Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции LOG10 в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает десятичный логарифм числа.
Синтаксис
LOG10(число)
Аргументы функции LOG10 описаны ниже.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Формула
Описание
Результат
=LOG10(86)
Десятичный логарифм числа 86. Результат (1,9345) — степень, в которую необходимо возвести основание 10, чтобы получить число 86.
1,9345
=LOG10(10)
Десятичный логарифм числа 10. 5. Совпадает с описанным выше; 1E+5 = 100 000.
5
Значение журнала 10 — введение, примеры решений, таблица журнала и значения
Логарифмическая функция — это функция, обратная экспоненциальной функции.
Цель логарифмирования — рассказать нам о показателе степени.
Логарифмические функции используются для изучения свойств экспоненциальных функций и используются для решения различных экспоненциальных уравнений.
Существует два типа логарифмических функций.
Что вы подразумеваете под десятичной логарифмической функцией?
Логарифмическая функция или десятичный логарифм — это логарифм с основанием, равным 10.
Он также известен как десятичный логарифм из-за его основания.
Десятичный логарифм x обозначается как log x.
Что вы подразумеваете под натуральным логарифмом?
Натуральный логарифм – это логарифм с основанием, равным математической константе e.
Значение e, являющееся математической константой, приблизительно равно 2,7182818.
Натуральный логарифм x записывается как log e x.
Пример: log e 25 = ln 25.
Каково значение Log 10?
Значение log 10 может быть представлено либо с основанием 10, либо с основанием e.
Значение логарифма 10 10 равно 1.
Значение log e 10, которое также можно записать как ln (10), равно 2,302585.
Примечание. Чаще всего используется функция общего журнала.
Логарифмы
Мы живем в логарифмической базе 10 миров, мы считаем и измеряем в степенях 10. 0 =1
Log10(1) = 0
10 1 =10
Лог 1 0 (10) = 1
10 2 =100
Лог 10 (100) = 2
10 3 = 1000
Лог 10 (1000) = 3
10 4 =10000
Лог 10 (10 000) = 4
10 5 = 1 00 000
Лог 10 (1,00,000) = 5
Как рассчитать значение Лог 10?
Значение логарифмической базы 10 можно рассчитать либо с помощью обычной логарифмической функции, либо с помощью естественной логарифмической функции.
Рассчитаем значение log 10 с помощью десятичного логарифма.,
Значение log 10 10 равно логарифмической функции 10 по основанию 10.
Согласно определению логарифмической функции, если log a b = x, затем a x = b.
Сравнивая log 10 10 с определением, мы имеем основание, a=10 и 10 x =b,
Следовательно, значение log 10 следующее:
Мы знаем, что log a а=1.
Следовательно, значение log 10 base 10 =1, это из-за значения e 1 =1.
Как рассчитать значение логарифма 10 с помощью функции натурального логарифма?
Давайте посчитаем значение log 10, используя натуральный логарифм.
Значение log e 10 равно логарифмической функции 10 по основанию e.
Также обозначается как ln (10).
Таким образом, значение логарифма 10 с основанием e будет следующим:
log e 10 или ln (10) = 2,302585.
Вот таблица, показывающая значение журнала 10
Значение журнала 10 10
журнал 10 10=1
Значение log e 10
log e 10(ln 10) =2,302585
901 77
Значения от log 1 до log 10 по основанию 10 следующие:
Log Значения От 1 до 10. 2
Журнал 2
0,3010
Журнал 3
0,4771
Журнал 4
0,6020
Журнал 5
0,6989
Лог 6
0,7781
9 0092
Журнал 7
0,8450
Лог 8
0,9030
90 092
Журнал 9
0,9542
Протокол 10
1
Вопросы с использованием значения журнала
Вопрос 1 : Найдите значение ln e.
Решение:
Натуральный логарифм числа x определяется как основание e логарифм e:
ln(e) = log e (e)
ln(e) — это число, которое мы должны увеличить, чтобы получить e.
е 1 = е.
Итак, натуральный логарифм e равен единице.
ln(e) = log e (e) = 1.
Вопрос 2: Выразите log101 = 0 в экспоненциальной форме.
Решение: Учитывая log10 1 = 0.
Мы знаем, что logac=b ⇒ a b = c.
Следовательно, 10 0 = 1.
Важные свойства логарифмов, которые необходимо знать!
ПРАВИЛО
ЗНАЧЕНИЕ
log a (a) =
1
90 103
log a (1) =
0
log a (a r ) =
r
Помощь по Алгебре II
Студенты, нуждающиеся в помощи по Алгебре II, получат пользу в значительной степени из нашей интерактивной программы. Мы разбираем все ключевые элементы, чтобы вы могли получить адекватную помощь по Алгебре II.
Имея под рукой обязательные концепции обучения и актуальные практические вопросы, вы мгновенно получите много помощи от Algebra II.
Получите помощь сегодня с нашей обширной коллекцией необходимой информации об Алгебре II.
Большинство курсов алгебры II занимают важное место в обучении молодого человека. Независимо от того, следует ли курс непосредственно за его или ее первым уроком алгебры или после изучения геометрии, этот курс основывается на этих ранее полученных навыках, готовя молодого студента к дальнейшей углубленной работе по математике. Нужны ли вам лучшие репетиторы алгебры в Майами, преподаватели алгебры в Канзас-Сити или лучшие репетиторы алгебры в Оклахома-Сити, работа с профессионалом может вывести ваше обучение на новый уровень.
Когда за Алгеброй I сразу последует Алгебра II, юный ученик, скорее всего, сосредоточится на постоянном совершенствовании работы с уравнениями и их использовании, опираясь непосредственно на навыки, полученные в Алгебре I. Это потребует сосредоточения внимания на нелинейных уравнениях с одной переменной, уделяя особое внимание в частности, квадратные уравнения, но с дальнейшим вниманием к полиномам более высокого порядка в целом. Точно так же более продвинутые навыки работы с экспонентами и радикалами и их использования значительно улучшат навыки решения уравнений, которые студенты получили в ходе предыдущих курсовых работ. В дополнение к манипулированию и решению уравнений, такие студенты, вероятно, также сосредоточатся на концепциях, необходимых для оценки различных преобразований уравнений, особенно графиков квадратичных функций, абсолютных значений и других нелинейных функций. Репетиторы Varsity Tutors предлагают такие ресурсы, как бесплатные практические тесты по алгебре II, которые помогут вам в самостоятельном обучении, или вы можете подумать о репетиторах по алгебре II.
Когда Алгебра II следует за курсом геометрии, часто можно охватить гораздо больше информации, так как учащийся будет на более продвинутом уровне, чем он или она были сразу после прохождения первого курса алгебры. Проведя дополнительный год математических исследований, он или она прибудет с усиленными общими навыками, а также с пониманием ряда новых тем, относящихся к геометрии. В таком курсе Алгебры II будут преподаваться многие из вышеупомянутых навыков — различные типы манипулирования уравнениями, преобразование графиков и так далее. Однако при подготовке к тригонометрии и предварительному исчислению будет легче рассмотреть и другие темы, такие как тригонометрические тождества и конические сечения.
Всякий раз, когда в учебной программе по математике для молодых людей встречается алгебра II, это строгий и трудный курс. Отмечая важный переход в математическом обучении учащихся, курс требует от студентов повышенного объема работы и самоотверженности. Часто при прохождении этого курса молодых студентов поражает увеличение количества времени, необходимого вне занятий для закрепления навыков, приобретаемых каждый день в школе. На всех курсах математики практика может помочь изучить представленные новые темы; однако по мере того, как темы становятся все более сложными, объем требуемой работы увеличивается. В дополнение к справочному разделу по Алгебре II и урокам по Алгебре II вы также можете воспользоваться некоторыми из наших карточек по Алгебре II.
Таким образом, для достижения успеха очень важно, чтобы ученик был полностью предан своей работе. Темы, изучаемые на курсах такого рода, очень легко начинают накапливаться, оставляя студента совершенно ошеломленным за короткий промежуток времени. Бесплатная помощь по алгебре 2 от Varsity Tutors может помочь вам понять любую тему, которую вы не полностью освоили, прежде чем она начнет вызывать у вас проблемы с пониманием нового материала в вашем курсе. Наш контент по алгебре 2 разделен на конкретные темы, чтобы помочь вам точно определить область, в которой вы запутались. Нажав на одну из этих тем, вы увидите вопросы по алгебре 2, проверяющие эту концепцию, а также правильный ответ и полное объяснение. Вы можете самостоятельно работать над вопросами и проверять свои ответы или просто анализировать проблемы как правильные примеры, на которых можно смоделировать свою работу. Бесплатная справка по алгебре II от Varsity Tutors может быть особенно полезной при использовании вместе с другими нашими бесплатными ресурсами по алгебре II, включая практические тесты, диагностические тесты и карточки. Ответы на вопросы с использованием этих трех методов могут дать вам обратную связь о том, какие области алгебры II вы понимаете наименее хорошо, и придать специфичность вашему изучению.
В большей степени, чем любая предыдущая курсовая работа по математике — будь то алгебра I или геометрия — алгебра II потребует ежедневной преданности делу и усердной заботы, чтобы добиться успеха. Однако с таким трудолюбием можно приобрести навыки, которые будут иметь большое значение в ближайшие годы обучения в таких несопоставимых областях, как исчисление, экономика и физика. Таким образом, когда бы Алгебра II ни была включена в учебную программу сегодня, она заслуживает пристального внимания и самоотверженной работы, поскольку завтрашний успех вполне может зависеть от этого важного курса.
Таблица тангенсов – это таблица, содержащая значения тангенсов углов от 0° до 360°.
Тангенсом угла α называется отношение синуса этого угла к косинусу. Либо отношение противолежащего катета (дальнего/противоположного) прямоугольного треугольника к прилежащему (который находится рядом с углом α).
Автор Admin На чтение 5 мин Просмотров 48 Опубликовано
Тригонометрическая таблица представляет собой таблицу значений тригонометрических функций. Эта тригонометрическая таблица содержит углы в градусах и радианах, что очень удобно для перевода градусов в радианы и наоборот, радианов в градусы. Таблица значений тригонометрических функций составлена с корнями квадратными и дробями, что позволяет сокращать дроби при решении школьных примеров. В таблице представлены синус sin, косинус cos, тангенс tg, котангенс ctg, секанс sec, косеканс cosec.
Специально для самых умных умников сообщаю. Это правильная таблица. Где-то между роддомом и сегодня, вы учили свойства дробей. Так вот, с тех самых пор ничего не изменились. Что для школьных малявок, что для здоровых дядек и теток, свойства дробей одинаковы. Даже президент Путин не в состоянии ничего поменять. Одно из волшебных свойств дроби гласит: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, дробь не изменится. И ни какое стадо депутатов этот закон отменить не в состоянии. Математика — это не соседей или собственный народ грабить. Даже Боги могут только пользоваться законами математики, но не изменять их. Хотя, дуракам закон не писан.
Свойства дробей
Чтобы облегчить жизнь блондинкам, мы еще не раз будем разбирать эту тригонометрическую таблицу на строчки синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов, на столбики градусов и радиан, на отдельные квадратики значений тригонометрических функций.
В тригонометрической таблице представлены синус угла sin 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов или 0, пи/6, пи/4, пи/3, пи/2, пи, 3пи/2, 2пи радиан. Значения синуса угла sin 0, 1/2, корень из 2 деленный на 2, корень из 3 деленный на 2, единица и минус единица. Строчка напротив буквочек sin називается еще таблица синусов.
Таблица значений тригонометрических функций содержит косинус угла cos 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360 градусов. Если перевести эти углы в радианы, мы получим 0 пи, пи на 6, пи на 4, пи на 3, пи на 2, пи, 3 пи на 2, 2 пи радиан. Таблица косинусов этих углов представляет собой строчку напротив букв cos, в которой записаны единица, корень из трех деленный на два, корень из двух деленный на два, одна вторая, ноль и минус единица.
Первых две строчки этой таблицы sin и cos — это таблица синусов и косинусов.
Таблица тангенсов спряталась ниже таблицы синусов и косинусов в строчке с двумя буковками tg. Как это ни странно, но здесь присутствуют те же тангенс угла tg 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360 градусов. И в радианы они переводятся точно так же 0 пи, пи / 6, пи / 4, пи / 3, пи / 2, пи, 3 пи / 2, 2 пи радиан. Значения тангенсов этих углов составляют ноль, единица деленная на корень из трех, единица, корень из трех и черточка, которую иногда заменяют знаком бесконечности. Это означает, что математики не могут определить значение тригонометрической функции тангенс для углов 90 и 270 градусов. Так что, блондинки, не отчаивайтесь, даже математики могут не всё!
Еще ниже находится таблица котангенсов. Повторим еще раз те углы, для которых в тригонометрической таблице записан котангенс ctg: 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360 градусов. И еще раз потренируемся переводить градусы в радианы: 0 пи, пи / 6, пи / 4, пи / 3, пи / 2, пи, 3 пи / 2, 2 пи радиан. Начинается котангенс угла ctg с неопределенности, обозначенной черточкой, дальше идут корень из трех, единица, единица деленная на корень из трех, ноль.
Две средние строчки тригонометрической таблицы складываются в таблицу тангенсов и котангенсов.
Две последние строчки тригонометрической таблицы занимают секанс, который обозначается sec, и косеканс, который обозначается cosec. Поскольку эти тригонометрические функции обратны косинусу и синусу соотвественно, то и значения этих функций обратны значениям косинуса и синуса. Обращаю ваше особое внимание на то, что математики в очередной раз попытались запутать блондинок, нарушив логику применения приставки КО. У них получилось, что секанс — это тригонометрическая функция, обратная КОсинусу, а КОсеканс — обратная синусу. Естественно, что для секанса и косеканса есть углы, значения функций для которых не определены.
В завершение немного ваших вопросов и моих ответов на них:
Таблица тригонометрических функций основных углов — в тригонометрической таблице приведены самые распространенные в учебниках и примерах углы.
Таблица косинуса синуса тангенса и котангенса бесплатно — все эти функции здесь собраны в одну кучку и смотреть на них можно совершенно бесплатно.
Тригонометрическая таблица sin cos tg ctg — а еще здесь есть sec и cosec, в градусах и радианах.
Тангенс пи на 4 — как же только не извращаются математики, чтобы замаскировать обыкновенную единичку.
Синус 180 градусов равен — а вот так математики могут замаскировать обыкновенный ноль. Прямо не математика, а женская сумочка какая-то — покуда что-нибудь найдешь…
sin нуля — ну вот, ещё один ноль они спрятали, правда не очень далеко, но коварно — в cos 0 за нулем прячется единица. Попробуй тут не запутаться.
Таблица синусов и косинусов в радианах — ну, здесь не самая большая таблица, но кое-какие радианы имеются. Нужно будет соорудить что-нибудь монументальное, в духе Зураба Церетели.
Таблица часто встречающихся значений синуса косинуса тангенса котангенса — здесь есть нужные вам значения. Если вы считаете, что другие значения встречаются чаще, сообщите мне об этом, я исправлю досадное недоразумение.
ctg 225 градусов — равен единице (1). В таблице для ботаников этого нет, приходится самим додумывать. Плохая тригонометрическая таблица, нужно другую нарисовать, специально для серии «Тригонометрия для блондинок».
Таблица синусов и косинусов в дробях — да, именно в виде дроби записаны значения шести тригонометрических функций для некоторых углов в таблице на рисунке.
Таблиця косинусів синусів тангенсів котангенсів — вау! в Украине тоже изучают тригонометрическую таблицу! А я считал, что там только выборами занимаются. Наверное, они по этим таблицам прогнозы выборов считают.
Школьная таблица тангенса — есть здесь и тангенс в виде дроби, специально для школьников.
Вычислить cosekans — здесь есть косекансы в таблице. Хотя, в сокращенном виде косеканс пишется как «cosec», а по-английски это пишется «cosecant».
Таблица тангенсов с использованием пи — за неимением лучшей, пока могу предложить только эту таблицу.
Используйте таблицы, чтобы найти острый угол, учитывая, что tan 9347…
Перейти к
Тригонометрические таблицы. Упражнение 19.
налог на товары и услуги
Банковское дело
Акции и дивиденды
Квадратные уравнения с одной переменной
Факторизация
Соотношение и пропорция
Матрицы
Арифметика и геометрическая прогрессия
Отражение
Формула раздела
Уравнение прямой линии
Сходство
Локус
Круги
Конструкции
Измерение
Тригонометрические тождества
Тригонометрические таблицы
Высоты и расстояния
Главная >
ML Aggarwal Solutions
Класс 10
Математика
>
Глава 19. Тригонометрические таблицы
>
Тригонометрические таблицы. Упражнение 19.>
Вопрос 20
Вопрос 20 Тригонометрические таблицы Упражнение 19
Используйте таблицы для нахождения острого угла θ, учитывая, что: tan θ = 0,9347
Ответ:
таблицы натуральных синусов, натуральных косинусов , а натуральные тангенсы можно использовать для получения приблизительных значений синуса, косинуса и тангенса с точностью до четырех знаков после запятой для любых углов от 0 до 90 градусов.
В таблице натуральных тангенсов найдите значение (≤ .9347), что достаточно близко к 0,9347.
Мы находим значение 0,9325 в горизонтальной строке, начинающейся с 43 o , и в средней разнице мы видим 0,9347 – 0,9325 = 0,0022 в столбце 4’.
Получаем, что θ = 43 o + 4’ = 43 o 4’.
Связанные вопросы
Найдите значение следующего выражения: cos 62o 27′
Найдите значение следующего выражения: sin 65o 20′
Найдите значение следующего выражения: sin 35o 22′
Найдите значение следующего выражения: sin 23o 56′
Найдите значение следующего выражения: cos 3o 11′
Используйте таблицы, чтобы найти острый угол θ, учитывая, что: sin θ = 0,2357
Наконечник с памятью для синуса, косинуса и тангенса специальных углов (тригонометрия)
9015 4 НАКОНЕЧНИК ПАМЯТИ ТРИГОНОМЕТРИИ
простой способ запомнить синус, косинус и тангенс специальных углов тригонометрии.
Специальные триггерные углы: 0º, 30º, 45º, 60º и 90º. Что делает эти углы особенными? Треугольник 30º-60º-90º является половиной равностороннего треугольника, а треугольник 45º-45º-9Треугольник 0º составляет половину квадрата. В обоих случаях триггерные функции (синус, косинус и тангенс) могут быть выражены в виде простых отношений.
Вот способ быстрого вычисления синуса, косинуса и тангенса углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
ШАГ 1: Специальные углы.
Запишите специальные углы по порядку.
ШАГ 2: Целые числа.
Запишите целые числа от 0 до 4 по порядку.
ШАГ 3: Квадратные корни.
Квадратный корень каждого числа.
ШАГ 4: Найдите синус тета.
Разделите каждое число на 2.
Это синус 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Это так просто. Вот резюме:
Напишите числа от 0 до 4.
Квадратный корень каждого числа.
Разделите каждое число на 2.
ШАГ 5: Найдите косинус тета.
Просто запишите предыдущие числа в обратном порядке.
Почему это работает? Поскольку синус теты равен косинусу дополнения теты: sin( θ )=cos(90º– θ ). То, что противоположно тэте, соседствует с ее дополнением.
ШАГ 6: Найдите тангенс теты.
Разделите синус тета на косинус тета.
TRIG CHART
На этой диаграмме показаны все этапы вместе.
Напишите специальные углы.
Запишите целые числа от 0 до 4.
Квадратный корень каждого числа.
Разделите каждое число на 2. Это даст вам синус тета.
Напишите числа в обратном порядке. Это дает вам косинус тета.
Разделить две предыдущие строки (синус на косинус). Это дает вам касательную тета.
ПРИМЕЧАНИЕ
Существует два разных, но эквивалентных способа записи приведенной выше таблицы.
Это связано со следующими свойствами иррациональных чисел:
Так, например, существуют альтернативные способы выражения следующих значений триггера:
В диаграмме в этом блоге используется стандартная форма . В большинстве математических курсов используется стандартная форма, что означает, что в знаменателе нет иррациональных чисел (например, корня 2).
Иногда вы найдете триггерную таблицу в другой нестандартной форме. В этой форме вы видите 1 над корнем 2 вместо корня 2 над 2, и вы видите 1 над корнем 3 вместо корня 3 над 3.
Важно понимать, что обе формы верны. Однако стандартная форма ожидается в большинстве математических курсов.
Исследование сходимости рядов. Разложение в степенной ряд по степеням функции f(x) и нахождение множества сходимости ряда
титульном листе должны быть указаны
следующие данные: кафедра, дисциплина, вариант, специальность, курс, фамилия,
имя, отчество, идентификатор.
