Автор: alexxlab

Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
BEDMAS — скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание.
MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.

• Деа делает
  Деа делает 18 из 27 бросков в баскетбольном матче. Какая десятичная дробь представляет долю выстрелов, которые делает Деа?
• Дробь и десятичная дробь
  Пишите в виде дроби и десятичной дроби. Один и два плюс три и пять сотых
• Дети 9
  В комнате 11 детей. Шесть детей — девочки. Какую часть детей составляют девочки?
• Одна суббота
  Однажды субботним вечером в кинотеатре 40 девушек, 25 юношей, 18 женщин и 17 мужчин. Какую часть составляют девочки?
• Десятичная дробь
  Запишите дробь 3/22 в виде десятичной дроби.
• В столовой
  В классной комнате Джейкоба 18 учеников. Шесть учеников приносят обед в школу. Остальные обедают в столовой. Проще говоря, какая часть студентов обедает в столовой?
• Сократить 9
  Сократить дробь 16/24 до минимального значения.
• Мэтью
  У Мэтью восемь карандашей. У трех из них нет ластика на конце. Какая часть карандашей не имеет ластика на конце?
• Значение Z
  При x = -9, каково значение Z, где Z равно числителю дроби x минус 17 в знаменателе 6,5 конец дроби Дайте ответ с точностью до 2 знаков после запятой.
• Квартал
  Квартал числа 72:
• Из 550 000,00
  Из 550 000,00 было использовано 325 000,00.

  Множество n: Множества чисел: раскрытие понятий и примеры

  alexxlab / 04.06.202306.05.2023 / Разное

  Что такое множество

  Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.

  Например: множество школьников, множество машин, множество чисел.

  В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

  Обозначения

  Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

  Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео, то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

  Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F (friends), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

  F = { Том, Джон, Лео }

  ---

  Пример 2. Запишем множество делителей числа 6.

  Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

  D

  затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

  D = { 1, 2, 3, 6 }

  Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈. К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D). Записывается это так:

  2 ∈ D

  Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

  Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D. Записывается это так:

  5 ∉ D

  Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»

  Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

  { Том }

  Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

  { 2 }

  Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

  { 2, 5 }

  ---

  Множество натуральных чисел

  Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

  Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

  В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число», чаще всего подразумевалось именно натуральное число.

  В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.

  Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем  число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

  1 ∈ N

  Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

  ---

  Множество целых чисел

  Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

  Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z.

  Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

  −5 ∈ Z

  Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

  10 ∈ Z

  Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

  0 ∈ Z

  В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.

  ---

  Множество рациональных чисел

  Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

  Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.

  В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

  Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

  10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

  Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

  Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

  12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

  Мы вычислили дробь    и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

  При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число  тоже может быть представлено в виде дроби .  Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

  В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

  • целые числа
  • обыкновенные дроби
  • десятичные дроби
  • смешанные числа

  Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.

  Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

  ∈ Q

  Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

  4,5 ∈ Q

  Укажем, что смешанное число   принадлежит множеству рациональных чисел:

   ∈ Q

  Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

  ---

  Понравился урок?
  Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

  Возникло желание поддержать проект?
  Используй кнопку ниже

  Опубликовано Автор

  1. Множество натуральных чисел

  Определение: Множество называется числовым, если его элементами являются числа.

  Известны следующие числовые системы:

  N — множество натуральных чисел;

  Z — множество целых чисел;

  Q — множество рациональных чисел;

  R — множество действительных чисел;

  С — множество комплексных чисел.

  Между этими множествами установлены следующие отношения:

  N Ì Z Ì Q Ì R Ì C.

  В основе расширения числовых множеств лежат следующие принципы: если множество А расширяется до множества В, то:

  1) А Ì B;

  2) операции и отношения между элементами, выполнимые во множестве А, сохраняются и для элементов множества В;

  3) во множестве В выполняются операции, не выполнимые или частично выполнимые во множестве А;

  4) множество В является минимальным расширением множества А, обладающим свойствами 1) – 3).

  Минимальность расширения множества А обладающее свойствами 1–3 понимается в том смысле, что: 1. выполняются свойства 1–3; 2. В – наименьшее множество для которого выполняются свойства 1–3 и для которого выполняется операция невыполнимая или частично выполнимая во множестве А.

  Множество натуральных чисел N строго определяется с помощью аксиом Пеано.

  1. Существует натуральное число 1, не следующее ни за каким натуральным числом (натуральный ряд начинается с 1).

  2. Каждое натуральное число следует только за одним и только одним натуральным числом (в натуральном ряду нет повторений).

  3. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число (натуральный ряд бесконечен).

  4. Аксиома индукции. Пусть М Ì N. Если:

  1) 1 Î М;

  2) » а Î М множеству М принадлежит и следующий за а элемент а¹ то множество М совпадает с множеством натуральных чисел.

  Итак, множество N = { 1, 2, 3, 4,…}.

  На аксиоме 4 основан метод математической индукции. Доказательство различных утверждений этим методом проводится от частного к общему, а затем делается вывод о справедливости данного утверждения.

  П р и м е р. Доказать методом математической индукции следующее равенство:

  Д о к а з а т е л ь с т в о.

  1. Проверим справедливость данного утверждения для n = 1: , т.е. 1 = 1.

  Проверка при n=1 ОБЪЯЗАТЕЛЬНА!

  2. Предположим, что данное равенство выполняется для k слагаемых, т.е. при n =k:

  3. На основании предположения 2 докажем справедливость данного равенства для n = k+1:

  Ho , а потому , а так как , следовательно

  Теперь можно сделать вывод о том, что данное равенство справедливо » n Î N.

  Во множестве натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания. Расширяя множество N так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z.

  Расширяя – определяя новую алгебраическую операцию.

  Поэтому Z=N È {0, -1, -2,…} или Z={…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}, т.е. множество целых чисел Z содержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.

  Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты.

  Т е о р е м а о д е л е н и и с о с т а т к о м. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а = bq + r, 0 £ r < | b |.

  О п р е д е л е н и е. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.

  О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители: , где p₁, p₂, . .., p_k – простые числа, а — натуральные числа. Разложение называется каноническим.

  Единственность разложения понимается с точностью до порядка следования сомножителей. Например . Если сказано, что простые числа расположены в порядке возрастания, то данная оговорка не нужна.

  О п р е д е л е н и е. 1) Общим делителем целых чисел а₁, а₂, …, а_n называется целое число d, такое, что a₁ : d, а₂ : d, …, а_n : d. 2) Наибольшим общим делителем целых чисел а₁, а₂, . .., а_n называется такой положительный общий делитель чисел а₁, а₂, …, а_n, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

  Наибольший общий делитель – это наибольший из их общих делителей.

  Обозначается: d = (а₁, а₂, …, а_n).

  Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.

  П р и м е р. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим:

  1173 = 323´3 + 204;

  323=204´1+119;

  204=119´1+85;

  119=85´1+34;

  85=34´2+17;

  34=17´2;

  так что (1173, 323) = 17.

  О п р е д е л е н и е. Наименьшим общим кратным целых чисел а₁, а₂, …, а_n, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.

  Наименьшее общее кратное – это наименьшее из их общих кратных.

  Обозначают: m=[ а₁, а₂, …, а_n].

  Пусть а и b целые числа, тогда

  П р и м е р. Найти HOK чисел 1173 и 323.

  Т.к. (1173, 323) = 17, то [1173, 323] =

  Натуральные числа — определение, концепция, числовая линейка, примеры и часто задаваемые вопросы

  Натуральные числа — это все положительные целые числа от 1 до бесконечности, являющиеся компонентом системы счисления. Натуральные числа — это только положительные целые числа, за исключением нуля, дробей, десятичных и отрицательных чисел, и они являются частью действительных чисел. Натуральные числа также называют счетными числами. Давайте узнаем больше о натуральных числах, их свойствах и примерах.

  Что такое натуральные числа?

  Натуральные числа или счетные числа — это целые числа, которые образуются от 1 до бесконечности. Числа можно найти повсюду, их можно использовать для подсчета предметов, представления денег или обмена ими, расчета температуры, определения времени и так далее. Эти числа называются «натуральными числами», поскольку они используются для подсчета предметов. При подсчете предметов это может быть 5 стаканов, 6 книг, 1 бутылка и так далее. Поэтому другое название натуральных чисел — счетные числа. Совокупность всех целых чисел, кроме 0, называется натуральными числами. Эти фигуры играют важную роль в повседневных действиях и общении.

  Натуральные числа Определение 

  Натуральные числа — это числа, которые можно посчитать и которые являются составной частью действительных чисел. В набор натуральных чисел входят только положительные целые числа, такие как 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д. Натуральные числа начинаются с 1 и доходят до ∞.

  Набор натуральных чисел

  В математике набор натуральных чисел выражается как 1, 2, 3, … Набор натуральных чисел обозначается символом N. N = {1, 2, 3, 4, 5 , … ∞}. Один (1) — наименьшее натуральное число. Набор элементов называется набором (числа в данном контексте). Наименьший элемент в N равен 1, а следующий элемент с точки зрения 1 и N для любого элемента в N. 2 на 1 больше, чем 1, 3 на 1 больше, чем 2, и так далее. В приведенной ниже таблице объясняются различные формы множества натуральных чисел.

  Установить форму	Пояснение
  Форма выписки 9 0026	N = Набор чисел, образующихся из 1.
  Форма Roaster	N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
  Форма построения набора	N = {x: x — натуральное число, начинающееся с 1}

  Натуральные числа — это подмножество целых чисел, и целые числа являются подмножеством целых чисел. Точно так же целые числа являются подмножеством действительных чисел. Приведенная ниже диаграмма объясняет взаимосвязь w.r.t. наборы натуральных чисел, целых чисел, целых чисел и действительных чисел.

   

  Примеры натуральных чисел

  Неотрицательные целые числа также известны как натуральные числа (все положительные целые числа). 24, 57, 88, 979, 120502 и т. д. — лишь несколько примеров. Будет ли -4 натуральным числом? Нет. Поскольку это отрицательное целое число. Будет ли 3,6 натуральным числом? Нет. Поскольку это не целое число.

  Натуральные четные числа

  Четные натуральные числа — это четные числа, которые точно делятся на 2 и принадлежат множеству N. Таким образом, 2,4,6,8,… являются примерами четных натуральных чисел. Набор натуральных четных чисел представлен как {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}.

  Натуральные нечетные числа

  Натуральные числа, являющиеся нечетными и принадлежащие множеству N, известны как нечетные натуральные числа, не делящиеся точно на 2. Итак, 1, 3, 5, 7, … являются примерами нечетных натуральных чисел. Набор натуральных нечетных чисел представлен как {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}.

  Наименьшее натуральное число

  1 известно как наименьшее натуральное число. Натуральные числа генерируются из 1 и заканчиваются на ∞. Хотя целые числа генерируются из 0, поэтому наименьшее целое число равно 0. 

  Натуральные числа от 1 до 100

  Натуральные числа являются частью целых чисел, натуральными или счетными числами от 1 до 100 являются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

  Принадлежит ли 0 натуральным числам?

  Часто задают вопрос, является ли 0 натуральным числом. Натуральные числа — это счетные числа. 0 не натуральное число. Так как подсчет начинается с 1 вместо 0 при подсчете любого количества предметов. Число 0 точно принадлежит целому числу. 0 также является частью целых чисел и представлен на числовой прямой. Однако даже на числовой прямой все, начиная с +1 и ее правой части, принадлежит к натуральным числам.

  Натуральные числа и целые числа

  Набор целых чисел идентичен набору натуральных чисел, за исключением того, что он включает 0 в качестве дополнительного числа. В математике множество целых чисел выражается как 0, 1, 2, 3,… Буква W обозначает это. Из определений ясно, что любое натуральное число является целым числом. Кроме того, все целые числа, кроме 0, являются натуральными числами. Ниже приведены представления наборов натуральных чисел и целых чисел в форме ростера,

  W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

  N = {1, 2, 3, 4, 5, …}

   

  Разница между натуральными и целыми числами

  Натуральные числа, такие как 1, 2, 3, 4 и т. д., являются положительными числами. Это числа, используемые для счета, и они продолжаются бесконечно. Целые числа, с другой стороны, являются натуральными числами, за исключением нуля, например, 1, 2, 3, 4 и так далее. Все целые числа и их отрицательные аналоги считаются целыми числами. -4, -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, 4 и т. д. вот некоторые примеры. В таблице ниже объясняется разница между натуральными числами и целыми числами,

  Натуральные числа	Целые числа
  Наименьшие натуральное число — 1.	Наименьшее целое число — 0.
  Все натуральные числа — целые числа.	Все целые числа не являются натуральными числами.
  Представление множества натуральных чисел N = {1, 2, 3, 4, …}	Представление множества целых чисел W = {0, 1, 2, 3, …}

  Натуральные числа в числовой строке

  В числовой строке набор натуральных и целых чисел показан ниже. Натуральные числа представлены всеми положительными целыми числами или целыми числами справа от 0, тогда как целые числа представлены всеми положительными целыми числами плюс ноль. На приведенной ниже диаграмме показаны натуральные числа и целые числа на числовой прямой.

   

  Первые 10 натуральных чисел

  Первые 10 натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и 10. В форме набора обжарщиков первые 10 натуральных чисел представлены как

  N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

  Числа

  Свойства натуральных чисел выведены из свойств чисел. Четыре операции с натуральными числами — сложение, вычитание, умножение и деление — приводят к четырем основным характеристикам натуральных чисел, которые показаны ниже:

  • Свойство замыкания
  • Переместительное свойство
  • Ассоциативное свойство
  • Распределительное свойство

  Замыкающее свойство

  При сложении и умножении двух или более натуральных чисел всегда получается натуральное число. Свойство замыкания сложения равно a + b = c , т. е. 3 + 2 = 5, 9 + 8 = 17. Как видно из этого, сумма натуральных чисел всегда является натуральным числом. Свойство замыкания умножения: ab = c , т. е. 2 × 4 = 8, 7 × 8 = 56 и т. д. Это показывает, что натуральное число всегда является произведением двух натуральных чисел.

  Примечание: Натуральные числа могут не подчиняться свойству замыкания, когда речь идет о вычитании и делении, что подразумевает, что вычитание или деление двух натуральных чисел может не дать натурального числа.

  Ассоциативное свойство

  При сложении и умножении натуральных целых чисел выполняется условие ассоциативности, т. е. a +(b + c) = (a + b) + c и a(b × c) = (a × b) c . Ассоциативное свойство сложения равно a + (b + c) = (a + b) + c , т.е. 1 + (3 + 5) = 1 + 8 = 9и тот же результат получается в (1 + 3) + 5 = 4 + 5 = 9. Ассоциативное свойство умножения равно a × (b × c) = (a × b) × c , т. е. 2 × (2 × 1) = 2 × 2 = 4, и тот же результат получается в (a × b) × c = (2 × 2) × 1 = 4 × 1 = 4. Кратко опишем обе части ассоциативного свойства натуральных чисел,

  • Ассоциативное свойство сложения: a + (b + c) = (a + b) + c
  • Ассоциативное свойство умножения: a × (b × c) = (a × b) × c

  Примечание: Свойство ассоциативности, с другой стороны, не выполняется для вычитания и деления натуральных чисел.

  Коммутативное свойство

  Даже если изменить последовательность чисел, сумма или произведение двух натуральных чисел останется прежним. Коммутативность N говорит, что a + b = b + a и ab = ba для любых a, b ∈ N. Давайте посмотрим на коммутативность сложения и коммутативность умножения натуральных чисел,

  • Переместительное свойство сложения: a + b = b + a ⇒ Пример: 4 + 5 = 9 и b + a = 5 + 4 = 9.
  • Переместительное свойство умножения: a × b = b × a ⇒ Пример: 3 × 2 = 6 и 2 × 3 = 6.

