Автор: alexxlab

Калькулятор интерполяции — Найти точку интерполяции

Онлайн-калькулятор интерполяции помогает найти интерполированные значения для точек данных на линии или кривой. Калькулятор отображает интерполированную точку на линии и показывает пошаговое решение с использованием формулы линейной интерполяции.

Просто прочтите контекст, чтобы получить общее представление о том, как выполнять интерполяцию, ее формулу и некоторые стандартные термины, которые помогают понять интерполяцию.

Что такое линейная интерполяция в математике?

интерполяция калькулятор – это метод создания новых точек данных в уже известном дискретном наборе точек данных. В этой математической процедуре некоторые исходные точки данных могут быть интерполированы для создания простой и новой функции, которая будет близка к исходным данным. Эта интеграция нового значения называется интерполяцией. Другими словами, мы также можем сказать, что линейный интерполянт – это прямая линия, которая существует между двумя распознанными координатными точками (x0, y0) и (x1, y1). Вы можете легко найти значение интерполяции между двумя координатами на прямой с помощью калькулятор интерполяции.

Формула линейной интерполяции:

Формула линейной интерполяции:

$$ y = y1 + ((x – x1) / (x2 – x1)) * (y2 – y1) $$

В этом уравнении интерполяции:

• X = известное значение,
• y = неизвестное значение,
• x1 и y1 = координаты, которые ниже известного значения x
• x2 и y2 = координаты выше значения x.

Кроме того, интерполяция онлайн калькулятор уклона помогает найти точки уклона или уклона A (x1, y1) и B (y1, y2) в декартовой координатной плоскости.

Пример1:

Если заданными точками данных являются (2, 4) и (6, 8), как вы рассчитаете значение y, когда x = 2.

На первом этапе мы извлечем координаты заданных точек данных.

$$ x1 = 2 $$

$$ y1 = 4 $$

$$ x2 = 6 $$

$$ y2 = 8 $$

На втором этапе мы возьмем следующие уравнения, чтобы получить значения m, а затем y

• \ (m = y2 – y1 / x2 − x1 \) = уравнение 1
• \ (y = y1 + m * (x – x1) \) = уравнение 2
• Чтобы вычислить значение m, поместите значения в уравнение 1, \ (= m = 8−4 / 6−2 = 1 \)
• Теперь у нас есть значение m, поэтому мы воспользуемся уравнением 2, чтобы найти значение y. 2 \) в заданной строке, пока заданные данные

  «$$ x1 = 4, y1 = 6, x2 = 8, x3 = 12, y3 = 14 $$».

  Решение:

  Поскольку у нас есть линейное интерполяционное уравнение:

  $$ y_2 = (x_2 – x_1) x (y_3- y_1) / (x_3 – x_1) + y_1 $$

  Пошаговое решение для нахождения y2 будет таким, как если бы вышеприведенное уравнение было следующим:

  $$ y_2 = (x_3 − x_2) x (y_3 − y_1) / (x_3 − x_2) + y_3 $$

  $$ y_2 = (12−8) x (14−6) / (12−8) + 14 $$

  $$ y_2 = (4) x (8) / (4) + 14 $$

  $$ y_2 = (32) / (4) + 14 $$

  $$ y_2 = 8 + 14 $$

  $$ y_2 = 22 $$

  Как работает калькулятор интерполяции линейной?

  Вот как работает онлайн-калькулятор для вычисления линейных интерполированных значений.

  Вход:

  • Введите 5 различных точек данных, чтобы найти линейное интерполированное значение конкретной точки и выполнить интерполяцию.
  • Нажмите кнопку “Рассчитать”

  Выход:

  Онлайн-калькулятор интерполяции предоставит вам следующие результаты:

  • Новое интерполированное значение будет отображаться в той точке, где мы хотим провести интерполяцию.
  • Этот интерполятор нанесет точку интерполяции на линию.
  • Точки входных данных и формула линейной интерполяции
  • Это даст вам подробное пошаговое решение для вычисленного интерполированного значения.

  Часто задаваемые вопросы (FAQ):

  Какой метод можно использовать в любом вопросе интерполяции?

  Обычно мы используем метод интерполяции калькулятор полиномов. Причины использования полиномов:

  • Их легко оценить
  • Дифференциация и интеграция просты.

  Это называется полиномиальной интерполяцией.

  Когда следует использовать интерполяцию?

  Как мы уже знаем, с помощью интерполяции мы можем найти неизвестные точки, поэтому ее можно использовать всякий раз, когда нам нужно предсказать неизвестные значения для любых данных географических точек. Это полезно для прогнозирования осадков, полученных в результате концентраций химических веществ, оценки уровней шума и т. Д.

  Какой метод интерполяции лучший?

  Интерполяция с обратным взвешиванием по расстоянию (IDW) считается одним из лучших методов для достижения лучших результатов, чем любой другой метод интерполяции калькулятор.

  Кригинг – это точная интерполяция?

  Методика интерполяция калькулятор обычно связана с точной интерполяцией. Все предсказания Кригинга могут постепенно меняться в космосе. Они будут меняться после того, как попадут в место, где были собраны данные. В этот момент происходит «скачок» прогноза к наиболее точному значению, которое было измерено первым. Однако для быстрых и точных прогнозов можно использовать интерполятор.

  интерполяция онлайн калькулятор момент:

  Благодаря калькулятор интерполяции линейной для поиска неизвестной точки данных для заданных координат и построения точки на графиках. Кроме того, этот инструмент показывает формулу, которая используется для выполнения требований, с пошаговыми расчетами для облегчения конечных пользователей в кратчайшие сроки. Он обеспечивает бесплатную поддержку в учебных и образовательных целях. Поэтому давайте интерполяция калькулятор найти ответ, поместив известную точку данных в этот интерполятор!

  Other Languages: Linear Interpolation Calculator, Kalkulator Interpolasi, Interpolacja Kalkulator, Interpolation Rechner, Interpolasyon Hesaplama, 補間計算, Calculadora De Interpolação, Calcul Interpolation Linéaire, Interpolar Calculadora, Calcolo Interpolazione Lineare, Lineární Interpolace Výpočet, حاسبة الاستيفاء, Interpolointi Laskin.

  соединяем точки так, чтобы было красиво / Хабр

  Как построить график по n точкам? Самое простое — отметить их маркерами на координатной сетке. Однако для наглядности их хочется соединить, чтобы получить легко читаемую линию. Соединять точки проще всего отрезками прямых. Но график-ломаная читается довольно тяжело: взгляд цепляется за углы, а не скользит вдоль линии. Да и выглядят изломы не очень красиво. Получается, что кроме ломаных нужно уметь строить и кривые. Однако тут нужно быть осторожным, чтобы не получилось вот такого:

  Немного матчасти

  Восстановление промежуточных значений функции, которая в данном случае задана таблично в виде точек P₁&nbsp…&nbspP_n, называется интерполяцией. Есть множество способов интерполяции, но все они могут быть сведены к тому, что надо найти n&nbsp–&nbsp1 функцию для расчёта промежуточных точек на соответствующих сегментах. При этом заданные точки обязательно должны быть вычислимы через соответствующие функции. На основе этого и может быть построен график:

  Функции f_i могут быть самыми разными, но чаще всего используют полиномы некоторой степени. В этом случае итоговая интерполирующая функция (кусочно заданная на промежутках, ограниченных точками P_i) называется сплайном.

  В разных инструментах для построения графиков — редакторах и библиотеках — задача «красивой интерполяции» решена по-разному. В конце статьи будет небольшой обзор существующих вариантов. Почему в конце? Чтобы после ряда приведённых выкладок и размышлений можно было поугадывать, кто из «серьёзных ребят» какие методы использует.

  Ставим опыты

  Самый простой пример — линейная интерполяция, в которой используются полиномы первой степени, а в итоге получается ломаная, соединяющая заданные точки.
  Давайте добавим немного конкретики. Вот набор точек (взяты почти с потолка):

  0 0
  20 0
  45 -47
  53 335
  57 26
  62 387
  74 104
  89 0
  95 100
  100 0
  

  Результат линейной интерполяции этих точек выглядит так:

  Однако, как отмечалось выше, иногда хочется получить в итоге гладкую кривую.

  Что есть гладкость? Бытовой ответ: отсутствие острых углов. Математический: непрерывность производных. При этом в математике гладкость имеет порядок, равный номеру последней непрерывной производной, и область, на которой эта непрерывность сохраняется. То есть, если функция имеет гладкость порядка 1 на отрезке [a;&nbspb], это означает, что на [a;&nbspb] она имеет непрерывную первую производную, а вот вторая производная уже терпит разрыв в каких-то точках.
  У сплайна в контексте гладкости есть понятие дефекта. Дефект сплайна — это разность между его степенью и его гладкостью. Степень сплайна — это максимальная степень использованных в нём полиномов.
  Важно отметить, что «опасными» точками у сплайна (в которых может нарушиться гладкость) являются как раз P_i, то есть точки сочленения сегментов, в которых происходит переход от одного полинома к другому. Все остальные точки «безопасны», ведь у полинома на области его определения нет проблем с непрерывностью производных.
  Чтобы добиться гладкой интерполяции, нужно повысить степень полиномов и подобрать их коэффициенты так, чтобы в граничных точках сохранялась непрерывность производных.

  Традиционно для решения такой задачи используют полиномы третьей степени и добиваются непрерывности первой и второй производной. То, что получается, называют кубическим сплайном дефекта 1. Вот как он выглядит для наших данных:
  

  Кривая, действительно, гладкая. Но если предположить, что это график некоторого процесса или явления, который нужно показать заинтересованному лицу, то такой метод, скорее всего, не подходит. Проблема в ложных экстремумах. Появились они из-за слишком сильного искривления, которое было призвано обеспечить гладкость интерполяционной функции. Но зрителю такое поведение совсем не кстати, ведь он оказывается обманут относительно пиковых значений функции. А ради наглядной визуализации этих значений, собственно, всё и затевалось.
  Так что надо искать другие решения.

  Другое традиционное решение, кроме кубических сплайнов дефекта 1 — полиномы Лагранжа. Это полиномы степени n&nbsp–&nbsp1, принимающие заданные значения в заданных точках. То есть членения на сегменты здесь не происходит, вся последовательность описывается одним полиномом.
  Но вот что получается:
  

  Гладкость, конечно, присутствует, но наглядность пострадала так сильно, что… пожалуй, стоит поискать другие методы. На некоторых наборах данных результат выходит нормальный, но в общем случае ошибка относительно линейной интерполяции (и, соответственно, ложные экстремумы) может получаться слишком большой — из-за того, что тут всего один полином на все сегменты.

  В компьютерной графике очень широко применяются кривые Безье, представленные полиномами k-й степени.
  Они не являются интерполирующими, так как из k&nbsp+&nbsp1 точек, участвующих в построении, итоговая кривая проходит лишь через первую и последнюю. Остальные k&nbsp–&nbsp1 точек играют роль своего рода «гравитационных центров», притягивающих к себе кривую.
  Вот пример кубической кривой Безье:
  

  Как это можно использовать для интерполяции? На основе этих кривых тоже можно построить сплайн. То есть на каждом сегменте сплайна будет своя кривая Безье k-й степени (кстати, k&nbsp=&nbsp1 даёт линейную интерполяцию). И вопрос только в том, какое k взять и как найти k&nbsp–&nbsp1 промежуточную точку.
  Здесь бесконечно много вариантов (поскольку k ничем не ограничено), однако мы рассмотрим классический: k&nbsp=&nbsp3.
  Чтобы итоговая кривая была гладкой, нужно добиться дефекта 1 для составляемого сплайна, то есть сохранения непрерывности первой и второй производных в точках сочленения сегментов (P_i), как это делается в классическом варианте кубического сплайна.
  Решение этой задачи подробно (с исходным кодом) рассмотрено здесь.
  Вот что получится на нашем тестовом наборе:
  

  Стало лучше: ложные экстремумы всё ещё есть, но хотя бы не так сильно отличаются от реальных.

  Думаем и экспериментируем

  Можно попробовать ослабить условие гладкости: потребовать дефект 2, а не 1, то есть сохранить непрерывность одной только первой производной.
  Достаточное условие достижения дефекта 2 в том, что промежуточные контрольные точки кубической кривой Безье, смежные с заданной точкой интерполируемой последовательности, лежат с этой точкой на одной прямой и на одинаковом расстоянии:

  В качестве прямых, на которых лежат точки C_{i&nbsp–&nbsp1}⁽²⁾, P_i и C_i⁽¹⁾, целесообразно взять касательные к графику интерполируемой функции в точках P_i. Это гарантирует отсутствие ложных экстремумов, так как кривая Безье оказывается ограниченной ломаной, построенной на её контрольных точках (если эта ломаная не имеет самопересечений).

  Методом проб и ошибок эвристика для расчёта расстояния от точки интерполируемой последовательности до промежуточной контрольной получилась такой:
  

  Эвристика 1
  
  Первая и последняя промежуточные контрольные точки равны первой и последней точке графика соответственно (точки C₁⁽¹⁾ и C_{n&nbsp–&nbsp1}⁽²⁾ совпадают с точками P₁ и P_n соответственно).
  В этом случае получается вот такая кривая:

  Как видно, ложных экстремумов уже нет. Однако если сравнивать с линейной интерполяцией, местами ошибка очень большая. Можно сделать её ещё меньше, но тут в ход пойдут ещё более хитрые эвристики.

  К текущему варианту мы пришли, уменьшив гладкость на один порядок. Можно сделать это ещё раз: пусть сплайн будет иметь дефект 3. По факту, тем самым формально функция не будет гладкой вообще: даже первая производная может терпеть разрывы. Но если рвать её аккуратно, визуально ничего страшного не произойдёт.
  Отказываемся от требования равенства расстояний от точки P_i до точек C_{i&nbsp–&nbsp1}⁽²⁾ и C_i⁽¹⁾, но при этом сохраняем их все лежащими на одной прямой:
  

  Эвристика для вычисления расстояний будет такой:
  

  Эвристика 2

  Расчёт l₁ и l₂ такой же, как в «эвристике 1».
  При этом, однако, стоит ещё проверять, не совпали ли точки P_i и P_{i&nbsp+&nbsp1} по ординате, и, если совпали, полагать l₁&nbsp=&nbspl₂&nbsp=&nbsp0. Это защитит от «вспухания» графика на плоских отрезках (что тоже немаловажно с точки зрения правдивого отображения данных).
  

  Результат получается такой:

  В результате на шестом сегменте ошибка уменьшилась, а на седьмом — увеличилась: кривизна у Безье на нём оказалась больше, чем хотелось бы. Исправить ситуацию можно, принудительно уменьшив кривизну и тем самым «прижав» Безье ближе к отрезку прямой, которая соединяет граничные точки сегмента. Для этого используется следующая эвристика:
  

  Эвристика 3

  Если абсцисса точки пересечения касательных в точках P_i(x_i,&nbspy_i) и P_{i&nbsp+&nbsp1}(x_{i&nbsp+&nbsp1},&nbspy_{i&nbsp+&nbsp1}) лежит в отрезке [x_i;&nbspx_{i&nbsp+&nbsp1}], то l₁ либо l₂ полагаем равным нулю. В том случае, если касательная в точке P_i направлена вверх, нулю полагаем максимальное из l₁ и l₂, если вниз — минимальное.
  

  Результат следующий:

  На этом было принято решение признать цель достигнутой.
  Может быть, кому-то пригодится код.

  А как люди-то делают?

  Обещанный обзор. Конечно, перед решением задачи мы посмотрели, кто чем может похвастаться, а уже потом начали разбираться, как сделать самим и по возможности лучше. Но вот как только сделали, не без удовольствия ещё раз прошлись по доступным инструментам и сравнили их результаты с плодами наших экспериментов. Итак, поехали.

  MS Excel

  
  

  Это очень похоже на рассмотренный выше сплайн дефекта 1, основанный на кривых Безье. Правда, в отличие от него в чистом виде, тут всего два ложных экстремума — первый и второй сегменты (у нас было четыре). Видимо, к классическому поиску промежуточных контрольных точек тут добавляются ещё какие-то эвристики. Но ото всех ложных экстремумов они не спасли.

  LibreOffice Calc

  
  

  В настройках это названо кубическим сплайном. Очевидно, он тоже основан на Безье, и вот тут уже точная копия нашего результата: все четыре ложных экстремума на месте.

  Есть там ещё один тип интерполяции, который мы тут не рассматривали: B-сплайн. Но для нашей задачи он явно не подходит, так как даёт вот такой результат 🙂
  

  Highcharts, одна из самых популярных JS-библиотек для построения диаграмм

  
  

  Тут налицо «метод касательных» в варианте равенства расстояний от точки интерполируемой последовательности до промежуточных контрольных. Ложных экстремумов нет, зато есть сравнительно большая ошибка относительно линейной интерполяции (седьмой сегмент).

  amCharts, ещё одна популярная JS-библиотека

  Картина очень похожа на экселевскую, те же два ложных экстремума в тех же местах.

