Рубрика: Разное

Примеры решения системы линейных алгебраических уравнений 4-ого порядка методом Гаусса, пример № 4

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4 × 5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:

• Поменяем местами строку № 1 и строку № 4

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 1)
• Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 3 — 2 × строка 1)
• Из строки № 4 вычтем строку № 1 умноженную на 3 (Строка 4 — 3 × строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 3 умножим на -1 (Строка 3 = строка 3 * -1)
• Поменяем местами строку № 2 и строку № 3

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 3 (Строка 3 + 3 × строка 2)
• К строке № 4 прибавим строку № 2 умноженную на 2 (Строка 4 + 2 × строка 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 4 поделим на -3 (Строка 4 = строка 4 / -3)
• Поменяем местами строку № 3 и строку № 4

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 4 прибавим строку № 3 умноженную на 7 (Строка 4 + 7 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 4 поделим на 55 (Строка 4 = строка 4 / 55)
• Из строки № 3 вычтем строку № 4 умноженную на 6 (Строка 3 — 6 × строка 4)
• Из строки № 2 вычтем строку № 4 умноженную на 5 (Строка 2 — 5 × строка 4)
• Из строки № 1 вычтем строку № 4 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 4)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 2 прибавим строку № 3 умноженную на 5 (Строка 2 + 5 × строка 3)
• К строке № 1 прибавим строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 + 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 1 вычтем строку № 2 (Строка 1 — строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = 0
х₂ = 0
х₃ = 1
х₄ = 0

Вы поняли, как решать? Нет?

Другие примеры

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Матрицы

2. Матрица Определение

3. Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

4. Метод Гаусса

5. Типы уравнений

6. Элементарные преобразования

7. Общий случай

11. Рассмотрим на примере

12. Метод Крамера

13. Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)

14. Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:

15. Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля:

16. В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера

17. Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца на столбец правых частей

18. Решение.

19. Найдите оставшиеся компоненты решения.

20. Найдите оставшиеся компоненты решения.

21. Решение.

22. Ответ.

23. Использованные источники

English     Русский Правила

Калькулятор исключения Гаусса

Выберите порядок матрицы, заполните необходимые поля ввода и нажмите кнопку расчета с помощью калькулятора исключения Гаусса.

Содержание:

• Калькулятор исключения Гаусса
• Как выполнить исключение Гаусса?

Дайте нам отзыв

✎

✉

Калькулятор исключения Гаусса 

Калькулятор исключения Гаусса приводит матрицу, образованную системой уравнений, к ее упрощенной форме. Найдите другую информацию и значения, связанные с матрицей, такие как:

• Матрица, обратная 
• Определитель
• Собственные значения
• Свойства, трассировка и т. д.

  Что такое исключение Гаусса?

  Этот метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса. Он использует метод эшелона строк для достижения желаемой формы матрицы. Затем значения переменных математического уравнения легко вычисляются из результирующей матрицы.

  Используется расширенная матрица.

  Как выполнить исключение Гаусса?

  Операции со строками используются в матрице, чтобы сделать диагональные элементы равными 1 с нулями под ними. Далее он используется, чтобы сделать матрицу диагональной матрицей. Таким образом, значения распознаются из самой сокращенной матрицы.

  Прежде всего, вы должны составить уравнение таким образом, чтобы все одинаковые переменные выровнялись по столбцам. Если одно из уравнений не содержит никакой переменной, то вместо нее в матрице ставится 0.

  Давайте посмотрим на пример использования этого метода.

  Пример:

  Найдите значения переменных, используемых в следующих уравнениях, с помощью метода исключения Гаусса-Жордана.

  1x + 1y + 2z = 9

  2x + 4y — 3z = 1

  3x + 6y — 5z = 0

  Решение:

  Шаг 1: .

  3x + 8y — 7 = 0

  6x + 3y — 3 = 0

  9x + 4y — 4 = 0

  Шаг 2: Создайте расширенную матрицу.

  Шаг 3: Выполнить эшелонирование строк.

  
   
  Вычесть из строки 2 первую строку, умноженную на 2: R ₂ = R ₂ — 2R ₁

   
  Вычесть первую строку, умноженную на 3 из строки 0: R 90 9 0 9 0 8: ₃ — 3R ₁
  
  Разделить 1-й ряд на 2: R ₂ = R ₂ /2
  
  Из 3-го ряда вычесть 2-й ряд, умноженный на 3: R ₃ = R ₃ — 3R ₂
   
  Умножьте строку 3 на -2: R ₃ = -2 R ₃
   
  Это конец метода исключения Гаусса. Значения переменных можно легко вычислить по этой матрице. Первый столбец представляет x, второй — y, а третий — переменную z.
   
  В третьей строке только z. Это означает, что z=3. Поместите это во вторую строку, чтобы вычислить y, а затем в первую строку, чтобы найти x.
  Эту матрицу можно еще больше упростить, используя метод Гаусса-Жордана. Для этого:
   
  Добавить строку 3, умноженную на 7/3, к строке 2: 7/3R ₃ + R ₂
  
  Вычесть строку 3, умноженную на -2, из строки 1: R ₁ = R ₁ -2R 3
  
  Вычесть строку 2 из строки 1: R ₁ = R ₁ — R2 
  
  В этой матрице нахождение значений переменных — это вопрос поиска. г=3, у=2 и х=1.

  Исключение Гаусса для плотных матриц: алгебраическая проблема | Прямые методы для разреженных матриц

  Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicDirect Methods for Sparse Matrices (2nd edn)Численный анализOxford Scholarship OnlineBooksJournals Мобильный телефон Введите поисковый запрос

  Закрыть

  Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicDirect Methods for Sparse Matrices (2nd edn)Численный анализOxford Scholarship OnlineBooksJournals Введите поисковый запрос

  Расширенный поиск

  • Иконка Цитировать Цитировать

  • Разрешения

  • Делиться
    • Твиттер
    • Подробнее

  Укажите

  Дафф, И. С., А. М. Эрисман и Дж. К. Рид, «Исключение Гаусса для плотных матриц: алгебраическая проблема», Direct Methods for Sparse Matrices , 2-е изд. (

  Oxford

  , 2017; онлайн-издание, Oxford Academic, 20 апреля 2017 г. ), https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198508380.003.0003, по состоянию на 22 апреля 2023 г.

  Выберите формат Выберите format.ris (Mendeley, Papers, Zotero).enw (EndNote).bibtex (BibTex).txt (Medlars, RefWorks)

  Закрыть

  Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicDirect Methods for Sparse Matrices (2nd edn)Численный анализOxford Scholarship OnlineBooksJournals Мобильный телефон Введите поисковый запрос

  Закрыть

  Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicDirect Methods for Sparse Matrices (2nd edn)Численный анализOxford Scholarship OnlineBooksJournals Введите поисковый запрос

  Advanced Search

  Abstract

  Мы рассматриваем основные операции прямого решения линейных уравнений, не обращая внимания на ошибку округления, вызванную компьютерной арифметикой. Мы рассматриваем связь между исключением Гаусса и LU-факторизацией. Мы сравниваем использование различных вычислительных последовательностей, включая левый и правый взгляды. Мы показываем, что преимуществом симметрии можно воспользоваться, и рассматриваем использование блокировки. Наш выбор материала основан на том, что будет полезно в разреженном случае.

  Ключевые слова: Исключение Гаусса, LU-факторизация, левосторонний, правосторонний, симметричный, блокирующий

  Субъект

  Численный анализ

  Коллекция: Оксфордская стипендия онлайн

  В настоящее время у вас нет доступа к этой главе.

  Войти

  Получить помощь с доступом

  Получить помощь с доступом

  Доступ для учреждений

  Доступ к контенту в Oxford Academic часто предоставляется посредством институциональных подписок и покупок. Если вы являетесь членом учреждения с активной учетной записью, вы можете получить доступ к контенту одним из следующих способов:

  Доступ на основе IP

  Как правило, доступ предоставляется через институциональную сеть к диапазону IP-адресов. Эта аутентификация происходит автоматически, и невозможно выйти из учетной записи с IP-аутентификацией.

  Войдите через свое учреждение

  Выберите этот вариант, чтобы получить удаленный доступ за пределами вашего учреждения. Технология Shibboleth/Open Athens используется для обеспечения единого входа между веб-сайтом вашего учебного заведения и Oxford Academic.

  1. Щелкните Войти через свое учреждение.
  2. Выберите свое учреждение из предоставленного списка, после чего вы перейдете на веб-сайт вашего учреждения для входа.
  3. Находясь на сайте учреждения, используйте учетные данные, предоставленные вашим учреждением. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
  4. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

  Если вашего учреждения нет в списке или вы не можете войти на веб-сайт своего учреждения, обратитесь к своему библиотекарю или администратору.

  Войти с помощью читательского билета

  Введите номер своего читательского билета, чтобы войти в систему. Если вы не можете войти в систему, обратитесь к своему библиотекарю.

  Члены общества

  Доступ члена общества к журналу достигается одним из следующих способов:

  Войти через сайт сообщества

  Многие общества предлагают единый вход между веб-сайтом общества и Oxford Academic. Если вы видите «Войти через сайт сообщества» на панели входа в журнале:

  1. Щелкните Войти через сайт сообщества.
  2. При посещении сайта общества используйте учетные данные, предоставленные этим обществом. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
  3. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

  Если у вас нет учетной записи сообщества или вы забыли свое имя пользователя или пароль, обратитесь в свое общество.

  Вход через личный кабинет

  Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам. См. ниже.

  Личный кабинет

  Личную учетную запись можно использовать для получения оповещений по электронной почте, сохранения результатов поиска, покупки контента и активации подписок.

  Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам.

  Просмотр учетных записей, вошедших в систему

  Щелкните значок учетной записи в правом верхнем углу, чтобы:

  • Просмотр вашей личной учетной записи и доступ к функциям управления учетной записью.

Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности конуса (или просто поверхность конуса) равна сумме площадей основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S = πRl, где R — радиус основания конуса, а l — образующая конуса.

Так как площадь основания конуса равна πR² (как площадь круга), то площадь полной поверхности конуса будет равна: πR² + πRl = πR (R + l ).

Получение формулы площади боковой поверхности конуса можно пояснить такими рассуждениями. Пусть на чертеже изображена развёртка боковой поверхности конуса. Разделим дугу АВ на возможно большее число равных частей и все точки деления соединим с центром дуги, а соседние — друг с другом хордами.

Получим ряд равных треугольников. Площадь каждого треугольника равна ^ah/₂ , где а — длина основания треугольника, a h — его высота.

Сумма площадей всех треугольников составит: ^ah/₂ • n = ^anh/₂ , где n — число треугольников.

При большом числе делений сумма площадей треугольников становится весьма близкой к площади развёртки, т. е. площади боковой поверхности конуса. Сумма оснований треугольников, т. е. an, становится весьма близкой к длине дуги АВ, т. е. к длине окружности основания конуса. Высота каждого треугольника становится весьма близкой к радиусу дуги, т. е. к образующей конуса.

Пренебрегая незначительными различиями в размерах этих величин, получаем формулу площади боковой поверхности конуса (S):

S = ^Cl/₂, где С — длина окружности основания конуса, l — образующая конуса.

Зная, что С = 2πR, где R — радиус окружности основания конуса, получаем: S = πRl.

Примечание. В формуле S = ^Cl/₂ поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы это равенство считать приближённым. Но в старших классах средней школы доказывается, что равенство

S = ^Cl/₂ точное, а не приближённое.

Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.

Впишем в конус (рис.) какую-нибудь правильную пирамиду и обозначим буквами р и l числа, выражающие длины периметра основания и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность её выразится произведением ¹/₂р • l .

Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а апофема l будет иметь пределом образующую конуса (так как из ΔSAK следует, что SA — SK

¹/₂р• l, будет стремиться к пределу ¹/₂С• L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности конуса. Обозначив боковую поверхность конуса буквой S, можем написать:

S = ¹/₂С • L = С • ¹/₂L

Следствия.
1) Так как С = 2πR, то боковая поверхность конуса выразится формулой:

S = ¹/₂• 2πR • L = πRL

2) Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь:

T = πRL + πR² = πR(L + R)

Теорема. Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Впишем в усечённый конус (рис.) какую-нибудь правильную усечённую пирамиду и обозначим буквами р, р₁ и l числа, выражающие в одинаковых линейных единицах длины периметров нижнего и верхнего оснований и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность вписанной пирамиды равна ¹/₂ (р + р₁) • l

При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной пирамиды периметры р и р₁ стремятся к пределам, принимаемым за длины С и С₁ окружностей оснований, а апофема l имеет пределом образующую L усечённого конуса. Следовательно, величина боковой поверхности вписанной пирамиды стремится при этом к пределу, равному (С + С₁) L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усечённого конуса. Обозначив боковую поверхность усечённого конуса буквой S, будем иметь:

S = ¹/₂ (С + С₁) L

Следствия.
1) Если R и R₁ означают радиусы окружностей нижнего и верхнего оснований, то боковая поверхность усечённого конуса будет:

S = ¹/₂ (2πR + 2πR₁) L = π (R + R₁) L.

2) Если в трапеции OO₁А₁А (рис.), от вращения которой получается усечённый конус, проведём среднюю линию ВС, то получим:

ВС = ¹/₂(OA + O₁A₁) = ¹/₂ • (R + R₁),

откуда

R + R₁ = 2ВС.

Следовательно,

S = 2πBC• L,

т. е. боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую.

3) Полная поверхность Т усечённого конуса выразится так:

T = π( R² + R₁² + RL + R₁L)

Геометрия Площадь поверхности конуса

Материалы к уроку

Конспект урока

 Площадь поверхности конуса

Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!

• Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

• Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

• Повысим успеваемость по школьным предметам

• Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Выбрать педагогаОставить заявку на подбор

Площадь поверхности конуса

общий площадь поверхности из конус есть сумма площадей его основания и боковой (боковой) поверхности.

площадь боковой поверхности конуса – это площадь только боковой или боковой поверхности.

Поскольку конус тесно связан с пирамида , формулы для их площадей связаны.

Помните, формула площади боковой поверхности пирамиды 1 2 п л а общая площадь поверхности 1 2 п л + Б .

Поскольку основанием конуса является круг, подставляем 2 π р для п и π р 2 для Б где р это радиус основания цилиндра.

Итак, формула для площадь боковой поверхности прямого конуса л . С . А «=» π р л , где л — наклонная высота конуса .

Пример 1:

Найдите площадь боковой поверхности прямого конуса, если радиус 4 см, а наклонная высота 5 см.

л . С . А «=» π ( 4 ) ( 5 ) «=» 20 π ≈ 62,82 см 2

Формула для общая площадь поверхности прямого конуса Т . С . А «=» π р л + π р 2 .

Пример 2:

Найдите площадь полной поверхности прямого конуса, если радиус 6 дюймов, а наклонная высота 10 дюймы.

Т . С . А «=» π ( 6 ) ( 10 ) + π ( 6 ) 2 «=» 60 π + 36 π «=» 96 π дюймы 2 ≈ 301,59 дюймы 2

Боковая часть конуса

Боковая площадь конуса определяется как площадь, покрытая криволинейной поверхностью конуса. Его также называют площадью боковой поверхности (LSA) или площадью криволинейной поверхности (CSA) конуса. Конус — это трехмерный объект, который плавно сужается от плоского круглого основания к точке, называемой вершиной. Другими словами, это форма, образованная набором отрезков, исходящих из основания, которые соединяются с общей точкой (вершиной). Эти отрезки начинаются от точек в основании и заканчиваются в вершине.

Что такое боковая площадь конуса?

Площадь боковой поверхности конуса представляет собой площадь, занимаемую площадью криволинейной поверхности конуса. Поскольку конус представляет собой трехмерную форму, площадь боковой поверхности конуса также лежит в трехмерной плоскости. Когда много треугольников складываются и вращаются вокруг оси, мы получаем форму, известную как конус. Поскольку он имеет плоское основание, он имеет общую площадь поверхности, а также площадь изогнутой поверхности. Боковая площадь конуса представлена ​​в квадратных единицах, например, см ² , м ² , в ² и др.

