Автор: alexxlab

Определение предела функции по Гейне

11.1Определения предела по Коши и по Гейне

Определение предела функции, которое мы дали в предыдущей главе, называется также определением «по Коши». Напомним его:

Определение 1. (Предел функции по Коши) Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что предел функции f(x) в точке x=x0 равен числу b, если для всякого ε>0 найдётся такое δ>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности точки x0 значения функции лежат в ε-окрестности точки b.

Формально: утверждение

limx→x0f(x)=b

по определению означает, что

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈˚Uδ(x0):f(x)∈Uε(b),

или (см. замечание 3 из предедыщей лекции 10):

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ⇒|f(x)−b|<ε.

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ⇒|f(x)−b|<ε.

Для некоторых целей нам будет удобно использовать другое определение, известное как определение предела функции «по Гейне». Оно основано на понятии предела последовательности.

Определение 2. (Определение предела функции по Гейне.) Пусть снова функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что предел функции f(x) в точке x=x0 равен числу b, если для любой последовательности {xn}, стремящейся к x0, все члены которой не равны x0, выполняется утверждение: последовательность значений функции f(x) в точках xn стремится к b: f(xn)→b при n→∞.

Формально:

∀{xn}:((∀n:xn≠x0)∧(limn→∞xn=x0))⇒limn→∞f(xn)=b.

∀{xn}:((∀n:xn≠x0)∧(limn→∞xn=x0))⇒⇒limn→∞f(xn)=b.

Это определение эквивалентно предыдущему (это мы чуть позже докажем) и хорошо согласуется с интуицией: например, на картинках в разделе примеры и мотивировка предыдущей лекции мы рисовали как раз последовательности значений x, и показывали (чисто визуально), что последовательность соответствующих значений функции стремится к нужному нам числу.

Нужно сказать про несколько тонкостей определения по Гейне:

1. Вообще говоря, не все значения f(xn) обязаны быть определены: возможно, какие-то из начальных членов последовательности {xn} лежат вне области определения функции f(x). Однако, мы знаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки x0, а последовательность xn стремится к x0, и значит, начиная с некоторого члена, обязательно окажется внутри той окрестности, где функция определена. Вместе с дополнительным условием о том, что члены последовательности не равны x0, это гарантирует, что по крайней мере начиная с некоторого n=N, все члены последовательности {f(xn)} определены. А поскольку начальные члены последовательности не влияют на предел, их можно просто отбросить.
2. Условие о том, что все члены последовательности {xn}, не равны x0, очень важно. Рассмотрим функцию

   f(x)={1,x≠2;3,x=2.

   из примера 12 с предыдущей лекции. Последовательность

   xn={2,n=2k2+1n,n=2k+1

   стремится к x0, при этом последовательность значений функции {f(xn)} имеет вид:

   f(xn)={3,n=2k,1,n=2k+1,

   и не имеет предела. Таким образом, если бы мы не требовали от последовательности {xn} никогда не посещать x0, нам пришлось бы сказать, что данная функция не имеет предела в точке 2, хотя согласно определению по Коши оно его имеет.

   Требование xn≠x0 соответствует выбору проколотой окрестности для x0 в определении по Коши вместо обычной окрестности.

   Заметим, что его также можно ослабить, и требовать, чтобы xn≠x0 не для всех n, а для всех, начиная с некоторого.

3. Тот факт, что в определении используется квантор всеобщности (для любой последовательности {xn}…), а не существования, также очень важен. Рассмотрим функцию

   f(x)={x+1,x≤1;x−2,x>1.

   из примера 13 с предыдущей лекции. У неё нет предела (по Коши) в точке x=1, поскольку при приближении по x к точке 1 справа или слева, значение функции f(x) приближается к разным числам (−1 и 2 соответственно).

   Однако, если мы рассмотрим последовательность xn=1+1/n, она удовлетворяет всем условиям определения по Гейне, и при этом f(xn)→−1. Если бы достаточно было проверить лишь одну последовательность, мы могли бы сказать, что предел равен −1. Что не так: выбирая другую последовательность (например, xn=1−1/n), мы бы получили другой предел f(xn).

11.2Эквивалентность определений

Теорема 1. Определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны.

Доказательство.

Из Коши следует Гейне. Пусть предел функции f при x→x0 равен b по Коши. Докажем, что тогда он равен b также и по Гейне.

Идея доказательства такая. Из определения по Коши следует, что если x близок к x0 (но при этом не равен x0), f(x) близко к b. Пусть последовательность xn стремится к x0 и никогда не посещает x0. Тогда если подождать достаточно долго, xn начнут быть близкими к x0 (и не равными x0). В этом случае, согласно определению по Коши, f(xn) окажутся близкими к b. Значит, f(xn) стремится к b.

Осталось чётко сформулировать, что значит в каждом случае означают слова «близко» и «достаточно долго».

Утверждение «предел функции f(x) при x→x0 равен b по Коши» формализуется так:

∀ε1>0 ∃δ1=δ1(ε1)>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ1⇒|f(x)−b|<ε1.(11.1)

∀ε1>0 ∃δ1=δ1(ε1)>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ1⇒|f(x)−b|<ε1.(11.1)

Докажем, что в этом случае определение по Гейне тоже выполняется. Пусть xn — произвольная последовательность, стремящаяся к x0 и никогда не посещающая x0. Тогда для всякого ε2>0 найдётся такое N2=N2(ε2), что для всех n>N2, выполняется неравенство |xn−x0|<ε2. Дополнительно известно, что для всех натуральных n, xn≠x0. Таким образом, для всех n>N2, выполняется неравенство

0<|xn−x0|<ε2.

Иными словами, все члены последовательности, начиная с номера N2+1, лежат в проколотой ε2-окрестности точки x0. Формально:

∀ε2>0 ∃N2=N2(ε) ∀n>N2:0<|xn−x0|<ε2.(11.2)

∀ε2>0 ∃N2=N2(ε) ∀n>N2:0<|xn−x0|<ε2.(11.2)

Мы хотим доказать, что в этом случае f(xn)→b. Иными словами, нам нужно доказать, что для всякого ε>0 найдётся такое N=N(ε), что для всех n>N выполняется неравенство |f(xn)−b|<ε.

Сравним утверждения (11.1) и (11.2). Утверждение (11.1) говорит, что если мы хотим сделать f(x) близким к b, то нужно потребовать, чтобы x был близок к x0 и не равнялся x0. Утверждение (11.2) говорит, что если мы хотим, чтобы xn был близок к x0, то нужно выбрать достаточно большое значение n. Осталось соединить эти два утверждения.

Пусть мы хотим сделать так, чтобы f(xn) был ε-близок к b. Согласно (11.1), для этого нужно сделать так, чтобы xn был δ1(ε)-близок к x0. Согласно (11.2), для этого нужно сделать так, чтобы n был больше, чем N2(δ1(ε)). Иными словами, мы в утверждении (11.2) в качестве ε2 должны использовать значение δ1(ε).

Действительно, положим N(ε):=N2(δ1(ε)). Тогда согласно (11.2) для всех n>N(ε), выполняется неравенство

0<|xn−x0|<δ1(ε).

Согласно (11.1), для всех значений x, для которых верно неравенство 0<|x−x0|<δ1(ε), верно неравенство |f(x)−b|<ε. Значит, для всех xn это неравенство также верно.

Итак, для всякого ε>0 мы построили такое N, что для всех n>N выполняется неравенство |f(xn)−b|<ε. Таким образом, f(xn)→b.

Это построение работает для любой последовательности {xn}, удовлетворяющей условиям xn→x0 и xn≠x0 для всех n. Значит, утверждение определения по Гейне доказано.

Из Гейне следует Коши. Будем доказывать от противного. Пусть есть такая функция f(x), что для неё выполняется утверждение limx→x0f(x)=b по Гейне, но не выполняется такое же утверждение по Коши.

Запишем формально, что значит «не выполняется такое же утверждение по Коши». Для этого нужно навесить отрицание на формулу (11.1). Получится такая штука:

∃ε1>0 ∀δ1>0 ∃x=x(δ1):(0<|x−x0|<δ1)∧|f(x)−b|≥ε1.

∃ε1>0 ∀δ1>0 ∃x=x(δ1):(0<|x−x0|<δ1)∧|f(x)−b|≥ε1.

В этой формуле δ1>0 произвольна, а x зависит от этой δ1. Чтобы прийти к противоречию, мы построим последовательность {xn}, для которой утверждение в определении предела по Гейне будет нарушаться: а именно, xn будет стремиться к x0, но f(xn) не будет стремиться к b.

Для этого возьмём последовательность δn:=1n. (Как обычно в таких случаях, подойдёт любая последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю.) Положим также xn:=x(δn)=x(1n). Для всякого натурального n,

x0−1n<xn<x0+1n.

Левая и правая границы стремятся к x0, следовательно, по теореме о двух милиционерах, xn→x0. Дополнительно верно, что для всех n, xn≠x0. Таким образом, последовательность {xn} удовлетворяет условию в определении предела по Гейне.

Однако, |f(xn)−b|≥ε1>0. Это значит, что последовательность {f(xn)} отделена от b, и следовательно не может иметь b своим пределом (см. упражнение 1 из лекции 6).

Противоречие с определением предела по Гейне: мы построили последовательность {xn}, стремящуюся к x0 и не посещающую x0, для которой f(xn)↛b.

Это доказывает теорему.∎

11.3Применение предела по Гейне

Доказывать, что предел чему-то равен, пользуясь определением по Гейне, довольно тяжело — нужно рассмотреть все возможные последовательности. Зато с ним гораздо проще доказывать утверждение, что предел не существует или чему-то не равен — достаточно предъявить одну последовательность. Также с помощью предела по Гейне можно легко переносить результаты, доказанные для последовательностей, на функции. Например, докажем теорему о пределе суммы:

Утверждение 1. Пусть f(x)→a и g(x)→b при x→x0. Рассмотрим функцию h(x)=f(x)+g(x). Докажем, что h(x)→a+b при x→x0.

Доказательство. Докажем, что для функции h(x) выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть {xn} произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям xn→x0 и xn≠x0 для всех n. Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям f(x) и g(x):

f(xn)→a,g(xn)→b.

По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что

h(xn)=f(xn)+g(xn)→a+b.

Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если xn→x0 и xn≠x0 для всех n, то h(xn)→a+b. Утверждение доказано.∎

Упражнение 1. Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.

Кстати, до сих пор мы не доказывали, что предел функции определён однозначно. Это несложно сделать явно (хорошее упражнение!), но теперь мы получим этот факт совсем бесплатно. У нас есть аналогичное утверждение для последовательностей (см. соответствующую теорему в лекции 4), и с помощью определения по Гейне он автоматически переносится на предел функции: в определении по Гейне требуется, чтобы предел f(xn) был одним и тем же для всех подходящих последовательностей {xn}, и значит если бы нашлось два разных числа b, удовлетворяющих определению по Гейне, мы бы пришли к противоречию с единственностью предела последовательности.

11.4Заключение

Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях. Дополнительный бонус определения по Гейне — оно позволяет переносить на пределы функций ряд свойств, доказанных для пределов последовательностей, практически «бесплатно».

← Предыдущая глава Следующая глава →

Предел функции в точке

Сегодня рассмотрим подборку новых задач на нахождение предела в точке. Начнем с простых примеров на подстановку значения, чаще всего рассматривают в 11 классе школьной программы по математике.
Далее остановимся и проанализируем пределы с неопределенностями, методы раскрытия неопределенностей, применением первой и второй важных границ и их последствий.
Приведенные примеры полностью не охватят всей темы, но на многие вопросы внесут ясность.

Пример 46. Предел функции в точке определяем подстановкой

Так как знаменатель дроби не превращается в ноль то такую задача под силу решить каждому выпускнику школы.

Пример 47. Имеем долю полиномов, кроме того знаменатель не содержит особенности (не равен нулю).
Еще одна задача, фактически за 11 класс.


Пример 48. Методом подстановки определяем предел функции
Из условия следует, что граница функции равна двум, если переменная стремится к бесконечности.

Пример 49.Прямая подстановка x=2 показывает, что граница в точке имеет особенность {0/0}. Это означает, что и числитель и знаменатель скрыто содержат (x-2).
Выполняем разложение полиномов на простые множители, а потом сокращаем дробь на указанный множитель (x-2).
Предел дроби, которая останется, находим методом подстановки.