  Coreplot, самая популярная библиотека построения графиков для iOS и OS X

  
  

  Есть ложные экстремумы и видно, что используется сплайн дефекта 1 на основе Безье.
  Библиотека открытая, так что можно посмотреть в код и убедиться в этом.

  aChartEngine, вроде как самая популярная библиотека построения графиков для Android

  
  

  Больше всего похоже на кривую Безье степени n&nbsp–&nbsp1, хотя в самой библиотеке график называется «cubic line». Странно! Как бы то ни было, тут не только присутствуют ложные экстремумы, но и в принципе не выполняются условия интерполяции.

  Вместо заключения

  В конечном счёте получается, что из «больших ребят» лучше всех проблему решили Highcharts. Но метод, описанный в этой статье, обеспечивает ещё меньшую ошибку относительно линейной интерполяции.
  Вообще, заняться этим пришлось по просьбе покупателей, которые зарепортили нам «острые углы» в качестве бага в нашем движке диаграмм. Будем рады, если описанный опыт кому-то пригодится.

  Калькулятор формулы уравнения линейной интерполяции

  Инженерное дело — формула интерполяции

  ---

  Чтобы интерполировать значение y ₂ :
  x ₁ , x ₃ , y ₁ и y ₃ необходимо ввести/скопировать из таблицы.
  x ₂ определяет точку для выполнения интерполяции.
  y ₂ — интерполированное значение и решение.

  х 1	у 1
  x 2	y 2
  x 9000 6 3	y 3

  ---

  ---

  Ввод:

  ---

  Решение:

  y ₂

  = НЕ РАСЧЕТНО

  ---

  Изменить уравнение или формулу
  Выберите для решения другого неизвестного

  	линейная интерполяция одиночный интерполятор
  	билинейная интерполяция двойная интерполяция

  ---

  Что такое линейная интерполяция?

  Линейная интерполяция — это математический метод, используемый для оценки неизвестного значения между двумя известными точками данных на прямой линии, при условии постоянной скорости изменения между точками и линейной функции, соединяющей их.

  Аппроксимация кривой, с другой стороны, представляет собой более широкий процесс построения кривой или математической функции, которая наилучшим образом соответствует ряду точек данных. Например, линейную интерполяцию можно рассматривать как простую форму подбора кривой, когда кривая представляет собой прямую линию.

  ---

  Почему это необходимо?

  Линейная интерполяция и подгонка кривых необходимы, поскольку они обеспечивают эффективные способы оценки значений в наборе данных, когда точные данные недоступны, анализа тенденций данных и создания графических представлений данных. Эти методы имеют решающее значение для аппроксимации, анализа данных и визуализации.

  ---

  Уравнение линейной интерполяции

  Уравнение линейной интерполяции определяется как:

  y = y1 + (x — x1) * ((y2 — y1) / (x2 — x1))

  где (x1, y1) и (x2, y2) — известные точки данных, x — значение x неизвестной точки, а y — значение y неизвестной точки.

  ---

  Как решить:

  Чтобы найти y с помощью линейной интерполяции, выполните следующие действия:

  • Определите две известные точки данных (x1, y1) и (x2, y2), окружающие значение x, для которых вы хотите оценить значение y.
  • Подставить известные значения в уравнение линейной интерполяции.
  • Решите для y.

  ---

  Распространенные ошибки:

  • Экстраполяция за пределы известных точек данных может привести к неточным оценкам.
  • Использование линейной интерполяции для нелинейных наборов данных приводит к плохим приближениям.
  • Непроверка допущений о постоянной скорости изменения и линейности.
  • Использование только интерполяции при наличии более точных методов или данных.
  • Неверная интерпретация результатов, например предположение, что интерполированное значение равно точному значению.
  • Чувствительность к выбросам и экстремальным значениям в наборе данных.

  ---

  Области применения:

  • Компьютерная графика и обработка изображений
  • Финансы (например, расчет процентных ставок)
  • Инжиниринг (например, оценка температуры и давления)
  • Географические информационные системы (ГИС) и картография
  • Медицинская визуализация
  • Разработка видеоигр
  • Прогноз погоды
  • Обработка аудиосигнала
  • Компьютерное проектирование (САПР)
  • Наука о данных и аналитика

  ---

  Другие типы интерполяции:

  • Полиномиальная интерполяция
  • Сплайн-интерполяция (например, кубический и B-сплайн)
  • Интерполяция Hermite
  • Рациональная интерполяция
  • Интерполяция ближайшего соседа

  ---

  Калькулятор интерполяции — Примеры, онлайн-калькулятор интерполяции

  Калькулятор интерполяции помогает вычислить интерполированное значение для заданных координат. Интерполяция — это процесс поиска нового значения функции, когда мы уже знаем любые два значения.

  Что такое интерполяционный калькулятор?

  Калькулятор интерполяции — это онлайн-инструмент, который помогает вычислить интерполированное значение y для линейной функции, когда нам заданы определенные координаты. Формула линейной интерполяции используется для нахождения нового значения функции. Чтобы использовать калькулятор интерполяции введите значения в поля ввода.

  Калькулятор интерполяции

  ПРИМЕЧАНИЕ. Введите значения не более двух цифр.

  Как пользоваться калькулятором интерполяции?

  Чтобы найти значение интерполяции с помощью онлайн-калькулятора интерполяции, следуйте инструкциям ниже:

  • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору интерполяции Cuemath.
  • Шаг 2: Введите координаты в указанные поля ввода.
  • Шаг 3:  Нажмите «Рассчитать» , чтобы найти интерполированное значение для заданных координат.
  • Шаг 4:  Нажмите «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

  Как работает калькулятор интерполяции?

  Когда мы хотим оценить значение функции между любыми двумя точками, мы используем метод интерполяции. Интерполяция – это метод, который используется для поиска нового значения между двумя точками на кривой заданной функции. Предположим, нам известны координаты двух точек (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) и (\(x_{2}\), \(y_{2}\)). Мы также знаем точку, в которой должна быть выполнена интерполяция. Это обозначается х. Тогда формула для линейной интерполяции задается следующим образом:

  Линейная интерполяция(y) = \(y_{1} + (x — x_{1})\frac{(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}}\ )

  Здесь y — интерполированное значение. Мы можем подставить данные значения в вышеупомянутое уравнение, чтобы определить интерполированное значение y.

  Линейная интерполяция используется для прогнозирования данных, предсказания фондового рынка и многих других научных приложений. Линейная интерполяция — это метод подгонки кривой при работе с линейными полиномами. Его можно использовать для построения новых точек данных в пределах некоторых известных точек данных.

  Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

  Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

  Запись на бесплатный пробный урок

  Решенные примеры на калькуляторе интерполяции

  Пример 1:

  Найдите интерполированное значение y при x = 2, если задано некоторое множество значений (-2, 3), (4, 6). Проверьте это с помощью онлайн-калькулятора интерполяции.

  Решение:

  Используя формулу интерполяции, \(y_{1} + (x — x_{1})\frac{(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{ 1}}\)

  Дано: x = 2, x ₁  = -2, y ₁  = 3, x ₂  = 4 , y ₂  = 6

  9000 2 у = 3 + (2 — (-2)) (6 — 3) / (4 — (-2))

  y = 3 + 4 × (-3 /-6)

  y = 5

  Пример 2:

  Найдите интерполированное значение y при x = -3, если задан некоторый набор значений (5, 3,5), (10, 6).

Линейные и квадратные уравнения. | Образовательная социальная сеть

проверочный тест по теме: «Решение линейных уравнений»                 Вариант 1.

1. -6х – 4 = -9х + 11

       1) 3      2) 12         3) 5           4) 1

2. 6 – 5х = 2х +5

       1) 8      2) 7           3)         4)

3. 10(х – 9) = 7

       1) 9,7    2) 0,87      3)         4) -0,97

4. 5(2х + 4) = 6х – 10   Ответ: ______
5. 7(-3 + х) – 2х = -6    Ответ: ______
6. 2(х — 3) — 5 = 4х        Ответ: ______
7. -5 (7 – х) + 2х = -7   Ответ: ______
8.                    Ответ: ______ 
9.      Ответ: ______
10. 9 + 3(1 – 2х) = 6х – 4     Ответ: ______
11.      Ответ: ______
12.                        Ответ: ______   
13.      Ответ: ______

14) 3 – 3(х + 2) = 5 — 5х                     Ответ: ______ 

 15) 1 + 8х +3(5 – х) = -4х – 2           Ответ: ______   

16) -10х – 6(-1 + 6х) = -6х – 4          Ответ: ______

Проверочный тест по теме: «Решение линейных уравнений»                     Вариант 2.

1. 10х + 4 = 7х + 19

      1) 1          2) -5          3) 12       4) 5

2.  9 – 6х = 8х + 7

     1)         2)           3) 1          4) — 5  

3. 5(х + 2) = 1

     1) 1,8        2)        3) -4        4) -1,8

4. 7(2х + 3) = 12х + 11        Ответ: ______
5. 7(-4 + х) + 3х = 4            Ответ: ______
6. 2(х + 7) – 9 = -2х             Ответ: ______
7. -3 (5 – х) = 11 + 2х          Ответ: ______ 
8.                       Ответ: ______
9.              Ответ: ______
10.          Ответ: ______       
11.         Ответ: ______
12.                             Ответ: ______
13.    Ответ: _____     
14. -3 + 4( х – 1) = 5 – 2х                 Ответ: _____ 
15. 2х – 3 + 2(х — 1) = 3х – 11          Ответ: _____
16. 9х – 7(-10 — 3х) = х — 17             Ответ: ______ 

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение линейных  уравнений».

Вариант 1.

1) 3

2)

3)  1

4) – 7, 5

5) 3

6) – 5,5

7) 4

8) – 0,6

9) — 7

10) 1,75

11) – 1,5

12)

13) 7

14) 4

15) – 2

16) 0,25

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение линейных уравнений».

Вариант 2.

1) 4

2) 2

3) 4

4) – 5

5) 3,2

6) – 1,25

7) 26

8) – 3

9) 1,8

10) 3

11) 2

12)

13)

14) 2

15) – 6

16) – 3

Проверочный тест по теме: «Решение квадратных уравнений»

Вариант 1.

1) Решите уравнение: х2 + 4х = 0

     1) 0; 4    2) 4        3) 0; -4        4) 1; -4      

2) Решите уравнение: 1 – 9у2= 0

Ответ: ________

3) Решите уравнение:  –у2 + 3 = 0

Ответ: ________

4) Решите уравнение:  х2 – 7х + 12 = 0

   1) -3; 4   2) -3; -4     3) 3; -4      4) 3; 4

5) Найдите наименьший корень уравнения:

     у2 + 8у + 15 = 0

Ответ: _______

6) Решите уравнение:   2х2 – 7х + 5 = 0

Ответ: _______

7) Найдите сумму корней уравнения:

    х2 – 13х + 40 = 0

Ответ: ________

8) Найдите наибольший корень уравнения:

    х2 = -15х – 56

Ответ: ________

9) Найдите произведение корней уравнения:

    х2 + 16х = — 63

Ответ: ________

10) Соотнесите квадратные уравнения и их корни:

 а) х2 + 3х -4 = 0        б) х2 – 9 = 0        в) х2 — 10х + 25 =0

1) х1=-3, х2 = 3          2) х = 5      

3) х1=-4, х2= 1           4) нет корней

Ответ:

11) Найдите корни  уравнения:  4х +1= — 4х2

Ответ: ________

12) Решите уравнение:  

Ответ: ________

13) Решите уравнение: 5(х – 2) = (3х +2)(х – 2)

Ответ: ________

14) Решите уравнение:

Ответ: ________

Проверочный тест по теме: «Решение квадратных уравнений»

Вариант 2.

1) Решите уравнение:  3х2 — х = 0

    1) —    2) 0; 3    3) 0; 1     4)

2) Решите уравнение: 1 – 16у2= 0

Ответ: ____

3) Решите уравнение:  –у2 + 8 = 0

Ответ:_______

4) Решите уравнение: х2 — 8х + 15 = 0

   1) 3; 5     2) -3; -5     3) -3; 5      4) 3; -5

5) Найдите наибольший корень уравнения:

    2х2 + 3х + 1 = 0

Ответ: ________

6)Решите уравнение:  4х2 — 7х + 3 = 0

Ответ: ________

7) Найдите сумму корней уравнения:

    х2 – 17х + 42 =0

Ответ: ________

8) Найдите наименьший корень уравнения:

    х2 = 7х + 18

Ответ: ________

9) Найдите произведение корней уравнения:

    х2 + 9х = — 14

Ответ: ________

10) Соотнесите квадратные уравнения и их корни:

 а) х2 — х — 2 = 0        б) х2 – х = 0        в) х2 + 25 =0

1) х1=-1, х2 = 1          2) х1 = 0, х2 = 1      

3) х1=-1, х2= 2           4) нет корней

Ответ:

11) Найдите корни уравнения:  1 +4у = 5у2

Ответ: ________

12) Решите уравнение:  

Ответ: ________

13) Решите уравнение:  (х + 3)2 – 16 = (1 – 2х)2

Ответ: ________

14) Решите уравнение:  

Ответ: ________

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение квадратных  уравнений».

Вариант 1.

1) 3

2)

3)

4) 4

5) -5

6) 1;  2,5

7) 13

8) -7

9) 63

10)

11)  -0,5

12)  -0,75;   2,5

13) 1; 2

14) -4,8;  2

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение квадратных  уравнений».

Вариант 2.

1) 4

2) -0,25; 0,25

3)

4) 1

5) -0,5

6) 0,75;  1

7) 17

8) -2

9) 14

10)  

11) -0,2;  1

12) -0,25;  

13)

14) -0,8;  3

Линейные уравнения, квадратные уравнения и неравенства: как решать

Данную статью могу порекомендовать ученикам 8-9 классов. 2+3x-4>0 \)     D<0        -2<0     и у неравенства опять нет решений.

Кстати, подобное задание очень любят составители ОГЭ по математике.

Надеюсь, что статья оказалась полезной. Не делайте глупых ошибок!

Автор: Ольга Лардыго

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Системы линейных и квадратных уравнений

(см. также Системы линейных и квадратных уравнений)

A Систему из этих двух уравнений можно решить (найти, где они пересекаются), либо:

• Использование алгебры
• Или Графически , как узнаем!

Как решать графически

Легко! Постройте оба уравнения и посмотрите, где они пересекаются!

Построение уравнений

Мы можем построить их вручную или использовать такой инструмент, как График функций.

Чтобы нарисовать их вручную:

• убедитесь, что оба уравнения имеют форму «y=»
• выберите некоторые значения x, которые, как мы надеемся, будут близки к пересечению двух уравнений
• вычислить значения y для этих значений x
• нанесите точки и посмотрите!

Выбор места для построения

Но какие значения мы должны построить? Зная центр поможет!

Возьмем квадратичную формулу и проигнорируем все после ±, получим центральное значение x:

Затем выберите несколько значений x с обеих сторон и рассчитайте значения y, например:

Пример: Решите эти два уравнения графически с точностью до 1 знака после запятой:

• y = x ² − 4x + 5
• у = х + 2

Найдите центральное значение X:

Квадратное уравнение: y = x ² − 4x + 5 , поэтому a = 1, b = −4 и c = 5

Центральный x = −b 2a = −(−4) 2×1 = 4 2 = 2

Теперь вычислите значения около x=2

(Мы вычисляем только первую и последнюю часть линейного уравнения, так как это все, что нам нужно для построения графика. )

Теперь нанесите их на график:

Мы можем видеть, что они пересекаются в точках около x = 0,7 и около x = 4,3

Выполним вычисления для этих значений:

Да, они рядом.

До 1 знака после запятой две точки: (0,7, 2,8) и (4,3, 6,2)

Не может быть двух решений!

Возможны три случая:

• Нет действительного решения (возникает, когда они никогда не пересекаются)
• Одно действительное решение (когда прямая только касается квадрата)
• Два реальных решения (как в примере выше)

Время для другого примера:

Пример: Решите эти два уравнения графически:

• 4y − 8x = −40
• у — х ² = -9х + 21

Как мы их рисуем? Они не в формате «y=»!

Сначала преобразуйте оба уравнения в формат «y=»:

Линейное уравнение: 4y − 8x = −40

Прибавь 8x к обеим частям: 4y = 8x − 40

Разделим все на 4: y = 2x − 10

Квадратное уравнение: y − x ² = −9x + 21

Прибавь x ² к обеим частям: y = x ² − 9x + 21

Теперь найдите центральное значение X:

Квадратное уравнение y = x ² − 9x + 21 , поэтому a = 1, b = −9 и c = 21 06 −(−9 ) 2×1 = 9 2 = 4,5

Теперь вычислите значения около x=4,5

Теперь нарисуйте их:

Они никогда не пересекаются! нет решения .

Пример из реальной жизни

Бум!