  Распределительное свойство

  Распределительное свойство натуральных чисел имеет два типа: распределительный закон умножения над сложением и распределительный закон умножения над вычитанием. Если нам дано a (b + c), то a может быть распределено между b и c и становится (ab + ac). Точно так же a(b – c) может стать (ab – ac).

  • Распределительный закон умножения на сложение: a(b + c) = ab + ac.
  • Распределительный закон умножения над умножением: a(b – c) = ab – ac.

  Решенные примеры с натуральными числами

  Пример 1. Определите натуральные числа среди данных чисел:

  23, 98, 0, -98, 12.7, 11/7, 3. 9001 0

  Ответ :

  Поскольку отрицательные числа, 0, десятичные дроби и дроби не являются частью натуральных чисел. Следовательно, 0, -98, 12,7 и 11/7 не являются натуральными числами.

  Таким образом, натуральные числа равны 23, 98 и 3.

  Пример 2. Докажите распределительный закон умножения над сложением на примере.

  Ответ:

  Распределительный закон умножения над сложением гласит: a(b + c) = ab + ac.

  Например, 4(10 + 20), здесь 4, 10 и 20 — все натуральные числа и, следовательно, должны подчиняться закону распределения. Следовательно,

  4(10 + 20) = 4 × 10 + 4 × 20

  4 × 30 = 40 + 80

  120 = 120

  Отсюда доказано.

  Пример 3: Докажите распределительный закон умножения над вычитанием на примере.

  Ответ:

  Распределительный закон умножения над сложением гласит: a(b – c) = ab – ac.

  Например, 7(3 – 6), здесь 7, 3 и 6 – все натуральные числа и, следовательно, должны подчиняться закону распределения. Следовательно,

  7(3 – 6) = 7 × 3 – 7 × 6

  7 × -3 = 21 + 42

  -21 = -21

  Следовательно, доказано.

  Пример 4. Перечислите первые 10 натуральных чисел.

  Ответ:

  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 — первые десять натуральных чисел.

  Пример 5: Определите ненатуральные числа среди данных чисел:

  45, 9, 10, -8, 1,17, 98/3, 33/11.

  Ответ:

  Поскольку отрицательные числа, 0, десятичные дроби и дроби не являются частью натуральных чисел. Следовательно, -8, 1,17, 98/3 не натуральные числа. Обратите внимание, что 33/11 можно упростить до 3, а 3 — натуральное число.

  Пример 6: Какова дисперсия первых 5 натуральных чисел?

  Решение:

  Формула для нахождения дисперсии первых n натуральных чисел: = (n ² – 1)/12

  . (5 ² -1 )/12

  = 24/12

  = 2

  Часто задаваемые вопросы о натуральных числах

  Вопрос 1: Каждое натуральное число является целым числом. Правда или ложь?

  Ответ:

  Неверно. Каждое натуральное число не является целым числом, поскольку 0 присутствует в целых числах, но не в натуральных числах. Следовательно, утверждение неверно.

  Вопрос 2: Запишите сумму первых 10 натуральных чисел.

  Ответ:

  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 — первые десять натуральных чисел. Следовательно, сумма первых 10 натуральных чисел будет равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9.+ 10 = 55.

  Вопрос 3: Является ли 0 натуральным числом?

  Ответ:

  Нет, 0 не является частью натуральных чисел. 0 является частью целых чисел, и в этом основное различие между целыми числами и натуральными числами.

  Вопрос 4: Чему равна сумма первых n натуральных чисел?

  Ответ:

  Формула суммы первых n натуральных чисел:

  S = n (n + 1)/2

  Здесь n — количество терминов.

  Вопрос 5: Чему равна сумма квадратов n натуральных чисел?

  Ответ:

  Формула суммы квадратов n натуральных чисел:

  S = n(n + 1)(2n + 1)/6

  Вопрос 6: Что такое наименьшее натуральное число?

  Ответ: 

  Наименьшее натуральное число равно 1. Натуральные числа начинаются с 1 и доходят до бесконечности. Следовательно, наименьшее натуральное число равно 1,9.0003

  Вопрос 7: Найдите среднее первых n натуральных чисел.

  Ответ:

  Среднее значение первых n натуральных чисел равно

  (n + 1)/2

  Где n — количество членов.

  Похожие статьи

  • Целые числа
  • Вещественные числа
  • Рациональные числа

  
  

  Комбинаторика — число сюръективных функций из множества из $m$ элементов в множество из $n$ элементов

  Задавать вопрос

  спросил 4 года 9 месяцев назад

  Изменено 4 года, 9 месяцев назад

  Просмотрено 7к раз

  $\begingroup$

  Я пытался посчитать количество сюръективных (онто) функций от А до В.

  Простое число или составное: Выделите простые и составные числа: 25, 37, 111, 123, 238, 345?

  alexxlab / 04.06.202310.03.2023 / Разное

  Простые и составные числа. Разложение на простейшие множители.

  • Альфашкола
  • Статьи
  • Простые и составные числа

  Давайте вспомним, как разложить число на простые множители, для этого нам надо разбить число на простые множители:

                                                                                           

  Натуральное число, которое включает в себя более двух делителей, называется составным числом. Другими словами, составное число имеет более двух делителей. Все четные числа являются составными числами, кроме \(2\). Все числа, которые заканчиваются на пять, делятся на пять. Поэтому все числа, кратные 5 и больше пяти, являются составными числами. Натуральное число, которое имеет только два делителя, единицу и само себя, называется простым. Числа \(0\) и \(1\) не являются ни простыми, ни составными. Если любое целое число больше \(1\) не является простым числом, то это составное число. Ниже приведена таблица простых чисел.

   

  Задача 1. Найдите наименьшие два простых числа, разность которых равна 40.

  1. возьмем число \(2:40+2=42-\) составное число;
  2. число \(3:40+3=43 -\)– простое число, нам подходит;
  3.  число \(5:40+5=45-\)составное число;
  4.  число \(7:40+7=47-\) простое число, нам подходит;
  5. \(43<47\)  поэтому какие числа мы бы не подбирали \(43\) будет наименьшим.

  Ответ:  \(43\) и \(3\).

  Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

  Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

  Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

  Наши преподаватели

  Елена Михайловна Глущенко

  Репетитор по математике

  Стаж (лет)

  Образование:

  Стерлитамакский государственный педагогический институт

  Проведенных занятий:

  Форма обучения:

  Дистанционно (Скайп)

  Юрий Алексеевич Алексеенко

  Репетитор по математике

  Стаж (лет)

  Образование:

  Кубанский государственный университет

  Проведенных занятий:

  Форма обучения:

  Дистанционно (Скайп)

  Камо Аркадьевич Филипосян

  Репетитор по математике

  Стаж (лет)

  Образование:

  Самаркандский государственный университет

  Проведенных занятий:

  Форма обучения:

  Дистанционно (Скайп)

  Предметы

  • Математика
  • Репетитор по физике
  • Репетитор по химии
  • Репетитор по русскому языку
  • Репетитор по английскому языку
  • Репетитор по обществознанию
  • Репетитор по истории России
  • Репетитор по биологии
  • Репетитор по географии
  • Репетитор по информатике

  Специализации

  • Репетитор по олимпиадной математике
  • Репетитор по геометрии
  • Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
  • Репетитор для подготовки к ЕГЭ по физике
  • Подготовка к олимпиадам по физике
  • Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
  • Репетитор для подготовки к ОГЭ по истории
  • Репетитор для подготовки к ЕГЭ по обществознанию
  • Репетитор по географии для подготовки к ЕГЭ
  • Scratch

  Похожие статьи

  • Многочлены
  • Подобие треугольников
  • Площадь треугольника
  • Как легко умножить на 0,2
  • Задачи на движение по прямой (вариант 2)
  • Полезные физические упражнения для тех, кто долго сидит за учебниками: разминка для ног
  • 10 техник самообладания, чтобы не срываться по мелочам
  • Тонкости этикета или как вести себя в различных общественных местах

  Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

  Текст с ошибкой:

  Расскажите, что не так

  Простые числа и составные числа.

  Таблица простых чисел.

  Скачать таблицу простых чисел

  Простое число — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя^[1].

  То есть, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x.

  Составное число — натуральное число, большее 1, не являющееся простым.

  Каждое составное число является произведением двух или более простых чисел.

  Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса:

  • единицу — имеет один натуральный делитель,
  • простые числа — имеют два натуральных делителя,
  • составные числа — имеют больше двух натуральных делителей.

  Примеры

  2 — простое число (делится на 2 и 1)

  3 — простое число (делится на 3 и 1)

  4 — составное число (делится на 4, 2 и 1)

  5 — простое число (делится на 5 и 1)

  6 — составное число (делится на 6, 3, 2 и 1)

  7 — простое число (делится на 7 и 1)

  8 — составное число (делится на 8, 4, 2 и 1)

  9 — составное число (делится на 9, 3 и 1)

  10 — составное число (делится на 10, 5, 2 и 1)

  Таблица простых чисел от 2 до 1000

  «>

  2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
  41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89
  97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
  157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223
  227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
  283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
  367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
  439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503
  509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
  599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
  661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743
  751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
  829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911
  919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

  Таблица простых чисел от 1000 до 10000

  «>

  1009	1013	1019	1021	1031	1033	1039	1049	1051	1061	1063	1069
  1087	1091	1093	1097	1103	1109	1117	1123	1129	1151	1153	1163
  1171	1181	1187	1193	1201	1213	1217	1223	1229	1231	1237	1249
  1259	1277	1279	1283	1289	1291	1297	1301	1303	1307	1319	1321
  1327	1361	1367	1373	1381	1399	1409	1423	1427	1429	1433	1439
  1447	1451	1453	1459	1471	1481	1483	1487	1489	1493	1499	1511
  1523	1531	1543	1549	1553	1559	1567	1571	1579	1583	1597	1601
  1607	1609	1613	1619	1621	1627	1637	1657	1663	1667	1669	1693
  1697	1699	1709	1721	1723	1733	1741	1747	1753	1759	1777	1783
  1787	1789	1801	1811	1823	1831	1847	1861	1867	1871	1873	1877
  1879	1889	1901	1907	1913	1931	1933	1949	1951	1973	1979	1987
  1993	1997	1999	2003	2011	2017	2027	2029	2039	2053	2063	2069
  2081	2083	2087	2089	2099	2111	2113	2129	2131	2137	2141	2143
  2153	2161	2179	2203	2207	2213	2221	2237	2239	2243	2251	2267
  2269	2273	2281	2287	2293	2297	2309	2311	2333	2339	2341	2347
  2351	2357	2371	2377	2381	2383	2389	2393	2399	2411	2417	2423
  2437	2441	2447	2459	2467	2473	2477	2503	2521	2531	2539	2543
  2549	2551	2557	2579	2591	2593	2609	2617	2621	2633	2647	2657
  2659	2663	2671	2677	2683	2687	2689	2693	2699	2707	2711	2713
  2719	2729	2731	2741	2749	2753	2767	2777	2789	2791	2797	2801
  2803	2819	2833	2837	2843	2851	2857	2861	2879	2887	2897	2903
  2909	2917	2927	2939	2953	2957	2963	2969	2971	2999	3001	3011
  3019	3023	3037	3041	3049	3061	3067	3079	3083	3089	3109	3119
  3121	3137	3163	3167	3169	3181	3187	3191	3203	3209	3217	3221
  3229	3251	3253	3257	3259	3271	3299	3301	3307	3313	3319	3323
  3329	3331	3343	3347	3359	3361	3371	3373	3389	3391	3407	3413
  3433	3449	3457	3461	3463	3467	3469	3491	3499	3511	3517	3527
  3529	3533	3539	3541	3547	3557	3559	3571	3581	3583	3593	3607
  3613	3617	3623	3631	3637	3643	3659	3671	3673	3677	3691	3697
  3701	3709	3719	3727	3733	3739	3761	3767	3769	3779	3793	3797
  3803	3821	3823	3833	3847	3851	3853	3863	3877	3881	3889	3907
  3911	3917	3919	3923	3929	3931	3943	3947	3967	3989	4001	4003
  4007	4013	4019	4021	4027	4049	4051	4057	4073	4079	4091	4093
  4099	4111	4127	4129	4133	4139	4153	4157	4159	4177	4201	4211
  4217	4219	4229	4231	4241	4243	4253	4259	4261	4271	4273	4283
  4289	4297	4327	4337	4339	4349	4357	4363	4373	4391	4397	4409
  4421	4423	4441	4447	4451	4457	4463	4481	4483	4493	4507	4513
  4517	4519	4523	4547	4549	4561	4567	4583	4591	4597	4603	4621
  4637	4639	4643	4649	4651	4657	4663	4673	4679	4691	4703	4721
  4723	4729	4733	4751	4759	4783	4787	4789	4793	4799	4801	4813
  4817	4831	4861	4871	4877	4889	4903	4909	4919	4931	4933	4937
  4943	4951	4957	4967	4969	4973	4987	4993	4999	5003	5009	5011
  5021	5023	5039	5051	5059	5077	5081	5087	5099	5101	5107	5113
  5119	5147	5153	5167	5171	5179	5189	5197	5209	5227	5231	5233
  5237	5261	5273	5279	5281	5297	5303	5309	5323	5333	5347	5351
  5381	5387	5393	5399	5407	5413	5417	5419	5431	5437	5441	5443
  5449	5471	5477	5479	5483	5501	5503	5507	5519	5521	5527	5531
  5557	5563	5569	5573	5581	5591	5623	5639	5641	5647	5651	5653
  5657	5659	5669	5683	5689	5693	5701	5711	5717	5737	5741	5743
  5749	5779	5783	5791	5801	5807	5813	5821	5827	5839	5843	5849
  5851	5857	5861	5867	5869	5879	5881	5897	5903	5923	5927	5939
  5953	5981	5987	6007	6011	6029	6037	6043	6047	6053	6067	6073
  6079	6089	6091	6101	6113	6121	6131	6133	6143	6151	6163	6173
  6197	6199	6203	6211	6217	6221	6229	6247	6257	6263	6269	6271
  6277	6287	6299	6301	6311	6317	6323	6329	6337	6343	6353	6359
  6361	6367	6373	6379	6389	6397	6421	6427	6449	6451	6469	6473
  6481	6491	6521	6529	6547	6551	6553	6563	6569	6571	6577	6581
  6599	6607	6619	6637	6653	6659	6661	6673	6679	6689	6691	6701
  6703	6709	6719	6733	6737	6761	6763	6779	6781	6791	6793	6803
  6823	6827	6829	6833	6841	6857	6863	6869	6871	6883	6899	6907
  6911	6917	6947	6949	6959	6961	6967	6971	6977	6983	6991	6997
  7001	7013	7019	7027	7039	7043	7057	7069	7079	7103	7109	7121
  7127	7129	7151	7159	7177	7187	7193	7207	7211	7213	7219	7229
  7237	7243	7247	7253	7283	7297	7307	7309	7321	7331	7333	7349
  7351	7369	7393	7411	7417	7433	7451	7457	7459	7477	7481	7487
  7489	7499	7507	7517	7523	7529	7537	7541	7547	7549	7559	7561
  7573	7577	7583	7589	7591	7603	7607	7621	7639	7643	7649	7669
  7673	7681	7687	7691	7699	7703	7717	7723	7727	7741	7753	7757
  7759	7789	7793	7817	7823	7829	7841	7853	7867	7873	7877	7879
  7883	7901	7907	7919	7927	7933	7937	7949	7951	7963	7993	8009
  8011	8017	8039	8053	8059	8069	8081	8087	8089	8093	8101	8111
  8117	8123	8147	8161	8167	8171	8179	8191	8209	8219	8221	8231
  8233	8237	8243	8263	8269	8273	8287	8291	8293	8297	8311	8317
  8329	8353	8363	8369	8377	8387	8389	8419	8423	8429	8431	8443
  8447	8461	8467	8501	8513	8521	8527	8537	8539	8543	8563	8573
  8581	8597	8599	8609	8623	8627	8629	8641	8647	8663	8669	8677
  8681	8689	8693	8699	8707	8713	8719	8731	8737	8741	8747	8753
  8761	8779	8783	8803	8807	8819	8821	8831	8837	8839	8849	8861
  8863	8867	8887	8893	8923	8929	8933	8941	8951	8963	8969	8971
  8999	9001	9007	9011	9013	9029	9041	9043	9049	9059	9067	9091
  9103	9109	9127	9133	9137	9151	9157	9161	9173	9181	9187	9199
  9203	9209	9221	9227	9239	9241	9257	9277	9281	9283	9293	9311
  9319	9323	9337	9341	9343	9349	9371	9377	9391	9397	9403	9413
  9419	9421	9431	9433	9437	9439	9461	9463	9467	9473	9479	9491
  9497	9511	9521	9533	9539	9547	9551	9587	9601	9613	9619	9623
  9629	9631	9643	9649	9661	9677	9679	9689	9697	9719	9721	9733
  9739	9743	9749	9767	9769	9781	9787	9791	9803	9811	9817	9829
  9833	9839	9851	9857	9859	9871	9883	9887	9901	9907	9923	9929
  9931	9941	9949	9967	9973

  ¹Простое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 4.