Формула боковой площади конуса

Формула поперечной площади конуса: πrL, где r — радиус основания, а L — наклонная высота. Таким образом, если известны наклонная высота и радиус основания конуса, можно найти площадь его боковой поверхности (или площадь криволинейной поверхности). Мы также можем записать площадь кривизны конуса через высоту конуса, поскольку мы знаем соотношение между высотой и наклонной высотой конуса, используя теорему Пифагора. Связь между высотой и наклонной высотой конуса, заданная как L = √(h ² + r ² ), где h — высота конуса. Таким образом, боковая площадь конуса = πrL = πr√(h ² + r ² )

Как найти боковую площадь конуса?

Как мы узнали из предыдущего раздела, боковая площадь конуса равна πrL. Таким образом, мы следуем шагам, показанным ниже, чтобы найти боковую площадь конуса:

• Шаг 1: Определите радиус основания конуса и назовите его r.
• Шаг 2: Определите его высоту и назовите его h.
• Шаг 3: Найдите площадь боковой поверхности конуса по формуле πrL.
• Шаг 4: Представьте окончательный ответ в квадратных единицах.

Пример: Чему равна боковая площадь конуса, имеющего радиус основания = 4 единицы и наклонную высоту = 7 единиц?

Решение: При r = 4 единицах и l = 7 единицах

Как мы знаем, боковая площадь конуса = πrL
⇒ Боковая площадь конуса = (22/7) × 4 × 7 = 88 единиц ²

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса 88 единиц ² .

Решенные примеры на боковой поверхности конуса

1. Пример 1: Найдите площадь боковой поверхности конуса, имеющего радиус основания 21 единицу и высоту 20 единиц. (Используйте π = 22/7)

   Решение: Учитывая, что r = 21 единица и h = 20 единиц

   Таким образом, наклонная высота конуса, l = √(r ² + h ² ) = √(21 ² + 20 ² ) = √(441 + 400) = √841 = 29 ед.

   Мы знаем, площадь боковой поверхности конуса = πrL
   ⇒ Площадь боковой поверхности конуса = (22/7) × 21 × 29 = 22 × 3 × 29 = 1914 единиц ²

   Ответ:

2. Пример 2: Найдите боковую поверхность конуса высотой 15 единиц и наклонной высотой 17 единиц. (Используйте π = 3,14)

   Решение: Учитывая, что h = 15 единиц и l = 17 единиц

   Радиус конуса (r) = √(L ² — h ² ) = √(17 ² — 15 ² ) = √(289 — 225) = √64 = 8 единиц

   Боковая площадь конуса = πrL
   ⇒ Площадь поперечного сечения конуса = 3,14 × 8 × 17 = 427,04 ед.

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по боковой поверхности конуса

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о боковой части конуса

Что такое боковая площадь конуса?

Боковая площадь конуса определяется как площадь, покрываемая криволинейной поверхностью конуса. Его также обычно называют площадью боковой поверхности (LSA) или площадью криволинейной поверхности (CSA) конуса. Единица боковой площади конуса выражается в квадратных единицах, например, см ² , m ² , in ² , и т.д.

Какая формула площади боковой поверхности конуса?

Формула площади поперечного сечения конуса определяется как площадь поперечного сечения конуса = πrL, где «r» и «L» — радиус конуса и наклонная высота конуса. Таким образом, можно определить значение боковой площади конуса, если у нас есть значения обоих размеров конуса.

Какова формула площади поперечного сечения конуса через высоту конуса?

Мы знаем, что формула площади поперечного сечения конуса дается как площадь поперечного сечения конуса = πrL. Мы также знаем, что соотношение между наклонной высотой и высотой конуса равно L = √(h ² + r ² ). Таким образом, боковая площадь конуса по отношению к высоте конуса определяется как πr√(h ² + r ² ).

Как найти боковую площадь конуса?

Боковую площадь конуса можно определить с помощью следующих шагов:

• Шаг 1: Определите радиус основания и высоту конуса.
• Шаг 2: Определите боковую площадь конуса по формуле πrL.
• Шаг 3: После того, как значение боковой площади конуса получено, представьте окончательный ответ в квадратных единицах.

Как найти радиус конуса, если известна боковая площадь конуса?

Мы можем найти радиус конуса, если боковую площадь конуса следующие шаги:

• Шаг 1: Определите заданные размеры конуса и пусть радиус конуса равен «r»
• Шаг 2: Подставьте значения в формулу πrL и получите уравнение.
• Шаг 3: Решите уравнение для «r».
• Шаг 4: После того, как значение радиуса конуса получено, представьте окончательный ответ в единицах.

Что происходит с боковой поверхностью конуса, когда радиус конуса увеличивается вдвое?

Боковая площадь конуса удваивается, когда радиус конуса удваивается, поскольку мы подставляем «2r» вместо «r» в формулу боковой площади конуса. Таким образом, боковая площадь конуса = πrL = π(2r)L = 2(πrL), что в два раза больше первоначального значения боковой площади конуса.

Что происходит с боковой поверхностью конуса, когда наклонная высота конуса уменьшается вдвое?

Боковая площадь конуса уменьшается пополам, когда радиус конуса уменьшается вдвое, поскольку мы подставляем «(L/2)» вместо «L» в формулу боковой площади конуса. Таким образом, боковая площадь конуса = πrL = πr(L/2) = (1/2) × (πrL), что составляет половину первоначального значения боковой площади конуса.

Лекция 06. Метод математической индукции

Лекция 6. Метод математической индукции.

Новые знания в науке и жизни добываются разными способами, но все они (если не углубляться в детали) делятся на два вида – переход от общего к частному и от частного к общему. Первый – это дедукция, второй – индукция. Дедуктивные рассуждения – это то, что в математике обычно называют логическими рассуждениями, и в математической науке дедукция является единственным законным методом исследования. Правила логических рассуждений были сформулированы два с половиной тысячелетия назад древнегреческим учёным Аристотелем. Он создал полный список простейших правильных рассуждений, силлогизмов – «кирпичиков» логики, одновременно указав типичные рассуждения, очень похожие на правильные, однако неправильные (с такими «псевдологическими» рассуждениями мы часто встречаемся в СМИ).

Индукция (induction – по-латыни наведение) наглядно иллюстрируется известной легендой о том, как Исаак Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения после того, как ему на голову упало яблоко. Ещё пример из физики: в таком явлении, как электромагнитная индукция, электрическое поле создает, «наводит» магнитное поле. «Ньютоново яблоко» – типичный пример ситуации, когда один или несколько частных случаев, то есть наблюдения, «наводят» на общее утверждение, общий вывод делается на основании частных случаев. Индуктивный метод является основным для получения общих закономерностей и в естественных, и в гуманитарных науках. Но он имеет весьма существенный недостаток: на основании частных примеров может быть сделан неверный вывод. Гипотезы, возникающие при частных наблюдениях, не всегда являются правильными. Рассмотрим пример, принадлежащий Эйлеру.

Будем вычислять значение трехчлена при некоторых первых значениях n:

Заметим, что получаемые в результате вычислений числа являются простыми. И непосредственно можно убедиться, что для каждого n от 1 до 39 значение многочлена является простым числом. Однако при n=40 получаем число 1681=41², которое не является простым. Таким образом, гипотеза, которая здесь могла возникнуть, то есть гипотеза о том, что при каждом n число является простым, оказывается неверной.

Лейбниц в 17 веке доказал, что при всяком целом положительном n число делится на 3, число делится на 5 и т.д. На основании этого он предположил, что при всяком нечётном k и любом натуральном n число делится на k, но скоро сам заметил, что не делится на 9.

Рассмотренные примеры позволяют сделать важный вывод: утверждение может быть справедливым в целом ряде частных случаев и в то же время несправедливым вообще. Вопрос о справедливости утверждения в общем случае удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции (полной индукции, совершенной индукции).

6.1. Принцип математической индукции.

♦ В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:

1) проверяется справедливость этого утверждения для n=1 (базис индукции),

2) предполагается справедливость этого утверждения для n=k, где k – произвольное натуральное число 1 (предположение индукции), и с учётом этого предположения устанавливается справедливость его для n=k+1.

Доказательство. Предположим противное, то есть предположим, что утверждение справедливо не для всякого натурального n. Тогда существует такое натуральное m, что:

1) утверждение для n=m несправедливо,

2) для всякого n, меньшего m, утверждение справедливо (иными словами, m есть первое натуральное число, для которого утверждение несправедливо).

Очевидно, что m>1, т.к. для n=1 утверждение справедливо (условие 1). Следовательно, – натуральное число. Выходит, что для натурального числа утверждение справедливо, а для следующего натурального числа m оно несправедливо. Это противоречит условию 2. ■

Заметим, что в доказательстве использовалась аксиома о том, что в любой совокупности натуральных чисел содержится наименьшее число.

Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется методом полной математической индукции.

 Пример 6.1. Доказать, что при любом натуральном n число делится на 3.

Решение. Воспользуемся методом полной математической индукции.

1) При n=1 , поэтому a₁ делится на 3 и утверждение справедливо при n=1.

2) Предположим, что утверждение справедливо при n=k, , то есть что число делится на 3, и установим, что при n=k+1 число делится на 3.

В самом деле,

.

Т.к. каждое слагаемое делится на 3, то их сумма также делится на 3. ■ 

 Пример 6.2. Доказать, что сумма первых n натуральных нечётных чисел равна квадрату их числа, то есть .

Решение. Воспользуемся методом полной математической индукции.

1) Проверяем справедливость данного утверждения при n=1: 1=1² – это верно.

2) Предположим, что сумма первых k () нечётных чисел равна квадрату числа этих чисел, то есть . Исходя из этого равенства, установим, что сумма первых k+1 нечётных чисел равна , то есть .

Пользуемся нашим предположением и получаем

. ■ 

Метод полной математической индукции применяется для доказательства некоторых неравенств. Докажем неравенство Бернулли.

 Пример 6.3. Доказать, что при и любом натуральном n справедливо неравенство (неравенство Бернулли).

Решение. 1) При n=1 получаем , что верно.

2) Предполагаем, что при n=k имеет место неравенство (*). Используя это предположение, докажем, что . Отметим, что при это неравенство выполняется и поэтому достаточно рассмотреть случай .

Умножим обе части неравенства (*) на число и получим:

, то есть (1+. ■ 

Доказательство методом неполной математической индукции некоторого утверждения, зависящего от n, где проводится аналогичным образом, но в начале устанавливается справедливость для наименьшего значения n.

В некоторых задачах явно не сформулировано утверждение, которое можно доказать методом математической индукции. В таких случаях надо самим установить закономерность и высказать гипотезу о справедливости этой закономерности, а затем методом математической индукции проверить предполагаемую гипотезу.

 Пример 6.4. Найти сумму .

Решение. Найдём суммы S₁, S₂, S₃. Имеем , , . Высказываем гипотезу, что при любом натуральном n справедлива формула . Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом полной математической индукции.

1) При n=1 гипотеза верна, т.к. .

2) Предположим, что гипотеза верна при n=k, , то есть . Используя эту формулу, установим, что гипотеза верна и при n=k+1, то есть

.

В самом деле,

.

Итак, исходя из предположения, что гипотеза верна при n=k, , доказано, что она верна и при n=k+1, и на основании принципа математической индукции делаем вывод, что формула справедлива при любом натуральном n. ■ 

 Пример 6. 5. В математике доказывается, что сумма двух равномерно непрерывных функций является равномерно непрерывной функцией. Опираясь на это утверждение, нужно доказать, что сумма любого числа равномерно непрерывных функций является равномерно непрерывной функцией. Но поскольку мы ещё не ввели понятие «равномерно непрерывная функция», поставим задачу более абстрактно: пусть известно, что сумма двух функций, обладающих некоторым свойством S, сама обладает свойством S. Докажем, что сумма любого числа функций обладает свойством S.

Решение. Базис индукции здесь содержится в самой формулировке задачи. Сделав предположение индукции, рассмотрим функций f₁, f₂, …, f_n, f_n+1, обладающих свойством S. Тогда . В правой части первое слагаемое обладает свойством S по предположению индукции, второе слагаемое обладает свойством S по условию. Следовательно, их сумма обладает свойством S – для двух слагаемых «работает» базис индукции.

Тем самым утверждение доказано и будем использовать его далее. ■ 

 Пример 6.6. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство

.

Решение. Рассмотрим n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Имеем: 2¹>1², 2²=2², 2³<3², 2⁴=4², 2⁵>5², 2⁶>6². Таким образом, можно высказать гипотезу: неравенство имеет место для каждого . Для доказательства истинности этой гипотезы воспользуемся принципом неполной математической индукции.

1) Как было установлено выше, данная гипотеза истинна при n=5.

2) Предположим, что она истинна для n=k, , то есть справедливо неравенство . Используя это предположение, докажем, что справедливо неравенство .

Т. к. и при имеет место неравенство

при ,

то получаем, что . Итак, истинность гипотезы при n=k+1 следует из предположения, что она верна при n=k, .

Из пп. 1 и 2 на основании принципа неполной математической индукции следует, что неравенство верно при каждом натуральном . ■ 

 Пример 6.7. Доказать, что для любого натурального числа n справедлива формула дифференцирования .

Решение. При n=1 данная формула имеет вид , или 1=1, то есть она верна. Сделав предположение индукции, будем иметь:

,

что и требовалось доказать. ■ 

 Пример 6.8. Доказать, что множество, состоящее из n элементов, имеет  подмножеств.

Решение. Множество, состоящее из одного элемента а, имеет два подмножества. Это верно, поскольку все его подмножества – пустое множество и само это множество, и 2¹=2.

Предположим, что всякое множество из n элементов имеет подмножеств. Если множество А состоит из n+1 элементов, то фиксируем в нём один элемент – обозначим его d, и разобьём все подмножества на два класса – не содержащие d и содержащие d. Все подмножества из первого класса являются подмножествами множества В, получающегося из А выбрасыванием элемента d.

Множество В состоит из n элементов, и поэтому, по предположению индукции, у него подмножеств, так что в первом классе подмножеств.

Но во втором классе подмножеств столько же: каждое из них получается ровно из одного подмножества первого класса добавлением элемента d. Следовательно, всего у множества А подмножеств.

Тем самым утверждение доказано. Отметим, что оно справедливо и для множества, состоящего из 0 элементов – пустого множества: оно имеет единственное подмножество – самого себя, и 2⁰=1. ■ 

29

объяснение принципа, примеры решения задач

Основы метода математической индукции

Математическая индукция является способом математического доказательства, применимым с целью подтверждения справедливости какого-либо утверждения для любых натуральных чисел.

В процессе реализации метода в первую очередь требуется выполнить проверку того, насколько соответствует истине утверждение под номером 1. Данное утверждение носит название базы, или базиса, индукции.

На следующем этапе нужно представить объяснение справедливости утверждения под номером n+1 в том случае, когда верным является утверждение под номером n. Шагом индукции, или индукционным переходом, называют утверждение под номером n+1.

Сформулировать доказательный процесс легко, если вспомнить принцип домино. Предположим, что любое количество фишек домино составлено в ряд так, чтобы каждая из них при падении задевала и опрокидывала фишку, которая за ней следует. В этом состоит смысл индукционного перехода. При опрокидывании первой фишки, которая играет роль базы индукции, все остальные также упадут.

Разберем метод индукции на наглядном примере из данной тематики. Представим, что необходимо доказать то, что верной является неограниченная последовательность утверждений, которые пронумерованы с помощью натуральных чисел:

P1,P2,…,Pn,Pn+1,….

Допустим следующее:

1. Фактом является справедливость P1. Данное утверждение примем за базис индукции.
2. В случае какого-либо n доказано, что при справедливости Pn, верно Pn+1. Данное утверждение играет роль шага индукции.

При выполнении заданных условий каждое из утверждений рассматриваемой последовательности является верным.

С точки зрения логики, основой для рассматриваемого способа доказательства служит аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, которая определяет натуральные числа. Утверждение того, что этот метод является верным, эквивалентно тому, что в каком-либо непустом подмножестве натуральных чисел имеется минимальный элемент.