Пушечное ядро ​​летит по воздуху по параболе:

y = 2 + 0,12x — 0,002x ²

Уменьшите масштаб, затем увеличьте масштаб там, где они пересекаются. Вы должны получить что-то вроде этого:

При достаточном увеличении мы можем найти, что они пересекаются на (25, 3,75)

Круг и линия

Пример: найти точки пересечения числа

• с точностью до 1 знака после запятой
• И прямая 3у — 2х = 6

Окружность

«Стандартная форма» уравнения окружности: (x-a) ² + (y-b) ² = r ²

Где (а, б) является центром окружность и r радиус.

Для x ² + y ² = 25 мы можем видеть, что

• a=0 и b=0, поэтому центр находится в точке (0, 0) ,
• и для радиуса r ² = 25 , поэтому r = √25 = 5

Нам не нужно составлять уравнение окружности в форме «y=», так как у нас достаточно информации, чтобы построить окружность.

Линия

Сначала поместите линию в формат «y=»:

Переместите 2x вправо: 3y = 2x + 6

Разделите на 3: y = 2x/3 + 2

• at x = −6 , y = (2/3)( − 6) + 2 = −2
• в х = 6 , у = (2/3)(6) + 2 = 6

А теперь зарисуй их!

Теперь мы можем видеть, что они пересекаются на о (-4,8, -1,2) и (3,0, 4,0)

Точное решение см. Системы линейных и квадратных уравнений

8199, 8200, 8201, 8202, 8203, 8204, 8205, 8206, 8207, 8208

примеров квадратного уравнения | ВашСловарь

• ОПИСАНИЕ

  квадратное уравнение и определение

• ИСТОЧНИК

  Created by Karina Goto для YourDictionary

• РАЗРЕШЕНИЕ

  9 0002 Принадлежит YourDictionary, Copyright YourDictionary 

Что такое квадратное уравнение? Квадратное уравнение является уравнением второй степени, то есть оно содержит по крайней мере один член, возведенный в квадрат. Стандартная форма: ax² + bx + c = 0 с a , b и c — константы или числовые коэффициенты, а x — неизвестная переменная. Продолжайте читать примеры квадратных уравнений в стандартных и нестандартных формах, а также список членов квадратных уравнений.

Примеры уравнений стандартной формы

Самый простой способ выучить квадратные уравнения — начать со стандартной формы. Хотя не каждое квадратное уравнение, которое вы видите, будет иметь эту форму, все же полезно увидеть примеры. Имейте в виду, что первая константа и не могут быть нулем.

Примеры стандартной формы квадратного уравнения (ax² + bx + c = 0):

• 6x² + 11x — 35 = 0
• 2x² — 4x — 2 = 0
• -4x² — 7x +12 = 0
• 20x² -15x — 10 = 0
• х² -х — 3 = 0
• 5x² — 2x — 9 = 0
• 3x² + 4x + 2 = 0
• -x² +6x + 18 = 0

Advertisement

Примеры неполных квадратных уравнений

По мере развития ваших навыков алгебры вы обнаружите, что не все квадратные уравнения имеют стандартную форму. Ознакомьтесь с примерами нескольких различных экземпляров нестандартных квадратных уравнений.

Отсутствует линейный коэффициент

Иногда квадратное уравнение не имеет линейного коэффициента или bx части уравнения. Примеры включают:

• 2x² — 64 = 0
• х² — 16 = 0
• 9x² + 49 = 0
• -2x² — 4 = 0
• 4x² + 81 = 0
• -x² — 9 = 0
• 3x² — 36 = 0
• 6x² + 144 = 0

Отсутствует постоянный член

В квадратных уравнениях также может отсутствовать постоянный член, или с . Например:

• х² — 7х = 0
• 2x² + 8x = 0
• -x² — 9x = 0
• х² + 2х = 0
• -6x² — 3x = 0
• -5x² + х = 0
• -12x² + 13x = 0
• 11x² — 27x = 0

Примеры квадратного уравнения в факторизованной форме

Факторинг — это один из способов решения квадратного уравнения. Вот примеры квадратных уравнений в факторизованной форме:

• (x + 2)(x — 3) = 0 [стандартная форма: x² — 1x — 6 = 0]
• (x + 1)(x + 6) = 0 [стандартная форма: x² + 7x + 6 = 0]
• (x — 6)(x + 1) = 0 [стандартная форма: x² — 5x — 6 = 0]
• -3(x — 4)(2x + 3) = 0 [стандартная форма: -6x² + 15x + 36 = 0]
• (x — 5)(x + 3) = 0 [стандартная форма: x² — 2x — 15 = 0]
• (x — 5)(x + 2) = 0 [стандартная форма: x² — 3x — 10 = 0]
• (x — 4)(x + 2) = 0 [стандартная форма: x² — 2x — 8 = 0]
• (2x+3)(3x — 2) = 0 [стандартная форма: 6x² + 5x — 6]

Объявление

Примеры квадратных уравнений в других формах

Примеры квадратных уравнений в других формах включают:

• x(x — 2) = 4 [при умножении и перемещении 4 становится x² — 2x — 4 = 0]
• x (2x + 3) = 12 [при умножении и перемещении 12 становится 2x² — 3x — 12 = 0]
• 3x(x + 8) = -2 [при умножении и перемещении -2 становится 3x² + 24x + 2 = 0]
• 5x² = 9 — x [переместите 9 и -x на другую сторону, получится 5x² + x — 9]
• -6x² = -2 + x [переместив -2 и x на другую сторону, получится -6x² — x + 2]
• x² = 27x -14 [переместив -14 и 27x на другую сторону, получится x² — 27x + 14]
• x² + 2x = 1 [переместите «1» на другую сторону, станет x² + 2x — 1 = 0]
• 4x² — 7x = 15 [переместите 15 на другую сторону, получится 4x² + 7x — 15 = 0]
• -8x² + 3x = -100 [переместив -100 на другую сторону, получится -8x² + 3x + 100 = 0]
• 25x + 6 = 99x² [перемещение 99x ² на другую сторону, становится -99 х² + 25 х + 6 = 0]

Advertisement

Термины для квадратных уравнений

Если вам нужно немного больше пояснений по квадратным уравнениям, ознакомьтесь со списком основных математических терминов.

сравните числа))))))))))))))))))))))))))))))))))) а = sin 1 cos 2 b = sin 3 cos 4 — Знания.site

• Главная
• Алгебра
• сравните числа)…

сравните числа)))))))))))))))))))))))))))))))))))

а = sin 1 cos 2

b = sin 3 cos 4 

Ответы 1

sin 1 cos 2=1/2(sin3+sin(-1))

sin3cos4=1/2(sin7+sin(-1))

a-b=1/2(sin3-sin7)

если речь о градусах  sin7>sin3 a<b

если это радианы, тогда sin3=sin(П-3)

                                      sin7=sin(7-2П)

П-3-7+2П<0

sin(7-2П)>sin(П-3)

a<b

ответ a<b

Знаешь ответ? Добавь его сюда!

Последние вопросы

• Другие предметы

  11 часов назад

  я мужлан

• Алгебра

  12 часов назад

  вычислите следующие два члена арифметической прогресии и сумму первых четырёх если a1=-5 и a2=-14

  а3=

  а4=

  S4=

• Математика

  17 часов назад

  Объем прямоугольного параллелепипеда равен 420 , длина – 12 см, ширина – 7 см. Найдите высоту данного параллелепипеда.

  2. Постройте куб с ребром 2 см. Найдите площадь поверхности этого куба.

  ЗАДАНИЕ ДЛЯ 5 КЛАССА ПЖ ОЧЕНЬ НАДО ПРОСТО МНЕ НАДО УЕХАТЬ Заранее СПАСИБО

• Литература

  17 часов назад

  щищ

• Окружающий мир

  18 часов назад

  Я хочу пойти и полежать на травке

  Но на улице холодно

• Химия

  19 часов назад

  Помогите пожалуйста, срочно

  вычислить массу 40% раствора и воды, чтобы приготовить 120 г раствора с массовой частицей 20%.

• Химия

  1 день назад

  Какую массу медного купороса CuSO4 5h3O и воды надо взять, чтобы приготовить раствор массой 500 г с массовой долей соли 5%?

• Химия

  1 день назад

  Металлический цинк весом 26,2 г растворили в избытке раствора HCl. Какую массу оксида никеля (ll) , выделившимся при растворении цинка водородом, можно восстановить?

• Физика

  1 день назад

  223/87Fr испытывает 3 последовательных бета-распада и 1 альфа-распад.

• Геометрия

  1 день назад

  1. В окружности с центром О отрезки АС и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 124°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

• Математика

  2 дня назад

  G

• Математика

  2 дня назад

  Задание 1. 2 … …)на месте точек должны быть цифры или знаки + и —

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

Сообщество Экспонента

• вопрос
• 02.05.2023

Другое

Мне нужно сделать интегральную частотно-импульсную систему автоматического управления теплопотреблением помещения. Я никак не могу разобраться как сделать регулятор ичим

Мне нужно сделать интегральную частотно-импульсную систему автоматического управления теплопотреблением помещения. Я никак не могу разобраться как сделать регулятор ичим

1 Ответ

• MATLAB

02.05.2023

• вопрос
• 02.05.2023

ПЛИС и СнК, Системы связи, Цифровая обработка сигналов, Другое, Встраиваемые системы

Задача — LDPC декодер внутри FPGA.  Первый пришедший в голову вариант — декодер из MATLAB с последующей генерацией HDL. Источник : https://www.mathworks.com/help/wireless-hdl/ref/dvbs2ldpcde…

Задача — LDPC декодер внутри FPGA.  Первый пришедший в голову вариант — декодер из MATLAB с последующей генерацией HDL. Источник : https://www.mathworks.com/help/wireless-hdl/ref/dvbs2ldpcde…

• Simulink
• ПЛИС и СнК
• Системы связи

02.05.2023

• вопрос
• 24.04.2023

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое, Автоматизация испытаний

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

1 Ответ

• Simulink

24. 04.2023

• вопрос
• 23.04.2023

ПЛИС и СнК

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

1 Ответ

• вопрос
• 19.04.2023

Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Математика и статистика

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

• вопрос
• 14. 04.2023

Глубокое и машинное обучение(ИИ), Математика и статистика, Системы управления

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

6 Ответов

• Simulink
• modeling
• газ

14.04.2023

• вопрос
• 12.04.2023

Математика и статистика, Робототехника и беспилотники, Системы связи, Цифровая обработка сигналов

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный. ..

2 Ответа

• вопрос
• 06.04.2023

Цифровая обработка сигналов

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

1 Ответ

• вопрос
• 04.04.2023

Цифровая обработка сигналов

  End

  End

7 Ответов

• вопрос
• 02.04.2023

Другое

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

Обратный косинус и обратный синус

Стандартные триггерные функции являются периодическими, то есть они повторяются. Поэтому одно и то же выходное значение появляется для нескольких входных значений функции. Это делает невозможным построение обратных функций. Для решения уравнений, включающих триггерные функции, необходимо существование обратных функций. Таким образом, математики должны ограничить функцию триггера, чтобы создать эти инверсии.

Чтобы определить обратную функцию, исходная функция должна быть один к одному . Чтобы существовало однозначное соответствие, (1) каждое значение в домене должно соответствовать ровно одному значению в диапазоне и (2) каждое значение в диапазоне должно соответствовать ровно одному значению в домене. Первое ограничение является общим для всех функций; второй нет. Синусоидальная функция, например, не удовлетворяет второму ограничению, поскольку одному и тому же значению в диапазоне соответствует множество значений в области (см. рис. 1).

Рисунок 1
              Функция синуса не является однозначной.

Чтобы определить обратные функции для синуса и косинуса, домены этих функций ограничены. Ограничение, накладываемое на значения домена функции косинуса, составляет 0 ≤ x ≤ π (см. рис. 2 ). Эта ограниченная функция называется косинусом. Обратите внимание на заглавную «С» в косинусе.

Рисунок 2
              График ограниченной функции косинуса.

9Функция арккосинуса 0005 определяется как обратная функция ограниченного косинуса Cos ⁻¹ (cos x ) = x ≤ x ≤ π. Следовательно,

Рисунок 3
              График функции арккосинуса.

Тождества для косинуса и арккосинуса:

Развитие функции обратного синуса аналогично развитию функции косинуса. Ограничение, накладываемое на значения домена функции синуса, равно 9. 0003

Эта ограниченная функция называется синусоидой (см. рис. 4). Обратите внимание на заглавную «S» в слове Sine.

Рисунок 4
             График ограниченной синусоидальной функции.

Функция обратного синуса (см. рис. 5) определяется как обратная функция ограниченного синуса y = Sin x , 

Рисунок 5
              График функции обратного синуса.

Следовательно,

Тождества для синуса и обратного синуса:

Графики функций y = Cos x и y = Cos ⁻¹ x являются отражениями друг друга относительно прямой y = x . Графики функций y = Sin x и y = Sin ⁻¹ x также являются отражением друг друга относительно прямой y = x (см. рис. 6).

Рисунок 6
               Симметрия арксинуса и косинуса.

Пример 1: Используя рисунок 7, найдите точное значение Cos ⁻¹ .

Рисунок 7
             Чертеж для примера 1.

Таким образом, y = 5π/6 или y = 150°.

Пример 2: Используя рис. 8, найдите точное значение Sin 9.0029 −1 .

Рисунок 8
             Чертеж для примера 2.

Таким образом, y = π/4 или y = 45°.

Пример 3: Найдите точное значение cos (Cos ⁻¹ 0,62).

Использовать тождество косинуса-обратного косинуса:

Исчисление I. Производные обратных триггерных функций

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление I / Производные / Производные обратных триггерных функций

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3.7: Производные обратных триггерных функций

В этом разделе мы рассмотрим производные обратных триггерных функций. Чтобы вывести производные обратных тригонометрических функций, нам понадобится формула из последнего раздела, связывающая производные обратных функций. Если \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) являются обратными функциями, то

\[g’\left( x \right) = \frac{1}{{f’\left( {g\left( x \right)} \right)}}\]

Напомним также, что две функции являются обратными, если \(f\left( {g\left( x \right)} \right) = x\) и \(g\left( {f\left( x \right) } \справа) = х\).

Здесь мы подробно рассмотрим арксинус, арккосинус и арктангенс, а остальные три оставим вам, если хотите.

Обратный синус

Начнем с обратного синуса. Вот определение обратного синуса. 9{ — 1}}x\hspace{0,5 дюйма} \Leftrightarrow \hspace{0,5 дюйма}\sin y = x\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{for}}\,\,\,\,\,\, \,\,\, — \frac{\pi }{2} \le y \le \frac{\pi }{2}\]

Таким образом, оценка обратной триггерной функции аналогична вопросу, какой угол ( т. е. \(y\)) мы подставили в функцию синуса, чтобы получить \(x\). Ограничения на \(y\), данные выше, нужны для того, чтобы убедиться, что мы получаем непротиворечивый ответ из обратного синуса. Мы знаем, что на самом деле существует бесконечное количество углов, которые будут работать, и нам нужно постоянное значение, когда мы работаем с обратным синусом. Использование указанного выше диапазона углов дает все возможные значения функции синуса ровно один раз. Если вы не уверены в этом, нарисуйте единичный круг, и вы увидите, что этот диапазон углов (\(y\)) будет охватывать все возможные значения синуса. 9{ — 1}} \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {2}} \ вправо) \)

Показать решение

Итак, мы действительно спрашиваем, какой угол \(y\) решает следующее уравнение.

\[\sin\left(y\right) = \frac{1}{2}\]

и мы ограничены значениями \(y\) выше.

Из единичного круга мы можем быстро увидеть, что \(y = \frac{\pi }{6}\).

У нас есть следующая связь между функцией обратного синуса и функцией синуса. 9{ — 1}}x\hspace{0,5 дюйма} \Leftrightarrow \hspace{0,5 дюйма}\cos y = x\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{for}}\,\,\,\,\,\, \,\,\,0 \le y \le \pi \]

Как и в случае с арксинусом, у нас есть ограничение на углы \(y\), которые мы получаем из функции арккосинуса. Опять же, если вы хотите проверить это, быстрый набросок единичного круга должен убедить вас в том, что этот диапазон будет охватывать все возможные значения косинуса ровно один раз. { — 1}}\left({\cos x} \ справа) = х\] 9{ — 1}}x\hspace{0,5 дюйма} \Leftrightarrow \hspace{0,5 дюйма}\tan y = x\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{for}}\,\,\,\,\,\, \,\,\, — \frac{\pi }{2} < y <\frac{\pi }{2}\]

Опять же, у нас есть ограничение на \(y\), но обратите внимание, что мы не можем позволить \(y\) быть любой из двух конечных точек в приведенном выше ограничении, поскольку касательная даже не определена в этих двух точках. Чтобы убедиться, что этот диапазон охватывает все возможные значения тангенса, сделайте быстрый набросок функции тангенса, и мы увидим, что в этом диапазоне мы действительно покрываем все возможные значения тангенса. Также в этом случае нет ограничений на \(x\), так как тангенс может принимать все возможные значения. 9{- 1}}1\).