Каждый обучаемый выбирает номер
варианта в соответствии с тремя последними цифрами
идентификатора. Если идентификатор (три последние цифры) больше количества
вариантов заданий, то номер варианта рассчитывается делением идентификатора
(три последние цифры) на количество вариантов и остаток от деления –
это Ваш вариант. Если остаток от деления равен нулю, то Ваш вариант
соответствует последнему номеру варианта лабораторной работы. (Пример.
Идентификатор – m02e1g1-025. Количество вариантов – 14. Расчет: 25:14=1 с остатком
11. Ваш вариант – 11).
При наличии пакета Математика 4 на компьютере, полученный
окончательный численный результат решения заданий лабораторной работы должен
быть проверен при помощи пакета Математика 4. В случае совпадения
численных результатов, работа и проверочный файл пакета Математика 4
должны быть представлены тьютору для зачета.
Решение необходимо оформлять при
помощи компьютерных редакторов и представлять в электронном виде для
регистрации на учебном Web-сайте.Обязательное требование — имя отчетного файла должно содержать только латинские символы (пример:lab3vmat.doc).
Вариант 1
1. Исследовать сходимость рядов:
1. ;
2. ;
2. Разложить в степенной ряд по степеням функцию f(x)
и найти множество сходимости ряда:
3. Разложить функции по степеням (x–a) и найти множество сходимости ряда:
4. Используя разложение в ряд подынтегральной
функции, вычислить с точностью до 0,0001 интеграл :
5.
Найти решение задачи Коши:
6. Найти общее решение уравнения:
Вариант 2
1. Исследовать сходимость рядов:
1. ;
2. ;
2. Разложить в степенной ряд по степеням функцию f(x)
и найти множество сходимости ряда:
3. Разложить функции по степеням (x–a) и найти множество сходимости ряда:
4. Используя разложение в ряд подынтегральной
функции, вычислить с точностью до 0,0001 интеграл :
5. Найти решение задачи Коши:
6. Найти общее решение уравнения:
Вариант 3
1.
Исследовать сходимость рядов:
1. ;
2. ;
2. Разложить в степенной ряд по степеням функцию f(x)
и найти множество сходимости ряда:
3. Разложить функции по степеням (x–a) и найти множество сходимости ряда:
4. Используя разложение в ряд подынтегральной
функции, вычислить с точностью до 0,0001 интеграл :
5. Найти решение задачи Коши:
6. Найти общее решение уравнения:
Вариант 4
1. Исследовать сходимость рядов:
1. ;
2. ;
2. Разложить в степенной ряд по степеням функцию f(x)
и найти множество сходимости ряда:
3. Разложить функции по степеням (x–a) и найти множество сходимости ряда:
4. Используя разложение в ряд подынтегральной
функции, вычислить с точностью до 0,0001 интеграл :
5. Найти решение задачи Коши:
6. Найти общее решение уравнения:
Вариант 5
1. Исследовать сходимость рядов:
1. ;
2. ;
2. Разложить в степенной ряд по степеням функцию f(x)
и найти множество сходимости ряда:
3.
Разложить функции по степеням (x–a) и найти множество сходимости ряда:
4. Используя разложение в ряд подынтегральной
функции, вычислить с точностью до 0,0001 интеграл :
5. Найти решение задачи Коши:
6. Найти общее решение уравнения:
Вариант 6
1. Исследовать сходимость рядов:
1. ;
2. ;
2. Разложить в степенной ряд по степеням функцию f(x)
и найти множество сходимости ряда:
3. Разложить функции по степеням (x–a) и найти множество сходимости ряда:
4. Используя разложение в ряд подынтегральной
функции, вычислить с точностью до 0,0001 интеграл :
5.
Найти решение задачи Коши:
6. Найти общее решение уравнения:
Вариант 7
1. Исследовать сходимость рядов:
1. ;
2. ;
2. Разложить в степенной ряд по степеням функцию f(x)
и найти множество сходимости ряда:
3. Разложить функции по степеням (x–a) и найти множество сходимости ряда:
4. Используя разложение в ряд подынтегральной
функции, вычислить с точностью до 0,0001 интеграл :
5. Найти решение задачи Коши:
6. Найти общее решение уравнения:
Вариант 8
1.
Исследовать сходимость рядов:
1. ;
2. ;
2. Разложить в степенной ряд по степеням функцию f(x)
и найти множество
Решение задач по математике | Исследовать сходимость рядов
1.2.9. Пользуясь известными признаками сходимости, исследовать сходимость следующих рядов:
Воспользуемся признаком Даламбера:
При решении использовали – второй замечательный предел.
Так как – то данный ряд сходится.
По радикальному признаку Коши:
Так как – то данный ряд расходится.
По интегральному признаку Коши:
Ряд расходится.
1.3.9. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:
Воспользуемся достаточным признаком сходимости знакопеременных рядов. Для этого определим сходимость ряда составленного из модулей членов данного ряда:
Воспользуемся признаком Даламбера:
Так как , то ряд, составленный из модулей членов данный ряд, сходится.
Таким образом, исходный ряд является абсолютно сходящимся.
Воспользуемся достаточным признаком сходимости знакопеременных рядов. Для этого определим сходимость ряда составленного из модулей членов данного ряда:
По интегральному признаку Коши:
Ряд, составленный из модулей членов данный ряд, расходится.
Исследуем исходный ряд по признаку Лейбница:
1. последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает:
2. Общий член ряда стремится к нулю, при этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам :
;
с погрешность вычисления равной .
Таким образом,
Ряд является условно сходящимся, т. к. ряд составленный из модулей членов данного рядя расходится, а данный ряд сходится по признаку Лейбница.
1.4.9. Найти область сходимости степенного ряда:
По признаку Даламбера:
Область сходимости ряда: => =>
При имеем ряд:
По интегральному признаку Коши:
Ряд расходится.
Тогда область сходимости ряда:
1.5.9. Разложить в ряд Маклорена функцию . Указать область сходимости полученного ряда:
Преобразуем функцию:
Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:
Тогда:
Область сходимости ряда: => =>
Тогда область сходимости ряда:
1.8.9. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.
Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:
Тогда:
Найдем значение интеграла:
1.9.9. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля члена этого разложения).
,
Будем искать решение уравнения в виде:
Здесь:
Будем искать:
при x=0
при x=0
Подставляем найденные значения производных в исходный ряд, получаем:
Окончательно:
4. 1.9. Основные понятия и теоремы теории вероятностей:
Вероятность попадания в цель равна 0,003. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью, большей 0,94, можно было утверждать, что цель будет поражена?
По условию:
; ; ;
По формуле Бернулли:
Подставим исходные значения:
Найдем максимальное значение n, решая правую часть неравенства.
Чтобы найти максимум данной функции, найдем ее производную:
Найдем критические точки:
Тогда:
Тогда неравенство никогда не будет выполнено:
С вероятностью, большей 0,94, мы не можем утверждать, что цель будет поражена, если вероятность попадания в цель равна 0,003.
4.3.9. Схема повторных испытаний:
Из каждого десятка деталей 9 удовлетворяют стандарту. Найти вероятность того, что из 50 взятых со склада деталей число стандартных окажется между 42 и 48.
По интегральной теореме Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна (0 при этом , событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна:
Здесь:
– функция Лапласа
;
Значения функции Лапласа находим по специальной таблице.
Найдем вероятность появления стандартной детали и вероятность появления нестандартной:
;
Подставим все известные значения:
Функция Лапласа (по таблице):
Искомая вероятность:
4.4.9. Случайные величины:
Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: и , причем . Вероятность того, что Х примет значения , равна 0,2. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение .
Запишем закон распределения Х в общем виде:
X
P(X)
Впишем все известные значения:
X
P(X)
0,2
0,8
Найдем возможные значения Х:
Находим математическое ожидание:
Подставляем все известные значения:
Находим среднее квадратичное отклонение:
Находим дисперсию:
Подставляем все известные значения:
Составим систему уравнения для нахождения возможных значений Х:
Подставляем все известные значения:
=>=>=>
или
Тогда:
или
Принимая во внимание условие выбираем пару: и
Запишем закон распределения Х:
X
1
3
P(X)
0,2
0,8
4. 5.9. Случайные величины:
Случайная величина Х задана функцией распределения:
Выбрать коэффициенты a, b и c таким образом, чтобы данное распределение соответствовало случайной величине непрерывного типа, написать выражение для плотности р(х).
По условию задачи функция F(x) непрерывна. Выберем коэффициенты a, b и c таким образом, чтобы не было разрыва, для этого составим систему уравнений:
Тогда:
=> => => =>
Выберем: , тогда , .
Подставим найденные значения в функцию распределения:
Плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке и является производной функции распределения.
Дифференциальные уравнения — Обзор: Power Series
Онлайн-заметки Пола Главная
/
Дифференциальные уравнения
/
Серийные решения для DE
/ Обзор : Серия Power
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 6.1: Обзор: Power Series 9n}} \label{eq:eq1}\end{уравнение}\]
где \(x_{0}\) и \(a_{n}\) — числа. Отсюда видно, что степенной ряд является функцией \(х\). Обозначение функции не всегда включается, но иногда это так, что мы поместили его в определение выше.
Прежде чем приступить к нашему обзору, наверное, стоит вспомнить, что же такое сериалы на самом деле. Вспомните, что ряды на самом деле являются просто суммированием. Тогда один из способов записать наш степенной ряд:
Иногда нам нужно это сделать, поэтому убедитесь, что вы можете это сделать. n}} \]
9п}} = {а_0}\]
Теперь мы знаем, что степенные ряды гарантированно существуют хотя бы для одного значения \(x\). Имеем следующий факт о сходимости степенного ряда.
Факт
Дан степенной ряд \(\eqref{eq:eq1}\), будет существовать число \(0 \le \rho \le \infty \), так что степенной ряд будет сходиться для \( \left| {x — {x_0}} \right| < \rho \) и расходятся при \(\left| {x - {x_0}} \right| > \rho \). Это число называется радиус схождения .
Определение радиуса сходимости для большинства степенных рядов обычно довольно просто, если мы используем критерий отношения.
Другими словами, радиус сходимости этого ряда равен
\[\rho = \frac{7}{3}\]
Как показал этот последний пример, радиус сходимости находится практически сразу после использования критерия соотношения.
Итак, почему нас беспокоит сходимость степенных рядов? Что ж, для того, чтобы рядовое решение дифференциального уравнения существовало в конкретном \(x\), оно должно сходиться в этом \(x\). Если он не сходится при заданном \(x\), то решение ряда не будет существовать при этом \(x\). Итак, сходимость степенных рядов весьма важна.
Далее нам нужно сделать краткий обзор некоторых основ манипулирования сериями. Начнем со сложения и вычитания. 9{n + c}}} \end{align*}\]
Итак, все, что нам нужно сделать, это умножить член впереди в ряд и добавить показатели степени. Также обратите внимание, что для этого как коэффициент перед рядом, так и член внутри ряда должны быть в форме \(x-x_{0}\). Если они не совпадают, мы не можем этого сделать, в конце концов мы увидим, как поступать с терминами, которые не находятся в этой форме.
Далее нужно поговорить о дифференцировании степенного ряда. Глядя на \(\eqref{eq:eq2}\), должно быть довольно легко увидеть, как мы будем дифференцировать степенной ряд. Поскольку ряд — это всего лишь гигантская сумма, все, что нам нужно сделать, — это дифференцировать отдельные члены. Производная степенного ряда будет равна 9{n — 1}}} \end{align*}\]
Итак, все, что нам нужно сделать, это просто дифференцировать термин внутри ряда, и все готово. Обратите также внимание на то, что на самом деле существует две формы производной. Поскольку \(n = 0\) член производной равен нулю, это не изменит значение ряда, и поэтому мы можем включать его или нет по мере необходимости. В нашей работе мы обычно хотим, чтобы производная начиналась с \(n = 1\), однако иногда будет возникать проблема, когда было бы удобнее начинать ее с \(n = 0\). 9{п + 2}}} \]
Показать решение
Сдвиг индекса — довольно простая манипуляция. Во-первых, заметим, что если мы определим \(i=n-3\), то при \(n = 3\) мы получим \(i=0\). Итак, что мы сделаем, так это перепишем ряд в терминах \(i\) вместо \(n\). Мы можем сделать это, заметив, что \(n=i+3\). {n + 2}}} \]
9{n + 1}}} \) Показать решение
Во-первых, обратите внимание, что здесь две серии, а инструкции явно требуют только одну серию. Итак, нам нужно будет вычесть два ряда в какой-то момент времени. Подавляющее большинство нашей работы будет состоять в том, чтобы подготовить два ряда для вычитания. Это означает, что перед двумя рядами не может быть никаких коэффициентов (кроме одного, конечно…), они должны начинаться с одного и того же значения \(n\), и им потребуется один и тот же показатель степени в \ (х-х_{0}\). 9п}} \]
Наконец, чтобы вычесть два ряда, нам нужно, чтобы они начинались с одного и того же значения \(n\). В зависимости от ряда в задаче мы можем сделать это разными способами. В этом случае заметим, что, поскольку во второй серии есть n-1 , мы фактически можем начать вторую серию с \(n = 1\), не меняя ее значения. Также обратите внимание, что при этом мы получим, что оба ряда начинаются с \(n = 1\), и поэтому мы можем выполнить вычитание. Тогда наш окончательный ответ: 9п}} \]
В этом случае мы не можем просто начать первую серию с \(n = 3\), потому что в этой серии нет \(n-3\), чтобы сделать член \(n = 3\) равным нулю . Таким образом, мы не сможем сделать эту часть, как в первой части этого примера.
В этой части нам нужно удалить \(n = 3\) из второго ряда, чтобы они оба начинались с \(n = 4\). Затем мы сможем сложить две серии вместе. Удаление члена \(n = 3\) из второго ряда дает 9п} = 0} \]
для всех \(x\), тогда
\[{a_n} = 0,\,\,\,n = 0,1,2, \ldots\]
Этот факт будет ключевым в нашей работе с дифференциальными уравнениями, так что не забывайте об этом.
Радиус сходимости решений рядов
Радиус сходимости решений рядов
В последнем разделе мы рассмотрели один из самых простых примеров линейного однородного уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами: Уравнение Эйри
г »- т г = 0,
который используется в физике для моделирования преломления света.
Мы узнали, что
и
образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения Эйри.
Возникают естественные вопросы, при каких значениях t эти ряды сходятся и при каких значениях t эти ряды решают дифференциальное уравнение.
Первый вопрос
можно ответить, найдя
радиус сходимости степенного ряда,
но оказывается, что есть элегантная теорема из-за Лазарь Фукс (1833-1919 гг.)02), что решает оба эти вопроса одновременно.
с начальными условиями вида y (0)= y 0 и y ‘(0)= y ‘ 0 .
Пусть r >0.
Если оба p ( t ) и q ( t ) имеют ряды Тейлора, сходящиеся на отрезке (- r , r ), то дифференциальное уравнение имеет единственное решение степенного ряда y ( t ), который также сходится на отрезке (- r , r ).
Другими словами,
радиус сходимости
решения ряда не меньше минимума радиусов сходимости p ( t ) и q ( т ).
В частности, если оба p ( t ) и q ( t ) являются полиномами, то y ( t ) решает дифференциальное уравнение для всех .
Поскольку в случае уравнения Эйри p ( t )=0 и q ( t )=- t являются полиномами, фундаментальный набор решений y 10262 ) и y 2 ( t ) сходятся и решают уравнение Эйри для всех .
Давайте посмотрим на некоторые другие примеры:
Уравнение Эрмита порядка n имеет вид
y »-2 ty ‘+2 ny =0,
где n обычно неотрицательное целое число.
Как и в случае уравнения Эйри, оба p ( t )=-2 t и q ( t )=2 n являются полиномами, поэтому уравнение Эрмита имеет решения степенного ряда, которые сходятся и решают дифференциальное уравнение для всех .
Уравнение Лежандра порядка
имеет форму
где
является действительным числом.
Будь осторожен! Мы должны переписать это уравнение, чтобы применить теорему Фукса. Разделим на 1- t 2 :
Теперь коэффициент перед y » равен 1, как и требовалось.
Каков радиус сходимости представлений степенного ряда
(Центр, как и во всех наших примерах, будет t = 0.) Нам действительно нужно исследовать этот вопрос только для функции
так как умножение на полином (-2 t , и ,
соответственно) не меняет радиус сходимости.
Геометрический ряд
сходится, когда -1 < x <1. Если мы подставим х = t 2 , мы получаем искомое представление степенного ряда:
который будет сходиться, когда -1< x = t 2 <1, т. е. , когда -1< t <1. Таким образом, оба
будет сходиться на интервале (-1,1). Следовательно, по результату Фукса ряды решений уравнения Лежандра будут сходиться и решать уравнение на интервале (-1,1).
Уравнение Бесселя порядка
имеет форму
где
является неотрицательным действительным числом.
Мы снова должны быть осторожны! Разделим на t 2 :
Теперь коэффициент перед y » равен 1, как того требует теорема Фукса.
Функция имеет особенность при t = 0, таким образом, p ( t ) не имеет ряда Тейлора с центром t = 0. Следовательно, результат Фукса не гарантирует даже существования степенных рядов решений уравнения Бесселя.
Как оказалось, уравнение Бесселя действительно не всегда имеет решения, которые можно записать в виде степенных рядов. Тем не менее, существует метод, аналогичный представленному здесь, для нахождения решения уравнения Бесселя.
Изменение радиуса окружности не влияет на значения синуса и косинуса. Поэтому удобно выбрать R = 1. Такую окружность называют единичной. Таким образом, \(sin\alpha=y, \ cos\alpha=x\).
Чаще всего единичная окружность используется для определения знака тригонометрической функции, числовые значения находятся в таблицах или вычисляются с помощью калькулятора.
Значения тригонометрических функций, которые нужно знать наизусть.
Взяв произвольный угол \(\alpha\) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол \( α\).
Синус и косинус являются периодическими функциями с периодом 2π.
Тангенс и котангенс являются периодическими функциями с периодом π.
Вопросы
Если \(cos\alpha=\frac23, \ 0\leq\alpha\leq\frac{\pi}2\), то вычислите значение \(ctg\alpha\).
Вычислите.
\(cos\frac{43 \pi}6\)
Вычислите.
\(sin90°\)
Вычислите.
\(sin 810°\)
Вычислите.
\(ctg1140°\)
Вычислите.
\(sin300° \)
Если \(cos\alpha=\frac23, \ 0\leq\alpha\leq\frac{\pi}2\), то вычислите значение \(sin\alpha\).
Если \(cos\alpha=\frac23, \ 0\leq\alpha\leq \frac{\pi}2\), то вычислите значение \(tg\alpha\).
Вычислите значение выражения. \circ\)
Найдите числовое значение выражения.
\(5sin\frac{3\pi}6\)
Сообщить об ошибке
Обязательные
Математическая грамотность
Грамотность чтения
История Казахстана
Предметы по профилю
Биология
Химия
Английский язык
Французский язык
География
Немецкий язык
Информатика
Основы права
Русская литература
Математика
Физика
Русский язык
Всемирная история
Укажите предмет *
Скопируйте и вставьте вопрос задания *
Опишите подробнее найденную ошибку в задании *
Прикрепите скриншот
Объем файла не должен превышать 1МБ
Казахский
Русский
Обратите внимание! По выбранным Вами предметам ГРАНТЫ не предоставлены. В AlmaU, Университете Нархоз и Каспийском Университете представлены специальности, где профильными предметами являются математика, физика, география, иностранный язык, Человек. Общество. Право, всемирная история, биология, химия и творческий экзамен.
1. Скачайте приложение iTest, используя QR-код или строку поиска в AppStore или Play Market
2. Авторизуйтесь в приложении и готовьтесь к экзаменам вместе с нами
Открытый урок по теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс»
Цели урока:
Образовательные: ввести понятие тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, как координат точки единичной окружности; определить множество значении этих функций; рассмотреть перевод градусной меры измерения улов в радианную меру и наоборот; сформировать умение определять знаки тригонометрических функций; рассмотреть зависимости между косинусом, синусом, тангенсом и котангенсом одного и того же аргумента; научить находить значения тригонометрических функций по тригонометрической окружности выполнять действия с тригонометрическими функциями.
Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки.
Воспитательные: воспитывать у учащихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.
Тип урока: комбинированный.
Форма работы: фронтальная и индивидуальная.
Методы обучения: диалогическое изложение материала с использованием ИКТ.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал, презентация к уроку.
I. Организационный момент. (2 мин.)
Проверить готовность группы и кабинета к уроку. Настроить учащихся на тему урока.
Открываем тетради. Записываем сегодняшнее число и тему нашего урока: «Синус, косинус, тангенс, котангенс».