Принцип полной математической индукции. При наличии ряда утверждений P1,P2,P3, … для какого-либо n из множества натуральных из того, что верны все P1,P2,P3,…,Pn-1, следует также справедливость Pn. Тогда каждое из утверждений в ряду является истинным:

(∀n∈ℕ)((∀i∈{1;…;n-1})Pi⇒Pn\Big)⇒(∀n∈ℕ)Pn.

В рассматриваемом случае база индукции не требуется. Это связано с тем, что данная вариация представляет собой тривиальный частный случай индукционного перехода. В действительности, если n=1, то условие (∀i∈{1;…;n-1})Pi⇒Pn точно является эквивалентным P1 (его истинности не из чего следовать).

С другой стороны, индукционный переход для P1 обычно нуждается в отдельном доказательстве. В связи с этим, целесообразно обособить данную его часть, как базу. Принцип полной математической индукции является эквивалентным аксиоме индукции из аксиом Пеано. Кроме того, данный принцип представляет собой прямое использование более сильной трансфинитной индукции.

Понимание метода математической индукции в роли самостоятельной методики, имеющей большую важность, связано с работами Блеза Паскаля и Герсонида. Стоит отметить, что встречались случаи, когда этот метод применяли в античные времена Прокл и Эвклид. Современный термин сформулировал де Морган в 1838 году.

Применение в разных типах задач

Использование метода математической индукции допустимо при решении следующих видов задач в классе и самостоятельно:

• поиск доказательств делимости и кратности;
• доказательство справедливости равенств и тождеств;
• примеры, содержащие последовательности;
• доказательство того, что верны неравенства;
• вычисление суммы и произведения.

Воспользуемся методом математической индукции, чтобы доказать посредством рассуждений неравенство Бернулли. Согласно этому неравенству, при условии, что x>-1, справедливым для всех натуральных n⩾1является:

(1+x)n⩾1+nx.

Здесь целесообразно воспользоваться индукцией по n. В том случае, когда n = 1 неравенство является верным, что очевидно. Предположим, что данное неравенство справедливо для n, докажем его справедливость для n+1:

(1+x)n+1=(1+x)(1+x)n⩾(1+x)(1+nx)⩾(1+nx)+x=1+(n+1)x, что и требовалось доказать.

В общем виде неравенство Бернулли представляет собой утверждение того, что при условии x>-1  и n∈ℝ:

• когда n∈(-∞;0)∪(1;+∞), имеем, что (1+x)n⩾1+nx;
• когда n∈(0;1) , имеем, что (1+x)n⩽1+nx;
• возможно два случая справедливости данного равенства: ∀x≠-1,n=0,n=1∀n≠0,x=0

В качестве доказательства следует разобрать вариант, когда f(x)=(1+x)n-nx . В данном случае x>-1,n≠0,n≠1 . Если x=x0=0 , то производная равна:

f'(x)=n(1+x)n-1-n=0 

Это объясняется тем, что:

n≠0 ˙

Функция f  два раза дифференцируется в проколотой окрестности точки x0 . По этой причине:

f»(x)=n(n-1)(1+x)n-2 ˙

В результате:

f»(x)>0  ⇒f(x)⩾f(x0)  

Это выполняется, когда:

n∈(-∞;0)∪(1;+∞)

Также получим, что:

f»(x)<0  ⇒f(x)⩽f(x0)  

Это выполняется, когда:

n∈(0;1) 

Функция обладает следующим значением:

f(x0)=1 

Таким образом, данные утверждения верны:

• когда n∈(-∞;0)∪[1;+∞), получим, что (1+x)n⩾1+nx;
• когда n∈(0;1]   получим, что (1+x)n⩽1+nx.

Когда имеются соответствующие значения x0=0  или n=0,n=1 , функция равна:

f(x)=f(x0) ˙

В данном случае итоговое неравенство избавляется от ограничений на n , которые записаны в начале доказательства. Это связано с тем, что для них исполняется равенство, что и требовалось доказать.

Заметим, что справедливым рассмотренное неравенство является и для x⩾-2 (при n∈ℕ0). При этом требуется исключение ситуации, при которой получается ноль в степени ноль. При доказательстве рассматриваемого случая x∈-2,-1 допустимо применять метод математической индукции:

(1+x)n+1+(1+x)n=(1+x)n(1+x+1)⩾(1+nx)(1+x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x)

При условии, что:

(1+x)n⩽1⩽1+nx(1+x)

получим:

(1+x)n+1⩾1+(n+1)x

С помощью метода математической индукции можно рассмотреть сумму геометрической прогрессии. Попробуем найти доказательства того, что при каких-либо натуральных n и вещественных q≠1, справедливо следующее равенство:

∑i=0nqi≡1+q+q2+⋯+qn=1-qn+11-q.

В данном случае рассматривается индукция по n для произвольного q. Представим доказательство базиса для n=1:

1+q= (1-q)(1+q)1-q= 1-q1+11-q.

Докажем, что переход является справедливым. Для этого представим, что в случае n=k выполняется следующее:

1+q+⋯+qk=1-qk+11-q,

В таком случае, для n=k+1, исходя из предположения, имеем:

1+q+⋯+qk+qk+1=1-qk+11-q+qk+1=

=1-qk+1+(1-q)qk+11-q=1-qk+1+qk+1-q(k+1)+11-q=1-q(k+1)+11-q.

Таким образом, руководствуясь принципом математической индукции, заключим, что равенство является справедливым для любого n, что и требовалось доказать.

Стоит отметить, что справедливость утверждения Pn в рассматриваемом доказательстве аналогична тому, что верно следующее равенство:

1+q+⋯+qn= 1-qn+11-q.

Разберем еще один пример применения метода математической индукции под названием «доказательство одноцветности всех лошадей». Эта задача является математическим софизмом, то есть ошибочным подтверждением того факта, что любые из лошадей имеют одинаковый окрас.

Автором этого софизма является венгерский математик Дьердь Пойа. В процессе доказательства выявляют ошибки, причиной возникновения которых является некорректное применение метода математической индукции.

Проиллюстрируем доказательство одноцветности всех лошадей, где шаг индукции не выполняется для K = 1:

Источник: ru.wikipedia.org

Запишем исходные данные.

Утверждение, которое нуждается в доказательстве: все лошади имеют одинаковый окрас.

База индукции: одна лошадь с одним (идентичным) окрасом.

Рассмотрим шаг индукции. Предположим, что имеются доказательства того факта, что какие-либо лошади в любом случае обладают одинаковым окрасом. Разберем K + 1 неких лошадей. Избавимся от одной лошади. (K) лошадей, которые остались, имеют один окрас, исходя из предположения индукции.

Вернем лошадь обратно и исключим любую другую лошадь. (K) лошадей, которые остались в результате, вновь будут иметь один окрас. Таким образом, все K + 1 лошадей обладают одинаковым окрасом. В результате получим, что все лошади не отличаются по цвету, что и требовалось доказать.

Ошибка в этом примере формируется уже в базе. Здесь можно наблюдать подмену квантора всеобщности («все») на квантор существования («существует»). Таким образом, противоречие появляется вследствие того, что шаг индукции справедлив только в том случае, когда K⩾2. При K=1 получаемые множества лошадей, которые остались, не обладают пересечениями. В результате доказать равенство окрасов всех лошадей не представляется возможным.

Примеры решения задач

Дано равенство, которое требуется доказать:

12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6,n∈ℕ.

Решение:

12=1(1+1)(2+1)6=1.

Предположим, что утверждение является справедливым, если n=k:12+⋯+k2=k(k+1)(2k+1)6.

Запишем доказательство того, что утверждение верно для n=k+1:

12+22+⋯+k2⏞k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=

(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)6

k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=

(k+1)(k+2)(2k+3)6

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=

(k+1)(k+2)(2k+3)6

k(2k2+k+2k+1)+6(k2+2k+1)=

(k+1)(2k2+3k+4k+6)

2k3+3k2+k+6k2+12k+6=

2k3+7k2+6k+2k2+7k+6

2k3+9k2+13k+6=

2k3+9k2+13k+6.

Ответ: равенство доказано.

Дано следующее неравенство:

n≤2n

Требуется доказать, что данное неравенство верно для любых n из множества натуральных чисел.

Решение

В том случае, когда n=1, неравенство можно записать в таком виде:

1≤2

Заметим, что записанное неравенство является справедливым. Представим, что рассматриваемое неравенство верно, если n=k, а также не обладает противоречиями при n=k+1.

Суммируем предположение индукции k≤2k и неравенство 1≤2≤2k. Выполним вычисления:

k+1≤2k+2k=2k+1, что и требовалось доказать.

Ответ: неравенство доказано.

Дана формула, справедливость которой требуется доказать:

1+2+3+…..+n=n(n+1)2.

Решение

Заметим, что в виде формулы записан некий ряд утверждений:

1=1·22

1+2=2·32

1+2+3=3·42

1+2+3+4=4·52и так далее.

Очевидно, что первое утверждение является справедливым. Достаточно просто выполнить проверку того факта, что каждое верное утверждение предшествует верному. Представим, что утверждение k справедливо. Таким образом, является верным следующее равенство:

1+2+3+4+….+k=k·(k+1)2

Далее сложим обе части равенства и число (k+1):

1+2+3+4+….+k+(k+1)=k·(k+1)2+k+1=(k+1)·(k+2)2.

Заметим, что записанное утверждение является утверждением k+1, которое следует за утверждением k.

В результате представлено доказательство того, что каждое справедливое утверждение предшествует верному. Исходя из принципа математической индукции, начальная формула является справедливой при каком-либо k.

Ответ: формула доказана.

Рассмотренный пример можно решить альтернативным методом без применения принципа математической индукции. Тогда следует ввести обозначение суммы, которую требуется вычислить, в виде un. Запишем пару равенств:

un=1+2+3+….+(n-2)+(n-1)+n,

un=n+(n-1)+(n-2)+…..+3+2+1

Выполним сложение членов строк:

2un=(n+1)+(n+1)+⋯+(n+1)+(n+1)⏟n=n(n+1)

un=n(n+1)2

В результате равенство доказано.

Требуется доказать, что при каком-либо n (из множества натуральных) число n5-n можно поделить на число 5.

Решение

Воспользуемся методом математической индукции. В том случае, когда n=1, выражение n5-n принимает нулевое значение и может быть поделено на число 5.

Предположим, что k является каким-то числом из множества натуральных.  Докажем, что при равенстве n=k число n5-n можно поделить на 5, и выражение (k+1)5-(k+1) аналогично делится на число 5.

Рассмотрим следующее равенство:

(k+1)5=k5+5k4+10k3+10k2+5k+1

Далее запишем число (k+1)5-(k+1) в следующей форме:

(k+1)5-(k+1)=(k5+5k4+10k3+10k2+5k+1)-(k+1)=(k5-k)+5(k4+2k3+2k2+k).

В результате число (k+1)5-(k+1)представляет собой сумму, состоящую из пары слагаемых. Первое слагаемое равно (k5-k) и его можно разделить на число 5, согласно выдвинутому предположению. Второе слагаемое равно 5(k4+2k3+2k2+k) и аналогично может быть поделено на число 5.

В том случае, когда слагаемые можно поделить на число 5, сумма пары этих чисел также делится на 5. В результате:

(k+1)5-(k+1) делится на 5.

Оба утверждения являются верными. Исходя из принципа математической индукции, число n5-n можно поделить на число 5 при каких-либо n из множества натуральных.

Ответ: число n5-n можно поделить на число 5 при каких-либо n из множества натуральных.

Полная индукция – Основы математики

Путешествия не всегда приятны. Это не всегда удобно. Иногда это больно, даже сердце разрывается. Но это нормально. Путешествие меняет вас; это должно изменить вас. Оно оставляет следы в вашей памяти, в вашем сознании, в вашем сердце и в вашем теле. Вы берете что-то с собой. Альравель не всегда красивая. Это не всегда удобно. Иногда это больно, даже сердце разрывается. Но это нормально. Путешествие меняет вас; это должно изменить вас. Оно оставляет следы в вашей памяти, в вашем сознании, в вашем сердце и в вашем теле. Вы берете что-то с собой.

Энтони Бурден, Без оговорок: Вокруг света на пустой желудок

Введение — это как восхождение по лестнице. Но есть и другие способы подняться, кроме лестниц. Скалолазы не просто стоят на одной ступеньке. Чтобы подняться на скалу, скалолаз должен использовать все четыре конечности (а не только, как альпинист по лестнице, предыдущий шаг).

Подобно скалолазам, нам позволено помнить не только то, что мы находимся всего в одном шаге от того, к чему стремимся, но и то, как мы туда попали. Почему бы не оглянуться назад на столько шагов, сколько нам нужно?

Определение . Мы называем открытое предложение полностью индуктивным , если оно обладает тем свойством, что .

Если индуктивные предложения представляют собой наследственные свойства, то полностью индуктивные предложения представляют свойства, которые переходят к следующему поколению , но, возможно, только в том случае, если этим свойством обладает весь род.

Принцип полной индукции. Предположим, является полностью индуктивным и истинным. Затем .

Как можно использовать такое утверждение, как принцип полной индукции? Давайте посмотрим на пример, а затем вернемся к обоснованию того, что PCI работает.

Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число больше 1 имеет простую факторизацию; то есть, учитывая любой с , есть простые числа, так что мы можем написать .

Формулировка этой теоремы содержит два новых термина: простое число и простая факторизация . В самом утверждении мы объяснили, что означает простая факторизация ; но нам все еще нужно знать, что такое простое число .

Определение. Натуральное число простое , если делятся только натуральные числа 1 и .

Приведем пример простого числа.

Лемма. 2 — простое число.

Доказательство. Мы пытаемся размножить 2; то есть написать для некоторых натуральных чисел и ; показать, что 2 является простым, означает, что мы покажем или или . Теперь произведение любых двух натуральных чисел не меньше любого множителя, поэтому имеем и . Так как и натуральные числа, и . Итак, у нас есть и . Но единственными натуральными числами между 1 и 2 (включительно) являются 1 и 2. Итак, либо , либо . .

Упражнение. Примените это доказательство, чтобы показать, что 3 — простое число.

Упражнение. Докажите, что 5 — простое число.

Теперь мы готовы доказать основную теорему арифметики.

Доказательство основной теоремы арифметики. Докажем утверждение по полной индукции. Мы будем называть .

(базовый случай: .) — ​​условное предложение с ложным антецедентом; так и есть.

(базовый случай: .) означает «Если 2>1, то 2 имеет простую факторизацию». 2 простое, так что есть простая факторизация.

(индуктивный шаг.) Рассмотрим некоторое натуральное число . Предположим, что все верно; то есть предположим, что любое натуральное число с имеет простую факторизацию. Мы будем использовать это предположение, чтобы показать, что имеет простую факторизацию.

Если простое, то это наша простая факторизация.

Если не простое, то имеет множитель, отличный от самого себя и 1. Назовите этот номер . У нас есть некоторое натуральное число . Потому что у нас есть. Более того, произведение любых двух натуральных чисел не меньше любого множителя, поэтому мы знаем и . Потому что , . В общем, у нас

Согласно нашему индуктивному предположению, имеет простую факторизацию, скажем . Индуктивное предположение также применяется, чтобы дать некоторые простые числа с .

Тогда

, так что и в этом случае есть простая факторизация.

В любом случае имеет простую факторизацию; это завершает индуктивный шаг.

По принципу полной индукции мы должны иметь для всех , то есть любое натуральное число больше 1 имеет простую факторизацию.

Несколько замечаний по поводу этого доказательства:

• Такое использование принципа полной индукции делает его более мощным, чем принцип математической индукции. Вместо того, чтобы «оглядываться назад» на один шаг, мы должны «оглядываться назад» настолько далеко, насколько нам нужно. Если мы возьмем, например, то мы могли бы использовать и . Вместо того, чтобы полагаться на предыдущий случай (), мы полагаемся на и , которые довольно далеки от .
• Это доказательство на самом деле представляет собой что-то вроде алгоритма нахождения простых факторизаций, вероятно, того же самого, которому вас учили в начальной школе.
• Как и обычные индуктивные доказательства, полные индукционные доказательства имеют базовый случай и индуктивный шаг.

Один большой класс примеров PCI-доказательств предполагает возврат всего на несколько шагов назад. (Если подумать, вот как работают лестницы, лестницы и ходьба на самом деле .) Вот забавное определение.

