Математике — Страница 41 — Таловская средняя школа

Задачи по математике для 3 класса без ответов: Задачи по математике 3 класс.

alexxlab / 11.09.201828.08.2020 / Математике

Задачи по математике 3 класс.

Страница

Задача 1.

Для приготовления обеда повару понадобилось 24 кг картошки, свеклы в 3 раза меньше, а лука в 2 раза меньше чем свеклы. Сколько килограмм лука потратил повар?

Решение:
1) 24 : 3 = 8
2) 8 : 2 = 4
Выражение: 24 : 8 : 2 = 4
Ответ: 4 кг.

Задача 2

Оля вырезала из бумаги 5 квадратов, 7 треугольников, а кругов в 2 раза больше чем треугольников. Сколько всего Оля вырезала фигур?

Решение:
1) 7 * 2 = 14
2) 5 + 7 + 14 = 26
Ответ: 26 фигур.

Задача 3

Первое число 12, второе в 3 раза меньше, а третье в 4 раза больше чем второе. Вычисли сумму этих трех чисел.

Решение:
1) 12 : 3 = 4 (второе число)
2) 4 * 4 = 16 (третье число)
3) 12 + 4 = 16 (сумма первого и второго чисел)
4) 16 + 16 = 32 (сумма трех чисел)
Выражение: 12 : 3 * 4 + 4 + 12 = 32
Ответ: 32

Задача 4

В школьную столовую привезли 6 кг, лимонов, яблок на 24 кг больше чем лимонов, а груш на 12 кг меньше чем яблок. Сколько килограмм груш привезли в школьную столовую?

Решение:
1) 6 + 24 = 30 (в столовую привезли яблок)
2) 30 — 12 = 18 (привезли груш)
Выражение: (6 + 24) — 12 = 18
Ответ: 18 кг груш привезли в столовую.

Задача 5

Решение:
1) 24 : 3 = 8 (понадобилось свеклы)
2) 8 : 2 = 4 (понадобилось лука)
Выражение: 24 : 3 : 2 = 4
Ответ: 4 кг лука понадобилось повару.

Задача 6

Для приготовления крахмала требуется 6 кг картошки. Сколько крахмала получится из 36 кг картофеля?

Решение:
1) 36 : 6 = 6
Ответ: 6 кг крахмала.

Задача 7

В поход пошли 24 мальчика, а девочек в 3 раза меньше, чем мальчиков. Сколько всего детей пошло в поход?

Решение:
1) 24 : 3 = 8 (девочек пошло в поход)
2) 24 + 8 = 32
Выражение: 24 : 3 + 8 = 32
Ответ: 32.

Задача 8

Ящик с виноградом и три одинаковых ящика с яблоками весят 45 кг. Сколько весит один ящик с яблоками, если ящик с виноградом весит 15 кг.

Решение:
1) 45 — 15 = 30 (весят 3 ящика с яблоками)
2) 30 : 3 = 10 (весит один ящик с яблоками)
Выражение: (45 — 10) : 3 = 10
Ответ: 10 кг.

Задача 9

На детской площадке катались дети на двух и трехколесных велосипедах. Сколько и каких велосипедов было на площадке, если всего было 21 колесо и 8 велосипедов?

Решение:
1) 8 * 2 = 16 (было бы колес, если бы все велосипеды были двухколесными)
2) 21 — 16 = 5
2) 8 — 5 = 3
Ответ: на площадке было 5 трехколесных велосипедов и 3 двухколесных.

Задача 10

В парке выкорчевали 6 орешников, а вместо них посадили 18 орешников. Во сколько раз больше посадили орешников, чем выкорчевали?

Решение:
1) 18 : 6 = 3
Ответ: в 3 раза больше орешников посадили.

Задача 11

Отцу 36 лет, а сыну 9. Во сколько раз отец старше сына и на сколько лет сын моложе отца?

Решение:
1) 36 : 9 = 4
2) 36 — 9 = 27
Ответ: в 4 раза сын моложе отца; на 27 лет отец старше сына.

Задача 12

Автобус за 8 часов работы расходует 48 литров топлива. Сколько литров топлива израсходует автобус за 6 часов работы?

Решение:
1) 48 : 8 = 6 (литров топлива автобус расходует за 1 час)
2) 6 * 6 = 36 (литров автобус расходует за 6 часов)
Выражение: 48 : 8 * 6 = 36
Ответ: 36 литров.

Задача 13

В столовую привезли абрикосы. Из них на компот взяли 3 килограмма, а на варенье в 3 раза больше. Сколько всего абрикос привезли в столовую?

Решение:
1) 3 * 3 = 9 (взяли абрикос на варенье)
2) 3 + 9 = 12 (всего в столовую привезли абрикос)
Выражение: 3 * 3 + 3 = 9
Ответ: 9 кг абрикос.

Страница

213 задач и примеров по математике для 3 класса

Начальная школа, 1-4 классы

О.В. Узорова, Е.А. Нефедова Тренинговая тетрадь содержит 49 задач трёх уровней сложности. В конце

Начальная школа, 1-4 классы

О.И. Крупенчук Эта книга поможет вашим детям научиться читать быстро тексты любой сложности. В

Начальная школа, 1-4 классы

М. В. Беденко Учебное пособие содержит более 500 задач по программе 1 класса. Эти

Начальная школа, 1-4 классы

В.Н. Рудницкая Данное пособие содержит тематические тестовые задания, которые позволят оценить успешность освоения программы

Начальная школа, 1-4 классы

А.В. Ефимова, М.Р. Гринштейн В данной рабочей тетради представлены упражнения для повторения и закрепления

Начальная школа, 1-4 классы

О.Д. Ушакова Эта книга предназначена для того, чтобы вы могли проверить и закрепить знания,

Нестандартные задачи по математике для 3 класса. Задачи по математике 3 класс.

Задача 1

Сколько может быть трехзначных чисел все цифры, которых это 1, 2 или 3.

Решение:
Первым может быть любое из этих 3-цифр на второе тоже, следовательно, два первых места могут быть заняты девятью способами: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33. В каждом из вышеописанных случаев третье место можно занять любой из этих трех цифр. Следовательно, все число можно записать двадцатью семью различными вариантами от 111 до 333.

Короче данное решение можно выразить следующим образом: первой может быть любая из этих 3-х цифр, второй может быть любая из этих 3-х цифр, третей может быть любая из этих 3-х цифр. Поэтому этих чисел всего 3 * 3 * 3 = 27.

Ответ: 27.

Задача 2.

Оксана нашла один гриб, Катя – два, Наташа – три. Мама дала им 18 конфет и предложила разделить их по заслугам. Сколько конфет должна получить каждая девочка?

Решение:
Наташа собрала половину всех грибов, поэтому она должна получить половину конфет — 9. Катя должна получить вдвое больше конфет, чем Оксана, потому что она собрала вдвое больше чем Оксана грибов, следовательно, Оксана должна получить 3 конфеты, а Катя 6.

Ответ: Наташа – 9, Катя – 6, Оксана – 3.

Задача 3.

На какое число нужно разделить разницу наибольшего трехзначного числа и наибольшего двухзначного числа, чтобы получить однозначное число?

Решение:
(999 – 99) : 100 = 9

Ответ: 100.

Задача 4.

За 4 дня велосипедисты проехали 88км. Сколько километров они проехали в первый день, если каждый следующий день они проезжали на 2км. меньше чем в предыдущий?

Решение:
За второй день велосипедисты проехали на 2км. меньше чем за первый, за третий на 4км., за четвертый на 6км меньше чем за первый. Если бы каждый день велосипедисты проезжали столько километров, сколько за первый день, то за четыре дня они бы проехали 88 + 2 + 4 + 6 =100км. Значит за первый день они проехали 100 : 4 = 25км.

Задача 5.

Улитка решила поползти по дереву вверх. За день она проползала шесть метров. А за ночь спускалась на четыре метра. За сколько она доползет до верхушки дерева, если высота этого дерева четырнадцать метров?

Решение:
Утром второго дня он будет на высоте 6 – 4 = 2м. вечером на высоте 2 + 6 = 8м. Утром на третий день он будет на высоте 8 – 4 = 4м. вечером на высоте 4 + 6 = 10м. На четвертый день утром на высоте 10 – 4 = 6м. вечером на 6 + 6 = 12м. На пятый день на высоте 12 – 4 = 8м вечером 8 + 6 = 14м – высота нашего дерева.

Ответ: к концу пятого дня.

Задача 6.

Первого февраля 1999 года был понедельник. Каким днем недели было 1 марта 1999 года?

Решение:
Сколько дней разделяет первое февраля 1999года и первое марта 1999года, учитывая, что 1999год не високосный, то это 28 дней? Далее смотрим какой день недели, если у нас был понедельник прибавляем 28 дней(ровно 4 недели), следовательно день также будет понедельник.

Ответ: понедельник.

Задача 7.

Запишите трехзначное число, у которого каждая последующая цифра больше предыдущей втрое.

Решение:
Ответ: 139 единственное число, удовлетворяющее условиям задачи.

Тест: Решение задач по математике для 3-го класса

Тест: Решение задач по математике для 3-го класса — Математика 3 класс

Решение задач по математике для 3-го класса

усвоение решения задач

Математика 3 класс | ID: 1015 | Дата: 15.1.2014

«;} else {document.getElementById(«torf1″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(1)==»1″) {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(2)==»1″) {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(3)==»1″) {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(4)==»1″) {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(5)==»1″) {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(6)==»1″) {document.getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(7)==»1″) {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(8)==»1″) {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(9)==»1″) {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;}; } }

Получение сертификата
о прохождении теста

Задачи по математике для 3 класса

Задачи на сложение и вычитание в пределах 100

1. В одном ящике 25 кг яблок, а в другом – 35 кг. Сколько килограммов яблок в двух ящиках?

2. Гуси живут 40 лет, а куры на 10 лет меньше. Сколько лет живут куры?

3. В ателье было 70м шерстяной ткани. На школьную форму использовали сначала 27м и потом 29м. Сколько метров ткани осталось?

4. В школьный буфет привезли 90 пирожков. Утром продали 34 пирожка, а днём 38 пирожков. Сколько пирожков осталось?

5. В аквариуме было 30 рыбок. Скалярий было- 10 штук, гуппи – 6, а остальные вуалехвосты. Сколько было вуалехвостов?

Задачи на увеличение и уменьшение на несколько единиц, на увеличение и уменьшение в несколько раз

1. Спортсмен пробежал на тренировке в первый день 12 кругов, во второй день на 4 круга больше. Сколько всего кругов пробежал спортсмен за два дня?

2. В магазин привезли 16 пар босоножек с золотистыми пряжками. А с серебряными пряжками на 12 пар больше. Сколько всего привезли босоножек?

3. Мастер сделал за смену 32 детали, а ученик в 4 раза меньше. Сколько всего деталей сделали мастер и ученик?

4. Футбольная команда забила 45 голов, а пропустила в 5 раз меньше. Сколько мячей пропустила команда?

5. При тестировании по правилам дорожного движения Митя ответил на 24 вопроса, а у Саши правильных ответов в 3 раза меньше. Сколько правильных ответов у обоих мальчиков?

6. Масса жеребёнка 45 кг, а телёнка на 10 кг меньше. Сколько весят они вместе?

7. В школьной олимпиаде участвовали 8 мальчиков, а девочек в 2 раза больше. Сколько всего детей участвовали в олимпиаде?

Задачи на разностное и кратное сравнение

1. У бабушки 12 внуков, а внучек 6. Во сколько раз внучек меньше, чем внуков?

2. С одной яблони собрали 34 кг яблок, с другой- 22 кг яблок. Груш собрали только 8 кг. Во сколько раз яблок собрали больше, чем груш?

3. В канистре было 100 литров бензина. Разлили бензин поровну в 2 машины. Сколько литров бензина залили в каждую машину?

4. Школьники посадили 8 рядов крыжовника по 9 кустов в каждом, и 5 рядов смородины по 6 кустов в каждом. На сколько больше кустов крыжовника посадили, чем смородины?

5. В спортивной секции в первой четверти занималось 26 дев

Уравнения по математике 3 класс

х + 19 = 42 x = 42 — 19 x = 23	54 + х = 82 x = 82 — 54 x = 28	9 + у = 15 y = 15 — 9 y = 6	7 — у = 3 y = 7 — 3 y = 4
с + 6 = 9 c = 9 — 6 c = 3	k + 10 = 30 k = 30 — 10 k = 20	х + 50 = 96 x = 96 — 50 x = 46	х — 25 = 27 x = 27 + 25 x = 52
42 — х = 18 x = 42 — 18 x = 24	27 + х = 50 x = 50 — 27 x = 23	х — 28 = 70 x = 70 + 28 x = 98	63 + х = 90 x = 90 — 63 x = 27
76 — k = 40 k = 76 — 40 k = 30	х — 16 = 30 x = 30 + 16 x = 46	с + 9 = 12 c = 12 — 9 c = 3	х + 35 = 67 x = 67 — 35 x = 32

Скорость, время, расстояние. Задачи по математике 3 класс

Задачи для 3 класса

Числа от 1 до 100

Контрольные работы

Тесты. 3 класс.

Примеры, уравнения

Задачи по математике для 3 класса

Задание 1

Автомобиль проехал 180 км за 3 часа.С какой скоростью он ехал?

Решение
Всё время движения автомобиля — 3 часа, а пройденый путь — 180 км. Значит за один час он проезжал 180:3=60. Его скорось 60км/ч

Задание 2

Миша прошол на лыжах 80 м за 20 с,а Игорь 45 м за 15 с. Кто из них шёл быстрее?

Решение

Миша затратил больше времени, чем Иигорь,но он и прошёл больше расстояние. Чтобы узнать, кто шёл быстрее,надо сравнить расстояния которий каждый из ребят проходил за одну секунду: 80:20=4 45:15=3. Миша за одну секунду проходил 4 м, а Игорь только 3 м.Значит, Миша шёл быстрее, или с большей скоростью. Говорят так: Миша шёл 4 м в секунду,а Игорь 3 м в секунду.
80 : 20 = 4(м), 45 : 15 = 3(м)

Задание 3

Объясни смысл предложений:

а) Самолёт летит со скоростью 800 км/ч.
б) Скорость теплохода 45 км/ч.
в) Человек идёт со скоростью 4 км/ч.
г) Меч-рыба развивает скорость 100 км/ч.
д) Земля движется по орбите со скоростью 30 км/с.
е) Черепаха ползёт со скоростью 4 м/мин.
ж) Поезд идёт со скоростью а км/ч. Какие значения может принимать а?
Можно ли сравнить скорость движения человека со скоростью черепахи?

Решение
а) Самолёт пролетает за 1 час 800км.

б) Теплоход проплывает за 1 час 45км.

в) Человек проходит за 1 час 4км.

г) Меч-рыба развивает скорость 100 км/ч.

д) Земля преодолевает расстояние в 30км. за 1 секунду.

е) Черепаха проползает 4метра за 1 минуту

ж) а может быть целым положительным числом

Скорость черепахи можно сравнить со скоростью человека, если выразить эту скорость в одинаковых величинах, например км/ч

Задание 4

Найди:

а) Скорость космического корабля, если он пролетел 56 км за 8 с.
б) Скорость улитки, если она проползла 35 м за 7 ч.
в) Скорость плота на реке, если он за 4 ч проплыл 16 км.
г) Скорость автобуса, если он прошёл 120 км за 3 ч.
д) Скорость велосипедиста, если он проехал 36 км за 2 ч.

Решение
а) Скорость корабля 7 км/с

б) Скорость улитки 5м/ч

в) Скорость плота 4км/ч

г) Скорость автобуса 40км/ч

д) Скорость велосипеда 18км/ч

Задание 5

Решение
Мальчик идет со скоростью 4км/ч

Велосипедист едет со скоростью 18км/ч

Электричка едет со оскоростью 90км/ч

Скорость машины 60км/ч

Скорость автобуса 45км/ч

Скорость ракеты 6км/с

Скорость самолета 900км/ч

Задание 6

Решение
Волга едет со скоростью 100км/ч

Жигули едут со скоростью 90км/ч

Запорожец едет со скоростью 50км/ч

Задание 7

а) Поезд прошёл 224 км за 4 часа. Его скорость в 3 раза меньше скорости вертолёта. Какова скорость вертолёта?
б) Плот проплыл 27 км за 9 ч, а моторная лодка — 24 км за 2 ч. У кого из них скорость больше и на сколько?

Решение
а) Скорость вертолета 168км/ч. Скорость поезда — 224 : 4 = 56км/ч, скорость вертолета в 3 раза больше поэтому 56 * 3 = 168.

б) Скорость больше у моторной лодки на 9км/ч. Скорость плота 3км/ч = 27 : 9. Моторной лодки 12км/ч = 24 : 2. Значит 12-3=9.

Задание 8

Сравни:

5 ч 6 мин	56 мин
9 мин 20 с	560 с
1 сут. 15 ч	115 ч
108 мин	1ч8мин
734с	7мин 34 с
206ч	2 сут. 6ч

Решение:

5 ч 6 мин > 56 мин

9 мин 20 с = 560 с

1 сут. 15 ч < 115 ч

108 мин > 1ч8мин

734с > 7мин 34 с

206ч > 2 сут. 6ч

Задание 9

а) Грузовая машина за 8 ч прошла 280 км, а легковая машина это же расстояние — за 4 ч. Во сколько раз скорость грузовой машины меньше скорости легковой?
б) Велосипедист за 3 ч проехал 57 км, а мотоциклист за 2 ч проехал на 71 км больше. На сколько километров в час скорость велосипедиста меньше скорости мотоциклиста?

Решение
a) Сначала узнаем скорость грузовика 280 : 8 = 35км/ч. Затем скорость легковой машины 280 : 4 = 70км/ч. Чтобы узнать во сколько раз скорость грузовой машины меньше чем легковой нужно скорость грузовой разделить на скорость легковой: 70 : 35 = 2. Ответ: В 2 раза.

б) Сначала узнаем скорость велосипедиста 57 : 3 = 19км/ч. Узнаем сколько проехал мотоциклист 57 + 71 = 128км. Узнаем скорость мотоциклиста 128 : 2 = 64км/ч. Узнаем разницу в скорости велосипедиста и мотоциклиста 64 — 19 = 45км/ч. Ответ: 45км/ч.

Задание 10

Придумай задачу, в которой надо найти скорость по известному расстоянию и времени, и реши её.

Решение Задача:
Из пункта а вышел поезд. Через 4 часа поезд прибыл в пункт б. Какова скорость поезда если расстояние от пункта а до пункта б 360км.
Решение задачи:
360 : 4 = 90км/ч. Скорость поезда 90км/ч.

Задание 11

Запиши множество делителей и множество кратных числа 14.

Решение
Множество делителей: 1, 2, 7, 14.

Множество кратных: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 102, 116, 130, 144, и так до бесконечности.

Задание 12

Реши уравнения с комментированием по компонентам действий:

а) (40 • х): 10 = 28;
б) у : 9 — 28 = 32;
в) 39 + 490 : k = 46;
г) (25 — а) • 7 = 63.

Решение
а) Сначала узнаем значение выражения в скобках(40 • х) для этого надо 28 * 10 = 280, вычислем значение x = 280 : 40 = 70. x = 70.

б) Сначала узнаем значение y : 9 для этого 32 + 28 = 60; узнаем значение y для этого 9 * 60 = 540.

в) Сначала узнаем значение 490 : k для этого 46 — 39 = 7; что бы узнать значение k нужно 490 : 7 = 70. k = 70.

г) Сначала узнаем значение выражения в скобках(25-а) для этого 63 : 7 = 9; Вычисляем значение а для этого 25 — 9 = 16. а равно 16.

Задание 13

Выполни сложение и вычитание. Сделай проверку:

а) 547923 + 83699221;
б) 483567823 + 998430;
в) 4758036-50854;
г) 2666990000 — 89607787.

Решение
а) 84247144; проверка: 84247144 — 83699221 = 547923.

б) 484566253; проверка: 484566253 — 483567823 = 998430.

в) 4707182; проверка: 4707182 + 50854 = 4758036.

г) 2577382213; проверка: 2577382213 + 89607787 = 2666990000.

Задание 14

По двору ходили гуси. Всего у них было 22 ноги. Подошли 3 утёнка и 4 козлёнка. Сколько ног гуляет теперь по двору?

Три утенка — это еще 6 ног, 4 козленка — это еще 16 ног потому что у козленка 4 ноги 4 * 4 =16. Теперь слаживаем все ноги: 22 + 6 + 16 = 44.
Ответ: 44 ноги гуляло по двору.

На странице использованы задачи и задания из книги Л. Г. Петерсон «Математика. 3 класс. Часть3.» 2008г. Ссылка на сайт автора: www.sch3000.ru

Простые задачи

Составные задачи

Рабочие листы с задачами на 3 дивизиона

Рабочие листы > Математика > 3 класс > Задачи со словами > Дивизион

Рабочие листы для задач третьего класса для третьего класса

В каждом из этих математических листов есть несколько простых задач с разделением слов. После прочтения слова «проблема» и понимания «сценария реального мира» учащийся должен сформулировать уравнение деления для решения задачи.

Длинное деление с задачами с остатками

Эти рабочие листы задач для 3-го уровня требуют разделения «с остатками» для решения. Цифры относительно простые (числа от 1 до 100).

У нас также есть смешанные задачи на умножение и деление для 3 класса, которые ученики могут попробовать; Смешивание вопросов заставляет учащихся полностью понять проблему, прежде чем применять механическое решение.

Образец рабочего листа для задач по разделу 3 степени

Задачи на умножение слов — урок для 3 класса

Это полноценный урок для третьего класса с обучением и задачами со словом, цель которого — научить детей основам умножения слов. Основная идея состоит в том, что у нас есть групп одинакового размера , и детям нужно просто распознавать эти группы, будь то полотенца, кусочки пиццы, шарики или что-то еще. Задачи со словами в уроке также включают в себя сложение и вычитание, чтобы учащимся нужно было думать, а не применять текущую операцию (умножение), даже не прочитав задачу.

Примеры задач

1. Напишите предложение умножения к каждой задаче и решите. Вы можете рисовать картинки, чтобы помочь вам.

а) Четверо детей вместе играют в теннис. Всего они принесли по шесть мячей. Сколько всего у них мячей?

б) Семья Смитов состоит из пяти человек. У каждого члена есть небольшое полотенце и банное полотенце.Сколько полотенец вешают в ванной?

в) Семья Джонсов заказывает четыре пиццы. Каждая пицца нарезана на четыре части. Сколько кусочков пиццы они получают?

г) В городе три почтовых отделения. В каждом почтовом отделении по пять
рабочие. Сколько всего сотрудников в почтовых отделениях?

Проблемы Word с двумя операциями

г.Джонсон обычно ест три раза в день. Как много еды он ест в обычную неделю?

Опять же, у нас есть ситуация, когда КАЖДЫЙ ДЕНЬ происходит одно и то же.

7 дней × 3-х разовое питание = _____ нормальное питание неделя.

В эту пятницу он пропустил завтрак. Сколько блюд он ел на этой неделе?

Сейчас другой день. Это только ОДИН день, поэтому мы просто вычтите один прием пищи из общей суммы.

дней	раз	блюд	забрать	пропущено завтрак
7	×	3	–	1	=	______

На следующей неделе он ел три раза в понедельник, Вторник и пятница, а в остальные дни — четыре раза.Сколько раз он ел в течение недели?

Теперь у нас трижды одна ситуация, а другая ситуации четыре раза. Мы рассчитываем их отдельно, а затем Добавить.

дней	раз	блюд	и	остаток дней	раз	блюд
3	×	3	+	4	×	4	=	______

Примеры задач

1.Впишите числа к числовым предложениям для каждого проблема и решаем. Для последних задач напишите числовое предложение сами. Вы можете написать слова над числами, чтобы описать числа. Вы также можете рисовать картинки, чтобы помочь вам!

а. Мама купила четыре коробки для яиц, в каждой по шесть яиц. Два яйца были плохими. Сколько хороших яиц получила мамочка?

яйцо коробки	раз	яиц в каждом	дубль прочь	плохие
	×		–		=

г. Johnson’s снова заказал 4 пиццы, разрезанные на четыре части каждая. На этот раз собака съела один кусок. Сколько штук сделал люди едят?

номер из пицца	раз	штук по штук по	взять прочь	что съела собака
	×		–		=

.Рабочие листы с задачами на

слов умножения для 3-го класса

Добро пожаловать в наши рабочие листы для задач умножения слов для 3-го класса.

Здесь вы найдете нашу подборку печатных задач умножения. которые помогут вашему ребенку применять и практиковать свои навыки умножения и умножения для решения ряда «реальных» проблем.

Здесь вы найдете ряд рабочих листов для решения задач, связанных с умножением.

Каждый лист предполагает решение ряда письменных задач на умножение.

Для каждого рабочего листа ниже есть 3 уровня сложности: A, B и C.

Рабочий лист A — самый простой уровень, подходящий для детей в начале их класса.

Рабочий лист B — это рабочий лист среднего уровня для детей, которые работают на ожидаемом уровне в своем классе.

Рабочий лист C задан на более сложном уровне, подходящем для более способных математиков.

Задачи на каждом листе похожи по формулировке, но их числа становятся сложнее по мере того, как уровень становится сложнее.

Чтобы способствовать развитию навыков тщательной проверки и мышления, на каждом листе есть один «хитрый» вопрос, который не является проблемой умножения. Детям нужно определить эту словесную проблему и решить, какую операцию им необходимо решить.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

применить свои навыки умножения и умножения на третий класс;
применять свои знания таблицы умножения для выяснения связанных фактов;
распознает проблемы с умножением и пытается обнаружить «хитрые» проблемы;
решить ряд «реальных» проблем.

Некоторые листы имеют версию для Великобритании с написанием для Великобритании.

В нашей области задач на умножение слов для 2-го класса вы найдете ряд задач на умножение слов, предназначенных для второклассников.

Охватываются следующие области:

основных информационных бюллетеней по умножению;
фактов умножения до 5×5;
словарных задач с использованием таблиц умножения на 2, 5 и 10.

В нашей области задач умножения слов для 4-го класса вы найдете ряд задач на умножение слов, предназначенных для 4-х классов.

Охватываются следующие области:

основных информационных бюллетеней по умножению;
фактов, связанных с умножением на 10х10, например 6 х 70;
задач, требующих письменных методов умножения для решения (например, HTU x U; TU x TU)

Взгляните на еще несколько наших рабочих листов, похожих на эти.

Вот несколько листов для решения задач для 3-х классов. Большинство листов содержат «реальные» проблемы, связанные с реальными данными.

Использование листов поможет вашему ребенку:

применять свои навыки сложения, вычитания и умножения;
развивать свои знания дробей;
применить свои знания об округлении и разметке;
решить ряд «реальных» проблем.

Все листы для 3-го класса в этом разделе поддерживают тесты по элементарной математике.

Это наша область поиска всех возможностей, где все рабочие листы включают поиск множества различных ответов на поставленную проблему.

Эти листы поощряют систематическую работу и логическое мышление.

Проблемы отличаются тем, что обычно на каждом листе бывает только одна проблема, но решение проблемы может занять довольно много времени!

Это наша область логических задач, где все рабочие листы предполагают использование навыков рассуждения и логического мышления.

Листы, представленные здесь, предназначены для того, чтобы дети могли логически мыслить и решать задачи.

С 1 по 5 класс существует множество различных логических задач!

Саламандры-математики надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике. и все другие наши математические игры и ресурсы.

Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочих таблицах в поле комментариев Facebook внизу каждой страницы.

Ментальная математика 3 класс

Добро пожаловать в Рабочие листы 3-го класса по математике Саламандры.

Здесь вы найдете широкий спектр бесплатных заданий по ментальной математике, которые помогут вашему ребенку узнать факты о числах и практиковать свои числовые навыки.

Наша подборка заданий по мысленной математике — отличный способ попрактиковать свои числовые и математические навыки.

Листы можно использовать по-разному, в качестве теста или повторной практики, или как часть еженедельной викторины для усиления навыков.

Один из лучших способов использовать эти листы — побудить детей работать в парах, обсуждая вопросы по мере их прохождения.

Вопросы были разработаны для отработки ряда математических навыков, от чисел до геометрии и измерений, включая использование времени и денег.

Викторины расположены в порядке сложности, при этом вопросы в каждой викторине становятся немного сложнее.

Наши рабочие листы по ментальной математике для 3-го класса содержат широкий спектр различных вопросов и математических навыков.

Каждый лист содержит 16 вопросов и снабжен листом для ответов.

Уровень сложности становится сложнее по мере прохождения листов.

Охваченные темы включают:

ментальная арифметика — сложение, вычитание, умножение и деление;
вопросов по уравнению балансировки;
вопросов по геометрии, обычно основанных на свойствах 2D и 3D форм;
денежных вопросов;
измеряет вопросы: длина, вес, объем жидкости
вопросов времени

Рабочие листы в этом разделе были разработаны для детей второго класса.

Они находятся на более базовом уровне, чем вопросы на этой странице.

При переходе по ссылке ниже в новом окне откроется веб-сайт математических саламандр 2-го класса.

Рабочие листы в этом разделе были разработаны для детей 4-го класса.

Листы имеют тот же формат, что и на этой странице, но находятся на более сложном уровне.

Если вы ищете онлайн-практику по основным математическим фактам, у нас есть несколько практических зон. где вы можете проверить свои знания основных фактов и распечатать результаты онлайн.

Есть сертификаты для выигрыша и мгновенная обратная связь о вашем прогрессе.

Здесь вы найдете ряд бесплатных распечатанных математических игр для третьего класса. Все дети любят играть в математические игры, и вы найдете здесь хороший выбор математических игр для 3-го класса здесь, чтобы ваш ребенок мог играть и получать удовольствие.

В следующих играх участвуют различные математики для третьего класса. занятия, которыми вы и ваш ребенок можете наслаждаться вместе.

На сайте Primary games.com вы найдете банк онлайн-игр по математике, в которые можно играть на уровне 3-го класса.

Использование игр поможет вашему ребенку развить свои навыки в увлекательной и мотивирующей форме.

По ссылке ниже в новом окне браузера откроется основной веб-сайт игры.

Гдз решение по математике: ГДЗ от Путина Математика

alexxlab / 10.09.201828.08.2020 / Математике

ГДЗ по Математике, решебник и ответы онлайн

Решение есть!

1 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Музыка
Литература
Окружающий мир
Человек и мир

2 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
Человек и мир

3 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир

4 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир

5 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Украинский язык
Биология
История
Информатика
ОБЖ
География
Музыка
Литература
Обществознание
Технология
Естествознание

ГДЗ по математике за 5 класс, решебник и ответы онлайн

Решение есть!
1 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Музыка
Литература
Окружающий мир
Человек и мир
2 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
Человек и мир
3 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
4 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
5 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Украинский язык
Биология
История
Информатика
ОБЖ
География
Музыка
Литература
Обществознание
Технология
ГДЗ: готовые домашние задания за 1-11 класс
Решение есть!
ГДЗ: Готовые Домашние Задания
1 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Музыка
Литература
Окружающий мир
Человек и мир
2 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
Человек и мир
3 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
4 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
5 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Украинский язык
Биология
История
Информатика
ОБЖ
География
Музыка
Литература
Обществознание
Технология
Естествознание
6 класс
ГДЗ по математике (решебники)
Где Гдз • Решебники • Математика
ГДЗ по математике – онлайн-решебник для 1-11 классов средней школы, в которых можно найти решения задач, уравнений, примеров по базовым учебникам школьного курса. На их основе ученики сумеют качественно выполнять домашнюю работу, научиться применять теоремы и формулы, а их родители – контролировать успеваемость своих детей.
За 5 класс
Авторы: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд
Годы: 2013-2018
Авторы: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир
Годы: 2014-2018
Авторы: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин
Годы: 2015-2018
За 6 класс
Авторы: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд
Годы: 2013-2018
Авторы: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир
Годы: 2014-2018
Авторы: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин
Годы: 2015-2018

ГДЗ по математике – верные спутники царицы наук
Основным предметом школьной программы общеобразовательных школ РФ выступает математика: в 9 и 11 классах школьники даже проходят государственную итоговую аттестацию по данной дисциплине. Изучение предмета проходит в 2 этапа:
Арифметика – с 1 по 6 класс;
Алгебра и геометрия – с 7 по 11 класс.
Усвоить непростые формулы и теоремы и научиться применять их на практике школьникам помогут ГДЗ по математике, которые служат основой для выполнения домашней работы и базой для подготовки к контрольным, экзаменам.
На основе решебников по математике ученики 1-11 классов могут:
Оценить правильность выполнения домашней работы;
Самостоятельно разобрать сложные примеры и уравнения;
Просмотреть порядок решения и оформления задач в преддверии контрольных или экзаменов.
В последние годы готовыми домашними заданиями активно пользуются родители. Так им удается эффективно контролировать успеваемость детей.
ГДЕ ГДЗ – домашняя работа по математике в один клик
Онлайн-сборники готовых домашних заданий – объективное следствие современной динамичной и насыщенной событиями жизни. На сайте ГДЕ ГДЗ необходимо отыскать нужный решебник через поисковую строку (по названию или фамилии автора), кликнуть номер задания в таблице и получить детальное решение.
В чем преимущества ГдеГдз.Ру перед иными похожими сайтами:
доступ к базе ответов – без регистрации, круглосуточно, бесплатно;
регулярное обновление базы готовых домашних заданий в соответствии с выходом новых версий учебников;
удобство использования не только с компьютера, но также со смартфона и планшета.
Кроме того, пользователям не придется посматривать рекламные сообщения или видеоролики для полного доступа к сайту. Не потребуется и переходить на сторонние ресурсы: все ответы и решения хранятся в базе ГДЕ ГДЗ.
ГДЗ по математике за 1 класс, решебник и ответы онлайн
Решение есть!
1 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Музыка
Литература
Окружающий мир
Человек и мир
2 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
Человек и мир
3 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
4 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
5 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Украинский язык
Биология
История
Информатика
ОБЖ
География
Музыка
Литература
Обществознание
Технология
ГДЗ (готовые домашние задания). Видеоуроки по математике.

предмет/класс
1 класс
2 класс
3 класс
4 класс
5 класс
6 класс
7 класс
8 класс
9 класс
10 класс
11 класс

Внимание !!! Расписание ЕГЭ 2013 и многое другое в разделе ЕГЭ
Основная тематика сайта — это математика и готовые домашние задания (ГДЗ) по всем школьным предметам.
Изучение математики представлено в виде видео уроков, открытых уроков и математического онлайн словаря. В добавок ко всему Вы можете воспользоваться онлайн калькулятором, который будет полезен при выполнении домашних работ.
ГДЗ представлены в виде решебников (которые можно бесплатно скачать) и готовых ответов (которые можно быстро найти и посмотреть онлайн)
Готовые домашние задания
Внимание супер сервис: онлайн ГДЗ на одной странице или Спиши ГДЗ (математика, алгебра, геометрия, русский язык, английский язык — 2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 класс)
Видеоуроки по математике
Видеоуроки, на первый взгляд, — это обычные уроки или лекции которые записаны в видео формате.
Однако это было раньше.
Сейчас видео уроки — это целое направление в образовании (какой бы предмет Вы не выбрали: математика, физика, химия, веб-дизайн и т.д. )
Уже долгое время преподаватели пытаются все больше и больше использовать на своих лекциях различные видео материалы. И это неспроста. Они знают, что с помощью видео уроков можно показать больше, раскрыть тему урока намного глубже и быстрее , чем при обычном, классическом проведении лекции без вспомогательных видео материалов.
Давайте вспомним, как люди обычно получают знания:
во первых это школа: начальные, средние и старшие классы. Ничего сложного, но зачастую в наше время, встречаются учителя с небольшим опытом работы или вообще без него, которые не могут объяснить даже элементарных вещей. В результате чего школьник не получает начальных знаний, необходимых для дальнейшего развития.
Решение проблемы.
Скачать видеоуроки для школьников:
которые включают в себя основные темы школьной программы;
легко и доступно излагают материал;
дают возможность заниматься родителям вместе с ребенком;
даже если ребенок , например, по причине болезни, пропустил несколько занятий, то нет необходимости нанимать репетитора либо просить учительницу объяснить пропущенную тему еще раз индивидуально. Достаточно изучить видеоурок на пропущенную тему и по необходимости решить прилагающие задачи к нему;
нет лишних фраз, на подобии: «Иванов, не мешай Сидорову!!!»;
такие уроки предоставляют возможность, на высшем уровне, подготовится к сдаче выпускных экзаменов со школы и вступительных экзаменов в ВУЗ;
далее, окончив школу, в лучшем случае, поступают в университет. Хорошо если обучение будет проходить на стационаре, дневном отделении. Иначе обстоит дело с заочниками. Заочное образование подразумевает под собой практически 80 % самостоятельного изучения материала, что достаточно трудно.
Решение проблемы.
Скачать видеоуроки для студентов:
которые включают в себя материалы по различным предметам, преподаваемых в ВУЗаз;
позволяют эффективно изучить материал дисциплины;
провести самоконтроль своих знаний;
дают возможность «посещать» видео лекции, когда на это есть время и желание;
окончив университет , человек идет на работу или начинает свое дело. И при этом он встречается с проблемами связанные с незнанием той или иной программы, того или иного предмета для изучения которого необходимо посещать множество различных дорогостоящих курсов и что самое обидное – которые проходят в самое не подходящее для Вас время.
Решение проблемы.
Скачать видеоуроки общего образования и уроки, направленные на изучение работы с какой либо программой.
Положительные качества:
Вы не тратите большие деньги на репетиторов;
нет необходимости в дождь или метель добираться до Вашего «кружка» где проходят занятия;
в любое, удобное для Вас время можете изучать интересующий предмет или программу, сидя в Вашем удобном кресле с чашечкой кофе или чая.

Единственное, что требуется от Вас – это усидчивость и желание учиться.
Необходимо понимать:
Видео уроки – это неотъемлемая часть обучения.
Карта сайта
Новое на сайте:
ГДЗ онлайн
Выберите из списка предмет — класс — автора — номер С радостью представляем Вам супер сервис «Все ГДЗ на одной странице»(ГДЗ онлайн). Чтобы найти нужное готовое решение для Вашей домашней работы, Вам необходимо из списка, выбрать сначала предмет, потом класс, потом автора…

ГДЗ по физике 6 класс Исаченкова, Слесарь 2011 г
Кто поможет понять физику в 6 классе. Ответы на самые сложные задания нового для школьника предмета можно узнать онлайн в ГДЗ по физике 6 класс Исаченкова, Слесарь 2011 г с максимально подробными описаниями всех вариантов решений. В 6 классе ответы в самом решебнике часто…

ГДЗ по физике 6 класс Исаченкова, Слесарь 2010 г (другой вариант ответов)
6 класс- начало изучения такой интересной науки, как физика. Физика познакомит тебя с интересными явлениями, происходящими в окружающем мире.На уроках физики ты займешься проведением интересных опытов и лабораторных работ, научишься пользоваться новыми измерительными…

Карта сайта MirUrokov.ru страница 14

Карта сайта MirUrokov.ru страница 13

Карта сайта MirUrokov.ru страница 12

Карта сайта MirUrokov.ru страница 11

Карта сайта MirUrokov.ru страница 10

Карта сайта MirUrokov.ru страница 9

Карта сайта MirUrokov.ru страница 8

Карта сайта MirUrokov.ru страница 7

Карта сайта MirUrokov.ru страница 6

Карта сайта MirUrokov.ru страница 5

Карта сайта MirUrokov.ru страница 4

Карта сайта MirUrokov.ru страница 3

Карта сайта MirUrokov.ru страница 2

Карта сайта MirUrokov.ru страница 1

Скачать ГДЗ по математике 5 класс Виленкин 2000 г
Скачать ГДЗ по математике 5 класс Виленкин 2000…

ГДЗ по химии 9 класс Габриелян 2002 г (постранично)
Особенно сложное домашнее задание может стать главной проблемой не только ребенка, но и родителей. Как быть в том случае, когда родители сами не могут помочь? Для этого и существуют Готовые Домашние Задания (ГДЗ). Конечно же, удобным способом для получения готовых решений…

ГДЗ онлайн — мобильная версия от MirUrokov.ru
Выберите из списка: предмет — класс — автора — номер ГДЗ для мобильных устройств — телефонов, КПК, смартфонов, iPad, iPhone и т.д. К Вашему вниманию мобильная версия ГДЗ (готовых домашних заданий) и это абсолютно бесплатно. Полная версия находится на готовые ДЗ онлайн Здесь…

ГДЗ по математике 5 класс Зубарева, Мордкович 2008 г онлайн
ГДЗ по математике 5 класс Зубарева, Мордкович 2008 г…

Числовая окружность — определение
Числовая окружность — это… (посмотреть определение термина ) или посмотреть (скачать бесплатно) видео урок на тему «Числовая окружность. Часть…

ГДЗ по химии 8 класс Радецкий, Горшкова. Дидактические материалы 2000 г (другой вариант) (8-9 класс)
Химия является очень своеобразным и сложным предметом для изучения в школе. Ученикам придётся научиться понимать то, что химия как полезна, так и во многом вредна для окружающей среды. Имея глубокий портфель знаний химии, школьник с лёгкостью сможет поступить в институт…

ГДЗ готовые домашние задания
ГДЗ готовые домашние задания (решебники)- это то что должно быть под рукой у каждого школьника, без исключения. И не надо думать, что если кто-то пользуется готовыми домашними заданиями, значит он двоечник или плохо разбирается в том или ином предмете. Это, в большинстве…

ЕГЭ 2012. Математика. Досрочный экзамен 26-04-2012 Части С варианты №2-3
ЕГЭ 2012. Математика. Досрочный экзамен 26-04-2012 Части С варианты…

ЕГЭ 2012. Математика. Досрочный экзамен 26-04-2012. Вариант №1
ЕГЭ 2012. Математика. Досрочный экзамен 26-04-2012. Вариант…

11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа Краснодар (Вар 1-15) ноябрь 2011г (с ответами)
11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа Краснодар (Вар 1-15) ноябрь 2011г (с…

11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (Вар 1-15) апрель 2012г (с ответами)
11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (Вар 1-15) апрель 2012г (с…

11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (Вар 1-10) январь 2012г (с ответами)
11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (Вар 1-10) январь 2012г (с…

11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (Вар 1-10) февраль 2012г (с ответами)
11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (Вар 1-10) февраль 2012г (с…

11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (Вар 1-10) март 2012г (с ответами)
11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (Вар 1-10) март 2012г (с…

11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар. (Вар-1-10) декабрь 2011г
11 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар. (Вар-1-10) декабрь…

ЕГЭ-2012. Математика. Типовые экзаменационные варианты 30 вариантов. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2011, 192с.)
ЕГЭ-2012. Математика. Типовые экзаменационные варианты 30 вариантов. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2011,…

Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ 2012 Русский язык Математика Обществознание (2012, 474с.)
Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ 2012 Русский язык Математика Обществознание (2012,…

Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ 2012. Математика. Высоцкий И.Р, Гущин Д.Д, Захаров П.И. и др. (2011, 96с.)
Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ 2012. Математика. Высоцкий И.Р, Гущин Д.Д, Захаров П.И. и др. (2011,…

Математика. Решебник. Подготовка к ЕГЭ-2012. Учебно-тренировочные тесты. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2012, 160с.)
Математика. Решебник. Подготовка к ЕГЭ-2012. Учебно-тренировочные тесты. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2012,…

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Учебно-тренировочные тесты. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2012, 144с.)
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Учебно-тренировочные тесты. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2012,…

Математика. ЕГЭ 2012. Контрольные тренировочные материалы с ответами и комментариями. Нейман Ю.М. и др. (2012, 96с.)
Математика. ЕГЭ 2012. Контрольные тренировочные материалы с ответами и комментариями. Нейман Ю.М. и др. (2012,…

Математика. Диагностические работы в формате ЕГЭ. (2012, 40с.)
Математика. Диагностические работы в формате ЕГЭ. (2012,…

ЕГЭ-2012. Математика. Тренировочные варианты 41, 44, 45 (апрель 2012)
ЕГЭ-2012. Математика. Тренировочные варианты 41, 44, 45 (апрель…

ЕГЭ-2012. Математика. Тренировочные варианты 4121-4125 (март 2012) (с ответами к В )
ЕГЭ-2012. Математика. Тренировочные варианты 4121-4125 (март 2012) (с ответами к В…

ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2012, 96с и 56с)
ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2012, 96с и…

ЕГЭ-2012. Математика. Репетиционный экзамен. (17.03.2012) Вар.211, 214. (с ответами к В )
ЕГЭ-2012. Математика. Репетиционный экзамен. (17.03.2012) Вар.211, 214. (с ответами к В…

ЕГЭ-2012. Математика. Пробный ЕГЭ. Санкт-Петербург (Вар. 1-2) 17.04.2012г. (решения к С )
ЕГЭ-2012. Математика. Пробный ЕГЭ. Санкт-Петербург (Вар. 1-2) 17.04.2012г. (решения к С…

ЕГЭ-2012. Математика. Пробный ЕГЭ. Санкт-Петербург (Вар. 1-2) 07.04.2012г. (с ответами)
ЕГЭ-2012. Математика. Пробный ЕГЭ. Санкт-Петербург (Вар. 1-2) 07.04.2012г. (с…

ЕГЭ-2012. Математика. Пробный ЕГЭ. Красноярск (Вар.1-4) апрель 2012г. (ответы только к ч. В )
ЕГЭ-2012. Математика. Пробный ЕГЭ. Красноярск (Вар.1-4) апрель 2012г. (ответы только к ч. В…

ЕГЭ-2012. Математика. Пробный ЕГЭ. Варианты 2 и 3; апрель 2012г. (с ответами)
ЕГЭ-2012. Математика. Пробный ЕГЭ. Варианты 2 и 3; апрель 2012г. (с…

ЕГЭ-2012. Математика. Пробник. Алтай. март 2012 (Вар-ты 42, 43)
ЕГЭ-2012. Математика. Пробник. Алтай. март 2012 (Вар-ты 42,…

ЕГЭ 2012. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ. Лаппо Л.Д., Попов М.А. (2012, 64с.)
ЕГЭ 2012. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ. Лаппо Л.Д., Попов М.А. (2012,…

ЕГЭ 2012 Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 (С). Под ред Семенова А.Л. Ященко И.В (2012г 216с)
ЕГЭ 2012 Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 (С). Под ред Семенова А.Л. Ященко И.В (2012г…

