Рубрика: Разное

Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.

график y = 1/2 sin (x pi / 2)

График y = A sin Bx имеет свойство

(1). амплитуда = | A |

(2). период = 2pi / B

Для y = 1/2 sin [(pi / 2) x],

, поскольку A = 1/2, поэтому его амплитуда = | 1/2 |

, так как B = pi / 2, поэтому его период = 2pi / B = 2pi и делим pi / 2 = 2pi и умножаем на 2 / pi = 4

Таким образом, его амплитуда 1/2 и период 4

Найдите пять точек за один период

один период — 4, полупериод — 2, квартальный период — 1

делим пять точек поровну за период [0, 4]

Пять точек на оси x: x ₁ = 0, x ₂ = 1, x ₃ = 2, x ₄ = 3, x ₅ = 4

, поэтому пять точек в плоскости xy: (0,?), (1,?), (2,?), (3,?), (4,?)

Теперь найдите значения функции y = 1 / 2sin (x pi / 2) в пяти точках

, когда x = 0, y = 1/2 sin [(pi / 2) & times 0] = 1/2 sin (0) = 0, то есть точка (0, 0)

, когда x = 1, y = 1/2 sin [(pi / 2) & times 1] = 1/2 sin (pi / 2) = 1/2, поэтому точка равна (1, 1/2)

, когда x = 2, y = 1/2 sin [(pi / 2) & times 2] = 1/2 sin (pi) = 0, поэтому точка равна (2, 0)

, когда x = 3, y = 1/2 sin [(pi / 2) & times 3] = 1/2 sin (3pi / 2) = — 1/2, поэтому точка равна (3, — 1/2)

, когда x = 4, y = 1/2 sin [(pi / 2) & times 4] = 1/2 sin (2 pi) = 0, поэтому точка равна (4, 0)

Пять точек: (0, 0), (1, 1/2), (2, 0), (3, -1/2), (4, 0)

Нарисуйте график y = 1 / 2sin (x pi / 2) на основе пяти точек

Обратите внимание, что значения функции синуса для специальных углов:

грех (0) = 0

sin (пи / 2) = 1

sin (пи) = 0

sin (3pi / 2) = -1

sin (2pi) = 0

Анализ графика:

х = 0, у = 0.

x = 2 — его полупериод, в этот момент его значение y равно 0.

x = 1 — его период четверти, в этот момент его значение y равно 1/2, что является максимальным.

x = 3 — это его три четвертых периода, в этот момент его значение y равно -1/2, что является минимумом.

x = 4 — его конечная точка первого периода, в этот момент его значение y равно 0.

Кривая y = 1/2 sin (x pi / 2) непрерывна, она будет повторяться с периодом 4.

Задание 1: Изучение синусоидальных кривых

Кристина Данбар, UGA

y = грех (bx + c)

, используя разные значения для a, b, и c.

В приведенном выше уравнении

• а есть амплитуда синусоидальной кривой
• b есть период синусоидальной кривой
• c есть фаза сдвиг синусоидальной кривой

Какова амплитуда

Амплитуда синусоиды — это ее высота.

Период синусоиды — это длина одного цикла кривой. Естественный период синуса кривая равна 2π. Итак, коэффициент b = 1 эквивалентен периоду 2π. Чтобы получить период синусоиды для любого коэффициента b , просто разделите 2π на коэффициент b , чтобы получить новый период кривой.

Коэффициент b и период синусоиды имеет обратную зависимость, так как b получает чем меньше, тем больше длина одного цикла кривой.Точно так же, как увеличиваешь b , период уменьшится.

Фазовый сдвиг синусоидальной кривой на сколько кривая смещается от нуля. Если фазовый сдвиг равен нулю, кривая начинается в начале координат, но может двигаться влево или вправо в зависимости от фазового сдвига. Отрицательный фазовый сдвиг указывает движение вправо, а положительный фазовый сдвиг указывает движение влево.

Давайте посмотрим на график y = sin x.

Глядя на график, помните, что числовое значение π приблизительно равно 3,1416, поэтому 2π приблизительно равно 6,2832.

На графике выше

• Амплитуда a равна 1. Это означает, что высота графика будет равна 1, а вершина первого «горб» равен 1.

• Период b имеет коэффициент 1, поэтому период равен (2π) / 1, или просто 2π.

• Фазовый сдвиг c равен ноль, поэтому кривая начинается в начале координат.

Вернуться на мою домашнюю страницу.

Давайте рассмотрим синусоидальную кривую с разными амплитуды.

Мы уже видели случай, когда амплитуда равна 1; это в приведенном выше графике. А как насчет других амплитуды?

y = 2 sin x

y = -1 грех x

Чем отличается приведенный выше график? Это имеет коэффициент a = -1.Что это обозначает? Мы видим, что наивысшая точка кривой по-прежнему равна 1, но первый горб находится на уровне -1 вместо 1. Мы существенно перевернули график.

Теперь давайте посмотрим на несколько разных синусоидальных графиков. все вместе.

Вернуться на мою домашнюю страницу.

Давайте рассмотрим синусоидальную кривую с разными периоды.

Мы уже видели случай, когда коэффициент b равен 1; это в приведенном выше графике.Как насчет другие периоды?

Помните, б коэффициент и период кривой имеют обратную зависимость.

Коэффициент b на приведенном выше графике равен 2, поэтому период синусоиды изменился в 1/2 раза, в результате чего новый период π, или около 3,14.

y = sin (0,5x)

Для приведенного выше графика коэффициент b = 1/2, поэтому период синусоиды будет вдвое больше, чем обычно, или 4π.

у = грех (3х)

Теперь давайте посмотрим на несколько разных синусов. графики вместе, с разными периодами.

Вернуться на мою домашнюю страницу.

Давайте рассмотрим синусоидальную кривую с фазой сдвиг.

Обычно синусоида не имеет фазы сдвиг, поэтому переменная c равна 0.Это означает, что синусоида начинается с происхождение, как показано на первом графике вверху этой страницы.

А как насчет случая, когда c не равно нулю?

y = sin (x + π)

Фактически положительный фазовый сдвиг c фактически указывает на сдвиг влево.Давайте посмотрим на некоторые другие примеры:

у = грех (х + 1)

Синусоидальная кривая сдвинута на одну единицу к левый.

у = грех (х + π / 2)

Кривая сдвинута π / 2 единицы слева. Напомним, что π / 2 составляет приблизительно 1,57.

Что делать, если переменная c отрицательный?

у = грех (х — 1)

Кривая сместилась на 1 единицу вправо.

у = грех (х — π / 2)

Давайте вместе рассмотрим несколько фазовых сдвигов:

Примечание: Сдвиг фазы π будет выглядеть точно так же, как фазовый сдвиг -π.

y = sin (x + π)

y = грех (x — π)

Вернуться на мою домашнюю страницу.

В приведенных выше упражнениях мы исследовали, что происходит с синусоидальной кривой, когда мы меняем коэффициенты a, b и c индивидуально. Что, если вы меняли более одного за раз?

y = 2 sin (2x)

а = 2 б = 2 с = 0

Амплитуда 2, период 2π / 2, или π. Фазового сдвига нет.

y = 2 sin (2x -1)

а = 2 б = 2 с = -1

Амплитуда 2, период 2π / 2, или π.Вся кривая сдвинута на одну единицу вправо.

y = 3 sin (2x + 2)

а = 3 б = 2 с = 2

Амплитуда, как и следовало ожидать, равна 3. В период графика равен 2π / 2 или π. Мы ожидаем, что сдвиг фазы будет на две единицы влево, но мы видим, что Это не относится к делу. Почему? Поскольку фазовый сдвиг зависит от Период. Период графика равен 1/2 его первоначального размера, и следовательно, фазовый сдвиг также будет 1/2 коэффициента c, или 1. Это показано на графике выше.

y = 0,5 sin (0,5x -3)

а = 0,5 Ь = 0,5 с = -3

Амплитуда 0,5, что мы ясно видим на график. Коэффициент b равен 0,5, поэтому период синусоиды вдвое больше. как обычно, или 4π (примерно 12,57). Поскольку период кривой вдвое больше, как правило, фазовый сдвиг будет вдвое больше коэффициента c, или 6 единиц от верно.

Вернуться на мою домашнюю страницу.

Хотите поработать несколько практических задач? Кликните сюда.

Производные от тригонометрических функций

Основные тригонометрические функции включают следующие \ (6 \) функции: синус \ (\ left (\ sin x \ right), \) косинус \ (\ left (\ cos x \ right), \) тангенс \ (\ left (\ tan x \ right), \) котангенс \ (\ left (\ cot x \ right), \) секанс \ (\ left (\ sec x \ right) \) и косеканс \ (\ left (\ csc x \ справа).

• Множество
• Множества в Python
  
  • Хешируемые объекты
• Свойства множеств
  
  • Принадлежность множеству
  • Мощность множества
  • Перебор элементов множества
• Отношения между множествами
  
  • Равные множества
  • Непересекающиеся множества
  • Подмножество и надмножество
• Операции над множествами
  
  • Объединение множеств
  • Добавление элементов в множество
  • Пересечение множеств
  • Разность множеств
  • Удаление элементов из множества
  • Симметрическая разность множеств
• Заключение
• Полезные ссылки

Множество

Множество – это математический объект, являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества. Или другими словами:

Множество – это не более чем неупорядоченная коллекция уникальных элементов.

Что значит неупорядоченная? Это значит, что два множества эквивалентны, если содержат одинаковые элементы.

Элементы множества должны быть уникальными, множество не может содержать одинаковых элементов. Добавление элементов, которые уже есть в множестве, не изменяет это множество.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а остальные множества – бесконечными. Конечное множество, как следует из названия, можно задать перечислением его элементов. Так как темой этой статьи является практическое использование множеств в Python, то я предлагаю сосредоточиться на конечных множествах.

Множества в Python

Множество в Python можно создать несколькими способами. Самый простой – это задать множество перечислением его элементов в фигурных скобках:

fruits = {"banana", "apple", "orange"}

Единственное ограничение, что таким образом нельзя создать пустое множество. Вместо этого будет создан пустой словарь:

wrong_empty_set = {}
print(type(wrong_empty_set))
# Вывод
<class "dict">

Для создания пустого множества нужно непосредственно использовать set():

correct_empty_set = set()
print(type(correct_empty_set))
# Вывод
<class "set">

Также в set() можно передать какой-либо объект, по которому можно проитерироваться (Iterable):

color_list = ["red", "green", "green", "blue", "purple", "purple"]
color_set = set(color_list)
print(color_set)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"red", "purple", "blue", "green"}

Ещё одна возможность создания множества – это использование set comprehension. Это специальная синтаксическая конструкция языка, которую иногда называют абстракцией множества по аналогии с list comprehension (Списковое включение).

numbers = [1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6]
# Единственное отличие со списковыми включениями - это
# использование фигурных скобок вместо квадратных
even_numbers = {
    number for number in numbers
    if number % 2 == 0
}
print(even_numbers)
# Вывод (порядок может быть другим):
{2, 4, 6}

Хешируемые объекты

Существует ограничение, что элементами множества (как и ключами словарей) в Python могут быть только так называемые хешируемые (Hashable) объекты. Это обусловлено тем фактом, что внутренняя реализация set основана на хеш-таблицах. Например, списки и словари – это изменяемые объекты, которые не могут быть элементами множеств. Большинство неизменяемых типов в Python (int, float, str, bool, и т.д.) – хешируемые. Неизменяемые коллекции, например tuple, являются хешируемыми, если хешируемы все их элементы.

# Множество кортежей (tuple)
records = {
    ("Москва", 17_200_000), 
    ("Санкт-Петербург", 5_400_000), 
    ("Новосибирск", 1_600_000),
    ("Москва", 17_200_000),
}
for city, population in records:
    print(city)
# Вывод (порядок может быть другим):
Москва
Новосибирск
Санкт-Петербург

Объекты пользовательских классов являются хешируемыми по умолчанию. Но практического смысла чаще всего в этом мало из-за того, что сравнение таких объектов выполняется по их адресу в памяти, т.е. невозможно создать два «равных» объекта.

class City:
    def __init__(self, name: str):
        self. name = name
    def __repr__(self) -> str:
        """ Определим метод __repr__ для наглядности следующих примеров
        """
        return f'City("{self.name}")'
print(City("Moscow") == City("Moscow"))
# Вывод:
False
cities = {City("Moscow"), City("Moscow")}
print(cities)
# Вывод
{City("Moscow"), City("Moscow")}

Скорее всего мы предполагаем, что объекты City("Moscow") должны быть равными, и следовательно в множестве cities должен находиться один объект.
Этого можно добиться, если определить семантику равенства для объектов класса City:

class City:
    def __init__(self, name: str):
        # Атрибут name не должен изменяться, пока объект существует
        # Для простоты пометим этот атрибут как внутренний
        self._name = name
    def __hash__(self) -> int:
        """ Хеш от объекта
        """
        return hash((self._name, self.__class__))
    def __eq__(self, other) -> bool:
        """ Определяем семантику равентсва (оператор ==)
        """
        if not isinstance(other, self. __class__):
            return False
        return self._name == other._name
    def __repr__(self) -> str:
        """ Определим метод __repr__ для наглядности следующих примеров
        """
        return f'City("{self._name}")'

Чтобы протокол хеширования работал без явных и неявных логических ошибок, должны выполняться следующие условия:

• Хеш объекта не должен изменяться, пока этот объект существует
• Равные объекты должны возвращать одинаковый хеш

moscow = City("Moscow")
moscow_again = City("Moscow")
print(moscow == moscow_again and hash(moscow) == hash(moscow_again))
# Вывод:
True
# Теперь множество городов работает более логично и интуитивно
cities = {City("Moscow"), City("Kazan"), City("Moscow")}
print(cities)
# Вывод (порядок может быть другим):
{City("Kazan"), City("Moscow")}

Свойства множеств

Тип set в Python является подтипом Collection (про коллекции), из данного факта есть три важных следствия:

• Определена операция проверки принадлежности элемента множеству
• Можно получить количество элементов в множестве
• Множества являются iterable-объектами

Принадлежность множеству

Проверить принадлежит ли какой-либо объект множеству можно с помощью оператора in. Это один из самых распространённых вариантов использования множеств. Такая операция выполняется в среднем за O(1) с теми же оговорками, которые существуют для хеш-таблиц.

tremendously_huge_set = {"red", "green", "blue"}
if "green" in tremendously_huge_set:
    print("Green is there!")
else:
    print("Unfortunately, there is no green...")
# Вывод:
Green is there!
if "purple" in tremendously_huge_set:
    print("Purple is there!")
else:
    print("Unfortunately, there is no purple...")
# Вывод:
Unfortunately, there is no purple...

Мощность множества

Мощность множества – это характеристика множества, которая для конечных множеств просто означает количество элементов в данном множестве. Для бесконечных множеств всё несколько сложнее.

even_numbers = {i for i in range(100) if i % 2 == 0}
# Мощность множества
cardinality = len(even_numbers)
print(cardinality)
# Вывод:
50

Перебор элементов множества

Как уже было отмечено выше, множества поддерживают протокол итераторов, таким образом любое множество можно использовать там, где ожидается iterable-объект.

colors = {"red", "green", "blue"}
# Элементы множества можно перебрать с помощью цикла for
for color in colors:
    print(color)
# Вывод (порядок может быть другим):
red
green
blue
# Множества можно использовать там, где ожидается iterable-объект
color_counter = dict.fromkeys(colors, 1)
print(color_counter)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"green": 1, "red": 1, "blue": 1}

Отношения между множествами

Между множествами существуют несколько видов отношений, или другими словами взаимосвязей. Давайте рассмотрим возможные отношения между множествами в этом разделе.

Равные множества

Тут всё довольно просто – два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Как следует из определения множества, порядок этих элементов не важен.

my_fruits = {"banana", "apple", "orange", "orange"}
your_fruits = {"apple", "apple", "banana", "orange", "orange"}
print(my_fruits == your_fruits)
# Вывод:
True

Непересекающиеся множества

Если два множества не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются. Или другими словами, пересечение этих множеств является пустым множеством.

even_numbers = {i for i in range(10) if i % 2 == 0}
odd_numbers = {i for i in range(10) if i % 2 == 1}
# Очевидно, что множества чётных и нечётных чисел не пересекаются
if even_numbers.isdisjoint(odd_numbers):
    print("Множества не пересекаются!")
# Вывод:
Множества не пересекаются!

Подмножество и надмножество

Подмножество множества S – это такое множество, каждый элемент которого является также и элементом множества S. Множество S в свою очередь является надмножеством исходного множества.

# Множество чисел Фибоначчи меньших 100
fibonacci_numbers = {0, 1, 2, 3, 34, 5, 8, 13, 21, 55, 89}
# Множество натуральных чисел меньших 100
natural_numbers = set(range(100))
# Множество чисел Фибоначчи является подмножеством множества 
# натуральных чисел
if fibonacci_numbers.issubset(natural_numbers):
    print("Подмножество!")
# Вывод:
Подмножество!
# В свою очередь множество натуральных чисел является
# надмножеством множества чисел Фибоначчи
if natural_numbers. issuperset(fibonacci_numbers):
    print("Надмножество!")
# Вывод:
Надмножество!

Пустое множество является подмножеством абсолютно любого множества.

empty = set()
# Методы issubset и issuperset могут принимать любой iterable-объект
print(
    empty.issubset(range(100))
    and empty.issubset(["red", "green", "blue"])
    and empty.issubset(set())
)
# Вывод:
True

Само множество является подмножеством самого себя.

natural_numbers = set(range(100))
if natural_numbers.issubset(natural_numbers):
    print("Подмножество!")
# Вывод:
Подмножество!

Операции над множествами

Рассмотрим основные операции, опредяляемые над множествами.

Объединение множеств

Объединение множеств – это множество, которое содержит все элементы исходных множеств. В Python есть несколько способов объединить множества, давайте рассмотрим их на примерах.

my_fruits = {"apple", "orange"}
your_fruits = {"orange", "banana", "pear"}
# Для объединения множеств можно использовать оператор `|`,
# оба операнда должны быть объектами типа set
our_fruits = my_fruits | your_fruits
print(our_fruits)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"apple", "banana", "orange", "pear"}
# Также можно использовать ментод union. 
# Отличие состоит в том, что метод union принимает не только
# объект типа set, а любой iterable-объект
you_fruit_list: list = list(your_fruits)
our_fruits: set = my_fruits.union(you_fruit_list)
print(our_fruits)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"apple", "banana", "orange", "pear"}

Добавление элементов в множество

Добавление элементов в множество можно рассматривать как частный случай объединения множеств за тем исключением, что добавление элементов изменяет исходное множество, а не создает новый объект. Добавление одного элемента в множество работает за O(1).

colors = {"red", "green", "blue"}
# Метод add добаляет новый элемент в множество
colors.add("purple")
# Добавление элемента, который уже есть в множестве, не изменяет
# это множество
colors.add("red")
print(colors)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"red", "green", "blue", "purple"}
# Метод update принимает iterable-объект (список, словарь, генератор и т.п.)
# и добавляет все элементы в множество
numbers = {1, 2, 3}
numbers. update(i**2 for i in [1, 2, 3])
print(numbers)
# Вывод (порядок может быть другим):
{1, 2, 3, 4, 9}

Пересечение множеств

Пересечение множеств – это множество, в котором находятся только те элементы, которые принадлежат исходным множествам одновременно.

def is_prime(number: int) -> bool:
    """ Возвращает True, если number - это простое число
    """
    assert number > 1
    return all(number % i for i in range(2, int(number**0.5) + 1))
def is_fibonacci(number: int) -> bool:
    """ Возвращает True, если number - это число Фибоначчи
    """
    assert number > 1
    a, b = 0, 1
    while a + b < number:
        a, b = b, a + b
    return a + b == number
# Множество простых чисел до 100
primes = set(filter(is_prime, range(2, 101)))
# Множество чисел Фибоначчи до 100
fibonacci = set(filter(is_fibonacci, range(2, 101)))
# Множество простых чисел до 100, которые одновременно являются
# числами Фибоначчи
prime_fibonacci = primes.intersection(fibonacci)
# Или используя оператор `&`, который определён для множеств
prime_fibonacci = fibonacci & primes
print(prime_fibonacci)
# Вывод (порядок может быть другим):
{2, 3, 5, 13, 89}

При использовании оператора & необходимо, чтобы оба операнда были объектами типа set. Метод intersection, в свою очередь, принимает любой iterable-объект. Если необходимо изменить исходное множество, а не возращать новое, то можно использовать метод intersection_update, который работает подобно методу intersection, но изменяет исходный объект-множество.

Разность множеств

Разность двух множеств – это множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество.

i_know: set = {"Python", "Go", "Java"}
you_know: dict = {
    "Go": 0.4, 
    "C++": 0.6, 
    "Rust": 0.2, 
    "Java": 0.9
}
# Обратите внимание, что оператор `-` работает только
# для объектов типа set
you_know_but_i_dont = set(you_know) - i_know
print(you_know_but_i_dont)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"Rust", "C++"}
# Метод difference может работать с любым iterable-объектом,
# каким является dict, например
i_know_but_you_dont = i_know.difference(you_know)
print(i_know_but_you_dont)
# Вывод:
{"Python"}

Удаление элементов из множества

Удаление элемента из множества можно рассматривать как частный случай разности, где удаляемый элемент – это одноэлементное множество. Следует отметить, что удаление элемента, как и в аналогичном случае с добавлением элементов, изменяет исходное множество. Удаление одного элемента из множества имеет вычислительную сложность O(1).

fruits = {"apple", "orange", "banana"}
# Удаление элемента из множества. Если удаляемого элемента
# нет в множестве, то ничего не происходит
fruits.discard("orange")
fruits.discard("pineapple")
print(fruits)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"apple", "banana"}
# Метод remove работает аналогично discard, но генерирует исключение,
# если удаляемого элемента нет в множестве
fruits.remove("pineapple")  # KeyError: "pineapple"

Также у множеств есть метод differenсe_update, который принимает iterable-объект и удаляет из исходного множества все элементы iterable-объекта. Этот метод работает аналогично методу difference, но изменяет исходное множество, а не возвращает новое.

numbers = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
even_numbers_under_100 = (i for i in range(1, 101) if i % 2 == 0)
numbers. , также существует два специальных метода – symmetric_difference и symmetric_difference_update. Оба этих метода принимают iterable-объект в качестве аргумента, отличие же состоит в том, что symmetric_difference возвращает новый объект-множество, в то время как symmetric_difference_update изменяет исходное множество.
non_positive = {-3, -2, -1, 0}
non_negative = range(4)
non_zero = non_positive.symmetric_difference(non_negative)
print(non_zero)
# Вывод (порядок может быть другим):
{-1, -2, -3, 1, 2, 3}
# Метод symmetric_difference_update изменяет исходное множество
colors = {"red", "green", "blue"}
colors.symmetric_difference_update(["green", "blue", "yellow"])
print(colors)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"red", "yellow"}

Заключение
Я надеюсь, мне удалось показать, что Python имеет очень удобные встроенные средства для работы с множествами. На практике это часто позволяет сократить количество кода, сделать его выразительнее и легче для восприятия, а следовательно и более поддерживаемым. Я буду рад, если у вас есть какие-либо конструктивные замечания и дополнения.

Полезные ссылки
Множества (Статья на Википедии)
Документация по типу set
Iterable-объекты (Глоссарий Python)
Hashable-объекты (Глоссарий Python)
Sets in Python
Set Theory: the Method To Database Madness
Докажите что множества равны
Алгебра 8 класс. Контрольная работа КР-1 Множества и операции над ними для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс Самостоятельные и контрольные работы» (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.
Контрольная работа № 1 по алгебре в 8 классе (угл.)
КР-1 Множества и операции над ними
 Тема. Множества и операции над ними. Вариант 1. 
1. Задайте с помощью перечисления элементов множество A = <>. 
2. Запишите все подмножества множества делителей числа 7. 
3. Какие из приведённых утверждений являются верными: 
4. Какие из приведённых утверждений являются верными: 
5. На фирме работает 29 человек. Из них 15 человек знают немецкий язык, 21 — английский и 8 человек знают оба языка. Сколько работников фирмы не знают ни одного из этих языков? 
6. Докажите, что множества А и В равны. 
7. Докажите, что множество чисел вида , где n е N, счётно. 
8. Множество А содержит 25 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?
ОТВЕТЫ на Контрольную № 1
ВАРИАНТ 1.
№ 1. A = <2, -7> 
№ 2. A = <1, -1, 7, -7> 
№ 3. 1) не верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) не верно 
№ 4. 1) верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) верно, 5) верно, 6) верно. 
№ 5. Ответ: 1 человек 
№ 6.  А = В, если их объединение и пересечение совпадает. A ∪ B = . A ∩ B =. 
№ 7. При n = 1 ⇒ 1/2; при n = 2 ⇒ 1/4; при n = 3 ⇒ 1/6 и так далее. Все элементы множества различны и образуют числовую последовательность. Значит, счётно. 
№ 8. 1 и 25 (начало и конец) — нечетные числа. Значит, нечетных будет больше.
ВАРИАНТ 2.
№ 1. A = <4, -6> 
№ 2. A = <1, -1, 5, -5> 
№ 3. 1) не верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) не верно 
№ 4. 1) не верно, 2) верно, 3) верно, 4) верно, 5) не верно, 6) не верно. 
№ 5. Ответ: 5 человек 
№ 6. C = D, если их объединение и пересечение совпадает. C ∪ D = . C ∩ D =. 
№ 7. При k = 1 ⇒ 1/3; при k = 2 ⇒ 1/6; при k = 3 ⇒ 1/9 и так далее. Все элементы множества различны и образуют числовую последовательность. Значит, счётно. 
№ 8.  1 и 27 (начало и конец) — нечетные числа. Значит, нечетных будет больше.
Алгебра 8 класс. Контрольная работа № 1 «Множества и операции над ними» для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс Самостоятельные и контрольные работы» (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.
Очень часто в задачах по дискретной математике, а именно в теории множеств, требуется доказать равенство множеств. Напомним, что равенство множеств $M=N$ означает выполнение взаимного включения, то есть $Msubseteq N$ и $Nsubseteq M$. Следовательно, для доказательства равенства $M=N$ множеств $M, N$ нужно показать выполнение этих включений. Делать это можно различными способами:
по определению теоретико-множественных операций;
с помощью законов алгебры множеств;
построением диаграмм Эйлера-Венна;
построением таблиц принадлежности;
используя индикаторные функции.
Продемонстрируем каждый из этих способов на конкретном примере.
Доказать равенство множеств:
$$left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$$
1. Равенство двух множеств $M=N$ эквивалентно двум включениям $Msubseteq N, Nsubseteq M$.
Докажем, что $left(Acap B
ight)ackslash Csubseteq left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$. Пусть $xin left(Acap B
ight)ackslash C$, тогда по определению разности множеств $xin left(Acap B
ight)$ и $x
otin C$. По определению пересечения множеств $xin left(Acap B
ight)$ тогда и только тогда, когда $xin A$ и $xin B$. Так как $xin A$ и $x
otin C$, то $xin Aackslash C$. Так как $xin B$ и $x
otin C$, то $xin Backslash C$. По определению пересечения получаем, что $xin left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$. Что доказывает то, что $left(Acap B
ight)ackslash Csubseteq left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.
Докажем, что $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)subseteq left(Acap B
ight)ackslash C$. Пусть $xin left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$, тогда по определению пересечения множеств $xin left(Aackslash C
ight)$ и $xin left(Backslash C
ight)$. По определению разности множеств $xin A$, $x
otin C$ и $xin B, x
otin C$. По определению пересечения получаем, что $xin left(Acap B
ight) и x
otin C$, то есть $xin left(Acap B
ight)ackslash C$. Что доказывает то, что $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)subseteq left(Acap B
ight)ackslash C$. Из доказанных включений следует, что $Aleft(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.
2. Докажем справедливость соотношения $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$, используя основные законы алгебры множеств.
Операцию разность $Xackslash Y$ произвольных множеств $X, Y$ можно записать, как $Xackslash Y=Xcap overline$. Тогда для левой части данного соотношения $left(Acap B
ight)ackslash C=Acap Bcap overline$. Для правой части: $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)=Acap overlinecap Bcap overline=Acap Bcap overline$. Видим, что левая и правая части в результате преобразований совпали $Acap Bcap overline=Acap Bcap overline$. Соотношение верно.
3. Видим, что диаграммы множеств $left(Acap B
ight)ackslash C$ и $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ полностью совпадают, значит, равенство $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ верно.
4. Построим таблицу принадлежности для левой и правой частей данного равенства $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.
egin <|c|c|>hline A & B & C & Acap B & left(Acap B
ight)ackslash C & Aackslash C & Backslash C & left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight) \ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline end
Видим, что $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)=left(00000010
ight)$.
5. Докажем справедливость соотношения $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ с помощью индикаторных функций. Индикаторная функция для левой части соотношения:
$$ <chi >_<left(Acap B
ight)ackslash C>left(x
ight)=<chi >_left(x
ight)-<chi >_left(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight)$$ Индикаторная функция для правой части: $$<chi >_<left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)>left(x
ight)=<chi >_<left(Aackslash C
ight)>left(x
ight)<chi >_<left(Backslash C
ight)>left(x
ight)=left(<chi >_Aleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)
ight)left(<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)+<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight). $$ Видим, что индикаторные функции обеих частей совпали $$<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight).$$ Соотношение верно.
Универсальное множество. Дополнение множества
Если А и В два множества, состоящие из одних и тех же элементов, и не содержат никаких других элементов, то говорят, что множества равны: А = В.
Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А называют подмножеством, или частью, множества В. Это отношение записывается так: А  В или В  А.
На рис. 2.1 дана иллюстрация этого определения с помощью так называемых диаграмм Венна (диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а снаружи – элементы, не принадлежащие этому множеству).
Приведем примеры подмножеств:
множество жителей Самары является подмножеством множества жителей России;
множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников;
множество Z всех целых чисел есть подмножество множества R всех действительных чисел.
Если одновременно А  В, а В  А, то эти множества равны: А = В.
Отметим, что каждое непустое множество имеет, по крайней мере, два подмножества: пустое множество  и само множество.
Пусть дано какое-либо множество Е. Тогда, если рассматриваются все возможные подмножества данного множества, его называют универсальным множеством. На диаграммах Венна прямоугольник как раз и символизирует это универсальное множество.
Например, рассмотрим множество книг в университетской библиотеке. В него входят подмножества научных, художественных книг, книг по искусству и т.д. Научные в свою очередь тоже можно разбить на подмножества книг по математике, физике, химии и т. д. То есть множество всех книг – это универсальное множество, содержащее в себе различные подмножества книг.
Рассмотрим другой пример. Пусть универсальное множество Е состоит из трех элементов: <a; b; c>. Перечислим все подмножества Е: <a>, <b>, <c>, <a, b>, <a, c>, <b, c>, <a, b, c>, <>. Их всего 8, т.е. 2 3 . Не трудно доказать, что если элементов будет n, то подмножеств будет 2 n .
Пусть множество А есть некоторое подмножества универсального множества Е. Тогда множество , состоящее из элементов множестваЕ, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А до универсального множества Е (рис. 2.2).
Например, если Е = <целые числа>, А = <четные числа>, то = <нечетные числа>.
3.
 . Операции над множествами
Суммой, или объединением, двух множеств А и В называется множество
элементы которого с  С принадлежат либо А, либо В, либо принадлежат и А и В.
Данное определение можно распространить на случай произвольного конечного или бесконечного числа множеств.
На рис. 3.1 показана диаграмма Венна объединения двух (а) и трех (б) множеств.
►Пример 3.1.Заданы числовые множестваА= <3, 5, 7, 13>иВ= <2, 4, 5, 7, 9>. Найти множествоС=АВ. Показать решение с помощью диаграмм Венна.
Решение. Множество С состоит из всех элементов входящих в множество А или множество В. Союз «или» здесь не разделительный, то есть не исключается возможность одновременной принадлежности некоторых элементов и множеству А и множеству В. Итак,
Изобразим С=АВс помощью диаграммы Венна (рис. 3.2). Для наглядности множества показаны вместе с элементами. ◄
Произведением, или пересечением, двух множеств А и В называется множество
элементы которого с  С принадлежат одновременно и А и В.
Данное определение также можно распространить на случай произвольного конечного или бесконечного числа множеств.
На рис. 3.3 показана диаграмма Венна пересечения двух (а) и трех (б) множеств.
►Пример 3.2.По условиям примера 3.1 найти множество
Решение. Множество С состоит из всех элементов входящих одновременно как в А, так и в В. Как видно из рис. 3.2 такими элементами являются 5 и 7. Следовательно
►Пример 3.3. Пусть А = <1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72>– множество натуральных делителей числа 72, а В = <1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54>– множество натуральных делителей числа 54. Тогда множество С = <1, 2, 3, 6, 9, 18>является пересечением множеств А и В, а числа, входящие в множество С, являются делителями для 72 и 54. Наибольший элемент множества С, то есть 18, называется наибольшим общим делителем чисел 54 и 72. ◄
Следует отметить, что пересечение нескольких непустых множеств может быть пустым множеством.
Термин «пересечение» по существу геометрического происхождения. Например, если прямая и плоскость не параллельны, то их пересечением является точка.
Разностью двух множеств А и В называется множество
состоящее из элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множествуВ.
Разность между множеством А и множеством В часто называется дополнением множества В до множества А.
►Пример 3.4. Пусть заданы множества А = <3, 5, 7, 13>и В = <2, 4, 5, 7, 9>. Тогда разности этих множеств будут иметь вид:
Введение понятия множества в 8-м классе
 Ключевые слова: множество, 
 пустое множество, 
 конечные и бесконечные множества, 
 числовые множества
Множества в школьной математике ведут себя
примерно так же, как обитатели леса: мы их почти
не видим, но знаем, что они есть.
В классах с углубленным изучением математики
основные понятия теории множеств
рассматриваются достаточно подробно. Например, в
[1] им посвящена глава "Элементы теории
множеств". Ученик, изучивший эту главу, сможет
лучше ориентироваться в других разделах
математики.
Для обычного класса такую подготовку провести
трудно, даже если содержание упомянутой главы
значительно сократить. Слишком много новых
терминов, чисто абстрактных рассуждений и
специфической символики. Да и количество часов
по программе не позволяет вводить
дополнительную тему. Но если ученика
математического класса можно сравнить с опытным
охотником, который уверенно идет по лесу, то
ученику обычного класса нужен хотя бы
определенный минимум знаний по теории множеств,
чтобы не заблудиться в трех соснах.
В обычных классах множества только изредка
упоминаются. Чтобы сильные ученики смогли, тем не
менее, овладеть нужными знаниями, возможно,
например, изучать элементы теории множеств на
факультативных занятиях. Но все-таки по
возможности основные сведения должны получить
все дети.
Решительный шаг в этом направлении сделан в
последнем издании учебника по алгебре для 8
класса [5]. В прежних изданиях в разделе
"Квадратные корни" назывались основные
числовые множества (натуральные числа, целые,
рациональные, действительные). Вводился знак
принадлежности. Сейчас к этому добавилось
определение подмножества (и знак включения).
Говорится о взаимно однозначном соответствии
между точками на прямой и действительными
числами.
В теме "Неравенства" помимо рассмотрения
числовых промежутков введен параграф
"Пересечение и объединение множеств". Если
раньше данным терминам уделялось немного
внимания при рассмотрении промежутков, то теперь
ученик сможет более детально ознакомиться с
операциями над множествами. С недавних пор
появился новый предмет "Теория вероятностей и
статистика". Как раз в курсе теории вероятностей
для 8 класса [6] при изучении алгебры событий
говорится о правиле суммы и произведения,
демонстрируются в качестве иллюстраций круги
Эйлера. Нам представляется, что если ученик к
этому времени будет знать, что такое вообще
объединение и пересечение множеств (а не только
для числовых множеств), то и в теории
вероятностей объединение, пересечение событий
этот ученик встретит как своих знакомых.
Но хотелось бы отметить, что само понятие
множества в [5]подробно не обсуждается.
По-видимому, авторы учебника допускают, что
интуитивно ученик понимает это слово, первый раз
встречаясь со словами "множество натуральных
чисел" и т.д. Практика показывает, что это не так.
У детей в первую очередь срабатывает реакция на
названия "натуральные", "целые" и т.д. Они
стараются их не перепутать, особенно
"рациональные", "иррациональные",
"действительные". Хотя предварительные
сведения об этих числах встречаются уже в 6
классе, все равно для некоторых детей они
оказываются трудными: во-первых, сами названия
непростые, во-вторых, использование этих
названия не так уж часто.
А смысл слова "множество" отходит при этом на
второй план, некоторые дети автоматически
связывают его со словом "много". Показателен
вопрос, который растерянно задала мне одна
восьмиклассница: "Как же множество может быть
пустым? Ведь это же - множество!" Иногда путают
слова "множество" и "количество". Скажем,
когда детям нужно было привести пример
множества, я в одной тетради прочитала:
"Расстояние от Москвы до Петербурга". Поэтому
для того, чтобы слово "множество" как
математический термин хоть немного стало
понятным, нужно как можно больше примеров и их
обсуждения. Ученик должен привыкнуть к новому
термину. Это произойдет только тогда, когда он
начнет самостоятельно использовать его в своей
речевой деятельности, пускай и в самых простых
ситуациях. И только потом можно переходить к
следующим темам, например, изучать пересечение и
объединение множеств.
Чтобы понятие множества более органично
воспринималось детьми, я посвящала ему отдельный
урок в теме "Неравенства". На следующем уроке
вводилось определение подмножества,
рассматривалось число подмножеств конечного
множества. Затем изучались операции над
множествами, Эти уроки предшествовали занятиям
по теории вероятностей.
Учитывая состав класса, я старалась
максимально доходчиво вводить новые термины, но
при этом стремилась не перегружать учащихся
формальными выкладками, а добиваться понимания
общих сведений. У меня было два восьмых класса. В
одном, гимназическом, занимаются дети с более
широким кругозором, они более восприимчивы к
тому, что касается истории математики, к
проблемам современной науки. На уроке в этом
классе я приводила больше примеров с
бесконечными множествами. Стараясь не
перегружать учеников дополнительной
терминологией, я показывала им интересные
примеры со взаимно однозначным соответствием
между множествами, которые иллюстрируют
поразительный факт - часть может быть такой же,
как целое. Слово "мощность" при этом намеренно
старалась не называть. Мне кажется, что хотя бы на
интуитивном уровне главная идея этих примеров
детям все равно будет понятна.
В другом классе ученики не такие
подготовленные. Им, скажем, сложно было
воспринимать даже само слово "множество",
потому что они с трудом могли настроиться на то,
что это математический термин, а не обычное слово
"множество", то есть "много". Поэтому для них я
готовила больше простых конкретных примеров.
В презентации я использовала тот образ
множества, который предложил Н.Н. Лузин:
"Представим прозрачную непроницаемую оболочку,
нечто вроде закрытого прозрачного мешка.
Предположим, что внутри этой оболочки заключены
все элементы данного множества и что, кроме них,
внутри оболочки никаких других предметов не
находится"[1].
Тем самым мы фиксируем элементы данного
множества, а оболочка показывает, что они собраны
в одно множество. Когда мы записываем множество с
помощью фигурных скобок, именно эти скобки
подчеркивают, что данные элементы составляют
множество.
Поэтому на слайдах некоторые множества
изображены как будто помещенными в прозрачные
шары.
В данной статье представлен материал к уроку
"Введение понятия множества".
Ключевые слова: "Множество, элемент
множества, пустое множество, конечные и
бесконечные множества".
В 70-х годах ХIX века немецкий математик Г. Кантор
создал новую область математики - теорию
бесконечных множеств. Через несколько
десятилетий почти вся математика была
перестроена на теоретико-множественной основе.
Понятия теории множеств отражают наиболее
общие свойства математических объектов.
Мы только начинаем знакомиться с множествами.


