не стал торговаться с этим не по годам развитым 8-летним ребенком.

В мгновение ока Гаусс выдал 5050. Но он не только мог так быстро вычислить сумму первых 100 чисел, но и обосновал правильность своего ответа. И то же самое вы сделаете перед тем, как провести этот семинар для персонала.

Вы можете прочитать о Карле Фридрихе на одном из многих веб-сайтов. Было бы неплохо написать кое-что о Гауссе. Например, где он жил, когда жил, какие у него были бытовые проблемы и тому подобное. Стоило бы достать карту современной Германии и показать, где находится Брауншвейг (Брауншвейг). Насколько я помню, это недалеко от Ганновера и старой восточно-западной границы Германии.

Так в чем же хитрость и как с ее помощью произвести впечатление на друзей и коллег?

 Пример 1

Сначала я сложу целые числа от 1 до 10 с большим трудом, чтобы вы могли увидеть, как все работает. Предположим, что сумма первых 10 чисел равна S. Тогда

 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

 Интересно, что если сложить числа в другую сторону получаем тот же ответ. Ну очевидно же! Но давайте все же.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

И что? Что ж, я облегчу понимание «ну и что», поместив эти два способа написания S друг под другом.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +   1.

Теперь просто добавьте S к S. Я знаю, что мы, кажется, уходим все дальше от значения S, которое мы так стремимся получить, но потерпите меня. Что ты видишь? Какие закономерности начинают проявляться?

 К счастью для Гаусса и нас,

 1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 10 + 1 = 11.

 Все эти пары числа в сумме дают 11! Это означает, что

 2S = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11. 2S = 10 × 11 = 110 .

 Таким образом, S = 5 × 11 = 55.

 Но этот трюк нельзя проделывать снова, и снова, и снова. Так что мы будем доить его изо всех сил.

 Пример 2

Давайте сложим числа Гаусса, все целые числа от 1 до 100. Снова пусть S будет этой суммой. Итак, S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100.

Теперь вы видите, что я поленился и опустил все числа от 6 до 97. Но мы с вами знаем, что они действительно там. Многоточие (…) говорит нам именно об этом.

О очереди!

S = 100 + 99 + 98 + … + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Теперь давайте сложим эти две величины вместе и посмотрим, что получится.

S =     1 +   2 +   3 + 4 + 5 +       …       + 98 + 99 + 100.   1.

Здесь волшебная сумма равно 101. Каждая пара чисел, расположенная одна над другой, дает в сумме 101. Таким образом, 2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101.

101 есть. Но это не должно быть проблемой. В конце концов, мы начали со 100 чисел, поэтому у нас должно быть 100 сумм, которые в сумме дают 101. Итак, 2S = 100 × 101,

 Это означает, что S = 50 × 101 = 5050.

 И Гаусс опередил нас всего на столетие или два.

 Теперь вы видите быстрый способ сложить первые 1000 целых чисел? Как насчет первых 10 000, первых 100 000 или первого миллиона?

 Пример 3

Я сделаю еще один последний пример, прежде чем мы сделаем то, что делает каждый хороший математик, а именно попытаюсь обобщить то, что мы делали. Другими словами, мы попытаемся найти закономерность. А пока давайте сложим первые первые 67 целых чисел.

S =   1 +   2 +   3 + … + 65 + 66 + 67.

S = 67 + 66 + 65 + … +   3 +   2 +   1.

На этот раз ключ 68. В конце концов, 1 + 67 = 68 = 2 + 66 = 3 + 65 = …

Итак, 2S = 68 + 68 + 68 + … + 68 + 68 + 68. являются. Но мы начали с шестидесяти семи номеров, поэтому у нас должно быть шестьдесят семь 68-х. Таким образом, 2S = 67 × 68, или S = 67 × 34 = 2278.

Есть предположения относительно общей закономерности?

Обобщение

Думаю, у нас должно быть достаточно информации, чтобы найти сумму первых n целых чисел, где n — любое значение, которое нам нравится. Давайте посмотрим, что у нас есть, чтобы увидеть, можем ли мы сделать предположение, догадку о том, что происходит на самом деле.

 Мы начали с                  n = 10 и получили S = ​​10 × 11 ÷ 2;

затем                                  n = 100 дало нам S = 100 × 101 ÷ 2;

затем                                  n = 67 дало нам S = 67 × 68 ÷ 2,

 Похоже, нам нужно взять число, которое мы хотим суммировать, умножить на это число плюс 1, а затем разделить на 2. Итак, мы имеем

  Гипотеза 1: Сумма S первых n чисел равно S = (n x (n +1)) / 2. 

 Можем ли мы обосновать, доказать это?

 Пусть S будет суммой чисел от 1 до n, каким бы ни было n.

 Если ваша алгебра немного заржавела, измените n ниже на «любое число», измените n – 1 на «любое число минус один», измените n + 1 на «любое число плюс один» и так далее.

 Проверенным методом получаем 

 S = 1 +      2     +     3     + … + (n – 2) + (n – 1) + n. 1. 1) + (n + 1) + … + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1).

Поскольку изначально было n чисел, теперь должно быть n партий (n + 1). Итак,

2S = n × (n + 1).

Таким образом, S = (n x (n+1))/2, 

Похоже, мы догадались. Прежде чем продолжить, вы можете подумать над следующими вопросами.

 (i)      Дает ли эта формула правильный ответ, если n = 15?

(ii)     Конечно, S должно быть целым числом, так как мы складываем первые n целых чисел. Но мы делим на 2 в правой части уравнения. Может ли n × (n + 1) иногда быть нечетным и все испортить?

(iii)    Что эта формула говорит словами?

 Ещё немного

Но вам не обязательно добавлять только первые несколько цифр. Предположим, мы хотим сложить все числа от 8 до 93. Как мы можем это сделать?

Мне кажется, что мы могли бы сделать это как минимум тремя способами, но я не буду возиться с тем, где вы складываете числа вместе по одному.

Метод 1: Мы могли бы записать числа от 8 до 93 в обычном порядке, а затем записать их в обратном порядке, как мы делали в других примерах. Я оставлю вас сделать это, чтобы посмотреть, что вы получите.

Метод 2: С другой стороны, мы могли бы сначала добавить 1 к 7, а затем 1 к 93, используя нашу формулу. Тогда мы могли бы вычесть меньшее из большего. Вот так:

В 1 + 2 + … + 6 + 7, «любое число», n равно 7, поэтому сумма этих чисел равна (7 x 8) / 2 = 28.  

В 1 + 2 + … + 92 + 93, «любое число», n равно 93, поэтому сумма этих чисел равна (93 x 94)/2 = 4371.

Таким образом, сумма, которую мы ищем, равна 4371 – 28 = 4343.

 Вы можете хотелось бы подумать над следующими вопросами, прежде чем продолжить.

(iv)    Существует ли формула для суммы чисел от любого выбранного вами числа (например, 8) до любого другого выбранного вами числа (например, 93)? Другими словами, можете ли вы обобщить гипотезу?

(v)     Видите, как мы постепенно усложняем ситуацию? Это путь, по которому математика всегда пытается расширить наши знания о мире.

(vi)    В свете мысли в (v), куда нам следует двигаться дальше? Каков следующий способ расширить то, что мы делаем? Мы пытались перейти от 1 к чему-то, а затем от чего-то к чему-то еще, но шаги от числа к числу всегда были одним. Можем ли мы добиться какого-либо прогресса, если шаги больше, чем один?

(vii)   В конце концов, существует ли только одна формула для ряда сложений, которые не просто складываются из нескольких первых чисел? Какой может быть эта формула на словах?

Семинар

Вам снова придется подумать о том, как лучше представить этот материал для ваших сотрудников, но как насчет следующего?

 Настройте их, задав им вопрос, который задал ему учитель Гаусса. Пусть они поработают над этим некоторое время. Затем дайте им понять, что 8-летний ребенок может сделать это в уме. Это должно привести к поиску закономерностей в числах от 1 до 100, которые могли бы облегчить быстрое суммирование. Например, некоторые группы видят, что 1 + 100 = 2 + 9. 9 и так далее. Обычно они не задумываются о том, чтобы сложить вместе два лота по S сумм. Но вы можете быстро складывать числа от 1 до 100 и другим способом.

 Попробуйте их с другими примерами. Если вы вооружитесь калькулятором, вы можете предложить им прибавить числа от 1 ко всему, что они выберут, быстрее, чем вы.

 Тогда они должны думать, что вы знаете, чего они не знают? Предложите им сделать несколько примеров и попросите их предположить, что это за закономерность.

 В зависимости от того, насколько хорошо идут дела, вы можете перейти к некоторым арифметическим прогрессиям, где общая разность не равна 1 (см. раздел 8). С заинтересованной группой вы могли бы даже сделать доказательство.

 Но вы должны сказать кое-что о Гауссе и его важности на математической сцене. Вы также должны найти несколько интересных историй о нем в ссылке, которую я дал выше. Немного истории никогда не сбивается с пути.

Ответы на некоторые вопросы

В этом разделе мы завершаем работу, проделанную в разделах со 2 по 6. Конечно, насколько далеко вы продвинетесь с этой задачей, будет зависеть от алгебраической уверенности вашего персонала, хотя вы можете полностью обойти алгебру, если вы думаете, что он лопнет, как свинцовый шар. В любом случае, постарайтесь немного вытолкнуть их из зоны комфорта, но бросьте им спасательный круг, когда они тонут. Мы оставляем это решение за вами, но здесь должно быть достаточно материала для вашего семинара.

 Сейчас я попытаюсь найти формулу для суммы строки чисел, в которой шаг от одного числа к другому всегда одинаков. Я сделаю два примера, а затем решу задачу в целом.

  Первый пример: Сложите числа 2 + 4 + 6 + … + 64 + 66 + 68.

 Это можно сделать несколькими способами. Прямое сложение — это единица, как и деление всех чисел в сумме на 2 по известной нам формуле. Тем не менее, я возвращаюсь к проверенному методу «сначала вперед, потом назад». Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем. Итак, вперед, затем назад у нас есть

 S =   2 +   4 +   6 + … + 64 + 66 + 68.

S = 68 + 66 + 64 + … +   6 +   4 +   2.

 Значит, что 2S = 70 + 70 + 70 + … + 70 + 70 + 70.

Единственная проблема сейчас в том, сколько терминов есть? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 2, у нас было бы 1 + 2 + 3 + … + 32 + 33 + 34. Поскольку здесь 34 члена, в S должно быть 34 члена. Таким образом, 2S = 34. × 70 и S = ​​(34 x 70)/2 = 1190.

Вы можете проверить это одним из других способов, но это немного похоже на формулу, которую мы нашли в разделе 5.

Второй пример: Сложите числа 9 + 12 + 15 + … + 54 + 57 + 60.