  Числа Натуральные числа Число e Простые и составные числа. Таблица простых чисел Сложение натуральных чисел. Сложение в столбик Вычитание натуральных чисел. Вычитание в столбик

  Онлайн калькуляторы. Теория чисел

  Онлайн примеры и задачи по арифметике

  Простые числа и составные числа

  В математике существует два типа чисел, которые зависят от имеющихся у них факторов. Эти два типа чисел являются простыми числами и составными числами. Простое число — это число, которое имеет только два делителя, то есть один и само себя, тогда как составное число — это число, которое имеет более двух делителей. В этой статье мы рассмотрим, что такое простые и составные числа, свойства простых составных чисел и разницу между простыми и составными числами.

  Простыми числами считаются числа, которые сохраняют только два делителя, т. е. один и само себя. Отсюда следует, что число может делиться только на 1 и само на себя. Все простые числа являются нечетными числами, кроме 2. Составные числа — это числа, которые сохраняют более двух делителей. Это означает, что число, кроме одного и самого себя, может быть разделено и на другие числа. Каждое не простое число является составным числом.

  Список простых чисел от 1 до 100

  9 9000 9000

  0022

  47

  2	3	5	7	11	13	17	19	23
  29	31	37	41	43 9003
  43 9003	43
  53	59	61
  67	71	73	79	83	89	97

  Составные числа Составные числа не являются ни простым числом, ни единицей.

  

  Например, 4, 6, 8, 9, 10… являются составными числами, поскольку они имеют более двух делителей.

  Типы составных чисел

  1. Нечетные составные числа

  2. Четные составные числа

  Нечетные составные числа

  Любое составное нечетное число. Например, 9, 15, 21, 25, 27 и 33 — нечетные составные числа.

  Четное составное число

  Каждое четное целое число, не являющееся простым, называется четным составным числом. Например, 4, 6, 8, 10 и 12 — четные составные числа.

  List of Composite Numbers from 1 to 100

  0025

  4	6	8	9		10		12		14		15		16		18 16		18
  20	21	22	24		25		26		27		28		30		32
  33	34	35	36		38		39		40		42		44		45
  46	49	50	51		52		54		55		56		57		58
  60	62	63	64		65		66		68		69		70		72
  74	75	76	77		78		80		81		82		85		86
  87	88	90	91	92		93		94		95		96		98		99

  Prime Числа

  Прайный номер является положительным интуициями, который имеет только два фактора. Это означает, что число может быть разделено только на единицу и само на себя.

  Например – 2, 3, 5, 7, 11….и т.д. некоторые из простых чисел.

  Важные факты о простых числах

  • Число 2 — только четное простое число. Другие четные числа можно разделить на 2. Таким образом, четные числа, которые можно разделить на 2, не являются простыми числами.

  • Ноль и 1 не являются простыми числами.

  • Числа 0 и 1 не считаются ни простыми, ни составными числами.

  • Ни одно простое число больше 5 не оканчивается на 5. Поскольку любое число больше 5, оканчивающееся на 5, можно легко разделить на 5, поэтому его нельзя считать простым числом.

  Решенные примеры

  1. Определите, считается ли число 53 простым или нет.

  Решение: Делители 53 равны 1 и 53.

  Число 53 делится только на два числа: 1 и само себя.

  Следовательно, 53 — простое число.

  2. Является ли число 6 простым или составным?

  Решение: Делители 6 равны 1,2,3 и 6.

  6 можно легко разделить на 1, 2, 3 и 6.

  6 — составное число, так как оно может делиться более чем на 2 числа, кроме 1 и самого себя.

  Что такое составные числа? Определение, список, примеры, факты

  В математике составные числа могут быть определены как числа, имеющие более двух делителей . Числа, которые не являются простыми, являются составными числами, потому что они делятся более чем на два числа.

  Тест на делимость — это стандартный метод, используемый для нахождения составного числа. В этом тесте данное число делится на меньшее простое или составное число. Если оно полностью делится, число является составным числом.

  Составные числа с нечетной цифрой на месте единицы являются нечетными составными числами. Простыми словами, все нечетные числа, не являющиеся простыми числами, являются нечетными составными числами .

  Составные числа с четной цифрой вместо единицы измерения являются четными составными числами. Проще говоря, все четные числа, кроме 2, являются четными составными числами . Это потому, что никакое четное число (кроме 2) никогда не может быть простым числом .

  Составное число — это положительное целое число, которое делится на меньшие положительные целые числа, кроме 1 и самого себя. Составные числа можно определить с помощью метода делимости.

  Среди заданных чисел 179 не делится ни на одно число, кроме 1 и 179; следовательно, это не составное число. 144 делится на 2, значит, это составное число.

  1 Какое из следующих составных чисел является наименьшим? 9 11 14 2 Правильный ответ: 9 9 — наименьшее составное число. Он имеет более двух множителей: 1, 3 и 9. 2 Какое из следующих чисел не является составным? 15 21 25 23 Правильный ответ: 23 23 не является составным числом. Он делится только на 1 и самого себя. 3 Какое из следующих чисел является составным? 11 13 17 20 Правильный ответ: 20 20 — составное число. Он делится более чем на два множителя: 1, 2, 4, 5, 10 и 20. 4 Какое самое большое составное число из следующих? 47 33 35 39 Правильный ответ: 39 39 — наибольшее составное число среди всех вариантов с 1, 3, 13 и 39 в качестве делителей. 47 — простое число.

  Может ли число быть одновременно простым и составным?

  Нет, число не может быть одновременно простым и составным.

  Наименьшее значение функции это: Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

  alexxlab / 04.06.202317.03.2023 / Разное

  как обозначается, как найти на отрезке, алгоритм

  Содержание:

  • Что такое наибольшее и наименьшее значение функции
  • Как записать, каким символом обозначают
  • Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке
    • Как найти через производную на отрезке \([а; b]\), формулы
  • Примеры задач с решением

  Содержание

  • Что такое наибольшее и наименьшее значение функции
  • Как записать, каким символом обозначают
  • Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке
    • Как найти через производную на отрезке \([а; b]\), формулы
  • Примеры задач с решением

  Что такое наибольшее и наименьшее значение функции

  Множество значений каждой функции ограничено, и для представления о ее свойствах часто бывает необходимо вычислить границы этого множества. Функция может обладать такими свойствами, как периодичность, четность и нечетность. Иногда это имеет значение при вычислении наибольшего и наименьшего значений, т. к. равенства, определяющие периодичность, четность и нечетность, ограничивают область определения.

  Возьмем в качестве примера функцию, описанную уравнением \(y = (f)x\), являющуюся непрерывной на отрезке \([а; b]\). Наибольшим значением функции \(f(x)\) будет точка \(x_{0}\), принадлежащая этому отрезку, значение которой больше или равно любой из точек \(x\), также принадлежащих отрезку \([а; b]\). Аналогично определяется наименьшее значение функции — точка, значение которой меньше или равно любой их точек на отрезке \([а; b]\).

  Точки максимума и минимума функции также называют точной верхней и нижней гранью множества значений функции.

  Как записать, каким символом обозначают

  Обозначение независимой переменной, или аргумента функции — буква х, зависимой переменной, или значения функции — буква у. Выражение, содержащее х, записывают как \(f(x).\)

  Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  Максимум функции на множестве \([a;b]\), входящем в область ее определения, можно записать так: \(\;\underset{\lbrack a;b\rbrack\;}{y_{max}}\) или \({y_{max}}, y(x_{max})\), указав границы множества отдельно.

  Минимум — \(\;\underset{\lbrack a;b\rbrack\;}{y_{min}}\) или \({y_{min}}, y(x_{min}).\)

  Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке

  Если \(x_{0}\) — точка экстремума, тогда \(f’ (x_{0}) = 0.\)

  Если в точке \(x_{0} f’ (x)\) меняет знак с «+» на «-», то \(x_{0}\) — точка максимума.

  Если в этой точке \(f’ (x)\) меняет знак с «-» на «+», то \(x_{0}\) — точка минимума.

  Как найти через производную на отрезке \([а; b]\), формулы

  Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке \([а; b]:\)

  1. Вычислить производную\( f'(x). \)
  2. Найти критические точки f(х) на отрезке \([а; b]\): производная будет равна нулю при х, равном искомым точкам.
  3. Найти значения функции в критических точках \(f (x_{1}),\) \(f (x_{2})\) и т. д.
  4. Вычислить\( f (а)\), \(f (b).\)
  5. Выбрать наименьшее и наибольшее значение из ряда вычисленных точек, включающем не только критические точки, но и крайние точки отрезка.

  Производная — мгновенный частный результат действия функции.

  Производная функции \(у = f(x)\) в точке \(x_{0}\) — это предел отношения приращения функции к точке \(x_{0}\) к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Это можно выразить следующей формулой:

  \(f'(x_{0}) = \lim_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}.\)

  \(\triangle f = f(x_{0}\triangle x) — f(x_{0}).\)

  Найти производную можно, воспользовавшись специальными таблицами или вычислив ее по правилам:

  1. \((u + v)’ = u’ + v’. {2} — 24х + 18.\)

     Производная равна нулю, если x равен 1 или 3.

     3 не принадлежит отрезку, но 1 — принадлежит.

     Вычисляем значения критических точек: \(f(1) = 11,\) \(f(-1) = — 29,\) \(f(2) = 7.\)

     Ответ: на отрезке \([-1; 2]\) \(min f(x) = f(-2) = -29\), \(max f(x) = f(-1) = 11.\)

     Насколько полезной была для вас статья?

     У этой статьи пока нет оценок.

     Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

     Поиск по содержимому

     Курс высшей математики, Т.1

     Курс высшей математики, Т.1

     В.И.Смирнов Курс высшей математики, Т.1.: Изд-во «Наука». 1974. — 479 с. Фундаментальный учебник по высшей математике, выдержавший более двадцати изданий, переведенный на множество языков мира, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой – простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами. Книга состоит из пяти томов. Тома третий и четвертый – каждый из двух частей. Для студентов университетов и технических вузов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 1. Величина и ее измерение. 2. Число. 3. Величины постоянные и переменные. 4. Промежуток. 5. Понятие о функции. 6. Аналитический способ задания функциональной зависимости. 7. Неявные функции. 8. Табличный способ. 9. Графический способ изображения чисел. 10. Координаты. 11. График и уравнение кривой. 12. Линейная функция. 13. Приращение. Основное свойство линейной функции. 14. График равномерного движения. 15. Эмпирические формулы. 16. Парабола второй степени. 17. Парабола третьей степени. 18. Закон обратной пропорциональности. 19. Степенная функция. 20. Обратные функции. 21. Многозначность функции. 22. Показательная и логарифмическая функции. 23. Тригонометрические функции. 24. Обратные тригонометрические, или круговые, функции. § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 25. Упорядоченное переменное. 26. Величины бесконечно малые. 27. Предел переменной величины. 28. Основные теоремы. 29. Величины бесконечно большие. 30. Монотонные переменные. 31. Признак Коши существования предела. 32. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью. 33. Примеры. 34. Непрерывность функции. 35. Свойства непрерывных функций. 36. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин. 37. Примеры. 38. Число е. 39. Недоказанные предложения. 40. Вещественные числа. 41. Действия над вещественными числами. 42. Точные границы числовых множеств. Признаки существования предела. 43. Свойства непрерывных функций. 44. Непрерывность элементарных функций. ГЛАВА II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 45. Понятие о производной. 46. Геометрическое значение производной. 47. Производные простейших функций. 48. Производные сложных и обратных функций. 49. Таблица производных и примеры. 50. Понятие о дифференциале. 51. Некоторые дифференциальные уравнения. 52. Оценка погрешностей. § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 53. Производные высших порядков. 54. Механическое значение второй производной. 55. Дифференциалы высших порядков. 56. Разности функций. § 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ 57. Признаки возрастания и убывания функций. 58. Максимумы и минимумы функций. 59. Построение графиков. 60. Наибольшее и наименьшее значения функций. 61. Теорема Ферма. 62. Теорема Ролля. 63. Формула Лагранжа. 64. Формула Коши. 65. Раскрытие неопределенностей. 66. Различные виды неопределенностей. § 6. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных. 69. Производные сложных и неявных функций. § 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ 70. Дифференциал дуги. 71. Выпуклость, вогнутость и кривизна. 72. Асимптоты. 73. Построение графиков. 74. Параметрическое задание кривой. 75. Уравнение Ван-дер-Ваальса. 76. Особые точки кривых. 77. Элементы кривой. 78. Цепная линия. 79. Циклоида. 80. Эпициклоиды и гипоциклоиды. 81. Развертка круга. 82. Кривые в полярных координатах. 83. Спирали. 85. Овалы Кассини и лемниската. ГЛАВА III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 86. Понятие о неопределенном интеграле. 87. Определенный интеграл как предел суммы. 88. Связь определенного и неопределенного интегралов. 89. Свойства неопределенного интеграла. 90. Таблица простейших интегралов. 91. Правило интегрирования по частям. 92. Правило замены переменных. Примеры. 93. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка. § 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 94. Основные свойства определенного интеграла. 95. Теорема о среднем. 96. Существование первообразной функции. 97. Разрыв подынтегральной функции. 98. Бесконечные пределы. 99. Замена переменной под знаком определенного интеграла. 100. Интегрирование по частям. § 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 101. Вычисление площадей. 102. Площадь сектора. 103. Длина дуги. 104. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям. 105. Объем тела вращения. 106. Поверхность тела вращения. 107. Определение центров тяжести. Теоремы Гульдина. 108. Приближенное вычисление определенных интегралов; формулы прямоугольников и трапеций. 109. Формула касательных и формула Понселе. 110. Формула Симпсона. 111. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом. 112. Графические способы. 113. Площади быстро колеблющихся кривых. § 11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 115. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм. 116. Интегрируемые функции. 117. Свойства интегрируемых функций. ГЛАВА IV. РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 118. Понятие о бесконечном ряде. 119. Основные свойства бесконечных рядов. 120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. 121. Признаки Коши и Даламбера. 122. Интегральный признак сходимости Коши. 123. Знакопеременные ряды. 124. Абсолютно сходящиеся ряды. 125. Общий признак сходимости. § 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 126. Формула Тейлора. 127. Различные виды формулы Тейлора. 128. Ряды Тейлора и Маклорена. 129. Разложение exp(x). 130. Разложение sin x и cos x. 131. Бином Ньютона. 132. Разложение log(1+x). 133. Разложение arctg x. 134. Приближенные формулы. 135. Максимумы, минимумы и точки перегиба. 136. Раскрытие неопределенностей. § 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ 137. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 138. Умножение абсолютно сходящихся рядов. 139. Признак Куммера. 140. Признак Гаусса. 141. Гипергеометрический ряд. 142. Двойные ряды. 143. Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиеся ряды. 144. Равномерно сходящиеся последовательности функций. 145. Свойства равномерно сходящихся последовательностей. 146. Свойства равномерно сходящихся рядов. 147. Признаки равномерной сходимости. 148. Степенные ряды. Радиус сходимости. 149. Вторая теорема Абеля. 150. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. ГЛАВА V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 15. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ 152. О предельном переходе. 153. Частные производные и полный дифференциал первого порядка. 154. Однородные функции. 155. Частные производные высших порядков. 156. Дифференциалы высших порядков. 157. Неявные функции. 158. Пример. 159. Существование неявных функций. 160. Кривые в пространстве и поверхности. § 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 161. Распространение формулы Тейлора на случай функции от нескольких независимых переменных. 162. Необходимые условия максимума и минимума функции. 163. Исследование максимума и минимума функции двух независимых переменных. 164. Примеры. 165. Дополнительные замечания о нахождении максимумов и минимумов функции. 166. Наибольшее и наименьшее значения функции. 167. Относительные максимумы и минимумы. 168. Дополнительные замечания. 169. Примеры. ГЛАВА VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 170. Комплексные числа. 171. Сложение и вычитание комплексных чисел. 172. Умножение комплексных чисел. 173. Деление комплексных чисел. 174. Возвышение в степень. 175. Извлечение корня. 176. Показательная функция. 177. Тригонометрические и гиперболические функции. 178. Цепная линия. 179. Логарифмирование. 180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы. 181. Примеры. 182. Кривые в комплексной форме. 183. Представление гармонического колебания в комплексной форме. § 18. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ 185. Разложение многочлена на множители. 186. Кратные корни. 187. Правило Горнера. 188. Общий наибольший делитель. 189. Вещественные многочлены. 190. Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами. 191. Уравнение третьей степени. 192. Решение кубического уравнения в тригонометрической форме. 193. Способ итерации. 194. Способ Ньютона. 195. Способ простого интерполирования. § 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ 196. Разложение рациональной дроби на простейшие. 197. Интегрирование рациональной дроби. 198. Интеграл от выражений, содержащих радикалы. 199. Интегралы вида… 200. Интегралы вида… 201. Интегралы вида…