 
(Слайд 3)
Множество - неопределяемое понятие в
математике. С неопределяемыми понятиями мы уже
встречались, например, в геометрии (прямая и
точка). Множество можно представить себе как
совокупность некоторых элементов.
Например, можно говорить о множестве цветов,
которые растут на клумбе около нашей школы. Или о
множестве точек на плоскости. Элементы множества
могут быть любыми!


 
(Слайд 4)
Рассмотрим множество, которое состоит из
чисел 1, 2, 3, 4, 5. Обозначим это множество А.
Используется такая запись: А={1, 2, 3, 4, 5}. Число 1 -
элемент данного множества. Можно сказать и так:
"1 принадлежит множеству А". Есть специальный
значок принадлежности: 1А Тот факт, что, скажем, число 7 не
принадлежит множеству А, записываем следующим
образом: 7А.
Говоря о множестве А, мы просто перечисляли его
элементы. Иногда это отнимает много времени.
Иногда вообще такое перечисление невозможно.
Рассмотрим множество всех положительных чисел.
Пусть это множество В. С одной стороны, мы не в
состоянии перечислить все элементы множества В,
их бесконечно много, но, с другой стороны, мы
понимаем, о каком множестве идет речь: с
положительными числами мы хорошо знакомы - это
числа, которые больше нуля. Записываем данное
множество так: В={x|x>0}.


 
(Слайд 5 )
Дополнительные вопросы. Существует ли в этом
множестве наибольший элемент? Приведите примеры
элементов этого множества, которые меньше 1; 0,1;
0,01; 0,001. Существует ли наименьший элемент этого
множества? Будет ли принадлежать этому множеству
число 0?
На этом примере показано, что мы можем задать
множество, описав самое важное свойство его
элементов (оно называется характеристическим
свойством множества). По этому свойству можно
точно понять, из каких элементов состоит данное
множество. Если нам удается это свойство
сформулировать, то не нужно тратить время на
перечисление элементов множества. Указав
множество цветов, растущих на школьной клумбе, мы
не обязаны перечислять все цветы. Мы только
указали, где они находятся.


 
Таким образом, множества могут быть заданы
по-разному. Самое главное, чтобы было понятно,
какие именно элементы принадлежат данному
множеству, а какие не принадлежат. Элементы могут
быть любые, их порядок не важен.


 
(Слайд 6)
Если два множества состоят из одних и тех же
элементов, мы их считаем равными. Пусть множество
М состоит из элементов: квадрат, трапеция,
пятиугольник, круг, треугольник. Множество Р:
круг, квадрат, треугольник, пятиугольник,
трапеция. Будут ли множества М и Р равны? Ответ
поясните.
Отметим, что здесь мы обсуждаем множество
именно как математическое понятие. Но ведь в
нашем обычной речи тоже встречается слово
"множество"! Важно их не перепутать.
"Математическое" множество вовсе не обязано
состоять из большого количества элементов.
Множество может содержать и всего один элемент.
Например, пусть множество D состоит из моей птицы
Чир. И даже может быть так, что в множестве вообще
нет никаких элементов!


 
(Слайд 7)
Множество, в котором нет ни одного элемента,
называется пустым множеством. Обозначение:  . Например,
множество говорящих рыб - пустое. Пустым будет
множество корней уравнения 0х=3. Или, например,
множество параллелограммов, в которых все углы
острые.
О некоторых множествах трудно сразу сказать,
пусты ли они или нет. Например, знаменитая
проблема Ферма была решена только в 90-х годах ХХ
века: было доказано, что не существует
натуральных чисел n, больших двух, при которых
уравнение xn+yn=zn имеет
целочисленные положительные решения, то есть
множество таких n пусто.
Приведите сами примеры различных пустых
множеств.
Среди всех множеств выделяют конечные
множества и бесконечные.


 
(Слайд 8)
В конечном множестве число его элементов
всегда можно выразить определенным числом
(иногда, правда, это число не так-то просто найти).
Приведем несколько примеров. 

Множество из 4 элементов: M={a;b;c;d}
Множество цифр. Это множество из 10 элементов
 (назовите их!).
Множество букв русского алфавита. Сколько в нем
 элементов?
Множество всех тигров, живущих на Земле. К
 сожалению, тигров на Земле осталось очень мало.
 Экологи постоянно следят за их численностью.


 
(Слайд 9)
Рассмотрим множество, состоящее из гласных
букв. Сколько в нем элементов?
Будет ли это множество равно множеству,
состоящему из цифр?
А в некоторых случаях даже представить себе
конечность множества нелегко. Вычислительная
техника стремительно развивается. Компьютер
отвечает на наши повседневные вопросы очень
быстро, иногда нам кажется, что мгновенно. И
действительно, объем информации, которую может
обрабатывать современный компьютер, громадно.
Однако и возможности компьютера ограничены, то
есть конечны. В начале ХХI века стали заметны
серьезные проблемы. Оказалось, что есть
несколько принципиальных (непреодолимых)
барьеров: атомная структура вещества,
ограничение скорости света, туннельный эффект и
проблема отвода тепла (перегрев процессора). 
Современный процессор по своим размерам
постепенно приближается к атому! Но меньше атома
процессор быть уже не сможет. А сейчас самая
передовая технология дает отличие от размеров
атома всего на три порядка! По прогнозам ученых, к
2017 году при аналогичных методах развития
наступит предел - процессор уже нельзя сделать
меньше.
Перед человечеством встали задачи, которые
можно решить с помощью существующих компьютеров
только теоретически. В реальности на их решение
потребуется время, сравнимое со временем
существования Вселенной [3].
Математики и другие ученые предлагают ответы
на то, как обойти эти барьеры и ищут новые
решения.
В истории математики было много случаев, когда
вновь созданная теория воспринималась сначала
слишком искусственной, а потом приобретала
важнейшее практическое значение. Так было и с
теорией бесконечных множеств. А сейчас теория
множеств - это "каркас современной математики,
она не всегда хорошо видна, но обеспечивает
прочность всей конструкции" [4].


 
(Слайд 10)
Бесконечные множества. В них количество
элементов выразить конечным числом невозможно.
Примеры бесконечных множеств: 

Множество всех положительных чисел.
Множество всех точек на прямой.
Множество всех треугольников.
Множество всех фигур на плоскости.


 
(Слайд 11)
Нам уже известны самые важные числовые
множества: N, Z, Q, R. Мы знаем, что натуральные числа
- часть целых, целые числа составляют часть
рациональных, рациональные - часть
действительных. Как называются действительные
числа, которые не рациональны?
Пусть даны числа 28; -15; 0,9; .
Запишите для каждого числа, принадлежит ли оно
множествам N, Z, Q, R.
Попробуйте привести примеры множеств из
геометрии, которые можно было бы
проиллюстрировать аналогичной диаграммой (см.
слайд: одно множество - часть другого).


 
(Слайд 12)
Мы уже знакомы с понятием "числовые
промежутки". Это тоже множества.
Рассмотрим некоторые из них . Назовите
несколько чисел, принадлежащих промежутку (5;8).
Принадлежит ли этому промежутку число 8? Число
7,999? А можно ли назвать число из этого промежутка,
которое больше 7,999? Есть ли на промежутке (5;8)
самое большое число? Самое маленькое число?
Как вы думаете, сколько всего действительных
чисел на промежутке (5;8)? Сколько на нем целых
чисел? Назовите их.
Аналогичные вопросы можно рассмотреть для
промежутков [5;8], [5;8).
В мире бесконечного мы встречаем много
удивительного. Например, мы рассмотрели совсем
небольшие, казалось бы, промежутки, а
действительных чисел на них бесконечно много!
Вспомним известный нам график - гиперболу. Что
удивительного в гиперболе? А то, что она,
приближаясь к осям координат, никогда не
пересекает их. Но становится к ним все ближе и
ближе! Как это возможно? Математики на это дали
ответ (правда, далеко не сразу). Можно сравнить
это настойчивое стремление с тем, как человек все
время стремится к идеалу, но никогда его не
достигает, а стремиться нужно!
Другой удивительный пример из мира
бесконечного. Мы привыкли к тому, что часть
всегда меньше целого. А с бесконечными
множествами иногда получаем другую картину.
Рассмотрим натуральные числа и четные числа.
Казалось бы, раз четные числа - это только часть
натуральных, то четных должно быть меньше. А
получается, что их столько же, сколько и
натуральных!


 
(Слайд 13)
Допустим, что в фантастической гостинице
(аналогичный пример приведен в [1]) бесконечно
много номеров, все они заняты гостями из разных
галактик - значит, этих гостей столько же,
сколько номеров, то есть столько же, сколько
натуральных чисел. И приезжает еще много гостей,
нужно их разместить. А ведь все номера заняты, что
же делать? Директор очень вежливо просит прежних
постояльцев перейти в другие номера: если у
прежнего гостя был номер 1, то этот гость
переходит в номер 2, номер 2 - в номер 4, то есть все
прежние номера меняются на номера, в два раза
большие. Тогда освобождаются все нечетные
номера! И их бесконечно много! Гостиница готова к
приему новых туристов. А в четных номерах живут
постояльцы, которых столько же, сколько
натуральных чисел. С другой стороны, если новые
туристы быстро уедут, то прежние могут вернуться
в свои номера. И тогда получается, что четные
числа благополучно "размещаются" по номерам
1,2,3:. Таким образом, мы установили взаимно
однозначное соответствие между множеством
натуральных чисел и множеством четных чисел.
Четных чисел и натуральных - одинаковое
количество.


 
(Слайд 14)
Похожим образом можно показать, что количество
точек на промежутке (5; 8) такое же, что и на всей
прямой. Изменим форму промежутка так, чтобы
получилась дуга, полуокружность (но без
граничных точек А и В) - эта дуга изображена на
слайде. Пусть О - центр окружности, АВ - диаметр.
Нашу прямую (обозначим ее СD) расположим так,
чтобы она была параллельна АВ. Из точки О можно
провести бесконечно много прямых, которые будут
пересекать дугу, и при этом каждая из этих прямых
пересечет нашу прямую СD. Можно представить себе,
что каждая точка дуги "переезжает" в точку на
прямой CD (по прямой, идущей из т. О и пересекающей
СD - пути "переезда" изображены на слайде
стрелками). И наоборот: для каждой точки прямой СD
есть соответствующая на дуге. Таким образом,
точек на дуге и на всей прямой - одинаковое
количество, а, значит, оно будет одинаковым и для
промежутка, и для прямой.


 
Дополнительные вопросы.
Почему нужно было расположить прямую CD
параллельно АВ? Укажите прямую, которая пройдет
через точку О, но не пересечет дугу. Не забудьте,
что мы рассматриваем дугу без концов!


 
Более трудный вопрос. Можно ли аналогичным
образом устроить "переезд" точек для [5; 8], [5; 8)?
Замечаем, что "мешают" граничные точки. С теми
ребятами, кого заинтересует эта задача, мы
обсудим ее на факультативном занятии.
Для всех множеств (и конечных, и бесконечных), мы
должны научиться определять, какие элементы
принадлежат данному множеству, а какие нет.


 
(Слайд 15)
Рассмотрим два множества, А и В. Пусть множество
А состоит из параллелограмма, трапеции,
треугольника, квадрата. Множество В состоит из
круга, квадрата, треугольника, пятиугольника,
трапеции. 

Назовите общие элементы этих множеств.
Какие элементы множества А не принадлежат
 множеству В?
Какие элементы множества В не принадлежат
 множеству А?
Назовите элементы, которые входят хотя бы в одно
 из данных множеств.


 
(Слайд 16)
Итак, мы познакомились с понятием множества,
говорили об элементах множества. Узнали, что есть
пустое множество. Множества бывают конечные и
бесконечные. На следующих уроках мы узнаем о том,
что с множествами можно производить некоторые
действия (как и с числами - этим они немножко
похожи друг на друга). Будем и дальше изучать
множества! Они нам помогут лучше разобраться с
другими задачами.
Литература.

Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. - М.: Наука,
 1965.
Виленкин Н.Я.и др. Алгебра для 9 класса. - М.:
 Просвещение, 1996.
Губайловский В. Наука будущего. Классические и
 квантовые компьютеры. //"Новый мир", 2011, №7.
Жарковская Н.А. Георг Кантор и теория множеств.
 //"Курсор. Международный математический
 конкурс-игра "Кенгуру"". 2011, выпуск 5
Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. 8 класс.- 19-е изд. -
 М.: Просвещение, 2011.
Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и
 статистика, - Москва, МЦНМО, 2008.
Математика. 5 класс: 21, 22. Множества
 21, 22. Множества
 Это надо знать
  Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое.
Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами.
Пример
Множество домов на данной улице, множество натуральных чисел, множество учеников класса и т. д.
 Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись  a ∈ R  означает, что элемент  а  принадлежит множеству R , то есть  а  является элементом множества R . В противном случае, когда  а  не принадлежит множеству  R , пишут  a ∉ R .
Пример
N – множество натуральных чисел,
N = {1, 2, 3, 4,…};
 Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .
Говорят, что множество А содержится в множестве В) или  множество А  является подмножеством множества В,  если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В.
Пример
А={0, 1, 2, 3},    В={0, 1},   B ⊂ A .

Объединение  множеств А и В ( пишется  А ∪ В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В.

Пример
А={К, А, Т, Я},    В={К, О, С, Т, Я},  
A ∪ B={К, А, Т, Я, О, С}
Пересечение  множеств А и В ( пишется  А ∩ В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В.

Пример
А={К, А, Т, Я},   В={К, О, С, Т, Я},
A ∩ B ={К, Т, Я}.

Разность множеств А и В ( пишется  А – В ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.
Пример
А={К, А, Т, Я},    В={К, О, С, Т, Я}, 
 А - В={A},    В - А ={О, С}. 
 Видеоурок
Видео к уроку 21
 Видео к уроку 22
 Задачи для решения
 №1.  (1 уровень) Собралось 5 охотников и 8 рыбаков, а всего 10 человек. Может ли быть такая ситуация? Объясните ситуацию с помощью различных моделей.
№2. (1 уровень) Группа студентов 25 человек отправилась на отдых, среди них 18 волейболистов и 12 теннисистов. Сколько студентов  играют и в волейбол, и в теннис?
№3. (2 уровень) В магазине «Канцтовары» в первой половине дня 30 человек покупали школьные тетради. 19 человек покупали  тетради «в клеточку», 18 человек покупали тетради  «в линейку». Были ли среди 30 покупателей те, которые покупали тетради двух видов (в клетку и линейку)? Если да, то, сколько таких покупателей было?
№4. (2 уровень) В классе 24 ученика, из них 12 учащихся занимаются танцами, 16 учащихся занимаются в различных спортивных секциях и 5 учеников класса не занимаются танцами и не посещают спортивные секции. Сколько учащихся класса,  посещающие спортивные секции,  занимаются еще и танцами?
№5. (3 уровень) Группа студентов изучает английский и французский языки, причем, английский язык изучает 15 человек, французский – 12 человек. Оба языка изучают  7 человек. Сколько учащихся в группе по изучению иностранных языков?
№6.  (3уровень) В группе туристов из 100 человек 70 человек знают английский язык, 45 –знают немецкий язык, и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского,  ни немецкого языков?
№7. (4 уровень) По контрольной работе по математике 8 баллов получили 48 учащихся 11классов одной из школ города Минска, а по  физике -37 учащихся, по русскому языку - 42 ученика. По математике или  физике -75 учащихся, по математике или русскому языку- 76 учащихся, по физике или по русскому языку - 66 учеников. По всем трем предметам 8 баллов получили 4 учащихся. Сколько учащихся получили хотя бы одну «восьмерку»?
№8. (4 уровень)  В оздоровительном лагере 70 ребят старших отрядов. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 изготавливают поделки, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят изготавливают поделки, в кружке по изготовлению поделок 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и кружок по изготовлению поделок. Сколько ребят не изготавливают поделки, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
№9. (5 уровень) Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3.  Хватит ли 20 –ти велосипедов в прокатном пункте лагеря для ребят, которые не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
№10. (5 уровень) В предварительном туре школьной олимпиады по математике принимало участие 40 учащихся 5-х классов, которым предложили решить три задачи: №1, №2, №3. Задачу №1 правильно решили 19 учащихся, №2 – 18 учащихся, №3 также 19 учащихся. Задачи №1и №2 решили 7 человек, задачи №2 и №3 - 9 человек, задачи №1и №3 - 7 человек, ни одной задачи не решили 3 ученика.  Сколько учеников решили все задачи? Сколько учащихся решили только две задачи? Сколько учащихся решили по одной задаче?

 Домашнее задание
 Для тренировки можете перейти на страницу Множества.
 К уроку 21 (на 30.09)
1. Р – множество натуральных чисел, больших семи и меньших четырнадцати. Выясните, какие из чисел 13,10, 5, 7, 14 ему принадлежат, а какие не принадлежат. Ответ запишите, используя знаки  и .
2. Перечислите элементы следующих множеств:
А– множество нечетных однозначных чисел;
В– множество натуральных чисел, меньших или равных 20;
С– множество двузначных чисел, делящихся на 10.
 3. Изобразите при помощи кругов  отношения между множествами А, В и С, если известно, что:
1)АВ и ВС,
2) АВ, С пересекается с В, но не пересекается с А,
3) А, В и С пересекаются, но ни одно не является подмножеством другого.