Это можно сделать несколькими способами. Прямое сложение — это одно, как и деление всех чисел в сумме на 3 по известной нам формуле. Тем не менее, я возвращаюсь к проверенному методу «сначала вперед, потом назад». Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем. Таким образом, вперед и назад имеем

S = 9 + 12 + 15 + … + 54 + 57 + 60.

S = 60 + 57 + 54 + … + 15 + 12 + 9, 9.0003

Это означает, что 2S = 69 + 69 + 69 + … + 69 + 69 + 69.

 Единственная проблема заключается в том, сколько здесь терминов? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 3, то получили бы 3 + 4 + 5 + … + 18 + 19 + 20. Поскольку здесь 20 – 2 = 18 терминов, в S должно быть 18 терминов. Таким образом, 2S = 18 × 69 и S = ​​(18 x 69) / 2 = 621.

 Возможно, вы захотите проверить это одним из других способов. Есть ли здесь закономерность? Эти слова кажутся знакомыми?

  Общий пример: Прежде всего, можем ли мы угадать, что мы надеемся найти? Мы хотели бы найти формулу для суммы набора чисел, которые где-то начинаются и где-то заканчиваются, но где шаг между числами всегда одинаков. Из имеющейся у нас информации можем ли мы догадаться, какой может быть формула, прежде чем мы продираемся через алгебраическую путаницу, с которой нам предстоит столкнуться, чтобы получить ответ? В каждом случае, какие два числа мы перемножаем вместе, чтобы получить S?

 Ну, мы знаем, что когда мы прибавляли от 1 к n, числа были n и n + 1. Когда мы прибавляли от 2 к 68, они были 34 и 70; когда мы добавили из 9до 60 они были 18 и 69.

 Ясно, что в каждом случае большее число является общей суммой, которую мы получаем, складывая большие числа с меньшими числами. Эти большие числа являются просто суммой наименьшего и наибольшего чисел.

 А как насчет 34 и 18? И как они связаны с n, которое мы получили при сложении первых n чисел. Что у них общего? Разве они не просто количество чисел, которые мы добавляем? Значит ли это, что формула, которую мы должны получить, содержится в следующей гипотезе?

  Гипотеза 2: Если S является суммой любой из этих строк, где есть общее различие, S = ( (количество членов)(сумма первого и последнего чисел))/2

 Проверьте формулу для некоторые другие наборы чисел, которые где-то начинаются и увеличиваются на постоянную величину. Другими словами, наборы чисел, в которых есть общая разница между последовательными числами.

 На данном этапе у нас есть предположение, каким может быть ответ. Это довольно сильная гипотеза, потому что она работает для множества примеров. Но можем ли мы доказать, что это работает для любого набора чисел с общим свойством разности? Ну конечно можем. И мы сначала покажем это методом слов, а потом посмотрим, насколько проще выразить то же самое с помощью алгебры.

 Предположим, что набор чисел представляет собой некоторое число, первое число; некоторое число плюс общая разность, второе число; некоторое число плюс общее различие плюс общее различие, третье число; до самого большого числа, последнего числа.

 Тогда сумму S можно записать двумя обычными способами:

 S = первое число +    второе число     + … + предпоследнее число + последнее число

S = последнее число  + предпоследнее число + … +    второе  число    + первое число.

 Теперь первое число + последнее число = второе число + предпоследнее число. Это потому, что мы идем вверх по общей разности, идущей от первого числа ко второму числу, и вниз по общей разнице, идущей от последнего числа к предпоследнему числу. Итак, как обычно, все отдельные суммы одинаковы. Итак,

 2S = (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число) + … + (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число).

 Но в скобках есть одна из сумм для каждого члена исходной суммы. Таким образом, 2S = (количество терминов)(первое число + последнее число), и, следовательно, S = (количество терминов)(первое число + последнее число) ÷ 2,9.0003

 Это то, о чем мы догадывались выше. И теперь мы доказали гипотезу, и она верна для любого набора чисел, которые растут одинаковыми шагами. Эти наборы называются Арифметические прогрессии .

 Между прочим, математики работали так же, как и мы, до изобретения алгебры. Даже в работах Ньютона вы найдете уравнения со словами. Здесь это не так уж плохо, но может стать очень громоздким. Появление алгебры значительно улучшило математическую жизнь.

 Если вам нужна полная алгебраическая версия, вот она. Пусть первый член равен а, общая разность равна d, а количество членов равно n.

Что такое наценка: формула, виды

Наценка — это часть стоимости продукта, которая составляет разницу между конечной ценой товара и его себестоимостью. Показатель рассчитывают в процентах или денежном эквиваленте.

Посмотрите это видео, чтобы узнать, как правильно делать наценку при перепродаже товаров. 

Для чего нужна наценка

Она позволяет получить прибыль и покрыть все расходы компании, связанные с реализацией продукции. Если вы производите товар, то наценка должна включать расходы на прием заказов, доставку в точки продаж, заработную плату персонала и так далее. В эту сумму также важно добавить прибыль. Чтобы не работать в минус и иметь доход, необходимо помимо себестоимости и наценки еще рассчитать точку безубыточности и запас финансовой прочности.

Если компания покупает и перепродает товары, то наценка представляет собой разницу между закупочной и розничной ценой. Однако, чтобы установить конкурентоспособную стоимость продукции, следует учесть ряд факторов. Важно найти золотую середину между прибылью компании и выгодной ценой для потенциальных клиентов. Далее вы узнаете, что влияет на наценку и как правильно ее установить.

Факторы определения наценки

• Спрос
• Ситуация на рынке
• Расходы, связанные с реализацией
• Налогообложение

Путь покупателя у большинства клиентов начинается с изучения предложений на рынке. Люди редко покупают первый попавшийся продукт. Они сначала выбирают наиболее подходящий, а затем мониторят цены. Поэтому, нельзя установить максимальную стоимость и ждать высокой прибыли. В этом вопросе следует учесть ряд факторов, которые мы рассмотрим ниже. Посмотрите, от чего зависит наценка.

• Спрос. Один из главных факторов, который порой позволяет продать низкокачественные товары по двойной цене. Спрос зависит от целого ряда таких переменных как доход потенциальных потребителей, популярность продукции, цена на рынке, ожидания клиентов, стоимость аналогов.
• Ситуация на рынке. Уровень конкуренции может влиять не только на стоимость товаров и услуг, но и на их качество. В попытке завоевать целевую аудиторию компании часто прибегают к демпингу цен. Порой снизить стоимость можно только за счет качества, поэтому конкурировать при таких условиях довольно сложно.
• Расходы, связанные с реализацией. Это может быть аренда, хранение, упаковка, доставка и многое другое. Если растут расходы, растет и наценка.
• Налогообложение. Чтобы не работать в убыток, компании учитывают налог в наценку.

Как видите, при формировании конечной цены на продукт важно учесть не только очевидные расходы, но и такие факторы, как эластичность спроса или уровень конкуренции. Далее вы узнаете, как рассчитать наценку на товар.

Формула расчета наценки

Чтобы узнать сумму наценки в денежном эквиваленте, необходимо от конечной стоимости товара отнять его себестоимость. Рассчитать этот показатель можно также путем сложения таких расходов компании как налоги, комиссия посредников, затраты на персонал и прибыль компании. Однако, лучше всего при поиске наценки полагаться на точку безубыточности. Так вы будете знать минимальный уровень надбавки. Посмотрите, как рассчитать наценку в процентах.

Обратите внимание, что разница цены товара и его себестоимости — это валовая прибыль. Подробнее о ней мы писали в этой статье.

Виды наценки

Выделяют три основных вида наценки. Давайте подробнее рассмотрим каждый из них.

• Базовая наценка. Сумма, которая обеспечивает доход при продаже одной единицы продукции.
• Дополнительная наценка. Надбавка к базовой стоимости товара в связи с дополнительными требованиями покупателя.
• Посредническая наценка. Это надбавка, которую делает дилер или посредник, чтобы получить прибыль за свою деятельность.

Во время формирования цены на товар крайне важно учесть все постоянные и переменные расходы компании, связанные с производством и продажей продукции. Для сохранения платежеспособности регулярно отслеживайте разные финансовые показатели вроде запаса финансовой прочности, валовой прибыли, рентабельности продаж и так далее. Только с помощью грамотного анализа можно расширять или сокращать производство и принимать другие важные решения.

Обновлено: 27.03.2023

Торговая наценка: состав и виды

Для планирования вашей будущей прибыли торговая наценка является одним из основополагающих факторов её расчёта. Чрезмерно низкая маржа или, наоборот, высокий показатель могут спровоцировать быстрое банкротство. В качестве примера можно привести историю одного молодого предпринимателя из Самары, решившего открыть в своём городе обувной магазин:
«Перед открытием своего магазина я решил, что на начальном этапе точно буду пользоваться жёстким демпингом. Клиенты, которые были рады низким ценам, конечно сразу же обрадовались и пошли в магазин, торговля шла отлично, но прибыли, естественно, не было практически. При этом люди, которые ценят в обуви качество, практически в моём магазине не появлялись, так как по причине низкой стоимости испытывали сомнения в том, что предлагаемая мной продукция имеет достойное качество После того, как я отменил заниженные цены, от меня ушли покупатели, искавшие низкие цены. А те, кто изначально в магазин не пришёл, так клиентами и не стали. Поэтому пришлось закрыть бизнес по причине того, что товар просто не реализовывался».

В таком положении может оказаться любой бизнесмен, который предварительно не оценил параметр соотношения наценки на товар с поведением потенциальных и реальных покупателей, относящихся к его целевой аудитории. Важно помнить, что основной целью любого бизнеса является именно получение выгоды в виде прибыли, поэтому наценка должна гарантировать её получение. Как рассчитать торговую наценку? В нашем обзоре рассмотрим основные моменты формирования наценки на различные товары, для обеспечения максимальной прибыли и повышения уровня продаж. Будем также рассматривать методы для расчёта и факторы, оказывающие влияние на её итоговый размер.

Маржа и торговая наценка: особенности, различия между терминами и порядок расчёта

При общении предпринимателей и чтении специализированных блогов нередко можно столкнуться с такими терминами, как маржа и торговая наценка. Термины нередко путаются и употребляются некорректно, большинство людей не видит в них принципиальной разницы. Будем разбираться.