     алгебраическое предварительное исчисление — Наименьшее значение набора изображений функции

     спросил 10 лет, 6 месяцев назад

     Изменено 10 лет, 6 месяцев назад

     Просмотрено 458 раз

     $\begingroup$

     У меня есть это уравнение, где вопрос говорит:

     92}{4a}\right)$$

     , поэтому координата $y$ дает наименьшее значение, которое достигает парабола.

     $\endgroup$

     Функция МАЛЕНЬКИЙ в Excel для поиска и выделения наименьших значений

     В этом кратком руководстве мы поговорим о функции МАЛЕНЬКИЙ в Excel, о том, как она работает и как ее использовать для поиска N-го наименьшего числа, даты или времени.

     Нужно найти несколько наименьших чисел на листе? Это довольно легко сделать с помощью функции сортировки Excel. Не хотите тратить время на повторную сортировку данных при каждом изменении? Функция НАИМЕНЬШИЙ поможет вам быстро найти наименьшее значение, второе наименьшее значение, третье наименьшее значение и так далее.

     МАЛЕНЬКАЯ функция Excel

     НАИМЕНЬШИЙ — это статистическая функция, которая возвращает n-е наименьшее значение в наборе данных.

     Синтаксис функции МАЛЕНЬКИЙ включает два аргумента, оба из которых обязательны.

     МАЛЕНЬКИЙ (массив, к)

     Где:

     • Массив — массив или диапазон ячеек, из которых извлекается наименьшее значение.
     • K — целое число, указывающее позицию от наименьшего значения до возврата, т.е. k-е наименьшее.

     Функция доступна во всех версиях Excel для Office 365, Excel 2021, Excel 2019, Excel 2016, Excel 2013, Excel 2010 и более ранних версиях.

     Совет. Чтобы найти k-е наименьшее значение с критериями, используйте формулу Excel МАЛЕНЬКИЙ ЕСЛИ.

     Базовая формула МАЛЕНЬКИЙ в Excel

     МАЛЕНЬКАЯ формула в ее базовой форме очень проста в построении — вы просто указываете диапазон и позицию от наименьшего элемента, который нужно вернуть.

     В списке чисел в B2:B10, предположим, вы хотите извлечь 3 ^rd наименьшее значение. Формула проста:

     .

     =МАЛЕНЬКИЙ(B2:B10, 3)

     Чтобы вам было проще проверить результат, столбец B отсортирован по возрастанию:
     

     4 вещи, которые вы должны знать о функции SMALL

     Следующие примечания по использованию помогут вам лучше понять поведение функции МАЛЕНЬКИЙ и избежать путаницы при построении собственных формул.

     1. Любые пустых ячеек , текст значений и логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ в аргументе массива игнорируются.
     2. Если массив содержит одну или несколько ошибок , возвращается ошибка.
     3. Если в массиве имеется дубликатов , ваша формула может привести к «ничьям». Например, если две ячейки содержат число 1, а функция НАИМЕНЬШИЙ настроена на возврат наименьшего и наименьшего значения 2 ^nd , вы получите 1 в обоих случаях.
     4. Предполагая, что n равно количеству значений в array , МАЛЕНЬКИЙ(массив,1) вернет наименьшее значение, а МАЛЕНЬКИЙ(массив,n) выберет наибольшее значение.

     Как использовать функцию МАЛЕНЬКИЙ в Excel — примеры формул

     А теперь давайте рассмотрим еще несколько примеров функции МАЛЕНЬКИЙ в Excel, которые выходят за рамки ее основного использования.

     Найти последние 3, 5, 10 и т. д. значения

     Как вы уже знаете, функция НАИМЕНЬШИЙ предназначена для вычисления n-го наименьшего значения. Этот пример показывает, как это сделать наиболее эффективно.

     Предположим, что в приведенной ниже таблице вы хотите найти 3 нижних значения. Для этого наберите в отдельные ячейки (в нашем случае D3, D4 и D5) числа 1, 2 и 3. Затем введите следующую формулу в E3 и перетащите ее вниз через E5:

     =МАЛЕНЬКИЙ($B$2:$B$10, D3)

     В E3 формула извлекает наименьшее значение, используя число в D3 для аргумента k . Главное — указать правильные ссылки на ячейки, благодаря которым формула правильно копируется в другие ячейки: абсолютная для массив и относительный для k .
     

     Не хотите вручную набирать ранги? Используйте функцию ROWS с расширением диапазона по ссылке , чтобы получить значение k . Для этого мы делаем абсолютную ссылку для первой ячейки (или только блокируем координату строки, например B$2) и относительную ссылку для последней ячейки:

     .

     =МАЛЕНЬКИЙ($B$2:$B$10, СТРОКИ(B$2:B2))

     В результате ссылка на диапазон расширяется по мере того, как формула копируется вниз по столбцу. В D2 ROWS(B$2:B2) дает 1 из k , и формула возвращает наименьшую стоимость. В D3 ROWS(B$2:B3) дает 2, и мы получаем 2 ^nd наименьшую стоимость и так далее.

     Просто скопируйте формулу в 5 ячеек, и вы получите 5 нижних значений:
     
     

     Сумма нижних N значений

     Хотите найти сумму наименьших n значений в наборе данных? Если вы уже извлекли значения, как показано в предыдущем примере, самым простым решением будет формула СУММ, например:

     .

     =СУММ(Е3:Е5)
     

     Или вы можете создать независимую формулу, используя функцию МАЛЕНЬКИЙ вместе с СУММПРОИЗВ:

     СУММПРОИЗВ(МАЛЕНЬКИЙ(массив , {1, …, n }))

     Чтобы получить сумму трех нижних значений в нашем наборе данных, формула принимает следующий вид:

     =СУММПРОИЗВ(МАЛЕНЬКИЙ(B2:B10, {1,2,3}))
     

     Функция СУММ даст тот же результат:

     .

     =СУММ(МАЛЕНЬКИЙ(B2:B10, {1,2,3}))

     Примечание. Если вы используете ячейка ссылается на , а не на константу массива для k , вам нужно нажать Ctrl + Shift + Enter, чтобы сделать ее формулой массива. В Excel 365, который поддерживает динамические массивы, СУММ МАЛЕНЬКИЙ в любом случае работает как обычная формула.

     Как работает эта формула:

     В обычной формуле МАЛЕНЬКИЙ возвращает одно k-е наименьшее значение в диапазоне. В этом случае мы предоставляем константу массива, такую ​​как {1,2,3}, для аргумента k, заставляя его возвращать массив из трех наименьших значений:

     {29240, 43610, 58860}

     Функция СУММПРОИЗВ или СУММ складывает числа в массиве и выводит итог. Вот и все!
     

     INDEX MATCH SMALL формула для получения наименьших совпадений

     В ситуации, когда вы хотите получить некоторые данные, связанные с наименьшим значением, используйте классическую комбинацию INDEX MATCH с SMALL для значения поиска:

     ИНДЕКС( return_array , MATCH(SMALL( lookup_array , n ), lookup_array , 0))

     Где:

     • Return_array — это диапазон, из которого извлекаются связанные данные.
     • Lookup_array — это диапазон, в котором следует искать наименьшее n-е значение.
     • N — позиция с наименьшим процентным значением.

     Например, чтобы получить название проекта с наименьшей стоимостью, в E3 используется следующая формула:

     =ИНДЕКС($A$2:$A$10, ПОИСКПОЗ(МАЛЕНЬКИЙ($B$2:$B$10, D3), $B$2:$B$10, 0))

     Где A2:A10 — названия проектов, B2:B10 — затраты, а D3 — ранг от наименьшего.

     Скопируйте формулу в ячейки ниже (E4 и E5), и вы получите названия 3 самых дешевых проектов:
     

     Примечания:

     • Это решение отлично работает для набора данных, в котором нет дубликатов. Однако два или более повторяющихся значения в числовом столбце могут создать «связь» в ранжировании, что приведет к неправильным результатам. В этом случае, пожалуйста, используйте немного более сложную формулу, чтобы разорвать связи.
     • В Excel 365 эту задачу можно выполнить с помощью новых функций динамического массива. Помимо того, что этот подход намного проще, он автоматически решает проблему связей. Подробную информацию см. в разделе Как отфильтровать нижние значения N в Excel.

     Сортировка чисел от меньшего к большему по формуле

     Думаю, все знают, как упорядочивать числа с помощью функции сортировки Excel. Но знаете ли вы, как выполнить сортировку с помощью формулы? Пользователи Excel 365 могут легко сделать это с помощью новой функции СОРТИРОВКИ. В Эксель 2019, 2016 и более ранние версии, СОРТИРОВКА не работает, увы. Но немного веры, и МАЛЕНЬКИЙ придет на помощь 🙂

     Как и в первом примере, мы используем функцию СТРОКИ с расширением ссылки на диапазон для увеличения k на 1 в каждой строке, где копируется формула:

     =МАЛЕНЬКИЙ($A$2:$A$10, СТРОКИ(A$2:A2))

     Введите формулу в первую ячейку, а затем перетащите ее в столько ячеек, сколько значений содержится в исходном наборе данных (в данном примере C2:C10):
     

     Совет. Чтобы отсортировать по убыванию , используйте функцию НАИБОЛЬШИЙ вместо МАЛЕНЬКИЙ.

     МАЛЕНЬКАЯ формула Excel для даты и времени

     Поскольку даты и время также являются числовыми значениями (во внутренней системе Excel даты хранятся в виде порядковых чисел, а время — в виде десятичных дробей), функция МАЛЕНЬКИЙ также может обрабатывать их без каких-либо дополнительных усилий с вашей стороны.

     Как вы можете видеть на снимках экрана ниже, основная формула, которую мы использовали для чисел, прекрасно работает и для дат и времени:

     =МАЛЕНЬКИЙ($B$2:$B$10, D2)

     МАЛЕНЬКАЯ формула для нахождения 3 самых ранних дат:
     

     МАЛЕНЬКАЯ формула для получения самого короткого 3 раза:
     

     В следующем примере показано, как функция МАЛЕНЬКИЙ может помочь вам выполнить более конкретную задачу, связанную с датами.
     

     Поиск предыдущей даты, ближайшей к сегодняшней или указанной дате

     В списке дат, предположим, вы хотите найти ближайшую дату до указанной даты. Это можно сделать, используя функцию НАИМЕНЬШИЙ в сочетании с СЧЁТЕСЛИ.

     Со списком дат в B2:B10 и целевой датой в E1 следующая формула вернет предыдущую дату, ближайшую к целевой дате:

     =МАЛЕНЬКИЙ(B2:B10, СЧЁТЕСЛИ(B2:B10, "<"&E1))

     Чтобы извлечь дату, которая находится на две даты раньше даты в E1, т. е. на одну предыдущую дату, формула выглядит следующим образом:

     =МАЛЕНЬКИЙ(B2:B10, СЧЁТЕСЛИ(B2:B10, "<"&E1)-1)
     

     Чтобы найти прошлую дату , ближайшую к сегодняшнему дню , используйте функцию СЕГОДНЯ для критериев СЧЁТЕСЛИ:

     =МАЛЕНЬКИЙ(B2:B10, СЧЁТЕСЛИ(B2:B10, "<"&СЕГОДНЯ()))
     

     Совет. Чтобы предотвратить ошибки в ситуации, когда дата, соответствующая вашим критериям, не найдена, вы можете обернуть формулу функцией ЕСЛИОШИБКА, например:

     =ЕСЛИОШИБКА(МАЛЕНЬКИЙ(B2:B10, СЧЁТЕСЛИ(B2:B10, "<"&E1) )-1), "Не найдено")

     Как работают эти формулы:

     Общая идея состоит в том, чтобы подсчитать количество дат, меньших целевой даты, с помощью СЧЁТЕСЛИ. И это именно то, что нужно функции МАЛЕНЬКИЙ для к аргумент.

     Чтобы лучше понять концепцию, давайте посмотрим на нее под другим углом:

     Если 1 августа 2020 года (целевая дата в E1) появится в нашем наборе данных, это будет 7 ^th самая большая дата в списке. Следовательно, есть шесть дат меньше, чем это. Это означает, что 6 ^-й -й наименьшей датой является предыдущая дата, ближайшая к целевой дате.

     Итак, сначала вычисляем, сколько дат меньше даты в Е1 (результат 6):

     СЧЁТЕСЛИ(B2:B10, "<"&E1)

     Затем подставьте количество в аргумент 2 ^nd МАЛЕНЬКОГО:

     =МАЛЕНЬКИЙ(B2:B10, 6)

     Чтобы получить предыдущую дату (в нашем случае это 5 ^th наименьшая дата), мы вычитаем 1 из результата COUNTIF.
     

     Как выделить нижние значения в Excel

     Чтобы выделить наименьшие n значений в таблице с условным форматированием Excel, вы можете использовать либо встроенный параметр Верх/Низ, либо настроить собственное правило на основе формулы МАЛЕНЬКИЙ. Первый метод быстрее и проще в применении, а второй обеспечивает больший контроль и гибкость. Следующие шаги помогут вам создать пользовательское правило:

     1. Выберите диапазон, в котором вы хотите выделить нижние значения. В нашем случае числа находятся в формате B2:B10, поэтому мы выбираем его. Если вы хотите выделить строки целиком, выберите A2:B10.
     2. На вкладке Главная в группе Стили щелкните Условное форматирование > Новое правило .
     3. В диалоговом окне Новое правило форматирования выберите Использовать формулу для определения форматируемых ячеек.
     4. В Форматировать значения, где эта формула верна поле, введите формулу, подобную этой:

        =B2<=МАЛЕНЬКИЙ($B$2:$B$10, 3)

        Где B2 — это крайняя левая ячейка числового диапазона, который необходимо проверить, $B$2:$B$10 — весь диапазон, а 3 — n нижних значений для выделения.