ГДЗ по математике

Петерсон
2005-2010 ггЧасть 1
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 2
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 3
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 1
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 2
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 3
Истомина
2006-2009 гг(постранично)
Моро
2006-2009 гг1-2 часть(постранично)
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 1
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 2
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 3
Рудницкая
2006-2009 гг(постранично)
Моро
2010 г1-2 часть(постранично)
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 1
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 2
Петерсон
2005-2010 ггЧасть 3
Зубарева, Мордкович
2008 гБолее полные ответы(постранично)
Мерзляк, Полонский, Якир
2005 г(для русских школ)
Мерзляк, Полонський, Якір
2005 г
Кузнецова, Муравьева, Шнеперман
2009 г(постранично)
Кузнецова, Муравьева, Шнеперман
2009 г(постранично)
Кузнецова, Муравьева, Шнеперман
2009 г(другой вариант решения, постранично)
Латотин, Ситкевич, Чеботаревский
2005 гНестандартныя задачы(постранично)
Латотин, Чеботаревский
2008 г(постранично)
Латотин, Чеботаревский
2008 гК сборнику задач(постранично)
Бевз
2011 гНе все ответы(для русских школ)
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд
2003 г(постранично)
Кузнецова, Муравьева, Шнеперман
2010-2011 гг(другой вариант решения, постранично)
Кузнецова, Муравьева, Шнеперман
2010-2011 гг2(другой вариант решения, постранично)
Мерзляк, Полонский, Якир
2011 г(для русских школ)
Мерзляк, Полонський, Якіра
2011 г
Янченко, Кравчук
2011 г
Янченко, Кравчук
2011 г(для русских школ)
Кузнецова, Муравьева, Шнеперман
2010-2011 гг(постранично)
Латотин, Чеботаревский
2008 г(постранично)
Начиная с седьмого класса математика разделяется на такие разделы как алгебра и геометрия. Так что необходимые ГДЗ ищите в разделах ГДЗ по алгебре и ГДЗ по геометрии
ГДЗ по математике, которые можно скачать или смотреть онлайн.
Выбирайте необходимый класс и нужного автора учебника к которому желаете получить готовые домашние задания
ГДЗ по математике
Математика в школе – одна из сложнейших дисциплин. Как правило, проблемы с ее изучением возникают у многих. При этом догнать то, что уже упущено, довольно проблематично.
Проблема исчезает как таковая, если использовать ГДЗ – готовые домашние задания.
ГДЗ – это сборники типичных решений типичных задач. Если речь идет о математике, то здесь собраны те задачи, которые, как правило, встречаются в контрольных работах и домашних заданиях. Ученик довольно просто, легко и быстро осваивается с методикой их решения. Это проверено на практике и широко используется.
Психология школьника очень тонкая и не поддается быстрому анализу. В ходе множества исследований психологи пришли к выводу, что школьнику порой довольно сложно объяснить, чего именно он не понимает. А учителю, естественно, иногда бывает сложно в огромном классе уследить, на каком этапе тот или иной ученик «споткнулся» и потерял нить изучения дисциплины. А математика – это дисциплина, в которой каждая последующая тема тесно связана с предыдущей, поэтому, упуская одну, автоматически ученик упускает и последующие.
Решебники (ГДЗ) являются отличным выходом в такой ситуации. Причем они помогут как тем школьникам, чья успеваемость уже хромает, так и тем, кто успешно справляется с предметом. Последние с помощью ГДЗ смогут лишний раз проверить и закрепить свои знания, подготовиться к контрольной работе или к экзамену.
Еще одним фактором, который мешает ученику в успешном изучении предмета – это боязнь в присутствии одноклассников сказать учителю, что он чего-то не понял. Зачастую школьники действительно не говорят учителю о непонятных элементах урока, что в дальнейшем провоцирует упущения. Особенно острой эта проблема становится в подростковом возрасте – в период 7 – 10 классов. А ведь именно на этот период припадает деление математики на более глубокие дисциплины – алгебру и геометрию, которые становятся с каждым семестром все сложнее. В более младших классах ситуация несколько проще, однако насмешки одноклассников порой звучат и в младшем возрасте.
С ГДЗ ученик может работать дома самостоятельно или пользоваться решебником даже во время урока. ГДЗ по математике можно брать с собой, как подсказку или шпаргалку, чтобы быстро ориентироваться, если во время объяснения темы что-то непонятно.
Все задания в ГДЗ объяснены очень четко. Там, где есть несколько способов решения, представлены все допустимые. Составители позаботились о том, что учебником могут воспользоваться как ученики обычных школ, так и специализированных.
ГДЗ можно скачать, купить или работать онлайн. В случае последнего больше вероятность появления новых заданий, расширения программы решебника. Пользоваться решебником ребенку будет легко, несмотря на то, что на стадии изучения математики – не алгебры и геометрии – ребенку еще сложно ориентироваться в разъяснениях учебников. ГДЗ составлены преподавателями с большим опытом, которые отлично знают, каким образом подойти к ребенку так, чтобы он понял методику решения задачи.
Ребенок сможет использовать ГДЗ даже без помощи родителей. Если же таковая понадобится – математика все-таки сложный предмет, то родители смогут быстро сориентироваться в объяснениях и помочь ребенку. Практика же показывает, что школьники обычно самостоятельно справляются с заданиями.
Если ребенок не «схватывает» предмет на лету, это не значит, что эта дисциплина не его. Значит, просто ему необходимо для начала разобраться в предмете, чтобы его понять. Это вполне нормально. Именно от этого отталкиваются составители ГДЗ по математике.
Множественные решения по математике GMAT
Сначала пара вопросов для начала:
1) Большой исследовательский проект был запланирован на 28-месячный период, и на весь проект был выделен бюджет в размере 84000 долларов. . По прошествии семи месяцев на проект было потрачено 19 800 долларов. Был ли проект на данный момент превышен или меньше бюджета, и на сколько?
(A) меньше, 4200 долларов
(B) меньше, 1200 долларов
(C) меньше, 700 долларов
(D) больше 1800 долларов
(E) больше 5800 долларов
2) Специальный муниципальный налог на заработную плату без налога на заработную плату за вычетом чем 200000 долларов и всего 0.1% от фонда заработной платы компании, превышающей 200 000 долларов США. Если Belfried Industries заплатила 200 долларов США в виде этого специального муниципального налога на заработную плату, то они должны иметь фонд заработной платы в размере
(A) 180 000 долларов
(B) 202 000 долларов США
(C) 220 000 долларов США
(D) 400 000 долларов США
(E) 2 200 000 долларов США
Решения будут иди в конце этой статьи.
Множественные точки зрения в математике
Иногда учащиеся GMAT, особенно люди, не очень уверенные в математике, думают о математических задачах GMAT в очень двоичной структуре — они либо правильно, либо неправильно понимают задачу.Если они понимают проблему правильно, они предполагают, что знают «способ» решения проблемы, а если они понимают проблему неправильно, они читают решения, чтобы определить, каким был «способ».
Оказывается, это довольно наивный подход к математике. Часто, особенно в задачах GMAT, не существует единственного «правильного» решения, а существует множество подходов. Иногда один, нестандартный подход, более эффективен, чем стандартный подход, «одобренный вашим учителем по алгебре 2». Иногда два или более решения одинаково эффективны или, возможно, одно больше, чем другое, в зависимости от склонности испытуемого.
Люди, которые хотят улучшить свои результаты GMAT Quant, часто переоценивают важность практики огромного количества задач и часто сильно недооценивают огромную важность научиться видеть несколько решений одной проблемы. Эти студенты часто недооценивают важность тщательного изучения решения проблемы, которую они правильно поняли: возможно, решение демонстрирует значительно более эффективный подход, чем они придумали, и изучение и изучение этого нового метода решения вполне может сэкономить им критически важное время. будущее.
Это очень похоже на мышление бедности в математике, когда ученик ловится на мысли «, могу ли я сделать что-нибудь, что может привести к решению ?» Я понимаю, что некоторые люди могут сначала почувствовать это, особенно если они возвращаются к математике после долгого отсутствия. Однако осознайте, что где-то между стадией новичка и мастером нужно было научиться корректировать свою точку зрения с этого вопроса на « из всех возможных подходов, какой будет лучшим, наиболее эффективным для этой проблемы ?» Математическое мастерство — это обдумывание вариантов среди возможных решений, и чем быстрее человек сможет принять такую точку зрения, тем быстрее он продвинется к мастерству.
Некоторые варианты
Предыдущее обсуждение, поднимающее важный вопрос, было несколько абстрактным. Каковы некоторые примеры альтернативных подходов, помимо того, что ваш учитель по алгебре 2 сказал вам, что вы должны решить задачу? Вот несколько мыслей.
а. мышление в терминах соотношений и пропорций часто упрощает задачи, а масштабные коэффициенты являются мощным приемом пропорционального рассуждения, позволяющим знать и понимать
b.иногда визуальное решение очень помогает, задействуя навыки правого полушария; это может быть особенно важно, если алгебраическая информация о x и y может быть перенесена в план x-y
c. вместо того, чтобы следовать уравнениям очень синхронно, левым полушарием, можно рассуждать напрямую с данными, особенно с процентами — ну, если это 5%, это должно быть 10%, и, следовательно, 30% будут тремя раз это. Возможно, это разновидность пропорционального рассуждения, специфичного для процентов.
г. Помните, что обратное решение — важный вариант, когда все пять ответов являются числами.
эл. Помните, что, особенно если ответы широко распространены, оценка может быть правильным решением и намного быстрее, чем прямой и подробный расчет.
Это некоторые примеры, но ничто не заменяет внимательного чтения решения каждой математической задачи, которую вы решаете, особенно решения тех задач, которые вы получаете правильно. Может случиться так, что, скажем, для 80% проблем, которые вы решаете правильно, вы сделали именно то, что было в решении, и это нормально, но для остальных 20% то, что вы могли узнать о математических рассуждениях в этих решениях, может активировать следующий уровень математического потенциала для вас.
Резюме
В разделе решения ниже я покажу несколько различных вариантов решения каждой версии проблемы. Вот еще один вопрос из Magoosh для практики:
3) http://gmat.magoosh.com/questions/829
Если у вас есть что-то, чем вы хотели бы поделиться после прочтения этого, сообщите нам об этом в разделе комментариев ниже .
Практические задачи: множество решений
1) МЕТОД ПЕРВЫЙ: простой методический подход по алгебре 2 (не очень эффективный)
Во-первых, определите стоимость каждого месяца.
Теперь умножьте на семь месяцев: 7 * (3000 долларов) = 21000 долларов. Это будет сумма, заложенная в бюджет, сумма, теоретически предоставленная проекту. Реальная потраченная сумма меньше этой, поэтому она находится в рамках бюджета.
21000 долларов — # 19 800 = 1200 долларов
Ответ = (B)
ВТОРОЙ МЕТОД: немного более эффективный подход с использованием коэффициентов.
Обратите внимание, что семь месяцев — это ровно 1/4 от 28 месяцев. Следовательно, по прошествии семи месяцев они должны были израсходовать 1/4 всего бюджета.
Опять же, эта сумма бюджета больше, чем было потрачено, поэтому то, что было потрачено, было в рамках бюджета.
21000 долларов — # 19 800 = 1200 долларов
Ответ = (B)
2) СПОСОБ ПЕРВЫЙ: метод пошаговой алгебраической неэффективности:
налог на заработную плату = 0,1% от (заработная плата — 200000)
Помните, что 0,1% в виде десятичной дроби равно 0,001.
налог на заработную плату = 0,001 * (заработная плата — 200 000)
200 = 0,001 * (x — 200 000)
200/0.001 = 200000 = x — 200000
200000 + 200000 = 400000 = x
Ответ = (D)
NB: этот метод требует знания пары хитрых представлений о процентах и десятичных дробях.
МЕТОД ВТОРОЙ: думать о процентах.
Ну 0,1% чего-то 200 долларов. Умножьте это на десять — тогда 1% чего-то составляет 2000 долларов. Теперь умножьте это на 100 — 100% чего-то составляет 200 000 долларов. Это сумма, превышающая базовый уровень в 200 000 долларов, поэтому общая сумма заработной платы должна была составлять 400 000 долларов.Ответ = (D)
МЕТОД ТРЕТИЙ: обратное вычисление
Его можно было бы использовать либо в том случае, если вы не знали, как выполнить один из первых двух подходов, либо просто если бы считали, что это будет быстрее.
Начните с (C) .
Предположим, фонд заработной платы = 220 000 долларов. Первые 200 000 долларов не облагаются налогом, поэтому только 20 000 долларов облагаются налогом по ставке 0,1%. Итак, 1% от 20000 долларов — скиньте два нуля: 1% будет 200 долларов. Теперь разделите на десять: 0,1% будет 20 долларов. Это слишком мало. Заработная плата должна быть больше, поэтому мы можем немедленно исключить вариант (A), и (B), и (C), .Даже если бы у нас не было больше времени на работу над этой проблемой, мы могли бы очень эффективно использовать поведение решения на этом этапе.
Вы можете попробовать другой ответ, (D) или (E) , или просто заметить — с (C) налогооблагаемая часть была в десять раз меньше , потому что налог на заработную плату был десять раз слишком мало. Нам нужна налогооблагаемая часть в десять раз больше — вместо 20 000 долларов нам нужна налогооблагаемая часть в 200 000 долларов. Добавьте это к базовому плану = 400 000 долларов.Ответ = (Д) .
Самые популярные ресурсы
.
Solumaths — Программное обеспечение для Интернета — Математические решения онлайн.
Solumaths — это математический сайт , который предлагает несколько бесплатных приложений по математике онлайн , он особенно подходит для студентов, студентов, старшеклассников, и учителя.
Доступно несколько типов математических приложений :
Калькулятор: программа символьных и числовых расчетов онлайн.
Программа онлайн-калькулятор позволяет численные вычисления и компьютерная алгебра. Это мощный калькулятор алгебры.
Эта математическая онлайн-программа позволяет расчет фракции с калькулятор дробей, буквальное исчисление, числовое вычисление, вычисление по радикалам, вычисление комплексных чисел с его калькулятор комплексных чисел, он имеет мощные функции, позволяющие решать уравнения, решатель уравнений позволяет включать решить уравнение, решить квадратное уравнение, задав решение в точной форме.Решатель также может решить неравенство, является ли это неравенством первой степени или неравенство второй степени, снова решение рассчитывается с его точным видом. Калькулятор умеет вычислять производные функции с помощью калькулятора производных. и вычислить первообразную с первообразным калькулятором. Для некоторых функций можно получить другой шаг вычислений.Этот пошаговый метод облегчает понимание.
Калькулятор позволяет решать математические упражнения онлайн и решение математических задач онлайн.

Графический калькулятор: онлайн-программа для рисования кривых.

Бесплатные математические игры
Solumaths предлагает разные вычислительные игры на основе арифметических операций , эти онлайн-игр по математике позволяют тренировать в уме и помочь развитию размышлений и стратегии.
На сайте представлены лучшие математические игры. чисел , эти обучающие бесплатные игры по математике позволяют практиковать элементарных арифметических операций например, , добавление , вычитание , умножение и Евклидово деление . Эти простые расчетные игры позволяют практиковаться в счете и вычислении, эти игры с числами позволяют практиковать быстрых вычислений и мысленных расчетов .
На сайте представлен большой выбор расчетных онлайн-игр: количество игр , быстрых расчетных игр , арифметические игры , мысленные арифметические игры , игры с операциями , математических викторины .

Регулярно обновляемое онлайн-программное обеспечение по математике
Solumaths активно развивается, новые функции добавляются регулярно.Не стесняйтесь часто возвращаться, чтобы их обнаружить.
Поделиться Solumaths в социальных сетях
Можно поделиться страницами сайта в основных социальных сетях, благодаря использованию панели общего доступа, которая появляется на соответствующих страницах.
Просто щелкните значок социальной сети, из которой вы хотите поделиться страницей. Чтобы показать ссылку для обмена и в других социальных сетях нажмите «поделиться +».
Хорошие расчеты, хорошая графика и хорошие математические игры ;-), на поисковиков .
.

Простые примеры для 1 класса по математике: Примеры по математике для 1 класса (скачать и распечатать)

alexxlab / 21.08.201828.08.2020 / Математике

Картотека по математике (1 класс) по теме: Карточки с примерами для 1 класса.

ВАРИАНТ 1.

5 – 1 = 1 + 4 =

2 + 3 = 4 – 2 =

4 + 1 = 5 – 3 =

5 – 2 = 3 + 2 =

3 – 2 = 5 – 4 =

ВАРИАНТ 4.

5 – 3 = 4 – 3 =

4 + 1 = 3 + 2 =

5 – 4 = 5 – 1 =

5 – 2 = 5 – 5 =

1 + 4 = 2 + 3 =

ВАРИАНТ 1.

5 – 1 = 1 + 4 =

2 + 3 = 4 – 2 =

4 + 1 = 5 – 3 =

5 – 2 = 3 + 2 =

3 – 2 = 5 – 4 =

ВАРИАНТ 4.

5 – 3 = 4 – 3 =

4 + 1 = 3 + 2 =

5 – 4 = 5 – 1 =

5 – 2 = 5 – 5 =

1 + 4 = 2 + 3 =

ВАРИАНТ 2.

1 + 3 = 5 – 4 =

2 + 2 = 4 – 2 =

5 – 3 = 3 + 2 =

3 – 2 = 5 – 2 =

4 – 4 = 5 – 1 =

ВАРИАНТ 5.

2 – 1 = 4 – 2 =

3 – 2 = 3 – 3 =

1 + 4 = 2 + 2 =

5 – 1 = 5 – 4 =

2 + 3 = 4 – 3 =

ВАРИАНТ 2.

1 + 3 = 5 – 4 =

2 + 2 = 4 – 2 =

5 – 3 = 3 + 2 =

3 – 2 = 5 – 2 =

4 – 4 = 5 – 1 =

ВАРИАНТ 5.

2 – 1 = 4 – 2 =

3 – 2 = 3 – 3 =

1 + 4 = 2 + 2 =

5 – 1 = 5 – 4 =

2 + 3 = 4 – 3 =

ВАРИАНТ 3.

2 + 3 = 4 – 2 =

4 – 3 = 1 + 2 =

3 – 3 = 5 – 1 =

3 – 1 = 4 – 1 =

5 – 4 = 3 – 1 =

ВАРИАНТ 6.

1 + 4 = 3 + 2 =

4 – 1 = 5 – 4 =

2 + 3 = 5 – 2 =

4 – 3 = 4 + 1 =

5 – 1 = 5 – 3 =

ВАРИАНТ 3.

2 + 3 = 4 – 2 =

4 – 3 = 1 + 2 =

3 – 3 = 5 – 1 =

3 – 1 = 4 – 1 =

5 – 4 = 3 – 1 =

ВАРИАНТ 6.

1 + 4 = 3 + 2 =

4 – 1 = 5 – 4 =

2 + 3 = 5 – 2 =

4 – 3 = 4 + 1 =

5 – 1 = 5 – 3 =

3000 примеров по математике. 1 класс.

Начальная школа, 1-4 классы

О.В. Узорова, Е.А. Нефедова Тренинговая тетрадь содержит 49 задач трёх уровней сложности. В конце

Начальная школа, 1-4 классы

О.И. Крупенчук Эта книга поможет вашим детям научиться читать быстро тексты любой сложности. В

Начальная школа, 1-4 классы

М. В. Беденко Учебное пособие содержит более 500 задач по программе 1 класса. Эти

Начальная школа, 1-4 классы

А.В. Ефимова, М.Р. Гринштейн Данное пособие содержит разноуровневые задания по всем программным темам 3

Начальная школа, 1-4 классы

В.Н. Рудницкая Данное пособие содержит тематические тестовые задания, которые позволят оценить успешность освоения программы

Начальная школа, 1-4 классы

А.В. Ефимова, М.Р. Гринштейн В данной рабочей тетради представлены упражнения для повторения и закрепления
Примеры по математике — 1 класс
Здесь вы можете найти примеры по математике (1 класс), распечатать на принтере и использовать в качестве учебного материала на уроках математики или в детских садах на этапе подготовки к поступлению в школу. Очень удобно проводить такие занятия с группой детей, так как для этого не нужно покупать каждому ребенку специальные рабочие тетради — достаточно только распечатать нужное количество экземпляров заданий на каждого ребенка.
Примеры по математике 1 класс — Распечатать и решать
Чтобы распечатать примеры по математике (1 класс) вам понадобится цветной принтер. В крайнем случае можно использовать черно-белый принтер, но дети гораздо лучше усваивают учебный материал, когда он подается в ярких образах и красивых иллюстрациях. Это способствует восприятию урока, как игры, и ребенок не чувствует напряжения.

В первом задании нужно вставить числа в пустые клетки лепестков, чтобы в результате решения образованного примера получилось число в центре цветка.

Во втором задании мы снова тренируем умение детей считать до 10. Необходимо нарисовать в каждой картинке указанное количество ягод.

Скачать примеры по математике (1 класс) вы можете во вложениях внизу страницы.
Распечатать кроссворды-примеры для 1 класса по математике
Здесь вы можете скачать и распечатать необычные кроссворды-примеры для 1 класса по математике. Обычные примеры решать скучно не интересно. Поэтому мы решили их немного приукрасить, сделав их в виде увлекательных чайнвордов. В первом задании сетка кроссвордов сделана таким образом, что все ответы в примерах должны совпадать при пересечении. Во втором задании все гораздо проще — здесь необходимо решать примеры змейкой, начиная с верхней точки (10 — 8 =). Если в конце змейки у вас получилась 10 — значит, чайнворд решен верно!
Скачать кроссворды примеры для 1 класса по математике вы можете во вложениях.
Веселые математические примеры-раскраски для первоклашек
Очень помогают в обучении детей задания с раскрасками. Дети с удовольствием раскрашивают картинки, предварительно выполняя указанные задания. В этом материале вы можете скачать примеры-раскраски по математике для первоклассников и дошкольников.

В первом задании нужно решить пример в облачке и найти нужный самолет с ответом. Затем раскрасить его.

Во втором задании ответ на пример находится в одной из бабочек. Ее нужно поймать и раскрасить.

Можно добавить еще несколько заданий для большей эффективности занятия. Например, при раскрашивании пусть ребенок сначала раскрасит самолетик с самым маленьким числом, затем с самым большим, а потом уже все остальные. Либо можно предложить ребенку раскрасить все самолетики (или бабочки) по порядку изображенных на них чисел.
Скачать математические примеры-раскраски для первоклассников вы можете во вложениях.
Решаем примеры по математике — В гостях у сказки
В этих сказочных сюжетах заключены настоящие примеры по математике, решив которые можно узнать кое-что о наших героях. Например в первом задании можно узнать, кто где живет. Для этого нужно решить все примеры. Ответы на примеры являются номером домика, в котором живет сказочный герой. Пусть ребенок назовет, кто у кого находится в гостях. А во втором задании, если ребенок решит правильно все примеры, то узнает, какой из сказочных героев едет в поезде не оплатив проезд.
Скачать примеры со сказочными героями вы можете во вложениях.
Примеры и счет до 10 по математике — Любимые мультяшки
Решать примеры по математике в 1 классе — не очень интересное занятие для детей, которые еще совсем недавно носились по детской площадке, взахлеб смотрели мультики и не думали ни о какой школе. Чтобы сгладить впечатление детей от скучных учебников, распечатывайте ему красочные картинки с заданиями, которые богаты иллюстрациями и любимыми мяльтяшными героями. Обучение должно доставлять радость!

В первом задании нужно решить все примеры по математике, нарисованные на тачках. Тачка, в решении примера которой получится самый большой ответ — считается самой быстрой на уличных гонках!

Во втором задании ребенку необходимо посчитать количество сбежавших животных.

Скачать задания — Примеры и счет до 10 по математике вы можете во вложениях.
Обведи картинки, реши примеры по математике и раскрась
Здесь вы встретите очень интересные обучающие картинки, в которых детям предстоит выполнить несколько развивающих заданий. Для их выполнения ребенок должен уметь считать до 20 и решать простые примеры на сложение и вычитание.
Скачайте во вложениях картинки с заданиями, распечатайте на принтере и дайте ребенку вместе с цветными карандашами. Также подготовьте простой карандаш и ластик (для обведения по точкам). Затем объясните ребенку условия заданий:
В первом и втором задании сначала нужно обвести по точкам картинки (клоуна с мячом и куклу с мячом). Затем нужно раскрасить обе картинки определенным образом: каждый элемент раскраски содержит в себе математический пример. Ты должен решить этот пример и ответ, который у тебя получится в результате, подскажет тебе цвет, которым нужно раскрасить эту деталь. Справа нарисованы цветные кружки с числами. Это и есть числа-ответы. Будь внимателен!
Скачать задание с примерами, точками и раскрасками вы можете во вложениях.
Умные раскраски с примерами и заданиями по математике
Продолжаем решать примеры по математике с учащимися первых классов и дошкольников, готовящихся к школе. Опять вас ждут умные раскраски, которые смогут раскрашивать только те дети, которые умеют прибавлять и отнимать до 10. Также здесь есть еще одно математическое задание, в котором дети повторят знание четных и нечетных чисел, а также умение делить предметы поровну.
Если с третьим заданием возникают сложности, то пусть ребенок повторит еще раз пройденный материал на нашем сайте — Четные и нечетные числа до 20, а также Разделить поровну предметы.

В первом задании нужно раскрасить цветочки определенным образом: каждому примеру соответствует определенный цвет. Нужно решить пример, посмотреть какому цвету относится полученный ответ-число и раскрасить в этот цвет. Так следует поступить со всеми примерами цветков.

Во втором задании необходимо выполнить цепочку математических действий (прибавлений и отниманий) по порядку стрелочек. Каждый квадратик с числом нужно раскрасить в тот цвет, в который раскрашен воздушный шарик с данным числом.

В третьем задании нужно поделить овощи, фрукты и предметы между зайчатами поровну. Для этого ребенок должен понимать, что поровну можно разделить только четное количество предметов. После этого предметы нужно раскрасить, как указано в задании.

Скачать умные раскраски с примерами и заданиями по математике вы можете во вложениях.
Раскраска — Реши простые примеры и узнай, чья это шапка
В этом задании-раскраске ребенок должен отгадать, чью шапку держит птичка. Но, как известно, математика — это точная наука, в ней не бывает отгадываний и предположение. Поэтому, тот кто умеет решать примеры — обязательно узнает, кому принадлежит шапка.
Для этого ребенок должен решить примеры возле каждого животного. Тот пример, в результате решения которого получится число, как на шапке — является ответом к задаче. Значит животное рядом с этим примером является полноправным владельцем шапки. Затем картинку с животными нужно раскрасить. В детском саду или школе можно выполнять это задание с группой детей. В таком случае один из детей окажется победителем, если первым скажет правильный ответ. Раскрашивать необходимо в свободной форме, без соревнований (дети должны приучаться к аккуратности, а скорость — не лучший помощник в этом).
Скачать раскраску с примерами вы можете во вложениях
Настольная игра «Математическое колесо» — Примеры
В этой настольной игре дети потренируются решать примеры по математике, руководствуясь не только умением прибавлять и отнимать числа, но и пространственным и логическим мышлением. Чтобы начать играть в игру, необходимо изготовить ее с помощью картинок для скачивания (во вложениях) и нашей инструкции.
Приготовьте скачанные на нашем сайте и распечатанные картинки с математическим колесом, ножницы или канцелярский нож. Вырежьте два круга на каждом бланке (маленький и большой). Все, теперь можно приступать к игре.
Положите на стол вырезанный большой круг и внутри него маленький круг. Ребенок должен крутить маленький круг до тех пор, пока все примеры совпадут правильно.
Скачать 2 бланка настольной игры с примерами «Математическое колесо» вы можете во вложениях.
Бланк №1
Бланк №2
Задания-примеры по математике для 1 класса — Заплатка на коврик
Еще одна настольная игра, в которой нужно решать примеры по математике для 1 класса. Здесь нужно будет вырезать из скачанных и распечатанных бланков коврик и фрагменты-заплатки к нему. Начинать нужно с бланка №1 и дальше по порядку, так как задания усложняются. Затем можно начинать игру.
Объясните ребенку, что перед ним лежит специальный математический коврик, в котором отсутствует один фрагмент. Благодаря умению решать примеры, ребенок может найти отсутствующий фрагмент среди пяти предложенных вариантов и поставит заплатку на коврик. Когда ребенок выберет правильный вариант, пусть приклеит деталь к коврику.
Скачать задания-примеры по математике для 1 класса — Заплатка на коврик вы можете во вложениях.
Бланк №1
Бланк №2
Бланк №3
Фруктовые примеры — Умеешь ли ты логически мыслить?
Здесь вы можете скачать оригинальные фруктовые примеры, решить которые будет не так уж просто! Ведь прежде, чем их решать, нужно хорошо подумать, в чем заключается смысл условия задания. Пусть ребенок подольше рассмотрит картинки и подумает сам, как ему найти числовое значение фрукта возле которого стоит знак вопроса (в первом задании — яблоко, во втором — лимон).
Объясните ребенку так: На этой картинке необычные примеры. В них фрукты скрыли некоторые числа. То есть, под каждым фруктом запрятано какое-то число. Тебе нужно решить, какое число запрятано под яблоком. Для этого ты должен внимательно посмотреть как прибавляются и отнимаются фрукты в примерах и какие числа получаются в результате. Если ты узнаешь числа, скрытые под разными фруктами, то сможешь узнать и то число, которое скрыто под яблоком.
Занятие интересно проводить с группой детей — на перегонки.
Скачать фруктовые примеры вы можете во вложениях внизу страницы
Также вы можете скачать и другие математические задания в картинках:
Задания по математике для дошкольников — В картинках
Задания по математике для дошкольников, представленные в этом материале, помогут вам разнообразить свои занятия с детьми, обучая их самым основным математическим понятиям.
Соседи числа — Математические задания для детей
Соседи числа — это математические задания на закрепление знания порядкового счета. В этих заданиях ребенку нужно будет определить соседей для заданных чисел

Математические задания для 1 класса — В картинках для печати
Математические задания для 1 класса — это яркие красочные картинки с развивающими упражнениями по математике, включающие в себя разнообразные игровые задания для детей.

Задачи по математике — 1 класс. Распечатать в картинках
Здесь вы найдете увлекательные задачи по математике (1 класс) в картинках, которые научат детей мыслить логически и выполнять простые математические действия.
Разделить поровну предметы — Математические картинки
Здесь вы можете посмотреть и скачать красочные картинки задания, в которых нужно разделить поровну различные предметы. Такие занятия подготавливают детей к одному из сложных математических выражений — делению.

Раскраски с заданиями на счет в пределах 10
Чтобы дети могли быстро и с интересом освоить счет в пределах 10, мы подготовили для вас веселые раскраски с заданиями. Каждое задание содержит в себе картинки для раскрашивания — это стимулирует ребенка правильно выполнить задание.

Четные и нечетные числа от 1 до 20 — Задания в картинках
В этом материале дети узнают, что такое четные и нечетные числа от 1 до 20 и научатся различать их, выполняя различные задания в картинках.

Плоские геометрические фигуры — Обведи и дорисуй
Как правило, геометрию начинают изучать, рисуя плоские геометрические фигуры. Восприятие правильной геометрической формы невозможно без выведения ее своими руками на листе бумаги.
А еще вы можете поиграть в математические игры онлайн от лисенка Бибуши:
Игра «Счет от 1 до 10 — Посчитай картинки и выбери число»
В этой игре малыш должен посчитать количество предметов на игровом экране и нажать на соответствующее число. После этого он увидит и услышит порядковый счет до данного числа.

Игра «Найди числа на картинке» для малышей от 4 лет
Здесь ребенку нужно быть внимательным, чтобы найти все спрятанные числа на картинке. В игре также используется порядковый счет.

Математическая игра «Найди наибольшее и наименьшее число»
В этой игре ребенку необходимо выбрать среди предложенных чисел самое большое или самое маленькое.

Игра «Сложение и вычитание до 10» — Задачки в картинках
Представляем вашему вниманию еще одну развивающую математическую игру «Сложение и вычитание до 10» для детей раннего возраста от Лисенка Бибуши

Задачи-примеры для малышей в картинках
Математическая онлайн игра «Задачи-примеры для малышей в картинках» состоит из восьми задачек и подойдет детям, которые учатся считать до 10.

Тренажеры по математике 1 класс. Примеры на сложение и вычитание, задачи
Тренажеры могут быть использованы для дополнительной работы с первоклассниками учителями и родителями в классе и дома как для индивидуальной, так и коллективной подготовки. Они способствуют автоматизации вычислительных навыков у ребенка, отработке умений складывать, вычитать, сравнивать и решать простые задачи.
Основа математики 1 класса — состав числа. Зная состав числа, а начать следует с домиков, ребенок гораздо быстрее сможет решить абсолютно любой пример на сложение или вычитание. Поэтому составу числа мы отводим целую страницу, кликните по картинке, чтобы посмотреть и скачать тренажеры на состав числа:
Освоили домики? Теперь можно браться за настоящие примеры на сложение и вычитание сначала в пределах десятка, а затем и в пределах 20. Такие примеры собраны у нас тут >>
Если есть необходимость повторить всю программу первого класса, начиная с азов, посмотрите тренажеры, размещенные ниже.
Чтобы посмотреть и скачать полную версию тренажера, кликните на картинку.
Примеры по математике за 1 класс
Пособие соответствует ФГОС второго поколения для начальной школы. Каждая работа в пособии рассчитана на недельную нагрузку. Систематическое выполнение заданий закрепит учебные навыки и умения по изучаемым темам курса математики, доведет до автоматизма умение решать задачи, числовые выражения, равенства и неравенства. 12 листов на 12 недель.
Тренажер по математике для 1 класс . Обучение решению задач. А.В.Белошистая
Пособие составлено в соответствии с базовой программой по математике для начальных классов и содержит задания для обучения решению задач в 1 классе. Такие задачи могут использоваться как учителем в школе, так и родителями для обучения и закрепления материала дома.
Математический лабиринт
Необходимо провести дорожку по тем ячейкам, сумма чисел в которых равна 10. Задание развивает не только математические способности, но и внимание, и умение удерживать внимание.
Ответ:
А еще у нас есть отличный онлайн тренажер по математике! Родителям не нужно ничего распечатывать и проверять, все это за вас совершенно бесплатно сделаем мы! Выбирайте режим и вперед >>
3000 примеров для 1 класса по математике
Автор Administrator На чтение 3 мин. Опубликовано 12.04.2016
Серия учебных пособий для выработки навыков устного и письменного счета – в общем 3000 заданий! Серия разделена на части: в первых книгах предлагается много письменной работы, а во второй серии пособий предложены только устные упражнения.
Серия учебных пособий для выработки навыков устного и письменного счета – в общем 3000 заданий! Серия разделена на части: в первых книгах предлагается много письменной работы, а во второй серии пособий предложены только устные упражнения.
Примеры для 1 класса по математике – единственный способ отточить полученные знания до автоматизма. Многократные вариации на одну тему дают ребенку возможность усвоить все подходы к решению данного примера.
Если в первой серии сборника предлагается не только решать примеры по математике, но и даются каллиграфические задания, то в следующей серии – только устный счет.
Часть, предназначенная для более младших школьников, содержит много практического материала, с помощью которого ребенок прочно усваивает количество и цифру, обозначающую его, а также состав чисел в пределах десятка. Сначала первоклассник выполняет множество разноплановых решений, а потом приходит к определенному выводу.
Математика в 1 классе помогают детям развивать математическую память, находчивость, формируют грамотную математическую речь, скорость счета, внимание. С помощью пособия можно проводить следующие виды счета на уроке:
счет на скорость;
счет с записью ответа в тетрадь;
решение задач (устно).
Скачивайте на нашем сайте 3000 примеров по математике для 1 класса, которые помогут детям научиться считать осмысленно, быстро, правильно!
Издательство: Астрель
Год издания: 2005, 2008
Серия: Как научиться быстро считать
Автор: О.В. Узорова, Е.А. Нефедова
Формат: PDF
Количество страниц: 16 +16 + 16
Язык: Русский

Скачать бесплатно ot_1_do_10_primeri_po_matematike_1_klass_uchebnik.pdf
Скачать бесплатно ot_1_do_5_primeri_po_matematike_1_klass_uchebnik.pdf
Скачать бесплатно ot_6_do_10_primeri_po_matematike_1_klass_uchebnik.pdf
Примеры по математике для 1, 2, 3 класса
1-й класс 2-й класс 3-й класс
1 класс
В первом классе начинается обучение счёту. Сначала ученикам дают примеры в пределах первой десятки — сложение и вычитание. Когда примеры с однозначными числами решаются уверенно — добавляются примеры с переходом через десяток.
Для тренировки навыков устного счёта удобно воспользоваться генератором примеров:

Примеры на сложение и вычитание в пределах 10

Вычитание однозначных чисел

Примеры на сложение и вычитание в пределах 20

Сложение и вычитание однозначных и двузнычных чисел

Примеры на сложение и вычитание в пределах 100

Сложение и вычитание двузначных чисел

2 класс
Во втором классе изучают таблицу умножения, постепенно проходя каждую цифру доводят навыки умножение для автоматизма.
Для лучшего запоминания рекомендутся давать много разнообразных примеров вперемешку. В это поможет генератор примеров на умножение:

Примеры на умножение однозначных чисел

Сумма не превышает 10

Примеры на умножение однозначных и двузначных чисел

Сумма не превышает 10

Помимо умножения во втором классе появляются примеры с пропусками значений — прообраз уравнений с одним неизвестным. В примерах с пропусками значений сначала необходимо правильно подобрать математическое действие, и только потом можно решить пример. Довести навыки счёта до автоматизмав поможет генератор примеров с пропусками значений.

Примеры на сложение и вычитание с пропусками двузначных и однозначных чисел

Сумма не превышает 10

Примеры на сложение и вычитание с пропусками двузначных чисел

Сумма не превышает 10

Примеры на сложение и вычитание с пропусками в пределах 1000

Сложение двузначных чисел с суммой не превышащей 100

Более слодные примеры — неравенства, где для решения нужно вычислить значения в левой и правой части. Это усложнённый вариант обычных примеров.

Неравенства с примерами с однозначными числами

Сумма не превышает 10

Неравенства с примерами с двузначными числами

Сумма не превышает 10

3 класс
В третьем классе продолжается отработка навыков счёта. Примеры становятся более сложными, и для их решения применяется решение в столбик. Для развития навыков быстрого счёта рекомендутся давать ученику большое количество разнообразных примеров. Их можно взять здесь:

Примеры на сложение и вычитание в пределах 1000

Сложение двузначных чисел с суммой не превышащей 100

Примеры на сложение и вычитание в пределах 10000

Сложение двузначных чисел с суммой не превышащей 1000

Примеры на сложение и вычитание с пропусками в пределах 1000

Сложение двузначных чисел с суммой не превышащей 1000

Примеры на сложение и вычитание с пропусками в пределах 10000

Сложение двузначных чисел с суммой не превышащей 10000

Примеры на умножение в третьем классе включают уже двузначные числа. Также полезно отработать счёт с «опорными» числами, которые часто встречаются в различных расчётах.

Примеры на умножение однозначных и двузначных чисел

Сумма не превышает 10

Примеры на умножение опорных чисел «12», «15», «25», «75», «125»

Сумма не превышает 10

Заданий по умственной математике для первого класса
Добро пожаловать в рабочие листы по математике для первого класса по математике.
Здесь вы найдете широкий спектр заданий по ментальной математике для первоклассников, которые помогут вашему ребенку узнать факты о числах и попрактиковаться в своих числовых навыках.
Наша подборка заданий по мысленной математике — отличный способ попрактиковать свои числовые и математические навыки.
Листы можно использовать по-разному, в качестве теста или повторной практики, или как часть еженедельной викторины для усиления навыков.
Один из лучших способов использовать эти листы — побудить детей работать в парах, обсуждая вопросы по мере их прохождения.
Вопросы были разработаны для отработки ряда математических навыков, от чисел до геометрии и измерений, включая использование времени и денег.
Викторины расположены в порядке сложности, при этом вопросы в каждой викторине становятся немного сложнее.
Наши рабочие листы по ментальной математике для первого класса содержат широкий спектр различных вопросов и математических навыков.
Каждый лист содержит 12 вопросов и снабжен листом для ответов.
Уровень сложности становится сложнее по мере прохождения листов.
Охваченные темы включают:
ментальная арифметика — сложение, вычитание и простое умножение;
вопросов о недостающих фактах;
вопросов о ценностях до 100;
простых вопросов по геометрии, обычно основанных на свойствах 2D и 3D форм;
денежных вопросов;
простых задач со словами;
вопросов о времени, включая вопросы о дате и календаре.
Рабочие листы в этом разделе были разработаны для детей второго класса.
Листы имеют тот же формат, что и на этой странице, но находятся на более продвинутом уровне.
По ссылке ниже в новом окне браузера откроется веб-сайт математических саламандр 2-го класса.
Если вы ищете онлайн-практикумы по ментальной математике с фактами 1-го класса, у нас есть несколько практических зон. где вы можете проверить свои знания по ряду математических фактов и распечатать результаты онлайн.
Есть сертификаты для выигрыша и мгновенная обратная связь о вашем прогрессе.
Здесь вы найдете ряд бесплатных распечатанных математических игр для первоклассников. Все дети любят играть в математические игры, и вы найдете здесь хороший выбор математических игр для 1-го класса здесь, чтобы ваш ребенок мог играть и получать удовольствие.
Следующие игры включают различные задания по математике для первоклассников. которой вы и ваш ребенок можете наслаждаться вместе.
Все бесплатные листы по математике в этом разделе основаны на тестах по элементарной математике для первого класса.
Ищете классные онлайн-игры по математике, в которые можно поиграть на уровне 1-го класса?
Попробуйте сайт основных игр, где вы найдете банк, полный различных игр!
По ссылке ниже в новом окне браузера откроется основной веб-сайт игры.
Саламандры-математики надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике. и все другие наши математические игры и ресурсы.
Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочих таблицах в поле комментариев Facebook внизу каждой страницы.

.
Заданий по математике для 1 класса
Обогащенные массой практики, выровненные по CCSS распечатанные математические рабочие листы для 1-го класса с ключами ответов помогают детям решать задачи на сложение и вычитание в пределах 20, расширять их последовательность подсчета, понимать разрядные и числовые системы, измерять длину и сравнивать размеры, определять время, считать money, представлять и интерпретировать данные, а также знать атрибуты 2D и 3D форм в геометрии. Наши бесплатные рабочие листы по математике для детей 1 класса позволят вам заглянуть в магазин!
Выбор заданий по математике для 1 класса по теме
Изучите более 2200 заданий по математике для первого класса

Подсчет и добавление изображений
Рисунки в двух группах представляют собой увлекательный набор уравнений сложения для детей первого класса.Подсчитайте изображения в двух группах по отдельности, а затем объедините их, чтобы найти общее количество.

Вычитание числовых строк | От 0 до 10
Попросите маленьких прыгунов нарисовать хмель на числовых линиях на этих распечатываемых математических листах для 1-го класса и выполнить уравнения вычитания, используя числа до 10.

Чтение и запись чисел от 1 до 25
Свободное владение числами жизненно важно в первом классе.Задайте детям задание взглянуть на верхнюю часть этой таблицы для печати, определить и прочитать числа от 1 до 25 несколько раз и скопировать их, чтобы заполнить таблицу.

Base Ten Blocks | Десятки и единицы
Визуализировать числа легко с помощью блоков разрядных значений или блоков по основанию 10. Попросите детей сосчитать единицы и стержни в блоках с основанием 10 и написать цифры с основанием 10.

Определение больших и малых 2-значных чисел
Взлом этих PDF-файлов с математическими листами для 1-го класса — истинная мера ваших навыков определения места.Сравните двузначные числа, используя символы в Части A. Обведите большее число в Части B и меньшее число в Части C.

Определение времени | Почасовое приращение
С этими таблицами в формате pdf для детей 1 класса в вашем распоряжении настало время попрактиковаться в чтении часов, чтобы определять время в целых часах, и выбирать циферблат, отображающий указанное время.

Подсчет монет
Развивайте навыки счета десятицентовиков и выражения суммы в долларах, обмена десятицентовиков на доллары и преобразования между ними в задачах с текстом с помощью этого сборника PDF-файлов с рабочими листами по математике для первоклассников.

Подсчет меток
Давайте отправимся в прошлое и потренируемся в счете по меткам. У детей первого класса есть возможность быстро прочитать и подсчитать каждый набор оценок и записать значение, которое оно представляет.

Определение 2D-форм | MCQ
Могут ли маленькие архитекторы 1 разряда отличить прямоугольник от квадрата? Посмотрите, как они распознают двухмерные фигуры, и выберите подходящий вариант, который лучше всего описывает каждую.

Добавление числовой строки | От 0 до 10
В этой стопке заданий по математике для 1-го класса на числовых линиях предварительно нарисованы переходы. Начальная точка переходов и количество переходов — это два слагаемых, а конечная точка — это сумма.