Маржа является отношением добавленной вами стоимости к цене товара, установленной для его продажи. Рассчитывается очень просто: нужно из установленной для покупателей стоимости вычесть закупочную цену. Маржа покажет, какой будет «грязная» сумма прибыли, получаемой бизнесменом после того, как товар будет продан покупателю. Простой пример: вы на оптовой базе закупаете упаковку сосисок за 100 ₽, а продаёте в магазине за 140 ₽. Значит маржа в этом случае составит 40 ₽. Формула расчёта маржи выглядит так:

Маржа = (цена розничной продажи товара — стоимость закупки одной единицы)/цена розничной продажи товара * 100 %

В нашем примере маржа будет рассчитана так:

40 ₽ = (140 ₽ — 100 ₽)/140 ₽ * 100 %

Торговая наценка является надбавкой, добавляемой к стоимости закупки для получения при продаже прибыли. Формула ещё проще, чем при расчёте маржинальности товара:

Торговая наценка = цена продажи — закупочная цена

В количественном аспекте накрутка всегда будет равна сумме маржи. В примере, приведённом в обзоре, наценка на предлагаемый покупателю товар составит 40 ₽. Если считать наценку в процентном отношении, то формула немного изменится, а порядок расчёта станет несколько отличаться от маржинальности:

Торговая наценка = (цена розничной продажи товара — стоимость закупки одной единицы)/стоимость закупки одной единицы * 100 %

Разница практически незаметна, если не рассматривать формулу расчёта процентного формата. Решать, как именно производить расчёт: в рублях или в процентах, решать именно вам. Рассмотрим далее факторы, которые влияют на определение наценки, требующие особого внимания со стороны предпринимателя.

Факторы, определяющие сумму наценки

Правильный расчёт этой суммы позволит не только покрывать неизбежные для бизнеса издержки, но и повышать получаемую прибыль, принося владельцу магазина достойный доход. При установке цен важно работать не только на быструю прибыль, но и на перспективу долгосрочного плана, чтобы цены обеспечивали максимально возможную маржинальность при адекватном их уровне, позволяющем привлечь достаточное количество покупателей из вашей целевой аудитории. Цены ни в коем случае не должны будут отпугивать от вас ни покупателей, ценящих скидки и акции, ни тех, кому важно отличное качество с достойным уровнем оплаты за приобретённую вещь.

Важно: помните важное правило ведения предпринимательской деятельности: пока покупатели радуются, покупая недорогие вещи со скидками, такая ценовая война просто истощает и вас, и конкурентов.

После открытия точки некоторые владельцы бизнеса как будто стесняются делать адекватный уровень наценки на представленные в ассортименте товары, что приводит к минимальному уровню или полному отсутствию прибыли на начальных этапах ведения бизнеса. Не стоит, однако, и делать цену сразу запредельной, поскольку высока вероятность ухода потенциальных и реальных покупателей к имеющимся у вас конкурентам с более адекватной ценовой политикой. Поэтому нужно сразу определиться со своеобразной «золотой серединой». Для начала нужно знать факторы, влияющими на политику ценообразования.

Минимальная (безубыточная или пороговая) цена

Установленная и просчитанная цена позволит бизнесу быстро выйти на безубыточный уровень. Показатель безубыточной пороговой цены для корректного подсчёта требует нескольких последовательных этапов:

1. Перед определением суммы или процента надбавки стоимости бизнесмену стоит учесть свои переменные и постоянные траты: на аренду помещений, выплату заработной платы, оплату налогов и платежей за коммунальные услуги. К примеру, общая сумма расходов у вас будет равна 80 тыс. ₽.
2. Определяется планируемый или реальный объём продаж выставляемого на витрины товара с учётом стоимости его по закупочной цене. В качестве примера возьмём сумму закупки, равную 120 тыс. ₽.
3. Далее производим расчёт по простой формуле. Она позволит вам в итоге прийти к тому, чтобы получить прибыль и покрыть все переменные и постоянные расходы: Торговая наценка = (все расходы за отчётный период (обычно в качестве него берётся 1 календарный месяц)/(общая закупочная цена всех товаров, которые были за этот же период реализованы) * 100 % = 80 тыс. ₽/120 тыс. ₽ * 100 % = 66 % (конкретно для нашего примера)
4. После проведения вычислений можно устанавливать пороговую минимальную цену на товары, позволяющую не только не остаться в убытке, но и получать прибыль даже в начале работы вашего магазина: Минимальная цена = закупка всего товара + (закупка всего товара*получившийся ранее процентный показатель торговой наценки)

Минимальный уровень цены указывает вам на стоимость товара с учётом всех ваших планируемых акций, распродаж, специальных предложений. Важно запомнить, что наценка всегда должна быть такой, чтобы итоговая цена продаваемого товара никогда не снижалась меньше минимального порогового значения.

Анализ ситуации на рынке и конкурентов

Формирование уровня вашей торговой наценки невозможно без учёта проводимой конкурентами ценовой политики. Важно знать цену, установленную ими на такие же или аналогичные вашим товары, представленные у них в наличии или под заказ. Изучение цен лучше всего проводить анонимно, не выдавая своих истинных целей. А какую стоит установить цену самому?

1. При прочих равных условиях (в плане закупки, торговой точки, ассортимента) стоит устанавливать такую же цену, как и у ближайших конкурентов. Если вы будете заниматься демпингом, то в итоге высока вероятность того, что и конкурент пойдёт на снижение цены. В итоге это приведёт только к падению вашей прибыли, хорошего из такой конкурентной войны ничего не получится.
2. Лояльность покупателей стоит завоёвывать не предельно низкими ценами. Доброжелательность персонала, высокий уровень сервиса, интересные акции, розыгрыши и конкурсы в социальных сетях для вашей целевой аудитории — вот то, что может помочь дополнительно привлечь к себе покупателей и повысить уровень прибыли даже при достаточно высокой накрутке.
3. Обязательно продумайте и внедрите у себя систему дисконтных или накопительных карт для постоянных покупателей. Помочь в реализации такого проекта помогут специализированные программы для учёта и продаж.

Эластичность покупательского спроса

Если в вашей нише или в районе нахождения магазина нет достойных конкурентов, то продавать товары можно и с достаточно высокой наценкой. К примеру, если вы в своём городе единственный бизнесмен, предоставляющий услуги термопечати и фотопечати, то поставить можно достаточно высокие цены, так как люди всё равно будут к вам обращаться. Впрочем, не стоит сильно наглеть и пытаться «задрать» цены до нереальной высоты.

Какие факторы могут оказывать влияние на эластичность покупательского спроса:

• заменяемость товара. Если ваш товар не относится к категории первой необходимости, то высоки шансы, что приобретать его с высокой торговой наценкой попросту не будут;
• аналогично можно сказать и о таком факторе, как значимость предлагаемых товаров для потребителей. Товары нишевого спроса будут пользоваться популярностью только у тех, кто испытывает к ним живой интерес, остальные же точно пройдут мимо, как бы интересной по-вашему не была продукция. И наоборот;
• качество. Естественно, что за качественным товаром по адекватной цене к вам будет ходить гораздо большее количество покупателей, чем за низкокачественным ширпотребом или дорогостоящими уникальными изделиями;
• сезонность спроса. Новогодние ёлки и игрушки, украшения к Сочельнику и прочие зимние безделицы, конечно, можно продавать по привлекательной цене и летом, однако зимой даже с повышенной наценкой у вас точно раскупят практически всё, поддавшись ажиотажу и потребительскому высокому спросу, духу праздника и рекламе;
• количество товарного запаса у вас. Стоит иметь достаточно количество того, что вы продаёте, чтобы постоянные покупатели однажды не столкнулись с проблемой отсутствия нужного товара. Поверьте, они не забудут: а конкуренты и всевозможные маркетплейсы, увы, не дремлют.

Даже при практически монопольном вашем положении в отрасли или в районе города (самом небольшом городе) при сильно завышенных ценах у вас точно появятся недовольные покупатели, которые найдут выход для покупки аналогичного товара по более низким ценам. Поверьте, тут и конкуренты в итоге найдутся, к которым такие покупатели обязательно уйдут.

Если товар или услуга, предлагаемые вами, не относятся к категории первостепенных, то при любом повышении цен ваша выручка будет экспоненциально снижаться. Здесь важно (увы, нередко методом проб и ошибок) найти оптимальный уровень наценки, который будет устраивать как покупателей, так и вас, чтобы не столкнуться со стремительным и скачкообразным снижением выручки и продаж.

Дополнительные услуги и сервисное обслуживание

Многие покупатели при должном уровне обслуживания и качестве приобретаемого товара готовы платить за расширенные гарантии и услуги: повышенный гарантийный срок, комфорт и иные бонусы. При отлично отлаженном уровне сервиса можно делать надбавку стоимости значительно выше, чем у конкурентов. В качестве примера можно привести работу элитного ателье и швейной мастерской, специалисты которой по предварительной заявке могут осуществить выезд к заказчику, при ремонте одежды и аксессуаров используют только высококачественные зарубежные расходные материалы, а также предоставляют многолетнюю гарантию как на сам ремонт, так и на комплектующие. В сравнении с привычными ателье «около дома» торговая наценка на услуги такой мастерской может быть гораздо выше по указанным выше причинам и премиальному качеству обслуживания своих заказчиков.

В розничной торговле также к дополнительным сервисным услугам, повышающим лояльность покупателей и клиентов, можно отнести: кредитование и рассрочку для постоянных заказчиков, отсрочка платежа, бесплатная доставка или монтаж. Стоимость таких услуг сразу закладывается в надбавку, чтобы они не приносили убыток. Помните, что основная цель таких услуг, всё же, не просто покупательская лояльность, а повышение уровня вашей прибыли за счёт неё.

Покупательская платёжеспособность

Анализ реальных возможностей вашей целевой аудитории в плане способности приобретать предлагаемые вами товары с установленной наценкой является крайне важным для установки цены. Востребованные товары даже с достаточно большой наценкой всё равно будут покупаться, принося вам хорошую выручку.

Важно! Помните, что в элитном и премиальном сегменте установленная вами цена на качественные товары, услуги и дополнительные сервисы будет ограничена только «глубиной» покупательского кошелька.

Пример: рассмотрим работу 2 небольших кафе по продаже гамбургеров и хот-догов. Одно размещено неподалёку от заводского старого спального района, а второе работает в зоне фудкорта крупного городского ТРЦ. В первом кафе средний чек составляет 150 ₽, а в фудкорте конкуренты легко держать ценник в 350-400 ₽. Естественно, что во втором случае вы можете установить значительно повышенную наценку, которая будет приносить большую прибыль. Простыми словами: если люди покупают гамбургеры по 250 ₽, то нет смысла продавать их по 150 ₽.

Чаще всего устанавливаются цены только опытным путём, после оценки того, сколько именно денег ваши покупатели реально готовы тратить на предлагаемые вами товары без ущерба для своего кошелька. Есть достаточно простой и рабочий способ: ставьте на все товары или услуги стандартные цены, средние по «рынку», а затем начинайте повышать торговую наценку на одну из них до момента, пока её продажи не начнут резко падать. Вот на остальные предлагаемые услуги или товары можно устанавливать цены на одну-две ступени ниже предельной (не сразу, естественно, постепенно).