Все новое и необычное всегда привлекает к себе и люди, пусть даже неосознанно, стремятся это узнать. Таджикский поэт Рудаки так говорил об этом:
С тех пор как существует мирозданье,
Такого нет, кто б ни нуждался в знанье.
Какой мы ни возьмем язык и век,
Всегда стремится к знанью человек!
Сегодня мы начинаем изучать тригонометрию. Тригонометрия – это греческое слово и в переводе означает измерение треугольников. Возникновение тригонометрии было связано сземле измерением, астрономией, строительным делом. Выходит, что знание и понимание этой темы важно не только для будущей сдачи экзамена по математике, но для освоения и выбранной вами профессией.
II. Активизация знаний. (3 мин.)
С этим разделом математики вас познакомили учителя на уроках геометрии при изучении отношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
Давайте вспомним: какие понятий связывают стороны и острые углы прямоугольного треугольника?
Итак, синус, косинус, тангенс и котангенс – это некоторые числа. Причем для каждого угла свои и их значение зависит только от величины угла.
Также вам уже известно, что синус, косинус, тангенс и котангенс называют тригонометрическими функциями, и мы можем их найти по величине угла или наоборот найти величину угла, если нам известно значение одной из этих функций. Для этого существуют специальные таблицы Брадиса. Правда, в настоящее время мы обращаемся к ним редко, а скажите почему?
III. Историческая справка. (2 мин.)
Понятие синуса угла, как отношение отрезков треугольника появилось уже 3 веке до нашей эры в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В 1 веке нашей эры оно исследовалось Минелаем, но еще не получило своего сегодняшнего названия. В 4-5 веках индийский ученый Ариабхаты ввел специальный термин джива – «тетива», который при переводе арабских текстов на латынь был заменен синусом, что означает изгиб, кривизна.
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения, которое означает «дополнительный синус».
Абу-Абдалах, арабский астроном и математик 10 века, наблюдая за солнечными часами, создал первые таблицы таких тригонометрических функций, как тангенс и котангенс, не вводя эти понятия. Сам термин, в переводе с латинского означающий «отрезок касательной» был введен только в 1583 году датским математиком Томасом Финком.
IV. Изложение нового материала. (25 мин.)
Сегодня на уроке мы продолжим изучать эти тригонометрические функции, а также познакомимся с тригонометрической окружностью, рассмотрим понятие этих функций с помощью окружности, научимся находить по ней значения функций, их знаки, вспомним основные тригонометрические тождества и разберем, как их применять для решения задач.
Рассмотрим окружность единичного радиуса центр, которой совпадает с началом прямоугольной системы координат. Это означает, что у нас есть знакомые нам ось абсцисс (ось х) и ось ординат (ось у). Центр окружности мы совместили с началом координат. Наша окружность единичная, то есть радиус у нее равен 1. Значит, координаты точек пересечения с окружностью будут равны 1 и -1 на каждой оси. Возьмем точку с координатами (1;0), которая будет двигаться по нашей окружности, обозначим ее . За положительное направление выбирают движение против часовой стрелки, за отрицательное движение по часовой стрелке. Начальное положение, которое занимает наша точка, примем за начало отсчета пути, пройденного точкой по окружности. Пусть точка двигается против часовой стрелки, то есть в положительном направлении. При движении по окружности она займет положение точки М, которая будет иметь координаты (х; у), так как точка расположена в координатной плоскости. Проведем к этой точке радиус и угол между этой точкой М и радиусом обозначим . Значит, положение точки М мы можем задать двумя способами: с одной стороны координатами (х; у), так как точка лежит в координатной плоскости и с другой стороны с помощью угла поворота этой точки вокруг начала координат. И если мы можем положение точки задать двумя способами, значит между ними, должна быть какая-то связь. То есть координаты точки (х; у) и величина угла должны быть связаны некоторой функцией. Таким образом, у нас появляются тригонометрические функции, которые выражают зависимость между координатами точки единичной окружности в системе координат и углом поворота, при помощи которого мы попадаем из нашей начальной точки при движении, в точку М. Выразим эту зависимость, определяя, координаты точки М. Опускаем перпендикуляры на координатные оси. Получаем прямоугольный треугольник.
Применим уже известные нам отношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника и получим, что координата х (абсцисса) точки М будет равна:
, . Так как у нас единичная окружность, то ОМ=1. Ордината у точки М находится аналогично и будет равна: , у=
Для функций тангенс и котангенс получаем следующие равенства из того же прямоугольного треугольника:
Итак, косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.
Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.
Получаем, что ось х – это ось косинуса, ось у – это ось тангенса. Функции тангенс и котангенс также имеют свои оси. Осью тангенсов является касательная к единичной окружности в точке с координатой (1; 0), а осью котангенсов — касательная к окружности в точке с координатой (0; 1) и значит значения этих функций находят по данным осям.
Так как синус и косину это по сути координаты точки на единичной окружности и из ее рассмотрения видно, что они лежат в пределах от -1 до 1, то можем сделать вывод, о том какие значения могут принимать наши функции:
Зная это мы, можем ответить на вопрос: может ли .
Значение угла может быть любым: отминус бесконечности до плюс бесконечности.
Обратимся к нашему треугольнику и вспомним теорему Пифагора. Радиус единичной окружности — это гипотенуза треугольника, а ее катеты равны соответственно и . Тогда применяя теорему Пифагора (квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов ее катетов) получаем равенство, называемое основным тригонометрическим тождеством:
А сейчас давайте разберемся, как нам определять знаки тригонометрических функций. Это не сложно. Знаки тригонометрических функций соответствуют знакам координат точки единичной окружности. Координатные оси разбивают всю координатную плоскость и окружность на четыре координатные четверти. Нумерация четвертей совпадает с началом движения точки по окружности в положительном направлении, то есть против часовой стрелки. (далее указываем по рисунку номера четвертей). Границы наших четвертей: от точки – это до , от до , от до , от до .
Определим знаки тригонометрических функций в каждой четверти, для этого заполним таблицу:
I
II
III
IV
+
+
—
—
+
—
—
+
+
—
+
—
+
—
+
—
Вы уже знаете, что величины углов могут измеряться в радианной мере и градусной мере. А. А это означает, что вы должны уметь переходить от радианной меры измерения угла к градусной.
Углом в 1 радиан это центральный угол, который опирается на дугу, равную радиусу. Длина окружности равна: . То есть в нашей окружности помещается ровно два пи дуг длина которых равна радиусу и значит, во всей нашей окружности помещается два пи углов в один радиан. Вся окружность равна . Значит, соответствует радианам, а соответствует радиан.
При переходе от радианной меры к градусной и наоборот проще всего использовать это соотношение:.
Выразить радианы в градусы несложно, достаточно вместо подставить и вычислить. Например:
.
В случае, когда надо перейти от градусной меры в радианную можно применять формулу: Но формулы имеют свойство забываться, поэтому я предлагаю вам при необходимости составлять пропорцию.. Например, выразим 30 в радианах:
Наиболее часто употребляемыми углами являются углы в . Давайте переведем их в радианы и запишем на нашей окружности. Углы в находятся в первой четверти и составляют от него третью часть, половину и две третьих.
Так как значение , значит , значит , следовательно, на окружности точка 1 расположена выше . Значение , , , .
Значит, если мы хотим найти угол в 2 радиана, то видим, что он лежит между значениями 1,57 и 3,14, то есть во II четверти. Не забывайте, что угол мы отмечаем от положительного направления оси ОХ. Соответственно угол в -1 радиан лежит в IV четверти. Также мы определяем, где лежит угол в , -. Для определения четверти для углов, равных или мы должны определить, какая из них правильная дробь, а какая неправильная дробь. Правильную дробь сравнить со значением и если она больше ее, то угол лежит во второй четверти (или наоборот), а неправильную дробь со значением и если она меньше его, то угол лежит в третьей четверти. В итоге получаем, что .
Мы, с вами рассматривая, новый материал при помощи единичной окружности выяснили, что ее еще называют тригонометрической, так как координатами точки на окружности являются функции синус, косинус, тангенс и котангенс. Определили, что синус и косинус могут принимать значения только от -1 до 1, а тангенс и котангенс от – бесконечности до + бесконечности. Рассмотрели координатные четверти, их границы, как найти в какой четверти лежит угол, разобрали, как связаны между собой радианы и градусы. При этом наша тригонометрическая окружность изменялась, обрастала все новыми значениями. Если бы мы продолжили работу по нахождению значений координат точки и углов, соответствующих координатам по нашей окружности, то она бы приняла вот такой вид. (Идет демонстрация слайда с единичной окружностью и говорится, что такие же окружности есть у вас на столах, для удобства в работе).
Разберем, как работать с этой окружностью. Нахождение значений угла или функции напоминает нахождение координаты точки по графику или определение положения точки по заданным координатам.
Например, найдем, чему будут равны:
При помощи круга мы можем находить значения углов не только до 360, но и больших, так движение по кругу напоминает движение по спирали: один оборот, второй оборот и так далее. Например, найдем, чему равны значения функций:
Вы должны находить значение тригонометрических функций по известному значению одной из них. Например, найти чему будет равен косинус, тангенс или котангенс какого-то угла, если синус этого же угла принимает такое-то значение. Для этого надо знать формулы, которые связывают известную и неизвестную величины. В тригонометрии их называют тригонометрические тождества.
Вот основные из них: это основное тригонометрическое тождество, мы его с вами вывели ранее вместе с вот этим формулами: . А вот эти три тождества вытекают из предыдущих:
V.
Первичное закрепление материала. (10 мин.)
Мы рассмотрели тригонометрические функции, но еще Жан Жак Руссо говорил, что час работы научит больше, чем день объяснения. Значит, пора переходить к решению упражнений. Но перед этим давайте еще раз коротко обговорим, какие новые знания мы сегодня получили и должны запомнить. Проведем блиц опрос по рассмотренному материалу.
Устная работа (повторение теории). Вопросы для учащихся.
Какие тригонометрические функции мы рассматривали?
Как определяют функцию синус, косинус, тангенс, котангенс?
На какой оси находятся значения синуса, косинуса, тангенса котангенса?
В каких пределах может изменяться значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса?
В какой четверти косинус больше 0, синус отрицателен, тангенс положителен, а котангенс меньше нуля?
Что необходимо знать, чтобы определить знак функции?
Какое направление считается положительным, а какое отрицательным?
В каких единицах может выражаться угол?
Как выполнить переход от радианной меры к градусной и наоборот?
Устная работа (решение упражнений). Задания для устной работы.
Верно ли равенство: ?
Определите знак функции: ?
Переведите радианную меру угла в градусную: .
Найдите при помощи круга значение функций, объясните ответ: .
Найдите при помощи круга значение синуса, косинуса, тангенса, если величина угла равна:
После окончания устной работы, отметить активных учащихся, поставить оценки за первый урок.
VI. Решение упражнений, работа по учебнику. (25 мин.)
Работа по решению упражнений идет у доски с вызовом учащихся и на местах. Каждое задание при наличии времени желательно разобрать перед решением.
1 задание: №3 ( а и в) из учебника «Алгебра 10-11» Колмогорова.
а)
б) .
2 задание: текст задания дан на слайде презентации: найдите знак произведения:
а)
б)
в)
г)
3 задание: № 7 (а) по учебнику.
Найдите: , , .
Решение.
Так угол лежит в 3 четверти, то
Ответ: 0,6 ;; .
VII. Самостоятельная работа. (15 мин.)
Выполняется на листах через копирку. После решения работа первый раз проверяется учащимися в виде взаимопроверки, выставляются следующие оценки: за 3 задания –«3», за 4 задания – «4», за все 5 заданий оценка 5.
Задания для самостоятельной работы.
I вариант.
Выразите в градусной мере величину угла: .
Выразите величину угла в радианах: .
Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям: .
Вычислите значение выражения:.
Найдите значение функции , если и .
IIвариант.
Выразите в градусной мере величину угла: .
Выразите величину угла в радианах: .
Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям: .
Вычислите значение выражения: .
Найдите значение функции , если и .
VIII. Разбор домашнего задания. (2 мин.)
Задание на дом вывести на слайд презентации: по учебнику № 31 (а и в), № 15 (г), № 3 (в и г).
IX. Рефлексия. (3 мин.)
Подвести итоги урока, проведя беседу с учащимися по вопросам: что узнали, что решали?
Приложение
Как рассчитать значения шести тригонометрических функций
Авторы: Мэри Джейн Стерлинг и
Рабочая тетрадь по исчислению для чайников
Предварительное исчисление Учебное пособие для чайников
Исследовать книгу Купить на Amazon
В предварительном исчислении вам необходимо оценить шесть триггерных функций — синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс — для одного угла на единичной окружности. Для каждого угла на единичной окружности три других угла имеют аналогичные значения триггерной функции. Единственная разница в том, что знаки этих величин противоположны, в зависимости от того, в каком квадранте находится угол. Иногда угол не будет лежать на единичной окружности, и вам придется использовать свой калькулятор.
Если в вашем распоряжении нет единичного круга (например, если вы проходите тест), вы можете нарисовать картинку и найти нужные значения долгим путем.
Синус и косинус
Определение точки на плоскости косинуса в прямоугольном треугольнике
Поскольку гипотенуза r всегда равна 1 в единичной окружности, значение x равно значению косинуса. И если вы вспомните альтернативное определение синуса,
, вы поймете, что y 9Значение 0024 — это значение синуса. Таким образом, любая точка на единичном круге всегда равна
. Разговор о том, чтобы сложить все части воедино!
В алфавитном порядке x предшествует y и c предшествует s (другими словами, косинус предшествует синусу). Этот факт должен помочь вам вспомнить, какой из них есть какой.
Тангенс, котангенс, секанс и косеканс
Тангенс, котангенс, секанс и косеканс требуют немного больше усилий, чем синус и косинус. Для многих углов единичной окружности вычисление этих функций требует осторожной работы с дробями и квадратными корнями.
Не забывайте всегда рационализировать знаменатель любой дроби в своем окончательном ответе. Кроме того, помните, что любое число, деленное на 0, не определено. Функции тангенса и секанса, например, не определены, когда значение косинуса равно 0. Точно так же значения котангенса и косеканса не определены, когда значение синуса равно 0.
Время для примера. Чтобы вычислить шесть тригонометрических функций 225 градусов с помощью единичного круга, выполните следующие действия:
Нарисуй картинку.
Когда вас просят найти триггерную функцию угла, вам не нужно каждый раз рисовать единичный круг. Вместо этого используйте свой ум, чтобы понять картину. Для этого примера 225 градусов на 45 градусов больше, чем 180 градусов. Нарисуйте треугольник 45-45-90 градусов только в третьем квадранте.
Введите длины катетов и гипотенузы.
Треугольник 45er, украшенный как рождественская елка
Используйте правила треугольника 45er. Координата точки в 225 градусов равна
На рисунке показан треугольник, а также вся информация для оценки шести триггерных функций.
Будьте осторожны! Используйте то, что вы знаете о положительных и отрицательных осях на координатной плоскости, чтобы помочь вам. Поскольку треугольник находится в третьем квадранте, оба значения x и y должны быть отрицательными.
Найдите синус угла.
Синус угла представляет собой значение y или вертикальную линию, которая проходит от точки на единичной окружности до х- ось. Для 225 градусов значение y равно
.
Найдите косинус угла.
Значение косинуса равно x , поэтому оно должно быть
.
Найдите тангенс угла.
Чтобы найти тангенс угла на единичной окружности, вы используете альтернативное определение тангенса:
С другой стороны,
, потому что в единичном круге значение y — это синус, а 9Значение 0023 x — это косинус. Итак, если вы знаете синус и косинус любого угла, вы также знаете тангенс. (Спасибо, единичный круг!) Синус и косинус 225 градусов равны
.
Следовательно, вы можете разделить синус на косинус, чтобы получить тангенс 225 градусов, который равен 1.
Найдите косеканс угла.
Косеканс любого угла равен
или r / y , используя определение точки в плоскости. Используя то, что вы определили на шагах 1,
Теперь вы можете делить 1 на
.
Найдите секанс угла.
секанс любого угла равен
Потому что косинус 225 градусов тоже равен
найдено на шаге 4, секанс 225 градусов равен
Найдите котангенс угла.
Котангенс угла равен
Из шага 5 тангенс (225 градусов) = 1. Сокот (225 градусов) = 1/1 = 1. Легко как пирог (но не пи, что является совершенно другой темой).
Об этой статье
Эта статья взята из книги:
Предварительное исчисление для чайников,
Об авторе книги:
Мэри Джейн Стерлинг преподавала алгебру, деловое исчисление, геометрию и конечную математику в Брэде Лей Университет в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет. Она является автором книг «Тригонометрия для чайников», и «Конечная математика для чайников».
Задача линейного программирования: основные определения
Примеры формулировки (модели) задач линейного программирования
Сведение любой задачи линейного программирования к канонической
Основные теоремы линейного программирования
Линейное программирование – метод решения задач оптимизации.
В первых оптимизационных задачах требовалось выяснить, сколько различных изделий
нужно произвести, чтобы получить максимальный доход, если известно количество ресурсов (сырья,
рабочего времени, оборудования) и цены, по которым можно реализовать готовые изделия. Другой вид задач –
выяснить, при каких условиях свести расходы к минимуму (это, например, задача о питании). Таким образом, общая задача линейного программирования – это задача, в которой требуется найти максимум или минимум
(оптимум) функции, называемой функцией цели, при ограничениях, заданных системой линейных неравенств
или уравнений.
При этом переменные чаще всего по условиям задачи должны принимать неотрицательные значения (то есть положительные
либо нулевые), но бывают и исключения, о которых чуть ниже.
Функция цели в задаче линейного программирования обычно записывается так:
.
Или в сокращённом виде с сигмой:
.
Можно встретить обозначение целевой функции и через C, и через F.
Система ограничений в задаче линейного программированияв канонической форме записывается так:
.
Или в сокращённом виде:
И система ограничений, и целевая функция имеют линейный характер, то есть
содержат переменные только в первой степени.
Канонической задачей линейного программирования называется задача, в которой,
как было показано выше, требуется найти максимум целевой функции при ограничениях, заданных системой
линейных уравнений.
Задачей линейного программирования в стандартной, или, как говорят иначе, нормальной
форме, называется задача, в которой требуется найти максимум целевой функции при ограничениях,
заданных системой неравенств одного смысла, то есть с одинаковым знаком, и этот знак — «меньше или равно», причём
действует также условие неотрицательности переменных. Если в задаче линейного программирования, заданной
в стандартной форме, требуется найти минимум целевой функции, то система ограничений состоит из системы
неравенств со знаком «больше или равно».
Задачей линейного программирования в общей форме, или, как говорят иначе, в смешанной
форме, называется задача, в которой требуется найти максимум или минимум целевой функции, а
система ограничений может включать в себя неравенства с различными знаками, а также уравнения, то есть равенства.
При этом в задаче, заданной в общей форме, условие неотрицательности переменных не обязательно соблюдается, то есть некоторые переменные
могут быть без ограничения знака, а для некоторых (как впрочем, иногда и всех) переменных может быть
задано условие неположительности.
Если все или некоторые ограничения в системе заданы неравенствами, то задачу можно свести к
канонической путём преобразования неравенств в уравнения.
Множество чисел (запись последовательности иксов), удовлетворяющих системе
ограничений, называется решением этой системы. Решение системы также часто называется планом,
и немного реже – программой, но именно отсюда и пошло название «линейное программирование».
Оптимальным решением задачи линейного программирования называется решение
системы, при которых функция цели обращается в максимум или минимум, в зависимости от условия задачи,
или в общем смысле – в оптимум.
Решение задачи линейного программирования называется вырожденным, если в нём
некоторые переменные равны нулю. В противном случае решение является невырожденным.
Как было отмечено выше, переменные в задаче линейного программирования чаще всего должны быть
неотрицательными, но, как мы уже усвоили, общая форма записи задачи допускает и отрицательные значения
переменных. Если переменные (икс с индексом)
означают наличность фирмы, которую требуется направить на различные нужды, но по некоторым статьям
фирма должна денег больше, чем имеет, то тогда можно допустить, что соответствующие переменные –
отрицательные.
К приведённым определениям следует добавить следующее правило, имеющее
практическое значение. Для того чтобы решение задачи имело смысл, ограничения задачи линейного
программирования должны быть заданы в одних и тех же единицах. Например, если фигурантами задачи
линейного программирования являются трудодни, то необходимо определить, идёт ли речь о трудоднях в
неделю или в месяц и определённого уточнения придерживаться на всём протяжении решения задачи.
Задачи линейного программирования в случае двух переменных можно решить
и графическим методом, в случаях,
когда переменных больше, применяется симплекс-метод.