К уроку 22 (на 01.10)
1. Восьмого марта в кино пришло 100 ребят. На приключенческий фильм было продано 87 билетов, а на комедию — 63. Сколько ребят посмотрели и тот фильм, и другой? (Каждый посмотрел по меньшей мере один из фильмов.)
 2. В классе 29 человек. 15 из них занимаются в музыкальном кружке, 21 — в математическом. Сколько человек посещают оба кружка, если известно, что только Вовочка не ходит ни в один из двух кружков?
Главная страница
Подписаться на:
Сообщения (Atom)
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ • Большая российская энциклопедия
МНО́ЖЕСТВ ТЕО́РИЯ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся свой­ст­ва мно­жеств, пре­им. бес­ко­неч­ных. По­ня­тие мно­же­ст­ва, или со­во­куп­но­сти, при­над­ле­жит к чис­лу ис­ход­ных ма­те­ма­тич. по­ня­тий; оно фор­маль­но не оп­ре­де­ля­ет­ся, но мо­жет быть по­яс­не­но при по­мо­щи при­ме­ров. Так, мож­но го­во­рить о мно­же­ст­ве всех книг, со­став­ляю­щих дан­ную биб­лио­те­ку, мно­же­ст­ве всех то­чек дан­ной ли­нии, мно­же­ст­ве всех ре­ше­ний дан­но­го урав­не­ния. Кни­ги дан­ной биб­лио­те­ки, точ­ки дан­ной ли­нии, ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся эле­мен­та­ми со­от­вет­ст­вую­ще­го мно­же­ст­ва. Что­бы оп­ре­де­лить мно­же­ст­во, до­ста­точ­но ука­зать ха­рак­те­ри­стич. свой­ст­во его эле­мен­тов, т. е. та­кое свой­ст­во, ко­то­рым об­ла­да­ют все эле­мен­ты это­го мно­же­ст­ва и толь­ко они. Мо­жет слу­чить­ся, что дан­ным свой­ст­вом не об­ла­да­ет во­об­ще ни один объ­ект; то­гда го­во­рят, что это свой­ст­во оп­ре­де­ля­ет пус­тое мно­же­ст­во. То, что дан­ный объ­ект $x$ есть эле­мент мно­же­ст­ва $M$, за­пи­сы­ва­ют как $x∈М$.
Ес­ли ка­ж­дый эле­мент мно­же­ст­ва $A$ яв­ля­ет­ся в то же вре­мя эле­мен­том мно­же­ст­ва $B$, то мно­же­ст­во $A$ на­зы­ва­ет­ся под­мно­же­ст­вом мно­же­ст­ва $B$.  Это за­пи­сы­ва­ют как $A⊂B$ или $B⊃A$. Под­мно­же­ст­вом дан­но­го мно­же­ст­ва $B$ яв­ля­ет­ся и са­мо мно­же­ст­во $B$. Ес­ли $A⊂B$ и $A⊃B$, то мно­же­ст­ва $А$ и $B$ на­зы­ва­ют рав­ны­ми и пи­шут $A=B$. Пус­тое мно­же­ст­во, по оп­ре­де­ле­нию, счи­та­ют под­мно­же­ст­вом лю­бо­го мно­же­ст­ва. Вся­кое не­пус­тое под­мно­же­ст­во $A$ дан­но­го мно­же­ст­ва $B$, от­лич­ное от все­го мно­же­ст­ва $B$, на­зы­ва­ют пра­виль­ной ча­стью по­след­не­го (вме­сто сим­во­ла вклю­че­ния $⊂$ ино­гда ис­поль­зу­ют сим­вол вклю­че­ния $⊆$; в этом слу­чае за­пись $A⊂B$ оз­на­ча­ет, что $A$ есть пра­виль­ная часть $B$).
Мощность множеств
 Пер­вым во­про­сом, воз­ник­шим в при­ме­не­нии к бес­ко­неч­ным мно­же­ст­вам, был во­прос о воз­мож­но­сти их срав­не­ния ме­ж­ду со­бой. От­вет на этот и близ­кие во­про­сы дал в кон. 1870-х гг. Г. Кан­тор, ос­но­вав­ший М. т. как ма­те­ма­тич. нау­ку. Воз­мож­ность срав­ни­тель­ной оцен­ки мно­жеств опи­ра­ет­ся на по­ня­тие вза­им­но од­но­знач­но­го со­от­вет­ст­вия ме­ж­ду дву­мя мно­же­ст­ва­ми. Пусть ка­ж­до­му эле­мен­ту мно­же­ст­ва $A$ по­став­лен в со­от­вет­ст­вие с по­мо­щью к.-л. пра­ви­ла или за­ко­на не­ко­то­рый оп­ре­де­лён­ный эле­мент мно­же­ст­ва $B$; ес­ли при этом ка­ж­дый эле­мент мно­же­ст­ва $B$ ока­зы­ва­ет­ся по­став­лен­ным в со­от­вет­ст­вие од­но­му и толь­ко од­но­му эле­мен­ту мно­же­ст­ва $A$, то го­во­рят, что ме­ж­ду мно­же­ст­ва­ми $A$ и $B$ ус­та­нов­ле­но вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие. Ме­ж­ду дву­мя ко­неч­ны­ми мно­же­ст­ва­ми мож­но ус­та­но­вить вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда оба мно­же­ст­ва со­сто­ят из оди­на­ко­во­го чис­ла эле­мен­тов. Обоб­щая этот факт, оп­ре­де­ля­ют эк­ви­ва­лент­ность или рав­но­мощ­ность двух бес­ко­неч­ных мно­жеств как воз­мож­ность ус­та­но­вить ме­ж­ду ни­ми вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие.
Ещё до соз­да­ния М. т. Б. Боль­ца­но вла­дел, с од­ной сто­ро­ны, впол­не точ­но сфор­му­ли­ро­ван­ным по­ня­ти­ем вза­им­но од­но­знач­но­го со­от­вет­ст­вия, с др. сто­ро­ны, счи­тал не­со­мнен­ным су­ще­ст­во­ва­ние бес­ко­неч­но­стей разл. сту­пе­ней; од­на­ко он не толь­ко не сде­лал вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие ос­но­вой ус­та­нов­ле­ния рав­но­силь­но­сти мно­жеств, но ре­ши­тель­но воз­ра­жал про­тив это­го. Боль­ца­но ос­та­нав­ли­ва­ло то, что бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во мо­жет на­хо­дить­ся во вза­им­но од­но­знач­ном со­от­вет­ст­вии со сво­ей пра­виль­ной ча­стью. Напр., ес­ли ка­ж­до­му на­ту­раль­но­му чис­лу $n$ по­ста­вить в со­от­вет­ст­вие на­ту­раль­ное чис­ло $2n$, то по­лу­ча­ет­ся вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие ме­ж­ду мно­же­ст­вом всех на­ту­раль­ных и мно­же­ст­вом всех чёт­ных чи­сел. Вме­сто то­го что­бы в при­ме­не­нии к бес­ко­неч­ным мно­же­ст­вам от­ка­зать­ся от по­ло­же­ния, со­стоя­ще­го в том, что часть мень­ше це­ло­го, Боль­ца­но от­ка­зал­ся от вза­им­ной од­но­знач­но­сти как кри­те­рия рав­но­мощ­но­сти. В ка­ж­дом бес­ко­неч­ном мно­же­ст­ве $M$ име­ет­ся пра­виль­ная часть, рав­но­мощ­ная все­му мно­же­ст­ву $M$, то­гда как ни в од­ном ко­неч­ном мно­же­ст­ве та­кой пра­виль­ной час­ти не су­ще­ст­ву­ет. По­это­му на­ли­чие пра­виль­ной час­ти, рав­но­мощ­ной це­ло­му, мож­но при­нять за оп­ре­де­ле­ние бес­ко­неч­но­го мно­же­ст­ва.
Для двух бес­ко­неч­ных мно­жеств $A$ и $B$ воз­мож­ны сле­дую­щие 3 слу­чая: ли­бо в $A$ есть пра­виль­ная часть, рав­но­мощ­ная $B$, но в $B$ нет пра­виль­ной час­ти, рав­но­мощ­ной $A$; ли­бо, на­обо­рот, в $B$ есть пра­виль­ная часть, рав­но­мощ­ная $A$, а в $A$ нет пра­виль­ной час­ти, рав­но­мощ­ной $B$; ли­бо, на­ко­нец, в $A$ есть пра­виль­ная часть, рав­но­мощ­ная $B$, и в $B$ есть пра­виль­ная часть, рав­но­мощ­ная $A$. До­ка­зы­ва­ет­ся, что в 3-м слу­чае мно­же­ст­ва $A$ и $B$ рав­но­мощ­ны (тео­ре­ма Кан­то­ра – Берн­штей­на). В 1-м слу­чае го­во­рят, что мощ­ность мно­же­ст­ва $A$ боль­ше мощ­но­сти мно­же­ст­ва $B$, во 2-м – что мощ­ность мно­же­ст­ва $B$ боль­ше мощ­но­сти мно­же­ст­ва $A$. Фор­маль­но воз­мож­ный 4-й слу­чай – в $A$ нет пра­виль­ной час­ти, рав­но­мощ­ной $B$, а в $B$ нет пра­виль­ной час­ти, рав­но­мощ­ной $A$, – в дей­ст­ви­тель­но­сти для бес­ко­неч­ных мно­жеств осу­ще­ст­вить­ся не мо­жет.
Цен­ность по­ня­тия мощ­но­сти мно­же­ст­ва свя­за­на с су­ще­ст­во­ва­ни­ем не­рав­но­мощ­ных бес­ко­неч­ных мно­жеств. Напр., мно­же­ст­во всех под­мно­жеств дан­но­го мно­же­ст­ва $M$ име­ет мощ­ность бо́ль­шую, чем мно­же­ст­во $M$. Мно­же­ст­во, рав­но­мощ­ное мно­же­ст­ву всех на­ту­раль­ных чи­сел, на­зы­ва­ет­ся счёт­ным мно­же­ст­вом. Мощ­ность счёт­ных мно­жеств есть наи­мень­шая мощ­ность, ко­то­рую мо­жет иметь бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во; вся­кое бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во со­дер­жит счёт­ную пра­виль­ную часть. Кан­тор до­ка­зал, что мно­же­ст­во всех ра­цио­наль­ных и да­же всех ал­геб­раи­че­ских чи­сел счёт­но, то­гда как мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел не­счёт­но. Из это­го сле­ду­ет, в ча­ст­но­сти, до­ка­за­тель­ст­во су­ще­ст­во­ва­ния т. н. транс­цен­дент­ных чи­сел, т. е. дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, не яв­ляю­щих­ся кор­ня­ми ни­ка­ко­го ал­геб­ра­ич. урав­не­ния с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми (и да­же не­счёт­ность мно­же­ст­ва та­ких чи­сел). Мощ­ность мно­же­ст­ва всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел на­зы­ва­ет­ся мощ­но­стью кон­ти­нуу­ма. Мно­же­ст­ву всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел рав­но­мощ­ны мно­же­ст­во всех под­мно­жеств счёт­но­го мно­же­ст­ва, мно­же­ст­во всех ком­плекс­ных чи­сел и, сле­до­ва­тель­но, мно­же­ст­во всех то­чек плос­ко­сти, а так­же мно­же­ст­во всех то­чек $n$-мер­но­го про­стран­ст­ва при лю­бом $n$. Кан­тор вы­ска­зал ги­по­те­зу о том, что вся­кое мно­же­ст­во, со­стоя­щее из дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, ли­бо ко­неч­но, ли­бо счёт­но, ли­бо рав­но­мощ­но мно­же­ст­ву всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел; по по­во­ду этой ги­по­те­зы и о свя­зан­ных с нею ре­зуль­та­тах см. Кон­ти­ну­ум-ги­по­те­за, Кон­ти­нуу­ма про­бле­ма.
Отображения множеств
 В М. т. по­ня­тие функ­ции, гео­мет­рич. по­ня­тие ото­бра­же­ния или пре­об­ра­зо­ва­ния фи­гу­ры при­во­дят к об­ще­му по­ня­тию ото­бра­же­ния од­но­го мно­же­ст­ва в дру­гое. Пусть да­ны два мно­же­ст­ва $X$ и $Y$ и ка­ж­до­му эле­мен­ту $x∈X$ по­став­лен в со­от­вет­ст­вие не­ко­то­рый оп­ре­де­лён­ный эле­мент $y=f(x)$ мно­же­ст­ва $Y$; то­гда го­во­рят, что име­ет­ся ото­бра­же­ние мно­же­ст­ва $X$ в мно­же­ст­во $Y$ или что име­ет­ся функ­ция, ар­гу­мент $x$ ко­то­рой про­бе­га­ет мно­же­ст­во $X$, а зна­че­ния $y$ при­над­ле­жат мно­же­ст­ву $Y$; при этом для ка­ж­до­го дан­но­го $x∈X$ эле­мент $y=f(x)$ мно­же­ст­ва $Y$ на­зы­ва­ет­ся об­ра­зом эле­мен­та $x$ при дан­ном ото­бра­же­нии или зна­че­ни­ем дан­ной функ­ции для дан­но­го зна­че­ния $x$ её ар­гу­мен­та. 3$, то тем са­мым бу­дет ус­та­нов­ле­но ото­бра­же­ние мно­же­ст­ва $X$ в се­бя.
3) Пусть $X$ – мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел; ес­ли для ка­ж­до­го $x∈X$ по­ло­жить $y=f(x)=\text {arctg}$ $x$, то этим бу­дет ус­та­нов­ле­но ото­бра­же­ние мно­же­ст­ва $X$ в ин­тер­вал $(-π/2, π/2)$.
Вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие ме­ж­ду дву­мя мно­же­ст­ва­ми $X$ и $Y$ есть та­кое ото­бра­же­ние мно­же­ст­ва $X$ в мно­же­ст­во $Y$, при ко­то­ром ка­ж­дый эле­мент мно­же­ст­ва $Y$ яв­ля­ет­ся об­ра­зом од­но­го и толь­ко од­но­го эле­мен­та мно­же­ст­ва $X$. Ото­бра­же­ния при­ме­ров 2) и 3) вза­им­но од­но­знач­ны, при­ме­ра 1) – нет.
Операции над множествами
Сум­мой, или объ­е­ди­не­ни­ем, ко­неч­но­го или бес­ко­неч­но­го мно­же­ст­ва мно­жеств на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во всех тех эле­мен­тов, ка­ж­дый из ко­то­рых есть эле­мент хо­тя бы од­но­го из дан­ных мно­жеств-сла­гае­мых. Объ­е­ди­не­ние мно­жеств $A$ и $B$ обо­зна­ча­ет­ся $A∪B$. Пе­ре­се­че­ни­ем лю­бо­го ко­неч­но­го или бес­ко­неч­но­го мно­же­ст­ва мно­жеств на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во всех эле­мен­тов, при­над­ле­жа­щих всем дан­ным мно­же­ст­вам. Пе­ре­се­че­ние мно­жеств $A$ и $B$ обо­зна­ча­ет­ся $A∩B$. Пе­ре­се­че­ние не­пус­тых мно­жеств мо­жет быть пус­тым. Раз­но­стью ме­ж­ду мно­же­ст­вом $B$ и мно­же­ст­вом $A$ на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во всех эле­мен­тов из $B$, не яв­ляю­щих­ся эле­мен­та­ми из $A$; эта раз­ность обо­зна­ча­ет­ся $BA$; раз­ность ме­ж­ду мно­же­ст­вом $B$ и его ча­стью $A$ на­зы­ва­ет­ся до­пол­не­ни­ем мно­же­ст­ва $A$ в мно­же­ст­ве $B$ и обо­зна­ча­ет­ся .
Опе­ра­ции сло­же­ния и пе­ре­се­че­ния мно­жеств об­ла­да­ют ас­со­циа­тив­но­стью и ком­му­та­тив­но­стью. Опе­ра­ция пе­ре­се­че­ния, кро­ме то­го, об­ла­да­ет ди­ст­ри­бу­тив­но­стью по от­но­ше­нию к сло­же­нию и вы­чи­та­нию. Ес­ли эти опе­ра­ции про­из­во­дить над мно­же­ст­ва­ми, яв­ляю­щи­ми­ся под­мно­же­ст­ва­ми од­но­го и то­го же мно­же­ст­ва $M$, то и ре­зуль­тат бу­дет под­мно­же­ст­вом мно­же­ст­ва $M$. Ука­зан­ным свой­ст­вом не об­ла­да­ет т. н. внеш­нее ум­но­же­ние мно­жеств, внеш­ним про­из­ве­де­ни­ем мно­жеств $X$ и $Y$ или пря­мым про­из­ве­де­ни­ем мно­жеств $X$ и $Y$ на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во $X×Y$ все­воз­мож­ных пар $(x, y)$, где $x∈X, y∈Y$. X$, что в слу­чае ко­неч­ных мно­жеств со­гла­су­ет­ся с ум­но­же­ни­ем и воз­ве­де­ни­ем в сте­пень на­ту­раль­ных чи­сел. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся сум­ма мощ­но­стей как мощ­ность сум­мы по­пар­но не­пе­ре­се­каю­щих­ся мно­жеств с за­дан­ны­ми мощ­но­стя­ми.
Упорядоченные множества
 В дан­ном мно­же­ст­ве $X$ мож­но ус­та­но­вить по­ря­док, т. е. оп­ре­де­лить для не­ко­то­рых пар $x′, x″$ эле­мен­тов это­го мно­же­ст­ва к.-л. пра­ви­ло пред­ше­ст­во­ва­ния (сле­до­ва­ния), вы­ра­жае­мое сло­ва­ми эле­мент $x′$ пред­ше­ст­ву­ет эле­мен­ту $x″$ (или, что то же, эле­мент $x″$ сле­ду­ет за эле­мен­том $x'$ ), что за­пи­сы­ва­ет­ся $x′≺x″$; при этом пред­по­ла­га­ет­ся, что для дан­но­го от­но­ше­ния по­ряд­ка вы­пол­не­но ус­ло­вие тран­зи­тив­но­сти, т. е. ес­ли $x≺x′$ и $x′≺x″$, то $x≺x″$. Мно­же­ст­во, рас­смат­ри­вае­мое вме­сте с к.-л. ус­та­нов­лен­ным в нём по­ряд­ком, на­зы­ва­ет­ся час­тич­но упо­ря­до­чен­ным мно­же­ст­вом; ино­гда – упо­ря­до­чен­ным мно­же­ст­вом. Од­на­ко ча­ще упо­ря­до­чен­ным мно­же­ст­вом на­зы­ва­ет­ся час­тич­но упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во, в ко­то­ром по­ря­док удов­ле­тво­ря­ет сле­дую­щим до­пол­нит. тре­бо­ва­ни­ям (ли­ней­но­го по­ряд­ка): 1) ни­ка­кой эле­мент не пред­ше­ст­ву­ет са­мо­му се­бе; 2) из вся­ких двух разл. эле­мен­тов $x, x′$ один пред­ше­ст­ву­ет дру­го­му, т. е. ес­ли $x≠x′$, то или $x≺x′$, или $x″≺x$.
При­ме­ры.
1) Лю­бое мно­же­ст­во, эле­мен­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся не­ко­то­рые мно­же­ст­ва $x$, яв­ля­ет­ся час­тич­но упо­ря­до­чен­ным по вклю­че­нию, ес­ли счи­тать, что $x≺x′$, ес­ли $x⊂x′$.
2) Лю­бое мно­же­ст­во функ­ций $f$, оп­ре­де­лён­ных на чи­сло­вой пря­мой, ста­но­вит­ся час­тич­но упо­ря­до­чен­ным, ес­ли счи­тать, что $f_1≺f_2$, то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда для ка­ж­до­го дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла $x$ спра­вед­ли­во не­ра­вен­ст­во $f_1(x)⩽f_2(x)$.
3) Лю­бое мно­же­ст­во дей­ст­ви­тель­ных чи­сел ли­ней­но упо­ря­до­че­но, ес­ли счи­тать, что мень­шее из двух чи­сел пред­ше­ст­ву­ет боль­ше­му.
Два упо­ря­до­чен­ных мно­же­ст­ва на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, или имею­щи­ми один и тот же по­ряд­ко­вый тип, ес­ли ме­ж­ду ни­ми мож­но ус­та­но­вить вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие, со­хра­няю­щее по­ря­док. Эле­мент упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва на­зы­ва­ет­ся пер­вым, ес­ли он пред­ше­ст­ву­ет всем ос­таль­ным эле­мен­там; ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся и по­след­ний эле­мент. Напр., в упо­ря­до­чен­ном мно­же­ст­ве всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел нет ни пер­во­го, ни по­след­не­го эле­мен­та; в упо­ря­до­чен­ном мно­же­ст­ве всех не­от­ри­ца­тель­ных чи­сел нуль есть пер­вый эле­мент, а по­след­не­го эле­мен­та нет; в упо­ря­до­чен­ном мно­же­ст­ве всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $x$, удов­ле­тво­ряю­щих не­ра­вен­ст­вам $a⩽x⩽b$, чис­ло $a$ есть пер­вый эле­мент, $b$ – по­след­ний.
 Упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во на­зы­ва­ет­ся впол­не упо­ря­до­чен­ным, ес­ли оно са­мо и вся­кое его пра­виль­ное под­мно­же­ст­во име­ют пер­вый эле­мент. По­ряд­ко­вые ти­пы впол­не упо­ря­до­чен­ных мно­жеств на­зы­ва­ют­ся по­ряд­ко­вы­ми, или ор­ди­наль­ны­ми, чис­ла­ми. Ес­ли впол­не упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во ко­неч­но, то его по­ряд­ко­вое чис­ло есть на­ту­раль­ное чис­ло. По­ряд­ко­вый тип бес­ко­неч­но­го впол­не упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва на­зы­ва­ет­ся транс­фи­нит­ным чис­лом.
Точечные множества
 Тео­рия то­чеч­ных мно­жеств, т. е. мно­жеств, эле­мен­та­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся дей­ст­ви­тель­ные чис­ла (точ­ки чи­сло­вой пря­мой), а так­же точ­ки мно­го­мер­ных про­странств, ос­но­ва­на Г. Кан­то­ром, ко­то­рый ввёл по­ня­тие пре­дель­ной точ­ки мно­же­ст­ва и свя­зан­ные с ним по­ня­тия замк­ну­то­го мно­же­ст­ва и пр. Раз­ви­тие тео­рии то­чеч­ных мно­жеств при­ве­ло к по­ня­ти­ям мет­ри­че­ско­го про­стран­ст­ва и то­по­ло­ги­че­ско­го про­стран­ст­ва, изу­че­ни­ем ко­то­рых за­ни­ма­ет­ся об­щая то­по­ло­гия. Са­мо­стоя­тель­но су­ще­ст­ву­ет де­ск­рип­тив­ная тео­рия мно­жеств, ос­но­ван­ная франц. ма­те­ма­ти­ком Р. Бэ­ром и А. Ле­бе­гом в свя­зи с клас­си­фи­ка­ци­ей раз­рыв­ных функ­ций (1905). Де­ск­рип­тив­ная тео­рия мно­жеств на­ча­лась с изу­че­ния и клас­си­фи­ка­ции т.  н. бо­ре­лев­ских мно­жеств ($B$-мно­жеств). Бо­ре­лев­ские мно­же­ст­ва оп­ре­де­ля­ют­ся как мно­же­ст­ва, ко­то­рые мо­гут быть по­строе­ны, от­прав­ля­ясь от замк­ну­тых мно­жеств, при­ме­не­ни­ем опе­ра­ций объ­е­ди­не­ния и пе­ре­се­че­ния в лю­бых ком­би­на­ци­ях, но ка­ж­дый раз к ко­неч­но­му или к счёт­но­му мно­же­ст­ву мно­жеств. Даль­ней­шее раз­ви­тие де­ск­рип­тив­ной тео­рии мно­жеств осу­ще­ст­в­ля­лось пре­им. рус. и польск. ма­те­ма­ти­ка­ми, осо­бен­но мо­с­ков­ской ма­те­ма­тич. шко­лой, соз­дан­ной Н. Н. Лу­зи­ным (П. С. Алек­сан­д­ров, А. Н. Кол­мо­го­ров, М. А. Лав­рен­ть­ев, П. С. Но­ви­ков, М. Я. Сус­лин). Алек­сан­д­ров до­ка­зал (1916), что вся­кое бес­ко­неч­ное не­счёт­ное бо­ре­лев­ское мно­же­ст­во име­ет мощ­ность кон­ти­нуу­ма. Ап­па­рат это­го до­ка­за­тель­ст­ва был при­менён Сус­ли­ным для по­строе­ния тео­рии т. н. $A$-мно­жеств, ох­ва­ты­ваю­щих как ча­ст­ный слу­чай бо­ре­лев­ские или $B$-мно­же­ст­ва, счи­тав­ши­е­ся до то­го един­ст­вен­ны­ми мно­же­ст­ва­ми, ко­то­рые мо­гут встре­тить­ся в ма­те­ма­тич. ана­ли­зе. Сус­лин по­ка­зал, что мно­же­ст­во, до­пол­ни­тель­ное к $A$-мно­же­ст­ву $M$, яв­ля­ет­ся са­мо $A$-мно­же­ст­вом толь­ко в том слу­чае, ко­гда мно­же­ст­во $M$ – бо­ре­лев­ское (до­пол­не­ние к бо­ре­лев­ско­му мно­же­ст­ву все­гда есть бо­ре­лев­ское мно­же­ст­во). При этом ока­за­лось, что $A$-мно­же­ст­ва сов­па­да­ют с не­пре­рыв­ны­ми об­раз­ами мно­же­ст­ва всех ир­ра­цио­наль­ных чи­сел. Тео­рия $A$-мно­жеств в те­че­ние не­скoль­ких лет ос­та­ва­лась в цен­тре вни­ма­ния де­ск­рип­тив­ной тео­рии мно­жеств до то­го, как Лу­зин при­шёл к об­ще­му оп­ре­де­ле­нию про­ек­тив­ных мно­жеств, ко­то­рые мо­гут быть по­лу­че­ны, от­прав­ля­ясь от мно­же­ст­ва всех ир­ра­цио­наль­ных чи­сел при по­мо­щи по­втор­но­го при­ме­не­ния опе­ра­ций вы­чи­та­ния и не­пре­рыв­но­го ото­бра­же­ния. К тео­рии $A$-мно­жеств и про­ек­тив­ных мно­жеств от­но­сят­ся так­же ра­бо­ты Но­ви­ко­ва и др. Де­ск­рип­тив­ная тео­рия мно­жеств тес­но свя­за­на с ис­сле­до­ва­ния­ми по ос­но­ва­ни­ям ма­те­ма­ти­ки (с во­про­са­ми эф­фек­тив­ной оп­ре­де­ли­мо­сти ма­те­ма­тич. объ­ек­тов и раз­ре­ши­мо­сти ма­те­ма­тич. про­блем).
Роль теории множеств в развитии математики
 Влия­ние М. т. на раз­ви­тие совр. ма­те­ма­ти­ки очень ве­ли­ко. Пре­ж­де все­го М. т. яви­лась фун­да­мен­том ря­да ма­те­ма­тич. дис­ци­п­лин, напр. тео­рии функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го, об­щей то­по­ло­гии, об­щей ал­геб­ры, функ­цио­наль­но­го ана­ли­за. Тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ные ме­то­ды при­ме­ня­ются и в клас­сич. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки. Напр., они ши­ро­ко при­ме­ня­ют­ся в ка­че­ст­вен­ной тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, ва­риа­ци­он­ном ис­чис­ле­нии, тео­рии ве­ро­ят­но­стей. М. т. ока­за­ла глу­бо­кое влия­ние на по­ни­ма­ние са­мо­го пред­ме­та ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти, та­ких её раз­де­лов, как гео­мет­рия. Толь­ко М. т. по­зво­ли­ла от­чёт­ли­во сфор­му­ли­ро­вать по­ня­тие изо­мор­физ­ма сис­тем объ­ек­тов, за­дан­ных вме­сте со свя­зы­ва­ю­щи­ми их от­но­ше­ния­ми, и при­ве­ла к по­ни­ма­нию то­го, что ка­ж­дая ма­те­ма­тич. тео­рия в её чис­той аб­ст­ракт­ной фор­ме изу­ча­ет ту или иную сис­те­му объ­ек­тов лишь с точ­но­стью до изо­мор­физ­ма, т. е. мо­жет быть без вся­ких из­ме­не­ний пе­рене­се­на на лю­бую сис­те­му объ­ек­тов, изо­морф­ную той, для изу­че­ния ко­то­рой тео­рия бы­ла пер­во­на­чаль­но соз­да­на. В во­про­сах обос­но­ва­ния ма­те­ма­ти­ки, т. е. соз­да­ния стро­го­го, ло­ги­че­ски безу­преч­но­го по­строе­ния ма­те­ма­тич. тео­рий, сле­ду­ет иметь в ви­ду, что са­ма М. т. ну­ж­да­ет­ся в обос­но­ва­нии при­ме­няе­мых в ней ме­то­дов рас­су­ж­де­ния. Бо­лее то­го, все ло­гич. труд­но­сти, свя­зан­ные с по­ня­ти­ем бес­ко­неч­но­сти, при пе­ре­хо­де на точ­ку зре­ния об­щей М. т. при­об­ре­та­ют бо́ль­шую от­чёт­ли­вость.
 Равные множества — определение, свойства, различия, примеры
  Равные множества  — это множества в теории множеств, в которых число элементов одинаково и все элементы равны. Это концепция равенства множеств. Прежде чем вдаваться в детали понятия равных множеств, давайте вспомним значение множеств. Набор — это четко определенный набор объектов, таких как буквы, числа, люди, фигуры и т. д. Они обычно обозначаются заглавной буквой и фигурными скобками '{}'.
 Мы изучаем различные типы множеств в теории множеств. В этой статье мы рассмотрим концепцию равных множеств, ее определение и их свойства. Мы также поймем разницу между равными множествами и эквивалентными множествами с помощью примеров для лучшего понимания.
 1.
 Что такое равные множества?
 2.
 Равные множества Определение
 3.
 Свойства равных множеств
 4.
 Разница между равными и эквивалентными наборами
 5.
 Часто задаваемые вопросы о равных наборах
 Что такое равные множества?
 Равные множества определяются как множества, имеющие одинаковую мощность и все равные элементы. Другими словами, два или более множества называются равными множествами, если они состоят из одних и тех же элементов и из одного и того же числа элементов. Например, установите A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {1, 2, 3, 4, 5}. Тогда говорят, что множества A и B равны, так как их элементы одинаковы и имеют одинаковую мощность.
 Теперь два набора называются неравными, если все элементы в двух наборах не одинаковы, а наборы, содержащие одинаковое количество элементов, называются эквивалентными наборами. Например, если А = {1, 2, 3, 4, 5}, С = {2, 4, 6, 7, 9} и D = {2, 5, 6} . Множества A и C имеют одинаковое количество элементов, но все элементы не равны. Следовательно, множества A и C эквивалентны. Теперь множества A и D имеют разную мощность и элементы тоже не равны. Следовательно, множества A и D являются неравными множествами. Равные и эквивалентные множества можно понять по количеству элементов и подобию элементов двух множеств.
 Определение равных множеств
 Если все элементы двух или более наборов равны и количество элементов также равно, то наборы называются равными наборами. Для обозначения равных множеств используется обозначение '=', т. е. если множества A и B равны, то пишется A = B. Мы знаем, что порядок элементов в множествах не имеет значения. Итак, если A = {a, b, c, d} и B = {b, a, d, c}, то множества A и B равны, потому что они имеют одни и те же элементы, а порядок элементов не влияет на результат. равенство множеств.
 Представление равных множеств с помощью диаграммы Венна
 Теперь представим равные множества на диаграмме Венна. Диаграмма Венна, приведенная ниже, показывает два равных множества A и B с одинаковым количеством элементов и равными элементами, т. е. A = {11, 17, 38} = B.
 Свойства равных множеств
 Теперь мы поняли значение равных множеств. Далее мы изучим некоторые из его важных свойств, которые помогают понять и идентифицировать их:
 Порядок элементов не влияет на равенство двух наборов.
 Равные множества имеют одинаковую мощность, то есть имеют одинаковое количество элементов.
 Если два множества являются подмножествами друг друга, то используется обозначение множества: A ⊆ B и B ⊆ A, и эти два множества равны. А = В.
 Равные множества должны иметь все равные элементы.
 Силовое множество равных множеств также имеет одинаковое кардинальное число.
Равные и эквивалентные множества обладают одинаковым свойством равного числа элементов.
 Все равные множества являются эквивалентными множествами, но обратное неверно.
 Разница между равными и эквивалентными множествами
 В приведенной ниже таблице показаны сходства и различия между равными и эквивалентными наборами:
 Равные наборы
 Эквивалентные наборы
 Если все элементы равны в двух или более наборах, то они равны.
 Если количество элементов одинаково в двух или более наборах, то они эквивалентны.
 Равные множества имеют одинаковую мощность
 Эквивалентные наборы имеют одинаковую мощность.
 У них одинаковое количество элементов.
 У них одинаковое количество элементов.
 Символ, используемый для обозначения одинаковых наборов, — «=»
 Для обозначения эквивалентных наборов используется символ ~ или ≡
 Все равные наборы являются эквивалентными наборами.
 Эквивалентные наборы могут быть или не быть равными.
 Элементы должны быть одинаковыми.
 Элементы не обязательно должны быть одинаковыми.
  Важные свойства равных множеств 
 Равные множества эквивалентны, но эквивалентные множества не обязательно должны быть равными.
 Наборы с одинаковыми элементами равны.
 Если два множества являются подмножествами друг друга, то они равны.
  Связанные темы 
 Наборы формул
 Набор операций
 Непересекающиеся наборы
 А штуцер В
 А перекресток В
 Часто задаваемые вопросы о равных наборах
 Что такое равные множества в математике?
 Равные множества — это наборы в математике, в которых количество элементов одинаково и все элементы равны.  Равные множества  определяются как множества, имеющие одинаковую мощность и все равные элементы.
 В чем разница между равными и эквивалентными наборами?
 Разница между равными и эквивалентными множествами заключается только в различии элементов. Если все элементы равны в двух или более наборах, то они равны, но в эквивалентных наборах элементы не обязательно должны быть одинаковыми, но количество элементов должно быть одинаковым.
 Как определить равные множества?
 Для определения равных наборов все элементы наборов должны быть равными, а количество элементов должно быть одинаковым.
 Как доказать, что два множества равны?
 Чтобы доказать равенство двух множеств, мы можем доказать, что они являются подмножествами друг друга. Другой способ показать равные множества, мы можем проверить равенство элементов и их кардинальность.
 Что такое равные и неравные множества?
 Два или более множества называются равными множествами, если они состоят из одних и тех же элементов и одного и того же количества элементов. Если какое-либо из этих условий не выполняется, то множества неравны, т. е. если множества не равны, то . они называются неравными множествами.
 Эквивалентные наборы равны наборам?
 Все эквивалентные наборы не являются равными наборами. Эквивалентные множества равны, только если все элементы множеств равны.
 Какое обозначение множества используется для равных множеств?
 Символ, используемый для представления одинаковых наборов, — '='. Обозначение набора, используемое для представления множества A и множества B, которые равны, равно A = B.
 Равные и эквивалентные множества – определение, объяснение, примеры и часто задаваемые вопросы
 Даже если равные и эквивалентные множества звучат так, как будто нет большой разницы между ними. Это два похожих понятия, да, но между ними есть небольшая разница, которая отличает их обоих.
 Но прежде чем мы разделим на равные и эквивалентные множества, давайте разберемся, что такое кардинальность. Кардинальность — это количество элементов внутри набора. Теперь это важно, потому что это поможет нам понять разницу между равными и эквивалентными множествами.
 Равные и эквивалентные наборы — это термины, используемые для обозначения некоторой связи между двумя наборами. Вы можете думать об этом как о каком-то сравнении. Например, как бы вы сравнили яблоки с апельсинами, но если нет стандарта, по которому мы можем их сравнивать, то установить что-либо будет очень сложно. Если бы мы сравнили их по количеству, то могли бы сказать, что яблок больше, чем апельсинов, или наоборот. Или можно сказать, что яблок и апельсинов одинаковое количество.
 Точно так же, если бы мы сравнивали два набора, мы могли бы использовать количество элементов в качестве стандарта для сравнения.
 Посмотрим, как это делается.
 Определить равные множества
 Чтобы понять значение равного множества, равное множество определяется как два множества, имеющие одинаковые элементы. Два множества A и B могут быть равны только при условии, что каждый элемент множества A является также элементом множества B. Кроме того, если два множества являются подмножествами друг друга, то они называются равными множествами.
  
 Продолжая наш вышеприведенный пример, если бы мы сравнили одну корзину апельсинов с другой корзиной апельсинов, и если количество апельсинов одинаково в обеих корзинах, то говорят, что это пример для равных наборов.
 равные наборы
. Равный набор может быть представлен:
 P = Q
 P ⊂ Q и Q ⊂ P что если обсуждавшееся выше условие не выполняется, то множество считается неравным.
  
 Уточним, если две корзины содержат неравное количество апельсинов или если одна корзина содержит яблоки, а другая содержит такое же количество апельсинов, то такие случаи называются примерами неравных наборов.
  
 Неравные множества представлены как
 P ≠ Q
 Определить эквивалентные множества
 Значение эквивалентных множеств в математике имеет два определения.
  
 Эквивалентные множества Определение 1. Предположим, что два множества A и B имеют одинаковую мощность, тогда существует целевая функция от множества A до B.
  
 Эквивалентные множества Определение 2. Предположим, что два множества A и B считаются эквивалентными только в том случае, если они имеют одинаковую мощность, то есть n(A) = n(B).
  
 Таким образом, чтобы оставаться или быть эквивалентными, множества должны иметь одинаковую мощность.
 Другими словами, если есть корзина с яблоками и корзина с апельсинами, то если они одного и того же числа, мы можем назвать их в качестве примера для эквивалентных наборов.
  
 Это условие означает, что между элементами, принадлежащими обоим наборам, должно быть однозначное соответствие. В этом контексте условие «один к одному» подразумевает, что для каждого элемента в наборе A существует элемент в наборе B, пока и набор A, и набор B не будут исчерпаны.
  
 Таким образом, в общем случае можно утверждать, что два набора остаются эквивалентными друг другу, если только количество элементов в обоих наборах остается равным. Наборы не обязательно должны содержать одни и те же элементы, иначе они остаются подмножествами друг друга.
  
 Примеры равных и эквивалентных множеств
 Пример равных множеств
 Если мы рассматриваем числа для обозначения элементов двух множеств, то мы можем понимать равные и эквивалентные множества следующим образом.
  
 Давайте разберемся с равными множествами на примере:
  
 Если M = {1, 3, 9, 5, −7} и N = {5, −7, 3, 1, 9,}, то можно сказать, что M = N. Следует отметить, что независимо от того, сколько раз элемент повторяется в конкретном наборе, этот элемент учитывается только один раз. Кроме того, следует отметить, что порядок элементов для определенного набора не имеет значения. Таким образом, с точки зрения кардинального числа равные множества могут быть сформулированы следующим образом: 
  
 Если P = Q, то n(P) = n(Q) и для любого x ∈ P также x ∈ Q.
  
 Пример эквивалентного набора
 Если S = ​​{x : x, где x считается положительным целым числом} и T = {d : d, где x считается натуральным числом}, тогда S быть эквивалентным T.
  
 Таким образом, можно утверждать, что эквивалентное множество — это просто множество с равным числом элементов. Однако наборы не обязательно должны иметь одни и те же элементы, но должны состоять из одинакового количества элементов.
  
 Разберем эквивалентные множества на примерах
 Если A = {1,−7,200011000,55} и B = {1,2,3,4}, то A эквивалентно B.
 Если Набор G: {Свитер, Рукавицы, Шарф, Куртка} и Набор H: {Яблоки, Бананы, Персики, Виноград}, можно заметить, что и Набор G, и Набор H содержат словесные элементы в разных категориях и имеют одинаковые номера элементов, то есть четыре.
 Теперь нам ясно, что такое равные и эквивалентные множества. Теперь давайте расширим наши знания, чтобы учесть несколько интересных фактов об отношениях между равными и эквивалентными множествами. Они упоминаются как важные указатели ниже.
  
 Важные моменты, которые следует помнить об эквивалентных множествах
 Все нулевые множества считаются эквивалентными друг другу.
 Не все бесконечные множества остаются эквивалентными друг другу. Например, эквивалентный набор всех действительных чисел и эквивалентный набор целых чисел.
 Если утверждается, что P и Q являются двумя множествами такими, что P равно Q, то есть (P = Q). Этот пример означает, что два равных множества всегда будут оставаться эквивалентными, но обратное эквивалентному множеству может оставаться верным, а может и не быть.
 Равный набор может быть эквивалентным набором, но эквивалентный набор не обязательно должен быть равным набором.
 Равенство множеств — определение и примеры
 Множества — одно из самых фундаментальных понятий в математике. Мы уже обсуждали базовую классификацию наборов на предыдущих уроках. Теперь давайте рассмотрим одну из самых важных операций над множествами —  Set Equality. 
 В этой статье объясняется концепция равенства множеств, чтобы помочь вам лучше понять их.
   Два множества называются равными, если они содержат одни и те же элементы и имеют одинаковую мощность.     Эта концепция известна как равенство множеств.  
 В этой статье мы рассмотрим следующие темы:
 Что такое установленное равенство?
 Как показать, что два набора равны?
 Свойства равных множеств.
 Примеры
 Практические задачи
  