Как рассчитать торговую наценку

Есть несколько основных методик, позволяющих качественно и объективно подойти к формированию торговой наценки и общей цены:

1. «Прибыль + издержки». Для начала стоит спланировать объёмы ваших продаж на основании статистики или уже имеющихся данных из магазина. Затем проведите учёт периодических и регулярных издержек, после чего решите для себя, какой уровень выручки вам нужен. Далее производите расчёт по формуле, указанной в нашем обзоре.
2. Методика оценки нормативных затрат. Аналогичен пункту 1 этого списка, но расчёт производится на долгосрочную перспективу, чтобы оценить обстановку и установить цены максимально стабильными.
3. Методика учёта реальной рентабельности. Также аналогичен 1 пункту. Отличие в том, что расчёт производится на основе запланированного срока инвестиционной окупаемости.
4. Метод рынка. Цена формируется на основе цен конкурентов. Не больше и не меньше.
5. Демпинг. От цены, установленной конкурентами, отнимаем от 5 до 10% (в зависимости от того, насколько большая выручка вам нужна) и делаем таким образом ценник ниже.
6. Эластичный спрос. Ценник вами должен быть установлен в той точке, после которой начинается падение продаж.

Заключение

Мало рассчитать наценку. Необходимо регулярно анализировать продажи , чтобы удостовериться в правильности своих расчетов или выявить ошибку.
Для всего , выше описанного , нами разработан инструмент, который встраивается в типовые продукты 1С и расширяет их возможности по анализу продаж. Он избавит вас от лишних действий и даст понятную картину по работе торговой точки.

Как рассчитать маржу прибыли

К

Команда Инвестопедии

Полная биография

Авторы Investopedia имеют разный опыт работы, и за 24 года работы тысячи опытных писателей и редакторов внесли свой вклад.

Узнайте о нашем редакционная политика

Обновлено 02 сентября 2022 г.

Факт проверен

Сюзанна Квилхауг

Факт проверен Сюзанна Квилхауг

Полная биография

Сюзанна — контент-маркетолог, писатель и специалист по проверке фактов. Она имеет степень бакалавра финансов в Государственном университете Бриджуотер и помогает разрабатывать контент-стратегии для финансовых брендов.

Узнайте о нашем редакционная политика

Маржа прибыли, пожалуй, один из самых простых и наиболее широко используемых финансовых коэффициентов в корпоративных финансах. Прибыль компании рассчитывается на трех уровнях в ее отчете о прибылях и убытках, начиная с самого основного — валовой прибыли — и до самого полного: чистой прибыли. Между этими двумя лежит операционная прибыль. Все три имеют соответствующую норму прибыли, рассчитанную путем деления показателя прибыли на выручку и умножения на 100.

Ключевые выводы

• Маржа прибыли отражает относительную прибыльность фирмы или коммерческой деятельности путем учета затрат, связанных с производством и продажей товаров.
• Маржа может быть рассчитана на основе валовой прибыли, операционной прибыли или чистой прибыли.
• Чем выше маржа прибыли, тем лучше, но высокая валовая маржа наряду с небольшой чистой маржой может указывать на то, что требует дальнейшего изучения.
• Нормы прибыли различаются в зависимости от отрасли и должны сравниваться только с аналогичными компаниями.
• Вы можете использовать компьютерное программное обеспечение, такое как Microsoft Excel, для быстрого расчета нормы прибыли.

Как рассчитать маржу прибыли

Типы маржи прибыли

Существует три различных типа маржи прибыли: маржа валовой прибыли, маржа операционной прибыли и маржа чистой прибыли. Каждый из них дает вам представление о том, насколько эффективно работает компания.

Маржа валовой прибыли

Валовая прибыль — это самый простой показатель прибыльности, поскольку он определяет прибыль как весь доход, который остается после учета себестоимости проданных товаров (COGS). Себестоимость включает только те расходы, которые непосредственно связаны с производством или изготовлением предметов для продажи, включая сырье и заработную плату за труд, необходимый для изготовления или сборки товаров.

Из этой цифры исключаются, среди прочего, любые расходы на долг, налоги, операционные или накладные расходы, а также разовые расходы, такие как покупка оборудования. Маржа валовой прибыли сравнивает валовую прибыль с общим доходом, отражая процент каждого доллара дохода, который остается в качестве прибыли после оплаты себестоимости продукции.

Формула валовой прибыли выглядит следующим образом:

галлон в минуту «=» Чистая продажа − COGS Чистая продажа × 100 где: галлон в минуту «=» Валовая прибыль \begin{align}&\text{GPM}=\frac{\text{Чистые продажи}-\text{COGS}}{\text{Чистые продажи}}\times100\\&\textbf{где:}\\& \text{GPM}=\text{Валовая прибыль}\end{выровнено} ​GPM=Чистые продажиЧистые продажи – себестоимость продаж × ​​100, где: GPM = Валовая прибыль 

Маржа операционной прибыли

Операционная прибыль — это несколько более сложный показатель, который также учитывает все накладные, операционные, административные расходы и расходы на продажу, необходимые для ежедневного ведения бизнеса. Хотя эта цифра по-прежнему не включает долги, налоги и другие неоперационные расходы, она включает амортизацию и амортизацию активов.

Разделив операционную прибыль на выручку, эта маржа рентабельности среднего уровня отражает процент каждого доллара, который остается после оплаты всех расходов, необходимых для поддержания бизнеса.

Формула маржи операционной прибыли:

ОПМ «=» Операционный доход Доход × 100 где : ОПМ «=» Маржа операционной прибыли \begin{align}&\text{OPM}=\frac{\text{Операционный доход}}{\text{Доход}}\times100\\&\textbf{где}:\\&\text{OPM}=\ text{Маржа операционной прибыли}\end{aligned} ​OPM=ВыручкаОперационный доход​×100, где:OPM=Маржа операционной прибыли​

Маржа чистой прибыли

Маржа чистой прибыли отражает общую способность компании превращать доход в прибыль. Печально известный итог, чистая прибыль, отражает общую сумму доходов, оставшихся после учета всех расходов и дополнительных потоков доходов. Это включает не только себестоимость и операционные расходы, как указано выше, но также платежи по долгам, налоги, разовые расходы или платежи, а также любые доходы от инвестиций или вторичных операций.

Формулы для чистой прибыли:

НПМ «=» ( р − СГС − ОПЕ − ОТЕ − я − Т р ) × 100 или НПМ «=» ( Чистая прибыль р ) × 100 где: НПМ «=» Рентабельность по чистой прибыли р «=» Доход СГС «=» Стоимость проданных товаров ОПЕ «=» Операционные расходы ОТЕ «=» Прочие расходы я «=» Интерес Т «=» Налоги \begin{align}&\text{NPM}=\left(\frac{\text{R}-\text{CGS}-\text{OPE}-\text{OTE}-\text{I}-\text {T}}{\text{R}}\right)\times100\\&\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\textbf{\ or}\\&\quad\qquad\qquad\text{NPM }=\left(\frac{\text{Чистая прибыль}}{\text{R}}\right)\times100\\&\textbf{где:}\\&\text{NPM}=\text{Чистая прибыль маржа}\\&\text{R}=\text{Доход}\\&\text{CGS}=\text{Себестоимость проданных товаров}\\&\text{OPE}=\text{Операционные расходы}\\ &\text{OTE}=\text{Прочие расходы}\\&\text{I}=\text{Проценты}\\&\text{T}=\text{Налоги}\end{aligned} ​NPM=(RR-CGS-OPE-OTE-I-T​)×100 илиNPM=(RЧистый доход​)×100где: NPM=маржа чистой прибылиR=ВыручкаCGS=Себестоимость проданных товаровOPE=Операционные расходыOTE=Прочие расходыI=ПроцентыT= Налоги​

Что такое хорошая прибыль?

Это зависит от компании и отрасли. Это связано с тем, что нормы прибыли варьируются от отрасли к отрасли, а это означает, что компании в разных секторах не обязательно сопоставимы. Таким образом, размер прибыли розничной компании не следует сравнивать с размером прибыли нефтегазовой компании.

Сказав это, вы можете использовать шкалу того, как работает бизнес, на основе его прибыли. Маржа прибыли в 20% указывает на то, что компания прибыльна, в то время как маржа в 10% считается средней. Это может указывать на проблему, если компания имеет норму прибыли 5% или ниже.

Есть некоторые исследования, в которых анализируются нормы прибыли по отраслям. Нью-Йоркский университет проанализировал множество отраслей с чистой прибылью в диапазоне от примерно -29% до 33%. Например, исследование показало, что в гостиничном/игровом секторе средняя норма чистой прибыли составила -28,56%, в то время как у банков в финансовом центре средняя норма чистой прибыли составила 32,61%.

Независимо от того, где находится компания, владельцам бизнеса важно проанализировать своих конкурентов, а также свою годовую прибыль, чтобы убедиться, что они находятся на твердой почве.

Как рассчитать маржу прибыли в Excel

Возможно, вам будет проще рассчитать размер валовой прибыли с помощью компьютерного программного обеспечения. Одним из самых распространенных на рынке является Microsoft Excel. Использование электронных таблиц может немного упростить задачу. Прежде чем вы сядете за компьютер и подсчитаете свою прибыль, вам потребуется некоторая базовая информация, включая выручку и себестоимость проданных товаров.

В первом столбце (допустим, это столбец А) введите данные о доходах. В следующем (столбец B) обратите внимание на COGS. В столбце C вы хотите ввести формулу для вашей общей прибыли. Итак, если у вас есть цифры в ячейках A2 и B2, значение для C2 — это разница между A2 и B2. Ваша маржа прибыли будет найдена в столбце D. Однако вам нужно будет ввести формулу (C2/A2) x 100.

Таблица ниже довольно проста, но дает вам представление о том, как это работает:

	А	Б	С	Д
1	ДОХОД	ПРОДАЖА	ПРИБЫЛЬ	МАРЖА ПРИБЫЛИ
2	100 долларов	40 долларов	60 $	60%
3	300 долларов	$75	25	75%

Пример маржи прибыли

За финансовый год, закончившийся 3 октября 2021 года, выручка Starbucks (SBUX) составила 29,06 миллиарда долларов. Валовая прибыль и операционная прибыль составляют 20,32 млрд долларов и 4,87 млрд долларов соответственно. Чистая прибыль за год составляет 4,2 миллиарда долларов. Таким образом, маржа прибыли Starbucks будет рассчитываться как:

• Маржа валовой прибыли = (20,32 млрд долл. США ÷ 29,06 млрд долл. США) × 100 = 69,92%
• Маржа операционной прибыли = (4,87 млрд долл. США ÷ 29,06 млрд долл. США) × 100 = 16,76% ÷ 29,06 млрд долларов США) × 100 = 14,45%

Этот пример иллюстрирует важность наличия высокой валовой и операционной прибыли. Слабость на этих уровнях указывает на то, что деньги тратятся на основные операции, в результате чего остается мало поступлений на погашение долга и налоги. Здоровая валовая и операционная прибыль в приведенном выше примере позволила Starbucks поддерживать достойную прибыль, при этом выполняя все свои другие финансовые обязательства.

Что такое хорошая чистая прибыль?