Пример 50.Предел функции в точке имеет особенность типа {0/0}.
Избавляемся разницы корней методом умножения на сумму корней (сопряженное выражение), полином раскладываем.
Далее, упростив функцию, находим значение предела в единице.

Пример 51.Рассмотрим задачу на сложные пределы.
До сих пор от иррациональности избавлялись методом умножения на сопряженное выражение.
Здесь же, в знаменателе, имеем корень кубический, поэтому нужно использовать формулу разности кубов.
Все остальные преобразования повторяются от условия к условию.
Полином раскладываем на простые множители,
далее сокращаем на множитель, который вносит особенность (0)
и подстановкой x=-3 находим предел функции в точке

Пример 52.Особенность вида {0/0} раскрываем с помощью первого замечательного предела и его последствий.
Сначала разницу синусов распишем согласно тригонометрической формуле
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Далее числитель и знаменатель дроби дополняем выражениями, которые необходимы для выделения важных пределов.
Переходим к произведению пределов и оцениваем вложение каждого множителя.

 
Здесь использовали первый замечательный предел:

и следствия из него


где a и b – произвольные числа.

Пример 53. Чтобы раскрыть неопределенность при переменной стремящейся к нулю, используем второй замечательный предел.
Чтобы выделить экспоненту, приводим показатель к 2-му замечательному пределу, а все остальное, что останется в предельном переходе, даст степень експоненты.

Здесь использовали следствие из второго замечатеьного предела:


Вычислить предел функции в точке:

Пример 54. Нужно найти предел функции в точке. Простая подстановка значения показывает, что имеем деление нулей.
Для ее раскрытия разложим на простые множители полиномы и выполним сокращение на множитель, который вносит особенность (х+2).
Однако числитель дальше содержит (x+2), а это значит, что при x=-2 граница равна нулю.


Пример 55.Имеем дробную функцию — в числителе разница корней, в знаменателе — поленом.
Прямая подстановка дает особенность вида {0/0}.
Переменная стремится к минус единице, а это значит, что следует искать и избавляться особенности вида (x+1).
Для этого избавляемся иррациональности умножением на сумму корней, а квадратичную функцию раскладываем на простые множители.
После всех сокращений методом подстановки определяем предел функции в точке


Пример 56.С виду подлимитной функции можно ошибочно заключить, что нужно применить первый предел, но вычисления показали, что все гораздо проще.
Сначала распишем сумму синусов в знаменателе sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Далее расписываем tg(2x), и синус двойного угла sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Синусы упрощаем и методом подстановки вычисляем предел дроби


Пример 57.Задача на умение использовать вторую замечательный предел:
суть заключается в том, что следует выделить ту часть, которая дает экспоненту.
Остальное, что останется в показателе в предельном переходе даст степень экспоненты.

На этом разбор задач на пределы функций и последовательностей не заканчивается.
В настоящее время подготовлено более 150 готовых ответов к пределам функций, поэтому изучайте и делитесь ссылками на материалы с однокласниками.

Ограничения функций | Brilliant Math & Science Wiki

Тадеуш Абий, Патрик Корн, Мэй Ли, и

способствовал

Содержимое

• Формальное определение
• Свойства пределов
• Односторонние ограничения
• Двусторонние ограничения
• Бесконечные пределы
• Пределы в бесконечности
• Лимиты по факторингу
• Ограничения по замене
• Правило Лопиталя
• Ограничения функций — решение проблем
• Рекомендации

Основная статья: Определение предела эпсилон-дельта

Точное определение лимита обсуждается в wiki Epsilon-Delta Definition of a Limit.

Формальное определение предела функции:

Предел \(f(x)\) при приближении \(x\) к \(x_0\) равен \(L\), т.е.

\[\lim _{ х \к х_{0} }{f(x)} = L\]

, если для каждого \(\epsilon > 0 \) существует \(\delta >0 \) такое, что для всех \(x\)

\[ 0 <\влево| x - x_{0} \right |<\delta \textrm{ } \ подразумевает \textrm{ } \left |f(x) - L \right| <\эпсилон. \]

На практике это определение используется только в относительно необычных ситуациях. Для многих приложений проще использовать это определение, чтобы доказать некоторые основные свойства пределов и использовать эти свойства для ответа на простые вопросы, связанные с ограничениями.

Наиболее важными свойствами пределов являются алгебраические свойства, которые, по существу, говорят о том, что пределы учитывают алгебраические операции:

Предположим, что \( \lim\limits_{x\to a} f(x) = M\) и \(\lim\limits_{x\to a} g(x) = N.\) Тогда

\[ \начать{выравнивать} \lim\limits_{x\to a} \big(f(x)+g(x)\big) &= M+N \\\\ \lim\limits_{x\to a} \big(f(x)-g(x)\big) &= M-N \\\\ \lim\limits_{x\to a} \big(f(x)g(x)\big) &= MN \\\\ \lim\limits_{x\to a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) &= \frac MN \ \ \text{ (если } N\ne 0) \\ \\ \lim\limits_{x\to a} f(x)^k &= M^k \ \\text{ (если } M,k > 0). \end{выравнивание} \]

Все это можно доказать с помощью определения эпсилон-дельта. Обратите внимание, что результаты верны только в том случае, если существуют пределы отдельных функций: если \( \lim\limits_{x\to a} f(x) \) и \( \lim\limits_{x\to a} g( х)\) не существуют, предел их суммы (или разности, произведения или частного) тем не менее может существовать.

В сочетании с основными пределами \( \lim_{x\to a} c = c,\), где \( c\) — константа, а \( \lim_{x\to a} x = a,\) свойства можно использовать для вывода пределов, включающих рациональные функции:

Пусть \(f(x)\) и \(g(x)\) — полиномы, и предположим, что \(g(a) \ne 0.\) Тогда

\[ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(a)}{g(a)}. \]

Это пример непрерывности или того, что иногда называют ограничениями замещения.

Обратите внимание, что \(g(a)=0\) — более сложный случай; см. вики Indeterminate Forms для дальнейшего обсуждения.

Пусть \(m\) и \(n\) — натуральные числа. n-1}. \] 9+,\)» мы рассматриваем только значения больше \(a\). Односторонние пределы важны при оценке пределов, содержащих абсолютные значения \(|x|\), знак \(\text{sign}(x)\) , функции пола \(\lfloor x \rfloor\) и другие кусочные функции

На изображении выше показаны левосторонний и правосторонний пределы непрерывной функции \(f(x).\)

Найдите левый и правый пределы сигнум-функции \(\text{signum}(x)\) как \(x \to 0:\) 9-} \frac{|x-1|}{-|x — 1|} = -1 . \]

Таким образом, двусторонний предел \( \lim\limits_{x \to 1} \frac{|x — 1|}{x — 1}\) не существует. \(_\квадрат\)

Изображение ниже представляет собой график функции \(f(x)\). Как показано, он непрерывен для всех точек, кроме \(x = -1\) и \(x=2\), которые являются его асимптотами. Найдите все целые точки \(-4

изображение

---

Поскольку граф непрерывен во всех точках, кроме \(x=-1\) и \(x=2\), двусторонний предел существует в точках \(x=-3\), \(x=-2 \), \(х=0\), \(х=1,\) и \(х=3\). В точке \(x=2,\) нет конечного значения ни для одного из двусторонних пределов, поскольку функция неограниченно возрастает по мере приближения координаты \(x\) к \(2\) (но см. следующий раздел для дальнейшего обсуждения). Ситуация аналогична для \(x=-1.\). Таким образом, точки \(x=-3\), \(x=-2\), \(x=0\), \(x=1,\ ) и \(x=3\) — все целые числа, на которых определены двусторонние пределы. \(_\квадрат\)

Как было показано в предыдущем разделе, один из способов несуществования предела — это несоответствие односторонних пределов. Другой распространенный способ отсутствия предела в точке \(a\) состоит в том, что функция «взрывается» вблизи \(a,\), т. е. функция неограниченно возрастает. Это происходит в приведенном выше примере при \(x=2,\), где есть вертикальная асимптота. Эта общая ситуация приводит к следующему обозначению:

Учитывая функцию \(f(x)\) и действительное число \(a,\), мы говорим

\[\lim_{x\to a} f(x) = \infty.\]

Если функцию можно сделать произвольно большой, переместив \(x\) достаточно близко к \(a,\)

\[\text{для всех } N>0, \text{ существует } \delta>0 \text{ такое, что } 0<|x-a|<\delta \подразумевает f(x)>N. \]

Аналогичные определения существуют для односторонних пределов, а также пределов «приближающихся к \(-\infty\)».

Предупреждение: Если \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = \infty,\), то заманчиво сказать, что предел в \(a\) существует и равен \(\infty .\) Это неверно. Если \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = \infty,\) предел равен 9-} \frac{1}{x} = -\infty. \]

Чтобы доказать первое утверждение, для любого \(N>0\) в формальном определении можно взять \(\delta = \frac1N,\), и доказательство второго утверждения аналогично.

Таким образом, функция неограниченно возрастает с правой стороны и неограниченно убывает с левой стороны. Мы ничего не можем сказать о двустороннем пределе \(\lim\limits_{x\to a} \frac1{x} \ne \infty\) или \(-\infty.\). Сравните это со следующим примером. \(_\квадрат\)

9{n+l}},\]

где \(a_0 \neq 0, b_0 \neq 0,\) и \(m,n \in \mathbb N.\)

Тогда дано (A), (B ), (C) или (D), \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\) равно какому из (1), (2), (3) и (4)?

Соответствие столбцам:

Столбец-I	Столбец-II
(A), если \(m>n\) 90 244	(1) \(\infty\)
(B) если \(m=n\)	(2) \(-\infty\)
(C) если \(m0\) \(\hspace{10mm}\)	(3) \(\frac{a_0}{b_0}\)
(D) если \(m	(4) \(0\)

Примечание: Например, если (A) правильно соответствует (1), (B ) с (2), (C) с (3) и (D) с (4), тогда ответьте как 1234. \(\infty\)», то есть при неограниченном увеличении \(x\).

Уравнение \( \lim\limits_{x\to\infty} f(x) = L\) означает, что значения \(f\) можно сделать сколь угодно близкими к \(L\), взяв \(x\ ) достаточно большой. То есть

\[\text{для всех } \epsilon > 0, \text{ существует } N>0 \text{ такое, что } x>N \ подразумевает |f(x)-L|<\epsilon.\]

Существуют аналогичные определения для \(\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = L,\), а также \(\lim\limits_{x\to\infty} f(x ) = \infty,\) и так далее.

Графически \(\lim\limits_{x\to\a} f(x) = \infty\) соответствует вертикальной асимптоте в точке \(a,\), а \( \lim\limits_{x\to\infty } f(x) = L \) соответствует горизонтальной асимптоте в \(L.\)

Основная статья: Лимиты по факторингу

Пределы с помощью факторинга относится к методу оценки пределов, который требует нахождения и устранения общих факторов.

Основная статья: Ограничения по замене

Оценка пределов путем подстановки относится к идее, что при определенных обстоятельствах (а именно, если исследуемая функция непрерывна) мы можем оценить предел, просто вычислив функцию в интересующей нас точке. {11}} \справа) = \, ?\]

1. Александров, О. Разрыв . Получено 12 сентября 2005 г., от https://commons.wikimedia.org/wiki/Файл:Discontinuity_removable.eps.png

Процитировать как: Пределы функций. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/limits-of-functions/

Исчисление I — Предел

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2.2: Предел

В предыдущем разделе мы рассмотрели пару задач, и в обеих задачах у нас была функция (наклон в случае касательной задачи и средняя скорость изменения в задаче о скорости изменения), и мы хотели чтобы узнать, как эта функция вела себя в какой-то момент \(x = a\). На данном этапе игры нас больше не волнует, откуда взялись функции, и нас больше не волнует, увидим ли мы их снова в будущем или нет. Все, что нам нужно знать или беспокоиться, это то, что у нас есть эти функции, и мы хотим что-то о них знать.