 Что такое равенство множеств? 
 Когда юные энтузиасты математики впервые погружаются в изучение множеств, они часто спрашивают: «Что такое равенство множеств?» Итак, давайте разберемся с этим вопросом.
   Набор     Равенство — это термин, который используется для обозначения равенства двух наборов. Любые два множества, конечные или бесконечные, равны, если они содержат одни и те же элементы.  
 Рассмотрим два множества, A и B. Эти два множества равны только тогда и только тогда, когда каждый элемент множества A также существует в множестве B. Порядок элементов двух множеств не имеет значения, пока элементы одинаковый. Давайте рассмотрим следующие два набора, A и B, чтобы понять это утверждение.
 A = {1, 2, 3, 4}
 B = {2, 4, 1, 3}
 Наблюдая за двумя множествами A и B, становится очевидным, что хотя два множества A и B различны , они содержат одни и те же элементы.
 Еще один фактор, который следует учитывать при анализе равенства множеств, заключается в том, что два равных множества также имеют одинаковый размер множества, т. е. одинаковую мощность. Следовательно, пока два множества имеют одинаковые элементы и одинаковую мощность, они будут классифицироваться как равные множества.
 Давайте решим пример, чтобы понять эту концепцию.
   Пример 1  
 Определите, какие из следующих множеств являются равными множествами:
 (i) A = {55, 32, 77, 1} и B = {1, 32, 55, 77}
 (ii) X = {x : x — простое число и 2
 (iii) S = {2, 4, 6, 8} и T = { 2, 4, 6}
 Решение
 (i) Чтобы определить равенство множества, мы должны рассмотреть две вещи; установить элементы и установить кардинальность. Мощность множеств A и B:
 |A| = 4
 А,
 |Б| = 4
 Итак,
 |А| = |В|
 Оба множества A и B состоят из одних и тех же элементов: 1, 32, 55 и 7.
 Следовательно, множества A и B равны.
 (ii) Чтобы определить равенство множеств, давайте сначала упростим множество X.
 X = {x : x — простое число и 2
 Итак,
 X = {3, 5, 7}
 Теперь найдем кардинальность.
 |Х| = 3
 А,
 |Y| = 3
 Итак,
 |Х| = |Y|
 Кроме того, оба набора содержат одни и те же элементы: 3, 5 и 7.
 Следовательно, множества X и Y равны.
 (iii) Чтобы определить равенство множеств, давайте сначала рассчитаем кардинальность.
 |С| = 4
 А,
 |Т| = 3
 Как
 |S| ≠ |Т|
 Таким образом, два множества, S и T, не равны.
 Представление равных множеств с помощью диаграммы Венна 
 В предыдущих уроках мы обсуждали важность диаграмм Венна и способы их использования для изображения различных операций. Равные множества также можно представить с помощью диаграммы Венна, а их отношение можно изобразить с помощью операции пересечения.
 Для этого рассмотрим два множества, A и B. Пусть множество A = {2, 6, 8} и множество B = {6, 8, 2}. Их представление через диаграмму Венна выглядит следующим образом:
 Поскольку эти множества равны, то их пересечение будет следующим:
 A ∩ B = {2, 6, 8}
 Следовательно, = A = B
 Что показывает, что множества A и B равны.
 Как показать, что два множества равны? 
 Предположим, у вас есть коллекция данных, включающая несколько наборов. Мы уже рассмотрели, как вы собираетесь классифицировать эти наборы. Но что, если некоторые наборы идентичны? Как вы будете идентифицировать эти идентичные или равные наборы? Чтобы ответить на эти вопросы, нам нужно понять, как определить, что два множества равны.
 Чтобы показать, что два множества равны, оба множества должны быть подмножествами друг друга. Подмножество — это дочерний набор, содержащий все или некоторые элементы родительского набора. Символ ⊆ используется для обозначения подмножества.
 Ранее мы упоминали, что они должны быть подмножеством друг друга, чтобы два множества были равны.
 Математически это можно выразить следующим образом:
 Если A ⊆ B
 И B ⊆ A
 Тогда
 A = B
 Если это условие подмножеств не выполняется, то два множества не равны множествам .
 Давайте решим следующие примеры, чтобы понять эту идентификацию.
   Пример 2  
 Пусть множество A = {3, 6, 9, 12} и множество B = {9, 12, 6, 3}. Оцените, равны ли два набора или нет.
 Решение
 Чтобы оценить, равны ли множества, мы применим изложенную выше концепцию подмножеств.
 Элементы A — 3, 6, 9 и 12.
 Элементы B — 9, 12, 6 и 3.
 Ясно, что
 A ⊆ B
 А также
 B ⊆ A
 Следовательно,
 A = B
 Следовательно, два множества A и B равны.
   Пример 3  
 Пусть X = {x : x — четное число и 4
 Решение
 Чтобы определить равенство множеств, мы сначала упростим эти множества.
 Набор А можно переписать как:
 A = {6, 8}
 Набор B можно переписать как:
 B = {6, 8}
 Теперь применим концепцию подмножеств.
 Элементы A 6 и 8.
 Элементы B также 6 и 8.
 Ясно, что
 A ⊆ B
 А также,
 B ⊆ A
 Отсюда, = B
 Следовательно, два множества A и B равны.
 Теперь мы решим несколько примеров, объединяющих понятия подмножеств и кардинальности, чтобы определить равенство множеств.
   Пример 4  
 Если установить A = {1, 3, 5, 7, 9} и установить B = {x : x нечетное число и 1≤x<11}, то определить, являются ли два множества равны.
 Решение
 Чтобы определить равенство множеств, мы сначала упростим множества.
 Множество B можно переписать как:
 B = {1, 3, 5, 7, 9}
 Теперь оценим их мощность.
 |А| = 5
 А,
 |В| = 5
 Итак,
 |А| = |В|
 Это доказывает, что два набора равны.
 Теперь оценим равенство множеств через подмножества.
 Элементами множества А являются 1, 3, 5, 7 и 9.
 Элементами множества В являются 1, 3, 5, 7 и 9.
 As
 A ⊆ B
 ,
 B ⊆ A
 Следовательно,
 A = B
 Следовательно, два множества A и B равны.
 Чтобы еще больше укрепить понимание и концепцию множественного равенства, рассмотрите следующие практические задачи.
 Практическая задача 
 Определите, равны ли следующие множества:
         (i) A = {10, 20, 30} и B = {20, 10}
   ii, X = {1) (2) 133, 144} и B = {144, 122, 133}
 Если A = {x : x — нечетное число и 3
 Если X = {30, 45, 78, 12} и B = {45, 12, 78, 30}, определите, равны ли наборы, оценив подмножества.
 Ответы 
 (i) Не равно (ii) Равно
 Не равно
 Равно
 Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок 
 2.2: Сравнение множеств — Математика LibreTexts
 Последнее обновление
 Сохранить как PDF
 Идентификатор страницы
 52923
 Дэвид Липпман
 Колледж Пирса через OpenTextBookStore
 Равные и эквивалентные
 Два множества A и B  равны , если они состоят из одних и тех же элементов. Мы пишем A = B.
 Два множества A и B  эквивалентны , если \(n(A)\)= \(n(B)\). Другими словами, два множества эквивалентны, если они имеют одинаковое количество элементов.
 Пример 1
 Определите, являются ли следующие пары наборов равными, эквивалентными или и тем, и другим
 {1, 3, 5, 7, 9} и {7, 5, 1, 3, 9}
 \(\emptyset\) и {x : x живой человек, родившийся до 1600}
 {Facebook, Instagram, Tik Tok, Snapchat} и {бейсбол, хоккей, футбол, баскетбол}
  Решение 
 Эти два набора равны, потому что они содержат одни и те же элементы. Неважно, что они переставлены. Они также эквивалентны, потому что оба имеют 5 элементов.
 Эти два набора равны, потому что не существует людей, родившихся до 1600 года. Они также эквивалентны, потому что оба содержат 0 элементов.
 Эти два набора не равны, потому что один набор предназначен для социальных сетей, а другой — для спорта. Однако они эквивалентны, потому что оба имеют 4 элемента.
 Иногда коллекция может содержать не все элементы набора. Например, у Криса есть три альбома Мадонны. Хотя коллекция Криса представляет собой набор, мы также можем сказать, что это  подмножество  из большего набора всех альбомов Мадонны.
 Подмножество
  Подмножество  множества \(A\) — это другое множество, которое содержит только элементы из множества \(A\), но может не содержать все элементы \(A\).
 Если \(B\) является подмножеством \(A,\), мы пишем \(B \subseteq A\)
 Правильное подмножество   - это подмножество, которое не идентично исходному набору - оно содержит меньше элементы.
 Если \(B\) является правильным подмножеством \(A\), мы пишем \(B \subset A\)
 Пример 2
 Рассмотрим эти три набора
 \(A=\) множество всех четных чисел\(\quad B=\{2,4,6\} \quad C=\{2,3,4, 6\}\)
 Здесь \(B \подмножество A\), так как каждый элемент \(B\) также является четным числом, поэтому является элементом \(A\).
 Более формально мы могли бы сказать \(B \subset A\), поскольку если \(x \in B,\), то \(x \in A\)
 Также верно, что \(B \subset C\ ).
 \(C\) не является подмножеством \(A\), поскольку \(C\) содержит элемент 3 , который не содержится в \(A\)
 Пример 3
 Предположим, набор содержит пьесы «Много шума из ничего», «Макбет» и «Сон в летнюю ночь». Подмножеством какого большого множества может быть это?
  Решение 
 Здесь может быть много возможных ответов. Одним из них будет набор пьес Шекспира. Это также подмножество всех когда-либо написанных пьес. Это также подмножество всей британской литературы.
 Попробуйте сейчас 1
 Набор \(A=\{1,3,5\} .\) Подмножеством какого большого набора может быть этот набор?
  Ответить 
 Есть несколько ответов: Множество всех нечетных чисел меньше 10. Множество всех нечетных чисел. Множество всех целых чисел. Множество всех действительных чисел.
 Один из способов получить интуитивное представление о подмножествах — попытаться перечислить все различные подмножества определенного множества. Давайте рассмотрим несколько примеров малых множеств и определим все их подмножества.
 Пример 4
 Перечислите все подмножества для следующих наборов:
 а. Пустой набор \(\emptyset\)
 b. {а}
 в. {м, п}
 д. {x, y, z}
  Решение 
 а. Поскольку в пустом множестве нет элементов, единственным подмножеством пустого множества \(\emptyset\) является само пустое множество.
 б. Множество {a} имеет два подмножества: само множество {a}, а также пустое множество \(\emptyset\)
 c. Множество {m, n} имеет четыре подмножества: пустое множество \(\emptyset\), {m}, {n} и {m, n}
 d. Множество {x, y, z} имеет восемь подмножеств: пустое множество \(\emptyset\), {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, г} и {х, у, г}
 Здесь есть несколько вещей, на которые стоит обратить внимание. Во-первых, обратите внимание, что каждое множество имеет себя как подмножество. Кроме того, пустое множество является подмножеством любого возможного множества. Наконец, вы видели, что произошло, когда наборы увеличились в размерах? Для каждого нового элемента набора — 0, 1, 2, 3 — количество подмножеств удваивается — 1, 2, 4, 8. Эта закономерность сохраняется для наборов любого размера, поэтому мы можем придумать формулу для предсказания количество подмножеств для данного множества.
 Определение: количество подмножеств набора
 Набор из  тыс.  элементов имеет  2  тыс.   различных подмножеств.
 Эта страница под заголовком 2.2: Сравнение наборов распространяется по лицензии CC BY-SA, ее автор, ремикширование и/или куратор — Дэвид Липпман (The OpenTextBookStore) .
 Наверх
 Была ли эта статья полезной?
 Тип изделия
 Раздел или страница
 Автор
 Дэвид Липпман
 Лицензия
 CC BY-SA
 Показать страницу Содержание
 нет
 Теги
 дополнение
 перекресток
 источник[1]-math-34256
 источник[2]-math-34256
 соединение
 универсальный набор
 Знать определение, символ, диаграмму Венна, примеры здесь
 Равные множества в теории множеств — это те, в которых количество элементов/чисел/символов одинаково. Здесь набор представляет собой хорошо описанную группу объектов (букв, чисел, людей, форм и т. д.) и обычно обозначается заглавной буквой с элементами, помещенными в фигурные скобки «{}». Элементы, записанные в наборе, могут быть в любой форме, но не могут повторяться. Все элементы множества в математике выражаются строчными буквами в случае алфавитов. В этой статье мы постараемся узнать о равных множествах с помощью определения, символа, кардинальности, диаграммы Венна, за которыми следуют свойства, сравнение с эквивалентными множествами и решенные примеры для того же, чтобы понять концепции.
 Равные наборы
 Что такое равный набор; рассмотрим, есть ли у нас два набора, скажем, X и Y. Наборы X и Y называются равными, если количество их элементов равно плюс соответствующие элементы также одинаковы. Элементами могут быть любые цифры, изображения, алфавиты, символы и т. д.
 Например, если P = {a, e, i, u} и Q = {a, e, i, u}, тогда P и Q являются равными множествами, так как они имеют одинаковое количество элементов, а также элементы равны.
 Символ равных множеств
 Согласно определению, которое мы прочитали выше, два множества P и Q объявляются равными, если они содержат одни и те же элементы. Это означает, что каждый элемент P является элементом Q и каждый элемент Q является элементом P. Другими словами, можно считать, что если множества P и Q равны, то в терминах математической записи пишется P = Q. В данном конкретном типе множества порядок элементов не имеет значения.
 Мощность равных множеств
 Различные типы множеств в теории множеств: пустое множество, конечное множество, одноэлементное множество, равное, непересекающееся множество, эквивалентное множество, подмножества, степенное множество, универсальное множество, надмножество, бесконечное множество и т. д. Среди этих множеств мы обсуждаем, в частности, равное.
 Количество различных элементов, присутствующих в данном наборе (скажем, X), называется количественным числом набора и обозначается n(X).
 Если X = набор букв в слове TESTBOOK.
 То есть X = {T, E, S, T, B, O, O, K}
 Следовательно, мощность множества равна n(X) = 8.
 С точки зрения мощности множества изображаются равными, если они имеют одинаковую мощность плюс все элементы равны. То есть, если у нас есть два множества, такие как X и Y, и мощность множества X равна n (X) = a, где «a» обозначает количество элементов множества. Тогда множества называются равными, если:
 n(X) = n(Y) и a∈X, a∈Y также,
 Тогда
 X = Y
 Диаграмма Венна равных множеств
 Большинство отношений между множествами, отношениями и функциями можно интерпретировать с помощью диаграмм, известных как диаграммы Венна. Диаграммы Венна включают прямоугольники и замкнутые изогнутые окружности. Форма прямоугольника — это универсальное множество, а его подмножества — замкнутые круги. Диаграмма Венна, иллюстрирующая равные множества, показана ниже:
 Диаграмма Венна, показанная выше, включает два равных множества P и Q, поскольку имеется одинаковое количество компонентов с одинаковыми элементами, т. е. P = {2, 7, r} = Q.
 Свойства равных множеств
 В предыдущих заголовках мы читали об определении, символе и мощности вместе с диаграммой Венна. Двигаясь вперед, давайте проверим важные свойства, относящиеся к одному и тому же:
 Равные типы множеств имеют одинаковую мощность, то есть количество элементов в множествах одинаково.
 Существует еще один подход к определению равенства множеств, поскольку равные множества работают на концепции равенства множеств. Например: если мы говорим P = Q, то;
 P ⊆ Q и Q ⊆ P ⟺ P = Q
 Если вышеуказанное условие не выполняется, то множества объявляются неравными и обозначаются символом: P ≠Q
 Отсюда следует, что если два множества подмножества друг друга, то эти два множества равны.
 При проверке равенства множеств порядок элементов не влияет на равенство множеств.
 Одинаковые наборы должны содержать все одинаковые компоненты.
 Равные множества против эквивалентных множеств
 В фундаментальной теории множеств мы можем рассматривать два множества как эквивалентные, равные или неравные друг другу. Хорошо знакомый с определением, обозначениями и диаграммой Венна для равенства множеств, давайте перейдем к сравнению между равными и эквивалентными множествами.
  Равные наборы 
  Равные наборы 
 Условие: Все компоненты в заданных множествах равны.
 Условие: Количество компонентов в данных наборах одинаковое.
 Мощность: мощности множеств равны.
 Мощность: заданные множества имеют одинаковую мощность.
 Количество элементов: идентичные
 Количество элементов: идентичные
 Символ: символ, используемый для обозначения равных множеств, '='
 Символ: символ, используемый для обозначения эквивалентных множеств, ~ или ≡
 Пример: X = {1, 13, -9, 23, 7} и Y = {23, 7, 13, 1, -9}, тогда X = Y
 Пример: Если P = {1, −21, 2110, 75} и Q = {2, 4, 6, 8}, то P эквивалентно Q.
 Элементы: элементы должны быть идентичными для равенства множеств.
 Элементы: элементы не обязательно должны быть одинаковыми для эквивалентных наборов.
 Равные множества — это своего рода эквивалентные множества.
 Эквивалентные наборы могут быть или не быть равными по своей природе.
 Узнайте больше о пересечении множеств здесь.
 Решенные примеры на равных множествах
 Давайте перейдем к некоторому примеру с равными множествами, чтобы понять концепции, которые мы прочитали в предыдущих разделах.
  Решено Пример 1:  Даны три множества; U = {2, 3, 5, 7, 11}, V = {3, 5, 2, 7, 11} и S = ​​{2, 11, 19, 22, 51}. Проверьте, равны ли заданные множества или нет.
  Решение:  Даны U = {2, 3, 5, 7, 11}, V = {3, 5, 2, 7, 11} и S = ​​{2, 11, 19, 22, 51}.
 Рассмотрим множество U = {2, 3, 5, 7, 11} и V = {3, 5, 2, 7, 11}
 Два множества имеют одинаковое количество элементов, и все они равны. Следовательно, множества равны.
 Теперь проверим U = {2, 3, 5, 7, 11}, V = {3, 5, 2, 7, 11} и S = ​​{2, 11, 19, 22, 51}
 Для трех наборов количество элементов одинаково, отсюда следуют следующие выводы:
 U =V
 U, V и S эквивалентны множествам согласно условию.
 Прочтите эту статью о дополнении набора.
  Решено Пример 2:  Представленные наборы равны или эквивалентны: Y={a,e,3} Z={Янвь,Февраль,Март}
  Решение: Дано  Y={a,e,3 } и Z={Янвь,Февраль,Март}
 Наборы эквивалентны, так как количество элементов одинаково, но не идентично.
  Решенный Пример 3:  Данные множества B = {p, q, a, d} и C = {a, d, c, 9} неравнодоказательны.
  Решение:  Множество B = {p, q, a, d} и C = {a, d, c, 9} не равны, так как элементы не равны, несмотря на то, что количество элементов одинаково.
  Решенный пример 4: Если aN = {ax : x∈N}, то 2N ∩ 5N равно 
   Понятие:  
  Наибольшее пересечение множеств, которое является пересечением двух заданных множеств:  содержит все элементы, общие для обоих наборов.
 Пересечение двух множеств A и B, обозначенное A ∩ B
   Вычисление:  
 Дано:
 aN = {ax : x∈N}
2 получить
 ⇒ 2N = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20….}
 ⇒ 5N = {5, 10, 15, 20, 25….}
 Отсюда 2N ∩ 5N = {10, 20 ….}
 ∴ 2N ∩ 5N = 10N
  Решенный пример 5: Если A = {x | x  2  – 2x – 3 = 0} и B = {y | у  2  – 4у – 5 = 0}. Тогда найдите A ∪ (A ∩ B)? 
   Понятие:  
 Для любых двух множеств A и B имеем
 а) A ∪ B = {x | x ∈ A или B}
 б) A ∩ B = {y | y ∈ A и B}
   Расчет:  
 Здесь A = {x | x  2  – 2x – 3 = 0}, что может быть представлено в форме реестра как: A = {-1, 3}.
 Аналогично, B = {y | y  2  – 4y – 5 = 0} может быть представлено в списке как: B = {-1, 5}.
 Пусть C = (A ∩ B) = {-1}.
 ⇒ A ∪ C = {-1, 3}
  Решено Пример 6. Если A, B и C являются подмножествами универсального множества, то какое из следующих утверждений неверно? Где A’ — дополнение A. 
   Концепция:  
 Если A, B и C являются подмножествами набора X. Затем
  Коммутативное свойство:  A ⋃ B = B ⋃ A
  Ассоциативное свойство:  (A ⋃ B B ⋃
 . ) ∪ C = A ⋃ (B ⋃ C)
  Распределительное свойство:  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) или A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B ) ⋃ (A ⋂ C)
  Некоторые другие свойства 
 I. A ∪ A = A, и A ∩ A = A
 II. А ∩ (А ∪ В) = А, А ∪ (А ∩ В) = А
 III. (А ∩ В) ∪ С = (А ∩ С) ∪ (В ∩ С)
 IV. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
 V. (A ⋃ B)' = A' ⋂ B' и (A ⋂ B)' = A' ⋃ B'
 VI. (A’)’ = A
   Расчет:  
 2. Л.В.С = А' ∪ (А ∪ В) = А ∪ В B') ⋃ A' = (A ∪ B) ⋃ A' = A ∪ B
 Итак, вариант 2 правильный.
 3. Л.В.С = A' ∪ (B ∪ C)
 П.Г.С = (C' ∩ B)' ∩ A' = ((C')' ⋃ B) ⋂ A' = (C ⋂ B) ⋂ A' 
 L.H.S ≠ R.H.S
 Таким образом, вариант 3 неверен.
  Решено Пример 7: Если A = {x : 0 ≤ x ≤ 2} и B = {y; y — простое число}, то чему равно A ∩ B? 
 Понятие:
 Простые числа = Число, которое делится только на  само на себя и на 1 {г; у — простое число}
 A = (0, 1, 2) и B = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …..)
 Итак, исходя из вышеизложенного, общее число между  A и B равно 2. 
 ⇒ A ∩ B = {2}
  Решено Пример 8. Если A, B и C являются подмножествами заданного множества, то какое из следующих соотношений  не является  правильным? 
   Понятие:  
 Если A, B и C являются подмножествами множества X. Тогда
 I. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
 II. A ∪ A = A, A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A и A ∩ A = A
 III. (А ∩ В) ∪ С = (А ∩ С) ∪ (В ∩ С)
 IV. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
   Расчет:  
 ⇒ A ∪ (A ∩ B) = (A ∪ A) ∩ (A ∪ B) = A ∩ (A ∪ B) = A       — (Используя свойство I и II)
 Итак, вариант 1 неверен.
 ⇒ A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) = A ∪ (A ∩ B) = A       — (Используя свойства I и II)
 Итак, вариант 2 верен.
 ⇒ (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)       — (Используя свойство III)
 Итак, вариант 3 верен.
 ⇒ (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)       — (Используя свойство IV)
 Итак, вариант 4 верен.
  Решено Пример 9:  Какое из следующих утверждений верно для любых двух множеств A и B?
 I. \({\left( {A \cup B} \right)’} = A’ \cap B’\)
 II. \({\left( {A \cap B} \right)’} = A’ \cup B’\)
 III. \(\left( {A – B} \right) = A \cap B’\)
  Понятие: 
 1. Закон Де-Моргана:
 Для любых двух множеств A и B имеем \({\left( {A \cup B} \right)'} = A' \cap B '\) и \({\left( {A \cap B} \right)'} = A' \cup B'\)
 2. A – B = {c | c ∈ A и c ∉ B} = A ∩ B'
  Решенный пример 10. Если A ∩ B = A, то найти значение A ∪ B. 
  Понятие: 
 Объединение множеств:
 Объединение двух заданных множеств – это множество, содержащее те элементы, которые находятся либо в A, либо в B, либо в обоих.
 Объединение множеств A и B, обозначаемое A U B
 Пересечение множеств:
 Пересечение двух заданных множеств — это наибольшее множество, содержащее все элементы, общие для обоих множеств.
 Пересечение множеств A и B, обозначенное A ∩ B
 Формула: A ∪ B = A + B – A ∩ B
  Расчет: 
 Дано: A ∩ B = A
5 Найти
5 A ∪ B
 Как мы знаем,
 A ∪ B = A + B – A ∩ B
 ⇒ A ∪ B = A + B – A
  ∴ A ∪ B = B 
 Мы надеемся, что приведенная выше статья поможет вам понять и подготовиться к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.
 Часто задаваемые вопросы о равном наборе
  В.1 Как мы определяем равный набор? 
  Ответ 1  Два заданных набора считаются равными тогда и только тогда, когда все компоненты, присутствующие в обоих наборах, абсолютно одинаковы.
  Q.2 Что такое эквивалентный набор? 
  Ответ 2  Два множества считаются эквивалентными, если в них одинаковое количество элементов.
  В.3. Каковы основные различия между равными и эквивалентными наборами? 
  Ответ 3  Основное различие между равными и эквивалентными множествами заключается в том, что элементы в равных типах множеств идентичны, тогда как элементы не обязательно должны быть одинаковыми для эквивалентных множеств.
  Q.4 Какое обозначение множества используется для равных множеств? 
  Ответ 4  Для обозначения равенства множеств используется символ «=».
  В.5 Что такое пример равного множества? 
  Ответ 5  Пример равенства множеств: P={a,e,3}, Q={a,e,3} Тогда P=Q согласно условиям равенства множеств.
  Q.6 Как доказать, что два набора равны? 
  Ответ 6  Два заданных множества могут быть равны тогда и только тогда, когда каждый элемент одного множества является также элементом второго множества. В дополнение к этому, если два множества являются подмножествами друг друга, они считаются равными.
 Скачать публикацию в формате PDF
 Еще на testbook.com
 Непересекающийся набор: Знайте определение, символы, шаги для идентификации здесь, используя диаграммы Венна и примеры!
 Установить разницу: узнать определение, свойства, связь, разницу на примерах
 Многоугольники: определение, классификация, формулы с изображениями и примерами
 Четырехугольник: значение, классификация, формулы и примеры решения
 Производные правила и правила дифференцирования с доказательством и формулой
 Задать уроки равенства
 Форма поиска
 Поиск
 Задача 1. Миссис Глоссер попросила свой класс написать набор основных цветов, используя запись реестра. Она получила два разных ответа от двух разных студентов, как показано ниже. Кто из учащихся использовал правильную запись?
   Студент  
   Обозначение  
 Эдуардо
  X   = {красный, желтый, синий}
 Энджи
  Y   = {синий, красный, желтый}
 Решение: Оба учащегося использовали правильные обозначения.
 Наборы из задачи 1:  равны  , и мы пишем   X   =   Y.   Знак равенства (=) используется для демонстрации равенства. Давайте рассмотрим еще несколько примеров равенства множеств.
 Пример 1. Наборы  A  и  B  равны?
 Решение:
  А   = {1, 3, 5, 7}
  В   = {3, 7, 1, 5}
 Внимательно изучите эти наборы, чтобы убедиться, что они   равны.
 Ответ:  A  =  B 
 Поскольку  A  и  B  содержат одинаковое количество элементов, и элементы в обоих одинаковы, мы говорим, что  A   равно  B  , и мы пишем  A   =  B  . Порядок, в котором элементы появляются в наборе, не важен.
 Пример 2. Наборы  X  и  Y  равны?
 Решение:
  X   = {а, е, я, о, и}
  Y   = {и, о, я, е, а}
 Внимательно изучите эти наборы, чтобы убедиться, что они   равны .
 Ответ:  X  =  Y 
 Поскольку  X  и  Y  содержат одинаковое количество элементов, мы пишем  X   = . Помните, что порядок, в котором элементы появляются в наборе, не важен.
 Пример 3. Наборы  P  и  Q  равны?
 Решение:
  P   = {яблоки, апельсины, бананы, груши}
  Q   = {апельсины, груши, яблоки}
 Внимательно изучите эти наборы, чтобы убедиться, что они  не равны .
 Ответ:  P  ≠  Q 
 С  P  и  Q  не содержат точно тех же элементов, мы говорим, что  P  не равны  Q,  и WE wy 88. 888888888 годы 8.  Q  .
 Пример 4: пусть  R  — множество всех целых чисел меньше 5, и пусть  S   = {4, 2, 0, 3, 1}. Наборы  R  и  S  одинаковы?
 Решение:
  R   = {целые числа < 5}
  S   = {4, 2, 0, 3, 1}
 Внимательно изучите эти наборы, чтобы убедиться, что они   равны.
 Ответ:   R   =   S 
 Пример 5. Какие из следующих наборов равны?
  C   = {1, 2, 3}
  D   = {а, д, я, о, у}
  E   = {2, 4, 6, 8, 10}
  F   = {Джон, Джейн, Джо}
  G   = {2, 3, 1}
  H   = {о, е, а, у, и}
  J   = {2, 4, 6, 8}
  K   = {Джейн, Джо, Джон}
 Ответ:  C  =  G  и  F = K 
 В примере 5, эти наборы не равны:  D  ≠  H  и E h. не равный?
  Резюме:  Два набора равны, если они имеют одинаковое количество элементов и их элементы одинаковы. Порядок, в котором элементы появляются в наборе, не важен.
 Упражнения 
 Указания: Прочтите каждый вопрос ниже. Выберите свой ответ, нажав на его кнопку. Обратная связь по вашему ответу представлена ​​в ОКНО РЕЗУЛЬТАТЫ. Если вы допустили ошибку, обдумайте свой ответ еще раз, а затем выберите другую кнопку.
  1. 
  Какой из следующих наборов равен набору P? 
   P = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница}  
  
  
  W   = {Четверг, Пятница, Суббота, Воскресенье, Понедельник} 
    X   = {Вторник, Среда, Четверг, Пятница, Суббота} 
    Y   = {Четверг, Пятница, Понедельник, Вторник, Среда} 
  Все над.
 ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: 
  
  2. 
  Какой из следующих наборов не равен набору H? 
   H = {5, 2, 1, 4, 3, 6}  
  
  
  M   = {3, 2, 1, 4, 5, 6} 
    Q   = {4, 1, 6, 2, 7, 3} 
    D   = {1, 2, 6, 4, 5 , 3} 
  Ничего из вышеперечисленного.
 ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: 
  
  3. 
  Пусть M = {0, 2, 4, 6, 8, 10} и N = {четные числа < 10}. Какие из следующих утверждений является верным?  
  
  
  M  — бесконечное множество. 
    M   =  N  
    M   ≠  N  
  Все вышеперечисленное.
 ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: 
  
В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=9. ..
сокращенное ионное уравнение реакции Ba(2+) + SO4(2-) = BaSO4 соответствует взаимодействию
Карандаш совмещенс главной оптической осью тонкой собирающей линзы ,его длина равна фокусному расстоянию линзы f=12см середина карандаша находиться на расстоянии 2f от линзы.расчитайте длину
Решено
Какие свойства фенола лежат в основе его применения
Камертон, прикрепленный к резонансному ящику,…
 Пользуйтесь нашим приложением
  4.
Пивоварня бизнес план: Бизнес-план крафтовой (ремесленной) пивоварни
alexxlab / 23.05.197023.07.2021 /  Разное 
Бизнес-план открытия мини-пивоварни
 Концепция проекта:
Пиво продолжает оставаться одним из самых любимых напитков украинцев, однако, культура его употребления в последнее время изменяется. Если раньше большинство наших соотечественников не придавали особого значения вкусовым качествам пенного, то с появлением на рынке маленьких пивоварен, изготавливающих напитки по эксклюзивным рецептам, все больше покупателей отказываются в их пользу от массового продукта крупных пивзаводов. Сегодня для многих пиво – это не просто средство для утоления жажды или снятия похмельного синдрома, но и атрибут хорошего времяпрепровождения в уютной обстановке и в хорошей компании.
Удовлетворить запрос значительной части общества на качественное пиво можно путем реализации бизнес-плана открытия мини-пивоварни, разработанного аналитиками компании Pro Capital Investment. Данный проект как нельзя лучше подходит начинающим предпринимателям, поскольку не требует значительных материальных и человеческих ресурсов для организации небольшого производства и фирменного магазина при нем. 
Свежесваренный хмельной напиток, приготовленный по баварскому рецепту, обречен на популярность у пивных гурманов, проживающих в районе размещения мини-пивоварни, а также их гостей. Поэтому, в случае четкого выполнения всех пунктов бизнес-плана, инвестор быстро станет владельцем стабильно работающего и приносящего прибыль предприятия с постоянными и очень лояльными покупателями.
 
 Содержание:
1. Резюме проекта
2. Описание проекта
3. Характеристика целевого рынка
3.1 Общие тенденции рынка пива в Украине
3.2 Конкуренция на украинском пивном рынке
4. Производственный план 
4.1 Месторасположение объекта реализации проекта
4.2. Описание производственного процесса и продукции по проекту
4.3 Характеристика продукции 
5. Организационный план
5.1. Сеточный график реализации проекта
5.2. Необходимый персонал и кадровая политика по проекту.
6. Маркетинговый план
7. Инвестиционный план
7.1. Общая стоимость проекта. Источники финансирования
7.2. Необходимое оборудование для реализации проекта
8. Финансовый план проекта
8.1. Основные параметры деятельности
8.2. Исходные данные для расчетов и их аргументация
8.3. Прогноз продаж по проекту
8.4. Формирование прибыли по проекту
8.5. Отчет о движении денежных средств
9. Анализ эффективности проекта
9.1. Анализ прибыльности проекта
9.2. Показатели инвестиционной привлекательности проекта: NPV, IRR, PI, DPP
10. Анализ рисков
10.1. Факторный анализ рисков проекта
10.2. Стратегия снижения рисков
10.3. SWOT-анализ
11. Выводы
 Перечень таблиц:
Таблица 1. Наибольшие мини-пивоварни в г. Киев и в г. Бровары
Таблица 2. Структура производства пива по проекту 
Таблица 3. График вложения средств по проекту
Таблица 4. Штатное расписание по проекту
Таблица 5. Направления инвестирования
Таблица 6. Производственное оборудование по проекту
Таблица 7. Оборудование пивного магазина по проекту
Таблица 8. Общие параметры по проекту
Таблица 9. Параметры работы заведения
Таблица 10. Налогообложение по проекту 
Таблица 11. Затраты сырья на производство 1 л пива
Таблица 12. Прочие затраты
Таблица 13. Расчет амортизационных отчислений по проекту
Таблица 14. План продаж по проекту
Таблица 15. Отчет о прибылях и убытках
Таблица 16. График поступления средств по проекту
Таблица 17. Операционные затраты по проекту
Таблица 18. Суммарная величина инвестиционных затрат по CAPEX
Таблица 19. Отчет о движении денежных средств
Таблица 20. Формирование прибыли по проекту
Таблица 21. Прибыльность проекта
Таблица 22. Инвестиционные показатели эффективности
Таблица 23. Характеристика компонентов риска
Таблица 24. Основные виды рисков по проекту
Таблица 25. Оценка уровня риска
Таблица 26. SWOT-анализ проекта
 Перечень  графиков и диаграмм:
Рисунок 1. Основные задачи проекта
Рисунок 2. Объемы производства пива в Украине за 2013-2018 гг., млн. дал.
Рисунок 3. Потребление пива в странах Европы в 2017 году, л/чел. в год
Рисунок 4. Структура упаковок, в которые разливается пиво в Украине
Рисунок 5. Структура производителей пива в Украине
Рисунок 6. Индекс потребительских настроений в Украине на протяжении 2018 года
Рисунок 7. Компания Ab InBev Efes в Украине 
Рисунок 8. Завод «Оболонь» в Киеве
Рисунок 9. Завод Carlsberg Ukraine
Рисунок 10. Место размещения проекта
Рисунок 11. Разнообразие эля
Рисунок 12. Немецкое лагерное пиво Schwarzbier 
Рисунок 13. Американское «паровое» пиво (steam beer)
Рисунок 14. Технологическая схема производства пива на собственной пивоварне
Рисунок 15. Светлое пиво
Рисунок 16. Темное пиво 
Рисунок 17. Полутемное пиво
Рисунок 18. Структура инвестиционных затрат по проекту
Рисунок 19. Структура операционных затрат
Рисунок 20. Формирование прибыли по проекту
Рисунок 21. Размер валовой выручки и маржи валовой прибыли по проекту
Рисунок 22. Размер чистой прибыли и рентабельности продаж по проекту
Рисунок 23. Внутренняя норма доходности проекта
Рисунок 24. Дисконтированный период окупаемости проекта
Рисунок 25. Прибыльность проекта
Рисунок 26. Рентабельность проекта
План открытия пивоварни, оборудование для производства пива
Содержание статьи:
На сегодняшний день самым популярным алкогольным напитком является пиво. Практически каждый человек хотя бы раз, пробовал на вкус этот напиток, который обладает приятной благородной горечью и изумительным медовым привкусом. В некоторых странах, пиво уже давно стало национальным символом. Например, Чехия, Германия, Бельгия славятся производством самого качественного и вкусного пива в мире.
Раньше мы уже обсуждали тему рюмочной как бизнеса, давайте продолжим, сегодня я хочу поговорить об открытии мини пивоварни. В чем преимущества и недостатки данного вида деятельности? Как заработать деньги на производстве и продаже пива?
Бизнес план пивоварни
Первым шагом на пути к открытию пивного бизнеса, станет составление подробного бизнес плана мини пивоварни с расчетами. Для чего это нужно? Бизнес план поможет вам правильно распорядиться имеющими средствами, потратить их на действительно важные организационные моменты.
Сколько стоит открыть пивоварню?
 
 Рентабельность бизнеса – это соотношение спроса и затрат на реализацию идеи. Нельзя также забывать о конкуренции, которая существенно влияет на успех вашего дела. Обязательно стоит проанализировать степень конкуренции в регионе, в котором вы собираетесь открыть пивоварню. Лишь убедившись в рентабельности производства пива, можно приступать к открытию пивоварни.
Вопрос о стоимости открытия пивоварни немного некорректен. Все будет завесить от множества факторов: покупки оборудования, стоимости аренды помещения и т. д. Поэтому прежде чем начать бизнес, вы должны поинтересоваться ценами в своем регионе и понять, во сколько вам обойдется открытие частной пивоварни.
Как открыть пивоварню?
Основное преимущество свежего пива над бутилированным – это его вкусовые особенности, длительно хранение существенно влияет на качество напитка. Поэтому большая вероятность, что местное пиво будет пользоваться большим спросом в барах, кафе, клубах вашего города.
Прежде чем открыть свою пивоварню нужно определиться с объемами производства. Мини пивоварня может выпускать от 50-500 литров в сутки.
Регистрация бизнеса
Прежде чем начать свой бизнес требуется юридически зарегистрировать свою деятельность. Для этого, нужно собрать все необходимые документы. В качестве материально-правовой формы можно выбрать ИП или ООО.
Квалифицированный юрист поможет вам собрать необходимый пакет документов для регистрации бизнеса.
Оборудование для производства пива
 
 Цены на оборудование по производству пива достаточно высокие. На рынке существует огромный выбор всевозможного оборудования для мини пивоварен, китайского, российского, чешского производства. Цены существенно отличаются в зависимости от фирмы производителя и качества оборудования. Выбирайте оборудование, ориентируясь на свои финансовые возможности. Если хотите сэкономить, можно приобрести б/у оборудования или заняться более доступной идеей заработка, например, производством бутилированной питьевой воды в домашних условиях.
Аренда помещения для мини-пивоварни
Месторасположение будущей пивоварни не имеет особого значения. Не слишком важно, в какой части города будет располагаться ваше предприятие.
Необходимая площадь
В среднем, для размещения пивоварни вам потребуется помещение общей площадью около 50–80 м. кв.
Имеющуюся площадь необходимо разделить на отдельные зоны: производственное помещение, зона для хранения сырья и место для готовой продукции.
В помещении, естественно, должно быть электричество и канализация, водопровод.
Придется пройти также проверку соответствующих инстанций. Нужно будет получить разрешения на деятельность от санитарной, пожарной службы и ЖЭКа.
Техника производства пива
 
 Для контроля процедуры пивоварения вам требуется нанять опытного технолога.
Этапы производства пива:
Приготовление сусла;
Первичный процесс дрожжевого брожения;
Вторичный процесс брожения;
Процесс фильтрации, пастеризации, разлив пива.
Сырье для приготовления пива
Хорошее сырье и соблюдение техники производства, гарантирует получение качественного напитка. Поэтому внимательно и ответственно отнеситесь к данному процессу.
Для производства пива используется вода, хмель, пивные дрожжи и солод. Особый вкус напитка зависит от воды, поэтому стоит приобрести оборудование для ее качественной очистки.
Подбор персонала
Самостоятельно обслуживать потребности пивоварни, естественно, невозможно. Стоит подумать о круглосуточном производстве пива. Для этого понадобятся два сотрудника с соответствующим образованием (технолог). Также, необходимо принять на должность человека для ведения бухгалтерии и оформления юридических нюансов.
Кроме этого, помещение нужно убирать, этим тоже должен кто-то заняться.
В общем, ориентируйтесь на объемы производства при подборе персонала. Вполне реально и выгодно превратить мини пивоварню в семейный бизнес.
Рынок сбыта
 
 Для того чтобы реализовать продукцию, нужно разработать грамотную рекламную концепцию.
Пиво – это востребованный напиток, поэтому проблем с реализацией продукции у вас не возникнет. Качественный напиток всегда будет пользоваться спросом.
Вашими клиентами будут бары, кафе, магазины, супермаркеты и другие торговые точки.
Очень важно грамотно проанализировать ценовую политику и конкуренцию. От этого будет зависеть успех всего дела. Адекватные цены и высокое качество продукции обеспечит вам хорошие продажи и стабильный доход.
В общем, можно сделать вывод, что открытие пивоварни как бизнеса – это вполне перспективный способ заработка. Также, рекомендуем прочитать, выгодно ли открывать пивной магазин. Желаем удачи!
Бизнес-план открытия частной крафтовой пивоварни
Пиво является одним из самых популярных напитков в мире. В последние годы в России активно открываются пивные рестораны и бары, развивается новая культура употребления пенного напитка, создаются новые марки и сорта пива. При таком разнообразии потребитель становится более требовательным к качеству, ему хочется чего-то нового и изысканного.
В области массового производства недорогого пива наблюдается сокращение рынка, а вот сегмент крафтового или, как его еще называют, ремесленного пива растет достаточно активно. Положительная динамика развития отрасли не могла не привлечь внимание инвесторов, которые захотели посмотреть на реальные цифры прибыли в бизнес-плане крафтовой пивоварни.
Суть и смысл крафтового пивоварения заключается не столько в объемах, сколько в ароматах, вкусе и многообразии его проявлений. Сейчас в нашей стране происходит бум ремесленного пивоварения. Маленькие пивоварни открываются повсеместно и занимаются этим люди, которым это действительно интересно и которые готовы вкладывать в дело не только свое время, но и душу. Поэтому-то такое пиво и называется крафтовым (или в переводе на русский язык — ремесленным). Однако прежде чем начинать свое дело, нужно оценить все возможные риски, и сделать это можно с помощью актуального бизнес-плана пивоварни.
Бизнес-план пивоварни
Некоторое время назад мы разработали бизнес-план крафтовой пивоварни. Мощность пивоваренного производства относительно невелика и составляет немногим более 100 тысяч литров в год, что позволит сосредоточиться на технологии и добиться высокого качества пенного напитка. Пиво будет вариться из высококачественного немецкого солода с добавлением шишкового словацкого хмеля по старинным ремесленным рецептам с соблюдением технологий 15 века, когда промышленное производство только начинало свое развитие, а пивоваренное мастерство уже достигло пика.
В процессе работы над бизнес-планом пивоварни мы проанализировали рынок пива, оценили затратную и доходную части проекта, рассчитали эффективность создания пивоварни, сроки окупаемости и прогнозные величины прибыли.
СВЯЖИТЕСЬ С НАМИ, ЧТОБЫ ЗАКАЗАТЬ БИЗНЕС-ПЛАН
Статьи по теме
Как подготовить бизнес-план для пивоварни
Крафтовое пиво является одним из самых популярных бизнесов. В наше время трудно представить успешный паб или бар без собственной пивоварни.
Что нужно помнить при открытии пивоварни
 
Минимальная площадь ремесленного пивоваренного завода должна составлять 250 кв. М, что достаточно для установки оборудования мощностью 500 литров в сутки. Очень важно, чтобы производственные мощности находились недалеко от торговых точек. В противном случае транспортные расходы и риск доставки испорченного напитка слишком высоки, поскольку срок хранения крафтового пива не превышает одной недели.
Типы пивоварен
Тип 1: только производство пива
Это означает варить пиво в отдельной комнате и поставлять его в бары и рестораны. Однако организация продаж является узким местом такого подхода. Нелегко продать свой продукт в нужное место. Потребление пива в обычных ресторанах не очень велико, в то время как пивные заведения предпочитают продавать напитки уже узнаваемых брендов. Вам нужно много терпения, убедить менеджеров ресторана, что ваш продукт стоит покупать. Также сложно продавать пиво в пабах и ресторанах, потому что не заводской напиток должен конкурировать с известными местными и зарубежными брендами, а также с крепкими напитками.
Тип 2: Производство и продажа пива в вашем собственном баре
Второй возможный способ управления ремесленным пивоваренным заводом — организация производства напитка непосредственно в месте его продажи. В этом случае процесс получения разрешений и согласований упрощается.
Тип 3: пивоварня в торговом центре
Наконец, можно найти мини-пивоварню в торговом центре, продавая крафтовое пиво прямо в баре, а бутылочное пиво в супермаркете.
Проблемы управления пивоварней
Иностранное сырье стоит дорого, например, гранулированный хмель стоит 250 долларов за кг, а цена солода начинается от 1000 долларов за 1 тонну. Как правило, компании анализируют качество воды в месте, где будет расположен пивоваренный завод. На основании этих результатов принимается решение о необходимости соответствующего очистительного оборудования. Для производства 500 литров пива необходимо потратить 100 кг солода, 1 кг хмеля, 5 тысяч литров воды и 6 литров дрожжей.
ОСОБЕННОСТИ МАРКЕТИНГА
Вкус ремесленного пива, а также интерьер паба обычно способствуют привлечению внимания клиентов к пивоварне. Часто мини-пивоварни, которые расположены в ресторанах или торговых центрах, покрывают свои варочные котлы медью и помещают их за стеклянной решеткой прямо перед посетителями. Кроме того, рестораторы иногда намеренно проектируют помещения так, чтобы атмосфера напоминала промышленное производство.
Мини-пивовары, у которых нет возможности продавать пиво в собственном ресторане, все же могут найти определенные способы привлечь внимание к своему продукту. Даже несмотря на креативную обстановку в вашем пабе, всегда имеет смысл стимулировать ваших клиентов рекламными акциями типа «Бесплатный бокал пива». Кроме того, пивоварня не может работать без надлежащей рекламной кампании. Помимо всего вышеперечисленного, чтобы стать действительно хорошим пивоваром, нужно искренне любить процесс приготовления напитка, которому более 4 тысяч лет
Как открыть пивоварню, бизнес план — PoPivy.ru
Пивоварня: с чего начать Несмотря на то что на пивоваренном рынке тесно: около 300 предприятий выпускают свыше 750 миллионов дал ежегодно, он еще далек от насыщения и место для новичков есть. Собственная пивоварня – хороший малый бизнес, он не требует больших затрат и дает возможность прогнозирования, с ним невозможно прогореть.
 
Уникальное торговое предложение мини-пивоварен — «живое» пиво. Технология «живого» пива исключает фильтрацию и тепловую обработку — трудоемкие процессы. Это пиво сохраняет живыми клетки пивных дрожжей, поэтому всегда имеет осадок на дне, не содержит консервантов. «Живое» пиво низового брожения (при температурах ниже нуля градусов) хранится несколько дней, требует скорейшей реализации, как и «живой» квас. Такое пиво подходит для ресторанов и баров, когда можно сварить прогнозируемый объем и не прогореть.
  
В малом сегменте принято деление на микро-пивоварни (производят от 25 до 5000 л в сутки) и мини-пивоварни (от 5 000 л и выше). По производительности — на пивоварни ресторанного типа и производственные. По потребляемому сырью и организации процесса — а это различие гораздо важнее, с точки зрения начинающего пивовара — на полноцикловые и с укороченным циклом производства. Пивоварни полного цикла нередко называют пивзаводом в миниатюре, оно трудоемко и капиталоемко. С капиталом меньше, чем в 150-200 тысяч долларов соваться в сегмент мини-пивзаводов даже не стоит. Полноценное производство потребует больших площадей ( не менее 100-300 кв. м) и дорогостоящего оборудования.
 
Полноцикловая пивоварня — для малых предпринимателей целесообразна в рамках стратегии продвижения ресторана или крупного бара. Другое дело — «укороченные» пивоварни, основное отличие которых — использование солодовых экстрактов — готового охмеленного пивного сусла, густо упаренного и готового к сбраживанию, что исключает необходимость покупки дорогостоящего варочного оборудования, фильтрующих установок. И, главное, пивоварня с укороченным циклом умещается даже на небольшой площади.
 
Микропивоварни для производства 100 л пива в день требуют площади порядка 40 квадратных метров, позволяют готовить от 30 до 2 000 литров «живого» пива в сутки. Набор оборудования, необходимого для выработки благодатного напитка, минимален: емкости для брожения, электроплита или сусловарочный котел для сиропа, фильтры для воды и стерилизующие устройства, ферментаторы и кеги.
 
На рынке оборудования для мини-пивоварен лидируют Teddy Beer от одноименной компании и Bierhaus (Германия) от ООО «Бирон». Микро-пивоварни Bier haus поставляются готовыми к эксплуатации, их надо только установить на месте и подключить (достаточно обычных водопроводных и канализационных коммуникаций и стандартной электрической сети). Площадь, необходимая под монтаж, не превышает 3,5 кв. м для 3 000 литров в месяц.
 
«Базовый» комплект микро-пивоварни обходится в 862-1897 евро, в него включены емкости с гидрозатвором, лабораторный комплект и сырье — охме ленный солодовый концентрат плюс сухие пивные дрожжи, моюще-дезинфицирующее средство и, главное, нормативно-техническая документация — ТУ на восемь сортов нефильтрованного пива.
 
Для отпуска напитков в розлив и дображивания используются герметичные бочонки — кеги. Тут можно порекомендовать покупать доступные по цене емкости из пищевого пластика объемом в 10 и 25 литров. Их основное преимущество — они имеют герметичную крышку с клапаном сброса избыточного давления и кран, могут служить как для дображивания и созревания напитков, так и для отпуска их покупателю. Чтобы сэкономить начинающему предпринимателю можно приобрести оборудование бу.
 
Но в этом бизнесе не все так просто. Проблем у предпринимателей достаточно. И связаны они главным образом с административными барьерами и дистрибуцией. Несмотря на простоту технологии, ее очень тяжело сертифицировать. Одна из основных проблем местных производителей связана с акцизной политикой государства. Ежегодная индексация ставки акциза на пиво подталкивает региональные предприятия к границе рентабельности бизнеса. Поэтому, если в ближайшие пять-шесть лет ситуация не изменится, то часть местных предприятий будет вынуждена либо диверсифицировать производство , либо вообще закрыться.
 