        Обратите внимание на типы ссылок в формуле: крайняя левая ячейка — это относительная ссылка (B2), а диапазон — абсолютная ссылка ($B$2:$B$10).

     5. Нажмите Формат и выберите любой формат, который вам нравится.
     6. Дважды нажмите OK, чтобы закрыть оба диалоговых окна.

     Готово! Нижние 3 значения в столбце B выделены:
     

     Дополнительные сведения см. в разделе Условное форматирование Excel на основе формулы.
     

     МАЛЕНЬКАЯ функция Excel не работает

     Как вы только что убедились в наших примерах, использовать функцию МАЛЕНЬКИЙ в Excel довольно просто, и вряд ли у вас возникнут трудности с ней. Если ваша формула не работает, скорее всего, это будет #ЧИСЛО! ошибка, которая может возникнуть по следующим причинам:

     • Массив пуст или не содержит ни одного числового значения.
     • Значение k меньше нуля (глупая опечатка может стоить вам часов поиска и устранения неисправностей!) или превышает количество значений в массиве.

     Вот как можно использовать МАЛЕНЬКУЮ формулу в Excel, чтобы найти и выделить нижние числа в наборе данных.

  Формула x n y n: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

  alexxlab / 04.06.202325.05.2023 / Разное

  y)π

   Неравенство Коши Буняковского

  Для любых двух векторов x и y евклид простр справедливо неравенство

  |(x,y)|=|x|  |y|

  Неравенство треугольника

  Для любых двух векторов x и y евклид простр справедливо неравенство

  |x+y|=|x| + |y|

  Ортогональные векторы

  2 век-ра наз ортгон если их скалярн произв=0

  Ортогональная сист век-в

  Сисиема век-в наз ортогон если всякие 2 различных векра из этой сист ортогон

  Теорема о линнез ортогон сист

  Всякая ортогон сист век-в лнз

  Процесс ортогонализации

  По всякой лнз сист век-в а1…ак еклид простр можно построить ортогон сист ненулев век-в в1…вк причем такую что лин оболочка <b1,..bl>=<a1,..al> для всех l≤k

  Ортонорм базис

  Базис образующий ортогонал(ортонормиров) сист век-в наз ортогон (ортонормир)

  Теорема о сущ онб

  В любом п-мерном евклид простр есть онб

  Скалярное произв в онб

  Пусть X= Y= столбцы коор-т век-в х и у в некотором онб. Тогда их скаляр произв (х,у)=х1у1+…xnyn=X^tY

  Изоморфизм евклид простр

  Отображение  евклид простр L1 в евклид простр L2 наз изоморфизмом,если -изоморфизм лин простр L1 в лин простр L2 и если  сохраняет скалярн произв ()=(а,в)  (а,в)

  Теорема об изоморфизм евклид простр

  Всякое n-мерное евклид простр изоморфно евклид простр  Rⁿ

  Ортогон дополнение

  Пусть L1-лин простр в евклид простр L.Множ-во всех век-в из L аждый из которых ортогонален каждому век-ру из L1, наз ортогональным дополнением и обозн L₁^— 

  Теорема об ортогон дополнении

  Ортогонал дополн L₁ подпростр L1 в евклид простр L явл подпростр в L, при этом dimL1+dimL1=dimLТеорема об ортогон проекц и ортогон составл

  Пусть L евклид простр и L1 подпроср в L и х L.Тогда век-р х однозначно представим в виде х=y+z,где у L1(этот век-р наз ортогонал проекцией век-ра х на L1),а z L₁ (этот век-р наз ортогон составляющ век-ра х относит L1)

  Ортогон матрица и ее определитель

  Квад матрица Q наз ортонал,если Q^{t= Q-1 иначе равносильно Qt Q=E}

  Если Q ортогон то det Q=1

  Условие ортогон квад матрицы

  След утвержд относит квад матр Q равносильны  Q ,Q^t ,Q^-1-ортогональны;столбцы матрицы Q образ онсист;строки матрицы Q образ онс

  Теорема о (матр перехода от одного онб к другому ортогональна)

  Обратно. Если матр от одного онб к другому явл ортогон и один из этих базисов он,то и др базис он

  Сопряженный лин оператор

  L-n-мерное евклид простр. Лин оператор А*наз сопряженным к лин опер А,если (Ах,у)=(х,А*у)  (х,уL)

  Теорема о сопряж лин опер

  Для всякого лин опер А на п-мерном евклид простр сущ сопряженный лин опер и при том единственный.В любом онб матрица сопряженного опер получ из матрицы А транпонированием

  Самосопряж лин опер

  Лин опер А наз самосопряженным если он совпадает со своим сопряж лин опер,те (Ах,у)=(х,Ау)  (х,уL)

  Теорема о матр самосопряж опер

  Лин опер А явл самосопряж ТТТК его матр в некотор онб явл симметрической,более того его матр тогда в любом онб явл симмтрической

  Теорема о собств век-рах

  Собствен век-ры х1,х2 самосопряж опер соотв различным собств значениям ортогональны

  Теорема о корнях характерист многочлена

  Все корни характерист многочлена самосопряж опер действительны

  Теорема о сущ собств значения

  Всякий самосопряж опер имеет хотя бы одно собствен значение

  Теорема об инвариантности ортогонального дополнения

  Если подпростр L1 инвариантно самосопряж лин опер А,то его ортогона дополнение L₁ также инвариантно относит А

  Теорема о полноте собств век-в

  Пусть А-самосопряж лин оператор на п-мерном евклид простран L. Тогда в L сущ онб из собств век-в опер А

  Построение онб из его собственных век-в

  L-n-мерное евклид простр и А-самосопряж лин опер на L 1)находим спектр  лин опер А  2)Для каждого i=1..s в собств подпростр L(λi) находим онб βi  3)β=-искомый базис

  Квадр формаот п-переменных х1..хп наз однородный многочлен второй степени от этих переменных     q(x1..xn)=,где R при всех i,j причем

  Канонич вид: q(x1..xn)= где aii

  Матрицаэтой формы диагональная А=

  Инвариантное задание кВ формы на евклид простр

  Qx=(x,Ax)

  Преобразование матр кВ формы при лин преобр переменных

  При замене базиса с матрицей перехода Т матр кв формы преобразуется по формуле A’=T^tAT

  Для лин опер справедлива формула A’=T^-1AT

  Теорема о канон виде кв формы

  Для любой кв формы евк прост-ва сущ онб в кот матр квад формы диагональна и эта квадр форма имеет каноническ вид

  Теорема о ранге и опред матр квад формы

  Ранг матр квад формы не зависит от выбора базиса

  Если матр невырожд то знак ее определ не зависит от выбора базиса

  Теорема закон инерции

  Число положит(отриц) коэфф при квадр переменных в каноническом виде кВ формы не зависит от выбора базиса,в кот эта кВ форма имеет канон вид

  Полож(отриц)определенные квадр формы

  Квадр форма q наз полож(отриц) определенной если q(x)>0 (<0)  (xL, x≠0)

  Критерий Сильвестера

  Для того, чтобы кВ форма была 1)полож определ, необ и дост чтобы все угловые миноры ее матр в любом базисе были положит  2) отриц определен необ и дост чтобы знаки ее угловых миноров чередовались начиная с минуса(а₁₁<0)

  Числовые последовательности: определение, формулы, пределы последовательностей

  По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

  Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

  Последовательности чисел

  Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной. 

  Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

  Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

  Что такое числовая последовательность? 

  Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

  • для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
  • это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
  • для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

  Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N. 

  Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

  На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

  Какие бывают последовательности

  Различают:

  • постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1… 
  • возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
  • убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

  Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

  Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

  Арифметическая прогрессия

  Посмотрим на числа:

  Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

  Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

  Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

  Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

  
  Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

  Геометрическая прогрессия

  Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

  Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

  Сумма первых n членов прогрессии:

  Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

  Способы задания последовательностей

  Последовательность можно задать несколькими способами:

  1. Аналитически или, проще говоря, формулой.
  2. Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
  3. Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

  Предел последовательности

  Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

  Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

  Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

  Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел. 

  Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

  Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

  1. Последовательность может иметь только один предел.
  2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
  3. Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
  4. Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
  5. Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
  6. Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
  7. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
  8. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей. 
  9. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
  10. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

  Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.  

  Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

  n$, что я не вижу, или я ошибся раньше?

  РЕДАКТИРОВАТЬ:

  Я должен был указать, что это упражнение должно быть выполнено с использованием девяти из двенадцати основных свойств чисел, которые Спивак описывает в своей книге:

  • Ассоциативный закон для сложения
  • Наличие аддитивной идентичности
  • Существование аддитивных инверсий
  • Коммутативный закон для дополнений
  • Ассоциативный закон умножения
  • Существование мультипликативной идентичности 92$.
    $\endgroup$
    $\begingroup$

    Так как степени x и y всегда больше или равны нулю, Вы можете доказать это с помощью математической индукции.

  Уравнение решение уравнений: Решение уравнений с дробями онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

  alexxlab / 04.06.202324.04.2023 / Разное

  Уравнение. Решение уравнений способом подбора (конспект урока во 2 классе) | План-конспект урока по математике (2 класс):

  Математика 2 класс

  Тема урока: Уравнение. Решение уравнений способом подбора. УМК « Школа России»

  Задачи:

  — совершенствовать вычислительные навыки, умение составлять верные равенства, умение решать текстовые задачи;

  — развивать внимание и логическое мышление;

  — формировать ключевые компетенции.

  Цели урока: дать представление об уравнении как о равенстве, содержащем переменную; продолжать работу над задачами; развивать вычислительные навыки, мышление.

  Планируемые образовательные результаты:

  Личностные: принимают и осваивают социальную роль обучающегося; стремятся развивать внимание, память, логическое мышление, навыки сотрудничества со сверстниками и со взрослыми; проявляют самостоятельность, личную ответственность.

  Предметные: знают, что такое уравнение, что значит «решить уравнение»; различные приемы сложения и вычитания двузначного числа с однозначным и двузначного числа с двузначным; устную и письменную нумерацию чисел в пределах 100; что такое равенство; умеют: находить корень уравнения подбором; решать задачи и выражения изученных видов; выявлять закономерности.

  Метапредметны: регулятивные: формулируют учебную задачу урока; планируют свою деятельность, контролируют и корректируют собственную деятельность и деятельность партнеров по образовательному процессу; осознают то, что уже усвоено, и то, что необходимо усвоить; способны к саморегуляции; познавательные: формулируют познавательную цель; осознанно и произвольно строят речевое высказывание в устной форме; создают алгоритм деятельности

  Тип урока – формирование новых знаний.

  .

  Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа в группах .

  Методы работы: репродуктивный, частично-поисковый.

  Формирование компетенций:

  — учебно-познавательных: умение анализировать и обобщать;

  — информационных: умение работать с учебным материалом;

  — коммуникативных: умение работать в группах.

  ХОД УРОКА

  1. Организационный момент.

  Начнём  урок  с хорошего настроения, как у нашего солнышка!! И ещё,  убедительная просьба: ответить хочешь, не шуми, а только  руку подними.

  Ребята, посмотрите, к нам на урок заехали гости. Это герои мультфильма «Смешарики». Они ехали на елку, но у паровозика закончилось топливо. А топливо не простое. Паровозик работает от знаний. Давайте с вами поможем нашим героям вовремя попасть на елочку.

  2. Каллиграфическая минутка.

  Станция «Напиши-ка»

  ххххх…                  b b b b b…                   ааааа…

  3. Актуализация знаний. Устный счет.

  Станция « Сосчитай-ка!»

  1. Продолжите ряд: 4, 7, 11, 16, 22… (29, 37, 46.)

  2. Найдите те выражения, значения которых равны 13:

  7 + 6            9 + 4                 7 + 5               10 + 2

  4 + 8            6 + 6                 13 + 0            9 + 3

  8 + 5            13 – 1        13 – 0               14 – 1

  3. Задание 3 (с. 81).

  Выполняя данное задание, ученики повторяют термины «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность», а также то, как найти неизвестное уменьшаемое, неизвестное вычитаемое, значение разности.

  4. Открытие новых знаний. Сообщение темы и целей.

  1 – Послушайте следующий текст:

  У Ромы было 3 карандаша. Папа принес ему еще несколько. Когда Рома сосчитал все карандаши, оказалось, что у него их стало 9.

  – Что сделал Рома с карандашами, когда считал их? (Объединил или сложил).

  – Как при помощи чисел и знаков арифметических действий записать то, что нам известно? (3 + = 9).

  – Что следует написать на месте пропуска? (Какую-либо букву латинского алфавита).

  – Прочитайте равенство, которое у вас получилось. (Например: 3 + а = 9).

  Равенство, в котором есть неизвестное число, называется уравнением.

  – Какое число следует поставить вместо а, чтобы равенство было верным?

  – Число 6 является решением данного уравнения, или корнем.

  Решить уравнение – значит найти такое число, при котором равенство будет верным.

  2 — Ребята, посмотрите на записи, которые принес Крош. 

  16 — 9 = 

     + 5 = 11

  Х + 5 = 11

  Ребята, какие записи вам знакомы? 16-9  и … + 5=11

  — Как они называются? (Числовое  выражение и пример с окошечком).

  — А какую запись вы видите в первый раз?

  Х+5=11

  — А кто догадался, как называется эта запись?

  Давайте повторим хором УРАВНЕНИЕ

  Так с чем же мы познакомимся на уроке? (С УРАВНЕНИЕМ).

  — Как вы думаете, что мы сегодня будем делать на уроке? (Учиться решать такие уравнения).

  Наш паровозик двигается дальше.

  5. Станция «Узнай-ка»

   — Рассмотрим данную запись. На какую запись похоже уравнение? (На пример с окошечком).

  Что вы делали, чтобы решить пример с окошечком? (Мы подбирали такое число, чтобы равенство стало верным).

  А теперь внимательно посмотрите на уравнение.

  Х+5=11 

  — Что нам говорит знак «=»? (Это равенство).

  — В нем известны все числа? (Нет).

  — Что неизвестно? (Первое число).

  — Как оно обозначено? Посмотрите, как называется эта латинская буква. (Буква х).

  — Если оно неизвестно, что нужно сделать? (Найти это число).

  — Попробуйте его найти, чтобы равенство стало верным (Это число 6, потому что 6+5=11).

  Я записываю х+5=11

  Найдите это число. Сколько надо прибавить к 5, чтобы получилось 11? (Это число 6).

  Пишу х=6

  Что вы сейчас сделали? (Подобрали значение х).

  Проверим, верно ли вы подобрали это число.

  Подставим вместо х его значение: 6+5=11.

  Уравниваем правую и левую части.

  — А знаете, что мы сейчас сделали? Решили уравнение. 

  6. Первичное закрепление знаний.

   Станция « Размышляй-ка»

  1- Устно выполняется задание 1 (с. 80).

  2- Самостоятельная работа.

  Задание «Проверь себя» (с. 81)

  — Взаимопроверка.

  Мы устали, засиделись, Нам размяться захотелось. Друг на друга посмотрели, И в окошко поглядели. Вправо, влево поворот, А потом – наоборот.	(Одна рука вверх, другая вниз, рывками менять руки.) (Повороты корпусом.)
  Приседанья начинаем, Ноги до конца сгибаем. Вверх и вниз, вверх и вниз, Приседать не торопись! И в последний раз присели, А теперь на место сели.	(Приседания.) (Дети садятся.)

  7. Включение в систему знаний и повторение.

  1-  Работа над задачами. 

  Задача 6 (с. 81).

  – Поставьте вопрос, соответствующий условию. (Сколько лет папе?)

  – Можно ли сразу ответить на поставленный вопрос? (Нет.)

  – Почему? (Потому что мы не знаем, сколько лет маме.)

  – Можем это узнать? Каким образом?

  – Зная, сколько лет маме, можем решить задачу?

  – Запишем решение задачи выражением.