Чтобы ответить на вопросы в последнем разделе, мы выбираем значения \(x\), которые все ближе и ближе к \(x = a\), и подставляем их в функцию. Мы также убедились, что рассмотрели значения \(x\), которые были как слева, так и справа от \(x = a\). Сделав это, мы посмотрели на нашу таблицу значений функции и увидели, к чему приближаются значения функции по мере того, как \(x\) становилось все ближе и ближе к \(x = a\), и использовали это, чтобы угадать значение, которое нам нужно.

Этот процесс называется 92} + 25}}{{т — 5}} = 15\]

В этих обозначениях мы заметим, что мы всегда даем функцию, с которой работаем, а также значение \(x\) (или \(t\)), к которому мы движемся.

В этом разделе мы собираемся применить интуитивный подход к ограничениям и попытаться понять, что они из себя представляют и что они могут рассказать нам о функции. Имея в виду эту цель, мы пока не собираемся вдаваться в то, как мы на самом деле вычисляем лимиты. Вместо этого мы будем полагаться на то, что мы сделали в предыдущем разделе, а также на другой подход, чтобы угадать значение пределов.

Оба подхода, которые мы собираемся использовать в этом разделе, разработаны, чтобы помочь нам понять, что такое пределы. Как правило, мы обычно не используем методы, описанные в этом разделе, для вычисления лимитов, и во многих случаях их может быть очень сложно использовать даже для оценки значения лимита, и/или иногда мы будем давать неправильное значение. Мы рассмотрим фактические вычисления пределов в нескольких разделах.

Начнем со следующего «определения» лимита.

Определение

Мы говорим, что предел \(f(x)\) равен \(L\), когда \(x\) приближается к \(a\), и записываем это как

\[\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} f\left(x \right) = L\]

при условии, что мы можем сделать \(f(x)\) настолько близким к \(L\), насколько мы хотим, для всех \(x\), достаточно близких к \(a\), с обеих сторон, фактически не позволяя \( х\) быть \(а\).

Это не совсем точное определение предела. Если вы хотите увидеть более точное и математическое определение лимита, вам следует обратиться к разделу «Определение лимита» в конце этой главы. Приведенное выше определение является скорее «рабочим». Это определение помогает нам понять, что такое пределы и что они могут рассказать нам о функциях.

Так что же означает это определение? Что ж, давайте предположим, что мы знаем, что предел действительно существует. В соответствии с нашим «рабочим» определением мы можем решить, насколько близко к \(L\) мы хотим сделать \(f(x)\). В качестве аргумента предположим, что мы хотим сделать \(f(x)\) не более чем на 0,001 от \(L\). Это означает, что нам нужен один из следующих

\[\ begin{array}{lcl}f\left(x\right) — L <0,001 & \hspace{0,25in} & {\mbox{if}}f\left(x\right){\mbox{ is больше, чем L}}\\ L - f\left( x \right) < 0,001& \hspace{0,25in} & {\mbox{if}}f\left( x \right){\mbox{ меньше L }}\конец{массив}\]

Теперь согласно «рабочему» определению это означает, что если мы получим \(x\) достаточно близко к \(a\), мы можем сделать одно из приведенных выше истинным. Однако на самом деле это говорит немного больше. В нем говорится, что где-то в мире есть значение \(x\), скажем, \(X\), так что для всех \(x\), которые ближе к \(a\), чем \(X \), то одно из приведенных выше утверждений будет верным.

Это довольно важная идея. В мире существует множество функций, которые мы можем сделать максимально близкими к \(L\) для конкретных значений \(x\), близких к \(a\), но будут и другие значения \(x \) ближе к \(a\), которые дают значения функций, далекие от \(L\). Чтобы предел существовал, как только мы получим \(f(x)\) настолько близко к \(L\), насколько мы хотим для некоторого \(x\), тогда он должен будет оставаться в этом близком к \(L\ ) (или приблизиться) для всех значений \(x\), которые ближе к \(a\). Мы увидим пример этого позже в этом разделе.

Проще говоря, определение говорит, что по мере того, как \(x\) становится все ближе и ближе к \(x=a\) (конечно, с обеих сторон…), тогда \(f(x)\) должно приближаться все ближе и ближе к \(L\). Или, когда мы движемся к \(x=a\), тогда \(f(x)\) должно двигаться к \(L\).

Важно еще раз отметить, что мы должны смотреть на значения \(x\), которые находятся по обе стороны от \(x=a\). Мы также должны отметить, что нам не разрешено использовать \(x=a\) в определении. Мы будем часто использовать информацию, которую дают нам ограничения, чтобы получить некоторую информацию о том, что происходит прямо в точке \(x=a\), но сам предел не связан с тем, что на самом деле происходит в точке \(x=a\). . Предел связан только с тем, что происходит вокруг точки \(x=a\). Это важное понятие об ограничениях, которые мы должны иметь в виду.

Альтернативное обозначение, которое мы иногда будем использовать для обозначения пределов, это

. \[f(x) \to L\hspace{0,25 дюйма}{\rm{as}}\hspace{0,25in}x \to a\]

Как мы можем использовать это определение, чтобы оценить пределы? Мы делаем именно то, что делали в предыдущем разделе. Мы берем \(x\) по обе стороны от \(x=a\), которые приближаются все ближе и ближе к \(a\), и подставляем их в нашу функцию. Затем мы смотрим, можем ли мы определить, к какому числу приближаются значения функции, и используем это как нашу оценку. 92} — 2x}}\]

Показать решение

Обратите внимание, что мы сказали оценить значение лимита. Опять же, в этом разделе мы не собираемся напрямую вычислять ограничения. Цель этого раздела — дать нам лучшее представление о том, как работают ограничения и что они могут рассказать нам о функции.

Итак, помня об этом, мы собираемся работать почти так же, как в предыдущем разделе. Мы выберем значения \(x\), которые все ближе и ближе к \(x=2\), и подставим эти значения в функцию. Это дает следующую таблицу значений.

\(х\)	\(f(x)\)	\(х\)	\(f(x)\)
2,5	3,4	1,5	5,0
2. 1	3,857142857	1,9	4.157894737
2,01	3,985074627	1,99	4.015075377
2,001	3,998500750	1,999	4.001500750
2,0001	3,999850007	1,9999	4.000150008
2.00001	3,999985000	1,99999	4.000015000

Обратите внимание, что мы удостоверились и выбрали значения \(x\), которые были по обе стороны от \(x = 2\), и что мы подошли очень близко к \(x = 2\), чтобы убедиться, что любые тенденции, которые мы можем наблюдать, на самом деле верны. 92} — 2x}} = 4\]

Давайте еще немного подумаем о том, что здесь происходит. Построим график функции из последнего примера. Ниже показан график функции в интересующем диапазоне \(x\).

Во-первых, обратите внимание на довольно большую открытую точку \(x = 2\). Это должно напомнить нам, что функция (и, следовательно, график) не существует в точке \(x = 2\).

Поскольку мы подставляли значения \(x\) в функцию, мы в действительности двигаемся по графику к точке как \(x = 2\). Это показано на графике двумя стрелками на графике, которые движутся к точке.

Когда мы вычисляем пределы, вопрос, который мы на самом деле задаем, заключается в том, к какому значению \(y\) приближается наш график, когда мы приближаемся к \(x = a\) на нашем графике. Мы НЕ спрашиваем, какое значение \(y\) принимает график в рассматриваемой точке. Другими словами, мы спрашиваем, что делает график вокруг точки \(x = a\). В нашем случае мы можем видеть, что по мере того, как \(x\) приближается к 2 (с обеих сторон), функция приближается к \(y = 4\), хотя сама функция даже не существует в \(x = 2\). 2} — 2x}} & {\mbox{if} }x \ne 2\\ 6 & {\mbox{if}}x = 2\end{массив} \right.\]

Показать решение

Прежде всего следует отметить, что это точно такая же функция, как и в первом примере, за исключением того, что мы присвоили ей значение \(x = 2\). Итак, сначала отметим, что

\[г\влево( 2 \вправо) = 6\]

Что касается оценки значения этого лимита, то по сравнению с первым примером ничего не изменилось. Мы могли бы построить таблицу значений, как в первом примере, или быстро взглянуть на график функции. Любой метод даст нам значение предела.

Давайте сначала посмотрим на таблицу значений и посмотрим, что она нам говорит. Обратите внимание, что наличие значения функции в \(x = 2\) не изменит наш выбор для \(x\). Мы выбираем только те значения \(x\), которые приближаются к \(x = 2\), но никогда не берем \(x = 2\). Другими словами, таблица значений, которую мы использовали в первом примере, будет точно такой же таблицей, которую мы будем использовать здесь. Итак, поскольку мы уже сделали это один раз, нет причин переделывать это здесь.

Из этой таблицы снова видно, что ограничение равно

\[\ mathop {\lim}\limits_{x \to 2} g\left(x\right) = 4\]

Предел НЕ 6! Помните из обсуждения после первого примера, что пределы не заботятся о том, что на самом деле делает функция в рассматриваемый момент. Ограничения касаются только того, что происходит на вокруг точки. Поскольку единственное, что мы фактически изменили в функции, это ее поведение при \(x = 2\), это не изменит предел.

Давайте также взглянем на график этой функции, чтобы увидеть, говорит ли он о том же самом.

Опять же, мы можем видеть, что по мере того, как мы приближаемся к \(x = 2\) на нашем графике, функция все еще приближается к значению \(y\), равному 4. Помните, что мы только спрашиваем, что делает функция около \(x = 2\), и нам все равно, что на самом деле делает функция в \(x = 2\). Затем график также поддерживает вывод о том, что предел равен

. \[\ mathop {\lim}\limits_{x \to 2} g\left(x\right) = 4\]

Давайте еще раз остановимся на этом, просто чтобы убедиться, что мы его поняли. Пределы , а не связаны с тем, что происходит в точке \(x = a\). Пределы касаются только того, что происходит вокруг \(x = a\). Мы продолжаем говорить об этом, но это очень важная концепция ограничений, которую мы всегда должны помнить. Поэтому мы будем использовать любую возможность, чтобы напомнить себе об этой идее.

Поскольку пределы не связаны с тем, что на самом деле происходит в \(x = a\), мы будем иногда сталкиваться с ситуациями, подобными предыдущему примеру, когда предел в точке и значение функции в точке различны. Это не всегда будет происходить, конечно. Бывают случаи, когда значение функции и предел в точке совпадают, и мы в конечном итоге увидим несколько таких примеров. Однако важно не волноваться по поводу вещей, когда функция и предел не принимают одно и то же значение в какой-то точке. Это случается иногда, поэтому нам нужно будет иметь дело с такими случаями, когда они возникают.

Давайте рассмотрим еще один пример, чтобы попытаться воплотить эту идею в жизнь.

Пример 3. Оцените значение следующего предела. \[\ mathop {\lim}\limits_{\theta\to 0} \,\frac{{1 — \cos\left(\theta\right)}}{\theta}\]

Показать решение

Во-первых, не волнуйтесь о \(\theta\) в функции. Это просто буква, точно так же, как \(х\) — это буква! Это греческая буква, но это буква, и иногда вам будет предложено иметь дело с греческими буквами, поэтому неплохо начать привыкать к ним на этом этапе.

Теперь также обратите внимание, что если мы подставим \(\theta =0\), то получим деление на ноль, поэтому на данный момент функция не существует. На самом деле в этой точке мы получаем 0/0, но из-за деления на ноль эта функция не существует в точке \(\theta=0\).

Итак, как и в первом примере, давайте получим таблицу значений и посмотрим, что если мы сможем угадать, к какому значению движется функция.

\(\ тета \)	\(f\влево(\тета\вправо)\)	\(\тета\)	\(f\влево(\тета\вправо)\)
1	0,45969769	-1	-0,45969769
0,1	0,04995835	-0,1	-0,04995835
0,01	0,00499996	-0,01	-0,00499996
0,001	0,00049999	-0,001	-0,00049999

Хорошо, похоже, что функция приближается к нулевому значению, когда \(\theta\) приближается к 0, конечно, с обеих сторон.

Следовательно, мы предполагаем, что предел имеет значение

\[\ mathop {\lim}\limits_{\theta\to 0} \,\frac{{1 — \cos\left(\theta\right)}}{\theta} = 0\]

Итак, еще раз, предел имел значение, несмотря на то, что функция не существовала в интересующей нас точке. что мы собираемся обсудить.