Повторяющиеся узоры | Вырезать и приклеить действие
Добавьте искру веселья с помощью повторяющихся рисунков в этом наборе распечатываемых листов по математике для детей 1-го класса.Осмыслите выкройку, вырежьте графику и по порядку приклейте следующий.
.
Таблицы с номерами в 1-м классе и рабочие листы для подсчета
Рабочие листы > Математика > 1 класс > Числа и счет
Таблицы с числами и листы счета
Наши числовые таблицы для 1-го класса и рабочие листы для счета помогают детям научиться считать — вперед, назад, по 1, 2, 3, 5 и 10. Эти рабочие листы также дадут детям возможность попрактиковаться в базовых навыках написания чисел.
Числа как слова
Пример
Сопоставьте числа со своими словами
6 = шесть
Подсчет рабочих листов с использованием предметов или изображений
Обведите ряд предметов (1-10, 1-20)
Подсчитайте объекты и напишите число (1-20)
Счетная практика
Подсчет 1-20
Подсчет 1-30
Подсчет 1-50
Счетная практика: «до» и «после» 3 __ 5
Считаем по 2

Считаем по 5
Считаем по 10
Числовые таблицы
Таблица чисел от 1 до 100 (полный / пустой)
Числовые таблицы: считая по единицам
Числовые таблицы: счет по двоичному (четному, нечетному)
Числовые таблицы: счет по 3
Числовые таблицы: считая по 4
Числовые таблицы: счет по 5
Числовые таблицы: счет по 10
Обратный отсчет
Обратный отсчет от 100 до 0 100, 99, __, 97, __,
Обратный отсчет на 2 секунды 100, 98, __, 94, __,
Обратный отсчет на 5 секунд 100, 95, __, 85, __,
Определить даже vs.нечетные числа

Четные и нечетные листы (1-20, 1-100, 1-1000)

Образец листа подсчета 1 степени

Образец числовых таблиц для 1 степени Рабочий лист
.
Стандартов для математической практики | Инициатива Common Core State Standards
Стандарты математической практики описывают различные виды знаний, которые преподаватели математики на всех уровнях должны стремиться развивать у своих учеников. Эти практики опираются на важные «процессы и навыки», которые имеют давнюю важность в математическом образовании. Первыми из них являются стандарты процесса NCTM для решения проблем, аргументации и доказательства, коммуникации, представления и связей.Вторые — это направления математической подготовки, указанные в отчете Национального исследовательского совета Adding It Up : адаптивное мышление, стратегическая компетентность, концептуальное понимание (понимание математических понятий, операций и отношений), беглость процедур (умение гибко выполнять процедуры, точно, эффективно и уместно) и продуктивному расположению (привычная склонность рассматривать математику как разумную, полезную и полезную, в сочетании с верой в усердие и собственную эффективность).
Стандарты в этой области:
CCSS.Math.Practice.MP1 осмысливать проблемы и настойчивость в их решении.
Студенты со знанием математики начинают с объяснения себе значения проблемы и поиска точек входа для ее решения. Они анализируют данные, ограничения, отношения и цели. Они строят предположения о форме и значении решения и планируют путь решения, а не просто предпринимают попытки решения. Они рассматривают аналогичные проблемы и пробуют частные случаи и более простые формы исходной проблемы, чтобы получить представление о ее решении.Они контролируют и оценивают свой прогресс и при необходимости меняют курс. Учащиеся старшего возраста могут, в зависимости от контекста задачи, преобразовывать алгебраические выражения или изменять окно просмотра на своем графическом калькуляторе, чтобы получить необходимую информацию. Математически опытные студенты могут объяснять соответствия между уравнениями, словесными описаниями, таблицами и графиками или рисовать диаграммы важных функций и отношений, графических данных и искать закономерности или тенденции. Учащиеся младшего возраста могут полагаться на использование конкретных предметов или изображений, чтобы помочь осмыслить и решить проблему.Математически опытные студенты проверяют свои ответы на задачи, используя другой метод, и они постоянно спрашивают себя: «Имеет ли это смысл?» Они могут понимать подходы других к решению сложных проблем и определять соответствия между разными подходами.
CCSS.Math.Practice.MP2 Размышляйте абстрактно и количественно.
Студенты со знанием математики понимают величины и их отношения в проблемных ситуациях. Они привносят две взаимодополняющие способности для решения проблем, связанных с количественными отношениями: способность деконтекстуализировать — абстрагировать данную ситуацию и представлять ее символически и манипулировать символами представления, как если бы они жили своей собственной жизнью, не обязательно обращая внимание на своих референтов. — и возможность контекстуализировать , останавливаться по мере необходимости во время процесса манипуляции, чтобы исследовать ссылки на задействованные символы.Количественное рассуждение влечет за собой привычку создавать связное представление о проблеме; с учетом задействованных единиц; внимание к значению количеств, а не только к тому, как их вычислить; знание и гибкое использование различных свойств операций и объектов.
CCSS.Math.Practice.MP3 Создавайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.
Студенты со знанием математики понимают и используют заявленные предположения, определения и ранее установленные результаты при построении аргументов.Они делают предположения и строят логическую последовательность утверждений, чтобы исследовать истинность своих предположений. Они могут анализировать ситуации, разбивая их на случаи, а также распознавать и использовать контрпримеры. Они оправдывают свои выводы, сообщают их другим и отвечают на аргументы других. Они индуктивно рассуждают о данных, приводя правдоподобные аргументы, учитывающие контекст, из которого данные возникли. Математически опытные учащиеся также могут сравнивать эффективность двух правдоподобных аргументов, отличать правильную логику или рассуждения от ошибочных и — если в аргументе есть изъян — объяснять, что это такое.Учащиеся начальной школы могут строить аргументы, используя конкретные референты, такие как объекты, рисунки, диаграммы и действия. Такие аргументы могут иметь смысл и быть правильными, даже если они не обобщаются и не принимаются формально до более поздних оценок. Позже студенты учатся определять области, к которым применим аргумент. Учащиеся всех классов могут слушать или читать аргументы других, решать, имеют ли они смысл, и задавать полезные вопросы, чтобы прояснить или улучшить аргументы.
CCSS. Математика. Практика.Модель MP4 с математикой.
Учащиеся со знанием математики могут применять полученные знания для решения задач, возникающих в повседневной жизни, в обществе и на рабочем месте. В младших классах это может быть так же просто, как написать дополнительное уравнение для описания ситуации. В средних классах учащийся может применять пропорциональное рассуждение для планирования школьного мероприятия или анализа проблемы в сообществе. В старшей школе ученик может использовать геометрию для решения задачи проектирования или использовать функцию, чтобы описать, как одна интересующая величина зависит от другой.Математически опытные студенты, которые могут применять то, что они знают, комфортно делают предположения и приближения, чтобы упростить сложную ситуацию, понимая, что они могут потребовать пересмотра позже. Они могут определять важные величины в практической ситуации и отображать свои отношения с помощью таких инструментов, как диаграммы, двусторонние таблицы, графики, блок-схемы и формулы. Они могут математически проанализировать эти отношения, чтобы сделать выводы. Они обычно интерпретируют свои математические результаты в контексте ситуации и размышляют о том, имеют ли результаты смысл, возможно, улучшая модель, если она не служит своей цели.
CCSS.Math.Practice.MP5 Стратегически используйте соответствующие инструменты.
Студенты, разбирающиеся в математике, рассматривают доступные инструменты при решении математической задачи. Эти инструменты могут включать карандаш и бумагу, конкретные модели, линейку, транспортир, калькулятор, электронную таблицу, систему компьютерной алгебры, статистический пакет или программное обеспечение для динамической геометрии. Опытные студенты в достаточной степени знакомы с инструментами, соответствующими их классу или курсу, чтобы принимать обоснованные решения о том, когда каждый из этих инструментов может быть полезен, признавая как понимание, которое необходимо получить, так и их ограничения.Например, старшеклассники со знанием математики анализируют графики функций и решений, полученные с помощью графического калькулятора. Они обнаруживают возможные ошибки, стратегически используя оценки и другие математические знания. Создавая математические модели, они знают, что технологии могут позволить им визуализировать результаты различных предположений, исследовать последствия и сравнивать прогнозы с данными. Учащиеся с математическими знаниями в различных классах могут определять соответствующие внешние математические ресурсы, такие как цифровой контент, размещенный на веб-сайте, и использовать их для постановки или решения задач.Они могут использовать технологические инструменты для изучения и углубления понимания концепций.
CCSS.Math.Practice.MP6 Внимание к точности.
Учащиеся со знанием математики стараются точно общаться с другими. Они пытаются использовать четкие определения в обсуждениях с другими и в собственных рассуждениях. Они заявляют значение выбранных символов, в том числе используют знак равенства последовательно и надлежащим образом. Они осторожны при указании единиц измерения и маркировке осей, чтобы уточнить соответствие количеству в проблеме.Они производят точные и эффективные вычисления, выражают числовые ответы со степенью точности, соответствующей контексту проблемы. В начальных классах ученики дают друг другу тщательно сформулированные объяснения. К моменту поступления в среднюю школу они научились проверять утверждения и явно использовать определения.
CCSS.Math.Practice.MP7 Ищите и используйте структуру.
Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру. Молодые студенты, например, могут заметить, что еще три и семь — это столько же, сколько еще семь и три, или они могут отсортировать набор фигур в зависимости от того, сколько сторон имеют формы.Позже учащиеся увидят, что 7 × 8 равно хорошо запоминающимся 7 × 5 + 7 × 3, чтобы подготовиться к изучению свойства распределения. В выражении x ² + 9 x + 14 ученики старшего возраста могут видеть 14 как 2 × 7 и 9 как 2 + 7. Они осознают значение существующей линии в геометрической фигуре и могут использовать стратегия проведения вспомогательной линии для решения задач. Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы. Они могут видеть сложные вещи, такие как некоторые алгебраические выражения, как отдельные объекты или состоящие из нескольких объектов.Например, они могут видеть 5 — 3 ( x — y ) ² как 5 минус положительное число, умноженное на квадрат, и использовать это, чтобы понять, что его значение не может быть больше 5 для любых действительных чисел x и и .
CCSS.Math.Practice.MP8 Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях.
Студенты, разбирающиеся в математике, замечают, если вычисления повторяются, и ищут как общие методы, так и ярлыки. Ученики старших классов могут заметить при делении 25 на 11, что они повторяют одни и те же вычисления снова и снова, и заключить, что у них есть повторяющаяся десятичная дробь.Обращая внимание на расчет наклона, поскольку они неоднократно проверяют, находятся ли точки на прямой, проходящей через (1, 2) с наклоном 3, ученики средней школы могут абстрагироваться от уравнения ( y — 2) / ( x — 1) = 3. Обратите внимание на закономерность в том, как условия отменяются при раскрытии ( x — 1) ( x + 1), ( x — 1) ( x ² + x + 1), и ( x — 1) ( x ³ + x 2 + x + 1) может привести их к общей формуле для суммы геометрического ряда.Работая над решением задачи, ученики с математическими знаниями следят за процессом, уделяя внимание деталям. Они постоянно оценивают разумность своих промежуточных результатов.
Соединение стандартов математической практики со стандартами математического содержания
Стандарты математической практики описывают способы, с помощью которых развивающиеся студенты, практикующие математическую дисциплину, должны все активнее заниматься предметом по мере того, как они растут в математической зрелости и опыте на протяжении младших, средних и старших классов школы.Разработчики учебных программ, оценивания и повышения квалификации должны уделять внимание необходимости увязать математические практики с математическим содержанием в преподавании математики.
Стандарты математического содержания представляют собой сбалансированное сочетание процедуры и понимания. Ожидания, начинающиеся со слова «понять», часто являются особенно хорошей возможностью связать практику с содержанием. Студенты, которым не хватает понимания темы, могут слишком сильно полагаться на процедуры.Без гибкой основы для работы они с меньшей вероятностью будут рассматривать аналогичные проблемы, связно представлять проблемы, обосновывать выводы, применять математику в практических ситуациях, осознанно использовать технологии для работы с математикой, точно объяснять математику другим ученикам, сделайте шаг назад, чтобы получить обзор, или отклонитесь от известной процедуры, чтобы найти ярлык. Короче говоря, непонимание фактически мешает ученику заниматься математической практикой.
В этом отношении те стандарты содержания, которые устанавливают ожидания понимания, являются потенциальными «точками пересечения» между Стандартами математического содержания и Стандартами математической практики.Эти точки пересечения призваны соотносить с центральными и генеративными концепциями школьной программы математики, которые в наибольшей степени заслуживают времени, ресурсов, инновационной энергии и концентрации, необходимых для качественного улучшения учебной программы, обучения, оценивания, профессионального развития и успеваемости учащихся. математика.
.

Решить задачу по математике онлайн бесплатно 6 класс: Математика 6 класс — Пройти онлайн тест

alexxlab / 09.07.201822.08.2020 / Математике

ГДЗ по математике за 6 класс, решебник и ответы онлайн

Решение есть!
1 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Музыка
Литература
Окружающий мир
Человек и мир
2 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
Человек и мир
3 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
4 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Информатика
Музыка
Литература
Окружающий мир
5 класс Математика
Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Украинский язык
Биология
История
Информатика
ОБЖ
География
Музыка
Литература
Обществознание
Технология
комплексный тренажер по математике для 6 класса на Skills4U
С каждым годом школьная программа усложняется. Если ваш ребенок начинает отставать по математике, приносит плохие оценки – вам пора пройти тест по математике для 6 класса, чтобы обнаружить пробелы в знаниях и принять меры к их устранению. Интеллектуальная платформа Skills4u предлагает уникальный интерактивный тренажер по математике за 6 класс, работающий в режиме онлайн. Доступ к занятиям возможен с любого компьютера – как дома, так и в школе. Регулярные занятия позволят существенно улучшить успеваемость и, главное, сформировать устойчивый навык правильных вычислений.
Входное тестирование по математике за 6 класс вы можете пройти прямо сейчас совершенно бесплатно. Система выдает задания, следуя интеллектуальному алгоритму. Он учитывает правильные и неправильные ответы, составляет рейтинг и на его основании предлагает примеры различной сложности. Задания почти не повторяются. По мере освоения материала они будут усложняться, что позволяет считать тесты по математике за 6 класс индивидуальными, персонифицированными. Такой уровень внимания к особенностям восприятия ученика возможен только при занятиях с репетитором.
При регулярных занятиях в течение нескольких дней подряд онлайн тренажер по математике для 6 класса помогает сформировать устойчивые навыки. Ваш ребенок освоит решение задач на составление пропорций и линейных уравнений различного вида, понятие модуля и операции с дробями. Чтобы решать тесты по математике за 6 класс в постоянном доступе, следует оформить подписку на 1 месяц, полгода или целый год – 12 месяцев. Только в этом случае мы можем гарантировать быстрый успех. Повторение – мать учения и залог хорошей успеваемости в будущем.
Важно и то, что каждый онлайн тест по математике (6 класс) занимает совсем немного времени – всего несколько минут. Общее время занятий при решении всех примеров – не более 30-40 минут ежедневно. Не придется ничего писать и выполнять дополнительные домашние задания – только вписывать результаты вычислений в программу. Родителям достаточно только контролировать выполнение тестирования. Платформа сама подскажет, когда следует приняться за работу. Вам придет уведомление по электронной почте или в виде СМС.
После нескольких недель или месяцев занятий или в конце учебного года рекомендуется пройти итоговый тест по математике за 6 класс. Он даст полное представление о том, насколько хорошо усвоена школьная программа, на какие успехи можно рассчитывать в дальнейшем. Учителя могут использовать возможности интеллектуальной платформы для составления рейтинга учеников и повышения их мотивации.
Интерактивное онлайн тестирование – математика, 6 класс – прекрасный способ добиться отличной успеваемости и сформировать устойчивые навыки решения задач и уравнений любой сложности. Выбирайте нужный раздел и приступайте к выполнению задания. Результат понравится и вам, и вашему ребенку.
Онлайн уроки по математике за 6 класс
Какое число называется делителем (кратным) данного числа? Какое число является делителем любого натурального числа? Чему равен самый маленький (большой) делитель числа а? Чему равно самое маленькое кратное числа а?
Как по записи числа определить, делится ли оно на 2; 5; 10 без остатка? Что такое четное (нечетное) число?
Как по записи числа определить, делится ли оно на 3; 9? Как по записи числа определить, делится ли оно на 6; 18; 15?
На этом уроке мы познакомимся с вами с двумя видами чисел, которые различаются количеством делителей.
Существует ли составное число, которое нельзя разложить на простые множители? Чем могут отличаться два разложения одного и того же числа на простые множители?
Какое число называется наибольшим общим делителем (НОД) двух натуральных чисел? Всегда ли он существует? Какие числа называются взаимно простыми? Как найти НОД двух (трех) натуральных чисел?
Какое число называется наименьшим общим кратным (НОК) чисел а и b? Всегда ли оно существует? Как найти НОК двух (трех) чисел?
В чем состоит основное свойство дроби?
Что значит сократить дробь? Какая дробь называется несократимой?
Какое число может служить общим знаменателем двух дробей? Какое число называется дополнительным множителем?
Какие правила сравнения дробей мы изучили? Как сравнить две дроби с разными знаменателями?
Как сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями? Как сложить (вычесть) обыкновенную и десятичную дроби?
Как сложить два смешанных числа? Как выполнить вычитание смешанных чисел? Как сложить (вычесть) десятичную дробь и смешанное число?
Как умножить дробь на натуральное число? Как умножить дробь на дробь? В чем состоит алгоритм умножения смешанных чисел?
Как найти дробь от числа? Как найти несколько процентов от числа? Как применяется нахождение дроби от числа для решения задач?
Как умножить смешанное число на натуральное? Как применяется распределительное свойство умножения для рационализации вычислений с обыкновенными дробями и смешанными числами?
Какие числа называются взаимно обратными? Какое число является обратным самому себе?
Как разделить дробь на натуральное число? Как разделить дробь на дробь? Как выполняется деление смешанных чисел?
Как найти число по заданному значению его дроби? Как найти число по заданному значению его процентов?
Какое выражение называется дробным? Что называется числителем, знаменателем дробного выражения? Как найти значение дробного выражения?
Что называется отношением двух чисел? Что показывает отношение двух чисел? Как найти, какую часть число а составляет от числа b?
Что называется пропорцией? Какие члены пропорции называются средними, а какие крайними? Как составить верную пропорцию?
Какие величины называются прямо пропорциональными (обратно пропорциональными)? Что можно сказать об отношениях соответствующих значений прямо пропорциональных (обратно пропорциональных) величин?
Что называется масштабом карты, плана, чертежа? Какие виды масштабов бывают? Как применяется понятие «масштаб» для решения задач?
Что называется окружностью, радиусом, диаметром окружности? Как найти длину окружности, зная ее радиус? Как найти площадь круга, зная радиус ограничивающей его окружности?
Что называется радиусом шара, его диаметром? Что называется сферой?
Какие числа называются положительными, отрицательными? Является ли нуль положительным, отрицательным числом? Какая прямая называется координатной прямой?
Какие числа называются противоположными? Какое число противоположно самому себе? Сколько противоположных чисел есть у каждого числа?
Что называется модулем числа? Как обозначается модуль числа? Чему равен модуль положительного (отрицательного) числа, нуля?
Как сравнить два числа с разными (одинаковыми) знаками? Какие правила сравнения чисел с нулем вы знаете? Как сравнить число и его модуль?
Что означает положительное (отрицательное) перемещение точки на координатной прямой? Где в реальной жизни мы сталкиваемся с изменениями величин?
Что значит прибавить к числу а число b? Как изменится число а, если b положительное (отрицательное) число?
Как сложить два отрицательных числа? Может ли при сложении двух отрицательных чисел получиться нуль, положительное число?
Как сложить два числа с разными знаками? Может ли сумма двух чисел с разными знаками быть положительным (отрицательным) числом, нулем?
Что означает вычесть из числа а число d? Может ли разность двух чисел быть числом положительным, нулем, отрицательным?
Как перемножить два числа с разными знаками? Как перемножить два отрицательных числа? Как возвести в квадрат положительное, отрицательное число? Какое число получается в результате?
Как разделить отрицательное число на отрицательное? Как разделить числа с разными знаками?
Какие числа называются рациональными? Существуют ли числа, не являющиеся рациональными?
Какими свойствами обладает сложение (умножение) рациональных чисел? Как применяются свойства действий с рациональными числами для упрощения выражений, нахождения значения выражений?
Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», «—»? Как записать сумму (разность) двух выражений и упростить ее?
Что называется коэффициентом выражения? Как определить знак коэффициента в выражении?
Какие слагаемые называются подобными? Чем могут отличаться подобные слагаемые? Что значит привести подобные слагаемые?
Изменятся ли корни уравнения, если обе части уравнения умножить на ненулевое число? На нуль? Как перенести слагаемое из одной части уравнения в другую?
Какие прямые называются перпендикулярными? Какие отрезки, лучи называются перпендикулярными? Как построить перпендикулярные прямые?
Как расположены на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей прямой?
Как называют пару чисел, определяющих положение точки на координатной плоскости? Как называется первая (вторая) координата точки? Как построить точку с заданными координатами в прямоугольной системе координат?
В чем отличие столбчатой диаграммы от круговой? Как построить столбчатую диаграмму по данным задачи?
Как по графику зависимости величин определять соответствующие значения этих величин? Как построить график зависимости величин по данным задачи?

Лэйдл предлагает пройти онлайн-уроки по математике за 6 класс. Все занятия проходят в режиме онлайн и позволяют значительно повысить знания ребенка по данной дисциплине, разобраться с нюансами школьной программы и улучшить оценки по предмету.
В 6 классе у многих школьников возникают сложности с дробями и операциями деления – именно эти темы являются основными. При помощи грамотно структурированных уроков ребенок научится выполнять простейшие подсчеты без многочасового изучения материала. Лэйдл делает упор на логику и интуитивное понимание математики.
3 причины изучать математику вместе с Лэйдл
Структурированная программа.
Над разработкой уроков работали профессиональные преподаватели, которые смогли выделить самую важную информацию о дробях и представить ее в четко структурированной форме. Это значительно облегчило процесс обучения и сделало его максимально простым и понятным.
Мультимедиа.
Чтобы упростить восприятие теории, мы снабдили каждый урок мультимедийными материалами.
Практика.
Кроме теоретической основы, Лэйдл дает множество практических примеров и заданий. Решая задачи и уравнения онлайн, ребенок учится применять полученные знания в реальной жизни.
Чтобы дроби больше не пугали вашего ребенка, зарегистрируйтесь на Лэйдл и пройдите пробный урок по математике бесплатно!
6 класс | Образовательные тесты

Тест состоит из 24 вопросов с выбором ответа
Математика 6 класс | Автор: Алексеева Т.А. | ID: 12130 | Дата: 16.6.2020

Математика 6 класс | Автор: Елманова Е.В. | ID: 12128 | Дата: 12.6.2020
Используя график изменения среднемесячных температур воздуха в течении года (см. рис.), ответьте на вопросы.
Математика 6 класс | Автор: Кулакова Татьяна Михайловна, учитель математики ГБОУ СОШ № 7 «ОЦ» г. Новокуйбышевска Самарской области | ID: 12312 | Дата: 6.5.2020
Используя график изменения температуры воздуха в течении суток (см. рис.), ответьте на вопросы.
Математика 6 класс | Автор: Кулакова Татьяна Михайловна, учитель математики ГБОУ СОШ № 7 «ОЦ» г. Новокуйбышевска Самарской области | ID: 12311 | Дата: 6.5.2020
Используя график движения туриста (см. рис.), ответьте на вопросы.
Математика 6 класс | Автор: Кулакова Татьяна Михайловна, учитель математики ГБОУ СОШ № 7 «ОЦ» г. Новокуйбышевска Самарской области | ID: 12313 | Дата: 6.5.2020

Самостоятельная работа для 6 класса по теме «Решение уравнений»
Математика 6 класс | Автор: Кравченко Олеся Васильевна | ID: 12199 | Дата: 4.4.2020

Математика 6 класс | Автор: Юракова Н.Г. | ID: 11988 | Дата: 18.2.2020

Математика 6 класс | Автор: Евзрезова Елена Владимировна | ID: 12044 | Дата: 8.2.2020

Математика 6 класс | Автор: Евзрезова Елена Владимировна | ID: 12043 | Дата: 8.2.2020

10 разноуровневых заданий. Предполагаемое время выполнения 5-10 мин. За каждый правильный ответ 1балл. Взято Ю.К. Войтова «Устный счет» в 6 классе Минск Аверсэв 2013
Математика 6 класс | Автор: Евзрезова Елена Владимировна | ID: 12042 | Дата: 8.2.2020
Страница 1 из 13
Математика 6 класс. Все тесты и тренажеры
Выберите необходимый Вам учебно-методический комплекс для прохождения онлайн-тестирования по предмету «Математика 6 класс»:
Тесты для УМК Виленкин (21 тест)

Тесты для УМК Мерзляк (7 тестов)

Тесты для УМК Никольский (48 тестов)

Тесты для УМК Зубарева (25 тестов)

Тесты для УМК Дорофеев (14 тестов)

Тесты для любого УМК (универсальные)
По окончании выполнения теста ученик может направить результаты тестирования на свой адрес электронной почты, а затем на адрес эл.почты своего учителя, либо сразу (напрямую) отправить результаты тестирования своему учителю.

Контрольные работы с ответами. 6 класс
УМК МЕРЗЛЯК: Дидактические материалы: Контрольные работы (12 КР)
УМК МЕРЗЛЯК: Дидактические материалы: Самостоятельные работы (37 СР)
УМК ВИЛЕНКИН: Попов. Дидактические материалы по математике (10 КР)
УМК ВИЛЕНКИН: Жохов. Контрольные работы по математике (15 КР)
УМК ВИЛЕНКИН: Попова. Контрольно измерительные материалы (15 КР)
УМК ВИЛЕНКИН: Ершова и др. Контрольные и самостоятельные работы (итоговая КР)
УМК НИКОЛЬСКИЙ: Потапов. Дидактические материалы; контрольные работы (9 КР)
УМК ДОРОФЕЕВ: Кузнецова, Минаева и др. Контрольные работы (8 КР)
УМК ДОРОФЕЕВ: Смирнова. СиКР: Контрольные работы в 6 кл.
УМК КОЗЛОВА, РУБИН: Контрольные работы по математике в 6 классе
УМК ЗУБАРЕВА: Рудницкая. Дидактические материалы: Контрольные (11 КР)
К любому УМК — Дудницын и др. Контрольные работы по математике 6 кл (итоговая КР)

Регулярное выполнение работ с тестами и контрольных работ поможет учителям и учащимся своевременно получать информацию о полноте усвоения учебного материала. Тематические тесты могут быть включены в урок на любом этапе: актуализации знаний, закрепления изученного, повторения. Онлайн форма тестирования внесет разнообразие в контроль и коррекцию знаний, умений и навыков, не отнимут много времени у учителя. В то же время анализ выполнения тестов поможет выделить повторяющиеся ошибки как индивидуально у каждого ученика, так и в целом по классу.
ВПР-2020 по математике 6 класс. Тренировочный тест !

Электронные версии учебников и конспекты
Опорные конспекты по математике 6 класс
Конспекты по математике 5-6 классы и алгебре 7-9 классы
Онлайн-учебник: Математика 6 кл. / Мерзляк, Полонский, Якир (2014).

Рекомендуемые материалы для очного контроля знаний
по предмету «Математика 6 класс»:
Дидактические материалы по математике. 6 класс. К учебнику Виленкина Н.Я. и др. — Попов М.А. (2017 -128с.)
Контрольные и самостоятельные работы по математике. 6 класс. К учебнику Виленкина Н.Я. и др. Попов М.А. (2016, 96с.)
Математика 6 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю., Лебединцева Е.А. (2013; 336с.)
Математика 6 класс. Контрольные измерительные материалы. Глазков Ю.А., Ахременкова В.И., Гаиашвили М.Я. (2014, 96с.)
Математика 6 класс. Контрольные работы. Жохов В.И., Крайнева Л.Б. (2011, 63с.)
Математика 6 класс. Практикум. Готовимся к ГИА. Шестакова И.В. (2014, 128с.)
Математика 6 класс. Тестовые материалы для оценки качества обучения. Гусева И.Л. и др. (2012, 96с.)
Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В. (2013, 192с.)
Тесты по математике. 6 класс. Журавлев С.Г., Ермаков В.В. и др. (2015, 128с.)
Тесты по математике. 6 класс. К учебнику Виленкина Н.Я. и др. — Рудницкая В.Н. (2013, 144с.)
Сборник практических задач по математике. 6 класс. Выговская В.В. (2012, 64с.)
Математика. Дидактические материалы. 6 класс. Брагин В.Г., Уединов А.Б., Чулков П.В. (2005, 160с.)
Математический тренажер. 6 класс. Жохов В.И. (2013, 95с.)
Математика. 5-6 классы. Тесты. Тульчинская Е.Е. (2014, 96с.)
Сборник задач и упражнений по математике. 6 класс. Гамбарин В.Г., Зубарева И.И. (2011, 95с.)
Дидактические материалы по математике. 6 класс. К уч. Зубаревой И.И., Мордковича А.Г. — Рудницкая В.Н. (2014, 128с.)
Тесты по математике. 6 класс. К учебнику Зубаревой И.И., Мордковича А.Г. — Рудницкая В.Н. (2013, 112с.)
Математика. 6 класс. Тематические тесты (к учебнику Никольского). Чулков П.В., Шершнев Е.Ф., Зарапина О.Ф. (2014, 128с.)
Математика. 6 класс. Дидактические материалы. Потапов М.К., Шевкин А.В. (2017, 128с.)
Контрольные и самостоятельные работы по математике. 6 класс. Журавлев С.Г., Изотова С.А., Киреева С.В. (2015, 224с.)
Контрольные работы по математике. 6 класс. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. (2013, 96с.)
Математика. 6 класс. 176 диагностических вариантов. Астанина Е.В., Радаева Е.А. (2013, 192с.)
Математика. 6 класс. Итоговая аттестация. Типовые тестовые задания. Гаиашвили М.Я., Ахременкова В.И. (2015, 48с.)
Математика. 6 класс. Тематические тестовые задания для подготовки к ГИА. Донец Л.П. (2012, 128с.)
Математика. 6 класс. Тематические тесты. Промежуточная аттестация. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2012, 160с.)
Математика. 6 класс. Тематические тесты. Тренажер. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2014, 128с.)
Математика. 6 класс. Тестовые задания. В 2 ч. Истомина Н.Б., Горина О.П. (2014; 104с., 156с.)
Проверь себя. Тесты по математике. 6 класс. Минаева С.С. (2016, 112с.)
Вернуться
Разные задачи. Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания.

1. Ягода и сахар
Сложность: лёгкое
2

2. Пешеход и велосипедист
Сложность: среднее
2

3. Призовой фонд
Сложность: среднее
3

4. Сумма на счёте через год
Сложность: среднее
2

5. Доход с суммы
Сложность: среднее
2

6. Проценты по вкладу
Сложность: среднее
3

7. Расстояние до турбазы
Сложность: среднее
6

8. Баранина и телятина
Сложность: сложное
7

9. Насосы и вода
Сложность: сложное
4

10. Задача на составление уравнения
Сложность: среднее
4

Список онлайн-ресурсов по математическим задачам и решению задач
Вы здесь: На главную → Интернет-ресурсы → Решение проблем
Здесь вы найдете аннотированный список сайтов и книг по решению задач, а также список математических конкурсов. В сети есть много прекрасных ресурсов для решения проблем со словами! лично проверили и просмотрели каждый веб-сайт, чтобы убедиться, что он действительно полезен.

Общий
Проблемы с весами
Видеоурок, в котором показано решение 14 различных проблем с балансировкой, начиная с самых простых и заканчивая проблемами с двойными весами.
/ учебный / md / scale_problems_video.php
Что можно и чего нельзя делать при обучении решению задач
Почему у большинства студентов так много проблем с задачами со словами? Связана ли причина с одношаговыми задачами со словами в учебниках математики?
/teaching/problem_solving.php
Установка на рост и ценность ошибок при обучении математике
В этой статье обсуждается пластичность мозга — или огромный потенциал для роста нашего мозга, — что означает, что КАЖДЫЙ ученик МОЖЕТ изучать математику.Учащимся необходимо иметь установку на рост, при которой они ценят ошибки и рассматривают их как возможности для развития мозга и обучения.
www.mathmammoth.com/lessons/value_of_mistakes.php

Веб-сайты для решения проблем
Любимые пазлы
Сборник любимых математических пазлов для детей, собранных из моего конкурса пазлов. Большинство из них требует только четырех основных операций, поэтому хорошо подойдет для детей младшего школьного возраста и выше.
/ онлайн / любимых_пазлов.php
Expii Solve
Веселые, заставляющие задуматься, интерактивные математические головоломки, связанные с текущими событиями и поп-культурой, разработанные, чтобы иметь отношение к вашей жизни.
www.expii.com/solve
Колоды по решению проблем из государственных школ Северной Каролины
Включает колоду карточек с проблемами для 1–8 классов, листы для учащихся и решения. Многие из этих проблем лучше всего решать с помощью калькуляторов. Все эти задачи позволяют учащимся рассказать и написать о своем мышлении.
/teaching/problem-solving-decks.php
Math Stars Информационный бюллетень по решению проблем (1–8 классы)
Эти информационные бюллетени являются фантастическим ресурсом для печати с множеством различных задач и их решений.
/teaching/math-stars.php
A + Click
A + Click предлагает постепенный набор из более чем 4700 сложных задач для учащихся с первого по двенадцатый класс, начиная от очень простых и заканчивая чрезвычайно сложными. Без комиссий, без рекламы, без калькуляторов и без входа.Вопросы сосредоточены на понимании, пространственном мышлении, полезности и решении проблем, а не на математических правилах и теоремах. Тесты адаптируются к способностям ученика.
www.aplusclick.com
Варианты судоку от Nrich
Веселые, загадочные и увлекательные вариации судоку. Например, вам предлагаются продукты, различия, уравнения, соотношения и т. Д. В качестве подсказок для завершения судоку.
nrich.maths.org/public/search.php? search = SUDOKU & page = 0
Рабочие листы с задачами Word от DadsWorksheets.com
Очень простые, в основном состоящие из одной операции рабочие листы с задачами для 1–4 классов. На некоторых листах есть проблемы с двумя разными операциями.
www.dadsworksheets.com/v1/Worksheets/Word Problems.html
MathCounts Sc
.
Бесплатная программа для решения математических задач
Бесплатная программа для решения математических задач, представленная ниже, представляет собой сложный инструмент, который быстро решит любые математические задачи, которые вы вводите, а затем покажет вам ответ.
Я рекомендую вам использовать его для проверки своей работы после того, как вы попытались решить проблему самостоятельно.
Рекомендации, которым следует следовать при использовании бесплатной программы для решения математических задач.
Когда вы вводите математические задачи, решающая программа автоматически покажет вам Math Format , чтобы убедиться, что вы правильно ввели математическую задачу, которую действительно хотите решить.
Вы не можете вводить текстовые задачи, так как калькулятор не сможет их понять. Используйте множество математических операторов и старайтесь делать это как можно проще.
Если вы хотите получить пошаговое решение после ввода окончательного ответа, нажмите « Нажмите, чтобы просмотреть шаги … »
Это приведет вас на сайт разработчика, где вы войдете в систему. Может потребоваться небольшая плата для просмотра всех шагов.
Наслаждайтесь этим онлайн-решением математических задач!
Вот краткий список математических тем и математических задач, которые эта бесплатная программа для решения математических задач может решить за вас.

Бесплатная программа для решения математических задач имеет следующие математические темы:
Базовая математика
Предварительная алгебра
Алгебра
Тригонометрия
Предварительное вычисление
Исчисление
Статистика
Конечная математика
Линейная алгебра
Графическое изображение
И просто упомяну несколько,
В разделе базовой математики вы можете выполнять деление в столбик, долгое умножение, преобразование чисел в экспоненциальное представление, сложение, вычитание, умножение и деление дробей, определение площади и объема общих геометрических фигур, преобразование единиц измерения и многое другое. другие.
В разделе алгебры вы можете решить любое уравнение, упростить любое выражение, оценить радикалы, найти область определения любой функции, найти определитель, сопряженный, сомножитель и инверсию матриц, выполнить сложение векторов и вычитание векторов. , нахождение уравнений конических сечений и многие другие.
В разделе исчисления вы можете найти пределы, производные и интегралы выражений, определить, когда функции увеличиваются или уменьшаются, находить минимумы и максимумы и многое другое.
В разделе статистики вы можете найти среднее значение, медиану, режим, стандартное отклонение, дисперсию, комбинацию, перестановку, вероятность биномиального распределения, z-показатель нормального распределения, выполнить проверку гипотез, найти регрессию линия и многие другие.
В разделе о линейной алгебре вы можете решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера или расширенную матрицу, найти нулевое пространство, ранг или нулевое значение, найти собственные значения, собственные векторы и собственное подпространство матрица.
Новые уроки математики
Ваша электронная почта в безопасности. Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.
.
задач по математике | Математическая площадка
1 класс
2 класс
3 класс
4 класс
5 класс
6 класс
Играть в игры
Математические задачи со словами
Реклама | Без рекламы
Моделирование и решение с помощью блоков мышления
Задачи печати Word из блоков мышления
Thinking Blocks Junior
Добавление блоков мышления
Умножение блоков мышления
Дроби блоков мышления
Соотношение мыслительных блоков
Инструмент Thinking Blocks
MATH ИГРОВАЯ ПЛОЩАДКА
Игры 1-го класса
Игры 2-го класса
Игры 3-го класса
Игры 4 класса
Игры 5-го класса
Игры 6-го класса
Блоки мышления
Математические видео МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
Дополнение Игры
Игры на вычитание
Игры на умножение
Дивизион Игры
Игры фракций
Соотношение Игры
Prealgebra Игры
Геометрия Игры ОБУЧАЮЩИЕ ИГРЫ
Логические игры
Классические игры
Орфографические игры
Грамматика
Печатные игры
География Игры
Математические пазлы
Пространственное мышление
ВЕСЕЛЫЕ ИГРЫ
Игры на ловкость
Приключенческие игры
Гоночные игры
Спортивные игры
Бесконечный бегун
Идеальный Timimg
Многопользовательские игры
Все игры Реклама | Без рекламы
Насчет нас политика конфиденциальности Условия использования Условия оплаты Получить помощь
Copyright © 2020 Math Playground LLC • Все права защищены
.
Тесты по математике Mammoth для 1-7 классов (бесплатная оценка по математике)

Эти бесплатных диагностических тестов помогут вам определить уровень своего ребенка или ученика в математике и ТОЧНО выяснить, где у них есть пробелы (если таковые имеются). Это тесты на конец года (EOY) — другими словами, их нужно сдавать ПОСЛЕ изучения определенного класса.
Несмотря на то, что тесты ЯВЛЯЮТСЯ тестами для размещения по программе Math Mammoth, завершенной учебной программой , они работают одинаково хорошо с тестами GENERIC по оценке математики.
Использование тестов позволит вам адаптировать инструкцию, чтобы помочь ребенку / ученику именно там, где они больше всего нуждаются в помощи. Вы можете ЛЕГКО узнать, не изучил ли ваш ученик определенные темы, потому что в тестах вопросы группируются по темам . Достаточно взглянуть на результаты тестов по «разделам» похожих задач (сложение, умножение, измерение, геометрия, разметка, решение задач).
В случае сомнений вы всегда можете прислать мне результаты анализов вашего ребенка. (Просто пришлите мне количество баллов за каждый элемент теста.)
Для начала просмотрите тесты и попытайтесь найти самый высокий уровень, который, как вы ДУМАЕТЕ, пройдет ваш ученик или ребенок. Тогда вы, естественно, проведете этот тест.
Видео ниже объясняет основы того, КАК использовать эти тесты:

В этой таблице показаны возможные диапазоны баллов и способы интерпретации результата:
Оценка Значение
90% или более Провести тест следующего более высокого уровня.
от 80% до 89% Учащийся может перейти на следующий уровень по математике Мамонт.
от 70% до 79% Учащийся, вероятно, сможет перейти на следующий уровень по математике Мамонт, но ему может потребоваться помощь в заполнении пробелов. Используйте свое суждение.
от 50% до 69% Учащийся может быть переведен в класс теста. Или вы можете провести следующий тест более низкого уровня, чтобы получить более полное представление о том, что студент знает и чего не знает.
менее 50% Провести следующий тест более низкого уровня.
Однако вполне возможно, что только один тест не даст вам хорошего обзора того, что студент освоил. Так что не бойтесь проводить два или даже три теста — или частей, тестов. Например, предположим, что ученик набрал 70% по тесту, и, в частности, он получил низкий балл в разделе теста по геометрии. В этом случае полезно также управлять разделами ГЕОМЕТРИЯ тестов следующего более низкого уровня, чтобы выяснить, насколько «велик» разрыв в геометрии.

Иногда ученик, который серьезно отстает, может получить низкий балл даже по ТРЕМЯ следующим тестам. По сути, их навыки и знания, так сказать, «повсюду». Такие студенты могут извлечь выгоду из индивидуального подхода, при котором материалы, которые они будут изучать, будут точно соответствовать имеющимся у них пробелам.
Еще одна важная вещь. Чтобы уменьшить стресс от сдачи теста, не устанавливайте строгих ограничений по времени для завершения теста. Мы не хотим, чтобы у студентов возникло какое-либо беспокойство из-за этого промежуточного теста или тестов.Некоторые дети уже испытывают тревогу по поводу сдачи тестов и / или математики в целом. В таких случаях лучше избегать даже этих тестов или, по крайней мере, отложить их до тех пор, пока тревога не утихнет.
Экзамен на конец года по математике «Мамонт», 1 класс
Ответы на экзамен на конец года по математике «Мамонт», 1 класс
Экзамен на конец года по математике на мамонта, 2 класс
Ответы на экзамен на конец года по математике на мамонта, 2 класс
Экзамен на конец года по математике на мамонта, 3 класс
Ответы на экзамен на конец года по математике на мамонта, 3 класс
Тест по математике Мамонт в конце года, 4 класс
Ответы на экзамен по математике Мамонт в конце года, 4 класс
Тест по математике Мамонт в конце года, 5 класс
Ответы на экзамен по математике Мамонт в конце года, 5 класс
Экзамен на конец года по математике на мамонта, 6 класс
Ответы на экзамен на конец года по математике на мамонта, 6 класс
Тест на конец года по математике на мамонта, 7 класс (предварительная алгебра)
Ответы на экзамен на конец года по математике на мамонта, 7 класс
Совет: Если вы заметили, что у вашего ребенка проблемы с одной или двумя концептуальными областями в конкретном тесте, но в остальном все хорошо, вы можете использовать книги серии Math Mammoth Blue Series, чтобы «заполнить эти пробелы».Вы также можете написать мне по электронной почте с результатами вашего теста, если не можете решить, какую книгу Blue Series вам следует использовать для такой коррекционной работы.
Рабочие тетради
Math Mammoth для проверки на уровне класса также можно использовать для выявления слабых мест или для проверки тем на уровне всего класса.

Пример
Вот пример результатов теста одного ученика и совета по размещению, который я дал родителю этого ученика.
Предыстория : ученик начал обучение на дому в том же году, когда были сданы тесты, и технически учится в 7-м классе.Она начала делать учебники по алгебре 1. Однако родитель заметила, что она не знает основную информацию о дробях, решила поискать дополнение и наткнулась на Math Mammoth.
Ученица сдала три экзамена в конце года: для 6, 5 и 4 класса. Она не очень хорошо сдала тест для 6 класса, но вы можете увидеть ее работу для 4 и 5 классов по ссылкам. ниже. Если вы решите прислать мне результаты вашего ребенка , нет необходимости отправлять мне полный тест, как это сделал этот человек, но это хороший пример.Большинство людей присылают мне только количество баллов за различные тестовые задания.
А вот и моя оценка и рекомендации:
Привет,
Я думаю, что будет хорошей идеей начать ее с 5 класса по математике Мамонт.
Кроме того, я считаю, что ей следует изучить эти книги из серии Blue.
Early Geometry, потому что она, похоже, не понимает концепций площади и периметра, которые имеют первостепенное значение. Эта книга предназначена для 1–3 классов, поэтому некоторые темы в ней слишком простые, и она может их пропустить.
Геометрия 1 — предназначена для 4-5 классов. Ей нужно будет сначала изучить уроки 4-го класса (углы, четырехугольники, треугольники и т. Д.). Обратите внимание, что часть содержания здесь совпадает с 5-м классом ММ. Она может изучать совпадающие уроки из любого источника.
Измерение 1 — это для классов 1-3, но ей, возможно, придется с самого начала пересмотреть все, что касается единиц измерения. Некоторые уроки могут быть слишком простыми и их можно пропустить — судите сами.
Измерение 2 — для 4-6 классов. Обратите внимание, что часть содержания здесь частично совпадает с 5 и 6 классами ММ. Она может изучать совпадающие уроки из любого источника.
Десятичные 1
Она не поняла основ того, как связаны дроби и десятичные дроби, что, опять же, является очень фундаментальной концепцией. Она должна изучить книгу «Десятичные дроби 1», прежде чем начинать раздел «Десятичные дроби» в 5 классе.

Помимо этих нескольких областей (геометрия, измерения, десятичные дроби), ее можно поместить в MM 5.
Кстати, не перекладывайте все задачи, связанные с расчетами (большие наборы упражнений) ни в один из материалов. Достаточно сначала назначить 1/3 из них. Если у нее возникнут трудности, то используйте остальное (а это может быть так, если речь идет, скажем, о периметре и площади).
И она очень хорошо справилась с первыми двумя разделами итогового теста 5-го класса, что означает, что она, возможно, могла бы пропустить первые две главы MM5. Вы можете позволить ей изучить обзоры глав и / или тесты из этих 2 глав.Проверьте и посмотрите, как она с ними справится, а затем подумайте, нужно ли ей выучить какие-либо уроки из этих глав.
К счастью, она также понимает многие вещи из дробной арифметики, что ускоряет выполнение части 5-B.
Я очень рад, что ее «пробелы» в общем-то не решают! Намного легче разобраться с такими темами, как единицы измерения, площадь и периметр, чем исправить общую неспособность решать текстовые задачи (что характерно для многих детей).
С уважением,
Мария Миллер

Вопросы по размещению
Мой K-ученик хочет усложнить задачу и заняться математикой в первом классе. Как я могу узнать, подходит ли голубой класс 1 для моего ребенка?
«Голубой» класс 1 начинается с того же материала, что и книги из серии «Голубой»: добавление 1 и вычитание 1. Просмотрите их, посмотрите их образцы и содержание, и это, вероятно, скажет вам, готовы ли ваши дети к 1 классу. .
Я думал, что мой ребенок раньше хорошо успевал по математике (получал пятерки и пятерки), но он / она все равно не сдал контрольный тест для своего конкретного класса.
Это обычное явление для детей, которые учатся в государственной школе или по другой математической программе. Как правило, это связано с тем, что (i) Math Mammoth широко использует многоступенчатые задачи со словами начиная со 2-го класса; и (ii) ребенок, возможно, не изучил все темы другой учебной программы, которые рассматриваются в MM.Геометрия и измерение часто оказываются такими областями.
Чтобы наверстать упущенное, ознакомьтесь с советом выше по использованию книг Blue Series. Еще одна вещь, которую вы можете сделать, — это ускорить прохождение более ранних уровней Math Mammoth, например, изучив обзоры глав и остановившись, чтобы изучить любую концепцию, которую ребенок не понял.
Такой процесс обычно можно выполнить всего за несколько месяцев, так что не беспокойтесь! Гораздо важнее получить прочную основу в математике, чем смотреть на классы и просто продолжать.В математике крайне важно понимать предыдущие концепции, потому что в противном случае ученик в конечном итоге потерпит неудачу, и большинство из них также начнут ненавидеть математику.
См. Также эту ветку на дискуссионном форуме домашнего обучения: Неожиданный опыт сдачи экзамена по математике мамонта в конце года.
Студент пропускает (или даже не пытается) большинство задач со словами в тесте, но справляется с задачами с расчетами.
Это ОБЫЧНАЯ ситуация для многих студентов. Обычно это происходит из-за отсутствия заданий на правильное слово в математической программе, по которой студент учился.Прочтите, что я написал о проблеме со словами, чтобы вы могли лучше понять ее происхождение.
На этой странице вы также найдете список РЕСУРСОВ, которые могут вам помочь. Дополнительно или в качестве альтернативы, ваш ученик может просмотреть определенные книги Синей серии, делаю только задачи со словами и уроки, относящиеся к задачам со словами. Используйте это как ориентир:
Учащийся попытался сдать экзамен в конце учебного года во 2-м классе:
Сложить и вычесть 2-A, Сложить и вычесть 2-B и половину сложить и вычесть 3.
Учащийся попытался сдать экзамен в конце года в 3-м классе:
(возможно, сложить и вычесть 2-A) Сложить и вычесть 2-B, добавить и вычесть 3, умножить 1 и разделить 1.
Учащийся сдал итоговый тест 4-го класса:
Сложение и вычитание 3, умножение 1, деление 1, умножение 2 и разделение 2.
Мой ребенок сдал тест , за исключением такой-то области или темы. Можете ли вы помочь мне выбрать лечебные материалы?
См. Следующую таблицу.

Я использую Math-U-See, и мой ребенок не изучал некоторые материалы, которые вы освещаете, раньше, чем MUS. Как мне перейти на Math Mammoth?
Я бы просто порекомендовал вам сначала пройти тест на определение уровня знаний, чтобы точно узнать, что она знает и чего не знает по тем темам, которые MUS не так широко освещает, например, измерения, деньги, часы, геометрия и решение проблем. .
Затем, после того как ребенок пройдет тест, вы можете выбрать книги из Синей серии, посвященные конкретным темам (см. Таблицу выше).
Помните также, я готов помочь вам с этими решениями. Просто дайте мне знать результаты тестирования ребенка по разделам.
Мария Миллер
.

Оценка	Значение
90% или более	Провести тест следующего более высокого уровня.
от 80% до 89%	Учащийся может перейти на следующий уровень по математике Мамонт.
от 70% до 79%	Учащийся, вероятно, сможет перейти на следующий уровень по математике Мамонт, но ему может потребоваться помощь в заполнении пробелов. Используйте свое суждение.
от 50% до 69%	Учащийся может быть переведен в класс теста. Или вы можете провести следующий тест более низкого уровня, чтобы получить более полное представление о том, что студент знает и чего не знает.
менее 50%	Провести следующий тест более низкого уровня.

Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a₁₄ есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a₃₂ стоит в третьей строке и втором столбце.

Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается A^T. Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.

Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.

Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

Алгебраическим дополнением к элементу a_ik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1)^i+k, где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента a_ik. Обозначают алгебраическое дополнение A_ik.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A^–1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

Найти определитель матрицы.

Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.

Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.

Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.
Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше…
Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.
Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.
Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.
Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…
Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.
Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?
Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.
~~Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать.~~ Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».
Матрицы — Введение
Каталин Дэвид
Матрица — это прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, содержащих числа.
Общий вид матрицы выглядит таким образом:
Элементы матрицы обозначаются $a_{n,m}$, где m — номер строки, а n — номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.
Пример 1
$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 1 & 4\\ \end{pmatrix} $
A — матрица из 2 строк и 3 столбцов, в которой число 2 стоит в первой строке, третьем столбце.
Пример 2
$A= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 2\\ 8 & 7 & 3\\ \end{pmatrix} $
B — матрица из 3 строк и 2 столбцов, в которой число 8 стоит во второй строке, втором столбце.
Матрица с равным числом строк и столбцов называется квадратной матрицей.
Пример 3 $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 1\\ \end{pmatrix} $
C — матрица из 3 строк и 3 столбцов
D — общий вид квадратной матрицы.
$D= \begin{pmatrix} \color{red}{a_{1,1}} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & \color{blue}{a_{1,n}}\\ a_{2,1} & \color{red}{a_{2,2}} & a_{2,3} & . & \color{blue}{a_{2,n-1}} & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & \color{red}{a_{3, \color{blue}{3}}} & . & . & a_{3,n}\\ . & \color{blue}{a_{n-1,2}} & . & . & .& .\\ \color{blue}{a_{n,1}} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & \color{red}{a_{n,n}}\\ \end{pmatrix}$
Элементы главной диагонали выделены красным цветом, а на побочной диагонали — синим.
Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей.
Пример 4
$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 4\\ \end{pmatrix} $
Пример 5
$I_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$
Транспонированная матрица получается, если в исходной матрице заменить строки на столбцы. Если дана матрица A, то транспонированная матрица A обозначается $A^{T}$.
Пример 6
$A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ тогда $A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 3 & 9 \end{pmatrix}$
Высшая математика 1 курс
Замечание 1
Курс высшей математики в вузах различается как продолжительностью изучения, так и наполнением тем для изучения. Но существует определенный неизменяемый перечень тем, обязательных для изучения студентами. Дадим краткую характеристику основным темам, которые изучаются на $1$ курсе вуза.
Линейная алгебра
Матрицы и действия над ними
Рассматриваются матрицы, которые содержат m строк и n столбцов.
Изучаются равные матрицы, квадратные, диагональные, единичные, треугольные и трапецевидные матрицы.
Над матрицами выполняются следующие виды действий:
сложение матриц одинакового размера;
умножение матрицы на вектор-столбец;
умножение матрицы на число;
умножение матриц, причем вводится понятие согласованности и транспортирования матриц;
Определитель квадратной матрицы
Рассматривается понятие определителя для матриц до 4-го порядка.
Основные свойства определителей:
Если А и В являются квадратными матрицами, то $|AB|=|BA|=|A| \times |B|$. Причем $AB \ne BA$.
$|A|=|A^T|$.
Определитель равен нулю, если он содержит нулевой ряд или $2$ одинаковых параллельных ряда.
Для диагональной и треугольной матриц определитель равен произведению чисел главной диагонали.
Общий множитель любого ряда определителя можно вынести за его знак.
Готовые работы на аналогичную тему
Рассматривается понятие минора и теорема Лапласа (о разложении определителя).
Обратная матрица
Алгоритм нахождения обратной матрицы при условии, что матрица $A$ – невырожденная и ее определитель не равен нулю:
Каждый элемент матрицы заменяется его алгебраическим дополнением, получается союзная матрица.
Союзная матрица транспонируется.
Выполняется деление каждого элемента союзной матрицы на определитель матрицы.
Ранг матрицы
Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее из порядков отличных от нуля миноров данной матрицы.
Свойства:
Ранг матрицы не изменяется при транспонировании.
При вычеркивании нулевого ряда ранг не изменяется.
Ранг матрицы не изменяется при выполнении элементарных преобразований.
Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых элементов, расположенных на главной диагонали.
Метод Крамера решения невырожденных систем СЛАУ
Уравнение $AX=B$, где $|A| \ne 0$ решается так:
$a_k=\frac{|A_k |}{|A|}$ , где $A_k$ можно получить из $A$ заменой какого столбца на столбец свободного члена $B$.
Метод Гаусса
Вводится понятие расширенной матрицы, совместной и определенной системы уравнений, равносильных систем уравнений, однородной системы линейных уравнений.
Правило решения системы уравнений:
Найти ранг основной ($rA$) и расширенной ($r \bar{A}$):
Если $rA \ne r \bar{A}$, то система несовместна;
Если $rA=r \bar{A}=r$, то система совместна и находят базисный минор порядка $r$:
берутся $r$ уравнений, из коэффициентов которых составляется базисный минор, остальные отбрасываются. Неизвестные, коэффициенты которых составляют минор, называются главными. Их записывают слева, а остальные $(n-r)$ – справа;
выражают главные неизвестные через свободные и получают общее решение системы;
свободным неизвестным дают произвольное значение и получают частные решения.
Элементы векторной алгебры
Векторы
Изучается понятие вектора, длина и направление вектора, противоположный вектор, нулевой вектор, коллинеарные и компланарные векторы.
Операции над векторами
Рассматриваются операции над векторами:
умножение вектора на число;
сумма векторов;
скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Аналитическая геометрия
Прямая на плоскости
Несколько видов уравнений описывают прямую на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой через точку и направление, уравнение через 2 точки, уравнение в отрезках, уравнение через данную точку перпендикулярно вектору, нормальное уравнение прямой.
Традиционно рассматривается формула для нахождения угла между прямыми, условия перпендикулярности и параллельности прямых и расстояния от точки до прямой.
Плоскость в пространстве
Плоскость в пространстве задается с помощью различных видов уравнения: уравнение через точку перпендикулярно к вектору, уравнение через 3 точки, нормальное уравнение плоскости, уравнение в отрезках.
Рассматривается угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.
Прямая в пространстве
Канонические уравнения прямой или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, уравнения в параметрическом виде, общее и векторное уравнение прямой, уравнение прямой через 2 точки в пространстве. Формула угла между прямыми.
Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой и плоскости
Для каждого из вариантов расположения предлагается формула для нахождения угла между плоскостями, прямыми и прямой и плоскостью, а также условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой и плоскости.
Отдельно изучается пересечение прямой с плоскостью и условие принадлежности прямой плоскости.
Линии второго порядка
Эллипс
Кроме основного канонического уравнения эллипса изучаются понятия эксцентриситета и директрис.
Гипербола
Изучается каноническое уравнение гиперболы, уравнения асимптот, понятие эксцентриситета, директрисы и фокальных радиусов.
Парабола
Рассматривается понятие полуфокального диаметра параболы и каноническое уравнение параболы.
Замечание 2
Изучение высшей математики на первом курсе, как правило, заканчивается изучением раздела «Линии второго порядка», но может варьироваться в зависимости от учебных планов, программ и специальностей.
Матрица
| математика | Britannica
Matrix , набор чисел, упорядоченных по строкам и столбцам, чтобы сформировать прямоугольный массив. Числа называются элементами или элементами матрицы. Матрицы находят широкое применение в технике, физике, экономике и статистике, а также в различных областях математики. Исторически первым распознаванием была не матрица, а определенное число, связанное с квадратным массивом чисел, называемое определителем. Лишь постепенно возникла идея матрицы как алгебраической сущности.Термин матрица был введен английским математиком 19 века Джеймсом Сильвестром, но именно его друг, математик Артур Кэли, разработал алгебраический аспект матриц в двух статьях 1850-х годов. Кэли впервые применил их к изучению систем линейных уравнений, где они до сих пор очень полезны. Они также важны, потому что, как признал Кэли, определенные наборы матриц образуют алгебраические системы, в которых действуют многие обычные законы арифметики (например, ассоциативные и распределительные законы), но в которых другие законы (например,g., коммутативный закон) не действуют. Матрицы также нашли важное применение в компьютерной графике, где они использовались для представления поворотов и других преобразований изображений.
Если имеется m строк и n столбцов, матрица называется матрицей « m на n » с записью « m × n ». Например,
— это матрица 2 × 3. Матрица с n строками и n столбцами называется квадратной матрицей порядка n .Обычное число можно рассматривать как матрицу размером 1 × 1; таким образом, 3 можно рассматривать как матрицу [3].
Britannica Premium: удовлетворение растущих потребностей искателей знаний. Получите 30% подписки сегодня. Подпишись сейчас
В общепринятых обозначениях заглавная буква обозначает матрицу, а соответствующая малая буква с двойным нижним индексом описывает элемент матрицы. Таким образом, a _ij является элементом i -й строки и j -го столбца матрицы A .Если A — это матрица 2 × 3, показанная выше, то a ₁₁ = 1, a ₁₂ = 3, a ₁₃ = 8, a ₂₁ = 2, a ₂₂ = −4 и a ₂₃ = 5. При определенных условиях матрицы могут складываться и умножаться как отдельные объекты, что дает начало важным математическим системам, известным как матричные алгебры.
Матрицы естественным образом встречаются в системах одновременных уравнений.В следующей системе для неизвестных x и y ,
массив чисел
представляет собой матрицу, элементы которой являются коэффициентами неизвестных. Решение уравнений полностью зависит от этих чисел и от их конкретного расположения. Если бы 3 и 4 поменяли местами, решение было бы другим.
Две матрицы A и B равны друг другу, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов и если a _ij = b _ij для каждый i и каждый j .Если A и B — две матрицы размером m × n , их сумма S = A + B представляет собой матрицу m × n , элементы которой s _ij = a _ij + b _ij. То есть каждый элемент S равен сумме элементов в соответствующих позициях A и B .
Матрица может быть умножена на обычное число c , которое называется скаляром. Продукт обозначается cA или Ac и представляет собой матрицу, элементы которой равны ca _ij.
Умножение матрицы A на матрицу B для получения матрицы C определяется только тогда, когда количество столбцов первой матрицы A равно количеству строк второй матрицы B .Чтобы определить элемент c _ij, который находится в строке i и столбце j продукта, первый элемент в строке i числа A умножается на первый элемент в j -м столбце B , второй элемент в строке — второй элемент в столбце и так далее, пока последний элемент в строке не умножится на последний элемент столбца; сумма всех этих произведений дает элемент c _ij.В символах для случая, когда A имеет м столбцов, а B имеет м строк,
Матрица C имеет столько же строк, сколько A и столько же столбцов, сколько B .
В отличие от умножения обычных чисел a и b , в котором ab всегда равно ba , умножение матриц A и B не является коммутативным. Однако оно ассоциативно и распределительно по сравнению с сложением.То есть, когда операции возможны, всегда выполняются следующие уравнения: A ( BC ) = ( AB ) C , A ( B + C ) = AB + AC и ( B + C ) A = BA + CA . Если матрица 2 × 2 A со строками (2, 3) и (4, 5) умножается сама на себя, то произведение, обычно записываемое A ², имеет строки (16, 21) и ( 28, 37).
Матрица O со всеми ее элементами 0 называется нулевой матрицей. Квадратная матрица с единицами на главной диагонали (вверху слева направо вниз) и нулями во всех остальных местах называется единичной матрицей. Он обозначается I или I _n, чтобы показать, что его порядок равен n . Если B — любая квадратная матрица, а I и O — единичная и нулевая матрицы одного порядка, всегда верно, что B + O = O + B = B и BI = IB = B .Следовательно, O и I ведут себя как 0 и 1 в обычной арифметике. Фактически, обычная арифметика является частным случаем матричной арифметики, в которой все матрицы имеют размер 1 × 1.
Связано с каждой квадратной матрицей A — это число, известное как определитель A , обозначаемое det A . Например, для матрицы 2 × 2
det A = ad — bc . Квадратная матрица B называется невырожденной, если det B ≠ 0.Если B неособое, существует матрица, обратная B , обозначенная B ^-1, так что BB ^-1 = B ^-1 B = Я . Уравнение AX = B , в котором A и B — известные матрицы, а X — неизвестная матрица, может быть решено однозначно, если A — невырожденная матрица, тогда A ⁻¹ существует, и обе части уравнения можно умножить слева на него: A ⁻¹ ( AX ) = A ⁻¹ B .Теперь A ⁻¹ ( AX ) = ( A ⁻¹ A ) X = IX = X ; следовательно, решение равно X = A ⁻¹ B . Систему м линейных уравнений в n неизвестных всегда можно выразить в виде матричного уравнения AX = B , в котором A — это матрица коэффициентов неизвестных м × n , X — это матрица неизвестных размером n × 1, а B — это матрица n × 1, содержащая числа в правой части уравнения.
Задача, имеющая большое значение во многих областях науки, заключается в следующем: по квадратной матрице A порядка n, найти матрицу n × 1 X, , называемую n -мерным вектором, таким образом, что AX = cX . Здесь c — число, называемое собственным значением, а X — собственным вектором. Существование собственного вектора X с собственным значением c означает, что определенное преобразование пространства, связанное с матрицей A , растягивает пространство в направлении вектора X на коэффициент c .
.
Выбор правильного курса математики 11-го года
В этом посте мы отвечаем на некоторые часто задаваемые вопросы учащихся 10-го класса о выборе правильного курса математики для 11-го года:
Когда наступают новые 11 и 12-й классы (этап 6) Математика Syllabus начать?
В чем разница между расширенным курсом математики и расширением 1 по математике?
Что мне выбрать: математика продвинутый или математический дополнительный 1?
Насколько важны курсы математики 11 класса в HSC?
Как оцениваются различные курсы математики?
Новогодние 11 и 12 классы (этап 6) Программа по математике начинается в 2019 году, а не в 2018.
NESA разработала новую программу Stage 6, которая должна была начаться в 2018 году. Однако ее введение отложено до 2019 . Итак, учащиеся 11 класса 2018 г. будут НЕ , которые начнут изучение нового учебного плана по математике 11 и 12 (этап 6).
Это означает, что в 2017 году учащиеся 10-го класса будут изучать текущую программу по математике 6-го уровня в 2018 г., в отличие от английского языка и естественных наук, которые начинаются в 2018 г.
Текущий учебный план по математике 11-го класса
Математика 11-го класса является первым годом 6-го этапа. Математика.
Математика 9-го и 10-го классов называется математикой 5-го уровня
Математика 11-го и 12-го классов называется математикой 6-го уровня
Для учащихся 11-го класса существует три различных курса обучения. Ниже приведены ссылки NESA на содержание курса:
Для учащихся 12-го класса существует четыре различных курса обучения:
Выбор правильного курса математики 11-го класса (стандарт 2 по математике, углубленный математический уровень, расширение 1 по математике)
Различные уровни математики предъявляют разные требования к компетентности и способностям учащихся.Чтобы помочь студентам определить, какой курс математики им подходит, мы создали блок-схему, которая иллюстрирует уровень успеваемости, который необходимо достичь студентам на разных уровнях курсов математики.

Успеваемость учащихся 10-го класса по математике должна определять уровень математики 11-го класса, который они выбирают для изучения.
Курсы по математике 1-го и 12-го классов по стандарту 1 нацелены на то, чтобы студенты овладели практическими аспектами математики для поступления на работу.
Математический стандарт 2-го класса 11 и 12-го класса направлен на дальнейшее развитие математических навыков учащихся, но не на уровень, необходимый для получения университетской степени, требующей продвинутой математики.Студенты, которые преуспевают в этом и желают изучать курс в университете, требующий предварительных требований по математике, должны будут пройти промежуточный курс, хотя этот предмет поможет подготовиться к такому промежуточному изучению.
Продвинутый курс математики 11 и 12 классов предназначен для учащихся, продемонстрировавших общую компетентность во всех навыках продвинутого курса математики 10 класса. Если учащиеся испытывали трудности в 10-м классе по математике продвинутого уровня, им следует подумать о прохождении 11-го класса по математическому продвинутому курсу.
Если учащиеся хорошо успели на 10-м классе по математике продвинутого уровня, им следует подумать о том, чтобы пройти курс 11-го класса по математике, дополнительный 1.
Курс дополнительного 1-го курса математики для 11 и 12-х классов предназначен для учащихся, которые продемонстрировали мастерство в рамках углубленного курса математики 10-го класса. Если учащиеся хорошо успели в 10-м классе по математике продвинутого уровня, им следует подумать о прохождении курса 11-го класса по математике, дополнительный 1.
Для различных университетских курсов теперь требуется математика Advanced или более высокая
Университеты начинают вводить предварительные требования по математике или / или рекомендуемые предметы с минимальным результатом HSC для различных курсов.
Щелкните здесь, чтобы увидеть таблицу степеней Сиднейского университета, для которых требуется предварительное условие по математике.
NESA рекомендует:
Продвинутый курс математики (2 единицы) как наиболее подходящий для университетских курсов, таких как естественные науки, бизнес, финансы, технологии и образование.
Курс математического расширения 1 как наиболее подходящий для университетских курсов, таких как физика, химия, инженерия, статистика и информатика.
Почему математический модуль 1 называется трехблочным математическим курсом?
Содержание 1-го расширения математики включает в себя весь углубленный курс математики (2-й модуль). Таким образом, учащиеся сдают экзаменов HSC для:
12-й год углубленного изучения математики и
12-го года углубления по математике 1.
По этой причине на курс углубленного изучения математики 12-го класса присваиваются 2 единицы баллов HSC а курсу Year 12 Mathematics Extension 1 присваивается 1 единица баллов HSC .Следовательно, общее количество единиц для этого курса составляет 3 единицы .

Изображение: Разбивка по математике Расширение 1 (3 блока)
Хотите учиться у лучших по математике, стандарт 2?
Курс Matrix + Maths Std 2 Y12 поможет вам подготовить HSC дома! Выучить больше.

Сравнение курсов математики: стандартная математика 2 против продвинутого и дополнительного по математике 1
Темы 11-го класса по математике продвинутого уровня и дополнительного 1 перечислены ниже.Обратите внимание, что в расширении 1 по математике для 11-го класса учащиеся изучают тем: : математика 11-го класса продвинутого уровня и дополнительные 1-е темы.
90 -133 A1: и уравнения
Таблица: 11-й класс по математике Advanced и Extension 1 Syllabus
Стандартный 2-й класс по математике 11-й класс по математике Advanced 11-й год Расширение по математике 1
Базовая арифметика и алгебра (1.1 — 1.4) Другие неравенства (1.4E)
MS-A2: линейные отношения Действительные функции (4,1 — 4,4) Геометрия круга (2,6 — 2,10)
MS-F1 (F1.1): проценты и амортизация Тригонометрические отношения (5,1 — 5,5) Дополнительная тригонометрия (5,6 — 5,9)
MS-M1 Приложения измерения (M1.1) Линейные функции (6,1-6,5, 6,7) Углы между двумя линиями (6,6)
MS-F1 Money Matters Квадратичный многочлен и парабола (9.1 — 9,5) Внутреннее и внешнее разделение линий на заданные соотношения (6,7E)
MS-M2 Работа со временем Геометрия плоскости (2,1 — 2,4) Параметрическое представление (9,6)
MS -S1 Анализ данных Касательная к кривой и производная функции (8.1 — 8.9) Перестановки и комбинации (18.1)
MS-S2 Относительная частота и вероятность Полиномы (16.1 — 16.3)
Более сложные приложения курса из 2 предварительных единиц
В зависимости от школы программа 1-го модуля математики 11 класса будет отличаться.
Некоторые школы предпочитают сначала закончить темы 11-го класса «Математика продвинутого уровня» перед тем, как начать изучение тем 11-го класса «Математика Extension 1».
Большинство школ предпочитают преподавать для 11-го класса «Математика продвинутого уровня» и «Расширение 1» одну за другой.
В Matrix мы последовательно изучаем темы по математике 11 класса и дополнительные предметы 1.Математические программы 11-го класса по математике Стандартный 2, Продвинутый и Расширенный 1 показаны ниже:
Линейные Абсолютные функции 901 Значения и неравенства
Квадратичный многочлен
Таблица: Математическая программа 11-го класса
Период Математика 11-й год Стандартный 2 11-й год Maths Advanced Год 11 Maths Extension 1
сентябрь — декабрь
Запуск в январе 2021 года
Базовая арифметика и алгебра
Абсолютные значения
Линейные функции
Январь — апрель
Запуск в январе 2021 года
Функции и взаимосвязи
Тригонометрические отношения Тригонометрические отношения
9025 Предел 9025 Локус 5
9025
Запуск 20 января 21
Плоская геометрия
Квадратичный многочлен
Локус и парабола Многочлены
Геометрические приложения дифференцирования
Параметрическое представление
июль — сентябрь
июль — сентябрь
Январь 20253 Запуск 9022 9022 Запуск версии 9022 Предварительные темы Последовательности и серии
Геометрия круга
Интеграция
Тома
Темы 12-го года по математике для продвинутых, стандартных 2 и дополнительных 1 перечислены ниже.Обратите внимание, что учащиеся 12-го класса по математике на дополнительном уровне 1 изучают предметов по математике 12-го класса продвинутого уровня и дополнительные 1-е темы.
серии
Таблица: 12-й год Математика Стандартный 2, Продвинутый и Расширение 1 Учебный план
12-й год Стандартный 2-й курс по математике 12-й год Математика Продвинутый 12-й год Математический Расширенный 1
MS -A4 Типы взаимосвязей Координатные методы в геометрии (6.8) Метод интегрирования (11.5)
MS-F4 Инвестиции и ссуды Применение геометрических свойств (2,5) Примитив sin (2x) и cos (2x) (13.6E)
MS-N2 Сетевые концепции Геометрические приложения дифференцирования (10.1-10.8) Уравнение экспоненциального роста и убывания (14.2E)
MS-F5 Аннуитеты Интеграция (11.1 — 11.4) Скорость и ускорение как функция от ‘x’ (14.3E )
MS-M6 Неправильная тригонометрия Тригонометрические функции
(включая приложения тригонометрических соотношений)
(13.1 — 13,6, 13,7) Движение снаряда (14,3E)
MS-M7 Скорости и отношения Логарифмические и экспоненциальные функции (12,1 — 12,5) Простое гармоническое движение (14,4)
MS-M7 Анализ критического пути Приложения исчисления в физическом мире (14,1 — 14,3) Обратные функции и обратные тригонометрические функции (15,1 — 15,5)
MS-S4 Двумерный анализ данных Вероятность (3.1 — 3,3) Индукция (7,4)
MS-S5 Нормальное распределение (7,1 — 7,3) и приложения серии
(7,5) Биномиальная теорема (17,1 — 17,3)
Дополнительная вероятность (18,2)
Итерационные методы для оценки корней (16,4)
Более сложные применения HSC 2 Темы модуля
В Matrix мы преподаем математику и дополнительный курс 1 12-й год темы одна за другой.Математические программы 11-го класса по математике Стандартный 2, Продвинутый и Расширенный 1 показаны ниже:
Линейные Абсолютные значения0 Линейные значения0 Линейные функции и неравенства
Квадратичный многочлен33 Пределы производной

Таблица: Математическая программа 12-го года Матрицы
Период Математика 12-й год Стандартный 2 Математика 12-го года Продвинутый Год 11 Maths Extension 1
сентябрь — декабрь
Запуск январь 2021
Базовая арифметика и алгебра
Абсолютные значения
Линейные функции
Январь — апр
Запуск в январе 2021 года
Функции и взаимосвязи
Апрель13 Отношения Тригонометрические отношения
Запуск в январе 2021 года 9025 4
Плоская геометрия
Квадратичный многочлен
Локус и парабола Многочлены
Геометрические приложения дифференцирования
Параметрическое представление
июль — сентябрь
9022 Предварительная редакция
9022 Запуск предварительной версии
Темы Последовательности и серии
Геометрия круга
Интеграция
Тома
Насколько важны курсы математики 11 класса?
Учащиеся должны помнить, что 11 класс — это первый год программы 6-го уровня.Это означает, что весь контент 11-го класса по математике продвинутого уровня и / или дополнительного 1-го класса можно сдать в HSC .
Ниже приводится экзаменационный вопрос HSC из экзаменационной работы углубленного уровня по математике HSC 2016.
2016 HSC Mathematics Advanced Question 3

Источник: веб-сайт NESA.
Этот вопрос экзамена HSC взят из темы углубленного изучения математики 11 класса: «Квадратичный многочлен и парабола (9.1–9.5)»!
Все темы 11-го класса по математике Advanced и / или Extension 1 можно сдать в HSC
Ниже представлен вопрос экзамена HSC из экзаменационной работы HSC Mathematics Extension 1 2016.
2016 HSC Mathematics Extension 1 Question 10

Источник: веб-сайт NESA
Этот вопрос экзамена HSC взят из темы 1 курса математики 11 класса: «Многочлены (16.1-16.3)»!
Масштабирование курсов математики
Масштабирование — это процесс преобразования оценок HSC в масштабированные оценки для сравнения по различным предметам. Это преобразование или «масштабирование» требуется, когда учащиеся изучают математику на разных уровнях.
К курсам математики применяется другой уровень масштабирования, как показано на графике ниже.

Масштабирование предметов по математике HSC 2019. Данные из отчета о масштабировании UAC за 2019 год
Как правило, чем «сложнее» единица исследования, тем «лучше» ее масштабирование.
Расширение 1 по математике оценивается лучше, чем углубленный по математике.
Обратите внимание, что ученикам не следует выбирать предметы на основе шкалы .Вместо этого следует использовать масштабные графики в качестве инструмента для определения вашей требуемой позиции / ранга в штате, чтобы вы могли получить желаемый ATAR.
Например,
Учащийся 60-го процентиля (40 процентов лучших в штате) по математическому расширению 2 получит шкалу 45/50, что соответствует 90/100, тогда как ученик 60-го процентиля по математике Расширение 1 и Расширенный получат шкалу 43/50 и 34/50, что соответствует 86/100 и 68/100 соответственно.
Учащийся, изучающий математику продвинутого уровня, должен быть в 97-м процентиле, чтобы получить такую же оценку по шкале, как ученик математического расширения 2 в 60-м процентиле.
Таким образом,
Программа 11-го и 12-го классов 6-го уровня начинается в 2019 году, а не в 2018 году.
Студенты должны тщательно выбирать, какие курсы математики им следует пройти в 11-м классе.
Содержание 11-го класса по математике Advanced и Расширение 1 можно проверить в HSC.
Курсы математики масштабируются по-разному, это следует учитывать студентам при принятии решения о том, какой курс им подходит.

Хотите учиться у лучших для Maths Std 2?
Курс Matrix Maths Std 2 Y12 поможет вам подготовить HSC с помощью экспертов в данной области! Выучить больше.
.

Стандартный 2-й класс по математике	11-й класс по математике Advanced	11-й год Расширение по математике 1
Таблица: 11-й класс по математике Advanced и Extension 1 Syllabus
Базовая арифметика и алгебра (1.1 — 1.4)	Другие неравенства (1.4E)
MS-A2: линейные отношения	Действительные функции (4,1 — 4,4)	Геометрия круга (2,6 — 2,10)
MS-F1 (F1.1): проценты и амортизация	Тригонометрические отношения (5,1 — 5,5)	Дополнительная тригонометрия (5,6 — 5,9)
MS-M1 Приложения измерения (M1.1)	Линейные функции (6,1-6,5, 6,7)	Углы между двумя линиями (6,6)
MS-F1 Money Matters	Квадратичный многочлен и парабола (9.1 — 9,5)	Внутреннее и внешнее разделение линий на заданные соотношения (6,7E)
MS-M2 Работа со временем	Геометрия плоскости (2,1 — 2,4)	Параметрическое представление (9,6)
MS -S1 Анализ данных	Касательная к кривой и производная функции (8.1 — 8.9)	Перестановки и комбинации (18.1)
MS-S2 Относительная частота и вероятность		Полиномы (16.1 — 16.3)
		Более сложные приложения курса из 2 предварительных единиц

Период	Математика 11-й год Стандартный 2	11-й год Maths Advanced	Год 11 Maths Extension 1
Таблица: Математическая программа 11-го класса
сентябрь — декабрь	Запуск в январе 2021 года	Базовая арифметика и алгебра Абсолютные значения Линейные функции
Январь — апрель	Запуск в январе 2021 года	Функции и взаимосвязи Тригонометрические отношения	Тригонометрические отношения 9025 Предел 9025 Локус 5 9025	Запуск 20 января 21	Плоская геометрия Квадратичный многочлен Локус и парабола	Многочлены Геометрические приложения дифференцирования Параметрическое представление
июль — сентябрь
июль — сентябрь	Январь 20253 Запуск 9022 9022 Запуск версии 9022 Предварительные темы	Последовательности и серии Геометрия круга Интеграция Тома

12-й год Стандартный 2-й курс по математике	12-й год Математика Продвинутый	12-й год Математический Расширенный 1
Таблица: 12-й год Математика Стандартный 2, Продвинутый и Расширение 1 Учебный план
MS -A4 Типы взаимосвязей	Координатные методы в геометрии (6.8)	Метод интегрирования (11.5)
MS-F4 Инвестиции и ссуды	Применение геометрических свойств (2,5)	Примитив sin (2x) и cos (2x) (13.6E)
MS-N2 Сетевые концепции	Геометрические приложения дифференцирования (10.1-10.8)	Уравнение экспоненциального роста и убывания (14.2E)
MS-F5 Аннуитеты	Интеграция (11.1 — 11.4)	Скорость и ускорение как функция от ‘x’ (14.3E )
MS-M6 Неправильная тригонометрия	Тригонометрические функции (включая приложения тригонометрических соотношений) (13.1 — 13,6, 13,7)	Движение снаряда (14,3E)
MS-M7 Скорости и отношения	Логарифмические и экспоненциальные функции (12,1 — 12,5)	Простое гармоническое движение (14,4)
MS-M7 Анализ критического пути	Приложения исчисления в физическом мире (14,1 — 14,3)	Обратные функции и обратные тригонометрические функции (15,1 — 15,5)
MS-S4 Двумерный анализ данных	Вероятность (3.1 — 3,3)	Индукция (7,4)
MS-S5 Нормальное распределение	(7,1 — 7,3) и приложения серии (7,5)	Биномиальная теорема (17,1 — 17,3)
		Дополнительная вероятность (18,2)
		Итерационные методы для оценки корней (16,4)
		Более сложные применения HSC 2 Темы модуля

Период	Математика 12-й год Стандартный 2	Математика 12-го года Продвинутый	Год 11 Maths Extension 1
Таблица: Математическая программа 12-го года Матрицы
сентябрь — декабрь	Запуск январь 2021	Базовая арифметика и алгебра Абсолютные значения Линейные функции
Январь — апр	Запуск в январе 2021 года	Функции и взаимосвязи Апрель13 Отношения	Тригонометрические отношения
Запуск в январе 2021 года 9025 4	Плоская геометрия Квадратичный многочлен Локус и парабола	Многочлены Геометрические приложения дифференцирования Параметрическое представление
июль — сентябрь	9022 Предварительная редакция 9022 Запуск предварительной версии Темы	Последовательности и серии Геометрия круга Интеграция Тома

Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу и др.; под ред. С. Н. Федина. — 6-е изд. — М., 2007. — 592 с: ил.
Сборник содержит три с лишним тысячи задач по высшей математике, охватывая материал, обычно изучаемый во II-IV семестрах технических вузов.
По сути, эта книга — удобный самоучитель, который позволит студенту быстро и эффективно подготовиться к экзаменационной сессии. Этому способствуют необходимые теоретические пояснения ко всем разделам сборника, детально разобранные типовые задачи, изрядное количество разнообразных заданий различных уровней сложности для самостоятельного решения, а также наличие контрольных работ, устных задач и «качественных» вопросов.
Вторая часть пособия включает в себя следующие разделы: Ряды и интегралы, Векторный и комплексный анализ, Дифференциальные уравнения, Теория вероятностей, Операционное исчисление.
Книга будет полезна студентам младших курсов и преподавателям вузов для проведения семинарских занятий.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие…………………………..5
Глава 1. РЯДЫ
§ 1. Понятие ряда. Ряды с положительными членами…………………7
§ 2. Знакопеременные ряды…………..21
§ 3. Степенные ряды………………..32
§ 4. Ряды Фурье………………..42
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными………..52
§ 2. Однородные дифференциальные уравнения………………64
§ 3. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли……………68
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах…………….74
§ 5. Уравнения Лагранжа и Клеро……………78
Контрольная работа………………..80
§ 6. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков…….82
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка………..94
§ 8. Интегрирование систем дифференциальных уравнений…………..113
Контрольная работа………………124
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл. Свойства и методы вычисления……………127
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле…………..143
§ 3. Применения двойного интеграла……………….153
§ 4. Тройной интеграл. Свойства, вычисление, применение………………168
Контрольная работа…………………184
Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Криволинейный интеграл первого рода……………………187
§ 2. Криволинейный интеграл второго рода…………………….200
§ 3. Поверхностный интеграл…………….218
Контрольная работа…………………231
Глава 5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 1. Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня.
Векторные линии………………….235
§ 2. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона…………242
§ 3. Поток векторного поля……………………247
§ 4. Циркуляция векторного поля……………….257
§ 5. Потенциальные и соленоидальные поля………………264
Глава 6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Элементы комбинаторики……………..271
§ 2. Случайные события. Действия над событиями………….
Решение задач Сборник 📝 задач по высшей математике Лунгу К. Н Высшая мат

1. Сколько стоит помощь?
Цена, как известно, зависит от объёма, сложности и срочности. Особенностью «Всё сдал!» является то, что все заказчики работают со экспертами напрямую (без посредников). Поэтому цены в 2-3 раза ниже.

2. Каковы сроки?
Специалистам под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный, требующий существенных временных затрат. Для каждой работы определяются оптимальные сроки. Например, помощь с курсовой работой – 5-7 дней. Сообщите нам ваши сроки, и мы выполним работу не позднее указанной даты. P.S.: наши эксперты всегда стараются выполнить работу раньше срока.

3. Выполняете ли вы срочные заказы?
Да, у нас большой опыт выполнения срочных заказов.

4. Если потребуется доработка или дополнительная консультация, это бесплатно?
Да, доработки и консультации в рамках заказа бесплатны, и выполняются в максимально короткие сроки.

5. Я разместил заказ. Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?
Да, конечно — оценка стоимости бесплатна и ни к чему вас не обязывает.

6. Каким способом можно произвести оплату?
Работу можно оплатить множеством способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, в терминале, в салонах Евросеть / Связной, через Сбербанк и т.д.

7. Предоставляете ли вы гарантии на услуги?
На все виды услуг мы даем гарантию. Если эксперт не справится — мы вернём 100% суммы.

8. Какой у вас режим работы?
Мы принимаем заявки 7 дней в неделю, 24 часа в сутки.
Сборник задач по высшей математике. 1 курс. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., 2008

Название: Сборник задач по высшей математике. 1 курс.
Автор: Лунгу К.Н., Письменный Д.Т.
2008
Сборник содержит свыше трех с половиной тысяч задач по высшей математике. Ко всем разделам книги даны необходимые теоретические пояснения.
Детально разобраны типовые задачи, приведено изрядное количество разнообразных заданий различных уровней сложности для самостоятельного решения.
Наличие в сборнике контрольных работ, устных задач и «качественных» вопросов позволит студенту подготовиться к экзаменационной сессии. Книга охватывает материал по линейной алгебре, аналитической геометрии, основам математического анализа и комплексным числам.

ОГЛАВЛЕНИЕ
.
Предисловие. 5
Глава 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Операции над матрицами. 7
§ 2. Определители. 18
§ 3. Ранг матрицы. 35
§ 4. Обратная матрица. Матричные уравнения. 41
Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса. 55
§ 2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера. 70
§ 3. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. 77
Глава 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Векторы. Линейные операции над ними. Разложение векторов. 91
§ 2. Скалярное произведение векторов. 101
§ 3. Векторное произведение векторов. 106
§ 4. Смешанное произведение векторов. 111
Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Метод координат на плоскости. 118
§ 2. Прямая на плоскости. 131
§ 3. Кривые второго порядка. 146
Глава 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Метод координат в пространстве. 172
§ 2. Плоскость в пространстве. 179
§ 3. Прямая в пространстве. 192
§ 4. Прямая и плоскость в пространстве. 203
§ 5. Поверхности второго порядка. 208
Глава 6. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
§ 1. Функции и их графики. 225
§ 2. Последовательности и их свойства. 245
§ 3. Предел последовательности. 251
§ 4. Предел функции. 260
§ 5. Непрерывность функции. 274
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. Производная функции. 288
§ 2. Дифференциал. 302
§ 3. Теоремы о среднем. Правила Лопиталя. Формулы Тейлора. 307
§ 4. Исследование функций и построение графиков. 316
Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Важнейшие свойства интегрирования. 328
§ 2. Основные методы интегрирования. 335
§ 3. Интегрирование рациональных дробей. 346
§ 4. Интегрирование иррациональных функций. 355
§ 5. Интегрирование тригонометрических функций. 359
Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Приемы вычисления. 366
§ 2. Несобственные интегралы. 380
§ 3. Приложения определенного интеграла. 389
Глава 10. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа, основные понятия. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел. 432
§ 2. Действия над комплексными числами. 438
Глава 11. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Понятие функции нескольких переменных. График и линии уровня функции двух переменных. 448
§ 2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве. 457
§ 3. Частные производные. Полный дифференциал. Линеаризация функций. 465
§ 4. Дифференцирование сложных и неявных функций. Касательная и нормаль к поверхности. 473
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. 485
§ 6. Производная по направлению. Градиент 495
§ 7. Экстремум функции двух переменных. 499
Ответы. 514
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Предлагаемый вашему вниманию сборник задач охватывает традиционный курс высшей математики в объеме первого курса технического ВУЗа. Книга подготовлена преподавателями нескольких московских ВУЗов, имеющими многолетний опыт лекционной и семинарской работы со студентами.
Опираясь на этот опыт, а также учитывая достоинства и недостатки существующих пособий, авторы попытались создать в каком-то смысле универсальный задачник, пригодный как для самообразования, так и для активной работы с преподавателем на практических занятиях. Этим объясняется специфическая структура книги.
Купить книгу — Сборник задач по высшей математике. 1 курс. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., 2008
Купить книгу — Сборник задач по высшей математике. 1 курс. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т, 2008.
По кнопкам выше и ниже «Купить бумажную книгу» и по ссылке «Купить» можно купить эту книгу с доставкой по всей России и похожие книги по самой лучшей цене в бумажном виде на сайтах официальных интернет магазинов Лабиринт, Озон, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru.
По кнопке «Купить и скачать электронную книгу» можно купить эту книгу в электронном виде в официальном интернет магазине «ЛитРес», и потом ее скачать на сайте Литреса.
По кнопке «Найти похожие материалы на других сайтах» можно найти похожие материалы на других сайтах.
On the buttons above and below you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.
Дата публикации: 29.11.2011 11:44 UTC

Теги: книга по математике :: сборник задач :: Лунгу :: 2008
Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:
Следующие учебники и книги:
Предыдущие статьи:
высшая математика решебник онлайн
Начальный этап интеграции обучения предметов математического цикла желательно начать на основе включения в профессиональную подготовку будущих учителей установочного факультативного курса «Математика как наука и учебный предмет». Внедрение такого факультативного курса в учебный процесс НПУ имени М. П. Драгоманова и других университетов свидетельствует о его эффективности. Практика показывает, что данный факультативный курс помогает, обеспечить преемственность в обучении. Переход от школьной математики к математике высшей школы, дает основные знания по истории и методологии математики. Они создают фундамент для дальнейшего интегрированного восприятия математических знаний. После выучивания вами предмета вам понадобиться раздел «Высшая математика решебник онлайн» для самоконтроля. Вы сможете сформировать правильный взгляд на математику в целом, а не только на отдельные ее составные части, акцентировать внимание студентов на фундаментальных понятиях, теориях, законах, которые помогают улучшить учебный процесс и понять содержание обучения математике; показать место математики в системе других наук, а также роль математики на современном этапе, сопоставить содержание и методы математической науки, университетского курса и школьной математики. После изучения вы сможете ликвидировать пробелы в знании математического языка.
Второй этап интеграции обучения предметов математического цикла следует обеспечивать активным использованием исторического материала в процессе изучения курсов элементарной и высшей математики, а также методики обучения математике. Исторический материал может использоваться в различных целях и на разных этапах обучения: для проведения мотивации изучения новой темы, для активизации учебно-познавательной деятельности студентов, в частности для создания проблемных ситуаций, для закрепления нового материала с целью систематизации и обобщения знаний, расширение научного мировоззрения и так далее. После чего вы сможете проверить на правильность своих знаний, с помощью раздела «Высшая математика решебник онлайн» где находятся все ответы на поставленные задачи.
Исследования показали, что эффективны такие формы использования историко-математического материала: вводная лекция в начале рассмотрения темы или учебной дисциплины. Исторические экскурсы и историко-методологические сообщения, демонстрация студентам портрета ученого, имя которого упоминается в курсе, его трудов и сообщения короткой биографической справки о нем.
Ознакомление студентов с высказываниями о математике и математиков, решения исторических задач, самостоятельную проработку студентами жизненного и творческого пути выдающихся математиков и исторического материала, который подается в учебниках и учебных пособиях. Творческая работа студентов с историческими сведениями в процессе подготовки курсовых, дипломных и других студенческих научных работ. При изучении курса методики обучения математике студенты имеют возможность не только пассивно воспринимать и запоминать историко-математические сведения, но и активно оперировать ими во время педагогической практики.
Сборник задач высшая математика
Учебные пособия сборник задач высшая математика содержат объединенный курс линейной алгебры
и многомерной аналитической геометрии, а также специальные вопросы:
теорию систем линейных разностных и дифференциальных уравнений пер?
первого порядка с постоянными коэффициентами, метод наименьших квад?
татов, вычислительные методы линейной алгебры.
Учебное пособие предназначено для студентов инженерно? Тех? ночных, экономических и других нематематических специальностей. Он может быть полезно аспирантам и научным указанных специальных?
Междисциплинарные связи: Изучение курса сборник задач высшая математика опирается на знания, полученные в процессе изучения дисциплины «Математика». Материал курса «Высшая математика» является основой для изучения дисциплин «Экономическая статистика», «Экономика предприятия» и «Финансы». Математический аппарат, усвоен студентами при изучении дисциплины «Высшая математика» позволяет им успешно овладевать количественными методами в фундаментальных и прикладных экономических дисциплинах.
Программа учебной дисциплины состоит из следующих содержательных модулей:
1. Линейная и векторная алгебра и аналитическая геометрия.
2. Дифференциальное исчисление функции одной и многих переменных.
3. Интегральное исчисление.
4. Дифференциальные уравнения и комплексные числа
1. Цели и задачи учебной дисциплины
1.1. Целью преподавания учебной дисциплины «Высшая математика» является овладение студентами основными понятиями и методами высшей математики, используемых в процессе решения теоретических и практических задач.
1.2. Основными задачами изучения дисциплины «Высшая математика» являются:

Проследить внутреннюю логику развития понятия числа, функции, теории пределов, теории дифференциального и интегрального исчисления функций одной и многих переменных, теории рядов сборник задач высшая математика;

Показать применение понятий и фактов высшей математики к решению конкретных задач;

Подготовить базу для дальнейшего изучения курсов «Политической экономии», «Экономики предприятиям,» Экономической статистики «,» Бухгалтерский учет «,» Финансы «и др.. 1.3. Согласно требованиям образовательно-профессиональной программы студенты должны:
знать:
основные математические понятия, значение математических законов и их применения;
приемы розьязку математических задач;
математический аппарат, позволяющий эффективно решать финансовые, технические, экономические и управленческие задачи;
основные области применения известных понятий и фактов.
уметь:
основні математичні поняття, значення математичних законів та їх застосування;