  Один ученик выполняет работу на доске: 5 + (5 + 19) = 29.

  Ответ: папе 29 лет.

  Задача7 (с. 81).

  – Задайте такой вопрос, чтобы задача была простой, то есть решалась одним действием. (Сколько времени мама едет на автобусе?)

  – Измените вопрос так, чтобы задача стала составной. (Сколько времени мама едет на автобусе и трамвае?)

  – Запишите задачу кратко и решите ее.

  Фронтальная проверка.

  2-  Составление равенств и неравенств. Групповая работа. 

  Задание 2 (с. 80) и задание 4 (с. 81).

  8. Рефлексия. 

  Над какой темой мы сегодня работали?

  Ребята, вспомните, какую цель мы ставили с вами вначале урока? (Узнать, что такое уравнение и как его решать).

  Достигли мы этой цели?

  Расскажите, что такое уравнение?

  Что значит решить уравнение?

  Как находили неизвестное число?

  Наши герои с вашей помощью, наконец, добрались до елки. Но посмотрите, елочка-то не наряженная. Давайте поможем нарядить елочку. У доски лежат шарики.

  Если вы научились решать уравнения, повесьте зеленый шарик.

  Если вы допустили ошибки при решении уравнений, то жёлтый шарик.

  Если кому-то было тяжело, то красный.

  СПАСИБО ЗА РАБОТУ!

  § Как решать линейные уравнения 7 класс

  Решение линейных уравнений Как решать уравнения с пропорцией Как решать уравнения с неизвестным в дроби

  Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

  Свойство № 1

  
  или
  правило переноса

  Запомните!

  При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.

  Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

  Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

  Перенесем число «3» из левой части уравнения в правую.

  Так как в левой части уравнения у числа «3» был знак «+», значит в правую часть уравнения «3» перенесется со знаком «−».

  Полученное числовое значение «x = 2» называют корнем уравнения.

  Важно!

  Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

  Рассмотрим другое уравнение.

  5x = 4x + 9

  По правилу переноса перенесем «4x» из правой части уравнения в левую, поменяв знак на противоположный.

  Несмотря на то, что перед «4x» не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед «4x» стоит знак «+».

  5x = 4x + 9
  5x = +4x + 9
  5x − 4x = 9

  Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.

  5x − 4x = 9
  x = 9
  Ответ: x = 9

  Свойство № 2

  
  или
  правило деления

  Запомните!

  В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.

  Но нельзя делить на неизвестное!

  Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

  Число «4», которое стоит при «x», называют числовым коэффициентом при неизвестном.

  Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

  Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при «x» стоял коэффициент «1».

  Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить «4», чтобы
  получить «1»?». Ответ очевиден, нужно разделить на «4».

  Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на «4». Не забудьте, что делить нужно и левую, и правую части.

  Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

  Как решить уравнение, если «x» отрицательное

  Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при «x» стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.

  −2x = 10

  Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить «−2», чтобы получить «1»?». Нужно разделить на «−2».

  −2x = 10         |:(−2)
  =                  
  x = −5                 
  Ответ: x = −5           

  Важно!

  При делении на отрицательное число помните про правило знаков.

  Примеры решения линейных уравнений

  Рассмотрим другие примеры решения линейных уравнений. Обычно для решения уравнений нужно применять оба свойства (правило переноса и правило деления).

  Также требуется вспомнить правило раскрытия скобок и правило приведения подобных.

  • 25x − 1 = 9
    25x = 9 + 1
    25x = 10        |: 25
    =
    x =
    Ответ: x =

    ---

  • 11(y − 4) + 10(5 − 3y) − 3(4 − 3y) = −6
    11y − 44 + 50 − 30y − 12 + 9y = −6
    11y − 30y + 9y − 44 + 50 − 12 = −6
    20y − 30y + 6 − 12 = −6
    −10y − 6 = −6
    −10y = −6 + 6
    −10y = 0         |:(−10)
    

    −10y

    −10

    =
    y = 0
    Ответ: y = 0

  
  

  Решение линейных уравнений Как решать уравнения с пропорцией Как решать уравнения с неизвестным в дроби

  ---

  Ваши комментарии

  Важно!

  Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

  Оставить комментарий:

  Отправить

  ---

  Решение уравнения: определение, понятия и примеры решения

  • Автор Рачана
  • Последнее изменение 24-01-2023

  Решение уравнения: Математическое уравнение — это утверждение, что два выражения равны. 4 + 4=8 – это математическое выражение. Алгебраическое уравнение — это математическая формула, которая имеет одну или несколько переменных. В результате (2x + 5 = 35) представляет собой линейное уравнение с одной переменной. Он имеет переменную первой степени (x), а его график представляет собой прямую линию.

  Решение уравнения — это процесс определения числа, которое представляет переменная. Полученное значение называется решением уравнения. Математический язык, который утверждает, что два алгебраических выражения должны быть равны по своей природе, известен как уравнение.

  Решение уравнения – это массив всех значений, замена которых на неизвестные делает уравнение верным. Для уравнений, требующих одного неизвестного, возведенного в степень один, для определения их решений используются два основных правила алгебры, включающие свойство аддитивности и свойство мультипликативности.

  Решение уравнения Примечания

  Решение уравнения примечания поясняются ниже:

  Методы решения линейного уравнения с одной переменной

  1. Метод транспонирования для решения линейных уравнений с одной переменной
  2. Крест. -метод умножения для решения линейного уравнения с одной переменной

  Метод перестановки для решения линейного уравнения с одной переменной

  Иногда две части уравнения содержат переменную (неизвестную величину) и константу (числа). В таких случаях мы сначала упрощаем две стороны в их простейших формах, а затем транспонируем (сдвигаем) члены, содержащие переменные на \(RHS\) в \(LHS\) и постоянные члены на \(LHS\) в \(RHS\). под переносом термина из одной стороны в другую мы имеем в виду смену его знака и перенос его на другую сторону.

  Метод перестановки включает следующие шаги:

  Шаг I: Получите линейное уравнение.
  Шаг II: Распознайте переменные и константы.
  Шаг III: Сократите \(левая\) и \(правая\) до их наиболее простой формы, удалив скобки.
  Шаг IV: Транспонировать все термины, включая переменную в \(левую сторону\) и постоянные члены в \(правую сторону\). самая основная форма, так что каждая сторона содержит только один термин.
  Шаг VI: Решите уравнение, полученное на шаге \(V\), разделив две части на коэффициент при переменной \(LHS.\)
  Например, \(3x + 3 = 2x + 4\)
  \( \Стрелка вправо 3x – 2x = 4 – 3 \Стрелка вправо x = 1\)
  

  Метод перекрестного умножения для решения линейного уравнения с одной переменной

  Процедура умножения числителя в \(левой части\) на знаменатель в \(правой части\) и приравнивания его к произведению общего знаменателя в \(левой части\) на числитель в \(правой части\) называется кросс- умножение.
  Используя перекрестное умножение, мы можем преобразовать уравнение вида
  \(\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \frac{m}{n}\)
  в линейное уравнение \(n\left({ax + b} \right) = m\left({cx + d} \right.)\)
  Например, \(\ frac{{x + 1}}{{2x + 3 }} = \frac{2}{3}\)
  Ответ: \(3\left({x + 1} \right) = 2\left({2x + 3} \right)\)
  \( \Rightarrow 3x + 3 = 4x + 6\)
  \( \Стрелка вправо x = – 3\)

  Правила решения линейных уравнений с одной переменной

  Решить уравнение означает найти его корни, т. е. определить значение переменной, которое ему удовлетворяет.

  Правила решения линейных уравнений с одной переменной:

  Правило 1: К обеим частям уравнения можно добавить одну и ту же величину без изменения равенства.
  Правило 2: Одна и та же величина может быть вычтена из любой части уравнения без изменения равенства.
  Правило 3: Обе части уравнения можно умножить на одинаковое ненулевое число без изменения равенства.
  Правило 4: Обе части уравнения можно разделить на одинаковое ненулевое число без изменения равенства.
  Следует отметить, что некоторые сложные уравнения можно решить, используя два или более этих правил вместе.
  Например, \(\frac{{2x}}{3} + 2 = \frac{3}{2}\)
  Ответ: \(\frac{{2x}}{3} + 2 – 2 = \ frac{3}{2} – 2\) (вычитая обе стороны на \(2\))
  \( \Стрелка вправо \frac{{2x}}{3} = \frac{{3 – 4}}{2}\)
  \( \Стрелка вправо \frac{{2x}}{3} \times 3 = \ frac{{ – 1}}{2} \times 3\) (Умножая обе части на \(3\))
  \( \Стрелка вправо 2x = \frac{{ – 3}}{2}\)
  \( \Rightarrow \frac{{2x}}{2} = \frac{{ – 3}}{4}\) (делим обе стороны на \(2\))
  \( \Rightarrow x = \frac{{ – 3}}{4}\)

  Применение линейных уравнений к практическим задачам

  В этом разделе мы рассмотрим постановку и решение некоторых практических задач. Эти задачи связаны с отношениями между неизвестными величинами, а числа часто задаются словами.
  Чтобы найти решение задачи со словами, необходимо выполнить следующие шаги:
  Шаг I: Внимательно прочтите задачу и отметьте, что дано и что требуется.
  Шаг II: Обозначьте неизвестную величину определенными буквами, скажем \(x,y,z,\) и т. д.
  Шаг III: Переведите формулировку задачи в математические слова.
  Шаг IV: При использовании условия (условий), представленных в задаче, сформируйте уравнение.
  Шаг V: Решите уравнение для неизвестного.
  Шаг VI: Проверьте, удовлетворяет ли решение уравнению.
  Например,
  Рави теперь на \(7\) лет старше Махеша. Если сумма их возрастов равна \(33\) лет, найдите возраст каждого из них.
  Ответ: Пусть возраст Махеша \( = x\) лет
  Тогда возраст Рави \( = \) возраст Махеша \( + 7 = \left({x + 7} \right)\) лет
  Согласно задаче, Возраст Рави \( + \) Возраст Махеша \(= 33.\) т.е. \(x + \left({x + 7} \right) = 33\)
  \(\Стрелка вправо 2x + 7 = 33 \Стрелка вправо 2x = 26 \Стрелка вправо x = 13\)
  Следовательно, возраст Махеша \(= 13\) лет, возраст Рави \(= 20\) лет.

  Условия разрешимости пары одновременных линейных уравнений с двумя переменными.

  Непротиворечивая система: Система одновременных линейных уравнений непротиворечива, если она имеет хотя бы одно решение.

  1. При \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}},\) мы получаем единственное решение . В этом случае две линии, представляющие уравнения, пересекаются друг с другом.
  2. Когда \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}}{ {{c_2}}},\) решений бесконечно много. В этом случае две линии, представляющие уравнения, перекрывают друг друга.
  

  Несовместная система: Система одновременных линейных уравнений считается несовместной, если она не имеет решения.

  1. Когда \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}} }{{{c_2}}},\) решения нет. В этом случае две линии, представляющие уравнения, параллельны друг другу.
  

  Решение одновременных линейных уравнений с двумя переменными

  Говорят, что пара линейных уравнений с двумя переменными образует одновременные линейные уравнения.

  Пара значений переменных \(х\) и \(у\), удовлетворяющая каждому из уравнений каждой системы двух одновременных линейных уравнений относительно \(х\) и \(у\), называется решением уравнения система.

  Наиболее часто используемые алгебраические методы решения одновременных линейных уравнений с двумя переменными:

  1. Метод устранения путем замены.
  2. Метод исключения приравниванием коэффициентов.
  3. Метод перекрестного умножения.

  Метод исключения путем замены: В этом методе мы выражаем одну из переменных через другую переменную из каждого из двух уравнений. Это выражение подставляется в другое уравнение, чтобы получить уравнение с одной переменной, как поясняется в следующем алгоритме.
  Шаг I: Получите два уравнения.
  Пусть уравнения будут \({a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 — — — (1)\) и \({a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 — — – (2)\)
  Шаг II: Выберите любое из двух уравнений, скажем, \(\left( 1 \right)\) и найдите значение одной переменной, скажем, \(y,\) через другое, т. е. \(x.\)
  Шаг III: Подставить значение \(y,\), полученное на шаге \(II,\), в другое уравнение, т.е. \(\left( 2 \right), \), чтобы получить уравнение в \(x.\)
  Шаг IV: Решите уравнение, полученное в шаге \(III\), чтобы получить значение \(x.\)
  Шаг V: Подставьте значение \(x\), полученное на этапе \(IV\), в выражение для \(y\) через \(x\), полученное на этапе \(II\), чтобы получить значение \(у.\)
  Шаг VI: Значения \(х\) и \(у\), полученные на этапах \(IV\) и \(V,\) соответственно, составляют решение задачи заданная система двух линейных уравнений.

  (см. вопрос 4 Решаемых примеров ниже)

  Метод исключения путем приравнивания коэффициентов

  В этом методе мы удаляем одну из двух переменных, чтобы получить уравнение с одной переменной, которое можно легко решить. Затем, подставляя значение этой переменной в любое из указанных уравнений, можно получить значение другой переменной. Следующий алгоритм объясняет процедуру.
  Шаг I: Получите два уравнения.
  Шаг II: Умножьте уравнения, чтобы коэффициенты переменной исключались одинаково.
  Шаг III: Сложите или вычтите уравнения, полученные на шаге \(II\), в соответствии с условиями, имеющими одинаковые коэффициенты, противоположного или одного знака.
  Шаг IV: Решить уравнение с одной переменной, полученное на шаге \(III.\)
  Шаг V: Подставить найденное на шаге \(IV\) значение в любое из данных уравнений и найти значение другой переменной.
  Значения переменных в шагах \(IV\) и \(V\) образуют решение системы уравнений.
  Например,
  Найдите \(x\) и \(y,\) в \(2x + 3y = 5\) и \(3x – y = 0\)
  Ответ: пусть \(2x + 3y = 5 – – – (1)\) и \(3x – y = 0 – – – (2)\)
  Теперь, умножая уравнение \(\left( 2 \right)\) на \(3,\) получаем получить \(9x – 3y = 0 – – – – – \left( 3 \right)\)
  Добавив уравнение \(\left( 1 \right)\) и \(\left( 3 \right)\), мы имеем \(2x + 3y + \left({9x – 3y} \right) = 5\)
  \( \Rightarrow 11x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{{11}}\) Тогда \( 3 \times \frac{5}{{11}} – y = 0 \Rightarrow y = \frac{{15}}{{11}}\)
  Следовательно, \(x = \frac{5}{{11}}\) и \(y = \frac{{15}}{{11}}. \)

  Метод перекрестного умножения

  Пусть \({a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) и \({a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) — система одновременных линейных уравнений с двумя переменными \(x\) и \(y.\)
  Чтобы найти решения, используя метод перекрестного умножения, мы имеем,
  \(x = \frac {{\left({{b_1}{c_2} – {b_2}{c_1 }} \right)}}{{\left({{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1}} \right)}}\) и \(y = \frac{{\left({{c_1}) {a_2} – {c_2}{a_1}} \right)}}{{\left({{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1}} \right)}}\) 92} + bx + c = 0,\), где \(a,b,c \in R\) и \(a \ne 0.\)

  Корни квадратного уравнения: Пусть \(p\left ( x \right) = 0\) — квадратное уравнение, то корни функции \(p\left( x \right)\) называются корнями уравнения \(p\left( x \right) = 0.\)
  Таким образом, \(x = k\) является корнем \(p\left( x \right) = 0\) тогда и только тогда, когда \(p\left( k \right) = 0.\ )
  Нахождение корней квадратного уравнения известно как решение квадратного уравнения.

  92} + ax} \right) + (bx + q)\) и вынесите в каждой скобке общие множители.