Пример 4. Оцените значение следующего предела. \[\ mathop {\lim}\limits_{t \to 0} \cos\left({\frac{\pi}}{t}} \right)\]

Показать решение

Давайте создадим таблицу значений и посмотрим, что происходит с нашей функцией в этом случае.

\(т\)	\(ф(т)\)	\(т\)	\(ф(т)\)
1	-1	-1	-1
0,1	1	-0,1	1
0,01	1	-0,01	1
0,001	1	-0,001	1

Теперь, если бы нам нужно было угадать предел из этой таблицы, мы бы предположили, что предел равен 1. Однако, если бы мы сделали это предположение, мы бы ошиблись. Рассмотрим любую из следующих оценок функции.

\[f\left( {\frac{1}{{2001}}} \right) = — 1\hspace{0,55in}f\left({\frac{2}{{2001}}} \right) = 0 \ hspace {0,5 дюйма} f \ слева ( {\ гидроразрыва {4} {{4001}}} \ справа) = \ гидроразрыва {{\ sqrt 2}} {2} \]

Во всех трех вычислениях функции мы оценивали функцию по числу меньше 0,001 и получили три совершенно разных числа. Напомним, что определение предела, с которым мы работаем, требует, чтобы функция приближалась к единственному значению (нашему предположению) по мере того, как \(t\) становится все ближе и ближе к рассматриваемой точке. Это не говорит о том, что только некоторые значения функции должны приближаться к догадке. В нем говорится, что все значения функции должны быть все ближе и ближе к нашему предположению.

Чтобы увидеть, что здесь происходит, был бы удобен график функции.

Из этого графика видно, что по мере приближения к \(t = 0\) функция начинает сильно колебаться, и чем ближе к \(t = 0\), тем больше скорость колебаний. Напомним из нашего определения предела, что для того, чтобы предел существовал, функция должна стремиться к одному значению по мере того, как мы приближаемся к рассматриваемой точке.

Эта функция явно не подходит для одного номера, поэтому этот предел не существует !

Последний пример указывает на недостаток простого выбора значений переменной и использования таблицы значений функции для оценки значения предела. Значения переменной, которые мы выбрали в предыдущем примере, были действительными и фактически были значениями, которые выбрали бы многие. На самом деле, это были точно такие же значения, которые мы использовали в предыдущей задаче, и они работали в этой задаче!

При использовании таблицы значений всегда существует вероятность того, что мы выбираем неправильные значения и неправильно угадываем наш лимит. Это то, что мы всегда должны помнить, когда делаем это, чтобы угадать значение ограничений. На самом деле это такая проблема, что после этого раздела мы больше никогда не будем использовать таблицу значений, чтобы угадать значение лимита.

Этот последний пример также показал нам, что ограничения не обязательно должны существовать. До этого момента мы видели только существующие ограничения, но это не всегда так.

Давайте рассмотрим еще один пример в этом разделе.

Пример 5. Оцените значение следующего предела. \[\ mathop {\ lim } \ limit_ {t \ to 0} H \ left ( t \ right) \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {где}} \ hspace {0,25 дюйма} H \ left ( t \ справа) = \left\{ \begin{array}{ll}0 & {\mbox{if}}t < 0\\ 1 & {\mbox{if}}t \ge 0\end{массив} \right. \]

Показать решение

Эту функцию часто называют функцией Heaviside или step . Мы могли бы использовать таблицу значений для оценки предела, но, вероятно, в этом случае будет так же быстро использовать график, так что давайте сделаем это. Ниже представлен график этой функции.

На графике видно, что если мы приближаемся к \(t = 0\) справа, функция приближается к значению \(y\), равному 1. На самом деле она просто остается на уровне 1, но в терминология, которую мы использовали в этом разделе, приближается к 1…

Кроме того, если мы движемся к \(t = 0\) слева, функция движется к значению \(y\), равному 0.

Согласно нашему определению предела, функция должна двигаться в к одному значению по мере продвижения к \(t = a\) (с обеих сторон). В данном случае этого не происходит, поэтому в этом примере мы также будем говорить, что предела не существует.

Обратите внимание, что предел в этом примере немного отличается от предыдущего примера. В предыдущем примере функция не остановилась на одном числе, когда мы приблизились к \(t = 0\). Однако в этом примере функция сводится к одному числу как \(t = 0\) с обеих сторон. Проблема в том, что число на каждой стороне \(t = 0\) разное. Это идея, которую мы рассмотрим более подробно в следующем разделе.

Давайте обобщим то, что мы (надеюсь) узнали в этом разделе. В первых трех примерах мы видели, что пределы не заботятся о том, что на самом деле делает функция в рассматриваемой точке. Их интересует только то, что происходит вокруг точки. На самом деле у нас могут быть пределы в \(x = a\), даже если самой функции в этой точке не существует. Точно так же, даже если функция существует в какой-то точке, нет оснований (на данный момент) думать, что предел будет иметь то же значение, что и функция в этой точке. Иногда предел и функция будут иметь одно и то же значение в точке, а иногда они не будут иметь одинакового значения.

Далее, в третьем и четвертом примерах мы увидели основную причину отказа от использования таблицы значений для угадывания значения лимита. В этих примерах мы использовали точно такой же набор значений, однако они работали только в одном из примеров. Использование таблиц значений для угадывания значений лимитов — просто не лучший способ получить значение лимита. Это единственный раздел, в котором мы будем это делать. Таблицы значений всегда должны быть вашим последним выбором при поиске значений пределов.

Последние два примера показали нам, что на самом деле существуют не все ограничения. Мы не должны зацикливаться на идее, что ограничения всегда будут существовать. В большинстве курсов по математическому анализу мы работаем с ограничениями, которые почти всегда существуют, поэтому легко начать думать, что ограничения существуют всегда. Ограничения не всегда существуют, поэтому не привыкайте предполагать, что они будут.

Наконец, в четвертом примере мы увидели, что единственный способ справиться с пределом — построить график функции. Иногда это единственный способ, однако этот пример также иллюстрирует недостатки использования графиков. Чтобы использовать график, чтобы угадать значение предела, вы должны иметь возможность набросать график. Для многих функций это не так просто сделать.

Есть еще один недостаток в использовании графиков. Даже если у вас есть график, он будет полезен только в том случае, если значение \(y\) приближается к целому числу. Если значение \(y\) приближается, скажем, к \(\frac{{ — 15}}{{123}}\), вы никак не сможете угадать это значение по графику, и мы обычно потребуются точные значения для наших пределов.

Таким образом, хотя графики функций иногда могут облегчить вашу жизнь при угадывании значений пределов, они опять же, вероятно, не лучший способ получить значения пределов. Они будут полезны только в том случае, если вы можете получить их в свои руки, а значение лимита является «хорошим» числом.

Тогда возникает естественный вопрос: почему мы вообще говорим об использовании таблиц и/или графиков для оценки пределов, если это не лучший способ? Было несколько причин.

Во-первых, они могут помочь нам лучше понять, что такое ограничения и что они могут нам сказать.

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Desertai be cukraus Vilniuje: tortai, pyragaičiai, saldainiai

Решение линейных дифференциальных уравнений онлайн

converter.org — Конвертер для единиц , как

• Время

  Секунда, Минута, Час, Сутки, Неделя, Месяц (31 день), Год в системе СИ, Миллисекунда, …

• Давление

  Паскаль, Бар, Торр, Миллиметр ртутного столба, Миллиметр водяного столба, Дюйм ртутного столба, Дюйм водяного столба, …

• Длина

  Метр, Километр, Ангстрем, Ярд, Миля, Дюйм, Астрономическая единица, Световой год, …

• Индуктивность

  Генри, Микрогенри, Миллигенри, Килогенри, Вебер на ампер, Абгенри, …

• Количество информации

  Бит, Килобит, Байт, Килобайт, Мегабайт, Гигабайт, . ..

• Магнитная индукция

  Тесла, Пикотесла, Нанотесла, Вебер на квадратный сантиметр, Гаусс, Гамма, Максвелл на квадратный метр, …

• Магнитный поток

  Вебер, Максвелл, Квант магнитного потока, Тесла-квадратный метр, Гаусс-квадратный сантиметр, …

• Масса/вес

  Килограмм, Метрическая тонна, Унция, Фунт, Стоун, Карат, Фунт, Фун, Момме, Хиакуме, Фынь (кандарин), Лян (таэль), …

• Массовый расход

  Килограмм в секунду, Метрическая тонна в час, Длинная тонна в час, Фунт в секунду, Короткая тонна в час, …

• Момент силы

  Ньютон-метр, Килоньютон-метр, Миллиньютон-метр, Килограмм-сила-метр, Унция-сила-дюйм, Дина-метр, . ..

• Мощность

  Ватт, Киловатт, Метрическая лошадиная сила, Британская тепловая единица в час, Фут-фунт-сила в секунду, …

• Напряжённость магнитного поля

  Ампер на метр, Микроампер на метр, Миллиампер на метр, Эрстед, Гильберт на метр, …

• Объём

  Кубический метр, Литр, Миллилитр, Кубический дюйм, Кубический фут, Галлон, Пинта, Миним, Сяку, Ложка для соли, Стакан, …

• Объёмный расход

  Кубический метр в секунду, Литр в минуту, Галлон (США) в минуту, …

• Плотность

  Килограмм на кубический метр, Миллиграмм на кубический метр, Грамм на кубический сантиметр, Унция на кубический дюйм, Фунт на кубический фут, . ..

• Площадь

  Квадратный метр, Гектар, Ар, Квадратный фут, Акр, Квадратный дюйм, …

• Радиоактивность

  Беккерель, Кюри, Резерфорд, Распад в секунду, …

• Сила

  Ньютон, Дина, Килограмм-сила (килопонд), Фунт-сила, Паундаль, Килоньютон, Деканьютон, Грамм-сила, …

• Скорость

  Метр в секунду, Километр в час, Миля в час, Фут в секунду, Узел, …

• Скорость передачи данных

  Бит в секунду, Килобит в минуту, Мегабайт в секунду, Гигабайт в секунду, Килобайт в минуту, …

• Температура

  Градус Цельсия, Кельвин, Градус Фаренгейта, Градус Реомюра, Градус Ранкина, Градус Рёмера, Градус Делиля, . ..

• Угол

  Градус, Радиан, Минута дуги, Секунда дуги, Град (гон), Тысячная (НАТО), Румб, Квадрант, …

• Эквивалентная доза излучения

  Зиверт, Нанозиверт, Микрозиверт, Джоуль на килограмм, Бэр, Микробэр, Миллибэр, …

• Электрическая ёмкость

  Фарад, Микрофарад, Нанофарад, Пикофарад, Интфарад, Абфарад, Статфарад, …

• Электрическая проводимость

  Сименс, Мо, Ампер на вольт, …

• Электрический заряд

  Кулон, Франклин, Абкулон, Статкулон, Элементарный заряд, Ампер-час, …

• Электрический ток

  Ампер, Пикоампер, Наноампер, Микроампер, Абампер, Кулон в секунду, . ..

• Электрическое сопротивление

  Ом, Пикоом, Наноом, Микроом, Абом, Вольт на ампер, …

• Энергия

  Джоуль, Электронвольт, Калория, Британская тепловая единица, Киловатт-час, …

Свойства документа — Единицы изменения — 2016

Укажите свойства единиц измерения на уровне документа. Доступно для всех типов документов.

Чтобы открыть эту страницу, выполните следующие действия.

Откройте документ и выполните одно из следующих действий.

• В строке состояния выберите Система единиц измерения, а затем — Редактировать единицы измерения документа.
• Нажмите Параметры (панель инструментов «Стандартная»). На вкладке Свойства документа выберите Единицы измерения.

При использовании малых единиц измерения, таких как ангстремы, нанометры, микроны, милы или микродюймы, полезно создать шаблоны в качестве основы для документов, использующих эти единицы измерения. Шаблоны могут содержать такие настройки, как:

• Шаг между линиями масштабной сетки
• Зазор между выносными линиями размеров и длина выноски
• Сместить расстояния размеров
• Длина выноски с полкой для заметки
• Длина выноски с полкой для позиции
• Размер стрелки
• Масштаб текста и отображение текста всегда одинакового размера
• Плотность материала

Чтобы сохранить документ как шаблон, выполните следующие действия.