Mathway | Решение основных математических задач
Mathway | Решение основных математических задач
Новые сообщения
Пользователь набирает
Mathway требует javascript и современного браузера.
Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство работы с ним.
Убедитесь, что ваш пароль состоит не менее чем из 8 символов и содержит каждое из следующих значений:
номер
письмо
специальный символ: @ $ #!% *? &
.
Mathway | Решение задач с расчетом
Mathway | Решение проблем с расчетом
Новые сообщения
Пользователь набирает
Mathway требует javascript и современного браузера.
Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство работы с ним.
Убедитесь, что ваш пароль состоит не менее чем из 8 символов и содержит каждое из следующих значений:
номер
письмо
специальный символ: @ $ #!% *? &
.
Вы решаете правильную проблему?
«Если бы мне дали один час на спасение планеты, я бы потратил 59 минут на определение проблемы и одну минуту на ее решение», — сказал Альберт Эйнштейн.
Это были мудрые слова, но из того, что я заметил, большинство организаций не прислушиваются к ним при реализации инновационных проектов. Действительно, при разработке новых продуктов, процессов или даже предприятий большинство компаний недостаточно строго определяют проблемы, которые они пытаются решить, и не объясняют, почему эти проблемы важны.Без этой строгости организации упускают возможности, тратят ресурсы и в конечном итоге преследуют инновационные инициативы, не соответствующие их стратегиям. Сколько раз вы видели, как проект идет по одному пути только для того, чтобы задним числом понять, что он должен был пойти по другому? Сколько раз вы видели, как инновационная программа давала, казалось бы, прорывный результат, но обнаруживала, что ее невозможно реализовать или она решает неправильную проблему? Многие организации должны научиться задавать правильные вопросы, чтобы решать правильные проблемы.
Я предлагаю здесь процесс определения проблем, который любая организация может решить самостоятельно. Моя фирма InnoCentive использовала его, чтобы помочь более чем 100 корпорациям, правительственным учреждениям и фондам улучшить качество и эффективность своих инновационных усилий и, как следствие, их общую производительность. Благодаря этому процессу, который мы называем инноваций, ориентированных на вызовы, клиентов определяют и формулируют свои деловые, технические, социальные и политические проблемы и представляют их как вызовы сообществу из более чем 250 000 решателей — ученых, инженеров и других экспертов, которые родом из 200 стран — на InnoCentive.com, наш рынок инноваций. Успешные решатели получили награды от 5000 до 1 миллиона долларов.
С момента нашего запуска, более 10 лет назад, мы справились с более чем 2 000 проблем и решили более половины из них — намного больше, чем большинство организаций решает самостоятельно. В самом деле, наши показатели успеха значительно улучшились за эти годы (34% в 2006 году, 39% в 2009 году и 57% в 2011 году), что является функцией повышения качества вопросов, которые мы задаем, и нашего сообщества решателей.Интересно, что даже нерешенные проблемы были чрезвычайно ценными для многих клиентов, позволяя им отменять злополучные программы намного раньше, чем они могли бы, а затем повторно использовать свои ресурсы.
В первые годы нашей деятельности мы фокусировались на узкоспециализированных технических проблемах, но с тех пор мы расширились, взяв на себя все, от базовых НИОКР и разработки продуктов до здоровья и безопасности космонавтов и банковских услуг в развивающихся странах. Теперь мы знаем, что строгость, с которой определяется проблема, является наиболее важным фактором при поиске подходящего решения.Но мы видели, что большинство организаций не умеют ясно и кратко формулировать свои проблемы. Многим сложно даже определить, какие проблемы имеют решающее значение для их миссии и стратегии.
Фактически, многие клиенты, работая с нами, осознали, что они могут не решать правильные проблемы. Рассмотрим компанию, которая привлекает InnoCentive для поиска смазки для своего производственного оборудования. Этот обмен происходит:
Сотрудник InnoCentive: «Зачем вам нужен смазочный материал?»
Инженер клиента: «Потому что теперь мы ожидаем, что наше оборудование будет делать то, для чего оно не предназначено, и для работы ему требуется определенная смазка.”
Сотрудник InnoCentive: «Почему бы вам не заменить оборудование?»
Инженер клиента: «Потому что никто не производит оборудование, которое точно соответствует нашим потребностям».
Это поднимает более глубокий вопрос: нужен ли компании смазочный материал или ей нужен новый способ производства своей продукции? Возможно, переосмысление производственного процесса даст фирме новую основу для конкурентного преимущества. (Задавать вопросы до тех пор, пока вы не найдете основную причину проблемы, это опирается на знаменитую технику решения проблем Five Whys, разработанную в Toyota и применяемую в Six Sigma.)
Пример похож на многие, которые мы видели: кому-то в недрах организации поручено исправить очень конкретную краткосрочную проблему. Но из-за того, что фирма не применяет строгий процесс для понимания масштабов проблемы, руководители упускают возможность обратиться к основным стратегическим вопросам. Ситуация усугубляется тем, что Стефан Томке и Дональд Рейнертсен определили как заблуждение: «Чем раньше проект будет запущен, тем скорее он будет завершен.(См. «Шесть мифов о разработке продукта», HBR, май 2012 г.) Организационные команды стремятся к решению, опасаясь, что, если они потратят слишком много времени на определение проблемы, начальство накажет их за то, что они так долго не добирались до стартовой линии .
По иронии судьбы, такой подход с большей вероятностью приведет к потере времени и денег и уменьшит шансы на успех, чем тот, который с самого начала стремится достичь глубокого понимания проблемы и ее важности для фирмы. Помня об этом, мы разработали четырехэтапный процесс определения и формулирования проблем, который мы отработали вместе с нашими клиентами.Он состоит из постановки ряда вопросов и использования ответов для создания подробного изложения проблемы. Этот процесс важен по двум причинам. Во-первых, он сплачивает организацию вокруг общего понимания проблемы, того, почему фирме следует ее решать, и уровня ресурсов, которые она должна получить. Фирмы, которые не участвуют в этом процессе, часто выделяют слишком мало ресурсов на решение серьезных проблем или слишком много — на решение низкоприоритетных или неправильно определенных. Полезно определить ценность решения: организация с большей готовностью посвятит значительное время и ресурсы усилиям, которые, как показано, представляют рыночную возможность на 100 миллионов долларов, чем инициативе, ценность которой намного меньше или неясна.Во-вторых, этот процесс помогает организации найти как можно более широкую сеть потенциальных решений, предоставляя внутренним и внешним экспертам в разных областях информацию, необходимую для решения проблемы.
Эта статья также встречается в:
Чтобы проиллюстрировать, как работает этот процесс, мы опишем инициативу по расширению доступа к чистой питьевой воде, предпринятую некоммерческой организацией EnterpriseWorks / VITA, подразделением Relief International. Миссия EWV — способствовать экономическому росту и повышать уровень жизни в развивающихся странах за счет расширения доступа к технологиям и помощи предпринимателям в создании устойчивого бизнеса.
Организация выбрала своего технического директора Джона Ногла в качестве «защитника проблем». Лица, выполняющие эту роль, должны хорошо разбираться в области или предметной области и быть способными администраторами программ. Поскольку лидерам проблем также может быть поручено внедрять решения, проверенный лидер, обладающий полномочиями, ответственностью и ресурсами для реализации проекта, может оказаться неоценимым в этой роли, особенно для более масштабных и стратегических проектов. Наугле, инженер с более чем 25-летним опытом работы в области сельского хозяйства и развития сельских районов в Восточной и Западной Африке и странах Карибского бассейна, отвечает всем требованиям.Его поддержали специалисты, которые понимали условия местного рынка, доступные материалы и другие важные вопросы, связанные с доставкой питьевой воды.
Шаг 1. Определите необходимость решения
Цель этого шага — сформулировать проблему в самых простых возможных терминах: «Мы ищем X, чтобы достичь Z, измеряемого W.» Такое заявление, похожее на презентацию в лифте, является призывом к оружию, разъясняющим важность проблемы и помогающим обеспечить ресурсы для ее решения.Это первоначальное обрамление отвечает на три вопроса:
Какая основная потребность?
Это основная проблема, сформулированная четко и кратко. На этом этапе важно сосредоточиться на потребности, которая лежит в основе проблемы, а не спешить с ее решением. Определение области также важно. Очевидно, что поиск смазочного материала для оборудования отличается от поиска принципиально нового производственного процесса.
Основной выявленной потребностью в EWV был доступ к чистой питьевой воде для 1 человек.1 миллиард человек в мире, которым его не хватает. Это насущная проблема даже в районах с большим количеством осадков, поскольку вода не улавливается, не хранится и не распределяется.
Каков желаемый результат?
Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо понимать точки зрения клиентов и других бенефициаров. (Подход «Пять причин» может быть очень полезным.) Опять же, избегайте соблазна отдать предпочтение конкретному решению или подходу. По возможности этот вопрос следует решать качественно и количественно.На этом этапе может оказаться полезной высокоуровневая, но конкретная цель, такая как «повышение топливной экономичности до 100 миль на галлон к 2020 году».
Отвечая на этот вопрос, Ногл и его команда поняли, что результатом должно быть нечто большее, чем просто доступ к воде; доступ должен был быть удобным. Женщинам и детям в таких странах, как Уганда, часто приходится преодолевать большие расстояния, чтобы набрать воду из долин, а затем нести ее в гору в свои деревни. Желаемый результат, определенный EWV, заключался в обеспечении водой для повседневных нужд семьи, не требуя огромных затрат времени и энергии.
Кто выиграет и почему?
Ответ на этот вопрос вынуждает организацию идентифицировать всех потенциальных клиентов и бенефициаров. Именно на этом этапе вы понимаете, решаете ли вы, скажем, проблему смазки для инженера или для руководителя производства — чьи определения успеха могут значительно различаться.
Если проблема, которую вы хотите решить, является отраслевой, важно понять, почему рынок не смог ее решить.
Размышляя над этим вопросом, EWV пришла к выводу, что выгоды получат отдельные лица и семьи, а также регионы и страны.Женщины будут тратить меньше времени на ходьбу за водой, что дает им больше времени для работы в поле или работы по совместительству, что принесет их семьям необходимый доход. Дети смогут посещать школу. А в более долгосрочной перспективе регионы и страны выиграют от повышения уровня образования и производительности населения.
Шаг 2: Обоснуйте потребность
Цель ответов на вопросы на этом этапе — объяснить, почему вашей организации следует попытаться решить проблему.
Согласованы ли усилия с нашей стратегией?
Другими словами, будет ли удовлетворение потребности служить стратегическим целям организации? Для организации нет ничего необычного в том, что она работает над проблемами, которые больше не соответствуют ее стратегии или миссии. В этом случае следует пересмотреть усилия (а возможно, и всю инициативу).
В случае с EWV простого улучшения доступа к чистой питьевой воде будет недостаточно; Чтобы соответствовать миссии организации, решение должно обеспечивать экономическое развитие и возможности для местного бизнеса.Это должно было включать что-то, что люди будут покупать.
Кроме того, вам следует подумать, соответствует ли проблема приоритетам вашей компании. Поскольку другие проекты EWV включали обеспечение доступа к недорогим продуктам, таким как кухонные плиты и педальные насосы, проект питьевой воды был уместен.
Каковы желаемые выгоды для компании и как мы их измерим?
В коммерческих компаниях желаемая выгода может заключаться в достижении цели по выручке, достижении определенной доли рынка или достижении конкретных улучшений времени цикла.EWV надеялась достичь своей цели — стать признанным лидером в оказании помощи малоимущим в мире путем передачи технологий через частный сектор. Эта выгода будет измеряться влиянием на рынок: сколько семей платят за решение? Как это влияет на их жизнь? Создают ли продажи и монтаж рабочие места? Учитывая потенциальные выгоды, EWV считает приоритетным.
Как мы обеспечим внедрение решения?
Предположим, что решение найдено. Кто-то в организации должен нести ответственность за его выполнение — будь то установка новой производственной технологии, запуск нового бизнеса или коммерциализация инновационного продукта.Этот человек может быть борцом за решение проблем, но он также может быть менеджером существующего подразделения, межфункциональной группы или нового отдела.
В EWV Джон Ногл также отвечал за выполнение решения. Помимо своего технического образования, Ногл имел опыт успешной реализации подобных проектов. Например, он работал страновым директором EWV в Нигере, где курировал компонент пилотного проекта Всемирного банка по развитию малых частных ирригационных систем.Его часть проекта заключалась в том, чтобы заставить частный сектор производить педальные насосы и вручную бурить скважины.
На этом этапе важно начать обсуждение на высоком уровне в организации ресурсов, которые могут потребоваться для решения. Это может показаться преждевременным — в конце концов, вы все еще определяете проблему, а поле возможных решений может быть очень большим, — но на самом деле еще не рано начинать исследовать, какие ресурсы ваша организация готова и может выделить для оценки решений и затем реализуем лучший.Даже в самом начале вы можете подозревать, что внедрение решения будет намного дороже, чем думают другие в организации. В этом случае важно сообщить приблизительную оценку денег и людей, которые потребуются, и убедиться, что организация готова и дальше идти по этому пути. Результатом такого обсуждения может быть то, что некоторые ограничения на ресурсы должны быть встроены в постановку задачи. В начале своего проекта по питьевой воде EWV установила ограничение на то, сколько средств будет потрачено на первоначальные исследования и тестирование возможных решений.
Теперь, когда вы изложили необходимость решения и его важность для организации, вы должны детально определить проблему. Это включает в себя применение строгого метода, гарантирующего, что вы собрали всю информацию, которая кому-то, включая людей в областях, далеких от вашей отрасли, может понадобиться для решения проблемы.
Шаг 3. Контекстуализация проблемы
Изучение прошлых попыток найти решение может сэкономить время и ресурсы и породить инновационное мышление.Если проблема носит отраслевой характер, очень важно понять, почему рынок не смог ее решить.
Какие подходы мы пробовали?
Цель здесь — найти решения, которые могут уже существовать в вашей организации, и выявить те, которые были опровергнуты. Ответив на этот вопрос, вы сможете не изобретать велосипед и не зайти в тупик.
В рамках предыдущих усилий по расширению доступа к чистой воде EWV предлагала продукты и услуги, начиная от пробуренных вручную скважин для орошения и заканчивая фильтрами для очистки воды в домашних условиях.Как и во всех своих проектах, EWV определила продукты, которые могут позволить себе потребители с низкими доходами и, если возможно, которые местные предприниматели могут производить или обслуживать. Когда Ногл и его команда пересмотрели эти усилия, они поняли, что оба решения работают только в том случае, если источник воды, такой как поверхностная вода или неглубокий водоносный горизонт, находится близко к дому. В результате они решили сосредоточиться на дождевой воде, которая в большей или меньшей степени выпадает повсюду в мире, как на источнике, который может охватить гораздо больше людей.В частности, команда обратила внимание на концепцию сбора дождевой воды. «Дождевая вода доставляется непосредственно конечному пользователю», — говорит Наугл. «Это как можно ближе к водопроводной системе без водопровода».
Что пробовали другие?
EWV расследование предыдущих попыток сбора дождевой воды включало в себя обзор исследований по этой теме, проведение пяти полевых исследований и опрос 20 стран с целью выяснить, какая технология используется, что работает, а что не работает, что препятствует или поощряет использование различных решений. сколько стоят решения и какую роль играет правительство.
«Одна из ключевых вещей, которую мы узнали из опросов, — говорит Ногл, — заключалась в том, что если у вас есть жесткая крыша — что многие люди делают — для использования в качестве поверхности для сбора, самое дорогое — хранение».
Вот проблема, которую нужно было решить. EWV обнаружила, что существующие решения для хранения дождевой воды, такие как бетонные резервуары, были слишком дорогими для семей с низким доходом в развивающихся странах, поэтому домохозяйства использовали общие резервуары для хранения. Но из-за того, что коммунальные объекты никто не брал в собственность, они часто приходили в упадок.Следовательно, Ногл и его команда остановились на концепции недорогого бытового накопителя дождевой воды.
Их исследования предшествующих решений открыли то, что поначалу казалось многообещающим: хранение дождевой воды в банке объемом 525 галлонов, который был почти таким же высоким, как взрослый человек, и в три раза шире. Они узнали, что в Таиланде за пять лет было установлено 5 миллионов таких банок. Однако после дальнейшего расследования они обнаружили, что банки были сделаны из цемента, который можно было купить в Таиланде по низкой цене.Что еще более важно, хорошие дороги страны позволили производить банки в одном месте и перевозить их на грузовиках по стране. Это решение не сработает в районах, где нет ни цемента, ни дорог высокого качества. Действительно, в ходе интервью с сельскими жителями Уганды EWV обнаружила, что даже пустые полиэтиленовые бочки, достаточно большие, чтобы вместить всего 50 галлонов воды, было трудно нести по тропе. Стало ясно, что жизнеспособное решение для хранения должно быть достаточно легким, чтобы его можно было переносить на некоторое расстояние в районах без дорог.
Каковы внутренние и внешние ограничения при внедрении решения?
Теперь, когда у вас есть лучшее представление о том, чего вы хотите достичь, пришло время вернуться к вопросу о ресурсах и приверженности организации: есть ли у вас необходимая поддержка для поиска, а затем оценки возможных решений? Вы уверены, что сможете получить деньги и людей для реализации самого перспективного?
Не менее важно оценивать внешние ограничения: есть ли вопросы, касающиеся патентов или прав интеллектуальной собственности? Нужно ли учитывать законы и правила? Для ответа на эти вопросы могут потребоваться консультации с различными заинтересованными сторонами и экспертами.
Есть ли у вас необходимая поддержка для поиска и оценки возможных решений? Есть ли у вас деньги и люди для реализации самого перспективного из них?
Изучение
EWV возможных внешних ограничений включало изучение государственной политики в отношении хранения дождевой воды. Ногле и его команда обнаружили, что правительства Кении, Танзании, Уганды и Вьетнама поддержали эту идею, но самым сильным сторонником этой идеи была министр водных ресурсов и окружающей среды Уганды Мария Мутагамба.Следовательно, EWV решила протестировать решение для хранения данных в Уганде.
Шаг 4. Напишите описание проблемы
Пришло время написать полное описание проблемы, которую вы хотите решить, и требований, которым должно соответствовать решение. Формулировка проблемы, которая фиксирует все, что организация узнала, отвечая на вопросы на предыдущих этапах, помогает достичь консенсуса в отношении того, каким будет жизнеспособное решение и какие ресурсы потребуются для его достижения.
Полное и четкое описание также помогает людям как внутри организации, так и за ее пределами быстро понять проблему. Это особенно важно, потому что решения сложных проблем в отрасли или дисциплине часто исходят от экспертов в других областях (см. «Получение необычных подозреваемых для решения задач НИОКР», HBR, май 2007 г.). Например, метод перемещения вязкой нефти из разливов в арктических и субарктических водах с барж-сборщиков в резервуары для захоронения был разработан химиком цементной промышленности, который ответил на описание проблемы Институтом по ликвидации разливов нефти в терминах, которые были точными, но не точными. специфичен для нефтяной промышленности.Таким образом, институт смог за несколько месяцев решить задачу, которая годами ставила в тупик инженеров-нефтяников. (Чтобы прочитать полное описание проблемы института, посетите hbr.org/problem-statement1.)
Вот несколько вопросов, которые помогут вам подробно сформулировать проблему:
Проблема на самом деле много проблем?
Цель состоит в том, чтобы детально изучить первопричины. Сложные, казалось бы, неразрешимые проблемы гораздо более доступны, если их разбить на отдельные элементы.
Для EWV это означало прояснить, что решение должно быть продуктом для хранения, который могут себе позволить отдельные домохозяйства, который был достаточно легким, чтобы его можно было легко транспортировать по некачественным дорогам или тропам, и который можно было легко обслуживать.
Каким требованиям должно соответствовать решение?
Компания
EWV провела обширные исследования на местах с потенциальными клиентами в Уганде, чтобы определить, какие элементы решения должны иметь, а какие нет. (См. Врезку «Элементы успешного решения.Для EWV не имело значения, было ли решение новым устройством или адаптацией существующего. Точно так же решение не обязательно должно было производиться серийно. То есть это может быть что-то, что могут производить местные мелкие предприниматели.
Эксперты по сбору дождевой воды сказали Науглу и его команде, что их целевая цена в 20 долларов недостижима, что означает, что потребуются субсидии. Но субсидируемый продукт противоречил стратегии и философии EWV.
Каких специалистов по решению проблем нам следует привлечь?
Тупиковая ситуация, в которой EWV попала в поисках решения за 20 долларов от этих экспертов, привела организацию к выводу, что ей необходимо привлечь как можно больше экспертов за пределами области. Именно тогда EWV решила задействовать InnoCentive и ее сеть из 250 000 решателей.
Какую информацию и на каком языке следует включать в формулировку проблемы?
Чтобы привлечь наибольшее количество решателей из самых разных областей, постановка задачи должна соответствовать двойной цели: быть чрезвычайно конкретной, но не излишне технической.Он не должен содержать отраслевого или дисциплинарного жаргона или предполагать знание определенной области. Он может (и, вероятно, должен) включать резюме предыдущих попыток решения и подробные требования.
Помня об этих критериях, Ногл и его команда сформулировали постановку задачи. (Ниже приводится аннотация; полное описание проблемы см. На сайте hbr.org/problem-statement2.) «EnterpriseWorks ищет дизайнерские идеи для недорогой системы накопления дождевой воды, которую можно установить в домохозяйствах в развивающихся странах.Ожидается, что это решение облегчит доступ к чистой воде на уровне домашних хозяйств, решив проблему, которая затрагивает миллионы людей во всем мире, которые живут в бедных общинах или сельских районах, где доступ к чистой воде ограничен. Сбор дождевой воды в домашних условиях — это проверенная технология, которая может быть ценным вариантом для доступа и хранения воды круглый год. Однако высокая стоимость имеющихся систем хранения дождевой воды делает их недоступными для семей с низким доходом для установки в своих домах.Решение этой проблемы не только обеспечило бы удобный и доступный доступ к скудным водным ресурсам, но также позволило бы семьям, особенно женщинам и детям, которым обычно поручен сбор воды, тратить меньше времени на пешие прогулки для сбора воды и больше времени на занятия которые могут приносить доход и улучшать качество жизни ».
Чтобы привлечь наибольшее количество решателей из самых разных областей, постановка задачи должна соответствовать двойной цели: быть чрезвычайно конкретной, но не излишне технической.
Что нужно отправить решателям?
Какая информация о предлагаемом решении нужна вашей организации, чтобы в него вложить средства? Например, будет ли достаточно хорошо обоснованного гипотетического подхода или нужен полноценный прототип? EWV решила, что решатель должен предоставить письменное объяснение решения и подробные чертежи.
Какие стимулы нужны решателям?
Задача этого вопроса — убедиться, что нужные люди заинтересованы в решении проблемы.Для внутренних решателей стимулы могут быть записаны в описания должностей или предложены в виде поощрений и бонусов. Для внешних решателей стимулом может быть денежное вознаграждение. EWV предложила заплатить 15 000 долларов решателю, который предоставил лучшее решение через сеть InnoCentive.
Как будут оцениваться решения и измеряться успех?
Ответ на этот вопрос вынуждает компанию четко указать, как она будет оценивать получаемые решения. Ясность и прозрачность имеют решающее значение для достижения жизнеспособных решений и обеспечения справедливости и тщательности процесса оценки.В некоторых случаях подход «мы узнаем, когда увидим» является разумным — например, когда компания ищет новую стратегию брендинга. Однако в большинстве случаев это признак того, что к предыдущим этапам процесса не подходили с должной тщательностью.
EWV оговорила, что будет оценивать решения на предмет их способности соответствовать критериям низкой стоимости, большой емкости хранения, малого веса и простоты обслуживания. Он добавил, что он предпочел бы конструкции, которые были бы модульными (чтобы устройство было легче транспортировать) и адаптируемыми или ремонтируемыми, или имели несколько функций (чтобы владельцы могли повторно использовать материалы по истечении срока службы продукта или продавать их другим для различных приложений) .Главная цель заключалась в том, чтобы снизить затраты и помочь бедным семьям оправдать покупку.
Победитель
В конечном итоге решение проблемы накопления дождевой воды в EWV было предложено кем-то не из этой области: немецким изобретателем, чья компания специализировалась на проектировании туристических подводных лодок. Предложенное им решение не требовало сложной техники; фактически, в нем не было насосов или движущихся частей. Это была устоявшаяся промышленная технология, которая не применялась для хранения воды: пластиковый пакет в пластиковом пакете с трубкой наверху.Внешний мешок (сделанный из менее дорогого тканого полипропилена) обеспечивал прочность конструкции, в то время как внутренний мешок (сделанный из более дорогого линейного полиэтилена низкой плотности) был непроницаемым и мог вместить 125 галлонов воды. Подход с двумя мешками позволил сделать внутренний мешок тоньше, что снизило цену продукта, в то время как внешний мешок был достаточно прочным, чтобы вместить полторы тонны воды.
Конструкция складывалась в пакет размером с портфель и весила около восьми фунтов.Короче говоря, решение было доступным, коммерчески жизнеспособным, его можно было легко транспортировать в отдаленные районы, а также продавать и устанавливать местные предприниматели. (Розничные торговцы зарабатывают от 4 до 8 долларов за единицу, в зависимости от объема, который они покупают. Установщики водосточных желобов, водосточной трубы и основания зарабатывают около 6 долларов.)
EWV разработала первоначальную версию и протестировала ее в Уганде, где организация задавала конечным пользователям такие вопросы, как: Что вы думаете о ее весе? Соответствует ли это вашим потребностям? В игру вступили даже такие приземленные проблемы, как цвет: тканые внешние сумки были белыми, что, по мнению женщин, сразу же выглядело грязным.EWV изменила дизайн на основе этих входных данных: например, она изменила цвет устройства на коричневый, увеличила его размер до 350 галлонов (при сохранении целевой цены не более 20 долларов за 125 галлонов хранения воды), изменила форма, чтобы сделать его более устойчивым, и заменил оригинальный сифон выпускным краном.
После 14 месяцев полевых испытаний компания EWV представила коммерческий продукт в Уганде в марте 2011 года. К концу мая 2012 года продукт продавали от 50 до 60 магазинов, сельских торговых агентов и кооперативов; более 80 предпринимателей были обучены его установке; и 1418 единиц были развернуты в восьми округах на юго-западе Уганды.
EWV считает это успешным на данном этапе развертывания. Компания надеется сделать эти устройства доступными в 10 странах и установить десятки или сотни тысяч устройств в течение пяти лет. В конечном итоге, по ее мнению, миллионы устройств будут использоваться для различных целей, включая бытовую питьевую воду, орошение и строительство. Интересно, что основным препятствием на пути к покупке устройства был скептицизм по поводу того, что что-то в такой маленькой упаковке (размером с типичную пятигаллонную канистру) может вместить эквивалент 70 канистр.Полагая, что средство — показать жителям установленный продукт, EWV в настоящее время тестирует различные рекламные и маркетинговые программы. Как показывает история EWV, критический анализ и четкая формулировка проблемы может дать весьма инновационные решения. Организации, которые применяют эти простые концепции и развивают навыки и дисциплину, чтобы задавать более точные вопросы и более строго определять свои проблемы, могут создать стратегическое преимущество, открыть поистине революционные инновации и повысить эффективность бизнеса.Чем лучше задавать вопросы, тем лучше результаты.
Версия этой статьи появилась в сентябрьском номере журнала Harvard Business Review за 2012 год. .
20 веб-сайтов, которые вам нужно для пошагового изучения математики
Изучение математики онлайн бесплатно может показаться слишком хорошим, чтобы быть правдой. Но это не так. Существует множество ресурсов и множество сайтов, которые могут научить вас необходимым навыкам.

Ваш возраст не имеет значения.Ваше образование избыточно. Какие бы математические цели вы ни ставили, вы можете их достичь!
Что кажется сложным, так это найти подходящие сайты для каждого уровня математики. Один сайт может быть хорош в обучении математическому расчету, но ужасен в обучении алгебре.Другой сайт может сосредоточиться на математике более высокого уровня и полностью игнорировать более низкие уровни.

Хорошо известная Khan Academy — золотая закладка, но есть и другие места, достойные вашего внимания.Этот список обещает собрать лучших сайтов для каждого уровня , чтобы вы могли учиться систематически, лучше понимать математику по одному уровню за раз и получать удовольствие!
Начиная с арифметики
Не следует упускать из виду артметику, поскольку всегда есть новый и более эффективный способ просмотра чисел.Неважно, сколько вам лет, ваш мозг всегда может использовать небольшую домашнюю работу по математике.

Лучшим сайтом для изучения арифметики должен быть тот, который включает простые для выполнения инструкции, показывает больше изображений, а не текста и позволяет пользователю практиковаться с числами.Я пропустил все сайты, посвященные теории и истории, поскольку считаю, что важнее практиковаться с числами, чем читать о числах.
MathABC — лучший сайт для практики арифметики.Сайт имеет красочную графику, веселый и информативный, но не сильно зависит от объяснений.
Неважно, какого вы возраста или уровня, вы должны попробовать MathABC!
Другие рекомендуемые сайты: Math.com и Арифметическая игра , которая предоставляет онлайн-тренировку скорости.
К предалгебре

Далее идет предварительная алгебра, необходимый уровень математики для всех, кто учится в старшей школе или готовится к экзамену GED.Опять же, независимо от вашего уровня и возраста, изучение математики всегда является отличной практикой для вашего мозга!
Изучение предварительной алгебры также должно быть увлекательным и информативным, но на этом уровне должны начать появляться теория и информация.Хотя, думаю, тоже нужно много попрактиковаться.
Math Goodies — лучший сайт для изучения предалгебры, так как сайт посвящен теории и информации, но также предоставляет обучающие упражнения сразу после урока.
Другие сайты включают: Cool Math и Math Tutor DVD , который включает хороший набор онлайн-викторин.
Далее, алгебра 1 и 2
Алгебра — это не шутка, ее часто упоминают как основу или «привратник» для всех других уровней, а также считают необходимым, если вы хотите понять другие уровни.
На этом этапе важно твердо овладеть теорией и в то же время как можно больше практиковать. Графика и изображения могут быть выброшены в окно, так как они могут показаться навязчивыми.Чистый и четкий текст — вот что важно.
Math Planet отлично справляется с представлением примеров математических задач и предоставляет обучающее видео на YouTube в конце каждого урока для дальнейшего объяснения.Кроме того, вы можете применить свои знания на практике в разделах сайта SAT и ACT.
Вам нужно будет загрузить файлы SAT и ACT, чтобы проверить, правильно ли вы ответили!
IXL Learning — еще один отличный сайт для обзора и практики алгебры.Ознакомьтесь с разделами «Алгебра 1» и «Алгебра 2».
Идите с геометрией
После алгебры следующим шагом в правильном направлении к изучению математики может стать геометрия.Некоторые говорят, что геометрию, то есть изучение форм, следует рассматривать перед алгеброй 2, но порядок полностью зависит от вас.

На данном этапе важно много практики и хорошее понимание теории.Вы можете получить и то, и другое на нескольких сайтах, но сайт, который действительно выделяется среди других, — это Math Warehouse .
Сайт отлично справляется с объединением объяснений, графиков и видео с объяснениями.Вы даже можете использовать их онлайн-калькулятор для лучшей практики.
Страница геометрии IXL великолепна. Вы можете узнать еще больше с Class Zone , сайтом, который обещает улучшить ваши навыки сдачи экзаменов.
Переход к тригонометрии
Тригонометрия обычно берется после геометрии, поскольку она связана с измерением сторон и углов треугольников.Добавьте трехмерные фигуры, и станет еще интереснее. Он используется во всех науках, таких как физика, инженерия и химия.

Лучший способ узнать что-нибудь по математике — это знать, как найти ответ.Лучший способ сделать это — попрактиковаться, и хотя на этом сайте есть только несколько примеров, Dave’s Short Trig Course отлично справляется с представлением тригонометрии в виде простых для понимания объяснений и графиков.
Varsity Tutor предоставляет прекрасные практические тесты для учащихся любого возраста, а Brilliant также красиво оформлен для облегчения пояснения.Практикуйте сколько душе угодно!
Концентрация на исчислении
Исчисление, то есть изучение изменений с помощью математики, лучше всего усваивается через глубокое понимание теории.Отличный способ получить такое понимание — четко увидеть, что вы изучаете, и затем иметь возможность применить свою теорию на практике. И хотя исчисление следует разделить, например, между производным и линейным, Free Math Help отлично справляется с представлением каждого урока как отдельного.
На сайте собраны теория, примеры, три калькулятора (вычислитель производных, интеграла и предела) и даже — интерактивное средство решения проблем , которое весьма полезно для некоторых задач.

На бесплатном сайте все наглядно показано и выложено.Проверьте это!
17Calculus — отличный сайт для вычислений на уровне колледжа. Learnerator также предоставляет большое количество практических вопросов, которые вы можете просмотреть.
Статистика
Самый полезный уровень математики — это статистика, или наука о сборе и анализе чисел и данных.
Статистика упоминается в этом руководстве по математике последней, потому что старшеклассники обычно изучают ее в качестве заключительного курса математики. Хотя это не всегда так, но часто бывает.
После поиска в Интернете лучшего статистического курса или сайта я нашел канал Statistics 101 на YouTube , который действительно отлично справляется с объяснением статистики.Вам даже не нужно иметь отличное математическое образование, чтобы понимать, чему вас учат.
Видео длятся в среднем около 25 минут и используют графики и примеры для объяснения статистики.
Вы можете узнать больше о статистике на Stat Trek , всеобъемлющем сайте, который включает в себя практический тест и онлайн-инструменты, такие как калькулятор вероятностей.
Самое лучшее в математике
Давайте закончим двадцатым сайтом, восходящим к History of Math .Это не научит вас никакому уровню математики, но взгляд на эволюцию помогает поместить все в контекст.
К настоящему времени ваш интерес должен был достигнуть максимума. В социальных сетях, таких как Mathematics Stack Exchange и Reddit, есть сильные математические сообщества.Есть также очень полезный список математических сайтов, которые вам стоит изучить дальше.
Что бы ни говорили вам люди, математику можно использовать во многих ситуациях повседневной жизни, независимо от вашего уровня и возраста. Вы можете использовать геометрию в своих столярных проектах, статистику, которая поможет вам понять популярные исследования, алгебру, чтобы помочь вам принимать более правильные налоговые решения, и в завершение всего этого просто повеселитесь с числами!
Для получения дополнительных учебных материалов, которые помогут вам изучить математику в увлекательной форме, взгляните на интерактивные курсы Brilliant.
Изображение предоставлено: R. Mackay Photography через Shutterstock.com, Sfio Cracho через Shutterstock.com, Исмагилов через Shutterstock.com, Dust через Shutterstock.com; andreevarf через Shutterstock; патпитчая через Shutterstock
Теперь вы можете играть в Minecraft: Education Edition на Chromebook
Поскольку дистанционное обучение стало для многих новым образом жизни, Microsoft выпустила Minecraft: Educational Edition для Chromebook.
Об авторе
Социальные сети, умный дом и технический писатель для MUO
Подробнее о Шай Мейнеке
Подпишитесь на нашу рассылку новостей
Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать технические советы, обзоры, бесплатные электронные книги и эксклюзивные предложения!
Еще один шаг…!
Подтвердите свой адрес электронной почты в только что отправленном вам электронном письме.
.

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

2¹	2²	2³	2⁴	2⁵	2⁶
2	4	8	16	32	64
log₂ 2 = 1	log₂ 4 = 2	log₂ 8 = 3	log₂ 16 = 4	log₂ 32 = 5	log₂ 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log₂ 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2² < 5 < 2³, а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.
Как считать логарифмы
С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log_a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log₂ 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2⁻¹.
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
Решить относительно переменной b уравнение: x = a^b;
Полученное число b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Задача. Вычислите логарифм: log₅ 25
Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5¹; 25 = 5²;
Составим и решим уравнение:
log₅ 25 = b ⇒ (5¹)^b = 5² ⇒ 5^b = 5² ⇒ b = 2;
Получили ответ: 2.
Задача. Вычислите логарифм:

Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3¹; 1/81 = 81⁻¹ = (3⁴)⁻¹ = 3⁻⁴;
Составим и решим уравнение:
Получили ответ: −4.
Задача. Вычислите логарифм: log₄ 64
Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2²; 64 = 2⁶;
Составим и решим уравнение:
log₄ 64 = b ⇒ (2²)^b = 2⁶ ⇒ 2^2b = 2⁶ ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Получили ответ: 3.
Задача. Вычислите логарифм: log₁₆ 1
Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2⁴; 1 = 2⁰;
Составим и решим уравнение:
log₁₆ 1 = b ⇒ (2⁴)^b = 2⁰ ⇒ 2^4b = 2⁰ ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Получили ответ: 0.
Задача. Вычислите логарифм: log₇ 14
Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7¹; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7¹ < 14 < 7²;
Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
Ответ — без изменений: log₇ 14.
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.
Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2³ — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2⁴ — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴ — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;
Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x. Обозначение: lg x.
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.
Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log₁₀ x
Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x. Обозначение: ln x.
Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459…
Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log_e x
Таким образом, ln e = 1; ln e² = 2; ln e¹⁶ = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.
Смотрите также:
Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
Десятичные дроби
Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
Метод коэффициентов, часть 2
Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства
Что такое логарифм
Свойства логарифма
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.
Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).
Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.
Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.
А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.
Тогда, если дело касается логарифма:
можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?
На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):
Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.
У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).
Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?
Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).
А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).
Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета… Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.
Всегда, когда существует логарифм, должно быть:
«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.
А теперь разберем теорию на практике:
В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).
Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.
Ответ: 4.
lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.
А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :
Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов:
Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?
Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.
Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:
В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!
Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.
Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.
Основное логарифмическое тождество:
В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.
Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.
Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает:
А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:
Дальше с этим ничего сделать не сможем.
Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.
Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:
А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:
Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:
А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:
Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:
Пример:
А в основании тоже можно? Нужно!
Минус два — это степень у основания:
А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода:
А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов
С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.
Формула перехода к новому основанию:
Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.
Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.
Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.
Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:
Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.
Простенький примерчик:
Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:
Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.
Начинаем с внутреннего:
И постепенно раскрываем каждый последующий:
После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.
Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.
Первый появляется из определения логарифма:
Только не забываем про ОДЗ:
Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием:
Не забываем про ОДЗ, тогда получится:
Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!
Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:
Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:
Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:
Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:
Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 < a < 1 (также как в показательных неравенствах), то после зачеркивания логарифмов знак меняется на противоположный:
Если же основание а > 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:
Вывод:
Л О Г — это не три страшные буквы, а обратное действие возведению в степень.
Хоть формул и целых девять, но они никак не пересекаются. Решая пример и ориентируясь в формулах, ты будешь однозначно выбирать необходимую формулу.
Видишь логарифм — ищи ОДЗ и решай его в первую очередь!
Решение уравнений происходит по одному из двух вариантов и больше никак.
В неравенствах главное — помнить об основании логарифма, когда зачеркиваем логарифмы.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Алгебра
Определение логарифма, основное логарифмическое тождество
Рассмотрим два произвольных действительных числа a и b, удовлетворяющих условиям
(1)
Определение. Логарифмом числа b по основанию a называют такую степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Другими словами, логарифм числа b по основанию a – это такое число x, которое является решением уравнения
Доказательство того, что решение уравнения (2) существует и единственно, выходит за рамки школьной программы.
Для логарифма числа b по основанию a используется обозначение:
log_a b .
Таким образом, для всех действительных чисел a и b, удовлетворяющих условиям (1), справедливо равенство
которое часто называют основным логарифмическим тождеством.
Замечание. Обратим особое внимание на то, что при решении уравнения (2) мы ищем показатель степени, а при решении уравнения
x^a= b.
мы ищем основание степени, которое вычисляется по формуле
и в случае, когда a – натуральное число, является корнем натуральной степени из числа b.
Пример 1. Решить уравнение
x³= 81 .
Решение. Воспользовавшись понятием кубического корня и свойствами степеней, получаем
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение
3^x= 81 .
Решение. Воспользовавшись тем, что число 81 является четвертой степенью числа 3 , получаем:
Ответ: 4 .
Задача. Доказать, что число
log₂ 3
иррационально.
Решение. Предположим противное, т.е. предположим, что указанное число рационально. Тогда существует несократимая дробь
,
числитель и знаменатель которой являются натуральными числами и такая, что справедливо равенство:
Из определения логарифма отсюда вытекает равенство:
следствием которого является равенство:
2^m= 3ⁿ .
Но последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть четное число, а правая – нечетное. Полученное противоречие доказывает требуемое в задаче утверждение.
Свойства логарифмов
Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:
Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств
Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.
Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение
log_a ( f (x)² ) ,
то вместо формулы
следует применять формулу
поскольку в противном случае можно потерять корни.
По той же причине при преобразовании выражений
log_a ( f (x) g (x)) и
следует использовать формулы:
и
Замечание. Желающим усовершенствовать свои знания и умения при решении уравнений и неравенств с логарифмами мы рекомендуем ознакомиться с нашими учебными пособиями «Решение логарифмических уравнений» и «Решение логарифмических неравенств».
Десятичные логарифмы и натуральные логарифмы
В математике, физике и во многих других областях естествознания и технологий важное место занимают десятичные логарифмы и натуральные логарифмы.
Десятичные логарифмы – это логарифмы с основанием 10, а основанием натуральных логарифмов является иррациональное и трансцендентное число e, которое определяется по формуле
доказательство которой выходит за рамки школьной программы.
Для десятичных и натуральных логарифмов используются соответственно обозначения:
lg b и ln b,
причем
lg e = 0,43429…,
ln 10 = 2,30259…
Графики логарифмических функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
основание, свойства, формулы, функция, график
Свойств Формула Пример
Логарифм умножения ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Логарифм деления ln(x / y) = ln(x) — ln(y) ln(3 / 7) = ln(3) — ln(7)
Логарифм степени ln(x ^y) = y ∙ ln(x) ln(2⁸) = 8∙ ln(2)
Логарифм корня
Производная логарифма f (x) = ln(x)⇒ f ‘ (x) = 1 / x
Интеграл логарифма ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) — 1) + C
Логарифм отрицательного числа ln(x) не определен, если x ≤ 0
Логарифм числа 0 ln(0) не определен
Логарифм числа 1 ln(1) = 0
Логарифм комплексного числа log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x)),
для комплексного числа z = re^iθ = x + iy
Логарифм бесконечности lim ln(x) = ∞, если x→∞
Тождество Эйлера ln(-1) = iπ
Логарифмы. Свойства логарифмов. Формулы с логарифмами. Десятичные, натуральные логарифмы, основное логарифмическое тождество

Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a^c = b: log a b=c⇔ a c =b (a>0,a≠1,b>0) &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp
Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество
a log a b =b (a>0,a≠1) (2)
Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма
log a a=1 (a>0,a≠1) (3)
log a 1=0 (a>0,a≠1) (4)
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного
log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)
log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.
Действительно, выражение log a (f(x)g(x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.
Преобразуя данное выражение в сумму log a f(x)+ log a g(x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма
log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0) (7)
И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:
log a (f (x) 2 =2 log a f(x)
Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию
log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)
Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.
Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):
log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)
Десятичные и натуральные логарифмы
Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log₁₀x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy (x>0,y>0) .
Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами
Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.
Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log₅125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).
Таблица формул, связанных с логарифмами

a log a b =b (a>0,a≠1)

log a a=1 (a>0,a≠1)

log a 1=0 (a>0,a≠1)

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)

log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0)

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Возможно, вас заинтересуют также:
Натуральный логарифм, функция ln x

Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.
Определение
Натуральный логарифм
– это функция y = ln x, обратная к экспоненте, x = e^y, и являющаяся логарифмом по основанию числа е: ln x = log_e x.
Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/x.
Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045…;
.
График натурального логарифма ln x

График функции y = ln x.
График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x.
Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).
При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x^a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.
Свойства натурального логарифма
Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание
Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Область определения 0 < x + ∞
Область значений – ∞ < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает
Нули, y = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 нет
+ ∞
– ∞
Значения ln x
ln 1 = 0
Основные формулы натуральных логарифмов
Формулы, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе «Логарифм».
Обратная функция
Обратной для натурального логарифма является экспонента.
Если    ,   то
Если    ,   то    .
Производная ln x
Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Интеграл вычисляется интегрированием по частям:
.
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексной переменной z:
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.
Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 05-04-2014 Изменено: 20-03-2017
Натуральный логарифм — это… Что такое Натуральный логарифм?
График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x).
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), log_e(x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается.^[1]
Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x)) — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Например, ln(7,389…) равен 2, потому что e²=7,389…. Натуральный логарифм самого числа e (ln(e)) равен 1, потому что e¹ = e, а натуральный логарифм 1 (ln(1)) равен 0, поскольку e⁰ = 1.
Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный». Это определение можно расширить на комплексные числа, о чём будет сказано ниже.
Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:
Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:
Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в виде функции:
Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.
История
Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia, опубликованной в 1668 году^[2], хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.^[3] Ранее его называли гиперболическим логарифмом,^[4] поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.
Конвенции об обозначениях
Русская (и советская в целом) система
Натуральный логарифм принято обозначать через «ln(x)», логарифм по основанию 10 — через «lg(x)», а прочие основания принято указывать явно при символе «log».
Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике авторы используют обозначение «log(x)» для логарифмов по основанию 2, но это соглашение не является общепринятым и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.
Скобки вокруг аргумента логарифмов (если это не приводит к ошибочному чтению формулы) обычно опускают, а при возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма: ln² ln³ 4x⁵ = [ln([ln(4x⁵)]³)]².
Англо-американская система
Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x)», либо «ln(x)» , а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log₁₀(x)».
Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x)» (или изредка «log_e(x)»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x)» у них означает log₁₀(x).
В теоретической информатике, теории информации и криптографии «log(x)» обычно означает логарифм по основанию 2 «log₂(x)» (хотя часто вместо этого пишется просто lg(x)).
Техника
В наиболее часто используемых языках программирования и пакетах прикладных программ, включая C, C++, SAS, MATLAB, Фортран и BASIC функция «log» или «LOG» относится к натуральному логарифму.
В ручных калькуляторах натуральный логарифм обозначается ln, тогда как log служит для обозначения логарифма по основанию 10.
Происхождение термина натуральный логарифм
Сначала может показаться, что поскольку наша система счисления имеет основание 10, то это основание является более «натуральным», чем основание e. Но математически число 10 не является особо значимым. Его использование скорее связано с культурой, оно является общим для многих систем счисления, и связано это, вероятно, с числом пальцев у людей.^[5] Некоторые культуры основывали свои системы счисления на других основаниях: 5, 8, 12, 20 и 60.^[6]^[7]^[8]
log_e является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:^[9]
Если основание b равно e, то производная равна просто 1/x, а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора, чего нельзя сказать о других логарифмах.
Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление.^[10]
Определение
$\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln(b)} \ln{x} \right) = \frac{1}{\ln(b)} \frac{d}{dx} \ln{x} = \frac{1}{x\ln(b)}$ ln(a) определяется как площадь под кривой f(x) = 1/x от 1 до a.
Формально ln(a) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a, т. е. как интеграл:
Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:
Это можно продемонстрировать, допуская следующим образом:
Число e может быть определено как единственное действительное число a такое, что ln(a) = 1.
Или же, если показательная функция была определена раньше с использованием бесконечных рядов, натуральный логарифм может быть определён как обратная к ней функция, т. е. ln — это функция, такая что . Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественные числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных x.
Свойства
(комплексный логарифм)
Производная, ряд Тейлора
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,$ Полиномы Тейлор дают точную аппроксимацию для только в диапазоне -1 x ≤ 1. Заметим, что для x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени дают аппроксимацию хуже.
Производная натурального логарифма равна
На основании этого можно выполнить разложение в ряд Тейлора около 0, называемого иногда рядом Меркатора:
Справа дано изображение и некоторых её полиномов Тейлора около 0. Эти аппроксимации сходятся к функции только в области -1 < x ≤ 1, а за её пределами полиномы Тейлора высших степеней дают аппроксимацию менее точную.
Подставляя x-1 для x, получим альтернативную форму для ln(x), а именно:
^[11]
С помощью преобразования Эйлера ряда Меркатор можно получить следующее выражение, которое справедливо для любого х больше 1 по абсолютной величине:
Этот ряд похож на формулу Бэйли—Боруэйна—Плаффа.
Также заметим, что — это её собственная инверная функция, поэтому для получения натурального логарифма определенного числа y нужно просто для x присвоить значение .
Натуральный логарифм в интегрировании
Натуральный логарифм даёт простую интегральную функцию вида g(x) = f ‘(x)/f(x): первообразная функции g(x) имеет вид ln(|f(x)|). Это подтверждается цепным правилом и следующим фактом:
В другом виде:
и
Ниже дан пример для g(x) = tan(x):
Пусть f(x) = cos(x) и f’(x)= — sin(x):
где C — произвольная константа.
Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям:
Численное значение
Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:
Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:
при условии, что y = (x−1)/(x+1) и x > 0.
Для ln(x), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:
Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.
Высокая точность
Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.
Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:^[12]^[13]
где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и
m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)
Вычислительная сложность
Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.
Непрерывные дроби
Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби, но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:
Комплексные логарифмы
Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида e^x для любого произвольного комплексного числа x, при этом используется бесконечный ряд с комплексным x. Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x, для которого e^x = 0, и оказывается, что e^2πi = 1 = e⁰. Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то e^z = e^z+2nπi для всех комплексных z и целых n.
Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости, и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi. Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi, и т.д., и хотя i⁴ = 1, 4 log i может быть определена как 2πi, или 10πi или −6 πi, и так далее.
Функции натурального логарифма на комплексной плоскости (главная ветвь)
$\log \left( 1+\frac{2x}{y} \right) = \cfrac{2x} {y+\cfrac{x} {1+\cfrac{x} {3y+\cfrac{2x} {1+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {1+\ddots}}}}}} = \cfrac{2x} {y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(y+x)-\ddots}}}}$
$\log \left( 1+\frac{2x}{y} \right) = \cfrac{2x} {y+\cfrac{x} {1+\cfrac{x} {3y+\cfrac{2x} {1+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {1+\ddots}}}}}} = \cfrac{2x} {y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(y+x)-\ddots}}}}$
$\log \left( 1+\frac{2x}{y} \right) = \cfrac{2x} {y+\cfrac{x} {1+\cfrac{x} {3y+\cfrac{2x} {1+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {1+\ddots}}}}}} = \cfrac{2x} {y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(y+x)-\ddots}}}}$
$\log \left( 1+\frac{2x}{y} \right) = \cfrac{2x} {y+\cfrac{x} {1+\cfrac{x} {3y+\cfrac{2x} {1+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {1+\ddots}}}}}} = \cfrac{2x} {y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(y+x)-\ddots}}}}$
Суперпозиция трёх предыдущих графиков
См. также
Примечания
↑ Mathematics for physical chemistry. — 3rd. — Academic Press, 2005. — P. 9. — ISBN 0-125-08347-5, Extract of page 9
↑ J J O’Connor and E F Robertson The number e. The MacTutor History of Mathematics archive (сентябрь 2001). Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
↑ Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed. — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024
↑ Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials. Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
↑ Boyers Carl A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 1968.
↑ Harris, John (1987). «Australian Aboriginal and Islander mathematics» (PDF). Australian Aboriginal Studies 2: 29–37.
↑ Large, J.J. (1902). «The vigesimal system of enumeration». Journal of the Polynesian Society 11 (4): 260–261.
↑ Cajori first=Florian (1922). «Sexagesimal fractions among the Babylonians». American Mathematical Monthly 29 (1): 8–10. DOI:10.2307/2972914.
↑ Larson Ron Calculus: An Applied Approach. — 8th. — Cengage Learning, 2007. — P. 331. — ISBN 0-618-95825-8
↑ Ballew, Pat Math Words, and Some Other Words, of Interest. Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
↑ «Logarithmic Expansions» at Math3.org
↑ (1982) «Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)». Journal of Information Processing 5 (4): 247–250. Проверено 30 March 2011.
↑ (1999) «Fast computations of the exponential function» 1564: 302–312. DOI:10.1007/3-540-49116-3_28.
Ссылки
Расшифровка функции потерь журнала. Вы когда-нибудь работали над… | by Harshith
Вы когда-нибудь работали над проблемой классификации в машинном обучении? Если да, то вы могли столкнуться с функцией кросс-энтропии или потери журнала в логистической регрессии.
Для чего используется эта функция? Каково значение функции в задачах классификации?
Давайте выясним подробности, посмотрев на математику, лежащую в основе функции.
Прежде чем мы начнем углубляться в математику, лежащую в основе функции, и посмотрим, как она была получена, мы должны знать, что такое функция потерь.
Проще говоря, функция потерь: функция, используемая для оценки производительности алгоритма, используемого для решения задачи. Подробное определение
В алгоритме двоичной классификации, таком как логистическая регрессия, цель состоит в том, чтобы минимизировать функцию кросс-энтропии.
Кросс-энтропия — это мера разницы между двумя распределениями вероятностей для данной случайной переменной или набора событий — Джейсон Браунли
Давайте предположим, что у нас есть данные о пациентах, и задача состоит в том, чтобы найти, у кого из них есть рак.В нашем примере, поскольку у нас нет данных по всей совокупности, мы пытаемся предсказать вероятность заболевания раком человека на основе выборки данных. Нам нужно только предсказать для злокачественного класса , т.е. P (y = 1 | x) = p̂ , потому что вероятность отрицательного класса может быть получена из него , то есть P ( y = 0 | x) = 1-P (y = 1 | x) = 1-p̂ .
Хороший алгоритм бинарной классификации должен выдавать высокое значение p̂ (вероятность прогнозирования злокачественного класса для образца S), что является ближайшей оценкой к P (вероятность прогнозирования злокачественного класса. от общей численности населения).
В теории вероятностей функция плотности вероятности или плотность непрерывной случайной величины — это функция, значение которой в любой заданной выборке в пространстве выборки можно интерпретировать как обеспечивающую относительную вероятность того, что значение случайной переменной будет равно этот образец — Википедия
Идея состоит в том, чтобы найти максимум функции правдоподобия для определенного значения θ
Найти максимальное значение функции означает дифференцировать функцию (dL / dθ = 0)
Поскольку функция правдоподобия L является продуктом функции распределения вероятностей каждого Xi, мы должны использовать правило произведения при дифференцировании, чтобы дифференцировать такую функцию, что станет сложной задачей.
Здесь на помощь приходят логарифмы.
Log (xy) = Logx + Logy
Дифференциация: d (Logx) / dx = 1 / x
Применение журнала к функции правдоподобия упрощает выражение до суммы журнала вероятностей и не меняет график с относительно θ. Более того, дифференцирование логарифма функции правдоподобия даст ту же оценку θ из-за монотонного свойства логарифмической функции.
Это преобразование функции правдоподобия помогает найти значение θ, которое максимизирует функцию правдоподобия.
Выражение также называется распределением Бернулли.
В нашем примере вероятность того, что рак является злокачественным, равна P. Вероятность того, что рак является доброкачественным, будет равна 1-P.
В случае N наблюдений функция плотности вероятности f задается как произведение отдельных функций плотности вероятности. Совместная вероятность определяется следующим образом:
Для оценки максимального правдоподобия мы должны вычислить, для какого значения P будет dL / dP = 0, так что для этого, как обсуждалось ранее; функция правдоподобия преобразуется в логарифмическую функцию правдоподобия.
Как видите, мы вывели уравнение, которое почти аналогично функции логарифмических потерь / кросс-энтропии, только без знака минус. В логистической регрессии градиентный спуск используется для нахождения оптимального значения вместо градиентного подъема, потому что он рассматривается как задача минимизации потерь , поэтому здесь мы добавляем отрицательный знак к уравнению, что приводит к двоичную функцию потери кросс-энтропии.
Также обратите внимание, что максимизация функции логарифмического правдоподобия аналогична минимизации отрицательной логарифмической функции правдоподобия.
Функция потерь вычисляет ошибку для одного обучающего примера; функция стоимости — это среднее значение функций потерь всего обучающего набора — Andrew Ng
.
python — ошибка математического домена в math.log
Переполнение стека
Около
Товары
Для команд
Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
О компании
,
math.log в Python — qaru.
Переполнение стека
Около
Товары
Для команд
Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
О компании
,
журнал, logf, logl — cppreference.com
логарифм с плавающей запятой (аргумент с плавающей запятой);
(1) (начиная с C99)
двойной лог (двойной аргумент);
(2)
long double logl (длинный двойной аргумент);
(3) (начиная с C99)
#define log (arg)
(4) (начиная с C99)
1-3) Вычисляет натуральный (с основанием e ) логарифм arg .
4) Типовой макрос: если arg имеет тип long double, вызывается logl . В противном случае, если arg имеет целочисленный тип или тип double, вызывается log . В противном случае вызывается logf . Если arg сложный или мнимый, то макрос вызывает соответствующую сложную функцию (clogf, clog, clogl).
[править] Параметры
аргументов — значение с плавающей запятой
[править] Возвращаемое значение
Если ошибок не возникает, возвращается натуральный (по основанию e ) логарифм arg (ln (arg) или log
e (arg)).
Если возникает ошибка домена, возвращается значение, определяемое реализацией (NaN, если поддерживается).
Если возникает ошибка полюса, возвращается -HUGE_VAL , -HUGE_VALF или -HUGE_VALL .
[править] Обработка ошибок
Об ошибках сообщается, как указано в math_errhandling.
Ошибка домена возникает, если arg меньше нуля.
Ошибка полюса может возникнуть, если arg равен нулю.
Если реализация поддерживает арифметику с плавающей запятой IEEE (IEC 60559),
Если аргумент равен ± 0, возвращается -∞ и возникает FE_DIVBYZERO.
Если аргумент равен 1, возвращается +0
Если аргумент отрицательный, возвращается NaN и возникает FE_INVALID.
Если аргумент равен + ∞, возвращается + ∞
Если аргумент NaN, возвращается NaN
[править] Пример
#include #include #include #include #include #pragma STDC FENV_ACCESS ON int main (пусто) { printf ("журнал (1) =% f \ n", журнал (1)); printf ("логарифм по основанию 5 от 125 =% f \ n", log (125) / log (5)); // специальные значения printf ("журнал (1) =% f \ n", журнал (1)); printf ("журнал (+ Inf) =% f \ n", журнал (БЕСКОНЕЧНОСТЬ)); //обработка ошибок errno = 0; feclearexcept (FE_ALL_EXCEPT); printf ("журнал (0) =% f \ n", журнал (0)); если (errno == ERANGE) perror ("errno == ERANGE"); if (fetestexcept (FE_DIVBYZERO)) put ("FE_DIVBYZERO поднято"); }
Выход:
журнал (1) = 0.000000 логарифм 125 по основанию 5 = 3.000000 журнал (1) = 0,000000 журнал (+ Inf) = inf журнал (0) = -inf errno == ERANGE: числовой результат вне допустимого диапазона FE_DIVBYZERO собрал
[править] Ссылки
Стандарт
C11 (ISO / IEC 9899: 2011):
7.12.6.7 Функции журнала (стр: 244-245)
7.25 Типовой math (стр: 373-375)
F.10.3.7 Функции журнала (стр: 522)
Стандарт
C99 (ISO / IEC 9899: 1999):
7.12.6.7 Функции журнала (стр: 225)
7.22 Типовой math (p: 335-337)
F.9.3.7 Функции журнала (стр: 459)
Стандарт C89 / C90 (ISO / IEC 9899: 1990):
[править] См. Также
,

