Бизнес-планирование- тесты Синергии онлайн — Помощь студентам дистанционного обучения
Безопасное, анонимное и качественное выполнение онлайн тестов МФПУ Синергия. Купить решение тестов Синергии можно у наших менеджеров на сайте
1. Деятельность относительно человеческих ресурсов, которая в основном связана с будущими потребностями ?, — это …
2. Предприниматели, ставящие целью экономию ресурсов, для замещения рабочих вакансий обращаются к …
3. Не верно что презентация должна включать
4. Приоритетную ориентацию на привлечение ресурсов в бизнес рекомендуется использовать … фирмам
5. ?-планирование отражает потребность …
6. Аналитическая часть ?-плана дает обоснование …
7. Практическая часть ?-плана содержит …
8. При представлении заявки в банк или фонд на дополнительное или начальное финансирование используется информация из …
9. Выбор производственного оборудования в ?- базируется на данных о …
10. Основанием для начала работы над ?- является …
11. В состав мер по реализации стратегии маркетинга входят:
12. В аналитической части бизнес-плана необходимо …
13. Презентацию ? могут проводить …
14. Предпринимательское бизнес-планирование в узком смысле – это …
15. Внутренний? необходим для того, чтобы …
16. Участники рынка доверяют ?, в которых …
17. Предприниматель «открывает» информацию по ? …
18. При оптимизации структуры затрат оцениваются …
19. Базовым для расчета потребности в работниках является …
20. С помощью работы в аналитической части бизнес-плана предприниматель определяет …
21. Резюме ? следует сделать …
22. … включает внутренний потенциал, конкурентный потенциал, эффективное управление
23. ? представляет собой …
24. ? создается на срок…
25. В соответствии с исследованиями, наиболее эффективным методом формирования бизнеса является …
26. … дает анализ спроса со стороны разных категорий покупателей.
27. Резюме составляют на основе …
28. Внутренний ? необходим для того, чтобы …
29. Внутренний ?н заставляет…
30. Предлагаемая в бизнес-плане организационная структура должна создать условия для производства продуктов при …
31. Содержание аналитической части предполагает выявление …
32. Внутренний бизнес-план позволяет…
33. Разработка экономической концепции ценовой политики входит в
34. План производства содержит…
35. В бизнес-плане проектирование продвижения нового продукта связано с …
36. Бизнес-план — это программа реализации …
37. Внутренний бизнес-план позволяет…
Другие тесты Синергии:
Анализ финансовой отчетности
Логистика
Методологические основы психологии
Физическая культура и спорт Э1
Основы HR — аудита
Основы бизнес-планирования — тест 2
Главная / Менеджмент /
Основы бизнес-планирования / Тест 2Упражнение 1:Номер 1
Что такое бизнес-план?
Ответ:
 (1) инструмент технического, организационно-экономического, финансового, управленческого обоснования дела, включая взаимоотношения с банками и инвестиционными, сбытовыми организациями, посредниками, потребителями 
 (2) основной документ, на основании которого партнеры и инвесторы дают деньги 
 (3) план предпринимательской деятельности фирмы, предприятия 
 (4) все перечисленное верно 
Номер 2
Данные по скольким вариантам проектного предложения отражает окончательное содержание бизнес-плана?
Ответ:
 (1) лишь по одному варианту 
 (2) по всем альтернативным вариантам 
 (3) по двум-трем вариантам 
 (4) по всем вариантам, одобренным заказчиком 
Номер 3
На какое время рекомендуется составлять бизнес-план?
Ответ:
 (1) на два-три месяца 
 (2) на один год 
 (3) на три-пять лет 
 (4) на десять-пятнадцать лет 
Упражнение 2:Номер 1
Какие задачи прежде всего должен решать бизнес-план в кризисных условиях переходного периода?
Ответ:
 (1) оценка затрат, которые будут необходимы для изготовления и сбыта продукции нужной рынку 
 (2) улучшение финансового состояния предприятия 
 (3) изучение перспективы развития будущего рынка сбыта продукции 
 (4) определение цен, по которым можно будет продавать продукцию 
Номер 2
Кто в соответствии с действующим законодательством РФ может быть субъектами предпринимательской деятельности?
Ответ:
 (1) граждане России, не ограниченные в установленном законом порядке в своей дееспособности 
 (2) граждане иностранных государств и лица без гражданства в пределах правомочий, установленных законодательством 
 (3) объединения граждан 
 (4) все перечисленное верно 
Упражнение 3:Номер 1
Как трактуется слово «бизнесмен» в современных словарях?
Ответ:
 (1) как лицо, занимающееся рискованными операциями с целью получения прибыли от разницы между покупной и продажной ценой 
 (2) как делец, капиталист, стремящийся из всего извлечь крупные барыши, не гнушаясь никакими средствами в целях личной наживы 
 (3) как воротила, занимающийся преступной деятельностью 
 (4) человек, занимающийся любым видом экономической деятельности, приносящей прибыль, имеющий при этом необходимые средства — собственные или заемные 
Номер 2
Какое слово нельзя отнести к синонимам слова «бизнес»?
Ответ:
 (1) безделие 
 (2) коммерция 
 (3) торговля 
 (4) отрасль 
Номер 3
Из чего состоит оценка бизнеса?
Ответ:
 (1) из оценки личности хозяина бизнеса 
 (2) из оценки его составляющих 
 (3) бизнес не подлежит оценке 
 (4) из оценки его прибыли 
Упражнение 4:Номер 1
Какие направления имеет бизнес-план?
Ответ:
 (1) фронтальное и бэкофисное 
 (2) глубинное и поверхностное 
 (3) внутреннее и внешнее 
 (4) материальное и информационное 
Номер 2
Чьи интересы учитываются при разработке бизнес-плана?
Ответ:
 (1) заказчика (клиента) бизнес-плана 
 (2) муниципальных органов 
 (3) потребителя 
 (4) все перечисленное верно 
Упражнение 5:Номер 1
Бизнес-план позволяет решить многофакторную задачу, основным выводом которой является
Ответ:
 (1) обоснование экономической целесообразности направлений развития фирмы 
 (2) расчет ожидаемых финансовых результатов деятельности 
 (3) подбор персонала, который способен реализовать данный план 
 (4) все перечисленное верно 
Номер 2
Что такое процесс бизнес-планирования?
Ответ:
 (1) выбор направления развития предприятия 
 (2) описание всех вариантов развития предприятия 
 (3) последовательное изложение системы реализации проекта 
 (4) все перечисленное верно 
Номер 3
Какой вид бизнес-плана должен храниться у руководителя фирмы и предъявляться ограниченному числу заинтересованных лиц, самым серьезным участникам бизнеса?
Ответ:
 (1) полный 
 (2) достаточный 
 (3) резюме 
 (4) сравнительный 
Упражнение 6:Номер 1
Какой вид бизнес-плана должен содержать все разделы бизнес-плана (компьютерные версии) по предлагаемому варианту и не обязательно включать подробные расчеты по альтернативным вариантам?
Ответ:
 (1) полный 
 (2) достаточный 
 (3) резюме 
 (4) сравнительный 
Номер 2
Что предполагает бизнес-план в общем виде?
Ответ:
 (1) изложение системы доказательств, убеждающих инвестора в выгодности проекта 
 (2) определение степени жизнеспособности и будущей устойчивости предприятий 
 (3) конкретизация перспективы бизнеса в виде системы количественных и качественных показателей развития 
 (4) все перечисленное верно 
Номер 3
Бизнес-план, содержащий все расчеты, справки, свидетельства и тому подобные материалы, всю «кухню» получения тех или иных результатов, определяется как
Ответ:
 (1) полный 
 (2) достаточный 
 (3) резюме 
 (4) сравнительный 
Упражнение 7:Номер 1
Если бизнес-план составлен в виде «резюме», то от содержит
Ответ:
 (1) все расчеты по альтернативным вариантам развития предприятия 
 (2) все разделы бизнес-плана (компьютерные версии) по предлагаемому варианту и не обязательно — подробные расчеты по альтернативным вариантам 
 (3) краткие выводы по каждому разделу бизнес-плана без обоснования и расчетов 
 (4) все расчеты, справки, свидетельства и тому подобные материалы, — всю «кухню» получения тех или иных результатов 
Номер 2
Существует ли форма бизнес-плана «с ответами без решений»?
Ответ:
 (1) нет, так как ответы без решения не имеют смысла 
 (2) да, это резюме 
 (3) нет, так как в бизнес-плане содержатся только идеи, а ответы можно получить только в ходе реализации этих идей 
 (4) нет, так как бизнес-план должен дать однозначный ответ инвестору 
Номер 3
Выбор цели конкретного предприятия должен исходить
Ответ:
 (1) из его текущего состояния и возможностей предприятия в данной экономической ситуации 
 (2) из пожеланий акционеров и владельцев предприятия 
 (3) из идей руководителей предприятия по далекой перспективе 
 (4) из предпочтений клиентов 
Упражнение 8:Номер 1
Детализация целей зависит
Ответ:
 (1) от текущего состояния предприятия 
 (2) от планового горизонта 
 (3) от решения Собрания акционеров 
 (4) от воли директората 
Номер 2
К факторам внешней среды не относятся
Ответ:
 (1) экономическая обстановка, политическая ситуация 
 (2) физическая или географическая и технологическая среда 
 (3) уровень автоматизации производства и достаточность компьютерного парка 
 (4) правовая и социо-культурная среда 
Номер 3
Есть ли возможность через бизнес-план реализовать внутренние функции предприятия?
Ответ:
 (1) да, многие из обнаруженных в ходе бизнес-планирования сильных и слабых сторон предприятия трудно увидеть, если не работать над бизнес-планом 
 (2) нет, бизнес-план — визитная карточка предприятия и рассчитан на внешних инвесторов 
 (3) нет, задача бизнес-плана — внедрение новых идей, а не изучение предприятия 
 (4) нет, так как бизнес-план ориентирован на решение внешних задач предприятия 
Упражнение 9:Номер 1
К каким факторам, влияющим на бизнес-планирование следует относить характеристики используемых технологий, оборудования?
Ответ:
 (1) внешним 
 (2) внутренним 
 (3) специфическим 
 (4) материальным 
Номер 2
Изучение жизненного цикла продукта, следует относить
Ответ:
 (1) к внешним факторам 
 (2) к внутренним факторам 
 (3) к специфическим факторам 
 (4) к материальным факторам 
Номер 3
Цели предприятия должны быть (исключите неверный ответ)
Ответ:
 (1) безграничными во времени 
 (2) количественно определенными 
 (3) реалистичными и достижимыми 
 (4) ограниченными во времени 
Упражнение 10:Номер 1
Целью бизнес-плана может быть
Ответ:
 (1) описание различных вариантов развития предприятия 
 (2) только описание конкурентов 
 (3) только продвижение на рынок руководителя предприятия 
 (4) получение кредита или привлечение инвестиций в рамках уже существующего предприятия 
Номер 2
Какой вид бизнес-плана имеет значение некоей «визитной карточки» или даже рекламы самой фирмы или разрабатываемой продукции?
Ответ:
 (1) резюме 
 (2) полный 
 (3) достаточный 
 (4) сравнительный 
Номер 3
По объему, полноте изложения фактов, документально подтвержденных и научно обоснованных аргументов бизнес-план может быть
Ответ:
 (1) строго одного вида 
 (2) трех видов: полный, достаточный, резюме 
 (3) только максимально полного вида 
 (4) двух видов: достаточный и сравнительный 
Номер 4
Какие существуют общие цели предпринимательства, независимые от организационно-правовой формы предприятия и видов деятельности?
Ответ:
 (1) обеспечение устойчивых доходов 
 (2) рост производства 
 (3) расширение рынка сбыта и сфер влияния 
 (4) все перечисленное верно 
МТИ Организация инфраструктуры сервиса и туризма
1. Особенности проведения вступительного испытания в магистратуру
— «Организация туристической деятельности»
— «Нормативно-правовые основы туристской деятельности»
— «География»
— «Страноведение»
— «Краеведение»
— «Сервисная деятельность»
— «Туристские ресурсы»
— «Культурология»
— «Технология и организация гостиничных услуг »
— «Технология и организация услуг питания »
— «Санаторно-курортная деятельность»
— «Менеджмент в туризме»
— «Маркетинг в туризме»
— «Технологии и организация экскурсионных услуг »
— «Культура и традиции народов мира»
— «Культурно-исторические центры России»
— «Технологии продаж»
3. Перечень вопросов для подготовки поступающих
3.1 Дисциплина «Организация туристической деятельности»
Перечень вопросов:
1. Особенности туристских услуг.
2. Основные и дополнительные услуги в туризме.
3. Общие и рекомендуемые требования к туристской услуге по ГОСТу.
4. Понятие и содержание туристских формальностей.
5. Степень ответственности сторон.
6. Туроператоры и турагенты на туристском рынке.
7. Специализация туроператоров.
8. Основные отличия между туроператором и турагентом.
9. Виды туристских программ и основные мотивы выбора отдыха.
10. Основные требования при формировании турпродукта одного из видов туризма.
11. Перспективные направления и основные тенденции в развитии международного и внутреннего туризма.
12. Тур — основной продукт туристской деятельности.
13. Технология планирования, формирования, продвижения и реализации тура.
14. Расчет цены на тур.
3.2 Дисциплина «Нормативно-правовые основы туристской деятельности»
Перечень вопросов:
1. Федеральный закон «Об основах туристской деятельности в РФ»
2. Федеральный закон «О техническом регулировании» для сферы туризма
3. Национальные стандарты для индустрии туризма и гостеприимства
4. Ростурпомощь: правовые основы деятельности, способ формирования, функции.
5. Финансовые гарантии и единый федеральный реестр туроператоров
6. Нормативно-правовое регулирование туристских формальностей
7. Добровольная сертификация туристских услуг
8. Схемы сертификации в туризме
9. Порядок классификации гостиниц и других средств размещения, пляжей и горно-лыжных центров
10. Существенные условия договора реализации тур. продукта
11. Роль и место документационного обеспечения на предприятиях индустрии гостеприимства
12. Правила оформления документов. ГОСТ Р 6.30-2007
13. Организационно-распорядительные документы на предприятиях индустрии гостеприимства
14. Информационно-справочные документы на предприятиях индустрии гостеприимства
15. Документооборот на предприятиях сферы индустрии гостеприимства
16. Нормативно-правовая база делопроизводства в сфере индустрии гостеприимства
3.3 Дисциплина «География»
Перечень вопросов:
1. Современная географическая модель мирового хозяйства. Структура мирового хозяйства.
2. Основные факторы размещения хозяйства: классификация и характеристика.
3. Глобальные проблемы современности и пути их решения.
4. Отраслевая структура мировой промышленности.
5. Классификации отраслей мировой промышленности.
6. Структура мирового сельского хозяйства.
7. Агробизнес и его роль в современной экономике.
8. Структура мировой транспортной системы.
9. Социально-экономическая характеристика стран Зарубежной Европы.
10. Социально-экономическая характеристика стран Зарубежной Азии.
11. Социально-экономическая характеристика стран Африканского континента.
12. Социально-экономическая характеристика Австралии
13. Социально-экономическая характеристика Северной Америки.
14. Социально-экономическая характеристика стран Латинской Америки.
15. Геополитика как научное направление.
16. Особенности геополитического положения России.
17. Экономико-географическое положение России: преимущества и недостатки.
18. Административно-территориальное устройство России.
19. Последствия экономических реформ 90-х гг. ХХ в. для России и современный социально-экономический кризис.
20. Оценка природных ресурсов России.
21. Факторы размещения хозяйства.
22. Динамика численности населения России.
23. Современная демографическая ситуация.
24. Особенности расселения населения России.
25. Процесс урбанизации в России и его последствия.
26. Отраслевая структура хозяйства России.
27. Отраслевая структура промышленности России.
28. Условия и факторы размещения производства в России
29. Физико-географические и политэкономические факторы развития туризма.
30. Культурно-исторические и этногеографические факторы развития туристского потенциала территории.
31. Особенности и принципы районирования в международном туризме.
32. Основные антропологические особенности человеческих рас и география их распространения.
33. Основные языковые семьи и их особенности.
34. Межнациональные различия мимики, жестов, телесных движений и поз.
35. Религиозные и этические нормы поведения туристов в различных регионах мира.
36. Основные виды туризма в странах Восточной Европы.
37. Охарактеризуйте туристский потенциал Болгарии, Чехии, Польши, Венгрии.
38. Особенности организации туризма в Хорватии, Черногории, Словении.
39. Обучающий туризм на Мальте, в Ирландии, Великобритании.
40. Туристский потенциал Германии и Франции.
41. Финляндия, Швеция, Норвегия, на рынке международного туризма.
42. Специфика туристских поездок в Австрию и Швейцарию.
43. Средиземноморские страны: Турция, Кипр, Греция.
44. Культурно-познавательный туризм Италии и Испании.
45. Организация туризма в США и Канаде.
46. Туристский потенциал Кубы, Мексики, Бразилии, Перу, Аргентины.
47. Проблемы и перспективы развития туризма в Южной и Юго-Западной Азии: Израиль, Иордания, Ливан, ОАЭ.
48. Организация международного туризма в Южной и Юго-Восточной Азии: Индия, Непал, Индонезия, Малайзия, Сингапур, Тайланд.
49. Страны Центральной и Восточной Азии: Китай, Япония, Северная и Южная Корея.
50. Организация туризма в странах Северной Африки: Египет, Маврикий, Марокко, Тунис.
51. Охотничьи и экстремальные туры в Танзании, Кении, ЮАР.
52. Специфика организации туризма в Австралии и Новой Зеландии.
53. Английские традиционные ценности и приоритеты.
54. Особенности английского делового стиля.
55. Американский деловой стиль и черты национального характера американцев.
56. Образ жизни французов и деловой стиль нации.
57. Истоки немецкого национального характера и жизненные нормы жителей Германии.
58. Японский образ жизни и деловой стиль Страны восходящего солнца.
59. Особенности китайского национального характера, этикет и деловой стиль.
60. Духовная культура и национальный характер жителей Страны утренней свежести.
61. Типичные черты характера норвежцев, финнов, шведов.
62. Итальянские семейные ценности и деловой стиль жителей Аппенин.
63. Испанский национальный характер и образ жизни.
64. Нидерланды, Бельгия, Дания на рынке туристских услуг.
65. Трагическая история народа и характер еврейской нации.
66. Арабский деловой стиль.
67. Украина, Казахстан, Белоруссия – развитие туризма на постсоветских территориях.
68. Республики Прибалтики на рынках международного туризма.
69. В чём состоит отличие лечебно-оздоровительного туризма от других видов туризма. Назовите типы курортов.
70. Центры лечебно-оздоровительного туризма в Европе.
71. Охарактеризуйте развитие лечебно-оздоровительного туризма в Венгрии и Чехии.
72. Охарактеризуйте наиболее известные лечебные курорты в Центральной Европе.
73. Основные направления деловых потоков на европейском континенте.
74. Как распределяются деловые поездки по всему миру.
75. Охарактеризуйте основные типы городов мира по характеру их застройки и планировки.
76. География распространения зоопарков и парков развлечения в мире.
77. Охарактеризуйте районы развития экзотического и приключенческого туризма.
78. Отличительные особенности развития африканских национальных парков.
79. Охарактеризуйте самые привлекательные туристско-экскурсионные объекты Африки.
80. Страны – Лидеры развития экотуризма в мире.
81. Классификация туристских зон и районов России.
82. Назовите основные центры санаторно-курортного отдыха в России.
83. Охарактеризуйте наиболее популярные районы активного спортивно-экстремального и охотничьего туризма в РФ.
3.4 Дисциплина «Страноведение»
Перечень вопросов:
1. Характеристика туристского потенциала Американского региона (Латинская Америка): Куба, Ямайка, Доминиканская республика, Мексика, Бразилия, Перу. Внешние факторы и проблемы развития туризма. Основные туристские центры. Виды туризма, природные, рекреационные и культурно-исторические достопримечательности.
2. Характеристика туристского потенциала Европейского региона: (субрегиона Северная Европа): Дания, Исландия, Норвегия, Финляндия, Швеция. Внешние факторы развития туризма. Основные туристские центры. Виды туризма, природные, рекреационные и культурно-исторические достопримечательности.
3. Характеристика туристского потенциала Европейского региона (субрегиона Западная Европа): Австрия, Германия, Великобритания, Монако, страны Бенилюкс, Франция, Швейцария. Внешние факторы развития туризма. Основные туристские центры. Виды туризма, природные, рекреационные и культурно-исторические достопримечательности.
4. Характеристика туристского потенциала Европейского региона: (субрегиона Южная Европа): Греция, Испания, Италия, Ватикан, Мальта. Внешние факторы развития туризма. Основные туристские центры. Виды туризма, природные, рекреационные и культурно-исторические достопримечательности.
5. Характеристика туристского потенциала Азиатского региона: Китай, Япония, Въетнам, Индонезия, Сингапур, Таиланд, Малайзия, Индия, Шри-Ланка. Внешние факторы, проблемы развития туризма. Основные туристские центры. Виды туризма, природные, рекреационные и культурно-исторические достопримечательности.
6. Характеристика туристского потенциала Европейского региона: (субрегиона Восточной Европы): Болгария, Венгрия, Польша, Румыния, Чехия, Хорватия, Черногория Внешние факторы развития туризма. Основные туристские центры. Виды туризма, природные, рекреационные и культурно-исторические достопримечательности.
7. Характеристика туристского потенциала Африканского региона: Египет, Марокко, Тунис, Кения, ЮАР. Внешние факторы и проблемы развития туризма. Основные туристские центры. Виды туризма, природные, рекреационные и культурно-исторические достопримечательности.
8. Характеристика туристского потенциала Ближне-Восточного региона (Юго-Западная Азия): Турция, ОАЭ, Израиль, Кипр. Внешние факторы развития туризма. Основные туристские центры. Виды туризма, природные, рекреационные и культурно-исторические достопримечательности.
9. Характеристика туристского потенциала Американского региона (субрегиона Северная Америка): США и Канада. Внешние факторы развития туризма. Основные туристские центры. Виды туризма, природные, рекреационные и культурно-исторические достопримечательности.
3.5 Дисциплина «Краеведение»
Перечень вопросов:
1. Природные достопримечательности и памятники природы Башкортостана
2. Заповедники, заказники, национальные и природные парки РБ.
3. Реки и озера Башкортостана (краеведческая характеристика).
4. Памятники архитектуры и монументального искусства г. Уфы.
5. История населенных пунктов и городов РБ как источник экскурсионной деятельности
6. Краеведческая характеристика туристических комплексов проекта «Золотое кольцо Башкортостана».
3.6 Дисциплина «Сервисная деятельность»
Перечень вопросов:
1. Понятие «контактной зоны» как сферы реализации сервисной деятельности. Основные требования к ее работникам
2. Понятие услуги, ее организационные формы. Основные, дополнительные, вспомогательные услуги в туризме.
3. Общие правила общения персонала с потребителями услуг на предприятиях туризма. Работа с жалобами и претензиями.
4. Факторы, определяющие потребность в туризме: внутренние мотивации и внешние факторы.
5. Культура сервиса и ее составляющие.
6. Сфера туристского сервиса, как способ ведения бизнеса, сфокусированный на клиенте
7. Принципы современного клиентоориентированного сервиса. Основные задачи системы сервиса
8. Система оценки удовлетворенности клиента качеством обслуживания (методы получения информации)
9. Этическая культура сервисного обслуживания: профессиональная этика; культура общения работников с клиентами
10. Эстетическая культура сервисного обслуживания: техническая эстетика и дизайн; эстетика внешнего оформления интерьера и рабочих мест обслуживающего персонала; внешний облик работника
11. Культура общения персонала сервисного предприятия с потребителем
3.7 Дисциплина «Туристские ресурсы»
Перечень вопросов:
1. Основные объекты внутреннего коммерческого туризма в пределах географических зон Урала на территории России.
2. Основные объекты внутреннего коммерческого туризма в пределах Южного Урала.
3. Основные географические составляющие зоны Большого Урала и границы между ними.
4. Сравнительные характеристики заповедников, национальных парков, природных парков, памятников природы и заказников с точки зрения организации туристской деятельности
5. Природно-рекреационные возможности курортных местностей для развития туристского сервиса.
6. Организация туристского обслуживания с привлечением ресурсов ботанических садов и дендрариев
7. Основные принципы и методы формирования экологических маршрутов и организация природоохранных мероприятий на экотропах.
8. Основные направления организации этно-экологических турмаршрутов и природоохранные мероприятия в рамках данных туров.
9. Основные направления экопросветительской деятельности в туризме
3.8 Дисциплина «Культурология»
Перечень вопросов:
1. Культура, её формы, виды.
2. Сущность культуры и её функции.
3. Основные виды духовной культуры первобытной эпохи.
4. Цивилизация и её признаки. Первые цивилизации на земле.
5. Особенности культуры Древнего Египта.
6. Искусство Древнего Египта.
7. Культура египтян и их реализация в системе культурного пространства.
8. Основные ценности древнегреческого общества.
9. Периодизация культуры Древней Греции, основные особенности каждого периода.
10. Греция как колыбель философии.
11. Научные знания древних греков.
12. Ценности и идеалы римского общества.
13. Особенности культуры Древнего Рима.
14. Искусство Древнего Рима.
15. Культура Рима и христианство.
16. Мировые религии. Христианство.
17. Христианство и культура Европы.
18. Ценности средневекового общества.
19. Влияние церкви на культуру Средневековой Европы.
20. Средневековая литература.
21. Романтический и готический стили в искусстве Средневековья.
22. Особенности эпохи Возрождения.
23. Основные черты итальянского Возрождения.
24. Титаны итальянского Возрождения в живописи и литературе.
25. Особенности культуры Северного Возрождения.
26. Движение реформации в странах Европы.
27. Влияние идей протестантизма на развитие западной культуры.
28. Писатели Северного Возрождения.
29. Идеи, цели и лозунги просветителей.
30. Эпоха просвещения как золотой век утопий.
31. Основные художественные стили эпохи Просвещения.
32. Искусство эпохи Просвещения.
33. Культура XVIII века.
34. Культура Европы XIX века.
35. Романтизм и реализм в художественной культуре XIX века.
36. Особенности развития культуры в XX века.
37. Модернизм в художественной культуре XX века.
38. Театр и кино XX века.
39. Отечественные культурологические теории.
40. Факторы формирования Российской цивилизации.
41. Особенности русского культурного архетипа.
42. Краткая характеристика периодов Российской культуры.
43. Влияние других культур на развитие отечественной культуры.
44. Проблемы культуры России XX века.
3.9 Дисциплина «Технология и организация гостиничных услуг »
Перечень вопросов:
1. Ассоциации и союзы в гостиничной индустрии. Цели, задачи и функции.
2. Классификация средств размещения. Гостиница как основное предприятие индустрии туризма и гостеприимства.
3. Система управления гостиничным предприятием. Организационная система гостиничного предприятия.
4. Материально-техническая база гостиниц.
5. Организация работы основных служб гостиничного предприятия. Основные и дополнительные услуги.
3.10 Дисциплина «Технология и организация услуг питания »
Перечень вопросов:
1. История развития ресторанного дела.
2. Современное состояние и основные направления развития ресторанного сервиса
3. Специфические черты предприятий питания различных средств размещения (мотелей, гостиничных комплексов, санаториях и др.).
4. Особенности взаимодействия предприятий питания и других предприятий сферы туризма и гостеприимства.
5. Включение услуг ресторана в структуру туристического продукта
6. Классификация предприятий общественного питания.
7. Классификация услуг общественного питания.
8. Организационная структура управления рестораном.
9. Кадровые ресурсы ресторана, информационные ресурсы ресторана.
10. Материальные ресурсы ресторана.
11. Классификация и характеристика форм и методов обслуживания.
12. Правила оказания услуг.
13. Способы подачи блюд (виды сервиса).
14. Назначение и принципы составления меню.
15. Качественный анализ и оптимизация меню.
16. Организация обслуживания потребителей на предприятиях общественного питания.
17. Виды банкетов, их особенности.
18. Идея и концепция. Составляющие концепции предприятий общественного питания.
19. Психологические факторы в обслуживании посетителей.
20. Культура обслуживания на предприятиях питания.
3.11 Дисциплина «Санаторно-курортная деятельность»
Перечень вопросов:
1. Место санаторно-курортного комплекса в системе оказания услуг населению РФ.
2. Место курортологии в системе здравоохранения.
3. Особенности организации курортного дела в России и за рубежом.
4. Курортный комплекс РФ, составляющие, характеристика, потребности населения Российской Федерации в курортном оздоровлении.
5. Классификация курортных факторов, механизм их лечебнооздоровительного действия.
6. Типы курортов.
7. Характеристика здоровья взрослого и детского населения РФ, потребности в санаторно-курортном оздоровлении и лечении жителей Российской Федерации.
8. Современные принципы организации курортного дела в Российской Федерации. 1
9. Рекреация: понятие, особенности в условиях курортного оздоровления, основные задачи.
10. Рекреационно-реабилитационные циклы системного курортного оздоровления, технологические приемы, методы, подходы.
11. Особенности развития курортного дела в Европе и Азии.
12. Формирование первых «народных» курортов и их упадок в период Средневековья. Новый этап развития курортов в Европе
13. История российских курортов
14. Курортно-рекреационные ресурсы, свойства, происхождение, назначение.
15. Природные лечебные ресурсы Российской Федерации, понятия, особенности. Минеральные воды как основной природный лечебный фактор.
16. Лечебные грязи, значение как природного лечебного фактора.
17. Рекреационное районирование, критерии формирования и использования различных типов рекреационных систем.
18. Рекреационные зоны РФ и экономическое районирование и зонирование курортно-рекреационного потенциала Российской Федерации, их отличие.
19. Климатотерапия, классификация, общие принципы действия, организация в условиях курортного оздоровления.
20. Аэротерапия, виды, механизмы действия, использование в санаторнокурортном оздоровлении, особенности дозирования.
21. Гелиотерапия, воды, механизм действия, принципы организации в теплый и холодный период года.
22. Гидротерапия, механизм действия, показания, противопоказания.
23. Типы и виды рекреационно-реабилитационных учреждений.
24. Лечебно-оздоровительный процесс на курорте, методы, принципы, особенности.
25. Организация работы санатория.
26. Основные службы санаторно-курортных учреждений, технологические схемы жизнеобеспечения, оздоровления, развлечений.
27. Особенности организации службы питания в санаторно-курортных учреждениях. Понятие о диетотерапии.
28. Организация активного отдыха на курорте, виды, значение.
29. Организация досуга и развлечений на курорте.
30. Понятие об анимационной деятельности.
31. Экологический и санитарно-гигиенический контроль на курорте, законодательные документы.
32. Требования к лечебно-оздоровительным местностям и курортам.
33. Основные законодательные документы, регламентирующие деятельность курортов.
3.12 Дисциплина «Менеджмент в туризме»
Перечень вопросов:
1. Понятие, сущность, особенности, функции и задачи современного менеджмента.
2. Понятие целей и задач туристского предприятия. Система целей организации.
3. Структура управления предприятиями индустрии туризма. Типы организационных структур.
4. Стратегический менеджмент в сфере туризма.
3.13 Дисциплина «Маркетинг в туризме»
Перечень вопросов:
1. Маркетинговая среда туристского предприятия
2. Основные этапы управления маркетингом туристского предприятия.
3. Сегментирование туристского рынка и продвижение турпродукта.
4. Формирование комплекса маркетинга туристского предприятия
5. Жизненный цикл туристского продукта
6. Маркетинговые исследования в туризме
7. Товарная политика туристского предприятия
8. Основные методы ценообразования в туризме
9. Политика продвижения турпродукта
10. Организация сбыта и основные каналы реализации турпродукта
11. Перспективы развития телемаркетинга в туризме
12. Структура рекламного обращения
13. Виды и цели рекламных кампаний
14. Показатели эффективности воздействия рекламной кампании
15. Особенности формирования рекламного бюджета туристического предприятия
16. Место рекламы в комплексе маркетинга
17. Понятие «медиа-план», его содержание, основные показатели. Основные задачи медиа-планирования.
18. Организация и проведение рекламных кампаний в сфере туризма.
3.14 Дисциплина «Технологии и организация экскурсионных услуг »
Перечень вопросов:
1. Сущность и принципы экскурсионной работы, ее значение в туризме.
2. Последовательность подготовки новой экскурсии.
3. Методика проведения экскурсии. Приемы показа и рассказа.
4. Культура и техника речи экскурсовода.
5. Обеспечение безопасности на экскурсионном маршруте.
3.15 Дисциплина «Культура и традиции народов мира»
Перечень вопросов:
1. Влияние географических и природно-климатических факторов на формирование национального характера
2. Особенности интеллектуального потенциала нации (Японии, США, России и др.)
3. Культура и традиции народов стран Европы
3.16 Дисциплина «Культурно-исторические центры России»
Перечень вопросов:
1. Памятники истории, культуры и искусства России, внесенные в список ЮНЕСКО. Характеристика объектов.
2. Московский культурно –исторический центр России. Общая характеристика основных экскурсионных объектов и маршрутов.
3. Северная столица России как культурно-исторический центр. Основные достопримечательности города.
4. Мемориальные комплексы как объекты культурно-исторического наследия России.
5. Общая характеристика маршрута «Золотое кольцо России». Его основные культурно-исторические центры.
3.17 Дисциплина «Технологии продаж»
Перечень вопросов:
1. Современные тенденции развития туриндустрии, оказывающие существенное влияние на технологии продаж услуг индустрии туризма и гостеприимства.
2. Основные этапы и особенности персональных продаж в сфере туризма и гостеприимства
3. Четырехуровневая модель продукта, функциональное и воспринимаемое качества продукта. Основные элементы туристского продукта и услуги.
4. Определение и виды покупательского поведения потребителя турпродукта. Факторы, влияющие на покупательское поведение. Моделирование поведения потребителя в туриндустрии.
5. Язык продаж: определение, особенности и функции. Использование методов нейролингвистического программирования в продажах в сфере туризма.
6. Три способа управления продажами: структура, слово, культура. Четыре стиля управления. Обучение, контроль и мотивация торгового персонала.
4. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплин для подготовки поступающих
4.1. Основная литература
1. ФЗ «Об основах туристской деятельности в РФ» от 24.11.1996 г. № 132-ФЗ (с изм.).
2. Закон РФ «Федеральный закон о природных и лечебных ресурсах, лечебно-оздоровительных местностях и курортах».
3. Закон РФ «О порядке выезда из РФ и въезда в РФ» от 18.07.1996 г. № 114-ФЗ.
4. Закон РФ «О страховании» от 22.11.1992 г.
5. ФЗ «О защите прав потребителей» от 07.02.1992 г. № 2300-1
6. ФЗ «О техническом регулировании» от 27.12.2002 г. № 184-ФЗ
7. «Правила предоставления гостиничных услуг в РФ» Постановление Правительства РФ от 25.04.1997 г. № 490.
8. «Правила оказания услуг общественного питания». Постановление Правительства РФ от 15.08.1997 г. № 1036.
9. Госстандарт РФ ГОСТ 28681.0-90. Стандартизация в сфере туристско-экскурсионного обслуживания. Основные положения.
10. Госстандарт РФ ГОСТ Р 50681-94. Туристско-экскурсионное обслуживание. Проектирование туристских услуг.
11. Госстандарт РФ ГОСТ Р 50690-2000. Туристские услуги. Общие требования.
12. Госстандарт РФ ГОСТ Р 51185-98. Туристские услуги. Средства размещения. Общие требования.
13. Квартальнов В.А. Теория и практика туризма: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2003.
14. Менеджмент туризма: Экономика туризма: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2003.
15. Уокер Дж.Р. Введение в гостеприимство: Учеб. пособие / пер. с англ. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.
16. Яковлев Г.А. Экономика и статистика туризма: Учебное пособие. – М.: Издательство РДЛ, 2003.
17. Кабушкин Н.И., Бондаренко Г.А. Менеджмент гостиниц и ресторанов, — Минск, «Новое знание», 2001.
18. Косолапов А.Б., Елисеева Т.И. Практикум по организации и менеджменту туризма и гостиничного хозяйства: Уч.пособие. – М.: КНОРУС, 2005.
19. Папирян Г.А. Менеджмент туризма и гостеприимства. – М., 2001.
20. Джанджугазова Е. Маркетинг индустрии гостеприимства. М., 2006.
21. Исмаев Д.К. Маркетинг иностранного туризма в Российской Федерации. Теория и практика деятельности туристских фирм: Учеб.пособие для вузов. – М.: Мастерство, 2002.
22. Янкевич В.С., Безрукова Н.Л. Маркетинг в гостиничной индустрии и туризме. – М.: Финансы и статистика, 2002.
23. Ефремова М.В. Основы технологии туристского бизнеса: Учебное пособие. – М.: Издательство «Ось-89», 2003. -192 с.
24. Законы Российской Федерации «О сертификации продукции и услуг», «О стандартизации», «О защите прав потребителей», 2003.
25. Сергеев А.Г., Латышев М.В. Сертификация: Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Логос, 2005. 248 с.
26. Стандартизация и сертификация в сфере услуг: Учебное пособие для студентов вузов / А.В. Раков, В.И. Королькова, Г.Н. Воробьева и др.; под ред. А.В. Ракова. – М.: Мастерство, 2002.
27. Бгатов А.П., Бойко Т.В., Зубрева М.В. Туристские формальности. Учебное пособие, — М., 2006.
28. Большой глоссарий международного туризма. Под редакцией Биржанова М.Б., — СПб.: «Издательский фонд Герда», «Невский Фонд», 2002.
29. Вахмистров В.П., Вахмистрова СИ. Правовое обеспечение призма. Уч. пос, СПб. 2005.
30. Гвозденко А.А. Страхование в туризме. Учеб. пособие. -М.: Аспект Пресс, 2002.
31. Гостиничное и ресторанное дело, туризм. Сб. норм, док-тов. Ростов-на-Дону: Феникс, 2004.
32. Терещенко А.А. Государственное регулирование деятельности в правовом пространстве туризма. Курс лекций. — М.: Институт молодежи, 2002.
33. Туристские фирмы и гостиницы: нормативное регулирование деятельности. М., 2002.
34. Чудновский А.Д., Жукова М.А., Сенин B.C. Управление индустрией туризма. Уч. пособие. Изд. 2ое, М.: КНОРУС, 2005.
35. Эрделевский A.M. Моральный вред и права туриста. М, 2003.
36. Борисов Б.Л. Технологии рекламы и PR: Учебное пособие / Б.Л. Борисов. — М. 2001.
37. Дурович А.П. Реклама в туризме: Учебное пособие / А.П. Дурович. – М., 2006.
38. Коробкова С.П. Сервисная деятельность. – СПб., 2005.
39. Лойко О.Т. Сервисная деятельность в индустрии гостеприимства. — Томск, 2006.
40. Руденко А.М. Психология СКСТ. — Ростов-на Дону, 2005.
41. Управление человеческими ресурсами в европейском гостиничном бизнесе. — М.: Финансы и статистика, 2004.
42. Федцов В. Культура сервиса (учебное пособие). – М.: Приор, 2004.
43. Бизнес-планирование: учебник / под ред В.М. Попова и СИ. Ляпунова. — М.: Финансы и статистика, 2002.
44. Бизнес-план: рекомендации по составлению. — М.: «Издательство ПРИОР», 2002.
45. Буров В.П., Ломакин А.Л., Морошкин В.А. Бизнес-план фирмы. Теория и практика: учебное пособие. — М.: ИНФРА- М, 2004.
46. Гомилевская Г.А. Бизнес-план в туризме и гостиничном хозяйстве: учебное пособие. — Владивосток, изд-во ВГУЭС, 2002.
47. Максютов А.А. Бизнес-планирование развития предприятия. — М.: «Альфа-Пресс», 2006.
48. Балабанов И.Т. Анализ и планирование финансов хозяйствующего субъекта. М.: Финансы и статистика, 2003.
49. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория анализа хозяйственной деятельности. М.: Финансы и статистика, 2002.
50. Савицкая Г.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. Минск: «Новое знание» 2004.
51. Соболева Е.А. Финансово-экономический анализ деятельности турфирмы. М.: Финансы и статистика, 2005.
52. Хачатурян Н.М. Анализ финансово-хозяйственной деятельности: конспект лекций. Ростов на Дону: Феникс, 2006.
53. Змановская Е.В. Руководство по управлению личным имиджем. СПб., 2005.
54. Лесников-Рублев А.И. Имиджелогия. Корпоративный имидж. Ярославль, 2003.
55. Панасюк А.Ю. Формирование имиджа: стратегия, психотехнологии, психотехники. М., 2007.
56. Спивак В.А. Корпоративная культура. СПб.. 2001.
57. Шепель В.М. Имиджелогия: секреты личного обаяния. Ростов-на-Дону, 2005.
58. Ильина Е.Н. Туроперейтннг: организация деятельности. М. «Финансы и статистика», 2007.
59. Ильина Е.Н.Туризм — путешествия: Создание туристской фирмы. Агентский бизнес: Учебник для туристских колледжей и вузов. — М.: РМАТ, 2004.
60. Биржаков М.Б. Казаков Н.П. Безопасность в туризме. — СПб.: «Издательский дом Герда», 2007.
61. Технология путешествий и организация обслуживания клиентов: Учебное пособие. — М.: Советский спорт, 2002.
62. Ильина Е. Н. Организация железнодорожных путешествий. — М.: ЦРИБ «Турист», 2001.
63. Ильина Е. Н. Менеджмент транспортных услуг: Учебник. — М.: РМАТ, 2004.
64. Петрова СВ., Терехина Л.Т. Анализ конкретных ситуаций на транспортном маршруте, 2003
65. Гуляев В.Г. Организация туристских перевозок. Учебник – М.: «Финансы и кредит», 2005.
66. Ильина Е.Н. Организация водных путешествий: Учебник. — М: РИБ «Турист», 2002.
67. Организация и проведение автопутешествий., ЦРИБ «Турист», 2002.
68. Осипова О.Я. Транспортное обслуживание туристов: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2004.
69. Буравлев Ю.В., Павлова Е.И. Безопасность жизнедеятельности на транспорте. -М., 2003.
70. Волкова Л.П. Организация перевозок на воздушном транспорте. — М., 2005.
71. Башкортостан для здоровья человека. — Уфа, 2002.
72. Историко-познавательный туризм в Республике Башкортостан: Учебное пособие в двух книгах / Колл. авторов.- Уфа. 2005.
73. Агеева М.В. Уфа: страницы истории. Уфа, Уфимский авиационный техникум. Часть I. 2003.
74. Агеева М.В. Уфа: страницы истории. Уфа, уфимский авиационный техникум. Часть II. 2004.
75. Колбасина И.А. Техника продаж. Практические семинары. — Ростов н/д: «Феникс», 2004.
76. Расулева Л.А. Искусство продаж и техника работы с клиентом. –М., 2005.
77. Ребрик С. Тренинг профессиональных продаж, М., ЭКСМО. 2005.
78. Ушаков Д.С. Технологии продаж в турбизнесе — Ростов на Дону, Феникс, 2006.
79. Гостиничный и туристический бизнес. Под ред. Проф. Чудновского А.Д. – М., Ассоциация авторов и издателей «Тандем». Издательство «ЭКМОС», 2003.
80. Волков Ю.Ф. Технология гостиничного обслуживания / Серия «Учебники, учебные пособия». – Ростов н/Д: Феникс, 2003.
81. Кабушкин Н.И., Бондаренко Г.А. Менеджмент гостиниц и ресторанов: Учебное пособие. Мн: Новое знание, 2004.
82. Плотникова Н.И. Комплексная автоматизация туристского бизнеса: Учебное пособие / Н.И. Плотникова. – М.: Советский спорт, 2004. – 208 с.
83. Гуляев В.Г. Новые информационные технологии в туризме / В.Г. Гуляев. – М.: ПРИОР, 2003. – 144 с.
84. Гойхман О.Я., Надеина Т.М. Речевая коммуникация. — М., 2005.
85. Кузин Ф.А. Культура делового общения. — М., 2000.
86. Граудина Л.К., Миськевич Г.И. Теория и практика русского красноречия. -М.: Наука, 2005.
87. К. Томас Ресторанный бизнес (как открыть и успешно управлять рестораном). -М.: «Рос Консульт», 2004.
88. В. Осипов Ресторанный бизнес в России. — М.: «Рос Консульт», 2003.
89. Ресторанно-гостиничный бизнес. Учет, налоги, маркетинг, менеджмент. – М.: Книжный мир, 2003.
90. Ресторанный бизнес в России. Справочник ресторатора. /Под общей редакцией С.Л. Ефимова. — М.: «Рос Консульт», 2004.
91. В.И. Богушева Организация обслуживания посетителей ресторанов и баров. Серия «Учебники и учебн. пособия». — Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002.
92. Новаторов К. Культурно-досуговая деятельность. — Омск, 2002.
93. Приезжева Е. М. Организация и методы игровой деятельности в туризме: Учебно-метод. пособие. – М.: Советский спорт, 2005.
94. Шубина И. Б. Организация досуга и шоу-программ. — Ростов-на-Дону, 2003.
95. Бодалев А. Восприятие и взаимопонимание человека человеком. — М., 1997.
96. Григорьева Т. Основы конструктивного общения. – Новосибирск,1997.
97. Мургулец Л. Методы социально-психологической диагностики. Уч. пособие. — Л., 1999.
98. Авдеев В. Психотехнология решений проблемных ситуаций. — М.: Феникс, 1997.
99. А.А. Романов, Р.Г. Саакянц. География туризма. – М.: Советский спорт, 2003.
100. А.А. Романов. Зарубежное туристское страноведение. – М.: Советский спорт, 2004.
101. Мироненко Н.С. Страноведение: Теория и методы: Учебное пособие.- М.: Аспект пресс,
102. 2003.
103. Барышева А.Д. Этика и психология делового общения (сфера сервиса): Допущено Минобрнауки РФ в качестве учебного пособия для вузов / А.Д. Барышева, Матюхина Ю.А., Шередер Н.Г. – М.: Альфа – М; ИНФРА-М, 2009. – 256 с.
104. Леонтьев А.А. Психология общения : Учебное пособие. – 3-е изд. – М.: Академия, 2005.
105. Макаров Б.Ф. Деловой этикет и общение: Учебное пособие для вузов / Б.Ф. Макаров, А.В. Непогода. – М.: ЗАО Юстицинформ, 2006. – 240 с.
4.2. Дополнительная литература
1. Атлас Республики Башкортостан / Правительство РБ. — Уфа, 2005.
2. Атлас туристических ресурсов Республики Башкортостан.- Уфа, 2007.
3. Башкортостан: Краткая энциклопедия,- Уфа, 1996.
4. Города Республики Башкортостан. Справочник. — Уфа, 2001.
5. Васильева О.В., Латыпова В.В.. Дорога к храму. История религиозных учреждений г. Уфы. Уфа. 1993.
6. Нигматуллина И.В. Старая Уфа. Уфа: Китап, 2004.
7. Синенко С. Город над Белой рекой. Уфа. 2002.
8. Мальханова И.А. Школа красноречия. — М., 2002.
9. Профессия досуг. Сборники НМИ, ЧГАКиИ, 2002.
10. Страны и народы мира: Энциклопедический справочник. В.Б.Гарин, В.В. Лисюченко.-Р.- н.-Д.: Феникс, 2003.
11. Нефедова Т.И. Торговые ряды. Уфа, «Белая река». 2001
12. Страны и народы мира: Энциклопедический справочник. В.Б.Гарин, В.В. Лисюченко.-Р.- н.-Д.: Феникс, 2003.
13. Страны и народы: Популярн. энциклопедия \ Сост.М.Куреная.- СПб.: Дельта, 2002.
4.3. Интернет-ресурсы
1. http://www.frontdesk.ru
2. http://www.marketologi.ru
3. http://www.rbc.ru
4. www.elibrary.ru
5. http://romir.ru
6. www.servicology.ru
7. Оформление заграничного паспорта [Электронный ресурс] // Управление Федеральной миграционной службы по Республике Башкортостан URL: http://www.fmsrb.ru/material.aspx?m=3.
8. Правило первого въезда и правило основной страны [Электронный ресурс] // Shengen.su URL: http://www.schengen.su/schengen_first.htm.
9. Основания для отказа выдаче заграничного паспорта [Электронный ресурс] // Управление Федеральной миграционной службы по Республике Башкортостан URL: http://www.fmsrb.ru/material.aspx?m=202.
10. Университетская библиотека онлайн [Электронный ресурс] // Библиоклуб.ру URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=dict&dict_id=130
11. Оформление визы, не выходя из дома [Электронный ресурс] // Visa to home URL: https://www.visatohome.ru/ (дата обращения: 03.05.2016).
12. 3 простых шага к шенгенской визе в Германию [Электронный ресурс] // VFS Global est.2001 URL: http://www.vfsglobal.com/germany/ russia/Yekaterinburg/index.html
13. Страхование выезжающих за рубеж онлайн [Электронный ресурс] // Альфа-Страхование URL: https://www.alfastrah.ru/individuals/travel/vzr2/
14. Поиск отелей, хостелов и апартаментов [Электронный ресурс] // Ostrovok.ru Бронирование отелей URL: https://ostrovok.ru/
15. Забронируйте идеальный вариант проживания по отличной цене [Электронный ресурс] // Booking.com URL: http://www.booking.com/ index.ru.html?label=gen173nr1DCAEoggJCAlhYSDNiBW5vcmVmaMIBiAEB mAEhuAEGyAEM2AED6AEBqAID;sid=1a1f23a726cbb28d771dbdbbd9ab24bc;dcid=1;sb_price_type=total&.
Курсы повышения квалификации, тренинги, профессиональная переподготовка, программы МВА
Пользовательское соглашение
1. Я (Клиент), настоящим выражаю свое согласие на обработку моих персональных данных, полученных от меня в ходе отправления заявки на получение информационно-консультационных услуг/приема на обучение по образовательным программам.
2. Я подтверждаю, что указанный мною номер мобильного телефона, является моим личным номером телефона, выделенным мне оператором сотовой связи, и готов нести ответственность за негативные последствия, вызванные указанием мной номера мобильного телефона, принадлежащего другому лицу.
В Группу компаний входят:
1. ООО «МБШ», юридический адрес: 119334, г. Москва, Ленинский проспект, д. 38 А.
2. АНО ДПО «МОСКОВСКАЯ БИЗНЕС ШКОЛА», юридический адрес: 119334, Москва, Ленинский проспект, д. 38 А.
3. В рамках настоящего соглашения под «персональными данными» понимаются:
Персональные данные, которые Клиент предоставляет о себе осознанно и самостоятельно при оформлении Заявки на обучение/получение информационно консультационных услуг на страницах Сайта Группы компаний http://mbschool.ru/seminars
(а именно: фамилия, имя, отчество (если есть), год рождения, уровень образования Клиента, выбранная программа обучения, город проживания, номер мобильного телефона, адрес электронной почты).
4. Клиент — физическое лицо (лицо, являющееся законным представителем физического лица, не достигшего 18 лет, в соответствии с законодательством РФ), заполнившее Заявку на обучение/на получение информационно-консультационных услуг на Сайта Группы компаний, выразившее таким образом своё намерение воспользоваться образовательными/информационно-консультационными услугами Группы компаний.
5. Группа компаний в общем случае не проверяет достоверность персональных данных, предоставляемых Клиентом, и не осуществляет контроль за его дееспособностью. Однако Группа компаний исходит из того, что Клиент предоставляет достоверную и достаточную персональную информацию по вопросам, предлагаемым в форме регистрации (форма Заявки), и поддерживает эту информацию в актуальном состоянии.
6. Группа компаний собирает и хранит только те персональные данные, которые необходимы для проведения приема на обучение/получения информационно-консультационных услуг у Группы компаний и организации оказания образовательных/информационно-консультационных услуг (исполнения соглашений и договоров с Клиентом).
7. Собираемая информация позволяет отправлять на адрес электронной почты и номер мобильного телефона, указанные Клиентом, информацию в виде электронных писем и СМС-сообщений по каналам связи (СМС-рассылка) в целях проведения приема для оказания Группой компаний услуг, организации образовательного процесса, отправки важных уведомлений, таких как изменение положений, условий и политики Группы компаний. Так же такая информация необходима для оперативного информирования Клиента обо всех изменениях условий оказания информационно-консультационных услуг и организации образовательного и процесса приема на обучение в Группу компаний, информирования Клиента о предстоящих акциях, ближайших событиях и других мероприятиях Группы компаний, путем направления ему рассылок и информационных сообщений, а также в целях идентификации стороны в рамках соглашений и договоров с Группой компаний, связи с Клиентом, в том числе направления уведомлений, запросов и информации, касающихся оказания услуг, а также обработки запросов и заявок от Клиента.
8. При работе с персональными данными Клиента Группа компаний руководствуется Федеральным законом РФ № 152-ФЗ от 27 июля 2006г. «О персональных данных».
9. Я проинформирован, что в любое время могу отказаться от получения на адрес электронной почты информации путем направления электронного письма на адрес: [email protected]. Также отказаться от получения информации на адрес электронной почты возможно в любое время, кликнув по ссылке «Отписаться» внизу письма.
10. Я проинформирован, что в любое время могу отказаться от получения на указанный мной номер мобильного телефона СМС-рассылки, путем направления электронного письма на адрес: [email protected]
11. Группа компаний принимает необходимые и достаточные организационные и технические меры для защиты персональных данных Клиента от неправомерного или случайного доступа, уничтожения, изменения, блокирования, копирования, распространения, а также от иных неправомерных действий с ней третьих лиц.
12. К настоящему соглашению и отношениям между Клиентом и Группой компаний, возникающим в связи с применением соглашения, подлежит применению право Российской Федерации.
13. Настоящим соглашением подтверждаю, что я старше 18 лет и принимаю условия, обозначенные текстом настоящего соглашения, а также даю свое полное добровольное согласие на обработку своих персональных данных.
14. Настоящее соглашение, регулирующее отношения Клиента и Группы компаний действует на протяжении всего периода предоставления Услуг и доступа Клиента к персонализированным сервисам Сайта Группы компаний.
ООО «МБШ» юридический адрес: 119334, Москва, Ленинский проспект, д. 38 А, этаж 2, пом. ХХХIII, ком. 11.
Адрес электронной почты: [email protected]
Тел: 8 800 333 86 68, 7 (495) 646-75-17
Дата последнего обновления: 28.11.2019 г.
Массачусетский Технологический Институт — Massachusetts Institute of Technology
Массачусетский технологический институт, MIT, является частным исследовательским вузом в Кембридже, штат Массачусетс. Мировой лидер в области точных наук и технологий, MIT традиционно занимает первые строчки мировых рейтингов лучших учебных учебных заведений и считается одним из самых престижных вузов мира.
Основанный в 1861 году для подготовки инженеров и технических специалистов, дефицит которых сильно ощущался в условиях научно-технической революции того времени, MIT перенес на американскую почву модель европейского политехнического института.
MIT был официально зарегистрирован в штате Массачусетс в 1861 году и два года спустя получил в безвозмездное пользование землю. Уильям Бартон Роджерс, основатель и первый президент Массачусетского технологического института, в течение многих лет работал над созданием высшего учебного заведения, полностью посвященного подготовке научных и технических специалистов. Разразившаяся в Америке гражданская война отложила открытие полноценного вуза до 1865 года, когда первые 15 студентов начали обучение на программах, преподававшихся в Бостоне.
MIT переехал в Кембридж (штат Массачусетс) в 1916 году. Большой студенческий городок расположился вдоль берега реки Чарльз. При администрации президента Карла Т. Комптона (1930-48), институт превратился из техникума с хорошей репутацией во всемирно известный центр научно-технических исследований.
Массачусетский технологический институт внес большой вклад в развитие и распространение цифровых технологий. В середине 1980-х годов здесь были созданы несколько крупнейших организаций, связанных IT, программным обеспечением и интернетом: Richard Stallman’s GNU Project и Free Software Foundation и другие.
В этой связи отдельного упоминания заслуживают библиотеки MIT, которые демонстрируют новую концепцию современной библиотеки, поддерживая исследовательские программы института как инновационными, так и традиционными решениями.
Студенты, сотрудники факультета и исследователи могут подключиться к широкому спектру библиотечных ресурсов из классов, общежития или через мобильную версию сайта. В каждой из библиотек сети есть оснащенные по последнему слову техники комнаты, идеально подходящие для коллективной работы и виртуальных встреч с коллегами со всего мира, а также тихие изолированные кабинеты для самостоятельных занятий.
В 1976 Массачусетский технологический институт стал официальным участником государственной программы по изучению, использованию и сохранению водных и атмосферных ресурсов страны, в 1989 — по освоению космоса. Кроме того, на территории его кампуса расположен самый большой университетский атомный реактор в США. Также в вузе разработаны несколько экологических программ, в числе которых — программы по очистке воды и использование альтернативных источников энергии для бытовых нужд кампуса.
На протяжении всего времени существования вуз готовит высококлассных специалистов в области точных наук, технологий и смежных научных областей.
Позиции Массачусетского технологического института в ведущих международных рейтингах технических вузов мира смотрите здесь.
Известные выпускники и выдающиеся преподаватели
80 Нобелевских лауреатов;
56 Обладателей Национальной медали за вклад в естественные науки;
43 Стипендиата-исследователя фонда МакАртура;
28 Победителей Национальной премии в области технологий и инноваций.
MIT специализируется на научных и технологических исследованиях и состоит из пяти факультетов (школ) и одного колледжа. Среди факультетов с наивысшими рейтингами – Факультет Инженерного дела и Школа Менеджмента Слоуна.
Вуз предлагает сильнейшие программы в области экономики, психологии, биологии, химии, геологических дисциплин, физики и математики. Расходы на исследования в Массачусетском технологическом институте, как правило, превышают $650 млн в год, финансирование поступает из государственных учреждений, таких как Департамент здравоохранения и социальные службы и Министерство обороны.
Факультеты и специальности
Образование в MIT охватывает куда больше областей, чем только точные науки и технологии. ВУЗ состоит из пяти факультетов (школ) и более 30 других кафедр и программ.
Факультеты MIT:
Архитектуры и планирования;
Машиностроения;
Гуманитарных наук,
Искусства и социальных наук;
Управления и точных наук.
Департаменты и направления подготовки
Аэронавтика и космонавтика;
Антропология;
Архитектура;
Биоинженерия;
Биология;
Когнитивные науки;
Химические технологии;
Химия;
Строительство и природообустройство;
Сравнительная теория СМИ;
Литературное мастерство;
Вычислительная и системная Биология;
Науки о Земле, атмосфере и планетах;
Экономика;
Электротехника и компьютерные науки;
Технические системы;
Глобалистика и иностранные языки;
Науки о здоровье и технологии;
История;
Лингвистика и философия;
Литература;
Менеджмент;
Науки о материалах и инженерное дело;
Математика;
Машиностроение;
Наука о СМИ;
Музыкальное и театральное искусство;
Ядерная физика;
Физика;
Политология;
Наука, технологии и общество;
Урбанистика и городское планирование;
Гендерные исследования.
Компания MTI hi-tech дистрибуция перешла на работу в современной ERP-системе Microsoft Dynamics NAV
Один из крупнейших украинских импортеров техники и высокотехнологичного оборудования компания MTI hi-tech дистрибуция полностью перешла на работу в современной ERP-системе международного уровня Microsoft Dynamics NAV. Переход на новую систему позволяет повысить управляемость, эффективность бизнеса и в целом является технологическим фундаментом для дальнейшего развития (в частности, современных инструментов взаимодействия с партнерами).
Поставив перед собой цели модернизировать внутренние бизнес-процессы, автоматизацию взаимодействия с партнерами и улучшить качество предоставляемых сервисов, команда MTI hi-tech дистрибуции пришла к необходимости внедрения новой ERP-системы.
«За годы существования компании мы внедрили много разнообразных сервисов автоматизации рабочего процесса, которые не покрывали всех потребностей и требовали сложных дополнительных интеграций. В результате этого рабочая платформа начала напоминать лоскутное одеяло. Это нужно было менять, а значит – искать новую ERP-систему, которая бы удовлетворила нас и потребности партнеров. То есть необходимо было построить целостную систему управления ресурсами компании на современной IT-платформе. Тщательно взвесив все существовавшие на рынке предложения относительно целей бизнеса, мы решили остановиться на Microsoft Dynamics NAV», – подчеркивает Генеральный директор MTI hi-tech дистрибуция Борис Белянский.
Борис Белянский
По его словам, одним из решающих критериев при выборе этой системы стала возможность реализовать бесшовное покрытие типовым функционалом всех бизнес-процессов компании, а также объединить в одном решении документооборот, бухгалтерию и финансы с учетом украинской локализации.
«Мы искали платформу, которая позволит автоматизировать максимальное количество процессов взаимодействия с партнерами, даст технологические возможности для дальнейшего развития новых инструментов работы с их системами с целью повышения качества предоставляемого нами дистрибуторского сервиса», – отметил Борис Белянский.
Инструменты, реализованные в новой ERP-системе, позволяют партнерам МТІ получать самую актуальную информацию о состоянии склада и в реальном времени отслеживать изменения цен, за счет чего существенно увеличивается оперативность решений о покупке и продаже оборудования. Что, в свою очередь, способствует развитию взаимоотношений с клиентами-покупателями и с продавцами.
Проект внедрения Microsoft Dynamics NAV состоял из этапов разработки, запуска и последующего расширения функционала. Последний из этапов продолжается и сейчас: недавно в компании запустили один из новых модулей – автоматизацию клиентских бонусных программ.
В компании отмечают, что первый запуск новой ERP-системы состоялся 1 января 2020 года. Это время было выбрано специально, чтобы переход на новую платформу не затронул основные бизнес-процессы компании и не привел к задержкам во взаимодействии с партнерами и клиентами.
По состоянию на начало сентября в MTI hi-tech дистрибуции уже реализованы модули ценообразования, управленческого учета, внутренней и внешней отчетности, КРІ-отчетности, портал клиента, модуль планирования покупок. Также был запущен функционал внутреннего согласования и контроля изменений.
В процессе разворачивания Microsoft Dynamics NAV MTI hi-tech дистрибуция организовала для клиентов и сотрудников вебинары и создала видеоинструкции для быстрого обучения работе с обновленными интерфейсами и функциями, что облегчило переход на новую систему работы большого количества внешних пользователей.
На данном этапе компания МТІ продолжает внедрять новый функционал Microsoft Dynamics NAV и развивать сценарии взаимодействия с клиентами, которые были заложены в общих целях проекта.
Партнером по развертыванию ERP-системы для MTI hi-tech дистрибуция выступила украинская компания SMART business, являющаяся золотым партнером Microsoft (Gold Certified Partner).
«Для рынка Украины такой пример стал уникальным, так как впервые столь масштабный IT-дистрибутор со сложной инфраструктурой и комплексом услуг пошел на радикальные перемены, решив в одночасье связать все внешние и внутренние процессы компании на одной платформе и синхронно мигрировать с нескольких сервисов в единую систему без отрыва от производства», – подчеркивает Наталья Онищук, Управляющий партнер компании SMART business.
Она также отметила, что при проектировании ERP-систем, важно понимать, как именно накопленные данные смогут использоваться в будущем для принятия правильных управленческих решений и получения максимальной выгоды для клиента.
«Сотрудничество с MTI стало именно таким проектом – когда компания хочет не просто объединить, оптимизировать и автоматизировать все бизнес-процессы, но и улучшить работу каждого сотрудника и клиента в частности, а также усовершенствовать и рационально использовать функционал всех компонентов внедряемого решения», – считает Наталья Онищук.
Наталья Онищук
По словам Дмитрия Нагорного, ИТ-директора MTI hi-tech дистрибуции и руководителя проекта со стороны заказчика, одной из важнейших задач проекта было построение надежной основы для расширения перечня инструментов цифрового взаимодействия с клиентами – создание максимально прозрачного, простого и оперативного процесса получения информации об актуальном ассортименте, работе с заказами и сервисным обслуживанием.
«Мы развиваем новый Портал Клиента, который позволит клиентам МТI создавать заказы, проверять цены и видеть остатки товаров, отслеживать взаиморасчеты, задолженности, историю заявок и возвратов в режиме реального времени. С его помощью планируем наладить не только аккуратность ведения данных, но и контролировать продажи, обработку обращений и компенсации покупателям», – подчеркивает он.
Дмитрий Нагорный
Чтобы своевременно предоставлять наиболее актуальные цены и перечень товаров клиентам, удалось выкристаллизовать процесс ценообразования. Что, в свою очередь, позволило контролировать маржинальность сделок и формировать стоимость услуг in-time.
Дмитрий Нагорный также отметил, что в рамках проекта была создана интеграция через API с клиентами, позволяющая дилерам в их внутренних системах создавать заявки на покупки с отображением действий в Microsoft Dynamics NAV. Такие интеграции значительно облегчают процессы взаимодействия и увеличивают количество заказов со стороны.
Слаженная и профессиональная работа проектных команд MTI и SMART business позволила создать сильную экосистему и спланировать следующие шаги в сторону максимизации полученных результатов с применением технологий машинного обучения и современных диджитал инструментов.
Ведь когда удается построить качественный фундамент – возможности для беспрерывных улучшений и роста безграничны.
Справка:
MTI hi-tech дистрибуция – один из крупнейших в Украине мультивендорных импортеров и дистрибуторов в области hi-tech оборудования и инновационных решений. Представлен в 120 товарных категориях высокотехнологичного оборудования, потребительской техники, ПО и облачных сервисов. Ведёт деятельность с 1991 года. Входит в Группу компаний МТI.
Компания работает по прямым контрактам с более чем 80 мировыми производителями в области высоких технологий. Среди них – Asus, Acer, ARUBA, Schneider Electric, Canon, Dell EMC, Epson, Gamemax, Gigabyte, Goodram, HP, Hewlett Packard Enterprise, Huawei, IBM, Kingstone, Lenovo, Microsoft, MSI, Philips, TP-link, Samsung, и мн. др.
Microsoft Dynamics NAV – современная ERP-система международного уровня от Microsoft для компаний среднего и малого бизнеса. Позволяет комплексно управлять бизнес-процессами компании в единой системе, в том числе с широким функционалом удаленного доступа. Охватывает контуры управления финансами, торговлей, логистикой, производством, персоналом, дистрибуцией, взаимоотношениями с клиентами и др.
SMART business – партнер по внедрению системы Microsoft Dynamics NAV, эксперт по построению цифровой культуры бизнеса. SMART business предоставляет услуги по разработке, внедрению и поддержке ERP, CRM систем, а также систем на основе предиктивной аналитики и искусственного интеллекта, разрабатывает собственные решения на базе технологий Microsoft.
Владеет 16 золотыми компетенциями Microsoft и входит в ТОП-25 партнеров Microsoft по искусственному интеллекту в мире. Представлен в 5 странах, ведёт деятельность с 2009 года, предоставляя услуги клиентам по всему миру.
Диджитализация на карантине: когда бизнес нужно ускорить
15:07
27.10.2020
Автор:
БОРИС БЕЛЯНСКИЙ
Борис Белянский, генеральный директор MTI hi-tech дистрибуция
В конце 2019 года, когда Украину еще не коснулась волна пандемии, а новости из Китая становились все неутешительнее, большая группа аналитиков 2-х компаний готовилась к запуску уникального, сложного и крайне значимого проекта. Компания MTI – один из лидеров Украинского рынка дистрибуции высокотехнологичных продуктов и решений в партнерстве с компанией SMART – ведущим экспертом рынка разработки, внедрения, поддержки ERP и CRM систем, готовили старт новой ERP-системы в компании MTI. В новогоднюю ночь были отключены все старые системы и заменены на единую новую – Microsoft Dynamics NAV. Это был самый сложный кейс диджитализации процессов всех уровней в компании. Именно он позволяет нам не просто выживать во время экономического кризиса, а продолжать развитие и сохранять планируемые темпы роста, развивая отношения с партнерами и поднимая управляемость компанией и ее активами на качественно новый уровень.
Не скрою, нам было сложно – ведь мы были первопроходцами в своем роде. До MTI hi-tech дистрибуции еще никто в Украине не реализовывал настолько масштабный переход многосоставной IT инфраструктуры на единую платформу. Нам удалось реализовать все внешние и внутренние процессы компании в единой системе без отрыва от производства – и это в свою очередь позволило существенно сэкономить как на человеко-часах, так и на ИТ-ресурсах. В единой среде теперь работают модули ценообразования, внутренней и внешней отчетности, КРІ-отчетности, портал клиента, модуль планирования покупок. Что крайне важно в единой системе теперь находится управленческий и бухгалтерский учет. Также был запущен функционал внутреннего согласования и контроля изменений. Все эти важнейшие элементы управления компанией делают бизнес более управляемым и прозрачным как для линейных руководителей, топ-менеджмента, так и для собственников бизнеса, финансовых учреждений, аудиторов.
Очевидно, что рынок дистрибуции за последние несколько лет сильно изменился. Привычная размеренная работа дистрибуторов с ИТ-ритейлерами уходит в прошлое. И победить в конкурентной борьбе смогут лишь те игроки, кому удастся реализовать супер-гибкую схему по работе с клиентами, предоставив им как можно больше автономности и скорости в обработке заказов.
За время карантина розничные клиенты отвыкли от оффлайна, партнеры (участники рынка) массово развивают онлайн-сегмент и прогнозы возможной второй волны локдауна лишь подгоняют большие торговые сети следовать этой тенденции. В то же время рынок уходит от долгосрочного планирования, отдавая предпочтение краткосрочным трендам, малым партиям оборудования и максимально оперативной доставке. А потому нам приходится ускорять работу с заказами везде, где это только возможно.
Инструментарий нашей новой ERP-системы позволяет партнерам МТІ получать наиболее актуальную информацию о состоянии склада и в реальном времени отслеживать изменения цен. За этот счет существенно увеличивается оперативность решений о покупке и продаже оборудования, что, в свою очередь, позволяет компании привлекать новых клиентов даже в такое непростое время.
Сейчас, когда коронавирусный кризис в самом разгаре, мы продолжаем модернизировать процессы внутри компании и учиться по максимуму использовать BigData в бизнесе. А потому все накопленные нами данные впоследствии будут использоваться для принятия управленческих решений и получения максимальной выгоды для компании и наших партнеров.
Отдельно хочется сказать о том, что пугает многих владельцев бизнеса в работе с клиентами и партнерами во время перехода на работу в новой ИТ-системе. Здесь нечего боятся, если вы стоите к ним «лицом». Если вам кажется, что кому-то может быть сложно освоить новый функционал – научите их. Подскажите клиенту, как извлечь из новой системы работы наибольшую выгоду, – и он останется с вами надолго. Мы организовали обучающие вебинары и создали подробные видеоинструкции по работе в новых интерфейсах и с новыми функциями. Мы также построили живой канал обратной связи с нашими партнерами на всех уровнях с тем, чтобы максимально быстро реагировать на рыночные изменения и тенденции.
Автоматизация внутренних процессов – это “win-win” для обеих сторон. Ведь клиент получает от нас больше инструментов для быстрого и самостоятельного управления своими заказами, а компания, соответственно – больше заказов.
Мы в MTI hi-tech дистрибуции продолжаем развитие сервисов, в том числе с участием наших партнеров. Например, в компании сейчас внедряется новый функционал по диджитализации рабочих процессов, который позволит быстрее настраивать и использовать нашу систему передачи данных для планирования маршрутов в TMS (Transport Management System), что увеличит скорость и улучшит качество доставки товаров по заказам наших клиентов. Да, это существенные инвестиции в ПО и модернизацию внутренних процессов. Но это именно то, что не стоит откладывать «на потом» даже в самый разгар кризиса – иначе «потом» уже не наступит.
Степень делового администрирования и управления | Колледж МТИ
Программа MTI Business Administration Degree предоставляет студентам бизнес-тренинг по общим административным навыкам и принципам управления бизнесом. Студенты получат разнообразный набор навыков, которые помогут им начать успешную карьеру в области делового администрирования и управления.
Программа обучения бизнес-администрированию
MTI состоит из двух частей, каждая из которых делится на два года. Первый год посвящен закладке основы общих знаний и навыков работы с компьютером, с курсами, которые делают упор на повышение навыков студентов в области делового администрирования.
Второй год знакомит с конкретными курсами делового администрирования, которые составляют основу степени. Студенты должны успешно выполнить требования первого года, прежде чем пытаться поступить на курсы второго года.
Просмотрите наш курс и отраслевую информацию, чтобы узнать, подходит ли вам программа на получение степени делового администрирования в MTI. Заполните форму запроса информации или тура, чтобы начать сегодня!
О программе обучения бизнес-администрированию
Программа степени делового администрирования направлена на предоставление образования и навыков, необходимых для работы в области общего делового администрирования в малых или средних компаниях.Программа обучает студентов тому, как выполнять различные задачи, связанные с администрированием хозяйствующих субъектов.
Выпускники получат прочную основу в основных концепциях, включая:
Человеческие ресурсы
Управление бизнесом
Маркетинг
Финансы и бухгалтерский учет
Предпринимательство
После успешного завершения программы обучения бизнес-администрированию в MTI College студенты смогут:
Применяйте понимание глобальных и экономических, социальных и экологических тенденций к проблемам и изменениям в текущей деловой среде.
Продемонстрировать понимание этических решений, основанных на знаниях, самосознании и навыках критического мышления.
Применять понимание принципов и лучших практик управления, человеческих ресурсов, финансов и маркетинга для анализа вопросов и проблем и внесения вклада в постоянные усилия по повышению качества.
Применять методы и материалы исследования для выполнения письменных проектов, основанных на концепциях и темах делового администрирования.
Модель поведения, отражающая уверенность, компетентность и профессионализм.
Программа предоставляет студентам инструменты и знания, позволяющие уверенно продолжить работу в области общего делового администрирования.
Следующие даты начала: 17 мая 2021 г. 28 июня 2021 г. 9 августа 2021 г. 20 сентября 2021 г. 1 ноября 2021 г.
Следующие шаги
Связанные документы
Оценка программы делового администрирования на 2016 год
Стоимость программы
Гранты и другие формы помощи в оплате обучения доступны тем, кто соответствует требованиям.Чтобы узнать, на что вы имеете право, обратитесь к консультанту по приему MTI сегодня!
Стоимость обучения
Первый год Обучение и регистрация: 15380 долларов США Книги и принадлежности: 1112 долларов США
Второй год Обучение и регистрация: 14 250 долларов США Книги и принадлежности: 1179 долларов США
Выпускник
Выпускникам доступна помощь в трудоустройстве. Наш прошлый опыт показал, что лица, не имеющие предыдущего опыта работы в сфере управления бизнесом, обычно занимают должности начального уровня в этой области.Люди с опытом с большей вероятностью будут рассматриваться на должности более высокого уровня.
Уровень трудоустройства
Скорректированная ставка трудоустройства в год награды: * Не скорректированная ставка трудоустройства в год премии: *
* Менее 10 студентов закончили эту программу в год награждения. Эта информация была скрыта, чтобы сохранить конфиденциальность студентов.
На основе количества выпускников делового администрирования в 2019-2020 году, которые зарегистрировались для получения услуг по трудоустройству выпускников и получили работу по специальности, а также тех, кто не зарегистрировался и успешно трудоустроился самостоятельно.
* Дальнейшие результаты могут отличаться. Расчеты коэффициента трудоустройства MTI основаны на годе получения награды с 1 июля по 30 июня. Не скорректированный коэффициент представляет собой процент от общего числа выпускников, которые получают работу в своей области обучения или связаны с ней. Скорректированная ставка представляет собой процент выпускников, которые активно ищут работу и получают работу в своей области обучения или связаны с ней. Скорректированная ставка не включает выпускников, которые не ищут работу по таким причинам, как продолжение обучения, сохранение на текущем месте работы, военная служба, проблемы со здоровьем, смерть и т. Д.Для полного объяснения расчетов MTI по трудоустройству, пожалуйста, посетите: Расчет нормы трудоустройства
Вся информация предоставлена в соответствии с Кодексом США 75 FR 66948 §668.6.
Процесс приема
Кандидаты должны сдать вступительные экзамены и принять участие в собеседовании с консультантом по приему в MTI, чтобы их можно было принять в программу Associate in Arts Degree. Программа бизнес-обучения начинается несколько раз в течение года.Актуальные даты регистрации будут сообщены вашим консультантом по приему. Студенты, успешно выполнившие выпускные требования программы, получат степень младшего специалиста в области делового администрирования.
Первая часть процесса подачи заявки может быть завершена онлайн.
18.1 MTI — его значение сейчас и в будущем — принципы управления
E-Hubs Integration Global Commerce
Благодаря чудесам технологического прогресса глобальная электронная торговля выходит далеко за рамки привычной всем нам розничной торговли через Интернет. с.Специальные веб-сайты, известные как торговые центры или eMarketplaces, облегчают электронную торговлю между предприятиями в определенных отраслях, таких как автомобилестроение, розничная торговля, предоставление телекоммуникационных услуг, аэрокосмическая промышленность, финансовые продукты и услуги и многое другое. Практически весь Forex (обмен иностранной валюты) осуществляется через торговые центры, которые обеспечивают открытый рынок для торговли различными валютами. Поскольку существует большое количество сделок с валютами, цену можно обнаружить, а рынок прозрачен.Напротив, биткойн в основном продается в меньших количествах, и часто существуют большие расхождения между ценами на криптовалюту на разных биржах.
Торговый центр функционирует как средство интеграции электронного сотрудничества бизнес-услуг. Каждый центр предоставляет стандартные форматы для электронной торговли документами, используемыми в конкретной отрасли, а также набор услуг для поддержки электронной торговли между предприятиями в этой отрасли. Услуги включают прогнозирование спроса, управление запасами, каталоги партнеров и услуги расчетов по транзакциям.И отдача значительна — снижение затрат, уменьшение запасов и сокращение времени выхода на рынок, что приводит к увеличению прибыли и повышению конкурентоспособности. Например, крупные производственные закупки могут исчисляться миллиардами долларов. Переход на «своевременную закупку» в электронном хабе может сэкономить значительную часть этих затрат.
Электронная торговля в хабе может варьироваться от совместной интеграции отдельных бизнес-процессов до аукционов и товарных обменов (электронный бартер).Управление глобальным контентом является важным фактором в продвижении электронных торговых соглашений на хабе. Глобально согласованное представление о «содержании» хаба должно быть доступно для всех. Каждая участвующая компания обрабатывает свой собственный контент, а такие приложения, как менеджеры контента , ведут постоянно обновляемый главный каталог инвентаризаций всех участников концентратора. Диспетчер транзакций Приложение автоматизирует торговые соглашения между компаниями, позволяя концентратору предоставлять услуги агрегирования и расчетов.
В конечном итоге торговые центры для многих отраслей могут быть связаны в глобальную сеть электронной коммерции — инклюзивный «узел всех узлов» . »Один из творческих мыслителей выразился так:« Традиционная линейная, поэтапная цепочка поставок мертва. Он будет заменен параллельным асинхронным принятием рыночных решений в режиме реального времени. Возьмем, к примеру, производственные мощности. Предприятия могут предлагать свои избыточные производственные мощности на мировом хабе электронной коммерции. Предложения о покупке мощности вызывают запросы от продавца на предложения запчастей поставщикам, которые, в свою очередь, направляют запросы другим поставщикам, и весь этот процесс объединяется в считанные минуты.”
Источники: «Азиатские компании подсчитывают убытки — находят способы справиться со слабым долларом», Reuters , https://www.reuters.com, 24 января 2018 г .; Роб Верджер, «Это то, что определяет цену биткойнов», Popular Science , https://www.popsci.com, 22 января 2018 г .; Бхаван Джайпрагас, «Электронный торговый центр Alibaba для помощи малым и средним предприятиям в Малайзии», This Week in Asia , http://www.scmp.com, 3 ноября 2017 г.
Вопросы критического мышления
Какую выгоду компании получают от участия в электронном торговом центре?
Какое влияние электронная торговля оказывает на мировую экономику?
Электронная почта и телефон Адама Смита
Мы установили стандарт поиска писем
Нам доверяют более 8.5 миллионов пользователей и 95% из S&P 500.
Нам не с чего начать. Обыскивать Интернет круглосуточно — это не поможет. RocketReach дал нам отличное место для старта. Теперь у нашего рабочего процесса есть четкое направление — у нас есть процесс, который начинается с RocketReach и заканчивается огромными списками контактов для нашей команды продаж..it, вероятно, сэкономит Feedtrail около 3 месяцев работы в плане сбора лидов. Мы можем отвлечь наше внимание на поиски клиента прямо сейчас!
Отлично подходит для составления списка потенциальных клиентов. Мне понравилась возможность определять личные электронные письма практически от любого человека в Интернете с помощью RocketReach. Недавно мне поручили проект, который рассматривал обязанности по связям с общественностью, партнерству и разъяснительной работе, и RocketReach не только связал меня с потенциальными людьми, но и позволил мне оптимизировать мой поисковый подход на основе местоположения, набора навыков и ключевого слова.
— Брайан Рэй ,
Менеджер по продажам
@ Google
До RocketReach мы обращались к людям через профессиональные сетевые сайты, такие как Linkedln.Но нам было неприятно ждать, пока люди примут наши запросы на подключение (если они вообще их приняли), а их отправка обходится слишком дорого … это было серьезным ударом скорости в нашем рабочем процессе и источником нескончаемого разочарования. Благодаря огромному количеству контактов, которые мы смогли найти с помощью RocketReach, платформа, вероятно, сэкономила нам почти пять лет ожидания.
Это лучшая и самая эффективная поисковая система по электронной почте, которую я когда-либо использовал, и я пробовал несколько.Как по объему поисков, так и по количеству найденных точных писем, я считаю, что он превосходит другие. Еще мне нравится макет, он приятный на вид, более привлекательный и эффективный. Суть в том, что это был эффективный инструмент в моей работе как некоммерческой организации, обращающейся к руководству.
До RocketReach процесс поиска адресов электронной почты состоял из поиска в Интернете, опроса общих друзей или преследования в LinkedIn.Больше всего меня расстраивало то, как много времени все это занимало. Впервые я использовал RocketReach, когда понял, что принял правильное решение. Поиск писем для контактов превратился в одноразовый процесс, а не на неделю.
Поиск электронных писем для целевого охвата был вручную и занимал очень много времени. Когда я попробовал RocketReach и нашел бизнес-информацию о ключевых людях за считанные секунды с помощью простого и непрерывного процесса, меня зацепило! Инструмент сократил время на установление связи с новыми потенциальными клиентами почти на 90%.
MTI для развития сектора НИОКР Сингапура
Выступая на Международном симпозиуме IBN на прошлой неделе, второй министр торговли и промышленности (MTI) С. Исваран подтвердил, что MTI намерен инвестировать 16,1 млрд долларов в течение 5-летнего периода для поддержки исследований и разработок Сингапура. (R&D) в рамках плана RIE2015 (Исследования, инновации и предпринимательство 2015).
Установленный в 2011 году план RIE2015 направлен на стимулирование инноваций и создание стоимости в городе-государстве.Ориентируясь на НИОКР как на неотъемлемый компонент общей экономической стратегии Сингапура, программа поддерживает долгосрочное видение Сингапура — стать экономикой, ориентированной на инновации.
В своем выступлении г-н Ишваран далее заявил, что менее чем за два десятилетия расходы республики на НИОКР увеличились в десять раз — с 760 миллионов сингапурских долларов в 1991 году до 7,4 миллиардов сингапурских долларов в 2011 году. Это позволяет Сингапуру стать одним из самых исследовательских центров в мире. -интенсивные, инновационные и предпринимательские экономики, такие как Швеция, Финляндия и Дания.
Стратегическое предвидение
Среди наиболее примечательных программ MTI — использование стратегического предвидения для определения жизнеспособных проектов с потенциальными экономическими последствиями в течение 5 или 10 лет. Через небольшую команду, известную как Futures Group (FG), агентство наблюдает за тенденциями на горизонте и сопоставляет их в идеи с долгосрочной жизнеспособностью.
Такие усилия по стратегическому планированию включают, среди прочего, мониторинг ожидаемых событий, оценку проблем с разных точек зрения, прогнозирование потенциальных «будущих» и выработку решений для этих случаев.Поступая таким образом, агентство может претворять идеи в практические концепции, которые влияют на формирование политики.
В контексте НИОКР использование предвидения ставит Сингапур в авангард новых инноваций. Например, способность агентства прогнозировать тенденции в области технологий позволяет Сингапуру разрабатывать решения, опережая конкурентов. В конечном итоге цель состоит в том, чтобы ускорить внедрение инноваций за счет стратегий, основанных на знаниях.
Для сингапурского специалиста по регистрации компаний Риквина способность Сингапура использовать стратегическое предвидение в области инноваций является ключевым преимуществом процветающего сектора исследований и разработок (НИОКР) города-государства.Предвидя возможные результаты и разрабатывая решения на будущее, Сингапур стоит на пороге превращения в азиатскую столицу инноваций.
Комментируя дальше, г-н Сатиш Бахда, руководитель операций в Rikvin, сказал: «По сути, Сингапур является одной из самых конкурентоспособных экономик мира именно благодаря нашей способности к адаптации, чтобы предвидеть тенденции и использовать ресурсы для формулирования долгосрочных решений. Как бы то ни было, в прошлом году мы были признаны INSEAD самой инновационной страной в Азии и третьей в мире второй год подряд.Благодаря нашим сосредоточенным усилиям Сингапур может сохранить свои позиции в качестве одной из самых инновационных и наукоемких стран мира ».
«Кроме того, важно отметить, что постоянный упор Сингапура на инновации согласуется с нынешним стремлением республики к росту, основанному на производительности. Учитывая текущие макроэкономические препятствия, мы должны сосредоточить внимание на таких ценных секторах, как исследования и разработки, которые более защищены от инфляционного давления.На внутреннем уровне развитие сектора НИОКР означает создание рабочих мест, с одной стороны, и возможность для предпринимателей, которые хотят открыть сингапурскую компанию, с другой », — сказал он в заключение.
В команду
Риквина входят штатные и внештатные писатели со всего мира, которые публикуют информативные и актуальные статьи, чтобы помочь начинающим предпринимателям вывести свой бизнес на новый уровень в Азии.
Установите пользовательское содержимое вкладки HTML для автора на странице профиля
MTI Mobile | Решения для сопряжения IP-ядер, решения для радиосвязи и усилители мощности.