1. Выберите Файл > Сохранить как.
2. Перейдите к расположению шаблонов SOLIDWORKS.

   Расположение по умолчанию: C:\ProgramData\SOLIDWORKS\SOLIDWORKS версия\templates\.

3. Для пункта Сохранить как тип выберите соответствующий тип шаблона документа.

   Например, для детали выберите Шаблоны детали (*.prtdot).

4. Нажмите Сохранить.

Система единиц измерения

Задает на уровне документа единицы измерения и точность в стандартной системе или позволяет изменить единицы измерения.

Стандартные системы:

• МКС (метр, килограмм, секунда)
• СГС (сантиметр, грамм, секунда)
• ММГС (миллиметр, грамм, секунда)
• ДФС (дюйм, фунт, секунда)

Выберите Настройка пользователя, чтобы изменить единицы измерения в таблице.

Систему единиц измерения можно изменить, не открывая диалоговое окно Свойства документа — Единицы изменения. В строке состояния щелкните Система единиц измерения, а затем выберите систему единиц измерения.

Базовые единицы измерения

Отображает единицы измерения размеров на уровне документа.

• Длина

  Единицы измерения	Десятичные дроби	Дроби	Еще
  Определяется выбором Системы единиц измерения.	В зависимости от выбора отображает от двух до восьми десятичных разрядов. Нет — не отображает десятичные разряды.	Целое число для знаменателя, между 2 и 256. Только для дюймов, милов, микродюймов или футов и дюймов.	Округлить до ближайшего разряда Корректирует десятичное округление для разрядов. Преобразовать формат из 2’4″ в 2′-4″ Отображает футы — дюймы при выполнении импорта из формата футы дюймы.

• Длина двойного размера

  Единицы измерения	Десятичные дроби	Дроби	Еще
  Нажмите на список, чтобы его изменить.	В зависимости от выбора отображает от двух до восьми десятичных разрядов. Нет — не отображает десятичные разряды.	Целое число для знаменателя, между 2 и 256. Только для дюймов, милов, микродюймов или футов и дюймов.	Округлить до ближайшего разряда Корректирует десятичное округление для разрядов. Преобразовать формат из 2’4″ в 2′-4″ Отображает футы — дюймы при выполнении импорта из формата футы дюймы.

• Угол

  Единицы измерения	Десятичные дроби	Дроби	Еще
  Нажмите на список, чтобы его изменить.	Только для градусов и радианов. В зависимости от выбора отображает от двух до восьми десятичных разрядов. Нет — не отображает десятичные разряды.

Примеры базовых единиц измерения

Параметры массовых характеристик/сечения

Отображает длину, массу и плотность на уровне документа, которые отображаются в PropertyManager Массовые характеристики или Свойства сечения, что определяется выбором Системы единиц измерения. Также эти свойства определяют единицы измерения, используемые в SimulationXpress.

Чтобы изменить единицы, в разделе Система единиц измерения выберите параметр Настройка пользователя.

Единицы измерения движения (Только для сборок)

Отображает единицы измерения времени, силы, мощности и энергии для результатов исследований движений и элементов на уровне документа, в зависимости от выбора Системы единиц измерения.

Округление десятичных дробей

Позволяет контролировать округление десятичных дробей в размерах.

Три параметра округления:

1 Градусов в Миллиметры | 1 градус в мм

Конвертируйте 1 градус в миллиметры (градус в мм) с помощью нашего калькулятора перевода и таблиц перевода. Чтобы преобразовать 1 градус в миллиметры, используйте приведенную ниже формулу прямого преобразования.
1 град = 1000 мм.
Вы также можете преобразовать 1 градус в другие угловые (популярные) единицы измерения.


1 ГРАДУС

=

1000 МИЛЛИМЕТРОВ

Конвертерный калькулятор

Количество:

От: ACR — AcresCMK — Квадратные сантиметрыFTK — Квадратные футыHAR — ГектарыINK — Квадратные дюймыKMK — Квадратные километрыMIK — Квадратные милиMTK — Квадратные метрыYDK — Квадратные ярдыANN — YearsDAY — DaysHUR — HoursMCS — MicrosecondsMIN — MinutesMLS — MillisecondsMON — MonthsSEC — SecondsWEE — WeeksBIT — BitsBYT — BytesEBI — ExabitsEBY — ExabytesGBI — GigabitsGBY — GigabytesKBI — KilobitsKBY — KilobytesMBI — MegabitsMBY — MegabytesPBI — PetabitsPBY — PetabytesTBI — TerabitsTBY — TerabytesBLL — Баррели (нефть)CMQ — Кубические сантиметрыFTQ — Кубические футыGLI — Галлоны (Великобритания)GLL — Галлоны (США, жидкость)LTR — ЛитрыMLT — МиллилитрыMTQ — Кубические метрыOZI — Унции UKBTU — BTUCAL — КалорииERG — ErgEVL — Электрон ВольтFPD — Фут-фунтHPH — Лошадиные силы-часIPD — Дюйм-фунтJOU — ДжоулиCMT — СантиметрDMT — ДециметрыFOT — ФутыINH — ДюймыKMT — КилометрыMMT — МиллиметрыMTR — МетрыSMI — МилиYRD — ДворCTM — КаратыGRM — граммыKGM — килограммыLBR — фунтыMGM — миллиграммыONZ — унции TNE — тонны (метрические)DEG — градусыGRD — градыRAD ​​- радианыFPM — футы/минутыFPS — футы/секундыKMH — километры/часKMS — километры/секундыKNT — узлыMPH — мили/часMTS — метры/секундыGCC — Граммы/кубический сантиметрKCC — килограммы/кубический сантиметрKLI — килограммы/литрKMC — килограммы/кубический метрOCI — унции/кубический дюймOGL — унции/галлонPCF — фунты/кубический футPCI — фунты/кубический дюймPGL — фунты/галлонJCM — джоули/сантиметрKGF — килограмм силыNWN — ньютоныPFC — Фунт-силаA0 — Бор, атомная единица длиныAST — АнгстремAU — Астрономическая единицаCBL — длина кабеля (имперская)CBL(US) — Длина кабеля USCH — ЦепиF — Французский charriereFM — FermiFNG — FingerFNG(CLOTH) — Палец (ткань)FTM — FathomFUR — FurlongHH — HandLD — Световой деньLEA — лига (земля)LH — Световой часLM — Световая минутаLN — ЛинияLNK (G. S.) — Ссылка (Gunter’s; Геодезист) LNK (RE) — Link (Ramsden’s; Engineer’s) LS — Световой-секундный — Световой годM — Метр (базовая единица СИ)MIL — Мил (Швеция и Норвегия)MILE DATA — Мили (тактические или данные)MK — MickeyNAIL — Гвоздь (ткань)NL — Морская лигаNM — НанометрNMI — Морские милиNMI I — Морская миляP — PalmPC — ParsecPICA — PicaPM — Пикометр (бикрон, клеймо)POINT — точка (американский, английский)PT — PaceQUART — QuarterSHAKU — Shaku (Japan)SPT — SpatTH — Мил (тыс.) TWP — TwipUM — Микрометр (стар. микрон) XU — X единица измерения; siegbahnABA — Электромагнитная единица AbampereAMP — Ампер (базовая единица Si)ESU — Esu в секунду Статампер (CgsABC — Абкулон Электромагнитная единицаATU — Атомная единица зарядаCLM — КулонFRD — ФарадейMAH — Миллиампер-часSTT — Статкулон Франклин ЭлектростABV — Абвольт (единица Cgs)STV — Статвольт ( Cgs Unit)VLT — Вольт (Si Unit)ACF — Акр-футыACI — Акры-дюймыBIB — Баррели (нефтяные)BII — Баррели (британские)BIU — Баррели (Us Dry)BKT — Ведра (британские)BRO — Галлоны (пивные)BUD — Бушели (Us Dry Level)BUI — Бушели (Imperial)BUU — Бушели (Us Dry Heaped)CMB — CoombsCMI — Cubic MilesCP — CupsCRF — Cord-FootsCRW — Cords (Дрова)CUF — Cubic FathomsCUI — Cubic InchsCUT — Cubic FootsCUY — Cubic ЯрдыDSI — тире (имперские фунты)DSS — десертные ложки (имперские фунты)DSU — тире (США)FBM — борд-футыFFT — пятые FID — жидкие драхмы (имперские)FIS — жидкие скрукле (имперские)FLB — бочки (США, жидкие)FLU — жидкие драмы ( Us) Us FluidramFRK — FirkinsGAI — галлоны (имперские единицы)GAU — галлоны (Us Dry)GAW — галлоны (Us Fluid Wine)GLU — Teacups (gills)GTT — DropsHDI — Hogsheads (Imperial)HHU — Hogsheads (Us)JGR — Jiggers ( Bartending)KLD — KilderkinsLMD — LambdasLOD — LoadsLST — LastsM3 — Кубические метры (Si Unit)MII — Minims (Imperial)MIU — Minims (Us)OZF — Унции (Fluid Us Food NutritioPER — PerchsPKI — Pecks (Imperial)PKU — Pecks (Us) Сухой)PNI — пинчи (британские)PNU — пинчи (американские)PON — PonysPOT — Pottle QuartersPP — стыковые трубыPTI — пинты (британские)PUD — пинты (Us Dry)PUF — пинты (Us Fluid)QRF — Quart S (Us Fluid) QRT — Кварталы QTI — Кварты (британские)QTU — Кварты (Us Dry)RGS — Реестр TonsSCI — Мешки (британские) BagsSCU — Мешки(Us)SHT — Shots (Us)SM — SeamsSTK — Забастовки (Imperial)STU — Забастовки (Us) )TBC — столовые ложки (канадские)TBF — столовые ложки (обычные в США)TBM — столовые ложки (метрические)TBS — столовые ложки (в австралийских единицах измеренияTCA — чайные ложки (канадские) TFD — столовые ложки (Us Food NutritionTIM — чайные ложки (британские)TMF — Timber FootsTMT — чайные ложки ( Метрическая система)TND – тонны (водоизмещение)TNT – тонны (воды)TNW – тонны (фрахт)TSC – чайные ложки (стандарт США)TSF – чайные ложки (США Food Nutrition) WEY — Wey (Us)ACM — Атмосфера-кубический фут в минутуACS — Атмосфера-кубический фут в секунду SecoATC — Атмосфера-кубический сантиметр PeATH — Атмосфера-кубический фут в часBTJ — BTU (Международная таблица) В расчете на BTN — BTU (Международная таблица) В расчете на BTS — БТЕ (международная таблица) по CAS — Калория (международная таблица) ERS — Эрг в секундуFMF — Фут-фунт-сила в минутуFT — Фут-фунт-сила в часFTO — Фут-фунт-сила в секундуHPS — Лошадиная силаLAM — Литр-атмосфера в час MinuteLSC — LusecLTS — Литр атмосферы в секундуPNC — PonceletSQL — Прямой эквивалент квадратного фута TC — Тонна кондиционирования воздухаTMS — Атмосфера-кубический сантиметр PeTRM — Тонна охлаждения (ImperialTRR — Тонна охлаждения (It)AMU — Единица атомной массы UnifiedAT — Анализ тонны (Короткий)ATS — Ton Assay (Длинный)BAC — Bag (Coffee)BDM — Bag (Portland Cement)BRG — BargeCLV — CloveCRT — CrithCT — Carat (Metric)DA — DaltonDRT — Dram (Apothecary Troy)DWT — PennyweightGAM — GammaGR — GrainGV — GraveKIP — KipLB — Фунт (метрический)LBA — ФунтLBT — Фунт (тройской)LBV — Фунт (Avoirdupois)ME — Атомная единица массы Электрон RMRK — MarkMTE — MiteMTM — Клещ (метрический)OZ — Унция (Us Food Nutrition LabelOZT — Унция (аптечная тройка)OZZ — унция (Avoirdupois)PNN — PointQ — квинтал (метрическая система)QR — четверть (неформальная)QRI — четверть (имперская)QRL — четверть длинная (неформальная)SAP — Scruple (аптекарь)SH — тонна короткаяSLG — слаг Geepound HylSLH — SheetST — StoneSWT — Вес в сотни (центум) oTON — Тонна LongWY — WeyZTR — ZentnerARE — AresBD — BoardsBHE — Эквивалент мощности котла DBR — BarnsBRN — BaronysCDA — Cuerda Pr SurveysCRD — CordsCRI — Circular InchsCRM — Circular MilsDNM — DunamsGNT — GunthasHD — HidesRO — RoodsSCT — SectionsSHD — СараиSII — Square Link Gunters InternatiSLR — Square Link RamsdensSQC — Square Chains InternationalSQM — Square Mil Square ThousSQR — Square Rod/Pole/PerchsSRR — Square RoofingsSTR — StremmasTWN — TownshipsYLN — YardlandsARM — Arcminute MoaARS — ArcsecondCNS — Centesimal Second Of ArcCNT — Столетняя минута ArcDOA — Градус (дуги)GRA — Град Градиан GonOCT — OctantQRD — QuadrantSGN ​​- SignSXT — Секстантµ — Угловой MilATA — Атмосфера (техническая)ATM — Атмосфера (стандартная)BAR — BarBRY — Бари (единица Cgs)CMH — Сантиметр Of MercuryCMW – сантиметр водяного столба (4 °C)FTH – фут ртутного столба (условный)FTW – фут водяного столба (392 °F)IMC — Дюйм ртутного столба (условный)INW — Дюйм водяного столба (392 °F)KM — Килограмм-сила на квадратный дюймKSI — Кип на квадратный дюймLTP — Длинная тонна на квадратный футMHG — Микрометр ртутного столбаMMH — Миллиметр ртутного столбаMMW — Миллиметр воды (398 °C)PA — Паскаль (единица Si)PD — фунт на квадратный футPSF — фунт на квадратный футPSI — фунт на квадратный дюймPZ — пьеза (единица Mts)STP — короткая тонна на квадратный футTOR — ТоррATN — атомная единица ForceDYN — Dyne (Cgs Unit)KFF — Килограмм-сила Kilopond Grave-KI — Kip Kip-ForceMGF — Milligrave-Force Gravet-ForceOZC — Унция-силаPDL — PoundalSN — Sthene (единица Mts)TNF — Long Ton-ForceTNL — Short Ton- ForceAUC — атомная единица времениCTN — CenturyCYC — каллипический циклDEC — DecadeFN — FortnightHEL — HelekHIP — гиппархический циклJFF — JiffyKEH — Ke (четверть часа) LSR — Luster LustrumMD — MillidayMLL — MillenniumMMN — MomentMOF — Month (Full)MOG — Month (Greg) Av)MOH — месяц (полый)MOS — месяц (синодический)MTN — метонический цикл EnneadecaeterisOC — OctaeterisPLN — планковское времяSGM — SigmaSHK — ShakeSTH — сотический циклSVD — SvedbergYR — год (общий)YRG — год (григорианский)YRJ — год (юлианский) YRL – год (високосный)YRM – год (среднетропический)B39- Британская термальная единица (39 °F)B59 — Британская термальная единица (59 °F)B60 — Британская термальная единица (60 °F)B63 — Британская термальная единица (63 °F)BOE — эквивалент барреля нефтиBRT — Британская термальная единица ( Iso)BTI — Британская термальная единица (InternatBTM — Британская термальная единица (средняя)BTT — Британская термальная единица (ThermochC15 — Калория (15 °C)C20 — Калория (20 °C)C98 — Калория (398 °C)CAM — Калория ( Среднее значение)CFT — Кубический фут атмосферы CHU — Тепловая единица ЦельсияCL — Калория (Us Fda)CLTH — Калория (термохимическая)CN — Кубический фут природного газаCTA — Кубический сантиметр атмосферыCYD — Кубический ярд атмосферы StandEH — Атомная единица энергии ХартриFTD — Foot-PoundalIMG — Галлон-атмосфераKCA — Большая килокалорияKWH — Киловатт-час Board Of Trade ULTM — Литр-атмосфераQD — QuadRDB — Therm (Ec)RY — RydbergTCE — Тонна угольного эквивалентаTHR — Therm (Us)THU — ThermieTN — Тонна TntTOE — Тонна нефтяного эквивалентаBAN — Ban HartleyBSH — Bit ShannonCD — Candela (Si Base Unit) CandleCPD — Candlepower (New)JK — Si UnitNAT — Nat Nip NepitNBL — NibbleBQ — Беккерель (Si Unit)CI — CurieRD — Rutherford (H)C — Скорость света в вакуумеFPF — фарлонг в две неделиFPH — фут в часIPH — дюйм в часIPM — дюйм в минутуIPS — дюйм в секундуMCH — число МахаMPM — миля в минутуMPS — миля в секундуMS — метр в секунду (единица Си)SPS — скорость звука в AirCDF — Кандела на квадратный футCDI — Кандела на квадратный дюймCDM — Кандела на квадратный метр (Si UFL — FootlambertLMB — LambertSB — Stilb (Cgs Unit)CEL — ЦельсийDDE — Градус DelisleDNE — Градус НьютонаFAN — ФаренгейтGMR — Регулятор газа MarkKEL — Kelvin’sRAN — RankineREA — ReaumurRME — Градус RømerCFM — Кубический фут в минутуFTS — Кубический фут в секундуGPD — Галлон (жидкость США) в суткиGPH — Галлон (жидкость США) в часGPM — Галлон (жидкость США) в минутуINM — Кубический дюйм в минутуINS — Кубический дюйм в секундуLPM — Литр в минутуMQS — кубический метр в секунду (Si UniCM — кулон-метрDB — DebyeEA0 — атомная единица электрического диполяFC — фут-канделя люмен на квадрат FoLMN — люмен на квадратный дюймLX — люкс (единица Si)PH — Phot (единица Cgs)FHP — фут в секунду Час в секундуFMS — фут в минуту в секундуFP — фут в секунду в квадратеG — стандартная гравитацияGAL — галлон GalileoIP — дюйм в минуту в секунду в секундуIP2 — дюйм в секунду в квадратеKNS — узел в секундуMM — миля в минуту в секундуMP — миля в час в секундуMP2 — миля в секунду Секунда в квадратеMSA — метр на секунду в квадрате (Si UFT2 — квадратный фут в секундуM2S — квадратный метр в секунду (Si UnSTX — Стокс (единица Cgs)FTP — фут-фунт)MKG — метр-килограмм-силаNEM — ньютон-метр (единица Si)GML — грамм на секунду MillilitreLAB — фунт (эквивалентный) на галлонLBF — фунт (эквивалентный) на кубический LBI — фунт (экспериментальный) на кубический LBL — фунт (экспериментальный) на галлонOFT — унция (экспериментальный) на кубический OG — унция (эвердупуа) на галлон ) Per GallonOIN — Унция (Avoirdupois) на кубический SFT — Slug на кубический футGSS — Gauss (Cgs Unit)TSL — Tesla (Si Unit)GY — Grey (Si Unit)RDD — RadLBH — Pound Per Foot HourLBS — Фунт на фут в секундуLFT — Фунт-сила-секунда на квадрат LIN — Фунт-сила-секунда на квадрат PAS — Паскаль-секунда (единица Si)PSU — Пуаз (единица Cgs)MX — Максвелл (единица Cgs)WB — Вебер (единица Si)REM — Рентген-эквивалент ManSV — Sievert (Единица Си)