Определение. Числа Фибоначчи определяются следующим образом: и . Для любого , .

Такие определения мы называем полностью индуктивные определения , потому что они оглядываются более чем на один шаг назад.

Упражнение. Вычислите первые 10 чисел Фибоначчи.

Как правило, доказательства с использованием чисел Фибоначчи требуют доказательства по полной индукции. Например:

Претензия. Для любого , .

Доказательство. Для индуктивного шага предположим, что для всех , . Покажем, что

Для этого рассмотрим левую часть.

Теперь мы наблюдаем, что и , поэтому мы можем применить индуктивное предположение с и , чтобы продолжить:

по определению чисел Фибоначчи. Это завершает индуктивный шаг.

Теперь о базовом варианте. Заметьте, что, поскольку мы должны были сделать на два шагов назад в нашем индуктивном шаге (чтобы доказать утверждение при , мы должны были посмотреть на и ), наш индуктивный шаг начинает работать только тогда, когда у нас есть два шага, на которые можно положиться. Итак, нам нужно

базовый случай : Утверждение для доказательства . Поскольку , , и , имеем базовый случай.

базовый случай : Утверждение для доказательства . Поскольку , , и , имеем базовый случай.

По принципу полной индукции мы установили утверждение.

Вот еще пример:

Претензия. Для любого и любого .

Доказательство. Исправить.

Для индуктивного шага предположим, что для всех , . Мы покажем, что

Для этого рассмотрим левую часть.

Теперь мы наблюдаем, что и , поэтому мы можем применить индуктивное предположение с и , чтобы продолжить:

Это завершает индуктивный шаг.

Теперь о базовом варианте. Опять нам нужны два базовых случая, потому что наш индуктивный шаг оглядывался назад на два шага:

базовый случай : Утверждение . Поскольку , это утверждение , что является определением чисел Фибоначчи.

базовый случай : Претензия . Так как и , нам нужно установить, что . Но мы только что доказали это выше.

По принципу полной индукции мы установили утверждение.

Теперь, когда мы увидели как работает полная индукция , давайте объясним почему работает полная индукция :

Доказательство принципа полной индукции. Нам дано открытое предложение со свойствами: и является полностью индуктивным.

Рассмотрите предложение . Сначала покажем, что всегда верно.

Сначала обратите внимание на то, что по предположению верно.

Теперь я утверждаю , то есть является индуктивным. Допустим, верно. То есть, . Поскольку полностью индуктивный, мы знаем, что это правда. Тогда верно.

Итак, по (обычной) индукции мы доказали, что .

Почему это установлено? Потому что по определению.

Верно и обратное: мы могли бы принять принцип полной индукции как аксиому и использовать его для доказательства принципа математической индукции . На самом деле вы сделаете это в качестве домашнего задания.

Вот еще один пример доказательства по полной индукции, который показывает, что нам, возможно, придется вернуться на несколько шагов назад (следовательно, у нас будет довольно много базовых случаев для построения):

Утверждение. Если , то существуют неотрицательные натуральные числа и поэтому мы можем написать .

Доказательство.

базовый вариант: . Пусть и .

базовый вариант: . Пусть и .

базовый вариант: . Пусть и .

базовый вариант: . Пусть и .

Теперь предположим, что мы установили, что можем записать любое число до включительно в виде суммы 4 и 5. С тем же успехом мы можем предположить, поскольку с остальными мы уже разобрались. Попробуем записать в виде суммы 4 и 5.

, поэтому мы знаем, что можем написать как сумму 4 и 5, скажем . Но тогда , поэтому мы записали как сумму 4 и 5. Это завершает индуктивный шаг, следовательно, доказательство.

Математическая индукция предоставляет инструмент для доказательства больших задач путем решения меньших приращений

Развитие математической индукции было одним из величайших шагов вперед в математике. Изящный принцип, сыгравший большую роль в продолжающейся эволюции математической логики и повлиявший на развитие других математических дисциплин, включая алгебру и аналитическую геометрию, математическая индукция, связан с нематематическим процессом, называемым индуктивным рассуждением. В отличие от дедуктивного рассуждения, при котором большая общая истина берется за отправную точку, из которой выводятся более мелкие, более частные истины, индукция давала инструмент для перехода от частного к общему, от малых индивидуальных истин к более крупным общим истинам. В процессе индукции истинность всего математического предложения доказывается шаг за шагом, причем каждый шаг используется в качестве строительного блока для доказательства следующего шага с конечной целью доказательства всего предложения. Природа математической индукции такова, что она предлагает эффективные доказательства определенных предложений, в то же время устраняя необходимость доказывать каждый пример предложения. Хотя многие считают, что индукция воспринималась еще в Древней Греции, этот метод не был четко выражен до 1575 г., когда сицилийский математик Франсиско Мавролико (1494-1575) использовал этот метод для доказательства теоремы. У подхода Мауролико не было названия: его ждал английский математик Джон Уоллис (1616-1703), который описал метод как индукцию в своей книге 1655 года Arithmetica Infinitorum (Бесконечно малая арифметика). Почти десять лет спустя, с посмертной публикацией Блеза Паскаля (1623-1662) Traite du Triangle Arithmetique (Трактат об арифметике треугольников), математическая индукция стала широко известна как эффективный и незаменимый математический инструмент.

Дедуктивное мышление было одним из величайших достижений человечества. В процессе дедукции большая истина служит отправной точкой, из которой логически выводятся меньшие и более конкретные истины. Но дедуктивное рассуждение было применимо не ко всем областям знания. В математике, в частности, большие истины — или доказательства — часто были неуловимы, к ним можно было приблизиться лишь отрывочно, постепенно.

Но по мере того, как математика становилась все более и более важным и точным инструментом, много размышлений и исследований было посвящено задаче доказательства больших теорем. Эта мысль, исследования и эксперименты привели к развитию математической индукции, также известной как принцип индукции.

Некоторые ученые видят свидетельство математической индукции в работах греческих математиков, в том числе Паппаса (ок. 260–?), в чьих работах собрана большая часть греческих математических работ, сохранившихся до наших дней. Поскольку Паппас был в первую очередь собирателем математических идей, а не их создателем, вполне вероятно, что его работа с индукцией была заимствована у более ранних мыслителей.

Другие свидетельства ранних индуктивных рассуждений можно найти в трудах как исламских, так и талмудических ученых, в частности Леви бен Герсона (1288?-1344?). Говоря о своем подходе к решению сложных проблем, Леви бен Герсон писал, что он следовал математическому процессу «бесконечного подъема шаг за шагом». Этот пошаговый подход является самой сутью индукции, хотя эта сущность не будет формализована еще 250 лет.

Частично проблема, с которой столкнулся Леви бен Герсон, заключалась в том, что он полагался на слова, а не на символы, когда излагал свои взгляды на алгебру. К 1500-м годам математика находилась в состоянии быстрой эволюции, новые идеи и методологии развивались устойчивыми темпами, а сама наука становилась все более чисто символической деятельностью.

Итальянец (сицилиец) Франсиско Мавролико, монах-бенедиктинец, а также глава сицилийского монетного двора, на протяжении большей части 1500-х годов посвятил себя сбору и переводу мировых математических знаний. Он также написал оригинальные трактаты по математике, в том числе Arithmeticorum Libri Duo (Две книги по математике), в которой он использовал принцип индукции для доказательства теоремы.

Проще говоря, математическая индукция сводит математическое утверждение или теорему к простым утверждениям, которые можно доказать, причем каждое утверждение служит шагом к решению задачи. более крупное предложение. Например, при поиске свойств целых чисел математическая индукция находит простейший пример свойства целого числа, которым, конечно же, является число 1. Следующим шагом является выбор случайного целого числа, представленного как 9.0005 к . Если вы можете доказать, что утверждение, верное для 1, верно и для числа k , вы также доказали, что это верно и для числа k +1.

Доказав эти два утверждения, вы индуцируете , что утверждение верно для всех целых чисел, или n .

Принцип Мауролико привлек некоторое внимание, но оставался безымянным до работы английского математика Джона Уоллиса. Многие считают Уоллиса самым важным английским математиком до Исаака Ньютона (1642–1727), Уоллис внес большой вклад как в математику, так и в науку, в том числе помог основать Английское Королевское общество (наиболее престижное из всех научных обществ) и сформулировал формулировку для первый раз закон сохранения импульса. Он также участвовал во многих ожесточенных научных и математических спорах.

Возможно, Уоллис внес наибольший вклад как писатель по математике. Он был одержим историей математики и посвятил себя сохранению этой истории для современного мира. Среди его многочисленных книг была Arithmetica Infinitorum , опубликованная в 1656 году. В этой книге, среди множества примеров математических свойств, включая бесконечные ряды и предсказания интегрального исчисления, Уоллис резюмировал математическую индукцию, назвав ее per modum inductonis 9.0006 (методом индукции) и дал процедуре название, под которым она известна до сих пор.

Однако для того, чтобы математическая индукция стала хорошо известной, потребовалось бы еще почти десятилетие и публикация в 1665 году еще одной книги, которая, по иронии судьбы, была написана до тома Уоллиса.

Это был « Traite du Triangle Arithmetique » Блеза Паскаля («Трактат о треугольнике»), один из ключевых математических трактатов своего времени. Паскаль был сыном математика, хотя его отец изначально был против раннего интереса ребенка к математике. Гений Паскаля быстро стал очевиден, и его отец уступил; мальчик погрузился в математику. Интерес Паскаля вышел за рамки теоретического: к тому времени было 19он изобрел раннюю версию механического калькулятора. Только чрезмерная стоимость производства его калькулятора помешала машинам стать успешными.

Хотя гениальность Паскаля привела его во многие области исследований и размышлений, включая религиозную философию, наибольший вклад он внес в чистую математику, заложив основу (вместе с Пьером де Ферма [1601-1675]) для современной науки вероятности, а также понимания исчисления и геометрии.

Его «Трактат о треугольнике» посвящен свойствам треугольника, состоящего из чисел, а также другим математическим идеям и понятиям. Среди них был его подход к доказательству утверждений, для которых существует бесконечно много случаев. Он сообщил своим читателям, что, столкнувшись с таким предложением, они должны сначала доказать, что предложение верно для первого случая. После этого они должны доказать предложение для данного (или случайного) случая. С этими двумя доказательствами предложение решается для следующего случая и для бесконечного числа других случаев.

Используя индукцию, Паскаль предложил метод решения биномиальной теоремы, которая была необходима для решения задач, в которых две величины изменяются независимо. Успех книги Паскаля, а также название, которое Уоллис дал этому процессу, обеспечили широкую известность принципа индукции Мауролико и продолжают служить математике по сей день.

Как конвертировать DjVu в PDF: 4 бесплатных инструмента

30 апреля 2020 Ликбез Технологии

Преобразуйте книги и прочие файлы в удобный формат.

DjVu эффективно сжимает изображения, поэтому хорошо подходит для хранения отсканированных документов. Но низкая популярность этого формата может вызывать неудобства. Большинство универсальных читалок его не поддерживает, а специализированных ридеров не так уж и много.

Поэтому DjVu часто конвертируют в PDF — более распространённый альтернативный формат, — даже несмотря на неизбежное увеличение файла. Вот как это сделать просто и качественно.

Перечисленные ниже программы и сервисы не распознают текст, а только изменяют формат документа.

1. С помощью PDFCandy

• Платформа: веб.

Этот сервис позволяет конвертировать файлы прямо в браузере без регистрации и установки дополнительных программ. Просто перетащите DjVu‑документ в центральную область страницы, дождитесь окончания конвертации и нажмите «Скачать». PDF‑файл загрузится на ваше устройство.

Информация о каких‑либо ограничениях по размеру файлов или количеству конвертаций на сайте PDFCandy отсутствует. Отметим, что у сервиса есть платная версия для Windows, но она предназначена для других форматов и не работает с DjVu.

PDFCandy →

Сейчас читают 🔥

• Как скачать видео с YouTube на любое устройство

2. С помощью PDF2GO

• Платформа: веб.

Ещё один онлайн‑сервис для преобразования DjVu в PDF. В отличие от предыдущего, PDF2GO выполняет конвертацию дольше и сильнее увеличивает размер документов. Но сохраняет немного более высокое качество изображений и поддерживает пакетную обработку файлов.

В остальном PDF2GO работает точно так же, как и PDFCandy: перетащите DjVu‑файл в окно браузера и дождитесь, пока система не выполнит преобразование.

Без регистрации вы можете добавлять в сервис до пяти DjVu‑файлов за раз, суммарным объёмом до 50 МБ. Создав учётную запись, вы сдвинете ограничения до 10 файлов и 100 МБ.

PDF2GO →

3. С помощью WinDjView и Foxit Reader

• Платформа: Windows.

WinDjView — это просмотрщик DjVu‑файлов, а Foxit Reader — аналогичная программа для PDF. Используя эти бесплатные приложения в связке, вы сможете легко конвертировать документы на ПК, причём даже без подключения к интернету.

Установите обе программы. Затем запустите WinDjView и откройте в ней нужный DjVu‑документ. Кликните «Файл» → «Печать» и назначьте в качестве принтера Foxit Reader. Вы можете выбрать весь документ или только некоторые страницы, а также настроить формат, разрешение и соотношение сторон итогового файла.

Укажите место на компьютере и нажмите «Печать»: Foxit Reader выполнит конвертацию и сохранит PDF в выбранную папку.

Скачать WinDjView →
Скачать Foxit Reader →

4.

С помощью DjView

• Платформа: macOS.

Программа DjView позволяет легко конвертировать DjVu в PDF на компьютерах Apple. Подключение к интернету для этого не требуется.

Установив программу, откройте в ней нужный DjVu‑элемент и нажмите File → Export as → PDF. В следующем окне укажите необходимые страницы или выберите весь документ. Если требуется, нажмите PDF Options и настройте качество преобразования (JPEG quality) и разрешение (Maximum image resolution) итогового файла.

Когда закончите, укажите целевую папку и кликните OK. Программа конвертирует файл и сохранит PDF‑копию.

Скачать DjView →

Читайте также 📄✏️📒

• 10 лучших бесплатных читалок для компьютера
• Как сделать сноску в Word для Windows, macOS или веб
• 13 самых удобных конвертеров PDF
• 5 удобных онлайн-редакторов PDF-документов
• 7 бесплатных программ для работы c PDF

DJVU в PDF — online-convert.

com

Перетащите файлы сюда

Основной размер шрифта:

pt

Внедрить шрифт НетSansSerif

Изменить входное кодирование АвтораспознаваниеASCIICP1250CP1251CP1252CP1253CP12514CP1257ISO6659_1ISO6659_2ISO6659_4ISO6659_5ISO6659_7ISO6659_9ISO6659_13ISO6659_15KOI8_RUTF8UTF-16EUC_JPSJISISO2022JPGKBISCII91BIG5TIS620GB2321ISO_2022-KR

Включить ASCII

Включить эвристику

Целевое средство чтения электронной книги По умолчаниюApple iPadApple iPad 3Cybook 3Cybook OpusEctaco jetBookGalaxyGeneric e-inkGeneric HD e-inkGeneric large e-inkHanlin V3Hanlin V5iLiadIrexDR800IrexDR1000jetBookKoboMobipocketMS ReaderNookNook ColorNook HD PlusPocketbook 900Pocketbook Pro 912Pocketbook InkPad 3Pocketbook InkPad LuxPocketbook InkPad HDSonySony 300Sony 900Sony LandscapeSony T3TabletKindleKindle DXKindle FireKindle OasisKindle PaperwhiteKindle Paperwhite 3Kindle ScribeKindle VoyageПо умолчаниюCybook 3Cybook OpusEctaco jetBookHanlin V3Hanlin V5Pocketbook 900Pocketbook Pro 912Pocketbook InkPad 3Pocketbook InkPad LuxPocketbook InkPad HDMS ReaderHanlin V3Hanlin V5По умолчаниюSonySony 300Sony 900Sony LandscapeSony T3По умолчаниюCybook 3Cybook OpusEctaco jetBookHanlin V3Hanlin V5iLiadKindleKindle DXKindle FireKindle OasisKindle PaperwhiteKindle Paperwhite 3Kindle VoyageKoboPocketbook 900Pocketbook Pro 912Pocketbook InkPad 3Pocketbook InkPad LuxPocketbook InkPad HDDefaultIrexDR800IrexDR1000NookNook ColorNook HD PlusПо умолчаниюApple iPadApple iPad 3Cybook 3Cybook OpusEctaco jetBookGalaxyGeneric e-inkGeneric HD e-inkGeneric large e-inkHanlin V3Hanlin V5iLiadIrexDR800IrexDR1000jetBookKindleKindle DXKindle FireKindle OasisKindle PaperwhiteKindle Paperwhite 3Kindle VoyageKoboMobipocketMS ReaderNookNook ColorNook HD PlusPocketbook 900Pocketbook Pro 912Pocketbook InkPad 3Pocketbook InkPad LuxPocketbook InkPad HDSonySony 300Sony 900Sony LandscapeSony T3TabletПо умолчаниюPocketbook 900Pocketbook Pro 912Pocketbook InkPad 3Pocketbook InkPad LuxPocketbook InkPad HD

Изменить заголовок:

Изменить автора:

Добавить поле:

cm

Информация: Включите поддержку JavaScript, чтобы обеспечить нормальную работу сайта.