На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом.
Разберём несколько типов экономических задач и запишем их в виде
математических соотношений. Или, говоря иначе, построим математическую модель
предметной области.
Для этого, как следует из предыдущего параграфа, надо так
представить предметную область, чтобы получить следующие атрибуты задачи линейного программирования.
Целевая функция. Её нужно максимизировать или минимизировать. Для того, чтобы
функцию максимизировать, переменные, являющиеся её слагаемыми, должны принимать как можно большие
значения в соответствии с условиями задачи. При минимизации — наоборот, меньшие. Обычно целевая функция выражает доходы или расходы.
Переменные. Каждая переменная, как правило, означает запасы одного из
производственных факторов — вида сырья, времени, рабочей силы, технологических возможностей
или чего-либо другого.
Ограничения. Очень просто. Например, в каждом уравнении (неравенстве)
заданы ограничения перечисленных выше или других запасов, используемых для производства
определённого вида продукции.
Пример 1. Схема задачи использования сырья.
Сформулировать для решения как задачи линейного программирования следующую задачу.
Для изготовления двух видов продукции
и требуется
четыре вида ресурсов (сырья): ,
, ,
. Запасы
сырья — соответственно , ,
, единицы.
Доход от реализации одной единицы продукции
равен у. е.,
а доход от реализации одной единицы продукции
равен у. е.
Требуется получить наибольший доход от изготовления продукции и
, то есть, узнать, сколько единиц
и сколько единиц
нужно изготовить из имеющегося запаса сырья, чтобы получить максимальный доход.
Решение. Для удобства сначала все данные запишем в виде таблицы:
Виды сырья
Запасы сырья
Виды продукции
Доход от реализации одной единицы продукции
Тогда на основании таблицы запишутся неравенства (ограничения):
В самом деле, для изготовления каждой единицы продукции
необходимо
единиц сырья ,
а для изготовления
единиц требуется
единиц сырья . Для изготовления
единиц продукции
требуется
единиц сырья .
Так как запасы сырья
составляют , то
расход не может превышать .
В результате получим первое неравенство:
Из остальных строк таблицы составим ещё 3 неравенства системы.
Доход от реализации
единиц продукции
по
у. е. за каждую единицу составляет
у. е. Аналогично доход от реализации
единиц продукции
по у. е.
за каждую единицу составит
у. е. Тогда суммарный доход от реализации двух видов продукции
и запишется
в виде .
В задаче требуется найти максимальный доход, то есть найти максимум функции цели
.
На нашем сайте есть решение числового примера этой задачи графическим методом.
На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 2. Схема задачи о смесях.
Сформулировать для решения как задачи линейного программирования следующую задачу.
Требуется найти наиболее дешёвый набор из доступных исходных материалов,
обеспечивающих получение смеси с заданными свойствами. Полученные смеси должны иметь в свойм
составе n различных компонент в определённых количествах, а сами компоненты
являются составными частями m исходных материалов. Для упрощения примем, что n=3 и m=4. Пусть стоимость одной единицы
материала соответственно составляет ,
,
,
. В свою очередь
необходимое количество каждой из компонент в смеси составляет соответственно ,
, .
Решение. Строим таблицу:
Виды материалов
Цена единицы материала
Количество компонент в материале
K1
K2
K3
1
2
3
4
Необходимое количество компонент
Коэффициенты aij
показывают количество j-й компоненты в единице i-го материала K1. Требуется получить
смесь с заданными свойствами при наименьших затратах на приобретение материалов.
Запишем задачу в виде математических соотношений.
Обозначим через xi количество материалов i-го вида, входящего в смесь. Тогда задача сведётся к отысканию минимума функции
при ограничениях
Одним из частных случаев общей задачи о смесях служит задача о питании. К ней сейчас
же и перейдём.
На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом.
Пример 3. Схема задачи о питании.
Сформулировать для решения как задачи линейного программирования следующую задачу.
Для нормального функционирования организма необходимо потреблять
ежесуточно определённое количество питательных веществ: жиров, белков, углеводов, витаминов. Они содержатся в разных продуктах в различных количествах. Пусть стоимость одной единицы
продукта соответственно составляет ,
,
. Нужно так
организовать питание, чтобы организм получал необходимое количество питательных веществ,
а стоимость питания была бы наименьшей.
Решение. Строим таблицу:
Питательные вещества
Норма
Продукты
Ж
Б
У
В
Стоимость питательных веществ
В таблице выше, например, число
означает количество белков, содержащихся в одной единице продукта .
Число — это
суточная норма потребления углеводов и т. д.
Запишем задачу в виде математических соотношений. В задаче неизвестно
количество каждого вида продукта. Поэтому обозначим количество продукта
буквой , количество
продукта —
буквой ,
количество продукта —
буквой .
Получим систему неравенств (ограничений):
Требуется найти найти такое неотрицательное решение системы ограничений,
при котором функция цели
обращалась бы в минимум.
На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом.
Пример 4. Схема задачи об использовании мощностей оборудования.
Сформулировать для решения как задачи линейного программирования следующую задачу.
Предприятию требуется за время T выпустить N1 единиц продукции П1
и N2 единиц продукции П2. Каждый из этих двух видов продукции
может производиться тремя машинами A, B, C. Составить оптимальный план работы машин, то есть найти время загрузки машин A, B, C,
с тем расчётом, чтобы стоимость изготовления всей продукции предприятием оказалась минимальной.
Мощность машин задана следующей таблицей:
Машины
П1
П2
A
B
C
В этой таблице —
количество единиц продукции, производимое за единицу времени.
Цена одной единицы рабочего времени на изготовление одной единицы продукции
на каждой машине задана следующей таблицей:
Машины
П1
П2
A
B
C
В этой таблице, например, число
означает цену одной единицы рабочего времени машины B, затрачиваемой
на изготовление одной единицы продукции П1.
Запишем задачу в виде математических соотношений. Неизвестным является время загрузки
машин по производству продукции. Обозначим через
время загрузки машины A по изготовлению продукции П1, через
— время загрузки машины A по изготовлению продукции П2.
Аналогично — время
загрузки машины B по изготовлению продукции П1, —
время загрузки машины B по изготовлению продукции П2, —
время загрузки машины C по изготовлению продукции П1,
время загрузки машины C по изготовлению продукции П2.
Машины A, B, C работают
одновременно, значит если обозначим время одновременной работы всех трёх машин буквой T,
то получим систему неравенств:
Машина A изготовлением продукции П1
занята единицы времени на
единицы продукции. Машина B изготовлением П1
занята единицы времени
по единицы продукции.
Аналогично машина C изготовлением П1
занята единицы времени,
по единицы продукции и т.д.
Всего нужно N1 единиц продукции П1
и N2 единицы П2.
То есть получаем ещё одну систему:
Тогда общая стоимость всей продукции запишется в виде равенства:
.
Окончательно получаем систему ограничений, состоящую из соотношений:
Задача заключается в том, чтобы найти такое неорицательное решение последней из
приведённых систем, чтобы целевая функция C приняла минимальное значение.
Пример 5. Транспортная задача (схема).
Сформулировать для решения как задачи линейного программирования следующую задачу.
На двух станциях отправления и
имеется соответственно
и
единиц
некоторого груза. Этот груз следует доставить в три пункта назначения ,
,
и в каждый
из них должно быть завезено соответственно ,
,
единиц этого
груза. Стоимость перевозки одной единицы груза из пункта
в пункт равна
.
Составить такой план перевозок, чтобы общая стоимость всех перевозок
была минимальной.
Решение. Считаем, что запас всего груза на обоих пунктах отправления
равен потребности в этом грузе на всех трёх пунктах назначения, т. е.
Запишем задачу в виде математических соотношений. Количество единиц груза,
отправляемых из пункта
в пункт ,
обозначим и
составим матрицу перевозок (таблицу):
Пункт отправления
Пункт назначения
Запас груза
Потребность в грузе
В таблице выше каждая клетка для пункта назначения разделена на две части. В верхней части записана стоимость перевозки, а в нижней — количество груза. Например, в
клетке
(в клетке, расположенной на пересечении строки )
со столбцом )
число
означает стоимость перевозки из пункта
в пункт .
Тогда система ограничений запишется в виде уравнений:
Цель задачи — найти неотрицательное решение системы уравнений, при котором
функция цели
была минимальной.
На сайте есть статья,
посвящённая решению транспортной задачи распределительным методом.
В большинстве задач линейного программирования ограничения задаются не в
виде системы уравнений, а в виде системы линейных неравенств, причём возможны различные
формы таких систем: левая часть меньше или равна (меньше) правой, левая часть больше или
равна (больше) правой. Кроме того, система ограничений может быть смешанной: часть
ограничений неравенства первого из вышеназванных типов, части — второго типа, а часть задана
в виде уравнений.
Однако любую систему ограничений можно свести к системе уравнений. Для
этого достаточно к левой части каждого неравенства прибавить, если система первого типа, или
отнять, если система второго типа, некоторое неотрицательное число — добавочную переменную,
чтобы каждое неравенство превратилось в уравнение. Эти действия называются сведением
задачи линейного программирования к канонической.
Пример 6. Записать систему неравенств
в виде уравнений для приведения задачи линейного программирования к канонической.
Решение. Прибавляя к левым частям неравенств по одной дополнительной
переменной, получим систему уравнений:
Таким образом, как бы ни были первоначально заданы ограничения задачи
линейного программирования, их всегда можно привести к системе уравнений, используя для
этой цели добавочные переменные.
На сайте есть Онлайн калькулятор
решения задач линейного программирования симплекс-методом.
На нашем сайте также даны примеры решения задач линейного программирования графическим методом без сведения задачи к канонической и симплекс-методом с
предварительным сведением задачи к канонической.
Чтобы найти оптимальное решение среди бесчисленного множества допустимых
решений системы ограничений в задаче линейного программирования любого вида, понадобится ряд теорем, к рассмотрению которых мы и переходим.
Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи
линейного программирования является выпуклым.
Множество решений задачи линейного программирования определяется
совокупностью линейных ограничений, поэтому такое множество геометрически представляет собой
выпуклый многогранник или неограниченную многогранную область, за исключением тех случаев,
когда система ограничений несовместна.
О том, что такое выпуклые множества — на уроке Системы линейных неравенств
и выпуклые множества точек.
Теорема 2. Если существует, и притом единственное,
оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из угловых
точек множества допустимых решений.
Эта теорема позволяет сделать вывод, что поиски оптимального решения
можно ограничить перебором конечного числа угловых точек. Однако для отыскания угловых точек
требуется построение области решений системы ограничений. Это построение возможно только
для двух- или трёхмерного пространства, а в общем случае задача остаётся неразрешимой.
Следовательно, нужно располагать каким-то аналитическим методом, позволяющим находить
координаты угловых точек. Для этого понадобятся следующие две теоремы.
Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению
задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений
системы ограничений.
Теорема 4 (обратная).Каждой угловой точке множества
допустимых решений системы ограничений соответствует допустимое базисное решение.
Следствие. Если существует, и притом единственное,
оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одним из
допустимых базисных решений системы ограничений.
Справедливость этого утверждения вытекает из теорем 2 и 4.
Итак, оптимум линейной формы нужно искать среди конечного числа допустимых
базисных решений. Однако даже в простейших задачах линейного программирования (при небольших
значениях m и n) нахождение оптимального решения путём рассмотрения всех
базисных решений является крайне трудоёмким процессом, поскольку число базисных решений
может быть весьма велико. Поэтому нужна какая-то вычислительная схема, позволяющая
осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому, при котором линейная
форма или приблизилась к оптимуму, или, по крайней мере не изменила своего значения. Такой
вычислительной схемой является, например, симплекс-метод решения задач линейного программирования.
Назад
Листать
Вперёд>>>
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Продолжение темы «Линейное программирование»
Графический метод решения задач линейного программирования
Пример задачи линейного программирования: задача использования ресурсов, её графическое решение
Симплекс-метод решения задач линейного программирования: типичный пример и алгоритм
Симплекс-метод: случай, когда максимум целевой функции — бесконечность
Симплекс-метод: случай, когда система не имеет ни одного решения
Симплекс-метод: случай, когда оптимальное решение — не единственное
Двойственная задача линейного программирования
Решение задачи целочисленного программирования: методы и примеры
Решение транспортной задачи распределительным методом на примерах
Поделиться с друзьями
Пример решения задачи линейного программирования графическим методом
Ваулина В. А.,
УрГЭУ
Пример решения задачи линейного программирования
графическим методом
Линейное программирование — это раздел математики, в котором
рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным
функционалом и линейными ограничениями.
Существуют два наиболее распространенных способа решения задач
линейного
программирования: графический
метод и симплекс-метод.
Графический метод существенно нагляднее и обычно проще для понимания
решения. Также этот метод позволяет практически одновременно найти
решение на минимум и максимум.
Основные шаги по решению ЗПЛ графическим методом следующие:
построить область допустимых решений задачи (выпуклый многоугольник),
который определяется как пересечение полуплоскостей, соответствующих
неравенствам задачи, построить линию уровня целевой функции, и, наконец,
двигать линию уровня в нужном направлении, пока не достигнем крайней
точки области — оптимальной точки (или множества).
В отличие от графического метода, симплексный метод практически не
имеет ограничений на задачу, может быть любое количество переменных и
т. п. При решении задачи симплексным методом вычисления ведутся в
таблицах. Решение задачи данным методом дает не только оптимальное
решение, но и решение двойственной задачи, остатки ресурсов и т.п.
Рассмотрим
решение
задачи
линейного
программирования
графическим методом.
Для производства столов и стульев мебельная фабрика использует три
вида древесины. Норма затрат для каждого вида древесины на один стол составляет 1; 2; 5; на один стул – 1; 5; 2. Запасы древесины – 150; 600; 600.
Прибыль от реализации одного стола – 200р, одного стула – 100р. Составить
оптимальный план производства, обеспечивающий максимальную прибыль.
Решение.
Составим математическую модель задачи. Пусть Х — столы, У — стулья,
I,II,III – виды древесины соответственно.
I
II
III
Прибыль
X
1
2
5
200
Y
1
5
2
100
150
600
600
Общий запас
Составим неравенства по полученной таблице:
{
x 1+ x2 ≤150,
2 x 1+5 x 2 ≤600,
5 x 1 +2 x 2 ≤600,
x1,2 ≥ 0.
}
F ( x )=200 x 1+100 x 2 → max
Применим описанные выше шаги решения.
Построим область допустимых решений. Рассмотрим целевую
функцию задачи F = 200×1+100×2 → max и построим вектор-градиент,
составленный из коэффициентов целевой функции. Так как нас интересует
максимальное решение, то опорную прямую двигаем прямую до последнего
касания обозначенной области.
Получаем оптимальную точку D. Так как точка D получена в результате
пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям
этих прямых:
x1+x2=150
5×1+2×2=600
Решив систему уравнений, получим: x1 = 100, x2 = 50
Откуда
найдем
максимальное
значение
целевой
функции:
F(X) = 25000.
На примере данной задачи мы рассмотрели решение задачи линейного
программирования графическим методом. Этот метод наглядно показывает
область дополнительных решений и нахождение оптимальной точки.
Руководитель: Кныш А.А.
Линейное программирование — это процесс, который используется для определения наилучшего результата линейной функции. Это лучший способ выполнить линейную оптимизацию, сделав несколько простых предположений. Линейная функция известна как целевая функция. Отношения в реальном мире могут быть чрезвычайно сложными. Однако линейное программирование можно использовать для изображения таких отношений, что упрощает их анализ.
Линейное программирование используется во многих отраслях, таких как энергетика, телекоммуникации, транспорт и производство. Эта статья проливает свет на различные аспекты линейного программирования, такие как определение, формула, методы решения задач с использованием этого метода и соответствующие примеры линейного программирования.
1.
Что такое линейное программирование?
2.
Формула линейного программирования
3.
Как решать задачи линейного программирования?
4.
Методы линейного программирования
5.
Приложения линейного программирования
6.
Часто задаваемые вопросы по линейному программированию
Что такое линейное программирование?
Линейное программирование, также сокращенно LP, представляет собой простой метод, который используется для изображения сложных отношений реального мира с помощью линейной функции. Элементы полученной таким образом математической модели имеют линейную зависимость друг от друга. Линейное программирование используется для выполнения линейной оптимизации для достижения наилучшего результата.
Определение линейного программирования
Линейное программирование можно определить как метод, который используется для оптимизации линейной функции для достижения наилучшего результата. Эта линейная функция или целевая функция состоит из ограничений линейного равенства и неравенства. Мы получаем наилучший результат, минимизируя или максимизируя целевую функцию.
Примеры линейного программирования
Предположим, почтальон должен доставить 6 писем в день из почтового отделения (расположенного в A) в разные дома (U, V, W, Y, Z). Расстояние между домами указано на линиях, как показано на изображении. Если почтальон хочет найти кратчайший маршрут, который позволит ему доставлять письма, а также экономить топливо, то это становится задачей линейного программирования. Таким образом, LP будет использоваться для получения оптимального решения, которое будет кратчайшим маршрутом в этом примере.
Формула линейного программирования
Задача линейного программирования будет состоять из переменных решения, целевой функции, ограничений и неотрицательных ограничений. Переменные решения, x и y, определяют результат задачи LP и представляют окончательное решение. Целевая функция Z — это линейная функция, которую необходимо оптимизировать (максимизировать или минимизировать), чтобы получить решение. Ограничения — это ограничения, которые накладываются на переменные решения, чтобы ограничить их значение. Переменные решения всегда должны иметь неотрицательное значение, которое задается неотрицательными ограничениями. Общая формула задачи линейного программирования приведена ниже:
Целевая функция: Z = ax + by
Ограничения: cx + dy ≤ e, fx + gy ≤ h. Неравенства также могут быть «≥»
Неотрицательные ограничения: x ≥ 0, y ≥ 0
Как решать задачи линейного программирования?
Самая важная часть решения задачи линейного программирования — сначала сформулировать задачу, используя данные. Шаги для решения задач линейного программирования приведены ниже:
Шаг 1: Определите переменные решения.
Шаг 2: Сформулируйте целевую функцию. Проверьте, нужно ли минимизировать или максимизировать функцию.
Шаг 3: Запишите ограничения.
Шаг 4: Убедитесь, что переменные решения больше или равны 0. (Неотрицательное ограничение)
Шаг 5: Решите задачу линейного программирования с помощью симплексного или графического метода.
Давайте подробно рассмотрим эти методы в следующих разделах.
Методы линейного программирования
Существует два основных метода решения задачи линейного программирования. Это симплексный метод и графический метод. Ниже приведены шаги для решения задачи линейного программирования с использованием обоих методов.
Линейное программирование с помощью симплекс-метода
Симплекс-метод в lpp можно применять к задачам с двумя или более переменными решения. Предположим, что целевая функция Z = 40\(x_{1}\) + 30\(x_{2}\) должна быть максимизирована, а ограничения заданы следующим образом:
\(x_{1}\) + \(x_{2}\) ≤ 12
2\(x_{1}\) + \(x_{2}\) ≤ 16
\(x_{1 }\) ≥ 0, \(x_{2}\) ≥ 0
Шаг 1: Добавьте еще одну переменную, известную как резервная переменная, чтобы преобразовать неравенства в уравнения. Кроме того, перепишите целевую функцию в виде уравнения.
— 40\(x_{1}\) — 30\(x_{2}\) + Z = 0
\(x_{1}\) + \(x_{2}\) + \(y_{ 1}\) =12
2\(x_{1}\) + \(x_{2}\) + \(y_{2}\) =16
\(y_{1}\) и \( y_{2}\) — переменные резерва.
Шаг 2: Постройте исходную симплекс-матрицу следующим образом:
Шаг 3: Определите столбец с самой высокой отрицательной записью. Это называется сводной колонкой. Так как -40 является самой высокой отрицательной записью, таким образом, столбец 1 будет сводным столбцом.
Шаг 4: Разделите записи в крайнем правом столбце на записи в сводном столбце. Мы исключаем записи в самой нижней строке.
12/1 = 12
16/2 = 8
Строка, содержащая наименьшее частное, идентифицируется для получения основной строки. Поскольку 8 — меньшее частное по сравнению с 12, строка 2 становится основной строкой. Пересечение опорной строки и опорного столбца дает опорный элемент.
Таким образом, поворотный элемент = 2.
Шаг 5: С помощью поворотного элемента выполнить поворот, используя свойства матрицы, чтобы все остальные записи в сводном столбце стали равными 0.