Кому: A0 — Бор, атомная единица длиныAST — АнгстремAU — Астрономическая единицаCBL — Длина кабеля (имперская)CBL(US) — Длина кабеля USCH — ЦепиF — Французский charriereFM — ФермиFNG — FingerFNG(CLOTH) — Палец (ткань)FTM — FathomFUR — FurlongHH — HandLD — Световой деньLEA — лига (земля)LH — Световой часLM — Световая минутаLN — ЛинияLNK (G. S.) — Ссылка (Гюнтера; Сюрвейерская)LNK (RE) — Ссылка (Рамсденская; Инженерная)LS — Световая секундаLY — Световая- yearM — метр (базовая единица СИ)MIL — мил (Швеция и Норвегия)MILE DATA — мили (тактические или данные)MK — MickeyNAIL — гвоздь (ткань)NL — морская лигаNM — нанометрNMI — морская миляNMI I — морская миляP — PalmPC — ParsecPICA — PicaPM — пикометр (бикрон, клеймо) POINT — точка (американский, английский) PT — PaceQUART — QuarterSHAKU — Shaku (японский) SPT — SpatTH — Mil (тыс.)TWP — TwipUM — микрометр (стар.: микрон)XU — единица X; siegbahnABA — Электромагнитная единица AbampereAMP — Ампер (базовая единица Si)ESU — Esu в секунду Статампер (CgsABC — Абкулон Электромагнитная единицаATU — Атомная единица зарядаCLM — КулонFRD — ФарадейMAH — Миллиампер-часSTT — Статкулон Франклин ЭлектростABV — Абвольт (единица Cgs)STV — Статвольт ( Cgs Unit)VLT — Вольт (Si Unit)ACF — Акр-футыACI — Акры-дюймыBIB — Баррели (нефтяные)BII — Баррели (британские)BIU — Баррели (Us Dry)BKT — Ведра (британские)BRO — Галлоны (пивные)BUD — Бушели (Us Dry Level)BUI — Бушели (Imperial)BUU — Бушели (Us Dry Heaped)CMB — CoombsCMI — Cubic MilesCP — CupsCRF — Cord-FootsCRW — Cords (Дрова)CUF — Cubic FathomsCUI — Cubic InchsCUT — Cubic FootsCUY — Cubic ЯрдыDSI — тире (имперские фунты)DSS — десертные ложки (имперские фунты)DSU — тире (США)FBM — борд-футыFFT — пятые FID — жидкие драхмы (имперские)FIS — жидкие скрукле (имперские)FLB — бочки (США, жидкие)FLU — жидкие драмы ( Us) Us FluidramFRK — FirkinsGAI — галлоны (имперские единицы)GAU — галлоны (Us Dry)GAW — галлоны (Us Fluid Wine)GLU — Teacups (gills)GTT — DropsHDI — Hogsheads (Imperial)HHU — Hogsheads (Us)JGR — Jiggers ( Bartending)KLD — KilderkinsLMD — LambdasLOD — LoadsLST — LastsM3 — Кубические метры (Si Unit)MII — Minims (Imperial)MIU — Minims (Us)OZF — Унции (Fluid Us Food NutritioPER — PerchsPKI — Pecks (Imperial)PKU — Pecks (Us) Сухой)PNI — пинчи (британские)PNU — пинчи (американские)PON — PonysPOT — Pottle QuartersPP — стыковые трубыPTI — пинты (британские)PUD — пинты (Us Dry)PUF — пинты (Us Fluid)QRF — Quart S (Us Fluid) QRT — Кварталы QTI — Кварты (британские)QTU — Кварты (Us Dry)RGS — Реестр TonsSCI — Мешки (британские) BagsSCU — Мешки(Us)SHT — Shots (Us)SM — SeamsSTK — Забастовки (Imperial)STU — Забастовки (Us) )TBC — столовые ложки (канадские)TBF — столовые ложки (обычные в США)TBM — столовые ложки (метрические)TBS — столовые ложки (в австралийских единицах измеренияTCA — чайные ложки (канадские) TFD — столовые ложки (Us Food NutritionTIM — чайные ложки (британские)TMF — Timber FootsTMT — чайные ложки ( Метрическая система)TND – тонны (водоизмещение)TNT – тонны (воды)TNW – тонны (фрахт)TSC – чайные ложки (стандарт США)TSF – чайные ложки (США Food Nutrition) WEY — Wey (Us)ACM — Атмосфера-кубический фут в минутуACS — Атмосфера-кубический фут в секунду SecoATC — Атмосфера-кубический сантиметр PeATH — Атмосфера-кубический фут в часBTJ — BTU (Международная таблица) В расчете на BTN — BTU (Международная таблица) В расчете на BTS — БТЕ (международная таблица) по CAS — Калория (международная таблица) ERS — Эрг в секундуFMF — Фут-фунт-сила в минутуFT — Фут-фунт-сила в часFTO — Фут-фунт-сила в секундуHPS — Лошадиная силаLAM — Литр-атмосфера в час MinuteLSC — LusecLTS — Литр атмосферы в секундуPNC — PonceletSQL — Прямой эквивалент квадратного фута TC — Тонна кондиционирования воздухаTMS — Атмосфера-кубический сантиметр PeTRM — Тонна охлаждения (ImperialTRR — Тонна охлаждения (It)ACR — AcresCMK — Квадратные сантиметрыFTK — Квадратные футыHAR — ГектарыINK — Квадратные дюймыKMK — Квадратные километрыMIK — Квадратные милиMTK — Квадратные метрыYDK — Квадратные ярдыAMU — Унифицированная атомная единица массыAT — Тонна анализа (краткая)ATS — Тонна анализа (длинная)BAC — Мешок (Кофе)BDM — Мешок (портландцемент)BRG — BargeCLV — CloveCRT — CrithCT — Carat (Metric)DA — DaltonDRT — Dram (Apothecary Troy)DWT — PennyweightGAM — GammaGR — GrainGV — GraveKIP — KipLB — Pound (Metric)LBA — PoundLBT — Pound (Troy)LBV — Pound (Avoirdupois)ME — Атомная единица массы Электрон RMRK — MarkMTE — MiteMTM — Клещ (метрический) OZ — Унция (этикетка питания США OZT — Унция (аптечная Троя) OZZ — Унция (Avoirdupois) PNN — PointQ — Квинтал (метрический) QR — Квартал (неофициальный) QRI — Quarter (Imperial)QRL — Quarter Long (Informal)SAP — Scruple (Apothecary)SH — Ton ShortSLG — Slug Geepound HylSLH — SheetST — StoneSWT — Hundredweight (центум веса oTON — Ton LongWY — WeyZTR — ZentnerANN — YearsDAY — DaysHUR — HoursMCS — MicrosecondsMIN — MinutesMLS — MillisecondsMON — MonthsSEC — SecondsWEE — WeeksARE — AresBD — BoardsBHE — эквивалент мощности котла DBR — BarnsBRN — BaronysCDA — Cuerda Pr SurveysCRD — CordsCRI — Circular InchsCRM — Circular MilsDNM — DunamsGNT — GunthasHD — HidesRO — RoodsSCT — SectionsSHD — ShedsSs — Square Link Gunters InternatiSLR — Square Link RamsdensSQC — Square Chains InternationalSQM — Square Mil Square ThousSQR — Square Rod/Pole/PerchsSRR — Square RoofingsSTR — StremmasTWN — TownshipsYLN — YardlandsARM — Arcminute MoaARS — ArcsecondCNS — Centesimal Second Of ArcCNT — Centesimal Minute Of ArcDOA — Degree (Дуги)GRA — Grad Gradian GonOCT — OctantQRD — QuadrantSGN ​​- SignSXT — Sextantµ — Угловой MilATA — Атмосфера (Техническая)ATM — Атмосфера (Стандартная)BAR — BarBRY — Бари (единица Cgs)CMH — Сантиметр ртутного столбаCMW — Сантиметр водяного столба ( 4 °C)FTH — фут ртутного столба (условный)FTW — фут водяного столба (392 °F)IMC — Дюйм ртутного столба (условный)INW — Дюйм водяного столба (392 °F)KM — Килограмм-сила на квадратный дюймKSI — Кип на квадратный дюймLTP — Длинная тонна на квадратный футMHG — Микрометр ртутного столбаMMH — Миллиметр ртутного столбаMMW — Миллиметр воды (398 °C)PA — Паскаль (единица Si)PD — фунт на квадратный футPSF — фунт на квадратный футPSI — фунт на квадратный дюймPZ — пьеза (единица Mts)STP — короткая тонна на квадратный футTOR — ТоррATN — атомная единица ForceDYN — Dyne (Cgs Unit)KFF — Килограмм-сила Kilopond Grave-KI — Kip Kip-ForceMGF — Milligrave-Force Gravet-ForceOZC — Унция-силаPDL — PoundalSN — Sthene (единица Mts)TNF — Long Ton-ForceTNL — Short Ton- ForceAUC — атомная единица времениCTN — CenturyCYC — каллипический циклDEC — DecadeFN — FortnightHEL — HelekHIP — гиппархический циклJFF — JiffyKEH — Ke (четверть часа) LSR — Luster LustrumMD — MillidayMLL — MillenniumMMN — MomentMOF — Month (Full)MOG — Month (Greg) Av)MOH — месяц (полый)MOS — месяц (синодический)MTN — метонический цикл EnneadecaeterisOC — OctaeterisPLN — планковское времяSGM — SigmaSHK — ShakeSTH — сотический циклSVD — SvedbergYR — год (общий)YRG — год (григорианский)YRJ — год (юлианский) YRL – год (високосный)YRM – год (среднетропический)B39- Британская термальная единица (39 °F)B59 — Британская термальная единица (59 °F)B60 — Британская термальная единица (60 °F)B63 — Британская термальная единица (63 °F)BOE — эквивалент барреля нефтиBRT — Британская термальная единица ( Iso)BTI — Британская термальная единица (InternatBTM — Британская термальная единица (средняя)BTT — Британская термальная единица (ThermochC15 — Калория (15 °C)C20 — Калория (20 °C)C98 — Калория (398 °C)CAM — Калория ( Среднее значение)CFT — Кубический фут атмосферы CHU — Тепловая единица ЦельсияCL — Калория (Us Fda)CLTH — Калория (термохимическая)CN — Кубический фут природного газаCTA — Кубический сантиметр атмосферыCYD — Кубический ярд атмосферы StandEH — Атомная единица энергии ХартриFTD — Foot-PoundalIMG — Галлон-атмосфераKCA — Большая килокалорияKWH — Киловатт-час Board Of Trade ULTM — Литр-атмосфераQD — QuadRDB — Therm (Ec)RY — RydbergTCE — Тонна угольного эквивалентаTHR — Therm (Us)THU — ThermieTN — Тонна TntTOE — Tone Of Oil EquivalentBAN — Ban HartleyBSH — Bit ShannonCD — Candela (Si Base Unit) CandleCPD — Candlepower (New)JK — Si UnitNAT — Nat Nip NepitNBL — NibbleBIT — BitsBYT — BytesEBI — ExabitsEBY — ExabytesGBI — GigabitsGBY — GigabytesKBI — KilobitsKBY — KilobytesMBI — МегабитыMBY — МегабайтыPBI — ПетабитыPBY — ПетабайтыTBI — ТерабитыTBY — ТерабайтыBLL — Баррели (нефть)CMQ — Кубические сантиметрыFTQ — Кубические футыGLI — Галлоны (Великобритания)GLL — Галлоны (жидкости США)LTR — ЛитрыMLT — МиллилитрыMTQ — Кубические метрыOZI — Унции UKBQ — Беккерели ( Si Unit)CI — КюриRD — Резерфорд (H)BTU — BTUCAL — КалорииERG — ErgEVL — Электрон ВольтFPD — Фут-фунтHPH — Лошадиная сила-часIPD — Дюйм-фунтJOU — ДжоульC — Скорость света в вакуумеFPF — Фарлонг в две неделиFPH — Фут в часIPH — Inch Per HourIPM — Inch Per MinuteIPS — Inch Per SecondMCH — Mach NumberMPM — Mile Per MinuteMPS — Mile Per SecondMS — Метр в секунду (Si Unit)SPS — Скорость звука в AirCDF — Candela Per Square FootCDI — Candela Per Square InchCDM — Candela Per Квадратный метр (Si UFL — FootlambertLMB — LambertSB — Stilb (Cgs Unit)CEL — ЦельсийDDE — Градус DelisleDNE — Градус НьютонаFAN — ФаренгейтGMR — Регулирующий газ MarkKEL — Kelvin’sRAN — RankineREA — ReaumurRME — Градус RømerCFM — Кубический фут в минутуFTS — Кубический фут в минуту SecondGPD — галлон (жидкость США) в суткиGPH — галлон (жидкость США) в часGPM — галлон (жидкость США) в минутуINM — кубический дюйм в минутуINS — кубический дюйм в секундуLPM — литр в минутуMQS — кубический метр в секунду (Si UniCM — кулоновый метрDB — DebyeEA0 — атомная единица электрического диполя CMT — сантиметр DMT — дециметрыFOT — футыINH — дюймыKMT — километрыMMT — миллиметрыMTR — метрыSMI — милиYRD — ярдыCTM — каратыGRM — граммыKGM — килограммыLBR — фунтыMGM — миллиграммыONZ — унции TNE — тонны (метрические)DEG — градусыGRD — градыRAD ​​- RadiansFC — Фут-канд Люмен на квадрат FoLMN — Люмен на квадратный дюймLX — Люкс (Единица Si)PH — Фот (Единица Cgs)FHP — Фут в час в секундуFMS — Фут в минуту в секундуFP — Фут в секунду в квадратеdG — Стандартная сила тяжестиGAL — Gal GalileoIP — Дюйм в минуту в секундуIP2 — дюйм в секунду в квадратеKNS — узел в секундуMM — миля в минуту в секундуMP — миля в час в секундуMP2 — миля в секунду в квадратеMSA — метр в секунду в квадрате (Si UFPM — футы/минутыFPS — футы/секундыKMH — километры/ ЧасKMS — Километры/секундыKNT — УзлыMPH — Мили/часMTS — Метры/секундыFT2 — Квадратный фут в секундуM2S — Квадратный метр в секунду (Si UnSTX — Стокс (единица Cgs)FTP — Foot-PoundalMKG — Метр Килограмм-силаNEM — Ньютон-метр (Единица Si )GCC — граммы/кубический сантиметрKCC — килограммы/кубический сантиметрKLI — килограммы/литрKMC — килограммы/кубический метрOCI — унции/кубический дюймOGL — унции/галлонPCF — фунты/кубический футPCI — фунты/кубический дюймPGL — фунты/галлонGML — грамм на миллилитрLAB — фунт (Avoirdupois) Per GallonLBF — фунт (Avoirdupois) на кубический LBI — фунт (Avoirdupois) на кубический LBL — фунт (Avoirdupois) на галлонOFT — унция (Avoirdupois) на кубический OG — унция (Avoirdupois) на галлонOGA — унция (Avoirdupois) на галлонOIN — Унция (Avoirdupois) на кубический SFT — Слаг на кубический футGSS — Гаусс (единица Cgs)TSL — Тесла (единица Si)GY — Грей (единица Si)RDD — RadJCM — Джоули/сантиметрKGF — Килограмм-силаNWN — НьютоныPFC — Фунт силыLBH — Фунт Per Foot HourLBS — Фунт на фут-секундуLFT — Фунт-сила-секунда на квадрат LIN — Фунт-сила-секунда на квадрат PAS — Паскаль-секунда (единица Si)PSU — Пуаз (единица Cgs)MX — Максвелл (единица Cgs)WB — Вебер (Si) Единица)REM — Рентген-эквивалент ManSV — Зиверт (Единица Si)