Рубрики:
Школьное образование
(9 голосов: 4.3 из 5)
Оправляя ребенка в первый класс, родители всегда мечтают о том, что их чадо будет отлично учиться и по всем предметам получать только высшие оценки. И если чтению научить малыша совсем не сложно, то понимать и решать математические задачи детям не всегда легко. Чтобы первоклассник успевал по математике в школе, родители либо нанимают репетитора, что не всегда финансово оправдано, либо пытаются заниматься с детьми самостоятельно. В этом материале мы расскажем, как подтянуть первоклассника по математике в домашних условиях, расскажем о различных типах задач и о методах их решений.
Как учить ребенка математическому счету
Родители первоклассников должны помнить о том, что в возрасте 5-7 лет у детей еще плохо развито абстрактное мышление. Вспомните сказку о Буратино, когда он считал яблоки, которые якобы забрал «Некто». Так и ребенок 5-7 лет еще не в состоянии представить условие задачи.
Лучше всего пользоваться наглядными пособиями, которые ребенок сможет увидеть, потрогать. Это могут быть счетные палочки, кубики или картинки, вырезанные из картона (например, набор картонных ежиков, цветочков, листиков и прочего). Выкладывайте перед ребенком все условие задачи из наглядных материалов: было столько-то, добавили или отняли столько-то. Так ему будет проще понимать условие задачи и легче находить ее решение.
Еще один важный момент при обучении детей состоит в том, что ребенок должен научиться отличать задачи друг от друга по типам. Для этого можно ориентировать его на какие-то ключевые слова. Например, если в задаче упоминаются слова «добавили», «принесли», «прилетели», «прибежали» и другие, обозначающие присоединение, то это задача на сложение.
Понимая, к какому типу относится та или иная задача, ребенок научится определять нужный алгоритм решениn
занимательная арифметика в картинках с ответами
Занимательные примеры на сложение и вычитание
Перед вами 7 заданий, которые можно использовать для короткого дополнительного занятия с первоклассником. Решать сейчас эти примеры в уме или на бумаге не обязательно.
Вы сможете выполнять интерактивные задания в персональном кабинете. А здесь мы просто показываем родителям и учителям примеры задач. Чтобы вы сразу поняли, что наконец-то нашли то, что искали 😉.
В магическом квадрате сумма чисел в любой горизонтали, вертикали и диагонали одинакова.
Определи недостающее число.
Расставь знаки арифметических действий между числами.
Определи, какой знак спрятался за кругом.
С ЛогикЛайк ребёнок не соскучится! И подружится с логикой и математикой.
Злобный вирус прячет одинаковые цифры за одинаковыми картинками.
Какие цифры спрятались за совой и попугаями?
Тесты онлайн по математике для 1 класса
Здесь выложены онлайн тесты по математике, в которых ребенок сможет решить задачи для 1 класса, а также выполнить задания на сложение и вычитание.
Математические задачи составлены с учетом школьной программы для 1 класса. В задачах представлены действия на сложение и вычитание однозначных чисел: 5+3, 8-4, 2+2, и действия на сложение и вычитание двузначных чисел с однозначными: 10 + 7, 17 – 7, 17 – 10.
Среди представленных тестов есть задачи для 1 класса, как с одним действием, так и с двумя действиями. Конечно же, сначала ребенку нужно потренировать свои математические способности в задачах с одним действием. А когда уже ребенок сможет решать их легко — смело переходите к более сложным задачам в два действия. Главное — чтобы обучение шло по нарастающей, тогда результат будет гораздо выше и эффективнее.
Для любого ребенка задачи всегда сложнее, чем примеры. Так как в них нужно не только решить пример, но и составить этот пример на основе заданного условия. А для этого уже требуется логическое и образное мышление.
Тесты на сложение и вычитание отлично тренируют математические способности ребенка и его умение считать в уме. Чем чаще ребенок будет тренироваться, тем выше будет его успеваемость в школе. Тесты составлены на основе того, что должен знать и уметь ребенок в 1 классе. Сюда входит: Числа от 1 до 10, Нумерация чисел, Сложение и вычитание от 0 до 10 и от 10 до 20, Сравнение чисел, Единица времени: час, Единицы длины: сантиметр, дециметр, Соотношение между ними, Единица массы: килограмм, Единица вместимости: литр, Знаки + (плюс), – (минус), = (равно), Названия компонентов и результатов сложения и вычитания (их использование при чтении и записи числовых выражений).
А теперь можете по порядку проходить все онлайн тесты по математике для 1 класса. Будьте внимательны!

Тесты
Здесь вы должны решить математические задачи на нахождение суммы для 1 класса. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить математические задачи на нахождение суммы для 1 класса, 2 часть. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны пройти математические задачи на нахождение суммы для 1 класса, 3 часть. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны пройти математические задачи на нахождение остатка для 1 класса. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить математические задачи на нахождение остатка для 1 класса, 2 часть. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить математические задачи на тему «Больше,
Логические задачи по математике для 1 класса с ответами, решениями
Логические задачи по математике для 1 класса
Логические задачи по математике для 1 класса позволяют развить у ребенка способность последовательно мыслить, а также умение думать в целом. Однако иногда случается так, что у ребенка пропадает желание заниматься математикой в школе, хотя в процессе подготовки к поступлению в первый класс он проявлял большой интерес к логическим задачкам. Случается это по той причине, что ребенку очень быстро надоедают похожие задания. Чтобы школьнику было действительно интересно, его все время нужно стараться заинтересовывать чем-то новым.
Виды математических задач для детей 1 класса
Как показывает практика, среди наиболее интересных задач для учеников первых классов обычно выделяют следующие:
•логические – на сложение и вычитание;
•составные – в несколько действий;
•текстовые – логические и математические.
Интересно! Кроссворды для детей 6 лет
Ребенок будет с удовольствием решать поставленные перед ним задачи, если чередовать их и придумывать к ним условия, которые будут интересны детям.
Логические задачи на сложение и вычитание
В рамках учебного процесса в школе чаще всего встречаются обычные задачи на сложение и вычитание. Однако ребенку будет куда интереснее заниматься математикой, если задачи будут побуждать его к логическим размышлениям, а не просто машинально вычитать и прибавлять цифры. Приведем несколько наглядных примеров логических задач по математике для 1 класса с ответами и картинками.
Пример №1
Условие. Три подружки взяли в каждую руку по 1 воздушному шарику. Сколько всего шариков есть у девочек?
Решение и ответ. У девочек имеется 6 шариков, так как каждая подружка взяла по одному шару, как в левую, так и в правую руку.
Пример №2
Условие. На тарелке лежит 1 пирожное, 2 конфеты и 3 груши. Сколько всего фруктов находится на тарелке?
Решение и ответ. Количество фруктов в тарелке – 3 штуки. Потому что только груши являются фруктом, а пирожное и конфеты – нет.
Пример №3
Условие. У фермера была 12-литровая бочка, в которой находилось 7 литров воды, а также полностью наполненное водой ведро, объемом 8 литров. Бочку дополнили доверху из ведра. Сколько литров воды осталось в ведре?
Решение и ответ. В ведре осталось 3 литра воды. В бочке не хватало 5 литров (12-7=5), которые фермер взял из ведра, где изначально находилось 8 литров жидкости (8-5=3).
Как видите, задачи составлены таким образом, чтобы помимо работы с цифрами ребенку приходилось проявлять смекалку.
Однако, как показывает практика, в возрасте 7 лет дети могут иметь разный уровень подготовки. Следовательно, приведенные выше задачи могут показаться для кого-то из малышей слишком сложными. В этом случае имеет смысл предложить ему более простые задачки на сложение и вычитание. Однако суть остается прежней – задания должны быть интересными. Зная, чем увлекается ребенок, можно составить задачу, которая будет интересна конкретно ему.
Пример
Условие. У Маши было 2 яблока, а у ее подруги Леры – 3. Сколько всего яблок у девочек?
Решение и ответ. Всего у девочек 5 яблок (2+3=5).
Составные – в несколько действий
Такие задачи в два или три действия ученикам 1 класса наверняка понравятся. Кроме того, с их помощью у ребенка будет очень хорошо развиваться логика и память.
Пример №1
Условие. Монстрик фиолетового цвета скушал 4 целых апельсина. А его друг – красный монстрик, съел 7 половинок таких же апельсинов. Кто из них скушал больше апельсинов?
Решение и ответ. Фиолетовый монстрик съел больше, чем его друг. 1 целый апельсин – это 2 половинки. Значит, 4 целых апельсина можно записать, как 2+2+2+2=8 половинок. 8>7, значит фиолетовый монстрик скушал больше, чем его друг.
Пример №2
Условие. На столе у Светы было 8 пирожных. К ней пришло 5 гостей, и каждый из них скушал по 1 пирожному. Хозяйка подумала, что нужно добавить вкусностей, поэтому достала из холодильника еще 4 пирожных и добавила их на стол к оставшимся сладостям. Однако гости сказали, что уже сыты и не стали брать добавку. Сколько всего пирожных осталось на столе?
Решение и ответ. На столе осталось 7 пирожных. 8-5=3 пирожных, осталось на столе после того, как гости взяли себе по 1 штуке. 3+4=7 пирожных оказалось на столе, когда хозяйка добавила вкусностей из холодильника.
Интересно! Умение детей по возрастам
Текстовые – логические и математические на сообразительность
Такие задачи очень хорошо развивают у детей 7 лет умение логически мыслить. Далее мы рассмотрим несколько примеров таких заданий с их решением.
Пример №1
Условие. У Фёдора есть две сестры и два брата. Кого в семье больше: женщин или мужчин?
Ответ. Мужчин в этой семье на 1 человека больше, потому что Федор тоже мужчина.
Пример №2
Условие. Ира, Надя, Коля и Аня решили заняться спортом. У них есть 2 скакалки и 2 мяча. Известно, что у Ани в руках скакалка, а у Коли и у Нади – одинаковые предметы. Какие предметы в руках у Коли, Нади и Иры?
Ответ. У Коли и Нади в руках мячи, а у Иры – скакалка.
Пример №3
Условие. Учитель выдал ученикам картинку, на которой изображены различные фигуры разных цветов, и загадал одну из них. Чтобы у детей была возможность назвать правильную фигуру, преподаватель дал им несколько подсказок:
•фигура точно не синяя и не квадратная;
•она треугольная или круглая.
Ответ. Глядя на картинку, методом исключения мы можем определить, о какой именно фигуре идет речь. Учитель загадал оранжевый треугольник.
Такие математические задания-головоломки способствуют развитию логики и тренирует навыки владения основными приемами мышления в целом. Обобщение, сравнение, выделение определенных признаков – всему этому ребенка учат задания такого типа.
Пример №4
Условие. Найдите закономерность и продолжите ряд подходящими цифрами: 5,6,8,11,15,…
Ответ. …20,26,33 и так далее. В ряду вышеуказанных чисел мы видим определенную закономерность. Сначала мы прибавили 1, потом 2, затем 3, после этого 4, затем 5, потом 6 и так далее. То есть, с каждым шагом мы прибавляем число на единицу больше, чем предыдущее.
Усложненные задачи по математике на логику
Некоторые дети довольно легко справляются с обычными математическими задачами и показывают очень хорошие результаты в школе. Таких преуспевающих учеников нередко отправляют на олимпиады.
Далее приведем примеры логических задач по математике, с которыми ученик первого класса может столкнуться на олимпиаде.
Пример №1
Условие. Известно, что кролик легче, чем щенок на 2 килограмма. Если посадить щенка на левой чаше весов, а кролика на правой, то какая чаша весом будет располагаться выше? Каким образом после этого нужно использовать две имеющиеся гири, чтобы уравновесить весы?
Решение и ответ. Исходя из условий задачи, мы можем быть уверены, что щенок тяжелее кролика, а, значит, правая сторона весов, на которой сидит кролик, будет находиться выше. Чтобы весы уравновесились, гиря, находящаяся в чаше с кролем, должна быть тяжелее на 2 килограмма, чем гиря, которую мы разместим в чашу с щенком (3-1=2). Таким образом, получается, что в чашу к щенку нам нужно поставить гирю весом 1 килограмм, а к кролику – утяжелитель в 3 килограмма.
Пример №2
Условие. Рассмотрите картинку и определите стоимость медвежонка, исходя из имеющихся данных.
Решение и ответ. В первом ряду мы видим уточку и вертолет, общая стоимость которых составляет 4 условных единицы. Во втором ряду мы наблюдаем те же игрушки, но рядом с ними расположен еще и медвежонок. При этом нам известно, что общая стоимость этих трех предметов – 10 условных единиц. Так мы можем вычислить цену медвежонка (10-4=6).
Математика действительно очень интересная наука, знание которой очень помогает человеку в повседневной жизни. Поэтому важно прививать ребенку любовь к ней с самых малых лет. Как это сделать вы уже знаете, главное – чтобы малышу было интересно.
Интересно! Поделки из ватных дисков
Надеемся, что приведенные в статье логические задачи по математике для 1 класса окажутся вам полезными, и ваш ребенок достигнет успеха в школе.
Урок по математике в 1 классе «Решение задач на сложение и вычитание»
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №9»
Конспект урока по математике
в 1 классе

«Решение задач на сложение и вычитание».
подготовила
учитель начальных классов
Кижапкина Евгения Александровна
г. Черногорск,2015
Урок математики в 1б классе
Тема: «Решение задач на сложение и вычитание».
Цели: закрепить знания состава чисел до 10, умения решать задачи.
Задачи:
образовательные: закрепление навыков устного счета, состава чисел, решение задач.
развивающие: развитие логического мышления, словесно-образного мышления, интегрированная связь с окружающим миром, чтением, развитие активного словаря;
воспитательные: умение работать в коллективе, слушать одноклассников, четко высказывать свои мысли, адекватно реагировать на замечания и поощрения.
Личностные УУД:
-внутренняя позиция школьника;
— учебно-познавательный интерес к учебному материалу;
-ориентация на понимание причин успеха в учебной деятельности;
-самоанализ и самоконтроль результата;
-способность к самооценке на основе критериев успешности учебной деятельности.
Познавательные УУД:
-поиск и выделение необходимой информации;
-применение методов информационного поиска;
— способность и умение учащихся производить простые логические действия ( анализ, сравнение).
Коммуникативные УУД:
—формирую умения объяснять свой выбор, строить фразы, отвечать на поставленный вопрос, аргументировать; учитывая позицию собеседника; организовать и осуществить сотрудничество с учителем и сверстниками.
Регулятивные УУД:
—контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном;
-самооценка.
Планируемые результаты:
Предметные:
УУД: планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее выполнения; определять наиболее эффективные способы достижения результата; оценивать себя.
Личностные: взаимодействовать со сверстниками на принципах взаимоуважения, взаимопомощи, дружбы.
Оборудование: веер с цифрами, карточки для фронтальной работы, карточки для рефлексии.
Компьютер, проектор, экран, презентация.
Ход урока:
1. Оргмомент.
-Улыбнитесь друг другу. Садитесь! !
Руки? На месте. Ноги? На месте. Локти у края? Спина прямая.
Замечательно. Готовы к уроку?
-Быть должны у нас в порядке- ручки, книжки и тетрадки.
2. Устный счёт.
На доске карточке с примерами (в пределах 10), за каждой карточкой зашифрована буква. В итоге получается слово «задача». Ребята, какое слово у нас получилось? Как вы думаете, что такое задача? Что обязательно должно быть в задаче? (условие и вопрос) Молодцы! Как вы думаете, о чем пойдет у нас сегодня речь на уроке? (О задачах)
3. Тема урока.
Работа с учебником
Откройте свои учебники страница 68 №1. Я читаю задачу. Ребята, скажите пожалуйста это задача? Почему? (Есть условие и вопрос). Вика, прочитай, пожалуйста, условие. (На одном кусте 5 ягод, на другом – 4 ягоды). Сережа, прочитай вопрос задачи? (Сколько ягод на двух кустах?) Совершенно верно! Посмотрите пожалуйста на фишки, которые представлены. Красные и желтые. Что означают фишки желтого цвета? Сколько их?(Обозначают сколько ягод на одном кусте,5) Что означают фишки красного цвета? Сколько их? (Сколько ягод на другом кусте,4) Верно! Что нам нужно сделать, что ответить на вопрос задачи «Сколько ягод всего?» (Сложить все) Как мы это запишем (5+4=9) Записываем
Отлично справились с задачей.
Смотри на задачу под №2.
Я читаю задачу. Ребята, скажите пожалуйста это задача? Почему? (Есть условие и вопрос). Лера, прочитай, пожалуйста, условие. (На кусте было 6 ягод. Созрели 3 ягоды). Кирилл, прочитай вопрос задачи? (Сколько ягод еще не созрели?) Совершенно верно! Посмотрите пожалуйста на фишки, которые представлены. Красные. Сколько их?(Обозначают сколько ягод,6) Что означают «зачеркнутые» фишки? Сколько их? (Сколько ягод еще не поспело,3) Верно! Что нам нужно сделать, что ответить на вопрос задачи «Сколько ягод еще не созрело?» (от всех ягод отнять 3) Как мы это запишем (6-3=3) Записываем
Молодцы
Ребята, скажите, что вы заметили? (что одна задача, со знаком «+, другая со знаком «-» Правильно! В своей жизни вы будете рещать разные задачи, а сегодня, как вы думаете, что мы научимся делать? (Решать задачи на сложение и вычитание)
Слайд 1 «Решение задач на сложение и вычитание»
Работа в рабочей тетради
Закройте свои учебники. Откройте рабочие тетради на странице 15. Посмотрите на задание под №1.
Дарина, прочитай задание. Я предлагаю поработать вам в парах, какое условие можно придумать к рисунку. Какая пара будет готова ответить дайте знак( С дерева упали листья. Из них было 4 желтых и 4 зеленых. Сколько всего листьев.) Молодцы. Как мы это запишем?(4+3=7) Проверяем (слайд 2)
Продолжаем работу в парах. Смотрим на 2 рисунок. Какой вопрос? (Сколько зеленых листьев?) Придумываем условие. (С дерева упали 6 листьев. Из них было 4 желтых. Сколько было зеленых?) как мы это запишем?(6-4=2) Проверяем (Слайд 3)
4. Физкультурная минутка.
Как живешь? – Вот так! (Показывают большой палец.)
Как идешь? – Вот так! («Шагают» двумя пальцами по ладони.)
А бежишь? – Вот так! (Сгибают руки в локтях и показывают, как работают ими при беге.)
Ночью спишь? – Вот так! (Кладут руки под щеку, а на них – голову.)
Как берешь? Вот так! (Делают руками хватательные движения.)
А даешь? – Вот так! (Делают руками движения. Как будто дают что-то.)
Как шалишь? – Вот так! (Надувают щеки и слегка шлепают по ним ладонями.)
А грозишь? – Вот так! (грозят пальчиком своему соседу.)
Ветер дует нам в лицо,
Закачалось деревцо.
Ветер тише, тише, тише.
Деревцо все выше, выше.
7. Работа по вариантам.
А сейчас, откройте, пожалуйста тетрадь на стр. 17. Те, кто сидит за I вариантом смотрим на задание под №7. Сережа, прочитай пожалуйста. Это задача? Почему? Это задача на сложение или вычитание? (Вычитание) Что будем сначала делать? (нарисуем фишки) Сколько фишек (10) Сколько Участников вырвалось вперед?(3). Как мы покажем это на фишках? (зачеркнем) Как запишем решение? (10-3=7)
Решаем. Теперь II вариант, смотрит на меня. Кира, прочитай задание. Это задача? Почему? О чем говорится в задаче? Что будем делать сначала? (Рисуем фишки.7) Это задача на сложение или вычитание? (сложение). Как запишем решение (4+3=7) Делаем запись в тетрадь
По одному человеку с каждого варианта выходит к доске и делает модель задачи и записывает решение.
12. Итог урока. Рефлексия. С каким настроением мы заканчиваем урок?
— Чему учились на уроке?
— Трудно ли было?
— Что понравилось?
Поднимите свои кулачки вверх. Отогните большой палец, кто считает, что у них всё сегодня на уроке получилось хорошо; безымянные пальчики, кто поняли, как решать задачи; средние пальчики, те, кому было интересно на уроке; указательные, те, кто хотел бы еще решать задачи; большие пальчики, те у кого отличное настроение. Поаплодируйте себе. Спасибо за активную работу на уроке. Урок окончен.
Сборник простых задач на сложение и вычитание 1 класс

1)На ветке сидело 4 воробья и 3 снегиря. Сколько птиц сидело на ветке?

13) В букете было 2 красных розы, 5 белых роз, а розовых столько, сколько красных и белых вместе. Сколько розовых роз в букете?

2) На лугу паслось 5 коров и 1 бык. Сколько животных было на лугу?

14) В хоре поют 3 девочки, танцами занимаются пятеро, а в театральном кружке занимаются столько девочек, сколько поют и танцуют вместе. Сколько девочек занимается в театральном кружке?

3) На стоянке стояло 3 машины. Вечером приехало ещё 6 машин. Сколько машин стало?

15) На день рождения Маше подарили 3 куклы, 5 мишек, а воздушных шариков столько, сколько кукол и мишек вместе. Сколько воздушных шариков подарили Маше?

4) На кусте было 2 Распустившиеся розы. Через 3 дня распустилось ещё 4 розы. Сколько роз на кусте?

16) На опушке леса росло 4 берёзы и 3 дуба, а елей столько, сколько берёз и дубов вместе. Сколько елей росло на опушке леса?

5) На столе стояли 4 тарелки. Мама поставила ещё 2 тарелки. Сколько тарелок стало на столе?

17) Саша исписал за первую четверть 2 тетради, за вторую четверть — 4 тетради, а за третью четверть столько, сколько за первую и вторую вместе. Сколько тетрадей исписал Саша в третьей четверти?

6) У подъезда росло 4 дерева. Дети посадили столько же деревьев. Сколько деревьев стало у подъезда?

18) В букете 3 колокольчика, 7 ромашек, а васильков столько, сколько колокольчиков и ромашек вместе. Сколько васильков в букете?

7) У Кати было 4 куклы. На день рождения девочке подарили 3 куклы.

19) На стоянке стояло 4 красных машины, б синих, а белых машин столько, сколько красных и синих

Сколько кукол стало у Кати? 8) 6 маршрутном такси ехало 5 человек. На остановке вошли ещё 3 человека. Сколько пассажиров стало в маршрутном такси?

20) Миша утром решил 1 задачу, днём 4 задачи, а вечером столько, сколько утром и днём вместе. Сколько задач решил Миша вечером?

9) У мамы было 9 гвоздик. Потом ей подарили ещё 3 гвоздики. Сколько гвоздик стало у мамы?

21) У Юры 3 машинки, а у Максима столько же, но на 4 машинки больше. Сколько машинок у Максима?

10) У Вани было 2 кассеты с мультфильмами. Ему купили ещё 4 кассеты. Сколько кассет стало у Вани?

22) В одном стручке 5 горошин и в другом столько же. Сколько горошин в двух стручках?

11) На даче росли 4 куста смородины. Посадили ещё 6 кустов. Сколько кустов смородины стало на даче?

23) На одной ветке 2 яблока и на другой столько же. Сколько яблок на двух ветках?

12) Мальчик за первую четверть прочитал 4 книги, за вторую четверть 5 книг, а за третью столько, сколько за первую и вторую четверти вместе. Сколько книг прочитал мальчик в третьей четверти?

24) У папы 1 сестра и столько же братьев. Сколько братьев и сестёр у папы?

Учебно-методический материал по математике (1 класс) по теме: Карточки с примерами, 1 класс
Сложение и вычитание чисел в пределах 20 ( 1 кл. ).
Карточка 1 .
10 + 1 =         14 – 3 =         10 + 3 – 2 =
10 + 9 =         15 + 4 =         19 – 5 – 3 =
18 – 8 =         17 – 6 =         14 + 4 + 2=
17 – 10 =         12 + 4 =         18 – 6 + 5 =
__________________________________________________________________
Карточка 2.
Сложение и вычитание чисел в пределах 20.
10 + 2 =         15 – 4 =         11 + 4 – 3 =
10 + 8 =         16 + 3 =         20 – 4 – 5 =
19 – 9 =         18 – 7 =         13 + 3 + 3 =
16 – 10 =         13 + 5 =         19 – 7 + 6 =
________________________________________________________________
Карточка 3.
Сложение и вычитание чисел в пределах 20.
10 + 3 =         16 – 5 =         12 + 5 – 6 =
10 + 7 =         17 + 2 =         18 – 7 – 1 =
16 – 6 =         19 – 8 =         12 + 3 + 4 =
18 – 10 =         14 + 6 =         17 – 5 + 7 =
__________________________________________________________
Карточка 4.
Сложение и вычитание в пределах 20.
10 + 4 =         17 – 6 =         13 + 6 – 5 =
10 + 5 =         18 + 2 =         17 – 5 – 2 =
14 – 4 =         16 – 6 =         11 + 4 + 5 =
17 – 10 =         15 + 3 =         16 – 4 +7 =
1-й класс вычитание словесных задач
Добро пожаловать на наш рабочий лист 1-го класса.
Здесь вы найдете широкий спектр бесплатных печатных листов для вычитания, которые помогут вашему ребенку попрактикуйтесь в решении ряда вычитающих слов, используя числа до 20.
Каждый лист состоит из серии словесных задач, включающих вычитание чисел до 20.
На каждом листе есть место для тренировки, используя тот метод, который вы хотите, чтобы ваш ребенок использовал.
Существуют также британские версии некоторых рабочих листов, в которых используются фунты (£) вместо долларов ($).
Использование этих листов поможет вашему ребенку:
распознавать проблемы вычитания слов;
выучить язык вычитания: разница и минус;
вычитать с номерами до 10, 15 или 20.
Посмотрите на наши факты вычитания до 12.
На этой странице ваш ребенок научится вырабатывать основные факты вычитания до 12.
Взгляните на некоторые из наших листов вычитания 1-го и 2-го классов.
На этой странице ваш ребенок научится вырабатывать основные факты вычитания, включающие более сложные числа.
Взгляните на некоторые из наших рабочих листов, подобных этим.
Здесь вы найдете ряд бесплатных печатных игр первого сорта.
Использование этих листов поможет вашему ребенку научиться:
понимают стоимость места до 100.
Здесь вы найдете еще несколько наших дополнительных рабочих листов 1-го класса.
Использование этих листов поможет вашему ребенку научиться:
Здесь вы найдете ряд математических задач, направленных на первый класс. Каждый лист проблем основан на интересной теме, такой как вечеринки или побережье.
Использование этих математических листов первого класса поможет вашему ребенку:
сложить и вычесть с номерами до 12;
номеров заказов до 100;
решить ряд математических задач.
Все листы математических задач в этом разделе поддерживают базовые математические тесты.
Математические саламандры надеются, что вам понравится использовать эти бесплатные печатные листы по математике и все наши другие математические игры и ресурсы.
Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочих листах в поле для комментариев Facebook внизу каждой страницы.

,
Проблемы вычитания — сложение и вычитание для детей — Math Blaster
Ищете ли вы рабочие листы вычитания, проблемы со словом вычитания или веселые действия по вычитанию, вы попали в нужное место. У Math Blaster есть большая коллекция из задач вычитания , которые родители и учителя могут использовать, чтобы помочь детям выучить и практиковать вычитание.
пойман в сети
Второклассники используют свои навыки вычитания, чтобы помочь Spider Maestro различать пауков в его оркестре в этой забавной таблице вычитаний «Пойманный в сети».Подробнее
Калькулятор Матч
Проверьте свои математические способности, решив математические задачи и сравнив свои ответы с калькулятором в «Калькуляторе». Подробнее
Автомобиль Поезда Гридлокия
Помогите дорожной полиции управлять движением Gridlokia, решая математические задачи и сообщая им, сколько вагонов можно соединить для формирования каждого поезда. Подробнее
Мешок с фасолью
«Мешок с фасолью» — это забавный математический лист, в котором ваши ученики будут соревноваться в решении задач вычитания.Подробнее
Красивые бабочки
В этом математическом листе учащиеся практикуются в сложении и вычитании уравнений баланса, когда они помещают каждую красивую бабочку в нужное место. Подробнее
Что на ужин?
Решите наш лист вычитания «Что для обеда?», Чтобы узнать, что марсиане приготовили на ужин! Подробнее
Цель 50
Target 50 — сложная математическая игра, которую можно использовать, чтобы помочь детям развить свои навыки решения проблем, навыки сложения и вычитания и умственные навыки математики.Подробнее
Фрэнки Бинго Фан
Привлеките первоклассников увлекательной математикой, и пусть они решают простые задачи вычитания с «Fun Bingo Fun» от Frankie! Подробнее
Истории вычитания
Помогите детям решить проблемы с вычитанием с помощью «Истории вычитания» — веселого математического задания для первоклассников! Подробнее
Король и Королева Бросай Бобы
Дайте второклассникам немного математической практики и помогите им решить проблемы сложения и вычитания с помощью нашего веселого математического задания «Король и королева бросьте бобы»! Подробнее
в линии
Ах! Это интересно.Что-то есть в ответах на все проблемы вычитания в рабочем листе «In Line». Подробнее
космических номеров
Помогите своим детям понять концепцию семейств фактов с помощью «Пространственных чисел», забавного рабочего листа по семействам фактов сложения и вычитания. Подробнее
Цепочка улик
В «Цепи подсказок» игроки должны прочитать подсказки на рубашках друг друга и выяснить ответ на каждую из них, собирая подписи, когда они разгадывают подсказки.Здесь много сложений и вычитаний, что делает эту игру отличной для практической работы с умственной математикой. Подробнее
Секретный код
Пришло время взломать код! Решите все проблемы сложения и вычитания в нашем бесплатном математическом листе и выясните «Секретный код»! Подробнее
сложение и вычитание бейсбол
Вы когда-нибудь пробовали играть в бейсбол на уроке математики? Ну, впервые за все! Позвоните лучшим игрокам класса и начните игру.Подробнее
Светлячок Математика
Вычитание не доставляет больше удовольствия, чем это! «Firefly Math» — это математическое задание для детей, которое поможет малышам практиковать вычитание и получать удовольствие от учебного процесса. Подробнее
Kindergartners не должны испытывать затруднений при решении основных задач вычитания самостоятельно. Как только дети могут сосчитать до двадцати, они готовы попробовать свои силы в вычитании. Родители могут помочь своим детям начать вычитание с большим количеством практических проблем.
Практика вычитания
Родители, которые предоставляют своим детям множество проблем с вычитанием для дополнительной практики, заметят, что их дети быстро овладеют навыком. По мере того, как дети переходят к более сложным проблемам вычитания в школе, родители должны следить за тем, чтобы сложность проблем вычитания, которые они практикуют дома, также возрастала. Благодаря мастерству дети обретают уверенность в своих математических способностях и с меньшей вероятностью начинают испытывать неприязнь к предмету.Родители могут легко найти в Интернете рабочие таблицы вычитания для детей разных возрастных групп и способностей.
вычитание слов проблем
Чтобы решить проблем со словом вычитания , дети должны иметь навыки чтения и понимания в дополнение к навыкам вычитания. Кроме того, дети должны понимать, как вычитание используется в различных повседневных ситуациях. Родители, которые используют общие предметы домашнего обихода, чтобы практиковать вычитание со своими детьми, способствуют этому пониманию.Как и в случае с основными задачами вычитания, при овладении этим навыком очень полезна дополнительная практика решения задач вычитания.
Совместное начало задач сложения и вычитания
У некоторых учителей ученики сначала осваивают задачи сложения, а затем переходят к проблемам вычитания. Другие учителя считают, что преподавание сложения и вычитания помогает учащимся понять обратную связь, которую они разделяют. В любом случае, сложение и вычитание являются тесно связанными понятиями, и как только учащиеся овладеют обоими, они должны практиковать сложение и задачи вычитания вместе.Это поможет им проверить знак перед решением проблемы. Постепенно студенты смогут нарисовать связь между этими двумя процессами. Точно так же дети должны практиковать сложение и задачи вычитания вместе, чтобы лучше понять различия между ними.
,
Мероприятия для первого класса
Добро пожаловать на занятия по математике для первого класса.
Здесь вы найдете широкий ассортимент бесплатных печатных рабочих листов 1-го класса, что поможет вашему ребенку научиться складывать и вычитать с номерами до 12.
Здесь вы найдете подборку рабочих листов First Grade Fun Math разработан, чтобы помочь вашему ребенку улучшить свои умственные навыки сложения и вычитания.
Листы классифицированы так, чтобы более легкие были первыми в каждом разделе.
Листы также включают другие математические действия, такие как раскраска.
Использование этих листов поможет вашему ребенку:
узнать их дополнительные факты до 12 + 12;
изучите их факты вычитания до 12;
узнать их нечетные и четные числа до 12.
Все бесплатные занятия по математике для первого класса в этом разделе следуют элементарным тестам по математике для первого класса.
Взгляните на некоторые из наших рабочих листов, подобных этим.
Если вы хотите добавить еще несколько таблиц сложения и вычитания в утешить вашего ребенка, или если вы ищете что-то другое, попробуйте листы здесь.
Использование этих листов поможет вашему ребенку:
учат свои дополнительные факты до 12 + 12;
выучить свои факты вычитания до 12;
решить проблему, когда одно из чисел отсутствует, но ответ дан.
Здесь вы найдете подборку пригодных для распечатки карточек, предназначенных для того, чтобы помочь вашему ребенку узнать факты их сложения.
Использование карточек это отличный способ узнать ваши дополнительные факты. Их можно взять в путешествие, поиграть в игру или использовать в течение пяти свободных минут. ежедневно, пока ваш ребенок не узнает их дополнительные факты наизусть.
Использование этих листов поможет вашему ребенку:
узнать их дополнительные факты.
Вот наш выбор рабочих таблиц времени для 1-го класса.
Использование этих листов поможет вашему ребенку:
— чтение часов и перерыв;
преобразовать часы и половину прошедшего времени в цифровой;
правильно нарисуйте стрелки часов, чтобы отметить часы и половину.
Листы в этом разделе помогут вашему ребенку научиться определять время.
Вот наш выбор гистограмм для первоклассников.
Эти листы включают чтение и интерпретацию ряда гистограмм и графических диаграмм с увеличением масштаба на единицы.
Использование этих таблиц поможет детям понять, как работают гистограммы.
Математические саламандры надеются, что вам понравится использовать эти бесплатные печатные листы по математике и все наши другие математические игры и ресурсы.
Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочих листах в поле для комментариев Facebook внизу каждой страницы.