Председатель
Д-р Чи Се является председателем и соучредителем Microelectronics Technology Inc. В 1983 году д-р Се присоединился к MTI в качестве вице-президента по продажам, а затем занимал пост президента с 1985 по 1999 год. Обладая более чем 30-летним опытом работы в В области продаж, маркетинга и развития бизнеса в отрасли беспроводной связи доктор Хси успешно установил многие из наиболее важных стратегических партнерских отношений и деловых инициатив с момента основания компании.До MTI д-р Се был директором отдела микроволновых схем в подразделении Farinon компании Harris Corporation, США. Доктор Се получил докторскую степень в области электротехники в Университете Санта-Клары, США,
.
Президент / Генеральный директор
Г-н Аллен Йен был назначен президентом и главным операционным директором в 2005 году, а в августе 2007 года был назначен генеральным директором. Работа г-на Йена в MTI началась в 1990 году в качестве инженера-разработчика РФ. Он также работал вице-президентом по маркетингу и продажам с 1997 по 2004 год.Г-н Йен с тех пор занимал множество выдающихся должностей, в том числе: технический руководитель, участвовавший в разработке различных СВЧ-усилителей мощности, СВЧ-радиоприемников и продуктов спутниковой связи; Технический директор и бизнес-руководитель VSAT, ответственный за руководство группой разработки продуктов, группой поддержки продуктов и развитием бизнеса VSAT; и специальный помощник исполнительного председателя, отвечающий за корпоративное развитие и стратегическое планирование. До прихода в MTI г-н.Йен проработал в Radio Company of America (RCA-Тайваньский филиал) 4 года. Он имеет степень магистра делового администрирования Национального университета Цзяо Дун и степень бакалавра гуманитарных наук. степень в области электротехники в Национальном университете Тайваня.
Вице-президент
Г-н Фуонг присоединился к Microelectronics Technology Inc. в качестве финансового директора в ноябре 2003 года. В настоящее время он является вице-президентом по внешним связям, правовым вопросам, кадрам и общему администрированию. Ранее г-н Фуонг работал главным и старшим корпоративным банкиром в Bank of America.Он имеет более чем 20-летний опыт работы в области финансового менеджмента. До этого г-н Фуонг более 10 лет проработал главным кредитным специалистом в Европе и Азии. Он имеет степень Diplom-Volkswirt (дипломированный экономист) Рейнского университета имени Фридриха Вильгельма, Бонн, Германия.
Главный финансовый директор
Г-жа Хуалинь Чи присоединилась к Microelectronics Technology Inc. в 1994 году и в июне 2010 года была назначена исполняющим обязанности финансового директора. В настоящее время она также является представителем MTI и секретарем правления.До того, как стать финансовым директором, г-жа Чи много лет была корпоративным казначеем MTI. За время работы в MTI г-жа Чи взяла на себя множество сложных задач и проектов, включая управление долгосрочными инвестициями, такими как M&A и проект MTI China Wuxi, сбор средств и налоговое планирование. Г-жа Чи обладает более чем 20-летним опытом управления корпоративными финансами и инвестициями в ценные бумаги, имеет степень магистра делового администрирования Университета Флориды, США, и степень бакалавра делового администрирования Национального университета Чен Чи на Тайване.
Вице-президент и генеральный директор радиоуправления
Г-н Аллен Чен присоединился к MTI в качестве старшего менеджера по продукции в апреле 1998 года, а в июне 2002 года был назначен вице-президентом и генеральным менеджером подразделения радио. Ранее г-н Чен работал в Tellus Group, Telxon Technology Corp. (позже слилась с Symbol Technology и Motorola) и Tandy Electronics в Техасе. Он имеет более чем 20-летний опыт работы в сфере продаж, маркетинга, развития бизнеса и управления производством в телекоммуникационной и компьютерной отраслях.Г-н Чен имеет степень магистра. степень в области промышленной инженерии Техасского университета, США, и степень бакалавра наук. диплом Национального университета Ченг Кунг на Тайване.
Вице-президент СКМ
Г-н У присоединился к MTI в качестве инженера по контролю производства (ПК) в 1994 году. С 1997 по 2006 год г-н Ву играл много разных ролей, в том числе управлял производством производственных линий VSAT, менеджером по продажам, менеджером по закупкам и директором SCM. Благодаря своему бесценному опыту в области оперативного управления г-н.У был назначен вице-президентом департамента СКМ. Он имеет степень магистра. степень в области транспортного машиностроения и управления гражданским строительством Национального университета Цзяо Дун, Тайвань.
Вице-президент по инжинирингу
Г-н Хантер Хуанг присоединился к MTI в 1988 году в качестве инженера-проектировщика RF. Он был назначен вице-президентом по инженерным вопросам в июне 2007 года после того, как много лет эффективно проработал в качестве технического менеджера и директора. Находясь в MTI, г-н Хуанг участвовал в разработке различных продуктов, не ограничиваясь цифровыми радиоприемниками XCVR, продуктами спутниковой связи, WCDMA BTS и считывателями RFID.Г-н Хуан имеет степень бакалавра наук. степень в области электротехники Университета Фэн Цзя на Тайване.
Президент MTI Laboratory, Inc., руководитель отдела исследований и разработок MTI Mobile
Доктор Джордж Линг был президентом MTI Laboratory, Inc. с момента приобретения MTI компании TelASIC Communications в 2009 году. Обладая более чем 33-летним опытом разработки высокотехнологичных коммуникационных продуктов, он специализируется на спутниковой связи и цифровой обработке сигналов. Ранее д-р Линг был вице-президентом по исследованиям и разработкам Global PCS Inc./ MTI Group, ответственная за разработку высокоэффективных усилителей мощности с несколькими несущими для GSM, cdma2000, WCDMA и WiMAX. До MTI он работал в CSIST Taiwan. Доктор Лин имеет степень бакалавра наук в Национальном университете Цзяо-Дун, Тайвань, а также степень магистра и доктора философии в Университете Южной Калифорнии.
Старший В. П. Отношения с клиентами, MTI Laboratory, Inc.
В своей новой роли по работе с клиентами Вильгельм будет напрямую взаимодействовать между командой MTI Mobile R&D и их клиентами.Ранее Вильгельм отвечал за реализацию продукции в наших центрах разработки мобильных продуктов в США, Дании и Тайване. Вильгельм был частью команды MTIL более десяти лет, в том числе работал в TelASIC Communications, Inc. до приобретения MTI в июне 2009 года. Ранее он работал в Opuswave Networks, дочерней компании Siemens, где он был вице-президентом по продуктам. Управление и развитие бизнеса. До работы в Opuswave Вильгельм был вице-президентом по развитию бизнеса в бизнес-подразделении фиксированного беспроводного доступа Siemens, а также работал на Siemens в США и Германии в различных бизнес-подразделениях GSM и беспроводной связи.Вильгельм имеет более чем 20-летний опыт проектирования и управления системами и сыграл важную роль в установлении присутствия Siemens на рынке сетей GSM. Он имеет степень бакалавра в области телекоммуникаций в Университете прикладных наук Гиссена в Германии.
Старший В. П. Технологии, MTI Laboratory, Inc.
Доктор Кием Кай отвечает за разработку передовых технологий в MTI. Доктор Кай специализируется на программно-конфигурируемой радиосвязи и технологиях нелинейной обработки сигналов, которые хорошо применяются в мобильных продуктах MTI.Доктор Кай является архитектором системного решения MTI RRH для WCDMA, LTE, CDMA2000 и WiMAX, а также отвечает за разработку компании Radio Digital Chip (RDC), которая является краеугольным камнем для системы RRH / TRDU на общей платформе MTI. Доктор Кай ранее работал в Raytheon, где он был старшим научным сотрудником, ответственным за многочисленные разработки в области многополосной-многомодовой связи и системы наведения высокоточного оружия Global Positioning System III (GPS III). Он опубликовал более 20 технических статей в профессиональных журналах и имеет более 23 патентов в США, из которых три патента находятся на рассмотрении, которые отражают новейшее открытие в области линеаризации MCPA и универсального программно-определяемого радио.Доктор Кай имеет степень магистра и доктора философии Университета Пердью.
MTI, FocusMaine возглавит дорожную карту стоимостью 2 млн долларов для морской отрасли штата
Морская экономика штата Мэн может получить импульс благодаря новой инициативе отраслевого стратегического планирования, которая только что получила федеральный грант в размере 2 миллионов долларов.
Трехлетний проект, Инициатива по развитию морских живых ресурсов штата Мэн, направлен на то, чтобы лучше согласовать морские продукты штата Мэн с мировыми рынками, привлечь новые инвестиции и укрепить рабочую силу отрасли, говорится в пресс-релизе в четверг.
Это предприятие, координируемое Технологическим институтом штата Мэн и FocusMaine, выиграло грант на оказание помощи в экономической адаптации от Управления экономического развития США.
Билл Мук из Mook Sea Farms в Уолполе и Курт Браун, морской биолог из Ready Seafood в Портленде, будут сопредседателями инициативы. Ожидается, что в нем также примут участие лидеры отрасли коммерческого рыболовства и аквакультуры, а также морские исследователи, ученые и преподаватели.
В морской отрасли штата Мэн в 2016 году было занято почти 16 000 человек, включая рыбаков, связанных с ними прибрежных рабочих и сотрудников предприятий цепочки поставок, таких как переработчики морепродуктов и транспортные компании. Согласно MTI и FocusMaine, среди своих конкретных целей инициатива будет определять потребности в рабочей силе и нехватку навыков, создавать ресурсы для обучения и привлекать новые таланты в сектор.
«MTI хорошо осознает тяжелые экономические и экологические проблемы, с которыми сталкивается морской сектор в штате Мэн — одна из самых важных отраслей нашего штата», — сказал президент MTI Брайан Уитни в сообщении.«Вот почему мы так воодушевлены совместными межотраслевыми усилиями по поддержанию и развитию морской экономики штата Мэн».
Президент
FocusMaine Кимберли Гамильтон заявила: «Это вливание ресурсов происходит в особенно критический момент и укрепит конкурентоспособность штата Мэн, поддержит морских фермеров штата Мэн и укрепит навыки и таланты, необходимые для преобразования нашей традиционной морской экономики в современный двигатель устойчивой экономики и развития. рост рабочих мест ».
В совместном заявлении делегация Конгресса штата Мэн высоко оценила новую инициативу и присуждение гранта.
«Морская экономика штата Мэн — это двигатель, который приводил в действие наш штат в течение нескольких поколений, и мы стремимся поддерживать его постоянный успех», — сказала сенатор Сьюзан Коллинз, Р.-Мэн, и Ангус Кинг, штат Ай-Мэн, и представители США. Челли Пингри из первого округа штата Мэн и Джареда Голдена из второго округа штата Мэн.
«Это финансирование от EDA будет поддерживать ведущиеся в отрасли усилия по стимулированию инноваций и адаптируемости, а также улучшению текущих и будущих потребностей в рабочей силе, которые необходимы сейчас как никогда, чтобы помочь этому жизненно важному сектору противостоять пандемии коронавируса и будущим вызовам.”
О компании MTI | Минетский транспортный институт
Основанный в 1991 году Транспортный институт Минета (MTI), организованное исследовательское и учебное подразделение в партнерстве с Колледжем Лукас и Высшей школой бизнеса при Государственном университете Сан-Хосе (SJSU), повышает мобильность для всех за счет повышения безопасности и эффективности, доступность и удобство транспортной системы нашей страны. Посредством исследований, образования, развития персонала и передачи технологий мы помогаем создавать взаимосвязанный мир.
Миссия
Переехать — значит жить. В Транспортном институте Минета (MTI) Государственного университета Сан-Хосе наша миссия — повысить мобильность для всех за счет повышения безопасности, эффективности, доступности и удобства транспортной системы нашей страны. Посредством исследований, образования, развития персонала и передачи технологий мы помогаем создавать взаимосвязанный мир.
Как работает миссия MTI
В MTI мы эффективно объединяем людей, идеи и результаты.
MTI обеспечивает высочайшее качество поддержки исследователей наземного транспорта, планировщиков, менеджеров, преподавателей и выборных должностных лиц, и все это проходит через призму нашего городского академического дома в самом сердце Кремниевой долины, Государственного университета Сан-Хосе.
Углубленное исследование
MTI, выполненное в соответствии с высочайшими академическими стандартами, расширяет объем знаний в области транспортных инноваций, предлагает немедленную и практическую ценность для транспортных чиновников и специалистов-практиков, а также предоставляет решения в области наземного транспорта, которые заставляют сообщества двигаться.
Высоко оцененная и полностью аккредитованная программа магистра наук в области управления транспортом
MTI обеспечивает получение практического опыта, в котором подчеркиваются ценности разнообразия и устойчивости. Планирование и практика объединяются в обучении менеджеров мобильности будущего.
Планирование будущего транспорта улучшается за счет воспитания следующего поколения транспортных специалистов и квалифицированных рабочих. Программы развития рабочей силы, ориентированные на STEM, побуждают молодых людей выбирать образовательные пути, которые готовят их к карьере в сфере транспорта, за счет непосредственного участия в реальных проблемах и решениях.
MTI занимается передачей технологий, используя разнообразные методы распространения и средства массовой информации, чтобы результаты исследований доходили до лиц, ответственных за управление изменениями.
Видение
Связанный мир, где доступ к справедливому, доступному и экологически безопасному наземному транспорту обеспечивается благодаря исследованиям, планированию и производству высочайшего качества. Транспортный институт Минета и многие партнеры, разделяющие наше видение, будут добросовестно выполнять эту работу и уважать разнообразие, устойчивость и равенство в достижении мобильности для всех.
Наши основные ценности
Наши ценности отражают то, кем мы являемся как люди, преподаватели, исследователи, деловые партнеры и лидеры в области транспорта.
Таблица косинусов | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU
Значения косинуса графически могут быть отображены в виде тригонометрической окружности, на которой угол α образует с осью прямоугольный треугольник. Из этого треугольника, спроецировав точку пересечения угла α с окружностью на ось синуса или косинуса, можно получить его приближенное значение.
Также тригонометрическая окружность показывает знак синуса и косинуса для каждого раскрытия угла α. Поскольку угол начинает раскрываться с правой стороны по оси косинусов, то значения косинуса угла α от 0° до 90° — положительны, так находятся правее нулевой точки отсчета. Угол α от 90° до 270° дает отрицательные значения косинусу, так как точка пересечения его с окружностью расположена левее оси синуса, то есть нуля. Косинус углов от 270° до 360° вновь становится положительным. Точные значения косинусов всех углов от 0° до 360° можно узнать из таблицы косинусов, приведенной ниже.
Найти косинус угла cos(α), зная угол
Угол α
Таблица косинусов от 0° до 180°
Cos(1°)
0.9998
Cos(2°)
0.9994
Cos(3°)
0.9986
Cos(4°)
0.9976
Cos(5°)
0.9962
Cos(6°)
0.9945
Cos(7°)
0.9925
Cos(8°)
0.9903
Cos(9°)
0.9877
Cos(10°)
0.9848
Cos(11°)
0.9816
Cos(12°)
0.9781
Cos(13°)
0.9744
Cos(14°)
0. 9703
Cos(15°)
0.9659
Cos(16°)
0.9613
Cos(17°)
0.9563
Cos(18°)
0.9511
Cos(19°)
0.9455
Cos(20°)
0.9397
Cos(21°)
0.9336
Cos(22°)
0.9272
Cos(23°)
0.9205
Cos(24°)
0.9135
Cos(25°)
0.9063
Cos(26°)
0.8988
Cos(27°)
0.891
Cos(28°)
0.8829
Cos(29°)
0.8746
Cos(30°)
0.866
Cos(31°)
0.8572
Cos(32°)
0.848
Cos(33°)
0.8387
Cos(34°)
0.829
Cos(35°)
0.8192
Cos(36°)
0.809
Cos(37°)
0.7986
Cos(38°)
0. 788
Cos(39°)
0.7771
Cos(40°)
0.766
Cos(41°)
0.7547
Cos(42°)
0.7431
Cos(43°)
0.7314
Cos(44°)
0.7193
Cos(45°)
0.7071
Cos(46°)
0.6947
Cos(47°)
0.682
Cos(48°)
0.6691
Cos(49°)
0.6561
Cos(50°)
0.6428
Cos(51°)
0.6293
Cos(52°)
0.6157
Cos(53°)
0.6018
Cos(54°)
0.5878
Cos(55°)
0.5736
Cos(56°)
0.5592
Cos(57°)
0.5446
Cos(58°)
0.5299
Cos(59°)
0.515
Cos(60°)
0.5
Cos(61°)
0.4848
Cos(62°)
0.4695
Cos(63°)
0. 454
Cos(64°)
0.4384
Cos(65°)
0.4226
Cos(66°)
0.4067
Cos(67°)
0.3907
Cos(68°)
0.3746
Cos(69°)
0.3584
Cos(70°)
0.342
Cos(71°)
0.3256
Cos(72°)
0.309
Cos(73°)
0.2924
Cos(74°)
0.2756
Cos(75°)
0.2588
Cos(76°)
0.2419
Cos(77°)
0.225
Cos(78°)
0.2079
Cos(79°)
0.1908
Cos(80°)
0.1736
Cos(81°)
0.1564
Cos(82°)
0.1392
Cos(83°)
0.1219
Cos(84°)
0.1045
Cos(85°)
0.0872
Cos(86°)
0.0698
Cos(87°)
0. 0523
Cos(88°)
0.0349
Cos(89°)
0.0175
Cos(90°)
0
Cos(91°)
-0.0175
Cos(92°)
-0.0349
Cos(93°)
-0.0523
Cos(94°)
-0.0698
Cos(95°)
-0.0872
Cos(96°)
-0.1045
Cos(97°)
-0.1219
Cos(98°)
-0.1392
Cos(99°)
-0.1564
Cos(100°)
-0.1736
Cos(101°)
-0.1908
Cos(102°)
-0.2079
Cos(103°)
-0.225
Cos(104°)
-0.2419
Cos(105°)
-0.2588
Cos(106°)
-0.2756
Cos(107°)
-0.2924
Cos(108°)
-0.309
Cos(109°)
-0.3256
Cos(110°)
-0. 342
Cos(111°)
-0.3584
Cos(112°)
-0.3746
Cos(113°)
-0.3907
Cos(114°)
-0.4067
Cos(115°)
-0.4226
Cos(116°)
-0.4384
Cos(117°)
-0.454
Cos(118°)
-0.4695
Cos(119°)
-0.4848
Cos(120°)
-0.5
Cos(121°)
-0.515
Cos(122°)
-0.5299
Cos(123°)
-0.5446
Cos(124°)
-0.5592
Cos(125°)
-0.5736
Cos(126°)
-0.5878
Cos(127°)
-0.6018
Cos(128°)
-0.6157
Cos(129°)
-0.6293
Cos(130°)
-0.6428
Cos(131°)
-0.6561
Cos(132°)
-0.6691
Cos(133°)
-0.682
Cos(134°)
-0. 6947
Cos(135°)
-0.7071
Cos(136°)
-0.7193
Cos(137°)
-0.7314
Cos(138°)
-0.7431
Cos(139°)
-0.7547
Cos(140°)
-0.766
Cos(141°)
-0.7771
Cos(142°)
-0.788
Cos(143°)
-0.7986
Cos(144°)
-0.809
Cos(145°)
-0.8192
Cos(146°)
-0.829
Cos(147°)
-0.8387
Cos(148°)
-0.848
Cos(149°)
-0.8572
Cos(150°)
-0.866
Cos(151°)
-0.8746
Cos(152°)
-0.8829
Cos(153°)
-0.891
Cos(154°)
-0.8988
Cos(155°)
-0.9063
Cos(156°)
-0.9135
Cos(157°)
-0. 9205
Cos(158°)
-0.9272
Cos(159°)
-0.9336
Cos(160°)
-0.9397
Cos(161°)
-0.9455
Cos(162°)
-0.9511
Cos(163°)
-0.9563
Cos(164°)
-0.9613
Cos(165°)
-0.9659
Cos(166°)
-0.9703
Cos(167°)
-0.9744
Cos(168°)
-0.9781
Cos(169°)
-0.9816
Cos(170°)
-0.9848
Cos(171°)
-0.9877
Cos(172°)
-0.9903
Cos(173°)
-0.9925
Cos(174°)
-0.9945
Cos(175°)
-0.9962
Cos(176°)
-0.9976
Cos(177°)
-0.9986
Cos(178°)
-0.9994
Cos(179°)
-0.9998
Cos(180°)
-1
Таблица косинусов от 181° до 360°
Cos(181°)
-0. 9998
Cos(182°)
-0.9994
Cos(183°)
-0.9986
Cos(184°)
-0.9976
Cos(185°)
-0.9962
Cos(186°)
-0.9945
Cos(187°)
-0.9925
Cos(188°)
-0.9903
Cos(189°)
-0.9877
Cos(190°)
-0.9848
Cos(191°)
-0.9816
Cos(192°)
-0.9781
Cos(193°)
-0.9744
Cos(194°)
-0.9703
Cos(195°)
-0.9659
Cos(196°)
-0.9613
Cos(197°)
-0.9563
Cos(198°)
-0.9511
Cos(199°)
-0.9455
Cos(200°)
-0.9397
Cos(201°)
-0.9336
Cos(202°)
-0.9272
Cos(203°)
-0.9205
Cos(204°)
-0.9135
Cos(205°)
-0. 9063
Cos(206°)
-0.8988
Cos(207°)
-0.891
Cos(208°)
-0.8829
Cos(209°)
-0.8746
Cos(210°)
-0.866
Cos(211°)
-0.8572
Cos(212°)
-0.848
Cos(213°)
-0.8387
Cos(214°)
-0.829
Cos(215°)
-0.8192
Cos(216°)
-0.809
Cos(217°)
-0.7986
Cos(218°)
-0.788
Cos(219°)
-0.7771
Cos(220°)
-0.766
Cos(221°)
-0.7547
Cos(222°)
-0.7431
Cos(223°)
-0.7314
Cos(224°)
-0.7193
Cos(225°)
-0.7071
Cos(226°)
-0.6947
Cos(227°)
-0.682
Cos(228°)
-0. 6691
Cos(229°)
-0.6561
Cos(230°)
-0.6428
Cos(231°)
-0.6293
Cos(232°)
-0.6157
Cos(233°)
-0.6018
Cos(234°)
-0.5878
Cos(235°)
-0.5736
Cos(236°)
-0.5592
Cos(237°)
-0.5446
Cos(238°)
-0.5299
Cos(239°)
-0.515
Cos(240°)
-0.5
Cos(241°)
-0.4848
Cos(242°)
-0.4695
Cos(243°)
-0.454
Cos(244°)
-0.4384
Cos(245°)
-0.4226
Cos(246°)
-0.4067
Cos(247°)
-0.3907
Cos(248°)
-0.3746
Cos(249°)
-0.3584
Cos(250°)
-0.342
Cos(251°)
-0.3256
Cos(252°)
-0. 309
Cos(253°)
-0.2924
Cos(254°)
-0.2756
Cos(255°)
-0.2588
Cos(256°)
-0.2419
Cos(257°)
-0.225
Cos(258°)
-0.2079
Cos(259°)
-0.1908
Cos(260°)
-0.1736
Cos(261°)
-0.1564
Cos(262°)
-0.1392
Cos(263°)
-0.1219
Cos(264°)
-0.1045
Cos(265°)
-0.0872
Cos(266°)
-0.0698
Cos(267°)
-0.0523
Cos(268°)
-0.0349
Cos(269°)
-0.0175
Cos(270°)
-0
Cos(271°)
0.0175
Cos(272°)
0.0349
Cos(273°)
0.0523
Cos(274°)
0.0698
Cos(275°)
0. 0872
Cos(276°)
0.1045
Cos(277°)
0.1219
Cos(278°)
0.1392
Cos(279°)
0.1564
Cos(280°)
0.1736
Cos(281°)
0.1908
Cos(282°)
0.2079
Cos(283°)
0.225
Cos(284°)
0.2419
Cos(285°)
0.2588
Cos(286°)
0.2756
Cos(287°)
0.2924
Cos(288°)
0.309
Cos(289°)
0.3256
Cos(290°)
0.342
Cos(291°)
0.3584
Cos(292°)
0.3746
Cos(293°)
0.3907
Cos(294°)
0.4067
Cos(295°)
0.4226
Cos(296°)
0.4384
Cos(297°)
0.454
Cos(298°)
0. 4695
Cos(299°)
0.4848
Cos(300°)
0.5
Cos(301°)
0.515
Cos(302°)
0.5299
Cos(303°)
0.5446
Cos(304°)
0.5592
Cos(305°)
0.5736
Cos(306°)
0.5878
Cos(307°)
0.6018
Cos(308°)
0.6157
Cos(309°)
0.6293
Cos(310°)
0.6428
Cos(311°)
0.6561
Cos(312°)
0.6691
Cos(313°)
0.682
Cos(314°)
0.6947
Cos(315°)
0.7071
Cos(316°)
0.7193
Cos(317°)
0.7314
Cos(318°)
0.7431
Cos(319°)
0.7547
Cos(320°)
0.766
Cos(321°)
0.7771
Cos(322°)
0. 788
Cos(323°)
0.7986
Cos(324°)
0.809
Cos(325°)
0.8192
Cos(326°)
0.829
Cos(327°)
0.8387
Cos(328°)
0.848
Cos(329°)
0.8572
Cos(330°)
0.866
Cos(331°)
0.8746
Cos(332°)
0.8829
Cos(333°)
0.891
Cos(334°)
0.8988
Cos(335°)
0.9063
Cos(336°)
0.9135
Cos(337°)
0.9205
Cos(338°)
0.9272
Cos(339°)
0.9336
Cos(340°)
0.9397
Cos(341°)
0.9455
Cos(342°)
0.9511
Cos(343°)
0.9563
Cos(344°)
0.9613
Cos(345°)
0. 9659
Cos(346°)
0.9703
Cos(347°)
0.9744
Cos(348°)
0.9781
Cos(349°)
0.9816
Cos(350°)
0.9848
Cos(351°)
0.9877
Cos(352°)
0.9903
Cos(353°)
0.9925
Cos(354°)
0.9945
Cos(355°)
0.9962
Cos(356°)
0.9976
Cos(357°)
0.9986
Cos(358°)
0.9994
Cos(359°)
0.9998
Cos(360°)
1
Таблица косинусов, найти значения угла косинусов
Все калькуляторы
/
Учеба и наука
/ org/ListItem»>Математика / Таблица косинусов, найти значения угла косинусов
Косинус угла представляет собой одну из тригонометрических функций. Является соотношением ближнего к углу прямоугольного треугольника катета к гипотенузе. Записывается следующим образом: cos (А) = АС/АВ, где АС – ближний катет угла (А), АВ – гипотенуза.
Зачем необходимо производить такие сложные на первый взгляд вычисления? Еще с древних времен известна аксиома: знаю угол – знаю его тригонометрическую функцию. Соответственно, если известен cos любого угла, в таблице Брадиса можно найти этот угол. И наоборот – зная угол, не сложно вычислить косинус. Отсюда можно найти следующие данные: длина катетов и гипотенузы.
Эти данные используются не только в голых математических вычислениях. Невозможно составить даже элементарный план местности, не зная тригонометрических функций. Посредством онлайн калькулятора можно облегчить задачу и получать требуемые данные за доли секунды.
Таблица косинусов — это записанные в таблицу посчитанные значения косинусов углов от 0° до 360°. Используя таблицу косинусов Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение косинуса от нужного Вам угла, достаточно найти его в таблице или вычислить с помощью калькулятора.
Как упоминалось ранее, мы обычно используем букву a для обозначения стороны, противоположной углу A, букву b для обозначения стороны, противоположной углу B, и букву c для обозначения стороны. противоположный угол C. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а угол C равен 90°, то углы A и B в сумме дают 90°, то есть являются дополнительными углами. Поэтому косинус B равно синусу A. Мы видели на прошлой странице, что sin A — это сторона, противоположная гипотенузе, то есть a/c. Следовательно, cos B равно a/c. Другими словами, косинус угла прямоугольного треугольника равен прилежащему катету, деленному на гипотенузу:
Кроме того, cos A = sin B = b/c.
Тождество Пифагора для синусов и косинусов
Вспомним теорему Пифагора для прямоугольных треугольников. Он говорит, что
a 2 + b 2 = c 2
где c — гипотенуза. Это очень легко переводится в пифагорейское тождество синусов и косинусов. Разделите обе части на c 2 и вы получите
а 2 / в 2 + b 2 / c 2 = 1.
Но A 2 / C 2 = (SIN A ) 2 и B 2 / C 2 = (COS A ) 2 . Чтобы уменьшить количество круглых скобок, которые необходимо написать, принято соглашение, что обозначение sin 2 A является аббревиатурой для (sin A ) 2 , и аналогично для степеней другого триггера. функции. Таким образом, мы доказали, что
sin 2 A + cos 2 A = 1
когда А острый угол. Мы еще не видели, какими должны быть синусы и косинусы других углов, но когда мы это увидим, мы получим для любого угла θ одно из важнейших тригонометрических тождеств, тождество Пифагора для синусов и косинусов:
Синусы и косинусы для особых общих углов
Мы можем легко вычислить синусы и косинусы для некоторых общих углов. Рассмотрим сначала 45°
угол. Он находится в равнобедренном прямоугольном треугольнике, то есть 45°-45°-9треугольник 0°. В
любой прямоугольный треугольник c 2 = a 2 + b 2 , но в этом
один a = b, so c 2 = 2 a 2 . Следовательно c = a √2. Следовательно, и синус, и косинус
45° равно 1/√2, что также может быть записано как √2 / 2.
Далее рассмотрим углы 30° и 60°. В диапазоне 30°-60°-90° прямоугольный треугольник, отношения
сторон равны 1 : √3 : 2. Отсюда следует, что
sin 30° = cos 60° = 1/2 и
sin 60° = cos 30° = √3 / 2.
Эти данные заносятся в эту таблицу.
Angle
Degrees
Radians
cosine
sine
90°
π /2
0
1
60°
π /3
1/2
√3 / 2
45°
π /4
√2 / 2
√2 / 2
30°
π /6
√3 / 2
1/2
0°
0
1
0
Exercises
These exercises all относятся к прямоугольным треугольникам со стандартной маркировкой.
30. b = 2,25 метра и cos A = 0,15. Найдите a и c.
33. b = 12 футов и cos B = 1/3. Найдите c и a.
35. б = 6,4, в = 7,8. Найдите А и А.
36. A = 23° 15′, c = 12,15. Найти а и б.
Советы
30. Косинус числа A связывает b с гипотенузой c, , так что вы можете сначала вычислить c. Зная b и c, , вы можете найти a по теореме Пифагора.
33. Вы знаете b и cos B. К сожалению, cos B — это отношение двух неизвестных вам сторон, а именно а/к. Тем не менее, это дает вам уравнение для работы: 1/3 = a/c. Тогда c = 3 a. Из теоремы Пифагора следует, что а 2 + 144 = 9 а 2 . Вы можете решить это последнее уравнение для a , а затем найти c.
35. b и c дают A по косинусам и a по теореме Пифагора.
36. A и c дают a по синусам и b по косинусам.
Ответы
30. c = b /cos A = 2,25/0,15 =
15 метров; a = 14,83 метра.
33. 8 a 2 = 144, поэтому a 2 = 18. Следовательно, a равно 4,24 дюйма, или 4’3′. c = 3 и , что составляет 12,73 фута или 12 футов 9 дюймов.
35. cos A = b/c = 6,4/7,8 = 0,82. Следовательно, A = 34,86° = 34°52′, или около 35°. a 2 = 7,8 2 – 6,4 2 = 19,9, поэтому a равно примерно 4,5.
36. a = c sin A = 12,15 sin 23°15′ = 4,796. b = c cos A = 12,15 cos 23°15′ = 11,17.
математика — Как преобразовать радианы в градусы с помощью Python?
Python конвертирует радианы в градусы или градусы в радианы:
Что такое радианы и какую проблему они решают?:
Радианы и градусы — это две отдельные единицы измерения, которые помогают людям выражать и сообщать о точных изменениях направления. В Википедии есть отличная интуиция с их инфографикой о том, как один радиан определяется по отношению к градусам:
https://en.wikipedia.org/wiki/Radian
Примеры Python с использованием библиотек, вычисляющих градусы в радианах:
>>> import math
>>> math.степени(0) #0 радиан == 0 градусов
0,0
>>> math.степени(math.pi/2) #pi/2 радиана составляет 90 градусов
90,0
>>> math.степени(math.pi) #пи радиан равно 180 градусам
180,0
>>> math.степени(math.pi+(math.pi/2)) #pi+pi/2 радиан равно 270 градусов
270,0
>>> math.степени(math.pi+math.pi) #2*пи радиан это 360 градусов
360,0
Примеры Python с использованием библиотек, вычисляющих радианы из градусов:
Вы можете преобразовать градусы в радианы без библиотек Python:
Если вы используете собственный преобразователь градусов в радианы, вам придется написать собственный код для обработки пограничных случаев.
Ошибки здесь легко допустить, и они причинят вред точно так же, как это навредило разработчикам марсианского орбитального аппарата 1999 года, которые потратили 125 миллионов долларов на то, чтобы врезаться в Марс, из-за неинтуитивного пограничного случая.
>>> 0 * 180.0 / math.pi #0 радиан равно 0 градусов
0,0
>>> (math. pi/2) * 180.0 / math.pi #pi/2 радиана составляет 90 градусов
90,0
>>> (math.pi) * 180.0 / math.pi #pi в радианах равно 180 градусам
180,0
>>> (math.pi+(math.pi/2)) * 180.0 / math.pi #pi+(pi/2) радиан составляет 270 градусов
270,0
>>> (2 * math.pi) * 180.0 / math.pi #2*pi в радианах равно 360 градусам
360,0
Выражение нескольких оборотов в градусах и радианах
Допустимые значения радиана для одного вращения находятся в диапазоне от 0 до 2*pi. Значения одного градуса вращения находятся в диапазоне от 0 до 360. Однако, если вы хотите выразить несколько вращений, допустимые значения радиана и градуса находятся в диапазоне от 0 до бесконечности.
>>> импорт математики
>>> math.radians(360) #один полный оборот
6.283185307179586
>>> math.radians(360+360) #два оборота
12,566370614359172
>>> math.степени(12.566370614359172) #math.степени и математические.радианы сохраняют
720.0 #количество оборотов
Свертывание нескольких поворотов:
Вы можете свернуть несколько поворотов в градусах/радианах в один поворот, изменив значение одного поворота. Для градусов вы модифицируете на 360, для радианов — на 2*pi.
>>> импорт математики
>>> math.radians(720+90) #2 полных оборота плюс 90 равно 14,14 радиана
14.137166941154069
>>> math.radians((720+90)%360) #14.1 radians приводит вас к
1.5707963267948966 #конечная точка равна 1,57 радианам.
>>> math.степени((2*math.pi)+(math.pi/2)) #один оборот плюс четверть
450.0 #rotation составляет 450 градусов.
>>> math.степени(((2*math.pi)+(math.pi/2))%(2*math.pi)) #один оборот плюс четверть
90.0 #rotation приводит вас к 90.
Базовое обучение по радианам и градусам
5-минутный курс повышения квалификации по тригонометрии и выражению вращения для преобразования радианов в градусы и обратно: https://youtu. be/ovLbCvq7FNA?t=31
Курс повышения квалификации по тригонометрии в Академии Хана, единичный круг, угловая математика для использования sin, cos, tan для описания вращения и изменений во вращении. https://www.khanacademy.org/math/алгебра2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1
Как найти угол с косинусом
Как найти угол с косинусом — ACT Math
—>
Войти
Биографии репетитора
Подготовка к тесту
СРЕДНЯЯ ШКОЛА
Репетиторство ACT
SAT Репетиторство
Репетиторство PSAT
ASPIRE Репетиторство
ШСАТ Репетиторство
Репетиторство STAAR
ВЫСШАЯ ШКОЛА
Репетиторство MCAT
Репетиторство GRE
Репетиторство по LSAT
Репетиторство по GMAT
К-8
Репетиторство AIMS
Репетиторство по HSPT
Репетиторство ISEE
Репетиторство по ISAT
Репетиторство по SSAT
Репетиторство STAAR
Поиск 50+ тестов
Академическое обучение
репетиторство по математике
Алгебра
Исчисление
Элементарная математика
Геометрия
Предварительное исчисление
Статистика
Тригонометрия
репетиторство по естественным наукам
Анатомия
Биология
Химия
Физика
Физиология
иностранные языки
французский
немецкий
Латинский
Китайский мандарин
Испанский
начальное обучение
Чтение
Акустика
Элементарная математика
прочее
Бухгалтерия
Информатика
Экономика
Английский
Финансы
История
Письмо
Лето
Поиск по 350+ темам
О
Обзор видео
Процесс выбора наставника
Онлайн-репетиторство
Мобильное обучение
Мгновенное обучение
Как мы работаем
Наша гарантия
Влияние репетиторства
Обзоры и отзывы
Освещение в СМИ
О преподавателях университета
Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:
(888) 888-0446
Все математические ресурсы ACT
14 диагностических тестов
767 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Учитесь по концепции
Справка по математике ACT »
Тригонометрия »
косинус »
Как найти угол с косинусом
В приведенном выше треугольнике и . Находить .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Для прямоугольных треугольников мы можем использовать SOH CAH TOA для нахождения неизвестных длин сторон и углов. Для этой задачи нам даны смежная сторона и гипотенуза треугольника по отношению к углу. Имея эту информацию, мы можем использовать функцию косинуса, чтобы найти угол.
Сообщить об ошибке
Для приведенного выше треугольника и . Находить .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Для прямоугольных треугольников мы можем использовать SOH CAH TOA для нахождения неизвестных длин сторон и углов. Для этой задачи нам даны смежная сторона и гипотенуза треугольника по отношению к углу. Имея эту информацию, мы можем использовать функцию косинуса, чтобы найти угол.
Сообщить об ошибке
Для приведенного выше треугольника и . Находить .
Возможные ответы:
Этот треугольник не может существовать.
Правильный ответ:
Этот треугольник не может существовать.
Объяснение:
Для прямоугольных треугольников мы можем использовать SOH CAH TOA для нахождения неизвестных длин сторон и углов. Для этой задачи нам даны смежная сторона и гипотенуза треугольника по отношению к углу. Однако, если мы подставим данные значения в формулу косинуса, мы получим:
Эта задача не имеет решения. Стороны прямоугольного треугольника должны быть короче гипотенузы. Треугольник со стороной больше гипотенузы не может существовать. Точно так же областью определения функции arccos является . В 1.3 не определяется.
Сообщить об ошибке
Веревка брошена со здания на землю и привязана на расстоянии от основания здания. Чему равен угол между веревкой и землей? Округлить до сотых долей градуса .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Вы можете нарисовать свой сценарий, используя следующий прямоугольный треугольник:
Напомним, что косинус угла равен отношению прилежащей стороны к гипотенузе треугольника. Вы можете найти угол, используя функцию арккосинуса:
или градусы.
Сообщить об ошибке
Каково значение в прямоугольном треугольнике выше? Округлите до сотых долей градуса.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Напомним, что косинус угла равен отношению прилежащей стороны к гипотенузе треугольника. Вы можете найти угол, используя функцию арккосинуса:
или .
Сообщить об ошибке
Опорная балка (контрфорс) прилегает к строящемуся зданию. Если луч имеет длину в футы и падает на здание в точке на высоте фута от стены, под каким углом луч падает на здание? Округлить до ближайшего градуса.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Наш ответ заключается в обратных функциях. Если контрфорс имеет длину в футах и находится в футах над лестницей под нужным углом, то:
Таким образом, используя обратные функции, мы можем сказать, что
Таким образом, наш контрфорс касается здания примерно под углом.
Сообщить об ошибке
Каменный монумент служит туристической достопримечательностью. Турист хочет поймать солнце под правильным углом, чтобы «сидеть» на вершине столба. Турист ложится на землю в метрах от памятника, наводит камеру на вершину памятника, и на дисплее камеры появляется надпись «РАССТОЯНИЕ — МЕТРОВ». Под каким углом с точностью до градуса находится солнце по отношению к горизонту?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Наш ответ заключается в обратных функциях. Если памятник находится в метрах и камера находится в метрах от вершины памятника под нужным углом, то:
Таким образом, используя обратные функции, мы можем сказать, что
Таким образом, наш контрфорс касается здания примерно под углом.
Сообщить об ошибке
Уведомление об авторских правах
Просмотр репетиторов математики ACT
Ping Сертифицированный репетитор
Техасский университет в Далласе, бакалавр компьютерных наук. Университет Северного Техаса, магистр искусств, образование.
View ACT Math Tutors
Tom Сертифицированный преподаватель
Университет Висконсин-Мэдисон, бакалавр наук, атмосферных наук и метеорологии. Embry-Riddle Aeronautical Univers…
View ACT Math Tutors
Nnang Сертифицированный преподаватель
Колумбийский университет в городе Нью-Йорк, бакалавр экономических наук.
Все математические ресурсы ACT
14 диагностических тестов
767 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Учись по концепции
Cos 1, градусы — Найти значение Cos 1, градусы
LearnPracticeDownload
Значение , cos 1, градус равно 0,9998476. . . . Cos 1 градус в радианах записывается как cos (1° × π/180°), т. е. cos (0,017453…). В этой статье мы обсудим методы нахождения значения cos 1 градусов на примерах.
Кос 1°: 0,9998476. . .
Cos (-1 градус): 0,9998476. . .
Cos 1° в радианах: cos (0,0174532 . . .)
Каково значение Cos 1 градусов?
Значение cos 1 градуса в десятичной системе равно 0,999847695. . .. Cos 1 градус также может быть выражен с использованием эквивалента данного угла (1 градус) в радианах (0,01745 . . .)
Мы знаем, используя преобразование градусов в радианы, θ в радианах = θ в градусах × (пи/ 180°) ⇒ 1 градус = 1° × (π/180°) рад = 0,0174. . . ∴ cos 1 ° = cos (0,0174) = 0,9998476. . .
Пояснение:
Для cos 1 градусов угол 1° лежит между 0° и 90° (первый квадрант). Поскольку функция косинуса положительна в первом квадранте, значение cos 1° = 0,9998476. . . Поскольку функция косинуса является периодической функцией, мы можем представить cos 1° как cos 1 градусов = cos(1° + n × 360°), n ∈ Z. ⇒ cos 1° = cos 361° = cos 721° и так далее. Примечание: Поскольку косинус — четная функция, значение cos(-1°) = cos(1°).
Методы определения значения косинуса 1 в градусах
Функция косинуса положительна в 1-м квадранте. Значение cos 1° равно 0,99984. . .. Мы можем найти значение cos 1 градусов по:
Используя единичный круг
Использование тригонометрических функций
Cos 1, градусы с использованием единичной окружности
Чтобы найти значение cos 1, используя единичную окружность:
Поверните ‘r’ против часовой стрелки, чтобы образовать угол 1° с положительной осью x.
Косвенный коэффициент 1 градуса равен координате x (0,9998) точки пересечения (0,9998, 0,0175) единичной окружности и r.
Следовательно, значение cos 1° = x = 0,9998 (приблизительно)
Cos 1° в терминах тригонометрических функций
Используя формулы тригонометрии, мы можем представить cos 1 градусов как:
± √(1-sin² (1°))
± 1/√(1 + tan²(1°))
± раскладушка 1°/√(1 + раскладушка²(1°))
±√(косек²(1°) — 1)/косек 1°
1/сек 1°
Примечание. Поскольку 1° лежит в 1-м квадранте, окончательное значение cos 1° будет положительным.
Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления cos 1° как
-cos(180° — 1°) = -cos 179°
-cos(180° + 1°) = -cos 181°
sin(90° + 1°) = sin 91°
sin(90° — 1°) = sin 89°
☛ Также проверьте:
cos 300 градусов
потому что 10 градусов
кос 45 градусов
кос 70 градусов
кос 22 градуса
кос 29 градусов
Примеры использования Cos 1 градусов
Пример 1. Найдите значение 2 cos(1°)/3 sin(89°).
Решение:
Используя тригонометрические тождества, мы знаем, что cos(1°) = sin(90° — 1°) = sin 89°. ⇒ cos(1°) = sin(89°) ⇒ Значение 2 cos(1°)/3 sin(89°) = 2/3
Пример 2. Найдите значение cos 1°, если sec 1° равно 1,0001.
Решение:
Так как cos 1° = 1/сек 1° ⇒ cos 1° = 1/1,0001 = 0,9998
Пример 3: Найдите значение (cos² 0,5° — sin² 0,5°). [Подсказка: используйте cos 1° = 0,9998]
Решение:
Используя формулу cos 2a, (cos² 0,5° — sin² 0,5°) = cos(2 × 0,5°) = cos 1° ∵ cos 1° = 0,9998 ⇒ (cos² 0,5° — sin² 0,5°) = 0,9998
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Готовы увидеть мир глазами математика?
Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.
Забронируйте бесплатный пробный урок
Часто задаваемые вопросы о Cos 1 Degrees
Что такое Cos 1 Degrees?
Cos 1 градус — значение тригонометрической функции косинуса для угла, равного 1 градусу. Значение cos 1° равно 0,9998 (приблизительно)
Как найти Cos 1° с точки зрения других тригонометрических функций?
Используя формулу тригонометрии, значение cos 1° может быть выражено через другие тригонометрические функции следующим образом:
± √(1-sin²(1°))
± 1/√(1 + tan²(1°))
± раскладушка 1°/√(1 + раскладушка²(1°))
± √(косек²(1°) — 1)/косек 1°
1/сек 1°
☛ Также проверьте: таблицу тригонометрии
Как найти значение Cos 1 градусов?
Значение cos 1 градуса можно рассчитать, построив угол 1° с осью x и затем найдя координаты соответствующей точки (0,9998, 0,0175) на единичной окружности. Значение cos 1° равно координате x (0,9998). ∴ cos 1° = 0,9998.
Каково точное значение cos 1 в градусах?
Точное значение для cos 1 градуса может быть задано с точностью до 8 знаков после запятой как 0,99984769.
Каково значение Cos 1 в градусах относительно Tan 1°?
Мы знаем, что, используя тригонометрические тождества, мы можем записать cos 1° как 1/√(1 + tan²(1°)). Здесь значение тангенса 1° равно 0,017455.
Скачать БЕСПЛАТНО учебные материалы
Тригонометрия
Рабочие листы по математике и наглядный курс
Mathway | Популярные проблемы
1
Найдите точное значение
грех(30)
2
Найдите точное значение
грех(45)
3
Найдите точное значение
грех(30 градусов)
4
Найдите точное значение
грех(60 градусов)
5
Найдите точное значение
загар (30 градусов)
6
Найдите точное значение
угловой синус(-1)
7
Найдите точное значение
грех(пи/6)
8
Найдите точное значение
cos(pi/4)
9
Найдите точное значение
грех(45 градусов)
10
Найдите точное значение
грех(пи/3)
11
Найдите точное значение
арктан(-1)
12
Найдите точное значение
cos(45 градусов)
13
Найдите точное значение
cos(30 градусов)
14
Найдите точное значение
желто-коричневый(60)
15
Найдите точное значение
csc(45 градусов)
16
Найдите точное значение
загар (60 градусов)
17
Найдите точное значение
сек(30 градусов)
18
Найдите точное значение
cos(60 градусов)
19
Найдите точное значение
соз(150)
20
Найдите точное значение
грех(60)
21
Найдите точное значение
cos(pi/2)
22
Найдите точное значение
загар (45 градусов)
23
Найдите точное значение
arctan(- квадратный корень из 3)
24
Найдите точное значение
csc(60 градусов)
25
Найдите точное значение
сек(45 градусов)
26
Найдите точное значение
csc(30 градусов)
27
Найдите точное значение
грех(0)
28
Найдите точное значение
грех(120)
29
Найдите точное значение
соз(90)
30
Преобразовать из радианов в градусы
пи/3
31
Найдите точное значение
желтовато-коричневый(30)
92
35
Преобразовать из радианов в градусы
пи/6
36
Найдите точное значение
детская кроватка(30 градусов)
37
Найдите точное значение
арккос(-1)
38
Найдите точное значение
арктический(0)
39
Найдите точное значение
детская кроватка(60 градусов)
40
Преобразование градусов в радианы
30
41
Преобразовать из радианов в градусы
(2 шт. )/3
42
Найдите точное значение
грех((5pi)/3)
43
Найдите точное значение
грех((3pi)/4)
44
Найдите точное значение
желтовато-коричневый (пи/2)
45
Найдите точное значение
грех(300)
46
Найдите точное значение
соз(30)
47
Найдите точное значение
соз(60)
48
Найдите точное значение
соз(0)
49
Найдите точное значение
соз(135)
50
Найдите точное значение
cos((5pi)/3)
51
Найдите точное значение
cos(210)
52
Найдите точное значение
сек(60 градусов)
53
Найдите точное значение
грех(300 градусов)
54
Преобразование градусов в радианы
135
55
Преобразование градусов в радианы
150
56
Преобразовать из радианов в градусы
(5 дюймов)/6
57
Преобразовать из радианов в градусы
(5 дюймов)/3
58
Преобразование градусов в радианы
89 градусов
59
Преобразование градусов в радианы
60
60
Найдите точное значение
грех(135 градусов)
61
Найдите точное значение
грех(150)
62
Найдите точное значение
грех(240 градусов)
63
Найдите точное значение
детская кроватка(45 градусов)
64
Преобразовать из радианов в градусы
(5 дюймов)/4
65
Найдите точное значение
грех(225)
66
Найдите точное значение
грех(240)
67
Найдите точное значение
cos(150 градусов)
68
Найдите точное значение
желтовато-коричневый(45)
69
Оценить
грех(30 градусов)
70
Найдите точное значение
сек(0)
71
Найдите точное значение
cos((5pi)/6)
72
Найдите точное значение
КСК(30)
73
Найдите точное значение
arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74
Найдите точное значение
желтовато-коричневый ((5pi)/3)
75
Найдите точное значение
желтовато-коричневый(0)
76
Оценить
грех(60 градусов)
77
Найдите точное значение
arctan(-(квадратный корень из 3)/3)
78
Преобразовать из радианов в градусы
(3 шт. )/4
79
Найдите точное значение
грех((7pi)/4)
80
Найдите точное значение
угловой синус(-1/2)
81
Найдите точное значение
грех((4pi)/3)
82
Найдите точное значение
КСК(45)
83
Упростить
арктангел (квадратный корень из 3)
84
Найдите точное значение
грех(135)
85
Найдите точное значение
грех(105)
86
Найдите точное значение
грех(150 градусов)
87
Найдите точное значение
грех((2pi)/3)
88
Найдите точное значение
желтовато-коричневый ((2pi)/3)
89
Преобразовать из радианов в градусы
пи/4
90
Найдите точное значение
грех(пи/2)
91
Найдите точное значение
сек(45)
92
Найдите точное значение
cos((5pi)/4)
93
Найдите точное значение
cos((7pi)/6)
94
Найдите точное значение
угловой синус(0)
95
Найдите точное значение
грех(120 градусов)
96
Найдите точное значение
желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97
Найдите точное значение
cos(270)
98
Найдите точное значение
грех((7pi)/6)
99
Найдите точное значение
arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100
Преобразование градусов в радианы
88 градусов
Функция COS в Excel (формула, примеры)
Функция COS Excel является встроенной тригонометрической функцией. Он используется для вычисления значения косинуса заданного числа или, с точки зрения тригонометрии, значения косинуса заданного угла. Здесь угол — это число в Excel. Эта функция принимает только один аргумент, который представляет собой введенное число.
Это встроенная функция MS Excel. Он относится к категории математических функций в MS Excel. Функция возвращает косинус угла, заданного в радианах. Параметр представляет собой значение угла, для которого вычисляется косинус. Угол можно рассчитать с помощью функции РАДИАНЫ или умножив на PI()/180.
Содержание
Функция COS Excel
Формула COS
Как использовать функцию COS в Excel?
Пример №1 – Расчет значения cos (0)
Пример №2 – Расчет значения cos (30)
Пример №3 – Расчет значения cos (45)
Пример №4 – Расчет значения значение cos (60)
Пример № 5. Расчет значения cos (90)
Что нужно помнить о функции COS в Excel
Использование функции COS в Excel VBA
VBA Пример № 1
VBA Пример № 2
Рекомендуемые статьи
COSULA
COSULA
COSULA
The Formula. Excel имеет один аргумент, который является обязательным параметром.
число = Это обязательный параметр. Указывает угол, для которого должен быть рассчитан косинус.
Как использовать функцию COS в Excel?
COS можно использовать в рабочих листах Excel в качестве функции рабочего листа (WS) и Excel VBA. В качестве функции WS ее можно ввести как часть формулы COS в ячейке рабочего листа. Как функция VBAФункция VBAФункции VBA служат основной цели для выполнения определенных вычислений и возврата значения. Поэтому в VBA мы используем синтаксис для указания параметров и типа данных при определении функции. Такие функции называются пользовательскими функциями. Более того, их можно ввести в код VBA.
Вы можете скачать этот шаблон Excel для функции COS здесь — Шаблон Excel для функции COS
Обратитесь к примерам, приведенным ниже, чтобы лучше понять.
Пример №1. Вычисление значения cos (0)
В этом примере ячейка B2 содержит значение угла, для которого необходимо вычислить косинус. Ячейка C2 имеет связанную с ней формулу COS, то есть RADIANS. COS в excel присваивается ячейке D2. RADIANS(B2) равен 0. Кроме того, COS применяется к 0, что равно 1.
Следовательно, результирующая ячейка D2 имеет значение 1, так как COS(0) равен 1.
Пример №2. Вычисление значения cos (30)
В этом примере ячейка B3 содержит значение угла, для которого необходимо вычислить косинус. Ячейка C3 имеет связанную с ней формулу COS, то есть RADIANS. COS в excel присваивается ячейке D3. РАДИАНЫ (B3) равны 0,523598776. Кроме того, COS применяется к 0,523598776, что равно 0,866025404.
Следовательно, результирующая ячейка D3 имеет значение 1, так как COS (0,523598776) равен 1.
Пример №3. Вычисление значения cos (45)
В этом примере ячейка B4 содержит значение угла, для которого необходимо вычислить косинус. Ячейка C4 имеет связанную с ней формулу COS, то есть РАДИАНЫ. COS присваивается ячейке D4. РАДИАНЫ (B3) равны 0,523598776. Кроме того, COS применяется к 0,785398163, что равно 0,707106781.
Следовательно, результирующая ячейка D4 имеет значение 1, поскольку COS (0,707106781) равно 1.
Пример №4. Вычисление значения cos (60) какой косинус нужно вычислить. Ячейка C5 имеет связанную с ней формулу COS, то есть RADIANS. COS присваивается ячейке D5. РАДИАНЫ (B5) равны 1,04719.7551. Далее COS применяется к 1.047197551, что равно 0,5.
Следовательно, результирующая ячейка D5 имеет значение 0,5, поскольку COS (1,047197551) равен 0,5.
Пример № 5 – Вычисление значения cos (90)
В этом примере ячейка B6 содержит значение угла, для которого необходимо вычислить косинус. С ячейкой C6 связана формула COS, которая равна B6*PI ()/180. COS присваивается ячейке D6. 90*PI ()/180 равно 1,570796327 . Значение PI () равно 3,14159. Итак, это 90 * (3,14159/180) = 1,570796327. Далее COS применяется к 1.570796327, что равно 6.12574E-17 .
Следовательно, результирующая ячейка D6 имеет 6,12574E-17, поскольку COS (1,570796327) равен 6,12574E-17.
Что нужно помнить о COS Функция в Excel
COS в Excel всегда предполагает радианы в качестве параметра, для которого вычисляется косинус.
Если угол выражен в градусах, его необходимо вычислить с помощью функции РАДИАНЫ или умножить угол на PI ()/180.
Использование функции COS в Excel VBA
COS в Excel можно использовать в Excel VBA следующим образом. Во-первых, он служит той же цели: получить значение косинуса предоставленного угла.
Синтаксис : COS (число)
Пример VBA #1
знач1 = потому что ( 0 )
знач1 :
1
Здесь знач1 — это переменная. Он объявлен как Double, что указывает на то, что он может хранить данные с типом данных double. Косинус 0 равен 1. Следовательно, val1 имеет значение 1.
Пример VBA № 2
Const pi = 3,1415
Dim val As Double
' Преобразование 45 градусов в радианы путем умножения на число пи/180.
Решебник к сборнику задач по математике для техникумов Богомолова Н.В. ОНЛАЙН
Решения самостоятельных работ по математике из сборника задач по математике для ссузов Богомолова Н.В. — Рукопись. — 2015. Настоящее пособие содержит решения задач и упражнений из сборника «Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов. — М.: Высш. шк., 1990.—495 с.» Пособие адресовано учащимся, которые смогут проконтролировать правильность решения домашнего задания по математике и проанализировать ошибки. Страницы решебника представлены в виде слайдов. Кликните на нужный слайд, чтобы прочитать содержание страницы.
Внимание! Рукопись не проверялась, возможны ошибки!
Скачать учебник можно ЗДЕСЬ
ОГЛАВЛЕНИЕ Раздел I Элемент вычислительной математики Глава I. Погрешности приближенных значений чисел § 1. Абсолютная погрешность приближенного значения числа. Граница абсолютной погрешности § 2. Верные цифры числа. Запись приближенного значения числа. Округление приближенных значений чисел § 3. Относительная погрешность приближенного значения числа
Глава 2. Действия над приближенными значениями чисел § 1. Сложение приближенных значений чисел § 2. Вычитание приближенных значений чисел § 3. Умножение приближенных значений чисел § 4. Деление приближенных значений чисел § 5. Возведение в степень приближенных значений чисел и извлечение из них корня § 6. Вычисления с наперед заданной точностью § 7. Решение прямоугольных треугольников с применением микрокалькулятора § 8. Решение косоугольных треугольников § 9. Смешанные задачи
Раздел II Алгебра и начала анализа Глава 3. Системы уравнений и неравенств § 1. Решение линейных уравнений с одной переменной
§ 2. Решение линейных неравенств с одной переменной § 3. Системы и совокупности, неравенств с одной переменной § 4. Неравенства с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля
§ 5. Решение систем двух-линейных уравнений с двумя переменными § 6. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными
§ 7. Решение квадратных уравнений § 8. Свойства корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители § 9. Решение уравнении, приводимых к квадратным § 10. Задачи на составление квадратных уравнений § 11. Графическое решение квадратных неравенств § 12. Иррациональные уравнения § 13. Иррациональные неравенства с одной переменной § 14. Нелинейные системы уравнений и неравенств с двумя переменными § 15. Задачи на составление систем уравнений § 16. Простейшие задачи линейного программирования с двумя переменными Зачетная работа
Глава 4. Функция. Логарифмическая и показательная функции § 1. Функция. Область определения и множество значений функции § 2. Логарифмическая функция § 3. Показательные уравнения § 4. Системы показательных уравнений § 5. Показательные неравенства § 6. Логарифмические уравнения § 7. Системы логарифмических уравнений § 8. Логарифмические неравенства
Глава 6. Предел функции § 1. Вычисление предела функции § 2. Число е. Натуральные логарифмы § 3. Смешанные задачи
§ 4. Приращение аргумента и приращение функции § 5. Непрерывность функции § 6. Точки разрыва функции § 7. Асимптоты § 8. Решение дробно-рациональных неравенств методом промежутков
Глава 7. Производная § 1. Скорость изменения функции § 2. Производная § 3. Основные правила дифференцирования. Производные степени и корня § 4. Производная сложной функции
§ 5. Физические приложения производной § 6. Производные логарифмических функций § 7. Производные показательных функций § 8. Смешанные задачи Зачетная работа
Глава 8. Приложения производной к исследованию функций § 1. Возрастание и убывание функции § 2. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной
§ 3. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной § 4. Наименьшее и наибольшее значения функции § 5. Задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин § 6. Направление выпуклости графика функции § 7. Точки перегиба § 8. Построение графиков функций Зачетная работа
Глава 9. Тригонометрические функции § I. Радианное измерение дуг и углов § 2. Единичная числовая окружность § 3. Тригонометрические функции числового аргумента § 4. Знаки, числовые значения и свойства четности и нечетности тригонометрических функций § 5. Основные тригонометрические тождества § 6. Периодичность тригонометрических функций Зачетная работа
§ 7. Обратные тригонометрические функции § 8. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции § 9. Тригонометрические уравнения § 10. Тригонометрические неравенства
§ 11. Свойство полупериода синуса и косинуса § 12. Формулы приведения § 13. Смешанные задачи § 14. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы сложения) § 15. Смешанные задачи
§ 16. Тригонометрические функции удвоенного аргумента
§ 17. Тригонометрические функции половинного аргумента § 18. Смешанные задачи Зачетная работа
§ 19. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму § 20 Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение § 21. Преобразования с помощью вспомогательного аргумента § 22. Смешанные задачи § 23. Вычисление пределов тригонометрических функций
§ 24. Производные тригонометрических функций § 25. Производные обратных тригонометрических функций § 26. Вторая производная и ее приложения § 27. Гармонические колебания § 28. Основные свойства тригонометрических функций § 29. Построение графиков тригонометрических функций § 30. Смешанные задачи
Глава 10. Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям § 1. Вычисление дифференциала функции § 2. Абсолютная и относительная погрешности § 3. Вычисление приближенного числового значения функции § 4. Формулы для приближенных вычислений § 5. Вычисления по способу строго учета погрешностей § 6. Смешанные задачи
Глава 11. Неопределенный интеграл § 1. Основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование § 2. Геометрические приложения неопределенного интеграла § 3. Физические приложения неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной § 5. Интегрирование по частям § 6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций § 7. Смешанные задачи
Глава 12. Определенный интеграл § 1. Определенный интеграл и его непосредственное вычисление § 2. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной § 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле § 4. Приближенное вычисление определенных интегралов
Глава 13. Приложения определенного интеграла § 1. Применение определенного интеграла к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры § 2. Вычисление пути, пройденного точкой § 3. Вычисление работы силы § 4. Вычисление работы, производимой при поднятии груза § 5. Вычисление силы давления жидкости § 6. Длина дуги плоской кривой
Глава 14. Комплексные числа § 1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация § 2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме § 3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме § 4. Показательная функция с комплексным показателем. Формулы Эйлера § 5. Смешанные задачи
Глава 15. Дифференциальные уравнения § 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными § 2. Задачи на составление дифференциальных уравнений § 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка § 4. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка § 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 6. Смешанные задачи
Глава 16. Элементы комбинаторики и теории вероятностей § I. Элементы комбинаторики § 2. Случайные события. Вероятность события § 3. Теоремы сложения вероятностей § 4. Теоремы умножения вероятностей § 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса § 6. Повторение испытаний. Формула Бернулли § 7. Смешанные задачи
Раздел III Геометрия Глава 17. Векторы на плоскости § I. Основные понятия и определения § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число § 3. Прямоугольная система координат § 4. Длина вектора. Расстояние между двумя точками на плоскости. Углы, образуемые вектором с осями координат § 5. Деление отрезка в данном отношении § 6. Скалярное произведение двух векторов § 7. Преобразования прямоугольных координат § 8. Полярные координаты § 9. Смешанные задачи
Глава 18. Прямая на плоскости и ее уравнения § 1. Общее уравнение прямой. Векторное и каноническое уравнения прямой. § 2. Уравнение прямой в отрезках на осях § 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом § 4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении § 5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки § 6. Пересечение двух прямых § 7. Угол между двумя прямыми § 8. Условие параллельности двух прямых § 9. Условие перпендикулярности двух прямых § 10. Смешанные задачи
Глава 19. Кривые второго порядка § 1. Множества точек на плоскости § 2. Окружность § 3. Эллипс § 4. Гипербола § 5. Парабола с вершиной в начале координат § 6. Парабола со смещенной вершиной § 7. Касательная и нормаль к кривой § 8. Смешанные задачи
Глава 20. Прямые и плоскости в пространстве § 1. Параллельность прямых и плоскостей § 2. Перпендикулярность в пространстве. Двугранные и многогранные углы § 3. Смешанные задачи
Глава 21. Векторы в пространстве § 1. Основные понятия. Прямоугольная система координат в пространстве § 2. Скалярное произведение векторов в пространстве § 3. Векторное произведение § 4. Смешанные задачи
Глава 22. Уравнения прямой и плоскости в пространстве § 1. Плоскость § 2. Прямая в пространстве § 3. Плоскость и прямая § 4. Смешанные задачи
Глава 23. Многогранники и площади их поверхностей § 1. Призма § 2. Площадь поверхности призмы § 3. Пирамида. Усеченная пирамида § 4. Площадь поверхности пирамиды и усеченной пирамиды § 5. Смешанные задачи
Глава 24. Фигуры вращения § 1. Цилиндр § 2. Конус. Усеченный конус § 3. Сфера. Шар § 4. Вписанная и описанная сферы § 5. Смешанные задачи
Глава 25. Объемы многогранников и фигур вращения § 1. Объем параллелепипеда и призмы § 2. Объем пирамиды § 3. Объем усеченной пирамиды § 4. Исследования на экстремум в задачах на объемы многогранников § 5. Объем фигур вращения § 6. Исследования на экстремум в задачах на объемы фигур вращения § 7. Вычисление объемов фигур вращения с помощью определенного интеграла § 8. Смешанные задачи
Глава 26. Площади поверхностей фигур вращения § 1 Площади боковой и полной поверхностей цилиндра § 2. Площади боковой и полной поверхностей конуса § 3. Площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса. § 5. Исследования на экстремум в задачах на площади поверхностей фигур вращения § 6. Вычисление площадей поверхностей фигур вращения с помощью определенного интеграла § 7. Смешанные задачи
Раздел IV Дополнительные главы Глава 27. Ряды § 1. Числовые ряды § 2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами § 3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов § 4. Вычисление суммы членов знакочередующегося ряда с заданной точностью и оценка остатка ряда § 5. Степенные ряды § 6. Разложение функций в степенные ряды § 7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций § 8. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов
Глава 28. Ряды Фурье § 1. Тригонометрический ряд Фурье § 2. Ряд Фурье для нечетной функции § 3. Ряд Фурье для четной функции § 4. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в промежутке § 5. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в произвольном промежутке § 6. Разложение в ряды Фурье некоторых функций, часто встречающихся в электротехнике
Глава 29. Двойные интегралы § 1. Функции нескольких переменных § 2. Частные производные и полный дифференциал § 3. Двойной интеграл и его вычисление § 4. Двойной интеграл в полярных координатах § 5. Вычисление площади плоской фигуры § 6. Вычисление объема тела § 7. Вычисление площади поверхности
§ 8. Вычисление массы плоской фигуры § 9. Вычисление статических моментов плоской фигуры § 10. Координаты центра тяжести плоской фигуры § 11. Вычисление моментов инерции плоской фигуры
ВНИМАНИЕ! Все права на публикацию рукописей принадлежат сайту gdz.math-helper.ru. Копирование и распространение материалов запрещено!
Решебник по Математике 11 класс Сборник задач Богомолов Н.В. Среднее профессиональное образование
Математика 11 класс
Богомолов Н.В.
сборник задач ссуз среднее профессиональное образование
Авторы: Богомолов Н.В.
«Решебник по Математике 11 класс Сборник задач Богомолов Среднее профессиональное образование (Дрофа)» размещен онлайн на сайте, и доступен к просмотру с любого современного гаджета с выходом в сеть интернет, будь то компьютер, смартфон, или планшет. Благодаря этому, ученики могут обратиться к решебнику за помощью в любое удобное для них время:
На перемене между уроками, чтобы потренироваться в решении упражнений.
Во время выполнения домашнего задания, и сделать качественную самопроверку.
На обеденном перерыве, чтобы повторить пройденный материал, или подготовиться к контрольной работе.
Вышеперечисленные плюсы рассматриваемого ГДЗ позволяют экономить время, что делает его максимально практичным и удобным решением в современных реалиях. Помимо этого, на данном интернет-сайте есть простой и понятный интерфейс поиска нужных заданий по номерам. Математика является основным предметом школьной программы, и имеет первостепенную важность в повседневной жизни. Без базовых знаний, которые человек получает в старших классах, невозможно даже подсчитать сколько денег нужно на проезд или на любую покупку, не говоря уже об обучении на технических и экономических специальностях. В одиннадцатом классе ученикам предстоит сдача государственных экзаменов по данной дисциплине. Именно поэтому, в этом году важно сократить время, затрачиваемое на другие второстепенные дела, для того, чтобы качественно подготовиться к ЕГЭ. Здесь школьникам прекрасно поможет «Решебник по Математике 11 класс Сборник задач Богомолов Н. В. Среднее профессиональное образование (Дрофа)». Он сможет стать универсальным, и полезным решением множества проблем в учебе.
Полезность использования ГДЗ по математике 11 класс сборник задач Богомолов
Решебник разработан специально для того, чтобы помогать школьникам быстрей и эффективней осваивать нужные дисциплины. Основные плюсы данного пособия ГДЗ:
сможет упорядочить в голове у школьника приобретённую на уроке информацию;
несет в себе верные ответы на все задания из учебника;
возможность быстрой самопроверки, и эффективной работы над ошибками;
учебник составлен по правилам Федерального государственного образовательного стандарта.
Немаловажно наличие комментариев автора, и подробно расписанных решений к упражнениям, что со временем позволяет школьникам научиться выполнять их самостоятельно, без помощи взрослых.
Учебное пособие для учащихся ССУЗов ОНЛАЙН
Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений /Н. В. Богомолов.— 6-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 495 с. Настоящее пособие (5-е изд.— 2002 г.) представляет собой руководство к решению задач по всем разделам программы по математике для техникумов на базе неполной и полной средней школы. Основное назначение пособия — помочь студенту самостоятельно, без помощи преподавателя, изучить приемы решения задач по математике, закрепить и углубить навыки, приобретенные при решении этих задач. Для студентов средних специальных учебных заведений. Может быть использовано студентами колледжей. Известно, что решение задач по математике у студентов часто бывает сопряжено со многими трудностями. Основное назначение данного пособия состоит в том, чтобы помочь студенту преодолеть эти трудности и научить его решению задач по всем разделам курса математики.
При самостоятельном решении задач многие студенты нуждаются в постоянных консультациях относительно приемов и методов их решения, поскольку найти путь к решению задачи без помощи преподавателя или соответствующего пособия ему не под силу. Такие консультации студент может получить в этой книге.
В каждом параграфе приведены краткие теоретические сведения, описаны приемы решения типовых задач, даны их классификация и образцы записи решения, а затем следуют задачи для самостоятельного решения, к которым в конце книги даны ответы. После изучения каждой темы приводятся смешанные задачи по этой теме, а также зачетная работа. Такая форма изложения позволяет студенту сначала познакомиться с приемами решения типовых задач и оформлением записи их решений, а затем приступить к выработке навыков в их самостоятельном решении. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие …………………………………………9 Раздел I. Элементы вычислительной математики Глава 1. Погрешности приближенных значений чисел……………….10 § 1. Абсолютная погрешность приближенного значения числа. Граница абсолютной погрешности………10 § 2. Верные цифры числа. Запись приближенного значения числа. Округление приближенных значений чисел……………….11 § 3. Относительная погрешность приближенного значения числа………………13 Глава 2. Действия над приближенными значениями чисел……………….14 § 1. Сложение приближенных значений чисел………………………….14 §2. Вычитание приближенных значений чисел…………………………15 § 3. Умножение приближенных значений чисел……………………..16 § 4. Деление приближенных значений чисел………………………..17 § 5. Возведение в степень приближенных значений чисел и извлечение из них корня………..18 § 6. Вычисления с наперед заданной точностью……………………18 § 7. Решение прямоугольных треугольников с применением микрокалькулятора …….19 § 8. Решение косоугольных треугольников………………………………..21 § 9. Смешанные задачи………………………………………………..24 Раздел II. Алгебра и начала анализа Глава 3. Системы уравнений и неравенств……………………………….25 § 1. Решение линейных уравнений с одной переменной……………………..25 § 2. Решение линейных неравенств с одной переменной………………….28 § 3. Системы и совокупности неравенств с одной переменной……………..29 § 4. Неравенства с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля……33 § 5. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными… 34 § 6. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными… 37 § 7. Решение квадратных уравнений…………………………………………39 § 8. Свойства корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители……….41 § 9. Решение уравнений, приводимых к квадратным…………………………43 § 10. Задачи на составление квадратных уравнений………………………..45 § 11. Графическое решение квадратных неравенств…………………………46 § 12. Иррациональные уравнения………………………………………..48 § 13. Иррациональные неравенства с одной переменной……………………..51 § 14. Нелинейные системы уравнений и неравенств с двумя переменными ………52 § 15. Задачи на составление систем уравнений………………………..55 § 16. Простейшие задачи линейного программирования с двумя переменными ……..55 Глава 4. Функция. Логарифмическая и показательная функции………………….58 § 1. Функция. Область определения и множество значений функции ….58 § 2. Логарифмическая функция…………………………………………60 § 3. Показательные уравнения…………………………………………62 § 4. Системы показательных уравнений……………………………..64 § 5. Показательные неравенства…………………………………….65 § 6. Логарифмические уравнения…………………………………..66 § 7. Системы логарифмических уравнений…………………………….68 § 8. Логарифмические неравенства………………………………….68 § 9. Смешанные задачи……………………………………………69 Глава 5. Бесконечная числовая последовательность. Предел последовательности ….71 § 1. Бесконечная числовая последовательность………………………….71 § 2. Предел числовой последовательности…………………………73 Глава 6. Предел функции…………………………………………76 § 1. Вычисление предела функции…………………………………76 § 2. Число е. Натуральные логарифмы………………………………81 § 3. Смешанные задачи………………………………………….82 § 4. Приращение аргумента и приращение функции………………….83 § 5. Непрерывность функции……………………………………84 § 6. Точки разрыва функции…………………………………….86 § 7. Асимптоты ………………………………………………….87 § 8. Решение дробно-рациональных неравенств методом промежутков …….89 Глава 7. Производная………………………………………92 § 1. Скорость изменения функции……………………..92 § 2. Производная …………………………………………….94 § 3. Основные правила дифференцирования. Производные степени и корня ……95 § 4. Производная сложной функции…………………………………98 § 5. Физические приложения производной……………………………100 § 6. Производные логарифмических функций………………………….102 § 7. Производные показательных функций……………………………103 § 8. Смешанные задачи………………………………………….104 Глава 8. Приложения производной к исследованию функций…………….105 § 1. Возрастание и убывание функции……………………………..105 § 2. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной ..107 § 3. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной ….110 § 4. Наименьшее и наибольшее значения функции……………………..111 § 5. Задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин ……..111 § 6. Направление выпуклости графика функции………………………….113 § 7. Точки перегиба……………………………………………….114 § 8. Построение графиков функций……………………………………115 Глава 9. Тригонометрические функции…………………………………118 § 1. Радианное измерение дуг и углов………………………………..118 § 2. Единичная числовая окружность………………………………….121 § 3. Тригонометрические функции числового аргумента………………….123 § 4. Знаки, числовые значения и свойства четности и нечетности тригонометрических функций……………..124 § 5. Основные тригонометрические тождества………………………..128 § 6. Периодичность тригонометрических функций………………………132 § 7. Обратные тригонометрические функции…………………………..134 § 8. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции….135 § 9. Тригонометрические уравнения……………………………………140 § 10. Тригонометрические неравенства………………………………..145 § 11. Свойство полупериода синуса и косинуса…………………………147 § 12. Формулы приведения………………………………………..148 § 13. Смешанные задачи………………………………………….149 § 14. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы сложения)……150 § 15. Смешанные задачи………………………………………………154 § 16. Тригонометрические функции удвоенного аргумента…………………..155 § 17. Тригонометрические функции половинного аргумента………………….157 § 18. Смешанные задачи…………………………………………….169 § 19. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму………..162 § 20. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение………..163 § 21. Преобразования с помощью вспомогательного аргумента…………..166 § 22. Смешанные задачи…………………………………………………………168 § 23. Вычисление пределов тригонометрических функций. Предел отношения…………….169 § 24. Производные тригонометрических функций…………………171 § 25. Производные обратных тригонометрических функций…………………………..173 § 26. Вторая производная и ее приложения………………………………………174 § 27. Гармонические колебания……………………………………..175 § 28. Основные свойства тригонометрических функций…………………………….177 § 29. Построение графиков тригонометрических функций………………………….177 § 30. Смешанные задачи……………………………………………178 Глава 10. Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям…..180 § 1. Вычисление дифференциала функции…………………………180 § 2. Абсолютная и относительная погрешности………………………181 § 3. Вычисление приближенного числового значения функции…………….182 § 4. Формулы для приближенных вычислений…………………………….183 § 5. Вычисления по способу строго учета погрешностей…………………184 § 6. Смешанные задачи…………………………………………….187 Глава 11. Неопределенный интеграл………………………………….188 § 1. Основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование …188 § 2. Геометрические приложения неопределенного интеграла………………194 § 3. Физические приложения неопределенного интеграла………………….196 § 4. Интегрирование методом замены переменной………………………..198 § 5. Интегрирование по частям……………………………………..201 § 6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций………………203 § 7. Смешанные задачи…………………………………………….204 Глава 12. Определенный интеграл……………………………………205 § 1. Определенный интеграл и его непосредственное вычисление………….205 § 2. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной …….208 § 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле……………….210 § 4. Приближенное вычисление определенных интегралов…………………211 Глава 13. Приложения определенного интеграла………………………..212 § 1. Применение определенного интеграла к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры……..212 § 2. Вычисление пути, пройденного точкой…………………………219 § 3. Вычисление работы силы………………………………………221 § 4. Вычисление работы, производимой при поднятии груза……………..223 § 5. Вычисление силы давления жидкости……………………………225 § 6. Длина дуги плоской кривой…………………………………..227 Глава 14. Комплексные числа……………………………………..229 § 1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация……………..229 § 2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме……….233 § 3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме……235 § 4. Показательная функция с комплексным показателем. Формулы Эйлера………….239 § 5. Смешанные задачи…………………………………….242 Глава 15. Дифференциальные уравнения…………………………….243 § 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными………243 § 2. Задачи на составление дифференциальных уравнений…………………………..245 § 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка…………….248 § 4. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка…………….250 § 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами………..253 § 6. Смешанные задачи…………………256 Глава 16. Элементы комбинаторики и теории вероятностей……………………257 § 1. Элементы комбинаторики…………………………………………..257 § 2. Случайные события. Вероятность события……………………………260 § 3. Теоремы сложения вероятностей……………………………….262 § 4. Теоремы умножения вероятностей…………………………………264 § 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса………………………265 § 6. Повторение испытаний. Формула Бернулли………………………….266 § 7. Смешанные задачи……………………………………………..267 Раздел III Геометрия Глава 17. Векторы на плоскости…………………………………….268 § 1. Основные понятия и определения………………………………..269 § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число …. 270 § 3. Прямоугольная система координат……………………………..273 § 4. Длина вектора. Расстояние между двумя точками на плоскости. Углы, образуемые вектором с осями координат……………276 § 5. Деление отрезка в данном отношении…………………………..278 § 6. Скалярное произведение двух векторов………………………….279 § 7. Преобразования прямоугольных координат…………………….281 § 8. Полярные координаты……………………………………..283 § 9. Смешанные задачи…………………………………….284 Глава 18. Прямая на плоскости и ее уравнения…………………286 § 1. Общее уравнение прямой. Векторное и каноническое уравнения прямой……..286 § 2. Уравнение прямой в отрезках на осях………………………………..289 § 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом……………………………290 § 4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении……293 § 5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки………………294 § 6. Пересечение двух прямых……………………………………….295 § 7. Угол между двумя прямыми …………………………296 § 8. Условие параллельности двух прямых………………………………..299 § 9. Условие перпендикулярности двух прямых……………………………300 § 10. Смешанные задачи……………………………………………….302 Глава 19. Кривые второго порядка……………………………………..304 § 1. Множества точек на плоскости……………………………………304 § 2. Окружность…………………………………………………..306 § 3. Эллипс……………………………………………………….310 § 4. Гипербола……………………………………………………312 § 5. Парабола с вершиной в начале координат………………………….315 § 6. Парабола со смещенной вершиной…………………………………318 § 7. Касательная и нормаль к кривой…………………………………321 § 8. Смешанные задачи……………………………………………..326 Глава 20. Прямые и плоскости в пространстве……………………………327 § 1. Параллельность прямых и плоскостей………………………………327 § 2. Перпендикулярность в пространстве. Двугранные и многогранные углы………330 § 3. Смешанные задачи……………………………………………….333 Глава 21. Векторы в пространстве……………………………………335 § 1. Основные понятия. Прямоугольная система координат в пространстве………335 § 2. Скалярное произведение векторов в пространстве………………………339 § 3. Векторное произведение………………………………………..340 § 4. Смешанные задачи……………………………………………..342 Глава 22. Уравнения прямой и плоскости в пространстве…………………343 § 1. Плоскость…………………………………………………..343 § 2. Прямая в пространстве………………………………………..347 § 3. Плоскость и прямая……………………………………..350 § 4. Смешанные задачи…………………………………………….352 Глава 23. Многогранники и площади их поверхностей………………………353 § 1. Призма……………………………………………………353 § 2. Площадь поверхности призмы……………………………………355 § 3. Пирамида. Усеченная пирамида………………………………..357 § 4. Площадь поверхности пирамиды и усеченной пирамиды………………360 § 5. Смешанные задачи……………………………………………361 Глава 24. Фигуры вращения……………………………………….363 § 1. Цилиндр………………………………………………….363 § 2. Конус. Усеченный конус………………………………… § 3. Сфера. Шар………………………………………………365 § 4. Вписанная и описанная сферы………………………………… § 5. Смешанные задачи………………………………………..369 Глава 25. Объемы многогранников и фигур вращения………………….370 § 1. Объем параллелепипеда и призмы……………………………..370 § 2. Объем пирамиды………………………………………….372 § 3. Объем усеченной пирамиды…………………………………373 § 4. Исследования на экстремум в задачах на объемы многогранников ………373 § 5. Объем фигур вращения…………………………………….374 § 6. Исследования на экстремум в задачах на объемы фигур вращения………376 § 7. Вычисление объемов фигур вращения с помощью определенного интеграла…..378 § 8. Смешанные задачи…………………………………………..381 Глава 26. Площади поверхностей фигур вращения…………………………383 § 1. Площади боковой и полной поверхностей цилиндра…………………383 § 2. Площади боковой и полной поверхностей конуса………………….384 § 3. Площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса……….385 § 5. Исследования на экстремум в задачах на площади поверхностей фигур вращения……386 § 6. Вычисление площадей поверхностей фигур вращения с помощью определенного интеграла……………….387 § 7. Смешанные задачи…………………………………………389 Раздел IV Дополнительные главы Глава 27. Ряды………………………………………………….391 § 1. Числовые ряды………………………………………………..391 § 2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами………………395 § 3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов…………………….400 § 4. Вычисление суммы членов знакочередующегося ряда с заданной точностью и оценка остатка ряда……………….403 § 5. Степенные ряды………………………………………………405 § 6. Разложение функций в степенные ряды………………………………….409 § 7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций……416 § 8. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов ……………417 Глава 28. Ряды Фурье…………………………………………………..419 § 1. Тригонометрический ряд Фурье……………………………………….419 § 2. Ряд Фурье для нечетной функции…………………………………423 § 3. Ряд Фурье для четной функции………………………………………426 § 4. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в промежутке………………428 § 5. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в произвольном промежутке……….430 § 6. Разложение в ряды Фурье некоторых функций, часто встречающихся в электротехнике…..433 Глава 29. Двойные интегралы……………………………………………435 § 1. Функции нескольких переменных……………………………..435 § 2. Частные производные и полный дифференциал……………………………….438 § 3. Двойной интеграл и его вычисление………………………439 § 4. Двойной интеграл в полярных координатах………………………….447 § 5. Вычисление площади плоской фигуры………………………………450 § 6. Вычисление объема тела……………………………………………451 § 7. Вычисление площади поверхности……………………………………..454 § 8. Вычисление массы плоской фигуры…………………………………….459 § 9. Вычисление статических моментов плоской фигуры……………………….460 § 10. Координаты центра тяжести плоской фигуры………………………….463 § 11. Вычисление моментов инерции плоской фигуры………………………..466 Ответы …………………………………………..466
ГДЗ к сборнику находится здесь: http://math-helper.ru/reshebniki-po-matematike/reshebnik-k-sborniku-zadach-po-matematike-dlya-tehnikumov-bogomolova-n-v-onlayn
Богомолов практические задания гдз. Практические занятия по математике
Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для учащихся ССУЗов ОНЛАЙНБогомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений /Н. В. Богомолов.- 6- е изд., стер.- М.: Высш. Настоящее пособие (5- е изд.- 2. Основное назначение пособия — помочь студенту самостоятельно, без помощи преподавателя, изучить приемы решения задач по математике, закрепить и углубить навыки, приобретенные при решении этих задач. Для студентов средних специальных учебных заведений. Может быть использовано студентами колледжей.
Известно, что решение задач по математике у студентов часто бывает сопряжено со многими трудностями. Основное назначение данного пособия состоит в том, чтобы помочь студенту преодолеть эти трудности и научить его решению задач по всем разделам курса математики. При самостоятельном решении задач многие студенты нуждаются в постоянных консультациях относительно приемов и методов их решения, поскольку найти путь к решению задачи без помощи преподавателя или соответствующего пособия ему не под силу. Такие консультации студент может получить в этой книге. В каждом параграфе приведены краткие теоретические сведения, описаны приемы решения типовых задач, даны их классификация и образцы записи решения, а затем следуют задачи для самостоятельного решения, к которым в конце книги даны ответы. После изучения каждой темы приводятся смешанные задачи по этой теме, а также зачетная работа. Такая форма изложения позволяет студенту сначала познакомиться с приемами решения типовых задач и оформлением записи их решений, а затем приступить к выработке навыков в их самостоятельном решении.
Абсолютная погрешность приближенного значения числа. Граница абсолютной погрешности………1. Верные цифры числа. Запись приближенного значения числа.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ 11-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для бакалавров. Богомолов Н.В. Подробнее. Богомолов Николай.
Решебники и Готовые Домашние Задания на нашем сайте: http:// ALLNEWGDZ.RU — Все ГДЗ с 1 по 11 класс. Просто заходи. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, в 5 частях.. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике.
Округление приближенных значений чисел……………….
Русский язык К уроку Экзамен (ЕГЭ) ГДЗ по русск. языку Студентам. Практические занятия по высшей математике. Богомолов Н.В. (2003, 495с.).