Реализация пива тоже не простая задача. Основная аудитория микро-пивоварен это небольшие бары и кафе, которые могут и готовы предложить своим клиентам эксклюзивное пиво. Еще одна возможность сбыта — производить и продавать бутилированное пиво в розницу. При изготовлении бутылочного пива потребуется докупить оборудование для розлива пива в бутылки, укупорки кроненпробкой или колпачком, наклеивания этикетки, упаковки в термоусадочную пленку и т. д. Но проблема даже не в этом, основной груз затрат — это продвижение и дистрибуция. Попасть в магазины с небольшими объемами и особым продуктом с ограниченным сроком хранения минипивоварням очень непросто.
Как открыть мини-пивоварню? Бизнес-план — Franchising.ua
Из года в год отечественный рынок пива демонстрирует положительную динамику роста: объемы изготовленного в Украине «жидкого» хлеба увеличиваются в среднем на 12 % ежегодно. Господствующее положение в отрасли принадлежит четырем пивным холдингам: ЗАО «Оболонь», группе Efes, «САН ИнБев Украина» и Carlsberg Group. Их производство занимает около 94 % рынка. Однако отрасль постоянно развивается, продуцируя новые тренды. Растет интерес к «живому», нефильтрованному, а другими словами – настоящему пиву. «С каждым днем увеличивается количество людей, которые употребляют натуральные продукты, – утверждает технический директор ООО Пивоварни «Генрих Шульц» Игорь Мишенко. – А в «живом» пиве сохранены все полезные вещества. Речь идет о живых организмах, витаминах группы B и PP, белках и аминокислотах». Крупные промышленные гиганты не могут удовлетворить этот запрос, так как в производстве используются разнообразные добавки, призванные увеличить срок хранения напитка. Отечественные же рестораторы могут установить мини-пивоварню прямо в баре, ресторане или кафе и предлагать своим посетителям вкусное и натуральное пиво каждый день.
«Заведения, которые предлагают свое фирменное пиво, можно разделить на три основные группы: те, которые варят свое пиво на удаленных мини-заводах, те, в которых работает собственная пивоварня и существуют дополнительные отдаленные мощности, и те, которые продают только свежесваренное, «живое» пиво, – утверждает независимый эксперт Наталья Иванова. – Первые ищут бюджетный вариант: например, какую-нибудь нераскрученную мини-пивоварню в карпатском селе, где и заказывают пиво под своей торговой маркой. Вторая группа устанавливает на базе своих учреждений небольшую пивоварню. Однако, это скорее элемент декора, чем серьезная производственная мощность. Такая пивоварня производит только 5-10 % от всего объема продаж. Остальная продукция изготавливается на удаленных заводах. И, наконец, третья группа рестораторов оснащает свои заведения пивоварнями, которые способны обслуживать их полностью».
Напиток для кабаре
Активное развитие ниши «живого» пива в Украине началось около 2 лет назад. Тенденция коснулась как городов-миллионников, так и небольших региональных центров. Владельцы ресторанов и развлекательных комплексов, дистрибьюторы региональных пивзаводов и розничные сети хотели производить вкусный и качественный продукт, который не оставит клиентов равнодушными и будет вызывать положительные ассоциации с их брендом.
«Предпринимателей, которые заказывают оборудование нашей компании, мы разделяем на три группы, – рассказывает собственник компании «Генрих Шульц» Бахром Каландаров. – К первой группе относим владельцев кафе или ресторанов, которые могут вместить до 70 посетителей. Такие люди ищут бюджетные варианты сотрудничества, а потому выбирают микро-пивоварню с производством 100-200 литров пива в сутки. В этом случае учреждение получает не только эксклюзивный продукт, но и решает вопрос декора: в зале паба, на площади 5-10 м2 размещается варочник пивоварни. Оборудование мощностью от 300 до 1000 литров (мини-пивоварни) покупают, как правило, владельцы целых развлекательных комплексов, площадь которых достигает тысячи квадратных метров. Здесь может располагаться мьюзик-холл, бильярд, караоке-клуб, казино, дискотека и т.д. Пиво собственного производства добавляет такому концептуальному заведению еще больше колорита. И, наконец, третьей группой клиентов являются дистрибьюторы сети, заинтересованные в изготовлении продукции private label. Такие компании предпочитают промышленные мини-пивоварни мощностью от 1 до 5 тыс. литров в сутки». Около 90 % предпринимателей, открывающих мини-пивоварни, являются рестораторами. И только 10 % решают взяться за промышленное производство.
Бизнес-план (производство 1 тыс. литров пива в сутки)
Сумма первоначальных инвестиций:
Реставрация помещения: 50 тыс. грн
Закупка и монтаж оборудования: 1, 76 млн. грн
Всего:  1,81 млн грн
 
Расходы в месяц:
Солод: 6 тон × 8 тыс. грн/тонна = 48 тыс. грн
Хмель: 30 кг × 240 грн/кг = 7,2 тыс. грн
Дрожжи пивоваренные: 15 кг × 800 грн/кг = 12 тыс. грн
Электроэнергия: 24 тыс. Квт/ч × 0,8 грн = 19,2 тыс. грн
Вода: 1,95 тыс. М. куб. × 1,2 грн/М.куб. = 2,34 тыс. грн
Аренда помещения: 15 тыс. грн
Зарплата персонала: 25,6 тыс. грн
Коммунальные платежи: 1,6 тыс. грн
Транспортные расходы: 1,6 тыс. грн
Расходы на рекламу: 1,6 тыс. грн
Другие издержки: 800 грн
Всего: 134,94 тыс. грн
 
Доходы в месяц:
Продажа продукции: 1000 л/день × 30 дней × 12 грн/л = 360 тыс. грн
Всего:  360 тыс. грн
 
Прибыль перед налогообложением:

360 тыс. грн – 134,94 тыс. грн = 225,06 тыс. грн
Окупаемость бизнеса:

1,81 млн. грн : 225,06 тыс. грн = 8 месяцев
Представленный расчет является лишь ориентировочным — для каждого конкретного случая и условий цифры будут варьироваться (цены взяты по Киеву) 
 
пример, расходы и доходы, оборудование, налогообложение, код ОКВЭД, документы для регистрации
Несмотря на то, что пивоваренных компаний функционирует огромное количество, данную нишу еще можно развивать. Бизнес план пивоварни с расчетами — хорошее дело. Более того, не требует крупных финансовых вложений, гарантирует вероятность быстрой популярности и достаточной рентабельности.
Инвестиции для старта
Чтобы открыть мини пивоварню с нуля, придется инвестировать около 16000 долларов:
Ремонтные работы – 3000 дол.
Закупка продукции – 500 дол.
Закупка оснащения – 9500 дол.
Установка линии производства – 600 дол.
Регистрация предприятия – 500 дол.
Другие затраты – 400 дол.
Дополнительные средства – 1500 дол.
Пошаговое выполнение бизнес-плана
В образец бизнес-плана пивоварни, прописано несколько важных этапов пошагового открытия успешного бизнеса:
Исследование рынка.
Поиск денежных средств.
Поиск подходящего помещения.
Подписание соглашение аренды.
Закупка оснащения.
Приобретение лицензий.
Регистрация бизнеса.
Формирование стратегических рекламных действий.
Открытие пивоварни “под ключ”.
Пивоварня
Перспективы проекта
В настоящее время прослеживается интенсивное увеличение количества небольших и маленьких пивоварен. Если раньше производителями являлись государственные предприятия, то сейчас эту роль взяли на себя опытные и начинающие бизнесмены.
Данный факт объясняется тем, что появились новые каналы реализации, изменилась рецептура приготовления и способ применения пенящегося напитка. Благодаря внедрению новейших технологий, пиво можно разливать в любые емкости, при этом не теряется его первоначальный цвет и вкус.
Согласно статистике, по сравнению с другими странами, в России пивоваренный бизнес быстро растет и дальше будет развиваться.
Описание продаж
Наша мини-пивоварня собирается производить 7 видов пива:
4 светлых;
2 полутемных;
черное.
Размер производства пива составит 400 л. в день либо 8800 л. ежемесячно. Средний чек за 1 л. напитка будет 0,58 дол. По расчетам бизнес-плана пивоварни, планируемый оборот реализации продукта — 5104 дол/мес.
 Разновидности пива
Выбор помещения для пивоварни
С целью размещения предприятия, мы будем арендовать место размером 110 кв. м. Арендные платежи составят 350 дол/мес. Выбранное помещение обязательно будет соответствовать санитарным правилам и нормам пожарной инспекции.
Для эффективного рабочего процесса, помещение планируется разделить на несколько отделений:
производственная линия;
склад;
комната для сотрудников;
санузел;
подсобное помещение.
Бизнес-план пивоварни
Готовый образец бизнес плана изготовления пива, обязательно должен содержать перечень необходимого оборудования для пивоваренного завода. Для успешного бизнеса необходимо заранее обдумать комплектацию, чтобы сделать правильные расчеты для финансирования проекта.
Список необходимого оснащения для производства пива:
бродильные и дображивающие емкости;
солододробилка;
система наблюдения, регулировки, фильтрации и охлаждения сусла;
мобильные форфасы;
заторно-сусловарочный котел;
бойлер;
блок управления.
Емкости для брожения пива
Линия производства будет разделена на несколько зон:
хранилище солода;
варочный цех;
зимотическое отдел;
отдел мойки;
разливной цех.
Штат сотрудников
В нашу фирму планируется устроить на постоянную работу 7 человек.
Рабочий штат будет состоять из следующих сотрудников:
технолог;
оператор – 2 сотр;
торговый менеджер;
рабочие – 2 сотр;
водитель.
Актив заработной платы составит 1280 дол/мес. Для эффективной работы будут применяться разные способы мотивации сотрудников.
Система налогообложения
Предприятие по производству пива пройдет регистрацию, как ИП. В свойстве концепции уплаты налогов, выбран режим УСН – упрощенная система. Такое налогообложение бизнеса обязывает предприятие уплачивать 15% от прибыли ежемесячно.
План маркетинга
Маркетинговый бизнес план пивоварни осуществить будет очень легко. Пиво — распространенный продукт в каждом продовольственном магазине и больших ТЦ. Также нашими клиентами станут ночные клубы, кафе, бары и рестораны. Таких точек в городе до 80. Продажу изготавливаемого пива намечается реализовывать в границах района.
Расходы
Далее приводится расчет главных характеристик финансовой производительности проекта:
 Себестоимость 1 л. пива
Отчисления за аренду — 397 дол;
Зарплата — 1280 дол;
Перечень продуктов – 79,20 дол/кг;
Уплата коммунальных услуг – 123 дол;
Реклама – 340 дол;
Дополнительные затраты — 86 дол.
Доходы и прибыль
Сколько можно заработать на открытии мини-пивоварни, прогнозируемая потенциальная прибыль: 1687,84 (доход) – 253,17 (расходы) = 1434,67 долларов.
Наше предприятие будет получать 1434,67 долларов чистой прибыли в месяц. Рентабельность деятельности 49%. Если прибавить 2-3 месяца на раскрутку, бизнес план пивоварни окупится за 1 год.
Код ОКВЭД
В заявлении с целью регистрации коммерческой деятельности в ФНС, следует выбрать коды деятельности, в соответствии с общероссийским классификатором.
Для мини-пивоварни подойдет ОКВЭД 11ю05 – изготовление пива (деятельность в обрабатывающем производстве).
Документы для регистрации
Документы для открытия ИП, которые подаются в налоговую инспекцию:
Заявление по форме по форме № P21001.
Уведомление о переходе на УСН или ЕНВД.
Ксерокопия всех страниц паспорта.
Квитанция об уплате госпошлины.
Специальные разрешения
Специальную лицензию для осуществления бизнеса пивоварни приобретать нет необходимости. Тем не менее, учредитель должен подготовить сертификаты качества продукции для СЭС.
 Как составить бизнес-план пивоварни (+ бесплатный шаблон)
 Как написать бизнес-план пивоварни
 При создании бизнес-плана, вот обязательные разделы:
 1. Содержание 
 Даже для небольшой пивоварни ваш бизнес-план превратится в длинный документ после того, как вы включите все разделы. Оглавление помогает читателю находить определенные разделы при чтении вашего плана.
 2.Краткое изложение 
 Краткое изложение — самая важная часть вашего бизнес-плана. Он должен быть прямолинейным, поэтому старайтесь, чтобы он был не длиннее одной страницы. Хотя исполнительное резюме должно появиться в начале вашего бизнес-плана, на самом деле это последний раздел, который должен быть написан в бизнес-плане вашего пивоваренного завода. Это потому, что это обзор полного бизнес-плана.
 Цель состоит в том, чтобы обобщить основные положения плана, что поможет сэкономить время читателя.Затем они могут просмотреть наиболее интересующие их разделы, если захотят узнать больше. Не забудьте, что этот раздел должен быть кратким, но вдохновляющим.
 3. Обзор бизнеса 
 Этот раздел включает в себя список основной информации о вашем бизнесе. Ниже приведены общие сведения, которые, как ожидается, будут включены в раздел обзора, особенно если вы будете искать банковские ссуды или привлекать инвесторов:
 Юридическое название компании
 Фирменное наименование компании (ведение бизнеса как)
 Бизнес адрес (или потенциальный служебный адрес)
 Характер бизнеса
 Структура бизнеса
 Дата основания бизнеса
 Текущий почтовый адрес
 Номер телефона
 Электронная почта
 Банковские реквизиты (название филиала и банкира)
 Веб-сайт пивоварни
 Социальные сети обрабатываются
 4.Описание бизнеса 
 В этом разделе воплощается в жизнь ваша концепция пивоварни. Здесь вы можете более подробно описать свой бизнес, например, как будет выглядеть концепция, где будет располагаться ваша пивоварня, а также тип атмосферы или бренда, который вы планируете создать. Описание вашего бизнеса дает четкое представление о вашем видении и целях.
 Ниже приведены области, которые должно включать описание бизнеса:
  Юридическая структура  
 Какую правовую структуру вы собираетесь принять? Будет ли ваш пивоваренный бизнес индивидуальным предпринимателем, партнерством или корпорацией? Кто будет задействован и за какую роль каждый из них будет отвечать? Кто-то будет носить несколько головных уборов? Будьте краткими в этом разделе, так как существует множество лицензий пивоваренных заводов и законов, которые вы должны соблюдать.Вы сможете подробнее рассказать о структуре команды позже в бизнес-плане.
  Концепция пивоварни  
 Концепция вашей пивоварни — это всеобъемлющая идея, которую вы готовите для бизнеса. Найдите время, чтобы описать, почему ваша идея уникальна и что отличает вас от других пивоварен. Почему любители пива должны выбирать ваш бизнес перед другими в этом районе?
 Также подумайте, какой опыт вы хотите создать для своих клиентов.Пивоварня — это не только то, что вы обслуживаете клиентов. Не менее важно учитывать общий опыт клиентов, с того момента, как они войдут в вашу пивоварню, до того момента, как они уйдут.
  Заявление о миссии  
 Заявление о миссии вашей пивоварни — это одно предложение, которое резюмирует то, чего ваша пивоварня сможет достичь. Думайте о своей конечной цели как о главной движущей силе вашего бизнеса. Изложение вашей миссии должно быть кратким и достаточно содержательным, чтобы его можно было отображать в маркетинговых материалах.Он должен прямо выражать суть вашего бизнеса.
  Краткосрочные и долгосрочные цели  
 В этом разделе упоминаются ваши личные и / или бизнес-цели. Ваши краткосрочные цели описывают ваш первый год работы владельцем пивоварни. Долгосрочные цели предполагают более широкое мышление. Это такие вещи, как масштабирование вашего бизнеса или выход на новые рынки. В этом разделе будьте информативны, но также реалистичны.
  Меню и услуги  
 В этот раздел вы можете включить образец меню, которое поможет более подробно представить вашу концепцию.Если вы собираетесь предлагать кейтеринг или какие-либо другие услуги, также включите подробную информацию об этих дополнительных услугах в этом разделе. Также опишите все, что вы будете продавать, например продукты питания или товары в розничной торговле.
  Расположение  
 Укажите районы, которые вы планируете выбрать для своего места проведения, и почему. Ответьте на следующие вопросы и подумайте, какое влияние они окажут на ваш бизнес:
  Достопримечательность : Какие особенности района повлияют на вашу пивоварню?
  Конкуренция : Есть ли в этом районе другие пивоварни или связанные с ними предприятия?
  Демография : Какие люди живут, работают или посещают окрестности?
  Визуальные эффекты  
 Опишите свою концепцию с максимально возможным количеством визуальных деталей, таких как цвета и элементы дизайна.Расскажите, почему эти детали важны и как они связаны с вашим брендом. Если вы работаете с дизайнерским агентством или дизайнером интерьеров, упомяните об этом в этом разделе и включите их визуальные предложения или макеты логотипа пивоварни  или .
  Краткое описание бизнес-описания  
 Раздел бизнес-описания охватывает множество деталей, поэтому завершение краткого описания — хорошая идея, чтобы выделить наиболее важные моменты.
 5. Торговая площадка 
 Цель этого раздела бизнес-плана пивоваренного завода — продемонстрировать, что вы тщательно проанализировали свой целевой рынок и можете доказать, что ваш бизнес пользуется спросом.
 Хороший способ собрать информацию — провести анализ конкурентов. Посетите своих конкурентов и задокументируйте их предложения продуктов, маркетинговую тактику, методы ведения бизнеса, цены и позиционирование бренда.
 Вы также можете спросить людей в вашем предполагаемом районе, как работают предприятия в этом районе и что они хотят видеть.
 Собрав как можно больше информации, ваша оценка рынка будет реалистичной, удовлетворять потребности вашей целевой аудитории и вдохновлять вас на то, как отличить себя от конкурентов.
 Раздел торговой площадки включает в себя следующие компоненты:
   Сегмент рынка  
 В этом разделе представлен обзор вашей целевой аудитории. Учитывайте такие детали, как демография, психография и подсегменты вашего целевого рынка.
   Клиенты  
 Создайте профили клиентов, которые включают демографическую и психографическую информацию. Какие типы людей будут часто посещать вашу пивоварню и какие сходства / различия у них есть? Получайте качественные и количественные данные и обращайтесь к внешним ресурсам, которые предоставляют статистику о ваших клиентских сегментах.Обратите внимание, что каждый сегмент клиентов в вашей целевой демографической группе будет иметь уникальные профили.
  Тенденции рынка  
 Включите релевантную статистику о прошлых и текущих тенденциях на вашем целевом рынке. Это может быть что угодно, что связано со спросом на пивоварню, а также с социальными и экономическими факторами, которые повлияли на аналогичные предприятия в этом районе. Также укажите, проводили ли вы собственное исследование или нанимали ли вы поставщика для проведения исследования от вашего имени.
  Competition  
 В этом разделе указано, кого вы считаете своим конкурентом. Укажите как прямую, так и косвенную конкуренцию в вашем целевом районе. Ваши прямые конкуренты — пивоварни, предлагающие схожие впечатления от покупателя и похожие сорта пива. Косвенные конкуренты могут отличаться от концепции вашей пивоварни, но все же конкурировать за внимание и расходы вашего целевого рынка.
  Преимущества  
 После подробного анализа конкурентов вы сможете сформулировать, что отличает вашу пивоварню от остальных.Что ваша пивоварня предлагает вашей целевой аудитории такого, чего в настоящее время никто не предлагает? Объясните, почему клиенты должны выбирать ваш бизнес, а не конкурентов.
  Возможности  
 Принимая во внимание вашу конкуренцию и целевых клиентов, этот раздел определяет, где существует разрыв между спросом и предложением. Опишите, как вы будете устранять эти пробелы и предлагать клиентам лучший вариант. В этом разделе следует выделить все, что ваша пивоварня может предложить для улучшения качества обслуживания клиентов — от сортов пива, которые вы будете предлагать, до часов работы.
  Проблемы  
 В этом разделе рассматривается противоположность возможностей. Здесь вы можете выделить преимущества ваших конкурентов перед вашим бизнесом. Что они предлагают рынку, чего не предлагает ваша пивоварня? Объясните, почему ваша пивоварня сталкивается с этими препятствиями, и, что наиболее важно, как вы их преодолеете после официального открытия.
  Сводка торговой площадки  
 Как и в разделе описания бизнеса, сводка торговой площадки выделяет наиболее важную информацию, имеющую отношение к читателю.
 6. Маркетинг 
 В этом разделе представлен обзор того, что вы планируете включить в свою маркетинговую стратегию пивоваренного завода. Постоянные клиенты и продажи являются ключом к долголетию вашего бизнеса, поэтому для обеспечения этого вам необходимо создать маркетинговую стратегию, которая будет удерживать людей от ваших дверей.
  Позиционирование  
 Опишите тактику, которую вы планируете использовать, чтобы привлечь внимание ваших целевых клиентов и оставаться в центре внимания. Используйте отличительные черты, которые вы указали в разделе рынка, чтобы направлять свою стратегию позиционирования.Что вы предлагаете такого, чего ваши целевые клиенты не могут получить от ваших прямых или косвенных конкурентов? Также подумайте о том, как вы будете сообщать об этих предложениях своей аудитории.
  Ценообразование  
 Опишите свою стратегию ценообразования и ее сравнение с конкурентами на основе раздела конкурентного анализа. Вопросы, которые помогут вам определиться с ценовой стратегией, включают:
 Каковы ваши производственные затраты?
 Каковы ваши расходы, связанные с каждым из ваших продуктовых предложений?
 Какова рыночная цена на аналогичные продукты? (я.е. какие цены взимают ваши конкуренты)
 Как ваша цена по сравнению с рыночной ценой?
 Насколько конкурентоспособны ваши цены?
 Какую отдачу от инвестиций вы ожидаете от этой стратегии ценообразования и в течение какого периода времени?
 Определив ценовую стратегию, убедитесь, что она соответствует вашим финансовым показателям. Цены, которые вы устанавливаете, должны быть конкурентоспособными, но при этом позволять получать разумную прибыль.
  Интернет-продвижение  
 Вот три распространенные цифровые тактики, используемые для Интернет-маркетинга:
  Социальные сети:  Если вы планируете создавать и поддерживать учетные записи в социальных сетях, таких как Twitter, Instagram и Facebook, объясните, как вы буду использовать их для продвижения вашего бизнеса и бренда.
  Веб-сайт:  Опишите общую концепцию вашего веб-сайта и то, как она соотносится с вашим брендом. Предоставьте визуальные макеты, включая основные элементы и стиль дизайна. Также укажите, планируете ли вы создавать сайт собственными силами или оплачивать профессиональные услуги.
  Реклама:  Перечислите все ваши платные каналы цифровой рекламы, такие как сайты обзоров, баннерная реклама и реклама в социальных сетях. Если вы будете работать с агентством или подрядчиком, укажите их в этом разделе и укажите, какую работу они будут выполнять для вас.
  Традиционное продвижение  
 Рекомендуется сочетать цифровые и традиционные маркетинговые акции. Каждая тактика по-своему нравится вашей целевой аудитории. Традиционные методы, как правило, более личные и тактильные, такие как торжественные открытия, чтобы люди могли по-другому воспринимать ваш бренд и продукты.
 Например, будет ли посещение потребительских мероприятий в центре внимания во время запуска вашей пивоварни, чтобы люди могли попробовать вашу продукцию? Чтобы получить физический трафик через вашу дверь, вы также можете рассмотреть возможность проведения специальных внутренних акций в определенные дни недели.
  Маркетинговая сводка  
 Опять же, у вас есть возможность кратко изложить свою общую маркетинговую стратегию и описать рекламные каналы, которые, по вашему мнению, являются лучшими для вашего бизнеса.
 7. Бизнес-операции 
 Вы описали свое видение, рынок и то, как вы планируете продвигать свой бизнес. Пришло время обрисовать в общих чертах, как вы на самом деле будете выполнять свой план. Это означает определение того, кто будет управлять вашей пивоварней изо дня в день.
  Команда и персонал  
 Опишите основные категории управления бизнесом, относящиеся к вашей пивоварне, и определите членов вашей основной команды. Сюда входят все: от консультанта по пивоварне до менеджмента и персонала. Перечислите квалификацию, навыки и обязанности каждого, делая акцент на том, как каждая роль поможет вам достичь ваших бизнес-целей.
  Поставщики  
 Перечислите своих поставщиков по типу (т. Е.ингредиенты, технологии, мебель,  пивоваренное оборудование () и описания того, что они предлагают. Также укажите их кредитные условия и условия оплаты. Подумайте, как эти поставщики вписываются в ваш общий бренд с точки зрения качества, которое они предлагают, и методов поиска.
  Страхование  
 Поскольку ваша пивоварня нуждается в страховом покрытии, изучите обязательные требования в зависимости от местоположения вашего бизнеса. От общей ответственности до компенсации работникам — получение правильных планов страхования для пивоваренных заводов обеспечит страхование в случае несчастных случаев и вселит уверенность в любом инвесторе в том, что ваш бизнес не разорится.Перечислите каждый вид страхования, который понадобится вашей пивоварне, выберите поставщика и то, что покрывается каждым планом.
  Лицензирование  
 Определение того, какие лицензии потребуются вашей пивоварне, аналогично требованиям к страхованию. Требуемые лицензии и разрешения могут быть чем угодно, от лицензии на ведение бизнеса до разрешений на работу с едой, музыки и лицензий на продажу спиртных напитков  и . Начните свое исследование как можно скорее, посетив веб-сайт своего местного органа власти.Перечислите все лицензии и разрешения, необходимые для вашей пивоварни и персонала в этом разделе.
  Сводка бизнес-операций  
 Обобщите основные моменты, обсуждаемые в разделе «Бизнес-операции». Это должно быть довольно просто, поскольку оно более основано на фактах, чем другие разделы.
 8. Финансы 
 Финансовый план является наиболее важным разделом бизнес-плана вашего пивоваренного завода, особенно если вам нужно заемное финансирование или вы пытаетесь привлечь инвесторов.
 Ваш финансовый план должен продемонстрировать потенциал роста и прибыльности вашего бизнеса.
 Для этого вам необходимо задокументировать свой прогноз в четырех основных частях:
  Выручка  (прогнозируемые продажи)
  Контролируемые затраты  (производственные затраты, стоимость рабочей силы)
  Расходы  ( аренда, расходные материалы, коммунальные услуги, маркетинг и т. д.)
  Начальные затраты  (затраты, связанные с открытием вашей пивоварни, такие как капитальный ремонт и обучение)
 Для новых предприятий хорошее практическое правило — недооценивают доходы и переоценивают расходы.
 9. Сводка бизнес-плана 
 Сводка бизнес-плана связывает воедино основные моменты, изложенные во всех разделах, в одну связную историю.
 Используйте этот последний раздел, чтобы в конечном итоге подчеркнуть, чем ваша пивоварня отличается от текущих вариантов, доступных на рынке, и насколько она будет финансово устойчивой.
 Не забудьте включить следующие разделы:
  Почему ваш бизнес будет успешным  — В нескольких предложениях повторите, чем ваша пивоварня отличается от других и почему ваш бизнес будет работать.
  Что вам нужно для успеха  — Если вы запрашиваете финансирование, повторите этот вопрос здесь.
  Благодарственное письмо  — Поблагодарите свою аудиторию за чтение бизнес-плана пивоварни и напомните им, что вы цените их время и отзывы.
 Бесплатный шаблон бизнес-плана пивоварни, примеры и ресурсы
 Если вы думаете об открытии пивоварни, создание бизнес-плана должно быть в верхней части вашего списка приоритетов. С самого начала это большая работа, но количество времени и усилий, которые вы вкладываете в создание первоклассного бизнес-плана, быстро окупаются после запуска.
 Для вдохновения того, как структурировать бизнес-план пивоваренного завода и что в него включить, приведем несколько примеров, на которые вы можете сослаться:
  Bplans:  Martin Cove Brewing Company
  Beer Co-op:  High Five Co-op Brewery
  Финансовый ресурс:  Бесплатный бизнес-план микропивоварни
 Вот несколько полезных ресурсов, на которые можно ссылаться при проведении исследования:
 Ассоциация пивоваров
 Конференция Craft Brewers
 Алкоголь и Бюро по налогообложению и торговле табаком
 Американские дистрибьюторы пива
 Ассоциация крупных пивоваров Америки
 Шаблон бизнес-плана микропивоварни на 2021 год — Bplans
 Martin Cove Brewing Company — успешная мини-пивоварня на юге Орегона в течение последних трех лет.Расположенная в городе Медфорд, компания ежегодно увеличивает продажи на 15%. Продуктовые линейки компании — Martin Cove Pilsner и Red Ale. В этом году объем продаж Martin Cove Brewing Company составит 520 000 долларов. Это было получено за счет первоначальных инвестиций в размере 150 000 долларов США.
 Martin Cove Brewing Company производит пиво небольшими партиями по 20 баррелей вручную под пристальным вниманием наших пивоваров. Новейшее пивоваренное оборудование и технологии безупречно сочетаются с традиционными методами пивоварения, чтобы гарантировать неизменно превосходный вкус, будь то упаковка в бутылках или разливных кегах.
 Martin Cove Brewing Company планирует расширить свою сеть сбыта на отдельные районы метро в штате Орегон. За последние три года компания Martin Cove Brewing Company стала одной из самых популярных мини-пивоварен города и стремится повторить это во всем Орегоне. Кроме того, компания представит новый продукт — традиционный немецкий лагер в стиле марзен. Финансирование собственника и внутренний денежный поток позволят реализовать план расширения. Прогнозы продаж на следующие три года основаны на текущих успехах продаж с целевой клиентской базой в южном Орегоне.Эффективная реализация этого плана приведет к увеличению выручки от продаж до 1,2 миллиона долларов к 3 году.
 Martin Cove Brewing Company будет применять ту же стратегию продаж, что и при продажах в Медфорде: устранять все препятствия между вами и покупателем. Как только покупатель попробует продукт, он узнает качество и мастерство изготовления каждой бутылки Martin Cove.
 Martin Cove Microbrews будет продаваться как в барах, так и в торговых точках, таких как местные рынки и угловые магазины.Он также будет нацелен на распространение через супермаркеты, но предполагается, что получить место на полках в национальных супермаркетах будет сложнее и дороже.
 1.1 Цели
 Цели Martin Cove Brewing Company следующие:
 Установите прочные отношения с местными дистрибьюторами пива в выбранных регионах продаж.
 Поддерживать жесткий контроль затрат и операций во время расширения.
 Поддерживайте высокое качество продукции, которой известна компания.
 Шаблон бизнес-плана пивоваренного завода на 2021 год — Bplans
 Sedibeng Breweries — это пивоварня среднего размера, расположенная в растущем промышленном центре Селеби Пхикве, Ботсвана. Это относительно новый бизнес на начальном этапе, который был зарегистрирован недавно.
 Мы находимся на пороге выхода на прибыльный рынок в быстрорастущей экономике. Текущая тенденция к увеличению числа предпринимателей и конкуренции между существующими компаниями дает Sedibeng Breweries возможность проникнуть на рынок.Наша продукция будет позиционироваться очень тщательно. Они будут иметь чрезвычайно высокое качество, чтобы гарантировать удовлетворение потребностей клиентов, при поддержке безупречного обслуживания наших клиентов. Наша основная цель будет заключаться в создании и укреплении нашей лицензии на торговлю, которая будет выдаваться сообществами, в которых мы работаем. По мере того, как Sedibeng Breweries процветает и растет, эти сообщества будут продолжать получать выгоду как от ценности, созданной Sedibeng Breweries, так и от ее поведения как корпоративного гражданина.
 Первоначальные планы заключаются в производстве трех основных линий продуктов, в первую очередь ориентированных на пиво X, Y и Z (которое бывает разных вкусов: B, P, C и S).Эти продукты будут продаваться в емкостях разного размера — от имбирного пива объемом 250 мл до традиционного пива объемом 500 мл. Эти продукты должны быть широко распространены в удаленных, но чрезвычайно жизнеспособных регионах, где рынок ценит легкодоступное пиво хорошего качества.
 Чтобы процветать, Sedibeng должен быть гибким и отзывчивым, чтобы радовать клиентов, предоставляя им то, что они хотят, когда они этого хотят и опережая конкурентов. От концепции продукта до отгрузки товаров мы стремимся обеспечить, чтобы каждая политика и процедура, система и процесс были направлены на повышение гибкости и реакции всей компании.Существует потребность во взаимодействии между всеми функциональными областями, особенно между маркетингом и производством, если организация хочет полностью реализовать свой потенциал, при этом производство используется в качестве стратегического оружия.
 Наша маркетинговая стратегия будет основана главным образом на том, чтобы клиенты знали, какие потребности может удовлетворить продукт (ы), и на предоставлении нужных продуктов и информации нужным целевым покупателям. Следовательно, мы намерены реализовать стратегию проникновения на рынок, которая обеспечит известность и уважение в соответствующей отрасли.Мы позаботимся о том, чтобы цены на наши продукты учитывали бюджеты людей, чтобы эти люди ценили продукт (ы) и знали о его существовании, в том числе о том, где его найти. Однако эти цены также будут учитывать стоимость производства и распространения, чтобы гарантировать, что мы останемся жизнеспособными и работоспособными. Маркетинговые усилия передадут ощущение качества и удовлетворения каждой картинкой, каждой рекламной акцией и каждой публикацией. Наша стратегия продвижения будет включать в себя интеграцию рекламы, мероприятий, личных продаж, связей с общественностью и прямого маркетинга.В долгосрочной перспективе также будет проводиться интернет-маркетинг, подробности которого представлены в разделе маркетинга следующего плана.
 Нашими целевыми рынками будут в первую очередь корпоративный и рабочий класс, которые ценят традиционное пиво хорошего качества. Рабочий класс будет варьироваться от горняков, составляющих значительную часть рынка, до административного персонала, ценящего традиционное пиво хорошего качества. Корпоративный или управленческий сегмент будет состоять из тех менеджеров, которые, зная о своем имидже и репутации, хотят снять галстуки и куртки в нерабочее время и / или в выходные, чтобы выпить хорошего традиционного пива, доступного в городских условиях.Общей связью будет признание качественного традиционного пива, способного утолить их жажду. Sedibeng в первую очередь нацелена на долю рынка в 6%, чтобы в первый год объем продаж составил около 1,5 млн долларов. Sedibeng Breweries будет гордиться своими производственными возможностями, конкурентоспособными ценами, высокими стандартами качества и способностью адаптироваться к изменениям на рынке и методам своей работы.
 Важно осознавать, что мы не стремимся к тому, чтобы одни только наши материальные ресурсы сделали нас сильными конкурентами, но, в большей степени, наши нематериальные активы, такие как наша способность общаться с потребителями, стиль управления, корпоративная культура и приверженность.Эти элементы будут отличать нас от наших конкурентов и будут способствовать развитию устойчивого конкурентного преимущества.
 Мы намерены хорошо оплачивать персонал, чтобы сохранить его бесценный опыт и обеспечить удовлетворение от работы и обогащение за счет делегирования полномочий. Наша компенсация будет включать медицинское обслуживание, щедрую долю прибыли и минимум трехнедельный отпуск. Как работодатель с равными возможностями, мы уважаем разнообразие и права человека наших сотрудников и стремимся достичь оптимальной производительности, реализуя при этом весь потенциал каждого сотрудника.Награды будут вручены выдающимся личностям, группам и предприятиям за упорный труд и производство, чтобы вызвать чувство веселья и способствовать поддержанию высоких стандартов. Поощряя всех сотрудников, близких к нашим клиентам, тактически думать о том, какими должны быть предложения услуг Sedibeng Breweries, и имея энтузиастов, способных и уполномоченных людей, взаимодействующих с нашими клиентами, мы создаем конкурентное преимущество, позволяя удовлетворять потребности наших клиентов лучше, чем кто-то еще.
 Sedibeng Breweries намеревается предложить покупателю больше, чем просто традиционное пиво. Мы намерены предложить качественное пиво, которое не только освежает и доставляет удовольствие, но и поощряет собрания и совместное веселье. Наши клиенты уверены, что продукция произведена с соблюдением высочайших стандартов качества.
 По мере роста мы хотим расти правильно. Изначально стремясь к органическому развитию и расширению, мы намерены осуществить вертикальную интеграцию в будущем, чтобы полностью контролировать отгрузку нашего сырья и товаров.Например, мы понимаем, что должны быть в постоянном контакте с заинтересованными сторонами, чтобы всегда обеспечивать знание рынка. Такова природа каналов, с которыми мы имеем дело. Также мы намерены правильно строить нашу управленческую команду. Если мы хотим обеспечить оптимальный рост, нам нужны нужные люди в нужном месте и в нужное время. Мы намерены развивать нашу команду так, чтобы наши люди могли расти по мере роста компании — взаимовыгодные отношения. Мы будем стремиться к достижению нашей основной цели — развивать и укреплять нашу лицензию на торговлю, даемую сообществами, в которых мы работаем.По мере того, как Sedibeng Breweries процветает и растет, эти сообщества будут продолжать получать выгоду как от ценности, созданной Sedibeng, так и от ее поведения как корпоративного гражданина.
 1.1 Цели
 Наша бизнес-стратегия будет вращаться вокруг необходимости предоставлять качественное пиво различным целевым клиентам, при этом полностью удовлетворяя их потребности. Это будет достигаться за счет внедрения высоких стандартов контроля качества и технологических инноваций, а также найма профессиональной команды по производству и продажам и производства качественных маркетинговых материалов, предназначенных для обслуживания различных категорий клиентов.Эти маркетинговые материалы должны быть подготовлены профессионально, чтобы отражать наш предполагаемый имидж и репутацию. Мы будем позиционировать себя как качественный производитель, который стремится обеспечить удовлетворение, удовольствие, надежность и хороший имидж. Мы намерены установить хорошие отношения со всеми заинтересованными сторонами.
 Со временем мы намерены установить свое присутствие во всемирной паутине, что расширит знания о наших продуктах для различных сегментов рынка, на которые мы будем ориентироваться.Веб-присутствие — естественная цель привлечения подходящих потенциальных клиентов. Хорошо оформленные брошюры, профили компаний и визитные карточки часто побуждают клиентов, собирающихся заказать нашу продукцию. Следовательно, это, несомненно, приведет к увеличению продаж нашей продукции.
 Наши цели будут строиться вокруг следующих руководящих принципов:
 Обеспечение прекрасных рабочих условий, уважительное и достойное отношение друг к другу.
 Применяйте высокие стандарты качества ко всем бизнес-процессам.
 Постоянно находите удовлетворенных с энтузиазмом клиентов.
 Вносить позитивный вклад в развитие наших сообществ и окружающей среды.
 Постоянно формализовать и измерять межфункциональную рабочую коммуникацию, чтобы гарантировать, что различные отделы работают слаженно для достижения целей компании.
 Чтобы привить культуру постоянного совершенствования, превзойдя стандарты удовлетворенности клиентов и эффективности.
 Полностью привержен поддержке роста и развития экономики.
 В конечном итоге мы намерены создать стабильную бизнес-платформу, которая обеспечит процветание для всех, кто участвует в бизнес-предприятии на всех уровнях, и поднять уровень безработных ботсванцев, которые готовы участвовать в этом предприятии.
 1.2 Ключ к успеху
 Ключом к успеху Sedibeng Breweries, несомненно, будет эффективная сегментация рынка за счет определения нескольких нишевых рынков и стратегий реализации. В этом направлении компания намерена реализовать стратегии рекламы, личных продаж и прямого маркетинга, нацеленные на целевые рынки.Наши стратегии рекламного маркетинга будут меняться.
 Следовательно, наши ключевые факторы успеха будут включать следующее:
  Превосходство в выполнении обещания:  Мы намерены производить и предоставлять нашим клиентам продукцию бескомпромиссного качества. Это сделано для того, чтобы удовлетворить потребности и стандарты наших клиентов.
  Эффективная и действенная распределительная сеть:  Невозможно переоценить важность этого в нашей сфере деятельности. Мы намерены создать отличную дистрибьюторскую сеть, которая позволит нам быстро реагировать на заказы клиентов и будет доступна в отдаленных районах, которые наш конкурент еще не использовал.
  Технология сборки:  Для обеспечения качества сваренных напитков важно использовать новейшие и наиболее эффективные технологии сборки. Идя в ногу с технологическим развитием, мы получаем и сохраняем конкурентное преимущество за счет использования новейших производственных технологий.
  Лояльность и преданность делу:  Лояльность и преданность наших сотрудников необходимы для процветания организации. Мы понимаем, что стремление корпорации к успеху должно вести к выживанию и процветанию продуктов и, в конечном итоге, организации в целом.
  Маркетинговое ноу-хау:  В условиях все более жесткой конкуренции на рынке необходимо активно продвигать наш бизнес, чтобы постоянно быть в центре внимания наших потенциальных и нынешних клиентов.
  Приверженность строгим ценностям и принципам:  Седибенг должен признать тот факт, что финансовое и стратегическое управление бизнесом в конечном итоге будет определять его процветание и успех. Следовательно, мы намерены придерживаться строгих ценностей и принципов, которые позволят этого достичь.
 1.3 Миссия
 Sedibeng Breweries стремится создать приятную, приятную и общительную среду, предлагая освежающее высококачественное пиво. Поэтому мы намерены помочь в создании доброжелательной и непринужденной атмосферы, отражающей радость людей. Мы внимательно относимся к вкусу, внешнему виду и ощущениям хорошего пива, а также к доступным ценам в зависимости от рынка. Мы стремимся предоставить максимально возможную ценность для наших клиентов, которые заботятся о качественной продукции по доступным ценам, и хотим, чтобы каждый доллар, потраченный на нашу продукцию, был потрачен не зря.Следовательно, наше ценностное предложение состоит в том, чтобы продавать преимущества освежения и удовольствия нашим различным потребителям по разумным ценам.
 Внутри компании мы намерены создавать и поддерживать здоровую, творческую, уважительную и приятную среду в офисе и на предприятии, в которой наши сотрудники получают справедливое вознаграждение и поощряют уважать клиентов и качество продукции, которую мы производим. Кроме того, последующие действия будут обязательными, чтобы обеспечить удовлетворенность клиентов и внести любые улучшения в соответствии с рекомендациями клиентов в будущем.Мы стремимся к справедливой и ответственной прибыли, достаточной для поддержания финансового благополучия компании в краткосрочной и долгосрочной перспективе и справедливой компенсации владельцам и инвесторам денег и рисков.
 Мы также намерены получить сертификат ISO 9000 от Южноафриканского бюро стандартов (SABS), чтобы наша продукция получила международное признание и одобрение. Это поможет нам выйти на региональные и международные рынки, в отношении которых мы имеем намерения в будущем. Однако это произойдет после того, как мы утвердимся на местном рынке.Сказанное выше хорошо изложено в нашем заявлении о миссии, которое гласит:
 Наша миссия — тщательно следить за соблюдением гигиены во всех наших пивоварнях и поддерживать превосходное качество на всех уровнях производства. Чтобы удовлетворить всех наших клиентов и заинтересованных лиц.
 Бизнес-план
 Brewery и ключевые элементы, которые будут включены в него
 Независимо от того, находитесь ли вы на начальных этапах создания пивоварни или ищете возможности расширения для увеличения присутствия пивоварни, бизнес-план может помочь вам в этом.Бизнес-план — это письменный документ, в котором описываются все детали вашего пивоваренного бизнеса, включая цели, продукты и инвентарь, организационную структуру, продажи, бухгалтерский учет и многое другое.
 Прежде чем приступить к работе, важно понять, в каком положении находится ваш бизнес в настоящее время, и составить план того, чего вы хотите достичь в ближайшие несколько лет. Бизнес-план не только позволяет вам и вашей команде быть на одной странице, но также предлагает заглянуть за занавес для потенциальных инвесторов или кредиторов, которых вы, возможно, рассматриваете для дополнительного финансирования.
 Имейте в виду, что ваш бизнес-план не должен быть высечен на камне. По мере роста вашей пивоварни вам может потребоваться корректировка и изменение ваших планов роста — и это нормально! Думайте о бизнес-плане вашей пивоварни как о живом документе, который необходимо ежегодно обновлять, чтобы соответствовать требованиям вашей растущей компании.
 Что включить в бизнес-план пивоваренного завода
 При составлении бизнес-плана пивоварни всегда следует учитывать несколько элементов. Но важно помнить, что, хотя существуют общие шаблоны, которым нужно следовать, ваш бизнес-план предназначен для  вашей пивоварни , что означает, что вы можете настроить его так, как считаете нужным.
 Несколько разделов, которые вам следует рассмотреть, чтобы включить в бизнес-план пивоваренного завода:
 Краткое содержание
 Каждый бизнес-план должен начинаться с резюме, чтобы дать общий обзор истории вашей пивоварни, миссии, команды, местоположения (а), целей роста и финансовых целей. Помните, что это резюме — вам не нужно вдаваться в подробности в этом разделе, потому что вы будете углубляться в эти темы на протяжении всей остальной части бизнес-плана.
 Описание и анализ компании
 Что делает вашу пивоварню уникальной на современном рынке? Что изначально побуждало вас открывать двери? Какие преимущества вы пытаетесь предоставить своим клиентам? Вы небольшая пивоварня, пивоварня в таверне или региональная пивоварня? Есть ли у вашей пивоварни или персонала какие-либо награды или достижения, которые помогают вам выделиться среди конкурентов? Какие вехи вы достигли или достигли основных целей по продажам? Используйте этот раздел, чтобы рассказать, кто ваша пивоварня и какие мотивы стоят за тем, что вы делаете.
 Анализ рынка
 За последние несколько лет индустрия крафтового пивоварения становится все более и более насыщенной. Независимо от того, были ли вы первой или последней пивоварней, присоединившейся к вашему местному рынку, важно знать, где вы находитесь среди них. Полезно включить анализ рынка в бизнес-план пивоваренного завода, чтобы понять, что у ваших конкурентов хорошо и где могут быть пробелы, которыми вы можете воспользоваться. Сколько сортов пива они предлагают в своем меню? Как часто меняется их меню? Предлагают ли они ежемесячные пивные клубы или членство? Есть ли у них программа лояльности клиентов? Предлагают ли они экскурсии по процессу пивоварения? Их крафтовые напитки продаются в местных продуктовых магазинах или продаются только в пивных? Понимание позиций ваших конкурентов позволяет вам принимать обоснованные бизнес-решения и успешно ориентироваться на конкурентном рынке.
 Организационная структура
 Независимо от того, управляете ли вы небольшой командой пивоваров или управляете крупномасштабным предприятием с командой из 20+ человек, вероятно, существует какая-то организационная структура. Четко опишите структуру вашей команды на основе бизнес-секторов вашего бизнеса крафтового пивоварения — перечислите команду руководителей и тех, кто им подчиняется.
 Инвентарный перечень продуктов
 Для бизнеса, основанного на товарах, крайне важно иметь пульс на ваших запасах.Без необходимых материалов на складе вы не сможете варить свою продукцию или расфасовывать пиво для потребления. Наличие проверенного процесса инвентаризации продукции гарантирует, что ваша пивоварня будет продолжать работать, избегая потенциальной паузы в производстве, которая может помешать достижению ваших целей роста.
 Создайте план, который улучшает видимость инвентаря для каждого члена вашей команды. Если у вас мало продукта, как ваша команда узнает о нем? Каким будет процесс обеспечения закупки дополнительных принадлежностей и материалов? Наряду с возможностью быстрого отслеживания запасов, стратегический бизнес-план пивоваренного завода также требует от вас процесса точного прогнозирования заказов на складские запасы.В то время как управление запасами поможет вам узнать, когда товар низкий, прогнозирование переупорядочения запасов поможет вам определить наиболее эффективные временные рамки, когда необходимо совершить покупки.
 Маркетинг и продажи
 Когда дело доходит до маркетинга вашего бизнеса для получения дополнительных доходов, найдите время, чтобы задать себе следующие вопросы:
 Какова ваша текущая маркетинговая стратегия для развития нового бизнеса?
 Как вы планируете сделать нового клиента постоянным?
 Что вы будете делать, чтобы оставаться в центре внимания существующих клиентов?
 Где вы должны продавать свою пивоварню в сообществе?
 Как ваша пивоварня будет продавать вашу продукцию?
 Существует ли процесс обработки заказов на продажу и счетов-фактур?
 Где вы будете хранить важные детали истории заказов клиентов?
 Обдумайте приведенные выше вопросы, чтобы заполнить все пробелы, которые помогут вам быстрее достичь своих целей.
 Запрос на финансирование
 Если целью вашего бизнес-плана является привлечение дополнительного финансирования, чтобы помочь вам расширить или расширить охват вашей пивоварни, тогда вы захотите включить раздел запроса финансирования. В этом разделе вы объясните, сколько финансирования вы запрашиваете и как оно будет использоваться, что позволит инвесторам получить полную информацию о том, куда идут их деньги.
 Финансовые прогнозы
 Как владелец пивоварни вы понимаете, что ваш успех часто определяется прибылью и доходом компании.Соберите несколько банковских выписок, отчетов о доходах, отчетов о движении денежных средств, информации о ссуде и любых дополнительных документов, которые могут помочь продемонстрировать прибыльность вашей пивоварни. Имейте в виду, что за кулисами управления пивоваренным заводом происходит много всего, и, когда у вас так много всего, использование программного обеспечения для бухгалтерского учета жизненно важно для ведения точного учета и отслеживания того, как обстоят дела в бизнесе.
 Хотя они ясно покажут текущее положение вашей пивоварни, полезно также включить прогнозы вашего финансового положения в следующие пять, десять лет и т. Д.Используя эти прогнозы, вы можете создавать реалистичные цели, разбитые на квартальные спринты, которые помогут вам достичь их более успешно.
 Приложение
 Чтобы завершить бизнес-план пивоваренного завода, приложите все сопутствующие материалы в приложении. Это может быть что угодно, связанное с вашим бизнесом, от наград и сертификатов до резюме руководящей команды.
  Посмотрите это короткое видео от CPA Кэри Шамуэй, где он дает экспертные советы по созданию бизнес-плана пивоварни.Чтобы получить более подробные инструкции, включая образцы планов, шаблоны и таблицы финансового планирования, вы можете подписаться на его курс «Бизнес-план пивоварни». 
 Pro Совет: придерживайтесь бизнес-плана своей пивоварни с помощью ПО для управления бизнесом
 Есть много движущихся частей, которые должны оставаться синхронизированными, если ваша пивоварня собирается успешно достичь ваших бизнес-целей. Программное обеспечение для управления пивоваренными заводами позволяет вам отслеживать все аспекты вашего бизнеса быстрее и эффективнее, от управления запасами до продаж и бухгалтерского учета.
 Хотя универсального продукта не существует, ваше программное обеспечение для управления пивоварением должно быть в состоянии помочь:
 Отслеживайте свои запасы и сообщайте, когда они заканчиваются
 Отслеживайте свои запасы одним нажатием кнопки для уверенного выполнения заказов
 Рассчитывайте производственные затраты для предстоящих партий с использованием данных исторической стоимости
 Создавайте счета-фактуры и синхронизируйте их с программное обеспечение для бухгалтерского учета вашей компании
 Отчетность и отслеживание показателей продаж и производства на панелях мониторинга высокого уровня
 Обеспечение прозрачности бизнес-показателей на ходу с любого устройства
 Даже с лучшими сотрудниками могут произойти ошибки, которые поставят под угрозу продажи и повредит ваш доход.Использование программного обеспечения для управления пивоварней предоставляет вашей команде все необходимое для принятия обоснованных решений, которые принесут пользу вашей пивоварне.
  Подробнее: Как узнать, что вы готовы инвестировать в технологии »
 Зачем вашей пивоварне бизнес-план
 Опыт роста волнует любого владельца бизнеса, но он также может оставить вас с долгими днями и бессонными ночами, если речь идет о проблемах роста. Составление надежного бизнес-плана для вашей пивоварни поможет вам с первого дня выработать разумную стратегию роста для вас и вашей команды.Хотя это отличный инструмент, позволяющий убедиться, что вы идете по пути к своим целям, ваш бизнес-план также можно использовать, чтобы показать вашей команде и потенциальным инвесторам, насколько прибыльна и успешна ваша пивоварня.
 Рост
 Как владелец пивоварни, вы хотите сделать все, что в ваших силах, чтобы ваш бизнес работал бесперебойно. Чтобы поддерживать успешный и прибыльный бизнес, вам необходимо наметить цели роста, к достижению которых нужно стремиться. Планируете ли вы остаться в одном месте или планируете расширить количество пивных в течение следующих нескольких лет? Подумайте, сколько человек вы нанимаете в настоящее время и какое количество вы планируете нанять по мере достижения ваших целей по продажам.Будете ли вы продавать пиво только на месте в вашем регионе или предложите свой выбор в региональных продуктовых магазинах и ресторанах? Определите реалистичные цели для своей пивоварни и установите сроки, в которые вы надеетесь их достичь. Этот дополнительный уровень видимости будущего вашего бизнеса заставит вас более ответственно относиться к вашей работе по достижению квартальных показателей, создавая идеальную дорожную карту для достижения успеха.
 Инвесторы
 Планируете ли вы расширить производство на своем текущем предприятии или инвестируете в дополнительные объекты, финансовая осуществимость этих стратегий будет зависеть от того, какой доход вы принесете в следующие несколько лет.Хотя у вас есть возможность продлить сроки достижения ваших целей роста, если продажи не достигают запланированной отметки, вы также можете передать на аутсорсинг дополнительные возможности финансирования, чтобы помочь вам в развитии своей пивоварни. Имея надежный бизнес-план, у вас будет инструментарий, необходимый для того, чтобы продемонстрировать кредиторам, почему они должны чувствовать себя комфортно, делая ставки на ваш бизнес по пивоварению.
 Деловые решения
 Владение пивоварней — это чрезвычайно полезная возможность, но это не значит, что всегда будет легко.На протяжении многих лет вам придется принимать трудные решения, а иногда и быстро. Выделив время на то, чтобы составить бизнес-план для своей пивоварни и регулярно его обновлять, вы всегда будете держать руку на пульсе операций и отслеживать цели. Благодаря вашему вниманию к каждому аспекту бизнеса вы сможете принимать уверенные и осознанные решения, которые принесут пользу вашей пивоварне.
 Советы пивоварни по планированию
 Как превратить пивоваренное увлечение в пивоваренный бизнес? Крафтовые пивовары по всей стране обсуждают этот вопрос каждый день, и каждому пивовару необходимо решать региональные проблемы и искать новые стратегии для использования возможностей.Что вас отличает? Оправдит ли ваше уравнение производства / выручки существование вашей компании?
 Возьмем, к примеру, Спенсера О’Брайана и Бреннана Манн. Эти двое занимались домашним пивом и изучали пивоварение как хобби на протяжении большей части последнего десятилетия, но затем заинтересовались распространением этой пивной страсти среди более широкой аудитории в своем районе. Их местностью также является Денвер, один из наиболее конкурентоспособных регионов для крафтового пивоварения в стране. Запуск здесь нового бренда крафтового пивоварения потребовал серьезного стратегического планирования, что привело к тому, что осенью 2012 года они прошли курс NxLeveL для стартапов в Центре развития малого бизнеса Денверского метрополитена (SBDC), который был ускоренным курсом по написанию бизнес-планов.
 «С самого начала мы знали, что нам понадобится помощь в написании бизнес-плана», — сказал О’Брайан  Craft Brewing Business . «Не потому, что мы были неспособны собрать воедино детали или даже правильно отформатировать план, вместо этого наша цель состояла в том, чтобы использовать классы для скорейшего формирования хорошо продуманного плана. Мы надеялись, что занятия дадут нам хорошую основу для написания бизнес-плана, а также раскроют детали в процессе написания плана, которые в противном случае мы бы упустили из виду.Кроме того, мы использовали занятия в качестве катализатора для завершения бизнес-плана ».
 Не позволяйте этим взволнованным улыбкам вводить вас в заблуждение, открыть новую пивоварню с нуля — это тяжелый труд. Спенсер О’Брайан (слева) и Бреннан Манн (справа) усердно работали над планированием всех аспектов своего молодого пивоваренного бизнеса.
 Прорабатывая бизнес-детали в классе, чтобы построить бизнес-план, О’Брайан и Манн поняли цели и направленность своего пивоваренного предприятия на совершенно другом уровне.
 «Это заставило нас задуматься о том, чего мы действительно хотели достичь, открыв пивоварню», — сказал О’Брайан. «Мы поняли, что в своей основе мы стремимся к качеству, общению и прозрачности».
 «План также помог нам как команде», — сказал Манн. «Чаще всего мы выносили идеи на стол индивидуально и в итоге получали более полные, лучше сформулированные идеи».
 После занятия бизнес-планы были представлены на конкурс, и план команды занял второе место из 29 заявок в конкурсе региональных бизнес-планов метро Денвера.Оттуда бизнес-план был представлен на Конкурс передовых бизнес-планов штата на 2012 год. Их план снова занял второе место, на этот раз из общего пула, состоящего из 35 бизнес-планов.
 По мнению судей, план занял второе место из-за количества деталей, включенных в план. Он продемонстрировал четкое понимание элементов, которые необходимо решить, включая их краткое изложение, описание продукта, рыночную и маркетинговую стратегию, управление и операции.Их предположения были реалистичными и разумными. Финансовая часть была представлена ​​в хорошей форме и соответствовала общепринятым принципам бухгалтерского учета, которые соответствовали остальной части плана. В целом план был четким и лаконичным.
 «На данный момент план служит двум целям», — сказал О’Брайан. «Во-первых, это поможет определить наш бизнес в будущем и послужит ориентиром для операций. Мы понимаем, что планы должны быть живыми, поскольку постоянные изменения и адаптация имеют решающее значение для успеха.Во-вторых, план помогает донести до инвесторов и кредиторов базовый план бизнеса и операций ».
 План за планом 
 Наша задача — делать отличное пиво, которое мы любим, а не зарабатывать деньги. Но на самом деле, если у вас нет чрезвычайно подробного способа отслеживать и прогнозировать финансы, вы не сможете долго варить отличное пиво. — Спенсер О’Брайан: Как отметили судьи, бизнес-план выделялся деталями, которые также помогли лучше сформировать концепцию пивоварни, особенно в части маркетинга и финансирования.
 Маркетинговая часть плана, например, была сосредоточена не только на том, как команда планирует вывести свои новые сорта пива на рынок и стать частью сообщества, но также давала подробную статистику о том, какие районы будут готовы к крафтовая пивоварня. Финансовая часть пошла на такой же уровень детализации. Он включал подробные прогнозы денежных потоков, вплоть до прогнозируемых продаж отдельных сортов пива, основанные на текущих рыночных тенденциях.
 «Это также заставило нас учитывать время цикла для ферментеров и время варочного цеха», — сказал О’Брайан.«Это определенно часть плана, которая изменится в тот момент, когда мы начнем варить и продавать пиво, но она дает нам отличную основу для работы. Наша задача — делать отличное пиво, которое мы любим, а не зарабатывать деньги. Но на самом деле, если у вас нет чрезвычайно подробного способа отслеживать и прогнозировать финансы, вы не сможете делать отличное пиво очень долго ».
 Другие детали, которые эти двое обозначили в плане, включали внешний вид пивного зала, примеры этикеток и ручек кранов, а также то, что именно они планируют делать, чтобы выполнить аспект кредо своей компании «участие сообщества».
 «У нас было так много замечательных идей в процессе написания плана, что план стал способом каталогизировать все», — сказал Манн.
 Пивовары, пивовары повсюду 
 Многие начинающие компании выходят на рынок, чтобы заполнить кажущуюся пустоту или рыночную неэффективность. Соединенные Штаты — большая страна, и теперь крафтовые пивовары усеивают этот ландшафт, стремясь быть местным пивоваром в этой области и, возможно, даже больше. Но как насчет такого места, как Денвер, штат Колорадо, где Манн и О’Брайан планируют открыть магазин? Некоторым это может показаться перенасыщенным, но география была еще одним важным направлением бизнес-плана, поскольку они использовали исследования для подтверждения своей концепции.
 «Крафтовое пивоварение в Колорадо определенно является страной конкуренции, но конкуренция порождает превосходство», — сказал О’Брайан. Мы осознаем количество пивоварен, которые уже существуют в Денвере, а также планируемое количество пивоварен. Поэтому мы считаем, что выбор места является критически важным для успеха. План также включал подробный пространственный анализ местоположений, включая анализ рынка, населения и близости к другим пивоварням. Есть множество пивоварен, которые уделяют внимание стилистической или региональной нише.Мы предпочитаем оставаться агностиками, когда дело касается стиля и региональных предпочтений.
 «Мы планируем создать пивоварню, ориентированную на сообщества, которая будет предлагать не только стабильное меню выбора стилей, но и вращающийся выбор крана, который обеспечивает некоторые чрезвычайно креативные стили пива. Независимо от того, является ли пиво одним из наших основных продуктов, сезонным элем, лагером для сессий или экспериментом с небольшими партиями, оно будет иметь огромный вкус, большую консистенцию и вдохновит на то, чтобы расширить палитру любителей настоящего крафтового пива.”
 По словам О’Брайана, идеал компании — создавать пиво мирового класса, а не создавать малоизвестное пиво ради новинок.
 «В то же время мы не заинтересованы в создании пива, которое привлекает массы», — продолжил он. «Мы заинтересованы в создании пива, которое вдохновляет нас как любителей крафтового пива и постоянно напоминает нам о том, почему мы вообще начали варить пиво. На втором месте после пива — наша приверженность управлению пивоварней, которая ориентирована на обслуживание нашего сообщества, стремится поставлять ингредиенты из Колорадо самого высокого качества и с каждым годом становится все более устойчивой.”
 Четыре основных совета по бизнес-плану 
 О’Брайан и Манн рекомендовали эти четыре совета другим начинающим крафтовым пивоварам, пытающимся составить собственный подробный бизнес-план.
 