,
Неизвестное добавление в задачах сложения
Это полный урок с инструкциями и упражнениями для начального обучения по концепции НЕИЗВЕСТНЫЙ или НЕУДАЧНЫЙ ДОБАВЛЕНИЕ в математике первого класса. Дети решают простые уравнения сложения с однозначными числами, где одно добавление отсутствует или неизвестно.
Чего-то не хватает в дополнение.
ВСЕГО не отсутствует. Всего 5.
Сколько во второй группе? Вот чего не хватает!
Всего должно быть 5 точек.Нарисуйте 4 во втором кубике.
5
+
1 + ______
Всего должно быть 4 точки. У второго кубика есть два.
На первом лице нет ни одного, так что вам нужно их нарисовать.
Читайте: «2 плюс какое число составляет 4?»
или «2 и сколько еще делает 4? »
или «Какое число и 2 составляют 4?»
4
+
______ + 2
1.Нарисуйте больше точек для дополнения. Напишите пропущенный номер. Всего на вершине.
3
+
а. 1 + _____
3
+
б. 2 + _____
5
+
г. _____ + 4
5
+
д. 3+ _____
5
+
эл. _____ + 2
4
+
ф. _____ + 3
.
Оставить комментарий on Задачи на сложение и вычитание для 1 класса по математике: Тренажёр по математике (1 класс) на тему: Тексты задач для 1 класса./

Ефимова читать часть 2 Сборник задач по математике для вузов онлайн
Инфо
Название: Сборник задач по математике для вузов
Язык: только русский.
Автор: Ефимова А.В., Поспелова А.С.
Размер: 17
Страниц: 432
Год: 2001
Жизненное описание:
воспоминания выживших
• Воспоминания Христе Ивановны Радкевич.
«… На каждом шагу протягивали руки голодные дети. Просили хоть маленький кусочек хлеба. А как достанется какая-то крошка, то уж трясутся от радости.
Помню, в соседнем колхозе в селе Большой Фосни спасал от голода людей тогдашний председатель колхоза Панчин, 25-тысячник — русский, которого прислали в деревню из города. Ему приходилось нелегко. Надо было хлеб государству виддавать, разные там планы выполнялись и людей спасать. Поэтому, скрыв немного такой — сякой пашни он организовывал обеды в колхозе, а тех, кто уже не мог и ходить, подкармливал ночью, тайком. Говорят, что сам он хлеб по домам разносил, чтобы никто не видел. А во многих селах нашего района: в Сарнинках, вереска, Малой Фосне, Костюшко люди умирали от того, что нечего было есть. Помнят люди этого Панчина, детям и внукам о нем рассказывают, и говорят такие слова: «Если умер, то пусть пухом будет ему земля».
В нашем колхозе давали немного зерна, но не всем оно было спасением. Трое семей моих соседей за неделю вымерли, где-то более 20 человек ходили в Словечно за хлебом, много там в очередях и вымирало. А кому удавалось роздобуть такую - какую-то еду, то, проголодавшись, было как наестся, то тоже умирал. В Панасихы (так по уличному женщину называли), за четыре дня восемь детей не стало, а через неделю и она за ними пошла. Мужчина не выдержал этого и покончил с собой. Девять детей забрал голод в Денисович, пятеро в Зинкевич. Стало легче, когда начало спеть рожь. »
• Мелания Наумовна Ханчич. Сейчас 80 лет.
Вот что она запомнила: «Тогда по селу ходили» буксиры «и все забирали для хозяйства. Оставались люди без куска хлеба. Умирали, как мухи. Лежали мертвые под заборами, среди двора. Чтобы спастись от голодной смерти, пекли лепешки из желудей, собирали весной в поле мерзлую картошку, мяли гречневую полову, вереск и тоже лепешки пекли.
Ефимова читать часть 2 Сборник задач по математике для вузов онлайн:

341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (Сборник задач (Ефимов))
Распознанный текст из DJVU-файла
СБОРНИК ЗАДАЧ ИО МАТЕМАТИКЕ для втузов Под редакцией А. В. Ефимова и А. С. Поспелова — . Пкзт ‘ ЕВ с„,у о Москва ~~~р Я~~ Издательство ~~~~~Я Физико-математической литературы 2001 ББК 22.1 С 23 УДК 5Ц075.8) Коллектив авторов: А. В. ЕФИМОВ, А. Ф. КАРАКУЛИН, С. М. КОГАН, А.
С. ПОСПЕЛОВ, Р. Я. ШОСТАК Содержит задачи по основам математического анализа, а также дифференциадьному и интеградьному исчнсдениям функций одной и нескольких переменных, дифференпнадьным уравнениям и кратным интегралам. Краткие теоретические сведения, снабженные большим водичеством разобранных примеров, аозводцют использовать сборник ддя всех видов обучения.
Ддя студентов высших технических учебных заведений. Учебное издание ЕФИМОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Анаша «ий Федорович, КОГАН Ссрасй Михайлович, ПОСПЕЛОВ Алексей Ссесеаич, ШОСТАК Родион Яковлевич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Часть 2 Редактор Л. А. Панюшкина Корректор Т. С. Вайсберг Компьютерная графика М. В. Ивановский Компьютерный набор н верстка Г. М. Красникова ИД № 01389 от 30.03.2000 Гигиеническое заключение № 77.99.02.963,Д.003724.07.01 от 03.07.2001 Подписано в печать 06,11.2001. Формат 60х88/16, Печать офсетная с готовых диапозитивов.
Усд. печ. д, 27. Уч.-изд, д, 30,6. Тираж 7000 экз. Заказ № 486 Издательство Физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский просвект, 13 Отпечатано в типографии ОАО «Внешторгиадат« 127376 Москва, Ипимскак улица, 7 1БВг«5-94052-035-9 (Ч. 2) 1БВ1«1 5-94052-033-2 Ог Коллектив авторов, 2001 © Физматвнт, оформдение, 2001 Сборник задач по математике для втузов. В 4 честях. Ч. 2: Учеб- ное пособие ддя агузов /Под общ. ред.
А.В.Ефимова и А.С.Поспе- лова. вЂ” 4-е изд. перераб. и доп. вЂ” Мл Издательство Физико-мате- матической литературы, 2001.вЂ” 432 с.вЂ” 18В«ч 5-94052-035-9 (Ч. 2). ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ Глава 5. Введение в анализ Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной………….
Производная 1. Опредеаение производной. Дифференцирование явно заданных функций. 2, Дифференцирование функций, заданных нелепо или параметрически. 3. Производные высших порядков. 4. Геолгетрические и механические приложения производной Дифференциал .. 1. Дифференциал 1-го порядка, 2. Дифференциалы высших порядков Теоремы о дифференцируемых функциях.
Формула Тейлора. 72 77 1. Теоремы о среднем. 2. Правило Лопиталл-Бернулли. 3. г ор- мула Тейлора Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функдии. Экстремум. 2. Направле- ние выпуклости. Точки перегиба. 3. Асимптомы. 4. Построенве графиков функций Векторные и комплексные функции действительной переменной 1. Определение вектор-функции действительной переменной. 2.
Дифференцирование вектор-функции. 3. Касательнал к про- странственной кривой и нормальная плоскость. 4. Дифферен- циальные характеристики плоских кривых. б. Дифференциаль- ные характеристики пространственных кривых. 6. Колгплекс- ные функции действительной переменной 99 Действительныечисла. Множества. Логическая символппа 7 1.
Понятие действительного числа. 2. Множества и операции над ними. 3. Верхние и нижние грани. 4. Логическая символика Функции действительной переменной………… 1. Понятие функции. 2. Элементарные функции и их графики Предел последовательности действительных чисел … 25 1. Понятие последовательности. 2. Предел последовательности Предел функции. Непрерывность…………… 28 1.
Прелел функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно боль- шие. 3. Непрерывность функции в точке. Классификацин та и к разрыва. 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непре- рывность Комплексные числа 39 1. Алгебраические операции над комплексными числами. 2. Многочлены и алгебраические уравнения. 3. Предел после- довательности комплексных чисел Оглавление Основные методы вычисления неопределенного интеграла 115 1. Первоабразная и неопределенный интеграл. 2. Метод замены переменной. 3. Метод интегрирования па частям Интегрирование основных классов элементарных функций 126 1. Интегрирование рациональных дробей. 2.
Интегрирование тригонометрических и гиперболический функций. 3. Интегри- рование некоторых иррациональных функдий Смешанные задачи на интегрирование ……….. 142 Определенный интеграл и методы его вычисления…. 144 1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. 2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона вЂ” Лейбница. 3, Свойства определенного интеграла. 4. Замена переменной в определенном интеграле.
5. Интегри- рование по частям Несобственные интегралы 156 1. Интегралы с бесконечными дределами. 2, Интегралы от не- ограниченных функций Геометрические приложения определенного интеграла .. 162 1. Плошадь плоской фигуры. 2. Длина дуги кривой. 3. Площадь поверхности вращения, 4.
Объем тела Приложения определенного интеграла к решению неко- торых задач механики и физики…………… 177 1. Моменты и центры масс цласких кривых. 2, Физические задачи ~3 34 Глава 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 165 3 1. Основные понятия 185 1. Понятия функции нескольких переменных.
2. Предел и непрерывность функпии. 3. Частные производные. 4. Дифференциал функции и ега применение Дифференцирование сложных и неявных функций…. 1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных. 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. 3. Системы неявных и параметрпчески заланных функций.
4. Замена переменных в дифференциальных выражениях Приложения частных производных 1. Формула Тейлора, 2. Экстремум функции, 3. Условный экстремум. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Геометрические приложения частных производных Приближенные числа и действия над ними 1. Абсолютная и относительная погрешности.
2. Действия над приближенными числами 199 214 230 Г л а в а 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 115 Ог,тавлеиия 236 236 Глава 13 1. 254 263 267 276 276 304 331 349 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 358 Гдава ~ 1. 3 2. ~ 3. ~ 1 9. Кратные интегралы Двойной интеграл 1 Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных воордииатах.
2. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Приложении двойных интегралов Тройной интеграл 1. Тройной интеграл и ого вычисление в декартовых прямо- угольных координатах. 2. Замена переменных в тройном инте- грале. 3. Приложения тройных интегралов Несобственные кратные интегралы 1.
Интеграл по бесконечной области. 2. Интеграл от разрывной функции Вычисление интегралов, зависящих от параметра 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. 2. Несоб- ственные интегралы, зависящие от параметра 10. Дифференциальные уравнения Уравнения 1-го порядка . 1. Основные понятия. 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклпн), 3. Уравнения с разделяющимися переменными. 4. Однородные уравнения. 5.
Линейные уравнения. б. Уравнение Бернулли. 7. Уравнения в полных дифференциалах. 8. Теорема о существовании и единственности решения. Особые решения. 9. Уравнения, пе разрешенные относительно производной. 10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка.
11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка Дифференциальные уравнения высших порядков….. 1. Основные понятия. Теорема Коши. 2. Уравнения, допускающие понижение порялка. 3. Линейные однородные уравнения. 4. Линейные неоднородные уравнения. 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. б, Линейные неодноролные уравнения с постоянными коэффициентами.
7. Дифференциальные уравнения Эйлера. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений. 9 Задачи физического характера Системы дифференциальных уравнений 1. Основные понятия Связь с дифференциальными уравнениями я-го порядка 2. Методы интегрирования нормальных систем. 3. Физический смысл нормальной системы. 4. Линейные однородныо системы. 5. Линейные неоднородные системы Элементы теории устойчивости…………….
1. Основные понятия 2 Простейшие типы точек покоя. 3. Метод функций Ляпунова. 4, Устойчивость по первому приближе- нию ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ Настоящее издание «Сборника задач по математике для втузов» подверглось значительной перестановке глав и их распределению по томам. В результате первый том содержит алгебраические разделы курса высшей математики, в том числе векторную алгебру и аналитическую геометрию, определители и матрицы, системы линейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел вЂ” общую алгебру.
Второй том полностью посвящен изложению основ математического анализа, дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, а така«е дифференциальным уравнениям. В третьем томе собраны спепиальные разделы математического анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются в технических вузах и университетах.
Сюда относятся такие разделы, как векторный анализ, влементы теории функций комплексной переменной, ряды и их применение, операционное исчисление, методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также интегральные уравнения. Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, типовые примеры и циклы задач по теории вероятностей и математической статистике. Указанные выше изменения составляют лишь структурную переработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположения материала внутри соответствующей главы, ни последовательности нумерации примеров и задач. В смысловом отношении авторы внесли только следующие изменения. Во всех разделах Сборника исключены теоретические введения и циклы задач, связанные с численными методами.
Дело в том, что в настоящее время сушествуег целый ряд программных оболочек, каждая из которых реализует достаточно полный набор стандартных методов приближенного решения задач, а основные навыки работы с компьютером можно приобрести уже в школе. Авторы посчитали также необходимым добавить один новый раздел «Основы общей алгебры» и предложить цикл задач по тснзорной алгебре в разделе «Линейная алгебра» в первый, «алгебраический» том Сборника.
Сборник задач по математике для втузов: Том 2. Специальные разделы математического анализа » LITMY.RU
Сборник задач по математике для втузов: Том 2. Специальные разделы математического анализа
Название: Сборник задач по математике для втузов: Том 2. Специальные разделы математического анализа
Автор: Ефимов А.В., Демидович Б.П. (ред.) Под редакцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича
Издательство: М.: Наука, Физматлит
Год: 1981
Cтраниц: 370
Формат: pdf/djvu
Размер: 28 мб
Язык: русский
Сборник вместе с другим учебным пособием тех же авторов «Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа» составлен в соответствии с новой программой по высшей математике для инженерно-технических специальностей вузов (объемом 510 часов).
Он содержит задачи по интегральному исчислению функций нескольких переменных, дифференциальным уравнениям, векторному анализу, основам теории функций комплексной переменной, рядам и их применениям, включая ряды Фурье, и операционному исчислению. Краткие теоретические введения, снабженные большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения.
Как и в первой части, каждый параграф начинается с краткого теоретического введения. Задачам, предлагаемым для самостоятельного решения, предшествуют подробно разобранные примеры. Ко всем вычислительным задачам даны ответы; для задач, отмеченных одной или двумя звездочками, приведены соответственно указания к решению или решения.
Для студентов второго и более старших курсов инженерно-технических специальностей вузов.
Скачать Ефимов А.В., Демидович Б.П. (ред.) Сборник задач по математике для втузов. Том 2. Специальные разделы математического анализа

НЕ РАБОТАЕТ TURBOBIT.NET? ЕСТЬ РЕШЕНИЕ, ЖМИ СЮДА!
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Ефимов А.В., Поспелов А.С. Сборник задач по математике для втузов. Том 2 ОНЛАЙН
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. — 4-е изд. перераб. и доп. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001.—432 c. (Ч. 2).
Содержит задачи по основам математического анализа, а также дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, дифференциальным уравнениям и кратным интегралам. Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ ……….. б
Глава 5. Введение в анализ…………………. 7
§1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 7
1. Понятие действительного числа. 2. Множества и операции над ними. 3. Верхние и нижние грани. 4. Логическая символика
§2. Функции действительной переменной………… 17
1. Понятие функции, 2. Элементарные функции и их графики
§3. Предел последовательности действительных чисел …. 25
1. Понятие последовательности. 2. Предел последовательности
§4. Предел функции, Непрерывность…………… 28
1. Предел функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно большие. 3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность
§ 5. Комплексные числа………………….. 39
1. Алгебраические операции над комплексными числами.
2. Многочлены и алгебраические уравнения. 3. Предел последовательности комплексных чисел
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной………….51
§1. Производная ……………………… 51
1. Определение производной. Дифференцирование явно заданных функций. 2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически, 3. Производные высших порядков, 4. Геометрические и механические приложения производной
§2. Дифференциал…………………….. 72
1. Дифференциал 1-го порядка. 2. Дифференциалы высших порядков
§3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора ……………..77
1. Теоремы о среднем. 2. Правило Лопиталя-Бернулли. 3. Формула Тейлора
§ 4. Исследование функций и построение графиков ……86
1, Возрастание и убывание функции. Экстремум. 2. Направление выпуклости. Точки перегиба. 3. Асимптомы. 4. Построение графиков функций
§ 5. Векторные и комплексные функции действительной переменной……………..99
1. Определение вектор-функции действительной переменной.
2. Дифференцирование вектор-функции. 3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость. 4. Дифференциальные характеристики плоских кривых. 5, Дифференциальные характеристики пространственных кривых, б. Комплексные функции действительной переменной
Глава 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 115
§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 115
1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Метод замены переменной. 3. Метод интегрирования по частям
§2. Интегрирование основных классов элементарных функций……………..126
1. Интегрирование рациональных дробей. 2. Интегрирование тригонометрических и гиперболический функций. 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование………..142
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления ………144
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница. 3. Свойства определенного интеграла.
4. Замена переменной в определенном интеграле. 5. Интегрирование по частям
§5. Несобственные интегралы……………….156
1. Интегралы с бесконечными пределами. 2. Интегралы от неограниченных функций
§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла………162
1. Площадь плоской фигуры. 2. Длина дуги кривой. 3. Площадь поверхности вращения. 4. Объем тела
§ 7. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики………….177
1. Моменты и центры масс плоских кривых, 2. Физические задачи
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных……….185
§ 1. Основные понятия…………………… 185
1. Понятия функции нескольких переменных. 2. Предел и непрерывность функции. 3. Частные производные. 4. Дифференциал функции и его применение
§2. Дифференцирование сложных и неявных функций …….199
1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных, 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. 3. Системы неявных и параметрически заданных функций. 4. Замена переменных в дифференциальных выражениях
§3. Приложения частных производных …………. 214
1. Формула Тейлора. 2. Экстремум функции. 3. Условный экстремум, 4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
5. Геометрические приложения частных производных
§ 4. Приближенные числа и действия над ними …….. 230
1. Абсолютная и относительная погрешности. 2. Действия над приближенными числами
Глава 9. Кратные интегралы………………..236
§ 1. Двойной интеграл………………….236
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Приложения двойных интегралов
§ 2. Тройной интеграл…………………254
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах, 2. Замена переменных в тройном интеграле. 3. Приложения тройных интегралов
§3. Несобственные кратные интегралы………..263
1. Интеграл по бесконечной области, 2. Интеграл от разрывной функции
§4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра …267
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра, 2, Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Глава 10. Дифференциальные уравнения ………….276
§ 1. Уравнения 1-го порядка………………276
1. Основные понятия. 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклин), 3, Уравнения с разделяющимися переменными. 4. Однородные уравнения. 5. Линейные уравнения. 6. Уравнение Бернулли. 7, Уравнения в полных дифференциалах. 8. Теорема о существовании и единственности решения. Особые решения. 9. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка. 1L Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков….. 304
1. Основные понятия. Теорема Коши. 2. Уравнения, допускающие понижение порядка. 3. Линейные однородные уравнения. 4. Линейные неоднородные уравнения. 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, б. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами, 7, Дифференциальные уравнения Эйлера. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений. 9. Задачи физического характера
§3. Системы дифференциальных уравнений………. 331
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями n-го порядка. 2. Методы интегрирования нормальных систем, 3. Физический смысл нормальной системы. 4. Линейные однородные системы. 5. Линейные неоднородные системы
§4. Элементы теории устойчивости……………. 349
1. Основные понятия. 2. Простейшие типы точек покоя. 3. Метод функций Ляпунова. 4. Устойчивость по первому приближению
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ………………… 358
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ Ч.2
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ Ч.2
А.В.ЕФИМОВ, А.Ф.КАРАКУЛИН, С.М.КОГАН, А.С.ПОСПЕЛОВ, Р.Я.ШОСТАК
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное пособие для втузов/ Под общ. ред. А.В.Ефимова и А.С.Поспелова. — 4-е изд. перераб. и доп. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. — 432 с. — ISBN 5-94052-035-9 (Ч. 2).
   Содержит задачи по основам математического анализа, а также дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, дифферренциальным уравнениям и кратным интегралам. Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения.
   Для студентов высших технических учебных заведений.
Усл. печ. л. 27. Уч.-изд. л. 30,5. Тираж 7000 экз. ББК 22.1. УДК 51(075.8). Авторский индекс С 23.
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ
Настоящее издание «Сборника задач по математике для втузов» подверглось значительной перестановке глав и их распределению по томам. В результате первый том содержит алгебраические разделы курса высшей математики, в том числе векторную алгебру и аналитическую геометрию, определители и матрицы, системы линейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел — общую алгебру.
Второй том полностью посвящен изложению основ математического анализа, дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, а также дифференциальным уравнениям.
В третьем томе собраны специальные разделы математического анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются в технических вузах и университетах. Сюда относятся такие разделы, как векторный анализ, элементы теории функций комплексной переменной, ряды и их применение, операционное исчисление, методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также интегральные уравнения.
Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, типовые примеры и циклы задач по теории вероятностей и математической статистике.
Указанные выше изменения составляют лишь структурную переработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположения материала внутри соответствующей главы, ни последовательности нумерации примеров и задач.
В смысловом отношении авторы внесли только следующие изменения. Во всех разделах Сборника исключены теоретические введения и циклы задач, связанные с численными методами. Дело в том, что в настоящее время существует целый ряд программных оболочек, каждая из которых реализует достаточно полный набор стандартных методов приближенного решения задач, а основные навыки работы с компьютером можно приобрести уже в школе. Авторы посчитали также необходимым добавить один новый раздел «Основы общей алгебры» и предложить цикл задач по тензорной алгебре в разделе «Линейная алгебра» в первый, «алгебраический» том Сборника. Это связано с тем, что круг идей и методов общей алгебры все глубже проникает в наукоемкие отрасли промышленности и, следовательно, становится необходимой частью образования и подготовки специалистов по инженерным специальностям.
Кроме отмеченного выше, авторами выполнена стандартная техническая работа по исправлению ошибок, описок и других неточностей, учтены также все замечания, возникавшие в процессе работы с предыдущими изданиями Сборника.
А.В.Ефимов
А.С.Поспелов
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ
Глава 5. Введение в анализ
1. Действительные числа. Множества. Логическая символика
1. Понятие действительного числа. 2. Множества и операции над ними. 3. Верхние и нижние грани. 4. Логическая символика.
2. Функции действительной переменной
1. Понятие функции. 2. Элементарные функции и их графики.
3. Предел последовательности действительных чисел
1. Понятие последовательности. 2. Предел последовательности.
4. Предел функции. Непрерывность
1. Предел функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно большие. 3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность.
5. Комплексные числа
1. Алгебраические операции над комплексными числами. 2. Многочлены и алгебраические уравнения. 3. Предел последовательности комплексных чисел.
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. Производная
1. Определение производной. Дифференцирование явно заданных функций. 2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически. 3. Производные высших порядков. 4. Геометрические и механические приложения производной.
2. Дифференциал
1. Дифференциал 1-го порядка. 2. Дифференциалы высших порядков.
3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора
1. Теоремы о среднем. 2. Правило Лопиталя—Бернулли. 3. Формула Тейлора.
4. Исследование функций и построение графиков
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. 2. Направление выпуклости. Точки перегиба. 3. Асимптомы. 4. Построение графиков функций.
5. Векторные и комплексные функции действительной переменной
1. Определение вектор-функции действительной переменной. 2. Дифференцирование вектор-функции. 3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость. 4. Дифференциальные характеристики плоских кривых. 5. Дифференциальные характеристики пространственных кривых. 6. Комплексные функции действительной переменной.
Глава 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла
1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Метод замены переменной. 3. Метод интегрирования по частям.
2. Интегрирование основных классов элементарных функций
1. Интегрирование рациональных дробей. 2. Интегрирование тригонометрических и гиперболический функций. 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
3. Смешанные задачи на интегрирование
4. Определенный интеграл и методы его вычисления
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. 2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона—Лейбница. 3. Свойства определенного интеграла. 4. Замена переменной в определенном интеграле. 5. Интегрирование по частям.
5. Несобственные интегралы
1. Интегралы с бесконечными пределами. 2. Интегралы от неограниченных функций.
6. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Площадь плоской фигуры. 2. Длина дуги кривой. 3. Площадь поверхности вращения. 4. Объем тела.
7. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. 2. Физические задачи.
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
1. Основные понятия
1. Понятия функции нескольких переменных. 2. Предел и непрерывность функции. 3. Частные производные. 4. Дифференциал функции и его применение.
2. Дифференцирование сложных и неявных функций
1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных. 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. 3. Системы неявных и параметрически заданных функций. 4. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
3. Приложения частных производных
1. Формула Тейлора. 2. Экстремум функции. 3. Условный экстремум. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Геометрические приложения частных производных.
4. Приближенные числа и действия над ними
1. Абсолютная и относительная погрешности. 2. Действия над приближенными числами.
Глава 9. Кратные интегралы
1. Двойной интеграл
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Приложения двойных интегралов.
2. Тройной интеграл
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в тройном интеграле. 3. Приложения тройных интегралов.
3. Несобственные кратные интегралы
1. Интеграл по бесконечной области. 2. Интеграл от разрывной функции.
4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Глава 10. Дифференциальные уравнения
1. Уравнения 1-го порядка
1. Основные понятия. 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклин). 3. Уравнения с разделяющимися переменными. 4. Однородные уравнения. 5. Линейные уравнения. 6. Уравнение Бернулли. 7. Уравнения в полных дифференциалах. 8. Теорема о существовании и единственности решения. Особые решения. 9. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка. 11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка.
2. Дифференциальные уравнения высших порядков
1. Основные понятия. Теорема Коши. 2. Уравнения, допускающие понижение порядка. 3. Линейные однородные уравнения. 4. Линейные неоднородные уравнения. 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. 7. Дифференциальные уравнения Эйлера. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений. 9. Задачи физического характера.
3. Системы дифференциальных уравнений
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями n-го порядка. 2. Методы интегрирования нормальных систем. 3. Физический смысл нормальной системы. 4. Линейные однородные системы. 5. Линейные неоднородные системы.
4. Элементы теории устойчивости
1. Основные понятия. 2. Простейшие типы точек покоя. 3. Метод функций Ляпунова. 4. Устойчивость по первому приближению.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

2 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С.
Текст 7 страницы из PDF
И-у/2.хе~х=неравенства:следующиее*2у/х;+х=[0, 1].6.420..+уу[0, 1].-=хА6.414.в.416.\УяП;—2].р. 4].Ух~+1х26.421*.значенияm(аотрезкахопределения):=6.417.наименьшееиуказанныхобластивсейвоМнаибольшеефункцийследующихтоихх.-Наибольшееданномконцахфункциифхх,0.6.422.cosа;1>х2х-фж—,0.6.423.6.424.sinx6.425.телаДваДвил^ениеуголм/с.тг/2,началедвиженияиV2второесколькоспостояннымипопроисходиткbрасстояниипослеэтоговершинетелоскоростяминанаходилосьугла,расстояниим/сv\образующимпрямым,двумкоторойотна-вам,авто-Черезм.началадвителамимеждунаименьшим?будетДля6.426.доставкиNзаводапродукциивщеезаводпроходящейчемпровестипогородАпоРис.А Б,Стоимостьдороге.общаяшоссе6)А.городжелезнойчтобышоссе,вдорогойчерезбольше,(рис.соединяю-железнойспродук-Агород7VP,шоссестроитсяN@, тг/2).Еждвил^утсяпервоесекундрасстояниедвижения2ж,>направлениивна—tgx+стоимостьипол^елезнойпоперевозокКкакомуперевозокдороге6шоссеРпунктупродукциибыланаименьшей?вдвоепро-нужнозаводаГл.90б.ДифференциальноеОкноимеет(рис.7).6.427.полукругомформуЗаданхисвета?количествоИз6.428.боковыхнаклонаВ6.429.вписаннаРис.основании6.430.шараНайтирадиуса6.433.г.двележитвершинына—наибольшуюплощадьвписанвhвысотойсконусобъемивписанногооснова-радиусомцилиндра.наименьшийобъемконуса,описанногонаибольшийобъемконусаприНайтиНайти6а.равенцилиндрацилиндра.наибольший6.432.асеченияосевоготакогоЦилиндрНайтиг.высотойиакоторогоНайтиаплощадьпрямоугольника.Периметр6.431.угленаибольшей?основаниесторонах.объемоснованияоснованиемтреугольника,вписанногонаибольшийспрямоугольник,боковых7днищубудеттреугольниккакомжелобакжелобасеченияскола-шириныПриводы.стенокпоперечногоhодинаковойподачидлякакихнаибольшеепропускатьдосоктрехжелобсколачиваетсябудетокнопо-Прифигуры.этойрупеременнойзавершенногопрямоугольника,периметрразмераходнойфункцийисчислениеоколоша-заданной/длинеобразующей.егоОпределить6.434.вписанноговНа6.435.прямойотВ—у2хнайтиОтрезоквписаннаименееудаленнуюахразделитьнаквадратов,ивысотуу.частидвенапостроенныхнаиболь-спрямоугольникоснованиеегодлиныплощадейЛ/’,точкуRрадиусаполукругчтобытак,этихбылачастях,наименьшей.DКоническая6.438.i?,которойобъемпогруженнойОАОпределить8дверьвженьМNнаименьшуюАВ./,по-Шириначерез^этустер-Nкоторогобашни\OB\—жесткийвнестиконецhвысотучтобыABCD,быломожношаранаибольшим?башнидлиныпрямойгоризонтальнойвдольбашнюворонкурадиусворонкиизбылшара,вертикальнойдвериВРис.частью6.439.долженвытесненныйводы,ко-Вводой.бытьнаполненаКакимшар.погружаетсячтобыоснованиярадиусворонка,Я»,высотаа7-,скользит\АВ\=d8).(рис.2.Направлениедифференцируемой функциивверх)х2—Определить6.437.впи-прямоугольника,4.—площадью.суммаплощадьг.параболеу6.436.наибольшейнаибольшуюрадиусакругнаинтервалеТочкивыпуклости.уf(x)—(а,называется6),еслиГрафикперегиба.внизвыпуклымдугакривойнаэтомдифференци-(илипромежуткевогнутымрасио-<I§4.касательной,вышеложеналюбойточкеженадугиназывается(а,выпуклымфункцииувыпуклымвверхЕслиявляетсянаинтервалетоееВконечное0,=направлениенеж0,вf»(xo)которой(ж0интервалахпротивоположныетоПример<у=Находимиxq(ж0,производнаяточкеО,неж3онаравнаf»{x)ифункцияUq(xq)Еслипроизводнаяна-точкиэтомприимеетпротиво-перегибаточкивграфикапроизводную:х)—Х2=существуетнулю.3)х1,#з—(в3.частности,Прио)и(о,(-оо,хеGA,1),+оо).производнойпервойточкамикритическими—S)Пустьсуществует.некоторойпротивоположное,окрестностивыпуклости2(хх\вы-которыхX12Cточкиможноввперегиба.перегиба.точкаинтервалывторуюСледовательно,+хо/(ж0)),нанекоторойf»{xo)или—Найти2.|ж-1|J—т-1.О<S5 xq)знаки,9).рис.в=-(ж0,меняетсяточкидифференцируемафункциифункцииусловиедваждыf(x)этом9Точка(см.перегибаДостаточноеf(x)О>нанаправлениемточками,ограниченвы-иf»(x)Ъ) и(вверх)функциипостояннымссуществует.графикавыпуклоститочкойназывается(а,определенияж0)af»{x)либорис.внизвинтервале9 график(а,наРис.f»{x)(наинтервалевыпуклыминтерваловинтерваловэтихэтомЬ)).областьиз0вниз)навниздифференцируемачислоКаждыйвыпуклости.f(x)—вышенавогнутымявляетсяслучаяхнаурасполагаетсяфункции(ж0,графикпростейшихразбитькасательнаявыпуклымдважды0),<всякая(иливверхf(x)функция(f»{x)интервале.=Ь)дифференцируемойграфиктофункцииграфикук91графиковпостроениеЬ).интервалекривой,ипроведенной(а,ЕхЕслифункцийИсследованиеэтомвf’l{l)являютсяточках=х\4,а/^A)иХ2=вторая—4),ав92Гл.C,+оо).6.ДифференциальноеПолучаем0),1),@,точкиСледовательно,аграфикнех\ииПолученныеявляется.вверхрезультатыинтерваинтерва-награфикасвестиСле-3).A,интервалеперегибаудобноточками3),A,этихвнизна1),@,извыпуклымвыпуклымявляютсяхзпеременной0),(-оо,каждомвявляется+оо)C,х>2однойвыпуклости:производнойвторойфункциизнакчто(—оо,интервалахинтервалачетыреИсследуяинтервалов, выводим,функцийисчислениефункции,следующуювтаблицу:Таблица(-оо,X0)ВЫП.>0Найти0вниз>0сущ.интервалыперегибаточкинене2вып.вверх9вниз<00функцииккоэффициентыугловые+оо)C,3ВЫП.сущ.графикавыпуклостииA,3)1ВЫП.-Ьоовниз/»(х-)@,1)04.2>0у/(.т),=касательныхточточкахвперегиба:6.440.у=6.442.у-6.444.у=6.446.у=6.448.Приперегибах7$/(хУ(ж1.+2M1J-+6.441.+3.+$/(х6.443.уIM.6.445.6.447.-ж1п|ж|.какихкривой6.449.7х+значенияхуПрикаком6иаах3выборе=hпараметраперегибаточкиимеетначтоПоказать,кривойу2{4:3.чтоАсимптоты.ТогдаЕслитоа,асимптотой.нулютакаяприэтомДляфункциидляf{x))М(ж,—существованияух3\пх1.+1.+точкойявляетсявероятности±6?1+-\-имеет1точкитрикривойупере-функции>А/точкиМточки0либовертикальной<к0)являетсяасимптотылежатжпрямая,доэтойотначалапрямойкоор-графикастремитсяуsina;—такаяасимптотойх(уусуществуетудаленииназываетсяаf(x)—графикабесконечномпрямаякоординатахполупрямаяАх2.точкиприtyx^T.О,>—^х1—хе2х=криваяперегибаточки=Пустьотккоординат.х2)уу-прямой.что+расстояниестремитсяхкриваяоднойналежащие6.451*.абсциссамихПоказать,6.450.гиба,сh—e=6ж2.+~A,3)Ьх2?+хА=^х~П=токаhУуфункции.конечномучислувертикальнойвточкех=а§необходимоЕслифункциижедостаточноуlimпределовк=пределыуказанные~>хообытьмогутасимптоты)иооиликх)-—>Ь.при(дляТак<]Найти3.ПримерлевойфункциякакможетИмеем:следовательно,прямаяНайдемlimтохнаклонные|Х|/Х’2=0±упрямаяНайтиА;0=(в0+х•уу=(^Ц^у=6.456.у=6.458.j/=6.460.Доказать,L.aia:71Inто•х]0==правой,иасимптотой.илевой>функций:6.453.у=6.455.j/=6.457.у=6.459.уУх3х2.-LjХ^^жодновременноуказанных-.X0-т*-^6.454.+являетсягоризонтальной)графиков/6.452.0=■случаеданном0,=какlimихточке.асимптота.вертикальнаяТак=асимптотыao£n—±наклонной=0—.+оо,=асимптоты.I-точкиэтойв(дляоонаклонной\х=кромелишьJ—г—1=уоси,существоватьlimи,всейнанепрерывнаасимптотафункцииграфикаасимптоты+—>хпри—ооимеемнеобходимо=различнымихтооо,—которой(/(ж)limиXоо-fкасимптоты).вертикальнаяf(x)ж-»а±0асимптот.вертикальныхстремитсядлясуществованияпределовМkx-\-b,=1^1-»наклоннойправойимеютточкидвухlimхэтомнехкоординатаасимптотусуществованиенаклоннуюПриизодинбесконечности.равенНепрерывныеибыхотя93графиковпостроениеичтобыдостаточно,ибылфункцийИсследование4.2*.+(+е).—графикчто+..+an-\xцелойЗжх—an,рациональнойn^Дляпостроения++5ж.arctgarcsecx.функции2,имеетнеуникакихасимптот.4.у—определенияпроводимf(x)Построениесфункцииэлементарноефункций.графиковкроме,производнойвторойнепрерывнойбытьисследование,может,конечноговыясняющееграфика(всюдувточек)числанекоторыефункцииобластиопределесначалаособенностипро-=Гл.946.Дифференциальное(еслифункциизнака,используя4.проведенотаблицувычислить1-3.объединениепримерахв—записатьиРезультаткоэффициентугловой4.1кРис.такжекоэффициентылевойданные10.рис.<3точнеепомогают—1=О,—всюдупро-свестиэтомследует/’C)ввычи—1/27=—перегиба.точкев/+A)и1=A,точкеграфикфункции,угловые—0) графика.Этиприведенныйвнульточкахх=наеефункциина4х-получаемнулю,1+хх\нечетыреосиобра-и1.=х=:являются:1 производнаявсейпроизводнуюпервуюПриравниваяхиIJ.——на0уух{хдействительнойфункциинепрерывнаЗх2определенияфункциивграфикиУ=ПриграфикупостроитьопределенаНаходимжзхисследованиеполезнотаблицыкасательныхПостроить5.вточкамиточкиОПримерФункцияобращается—.Ее1.—клетку/i(l)правойI-10вычислитьииxz4.2.иЗатем,п.асимптоты.исследованиятаблицт.экстремуматакже\х=кромехэтогокасательнойРекомендуетсяуточкевлишьсоответствующуювточкивсюду,нулюиафункциинепрерывнаиравнаиразрывавыпуклости,ипеременнойпостоянствоточкинаходимграфикопределенаоднойпериодичность,Оу,осьюпроизводные,ПостроитьнеотрицательнаоднусмонотонностиПримерФункциясимметрия,пересеченияивторуюпервуюинтервалыперегиба,<3имеются):ониточкинули,функцийисчислениеинтервала=0,=1/3.Х2Этисуществует).монотонности-1/3Таким=1/3,образом,х^критическими1=(вточках(—оо,х\областьразбиваютточки0),@,1/3),0=иопре-A/3,1),§+оо).A,у(х)Исследование4.Такнанаходим,0 приВ<убывает.~л/4=ЕхточкеA,1)1/3иХ2=J,0,529и0)(-оо,1/3)A/3,а95графиковпостроениеGхпри(-оо,у'(х)что(г/тахA/3)максимума0>иинтервалахинтервалеэтомнау'(х)каквозрастаетрассуждая,функциифункцияфункцияисходнойфункциятретьемифункции:вверхвыпукла—0)@,касательной).Следовательно,вертикальнойРезультатывнизвыпукла1=иA,0-f0 прихзиинтервалаоо).В0),<кроме(вторая1—трих0,>хперегибаIL-—Крити-=.9^/ж5(х@, 1)у» >приминимума—,х\исследованийпроведенных=Получаемточкойявляетсямак-достигаетхзявляютсясуществует).(—оо,0),как(так0<{у»неточкахэтихвинтервалепроизводнойпервойточкамическимипроизводнаявыпуклостивыин-первомавовторомхточкив1).=(сфункцииграфикасводимторассу-2у»производнуювторуютеперьоо),-fследовательно,и,(y«nin(l)=0).НаходимA,UАналогичноточкев1/3)@,U-Ьоо).вер-таблицу:4.3Таблица(-оо,X0)у’>0несущ.у»>0несущ.1/3)@,01/3касательную.всейповеденияуточнения/!_A)чтоНаконец,<0/+оо,точкиокрестностит.е.ТакобразуяДляотсутствуют.сначалаXзатемlim(у(х)-х)—lim=~2х2lim=«></x2{x-V)xfxffix0)—1за-графикавертикальнуюфункциякакхA,точкевсовпадают,находимасимптотвверхв=асимптотых-+±ооасущ.0функцииасимптоты.определимвертикальныетонаклонныхневверхкасательныеправаяиДA)-оо,—леваяоси,сущ.>вып.вып.внизфункции0не\3вып.Для<0+оо)A,1<00заметим,1)0>0гУA/3,-непрерывнаопределенияна96Гл.6.ДифференциальноеСледовательно,праваялеваяиоднойфункцийисчислениеасимптотынаклонныепеременнойсовпадаюти2деляютсяуравнениемуГрафик11.рис.—функциихприведен>Построитьграфикиследующихфункций:12511Рис.6.484.у=6.466.у=6.468.у=6.470.у=6.472.у=6.474.у=6.476.у=6.477.у=6.478.у=6.479.у=6.481.у=6.482.у=6.483.у=2(ж-1J’ж3^ж2(ж2^ж3(ж26.462.у=6.463.у=6.465.у=6.469.у=6.471.у=6.473.у=6.475.у=6.480.у=—£—Зге—тзж3+2ж2-3’ж2-11-жж2-4’ж2-ж3’ж3ж3Г+-2ж.^/(ж-1J.+1.v/ж-++^ж3-1.-1.6.484.—у=ж3.ЗJ.5).опре—.3наИсследование4.6.485.у=6.487.у=6.489.у6.495.у6.497.у6.499.у6.501.функции—rsin—+a;cos.т.играфиковпостроение6.486.у=6.488.у=6.490.у=6.492.у=6.494.у=6.496.уsinxarctgsc.6.498.у—h=е2х-х2.6.500.ужеу—сГ[/х.6.502.уу=6.504.у6.505.у=(.т-2)е/х.6.507.у=(ж26.509.у=ж3е»х’2/2.6.503.6.511.—хVхсх1х.^.=у=ж26.515.у=ж2 Ы26.517.у=InIn2ж1*.Iу==Bж6.508.у=ж2е2/х.6.510.у6.523*.;*.1/=sinужхIn1)е2/-(жл/ж2++1).1ужInжInжIn|ж|6.516.у|ж’6.518.у6.520.ухх,6.522.уA+жI/*,ж>0.X1жх.у6.521*.ж^у.ж.J_6.514.ж.ж-X2/2у6.512.cosarcctg6.506.ж6.513.6.519.1)е»х2/2.++ж-.х>0.ж>-1.Гл.986.ДифференциальноеПостроить6.524.хПроведем<3заданныекривые,te\=уR.t Gвычисления:вспомогательныеУхy’t’tТаккакх[Таккак?yjкритические£i^5уЧх:=1(у’х’х(—1)В(у/2е^,ипервойt3точки—Наконец,т.е.х=1=(у’хA)неy’t’t{l)ипроизводной0)ЕслиТочкиасимптота.координатуасимптотетоt —>->при+00,акоординатау ->вправой+оо),Gукритиче-Кривторойдляеето—>хчтопо0,т.е.приближениисводимисследованиявыводыОтсюда-.№х(-у/2)А{—у/2/е^2^—оо,приквколонке.таблицуКриваянейостаетсяхуу.Результаты1/e.=0)и—у/2ё^2)0, а уприближении—У—оо,12иххкривойпонеобходимыеэтой=—-у/2=Отметим,асимптота.+оо,UymSiX=выраженияСледовательно,асимптоты.кt -»0),=xm\nперегиба.точкивертикальнаякривойточекизнаходимтоу) | х G [—1/е,у’х определяемнесуществует).B/Jc(~l)1——Рис.отрицательной.
Сборник задач по математике для втузов. Том 2 / Ефимов А.В. , Поспелов А.С. / 2001г — 25 Февраля 2015Аннотация: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. — 4-е изд. перераб. и доп. —М.: Издательство Физико-мате-матической литературы, 2001.—432 е.—ISBN 5-94052-035-9 (Ч. 2).
Содержит задачи по основам математического анализа, а также дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, дифференциальным уравнениям и кратным интегралам. Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.
ЧАСТЬ 2.   ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ б
Глава 5. Введение в анализ 7
§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 7
1. Понятие действительного числа. 2. Множества и операции над ними. 3. Верхние и нижние грани. 4. Логическая символика
§ 2. Функции действительной переменной 17
1. Понятие функции. 2. Элементарные функции и их графики
§ 3. Предел последовательности действительных чисел …. 25 1. Понятие последовательности. 2. Предел последовательности
§ 4. Предел функции. Непрерывность 28
1. Предел функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно большие. 3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность
§ 5. Комплексные числа 39
1. Алгебраические операции над комплексными числами. 2. Многочлены и алгебраические уравнения. 3. Предел последовательности комплексных чисел
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 51
§ 1. Производная 51
1. Определение производной. Дифференцирование явно заданных функций. 2. Дифференцирование функций, заданных не¬явно или параметрически. 3. Производные высших порядков. 4. Геометрические и механические приложения производной
§ 2. Дифференциал 72
1. Дифференциал 1-го порядка. 2. Дифференциалы высших порядков
§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 77
1. Теоремы о среднем. 2. Правило Лопиталя-Бернулли. 3. Формула Тейлора
§ 4. Исследование функций и построение графиков 86
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. 2. Направление выпуклости. Точки перегиба. 3. Асимптомы. 4. Построение графиков функций
§ 5. Векторные и комплексные функции действительной переменной 99
1. Определение вектор-функции действительной переменной. 2. Дифференцирование вектор-функции. 3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость. 4. Дифференциальные характеристики плоских кривых. 5. Дифференциальные характеристики пространственных кривых, б. Комплексные функции действительной переменной
Глава 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 115
§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 115
1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Метод замены переменной. 3. Метод интегрирования по частям
§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 126
1. Интегрирование рациональных дробей. 2. Интегрирование тригонометрических и гиперболический функций. 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование 142
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления …. 144
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. 2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница. 3. Свойства определенного интеграла. 4. Замена переменной в определенном интеграле. 5. Интегрирование по частям
§ 5. Несобственные интегралы 156
1. Интегралы с бесконечными пределами. 2. Интегралы от неограниченных функций
§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла . . 162
1. Площадь плоской фигуры. 2. Длина дуги кривой. 3. Площадь поверхности вращения. 4. Объем тела
§ 7. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 177
1. Моменты и центры масс плоских кривых. 2. Физические задачи
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 185
§ 1. Основные понятия 185
1. Понятия функции нескольких переменных. 2. Предел и непрерывность функции. 3. Частные производные. 4. Дифференциал функции и его применение
§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций …. 199
1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных. 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. 3. Системы неявных и параметрически заданных функций. 4. Замена переменных в дифференциальных выражениях
§ 3. Приложения частных производных 214
1. Формула Тейлора. 2. Экстремум функции. 3. Условный экстремум. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Геометрические приложения частных производных
§ 4. Приближенные числа и действия над ними 230
1. Абсолютная и относительная погрешности. 2. Действия над приближенными числами
Глава 9. Кратные интегралы 236
§ 1. Двойной интеграл 236
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Приложения двойных интегралов
§ 2. Тройной интеграл 254
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в тройном интеграле. 3. Приложения тройных интегралов
§ 3. Несобственные кратные интегралы 263
1. Интеграл по бесконечной области. 2. Интеграл от разрывной функции
§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра …. 267
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Глава 10. Дифференциальные уравнения 276
§ 1. Уравнения 1-го порядка 276
1. Основные понятия. 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклин). 3. Уравнения с разделяющимися переменными. 4. Однородные уравнения. 5. Линейные уравнения, б. Уравнение Бернулли. 7. Уравнения в полных дифференциалах. 8. Теорема о существовании и единственности решения. Особые решения. 9. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка. 11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 304
1. Основные понятия. Теорема Коши. 2. Уравнения, допускающие понижение порядка. 3. Линейные однородные уравнения. 4. Линейные неоднородные уравнения. 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, б. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. 7. Дифференциальные уравнения Эйлера. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений. 9. Задачи физического характера
§ 3. Системы дифференциальных уравнений 331
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями п-го порядка. 2. Методы интегрирования нормальных систем. 3. Физический смысл нормальной системы. 4. Линейные однородные системы. 5. Линейные неоднородные системы
§ 4. Элементы теории устойчивости 349
1. Основные понятия. 2. Простейшие типы точек покоя. 3. Метод функций Ляпунова. 4. Устойчивость по первому приближению
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 358