  
  Как найти \(a\) и \(b:\)
  \(p\) будет разбит на \(a\) и \(b\) таким образом, что \(p = a + b\) и \(q = a \times b\)
  Если знак \(q\) положителен, то оба множителя \(a\) и \(b\) из \(q\) будут иметь знак такой же, как у \(p,\), т. е. если \(p\) положительно, то и \(a\), и \(b\) будут положительными, но если \(p\) отрицательно, тогда и \(a\), и \(b\) будут отрицательными.
  Если \(q\) отрицательно, то найти \(\left| q \right|\) (числовое значение \(q \)), тогда численно больший множитель \(q\) будет иметь тот же знак, что и знак \(p,\) и меньшего множителя будет иметь знак, противоположный знаку \(p.\) 92} – 4 \times 1 \times \left({ – 1} \right)} }}{{2 \times 1}}\)
  \(\Rightarrow x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
  \( \Rightarrow x = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\) или \(x = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2 }\)
  Следовательно, корни данного квадратного уравнения равны \(x = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\) и \(x = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2.}\)

  Решение квадратного уравнения методом заполнения квадратов

  Мы можем использовать следующий алгоритм для получения корней квадратного уравнения методом заполнения квадратов. 92}}}} \)
  Шаг VII: Получите значения \(x\) сдвигом постоянного члена \(\frac{b}{{2a}}\) на \(RHS.\)

  (см. вопрос 3 Решаемых примеров ниже)

  Решенные примеры – Решение уравнения

  Q.1. Решите \(2\влево({5x — 2} \вправо) = 4x + 8.\)
  Ответ: Данное уравнение имеет вид \(2\влево({5x — 2} \вправо) = 4x + 8\)
  \( \Стрелка вправо 10x — 4 = 4x + 8\)
  \( \Стрелка вправо 10x — 4x = 8 + 4\)
  \( \Стрелка вправо 6x = 12\)
  \( \Стрелка вправо x = 2\)
  Следовательно, значение \(x\) равно \(2.\)

  Q.2. Решите \(\frac{{7y + 2}}{5} = \frac{{6y – 5}}{{11}}\)
  Ответ: Данное уравнение имеет вид \(\frac{ {7y + 2}}{5} = \frac{{6y – 5}}{{11}}\)
  \( \Стрелка вправо 11\left({7y + 2} \right) = 5\left({6y – 5} \right)\)
  \( \Стрелка вправо 77y + 22 = 30y – 25\)
  \( \Стрелка вправо 77y – 30y = – 25 – 22\)
  \( \Стрелка вправо 47y = – 47\) 92} = \frac{{19}}{{25}}\)
  \(\Стрелка вправо x – \frac{3}{5} = \pm \frac{{\sqrt {19} }}{5}\ )
  \( \Rightarrow x = \frac{3}{5} \pm \frac{{\sqrt {19}}}}{5} = \frac{{3 \pm \sqrt {19}}}}{5} \)
  \( \Rightarrow x = \frac{{3 + \sqrt {19} }}{5}\) или \(x = \frac{{3 – \sqrt {19} }}{5}\)
  Следовательно, корни данного уравнения равны \(x = \frac{{3 + \sqrt {19} }}{5}\) и \(x = \frac{{3 – \sqrt {19} }} {5. }\)

  Q.4. Решите следующую систему линейных уравнений \(x – y = 1\) и \(2x + y = 8.\)
  Ответ: Пусть \(x – y = 1 – – – (1)\) и \(2x + y = 8 – – – (2 )\)
  Из уравнения \(\left( 1 \right),\) путем решения значения \(x\) через \(y,\) имеем
  \(x = 1 + y – – – (3 )\)
  Подставив уравнение \(\left( 3 \right)\) в уравнение \(\left( 2, \right)\) получим
  \(2\left({1 + y} \right) + y = 8\)
  \( \Стрелка вправо 2 + 2y + y = 8\)
  \( \Стрелка вправо 3y = 6\)
  \( \Стрелка вправо y = 2\)
  Подставив \(y = 2\) в уравнение \(\left( 3, \right)\) получаем 92} = 0\)
  \(\Стрелка вправо \влево({x + 3} \вправо)\влево({x – 3} \вправо) = 0\)
  \(\Стрелка вправо \влево({x + 3} \right) = 0\) или \(\left({x – 3} \right) = 0\)
  \( \Rightarrow x = – 3\) или \(x = 3\)
  Таким образом, \(x = 3\) и \(x = -3\) являются корнями данного уравнения.

  Сводка

  Вы можете использовать математические уравнения для решения уравнения или системы уравнений. Уравнение — это утверждение, в котором утверждается, что два выражения равны. В подавляющем большинстве случаев можно найти точные решения представленных математических уравнений. Однако в большинстве случаев получить точный ответ невозможно, но можно найти приближенные решения, которые по точности равны точному решению. Он имеет дело с квадратичными математическими задачами и конкретными инструкциями. Математический язык, который утверждает, что два алгебраических выражения должны быть равны по своей природе, известен как уравнение.

  В нем мы узнали об определении решения уравнения, заметках о решении уравнения, правилах решения линейных уравнений с одной переменной, приложениях линейных уравнений к практическим задачам, решении одновременных линейных уравнений с двумя переменными , решение квадратного уравнения, решаемые примеры на решение уравнения.

  Результат обучения этой статьи помогает перевести слово проблема в виде уравнения, известного как формулировка проблемы. Таким образом, процедура решения текстовой задачи состоит из двух частей, таких как постановка и решение.

  Часто задаваемые вопросы – Решение уравнения

  Q.1. Что такое решение алгебраического уравнения?
  Ответ: Решение уравнения – это массив всех значений, замена которых на неизвестные делает уравнение верным. Для уравнений, требующих одного неизвестного, возведенного в степень один, для определения их решений используются два основных правила алгебры, включающие свойство аддитивности и свойство мультипликативности.

  Q.2. Как решать уравнения с переменной?
  Ответ : Одним из методов решения уравнений с переменной является метод транспонирования. Метод перестановки включает \(6\) шагов.
  Шаг I: Получите линейное уравнение.
  Шаг II: Распознайте переменные и константы.
  Шаг III: Сократите \(левая\) и \(правая\) до их наиболее простой формы, удалив скобки.
  Шаг IV: Транспонируйте все члены, которые включают переменную в \(LHS\) и постоянные члены в \(RHS.\)
  Шаг V: Упростите \(LHS\) и \(RHS\) в самой простой форме, чтобы каждый сторона содержит только одно слагаемое.
  Шаг VI: Решить уравнение, полученное на шаге \(V\), путем деления двух частей на коэффициент при переменной \(LHS.\)

  Q.3. Каковы \(4\) правила решения уравнения?
  Ответ: Правило 1: К обеим частям уравнения можно добавить одно и то же количество без изменения равенства.
  Правило 2: Одинаковую величину можно вычесть из любой части уравнения без изменения равенства.
  Правило 3: Обе части уравнения можно умножить на одинаковое ненулевое число без изменения равенства.
  Правило 4: Обе части уравнения можно разделить на одинаковое ненулевое число без изменения равенства.
  Следует отметить, что некоторые сложные уравнения можно решить, используя два или более этих правил вместе.

  Q.4. Какова формула отсутствия решения?
  Ответ: Система одновременных линейных уравнений считается несовместной, если она не имеет решения.
  Когда \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{ {c_2}}},\) две прямые параллельны и, следовательно, решения нет.

  Q.5. Как решить пару одновременных уравнений с двумя переменными?
  Ответ: Одним из методов решения уравнения с двумя переменными является метод исключения.
  Шаг I: Получите два уравнения.
  Шаг II: Умножьте уравнения, чтобы коэффициенты переменной исключались одинаково.
  Шаг III: Сложите или вычтите уравнения, полученные на шаге \(II\), в соответствии с условиями, имеющими одинаковые коэффициенты, противоположного или одного знака.
  Шаг IV: Решить уравнение с одной переменной, полученное на шаге \(III.\)
  Шаг V: Подставьте значение, найденное в шаге \(IV\), в любое из данных уравнений и найдите значение другой переменной.
  Значения переменных в шагах \(IV\) и \(V\) образуют решение системы уравнений.

  Мы надеемся, что эта подробная статья о решении уравнения поможет вам в подготовке. Если вы застряли, сообщите нам об этом в разделе комментариев ниже, и мы свяжемся с вами в ближайшее время.

  Решение линейных уравнений с нулевым Soln, без Soln и «All-x» Soln

  Add/SubtractTimes/DivideMulti-StepParentheses

  Purplemath

  Существует три типа решений, которые могут вызвать путаницу. Мы рассмотрим по одному примеру каждого, и я объясню различия. Затем мы поработаем над смесью типов уравнений, чтобы вам было удобнее различать типы решений.

  Чтобы решить это уравнение, мне сначала нужно упростить левую часть, проведя «минус» через круглые скобки и объединив «подобные» члены:

  Содержание продолжается ниже

  MathHelp.

  com

  5 − (3 x + 4)

  5 − 1(3 x ) − 1(+4)

  902 30008 403 − 3 0011

  5 − 4 − 3 x

  1 − 3 x

  Теперь я могу решить обычным способом:

  1 — 3x = 1
  -1 -1
  ————
  -3x = 0
  — —
  -3 -3

  x = 0

  Является ли « x = 0″ допустимым решением? Да, действительно так, потому что ноль — допустимое число. Дело не в том, что решение «ничего»; дело в том, что решение есть «что-то», и это «что-то» равно нулю. Итак, мой ответ:

  x = 0

  ---

  Обычно учащиеся могут привыкнуть к тому, что ноль является решением уравнения, но разница между решением «ноль» (это решение является числовым значением) и «ничего» (возможно, физическая мера чего-то вроде «нет яблок» или «нет денег») может вызвать путаницу.

  Пожалуйста, убедитесь, что вы понимаете, что «ноль» сам по себе не является «ничего». Ноль — это числовое значение, которое (в «реальной жизни» или в контексте словесной задачи) может подразумевают , что «ничего» того или иного нет, но сам ноль есть реальная вещь; это существует; это что-то».

  ---

  Во-первых, объедините одинаковые термины; затем решите:

  Эм… подождите одну минуту…

  С каких это пор четыре когда-либо равны пяти? Никогда! Существует ли какое-либо возможное значение x , которое «исправит» это уравнение, чтобы оно говорило что-то осмысленное? Будет ли любое значение из x когда-либо заставить это уравнение работать?

  №; это просто невозможно. Я сделал все шаги правильно, но эти шаги привели к уравнению (а) без переменных и (б) не имеющему смысла. Поскольку не существует значения x , которое заставит это уравнение работать, то и решения этого уравнения нет. Вот мой ответ на это упражнение:

  нет решения

  ---

  Вот логика для приведенного выше примера: когда вы пытаетесь решить уравнение, вы исходите из (неустановленного) предположения, что на самом деле это решение. Когда вы получаете бессмыслицу (например, бессмысленное уравнение «4 = 5» выше), это означает, что ваше первоначальное предположение (а именно, что исходное уравнение действительно имело решение) было неверным; на самом деле решения нет. Поскольку утверждение «4 = 5» совершенно ложно, а поскольку не существует такого значения x, которое когда-либо могло бы сделать его истинным , то это уравнение не имеет решения.

  Рекомендация: этот ответ полностью отличается от ответа на первое упражнение в верхней части этой страницы, где было значением x , что будет работать (это значение решения равно нулю). Не путайте эти две очень разные ситуации: «решение существует и имеет нулевое значение» никоим образом не то же самое, что «решение вообще не существует».

  И не путайте приведенное выше уравнение типа «нет решения» со следующим типом уравнения:

  Во-первых, я буду комбинировать одинаковые термины; тогда я решу:

  Для предыдущего уравнения я получил «5 = 4», и не было значения x , что могло бы сделать уравнение верным. Этот результат противоположен предыдущему. Существует ли для этого уравнения какое-либо возможное значение 90 325 x 90 326, которое могло бы сделать приведенное выше утверждение 90 325 ложным? №; 5 равно , всегда будет равно 5. На самом деле, поскольку в последней строке вычислений выше нет « x », значение x явно не имеет отношения к уравнению; x может быть чем угодно, и уравнение все равно будет верным. Итак, решение:

  все x

  Это решение также может быть сформулировано как «все действительные числа», «все действительные числа», «вся числовая строка», «(−∞, +∞)» или « x  ∈ &reals ;» (это последнее значение « x является членом множества действительных чисел»). Вы должны ожидать увидеть некоторые различия в жаргоне от одного учебника или преподавателя к другому, так что не удивляйтесь различиям в форматировании.

  Обратите внимание, что если бы я решил уравнение, вычитая 5 из любой части исходного уравнения, я бы получил:

  4 x = 4 x

  Другими словами, я бы получил еще одно тривиально верное утверждение. Я также мог бы вычесть 4 x с каждой стороны, или я мог бы разделить обе части приведенного выше уравнения на 4, или я мог бы разделить на 4, а затем вычесть x с любой стороны, или я мог бы вычесть оба 4 x и 5 с обеих сторон исходного уравнения. Каждый из них — это еще один способ получить другой тривиально верный результат, например «0 = 0». Но независимо от предпринятых конкретных шагов результат (тривиально верное уравнение) всегда будет одним и тем же, и решение все равно будет одним и тем же: «все x «.

  Поскольку (как я перечислил выше) есть много способов прийти к одному и тому же выводу для этого типа уравнения, вас не должно удивлять, если для «всех действительных чисел» или «отсутствия решения» уравнений, вы не использовали те же шаги, что и некоторые из ваших одноклассников. Существует бесконечно много всегда верных уравнений (например, «0 = 0») и бесконечно много бессмысленных уравнений (например, «3 = 4»), также будет много способов (правильного) получения этих ответов

  Основным выводом из приведенных выше примеров должны быть следующие правила:

  x = 0: обычное решение регулярного уравнения

  бессмыслица (например, 3 = 4): нет решения почти наверняка увидите хотя бы один из этих вопросов «без решения» или «все реальные» вопросы в следующем тесте (и, вероятно, также в финальном), обычно их не так много в наборе домашних заданий, и ваш преподаватель, вероятно, привел только один пример каждого типа. Это не дает вам много практики в интерпретации этих типов решений, так что давайте еще несколько примеров.

  ---

  Во-первых, я умножу 3 через скобки в левой части. Потом решу.

  3x + 12 = 3x + 11
  -3x -3x
  ——————
  12 = 11

  Мои расчеты были правильными, но результат — чепуха. Двенадцать никогда не равняются одиннадцати. Итак, мой ответ:

  нет решения

  ---

  Я умножу и упростлю в левой части. Потом решу.

  6 — 2(х + 3) = -2х
  6 — 2x — 6 = -2x
  6 — 6 — 2x = -2x
  0 — 2x = -2x
  -2x = -2x
  +2x +2x
  ———
  0 = 0

  Ноль всегда будет равен нулю, а в последней строке моей работы даже нет никакой переменной, поэтому переменная явно не имеет значения. Это уравнение верно, независимо от значения x . Итак, мой ответ:

  все x

  ---

  Мне нужно умножить и упростить каждую часть этого уравнения.

  2(х + 1) + х = 3(х + 2) — 2
  2х + 2 + х = 3х + 6 — 2
  2х + х + 2 = 3х + 4
  3x + 2 = 3x + 4
  -3x -3x
  ———————-
  2 = 4

  Нет; никогда не правда.

  нет решения

  ---

  Мне нужно упростить правую часть, а потом посмотреть, к чему это приведет.

  5x + 7 = 4(2x + 1) — 3x — 2
  5x + 7 = 8x + 4 — 3x — 2
  5x + 7 = 8x — 3x + 4 — 2
  5х + 7 = 5х + 2
  -5x -5x
  ——————
  7 = 2

  Нет; никогда не правда.

  нет решения

  ---

  Я разверну левую часть, а потом решу.

  8(х + 2) = 2х + 16
  8х + 16 = 2х + 16
  -2x -2x
  ——————
  6х + 16 = 16
  -16 -16
  ——————
  6x + 0 = 0
  —— —
  6 6

  x = 0

  Это уравнение имеет значение решения , равное нулю.

  x = 0

  ---

  Я расширю и упрощу правую часть, а затем решу.