  Читайте, читайте, читайте.  Читайте книги, исследования, опросы, статьи и все, что попадется вам в руки. И только потому, что вы закончили план, не прекращайте читать.
 
  Будьте готовы как можно подробнее изложить свой план .Это помогает определить скрытые затраты, выявить дыры в ваших идеях и заставить все части плана работать согласованно.
 
  Не бойтесь задавать вопросы пивоварам и пивоварням.  Вы будете удивлены, узнав, какую информацию и советы вы можете получить.
 
  Тщательно исследуйте товарные знаки, если название вашей пивоварни является важным компонентом вашего плана.  К счастью, мы рано усвоили этот урок.
 
 Лучшие планы… 
 Манн и О’Брайан все еще ищут подходящее место для своей пивоварни и на самом деле находятся в процессе изменения названия, потому что даже самые продуманные планы столкнутся с трудностями.Манн сказал нам, что у них возникли небольшие проблемы с товарным знаком с их первоначальным названием Halcyon Brewing.
 Вставьте здесь штампы о лучших разработанных планах: после того, как весь процесс планирования был тщательно продуман, на дороге все еще есть неровности, о чем свидетельствует проблема с товарным знаком, из-за которой О’Брайан и Манн придумали совершенно другое имя и логотип, как показано выше.
 «Мы были глубоко разочарованы, когда мы узнали из бюро по товарным знакам, что наша заявка была отклонена из-за вероятности путаницы клиентов с пивом другой пивоварни», — сказал Манн.«Из-за этого нам фактически пришлось отказаться от всего, над чем мы работали в прошлом году в отношении маркетинга. Это действительно поставило нас в штопор относительно того, что мы можем сделать, поскольку нам казалось, что буквально каждое имя, которое мы могли придумать, уже было поглощено ранее существовавшей пивоварней или винодельней ».
 Но, как вы читали, Манн и О’Брайан проделали большую работу по планированию и исследованиям и не успели зайти так далеко в спешке с запуском, чтобы переименование бренда могло стать концом игры. Вскоре пивоварня, ранее известная как Halcyon, официально объявит о своем новом названии и продолжит свой подробный путь к открытию местной крафтовой пивоварни.
 «Когда мы разобрались с этим, стало очевидно, что нам нужно будет разработать что-то по существу пуленепробиваемое, чтобы избежать проблем с товарными знаками, с которыми, похоже, сталкиваются многие пивоваренные заводы в последнее время», — продолжил он. «Помня об этом, мы создали название, которое объединило два слова, описывающих нашу пивоварню: FERMÆNTRA. Мораль нашей истории, опять же, состоит в том, чтобы серьезно изучить гипотетическое название компании, прежде чем тратить деньги на такие вещи, как маркетинговые материалы и приложения ».
 В этом году FERMÆNTRA надеется открыть систему на 7 баррелей и произвести около 300 баррелей в течение первого года.
 Как составить бизнес-план своей первой пивоварни
 Создание пивоварни
 По данным Brewers Association, в 2017 году в США было 6372 пивоварни, из которых микропивоварни составили 3812 (примерно 60%). Стандартная пивоварня производит пиво в больших количествах, обычно более 15 000 баррелей в год. Микропивоварня, также известная как ремесленная пивоварня, представляет собой меньшее предприятие, производящее менее 15 000 баррелей в год. Микропивоварни, как правило, принадлежат частным лицам из-за небольшого размера.Владельцы мини-пивоварен производят пиво с характерным вкусом и используют технологию, отличную от традиционных пивоварен.
 Хотя минипивоварни меньше по размеру, чем традиционные пивоварни, они все же требуют значительного планирования и денег, чтобы начать работу. Выход в пивоваренную промышленность требует больших инвестиций, поскольку пивоваренная промышленность облагается высокими налогами. Однако появился новый налоговый кодекс, который предоставляет американским пивоварам налоговые льготы на два года. Создание вашего первого бизнес-плана пивоварни необходимо для увеличения вероятности успеха вашей пивоварни или микропивоварни.Ваш первый бизнес-план пивоварни — это полезный инструмент, который поможет вам получить финансирование и эффективно управлять пивоварней или минипивоварней.
 Загрузите образец бизнес-плана пивоварни, чтобы начать работу:
  Прежде чем составить свой первый бизнес-план, вам следует сделать следующие первые шаги: 
 Изучите отрасль пивоварения, прочитав всю информацию, которую вы можете найти. Тематические исследования, книги и статьи содержат полезные советы о том, что нужно для ведения пивоваренного бизнеса.
 Свяжитесь с другими пивоварами, у которых есть успешные пивоварни, и задайте как можно больше вопросов. Нет ничего лучше, чем получить информацию из первых рук о подводных камнях, которых следует избегать при запуске пивоваренного бизнеса.
 Подумайте о названиях своих сортов пива и узнайте, были ли эти названия зарегистрированы как торговые марки. Этот шаг важен, чтобы вы не тратили деньги на маркетинговые и рекламные материалы только для того, чтобы узнать, что вам не разрешено использовать это имя.
 У большинства пивоваров есть страсть к производству пива, однако это увлечение может не поддерживать процветающий бизнес, если они не смогут спланировать все возможные ситуации при открытии и эксплуатации пивоварни или микропивоварни.  Приведенные ниже вопросы помогут вам прояснить свое видение, если вы планируете открыть пивоварню, минипивоварню или крафтовую пивоварню: 
 Вы взяли на себя обязательство узнать все федеральные законы и законы штата в очень жестко регулируемой пивоваренной отрасли ?
 Вы выберете производственную пивоварню или пивоварню?
 Чем вы будете отличать свою пивоварню от всех остальных?
 Какие напитки вы будете варить? Собираетесь ли вы сосредоточиться только на элях или добавите другие напитки, например, лагеры?
 Вы думаете об открытии нескольких заведений?
 Как будет выглядеть ваша сеть сбыта и каналы сбыта?
 Собираетесь сконцентрироваться на продаже напитков в собственном баре?
  Составьте свой первый бизнес-план пивоварни 
 Вы можете начать бизнес-план пивоварни или микропивоварни с нуля или загрузить этот образец ниже: 
  Образец бизнес-плана пивоварни Ссылка для скачивания 
 Следующие разделы должны быть включены в вашем бизнес-плане, независимо от того, открываете ли вы традиционную пивоварню, микропивоварню или планируете продавать крафтовое пиво:
  Краткое содержание —  Краткое изложение вашего первого бизнес-плана пивоварни представляет собой обзор, который дает набросок ключевых моментов, упомянутых в остальной части документа.
  Цели и задачи —  Раздел целей информирует читателя о том, где вы планируете развивать свой пивоваренный бизнес, и ваши цели определяют, как вы достигнете своих целей.
  Краткое описание компании —  В этой части бизнес-плана пивоваренного завода вы должны указать подробную информацию о вашей пивоваренной компании. Резюме компании должно включать вашу историю и то, что делает вас уникальным. Также следует выделить любые достижения и награды, полученные вашим пивом.
  Собственность компании —  Инвесторам полезно знать как можно больше о человеке или людях, стоящих за пивоваренным бизнесом. Используйте этот раздел, чтобы описать свой опыт и квалификацию для работы на пивоваренном заводе. Убедитесь, что вы сосредоточены на сильных сторонах каждого совладельца и на том, как они будут использовать свой опыт для обеспечения успеха пивоварни.
  Анализ рынка —  В этом разделе бизнес-плана вашего пивоваренного завода вы можете ознакомиться с обзором пивоваренной отрасли.Вы должны указать факты и цифры о росте и популярности пива на национальном и местном уровне. Кроме того, вам нужно будет предоставить информацию о демографических характеристиках региона, в котором вы будете продавать пиво. Наконец, вы должны объяснить причины роста продаж пива и предоставить доказательства, позволяющие предположить, что эта тенденция сохранится в будущем.
  Стратегия и реализация —  Используйте этот раздел, чтобы объяснить, как вы будете развивать свой пивоваренный бизнес.Проконсультируйтесь по поводу своей стратегии продаж, подробно указав количество продавцов, которых вы будете нанимать, и комиссию, которая будет выплачиваться. В этот раздел также следует включить информацию о том, собираетесь ли вы предоставлять скидки оптовым покупателям. 
 Прогнозы продаж — вы должны предоставить подробную информацию о своем прогнозе продаж как минимум на три года. Инвесторы должны иметь представление о том, как они вернут свои деньги, и в этом разделе им подробно рассказывается о том, как, по вашему мнению, будет работать ваша пивоварня.
  Управление —  В этой части бизнес-плана вашего пивоваренного завода будет подробно рассказано о персонале, который потребуется для управления вашей пивоварней. Вы должны указать всех членов управленческой и неуправленческой команды, включая зарплату, которую вы собираетесь платить. В конце этого раздела вы должны указать общую сумму, которую вы планируете потратить на заработную плату.
  Финансы —  Финансовый аспект бизнес-плана вашего пивоваренного завода подробно описывает важные цифры, которые инвесторы будут рассматривать, чтобы принять решение о финансировании вашей пивоварни.Финансовый раздел бизнес-плана пивоваренного завода должен включать анализ безубыточности, прогноз прибылей и убытков и прогнозируемый денежный поток.
  Приложение —  Используйте приложение к бизнес-плану пивоваренного завода для получения дополнительной информации, которая не может быть раскрыта в основной части документа. Например, вы можете включить полную разбивку вашего личного плана и общих предположений, которые вы сделали в отношении определенных финансовых прогнозов.
  Как открыть пивоварню 
 После того, как вы изучили и потратили время на создание бизнес-плана для своей пивоварни или микропивоварни и получили соответствующее финансирование, выполните следующие шаги, чтобы начать свой бизнес:
  Найдите место 
  Выберите свое оборудование 
  Получите финансирование 
  Отремонтируйте свои помещения 
  Получите страховку 
  1.Найдите место 
 Выбор места для вашей пивоварни или микропивоварни — одно из наиболее важных решений, которые вам нужно будет принять. Идеальный сценарий — начать свой пивоваренный или микропивоваренный бизнес в том районе, который вы хотели бы обслуживать. Вам необходимо продумать, есть ли в выбранной вами области помещения с достаточным пространством, подходящим зонированием, доступом для сырья и доступом клиентов.
  2. Выберите ваше оборудование 
 Тип оборудования, которое вы используете, может создать или сломать вашу пивоварню или минипивоварню.Вы можете выбрать новую настраиваемую систему для приготовления крафтового пива. Однако это может занять много времени и задержать открытие вашей пивоварни. В качестве альтернативы вы можете купить подержанную систему, но вы можете столкнуться с проблемами, если система выйдет из строя и продавец не окажет поддержки. Для работы пивоварни или микропивоварни необходимо следующее оборудование:
  Система затирания  — Если вы производите не менее 1000 литров пива за партию, вам понадобится система затирания, которая включает электрический парогенератор, резервуар для затора, фильтр чан, мельница для солода, теплообменник и насос для сусла.
  Системы ферментации —  Вам понадобится резервуар для ферментации, охлаждающий насос и оборудование для добавления дрожжей в процессе ферментации.
  Фильтровальные системы —  Чтобы избавиться от отложений, вам потребуются фильтрующий насос и резервуар из диамита, что также улучшает качество вашего пива.
  Система охлаждения —  Холодильная машина и большой резервуар для жидкости необходимы для охлаждения пива и предотвращения роста бактерий.
  Элементы управления —  Элементы управления необходимы для вашего холодильника, и вам также понадобится главная плата управления для ваших насосов и всей электроники, чтобы обеспечить безопасность вашей мини-пивоварни.
  Очистка и дезинфекция —  Бак для щелочного раствора, промывочный насос и большой резервуар необходимы для стерилизационного раствора. Это оборудование следует использовать для стерилизации оборудования вашей пивоварни.
  Кран для розлива / розлива пива в кеги —  У вас должен быть насос для розлива пива в кеги и завод по розливу, если вы собираетесь разливать пиво в бутылки.
  3. Получение финансирования 
 Вы уже должны были спрогнозировать затраты на запуск вашей пивоварни или микропивоварни в процессе бизнес-планирования.Вы можете выбрать несколько различных способов финансирования своей пивоварни или микропивоварни, включая обычный банковский заем, частные инвесторы или заем Управления малого бизнеса (SBA). Согласно profableventure.com, затраты на запуск вашей пивоварни или микропивоварни должны включать следующее:
 Регистрационный сбор — 750 долларов США.
 Юридические расходы на получение лицензий и разрешений — 1300 долларов США.
 Расходы на маркетинг и продвижение торжественного открытия — 3 580 долларов США.
 Бизнес-консультации — 2500 долларов США.
 Разрешения, страхование и лицензии — 5000 долларов США.
 Строительство или ремонт вашей пивоварни — 200 000 долларов.
 Оборудование для пивоварни — 150 000 долларов США.
 Оргтехника — 15 000 долларов США.
 Сайт — 700 долларов.
 Разное — 5000 долларов.
  Начальные затраты для пивоварни среднего размера составляют около 750 000 долларов.  Эта цифра включает оплату персонала за первые три месяца вашего бизнеса. Начальные затраты на мини-пивоварню составляют от 250 000 до 500 000 долларов.  Для большой пивоварни потребуется стартовый капитал в размере около 2,5 миллионов долларов. В связи со значительными инвестициями, необходимыми для открытия пивоваренных заводов и микропивоварен, крайне важно, чтобы вы понимали свои финансовые показатели, чтобы иметь реалистичный прогноз того, когда вы выйдете на уровень безубыточности и начнете получать прибыль.
  4. Ремонт вашего помещения 
 Необходимо нанять опытных подрядчиков для ремонта вашего помещения, чтобы иметь эффективную пивоварню или минипивоварню.Независимо от того, купили ли вы недвижимость или арендовали ее, вам понадобятся люди с соответствующим опытом и навыками, чтобы убедиться, что на вашей пивоварне или минипивоварне есть:
 Подходящая вентиляция, способная справиться с большим количеством пара, который будет производиться в процессе варить пиво.
 Правильный дренаж, чтобы эффективно обрабатывать тысячи галлонов пива.
 Качественный пол, выдерживающий износ и выдерживающий высокое содержание кислоты в пролитом пиве.
  5. Получите страховку 
 Как и любой другой бизнес, ваша пивоварня или пивоварня должна быть застрахована различными видами страхования. Различные виды страхования, которые вам понадобятся для защиты вашей пивоварни или микропивоварни, включают:
 Страхование поломки оборудования.
 Отзыв продукции.
 Охват преступности.
 Оценка рынка.
 Компенсация рабочим.
  Пора начинать пивоварение! 
 Создание вашего первого бизнес-плана пивоварни потребует значительных временных затрат, однако этот процесс необходим вам, чтобы решить, хотите ли вы превратить свое увлечение в бизнес по продаже пива, которое нравится людям.
 После того, как ваш бизнес заработает, почему бы не дать заместителю попытаться позаботиться обо всех ваших потребностях в планировании, постановке задач, расписании и внутренней коммуникации. Чтобы узнать больше о программном обеспечении для управления персоналом и о том, как оно может принести пользу вашему бизнесу, нажмите кнопку ниже, чтобы начать бесплатную пробную версию:
 Brewery Business Plan — ThinkLions
 Нет никаких сомнений в том, что количество ремесленников увеличилось пивоварни в США
за последние несколько лет.Только в 2018 году 1049
открылись новые пивоварни, а 219 закрыли свои двери навсегда. С более чем 25,9 млн баррелей крафтового пива
продано в 2018 году, имея выручку более 27,6 миллиарда долларов, поэтому неудивительно, что предприниматели запускают больше
пивоварен, чем когда-либо. К сожалению, создание пивоварни может быть дорогостоящим. Часто предприниматели должны искать
средства инвесторов для поддержки запуска своего бизнеса крафтового пива. Для встречи и привлечения инвесторов им необходимо
сильный бизнес-план пивоварни, который поддерживает их позицию и демонстрирует потенциал их
идея.
 Написание бизнес-плана для пивоварни немного отличается от написания для других типов
предприятия. Даже по сравнению с другими заведениями, где можно поесть и выпить, у пивоварен есть несколько уникальных факторов, которые должны
рассматриваться по мере разработки стратегии.
 В следующем посте мы объясним все, что вам нужно
знать, как создать отличный бизнес-план пивоваренного завода, готовый к инвестированию.
 Формат бизнес-плана пивоварни
 Макет плана пивоварни обычно соответствует стандартному бизнес-плану.Однако из-за
уникальность пивоваренного бизнеса, подход к каждому разделу может существенно отличаться. Вот несколько
советы по мере написания каждого раздела бизнес-плана пивоваренного завода.
 Краткое содержание
 Посевной и предпосевной
инвесторы получают бизнес-планы постоянно, и часто они не успевают прочесть первые несколько страниц.
Сводное резюме, вероятно, является самой важной частью вашего документа. По сути, это резюме является
шаг, который продает инвесторам после прочтения остальной части плана!
 При открытии такого большого количества пивоварен ваш
Резюме должно эффективно объяснять, что делает вашу пивоварню особенной.Прочитав ваше резюме,
инвесторы должны четко понимать, какие факторы делают вашу пивоварню уникальной и почему потребители
выберите опекать свое заведение по сравнению с другим.
 В общем, ваше резюме должно резюмировать
основные концепции, которые объясняются в вашем плане. В случае успеха инвесторы будут рады
продолжайте читать свой план.
  * Совет *  Хотя краткое изложение представлено первым в
бизнес-план пивоварни, вы должны написать его в последнюю очередь.Таким образом, вы можете быть уверены, что он следует вашей стратегии.
отлично, и в нем упоминаются все примечательные детали.
 Подробная информация о пивоварне
 Этот раздел знакомит читателей с концепцией вашей пивоварни и продуктами, которые она будет предлагать. 
 Всего четыре
основные части раздела деталей пивоварни:
  1) Описание:  Объясните, как была концепция пивоварни
задуманные и достигнутые на сегодняшний день вехи. Вехи могут включать в себя такие вещи, как поиск
местонахождение, привлечение консультантов или установление выгодных отношений.
  2) Заявление о миссии:  Написать
заявление, объясняющее, что представляет ваша пивоварня, кому она служит, ее убеждения в отношении качественного крафтового пива
производство, и тип опыта, который вы надеетесь подарить гостям.
  3) Товары и услуги:  Список
из различных продуктов и брендов, которые вы обслуживаете. Объясните, что отличает эти продукты от конкурентоспособных.
пивоварни. Независимо от того, является ли ваш продукт более ароматным или свежим, в этом разделе описывается, почему он
особенный — если он действительно особенный.Не останавливайтесь только на самом продукте, но также учитывайте тип
уникальный опыт, который ваши клиенты могут ожидать, посещая вашу пивоварню.
  4) Ключевой успех
Факторы:  В этом разделе описаны факторы, которые необходимо выполнить, чтобы вы успешно
запустить и управлять пивоварней. К основным ключевым факторам успеха пивоварни относятся, например, поиск правильного
местоположение, наличие правильного процесса пивоварения, выбор правильного оборудования и создание базы постоянных клиентов.
 Маркетинговые исследования
 К сожалению, не все рынки подходят для пивоварен. На некоторых рынках просто не хватает идеальных потребителей.
поддерживать значительную производительность пивоварни. Важно знать, кто ваши клиенты, сколько из них
существуют в вашем конкретном регионе, и сколько вы можете привлечь на свою пивоварню каждый день, неделю или
месяц.
 Начните свое исследование с анализа целевого рынка для оценки
размер вашего доступного доступного рынка.Если вам не удастся найти исследование, доказывающее, что существует как
рынок и высокий спрос на пивоварню, инвесторы не решаются вкладывать свой капитал.
 Оценить
демография вашего целевого потребителя. Используйте исследования из надежных источников, таких как Перепись, чтобы точно
оцените, насколько велик ваш рынок.
 Анализ конкуренции
 Независимо от того, насколько велико ваше пиво, ваша пивоварня столкнется с определенным уровнем конкуренции. Даже если ты единственный
пивоваренный завод в городе, конкуренция будет исходить от местных баров, ресторанов и местных магазинов, которые продают крафтовое пиво.На
вторичный уровень, также будет конкуренция со стороны дистрибьюторов отечественных и импортных серийных товаров.
пиво.
 Убедитесь, что вы определили всех своих игроков в вашей местной конкурентной среде. Оцените, что
клиентам нравятся эти заведения и то, что им не нравится. Выполните SWOT-анализ
о вашем пивоваренном бизнесе и подробно расскажите о ваших преимуществах перед другими пивоварнями, барами и поставщиками пива.
 Маркетинговая стратегия
 Иметь лучшую пивоварню в городе бессмысленно, если вы не можете привлечь клиентов через дверь.К сожалению, просто
существующего недостаточно — конкуренция в индустрии продуктов питания и напитков, как правило, очень высока, и клиенты
много вариантов на выбор.
 Решите, как вы представите свою пивоварню потенциальным клиентам. Будь то
это местный маркетинг с газетными объявлениями в местной газете или каталоге или в Интернете с использованием социальных сетей —
Чтобы добиться успеха, необходимо реализовать эффективную стратегию.
 Подумайте, как вы будете продавать свою пивоварню, сколько
вы будете инвестировать в каждый метод и сколько клиентов вы привлечете с предполагаемым бюджетом.Кроме того, ответьте на следующие вопросы:
 Как вы обеспечите достаточное удовлетворение клиентов, чтобы дать вашей пивоварне высокие оценки и отзывы?
 Как вы можете использовать дополнительные продажи, чтобы повысить ценность каждого клиента при каждом посещении?
 Как обеспечить постоянное возвращение клиентов на вашу пивоварню?
 Операционная стратегия
 Планировать пивоварню сложно, но управлять пивоварней гораздо сложнее. Есть много факторов, которые влияют на
ежедневное управление пивоварней.Операционная стратегия вашего пивоваренного плана должна включать
следующие элементы:
  Расположение:  Объясните, где будет располагаться ваша пивоварня, какого размера будет завод, почему
идеальное место, как вы отремонтируете место и многое другое.
  Контроль качества:  Поддержание качества продукции важно для пивоварни. Неспособность остаться
В первую очередь это может привести к нарушениям инспекции пищевых продуктов. Подробно опишите шаги, которые вы предпримете, чтобы убедиться, что
всегда соблюдаются стандарты высокого качества.
  Служба поддержки клиентов:  Пивоварни тоже занимаются оказанием услуг. Обслуживание клиентов является ключом к
обеспечение того, чтобы посетители были достаточно довольны, чтобы вернуться в будущем. Опишите, как вы будете справляться с
обслуживание клиентов и то, как вы будете обрабатывать жалобы клиентов.
  Процесс продаж:  Объясните процесс получения покупателем вашего продукта с момента его получения.
они входят в дверь. Кто их усаживает? Кто им служит? Как они обслуживаются? Как происходит оплата?
Что происходит после их ухода?
  Персонал:  Наконец, объясните свой кадровый план.Подумайте о каждом человеке, который вам понадобится
нанять для правильного управления вашей пивоварней. Когда вы их возьмете на работу? Как вы их тренируете? Сколько ты будешь
заплатить им?
 Финансовые прогнозы
 Наконец, инвесторы хотят увидеть финансовую жизнеспособность и потенциал вашей пивоварни. Предыдущие отраслевые исследования
должны помочь вам свести к минимуму предположения при построении финансовой модели.
 После того, как вы определили все
основные расходы (например, оборудование и персонал), обязательно укажите также и незначительные расходы (например, оборудование
уход, чистящие средства для ванной, мыло для мытья посуды и т. д.)
 Ваша финансовая модель
должны быть реалистичными и повторять стратегии, описанные в бизнес-плане вашего пивоваренного завода. Должно
продемонстрировать реалистичный рост, и он должен быть основан на реальных данных и статистике, а не перегружен слишком большим количеством
бездоказательные предположения.
 Особые соображения
 Пока формат бизнес-плана
плана пивоварни может быть похожим на любой другой план, есть несколько особых соображений, которые должны быть
сделали. Есть некоторые проблемы, которые характерны исключительно для предприятий по производству продуктов питания и напитков, а некоторые — исключительно для
пивоваренные заводы.Вот три особых момента, которые следует учесть при составлении плана пивоварения.
 Обращайте внимание на детали
 Пивоварни только недавно начали быстро развиваться по всей стране. Инвесторы будут иметь опыт работы с
пивоваренных заводов и очень хорошо знакомы с соответствующими деталями, иначе они не будут знать, что нужно для
запустить пивоварню. В любом случае важно, чтобы вы могли рассмотреть и сообщить каждую деталь.
четко.
 Опрос владельцев пивоварен, которые не являются конкурентами, например, тех, кто работает в других регионах.Спросите, могут ли они поделиться своим опытом, и попросите их проверить ваши финансовые показатели, чтобы убедиться, что вы
забывая что-нибудь.
 Когда вы открываете пивоварню, исследования — это все, и иногда вы не найдете всего
ответы через онлайн-поиск. Стройте отношения внутри отрасли и используйте эти отношения, чтобы
ваше преимущество при планировании пивоварни.
 Думайте о сообществе
 Знание своего клиента необходимо для создания и роста. Самые лояльные клиенты обычно приходят из
окружающее сообщество.Чем лучше вы знаете сообщество, тем эффективнее вы будете служить своим
клиенты.
 Посмотрите на другие предприятия по производству продуктов питания и напитков, которые открылись в этом районе. Платить специальные
внимание к тем, у кого не получилось. Какие факторы привели к их успеху? Почему другие бары и рестораны
вместо этого добиться успеха?
 Опрос потенциальных клиентов в сообществе. Спросите их, что им нравится в
текущие возможности и то, что они хотели бы видеть в новой пивоварне. Отзывы не только помогут вам развить
бизнес, который поддерживает сообщество, но он также поможет вам подтвердить вашу концепцию перед инвесторами.
 Знайте свои номера
 Если есть одна вещь, о которой вы хотите быть очень подробно, так это ваши цифры. Узнав, что ваша стратегия
нежизнеспособен в процессе бизнес-планирования, может быть неприятным, но обнаружение этого после запуска может полностью
сорвать ваш бизнес.
 Каждая финансовая модель будет иметь некоторый уровень допущений. Имея тоже
многие предположения превратят финансовую модель пивоварни в несбыточную мечту. Когда вы пишете свою пивоварню
бизнес-план, исследуйте как можно глубже, чтобы узнать реальные цифры, связанные с запуском и запуском
Ваш бизнес.
 Нужна помощь с бизнес-планом пивоваренного завода?
 ГОТОВЫ СОЗДАТЬ СВОЙ БИЗНЕС-ПЛАН
?
 НАШИ УДИВИТЕЛЬНЫЕ КОНСУЛЬТАНТЫ МОГУТ ПОМОЧЬ
 Составление бизнес-плана пивоварни может стать сложной задачей для предпринимателя.
Арктангенс 4 3: арктангенс 4/3 в градусах — Учеба и наука
alexxlab / 23.05.197013.09.2022 /  Разное 
арктангенс 4/3 в градусах — Учеба и наука
Лучший ответ по мнению автора
 