Показать решение

Вот и просим, ​​

\[\тангенс у = 1\]

где \(y\) удовлетворяет указанным выше ограничениям.

Кусочная функция — что это, определение и ответ

Кусочная функция – это функция, части которой заданы на определенном промежутке.

Например, рассмотрим две функции: \(y = 3x\ –\ 5\ \)и\(\ y = \frac{x}{2}\)

Данные функции не являются кусочными. Это две линейные функции. Построим их на одной координатной плоскости:

Можем сделать из двух функций одну, для этого зададим для каждой функции промежуток.

Пример №1:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x \geq 2 \\ \frac{x}{2},\ если\ x < 2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Получим новую функцию, которая задается кусочками двух линейных. Она и будет являться кусочной. Чтобы её построить, рассмотрим таблицу точек для этих функции по отдельности.

1. y = 3x – 5, если x ≥ 2.

Из условия мы видим, что минимальный x равен 2. Точка x = 2 будет закрашенной, так как знак нестрогий. Меньше это точки мы брать не будем:

2. y = 0,5x, если x < 2.

Для данной функции x = 2 – будет максимальным значением, при этом x ≠ 2, так как знак неравенства строгий. Возьмем эту точку. На графике для этой функции она будет выколотой.

Видим, что закрашенная точка x = 2 у первого графика перекрывает пустую точку второго графика, значит у этой кусочной функции нет разрывов и она называется неразрывна.

Пример №2:

Если задать другие промежутки для кусочной функции, она поменяет свой вид:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x \leq 2 \\ \frac{x}{2},\ если\ x > 2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1. y = 3x – 5, если x ≤ 2.

Теперь у этой функции x = 2 – максимально возможная абсцисса:

2. y = 0,5x, если x > 2.

А для этой функции, наоборот, x = 2 – минимальная абсцисса. Аналогично первому примеру эта точка будет выколота, но перекроется точкой первого графика:

Кусочные функции, представленные выше, называются непрерывными, так как одна линейная функция заканчивается там, где начинается вторая, т. е. между кусочками функции нет разрыва.

Пример №3:

Примером кусочной разрывной функции может служить следующая функция:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x > 2 \\ \frac{x}{2},\ если\ x < 2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Этот график будет выглядеть так же, как график в примере №1, но с одним отличием. Точка x = 2 не принадлежит ни одной из функций, поэтому в этой точке как раз находится разрыв.

1. y = 3x – 5, если x > 2.

2. y = 0,5x, если x < 2.

Пример №4:

Или, например, такая функция тоже является разрывной и кусочной:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x > 3 \\ \frac{x}{2},\ если\ x < \ –2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1. y = 3x – 5, если x > 3.

Здесь будем брать все значения x больше 3. Сама точка x = 3 будет выколотой:

2. y = 0,5x, при x < –2.

Значение x = –2 – максимальное. А сама эта точка тоже выколотая:

Урок. 8 класс. Построение графиков «кусочных» функций.

Построение графиков «кусочных функций».

Цель урока: повторить, закрепить и обобщить умения обучающихся строить и читать графики кусочных функций, решать задания из ГИА.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Задачи:

Образовательные — обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.

Развивающие — способствовать формированию умения применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные — содействовать воспитанию интереса к математике и информатике, активности, умения общаться, общей культуры.

Методы обучения: использование ИКТ, частично — поисковый. Работа по обобщающей схеме, создание презентаций, работа по решению экзаменационных заданий, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование и материалы: интерактивная доска, мультимедийный проектор, компьютер, магнитная доска, указка.

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент.

Построение графиков кусочных функций мы изучали еще в 7 классе, а в экзаменационных материалах содержатся задачи по данной теме. Поэтому сегодня на уроке мы будем повторять, обобщать, приводить в систему изученный материал, решать задания из ГИА.

Итак, проверим домашнее задание.

2. Проверка домашнего задания.

а)У доски: задание из ГИА: Для каждого графика укажи соответствующую ему формулу.

б) заполни таблицу

Учитель: Вспомним, какие основные алгебраические функции мы изучали и что представляют графики этих функций?

/ Идет опрос класса по обобщающей схеме на интерактивной доске (слайд 2)/

Учитель: А теперь посмотрим, как справились с домашнем заданием.

/ Проверка таблицы и устного задания/

3.Построение графиков.

Учитель: В чем особенность графиков кусочных функций? Повторим как строить графики кусочных функций.

/ Идет работа по слайдам./

Задание 1: построить график функции (слайд 3,4)

Задание 2: построить график функции. Задать пошаговые команды компьютеру. (слайд 5,6)

Обычно на экзамене дают и какое- либо дополнительное задание. Например, определите при каких значениях К прямая у = К имеет с графиком функции только одну общую точку. (слайд 7)

Учитель: А теперь решим задание из ГИА.И.В. Ященко, вариант 9, №22.

Мы видим, что выполнение таких заданий достаточно трудоемко и требует много времени. Поэтому, следующее задание из сборника Е.А. Бунимович, вариант 6, № 21подготовили заранее в виде презентации под руководством учителя информатики Костюрина В. и Гончарова А. (слайд 8-19)

Учитель информатики: Почему при решении задачи по математике вы в своей работе ставите цель моделирования?

А на следующей презентации рассмотрим построение еще одной кусочной функции. (слайд 20 — 24)

1. Построить график функции

2.Укажите промежуток, на котором функция возрастает.

Учитель информатики: Какую модель получили в результате решения задачи?

4. Обучающая работа в группах.

Учитель Сегодня на уроке мы повторили как по формуле построить график, а бывает обратная задача: по графику определить формулу задающею функцию.

Задание: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точек А и В и части параболы. Задайте эту функцию формулой.

П рограмму данного задания из ГИА приготовил заранее Фадеев А. (слайд 31 — 37)

Рассмотрим луч, исходящий из т. А.

— Каким уравнением можно задать этот луч?

у=кх + в

Значит, нам надо определить к и в. Для этого по графику выберем по две точки с координатами выраженными целыми числами.

Решить систему методом сложения.

Значит, уравнение первой части графика у = 5х + 7, при х -1.

Для определения остальных частей графика разобьемся на группы:

1 вариант определяют часть АВ,

2 вариант- луч исходящий из т. В.

Проверим правильность выбранных ответов.

6. Итог урока.

Итак, сегодня мы с вами повторили, как строить графики кусочных функций.

Какой алгоритм мы будем при этом применять?

7. Домашнее задание.

Ященко, вариант 10. №22, вариант3, № 22, вариант 2, №22.

Кусочная функция — Как построить график? Примеры, вычисление

Кусочная функция — это функция, график которой состоит из нескольких частей кривых. Это означает, что он имеет разные определения в зависимости от значения ввода. т. е. кусочная функция ведет себя по-разному для разных входных данных.

Давайте узнаем больше о кусочной функции, а также о том, как построить ее график, как ее оценить и как найти ее область определения и диапазон.

1.	Что такое кусочная функция?
2.	Кусочно-функциональный график
3.	Домен и диапазон кусочной функции
4.	Оценка кусочной функции
5.	Кусочно-непрерывная функция
6.	Часто задаваемые вопросы о кусочной функции

Что такое кусочная функция?

Кусочная функция — это функция f(x), которая имеет разные определения в разных интервалах x. График кусочной функции имеет разные части, соответствующие каждому из ее определений. Функция абсолютного значения — очень хороший пример кусочной функции. Давайте разберемся, почему он так называется. Мы знаем, что функция абсолютного значения есть f(x) = |x| и определяется как: \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
х, & \текст { если } х \geq 0 \\
-x, & \text { если } x < 0
\end{массив}\right.\). Мы должны читать эту кусочную функцию как

• f(x) равно x, когда x больше или равно 0 и
• f(x) равно -x, когда x меньше 0

Тогда график функции абсолютного значения f(x) состоит из двух частей: одна соответствует x (когда x находится в интервале [0, ∞) ), а другая часть соответствует -x (когда x находится в интервале ( -∞, 0)). Его график выглядит следующим образом:

Кусочно-функциональный график

Мы уже знаем, что график кусочной функции состоит из нескольких частей, каждая из которых соответствует своему определению на интервале. Вот шаги для построения графика кусочной функции.

• Во-первых, поймите, что представляет собой каждое определение функции. Например, f(x) = ax + b представляет собой линейную функцию (которая дает прямую), f(x) = ax ² + bx + c представляет квадратичную функцию (которая дает параболу) и т. д., так что мы будем иметь представление о том, к какой форме приведет часть функции.
• Запишите интервалы, показанные в определении функции, вместе с их определениями.
• Создайте таблицу с двумя столбцами, помеченными x и y, соответствующими каждому интервалу. Обязательно включать конечные точки интервала. Если конечная точка исключена из интервала, обратите внимание, что мы получаем открытую точку, соответствующую этой точке на графике.
• В каждой таблице возьмите больше чисел (случайных чисел) в столбце x, которые лежат в соответствующем интервале, чтобы получить идеальную форму графика. Если кусок представляет собой прямую линию, то достаточно двух значений x. Возьмите 3 или более чисел для x, если кусок НЕ является прямой линией. 9{2} и х>0
  \end{массив}\right.\).

  Решение:

  f(x) имеет 3 определения:

  • -2 ^x , когда x меньше -2, и это экспоненциальная функция.
  • -|х| когда -2 меньше или равно x меньше или равно 0, и это функция абсолютного значения.
  • 2-x ² , когда x больше 0 и это квадратичная функция.

  Запишем интервалы и соответствующие им определения. Кроме того, давайте создадим таблицы, которые включают конечные точки интервалов, а также несколько других случайных чисел из каждого интервала. Мы будем вычислять значение y в каждом случае, используя соответствующее определение.

  Теперь давайте нанесем все эти точки на график, имея в виду общие формы соответствующих функций. Обратите внимание, что мы должны поставить открытые точки в (-2, -0,25) (первая таблица) и (0, 2) (последняя таблица), поскольку их соответствующие координаты x исключены из интервала. Кроме того, расширьте график в соответствующих интервалах за пределы точек, показанных в таблицах, где это необходимо.

  Обратите внимание, что самая левая (светло-оранжевая) кривая расширена влево, поскольку она соответствует интервалу x < -2. Кроме того, крайняя правая (синяя) кривая расширена в интервале x > 0. Средняя (темно-оранжевая) кривая НЕ расширена ни в одну из сторон, так как принадлежит интервалу -2 ≤ x ≤ 0,9.0003

  Домен и диапазон кусочной функции

  Чтобы найти область определения кусочной функции, мы можем просто посмотреть на определение данной функции. Возьмите объединение всех интервалов с x, и это даст нам домен. В приведенном выше примере область определения f(x) равна {x | х < -2} U {х | -2 ≤ х ≤ 0} U {х | х > 0}. Объединение всех этих множеств есть просто множество всех действительных чисел. Таким образом, область определения f(x) (в приведенном выше примере) равна R.

  Чтобы найти диапазон кусочной функции, проще всего построить ее график и посмотреть на ось y. Посмотрите, какие значения y охватываются графиком. В приведенном выше примере все значения y меньше 2 (исключая 2, так как в точках (0, 2) есть открытая точка) покрываются графиком. Таким образом, его диапазон равен {y | y < 2} (или) (-∞, 2).

  Точно так же мы можем найти область определения и область значений любой кусочной функции, просто построив ее график.

  Оценка кусочной функции

  Чтобы вычислить кусочную функцию на любом заданном входе,

  • сначала посмотрите, какому из заданных интервалов (или неравенств) принадлежит данный вход.
  • Затем просто подставьте данный ввод в определение функции, соответствующее этому конкретному интервалу.

  Вот пример для понимания шагов. 92, \text { если } x<0 \\-2 \sqrt{x}, \text { если } x>0 \\ 5, \text { если } x=0\end{массив}\right. \) .

  Решение:

  Нам нужно найти f(4). Здесь x = 4, и оно удовлетворяет условию x > 0. Таким образом, соответствующая функция равна f(x) = -2√x.

  Замените x = 4 в этом определении:

  f(4) = -2 √4 = -2 (2) = -4.

  Следовательно, f(4) = -4.

  Кусочно-непрерывная функция

  Кусочно-непрерывная функция, как следует из ее названия, является кусочно-непрерывной функцией. Это означает, что ее график состоит из разных частей, но тем не менее мы сможем нарисовать график, не отрывая карандаша. Вот пример кусочно-непрерывной функции.

  \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} x-1, \text {if } x<-2 \\-3, \text {if } x\geq -2\ конец {массив}\справа.\).

  Его график показан ниже.

  Важные замечания по кусочным функциям

  • Чтобы оценить кусочную функцию на входе, посмотрите, какому интервалу она принадлежит, и подставьте его в соответствующее определение функции.
  • При построении графика кусочной функции используйте незакрашенные точки в точках, координаты x которых не принадлежат соответствующим интервалам. Открытая точка в точке означает, что конкретная точка НЕ ​​является частью функции.
  • Чтобы найти область определения кусочной функции, просто возьмите объединение всех интервалов, заданных в определении функции.
  • Чтобы найти диапазон кусочной функции, просто постройте ее график и найдите значения y, которые охватываются графиком.

  ☛ Похожие темы:

  • Калькулятор графических функций
  • Калькулятор квадратичных функций
  • Графический калькулятор
  • Калькулятор линейной функции 92-2 & \text { если } x \geq 3
    \end{массив}\right.\).

    Как строить графики кусочных функций?

    Чтобы нарисовать кусочный график функции:

    • Составьте таблицу (с двумя столбцами x и y) для каждого определения функции в соответствующих интервалах.
    • Включить конечные точки (в столбце x) каждого интервала в соответствующую таблицу вместе с несколькими другими случайными числами из интервала.
    • Подставьте каждое значение x в соответствующее выражение f(x), которое дает значение в столбце y.
    • Нанесите на график все точки (поставьте открытые точки для исключенных значений x) и соедините их кривыми.
    • Если левая/правая конечная точка равна ∞ или -∞, то соответственно удлините кривую с этой стороны.

    Как решать кусочные функции?

    Чтобы решить значение кусочной функции на определенном входе:

    • Просто посмотрите, в каком из заданных интервалов находится этот вход.
    • Возьмите соответствующую функцию.
    • Заменить данный ввод в функции из последнего шага.

    Приведите пример кусочно-линейной функции.

    Кусочно-линейная функция — это кусочно-линейная функция, в которой все части соответствуют прямым линиям. Например, функция абсолютного значения, ступенчатая функция (функция минимального значения или функция наибольшего целого числа), функция потолка и т. д. являются примерами кусочно-линейных функций.

    Что такое кусочно-непрерывная функция?

    Кусочно-непрерывная функция — это кусочно-непрерывная функция. Его график состоит более чем из одной части, и все же его можно изобразить, не отрывая карандаша.

    Как найти область определения и область значений кусочной функции?

    Область определения кусочной функции — это объединение всех интервалов, указанных в ее определении. Диапазон — это набор всех значений y, которые покрывает его график. Итак, чтобы найти диапазон кусочной функции, сначала нарисуйте ее график.

    Кусочные функции

    Кусочные функции

    Дополнительно

    Показать рекламу

    Скрыть рекламу
    О рекламе

    Функция может состоять из частей

    Мы можем создавать функции, которые ведут себя по-разному в зависимости от входного значения (x).

    Функция, состоящая из 3 штук

    Пример:

    • Когда x меньше 2, он дает x ² ,
    • , когда x ровно 2, дает 6
    • , когда x больше 2 и меньше или равно 6, это дает строку 10-x

    Выглядит так:

    (сплошная точка означает «включая»,
    открытая точка означает «не включая»)

     

    Вот как мы это запишем:

    Домен (все значения, которые могут войти в функцию) — это все действительные числа до 6 включительно, которые мы можем записать так:

    Дом( f) = (-∞, 6] (с использованием интервальной нотации)

    Dom(f) = {x | x ≤ 6} (с использованием нотации Set Builder)

    Вот несколько примеров значений:

    X	Д
    −4	16
    −2	4
    0	0
    1	1
    2	6
    3	7

     

    Пример: Вот еще одна кусочная функция:

    , которая выглядит так:

    Что такое h(−1)?

    x ≤ 1, поэтому мы используем h(x) = 2, поэтому h(−1) = 2

    Что такое h(1)?

    x ≤ 1, поэтому мы используем h(x) = 2, поэтому h(1) = 2

    Что такое h(4)?

    x > 1, поэтому мы используем h(x) = x, поэтому h(4) = 4

    Кусочные функции позволяют нам создавать функции, которые делают все, что мы хотим!

    Пример: Плата за услуги врача зависит от продолжительности лечения.

    

Открытое образование — Дифференциальные уравнения

Select the required university:

———

Закрыть

В курсе излагаются методы решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений. Приводятся примеры их приложений при моделировании физических и других процессов. Рассматриваются также элементы теории устойчивости. Курс в основном ориентирован на студентов технических специальностей.