Хорошая норма чистой прибыли широко варьируется в зависимости от отрасли. Согласно анализу отраслей промышленности, проведенному Нью-Йоркским университетом в январе 2022 года, средние значения колеблются от почти 29% для железнодорожного транспорта до почти -20% для возобновляемых и экологически чистых источников энергии. Средняя маржа чистой прибыли для розничной торговли составляет 2,65%, а средняя маржа для ресторанов — 12,63%.

Таким образом, хорошая чистая прибыль, к которой нужно стремиться как владельцу бизнеса или менеджеру, сильно зависит от вашей конкретной отрасли. Важно следить за своими конкурентами и соответственно сравнивать размер чистой прибыли. Кроме того, важно анализировать размер прибыли вашего собственного бизнеса из года в год, чтобы убедиться, что вы находитесь на прочной финансовой основе.

Какая формула расчета прибыли наиболее полезна?

Вероятно, наиболее значительной маржой прибыли является маржа чистой прибыли просто потому, что она использует чистую прибыль. Итоги компании важны как для инвесторов, кредиторов, так и для лиц, принимающих бизнес-решения. Это цифра, которая, скорее всего, будет отражена в финансовой отчетности компании.

Однако каждая формула имеет собственное значение для внутреннего анализа. Маржа валовой прибыли может использоваться руководством в расчете на единицу продукции или на единицу продукции для определения успешных и неуспешных продуктовых линеек. Маржа операционной прибыли полезна для определения процента средств, оставшихся для выплаты налоговой службе, а также долга и акционеров компании.

Существуют ли другие формулы прибыли?

Да. Скорректированная валовая прибыль также полезна для внутреннего анализа. Он аналогичен марже валовой прибыли, но включает в себя балансовую стоимость запасов. Две компании с одинаковой валовой прибылью могут иметь совершенно разные скорректированные валовые прибыли в зависимости от расходов, которые они несут на транспортировку, страхование и хранение товарно-материальных запасов.

Маржа прибыли также может быть рассчитана после уплаты налогов, но до выплаты каких-либо долгов. Это называется нескорректированной маржой после уплаты налогов. Он более прямо определяет средства, оставшиеся для выплаты кредиторам.

Итог

Показатели прибыльности важны для владельцев бизнеса, поскольку они выявляют слабые места в операционной модели и позволяют сравнивать результаты по годам. Для инвесторов прибыльность компании имеет важное значение для ее будущего роста и инвестиционного потенциала. Кроме того, этот тип финансового анализа позволяет как руководству, так и инвесторам увидеть, как компания выглядит на фоне конкурентов.

Маржа прибыли используется для определения того, насколько хорошо руководство компании получает прибыль. Полезно сравнивать размер прибыли за несколько периодов и с компаниями в одной отрасли.

Источники статей

Investopedia требует, чтобы авторы использовали первоисточники для поддержки своей работы. К ним относятся официальные документы, правительственные данные, оригинальные отчеты и интервью с отраслевыми экспертами. Мы также при необходимости ссылаемся на оригинальные исследования других авторитетных издателей. Вы можете узнать больше о стандартах, которым мы следуем при создании точного и беспристрастного контента, в нашем редакционная политика.

1. Нью-Йоркский университет. «Маржа по секторам (США)».

2. Комиссия по ценным бумагам и биржам США. «Форма 10-K корпорации Starbucks за финансовый год, закончившийся 3 октября 2021 г.», стр. 41.

Калькулятор маржи

Создано Матеушем Мухой и Тибором Палом, кандидатом наук

Проверено Богной Шик и Джеком Боуотером

На основе исследования

Brigham, E.F.; Эрхардт, М.К. «Финансовый менеджмент: теория и практика» (2016)

Последнее обновление: 19 апреля 2023 г.

Содержание:

• Как рассчитать норму прибыли
• Формула валовой прибыли
• Примечание по терминологии
• Маржа и наценка
• Часто задаваемые вопросы

Этот калькулятор маржи будет вашим лучшим другом, если вы хотите найти товар выручка, если предположить вы знаете его стоимость и желаемый процент прибыли . Но это еще не все, вы можете рассчитать любую из основных переменных в процессе продаж — стоимость проданных товаров (сколько вы заплатили за вещи, которые вы продаете), маржа прибыли , выручка (за сколько вы ее продаете) и прибыль — из любых других значений. В общем, ваша норма прибыли определяет, насколько здорова ваша компания — при низкой марже вы танцуете на тонком льду, и любое изменение к худшему может обернуться большими неприятностями. Высокая прибыль означает, что есть много места для ошибок и неудач. Продолжайте читать, чтобы узнать, как найти свою норму прибыли и какова формула валовой прибыли.

У нас есть несколько калькуляторов, похожих по своему характеру — вы можете воспользоваться нашим калькулятором маржи и НДС (или маржи и налога с продаж) или маржей с помощью калькулятора скидок.

Как рассчитать размер прибыли

1. Узнайте себестоимость проданных товаров. Например $30\$30$30.
2. Узнайте свой доход (за сколько вы продаете эти товары, например, $50\$50$50).
3. Рассчитайте валовую прибыль, вычитая затраты из выручки. 50-30 долларов = 20 долларов \ 50 долларов — \ 30 долларов = \ 20 долларов 50-30 долларов = 20 долларов
4. Разделите валовую прибыль на выручку: 20 долл. США/50 долл. США = 0,4 \ 20 долл. США / \ 50 долл. США = 0,4 20 долл. США/50 долл. США = 0,4.
5. Выразите в процентах: 0,4⋅100=400,4 \cdot 100 = 40%0,4⋅100=40.
6. Вот как можно рассчитать маржу прибыли… или просто воспользуйтесь нашим калькулятором валовой маржи!

Как видите, маржа представляет собой простой процентный расчет, но, в отличие от наценки, она основана на выручке, а не на себестоимости проданных товаров (COGS).

Воспользуйтесь нашим калькулятором наценки, чтобы узнать разницу между маржей и наценкой!

Формула валовой прибыли

Формула для расчета процента валовой прибыли выглядит следующим образом:

валовая прибыль = 100 × прибыль / выручка

(в процентах). Уравнение прибыли:

прибыль = выручка - затраты

, поэтому альтернативная формула маржи:

маржа = 100 × (доход - затраты) / выручка

Теперь, когда вы знаете , как рассчитать маржу прибыли , вот формула выручки:

выручка = 100 × прибыль / маржа

И, наконец, чтобы рассчитать, сколько вы можете заплатить за товар, учитывая вашу маржу и выручку (или прибыль), сделайте следующее:

затраты = выручка - маржа × выручка / 100

Примечание по терминологии

Все термины (маржа, маржа прибыли, валовая маржа, маржа валовой прибыли) немного расплывчаты, и каждый использует их в немного разных контекстах. . Например, затраты могут включать или не включать расходы, отличные от COGS — обычно они этого не делают. В этом калькуляторе мы используем эти термины взаимозаменяемо, и простите нас, если они не соответствуют некоторым определениям. Для нас важнее то, что эти термины означают для большинства людей , и для этого простого расчета различия не имеют большого значения. К счастью, вполне вероятно, что вы уже знаете, что вам нужно и как обращаться с этими данными. Этот инструмент может работать как калькулятор валовой прибыли или калькулятор прибыли .

Таким образом, разница совершенно не имеет значения для целей наших расчетов — в данном случае не имеет значения, включают ли затраты маркетинг или транспорт. В большинстве случаев люди приходят сюда из Google после поиска по разным ключевым словам. В дополнение к упомянутым ранее, они искали калькулятор прибыли , формула прибыли , как рассчитать прибыль , калькулятор валовой прибыли (или просто gp калькулятор ) и даже формула маржи продаж .

Маржа и наценка

Разница между валовой прибылью и наценкой небольшая, но важная. Первое представляет собой отношение прибыли к цене продажи , а второе представляет собой отношение прибыли к цене покупки (себестоимость проданных товаров). С точки зрения непрофессионала, прибыль также известна как наценка или маржа, когда мы имеем дело с необработанными числами, а не с процентами. Интересно, как некоторые люди предпочитают рассчитывать наценку, в то время как другие думают с точки зрения валовой прибыли. Нам кажется, что разметка более интуитивно понятна, но, судя по количеству людей, которые ищут калькулятор наценки и калькулятор маржи, последний в несколько раз популярнее .

Часто задаваемые вопросы

В чем разница между валовой и чистой прибылью?

Маржа валовой прибыли – это ваша прибыль , деленная на выручку (сумма заработанных денег). Норма чистой прибыли равна прибыли за вычетом цены всех прочих расходов (арендная плата, заработная плата, налоги и т. д.), деленной на выручку. Думайте об этом как о деньгах, которые оседают в вашем кармане. Хотя маржа валовой прибыли является полезной мерой, инвесторы с большей вероятностью будут обращать внимание на размер чистой прибыли , поскольку он показывает, покрываются ли операционные расходы.

Может ли размер прибыли быть слишком высоким?

В то время как здравый смысл подхода к экономике заключается в максимизации дохода , его не следует тратить впустую — реинвестировать большую часть этих денег для содействия росту. Карман как можно меньше, или ваш бизнес будет страдать в долгосрочной перспективе ! Существуют также определенные практики, которые, несмотря на краткосрочную прибыль, в долгосрочной перспективе будут стоить вам больше денег, например, импорт ресурсов из страны, которая, вероятно, будет подпадать под экономические санкции в будущем или покупка недвижимости, которая окажется под водой через 5 лет .

Что такое маржа в продажах?

Ваша маржа продаж является произведением продажной цены товара или услуги, минус расходы , необходимые для продажи продукта, выраженные в процентах . Эти расходы включают в себя: скидки, материальные и производственные затраты, заработную плату сотрудников, арендную плату и т. д. Хотя это очень похоже на чистую прибыль, маржа продаж в единицах измерения .

Как рассчитать маржу прибыли 20%?

Для расчета 20% прибыли:

1. Выразите 20% в десятичной форме: 0,2 .
2. Вычтите 0,2 из 1, чтобы получить 0,8.
3. Разделите первоначальную цену вашего товара на 0,8.
4. Ну вот. Это новое число показывает, сколько вы должны брать за 20% прибыли.

Что такое хорошая маржа?

Однозначного ответа на вопрос « какая маржа » нет — ответ, который вы получите , будет варьироваться в зависимости от того, кого вы спросите , и вашего типа бизнеса . Во-первых, вы никогда не должны иметь отрицательную валовую или чистую прибыль ; в противном случае вы теряете деньги.

Как правило, чистая маржа в 5 % считается плохой, 10 % — приемлемой, а 20 % считается хорошей маржей . Для нового бизнеса не существует хорошей маржи , поэтому проверьте свою соответствующую отрасль на наличие представления о репрезентативной поля , но будьте готовы к тому, что ваша маржа будет ниже. Для малого бизнеса сотрудники часто являются вашими основными расходами.

Как рассчитать маржу в Excel?

Хотя проще использовать Omni Margin Calculator, полезно знать, как рассчитать маржу в Excel:

1. Введите стоимость проданных товаров (например, в ячейку А1).