90000 90001 90002% PDF-1.4 % Тисяча чотиреста вісімдесят три 0 obj > endobj xref 1483 1240 0000000016 00000 n 0000025157 00000 n 0000025256 00000 n 0000028993 00000 n 0000029246 00000 n 0000038887 00000 n 0000038930 00000 n 0000038954 00000 n 0000047369 00000 n 0000047393 00000 n 0000056772 00000 n 0000056796 00000 n 0000066187 00000 n 0000066211 00000 n 0000075996 00000 n 0000076020 00000 n 0000085774 00000 n 0000085798 00000 n 0000085995 00000 n 0000086192 00000 n 0000086434 00000 n 0000086681 00000 n 0000087711 00000 n 0000087902 00000 n 0000088971 00000 n 0000089221 00000 n 0000089464 00000 n 0000090532 00000 n 0000091602 00000 n 0000091792 00000 n 0000092020 00000 n 0000093088 00000 n 0000093280 00000 n 0000102671 00000 n 0000102696 00000 n 0000113193 00000 n 0000113217 00000 n 0000113240 00000 n 0000121260 00000 n 0000121284 00000 n 0000121307 00000 n 0000121331 00000 n 0000121355 00000 n 0000121378 00000 n 0000121401 00000 n 0000129819 00000 n 0000129843 00000 n 0000137304 00000 n 0000137329 00000 n 0000147543 00000 n 0000147568 00000 n 0000148391 00000 n 0000148414 00000 n 0000161032 00000 n 0000161055 00000 n 0000161078 00000 n 0000161102 00000 n 0000161125 00000 n 0000161149 00000 n 0000161173 00000 n 0000161197 00000 n 0000161222 00000 n 0000170318 00000 n 0000170341 00000 n 0000170993 00000 n 0000171016 00000 n 0000171675 00000 n 0000171697 00000 n 0000171907 00000 n 0000171929 00000 n 0000172162 00000 n 0000172184 00000 n 0000172417 00000 n 0000172440 00000 n 0000173215 00000 n 0000173239 00000 n 0000174503 00000 n 0000174525 00000 n 0000174758 00000 n 0000174780 00000 n 0000175013 00000 n 0000175035 00000 n 0000175268 00000 n 0000175290 00000 n 0000175523 00000 n 0000175546 00000 n 0000176255 00000 n 0000176277 00000 n 0000176510 00000 n 0000176532 00000 n 0000176765 00000 n 0000176788 00000 n 0000177138 00000 n 0000177160 00000 n 0000177393 00000 n 0000177416 00000 n 0000178485 00000 n 0000178507 00000 n 0000178740 00000 n 0000178762 00000 n 0000178995 00000 n 0000179017 00000 n 0000179250 00000 n 0000179272 00000 n 0000179524 00000 n 0000179548 00000 n 0000180749 00000 n 0000180772 00000 n 0000181329 00000 n 0000181353 00000 n 0000183007 00000 n 0000183029 00000 n 0000183262 00000 n 0000183284 00000 n 0000183517 00000 n 0000183539 00000 n 0000183772 00000 n 0000183795 00000 n 0000184427 00000 n 0000184449 00000 n 0000184656 00000 n 0000184680 00000 n 0000185876 00000 n 0000185898 00000 n 0000186125 00000 n 0000186149 00000 n 0000187481 00000 n 0000187503 00000 n 0000187736 00000 n 0000187758 00000 n 0000187962 00000 n 0000187985 00000 n 0000189058 00000 n 0000189080 00000 n 0000189344 00000 n 0000189366 00000 n 0000189573 00000 n 0000189597 00000 n 0000191028 00000 n 0000191052 00000 n 0000192599 00000 n 0000192623 00000 n 0000193842 00000 n 0000193866 00000 n 0000195100 00000 n 0000195123 00000 n 0000195528 00000 n 0000195551 00000 n 0000196117 00000 n 0000196139 00000 n 0000196372 00000 n 0000196394 00000 n 0000196627 00000 n 0000196649 00000 n 0000196842 00000 n 0000196864 00000 n 0000197097 00000 n 0000197119 00000 n 0000197352 00000 n 0000197374 00000 n 0000197563 00000 n 0000197585 00000 n 0000197774 00000 n 0000197797 00000 n 0000198453 00000 n 0000198477 00000 n 0000199940 00000 n 0000199964 00000 n 0000201420 00000 n 0000201443 00000 n 0000201725 00000 n 0000201749 00000 n 0000202973 00000 n 0000202995 00000 n 0000203184 00000 n 0000203206 00000 n 0000203439 00000 n 0000203461 00000 n 0000203709 00000 n 0000203732 00000 n 0000204340 00000 n 0000204362 00000 n 0000204595 00000 n 0000204617 00000 n 0000204850 00000 n 0000204872 00000 n 0000205122 00000 n 0000205146 00000 n 0000206571 00000 n 0000206593 00000 n 0000206826 00000 n 0000206849 00000 n 0000207610 00000 n 0000207632 00000 n 0000207865 00000 n 0000207889 00000 n 0000209130 00000 n 0000209153 00000 n 0000210319 00000 n 0000210341 00000 n 0000210574 00000 n 0000210597 00000 n 0000211622 00000 n 0000211646 00000 n 0000212838 00000 n 0000212860 00000 n 0000213093 00000 n 0000213116 00000 n 0000214053 00000 n 0000214075 00000 n 0000214308 00000 n 0000214330 00000 n 0000214563 00000 n 0000214585 00000 n 0000214786 00000 n 0000214808 00000 n 0000215041 00000 n 0000215064 00000 n 0000215360 00000 n 0000215382 00000 n 0000215615 00000 n 0000215639 00000 n 0000217164 00000 n 0000217188 00000 n 0000218807 00000 n 0000218831 00000 n 0000220411 00000 n 0000220435 00000 n 0000221742 00000 n 0000221765 00000 n 0000222497 00000 n 0000222521 00000 n 0000224182 00000 n 0000224204 00000 n 0000224397 00000 n 0000224421 00000 n 0000225618 00000 n 0000225641 00000 n 0000226058 00000 n 0000226080 00000 n 0000226313 00000 n 0000226335 00000 n 0000226568 00000 n 0000226592 00000 n 0000227776 00000 n 0000227799 00000 n 0000228968 00000 n 0000228991 00000 n 0000230011 00000 n 0000230035 00000 n 0000231234 00000 n 0000231257 00000 n 0000232100 00000 n 0000232122 00000 n 0000232355 00000 n 0000232378 00000 n 0000233371 00000 n 0000233393 00000 n 0000233626 00000 n 0000233649 00000 n 0000234522 00000 n 0000234546 00000 n 0000235869 00000 n 0000235891 00000 n 0000236124 00000 n 0000236148 00000 n 0000237344 00000 n 0000237366 00000 n 0000237632 00000 n 0000237654 00000 n 0000237887 00000 n 0000237909 00000 n 0000238142 00000 n 0000238166 00000 n 0000239498 00000 n 0000239521 00000 n 0000240670 00000 n 0000240692 00000 n 0000240925 00000 n 0000240947 00000 n 0000241180 00000 n 0000241202 00000 n 0000241445 00000 n 0000241468 00000 n 0000242623 00000 n 0000242647 00000 n 0000243958 00000 n 0000243980 00000 n 0000244213 00000 n 0000244236 00000 n 0000244938 00000 n 0000244961 00000 n 0000245366 00000 n 0000245388 00000 n 0000245621 00000 n 0000245643 00000 n 0000245876 00000 n 0000245899 00000 n 0000246838 00000 n 0000246860 00000 n 0000247093 00000 n 0000247115 00000 n 0000247304 00000 n 0000247328 00000 n 0000249051 00000 n 0000249074 00000 n 0000249512 00000 n 0000249534 00000 n 0000249761 00000 n 0000249785 00000 n 0000251493 00000 n 0000251516 00000 n 0000252153 00000 n 0000252175 00000 n 0000252408 00000 n 0000252431 00000 n 0000253322 00000 n 0000253346 00000 n 0000255070 00000 n 0000255092 00000 n 0000255279 00000 n 0000255302 00000 n 0000255719 00000 n 0000255742 00000 n 0000256088 00000 n 0000256110 00000 n 0000256337 00000 n 0000256361 00000 n 0000257783 00000 n 0000257806 00000 n 0000258804 00000 n 0000258828 00000 n 0000260502 00000 n 0000260524 00000 n 0000260757 00000 n 0000260781 00000 n 0000262268 00000 n 0000262290 00000 n 0000262523 00000 n 0000262546 00000 n 0000263711 00000 n 0000263735 00000 n 0000264976 00000 n 0000264998 00000 n 0000265231 00000 n 0000265254 00000 n 0000266139 00000 n 0000266162 00000 n 0000267074 00000 n 0000267096 00000 n 0000267329 00000 n 0000267351 00000 n 0000267565 00000 n 0000267587 00000 n 0000267820 00000 n 0000267842 00000 n 0000268046 00000 n 0000268068 00000 n 0000268275 00000 n 0000268297 00000 n 0000268556 00000 n 0000268579 00000 n 0000269226 00000 n 0000269248 00000 n 0000269460 00000 n 0000269482 00000 n 0000269715 00000 n 0000269737 00000 n 0000269945 00000 n 0000269969 00000 n 0000271326 00000 n 0000271349 00000 n 0000272021 00000 n 0000272044 00000 n 0000272709 00000 n 0000272732 00000 n 0000273897 00000 n 0000273921 00000 n 0000275505 00000 n 0000275528 00000 n 0000276562 00000 n 0000276585 00000 n 0000277545 00000 n 0000277569 00000 n 0000279241 00000 n 0000279265 00000 n 0000280474 00000 n 0000280497 00000 n 0000281160 00000 n 0000281182 00000 n 0000281371 00000 n 0000281394 00000 n 0000282145 00000 n 0000282167 00000 n 0000282400 00000 n 0000282423 00000 n 0000282700 00000 n 0000282722 00000 n 0000282955 00000 n 0000282979 00000 n 0000284274 00000 n 0000284296 00000 n 0000284529 00000 n 0000284551 00000 n 0000284784 00000 n 0000284807 00000 n 0000285854 00000 n 0000285876 00000 n 0000286109 00000 n 0000286131 00000 n 0000286364 00000 n 0000286386 00000 n 0000286642 00000 n 0000286664 00000 n 0000286897 00000 n 0000286919 00000 n 0000287152 00000 n 0000287175 00000 n 0000287914 00000 n 0000287938 00000 n 0000289749 00000 n 0000289773 00000 n 0000291099 00000 n 0000291121 00000 n 0000291348 00000 n 0000291371 00000 n 0000292352 00000 n 0000292376 00000 n 0000293659 00000 n 0000293682 00000 n 0000294784 00000 n 0000294806 00000 n 0000295039 00000 n 0000295062 00000 n 0000295630 00000 n 0000295652 00000 n 0000295885 00000 n 0000295908 00000 n 0000296662 00000 n 0000296685 00000 n 0000297659 00000 n 0000297683 00000 n 0000299049 00000 n 0000299073 00000 n 0000300440 00000 n 0000300463 00000 n 0000300958 00000 n 0000300982 00000 n 0000302522 00000 n 0000302545 00000 n 0000303316 00000 n 0000303339 00000 n 0000304447 00000 n 0000304471 00000 n 0000305750 00000 n 0000305772 00000 n 0000306005 00000 n 0000306027 00000 n 0000306260 00000 n 0000306283 00000 n 0000307386 00000 n 0000307410 00000 n 0000309039 00000 n 0000309063 00000 n 0000310302 00000 n 0000310324 00000 n 0000310557 00000 n 0000310579 00000 n 0000310812 00000 n 0000310834 00000 n 0000311023 00000 n 0000311045 00000 n 0000311278 00000 n 0000311300 00000 n 0000311533 00000 n 0000311555 00000 n 0000311788 00000 n 0000311810 00000 n 0000312025 00000 n 0000312048 00000 n 0000312531 00000 n 0000312553 00000 n 0000312786 00000 n 0000312809 00000 n 0000313929 00000 n 0000313952 00000 n 0000314266 00000 n 0000314288 00000 n 0000314521 00000 n 0000314544 00000 n 0000315560 00000 n 0000315582 00000 n 0000315815 00000 n 0000315837 00000 n 0000316070 00000 n 0000316094 00000 n 0000317645 00000 n 0000317667 00000 n 0000317900 00000 n 0000317922 00000 n 0000318115 00000 n 0000318137 00000 n 0000318326 00000 n 0000318348 00000 n 0000318581 00000 n 0000318605 00000 n 0000320145 00000 n 0000320167 00000 n 0000320400 00000 n 0000320422 00000 n 0000320655 00000 n 0000320678 00000 n 0000321730 00000 n 0000321754 00000 n 0000322963 00000 n 0000322986 00000 n 0000324027 00000 n 0000324049 00000 n 0000324242 00000 n 0000324266 00000 n 0000325531 00000 n 0000325553 00000 n 0000325746 00000 n 0000325768 00000 n 0000326001 00000 n 0000326025 00000 n 0000327542 00000 n 0000327565 00000 n 0000328333 00000 n 0000328355 00000 n 0000328544 00000 n 0000328566 00000 n 0000328799 00000 n 0000328821 00000 n 0000329028 00000 n 0000329051 00000 n 0000330111 00000 n 0000330134 00000 n 0000331025 00000 n 0000331048 00000 n 0000331346 00000 n 0000331368 00000 n 0000331601 00000 n 0000331623 00000 n 0000331856 00000 n 0000331880 00000 n 0000333518 00000 n 0000333541 00000 n 0000334409 00000 n 0000334431 00000 n 0000334620 00000 n 0000334643 00000 n 0000334956 00000 n 0000334979 00000 n 0000335581 00000 n 0000335603 00000 n 0000335792 00000 n 0000335816 00000 n 0000337143 00000 n 0000337167 00000 n 0000338481 00000 n 0000338503 00000 n 0000338736 00000 n 0000338759 00000 n 0000339041 00000 n 0000339064 00000 n 0000339906 00000 n 0000339928 00000 n 0000340161 00000 n 0000340185 00000 n 0000341739 00000 n 0000341761 00000 n 0000341950 00000 n 0000341973 00000 n 0000342428 00000 n 0000342450 00000 n 0000342683 00000 n 0000342707 00000 n 0000344011 00000 n 0000344035 00000 n 0000345472 00000 n 0000345496 00000 n 0000347223 00000 n 0000347245 00000 n 0000347478 00000 n 0000347500 00000 n 0000347733 00000 n 0000347756 00000 n 0000348880 00000 n 0000348903 00000 n 0000349891 00000 n 0000349914 00000 n 0000350546 00000 n 0000350568 00000 n 0000350801 00000 n 0000350824 00000 n 0000351185 00000 n 0000351209 00000 n 0000352494 00000 n 0000352517 00000 n 0000353535 00000 n 0000353559 00000 n 0000354785 00000 n 0000354807 00000 n 0000355045 00000 n 0000355067 00000 n 0000355300 00000 n 0000355322 00000 n 0000355555 00000 n 0000355577 00000 n 0000355810 00000 n 0000355832 00000 n 0000356065 00000 n 0000356087 00000 n 0000356320 00000 n 0000356343 00000 n 0000356703 00000 n 0000356726 00000 n 0000357729 00000 n 0000357751 00000 n 0000357958 00000 n 0000357982 00000 n 0000359320 00000 n 0000359344 00000 n 0000360556 00000 n 0000360579 00000 n 0000361464 00000 n 0000361486 00000 n 0000361719 00000 n 0000361741 00000 n 0000361974 00000 n 0000361997 00000 n 0000362290 00000 n 0000362314 00000 n 0000363865 00000 n 0000363889 00000 n 0000365446 00000 n 0000365470 00000 n 0000366787 00000 n 0000366810 00000 n 0000367686 00000 n 0000367709 00000 n 0000368005 00000 n 0000368028 00000 n 0000368748 00000 n 0000368772 00000 n 0000370052 00000 n 0000370075 00000 n 0000371004 00000 n 0000371027 00000 n 0000372028 00000 n 0000372050 00000 n 0000372243 00000 n 0000372265 00000 n 0000372498 00000 n 0000372521 00000 n 0000372864 00000 n 0000372886 00000 n 0000373119 00000 n 0000373141 00000 n 0000373346 00000 n 0000373368 00000 n 0000373601 00000 n 0000373625 00000 n 0000374947 00000 n 0000374971 00000 n 0000376239 00000 n 0000376261 00000 n 0000376465 00000 n 0000376488 00000 n 0000377507 00000 n 0000377529 00000 n 0000377762 00000 n 0000377786 00000 n 0000379228 00000 n 0000379250 00000 n 0000379483 00000 n 0000379506 00000 n 0000380267 00000 n 0000380289 00000 n 0000380522 00000 n 0000380546 00000 n 0000381775 00000 n 0000381798 00000 n 0000382282 00000 n 0000382306 00000 n 0000383669 00000 n 0000383691 00000 n 0000383918 00000 n 0000383942 00000 n 0000385143 00000 n 0000385165 00000 n 0000385398 00000 n 0000385420 00000 n 0000385653 00000 n 0000385677 00000 n 0000387057 00000 n 0000387079 00000 n 0000387312 00000 n 0000387335 00000 n 0000387679 00000 n 0000387703 00000 n 0000389155 00000 n 0000389179 00000 n 0000390423 00000 n 0000390446 00000 n 0000391220 00000 n 0000391242 00000 n 0000391475 00000 n 0000391497 00000 n 0000391730 00000 n 0000391753 00000 n 0000392101 00000 n 0000392123 00000 n 0000392356 00000 n 0000392379 00000 n 0000393221 00000 n 0000393243 00000 n 0000393476 00000 n 0000393498 00000 n 0000393731 00000 n 0000393753 00000 n 0000393986 00000 n 0000394010 00000 n 0000395607 00000 n 0000395629 00000 n 0000395862 00000 n 0000395885 00000 n 0000396977 00000 n 0000397000 00000 n 0000398042 00000 n 0000398064 00000 n 0000398297 00000 n 0000398320 00000 n 0000399475 00000 n 0000399497 00000 n 0000399724 00000 n 0000399746 00000 n 0000399979 00000 n 0000400003 00000 n 0000401239 00000 n 0000401262 00000 n 0000402300 00000 n 0000402323 00000 n 0000403433 00000 n 0000403457 00000 n 0000404641 00000 n 0000404665 00000 n 0000406231 00000 n 0000406255 00000 n 0000407888 00000 n 0000407910 00000 n 0000408143 00000 n 0000408165 00000 n 0000408398 00000 n 0000408422 00000 n 0000409860 00000 n 0000409882 00000 n 0000410122 00000 n 0000410144 00000 n 0000410377 00000 n 0000410400 00000 n 0000411409 00000 n 0000411431 00000 n 0000411664 00000 n 0000411686 00000 n 0000411919 00000 n 0000411942 00000 n 0000412401 00000 n 0000412425 00000 n 0000413790 00000 n 0000413814 00000 n 0000415085 00000 n 0000415109 00000 n 0000416617 00000 n 0000416640 00000 n 0000417414 00000 n 0000417436 00000 n 0000417691 00000 n 0000417713 00000 n 0000417946 00000 n 0000417969 00000 n 0000418665 00000 n 0000418687 00000 n 0000418920 00000 n 0000418942 00000 n 0000419187 00000 n 0000419210 00000 n 0000419709 00000 n 0000419731 00000 n 0000419964 00000 n 0000419986 00000 n 0000420219 00000 n 0000420241 00000 n 0000420474 00000 n 0000420496 00000 n 0000420703 00000 n 0000420725 00000 n 0000420958 00000 n 0000420980 00000 n 0000421213 00000 n 0000421236 00000 n 0000421859 00000 n 0000421883 00000 n 0000423153 00000 n 0000423175 00000 n 0000423431 00000 n 0000423454 00000 n 0000424591 00000 n 0000424613 00000 n 0000424846 00000 n 0000424870 00000 n 0000426165 00000 n 0000426188 00000 n 0000427166 00000 n 0000427189 00000 n 0000427836 00000 n 0000427858 00000 n 0000428047 00000 n 0000428069 00000 n 0000428296 00000 n 0000428318 00000 n 0000428551 00000 n 0000428574 00000 n 0000429695 00000 n 0000429717 00000 n 0000429950 00000 n 0000429972 00000 n 0000430205 00000 n 0000430229 00000 n 0000431605 00000 n 0000431628 00000 n 0000432782 00000 n 0000432804 00000 n 0000433037 00000 n 0000433061 00000 n 0000434256 00000 n 0000434278 00000 n 0000434547 00000 n 0000434571 00000 n 0000436149 00000 n 0000436171 00000 n 0000436404 00000 n 0000436428 00000 n 0000437620 00000 n 0000437642 00000 n 0000437896 00000 n 0000437918 00000 n 0000438151 00000 n 0000438175 00000 n 0000439389 00000 n 0000439413 00000 n 0000440661 00000 n 0000440683 00000 n 0000440876 00000 n 0000440898 00000 n 0000441131 00000 n 0000441155 00000 n 0000442752 00000 n 0000442775 00000 n 0000443146 00000 n 0000443168 00000 n 0000443401 00000 n 0000443424 00000 n 0000444160 00000 n 0000444183 00000 n 0000444789 00000 n 0000444811 00000 n 0000445044 00000 n 0000445066 00000 n 0000445299 00000 n 0000445322 00000 n 0000446345 00000 n 0000446368 00000 n 0000447333 00000 n 0000447355 00000 n 0000447588 00000 n 0000447610 00000 n 0000447839 00000 n 0000447863 00000 n 0000449115 00000 n 0000449137 00000 n 0000449370 00000 n 0000449394 00000 n 0000450889 00000 n 0000450913 00000 n 0000452471 00000 n 0000452495 00000 n 0000453969 00000 n 0000453992 00000 n 0000455143 00000 n 0000455165 00000 n 0000455372 00000 n 0000455394 00000 n 0000455627 00000 n 0000455650 00000 n 0000456555 00000 n 0000456579 00000 n 0000457846 00000 n 0000457869 00000 n 0000458212 00000 n 0000458234 00000 n 0000458467 00000 n 0000458489 00000 n 0000458722 00000 n 0000458744 00000 n 0000458977 00000 n 0000458999 00000 n 0000459232 00000 n 0000459256 00000 n 0000460560 00000 n 0000460582 00000 n 0000460815 00000 n 0000460837 00000 n 0000461044 00000 n 0000461066 00000 n 0000461299 00000 n 0000461322 00000 n 0000462015 00000 n 0000462039 00000 n 0000463572 00000 n 0000463594 00000 n 0000463827 00000 n 0000463851 00000 n 0000465311 00000 n 0000465333 00000 n 0000465587 00000 n 0000465609 00000 n 0000465842 00000 n 0000465866 00000 n 0000467221 00000 n 0000467243 00000 n 0000467511 00000 n 0000467535 00000 n 0000468872 00000 n 0000468894 00000 n 0000469127 00000 n 0000469150 00000 n 0000469784 00000 n 0000469807 00000 n 0000470562 00000 n 0000470585 00000 n 0000471748 00000 n 0000471771 00000 n 0000472920 00000 n 0000472942 00000 n 0000473149 00000 n 0000473171 00000 n 0000473404 00000 n 0000473428 00000 n 0000474935 00000 n 0000474959 00000 n 0000476423 00000 n 0000476447 00000 n 0000477695 00000 n 0000477717 00000 n 0000477944 00000 n 0000477968 00000 n 0000479199 00000 n 0000479221 00000 n 0000479454 00000 n 0000479476 00000 n 0000479709 00000 n 0000479731 00000 n 0000479964 00000 n 0000479987 00000 n 0000480622 00000 n 0000480645 00000 n 0000481186 00000 n 0000481208 00000 n 0000481441 00000 n 0000481464 00000 n 0000481855 00000 n 0000481879 00000 n 0000483064 00000 n 0000483086 00000 n 0000483279 00000 n 0000483302 00000 n 0000484136 00000 n 0000484158 00000 n 0000484391 00000 n 0000484413 00000 n 0000484646 00000 n 0000484669 00000 n 0000485843 00000 n 0000485865 00000 n 0000486098 00000 n 0000486120 00000 n 0000486353 00000 n 0000486377 00000 n 0000487836 00000 n 0000487858 00000 n 0000488091 00000 n 0000488113 00000 n 0000488346 00000 n 0000488369 00000 n 0000489330 00000 n 0000489352 00000 n 0000489559 00000 n 0000489582 00000 n 0000490544 00000 n 0000490567 00000 n 0000491481 00000 n 0000491505 00000 n 0000492766 00000 n 0000492788 00000 n 0000493021 00000 n 0000493045 00000 n 0000494498 00000 n 0000494520 00000 n 0000494753 00000 n 0000494775 00000 n 0000495008 00000 n 0000495030 00000 n 0000495263 00000 n 0000495285 00000 n 0000495518 00000 n 0000495541 00000 n 0000496093 00000 n 0000496117 00000 n 0000497622 00000 n 0000497644 00000 n 0000497877 00000 n 0000497901 00000 n 0000499452 00000 n 0000499475 00000 n 0000500104 00000 n 0000500126 00000 n 0000500398 00000 n 0000500421 00000 n 0000500958 00000 n 0000500981 00000 n 0000501968 00000 n 0000501990 00000 n 0000502175 00000 n 0000502199 00000 n 0000503614 00000 n 0000503637 00000 n 0000504519 00000 n 0000504542 00000 n 0000505139 00000 n 0000505162 00000 n 0000506199 00000 n 0000506221 00000 n 0000506414 00000 n 0000506438 00000 n 0000507840 00000 n 0000507862 00000 n 0000508095 00000 n 0000508119 00000 n 0000509724 00000 n 0000509748 00000 n 0000510942 00000 n 0000510964 00000 n 0000511197 00000 n 0000511220 00000 n 0000512061 00000 n 0000512084 00000 n 0000512759 00000 n 0000512782 00000 n 0000513287 00000 n 0000513311 00000 n 0000514857 00000 n 0000514880 00000 n 0000515677 00000 n 0000515700 00000 n 0000516763 00000 n 0000516787 00000 n 0000518310 00000 n 0000518333 00000 n 0000518921 00000 n 0000518944 00000 n 0000520061 00000 n 0000520084 00000 n 0000520422 00000 n 0000520445 00000 n 0000520918 00000 n 0000520940 00000 n 0000521173 00000 n 0000521196 00000 n 0000521475 00000 n 0000521497 00000 n 0000521730 00000 n 0000521752 00000 n 0000521941 00000 n 0000521963 00000 n 0000522196 00000 n 0000522220 00000 n 0000523694 00000 n 0000523716 00000 n 0000523949 00000 n 0000523971 00000 n 0000524178 00000 n 0000524201 00000 n 0000525125 00000 n 0000525148 00000 n 0000526078 00000 n 0000526101 00000 n 0000527041 00000 n 0000527064 00000 n 0000527941 00000 n 0000527964 00000 n 0000528906 00000 n 0000528928 00000 n 0000529163 00000 n 0000529186 00000 n 0000529598 00000 n 0000529621 00000 n 0000529898 00000 n 0000529920 00000 n 0000530153 00000 n 0000530177 00000 n 0000531423 00000 n 0000531446 00000 n 0000531729 00000 n 0000531752 00000 n 0000532648 00000 n 0000532671 00000 n 0000533547 00000 n 0000533569 00000 n 0000533796 00000 n 0000533818 00000 n 0000534051 00000 n 0000534073 00000 n 0000534300 00000 n 0000534324 00000 n 0000535528 00000 n 0000535552 00000 n 0000537249 00000 n 0000537272 00000 n 0000538283 00000 n 0000538307 00000 n 0000539927 00000 n 0000539949 00000 n 0000540182 00000 n 0000540204 00000 n 0000540437 00000 n 0000540459 00000 n 0000540731 00000 n 0000540753 00000 n 0000540942 00000 n 0000540965 00000 n 0000541956 00000 n 0000541979 00000 n 0000542785 00000 n 0000542807 00000 n 0000543062 00000 n 0000543085 00000 n 0000543718 00000 n 0000543742 00000 n 0000545067 00000 n 0000545089 00000 n 0000545322 00000 n 0000545345 00000 n 0000545625 00000 n 0000545648 00000 n 0000545945 00000 n 0000545968 00000 n 0000546909 00000 n 0000546931 00000 n 0000547164 00000 n 0000547186 00000 n 0000547400 00000 n 0000547423 00000 n 0000547918 00000 n 0000547942 00000 n 0000549244 00000 n 0000549266 00000 n 0000549499 00000 n 0000549521 00000 n 0000549754 00000 n 0000549778 00000 n 0000551237 00000 n 0000551259 00000 n 0000551492 00000 n 0000551514 00000 n 0000551747 00000 n 0000551769 00000 n 0000552002 00000 n 0000552024 00000 n 0000552260 00000 n 0000552282 00000 n 0000552531 00000 n 0000552555 00000 n 0000553982 00000 n 0000554004 00000 n 0000554237 00000 n 0000554261 00000 n 0000555438 00000 n 0000555462 00000 n 0000556649 00000 n 0000556673 00000 n 0000558075 00000 n 0000558097 00000 n 0000558330 00000 n 0000558354 00000 n 0000559899 00000 n 0000559923 00000 n 0000561394 00000 n 0000561416 00000 n 0000561649 00000 n 0000561671 00000 n 0000561904 00000 n 0000561928 00000 n 0000563313 00000 n 0000563336 00000 n 0000564327 00000 n 0000564350 00000 n 0000565072 00000 n 0000565094 00000 n 0000565327 00000 n 0000565349 00000 n 0000565582 00000 n 0000565606 00000 n 0000566913 00000 n 0000566936 00000 n 0000567719 00000 n 0000567741 00000 n 0000567974 00000 n 0000567996 00000 n 0000568245 00000 n 0000568268 00000 n 0000569398 00000 n 0000569421 00000 n 0000570066 00000 n 0000570088 00000 n 0000570321 00000 n 0000570344 00000 n 0000571241 00000 n 0000571264 00000 n 0000572102 00000 n 0000572124 00000 n 0000572357 00000 n 0000572381 00000 n 0000574062 00000 n 0000574085 00000 n 0000575218 00000 n 0000575240 00000 n 0000025411 00000 n 0000028969 00000 n trailer ] >> startxref 0 %% EOF 1484 0 obj > endobj 1485 0 obj > / Encoding> >> / DA (/ Helv 0 Tf 0 g) >> endobj 2721 0 obj > stream HV} PSIHB @.х ‘! Յ я8Ԅ_> j [ك Hc} Ԓ6 ~ + 弎> #) JF * 7O ‘Qb & N 90003.90000 9 Strategies for Motivating Students in Mathematics 90001 90002 Motivating students to be enthusiastically receptive is one of the most important aspects of mathematics instruction and a critical aspect of any curriculum. Effective teachers focus attention on the less interested students as well as the motivated ones. Here are nine techniques-based on intrinsic and extrinsic motivation-that can be used to motivate secondary school students in mathematics. 90003 90004 Extrinsic and Intrinsic Motivation 90005 90002 Extrinsic motivation involves rewards that occur outside the learner’s control.These may include token economic rewards for good performance, peer acceptance of good performance, avoidance of «punishment» by performing well, praise for good work, and so on. 90003 90002 However, many students demonstrate intrinsic motivation in their desire to understand a topic or concept (task-related), to outperform others (ego-related), or to impress others (social-related). The last goal straddles the fence between intrinsic and extrinsic. 90003 90002 With these basic concepts in mind, there are specific techniques that might be expanded, embellished, and adapted to the teacher’s personality and, above all, made appropriate for the learner’s level of ability and environment.The strategies are the important parts to remember-examples are provided merely to help understand the techniques. 90003 90004 Strategies for Increasing Student Motivation in Math 90005 90002 90015 1. Call attention to a void in students ‘knowledge: 90016 Revealing to students a gap in their understanding capitalizes on their desire to learn more. For instance, you may present a few simple exercises involving familiar situations, followed by exercises involving unfamiliar situations on the same topic.The more dramatically you reveal the gap in understanding, the more effective the motivation. 90003 90002 90015 2. Show a sequential achievement: 90016 Closely related to the preceding technique is having students appreciate a logical sequence of concepts. This differs from the previous method in that it depends on students ‘desire to increase, not complete, their knowledge. One example of a sequential process is how special quadrilaterals lead from one to another, from the point of view of their properties.90003 90002 90015 3. Discover a pattern: 90016 Setting up a contrived situation that leads students to discover a pattern can often be quite motivating, as they take pleasure in finding and then owning an idea. An example could be adding the numbers from 1 to 100. Rather than adding the numbers in sequence, students add the first and last (1 + 100 = 101), and then the second and next-to-last (2 + 99 = 101 ), and so on. Then all they have to do to get the required sum is solve 50 × 101 = 5,050.The exercise will give students an enlightening experience with a truly lasting effect. There are patterns that can be motivating, especially if they are discovered by the student-of course, being guided by the teacher. 90003 90002 90015 4. Present a challenge: 90016 When students are challenged intellectually, they react with enthusiasm. Great care must be taken in selecting the challenge. The problem (if that is the type of challenge) must definitely lead into the lesson and be within reach of the students ‘abilities.Care should be taken so that the challenge does not detract from the lesson but in fact leads to it. 90003 90002 90015 5. Entice the class with a «gee whiz» mathematical result: 90016 There are many examples in the mathematics realm that are often counterintuitive. These ideas by their very nature can be motivating. For example, to motivate basic belief in probability, a very effective motivation is a class discussion of the famous birthday problem, which gives the unexpectedly high probability of birthday matches in relatively small groups.Its amazing-even unbelievable-result will leave the class in awe. 90003 90002 90015 6. Indicate the usefulness of a topic: 90016 Introduce a practical application of genuine interest to the class at the beginning of a lesson. For example, in high school geometry, a student could be asked to find the diameter of a plate where all the information he or she has is a section of the plate that is smaller than a semicircle. The applications chosen should be brief and uncomplicated to motivate the lesson rather than detract from it.90003 90002 90015 7. Use recreational mathematics: 90016 Recreational motivation involves puzzles, games, paradoxes, or the school building or other nearby structures. In addition to being selected for their specific motivational gain, these devices must be brief and simple. An effective execution of this technique will allow students to complete the recreation without much effort. Once again, the fun that these recreational examples generate should be carefully handled, so as not to detract from the ensuing lesson.90003 90002 90015 8. Tell a pertinent story: 90016 A story of a historical event (for example, the story of how Carl Friedrich Gauss added the numbers from 1 to 100 within one minute when he was a 10-year-old in 1787) or a contrived situation can motivate students. Teachers should not rush while telling the story-a hurried presentation minimizes the potential motivation of the strategy. 90003 90002 90015 9. Get students actively involved in justifying mathematical curiosities: 90016 One of the more effective techniques for motivating students is to ask them to justify one of many pertinent mathematical curiosities, like the fact that when the sum of the digits of a number is divisible by 9, the original number is also divisible by 9.The students should be familiar and comfortable with the mathematical curiosity before you challenge them to defend it. 90003 90002 Teachers of mathematics must understand the basic motives already present in their learners. The teacher can then play on these motivations to maximize engagement and enhance the effectiveness of the teaching process. Exploiting student motivations and affinities can lead to the development of artificial mathematical problems and situations. But if such methods generate genuine interest in a topic, the techniques are eminently fair and desirable.90003 90002 You can find more examples of how to use these strategies in my book with Stephen Krulik, 90053 Effective Techniques to Motivate Mathematics Instruction 90054. 90003 .
Оставить комментарий on Ефимова часть 2 сборник задач по математике для втузов часть: Ефимова читать часть 2 Сборник задач по математике для вузов онлайн/

Решение Ваших математических задач в онлайн режиме. Бесплатная версия программы предоставляет Вам только ответы. Если вы хотите увидеть полное решение, Вы должны зарегистрироваться для бесплатной полной пробной версии.

Онлайн программа решения математических задач предлагает Вам решение в режиме онлайн задач с дробями, корнями, метрическими преобразованиями.
Вы можете найти площадь и объем прямоугольника, окружности, треугольника, трапеции, куба, цилиндра, конуса, пирамиды, шара.
Вы можете упростить, найти значение, объединять и умножать выражения.

Вы можете решать все задачи с основного раздела математики а также координатных задач, простых уравнений, неравенств, упрощать выражения.
Вы можете подсчитывать выражения, объединить выражения и умножать / делить выражения.

Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться для этой онлайн программы.
Решите Ваши задачи (уравнения, неравенства, радикалы, построение графиков, решение полиномов) в онлайн режиме.
Если Ваша домашняя работа включает в себя математические уравнения, неравенства, функции, многочлены, матрицы, значит регистрация для тестовой версии — это правильный выбор.
Онлайн программа решения задач по тригонометрии
Находит значения всех типов выражений (синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс), уравнений, неравенств.
Строит графики тригонометрических функций.
Тригонометрия прямоугольного треугольника.
Онлайн программа решения задач курса предварительной алгебры
Включает в себя все вышеперечисленное функции плюс нахождение пределов (LIM), сумм, матриц.
Онлайн программа решения задач курса высшей математики
Решение задач c определенными, неопределенными интегралами.
Онлайн программа решения статистических задач
Решайте задач с нахождением вероятности, комбинаторные задачи. Статистические задачи — найти среднее (арифметическое, геометрическое, квадратическое) значение, распределение, нормальное распределение, т-распределение.
Онлайн программа успешно проводит тестирование статистических гипотез
Математика онлайн
В сервис по мере возможности добавляются новые калькуляторы, а существующие постоянно совершенствуются. Если вам не удалось найти нужный вам калькулятор, которым может быть решена математическая задача, или у вас есть предложения по усовершенствованию уже существующего калькулятора, то сообщите об этом на электронную почту [email protected]
Преимущества нашего сервиса:
Не требует регистрации.
Для пользования Math34.biz не требуется регистрации на сайте. Математика онлайн может решаться уже сейчас, без лишней траты времени на заполнение почтовых ящиков и других личных данных.
Бесплатный. Решение математики онлайн не будет вам стоить ни копейки. Наш сервис абсолютно бесплатный и доступен любому пользователю интернета.
Подробное решение. На многие задачи вы получите пошаговый развернутый ответ, что позволяет понять, каким образом был получен ответ.
Высокая скорость получения ответа. Математика онлайн решается в сервисе Math34.biz всего за несколько секунд.
Точность расчета. В полученном ответе не приходится сомневаться, ведь мощная система расчета обеспечивает 100% точность в решение математических задач онлайн. Также у сервиса не может быть опечаток, а последовательность действий всегда четкая и интуитивно понятная.
Наличие примеров решения задач. Еще до того, как вы введете данные, вы можете посмотреть, как онлайн сервис решает математические задачи на конкретных примерах. Примеры находятся справа от кнопки «Решение». Выберете пример из выпадающего списка и нажмите кнопку «Решение» и вы увидите, как выглядит ответ задачи по математике.
Удобный интерфейс. Каждый оценит по достоинству удобство пользования сайтом. Удобное меню позволяет быстро переключаться между задачами.
Как пользоваться сервисом?
Решение математики онлайн — это простой и удобный способ справиться с математическими задачами, которые на первый взгляд кажутся непростыми или сверить самостоятельное решение. Пользование сервисом Math34.biz удобное и понятное любому пользователю, попадающему на сайт первый раз. Слева находится меню с названием математических задач, которые можно решить в нашем сервисе: пределы, производная, интегралы, алгебраические уравнения, дифференциальные уравнения, неравенства и многое дрогое. Выберете необходимую вам задачу. Нажав на нее, вы попадете в калькулятор решения с полями, в которые необходимо ввести данные вашей задачи. Заполняете поля и нажимаете кнопку «Решение» — за считанные секунды ответ готов. Чтобы у вас не возникло трудностей с вводом вашей математической задачи, в сервисе предусмотрен раздел Функции и константы https://Math34.biz/functions. В нем вы можете просмотреть как различные константы, элементарные, тригонометрические и гиперболические функции вводятся на сайте.
С нами математика онлайн решается просто и легко. Используйте Math34.biz для решения любых математических задач.
Неравенства. Тождества
Проверка сложения и вычитания. Видеоурок. Математика 2 Класс
Этот урок посвящен теме «Проверка сложения и вычитания». На нем вы научитесь определять,правильно ли выполнено сложение и/ или вычитание. Проведете несколько вычислений на сложение и вычитание, а также осуществите их проверку. В заключение урока повторите определения математических операций – сложения и вычитания.
Урок: Проверка сложения и вычитания
Сложение – это математическая операция, в результате которой из двух или большего числа слагаемых получается общее число – сумма. (Рис. 1.)
Рис. 1.
При сложении используется знак «+». Числа при сложении называются слагаемыми, результат сложения называется сумма.
Посмотрите внимательно на записи.(Рис. 2.) Что вы замечаете?
Рис. 2.
Оказывается, что сложение можно проверить вычитанием. Для того, чтобы проверить правильность сложения, нужно из суммы вычесть любое из слагаемых. Если вы получите второе слагаемое, значит вычисление выполнено верно.(Рис.2)
Посмотрите внимательно на равенства. (Рис. 3.) Какую особенность вы в них замечаете?
Рис. 3.
Оказывается, результат действия вычитания можно проверить сложением.

Вычитание – это математическая операция, обратная сложению. При вычитании каждое число имеет свое название. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемое. Число, которое вычитают, называется вычитаемое. Результат вычитание называют разностью.(Рис. 4.)
Рис. 4.
Правильность действия вычитания можно проверить сложением.
Если к разности прибавить вычитаемое или к вычитаемому прибавим разность, то мы должны получить уменьшаемое.
Незнайка тоже выполнят вычисления. Давайте посмотрим, как это у него получилось. (Рис. 5.)
Рис. 5.
Мы знаем, что если к разности прибавить вычитаемое, то мы получим уменьшаемое. Давайте проверим Незнайку.
11 – 6 = 4
Проверка:
4 + 6 = 10
Это значит, что Незнайка сделал ошибку. Давайте поможем Незнайке исправить ошибку и правильно выполнить вычисление. Число 6 нужно разложить на два слагаемых, такие, чтобы одно из них было легко вычесть из 11. Это числа 5 и 1.
11 – 6 = 11 – (1 +5) = 10 – 5 = 5
Поэтому Незнайка ошибся. 11 – 6 = 5
На этом уроке мы научились делать проверку, чтобы проверить правильность своих вычислений.

Список рекомендованной литературы
1. Александрова Э.И. Математика. 2 класс. М.: Дрофа – 2004.
2. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. М.: Астрель – 2006.
3. Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. М.: Просвещение – 2012.

Дополнительные веб-ресурсы
1. Инженерный справочник. Таблицы DPVA.info. Правила сложения и вычитания. (Источник).
2. Фестиваль педагогических идей (Источник).
3. Сайт учителя Простаковой Натальи (Источник).

Сделай дома
Проверьте правильность выражений:
а)  20 + 17 = 35     б)  45 – 13 = 30     в)  23 + 11 = 30
Решите выражения:
а)  32 – 20     б)  17 + 21     в)  45 — 34
Решите выражения:
а)  15 + 15     б)  13 + 15     в)  25 + 25
Решебник и калькулятор с решениями примеров и уравнений онлайн
Инновационный калькулятор, позволяющий наглядно разложить любой пример или уравнение на пошаговое руководство по решению
Нет смысла искать калькулятор, когда уже есть ЛовиОтвет
Калькулятор ЛовиОтвет решает математические примеры и уравнения с отображением этапов решения, производит наглядно вычисления «в столбик». Вас приятно удивит результат решения — на разлинованном тетрадном листе вы увидите все что должен написать ученик или студент для решения примера. Отлично подходит как для проверки уже выполненных заданий, так и для, непосредственно, их выполнения.
Видеоинструкция к программе «Лови Ответ»

Калькулятор остался в прошлом… Лови ответ не просто калькулятор!
ЛовиОтвет на Apple AppStore
Помимо версии под Android(Google Play), программа ЛовиОтвет доступна для использования на платформах iOS версии 5.1 и выше. Работает на всех устройствах Apple: iPhone 3GS, iPhone 4, iPhone 4S, iPod touch (3rd generation), iPod touch (4th generation) и iPad.
Новое в версии 6.0.80:
Для работы программы больше не требуется системный сервис
Улучшен механизм обновления программы
Новое в версии 6.00:
Улучшенный интерфейс программы в новом дизайне
Добавлены новые математические функции
Еще лучше решает домашние задания
Повышенная стабильность работы
Новое в версии 5.00:
Обновленный дизайн интерфейса программы
Решение практически любых математических задач
Возможность выбора уровня детализации решения при просмотре результатов
Вывод решения как со столбиками, так и в сокращенном виде
ри варианта решения — Стандартное, с обыкновенными дробями и решение «в столбик»
Новое в версии 4.00:
Решение уравнений
Упрощение выражений
Дроби
Точность расчетов до 80 знаков
Новое в версии 2.01:
Добавлено более 50 математических функций и теперь позволит использовать калькулятор не только школьникам, но и студентам и инженерам, в том числе тригонометрические функции (от sin() — синуса до arccsch() — гиперболического арккосеканса), факториалы, логарифмы и много-много полезных функций.
Возможность копирования решения или ответа в буфер обмена
Возможность отключения подсчета «в столбик» идеально для проффесионального вычисления
Используя Лови Ответ вы сможете проверить правильность решения домашних заданий по математике вашим ребенком.
Программа предназначена для школьников и студентов всех курсов. Также отлично зарекомендовала себя среди родителей, в качестве отличного инструмента для проверки домашних заданий.
Домашние задания по математике — это просто!
Все арифметические действия по желанию выполняются «в столбик»
Отлично подходит в качестве для быстрой проверки уже выполненных заданий
Поможет при обучении устному и письменному счету без калькулятора
Начиная с версии 2.01 программа подходит для учеников старших классов и студентов
Решебник по математике ?
Он больше вам не понадобится. Если только записать на нем адрес сайта LoviOtvet.ru и подарить вашему лучшему другу или однокласснику
Блог : Благодарности и предложения
15 лучших приложений для безупречной учебы в школе

Ребята, мы вкладываем душу в AdMe.ru. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте
Знания усвоятся гораздо проще и легче, если с умом подойти в выбору помощников-приложений. Сейчас не нужно носить с собой кучу учебников и ночами корпеть над шпаргалками. Достаточно загрузить в смартфон эти программы — и всё в легкой и доступной форме само уложится в голове. Но их так много, что глаза разбегаются, и не знаешь, с чего начать.
Чтобы не дать вам утонуть в море информации, AdMe.ru отобрал только самые лучшие приложения для школьников и студентов.
Математика
PhotoMath

PhotoMath — это калькулятор, использующий камеру смартфона — просто наведите камеру на математическую задачу, и PhotoMath сразу же выдаст ответ, с поэтапным решением задачи.
MalMath

Программа для решения математических задач с пошаговым описанием и графическим изображением. Генерирует случайные математические задачи в нескольких категориях и уровнях сложности. Работает автономно. Можно сохранить или поделиться решениями и графиками.
Решение уравнений по шагам

Калькулятор может решить все типы уравнений (кроме дифференциальных), исправляет ошибки в выражениях и предлагает для ввода свои варианты. Показывает подробное решение квадратных, простейших тригонометрических уравнений.
Физика

Это сборник всех формул физики, которые сортированы по разделам. Есть возможность поделится любой формулой со своими друзьями или одноклассниками простым свайпом влево и быстро искать формулы по их названию.
Химия

Приложение решает химические уравнения реакций, поможет с органической и неорганической химией. Есть интерактивная таблица Менделеева и таблица растворимости веществ. Реакции отображены в обычном и ионном виде. И даже нарисованы формулы органической химии.
Химия X10

Химия X10 — это универсальный помощник по химии — решает задачи, содержит шпаргалки, расстанавливает коэффиценты в уравнениях. Здесь есть встроенный калькулятор молярных масс.
Примеры по математике для любого класса. Решение примеров онлайн. | Клуб любителей математики
Тренажер примеров по математике разного уровня сложности для любого класса поможет развить математичесике способности устного счета.
На своем жизненном пути каждому приходилось или придется встретиться с такой прекрасной и точной наукой как Математика. Она развивает логическое и абстрактное мышление, улучшает способность быстро соображать и принимать решения. На основе именно этой науки строится описание нашего мира.
С чего начинается математика?
Базовой составляющей математики является раздел Арифметика – операции подсчета, измерения и описания форм объектов. Это базис, на который опираются знания о структуре, порядке и отношениях. Именно они составляют суть науки. Школьная программа начинается с Арифметики, которую и предстоит освоить каждому ребенку, переступившему порог школы.
Поняв принцип математических операций, необходимо научиться быстро и безошибочно решать любые примеры по математике. И тут все упирается в терпение и регулярную практику, в следствие которой подсчитывать ответ становится все легче и легче.
Виды примеров по математике:
С натуральными числами

С дробными числами

С отрицательными числами

С иррациональными числами

С тригонометрическими выражениями

Так же в математических примерах можно встретить комплексные числа. Роль каждых из чисел очень велика при решении и описании разных проблем с помощью математики. В дальнейшем в разделе Алгебра вместо чисел будут использоваться разнообразные выражения, но суть останется прежняя.
С чего начать тренировку в решении примеров по математике ?
Конечно, начинать надо с самого простого и банального, с того что является самой основой. Обычные примеры начальной школы с натуральными числами. На их изучение и практику в школе уделяют большое количество времени, и дети на протяжении нескольких месяцев или лет, занимаются решением примеров, списывая задание с доски, открывая учебник или рабочую тетрадь, где один за одним решают примеры.
Предлагаем вам упрощенный способ развития навыков решения.

Онлайн тренажер устного счета
192 разнообразных режима тренировок: Уравнения, сравнения, отрицательные числа
С помощью специального онлайн «Тренажера устного счета», где можно быстро и легко практиковаться в решении простых арифметических примеров.
Приложение позволяет быстро анализировать и исправлять допущенные ошибки, помогает с ответом при наличии сложного примера, а также ведет полную статистику выполненной работы. Родителям не придется тратить свое время на поиск математических примеров для тренировки ребенка, а потом долго и скрупулезно проверять их вручную.
В свою очередь дети сосредотачиваются на решении примера и не тратят время на поиск его среди массы похожих примеров на страницах учебников, не отвлекаются на переписывание его из учебника в тетрадь, проверяя по десять раз верность переписанного. Все это существенно ускоряет процесс обучения, уделяя внимание именно самому главному – решению самих примеров по математике!
Зачем нужен навык решения примеров по математике?
Несомненно, не всем в жизни нужно быть живым компьютером с развитым навыком устного счета. Однако очень часто происходят ситуации, когда этот навык выручает. Ведь в современном мире, где всё вокруг строится на основе математических законов, иметь такой приятный для себя бонус как хорошее умение быстро что-либо просчитывать очень круто! Никогда не знаешь на перед что и когда тебе понадобится, так почему бы не уделить немного времени этому сейчас, чтобы по жизни не попадать в неловкие ситуации, к тому же научиться этому делу довольно легко!
Очень многие ошибочно полагают, что стоит начинать учиться только тогда, когда они столкнуться с этими проблемами и это будет необходимым по жизни. Однако наш совет: освоить базовые навыки решения математических примеров и устного счета стоит как можно раньше, пока ум молод, свеж и гибок в плане обучения, а человек не занят взрослыми надоедливыми делами.
Научно доказано, если регулярно решать арифметические примеры, то:
Сохраняется ясность ума

Развивается логическое мышление

Улучшается мозговая активность

Повышается внимательность и концентрация

Проявляется терпение и трудолюбие

Развивается креативность

Как развить навык решения примеров по математике?
Надо понимать, что навык решения напрямую связан и количеством решаемых примеров. Чем больше примеров Вы прорешиваете, тем лучше начинает работать и справляться с ними мозг. Конечно же, это не означает, что надо убить все свое время только на решение примеров по математике. Очень важное значение тут имеет регулярность!
Каждый день практикуясь в небольшое выделенное для себя время, можно быстро развить свой навык устного счета до приличных возможностей. Необходимо также уделять внимание разнообразию примеров (их видам) – то есть постепенно решать все более сложные и интересные примеры, не останавливаясь на простых!
Также о навыках решения примеров по математике можно прочитать в статье «Как научиться считать в уме».
Как заставить себя решать примеры по математике?
Зачастую очень тяжело заставить себя заниматься делом, всё больше хочется отдохнуть, не утруждать себя надоедливым занятием, даже осознавая, что это нужно и необходимо. Немногие дети стремятся самостоятельно поучаствовать в своем развитии или хотя бы выполнить домашнее задание.
Поэтому в приложение «Тренажер устного счета» был добавлен игровой соревновательный момент. Возможно это изменит подход к скучному обучению, сделав этот процесс более интересным и завлекающим. Предлагаем самостоятельно опробовать данное приложение и оценить его.
Желаем успехов в решении!