• About
• Format
• Information resources
• Requirements
• Course program
• Education results
• Formed competencies
• Education directions

About

Курс посвящён изучению методов решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений, а также систем линейных дифференциальных уравнений. Цель курса – научить слушателей некоторым способам аналитического нахождения решений и дать представление о том, каким образом дифференциальные уравнения могут применяться на практике.
В состав курса входят видеолекции, а также наборы заданий для самостоятельного решения. В результате прохождения курса обучающийся получит базовые навыки работы с дифференциальными уравнениями, которые он сможет применить в прикладных областях знания.
Дифференциальные уравнения являются мощным инструментом изучения окружающего мира. Повсеместное применение дифференциальных уравнений в науке и технике при моделировании различного рода явлений делает их изучение необходимой частью образования будущего инженера.

Format

В состав курса входят видеолекции, электронный конспект, задачи для самостоятельного решения, электронное тестирование.

Продолжительность курса – 10 недель, средняя нагрузка составляет 7,2 часа в неделю. Общая трудоёмкость – 2 зачётные единицы.

1. Матвеев Н. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения – СПб: Специальная Литература, 1996.
2. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений – М.: КомКнига, 2007. – 240 с.
3. Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» — 2000 – 176 с.
4. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко, Г. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями —  М.: Едиториал УРСС, — 2002 – 256 с.
5. Лапин И.А., Ратафьева Л.С., Рябова А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения — СПб: НИУ ИТМО, 2014. – 104 с. http://books.ifmo.ru/book/1315/obyknovennye_differencialnye_uravneniya.htm 
6. Б.П. Демидович, В.П. Моденов Дифференциальные уравнения — СПб: Лань, 2019. — 280 с. https://e.lanbook.com/book/115196 

Requirements

Для успешного освоения курса необходимо иметь математическую подготовку в объеме программы первого курса технического вуза. В частности, необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением функций одной переменной, а также основными приёмами линейной алгебры.

Дополнительный инструментарий не требуется.

Course program

В курсе рассматриваются следующие темы:

1. Введение
2. Уравнения первого порядка. Основные понятия
3. Элементарные методы нахождения решений
4. Линейные уравнения высшего порядка. Общий случай
5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
6. Системы дифференциальных уравнений
7. Линейные системы с постоянными коэффициентами
8. Теория устойчивости

Каждая тема предполагает изучение в течение одной недели.

Education results

• Способность находить общие и частные решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений (РО-1)
• Способность решать системы линейных дифференциальных уравнений (РО-2)
   

Formed competencies

• Способен применять математические, естественнонаучные и общепрофессиональные знания для понимания окружающего мира и для решения задач профессиональной деятельности (ОПК-1)
• Способен формулировать, строить и применять математические модели для управления достижением планируемых результатов процессов и объектов профессиональной деятельности на базе знаний математики, программирования и унифицированных пакетов программ (ОПК-3)
   

Education directions

09. 03.01 Информатика и вычислительная техника
09.03.04 Программная инженерия
10.03.01 Информационная безопасность
11.03.03 Конструирование и технология электронных средств
12.03.01 Приборостроение
13.03.02 Электроэнергетика и электротехника
15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств
15.03.06 Мехатроника и робототехника
24.03.02 Системы управления движением и навигация
27.03.04 Управление в технических системах
44.03.04 Профессиональное обучение (по отраслям)

Университет ИТМО

Бабушкин Максим Владимирович

Кандидат физико-математических наук
Position: преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО

Тертычный Владимир Юрьевич

Доктор физико-математических наук, профессор
Position: старший преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО

Танченко Юлия Валерьевна

Position: преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО

Certificate

По данному курсу возможно получение сертификата.

Similar courses

15 February 2021 — 31 December 2023 г.

Строение вещества: от атомов и молекул до материалов и наночастиц

15 February 2021 — 31 December 2023 г.

Современные финансовые технологии

New course

13 September 2021 — 31 December 2023 г.

Противодействие финансовому мошенничеству и управление индивидуальным риском

К сожалению, мы не гарантируем корректную работу сайта в вашем браузере. Рекомендуем заменить его на один из предложенных.

Также советуем ознакомиться с полным списком рекомендаций.

Google Chrome

Mozilla Firefox

Apple Safari

Дифференциальные уравнения I-го порядка

Как я и обещал в своей предыдущей статье, сегодня продолжим более детально изучать Дифференциальные уравнения.  

§3. Однородные дифференциальные уравнения I-го порядка

Функцию f(x, y) называют однородной функцией порядка mотносительно своих аргументовxиy, если она выполняется тождество

f(tx, ty)= t^mf(x, y) (3.1), где t – любой множитель.

Так, например, функции x²y– xy², 2x² – 3xy однородные: первая – третьего порядка, вторая – первого.

Определение 3.1. Дифференциальное уравнение y’ = f(x, y) (3.2) называется однородным, если его правая часть функция f(x, y) является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов x и y.

Интегрирование однородного уравнения с помощью специальной подстановки сводится к интегрированию уравнения с отделяемыми переменными.

Действительно, учитывая нулевой порядок однородности функции f(x, y), для любого t имеем f(tx, ty)= f(x, y).

В частности, если t = 1/x, получим:

Уравнение (3.2) запишется в виде

Введем вспомогательную неизвестную функцию с помощью подстановки: y = x· u,  y’ = u + x· u’.

Уравнение (3.2) записывается в виде  u + x· u’ = φ(u),

в котором переменные разделяются:

Отсюда находим общий интеграл уравнения:

где C=const.

Наконец, после вычисления интегралов и замены вспомогательной функции u ее выражением через x и y, найдем решение однородного уравнения.

Пример 3.1. Решить “дифур”

Решения. Это однородное Дифференциальное уравнение I-го порядка. Применим подстановку y = x· u,  y’ = u + x· u’.

Тогда получим уравнение с переменными, которые можно разделить, относительно вспомогательной функции u.

u +xu’ = u(ln u + 1)

xu’ = uln u

Решая его, получим

Это ОР уравнения.

Замечания. Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (3.4), в котором функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные, относительно своих аргументов x и y функции одного и того же измерения, является однородным и заменой y = ux сводится к уравнению с разделяемыми переменными.

Пример 3.2. Решить “дифур”

Решение. Это однородное уравнение, так как коэффициенты при dxи dy являются однородными функциями I-го порядка. Сделаем замену

y = ux, dy = xdu + udx

Получим “дифур” с переменными, которые можно разделить:

Заменив вспомогательную функцию u = y/x получаем, после преобразований, общий интеграл уравнения:

Пример 3.3. Решить “дифур”

Решения. Произведем следующюю замену

Получим

§4. Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнение Бернулли 

Определение 4.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется линейным, если и сама неизвестная функция и ее производная входят в это уравнение только в первой степени и не содержит их произведения.

В общем виде линейное дифференциальное уравнения I-го порядка:

y’ + P(x)y = Q(x) (4.1)

Используют несколько приемов решения дифференциального уравнений (4.1). Мы рассмотрим здесь метод Бернулли, согласно которому решение в следующем виде y(x) = u(x) · v(x) (4. 3).

Тем самым искомыми становятся функции u(x) и v(x), одну из которых можно выбрать произвольно, а вторая – должна определяться уравнением.

Дифференцируем обе части равенства (4.3)

Подставим выражения для y(x) и y‘(x) в уравнение (4.1). Имеем

Подберем функцию v так, чтобы выполнялось равенство

Тогда функция u должна удовлетворять уравнению

Уравнение (4.4) является уравнением с переменными, которые можно разделить,

В результате интегрирования получим.

Если C = 0, получим

Подставляя значение v(x) в уравнение (4.5), получим относительно u(x) дифференциальное уравнение I-го порядка с переменными, которые можно разделить,

Окончательно по формуле (4.3) получим ОР уравнения (4.1) в виде

При решении конкретных линейных дифференциальных уравнений I-го порядка можно пользоваться готовыми формулами (4. 6) или использовать прием Бернулли.

Пример 4.1. Решить “дифур”

Решения. Это линейное неоднородное уравнение I-го порядка, решаем методом Бернулли. Сведем его к виду (4.1.) (хотя это необязательно). Для чего обе части уравнения умножим на х. Получим:

y’ – 2xy = (x – x³)· e^x2.

Произведем замену

y= u· v.

Дифференцируем это выражение по x:

Заменим в уравнении y’  и y выражениями через u и v, получим

Сгруппируем члены, содержащие функцию u, и вынесем эту функцию за скобки. Получим:

Найдем теперь такую функцию u, чтобы

При этом условии функция u(x) должна удовлетворять уравнению

Решим уравнение (1), разделив переменные:

По определению логарифма

Подставив найденное значение в уравнение ,получим следующий результат:

Это “дифур” с переменными, которые можно разделить,. Проинтегрировав его, получим следующее

ОР уравнения получим в виде

Пример 4.2. К линейному уравнению заменой z = y^1-α сводят уравнения

y’ + P(x) · y = Q(x) · y^α, α≠ 0, α≠ 1 (4.7), которое называется уравнением Бернулли.

Пример 4.3. Решить “дифур” со следующим начальным условием.

Имеем уравнение Бернулли. Разделив наш “дифур” на √y, получим

Сделаем замену  

Получим линейное уравнение

Из предыдущего следует

Тогда, искомое ОР “дифура” имеет такой вид

Перейдем к поиску частного решения, удовлетворяющего начальному условию y(0)= 4, отсюда

Тогда частное решение первоначального “дифура” имеет такой вид

Уважаемые студенты, записывайтесь на мои занятия и я помогу Вам разобраться с «Дифурами» раз и навсегда!
Онлайн репетитор Андрей Зварыч.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Изучение дифференциальных уравнений с помощью онлайн-курсов, занятий и уроков

Пройдите бесплатные онлайн-уроки по дифференциальным уравнениям от лучших школ и институтов на edX уже сегодня!

Что такое дифференциальные уравнения?

Дифференциальные уравнения — это уравнения, учитывающие любую функцию с ее производными. Эти уравнения часто используются для описания того, как вещи меняются с течением времени, помогая нам делать прогнозы и учитывать как начальные условия, так и эволюцию переменных. Дифференциальные уравнения используются для описания всевозможных природных явлений, но иногда их трудно решить. В чистой математике мы изучаем дифференциальные уравнения с разных точек зрения, а для более сложных уравнений мы используем возможности компьютерной обработки для аппроксимации решения. Дифференциальные уравнения включают много типов: линейные уравнения против нелинейных уравнений, обыкновенные дифференциальные уравнения против уравнений в частных производных и, наконец, однородные уравнения против неоднородных уравнений. Общие решения или исследование зависят от расшифровки типа уравнения.

Узнайте о дифференциальных уравнениях

Дифференциальные уравнения играют важную роль в нашем понимании большинства областей науки. Изучение их функций может помочь в ваших исследованиях и поможет рассказать о сложных природных явлениях. Различные типы дифференциальных уравнений могут использоваться для описания различных скоростей изменений в динамических системах. Приближение этих скоростей изменений дает вам преимущество в открытии. EdX.org предлагает курсы, разработанные в сотрудничестве с лидерами в области математики и естественных наук, которые могут познакомить вас с этими сложными уравнениями, не выходя из дома или офиса.

Курсы и сертификаты по дифференциальным уравнениям

Массачусетский технологический институт предлагает вводный курс по дифференциальным уравнениям. Вы научитесь решать уравнения первого порядка, автономные уравнения и нелинейные дифференциальные уравнения. Вы будете применять эти знания, используя такие вещи, как волновые уравнения и другие численные методы. Вы можете расширить эти знания с помощью курса 2×2 Systems Массачусетского технологического института, предназначенного для введения связанных дифференциальных уравнений. Вы поймете, как решать скорости изменения с помощью дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений. Вы можете продолжить изучение всей серии X, изучая все более и более сложные уравнения, включая дифференциальные уравнения второго порядка и частные производные. Оттуда вы можете пройти практические курсы, предназначенные для интеграции использования дифференциальных уравнений в практические приложения. МИСиС предлагает курс «Комплексный анализ с физическими приложениями», призванный дать вам возможность исследовать мир сложных уравнений. Или вы можете применить эти знания к творческим занятиям, используя эти уравнения для CGI с Мичиганским университетом.

Постройте карьеру, зная дифференциальные уравнения

Понимание сложной природы роста и изменений является важной частью исследований и разработок во многих научных областях. Скорость изменений может быть сложно предсказать, но при правильном знании математики вы можете делать более точные прогнозы, используя язык математики более высокого порядка. EdX и партнеры могут помочь вам расшифровать этот сложный язык и обрести уверенность в своих навыках.

18,03x Дифференциальные уравнения Программа XSeries

18.03x Дифференциальные уравнения

MITx

Чему вы научитесь

• Использование дифференциальных уравнений для моделирования реальных явлений
• Как решать линейные дифференциальные уравнения, а также как использовать матрицы методы решения системы дифференциальных уравнений
• Как использовать графические методы для понимания качественного поведения линейных и нелинейных систем
• Формулировать и решать задачи на собственные значения и собственные вектора
• Как решать ОДУ и разделимые УЧП, используя входные данные ряда Фурье и граничные условия 6 часов в неделю, в течение 14 недель

  Ученые и инженеры понимают мир через дифференциальные уравнения. Вы тоже можете.

  Просмотреть курс

• 2–5 часов в неделю, 10 недель

  Чтобы понять большинство явлений в мире, нам нужно понимать не просто отдельные уравнения, а системы дифференциальных уравнений. В этом курсе мы начинаем с систем 2×2.

  Посмотреть курс

• Начато 11 января 2023 г.
  5–8 часов в неделю, в течение 9 недель

  Узнайте, как использовать линейную алгебру и MATLAB для решения больших систем дифференциальных уравнений.

  Посмотреть курс

• Начато 22 марта 2023 г.
  5–8 часов в неделю, в течение 11 недель

  Научитесь использовать ряды Фурье для решения дифференциальных уравнений с периодическими входными сигналами и решения краевых задач, включающих уравнение теплопроводности и волновое уравнение.

  Просмотреть курс

• 3–6 часов в неделю, в течение 10 недель

  Введение в тайны частотной области и преобразования Лапласа и их использование для понимания механических и электрических систем.

Как перевести Word в JPG.: spayte — LiveJournal

Квадрат качественная сталь 10,5х10,5 мм размеры 2,7 м со склада в Москве

Цена: 195 990i/т

т

м.п.

Размер: 10,5

Длина: 2,7 м

Сталь: Р12

Предлагаем купить Квадрат качественная сталь 10,5 мм из стали р12 оптом или в розницу с доставкой по Москве и Московской области. Качественный металлопрокат по цене 195 990i/т со склада. Квадрат качественная сталь 10,5 мм из стали р12 всегда в наличии в большом количестве. Имеется система скидок постоянным покупателям. Для уточнения информации по заказу и доставке товара Квадрат качественная сталь 10,5 мм из стали р12 звоните менеджерам по телефону + 7 (495) 989-1820 и они с радостью Вас проконсультируют по всем имеющимся вопросам.

Похожие товары

Размер:

Длина:

Сталь:

Наименование: Квадрат качественная сталь	Длина	Сталь	Цена	Кол-во т	м. п.
6 мм	3 м	ст45	196 990i/т			В корзину
8 мм	4-6 м	У8А	196 990i/т			В корзину
10,5 мм	2,7 м	Р12	195 990i/т			В корзину
12 мм	н/д	У8А	195 990i/т			В корзину
12 мм	н/д	ст45	195 990i/т		п.»>	В корзину
14 мм	н/д	ст45	195 990i/т			В корзину
14 мм	н/д	У8А	195 990i/т			В корзину
16 мм	н/д	ст20	192 990i/т			В корзину
16 мм	н/д	ст45	194 990i/т			В корзину
16 мм	н/д	У8А	192 990i/т		п.»>	В корзину
18 мм	н/д	У8А	194 990i/т			В корзину
20 мм	н/д	ст20	195 990i/т			В корзину

Собственное
производство

Собственный
склад

Оперативная
доставка

10000 видов
продукции

Грамотная
консультация

Оставить заявку

E-mail*

Дополнительные комментарии:

Квадрат 10х10 L=5,80-6,0м. Профсталь

ПрофСталь

Личный кабинет

Корзина

Корзина

• Главная
• Интернет-магазин
• Квадрат
• Квадрат 10х10 L=5,80-6,0м

• Описание
• О доставке и оплате

Квадрат 10х10 L=5,80-6,0м ГОСТ 2591-2006

Доставка

Доставка металлопроката осуществляется грузовыми машинами открытого типа, оборудованными кранами манипуляторами, что позволяет производить выгрузку металла. Цены на доставку вы можете рассчитать онлайн.

Оплата

Наличный расчёт

У нас можно приобрести металлопрокат за наличные (наличный расчет) оплачивая в офисе непосредственно перед погрузкой.

Безналичный расчёт

Для юридических лиц имеется возможность приобрести металлопрокат по счету (безналичный расчет). Для этого необходимо связаться с менеджером по телефону или электронной почте. 