2. Введите доход от продукта (например, в ячейку B1).

3. Рассчитайте прибыль с помощью , вычитая затрат из выручки (в C1, ввод = B1-A1) и обозначьте это как «прибыль».

4. Разделите прибыль на выручку и умножьте на 100 (в D1 введите =(C1/B1)*100) и обозначьте это как «маржа».

5. Щелкните правой кнопкой мыши последнюю ячейку и выберите Формат ячеек .

6. В поле Format Cells под Number выберите Percentage и укажите желаемое количество знаков после запятой.

Как рассчитать маржу в 10%?

Чтобы рассчитать маржу прибыли в размере 20%:

1. Сделайте 10% десятичной дробью, разделив 10 на 100, чтобы получить 0,1 .
2. Отнимите 0,1 от 1, что равно 0,9.
3. Разделите стоимость вашего товара на 0,9.
4. Используйте это новое число в качестве цены продажи, если вы хотите получить 10% прибыли.

Маржа и прибыль — одно и то же?

Хотя оба измеряют эффективность бизнеса, маржа и прибыль не одно и то же . Все метрики маржи даны в процентных значениях и, следовательно, имеют дело с относительными изменениями, что хорошо для сравнения вещей, которые работают в совершенно другом масштабе. Прибыль явно выражена в валютных единицах и, таким образом, обеспечивает более абсолютный контекст, что удобно для сравнения повседневных операций.

Как рассчитать маржу в 30%?

Для расчета 20% прибыли:

1. Превратите 30% в десятичную дробь, разделив 30 на 100, что равно 0,3 .
2. Минус 0,3 от 1, чтобы получить 0,7.
3. Разделите цену товара на 0,7.
4. Число, которое вы получаете, показывает, за сколько вам нужно продать товар, чтобы получить 30%-ную прибыль .

Как рассчитать наценку по марже?

Чтобы рассчитать наценку по марже:

1. Превратите маржу в десятичную дробь, разделив процент на 100.
2. Вычесть этой десятичной дроби из 1.
3. Разделить 1 на произведение вычитания.
4. Вычтите 1 из произведения предыдущего шага.

— + S

Несбалансированная Химическая реакция

Онлайн калькулятор для уравнивания(сбалансирования) несбалансированного окислительно-восстановительной химической реакции.

Описание окислительно-востановительной реакции

В процессе окислительно-восстановительной реакции восстановитель отдаёт электроны, то есть окисляется; окислитель присоединяет электроны, то есть восстанавливается. Причём любая окислительно-восстановительная реакция представляет собой единство двух противоположных превращений — окисления и восстановления, происходящих одновременно и без отрыва одного от другого

Пример окислительно-востановительной реакции

Методом электронного баланса подберите коэффициенты в схемах следующих окислительно-восстановительных реакций с участием металлов:

а) Ag + HNO3 → AgNO3 + NO + h3O
б) Ca +h3SO4 → CaSO4 + h3S + h3O
в) Be + HNO3 → Be(NO3)2 + NO + h3O

Применение метода электронного баланса по шагам. Пример «а»

Составим электронный баланс для каждого элемента реакции окисления Ag + HNO₃ → AgNO₃ + NO + H₂O.

Шаг 1. Подсчитаем степени окисления для каждого элемента, входящего в химическую реакцию.

Ag. Серебро изначально нейтрально, то есть имеет степень окисления ноль.

Для HNO₃ определим степень окисления, как сумму степеней окисления каждого из элементов.

Степень окисления водорода +1, кислорода -2, следовательно, степень окисления азота равна:

0 — (+1) — (-2)*3 = +5

(в сумме, опять же, получим ноль, как и должно быть)  

Теперь перейдем ко второй части уравнения.

Для AgNO₃ степень окисления серебра +1 кислорода -2, следовательно степень окисления азота равна:

0 — (+1) — (-2)*3 = +5

Для NO степень окисления кислорода -2, следовательно азота +2

Для H₂O степень окисления водорода +1, кислорода -2

Шаг 2. Запишем уравнение в новом виде, с указанием  степени окисления каждого из элементов, участвующих в химической реакции.

Ag⁰ + H⁺¹N⁺⁵O^-2₃ → Ag⁺¹N⁺⁵O^-2₃ + N⁺²O^-2 + H⁺¹₂O^-2

Из полученного уравнения с указанными степенями окисления, мы видим несбалансированность по сумме положительных и отрицательных степеней окисленияотдельных элементов.

Шаг 3. Запишем их отдельно в виде электронного баланса — какой элемент и сколько теряет или приобретает электронов:
(Необходимо принять во внимание, что элементы, степень окисления которых не изменилась — в данном расчете не участвуют)

Ag⁰ — 1e = Ag⁺¹
N⁺⁵ +3e = N⁺²

Серебро теряет один электрон, азот приобретает три. Таким образом, мы видим, что для балансировки нужно применить коэффициент 3 для серебра и 1 для азота. Тогда число теряемых и приобретаемых электронов сравняется.

Шаг 4. Теперь на основании полученного коэффициента «3» для серебра, начинаем балансировать все уравнение с учетом количества атомов, участвующих в химической реакции.

• В первоначальном уравнении перед Ag ставим тройку, что потребует такого же коэффициента перед AgNO₃
• Теперь у нас возник дисбаланс по количеству атомов азота. В правой части их четыре, в левой — один. Поэтому ставим перед HNO₃ коэффициент 4
• Теперь остается уравнять 4 атома водорода слева и два — справа. Решаем это путем применения коэффииента 2 перед H₂O

Ответ:  3Ag + 4HNO₃ = 3AgNO₃ + NO + 2H₂O

Пример «б»

Составим электронный баланс для каждого элемента реакции окисления Ca +H₂SO₄ → CaSO₄ + H₂S + H₂O

Для H₂SO₄  степень окисления водорода +1 кислорода -2 откуда степень окисления серы 0 — (+1)*2 — (-2)*4 = +6

Для CaSO₄  степень окисления кальция равна +2 кислорода -2 откуда степень окисления серы 0 — (+2) — (-2)*4 = +6

Для H₂S степень окисления водорода +1, соответственно серы -2

Ca⁰ +H⁺¹₂S⁺⁶O^-2₄ → Ca⁺²S⁺⁶O^-2₄ + H⁺¹₂S^-2 + H⁺¹₂O^-2
Ca⁰ — 2e = Ca⁺² (коэффициент 4)
S⁺⁶ + 8e = S^-2

4Ca + 5H₂SO₄ = 4CaSO₄ + H₂S + 4H₂O

Пример «в»

Составим электронный баланс для каждого элемента реакции окисления Be + HNO₃ → Be(NO₃)₂ + NO + H₂O

HNO₃ см. выше

Для Be(NO₃)₂ степень окисления бериллия +2, кислорода -2, откуда степень окисления азота ( 0 — (+2) — (-2)*3*2 ) / 2 = +5

NO см. выше

H₂O см. выше

Be⁰ + H⁺¹N⁺⁵O^-2₃ → Be⁺²(N⁺⁵O^-2₃)₂ +  N⁺²O^-2 +  H⁺¹₂O^-2
Be⁰ — 2e = Be⁺² (коэффициент 3)
N⁺⁵ +3e = N⁺² (коэффициент 2)

3Be + 8HNO₃ → 3Be(NO₃)₂ + 2NO + 4H₂O

Химия. ОВР. Электронный баланс vs метод полуреакций

Здесь мы еще раз вернемся к теме окислительно-восстановительных реакций и выясним, каким же методом предпочтительней расставлять коэффициенты в уравнениях таких реакций. Для этого выполним расстановку коэффициентов в одной и той же реакциями двумя методами — методом полуреакций и методом электронного баланса.

Возьмем вот такую реакцию

Метод полуреакций

Первым делом разбиваем все растворимые молекулы на ионы и расставляем степени окисления каждой из них. Получается так

Смотрим на данную запись и определяем, какие ионы меняют степень окисления в ходе реакции. Видно, что это ионы, содержащие Mn и S. Они и будут входить в наши полуреакции. Начнем с марганца.

Сначала уравниваем количество атомов марганца. Оно у нас равно, так что оставляем как есть. Далее смотрим на исходную реакцию, и видим, что среда реакции — нейтральная (вода в левой части, гидроксо-группа в правой). Значит, нам нужно уравнять с помощью воды и гидроксо-групп количество атомов кислорода и водорода в полуреакции. Слева добавляем воду, справа — гидроксо-группу, как в основной реакции

Слева 5 атомов кислорода и 2 атома водорода. Справа — 3 атома кислорода и 1 водорода. Можно уравнять их простым подбором. Можно составить несложную систему уравнений. Перед ионами с марганцем никаких коэффициентов ставить нельзя, так как мы их уже уравняли. Пусть перед водой коэффициент x, а перед гидроксо-группой — y. Получим систему уравнений

для кислорода 4+x*1=2+y*1

для водорода x*2 = y*1

Из этой системы легко найти y=2x=4

Получаем

Последний штрих — с помощью электронов (заряд которых естественно равен -1) уравниваем заряды в правой и левой частях. Заряд слева равен -2, заряд справа -4. Значит, надо добавить слева 2 электрона. Итак

Поскольку ион в данной полуреакции забирает электроны (+2е в левой части), значит, это полуреакция восстановления, а сам ион является окислителем.

Полуреакция с участие атомов серы.

Алгоритм тот же. Уравниваем атомы серы (выполнено), уравниваем кислород и водород с помощью воды и гидроксо-группы (не требуется, так как в ион нет ни кислорода, ни водорода), уравниваем заряды с помощью электронов.

 

Поскольку ион в данной полуреакции теряет электроны (-2е в левой части), значит, это полуреакция окисления, а сам ион является восстановителем.

Записываем рядом обе полуреакции. Выравниваем количество электронов в них, умножая полуреакцию окисления на количество электронов в полуреакции восстановления и наоборот. Так как у нас количества электронов оказались равны, после сокращения получаем, что обе полуреакции нужно умножить на 1.

Записываем ионно-молекулярное уравнение с учетом полученной информации. Мы пропишем все единицы, но вообще, можно их не писать, это же единицы.

После упрощения

Теперь возвращаемся к молекулярной записи уравнения.

Уравниваем атомы калия = слева 4, справа 1, значит, справа должно быть 4 атома.

И окончательно

Проверку обычно делают по атомам кислорода. Слева 4+2=6. Справа 2+4=6. Все верно.

Метод электронного баланса

Расставляем степени окисления всех атомов в реакции

 

Выбираем те атомы, которые в ходе реакции поменяют степень окисления. Это атом марганца

и атом серы

Просто электронами с зарядом -1 выравниваем заряды атомов. Марганец забирает 2 электрона, следовательно, является окислителем, сера отдает 2 электрона, следовательно, является восстановителем. Каждое уравнение умножаем на 2 (после сокращения — на 1)

Получаем

Теперь, не трогая те молекулы, где коэффициент уже стоит, уравниваем остальное. Слева 4 атома калия, справа 1, значит, калий в правой части умножаем на 4

Слева 2 атома водорода, справа 4, значит, водород в левой части умножаем на 2.