Решебники и Готовые Домашние Задания на нашем сайте: http:// ALLNEWGDZ.RU — Все ГДЗ с 1 по 11 класс. Просто заходи.
Учебники, пособия, рабочие тетради по математике · ГДЗ, решебники по математике · ГИА, ДПА по Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для учащихся ССУЗов ОНЛАЙН.
Данное учебное пособие уже много лет пользуется неизменным спросом у студентов и преподавателей средних профессиональных учебных заведений, выдержало несколько переизданий, переведено на английский и языки стран бывшего СССР. Пособие носит прикладной характер, его основное назначение помочь студенту самостоятельно, без помощи преподавателя, изучить приемы решения задач по математике, закрепить и углубить навыки, приобретенные при решении этих задач. В связи с этим кратко и доступно изложены теоретические основы разделов курса, приведены примеры решения типовых задач, а также содержатся задачи для самостоятельного решения, к которым даются ответы, и зачетные работы по основным темам.
Шаг 1. Выбирайте книги в каталоге и нажимаете кнопку «Купить»;
Шаг 2. Переходите в раздел «Корзина»;
Шаг 3. Укажите необходимое количество, заполните данные в блоках Получатель и Доставка;
Шаг 4. Нажимаете кнопку «Перейти к оплате».
На данный момент приобрести печатные книги, электронные доступы или книги в подарок библиотеке на сайте
ЭБС возможно только по стопроцентной предварительной оплате. После оплаты Вам будет предоставлен доступ к
полному тексту учебника в рамках Электронной библиотеки или мы начинаем готовить для Вас заказ в типографии.
Внимание! Просим не менять способ оплаты по заказам. Если Вы уже выбрали какой-либо способ оплаты и не
удалось совершить платеж, необходимо переоформить заказ заново и оплатить его другим удобным способом.
Оплатить заказ можно одним из предложенных способов:
Безналичный способ:
Банковская карта:
необходимо заполнить все поля формы. Некоторые банки просят подтвердить оплату – для этого на Ваш номер телефона придет смс-код.
Онлайн-банкинг: банки, сотрудничающие с платежным сервисом, предложат свою форму для заполнения.
Просим корректно ввести данные во все поля. Например, для
«>Сбербанк Онлайн
требуются номер мобильного телефона и электронная почта.
Для «>Альфа-банка
потребуются логин в сервисе Альфа-Клик и электронная почта.
Электронный кошелек: если у Вас есть Яндекс-кошелек или Qiwi Wallet,
Вы можете оплатить заказ через них. Для этого выберите соответствующий способ оплаты и заполните предложенные поля,
затем система перенаправит Вас на страницу для подтверждения выставленного счета.
Формат: PDF Размер: 59.11 Мб
Математика Дидактические Задания Богомолов Сергиенко Гдз.
Название: Математика. Автор: Богомолов Н. В., Самойленко П. И. 2010 В учебнике рассмотрены основные разделы математики, охватываемые. Решебник к сборнику задач по математике для техникумов.
27 сент. 2014 г. — Решения самостоятельных работ по математике из сборника задач по. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное. домашнего задания по математике и проанализировать ошибки. Решебник Сборник задач по математике Богомолов Н В. — Pinterest
Решебник Сборник задач по математике Богомолов Н В. Репетитор ЕГЭ и ОГЭ. и «Сборник дидактических заданий по математике» Н. В. Богомолова,. Гдз по дидактическим заданиям богомолов, сергенко lcrgbe
6 апр. 2013 г. — Все блоги depipuz Учебник богомолова по математике. н. в. Гдз дидактические задания богомолов Математика, гдз дидактические. Математика. Дидактические задания. Николай Богомолов.
В книжном интернет-магазине OZON можно купить учебник Математика. Дидактические задания от издательства ДРОФА. Кроме этого, в нашем. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие.
Книга автора Богомолов Николай Васильевич — Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных. Математика Сборник дидактических заданий Богомолов.
21 сент. 2011 г. — Интересные рецензии пользователей на книгу Математика. Сборник дидактических заданий Богомолов, Сергиенко: Работаю по. решебник по математика дидактические задания богомолов — Tumblr
решебник по математика дидактические задания богомолов. image. Гдз 5 класс по матиматике виленкин по матиматике. Ответы по математике. Богомолов Н. В. Сборник задач по математике: учебное пособие.
7 дек. 2011 г. — Богомолов Н. В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов. и «Сборник дидактических заданий по математике» Н. В. Математика дидактические задания богомолов сергиенко решебник
Link to математика дидактические задания богомолов сергиенко решебник. Гдз дидактические материалы по математике богомолов и сергиенко.
5-е изд., стер. — М.: Дрофа, 2009. — 206 с.
В пособии представлены задачи по основным разделам математики: алгебре, началам анализа, дифференциальному и интегральному исчислениям, дифференциальным уравнениям, аналитической геометрии на плоскости, стереометрии, а также элементам комбинаторики и теории вероятностей. Выделены упражнения и задачи повышенной сложности и для повторения за курс девятилетней школы. Приводится справочный теоретический материал. Издание является одной из книг учебного комплекта, в который также входят учебник «Математика» Н. В. Богомолова, П. И. Самойленко (М.: Дрофа, 2002. — 400 с.) и «Сборник дидактических заданий по математике» Н. В. Богомолова и Л. Ю. Сергиенко.
Для студентов техникумов гуманитарных направлений, педагогических, финансово-экономических, технических, строительных, сельскохозяйственных. Может быть использован школьниками старших классов общеобразовательных школ и слушателями курсов по подготовке в вузы.
Формат: djvu / zip
Формат: pdf / zip
ОГЛАВЛЕНИЕПредисловиеЧАСТЬ 1. АЛГЕБРАМ НАЧАЛА АНАЛИЗАГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ§ 1. Действия над действительными и комплексными числами 4§ 2. Действия над приближенными числами. Абсолютная и относительная погрешности 6§ 3. Линейные уравнения с одной переменной 8§ 4. Линейные неравенства 9§ 5. Системы линейных уравнений 11§ 6. Квадратные уравнения 12§ 7. Квадратные неравенства 15§ 8. Иррациональные уравнения и иррациональные неравенства 16§ 9. Нелинейные системы уравнений с двумя переменными 17ГЛАВА 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ§ 10. Логарифмическая функция 19§ 11. Показательные уравнения и системы показательных уравнений. Показательные неравенства 20§ 12. Логарифмические уравнения и системы логарифмических уравнений. Логарифмические неравенства 22ГЛАВА 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ§ 13. Векторы на плоскости 23§ 14. Радианное измерение дуг и углов 24§ 15. Числовые значения и знаки тригонометрических функций 25§ 16. Вычисление значений тригонометрических функций по данному значению одной из них 26§ 17. Основные тригонометрические тождества. Доказательства тождеств 27§ 18. Периодичность тригонометрических функций 28§ 19. Формулы приведения 30§ 20. Обратные тригонометрические функции 31§ 21. Тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства 32§ 22. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы сложения) 35§ 23. Тригонометрические функции удвоенного аргумента (формулы удвоения) 36§ 24. Тригонометрические функции половинного аргумента (формулы деления) 38§ 25. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму 40§ 26. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение 41ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ§ 27. Предел функции 43§ 28. Производная степени и корня 45§ 29. Производная сложной функции (функции от функции). … 46§ 30. Геометрические приложения производной 47§ 31. Физические приложения производной 48§ 32. Производные тригонометрических функций. Производные обратных тригонометрических функций 49§ 33. Производные логарифмических и показательных функций 50§ 34. Исследование функций с применением производной 51§ 35. Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям 55ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЫ§ 36. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование 57§ 37. Геометрические и физические приложения неопределенного 58§ 38. Вычисление неопределенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) 60§ 39. Определенный интеграл и его непосредственное вычисление 62§ 40. Дифференциальные уравнения 63ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ§ 41. Элементы комбинаторики 65§ 42. Элементы теории вероятностей 66ЧАСТЬ 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ§ 43. Прямая линия 68§ 44. Окружность 72§ 45. Эллипс 73§ 46. Гипербола 74§ 47. Парабола с вершиной в начале координат 75§ 48. Парабола со смещенной вершиной 76ГЛАВА 8. ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИ§ 49. Прямая и плоскость в пространстве 11§ 50. Призма и параллелепипед 79§ 51. Площади поверхностей призмы и параллелепипеда 80§ 52. Пирамида. Усеченная пирамида 82§ 53. Площади поверхностей пирамиды и усеченной пирамиды 84§ 54. Цилиндр 86§ 55. Площади боковой и полной поверхностей цилиндра 87§ 56. Конус. Усеченный конус 88§ 57. Площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса 89§ 58. Сфера и шар. Вписанная и описанная сферы. Площади поверхностей сферы и ее частей 90§ 59. Объемы призмы и параллелепипеда 92§ 60. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды 93§ 61. Объемы фигур вращения 95§ 62. Вычисление объемов фигур вращения с помощью определенного интеграла 97ЧАСТЬ 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИГЛАВА 9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ§ 63. Линейные уравнения с одной переменной и системы линейных уравнений 98§ 64. Линейные неравенства и системы линейных неравенств 102§ 65. Решение неравенств методом промежутков (интервалов). Решение неравенств с модулем 104§ 66. Квадратные уравнения. Уравнения, приводимые к квадратным 104§ 67. Иррациональные уравнения и неравенства 108§ 68. Системы уравнений и выше степеней 109§ 69. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 111ГЛАВА 10. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ§ 70. Тригонометрические тождества. 115§ 71. Теоремы сложения. Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов 117§ 72. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение 118§ 73. Тригонометрические уравнения и тригонометрические неравенства 120ГЛАВА 11. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ§ 74. Прямая линия 122§ 75. Геометрические места точек на плоскости. Кривые второго порядка 123ГЛАВА 12. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ§ 76. Приложения производной к исследованию функций 126§ 77. Физические приложения производной 129ГЛАВА 13. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ§ 78. Геометрические приложения неопределенного интеграла 130§ 79. Физические приложения неопределенного интеграла 131§ 80. Определенный интеграл 132ЧАСТЬ 4. УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ЗА КУРС ДЕВЯТИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫГЛАВА 14. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ§ 81. Арифметические действия 135§ 82. Алгебраические действия 137ГЛАВА 15. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ. ДРОБНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ§ 83. Линейные уравнения и системы линейных уравнений 139§ 84. Линейные неравенства и системы линейных неравенств с одной переменной 141§ 85. Действия с дробными показателями и корнями 142ГЛАВА 16. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. ПРОГРЕССИИ§ 86. Квадратные уравнения и системы уравнений второй степени с двумя переменными 144§ 87. Квадратные неравенства 145§ 88. Прогрессии 146ЧАСТЬ 5. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫГЛАВА 17. АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА§ 89. Начальные сведения по арифметике 149§ 90. Периодические десятичные дроби 150§ 91. Проценты 151§ 92. Пропорции 151§ 93. Формулы сокращенного умножения 152§ 94. Действия со степенями и корнями 153§ 95. Комплексные числа в алгебраической форме 154§ 96. Линейные уравнения и системы линейных уравнений 156§ 97. Краткие сведения об определителях. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера 159§ 98. Решение системы трех линейных уравнений стремя переменными методом Гаусса 161§ 99. Квадратные уравнения и квадратные неравенства 162§ 100. Прогрессии 163§ 101. Иррациональные уравнения и иррациональные неравенства 164§ 102. Логарифмы. Логарифмические неравенства 165§ 103. Показательные неравенства 168§ 104. Элементы комбинаторики 168ГЛАВА 18. ТРИГОНОМЕТРИЯ§ 105. Основные тригонометрические тождества 170§ 106. Формулы приведения 172§ 107. Обратные тригонометрические функции. Простейшие тригонометрические уравнения 172§ 108. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов. Формулы удвоенного и половинного аргументов 174§ 109. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму и алгебраической суммы в произведение 175ГЛАВА 19. ГЕОМЕТРИЯ§ 110. Площади многоугольников. Окружность и круг 176§ 111. Объемы и площади поверхностей геометрических тел… 178ГЛАВА 20. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ§ 112. Прямая на плоскости 181§ 113. Кривые второго порядка 184ГЛАВА 21. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ§ 114.
Практические занятия по математике: решебник Богомолова Н.В.
Задать вопрос
«Богомолов практические занятия по математике» – такого запроса в поисковике достаточно, чтобы найти и скачать одно из лучших пособий по решению математических задач. Эта книга создана специально для студентов техникумов и колледжей, чьи специальности требуют хороших навыков в управлении цифрами. Давайте разберемся, для чего нужен учебник Н.В. Богомолова.
Из чего состоят практические занятия по математике
Основная цель любого практического курса – помочь студентам самостоятельно освоить конкретную дисциплину. Математическая наука особенно хорошо подходит для такого обучения при условии, что учащийся обладает самодисциплиной и усидчивостью. Ответы на вопросы здесь всегда можно получить, руководствуясь логически обоснованными правилами и формулами.
Любое пособие по решению математических задач состоит из трёх основных частей:
Теория – главные тезисы
Примеры – решение этих типовых задач
Задачи для самостоятельных занятий
Также во многих сборниках в конце приводятся ответы. Однако возможен вариант, что ответы и полные решения этих задач вынесены в приложение.
Учебник Н. В. Богомолов «Практические занятия по математике»
Учебное пособие, написанное заслуженным учителем России Николаем Васильевичем Богомоловым, выдержало более десятка переизданий. Материал в учебнике дается последовательно, он состоит из 29 глав, разделенных на четыре больших раздела:
Элементы вычислительной математики
Алгебра и начала анализа
Геометрия
Дополнительные главы
В каждой главе от двух до 30 параграфов. В них в краткой форме даются основные теоретические сведения по теме, приводятся примеры решения типовых задач, а также объясняется, как правильно их записывать. Каждая тема завершается смешанными упражнениями для самостоятельной работы. Такой подход позволяет студенту уверенно освоить весь курс – от приближенных значений чисел до вычислений с помощью двойных интегралов.
Важно: Книга Н.В. Богомолова создана специально для студентов, которые уже уверенно владеют школьной программой по математике.
Обратиться за помощью
Но почему учебник Н.В. Богомолова на протяжении стольких лет остается незаменимым средством для освоения математической науки? Главным его преимуществом является четкая практическая ориентированность: студент тратит время не на заучивание теории, а на ее применение к самым частым примерам. Благодаря этому учебный материал гораздо лучше закрепляется, и студенту на экзамене не придется возвращаться к книгам, чтобы вспомнить однажды вызубренную, но впоследствии забытую формулу. https://aldebaran.ru/author/vasilevich_bogomolov_nikolayi/kniga_prakticheskie_zanyatiya_po_matematik…
Решебник по практическим занятиям по математике Богомолов Н.В.
В конце сборника практических занятий приводятся ответы на задачи, чтобы учащиеся могли сами себя проверить. Однако велика вероятность того, что вам захочется не только узнать, правильно ли вы рассчитали результат, но и убедиться, что сам ход рассуждений при ответе был построен верно. Чтобы убедиться в своих выводах, вы можете отыскать в онлайн готовые решения из сборника Н.В. Богомолова. Подробные записи в этом «решебнике» приводятся в виде слайдов. https://math-helper.net/reshebniki-po-matematike/reshebnik-k-sborniku-zadach-po-matematike-dlya-tehn…
ГДЗ сборник задач ССУЗ по математике за 11 класс Богомолов Среднее профессиональное образование
«ГДЗ по математике за 11 класс, сборник задач (Дрофа) Среднее профессиональное образование, Богомолов» — это практически бесценный информационный справочник в руках того, кто им правильно пользуется. Благодаря этому учебно-методическому пособию школьник может подготовиться к:
проверочной работе;
важному тесту;
итоговому экзамену;
творческому проекту;
олимпиаде;
предметному конкурсу.
Любое испытание, а их будет немало в новом учебном году, выпускник сможет с легкостью преодолеть.
Математика в 11 классе
На последнем этапе учащимся предстоит не только повторить весь пройденный материал, но и изучить следующие темы:
Таблица производных.
Исследование функций.
Преобразование выражений, содержащих радикалы.
Обобщение понятия о показателе степени — начальные сведения.
Логарифм.
Правила отыскания первообразных.
Многим ребятам тяжело дается этот предмет. Но им стоить помнить о том, что путь к получению знаний тернист. При решении практических заданий могут возникать трудности. Но, чтобы хоть немного облегчить учебный процесс, следует обратиться за помощью к данному методическому пособию формата ГДЗ, которое было выпущено издательством «Дрофа».
Учителя и решебник по математике за 11 класс от Богомолова
Преподаватели готовятся точно так же к урокам, как и школьники. Даже опытным педагогам может потребоваться помощь «ГДЗ по математике за 11 класс, сборник задач (Дрофа) Среднее профессиональное образование, Богомолов Н. В.». В готовых домашних заданиях они найдут все необходимые сведения для:
составления поурочного плана;
быстрой проверки тетрадей учащихся;
разработки собственной методики обучения;
написания полезных карточек для занятий.
Благодаря этой ценной книге даже уроки будут проводиться в интересной и занимательной форме. И ученики перестанут пропускать занятия по неуважительным причинам.
Персональный онлайн-репетитор
Чтобы хорошо готовиться к урокам, одного учебника недостаточно. Сборник верных ответов — вот что может понадобиться выпускнику. Он больше не будет переживать за свои оценки, ведь ему гарантированы одни «пятерки». Ученику лишь нужно акцентировать свое внимание на темах, которые больше всего вызывают затруднения. А если вдруг возникнут вопросы, то найти ответы можно в этой прекрасной учебно-вспомогательной литературе, в которой каждый номер сопровождается авторскими комментариями. Это и отличает данный решебник от остальных подобных.
▶▷▶▷ гдз задачник богомолов
▶▷▶▷ гдз задачник богомолов
Интерфейс
Русский/Английский
Тип лицензия
Free
Кол-во просмотров
257
Кол-во загрузок
132 раз
Обновление:
08-09-2019
гдз задачник богомолов — Богомолов Сборник Задач По Математике Решебник Гдз docplayerru79872478-Bogomolov-sbornik-zadach Cached Богомолов Сборник Задач По Математике Решебник Гдз Богомолов Сборник Задач По Математике Решебник Гдз Богомолов Сборник Задач По Математике Решебник Гдз Загрузить, скачать решебник для Гдз для 7 класса, Богомолов читать Сборник задач по математике Онлайн: newgdzcomsbornik-zadach20556-bogomolov-chitat Берман читать Сборник задач по курсу математического анализа Онлайн тут: Письменный 1 курс читать Сборник задач по высшей математике Богомолов сборник задач по математике решебник гдз feelingismutualvintagecom7e467347 Cached Облако тегов: Решебник Сборник задач по математике Богомолов , ГДЗ по физике, Учебник по геометрии 79 класс Задачи на готовых чертежах, Физика 10 класс Задачник Часть 2 Генденштейн, Гдз гдз задачник по математике н в богомолов eleger2010tumblrcompost71741627719gdz Cached Как раз на здешнем сайте присутствует решебник сборник задач по математике богомолов н в , а также, в дополнение бессчетно полезных программ, как например гдз по русскому языку 10 11 класс Гдз по Математике сборник задач для ССУЗов , автор Богомолов gdzotputinaclub11-klassmatematikasbornik Cached Подробные гдз и решебник по Математике для студентов сборник задач ССУЗ, авторы учебника: Богомолов Гдз сборник задач по математике богомолов онлайн gicomne1974tumblrcompost73596064869gdz Cached Имя файла: bogomolov Главная страница Рецепты Богомолов сборник задач по математике гдз ГДЗ по сборнику задач, по МегаБотан ответы на домашку вариант 4 Задачник по математике Гдз Задачник По Математики НВБогомолов — specificationchi specificationchiweeblycombloggdz-zadachnik-po Cached Готовые домашние задания Единый государственный экзамен Госуд итоговая аттестация (ГИА) Вы здесь: Главная сайта ГДЗ Сборник задач Богомолов читать Сборник задач по математике Решебник к сборнику задач по математике для техникумов math-helpernetreshebniki-po-matematike Cached Теги богомолов математика для техникумов гдз богомолов гдз алгебра гдз 7 задачник Сборник задач по математике Богомолов НВ allengorgdmathmath705htm Cached Сборник задач по математике Богомолов НВ 5-е изд, стер — М: 2009 — 206 с В пособии Сборник задач по математике богомолов нв advice-merugdzsbornik-zadach-po-matematikesbornik Cached Сборник задач по математике богомолов нв- скачать гдз Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 46,600
easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 46
стер — М: 2009 — 206 с В пособии Сборник задач по математике богомолов нв advice-merugdzsbornik-zadach-po-matematikesbornik Cached Сборник задач по математике богомолов нв- скачать гдз Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
Гдз гдз задачник по математике н в богомолов eleger2010tumblrcompost71741627719gdz Cached Как раз на здешнем сайте присутствует решебник сборник задач по математике богомолов н в
Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд гдз задачник богомолов Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Решебник сборник задач ССУЗ по Математике за класс Данное пособие содержит решебник ГДЗ сборник задач ССУЗ по Математике за класс Автора Богомолов Решебник к сборнику задач по математике для техникумов Богомолов Н В Сборник задач по математике учебное bogomolov nv Богомолов Н В Сборник задач по математике учебное пособие для ссузов Н В Богомолов е изд, Решебник К Сборнику Задач По Математике Богомолов Спо дек В пособии представлены задачи по основным разделам математики алгебре, началам анализа, Решебник Сборник задач по математике Богомолов Н В pinterestru Решебник Сборник задач по математике Богомолов Н В Репетитор ЕГЭ и ОГЭ ГИА по МАТЕМАТИКЕ Москва Богомолов НВ Сборник задач по математике DJVU Все twirpxcomfile е изд, стер М Дрофа, с В пособии представлены задачи по основным разделам математики Решебник к сборнику задач по математике для техникумов Решебник к сборнику задач по математике для техникумов Богомолова НВ ОНЛАЙН Учебн Задачник содержит более несложных задач по общему и специальным курсам высшей сборник задач Богомолов ГДЗ https gdz rusbornikzadach ГДЗ Спиши готовые домашние задания сборник задач ССУЗ по математике за класс, решебник Богомолов PDF Решебник к учебнику богомолова практические занятия по шыныбеков сен Задачник по математике к учебнику Богомолова Алгебра класс гдз биболетова нужен Решебник сборник задач по математике н в богомолов Скиньте Настоящее пособие содержит решения задач и упражнений из сборника Богомолов Н В сборник задач по математике богомолов решебник где можно скачать Ответов сен Подскажите где можно посмотреть ГДЗ по задачнику НВБогомолова Ответов авг Никак не могу найти решебник к сборнику задач по математике Ответов авг гдз богомолов сборник дидактических задач по математике wwwjjcru gdz bogomolov sbornik Формат PDF Размер Мб Похожие файлы Сборник задач по математике Богомолов Н В В пособии Богомолов НВ Сборник задач по математике Studmedru studmedru bogomolov nv янв е изд, стер М Дрофа, сВ пособии представлены задачи по основным разделам Гдз по математике нв богомолов среднее bosterpridep mbosterpridepwebnoderu gdz po дек Гдз по математике нв богомолов среднее Авторы задачника Н В Богомолов Серия сборник задач Сборник задач по математике, Богомолов Название Сборник задач по математике Автор Богомолов НВ В пособии представлены задачи по Картинки по запросу гдз задачник богомолов Учебник НВ Богомолова , ПИСамойленко по математике tadttomskruuchebniknv Проектная группа по математике Учебник НВ Богомолова , ПИСамойленко по математике для учреждений СПО Математика Богомолов НВ, Самойленко ПИ allengorgdmathmathhtm Скачать Математика Богомолов НВ, Самойленко ПИ pdf; djvu ГДЗ по математике Высшая школа Сборник задач по математике НВ Богомолов Линейные ноя Сборник задач по математике НВ Богомолов Линейные неравенства хamp;gt;x Богомолов читать Сборник задач по математике Онлайн gdz com bogomolov Вы здесь Главная сайта ГДЗ Сборник задач Богомолов читать Сборник задач по математике Онлайн гдз нв богомолов сборник задач по математике Записи с liveinternetru гдз нв Записи с меткой гдз нв богомолов сборник задач по математике и еще записям на сайте сопоставлена такая Найдены в сети Не решается алгебравысшая Дневники wwwdiaryrueekphtm?oam фев Богомолов НВ Сборник задач по математике е изд, стер М Дрофа, а нет потfскуева геометрия класс задачник ? URL Профиль в Решебник по математике богомолов сборник вишневский uptrureshebnikpo май Система подберет все ГДЗ по указанным вами данным и подготовит для загрузки Приятного гдз физика класс задачник решебник класс математика захарова Бицадзе калиниченко решебник скачать PDF DocPlayerru Гдз богомолов сборник задач по математике Решебник задачник по высшей математике шипачев Математика богомолов решебник скачать история vberegarumatematika bogomolov янв Доступ к вводу ответов на задания и этапов в математика богомолов решебник скачать PDF Предпросмотр Теория вероятностей и математическая Составители Богомолов Юрий Викторович Максименко wwwastrospbu rustaffnsotTeachingtver zadachi html МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Богомолов НВ При решении задач по математике многие учащиеся нуждаются в помощи Подобного рода консультации и Н в богомолова для колледжа гдз cruzoplapmplnv bogomolov adl окт Решебник по Сборнику Задач по Математике Богомолов Задачник богомолова гдз ГДЗ от Путина для класса https gdz putinaruklass образование автор Богомолов НВ Алгебра класс задачник Базовый и углубленный уровень авторы ГДЗ Институт Хамбо Ламы Итигэлова etegelovru?dsdmap Всегда проверенные ГДЗ от признаных репетиторов лабораторные работы класс гдз Физика класс генденштейн задачник решебник Алгебра гдз нелин клас Гдз по математике богомолов Гдз по solutions pre Богомолов НВСборник задач по математике otropdf Scribd scribdcom Богомолов Н Scribd is the worlds largest social reading and publishing site Я Тарас это мой блог! решебник по математика янв Скачать математика дидактические задания богомолов гдз онлайн На большой скорости, Гдз по математике класс богомолов igarunranの日記 igarunrandiarynotejp авг Гдз по математике класс богомолов Download wlJMkСкачать решебн ГДЗ часть Название задачника Сборник задач по математике Поэтому при Решебник к сборнику задач по математике среднее wwwwwwwcomwhtm с и Сборник дидактических заданий по математике Н В Богомолова и Л Ю Сергиенко Для студентов Сборник задач по математике богомолов решебник wwwnpomedianarulibgphp? окт Студенту необходимо осуществить исполнение сборник задач по математике богомолов Uploads from Алина Кудрявцева YouTube апр Гдз алгебра класс мордкович задачник часть by Алина Решебник задачник богомолов Решеба класс, ГДЗ и Решебник Resheba gdz klass Подробные решебники, гдз и ответы ко всем учебникам и тетрадям за класс автор Богомолов НВ Сборник задач по математике богомолов решебник ответы янв МегаБотан ответы на домашку вариант Задачник по математике богомолов ГДЗ гдз по Гдз по математике богомолов среднее профессиональное wwwrvistacke gdz pomatematike Готовые домашние задания по физике гдз по математике богомолов среднее профессиональное образование к учебнику физика Гдз алгебра задачник класс мордкович год Решебник математики богомолов ycushapenguinhostscomreshebnik Решебник математики богомолов заболеваемость смертность одна Безусловные рефлексы Структура и Учебно методический комплекс дисциплины ЕН апр НВ Богомолов , е изд, стереотип Богомолов , НВ Сборник задач по математике учебное пособие Шипачев, ВС Задачник по высшей математике Учебн Пособие для Готовые домашние задания по математике виленкин yayayhebergratuitnet?z мар класс гдз Сборник задач по математике для заданиия гдз Сборник задач по математике богомолов н к записи Гдз по математике класс мордкович задачник Авторы Богомолов Нв Самойленко Пи Сборник Задач Гдз bogomolov gd ноя сен Богомолов НВ, Самойленко ПИ Математика е изд, стер Гдз по сборнику Модницы будут довольны! богомолов математика дек Сборник задач по математике, Богомолов НВ, богомолов математика решебник решебник гдз по алгебре класс задачник списывай ру геометрия классспишу Гдз по сборник задач богомолов ГДЗ онлайн Домашние мар Гдз по сборник задач богомолов гдз химия класс ярошенко Выделены частные и задачи Книга Сборник задач по математике Учебное пособие для labirintrubooks Автор Николай Богомолов Аннотация, отзывы читателей, иллюстрации Купить книгу по привлекательной цене Богомолов Николай Васильевич Автор Издательство Заслуженный учитель РСФСР, автор многочисленных учебных и методических пособий по математике Многие Решебник гдз богомолов практические занятия по Partytex partytexcoreshebnik gdz bogomolov Решебник гдз богомолов практические занятия по математике французский язык класс класс физика задачник генденштейн русский язык решебник львов класс гдз по геометрии Сборник задач богомолов решебник zalizniakru?yzksbornik bogomolov Импликация математики, методика современности, элементарная математика Огэ, дпа по мере История сборник задач по математике богомолов решебник скачать Богомолов НВ pdf; djvu Мы занимаемся решением задач не первый год, ГДЗ по Практическим Занятиям по гдз сборник задач по математике богомолов нв Prakard prakardcomviewtopicphp? фев ru texthtml vslhxmeksimtwru Гдз богомолов н в сборник задач по математике Free soft Запросы, похожие на гдз задачник богомолов сборник задач по математике богомолов гдз онлайн богомолов практические занятия по математике гдз гдз сборник задач по математике нвбогомолов решебник гдз сборник дидактических заданий по математике богомолов решебник сборник задач по математике богомолов среднее профессиональное образование математика дидактические задания богомолов сергиенко среднее профессиональное образование гдз гдз сборник задач по математике богомолов богомолов практические занятия по математике скачать След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка
Пожалуйста, соблюдайте авторские права. Несанкционированное использование запрещено.
Пожалуйста, соблюдайте авторские права. Несанкционированное использование запрещено.
1/2
1/2
Богомол сфотографирован в зоопарке Хьюстона в Техасе
Богомол сфотографирован в зоопарке Хьюстона в Техасе
Фотография Джоэла Сартора, National Geographic Photo Ark
Общее название:
Богомол
Научное название:
Mantis Religiosa
Тип:
Беспозвоночные
Диета:
Плотоядное животное
Средняя продолжительность жизни в дикой природе:
3 9000 9000 9000 9000 Размер:
0.От 5 до 6 дюймов в длину
Размер относительно чашки:
Статус Красного списка МСОП:?
Наименьшее беспокойство
Наименее опасное исчезновение
Текущая динамика численности населения:
Неизвестно
Что такое богомол?
Богомол назван в честь его выдающихся передних ног, которые согнуты и скреплены вместе под углом, указывающим на положение для молитвы.
Охотничьи приспособления
Как ни крути, эти очаровательные насекомые — грозные хищники.У них треугольные головы, расположенные на длинной «шее» или удлиненной грудной клетке. Богомолы могут поворачивать голову на 180 градусов, чтобы сканировать окружающую среду двумя большими сложными глазами и тремя другими простыми глазами, расположенными между ними.
Обычно зеленые или коричневые и хорошо замаскированные на растениях, среди которых они живут, богомолы устраиваются в засаде или терпеливо выслеживают свою добычу. Они используют свои передние ноги, чтобы поймать свою добычу с такими быстрыми рефлексами, что их трудно увидеть невооруженным глазом. Их ноги дополнительно оснащены шипами для ловли добычи и закрепления ее на месте.
Размножение и поведение
Бабочки, сверчки, кузнечики, мухи и другие насекомые обычно являются несчастными получателями нежелательного внимания богомолов. Однако насекомые поедают и других себе подобных. Самый известный пример этого — печально известное брачное поведение взрослой самки, которая иногда ест своего партнера сразу после — или даже во время — спаривания. Однако такое поведение, похоже, не удерживает самцов от воспроизводства.
Самки регулярно откладывают сотни яиц в маленьких ящиках, и из них вылупляются нимфы, очень похожие на крошечные копии своих родителей.
СМОТРЕТЬ: Богомол против кузнечика
Богомол безвреден для людей, но смертен для кузнечиков. А у богомола есть свои хищники, которых нужно остерегаться.
10 увлекательных фактов о богомолах
Слово богомол происходит от греческого mantikos , что означает прорицатель или пророк. Действительно, эти насекомые кажутся духовными, особенно когда их передние лапы сложены вместе, как будто они молятся. Узнайте больше об этих таинственных насекомых, ознакомившись с 10 увлекательными фактами о богомолах.
1. Большинство молящихся богомолов живут в тропиках
Из примерно 2000 описанных на сегодняшний день видов богомолов почти все — тропические существа. Всего со всего североамериканского континента известно всего 18 местных видов. Около 80% всех членов отряда Mantodea принадлежат к одной семье Mantidae.
2. Богомолы, которых мы чаще всего видим в США, являются экзотическими видами
У вас больше шансов найти интродуцированный вид богомолов, чем местного богомола.Китайский богомол ( Tenodera aridifolia ) был завезен около 80 лет назад недалеко от Филадельфии, штат Пенсильвания. Этот большой богомол может достигать 100 мм в длину. Европейский богомол Mantis Religiosa, бледно-зеленый и примерно вдвое меньше китайского богомола. Европейские богомолы были завезены около столетия назад недалеко от Рочестера, штат Нью-Йорк. Сегодня на северо-востоке США распространены как китайские, так и европейские богомолы.
3. Богомолы могут поворачивать голову на 180 градусов
Попробуйте подкрасться к богомолу, и вы можете быть поражены, когда он посмотрит на вас через плечо.Никакое другое насекомое не может этого сделать. У молящихся богомолов есть гибкий сустав между головой и переднегрудью, который позволяет им поворачивать голову. Эта способность, наряду с их довольно гуманоидными лицами и длинными хватательными передними лапами, привлекает к ним даже самых энтомофобных людей среди нас.
4. Богомолы тесно связаны с тараканами и термитами
Считается, что эти три, казалось бы, разных насекомых — богомолы, термиты и тараканы — произошли от общего предка.Фактически, некоторые энтомологи группируют этих насекомых в надотряд (Dictyoptera) из-за их тесного эволюционного родства.
5. Молящиеся богомолы зимуют в виде яиц в регионах с умеренным климатом
Самка богомола откладывает яйца на ветку или стебель осенью, а затем защищает их с помощью вещества, похожего на пенополистирол, которое она выделяет из своего тела. Это образует защитный футляр для яйца, или яйцеклетку, в которой ее потомство будет развиваться за зиму. Яйца богомолов легко обнаружить зимой, когда с кустов и деревьев опали листья.Но будьте осторожны! Если вы принесете зимующую оотеку в свой теплый дом, вы можете обнаружить, что ваш дом кишит крошечными богомолами.
6. Самки богомолов иногда поедают своих товарищей
Да, это правда, богомолы-женщины действительно каннибализируют своих сексуальных партнеров. В некоторых случаях она даже обезглавит беднягу до того, как они завершат свои отношения. Оказывается, мужчина-богомол становится любовником еще лучше, когда его мозг, контролирующий торможение, отделен от его брюшного ганглия, который контролирует фактический акт совокупления.Каннибализм варьируется у разных видов богомолов, по оценкам, от 46% всех сексуальных контактов до отсутствия вообще. Среди молящихся богомолов он встречается в 13–28% естественных встреч в полевых условиях.
7. Богомолы используют специальные передние лапы для поимки добычи
Богомол назван так потому, что ожидая добычу, он держит передние лапы в вертикальном положении, как если бы они были сложены в молитве. Однако не дайте себя обмануть его ангельской позе, потому что богомолы — смертельный хищник.Если пчела или муха приземлились в пределах досягаемости, богомол молниеносно протянул руки и схватил несчастное насекомое. Острые шипы окаймляют передние лапы богомола, позволяя ему крепко схватить добычу во время еды. Некоторые более крупные богомолы ловят и едят ящериц, лягушек и даже птиц. Кто сказал, что жуки находятся в самом низу пищевой цепочки ?! Богомола лучше называть хищным богомолом.
8. Богомолы относительно молоды по сравнению с другими древними насекомыми
Самые ранние ископаемые богомолы датируются меловым периодом, им от 146 до 66 миллионов лет.Этим примитивным образцам богомолов не хватает определенных черт, присущих современным богомолам. У них нет удлиненной переднеспинки или удлиненной шеи, как у современных богомолов, и у них нет шипов на передних ногах.
9. Молящиеся богомолы не обязательно полезные насекомые
Богомолы могут и будут есть много других беспозвоночных в вашем саду, поэтому их часто считают полезными хищниками. Однако важно отметить, что богомолы не различают хороших и плохих насекомых при поиске еды.Богомол с такой же вероятностью съест местную пчелу, опыляющую ваши растения, как и гусеницу-вредителя. Компании, занимающиеся садоводством, часто продают ящики китайских богомолов, рекламируя их как средство биологического контроля над вашим садом, но в конечном итоге эти хищники могут принести столько же вреда, сколько пользы.
10. У богомолов два глаза, но одно ухо
У богомола два больших сложных глаза, которые работают вместе, чтобы помочь ему расшифровать визуальные подсказки. Но, как ни странно, у богомола есть только одно ухо, расположенное на нижней стороне живота, прямо перед задними лапами.Это означает, что богомолы не могут различать ни направление звука, ни его частоту. Что может делать , так это обнаруживать ультразвук или звук, производимый эхолокационными летучими мышами. Исследования показали, что богомолы неплохо избегают летучих мышей. Полет богомола, по сути, будет останавливаться, падать и катиться в воздухе, унося бомбу в пикирование от голодного хищника. Не у всех богомолов есть ухо, а те, у которых его нет, обычно не летают, поэтому им не нужно спасаться бегством от летающих хищников, таких как летучие мыши.
Как богомолы могут помочь создать лучших роботов
Богомол мог бы быть Михаилом Барышниковым по сравнению с менее скоординированным Джо Шмо других бескрылых насекомых, по крайней мере, когда дело доходит до прыжков.В то время как многие прыгающие насекомые быстро вращаются в воздухе и приземляются случайным образом в ответ на пугающий раздражитель, бескрылый богомол точно и надежно прыгает, чтобы приземлиться на цель, и все это одним быстрым грациозным движением.
Исследователи из Кембриджского и Бристольского университетов, изучавшие механику прыжков богомолов с помощью видеозаписи с высокоскоростной камеры, опубликовали свои выводы в четверг в журнале Current Biology .
«Как, черт возьми, они это делают?» Малькольм Берроуз, почетный профессор кафедры зоологии Кембриджа, вспоминает свои мысли.«Какой механизм позволяет им так быстро и так точно прыгать к этой цели?»
На выставке насекомых он и Грегори Саттон, инженер-механик, в настоящее время работающий научным сотрудником Университета Королевского общества в Бристоле, купили несколько богомолов, которые начали размножаться в лаборатории. К этому времени двое мужчин изучили множество прыгающих насекомых, включая кузнечиков, блох, саранчу и слюнных жуков. Поскольку у насекомых более заметная структура скелета, меньше нейронов и их легко собрать и вырастить, объясняет Саттон, они «являются отличными модельными системами для изучения движения.
Как правило, Саттон объясняет, что чем меньше объект становится меньше, тем труднее контролировать его вращение в воздухе. Относительно небольшие богомолы были первыми бескрылыми насекомыми, которые они наблюдали, которые совершают такие контролируемые прыжки к цели, и Саттон «хотел посмотреть на глубокой физической механике ».
В пресс-релизе, объявляющем об исследовании« Богомолы обмениваются угловым моментом между тремя вращающимися частями тела, чтобы прыгать точно к цели », объясняется процесс:
При подготовке к прыжку сначала насекомые покачивайте головами в сторону, ища свои цели.Затем они раскачивают свое тело назад и загибают живот вверх кончиком вперед.
Отталкиваясь от ног, тела богомолов взлетают в воздух, контролируя вращение. Насекомые вращают три отдельные части тела — брюшко, передние и задние лапы — независимо и в сложной последовательности. Когда богомолы плывут по воздуху, вращение передается от одного сегмента тела к другому, удерживая тело в целом ровно и точно по цели.
Богомолы достигают своей цели в правильной ориентации, чтобы приземлиться стабильно.
Чтобы наблюдать прыжки, которые от взлета до приземления занимают менее десятой секунды, исследователи просмотрели сотни высокоскоростных видеороликов и рассчитали точные движения богомолов.
Чтобы проверить свои выводы, исследователи установили цель на разных расстояниях, чтобы гарантировать, что точные приземления не были случайными. Исследователи также провели эксперименты на живых насекомых, обездвиживая их брюшную полость с помощью клея, чтобы изучить эффект.В этих случаях насекомое «не контролировало свой прыжок должным образом», — говорит Берроуз, и «просто било цель». Другими словами, они увидели, что если одна часть системы будет взломана, это повлияет на точность прыжка.
«Теперь у нас есть хорошее понимание физики и биомеханики этой точной воздушной акробатики», — говорит Саттон в пресс-релизе. Но впереди еще много работы. «Поскольку движения такие быстрые, нам нужно понимать роль, которую мозг играет в их контроле, когда движения уже начаты.«
Еще в инженерной школе, — говорит Саттон, — они всегда обсуждали три стадии проблемы. Во-первых, вы должны уметь говорить об этом, затем вы должны добавлять числа, и только на третьем этапе вы сможете
Исследование, проведенное в четверг, попадет в стадию 2 и обещает робототехникам, которые борются с проблемами, с которыми они сталкиваются при создании все меньших роботов, например, как управлять вращением очень маленького робота, когда он прыгает с одного места на другое. Другой.
«Ну, вот маленькое насекомое, которое решило эту проблему», — говорит Берроуз, и теперь мы знаем, как это сделать. «Может быть, вы могли бы прикрепить стабилизаторы к телу робота, чтобы он мог двигаться, как богомол».
Высокоскоростное видео показывает каждую секунду смертельного удара богомола
Новое замедленное видео показывает, как богомолы хватают свою добычу с молниеносной и смертоносной точностью.
Хотя эти удары выполняются за микросекунды, длиннорукие хищники калибруют свои атаки еще быстрее, чем это, приспосабливаясь к скорости и движениям жертвы; Ученые сообщили в новом исследовании, что богомолы могут даже остановить несвоевременные атаки во время удара.
Связано: Обед на крыльях: Богомолы перекусывают птицами (фотографии)
Богомолы — хищники из засад; вместо того, чтобы преследовать или преследовать свою добычу, они выбирают насест и затем ждут, не двигаясь, сложив руки с шипами наготове. Когда ничего не подозревающая жертва подходит слишком близко, богомол делает выпад и хватается за извивающееся тело жертвы. Затем богомол почти сразу начинает питаться своей живой жертвой.
Долгое время считалось, что такой подход «сиди-и-жди» в основном универсален, и хищники снова и снова применяют один и тот же метод », — сказал ведущий автор исследования Серджио Россони, докторант кафедры естественных наук. Зоология в Клэр-колледже Кембриджского университета в Англии.
«Это потому, что многие известные хищники сидят и ждут, используют атаки, которые полагаются на заряженную пружину (как игрушка из домкрата), например, метательный язык лягушек или заряженный пунш из креветок-богомолов », — сказал Россони в электронном письме Live Science.
«Предполагалось, что пружина должна быть нагружена заданным усилием, чтобы отскочить назад, оставляя мало места для изменчивости», — пояснил он.
Но Россони и его соавтор Джереми Нивен, старший преподаватель Сассекского университета в Англии, подозревали, что атаки богомолов из засад могут быть более гибкими.Ученые проверили это, наблюдая и документируя охотничьи привычки мадагасканских мраморных богомолов ( Polyspilota aeruginosa ), создавая закрытые «арены» для их богомолов; предлагая им в качестве целей атаки маленьких насекомых или крошечные бусинки; и съемка ударов богомола со скоростью 200 кадров в секунду.
Огромное разнообразие
Затем исследователи просмотрели и проанализировали отснятый материал, снятый в замедленном темпе. Они обнаружили, что скорость ударов сильно различалась: некоторые занимали всего 60 миллисекунд (миллисекунда составляет одну тысячную секунды), а некоторые длились почти в пять раз дольше, до 290 миллисекунд.Согласно исследованию, скорость ударов богомолов менялась в зависимости от скорости движущейся добычи.
Еще более удивительным было то, что богомолы иногда «приостанавливали» в середине удара, чтобы исправить атаку, если они двинулись слишком рано, или чтобы отказаться от несвоевременного движения, прежде чем они поймали свою жертву — поведение, которое никогда не описывалось. — сказал Россони.
Последовательность движений конечностей богомола во время удара включает четыре основных этапа: приближение, выпад, захват и втягивание.(Изображение предоставлено: S. Rossoni и J. Niven, Biology Letters, https://doi.org/10.1098/rsbl.2020.0098)
Это говорит о том, что богомолы отслеживают время своих атак и вычисляют скорость и траекторию своей жертвы. Как выяснили исследователи, точно определить, когда они должны его схватить. Однако это не означает, что насекомые складывают числа в своих крошечных головах, сказал Россони.
«Я не предлагаю им заниматься математикой, точно так же, как люди сознательно не вычисляют скорость движущегося мяча, пытаясь его поймать.Но нервная система богомолов каким-то образом способна преобразовывать визуальную информацию о добыче в своевременную последовательность двигательной активности », — объяснил он.
« Для такого маленького мозга, как мозг насекомого, это довольно сложно! Итак, мы хотели бы понять, как нервная система богомолов способна на это, в будущих исследованиях », — сказал Россони.
Результаты были опубликованы в Интернете 13 мая в журнале Biology Letters . Живая наука .
Что вы видите, когда надеваете на богомолов миниатюрные очки? Новый метод зрения роботов
Если вы думали, что богомолы уже выглядят довольно круто, подождите, пока вы не увидите их в этих потрясающих оттенках. Ученые, надевшие крошечные трехмерные очки на этих миниатюрных охотников, обнаружили, что их система стереоскопического зрения не похожа на систему любого другого известного животного.
Открытия, описанные на этой неделе в журнале Current Biology, показывают, как эти замечательные насекомые развили сложные способности с таким крошечным мозгом — и могут оказаться полезными при разработке визуальных систем для будущих роботов.
Позвоночные животные используют стереоскопическое зрение для восприятия глубины. Каждый глаз видит немного другое изображение из-за его немного различающейся точки обзора, и мозг в основном сдвигает эти два изображения вместе и вычисляет расстояние между объектами на основе количества скольжения, необходимого для их совпадения.
Все виды животных, включая людей и других приматов, могут это делать, сказала старший автор исследования Дженни Рид, нейробиолог из Ньюкаслского университета в Англии. Но единственное известное насекомое, которое также обладает этой способностью, — это богомол, крошечное существо, в мозгу которого всего около миллиона нейронов.(По сравнению с примерно 100 миллиардами нейронов в человеческом мозге.)
«Полагаю, я пришел из этой предвзятой традиции позвоночных, которая считала стереопсис чем-то очень сложным и продвинутым, что могут делать только« высшие организмы »», — сказал Рид. «Сначала я был настроен скептически».
Ведущий автор Вивек Нитьянанда держит богомола на руке робота в стиле богомола.
(Университет Ньюкасла, Англия)
Рид и ее коллеги с тех пор подтвердили исследования 1980-х годов, показывающие, что богомолы действительно обладают трехмерным зрением.В статье 2016 года они использовали пчелиный воск, чтобы наклеить крошечные сине-зеленые трехмерные очки на лица богомолов и показали им трехмерные видеофильмы о том, что выглядело очень вкусной добычей, обнаружив, что насекомые бросались только на цели в трехмерных фильмах, а не в обычных двухмерных.
Трехмерное зрение — удобная способность для богомолов, которые являются умелыми охотниками на своих собратьев-насекомых и, как известно, иногда убивают небольших птичек. Но как такое, казалось бы, простое существо развило такую сложную способность? Их мозг обрабатывал визуальную информацию так же, как люди и другие позвоночные, или для этого использовался совершенно другой механизм?
«Я подумал, что это будет очень интересная вещь для расследования», — сказал Рид.Ответ, пояснила она, «в любом случае будет интересен».
Ученые уже знают, как сбить с толку человеческое трехмерное зрение — и поэтому они решили посмотреть, не станут ли богомолы жертвами тех же уловок.
Исследователи показали людям в трехмерных очках некоторые изображения движущихся темных и ярких точек, за исключением того, что изображение, показываемое одному глазу, было по существу фотонегативом другого. Поскольку человеческое зрение, кажется, пытается сопоставить контраст изображения с точки зрения каждого глаза, изменение контраста в одном из них неизбежно мешает человеческому восприятию глубины, сказал Рид.Зрители не могут сказать, какие элементы находятся поблизости, а какие далеко.
Богомолы, как выяснилось, не страдали той же проблемой.
«Их совершенно не смутила эта манипуляция, и они продолжали наносить удары, когда объекты были рядом, а не когда они были далеко», — сказал Рид. «Так что это рассказало нам кое-что довольно глубокое. Это говорило нам, что богомолы не используют корреляцию для своего стереозрения — по крайней мере, корреляцию контрастности изображения. Они делают что-то совсем другое.”
Богомол носит крошечные трехмерные очки, чтобы увидеть, как работает их стереоскопическое зрение.
(Университет Ньюкасла, Англия)
Затем ученые пошли еще дальше. Они показали каждому глазу свой набор некоррелированных точек, но оба с движущейся целью, проходящей через них. Опять же, там, где люди не могли заметить, когда объект был «близко», богомолы преуспели.
«Ясно, что они смогли сопоставить движущуюся цель, даже если точечный узор совсем не совпадал — а это то, что люди не могут сделать», — сказал Рид.
Ученые думают, что это потому, что насекомые не пытаются сопоставить все детали на изображениях, а вместо этого ищут изменения в световых узорах с течением времени. По сути, они ищут только то, что движется; Остальные мелочи на картинке не имеют значения.
«Это совершенно другой способ достижения восприятия глубины», — сказал Мартин Бэнкс, специалист по зрению из Калифорнийского университета в Беркли, который не принимал участия в исследовании.
«Мы настолько привязаны к этой идее о том, как стереопсис работает в мозгу приматов, что я, вероятно, просто не подумал бы об этом», — сказал он.
Богомол заглядывает через трубку. У этих насекомых есть стереоскопическое зрение, но механизмы, которые использует их мозг, кажутся отличными от нашего.
(Университет Ньюкасла, Англия)
Рид заметил, что у этих очень разных систем может быть причина. Человеческие зрительные системы очень хорошо распознают различия в неподвижных изображениях, что может помочь им лучше видеть сквозь маскировку. С другой стороны, исходя из их стиля охоты, богомолам может лучше служить система, которая улавливает только движения ближайшей добычи.
Бэнкс сказал, что идеи, полученные в результате изучения зрения богомола, могут выйти далеко за рамки одних только насекомых.
«Тот факт, что животное отличается от человека, не означает, что мы мало что узнаем о людях», — отметил Бэнкс. «В этом случае мы все сейчас подумаем, почему люди не развили этот же механизм?»
Результаты также могут помочь ученым разработать более совершенные компьютерные алгоритмы для более простых систем обработки изображений в дронах и других роботах, говорят исследователи.
«Мы думаем, что трехмерный алгоритм богомола, поскольку он проще, может быть реализован в системах обработки, требующих меньшей вычислительной мощности», — сказал ведущий автор исследования Вивек Нитьянанда, поведенческий эколог из Университета Ньюкасла. «Это может быть реализовано, например, в легких роботах».
Подпишитесь на @aminawrite в Twitter, чтобы получать больше научных новостей и ставить лайки Los Angeles Times Science & Health на Facebook.
БОЛЬШЕ НАУКИ
Как ваш мозг мог защитить вас от депрессии после выборов 2016 года, если результат вам не понравился? больничные трубы, ученые обнаружили ДНК, которая способствует распространению супербактерий
ОБНОВЛЕНИЯ:
3:15 стр.м. В эту историю добавлен комментарий Мартина Бэнкса, специалиста по зрению из Калифорнийского университета в Беркли.
Эта история была первоначально опубликована в 10:20 утра
Почему богомол ест свою половинку
Богомол ( Mantis Religiosa inornata ) назван в честь его выдающихся передних ног, которые сгибаются, чтобы принять позу для молитвы. Крупное насекомое, принадлежащее к семейству Mantidae или Mantids, этого подвида европейского богомола, имеет рост от 6 см до 7.5 см размером и встречается на Индийском субконтиненте.
На длинной «шее» изображена треугольная голова, которая может поворачиваться на полные 180 градусов. Это помогает богомолу сканировать свое окружение в поисках добычи и любых ближайших угроз поблизости. И у самцов, и у самок по две пары крыльев, но из-за огромного размера и веса самки ее крылья не поддерживают полет, тогда как самцы более активны и могут совершать короткие перелеты.
Их охотничье мастерство и взаимодействие между мужчинами и женщинами во многом зависят от их способности видеть.Зрение, являющееся краеугольным камнем их выживания, обеспечивается двумя большими выпуклыми сложными глазами для обнаружения малейшего движения и тремя простыми глазами меньшего размера между двумя большими глазами для обнаружения света. Еще одна уникальная особенность — заднегрудное ухо, которое обрабатывает звуки высоких и низких частот даже в ультразвуковом спектре.
Стратегический хищный инстинкт засады, исключительная маскировка, терпение и молниеносные рефлексы, часто ускользающие от невооруженного глаза, делают его одним из самых грозных охотников в мире насекомых.Его землистые оттенки зеленого или коричневого помогают ему прятаться на виду и тем лучше терпеливо выслеживать добычу. Передние лапы (также называемые рапториальными ногами) вооружены шипами, чтобы ловить добычу и удерживать ее, чтобы избежать промаха. Их внимание привлекают мотыльки, кузнечики и другие насекомые и беспозвоночные. Когда ему угрожает хищник, он стоит прямо, подняв хищные лапы над головой, чтобы выглядеть больше, чем есть на самом деле.
Эксперименты, проведенные еще в 1904 году Ди Чеснола, тогда студентом Оксфорда и учеником У.Ф. Р. Велдона, известного биолога, показали, что зеленая морфа (внешний вид) обнаруживается в областях с зеленой травой, а коричневая форма предпочитается. участки с коричневой флорой.Эти эксперименты легли в основу нашего понимания маскирующей цели его окраски. В эксперименте также широко использовался каннибализм, когда даже нимфы (молодые особи) питались друг другом, если им была предоставлена возможность.
Его брачное поведение широко известно: более крупная взрослая самка пожирает самца после или иногда во время процесса спаривания для питания. Такое поведение не мешает самцам воспроизводить потомство. Иногда это заставляет их настороженно относиться к размеру и силе самки.Поэтому самцы используют тактику «стоп-энд-гоу», которая помогает им незаметно выслеживать самок.
Богомолы обычно не видят неподвижных объектов, поэтому самцы обычно замирают, если видят, как самки двигаются или поворачивают голову. Хотя самцы из соображений собственной безопасности пытаются сбежать, как только спаривание завершается, многие из них в конечном итоге оказываются съеденными. После спаривания самки откладывают сотни яиц в ящик для яиц.
С наступлением сезона дождей обратите внимание на этих незаметных ниндзя на окружающих вас растениях.Вы увидите их до начала зимы. В Дели-NCR мы иногда встречаем других богомолов, таких как индийский богомол, вырастающий до 13-15 см. Он ходит вертикально, в отличие от палочника, у которого горизонтальная поза. Есть также цветочный богомол, который остается на цветках цвета своего тела, и коровый богомол, который имеет цвет и текстуру коры дерева.
Писатель является основателем NINOX — Owl About Nature, инициативы по повышению осведомленности о природе. Он является обозревателем Delhi-NCR для Ebird, инициативы Корнельского университета, отслеживающей редкие наблюдения за птицами.Ранее он руководил программой WWF Индии.
Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы и видеоразборы задач по теории вероятностей.
Полезные материалы
Теория вероятностей (Фоксфорд.Учебник)
Видеоразборы задач
За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 28 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 1 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России.
На рисунке изображен лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому еще не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придет к выходу D.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Подборка задач
В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора Максимова окажется запланированным на последний день конференции?
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орел, а во второй — решка.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.
Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
Если гроссмейстер Антонов играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Борисова с вероятностью 0,52. Если Антонов играет черными, то Антонов выигрывает у Борисова с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры Антонов и Борисов играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Антонов выиграет оба раза.
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых
Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Артем хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что Артем пойдет в магазин?
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трех предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трех предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что Петров получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что Петров сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Теория вероятностей. Задачи повышенной сложности (Математика 11 класс) доклад, проект
Слайд 1
Текст слайда:
Теория вероятностей.
Задачи повышенного и высокого уровней сложности
Математика 11 класс МБОУ СШ №12 Учитель: Шудраков Николай Николаевич
Слайд 2
Текст слайда:
Несовместные события
Два события А и В называются несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятные одновременно как событию А, так и событию В.
ПРИМЕР: Бросают кубик. События «выпало число 3» и «выпало четное число» несовместны. При этом события «выпало число больше 3» и выпало четное число» совместны.
Слайд 3
Текст слайда:
Объединение событий
Пусть событие С означает, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Тогда событие С называют объединением (суммой) событий А и В. С = А U В
Слайд 4
Текст слайда:
Вероятность несовместных событий
Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий А и В. Р(А U В) = Р(А) + Р(В)
Слайд 5
Текст слайда:
Независимые события
Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события
ПРИМЕР: Выполнили два подбрасывания монеты. События «при первом подбрасывании выпала решка» и «привтором подбрасывании выпал орел» независимы. В урне 2 белых и 2 черных шара. Событие «первый извлеченный шар белый» и «второй извлеченный шар черный — зависимые.
Слайд 6
Текст слайда:
Пересечение событий
Пусть событие С означает, что произошло как событие А, так и В. Тогда событие С называют пересечением (произведением) событий А и В. С = А ∩ В
Слайд 7
Текст слайда:
Вероятность независимых событий
Если события А и В независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий А и В. Р(А ∩ В) = Р(А) ∙ Р(В)
Слайд 8
Текст слайда:
Частота события
Частотой события А называют отношение m / n, где n – общее число испытаний, m – число появления события А. ПРИМЕР: Мы подбросили монету 100 раз, орел выпал 47 раз. Частота выполнения орла равна 47/100=0,47
Слайд 9
Текст слайда:
Задачи об объединении несовместных событий
1. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ромб», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Окружность», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Слайд 10
Текст слайда:
Задачи об объединении несовместных событий
2. Вероятность, что новая кофемолка прослужит больше года , равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.
Слайд 11
Текст слайда:
Задачи об объединении несовместных событий
3. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 25 пассажиров, равна 0,91. Вероятность того, что окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,39. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 18 до 25.
Слайд 12
Текст слайда:
Задачи о пересечении независимых событий
1. Если гроссмейстер К. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Н. с вероятностью 0,45. Если К. играет черными, то он выигрывает с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры К. и Н. играют две шахматные партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что К. выиграет оба раза.
Слайд 13
Текст слайда:
Задачи о пересечении независимых событий
2. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты (клиенты заходят независимо друг от друга).
Слайд 14
Текст слайда:
Задачи о пересечении независимых событий
3. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Слайд 15
Текст слайда:
Задачи о пересечении независимых событий
4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние три – промахнулся. Результат округлите до сотых.
Слайд 16
Текст слайда:
Задачи о пересечении независимых событий
5. Мышка заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и идти назад мышка не может, поэтому на каждом разветвлении мышка выбирает один из путей. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью мышка выйдет к выходу В.
Слайд 17
Текст слайда:
Задачи об объединении пересечений событий
1. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Билл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежат 5 револьверов, из них 2 пристрелянные. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадет в муху.
Слайд 18
Текст слайда:
Задачи об объединении пересечений событий
2. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,08. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.
Слайд 19
Текст слайда:
Задачи об объединении пересечений событий
3. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стёкол, вторая 40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным.
Слайд 20
Текст слайда:
Задачи об объединении пересечений событий
4. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятность выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
Урок 33. вероятность события. сложение вероятностей — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №33. Вероятность события. Сложение вероятностей.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— события, испытания, вероятность, случайное событие, невозможного и достоверного события;
— понятие классической вероятности события;
— поиск вероятности случайного события, пользуясь определением классической вероятности;
— поиск вероятности суммы событий.
Глоссарий по теме
Испытанием называется осуществление определенных действий.
Событие— факт, который может произойти в результате испытания.
Любой результат испытания называется исходом.
Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
Пространство элементарных событий Ω — множество всех различных исходов произвольного испытания.
Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.
Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.
Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.
Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.
Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.
Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Её ещё называют статистической вероятностью события.
Равновозможные события — такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.
Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.
Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1, сс. 180-188.
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. — ISBN 5-09-0066565-9. сс.242-261.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим пример:
В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти?
Варианты ответов:
1) вынутый предмет окажется клубком
2) вынутый предмет окажется красным клубком
3) вынутый предмет окажется зеленым клубком
4) вынутый предмет не окажется клубком
Ответ: первое и третье.
1. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей.
Определение.
Испытанием называется осуществление определенных действий.
Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.
Любой результат испытания называется исходом.
Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…).
Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения.
Процесс доставания предмета из коробки является испытанием.
Результат доставания предмета из корзины является событием.
Событие «вынутый предмет окажется клубком» является достоверным событием.
События «вынутый предмет не окажется клубком» или «вынутый предмет окажется красным клубком» являются невозможными событиями.
Событие «вынутый предмет окажется зеленым клубком» является вероятным событием.
А={вынутый предмет оказался клубком}.
В={вынутый предмет не оказался клубком.
С={вынутый предмет оказался зеленым клубком}.
D ={вынутый предмет оказался красным клубком}.
2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей
Определение
Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания.
Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω= {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w6}, где wi— выпадение i очков.
Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.
Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка».
Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.
Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.
Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху.
Например:
A – сдал экзамен по математике;
Ᾱ – не сдал экзамен по математике.
Определение.
Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.
Пример .
Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий.
Элементарными событиями являются:
— Выпало два «орла»
— Выпало две «решки»
— Выпал один «орел» и одна «рещка».
3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит.
Определение.
Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.
Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.
Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события.
Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем.
Пример.
Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков.
Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514.
1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий.
К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.
Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны.
Рассмотрим произвольный эксперимент.
Пусть n— число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число
Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0.
Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1.
2 .Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.
Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.
Например:
Пусть А — идет дождь, B — идет снег, тогда А + В – «идет снег или дождь»
При 3-х выстрелах по мишени события: А0 – «попаданий нет», А1 – «одно попадание», А2 – «два попадания», тогда А=А0+А1+А2 — «произошло не больше двух попаданий»
Пусть С — из урны вынули белый шар, D — из урны вынули белый шар, тогда C⋅D — из урны вынули два белых шара
Пусть С — из урны вынули белый шар, D — из урны вынули белый шар, тогда C⋅- из урны вынули два шара: белый и не белый
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1.
Известна история о том, как однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении насущного вопроса: какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?
Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:
Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различными способами (по 6 способов для первого, второго, пятого вариантов суммы, по 3 способа для третьего и четвертого вариантов, 1 способ для последнего варианта 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различными способами (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся друг к другу как 25:27, что и вызвало затруднения солдата.
Таким образом, чаще выпадает сумма 10.
Пример 2. В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу «основателей» теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. В 1654 г. шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем, связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей.
Одна из задач была поставлена следующим образом: Игральная кость бросается четыре раза. Шевалье бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для шевалье? Ответ округлите до десятых.
Решение:
Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет 6 · 6 · 6 · 6 = 1296.
Среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не выпадет ни разу.
В 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, что чуть больше 0,5.
Карта сайта
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя образовательная школа № 5 имени дважды Героя Советского Союза Ивана Даниловича Черняховского» Калининградская область, г. Черняховск, ул, Ленинградская, 18/2
О школе
Антикоррупционная деятельность
Сведения об образовательной организации
Публичный отчёт
История
Наши достижения
Коллектив
Структура школы
Сотрудничество с вузами
Охрана здоровья, безопасность
Охрана труда
Контакты
Задать вопрос
Качество условий оказания услуг
ФГОС
Поступающим
Школьная жизнь
Инновационная площадка. Самбо в школу
Школьный спортивный клуб «Энергия»
Фотогалерея
Видеогалерея
«Пятёрочка» школьная газета
Поезд памяти 2020
«Знамя Победы»
«Бессмертный полк школы»
К 75-летию Победы в Великой Отечественной войне
Медиация
История школы в истории Калининградской области
Выпускники МАОУ «СОШ № 5 им.И.Д. Черняховского»
Ученикам
Личный кабинет
Дорожная безопасность
Детский телефон доверия 8-800-2000-122
Информационная безопасность
Профориентация
Библиотека
Безопасность детей в быту
ВЕРСИЯ ДЛЯ СЛАБОВИДЯЩИХ ВВЕРХУ Аа
Учителям
Родителям
Личный кабинет
Дорожная безопасность
Сертификат ПФДО
Карта возможностей особого ребенка
ДОМ И СЕМЬЯ
ПРОКУРОР РАЗЪЯСНЯЕТ
!!! Реализация начального общего, основного общего и среднего общего образования с применением электронного обучения, дистанционных образовательных технологий
Учебные материалы
Для учеников
Для родителей
Для учителей
Результаты олимпиад
Учебники
Методические и иные документы
Новости
ВПР
Итоговая аттестация
ЕГЭ-11
Итоговое сочинение
ГИА-9
Итоговое собеседование
ВПР
Функциональная грамотность
«Антитеррор»
Независимая оценка качества образования
Программа развития школы и проекты
Центр «Точка роста»
2022-2023 УЧЕБНЫЙ ГОД
Организация питания
(ЦОС) Цифровая образовательная среда
Главная страница
›
Документы
Личный кабинет
Выйти
Презентация «Задачи по теории вероятностей»
#9 класс #10 класс #11 класс #Алгебра #Учебно-методические материалы #Презентация #Учитель-предметник #Школьное образование
Задачи по теории вероятностей
Выполнила:
учитель математики
МБОУ СШ №6
г. Камышина
Киселева Г.М.
Задача 1
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?
Решение:
4 цифры – количество благоприятных исходов
(0, 1, 2, 3)
2) 10 цифр – количество всевозможных исходов
3) Р = = 0,4
Ответ: 0,4
Задача 2
На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение:
1) 12 + 18 = 30 удобных мест – количество благоприятных исходов
2) 300 – количество всевозможных исходов
3) Р = = = 0,1
Ответ: 0,1
Задача 3
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение:
1) 100 сумок – количество благоприятных исходов
2) 100 + 8 = 108 сумок – количество всевозможных исходов
3) Р = = ≈ 0,9259 ≈ 0,93
Ответ: 0,93
Задача 4
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение:
1) (75 – 3 · 17) : 2 = 12 (докладов) – количество благоприятных исходов
2) 75 – количество всевозможных исходов
3) Р = = = 0,16
Ответ: 0,16
Задача 5
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Решение:
5 — благоприятные события
(2;6) (6;2) (3;5) (5;3) (4;4)
2) 36 – количество всевозможных исходов
3) Р = ≈ 0,1388 ≈ 0,14
Ответ: 0,14
Задача 6
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Решение:
1) 2 – количество благоприятных исходов (ОР И РО)
4 – количество всевозможных исходов
(ОР, ОО, РО, РР)
3) Р = = 0,5
Ответ: 0,5
Задача 7
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.
Решение:
1) 1 – количество благоприятных исходов (РРР)
8 – количество всевозможных исходов
(ООО, РОО, ОРО, ООР, РРО, РОР, ОРР, РРР)
3) Р = = 0,125
Ответ: 0,125
Задача 8
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
Решение:
1) 4 – количество благоприятных, т.е. с номером 2, исходов.
2) 16 – количество
всевозможных исходов
3) Р = = = 0,25
Ответ: 0,25
Задача 9
В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.
Решение:
1) Пусть один из друзей, например, Вадим находится в некоторой группе. В каждой группе – 7 учащихся. Значит, вариантов попасть в эту группу Олегу – 6.
2) 6 – количество благоприятных
исходов
3) 20 – количество всевозможных
Исходов
4) Р = = = 0,3
Ответ: 0,3
Задача 10
Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 102 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Решение:
1) 102 – количество благоприятных исходов
2) 1000 — количество всевозможных исходов
3) Р = = 0,102
4) 0,102 – 0,096 = 0,006
Ответ: 0,006
Правило сложения вероятностей
Если события А и В не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта, то такие события называют несовместными
если A и В несовместимые события, то вероятность того, что наступит хотя бы одно из двух событий А или В, равна сумме их вероятностей
Р(А+В) = Р(А)+Р(В),
Р(А) – вероятность события А,
Р(В) – вероятность события В.
Задача 11
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
1) Событие A: вопрос о вписанной окружности
Событие В: вопрос о параллелограмме.
В условии задачи сказано, что нет вопросов, которые одновременно относятся и к А и к В. События А и В являются несовместными.
Значит, применим правило сложения вероятностей
2) 0,2 + 0,15 = 0,35
Ответ: 0,35
Задача 12
Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада
Решение:
1) 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящ – количество всевозм. исходов
2) Р1 = = 0,2 — вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;
3) Р1 = = 0,35 — вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада;
4) По правилу сложения
несовместных событий:
0,2 + 0,35 = 0,55
Ответ: 0,55
Правило умножения вероятностей
Если события А и В не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта, то такие события называют несовместными
Если A и В независимые события, то вероятность одновременного наступления обоих событий А и В, равна произведению их вероятностей.
Р(А·В) = Р(А)·Р(В),
Р(А) – вероятность события А,
Р(В) – вероятность события В.
Задача 13
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение:
1) Событие Н: гроссмейстер А. играет белыми и выигрывает
Событие К: гроссмейстер А. играет белыми и выигрывает
2) События Н и К независимые события. Вероятность того, что гроссмейстер А. выиграет оба раза равна произведению вероятностей Р(Н) и Р(К).
Применим правило умножения вероятностей
0,52 · 0,3 = 0,156
Ответ: 0,156
Задача 14
Двое военнослужащих на учениях независимо друг от друга проходят полосу препятствий. Для первого вероятность пройти ее равна 0,8, а для второго 0,5. Найдите вероятность того, что они оба не пройдут это испытание.
Решение:
1 — 0,8 = 0,2 — вероятность того, что первый не пройдёт препятствие
1 — 0,5 = 0,5 — вероятность того, что
первый не пройдёт препятствие
3) Так как эти события независимы
друг от друга, то применим
правило умножения
вероятностей Р = 0,2 ∙ 0,5 = 0,1
Ответ: 0,1
Вероятностные задачи, методы решений в 11 классе
Дата публикации: .
Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать:Простейшие вероятностные задачи (PPTX)
Ребята, сегодня мы переходим к изучению элементов теории вероятностей. Что же такое «теория вероятности»? Теория вероятности – раздел математики занимающийся поиском закономерностей случайностей. Теория вероятности, как раздел математики сформировался не так давно, до начала ХХ века он считался разделом физики.
Различного рода случайности встречаются нам повсюду. Начиная с подбрасывания монетки, заканчивая гораздо более сложными вещами. Например, давайте вспомним знаменитый роман М. А. Булгакова «Мастер и Маргарита» и его «Аннушку с маслицем» и Берлиозом. На первый взгляд, все произошло случайно. Но зная все подробности, начинаешь в этом сомневаться. Так вот, нет ничего более стабильного, постоянного или, как говорят во взрослой математике «детерминированного», чем теория вероятности. В рамках математической задачи мы предполагаем, что все возможные исходы описаны и никакие случайности невозможны.
Давайте рассмотрим самый простой пример с подбрасыванием монетки. В реальной жизни при подбрасывании монетки может произойти все, что угодно: монетка может упасть ребром, например, в траву, может и вовсе не упасть — кто-нибудь поймает и унесет ее с собой. На процесс могут повлиять и другие факторы, которые принято называть случайными. При построении математической задачи подбрасывания монеты мы строго оговариваем условия нашего эксперимента. Мы договариваемся, что монетка симметричная и может упасть только орлом и решкой, падает на идеально ровную поверхность. Существуют и многие другие моменты, которые также должны быть оговорены. Если добавить «усложнения» к нашей задаче, то она, скорее всего, станет не решаемой в рамках школьной математики. Теория вероятности нашла свое применение практически во всех науках: квантовой физике, медицине, биологии, астрономии и многих других.
Как подсчитывать вероятность того или иного события?
Обратимся к классическому определению вероятности. При проведении некоторого эксперимента вероятностью события А называют отношение количества тех событий, когда А произошло к количеству всех проведенных испытаний данного эксперимента. Проще говоря:
Вероятность события, как известно, обозначается буквой Р, тогда математически классическое определение вероятности запишется: $P(A)=\frac{m}{n}$,
где n – количество всевозможных исходов испытания, m – количество благоприятных исходов.
При решении задач нам следует выполнить следующие действия:
Определить все возможные исходы и подсчитать их количество, то о чем мы говорили ранее.
Определить благоприятные нам исходы и подсчитать их количество.
Найти отношение благоприятных исходов к общему количеству исходов.
Классическое определение вероятности, можно применять только в том случае, если исходы всех событий являются равновозможными. Теория вероятности — интересный предмет. Как вы думаете, какова вероятность, выйдя на улицу встретить динозавра? Здравый смысл говорит, что это не возможно, то есть нулевая вероятность. Но мы можем построить математическую интерпретацию этой задачи так, что ответ будет 0,5. Мы либо встретим динозавра, либо нет. Но мы все таки живем в реальном мире и старайтесь решать задачи в рамках здравого смысла.
Пример. Петя подбрасывает игральный кубик, найти вероятность того, что у него выпадет: а) три очка; б) нечетное число очков; в) число очков большее четырех.
Решение. Первое, что нам надо сделать — найти количество всех исходов. Кубик имеет шесть граней, на каждой из которой написано число. При подбрасывании кубика возможно выпадение шести чисел, значит имеется 6 возможных исходов. а) При одном броске три очка или тройка может выпасть только один раз, значит благоприятных исходов только один. Согласно классическому определению вероятность будет равна — 1/6. б) Нечетных чисел может выпасть три: 1, 3, 5. Тогда благоприятных исходов — 3. Вероятность выпадения нечетного числа очков — 3/6=1/2. в) Число очков большее 4 мы получим, если выпадут цифры 5 или 6. Значит возможны два благоприятных исхода. Вероятность: 2/6=1/3.
Вспомним правило умножения: Для двух независимо проведенных испытаний А и В, число всех возможных исходов равно произведению количества исходов события А на количество исходов события В.
Пример. Петя дважды подбрасывает кубик. Найдите вероятность того, что у него в сумме выпадет 7 очков.
Решение. Кубик подбрасывается дважды — это два события, притом независимых: сколько очков выпадет второй раз ни как не зависит, от того сколько выпало в первый раз. Воспользуемся правилом умножения. Всего исходов получается: 6*6=36. Найдем благоприятные нам исходы, 7 очков может выпасть при таких комбинациях: (1;6), (6;1), (2;5), (5;2), (3;4), (4;3). Всего 6 благоприятных исходов. Используем классическое определение: 6/36=1/6.
Вспомним еще пару определений теории вероятности: Невозможное событие – это событие, которое в рамках нашей задачи произойти не может. Например, при подбрасывании двух кубиков, выпасть больше 12 очков не может. Вероятность невозможного события равна нулю.
Достоверное событие — событие, которое в рамках задачи, происходит всегда. При подбрасывании двух кубиков – сумма очков всегда будет больше одного. Вероятность достоверного события равна единице.
Противоположное событие – событие, обратное интересующему нас событию. В некоторых задачах проще найти противоположное событие. Противоположное событие событию А обозначается как ¯А, при чем: $P(A)+P(¯A)=1$.
Пример. В нашем алфавите 33 буквы: 10 гласных, 21 согласная и 2 особенные буквы. Выбирается две буквы, независимо друг от друга. Найти вероятности: а) выбраны разные буквы, б) выбраны буквы: ь и ъ, в) среди выбранных букв есть согласные, г) выбраны соседние буквы.
Решение: а) Первый раз мы можем выбрать любую букву алфавита, чтобы выбрать другую букву у нас остается 32 варианта. Тогда вероятность выбора разных букв: 32/33. б) Требуемые буквы – особенные (их всего две). В условии не оговорено, что они должны быть разными, тогда одна и таже буква может быть выбрана дважды. Выбор буквы независим, тогда всего у нас исходов 33*33. Благоприятных исходов получается — 2*2 так, как и первого, так и второго благоприятны всего два исхода. Ответ: 4/1089. в) В данном примере нам будет проще найти вероятность того, что среди выбранных букв нет согласных. Вероятность того, что оба раза выберут не согласную букву — 12*12/33*33 (по аналогии пункту б). Тогда вероятность появления согласной буквы — 1-144/1089=945/1089≈0,87. г) Для каждой буквы (кроме А и Я) есть сосед слева и справа, тогда букв с соседями: $33*2-2=64$. (Вычитаем 2 комбинации, так как у буквы «А» нет соседа слева, а у буквы «Я» нет соседа справа.) Тогда вероятность: 64/1089≈0,06.
Задачи для самостоятельного решения
1. Петя подбрасывает игральный кубик. Найдите вероятность того, что у него выпадет: а) четыре очка, б) четное число очков, в) число очков меньше четырех, г) число очков не меньше трех.
2. Петя дважды подбрасывает кубик. Найти вероятность: а) в сумме выпадет 10 очков, б) в сумме выпадет больше 11 очков, в) произведение, выпавших очков, равно 8, г) произведение, выпавших очков, меньше либо равно 12.
3. Иван выучил 25 вопросов к экзамену по математике. Всего 30 вопросов. Найти вероятность того, что Ивану не попадется выученный вопрос.
4. В урне 5 красных и 3 белых шара. Найти вероятность того, что наугад вытащенный шар будет белым. Найдите вероятность, что первый вытащенный шар — красный, а второй вытащенный шар — белый.
MBF3C Математика для 11 класса колледжа | Основы математики
MBF3C 11 класс Колледж Описание курса
Этот курс позволяет учащимся расширить свое понимание математики как инструмента решения задач в реальном мире. Студенты расширят свое понимание квадратичных отношений; исследовать ситуации, связанные с экспоненциальным ростом; решать проблемы со сложными процентами; решить финансовые проблемы, связанные с владением транспортным средством; развивать способность рассуждать, собирая, анализируя и оценивая данные, включающие одну переменную; связать вероятность и статистику; и решать задачи по геометрии и тригонометрии. Учащиеся будут укреплять свои математические навыки, решая задачи и сообщают о своих мыслях.
Предварительные требования: Основы математики, 10 класс, прикладные
MBF3C 11 класс Реальные задачи по математике для колледжа
Доступ к 3 актам математических задач, связанных с курсом математики колледжа MBF3C для 11 класса.
3 Act Math Tasks
MBF3C Заметки и раздаточные материалы по математике для 11 класса
MBF3C – Блок 1 – Тригонометрия
9 Сек. 1.1 – Еще раз об основных тригонометрических соотношениях стр. 13-15 #1-4, 6, 8, 10, 12
сек. 1.2 – Решение задач с использованием тригонометрических соотношений Стр. 21-23 #1-6, 12, 13
сек. 1.3 – Закон синусов стр. 32-33 #1-6, 8
сек. 1.4 – Закон косинусов стр. 39-41 #1-3, 5-7, 9
сек. 1.5 – Принятие решений с использованием тригонометрии Страница 48-51 #1-10
MBF3C – Модуль 2 – Вероятность
сек. 2.1 – Вероятностные эксперименты Стр. 66-67 #1-7
сек. 2.2 – Теоретическая вероятность Страница 73-74 #1-9
сек. 2.3 – Сравнение экспериментальных и теоретических вероятностей Стр. 82-83 #1-6, 8a
сек. 2.4 – Интерпретация информации, связанной с вероятностью Стр. 90-92 #1-8
MBF3C – Модуль 3 – Статистика одной переменной
сек. 3.1 – Методы отбора проб Стр. 106-109 #1-5, 7-10
сек. 3.2 – Сбор и анализ данных Страница 114-116 #1-10
сек. 3.3 – Отображение данных (день 1) Стр. 125-127 #1-3,6
сек. 3.3 – Отображение данных (день 2) стр. 125-128 #4, 5, 7, 9, 11
сек. 3.4 – Меры центральной тенденции Стр. 136-139 #1-3, 6-8
сек. 3.5 – Меры распространения (День 1) стр. 145-147 #5, 6, 7ab, 8, 10, 11
сек. 3.5 – Показатели распространения (День 2) Страница 145-147 #1-4, 9, 12
сек. 3.6 – Типы распределений Страница 153-155 #1-7
MBF3C – Блок 4 – Квадратичные соотношения I
Разд. 4.1 – Моделирование с помощью квадратичных уравнений (Часть 1) Стр. 174-175 #1, 3, 6
сек. 4.1 – Моделирование с помощью квадратичных уравнений (часть 2) стр. 174-176 #2, 4, 7, 9
сек. 4.2 – Квадратное соотношение y = ax 2 + k Страница 190-193 #1-3, 4(a,c,e,g), 7(a,c,e), 8
сек. 4.3 – Квадратичная зависимость y = a(x – h) 2 Страница 200-203 #1-4, 5(a,c), 7
сек. 4.4 – Квадратное соотношение y = a(x – h) 2 + k Страница 212-217 #1, 2(a,c,e,g), 6
сек. 4.5 – Интерпретация графиков квадратичных отношений стр. 222-225 #1(a,c,e,g), 2, 4, 5
сек. 4.6 – Графическое построение квадратичных уравнений в форме вершин Полные раздаточные материалы
MBF3C – Блок 5 – Квадратичные соотношения II
Разд. 5.1 – Расширение биномов Страница 238-241 #1, 2, 3-7(a,c,e)
сек. 5.2 – Переход от вершинной формы к стандартной форме Страница 245-247 #1-4(a,c,e), 6, 7
Страница 253-255 #1-3
сек. 5.4 — Факторные трехчлены формы y = ax 2 + bx + c Страница 259-263 #1-7(a,c,e)
сек. 5.5 – Х-пересечения квадратного отношения Страница 271-275 #1-2, 3-5(a,c,e), 6, 7(a,c,e)
MBF3C – Блок 7 – Экспоненты
Сек. 7.1 – Правила экспоненты Стр. 360-363 #1-5, 9, 10
сек. 7.2 – Нулевые и отрицательные экспоненты Страница 367-371 #1-3, 6-7(a,c,e), 8
сек. 7.3 – Исследование экспоненциальных зависимостей Страница 377-381 #1-3, 6, 7
сек. 7.4 – Экспоненциальные соотношения Стр. 390-394 #1-4, 6
сек. 7. 5 – Экспоненциальный рост и спад Стр. 401-405 #1(b,c,d), 2(b,c), 5(a,b), 6
сек. 7.6 – Решение проблем, связанных с экспоненциальным ростом и спадом Страница 410-413 #1-7
MBF3C – Раздел 8 – Сложные проценты
Страница 428-429 #1-7
Страница 432-435 #1-9
Страница 439-441 #1, 2-3(a,b), 4, 5, 8, 9
Страница 450-453 #3-10
MBF3C – Раздел 9 – Личные финансы
Страница 465-467 #2-5, 7-9
Стр. 472-473 #2, 3, 6, 7, 8, 10
Страница 479-481 #1, 2, 4-8
Стр. 486-487 #1, 5, 6, 8
Страница 493-495 #1-9
MBF3C 11 класс Колледж Математика
Направления и общие ожидания
Математические модели
MM1 – установить связи между числовыми, графическими представлениями и алгебраическими задачами
MM2 — продемонстрировать понимание показателей и установить связи между числовыми, графическими и алгебраическими представлениями экспоненциальных отношений;
MM3 — описывать и представлять экспоненциальные отношения, а также решать проблемы, связанные с экспоненциальными отношениями, возникающие в реальных приложениях.
Личные финансы
PF1 – сравнение простых и сложных процентов, связь сложных процентов с экспоненциальным ростом и решение задач, связанных со сложными процентами;
PF2 — сравнить услуги, доступные в финансовых учреждениях, и решить проблемы, связанные со стоимостью совершения покупок в кредит;
PF3 — интерпретировать информацию о владении и эксплуатации транспортного средства и решать проблемы, связанные с сопутствующими расходами.
Геометрия и тригонометрия
GT1 – различные способы представления двухмерных форм и трехмерных фигур, возникающих в реальных приложениях, и решение задач проектирования;
GT2 — решение задач, связанных с тригонометрией в остроугольных треугольниках, с использованием закона синуса и закона косинуса, включая задачи, возникающие в реальных приложениях.
Управление данными
DM1 – решать задачи, связанные с данными с одной переменной, путем сбора, организации, анализа и оценки данных;
DM2 — определить и представить вероятность, а также определить и интерпретировать ее приложения.
7 лучших вероятностных ресурсов и занятий по математике KS4
SecondaryMaths
Каковы шансы, что каждый ученик вашего класса освоит теорию вероятности? Что ж, эти ресурсы, безусловно, улучшат эти шансы
по
Ллойд Берджесс
Одна из критических замечаний, высказанных в адрес математики неэнтузиастами, состоит в том, что некоторые вещи, которые они узнали в школе, не имели никакого отношения к их жизни.
Не все из нас ежедневно пользуются программой Pythagoras, вычисление площади трехмерной фигуры не всегда необходимо , и вот что Cracked. com сказал о делении в длину:
Но на самом деле вероятность — это то, что окружает нас повсюду, особенно когда речь идет о финансах, риске и вознаграждении. В конце концов, кто-то всегда пытается убедить вас, что их продукт определенно стоит ваших инвестиций:
Нет. ваши ученики уже должны знать о вероятности достаточно, чтобы разглядеть подобную чепуху, но понимание этой области математики — одна из наиболее практических вещей, которые они научатся использовать во взрослой жизни.
Надеюсь, эти ресурсы помогут им в пути.
1 | Серый слон в Дании
Этот старый каштан — отличный способ познакомить учащихся с вероятностью.
Сначала им нужно придумать число, выполнить некоторые простые математические вычисления, а затем (после того, как они неизбежно останутся с числом четыре) придумать страну, начинающуюся с соответствующей буквы этого числа (если A=1, B=2 так далее).
Большинство людей инстинктивно выбирают Данию, поэтому, когда их просят подумать о животном, начинающемся со второй буквы названия страны, на ум приходит слон.
А когда их спросят, какого цвета это животное, если только они не пробовали шампанское в духе Дамбо, они скажут, что они серые.