Расчет на месте 

Оплата (наличный расчет) непосредственно при получении металлопроката при условии доставки транспортом Компании

Банковской картой 

Онлайн оплата банковской картой онлайн происходит через ПАО СБЕРБАНК с использованием Банковских карт следующих платежных систем:

Visa International

К оплате принимаются все виды платежных карточек VISA, за исключением Visa Electron. В большинстве случаев карта Visa Electron не применима для оплаты через интернет, за исключением карт, выпущенных отдельными банками. О возможности оплаты картой Visa Electron вам нужно выяснять у банка-эмитента вашей карты.

MasterCard Worldwide, Maestro и МИР

К оплате принимаются все виды MasterCard, Maestro и МИР.

Дополнительная комиссия не взимается. Поступление денежных средств происходит в online-режиме.

Вам нужно знать Номер карты, Имя держателя, Дата окончания действия, Код CVC2/CVV2. Если на вашей карте код CVC / CVV отсутствует, то, возможно, карта не пригодна для CNP транзакций (т.е. таких транзакций, при которых сама карта не присутствует, а используются её реквизиты), и вам следует обратиться в банк для получения подробной информации.

При выборе способа оплаты «Оплата банковской картой онлайн», Вы будете перенаправлены на платежный шлюз ОАО «Сбербанк России» для ввода реквизитов Вашей карты.

Пожалуйста, приготовьте Вашу пластиковую карту заранее. Дополнительно нужно ввести ФИО, email, контактный телефон, а также номер брони для идентификации плательщика. Соединение с платежным шлюзом и передача информации осуществляется в защищенном режиме с использованием протокола шифрования SSL.

В случае если Ваш банк поддерживает технологию безопасного проведения интернет-платежей Verified By Visa или MasterCard Secure Code для проведения платежа также может потребоваться ввод специального пароля. Способы и возможность получения паролей для совершения интернет-платежей Вы можете уточнить в банке, выпустившем карту.

Настоящий сайт поддерживает 256-битное шифрование. Конфиденциальность сообщаемой персональной информации обеспечивается ОАО «Сбербанк России». Введенная информация не будет предоставлена третьим лицам, за исключением случаев, предусмотренных законодательством РФ. Проведение платежей по банковским картам осуществляется в строгом соответствии с требованиями платежных систем МИР, Visa Int. и MasterCard Europe Sprl.

Возврат денежных средств

Срок рассмотрения заявки на возврат составляет 14 дней. Возврат осуществляется на расчетный счет или банковскую карту, с которой был произведен платеж. Срок возврата составляет от 15 до 30 банковских дней, в зависимости от условий Банка, в котором была выпущена банковская карта.

Карточка организации (PDF)

С нами удобно!

Всегда точно в срок, экономия времени

Все по ГОСТу,
без брака

Выгодные цены.
Любые объемы

Контроль на всех этапах.
Личный кабинет

Возможно, вы захотите посмотреть

Сизы

Изделия

Фиксаторы

Электроды

Проволока вязальная

Заглушки

Сантехника

Изделия кованые

Круги отрезные

Шарниры

Итого к оплате:

0,00₽

Выберите количество

Калькулятор идеального квадрата

Создано Люцией Заборовской, доктором медицинских наук, кандидатом наук

Отзыв Стивена Вудинга

Последнее обновление: 23 ноября 2022 г.

• Что такое число в форме идеального квадрата?
• Как пользоваться калькулятором идеального квадрата?
• Как вычислить идеальный квадрат?
• Список идеальных квадратов

Ищете калькулятор идеальных квадратов? Воспользуйтесь нашим простым инструментом и быстро узнайте, принадлежит ли ваш номер номеру благородный список идеальных квадратов . 🖼️

Ознакомьтесь с нашей статьей ниже , чтобы узнать определение идеального квадрата , полный список чисел идеального квадрата от 0 до 1000 и несколько простых шагов по вычислению всего этого.

Что такое число в совершенном квадрате?

Число в идеальном квадрате — это число, которое можно получить, умножив на два одинаковых целых числа ; другими словами, правильный квадратный корень — это целое число.

💡 Целое число — это имя целого числа , которое может быть отрицательным, положительным или равным 0. Целое число не может содержать дроби или десятичные дроби.

• Примеры целых чисел: -5, 0, 3, 235.
• Примеры чисел, которые не являются целыми числами : 1,2, 3¾, 0,25.

Ищете другой тип для завершения калькулятора идеального квадрата? Мы также можем отличить совершенный квадратный трехчлен , представленный в виде ax² + bx + c . Эта конкретная формула также должна удовлетворять условию b² = 4ac .

Мы говорили о квадратах , теперь пришло время подумать о корнях в математике — проверьте наш универсальный калькулятор корня или инструмент кубического корня. 🥕

Как пользоваться калькулятором идеального квадрата?

В этом разделе вы узнаете, как пользоваться калькулятором идеального квадрата с шагами!

1. Ваш ввод

   Вы можете ввести любое число, любое желаемое значение и длину (ну, до определенного момента). Не стесняйтесь вводить целых уравнений ; попробуйте умножение (5*67), деление (3/675), сложение (1+1) или вычитание (1,56-0,86).

2. Ваш результат

   Ваш результат будет включать не только простое сообщение о том, является ли ваше число идеальным квадратом, но и наш полный расчет квадрата также покажет простое пошаговое объяснение.

Идеальный квадрат слишком прост для вас? Попробуйте что-нибудь продвинутого уровня 🔬, например, наш калькулятор сложных корней или калькулятор среднеквадратичных значений.

Как вычислить идеальный квадрат?

Чтобы проверить правильность вашего квадрата, вы можете просто вычислить квадратный корень из заданного числа . Если квадратный корень — целое число, ваше число — идеальный квадрат.

Подсчитаем квадраты следующих чисел: 49 и 53 .

√49 = 7 — 7 — целое число → число 49 — это полный квадрат.

√53 = 7,280109 — 7,280109 не является целым числом → число 53 не является полным квадратом.

Что делать, если у вас нет калькулятора, а ваше число довольно велико?

Давайте попробуем более интересный метод:

1. Полезно знать, что все квадраты заканчиваются на 1, 4, 5, 6, 9или 00 . Вот как вы можете выполнить быстрый первый выбор и решить, какое число может быть и не может быть идеальным квадратом.

   • Если ваш номер заканчивается на 1 , 4 или 9 , его цифра десятков всегда должна быть даже (0, 2, 4, 6, 8), чтобы он был правильным квадратом.
   • Если ваш номер заканчивается на 5 , цифра десятков всегда будет 2 .
   • Если ваш номер заканчивается на 6 , цифра десятков всегда равна нечетный (1, 3, 5, 7 и 9)

2. Также нужно знать, что цифровой корень числа должен быть равен 0, 1, 4 или 7 . Если вычисленный цифровой корень не является одним из упомянутых значений, ваше число не может быть идеальным квадратом.

💡 Мы можем легко вычислить цифровой корень числа, сложив все цифры числа, а затем, если в полученной сумме две цифры, просуммировать и их. (Например, 1234567 → 1+2+3+4+5+6+7 = 28 → 2 + 8 = 10 → 1 + 0 = 1) .

Давайте попробуем этот метод, используя два следующих номера: 36573 и 21904 .

1-й пример:

 номер по умолчанию (a):
    вернуть а * а
печать (число (5))
 

 n = 5
результат = п ** 2
print(result) 

 н = 5
результат = мощность (n, 2)
print(result) 

 sample_list = [2,4,6,8]
результат = [число ** 2 для числа в sample_list]
печать (результат)
 

 [4, 16, 36, 64]
 

 n = 1
в то время как n <= 5:
    напечатать (n, '\t', n ** 2)
    п += 1  

 1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
 

 импортировать numpy как np

массив = np.массив ([2,4,6,8])
print("Квадратное значение arr: \n", np. square(arr))
 

 Квадрат Значение обр:
 [4 16 36 64]
 

 n = int(input("Введите целое число в квадрат: "))

вывод =n*n

печать (вывод)
 

 Введите целое число в квадрат: 45

2025
 

 n = int(input("Введите количество целых чисел в квадрате: "))

для i в диапазоне (1, n+1):

    квадрат = я ** 2

    печать (квадрат)
 

 Введите количество целых чисел в квадрат: 3

1

4

9
 

Примеры интегрирования по частям логарифма и обратных тригонометрических функций

Формула интегрирования по частям

Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
,   ,   ,   ,   ,   ,   .

При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u, остальное – через dv.

Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.

Простой пример с логарифмом

Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:

Решение

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x, dv = x² dx. Тогда
,
.

Интегрируем по частям.
.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений добавим постоянную C.

Ответ

Пример логарифма в степени 2

Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.

Решение

Делаем подстановки
u = (ln x)², dv = x dx. Тогда
,
.

.

Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
.
Подставляем
.

Ответ

Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом

По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
.

Решение

Делаем подстановки
u = ln( x² – 1), dv = x dx.
Тогда
,
.

.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Мы здесь не пишем знак модуля ln |x² – 1|, поскольку подынтегральное выражение определено при x² – 1 > 0. Подставляем
.

Ответ

Пример с арксинусом

Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
.

Решение

Делаем подстановки
u = arcsin x,
.
Тогда
,
.

.

Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| < 1. Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 – x > 0 и 1 + x > 0.

Ответ

Пример с арктангенсом

Решим пример с арктангенсом:
.

Решение

Интегрируем по частям.
.
Выделим целую часть дроби:
x⁸ = x⁸ + x⁶ – x⁶ – x⁴ + x⁴ + x² – x² – 1 + 1 = (x² + 1)(x⁶ – x⁴ + x² – 1) + 1;
.
Интегрируем:
.
Окончательно имеем:
.

Ответ

Еще один пример с арксинусом

Решить интеграл:
.

Решение

Интегрируем по частям.
.

Вычисляем оставшийся интеграл. При x > 0 имеем:
.
.
.

При x < 0 сделаем подстановку x = – t,   t > 0:
.

Окончательно имеем:

Ответ

.

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Первообразная

      Определение 1. Функцию   F (x) ,   определенную на интервале   (a, b),   называют первообразной функции   f (x) ,   определенной на интервале   (a, b),   если для каждого выполнено равенство

F’ (x) = f (x) .

      Например, из справедливости равенства

(sin 2x)’ = 2 cos 2x

вытекает, что функция   F (x) = sin 2x   является первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Замечание. Функция   F (x) = sin 2x   не является единственной первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x ,   поскольку функция   F (x) = sin 2x + 10 ,   или функция   F (x) = sin 2x – 3 ,   или функции вида   F (x) = sin 2x + c ,   где   c   – любое число, также являются первообразными функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.

      Теорема 1. Если функция   F (x)   является первообразной функции   f (x)   на интервале   (a, b) ,   то любая другая первообразная функции   f (x)   на интервале   (a, b)   имеет вид

F (x) + с ,

где   c   – некоторое число.

Неопределенный интеграл

      Определение 2. Множество всех первообразных функции   f (x)   называют неопределенным интегралом от функции   f (x)   и обозначают

      Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции   f (x)   по   dx» .

      Если   F (x)   является первообразной   f (x) ,   то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

      Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде

подразумевая, но не указывая специально, что   c   – любое число.

      В формуле (3) функцию   f (x)   называют подынтегральной функцией, выражение   f (x) dx   нызывают подынтегральным выражением, а число   c   называют постоянной интегрирования.

      Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

      Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

      Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

где   k   – любое число.

      Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

      Правило 2 (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

      Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

      Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной). Из справедливости формулы

вытекает, что      

если все входящие в формулу (4) функции   f (φ (x)),   φ’ (x),   F (φ (x))   определены.

      Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):

      Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.

      Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция   φ (x)   является линейной функцией, то есть

φ (x) = kx + b ,

что   k   и   b   – произвольные числа, .

      В этом случае

φ’ (x) = k ,

и формула (4) принимает вид

      Формула (5) часто используется при решении задач.

Таблица интегралов

      Следующая таблица неопределенных интегралов составлена на основе таблицы производных часто встречающихся функций, а также на основе таблицы производных сложных функций

Примеры решения задач

      Пример 1. Вычислить интеграл

      Решение. Воспользовавшись свойствами степеней, а затем правилами интегрирования и формулами из таблицы неопределенных интегралов формулами из таблицы неопределенных интегралов, получаем

Ответ.

      Пример 2. Значение первообразной   F (x)   функции   f (x) = – 4 sin x   в точке   x = 0   равно   9.   Найти .

      Решение. Поскольку Поскольку

то

      Подставляя в формулу (6) значение   x = 0 ,   находим значение постоянной интегрирования   c:

F (0) = 4 cos 0 + c = 9,

4 + c = 9,     c = 5.

      Следовательно,

F (x) = 4 cos x + 5

      Поэтому

      Ответ.   7

      Пример 3. Найти первообразную   F (x)   функции

если   F (2π) = 2e + 3.

      Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов

для функции   φ (x) = cos x ,   получаем

      Следовательно,

      Подставляя в формулу (7) значение   x = 2π,   находим значение постоянной интегрирования   c:

      Итак,

c = 3e +3 .

      Ответ. 

      Пример 4. Вычислить интеграл

      Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов

для функции   φ (x) = e^x,   получаем

      Ответ.  

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Неопределенный интеграл: значение и расчет

Вы замечали, как члены одной семьи похожи друг на друга? То же верно и для семейств функций! Функции одной формы очень похожи друг на друга, как члены одной семьи. Неопределенные интегралы здесь ничем не отличаются. Они представляют собой семейство первообразных функции, поэтому они очень похожи друг на друга.

В этой статье вы узнаете, что такое неопределенный интеграл, его определение, формулу и свойства. Вы также увидите примеры вычисления неопределенных интегралов.

Определение неопределенного интеграла

Как вы знаете из статьи о первообразных, процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием . Помните, что если вам дана функция \( f(x) \), то первообразной \( f(x) \) является любая функция \( F(x) \), которая удовлетворяет условию:

\[ F'(х) = f(х). \]

Итак, при чем тут неопределенный интеграл?

Ну, это используется для обозначения всего семейства первообразных функции, тогда как первообразная — лишь одна из бесконечных возможностей.

Имея это в виду, вы определяете неопределенный интеграл как: f(x) \) называется неопределенным интегралом . Обозначение для этого неопределенного интеграла:

\[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]

, где \(C\) — любая константа.

Обратите внимание:

• \( \int \) называется интегральным символом ,

• \( f(x) \) называется подынтегральным выражением ,

• 900 02 \(х\) называется переменная интегрирования ,

• \( \mathrm{d}x \) называется дифференциалом ,

• \( F(x) \) является первообразной , а 9000 3

• \( C\) называется константой интегрирования (или константой интегрирования).

Обратите внимание, что термины «неопределенный интеграл» и «первообразная» иногда используются взаимозаменяемо, а в некоторых текстах первообразная также называется «примитивной функцией».

Учитывая терминологию, представленную вам в этом определении, действие по нахождению первообразных функции, \( f \), обычно упоминается как:

1. интегрирование \( \mathbf{f} \) o r
2. нахождение интеграла от \( \mathbf{f} \).

Для функции \( f(x) \) и ее первообразной \( F(x) \) функции вида \( F(x) + C \), где \( C \ ) — любая константа, часто называют семейством первообразных \( \mathbf{f(x)} \).

Неопределенный интеграл: семейство первообразных

Чтобы лучше понять, что означает «семейство первообразных», рассмотрим этот пример.

Неопределенный интеграл, константа интегрирования и семейство первообразных 9{2} + C, \]

, где \(C\) — постоянная интегрирования. {2}+C \), где \(C \) — любая константа (при условии, что это действительное число).

Формула неопределенного интеграла

Как и в случае с первообразными вообще, неопределенные интегралы не имеют единственной формулы для их решения. Существует множество правил и свойств, которые вы научитесь использовать для решения неопределенных интегралов — они основаны на уже изученных вами правилах дифференцирования. Причина этого обсуждается в статье об основной теореме исчисления.

При этом суть нахождения неопределенного интеграла функции состоит в обратном выполнении уже известных вам правил дифференцирования.

Свойства неопределенного интеграла

Поскольку неопределенный интеграл — это просто семейство первообразных, их свойства одинаковы. Но, повторяю, неопределенный интеграл линейный; т. е. вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются приведенными ниже правилами.

Свойство суммы/разности :

\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int г(х) ~\mathrm{d}х \]

Постоянное кратное свойство :

\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm{d}x \]

Доказательства свойств Неопределенный интеграл

1. В общем, если \(F\) является первообразной \(f\) и \(G\) является первообразной \(g\), то\[ \frac{d}{ dx} (F(x) \pm G(x)) = F'(x) \pm G'(x) = f(x) \pm g(x). \]Это означает, что \( F(x) \pm G(x) \) является первообразной \( f(x) \pm g(x) \), так что \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = F(x) \pm G(x) + C. \]
2. Теперь попробуйте найти первообразную \(kf(x)\), где \(k\) — любая константа. Поскольку вы знаете, что \[ \frac{d}{dx} (kf(x)) = k \frac{d}{dx}F(x) = kf'(x) \]для любой константы \( k \) , можно заключить, что \[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = kF(x) + C. \]

Правила нахождения неопределенных интегралов

По большей части правила нахождения неопределенного интеграла интеграл функции являются обратными (или обратными) правилам нахождения производных.