Используя элементарные операции, разделите строку 2 на 2 (\(R_{2}\ ) / 2)
Шаг 6: Проверьте, нет ли в самой нижней строке отрицательных значений. Если нет, то оптимальное решение найдено. Если да, то вернитесь к шагу 3 и повторите процесс. -10 является отрицательной записью в матрице, поэтому процесс необходимо повторить. Получаем следующую матрицу.
Записав нижнюю строку в виде уравнения, получим Z = 400 — 20\(y_{1}\) — 10\(y_{2}\). Таким образом, 400 — это максимальное значение, которое Z может получить, когда \(y_{1}\) и \(y_{2}\) равны 0.
Кроме того, когда \(x_{1}\) = 4 и \ (x_{2}\) = 8, тогда значение Z = 400
Таким образом, \(x_{1}\) = 4 и \(x_{2}\) = 8 являются оптимальными точками и решением нашей линейной проблема с программированием.
Линейное программирование графическим методом
Если в задаче линейного программирования есть две решающие переменные, то для решения такой задачи можно легко использовать графический метод.
Предположим, нам нужно максимизировать Z = 2x + 5y.
Ограничения: x + 4y ≤ 24, 3x + y ≤ 21 и x + y ≤ 9
где x ≥ 0 и y ≥ 0.
Чтобы решить эту задачу с помощью графического метода, выполните следующие действия.
Шаг 1: Запишите все ограничения неравенства в виде уравнений.
x + 4y = 24
3x + y = 21
x + y = 9
Шаг 2: Нанесите эти линии на график, определив контрольные точки.
x + 4y = 24 — это прямая, проходящая через (0, 6) и (24, 0). [Подставив x = 0, получим точку (0, 6). Аналогично при y = 0 определяется точка (24, 0).]
3x + y = 21 проходит через (0, 21) и (7, 0).
x + y = 9 проходит через (9, 0) и (0, 9).
Шаг 3: Определите допустимую область. Допустимую область можно определить как область, ограниченную набором координат, который может удовлетворять некоторой конкретной системе неравенств.
Любая точка, лежащая на прямой x + 4y = 24 или ниже нее, удовлетворяет ограничению x + 4y ≤ 24.
Аналогично, точка, лежащая на прямой 3x + y = 21 или ниже, удовлетворяет ограничению 3x + y ≤ 21.
Кроме того, точка, лежащая на прямой x + y = 9 или ниже нее, удовлетворяет x + y ≤ 9.
Допустимая область представлена OABCD, поскольку она удовлетворяет всем трем вышеупомянутым ограничениям.
Шаг 4: Определите координаты угловых точек. Угловые точки являются вершинами допустимой области.
О = (0, 0)
А = (7, 0)
В = (6, 3). B является пересечением двух прямых 3x + y = 21 и x + y = 9. Таким образом, подставляя y = 9 — x в 3x + y = 21, мы можем определить точку пересечения.
C = (4, 5), образованное пересечением x + 4y = 24 и x + y = 9
D = (0, 6)
Шаг 5: Замените каждую угловую точку в задаче функция. Точка, дающая наибольшее (максимизирующее) или наименьшее (минимизирующее) значение целевой функции, и будет оптимальной точкой.
Угловые точки
Z = 2x + 5y
О = (0, 0)
0
А = (7, 0)
14
Б = (6, 3)
27
С = (4, 5)
33
Д = (0, 6)
30
33 является максимальным значением Z и находится в точке C. Таким образом, решение x = 4 и y = 5,
Приложения линейного программирования
Линейное программирование используется в нескольких реальных приложениях. Он используется в качестве основы для создания математических моделей для обозначения реальных отношений. Некоторые приложения LP перечислены ниже:
Производственные компании широко используют линейное программирование для планирования производства.
Службы доставки используют линейное программирование для определения кратчайшего маршрута, чтобы минимизировать время и расход топлива.
Финансовые учреждения используют линейное программирование для определения портфеля финансовых продуктов, которые могут быть предложены клиентам.
Связанные статьи:
Линии
Введение в графику
Линейные уравнения с двумя переменными
Решения линейного уравнения
Математическая индукция
Важные замечания по линейному программированию
Линейное программирование — это метод, который используется для определения оптимального решения линейной целевой функции.
Симплекс-метод в lpp и графический метод можно использовать для решения задачи линейного программирования.
В задаче линейного программирования переменные всегда будут больше или равны 0.
Примеры решений для линейного программирования
Примеры решений для линейного программирования
OR-Notes — это серия вводных заметок по темам, подпадающим под
широкий заголовок области исследования операций (ИЛИ). Они были изначально
используется мной во вводном курсе ИЛИ, который я веду в Имперском колледже. Они
теперь доступны для использования любыми студентами и преподавателями, заинтересованными в ИЛИ
при соблюдении следующих условий.
Полный список тем, доступных в OR-Notes, можно найти здесь.
Примеры решения для линейного программирования
Пример линейного программирования 1997 г. экзамен UG
Компания производит два продукта (X и Y) на двух машинах (A и B).
Каждая произведенная единица X требует 50 минут обработки на
машина A и 30 минут обработки на машине B. Каждая единица Y, которая
производится требует 24 минут обработки на машине А и 33 минуты
время обработки на станке Б.
В начале текущей недели имеется 30 единиц X и 90 единиц
Y в наличии. Ожидается, что доступное время обработки на машине A составит
40 часов, а на машине B прогнозируется 35 часов.
Спрос на X на текущей неделе прогнозируется на уровне 75 единиц и
для Y прогнозируется 95 единиц. Политика компании заключается в максимизации совокупного
сумма единиц X и единиц Y на складе в конце недели.
Сформулируйте задачу, чтобы решить, сколько каждого продукта производить
на текущей неделе в виде линейной программы.
Решите эту линейную программу графически.
Раствор
Пусть
x — количество единиц X, произведенных за текущую неделю
y — количество единиц Y, произведенных за текущую неделю
тогда ограничения:
50x + 24y <= 40(60) машина A раз
30x + 33y <= 35(60) машинное время B
х >= 75 — 30
т. е. x >= 45, поэтому производство X >= спрос (75) — начальный запас
(30), что гарантирует удовлетворение спроса
г >= 95 — 90
т. е. y >= 5, поэтому производство Y >= спроса (95) — начальный запас
(90), что гарантирует удовлетворение спроса
Цель: максимизировать (x+30-75) + (y+90-95) = (x+y-50) то есть максимизировать количество единиц, оставшихся на складе в конце недели
Из диаграммы ниже видно, что максимум приходится на пересечение
из х=45 и 50х + 24у = 2400
Решение одновременно, а не чтение значений с графика,
мы имеем, что x = 45 и y = 6,25 со значением целевой функции
1,25
Пример линейного программирования 1995 г. экзамен UG
Показан спрос на два продукта в каждую из последних четырех недель
ниже.
Применить экспоненциальное
сглаживание с константой сглаживания 0,7 для получения прогноза
спрос на эти товары на неделе 5.
Эти продукты производятся с использованием двух машин, X и Y. Каждая единица
произведенный продукт 1 требует 15 минут обработки на машине X
и 25 минут обработки на машине Y. Каждая единица продукта 2,
произведено требует 7 минут обработки на машине X и 45 минут обработки
на машине Y. Ожидается, что доступное время на машине X на неделе 5 составит
будет 20 часов, а на машине Y на неделе 5 прогнозируется 15 часов. Каждый
единица продукта 1, проданная на 5-й неделе, дает вклад в прибыль в размере 10 фунтов стерлингов.
и каждая единица продукта 2, проданная на неделе 5, дает вклад в прибыль
от 4 фунтов стерлингов.
Может быть невозможно произвести достаточно, чтобы удовлетворить ваш прогнозируемый спрос
на эти товары в неделю 5 и на каждую единицу неудовлетворенного спроса на товар
1 стоит 3 фунта стерлингов, каждая единица неудовлетворенного спроса на продукт 2 стоит 1 фунт стерлингов.
Сформулируйте задачу, чтобы решить, сколько каждого продукта производить
на 5 неделе по линейной программе.
Решите эту линейную программу графически.
Раствор
Обратите внимание, что первая часть вопроса — это прогнозирование
вопрос так решается ниже.
Для продукта 1 применяется экспоненциальное сглаживание с константой сглаживания
из 0,7 получаем:
М 1 = Y 1 = 23 M 2 = 0,7Y 2 + 0,3M 1 = 0,7(27) + 0,3(23)
= 25,80 M 3 = 0,7Y 3 + 0,3M 2 = 0,7(34) + 0,3(25,80)
= 31,54 M 4 = 0,7Y 4 + 0,3M 3 = 0,7(40) + 0,3(31,54)
= 37,46
Прогноз на пятую неделю — это среднее значение на 4-ю неделю = M 4 = 37,46 = 31 (поскольку у нас не может быть дробного спроса).
Для продукта 2 применяется экспоненциальное сглаживание с константой сглаживания
из 0,7 получаем:
М 1 = Y 1 = 11 М 2 = 0,7Г 2 + 0,3М 1 = 0,7(13) + 0,3(11)
= 12,40 M 3 = 0,7Y 3 + 0,3M 2 = 0,7(15) + 0,3(12,40)
= 14,22 M 4 = 0,7Y 4 + 0,3M 3 = 0,7(14) + 0,3(14,22)
= 14. 07
Прогноз на пятую неделю — это среднее значение на 4-ю неделю = M 4 = 14,07 = 14 (поскольку у нас не может быть дробного спроса).
Теперь мы можем сформулировать LP для недели 5, используя две цифры спроса.
(37 для продукта 1 и 14 для продукта 2), полученные выше.
Пусть
x 1 количество произведенных единиц товара 1
x 2 количество произведенных единиц продукта 2
где х 1 , х 2 >=0
Ограничения:
15x 1 + 7x 2 <= 20(60) станок X
25x 1 + 45x 2 <= 15(60) станок Y
x 1 <= 37 спрос на продукт 1
x 2 <= 14 спрос на продукт 2
Цель состоит в максимизации прибыли, т.е.
увеличить 10x 1 + 4x 2 — 3(37-x 1 ) — 1(14-x 2 )
т.е. максимизировать 13x 1 + 5x 2 — 125
График показан ниже, из графика мы имеем, что решение происходит
по горизонтальной оси (x 2 =0) в x 1 =36 в какой точке
максимальная прибыль 13(36) + 5(0) — 125 = £343
Пример линейного программирования 1994 UG экзамен
Компания занимается производством двух изделий (X и Y). ресурсы, необходимые для производства X и Y, двояки, а именно машинное время для
автоматическая обработка и время мастера для ручной отделки. Таблица ниже
дает количество минут, необходимых для каждого элемента:
Машинное время Время мастера
Пункт Х 13 20
Д 19 29
У компании есть 40 часов машинного времени в наличии на следующем рабочем месте.
неделю, но только 35 часов рабочего времени. Машинное время стоит 10 фунтов стерлингов
за час работы, а время мастера стоит 2 фунта стерлингов за час работы.
Время простоя машины и мастера не требует затрат. Полученный доход
за каждый произведенный товар (все производство продано) составляет 20 фунтов стерлингов для X и
30 фунтов стерлингов за Y. У компании есть конкретный контракт на производство 10 изделий.
X в неделю для конкретного клиента.
Сформулируйте задачу о том, сколько производить в неделю, как
линейная программа.
Решите эту линейную программу графически.
Раствор
Пусть
x количество элементов X
y — количество элементов Y
тогда LP:
увеличить
20x + 30y — 10(время работы машины) — 2(время работы мастера)
предмет:
13x + 19y <= 40(60) машинного времени
20x + 29y <= 35(60) времени мастера
х >= 10 контракт
х, у >= 0
так, чтобы целевая функция стала
увеличить
20x + 30y — 10(13x + 19y)/60 — 2(20x + 29y)/60
т. е. максимизировать
17,1667х + 25,8667у
предмет:
13x + 19y <= 2400
20x + 29y <= 2100
х >= 10
х, у >= 0
Из диаграммы ниже видно, что максимум приходится на пересечение
из х=10 и 20х + 29у <= 2100
Решение одновременно, а не чтение значений с графика,
имеем, что x=10 и y=65,52 со значением целевой функции
£1866,5
Пример линейного программирования 1992 UG экзамен
Компания производит два продукта (А и В) и прибыль на единицу
продано 3 и 5 фунтов стерлингов соответственно. Каждое изделие должно быть собрано
на конкретной машине каждая единица продукта А собирается за 12 минут.
времени и каждой единицы продукта B 25 минут времени сборки. Компания
оценивает, что машина, используемая для сборки, имеет эффективную рабочую неделю
всего 30 часов (из-за технического обслуживания/поломки).
Технологические ограничения означают, что на каждые пять единиц продукции
Произведено не менее двух единиц продукта В.
Сформулируйте задачу о том, сколько каждого продукта производить, как линейную
программа.
Решите эту линейную программу графически.
Компании была предложена возможность арендовать дополнительную машину, тем самым
удвоение эффективного доступного времени сборки. Что такое максимум сумма, которую вы готовы платить (в неделю) за аренду этой машины
и почему?
Раствор
Пусть
x A = количество произведенных единиц A
x B = количество произведенных единиц B
, тогда ограничения:
12x A + 25x B <= 30(60) (время сборки)
х В >= 2(х А /5)
т. е. x B — 0,4x A >= 0
т.е. 5x B >= 2x A (технологический)
где х А , х В >= 0
и цель
увеличить 3x A + 5x B
Из диаграммы ниже видно, что максимум приходится на пересечение
из 12х A + 25x B = 1800 и x B — 0,4x A = 0
Решение одновременно, а не чтение значений с графика,
у нас это:
х А = (1800/22) = 81,8
х В = 0,4 х А = 32,7
со значением целевой функции £408,9
Удвоение доступного времени сборки означает, что ограничение времени сборки
(в настоящее время 12x A + 25x B <= 1800) становится 12x A + 25x B <= 2(1800) Это новое ограничение будет параллельно
существующее ограничение по времени сборки, так что новое оптимальное решение
будет лежать на пересечении 12x A + 25x B = 3600
и х В — 0,4х А = 0
т. е. при х А = (3600/22) = 163,6
х В = 0,4 х А = 65,4
со значением целевой функции £817,8
Следовательно, мы получили дополнительную прибыль в размере £(817,8-408,9) = £408,9.
и это максимальная сумма мы были бы готовы заплатить за
аренда станка для удвоения времени сборки.
Это потому, что если мы заплатим больше этой суммы, мы уменьшим
наша максимальная прибыль ниже 408,9 фунтов стерлингов, которые мы получили бы без
новая машина.
Пример линейного программирования 1988 г. экзамен UG
Решить
свернуть
4а + 5б + 6с
с учетом
Решение
Чтобы решить эту LP, мы используем уравнение c-a-b=0, чтобы положить c=a+b (>= 0 как
a >= 0 и b >= 0), поэтому LP уменьшается до
.
свернуть
при условии
а + б >= 11
а — б <= 5
7а + 12б >= 35
а >= 0 б >= 0
На приведенной ниже диаграмме минимум приходится на пересечение —
б = 5 и а + б = 11
т. е. a = 8 и b = 3 с c (= a + b) = 11 и значением цели
функция 10а + 11б = 80 + 33 = 113.
Пример линейного программирования 1987 г. экзамен UG
Решите следующую линейную программу:
увеличить 5x 1 + 6x 2
при условии
x 1 + x 2 <= 10
x 1 — x 2 >= 3
5x 1 + 4x 2 <= 35
x 1 >= 0
x 2 >= 0
Решение
Из диаграммы ниже видно, что максимум приходится на пересечение
из
5x 1 + 4x 2 = 35 и
х 1 — х 2 = 3
Решение одновременно, а не чтение значений с графика,
у нас есть
5(3 + х 2 ) + 4 х 2 = 35
т.е. 15 + 9x 2 = 35
т.е. х 2 = (20/9) = 2,222 и
х 1 = 3 + х 2 = (47/9) = 5,222
Максимальное значение равно 5(47/9) + 6(20/9) = (355/9) = 39,444.
Калькулятор «Конвертер обыкновенных дробей в десятичные»
Как записать 7 целых 6/13 в виде десятичной дроби?
Ответ: Дробь 7 6/13 в десятичном виде это 7,461538461538… или 7,(461538)
7
=7,461538461538… = 7,(461538)
Объяснение конвертации дроби 7 6/13 в десятичную
Для того, чтобы перевести дробь 7 6/13 в десятичный формат необходимо разделить числитель 6 на знаменатель 13. Результат деления:
6 ÷ 13 = 7,461538461538…
и прибавить целую часть (7):
0.462 + 7 = 7,461538461538…
Другой способ перевод дроби 7 целых 6/13 в десятичный формат заключается в том, чтобы перевести эту смешанную дробь в неправильную дробь. Для этого необходимо сперва умножить целую часть (7) на знаменатель (13):
7 × 13 = 91
после чего прибавить результат к числителю (6):
91 + 6 = 97
и в конце разделить результат на числитель (13):
= 97 ÷ 13 =7,461538461538. ..
Как можно заметить, наша десятичная дробь имеет повторяющуюся группу цифр (461538) после запятой, длиною в 6 цифру. Это значит, что мы имеем периодическую десятичную дробь, которую можно записать следующим образом:
7,(461538)
число в скобках (461538) обозначает группу цифр, повторяющихся бесконечно
<a href=»https://calculat.io/ru/number/fraction-as-a-decimal/7—6—13″>Дробь 7 6/13 в виде десятичной дроби — Calculatio</a>
О калькуляторе «Конвертер обыкновенных дробей в десятичные»
Данный онлайн-конвертер обыкновенных дробей в десятичные является полезным инструментом, предназначенным для легкого преобразовывания любой дроби в ее эквивалентную десятичную форму. Например, он может помочь узнать как записать 7 целых 6/13 в виде десятичной дроби? Независимо от того, являетесь ли вы учеником, студентом или профессионалом, этот конвертер может сэкономить ваше время и усилия при выполнении ручных вычислений.
Чтобы использовать этот конвертер, просто введите дробь, которую вы хотите преобразовать, в соответствующие поля. Вам необходимо ввести целую часть (если есть), числитель и знаменатель дроби. Например, если вы хотите преобразовать 7 6/13 в его десятичный эквивалент, вы введете ‘7’ как целую часть, ‘6’ как числитель и ’13’ как знаменатель.
После того, как вы ввели дробь, нажмите кнопку ‘Конвертировать’, чтобы получить результаты. Конвертер отобразит десятичный эквивалент дроби, который в нашем случае равен 7,461538461538…. Кроме того, он предоставит пошаговое объяснение процесса преобразования, чтобы вы могли понять, как был получен десятичный эквивалент дроби. Если результат является периодической десятичной дробью, конвертер отобразит повторяющийся шаблон, используя скобки для обозначения повторяющихся цифр.
Одной из ключевых особенностей этого конвертера является его способность выводить периодические десятичные дроби. В математике периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в которой есть повторяющийся шаблон цифр, например, 0,33333. .. или 0,142857142857… Это отличает такие дроби от непериодических десятичных дробей, которые заканчиваются после определенного числа цифр, например, 0,5 или 0,75.
Использование этого онлайн-конвертера дробей в десятичные является быстрым и простым способом преобразования любой дроби в ее десятичный эквивалент. Он может быть особенно полезен тем, кто испытывает трудности с ручными вычислениями или кто часто выполняет преобразования.
Калькулятор «Конвертер обыкновенных дробей в десятичные»
Таблица конвертации обыкновенных дробей в десятичные
Дробь
Десятичная
7 6/1
13
7 6/2
10
7 6/3
9
7 6/4
8,5
7 6/5
8,2
7 6/6
8
7 6/7
7,(857142)
7 6/8
7,75
7 6/9
7,(6)
7 6/10
7,6
7 6/11
7,(54)
7 6/12
7,5
7 6/13
7,(461538)
7 6/14
7,(428571)
7 6/15
7,4
7 6/16
7,375
7 6/17
7,(3529411764705882)
7 6/18
7,(3)
7 6/19
7,(315789473684210526)
7 6/20
7,3
7 6/21
7,(285714)
7 6/22
7,(27)
7 6/23
7,(2608695652173913043478)
7 6/24
7,25
7 6/25
7,24
7 6/26
7,(230769)
7 6/27
7,(2)
7 6/28
7,2(142857)
7 6/29
7,(2068965517241379310344827586)
7 6/30
7,2
FAQ
Как записать 7 целых 6/13 в виде десятичной дроби?
Дробь 7 6/13 в десятичном виде это 7,461538461538. .. или 7,(461538)
Смотрите также
Склонение числительных по падежам онлайн
Например: 101 – 3.14 – 0,5 – 1/4 – 1 2/3.