После того, как вы получите результаты, страница разберет факторы вероятности, связанные с тем, почему она смогла предсказать, казалось бы, маловероятного серого слона из Дании, о котором подумали многие студенты.
Более того, вы испытываете огромное удовлетворение, когда получаете коричневую выдру из Доминиканской Республики, и она говорит вам, что вы уникальный человек.
Победа!
Попробуйте сами здесь.
2 | В коробке
Это не только отличное небольшое упражнение, вы также можете посмотреть на этого очаровательного котенка на плакате в формате PDF, который можно распечатать.
Здесь есть множество других вероятностных задач NRICH для KS4.
Но именно этот вы найдете здесь.
3 | Закономерности в случайных событиях
Это задание позволяет учащимся создать свою собственную игру в стиле ярмарочной площади, чтобы исследовать относительную частоту выброшенных случайным образом фишек, приземляющихся на определенные участки доски.
Учащиеся тестируют игру, подсчитывают свои результаты и представляют их в наиболее подходящей форме.
Это позволяет им исследовать вероятность с помощью честного тестирования и выяснить, какой размер выборки вам нужен, чтобы делать выводы на основе случайных результатов.
Загрузите PDF-файл для печати здесь.
4 | Камень, ножницы, бумага древовидные диаграммы
Это упражнение включает в себя классическую игру «Камень, ножницы, бумага» для ознакомления с древовидными диаграммами.
Ученики играют парами 30 раз. Каждая игра записывается в простую таблицу подсчета, отмечая, выигрывает ли игрок А, выигрывает игрок Б или ничья.
Затем они могут посмотреть на относительную частоту своих результатов, а также на результаты всего класса, что приведет к обсуждению теоретической вероятности, ожидания и относительной частоты.
Вы можете скачать план урока PowerPoint здесь.
Или вы можете просмотреть полный пост (включая ссылку для скачивания PowerPoint) здесь.
5 | Прогнозы Hi-Low
Это задание основано на старой карточной игре из телешоу Цена правильная .
Только, вместо ужасной моды 80-х и 90-х и толпы людей, кричащих вам «выше» или «ниже», вы должны действительно потратить время, чтобы вычислить вероятность того, что каждая карта окажется выше или ниже, чем предыдущая .
И хотя вы не играете в азартные игры на настоящие деньги (это было бы плохо), он хранит счет воображаемых финансов, на которые вы можете делать ставки, поэтому вы можете легко устроить соревнование в группах или в классе, чтобы узнать больше о риске. и вознаграждение.
Дайте вашим урокам бонус Брюси с этим заданием здесь.
6 | Глава вероятности OUP
Если вам нужна целая глава по обучению теории вероятностей бесплатно, OUP вам поможет.
Этот 32-страничный PDF-файл наполнен информацией, идеями и действиями.
Просто нажмите здесь, и вы можете скачать, распечатать и использовать.
7 | Оценка вероятностных утверждений
В этом ресурсе отдела стандартов DfE учащиеся обсуждают и разъясняют некоторые распространенные заблуждения о вероятности.
Это включает в себя обсуждение концепций равновероятных событий, случайности и размеров выборки.
Они также научатся рассуждать и объяснять. На этом занятии предполагается, что учащиеся уже сталкивались с вероятностью раньше.
Найдите этот ресурс здесь.
Вероятность в реальной жизни | Применение вероятности
Содержание
1.
Введение
2.
Что такое вероятность?
3.
Вероятность в математике
4.
Примеры вероятности из реальной жизни
5.
Резюме
6.
Часто задаваемые вопросы
Введение
При подбрасывании монеты выпадет либо вперед, либо решка, результат легко предсказуем. Но что, если вы подбросите две монеты одновременно? Результатом может быть комбинация головы и хвоста. В последнем случае правильный ответ получить невозможно, поэтому можно только предсказать возможность результата. Это предсказание известно как Вероятность. Вероятность широко используется во всех сферах повседневной жизни, таких как спорт, сводки погоды, образцы крови, предсказание пола ребенка в утробе матери, врожденные дефекты, статика и многое другое. В этой теме мы подробно узнаем о вероятности.
Вероятность в реальной жизни
Вот вероятность в PDF, которая объясняет, что вероятность как-то связана со шансом. Это изучение вещей, которые могут произойти или не произойти. Мы используем его большую часть времени, обычно не задумываясь об этом. Изучите вероятность в реальной жизни, нажав на ссылку для загрузки ниже:
📥
Вероятность в реальной жизни
Скачать
Что такое вероятность?
Вероятность наступления любого события можно назвать Вероятностью.
Применение вероятности
Некоторые приложения вероятности предсказывают результат, когда вы:
Подбрасываете монету.
Выбор карты из колоды.
Бросание игральной кости.
Вытащить зеленую конфету из мешка с красными конфетами.
Выигрыш в лотерею 1 из многих миллионов.
Вероятность в математике
Аль-Халил, математик с Ближнего Востока, написал «Книгу криптографических сообщений», в которой демонстрируется первое использование перестановок и комбинаций для перечисления всех арабских слов с гласными или без них. Это была самая ранняя форма вероятности и статистики.
Вероятность Раздел математики, связанный с численной иллюстрацией вероятности того, что событие может существовать. Вероятность возникновения любого события представляет собой число от 0 до 1, где 0 указывает на невозможность события, а 1 на его достоверность.
Теория вероятностей широко используется в таких областях, как статистика, финансы, азартные игры, искусственный интеллект, машинное обучение, информатика, теория игр и философия.
Формула для расчета вероятности
Примеры реальной вероятности
Планирование погоды: записывать риски, связанные с погодой. Метеорологи всего мира используют различные приборы и инструменты для прогнозирования изменений погоды. Они собирают базу данных прогноза погоды со всего мира, чтобы оценить изменения температуры и вероятные погодные условия для определенного часа, дня, недели и месяца.
Пример
Если вероятность дождя составляет 40 %, то погодные условия таковы, что 40 дней из 100 идет дождь.
Спортивные стратегии:
В спорте анализы проводятся с помощью вероятности, чтобы понять сильные и слабые стороны конкретной команды или игрока. Аналитики используют вероятность и шансы, чтобы предсказать результаты в отношении результатов команды и участников в спорте.
Тренеры используют вероятность как инструмент, чтобы определить, в каких областях их команда достаточно сильна и во всех областях им нужно работать, чтобы добиться победы. Тренеры даже используют вероятность, чтобы оценить способности конкретного игрока в его команде, а также когда разрешить ему играть и против кого.
Пример
Тренер по крикету оценивает способности игрока отбивать мяч и играть в боулинг, оценивая его средние результаты в предыдущих матчах, прежде чем включить его в состав.
Страхование:
страховые компании используют теорию вероятности или теоретическую вероятность для оформления полиса или его оформления по премиальной ставке. Теория вероятности — это статистический метод, используемый для предсказания возможности будущих результатов.
Пример
Оформление медицинской страховки для алкоголика, вероятно, дороже, чем для здорового человека. Статистический анализ показывает высокие риски для здоровья обычного алкоголика, гарантируя, что они представляют собой большой финансовый риск, учитывая более высокую вероятность серьезного заболевания и, следовательно, подачи заявки на получение премиальных денег.
В играх:
Блэкджек, покер, азартные игры, все виды спорта, настольные игры, видеоигры используют вероятность, чтобы узнать, насколько велики шансы команды или человека на победу.
Пример
При одновременном броске двух игральных костей результаты будут следующими:
Теория игр:
Он имеет приложения в социальных науках, логике, системных науках и информатике. В 1944 года Джон фон Нейман опубликовал статью «Теория игр и экономическое поведение». Он доказал теорему Брауэра о неподвижной точке о непрерывном отображении в компактные выпуклые множества, стандартный метод теории игр.
Применение переносимости в теории игр:
1. Экономика и бизнес: экономисты используют теорию игр в качестве инструмента для анализа экономической конкуренции и таких явлений, как торги, теория голосования, аукцион, проектирование механизмов. Руководители, инвесторы и менеджеры в деловом мире используют стратегию теории игр для инвестиций, запуска новых продуктов или входа в новый бизнес. Модели теории игр заставляют каждого игрока учитывать действия своего конкурента и планировать следующую стратегию.
2. В политике. Дипломаты и политики используют теорию игр для анализа любой конфликтной ситуации между отдельными людьми, компаниями, государствами и политическими партиями. Он также используется в военных стратегиях, политическом голосовании и политических делах.
3. В философии: философы используют теорию игр в различных аспектах философии.
4. В биологии: применяется для анализа аномальных природных явлений в биологии.
Сводка
Вероятность играет жизненно важную роль в повседневной жизни. В прогнозе погоды, спортивных и игровых стратегиях, покупке или продаже страховки, онлайн-покупках и онлайн-играх, определении групп крови и анализе политических стратегий.
Написано Нетравати С., учителем Куэмата
Часто задаваемые вопросы
Что такое определение вероятности?
Вероятность в математике можно определить как количество возможных исходов события.
Пример 1
Подбрасывание монеты: У монеты две лицевые стороны: орел и решка. Когда он перевернут, вероятность получения орла на выходе равна ½, а вероятность получения решки на выходе равна ½.
Как рассчитать вероятность?
Вероятность = количество благоприятных исходов/количество возможных исходов
Как вероятность используется в повседневной жизни?
Прогноз погоды
Расчет среднего показателя в крикете.
С какой вероятностью можно выиграть лотерейный билет.
Игральные карты
Стратегия голосования в политике
Бросание игральной кости.
Вытаскивание черных носков из ящика с белыми носками.
Покупка или продажа страховки.
Какие существуют 3 типа вероятности?
Теоретическая вероятность
Экспериментальная вероятность
Аксиоматическая вероятность
Каковы 5 правил вероятности?
Правило 1: Для любого события «А» вероятность возможных исходов равна 0 или 1, где 0 — событие, которое никогда не произойдет, а 1 — событие обязательно произойдет
P(A) = [0 < P(A) < 1]
Правило 2: Сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1,
если S является выборочным пространством в модели , тогда P(S) = 1
Правило 3: Если A и B два взаимоисключающих события, то
P (A или B) = P (A∪ B) = P (A) + P (B).
Это правило добавления для непересекающихся событий.
Правило 4: Дополнением любого события A является событие, состоящее из всех исходов, не входящих в A.
Правило 5: Если и A, и B независимы, то условная вероятность того, что событие B произойдет, при условии, что событие A уже произошло.
P ( A и B) = P (A) P (B | A). Это называется общим правилом умножения.
Концепции вероятности и статистики для средней школы – Time4Learning
Посмотрите наши демонстрации уроков!
Курс
«Концепции вероятности и статистики» — это факультативный курс для старших классов средней школы, цель которого — помочь учащимся применять идеи статистики в реальных ситуациях. Он идеально подходит для студентов, которым нужен альтернативный зачет по математике, но которые могут не захотеть изучать более продвинутые математические курсы, такие как алгебра II и предварительное исчисление.
На этой странице представлена информация об онлайн-курсе Time4Learning по статистике и вероятности, о том, почему важно понимать вероятность и статистику, а также о том, что вы можете ожидать от старшеклассника на этом двухсеместровом факультативе.
Зачем изучать теории вероятности и статистики в старшей школе?
Чему вы научитесь на уроках вероятности и статистики?
Вероятность и статистика в средней школе Объем и последовательность курса
Почему стоит выбрать учебную программу Time4Learning по теории вероятностей и статистике для старших классов?
Дополнительные предметы по выбору
Зачем изучать теории вероятности и статистики в старшей школе?
Часто, сами того не осознавая, мы все ежедневно пользуемся статистикой и вероятностью. От сводок погоды до результатов медицинских анализов, от опросов на выборах до данных переписи населения, вероятностный и статистический язык и концепции наполняют все аспекты жизни нашего общества. Введение в вероятность и статистику дает старшеклассникам возможность судить о том, верны ли выводы, сделанные на основе данных.
Успешная учебная программа по статистике в старших классах поможет учащимся стать информированными, критически настроенными пользователями данных, которые смогут осмысленно применять их в своей повседневной жизни. В эпоху, когда граждан бомбардируют аргументами за и против всего, от политических позиций до медицинских вмешательств, те, кто прошел курс статистики и вероятностей для средней школы, могут лучше судить об обоснованности утверждений каждой стороны.
Чему вы научитесь на уроках вероятности и статистики?
Курс Time4Learning по вероятности и статистике для старшей школы начинается с углубленного изучения вероятности с упором на концептуальное понимание. Затем учащиеся переходят к исследованию выборки и сравнению населения.
На протяжении всего курса статистики учащиеся будут стремиться к достижению следующих целей:
Понимание концепций вероятности, включая разницу между теоретической вероятностью и экспериментальными результатами.
Выразите вероятность одного или нескольких событий численно.
Понимать процедуры выборки и делать выводы о совокупностях на основе соответствующих выборок.
Вычисление и интерпретация описательных статистических данных о выборках, включая меры центра и меры изменчивости.
Графическое представление данных содержательными способами, включая точечные диаграммы, гистограммы и диаграммы.
Представление и интерпретация взаимосвязи между двумя переменными с помощью диаграмм рассеяния и регрессии.
Применять понимание нормально распределенных данных для выдвижения и проверки гипотез.
Применяйте концепции вероятности к различным ситуациям.
Курс вероятности и статистики в старших классах Объем и последовательность курса
Глава 1: «Основы вероятности»
Глава 2: «Вероятность»
Глава 3: «Применение вероятности»
Глава 4: «Распределение данных
.
Глава 5. «Выборка и сравнение популяций»
Глава 6: «Анализ данных»
Глава 7: «Строительство рассеянных графиков»
Глава 8: «Анализ рассеянных партий»
ГЛАВ 9: «Двух». Статистика»
Почему стоит выбрать учебную программу Time4Learning по теории вероятностей и статистике для старших классов?
Учебная программа Time4Learning по статистике на дому использует уникальные упражнения и материалы, чтобы помочь старшеклассникам связать данные с текущими реальными дилеммами. Этот курс подготовки к колледжу учит их абстрактно и количественно рассуждать и принимать обоснованные решения.
Если ваш школьник ищет факультатив по практической математике, это введение в вероятность и статистику предлагает:
9 глав и более 350 заданий, охватывающих все: от анализа данных до построения диаграмм рассеяния.
Содержание и задания соответствуют государственным стандартам содержания, чтобы дать учащимся всестороннее представление о статистике и вероятности для старших классов средней школы.
Занятия, которые вовлекают учащихся в активное обучение, включая визуальную поддержку, руководства и инструменты для создания заметок.
Онлайн-обучение для самостоятельного обучения, в котором используются видео, печатные материалы и виртуальная поддержка для вовлечения разных типов учащихся.
Интерактивные уроки, в которых используются таланты опытных учителей для вовлечения, поддержки и поощрения.
Постоянные, разнообразные и частые оценки для проверки усвоения материала учащимися.
Доступ родителей к инструментам планирования и ведения документации для более эффективного и результативного обучения на дому.
Обслуживание клиентов и поддержка не имеют себе равных в любом другом онлайн-курсе статистики домашнего обучения.
Дополнительные предметы по выбору
Обзор списка предметов по выбору
Экология
Социология
Введение в общение и речь
История искусства I
Психология
Введение в искусство
Современное здоровье
Основы личного здоровья
Пожизненный фитнес
Стратегии академического успеха
Здоровый образ жизни
Экономика
Личные финансы
Компьютерные приложения — Office 2019
Диаграмма Венна
Что такое диаграмма Венна?
Диаграмма Венна — это иллюстрация, которая использует круги, чтобы показать отношения между вещами или конечными группами вещей. Круги, которые перекрываются, имеют общие черты, в то время как круги, которые не перекрываются, не разделяют эти черты.
Диаграммы Венна помогают визуально представить сходства и различия между двумя концепциями. Они давно признаны за их полезность в качестве образовательных инструментов. С середины 20-го века диаграммы Венна использовались как часть вводной учебной программы по логике и в образовательных планах начального уровня по всему миру.
Ключевые выводы
На диаграмме Венна используются круги, которые перекрываются или не перекрываются, чтобы показать общие черты и различия между вещами или группами вещей.
Вещи, которые имеют общие черты, показаны как перекрывающиеся круги, в то время как вещи, которые различаются, стоят отдельно.
Диаграммы Венна теперь используются в качестве иллюстраций в бизнесе и во многих академических областях.
Понимание диаграмм Венна
Диаграммы Венна полезны для иллюстрации того, как различные концепции или факторы пересекаются друг с другом. Они могут с первого взгляда показать, чем вещи похожи или различаются, а также где и как они пересекаются. Часто центр диаграммы Венна (пересечение двух или более кругов) представляет собой некую связь или основную идею, которую можно разложить на различные другие круги с метками на внешних частях, более общими и отдельными идеями, чем те, что ближе к центру.
Перекрывающиеся области также можно использовать, чтобы показать, где два разных контекста имеют общие черты. Например, на диаграмме ниже мы видим, что, хотя городской и сельский контексты различаются своим собственным набором действий, они также имеют общие спортивные события.
Диаграмма Венна (нажмите, чтобы увеличить).
Грейс Флеминг
Компоненты диаграммы Венна
Хотя существует множество способов организовать диаграмму Венна, чаще всего они состоят из перекрывающихся кругов. Каждый круг сам по себе представляет , , которые могут включать идеи, концепции, числа или объекты.
Когда круги перекрываются или пересекаются, те подмножества, которые являются общими, известны как объединение или пересечение . Области, которые не перекрываются, показывают различия между наборами, а дополнительный набор относится ко всему, что не является общим для определенного набора или подмножества.
История и происхождение диаграмм Венна
Английский логик Джон Венн популяризировал диаграмму в 1880-х годах. Он назвал их эйлеровыми кругами в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера, создавшего подобные диаграммы в 1700-х годах.
Термин «диаграмма Венна» не появлялся до 1918 года, когда Кларенс Льюис, американский академический философ и в конечном итоге основатель концептуального прагматизма, назвал круговое изображение диаграммой Венна в своей книге «Обзор символической логики» .
Венн изучал и преподавал логику и теорию вероятностей в Кембриджском университете, где разработал свой метод использования диаграмм для иллюстрации раздела математики, известного как теория множеств. Он опубликовал работу, создающую прецедент, Логика случая , которая объясняет частотную теорию вероятностей. В нем он утверждал, что вероятность, вопреки распространенному предположению, должна устанавливаться на основе регулярности, с которой предсказывается что-то. В другой книге, Symbolic Logic, Venn , были построены и развиты теории математика Джорджа Буля по алгебре. Эта работа помогла ему разработать диаграмму Венна.
Диаграммы Венна использовались с середины 20-го века в классах от начальной школы до вводной логики.
Приложения для диаграмм Венна
Диаграммы Венна используются для изображения того, как элементы соотносятся друг с другом на общем фоне, вселенной, наборе данных или среде. Диаграмму Венна можно использовать, например, для сравнения двух компаний в одной отрасли, иллюстрируя продукты, предлагаемые обеими компаниями (где круги перекрываются), и продукты, которые являются эксклюзивными для каждой компании (внешние круги).
Диаграммы Венна на базовом уровне представляют собой простые графические изображения взаимосвязей, существующих между двумя наборами вещей. Однако они могут быть гораздо более сложными. Тем не менее, упрощенное назначение диаграммы Венна для иллюстрации понятий и групп привело к их популяризации во многих областях, включая статистику, лингвистику, логику, образование, информатику и бизнес.
Примеры диаграмм Венна
Диаграмму Венна можно нарисовать, чтобы проиллюстрировать фрукты красного или оранжевого цвета. Ниже мы видим, что есть оранжевые фрукты (круг B), такие как хурма и мандарины, а яблоки и вишни (круг A) окрашены в красный цвет. Перец и помидоры бывают как красного, так и оранжевого цвета, о чем свидетельствует перекрывающаяся область двух кругов.
Вы также можете нарисовать диаграмму Венна, чтобы решить, какую из двух машин купить. На диаграмме Венна показаны функции, присущие только каждой машине, и функции, которыми обладают обе машины.
Ниже мы видим, что автомобиль A — это седан, работающий на бензине и расходующий 20 миль на галлон, а автомобиль B — гибрид, расходующий 40 миль на галлон и являющийся хэтчбеком.
Заштрихованная область, где два круга перекрываются, показывает общие черты обоих автомобилей, в том числе радио, четыре двери, Bluetooth и подушки безопасности.
Диаграмма Венна графически отображает сходства и различия между двумя автомобилями, чтобы помочь решить, какой из них купить.
Что такое диаграмма Венна в математике?
Диаграмма Венна в математике используется в теории логики и теории множеств для отображения различных наборов или данных и их связи друг с другом.
Как читать диаграмму Венна?
Диаграмма Венна читается путем наблюдения за всеми кругами, составляющими всю диаграмму. Каждый круг — это отдельный элемент или набор данных. Части кругов, которые перекрываются, указывают области, которые являются общими среди различных элементов, тогда как части, которые не перекрываются, указывают на уникальные черты элемента или набора данных, представленного кружком.
Почему они называются диаграммами Венна?
Их называют диаграммами Венна, потому что диаграмма была разработана английским логиком Джоном Венном.
Как называется середина диаграммы Венна?
Середина диаграммы Венна, где два или более набора перекрываются, называется пересечением.
Всегда ли в диаграмме Венна используются 2 или 3 круга?
Хотя часто используется пара или тройка кругов, диаграмма Венна может использовать любое количество кругов (или любую другую форму), чтобы показать различия и пересечения различных наборов.
1.1 Определения статистики, вероятности и ключевых терминов
Статистическая наука занимается сбором, анализом, интерпретацией и представлением данных. Мы видим и используем данные в нашей повседневной жизни.
В этом курсе вы научитесь систематизировать и обобщать данные. Организация и обобщение данных называется описательной статистикой. Два способа суммировать данные — это графическое изображение и использование чисел, например, нахождение среднего значения. После того, как вы изучили вероятности и распределения вероятностей, вы будете использовать формальные методы для получения выводов из хороших данных. Формальные методы называются статистикой вывода. Статистический вывод использует вероятность, чтобы определить, насколько мы можем быть уверены в правильности наших выводов.
Эффективная интерпретация данных или вывод основан на хороших процедурах получения данных и вдумчивом изучении данных. Вы столкнетесь с тем, что вам покажется слишком много математических формул для интерпретации данных. Цель статистики не в том, чтобы выполнять многочисленные расчеты по формулам, а в том, чтобы получить представление о ваших данных. Расчеты можно производить с помощью калькулятора или компьютера. Понимание должно исходить от вас. Если вы сможете досконально понять основы статистики, вы будете более уверены в решениях, которые принимаете в жизни.
Статистические модели
Статистика, как и все другие разделы математики, использует математические модели для описания явлений, происходящих в реальном мире. Некоторые математические модели являются детерминированными. Эти модели можно использовать, когда одно значение точно определяется из другого значения. Примерами детерминированных моделей являются квадратные уравнения, описывающие ускорение автомобиля из состояния покоя, или дифференциальные уравнения, описывающие передачу тепла от плиты к кастрюле. Эти модели достаточно точны и могут использоваться для ответов на вопросы и прогнозирования с высокой степенью точности. Космические агентства, например, используют детерминированные модели, чтобы предсказать точную величину тяги, которая необходима ракете, чтобы оторваться от гравитации Земли и выйти на орбиту.
Однако жизнь не всегда точна. Хотя ученые могут с точностью до минуты предсказать время восхода солнца, они не могут точно сказать, где ураган обрушится на сушу. Статистические модели можно использовать для прогнозирования наиболее неопределен- ных жизненных ситуаций. Эти специальные формы математических моделей или функций основаны на идее, что одно значение влияет на другое значение. Некоторые статистические модели представляют собой более точные математические функции: один набор значений может предсказывать или определять другой набор значений. Или некоторые статистические модели представляют собой математические функции, в которых набор значений точно не определяет другие значения. Статистические модели очень полезны, поскольку они могут описывать вероятность или вероятность возникновения события и предоставлять альтернативные результаты, если событие не произойдет. Например, прогнозы погоды являются примерами статистических моделей. Метеорологи не могут с уверенностью предсказать завтрашнюю погоду. Однако они часто используют статистические модели, чтобы определить вероятность дождя в любой момент времени, и вы можете подготовиться, основываясь на этой вероятности.
Вероятность
Вероятность — это математический инструмент, используемый для изучения случайности. Он имеет дело с вероятностью возникновения события. Например, если вы подбрасываете монету четыре раза, результаты не могут быть двумя орлами и двумя решками. Однако, если вы подбросите одну и ту же монету 4000 раз, результаты будут близки к половине орла и полурешки. Ожидаемая теоретическая вероятность выпадения орла при одном броске составляет 1212 или 0,5. Несмотря на то, что результаты нескольких повторений неопределенны, существует регулярная картина результатов при большом количестве повторений. Прочитав об английском статистике Карле Пирсоне, который подбросил монету 24 000 раз и выпало 12 012 орлов, один из авторов подбросил монету 2 000 раз. Результатов было 996 голов. Дробь 9962 0009962 000 равна 0,498, что очень близко к 0,5, ожидаемой вероятности.
Теория вероятности началась с изучения азартных игр, таких как покер. Прогнозы принимают форму вероятностей. Чтобы предсказать вероятность землетрясения, дождя или того, получите ли вы A в этом курсе, мы используем вероятности. Врачи используют вероятность, чтобы определить вероятность того, что прививка вызовет болезнь, которую вакцинация должна предотвратить. Биржевой маклер использует вероятность для определения нормы прибыли на инвестиции клиента.
Ключевые термины
В статистике мы обычно изучаем население. Вы можете думать о населении как о наборе изучаемых лиц, вещей или объектов. Для изучения совокупности мы отбираем выборку. Идея выборки состоит в том, чтобы выбрать часть или подмножество большей совокупности и изучить эту часть — выборку — для получения информации о совокупности. Данные являются результатом выборки из населения.
Поскольку обследование всего населения требует много времени и денег, выборка является очень практичным методом. Если вы хотите рассчитать общий средний балл в вашей школе, имеет смысл выбрать выборку учащихся, посещающих школу. Данные, собранные из выборки, будут средними баллами учащихся. На президентских выборах берется выборка общественного мнения в 1000–2000 человек. Опрос общественного мнения должен отражать взгляды жителей всей страны. Производители банок с газированными напитками берут пробы, чтобы определить, содержит ли банка на 16 унций 16 унций газированного напитка.
Из выборочных данных мы можем рассчитать статистику. Статистика — это число, представляющее свойство выборки. Например, если мы рассматриваем один математический класс как выборку из 91 124 всех 90 369 математических классов, то среднее количество баллов, набранных учащимися в этом одном математическом классе в конце семестра, является примером статистики. Поскольку у нас нет данных по всем математическим классам, эта статистика является нашей наилучшей оценкой среднего значения для всей совокупности математических классов. Если у нас есть данные для все математических классов, мы можем найти параметр населения. Параметр — это числовая характеристика всего населения, которую можно оценить с помощью статистики. Поскольку мы считали все математические классы генеральной совокупностью, то среднее количество баллов, заработанных одним учащимся по всем математическим классам, является примером параметра.
Одной из основных проблем в области статистики является то, насколько точно статистика оценивает параметр. Чтобы иметь точную выборку, она должна содержать характеристики населения, чтобы быть репрезентативной выборкой. Нас интересует как статистика выборки, так и параметр совокупности в статистике вывода. В одной из последующих глав мы будем использовать выборочную статистику для проверки достоверности установленного параметра генеральной совокупности.
Переменная, обычно обозначаемая заглавными буквами, например X и Y , представляет собой характеристику или измерение, которое можно определить для каждого члена совокупности. Переменные могут описывать такие значения, как вес в фунтах или любимый предмет в школе. Числовые переменные принимают значения с одинаковыми единицами измерения, например, вес в фунтах и время в часах. Категориальные переменные помещают человека или вещь в категорию. Если мы допустим, что X равно количеству баллов, набранных одним студентом-математиком в конце семестра, то X — это числовая переменная. Если мы допустим, что Y является партийной принадлежностью человека, то некоторые примеры Y включают республиканцев, демократов и независимых. Y — категориальная переменная. Мы могли бы произвести некоторые математические действия со значениями X — вычислить среднее количество заработанных очков, например, — но нет смысла делать математические действия со значениями Y — вычисление средней партийной принадлежности не имеет смысла.
Данные — это фактические значения переменной. Это могут быть числа или слова. Datum — одно значение.
В статистике часто встречаются два слова: означает и пропорционально . Если бы вы сдали три экзамена на уроках математики и получили 86, 75 и 92 балла, вы бы рассчитали свой средний балл, сложив три экзаменационных балла и разделив их на три. Ваш средний балл будет 84,3 с точностью до одного десятичного знака. Если в вашем математическом классе 40 учеников, из них 22 мальчика и 18 девочек, то доля учащихся-мужчин составляет 22402240, а доля учащихся-женщин — 18401840. Среднее значение и пропорция обсуждаются более подробно в последующих главах.
ПРИМЕЧАНИЕ
Слова означают , а — среднее , часто используются как синонимы. В этой книге мы используем термин среднее арифметическое для обозначения среднего.
Пример 1.1
Определите, какие совокупность, выборка, параметр, статистика, переменная и данные используются в следующем исследовании:
Мы хотим узнать среднее количество внеклассных мероприятий, в которых участвуют старшеклассники. Мы случайным образом опросили 100 старшеклассников. Трое из этих студентов участвовали во 2, 5 и 7 внеклассных мероприятиях соответственно.
Решение 1. 1
Население состоит из старшеклассников.
Выборка — это 100 опрошенных старшеклассников.
Параметр — это среднее количество внеклассных занятий, в которых участвуют все старшеклассники.
Статистический показатель – это среднее количество внеклассных мероприятий, в которых участвует выборка старшеклассников.
Переменная может быть количеством внеклассных занятий на одного старшеклассника. Пусть X = количество внеклассных занятий одного старшеклассника.
Данные — это количество внеклассных мероприятий, в которых участвуют старшеклассники. Примеры данных: 2, 5, 7.
Пример 1.2
Определите, к чему относятся ключевые термины в следующем исследовании:
В местной средней школе было проведено исследование для анализа среднего совокупного среднего балла учащихся, окончивших школу в прошлом году. Вставьте букву фразы, которая лучше всего описывает каждый из пунктов ниже.
1. Население ____ 2. Статистика ____ 3. Параметр ____ 4. Выборка ____ 5. Переменная ____ 6. Данные ____
a) все учащиеся, посещавшие среднюю школу в прошлом году
b) совокупный средний балл одного учащегося, окончили среднюю школу в прошлом году
в) 3,65, 2,80, 1,50, 3,90
г) группа учащихся, окончивших среднюю школу в прошлом году, выбранная случайным образом
д) средний совокупный средний балл учащихся, окончивших старшая школа в прошлом году
f) все учащиеся, окончившие среднюю школу в прошлом году
g) средний совокупный средний балл учащихся, окончивших среднюю школу в прошлом году
Решение 1.2
1. f, 2. g, 3 е, 4. г, 5. б, 6. в
Пример 1.3
Определите, какие совокупность, выборка, параметр, статистика, переменная и данные упоминаются в следующем исследовании:
В рамках исследования, предназначенного для проверки безопасности автомобилей, Национальный совет по безопасности на транспорте собрал и рассмотрел данные о влиянии автомобильной аварии на испытательные манекены (The Data and Story Library, nd). Вот какой критерий они использовали.
Скорость, с которой автомобили разбивались
Местонахождение Водителя (т. е. манекена)
35 миль/час
Переднее сиденье
Таблица 1.1
Автомобили с манекенами на передних сиденьях врезались в стену на скорости 35 миль в час. Мы хотим знать долю манекенов на водительском сиденье, у которых были бы травмы головы, если бы они были настоящими водителями. Начнем с простой случайной выборки из 75 автомобилей.
Решение 1.3
Население — это все автомобили с манекенами на переднем сиденье.
Выборка — это 75 автомобилей, выбранных методом простой случайной выборки.
Параметр представляет собой долю фиктивных водителей, если бы они были реальными людьми, которые получили бы травмы головы среди населения.
Статистика — это доля манекенов водителей — если бы они были реальными людьми — которые получили бы травмы головы в выборке.
Переменная X = количество манекенов водителей, если бы они были реальными людьми, которые получили бы травмы головы.
Данные : да, травма головы; или нет, не сделал.
Пример 1.4
Определите совокупность, выборку, параметр, статистику, переменную и данные, упомянутые в следующем исследовании:
Страховая компания хотела бы определить долю всех врачей, принимавших участие в судебные иски о злоупотреблении служебным положением. Компания случайным образом отбирает 500 врачей из профессионального каталога и определяет число в выборке, которые были вовлечены в судебный процесс о злоупотреблении служебным положением.
Решение 1.4
Население — это все врачи, перечисленные в профессиональном справочнике.
196000 прописью на английском: in words 196000 — One hundred ninety-six thousand
196000 прописью на испанском: en palabras 196000 — Ciento noventa y seis mil
196000 прописью на немецком: in Worten 196000 — Einhundertsechsundneunzigtausend
196000 прописью на французском: par écrit 196000 — Cent-quatre-vingt-seize-mille
196000 прописью на португальском: em palavras 196000 — Cento e noventa e seis mil
196000 прописью на итальянском: in lettere 196000 — Centonovantaseimila
196000 прописью на украинском: прописом 196000 — Сто дев’яносто шість тисяч
196001 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч один
196001 прописью на английском: in words 196001 — One hundred ninety-six thousand one
196001 прописью на испанском: en palabras 196001 — Ciento noventa y seis mil uno
196001 прописью на немецком: in Worten 196001 — Einhundertsechsundneunzigtausendeins
196001 прописью на французском: par écrit 196001 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-un
196001 прописью на португальском: em palavras 196001 — Cento e noventa e seis mil e um
196001 прописью на итальянском: in lettere 196001 — Centonovantaseimilauno
196001 прописью на украинском: прописом 196001 — Сто дев’яносто шість тисяч один
Сумма 196001 прописью
196002 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч два
196002 прописью на английском: in words 196002 — One hundred ninety-six thousand two
196002 прописью на испанском: en palabras 196002 — Ciento noventa y seis mil dos
196002 прописью на немецком: in Worten 196002 — Einhundertsechsundneunzigtausendzwei
196002 прописью на французском: par écrit 196002 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-deux
196002 прописью на португальском: em palavras 196002 — Cento e noventa e seis mil e dois
196002 прописью на итальянском: in lettere 196002 — Centonovantaseimiladue
196002 прописью на украинском: прописом 196002 — Сто дев’яносто шість тисяч два
Сумма 196002 прописью
196003 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч три
196003 прописью на английском: in words 196003 — One hundred ninety-six thousand three
196003 прописью на испанском: en palabras 196003 — Ciento noventa y seis mil tres
196003 прописью на немецком: in Worten 196003 — Einhundertsechsundneunzigtausenddrei
196003 прописью на французском: par écrit 196003 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trois
196003 прописью на португальском: em palavras 196003 — Cento e noventa e seis mil e três
196003 прописью на итальянском: in lettere 196003 — Centonovantaseimilatre
196003 прописью на украинском: прописом 196003 — Сто дев’яносто шість тисяч три
Сумма 196003 прописью
196004 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч четыре
196004 прописью на английском: in words 196004 — One hundred ninety-six thousand four
196004 прописью на испанском: en palabras 196004 — Ciento noventa y seis mil cuatro
196004 прописью на немецком: in Worten 196004 — Einhundertsechsundneunzigtausendvier
196004 прописью на французском: par écrit 196004 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quatre
196004 прописью на португальском: em palavras 196004 — Cento e noventa e seis mil e quatro
196004 прописью на итальянском: in lettere 196004 — Centonovantaseimilaquattro
196004 прописью на украинском: прописом 196004 — Сто дев’яносто шість тисяч чотири
Сумма 196004 прописью
196005 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч пять
196005 прописью на английском: in words 196005 — One hundred ninety-six thousand five
196005 прописью на испанском: en palabras 196005 — Ciento noventa y seis mil cinco
196005 прописью на немецком: in Worten 196005 — Einhundertsechsundneunzigtausendfünf
196005 прописью на французском: par écrit 196005 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-cinq
196005 прописью на португальском: em palavras 196005 — Cento e noventa e seis mil e cinco
196005 прописью на итальянском: in lettere 196005 — Centonovantaseimilacinque
196005 прописью на украинском: прописом 196005 — Сто дев’яносто шість тисяч п’ять
Сумма 196005 прописью
196006 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч шесть
196006 прописью на английском: in words 196006 — One hundred ninety-six thousand six
196006 прописью на испанском: en palabras 196006 — Ciento noventa y seis mil seis
196006 прописью на немецком: in Worten 196006 — Einhundertsechsundneunzigtausendsechs
196006 прописью на французском: par écrit 196006 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-six
196006 прописью на португальском: em palavras 196006 — Cento e noventa e seis mil e seis
196006 прописью на итальянском: in lettere 196006 — Centonovantaseimilasei
196006 прописью на украинском: прописом 196006 — Сто дев’яносто шість тисяч шість
Сумма 196006 прописью
196007 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч семь
196007 прописью на английском: in words 196007 — One hundred ninety-six thousand seven
196007 прописью на испанском: en palabras 196007 — Ciento noventa y seis mil siete
196007 прописью на немецком: in Worten 196007 — Einhundertsechsundneunzigtausendsieben
196007 прописью на французском: par écrit 196007 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-sept
196007 прописью на португальском: em palavras 196007 — Cento e noventa e seis mil e sete
196007 прописью на итальянском: in lettere 196007 — Centonovantaseimilasette
196007 прописью на украинском: прописом 196007 — Сто дев’яносто шість тисяч сім
Сумма 196007 прописью
196008 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч восемь
196008 прописью на английском: in words 196008 — One hundred ninety-six thousand eight
196008 прописью на испанском: en palabras 196008 — Ciento noventa y seis mil ocho
196008 прописью на немецком: in Worten 196008 — Einhundertsechsundneunzigtausendacht
196008 прописью на французском: par écrit 196008 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-huit
196008 прописью на португальском: em palavras 196008 — Cento e noventa e seis mil e oito
196008 прописью на итальянском: in lettere 196008 — Centonovantaseimilaotto
196008 прописью на украинском: прописом 196008 — Сто дев’яносто шість тисяч вісім
Сумма 196008 прописью
196009 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч девять
196009 прописью на английском: in words 196009 — One hundred ninety-six thousand nine
196009 прописью на испанском: en palabras 196009 — Ciento noventa y seis mil nueve
196009 прописью на немецком: in Worten 196009 — Einhundertsechsundneunzigtausendneun
196009 прописью на французском: par écrit 196009 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-neuf
196009 прописью на португальском: em palavras 196009 — Cento e noventa e seis mil e nove
196009 прописью на итальянском: in lettere 196009 — Centonovantaseimilanove
196009 прописью на украинском: прописом 196009 — Сто дев’яносто шість тисяч дев’ять
Сумма 196009 прописью
196010 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч десять
196010 прописью на английском: in words 196010 — One hundred ninety-six thousand ten
196010 прописью на испанском: en palabras 196010 — Ciento noventa y seis mil diez
196010 прописью на немецком: in Worten 196010 — Einhundertsechsundneunzigtausendzehn
196010 прописью на французском: par écrit 196010 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-dix
196010 прописью на португальском: em palavras 196010 — Cento e noventa e seis mil e dez
196010 прописью на итальянском: in lettere 196010 — Centonovantaseimiladieci
196010 прописью на украинском: прописом 196010 — Сто дев’яносто шість тисяч десять
Сумма 196010 прописью
196011 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч одиннадцать
196011 прописью на английском: in words 196011 — One hundred ninety-six thousand eleven
196011 прописью на испанском: en palabras 196011 — Ciento noventa y seis mil once
196011 прописью на немецком: in Worten 196011 — Einhundertsechsundneunzigtausendelf
196011 прописью на французском: par écrit 196011 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-onze
196011 прописью на португальском: em palavras 196011 — Cento e noventa e seis mil e onze
196011 прописью на итальянском: in lettere 196011 — Centonovantaseimilaundici
196011 прописью на украинском: прописом 196011 — Сто дев’яносто шість тисяч одинадцять
Сумма 196011 прописью
196012 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двенадцать
196012 прописью на английском: in words 196012 — One hundred ninety-six thousand twelve
196012 прописью на испанском: en palabras 196012 — Ciento noventa y seis mil doce
196012 прописью на немецком: in Worten 196012 — Einhundertsechsundneunzigtausendzwölf
196012 прописью на французском: par écrit 196012 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-douze
196012 прописью на португальском: em palavras 196012 — Cento e noventa e seis mil e doze
196012 прописью на итальянском: in lettere 196012 — Centonovantaseimiladodici
196012 прописью на украинском: прописом 196012 — Сто дев’яносто шість тисяч дванадцять
Сумма 196012 прописью
196013 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тринадцать
196013 прописью на английском: in words 196013 — One hundred ninety-six thousand thirteen
196013 прописью на испанском: en palabras 196013 — Ciento noventa y seis mil trece
196013 прописью на немецком: in Worten 196013 — Einhundertsechsundneunzigtausenddreizehn
196013 прописью на французском: par écrit 196013 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-treize
196013 прописью на португальском: em palavras 196013 — Cento e noventa e seis mil e treze
196013 прописью на итальянском: in lettere 196013 — Centonovantaseimilatredici
196013 прописью на украинском: прописом 196013 — Сто дев’яносто шість тисяч тринадцять
Сумма 196013 прописью
196014 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч четырнадцать
196014 прописью на английском: in words 196014 — One hundred ninety-six thousand fourteen
196014 прописью на испанском: en palabras 196014 — Ciento noventa y seis mil catorce
196014 прописью на немецком: in Worten 196014 — Einhundertsechsundneunzigtausendvierzehn
196014 прописью на французском: par écrit 196014 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quatorze
196014 прописью на португальском: em palavras 196014 — Cento e noventa e seis mil e quartorze
196014 прописью на итальянском: in lettere 196014 — Centonovantaseimilaquattordici
196014 прописью на украинском: прописом 196014 — Сто дев’яносто шість тисяч чотирнадцять
Сумма 196014 прописью
196015 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч пятнадцать
196015 прописью на английском: in words 196015 — One hundred ninety-six thousand fifteen
196015 прописью на испанском: en palabras 196015 — Ciento noventa y seis mil quince
196015 прописью на немецком: in Worten 196015 — Einhundertsechsundneunzigtausendfünfzehn
196015 прописью на французском: par écrit 196015 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quinze
196015 прописью на португальском: em palavras 196015 — Cento e noventa e seis mil e quinze
196015 прописью на итальянском: in lettere 196015 — Centonovantaseimilaquindici
196015 прописью на украинском: прописом 196015 — Сто дев’яносто шість тисяч п’ятнадцять
Сумма 196015 прописью
196016 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч шестнадцать
196016 прописью на английском: in words 196016 — One hundred ninety-six thousand sixteen
196016 прописью на испанском: en palabras 196016 — Ciento noventa y seis mil dieciséis
196016 прописью на немецком: in Worten 196016 — Einhundertsechsundneunzigtausendsechzehn
196016 прописью на французском: par écrit 196016 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-seize
196016 прописью на португальском: em palavras 196016 — Cento e noventa e seis mil e dezesseis
196016 прописью на итальянском: in lettere 196016 — Centonovantaseimilasedici
196016 прописью на украинском: прописом 196016 — Сто дев’яносто шість тисяч шістнадцять
Сумма 196016 прописью
196017 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч семнадцать
196017 прописью на английском: in words 196017 — One hundred ninety-six thousand seventeen
196017 прописью на испанском: en palabras 196017 — Ciento noventa y seis mil diecisiete
196017 прописью на немецком: in Worten 196017 — Einhundertsechsundneunzigtausendsiebzehn
196017 прописью на французском: par écrit 196017 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-dix-sept
196017 прописью на португальском: em palavras 196017 — Cento e noventa e seis mil e dezessete
196017 прописью на итальянском: in lettere 196017 — Centonovantaseimiladiciassette
196017 прописью на украинском: прописом 196017 — Сто дев’яносто шість тисяч сімнадцять
Сумма 196017 прописью
196018 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч восемнадцать
196018 прописью на английском: in words 196018 — One hundred ninety-six thousand eighteen
196018 прописью на испанском: en palabras 196018 — Ciento noventa y seis mil dieciocho
196018 прописью на немецком: in Worten 196018 — Einhundertsechsundneunzigtausendachtzehn
196018 прописью на французском: par écrit 196018 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-dix-huit
196018 прописью на португальском: em palavras 196018 — Cento e noventa e seis mil e dezoito
196018 прописью на итальянском: in lettere 196018 — Centonovantaseimiladiciotto
196018 прописью на украинском: прописом 196018 — Сто дев’яносто шість тисяч вісімнадцять
Сумма 196018 прописью
196019 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч девятнадцать
196019 прописью на английском: in words 196019 — One hundred ninety-six thousand nineteen
196019 прописью на испанском: en palabras 196019 — Ciento noventa y seis mil diecinueve
196019 прописью на немецком: in Worten 196019 — Einhundertsechsundneunzigtausendneunzehn
196019 прописью на французском: par écrit 196019 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-dix-neuf
196019 прописью на португальском: em palavras 196019 — Cento e noventa e seis mil e dezenove
196019 прописью на итальянском: in lettere 196019 — Centonovantaseimiladiciannove
196019 прописью на украинском: прописом 196019 — Сто дев’яносто шість тисяч дев’ятнадцять
Сумма 196019 прописью
196020 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двадцать
196020 прописью на английском: in words 196020 — One hundred ninety-six thousand twenty
196020 прописью на испанском: en palabras 196020 — Ciento noventa y seis mil veinte
196020 прописью на немецком: in Worten 196020 — Einhundertsechsundneunzigtausendzwanzig
196020 прописью на французском: par écrit 196020 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-vingt
196020 прописью на португальском: em palavras 196020 — Cento e noventa e seis mil e vinte
196020 прописью на итальянском: in lettere 196020 — Centonovantaseimilaventi
196020 прописью на украинском: прописом 196020 — Сто дев’яносто шість тисяч двадцять
Сумма 196020 прописью
196021 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двадцать один
196021 прописью на английском: in words 196021 — One hundred ninety-six thousand twenty-one
196021 прописью на испанском: en palabras 196021 — Ciento noventa y seis mil veintiuno
196021 прописью на немецком: in Worten 196021 — Einhundertsechsundneunzigtausendeinundzwanzig
196021 прописью на французском: par écrit 196021 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-vingt et un
196021 прописью на португальском: em palavras 196021 — Cento e noventa e seis mil e vinte e um
196021 прописью на итальянском: in lettere 196021 — Centonovantaseimilaventuno
196021 прописью на украинском: прописом 196021 — Сто дев’яносто шість тисяч двадцять один
Сумма 196021 прописью
196022 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двадцать два
196022 прописью на английском: in words 196022 — One hundred ninety-six thousand twenty-two
196022 прописью на испанском: en palabras 196022 — Ciento noventa y seis mil veintidós
196022 прописью на немецком: in Worten 196022 — Einhundertsechsundneunzigtausendzweiundzwanzig
196022 прописью на французском: par écrit 196022 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-vingt-deux
196022 прописью на португальском: em palavras 196022 — Cento e noventa e seis mil e vinte e dois
196022 прописью на итальянском: in lettere 196022 — Centonovantaseimilaventidue
196022 прописью на украинском: прописом 196022 — Сто дев’яносто шість тисяч двадцять два
Сумма 196022 прописью
196023 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двадцать три
196023 прописью на английском: in words 196023 — One hundred ninety-six thousand twenty-three
196023 прописью на испанском: en palabras 196023 — Ciento noventa y seis mil veintitrés
196023 прописью на немецком: in Worten 196023 — Einhundertsechsundneunzigtausenddreiundzwanzig
196023 прописью на французском: par écrit 196023 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-vingt-trois
196023 прописью на португальском: em palavras 196023 — Cento e noventa e seis mil e vinte e três
196023 прописью на итальянском: in lettere 196023 — Centonovantaseimilaventitré
196023 прописью на украинском: прописом 196023 — Сто дев’яносто шість тисяч двадцять три
Сумма 196023 прописью
196024 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двадцать четыре
196024 прописью на английском: in words 196024 — One hundred ninety-six thousand twenty-four
196024 прописью на испанском: en palabras 196024 — Ciento noventa y seis mil veinticuatro
196024 прописью на немецком: in Worten 196024 — Einhundertsechsundneunzigtausendvierundzwanzig
196024 прописью на французском: par écrit 196024 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-vingt-quatre
196024 прописью на португальском: em palavras 196024 — Cento e noventa e seis mil e vinte e quatro
196024 прописью на итальянском: in lettere 196024 — Centonovantaseimilaventiquattro
196024 прописью на украинском: прописом 196024 — Сто дев’яносто шість тисяч двадцять чотири
Сумма 196024 прописью
196025 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двадцать пять
196025 прописью на английском: in words 196025 — One hundred ninety-six thousand twenty-five
196025 прописью на испанском: en palabras 196025 — Ciento noventa y seis mil veinticinco
196025 прописью на немецком: in Worten 196025 — Einhundertsechsundneunzigtausendfünfundzwanzig
196025 прописью на французском: par écrit 196025 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-vingt-cinq
196025 прописью на португальском: em palavras 196025 — Cento e noventa e seis mil e vinte e cinco
196025 прописью на итальянском: in lettere 196025 — Centonovantaseimilaventicinque
196025 прописью на украинском: прописом 196025 — Сто дев’яносто шість тисяч двадцять п’ять
Сумма 196025 прописью
196026 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двадцать шесть
196026 прописью на английском: in words 196026 — One hundred ninety-six thousand twenty-six
196026 прописью на испанском: en palabras 196026 — Ciento noventa y seis mil veintiséis
196026 прописью на немецком: in Worten 196026 — Einhundertsechsundneunzigtausendsechsundzwanzig
196026 прописью на французском: par écrit 196026 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-vingt-six
196026 прописью на португальском: em palavras 196026 — Cento e noventa e seis mil e vinte e seis
196026 прописью на итальянском: in lettere 196026 — Centonovantaseimilaventisei
196026 прописью на украинском: прописом 196026 — Сто дев’яносто шість тисяч двадцять шість
Сумма 196026 прописью
196027 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двадцать семь
196027 прописью на английском: in words 196027 — One hundred ninety-six thousand twenty-seven
196027 прописью на испанском: en palabras 196027 — Ciento noventa y seis mil veintisiete
196027 прописью на немецком: in Worten 196027 — Einhundertsechsundneunzigtausendsiebenundzwanzig
196027 прописью на французском: par écrit 196027 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-vingt-sept
196027 прописью на португальском: em palavras 196027 — Cento e noventa e seis mil e vinte e sete
196027 прописью на итальянском: in lettere 196027 — Centonovantaseimilaventisette
196027 прописью на украинском: прописом 196027 — Сто дев’яносто шість тисяч двадцять сім
Сумма 196027 прописью
196028 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двадцать восемь
196028 прописью на английском: in words 196028 — One hundred ninety-six thousand twenty-eight
196028 прописью на испанском: en palabras 196028 — Ciento noventa y seis mil veintiocho
196028 прописью на немецком: in Worten 196028 — Einhundertsechsundneunzigtausendachtundzwanzig
196028 прописью на французском: par écrit 196028 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-vingt-huit
196028 прописью на португальском: em palavras 196028 — Cento e noventa e seis mil e vinte e oito
196028 прописью на итальянском: in lettere 196028 — Centonovantaseimilaventotto
196028 прописью на украинском: прописом 196028 — Сто дев’яносто шість тисяч двадцять вісім
Сумма 196028 прописью
196029 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч двадцать девять
196029 прописью на английском: in words 196029 — One hundred ninety-six thousand twenty-nine
196029 прописью на испанском: en palabras 196029 — Ciento noventa y seis mil veintinueve
196029 прописью на немецком: in Worten 196029 — Einhundertsechsundneunzigtausendneunundzwanzig
196029 прописью на французском: par écrit 196029 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-vingt-neuf
196029 прописью на португальском: em palavras 196029 — Cento e noventa e seis mil e vinte e nove
196029 прописью на итальянском: in lettere 196029 — Centonovantaseimilaventinove
196029 прописью на украинском: прописом 196029 — Сто дев’яносто шість тисяч двадцять дев’ять
Сумма 196029 прописью
196030 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тридцать
196030 прописью на английском: in words 196030 — One hundred ninety-six thousand thirty
196030 прописью на испанском: en palabras 196030 — Ciento noventa y seis mil treinta
196030 прописью на немецком: in Worten 196030 — Einhundertsechsundneunzigtausenddreißig
196030 прописью на французском: par écrit 196030 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trente
196030 прописью на португальском: em palavras 196030 — Cento e noventa e seis mil e trinta
196030 прописью на итальянском: in lettere 196030 — Centonovantaseimilatrenta
196030 прописью на украинском: прописом 196030 — Сто дев’яносто шість тисяч тридцять
Сумма 196030 прописью
196031 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тридцать один
196031 прописью на английском: in words 196031 — One hundred ninety-six thousand thirty-one
196031 прописью на испанском: en palabras 196031 — Ciento noventa y seis mil treinta y uno
196031 прописью на немецком: in Worten 196031 — Einhundertsechsundneunzigtausendeinunddreißig
196031 прописью на французском: par écrit 196031 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trente et un
196031 прописью на португальском: em palavras 196031 — Cento e noventa e seis mil e trinta e um
196031 прописью на итальянском: in lettere 196031 — Centonovantaseimilatrentuno
196031 прописью на украинском: прописом 196031 — Сто дев’яносто шість тисяч тридцять один
Сумма 196031 прописью
196032 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тридцать два
196032 прописью на английском: in words 196032 — One hundred ninety-six thousand thirty-two
196032 прописью на испанском: en palabras 196032 — Ciento noventa y seis mil treinta y dos
196032 прописью на немецком: in Worten 196032 — Einhundertsechsundneunzigtausendzweiunddreißig
196032 прописью на французском: par écrit 196032 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trente-deux
196032 прописью на португальском: em palavras 196032 — Cento e noventa e seis mil e trinta e dois
196032 прописью на итальянском: in lettere 196032 — Centonovantaseimilatrentadue
196032 прописью на украинском: прописом 196032 — Сто дев’яносто шість тисяч тридцять два
Сумма 196032 прописью
196033 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тридцать три
196033 прописью на английском: in words 196033 — One hundred ninety-six thousand thirty-three
196033 прописью на испанском: en palabras 196033 — Ciento noventa y seis mil treinta y tres
196033 прописью на немецком: in Worten 196033 — Einhundertsechsundneunzigtausenddreiunddreißig
196033 прописью на французском: par écrit 196033 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trente-trois
196033 прописью на португальском: em palavras 196033 — Cento e noventa e seis mil e trinta e três
196033 прописью на итальянском: in lettere 196033 — Centonovantaseimilatrentatré
196033 прописью на украинском: прописом 196033 — Сто дев’яносто шість тисяч тридцять три
Сумма 196033 прописью
196034 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тридцать четыре
196034 прописью на английском: in words 196034 — One hundred ninety-six thousand thirty-four
196034 прописью на испанском: en palabras 196034 — Ciento noventa y seis mil treinta y cuatro
196034 прописью на немецком: in Worten 196034 — Einhundertsechsundneunzigtausendvierunddreißig
196034 прописью на французском: par écrit 196034 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trente-quatre
196034 прописью на португальском: em palavras 196034 — Cento e noventa e seis mil e trinta e quatro
196034 прописью на итальянском: in lettere 196034 — Centonovantaseimilatrentaquattro
196034 прописью на украинском: прописом 196034 — Сто дев’яносто шість тисяч тридцять чотири
Сумма 196034 прописью
196035 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тридцать пять
196035 прописью на английском: in words 196035 — One hundred ninety-six thousand thirty-five
196035 прописью на испанском: en palabras 196035 — Ciento noventa y seis mil treinta y cinco
196035 прописью на немецком: in Worten 196035 — Einhundertsechsundneunzigtausendfünfunddreißig
196035 прописью на французском: par écrit 196035 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trente-cinq
196035 прописью на португальском: em palavras 196035 — Cento e noventa e seis mil e trinta e cinco
196035 прописью на итальянском: in lettere 196035 — Centonovantaseimilatrentacinque
196035 прописью на украинском: прописом 196035 — Сто дев’яносто шість тисяч тридцять п’ять
Сумма 196035 прописью
196036 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тридцать шесть
196036 прописью на английском: in words 196036 — One hundred ninety-six thousand thirty-six
196036 прописью на испанском: en palabras 196036 — Ciento noventa y seis mil treinta y seis
196036 прописью на немецком: in Worten 196036 — Einhundertsechsundneunzigtausendsechsunddreißig
196036 прописью на французском: par écrit 196036 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trente-six
196036 прописью на португальском: em palavras 196036 — Cento e noventa e seis mil e trinta e seis
196036 прописью на итальянском: in lettere 196036 — Centonovantaseimilatrentasei
196036 прописью на украинском: прописом 196036 — Сто дев’яносто шість тисяч тридцять шість
Сумма 196036 прописью
196037 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тридцать семь
196037 прописью на английском: in words 196037 — One hundred ninety-six thousand thirty-seven
196037 прописью на испанском: en palabras 196037 — Ciento noventa y seis mil treinta y siete
196037 прописью на немецком: in Worten 196037 — Einhundertsechsundneunzigtausendsiebenunddreißig
196037 прописью на французском: par écrit 196037 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trente-sept
196037 прописью на португальском: em palavras 196037 — Cento e noventa e seis mil e trinta e sete
196037 прописью на итальянском: in lettere 196037 — Centonovantaseimilatrentasette
196037 прописью на украинском: прописом 196037 — Сто дев’яносто шість тисяч тридцять сім
Сумма 196037 прописью
196038 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тридцать восемь
196038 прописью на английском: in words 196038 — One hundred ninety-six thousand thirty-eight
196038 прописью на испанском: en palabras 196038 — Ciento noventa y seis mil treinta y ocho
196038 прописью на немецком: in Worten 196038 — Einhundertsechsundneunzigtausendachtunddreißig
196038 прописью на французском: par écrit 196038 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trente-huit
196038 прописью на португальском: em palavras 196038 — Cento e noventa e seis mil e trinta e oito
196038 прописью на итальянском: in lettere 196038 — Centonovantaseimilatrentotto
196038 прописью на украинском: прописом 196038 — Сто дев’яносто шість тисяч тридцять вісім
Сумма 196038 прописью
196039 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч тридцать девять
196039 прописью на английском: in words 196039 — One hundred ninety-six thousand thirty-nine
196039 прописью на испанском: en palabras 196039 — Ciento noventa y seis mil treinta y nueve
196039 прописью на немецком: in Worten 196039 — Einhundertsechsundneunzigtausendneununddreißig
196039 прописью на французском: par écrit 196039 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-trente-neuf
196039 прописью на португальском: em palavras 196039 — Cento e noventa e seis mil e trinta e nove
196039 прописью на итальянском: in lettere 196039 — Centonovantaseimilatrentanove
196039 прописью на украинском: прописом 196039 — Сто дев’яносто шість тисяч тридцять дев’ять
Сумма 196039 прописью
196040 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч сорок
196040 прописью на английском: in words 196040 — One hundred ninety-six thousand forty
196040 прописью на испанском: en palabras 196040 — Ciento noventa y seis mil cuarenta
196040 прописью на немецком: in Worten 196040 — Einhundertsechsundneunzigtausendvierzig
196040 прописью на французском: par écrit 196040 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quarante
196040 прописью на португальском: em palavras 196040 — Cento e noventa e seis mil e quarenta
196040 прописью на итальянском: in lettere 196040 — Centonovantaseimilaquaranta
196040 прописью на украинском: прописом 196040 — Сто дев’яносто шість тисяч сорок
Сумма 196040 прописью
196041 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч сорок один
196041 прописью на английском: in words 196041 — One hundred ninety-six thousand forty-one
196041 прописью на испанском: en palabras 196041 — Ciento noventa y seis mil cuarenta y uno
196041 прописью на немецком: in Worten 196041 — Einhundertsechsundneunzigtausendeinundvierzig
196041 прописью на французском: par écrit 196041 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quarante et un
196041 прописью на португальском: em palavras 196041 — Cento e noventa e seis mil e quarenta e um
196041 прописью на итальянском: in lettere 196041 — Centonovantaseimilaquarantuno
196041 прописью на украинском: прописом 196041 — Сто дев’яносто шість тисяч сорок один
Сумма 196041 прописью
196042 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч сорок два
196042 прописью на английском: in words 196042 — One hundred ninety-six thousand forty-two
196042 прописью на испанском: en palabras 196042 — Ciento noventa y seis mil cuarenta y dos
196042 прописью на немецком: in Worten 196042 — Einhundertsechsundneunzigtausendzweiundvierzig
196042 прописью на французском: par écrit 196042 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quarante-deux
196042 прописью на португальском: em palavras 196042 — Cento e noventa e seis mil e quarenta e dois
196042 прописью на итальянском: in lettere 196042 — Centonovantaseimilaquarantadue
196042 прописью на украинском: прописом 196042 — Сто дев’яносто шість тисяч сорок два
Сумма 196042 прописью
196043 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч сорок три
196043 прописью на английском: in words 196043 — One hundred ninety-six thousand forty-three
196043 прописью на испанском: en palabras 196043 — Ciento noventa y seis mil cuarenta y tres
196043 прописью на немецком: in Worten 196043 — Einhundertsechsundneunzigtausenddreiundvierzig
196043 прописью на французском: par écrit 196043 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quarante-trois
196043 прописью на португальском: em palavras 196043 — Cento e noventa e seis mil e quarenta e três
196043 прописью на итальянском: in lettere 196043 — Centonovantaseimilaquarantatré
196043 прописью на украинском: прописом 196043 — Сто дев’яносто шість тисяч сорок три
Сумма 196043 прописью
196044 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч сорок четыре
196044 прописью на английском: in words 196044 — One hundred ninety-six thousand forty-four
196044 прописью на испанском: en palabras 196044 — Ciento noventa y seis mil cuarenta y cuatro
196044 прописью на немецком: in Worten 196044 — Einhundertsechsundneunzigtausendvierundvierzig
196044 прописью на французском: par écrit 196044 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quarante-quatre
196044 прописью на португальском: em palavras 196044 — Cento e noventa e seis mil e quarenta e quatro
196044 прописью на итальянском: in lettere 196044 — Centonovantaseimilaquarantaquattro
196044 прописью на украинском: прописом 196044 — Сто дев’яносто шість тисяч сорок чотири
Сумма 196044 прописью
196045 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч сорок пять
196045 прописью на английском: in words 196045 — One hundred ninety-six thousand forty-five
196045 прописью на испанском: en palabras 196045 — Ciento noventa y seis mil cuarenta y cinco
196045 прописью на немецком: in Worten 196045 — Einhundertsechsundneunzigtausendfünfundvierzig
196045 прописью на французском: par écrit 196045 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quarante-cinq
196045 прописью на португальском: em palavras 196045 — Cento e noventa e seis mil e quarenta e cinco
196045 прописью на итальянском: in lettere 196045 — Centonovantaseimilaquarantacinque
196045 прописью на украинском: прописом 196045 — Сто дев’яносто шість тисяч сорок п’ять
Сумма 196045 прописью
196046 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч сорок шесть
196046 прописью на английском: in words 196046 — One hundred ninety-six thousand forty-six
196046 прописью на испанском: en palabras 196046 — Ciento noventa y seis mil cuarenta y seis
196046 прописью на немецком: in Worten 196046 — Einhundertsechsundneunzigtausendsechsundvierzig
196046 прописью на французском: par écrit 196046 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quarante-six
196046 прописью на португальском: em palavras 196046 — Cento e noventa e seis mil e quarenta e seis
196046 прописью на итальянском: in lettere 196046 — Centonovantaseimilaquarantasei
196046 прописью на украинском: прописом 196046 — Сто дев’яносто шість тисяч сорок шість
Сумма 196046 прописью
196047 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч сорок семь
196047 прописью на английском: in words 196047 — One hundred ninety-six thousand forty-seven
196047 прописью на испанском: en palabras 196047 — Ciento noventa y seis mil cuarenta y siete
196047 прописью на немецком: in Worten 196047 — Einhundertsechsundneunzigtausendsiebenundvierzig
196047 прописью на французском: par écrit 196047 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quarante-sept
196047 прописью на португальском: em palavras 196047 — Cento e noventa e seis mil e quarenta e sete
196047 прописью на итальянском: in lettere 196047 — Centonovantaseimilaquarantasette
196047 прописью на украинском: прописом 196047 — Сто дев’яносто шість тисяч сорок сім
Сумма 196047 прописью
196048 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч сорок восемь
196048 прописью на английском: in words 196048 — One hundred ninety-six thousand forty-eight
196048 прописью на испанском: en palabras 196048 — Ciento noventa y seis mil cuarenta y ocho
196048 прописью на немецком: in Worten 196048 — Einhundertsechsundneunzigtausendachtundvierzig
196048 прописью на французском: par écrit 196048 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quarante-huit
196048 прописью на португальском: em palavras 196048 — Cento e noventa e seis mil e quarenta e oito
196048 прописью на итальянском: in lettere 196048 — Centonovantaseimilaquarantotto
196048 прописью на украинском: прописом 196048 — Сто дев’яносто шість тисяч сорок вісім
Сумма 196048 прописью
196049 прописью:
Сто девяносто шесть тысяч сорок девять
196049 прописью на английском: in words 196049 — One hundred ninety-six thousand forty-nine
196049 прописью на испанском: en palabras 196049 — Ciento noventa y seis mil cuarenta y nueve
196049 прописью на немецком: in Worten 196049 — Einhundertsechsundneunzigtausendneunundvierzig
196049 прописью на французском: par écrit 196049 — Cent-quatre-vingt-seize-mille-quarante-neuf
196049 прописью на португальском: em palavras 196049 — Cento e noventa e seis mil e quarenta e nove
196049 прописью на итальянском: in lettere 196049 — Centonovantaseimilaquarantanove
196049 прописью на украинском: прописом 196049 — Сто дев’яносто шість тисяч сорок дев’ять
Сумма 196049 прописью
AK «Транснефть» — Info Tenders
Способ закупки
Все способыАукцион в электронной формеАукцион в электронной форме, участниками которого могут быть только субъекты малого и среднего предпринимательстваЗакупка у единственного поставщика (исполнителя, подрядчика)Запрос котировок в электронной формеЗапрос котировок в электронной форме, участниками которого могут являться только субъекты малого и среднего предпринимательстваЗапрос предложений в электронной формеЗапрос предложений в электронной форме, участниками которого могут быть только субъекты малого и среднего предпринимательстваКонкурс в электронной формеКонкурс в электронной форме, участниками которого могут быть только субъекты малого и среднего предпринимательстваОткрытый аукционОткрытый запрос котировокОткрытый запрос предложенийОткрытый конкурсПроцедура реализации имущества без объявления ценыПубличное предложениеЕдинственный поставщикЗакрытый аукционЗакрытый аукцион в электронной формеЗакрытый запрос котировокЗакрытый запрос котировок в электронной формеЗакрытый запрос предложенийЗакрытый запрос предложений в электронной формеЗакрытый запрос предложений в электронном виде с процедурой пошагового пониженияЗакрытый запрос предложений с процедурой пошагового пониженияЗакрытый конкурсЗакрытый конкурс в электронной формеЗакрытый конкурс в электронном виде с процедурой пошагового пониженияЗакрытый конкурс с процедурой пошагового пониженияЗакупка у единственного поставщика (подрядчика, исполнителя)Конкурентные переговорыОткрытый аукцион в электронной формеОткрытый аукцион с ПКООткрытый аукцион с ПКО в электронном видеОткрытый запрос котировок в электронной формеОткрытый запрос предложений в электронной формеОткрытый запрос предложений в электронном виде с процедурой пошагового пониженияОткрытый запрос предложений с процедурой пошагового пониженияОткрытый конкурс в электронной формеОткрытый конкурс в электронном виде с ПКООткрытый конкурс в электронном виде с ПКО и с процедурой пошагового пониженияОткрытый конкурс в электронном виде с процедурой пошагового пониженияОткрытый конкурс с квалификационным отборомОткрытый конкурс с ПКООткрытый конкурс с ПКО с процедурой пошагового понижения Открытый конкурс с процедурой пошагового пониженияПредварительный квалификационный отбор
Статус
Все статусыВ процессе закупкиОтмененОпределен победительНе состоялсяВ процессе реализацииВ процессе закупки, внесены изменения
Число 1996800 (один миллион девятьсот девяносто шесть тысяч восемьсот )
Главная » Число » Число 1996800 (один миллион девятьсот девяносто шесть тысяч восемьсот )
Число 1996800 (один миллион девятьсот девяносто шесть тысяч восемьсот ) — семизначное четное, делится на два, три, пять, тринадцать и само себя. Т.е число 1996800 делится на 2, 3, 5, 13, 1996800, и раскладывается на множители: 2:2:2:2:2:2:2:2:2:2:2:3:5:5:13. Проверка: 1996800 : 2 = 998400 998400 : 2 = 499200 499200 : 2 = 249600 249600 : 2 = 124800 124800 : 2 = 62400 62400 : 2 = 31200 31200 : 2 = 15600 15600 : 2 = 7800 7800 : 2 = 3900 3900 : 2 = 1950 1950 : 2 = 975 975 : 3 = 325 325 : 5 = 65 65 : 5 = 13 13 : 13 = 1
Сумма цифр в числе 1996800 равна 33, а их умножение (отличных от нуля) — 3888.
Обратное число 1996800 = 5.0080128205128E-7
Двоичная система счисления 19968002: 111100111100000000000
Проверка:
1048576
+1048576 (220)
1
524288
+524288 (219)
1
262144
+262144 (218)
1
131072
+131072 (217)
1
65536
0
32768
0
16384
+16384 (214)
1
8192
+8192 (213)
1
4096
+4096 (212)
1
2048
+2048 (211)
1
1024
0
512
0
256
0
128
0
64
0
32
0
16
0
8
0
4
0
2
0
1
0
Примеры:
3575663 — 1996800 = 1578863
три миллиона пятьсот семьдесят пять тысяч шестьсот шестьдесят три минус один миллион девятьсот девяносто шесть тысяч восемьсот равно один миллион пятьсот семьдесят восемь тысяч восемьсот шестьдесят три
1996800 — 1523678 = 473122
один миллион девятьсот девяносто шесть тысяч восемьсот минус один миллион пятьсот двадцать три тысячи шестьсот семьдесят восемь равно четыреста семьдесят три тысячи сто двадцать два
1996800 — 6927394 = -4930594
один миллион девятьсот девяносто шесть тысяч восемьсот минус шесть миллионов девятьсот двадцать семь тысяч триста девяносто четыре равно минус четыре миллиона девятьсот тридцать тысяч пятьсот девяносто четыре
1996800 — 1726728 = 270072
один миллион девятьсот девяносто шесть тысяч восемьсот минус один миллион семьсот двадцать шесть тысяч семьсот двадцать восемь равно двести семьдесят тысяч семьдесят два
Предыдущее число: 1996799 (один миллион девятьсот девяносто шесть тысяч семьсот девяносто девять), а следующее число — 1996801 (один миллион девятьсот девяносто шесть тысяч восемьсот один).
Вы ждали 0.21сек.
СООБЩЕНИЕ о результате закупки № 466-12/10
Вид конкурса: запрос ценовых предложений;
1. Сведения о заказчике, организаторе, уполномоченной организации: 1.1. полное наименование: КУП «Тендерный центр Мингорисполкома»; 1.2. место нахождения: 220005, г. Минск, пр. Независимости, 44; 1.3. фамилия, имя, отчество контактного лица: Офицерова Вера Владимировна; 1.4. номер контактного телефона/факса: 8 017 202-10-81 1.5. адрес электронной почты: [email protected] 1.6. иные сведения: —
2. Сведения о процедуре государственной закупки: 2.1. уникальный регистрационный номер приглашения: 60344-2010 2.2. дата размещения приглашения в ИС «Тендеры»: 13.12.2010 2.3. дата публикации приглашения в бюллетене: — 2.4. иные сведения: —
3. Сведения о результате процедуры государственной закупки: 3.1. полное наименование (для организации) участника-победителя ЧУП «Фритум», ООО «ДизельАрсенал», ООО «Валмакс» и УП «Трактородеталь — Сервис» 3.2. место нахождения участника-победителя: — 3.3. цена договора: ЧУП «Фритум» по Лоту № 3: 12 692 (двенадцать тысяч шестьсот девяносто два) Br с НДС 20%. по Лоту № 10: 82 310 (восемьдесят две тысячи триста десять) Br с НДС 20%. по Лоту № 11: 82 310 (восемьдесят две тысячи триста десять)Br с НДС 20%. по Лоту № 12: 91 196 (девяносто одна тысяча сто девяносто шесть) Br с НДС 20%. по Лоту № 13: 91 196 (девяносто одна тысяча сто девяносто шесть) Br с НДС 20%. по Лоту № 14: 91 196 (девяносто одна тысяча сто девяносто шесть) Br с НДС 20%. по Лоту № 21: 23 722 (двадцать три тысячи семьсот двадцать два) Br с НДС 20%. по Лоту № 37: 358 001 (триста пятьдесят восемь тысяч один) Br с НДС 20%. по Лоту № 44: 355 429 (триста пятьдесят пять тысяч четыреста двадцать девять) Br с НДС 20%. а по Лоту № 45: 355 429 (триста пятьдесят пять тысяч четыреста двадцать девять) Br с НДС 20%. по Лоту № 53: 222 728 (двести двадцать две тысячи семьсот двадцать восемь) Br с НДС 20%. по Лоту № 55: 19 165 (девятнадцать тысяч сто шестьдесят пять) Br с НДС 20%. по Лоту № 57: 20 684 (двадцать тысяч шестьсот восемьдесят четыре) Br с НДС 20%. ООО «Валмакс» по Лоту №5: 356 640 (триста пятьдесят шесть тысяч шестьсот сорок) Br с НДС 20%. по Лоту № 31: 1 361 052 (один миллион триста шестьдесят одна тысяча пятьдесят два) Br с НДС 20%. по Лоту № 38: 15 744 (пятнадцать тысяч семьсот сорок четыре) Br с НДС 20%. по Лоту № 39: 381 600 (триста восемьдесят одна тысяча шестьсот) Br с НДС 20%. по Лоту № 50: 432 600 (четыреста тридцать две тысячи шестьсот) Br с НДС 20%. по Лоту № 52: 181 080 (сто восемьдесят одна тысяча восемьдесят) Br с НДС 20%. по Лоту № 54: 519 660 (пятьсот девятнадцать тысяч шестьсот шестьдесят) Br с НДС 20%. ООО «ДизельАрсенал» по Лоту № 1: 6 000 000 (шесть миллионов) Br с НДС 20%. по Лоту № 4: 55 440 (пятьдесят пять тысяч четыреста сорок) Br с НДС 20%. по Лоту № 9: 90 000 (девяносто тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 19: 91 320 (девяносто одна тысяча триста двадцать) Br с НДС 20%. по Лоту № 20: 33 168 (тридцать три тысячи сто шестьдесят восемь) Br с НДС 20%. по Лоту № 23: 5 000 000 (пять миллионов) Br с НДС 20%. по Лоту № 28: 62 000 (шестьдесят два миллиона) Br с НДС 20%. по Лоту № 29: 700 000 (семьсот тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 35: 420 000 (четыреста двадцать тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 48: 165 000 (сто шестьдесят пять тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 49: 1 380 000 (один миллион триста восемьдесят тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 56: 110 000 (сто десять тысяч) Br с НДС 20%. УП «Трактородеталь — Сервис» по Лоту №2: 1 120 176 (один миллион сто двадцать тысяч сто семьдесят шесть) Br с НДС 20%. по Лоту № 6: 244 502 (двести сорок четыре тысячи пятьсот два) Br с НДС 20%. по Лоту № 7: 3 450 000 (три миллиона четыреста пятьдесят тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 8: 5 400 000 (пять миллионов четыреста тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 15: 736 296 (семьсот тридцать шесть тысяч двести девяносто шесть) Br с НДС 20%. по Лоту № 16: 4 100 000 (четыре миллиона сто тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 17: 800 000 (восемьсот тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 18: 63 144 (шестьдесят три тысячи сто сорок четыре) Br с НДС 20%. по Лоту № 22: 4 394 033 (четыре миллиона триста девяносто четыре тысячи тридцать три) Br с НДС 20%. по Лоту № 24: 1 007 406 (один миллион семь тысяч четыреста шесть) Br с НДС 20%. по Лоту № 25: 1 050 000 (один миллион пятьдесят тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 26: 1 868 218 (один миллион восемьсот шестьдесят восемь тысяч двести восемнадцать) Br с НДС 20%. по Лоту № 27: 65 000 (шестьдесят пять тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 30: 1 950 000 (один миллион девятьсот пятьдесят тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 32: 2 550 000 (два миллиона пятьсот пятьдесят тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 33: 1 012 626 (один миллион двенадцать тысяч шестьсот двадцать шесть) Br с НДС 20%. по Лоту № 34: 1 232 957 (один миллион двести тридцать две тысячи девятьсот пятьдесят семь) Br с НДС 20%. по Лоту № 36: 450 000 (четыреста пятьдесят тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 40: 19 876 (девятнадцать тысяч восемьсот семьдесят шесть) Br с НДС 20%. по Лоту № 41: 18 533 (восемнадцать тысяч пятьсот тридцать три) Br с НДС 20%. по Лоту № 42: 870 000 (восемьсот семьдесят тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 43: 804 802 (восемьсот четыре тысячи восемьсот два) Br с НДС 20%. по Лоту № 46: 367 030 (триста шестьдесят семь тысяч тридцать) Br с НДС 20%. по Лоту № 47: 480 000 (четыреста восемьдесят тысяч) Br с НДС 20%. по Лоту № 58: 55 896 (пятьдесят пять тысяч восемьдесят девяносто шесть) Br с НДС 20%. по Лоту № 59: 343 631 (триста сорок три тысячи шестьсот тридцать один) Br с НДС 20%. 3.4. иной результат: —
4. Сведения о цене за единицу товара (работы, услуги): 4.1. участника-победителя: — 4.2. остальных участников: — 4.3. иные сведения: —
Тамбовские аграрии собрали уже более 200 тысяч тонн озимой пшеницы
С начала уборочной кампании тамбовские земледельцы уже обмолотили больше четверти площадей, отведенных под ранние зерновые культуры. Валовый сбор зерна превысил 860 тысяч тонн при средней урожайности 35 центнеров на круг.
В сельских муниципалитетах активно ведутся работы на полях, занятых озимой пшеницей. В общей сложности зерноуборочные комбайны уже прошли более 33 процентов площадей, отведенных на Тамбовщине под эту культуру, аграриями получено свыше двухсот тысяч тонн зерна нового урожая. Наибольшие по площади плантации озимых на сегодняшний день располагаются в Инжавинском районе, где, несмотря на неблагоприятные погодные условия минувших осени и зимы они сохранились на 18 тысячах гектаров, а в Уметском, Рассказовском и Кирсановском районах — на пятнадцати тысячах гектаров.
Как рассказал заместитель главы администрации Рассказовского района, начальник отдела сельского хозяйства и продовольствия Вадим Проскуряков, к жатве в муниципалитете приступили 17 июля. На поля с озимыми вывели технику три хозяйства, остальные аграрии сконцентрировали свое внимание на посевах ячменя, возделывавшегося в районе на 9 тысячах гектаров и гороха, которым было засеяно почти 2,9 тысячи гектаров. Горох уже убран на 90 процентах площадей, ячмень — почти на сорока процентах.
«В среднем аграрии района пока получают около 40 центнеров зерна с гектара, что больше среднеобластных показателей. Во многом это связано с тем, что в этом году ячмень у нас показывает небывалую прежде урожайность — на некоторых полях отдача на круг составляет 50 и более центнеров. В отличие от других культур зерновой группы стоявшая весь июль жара повлияла на него благоприятно», — говорит Вадим Проскуряков.
К жатве яровой пшеницы сельхозпредприятия и фермерские хозяйства только приступили — убрано около шести процентов полей. Однако оценивая показатели качества урожая, аграрии вынуждены констатировать, что большую долю в нынешнем урожае, к сожалению, составит фуражное зерно.
Жара и засуха, конечно, сказались на урожайности зерновых культур и в Мучкапском районе, земледельцы которого приступили к жатве одними из первых в области — 13 июля. Учитывая состояние растений, уборку начали с ячменя, занимающего в муниципалитете более 12 тысяч гектаров. Его плантации по сравнению с предыдущими годами в текущем были увеличены примерно на четверть из-за значительной гибели озимых, которые сохранились в районе лишь на 7,5 тысячах гектаров.
«Из-за длительного зноя и отсутствия осадков урожайность зерновых серьезно «просела», — констатирует начальник отдела сельского хозяйства администрации Мучкапского района Николай Колобов. — Если в 2020 году рядовые поля давали по 35-40 центнеров зерна с гектара, то сейчас такую урожайность демонстрируют только сильные поля. Высокие дневные температуры буквально «съели» зерно в период его налива, из-за чего мы скорее всего недосчитаемся примерно 40 процентов от планируемого урожая».
На сегодняшний день мучкапскими аграриями убрано около 70 процентов полей ячменя, валовый сбор превысил 26 тысяч тонн, средняя урожайность — около 30 центнеров на круг. Если в прошлом году, чтобы довести зерно до кондиции, хозяйствам приходилось использовать сушилки, то в текущем такой необходимости нет. Когда ячмень только начинали молотить, его влажность доходила до 14-15 процентов, а сейчас на части полей она едва достигает девяти процентов. Учитывая это обстоятельство, аграрии скорректировали географию уборки. В первую очередь они обмолотили поля, расположенные на границе с Воронежской областью, затем перешли на центральную зону и только потом начали убирать те зерновые, что возделываются ближе к Инжавинскому району. Подобная тактика оказалась оправдана. Поддержали местных земледельцев и локальные дожди, а вот сильные осадки, прошедшие в районе неделю назад, с одной стороны, «освежили» посевы кукурузы и подсолнечника, тоже изнывающие от жары, а с другой — из-за выпавшего града изрядно проредили больше гектара зерновых и технических культур.
Помимо традиционных культур зерновой группы в районе убирают также горчицу. В ООО СХФ «Земледелец» уже обмолочено более 60 процентов ее посевов, урожайность достигает 12 центнеров с гектара. Хозяйство ввело горчицу в севооборот после того, как по финансовым соображениям пришлось отказаться от выращивания сахарной свеклы, а от предшественников зерновых полностью отказываться не хотелось. Был заключен долгосрочный контракт с Волгоградским горчично-маслобойным заводом «Сарепта», который первое время снабжал сельхозпредприятие посевным материалом. Сейчас оно выращивает семена самостоятельно.
По словам начальника отдела сельского хозяйства администрации Мучкапского района Николая Колобова, ежедневно на поля для уборки зернового клина выходит до девяноста комбайнов. Подавляющее большинство из них оборудованы кондиционерами, так что даже в такую жару комбайнеры работают в комфортных условиях. Если погода будет благоприятствовать, ряд хозяйств на ближайших выходных уже завершат жатву злаков. Однако, учитывая плавающие цены на зерно нового урожая, реализовывать его сельхозпроизводители пока не спешат.
Читайте также: Ювелирная работа жатки Ростсельмаш
номеров на английском языке | EF
Кардинальные числа (один, два, три и т. Д.) — это прилагательные, относящиеся к количеству, а порядковые числа (первое, второе, третье и т. Д.) — к распределению.
Число
Кардинал
Порядковый номер
1
один
первый
2
два
второй
3
три
третий
4
четыре
четвертый
5
пять
пятый
6
шесть
шестой
7
семь
седьмой
8
восемь
восьмой
9
девять
девятый
10
десять
десятый
11
одиннадцать
одиннадцатый
12
двенадцать
двенадцатая
13
тринадцать
тринадцатый
14
четырнадцать
четырнадцатый
15
пятнадцать
пятнадцатый
16
шестнадцать
шестнадцатый
17
семнадцать
семнадцатый
18
восемнадцать
восемнадцатый
19
девятнадцать
девятнадцатый
20
двадцать
двадцатая
21
двадцать один
двадцать первая
22
двадцать два
двадцать второй
23
двадцать три
двадцать третье
24
двадцать четыре
двадцать четвертая
25
двадцать пять
двадцать пятая
26
двадцать шесть
двадцать шестой
27
двадцать семь
двадцать седьмой
28
двадцать восемь
двадцать восьмая
29
двадцать девять
двадцать девятое
30
тридцать
тридцатая
31
тридцать один
тридцать первый
40
сорок
сороковая
50
пятьдесят
пятидесятая
60
шестьдесят
шестидесятые
70
семьдесят
семидесятых
80
восемьдесят
восьмидесятая
90
девяносто
девяностые
100
сто
сотые
500
пятьсот
пятисотый
1 000
одна тысяча
тысячная
1,500
одна тысяча пятьсот или полторы тысячи
одна тысяча пять сотых
100 000
сто тысяч
стотысячные
1 000 000
один миллион
миллионный
Примеры
Всего в зале человек двадцать пять человек.
Он был четырнадцатым человеком, получившим награду.
Шестьсот тысяч человек остались без крова после землетрясения.
Я, должно быть, просил вас двадцать раз замолчать.
В этом году он поехал в Израиль в третьих раз.
Чтение десятичных знаков
Прочтите вслух десятичные дроби на английском языке, произнося десятичную точку как «точка», затем прочитайте каждую цифру отдельно.Деньги так не читаются.
Написано
Сказано
0,5
точка пять
0,25
точка два пять
0,73
точка семь три
0,05
ноль пять
0.6529
точка шесть пять два девять
2,95
две целых девять десятых пункта
Чтение дробей
Считайте дроби, используя кардинальное число в числителе и порядковое число в знаменателе, делая порядковое число множественным, если числитель больше 1. Это применимо ко всем числам, кроме числа 2, которое читается как «половина», когда оно знаменатель и «половинки», если их больше единицы.
Написано
Сказано
1/3
треть
3/4
три четверти
5/6
пять шестых
1/2
одна половина
3/2
три половинки
Проценты
Проценты легко читать вслух на английском языке.Просто произнесите число и добавьте слово «процент».