Таблица преобразования: градусы в миллиметры

Ближайшие числа для 1 градуса

Последние преобразования Градусов в Миллиметры

python — Преобразование hddd° mm.

mm′ в десятичные градусы

спросил 2 года, 8 месяцев назад

Изменено 2 года, 8 месяцев назад

Просмотрено 130 раз

Я получаю данные через HTML-документ, прикрепленный к электронному письму (не спрашивайте, почему…). Мне нужно прочитать GPS-координаты из этого файла и создать маршрут с помощью OSM. У меня нет проблем с получением GPS-координат в виде строки, но я действительно изо всех сил пытаюсь сформировать их во что-то, что может использовать OSM.

GPS-координаты выглядят так: N53°09.20 E009°11.82, разбиение не проблема, но мне нужно сформировать их в нормальные широту и долготу типа (53.119897, 7.944012).

У кого-нибудь была такая же проблема или есть ли библиотека, которую я могу использовать?

• python
• карты
• gis
• openstreetmap
• широта-долгота

3

Приведенный ниже код можно использовать для преобразования градусов, минут и секунд в указанном вами формате в десятичные значения долготы и широты:

 import re
координаты = "N53°09.

Теория вероятностей | ЕГЭ по математике (профиль)

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию $А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.

Решение:

Найдем количество желтых автомобилей:

$50-35=15$

Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$, следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$

Ответ:$0,3$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают ${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих вероятностей:

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того, что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.

Решения:

Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.

Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.