Склонение имён числительных — часто встречающаяся практика, но, в то же время, вызывающая затруднение. Для многих людей является проблемой написание числительного в том или ином падеже без ошибок. Сайт numeralonline.ru служит шпаргалкой в этом вопросе. Вы в любой момент можете подсмотреть правильную форму склонения:
количественного числительного (от 0 до 10 млрд),
порядкового числительного,
собирательного числительного (от 2 до 10),
десятичной дроби (до 5 знаков после запятой),
обыкновенной дроби (до 5 цифр в знаменателе),
смешанного числа: целой части + обыкновенной дроби.
На странице склонения числительного показаны склонения всех возможных видов. Например, для числительного 4 будет показано склонение количественного числительного (четыре), порядкового (четвёртый), собирательного (четверо). Для перехода к такой странице введите число в строку поиска и нажмите кнопку [Склонять].
На нашем сайте целые количественные числительные склоняются в рублях для демонстрации склонения числительных в связке с существительным. Иногда посетителям требуется указывать ещё и копейки или другую валюту. В этом случае вам поможет сайт наших друзей Числительные.ру.
Чтобы разбираться в склонении числительных, нужно знать правила. Ниже даётся справочная информация и правила склонения с таблицами и примерами. Рассмотрим их для каждого вида числительных.
Содержание статьи по теме склонения числительных:
склонение целых количественных числительных
склонение порядковых
склонение собирательных
склонение дробных
склонение смешанных чисел
Склонение целых количественных числительных
Примеры целых количественных числительных: два, восемнадцать, сто сорок один. Склонение числительного один зависит от числа и рода. В винительным падеже в мужском роде и множественном числе окончание зависит от одушевлённости/неодушевлённосит объекта.
Падеж
Единственное число
Множественное число
Мужской род
Средний род
Женский род
И.
один
одно
одна
одни
Р.
одного
одной
одних
Д.
одному
одной
одним
В.
один (неодуш.) одного (одуш.)
одно
одну
одни (неодуш.) одних (одуш.)
Т.
одним
одной(-ою)
одними
П.
(об) одном
(об) одной
(об) одних
Числительное два — мужского и среднего рода, числительное две — женского рода. Числительные два, две, три, четыре применительно к неодушевлённым объектам в винительном падеже имеют форму именительного падежа, применительно к одушевлённым объектам — форму родительного падежа. Примеры: вижу трёх коней, вижу три стула, вижу двух кошек, вижу два телефона, вижу две машины. Числительное четыре имеет букву ь в творительном падеже — четырьмя. Обобщим правила таблицей.
Падеж
2
3
4
м.р.
ж.р.
ср.р.
И.
два
две
два
три
четыре
Р.
двух
двух
двух
трёх
четырёх
Д.
двум
двум
двум
трём
четырём
В.
два (неодуш.) двух (одуш.)
две (неодуш.) двух (одуш.)
два
три (неодуш.) трёх (одуш.)
четыре (неодуш.) четырёх (одуш.)
Т.
двумя
двумя
двумя
тремя
четырьмя
П.
о двух
о двух
о двух
о трёх
о четырёх
В речи людей имеет место быть ошибка, вызванная путаницей количественных и собирательных числительных. Некоторые люди склоняют количественные числительные как порядковые. Например: две — двоих — двоим вместо две — двух — двум и т.д. Будьте внимательны: не путайте виды числительных!
Количественные числительные от пяти до двадцати и тридцать склоняются как существительные 3-го склонения: в родительном, дательном, предложном падежах окончание -и, в творительном падеже окончание -ю.
Падежи
5-20
30
И., В.
пять
тридцать
Р., Д., П.
пяти
тридцати
Т.
пятью
тридцатью
Следует помнить, что количественные числительные сорок, девяносто, сто, полтораста имеют только две формы.
Падежи
40
90
100
150
И., В.
сорок
девяносто
сто
полтораста
Р., Д., Т., П.
сорока
девяноста
ста
полутораста
У числительных от пятидесяти до восьмидесяти, от пятисот до девятисот, двести, триста, четыреста склоняются обе части. Перечислим их в таблице ниже.
Падеж
50-80
200-400
500-900
И.
пятьдесят
двести
пятьсот
Р.
пятидесяти
двухсот
пятисот
Д.
пятидесяти
двумстам
пятистам
В.
пятьдесят
двести
пятьсот
Т.
пятьюдесятью
двумястами
пятьюстами
П.
о пятидесяти
о двухстах
о пятистах
В составных количественных числительных склоняется по падежам каждое слово.
Пример: 2537 И.п. две тысячи пятьсот тридцать семь Р.п. двух тысяч пятисот тридцати семи Д.п. двум тысячам пятистам тридцати семи В.п. две тысячи пятьсот тридцать семь Т.п. двумя тысячами пятьюстами тридцатью семью П.п. о двух тысячах пятистах тридцати семи
Склонение порядковых числительных
Примеры порядковых числительных: второй, восемнадцатая, сто сорок первый.
Порядковые числительные изменяются по числам и родам. Это следует учитывать при их склонении по падежам. У составных порядковых числительных склоняется только последнее слово. Окончание формируется по тому же принципу, что у относительных прилагательных.
1
…
10
…
средний
мужской
женский
средний
мужской
женский
И.
первое
первый
первая
…
десятое
десятый
десятая
…
Р.
первого
первого
первой
десятого
десятого
десятой
Д.
первому
первому
первой
десятому
десятому
десятой
В.
первое
первый
первую
десятое
десятый
десятую
Т.
первым
первым
первой
десятым
десятым
десятой
П.
о первом
о первом
о первой
о десятом
о десятом
о десятой
Пример: 2325-й И.п. две тысячи триста двадцать пятый Р.п. две тысячи триста двадцать пятого … П.п. о две тысячи триста двадцать пятом
Собирательные числительные склоняются по тому же принципу, что прилагательные множественного числа. Окончание в винительном падеже зависит от одушевлённости/неодушевлённости объекта.
Падеж
двое
четверо
сколько
И.
двое
четверо
сколько
Р.
двоих
четверых
скольких
Д.
двоим
четверым
скольким
В.
двое (неодуш.) двоих (одуш.)
четверо (неодуш.) четверых (одуш)
сколько (неодуш.) скольких (одуш.)
Т.
двоими
четверыми
сколькими
П.
о двоих
о четверых
о скольких
Собирательные числительные «оба» и «обе» склоняются иначе.
Падеж
Мужской и средний род
Женский род
И.
оба
обе
Р.
обоих
обеих
Д.
обоим
обеим
В.
оба (неодуш.), обоих (одуш.)
обе (неодуш.), обеих (одуш.)
Т.
обоими
обеими
П.
об обоих
об обеих
Склонение дробных числительных
Примеры дробных числительных: одна вторая, семь сотых, полтора. Дробное числительное состоит из двух частей: числитель дроби (количественное числительное, обозначающее целое число) и знаменатель дроби (порядковое числительное). Если числитель заканчивается на цифру «один», то вместо неё используется «одна». Цифра «два» заменяется на «две». Сравните: одна пятая, две пятых, три пятых, четыре пятых.
Изменяются по падежам обе части в соответствии со склонением количественных и порядковых числительных. Знаменатель склоняется как порядковое числительное во множественном числе: к трем пятым (д.п.), с двумя пятыми (тв.п.). Или как порядковое числительное в единственном числе женского рода, если числитель оканчивается на 1: к одной пятой, вижу двадцать одну тридцать седьмую. При обозначении количества существительное при дробном числительном употребляется в родительном падеже: от одной седьмой участка, к двум седьмым площади прямоугольника.
Следует помнить, что числительное полтора склоняется по особому правилу.
Падеж
Мужской род
Женский род
И. ,В.
полтора
полторы
Р.,Д.,Т.,П.
полутора
полутора
Дроби бывают обыкновенные и десятичные, которые подробно описаны на странице дробных числительных. Наш сайт умеет склонять оба вида дробей.
Склонение смешанных чисел
Смешанное число — число из целой части и обыкновенной дроби. В качестве целой части выступает количественное числительное. Для отделения целой части от дроби используется слово «целых» или «целая». Примеры смешанных чисел: 3 1/2 или три целых одна вторая, 1 2/3 или одна целая две третьих.
При склонении смешанных чисел целая часть склоняется по правилам склонения количественных числительных. Если целая часть заканчивается на цифру «один», то вместо неё используется «одна». Цифра «два» заменяется на «две». Сравните: 101 — сто одна целая, 102 — сто две целых, 105 — сто пять целых.
Дробная часть склоняется по правилам склонения дробных числительных.
Калькулятор преобразования десятичных чисел в дроби
Калькулятор преобразования десятичных чисел в дроби — ElectricScooterParts. com
Части
Помощь в ремонте
Связаться с нами
Корзина
Мой счет
Проекты
Поиск по сайту
Поиск по марке и модели автомобиля
Все марки и модели
Просмотреть все детали
Все детали Аксессуары Оси Аккумуляторы Зарядные устройства Жгуты аккумуляторов 7 Подшипники
Помощь по ремонту электроскутера
> Справка по модификации и пользовательскому проекту
> Калькулятор конвертации
Калькулятор преобразования десятичных чисел в дроби
При преобразовании десятичных дробей в дроби результат часто округляется до ближайшего
доля
по калькулятору. Это связано с дивизиональными ограничениями, которые
знаменатель дроби ставится на ее числитель.
Если результат дроби точно соответствует десятичной дроби в дюймах, в поле «Результат» будет указано «Точно». Если результат дроби
округляется до ближайшей дроби, тогда в поле Результат будет указано
«Округлый».
В конверсиях
где результат дроби округляется,
чем выше знаменатель дроби, тем ближе точность преобразования
будет.
Заказ
Онлайн или по бесплатному телефону
1-800-908-8082
«Когда
вам нужны запчасти для электрических скутеров, перейдите на сайт: ElectricScooterParts. com»
Политика магазина |
Помощь по ремонту электрических скутеров |
Дилерские скидки |
Обратная связь |
О нас
Инструкции: Используйте этот калькулятор для преобразования заданного десятичного числа, которое вы предоставляете, в дробь, показывая все шаги. Пожалуйста, введите один
десятичное число (например, число типа «3,4673» или число типа «.345279») в форме ниже:
Об этом калькуляторе десятичной дроби
Что такое десятичная дробь? Десятичная дробь относится к способу выражения чисел с использованием числа десять в качестве основания, а также степеней десяти и десятых долей.
Проще говоря, десятичные дроби — это числа, какими вы их знаете, это последовательность цифр (числа от 0 до 9), за которой, возможно, следуют десятые части, представленные
через точку «.» и последовательность цифр
Пример цифры: Например, 45,34556 и 0,5678 — это цифры. Цифры, которые имеют только «0» слева от «.» обычно пишут как .4534,
ради краткости.
Как преобразовать десятичную дробь в дробь?
Стратегия проста: нам нужно попытаться «исключить» десятичные дроби (цифры справа от «.») путем умножения числа на степень 10.
Как только вы это сделаете, обратите внимание на степень 10, которую вы использовали для достижения этого, потому что затем вы будете использовать ее для преобразования данного числа в десятичное число.
Например, если у вас есть число 2,34, вам нужно умножить его на 100, чтобы «убрать» десятичные дроби, и вы получите \(2,34 \cdot 100 = 234\). В этом случае,
число после «исключения» десятичных знаков равно N = 234, а используемая степень 10 равна \(10^2 = 100\). 9к}\]
и, возможно, вы захотите уменьшить дробь справа до наименьшего выражения.
Таблица преобразования десятичных дробей в дроби
Существуют классические таблицы, которые дают четкое представление об эквивалентности наиболее часто используемых дробей и их преобразовании в десятичные числа.
Преимущества и недостатки использования диаграммы по сравнению с формулой преобразования десятичных дробей в дроби
Использование диаграммы прямое: вы просто смотрите на диаграмму и немедленно получаете преобразование десятичных дробей в дроби
Проблема с диаграммой заключается в том, что там нет точного десятичного числа или дроби, которую вы ищете
Используя формулу преобразования, вы уверены, что можете преобразовать ЛЮБОЕ число, но на самом деле вам нужно поработать над расчетом.
Калькуляторы с дробями и процентами
Естественно, как вы, наверное, уже поняли, дроби, десятичные числа и проценты тесно связаны между собой. И часто это просто разные форматы для
представлять ту же информацию в более удобном для данного контекста виде.
Например, использование калькулятора преобразования процентов в дроби выполняет ту же работу, что и этот калькулятор преобразования десятичных дробей, с той разницей, что вам нужно будет
сначала преобразуйте десятичную дробь в проценты.
Естественно, вы можете столкнуться с обратной ситуацией. Может быть, вы хотите преобразовать дробь в десятичную, что
просто общий алгоритм деления арифметики. Обратите внимание, что преобразование дроби в десятичную может привести к конечному десятичному числу или потенциально
к повторяющейся десятичной дроби.
Например, дробь \(\displaystyle \frac{3}{5}\) просто соответствует 0,6 (простое конечное десятичное число), но дробь
\(\displaystyle \frac{1}{3}\) соответствует повторяющемуся десятичному числу 0,33333…..
Пример: Преобразование десятичного числа в дробь
Вопрос : Вычислите число 3,4563 как дробь.
Решение:
Вы ввели следующее десятичное число \(D = \displaystyle 3.4563\), и цель состоит в том, чтобы преобразовать его в дробь. 9{4} \] \[ = 3,4563 \times 10000= 34563 \]
Итак, разделив обе части на \(10000\), мы получим
\[ 3,4563 = \displaystyle \frac{34563}{10000} \]
и, поскольку найденная дробь уже упрощена, делается вывод, что простейшая дробь, эквивалентная \(3,4563\), равна \(3,4563\).
Таким образом, выражение десятичной дроби в простейшем виде равно \(\displaystyle 3.4563 = \frac{ 34563}{10000}\), что завершает вычисление.
Пример 2
Вопрос Выразите 0,625 в виде дроби.
Решение:
Вы ввели следующее десятичное число \(D = \displaystyle 0.625\), и цель состоит в том, чтобы преобразовать его в дробь.
Шаг 1: Нам нужно умножить \(D = 0,625\) на степень 10, чтобы в результирующем выражении не было десятичных значений справа от ‘. ‘ знак.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
,
где p и q — вещественные числа (постоянные величины), f(x) — непрерывная функция.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения
неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения,
т. е. такого, у которого правая часть равна нулю. Записывается это так: .
Общее решение может найти каждый, кто ознакомился с соответствующим уроком. Остаётся рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Существуют методы решения для случаев, когда функция f(x) в правой части уравнения представляет собой многочлен, показательную функцию и тригонометрическую функцию.
Правая часть — многочлен некоторой степени
Пусть правая часть — многочлен второй степени: . Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать также в виде многочлена второй степени: . Задача состоит в определении коэффициентов A, B, C.. Для этого находим первую и вторую производные функции Y, а затем выражения Y, и подставляем в уравнение вместо маленькой буквы y с соответствующим количеством штрихов. В результате получаем
или после группировки членов левой части
Последнее тождество возможно лишь при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x:
Т. е. получили систему трёх уравнений относительно трёх неизвестных A, B, C. При система даёт единственное решение для A, B, C.
Если же в линейном неоднородном дифференциальном уравнении коэффициент , то его частное решение следует искать в виде
.
Далее — также ищем и , а затем подставляем выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, не забывая, что .
Если же и , то исходное уравнение имеет вид . Оно решается непосредственным двукратным интегрированием.
Аналогично поступают в случаях, когда в линейном неоднородном дифференциальном уравнении функция f(x) является многочленом n-й степени. Если , то частное решение ищут в виде многочлена той же степени. Если же , то частное решение ищут в виде произведения многочлена n-й степени на x. Если и предшествующий ему коэффициент равен нулю, то частное решение ищут в виде и т.д.
Пример 1. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Сначала решаем однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному.
Характеристическое уравнение
имеет действительные и различные корни и (как искать корни квадратного уравнения). Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде , поскольку в правой его части — многочлен второй степени, а . Подстановка функции Y и её производных в данное уравнение приводит к тождеству
или
.
Отсюда для определения коэффициентов A, B, C получаем систему уравнений
Её решения , , .
Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения
,
а его общее решение
.
Пример 2. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид . Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Так как в данном уравнении (отсутствует член с y), а в правой его части — многочлен первой степени, то частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде . Найдя первую и вторую производные функции Y и подставив их в данное уравнение, получим
или
.
Таким образом, для определения коэффициентов A, B получаем систему уравнений
Её решения , .
Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения
,
а его общее решение
.
Правая часть уравнения — показательная функция
То есть, . Тогда и его частное решение также будем искать в виде показательной функции: . Для определения коэффициента A найдём первую и вторую производные этой функции: , , а затем подставим выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Это даёт
или
так как . Отсюда найдём A, если , т. е. если коэффициент b не является корнем характеристического уравнения.
Если же b — однократный корень характеристического уравнения, т. е. , то частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде . В этом случае коэффициент A определяется однозначно. Для этого находим и , а затем подставив выражения для Y, и в исходное уравнение, получим
или после тождественных преобразований
.
Так как, по условию , то после сокращения на множитель получим , откуда определяется A, если , т. е. если .
Если же является корнем характеристического уравнения, то это означает, что b является двукратным корнем этого уравнения. Тогда частное решение линейного однородного дифференциального уравнения следует искать в виде . Для определения коэффициента A находим и , а затем подставляем выражения для Y, и в исходное уравнение и получим
или после приведения подобных членов и сокращения на
.
Но как дискриминант характеристического уравнения, имеющего равные корни. Следовательно, последнее равенство упрощается и принимает вид , откуда и определяется A.
Пример 3. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Сначала решим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному. Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Правая часть исходного уравнения представляет собой показательную функцию, а коэффициент b = 4 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде. Находим его первую и вторую производные, а затем выражения для Y, и подставляем в исходное уравнение и получим
или , т. е. .
Следовательно, частным решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения служит функция , а его общее решение имеет вид
.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Данному уравнению соответствует такое же однородное уравнение, как и в примере 3, а значит, такое же решение однородного уравнения. Однако частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , так как коэффициент b = 2 является корнем характеристического уравнения. Для определения коэффициента A находим и , а затем выражения для Y, и подставляем в исходное уравнение и получим
откуда находим , т. е. .
Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а общее решение
.
Правая часть уравнения — тригонометрическая функция вида ,
причём . Тогда и частное решение следует искать в таком же виде, а именно . Для определения коэффициентов A и B находим первую и вторую производные этой функции и подставляем выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Тогда после группировки членов в левой части получаем
.
Это тождество возможно, если коэффициенты при и совпадают. Приравнивая их, получим систему уравнений
откуда находим
,
.
Эти формулы показывают, что коэффициенты A и B можно найти всегда, за исключением случая . Так как , то это равенство возможно, если и , т. е. если линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид
.
В этом случае частное решение следует искать в виде . Найдя вторую производную и подставив выражения для Y и в уравнение, получим
или после упрощений
откуда , .
Из этих уравнений всегда можно определить коэффициенты A и B, поскольку
Пример 5. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид . Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Для определения коэффциентов A и B находим и и подставляем выражения для Y, и в исходное уравнение и получим
или после приведения подобных членов
откуда для определения A и B получаем систему уравнений
Решая её, найдём .
Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а его общее решение
.
Пример 6. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Данному неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение . Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Таким образом, общее решение однородного уравения
.
В данном уравнении отсутствует член с первой производной, а . Поэтому его частное решение ищем в виде . Подстановка выражений и Y даёт
или
откуда , .
Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а его общее решение
.
Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму рассмотренных типов функций, т. е. , то частное решение этого уравнения равно сумме частных решений, полученных отдельно для каждого слагаемого.
Назад
Листать
Вперёд>>>
К началу страницы
Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения Бернулли
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться с друзьями
Решение ЛНДУ | Математика
Рассмотрим решение ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов,если правая часть — произведение экспоненты и многочлена.
Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
Для однородного уравнения составляем характеристическое уравнение и решаем его:
Поскольку коэффициенты k1 и k2 — действительные числа и k1≠k2, общее решение однородного дифференциального уравнения есть
Поскольку
значит, это случай Ia, поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде
Найдем первую и вторую производные частного решения
Теперь подставим их в условие:
Обе части уравнения разделим на e в степени 3x:
Отсюда
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
Находим корни характеристического уравнения:
Корни комплексные, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнение есть
Подставляем в условие:
Решение ЛНДУ есть
Составим для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и найдем его корни:
Поскольку корни действительные, но совпадающие, общее решение
Теперь подставляем полученные выражения в условие:
Отсюда общее решение неоднородного уравнения
Составляем для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и решаем его:
Корни действительные, и
Теперь находим первую и вторую производные частного решения, полученные выражения подставляем в условие:
Отсюда получили частное решение неоднородного дифференциального уравнения:
а общее решение ЛНДУ — сумма найденных решений:
Составляем характеристическое уравнение для ЛОДУ:
Корни действительные и различные, поэтому общее решение однородного уравнения есть
Находим первую и вторую производные частного решения ЛНДУ:
Теперь полученные выражения подставляем в условие:
Решение ЛНДУ — сумма общего решения однородного и частного — неоднородного уравнений:
Примеры для самопроверки.