1. Выберите файл DJVU для преобразования
2. Изменить качество или размер (опция)
3. Нажмите «Начать» для преобразования файла DJVU в PDF
4. Скачайте файл PDF

Конвертировать DJVU в PDF

Одри Гудвин

13.04.2023, 17:06:35 • Подано по адресу: Знание PDF-файлов • Проверенные решения

DJVU полезен для людей, которые хотят хранить отсканированные копии книг в пакетах. Люди также иногда используют формат файла DJVU для обмена большими объемами электронных книг в Интернете из-за размера сжатого файла и высокой скорости преобразования. Однако одним недостатком типа файла DJVU является его негибкий характер. Человек не может открыть документ DJVU на своем компьютере, iPhone, iPod, iPad, Amazon Kindle, смартфонах или других устройствах. Если вы хотите прочитать такой документ на портативном устройстве, часто полезно преобразовать файл в формат PDF.

В Интернете можно выбрать из нескольких программ преобразования. В этой статье мы сосредоточимся на том, как лучше всего конвертировать DJVU в формат PDF. Кроме того, мы порекомендуем лучший PDF-редактор для ваших нужд.

Лучший конвертер DJVU в PDF

AVS Document Converter — многофункциональный инструмент, способный конвертировать файлы из одной файловой системы в другую несколькими простыми щелчками мыши. Дополнительным преимуществом использования этого программного обеспечения является его способность поддерживать файлы Word, EPUB, MOBI, HTML, Text, FB2, PDF и другие расширения. Вот шаги, как выполнить преобразование.

Шаг 1. Загрузите конвертер

Посетите веб-сайт AVS Document Converter, чтобы получить доступ к бесплатной загрузке программного обеспечения. Затем установите и откройте его на своем компьютере.

Шаг 2. Преобразуйте файл DJVU в PDF

Перетащите файлы, которые вы хотите преобразовать, в программу. Укажите выходной формат документа. В этом случае выберите «В PDF». Затем выберите подходящую папку на вашем компьютере, чтобы сохранить его. Когда вы будете готовы, нажмите кнопку «Конвертировать сейчас», чтобы начать преобразование и сохранить выходной файл в выбранной папке.

---

Лучший редактор PDF для пользователей Windows и Mac

Вместо того, чтобы искать приложения для преобразования определенного формата файла в PDF, как насчет того, чтобы инвестировать в универсальное решение, которое поможет вам конвертировать PDF-файлы в различные форматы файлов и наоборот. наоборот Одним из таких инструментов является Wondershare PDFelement — редактор PDF. Ниже приведены некоторые функции, которые делают PDFelement незаменимым как для профессионалов, так и для обычных пользователей.

Попробуйте бесплатно Попробуйте бесплатно КУПИТЬ СЕЙЧАС КУПИТЬ СЕЙЧАС

• Редактор — позволяет редактировать текст, изображения, объекты и ссылки
• OCR — преобразование PDF-файла на основе изображения в документ с возможностью выбора, поиска и редактирования
• Converter and Creator — универсальный инструмент преобразования, который преобразует PDF-файлы в любой формат файла и любой формат файла в PDF
.
• Формы — Удобный способ заполнения форм

Бесплатная загрузка или Купить PDFelement прямо сейчас!

Бесплатная загрузка или Купить PDFelement прямо сейчас!

Купить PDFelement прямо сейчас!

Купить PDFelement прямо сейчас!

---

Другие популярные статьи от Wondershare

Преобразование

— Как преобразовать DJVU в распознаваемый символьный файл PDF?

спросил 2 года, 8 месяцев назад

Изменено 2 года, 8 месяцев назад

Просмотрено 926 раз

У меня есть файл DJVU, в котором я могу выбирать, копировать, выделять его текст, т. е. DJVU является читаемым текстом или распознаваемым символом. Я хочу преобразовать этот файл в распознаваемый символьный файл PDF. Существует ли бесплатная онлайн-система или бесплатное программное обеспечение для этого?

Спасибо.

• pdf
• конвертация
• pdf-ридер
• djvu

3

Я использую DjVuLibre : DjVu

В DjVuLibre

Чтобы преобразовать его в pdf: Файл > Экспортировать как… > Формат PDF

Чтобы преобразовать файл PDF в распознаваемый символьный файл PDF:

можно использовать Acrobat Pro/Standard DC 2020 (прямая ссылка Acrobat Pro/Standard DC 2020 (поставляется с пробной версией)

в Acrobat > Инструменты > Сканирование и распознавание текста > Распознать текст > в этом файле

или

вы можете использовать tesseract-ocr : страница загрузки tesseract-ocr.

Какое число обозначает римская цифра L? — Обсуждай

Какое число обозначает римская цифра L? — Обсуждай

Надежда Авдоньева

Какое число обозначает римская цифра L? цифра число

6 лет

1676

195

3

Ответы

Io

Ioan

Если Вас вдруг укусил крокодил, то Вам достаточно сильно надавить ему на глаза и он Вас отпустит.
В глазу у бабочки более 1000 линз.
Устрицы меняют пол в зависимости от того, какой пол сейчас лучше подходит для спаривания.
Комнатные мухи, хоть и живут 14 дней, имеют хороший слух. Все они жужжат на тональности фа мажор.
Летучие мыши — единственные млекопитающие, которые могут летать

6 лет

0

Io

Ioan

кто очень любит, тот не замечает, что он – то уже не любим
2. Нет вернее средства разжечь страсть, чем самому быть холодным-

6 лет

1

Надежда Авдоньева

а продолжения

6 лет

1

Io

Ioan

вы голодная на интересную информацию, одобряю

6 лет

1

Надежда Авдоньева

там продолжения нету

6 лет

1

Io

Ioan

дам выведенную мною ИНСТРУКЦИЮ : «О том, как стать быстро Порядочным».

Если ты, вдруг понял, что у тебя отрицательные черты характера, но срочно хочешь выглядеть порядочным…, то встань рядом с :

1.Великим Александром Пушкиным,
2. Владимиром Высоцким,
3.
4.Низами Гянджеви,
5.Муслимом Магомаевым,

6 лет

1

KD

Kostya Dy

если обратиться к энциклопедии, римская система нумерации это и есть запись чисел с помощью латинских букв. Для обозначения чисел применялось 7 букв латинского алфавита: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

6 лет

0

Надежда Авдоньева

6 лет

1

АР

Андрей Рачков

интересно в каком часовом поясе вы находитесь. Я ,допустим ,знаю.. а какая вам разница :кто это знает в принципе?

6 лет

0

Алексей Заславский

НЕСКОЛЬКО ЧАСОВ НАЗАД ЗАДУМАЛСЯ НАД ЭТИМ ВОПРОСОМ. ДУМАЮ -50

6 лет

0

Надежда Авдоньева

да

6 лет

1

Александр Федченко

Не помню, но встречалось мне. Находил ответ в гугле.

6 лет

0

Надежда Авдоньева

50

6 лет

1

Александр Федченко

Да, спасибо!

6 лет

1

Дмитрий Левченков

в чесах латинские буквы есть а вот цифру не помню

6 лет

0

Надежда Авдоньева

50

6 лет

1

Дмитрий Левченков

каждая буква число означает?

6 лет

1

Надежда Авдоньева

да

6 лет

1

Дмитрий Левченков

Не знал раньше ))

6 лет

1

Надежда Авдоньева

))

6 лет

1

OS

Oo_*kolya Smirnov*_Oo

Не L, а I, сука ты тупая, ляг с тостером в ванну

6 лет

0

Надежда Авдоньева

ты что в сосну ударился иди поучись ,а потом других учи неуч

6 лет

1

Ал

Александр

Полтосик. мой бывший размер одежды)))

6 лет

0

Надежда Авдоньева

да

6 лет

1

ВК

Виктор Красивский

50, а по моей системе — это единица

6 лет

0

Надежда Авдоньева

по какой системе

6 лет

1

ВК

Виктор Красивский

Если на пальцах, то L — 1, T — 2, G — 3, Г — 4, С- 5, F — 6, E — 7, I — 0, в соответствии с восьмеричной системой . 8 и 9 — по вашему усмотрению, например 8 — Q. 9 — Б. Подробнее писать просто лень))

6 лет

1

Илдар Аминов

Даже больше скажу сейчас LXVI год:)

6 лет

0

ВМ

Василь Махьянов

ВАМ КУДА. ..ПРОСТИТЕ НА ЧТО…????)))

6 лет

0

Надежда Авдоньева

мне не на что

6 лет

1

ШН

Шульженко Николай

50 … Или по-казахски —-ЕЛЮ .

6 лет

0

Надежда Авдоньева

)

6 лет

1

ЖШ

Женя Шилов

у меня мотор на тойоте 2LT

6 лет

0

Надежда Авдоньева

турбинный что ли?

6 лет

1

ЖШ

Женя Шилов

был при рождении. бывший владелец снял турбину. умерла. а откуда такие познания в не женском деле??

6 лет

1

Надежда Авдоньева

кое что слышала больше нахожусь в мужском коллективе

6 лет

1

ЖШ

Женя Шилов

ясно

6 лет

1

Надежда Авдоньева

)

6 лет

1

ВК

Виктор Красивский

50, а для меня это единица

6 лет

0

Д Пивоваров

нет такой римской цифры

6 лет

0

Дмитрий Юрьевич

наверное, 50, не помню!

6 лет

0

Надежда Авдоньева

да

6 лет

1

Второй Ярус

маленький размер

6 лет

0

Надежда Авдоньева

какое

6 лет

1

Вадим Остапович

фифти . ..но это много

6 лет

0

Надежда Авдоньева

)

6 лет

1

Владимир Бахмутов

50 если не ошибаюсь

6 лет

0

Надежда Авдоньева

да

6 лет

1

Владимир Бахмутов

Во как! Хоть что то помню))))

6 лет

1

Надежда Авдоньева

))

6 лет

1

Владимир Бахмутов

))))

6 лет

1

Дмитрий Чучалин

Такая разве есть ?

6 лет

0

Надежда Авдоньева

это ты сейчас про латинские

6 лет

1

Дмитрий Чучалин

Это размер

6 лет

1

Надежда Авдоньева

число 50

6 лет

1

Дмитрий Чучалин

XXL ?

6 лет

1

Надежда Авдоньева

наверно 52-54 я такие размеры не нашу

6 лет

1

Следующая страница

Как читать объектив: nikonofficial — LiveJournal

Дорогие друзья, сегодня мы рады представить вашему вниманию статью о том, что означают символы, обозначенные на объективе. Об этом рассказал в беседе с редактором блога старший технический менеджер Nikon Линдси Сильверман.

Повод для разговора с Линдси был выбран идеально, на столике рядом уже лежали несколько объективов NIKKOR. Беру AF-S NIKKOR 200mm f/2G ED VR II. «Вы знаете, что меня смущает? – спрашиваю я. — Обозначение VR II. Я вижу римскую цифру II после VR в описании этого объектива, и после G на оправе объектива, и я покупаю его, так как думаю, что этот объектив второго поколения технологии VR».

«Распространённое заблуждение, — отвечает Линдси. — Существует второе поколение технологии стабилизации изображения VR, которое позволяет снимать с рук, но обозначение этого есть в инструкции к объективу. Римская цифра, которую вы видите напечатанной на объективе, обозначает второе поколение этой конкретной линзы».

«Как это?» — говорю я, указывая на надпись на объективе, который держу в руках.

AF-S NIKKOR 200mm f/2G ED VR II.

«Именно. Римская цифра означает, что это второе поколение AF-S 200mm. Позвольте мне познакомить вас с остальными обозначениями, которые вы видите на наших объективах», — говорит Линдси и берёт AF-S NIKKOR 24-120mm f/4G ED VR.

«Прямо над кольцом фокусировки и рядом с именем Nikon расположен индикатор расстояния в футах и метрах, на котором сфокусируется объектив в любой заданной точке. Справа от окна индикатора расстояния есть буква «N», что означает, что объектив имеет нанокристаллическое, невероятно эффективное антибликовое покрытие.

«Там могут быть и другие обозначения», — Линдси берёт AF-S DX NIKKOR 55-300mm f/4.5-5.6G ED VR.

Любой объектив, на котором указаны буквы DX, например, AF-S DX NIKKOR 55-300mm f/4.5-5.6G ED VR, оптимизирован для камер Nikon формата DX.

«Здесь есть буквы DX рядом с именем Nikon, что означает, что этот объектив оптимизирован для камер с форматом датчика DX, такими, к примеру, как Nikon D300s или Nikon D7000. Если вы не видите букв DX, это означает, что объектив оптимизирован для камер FX-формата, таких, как D3x D3s, D700.

«Остальные обозначения касаются типа специализированного стекла, используемого в объективе», — добавляет Линдси, показывая мне AF-S NIKKOR 28-300mm f/3.5-5.6 ED VR.

AF-S NIKKOR 28-300mm f/3.5-5.6 ED VR имеет ED стёкла и переменную диафрагму.
Размер диафрагмы может меняться от f/3,5 при 28 mm до f/5.6 при 300 миллиметровом диапазоне телеобъектива.

«ED означает экстра-низкую дисперсию стекла. Это оптическое стекло Nikon разработано для коррекции хроматических аберраций».

«AF-S – обозначение для бесшумного мотора, используемого в объективах NIKKOR для быстрой, точной и, как и следовало ожидать, супер-тихой работы автофокусировки. Далее, слово NIKKOR — не надо объяснять, зачем оно здесь. Потом идёт фокусное расстояние объектива. Вот у этого конкретно зума диапазон составляет 28-300mm. Затем указаны максимальные значения диафрагмы. На этом объективе указаны две цифры 3.5 и 5.6, что означает, что диафрагма объектива может меняться в зависимости от использования зума. Значения диафрагмы всегда указываются в долях на объективе, поэтому они всегда начинаются с 1, например, как 1: 3.5-5.6».

«Наконец, надпись заканчивается буквой G, которая указывает, что объектив имеет электронный контроль диафрагмы. Это означает, что размер диафрагмы зависит от камеры. На старых NIKKOR вы можете увидеть букву D, и это означает, что информация о расстоянии учитывается в процессе замера».

«Далее, если указано «Микро-Nikkor», то есть обозначено, что объектив предназначен для макросъёмки, то будет добавлен коэффициент масштабирования.

AF-S DX NIKKOR 85mm микро f/3.5G ED VR ориентирована на воспроизводство в натуральную величину.

«Вы увидите 1 и двоеточие и затем другой номер. В натуральную величину вы снимаете при значении один к одному. Если вы повернёте кольцо фокусировки, то соотношение изменится. Вы увидите цифры 1:2, что означает, половину в натуральную величину, 1:4, 1:6 и так далее, и под соотношением есть шкала расстояний, которая показывает вам, насколько близко вы находитесь в футах и метрах от предмета съёмки».

Этот объектив предлагает быстрый переход от авто к ручному фокусу, или наоборот, и включателю/выключателю VR.