Написано
Объявлено
5%
пять процентов
25%
двадцать пять процентов
36,25%
тридцать шесть целых две целых пять десятых процента
100%
сто процентов
400%
четыреста процентов
Считывание денежных сумм
Чтобы узнать денежную сумму, сначала прочитайте полное число, затем добавьте название валюты.Если есть десятичная дробь, затем следует десятичная дробь, произносимая как целое число, а если у монеты есть название в валюте, добавьте это слово в конце. Обратите внимание, что обычные десятичные дроби не читаются таким образом. Эти правила применяются только к валюте.
Написано
Разговорный
25 $
двадцать пять долларов
52 €
пятьдесят два евро
140 ₤
сто сорок фунтов
43 доллара.25
сорок три доллара двадцать пять центов (в повседневной речи сокращено до «сорок три двадцать пять»)
12,66 €
двенадцать евро шестьдесят шесть
10,50 вон
десять фунтов пятьдесят
Произношение измерений
Просто прочтите число, а затем единицу измерения, которая часто сокращается в письменной форме.
Написано
Разговорный
60 м
шестьдесят метров
25 км / ч
двадцать пять километров в час
11 футов
одиннадцать футов
2L
два литра
3 столовые ложки
три столовые ложки
1 ч.л.
одна чайная ложка
Произнося годы
Читать годы на английском языке относительно сложно.Как правило, когда год представляет собой четырехзначное число, считайте первые две цифры как целое число, а затем две вторые цифры как другое целое число. Из этого правила есть несколько исключений. Годы, приходящиеся на первые 100 лет нового тысячелетия, можно читать как целые числа, даже если они состоят из четырех цифр, или как два двузначных числа. Тысячелетия всегда читаются как целые числа, потому что иначе их было бы трудно произнести. Новые века читаются как целые сотни.Мы не используем слово «тысяча», по крайней мере, для чтения за последние 1000 лет.
Годы, состоящие всего из трех цифр, могут быть прочитаны как трехзначное число или как однозначное число, за которым следует двузначное число. Годы, представляющие собой двузначное число, читаются как целое число. Вы можете предшествовать любому году словами «год», чтобы прояснить ваш смысл, и это обычно для двух- и трехзначных годов. За годами до года 0 следует BC, произносимая как две буквы алфавита.
Интересно, что эти правила распространяются и на чтение почтовых адресов.
Написано
Разговорный
2014
двадцать четырнадцать или две тысячи четырнадцать
2008
две тысячи восемь
2000
две тысячи
1944
девятнадцать сорок четыре
1908
девятнадцать или восемь
1900
девятнадцатьсот
1600
шестнадцатьсот
1256
двенадцать пятьдесят шесть
1006
десять или шесть
866
восемьсот шестьдесят шесть или восемь шестьдесят шесть
25
двадцать пять
3000 г. до н.э.
г.
три тысячи до н.э.
г.
3250 г. до н.э.
г.
тридцать два пятьдесят до н.э.
г.
Как сказать 0
Число 0 можно произносить несколькими способами, которые используются в разных контекстах.К сожалению, использование в разных англоязычных странах различается. Это произношение относится к американскому английскому языку.
Произношение
Использование
ноль
Используется для чтения самого числа, при чтении десятичных дробей, процентов и телефонных номеров, а также в некоторых фиксированных выражениях.
о (название буквы)
Используется для чтения лет, адресов, времени и температуры
ноль
Используется для сообщения результатов спортивных соревнований
ничего
Не используется в США
Примеры
Написано
Сказано
3.04 + 2,02 = 5,06
Три целых ноль четыре плюс две целых ноль два составляют пять целых ноль шесть десятых.
Вероятность дождя 0%.
Вероятность дождя равна нулю.
Температура -20⁰C.
Температура двадцать градусов ниже нуля.
Вы можете связаться со мной по телефону 0171390 1062.
Вы можете связаться со мной в ноль один семь один, три девять ноль, один ноль шесть два
Я живу на Смит-стрит, 4604.
Я живу в доме сорок шесть или четыре на Смит-стрит,
.
Он стал королем в 1409 году.
Он стал королем в четырнадцать минут девятого.
Я ждал до 4:05.
Я подождал до четырех пятого.
Счет стал 4: 0.
Счет был четыре ноль.
Конвертер
слов в числа — слово в число / цифры
Поиск инструмента
Слова в числах
Инструмент для преобразования числа, написанного буквами (со словами), в число, написанное цифрами (с 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0).Читать цифры в буквах иногда сложно.
Результаты
слов в числах — dCode
Тег (и): Система счисления
Поделиться
dCode и другие
dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день! Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Конвертер слов в числа
Конвертер чисел в буквы
Шифрование букв и цифр
Вычислить значение слова
Ответы на вопросы (FAQ)
Как преобразовать число из целых букв в цифры?
Преобразование основано на правилах написания английского языка.Написание чисел на английском языке следует некоторым синтаксическим правилам. dCode читает слова и меняет числа.
Пример: сто двадцать три соответствует 123
ноль
0
один
1
два
2
три
3
четыре
4
пять
5
шесть
6
семь
7
восемь
8
девять
9
десять
10
одиннадцать
11
двенадцать
12
тринадцать
13
четырнадцать
14
пятнадцать
15
шестнадцать 16
семнадцать
17
восемнадцать
18
девятнадцать
19
двадцать
20
двадцать один
21
двадцать два
22
двадцать три
23
двадцать четыре
24
двадцать пять
25
тридцать
30
сорок
40
пятьдесят
50
шестьдесят
60
семьдесят
70
восемьдесят
80
девяносто
90
сот
100
тысяч
1000
миллионов
1000000
миллиардов
1000000000
другое число бер?
воспользуйтесь формой вверху этой страницы!
Чтобы писать большие числа в типографике, рекомендуется ставить запятую каждую тысячу, но это обозначение неоднозначно в вычислениях, поэтому не рекомендуется в этой области.
Как писать цифры буквами?
dCode предоставляет еще один инструмент для написания чисел буквами.
Как читать большие числа?
Помимо миллиардов, лучше использовать научную нотацию, если это не так, вот таблица названий больших чисел:
000000 000000 900 Наибольшие числа с именем, есть и более экзотические имена, такие как гоголь, который стоит 10 долларов ^ {100} $, то есть цифра 1, за которой следуют 100 нулей, или гогольплекс, который стоит 10 долларов ^ {10 ^ {100}} $ или цифра 1, за которой следует гоголь нулей.
При написании валюты (евро, доллары и т. Д.) Можно использовать некоторые субъединицы, например 0,01 цента, или в Индии лакх стоит 100000
Задайте новый вопрос
Исходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Слова в цифрах». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Слова в цифрах» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любые «Слова» в функции Numbers (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанную на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копирование и доступ к API для «Слова в числах» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
Нужна помощь?
Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи! NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!
Кардинальные числа — это числа, которые мы используем для
подсчет или обозначение количества: англоговорящие используют их каждый день
— один два три четыре
и т.п.С точки зрения грамматики они относятся к категории определяющих
прилагательные.
От 0 до 100 — От нуля до
сотня
Число 0
по-разному выражается как ноль (в британском английском) или ноль (во всех
форм английского языка): в середине серии
цифры, он также может произноситься как «ой». Все слышали о
Джеймс Бонд, также известный как 007. Это произносится как «ой-ой-семь» или
«два-ноль-семь», но никогда «ноль-ноль-семь» или
«ноль-ноль-семь».
Вот важные кардинальные числа от единицы до
сотня, которая может служить образцом для других чисел.
1
одна
11
одиннадцать
21
двадцать один
2
два
12
двенадцать
22
двадцать два
3
три
13
тринадцать
30
тридцать
4
четыре
14
четырнадцать
40
сорок
5
пять
15
пятнадцать
50
пятьдесят
6
шесть
16
шестнадцать
60
шестьдесят
7
семерка
17
семнадцать
70
семьдесят
8
восемь
18
восемнадцать
80
восемьдесят
9
девять
19
девятнадцать
90
девяносто
10
десять
20
двадцать
100
а
сотка
Остерегайтесь правописания: четырнадцать
но сорок.
Цифры от 101 до 999 — трехзначные числа
Важно:
приведенные ниже примеры и правила иллюстрируют британское использование.
В США,
слово и
обычно опускается.
Дефис (-) обычно используется в числах от 21 до 99, независимо от того,
они стоят отдельно или являются частью большего числа.
Из этих примеров все остальные трехзначные числа на английском языке могут быть
сформирован.
101
сто одна
365
три
сто шестьдесят пять
111
сто одиннадцать
480
четыре
сто восемьдесят
121
сто двадцать один
545
пять
сто сорок пять
133
сто тридцать три
644
шесть
сто сорок четыре
257
двести пятьдесят семь
799
семь
сто девяносто девять
Примечания :
Слово «сотня»
, за исключением круглого числа (число, оканчивающееся на 00), всегда следует
по «и»,
как на разговорном английском, так и на письменном английском при написании чисел
как
слова.
Слово сто
никогда не берет «с»
как часть кардинального числа.
Для чисел от 100 до 199 обычно говорят «a
сто «а не один»
сот.
Выражение «один
сто »используется только для того, чтобы подчеркнуть цифру один
(то есть один, а не два или три), или чтобы подчеркнуть слово.
Пример:
Я насчитал сто
и двадцать самолетов (а не 220 и не 320)
Сотни
во множественном числе
Слова сто,
тысяча
и миллион
никогда не принимай
во множественном числе как кардинальные числа (которые являются формой прилагательного).
Только они
возьми с
когда используется как существительные
обозначение неточного
количество сотен или тысяч и т. д., за которыми следуют
…
Примеры
Там
сотни
уток на
Озеро. тыс.
людей
забиты на стадион
В этих предложениях не сказано, сколько
сотни ни
сколько тысяч:
«s»
это единственный признак множественности.
Числа от 1000 до 1000000
Кроме круглых чисел (чисел, оканчивающихся на 00)
числа выше 1000 обычно пишутся цифрами, а не
слова.Здесь они написаны словами, чтобы показать, как они
используется в разговорном английском.
1000
тыс.
4656
четыре
тысяч шестьсот пятьдесят шесть
1001
тысяча одна
10 000
десять
тыс.
1086
одна тысяча восемьдесят шесть
10 148
десять
тысяча сто сорок восемь
1147
одна тысяча сто сорок семь
65 423
шестьдесят пять
тысячи четыреста двадцать три
1201
одна тысяча двести один
100 000
Сотня
тыс.
3600
три
тысяч шестьсот
699 482
Шесть
сто девяносто девять тысяч четыреста восемьдесят два
Примечания
Напоминание
: эти примеры и правила отражают использование в британском английском.
В США,
слово и
обычно опускается.
После 1000, если слово «сотня»
не
встречаются в числе, это слово тысяча
за которым следует и.
Кроме круглых чисел (1000, 7000 и т. Д.) Будет
всегда быть и
где-то в номере.
Примеры;
1018 = Одна тысяча и
восемнадцать
(или на английском языке: одна тысяча восемнадцать)
43 003 = сорок три тысячи
и три
56 100 = пятьдесят шесть тысяч один
сотка
В противном случае слово тысяча
не следует за и,
но слово сто
является.
Примеры;
1708 = Одна тысяча
Семь
сто восемь
25 864 = двадцать пять тысяч
восемьсот шестьдесят четыре
В номерах от 1100 до 1199 единый
сто будет произноситься как один
а не а.
Четырехзначные числа ниже 2000 (и редко выше) могут
иногда также выражаются начиная с «одиннадцать сотен», «двенадцать».
сотня »и др.
Примеры;
1100 = Один
тысяча сто
или
Одиннадцать сотен
22 100 = двадцать два
тысяча одна
сотня.
654,122 = Шестьсот пятьдесят четыре тысячи, один
сто и
двадцать два
Слово сто
всегда следует «и»
один раз за ним следует другая цифра, и даже если оно встречается более чем
один раз в номере.
В количественном выражении ни одна сотня
ни тысяча
всегда употребляйте множественное число «s». (Подробнее)
Пишет ли цифрами или прописью, цифрами
более четырех цифр, запятую ставят каждые три.
цифры.Запятая необязательна для четырехзначных чисел.
Примеры;
44 399 Сорок четыре тысячи триста девяносто девять
637 316 = Шестьсот и
тридцать семь тысяч,
триста и
шестнадцать.
Числа больше миллиона
Применяются те же принципы.
Число просто начинается с количества миллионов, например Один миллион …
или двадцать пять
миллионов …
или восемьсот и
двадцать миллионов… Два миллиарда
Примеры;
1002018 = Один миллион две тысячи
и восемнадцать
1 001 116 = Один миллион тысяча сто шестнадцать.
736 654 121 = семьсот тридцать шесть миллионов шестьсот и
пятьдесят четыре тысячи сто двадцать один
Слово сто
всегда следует «и»
если он не круглый (с «00»), независимо от того, как часто он встречается в
номер.
Другие моменты, которые следует запомнить:
Цифры могут быть выражены по-разному, если они относятся к датам и
телефонные номера, или когда они стоят после десятичной точки.
► Собираюсь
далее: Числа, используемые как местоимения:
См. Неопределенный
& гендерно-нейтральные местоимения
чисел и счет: большие числа
Основываясь на наших предыдущих уроках о числах, на этой неделе мы обсудим, как выражать числа в диапазоне от 1 000 000 до 999 999 999 999 999. Мы также поделимся некоторыми ярлыками, которые помогут упростить написание очень больших чисел.
Если вам нужна дополнительная помощь с числами или любым другим аспектом английского языка, обращайтесь в English Island в Атланте.Наши увлеченные и преданные своему делу преподаватели ESL могут составить план уроков, адаптированный к вашим индивидуальным потребностям.
Миллионы
7-, 8- и 9-значные числа выражаются в миллионах, десятках миллионов и сотнях миллионов соответственно:
1000000
Один миллион
10 000 000
Десять миллионов
100 000 000
Сто миллионов
2 000 000
Два миллиона
20 000 000
Двадцать миллионов
200 000 000
Двести миллионов
3 000 000
Три миллиона
30 000 000
Тридцать миллионов
300 000 000
Триста миллионов
4 000 000
Четыре миллиона
40 000 000
Сорок миллионов
400 000 000
Четыреста миллионов
5 000 000
Пять миллионов
50 000 000
Пятьдесят миллионов
500 000 000
Пятьсот миллионов
6 000 000
Шесть миллионов
60 000 000
Шестьдесят миллионов
600 000 000
Шестьсот миллионов
7 000 000
Семь миллионов
70 000 000
Семьдесят миллионов
700 000 000
Семьсот миллионов
8 000 000
Восемь миллионов
80 000 000
Восемьдесят миллионов
800 000 000
восемьсот миллионов
9 000 000
Девять миллионов
90 000 000
Девяносто миллионов
900 000 000
Девятьсот миллионов
Миллиарды
Для 10-, 11- и 12-значных чисел используйте миллиарды, десятки миллиардов и сотни миллиардов:
1000000000
Один миллиард
10 000 000 000
Десять миллиардов
100000000000
Сто миллиардов
2 000 000 000
Два миллиарда
20 000 000 000
Двадцать миллиардов
200 000 000 000
Двести миллиардов
3 000 000 000
Три миллиарда
30 000 000 000
Тридцать миллиардов
300 000 000 000
Триста миллиардов
4,000,000,000
Четыре миллиарда
40 000 000 000
Сорок миллиардов
400 000 000 000
Четыреста миллиардов
5 000 000 000
Пять миллиардов
50 000 000 000
Пятьдесят миллиардов
500 000 000 000
Пятьсот миллиардов
6 000 000 000
Шесть миллиардов
60 000 000 000
Шестьдесят миллиардов
600 000 000 000
Шестьсот миллиардов
7 000 000 000
Семь миллиардов
70 000 000 000
Семьдесят миллиардов
700 000 000 000
Семьсот миллиардов
8 000 000 000
Восемь миллиардов
80 000 000 000
Восемьдесят миллиардов
800000000000
восемьсот миллиардов
9 000 000 000
Девять миллиардов
90 000 000 000
Девяносто миллиардов
900 000 000 000
Девятьсот миллиардов
триллионов
13-, 14- и 15-значные числа «именуются» в триллионах, десятках триллионов и сотнях триллионов:
1 000 000 000 000
Один триллион
10 000 000 000 000
Десять триллионов
2,000,000,000,000
Два триллиона
20 000 000 000 000
Двадцать триллионов
3,000,000,000,000
Три триллиона
30 000 000 000 000
Тридцать триллионов
4,000,000,000,000
Четыре триллиона
40 000 000 000 000
Сорок триллионов
5 000 000 000 000
Пять триллионов
50 000 000 000 000
Пятьдесят триллионов
6 000 000 000 000
Шесть триллионов
60 000 000 000 000
Шестьдесят триллионов
7 000 000 000 000
Семь триллионов
70 000 000 000 000
Семьдесят триллионов
8 000 000 000 000
Восемь миллиардов
80 000 000 000 000
Восемьдесят триллионов
9 000 000 000 000
Девять триллионов
90 000 000 000 000
Девяносто триллионов
100 000 000 000 000
Сто триллионов
200 000 000 000 000
Двести триллионов
300 000 000 000 000
Триста триллионов
400 000 000 000 000
Четыреста триллионов
500 000 000 000 000
пятьсот триллионов
600 000 000 000 000
Шестьсот триллионов
700 000 000 000 000
Семьсот триллионов
800 000 000 000 000
Восемьсот триллионов
900 000 000 000 000
Девятьсот триллионов
Объединив все, что мы узнали на уроках чисел, мы можем считать до 999 999 999 999 999.Вот лишь несколько примеров:
5 000 304
пять миллионов триста четыре
20 747 919
двадцать миллионов семьсот сорок семь тысяч девятьсот девятнадцать
1 034 657 382
один миллиард тридцать четыре миллиона шестьсот пятьдесят семь тысяч триста восемьдесят два
600 523 896 000
шестьсот миллиардов пятьсот двадцать три миллиона восемьсот девяносто шесть тысяч
999 999 999 999 999
девятьсот девяносто девять триллионов девятьсот девяносто девять миллиардов девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять
Как видите, выразить большие числа на английском языке может быть очень сложно.Чтобы упростить запись больших чисел, вы можете комбинировать арабские цифры (1,2,3…) и количественные числа (слова, которые мы выучили). Например, 28000000 можно записать как 28 миллионов. 3700000000 можно сократить до 3,7 млрд.
В ситуациях, когда абсолютная точность не важна, носители английского языка часто округляют большие числа для ясности и краткости. По последним оценкам, в столичном районе Атланты проживает 5 522 942 человека. Вместо того, чтобы пытаться записать все это число, вы можете сказать, что в Metro Atlanta их более пяти.5 миллионов, около 5,5 миллиона или всего 5,5 миллиона жителей.
Считая до 1000 и выше
1 до 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
одна
два
три
четыре
пять
шесть
семерка
восемь
девять
десять
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
одиннадцать
двенадцать
тринадцать
четырнадцать
пятнадцать
шестнадцать
семнадцать
восемнадцать
девятнадцать
двадцать
21 по 99
Присоединяйтесь к этим:
20
30
40
50
60
70
80
90
двадцать
тридцать
сорок
пятьдесят
шестьдесят
семьдесят
восемьдесят
девяносто
на эти:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-он
— два
-три
— четыре
-пять
-шесть
-семь
— высота
-девять
Обратите внимание, что 40 не имеет u , а 4 имеет!
Примеры:
53
пятьдесят три
60
шестьдесят
72
семьдесят два
99
девяносто девять
от 100 до 999
Напишите, сколько сотен («сто», «двести» и т. Д.), Затем оставшуюся часть числа, как указано выше.
В британском английском используют «100 и ».
Примеры:
США
Великобритания
101
сто
сто один
116
сто шестнадцать
сто шестнадцать
144
сто сорок четыре
сто сорок четыре
212
двести двенадцать
двести двенадцать
271
двести семьдесят один
двести семьдесят один
621
шестьсот двадцать один
шестьсот двадцать один
999
девятьсот девяносто девять
девятьсот девяносто девять
от 1000 до 999 999
Напишите, сколько тысяч («одна тысяча», «две тысячи» и т. Д.), Затем оставшуюся часть числа, как указано выше.
Примеры:
США
Великобритания
1,101
одна тысяча сто одна
одна тысяча сто один
15 016
пятнадцать тысяч шестнадцать
пятнадцать тысяч и шестнадцать
(Нет сотен? Не пишите их! , но и по-прежнему необходимы в Великобритании)
112 621
сто двенадцать тысяч шестьсот двадцать один
сто двенадцать тысяч шестьсот двадцать один
999 999
девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять
девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять
Миллионы и более
Напишите сколько миллионов, затем оставшееся число, как указано выше.
Примеры:
США
Великобритания
1,006,101
один миллион шесть тысяч сто один
один миллион шесть тысяч сто один
191 232 891
сто девяносто один миллион двести тридцать две тысячи восемьсот девяносто один
сто девяносто один миллион двести тридцать две тысячи восемьсот девяносто один
999 999 999
девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять
девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять
Используйте тот же метод для:
Млрд
1 000 000 000
трлн
1 000 000 000 000
Квадриллион
1 000 000 000 000 000
Квинтиллион
и др…
Секстиллион
септиллион
Октиллион
Нониллион
Дециллион
Ундециллион
Duodecillion
Tredecillion
Quattuordecillion
Квиндециллион
Сексдециллион
сентябрь
Октодециллион
ноябрь
Вижинтиллион
1 с 63 нулями!
запятые
При записи числа ставьте запятых через каждые три цифры вот так:
1 006 101
При написании слов некоторые люди используют запятые, некоторые — нет.Какой ты предпочитаешь?
один миллион шесть тысяч сто один
один миллион шесть тысяч сто один
двести девяносто шесть тысяч
Поправка в Статью 5 Устава Компании отражает увеличение капитала, утвержденное Заседаниями Совета директоров, состоявшимися 25 июня 2009 г. и 27 августа 2009 г., которые утвердили увеличение акционерного капитала на сумму
.
[…]
419 256 590 реалов.20 (четыреста
[…]
девятнадцать миллионов io n , двести пятьдесят шесть тысяч , f iv e сотня […]
и девяносто бразильских реалов и двадцать сентаво),
[…]
представлены 598 937 986 (пятью сотнями девяносто восемь миллионов девятьсот тридцать семь тысяч девятьсот восемьдесят шесть) акциями нового выпуска.
бразилекодизель.com.br
A alterao do art. 5 do Estatuto Social da Companhia reflete os aumentos de capital homologados nas Reunies do Conselho de Administrao realizadas em 25 de junho de 2009 e 27 de agosto de 2009, teno sido homologado o aumento do capital social no valor de R $
[…]
419.256.590,20 (quatrocento s e d ezenove
[…]
milhes, duzen до s e cinqen ta e seis mil, qu inhen до s e noventa reai s […]
e v inte centavos), com a emisso
[…]
от 598.937.986 (quinhentos e noventa e oito milhes, novecentos e trinta e sete mil e novecentos e oitenta e seis aes).
brasilecodiesel.com.br
419 256 590,20 реалов (четыреста девятнадцать миллионов io n , двести пятьдесят шесть тысяч , f iv e сто девяносто бразильских реалов и двадцать центов) , представленных 598 937 986 (пятью сотнями девяносто восемь миллионов девятьсот тридцать семь тысяч девятьсот восемьдесят шесть) акциями нового выпуска.
brasilecodiesel.com.br
O moti vo jurdico e econmico q ue leva a administrao a recomendar a alterao do art. 5 do Estatuto Social da Companhia, необходимо отразить омологию капитала s nas R eunies do Conselho de Administrao realizadas em 25 de junho de 2009 e 27 de agosto de 2009, teno sido homologado o aumento do capital social no valor de R $ 419,256,590,20 (quatrocentos e dezenove milhes, duzentos e cinqenta e seis mil, 43 quinhentos e noventa reais e vinte centavos), com a emisso de 598.937.986 (quinhentos e noventa e oito milhes, novecentos e trinta e sete mil e novecentos e oitenta e seis aes).
brasilecodiesel.com.br
Принимая во внимание сумму чистой прибыли, сообщенную на конец года (15 797 436 евро — пятнадцать миллионов семьсот девяносто семь тысяч четыреста тридцать шесть евро), Совет директоров предлагает годовому общему собранию, чтобы эта сумма уже была распределено, как ожидалось
[…]
дивидендов от прибыли (
евро)
[…]
17000000 — семнадцать миллионов евро) будет снижено до 14 217 692 евро (четырнадцать миллионов io n , двести s e ve n 16 te тысяч , шестьсот девяносто два e u ro s) и что разница между этими двумя суммами (2 782 308 евро — два миллиона, […]
семьсот восемьдесят
[…]
две тысячи триста восемь евро) отражается как выдача из свободных резервов.
esinvestment.com
teno em conta o montante dos lucros efectivamente apurado no final do exerccio (15 797 436,00 евро — quinze milhes setecentos e noventa e sete mil quatrocentos e trinta e seis euro), prope-se igualmente assemblyia Geral que seja reduzido 217 692,00
[…]
(catorze milhes
[…]
duzentos ed ez asse te mil se isc ento s e noventa e dois euro s) o m Распространение аннулируется lucr os (eUr 1 7 000 000,00 — dezassete m ilh es de eu ros), sendo a diferena eur58 782 3 08,00 — dois mi lhes s etecentos […]
e oitenta e dois mil
[…]
trezentos e oito euro) contabilizada a ttulo de distribuio de reservas livres.
esinvestment.com
По состоянию на 31 декабря 2005 г. это справочное значение для минимального годового дивиденда составляет соответственно: 9000 реалов3.
[…]
299 566 286,08 (два
[…]
сто девяносто девять миллионов пять гуннов dr e d и шестьдесят шесть тысяч , двести восемьдесят шесть B r az реалов и восемь центов), что соответствует […]
От
до 0,72 реалов (семьдесят два
[…]
цента) на одну привилегированную акцию в обращении или 260 441 380,18 реалов (двести шестьдесят миллионов четыреста сорок одна тысяча триста восемьдесят бразильских реалов восемнадцать центов), что соответствует 0,63 (шестьдесят три цента) реалов.
vale.com
Em 31 dezembro de 2005, esse valor de referncia para o diverndo mnimo anual de, respectivamente, 299 566 286,08 реалов (duzentos e
[…]
новента е нове милес,
[…]
quinhent os e sessenta e seis mil, d uz entos e oitenta e seis reai s e oito centavos), что соответствует долл. США 0,72 долл. США ( долл. США) e dois c en tavos) […]
по льготному тарифу
[…]
реалов за 260,441,380,18 реалов (duzentos e sessenta milhes, quatrocentos e quarenta e um mil, trezentos e oitenta reais e dezoito centavos), что соответствует 0,63 реалов (sessenta e trs centavos), por ao preferencial эм циркуляо.
vale.com
Размер штрафа, примененного за неуплату TAH в пределах законного
[…]
Также увеличен срок
,
[…]
и сейчас составляет 2 036 ,3 реалов 9 ( две тысячи тридцать шесть r e ai s и тридцать девять […]
сентаво) за разрешение на разведку (Alvar de Pesquisa).
mattosfilho.com.br
Tambm foi atualizado o valor da multa aplicada pelo no recolhimento da TAH
[…]
dentro do prazo legal, que passa
[…]
a ser d e R $ 2 .03 6,3 9 (dois mi le tr in ta e seis 1657 r 916ai se trinta en ov e centavos) […]
por alvar.
mattosfilho.com.br
Статья 5 — Размер уставного капитала составляет
реалов.
[…]
808 213 608,80 (восемьсот
[…]
восемь мил li o n двести t h irte e n d восемь реалов […]
и восемьдесят центов),
[…]
разделен на 725 248 727 (семьсот двадцать пять миллионов двести сорок восемь тысяч семьсот двадцать семь) именных обыкновенных акций, все без номинальной стоимости.
brasilecodiesel.com.br
Artigo 5- O capital social от
реалов
[…]
808.213.608,80 (oitocentos e oito m ilhe s, duzentos e treze mil, se is centos e oito reais e […]
oitenta сентаво),
[…]
dividido em 725.248.727 (setecentos e vinte e cinco milhes, duzentos e quarenta e oito mil e setecentos e vinte e sete) aes ordinrias nominativas, todas sem valor nominativas.
brasilecodiesel.com.br
Согласно Альтернативе B, Telefonica предлагает приобрести одну треть из 50% от общего количества акций Brasilcel, прямо или косвенно принадлежащих Portugal Telecom, за
[…]
совокупная закупочная цена
[…]
Евро 2,166,666, 66 7 ( две тысячи o n e сто шестьдесят шесть n шестьсот a n d шестьдесят шесть тысяч шесть h u nd 916…]
семь евро), эквивалент
[…]
до одной трети от 6 500 миллионов евро (шести тысяч пятисот миллионов евро).
portugaltelecom.pt
Nos termos da Alternativa B a Telefnica prope-se adquirir um tero da Participao de 50% к общему количеству представителей, представляющих социальный капитал в Бразилии, получает прямой или косвенный доступ Portugal Telecom,
[…]
по прео всего
[…]
Евро 2 .166 .666 .6 67 (dois mil c ento e sessenta e seis mil he s seiscentos e sessenta e seis mil sei e sessenta e s ete Euros), […]
эквивалент
мкм
[…]
tero de Euros 6.500 (seis mil e quinhentos milhes de Euros).
portugaltelecom.pt
Пункт 5 — Подписной уставный капитал составляет 2 054 429 845 реалов.57 (два миллиарда пятьдесят четыре миллиона четыреста двадцать девятнадцатьсот сорок пять реалов и пятьдесят семь центов), полностью оплаченных и разделенных на
[…]
314 482 496 (триста четырнадцать
[…]
миллион четыре гун dr e d и e i gh t y две тысячи 1658 934 f34 сто девяносто шесть ) s га res, без […]
номинальной стоимости, из них 107,821,512 (одна
[…]
сот семь миллионов восемьсот двадцать одна тысяча пятьсот двенадцать) являются именными обыкновенными акциями, 205 120 105 (двести пять миллионов сто двадцать тысяч сто пять) являются привилегированными акциями категории «А» и 1 540 879 (один миллион пятьсот сорок тысяч, восемьсот семьдесят девять) являются привилегированными акциями типа «B», обе относятся к бездокументарному типу.
suzano.com.br
Арт.5 — O capital social subscrito de 2.054.429.845,57 (dois bilhes, cinqenta equatro milhes, quatrocentos e vinte e nova mil, oitocentos e quarenta e cincoreais ecinquenta e setecentavos), integmente realizado e
[…]
dividido em 314.482.496 (trezent os e qu atorze milhe s,
[…]
quatrocentos e oite nta e duasmil , q uat rocen tas e nov 16 ent 16 ent 16 ent 9 es , sem v alor номинально, […]
das quais 107.821.512
[…]
(cento e sete milhes, oitocentos evinte e umamil, quatrocentos e noventa e seis) so ordinrias, nominativas, 205.120.105 (duzentos e cinco milhes, cento e vinte mil, cento e cinco) so preferenciais classe «A» e 1.540. 879 (um milho, quinhentos e quarenta mil, oitocentos e setenta e nove) so preferenciais classe «B», ambas escriturais.
suzano.com.br
2,836,931, 56 0 ( Две тысячи , восемьсот тридцать шесть м i ll ion, девятьсот тридцать одна тысяча …]
пятьсот шестьдесят евро).
sonaesierra.es
2 .836. 931 .5 60 (Dois mil o ito centos e tri nta e seis mi lh1658 es168 es eu m mil, qu inhento s […]
e s essenta Euros).
sonaesierra.de
Акционерный капитал Компании, полностью оплаченный и подписанный, составляет
[…]
950 896 375,75 R $ (девять
[…]
сто пятьдесят миллионов восемьсот a n d девяносто — s i x тысяч триста семьдесят пять реалов семьдесят пять центов, разделенных в 286,715, 37 6 ( двести восемьдесят шесть м i ll ion, семьсот пятнадцать тысяч, […]
триста
[…]
семьдесят шесть) простых именных акций без номинальной стоимости
tereosinternacional.com.br
O capital social, totalmente subscrito e integrationizado, от 950.896.375,75 реалов (novecentos e
[…]
cinquenta milhes,
[…]
oitocentos e noventa e seis mil, trezentos e setenta e cinco reais e setenta e cinco centavos), dividido em 286.715.376 (duzenta s e oitenta e 16 , setecentas e quinze mil, trezentas e se te nta e seis) ae s ordinrias, […]
именных номинала, полу-номинальный.
tereosinternacional.com.br
Вместе с уже заявленными процентами на капитал компании за первый и второй кварталы на общую сумму 9000 реалов3
[…]
60 135 662,15 (шестьдесят миллионов
[…]
сто тридцать fi v e тысяч , шестьсот шестьдесят два B r az ilian Reais и пятнадцать […]
сентаво) по курсу 0,196721 реала
[…]
на акцию, эти дивиденды составляют 816 136 014,31 реала (восемьсот шестнадцать миллионов сто тридцать шесть тысяч четырнадцать бразильских реалов и тридцать один сентаво) в качестве вознаграждения за это полугодие, что составляет 2,66 9815 реалов на акцию.
souzacruz.com.br
Este Dividendo, em concunto com os juros sobre o capital prprio j declarados no primeiro e segundo trimestres, no
[…]
Всего
реалов 60,135,662,1 5 (sessenta
[…]
mi lh es , cento e t rin ta ec inco mil, sei scentos e ses sen reis ta se quin ze сентаво), […]
R $ 0,196721
[…]
пор а.о., тотализам 816 реалов.136.014,31 (oitocentos e dezesseis milhes, cento e trinta e seis mil, quatorze reais e trinta e um centavos) de remunerao neste semestre, представлять 2,669815 реалов на пороге.
souzacruz.com.br
СТАТЬЯ 5 — Уставный капитал Компании, полностью подписанный, оплаченный, составляет 1 917 919 593,36 реалов (один миллиард девятьсот семнадцать миллионов девятьсот девятнадцать
).
[…]
тыс., Пять
[…]
сто девяносто три реала и й ir t y — шесть c e nt avos), представленных 482.396.850 ( fo u r сто восемьдесят два m i ll ion, t hr e девяносто шесть тысяч , e ig ht сто пятьдесят) обычная бухгалтерская запись […]
акции без номинальной стоимости.
ri.mrv.com.br
ARTIGO 5 — O capital social da Companhia, totalmente subscrito, integizado, за 1 реал.917.919.593,36 (um bilho, novecentos e dezessete milhes, novecentos e dezenove mil,
[…]
quinhentos e noventa e
[…]
trs reai s e tri nta e seis ce nta vos), r epresentado por 482.396.850 (quatrocento1658 ae dois mil he s, tr ez ento s e noven ta e seis m il, il, a1657 o1658 cinctoc o1658) ordinrias, escritu ra is e se m valor […]
номинал.
ri.mrv.com.br
Капитал компании составляет 629 293 220 евро. Подписан полностью
[…]
и внесено, а это
[…]
разделены на t o шестьсот двадцать девять m i llio n ,
57
58 h r e e тысяч , два h u nd красный и двадцать […]
акции номинальной стоимостью один евро каждая.
web3.cmvm.pt
O capital social de 629.293.220 евро, est integmente
[…]
подписка и реализация
[…]
dividido em seiscent os e vinte e nove mi lh e s duzentos e noventa e t rs mil duz entas [no1658]
номинал в евро
[…]
cada uma, нет существующих категорий различного рода.
web3.cmvm.pt
(четыре hun dr e d и восемьдесят два m i ll ion, t hr e e — шесть тысяч , e ig ht сто пятьдесят) простых учетных акций без номинальной стоимости.
ri.mrv.com.br
Artigo 5 O capital social da Companhia, totalmente subscrito, integrationizado, de
[…]
R $ 1.917.919.593,36 (um bilho, novecento s e d ezessete milhes, novecento s e d ezenov e d ezenov e milos58 no1658 qua
[…]
e tri nt a e seis cen ta vos), представляет собой порт 482.396,85 0 (quat roc ent os e oi ten ta e dois m ilh 1657 en tr 165816 57 es, tr 161657 es 916 ta e seis m il, oitocentos ec inqu en ta) aes […]
ординрий, условных знаков и номинальных достоинств.
ri.mrv.com.br
Португальское государство в лице Софии Александры
[…]
Дантас Фигейредо
[…]
Коста, владелец двадцати ni n e тысяч , шестьсот шестьдесят шесть s h ar es (представляет ti г два p o i n t девяносто — s
0 0 0 0 голосов 2 из 0 Лиснаве.pt
Estado Portugus, представитель пела Sra. Dra. София Александра Дантас
[…]
Фигейредо Коста, титул де
[…]
vin te e nove mil , sei sce tas e sessenta e seis a c es (repr es enta1657 916 57 916 916 916 916 916 dois v rg ula noventa e seis p o r cento d os votos)
lisnave.pt
D) Пакет акций, выделяемый из SONAE
[…]
состоит из t hr e e сто девяносто o n e mil li o n o r t y шесть тысяч o r di собственных акций […]
представляет собой уставный капитал SONAE CAPITAL.
sonae.pt
D) Акционерное участие в Destacar
[…]
да SONAE consubstancia-se
[…]
em tre ze ntos e noventa e um m ilh es e quare nta e seis mil a c …]
от SONAE CAPITAL.
sonae.pt
Комиссия должна выплатить
г-на
[…]
Сумма 29 592 евро (двадцать ni n e тысяч f iv e сто девяносто два ) a s компенсация материального ущерба […]
и сумма
евро
[…]
1 (один) в счет возмещения нематериального ущерба
eur-lex.europa.eu
Comisso condenada и pagar P.
[…]
Chemin o montante de 29
[…]
592 (vi nt een ove mil qui nhent o se noven ta e dois) 165816 ost o de reparao dos danos materi ai seo m ontante […]
de 1 (um) евро по пункту
[…]
Reparao dos danos morais sofridos
eur-lex.europa.eu
Арт. 4 — Оплаченный капитал Компании составляет
реалов.
[…]
5,206,968,523,52 (пять
[…]
млрд, два гунна dr e d шесть m i ll ion, девятьсот шестьдесят восемь тысяч пятьсот двадцать три бразильских r ea i i s и f i футов y два цента), разделенных на 154,404,672 (сто пятьдесят четыре миллиона, четыреста f или r , семьдесят два ) c om mon sh ar e s и 2 9
57 ( двести девяносто м i llio n , шесть 916 57 h u nd красный пятьдесят […]
семь тысяч триста
[…]
шестьдесят одна) привилегированная акция без номинальной стоимости.
gerdau.com.br
Арт. 4 — Социальный капитал от
реалов
[…]
5.206.968.523,52
[…]
(cinco bilhe s, duze nto se seis mil he s, no ve centos e sessenta e oito mil, cinhentos e vinte e vinte Сентаво), Дивидидо Эм 154.404.672 (центо е чинкента е кват ро милес, q уатроцентас е кватро мил, сейсентас е сетента е дуас или дина se 2 90 .657.3 61 (duzentas e noventa m ilhes, […]
seiscentas e cinqenta
[…]
e sete mil, trezentas e sessenta e uma) aes preferenciais, sem valor nominal.
gerdau.com.br
38 388 135,96 (тридцать восемь миллионов триста восемьдесят
[…]
восемь тысяч, o n e сотня a n d тридцать пять e ur o s c e nt s) распространяться […]
следующим образом
esinvestment.com
38 388 135,96 (trinta e oito milhes, trezento s e
[…]
o itenta e oito mil, cento e trinta e cinco eur os e nove nta e seis c nti mos), a t … ]
seguinte aplicao
esinvestment.com
a) Ni n e сот , f или t y — два 16 ll ll ll ll ion, fi v e сто девяносто — f ou r тысяч , 1657 ve nty-seven […]
акции обыкновенные акции
portugaltelecom.pt
a) Нове ce ntas e quare nta e dois mi lh es, q ui nhent1658 957 s uatro mil, seiscentas e setenta […]
e sete aces ordinrias
португальтелеком.pt
Соответственно, акционерный капитал Компании был увеличен на 173 280 000 реалов
[…]
(сто
[…]
семьдесят три миллиона io n , двести e i gh тысяч бразильских реалов, от 3,888,198,051 миллиона реалов (три миллиарда восемьсот восемьдесят один dr e d девяносто — e i g h t тысяч и пятьдесят бразильских реалов) до 4 061 478 051 реалов.00 (четыре миллиарда шестьдесят один миллион четыреста семьдесят e ig h t тысяч пятьдесят — o n e бразильских реалов), представленные 346 983 954 (t hr e e сотка f o r t y — 6 n , девятьсот e i gh ty-t hr e e n e сот и f i ft y-four) зарегистрировано, […]
запись
[…]
обыкновенных акций без номинальной стоимости, при этом Совет директоров должен представить на рассмотрение и одобрение Собранием акционеров Компании поправку к Статье 5 Устава, чтобы скорректировать описание ее акционерного капитала.
ir.marfrig.com.br
Dessa forma, o capital social da Companhia foi
[…]
aumentado em R $ 173.280.000,0 0 (в ценах
[…]
e setenta e trs milh e s e duzentos e o it enta mil reais), или квалификационный билет за 3 реала.888.198.051,00 (trs bil h es, oitocentos eo it enta e oito milhes, cento e noventa e oito mil e cinquenta e um reais) за 4,061.478.051 R $ (quatro bilhes, sessenta e um milh e s, quatrocentos e se tenta e oito mil e cinquenta e um reais), представляют пор 346.983.954 (trezenta s e enta e seis mi lhe s, novecentas e o itenta e trs mil e nov e nov e nov e nov e nov e nov e nov e nov ecro1657..]
[…]
aes ordinrias, nominativas e escriturais, sem valor nominal, devendo o Conselho de Administrao fazer com que seja submetida deliberao e aprovao da Assemblia Geral da Companhia a alterao do artigo 5 do Estatuto Social, devendo o Conselho de Administrao fazer com que seja submetida deliberao e aprovao da Assemblia Geral da Companhia a alterao do artigo 5 do Estatuto Social, devendo of Conselho de Administrao fazer.com
ri.marfrig.com.br
В соответствии с Международными стандартами финансовой отчетности (МСФО) чистая прибыль Millenniumbcp Fortis Grupo Segurador, S.G.P.S., S.A. было
евро.
[…]
87 296 596,74 (восемьдесят
[…]
семь милл io n , двести девяносто шесть тысяч , f i v e девяносто девяносто шесть u r o s и s e ve nty-четыре […]
евроцента).
millenniumbcpfortis.pt
Приложение к принципам «Международные стандарты финансовой отчетности» (МСФО), или результат консолидированной финансовой отчетности Millenniumbcp Fortis Grupo Segurador, S.G.P.S., S.A, relativo ao exerccio de 2007, foi de Euros
[…]
87.296.596,74
[…]
(oitenta e sete mi lh es duzentos e noventa e seis mil quinh en tos e noventa e seis Euro e1657 sa…]
quatro cntimos).
millenniumbcpfortis.pt
Утвердить управленческий и годовой отчет за 2009 финансовый год, включая обзор отчета о корпоративном управлении, к которому была добавлена дополнительная информация в соответствии с пунктом II.20 Постановления Комиссии по ценным бумагам №
. 7/2007, всего
[…]
фиксированная сумма выплачена
[…]
вознаграждение, в течение финансового у.е. a r две тысячи девять , t o членов Правления по компаниям Группы на общую сумму 1 013 653 евро.98 (один миллион три te e n тысяч шестьсот f i ft y три евро a n девяносто e i gh т центов)
sag.pt
Aprovar o Relatrio de Gesto e as Contas do exerccio de 2009, включая apreciao do Relatrio do Governo da Sociedade, que foi aditada informao complementar no mbito do Ponto II.20 do Regulamento da CMVM n. 7/2007, respeitante ao valor total agregado
[…]
pago como remuneraes
[…]
fixas, n o exe rc cio de dois mil e nove, aos mem br os do Conselho de Administrao por sociedades do Gr up 9o16 que a сцена и Eur 1.013.653,98 (um mi lh или tr eze mil sei scentos e c scentos e trs e trs e noventa e oi до cntimos)
провис.pt
После того, как председатель собрания акционеров представил на обсуждение первый пункт повестки дня, председатель исполнительного комитета Эсмеральда Дорадо выступила от имени совета директоров, чтобы представить краткую информацию о деятельности, проведенной в предыдущем году. и кратко прокомментировал отдельные результаты 2009 финансового года, чтобы дополнить то, что было представлено в отдельном отчете руководства и в отчете о корпоративном управлении, в отношении которых дополнительная информация была представлена в пункте II.20 Постановления 7/2007 Комитета по ценным бумагам, касающегося
[…]
общая сумма, выплаченная по фиксированной ставке
[…]
вознаграждение в течение финансовых у.е. a r две тысячи девять t o m тлеющих углей Совета директоров компаний Группы, что на общую сумму 1013 653,98 евро (один миллион евро) e n тысяч шестьсот f i ft y три евро a n d
1657 га центов).
sag.pt
Tendo o Presidente da Mesa posto Discuso o Primeiro ponto da ordem de trabalhos, toou a palavra a Presidente da Comisso Executiva Senhora Eng. Esmeralda Dourado para, em nome do Conselho de Administrao, apresentar sumariamente alguns aspectos da actividade desenvolvida no exerccio transacto e para apresentar umas breves consideraes sobre os resultados Individualuais do exerccio de dois mil e nove, no relmentando or exo de Governo societrio, relativamente ao qual foi apresentada uma informao complementar no mbito do Ponto II.20 do Regulamento da CMVM n. 7/2007, respeitante ao valor total agregado
[…]
pago como remuneraes
[…]
fixas, n o exe rc cio de dois mil e nove , a os член os do Conselho de Administrao por sociedades do1658 up up up up ue ascendeu a Eur 1.013.653,98 (um mi lh o tr eze mil sei scentos e c inquenta e trs eu ros e oit o cntimos).
sag.pt
ОТЧЕТ ПО ПОКАЗАТЕЛЯМ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Июль 2006 г.
АВТОБУСНЫЕ ОПЕРАЦИИ
ВСЕГДА: В будние дни количество пассажиров в июле 2005 года составило девятьсот девятнадцать тысяч человек.
четыреста сорок девять против восьмисот девяноста пяти тысяч двести двадцать
за 2006 год — на минус две целых шесть десятых процента. Субботний рейс на июль 2005 г.
было шестьсот тридцать восемь тысяч пятьсот семьдесят два против шестисот
пятнадцать тысяч шестьсот восемьдесят четыре за 2006 год за минус три целых шесть десятых процента
снижаться.Воскресенье на июль 2005 г. составило четыреста пятьдесят одна тысяча семь.
сто одиннадцать против четырехсот тридцати пяти тысяч семьсот шестьдесят два за
2006 г. на минус три целых пять десятых процента. Общее количество пассажиров за июль 2005 г.
было двадцать четыре миллиона двести девяносто две тысячи сто пять против
двадцать три миллиона пятьсот девяносто семь тысяч триста девяносто шесть за
2006 г. на минус два целых девять десятых процента. Пассажирских миль было шестьдесят два.
миллионов шестьсот сорок три тысячи девятьсот шестьдесят восемь за 2005 год против шестидесяти
миллиона восемьсот пятьдесят две тысячи четыреста шестьдесят девять за 2006 год за минусом
снижение на два целых девять десятых процента.РАБОТА В ВРЕМЯ: процент автобусов, выехавших из терминала, минус
одна минута плюс пять минут в июле 2005 года составила семьдесят одну целую одну десятую процента.
против семидесяти восьми целых одна десятая процента в 2006 году при увеличении на одну целую четыре процента.
Среднее время наработки на отказ в июле 2005 г. составило три тысячи четыреста миль.
девяносто три против трех тысяч, сто один в 2006 году за одиннадцать целых два десятых.
процентное снижение.
ЧИСТЫЙ: процент автобусов, очищенных и подметенных до а.м. услуга для
Июль 2005 и 2006 все делались ежедневно. Среднее количество дней между мойками наружных поверхностей: все
автобусы мыли ежедневно в июле 2005 и 2006 гг.
чисток в июле 2005 года было семнадцать против восемнадцати в 2006 году для пяти и девяти десятых.
процент увеличения. Количество жалоб на чистоту, полученных за 2005 год, составило
двадцать один против пятнадцати в 2006 году, что на двадцать шесть целых шесть десятых процента меньше. Все
граффити было удалено в течение суток с момента получения нами
жалобы как за 2005, так и за 2006 годы.БЕЗОПАСНОСТЬ: жалоб на безопасность было восемь в июле 2005 года по сравнению с пятью в 2006 году за тридцать пять
увеличение на семь целых пять десятых процента. Число инцидентов, связанных с безопасностью NTD, на миллион
Мили не применялись за июль 2005 или июль 2006 года, так как они предоставляются ежеквартально.
Количество аварий на сто тысяч миль в июле текущего года составило шесть целых двадцать восемь десятых пункта.
2005 г. по сравнению с шестью целыми сорок шестыми целыми шестью целыми шестью целыми шестью десятыми за 2006 год, что на минус две целых девять десятых процента меньше.
Количество инцидентов, связанных с безопасностью NTD, на один миллион миль, несущественные: было два балла
три за июль 2005 и 2006 годов без изменений.Инциденты, связанные с безопасностью NTD на
Один миллион миль, майор: был четвертой точкой за июль 2005 и 2006 годов без изменений.
ДРУЖЕСТВЕННЫЙ: На июль 2005 г. жалоб на поведение было сто шестьдесят два.
против ста двадцати пяти в 2006 году на минус двадцать две целых восемь десятых процента
снижаться. За июль 2005 года было сто сорок три награды против одной.
сто шестьдесят четыре за 2006 год с увеличением на четырнадцать целых семь десятых процента. Использование лифта было
восемьдесят восемь тысяч восемьсот восемнадцать за июль 2005 года против семидесяти девяти
тысяч пятьсот семьдесят за 2006 год с уменьшением на минус десять целых четыре десятых процента.Мили между отказами лифта составили сто восемь тысяч семьсот пять за
Июль 2005 г. по сравнению со сто двенадцатью тысячами четыреста девяносто восьмым годом за 2006 г.
на минус три целых пять десятых процента.
ДОСТУПНО: процент потерянных рабочих дней в июле 2005 г. составил семь.
четыре целых целых четыре десятых процента против семи целых семь десятых процента в 2006 году при разнице в четыре целых.
увеличение на один процент.
ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫЕ ОПЕРАЦИИ
ВСЕГДА: В будние дни количество пассажиров в июле 2005 года составляло шестьсот четырнадцать тысяч человек.
четыреста двадцать шесть против шестисот сорока четырех тысяч четырехсот тридцати девяти
на 2006 год — на четыре целых девять десятых процента.Субботний рейс на июль 2005 г.
триста сорок три тысячи девятьсот сорок шесть против трехсот пятидесяти-
семь тысяч двести семьдесят восемь на 2006 год за три целых девять десятых процента
увеличивать. Воскресенье на июль 2005 г. составило двести сорок семь тысяч человек.
триста шестьдесят один против двухсот пятидесяти четырех тысяч восьмисот шестнадцати
на 2006 год — увеличение на три процента. Общее количество пассажиров на июль 2005 года составило сорок семь человек.
миллион двести пятьдесят семь тысяч шестьсот сорок против сорока девяти миллионов,
четыреста пятьдесят шесть тысяч сто три на 2006 год за четыре целых семь десятых десятых.
процент увеличения.Пассажирских миль было двести восемьдесят семь миллионов шесть
сто одна тысяча семьсот восемьдесят два за 2005 год по сравнению с триста одним
миллионов пять тысяч девятьсот одиннадцать с увеличением на четыре целых семь десятых процента.
ОФОРМЛЕНИЕ ПО ВРЕМЕНИ: Количество железнодорожных рейсов с опозданием более десяти минут:
Июль 2005 года составил четыреста восемь против пятисот семидесяти пяти в 2006 году для сорока
увеличение целых девять десятых процента. Среднее расстояние между поездами удалено из
услуга на июль 2005 года составила пятьсот девятнадцать тысяч девятьсот девяносто два года.
против триста пятьдесят две тысячи четыреста девятнадцать за 2006 год за минус
снижение на тридцать две целых два десятых процента.ЧИСТЫЙ: процент вагонов, очищенных и подметенных до утреннего времени службы для
Июль 2005 и 2006 все делались ежедневно. Среднее количество дней между стирками наружных поверхностей:
одиннадцать экстерьеров вагонов были вымыты за июль 2005 года и восемь за 2006 год за минус.
снижение на двадцать семь целых два десятых процента. Количество дней между основными
чисток в июле 2005 года было четырнадцать против двадцати одного в 2006 году на пятьдесят процентов
увеличивать. Количество жалоб на чистоту: за 2005 год получена двадцать одна.
по сравнению с тридцатью одним в 2006 году, что на сорок семь целых шесть десятых процента больше.Все граффити были
удалены в течение суток с момента получения нами жалоб на оба
2005 и 2006 гг.
БЕЗОПАСНОСТЬ: жалоб на безопасность было восемьдесят восемь в июле 2005 года по сравнению с семьюдесятью в 2006 году.
на минус двадцать целых целых пять десятых процента. Инциденты, связанные с безопасностью NTD на
Один миллион миль был ноль ноль ноль ноль сто тридцать один в июле прошлого года.
как 2005 г., так и ноль ноль ноль ноль сто девятнадцать за 2006 г. на минус девять
снижение на целых два процента.Количество аварий на сто тысяч миль было
ноль двенадцать за июль 2005 г. и 2006 г. за нулевое изменение. Связанные с безопасностью NTD
Происшествий на один миллион миль, неосновных, было ноль ноль ноль ноль
шестьдесят один за июль 2005 г. по сравнению с нулевой ноль ноль ноль ноль девяносто девять за 2006 г.
на шестьдесят две целых три десятых процента больше. Число инцидентов, связанных с безопасностью NTD, на миллион
Майлз, Мэйджор были нулевой ноль ноль ноль ноль ноль семь по сравнению с июлем 2005 года.
и 2006 год с нулевым изменением.ДРУЖЕСТВЕННЫЙ: жалоб на поведение было девяносто три за июль 2005 и 2006 гг.
нулевое изменение. Благодарности были тридцатью в июле 2005 года по сравнению с тридцатью одной в 2006 году.
для увеличения на три целых три целых процента. Эскалатор наработал девяносто шесть часов.
процентов за июль 2005 года и девяносто шесть процентов за 2006 год с нулевым изменением. Лифт
Срок службы в июле 2005 г. составил девяносто шесть процентов против девяноста восьми процентов для
2006 г. — увеличение на две целых четыре десятых процента.ДОСТУПНО: процент потерянных дней в июле 2005 года составил семь целых ноль сотых.
против семи целых один десятых в 2006 году с увеличением на один целых четыре десятых.
Определения показателей эффективности
RIDERSHIP Количество посадок клиентов по дням недели. Поездка по железной дороге включает в себя
расчетные трансферы с железнодорожного вокзала на железнодорожный, которые не фиксируются оборудованием турникета для оплаты проезда.ВОВРЕМЯ — процедуры CTA требуют, чтобы оператор коммерческих транспортных средств сообщал
задержки в Центр управления. Это относится как к автобусам, так и к железным дорогам. При получении в
Центр управления, через наблюдение даются указания для выполнения любого количества
процедуры, чтобы минимизировать влияние задержки. Эти меры в настоящее время
записаны вручную, однако в настоящее время предпринимаются попытки включить их в электронный
база данных.
Процент отправления от терминала, минус одна или плюс пять минут (автобус)
процент отправлений с автовокзала не ранее одной минуты
или позже, чем за пять минут до запланированного времени отправления.Терминал с более высокой своевременностью
скорость отправления увеличивает вероятность более надежного обслуживания на большем расстоянии по автобусу
маршрут.
Среднее количество миль между отказами (автобус) Количество миль, пройденных автобусом до
разрушение. Чем больше пробег для среднего расстояния между отказами, тем
надежнее автобус и сервис.
Среднее расстояние между поездами, выведенными из эксплуатации (ж / д) Количество
миль, пройденных железнодорожным вагоном, прежде чем потребовалось разгрузить поезд и удалить его из
служба.Чем больше средний пробег наработки на отказ, тем больше
надежный вагон и сервис.
ЧИСТЫЙ
Очистка и подметание до утреннего обслуживания (автобусы и железные дороги) Доля транспортных средств
поступление в службу доходов утром, которые очищаются от мусора и подметаются до
выезд из гаража или ж / д двора. Согласно политике CTA, все средства получения дохода должны быть
очищены перед вводом в эксплуатацию, и операторы получают инструкции по утилизации мусора на
конец каждой поездки.Среднее количество дней между мытьем наружных поверхностей (автобус и поезд) Мытье наружных поверхностей
автобусы и железнодорожные вагоны. В соответствии с политикой CTA автобусы моют ежедневно, кроме уличных.
гаражи при температуре ниже нуля.
Количество дней между мойкой фасада (автобус и поезд) Основная чистка автобусов
включает детализированный интерьер (потолок, стены, сиденья и фасады) и экстерьер (колесные арки, автобус
экстерьер и др.) чистка. Основные средства очистки железнодорожных вагонов включают сиденья, пол, потолок и
опорные столбы.Процент граффити, удаленных через 24 часа после подачи жалобы (автобус и поезд)
Процент граффити на объекте CTA, который был удален в течение 24 часов после
уведомление. Согласно политике CTA, граффити удаляются до того, как автомобили вернутся в эксплуатацию в следующий раз.
день и на вокзалах в течение суток после сообщения.
БЕЗОПАСНО
Жалобы на безопасность (автобусный и железнодорожный транспорт) Количество полученных жалоб, связанных с
безопасность и забота о личной безопасности клиентов.Количество аварий на сто тысяч миль (автобус и поезд) Количество аварий
на сто тысяч пройденных миль, при несчастном случае, определяемом как зарегистрированное
столкновение автомобиля с
человек, другое транспортное средство или объект, или сообщение о происшествии, связанном с безопасностью, с участием клиентов или
сотрудники на транспортных средствах в налоговой службе.
Национальная база данных транзитных происшествий, связанных с безопасностью, на один миллион миль (автобус и
Железная дорога) Количество зарегистрированных инцидентов, серьезных или незначительных, связанных с CTA
транспортных средств на один миллион пройденных миль.Для целей Национальной базы данных о транзитных перевозках
Федеральное управление транзита определяет инцидент как связанный с одним или несколькими
следующий:
— Смерть, отличная от самоубийства (серьезное)
— Травмы, требующие немедленной медицинской помощи вдали от места происшествия для двух и более
человек (основной) или на одного человека (неосновной)
— Ущерб собственности, равный или превышающий двадцать пять тысяч долларов (крупный), равный
до или более семидесяти пятисот долларов, но менее двадцати пяти тысяч
долларов (неосновные)
— Эвакуация по соображениям безопасности жизнедеятельности (мажорная)
Мы предоставляем качественные и доступные услуги общественного транспорта, которые объединяют людей, рабочие места и
сообщества.
Иррациональные числа в математике и их свойства с примерами решения и образцами выполнения
Оглавление:
На первый взгляд может показаться, что никаких других чисел, кроме рациональных, и быть не может. В действительности же это не так. Мы увидим, что, кроме рациональных чисел, существуют и другие.
Станем исходить из того, что нам известны лишь рациональные числа и никакие другие. Тогда действие возведения в квадрат иад этими числами окажется выполнимым всегда.
Например:
Между тем действие извлечения квадратного корня выполнимо уже далеко не всегда.
Например, действие извлечения квадратного корня из двух окажется невыполнимым, так как во множестве рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого был бы равен двум (см. стр. 244).
Таким образом, чтобы сделать возможным выполнение действия извлечения арифметического квадратного корня, во всех случаях снова требуется прибегнуть к дальнейшему расширению нашего понятия о числе.
Здесь мы снова видим, что для выполнения прямого действия (возведения в квадрат) не требовалось расширять рациональную числовую область, а для безотказного выполнения обратного действия (извлечения квадратного корня) такое расширение уже становится необходимым.
К расширению области рациональных чисел нас приводит и рассмотрение вопроса об отношении несоизмеримых отрезков (см. стр. 247).
Действительно, оставаясь в области рациональных чисел, мы не можем выразить точно отношение несоизмеримых отрезков, а следовательно, и длину отрезка, несоизмеримого с единицей длины (см. стр. 248).
Таким образом, к расширению рациональной числовой области приводят нас потребности не только алгебры, но и геометрии.
Существование на числовой оси точек, не являющихся рациональными
Было доказано, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы (см. стр. 246). Отсюда вытекает следующее: если длину стороны квадрата принять за единицу, то не будет существовать никакого рационального числа, которое выражало бы точно длину диагонали.
Пусть ABCD (рис. 66) есть квадрат, сторона которого принята за единицу длины.
Отложим на числовой оси (рис. 67) отрезки ОМ и равные диагонали АС. Тогда точки М и не будут рациональными («черными») точками числовой оси, а следовательно, будут точками, которые мы назвали образно «красными».
Но так как отрезков, несоизмеримых с единицей; длины, существует бесконечное множество то и точек на числовой оси, не являющихся рациональными, также существует бесконечное множество.
Выше мы назвали образно все рациональные точки числовой оси «черными», а все остальные «красными». Отсюда следует, что «черные» и «красные» точки заполняют собой всю числовую ось сплошь. Иначе говоря, на числовой оси, кроме рациональных («черных») и нерациональных («красных») точек, никаких других точек нет.
В § 5, гл. XVII было доказано, что между двумя любыми различными рациональными («черными») точками существует бесконечное множество других рациональных («черных») точек. В связи с этим примем к сведению без доказательства следующее: на любом сколь угодно малом отрезке числовой, оси, где бы он ни был расположен, имеется бесконечное множество рациональных („черных») и бесконечное множество „красных» точек.
При этом оказывается, что бесконечное множество нерациональных (т. е. «красных») точек числовой оси существенно «богаче» множества ее рациональных (т. е. «черных») точек. Это же самое в точных терминах можно сформулировать так: множество нерациональных (т. е. «красных») точек числовой оси имеет мощность (см. §6 этой же главы) более высокую, чем мощность множества рациональных (т. е. «черных») точек.
Выражаясь образно, можно сказать, что числовая ось настолько сильно насыщена «красными» (т. е. нерациональными) точками, что вся она, по нашей условной терминологии, представлялась бы нам как бы сплошь красной.
Понятие об иррациональном числе
1. Мы убедились в том, что одних рациональных чисел недостаточно для потребностей алгебры и геометрии.
Мы видели, что нет такого рационального числа, которое равнялось бы точно . (Аналогично можно было бы убедиться, что нет таких рациональных чисел, которые равнялись бы точно, например, и многим другим квадратным корням.) Мы знаем еще и то, что существуют отрезки, точное отношение которых не выражается никаким рациональным числом (см. стр. 247). Мы также знаем, что на числовой оси существуют такие точки, точные расстояния которых от начальной точки числовой оси не выражаются никакими рациональными числами (см. стр. 254). Значит, для изображения этих величин необходимы какие-то новые числа.
Как же составить представление об этих новых числах.
Во-первых, заметим, что такими новыми числами никак не могут быть ни конечные десятичные дроби, ни бесконечные периодические десятичные дроби, так как те и другие являются числами рациональными (см. стр. 251).
Во-вторых, заметим, что никакая бесконечная непериодическая дробь не может изображать собой рациональное число, так как всякое рациональное число (как известно из арифметики), будучи изображенным в форме бесконечной дроби, дает дробь обязательно периодическую.
Чтобы составить себе представление об этих новых числах, рассмотрим еще раз вопрос об измерении отрезка, несоизмеримого с единицей длины, и вопрос о квадратном корне из двух.
Пусть отрезки АВ и CD (рис. 68)
Первый шаг. Примем отрезок CD за единицу измерения и станем откладывать его последовательно на отрезке АВ. Пусть отрезок CD отложился раз и получился остаток MB, меньший CD. (На рис. 69 = 5.) Эту операцию назовем первым шагом.
Второй шаг. Разделим отрезок CD на десять равных частей и будем откладывать часть CD на остатке MB. Пусть часть CD отложилась на MB раз (на рис. 70 = 6).
Тогда обязательно получится второй остаток
Третий шаг. На втором остатке откладываем часть CD. Получим целое число и третий остаток
Этот процесс мы продолжаем дальше, делая четвертый, пятый и дальнейшие шаги.
В силу несоизмеримости отрезков АВ и CD этот процесс теоретически никогда не кончится и длина АВ выразится бесконечной десятичной дробью. Эта бесконечная десятичная дробь не будет периодической, так как в таком случае отрезки АВ и CD оказались бы соизмеримыми, тогда как по условию они несоизмеримы.
Вот эта бесконечная непериодическая десятичная дробь и будет примером нового числа, не являющегося рациональным и называемого иррациональным. Этим числом и будет выражаться длина отрезка АВ.
Определение:
Иррациональным числом называется бесконечная непериодическая десятичная (положительная или отрицательная) дробь.
Например, бесконечная непериодическая дробь
8,121121112…
есть вполне определенное иррациональное число.
Ниже будет показано, что математическое выражение, например есть также определенное иррациональное число.
Мы уже умеем находить приближенные значения с любой сколь угодно высокой степенью точности, т. е. мы можем находить сколько угодно десятичных знаков, идущих после запятой в десятичной дроби, которая изображает приближенное значение .
При этом нам ясно, что процесс извлечения никогда не может закончиться. Если бы этот процесс мог закончиться, то был бы равен некоторой дроби , что невозможно.
Нам также ясно, что в результате бесконечного процесса извлечения не может получиться периодическая бесконечная дробь. Если бы получилась периодическая бесконечная дробь, то это означало бы опять, что равен некоторой дроби , что невозможно. (Ведь периодическая бесконечная дробь есть число рациональное.)
Бесконечный ряд чисел
представляет собой приближенные значения с недостатком, с точностью до и т. д.
Бесконечный же ряд чисел
представляет собой приближенные значения с избытком, с точностью до и т. д.
Квадратами чисел ряда (а) будут
Квадратами чисел ряда () будут
Числа, записанные в рядах (b) и , становятся тем ближе к числу 2, чем больше десятичных знаков мы берем.
Ряд (а) обладает той особенностью, что раз полученный десятичный знак навсегда сохраняется при продолжении процесса.
Это, естественно, приводит к мысли принять за бесконечную десятичную дробь
Но эта бесконечная дробь не может оказаться периодической, как это уже было доказано выше.
Итак, квадратный корень из двух изображается бесконечной непериодической десятичной дробью. Следовательно, есть число иррациональное.
Написать бесконечную непериодическую десятичную дробь, разумеется, нельзя. Мы, однако, считаем ее определенной, если имеется то или иное правило, позволяющее написать любой его десятичный знак, как бы далеко ни стоял этот знак в последовательности десятичных знаков.
Например, тысячный знак в бесконечной десятичной дроби
изображающей иррациональное число имеет вполне определенную величину, несмотря на то, что его едва ли кто знает. Впрочем, при помощи современных электронных цифровых вычислительных машин найти этот тысячный знак можно довольно быстро.
Аналогично тому, как мы доказали, что есть число иррациональное, можно доказать, что числа и т. д. также являются иррациональными.
Чтобы показать существование других иррациональных чисел, введем понятие арифметического корня n-й степени.
Определение:
Арифметическим корнем n-й степени из положительного числа а называется такое новое положительное число, п-я степень которого равна а.
Корень n-й степени из а обозначается символом
Число а называется подкоренным выражением; число n называется показателем корня; символ называется знаком корня n-й степени, а выражение называется корнем n -й степепи.
Примеры:
и т. д.
Корни 3-й степени называют кубическими корнями. Например, суть кубические корни.
Примем к сведению без доказательства, что, например,
и им подобные представляют собой числа иррациональные.
Но ошибочно было бы думать, что иррациональные числа порождаются только корнями. Наоборот, существует много других источников, порождающих иррациональные числа. Например, мы видели, что длина всякого отрезка, несоизмеримого с единицей длины, есть число иррациональное, независимо от того, может или не может эта длина выражаться точно с помощью одного или нескольких корней.
Доказано, что отношение длины окружности к своему диаметру есть число иррациональное. Доказано, кроме того, что это иррациональное число не может быть точно представлено с помощью одного или нескольких корней.
Отношение длины окружности к своему диаметру принято обозначать греческой буквой («пи»).
Иррациональность числа впервые была доказана немецким математиком Ламбертом в 1766 году.
Число изображается бесконечной непериодической дробью
первые 15 десятичных знаков которой здесь выписаны.
Число изображается бесконечной непериодической дробью
первые 7 десятичных знаков которой здесь выписаны.
Мы уже знаем, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь представляет собой число иррациональное.
Теперь может возникнуть вопрос о том, как же понимать смысл самой бесконечной непериодической десятичной дроби.
Возьмем какую-нибудь бесконечную непериодическую десятичную дробь, например 4,25 225 2225… Составим две последовательности чисел.
Первая последовательность:4,2; 4,25; 4,252; 4,2522; 4,25225…
Вторая последовательность:4,3; 4,26; 4,253; 4,2523, 4,25226…
Доказано (доказательства мы здесь не приводим), что этими двумя бесконечными последовательностями определяется единственное число, которое больше каждого числа первой последовательности и меньше каждого числа второй последовательности. Это единственное число мы и понимаем под символом
Таким образом, конкретное представление об иррациональном числе
мы можем себе составить путем рассмотрения указанных выше двух бесконечных последовательностей. Эти две бесконечные последовательности дают возможность находить приближенные значения определяемого ими иррационального числа с любой точностью— с недостатком и с избытком. Например, число есть приближенное значение с недостатком с точностью до . Число же есть приближенное значение с избытком с точностью до .
Мы уже убедились в том, что всякая бесконечная десятичная непериодическая дробь является числом иррациональным. Однако существуют и другие бесконечные процессы, определяющие собой то или иное иррациональное число. Например, бесконечный процесс
определяет собой иррациональные числа , так что
Пояснения к формуле
Выражение
представляет собой некоторый, идущий по определенному закону, бесконечный процесс. Если допустить, что этот бесконечный процесс определяет собой некоторое число то получим
Перепишем эту формулу в следующем виде:
Выражение в предыдущей формуле, отмеченное одной фигурной скобкой, представляет тот же самый бесконечный процесс, которым (как мы допустили) определяется число х. Поэтому получим, что
Из этого уравнения следует, что
Но так как х — число положительное, то
Итак, доказано следующее. Если допустить, что бесконечным процессом
определяется некоторое число, то этим числом будет как раз иррациональное число .
Примем к сведению без доказательства, что, беря все большее и большее число звеньев этого бесконечного процесса, мы можем получать рациональные приближения иррационального числа все с большей и большей точностью.
Например, значение выражения
равно . Отсюда
что как раз и представляет приближенное значение с недостатком с точностью до 0,0001.
Сравнение иррациональных чисел
Два иррациональных числа называются равными, если их изображения с помощью бесконечных непериодических десятичных дробей одинаковы (тождественны).
Из двух положительных иррациональных чисел больше то, у которого целая часть больше. Если же целые части равны, то большим будет то, у которого больше первый десятичный знак после запятой. Если же и первые десятичные знаки одинаковы, то большим будет то, у которого больше второй десятичный знак и т. д.
Например, сравним следующие иррациональные числа:
Здесь одинаковы целые части; первые семь десятичных знаков во втором числе такие же, как и в первом. Восьмой десятичный знак первого числа больше восьмого десятичного знака второго числа. Поэтому первое иррациональное число больше второго. Выписав достаточное число десятичных знаков бесконечных непериодических десятичных дробей изображающих иррациональные числа и , убедитесь, что
Сложение и умножение иррациональных чисел
Поясним, что такое сумма двух иррациональных чисел. Пусть иррациональное число а изображается следующей бесконечной непериодической десятичной дробью
а иррациональное число b — дробью
Тогда сумма а + b изобразится дробью
Эта дробь бесконечная, непериодическая, десятичная; значит, она изображает собой определенное иррациональное число.
Напишем последовательности чисел, изображающих приближенные значения числа а:
с недостатком: с избытком:
Сделаем то же самое и для числа b:
Составим еще две следующие последовательности:
В последовательности (I) идут суммы соответствующих приближенных значений чисел a и b с недостатком, ав(II)с избытком.
Под суммой а + b подразумевается такое число, которое больше каждого члена бесконечной последовательности (I) и меньше каждого члена бесконечной последовательности (II).
Таким числом как раз будет дробь
Определение:
Суммой двух положительных иррациональных чисел называется число, которое больше суммы любых их приближенных значений с недостатком, но меньше суммы любых их приближенных значений с избытком. Такое число, как это доказано в строгой теории иррациональных чисел, всегда существует и притом только одно.
Сумма двух иррациональных чисел, вообще говоря, будет числом иррациональным, но может оказаться и рациональным.
Например, числа и оба иррациональные, между тем как их сумма
есть рациональное число 3.
Определение:
Произведением двух положительных иррациональных чисел называется число, которое больше произведений любых их приближенных значений с недостатком, но меньше произведений любых их приближенных значений с избытком.
Такое число также всегда существует и притом только одно.
Произведение двух иррациональных чисел, вообще говоря, будет числом иррациональным, но может оказаться и рациональным.
Например, произведение иррациональных чисел и будет иррациональным числом, равным
Произведение же иррациональных чисел и будет равно , т. е. рациональному числу 4.
По аналогии с приведенными рассуждениями читатель сможет сам составить определения сложения и умножения двух чисел для того случая, когда одно из них рациональное, а другое иррациональное.
Подобно этому определяется вычитание и деление иррациональных чисел.
Понятие действительного числа
Определение:
Все рациональные и иррациональные числа, как положительные, так и отрицательные, называются действительными, или вещественными, числами.
Примем к сведению без доказательства, что особенности нуля и единицы (см. стр. 41), а также переместительный и сочетательный законы сложения и переместительный сочетательный и распределительный законы умножения (см. стр. 32 и 39) остаются в силе для всех действительных чисел (рациональных и иррациональных).
Примеры для закрепления терминологии
Число 2 есть действительное, рациональное, целое, натуральное.
Число (— 2) есть действительное, рациональное, целое, отрицательное.
Число есть действительное, рациональное, дробное, положительное.
Число 2,333… есть действительное, рациональное, дробное, положительное (2,333… = ).
Число 2,1333… есть действительное, рациональное, дробное, положительное (2,1333… = ).
Число 2, 12 112 11112… есть действительное, иррациональное, положительное.
Число есть действительное, иррациональное, положительное.
Число (— ) есть действительное, иррациональное, отрицательное.
Слово «рациональный» происходит от латинского слова «rationalis», что означает — «разумный», «обоснованный».
Слово «иррациональный» происходит также от латинского слова «irratlonalis», что означает — «неразумный», «необоснованный».
Можно было бы подумать, что числа, несоизмеримые с единицей, были названы «иррациональными» потому, что их действительно считали не поддающимися логическому пониманию. На самом деле это не так. Еще у древнегреческого математика Евклида встречаются такие определения, из которых видно, что он отнюдь не считал «иррациональные числа» «неразумными», «нелогичными».
Термин «иррациональное число» возник вследствие чисто формального перевода на латинский язык греческого слова « » . Употребляя это слово, греческие математики вовсе не хотели назвать новые числа «нелогичными», а хотели подчеркнуть лишь то, что каждое из них нельзя выразить отношениями двух целых чисел.
Строгая теория иррациональных чисел была построена впервые лишь во второй половине XIX века немецким математиком Дедекиндом. Со строгой теорией иррациональных чисел можно ознакомиться, например, по книге А. Н. Колмогорова и П. С. Александрова «Введение в теорию функций действительного переменного».
Примечание:
Примем к сведению без доказательства, что правила и формулы, выведенные для рациональных чисел, остаются в силе и для всех действительных чисел. Например, правила умножения и деления степеней, формулы умножения, свойства пропорций, свойство ряда равных отношений и т. д.
Некоторые понятия и предложения элементарной теории множеств
О бесконечных множествах
В математике постоянно приходится иметь дело с бесконечными множествами.
Приведем несколько примеров таких множеств:
1) множество всех натуральных чисел; 2) множество всех четных чисел; 3) множество всех простых чисел; 4) множество всех, рациональных чисел; 5) множество всех иррациональных чисел; 6) множество всех действительных чисел; 7) множество всех различных прямоугольных треугольников с гипотенузой, равной единице; 8) множество всех различных квадратных уравнений с действительными числовыми коэффициентами.
Введем понятие о взаимно однозначном соответствии.
Мы уже знаем, что каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и, наоборот, каждой точке числовой оси соответствует определенное действительное число. Имея это в виду, говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси имеет место взаимно однозначное соответствие.
Приведем другой пример взаимно однозначного соответствия.
Между множеством всех целых положительных чисел и множеством целых отрицательных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие. Например, каждому целому положительному числу можно поставить в соответствие число, ему противоположное.
Определение:
Если между элементами двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то такие два множества называются эквивалентными.
Пример:
Множество точек числовой оси и множество действительных чисел эквивалентны. Каждой точке числовой оси соответствует одно и только одно определенное действительное число и, наоборот, каждому действительному числу соответствует одна и только одна определенная точка числовой оси.
Пример:
Множество точек отрезка АВ (рис. 71) и множество точек отрезка — эквивалентны.
Каждой точке М отрезка А В можно поставить в соответствие одну и только одну точку отрезка лежащую на луче ОМ. Наоборот, каждой точке отрезка можно поставить в соответствие одну и только одну точку К отрезка АВ, лежащую на луче ОК.
Пример:
Множество всех целых положительных чисел
эквивалентно множеству всех положительных четных чисел
В самом деле, мы можем поставить в соответствие каждому целому числу число, вдвое большее его. Наоборот, каждому четному числу мы можем поставить в соответствие число, вдвое меньшее его.
Взаимно однозначное соответствие между рассмотренными множествами (пример 3) мы можем записать в виде следующей таблицы:
Относительно двух эквивалентных бесконечных множеств говорят также, что они имеют одинаковую мощность. Другими словами, два бесконечных множества имеют одинаковую мощность, если эти множества эквивалентны.
Счетные множества и множества мощности континуума
Множество, эквивалентное множеству всех целых положительных чисел, называется счетным множеством. Например, множество всех положительных четных чисел есть счетное множество. Множество всех положительных нечетных чисел также будет счетным, так как оно тоже эквивалентно множеству всех целых положительных чисел.
Так как всякое множество эквивалентно самому себе, то и множество целых положительных чисел также является счетным множеством.
Множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел, называется множеством мощности континуума.
Множество точек числовой оси эквивалентно множеству действительных чисел. Поэтому множество точек числовой оси также имеет мощность континуума.
Приведем еще примеры множеств, имеющих мощность континуума.
Пример:
Множество точек полуокружности имеет мощность континуума. В самом деле, легко убедиться в том, что множество точек полуокружности эквивалентно множеству точек числовой оси. Каждой точке полуокружности (рис. 72) можно поставить в соответствие одну и только одну точку М числовой оси, лежащую на луче . Наоборот, каждой точке К числовой оси можно поставить в соответствие одну и только одну точку полуокружности, лежащую на луче ОК.
Пример:
Множество точек любого отрезка прямой имеет мощность континуума.
Доказательство:
Множество точек отрезка прямой эквивалентно множеству точек полуокружности, построенной на этом отрезке как на диаметре.
В самом деле, каждой точке М отрезка АВ (рис. 73) можно поставить в соответствие одну и только одну определенную точку полуокружности, лежащую на перпендикуляре к прямой АВ, восставленном из точки М. Далее, каждой точке полуокружности можем поставить в соответствие одну и только одну точку К отрезка АВ, лежащую на перпендикуляре, опущенном из точки на прямую АВ.
Но ранее было доказано, что множество точек полуокружности имеет мощность континуума. Следовательно, и мощность множества точек любого отрезка прямой также ийеет мощность континуума, что и требовалось доказать.
Так как всякое множество эквивалентно самому себе, то множество действительных чисел также имеет мощность континуума.
Примем к сведению без доказательства следующее.
Множество рациональных чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, т. е. есть счетное множество.
Множество же одних иррациональных чисел не является счетным, а имеет такую же мощность, как и множество всех действительных чисел, т. е. мощность континуума.
Из множества, имеющего мощность континуума, можно выделить сколько угодно бесконечных счетных множеств и прн этом оставшиеся элементы составят бесконечное множество опять же мощности континуума.
Мощность счетного множества н мощность континуума — это различные мощности.
Мощность счетного множества есть наименьшая мощность нз всех возможных мощностей бесконечных множеств.
Мощность континуума есть более высокая мощность, чем мощность счетного множества.
С теорией множеств можно ознакомиться, например, по книге А. Н. Колмогорова и С. Ф. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа».
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат
Иррациональные числа: определение, примеры
Иррациональные числа известны людям с глубокой древности. Еще за несколько веков до нашей эры индийский математик Манава выяснил, что квадратные корни некоторых чисел (например, 2) невозможно выразить явно.
Данная статья является своего рода вводным уроком в тему «Иррациональные числа». Приведем определение и примеры иррациональных чисел с пояснением, а также выясним, как определить, является ли данное число иррациональным.
Само название «иррациональные числа» как бы подсказывает нам определение. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным. Другими словами, такое число нельзя представить в виде дроби mn, где m — целое, а n — натуральное число.
Определение. Иррациональные числа
Иррациональные числа — это такие числа, которые в десятичной форме записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.
Для обозначения множества иррациональных чисел используется символ
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Автор:
Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Навигация по статьям
Предыдущая статья
Пределы
Следующая статья
Общее уравнение плоскости
Арифметические операции над действительными числами
Взаимно обратные числа
Вычитание десятичных дробей
Вычитание натуральных чисел
Вычитание натуральных чисел
Все темы по математике
Курсовые работы
Рефераты
Контрольные работы
Отчет по практике
Эссе
Узнать подробнее
ПЛАСТИНЧАТЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК В Компас А Бумага теплообменник кожухотрубчатый
Вид работы:
Чертёж
Выполнена:
27 июня 2022 г.
Стоимость:
2 400 руб
Заказать такую же работу
Математические модели инфодемии
Заказать такую же работу
Нужно рассчитать теплообменник
Вид работы:
Контрольная работа
Выполнена:
28 апреля 2022 г.
Стоимость:
3 600 руб
Заказать такую же работу
Задания прикреплены
Вид работы:
Контрольная работа
Выполнена:
21 января 2022 г.
Стоимость:
1 400 руб
Заказать такую же работу
Особенности исторической застройки Красноярска от появления острога до конца века
Вид работы:
Реферат
Выполнена:
27 декабря 2021 г.
Стоимость:
1 000 руб
Заказать такую же работу
по Строительным материалам
Вид работы:
Решение задач
Выполнена:
30 ноября 2021 г.
Стоимость:
1 100 руб
Заказать такую же работу
Смотреть все работы по чертежам в компас
Разница между рациональными и иррациональными числами
2019
Математика — не что иное, как игра чисел. Число — это арифметическое значение, которое может быть цифрой, словом или символом, обозначающим количество, которое имеет много последствий, таких как подсчет, измерения, вычисления, маркировка и т. Д. Числа могут быть натуральными числами, целыми числами, целыми числами, действительными числами, сложными номера. Действительные числа далее делятся на рациональные числа и иррациональные числа. Рациональные числа — это числа, которые являются целыми и дробными
С другой стороны, иррациональные числа — это числа, выражение которых в виде дроби невозможно. В этой статье мы собираемся обсудить различия между рациональными и иррациональными числами. Посмотри.
Сравнительная таблица
Основа для сравнения
Рациональное число
Иррациональные числа
Имея в виду
Рациональные числа относятся к числу, которое может быть выражено в соотношении двух целых чисел.
Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения двух целых чисел.
Доля
Выражается в дроби, где знаменатель ≠ 0.
Не может быть выражено в долях.
Включает в себя
Совершенные квадраты
Surds
Десятичное расширение
Конечные или повторяющиеся десятичные дроби
Не конечные или не повторяющиеся десятичные дроби.
Определение рациональных чисел
Термин «отношение» получен из слова «отношение», которое означает сравнение двух величин и выражается в простой дроби. Число называется рациональным, если оно может быть записано в виде дроби, такой как p / q, где и p (числитель), и q (знаменатель) являются целыми числами, а знаменатель — натуральное число (ненулевое число). Целые числа, дроби, включая смешанную дробь, повторяющиеся десятичные дроби, конечные десятичные дроби и т. Д., Являются рациональными числами.
Примеры рационального числа
1/9 — числитель и знаменатель являются целыми числами.
7 — Можно выразить как 7/1, где 7 — это целое число 7 и 1.
√16 — поскольку квадратный корень может быть упрощен до 4, что является частным дроби 4/1
0, 5 — Может быть записано как 5/10 или 1/2, и все заканчивающиеся десятичные дроби являются рациональными.
0.3333333333 — Все повторяющиеся десятичные дроби рациональны.
Определение иррациональных чисел
Число называется иррациональным, когда его нельзя упростить до какой-либо доли целого числа (x) и натурального числа (y). Это также может быть понято как число, которое нерационально. Десятичное разложение иррационального числа не является ни конечным, ни повторяющимся. Он включает в себя дополнительные числа и специальные числа, такие как π («пи» — наиболее распространенное иррациональное число) и e. Surd — это несовершенный квадрат или куб, который нельзя уменьшить, чтобы удалить квадратный корень или кубический корень.
Примеры иррационального числа
√2 — √2 не может быть упрощено, и поэтому оно нерационально.
√7 / 5 — данное число является дробью, но это не единственный критерий, который следует называть рациональным числом. И числитель, и знаменатель должны быть целыми числами, а √7 не является целым числом. Следовательно, данное число нерационально.
3/0 — дробь с нулевым знаменателем, иррациональна.
π — поскольку десятичное значение π никогда не заканчивается, никогда не повторяется и никогда не показывает какого-либо шаблона. Следовательно, значение pi не точно равно любой дроби. Число 22/7 является справедливым и приблизительным.
0.3131131113 — Десятичные дроби не заканчиваются и не повторяются. Поэтому его нельзя выразить как частное от дроби.
Различие между рациональными и иррациональными числами может быть ясно показано на следующих основаниях
Рациональное число определяется как число, которое может быть записано в соотношении двух целых чисел. Иррациональное число — это число, которое не может быть выражено в соотношении двух целых чисел.
В рациональных числах и числитель, и знаменатель являются целыми числами, где знаменатель не равен нулю. Пока иррациональное число нельзя записать дробью.
Рациональное число включает числа, которые являются идеальными квадратами, такими как 9, 16, 25 и так далее. С другой стороны, иррациональное число включает в себя такие числа, как 2, 3, 5 и т. Д.