  Таблица умножения тренажер 4 класс: Таблица умножения на 4 | Онлайн-тренажёр • Образавр

  alexxlab / 04.06.202330.04.2023 / Разное

  Тренажер по таблице умножения: как выучить таблицу умножения за 4 дня

  Зарегистрируйся и получи 7 дней бесплатного доступа к тренажерам и персональный план прокачки знаний до 100%!

  Вопросов в тесте: 64

  Среднее время прохождения: ~10:00

  Зарегистрируйся и получи персональный план прокачки знаний до 100%!

  Как работает платформа Skills4u

  Тестирование по предмету за класс

  Платформа определит, какие темы сформированы слабо и составит индивидуальный план обучения

  Персональный план обучения

  План обучения и повторений поможет ученику в закреплении всех необходимых тем по предмету

  Закрепление темы на 100%

  Платформа напомнит и проконтролирует все повторения для закрепления каждой темы на 100%

  Проработка слабых тем с предыдущих классов

  Чтобы идеально овладеть предметом, рекомендуем закрепить пробелы, начиная с самых простых тем

  Почему нужно пройти общее тестирование по математике за 3 класс, а не по отдельной теме «Таблица умножения»

  Пройдя тестирование за класс вы получите ПОЛНУЮ КАРТИНУ ЗНАНИЙ ПО ВСЕМ ТЕМАМ.
  Такой подход позволит глубинно проанализировать знания, вывести успеваемость и понимание предмета на качественно новый уровень.

  Пройдя тестирование по одной теме вы получите РЕЗУЛЬТАТ ЗНАНИЙ ТОЛЬКО ЭТОЙ ТЕМЫ, которая, возможно, плохо изучена. Такой метод не является комплексным и дает лишь точечное понимание знаний по предмету.

  Зарегистрироваться и пройти тестирование

  Несмотря на обилие различных программ и умных гаджетов в современном мире, по-прежнему необходимо учить таблицу умножения в 3-ем классе начальной школы. Это отличная тренировка для ума и полезный практический навык, который не раз пригодится вам в жизни. Разумеется, просто зубрить примеры довольно скучно, но методики обучения постоянно развиваются. Мы подскажем, как выучить таблицу умножения без использования учебников и тетрадей. Секрет успеха – ежедневные занятия на интерактивном тренажере, разработанном на базе интеллектуальной образовательной платформы Skills4u. Если таблица умножения для детей кажется трудной, плохо запоминается, предложите им пройти тренировочный тест на тренажере. Он предоставляется всем желающим бесплатно. В соответствующем разделе выбирается математика, затем находится нужный класс или тема: «Таблица умножения». Входной тест состоит из 64 заданий. Общее время выполнения ориентировочно составляет 10 минут.

  Каждый раз нужно ответить на вопрос и записать верный ответ, а вот числа меняются, предлагаются в разных вариациях. Это делается специально для того, чтобы таблица умножения легко и быстро запоминалась. Современные дети хорошо знакомы с гаджетами, они охотно будут выполнять задания, записывая ответ с помощью клавиатуры. Ручка и тетрадка не нужны совсем – все вычисления производятся в уме. Кроме того, наш онлайн тренажер «Таблица умножения» дает возможность проверить себя. Если ответ правильный, появляется надпись «Верно». В случае ошибки вы сразу узнаете об этом и увидите правильный ответ на экране. Это очень удобный и простой способ, как выучить таблицу умножения наизусть без лишних усилий. Можно даже не заглядывать в таблицу умножения в справочниках и учебных пособиях.

  Теперь о сроках. Наша методика основана на осознанном повторении. Она позволяет быстро освоить материал школьной программы и приобрести устойчивый навык нахождения правильных ответов. Как правило, достаточно всего нескольких дней ежедневных занятий, чтобы знать таблицу умножения наизусть. Тем, кто готовится к контрольной работе или итоговому экзамену, также пригодится таблица умножения, тренажер поможет быстро вспомнить темы, пройденные в начальной школе. Для того чтобы выработать устойчивый учебный навык, необходимо пройти проверочный тест на тренажере. Система проанализирует скорость его прохождения и количество правильных ответов и на основе этих данных составит рейтинг ученика. Если проверка таблицы умножения выявит пробелы в знаниях, вам будет предложено пройти тест повторно через несколько часов. Каждому ученику предлагается индивидуальная программа занятий, приходят напоминания о том, что пора вновь сесть за тренажер. Это один из секретов того, как быстро выучить таблицу умножения.

  Немного интересной статистики, или почему важно проходить общее тестирование и закрывать пробелы в знаниях за текущие и предыдущие классы

  • 60% пятиклассников не могут быстро выполнять базовые математические действия, такие как вычитание и сложение.
  • 70% пятиклассников часто делают ошибки в таких действиях как умножение и деление.
  • Более 75% девятиклассников не могут решить системы из двух уравнений.
  • До 20% выпускников школы реально обладают математическими познаниями на уровне 6-8 класса. До 40% — не выше 9 класса.
  • От 5 к 7 классу возникает четко выраженная тенденция ухудшения математической подготовки, а доля троечников увеличивается с 20-25% до 40-45%.

  Основано на результатах учеников нашей платформы и исследованиях журнала «Коммерсант»

  Как правило, требуется заниматься ежедневно на протяжении 4-5 последующих дней без пропусков и перерывов. Десяти минут в день будет достаточно, чтобы таблица умножения надежно «впечаталась» в сознание, а решение несложных примеров не вызывало никаких затруднений. Это и есть устойчивый учебный навык. Нужные ответы будут находиться сразу, вы их легко запомните, так что таблица умножения на 5 – это вполне достижимо для каждого.

  Как растут результаты учеников
  после занятий на тренажерах Skills4u

  Занятия
  на Skills4u

  Занятия
  с учебником

  Успеваемость

  Мотивация

  Внимательность

  Скорость

  Самостоятельность

  Запоминание

  Первичный Тест «Таблица умножения» по математике за 3 класс онлайн и бесплатно предоставляется всем желающим.

  Советуем пройти тестирование за весь 3 класс по математике, чтобы узнать пробелы в знаниях по всем темам и получить индивидуальный план обучения.

  После регистрации вы получите 7 дней бесплатного доступа, чтобы увидеть первые результаты занятий и оценить эффективность тренажеров.

  Зарегистрироваться и пройти тестирование

  Если вам понравилась наша таблица умножения онлайн, регистрируйтесь на сайте и оформляйте доступ к образовательной платформе Skills4u на месяц, полугодие или целый учебный год. С нашими умными тренажерами вы сможете не только прокачать знания по математике, но и получить массу других полезных навыков по разным предметам. Чем старше класс – тем больше возможностей. Родителям также найдется, чему поучиться. Помимо школьных навыков, мы тренируем профессиональные умения, даем полезные сведения об этикете, архитектурных стилях и многом другом. Список тестов постоянно пополняется. Итак, теперь вы знаете, как легко выучить таблицу умножения за короткий срок и приобрести полезные знания и навыки в изучении других предметов. Регистрируйтесь на сайте и выбирайте вариант доступа к образовательной платформе. Присоединяйтесь к нам, если хотите повысить успеваемость или подготовиться контрольной, научиться без ошибок выполнять домашние задания.

  А для комплексного результата пройдите общее тестирование за
  класс! Узнайте пробелы в знаниях по всем темам

  Ученик

  Занимайся 20 минут в день и прокачай знания по школьной программе за месяц!

  Родитель

  Наслаждайтесь прогрессом вашего ребенка в школе и на платформе

  Учитель/
  репетитор

  Задавайте и проверяйте домашние задания прямо на платформе

  Зарегистрироваться и пройти тестирование

  68157

  ---

  учеников уже занимаются с нами

  Учим таблицу умножения

  Выучить таблицу умножения легко и с интересом поможет курс «Таблица умножения онлайн», потому что он основан не на механическом запоминании, а на понимании сути умножения.  

  Для кого этот курс? 

  • для детей, которые окончили 1 класс и получили задание на лето выучить таблицу умножения
  • для учеников 2, 3 и даже 4 классов, кому нужно «подтянуть» знание таблицы умножения, чтобы улучшить свои результаты по математике. 

  Примеры заданий

  1

  Знакомство с таблице…

  4

  Умножение на 2 и 3

   

  Как проходят занятия?

  Курс позволяет учить таблицу умножения онлайн в игровой форме. Обучающие видео знакомят ребенка с основными понятиями, правилами и со смыслом умножения.

  После каждого видео даются задания для закрепления и отработки материала. По результатам выполнения заданий ребенок получает награды.

  Пример видеоурока:

  Изучение таблицы умножения происходит не на однообразном тренажере, а на материале игровых онлайн-заданий, которые включают в себя решение примеров и задач, а также упражнения на развитие логики и внимания.

   

  В процессе прохождения курса ребенок будет не просто учить таблицу умножения, но и понимать суть умножения, его взаимосвязь с другими математическими операциями — делением, сложением.

  Курс «Таблица умножения онлайн» поможет заинтересовать ребенка математикой, а также превратить изучение таблицы умножения из обязательного нудного занятия в увлекательную познавательную игру. Всего курс включает в себя 109 заданий.

  Почему с нашим онлайн курсом выучить таблицу умножения легко? 

  1. В обучающих видео доступно и на простых примерах объясняется суть и правила умножения.
  2. Мы показываем, как любой результат из таблицы можно посчитать, если забыл.
  3. Занятия построены в форме онлайн игры, поэтому интерес к ним ребенок сохраняет надолго.
  4. Кроме знания таблицы умножения в результате занятий у ребенка развивается внимание, мышление, память. Так как задания представляют собой не однотипный тренажер, где можно механически вводить результат, но требуют активной мыслительной деятельности и понимания сути таблицы умножения.  
  5. При этом взрослый видит подробную статистику и результаты занятий.

  Поэтому если вы хотите, чтобы ваш ребенок смог легко и быстро выучить таблицу умножения, а также понять, что математика — это интересное и полезное занятие, подарите ему курс «Учим таблицу умножения». 

  Также, возможно, Вашему ребенку будут интересны и полезны другие наши онлайн-курсы:

  Развитие — направлен на развитие внимания, памяти, логики, эмоционального интеллекта

  Обучение — помогает освоить наиболее важные и сложные темы школьной программы по русскому языку и математике, потренировать навык чтения и понимания прочитанного

  Науки — расширяет кругозор и в увлекательной форме знакомит с основами биологии, географии, физики, химии.

  Оплатить доступ

  ‎Таблицы умножения: умножение в App Store

  Описание

  Легко выучить таблицу умножения, играя. Таблица умножения с математическими играми!

  Игра-симулятор таблицы умножения поможет вам запомнить таблицу умножения на 10, 20 и даже 30! Карточки и тренажер — лучший способ легко и быстро выучить таблицу умножения!

  Наш симулятор таблицы умножения подходит как для детей, так и для взрослых! Мы добавили возможность учить и практиковать таблицу умножения до 30!!

  В игре есть три режима:
  Режим обучения: Вы можете выбрать размер таблицы, которую хотите изучить (x10 или x20), а также тип игры — тест, правда или ложь, ввод.
  Исследование: выучите таблицу умножения от 1 до 30, а затем проверьте свои знания, решая примеры на умножение и деление.
  Тестовый режим: Этот режим предназначен для фиксации материала. Вы можете сами выбрать уровень сложности (легкий/средний/сложный, и приложение подберет интенсивность в соответствии с вашим уровнем.
  Brain Tricky Riddles: Хитрые уровни с нетривиальными решениями

  После каждой тренировки или теста у вас есть возможность посмотреть, на какие вопросы дан правильный ответ, а на какой нет. Это поможет в следующий раз улучшить результат и запомнить таблицу умножения!
   
  Приложение «Таблица умножения» было разработано на основе алгоритмов обучения, которые выбирают вопросы в зависимости от ваших навыков.

  Преимущества:
  — Простой и интуитивно понятный интерфейс
  — Классный математический симулятор для детей и взрослых
  — Вы можете обучить таблицу умножения на 10, 20 и даже 30!!
  — Карточки с таблицей умножения от 1 до 30;
  — Современный метод обучения детей
  — Интеллектуальная система повторения (посмотрите на свои ошибки и попробуйте еще раз).

  Таблица умножения занимает особое место в начальной школе и является одной из основных задач изучения математики на этом этапе. С помощью нашего Тренера школьники будут получать только отличные оценки по математике, а взрослые смогут тренировать свой мозг, ведь при отсутствии нагрузки мышцы неизбежно слабеют. То же самое происходит и с мозгом. Если вам труднее запоминать информацию и вы не так сосредоточены, это явно указывает на то, что клетки мозга нуждаются в «тренировке».

  Скачайте приложение Таблица умножения и тренируйте свой мозг быстро и с удовольствием! Ваш ребенок выучит таблицу умножения, играя!

  Политика конфиденциальности: https://brainsoft-apps.com/privacy
  Условия использования: https://brainsoft-apps.com/privacy

  18 марта 2023 г.

  Версия 1.0.7

  Исправления ошибок и улучшения

  Рейтинги и обзоры

  1 Оценка

  Действительно простой и легкий в освоении

  Недавно я скачал приложение с игрой на умножение, и я впечатлен. Пользовательский интерфейс прост и удобен в навигации, что делает его простым для самостоятельного использования детьми. Приложение включает в себя функцию тестирования на время и множество хитрых загадок. Спасибо

  Разработчик Genioworks Consulting & It-Services UG (haftungsbeschrankt) указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.

  Данные, используемые для отслеживания вас

  Следующие данные могут использоваться для отслеживания вас в приложениях и на веб-сайтах, принадлежащих другим компаниям:

  • Данные об использовании
  • Диагностика

  Данные, связанные с вами

  Следующие данные могут быть собраны и связаны с вашей личностью:

  Данные, не связанные с вами

  Следующие данные могут быть собраны, но они не связаны с вашей личностью:

  • Данные об использовании
  • Диагностика

  Методы обеспечения конфиденциальности могут различаться, например, в зависимости от используемых вами функций или вашего возраста. Узнать больше

  Информация

  Продавец

  Genioworks Consulting und It-Services UG haftungsbeschraenkt

  Размер

  53,3 МБ

  Категория

  Образование

  Возрастной рейтинг

  4+

  Авторское право

  © 2022 Genioworks Consulting & It-Services UG

  Цена

  Бесплатно

  • Сайт разработчика
  • Тех. поддержка
  • политика конфиденциальности

  Еще от этого разработчика

  Вам также может понравиться

  4 класс — Рабочие листы по математике (вертикальное умножение)

  4 класс — Математические рабочие листы (вертикальное умножение)

  Объявления

  Для корректной работы этого веб-сайта требуется JavaScript. Пожалуйста, снова включите JavaScript в настройках вашего браузера.

  • Горизонтальное умножение
  • Вертикальное умножение
  • Горизонтальное отделение
  • Вертикальное деление
  • Горизонтальное дополнение
  • Вертикальное дополнение
  • Горизонтальное вычитание
  • Вертикальное вычитание

  Эти рабочие листы по математике для 4 класса состоят из вопросов на вертикальное умножение, где математические вопросы написаны сверху вниз. Рабочие листы можно распечатать, а вопросы на математических листах меняются каждый раз, когда вы посещаете.

  С помощью нашего генератора листов по математике вы можете легко создавать рабочие листы по умножению для 4 класса, которые никогда не бывают одинаковыми и всегда разными, предоставляя вам неограниченный запас математических листов для использования в классе или дома.

  Каждый математический лист также имеет необязательный флажок Ключ ответа , который можно установить, если вы хотите распечатать ключ ответа, который будет сопровождать ваш математический лист.

  « Предыдущая 1 … 374 375 376 377 378 … 3 230 Следующая »