«На некоторых объективах переключатель предлагает выбрать MA или M настройку. Это означает, что объектив позволяет переключаться с автофокуса в мануальный режим практически без остановки. Вы можете переключаться без установки каких-либо настроек в самой камере. МА означает, что вам просто надо взяться за кольцо фокусировки, чтобы переключить режимы. На некоторых из новейших телеобъективов есть маркировка AM, это такая же настройка, но надо больше прокрутить кольцо, чтобы изменить эту настройку. Так что исключается элемент случайного переключения между режимами».

«Каждый VR объектив имеет переключатель, чтобы включить VR и выключить его. У некоторых VR объективов также есть дополнительный выключатель для настройки активного режима. Нормальный режим означает, что VR стабилизирует изображение при медленном и широком движении рукой. Такие движения обычно бывают в обычном режиме пользования камерой. Когда вы включаете активный режим, он говорит камере, что сейчас начнётся более сильная тряска, как будто вы сидите в движущемся автобусе и хотите сделать снимок на ходу.

«И, наконец, такие зум-объективы, как 18-200mm и 28-300mm VR II, имеют переключатель на стороне, которая фиксирует объектив, чтобы предотвратить случайное изменение зума, если вы держите камеру на ремешке на плече».

Была ли полезна вам эта статья? Впервые она была опубликована на сайте Nikon. Задавайте свои вопросы в комментариях и не забывайте добавлять наш блог в друзья!

Также читайте:
Выбор объектива для начинающего фотографа
Телеобъективы Zoom-NIKKOR
Широкоугольные объективы
Стандартные объективы Nikon. Часть 1
Стандартные объективы. Часть 2

Мередит Л. Роман: SUNY Brockport

Открытая галерея

Мередит Л Роман , Кандидат наук

Доцент (история), член комитета (Президентский совет по разнообразию и инклюзивности)

(585) 395-2010
mroman@brockport. edu
Офис: Гуманитарные науки 311

Образование

• Доктор философии, Мичиганский государственный университет — май 2005 г., Российская история
  Диссертация: «Другой вид «свободы»: советский эксперимент с антирасизмом и его образ как «бесрасового» общества».
• MA, Университет штата Мичиган — май 2000 г., История России
• BA, Колледж Нью-Джерси (с отличием) — май 1998 г., история

Области специализации

• История Советского Союза
• Черный радикализм двадцатого века
• Гонка в современной Европе

Преподаваемые курсы

• Раса, национальность и имперское строительство в современной России
• сталинизм
• Раса и расизм в современной мировой истории
• Черный радикализм
• Сравнительная история афроамериканок и русских женщин
• Расовое насилие в создании современной Америки
• История Советского Союза
• Двадцатый век Европа
• Советский Союз в холодной войне
• Миграция, протест и репрессии в двадцатом веке
• Черные диаспоры в современной Европе
• Революции и революционеры в двадцатом веке

Текущие проекты

• Доктор Роман работает над новым исследовательским проектом, посвященным инакомыслию в 1960-х и 1970-х годах.

Рецензии на эссе/рецензии на книги

• Отзыв об Аманде Брикелл Беллоуз, 9 лет0075 Американское рабство и русское крепостное право в воображении после эмансипации (University of North Carolina Press, 2020) для Journal of American History (март 2022 г.)

  Обзор Анн-Мари Фортье, Неопределенное гражданство: жизнь в зале ожидания (University of Manchester Press, 2021) в ВЫБОР Vol. 59, № 7 (март 2022 г.).

  Обзор Quito Swan, Диаспора Пауулу: черный интернационализм и экологическая справедливость (Университетское издательство Флориды, 2020 г.), H-Diplo, H-Net Reviews. Сентябрь 2021 г. https://www.h-net.org/reviews/showrev.php?id=56392

  Обзор Эрики Хабер, Оз за железным занавесом: Александр Волков и серия Волшебной страны (Университетское издательство Миссисипи, 2017) в Журнале русско-американских исследований 5, вып. 1 (май 2021 г.): 69-71.

  Обзор статьи Дугласа Селвиджа, «Операция «Денвер»: Министерство государственной безопасности Восточной Германии и кампания КГБ по дезинформации о СПИДе», 1985-1986». Journal of Cold War Studies 21:4 (осень 2019 г.): 71-123 для H-Diplomatic History 17 ноября 2020 г. DOI: https://doi.org/10.1162/jcws_a_00907.

  Обзор Питера Фуртадо, Революции : как они изменили историю и что они означают сегодня (Thames & Hudson, 2020) в ВЫБОР Vol. 58, № 7 (март 2021 г.).

  Адриана Н. Хелбиг, Хип-хоп Украина: музыка, раса и африканская миграция в обзоре антропологии Восточной Европы 35, № 1 (2017): 80-81.

• Обзор Мэри Стэнтон, Красный, черный, белый: Коммунистическая партия Алабамы, 1930–1950 (University of Georgia Press, 2019) в Journal of Southern History 86, вып. 3 (август 2020 г.): 746–747.
• Обзор Джеффа Сахадео, Голоса с советского края: южные мигранты в Ленинграде и Москве (Cornell University Press, 2019). H-Россия, H-Net Обзоры. Апрель 2020.
• «Создание расы в Соединенных Штатах двадцатого и двадцать первого веков», Журнал американской этнической истории, 35, вып. 3 (весна 2016 г.): 99-103.
• «Обзор Линдси Р. Суиндалл, Пола Робсона: активная жизнь и искусство (Lanham, MD: Rowman & Littlefield, 2013) в книге «Эра нэпа: Советская Россия, 1921–1928 гг.», том. 12 (2014).
• «Обзор книги Джой Глисон Кэрью, «Черные, красные и русские: временщики в поисках советского обещания» (Нью-Брансуик, Нью-Джерси: Rutgers University Press, 2008) в книге «Эра нэпа: Советская Россия, 1921–1928 гг.», том. 3 (осень 2009 г.).

xxl — определение и значение

• Определить
• Связать
• Список
• Обсудить
• См.
• Услышать
• и Любовь

Определения

Извините, определений не найдено. Проверьте и внесите свой вклад в обсуждение этого слова!

Этимологии

Извините, этимологии не найдено.

Служба поддержки

Помогите поддержать Wordnik (и освободите эту страницу от рекламы), указав слово xxl.

Примеры

• Я обычно ношу XL Misses, а футболка xxl для юниоров, которую я купила в Walmart, облегает кожу… разве они не понимают, что их взрослые женщины, а не только подростки, хотят эти рубашки?

  Twilight Lexicon » Специальная информация о выпуске новолуния Walmart

• Привет! мультфильм карикатурист редакция Джоэл Питтс каво atx at биография Тернер художник английский грипп авариа панка массагджио цервикальный отдел здоровье человека ресурсы Луизианы STORIA DEI LED ZEPPELIN taglia xxl corrispondenza Блог Сапоги Каблуки высокие воспаленные области Industriale obiettivo 2

  Промежуточный обзор

• Почему я должен платить 400 долларов за пару женских вейдерсов xxl ?

  Полевые испытания: женские вейдерсы

• Ecko Xxl от администратора 08 июля 2009 г. , в разделе «Без категории», сколько стоят ecko, southpole, enyce, girbuad, lrg, mada, avirex за xxl рубашка размер .

  Эко XL | Коллекционные предметы научной фантастики, фэнтези и ужасов

• Почему я должен платить 400 долларов за пару женских вейдерсов xxl ?

  Полевые испытания: женские вейдерсы

• Длинная рубашка с v-образным вырезом доступна в размерах xl- xxl за 28 долларов плюс 5 долларов S&H.

  Что, если никто не смотрит?: Архив за февраль 2008 г.

• 8 января 2008 г. в 6:29 о боже какая красивая картинка! у меня есть оригинал фото в xxl пожалуйста? я хочу сделать гигантский плакат

  OMG, это полная звезда. — Lolcats ‘n’ Funny Pictures of Cats — Я могу есть чизбургер?

• 30 июня 2005 г. 17:39 следует упомянуть, что рубашка (кстати, хорошего качества) предназначена для коллекционирования, так как это xxl

  Данн Саид

• Setiutarg, видео зоофилов xxl бесплатно и видео

  Think Progress » Источник Стефанопулос: Президент Буш напрямую замешан в скандале с утечкой

• Спасибо.

формула и свойства :: SYL.ru

“Хорошо расстались, но не общаемся”: Катя IOWA об отношениях с экс-продюсером

Стрижка «момагер»: очаровательная, утонченная и соблазнительная одновременно

Как ввести в ландшафтный дизайн экзотические растения: неприхотливые экземпляры

Сливовое масло: натуральный и эффективный уход за кожей

Ободок в стиле рок и розовый бант: самые модные аксессуары для волос сезона

Можно ли кетодиету назвать универсальной? Как влияет ограниченный рацион на кожу

Весной и летом в моде будет стрижка «эльф»: чем она отличается от пикси и бикси

Парфюмерная тенденция с восточным колоритом: что такое аттар

Тренды делового стиля на лето 2023: как выглядеть модно и комфортно в офисе

С каким верхом и аксессуарами сочетать широкие джинсы, чтобы выглядеть стройнее

Автор Алексей Красновский March 22, 2017

Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.

Формулы для выражения длины медианы

• Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c – стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

• Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

• Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
• Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
• Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
• Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
• В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
• Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
• Пусть O — точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

• Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

• Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
• Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.

В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.

Похожие статьи

• Находим периметр треугольника различными способами
• Что такое интеграл? Интегралы с подробным решением. Таблица интегралов
• Тригонометрия с нуля: основные понятия, история
• Таблетки «Джесс»: отзывы и инструкция по применению
• Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
• Как подобрать идеальную длину волос?
• Гравиметрический метод анализа: сущность и характеристика

Также читайте

Медиана треугольника.

Теорема равнобедренного треугольника.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника c серединой противоположной стороны. Прямая тоже может быть медианой. Треугольник имеет три стороны, поэтому у него всегда ровно три медианы, каждая из которых выходит из вершины к середине противоположной стороны треугольника.

Если мы проведем медиану к основанию в равнобедренном треугольнике, то увидим что она также является и высотой:

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1.

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных на две равные части, то есть 50% значений находятся выше медианы, а 50% — ниже. Вот некоторые свойства медианы:

1. Медиана не зависит от выбросов в данных. Это означает, что если в наборе данных есть несколько значений, которые являются выбросами (то есть существенно отличаются от остальных значений), то медиана останется той же самой.

2. Медиана может быть использована для измерения центральной тенденции. В отличие от среднего значения, медиана более устойчива к выбросам и не будет искажена ими.

3. Если набор данных имеет четное количество значений, то медианой будет среднее значение двух средних элементов. Если же набор данных имеет нечетное количество значений, то медианой будет средний элемент.

4. Медиана может быть использована для определения дисперсии. Дисперсия — это мера распределения данных вокруг центральной тенденции. Медиана может быть использована для определения интерквартильного размаха, который является мерой разброса данных вокруг медианы.

5. Медиана может быть использована для определения выбросов. Если значение в наборе данных существенно отличается от медианы, то оно может быть классифицировано как выброс.

6. Медиана может быть использована для проверки симметричности распределения. Если медиана равна среднему значению, то распределение является симметричным. Если же медиана смещена вправо или влево от среднего значения, то распределение считается асимметричным.

Задача 1:

В равнобедренном треугольнике медиана, исходящая из вершины, которая не является вершиной угла с наименьшей мерой, равна 12 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Ответ: 

Ответ: 12 см. В равнобедренном треугольнике медиана, исходящая из вершины, которая не является вершиной угла с наименьшей мерой, равна половине основания треугольника, т.е. равна боковой стороне треугольника.

Задача 2

В треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины А, равна 8 см, а медиана, проведенная из вершины B, равна 6 см. Найдите длину медианы, проведенной из вершины C.

Ответ: 10 см. В треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины А, делит сторону BC пополам, а медиана, проведенная из вершины B, делит сторону AC пополам. По свойству медиан треугольника, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1. Значит, медиана, проведенная из вершины C, делит сторону AB в отношении 2:1, т. е. длина медианы из вершины C равна 10 см.

Задача 3

В треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины А, равна 6 см, а медиана, проведенная из вершины B, равна 8 см. Известно, что периметр треугольника равен 30 см. Найдите длину стороны AB.

Ответ: 8 см. Рассмотрим треугольник ABC. По свойству медиан треугольника, медиана, проведенная из вершины А, делит сторону BC пополам, а медиана, проведенная из вершины B, делит сторону AC пополам. Значит, длины сторон BC и AC равны соответственно 2 * 6 = 12 см и 2 * 8 = 16 см. Так как периметр треугольника равен 30 см, то длина стороны AB равна 30 — 12 — 16 = 2 см. Таким образом, сторона AB равна 2 см, а медиана, проведенная из вершины C, делит эту сторону пополам, значит, ее длина равна 8 см.

 

✅ Что такое медиана?

↪ Медиана треугольника — это линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

✅ Какие свойства медианы треугольника?

↪ Мы используем разнообразные материалы, такие как учебники, аудио и видео материалы, игры иМедиана треугольника соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В треугольнике каждая сторона имеет свою медиану. Медианы треугольника пересекаются в точке, называемой центром тяжести, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. Медиана является высотой того треугольника, в котором она проходит через вершину. Длина медианы, исходящей из вершины, равна половине основания треугольника в равнобедренном треугольнике. Медиана является наибольшей из линий, проведенных из вершины треугольника, и ограниченных точками пересечения медиан с противолежащими сторонами. тесты. Все материалы выбираются исходя из возраста и уровня владения языком ученика.

✅ Что такое высота треугольника?

org/Answer»>↪ Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону или ее продолжение.

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Медиана треугольника: определения, формулы, свойства, примеры

Что такое медиана треугольника?

Треугольник — замкнутая фигура с тремя сторонами, тремя внутренними углами и тремя вершинами. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой стороны, противоположной этой вершине.

На приведенном выше рисунке A, B и C являются вершинами треугольника.

D — середина отрезка ВС.

Прямая AB является медианой треугольника ABC.

Связанные игры

Определение медианы треугольника

Медиану треугольника можно определить как отрезок, проведенный из вершины треугольника и делящий пополам противоположную сторону треугольника.

Связанные листы

Свойства медианы треугольника

Давайте обсудим некоторые важные свойства медианы треугольников.

• Делит противоположную сторону пополам на две равные части.
• Каждый треугольник имеет три медианы, по одной от каждой вершины к противоположной стороне.
• Независимо от формы треугольника три медианы всегда сходятся в одной точке.
• Точки, где встречаются три медианы, называются центроидами треугольника.
• Медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих треугольника.
• Три медианы треугольника делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.

Разница между высотой и медианой треугольника

В любом треугольнике медиана и высота не совпадают. Высота треугольника — это отрезок, который начинается от вершины и пересекает противоположную сторону под прямым углом. Это кратчайшее расстояние между вершиной и линией, противоположной этой вершине. Принимая во внимание, что медиана — это отрезок, соединяющий вершину с средней точкой противоположной стороны.

Как найти медиану треугольника

Длину медианы треугольника можно определить с помощью основной формулы, которую можно вывести из теоремы Аполлония.

Теорема Аполлония для нахождения медианы треугольника

В ней утверждается, что в любом треугольнике сумма квадратов любых двух сторон равна удвоенному квадрату половины третьей стороны вместе с удвоенным квадратом медианы, делящей треугольник пополам. третья сторона.

Вышеупомянутая теорема немного многословна, но ее можно преобразовать в формулу, которая дает медиану формулы треугольника. 92}{4}}$

Как найти медиану треугольника, используя координаты вершин

Когда у нас есть координаты трех вершин треугольника, мы можем узнать длину медианы треугольника, выполнив следующие действия. {2}}$ 9{2}}$

Аналогично можно найти длины медиан BE и CF.

Интересные факты!

• Точки, где встречаются медианы треугольника, называются центроидами. Его также называют центром тяжести треугольника.
• Медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих треугольника.
• Три медианы треугольника делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.
• Сумма длин трех медиан треугольника больше его периметра.
• Медианы конгруэнтных треугольников равны, потому что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.
• В разностороннем треугольнике медианы имеют разную длину.
• В равностороннем треугольнике длины медиан одинаковы.
• Высота треугольника может лежать внутри или снаружи треугольника
• Центроид треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1.