Рациональное число включает только те десятичные дроби, которые являются конечными и повторяющимися. Наоборот, иррациональные числа включают те числа, десятичное разложение которых бесконечно, неповторяюще и не показывает паттерна.
Заключение
Изучив вышеприведенные пункты, совершенно ясно, что выражение рациональных чисел может быть возможным как в дробной, так и в десятичной форме. Напротив, иррациональное число может быть представлено только в десятичной форме, но не в виде дроби. Все целые числа являются рациональными числами, но все нецелые числа не являются иррациональными числами.
Некоторые дополнения к понятию иррациональное число
Автор(ы): Павлов Анатолий Тимофеевич Рубрика: Физико-математические науки Журнал: «Евразийский Научный Журнал №1 2016» (январь) Количество просмотров статьи: 2210 Показать PDF версию
Некоторые дополнения к понятию иррациональное число
Павлов А. Т., г. Иркутск
Некоторые дополнения к понятию иррациональное число
Иррациональным
называется число, которое можно выразить
в форме бесконечной непериодической
десятичной дроби. Например, иррациональными
являются числа
,
числа e,
π,
синусы
многих рациональных величин, логарифмы
целых чисел и т.д. В отличие иррационального
числа, любое рациональное
число может
быть записано в виде бесконечной
периодической десятичной дроби, которую
также можно представить обыкновенной
дробью
,
где
и
–
целые числа,
.
Например, рациональные числа
,
.
Введем
некоторые дополнения к понятию
иррациональное
число.
Рассмотрим на примере. Уравнение
имеет корни
.
Корни данного уравнения являются
иррациональными
числами,
но каждое из данных иррациональных
чисел представляет собой алгебраическую
сумму собственно
иррационального
числа
и рационального
числа
.
Собственно иррациональную составляющую
назовем чисто
иррациональным числом, выражение
назовем составным
иррациональным числом.
Определение.
Иррациональное
число, которое нельзя представить в
виде алгебраической суммы другого
иррационального числа и рационального
числа назовем чисто
иррациональным
числом.
Иррациональное
число, которое представлено в виде
алгебраической суммы чисто иррационального
числа и рационального числа назовем
составным иррациональным числом.
Как
уже отмечалось выше,
– чисто
иррациональное число,
– составные
иррациональные
числа.
Подразделение
иррациональных чисел на чисто
иррациональные числа и составные
иррациональные числа предлагается в
математике впервые.
Можно провести аналогию в терминологии
с комплексными числами, где комплексные
числа вида
при
называются мнимыми, числа вида
называются чисто
мнимыми.
Составное
иррациональное число может быть задано
в неявном виде, в этом случае возникает
необходимость представить иррациональное
число в виде суммы рационального и чисто
иррационального чисел. Примеры такого
вида есть в курсе алгебры 9-го класса и
встречаются в заданиях ЕГЭ по математике.
Рассмотрим один из алгоритмов решения
подобного вида задач на примерах.
Пример
1.
Предположим, что
– составное иррациональное число. В
таком случае представим его в виде
,
где
–
рациональная,
–
чисто иррациональная составляющая
числа. Так как
– чисто иррациональное, полагаем
.
Отсюда запишем
,
возведем выражение во вторую степень,
получим
.
Сумма рациональных составляющих
,
чисто иррациональные составляющие
равны
.
Решая полученные уравнения, находим
,
.
В результате получаем
.
Пример
2.
Покажем, что
–
составное иррациональное число. Пусть
,
.
Отсюда
.
Сумма
рациональных составляющих:
,
чисто иррациональная составляющая:
.
Решая полученные уравнения, находим
,
,
окончательно запишем
.
На
основании введенного разделения
иррациональных чисел на чисто
иррациональные и составные
иррациональные сформулируем некоторые
очевидные свойства иррациональных
чисел.
1.
Алгебраическая сумма чисто иррациональных
выражений не может быть равна рациональному
числу, кроме числа ноль
Например,
пусть
,
где
,
где
и
–
целые числа,
.
Возведем выражение во вторую степень,
получим
.
Получили противоречие – чисто
иррациональное число представлено
обыкновенной дробью, следовательно
.
2.
Алгебраическая сумма составного и чисто
иррациональных чисел может равняться
рациональному числу
Например,
.
3.
Алгебраическая сумма составных
иррациональных чисел может равняться
рациональному числу
Например,
а)
,
б)
.
Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа
Справочник по математике
Арифметика
Рациональные и иррациональные числа
Содержание
Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах
Иррациональность числа
Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком
Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах
Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое принято обозначать буквой Q .
Каждое из рациональных чисел можно представить в виде
,
где m – целое число, а n – натуральное число.
При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.
Числа
и т.п. являются примерами иррациональных чисел.
Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.
При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.
Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.
Множество вещественных чисел обозначают буквой R .
Иррациональность числа
Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида
,
удовлетворяющая равенству
и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.
Используя данное равенство, получаем:
Отсюда вытекает, что число m2 является четным числом, а, значит, и число m является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число m является нечетным числом, то найдется такое целое число k , которое удовлетворяет соотношению
m = 2k + 1 .
Следовательно,
m2 = (2k + 1)2 = = 4k2 + 4k +1 ,
т.е. m является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число m является четным числом. Значит, найдется такое целое число k , которое удовлетворяет соотношению
m = 2k .
Поэтому,
Отсюда вытекает, что число n2 является четным, а, значит, и число n является четным числом.
Итак, число m является четным, и число n является четным, значит, число 2 является общим делителем числителя и знаменателя дроби
.
Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению
не существует. Следовательно, число является иррациональным числом, что и требовалось доказать.
Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком
Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число
Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической десятичной дробью.
Последовательностью десятичных приближений числа с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т. д.
Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на 1 , то получится десятичное приближение числа с избытком.
Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.
Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:
и т.д.
Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.
Значение, Определение, Предложения . Что такое иррациональное число
Онлайн-переводчик
Грамматика
Видео уроки
Учебники
Лексика
Специалистам
Английский для туристов
Рефераты
Тесты
Диалоги
Английские словари
Статьи
Биографии
Обратная связь
О проекте
Примеры
Значение слова «ИРРАЦИОНАЛЬНЫЙ»
В идеалистической философии: не постигаемый разумом, мистически скрытый.
Смотреть все значения слова ИРРАЦИОНАЛЬНЫЙ
Значение слова «ЧИСЛО»
Понятие количества, величина, при помощи к-рой производится счёт.
Смотреть все значения слова ЧИСЛО
Предложения с «иррациональное число»
Пи — иррациональное число, это означает, что оно не может быть представлено в виде дроби.
В противном случае пусть a-иррациональное число √2√2, А b = √2.
Золотое сечение-еще одно знаменитое квадратичное иррациональное число.
Если k-иррациональное число, то кривая никогда не замыкается и образует плотное подмножество пространства между большим кругом и кругом радиуса R + 2r. .
Квадратный корень из 3-это иррациональное число.
Другие результаты
Возможно, наиболее легко доказать иррациональность чисел с помощью определенных логарифмов.
Я только что добавил таблицу иррациональных чисел, чтобы эта страница соответствовала записям для других баз.
Противоречие означает, что это предположение должно быть ложным, т. е. log2 3 иррационально и никогда не может быть выражено как частное целых чисел m/n с n ≠ 0.
Поскольку алгебраические числа образуют подполе действительных чисел, многие иррациональные действительные числа могут быть построены путем объединения трансцендентных и алгебраических чисел.
Квадратные корни всех натуральных чисел, которые не являются совершенными квадратами, иррациональны, и доказательство можно найти в квадратичных иррациональных числах.
История о том, как Гиппаса утопили за то, что он открыл существование иррациональных чисел, известна, но сомнительна.
Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не мог допустить существования иррациональных чисел.
Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не мог допустить существования иррациональных чисел.
Иррациональные числа также плотны в вещественных числах, однако они неисчислимы и имеют ту же мощность, что и реальные.
Это доказательство можно обобщить, чтобы показать, что любой квадратный корень из любого натурального числа, который не является квадратом натурального числа, иррационален.
Смотрите квадратичный иррациональный или бесконечный спуск для доказательства того, что квадратный корень любого неквадратичного натурального числа иррационален.
Для любой базы, в то время как рациональные числа могут быть просто нормальными в конкретной базе, каждое нормальное число иррационально.
Он дал определения рациональным и иррациональным величинам, которые он рассматривал как иррациональные числа.
Как и в любом другом целочисленном базисе, алгебраические иррациональные и трансцендентальные числа не заканчиваются и не повторяются.
Из доказательства Кантора, что действительные числа неисчислимы, а рациональные-счетны, следует, что почти все действительные числа иррациональны.
Одним из доказательств иррациональности числа является следующее доказательство бесконечного спуска.
Мартин 2001 привел простой пример иррационального числа, которое абсолютно ненормально.
В Средние века развитие алгебры мусульманскими математиками позволило рассматривать иррациональные числа как алгебраические объекты.
Это доказательство использует характеристику π как наименьшего положительного числа, половина которого равна нулю косинусной функции, и фактически доказывает, что π2 иррационально.
Только самые известные иррациональные числа заслуживают перенаправления от частичных десятичных разложений.
Он никогда не доказывает, что корень числа 2 является иррациональным числом.
Теодор и Теэтет разделили рациональные числа и иррациональные числа на различные категории.
Вещественные числа, которые не являются рациональными числами, называются иррациональными числами.
Только самые известные иррациональные числа заслуживают перенаправления от частичных десятичных разложений.
Вещественные числа, которые не являются рациональными числами, называются иррациональными числами.
На данной странице приводится толкование (значение) фразы / выражения «иррациональное число», а также синонимы, антонимы и предложения, при наличии их в нашей базе данных.
Мы стремимся сделать толковый словарь English-Grammar.Biz, в том числе и толкование фразы / выражения «иррациональное число», максимально корректным и информативным. Если у вас есть предложения или замечания по поводу корректности определения «иррациональное число», просим написать нам в разделе «Обратная связь».
Иррациональные числа
Иррациональное число — это действительное число, которое нельзя записать в виде простой дроби:
1,5 рационально, но π иррационально
Иррациональное означает Нерациональное (без соотношения)
Давайте посмотрим, что делает число рациональным или иррациональным…
Рациональные числа
A Rational Число можно записать как 0003 Отношение двух целых чисел (т.е. простой дроби).
Пример: 1,5 является рациональным, поскольку его можно записать как отношение 3/2
Пример: 7 рационально, потому что его можно записать как отношение 7/1
Пример 0,333… (3 повторения) также является рациональным, поскольку его можно записать как отношение 1/3
Иррациональные числа
Но некоторые цифры нельзя записать как отношение двух целых чисел. ..
…их называют Иррациональные Числа .
Пример:
π (Pi) — известное иррациональное число.
π = 3,1415
5897932384626433832795… (и больше)
Мы не можем s записать простую дробь, которая равна Пи.
Еще одна подсказка заключается в том, что десятичная дробь продолжается вечно, не повторяясь.
Не может быть записан как дробь
Это иррационально потому что его нельзя записать как отношение (или дробь), не потому что это безумие!
Таким образом, мы можем определить, является ли число рациональным или иррациональным, попробовав записать число в виде простой дроби.
Пример:
9,5 можно записать в виде простой дроби следующим образом:
9,5 = 19 2
Итак, это рациональное число (и поэтому не иррациональное )
Вот еще несколько примеров:
Номер
Как дробь
Рациональное или Иррациональное?
1,75
7 4
Рационал
. 001
1 1000
Рационал
√2 (квадратный корень из 2)
?
Неразумно !
Квадратный корень из 2
Давайте посмотрим на квадратный корень из 2 более внимательно.
Когда мы рисуем квадрат размера «1», каково расстояние по диагонали?
Ответом является квадратный корень из 2 , который равен 1.4142135623730950…(и т.д.)
Но это не число вроде 3 или пяти третей или что-то в этом роде…
… на самом деле мы не может записать квадратный корень из 2, используя отношение двух чисел…
… (вы можете узнать , почему , на странице «Иррационально ли это?»). ..
… и так мы знаем это иррациональное число .
Известные иррациональные числа
Пи — известное иррациональное число. Люди вычислили число Пи с точностью до квадриллиона знаков после запятой, но закономерности до сих пор нет. Первые несколько цифр выглядят так:
3.1415
5897932384626433832795 (и еще…)
Число e (число Эйлера) — еще одно известное иррациональное число. Люди также вычислили e до большого количества знаков после запятой без какой-либо закономерности. Первые несколько цифр выглядят так:
.
2,71828182845
353602874713527 (и еще…)
Золотое сечение — иррациональное число. Первые несколько цифр выглядят так:
.
1.61803398874989484820… (и еще…)
Многие квадратные корни, кубические корни и т. д. также являются иррациональными числами. Примеры:
√3
1.7320508075688772935274463415059 (и т. д.)
√99
9,9498743710661995473447982100121 (и т. д.)
Но √4 = 2 рационально, а √9 = 3 рационально…
… так что не все корни иррациональны.
Примечание по умножению иррациональных чисел
Взгляните на это:
π × π = π 2 известно, что иррационально
Но √2 × √2 = 2 равно рациональному
Так что будьте осторожны. .. умножение иррациональных чисел может дать рациональное число!
Забавные факты….
Вероятно, Гиппас (один из учеников Пифагора) открыл иррациональные числа, когда пытался записать квадратный корень из 2 в виде дроби (считается, что с помощью геометрии). Вместо этого он доказал квадратный корень из 2·9.0093 нельзя было записать в виде дроби, поэтому иррационально .
Но последователи Пифагора не могли принять существование иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утоплен в море в наказание богов!
434 435 1064 2022 3987 1065 3988 2023 2990 2991
Иррациональные числа — определение, свойства, примеры, значение
Иррациональные числа — это те действительные числа, которые не могут быть представлены в виде отношения. Другими словами, те действительные числа, которые не являются рациональными числами, известны как иррациональные числа. Гиппас, философ-пифагорейец, открыл иррациональные числа в V веке до нашей эры. К сожалению, его теория была высмеяна, и он был брошен в море. Но иррациональные числа существуют, давайте заглянем на эту страницу, чтобы лучше понять концепцию, и, поверьте нам, вас не выбросит в море. Скорее, зная эту концепцию, вы также будете знать список иррациональных чисел, разницу между иррациональными и рациональными числами и то, являются ли иррациональные числа действительными числами.
1.
Что такое иррациональные числа?
2.
Свойства иррациональных чисел
3.
Как определить иррациональное число?
4.
Символ иррациональных чисел
5.
Набор иррациональных чисел
6.
Рациональные и иррациональные числа
7.
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам
8.
Часто задаваемые вопросы об иррациональных числах
Что такое иррациональные числа?
Иррациональные числа — это множество действительных чисел, которые не могут быть выражены в виде дроби p/q, где p и q — целые числа. Знаменатель q не равен нулю (q ≠ 0). Кроме того, десятичное расширение иррационального числа не заканчивается и не повторяется.
Иррациональные числа Определение: Иррациональные числа — это действительные числа, которые не могут быть представлены в виде простой дроби. Они не могут быть выражены в виде отношения, такого как p/q, где p и q — целые числа, q≠0. Это противоречие рациональных чисел.
Распространенные примеры иррациональных чисел
Ниже приведены несколько конкретных иррациональных чисел, которые обычно используются.
ㄫ (пи) — иррациональное число. π=3⋅14159265… Десятичное значение никогда не останавливается ни в какой точке. Поскольку значение ㄫ ближе к дроби 22/7, мы принимаем значение числа пи как 22/7 или 3,14 (Примечание: 22/7 — рациональное число.)
√ 2 — иррациональное число. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две равные стороны АВ и ВС имеют длину 1 единицу. По теореме Пифагора гипотенуза AC будет равна √2. √2=1⋅414213⋅⋅⋅⋅
Число Эйлера e — иррациональное число. е=2⋅718281⋅⋅⋅⋅
Золотое сечение, φ 1,61803398874989….
Свойства иррациональных чисел
Свойства иррациональных чисел помогают нам выделить иррациональные числа из набора действительных чисел. Ниже приведены некоторые свойства иррациональных чисел:
Иррациональные числа состоят из непрерывных и неповторяющихся десятичных знаков.
Это только действительные числа.
При сложении иррационального и рационального чисел результатом или их суммой является только иррациональное число. Для иррационального числа x и рационального числа y их результат x + y = иррациональное число.
При умножении любых иррациональных чисел на любое ненулевое рациональное число их произведение будет иррациональным числом. Для иррационального числа x и рационального числа y их произведение xy = иррационально.
Для любых двух иррациональных чисел их наименьшее общее кратное (НОК) может существовать, а может и не существовать.
Сложение, вычитание, умножение и деление двух иррациональных чисел могут быть или не быть рациональными числами.
Как определить иррациональное число?
Мы знаем, что иррациональные числа — это только действительные числа, которые не могут быть выражены в виде p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0. Например, √ 5 и √ 3 и т. д. — иррациональные числа. С другой стороны, числа, которые могут быть представлены в виде p/q, такие, что p и q являются целыми числами и q ≠ 0, являются рациональными числами.
Символ иррациональных чисел
Прежде чем знакомиться с символом иррациональных чисел, давайте обсудим символы, используемые для других типов чисел.
N — Натуральные числа
I — Воображаемые числа
R — Реальные числа
Q — Рациональные числа.
Действительные числа состоят как из рациональных, так и из иррациональных чисел. (R-Q) определяет, что иррациональные числа могут быть получены путем вычитания рациональных чисел (Q) из действительных чисел (R). Это также можно записать как (R\Q). Следовательно, символ иррациональных чисел = Q’.
Набор иррациональных чисел
Набор иррациональных чисел можно получить, записав несколько иррациональных чисел в скобках. Множество иррациональных чисел можно получить по некоторым свойствам.
Все квадратные корни, не являющиеся полным квадратом, являются иррациональными числами. {√ 2 , √3 , √5 , √8}
Число Эйлера 90 313, золотое сечение и число Пи — одни из самых известных иррациональных чисел. {е, ∅, ㄫ}
Квадратный корень из любого простого числа является иррациональным числом.
Таблица иллюстрирует список некоторых иррациональных чисел .
Иррациональное число
значение
№
3.14159265….
и
2.7182818…..
√2
1.414213562…
√3
1.73205080…
√5
2.23606797….
√7
2,64575131….
√11
3.31662479…
√13
3,605551275…
-√3/2
-0,866025. …
∛47
3.60882608
Рациональные и иррациональные числа
Любое число, которое определяется в виде дроби p/q или отношения , называется рациональным числом. Он может состоять из числителя (p) и знаменателя (q), где q не равно нулю. Рациональное число может быть целым числом или целым числом.
2/3 = 0,6666 = 0,67. Поскольку десятичное значение является повторяющимся (повторяющимся). Итак, мы приблизили его к 0,67
√4 = 2 и -2, где 2 и -2 являются целыми числами.
В таблице показано различие между рациональными и иррациональными числами.
Рациональные числа
Иррациональные числа
Это может быть выражено в виде дроби или отношения, т.е. p/q, где q ≠ 0
Нельзя выразить в виде дроби или отношения.
Десятичное расширение завершается или не завершается повторяющимся (повторяющимся)
Десятичное расширение не является завершающим и неповторяющимся в любой точке.
Пример: 0,33333, 0,656565.., 1,75
Пример: π, √ 13, e
Интересные факты об иррациональных числах
Есть несколько крутых и интересных фактов об иррациональных числах, которые заставляют нас глубже понять почему за чем.
1. Случайное изобретение √2
Квадратный корень из 2 или √2 был первым изобретенным иррациональным числом при вычислении длины равнобедренного треугольника. He used the famous Pythagoras formula a 2 = b 2 + c 2
AC 2 =AB 2 +BC 2 ⇒ AC 2 =1 2 +1 2 ⇒ AC = √ 2
√2 лежит между числами 1 и 2, так как значение равно 1,41421… Таким образом, он обнаружил, что длина AC не может быть выражена в виде дробей или целые числа.
2. Значение числа π
Значение числа π вычисляется приблизительно как более 22 триллионов цифр без конца. Компьютеру потребовалось около 105 дней с 24 жесткими дисками, чтобы вычислить значение числа Пи.
3. Изобретение числа Эйлера e
Число Эйлера впервые было введено Леонардом Эйлером, , швейцарским математиком в 1731 году. Это «e» также называют Числом Нейпира , которое в основном используется в логарифмировании. и тригонометрия.
Доказательство иррационального числа:
Давайте разберемся, как доказать, что данный несовершенный квадрат иррационален. Вот пошаговое доказательство того же.
Чтобы доказать: √2 — иррациональное число. 92\end{align}\)
Отсюда следует, что 2 также является простым делителем q 2 . Опять же из теоремы можно сказать, что 2 также является простым множителем числа q.
Согласно исходному предположению p и q взаимно просты, но полученный выше результат противоречит этому предположению, так как p и q имеют 2 в качестве общего простого делителя, отличного от 1. Это противоречие возникло из-за неверного предположения, что √2 рациональный.
Итак, √2 иррационально.
☛Также читайте
Докажите, что корень 2 иррационален
Докажите, что корень 3 иррационален
Докажите, что корень 5 иррационален
Докажите, что корень 6 иррационален
Докажите, что корень 7 иррационален
Докажите, что корень 11 иррационален
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам помогут лучше понять, почему рациональные и иррациональные числа являются частью действительных чисел. Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам включают множество задач и примеров, основанных на операциях и свойствах рациональных и иррациональных чисел. Он состоит из творческих и увлекательных забавных заданий, в которых ребенок может подробно изучить сквозные концепции рациональных и иррациональных чисел с помощью практических иллюстраций.
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 1
Скачать PDF
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 2
Скачать PDF
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 3
Скачать PDF
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 4
Скачать PDF
Важные моменты
Произведение любых двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным. Пример (а): Умножьте √2 и π ⇒ 4,4428829… — иррациональное число. Пример (б): Умножьте √2 и √2 ⇒ 2 — рациональное число.
Множество иррациональных чисел не замкнуто относительно процесса умножения, в отличие от множества рациональных чисел.
Сложение или умножение двух иррациональных чисел может быть рациональным; например, √2 × √2 = 2. Здесь √2 — иррациональное число. Если его умножить дважды, то конечный результат будет рациональным числом, т. е. 2.
☛Статьи по теме
Ознакомьтесь с еще несколькими интересными статьями, посвященными иррациональным числам.
Десятичное представление иррациональных чисел
Рациональные числа
Рационализировать знаменатель
Является ли пи рациональным или иррациональным числом
Примеры иррациональных чисел
Пример 1: Джон играет со своим другом в игру «Бросьте кости с числами». Джон делает ход и бросает кубик. Он получает 5. Если он получает 5, он должен собрать все иррациональные числа у своего друга. Помогите Джону собрать все иррациональные числа, не пропустив ни одного. {е, -5, √9 , √13 , π, -2/8}
Решение:
-5 — целое число. √9 — идеальный квадрат. -2/8 имеет повторяющееся конечное десятичное значение. Эти числа являются рациональными числами. Иррациональные числа — это e, √13, π. Поэтому Джон собрал все иррациональные числа, а именно e, √13 и π.
Пример 2: У Джейд есть коробка с четырьмя иррациональными числами. Джейд хочет только одно иррациональное число, которое ближе всего к 3 и не должно превышать 3. Помогите Джейд найти правильное число. Иррациональные числа в коробке √3 , √6 , √10 , √5.
Решение:
Сначала найдем значение этих иррациональных чисел. √3 = 1,732020.., √6 = 2,449489.., √10 = 3,162277.., √5 = 2,236067… Таким образом, √6 = 2,449489… ближе всего к 3. Следовательно, √6 является ближайшим числом до 3.
перейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по иррациональным числам
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы об иррациональных числах
Что такое иррациональные числа в математике?
Иррациональные числа — это набор действительных чисел, которые не могут быть выражены в виде дробей или отношений. Пример: π, √2, e, √5
Как определить иррациональное число?
Ибо любое число, не являющееся рациональным, считается иррациональным. Иррациональные числа можно записать в виде десятичных дробей, но точно не в виде дробей. Кроме того, эти числа, как правило, имеют бесконечные неповторяющиеся цифры справа от десятичной запятой.
Рациональные и иррациональные числа — одно и то же?
Нет, рациональные и иррациональные числа не совпадают. Все числа, представленные в виде p/q, где p и q — целые числа, а q не равно 0, — рациональное число. Примеры рациональных чисел: 1/2, -3/4, 0,3 или 3/10. Принимая во внимание, что мы не можем выразить иррациональные числа в виде p/q.
В чем разница между рациональными и иррациональными числами?
Рациональные числа — это те, которые заканчиваются или не заканчиваются повторяющимися числами, а иррациональные числа — это те, которые не заканчиваются и не повторяются после определенного количества знаков после запятой.
Является ли 2/3 иррациональным числом?
Нет, 2/3 не иррациональное число. 2/3 = 0,666666…. повторяющееся десятичное число. Следовательно, 2/3 — рациональное число.
Почему рациональные и иррациональные числа входят в набор действительных чисел?
Числа, которые могут быть представлены в виде десятичных дробей, считаются действительными числами. Если мы говорим о рациональных и иррациональных числах, обе формы чисел могут быть представлены в виде десятичных знаков, следовательно, и рациональные числа, и иррациональные числа находятся в множестве действительных чисел.
Почему Пи — иррациональное число?
Пи определяется как отношение длины окружности к ее диаметру. Значение Пи всегда постоянно. Пи (π) приблизительно равно 3,1415
59… и является непрерывающимся неповторяющимся десятичным числом. Следовательно, «пи» — иррациональное число.
Сколько иррациональных чисел лежит между корнем 2 и корнем 3?
У нас может быть бесконечно много иррациональных чисел между корнем 2 и корнем 3. Несколько примеров иррациональных чисел между корнем 2 и корнем 3: 1,575775777…, 1,4243443… и 1,6869.70…
Являются ли иррациональные числа непрерывающимися и неповторяющимися?
Да, иррациональные числа не прекращаются и не повторяются. Конечные числа — это те десятичные знаки, которые заканчиваются после определенного количества знаков после запятой. Например, 1,5, 3,4, 0,25 и т. д. являются конечными числами. Все конечные числа являются рациональными числами, поскольку их легко записать в виде p/q. В то время как неконечные и неповторяющиеся числа считаются бесконечным десятичным расширением иррациональных чисел.
Почему иррациональные числа называют сурдами?
Слово surd относится к выражению, которое включает квадратный корень, кубический корень или другие символы корня. Surds используются для точного написания иррациональных чисел. Все сурды считаются иррациональными числами, но все иррациональные числа не могут считаться сурдами. Иррациональные числа, которые не являются корнями алгебраических выражений, таких как π и e, не являются поверхностными.
Иррациональные числа — предварительная алгебра
Все ресурсы предварительной алгебры
11 Диагностические тесты
177 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
Pre-Algebra Help »
Теория чисел »
Иррациональные числа
Какое из следующих чисел является иррациональным?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Определение иррационального числа — это число, которое не может быть выражено простой дробью, или число, которое не является рациональным.
Используя приведенное выше определение, мы видим, что уже выражено простой дробью.
любой номер и
. Все эти варианты можно выразить в виде простых дробей, сделав из них все рациональные числа и неправильные ответы.
не может быть представлено в виде простой дроби и равно бесконечной, неповторяющейся (постоянно меняющейся) десятичной дроби, начинающейся с
Это иррациональное число и наш правильный ответ.
Сообщить об ошибке
Что получится, если умножить два иррациональных числа?
Возможные ответы:
Всегда иррационально.
Целые числа.
Всегда рационально.
Иногда иррациональный, иногда рациональный.
Мнимые числа.
Правильный ответ:
Иногда иррационально, иногда рационально.
Объяснение:
Возьмем два иррациональных числа типа и перемножим их. Ответ: что рационально.
Но что, если мы возьмем произведение и . Мы получили бы значение, которое не имеет определенного значения и не может быть выражено в виде дроби.
Это делает его иррациональным, и поэтому ответ иногда иррационален, иногда рационален.
Сообщить об ошибке
Какое из следующих чисел НЕ является иррациональным?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Рациональные числа — это числа, которые можно записать как отношение двух целых чисел или просто как дробь.
Решение есть , которое можно записать как . Каждый из других ответов будет иметь решение с бесконечным числом десятичных знаков и, следовательно, не может быть записан в виде простого отношения. Это иррациональные числа.
Сообщить об ошибке
Какое из следующих чисел считается иррациональным?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Иррациональное число не может быть представлено как частное двух целых чисел.
Иррациональные числа не заканчиваются и не повторяются.
Глядя на возможные ответы,
можно сократить до , следовательно, это целое число.
по определению представляет собой частное двух целых чисел и, следовательно, не является иррациональным числом.
может быть переписано как и по определению представляет собой частное двух целых чисел и, следовательно, не является иррациональным числом.
является десятичным числом с ограничителем, поэтому его можно записать в виде дроби. Таким образом, это не иррациональное число.
это число для и не заканчивается, поэтому это иррационально.
Сообщить об ошибке
Добавьте следующее:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы сложить числитель, сначала умножьте знаменатель, чтобы найти наименьший общий знаменатель.
Общий знаменатель:
Перепишите дроби.
Сообщить об ошибке
Какой из следующих вариантов является иррациональным?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Смысл иррациональности гласит, что числа нельзя переписать как отношение целых чисел. Из следующего, что можно было бы упростить, единственным возможным выбором иррациональных чисел является .
Ответ .
Все остальные варианты рациональны, потому что их можно записать как дробь целых чисел, так и просто целое число.
Сообщить об ошибке
Какое из следующих чисел является иррациональным?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Рациональное число может быть представлено в форме , оно может быть завершающим десятичным числом или повторяющимся десятичным числом. является континуальным числом, следовательно, это иррациональное число.
Сообщить об ошибке
Какое из следующих чисел является иррациональным?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Иррациональное число — это любое число, которое не может быть выражено как отношение целых чисел.
Следовательно, считается иррациональным, поскольку его нельзя выразить как отношение целых чисел.
Сообщить об ошибке
Какое из следующих чисел является иррациональным?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Иррациональное число — это число, которое не может быть выражено как отношение целых чисел и не может быть выражено как завершающие или повторяющиеся десятичные дроби.
Таким образом, единственным ответом, который следует за этим определением, является .
Сообщить об ошибке
Какое из следующих чисел является иррациональным?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде дроби, где и числитель, и знаменатель — целые числа. Знаменатель также не может быть равен 0. В этом наборе иррациональное число является потому что нет дроби, которую можно составить, десятичная дробь продолжается и не повторяется в образце. Используя тест дроби, мы можем доказать, что следующие числа являются рациональными:
Сообщить об ошибке
← Предыдущая 1 2 Следующая →
Уведомление об авторских правах
177 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
Рациональные и иррациональные числа объясняются примерами и не примерами и рисунками
Рациональные числа
Определение : Может быть выражено как частное двух целых чисел (т. е. дроби) со знаменателем, отличным от нуля.
Многие люди удивляются, узнав, что повторяющаяся десятичная дробь является рациональным числом. На приведенной ниже диаграмме Венна показаны примеры всех различных типов рациональных и иррациональных чисел, включая целые числа, целые числа, повторяющиеся десятичные дроби и многое другое.
Набор действительных чисел Диаграмма Венна
Примеры рациональных чисел
5
Вы можете выразить 5 как $$ \frac{5}{1} $$, что является частным целого числа 5 и 1.
2
Вы можете представить число 2 как $$ \frac{2}{1} $$, которое является частным целых чисел 2 и 1.
$$ \sqrt{9} $$
Рационально, потому что вы можете упростить квадратный корень до 3, что является частным целым числом 3 и 1.
$$ .\overline{11} $$
Все повторяющиеся десятичные дроби рациональны. Немного сложнее показать почему, поэтому я сделаю это в другом месте.
$$ 0,9 $$
Является рациональным, поскольку может быть выражено как $$ \frac{9}{10} $$ (все конечные десятичные дроби также являются рациональными числами).
$$ 0,73 $$
рационально, потому что его можно выразить как $$ \frac{73}{100} $$.
$$ 1,5 $$
рационально, потому что его можно выразить как $$ \frac{3}{2} $$.
Определение: Не может быть выражено как частное двух целых чисел (т.е. дроби), знаменатель которых не равен нулю.
Примеры иррациональных чисел
$$ \sqrt{7} $$
В отличие от $$ \sqrt{9} $$, вы не можете упростить
$$ \sqrt{7} $$ .
$$ \frac{5}{0} $$
Если дробь имеет доминатор нуля, то она иррациональна
$$ \sqrt{5} $$
В отличие от $$ \sqrt{9} $$, вы не можете упростить
$$ \sqrt{5} $$ .
$$ \пи $$
$$ \pi $$, вероятно, самое известное иррациональное число!
$$ \frac{ \sqrt{2}}{3} $$
Хотя это число может быть выражено в виде дроби, нам нужно нечто большее, чтобы число было рациональным. Числитель и знаменатель дроби должны быть целыми числами, а $$\sqrt{2} $$ не может быть выражено целым числом.
$. 2020020002 …$$
Эта неконечная десятичная дробь не повторяется. Так что, как и $$\pi$$, оно постоянно изменяется и не может быть представлено как частное двух целых чисел.
Практика Задачи
Проблема 1
Является ли число $$ -12 $$ рациональным или иррациональным?
Рационально, потому что его можно записать как $$ -\frac{12}{1}$$, частное двух целых чисел.
Проблема 2
Является ли число $$ \sqrt{ 25} $$ рациональным или иррациональным?
Рационально, потому что вы можете упростить $$ \sqrt{25} $$ до целого числа $$ 5 $$, которое, конечно, можно записать как $$ \frac{5}{1} $$, частное двух целых чисел.
Проблема 3
Является ли число $$ 0,0
00
9… $$ рациональным или иррациональным?
Это иррационально, многоточие отмечает $$ \color{red}{…} $$ в конце числа $$ \boxed{ 0,0
00
9 \color{red}{…}} $$, означает, что закономерность увеличения количества нулей продолжает увеличиваться и что это число никогда не заканчивается и никогда не повторяется.
Проблема 4
Является ли число $$ 0.\overline{201} $$ рациональным или иррациональным?
Это рационально. Все повторяющиеся десятичные дроби рациональны (доказательство см. внизу страницы).
Проблема 5
Является ли число $$ \frac{ \sqrt{3}}{4} $$ рациональным или иррациональным?
Это иррационально. Вы не можете упростить $$ \sqrt{3} $$, что означает, что мы можем , а не выражают это число как частное двух целых чисел.
Проблема 6
Является ли число $$ \frac{ \sqrt{9}}{25} $$ рациональным или иррациональным?
В отличие от последней задачи, это является рациональным. Вы можете упростить $$ \sqrt{9} \text{, а также } \sqrt{25} $$. Если вы упростите эти квадратные корни, то вы получите $$ \frac{3}{5} $$, что удовлетворяет нашему определению рационального числа (т.е. может быть выражено как частное двух целых чисел).
Проблема 7
Является ли число $$ \frac{ \pi}{\pi} $$ рациональным или иррациональным?
Это рационально, потому что дробь можно упростить до отношения двух целых чисел (оба числа равны 1).
Число является иррациональным тогда и только тогда, когда его десятичное представление не заканчивается и не повторяется. например √2, √3, π ……………. и т. д.
Рациональное число и иррациональное число вместе образуют множество действительных чисел.
Если a и b два действительных числа, то либо (i) a > b или (ii) a = b или (iii) a < b
Отрицательное значение иррационального числа является иррациональным числом.
Сумма рационального числа с иррациональным числом всегда иррациональна.
Произведение ненулевого рационального числа на иррациональное число всегда является иррациональным числом.
Сумма двух иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом.
Произведение двух иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом.
При делении всех рациональных чисел вида \(\frac { p }{ q } \)(q ≠ 0), p & q являются целыми числами, могут произойти две вещи: либо остаток станет равным нулю, либо никогда не станет равным нулю.
Тип (1) Пример: \(\frac { 7} { 8 } \) = 0,875
Это десятичное расширение 0,875 называется , завершающим . ∴ Если остаток равен нулю, то десятичное расширение заканчивается (заканчивается) после конечного числа шагов. Эти десятичные расширения таких чисел заканчиваются.
В обоих примерах остаток никогда не становится нулем, поэтому десятичное расширение никогда не заканчивается после нескольких или бесконечных шагов деления. Этот тип десятичных расширений называется без завершения. В приведенных выше примерах после I st шага и 6 шагов деления (соответственно) мы получаем остаток, равный делимому, поэтому десятичное расширение повторяется (повторяющееся). Итак, они называются непрерывающимися повторяющимися десятичными расширениями . Оба вышеуказанных типа (1 и 2) являются рациональными числами.
Типы (3) Пример: Десятичное расширение 0. 327172398…… нигде не заканчивается, также нет расположения цифр (не повторяющихся), поэтому они называются непрерывными не повторяющимися . Эти числа называются иррациональными числами . Пример: 0,1279312793 рациональное завершение 0,1279312793…. рациональное не завершающееся или \(0 . \overline{12793}\) повторяющееся 0,32777 рациональный завершающий или \(0 . 32\overline{7}\) рациональный неограниченный 0,32777……. & повторяющийся 0.5361279 рациональный завершающий 0.3712854043…. иррациональный непрерывный неповторяющийся 0,10100100010000 рациональный завершающий 0,10100100010000…. иррациональный не прекращающийся, не повторяющийся.
Иррациональные числа Примеры задач с решениями
Пример 1: Вставьте рациональное и иррациональное число между 2 и 3. Sol. Если два положительных рациональных числа a и b такие, что ab не является полным квадратом рационального числа, то \(\sqrt { ab } \) – иррациональное число, лежащее между a и b. Кроме того, если a, b — рациональные числа, то \(\frac { a+b }{ 2 } \) — рациональное число между ними. ∴ Рациональное число между 2 и 3 равно \(\frac { 2+3 }{ 2 } \) = 2,5 Иррациональное число между 2 и 3 равно = \(\sqrt { 2\times 3 } \) = \(\sqrt { 6 } \)
Пример 2: Найдите два иррациональных числа от 2 до 2,5. Соль. Если два различных положительных рациональных числа a и b такие, что ab не является полным квадратом рационального числа, то является иррациональным числом, лежащим между a и b. ∴ Иррациональное число между 2 и 2,5 равно = \(\sqrt { 2\times 2,5} \) = \(\sqrt { 5 } \) Аналогично, иррациональное число между 2 и \(\sqrt { 5 } \) равно \(\sqrt { 2\times \sqrt { 5 } }\) Итак, искомые числа равны \(\sqrt { 5 } \) и \(\sqrt { 2\times \sqrt { 5 } }\)
Пример 3: Найдите два иррациональных числа, лежащих между \(\sqrt { 2 } \) и \(\sqrt { 3 } \) . Соль. Мы знаем, что если a и b — два различных положительных иррациональных числа, то \(\sqrt { ab } \) — иррациональное число, лежащее между a и b. ∴ Иррациональное число между \(\sqrt { 2 } \) и \(\sqrt { 3 } \) = \(\sqrt { \sqrt { 2 } \times \sqrt { 3 } } \) = 6 9{ \frac { 1 }{ 4 } } } \) = 2 1/4 × 6 1/8 . Следовательно, требуемые иррациональные числа равны 6 1/4 и 2 1/4 × 6 1/8 . Пример 4: Найдите два иррациональных числа в диапазоне от 0,12 до 0,13. Соль. Пусть a = 0,12 и b = 0,13. Ясно, что a и b — рациональные числа такие, что a < b. Заметим, что числа a и b имеют 1 в первом десятичном разряде. Но на втором месте десятичной дроби у а стоит 2, а у b 3. Итак, мы рассматриваем числа c = 0,1201001000100001 …… и d = 0,12101001000100001……. Ясно, что c и d — иррациональные числа такие, что a < c < d < b.
Пример 5: Докажите, что это \(\sqrt { 2 } \) иррациональное число Sol. Предположим противное, что \(\sqrt { 2 } \) рационально. Итак, мы можем найти целые числа r и s (≠0) такие, что \(\sqrt { 2 } =\frac { r }{ s } \). Предположим, что r и s не имеют общего делителя, отличного от 1. Затем мы делим на общий делитель, чтобы получить \(\sqrt { 2 } =\frac { a }{ b } \) , где a и b взаимно просты. Итак, b\(\sqrt { 2 } \) = a. Возводя в квадрат с обеих сторон и переставляя, получаем 2b 2 = a 2 . Следовательно, 2 делит на 2 . Теперь по теореме следует, что 2 делит а. Итак, мы можем написать a = 2c для некоторого целого числа c. Подставляя вместо а, получаем 2b 2 = 4c 2 , то есть b 2 = 2c 2 . Это означает, что 2 делит b 2 , и, следовательно, 2 делит b (снова используя теорему с p = 2). Следовательно, a и b имеют по крайней мере 2 в качестве общего делителя. Но это противоречит тому факту, что a и b не имеют общих делителей, кроме 1. Это противоречие возникло из-за нашего неверного предположения, что \(\sqrt { 2 } \) рационально. Итак, мы заключаем, что \(\sqrt { 2 } \) иррационально.
Пример 6: Докажите, что это \(\sqrt { 3 } \) иррациональное число. Соль. Предположим, напротив, что это рационально. То есть мы можем найти целые числа a и b (≠0) такие, что \(\sqrt { 2 } =\frac { a }{ b } \). Предположим, что a и b не имеют общего делителя, отличного от 1, тогда мы можем разделить на общий делитель и предположить, что a и b взаимно просты. Итак, b\(\sqrt { 3 } \) = a. Возводя в квадрат с обеих сторон и переставляя, получаем 3b 2 = a 2 . Следовательно, a 2 делится на 3, и по теореме следует, что a также делится на 3. Итак, мы можем написать a = 3c для некоторого целого числа c. Подставляя вместо а, получаем 3b 2 = 9c 2 , то есть b 2 = 3c 2 . Это означает, что b 2 делится на 3, а значит, b также делится на 3 (используя теорему с p = 3). Следовательно, a и b имеют по крайней мере 3 в качестве общего делителя. Но это противоречит тому факту, что a и b взаимно просты. Это противоречит тому факту, что a и b взаимно просты. Это противоречие возникло из-за нашего неверного предположения, что \(\sqrt { 3 } \) рационально. Итак, мы заключаем, что \(\sqrt { 3 } \) иррационально.
Пример 7: Докажите, что \(7-\sqrt { 3 } \) иррационально Sol. Метод I: Пусть \(7-\sqrt { 3 } \) – рациональное число 9.0098 ∴ \(7-\sqrt { 3 } \) = \(\frac { p }{ q } \) (p, q целые числа, q ≠ 0) ∴ 7 – \(\frac { p }{ q } \) = \(\sqrt { 3 } \) ⇒ \(\sqrt { 3 } \) = \(\frac { 7q-p}{ q } \) Здесь p, q — целые числа ∴ \( \frac { 7q-p }{ q } \) также является целым числом ∴ LHS = \(\sqrt { 3 } \) также является целым числом, но это \(\sqrt { 3 } \) является противоречием, которое иррационально, поэтому наше предположение неверно, что \(7-\sqrt { 3 } \) рационально ∴ \(7-\sqrt { 3 } \) доказано иррационально. Метод II : Пусть \(7-\sqrt { 3 } \) рационально мы знаем, что сумма или разность двух рациональных чисел также рациональна ∴ \(7-7-\sqrt { 3 } \) = \ (\sqrt { 3 } \) = рациональное , но это противоречит тому, что \(\sqrt { 3 } \) иррационально ∴ \(7-\sqrt { 3 } \) иррационально доказано.
Пример 8: Докажите, что \(\frac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \) иррационально. Соль. Пусть \(\frac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \) рационально ∴ \(3\left( \frac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \right) \) = \(\sqrt { 5 } \) рационально (∵ Q произведение двух рациональных чисел также рационально) но это противоречие, что \(\sqrt { 5 } \) иррационально ∴ \(\frac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \) иррационально доказано.
Пример 9: Докажите, что \(2\sqrt { 7 } \) иррационально. Соль. Пусть рационально ∴ \(2\sqrt { 7 } \times \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = \(\sqrt { 7 } \) (∵ Q деление двух рациональных тоже рационально) ∴ \(\sqrt { 7 } \)рационально но это противоречит тому, что иррационально ∴ \(2\sqrt { 7 } \) иррационально
Пример 10: Найдите 3 иррациональных числа между 3 и 5 . Решение: ∵ 3 и 5 оба являются рациональными Иррациональные — 3,1271
…………… 3,212325272930 ……… 3,96
52937 …………
Maths
7,1: R -r: r.
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
5033
OpenStax
OpenStax
Цели обучения
Определение рациональных и иррациональных чисел
Классифицировать различные типы действительных чисел
будьте готовы!
Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.
Запишите 3.19 в виде неправильной дроби. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5. 1.4.
Запишите \(\dfrac{5}{11}\) в виде десятичной дроби. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5.5.3.
Упрощение: \(\sqrt{144}\). Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5.12.1.
Определение рациональных и иррациональных чисел
Поздравляем! Вы завершили первые шесть глав этой книги! Пришло время подвести итоги того, что вы уже сделали в этом курсе, и подумать о том, что впереди. Вы научились складывать, вычитать, умножать и делить целые числа, дроби, целые числа и десятичные дроби. Вы познакомились с языком и символами алгебры, упростили и оценили алгебраические выражения. Вы решили множество различных типов приложений. Вы заложили хорошую прочную основу, необходимую для достижения успеха в алгебре.
В этой главе мы проверим ваши навыки. Мы еще раз взглянем на типы чисел, с которыми мы работали во всех предыдущих главах. Мы будем работать со свойствами чисел, которые помогут вам улучшить ваше чувство числа. И мы попрактикуемся в их использовании так, как будем использовать при решении уравнений и других алгебраических процедурах.
Мы уже описали числа как счетные числа, целые числа и целые числа. Вы помните, в чем разница между этими типами чисел?
подсчет чисел
1, 2, 3, 4…
целые числа
0, 1, 2, 3, 4…
целых чисел
…−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4…
Рациональные числа
Какие числа вы бы получили, если бы начали со всех целых чисел, а затем включили все дроби? Числа, которые вы получили бы, образуют множество рациональных чисел. А рациональное число — это число, которое можно записать как отношение двух целых чисел.
Определение: рациональные числа
Рациональное число — это число, которое можно записать в виде \(\dfrac{p}{q}\), где p и q — целые числа, а q ≠ 0.
Все дроби, как положительные, так и отрицательные, являются рациональными числами. Вот несколько примеров:
\[\dfrac{4}{5}, — \dfrac{7}{8}, \dfrac{13}{4},\; а также\; — \dfrac{20}{3}\]
Каждый числитель и каждый знаменатель являются целыми числами.
Нам нужно просмотреть все числа, которые мы использовали до сих пор, и убедиться, что они рациональны. Определение рациональных чисел говорит нам, что все дроби рациональны. Теперь мы рассмотрим счетные числа, целые числа, целые числа и десятичные дроби, чтобы убедиться, что они рациональны.
Являются ли целые числа рациональными числами? Чтобы решить, является ли целое число рациональным, мы пытаемся записать его как отношение двух целых чисел. Самый простой способ сделать это — записать дробь со знаменателем один.
Поскольку можно записать любое целое число как отношение двух целых чисел, все целые числа являются рациональными числами. Помните, что все счетные числа и все целые числа тоже целые, а значит, они тоже рациональны.
Как насчет десятичных знаков? Являются ли они рациональными? Давайте рассмотрим несколько, чтобы увидеть, можем ли мы записать каждое из них как отношение двух целых чисел. Мы уже видели, что целые числа являются рациональными числами. Целое число -8 можно записать как десятичное число -8,0. Итак, ясно, что некоторые десятичные дроби рациональны.
Подумайте о десятичной дроби 7.3. Можем ли мы записать это как отношение двух целых чисел? Поскольку 7.3 означает \(7 \dfrac{3}{10}\), мы можем записать это как неправильную дробь, \(7 \dfrac{3}{10}\). Итак, 7,3 — это отношение целых чисел 73 и 10. Это рациональное число.
Обычно любое десятичное число, которое заканчивается после нескольких цифр (например, 7,3 или −1,2684), является рациональным числом. Мы можем использовать обратное (или мультипликативное обратное) значение места последней цифры в качестве знаменателя при записи десятичной дроби.
Пример \(\PageIndex{1}\):
Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −15 (b) 6,81 (c) \(−3 \dfrac{6}{7}\) .
Решение
(a) −15
Запишите целое число в виде дроби со знаменателем 1.
$$\dfrac{-15}{1}$$
(б) 6,81
Запишите десятичную дробь как смешанное число.
$$6 \dfrac{81}{100}$$
Затем преобразуйте его в неправильную дробь.
$$\dfrac{681}{100}$$
(c) \(−3 \dfrac{6}{7}\)
Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.
$$- \dfrac{27}{7}$$
Упражнение \(\PageIndex{1}\):
Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −24 (b) 3,57.
Ответить на
\(\frac{-24}{1}\)
Ответ б
\(\frac{357}{100}\)
Упражнение \(\PageIndex{2}\):
Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −19 (b) 8,41.
Ответить на
\(\frac{-19}{1}\)
Ответ б
\(\frac{841}{100}\)
Давайте посмотрим на десятичную форму чисел, которые, как мы знаем, являются рациональными. Мы видели, что каждое целое число является рациональным числом, поскольку a = \(\dfrac{a}{1}\) для любого целого числа, a. Мы также можем преобразовать любое целое число в десятичное, добавив десятичную точку и ноль.
Эти десятичные дроби либо останавливаются, либо повторяются.
О чем говорят вам эти примеры? Каждое рациональное число можно записать как в виде отношения целых чисел, так и в виде десятичной дроби, которая либо останавливается, либо повторяется. В таблице ниже показаны числа, которые мы рассмотрели, выраженные в виде отношения целых чисел и десятичных дробей.
Существуют ли десятичные дроби, которые не заканчиваются и не повторяются? Да. Число \(\pi\) (греческая буква pi, произносится как «пирог»), которое очень важно для описания кругов, имеет десятичную форму, которая не заканчивается и не повторяется.
\[\pi = 3.1415
\ldots \ldots\]
Точно так же десятичные представления квадратных корней целых чисел, которые не являются полными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются. Например,
\[\sqrt{5} = 2,236067978 \ldots \ldots\]
Десятичное число, которое не заканчивается и не повторяется, не может быть записано как отношение целых чисел. Мы называем такие числа иррациональными числами .
Определение: иррациональное число
Иррациональное число — это число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел. Его десятичная форма не прерывается и не повторяется.
Давайте обобщим метод, который мы можем использовать, чтобы определить, является ли число рациональным или иррациональным.
Если десятичная форма числа
останавливается или повторяется, число является рациональным.
не останавливается и не повторяется, число иррациональное.
Пример \(\PageIndex{2}\):
Определите каждое из следующих значений как рациональное или иррациональное: (a) 0,58\(\overline{3}\) (b) 0,475 (c) 3,605551275…
Решение
(a) 0,58\(\overline{3}\)
Полоса над цифрой 3 означает, что это повторяется. Следовательно, 0,583 — это повторяющаяся десятичная дробь, а значит, рациональное число.
(b) 0,475
Это десятичное число заканчивается после 5, поэтому это рациональное число.
(c) 3.605551275…
Многоточие (…) означает, что этот номер не заканчивается. Нет повторяющегося набора цифр. Поскольку число не останавливается и не повторяется, оно иррационально.
Упражнение \(\PageIndex{3}\):
Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 0,29 (b) 0,81\(\overline{6}\) (c) 2,515115111…
Ответить на
г.
рациональный
Ответ б
рациональный
Ответ c
иррациональный
Упражнение \(\PageIndex{4}\):
Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 0,2\(\overline{3}\) (b) 0,125 (c) 0,418302…
Ответить на
рациональный
Ответ б
г.
рациональный
Ответ c
иррациональный
Давайте теперь подумаем о квадратных корнях. Квадратные корни из полных квадратов всегда являются целыми числами, поэтому они рациональны. Но десятичные формы квадратных корней чисел, которые не являются идеальными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются, поэтому эти квадратные корни иррациональны.
Пример \(\PageIndex{3}\):
Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 36 (b) 44
Решение
(a) Число 36 является полным квадратом, так как 6 2 = 36. Таким образом, \(\sqrt{36}\) = 6. Следовательно, \(\sqrt{36}\) равно рациональный.
(b) Помните, что 6 2 = 36 и 7 2 = 49, поэтому 44 не является полным квадратом. Это означает, что \(\sqrt{44}\) иррационально.
Упражнение \(\PageIndex{5}\):
Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) \(\sqrt{81}\) (b) \(\sqrt{17}\)
Ответ
г.
рациональный
Ответ б
иррациональный
Упражнение \(\PageIndex{6}\):
Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) \(\sqrt{116}\) (b) \(\sqrt{121}\)
Ответить на
иррациональный
Ответ б
рациональный
Классификация действительных чисел
Мы видели, что все счетные числа являются целыми числами, все целые числа являются целыми числами и все целые числа являются рациональными числами. Иррациональные числа представляют собой отдельную категорию. Когда мы складываем рациональные числа и иррациональные числа, мы получаем набор из действительных чисел . На рисунке \(\PageIndex{1}\) показано, как связаны наборы чисел.
Рисунок \(\PageIndex{1}\) — эта диаграмма иллюстрирует отношения между различными типами действительных чисел.
Определение: Действительные числа
Действительные числа — это числа, которые могут быть как рациональными, так и иррациональными.
Вам не кажется странным термин «действительные числа»? Существуют ли числа, которые не являются «настоящими», и если да, то какими они могут быть? На протяжении веков единственными числами, о которых люди знали, были те, которые мы сейчас называем реальными числами. Затем математики открыли множество мнимых чисел . В этом курсе вы не столкнетесь с мнимыми числами, но вы столкнетесь с ними позже, изучая алгебру.
Пример \(\PageIndex{4}\):
Определите, является ли каждое из чисел в следующем списке (a) целым числом, (b) целым числом, (c) рациональным числом, (d) иррациональным числом, и (e) действительное число.
Целые числа 0, 1, 2, 3,… Число 8 — единственное целое число.
Целые числа — это целые числа, их противоположности и 0. Из заданных чисел −7 и 8 — целые числа. Также обратите внимание, что 64 — это квадрат числа 8, поэтому \(− \sqrt{64}\) = −8. Таким образом, целые числа равны −7, 8, \(− \sqrt{64}\).
Поскольку все целые числа рациональны, числа −7, 8 и \(− \sqrt{64}\) также рациональны. Рациональные числа также включают дроби и десятичные дроби, которые заканчиваются или повторяются, поэтому \(\dfrac{14}{5}\) и 5,9 являются рациональными.
Число 5 не является полным квадратом, поэтому \(\sqrt{5}\) иррационально.
Все указанные номера настоящие.
Сведем результаты в таблицу.
Номер
Целых
Целое число
Рационал
Иррациональный
Настоящий
-7
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\dfrac{14}{5}\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
8
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\sqrt{5}\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
5,9
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(- \sqrt{64}\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
Упражнение \(\PageIndex{7}\):
Определите, является ли каждое число (a) целым числом, (b) целым числом, (c) рациональным числом, (d) иррациональным числом и (e) действительным числом: −3, \(− \sqrt{2}, 0. \overline{3}, \dfrac{9}{5}\), 4, \(\sqrt{49}\).
Ответить
Номер
Целиком
Целое число
Рационал
Иррациональный
Настоящий
-3
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(-\sqrt{2}\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(0. \overline{3}\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\dfrac{9}{5}\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(4\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\sqrt{49}\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
Упражнение \(\PageIndex{8}\):
Определите, является ли каждое число (a) целым числом, (b) целым числом, (c) рациональным числом, (d) иррациональным числом и (e) действительным числом: \(− \sqrt{25}, − \dfrac {3}{8}\), −1, 6, \(\sqrt{121}\), 2,041975…
Ответ
Номер
Целиком
Целое число
Рационал
Иррациональный
Настоящий
\(- \sqrt{25}\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(-\dfrac{3}{8}\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(-1\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(6\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\sqrt{121}\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
\(2. 041975…\)
\(\галочка\)
\(\галочка\)
ДОСТУП К ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ РЕСУРСАМ В ИНТЕРНЕТЕ
Наборы действительных чисел
Вещественные числа
Практика делает совершенным
Рациональные числа
В следующих упражнениях запишите как отношение двух целых чисел.
(а) 5 (б) 3,19
(а) 8 (б) −1,61
(а) −12 (б) 9,279
(а) −16 (б) 4,399
В следующих упражнениях определите, какие из данных чисел рациональны, а какие иррациональны.
0,75, 0,22\(\overline{3}\), 1,39174…
0,36, 0,94729…, 2,52\(\overline{8}\)
0.\(\overline{45}\), 1,3…, 3,59
0,1\(\над чертой{3}\), 0,42982…, 1,875
В следующих упражнениях определите, является ли каждое число рациональным или иррациональным.
(а) 25 (б) 30
(а) 44 (б) 49
(а) 164 (б) 169
(а) 225 (б) 216
Классификация действительных чисел
В следующих упражнениях определите, является ли каждое число целым, целым, рациональным, иррациональным и действительным.
Экскурсия Все пятиклассники начальной школы Линкольна отправятся на экскурсию в музей науки. С учетом всех детей, учителей и воспитателей будет 147 человек. В каждом автобусе по 44 человека.
Сколько потребуется автобусов?
Почему ответ должен быть целым числом?
Почему нельзя округлить ответ обычным способом?
Уход за детьми Серена хочет открыть лицензированный детский сад. Ее штат требует, чтобы на каждого учителя приходилось не более 12 детей. Она хотела бы, чтобы ее детский сад обслуживал 40 детей.
Сколько учителей потребуется?
Почему ответ должен быть целым числом?
Почему нельзя округлить ответ обычным способом?
Письменные упражнения
Своими словами объясните разницу между рациональным числом и иррациональным числом.
Объясните, как наборы чисел (счетные, целые, целые, рациональные, иррациональные, действительные) связаны друг с другом.
Самопроверка
(a) После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.
(b) Если большинство ваших чеков:
…уверенно. Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Подумайте об учебных навыках, которые вы использовали, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы обрести уверенность в своих способностях делать эти вещи? Быть конкретной.
…с некоторой помощью. Это нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся выбоинами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе. Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочная основа. Кого можно попросить о помощи? Ваши одноклассники и преподаватель являются хорошими ресурсами. Есть ли в кампусе место, где есть репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?
… нет, я не понимаю! Это предупреждающий знак, и вы не должны его игнорировать. Вы должны немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро будете поражены. Как можно скорее обратитесь к инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы можете придумать план, как получить необходимую вам помощь.
Авторы и авторство
Эта страница под названием 7.1: Рациональные и иррациональные числа распространяется по недекларированной лицензии и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.
Мы уже знаем, что арифметическая и геометрическая прогрессии — это последовательность чисел. Давайте возьмем последовательность an = 1/n, если k
и m натуральные числа, тогда для каждого k верно ak > am, поэтому, чем больше становится
n тем меньше становится an
и это число всегда позитивно, но никогда не становится равным нулю. В этом случае, мы говорим, что 0 есть пределом lim an->∞
если n->∞, или, если записать по-другому: limn->∞ an = 0.
Определение предела
Число a называется пределом последовательности,
если для каждого ε > 0 может быть найдено число
nε,
то для всех членов последовательности an
with index n > nε
верно, что a — ε n .
Основное правило
Если limn->∞ an = a, an -> a an — a -> 0 |an — a| -> 0
Последовательность не всегда имеет предел, а иногда имеет предел бесконечности ( -∞ or +∞ ).
Пределы +∞ and -∞ называются соответсвенно пределом плюс бесконечности и минус бесконечности.
Если обе последовательности an and bn имеют действительные пределы, тогда последовательности an + bn,
an — bn, an.bn и an / bn также имеют действительный предел и:
Больше о пределах на страницах математического форума
Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!
Предел последовательности
4.1Примеры и мотивировка
В этой лекции мы введём, пожалуй, главное понятие математического анализа —
понятие предела. Это сложное понятие. Человеческий мозг не привык работать с
бесконечностями. Думая про какую-то последовательность, мы как правило
представляем себе лишь её первые несколько элементов. Сейчас же нам предстоит
вглядеться в бесконечный хвост последовательности и понять, как он устроен.
Пусть есть последовательность {an}. Можно думать про неё как про
последовательность результатов измерения какого-то параметра (скажем, населения
некоторой страны) в последовательные моменты времени (например, каждый год).
Правда, в отличие от реальных результатов измерения, наша последовательность
простирается бесконечно далеко в будущее, и именно это «бесконечное будущее» нас
и интересует. Есть ли какое-то значение A, к которому члены последовательности
будут становиться всё ближе и ближе — так, что, со временем их будет
всё сложнее и сложнее отличить от A?
Давайте рассмотрим несколько примеров.
4.1.1Последовательность 1/2n
Пусть an=12n. Давайте выведем первые двадцать членов этой
последовательности. Я написал для этого короткий код на языке Python,
который приведён ниже вместе с результатом его выполнения. Код можно
скрывать и открывать, нажимая на кнопку-уголок. Если вы не знаете Python,
ничего страшного — для понимания он не понадобится. Но если знаете,
возможно, вам будет интересно самостоятельно проводить эксперименты, похожие
на приведенные.
print("n a_n")
for n in range(1, 21):
a_n = 1 / 2 ** n
print(f"{n} {a_n:0.5f}")
# 0.5f означает, что будут выведены 5 знаков после десятичной точки
Из результатов видно, что начиная с 18-го члена получаются нули. Конечно, мы
понимаем, что это не настоящие нули — ни один член этой последовательности
на самом деле не равен нулю. (Если вы делите положительное число на что
угодно, никак нельзя получить ноль — уравнение 1/x=0 не имеет решения,
потому что в противном случае 1 окажется равным 0⋅x, а этого не
может быть, потому что умножение чего угодно на 0 даёт 0.) Однако, мы
вывели только 5 знаков после десятичной запятой (точки), поэтому все числа,
меньшие 0,00001, отображаются как нули.
Но ведь можно увеличить точность! Давайте отображать шесть цифр после
запятой!
print("n a_n")
for n in range(1, 21):
a_n = 1 / 2 ** n
print(f"{n} {a_n:0.6f}")
# 0.6f означает, что будут выведены 6 знаков после десятичной точки
Похоже, дело безнадёжно. Какую бы точность отображения мы ни выбирали,
начиная с некоторого момента последовательность будет выглядеть, как будто
состоит из сплошных нулей!
Это и означает, что она стремится к нулю.
4.1.2Последовательность n+1n
Пусть теперь an=n+1n. Тоже можно вывести первые несколько
значений.
print("n a_n")
for n in range(1, 10):
a_n = (n + 1) / n
print(f"{n} {a_n:0.5f}")
Здесь эффект не столь очевиден. Давайте построим график. По горизонтальной
оси будем откладывать n, по вертикальной — an. В отличие от обычного
графика функции, он будет состоять из отдельных точек, соответствующих
натуральным значениям n, см. рис. 4.1.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
nmax = 20
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (n + 1) / n, 'o', markersize=4, label='$y=a_n$')
plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-0.4, ymax=2.9,
xlabel="n", ylabel="y")
По графику можно угадать, что точки, вероятно, приближаются к прямой y=1,
то есть элементы последовательности стремятся к 1.
Для большей наглядности можно нарисовать эту
прямую (рис. 4.2).
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
nmax = 20
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (n + 1) / n, 'o', markersize=4, label='$y=a_n$')
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')
plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-0.4, ymax=2.9,
xlabel="n", ylabel="y")
Хотя тенденция вроде бы налицо, нетрудно видеть, что между точками y=an и
прямой y=1 есть некоторый зазор. Но что если взять побольше точек? См.
рис. 4.3.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
nmax = 75 ##
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (n + 1) / n, 'o', markersize=4, label='$y=a_n$')
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')
#plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-0.4, ymax=2.9,
xlabel="n", ylabel="y")
Рис. 4.3: График y=an: взяли побольше точек.
Видно, что зазор стал меньше и для больших значений n вообще непонятно,
есть он или нет. Но если изменить масштаб вертикальной оси, станет видно,
что он всё-таки есть (рис. 4.4).
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
nmax = 75 ##
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (n + 1) / n, 'o', markersize=2, label='$y=a_n$')
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')
#plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=0, ymax=1.11,
xlabel="n", ylabel="y")
Рис. 4.4: График y=an: увеличили масштаб вертикальной оси.
Но теперь можно добавить ещё больше точек (рис. 4.5)!
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
nmax = 420
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (n + 1) / n, 'o', markersize=2, label='$y=a_n$')
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')
#plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=0, ymax=1.11,
xlabel="n", ylabel="y")
Рис. 4.5: График y=an: увеличили масштаб вертикальной оси, а потом взяли
ещё больше точек
И снова зазор стал практически неразличим!
Так можно продолжать до бесконечности. Увеличивать масштаб вертикальной оси
(и следовательно нашу способность различать близкие точки) — находить зазор
— увеличивать количество точек — делать зазор неразличимым.
В общем, можно предположить, что наша последовательность стремится к числу 1. В
принципе, это неудивительно. Можно преобразовать формулу для общего члена
последовательности:
an=n+1n=1+1n
Когда n становится очень большим, 1n становится очень маленьким,
поэтому вся сумма становится очень близкой к 1. Что мы и видим на графике.
4.1.4«Скачущая» последовательность
При рассмотрении предыдущих примеров, у вас могло возникнуть искушение дать
такое определение: «последовательность {an} стремится к какому-то числу
a, если её члены с ростом n становятся всё ближе и ближе к a: каждый
следующий член ближе, чем предыдущий».
Более внимательный анализ показывает, что это определение неверно. Например,
последовательность n+1n, которую мы только что рассматривали,
«становится всё ближе и ближе» не только к 1, но и, например, к 0 — причём
каждый следующий член ближе, чем предыдущий. Тем не менее, нельзя сказать, что
она стремится к 0.
Более того, требование «каждый следующий член ближе, чем предыдущий»,
оказывается излишним.
Давайте рассмотрим такую последовательность:
an={n+1n,n — нечётное;n+3n,n — чётное.
Её первые члены выглядят следующим образом:
2, 52, 43, 74, 65,…
График этой последовательности изображен на рис. 4.6. Тут
видно, что требование «каждый следующий элемент ближе к 1, чем предыдущий»,
нарушается: элементы с чётными номерами ближе к 1, чем элементы с нечётными
номерами.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
nmax = 20
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, 1 + np.where(n % 2 == 1, 1 / n, 3 / n),
'--o', markersize=4, label='$y=a_n$')
plt.xticks(range(0, nmax + 1))
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=0, ymax=3.11,
xlabel="n", ylabel="y")
Рис. 4.6: Последовательность приближается и отдаляется от 1, но всё равно к ней
стремится. Точки соединены пунктирной линией исключительно для
наглядности: значения последовательности для нецелых n не определено.
Тем не менее, судя по графику на рис. 4.7, можно
предположить, что, несмотря на скачки, последовательность всё-таки стремится к
числу 1: с течением времени (то есть с ростом n) её элементы становятся
настолько близки к единице, что их трудно от неё отличить.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
nmax = 90
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, 1 + np.where(n % 2 == 1, 1 / n, 3 / n), '--o', markersize=4, label='$y=a_n$')
# plt.xticks(range(0, nmax + 1))
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=0, ymax=3.11,
xlabel="n", ylabel="y")
Рис. 4.7: Последовательность приближается и отдаляется от 1, но всё равно к
ней стремится.
4.1.5Последовательности без предела
Последовательности, рассмотренные выше, стремились к какому-то числу. Приведём
несколько примеров последовательностей, у которых предела нет.
Пример 1. Последовательность an=n2:
1, 4, 9, 16,…
Эта последовательность неограничена, и выглядит очевидным, что она не
стремится ни к какому числу. У неё нет предела.
Пример 2. Последовательность
an=(−1)n+1n.(4.1)
В зависимости от чётности n, первое слагаемое оказывается равно 1 или
−1. Посмотрим, как выглядит график этой последовательности
(рис. 4.8).
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
nmax = 20
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (-1) ** n + 1 / n, '--o', markersize=4, label='$y=a_n$')
plt.xticks(range(0, nmax + 1))
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')
plt.plot(n_full, -np.ones_like(n_full), label='$y=-1$')
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-1.9, ymax=1.9,
xlabel="n", ylabel="y")
Рис. 4.8: Последовательность скачет между двумя точками.По графику видно, что нет одного числа, к которому члены последовательности
были бы очень близки при больших n: она скачет между двумя значениями, 1
и −1.
Пример 3. Наконец, рассмотрим такую последовательность:
an={12,∃k∈N:n=2k;n+1n,∀k∈N:n≠2k.(4.2)
Эта последовательность устроена так. Для тех n, которые являются степенями
двойки (1, 2, 4, 8, 16 и т.д.), an равно 12. Для остальных n,
an равно n+1n. Посмотрим на график на
рис. 4.9.
Рис. 4.9: Последовательность всё реже и реже убегает от предельного значения
Понятно, что для тех номеров, которые не являются степенями двойки,
элементы становятся сколь угодно близки к 1. Время от времени
последовательность «убегает» в точку 12, однако эти моменты,
будучи степенями двойки, встречаются всё реже и реже. Если бы мы стартовали
с больших значений n, мы могли бы очень долго наблюдать
последовательность, которая становится очень близка к 1.
Тем не менее, нельзя сказать, что её предел равен 1. Мы знаем, что с какого
бы начального момента времени мы ни стартовали, рано или
поздно n окажется степенью двойки, и в этот момент последовательность
«скакнёт» в число 1/2, уйдя от 1 на заметное расстояние.
4.2Определение предела
4.2.1Интуитивные соображения
Из обсуждения в предыдущем разделе должно быть понятно — по крайней мере, на
интуитивном уровне — чего бы мы хотели потребовать от последовательности, чтобы
сказать, что она стремится к некоторому числу A. Подведём промежуточный итог.
Первые сколько-то членов могут быть достаточно далеки от A, это никак
не мешает последовательности стремиться к A. Иными словами,
«стремление» — это эффект, который зависит только от
«хвоста» последовательности.
Для достаточно больших значениий n члены последовательности должны
становиться настолько близкими к A, чтобы их нельзя было отличить от
A, скажем, на графике или на компьютерной распечатке, на которой числа
выводятся с конечной точностью.
Этот эффект должен сохраняться для всех достаточно больших n. Если
последовательность время от времени «убегает» от A на какое-то
заметное расстояние, и это происходит сколь угодно далеко в будущем,
последовательность не будет стремиться к A.
Мы можем увеличить точность измерения — например, выводить больше цифр
после запятой или увеличить масштаб на графике — и увидеть зазор между
членами последовательности и числом A. Однако, мы можем взять ещё
большие значения n, чтобы эффект «неразличимости» вернулся.
Теперь приступим к формализации понятия предела.
4.2.2Вспомогательные понятия
Нам потребуется несколько вспомогательных определений и обозначений.
Определение 1. Расстоянием между вещественными числами a и b называется модуль
их разности: |a−b|. Это довольно естественное определение, если думать
про числа как про точки на числовой прямой, см. рис. 4.10.
Рис. 4.10: Модуль разности — это расстояние между числами как точками числовой
прямой.
Буквой ε (читается «эпсилон» — почему-то со слуха часто кажется, что там в
конце есть буква «т» — нет, её нет) мы будем обозначать положительные и как
правило маленькие вещественные числа.
Определение 2. Скажем, что два числа ε-близки («эпсилон-близки»)
друг к другу, если расстояние между ними меньше ε.
Вместо ε здесь можно подставлять другие буквы или конкретные числа —
например, δ-близки («дельта-близки») или 0,1-близки. Скажем, утверждение «число π
0,1-близко к числу 3,14» является верным, поскольку расстояние между
π и 3,14 (модуль разности) меньше, чем 0,1. Числа a и b будут
ε-близки, если модуль их разности меньше ε: |a−b|<ε.
Определение 3. Рассмотрим последовательность {an}. Скажем, что её хвост
ε-близок к числу A, если все её члены, начиная с некоторого,
ε-близки к A. Иными словами, если все члены, начиная с некоторого,
находятся на расстоянии меньше ε от A.
Формально это записывается так:
∃N∈N ∀n∈N:(n>N)⇒|an−A|<ε.(4.3)
∃N∈N ∀n∈N:(n>N)⇒⇒|an−A|<ε.(4.3)
Здесь сказано, что найдётся такой номер N, что все члены
последовательности с номерами от N+1 и больше находятся на расстоянии
меньше ε от A.
Импликация в этом определении говорит, что нас интересует выполнение условия
|an−A|<ε не для всех n, а только для тех, для которых выполнено
n>N, то есть «начиная с некоторого члена»; если оно нарушается для
членов с меньшими номерами, это не будет нарушать утверждение, поскольку в
этом случае посылка импликации n>N окажется ложной, и значит импликация
будет истинной. Более кратко это определение можно записать так:
∃N∈N ∀n>N:|an−A|<ε.
На рис. 4.11 приведена иллюстрация к этому определению.
Множество точек, ε-близких к точке A — это интервал (A−ε,A+ε).
Если на графике последовательности нарисовать горизонтальные прямые y=A+ε и
y=A−ε, они образуют своего рода коридор вокруг A (его можно назвать ε-коридором). Утверждение, что хвост последовательности ε-близок к A,
означает, что начиная с некоторого номера n=N+1, все члены последовательности
находятся в интервале (A−ε,A+ε), а соответствующие им точки на графике
живут в нарисованном нами ε-коридоре. Точки с номерами меньше или равными
N, могут как принадлежать коридору, так и выходить из него.
Рис. 4.11: Хвост последовательности ε-близок к числу A.
Заметим, что в этом определении не сказано, с какого именно члена начинается
«хвост последовательности». Более того, для одной и той же последовательности
«хвосты» могут быть разными, в зависимости от ε.
Пример 4. Рассмотрим последовательность an=1n. Её хвост 0,1-близок к
0. Действительно, возьмём N=10. Для всех n>N, an меньше 0,1
(поскольку n больше 10 обратная величина 1/n меньше 1/10).
Вопрос 1. Верно ли, что хвост последовательности an=1n является
0,01-близким к 0?
Нет, потому что существуют n>10, при которых расстояние между
an и 0 больше, чем 0,01 — например, n=20,
an=120=0,05, |an−0|=|an|=0,05>0,01.
Неверный ответ.
Это рассуждение неверно: совсем не обязательно в качестве N
брать именно 10, можно попробовать подобрать другое число,
так, чтобы требование выполнялось.
Неизвестно, зависит от N.
Неверный ответ.
Нет, в формуле (4.3) переменная N является
связанной (на неё «навешан» квантор) — мы не спрашиваем, при
каких N верно или неверно то-то и то-то — мы спрашиваем,
«найдётся ли такое N?»
Да, верно.
Верный ответ.
Конечно! Чему равняется N?
10
Неверный ответ.
Не-а.
20
Неверный ответ.
Нет.
100
Верный ответ.
Да, например, 100 подойдёт. (Или любое большее
число.)
Пример 5. Последовательность из примера 2 (см. (4.1))
имеет хвост, 1,2-близкий к числу 0, однако неверно, что её хвост
0,9-близок к 0.
Вопрос 2. Для какого ε хвост этой последовательности ε-близок к числу 1?
ε=0,5
Неверный ответ.
Нет, у последовательности есть члены со сколь угодно большими
номерами, лежащие на расстоянии больше 0,5 от 1 — например,
все члены с нечётными номерами.
ε=1,5
Неверный ответ.
Нет, у последовательности есть члены со сколь угодно большими
номерами, лежащие на расстоянии больше 0,5 от 1 — например,
все члены с нечётными номерами, большими 2 (хотя a1=0 находится
на расстоянии 1 от числа 1).
ε=2
Верный ответ.
Верно!
Ни для какого.
Неверный ответ.
Нет, неверно.
Теперь мы готовы к Самому Главному Определению.
4.2.3Аккуратное определение предела
Мы хотим дать определение понятию, которое бы формализовало утверждение о том,
что члены последовательности an с ростом n становятся очень-очень близки к
некоторому фиксированному числу A — так, что, начиная с некоторого момента, мы
их практически не можем отличить от A.
Понятие ε-близости призвано формализовать идею о том, что два числа близки,
если расстояние между ними маленькое. Можно думать, что ε — это точность
или разрешающая способность наших измерительных приборов (чем меньше ε, тем
точнее приборы). В этом случае если два числа отличаются меньше, чем на ε,
у нас нет практической возможности их различить, для нас они совпадают.
Например, если мы печатаем все числа лишь с двумя знаками после запятой, мы
можем не различить два числа, расстояние между которыми меньше 0,001.
Но какой ε «достаточно маленький»? В отличие от других дисциплин, в
математике нет никакого естественного масштаба. С точки зрения географии,
расстояние в 1/10 метра — это очень маленькое расстояние — потому что мы
сравниваем его с типичными объектами, изучаемыми географией — странами,
городами, морями. А с точки зрения микробиологии — фантастически большое — по
сравнению с бактериями или ядром клетки. С точки зрения математики, невозможно
даже задать вопрос «является ли 1/10 маленьким числом?» — потому что непонятно,
с чем его сравнивать. Поэтому мы не можем выбрать какой-то конкретный ε и
сказать: «последовательность стремится к A, если её члены, начиная с
некоторого, ε-близки к A». Как же быть?
Очень просто. Мы потребуем, чтобы утверждение «хвост последовательности
ε-близок к A», выполнялось для любого положительного ε. Какой
бы ни была разрешающая способность наших измерительных приборов, если подождать
достаточно долго, мы перестанем отличать члены нашей последовательности от A.
Определение 4. Последовательность {an} имеет предел A, если для всякого
ε>0 её хвост ε-близок к A.
Формально:
∀ε>0 ∃N∈N ∀n>N:|an−A|<ε.(4.4)
∀ε>0 ∃N∈N ∀n>N:|an−A|<ε.(4.4)
Если последовательность {an} имеет предел A, говорят также, что она стремится к A.
Коротко пишут так:
limn→∞an=A,
(читается «предел при n стремящемся к бесконечности от an равен A») или
an→A при n→∞,
(читается «an стремится к A при n стремящемся к бесконечности»).
Последовательность, имеющая предел, называется также сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся.
Заметим, что в определении предела, число N (граница «хвоста
последовательности») выбирается в зависимости от ε — для разных ε
получаются разные N. Если последовательность {an} стремится к A,
гарантируется, что для любого ε найдётся «хорошее» N. Часто бывает удобно
это «хорошее» N, подходящее для какого-то ε, обозначать через N(ε).
(Вообще говоря, это N определяется не единственным образом — например, если
N подходит, то N+1 тоже подходит — но мы выберем какое-нибудь из подходящих
значений N и обозначим его через N(ε).) На рис. 4.12
приведена иллюстрация: для ε=ε1 мы могли выбрать N=3, то есть
положить N(ε1)=3. Но для ε=ε2 (см. нижний рисунок) это значение
N уже «не работает» (например, a4 выходит за границы нового коридора),
однако увеличив N до 8 (то есть положив N(ε2)=8) мы снова добились
соблюдения условия «все члены, начиная с n=N+1, находятся на расстоянии меньше
ε от A».
Мы могли бы ещё сильнее уменьшить ε — и снова должно было найтись
своё N, которое бы обеспечивало выполнение этого условия. Это и значит, что
последовательность стремится к A.
4.3Пример доказательств утверждений о пределах
4.3.1Существование предела
Самый лучший способ понять определение — доказать какое-нибудь утверждение про
него.
Доказательство. Нам нужно научиться по любому ε>0 строить такое N=N(ε), что для
всех n>N,
∣∣∣n+1n−1∣∣∣<ε.(4.5)
Преобразуем это неравенство:
∣∣∣1+1n−1∣∣∣<ε;∣∣∣1n∣∣∣<ε.
Заметим, что n — натуральное число, значит положительное, значит
1n — тоже положительное, значит его модуль всегда равен ему
самому. Следовательно, знак модуля можно просто снять. Получим неравенство:
1n<ε.
Можно умножить обе части этого неравенства на n и поделить на ε
(благодаря тому, что n>0 и ε>0, эта операция является эквивалентным
преобразованием и не приведёт к изменению знака неравенства). Получим такое
неравенство:
1ε<n.
Наконец, можно переписать его справа налево:
n>1ε.(4.6)
Нам нужно найти такое N, что если n>N, то неравенство (4.5)
выполняется. Наши преобразования были эквивалентными, поэтому, в частности, если
выполняется неравенство (4.6), то выполняется и неравенство
(4.5). Значит, достаточно сделать так, чтобы выполнялось
неравенство (4.6). Очевидно, если выбрать какое-нибудь
N≥1ε, мы победим: в этом случае любое n, большее N, будет
также больше и 1ε, а значит неравенство (4.6)
выполнено. В принципе, можно было бы просто положить N=1ε, но
мы потребовали в определении 4, чтобы N было натуральным
числом. Значит, нужно выбрать какое-нибудь натуральное число, не меньшее
1ε. Это всегда можно сделать. Однако, для определенности,
давайте предложим конкретный механизм.
Определение 5. Пусть x — вещественное число. Его округлением вверх называется
наименьшее целое число, не меньшее x. Например, 2,1 округляется
вверх до 3. Число 17 округляется вверх до 17, потому что оно уже
целое. Результат округления вверх числа x обозначается через ⌈x⌉. Функция y=⌈x⌉ также называется функцией
«потолок» (англ. ceil).
Упражнение 1. Опишите, как действует функция ⌈x⌉, пользуясь
представлением числа x в виде бесконечной десятичной дроби.
Итак, для всякого ε>0, положим N(ε):=⌈1ε⌉. По определению функции потолок, N(ε)≥1ε.
Значит, для всех натуральных n, если n>N(ε), то n>1ε, а значит выполняется (4.6), а значит и
(4.5). Ура!∎
Доказательство. По аналогии с предыдущим примером, запишем, что мы хотим получить. Мы хотим
научиться для всякого ε>0 строить такое N=N(ε), что для всех n>N
выполняется неравенство:
∣∣∣1n2+5n+12−0∣∣∣<ε.(4.7)
Можно попробовать преобразовать это неравенство. Во-первых, вычитание нуля
ничего не меняет. Во-вторых, при натуральных n дробь положительна и знак
модуля можно снять. Получаем такое неравенство:
1n2+5n+12<ε.(4.8)
Теоретически, дальше его можно мучительно решать относительно n, найдя
для каждого фиксированного ε все возможные значения n, которые ему
удовлетворяют. Делать это, однако, не нужно. Дело в том, что нам не нужны все без исключения значения n. Нам нужно добиться того, чтобы
неравенство (4.8) выполнялось, но нам не нужно находить
все значения n, при которых оно выполняется. Поэтому вместо эквивалентных
переходов, которые мы должны делать, когда решаем неравенство, нам
достаточно переходов к более сильным неравенствам — таким, из которых наше
следует. И это существенно упрощает жизнь! Смотрите.
Заметим, что для натуральных n,
n2+5n+12>n2.
Действительно, 5n и 12 — положительные числа. Более того: для
натуральных n, n2≥n (можно поделить это неравенство на n,
поскольку n больше нуля, и получить неравенство n≥1, справедливое для
всех натуральных n). Имеем цепочку неравенств:
n2+5n+12>n2≥n.
Значит
n2+5n+12>n
и следовательно
1n2+5n+12<1n.(4.9)
Оценивая знаменатель дроби снизу, мы оцениваем саму дробь сверху.
Пусть теперь мы подобрали какое-нибудь такое N, что при всех n>N
выполняется неравенство
1n<ε. Тогда в силу неравнства (4.9), для тех же
самых n, будет выполняться неравенство
1n2+5n+12<ε.
(Мы опять используем транзитивность неравенства: если A<B и B<C, то
A<C.)
Таким образом, в качестве N(ε) можно взять то же выражение, что и в
предыдущем примере: N(ε):=⌈1ε⌉. И оно сработает! Это гораздо проще, чем решать
квадратное неравенство с параметром (можете попробовать — хотя вам вряд ли
понравится).
Итак, если отбросить все мотивировки, полное доказательство выглядит так:
для всякого ε>0, положим N(ε):=⌈1ε⌉. Тогда для всякого натурального n>N(ε) справедлива
цепочка равенств и неравенств:
Доказательство законечно. (Конечно, в аккуратном тексте нужно обосновать
каждое из равенств и неравенств в цепочке, но мы это уже сделали выше.) ∎
4.3.2Предел не равен какому-то числу
Утверждение 3. Предел последовательности {an}, an=1n, не равен 1:
limn→∞1n≠1.
Доказательство. Нам нужно доказать, что неверно, что предел равен 1. Иными словами,
опровергнуть следующее утверждение:
∀ε>0 ∃N∈N ∀n>N:∣∣∣1n−1∣∣∣<ε.
Опровергнуть утверждение — это всё равно, что доказать его отрицание.
Запишем отрицание, пользуясь разделом 2.3.3 лекции
2:
∃ε>0 ∀N∈N ∃n>N:∣∣∣1n−1∣∣∣≥ε.(4.10)
∃ε>0 ∀N∈N ∃n>N:∣∣∣1n−1∣∣∣≥ε.(4.10)
Иными словами, нам нужно доказать, что существует такой ε>0, что какой
бы номер N мы ни выбрали, найдётся номер n, больший, чем N, для
которого элемент с номером n не является ε-близким к 1. Попросту
нам нужно доказать, что для какого-то конкретного ε, время от времени
— сколь угодно далеко в будущем — элементы последовательности будут на
расстоянии как минимум ε от 1. В этом случае, конечно, ни о каком
стремлении к 1 речи уже идти не будет.
Давайте посмотрим на картинку (рис. 4.13).
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
nmax = 20
n = np.arange(1, nmax + 1)
n_full = np.linspace(0, nmax + 1 - 0.5)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), color="#cf356b")
plt.plot(n, 1 / n, 'o', markersize=4, label='$y=a_n$')
plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-0.25, ymax=2.27,
xlabel="n", ylabel="y")
Какое значение ε подойдёт? Например, подойдёт ли ε=1,5? Похоже, что
нет — на самом деле, все элементы последовательности находятся на расстоянии
не больше 1,5 от числа 1, см. рис. 4.14.
Рис. 4.15: График {1/n} и коридор вокруг 1 с «размахом» ε=1/3.