Ниже приведен список правил для общих неопределенных интегралов.

1. T Постоянное правило Если вы рассматриваете функцию \( F(x) = 3 \) и записываете ее производную как \( f(x) \), это означает, что \( f(x) = \frac{dF}{dx} \). Вы уже знаете, что можете найти производную этой функции, применяя константное правило для производных: \( \frac{d}{dx}(k) = 0 \). Теперь предположим, что вы хотите обратить этот процесс вспять, и спросите себя: какая функция (функции) могла бы иметь производную \(f(x) = 0 \)? Очевидно, \( F(x) = 3 \) — один ответ. Вы говорите, что \(F(x) = 3\) является первообразной \(f(x) = 0\).

   • Однако существуют и другие функции, производная которых равна \( f(x) = 0 \), включая, помимо прочего, \( F(x) = 5 \), \( F(x) = -4 \ ) и \( F(x) = 200 \). Это потому, что когда вы берете производную, константа исчезает.

   • Следовательно, если вам дана первообразная \(f(x)\), все остальные можно найти, добавив другую константу. Другими словами, если \(F(x)\) является первообразной \(f(x)\), то \(F(x) + C\) также является первообразной \(f(x)\) для любой константы \( C \). Эта группа или семейство первообразных представлена ​​неопределенным интегралом. 9{x}}{\ln a} + C, ~\ a \neq 1\end{align} \]

   • Правило синусов

     \[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \cos(x) ~\mathrm{d}x = \sin (x) + C\end{align} \]

   • Правило косинуса

     \[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\cos( x)) = -\sin(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C\end{align} \ ] 9{2}(x) ~\mathrm{d}x = \tan(x) + C\end{align} \]

   • Правило косеканса

     \[ \begin{align}\text{Производная Правило: } &\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \csc(x)\ cot(x) ~\mathrm{d}x = -\csc(x) + C\end{align} \]

   • Секущее правило

     \[ \begin{align}\text{Производное правило : } &\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sec(x)\tan( х) ~\mathrm{d}x = \sec(x) + C\end{align} \] 9{rd} \) правило из списка выше:

     \[ \int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C \]

     Неопределенные интегралы: ошибки, которых следует избегать

     Вы заметили, что в приведенном выше списке нет правил произведения, частного или цепных правил для интегралов?

     Что это значит?

     Это означает, что, как и в случае с производными, правила, применимые к сложению и вычитанию, не применяются в той же мере к умножению и делению. Другими словами, так же, как и с производными:

     • Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций .\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g (x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f( x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \frac{\int f(x) ~\mathrm{d}x}{\int g(x) ~\mathrm{d}x }\end{align} \]

     Вместо:

     • правила произведения и частного для производных приводят к интегрированию по частям, и

     • цепное правило для производных приводит к интегрированию путем замены.

     Хотя интегрирование по частям выводится специально из правила произведения для производных, оно применяется как к произведению, так и к частному интегралов. Это связано с тем, что для любых двух функций \( f \) и \( g \) вы можете записать частное двух функций в виде произведения:

     \[ \frac{f}{g} = f \cdot \ дробь{1}{г}. \]

     Другими словами, вы можете думать о частном правиле для деривативов как о замаскированном правиле произведения; то же верно и для интегрирования по частям. 9{2}} ~\mathrm{d}x \]

     и используйте правило произведения для выполнения интегрирования по частям.

     Вычисление неопределенного интеграла

     Когда дело доходит до вычисления неопределенного интеграла, точные шаги будут зависеть от самого интеграла. Однако есть несколько очень простых шагов, которые вам нужно будет запомнить для вычисления всех неопределенных интегралов.

     Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла

     1. Определите, какие свойства и правила применяются.

     2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

     3. Используйте выбранные вами правила.

     4. Добавьте константу интегрирования.

     5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).

     Неопределенные интегралы Примеры

     В следующих примерах оцените каждый из неопределенных интегралов. Этот первый пример относительно прост.

     Оценка 9{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x \]

     Решение :

     1. Определите, какие свойства и правила применяются.

     2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

        1. Применение правила суммы/разности для интегралов.

        2. Применение правила постоянного кратного для интегралов.

        3. Применение правила степени для интегралов.

     9{2}}{x} + \frac{4\sqrt[3]{x}}{x} \right) ~\mathrm{d}x. \]

     3. Теперь вы можете вычислить интеграл почленно, используя правило суммы/разности и правило степени.

2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

   • Применение правила суммы/разности.

   • Применение правила мощности.

3. Используйте выбранные вами правила.

   9{2}} ~\checkmark\end{align} \]

Этот пример показывает, что упрощение тригонометрических функций в подынтегральном выражении может значительно упростить задачу.

Вычислить

\[ \int \tan(x) \cos(x) ~\mathrm{d}x \]

Решение :

1. Определите, какие свойства и правила применяются.

2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

3. Используйте выбранные вами правила.

4. Добавьте константу интегрирования.

   \[ \int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C \]

5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x ) \).\[ \begin{align}f(x) &= \tan(x) \cos(x) = \frac{\sin(x)}{\cancel{\cos(x)}} \cancel {\ cos (x)} = \ sin (x) \\ F (x) & = — \ cos (x) + C \\~ \\ F ‘(x) & = — (- \ sin (x)) \\&= \sin(x) ~\checkmark\end{align} \]

Неопределенный интеграл – основные выводы

• Если \( F(x) \) является первообразной функции \( f( x) \), то семейство первообразных \( f(x) \) называется неопределенный интеграл . Это записывается как: \[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]где \(C\) — любая константа.
• Вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются следующим образом:
  • Свойство суммы/разности: \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d} x \pm \int g(x) ~\mathrm{d}x \]
  • Постоянное кратное свойство:\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm {г}х \]

• В большинстве случаев правила нахождения неопределенного интеграла функции обратны правилам нахождения производных.

• Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций.\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g(x ) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f(x) }{g (x)} ~ \ mathrm {d} x &\ neq \ frac {\ int f (x) ~ \ mathrm {d} x} {\ int g (x) ~ \ mathrm {d} x} \ конец {выравнивание} \]
• Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла:

  1. Определите, какие свойства и правила применяются.

  2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

  3. Используйте выбранные вами правила.

  4. Добавьте константу интегрирования.

  5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).

Неопределенные интегралы — определение, формулы, свойства, примеры

Производные были действительно полезны практически во всех сферах жизни. Они позволяют найти скорость изменения функции. Иногда бывают ситуации, когда доступна производная функции, и цель состоит в том, чтобы вычислить фактическую функцию, производная которой дана. В этих случаях в игру вступают интегралы. Интуитивно они представляют собой обратную сторону процесса дифференциации. Интегралы также имеют множество приложений в исчислении, а также в реальной жизни. Они полезны при анализе функций и вычислении площадей и объемов различных произвольных форм.

Что такое неопределенный интеграл?

Интегралы также известны как антипроизводные. Интеграция есть процесс, обратный дифференциации. Вместо дифференцирования функции нам дается производная функции и требуется вычислить функцию по производной. Этот процесс называется интеграцией или антидифференциацией. Рассмотрим функцию f(x) = sin(x), производную этой функции, если f'(x) = cos(x). Итак, интегрирование f'(x) должно вернуть функцию f(x). Обратите внимание, что для каждой функции f(x) = sin(x) + C производная одинакова, потому что после дифференцирования константа становится равной нулю. Таким образом, первообразные не уникальны, для каждой функции ее первообразные бесконечны.

Эта константа C называется произвольной константой.

Для обозначения интегралов используется новый символ . Это будет представлять операцию интегрирования над любой функцией. В таблице ниже представлены символы и значения, относящиеся к интегралам.

90 002 Существуют определенные формулы и правила, которые при соблюдении в виду, помогите нам упростить расчет и сделать это быстро. Правило обратной степени — это одно из правил, которые помогают нам интегрировать многочлены и другие функции.

Правило обратной мощности

Это правило помогает интегрировать функции, члены которых имеют форму x ^н .

Здесь C — произвольная константа, а n ≠ 1. 

В этом правиле показатель степени переменной увеличивается на 1, а затем результат делится на новое значение показателя степени. В таблице ниже приведены интегралы некоторых стандартных функций.

906 30

Функция	Интеграл
sin(x)	-cos(x)
cos(x)	sin(x)
e x	e x
сек 2 (x)	tan(x)
	ln(x)

Графическая интерпретация интегралов

Помимо обычные алгебраические правила вычисления интегралов. Интегралы можно понять через графики. Ясно, что интегралы есть не что иное, как антипроизводные. Рассмотрим функцию f(x) и скажем, что она является антипроизводной, если задана F(x). В этом случае F'(x) = f(x). Рассматривайте приведенный ниже график как график функции f(x), это означает, что график производных функции F(x) задан и целью является определение интегральной функции F(x).

 

На графике показана функция f(x) = 2x, это прямая линия, проходящая через начало координат. Проинтегрируем данную функцию, используя упомянутое выше правило обратной мощности.

 

 

Теперь, когда это C = 0, уравнение интеграла становится F(x) = x ² , что представляет собой параболу с центром в начале координат. При С = 1 парабола смещается вверх на одну единицу и аналогично при С = -1 парабола смещается вниз на одну единицу.

Это означает, что функция F(x) = x ² + C представляет семейство кривых.

Интегралы по графикам

Интегралы можно грубо определить по графикам. Подынтегральные выражения есть не что иное, как производные от интегралов. Они дают информацию о скорости увеличения/уменьшения и максимумах и минимумах интегралов. Рассмотрим график функции f(x),

Предположим, что F(x) =

Поскольку производная функции положительна и возрастает, функция будет возрастать с возрастающей скоростью, и график функция F(x) будет приблизительно иметь вид параболы, устремленной вверх. Рисунок ниже дает примерное представление о графике функции F(x).

 

Вычисление неопределенного интеграла

Различные шаги для вычисления неопределенного интеграла:

Шаг 1: Нормальные неопределенные интегралы решаются с использованием формул прямого интегрирования.

Шаг 2: Интегралы с рациональными функциями решаются методом частных дробей.

Шаг 3: Неопределенные интегралы можно решать методом подстановки.

Шаг 4: Интегрирование по частям используется для решения интеграла от функции, где две функции представлены как произведение.

Пример: Найдите неопределенный интеграл ∫ x ³ cos x ⁴ dx

Решение:

Методом подстановки.

Допустим,

x ⁴ = t

4x ³ dx = dt

Теперь ∫ x ³ cos x 906 71 4 dx

= 1/4∫cos t dt

= 1/4 (sin t) + C

= 1/4 sin (x ⁴ ) + C

Важные формулы для неопределенных интегралов

Некоторые из важных формул неопределенных интегралов: ^{н + 1} / (н + 1) + C

∫ e ^x dx = e ^x + C

∫ a ^x dx = a ^x / ln a + C

∫1/x dx = ln |x| + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin x dx = -cos x + C

∫ sec ² x dx = tan x + C

Свойства неопределенного интеграла

Неопределенные интегралы обладают различными свойствами некоторые из различных свойств неопределенного интеграла:

Свойство суммы

Свойство суммы неопределенного интеграла: ∫ [f(x) + g (x)] dx = ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx

Свойство разности

Свойство разности неопределенного интеграла —

∫ [f (x) × g(x)]dx = ∫ f(x)dx × ∫ g(x)dx

Свойство постоянного кратного

Свойство постоянного кратного неопределенного интеграла:

0002 Некоторые другие свойства неопределенный интеграл равен

• ∫ f(x) dx = ∫ g(x) dx, если ∫ [f(x) – g(x)]dx = 0
• ∫ [k ₁ f ₁ (x ) + k ₂ f ₂ (x) + …+k _n f _n (x)]dx = k ₁ ∫ f ₁ (x)dx + k ₂ ∫ f ₂ (x)dx + … + k _n ∫ f _n (x)dx

Разность между неопределенным интегралом и Определенный интеграл

Неопределенные интегралы используется для нахождения интегрирования любой функции, которая не связана, т. е. не имеет ни нижнего предела, ни верхнего предела. В то время как определенные интегралы дают значение функции в пределе. т. е. определенные интегралы интегрируются по определенному интервалу. Неопределенные интегралы имеют постоянную интегрирования, тогда как определенный интеграл не имеет постоянной интегрирования.

для неопределенного интеграла,

∫ f (x) dx = f (x) + c

для определенного интеграла,

∫ ^a _b f (x) dx = f (b) — f (a a ) 

Читать, Подробнее

• Дифференциальные уравнения
• Уравнения с частными производными
• Точные дифференциальные уравнения

In Определенные интегралы Примеры

Пример 1: Найти интеграл для заданной функции f(x), f (х) = грех(х) + 1

Решение: 

Задано f(x) = sin(x) + 1

sin(x) — стандартная функция, и ее первообразная равна

=∫ f(x)dx 9000 3

= ∫ (sin(x) + 1)dx

=

=

003

Решение:

Учитывая f(x) = 2e ^x  

e ^x , это стандартная функция, и ее антипроизводная равна 9. 0003

=

=

Используя упомянутое выше свойство 1,

=

= 2e ^x + C

Пример 3. Найти интеграл для заданной функции f(x), f(x) = 5x ^-2

Решение:

Учитывая f(x) = 5x ^-2

Используя правило обратной степени

= 

= 

Используя свойство 1, упомянутое выше, 

=

=

Пример 4. Найдите интеграл для заданной функции f(x), f(x) = sin(x) + 5cos(x)

Решение:

Учитывая f(x) = sin (x) + 5cos(x)

sin(x) и cos(x) являются стандартными функциями, а их интеграл равен

= 

Пример 5. Найдите интеграл для заданной функции f(x), f(x) = 5x ^-2 + x ⁴ + x

Решение:

Учитывая f(x) = 5x ^-2 + x ⁴ + x

Используя правило обратной степени

=

=

=

=

=

Пример 6: Является ли приведенный ниже график дифференцируемым или нет?

 

Решение:

Граф, приведенный выше, y = 4 является постоянным графом.

И постоянный граф легко дифференцируемы.

Часто задаваемые вопросы о неопределенном интеграле

Q1: Что представляет собой неопределенный интеграл?

Ответ:

Для любой функции F(x), производной которой является f(x). Неопределенные интегралы представляют собой первообразные функций, таких что ∫f(x) dx есть F(x).

Q2: Неопределенные интегралы похожи на первообразные?

Ответ:

Да, неопределенные интегралы похожи на первообразные. т. е. для любой функции f (x), производной которой является f ‘(x), тогда ∫f’ (x) dx есть f (x), называется ее неопределенным интегралом или антипроизводной.

Q3: Как найти неопределенный интеграл?

Ответ:

Неопределенный Интеграл любой функции вычисляется по интегральным формулам

постоянная интегрирования

Q4: Почему определенные интегралы не имеют C?

Ответ:

Определенные интегралы не имеют константы интегрирования C, так как определенный интеграл имеет диапазон, в котором вычисляется значение интегрирования.

Q5: Каковы границы неопределенного интеграла?

Ответ:

Определенный интеграл вычисляется в диапазоне, тогда как неопределенный интеграл не вычисляется ни в каких границах.

Q6: Что такое неопределенный интеграл любой константы C?

Ответ:

Неопределенный интеграл от константы C равен Cx. Поскольку ∫ C dx = Cx + D, где D — постоянная интегрирования.

Q7: Что такое неопределенный интеграл от e

^х ?

Ответ:

Неопределенный интеграл от e ^x равен e ^x + C, его можно вычислить по формуле

∫ e ^х дх = е ^х + С

Q8: В чем разница между неопределенными интегралами и определенными интегралами?

Ответ:

Интегралы также называются антипроизводными, их можно считать обратными дифференцированию.

Типовые задачи ЕГЭ по теории вероятностей

40 заданий с решением.

40tv.doc

№1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости.Найдите вероятность того ,что всумме выпадет 5 очков.Результат округлите до сотых.

№2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

№3. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

№4. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

№5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

№6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

№7. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?

№8. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

№9. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

№10. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

№11. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

№12. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

№13. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

№14. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

№15. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

№16. В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе.

№17. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

№18. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

№19. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

№20. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

№21. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

№22. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

№24. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

№24. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

№25. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

№26. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежат 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

№27. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

№28. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

№29. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

№30. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

№31. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

№32. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

№33. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

№34. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

№35. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

№36. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

№37. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

№38. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

№39. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

№40. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение задач профильного ЕГЭ по теме Теория вероятности

1. Вероятность. Задачи профильного ЕГЭ по математике.

Подготовила учитель математики
МБОУ «Лицей №4» г. Рузаевка
Овчинникова Т.В.