Заключение

В этой статье мы узнали о медиане и высоте треугольника, свойствах медианы треугольника и различных методах нахождения медианы треугольника.

Решенные примеры на медиане треугольника

1. На приведенном ниже рисунке определите медианы треугольника. Как называется точка их пересечения?

Решение:


Медианы треугольника ABC равны AD, BE и CF. Они делят противоположные стороны пополам.

Точки пересечения медиан AD, BE и CF называются центроидами и обычно обозначаются G.

2. 0006 $= 12$ дюймов. Найдите длину ТР.

Решение:


Для данного треугольника PQR PT является медианой треугольника, который делит сторону QR на две равные части.

Поскольку QR $= 12$ дюймов (дано)

Таким образом, TR $= \frac{12}{2} = 6$ дюймов.

3. На данном рисунке AD является медианой, если площадь треугольника ADC равна 20 квадратным единицам, то найдите площадь треугольника ABD.

Решение:


Дано: площадь треугольника ADC равна 20 квадратных единиц.

Мы знаем, что медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Следовательно, площадь треугольника ABD также равна 20 квадратным единицам.

4. Определить длину медианы AM треугольника ABC, стороны которого равны AB $= 4$ единиц, BC $= 5$ единиц и AC $= 3$ 9{2}}{4}}\; = \ sqrt {\ frac {18 + 32 \; — \; 25} {4}} \; = \sqrt{\frac{25}{4}}\;= \frac{5}{2}$ единиц

   Следовательно, длина медианы AM $= \frac{5}{2}$ единиц.

   5. Найдите длину медианы из вершины A треугольника ABC, вершинами которого являются A $(\;−\;1,\; 3)$ , B $(1, \;−\ ;1)$ и C $(5,\; 1)$ .

   Решение:
   

   Дано: вершинами треугольника ABC являются A $(\;−1,\; 3)$, B $(1, \;−1)$ и C $(5, \;1)$.

   Шаг 1: Используя формулу середины, найдите середину BC.

   Для любых двух точек $(x_{1},\; y_{1})$ и $(x_{2},\; y_{2})$ средняя точка определяется как  $\bigg(\frac{x_ {1} + x_{2}}{2},\; \frac{y_{1} + y_{2}}{2}\bigg)$.

   Середина BC $= \bigg(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\; \frac{y_1+y_2}{2}\bigg)\;=\; \bigg(\frac{1+5}{2},\; \frac{-1 + 1}{2}\bigg) = (3, 0)$.

   Скажем, середина как точка D$(3,\; 0)$.

   Шаг 2: Найдите длину медианы AD, используя формулу расстояния. 9{2}}\;=\;\sqrt{16 + 9}\; «=» \sqrt{25}\; = 5$

   Следовательно, длина медианы AD треугольника ABC $= 5$ единиц.

   Практические задачи на медиану треугольника

   1

   В каком из следующих треугольников медианы имеют разную длину?

   Равнобедренный

   Разносторонний

   Равносторонний

   Ни один из этих

   Правильный ответ: Разносторонний
   В разностороннем треугольнике медианы имеют разную длину.

   2

   Центр тяжести треугольника является точкой пересечения _________.

   

   биссектрисы угла

   высота

   медианы

   ни одна из этих

   Правильный ответ: медианы
   Точки, в которых сходятся медианы треугольника, называются центроидами.

   3

   Какой отрезок представляет высоту $\Delta\text{ABC}?

   AB

   AD

   DM

   AM

   Правильный ответ: AM
   Высота треугольника — это отрезок, который начинается от вершины и пересекает противоположную сторону под прямым углом. На данном рисунке AM — высота.

   4

   Три медианы треугольника делят его на сколько меньших треугольников одинаковой площади?

   2

   3

   4

   6

   Правильный ответ: 6
   Три медианы треугольника делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.

   5

   Для какого из следующих треугольников медианы и высоты совпадают?

   Равнобедренный

   Разносторонний

   Равносторонний

   Все вышеперечисленное

   Правильный ответ: Равносторонний
   Для равностороннего треугольника медианы и высоты общие.

   Часто задаваемые вопросы о медиане треугольника

   В чем разница между медианой и серединным перпендикуляром треугольника?

   В геометрии отрезок, соединяющий вершины треугольников с серединами противоположных сторон, называется медианой треугольника. Отрезок, который пересекает другой отрезок под прямым углом и делит эту прямую на две равные части в своей средней точке, называется биссектрисой.

   Что такое медиана прямоугольного треугольника?

   В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине длины гипотенузы.

   Как называется точка пересечения высот треугольника?

   Точки пересечения высот треугольника называются ортоцентром треугольника.

   Что такое центр треугольника?

   Точка пересечения всех трех биссектрис внутренних углов треугольника является вписанной. Другими словами, его можно описать как пересечение биссектрис внутреннего угла треугольника.

   Равны ли медианы конгруэнтных треугольников?

   Да, медианы конгруэнтных треугольников равны, потому что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.

   Связь между медианой и сторонами треугольника

   Перейти к содержимому

   Треугольник состоит из 3 медиан. В треугольнике медиана образуется путем соединения отрезка в любой вершине треугольника и середины его противоположности. Это также линия от середины стороны до противоположного внутреннего угла. пересечение 3медианы известно как центр тяжести. Обсудим метод нахождения медианы треугольника, свойства и пример

   Медиана треугольника:

   Отрезок, соединяющий вершину с серединой стороны, противоположной этой вершине, называется медианой треугольника. Как показано на рисунке ниже, AD является медианой, делящей BC на две равные части, так что BD = DC.

   Зарегистрируйтесь, чтобы получить индивидуальный план обучения, который поможет вам набрать больше очков!

   Класс
   — Класс 6Класс 7Класс 8Класс 9Класс 10Класс 11Класс 12

   Целевой экзамен
   JEENEETCBSE

   +91

   Подтвердить OTP-код (обязательно)
   

   Я согласен с условиями и политикой конфиденциальности.

   Метод нахождения медианы треугольника:-

   Длину медианы можно найти различными способами, такими как:

   • Формула длины медианы до стороны BC =

     =

   • формула медианы треугольника по «Использованию теоремы Аполлония»

   m _a =

   В этом треугольнике a, b, c — стороны треугольника, а длина медианы от вершины A равна m _a .

   Свойства медианы треугольника:

   • Медиана любого треугольника делит вершину угла пополам в равнобедренном и равностороннем треугольнике, потому что в этих треугольниках смежные две стороны одинаковы.
   • Точка пересечения трех медиан любого треугольника называется центром тяжести.
   • Медиана делит площадь треугольника в отношении 2:1.
   • Три медианы треугольника делятся на 6 треугольников.
   • Длина медиан равна стороне только в случае равностороннего треугольника
   • В случае равнобедренного треугольника медианы из вершин, имеющих равные углы, имеют одинаковую длину
   • В случае равнобедренного треугольника разносторонний треугольник, длина медиан различна
   • Сумма двух сторон треугольника больше медианы, проведенной из вершины, которая является общей.
   • Медиана и длины сторон всегда равны «3-кратной сумме квадратов длин всех трех сторон = 4-кратному увеличению квадратов всех 3-х медиан треугольника».

   3 (AB ² + BC ² + CA ² ) = 4 (AD ² + BE ² + CF ² ).

   • Пересечение трех медиан делит длину каждой медианы на 2:1 Р = 90 ^∘ , QL — медиана, PQ = 12 см и QR = 16 см. Тогда QL равно

     Ответ: Учитывая, что PQ = 12 см, QR = 16 см и QL является медианой.

     ∴ PL = LR …….(I)

     In ΔPQR, (PR) ² = (PQ) ² + (QR) ² (По теореме Пифагора)

     900 04 = 144 + 256 = 400

     ⇒ PR = 20

     Теперь, по теореме, если L — середина гипотенузы PR прямоугольного ΔPQR, то мы можем записать как:

     QL = 1 / 2 [PR] = [1 / 2] * (20) = 10 см

     Что такое медиана треугольника?

     Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, таким образом делящий эту сторону пополам.

Открытая Математика. Функции и Графики. Алгебраические операции над функциями

Алгебраические операции над функциями

Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами. Приведем для примера графики функций y = x + sin x и y = x sin x, являющихся соответственно суммой и произведением графиков y = x и y = sin x.

импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np
# 100 линейно расположенных чисел
х = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
# функция, которая здесь y = sin(x)
у = np.sin (х)
# установка осей в центре
рис = plt.figure()
топор = fig.add_subplot (1, 1, 1)
ax.spines['слева'].set_position('центр')
ax.spines['нижний'].set_position('центр')
ax.spines['право'].set_color('нет')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('внизу')
ax.yaxis.set_ticks_position('слева')
# построить функцию
plt. plot(x,y, 'b-')
# показать сюжет
plt.show()

импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np
# 100 линейно расположенных чисел
х = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
p = np.sin(x) # y = sin(x)
q = np.sin(2*x) # y = sin(2x)
r = np.sin(3*x) # y = sin(3x)
# установка осей в центре
рис = plt.figure()
топор = fig.add_subplot (1, 1, 1)
ax.spines['слева'].set_position('центр')
ax.spines['нижний'].set_position('центр')
ax.spines['право'].set_color('нет')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('внизу')
ax.yaxis.set_ticks_position('слева')
# построить функции с метками
plt.plot(x,p, 'b-', метка='y=sin(x)')
plt.plot(x,q, 'c-', метка='y=sin(2x)')
plt.plot(x,r, 'm-', метка='y=sin(3x)')
plt.legend(loc='верхний левый')
# показать сюжет
plt.show()

импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np
# 100 линейно расположенных чисел
х = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
p = 2*np.sin(x) # y = 2sin(x)
q = np.sin(x) # y = sin(x)
r = np.sin(x/2) # y = sin(x/2)
# установка осей в центре
рис = plt.figure()
топор = fig.add_subplot (1, 1, 1)
ax.spines['слева'].set_position('центр')
ax.spines['нижний'].set_position('ноль')
ax.spines['право'].set_color('нет')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('внизу')
ax.yaxis.set_ticks_position('слева')
# построить функции с метками
plt.plot(x,p, 'b-', метка='y=2sin(x)')
plt.plot(x,q, 'c-', метка='y=sin(x)')
plt.plot(x,r, 'm-', метка='y=sin(x/2)')
plt.legend(loc='верхний левый')
# показать сюжет
plt.show()

 импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np
# 100 линейно расположенных чисел
х = np.

что это такое, как их вычислить и примеры • BUOM

9 апреля 2021 г.

Факториалы могут быть просты в вычислении и иметь множество практических применений в реальном мире. Например, некоторые компании используют факториалы для просмотра перестановок и комбинаций в деловых целях, например, для определения количества грузовиков, необходимых для снабжения их магазинов в каждом районе. Вы можете использовать математические задачи с факториалами, если вы работаете в сфере логистики или работаете в такой отрасли, как финансы или программное обеспечение.

В этой статье мы обсудим, что такое факториал, как вычислить факториал, приведем примеры проблем с факториалом и ответим на часто задаваемые вопросы о факториале.

Что такое факториал?

Факториал — это функция в математике со знаком (!), которая умножает число (n) на каждое предшествующее ему число. Проще говоря, функция факториала предлагает умножить все целые числа из выбранного числа на единицу. Говоря более математическим языком, факториал числа (n!) равен n(n-1). Например, если вы хотите вычислить факториал для четырех, вы должны написать:

Программы для Windows, мобильные приложения, игры — ВСЁ БЕСПЛАТНО, в нашем закрытом телеграмм канале — Подписывайтесь:)

4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24.

Вы можете использовать факториалы, чтобы найти количество способов, которыми можно расположить (n) объектов. Когда порядок каждого элемента имеет значение, например, когда вы обсуждаете пароль к сейфу, это перестановка. Когда порядок не имеет значения, это комбинация. Например, если вы хотите узнать, сколько комбинаций вы можете составить из трехзначного числа 725, вы должны найти факториал 3!, то есть

3! = 3 х 2 х 1 = 6.

Это означает, что с числом 725 можно составить шесть комбинаций: 725, 752, 572, 527, 275 и 257.

Формула факториала:

н! = п*(п-1)!

Как рассчитать факториал

Вы можете выполнить следующие шаги, чтобы найти факториал:

1. Определяем количество

Определите число, факториал которого вы находите. Факториал состоит из положительного целого числа и восклицательного знака. Например, если вы хотите найти факториал числа восемь, математически это будет выглядеть так:

8!

2. Напишите последовательность

Используя формулу факториала, вы можете записать последовательность чисел, которые вы будете умножать. Это включает в себя число, для которого вы находите факториал, число восемь в этом примере и все числа, последовательно убывающие от него до единицы. Математически хотелось бы так:

н! = п (п-1) =

8 (8 — 1) (8 — 2) (8 — 3) (8 — 4) (8 — 5) (8 — 6) (8 — 7)

3. Умножьте числа

После того, как вы записали последовательность чисел, вы можете перемножить их. Если вы умножите все числа в этом примере, 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1, вы получите окончательный ответ 40 320. Математически это выглядит так:

н! = п (п-1) =

8 (8 — 1) (8 — 2) (8 — 3) (8 — 4) (8 — 5) (8 — 6) (8 — 7) =

8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 40 320

Вы также можете вычислить факториал с помощью научного калькулятора. Калькулятор должен иметь кнопку с «x!» знак. Введите число, для которого вы хотите найти факториал, в данном случае число восемь, а затем нажмите «x!» кнопка. Калькулятор должен дать вам тот же ответ, 40 320.

Примеры

Вот несколько примеров задач, в которых используются факториалы:

Пример 1

Задача: Сколькими способами можно расположить буквы в слове «компания», не повторяя их?

В этой задаче подсчитайте количество букв в слове «компания», чтобы найти шесть букв. Затем найдите факториал числа шесть либо вручную, либо с помощью научного калькулятора. Если вы решаете задачу вручную, она должна выглядеть так:

н! = п (п-1) =

6 (6 — 1) (6 — 2) (6 — 3) (6 — 4) (6 — 5) =

6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720

Теперь вы знаете, что максимальное количество способов, которыми можно расположить буквы в слове «компания» без повторов, равно 720.

Пример 2

Задача: Какие сочетания можно составить из красного, синего и зеленого цветов?

В этой задаче найдите факториал числа три, потому что цветов три, и перечислите различные комбинации. Если вы решите эту задачу вручную, она должна выглядеть так:

н! = п (п-1) =

3 (3 — 1) (3 — 2) =

3 х 2 х 1 = 6

Шесть комбинаций:

красный, синий, зеленый

красный, зеленый, синий

зеленый, синий, красный

зеленый, красный, синий

синий, красный, зеленый

синий, зеленый, красный

Пример 3

Задача: найти факториал числа 15.

Хотя эту проблему можно решить вручную, это может занять много времени, поскольку 15 — большое число. Легче использовать научный калькулятор. Чтобы решить эту задачу с помощью калькулятора, следует:

1. Введите число 15 в свой калькулятор.

2. Нажми «х!» кнопку на вашем калькуляторе.

3. На калькуляторе должен появиться ответ 1 307 674 368 000.

Часто задаваемые вопросы о факториалах

Вот несколько ответов на распространенные вопросы о факториалах:

Сможете ли вы найти факториал числа ноль?

Да, вы можете найти факториал для числа ноль. Математики сходятся во мнении, что факториал числа ноль равен единице или 0! =1. Может показаться странным, что 0! =1, но это легко понять, если проследить схему факториалов в обратном порядке. Посмотрите на этот шаблон, начинающийся с 4!:

4! = 24

3! = 6

2! = 2

1! = 1

0! = 1

Вы можете заметить, что каждый ответ делится последовательно, и по мере того, как вы следуете шаблону, он предсказывает следующий ответ и показывает, что 0! =1. Последовательные делимые числа выделены жирным шрифтом:

4! = 24, (24 ÷ 4 = 6)

3! = 6, (6 ÷ 3 = 2)

2! = 2, (2 ÷ 2 = 1)

1! = 1, (1 ÷ 1 = 1)

0! = 1

Сможете ли вы найти факториал отрицательного числа?