Итак, пусть мы взяли ε=1/3. Теперь в соответствии с формулой
(4.10) для всякого натурального N нужно научиться строить такое
n, что n>N и одновременно
∣∣∣1n−1∣∣∣≥1/3.(4.11)
По картинке видно, что нам подойдёт любое n, начиная с n=2. Поскольку
минимальное значение для N равно 1, то любое n, удовлетворяющее условию
n>N, удовлетворяет и условию n≥2, и значит, нам подходит. Осталось
построить натуральное число n, которое гарантированно больше данного
натурального числа N. Как это сделать? Можно просто прибавить единицу к N, и всё!
Итак, положим: n:=N+1. Осталось доказать, что выполняется неравенство
(4.11). Действительно:
∣∣∣1N+1−1∣∣∣=1−1N+1≥1−12=12≥13=ε.(4.12)
∣∣∣1N+1−1∣∣∣=1−1N+1≥≥1−12==12≥13=ε.(4.12)
Первое равенство следует из того факта, что 1N+1 меньше единицы
для натуральных N и модуль может быть раскрыт только так, первое
неравенство следует из того факта, что 1N+1 ещё и меньше 1/2,
т.к. N натуральное и не меньше 1.∎
4.3.3Несуществование предела
Не у всякой последовательности существует предел.
Доказательство. Нас пожидает некоторая трудность в самом начале. Определение предела
требует, чтобы мы назвали конкретное число A, которое является пределом.
Здесь никакого A нет.
Формально, утверждение «последовательность {an} имеет предел»
записывается так: найдётся какое-то число A, которое является пределом
{an}. В кванторах:
∃A∈R ∀ε>0 ∃N∈N ∀n>N:|an−A|<ε.
Ух! Четыре квантора.
Давайте напишем отрицание к этому утверждению (это как раз то, что нам нужно
доказать):
∀A∈R ∃ε>0 ∀N∈N ∃n>N:|an−A|≥ε.
Иными словами, для всякого вещественного числа A, справедливо утверждение:
A не является пределом нашей последовательности.
Теперь будем его доказывать. Тут нужно разобрать два случая: A≠1 и
A=1.
Случай A≠1. Как обычно, начнём с картинки, см.
рис. 4.16. Мы отметили точку A между 0 и −1, но на
самом деле она может быть какой угодно, кроме 1.
Рис. 4.16: График последовательности {(−1)n}.
Теперь нужно выбрать такое ε>0, что последовательность будет время от
времени выскакивать из ε-коридора сколько угодно далеко в будущем. Как
найти ε? Поскольку мы знаем, что A≠1, и также знаем, что сколь
угодно далеко в будущем последовательность посещает точку 1, логично
выбрать такой размах коридора, при котором он не будет содержать точки с
y=1. Это легко сделать: достаточно в качестве ε взять число, которое
было бы меньше, чем расстояние от A до 1. В этом случае, если элемент
последовательности равен 1, его расстояние до A будет гарантированно
больше, чем ε.
Положим
ε=|A−1|2.
Тут важно, что A≠1 и следовательно ε>0.
Тогда одна из границ коридора будет проходить в точности посередине между
A и 1, см. рис. 4.17. Пусть теперь дано произвольное
натуральное N. Из рисунка видно, что каким бы ни было это N, найдутся
элементы последовательности, лежащие вне коридора между A+ε и A−ε
после n=N (заштрихованная область на рисунке). Собственно, мы именно так и
выбирали ε: для любого чётного n, an=1 и следовательно
соответстующая точка лежит вне указанного коридора. Для любого
N найдётся чётное натуральное число n>N — оно-то нам и нужно.
Рис. 4.17: График последовательности {(−1)n} и коридор для выбранного
значения ε.
Чтобы сделать рассуждение совсем железобетонным, нужно привести явный способ
построения n по N. Тут можно действовать разными методами — например,
можно выбирать первое чётное, большее N, но можно проще: положить
n=2N.
Действительно, 2N>N для всех натуральных N и число 2N гарантированно
чётное.
Наконец, нужно доказать, что для выбранного таким образом n, будет
выполняться неравенство |an−A|≥ε. Поскольку n чётно,
an=1. Подставляя значение ε, имеем:
|1−A|≥|A−1|2.
Поскольку |1−A|=|A−1| и это положительное число, это неравенство заведомо
верно.
Таким образом, для любого A≠1 мы предъявили такое значение
ε=|A−1|2>0, что для всех натуральных N мы построили такое
n=2N, что n>2N и |an−A|≥ε. Значит, A не является пределом
нашей последовательности.
Случай A=1. Он доказывается полностью аналогично, и даже проще,
потому что теперь значение A известно. Хорошее упражнение — написать это
доказательство явно и аккуратно, подобно тому, как выше разборан случай
A≠1. Пожалуйста, сделайте это, прежде, чем идти дальше!∎
4.4Единственность предела
Когда мы записываем выражение типа
limn→∞an=A,(4.13)
мы подразумеваем, что левая часть равенства является каким-то однозначно
определенным числом. Конечно, мы понимаем, что не всякое выражение обязано иметь
числовое значение (например, арифметическое выражение 1/0 не имеет никакого
числового значения), но если уж имеет, то мы предполагаем, что это значение
определяется однозначно. Тем не менее, в определении
предела никаких требований, связанных с
единственностью предела, не накладывается. Как видно, это определение отвечает
на вопрос «является ли A пределом последовательности {an}», но вдруг
для одной и той же последовательности найдутся два разных числа, для которых
ответ будет положительным? В этом случае запись вроде (4.13) потеряла
бы всякую определенность.
К счастью, так не бывает. Давайте это докажем.
Теорема 1. Если предел последовательности существует, то он единственный. Иными
словами, пусть есть последовательность {an} и два числа, A1 и
A2, удовлетовряющие определению предела для этой последовательности.
Тогда обязательно A1=A2.
Доказательство. Будем доказывать от противного. Пусть A1 и A2 оба являются пределами
последовательности {an}, но при этом A1≠A2. Запишем формально
утверждения про пределы:
Мы обсуждали (см. раздел 3.2.3), что когда есть несколько
утверждений с кванторами, в которых участвуют одни и те же буквы, никакой
связи между этими буквами за пределами соответствующих утверждений нет.
Так что чтобы не путаться, мы добавили немножко индексов — например,
ε1 для утверждения про предел A1 и ε2 для утверждения про
предел A2. Мы также ввели очень полезное обозначение N1(ε1) и
N2(ε2) — таким образом мы сразу понимаем, N из какого определения
взято и для какого ε оно найдено.
Впрочем, давайте вернёмся с формального уровня на интуитивный. У нас есть
два разных числа, A1 и A2, и два утверждения: одно говорит, что весь
хвост последовательности, начиная с какого-то элемента, будет близок к
A1, а другое утверждение говорит, что хвост той же самый
последовательности (начинающийся, впрочем, с какого-нибудь другого элемента)
целиком близок к A2. Могут ли эти два утверждения друг другу не
противоречить? Зависит от того, что считать «близкими точками». Но это как
раз регулируются нашими значениями ε1 и ε2. И они сейчас
находятся в нашей власти — мы можем их выбирать какими хотим!
Действительно, до сих пор когда мы доказывали, что предел равен какому-то
числу, мы воспринимали ε как нечто данное, что от нас не зависит.
Потому что нам нужно было доказать утверждение, взятое из определения
предела, а оно начинается квантором «для всякого ε>0». В этот же раз мы
находимся в обратной ситуации. Нам дано (по предположению), что предел
последовательности равен A1. Значит, нам сказано, что для всякого
ε1>0 найдётся такое N1=N1(ε1), что какое-то там неравенство
выполняется. Если мы хотим найти N1 для ε1=1/10, мы можем это
сделать. И для ε1=1/100. И для любого другого положительного
ε1 можем найти. Аналогично и со вторым утверждением.
Как выбрать ε1 и ε2, чтобы имеющиеся у нас утверждения пришли к
явному противоречию? Давайте посмотрим на картинку, рис. 4.18.
Известно, что, начиная с некоторого номера n=N1, все элементы последовательности
лежат в ε1-коридоре вокруг точки A1. В то же время, начиная с
некоторого n=N2, все элементы последовательности лежат в
ε2-коридоре вокруг точки A2. Если выбрать эти коридоры
непересекающимися, будет явное противоречие — точки не смогут жить в обоих
одновременно!
Какими выбрать ε1 и ε2, чтобы коридоры не пересекались? Это
легко: давайте разделим расстояние между A1 и A2 на три. Тогда верхняя
граница нижнего (на картинке) коридора вокруг A2 будет проходить по
нижней трети отрезка [A2,A1], а нижняя граница верхнего коридора — по
верхней трети этого же отрезка. Конечно, пересечения не будет, и мы победим.
Теперь нужно найти элемент (достаточно будет одного), который приведёт нас к
противоречию. Его номер должен одновременно удовлетворять условию n>N1
(потому что утверждение про предел A1 (см. (4.14)) даёт
нетривиальную оценку именно для таких n, а про меньшие n оно ничего не
утверждает) и n>N2 (аналогично с утверждением про A2). Как найти такое
n? Очень просто: можно взять максимум из N1 и N2 и прибавить 1.
Положим:
n=max(N1,N2)+1.
Тогда n>N1 и согласно (4.14) в этом случае обязательно
|an−A1|<ε1=|A1−A2|3.
Одновременно n>N2 и согласно (4.15) в этом случае обязательно
|an−A2|<ε2=|A1−A2|3.
Чтобы не возиться с раскрытием модулей и рассмотрением разных случаев,
применим известное неравенство треугольника: расстояние от A1 до A2 не
превосходит сумму расстояний от A1 до an и от an до A2. Имеем:
Но |A1−A2| — положительное число! Положительные числа уменьшаются, если
их умножить на 2/3, а не увеличиваются, как следует из нашего неравенства.
Противоречие! Теорема доказана.∎
4.5Заключение
Уфф, это была длинная лекция, но мы сделали самое главное: ввели аккуратное
определение предела последовательности и убедились, что оно корректно — то есть
для всякой последовательности, для которой предел существует, он задан
однозначно. Мы также рассмотрели несколько примеров доказательств утверждений о
существовании и не существовании пределов для конкретных последовательностей. На
следующей лекции мы докажем больше общих свойств о пределах, а на семинаре
потренируемся пользоваться определениями. ← Предыдущая глава
Следующая глава →
Магический трехслойный графен преодолел предел Паули и вернул сверхпроводимость
Муаровый узор на трехслойном графене
Condensed Matter Theory Center / Youtube
Физики из США и Японии обнаружили, что сверхпроводимость скрученного под магическим углом трехслойного графена выдерживает магнитные поля, в 2-3 раза превышающие теоретически предсказанный предел Паули для спин-синглетного спаривания, а также зафиксировали эффект возвратной сверхпроводимости на температурах, близких к абсолютному нулю. Эти и другие результаты экспериментов указывают на то, что трехслойный графен не относится к спин-синглетным сверхпроводникам — наиболее распространенным сверхпроводникам, описываемым теорией Бардина — Купера — Шриффера. Статья опубликована в Nature.
Известно множество соединений, проявляющих сверхпроводимость — свойство обладать нулевым сопротивлением ниже критической температуры. Помимо простых элементов и сплавов в этот список входят керамики, пниктиды железа, гидриды и органические соединения. Три года назад группа физиков под руководством Пабло Харильо-Эрреро (Pablo Jarillo-Herrero) из MIT обнаружила сверхпроводимость при температуре 1,7 кельвин в двухслойном графене, листы которого повернуты на магический угол в 1,1 градус. При таком скручивании слоев зависимость энергии от импульса электронов в двухслойном графене становится плоской, что позволяет им локализоваться в долинах максимального совпадения ячеек обеих решеток, которые располагаются в центрах шестиугольников муаровой сверхрешетки. Одним из преимуществ этой конструкции является возможность регулировать плотность носителей заряда в сверхпроводнике не прерывая эксперимента, что позволяет изучать фазовую диаграмму сверхпроводимости во всех подробностях. Примечательно, что своей фазовой диаграммой, а также «страннометаллическими» свойствами повернутый на магический угол двухслойный графен напоминает купраты — высокотемпературные сверхпроводники-рекордсмены при атмосферном давлении. Исследование вызвало большой резонанс в научном сообществе, вышло свыше 30 теоретических исследований первопричин сверхпроводимости в графене, а про фононную гипотезу мы писали в другом нашем материале.
Зависимость энергии электронов от импульса, муаровый узор и узлы муаровой сверхрешетки (желтые пятна) для двухслойного графена, повернутого на магический угол
Stanford Physics / Youtube
В прошлом году те же авторы исследовали сверхпроводимость трехслойного графена, причем максимальная температура сверхпроводимости 2,9 кельвин наблюдалась, когда средний слой был повернут относительно двух других на магический угол в 1,57 градуса. С точки зрения зависимости энергии электронов от импульса такая структура может быть сведена к слою уединенного графена и двухслойному графену, скрученному на магический угол трехслойного графена делить на корень из двух. Регулировка электронной структуры здесь стала шире и теперь позволяет исследовать свойства графена в зависимости от наложенного электрического поля. Более того, с помощью усовершенствованной регулировки физики смогли перевести соединение в состояние сверхсильной связи, что сделало его самым сильносвязанным из известных сверхпроводников и приблизило сверхпроводник к переходу в конденсат Бозе — Эйнштейна.
Связь электронной структуры трехслойного графена с одно- и двухслойным графеном
Khalaf et al. / Phys. Rev. B, 2019
Схема экспериментальной установки и зависимость энергии электронов от импульса в трехслойном графене при нулевом и включенном электрическом поле: фиолетовым обозначена дисперсия, соответствующая одиночному графену, оранжевым — двухслойному графену
Stanford Physics / Youtube
В большинстве сверхпроводящих материалов (в том числе тех, что описываются теорией БКШ) преобладает спин-синглетное спаривание — это значит, что спины электронов в куперовской паре направлены противоположно, причем импульсы электронов, входящих в пару, также противоположно направлены и находятся в тонком слое вблизи поверхности ферми. При включении магнитного поля возникает эффект Зеемана: энергии электронов с противоположными спинами и равными энергиями расходятся на величину, пропорциональную величине поля, что уменьшает количество куперовских пар и разрушает сверхпроводимость. Точный подсчет в теории БКШ с критической температурой Tc и множителем Ланде g=2 дает значение BP = 1.86 Tс для критического поля, при котором пропадает сверхпроводящая фаза. Такое поле называют пределом Паули.
В новой работе все та же группа ученых продолжила исследование трехслойного магически-повернутого графена и обнаружила у него непредвиденную способность преодолевать предел Паули. Для получения больших сведений о сверхпроводимости образца физики установили два электрода параллельно пластинам графена, и далее, в зависимости от подаваемого напряжения, при фиксированном значении электрической индукции D регулировали параметр заполнения ν, равный числу электронов в муаровой ячейке. Измерение сопротивления образца в зависимости от параллельно приложенного магнитного поля, температуры и параметра заполнения выявило область сверхпроводимости при 10 Тесла, что превышает лимит Паули в 2-3 раза.
Нарушение предела Паули в графене на графике зависимости сопротивления от магнитного поля, параметра заполнения и температуры
Yuan Cao, Pablo Jarillo Herrero et al. / Nature, 2021
Экспериментаторы отмечают, что нарушение предела Паули для сверхпроводников спин-синглетного типа обычно возникает за счет сильного спин-орбитального взаимодействия (взаимодействия спина электрона с его собственным орбитальным движением), которое может значительно влиять на сверхпроводящие свойства вещества, но в графене это взаимодействие в 30 раз слабее необходимого. Другой причиной завышенной резистивности к магнитному полю у спин-синглетных сверхпроводников может выступить образование пар Ларкина — Овчинникова — Фульде — Феррелла (FFLO-пара), которые, в отличие от куперовских пар, имеют ненулевой полный импульс, однако за счет такого эффекта предел Паули не может быть превышен более чем на сорок процентов (ученые наблюдали увеличение критического поля в разы). Третий вариант — превышение предела за счет сильной связи у электронов также разбивается об экспериментальные данные. Неприменимость известных механизмов для описания данного эффекта побудила авторов выдвинуть гипотезу, что в магическом трехслойном графене сверхпроводимость имеет спин-триплетный характер — электроны образуют пары с полным спином равным 1 (мы уже писали о различных механизмах сверхпроводимости в материале «Ниже критической температуры»).
Теоретически эта гипотеза может быть подкреплена следующим рассуждением. В триплетном сверхпроводнике спиновая конфигурация параметра порядка описывается комплексным вектором d, а реакция спин-триплетных состояний на внешнее магнитное поле B зависит от угла между d и B. Состояния с параллельно расположенными B и d полностью подавляются, как в случае спин-синглетной сверхпроводимости, тогда как состояния ESP (equal-spin pairing), когда вектор d лежит перпендикулярно B, совершенно не реагируют на поле. Однако и эти состояния в конечном счете разрушаются — в графеновых системах с магическим углом дополнительная спиновая степень свободы может привести к эффекту разрыва пар из-за орбитальных эффектов. Таким образом, состояние триплета ESP может быть жизнеспособным кандидатом на роль состояния, при котором допустимо большое нарушение предела Паули.
Также ученые измерили зависимость сопротивления от магнитного поля выше 5 Тесла при температурах меньше 2 кельвинов и обнаружили возвратную сверхпроводимость — явление, при котором увеличение магнитного поля приводит к разрушению сверхпроводимости, ее повторному появлению и затем к окончательному разрушению при достаточно больших полях. Более детальное исследование зависимости сопротивления от магнитного поля, электрического поля D и параметра заполнения при фиксированной температуре 0,4 кельвина выявило сложную структуру перехода: между большими областями сверхпроводимости (SC-I и SC-II) наблюдаются островки сверхпроводимости меньших размеров.
Возвратная сверхпроводимость графена на графиках зависимости сопротивления от магнитного поля, температуры и тока при фиксированном значении поля D
Yuan Cao, Pablo Jarillo Herrero et al. / Nature, 2021
Возвратная сверхпроводимость графена на графиках зависимости сопротивления от магнитного поля, температуры, поля D и параметра заполнения
Yuan Cao, Pablo Jarillo Herrero et al. / Nature, 2021
Прежде возвратная сверхпроводимость наблюдалась в соединениях урана, таких как UPt3, UGe2, UTe2. Стоит заметить, что сверхпроводимость в этих соединениях предположительно также носит спин-триплетный характер, что убеждает в правильности выдвинутой учеными гипотезы.
Сравнивая трехслойный магически-повернутый графен с другими сверхпроводниками, способными выдерживать большие магнитные поля, а также со сверхтекучим гелием-3 физики пришли к выводу, что переход между низкополевой (SC-I) и возвратной фазой (SC-II) может быть фазовым переходом первого рода, причем фазы, по-видимому, спин-триплетные и имеют разные параметры порядка. Авторы надеются, что будущие исследования дадут полную картину парных процессов в различных сверхпроводящих фазах соединения.
Ранее мы рассказывали о других необычных способностях двухслойного графена: он может превращаться в аномальный магнит, приобретать свойства алмаза и становиться полупроводником.
Елизавета Чистякова
Электронный учебник по математическому анализу
3.1 Предел последовательности
3.n$ не имеет предела.
Определение. Говорят, что последовательность $a_n$ имеет пределом $+\infty$, если для любого $A>0$ существует такое $N$, что при всех $n>N$ выполняется неравенство $a_n>A$.
Обозначение. Этот факт обозначают
\[
\lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=+\infty,
\]
или
\[
a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} +\infty.
\]
Аналогично определяется ситуация, когда $ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=-\infty$.
Определение. Если предел последовательности равен $0$, последовательность называют бесконечно малой. Если предел последовательности равен $\infty$, последовательность называют бесконечно большой.
Теорема. Пусть последовательность $a_n$ имеет конечный предел. Тогда $a_n$ — ограниченная последовательность.
Доказательство.
Возьмем какое-нибудь $\varepsilon >0$. Согласно определению предела, существует такое $N$, что при всех $n>N$ выполняется $|a_n-A|
Теорема. Пусть последовательность $a_n$ имеет конечный предел $A$,
\[
a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} A.
\]
Тогда последовательность $b_n=(a_n-A)$ является бесконечно малой.
Теорема. Последовательность может иметь только один предел.
Доказательство.
Предположим, что последовательность имеет два предела,
\[
a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} A,
\]
\[
a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} B,
\]
$A \neq B$. Будем для определенности считать, что числа $A$ и $B$ конечные. Возьмем $\varepsilon = |A-B|/3$.
Согласно определению предела, найдется такое $N_1$, что при $n >N_1$ выполняется $A-\varepsilon
По тем же причинам найдется $N_2$ такое, что при $n>N_2$ выполняется $B-\varepsilon
Тогда при $n>max(N_1,N_2)$ выполняются оба набора неравенств, что невозможно — отрезки $(A-\varepsilon,A+\varepsilon)$, $(B-\varepsilon,B+\varepsilon)$ не пересекаются. ч.т.д.
3.1.2 Арифметика пределов
Здесь приведена серия теорем, описывающая предел суммы, произведения и частного последовательностей, имеющих конечный предел.
причем $A$ и $B$ — конечные числа. Тогда последовательность $(a_n+b_n)$ имеет конечный предел, причем
\[
\lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n+b_n)=A+B.
\]
Доказательство.
Возьмем произвольное число $\varepsilon >0 $. Согласно определению предела, существует такое $N_1$, что при всех $n>N_1$ выполняется:
\begin{equation}
|a_n-A|
По тем же причинам существует такое $N_2$, что при всех $n>N_2$ выполняется:
\begin{equation}
|b_n-B|
Пусть $N=max(N_1,N_2)$. Тогда при всех $n>N$ выполняются неравенства (1) и (2). Используя неравенство треугольника, получаем: при всех $n>N$ выполняется
\begin{equation}
|(a_n+b_n)-(A+B)|
\[ \varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon.(3)\]
причем $A$ и $B$ — конечные числа, $B \neq 0$. Тогда последовательность $(a_n / b_n)$ имеет конечный предел, причем
\[
\lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n / b_n)=A / B.
\]
Теорема. Пусть при всех $n$ выполняется $a_n
Тогда $A \leq M$ (переход в неравенствах к пределу).
Замечание. Разумеется, существуют аналоги этих теорем и в том случае, когда один из пределов (или оба предела) бесконечен.
Контрольный вопрос.
Сформулируйте теорему о пределе суммы, если одна из последовательностей имеет конечный предел, вторая — бесконечный.
3.1.3 Арифметика бесконечно малых
Теорема. Пусть $a_n$, $b_n$ — бесконечно малые при $n \rightarrow +\infty$. Тогда $(a_n+b_n)$ — бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.
Теорема. Пусть $a_n$ — бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$, $b_n$ — ограниченная последовательность. Тогда $a_n\cdot b_n$ — бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.
Теорема. Пусть $a_n$ — бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$,
\[
\lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B,
\]
причем $B$ — конечное число, $B \neq 0$. Тогда последовательность $(a_n / b_n)$ бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.
Определение. Бесконечно малые $a_n$, $b_n$ называются эквивалентными, если существует предел
\[
\lim _{n\rightarrow +\infty}a_n/b_n=\theta,
\]
причем $\theta \neq 0$, $\theta \neq \pm \infty$. Этот факт обозначают следующим образом: $a_n \sim b_n$ при $n \rightarrow +\infty$.
3.1.4 Признаки существования пределов
Следующие теоремы указывают условия, при которых последовательность имеет предел.
Теорема. Пусть $a_n$ — монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху. Тогда она имеет конечный предел.
Следствие. Если $a_n$ — монотонно возрастающая последовательность, она имеет пределом либо $=+\infty$, либо конечное число.
Соответственно, для монотонно убывающей последовательности.
Теорема. Пусть $a_n$ — монотонно убывающая последовательность, ограниченная снизу. Тогда она имеет конечный предел.
Теорема. Пусть для всех $n$ выполняются неравенства $a_n\leq b_n \leq c_n$, и
\[
\lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}c_n=A.
\]
Тогда $b_n$ также имеет предел, причем
\[
\lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=A.
\]
Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность $a_n$ имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого $ \varepsilon >0$ существовало такое $N$, что при всех $m,n>N$ выполнялось $|a_n-a_m|
3.1.5 Вычисление пределов
Здесь мы приведем несколько примеров вычисления пределов последовательностей. При этом мы используем приведенные выше теоремы об арифметике пределов.{-1}$. ч.т.д.
Внеклассный урок — Предел последовательности. Виды последовательности.
Предел последовательности
Предел последовательности – это число, в окрестности которой содержатся все члены последовательности.
Пример: Пределом последовательности чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 и т.д. является 0. Пояснение: ряд чисел стремится к нулю и ниже нуля не опустится.
Не любая последовательность имеет предел. К примеру, последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. бесконечна и не имеет предела.
Свойство последовательности иметь или не иметь предел называется сходимостью. Если у последовательности есть предел, то говорят, что она сходится. Если у последовательности нет предела, то говорят, что она расходится.
Случай, когда последовательность не имеет предела.
Если |q| > 1, то последовательность yn = qn расходится и не имеет предела.
Пример: Пусть q = 3. Тогда мы можем создать следующую последовательность чисел:
32; 33; 34; 35; 36; 37 и т.д. Ряд стремится к бесконечности. Предела нет.
Виды последовательности.
Последовательность (yn) называется ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.
Для любого n выполняется неравенство yn ≥ m
Последовательность (yn) называется ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.
Для любого n выполняется неравенство yn ≤ М
Если каждый член последовательности yn больше предыдущего, то это возрастающая последовательность.
Если а > 1, то последовательность yn = an возрастает.
Пример: y1 < y2 < y3 < y4 < y5…
Если каждый член последовательности меньше предыдущего, то это убывающая последовательность.
Если 0 < a < 1, то последовательность убывает.
Пример: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…
Теорема.
Если lim xn = b, lim yn = c, то n→∞ n→∞
1) предел суммы равен сумме пределов:
lim (xn + yn) = b + c n→∞
2) предел произведения равен произведению пределов:
lim (xn yn) = bc n→∞
3) предел частного равен частному пределов:
lim (xn/yn) = b/c, при c ≠ 0 n→∞
4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:
Если предел последовательности равен 0, сходится ли ряд?
Это часть серии о распространенных заблуждениях.
Какое распространенное заблуждение?
Если члены последовательности становятся все меньше и меньше, гарантировано ли, что сумма всей последовательности будет некоторым конечным числом? Например, этот простой ряд, который приближается к 000, имеет сумму, сходящуюся к 2:
Почему некоторые люди говорят, что это правда: Когда члены складываемой последовательности становятся все ближе и ближе к 0, сумма сходится к некоторому определенному конечному значению. Следовательно, пока условия становятся достаточно маленькими, сумма не может расходиться.
Почему некоторые говорят, что это ложь: Сумма не сходится только потому, что ее члены очень малы.
Выявите правильный ответ: \ color {# 20A900} {\ text {Выявите правильный ответ:}} Выявите правильный ответ:
Утверждение, что limn → ∞an = 0 ⟹ ∑n = 1∞an <∞ \ lim \ limits_ {n \ rightarrow \ infty} a_n = 0 \, подразумевает \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty } a_n <\ infty n → ∞lim an = 0⟹n = 1∑∞ an <∞ является ложным \ color {# D61F06} {\ textbf {false}} ложным.{N} \ frac {1} {n} n = 1∑N n1 расходится при N → ∞.N \ rightarrow \ infty.N → ∞. (См. Доказательство здесь.)
Контрпример 2: Мы также можем целенаправленно построить ряд, который совершенно очевидно не будет сходиться к конечной сумме, хотя расширенные члены ряда произвольно близки к 0. Рассмотрим этот ряд:
Ответ: Да, одна из первых вещей, которые вы узнаете о бесконечных рядах, это то, что если члены ряда не приближаются к нулю, то ряды не могут сходиться. Это правда. Однако противоположное утверждение неверно: как доказано выше, даже если члены ряда приближаются к нулю, это не гарантирует, что сумма сходится.
Существует также правильный способ «перевернуть» утверждение в вашем заявлении, но это синтаксическое обращение, создание второго утверждения, которое логически эквивалентно первому. Утверждение «если члены ряда не приближаются к нулю, тогда ряд, возможно, не может сходиться» логически эквивалентно утверждению о том, что «если ряд сходится, то гарантируется, что члены ряда приближаются к нулю». Более формально,
∑n = 1Nan сходится при N → ∞ ⟹ limn → ∞an = 0.{N} a_ {n} \ text {сходится как} N \ rightarrow \ infty \ подразумевает \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0.n = 1∑N an сходится как N → ∞⟹n → ∞lim an = 0.
Если ваш учитель сказал, что «обратное» исходное утверждение также верно, то, вероятно, он имел в виду именно такой поворот.
111 222 2π2 \ pi2π Не сходится
Обратите внимание, что 1n → 0 \ frac {1} {n} \ rightarrow 0n1 → 0 при n → ∞. 2
8.1: Последовательности — математика LibreTexts
В этом разделе мы вводим последовательности и определяем, что это означает для последовательности сходиться или расходиться. Мы показываем, как найти пределы сходящихся последовательностей, часто используя свойства пределов для функций, которые обсуждались ранее. Мы завершаем этот раздел теоремой о монотонной сходимости, инструментом, который мы можем использовать для доказательства сходимости определенных типов последовательностей.
Терминология последовательностей
Чтобы работать с этой новой темой, нам нужны новые термины и определения.∞_n = 1, \]
или просто \ (\ displaystyle {a_n} \) для обозначения этой последовательности. Аналогичное обозначение используется для наборов, но последовательность — это упорядоченный список, а набор — неупорядоченный. Поскольку конкретное число \ (\ displaystyle a_n \) существует для каждого положительного целого числа \ (\ displaystyle n \), мы также можем определить последовательность как функцию, домен которой является набором положительных целых чисел.
Рассмотрим бесконечный упорядоченный список
\ [\ displaystyle 2,4,8,16,32,…. \]
Это последовательность, в которой первый, второй и третий члены задаются как \ (\ displaystyle a_1 = 2, a_2 = 4, \) и \ (\ displaystyle a_3 = 8.n}. \]
В качестве альтернативы, мы можем описать эту последовательность по-другому. Поскольку каждый член в два раза больше предыдущего, эту последовательность можно определить рекурсивно, выразив \ (\ displaystyle nth \) термин \ (\ displaystyle a_n \) через предыдущий термин \ (\ displaystyle a_ {n − 1} \ ). В частности, мы можем определить эту последовательность как последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \), где \ (\ displaystyle a_1 = 2 \) и для всех \ (\ displaystyle n≥2 \), каждый термин an определяется повторение отношение
\ [\ Displaystyle a_n = 2a_ {n-1}.\]
Определение: бесконечная последовательность
Бесконечная последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) — это упорядоченный список чисел в форме
\ (\ Displaystyle a_1, a_2,…, a_n,…. \)
Нижний индекс \ (\ displaystyle n \) называется индексной переменной последовательности. Каждое число \ (\ displaystyle a_n \) является членом последовательности. Иногда последовательности определяются явными формулами, в этом случае \ (\ displaystyle a_n = f (n) \) для некоторой функции \ (\ displaystyle f (n) \), определенной над положительными целыми числами.В других случаях последовательности определяются с использованием отношения повторения . В рекуррентном отношении один член (или несколько) последовательности задается явно, а последующие термины определяются в терминах более ранних терминов в последовательности.
Обратите внимание, что индекс не обязательно должен начинаться с \ (\ displaystyle n = 1 \), но может начинаться с других целых чисел. Например, последовательность, заданная явной формулой \ (\ displaystyle a_n = f (n) \), может начинаться с \ (\ displaystyle n = 0 \), и в этом случае последовательность будет
\ [\ displaystyle a_0, a_1, a_2,….\]
Аналогичным образом, для последовательности, определенной рекуррентным соотношением, термин \ (\ displaystyle a_0 \) может быть задан явно, а термины \ (\ displaystyle a_n \) для \ (\ displaystyle n≥1 \) могут быть определены в члены \ (\ Displaystyle a_ {n − 1} \). Поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) имеет ровно одно значение для каждого положительного целого числа \ (\ displaystyle n \), ее можно описать как функцию, домен которой является набором положительных целых чисел. В результате имеет смысл обсудить график последовательности.п \)}.
Часто встречаются два типа последовательностей, которым даны специальные названия: арифметические последовательности и геометрические последовательности. В арифметической последовательности разница между каждой парой следующих друг за другом членов одинакова. Например, рассмотрим последовательность
\ [\ Displaystyle 3,7,11,15,19, \ ldots \]
Вы можете видеть, что разница между каждой последовательной парой терминов равна \ (\ displaystyle 4 \). Если предположить, что этот шаблон продолжается, эта последовательность является арифметической последовательностью. Его можно описать с помощью рекуррентного соотношения
\ [\ displaystyle \ begin {cases} a_1 = 3 \\ a_n = a_ {n − 1} + 4 & для n≥2 \ end {cases}.\]
Найдите явную формулу для последовательности, определенной рекурсивно, такой что \ (\ displaystyle a_1 = −4 \) и \ (\ displaystyle a_n = a_ {n − 1} +6 \).
Подсказка
Это арифметическая последовательность.
Ответ
\ (\ Displaystyle a_n = 6n − 10 \)
Предел последовательности
Фундаментальный вопрос, который возникает в отношении бесконечных последовательностей, — это поведение членов при увеличении \ (\ displaystyle n \).Поскольку последовательность — это функция, определенная на положительных целых числах, имеет смысл обсудить предел терминов как \ (\ displaystyle n → ∞ \). Например, рассмотрим следующие четыре последовательности и их различное поведение как \ (\ displaystyle n → ∞ \) (Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)):
а. \ (\ displaystyle {1 + 3n} = {4,7,10,13,…}. \) Термы \ (\ displaystyle 1 + 3n \) становятся произвольно большими, как \ (\ displaystyle n → ∞ \). В этом случае мы говорим, что \ (\ displaystyle 1 + 3n → ∞ \) как \ (\ displaystyle n → ∞. \)
г.n} {n} → 0 \) как \ (\ displaystyle n → ∞. \)
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): (a) члены в последовательности становятся произвольно большими, как \ (\ displaystyle n → ∞ \). (b) Термины в последовательном подходе \ (\ displaystyle 1 \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). (c) Термины в последовательности чередуются между \ (\ displaystyle 1 \) и \ (\ displaystyle −1 \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). (d) Члены в последовательности чередуются между положительными и отрицательными значениями, но приближаются к \ (\ displaystyle 0 \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \).
Из этих примеров мы видим несколько возможностей поведения членов последовательности как \ (\ displaystyle n → ∞ \).В двух последовательностях члены приближаются к конечному числу, как \ (\ displaystyle n → ∞. \). В двух других последовательностях члены этого не делают. Если члены последовательности приближаются к конечному числу \ (\ displaystyle L \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \), мы говорим, что последовательность является сходящейся последовательностью, а действительное число L является пределом последовательности. Мы можем дать здесь неформальное определение.
Определение: сходящиеся и расходящиеся последовательности
Учитывая последовательность \ (\ displaystyle {a_n}, \), если члены an становятся сколь угодно близкими к конечному числу \ (\ displaystyle L \), когда n становится достаточно большим, мы говорим, что \ (\ displaystyle {a_n} \) равно сходящаяся последовательность и \ (\ displaystyle L \) — это предел последовательности.n} \) — сходящаяся последовательность, и ее предел равен \ (\ displaystyle 1 \). Напротив, из рисунка мы видим, что члены в последовательности \ (\ displaystyle 1 + 3n \) не приближаются к конечному числу, поскольку \ (\ displaystyle n \) становится больше. Мы говорим, что \ (\ displaystyle {1 + 3n} \) — расходящаяся последовательность.
В неформальном определении предела последовательности мы использовали термины «произвольно близкие» и «достаточно большие». Хотя эти фразы помогают проиллюстрировать значение сходящейся последовательности, они несколько расплывчаты.Чтобы быть более точным, мы теперь представляем более формальное определение предела для последовательности и графически показываем эти идеи на рисунке.
Определение: конвергенция
Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к действительному числу \ (\ displaystyle L \), если для всех \ (\ displaystyle ε> 0 \) существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что \ (\ Displaystyle | a_n-L | <ε \), если \ (\ Displaystyle n≥N \). Число \ (\ displaystyle L \) является пределом последовательности, и мы пишем
\ [\ lim_ {n → ∞} a_n = Lora_n → L.\]
В этом случае мы говорим, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) является сходящейся последовательностью. Если последовательность не сходится, это расходящаяся последовательность, и мы говорим, что предела не существует.
Мы отмечаем, что сходимость или расхождение последовательности \ (\ displaystyle {a_n} \) зависит только от того, что происходит с членами \ (\ displaystyle a_n \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). Следовательно, если конечное число терминов \ (\ displaystyle b_1, b_2,…, b_N \) помещается перед \ (\ displaystyle a_1 \) для создания новой последовательности
\ [\ displaystyle b_1, b_2,…, b_N, a_1, a_2,…, \]
эта новая последовательность будет сходиться, если \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится, и расходиться, если \ (\ displaystyle {a_n} \) расходится.Кроме того, если последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), эта новая последовательность также сходится к \ (\ displaystyle L \).
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): по мере увеличения \ (\ displaystyle n \) термины \ (\ displaystyle a_n \) становятся ближе к \ (\ displaystyle L \). Для значений \ (\ displaystyle n≥N \) расстояние между каждой точкой \ (\ displaystyle (n, a_n) \) и линией \ (\ displaystyle y = L \) меньше \ (\ displaystyle ε \ ).
Как определено выше, если последовательность не сходится, говорят, что это расходящаяся последовательность.n} \) расходится, потому что термины чередуются между \ (\ displaystyle 1 \) и \ (\ displaystyle −1 \), но не приближаются к одному значению как \ (\ displaystyle n → ∞ \). С другой стороны, последовательность \ (\ displaystyle {1 + 3n} \) расходится, потому что члены \ (\ displaystyle 1 + 3n → ∞ \) как \ (\ displaystyle n → ∞ \). Мы говорим, что последовательность \ (\ displaystyle {1 + 3n} \) расходится до бесконечности, и пишем \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} (1 + 3n) = ∞ \). Важно понимать, что это обозначение не означает, что существует предел последовательности \ (\ displaystyle {1 + 3n} \).На самом деле последовательность расходится. Запись о том, что предел равен бесконечности, предназначена только для предоставления дополнительной информации о том, почему последовательность расходится. Последовательность также может расходиться до отрицательной бесконечности. Например, последовательность \ (\ displaystyle {−5n + 2} \) расходится к отрицательной бесконечности, потому что \ (\ displaystyle −5n + 2 → −∞ \) как \ (\ displaystyle n → −∞ \). Мы записываем это как \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} (- 5n + 2) = → −∞. \)
Поскольку последовательность — это функция, домен которой является набором положительных целых чисел, мы можем использовать свойства пределов функций, чтобы определить, сходится ли последовательность.Например, рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) и связанную функцию \ (\ displaystyle f \), определенную для всех положительных действительных чисел, такую, что \ (\ displaystyle f (n) = a_n \) для всех целых чисел \ (\ Displaystyle п≥1 \). Поскольку домен последовательности является подмножеством области \ (\ displaystyle f \), если существует \ (\ displaystyle \ lim_ {x → ∞} f (x) \), то последовательность сходится и имеет тот же предел . Например, рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {\ dfrac {1} {n}} \) и связанную функцию \ (\ displaystyle f (x) = \ dfrac {1} {x} \).Поскольку функция \ (\ displaystyle f \), определенная для всех действительных чисел \ (\ displaystyle x> 0 \), удовлетворяет \ (\ displaystyle f (x) = \ dfrac {1} {x} → 0 \) как \ (\ displaystyle x → ∞ \), последовательность \ (\ displaystyle {\ dfrac {1} {n}} \) должна удовлетворять \ (\ displaystyle \ dfrac {1} {n} → 0 \) как \ (\ displaystyle n → ∞. \)
Предел последовательности, определяемой функцией
Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) такую, что \ (\ displaystyle a_n = f (n) \) для всех \ (\ displaystyle n≥1 \). Если существует такое вещественное число \ (\ displaystyle L \), что
\ [\ Displaystyle \ lim_ {х → ∞} е (х) = L, \]
, тогда \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится и
\ [lim_ {n → ∞} a_n = L.n} \) сходится к \ (\ displaystyle 0 + 0 = 0 \). Так же, как мы смогли оценить предел, включающий алгебраическую комбинацию функций \ (\ displaystyle f \) и \ (\ displaystyle g \), посмотрев на пределы \ (\ displaystyle f \) и \ (\ displaystyle g \ ) (см. Введение в пределы), мы можем оценить предел последовательности, члены которой представляют собой алгебраические комбинации \ (\ displaystyle a_n \) и \ (\ displaystyle b_n \), оценивая пределы \ (\ displaystyle {a_n } \) и \ (\ displaystyle {b_n} \).
Алгебраические предельные законы
Данные последовательности \ (\ displaystyle {a_n} \) и \ (\ displaystyle {b_n} \) и любое действительное число \ (\ displaystyle c \), если существуют константы \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \) такая, что \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_n = A \) и \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} b_n = B \), то
\ (\ Displaystyle \ lim_ {п → ∞} с = с \)
\ (\ Displaystyle \ lim_ {n → ∞} ca_n = с \ lim_ {n → ∞} a_n = cA \)
Пусть \ (\ Displaystyle ϵ> 0 \). Поскольку \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_n = A \), существует постоянное положительное целое число \ (\ displaystyle N_1 \) такое, что для всех \ (\ displaystyle n≥N_1 \). Поскольку \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} b_n = B \), существует константа \ (\ displaystyle N_2 \) такая, что \ (\ displaystyle | b_n − B | <ε / 2 \) для всех \ ( \ Displaystyle п≥N_2 \). Пусть \ (\ displaystyle N \) будет наибольшим из \ (\ displaystyle N_1 \) и \ (\ displaystyle N_2 \).x] = \ lim_ {x → ∞} xln (1+ \ dfrac {4} {x}) \).
Поскольку правая часть этого уравнения имеет неопределенную форму \ (\ displaystyle ∞⋅0 \), перепишите ее как дробь, чтобы применить правило Л’Опиталя. Напишите
Последовательность сходится, и ее предел равен \ (\ displaystyle 0 \)
Напомним, что если \ (\ displaystyle f \) является непрерывной функцией со значением \ (\ displaystyle L \), то \ (\ displaystyle f (x) → f (L) \) как \ (\ displaystyle x → L \).2})} = \ sqrt {5}. \]
Непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях
Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) и предположим, что существует действительное число \ (\ displaystyle L \) такое, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \). Предположим, \ (\ displaystyle f \) — непрерывная функция в \ (\ displaystyle L \). Тогда существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что \ (\ displaystyle f \) определено для всех значений an для \ (\ displaystyle n≥N \), и последовательность \ (\ displaystyle {f (a_n) } \) сходится к \ (\ displaystyle f (L) \) (Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)).
Рис. \ (\ PageIndex {4} \): Поскольку \ (\ displaystyle f \) является непрерывной функцией, поскольку входы \ (\ displaystyle a_1, a_2, a_3,… \) подход \ (\ displaystyle L \), выходы \ (\ displaystyle f (a_1), f (a_2), f (a_3),… \) подход \ (\ displaystyle f (L) \).
Проба
Пусть \ (\ displaystyle ϵ> 0. \) Поскольку \ (\ displaystyle f \) непрерывен в \ (\ displaystyle L \), существует \ (\ displaystyle δ> 0 \) такое, что \ (\ displaystyle | f (Икс) −f (L) | <ε \), если \ (\ Displaystyle | x − L | <δ \). Поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), существует \ (\ displaystyle N \) такая, что \ (\ displaystyle | a_n − L | <δ \) для всех \ ( \ Displaystyle п≥N \).2}) = cos (0) = 1. \)
Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)
Определите, сходится ли последовательность \ (\ displaystyle {\ sqrt {\ dfrac {2n + 1} {3n + 5}}} \). Если он сходится, найдите его предел.
Последовательность сходится, и ее предел равен \ (\ displaystyle \ sqrt {2/3} \).
Другая теорема, касающаяся пределов последовательностей, является расширением теоремы сжатия для пределов, обсуждаемых во введении в пределы.
Теорема сжатия для последовательностей
Рассмотрим последовательности \ (\ displaystyle {a_n}, {b_n}, \) и \ (\ displaystyle {c_n} \). Предположим, существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что
\ [\ displaystyle a_n≤b_n≤c_n \) для всех \ (\ displaystyle n≥N. \]
Если существует действительное число \ (\ displaystyle L \) такое, что
, тогда \ (\ displaystyle {b_n} \) сходится и \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} b_n = L \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).
Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): каждый член bn удовлетворяет \ (\ displaystyle a_n≤b_n≤c_n \), а последовательности \ (\ displaystyle {a_n} \) и \ (\ displaystyle {c_n} \) сходятся к тот же предел, поэтому последовательность \ (\ displaystyle {b_n} \) также должна сходиться к тому же пределу.
Проба
Пусть \ (\ displaystyle ε> 0. \) Поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), существует целое число \ (\ displaystyle N_1 \) такое, что \ (\ displaystyle | a_n − L | <ε \) для всех \ (\ displaystyle n≥N_1 \).Точно так же, поскольку \ (\ displaystyle {c_n} \) сходится к \ (\ displaystyle L \), существует целое число \ (\ displaystyle N_2 \) такое, что \ (\ displaystyle | c_n − L | <ε \) для всех \ (\ Displaystyle п≥N_2 \). По предположению существует целое число \ (\ displaystyle N \) такое, что \ (\ displaystyle a_n≤b_n≤c_n \) для всех \ (\ displaystyle n≥N \). Пусть \ (\ displaystyle M \) будет наибольшим из \ (\ displaystyle N_1, N_2 \) и \ (\ displaystyle N \). Мы должны показать, что \ (\ displaystyle | b_n − L | <ε \) для всех \ (\ displaystyle n≥M \). Для всех \ (\ displaystyle n≥M \),
Теперь обратим наше внимание на одну из наиболее важных теорем, касающихся последовательностей: теорему о монотонной сходимости. Прежде чем сформулировать теорему, нам нужно ввести некоторую терминологию и мотивацию. Начнем с определения того, что означает ограниченность последовательности.
Определение: Связанные последовательности
Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) имеет значение , ограниченное выше , если существует действительное число \ (\ displaystyle M \) такое, что
\ (\ Displaystyle a_n≤M \)
для всех положительных целых чисел \ (\ displaystyle n \).
Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) имеет значение , ограниченное ниже , если существует действительное число \ (\ displaystyle M \) такое, что
\ (\ Displaystyle M≤a_n \)
для всех положительных целых чисел \ (\ displaystyle n \).
Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) — это ограниченная последовательность , если она ограничена сверху и ограничена снизу.
Если последовательность не ограничена, это неограниченная последовательность .
Например, последовательность \ (\ displaystyle {1 / n} \) ограничена выше, потому что \ (\ displaystyle 1 / n≤1 \) для всех положительных целых чисел \ (\ displaystyle n \).n} \) — неограниченная последовательность.
Теперь обсудим связь между ограниченностью и сходимостью. Предположим, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) неограничена. Тогда он не ограничен сверху, не ограничен снизу или и тем, и другим. В любом случае есть члены, произвольно большие по величине по мере того, как \ (\ displaystyle n \) становится больше. В результате последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) не может сходиться. Следовательно, ограниченность — необходимое условие сходимости последовательности.
Сходящиеся последовательности ограничены
Если последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится, то она ограничена.n} \) ограничен, но последовательность расходится, потому что последовательность колеблется между \ (\ displaystyle 1 \) и \ (\ displaystyle −1 \) и никогда не приближается к конечному числу. Теперь обсудим достаточное (но не необходимое) условие сходимости ограниченной последовательности.
Рассмотрим ограниченную последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \). Предположим, что последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) увеличивается. То есть \ (\ displaystyle a_1≤a_2≤a_3…. \) Поскольку последовательность увеличивается, члены не колеблются. Следовательно, есть две возможности.Последовательность могла расходиться до бесконечности, а могла сходиться. Однако, поскольку последовательность ограничена, она ограничена сверху и последовательность не может расходиться до бесконечности. Мы заключаем, что \ (\ displaystyle {a_n} \) сходится. Например, рассмотрим последовательность
Несмотря на то, что последовательность не увеличивается для всех значений \ (\ displaystyle n \), мы видим, что \ (\ displaystyle -1/2 <-1/3 <-1/4 <⋯ \). Следовательно, начиная с восьмого члена \ (\ displaystyle a_8 = −1 / 2 \), последовательность увеличивается. В этом случае мы говорим, что последовательность в конечном итоге увеличивается. Поскольку последовательность ограничена сверху, она сходится. Верно также и то, что если последовательность убывает (или со временем убывает) и ограничена снизу, она также сходится.
Определение
Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) увеличивается для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), если
\ (\ displaystyle a_n≤a) n + 1 \) для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \).
Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) уменьшается для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), если
\ (\ displaystyle a_n≥a_ {n + 1} \) для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \).
Последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) — это монотонная последовательность для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), если она увеличивается для всех \ (n≥n_0 \) или уменьшается для всех \ (\ Displaystyle п≥n_0 \).
Теперь у нас есть необходимые определения, чтобы сформулировать теорему о монотонной сходимости, которая дает достаточное условие сходимости последовательности.
Определение: теорема о монотонной сходимости
Если \ (\ displaystyle {a_n} \) является ограниченной последовательностью и существует такое положительное целое число n0, что \ (\ displaystyle {a_n} \) является монотонным для всех \ (\ displaystyle n≥n_0 \), то \ ( \ displaystyle {a_n} \) сходится.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки этого текста. Вместо этого мы предоставляем график, чтобы интуитивно показать, почему эта теорема имеет смысл (рис. \ (\ PageIndex {6} \)).
Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): поскольку последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \) возрастает и ограничена сверху, она должна сходиться.n} {n!} = \ dfrac {4} {n + 1} ⋅a_n≤a_n \), если \ (\ displaystyle n≥3. \)
Следовательно, последовательность убывает для всех \ (\ displaystyle n≥3 \). Кроме того, последовательность ограничена внизу \ (\ displaystyle 0 \), потому что \ (\ displaystyle 4n / n! ≥0 \) для всех положительных целых чисел \ (\ displaystyle n \). Следовательно, по теореме о монотонной сходимости последовательность сходится.
Чтобы найти предел, мы используем тот факт, что последовательность сходится, и пусть \ (\ displaystyle L = \ lim_ {n → ∞} a_n \). Обратите внимание на это важное наблюдение.Рассмотрим \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} a_ {n + 1} \). С
единственное различие между последовательностями \ (\ displaystyle {a_ {n + 1}} \) и \ (\ displaystyle {a_n} \) состоит в том, что \ (\ displaystyle {a_ {n + 1}} \) опускает первую срок. Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость последовательности,
Поскольку \ (\ displaystyle {a_n} \) ограничено снизу и убывает по теореме о монотонной сходимости, он сходится.
Чтобы найти предел, пусть \ (\ displaystyle L = \ lim_ {n → ∞} a_n \).2 = 1 \), что означает \ (\ Displaystyle L = ± 1 \). Поскольку все члены положительны, предел \ (\ displaystyle L = 1 \).
Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)
Рассмотрим последовательность \ (\ displaystyle {a_n} \), определенную рекурсивно, так что \ (\ displaystyle a_1 = 1 \), \ (\ displaystyle a_n = a_ {n − 1} / 2 \). Используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что эта последовательность сходится, и найдите ее предел.
Подсказка
Показать, что последовательность убывает и ограничена снизу.
Ответ
\ (\ Displaystyle 0 \).
Определение: числа Фибоначчи
Число Фибоначчи определяется рекурсивно последовательностью \ (\ displaystyle {F_n} \), где \ (\ displaystyle F_0 = 0, F_1 = 1 \) и для \ (\ displaystyle n≥2, \)
Число \ (\ displaystyle ϕ = (1+ \ sqrt {5}) / 2 \) известно как золотое сечение (рисунок и рисунок).
Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Семена подсолнечника имеют спиральные узоры, изгибающиеся влево и вправо.Количество спиралей в каждом направлении всегда является числом Фибоначчи — всегда. (кредит: модификация работы Эсдраса Кальдерана, Wikimedia Commons) Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): пропорция золотого сечения встречается во многих известных образцах искусства и архитектуры. Древнегреческий храм, известный как Парфенон, был спроектирован с такими пропорциями, и соотношение снова проявляется во многих мелких деталях. (кредит: модификация работы TravelingOtter, Flickr).
Предел, Предел последовательности
Мы уже знаем, что такое арифметическая и геометрическая прогрессия —
последовательность значений.Возьмем последовательность a n = 1 / n, если k
и м
натуральные числа, тогда для каждого k истинно a k > a m , так как
чем меньше становится, тем меньше становится n и он всегда положительный, но никогда не достигает нуля. В этом случае мы говорим, что 0 — это , предел n-> ∞ если n-> ∞, или другой
способ записать это lim n-> ∞ a n = 0.
Определение предела
Число a называется пределом последовательности,
если для любого ε> 0 можно найти число
n ε ,
так что для всех членов последовательности a n с индексом n> n ε верно, что a — ε n.
Основное правило
Если lim n-> ∞ a n = a, a n -> a a n — a -> 0 | a n — a | -> 0
Последовательность не всегда имеет предел, а иногда и нереальный предел (-∞ или + ∞).
Пределы + ∞ и -∞ называются нереальными пределами.
Если обе последовательности a n и b n имеют реальные пределы, то
последовательности a n + b n ,
a n — b n , a n .b n и a n / b n также имеют реальный предел и:
lim n -> ∞ (a n + b n ) = lim n -> ∞ a n + lim n -> ∞ b n lim n -> ∞ (a n — b n ) = lim n -> ∞ a n — lim n -> ∞ b n lim n -> ∞ (a n . b n ) = lim n -> ∞ a n .lim n -> ∞ b n lim n -> ∞ (a n / b n ) = lim n -> ∞ a n / lim n -> ∞ b n если b n ≠ 0 и lim n-> ∞ b n ≠ 0
Если a n n для каждого натурального n
и lim n-> ∞ a n = a, lim n-> ∞ b n = b
тогда a ≤ b
Если a n ≤ b n ≤ c n или каждое действительное
n и если lim n-> ∞ a n = lim n-> ∞ c n = A , то lim n-> ∞ b n = A.
Если a n ≥ 0 и lim n-> ∞ a n = a,
тогда последовательность b n = √a n также имеет предел и lim n-> ∞ √a n = √a n .
Если n = 1 / n k и
k ≥ 1, тогда lim n-> ∞ a n = 0.
Если -1 n-> ∞q n = 0.
lim n-> ∞ (1 — 1 / n) n = lim n-> ∞ (1 + 1 / n) n + 1 = e (1 + 1 / n) n п-1
е — число Непер.
Если последовательность a n имеет нереальный предел (-∞
или + ∞)
тогда последовательность 1 / a n имеет предел и
lim n-> ∞ 1 / a n = 0
Если последовательности a n и b n имеют нереальные пределы и lim n-> ∞ a n = + ∞,
lim n-> ∞ b n = + ∞, тогда:
lim n-> ∞ (a n + b n ) = + ∞ lim n-> ∞ (a n .b n ) = + ∞ lim n-> ∞ a n k = + ∞, если k> 0 lim n-> ∞ a n k = 0; если k
lim n-> ∞ -a n = -∞
Лим проблемы
Упражнение 1: Если n = 5,4 n , lim n-> 0 a n =?
Ответ: lim n-> 0 a n = lim n-> 0 5.lim n-> 0 4 n = 5. 4 0 = 5,1 = 5
Упражнение 2:
Если n =
, тогда lim n-> ∞a n =?
Ответ:
lim n-> ∞
= lim n-> ∞
.
= lim n-> ∞
= -3
Упражнение 3:
Ответ:
lim a n -> 1 =
=
lim a n -> ∞
=
= lim a n -> 1 (2a n + 1) = 3
Предел графопостроителя
Подробнее о lim на математическом форуме
Регистрация на форуме
Конвергенция в распределении
7.2.4 Конвергенция в распределении
Сходимость распределения — это в некотором смысле самый слабый тип сходимости. Все, что он говорит, это то, что CDF $ X_n $ сходится к CDF $ X $, когда $ n $ стремится к бесконечности. Не требует какой-либо зависимости между $ X_n $ и $ X $.
Мы видели подобную сходимость раньше, когда обсуждали центральную предельную теорему. Чтобы сказать, что $ X_n $ сходится по распределению к $ X $, мы пишем
\ begin {align}% \ label {eq: union-bound}
X_n \ \ xrightarrow {d} \ X.\ end {align}
Вот формальное определение сходимости в распределении:
Конвергенция в распределении
Последовательность случайных величин $ X_1 $, $ X_2 $, $ X_3 $, $ \ cdots $ сходится в распределении к случайной величине $ X $, показанной $ X_n \ \ xrightarrow {d} \ X $, если
\ begin {align}% \ label {eq: union-bound}
\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} F_ {X_n} (x) = F_X (x),
\ end {align}
для всех $ x $, при которых $ F_X (x) $ непрерывно. {nx} & \ quad x> 0 \\
& \ quad \\
0 & \ quad \ text {в противном случае}
\ end {array} \ right.{-Икс}\\
& = F_X (x), \ qquad \ textrm {для всех} x.
\ end {align}
Таким образом, мы заключаем, что $ X_n \ \ xrightarrow {d} \ X $.
При работе с целочисленными случайными величинами часто бывает полезна следующая теорема.
Теорема
Рассмотрим последовательность $ X_1 $, $ X_2 $, $ X_3 $, $ \ cdots $ и случайную величину $ X $. Предположим, что $ X $ и $ X_n $ (для всех $ n $) неотрицательные и целочисленные, т. Е.
\ begin {align}% \ label {}
& R_X \ subset \ {0,1,2, \ cdots \}, \\
& R_ {X_n} \ subset \ {0,1,2, \ cdots \}, \ qquad \ textrm {for} n = 1,2,3, \ cdots.\ end {align}
Тогда $ X_n \ \ xrightarrow {d} \ X $ тогда и только тогда, когда
\ begin {align}% \ label {eq: union-bound}
\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} P_ {X_n} (k) = P_X (k), \ qquad \ textrm {for} k = 0,1,2, \ cdots.
\ end {align}
Проба
Поскольку $ X $ является целочисленным, его CDF, $ F_X (x) $, непрерывна во всех $ x \ in \ mathbb {R} — \ {0,1,2, … \} $. Если $ X_n \ \ xrightarrow {d} \ X $, то
\ begin {align}% \ label {eq: union-bound}
\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} F_ {X_n} (x) = F_X (x), \ qquad \ textrm {для всех} x \ in \ mathbb {R} — \ {0,1,2 ,… \}.
\ end {align}
Таким образом, для $ k = 0,1,2, \ cdots $ имеем
\ begin {align}% \ label {eq: union-bound}
\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} P_ {X_n} (k) & = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left [F_ {X_n} \ left (k + \ frac {1} {2} \ right) — F_ {X_n} \ left (k- \ frac {1} {2} \ right) \ right] \ hspace {25pt} \ textrm {($ X_n $ имеют целочисленные значения)} \\
& = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} F_ {X_n} \ left (k + \ frac {1} {2} \ right) — \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} F_ {X_n} \ left (k- \ гидроразрыв {1} {2} \ right) \\
& = F_ {X} \ left (k + \ frac {1} {2} \ right) — F_ {X} \ left (k- \ frac {1} {2} \ right) \ hspace {30pt} \ textrm { (поскольку $ X_n \ \ xrightarrow {d} \ X $)} \\
& = P_X (k) \ hspace {30pt} \ textrm {(поскольку $ X $ является целочисленным).{\ lfloor x \ rfloor} P_ {X} (k) \ qquad \ textrm {(по предположению)} \\
& = Р (Х \ leq х) = F_X (х).
\ end {align}
Пример Пусть $ X_1 $, $ X_2 $, $ X_3 $, $ \ cdots $ — последовательность случайных величин, такая что
\ begin {align}% \ label {eq: union-bound}
X_n \ sim Биномиальный \ left (n, \ frac {\ lambda} {n} \ right), \ qquad \ textrm {for} n \ in \ mathbb {N}, n> \ lambda,
\ end {align}
где $ \ lambda> 0 $ — постоянная. Покажите, что $ X_n $ сходится по распределению к $ Poisson (\ lambda) $.к} {к!}.
\ end {уравнение}
В конце этого раздела напомним, что наиболее известным примером сходимости в распределении является центральная предельная теорема (ЦПТ). CLT утверждает, что нормализованное среднее значение i.i.d. случайные величины $ X_1 $, $ X_2 $, $ X_3 $, $ \ cdots $ сходятся по распределению к стандартной нормальной случайной величине.
сравнительных тестов
Тест \ (N \) -го члена, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда.
определение, формулы, свойства. Как найти разность арифметической прогрессии
Содержание
Математическое определение
Понятие о прогрессии алгебраической
Примеры арифметических прогрессий.
Решение без использования формул
Геометрическая прогрессия.
Общий вид арифметической прогрессии
Что вы узнаете
Формулы для определения элементов прогрессии
Формулы разности прогрессии арифметической
Свойства арифметической прогрессии.
Онлайн калькуляторсумма арифметической прогрессии
Математическое определение
Итак, если речь идет о прогрессии арифметической или алгебраической (эти понятия определяют одно и то же), то это означает, что имеется некоторый числовой ряд, удовлетворяющий следующему закону: каждые два соседних числа в ряду отличаются на одно и то же значение. Математически это записывается так:
an + 1-an = d
Здесь n означает номер элемента an в последовательности, а число d – это разность прогрессии (ее название следует из представленной формулы).
О чем говорит знание разности d? О том, как “далеко” друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a4, a10, но, как правило, используют первое число, то есть a1.
Понятие о прогрессии алгебраической
Числовая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент можно получить из предыдущего, если применить некоторый математический закон. Известно два простых вида прогрессии: геометрическая и арифметическая, которую называют также алгебраической. Остановимся на ней подробнее.
Представим себе некоторое рациональное число, обозначим его символом a1, где индекс указывает его порядковый номер в рассматриваемом ряду. Добавим к a1 некоторое другое число, обозначим его d. Тогда второй элемент ряда можно отразить следующим образом: a2 = a1+d. Теперь добавим d еще раз, получим: a3 = a2+d. Продолжая эту математическую операцию, можно получить целый ряд чисел, который будет называться прогрессией арифметической.
Как можно понять из изложенного выше, чтобы найти n-ый элемент этой последовательности, необходимо воспользоваться формулой: an = a1 + (n-1)*d. Действительно, подставляя n=1 в выражение, мы получим a1 = a1, если n = 2, тогда из формулы следует: a2 = a1 + 1*d, и так далее.
Например, если разность прогрессии арифметической равна 5, а a1 = 1, то это значит, что числовой ряд рассматриваемого типа имеет вид: 1, 6, 11, 16, 21, … Как видно, каждый его член больше предыдущего на 5.
Примеры арифметических прогрессий.
1. Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член , а разность .
1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой и .
2. Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу , тогда это является арифметической прогрессией, в которой и . В частности, является арифметической прогрессией с разностью .
3. Сумма 1-х натуральных чисел выражают формулой:
.
Решение без использования формул
Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.
Известные элементы стоят близко друг к другу в ряду. Сколько раз нужно добавить разность d к наименьшему, чтобы получить наибольшее из них? Три раза (первый раз добавив d, мы получим 7-й элемент, второй раз – восьмой, наконец, третий раз – девятый). Какое число нужно добавить к трем три раза, чтобы получить 18? Это число пять. Действительно:
3 + 5 + 5 + 5 = 18
Таким образом, неизвестная разность d = 5.
Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : .
Или другими словами: геометрическая прогрессия – это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.
Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:
Когда и , значит, прогрессия возрастает , когда , значит, прогрессия убывает, а при — знакочередуется.
Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:
т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.
Общий вид арифметической прогрессии
a1, a1 + d, a1 + 2d, … a1 + (n – 1) d, …
d – шаг или разность прогрессии; это и есть постоянное слагаемое.
Члены прогрессии:
a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
и т.д.
Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.
Что вы узнаете
В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.
Пусть каждому натуральному числу
nn
n поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число
ana_n
an (при этом разным натуральным числам
nn
n могут соответствовать и одинаковые действительные числа). Тогда можно сказать, что задана числовая последовательность
a1,a2,a3,. {infty }}_{=1}
{an}n∞=1.
Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.
Начнем с арифметической прогрессии.
Формулы для определения элементов прогрессии
В общем, информации выше уже достаточно, чтобы переходить к решению конкретных задач. Тем не менее до того, как будет дана прогрессия арифметическая, и найти разность ее будет необходимо, приведем пару полезных формул, облегчив тем самым последующий процесс решения задач.
Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:
an = a1 + (n – 1) * d
Действительно, проверить эту формулу может каждый простым перебором: если подставить n = 1, то получится первый элемент, если подставить n = 2, тогда выражение выдает сумму первого числа и разности, и так далее.
Условия многих задач составляются таким образом, что по известной паре чисел, номера которых в последовательности также даны, необходимо восстановить весь числовой ряд (найти разность и первый элемент). Сейчас мы решим эту задачу в общем виде.
Итак, пусть даны два элемента с номерами n и m. Пользуясь полученной выше формулой, можно составить систему из двух уравнений:
an = a1 + (n – 1) * d;
am = a1 + (m – 1) * d
Для нахождения неизвестных величин воспользуемся известным простым приемом решения такой системы: вычтем попарно левую и правую части, равенство при этом останется справедливым. Имеем:
an = a1 + (n – 1) * d;
an – am = (n – 1) * d – (m – 1) * d = d * (n – m)
Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a1). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:
d = (an – am) / (n – m), где n > m
Мы получили очень простую формулу: чтобы вычислить разность d в соответствии с условиями задачи, необходимо лишь взять отношение разностей самих элементов и их порядковых номеров. Следует обратить на один важный момент внимание: разности берутся между “старшим” и “младшим” членами, то есть n > m (“старший” – имеется в виду стоящий дальше от начала последовательности, его абсолютное значение может быть как больше, так и меньше более “младшего” элемента).
Выражение для разности d прогрессии следует подставить в любое из уравнений в начале решения задачи, чтобы получить значение первого члена.
Далее в статье приведем примеры решения задач на вычисления d и на восстановление числового ряда алгебраической прогрессии. Здесь же хотелось бы отметить один важный момент.
В наш век развития компьютерных технологий многие школьники стараются найти решения для своих заданий в Интернете, поэтому часто возникают вопросы такого типа: найти разность арифметической прогрессии онлайн. По подобному запросу поисковик выдаст ряд web-страниц, перейдя на которые, нужно будет ввести известные из условия данные (это могут быть как два члена прогрессии, так и сумма некоторого их числа) и моментально получить ответ. Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.
Формулы разности прогрессии арифметической
Из приведенного выше определения рассматриваемого ряда чисел следует, что для его определения необходимо знать два числа: a1 и d. Последнее называется разностью этой прогрессии. Оно однозначно определяет поведение всего ряда. Действительно, если d будет положительным, то числовой ряд будет постоянно возрастать, наоборот, в случае d отрицательного, будет происходить возрастание чисел в ряду лишь по модулю, абсолютное же их значение будет уменьшаться с ростом номера n.
Чему равна разность прогрессии арифметической? Рассмотрим две основные формулы, которые используются для вычисления этой величины:
d = an+1-an, эта формула следует непосредственно из определения рассматриваемого ряда чисел.
d = (-a1+an)/(n-1), это выражение получается, если выразить d из формулы, приведенной в предыдущем пункте статьи. Заметим, что это выражение обращается в неопределенность (0/0), если n=1. Связано это с тем, что необходимо знание как минимум 2-х элементов ряда, чтобы определить его разность.
Эти две основные формулы используются для решения любых задач на нахождение разности прогрессии. Однако существует еще одна формула, о которой также необходимо знать.
Свойства арифметической прогрессии.
1. Общий член арифметической прогрессии.
Член арифметической прогрессии с номером можно найти с помощью формулы:
Последовательность – это арифметическая прогрессия для элементов этой прогрессии выполняется условие:
.
3. Сумма 1-х членов арифметической прогрессии.
Сумму 1-х членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формул:
,
где — 1-й член прогрессии,
— член с номером ,
— число суммируемых членов.
,
где — 1-й член прогрессии,
— разность прогрессии,
— число суммируемых членов.
4. Сходимость арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия является расходящейся при и сходящейся при . При этом:
5. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.
Есть — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность, которая имеет вид является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .
Онлайн калькуляторсумма арифметической прогрессии
Известный член прогрессии A
Шаг (разность) прогрессии d
Произвести вычисления для n равного
Бытует мнение, что формула суммы арифметической прогрессии была открыта еще Гауссом, как быстрый и точный способ расчета суммы чисел в определенной последовательности. Он заметил, что такая прогрессия является симметричной, то есть сумма симметрично расположенных с начала и конца членов прогрессии является постоянной для данного ряда.
a1+an=a2+a(n-1)=a3+a(n-2)=⋯
Соответственно, он нашел данную сумму и умножил ее на половину от общего количества чисел в последовательности, участвующих в расчете суммы. Таким образом, была выведена формула суммы арифметической прогрессии
Пример. Предположим, задано условие: “Найдите сумму первых десяти (10) членов арифметической прогрессии”. Для этого понадобится следующие данные: разность прогрессии и первый ее член. Если в задаче дан какой-либо n член арифметической прогрессии вместо первого, тогда сначала нужно воспользоваться разделом, где представлена формула нахождения первого члена прогрессии, и найти его. Затем исходные данные вбиваются в калькулятор и он производит расчеты, складывая первый и десятый члены, и умножая полученную сумму на половину от общего количества складываемых членов – на 5. Аналогично происходит, если нужно найти сумму первых шести членов или любого другого количества.
В случае, когда необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии, начинающихся не с первого, а с пятого члена, к примеру, тогда среднее арифметическое остается тем же, а общее количество членов берется как увеличенная на единицу разность между порядковыми номерами взятых членов.
Характеристическое свойство показательной прогрессии или новое числовое среднее
Автор:
Гульманов Нуртай Кудайбергенович
Рубрика: Математика
Опубликовано в
Молодой учёный
№6 (192) февраль 2018 г.
Дата публикации: 12.02.2018
2018-02-12
Статья просмотрена: 221 раз
Скачать электронную версию
Скачать Часть 1 (pdf)
Библиографическое описание:
Гульманов, Н. К. Характеристическое свойство показательной прогрессии или новое числовое среднее / Н. К. Гульманов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 6 (192). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/192/48026/ (дата обращения: 16.09.2022).
Как известно, числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с некоторым числом, называется арифметической прогрессией [1]. А числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое отличное от нуля постоянное число, называется геометрической прогрессией [1]. Из определения арифметической и геометрической прогрессий мы видим, что они основаны на арифметических действиях суммы (разности) и умножения (деления). Возникает вопрос: существует ли прогрессия, которая основана на действии возведение в степень число. В работе [2] был определен новый вид прогрессии — показательная прогрессия.
Также в работе [2] в качестве характеристического свойства показательной прогрессии рассматривается следующее утверждение. Если — показательная прогрессия, то для любого натурального выполняется равенство
В данном проекте будет доказана другая формула, описывающая характеристическое свойство показательной прогрессии. Также будет рассмотрено неравенство — аналог неравенству Коши [3].
Теорема 1. Для каждого члена показательной прогрессии, начиная со второго, выполняется равенство:
Доказательство. По определению [2] показательной прогрессии
Отсюда следует, что
т. е.
Преобразуем полученное выражение
(1)
что и требовалось доказать.
Выразим из равенства (1).
Так как характеристическое свойство арифметической прогрессии построено на основе арифметической средней, а геометрическая прогрессия — на основе геометрической средней, то характеристическое свойство показательной прогрессии должно построено на основе какой-то другой числовой средней. В качестве этой средней будем считать последнее из равенств.
Определение 1. Пусть даны два положительных числа . Причем эти числа либо больше единицы, либо меньше единицы одновременно. Средним показательным чисел называется величина, определяемая следующим образом:
(2)
Замечание 1. Если заменить местами , значение средней показательной не изменится.
Доказательство. Преобразуем выражение (2) следующим образом:
что и требовалось доказать.
Замечание 2. Среднюю показательную можно определить и следующим образом:
где — это такое произвольное положительное число, как , одновременно с ними либо больше единицы, либо — меньше.
Доказательство. Преобразуем выражение (2) следующим образом:
что и требовалось доказать.
Введем обобщенное определение средней показательной для чисел.
Определение 2. Пусть даны положительные числа и . Причем эти числа либо больше единицы, либо меньше единицы одновременно. Средним показательным чисел называется величина, определяемая следующим образом:
Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического — это неравенство называется неравенством Коши [3]: если , , то
В более общем виде: для неотрицательных чисел справедливо неравенство между их средним арифметическим и средним геометрическим
причем равенство возможно лишь при условии .
Рассмотрим следующую теорему, описывающую связь между неравенством Коши и средним показательным.
Теорема 2. Пусть даны числа , каждое из которых больше единицы. Тогда выполняется следующее неравенство:
причем равенство возможно лишь при условии
Доказательство. Запишем неравенство Коши для чисел .
Используя свойства логарифма числа, преобразуем это выражение следующим образом:
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Пусть даны числа , каждое из которых меньше единицы. Тогда выполняется следующее неравенство:
Причем равенство возможно лишь при условии
Доказательство. Запишем неравенство Коши для чисел .
Используя свойства логарифма числа, преобразуем это выражение следующим образом:
или
что и требовалось доказать.
Замечание 3. Пусть даны положительные числа и . Тогда выполняются неравенства
причем равенство возможно лишь при условии .
Литература:
Н. Я. Виленкин / Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математикик / Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев / — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1999. — С.384: ил. — ISBN 5–09–009020–3
Н. К. Гульманов / Определение нового вида прогрессии, основанной на операции возведения в степень, и изучение ее основных свойств / Н. К. Гульманов, Н. А. Марчук // «Высокое качество и лидерство в образовании»: сборник докладов Международной научно-практической конференции (13–15 ноября 2013 года)/ АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы». Часть 1. — Астана, 2013. — С. 120–124
П. П. Коровкин / Неравенства / Популярные лекции по математике, выпуск № 5/ — М.: Издательство «Наука», 1974. — С. 54
И. С. Соминский / Метод математической индукции / Популярные лекции по математике, выпуск № 3/ — М.: Издательство «Наука», 1972. — С. 63
К таким последовательностям относятся арифметическая и геометрическаяпрогрессии, последовательность Фибоначчи и др. [1]. В данной статье представлены итоги исследования рекуррентной последовательности , заданной по правилу , где числа и называем…
Развитие исследовательских навыков учащихся при изучении.
Типология текстовых задач в Едином государственном экзамене…
Арифметическаяпрогрессия — это последовательностьчисел, в которой каждое следующее число, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему постоянного числа
Построение формальной
арифметики в рамках изучения…
Если Q есть свойство, которым обладает натуральное число 0, и для всякого натурального числа x
Этих аксиом достаточно для построения не только арифметики натуральных чисел, но и для
Эта теория первого порядка с равенством имеет единственную предикатную букву. ..
Показательно—геометрическаяпрогрессия и некоторые ее свойства.
Развитие исследовательских навыков учащихся при изучении темы «Числовыепоследовательности».
О некоторых бинарных задачах для
прогрессий | Статья…
В работе рассматривается задача о распределении натуральных чисел, принадлежащих заданному классу вычетов по некоторому модулю и представимых в виде суммы u+v, где u,v- члены двух заданных последовательностей натуральных чисел.
Похожие статьи
Показательно—геометрическаяпрогрессия и некоторые ее…
К таким последовательностям относятся арифметическая и геометрическаяпрогрессии, последовательность Фибоначчи и др. [1]. В данной статье представлены итоги исследования рекуррентной последовательности , заданной по правилу , где числа и называем. ..
Развитие исследовательских навыков учащихся при изучении…
Типология текстовых задач в Едином государственном экзамене…
Арифметическаяпрогрессия — это последовательностьчисел, в которой каждое следующее число, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему постоянного числа
Построение формальной
арифметики в рамках изучения…
Если Q есть свойство, которым обладает натуральное число 0, и для всякого натурального числа x
Этих аксиом достаточно для построения не только арифметики натуральных чисел, но и для
Эта теория первого порядка с равенством имеет единственную предикатную букву. ..
Показательно—геометрическаяпрогрессия и некоторые ее свойства.
Развитие исследовательских навыков учащихся при изучении темы «Числовыепоследовательности».
О некоторых бинарных задачах для
прогрессий | Статья…
В работе рассматривается задача о распределении натуральных чисел, принадлежащих заданному классу вычетов по некоторому модулю и представимых в виде суммы u+v, где u,v- члены двух заданных последовательностей натуральных чисел.
Арифметическая прогрессия
Весьма распространенными задачами на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием арифметической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать свойства арифметической прогрессии и иметь определенные навыки их применения.
Предварительно напомним основные свойства арифметической прогрессии и приведем наиболее важные формулы, связанные с этим понятием.
Определение. Числовая последовательность , в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число , называется арифметической прогрессией. При этом число называется разностью прогрессии.
Для арифметической прогрессии справедливы формулы
, (1)
, (2)
где . Формула (1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним арифметическим своих соседних членов и .
Отметим, что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «арифметической».
Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:
(3)
(4)
где и .
Для вычисления суммы первых членов арифметической прогрессии обычно применяется формула
(5) где и .
Если принять во внимание формулу (1), то из формулы (5) вытекает
. (6)
Если обозначить , то
, (7)
, (8)
где . Так как , то формулы (7) и (8) являются обобщением соответствующих формул (5) и (6).
В частности, из формулы (5) следует, что
.
К числу малоизвестных большинству учащихся относится свойство арифметической прогрессии, сформулированное посредством следующей теоремы.
Теорема. Если , то
, (9) где .
Доказательство. Если , то
,
или .
Теорема доказана.
Например, используя теорему, можно показать, что
,
или .
Перейдем к рассмотрению типовых примеров решения задач на тему «Арифметическая прогрессия».
Пример 1. Пусть и . Найти .
Решение. Применяя формулу (6), получаем . Так как и , то или .
Ответ: .
Пример 2. Пусть в три раза больше , а при делении на в частном получается 2 и в остатке 8. Определить и .
Решение. Из условия примера вытекает система уравнений
(10)
Так как , , и , то из системы уравнений (10) получаем
или
Решением данной системы уравнений являются и .
Ответ: , .
Пример 3. Найти , если и .
Решение. Согласно формуле (5) имеем или . Однако, используя свойство (9), получаем .
Так как и , то из равенства вытекает уравнение или .
Ответ: .
Пример 4. Найти , если .
Решение. По формуле (5) имеем
. (11)
Однако, используя теорему, можно записать
или .
Отсюда и из формулы (11) получаем .
Ответ: .
Пример 5. Дано: . Найти .
Решение. Так как , то . Однако , поэтому .
Ответ: .
Пример 6. Пусть , и . Найти .
Решение. Используя формулу (9), получаем . Поэтому, если , то или .
Так как и , то здесь имеем систему уравнений
решая которую, получаем и .
Далее, принимая во внимание формулу (6), можно записать
.
Натуральным корнем уравнения является .
Ответ: .
Пример 7. Найти , если и .
Решение. Так как по формуле (3) имеем, что , то из условия задачи вытекает система уравнений
Если подставить выражение во второе уравнение системы, то получим или .
Корнями квадратного уравнения являются и .
Рассмотрим два случая.
1. Пусть , тогда . Поскольку и , то .
В таком случае, согласно формуле (6), имеем
.
2. Если , то , и
.
Ответ: и .
Пример 8. Известно, что и . Найти .
Решение. Принимая во внимание формулу (5) и условие примера, запишем и .
Отсюда следует система уравнений
Если первое уравнение системы умножим на 2, а затем сложим его со вторым уравнением, то получим
. (12)
Согласно формуле (9) имеем . В этой связи из (12) вытекает или .
Поскольку и , то .
Ответ: .
Пример 9. Найти , если и .
Решение. Поскольку , и по условию , то или .
Из формулы (5) известно, что . Так как , то .
Следовательно, здесь имеем систему линейных уравнений
Отсюда получаем и . Принимая во внимание формулу (8), запишем .
Ответ: .
Пример 10. Решить уравнение .
Решение. Из заданного уравнения следует, что . Положим, что , , и . В таком случае .
Согласно формуле (1), можно записать или .
Далее, из формулы (5) получаем . Однако по условию и , поэтому имеем уравнения или
. (13)
Так как , то уравнение (13) имеет единственный подходящий корень .
Ответ: .
Пример 11. Найти максимальное значение при условии, что и .
Решение. Так как , то рассматриваемая арифметическая прогрессия является убывающей. В этой связи выражение принимает максимальное значение в том случае, когда является номером минимального положительного члена прогрессии.
Воспользуемся формулой (1) и тем фактом, что и . Тогда получим, что или .
Поскольку , то или . Однако в этом неравенстве наибольшее натуральное число, поэтому .
Если значения , и подставить в формулу (6), то получим .
Ответ: .
Пример 12. Определить сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на число 6 дают в остатке 5.
Решение. Обозначим через множество всех двузначных натуральных чисел, т.е. . Далее, построим подмножество , состоящее из тех элементов (чисел) множества , которые при делении на число 6 дают в остатке 5.
Нетрудно установить, что . Очевидно, что элементы множества образуют арифметическую прогрессию , в которой и .
Для установления мощности (числа элементов) множества положим, что . Так как и , то из формулы (1) следует или . Принимая во внимание формулу (5), получим .
Ответ: .
Приведенные выше примеры решения задач ни в коем случае не могут претендовать на исчерпывающую полноту. Настоящая статья написана на основе анализа современных методов решения типовых задач на заданную тему. Для более глубокого изучения методов решения задач, связанных с арифметической прогрессией, целесообразно обратиться к списку рекомендуемой литературы.
Рекомендуемая литература
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS, 2014. – 216 с.
3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус, 2015. – 208 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Прогрессия – это определенная последовательность чисел. Последовательность обозначается так: (an)
Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.
Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена (a1, a2, a3 и т.д.- читается так: «а первое», «а второе», «а третье» и т. д.).
Последовательность может быть бесконечной или конечной.
Понятие арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел, которая получается в результате сложения каждого последующего члена с одним и тем же числом.
Пример:
Возьмем последовательность чисел 3; 10; 17; 24; 31. Здесь каждое последующее число на 7 больше предыдущего. То есть последовательность получилась в результате прибавления одного и того же числа 7 к каждому последующему члену. Это и есть арифметическая прогрессия:
3+7=10
10+7=17
17+7=24
24+7=31
Формула арифметической прогрессии.
Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой:
an = kn + b,
где k и b – некоторые числа.
И наоборот: если последовательность задана подобной формулой, то эта последовательность точно является арифметической прогрессией.
Пример: формула an = 8n – 2 является формулой арифметической прогрессии, так как она задана формулой типа an = kn + b. В ней k = 8, b = –2.
Разность арифметической прогрессии.
Разность арифметической прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами прогрессии. Ее обычно обозначают буквой d.
Пример: Вернемся к нашей прогрессии 3; 10; 17; 24; 31. В ней разность между второй и первой, третьей и второй и т.д. членами равна 7. Число 7 и является разностью данной арифметической прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии.
1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.
В нашем примере второй член равен средней арифметической первого и третьего членов:
3 + 17 ——— = 10. 2
Точно так же третий член равен средней арифметической второго и четвертого членов и т.д.
Как найти определенный член арифметической прогрессии.
Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии, следует применить формулу:
an = a1 + d(n – 1)
Пример:
Возьмем некую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 3, а разность арифметической прогрессии составляет 4. Надо найти 45-й член этой прогрессии.
Дано: b1 = 3 d = 4 n = 45 ——— b45 — ?
Решение.
Применим формулу bn = b1 + d(n – 1):
b45 = 3 + 4(45 – 1) = 3 + 4 · 44 = 3 + 176 = 179.
Ответ: 45-й член заданной арифметической прогрессии – число 179.
Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.
Сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формулы:
(a1 + an) n Sn = ————— 2
Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться другой формулой:
2a1 + d(n – 1) Sn = —————— n 2
Пример 1: Найдем сумму первых ста членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т. д.+100.
Ответ: Сумма первых ста членов заданной арифметической прогрессии равна 5050.
Пример 2: Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 5, разность арифметической прогрессии составляет 3.
Дано: a1 = 5 d = 3 ———— S20 — ?
Решение:
1) Найдем сначала двадцатый член по уже известной нам формуле an = a1 + d(n – 1): a20 = 5 + 3 (20 – 1) = 5 + 3 · 19 = 62.
2) Теперь уже легко решить нашу задачу.
По формуле 1:
(5 + 62) · 20 S20 = ——————— = 670 2
По формуле 2:
2 · 5 + 3 · (20 – 1) S20 = ————————— · 20 = 670 2
Ответ: Сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 670.
Презентация к уроку математики в 9 классе Понятие арифметической прогрессии. Свойства арифметической прогрессии доклад, проект
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Слайд 3
Текст слайда:
4; 6; 8; 10; …
2) 2; 3; 5; 6; 8; …
1; 3; 5; 7; …
1; 2; 3; 4; …
5) 1; 4; 9; 16; …
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
12; 14
9; 11
9; 11
5; 6
25; 36
✓
✓
✓
Слайд 4
Текст слайда:
Что такое прогрессия?
Это частный случай числовой последовательности. Слово прогрессия латинского происхождения и означает «движение вперед». Прогрессии были известны в Древнем Египте и Вавилоне около 2000 лет до н.э.
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Слайд 5
Текст слайда:
Определение арифметической прогрессии
Числовую последовательность, каждый последующий член которой равен предшествующему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией.
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Слайд 6
Текст слайда:
Разность арифметической прогрессии
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Слайд 7
Текст слайда:
Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член прогрессии, d – разность. a2 = a1 + d a3 = a2 + d =(a1 + d) + d = a1+2d a4 = a3 + d =(a1+2d) +d = a1+3d a5 = a4 + d =(a1+3d) +d = a1+4d . . .
Задание арифметической прогрессии формулой n – ого члена
an = a1+ (n-1)·d
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Слайд 8
Текст слайда:
Характеристическое свойство:
Любой член арифметической прогрессии, кроме первого, есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов.