arctg(4/3)=arctg(1,3333)=примерно=53 гр 9’=53,15 гр
23. 01.15
Лучший ответ по мнению автора




 

Михаил Александров

 







 Читать ответы





 

Татьяна Александровна

 







 Читать ответы





 

Андрей Андреевич

 







 Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука
 Похожие вопросы
Чему равен arctg 3. Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Разложение в ряд
Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555. 
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)
К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс   учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!
Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.
Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.
Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4.   Или arctg(-1,3).   Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…
Что означает выражение
 arcsin 0,4 ?  
Это угол, синус которого равен 0,4  ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.
И всё. 
Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:
arc  sin  0,4 
угол,  синус которого  равен 0,4 
Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc  означает дуга  (слово арка  знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.
Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8. 
Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3. 
Что такое arcctg 12 ? 
Это угол, котангенс которого равен 12. 
Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов. ) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!! 
Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)
Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки.  Чтобы печатать меньше.)
Внимание! Элементарная словесная и осознанная  расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных  заданиях только она и спасает.
А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам?  — слышу осторожный вопрос.)
Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)
Например: что такое arcsin 0,5?
Вспоминаем расшифровку:  arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5.  Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°.  Можно смело записать:
arcsin 0,5 = 30°
Или, более солидно, через радианы:
Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.
Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс…  То легко разберётесь, например, с таким монстром.)
Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку:  арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!
Достаточно сообразить, что:
Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1)  — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:
и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.
Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!
Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные  значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:
Нужно вам, скажем, определить значение выражения:
Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного  значения внутри арккосинуса к положительному  по второй формуле:
Внутри арккосинуса справа уже положительное  значение. То, что
вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:
Вот и всё.
Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)
Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.
Если Вам нравится этот сайт… 
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.) 
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
 можно познакомиться с функциями и производными. 
Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса  данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.
Навигация по странице.
Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса ».
Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a
, arccos(−a)=π−arccos a
, arctg(−a)=−arctg a
 и arcctg(−a)=π−arcctg a
.
Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.
Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857
. Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16
 градусов 36
 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857
 является угол 16
 градусов 36
 минут.
Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863
. По таблице синусов это значение получается как 0,2857
 плюс поправка 0,0006
, то есть, значению 0,2863
 соответствует синус 16
 градусов 38
 минут (16
 градусов 36
 минут плюс 2
 минуты поправки). 
Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573
. Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860
 и 0,2863
, между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16
 градусов 37
 минут и 16
 градусов 38
 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573
 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1
 минуты.
Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).
Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.
 п.
Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12
, а нужно найти значение arccos a
. Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12
.
Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a
 требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a
 или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.
Пусть нам известно, что арккосинус числа a
 равен π/10
, и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a
. Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a
, после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.
Угол π/10
 радиан – это угол 18
 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18
 градусов приближенно равен 0,9511
, тогда число a
 в нашем примере есть 0,9511
.
Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511
, оно приближенно равно 43
 градусам 34
 минутам. 
Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg .
Список литературы.
Алгебра:  Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. И.  Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
Алгебра  и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
Брадис В. М.  Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999. — 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2
Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»
Дополнительные материалы 
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С 
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1» 
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Что будем изучать:  
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
6. Примеры.
Что такое арксинус?
Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk, 
а x2= 2π/3 + 2πk.
Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение 
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6. 
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk, 
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG. 
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?
Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.
Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.
Немного истории арксинуса
История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.
Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.
Определение арксинуса
Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а. 

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и 
x= π — arcsin(a) + 2πk 

Перепишем:
 x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k). 
Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1. 
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:
Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:
sin(x)=0, то x= πk, 
sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk, 
sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk. 
Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a). 

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.
Примеры
1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(0)=0.
4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk. 
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.
5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде: 
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk
6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде: 
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.
7. Решить неравенство sin(x)
Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y
Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk 
Задачи на арксинус для самостоятельного решения
 1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25, 
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.
Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.
Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.
Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.
Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График  имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.
Свойства арксинуса:
Если сопоставить графики sin  и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.
Арккосинус
Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.
Кривая y = arcos x  зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.
Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:
Функция определена на отрезке [-1; 1].
ОДЗ для arccos — .
График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
Y = 0 при x = 1.
Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.
Задание 1.  Укажите функции изображенные на рисунке.
Ответ:  рис. 1 – 4, рис.2 — 1.
В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.
Арктангенс
Arctg  числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.
Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:
График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
Y = 0 при x = 0.
Кривая возрастает на всей области определения.
Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.
Арккотангенс
Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.
Свойства функции арккотангенса:
Интервал определения функции – бесконечность.
Область допустимых значений – промежуток (0; π).
F(x) не является ни четной, ни нечетной.
На всем своем протяжении график функции убывает.
Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.
Задание 2.  Соотнести график и форму записи функции.
Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,
Ответ:  рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.
Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg
Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.
Также существуют соотношения для arctg и arcctg:
Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.
Примеры решения задач
Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.
При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:
При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.
Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:
Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.
Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:
Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.
Арктангенс (y = arctg
 x
)  — это функция, обратная к тангенсу (x = tg
 y 
tg(arctg
 x)
 = x 
arctg(tg
 x)
 = x 
Арктангенс обозначается так:
.
График функции арктангенс
График функции y = arctg
 x
График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом ,
 на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.
Арккотангенс, arcctg
Арккотангенс (y = arcctg
 x
)  — это функция, обратная к котангенсу (x = ctg
 y
). Он имеет область определения и множество значений . 
ctg(arcctg
 x)
 = x 
arcctg(ctg
 x)
 = x 
Арккотангенс обозначается так:
.
График функции арккотангенс

График функции y = arcctg
 x
График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
 на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.
Четность
Функция арктангенс является нечетной:
arctg(-
x)
 =
 arctg(-tg arctg
 x)
 =
 arctg(tg(-arctg
 x))
 =
 — arctg
 x
Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(-
x)
 =
 arcctg(-ctg arcctg
 x)
 =
 arcctg(ctg(π-arcctg
 x))
 =
 π — arcctg
 x ≠ ± arcctg
 x
.
Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x
. (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.
 y = arctg
 x
 y = arcctg
 x
 Область определения и непрерывность
 — ∞
 — ∞
 Множество значений
 Возрастание, убывание
 монотонно возрастает
 монотонно убывает
 Максимумы, минимумы
 нет
 нет
 Нули, y = 0
 x = 0
 нет
 Точки пересечения с осью ординат, x = 0
 y = 0
 y = π/2
 —
 π
 0
Таблица арктангенсов и арккотангенсов
В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
 x
 arctg
 x
 arcctg
 x
 град.
 рад.
 град.
 рад.
 — ∞
 — 90°
 —
 180°
 π
 —
 — 60°
 —
 150°
 — 1
 — 45°
 —
 135°
 —
 — 30°
 —
 120°
 0
 0°
 0
 90°
 30°
 60°
 1
 45°
 45°
 60°
 30°
 + ∞
 90°
 0°
 0
 ≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772
Формулы
Формулы суммы и разности
 
при
при
при
 
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
, 
.
Выражения через гиперболические функции
Производные

См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >
Производные высших порядков :
Пусть .
 Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
; 
. 
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.
См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > > 
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.
Аналогично для арккотангенса. Пусть .
 Тогда
; 
.
Интегралы
Делаем подстановку x = tg
 t
 и интегрируем по частям: 
; 
; 
; 
Выразим арккотангенс через арктангенс: 
.
Разложение в степенной ряд
При |x| ≤ 1
 имеет место следующее разложение:
; 
.
Обратные функции
Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс , соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg
 x)
 = x 
ctg(arcctg
 x)
 = x
 .
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса: 
arctg(tg
 x)
 = x
 при 
arcctg(ctg
 x)
 = x
 при .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Расчёт арктангенса онлайн калькулятор. Получить угол зная значение тангенса угла.
Арктангенс(y = arctg(x)) – это обратная тригонометрическая функция к тангенсу x = tg(y). Область определения -∞ ≤ x ≤ +∞ и множество значений -π/2 ≤ y ≤ +π/2.
arctg(0) = 0°
arctg(-1.732050808) = 120°
arctg(1.732050808) = 240°
arctg(0.01745506493) = 1°
arctg(-1.664279482) = 121°
arctg(1.804047755) = 241°
arctg(0.03492076949) = 2°
arctg(-1.600334529) = 122°
arctg(1.880726465) = 242°
arctg(0.05240777928) = 3°
arctg(-1.539864964) = 123°
arctg(1.962610506) = 243°
arctg(0. 06992681194) = 4°
arctg(-1.482560969) = 124°
arctg(2.050303842) = 244°
arctg(0.08748866353) = 5°
arctg(-1.428148007) = 125°
arctg(2.144506921) = 245°
arctg(0.1051042353) = 6°
arctg(-1.37638192) = 126°
arctg(2.246036774) = 246°
arctg(0.1227845609) = 7°
arctg(-1.327044822) = 127°
arctg(2.355852366) = 247°
arctg(0.1405408347) = 8°
arctg(-1.279941632) = 128°
arctg(2.475086853) = 248°
arctg(0.1583844403) = 9°
arctg(-1.234897157) = 129°
arctg(2.605089065) = 249°
arctg(0.1763269807) = 10°
arctg(-1.191753593) = 130°
arctg(2.747477419) = 250°
arctg(0.1943803091) = 11°
arctg(-1.150368407) = 131°
arctg(2.904210878) = 251°
arctg(0.2125565617) = 12°
arctg(-1.110612515) = 132°
arctg(3.077683537) = 252°
arctg(0. 2308681911) = 13°
arctg(-1.07236871) = 133°
arctg(3.270852618) = 253°
arctg(0.2493280028) = 14°
arctg(-1.035530314) = 134°
arctg(3.487414444) = 254°
arctg(0.2679491924) = 15°
arctg(-1) = 135°
arctg(3.732050808) = 255°
arctg(0.2867453858) = 16°
arctg(-0.9656887748) = 136°
arctg(4.010780934) = 256°
arctg(0.3057306815) = 17°
arctg(-0.9325150861) = 137°
arctg(4.331475874) = 257°
arctg(0.3249196962) = 18°
arctg(-0.9004040443) = 138°
arctg(4.704630109) = 258°
arctg(0.3443276133) = 19°
arctg(-0.8692867378) = 139°
arctg(5.144554016) = 259°
arctg(0.3639702343) = 20°
arctg(-0.8390996312) = 140°
arctg(5.67128182) = 260°
arctg(0.383864035) = 21°
arctg(-0.8097840332) = 141°
arctg(6.313751515) = 261°
arctg(0. 4040262258) = 22°
arctg(-0.7812856265) = 142°
arctg(7.115369722) = 262°
arctg(0.4244748162) = 23°
arctg(-0.7535540501) = 143°
arctg(8.144346428) = 263°
arctg(0.4452286853) = 24°
arctg(-0.726542528) = 144°
arctg(9.514364454) = 264°
arctg(0.4663076582) = 25°
arctg(-0.7002075382) = 145°
arctg(11.4300523) = 265°
arctg(0.4877325886) = 26°
arctg(-0.6745085168) = 146°
arctg(14.30066626) = 266°
arctg(0.5095254495) = 27°
arctg(-0.6494075932) = 147°
arctg(19.08113669) = 267°
arctg(0.5317094317) = 28°
arctg(-0.6248693519) = 148°
arctg(28.63625328) = 268°
arctg(0.5543090515) = 29°
arctg(-0.600860619) = 149°
arctg(57.28996163) = 269°
arctg(0.5773502692) = 30°
arctg(-0.5773502692) = 150°
arctg(∞) = 270°
arctg(0. 600860619) = 31°
arctg(-0.5543090515) = 151°
arctg(-57.28996163) = 271°
arctg(0.6248693519) = 32°
arctg(-0.5317094317) = 152°
arctg(-28.63625328) = 272°
arctg(0.6494075932) = 33°
arctg(-0.5095254495) = 153°
arctg(-19.08113669) = 273°
arctg(0.6745085168) = 34°
arctg(-0.4877325886) = 154°
arctg(-14.30066626) = 274°
arctg(0.7002075382) = 35°
arctg(-0.4663076582) = 155°
arctg(-11.4300523) = 275°
arctg(0.726542528) = 36°
arctg(-0.4452286853) = 156°
arctg(-9.514364454) = 276°
arctg(0.7535540501) = 37°
arctg(-0.4244748162) = 157°
arctg(-8.144346428) = 277°
arctg(0.7812856265) = 38°
arctg(-0.4040262258) = 158°
arctg(-7.115369722) = 278°
arctg(0.8097840332) = 39°
arctg(-0.383864035) = 159°
arctg(-6.313751515) = 279°
arctg(0. 8390996312) = 40°
arctg(-0.3639702343) = 160°
arctg(-5.67128182) = 280°
arctg(0.8692867378) = 41°
arctg(-0.3443276133) = 161°
arctg(-5.144554016) = 281°
arctg(0.9004040443) = 42°
arctg(-0.3249196962) = 162°
arctg(-4.704630109) = 282°
arctg(0.9325150861) = 43°
arctg(-0.3057306815) = 163°
arctg(-4.331475874) = 283°
arctg(0.9656887748) = 44°
arctg(-0.2867453858) = 164°
arctg(-4.010780934) = 284°
arctg(1) = 45°
arctg(-0.2679491924) = 165°
arctg(-3.732050808) = 285°
arctg(1.035530314) = 46°
arctg(-0.2493280028) = 166°
arctg(-3.487414444) = 286°
arctg(1.07236871) = 47°
arctg(-0.2308681911) = 167°
arctg(-3.270852618) = 287°
arctg(1.110612515) = 48°
arctg(-0.2125565617) = 168°
arctg(-3.077683537) = 288°
arctg(1. 150368407) = 49°
arctg(-0.1943803091) = 169°
arctg(-2.904210878) = 289°
arctg(1.191753593) = 50°
arctg(-0.1763269807) = 170°
arctg(-2.747477419) = 290°
arctg(1.234897157) = 51°
arctg(-0.1583844403) = 171°
arctg(-2.605089065) = 291°
arctg(1.279941632) = 52°
arctg(-0.1405408347) = 172°
arctg(-2.475086853) = 292°
arctg(1.327044822) = 53°
arctg(-0.1227845609) = 173°
arctg(-2.355852366) = 293°
arctg(1.37638192) = 54°
arctg(-0.1051042353) = 174°
arctg(-2.246036774) = 294°
arctg(1.428148007) = 55°
arctg(-0.08748866353) = 175°
arctg(-2.144506921) = 295°
arctg(1.482560969) = 56°
arctg(-0.06992681194) = 176°
arctg(-2.050303842) = 296°
arctg(1.539864964) = 57°
arctg(-0.05240777928) = 177°
arctg(-1.962610506) = 297°
arctg(1. 600334529) = 58°
arctg(-0.03492076949) = 178°
arctg(-1.880726465) = 298°
arctg(1.664279482) = 59°
arctg(-0.01745506493) = 179°
arctg(-1.804047755) = 299°
arctg(1.732050808) = 60°
arctg(0) = 180°
arctg(-1.732050808) = 300°
arctg(1.804047755) = 61°
arctg(0.01745506493) = 181°
arctg(-1.664279482) = 301°
arctg(1.880726465) = 62°
arctg(0.03492076949) = 182°
arctg(-1.600334529) = 302°
arctg(1.962610506) = 63°
arctg(0.05240777928) = 183°
arctg(-1.539864964) = 303°
arctg(2.050303842) = 64°
arctg(0.06992681194) = 184°
arctg(-1.482560969) = 304°
arctg(2.144506921) = 65°
arctg(0.08748866353) = 185°
arctg(-1.428148007) = 305°
arctg(2.246036774) = 66°
arctg(0.1051042353) = 186°
arctg(-1.37638192) = 306°
arctg(2. 355852366) = 67°
arctg(0.1227845609) = 187°
arctg(-1.327044822) = 307°
arctg(2.475086853) = 68°
arctg(0.1405408347) = 188°
arctg(-1.279941632) = 308°
arctg(2.605089065) = 69°
arctg(0.1583844403) = 189°
arctg(-1.234897157) = 309°
arctg(2.747477419) = 70°
arctg(0.1763269807) = 190°
arctg(-1.191753593) = 310°
arctg(2.904210878) = 71°
arctg(0.1943803091) = 191°
arctg(-1.150368407) = 311°
arctg(3.077683537) = 72°
arctg(0.2125565617) = 192°
arctg(-1.110612515) = 312°
arctg(3.270852618) = 73°
arctg(0.2308681911) = 193°
arctg(-1.07236871) = 313°
arctg(3.487414444) = 74°
arctg(0.2493280028) = 194°
arctg(-1.035530314) = 314°
arctg(3.732050808) = 75°
arctg(0.2679491924) = 195°
arctg(-1) = 315°
arctg(4.010780934) = 76°
arctg(0. 2867453858) = 196°
arctg(-0.9656887748) = 316°
arctg(4.331475874) = 77°
arctg(0.3057306815) = 197°
arctg(-0.9325150861) = 317°
arctg(4.704630109) = 78°
arctg(0.3249196962) = 198°
arctg(-0.9004040443) = 318°
arctg(5.144554016) = 79°
arctg(0.3443276133) = 199°
arctg(-0.8692867378) = 319°
arctg(5.67128182) = 80°
arctg(0.3639702343) = 200°
arctg(-0.8390996312) = 320°
arctg(6.313751515) = 81°
arctg(0.383864035) = 201°
arctg(-0.8097840332) = 321°
arctg(7.115369722) = 82°
arctg(0.4040262258) = 202°
arctg(-0.7812856265) = 322°
arctg(8.144346428) = 83°
arctg(0.4244748162) = 203°
arctg(-0.7535540501) = 323°
arctg(9.514364454) = 84°
arctg(0.4452286853) = 204°
arctg(-0.726542528) = 324°
arctg(11.4300523) = 85°
arctg(0. 4663076582) = 205°
arctg(-0.7002075382) = 325°
arctg(14.30066626) = 86°
arctg(0.4877325886) = 206°
arctg(-0.6745085168) = 326°
arctg(19.08113669) = 87°
arctg(0.5095254495) = 207°
arctg(-0.6494075932) = 327°
arctg(28.63625328) = 88°
arctg(0.5317094317) = 208°
arctg(-0.6248693519) = 328°
arctg(57.28996163) = 89°
arctg(0.5543090515) = 209°
arctg(-0.600860619) = 329°
arctg(∞) = 90°
arctg(0.5773502692) = 210°
arctg(-0.5773502692) = 330°
arctg(-57.28996163) = 91°
arctg(0.600860619) = 211°
arctg(-0.5543090515) = 331°
arctg(-28.63625328) = 92°
arctg(0.6248693519) = 212°
arctg(-0.5317094317) = 332°
arctg(-19.08113669) = 93°
arctg(0.6494075932) = 213°
arctg(-0.5095254495) = 333°
arctg(-14.30066626) = 94°
arctg(0. 6745085168) = 214°
arctg(-0.4877325886) = 334°
arctg(-11.4300523) = 95°
arctg(0.7002075382) = 215°
arctg(-0.4663076582) = 335°
arctg(-9.514364454) = 96°
arctg(0.726542528) = 216°
arctg(-0.4452286853) = 336°
arctg(-8.144346428) = 97°
arctg(0.7535540501) = 217°
arctg(-0.4244748162) = 337°
arctg(-7.115369722) = 98°
arctg(0.7812856265) = 218°
arctg(-0.4040262258) = 338°
arctg(-6.313751515) = 99°
arctg(0.8097840332) = 219°
arctg(-0.383864035) = 339°
arctg(-5.67128182) = 100°
arctg(0.8390996312) = 220°
arctg(-0.3639702343) = 340°
arctg(-5.144554016) = 101°
arctg(0.8692867378) = 221°
arctg(-0.3443276133) = 341°
arctg(-4.704630109) = 102°
arctg(0.9004040443) = 222°
arctg(-0.3249196962) = 342°
arctg(-4.331475874) = 103°
arctg(0. 9325150861) = 223°
arctg(-0.3057306815) = 343°
arctg(-4.010780934) = 104°
arctg(0.9656887748) = 224°
arctg(-0.2867453858) = 344°
arctg(-3.732050808) = 105°
arctg(1) = 225°
arctg(-0.2679491924) = 345°
arctg(-3.487414444) = 106°
arctg(1.035530314) = 226°
arctg(-0.2493280028) = 346°
arctg(-3.270852618) = 107°
arctg(1.07236871) = 227°
arctg(-0.2308681911) = 347°
arctg(-3.077683537) = 108°
arctg(1.110612515) = 228°
arctg(-0.2125565617) = 348°
arctg(-2.904210878) = 109°
arctg(1.150368407) = 229°
arctg(-0.1943803091) = 349°
arctg(-2.747477419) = 110°
arctg(1.191753593) = 230°
arctg(-0.1763269807) = 350°
arctg(-2.605089065) = 111°
arctg(1.234897157) = 231°
arctg(-0.1583844403) = 351°
arctg(-2.475086853) = 112°
arctg(1. 279941632) = 232°
arctg(-0.1405408347) = 352°
arctg(-2.355852366) = 113°
arctg(1.327044822) = 233°
arctg(-0.1227845609) = 353°
arctg(-2.246036774) = 114°
arctg(1.37638192) = 234°
arctg(-0.1051042353) = 354°
arctg(-2.144506921) = 115°
arctg(1.428148007) = 235°
arctg(-0.08748866353) = 355°
arctg(-2.050303842) = 116°
arctg(1.482560969) = 236°
arctg(-0.06992681194) = 356°
arctg(-1.962610506) = 117°
arctg(1.539864964) = 237°
arctg(-0.05240777928) = 357°
arctg(-1.880726465) = 118°
arctg(1.600334529) = 238°
arctg(-0.03492076949) = 358°
arctg(-1.804047755) = 119°
arctg(1.664279482) = 239°
arctg(-0.01745506493) = 359°
Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, таблица arctg
В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.
Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».
Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.
Для четкого понимания рассмотрим пример.
Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.
Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°
Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:
sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1
Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.
Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.
α
-1
-32
-22
-12
0
12
22
32
arcsin αкак угол
 
 в радианах
 
-π2
-π3
-π4
-π6
0
π6
π4
π3
в градусах
-90°
-60°
-45°
-30°
0°
30°
45°
60°
arcsin α как число
-π2
-π3
-π4
-π6
0
π6
π4
π3
Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:
cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1
Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:
arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0
Таблица арккосинусов.
α
-1
-32
-22
-12
0
12
22
32
1
arccos αкак угол
 
 в радианах
 
π
5π6
3π4
2π3
π2
π3
π4
π6
0
в градусах
180°
150°
135°
120°
90°
60°
45°
30°
0°
arccos α как число
π
5π6
3π4
2π3
π2
π3
π4
π6
0
Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.
α
-3
-1
-33
0
33
1
3
arctg aкак угол
в радианах
-π3
-π4
-π6
0
π6
π4
π3
в градусах
-60°
-45°
-30°
0°
30°
45°
60°
arctg a как число
-π3
-π4
-π6
0
π6
π4
π3
Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
arcsin, arccos, arctg и arcctg
Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.
Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.
Рассмотрим решение нахождения значений  arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.
Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.
Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.
Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.
Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.
Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).
При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:
arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.
Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.
Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.
При поиске значения арктангенса 0,9511  определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.
Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.
 Решение задач 
 от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа 
 от 5 дней / от 1800 р. 
 Реферат 
 от 1 дня / от 700 р.
определение, формула, таблица, график, свойства
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel. ru  Математика  Обратная тригонометрическая функция: Арктангенс (arctg)
 Определение
 График арктангенса
 Свойства арктангенса
 Таблица арктангенсов
Определение
Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.
Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).
Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:
arctg x = tg-1 x = y, причем -π/2<y<π/2
Примечание: tg-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.
Например:
arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад
График арктангенса
Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:
Свойства арктангенса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.
Свойство
Формула
Тангенс
арктангенса
tg (arctg x) = x
Арктангенс
отрицательного числа
arctg (-x) = -arctg x
Сумма
арктангенсов
 ru/wp-content/uploads/2020/02/arctg-summa-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="420" height="910" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arctg-summa-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arctg-summa-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="420" height="910" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arctg-summa-exc.png" />»>
Разность
арктангенсов
 ru/wp-content/uploads/2020/02/arctg-raznost-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arctg-raznost-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="420" height="948" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arctg-raznost-exc.png" />»>
Синус
арктангенса
 ru/wp-content/uploads/2020/02/arktangets-formuly-exc-1.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="180" height="366" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arktangets-formuly-exc-1.png" />»>
Косинус
арктангенса
 png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="180" height="372" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arktangets-formuly-exc-6.png" />»>
Арктангенс
дроби
 ru/wp-content/uploads/2020/02/arktangets-formuly-exc-7.png" />»>
Арктангенс
из арксинуса
 png" />»>
Производная
арктангенса
Неопределенный
интеграл арктангенса
 ru/wp-content/uploads/2020/02/arktangets-formuly-exc-5.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="320" height="670" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arktangets-formuly-exc-5.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arktangets-formuly-exc-5.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="320" height="670" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arktangets-formuly-exc-5.png" />»>
microexcel.ru
Таблица арктангенсов
arctg x (°)
arctg x (рад)
x
-90°
-π/2
-∞
 565°» data-order=»-71.565°»>-71.565°
-1.2490
-3
-63.435°
-1.1071
-2
-60°
-π/3
-√3
-45°
-π/4
-1
-30°
-π/6
-1/√3
 565°» data-order=»-26.565°»>-26.565°
-0.4636
-0.5
0°
0
0
26.565°
 4636″ data-order=»0.4636″>0.4636
0.5
30°
π/6
1/√3
45°
π/4
1
60°
π/3
√3
 435°» data-order=»63.435°»>63.435°
1.1071
2
71.565°
1.2490
3
90°
π/2
∞
microexcel. ru
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Где на окружности находится arctg 1 3.
 Урок «Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a». Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс
Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.
В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = — 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 — это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.
По аналогии решается уравнение tg x = — 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = — 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = — arctg 3.
Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.
Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.
Пример 2 — вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = — arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, — tg x = — π/3. Ответом уравнения будет — π/3.
Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.
Пример 4: вычислить tg x = — 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.
В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk
Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = — a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π — x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π — arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.
В конце видеоурока делается еще один важный вывод — выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= — 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде
х = х 1 + πk, где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение
arctg 3 (арктангенс трех).
Как же понимать arctg 3?
Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.
Аналогично решение уравнения tg х = — 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой у = — 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= — arctg 3.
Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.
Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.
Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения
tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.
Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).
Итак, arctg =.
ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).
Решение. Используя равенство arctg(- а) = — arctg а, запишем:
arctg(-) = — arctg . Пусть — arctg = х, тогда — tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений
Значит — arctg=- tgх= — .
ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.
1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.
2. Найдем значение арктангенса
так как tg = . Показать таблицу значений
Значит arctg1= .
3. Поставим найденное значение в формулу решений:
ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = — 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).
Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk.
Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.
ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.
Решение. Будем решать графически.
Построим тангенсоиду
у= tgх и прямую у = 1(рис. 2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.
2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).
3. Используем периодичность функции.
Своийство 2. у=tg х — периодическая функция с основным периодом π.
Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:
(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:
Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).
Графики функций у= ctg х и у =а а также
у= ctg х и у=-а
имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:
х = х 1 + , где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и
х 1 = arcсtg а;
х = х 2 + , где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой
у = — а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).
Заметим, что х 2 = π — х 1 . Значит, запишем важное равенство:
arcсtg (-а) = π — arcсtg а.
Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.
Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .
Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду
tg х = , за исключение, когда а = 0.
Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса  данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.
Навигация по странице.
Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса ».
Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a
, arccos(−a)=π−arccos a
, arctg(−a)=−arctg a
 и arcctg(−a)=π−arcctg a
.
Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.
Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857
. Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16
 градусов 36
 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857
 является угол 16
 градусов 36
 минут. 
Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863
. По таблице синусов это значение получается как 0,2857
 плюс поправка 0,0006
, то есть, значению 0,2863
 соответствует синус 16
 градусов 38
 минут (16
 градусов 36
 минут плюс 2
 минуты поправки).
Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573
. Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860
 и 0,2863
, между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16
 градусов 37
 минут и 16
 градусов 38
 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573
 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1
 минуты. 
Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).
Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.
Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12
, а нужно найти значение arccos a
. Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12
.
Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a
 требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a
 или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.
Пусть нам известно, что арккосинус числа a
 равен π/10
, и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a
. Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a
, после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.
Угол π/10
 радиан – это угол 18
 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18
 градусов приближенно равен 0,9511
, тогда число a
 в нашем примере есть 0,9511
.
Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511
, оно приближенно равно 43
 градусам 34
 минутам.
Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg .
Список литературы.
Алгебра:  Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. И.  Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
Алгебра  и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. ; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
Брадис В. М.  Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2
Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»
Дополнительные материалы 
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С 
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1» 
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Что будем изучать:  
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
6. Примеры.
Что такое арксинус?
Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk, 
а x2= 2π/3 + 2πk.
Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение 
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6. 
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk, 
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG. 
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1. 
Но, что это за точки?
Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.
Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.
Немного истории арксинуса
История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.
Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.
Определение арксинуса
Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а. 