2. Определение вероятности

Вероятностью события A называют отношение
числа m благоприятствующих этому событию
исходов к общему числу n всех равновозможных
несовместимых событий, которые могут произойти
в результате одного испытания или наблюдения:
m
Р=
n
Пусть k – количество бросков монеты, тогда
количество всевозможных исходов: n = 2k.
Пусть k – количество бросков кубика, тогда
количество всевозможных исходов: n = 6k.
В случайном эксперименте симметричную монету
бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел
выпадет ровно один раз.
Решение.
Всего 4 варианта: о; о
о; р
р; р
Благоприятных 2: о; р и р; о.
Вероятность равна 2/4 = 1/2 = 0,5.
Ответ: 0,5.
р; о.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.
Результат округлите до сотых.
Решение.
Игральные кости – это кубики с 6 гранями. На первом кубике
может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому варианту
выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков
на втором кубике.
Т.е. всего различных вариантов 6×6 = 36.
Варианты (исходы эксперимента) будут такие:
1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
и т.д. …………………………
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма
очков двух кубиков равна 8.
2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Всего 5 вариантов.
Найдем вероятность: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.
Ответ: 0,14.
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из
них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность
того, что в случайно выбранном на экзамене билете
школьнику достанется вопрос по ботанике.
Решение:
Вероятность того, что в случайно выбранном на
экзамене билете школьнику достанется вопрос по
ботанике, равна 11/55 =1/5 = 0,2.
Ответ: 0,2.
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из
России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором
выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите
вероятность того, что спортсменка, выступающая первой,
окажется из Китая.
Решение.
Всего участвует 20 спортсменок,
из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая.
Вероятность того, что спортсменка, выступающая
первой, окажется из Китая, равна 5/20 = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего
запланировано 75 докладов − первые три дня по
17 докладов, остальные распределены поровну между
четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется
жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора
М. окажется запланированным на последний день
конференции?
Решение:
В последний день конференции запланировано
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов.
Вероятность того, что доклад профессора М.
окажется запланированным на последний день
конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.
Ответ: 0,16.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону
участников разбивают на игровые пары случайным
образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует
26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России,
в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в
первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо
бадминтонистом из России?
Решение:
Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с какимлибо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов
тоже из России.
Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов
будет играть с каким-либо бадминтонистом из России,
равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Ответ: 0,36.
Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее
выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при
первом броске выпало 2 очка.
Решение.
В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это
возможно, если будут следующие комбинации:
2
6
3
5
4
и
и
и
и
и
6
2
5
3
4
Всего 5 вариантов. Подсчитаем количество исходов
(вариантов), в которых при первом броске выпало 2 очка.
Такой вариант 1.
Найдем вероятность: 1/5 = 0,2.
Ответ: 0,2.
В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно
разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике
вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что
команда России окажется в третьей группе.
Решение:
Всего команд 20, групп – 5.
В каждой группе – 4 команды.
Итак, всего исходов получилось 20, нужных нам – 4, значит,
вероятность выпадения нужного исхода 4/20 = 0,2.
Ответ: 0,2.
Две
фабрики
выпускают
одинаковые
стекла
для
автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих
стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3%
бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность
того, что случайно купленное в магазине стекло окажется
бракованным.
Решение:
Вероятность того, что стекло куплено на первой
фабрике и оно бракованное:
р1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло куплено на второй
фабрике и оно бракованное:
р2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность
того, что случайно купленное в магазине стекло
окажется бракованным равна
р = р1 + р2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ: 0,019.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у
гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет
черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3.
Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй
партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А.
выиграет оба раза.
Решение:
Возможность выиграть первую и вторую партию не
зависят друг от друга. Вероятность произведения
независимых событий равна произведению их
вероятностей:
р = 0,52 · 0,3 = 0,156.
Ответ: 0,156.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите
вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в
мишени, а последние два раза промахнулся. Результат
округлите до сотых.
Решение:
Результат каждого следующего выстрела не зависит от
предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле»,
«попал при втором выстреле» и т.д. независимы.
Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность
промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.
1 выстрел: 0,8
2 выстрел: 0,8
3 выстрел: 0,8
4 выстрел: 0,2
5 выстрел: 0,2
По формуле умножения вероятностей независимых событий,
получаем, что искомая вероятность равна:
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Ответ: 0,02.
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них
может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от
другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы
один автомат исправен.
Решение:
Найдем вероятность того, что неисправны оба
автомата.
Эти события независимые, вероятность их произведения
равна произведению вероятностей этих событий:
0,05 · 0,05 = 0,0025.
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один
автомат, противоположное.
Следовательно, его вероятность равна
1 − 0,0025 = 0,9975.
Ответ: 0,9975.
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9,
если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон
стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в
муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из
них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене
муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и
стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон
промахнётся.
Решение:
Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит
пристрелянный револьвер равна:
0,4 · (1 − 0,9) = 0,04
Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит
непристрелянный револьвер равна:
0,6 · (1 − 0,2) = 0,48
Эти события несовместны, вероятность их суммы равна
сумме вероятностей этих событий:
0,04 + 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.
При артиллерийской стрельбе автоматическая система
делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система
делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор,
пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения
некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при
каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется
для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее
0,98?
Решение:
Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность
уцелеть после ряда последовательных промахов:
Р(1) = 0,6;
Р(2) = Р(1) · 0,4 = 0,24;
Р(3) = Р(2) · 0,4 = 0,096;
Р(4) = Р(3) · 0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4) · 0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти
выстрелов по мишени.
Ответ: 5.
В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и
Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13
человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и
Сергей окажутся в одной группе.
Решение:
Пусть один из близнецов находится в некоторой группе.
Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся
одноклассников.
Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12
человек, равна
P = 12 : 25 = 0,48.
Ответ: 0,48.
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке
«Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на
каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё
не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный,
определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
Решение:
На каждой из четырех отмеченных развилок паук с
вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу
D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их
произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению
вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к
выходу D равна (0,5)4 = 0,0625.
Ответ: 0,0625.

Практические тесты по теории вероятностей

• Войти
• Биографии репетитора
• Подготовка к тесту

  СРЕДНЯЯ ШКОЛА

  • ACT Репетиторство
  • SAT Репетиторство
  • Репетиторство PSAT
  • ASPIRE Репетиторство
  • ШСАТ Репетиторство
  • Репетиторство STAAR

  ВЫСШАЯ ШКОЛА

  • Репетиторство MCAT
  • Репетиторство GRE
  • Репетиторство по LSAT
  • Репетиторство по GMAT

  К-8

  • Репетиторство AIMS
  • Репетиторство по HSPT
  • Репетиторство ISEE
  • Репетиторство ISAT
  • Репетиторство по SSAT
  • Репетиторство STAAR

  Поиск 50+ тестов

• Академическое обучение

  репетиторство по математике

  • Алгебра
  • Исчисление
  • Элементарная математика
  • Геометрия
  • Предварительный расчет
  • Статистика
  • Тригонометрия

  репетиторство по естественным наукам

  • Анатомия
  • Биология
  • Химия
  • Физика
  • Физиология

  иностранные языки

  • французский
  • немецкий
  • Латинский
  • Китайский мандарин
  • Испанский

  начальное обучение

  • Чтение
  • Акустика
  • Элементарная математика

  прочие

  • Бухгалтерия
  • Информатика
  • Экономика
  • Английский
  • Финансы
  • История
  • Письмо
  • Лето

  Поиск по 350+ темам

• О
  • Обзор видео
  • Процесс выбора наставника
  • Онлайн-репетиторство
  • Мобильное обучение
  • Мгновенное обучение
  • Как мы работаем
  • Наша гарантия
  • Влияние репетиторства
  • Обзоры и отзывы
  • Освещение в СМИ
  • О преподавателях университета

Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

(888) 888-0446

Все ресурсы по теории вероятностей

3 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Наши совершенно бесплатные практические тесты по теории вероятностей — идеальный способ освежить свои навыки. Брать один из наших многочисленных практических тестов по теории вероятностей для прогона часто задаваемых вопросов. Ты получите невероятно подробные результаты оценки в конце практического теста по теории вероятностей, чтобы помочь вам определить свои сильные и слабые стороны. Выберите один из наших практических тестов по теории вероятностей прямо сейчас и начать!

Практические тесты по концепции

вероятностная_теория-множественные-случайные-переменные

Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить

Среднее время работы : 2 часа 0 минут

вероятностная_теория-условное-распределение-и-независимость

Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить

Среднее время, потраченное : 4 минуты

Все ресурсы по теории вероятностей

3 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Практические тесты

вероятностная_теория_1

Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить

Среднее время, затраченное на : 12 минут

Просмотр репетиторов

Далтон
Сертифицированный репетитор

Мидлендский университет, бакалавр искусств, педагогическое образование по математике.

Посмотреть репетиторов

Nav
Сертифицированный репетитор

Университет Гувахати, бакалавр коммерции, бухгалтерский учет.

Посмотреть репетиторов

Люсиль
Сертифицированный репетитор

Колледж Робертса Уэслиана, бакалавр гуманитарных наук, педагогическое образование. Дейтонский университет, магистр наук, образование…

Все ресурсы по теории вероятностей

3 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Fall 2016, UIUC: MATH 461 Теория вероятностей

Fall 2016, UIUC: MATH 461 Теория вероятностей

Время: TR 09:30-10:50
Место: 245 Альтгельд
Инструктор: Николя Роблес (165 Altgeld Hall)
Часы работы: Вторник с 11:00 до 12:00 или по предварительной записи
Класс: Хейи Чжу (heyizhu2). Часы работы: Понедельник с 17:00 до 18:00 в зале 7 Illini Hall.

Электронная почта: niroblesillinois. edu
Веб-страница курса с программой: https://math.uiuc.edu/Bourbaki/Syllabi/syl461.html

Книг: Учебник по этому курсу будет

• Шелдон Росс, Первый курс теории вероятностей , Pearson, Ninth Edition, 2012.

Письменные домашние задания и ваше самостоятельное чтение будут исходить прежде всего из этой книги. Некоторые копии текста доступны в резервном разделе математической библиотеки.

Программа: Будут рассмотрены следующие темы

1. Комбинаторный анализ
2. Аксиомы вероятности
3. Условная вероятность и независимость
4. Случайные величины
5. Непрерывные случайные величины
6. Совместно распределенные случайные величины
7. Свойства ожиданий
8. Предельные теоремы

Предпосылки: МАТЕМАТИКА 241 или аналогичный. Необходимо свободное владение исчислением (несколько переменных, неправильные интегралы, геометрические ряды и т. д.).

Календарь

Вторник, 23 августа : Презентация, административные настройки, введение в курс. Основной принцип подсчета и примеры.
903:25 Четверг, 25 августа : Обобщенный принцип подсчета, перестановки, комбинации, порядок, ссылка на повторение, распространенные ошибки, примеры, частота покерных комбинаций (I).
Вторник, 30 августа : Связь частоты покерных рук (II), биномиальные и полиномиальные теоремы и их следствия, примеры.
Четверг, 1 сентября : Другие следствия теоремы о полиномах. Введение в аксиомы вероятности.
Вторник, 6 сентября : 3 аксиомы и приложения в примерах. Предложения, вытекающие из аксиом и утверждения принципа включения-исключения (доказано для n=2 и n=3).
Четверг, 8 сентября : Равновероятные события и различные примеры.
Вторник, 13 сентября : Другие примеры (в порядке возрастания сложности). Введение в условные вероятности.
Четверг, 16 сентября : Дополнительные темы по условным вероятностям.
Вторник, 20 сентября : Другие примеры условных вероятностей, II.
Четверг, 22 сентября : Теорема Байеса и теорема полной вероятности.
, вторник, 27 сентября : Введение в дискретные случайные величины: функция распределения вероятностей (массы), кумулятивная функция распределения (4.10), математическое ожидание.
Четверг, 29 сентября : Обобщенное математическое ожидание и E[g(x)], дисперсия и стандартное отклонение, бернуллиевские и биномиальные случайные величины.
Вторник, 4 октября : Вопросы перед промежуточным экзаменом (60 мин), больше о дискретных случайных величинах.
Четверг, 6 октября : Введение в случайные величины Пуассона, аппроксимация бинома, обзор экспонент.
, вторник, 11 октября : Еще о случайных величинах Пуассона, 3 предположения, которые приводят к распределению Пуассона, n>>1, p Четверг, 13 октября : Другие дискретные случайные величины: геометрические, гипергеометрические, отрицательные биномиальные, дзета (свет). Введение в непрерывные случайные величины и обобщенное ожидание.
Вторник, 18 окт. : Еще о непрерывных случайных величинах: равномерные и нормальные (I).
Четверг, 20 октября : Еще о непрерывных случайных величинах: нормальная (II) и Де Муавра-Лапласа, экспоненциальная, упомяните другие (светлые). Введение в совместно распространяемые автодома (Глава 6)
, вторник, 25 октября : Подробнее о совместно распространяемых автодомах, совместных PDF-файлах, независимости и примерах.
Четверг, 27 октября : Пример независимости мужского/женского почтового отделения, проблема иглы Бюффона, предложение о независимости IFF, суммы независимых случайных величин и треугольное распределение.
Вторник, 1 ноября : Суммы n независимых случайных величин, Предложение 3.2 стр. 243, пример 3c, суммы независимых пуассоновских/биномиальных, условных распределений, совместное вероятностное распределение функций случайных величин.
Четверг, 3 ноября : Введение в свойства ожидания.
Вторник, 8 ноября : Больше свойств ожидания.
Четверг, 10 ноября : Пересмотр принципа включения-исключения из свойств ожидания. Промежуточный период 2.
Вторник, 15 ноября : Моменты высшей степени, примеры и случайные величины.
Четверг, 17 ноября : Условное математическое ожидание и возвышающееся свойство E[E[X|Y]].
Вторник, 29 ноября : Функции генерации момента.
Четверг, 1 декабря : Неравенства Маркова и Чебышева с доказательствами и примерами. Заявление и доказательство закона или больших чисел.
, вторник, 6 декабря : Формулировка и доказательство центральной предельной теоремы. Примеры. Вопросы в конце семестра.
Среда, 13 декабря : выпускной экзамен.

Еженедельное письменное домашнее задание: Письменное домашнее задание — это возможность самостоятельно поработать над задачами и оценить свои успехи.
Чтобы преуспеть в курсе, необходимо приложить усилия в домашнем задании. Всегда убедитесь, что вы знаете определения всех слов в вопросе, ознакомились с соответствующими разделами своих классных заметок и учебника и потратили значительное количество времени на размышления о том, как разные понятия в задаче связаны друг с другом.
Убедитесь, что ваш окончательный отчет четкий и ясный, а также эффективно передает ваши рассуждения оценщику. В частности, доказательства должны быть написаны полными предложениями и содержать все необходимые детали. Вы можете обсуждать домашние задания с другими, но решения должны писать самостоятельно, самостоятельно.

Упражнения из учебника будут объявлены по вторникам, а через неделю во вторник. Опоздавшие задания не принимаются.

Домашнее задание 01, сдать во вторник, 6 сентября 2016 г. Решение здесь.
Комплект домашних заданий 02, сдать во вторник, 13 сентября 2016 г. Решение здесь.
Домашнее задание 03, сдать во вторник, 20 сентября 2016 г. Решение здесь.
Набор домашних заданий 04: Глава 3: 64, 66, 78, 83, 84, 3.13 (стр. 107), со вторником, 27 сентября 2016 г. Решение здесь.
Набор домашних заданий 05: Глава 4: 1, 4, 5, 13, 14, 17, 21, 23, 32, 35, 37, со вторником, 4 октября 2016 года. Решение здесь.
Набор домашних заданий 06: Глава 4: 38, 40, 42, 45, 48, 50, 55, 57, 59, 61, 63, 72, 73, 77, 78, 79, 84, 85, со вторником, 11 октября 2016 г. Решение здесь.
Набор домашних заданий 07: Глава 5: 6, 10, 12, 13, 15, 18, 21, 22, 23, 25, 28, 32, 33, 34, со вторником, 18 октября 2016 г. Решение здесь.
Набор домашних заданий 08: Глава 5: 37, 38, 40, 41. Глава 6: 2, 7, 8, 9, 10, со вторником, 25 октября 2016 года. Решение здесь.
Набор домашних заданий 09: Глава 6: 13, 14, 20, 21, 22, 23, 27, 28, 29, 33, со вторником, 1 ноября 2016 г. Решение здесь.
Набор домашних заданий 10: Глава 6: 38, 40, 41, 42, 48, со вторником, 8 ноября 2016 г. Решение здесь.
Комплект домашних заданий 11: Глава 7: 5, 6, 7, 8, 11, 19, 21, сдать во вторник, 15 ноября 2016 г. Решение здесь.
Набор домашних заданий 12: Глава 7: 30, 31, 33, 38, 39, 41, 42, 50, 51, 56, 57, со вторником, 6 декабря 2016 года. Решение здесь.

Экзамены: Это предложение MATH 461 включает два 60-минутных промежуточных экзамена и один 3-часовой итоговый экзамен. Промежуточные экзамены будут проходить в классе, и о них будет объявлено не менее чем за две недели.