Все коэффициенты расставлены, проверяем по кислороду. Слева 4+2=6. Справа 2+4=6. Все верно.

Окончательно,

Результаты расстановки коэффициентов двумя методами совпали.

Каким методом лучше пользоваться? Все зависит от ваших предпочтений и навыков. На наш взгляд метод электронного баланса проще и короче, поэтому, когда нужно быстро, «на коленке» расставить коэффициенты, мы используем его. 

Ну, а для максимальной скорости и для самоконтроля можно использовать онлайн-ресурсы. Там результат будет получен мгновенно, правда, без объяснений

Надеемся, что материал данной статьи был полезен для вас.

Всегда ваша, Botva-Project

OVR+: Расширение и улучшение онлайн-регистрации избирателей

Онлайн-регистрация избирателей (OVR) стала крупным шагом вперед в управлении выборами за последние два десятилетия. С тех пор как Аризона стала первым штатом, принявшим OVR в 2002 году, 42 штата и округ Колумбия приняли OVR и сделали процесс регистрации избирателей значительно более безопасным, экономичным и эффективным.

Предоставление избирателям возможности регистрироваться для голосования или обновлять свою регистрационную информацию в режиме онлайн заменяет миллионы трудоемких бумажных форм безопасной электронной передачей данных. Вместо того, чтобы расшифровывать и перепечатывать рукописные формы, сотрудники избирательных комиссий могут просматривать и загружать регистрационную информацию в электронном виде в общегосударственную базу данных регистрации избирателей.

Тем не менее, системы OVR в большинстве штатов все еще оставляют существенный пробел. В 31 штате системы OVR открыты только для людей с водительскими правами или удостоверением личности, выданным Департаментом транспортных средств штата. В этих штатах любой, у кого нет удостоверения личности, выданного DMV штата, должен зарегистрироваться для голосования или обновить свою регистрацию избирателя в бумажной форме. Бумажные формы могут быть неудобны для избирателей и неэффективны для клерков, ежегодно обходясь десятками миллионов долларов труда.

Причина этого ограничения техническая. Избирателю обычно необходимо иметь подпись в файле регистрации, например, для проверки почтового бюллетеня. В большинстве штатов люди не могут загружать изображение подписи на веб-сайт OVR, который обычно принимает только напечатанную информацию. Поэтому для использования системы OVR в большинстве штатов требуется, чтобы человек предоставил идентификационный номер, выданный DMV. Этот номер позволяет системе регистрации избирателей извлекать изображение подписи из водительского удостоверения человека и использовать эту подпись DMV для целей регистрации избирателей.

В последние годы несколько штатов модернизировали свои системы OVR, чтобы люди без удостоверения личности, выданного DMV штата, могли регистрироваться для онлайн-голосования. Это изменение известно как OVR+. Эти системы обеспечивают решение проблемы подписи. Люди могут зарегистрироваться для голосования, предоставив точно ту же информацию, которую они в настоящее время предоставляют в бумажной форме, и загрузив изображение своей подписи для целей регистрации избирателей.

OVR+ повышает безопасность, экономит деньги и делает регистрацию более удобной, позволяя большему количеству людей регистрироваться и обновлять регистрационную информацию онлайн, а не через неудобную и неэффективную бумажную форму. Чтобы помочь другим штатам рассмотреть вопрос об обновлении OVR, этот отчет содержит ответы на некоторые часто задаваемые вопросы об OVR+.

В: Почему в большинстве штатов системы OVR ограничены людьми с удостоверением личности, выданным DMV?

О: Как правило, избиратель должен иметь подпись в деле для регистрации, например, для проверки почтового бюллетеня или подписи на петиции. В настоящее время системы OVR большинства штатов позволяют избирателям вводить печатную информацию, но не позволяют загружать изображение подписи. Чтобы решить эту проблему, большинство систем OVR требуют, чтобы заявители предоставили идентификационный номер, выданный DMV. Этот номер позволяет регистрационной системе извлекать изображение подписи человека из базы данных DMV и использовать его для целей регистрации избирателей.

OVR+ решает эту технологическую проблему, позволяя людям без идентификационного номера, выданного DMV, загружать изображение своей подписи на веб-сайт OVR. В большинстве штатов это происходит в виде загруженной фотографии: люди подписывают лист бумаги, фотографируют на свои телефоны, а затем загружают подпись на веб-сайт OVR. В некоторых штатах избирателям разрешается поставить свою подпись на телефоне или планшете.

OVR+ позволяет людям зарегистрироваться онлайн и предоставить копию своей подписи, даже если у них нет лицензии или удостоверения личности от DMV штата. В настоящее время эти люди вынуждены использовать бумажную форму, и подпись на бумажной форме сканируется в базу данных избирателей, когда местный избирательный орган обрабатывает заявку на регистрацию.

В: У кого нет удостоверения личности, выданного DMV?

О: По оценкам Министерства транспорта США, около 10% взрослых не имеют водительских прав. ¹ Несмотря на то, что часть этой группы населения имеет удостоверение личности, выданное DMV, эта группа, как правило, состоит из молодых и пожилых людей, которые не водят машину, а также людей, которые недавно переехали в штат и еще не имеют удостоверения личности. государственная лицензия или удостоверение личности. Сюда также входят военные избиратели, которые находятся за пределами штата, в котором была выдана их лицензия. В большинстве штатов эти люди не могут использовать OVR и вынуждены распечатывать, заполнять и отправлять по почте или физически возвращать бумажные регистрационные формы, что затрудняет их доступ к регистрации и голосованию.

В: Сколько бумажных форм подается каждый год?

Ответ: Согласно данным Комиссии по содействию выборам США, в избирательном цикле 2020 года по почте или лично было отправлено около 13 миллионов бумажных регистрационных форм. ²

В: Что не так с бумажными формами?

О: Бумажные формы неэффективны и неудобны для избирателей и секретарей округов. Избиратели должны распечатать их, заполнить, а затем либо отправить по почте, либо вернуть лично. Избирательным органам необходимо читать почерк людей, сканировать подписи и повторно вводить эти формы в регистрационную базу данных, что требует времени и усилий и чревато канцелярскими ошибками.

Research оценивает трудозатраты на обработку каждой бумажной формы в 4,72 доллара США, а это означает, что обработка 13 миллионов бумажных форм для выборов 2020 года обошлась местным избирательным органам в более чем 61 миллион долларов. ³

В: В рамках OVR+ люди могут по-прежнему использовать бумажные формы, если захотят?

О: Да. Если люди хотят использовать бумажные формы, они все еще могут. А возможность регистрации в бумажной форме охраняется федеральным законом. Но OVR+ предоставляет гораздо более удобный вариант для людей, у которых сейчас нет другого выхода, кроме бумажной формы.

В: Какие состояния расширились до OVR+?

О: Как показано на следующей карте, одиннадцать штатов и округ Колумбия приняли OVR+. Вашингтон, округ Колумбия, Колорадо, Делавэр, Кентукки, Миннесота, Миссури, Нью-Джерси, Пенсильвания, Вермонт уже внедрили OVR+, а Мэн, Орегон и Нью-Йорк находятся в процессе его внедрения.

Примечательно, что список штатов с OVR+ варьируется от консервативных штатов, таких как Кентукки и Миссури, до очень либеральных штатов, таких как Вермонт. Это связано с тем, что расширение онлайн-регистрации избирателей является реформой здравого смысла, которая экономит деньги, повышает безопасность и расширяет доступ к голосованию.

В: Достаточно ли высокого качества загружаемые подписи, чтобы их можно было использовать для проверки почтовых бюллетеней?

О: Да. Как правило, чтобы предоставить подпись для регистрации, люди могут загрузить фотографию своей подписи на веб-сайт OVR. Людям просто нужно подписать лист бумаги, сфотографировать подпись на свои телефоны, а затем загрузить фотографию. Это похоже на то, как люди подписывают чеки с помощью мобильного приложения. Поскольку клерки просто сканируют подписи с бумажных бланков, получается подпись такого же высокого качества, как и на бумажном бланке.

В: Какую информацию будут предоставлять люди без удостоверения личности, выданного DMV, для онлайн-регистрации?

A: Люди без удостоверений личности, выданных DMV, будут предоставлять точно такую ​​же информацию, которую они в настоящее время могут предоставить в бумажных формах. Вместо того, чтобы предоставлять свой идентификационный номер, выданный DMV, они будут предоставлять последние четыре цифры своего номера социального страхования (SSN4).

Федеральный закон позволяет людям зарегистрироваться для голосования, предоставив свой SSN4. Это означает, что люди могут зарегистрироваться с помощью SSN4 прямо сейчас в соответствии с действующим законодательством. Они просто делают это в бумажной форме.

OVR+ не изменяет информацию, которую люди должны предоставить для регистрации. Это просто позволяет людям, которые должны подать бумажную регистрационную форму в соответствии с действующим законодательством, подать онлайн-форму, избегая необходимости в дорогих, неэффективных и подверженных ошибкам бумажных формах.

В: Какую проверку выполняет OVR+?

О: OVR+ использует уже существующие процедуры проверки. Он не изменяет содержание формы регистрации избирателя или процедуры обработки формы. Это просто позволяет большему количеству людей отправлять более эффективную и удобную электронную форму вместо бумажной.

В соответствии с действующими процедурами, когда человек регистрируется для голосования с номером DMV или SSN4, этот номер сверяется с базой данных. Номер DMV сверяется с базой данных DMV. SSN4 сверяется с федеральной базой данных Управления социального обеспечения на предмет совпадения имени и даты рождения человека.

В: Как OVR+ влияет на безопасность регистрации?

О: OVR+ делает регистрацию более безопасной. В настоящее время штаты без OVR+ вынуждают миллионы людей использовать бумажные регистрационные формы каждый избирательный цикл для регистрации или обновления своей регистрации. Бумажные формы гораздо менее безопасны, чем онлайн-заявки.

Хотя бумажные формы могут быть утеряны, украдены или повреждены, расширенная онлайн-регистрация избирателей создает зашифрованную электронную запись каждой попытки регистрации, включая IP-адрес, отправивший форму. Эти журналы данных OVR могут выявить необычную активность и любой потенциальный вред, а также упрощают для сотрудников избирательных комиссий отслеживание сомнительных материалов. Этот тип расследования и последующих действий невозможен с бумажными формами, которые не имеют цифрового следа.
Аналогичным образом, бумажные формы могут быть написаны небрежным почерком или могут быть неправильно прочитаны сотрудниками избирательных комиссий, что может привести к неверным записям в регистрационной базе данных из-за канцелярских ошибок. Напротив, электронные документы не нужно вводить вручную, что позволяет избежать ошибок, которые могут привести к неправильному вводу данных. Правильные записи гарантируют, что люди будут зарегистрированы по правильному адресу, а бюллетени для голосования по почте будут доставлены нужному лицу.