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и 
x= π — arcsin(a) + 2πk 

Перепишем:
 x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k). 
Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1. 
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:
Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:
sin(x)=0, то x= πk, 
sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk, 
sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk. 
Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a). 

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.
Примеры
1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(0)=0.
4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk. 
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.
5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде: 
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0. 
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk
6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде: 
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.
7. Решить неравенство sin(x)
Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y
Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk 
Задачи на арксинус для самостоятельного решения
 1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25, 
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.
Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.
Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.
Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.
Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График  имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.
Свойства арксинуса:
Если сопоставить графики sin  и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.
Арккосинус
Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.
Кривая y = arcos x  зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.
Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:
Функция определена на отрезке [-1; 1].
ОДЗ для arccos — .
График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
Y = 0 при x = 1.
Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.
Задание 1.  Укажите функции изображенные на рисунке.
Ответ:  рис. 1 – 4, рис.2 — 1.
В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.
Арктангенс
Arctg  числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.
Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:
График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
Y = 0 при x = 0.
Кривая возрастает на всей области определения.
Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.
Арккотангенс
Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.
Свойства функции арккотангенса:
Интервал определения функции – бесконечность.
Область допустимых значений – промежуток (0; π).
F(x) не является ни четной, ни нечетной.
На всем своем протяжении график функции убывает.
Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.
Задание 2.  Соотнести график и форму записи функции.
Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,
Ответ:  рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.
Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg
Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.
Также существуют соотношения для arctg и arcctg:
Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.
Примеры решения задач
Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.
При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:
При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.
Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:
Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.
Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:
Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.
{-1} (\frac{4}{3})$.
 Однако, как на самом деле  вычислить  это?
 Я не думаю, что это $\frac{1}{\tan(\theta)}$ = $\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$, потому что это просто кажется странным и больше похоже на котангенс.
 Где я ошибся?
 Спасибо,
 комплексный анализ алгебра предварительное исчисление геометрия комплексные числа
 $\endgroup$
 6
 9{-1}\theta$ можно интерпретировать двояко.
 Как обратная функция — это известно как $\arctan\frac43$ и означает угол, тангенс которого равен $\frac43$. Для большинства значений (включая ваше) нет другого способа записать его, кроме записи десятичной аппроксимации, полученной с помощью калькулятора или подобного. $\arctan\frac43\прибл.0,9272952180\cdots$
 В качестве обратной функции — это известно как котангенс, и вы дали правильное определение, например. $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. 9{-1}\theta$ зарезервировано для первого значения.
 $\endgroup$
 $\begingroup$
 $\texttt{Метод Ньютона-Рапсона}$ дает хорошее приближение
$\displaystyle{~\left(~\mbox{начиная с}\ 1 = \tan\left(\,{\pi \over 4}\,\right) ~\right)}$ с $\color{#f00 }{\underline{3}}$ итераций:
$$
\left\lbrace\begin{массив}{rcl}
\displaystyle{r_{0}} & \displaystyle{=} & \displaystyle{1}
\\[1 мм]
\displaystyle{r_{n + 1}} & \displaystyle{=} &
\displaystyle{r_{n} + {4 \over 3}\,\cos^{2}\left(\, r_{n}\,\right) —
{1 \over 2}\,\sin\left(\, 2r_{n}\,\right)\,\qquad n \geq 0}
\конец{массив}\право. {-5}\ \%
$$
 Обратите внимание, что $\displaystyle{{4 \over 3} > {\pi \over 4}}$. По этой причине нашим начальным значением было $\displaystyle{1 = \tan\left(\,{\pi \over 4}\,\right)}$.
 $\endgroup$
 $\begingroup$
 Во-первых, это угол в $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ и $\tan \theta = \dfrac{4} {3}$. Часто вас просят найти что-то вроде $\sin\theta $ для $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$. Имея это в виду, у вас есть: 9{-1} 4/3$. Очевидно, вы не поймете этого, составив дробь из $\frac 1{\tan 4/3}$. Вы были правы, что были сбиты с толку --- это не имело бы никакого гребаного смысла.
 Итак… вы, вероятно, спрашиваете, как  сделать , чтобы вычислить $\arctan 4/3$? Ну стандартного пути нет. Вы пользуетесь таблицами или калькулятором. Легко видеть, что это также будет угол $x$, так что $\sin x = 4/5$ и $\cos x = 3/5$.
 Что бы это ни было.
 =====
 Как вычислить? 9{-1} 4/3$.
 Как посчитать эти углы без калькулятора? Вы не знаете. Это угол при основании прямоугольного треугольника с основанием 3 и высотой 4. что бы это ни было.
 $\endgroup$
 Твой ответ
 Зарегистрируйтесь или войдите
 Зарегистрироваться через Google
 Зарегистрироваться через Facebook
 Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
 Опубликовать как гость
 Электронная почта
 Требуется, но не отображается
 Опубликовать как гость
 Электронная почта
 Требуется, но не отображается
 97} — \cdots$$
 Однако это можно использовать только для $x>1$ (и аналогичный ряд для $x < 1$ не включает $\pi$!)
 Единственный другой способ получить $ \pi$ в «ответе» означало бы признать, что $\arctan(x)$ может равняться $\theta + n\cdot\pi$ (где $n = 0, \pm1,2,3,. .. $).
 Итак, $\arctan(1/3) = 0,322 +n\cdot\pi = (0,102 + n)\cdot\pi$
 (где $n = 0, \pm1,2,3,…$).
 Не очень удовлетворительно.
 $\endgroup$
 $\begingroup$
 96}{231}} \tag 4$$
 Используя приведенные выше формулы, вы получите $\frac{139}{432}$, $\frac{250}{777}$, $\frac{20806}{ 64665}$, $\frac{19593}{60895}$, которые составляют $\приблизительно 0,3217592593$, $\приблизительно 0,3217503218$, $\приблизительно 0,3217505606$, $\приблизительно 0,3217505542$, в то время как «точное» значение будет $\приблизительно 0,3217505544$.
 $\endgroup$
 $\begingroup$
 Не забывайте, что вы можете построить его. Геометрическое решение также является решением.
 $\endgroup$
 Твой ответ
 Зарегистрируйтесь или войдите в систему
 Зарегистрируйтесь с помощью Google
 Зарегистрироваться через Facebook
 Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
 Опубликовать как гость
 Электронная почта
 Требуется, но не отображается
 Опубликовать как гость
 Электронная почта
 Требуется, но не отображается
 Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
 Калькулятор — arctan(4/3) — Solumaths
 Арктан, расчет онлайн
 Сводка:
 Функция арктангенса позволяет вычислить арктангенс числа.
Функция арктангенса является обратной функцией функции тангенса.
 arctan онлайн
 Описание:
 Функция  arctan  является обратной функцией
 касательная функция,
 это  вычисляет   арктангенс  числа  онлайн  .
 Расчет арктангенса
 Чтобы  вычислить арктангенс числа , просто введите число и примените  арктанг  функция.
 Например, чтобы  вычислить  арктангенс   следующего числа 10, введите
 arctan(`10`), или сразу 10, если
 кнопка arctan уже появляется, возвращается результат 1. 4711276743.
 92)`.
 Пределы арктангенса
 Пределы арктангенса существуют при `-oo` (минус бесконечность) и `+oo` (плюс бесконечность):
 Функция арктангенса имеет предел в `-oo`, который равен `pi/2`.
 `lim_(x->-oo)arctan(x)=pi/2`
 Функция арктангенса имеет предел в `+oo`, который равен `-pi/2`.
 `lim_(x->+oo)arctan(x)=-pi/2`
 Таблица замечательных значений
 `
 arctan(`-1`)
 `3*pi/4`
 arctan(`-sqrt(3)/3`)
 `5*pi/6`
6 arctan (`-sqrt(3)`)
 `2*pi/3`
 arctan(`0`)
 `0`
 arctan(`sqrt(3)`)
 /3`
 arctan(`1`)
 `pi/4`
 arctan(`sqrt(3)/3`)
 `pi/6`
 Syntax :
 arctan(x) , x — число. 92)`
 Предельный арктангенс :
 Калькулятор пределов позволяет вычислять пределы функции арктангенса.
  предел арктангенса(x)  is limit(`»arctan»(x)`)
 Обратная функция арктангенса :
  обратная функция арктангенса  представляет собой функцию тангенса, отмеченную тангенсом.
 Графический арктангенс :
 Графический калькулятор может отображать функцию арктангенса в интервале ее определения.
 Свойство функции арктангенс:
 Функция арктангенса является нечетной функцией.
 Расчет онлайн с арктангенсом (арктангенсом)
 См. также
  Список связанных калькуляторов: 
 Арккосинус : arccos. Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа.
Функция arccos является обратной функцией функции косинуса.
 Арксинус : арксинус. Функция arcsin позволяет вычислить арксинус числа.
Функция arcsin является обратной функцией функции синуса.
 Арктангенс: арктангенс. Функция арктангенса позволяет вычислить арктангенс числа.
Функция арктангенса является обратной функцией функции тангенса.
 Тригонометрический калькулятор: simple_trig. Калькулятор, который использует тригонометрическую формулу для упрощения тригонометрического выражения.
 Косинус: cos. Кос-тригонометрическая функция вычисляет косинус угла в радианах,
градусов или градианов.
 Косеканс: косеканс. Тригонометрическая функция sec позволяет вычислить секанс угла, выраженного в радианах, градусах или градусах.
 Котангенс : котанг. Тригонометрическая функция котана для вычисления котана угла в радианах,
градусов или градианов.
 Тригонометрическое расширение: expand_trigo. Калькулятор позволяет получить тригонометрическое разложение выражения.
 Тригонометрическая линеаризация : linearization_trigo. Калькулятор, позволяющий линеаризовать тригонометрическое выражение.
 Упрощение калькулятора: упрощение. Калькулятор, который может упростить алгебраическое выражение онлайн.
 Секанс : сек. Тригонометрическая функция sec позволяет вычислить секанс угла, выраженного в радианах, градусах или градусах.
 Синус : синус. Тригонометрическая функция sin для вычисления греха угла в радианах,
градусов или градианов.
 Касательная: рыжевато-коричневая. Тригонометрическая функция тангенса для вычисления тангенса угла в радианах,
градусов или градианов.
 Тригонометрические функции | Вещественные функции
  
 Mathway | Популярные проблемы
 92
 1
 Найти точное значение
 грех(30)
 2
 Найти точное значение
 грех(45)
 3
 Найти точное значение
 грех(30 градусов)
 4
 Найти точное значение
 грех(60 градусов)
 5
 Найти точное значение
 загар (30 градусов)
 6
 Найти точное значение
 угловой синус(-1)
 7
 Найти точное значение
 грех(пи/6)
 8
 Найти точное значение
 cos(pi/4)
 9
 Найти точное значение
 грех(45 градусов)
 10
 Найти точное значение
 грех(пи/3)
 11
 Найдите точное значение
 арктан(-1)
 12
 Найти точное значение
 cos(45 градусов)
 13
 Найти точное значение
 cos(30 градусов)
 14
 Найти точное значение
 желтовато-коричневый(60)
 15
 Найти точное значение
 csc(45 градусов)
 16
 Найти точное значение
 загар (60 градусов)
 17
 Найти точное значение
 сек(30 градусов)
 18
 Найти точное значение
 cos(60 градусов)
 19
 Найти точное значение
 соз(150)
 20
 Найти точное значение
 грех(60)
 21
 Найти точное значение
 cos(pi/2)
 22
 Найти точное значение
 загар (45 градусов)
 23
 Найти точное значение
 arctan(- квадратный корень из 3)
 24
 Найти точное значение
 csc(60 градусов)
 25
 Найти точное значение
 сек (45 градусов)
 26
 Найти точное значение
 csc(30 градусов)
 27
 Найти точное значение
 грех(0)
 28
 Найти точное значение
 грех(120)
 29
 Найти точное значение
 соз(90)
 30
 Преобразовать из радианов в градусы
 пи/3
 31
 Найти точное значение
 желтовато-коричневый(30)
 32
 Преобразование градусов в радианы
 45
 33
 35
 Преобразовать из радианов в градусы
 пи/6
 36
 Найти точное значение
 детская кроватка(30 градусов)
 37
 Найти точное значение
 арккос(-1)
 38
 Найти точное значение
 арктический(0)
 39
 Найти точное значение
 детская кроватка(60 градусов)
 40
 Преобразование градусов в радианы
 30
 41
 Преобразовать из радианов в градусы
 (2 шт. )/3
 42
 Найти точное значение
 sin((5pi)/3)
 43
 Найти точное значение
 sin((3pi)/4)
 44
 Найти точное значение
 желтовато-коричневый (пи/2)
 45
 Найти точное значение
 грех(300)
 46
 Найти точное значение
 соз(30)
 47
 Найдите точное значение
 соз(60)
 48
 Найти точное значение
 соз(0)
 49
 Найти точное значение
 соз(135)
 50
 Найти точное значение
 cos((5pi)/3)
 51
 Найти точное значение
 соз(210)
 52
 Найти точное значение
 сек (60 градусов)
 53
 Найти точное значение
 грех(300 градусов)
 54
 Преобразование градусов в радианы
 135
 55
 Преобразование градусов в радианы
 150
 56
 Преобразовать из радианов в градусы
 (5 дюймов)/6
 57
 Преобразовать из радианов в градусы
 (5 дюймов)/3
 58
 Преобразование градусов в радианы
 89 градусов
 59
 Преобразование градусов в радианы
 60
 60
 Найти точное значение
 грех(135 градусов)
 61
 Найти точное значение
 грех(150)
 62
 Найти точное значение
 грех(240 градусов)
 63
 Найти точное значение
 детская кроватка(45 градусов)
 64
 Преобразовать из радианов в градусы
 (5 дюймов)/4
 65
 Найти точное значение
 грех(225)
 66
 Найти точное значение
 грех(240)
 67
 Найти точное значение
 cos(150 градусов)
 68
 Найти точное значение
 желтовато-коричневый(45)
 69
 Оценить
 грех(30 градусов)
 70
 Найти точное значение
 сек(0)
 71
 Найти точное значение
 cos((5pi)/6)
 72
 Найти точное значение
 КСК(30)
 73
 Найти точное значение
 arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
 74
 Найти точное значение
 желтовато-коричневый ((5pi)/3)
 75
 Найти точное значение
 желтовато-коричневый(0)
 76
 Оценить
 грех(60 градусов)
 77
 Найти точное значение
 arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
 78
 Преобразовать из радианов в градусы
 (3 пи)/4 
 79
 Найти точное значение
 sin((7pi)/4)
 80
 Найти точное значение
 угловой синус(-1/2)
 81
 Найти точное значение
 грех((4pi)/3)
 82
 Найти точное значение
 КСК(45)
 83
 Упростить
 арктан(квадратный корень из 3)
 84
 Найти точное значение
 грех(135)
 85
 Найти точное значение
 грех(105)
 86
 Найти точное значение
 грех(150 градусов)
 87
 Найти точное значение
 грех((2pi)/3)
 88
 Найти точное значение
 желтовато-коричневый ((2pi)/3)
 89
 Преобразовать из радианов в градусы
 пи/4
 90
 Найти точное значение
 грех(пи/2)
 91
 Найдите точное значение
 сек(45)
 92
 Найти точное значение
 cos((5pi)/4)
 93
 Найти точное значение
 cos((7pi)/6)
 94
 Найти точное значение
 угловой синус(0)
 95
 Найти точное значение
 грех(120 градусов)
 96
 Найти точное значение
 желтовато-коричневый ((7pi)/6)
 97
 Найти точное значение
 соз(270)
 98
 Найти точное значение
 sin((7pi)/6)
 99
 Найти точное значение
 arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
 100
 Преобразование градусов в радианы
 88 градусов
 Калькулятор арктангенса.
 Найдите обратную сторону тангенса
 Создано Ханной Памула, кандидатом наук
 Отредактировано Bogna Szyk и Jack Bowater
 Последнее обновление: 15 августа 2021 г.
 Содержание:
 Что такое arctan?
 График арктангенса
 Свойства арктангенса, связи с тригонометрическими функциями, интеграл и производная арктангенса
 Калькулятор арктангенса – как пользоваться
 Используйте этот калькулятор арктангенса, чтобы быстро найти арктангенс. Ищете ли вы простой ответ на вопрос «что такое арктан?» или вас интересует интеграл или производная от arctan, вы пришли в нужное место. Ниже вы также найдете график арктангенса, а также четкую таблицу с часто используемыми значениями, такими как арктангенс (1) и арктангенс (0). Кроме того, вы можете просто ввести интересующее вас значение в этот инструмент, и вы найдете ответ в мгновение ока.
 Заинтересованы в более сложной тригонометрии? Проверьте наши калькуляторы закона синусов и закона косинусов, если вам нужно решить треугольники.
 Что такое арктан?
 Арктангенс является обратной функцией тангенса. Проще говоря, мы используем arctan, когда хотим найти угол, для которого известно значение тангенса.
 Однако, строго говоря, поскольку тангенс является периодической тригонометрической функцией, у него нет обратной функции. Тем не менее, мы можем определить обратную функцию, если ограничим область определения интервалом, где функция монотонна. Обычно выбираемый интервал -π/2 < y < π/2 называется главным значением и в то же время является диапазоном функции арктангенса.
 Сокращение
 Определение
 Домен арктана x
 Диапазон обычных 
 основных значений
  арктан(х) 
 тан  -1  х, 
 атан 
 х = тангенс (у)
 все действительные числа R
 -π/2 < y < π/2 
 -90° < y < 90°
 Использование условного обозначения tan  -1  x может привести к путанице в отношении разницы между арктангенсом и котангенсом. Оказывается, arctg и cot на самом деле разные вещи:
  cot(x) = 1/tan(x)  , так что котангенс в основном является обратной величиной тангенса, или, другими словами, мультипликативным обратным
 arctan(x) — угол, тангенс которого равен x
 Надеемся, что теперь вы не сомневаетесь, что арктан и котан разные. Чтобы избежать дальнейших недоразумений, вы можете  используйте арктангенс(х), а не тангенс  -1  х нотация  .
 Диаграмма арктангенса
 Ограничивая область определения функции главного тангенса, мы получаем арктангенс, который находится исключительно в диапазоне от −π/2 до π/2 радиан. Однако областью определения функции арктангенса являются все действительные числа. Тогда график выглядит следующим образом:
 График
 Часто используемые значения
 х
 арктан(х)
 рад
 °
 -∞
 -π/2
 -90°
 -3
 -1,2490
 -71,565°
 -2
 -1. 1071
 -63,435°
 -√3
 -π/3
 -60°
 -1
 -π/4
 -45°
 -√3/3
 -π/6
 -30°
 0
 0
 0°
 √3/3
 №/6
 30°
 1
 №/4
 45°
 √3
 №/3
 60°
 2
 1. 1071
 63,435°
 3
 1,2490
 71,565°
 ∞
 №/2
 90°
 Как создается этот арктический график? Отражая тангенс (x) в диапазоне (-π/2 π/2) через линию y = x. Вы также можете посмотреть на это как на перестановку горизонтальной и вертикальной осей:
 Свойства арктангенса, отношения с тригонометрическими функциями, интеграл и производная от арктангенса
 Соотношения в тригонометрии имеют решающее значение для более глубокого понимания этой темы. Изучение прямоугольного треугольника с длинами сторон 1 и x — хорошая отправная точка, если вы хотите найти отношения между арктангенсом и основными тригонометрическими функциями:
 Синус:  sin(arctan(x)) = x / √(1 + x²) 
 Косинус:  cos(arctan(x)) = 1 / √(1 + x²) 
 Тангенс:  tan(arctan(x)) = x 
 Другие полезные соотношения с арктангенсом:
  arctan(x) = π/2 - arccot(x) 
  арктан(-х) = -арктан(х) 
 arcsin(x)  = arctg(x / √(1 - x²)) 
 интеграл от arctan:  ∫arctan(x) dx = x arctan(x) - (1/2) ln(1 + x²) + C 
 производная от arctan:  d/dx arctan(x) = 1/(1 + x²) , где x ≠ -i, i
  arctan(x) + arctan(1/x) = π/2  , для x > 0 и  arctan(x) + arctan(1/x) = -π/2  , для x < 0
 Первое уравнение легко доказать из свойств прямоугольного треугольника с длинами сторон 1 и x, так как мы прекрасно знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Вычитая прямой угол, равный 90°, мы получаем два непрямых угла, которые в сумме должны давать 9.0°. Таким образом, мы можем записать углы как arctan(x) и arctan(1/x).
 Калькулятор арктангенса – как пользоваться
 Это действительно один из наших самых простых в использовании калькуляторов! Просто  введите номер, который вы хотите найти арктангенса . Поскольку домен arctan состоит из действительных чисел, вам не нужно слишком беспокоиться. Допустим, мы хотим найти арктангенс 1. Просто введите число, и калькулятор арктангенса  отобразит результат  . Как мы и ожидали, арктангенс числа 1 равен 45°. Этот калькулятор арктангенса работает и наоборот, то есть как стандартный калькулятор тангенса — введите угол во второе поле, и появится тангенс этого угла.
 Hanna Pamuła, кандидат PhD
 Y = Arctan (x)
 Проверьте 19 аналогичные калькуляторы тригонометрии 📐
 Arccosarcsincofunction… 16 еще
 Арктан — Формула, график, идентичности, домен и диапазон
 в Тригонометрии, 434334333333333 годы,.  относится к функции арктангенса. Обратные тригонометрические функции обычно сопровождаются приставкой — дуга. Математически мы представляем функцию арктангенса или арктангенса как тангенс  -1  х или арктангенс(х). Так как тригонометрических функций всего шесть, то и обратных тригонометрических функций тоже шесть, а именно sin  -1  х, кос  -1  х, тан  -1  х, косек  -1  х, сек  -1  х, и кроватка  -1  х.
 Arctan (tan  -1  x) не то же самое, что 1/tan x. Это означает, что обратная тригонометрическая функция не является обратной величиной соответствующей тригонометрической функции. Цель arctan — найти значение неизвестного угла, используя значение тригонометрического отношения тангенса. Навигация, физика и инженерия широко используют функцию арктангенса. В этой статье мы узнаем о нескольких аспектах загара 9.1389 -1  x, включая область определения, диапазон, график и интеграл, а также значение производной.
 1.
 Что такое Арктан?
 2.
 Арктан Формула
 3.
 Арктанские личности
 4.
 Домен Арктана и Диапазон
 5.
 Свойства функции Arctan
 6.
 Диаграмма Арктана
 7.
 Производное арктана
 8.
 Интеграл арктана
 9.
 Часто задаваемые вопросы по Arctan
 Что такое Арктан?
 Арктан – одна из важных обратных тригонометрических функций. В прямоугольном треугольнике тангенс угла определяет отношение перпендикуляра и основания, то есть «перпендикуляр/основание». Напротив, арктангенс отношения «перпендикуляр / основание» дает нам значение соответствующего угла между основанием и гипотенузой. Таким образом, arctan является обратной функцией tan.
 Если тангенс угла θ равен x, то есть x = tan θ, то θ = arctan(x). Ниже приведены некоторые примеры, которые могут помочь нам понять, как работает функция arctan:
 tan(π / 2) = ∞ ⇒ arctan(∞) = π/2
 тангенс (π / 3) = √3 ⇒ арктангенс (√3) = π/3
 тангенс (0) = 0 ⇒ арктангенс (0) = 0
 Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник. Пусть θ будет углом, значение которого необходимо определить. Мы знаем, что тангенс θ будет равен отношению перпендикуляра к основанию. Следовательно, тангенс θ = Перпендикуляр/Основание. Чтобы найти θ, мы будем использовать функцию арктангенса: θ = тангенс  -1  [Перпендикуляр/База].
 Арктан Формула
 Как обсуждалось выше, основная формула арктангенса дается следующим образом: арктангенс (перпендикуляр/основание) = θ, где θ — угол между гипотенузой и основанием прямоугольного треугольника. Мы используем эту формулу для арктангенса, чтобы найти значение угла θ в градусах или радианах. Мы также можем записать эту формулу как θ = тангенс  -1  [Перпендикуляр/Основание].
 Идентичности Арктана
 Существует несколько формул арктангенса, тождеств и свойств арктангенса, которые помогают решать как простые, так и сложные суммы по обратной тригонометрии. Некоторые из них приведены ниже:
 arctan(-x) = -arctan(x), для всех x ∈ R
 tan (arctan x) = x, для всех действительных чисел x
 arctan (tan x) = x, для x ∈ (-π/2, π/2)
 arctan(1/x) = π/2 — arctan(x) = arccot(x), если x > 0 или, 
 arctan(1/x) = — π/2 — arctan(x) = arccot(x) — π, если x < 0 9{2}+1}дз\)
 У нас также есть некоторые формулы арктангенса для числа π. Они приведены ниже.
 π/4 = 4 арктангенса (1/5) — арктангенса (1/239)
 π/4 = арктангенс (1/2) + арктангенс (1/3)
 π/4 = 2 арктангенса (1/2) — арктангенса (1/7)
 π/4 = 2 арктангенса (1/3) + арктангенса (1/7)
 π/4 = 8 арктан (1/10) — 4 арктан (1/515) — арктан (1/239)
 π/4 = 3 арктангенса (1/4) + арктангенса (1/20) + арктангенса (1/1985)
 Как применять формулу Arctan x?
 Мы можем получить более глубокое понимание применения формулы арктангенса с помощью следующих примеров:
  Пример  : В прямоугольном треугольнике ABC, если основание треугольника составляет 2 единицы, а высота треугольника 3 единицы. Найдите угол основания.
  Решение: 
 Чтобы найти: угол при основании
 Используя формулу арктангенса, мы знаем, 
 ⇒ θ = арктангенс (3 ÷ 2) = арктангенс (1,5) 90 152
⇒ θ = 56,3  ° 
  Ответ:  Угол равен 56,3  °  .
 Арктан Домен и Диапазон
 Все тригонометрические функции, включая tan (x), имеют отношение «многие к одному». Однако обратная функция может существовать только в том случае, если она имеет взаимно-однозначное отношение и отношение. По этой причине домен tan x должен быть ограничен, иначе не может существовать обратное. Другими словами, тригонометрическая функция должна быть ограничена своей основной ветвью, поскольку нам нужно только одно значение.
 Домен tan x ограничен (-π/2, π/2). Значения, при которых cos(x) = 0, были исключены. Диапазон тангенса (x) — это все действительные числа. Мы знаем, что область определения и область значений тригонометрической функции преобразуются в область значений и область определения обратной тригонометрической функции соответственно. Таким образом, мы можем сказать, что домен tan  -1  x состоит из всех действительных чисел, а диапазон равен (-π/2, π/2). Интересно отметить тот факт, что мы можем распространить функцию арктангенса на комплексные числа. В таком случае доменом arctan будут все комплексные числа.
 Таблица Arctan
 Любой угол, выраженный в градусах, также может быть преобразован в радианы. Для этого мы умножаем значение градуса на коэффициент π/180°. Кроме того, функция арктангенса принимает действительное число в качестве входных данных и выводит соответствующее уникальное значение угла. В приведенной ниже таблице указаны значения арктангенса для некоторых действительных чисел. Их также можно использовать при построении графика арктангенса.
 х
 арктан(х)
 (°)
 арктан(х)
 (рад)
 -∞
 -90°
 -π/2
 -3
 -71,565°
 -1,2490
 -2
 -63,435°
 -1. 1071
 -√3
 -60°
 -π/3
 -1
 -45°
 -π/4
 -1/√3
 -30°
 -π/6
 -1/2
 -26,565°
 -0,4636
 0
 0°
 0
 1/2
 26,565°
 0,4636
 1/√3
 30°
 №/6
 1
 45°
 №/4
 √3
 60°
 №/3
 2
 63,435°
 1.1071
 3
 71,565°
 1,2490
 ∞
 90°
 №/2
 Арктан х Свойства
 Ниже приведены некоторые полезные тождества арктангенса, основанные на свойствах функции арктангенса. Эти формулы можно использовать для упрощения сложных тригонометрических выражений, тем самым облегчая решение задач.
 тангенс (тангенс  -1  х) = х, для всех действительных чисел х
 tan  -1  x + tan  -1  y = tan  -1  [(x + y)/(1 — xy)], когда xy < 1 
 загар  -1  x — tan  -1  y = tan  -1  [(x — y)/(1 + xy)], когда xy > -1
 У нас есть 3 формулы для 2tan  -1  x 
 2tan  -1  x = sin  -1  (2x / (1+x  2  )), когда |x| ≤ 1 
 2tan  -1  x = cos  -1  ((1-x  2  ) / (1+x  2  )), когда x ≥ 0 
 2tan  -1  x = tan  -1  (2x / (1-x  2  )), когда -1 < x < 1
 желтовато-коричневый  -1  (-x) = -tan  -1  x, для всех x ∈ R
 загар  -1  (1/x) = кроватка  -1  х, когда х > 0
 tan  -1  x + cot  -1  x = π/2, когда x ∈ R
 tan  -1  (tan x) = x, только когда x ∈ R — {x : x = (2n + 1) (π/2), где n ∈ Z} 
 т. е. tan  -1  (tan x) = x, только если x НЕ является нечетным кратным π/2. В противном случае tan  -1  (tan x) не определен.
 Арктан График
 Мы знаем, что домен arctan равен R (все действительные числа), а диапазон равен (-π/2, π/2). Чтобы построить график арктангенса, мы сначала определим несколько значений y = arctan(x). Используя уже известные значения специальных углов, получаем на графике следующие точки:
 При x = ∞, y = π/2
 Когда x = √3, y = π/3
 Когда х = 0, у = 0
 Когда x = -√3, y = -π/3
 Когда x = -∞, y = -π/2
 Используя их, мы можем построить график арктангенса.
 Арктан производный
 Чтобы найти производную арктангенса, мы можем использовать следующий алгоритм.
 Пусть y = arctan x
 Беря тангенс с обеих сторон, получаем x
 Теперь, продифференцировав обе части и используя цепное правило, мы получим
 Sec  2  Y DY/DX = 1
 ⇒ DY/DX = 1/с  2  Y
 В соответствии с тригонометрической идентичностью мы имеем SEC  2  Y = 1 + TAN  2  Y
 dy/dx = 1 / (1 + tan  2  y)
 При подстановке,
 Таким образом, d(arctan x) / dx = 1 / (1 + x  2  )
 Интеграл арктана x
 Интеграл от арктангенса является первообразной функции арктангенса. Интегрирование по частям используется для вычисления интеграла арктангенса.
 Здесь f(x) = tan  -1  x, g(x) = 1
 Формула имеет вид ∫f(x)g(x)dx = f(x) ∫g(x)dx — ∫[d(f(x))/dx × ∫g(x) dx] dx
 После подстановки значений и решения выражения получаем интеграл от arctan как
 ∫tan  -1  x dx = x tan  -1  x — ½ ln |1+x  2  | + C
 где C – постоянная интегрирования.
  Статьи по теме: 
 Калькулятор Arctan
 Тригонометрические функции
 Тригонометрическая таблица
 Грех кост тан
  Важные замечания по Arctan 
 Arctan также может быть записан как arctan x или tan  -1  x. Однако тангенс  -1  х не равен (тангенс х)  -1  = 1 / тангенс х = кроватка х.
 Основная формула для арктангенса задается как θ = арктангенс (перпендикуляр / основание).
 Производная арктангенса равна d/dx(tan  -1  x) = 1/(1+x  2  ).
 Интеграл от arctan равен ∫tan  -1  x dx = x tan  -1  x — ½ ln |1+x  2  | + С
 Часто задаваемые вопросы по Arctan
 Что такое функция арктангенса в тригонометрии?
  Функция Arctan  обратна функции тангенса. Обычно его обозначают как arctan x или tan  -1  x. Основная формула для определения значения арктангенса: θ = тангенс  -1  (перпендикуляр/основание).
 Является ли Арктан инверсией Тан?
 Да, арктан противоположен загару. Он может определить значение угла в прямоугольном треугольнике, используя функцию касательной. Tan  -1  x будет существовать только в том случае, если мы ограничим область определения функции тангенса.
 Арктан и кроватка — это одно и то же?
 Арктан и детская кроватка не одно и то же. Обратной функцией тангенса является арктангенс, определяемый как тангенс  -1  x. Однако котангенс является обратной функцией тангенса. То есть (загар х)  -1  = 1 / детская кроватка x
 Какова формула арктана?
 Основная формула арктангенса может быть представлена ​​как θ = тангенс  -1  (Перпендикуляр/Основание). Здесь θ — угол между гипотенузой и основанием прямоугольного треугольника.
 Что такое производное арктана?
 Производную арктангенса можно вычислить, применяя концепции подстановки и цепного правила. Таким образом, d(arctan x)/dx = 1/(1 + x  2  ), x ≠ i, -i.
 Как рассчитать интеграл арктангенса?
 Нам придется использовать интегрирование по частям, чтобы найти значение интеграла от арктангенса. Это значение задается как ∫tan  -1  x dx = x tan  -1  x — ½ ln |1+x  2  | + C.
 Что такое Арктан Бесконечности?
 Мы знаем, что значение тангенса (π/2) = sin(π/2) / cos (π/2) = 1 / 0 = ∞. Таким образом, мы можем сказать, что arctan(∞) = π/2.
 Каков предел арктангенса х, когда х приближается к бесконечности?
 Значение arctan приближается к π/2, когда x приближается к бесконечности.