Найти решение ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов:
Показать решение
ЛДУ-Э | Сигнод
Связаться с нами
Запросить демо
Группа решений
Продукция
Услуги
Интеграция
Автоматика
упаковка
комплект
объединить
склад
транспорт
Региональная доступность
Америка
Азиатско-Тихоокеанский регион
EMEA
Запайщик коробок LDU-E предназначен для коробок с малым весом и быстрой переналадки с одной коробки на другую.
Низкие эксплуатационные расходы
Закрытая система двигателя и привода для простоты обслуживания
Быстрая замена
Замена одного устройства на другое менее чем за 10 секунд
Сэкономьте до 25 % своего времени с помощью LDU-E по сравнению с ручным заклеиванием лентой
LDU-E
Заклейщик коробок LDU-E обеспечивает удивительно быструю замену одной коробки на другую, прочная конструкция заклейщика коробок спроектированы в соответствии с высокими стандартами для обеспечения надежного обслуживания. LDU-E лучше всего работает с коробками меньшей высоты из-за конструкции смещенного картриджа, приводимого в действие одним закрытым моторным редуктором, система проста в обслуживании. Предлагая повышенную производительность по сравнению с ручным запечатыванием, LDU-E является отличным вариантом для экономии времени для вашего бизнеса.
LDU-E можно интегрировать в автоматизированную упаковочную линию. Чтобы узнать больше о том, как Signode может помочь с автоматизированными решениями, нажмите здесь.
Особенности и преимущества
Ассортимент коробок С LDU-E можно использовать коробки различных размеров, от плоских до высоких, что делает универсальное решение для упаковки.
Простые замены Настроить машину очень просто, и ее можно использовать одновременно со сменными картриджами.
Доступные опции
Картридж с короткой лентой (25 мм)
Сверхширокий картридж (75 мм)
Подающий стол
Ролики
Конвейеры 90 80 Injet
8 90 0015
Технические характеристики
Технические характеристики
LDU-E
Рабочая скорость (м/мм скорость ленты)
19
Вес (кг)
152
Материал крышки
Лента, чувствительная к давлению, 50 мм
Питание
90 В однофазное
, 240
Вместимость кейса
Диапазон длин (мм)
114 до бесконечности
Диапазон ширины (мм)
114 до 558
Диапазон высоты (мм) 6 70 139
5
5
5
5 0
Примечание. Определенные комбинации длины/ширины/высоты могут не обрабатываться из-за нестабильных условий транспортировки.
Брошюра LDU-E
Группа решений
Продукты
Услуги
Интеграция
Автоматика
упаковка
комплект
объединить
склад
транспорт
LDU — MecTho
Блок обнаружения жизни
Обнаружение людей на конвейерных лентах или в критических зонах
Блок обнаружения жизни
Обнаружение людей на конвейерных лентах или в критических зонах
Инновационная система обнаружения на основе искусственного интеллекта
LDU™ — это инновационная встроенная система обнаружения, способная идентифицировать присутствие людей (и, возможно, других категорий интересов) в пределах объемов проверки, настраиваемых во время установки. Особая забота была посвящена пятнистым младенцам и детям. Он основан на передовой технологии искусственного интеллекта в сочетании с трехмерным компьютерным зрением.
Безопасность, первая
LDU™ был разработан для решения очень специфической проблемы безопасности в аэропорту: возможного опасного незамеченного или несанкционированного прохода людей по конвейерным лентам, перевозящим зарегистрированный багаж, из зоны общего пользования в зону безопасности. Система способна справляться с присутствием операторов аэропорта, работающих рядом с зоной досмотра или вторгающихся в нее, и оптимизирована для установки на конвейерах выдачи, стойках регистрации и багажных каруселях. Однако, благодаря высокой модульности и масштабируемости, его также можно эффективно использовать в различных приложениях и контекстах.
Мозг системы
Мозг LDU™ — это аналитический модуль, встроенная система, которая выполняет все вычислительные задачи на борту. Вместе можно использовать больше модулей, чтобы получить более широкую область анализа или добиться большей избыточности. Результаты анализа передаются на внешнее устройство с помощью открытого строкового протокола TCP/IP или цифрового ввода-вывода. Оператор может войти в каждый модуль через веб-интерфейс, доступный для любого браузера или устройства.
LDU™ защищен итальянскими патентами № 102017000064268, 102017000064301 и следующими патентными заявками № EP3635614, US 2020/0097758.
Истории болезни
Аэропорт Станстед и компания Robson Handling Technology выбрали LDU в качестве датчика присутствия человека для новой системы обработки багажа.
Подробнее о полной истории болезни читайте здесь
Прочтите короткую презентацию проекта в формате PDF здесь
Посмотрите 3D-тур по новой багажной системе здесь
Ваш браузер не поддерживает видео тег.
Характеристики системы
Чрезвычайно высокие характеристики с точки зрения точности и отзыва, поэтому система очень эффективна, не нарушая работу регулярных служб аэропорта.
MicroExcel.ru Математика Геометрия Нахождение высоты равнобедренной (равнобокой) трапеции
В данной публикации мы рассмотрим различные формулы, с помощью которых можно вычислить высоту равнобедренной (равнобокой) трапеции.
Напомним, высотой трапеции называется перпендикуляр, соединяющий оба ее основания. Также, в равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
Нахождение высоты равнобедренной трапеции
Через длины сторон
Через боковую сторону и прилежащий угол
Через основания и прилежащий угол
Через площадь и основания
Через диагонали и угол между ними
Через длины сторон
Зная длины всех сторон равнобедренной трапеции, вычислить ее высоту можно, используя формулу ниже:
Через боковую сторону и прилежащий угол
Если известна длина боковой стороны равнобедренной трапеции и угол между ней и основанием фигуры, найти высоту можно следующим образом:
Через основания и прилежащий угол
Вычислить высоту трапеции можно, если известны длины ее оснований и угол при любом из оснований (например, при большем).
Через площадь и основания
Также высоту равнобедренной трапеции удастся найти через ее площадь и длины оснований:
Данная формула может быть представлена в другом виде, если вместо оснований дана средняя линия (m).
m – средняя линия, равняется полусумме оснований, т.е. m = (a+b)/2.
Через диагонали и угол между ними
И еще один способ вычислить высоту равнобедренной трапеции, если известны ее диагонали (которые имеют одинаковую длину), угол между ними и основания.
Та же самая формула, но со средней линией (m) вместо суммы оснований:
Примечание: если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то ее высота равняется половине суммы оснований или, другими словами, средней линии.
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Задание 2.
Площадь равнобедренной трапеции
Задание 2. Площадь равнобедренной трапеции
Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока
или
посмотрите ВИДЕОУРОК
1. Основания равнобедренной трапеции
равны 5 см и 13 см, а диагональ делит её острый
угол пополам. Найдите площадь трапеции.
а) 24 см2; б) 27 см2;
в) 29 см2; г) 23 см2.
2. В
равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 24 см, а боковая сторона – 25 см. Найдите площадь трапеции.
а) 408 см2; б) 398 см2;
в) 388 см2; г) 416 см2.
3. В равнобедренную трапецию вписана
окружность радиусом 3 см. Большое основание трапеции
равно 8 см. Найдите площадь трапеции.
а) 40,2 см2; б) 39,8 см2;
в) 38,6 см2; г) 37,5 см2.
4. Площадь трапеции равна 36 см2, высота – 4 см,
а боковые стороны равны по 5 см. Найдите периметр трапеции.
а) 28 см; б) 19 см;
в) 23 см; г) 40 см.
5. Периметр равнобокой трапеции равен 124 см.
Меньшее основание равно боковой стороне и меньше другого основания на 20см. Найдите площадь трапеции.
а) 880 см2; б) 806 см2;
в) 864 см2; г) 872 см2.
6. Площадь равнобедренной трапеции, описанной вокруг
окружности, равна 162. Найти длину боковой стороны трапеции, если острый угол
при основании равен 30°.
а) 9; б) 18;
в) 4,5; г) 15.
7. Равнобедренная трапеция описана вокруг окружности.
Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки длиной 12 см и 48 см. Найдите площадь трапеции.
а) 2880 см2;
б) 3280 см2;
в) 1880 см2;
г) 1440 см2.
8. Вычислите площадь
равнобедренной трапеции, если её меньшее основание равно 10 см,
боковая сторона равна 8 см и
угол между ними равен 135°.
а) (10√͞͞͞͞͞2 + 36) см2;
б) (40√͞͞͞͞͞2 + 16) см2;
в) (20√͞͞͞͞͞2 + 32) см2;
г) (40√͞͞͞͞͞2 + 32) см2.
9. Около окружности, радиус которой 12 см,
описана равнобедренная трапеция. Боковая сторона делится точкой касания в
отношении 4 : 9. Найдите площадь трапеции.
а) 628 см2; б) 624 см2;
в) 668 см2; г) 616 см2.
10.
Диагональ равнобедренной трапеции, равная 16 см,
образует с основанием угол 45°. Вычислите площадь трапеции.
а) 128 см2; б) 118 см2;
в) 168 см2; г) 116 см2.
11. Основания равнобедренной трапеции 50 см и 14 см, диагональ перпендикулярна к
боковой стороне. Найдите площадь трапеции.
а) 785 см2; б) 698 см2;
в) 768 см2; г) 776 см2.
12. Боковая сторона равнобедренной
трапеции а, угол при большем основании 60°. Диагональ делит его пополам. Найдите площадь трапеции.
а) 3/4√͞͞͞͞͞3 а2; б) 3/2√͞͞͞͞͞5 а2;
в) 5/2√͞͞͞͞͞2 а2; г) 1/2√͞͞͞͞͞5 а2. Задания к уроку 10
Задание 1
Задание 3
Следующее
Предыдущее
Главная страница
Подписаться на:
Комментарии к сообщению (Atom)
Математическая задача: Равнобедренная трапеция — вопрос № 960, планиметрия
Равнобедренная трапеция ABCD, AB||CD задается |CD| = c = 12 см, высота v = 16 см и |CAB| = 20°. Вычислите площадь трапеции.
Правильный ответ:
S = 703,3542 см 2
Пошаговое объяснение:
−c=31,96 a=c+2x=2a1−c=75,92 см S=2a+cv=tan20∘v2=703,3542 см2
Вы нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь
напишите нам
. Спасибо!
Советы по родственным онлайн-калькуляторам
Расчет равнобедренного треугольника. См. также наш калькулятор тригонометрического треугольника.
You need to know the following knowledge to solve this word math problem:
planimetrics
area of a shape
triangle
trapezoid
goniometry and trigonometry
tangent
Оценка слов Проблема:
Практика для 14 -летнего возраста
Средняя школа
Мы призываем вас посмотреть это учебное видео по этой математической задаче: видео1
Isosceles 37621 in the isosdes in the isosdes in the isosdes in in the isodesdesdesdesdesdesdeodes 37621914 , даны основания AB = 20 см, CD = 12 см и длины плеч AD = BC = 8 см. Укажите ее высоту и альфа-угол при вершине A
Окружность 7052 Дана трапеция ABCD (AB || CD, AB перпендикулярна AD). Вычислите его окружность, если | АБ | = 20см, | компакт-диск | = 15см, | ОБЪЯВЛЕНИЕ | = 12см. Теорема Пифагора
Трапеция 70454 Построить трапецию ABCD (AB // CD): | АБ | = 7 см | Британская Колумбия | = 3,5 см | компакт-диск | = 4см Величина угла ABC = 60°
Трапеция 20873 В трапеции ABCD (AB II CD) α = 57°, γ = 4β. Вычислите величину всех внутренних углов.
Равнобедренная 2588 Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой | АБ | = 2 | Британская Колумбия | = 2 | компакт-диск | = 2 | ДА | держит. На стороне BC точка K такова, что | БК | = 2 | KC |, на стороне CD точка L такова, что | КЛ | = 2 | LD |, а со стороны DA точка M такова, что
Диагонали под прямым углом В трапеции ABCD дано: AB=12см CD=4см Диагонали пересекаются под прямым углом. Чему равна площадь этой трапеции ABCD?
Прямоугольник 49153 Прямоугольник ABCD, у которого | АБ | = 5см, | переменный ток | = 8 см, ∢ | КАБИНА | = 30°. Какова длина другой стороны и какова ее площадь?
Пересечение диагонали Равнобедренная трапеция ABCD с длинными основаниями | АБ | = 6 см, CD | = 4 см делится на четыре треугольника диагоналями, пересекающимися в точке S. Какую часть площади трапеции составляют треугольники ABS и CDS?
Вычислить 48073 Вычислить площадь равнобедренной трапеции ABCD, если a = 14 см, c = 8 см, а величина угла DAB равна 52°.
Трапеции В равнобедренной трапеции ABCD мы знаем: AB||CD, |CD| = c = 8 см, высота h = 7 см, |∠CAB| = 35°. Найдите площадь трапеции.
Бассейн Бассейн длиной 30 м наполнен водой на глубину 1 м в мелкой части и 5 м в глубокой части, а по вертикали бассейн имеет форму трапеции с площадь определяется как S (abcd) = 1/2 (ab + cd) x ad. Что такое
трапеция 3428 Дана трапеция ABCD с основаниями AB, CD. Пусть K — середина стороны AB, а точка L — середина стороны CD. Площадь треугольника ALB равна 15 см 2 , а площадь треугольника DKC равна 10 см². Вычислите площадь трапеции ABCD.
Равнобедренная 7929 ABCD Равнобедренная трапеция. A = 6см, e = 7см и угол дельты = 105°. Подсчитайте оставшиеся страницы.
Трапеция 4908 Трапеция ABCD с основаниями AB = a, CD = c имеет высоту v. Точка S является центром плеча BC. Докажите, что площадь треугольника ASD равна половине площади трапеции ABCD.
Прямоугольная трапеция Прямоугольная трапеция ABCD с основаниями AB и CD разделена диагональю AC на два равносторонних прямоугольных треугольника. Длина диагонали АС равна 62 см. Вычислите площадь трапеции в квадратных см и посчитайте, сколько различных периметров
Диагональ Прямоугольная трапеция ABCD, плечо AD которой перпендикулярно основаниям AB и CD, имеет площадь 15 кв.см. Основания имеют длину AB = 6 см, CD = 4 см. Вычислите длину диагонали АС.
Площадь трапеции: формула и 5 примеров
10 января 2023 г.
Большинство учащихся хорошо знакомы с основными формами и формулами, которые преподаются на уроках математики в средних и старших классах. Обычный человек, идущий по улице, может найти площадь квадрата или треугольника, но некоторые фигуры сложнее, чем основные. Одной из самых запутанных задач в геометрии является решение задач по формуле площади трапеции.
Площадь — это термин, используемый для описания объема пространства, занимаемого плоскостью или двумерной фигурой. Вычисление площади чего-либо часто используется для измерения того, насколько большой или маленькой может быть форма. Типичным примером из повседневной жизни является желание узнать, сколько краски нужно купить, чтобы покрыть стену или покрыть ковром спальню. Существует много формул для расчета площади, но они различаются в зависимости от формы.
Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Параллельные стороны называются основаниями, непараллельные стороны называются катетами, а расстояние между двумя основаниями называется высотой. Высоту иногда также называют высотой. Различают три типа трапеций: правильная трапеция, равнобедренная трапеция и разносторонняя трапеция. Все типы трапеций имеют одну и ту же формулу площади.
Площадь трапеции Формулы:
A предназначена для области
A для базы One
B для основания два
H предназначена для высоты или высоты
. b для трапециевидных оснований взаимозаменяемы. Основания будут сложены, разделены на 2 и умножены на высоту. Окончательный ответ для площади фигуры всегда выражается в квадратных единицах.
Пример 1:
Найдите площадь правой трапеции ниже.
Сначала определите и подставьте числа для ваших переменных.
Упрощение.
A = 15 дюймов * 20 дюймов
A = 300 дюймов 2
Площадь правой трапеции 300 дюймов 2 0 9.
Пример 2:
Найдите площадь равнобедренной трапеции.
Упрощение.
A = 18,5 дюймов * 7 дюймов
A = 129,5 дюймов 2
Площадь равнобедренной трапеции 9000,5 900,5 дюймов.
Пример 3:
Найдите площадь разносторонней трапеции.
Упрощение.
А = 14,5 дюйма * 4 дюйма
А = 58 в 2
Площадь разносторонней трапеции равна 58 в 2 .
Пример 4:
Найдите площадь трапеции с основанием 4 см, основанием 6 см и высотой 3 см. Примечание: единицы измерения указаны в сантиметрах.
Сначала пометьте свои переменные соответствующими номерами. a равно равно 4, b равно 6, а h равно 3. Подставьте свои числа в площадь формулы трапеции.
Следуйте вашему порядку операций, найдите A или площадь в дюймах 2 .
2 = a$ становится конусом с дополнительными масштабными симметриями в дополнение к линейным преобразованиям гиперболоида; на самом деле группа симметрии $O(2,1)$ рациональных решений коллапсирует в произведение скейлингов и изометрий окружностей. Для целочисленных решений с пифагорейскими тройками происходит сведение к случаю примитивных троек, но при $a \neq 0$ существует ограничение на общие множители $(x,y,z)$, а при $a = \pm 1$ все целочисленные решения примитивны. Организация пифагорейских троек с использованием нескольких целочисленных матриц 3×3 в качестве преобразований, соединяющих разные решения, действительно использует структуру $O(2,1)$, и множество решений для уравнения с $a \neq 0$ может быть представлено таким же образом ( возможно, с более чем одним компонентом связности, когда $|a| > 1$). 92}$
Правда, я использую эту формулу в обратном порядке. Найти решения уравнения Пелла гораздо сложнее, чем простых уравнений типа пифагорейских троек. Так что найдите их, а затем получите решения уравнения Пелла. Самое интересное, что решение Пелла связано с пифагорейскими тройками.
$\endgroup$
Поверхности, часть 2
Поверхности, часть 2
Поверхности и контурные графики
Часть 2: квадратные поверхности
Квадратные поверхности — это графики квадратных уравнений с тремя декартовыми переменными. в космосе. Подобно графикам квадратичных уравнений на плоскости, их формы зависят от
знаки различных коэффициентов в их квадратных уравнениях.
Сферы и эллипсоиды
сфера — это граф
уравнение вида x 2 + y 2 + z 2 = p 2 для некоторого действительного числа p . Радиус сферы равен p (см.
рисунок ниже). Эллипсоиды представляют собой графики уравнений вида x 2 + на 2 + c z 2 = p 2 ,
где a , b и c все положительные. В частности,
сфера — это особый эллипсоид, для которого a , b и c
все равны.
Постройте график x 2 + y 2 + z 2 = 4
на вашем листе в декартовых координатах. Затем выберите другие коэффициенты
в уравнении и постройте несферический эллипсоид.
Какие кривые вы найдете, когда вы
пересекают сферу плоскостью, перпендикулярной одной из осей координат?
Что вы нашли для эллипсоида?
Параболоиды
Поверхности, пересечения которых с
плоскости, перпендикулярные любым двум координатным осям, являются параболами в тех
самолеты называются параболоиды . Пример показан на рисунке ниже
— это график z = x 2 + y 2 .
Сделайте свой собственный участок этой поверхности
на листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.
Следуйте предложениям в рабочем листе. Какие бывают пересечения ул.
поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной с ?
Покажите, что пересечения
эта поверхность с плоскостями, перпендикулярными х- и у- оси
являются параболами. [Подсказка: установите либо y = c , либо x = c .
для некоторой константы c .]
Измените уравнение на z = 3 x 2 + y 2 ,
и снова сюжет. Как изменится поверхность? В частности, что происходит с
кривые пересечения с горизонтальными плоскостями.
поверхность на следующем рисунке представляет собой график z = x 2 — y 2 .
В этом случае пересечения с плоскостями, перпендикулярными x и и оси по-прежнему являются параболами, но два набора парабол отличаются
направление, в котором они указывают. По причинам, которые мы увидим, эта поверхность называется
гиперболический параболоид — и по понятным причинам его также называют
«седловидная поверхность».
Сделайте свой собственный сюжет этой гиперболы
параболоида на листе и поворачивайте график, чтобы увидеть его с разных точек зрения. Следуйте предложениям в рабочем листе. Какие бывают пересечения ул.
поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной с ? Объясните обе части имени.