---

^{1. См. Департамент транспорта США, Федеральное управление автомобильных дорог, Управление информации о дорожной политике, Серия статистических данных о дорожном движении, 2019 г., https://www.fhwa.dot.gov/policyinformation/statistics/2019/dl1c.cfm.}

^{2. U.S. Elec. Коммюнике помощи, всеобъемлющий отчет об организации выборов и опросе 2020 года, стр. 146, https://www.eac.gov/sites/default/files/document_library/files/2020_EAVS_Report_Final_508c.pdf.}

^{3. См. Дуг Чапин и Дэвид Куэннен, Стоимость (экономия) реформы: анализ местных затрат, связанных с регистрацией, и потенциальная экономия за счет автоматической регистрации избирателей, март 2017 г. , https://wecanvote.us/registration- сопутствующие расходы_030817.pdf.}

Платформа онлайн-регистрации избирателей — Rock the Vote

Платформа Rock the Vote OVR, специально рекомендованная двухпартийной президентской комиссией по администрированию выборов 2014 г., тщательно и постоянно тестируется, подходит для мобильных устройств и является единственной общенациональной платформой с полной интеграцией в соответствующие состояния — значительно увеличивая показатели успеха. Платформа доступна на 13 языках и упрощает предварительную регистрацию для 16- и 17-летних во всех доступных штатах.

Rock the Vote предлагает нашим партнерам наш инструмент онлайн-регистрации избирателей для базового и премиум-использования. Базовое использование позволяет партнерам бесплатно размещать ссылку на инструмент на своем веб-сайте.

Заполните эту форму, чтобы получить основной код для нашей онлайн-регистрации избирателей и других инструментов.

Использование нашего Инструмента онлайн-регистрации избирателей премиум-класса включает настройку и надежные возможности отчетности. Чтобы запросить дополнительную информацию или получить доступ к расширенной версии нашего инструмента онлайн-регистрации избирателей, напишите нам по адресу [email protected].

 

*Это стало возможным благодаря поддержке Фонда гражданской активности AAPI

Мы гордимся тем, что помогаем многим организациям в области гражданской активности в области регистрации избирателей. Мы инвестируем в наши технологии, следим за тем, чтобы они были самыми лучшими для наших собственных программ, и делаем их доступными для партнеров, которые также заинтересованы в регистрации и привлечении новых избирателей.

Платформа OVR Rock the Vote предлагает партнерам возможности настройки, доступ к уникальной панели инструментов для партнеров, доступ к неконфиденциальным данным о владельцах регистраций, возможность подписки, настраиваемые вопросы опроса и параметры отслеживания.

Партнеры имеют безопасный доступ к неконфиденциальным данным о владельцах регистраций, необходимых для сопоставления с файлом избирателя и осуществления усилий по получению голосов. Данные доступны в формате CSV через партнерскую панель инструментов, а также к ним можно получить доступ через Rock the Vote API и добавить в любую базу данных или пользовательский формат.

Подпишитесь на инструмент регистрации

Как использовать инструмент OVR

Виджет

Виджет OVR сразу готов к использованию — партнеры могут получить свой код для встраивания и сразу же начать регистрацию избирателей. Партнеры также могут загрузить свой логотип, добавить два дополнительных вопроса для опроса и запросить добровольцев.

Рекомендуемый партнер: WeWork может беспрепятственно регистрировать избирателей в Интернете с помощью простого виджета.

White Label

Партнеры также могут настраивать внешний вид своего OVR-инструмента на панели инструментов партнера, в том числе: изменять CSS, настраивать электронные письма о преследовании с адреса электронной почты партнера и различные параметры отслеживания.

Рекомендуемый партнер:  Женский марш настроил регистрационный инструмент для своей кампании «Услышьте наш голос» в своем движении «10 действий/100 дней».

Пользовательский интерфейс

Интерфейс прикладного программирования (API) доступен разработчикам для создания собственного решения для регистрации избирателей. Это позволит партнерам, заинтересованным в дополнительных функциях, измененном пользовательском потоке или мобильном приложении, использовать существующие ресурсы Rock the Vote. Прочтите документацию здесь и свяжитесь с нами , чтобы получить доступ.

Рекомендуемый партнер: VotoLatino использует API Rock the Vote в качестве серверной инфраструктуры для своего инновационного приложения для регистрации избирателей  VoterPal .

Безопасность

• Личная информация, собранная с помощью инструмента, хранится на защищенном сервере .
• Конфиденциальная информация используется для заполнения формы регистрации избирателей и немедленно удаляется.
• Неконфиденциальные данные доступны партнерам через нашу безопасную панель управления.

Поддержка

• Мы предоставляем постоянную техническую поддержку для усовершенствований и интеграции с вашими приложениями и службами.
• Мы гарантируем, что инструмент соответствует применимым законам о государственной регистрации и регулярно обновляется/проверяется.
• Мы работаем над интеграцией нашего инструмента со штатами, которые предлагают онлайн-регистрацию избирателей, чтобы меньшему количеству избирателей приходилось распечатывать и отправлять по почте свои формы.

Условия использования

Настоящие Условия использования регулируют использование вами Инструмента онлайн-регистрации избирателей Rock the Vote («RTV») («Инструмент») и информации, предоставленной вам на основании использования вами Инструмента. Используя Инструмент, вы соглашаетесь с этими условиями. Rock the Vote оставляет за собой право обновлять эти УИ в любое время.

• Конфиденциальность и безопасность
  На всех пользователей распространяется политика конфиденциальности и безопасности RTV.

• Фирменный стиль Rock the Vote
  Инструмент будет содержать графическое изображение «Powered by Rock the Vote» и ссылку на домашнюю страницу www.rockthevote.org.

• Сбор данных
  RTV может связываться со всеми лицами, подписавшимися на получение информации от RTV.

• Оценка функциональности инструмента
  В соответствии с Политикой конфиденциальности и безопасности RTV информация, предоставленная владельцами регистраций с помощью Инструмента, поддерживаемого на серверах RTV, будет предоставлена ​​поставщику файлов избирателей для оценки функциональности и эффективности Инструмента.

• Цифровая реклама
  Партнерам не разрешается запускать платные цифровые рекламные программы, направленные на привлечение трафика к Инструменту, без предварительного разрешения RTV.

Калькулятор закона косинуса

Калькулятор закона косинуса | Обучение математике

Калькулятор закона косинусов

Калькулятор закона косинусов может помочь вам решить огромное количество треугольных задач. Вы узнаете, что такое закон косинусов (известный также

Калькулятор закона синусов и закона косинуса

Бесплатный калькулятор закона косинуса — Вычислите стороны и углы треугольника, используя закон косинуса шаг за шагом.

Помощь с задачами

Если вам нужна помощь с задачами по дому, рассмотрите возможность найма профессионала, который сделает работу быстро и эффективно.

Решайте математические уравнения

Домашнее задание является необходимой частью школы, которое помогает учащимся повторять и практиковать то, что они узнали в классе.

Решение математических уравнений

Математика — предмет, который может быть трудным для понимания, но при наличии практики и терпения каждый может научиться решать математические задачи. 9{2}, где a и b равны

Калькулятор закона косинусов

Сначала нужно выбрать сторону или угол требуемого треугольника из выпадающего меню, после чего калькулятор отобразит соответствующую форму

Решить математические задачи

Математика изучает числа, пространство и структуру.

Скачать полное объяснение

Лучший способ узнать о новой культуре — погрузиться в нее.

Ответ на математический вопрос

Математика — это изучение чисел, форм и закономерностей. Он используется в повседневной жизни, от счета и измерения до более сложных задач.

Калькулятор закона косинусов

Расчет углов или сторон треугольников по закону косинусов. Калькулятор показывает уравнение закона косинусов и работу. Вычисляет периметр треугольника

• Ответы за 5 секунд

  Всего за пять секунд вы можете получить ответ на любой интересующий вас вопрос.

• Заполнить форму заказа

  Для оформления заказа, пожалуйста, заполните форму ниже.

• Ваш вопрос? Мы отвечаем!

  Вы хотите узнать об определенной теме? У нас есть ответ для вас!

• Изучение математики, которое поможет вам

  Если у вас возникли проблемы с домашним заданием по математике, наш помощник по математике всегда готов помочь. Благодаря четким, кратким объяснениям и пошаговым примерам мы поможем вам освоить даже самые сложные математические понятия.

• Получите онлайн-поддержку по математике

  Когда дело доходит до математики, может быть трудно получить необходимую помощь, но, к счастью, есть онлайн-ресурсы, которые помогут вам.

• Получите самое полезное объяснение домашнего задания

  Если вы хотите получить лучшие ответы на домашнее задание, вам нужно задавать правильные вопросы.

symbolab-matrix — Googlesuche

AlleVideosBilderBücherMapsNewsShopping

suchoptionen

Matrix Calculator — Symbolab

www. symbolab.com › … › Матрицы и векторные функции — калькулятор

5 Free Free Чтобы перемножить две матрицы вместе, внутренние размеры матриц должны совпадать.

Калькулятор умножения матриц, мощности

Жордан Гаусса (RREF)

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор эшелонирования строк матрицы

Калькулятор линейной алгебры — Symbolab calcul…

Бесплатный калькулятор линейной алгебры — шаг за шагом решайте матричные и векторные операции.

Matrix und Vector Rechner — Symbolab

de.symbolab.com › Шаг за шагом › Матрицы и векторы

Костенлос Matrix und Vector Rechner — löse Matrix und Vector Rechenoperationen Schritt für Schritt.

Как использовать symbolab для решения матрицы — YouTube

www.youtube.com › смотреть

01.02.2022 · Матрица || Как использовать symbolab для решения матрицы. 1.4K views 1 год назад Различные математические задачи…
Добавлено: 2:10
Прислан: 01. 02.2022

Symbolab — Матрица, та, что с числами, организованная с… — Facebook

www.facebook. com › Symbolab › сообщения › matrix-th…

Матрица, та, что с числами, упорядоченная по строкам и столбцам…

Symbolab: Algebra Math Solver 4+ — App Store

apps.apple.com › app › symbolab-calculator

Bewertung 4,2

(95) · Kostenlos · iOS

Symbolab Math Solver & Helper — это новый профессиональный математический калькулятор и средство решения математических задач. Используйте математический сканер фотографий Symbolab, чтобы ответить на вопросы, …

Совместимость: iPhone Версия iOS 12.0 или более новая. iPad Версия iPadOS 12.0 или более новая. iPod touch Erfordert iOS 12.0 или …
In-App-Käufe: универсальная еженедельная подписка 1,99 €; Универсальная месячная подписка 6,99 €; Все функции без рекламы 9,99 €

Symbolab: Picture Math Solver – Приложения в Google Play

play.