Нет, нельзя найти факториал отрицательного числа. Чтобы найти факториал отрицательного целого числа, нужно разделить на ноль. Однако деление на ноль не определено. Следовательно, отрицательные целочисленные факториалы не определены.

Сможете ли вы найти факториал десятичной дроби?

Да, вы можете найти факториал десятичной дроби. Если вы хотите узнать, как найти факториал десятичной дроби, вы можете узнать о гамма-функции, которую также иногда называют «полуфакториалом». Эти проблемы быстро усложняются. Например, факториал для одной половины, или 0,5, равен половине квадратного корня из числа пи, или (-1/2)! = √π.

Каковы первые 15 факториалов?

Как вы можете видеть на этой диаграмме, факториалы растут очень быстро. Может быть полезно использовать научный калькулятор для решения факторных задач, особенно при работе с большими числами.

nn!011122364245120672075,040840,3209362,880103,628,8001139,916,80012479,001,600136,227,020,8001487,178,291,200151,307,6704,001

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия

Факториалы

      Для произвольного натурального числа   n   формула

определяет факториал числа   n   ( n !   читается, как   n   – факториал).

      Например,

      Считается, что

0 ! = 1 ,     1 ! = 1.

Перестановки

      Рассмотрим следующую задачу.

      Задача.   6   карточек пронумерованы числами   1, 2, 3, 4, 5, 6.   Карточки наугад выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных шестизначных чисел?

      Решение. Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое, пятое, шестое. На первое место можно положить одну из 6 карточек. Для этого есть   6   способов. В каждом из этих 6 способов на второе место можно положить одну из оставшихся   5   карточек. Таким образом, существует

способов, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих   30   способов на третье место можно положить одну из оставшихся   4   карточек. Следовательно, существует

способов, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих   120   способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся   3   карточек. Отсюда вытекает, что существует

способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье и четвертое места. В каждом из этих   360   способов на пятое место можно положить одну из оставшихся   2   карточек. Следовательно, существует

способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье, четвертое и пятое места. После этого у нас остается одна единственная карточка, которую мы и кладем на шестое место. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить   720   различных шестизначных чисел.

      Ответ: 720.

      Замечание 1. В задаче мы рассмотрели   6   пронумерованных карточек и установили, что количество способов выкладывания этих карточек в ряд равно   6!

      Если бы у нас было n пронумерованных карточек, то количество способов выкладывания их в ряд равнялось бы   n ! .

      Замечание 2. Каждое расположение   n   пронумерованных карточек в ряд является перестановкой из n элементов, к изучению которых мы сейчас и переходим.

      Определение 1. Пусть   n   – натуральное число. Рассмотрим произвольное множество, содержащее n элементов. Говорят, что на этом множестве задано упорядочение (отношение порядка), если его элементы пронумерованы числами   1, 2, 3, … , n.

      Множество с заданным упорядочением называют упорядоченным множеством.

      Определение 2. Рассмотрим множество, содержащее n элементов. Перестановкой из n элементов называют любое упорядочение этого множества.

      Число перестановок из   n   элементов обозначают символом   P_n.

      В соответствии с Замечанием 1, справедлива формула:

P_n = n !

      В частности,

P₆ = 6! = 720 .

      Замечание 3. Введенные в данном разделе перестановки называют также перестановками без повторений.

   С понятиями размещений из   n   элементов по   m   элементов и сочетаний из   n   элементов по   m   элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: размещения и сочетания» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Факториал — определение, расчет | Факториал сотен и 0

Факториал целого числа n определяется как произведение этого числа на каждое целое число, меньшее или равное n, до 1. Например, факториал числа 4 равен 4 × 3 × 2 × 1, что равно 24. Оно представляется с помощью символа ‘!’ Итак, 24 — это значение 4!. В 1677 году британский автор Фабиан Стедман определил факториал как эквивалент звонка сдачи. Перезвон был частью музыкального представления, когда музыканты звонили в несколько настроенных колокольчиков. И было это в 1808 году, когда математик из Франции Кристиан Крамп придумал символ факториала: n!. Изучение факториалов лежит в основе нескольких тем математики, таких как теория чисел, алгебра, геометрия, вероятность, статистика, теория графов, дискретная математика и т. д.

Думаете о том, как вычислить факториал числа? Давай учить.

1.	Что такое факториал?
2.	n Формула факториала
3.	0 Факториал
4.	Факториал сотен
5.	Факториал отрицательных чисел
6.	Использование Факториала
7.	Расчет факториала
8.	Часто задаваемые вопросы о Факториале

Что такое факториал?

Факториал целого числа — это функция, которая умножает число на каждое натуральное число под ним. Символически факториал можно представить с помощью символа «!». Таким образом, «n факториал» является произведением первых n натуральных чисел и представляется как n!

Итак, н! или «n факториал» означает:

• n! = 1 · 2 · 3 · … · n = Произведение первых n натуральных чисел = n(n-1)(n-2)…………………….(3)(2)(1)

Например, 4 факториал, то есть 5! можно записать как: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Обратите внимание на числа и их значения факториалов, приведенные в следующей таблице. Чтобы найти факториал числа, умножьте это число на значение факториала предыдущего числа. Например, чтобы узнать значение 6! умножьте 120 (факториал 5) на 6 и получите 720. За 7! умножьте 720 (значение факториала 6) на 7, получите 5040. т. е. n! = п × (п — 1)!

n Факториальная формула

Формула для n-факториала: n! = п × (п — 1)!

• н! = п × (п — 1)!

Это означает, что факториал любого числа равен данному числу, умноженному на факториал предыдущего числа. Итак, 8! = 8 × 7!…… И 9! = 9 × 8!…… Факториал 10 будет 10! = 10 × 9!….. Вот так, если у нас есть (n+1) факториал, то его можно записать как (n+1)! = (n+1) × n! . Давайте посмотрим на некоторые примеры.

5 Факториал

Значение 5 факториала равно 5×4×3×2×1, что равно 120. Мы также можем вычислить его, используя формулу факториала. 5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120,

10 Факториал

10 Факториал есть не что иное, как 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 628 800.

0 Факториал

Нулевой факториал интересен, и его значение равно 1, т.е. 0! = 1 . Да, значение факториала 0 НЕ 0, а 1.

Давайте посмотрим, как это работает:

1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 3 × 2! = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 24

Перейдем к основной формуле факториала n! = п × (п — 1)! Как найти 3! То, что вы делаете, это 4! / 4. Аналогично, 2! это 3! / 3 и так далее. Теперь давайте посмотрим на образец:

Таким образом, мы можем доказать, что 0 факториал равен 1.

Альтернативный способ доказательства 0! = 1

В перестановках мы изучили бы, что n! есть количество способов упорядочить «n» разных вещей между собой. Если мы посмотрим на факториал таким образом, 1! = 1, так как возможна только 1 аранжировка с 1 вещью. Точно так же 0! = 1,

Факториал сотен

100 факториал = 100 × 99 × 98 × …. × 3 × 2 × 1 = 9,332621544 E+157. Этот продукт слишком велик для расчета вручную, поэтому используется калькулятор. Вот некоторые факты о факториале сотни:

• 100 факториал имеет 24 нуля в конце.
• Общее количество цифр в 100! 158.
• Точное значение факториала 100 равно 93, 326, 215, 443, 944, 152, 681, 699, 238, 856, 266, 700, 49.0, 715, 968, 264, 381, 621, 468, 592, 963, 895, 217, 599, 993, 229, 915, 608, 941, 463, 976, 156, 518, 286, 253, 697, 920, 827, 223, 758, 251, 185, 210, 916, 864, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 (всего 158 цифр).

Факториал отрицательных чисел

Можем ли мы иметь факториалы для таких чисел, как −1, −2 и т. д.? Начнем с 3! = 3 × 2 × 1 = 6

3! = 3 × 2 × 1 = 6
2! = 3! / 3 = 6 / 3 = 2
1! = 2! / 2 = 2 / 2 = 1
0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1
(- 1)! = 0! / 0 = 1 / 0 = деление на ноль не определено

И с этого момента все целочисленные факториалы не определены. Таким образом, отрицательные целочисленные факториалы не определены.

Использование Факториала

Одной из областей, где факториалы обычно используются, являются перестановки и комбинации.

• Перестановка — это упорядоченное расположение результатов, которое можно рассчитать по формуле: ⁿ P _r = n! / (н — р)!
• Комбинация — это группировка исходов, порядок которых не имеет значения. Его можно рассчитать по формуле: ⁿ C _r = n! / [(н — р)! р!]

В обеих этих формулах «n» — это общее количество доступных вещей, а «r» — это количество вещей, которые нужно выбрать. Поясним это на следующих примерах.

Пример 1: В группе из 10 человек разыгрываются призы 200, 100 и 50 долларов. Сколькими способами можно распределить призы?

Решение:

Это перестановка, потому что здесь имеет значение порядок распределения призов. Его можно рассчитать как ¹⁰ P ₃ способов.

¹⁰ P ₃ = (10!) / (10 — 3)! = 10! / 7! = (10 × 9 × 8 × 7!) / 7! = 10 × 9 × 8 = 720 способов.

Пример 2: Три приза по 50 долларов должны быть распределены в группе из 10 человек. Сколькими способами можно распределить призы?

Решение:

Это комбинация, потому что здесь порядок распределения призов не имеет значения (поскольку все призы имеют одинаковую ценность). Его можно рассчитать, используя ¹⁰ C ₃ .

¹⁰ C ₃ = (10!) / [ 3! (10 — 3)!] = 10! / (3! 7!) = (10 × 9 × 8 × 7!) / [(3 × 2 × 1) 7!] = 120 способов.

Расчет факториала

Факториал n обозначается n! и рассчитывается путем умножения целых чисел от 1 до n. Формула для n факториала равна н! = n × (n — 1)!.

Пример: Если 8! 40 320, тогда что такое 9!?

Решение:

9! = 9 × 8! = 9 × 40 320 = 362 880

Теперь давайте посмотрим на приведенную ниже таблицу факториалов, которая показывает значения факториала для первых 15 натуральных чисел:

☛ Похожие темы:

• Калькулятор множителей
• Что такое факториал числа 9?
• Что такое факториал числа 20?

Важные замечания по факториалу:

• Факториал любого целого числа можно вычислить с помощью n! = n × (n — 1)!.
• Значение нулевого факториала равно единице, т. е. 0! = 1.
• Отрицательные целочисленные факториалы не определены.
• Перестановку и комбинацию можно рассчитать с помощью факториалов: ⁿ P _r = n! / (н — р)! & ⁿ C _r =n! / [(н — р)! р!].

Факториальные примеры

1. Пример 1: Вычислите выражение с факториалами: 10!/(4! × 6!).

   Решение:

   10!/(4! × 6!) = (10 × 9 × 8 × 7 × 6!) / (4! × 6!)
   = (10 × 9 × 8 × 7) / (4 × 3 × 2 × 1)
   = 210

   Ответ: Следовательно, значение выражения 10!/(4! × 6!) равно 210.

2. Пример 2: Найдите значение 5! (6 — 3)!.

   Решение:

   5! (6−3)! = 5! × 3!

   Теперь мы вычислим эти факториалы.

   = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)(3 × 2 × 1)

   = 120 × 6

   = 720

   Ответ: Следовательно, значение 5! (6 — 3)! 720.

3. Пример 3: Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 7 и 8, в каждом из которых не повторяется ни одна цифра?

   Решение:

   Данные 5 цифр (1, 2, 5, 7 и 8) нужно переставить между собой, чтобы получить все возможные 5-значные числа.

   Количество способов сделать это можно с помощью факториала.

   5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

   Ответ: Следовательно, искомое количество пятизначных чисел равно 120.

4. Пример 4: Сколькими способами восемь человек могут выстроиться слева направо для группового фото?

   Решение:

   Количество способов, которыми 8 человек могут выстроиться в очередь, равно количеству способов, которыми они могут расположиться между собой, и это не что иное, как факториал 8.

   8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40 320

   Ответ: Следовательно, восемь человек могут выстроиться в очередь 40 320 способами.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Хотите создать прочную основу по математике?

Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по факториалу

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по факториалу

Где мы используем факториалы?

Факториал — это функция, которая используется для нахождения количества возможных способов, которыми можно расположить выбранное количество объектов между собой. Эта концепция факториала используется для поиска перестановок и комбинаций чисел и событий.

Что означает факториал числа?

Факториал в математике — это одна из операций (обозначается символом «!»), а факториал числа — это произведение числа на все положительные целые числа, меньшие этого числа. Например 8! (читается как факториал 8) = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320.

Что такое факториал n+1?

Факториал n+1 можно вычислить как (n+1)! = (n+1)n!.

Что такое символ факториала?

Для обозначения факториала используется символ ‘ ! ‘. Например «9factorial» записывается как 9!.

Что такое факториал 100?

Факториал 100 записывается как 100! и его значение равно 100 · 99 · 98 · … · 2 · 1 = 9,332621544 E+157.

Что такое факториал числа 10?

10! может быть вычислено как 10! = 10 × 9! число означает умножение числа на каждое положительное целое число, меньшее этого. Итак, n!= n × (n-1) × (n-2) × (n-3) × ….. × 3 × 2 × 1.

Каково применение факториалов?

Факториалы используются для нахождения числа образов, решения задач перестановки и комбинации, определения вероятности событий и т. д.

Что такое факториальная запись?

Факторная запись представляет собой запись произведения последовательных целых чисел в виде факториала. Итак, 3 × 2 × 1 = 3! (3 факториала), 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! (6 факториал) и так далее.

Каковы реальные примеры применения факториала?

Амина Решма Последнее обновление: 15 сентября 2022 г., 9:09 EST

2 мин чтения

Сколькими способами можно перетасовать колоду карт? Есть ли ограничения на количество способов расстановки игрушек? Сколькими способами можно расположить буквы в слове конфеты так, чтобы они не повторялись?

Факториалы — это способ узнать ответ на все вышеперечисленные вопросы.

Теперь их 52! различные способы перетасовки колоды карт.

Точно так же, если есть две игрушки, вы можете расставить их двумя разными способами, а если у вас есть три игрушки, их можно расставить шестью способами.

В слове конфеты 5 букв, поэтому ваш ответ 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 способов.

Как мы получили эти числа для ответов? А что означает восклицательный знак рядом с цифрой? Как мы сделали эти расчеты?

Мы должны сначала понять факториалы, чтобы понять их.

Итак, что такое факториалы?

“ Факториал — это функция в математике со знаком (!), которая умножает число (n) на каждое предшествующее ему число. “ ¹ Проще говоря, факториалы обозначаются восклицательным знаком и предполагают многократное умножение всех целых чисел до заданного предела.

Поэтому вполне вероятно, что вы будете использовать факториал всякий раз, когда вам нужно что-то узнать о перестановках, вероятностях, перестановках или комбинациях. Если порядок компонентов важен, перестановки сообщают нам, сколько различных вариантов их расположения возможно. Комбинации объясняют, сколько существует различных способов выбрать k предметов из n предметов, когда их порядок не имеет значения. ²

Использование факториалов в реальной жизни

Факториалы играют важную роль в комбинаторике, которая представляет собой область математики, связанную с комбинациями элементов из конечного множества при определенных ограничениях, например, налагаемых теорией графов. в реальном мире.

Возьмем в качестве примера простую задачу: новая часть кода выполняется успешно в 80% случаев. Какова вероятность того, что все пять реализаций кода были успешными? Насколько вероятно, что по крайней мере два испытания будут успешными? Ответ влечет за собой вычисление нескольких простых факториалов.

Функция факториала также может использоваться для определения количества различных способов выбора элемента из группы вариантов. Рассмотрим ситуацию, когда вам нужно решить, что надеть в школу каждый день на этой неделе. Учтите, что хотя у вас есть nnn предметов одежды, только кк из них были выстираны и выглажены. Сколько существует способов выбрать одежду kkk из коллекции одежды nnn ? Кажется, это сложная задача? Это не обязательно, потому что в подобных ситуациях функция факториала может быть весьма полезной.

Факториалы также используются в продвинутой алгебре для последовательностей и рядов, в исчислении по связанным причинам, в теории вероятностей, в теории чисел и в ряде других дисциплин.