Гиперболоиды
Гиперболоиды — это поверхности
в трехмерном пространстве аналогично гиперболам на плоскости. Их определение
характерно то, что их пересечения с плоскостями, перпендикулярными какому-либо
две оси координат являются гиперболами. Есть два типа гиперболоидов
— первый тип иллюстрируется графиком x 2 + y 2 — z 2 = 1,
что показано на рисунке ниже. Как показано на рисунке справа,
эта форма очень похожа на форму, обычно используемую для атомных электростанций
градирни. (Источник: Агентство по охране окружающей среды
Ответ на инцидент в Три-Майл-Айленде.)
Эта поверхность называется гиперболоидом .
одного листа , потому что это все «связано» в одно целое. (Мы будем
перейти к другому делу в настоящее время.)
Сделайте свой собственный участок этой поверхности
на листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.
Следуйте предложениям в рабочем листе. Какие бывают пересечения ул.
поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной с ?
Покажите, что пересечения
эта поверхность с плоскостями, перпендикулярными осям x- и y- являются гиперболами. [Подсказка: установите либо y = c или x = c для некоторой константы c .]
Другой тип — гиперболоид .
из двух листов , что иллюстрируется графиком x 2 — y 2 — z 2 = 1,
показано ниже.
Сделайте свой собственный участок этой поверхности
на листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.
Почему если мы хотим что-то сильно поменять, то лучше разворачивать жизнь на 180 градусов, а не на 360?
Оглянитесь вокруг: геометрические фигуры окружают нас повсюду, а в математике и вовсе встречаются почти в каждом задании. Не стали исключением и окружность и круг, которые попадают в задачки чаще, чем может показаться. Поэтому эта статья будет полезна: овладеете всеми премудростями, необходимыми для жизни и экзаменов.
Обруч и окружность
Давайте вспомним один из предметов инвентаря художественной гимнастики – обруч. Это узкое кольцо большого диаметра, внутри которого ничего нет. Обруч состоит только из “контура”, то есть из того самого кольца. Именно с помощью обруча мы приближаемся к термину “окружность”.
Окружность – это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Разберем чуть подробнее, что значит фраза “равноудалены от центра”. Допустим, мы точно знаем, где центр нашего обруча, и через этот центр натянем много-много ленточек. Тогда окажется, что длина каждой ленточки от центра до обруча будет одинаковой.
То есть окружность состоит из бесконечного множества точек, которые располагаются на равном расстоянии от центра.
Элементы окружности
Радиус – это отрезок, построенный от центра окружности до любой точки на окружности.
Если вспомнить обруч с ленточками, то одна ленточка – это радиус. Радиус обозначается буквой R. В окружности можно построить множество радиусов, и все они будут равны между собой.
Диаметр – это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности.
Можно сразу заметить, что диаметр будет состоять из двух радиусов, которые проведены по разные стороны от центра окружности.
Диаметр обозначается буквой D и равняется двум радиусам.
D = 2R
Хорда – это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. При этом хорда не обязательно проходит через центр окружности.
Где в ловце снов спрятана хорда?
Представим ловец снов. Когда его изготавливают, натягивают нитку от точки на ободе до точки на другом конце обода. Чтобы получился красивый узор, нитки должны быть разной длины и проходить через разные точки – не обязательно через центр. Получается, каждая ниточка внутри ловца слов будет хордой.
Таким образом, хорда может иметь любой размер и любое направление, главное, чтобы ее начало и конец лежали на окружности.
Рассмотрим свойства хорды.
1 свойство. При пересечении двух хорд произведения их отрезков равны.
Пусть в окружности проведены хорды АВ и CD, которые пересекаются в точке О. Тогда выполняется равенство АО * ОВ = СО * OD.
2 свойство. Равные хорды стягивают равные дуги.
3 свойство. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ей дуги пополам.
Если диаметр CD перпендикулярен хорде АВ, то АЕ = ЕВ.
Рассмотрим, почему выполняется это свойство. Достроим треугольник АОВ, в котором АО и ОВ – радиусы. Радиусы в окружности равны, следовательно, треугольник равнобедренный.
Рассмотрим ОЕ – высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию.
Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой, следовательно, ОЕ – медиана, а значит АЕ = ЕВ.
Дуга – это часть окружности, началом и концом которой являются две произвольные точки.
Допустим, из нашего обруча вырежут какую-то часть. Тогда и вырезанная часть, и оставшаяся часть будут дугами.
Пицца и круг
Мы рассмотрели окружность. Тут уже может возникнуть вопрос: чем круг отличается от окружности?
В чем отличие окружности от пиццы?
Представим пиццу. Она круглой формы? Да. Похожа она на обруч? Нет. И пицца, и обруч имеют форму круга. Разница в том, что обруч внутри полый, а пицца полностью состоит из теста и начинки. Иными словами, в пицце есть не только контур в виде корочки, но и все, что лежит внутри него. Когда окружность внутри заполнена “начинкой” – это уже круг.
Круг – это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью.
Элементы круга
Рассмотрим элементы круга.
Радиус, диаметр хорды в круге имеют такие же определения, как и в окружности. Поскольку мы теперь рассматриваем не только контур, а всю фигуру, то появляются новые элементы.
Предположим, к нам в гости пришли друзья, и теперь нужно разделить пиццу между всеми. Разумеется, мы разрежем ее на несколько кусочков.
Форма кусочков пиццы очень напоминает сектор круга.
Сектор – это часть круга, которую ограничивают радиусы и дуга.
При этом два радиуса делят круг на два сектора: один больший, а другой меньший. На рисунке один из них закрашен фиолетовым, а другой белым.
Если мы захотим отрезать только один кусочек пиццы, то и отрезанный кусочек, и оставшаяся пицца будут секторами круга.
Теперь разрежем пиццу иначе. Отрежем кусочек по прямой, не проходя через ее середину:
Таким образом, мы отрежем уже не сектор, а сегмент от пиццы.
Сегмент – это часть круга, которая ограничена хордой и дугой.
Причем одна хорда является границей для двух сегментов: и отрезанный кусочек пиццы, и оставшаяся часть будут сегментами. На рисунке ниже один сегмент закрашен фиолетовым, а другой белым.
Подведем итог: И в окружности, и в круге можно встретить радиус, диаметр, хорду и дугу. В круге дополнительно появляются сектор и сегмент.
Формулы для окружности и круга
Мы рассмотрели окружности и круг, а также их элементы, однако ни одну задачу не получится решить без формул. Давайте рассмотрим их.
Однако перед этим необходимо ввести еще несколько терминов.
Длина окружности – это длина кривой, которая образует окружности.
Если мы с помощью сантиметровой ленты измерим длину нашего обруча, то как раз получим длину окружности.
Длина дуги – это длина части кривой, которая образует окружность.
Отличие от длины окружности только в том, что тут измеряется не вся кривая, а только ее часть.
В таблице ниже приведены основные формулы, которые могут встретиться при решении задач.
Дуга окружности
Дугу можно измерять не только в единицах измерения длины, но и в градусах. Вся дуга окружности имеет градусную меру 360\(\circ\). Тогда половина дуги окружности будет равняться 180.
При этом дуга, равная 180\(\circ\), называется полуокружностью. Полуокружность ограничивается двумя концами диаметра.
Думаем, хоть раз в жизни вы слышали фразу “повернуться на 180\(\circ\) градусов” или “поменять свое мнение на 180\(\circ\) градусов”. Это означает, что человек меняет свое мнение буквально на противоположное. Рассмотрим на примере окружности: пусть человек стоит в точке А. Ему нужно пройти по окружности ровно 180\(\circ\).
Поскольку человеку нужно пройти полуокружность, то она ограничивается диаметром. Достроим диаметр АВ, тогда наш человек окажется в точке В, то есть на противоположной стороне окружности.
А если он дважды пройдет полуокружность, то снова окажется в точке А, то есть пройдет дугу в 2 * 180 = 360 градусов.
Поэтому если человек будет находиться в точке О и захочет повернуться на 180 градусов, то вместо точки А он будет смотреть на точку В. При повороте на 360 градусов, человек снова будет смотреть на точку А.
Почему если мы хотим что-то сильно поменять, то лучше разворачивать жизнь на 180 градусов, а не на 360?
При повороте на 180 градусов, мы смотрим на что-то с совершенно противоположной стороны. А вот если повернуться на 360 градусов, то мы будем смотреть на ту же точку, на которую смотрели изначально.
Углы в окружности
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. При этом угол опирается на дугу окружности.
На рисунке угол АОВ будет центральным.
Свойство центрального угла:
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Например, дуга АВ равна 36\(\circ\), тогда угол АОВ также равен 36\(\circ\).
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол также должен опираться на дугу окружности.
На рисунке угол АСВ – вписанный.
Свойства вписанного угла окружности:
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Например, дуга АВ равна 50\(\circ\), тогда угол АСВ равен 25\(\circ\).
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Пусть углы АСВ, АЕВ и АКВ опираются на душу АВ. Тогда эти углы будут равны между собой.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90\(\circ\).
Вспомним, что диаметр делит окружность на две полуокружности, градусные меры которых равны 180\(\circ\). Тогда вписанный угол будет равняться 180\(\circ\) : 2 = 90\(\circ\).
Также важно заметить, что вписанный угол равен половине центрального угла. При этом данные углы обязательно должны опираться на одну дугу.
Это легко доказать, если вспомнить, что:
центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается,
вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, \(∠ACB = \frac{1}{2}∠AOB\).
Фактчек
Окружность – это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра. Элементами окружности являются радиус, диаметр, хорда, дуга.
Круг – это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью. Помимо радиуса, диаметра и хорды, в круге может встретиться сегмент и сектор.
Вся дуга окружности имеет величину 360 градусов. Тогда половина дуги будет равняться 180 градусам.
В окружности встречаются центральные и вписанные углы. При этом вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, а центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Как следствие, если центральный и вписанный углы опираются на одну дугу, то центральный угол равен двум вписанным углам.
Проверь себя
Задание 1. Что такое окружность?
Замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра;
Геометрическая фигура, которая ограничена замкнутой кривой, все точки которой равноудалены от центра;
Геометрическая фигура, которая имеет круглую форму;
Часть плоскости, ограниченная замкнутой кривой, все точки которой равноудалены от центра.
Задание 2. Что такое диаметр окружности?
Это отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку на окружности;
Это отрезок, соединяющий две произвольные точки на окружности;
Это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проведенный через центр окружности;
Это половина дуги окружности.
Задание 3. По какой формуле можно найти длину окружности?
\(l = \frac{R}{180} * n\)
\(C=2 \pi R\)
C=2R
\(l = \pi R\)
Задание 4. На окружности выделили дугу в 60 градусов. Какую часть от всей окружности занимает эта дуга?
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{4}\)
Задание 5. Вписанный угол равен 50 градусов. Чему равен центральный угол, опирающийся на ту же дугу?
200
50
100
150
Ответы: 1. – 1 2. – 3 3. – 2 4. – 3 5. – 3
Окружность — Формула, Примеры | Окружность круга
Окружность окружности — это периметр окружности. Это общая длина границы круга. Длина окружности есть произведение постоянной π на диаметр окружности. Человеку, идущему по круглому парку или окаймленному круглому столу, требуется эта метрика окружности круга. Длина окружности является линейной величиной, и ее единицы измерения такие же, как единицы длины.
Окружность — это круглая замкнутая фигура , все ее граничные точки равноудалены от фиксированной точки, называемой центром. Двумя важными показателями круга являются площадь круга и длина окружности. Здесь мы будем стремиться к пониманию формулы и вычислению длины окружности.
1.
Что такое длина окружности?
2.
Длина окружности Формула
3.
Как найти длину окружности?
4.
Окружность к диаметру
5.
Часто задаваемые вопросы Окружность круга?
Что такое длина окружности?
Окружность окружности – это ее граница или длина полной дуги окружности. Давайте разберемся с этой концепцией на примере. Рассмотрим круговой парк, показанный ниже.
Если мальчик начинает бежать из точки «А» и достигает той же точки, пройдя один полный круг по парку, он преодолевает расстояние. Это расстояние или граница называется окружностью парка, который имеет форму круга. Окружность — это длина границы.
Окружность круга Определение
Окружность круга относится к размеру его границы. Если мы откроем круг и измерим границу точно так же, как измеряем прямую линию, мы получим длину окружности в единицах длины, таких как сантиметры, метры или километры.
Теперь давайте узнаем об элементах, из которых состоит окружность. Это три самых важных элемента круга.
Центр: Центром окружности называется точка, находящаяся на фиксированном расстоянии от любой другой точки окружности.
Диаметр: Диаметр — это расстояние по окружности через центр, это линия, которая пересекает окружность с обоих концов и должна проходить через центр.
Радиус: Радиус круга — это расстояние от центра круга до любой точки на окружности круга.
Длина окружности Формула
Формула длины окружности выражается с использованием радиуса окружности r и значения числа пи. Это выражается как: Длина окружности по формуле = 2πr. При использовании этой формулы окружности, если у нас нет значения радиуса, мы можем найти его, используя диаметр. То есть, если диаметр известен, его можно разделить на 2, чтобы получить значение радиуса, потому что диаметр круга = 2 × радиус. Другой способ рассчитать длину окружности — использовать формулу: длина окружности = π × диаметр. Если нам нужно вычислить радиус или диаметр, когда дана длина окружности, мы используем формулу: Радиус = Длина окружности/2π
Как найти длину окружности?
Хотя длина окружности равна длине ее границы, ее нельзя вычислить с помощью линейки (шкалы), как это обычно делают для других многоугольников. Это потому, что круг — это изогнутая фигура. Следовательно, чтобы вычислить длину окружности, мы применяем формулу, которая использует радиуса или диаметра круга и значение Пи (π).
Пи — это специальная математическая константа, значение которой приблизительно равно 3,14159 или π = 22/7. Значение π = 22/7 используется в различных формулах. Это отношение длины окружности к диаметру, где C = πD. Рассмотрим практическую иллюстрацию, чтобы понять, как вычислить длину окружности с помощью формулы длины окружности.
Пример: Если радиус окружности равен 25 единицам, найдите длину окружности. (Возьмем π = 3,14)
Решение: Дано, радиус = 25 единиц Напишем формулу окружности, а затем подставим в нее значение r (радиуса). Формула длины окружности = 2πr С = 2 × π × 25 С = 2 × 3,14 × 25 = 157 единиц Следовательно, длина окружности равна 157 единицам.
Окружность к диаметру
Отношение длины окружности к диаметру круга используется для определения стандартного определения числа Пи (π). Если вы знаете диаметр ‘d’ круга, то вы можете легко найти длину окружности C, используя соотношение: C = πd. Итак, если окружность C поставить в отношении к диаметру d, мы получим ответ π.
Важные замечания по длине окружности
π(Pi) — математическая константа, представляющая собой отношение длины окружности к ее диаметру. Оно приближается к π = 22/7 или 3,14
.
Если радиус круга увеличивается дальше и касается границы круга, он становится диаметром круга. Следовательно, Диаметр = 2 × Радиус
Окружность — это расстояние по окружности или длина окружности.
Мы можем найти длину окружности, используя радиус или диаметр.
Формула длины окружности = π× Диаметр; Окружность = 2πr.
☛ Статьи по теме
Окружность Земли
Окружность кругов Рабочие листы
Калькулятор отношения диаметра к окружности
Калькулятор окружности
Длина окружности Примеры
Пример 1: Если радиус круга равен 28 см, найдите длину окружности.
Решение:
Дано, Радиус круга = 28 см. Чтобы найти длину окружности, воспользуемся формулой длины окружности: 2πr = 2×22/7×28 = 176 см. Следовательно, длина окружности равна 176 см.
Пример 2: Длина окружности колеса 440 см. Найдите его радиус и диаметр.
Решение:
Дано, Окружность колеса = 440 см Длина окружности формула = 2πr Подставим известные значения, чтобы сначала найти радиус. 440 = 2πr 440 = 2 × (22/7) × г радиус = 70 см Диаметр = 2 × радиус 90 113
Диаметр = 2 × 70 Следовательно, радиус равен 70 см, а диаметр 140 см.
Пример 3: Периметр прямоугольного провода равен 264 м. Та же проволока сгибается в форме круга. Найдите радиус окружности, образованной по формуле длины окружности.
Решение:
Мы знаем, что периметр прямоугольника = Общая длина используемой проволоки = Длина окружности образовавшегося круга. Следовательно, длина окружности образовавшегося круга = 264 м Длина окружности формула = 2πr Длина окружности = 264
Подставим известные значения, чтобы найти радиус.
264 = 2πr 264 = 2 × (22/7) × г Следовательно, радиус окружности равен 42 м.
перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Забронировать бесплатный пробный урок
Практические вопросы по длине окружности
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы об окружности окружности
Что такое длина окружности в геометрии?
Длина окружности — это мера границы или длина полной дуги окружности. Длина окружности равна произведению π (пи) на диаметр окружности. Длина окружности — это линейная величина, имеющая одинаковые единицы длины.
Как найти длину окружности?
Длина окружности рассчитывается с помощью формулы длины окружности, для которой требуется значение радиуса окружности и значение π (пи). Окружность круга = 2πr, где «r» — радиус круга, а π (пи) — специальная математическая константа со значением, приблизительно равным 3,14159 или π = 22/7.
Как найти диаметр по длине окружности?
Если нам нужно вычислить диаметр, когда дана длина окружности, мы используем формулу: Длина окружности = π × диаметр или Диаметр = длина окружности/π
Как найти длину окружности по площади?
Длину окружности можно рассчитать, если известна площадь круга. По формуле площади круга можно вычислить радиус. Зная радиус, можно вычислить длину окружности. Площадь круга = πr 2 , \(радиус = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\), и C = 2πr = 2\(\pi\sqrt{\frac{A}{\pi }}\).
Какова единица длины окружности?
Окружность круга представляет собой одномерную линейную величину, а единица измерения длины окружности выражается в метрах, дюймах, сантиметрах, футах и т. д. Длина окружности связана с другими линейными величинами, такими как радиус и диаметр окружности.
Что такое периметр круга?
Периметр круга равен длине окружности. Это общая длина внешней границы круга. Периметр или длина окружности — это произведение константы «пи» и диаметра окружности. Он выражается в линейных единицах, таких как м, дюйм, см, фут.
Каково число Пи?
Пи — постоянная величина, используемая для измерения площади и длины окружности круга или других круглых фигур. Символом числа пи является π, а его числовое значение равно 22/7 или 3,14. Кроме того, эти числовые значения используются в зависимости от контекста уравнения.
В чем разница между диаметром и длиной окружности?
Диаметр окружности — это самая длинная хорда, проходящая через центр окружности. Длина окружности – это длина внешней границы окружности. И диаметр, и длина окружности являются длинами и выражаются в линейных единицах. Длина окружности равна произведению диаметра на константу π (пи).
Как найти длину окружности по диаметру?
Длина окружности может быть вычислена, если диаметр известен, поскольку отношение между длиной окружности и диаметром окружности выражается как Окружность = π × Диаметр, или диаметр = Окружность/π.
Загрузить БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Рабочий лист по кругам
Математика, счет и статистика — Комплект академических навыков
Геометрия круга
Примеры работы 4 Рабочая тетрадь 5 См. также 6 Внешние ресурсы 7 Проверьте себя
Определение
Расстояние вокруг границы круга называется окружностью .
Расстояние по окружности через центр называется диаметром .
Расстояние от центра круга до любой точки на границе называется радиусом . Радиус равен половине диаметра; $2r=d$.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, равен хорда . Каждый диаметр является хордой, но не каждая хорда является диаметром.
Область, которую отсекает хорда, называется сегментом .
Область внутри круга, ограниченная двумя радиусами, представляет собой сектор .
Длина между двумя точками по окружности равна дуге .
Окружность
Определение
Формула для вычисления длины окружности: \[C = \pi d \qquad\text{или } \qquad C = 2\pi r\], где $d$ — диаметр, а $r$ — радиус.
Примеры работы
Пример 1
Радиус данной окружности равен $r=4$см. Вычислите окружность.
Решение
\begin{align} C &= 2\pi r\\ &= 2 \times \pi \times 4\\ &= 8 \pi \\ &\ приблизительно 25,1 \text{см (до 1 десятичного знака) place)} \end{align}
Пример 2
Найдите диаметр круга с длиной окружности $18$см. 92 &= \frac{50}{\pi}\\ r &= \sqrt{\frac{50}{\pi} }\\ r &\приблизительно 4,0 \text{см (до 1 знака после запятой)} \end {align}
Рабочая тетрадь
Эта рабочая тетрадь, созданная HELM, является хорошим пособием по пересмотру, содержащим ключевые моменты для исправления и множество рабочих примеров.