События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба события, нужно найти произведение вероятностей

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

$Р=0,15·0,12=0,018$

Ответ: $0,018$

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию $А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему «Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения», ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

$Р = 0,3+0,18=0,48$

Ответ: $0,48$

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются несовместными.

Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$

В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.

Решение:

Обозначим события, пусть:

$А$ = кофе закончится в первом автомате,

$В$ = кофе закончится во втором автомате.

Тогда,

$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,

$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.

События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$

Ответ: $0,88$

Часть 5. Теория вероятностей на ЕГЭ. Трудные задачи. – МАТЕМАТИКА

Еще одна статья по теории вероятностей. В ней собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, а также задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей. Эти задачи относятся к категории «трудные задачи», однако разобрав их с нами, они таковыми вам уже не покажутся.

Теоретическая часть

Если имеются события А и В, то

Эти формулы следуют применять, когда А и В – зависимые совместные события (более простые случаи рассмотрены в предыдущих статьях (часть1, часть 2, часть 3, часть 4).

Задачи о зависимых событиях

Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.
1-й способ.

Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда .

Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 — 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) — P(A ∪ B)= 0,6 + 0,6 — 0,78 = 0,42

2-й способ
Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».
Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:

P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.

Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет  «кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна = 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.

3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.

По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.

В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.

Ответ: 0,42.

Задачи на проценты

Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.
Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.

Отсюда

Ответ: 0,4

Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение.
Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.

Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна  ≈ 0,93

Ответ: 0,93.

Разные задачи

Задача 5.4 На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.

Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).

Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 1\6 ≈ 0,17

2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)

Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна  1\6 ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем  0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.
1-й способ
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.

Вероятность непоражения
после второго выстрела равна 0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего  0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого  0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого  0,0216 • 0,3 = 0,00648.

Следовательно, необходимо 5 выстрелов.

2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)

Вероятность непоражения после n выстрелов равна , так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.

По условию необходимо, чтобы


Ответ: 5.

Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.
Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку  0, 5, по литературе  0,6 и по математике 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.

Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 – 0,6) • (1 –0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 – 0,04 = 0,96.
Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.

Ответ: 0,384.

Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.

Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.

Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого равна 0,1 • 0,1 = 0,01.

Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.

Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.

Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.

Ответ: 0,244.

Подведем итог

Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.

Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.

Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.

Также рекомендую изучить «Задачи с параметром» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.

10 класс. Алгебра. Решение уравнений в целых числах. Делимость чисел. Задачи | Учебно-методический материал по алгебре (10 класс):

Опубликовано 20.04.2019 — 23:54 — Прокофьева Тамара Александровна

Задачи по теме Делимость чисел для домашнего задания или для тренировочной работы в группах

Скачать:

Предварительный просмотр:

Делимость чисел

№1. Решение уравнений в целых числах

1. Доказать, что на прямой      нет ни одной точки с целочисленными координатами.
2. Найти все целочисленные решения уравнения .
3. Доказать, что уравнение      не имеет решений в целых числах.
4. Решить в целых числах уравнение -х+5ху-5у=7.

№2. Свойства делимости

1. Число  а + 1 делится на 3. Доказать, что 4 + 7а делится на 3.
2. Числа 2 + а     и    35 – в   делятся на 11. Доказать, что а + в делится на 11.
3. Доказать, что при любом целом п значение выражения   кратно 6.
4. Доказать что число   делится на 3 при любом натуральном п.

…………………………………………………………………………………………………

Делимость чисел

№1. Решение уравнений в целых числах

1. Доказать, что на прямой      нет ни одной точки с целочисленными координатами.
2. Найти все целочисленные решения уравнения .
3. Доказать, что уравнение      не имеет решений в целых числах.
4. Решить в целых числах уравнение -х+5ху-5у=7.

№2. Свойства делимости

1. Число  а + 1 делится на 3. Доказать, что 4 + 7а делится на 3.
2. Числа 2 + а     и    35 – в   делятся на 11. Доказать, что а + в делится на 11.
3. Доказать, что при любом целом п значение выражения   кратно 6.
4. Доказать что число   делится на 3 при любом натуральном п.

…………………………………………………………………………………………………

Делимость чисел

№1. Решение уравнений в целых числах

1. Доказать, что на прямой      нет ни одной точки с целочисленными координатами.
2. Найти все целочисленные решения уравнения .
3. Доказать, что уравнение      не имеет решений в целых числах.
4. Решить в целых числах уравнение -х+5ху-5у=7.

№2. Свойства делимости

1. Число  а + 1 делится на 3. Доказать, что 4 + 7а делится на 3.
2. Числа 2 + а     и    35 – в   делятся на 11. Доказать, что а + в делится на 11.
3. Доказать, что при любом целом п значение выражения   кратно 6.
4. Доказать что число   делится на 3 при любом натуральном п.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка элективного курса «Решение уравнений в целых числах»

Публикация содержит методическую разработку элективного курса «Решение уравнений в целых числах» — теоретический, практический материал, историческую справку, список литературы. Предложенная презентац…

Натуральные и целые числа. Делимость целых чисел. НОД и НОК натуральных чисел

урок алгебры в 10 классе…

Конспект урока по теме «Решение уравнений в целых числах»

В ходе урока рассмотрены следующие методы решения уравнений в целых числах: разложение на множители; решение уравнения как квадратного относительно одной из переменных; графический. …

Организация учащихся к учебно-исследовательской деятельности по теме «Решение уравнений в целых числах»

Актуальность исследования:В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются,  эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнени…

Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах

В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах. Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на  кружковых и факультативных занятиях….

Решение уравнений в целых числах

Подготовка к профильному ЕГЭ по математике…

решение уравнений в целых числах

Представлена презентация, которая поможет на уроках алгебры, начиная с 7 класса, объяснить решение уравнений в целых числах. Уравнения постепенно усложняются, и их можно использовать для подготовки к …

Поделиться:

 

Решение простейших тригонометрических уравнений.

10 класс

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Решение простейших тригонометрических уравнений.

ДевизРешение
: « Не делай
никогда того,
простейших
чего не знаешь уравнений.
, но научись
тригонометрических
всему, что следует знать»
Пифагор
1
Арксинус
у
1
а
0
-а
arcsin а
х
-arcsin а
-1
arcsin (-a)=-arcsin a
2
Арккосинус
у
П-arccos a
1
arccos а
х
-а
0
а
0
-1
arccos (-a) = П — arccos a
3
Арктангенс
у
1
arctg a
а
х
0
-arctg a
-а
-1
arctg (-a)=-arctg a
4
Арккотангенс
у
-а
1
П-arcctg a
а
arcctg a
х
0
0
arcctg (-a)=П-arcсtg a
5
Тест
Значение обратных
тригонометрических функций
6
Уравнения
ПРОСТЕЙШИЕ
тригонометрические
7

8.

Решение простейших тригонометрических уравненийТема урока
Решение простейших
тригонометрических уравнений
8
Решение уравнения cosx=a
cos x = a
y
1
Частые случаи:
cos x = 1
cos x = 0
cos x = -1
1
1
0x
0
1
9
Решение уравнения sinx=a
sin x = a
y
y=1
2
1
Частые случаи:
sin x = 1
sin x = 0
sin x = -1
y=0
1
1
1
x
y = -1
2
10
Решение уравнения tgx=a
y
tg x = a
a – любое число
а
2
arctg a
x
0
Частных случаев нет
18.07.2019
2
11
Решение уравнения ctgx=a
y
arcctg x = a
a – любое число
а
arcctg a
0
Частных случаев нет
18.07.2019
12
x
Формулы для решения
простейших тригонометрических уравнений
cos x = a
sin x = a
cos x = 1
sin x = 1
cos x = 0
sin x = 0
cos x = -1
sin x = -1
tg x = a
ctg x = a
13
14
Домашнее задание
1. Теория: Учебник — п.15, 16, 17 (опорный конспект)
– прочитать, проанализировать, выучить формулы
2. Практика:
Тест «Простейшие тригонометрические уравнения» – на сайте
uztest.ru
или Задачник – п.15,16, 17 № 5- 7
3. Творческое:
Найти и рассмотреть способы решения тригонометрических
уравнений
15
Вы молодцы!
Каждый из вас
«научился тому,
что следует знать»
Спасибо за урок !
16

English     Русский Правила

NCERT Solutions for Class 10 Math Chapter 4

Страница № 81:

Вопрос 1:

Заполните последний столбец таблицы.

С. №	Уравнение	Значение	Скажите, выполняется ли уравнение. (Да/Нет)
(и)	х + 3 = 0	х = 3	—
(ii)	х + 3 = 0	х = 0	—
(iii)	х + 3 = 0	х = — 3	—
(iv)	х — 7 = 1	х = 7	—
(в)	х — 7 = 1	х = 8	—
(ви)	5 х = 25	х = 0	—
(vii)	5 х = 25	х = 5	—
(viii)	5 х = 25	х = — 5	—
(икс)		м = − 6	—
(х)		м = 0	—
(xi)		м = 6	—

Ответ:

(i) x + 3 = 0

L. H.S. = x + 3

Положив x = 3,

L.H.S. = 3 + 3 = 6 ≠ RHS

∴ Нет, уравнение не выполняется.

(ii) х + 3 = 0

Л.Х.С. = x + 3

Положив x = 0,

L.H.S. = 0 + 3 = 3 ≠ R.H.S.

∴ Нет, уравнение не выполняется.

(iii) x + 3 = 0

Л.В.С. = x + 3

Положив x = −3,

LHS = — 3 + 3 = 0 = RHS

∴ Да, уравнение выполнено.

(iv) x − 7 = 1

L.H.S. = x − 7

Поставив x = 7,

L.H.S. = 7 — 7 = 0 ≠ RHS

∴ Нет, уравнение не выполняется.

(v) x − 7 = 1

L.H.S. = x − 7

Положив x = 8,

LHS = 8 — 7 = 1 = RHS

∴ Да, уравнение выполнено.

(vi) 5 x = 25

Л.В.С. = 5 x

Положив x = 0,

L.H.S. = 5 × 0 = 0 ≠ RHS

∴ Нет, уравнение не выполняется.

(vii) 5 x = 25

Л. В.С. = 5 x

Положив x = 5,

L.H.S. = 5 × 5 = 25 = правая сторона

∴ Да, уравнение выполнено.

(viii) 5 x = 25

Л.В.С. = 5 x

Положив x = −5,

L.H.S. = 5 × (−5) = −25 ≠ RHS

∴ Нет, уравнение не выполняется.

(икс) «=» 2

Л.Х.С. «=»

Поставив м = −6,

Д. В. С. = ≠ Р.Х.С.

∴Нет, уравнение не выполняется.

(х) «=» 2

Л.Х.С. «=»

Поставив м = 0,

L.H.S. «=» ≠ Р.Х.С.

∴Нет, уравнение не выполняется.

(xi) «=» 2

Л.Х.С. «=»

Положив м = 6,

Л.В.С. «=» = R.H.S.

∴ Да, уравнение выполнено.

Страница № 81:

Вопрос 2:

Проверить, является ли значение, указанное в скобках, решением данного уравнения:

(a) n + 5 = 19 ( n = 1) (b) 7 n + 5 = 19 ( n = − 2)

(c) 7 n + 5 = 19 ( n = 2) (d) 4 p − 3 = 13 ( p = 1)

6 (

7 9) 4 p − 3 = 13 ( p = − 4) (f) 4 p − 3 = 13 ( p = 0)

Ответ:

(a) n + 9( n = 1)

Ввод n = 1 в левую сторону,

n + 5 = 1 + 5 = 6 ≠ 19

As L. H.S. ≠ R.H.S.,

Следовательно, n = 1 не является решением данного уравнения, n + 5 = 19.

Помещение n = −2 в LHS,

7 n + 5 = 7 × (−2) + 5 = −14 + 5 = −9 ≠ 19

As L.H.S. ≠ RHS,

Следовательно, n = −2 не является решением данного уравнения, 7 n + 5 = 19.

(c) 7 n + 5 = 19 ( n = 2)

Положив 3n 4 = 2 слева,

7 n + 5 = 7 × (2) + 5 = 14 + 5 = 19 = справа

Как L.H.S. = R.H.S.,

Следовательно, n = 2 является решением данного уравнения, 7 n + 5 = 19.

(d) 4 p − 3 = 13 ( p