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Дано: а1=3; d = 2; an= a1 +(n — 1)·d . Найти пять первых членов арифметической прогрессии. Решение: а2 = a1 + d= 3+2=… a3= a1 +2d=…. a4 =… a5 =…
Ответ:
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Слайд 13
Текст слайда:
№ 630(а)
В арифметической прогрессии (an ) найти a2 + a9, если a1 + a10 = 120. Решение: a1+ a10 = a1 +(a1+9d)= 120, 2a1+9d= (a1+d) + (a1 +8d)=
Ответ:
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Слайд 14
Текст слайда:
№ 632 (а)
Является ли число 12 членом арифметической прогрессии — 10; — 8; -6; …? Решение: d= a2 – a1 =– 8 – (–10)=2, a1 + (n– 1)·d = an , – 10 +(n– 1)·2 = 12,
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Т.к. 12 – целое число, значит a12 =12. Ответ: число 12 является 12-м членом арифметической прогрессии.
Слайд 15
Текст слайда:
Дополнительное задание
В арифметической прогрессии найти a10, если a25 − a20 = 10 и a16 = 13. Решение: a25= a1 +24d, a20= a1+19d, a16= a1+15d. (a1 +24d) – (a1+19d)=10, a1+15d =13. Решая эту систему, найдем , , . Тогда a10= a1+ 9d= Ответ:
Михайлова Г. И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Слайд 16
Текст слайда:
Итог урока
Какую последовательность называют арифметической прогрессией? Что называют разностью арифметической прогрессии? Как ее найти? Какова формула n-го члена арифметической прогрессии? Какими свойствами обладает арифметическая прогрессия?
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Слайд 17
Текст слайда:
Домашнее задание
§6, п.6.1., № 629, 633.
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
СПАСИБО ЗА УРОК
План урока — ксп — Арифметическая прогрессия
Навигация по странице:
Школа: Дата: ФИО учителя
Тема урока Арифметическая прогрессия Вид урока
Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)
Навыки использования ИКТ
Ход урока Запланированные этапы урока
Тип работы
Группа №1. Задачи про альпинистов. Группа №2 Задачи про копателей колодцевГруппа №3
Дескрипторы для каждой группы (при необходимости в зависимости от уровня группы можно раздать дескипторы ученикам)
Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися
Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися Здоровье и соблюдение техники безопасности
Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.
Общая оценка Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении) 1: 2
Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках
Единственный в мире Музей Смайликов
Самая яркая достопримечательность Крыма
Скачать 25. 19 Kb.
Название
Арифметическая прогрессия
Дата
08.12.2021
Размер
25.19 Kb.
Формат файла
Имя файла
План урока.docx
Тип
Урок #296132
Подборка по базе: Бизнес план по открытию Барбер Шопа.docx, Конспект открытого урока по ОБЖ и истории _ ВВС РФ_.docx, Бизнес план.docx, уч план рязань.docx, Поурочное планирование 7 класс.odt, Технологическая карта открытого урока _Графики_ (6 класс) и само, разбор урока.docx, План-конспект урока английского языка в 3 классе по теме _Body p, ОБЖ. 5 КЛАСС. УРОК №1. ОПАСНЫЕ И ЧРЕЗВЫЧАЙНЫЕ СИТУАЦИИ. ПЛАН-КОН, производство план.docx Проверил Рук.МО
Последовательности
Школа:
Дата:
ФИО учителя:
Класс: 9
Количество присутствующих:
отсутствующих:
Тема урока
Арифметическая прогрессия
Вид урока
Урок обобщение
Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)
9. 2.3.5 знать и применять формулы n-го члена, суммы n первых членов и характеристическое свойство арифметической прогрессии;
Цели урока
Учащиеся будут:
распознавать арифметическую прогрессию среди данных последовательностей;
находить общий член последовательности;
находить сумму n первых членов арифметической прогрессии;
Критерии оценивания
Знает формулу n-го члена арифметической прогрессии
Применяет формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач прямо и обратно
Знает и применяет формулу суммы n первых члена арифметической прогрессии
Знает и применяет характеристическое свойство арифметической прогрессии
использовать предметную лексику и терминологию раздела при решении задач;
аргументировать использование арифметической и геометрической прогрессий при решении задач;
комментировать решение задач на банковский процент;
Лексика и терминология, специфичная для предмета:
числовая последовательность;
способы задания последовательностей;
предыдущий член последовательности, последующий член последовательности;
первый член последовательности и т. д.,n-й член последовательности;
формула n-го члена последовательности;
рекуррентная формула;
возрастающая, убывающая последовательность;
разность арифметической прогрессии;
знаменатель геометрической прогрессии;
среднее арифметическое;
среднее геометрическое;
сумма n первых членов арифметической/геометрической прогрессии;
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;
Полезные выражения для диалогов и письма:
n –й член последовательности можно представить в виде формулы…;
следующим элементом последовательности будет…;
чтобы найти …член …прогрессии…;
последовательность является убывающей/возрастающей, так как…;
чтобы найти сумму …первых членов …прогрессии…;
числа…являются членами арифметической прогрессии, так как…;
числа…являются членами геометрической прогрессии, так как…;
так как а1=…,аn=…, то сначала нужно найти …;
чтобы перевести периодическую дробь…в обыкновенную…;
Межпредметные связи
История математики, экономика, физика
Навыки использования ИКТ
Использование ИД для демонстрации презентации, использование графического редактора ГеоГебра
Предварительные знания
Понятие числовой последовательности; последовательности, содержащей степени. Умение определять закономерности и находить недостающие члены последовательности, содержащей степень с целым показателем. Понятие процента, нахождение процента от числа, числа по его проценту, процентного отношения. Задачи на проценты. Делимость чисел, признаки делимости.
Ход урока
Запланированные этапы урока
Запланированная деятельность на уроке
Ресурсы
Начало урока
5 минут
— концентрация внимания учащихся -проверка домашней работы — определение «зону ближайшего и дальнего развития» учащихся, ожидания к концу урока
Середина урока
15 минут
15 минут
Активити
Вы уже знаете, свойства арифметической прогрессии. Сегодня мы будем обобщать ваши знания. Для начала давайте вспомним их с помощью следующего активити.
Найдя правильно сумму членов арифметической прогрессии и сопоставив с подходящим ответом, вы узнаете кто впервые доказал формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Тип работы: Индивидуальный. Первый решивший на доске показывает решение
Оценивание: учителем и одноклассниками устно Групповая работа на применение арифметической прогрессии. Группы создаются таким образом, чтобы в каждой были ученики разных уровней, для того, чтобы каждый член команды работал, так как задания подбираются от легкого до сложного. Если учеников в классе очень много, можно дублировать задания для групп. (Например, задачи про альпинистов решают 1,3,5 группа)
Группа №1.
Задачи про альпинистов.
Группа №2
Задачи про копателей колодцев
Группа №3
Задачи про свободное падение
Тип работы: Групповой. Ребята делятся между собой задачи. Решение показывают друг другу и принимают решение о правильности решении задачи
Оценивание: учителем и одноклассниками
Дескрипторы для каждой группы (при необходимости в зависимости от уровня группы можно раздать дескипторы ученикам):
Задача №1.
Находит или показывает первый член арифметической прогрессии
Находит или показывает разность арифметической прогрессии
Находит или показывает номер искомого члена арифметической прогрессии
Применяет формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач
Находит n-ый член арифметической прогрессии
Задача №2
Использует данные из первого пункта (первый и последний член, разность, номер последнего члена)
Подставляет под формулу суммы n первых члена арифметической прогрессии
Находит сумму n первых членов арифметической прогрессии или из суммы находит номер последнего члена
Задача №3
Использует данные из первого пункта (первый член, разность, номер искомого члена)
Применяет свойство об арифметической средней
Находит искомый член прогрессии
Если останется время, предложите ученикам задачи из сайта
Преимущества: показывает решение при необходимости, делает проверку, выдает количество правильных ответов,
внизу страницы можно выбрать уровень заданий (легкий, средний, сложный).
Если есть проблемы с доступом в интернет для каждого ученика, можно использовать ИД, а задачи распределить между учениками в зависимости от их способностей и их проблем
Приложение 1,2,3
Конец урока
5 минут
В конце урока учащиеся проводят рефлексию:
— что узнал, чему научился
— что осталось непонятным
— над чем необходимо работать
Где возможно учащиеся могут оценить свою работу и работу своих одноклассников по определенным критериям
Домашняя работа:
Выяснить, как и где применяется арифметическая прогрессия, привести пример
Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?
Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?
Здоровье и соблюдение техники безопасности
Работа в группах предполагает дифференциацию по типу — сильный поддерживает слабого. Индивидуальная работа на уровневые задачи. Дифференцированные группы
Оценивание при помощи ИКТ,
Взаимооценивание во время групповой работы. оценивание по дескрипторам — во время индивидуальной и групповой работы.
Здоровьесберегающие технологии.
Рефлексия по уроку
Были ли цели урока/цели обучения реалистичными? Все ли учащиеся достигли ЦО? Если нет, то почему? Правильно ли проведена дифференциация на уроке? Выдержаны ли были временные этапы урока? Какие отступления были от плана урока и почему?
Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.
Общая оценка
Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?
1:
2:
Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?
1:
2:
Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?
Свойства арифметической прогрессии с важной формулой, часто задаваемые вопросы
Тема, которую мы собираемся начать сегодня, относится к категории алгебры. Алгебра — одна из очень широких областей математики, которая занимается изучением переменных. Точно так же, как арифметические формулы и выражения используются с постоянными числами, где два или более постоянных числа могут быть сложены, вычтены, умножены и т. д., мы можем выполнять аналогичные операции и с переменными. Алгебра — это в основном изучение математических символов и способов манипулирования ими с помощью определенных арифметических операций.
Что такое арифметическая прогрессия?
Рассмотрим последовательно все четные натуральные числа. Итак, если мы внимательно посмотрим на те числа, которые расположены последовательно, мы поймем, что между ними есть общее различие. Натуральные числа — это те числа, которые используются для подсчета и упорядочивания. В общепринятой математической терминологии слова, используемые в разговорной речи для подсчета, называются «количественными числами», а слова, используемые для упорядочивания, — «порядковые числа». Любое число в последовательности, вычтенное из следующего числа в последовательности, дает общую разность 2. Тот же случай происходит, когда мы рассматриваем нечетные натуральные числа, расположенные одно за другим последовательно.
Это то, что мы называем арифметической прогрессией. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой различия между двумя последовательными членами последовательности остаются одинаковыми.
Эта разность известна как общая разность этой конкретной арифметической прогрессии.
Арифметические прогрессии могут быть как возрастающими, так и убывающими. Возрастающая последовательность чисел, имеющая одинаковую общую разность, называется возрастающей арифметической прогрессией, а убывающая последовательность чисел, имеющая одну и ту же общую разность, называется убывающей арифметической прогрессией.
У нас также есть третий тип арифметической прогрессии, в котором все числа в последовательности имеют одинаковое значение. Это называется постоянной арифметической прогрессией, имеющей общую разность 0.
Следует отметить следующие важные моменты в отношении общей разности арифметической прогрессии.
Возрастающая арифметическая прогрессия всегда будет иметь положительную общую разность.
Убывающая арифметическая прогрессия всегда будет иметь отрицательную общую разность.
Постоянная арифметическая прогрессия всегда будет иметь нулевую общую разность.
Арифметическая прогрессия, имеющая мнимую общую разность, называется мнимой арифметической прогрессией.
Общая разность арифметической прогрессии обозначается d.
Давайте теперь поговорим о различных свойствах арифметической прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии
Перед изучением некоторых очень важных свойств арифметической прогрессии, давайте узнаем о нескольких важных терминах, связанных с арифметической прогрессией
Член арифметической прогрессии
Любой член арифметической прогрессии обозначается \(T_n\) или \(t_n\).
Общая разность арифметической прогрессии
Мы уже читали о термине общая разность арифметической прогрессии. \(d=t_n-t_{n-1}\)
Сумма арифметической прогрессии до n членов.
Это в основном сумма AP до n количества терминов. У нас есть формула и для этого. Мы придем к формуле на более позднем этапе.
Примечание: Арифметическая прогрессия может быть конечной последовательностью чисел или бесконечной последовательностью чисел.
Алгоритм определения того, является ли последовательность арифметической прогрессией или нет.
Мы покажем алгоритм в несколько шагов. Итак, посмотрите на шаги ниже, чтобы понять это.
Сначала найдите n-й член последовательности, то есть \({t_n}\), через n.
Замените член n везде в формуле \({t_n}\), чтобы получить формулу или выражение \({t_{n-1}}\).
Вычтите выражение \({t_{n-1}}\) из выражения \({t_n}\).
После вычитания посмотрите на полученное выражение. Если это выражение является постоянным числом или чем-либо, не зависящим от члена n, последовательность является арифметической прогрессией.
Несколько примеров
Que: Найдите общую разность последовательности 1, 3, 5, 7…..
Ответ: Чтобы найти общее различие, нам нужно вычесть любой член из следующего за ним или справа от него.
Выберем 5 и 7
\({7-5=2}\)
Таким образом, общая разность равна \({d=2}\).
Que: Найдите общую разность последовательности a, a-b, a-2b…..
Ответ: Нам нужен тот же подход, что и в предыдущем вопросе, чтобы решить этот. Возьмем любой из двух последовательных терминов. Произнесите а-б и а-2б.
\({(a-b)-(a-2b)=-b}\)
Таким образом, общая разность отрицательна, если b — положительное число, и положительна, если b — отрицательное число. Таким образом, если b — положительное число, то арифметическая прогрессия — убывающая, а если b — отрицательное число, то возрастающая.
Que: Покажите, что последовательность, определяемая выражением \({t_n=5n+4}\)= 5n+4, является арифметической прогрессией. Кроме того, узнайте общую разницу.
Ответ: Дано: \({t_n=5n+4}\)
Таким образом, теперь мы будем следовать алгоритму, который мы упоминали выше, чтобы решить эту сумму.
Для этого нам нужно заменить \({n}\) в \({t_n}\) на \({n-1}\).
Таким образом, проделав то же самое, мы находим, что \({t_{n-1}=5n-1}\).
Таким образом, \({(5n+4)-(5n-1)=5}\).
Это означает, что общая разность этой арифметической прогрессии равна 5, и, следовательно, это возрастающая арифметическая прогрессия.
Теперь, когда мы знаем основы арифметической прогрессии и ее точное значение, давайте теперь узнаем о ней немного больше. Это свойства арифметической прогрессии.
Надеюсь, вам понравилась эта часть. Если вы хотите узнать больше об основах арифметической прогрессии или чувствуете, что у вас могут быть некоторые сомнения относительно этого,
Нажмите на эту ссылку, чтобы получить больше информации об этом.
Свойства арифметической прогрессии
В этом разделе мы углубимся в некоторые из более сложных тем, связанных с арифметической прогрессией, а также решим несколько примеров.
Общий член арифметической прогрессии
Пусть a — первый член арифметической прогрессии, d — его общая разность, а l — последний член арифметической прогрессии, имеющей в общей сложности n членов.
Таким образом, мы можем записать эту арифметическую прогрессию следующим образом:
\({a, a+d, a+2d,……., l-2d, l-d, l}\).
Определение n-го члена АП с начала
1-го члена с начала: \(t_1=a=a+(1-1)d\)
2-го члена с начала: \( {t_2=a+d=a+(2-1)d}\)
3-й член с начала: \({t_3=a+2d=a+(3-1)d}\)
.
.
.
n-й член с начала: \({t_n=a+(n-1)d}\)
Таким образом, n-й член от начала AP равен \({t_n=a+(n-1)d}\ ).
Определение конечного срока АП с конца.
Первый член с конца: \({l=l-(1-1)d}\).
Второй член с конца: \({l-d=l-(2-1)d}\).
.
.
.
n-й член с конца: \({l-(n-1)d}\).
Итак, n-й член с конца равен \({l-(n-1)d}\).
Теперь очень важное замечание:
Если первый член ряда равен a, а последний член ряда равен l, то сумма любых двух членов, равноудаленных от начала и конца, равна \ ({а+1}\).
В значительной степени ясно, что приведенное выше предложение справедливо только для конечной арифметической прогрессии, так как для бесконечной арифметической прогрессии нет четкого последнего члена.
Некоторые важные моменты, на которые следует обратить внимание
Если вы видите, что в последовательности есть члены, которые попеременно являются положительными и отрицательными, то из данной последовательности должно быть ясно, что она никогда не может быть арифметической прогрессией.
Чтобы данную последовательность можно было назвать арифметической прогрессией, выражение для n-го члена последовательности должно быть линейным полиномом. Если выражение n-го члена данной последовательности не является линейным полиномом и имеет степень больше 1, то его никогда нельзя назвать арифметической прогрессией.
Член n также можно назвать общим членом арифметической прогрессии.
Если у нас есть три последовательных члена арифметической прогрессии, скажем, \({t_{n-2},t_{n-1},t_n}\), то сумма первого члена и последнего члена среди членов данный всегда будет равен удвоенному среднему термину, указанному здесь.
В математическом выражении это можно записать следующим образом:
\({t_{n-2}+t_n=2t_{n-1}}\)
Также обратите внимание на следующее: Среднее значение любых двух членов которые равноудалены от двух концов данной арифметической прогрессии, всегда будут равны среднему члену данной арифметической прогрессии, если арифметическая прогрессия имеет нечетное число членов, и будут равны среднему значению двух средних членов арифметической прогрессии прогрессию, если данная арифметическая прогрессия имеет четное число членов.
Если первый член арифметической прогрессии равен a, а последний член арифметической прогрессии равен l, то формула общей разности данной арифметической прогрессии будет \({d={{l-a}\over{n +1}}}\), где n — количество членов арифметической прогрессии.
Некоторые члены арифметической прогрессии
Пусть имеется арифметическая прогрессия, имеющая «а» в качестве первого члена, «l» в качестве последнего члена, «d» в качестве общей разности и сумму всех члены арифметической прогрессии до n-го члена обозначаются \({S_n}\).
Таким образом, значение \({S_n}\) будет следующим:
\({S_n={n\over2}(a+l)}\)
Теперь подставим значение l в данное уравнение
Мы знаем, что \({l={a+(n-1)d}}\)
Подставляя это в приведенное выше уравнение, мы получаем:
\({S_n={n\over2}(a+( n-1)d)}\)
Это общая формула суммы всех членов арифметической прогрессии от первого до n-го члена.
Примечание. Вы можете получить n-й член арифметической прогрессии, если вычесть сумму n членов арифметической прогрессии из суммы n-1 членов той же арифметической прогрессии. 92+bn}\) Где a и b — константы, не зависящие от n.
Если сумма n членов арифметической прогрессии обозначается \({S_n}\) и общая разность равна d, то \({d=S_n-2S_{n-1}+S_{n-2} }\)
Несколько важных советов по решению сумм, связанных со свойствами арифметической прогрессии
Когда вас просят найти три последовательных члена арифметической прогрессии, сумма которой указана, и вам нужно выполнить некоторые другие операции, всегда возьмите термины как \({a-d,a,a+d}\).
Когда вас попросят взять четыре последовательных члена арифметической прогрессии, сумма которой задана, и вам нужно выполнить некоторые другие операции, возьмите члены как \({a-3d,a-d,a+d,a+3d }\), где общая разница будет равна 2d.
Теперь, когда мы знаем обо всех важных свойствах арифметической прогрессии, мы сможем решить все суммы, связанные с AP.
Чтобы решить некоторые суммы, относящиеся к арифметической прогрессии, нажмите здесь.
Не хотите прекращать учиться? Хотите узнать все о геометрической прогрессии? Что ж, у нас есть кое-что для вас. Нажмите здесь, чтобы узнать о геометрических прогрессиях.
Улучшите свою подготовку к математике, зарегистрировавшись сегодня в тестовой тетради. Торопиться!!
У нас также есть приложение, в котором вы можете получить много замечательных преимуществ. Загрузите приложение testbook сегодня и начните учиться даже на своем телефоне.
Свойства арифметической прогрессии – часто задаваемые вопросы
В.1 Что такое арифметическая прогрессия?
Ответ 1 Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел (в основном целых чисел), в которой различия между двумя последовательными элементами последовательности остаются одинаковыми.
Q.2 Как выражается n-й член арифметической прогрессии?
Ответ 2 N-й член от начала AP равен \({t_n=a+(n-1)d}\).
Q.3 Как выражается сумма n членов арифметической прогрессии?
Ответ 3 \({S_n={n\over2}(a+(n-1)d)}\). Это общая формула суммы всех членов арифметической прогрессии от первого до n-го члена.
Q.4 Какова формула обыкновенной разности арифметической прогрессии?
Ответ 4 Если первый член арифметической прогрессии равен a, а последний член арифметической прогрессии равен l, то формула общей разности данной арифметической прогрессии будет \({d={ {l-a}\over{n+1}}}\), где n — количество членов арифметической прогрессии.
Q.5 Что такое постоянная арифметическая прогрессия?
Ответ 5 У нас также есть третий тип арифметической прогрессии, в котором все числа в последовательности имеют одинаковое значение. Это называется постоянной арифметической прогрессией, имеющей общую разность 0.
Скачать публикацию в формате PDF
Подробнее с testbook.com
Прямая кишка Latus: определение, уравнение, важные свойства, с подробными изображениями
Иррациональные числа: изучите определения, списки символов, свойства на примерах!
Типы, реакции, структура, формула и свойства ароматических соединений
Постулаты, важность, ограничения валентной теории связей
Группа 1 Элементы: периодические, физические свойства и химические гости
33333333333333330 гг. (AP, GP, HP) — GeeksforGeeks
Прогрессии (или последовательности и серии) — это числа, расположенные в определенном порядке, так что они образуют предсказуемый порядок. Под предсказуемым порядком мы подразумеваем, что по некоторым числам мы можем найти следующие числа в ряду.
Арифметическая прогрессия (AP)
Последовательность чисел называется арифметической прогрессией, если разница между любыми двумя последовательными членами всегда одинакова. Проще говоря, это означает, что следующее число в ряду вычисляется путем прибавления фиксированного числа к предыдущему числу в ряду. Это фиксированное число называется общей разностью. Например, 2,4,6,8,10 является AP, потому что разница между любыми двумя последовательными членами ряда (общая разница) одинакова (4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = 2 ).
Если «a» — первый член, а «d» — общая разность,
n-й член AP = a + (n-1) d
Среднее арифметическое = сумма всех членов в AP / количество терминов в AP
Сумма n членов AP = 0,5 n (первый член + последний член) = 0,5 n [ 2a + (n-1) d ]
Геометрическая прогрессия (ГП)
Последовательность число называется геометрической прогрессией, если отношение любых двух последовательных членов всегда одинаково. Проще говоря, это означает, что следующее число в ряду вычисляется путем умножения фиксированного числа на предыдущее число в ряду. Это фиксированное число называется обыкновенным отношением. Например, 2,4,8,16 является GP, потому что отношение любых двух последовательных членов ряда (общая разность) одинаково (4/2 = 8/4 = 16/8 = 2).
Если «a» — первый член, а «r» — знаменатель,
n-й член GP = a r n-1
Среднее геометрическое = n-й корень произведения n членов GP
Сумма из n членов ЗП (r < 1) = [a (1 – r n )] / [1 – r]
Сумма n членов ЗП (r > 1) = [a (р н – 1)] / [р – 1]
Последовательность чисел называется гармонической прогрессией, если обратные члены равны в АП. Проще говоря, a,b,c,d,e,f находятся в HP, если 1/a, 1/b, 1/c, 1/d, 1/e, 1/f находятся в AP.
Для двух членов ‘a’ и ‘b’,
Среднее гармоническое = (2 a b) / (a + b)
Для двух чисел, если A, G и H являются соответственно средними арифметическими, геометрическими и гармоническими, затем
A ≥ G ≥ H
A H = G 2 , т. е. A, G, H входят в GP
Примеры задач
Вопрос 1 : AP n-й член для , 23, 29, … Решение : Здесь a = 11, d = 17 – 11 = 23 – 17 = 29 – 23 = 6 Мы знаем, что n-й член АП равен a + (n – 1) d => n-й член для данной AP = 11 + (n – 1) 6 => n-й член для данной AP = 5 + 6 n Мы можем проверить ответ, подставив значения ‘n’. => n = 1 -> Первый член = 5 + 6 = 11 => n = 2 -> Второй член = 5 + 12 = 17 => n = 3 -> Третий член = 5 + 18 = 23 и и так далее …
Вопрос 2 : Найдите сумму AP в приведенном выше вопросе до первых 10 членов. Решение: Из приведенного выше вопроса => n-й член для данного AP = 5 + 6 n => Первый член = 5 + 6 = 11 => Десятый член = 5 + 60 = 65 => Сумма из 10 членов АП = 0,5 n (первый член + последний член) = 0,5 х 10 (11 + 65) => Сумма 10 членов AP = 5 x 76 = 380
Вопрос 3 : Для элементов 4 и 6 проверьте, что A ≥ G ≥ H. Решение: A = среднее арифметическое = (4 + 6) / 2 = 5 G = Среднее геометрическое = = 4,8989 H = Среднее гармоническое = (2 x 4 x 6) / (4 + 6) = 48 / 10 = 4,8 Следовательно, A ≥ G ≥ H
Вопрос 4 : Найдите сумму ряда 32, 16, 8, 4, … до бесконечности. Решение: Первое слагаемое, a = 32 Обычное отношение, r = 16 / 32 = 8 / 16 = 4 / 8 = 1 / 2 = 0,5 Мы знаем, что для бесконечной ВП Сумма членов = a / (1 – r) => Сумма членов ВП = 32 / (1 – 0,5) = 32 / 0,5 = 64
Вопрос 5 : Сумма трех чисел в GP равна 26, а их произведение равно 216. Найдите числа. Решение: Пусть числа будут a/r, a, ar. => (a / r) + a + a r = 26 => a (1 + r + r 2 ) / r = 26 Также дано, что произведение = 216 => (a / r) х (а) х (ар) = 216 => а 3 = 216 => a = 6 => 6 (1 + r + r 2 ) / r = 26 => (1 + r + r 2 ) / r = 26 / 6 = 13 / 3 => 3 + 3 r + 3 r 2 = 13 r => 3 r 2 – 10 r + 3 = 0 => (r – 3) (r – (1 / 3) ) = 0 => r = 3 или r = 1 / 3 Таким образом, нужные числа 2, 6 и 18.
Задачи на прогрессии (AP,GP, HP) | Set-2
Эта статья была подготовлена пользователем Nishant Arora
Пожалуйста, напишите комментарии, если у вас есть какие-либо сомнения, связанные с темой, обсуждаемой выше, или если вы столкнулись с трудностями в каком-либо вопросе, или если вы хотели бы обсудить вопрос, отличный от упомянутых выше.
Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсуждаемой выше
Арифметические свойства — коммутативные, ассоциативные, дистрибутивные
Умножение и сложение имеют особые арифметические свойства , которые характеризуют эти операции. В произвольном порядке это коммутативные, ассоциативные, дистрибутивные, тождественные и обратные свойства.
Коммутативное свойство
Операция является коммутативной, если изменение порядка операндов не меняет результат.
Коммутативное свойство сложения означает, что порядок добавления чисел не имеет значения. Это означает, что если вы сложите 2 + 1, чтобы получить 3, вы также можете добавить 1 + 2, чтобы получить 3.
Другими словами, расположение слагаемых можно изменить, и результаты будут одинаковыми. Точно так же коммутативное свойство умножения означает, что места множителей можно менять, не влияя на результат.
Ассоциативное свойство
В выражении, содержащем два или более вхождений только сложения или только умножения, порядок выполнения операций не имеет значения, пока последовательность операндов не изменяется. Это называется ассоциативным свойством .
То есть перестановка скобок в таком выражении не изменит его значения.
Например, сгруппируйте и добавьте:
$\ 1 + 5 + 9 + 5 = ?$
Чтобы упростить это, используйте свойство коммутативности, чтобы изменить порядок, а затем используйте свойство ассоциативности, чтобы сгруппировать $1$ и $9$, $5$ и $5$, поскольку эти обе пары дают в сумме 10$, поэтому окончательный результат равен 20$.
Распределительное свойство
Распределительное свойство объединяет сложение и умножение. Если число умножает сумму в скобках, скобки можно убрать, если мы умножим каждый член в скобках на одно и то же число.
Количество членов в скобках не имеет значения, оно всегда будет действительным. Это свойство обычно применяется, когда неизвестное входит в состав сложения, и позволяет выделить неизвестные.
Элемент идентификации
Элемент идентификации или нейтральный элемент представляет собой элемент, который оставляет другие элементы неизменными при объединении с ними. Идентификационный элемент для сложения равен 0, а для умножения равен 1.
Обратный элемент
Мультипликативное обратное или обратное число $x$, обозначаемое $\frac{1}{x}$, — это число, которое при умножении на $x$ дает мультипликативное тождество, 1. Мультипликативное обратная дробь $\frac{x}{y}$ равна $\frac{y}{x}$
Аддитивная обратная числа $x$ – это число, которое при прибавлении к $x$ дает нуль. Это число также известно как , противоположное (число), изменение знака и отрицание. Для действительного числа оно меняет знак: противоположное положительному числу отрицательное, а противоположное отрицательному числу положительное. Ноль является аддитивной инверсией самого себя.
Например, обратное число 5 равно $\frac{1}{5}$, а число, противоположное числу 5, равно -5.
В чем разница между коммутативным и ассоциативным свойством?
Когда вы думаете о сложении или умножении, важно знать некоторые свойства или законы. В математике это вещи, которые остаются неизменными.
Переместительное свойство против ассоциативного свойства
Переместительное свойство или закон перестановочности означает, что вы можете изменить порядок сложения или умножения чисел и получить тот же результат.
Например, в переместительном свойстве сложения, если у вас есть 2 + 4, вы можете изменить его на 4 + 2, и вы получите тот же ответ (6).
То же самое с коммутативным свойством умножения. Если у вас есть 2 х 4, вы можете изменить его на 4 х 2 и получить тот же результат (8).
Отличие от ассоциативного свойства или ассоциативного закона заключается в том, что оно включает более двух чисел. Неважно, как вы группируете числа или что вы складываете или умножаете в первую очередь. Важно то, что это только сложение или только умножение.
Вы можете изменить порядок сложения или умножения чисел и получить тот же результат.
Ассоциативность сложения означает, что вы можете складывать числа в любом порядке. Пример: 2 + 3 + 1 + 5 + 6 = 17. Это верно, если вы прибавляете 2 к 3 к 1 к 5 к 6 или если вы складываете 2 и 3 вместе, чтобы получить 5, а затем складываете 1, 5 и 6 вместе. чтобы получить 12, и 5 и 12 вместе, чтобы получить 17.
Ассоциативное свойство для умножения то же самое. Если у вас есть три или более чисел, вы можете умножать их в любом порядке, чтобы получить тот же результат.
Например, в задаче: 2 x 3 x 5 x 6 вы можете умножить 2 x 3, чтобы получить 6, затем 5 x 6, чтобы получить 30, а затем умножить 6 x 30, чтобы получить 180. Вы можете умножать числа В любом порядке и получит 180.
Арифметическая прогрессия — вывод, применение и вопросы
В математике арифметическая прогрессия (AP) или арифметическая последовательность — это последовательность чисел, в которой разница между последовательными элементами является постоянной и известна как общая разность . Например, последовательность 2, 4, 6, 8, … является арифметической последовательностью с общей разностью 2.
Мы можем найти общую разность AP, найдя разницу между любыми двумя соседними терминами.
История
Факты показывают, что вавилоняне , некоторые 4000 лет назад знали арифметические и геометрические последовательности. Согласно Боэцию , арифметические и геометрические последовательности были известны ранним греческим писателям.
Среди индийских математиков Арьябхатта первым дал формулу суммы квадратов и кубов натуральных чисел в своей знаменитой работе ‘9{й}\) срок.
Отмечено: Индийские математики Брахмгупта , Махавира и Бхаскара также считаются дающими сумму квадратов и кубов.
Члены арифметической прогрессии
Последовательность \(a, a_1, a_2, a_3, …, a_n\) называется арифметической последовательностью или арифметической прогрессией.
Где \(a\) — первый член. \(a_1\) является вторым членом и может быть задан как \(a_1 = a + d\), {th}\) член n число членов a первый член d общая разность
(или) разделить (на ненулевую константу ) на каждый член А.П., результирующая последовательность также является А.П. здесь a, b и c равны 1-й, 2-й и 3-й срок соответственно.
Если это верно, то мы можем сказать, что эти три термина находятся в A.P. члены 1, 4, 7 находятся в A.P.
Сумма арифметической прогрессии
Сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметическим рядом .
Производная
\( S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d) …(i)\\ S_n = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + … + (a + 2d) + (a + d) + a …(ii)\\ \mbox{добавление ( i) & (ii)}\\ \mbox{Все термины, включающие ‘d’, исключают уход}\\ 2S_n = n(a + a_n)\\ S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\\ \mbox{потому что } a_n = a + (n-1)d\\ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\\ \)
Приложения арифметической прогрессии
Последовательности полезны в нескольких математических дисциплинах для изучения функций , пространств и других математических структур с использованием свойств сходимости последовательностей . В частности, последовательности являются основой для рядов, которые важны в дифференциальных уравнениях и анализе .
Вопросы
Давайте рассмотрим некоторые вопросов арифметической прогрессии :
По какой формуле вычисляется «D»? 92 = \ гидроразрыва {n (n + 1) (2n + 1)} {6} \)
Введение в арифметическую прогрессию
В соответствии с последней версией 10 класса CBSE Учебный план по математике , Глава 5 Арифметическая прогрессия является частью Блока 2 Алгебры. Модуль 2 имеет вес 20 баллов на экзаменах CBSE Class 10 Maths Board Exams.
Содержание
Что такое арифметическая прогрессия?
Свойства арифметической прогрессии
Notation in Arithmetic Progression (A.P)
Sum of n Terms of an Arithmetic Progression
Arithmetic Mean
Sample Questions
Read Also: Difference Between Sequence и серия
Что такое арифметическая прогрессия?
[Нажмите здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]
Арифметическая прогрессия (AP) — это арифметическая прогрессия, последовательность рядов или чисел с общей разницей между двумя последовательными числами в последовательности. Последовательность устроена в чрезвычайно особом порядке, так что отношение между двумя последовательными членами ряда или последовательности обычно постоянно.
Прогресс встречается в нашей обычной жизни точно так же, как количество учеников в классе, количество дней в неделе или месяцев в году. Прогрессия может быть формой последовательности, из которой можно получить формулу для n-го члена. Прогрессия или AP может быть последовательностью, в которой каждый новый термин после основного получается путем добавления продолжающегося различия, называемого общим различием.
На простом языке прогрессия может быть набором целых чисел внутри каждого термина, который является результатом добавления константы к предыдущему термину помимо основного термина.
Например, 2,4,6,8,10,12
5,10,15,20,25,30,35,40
Арифметическая прогрессия: Объяснение
Ниже перечислены три стиля прогрессии. :
Арифметическая прогрессия (АП)
Геометрическая прогрессия (ГП)
Гармоническая прогрессия (ГП)
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия может быть образцом последовательности двух членов ряда, который имеет типичную связь между двумя членами ряда . Это последовательность чисел, в которой каждый член последовательности отличается от последующего члена на постоянную величину.
Читайте также:
Свойства арифметической прогрессии
[Щелкните здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]
Если неумолимо, то добавляется к каждому числу АР, результирующая последовательность дополнительно является АР
9096 AP является продолжением результирующей последовательности, дополнительно являющейся AP.
Если каждый член АП разделить на ненулевую константу, то полученная последовательность дополнительно является АП.
Если из каждого члена AP вычесть константу, результирующая последовательность будет дополнительно AP.
Подробнее.
n= общее количество членов
an= n-й член (где n=1,2,3,…,n)
Sn=сумма первых n членов
Общий член арифметической прогрессии
Любая последовательность a1 a2 a3…. и называется прогрессией, если an + 1=an+d, n€N
Предположим, что основным термином AP может быть общая разница d
т. е. a, a+d, a+2d, a+3d……
1-й член = a = a+(1-1) d
2-й член = а+d = а+(2-1) d
3-й член = а+2d = а+(3-1) d.
.
.
.
N-й член = an a+(n-1) d
Читайте также:
Сумма n членов арифметической прогрессии
[Нажмите здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]
Сумма n элементов AP представляет собой сложение первых n элементов автоматизированной последовательности. Простыми словами, сумма до n делится на двойную сумму удвоенного основного члена «а», а также произведение разности между 2-м и, следовательно, первым общим различием
Сумма n членов в AP
n/2[2a+(n-1)d]
Сумма квадратов n натуральных чисел
[n(n+1)(2n+1)]/6
Sum of Cube of a natural numbers
[n(n+1)/2]2
Sum of natural numbers
n(n+1)/2
Пример:- Найдите сложение первых 22 членов АР: 8, 4, -2, . …..
Ответ: a=8, d=4-8=-4, n =22
Мы знаем, что S= n/2[2a+(n-1)d]
Следовательно, S= 22/2[16+21(-4)]
= 11(16-84)
= 11(-68)
= -748.
Также проверьте:
Среднее арифметическое
[Нажмите здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]
Если a,b,c находятся в A.P, тогда b=(a+c)/2, а b называется средним арифметическим.
Важные моменты
Общая форма AP: a, a+d, a+2d,…..
Если a, b, c находятся в AP, то b-a=c-b или 2b=a+ c и b называется средним арифметическим значений a и c
Если в AP 3 члена, то предполагают a-d, a, a+d
Если в AP 4 термина, то считать a-3d, a-d, a+d, a+3d.
Также проверьте больше:
Примеры вопросов
Вопросы: При каком значении K будут K+9, 2k-1 и 2k+7 последовательными членами AP?
Ответ = (2k-1) — (k+9) = (2k+7) — (2k-1)
= k-10=8
= k= 8
Итак, значение K будет равно 8.
Вопросы: Найдите «d» АП, в котором a21-a7=84? (2017)
Ans = a+(21-1)d — [a+(7-1)d] =84 [формула: tn=a+(n-1)d]
= (a+20d) — (a +6d) =84
= 14d=84
= d= 84/14 = 6
Итак, общая разность АП равна 6.
Вопросы: Найдите общую разность АП, первая член равен 4, последний член равен 49, а сумма всех его членов равна 265.
Ответ:
a=4, l=49, S=265
Мы знаем, что Sn=n/2 (а+л)
Следовательно, 265=n/2(4+49)
265=n/2(53)
n/2=265/53
n/2=5
n=10 общее количество членов равно 10.
Мы знаем, что l=a+(n-1)d
Следовательно, 49=4+(10-1)d
45=9d
d=45/9
d= 5
Таким образом, общая разность равна 5.
Вопросы: Сложение четырех последовательных чисел в AP равно 32, а доля кратного первого и последнего членов кратна двум средним сроки 7:15. Найдите числа.
Ответ: Предположим, четыре последовательных числа равны a-3d, a-d, a+d, a+3d. 8
Кроме того,
(a-3d)(a+2d)/(a-d)(a+d)= a2-9d2/a2-d2=7/15
15a2-135d2=7a2-7d2
8a2 =128d2
d2=8/2
d2=4
d= ±2
Теперь найдем четыре последовательных числа ,
a-3d=8-3(2)= 2
a-d=8-2= 6
a+d=8+2= 10
a+3d=8+3(2)= 14
Итак, четыре последовательных числа равны 2, 6, 10 и 14.
Вопрос: Найдите сумму всех множителей 7, лежащих между 500 и 900.
Ответ = Наш первый член будет 504, а последний член будет 896.
Мы знаем, что l=a+( n-1)d
Следовательно, 896=504+(n-1)7
392=(n-1)7
n-1=392/7=56
n=57
Мы знаем, что Sn=n/2(a+l)
Следовательно, Sn=57/2(504+896)
= 57/2×1400
= 39900
Ques If: отношение сложения первых n членов двух АП равно (7n+1):(4n+27), затем найдите долю их 9-го члена.
Ответ: Предположим, что первый член (7n+1)= a1 и общая разность = d1
Предположим, что первый член (4n+27)= a2 и общая разность = d2
Итак, наше отношение равно 24:19.
Вопрос: Сумма первых n членов АП равна Sn=3n2+2n. Определите АР и его 15-й член.
Ответ: мы знаем, что Sn= 3n2+2n
Сначала найдем S1, S2 и a2,
S1=a1=3(1)2+2(1)
=5
S2=3(2)2+2(2)
=12+4
=16
a2=S2-S1=16-5=11
Итак, d=a2-a1=11-5= 6
Теперь узнаем AP,
AP= a, a+d, a+2d,…….= 5, 11, 17,…..
А теперь мы увидим 15-й член,
a15=a+14d
=5+14(6)
=5+84= 89
Итак, общая разность равна 6, а ее 15-й член равен 89.
Вопрос: Оператор телевизоров произвел 600 телевизоров в 3-й год и 700 телевизоров в 7-й год. Предполагая, что производство постоянно увеличивается на фиксированную величину каждый год, найдите производство в 1-й год, 10-й год и общее производство в первые 7 лет.
Ответ: Так как производство постоянно увеличивается на фиксированное число каждый год, нет. телевизоров, эксплуатируемых в 1-м, 2-м, 3-м,….. годах, составят АП.
Обозначим через an число эксплуатируемых телевизоров в n-м году.
Тогда a3= 600 и a7= 700
или, a+2d=600
И a+6d=700
Решая эти уравнения, мы получаем d=25 и a=550.
Следовательно, производство телевизоров в 1-м году равно 550.
Теперь a10=a+9d
=550+9×25
= 775
Итак, производство телевизоров в год равно 775.
Кроме того, s7=7/2[2×550+(7-1)×25]
=7/2 (1100+150)
= 4375
Таким образом, общий объем производства телевизоров за первые 7 лет составляет 4375.
Вопрос. арифметический ряд. Когда 30 платежей выплачены, он умирает, оставляя одну треть невыплаченной ссуды. Найдите стоимость первого взноса.
Ответ: Человеку удается погасить кредит в размере 3600 рупий 40 ежегодными платежами, которые образуют A. P., т. е. сумма всех 40 платежей = 3600
S40 = 3600
Мы знаем, что Sn = n /2 [2a+(n-1)d]
40/x[2a+(40-1)d]=3600
2a+39d=3600/20=180….. (i)
Умер, уйдя не погашена треть кредита. Это означает, что он заплатил оставшиеся деньги 30 частями.
Следовательно, деньги, которые он заплатил 30 частями = 3600-3600/3=3600-1200
Итак, s30=2400
S40=2400=30/2[2a+(30-1)d]=2400
Следовательно, Sn=n/2[2a+(n-1)d]
2a+2ad =2400/15=160…. (ii)
-(ii) = 2a+39d=180
2a+29d=160/0+10d=20
d=20/10=2
Положим d= 2 в (ii) 2a +29(2)=160
2a=102
A=102/2= 51
Следовательно, стоимость его первого взноса = 51.
Вопрос: Мужчина получил 32 рупии в течение 1-го года. , 36 рупий во втором году, и таким образом он ежегодно увеличивал свои сбережения на 4 рупии. Найдите, через какое время его обеспеченные деньги будут составлять 200 рупий.
Ответ: Экономия за 1-й год (a1) = 32 рупий
Экономия за 2-й год (a2) = 36 рупий
Увеличение заработной платы каждый год (d) = 4 рупии будет 200
= Sn=200
= n/2[2a+(n-1)d=200
= n/2(64+4n-4)=200
N/2(4n+60 )=200
=2n2+30n=200
=n2+15-100=0 [при делении на 2]
=n2+20n-5n-100=0
=n(n+20)-5 (n+20)=0
(n+20)(n-5)=0
Если n+20=0 или n-5=0
N=-20 или n=5 [Отклонено, так как n не может быть отрицательным]
Следовательно, через 5 лет его сбережения составят 200 рупий.
Вопрос: Человек заработал 16500 за 10 лет. Каждый год после первого он получал на 100 рупий больше, чем в предыдущем году. Сколько он заработал за 1-й год?
Ответ: Пусть «а» будет деньгами, которые он заработал в первый год
= Первый год, когда он заработал деньги =
рупий. Он сэкономил на 100 рупий больше, чем в предыдущем году.
= На второй год он заработал деньги = Rs (a+100)
= На третий год он накопил деньги = Rs [a+2(100)]
Итак, последовательность такова, a+100, a+ 2(100), ……, Это АП с общей разностью (d)=100
= Сумма денег, которую он заработал за десять лет S10=16 500 рупий
Мы знаем, что Sn=n/2[2a+(n -1)d]
S10=10/2[2a+(10-1)100]
16500=5(2a+9×100)
2a +900=16500/5=3300
2a=2400
A=2400/2=1200
Следовательно, он сэкономил деньги в первый год (a) = 9 рупий.0011 1200 .
Часто задаваемые вопросы об арифметической прогрессии
Что такое арифметическая прогрессия?
Прогрессия — это особый тип последовательности, для которого можно получить формулу n-го члена. Благодаря легким и простым формулам арифметическая прогрессия была самой известной последовательностью в математике. Любая последовательность или серия в том порядке, в котором разница между любыми последовательными числами постоянна, называется арифметической прогрессией. Более того, в случае любого набора последовательных нечетных и четных, разница будет равна двум.
Общее уравнение
Для последовательности n , где общая разность равна d, а первый член равен 1 . Уравнение будет таким:
a n =a 1 +(n-1)d
Ключевые свойства арифметической прогрессии
Ниже приведены некоторые ключевые свойства арифметической прогрессии:
1 90,00 Если a,b,c в любом случайном ряду принадлежат A.P, то 2b = a + c.
2. Общим отличием будет «a» для последовательности в A.P, где n th в последовательности имеет форму an + b.
3. Последовательность также может быть в A.P, если ненулевое постоянное число делится, умножается, прибавляется или вычитается из каждого члена ряда в A.P.
4. Арифметическая прогрессия является убывающей последовательностью, если общая разность отрицательна, т.е. dn-1>a n
5. Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если общая разность положительна, т.е. d>0, и удовлетворяет условию a n-1 n.
Суммы арифметических прогрессий
В AP с общей разностью d и первым членом a сумма первых n членов определяется как:
S = n/2[2a + (n − 1) × d]
Арифметическая прогрессия Вес в 10-м классе
Программа 10-го класса по математике представляет арифметическую прогрессию в главе 5 раздела II Алгебра. Глава получает 5 баллов на контрольных экзаменах и охватывает такие темы, как вывод n-го члена и сумма первых n членов AP.
Арифметическая прогрессия Вес в классе 11
Программа 11 класса по математике представляет арифметическую прогрессию в последовательности главы 7 и серии из раздела Алгебра. Этот блок содержит 30 важных баллов и охватывает общую практику, средние арифметические и другие основные темы.
Иллюстрированные примеры по арифметической прогрессии
1. Субба Рао начал работать в 1995 году с годовой зарплатой 5000 рупий и каждый год получал надбавку на 200 рупий. В каком году его доход составил 7000 руб.?
Решение:
Учитывая, что заработная плата увеличивается на 200 каждый год
Следовательно, ряд будет,
5000,5200,5400……..,an
a=5000, d=200, an= 7000
Таким образом,
a n = a+(n−1) d
7000 = 5000 + (n-1) 200
n = 11
На 11-м курсе зарплата составит 7000.
2. Найдите сумму первых 22 членов АП, в которых d = 7, а 22 -й -й член равен 149.
Решение:
Дано, d = 7, a 22 = 149
Из формулы, a = 2
Теперь, 22/2 (2 + 149)
S 22 = 1661
3. Запишите первые четыре члена А.П., когда первый член а и общая разность где а = 10, d = 10.
Решение:
Дано, a = 10, d = 10
Следовательно, ряд будет 10,20,30,40,50,…
Первые четыре члена: 10,20,30,40,
Часто задаваемые вопросы об арифметической прогрессии
В: Зачем нужна арифметическая прогрессия?
О: В нашей повседневной жизни арифметическая прогрессия в основном используется для обобщения набора терминов.
В: Приведите несколько случаев АП в нашей повседневной жизни?
A: Наша повседневная жизнь представляет собой множество примеров арифметической прогрессии, начиная от календарных дат, таблиц данных и т.
Статья «Компьютерные программы для решения задач по математике»
Решение Ваших математических задач в онлайн режиме. Бесплатная версия программы предоставляет Вам только ответы. Если вы хотите увидеть полное решение, Вы должны зарегистрироваться для бесплатной полной пробной версии.
Другие программы
Решение задач
Разложение на множители
Асимптоты
Обратные функции
Матрицы и системы уравнений
Производные
Интегралы
Статистика
Дифференциальные уравнения
Mathway – решает задачи по алгебре
Mathway решает примеры и может соревноваться в своей славе с вышеописанными программами. Компьютерная его версия требует символическую оплату. Решает примеры всяческими способами; их допустимо выбирать самостоятельно. В поле деятельности Mathway: тригонометрия, элементарная математика, основы алгебры и сама алгебра, основы математического анализа, статистика, конечная математика, линейная алгебра, химия, графики. Очень широкий функционал. Вносить можно и собственноручно, и с помощью фотографии.
Инициировать решения примеров по фото онлайн – дело нетрудное. В случае со смартфонами требуется четко навести камеру в приложении на непонятный пример, сфотографировать; желательно использовать вспышку. Компьютерный веб-сайт же просит просто качественное изображение.
После этого любое приложение предлагает пути решения; выбирайте исходя из школьной или студенческой программы.
Чтобы рассмотреть каждый шаг примера, нужно нажать на него. Далее показывается и объясняется процесс, подкрепляется правилами и теоремами.
Как решить математику на смартфоне
Математика — царица наук и один из самых сложных предметов для большинства учащихся. Простая арифметика, превращающаяся в дальнейшем в сложную алгебру и геометрию, заставляла многих ненавидеть эти дисциплины. В век информационных технологий дела с этим обстоят совсем иначе. На помощь школьникам и студентам пришли смартфоны и планшеты с «умными» приложениями-калькуляторами, речь о которых пойдет в этой статье.
Лучший Telegram-канал про технологии (возможно)
Photomath 7.0.0 Android 5.0 и выше
Разработчики самого популярного математического приложения Photomath называют свое детище «камерой-калькулятором». Его особенность заключается в том, что при помощи камеры смартфона или планшета, пользователь может решить практически любую математическую задачу. Логарифмические, квадратные, тригонометрические уравнения и неравенства, корни, модули, степени, дроби, интегралы, целые системы и факториалы — все это не составляет никакого труда. При этом приложение не просто выдает ответы, но и пошагово расписывает решения задач — очень полезно как для учащихся, так и для родителей, которые хотят проверить математику у ребенка.
Photomath работает в автоматическом режиме. При запуске приложения активируется встроенный интерфейс камеры с заданной областью распознавания. Достаточно вместить математическую задачу в эту область, как умные алгоритмы программы начинают анализировать данные на экране и практически моментально выдают ответ. Чтобы увидеть ход решения задачи необходимо нажать на результат в красном прямоугольнике. Последние 10 записей сохраняются в истории, пользователь в любой момент может просмотреть решение предыдущей задачи.
В случае, если программа некорректно распознала математические символы в задании, его можно отредактировать в режиме калькулятора. Стоит отметить, разработчики очень хорошо продумали эту функцию. Здесь доступен калькулятор со всевозможными операторами, есть цифровая, текстовая и символьная раскладки.
В одном из последних обновлений Photomath для Android наконец появилась долгожданная функция распознавания рукописного текста. Работает она небезупречно, для лучшего результата желательно обладать аккуратным почерком.
На практике Photomath показал себя отлично. Приложение справляется со всей школьной программой по математике и алгебре, включая старшую и высшую школу. Трудности возможны при решении уравнений с модулем и сложными факториалами. Иногда программа не с первого и даже не со второго раза распознает объемные задачи. Photomath в упор не видит достаточно сложные выражения, но в основном приложение действительно стоящее — работает без интернета, имеет русский интерфейс, не содержит рекламы и абсолютно бесплатное. Правда, немного смущает надпись «приложение разблокировано до 1.09.17». Это наводит на мысль, что разработчики планируют сделать Photomath платным, либо ввести платные функции.
Mathpix 2.1.14 Android 5.0 и выше
Еще до того, как приложение Photomath научилось распознавать рукописные математические задачи, это уже давно умела делать программа Mathpix для Android. Суть и принцип работы обоих приложений очень похожи, но в целом сервис Mathpix рассчитан на более взрослую аудиторию. Судя по описанию, приложение решает квадратные уравнения, задачи с дробями, корнями, логарифмами, интегралами, производными и т.д. Однако главной его «фишкой» является возможность построения графиков функций, благодаря интеграции с передовым графическим калькулятором Desmos.
Алгоритмы распознавания у Mathpix очень хорошие. Программа в считанные секунды сканирует и определяет задачу, отправляет на сервер данные и выдает ответ. При этом пользователю доступны инструменты для работы с задачами в режиме графика: редактирование вводных данных, добавление таблиц, заметок и дополнительных функций для нескольких графиков.
На деле Mathpix хорошо справляется только с несложными задачами. Параболы и прочие элементарные графики приложение строит на ура. А вот тригонометрические и логарифмические уравнения, неравенства, а также уравнения с модулем программа решить не смогла.
В целом, приложение сложновато в использовании, интерфейс не очень недружелюбный, элементы управления неудобны на смартфоне с небольшим экраном. К недостаткам также можно добавить отсутствие русского языка и отсутствие подробного описания решения задач.
MalMath 6.0.12 Android 4.0 и выше
Данное приложение помогает решить математические задачи с последующим пошаговым описанием и построением графиков. Программа MalMath для Android примечательна тем, что полностью бесплатная, не содержит рекламы и работает без подключения к интернету. Она предназначена для учеников старших классов, студентов ВУЗов и колледжей. MalMath умеет решать интегралы, производные, пределы, логарифмы, тригонометрические уравнения и неравенства, примеры с корнями и модулями. При этом приложение поддерживает только ручной ввод выражений, функция распознавания с помощью камеры здесь не предусмотрена. Что касается его способностей, то они ограничиваются лишь задачами средней сложности с более скромным, чем у остальных приложений, описанием решений.
Интерфейс MalMath представлен на русском языке, выполнен в классическом стиле и оптимизирован под небольшие экраны. В настройках можно изменить размер шрифта и скорость анимации. Боковое меню включает пять пунктов: главный экран, рабочий лист, график, генератор задач, избранное. Наиболее интересным выглядит функция «генератор задач», которая позволяет создавать случайные математические задачи с несколькими категориями и уровнями сложности, заданными в настройках. Все выражения и графики можно сохранять в избранном.
Процесс добавления задачи реализован по принципу вставки формул в Microsoft Word. В целом, все просто и понятно, но местами — не очень удобно, в частности при вводе сложных комбинаций с дробями и корнями.
Mathway 3.3.26.2 Android 4.4 и выше
Очередной инструмент для решения задач, который, помимо школьного курса математики, охватывает математический анализ, статистику, тригонометрию, линейную алгебру и даже химию. Внешне и функционально приложение полностью повторяет веб-версию сервиса Mathway — тот же интерфейс в виде мессенджера, в котором все действия происходят как бы в диалоге с виртуальным помощником.
Из всех рассматриваемых в этой статье приложений, Mathway предоставляет, пожалуй, наиболее развернутые пошаговые решения задач, причем понятным русским языком. Все функциональные возможности приложения бесплатны, хотя в описании указано, что для просмотра пошагового решения, нужна платная подписка. Кроме уравнений, неравенств и прочих сложных выражений Mathway умеет строить графики и может найти число молекул в определенной массе тела.
Mathway для Android умеет решать задачи с помощью камеры устройства, но реализована эта функция не самым лучшим образом. Во-первых, интерфейс камеры в программе крайне минималистичный, в нем нет даже области распознавания. Для наилучшего результата необходимо, чтобы выражение находилось по центру экрана, а рядом не должно быть других надписей. Камера автоматически настроена в макро-режим, алгоритмы распознавания часто тупят и плохо срабатывают. По правде говоря, гораздо проще и быстрее ввести задачу вручную, для этого в приложении есть просто шикарные возможности. Выдвигающееся боковое меню открывает доступ к 10 разделам, каждый из которых отличается собственным калькулятором с определенными символами, операторами, константами и прочими функциями.
Mathway предлагает пользователю самому выбрать способ решения задачи, в зависимости от этого результаты могут меняться. Если не подходит один из способов, достаточно снова тапнуть на математическое выражение и выбрать другой вариант решения. Mathway вряд ли подойдет тем, кто хочет оперативно получить ответ к задаче. Но если разобраться, у приложения есть большой потенциал.
MyScript Calculator 1.2.3 Android 4.0 и выше
Приложение MyScript Calculator появилось в начале 2013 года и сразу же получило признание на международной выставке CES за инновации. В отличие от большинства калькуляторов, программа предлагает кардинально другой подход к математическим вычислениям. Особенность MyScript Calculator заключается в том, что приложение работает только с рукописным вводом данных. Здесь даже отсутствуют кнопки, как таковые, а все, что имеется — это чистое полотно на весь экран, имитирующее бумагу-миллиметровку. Примеры для вычисления пользователь пишет пальцем или с помощью стилуса. В данном случае предпочтительнее будет использование планшета или фаблета с цифровым пером.
Программа автоматически распознает записи, переводит их в нормальный цифровой вид и тут же выдает результат. Алгоритмы распознавания MyScript Calculator просто великолепные, программа умудряется определить даже самые откровенные каракули. Присутствуют функции отмены и повтора последних действий, а также полной очистки экрана от написанного. Список поддерживаемых символов и операторов довольно большой. Приложение умеет работать с дробями, квадратными корнями, константами, решать уравнения, находить переменные, однако многое чего еще не по силам этому калькулятору, поэтому студентам ВУЗов он навряд ли сгодится.
Основным недостатком MyScript Calculator для Android можно считать отсутствие подробного описания решений, программа выдает только итоговый результат. Хотя, учитывая концепцию приложения, возможно оно было бы лишним. А вот то, что здесь не хватает различных удобных мелочей, так это скорее пожелание разработчикам на будущее. К примеру, хотелось бы увидеть историю вычислений, возможность масштабировать экран и сохранять введенные задачи. Но, если все это отбросить в сторону, приложение действительно полезное, простое и оригинальное.
Лучшие математические приложения для Android
Я за то, чтобы решать вещи в твоей голове. Это может быть медленнее и сложнее, но это единственный способ изучить этот материал. Затем, если у вас нет телефона, аккумулятор разрядился или у вас нет приложения, вы не стоите там, как шут, пытающийся понять, что делать. Тем не менее, есть некоторые математические задачи, которые слишком сложно решить в вашей голове. Вот почему я собрал этот список лучших приложений для решения математических задач для Android.
Выполнение базового умножения или длинного деления в вашей голове — это одно. Делать исчисление или сложную арифметику в своей голове — это нечто другое. Вот тут-то и приходит телефон. Если вам постоянно приходится заниматься математикой, одно из этих приложений для решения математических задач может вам помочь.
Приложения для решения математических задач для Android
Каждое из этих приложений помогает решать различные математические задачи. Каждый из них охватывает основы, но для проблем специалиста, ищите приложение, сильное в этой области. Там, где это очевидно из моего тестирования, я перечислю сильные стороны приложения в списке.
Photomath
Photomath это очень крутое приложение, которое использует камеру вашего телефона для загрузки математической задачи. Сфотографируйте проблему, и приложение проанализирует ее и выложит правильный ответ. Я пробовал это несколько раз, и это работало каждый раз. Он работает с целым рядом типов задач, включая алгебру, исчисление, статистику, арифметику, дроби и многое другое. Это может быть сделано с добавлением ручного ввода, но помимо этого незначительного момента, это очень хорошее приложение для использования.
Вольфрам Альфа
Вольфрам Альфа старается дать ответы на все вопросы и делает это довольно хорошо. Это приложение премиум-класса, но, похоже, оно того стоит (до $ 4,99). Это приложение имеет ряд математических функций, включая теорию чисел, статистику, алгебру и другие, которые я даже не понимал. Приложение также включает в себя объяснения и возможность обратиться за помощью, если вам нужно. Это устаревшее приложение, но оно доставляет товары, если вы ищете широкое математическое приложение с возможностью решения других задач.
Mathway
Mathway еще одно приложение для решения математических задач для Android, которое стоит проверить. Он имеет опцию камеры, как Photomath, но также и возможность вручную ввести вашу проблему. Есть калькулятор и возможность решать целые числа, дроби, десятичные числа, корни, факторы, пределы, производные, интегралы и многое другое. Приложение простое в использовании, очень высоко оценено и хорошо работает.
Ханская академия
Ханская академия это математическое приложение с реальным чувством студента, которое, вероятно, будет идеальным для тех, кто изучает математику. Это полнофункциональное математическое приложение, которое охватывает большинство задач, включая тригонометрию, исчисление, базовую алгебру, предалгебру, арифметику и многое другое. Он включает в себя упражнения, викторины, тесты, интерактивные упражнения, видео и множество других вещей, которые помогут вам освоить математику.
сократовский
сократовский приложение для решения математических задач для Android, подходящее для средней школы или колледжа, а также для решения популярных домашних заданий. Как и Photomath, он использует камеру, чтобы сделать снимок математической задачи, а затем проанализирует и решит ее. Сократик также может решать другие домашние вопросы, такие как английский, история, химия и другие. Как и в случае с Photomath, недостатком может быть только возможность сделать снимок, но, как показал мой тест, анализ не слишком сложен.
Cymath
Cymath другое математическое приложение с высоким рейтингом, которое может решить множество проблем. Он использует аналогичную функцию фото, как Socratic и Photomath, но также позволяет вам ввести проблему вручную. Он также показывает вам, как он пришел к ответу, чтобы помочь понять и выстроить свои математические знания оттуда. Он способен на разложение, логарифмы, показатели степени, комплексные числа, квадратные уравнения, тригонометрию, частичные дроби и многое другое.
Матем 42
Матем 42 мое последнее предложение для лучшего приложения для решения математических задач для Android. Это надежное приложение, способное решать большинство математических задач, о которых вы только можете подумать, или оно будет настроено на любой уровень вплоть до уровня колледжа. Список функций длинный и выходит за рамки моей слабой способности к математике, но, похоже, охватывает большинство предметов, с которыми вы, вероятно, столкнетесь.
Это то, что я считаю лучшими приложениями для решения математических задач для Android. Каждый из них может решить широкий круг проблем, фотографируя и анализируя, или путем ручного ввода. Некоторые предлагают больше помощи в решении проблемы, чтобы помочь вам понять, в то время как другие больше сосредоточены на предоставлении ответа, чтобы вы могли двигаться дальше. В любом случае, один из них наверняка будет тем, что вы ищете.
Программы, которые помогают решать математику!!!
Лето – пора отдыха для многих, особенно этой поры ждут студенты, которым очень хочется отойти на чуть-чуть от науки. И я в свою очередь решил не нагружать читателей тяжёлыми математическими понятиями, а помочь вам сделать работу с математикой ещё легче и приятнее. С сегодняшнего дня я добавляю ещё одну рубрику – “Программы для решения математики”. То есть я буду рассказывать не только о своих онлайн программах, но и о программах, которые устанавливаются на компьютер. С их помощью также можно решить очень много задач
Сначала познакомимся с ними вообще, а в следующих статьях этой рубрики будет рассматривать конкретные программы с конкретными их возможностями.
Я уверен, о некоторых из них вы уже слышали, а некоторые услышите впервые. Для начала представим небольшой список, на мой взгляд, основных математических программ:
MathCad;
MatLab;
Mathematica;
SMath Studio;
Maple;
Advanced Grapher
MasterGraph;
и много других.
Сейчас каждую программу отдельно характеризировать не буду, только наведу несколько примеров математических задач, которые вы легко сможете сделать с помощью этих программ:
Рисование графиков на плоскости и в пространстве, при чём можно дорисовывать разные сечения или дополнительные фигуры поворачивать их, рассматривать под другим углом и т.д.
Делать разные калькуляционные вычисление, то есть подносить до степени, добывать корень, вычислять разные значения тригонометрических и других функций …
Высчитывать плоскости и объемы разных фигур или их частей.
Решать разные уравнения (линейные, квадратные, кубические …) или системы уравнений.
Делать разные операции с матрицами и высчитывать определитель.
Находить производные, интегралы.
И многое-многое другое…
Также хочу добавить, некоторые программы сделаны, не только под Windows, но и под другие операционные системы, к примеру, Linux, даже под смартфон, или КПК.
Так что если вы освоите эти программы, то делать математические задания, вам станет на много легче. Или хотя бы вы точно будет знать правильно или нет, вы решили задание, что поможет предотвратить значительное количество ошибок.
Удачной учёбы!!!
P.S. Если вам нравится эта идея, или вы что-то хотите сказать по этому поводу, то пишите пожалуйста, в комментариях, буду очень признателен!!!
Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Загрузка.п2227-6572.2016.1.97
ВОЛОДИНА Евгения Валерьевна
Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова
адрес: 428015, г. Чебоксары, просп. Московский, д. 15; е-mail: [email protected]
ИЛЬИНА Ирина Игоревна
Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова адрес: 428015, г. Чебоксары, просп. Московский, д. 15; е-mail: [email protected]
ТИМОФЕЕВА Наталия Николаевна
Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова адрес: 428015, г. Чебоксары, просп. Московский, д. 15; е-mail: [email protected]
разработка интерактивного web-приложения для решения математических задач с параметром
с помощью динамической графики
Современные компьютерные технологии внедрены практически во все сферы жизнедеятельности людей, в т. ч. и в образование. В настоящее время для решения большинства прикладных задач, в частности для решения математических задач с параметрами, используются разные программные продукты, которые имеют как преимущества, так и недостатки использования. Статья посвящена разработке и внедрению в учебный процесс web-приложения на языке Java SC для графической иллюстрации решений уравнений, систем уравнений и неравенств, содержащих параметр. Проект является кроссплатформенным. Данное приложение позволяет получить анимированные графики явно заданных уравнений или сводящихся к ним систем уравнений и визуализировать изменения графика функции в зависимости от параметра с помощью динамической графики. При исследовании зависимости решения задачи от параметра обучающиеся часто не понимают, как этот параметр может влиять на решение. Наглядность изменения графика функции в зависимости от параметра способна обеспечить эффективный поиск решения задачи. Созданный программный продукт имеет отличительные положительные особенности применения по сравнению с известными математическими пакетами, такими как «Mathcad» или «Maple», в виде простоты использования, отсутствия необходимости материальных затрат. Использование такого рода web-приложений позволяет решать большой класс исследовательских задач по разным направлениям. Практическое использование данного программного продукта позволяет развить интеллект, пространственно-визуальное мышление, знания и навыки работы со средствами ИКТ, активизировать познавательную деятельность, помогает скорректировать знания в области математики. Статья представляет интерес для учеников школ, студентов и преподавателей графики сузов и вузов.
Ключевые слова: web-приложение, задачи с параметрами, динамическая графика.
Современное развитие информационного общества ведет к изменениям в школьном и высшем профессиональном образовании. Эффективная работа образовательных учреждений должна способствовать познавательной, исследовательской деятельности обучаемых, которая, в свою очередь, ведет к самореализации и самосовершенствованию личности. Поэтому одной из основных целей преподавателя является создание условий, обеспечивающих мотивацию к образованию и учебной активности. Особое внимание желательно уделять таким формам заданий, которые стимулируют интеллектуальную активность и способствуют развитию индивидуальной ответственности за результат учебного труда. Наиболее актуально это для формирования ключевых компетенций в процессе математической подготовки современного 1Т-специалиста.
В последние годы наблюдается значительное увеличение количества различных web-приложений как программных продуктов, решающих определенные задачи. Бурное развитие данного направления 1Т-индустрии обусловлено прогрессом web-технологий, упрощающих разработку и увеличивающих возможности web-приложений, и ростом популярности мобильных устройств, планшетных компьютеров, появлением новых операционных систем и пр.
Задачи с параметрами являются отличным материалом для исследовательской работы и проектной деятельности учеников и студентов, способствуют развитию логического мышления, высокой математической культуры [1, 2]. Они возникают при математическом моделировании различных процессов. Задачи с параметрами содержатся в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена по математике и часто присутствовали во вступительных испытаниях в вузы. Отметим также, что в школьной программе обязательно рассматриваются задания, содержащие параметр, но им уделяется мало внимания. Задачи такого рода относятся к весьма сложным и вызывают большие трудности у обучаемых.
Для активизации познавательной деятельности, повышения мотивации к изучению и решению задач с параметрами целесообразно использовать инновационные технологии и нестандартные методы обучения, позволяющие решить одну из главных проблем обучаемых -непонимание того, как параметр влияет на решение и на саму функцию. В этом случае наглядность изменения графика функции в зависимости от параметра способна обеспечить эффективный поиск решения задачи. Вот почему программа, в которой можно визуально и просто оценить, как параметр в движении меняет положение графика функции в зависимости от его значения, просто необходима.
Для визуализации решения задач с параметрами существуют следующие программные продукты: «Mathcad», «Maple» и «Derive». Они являются отличными математическими пакетами для профессионалов, но при этом слишком сложны для освоения обычными, «не-продвинутыми» пользователями. Кроме того, существует множество онлайн-сервисов, среди которых можно выделить «Google Graph» и «Wolphram|Alpha». Если рассматривать принципы их работы, то в случае с «Google Graph» все достаточно просто: вводится функция в «поисковик», и сервис обеспечивает построение графика, при этом никакой интерактивности здесь не предусмотрено. С «Wolphram|Alpha» ситуация иная: с помощью этой базы знаний можно построить графики, и в ней присутствует интерактивность, отсутствующая в «Google Graph». Для того чтобы воспользоваться ее расширенными функциональными возможностями, необходимо приобрести коммерческую версию, а это существенно усложняет использование этого программного продукта из-за возможных материальных затрат обучаемых (школьников, студентов).
В связи с этим разработка удобного, интерактивного, динамического, не требующего особых вложений со стороны пользователей авторского web-приложения (программного продукта) для поиска графического решения уравнений, неравенств и их систем, содержа-
щих параметр, является актуальной и востребованной.
Студентами факультета дизайна и компьютерных технологий Чувашского государственного университета было получено задание разработать web-приложение для визуализации изменения графика функции в зависимости от имеющегося параметра, а также для графического решения явно заданных уравнений с параметром. Для достижения ими этой цели потребовалось решение следующих задач:
1. Изучить научно-методическую литературу по теме исследования.
2. Провести поиск и сравнительный анализ существующих аналогов подобных программных продуктов.
3. Выявить приоритеты, обеспечивающие максимальную доступность программы для пользователя.
4. Составить алгоритм программы и разработать программное обеспечение, дизайн и удобный интерфейс программного продукта.
Применялись общенаучные логические методы (анализ, синтез, сравнение и пр.), а также элементы программной инженерии1 [3] и программирования.
В ходе разработки нами было составлено задание, согласно которому студенты осуществили все этапы программной разработки, отладки и внедрения программного продукта.
На первом этапе перед студентами ставилось техническое задание, в котором описывался функционал программы и перечислялись задачи, которые она должна решать. Далее разрабатывалась дизайн-концепция сайта с учетом простоты в плане эргономичности интерфейса (рис. 1).
Были предусмотрены 2 окна для введения формул рассматриваемых функций, одна из которых не содержит параметра, а другая -с параметром а. Кроме того, в поле ввода указываются интервал изменения параметра, шаг разбиения, текущее значение параметра, которое соответствует изображенному в дан-
Рис 1. Дизайн-концепция сайта 1Липаев В.В. Программная инженерия. Методологические основы: учебник. М., 2006. 608 с.
ный момент графику. Это позволяет уточнить структуру графика для определенного значения параметра. Раздел «Документация» содержит описание математических функций, которые можно использовать для построения графиков.
На следующем этапе было выполнено формирование web-страниц на основе дизайна. Учитывая, что была поставлена задача создания web-приложения, которое должно быть максимально простым для пользователя независимо от его опыта и навыков работы с компьютером, приняли решение сделать упор на кроссплатформенность. Это означает, что программа должна стабильно работать на любом устройстве и одновременно хорошо выглядеть, адаптируясь под различные экраны устройств.
После того как были сформированы web-страницы, потребовалось их «оживить», иными словами, запрограммировать взаимодействие пользователя с интерфейсом. Проанализировав существующие языки программирования, их перспективы и возможности создания web-приложения, ориентированного на кроссплатформенность, остановились на языке программирования «Java SC» [4, 5].
Отметим, что, поскольку построение графика происходит с заданным шагом, он определяет точность решения. Перемещение графика, содержащего параметр, управляется вручную и прекращается в нужный момент. Этому моменту соответствует некоторое приближенное значение параметра. В некоторых ситуациях его очевидное округление дает точный результат. В любом случае эти значения можно сравнить со значениями, полученными точными аналитическими методами, установить их соответствие и корректность.
Отличительные особенности созданного программного продукта, обеспечивающие определенную новизну и оригинальность разработки, заключаются в следующем:
1. Приложение работает практически на всех современных платформах, на которых заявлена поддержка браузера.
2. Создан адаптивный интерфейс, пригодный для различных размеров экрана.
3. Реализованы простота и удобство в использовании.
4. Изменения функции в зависимости от параметра наглядно отображаются с помощью динамической графики.
5. Использованы современные web-техно-логии.
На основе этой программы можно решить целый комплекс исследовательских задач по разным направлениям. Проиллюстрируем ее работу. В качестве примера возьмем задание, которое предлагалось школьникам в тренировочном варианте для подготовки к ЕГЭ по математике2.
Задача. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение:
х2 + 2 | х — а | + 4х = а.
Решение. Преобразуем уравнение в систему:
\ у = х2 + 4 х, [ у = а — 2 | х — а |
и построим графики полученных функций.
Традиционное аналитическое решение задачи ведет к построению в декартовой системе координат параболы и ломаной, положение которой будет определяться значениями параметра [4]. Количество решений уравнения зависит от количества точек пересечения графиков. Требование задачи — наличие хотя бы одной общей точки. При этом динамическая модель решения, реализуемая с помощью разработанной анимационной web-технологии, наглядно демонстрирует изменение положения графиков функций.
Для определения существования решений уравнения требуется определить значения параметра, при которых происходит касание или пересечение параболы и ломаной (рис. 2).
2Ященко И.В. ЕГЭ-2015. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. М., 2015. 272 с.
Оегр у Документация Авторы
и и
1
У1 = х*х+4*х — \ /
У2 = а-2*аЬ$(х-а) \ /
\ /
Параметры м_ г
1
а0= -4 \ /
а„ = 4 \ /
\ \ 1 I
аш„= 0.01 ! 5 \
агекущег = -3.0000000000 \ /
/ V /
Л Постпоить гоа<Ьик(и) Щ / > ч /
/ \
Воспроизвести анимацию )_0_ / \
-10.0 -/.Ь -50 / |-2.5 \ 0.0 2Ь
Рис. 2. Первое касание параболы и ломаной
Ломаная касается параболы первый раз слева. Соответствующее значение параметра определяется приближенно по графику: а ~ -3. Оно требует уточнения аналитическими методами.
Рассматривая дальнейшее изменение ломаной в зависимости от параметра, опреде-
ляем 2 общие точки графиков и 2 различных решения уравнения до предельного положения, когда луч ломаной касается параболы справа (рис. 3), что соответствует значению а = 1, которое следует проверить аналитически.
Эегру Документация
У! = х*х+4*х у2 = а-2*аЬз(х-а)
Параметры
а«= -4
ал = 4
ашаг ~ 0.01
атекущее- 1
Построить график(и)
Воспроизвести анимацию
т г
\ /
3_ \ /
1 □
I /
\ /
\ /
о; 5_ □ I и \
г ~1 т \
\ г
\ ! \
У \
± о_ 1 \
/ V
/ \
/ V
/ \
А 00 / \
-15 ( -10.С I 0.0~ 100 151
Рис. 3. Второе касание параболы и ломаной
Опираясь на дополнительные аналитические расчеты, можно сделать вывод, что условие задачи выполняется лишь при следующих значениях параметра: а е [-3; 1].
Как видно из примера, разработанное приложение имеет ряд положительных особенностей при решении задач с параметрами, что позволяет:
— эффективно решать громоздкие, требующие многочисленных вычислений и рассуждений, задачи;
— изучить физические, химические, экономические и многие другие закономерности, которые часто сводятся к исследованию процесса функциональной зависимости от параметра;
— визуализировать задачу и ее решение.
Перечисленные свойства определяют практическую значимость выполненной работы. Результатами могут активно пользоваться учащиеся, студенты и преподаватели в школах, колледжах и вузах.
В дальнейшем программу можно совершенствовать, в частности, ее можно приспособить для задач, в которых содержатся 2 параметра, и определять количество общих точек с выводом на дисплей их координат.
Практическое использование данной web-технологии среди учеников школ и студентов вузов позволяет развить ключевые компетенции (исследовательскую, предметную, коммуникативную), интеллект, мышление, знания и навыки пользования средствами ИКТ, активизировать познавательную деятельность, помогает скорректировать знания в области математики. Динамический подход при решении задачи помогает обучающемуся развить визуально-пространственное мышление, что способствует развитию математических способностей у детей, а разбор и решение сложных задач позволяет повысить самооценку обучаемых и тем самым активизировать их учебную деятельность.
Список литературы
1. Безумова О.Л., Котова С.Н., ШабановаМ.В. Компьютерная поддержка решения школьных алгебраических задач средствами «GEOGEBRA» // Совр. проблемы науки и образования. 2013. № 1.
2. Саркеева А.Н. Системы компьютерной математики в интеграции физико-математического образования в средней школе // Информатика и образование. 2008. № 11. С. 88-91.
3. Cameron D. A Software Engineer Learns HTML5, JavaScript and Query. Cisdal publishing, 2013.
4. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Чебоксары, 2000. 144 с.
5. Эванс Б. Java. Новое поколение разработки. СПб., 2013. 560 с.
References
1. Bezumova O.L., Kotova S.N., Shabanova M.V. Komp’yuternaya podderzhka resheniya shkol’nykh algebraicheskikh zadach sredstvami GEOGEBRA [Computer Support of the Algebraic Problems Solutions by the GEOGEBRA School Facilities]. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya [Modern Problems of Science and Education], 2013, no. 1.
2. Sarkeeva A.N. Sistemy komp’yuternoy matematiki v integratsii fiziko-matematicheskogo obrazovaniya v sredney shkole [Computer Mathematics Systems in the Integration of Physical and Mathematical Education in the High School]. Informatika i obrazovanie [Informatics and Education], 2008, no. 11, pp. 88-91.
3. Cameron D. A Software Engineer Learns HTML5, JavaScript and JQuery. USA, 2013. 256 p.
4. Mochalov V.V., Sil’vestrov V.V Uravneniya i neravenstva s parametrami [Equations and Inequalities with Parameters]. Cheboksary, 2000. 144 p.
5. Evans B.J., Verburg M. The Well-Grounded Java Developer. Vital Techniques of Java 7 and Polyglot Programming. US, 2012. 496 p.
doi: 10.17238/issn2227-6572.2016.1.97
Volodina Evgeniya Valer’evna
Chuvash State University named after I.N. Ulyanov Moscovskiy ave., 15, Cheboksary, 428015, Russian Federation; е-mail: [email protected]
Il’ina Irina Igorevna
Chuvash State University named after I.N. Ulyanov Moscovskiy ave., 15, Cheboksary, 428015, Russian Federation; е-mail: [email protected]
Timofeeva Nataliya Nikolaevna
Chuvash State University named after I.N. Ulyanov Moscovskiy ave., 15, Cheboksary, 428015, Russian Federation; е-mail: [email protected]
INTERACTIVE WEB-APPLICATION DEVELOPMENT FOR SOLVING THE MATHEMATICAL PARAMETER PROBLEMS BY DYNAMIC GRAPHICS
Modern computer technologies are introduced practically to all spheres of human activity, including the education. Currently, different software products are used for solution of a majority of applied problems, in particular for the mathematical parameters problems. These products have both advantages, and disadvantages of using. The paper is devoted to the development of the Java SC web-application for the graphic illustration of solutions of the equations, systems of equations and inequations containing a parameter and its application in the educational process. The project is x-plat. This application allows us to obtain the animated graphics of manifest equations or reducible systems of equations and to visualize changes of a function graph depending on a parameter by dynamic graphics. At the research of dependence of a solution of the problem on a parameter the students often don’t understand the influence of this parameter on a solution. Visibility of the function graph changes depending on the parameter can provide an effective search of a solution of the problem. Created software product has distinctive positive features of application in comparison with the known mathematical packages such as Mathcad or Maple: it is straightforward to use and doesn’t require financial expenses. The use of the web-applications of this kind allows us to solve a large class of the research problems in different directions. The practical use of this software product allows us to develop intelligence, spatial and visual thinking, knowledge and skills to work with ICT, to enhance cognitive activity, and helps to correct the knowledge in the field of mathematics. The paper is of interest to pupils, students and teachers of colleges and higher education institutions of graphics.
Keywords: web-application, problem with parameters, dynamic graphics.
Программы для математиков, калькуляторы — ZoomExe
Разделы и категории
Программы для математиков, распространяемые бесплатно. В категории собраны различные калькуляторы, приложения помогающие в решении математических задач, способные производить сложные арифметические расчеты и быстро создавать таблицы. Также, есть программное обеспечение для визуализации математических функций в виде трехмерных графиков, позволит созданную функцию запустить в режиме проигрывания анимированных моделей в 3D системе координат. Все представленные приложения распространяются авторами бесплатно. Скачать их можно без регистрации и СМС по ссылкам размещенным в полном описании выбранной Вами программы.
GeoGebra — мультиплатформенное программное обеспечение для математиков, распространяемое авторами бесплатно, позволяющее открыть новые горизонты понимания геометрии и алгебры, визуализировать сложные выражения, научиться в интерактивной форме понимать, как происходит построение сложных геометрических фигур. Такой симбиоз нескольких наук в едином интерфейсе приложения, позволит намного быстрее освоить множество приемов в системе координат, понимание правильно построения геометрических фигур не только на плоскости, но и в пространстве.
SMath Studio — абсолютно бесплатная программа для математиков, обладающая невероятным количеством возможностей. Приложение имеет простой пользовательский интерфейс с огромным количеством функций. Также данное средство имеет встроенный редактор графики с замечательной поддержкой единиц измерения. Несмотря на свой сравнительно маленький размер, программа удивляет своей мощностью и вычислительными возможностями. Кроме того, удобный математический справочник будет полезен в работе многим пользователям.
SciDAVis — это бесплатное приложение для проведения научного анализа и визуализации данных. Программа подготовит результаты анализа для вывода на печать, что позволит быстро сохранить документ для доклада или отчета. Огромное количество инструментов для проведения аналитической линии, предлагает в своем багаже данное бесплатное программное обеспечение.
Advanced Trigonometry Calculator — список математических программ, пополнил отличный продукт, предназначенный для выполнения математических задач. Данное средство является расширенным тригонометрическим калькулятором, распространяемое совершенно бесплатно. Данное ПО позволит выполнять сложные расчеты, позволит произвести расчеты сложных выражений и тригонометрических, логарифмических, гиперболических, арифметических функций.
RedCrab Calculator – freeware версия программы-калькулятора для создания и расчета функций и вычисления математических выражений. Данный продукт создавался математиками для собственных нужд, для того, что упростить работу со сложными задачами, с которыми не сможет на высоком уровне справится встроенный в операционной системе Windows калькулятор. Даже режим для инженерных расчетов не сможет удовлетворить все требования при некоторых типах расчетов.
Functy — раздел бесплатных программ для математиков, может похвастаться еще одним свободно распространяемым приложением для визуализации математических функций в виде трехмерных графиков. Данный инструмент позволит созданную функцию запустить в режиме проигрывания анимированных моделей в 3D системе координат. Быстро и просто пользователь сможет посредством ввода значений координат: сферических, декартовых и параметрических функций, а также установки значений цвета, радиуса и положения создать целую научную работу и наблюдать изменения функций в режиме реального времени в полном объёме.
Лови Ответ — еще одно приложение, распространяемое авторами совершенно бесплатно, представляет собой решебник задач и одновременно калькулятором с отображением всех этапов решения уравнений онлайн. Как заявляют авторы, программа может вполне претендовать на калькулятор 21 века. И действительно, данный инструмент может автоматически решать математические задачи практически любой сложности.
Plaza — список программа для решения математических задач пополнила небольшая бесплатная программа для решения уравнений. Приложение будут помощником при решении простых тригонометрических уравнений, линейных и квадратных. Высокая скорость работы данного средства, позволяет практически мгновенно получить результат вычислений.
Расчет треугольника — небольшая бесплатная программа, позволяющая произвести расчёты основных составляющих треугольника. Так, например, приложение возможно станет отличным помощником при вычислении площади, расчета периметра, поможет высчитать любой из углов треугольника, длину медианы, высоты, а также произвести расчет центра тяжести фигуры. Кроме этого, данное ПО отлично справится с задачей расчета окружностей, как вписанной, так и описанной.
Расчёты по математике — еще одна программа, представляющая собой инструмент для решения задач для школьных задач. Данное программное обеспечение может пригодиться как для учащихся младших и средних классов, так и для старшеклассников, студентов техникумов и ВУЗов. Не смотря на свой размер и простоту, пользователь сможет решать сложные математические вычисления.
Популярные программы
Статья «Компьютерные программы для решения задач по математике»
Компьютерные программы для решения задач по математике
На сегодняшний день существует очень много компьютерных программ для решения задач по математике. К таким программам относятся Fraction, Sistema, Wincalc, Algebrator, Winmat, Wingeom, GeoGebra, Mathcad и другие. Мы рассмотрим самые распространенные, расскажем про их возможности и применение на уроках.
Программа Fractionпроста в использовании, она выполняет действия с обычными дробями. Данная программа случайным образом генерирует примеры на все действия с обыкновенными дробями. Весь материал разбит на уроки по каждому действию. [1]
Программа Sistemaтакже является несложной. Она необходима для перевода чисел из одной системы счисления в другую систему счисления. [1]
Программа Wincalc представляет собой калькулятор целых чисел. Wincalc позволяет пользователю производить вычисления над целыми числами, содержащими миллионы цифр, переводить число из одной системы счисления в другую, разлагать числа на простые множители, сравнивать числа по модулю и многое другое. [1]
Программа Algebrator – это обучающая система по алгебре, предназначенная для решения алгебраических задач школьного курса математики. Возможности программы Algebrator следующие: упрощение алгебраических выражений (деление многочленов в столбик, выражения со степенями, дроби, корни, модули), разложение на множители и раскрытие скобок, нахождение НОК (наименьшее общее кратное) и НОД (наибольший общий делитель), решение линейных, квадратных и многих других уравнений и неравенств (включая базовые логарифмические и степенные уравнения), построение линий (прямые, параболы, гиперболы, окружности, эллипсы, решение уравнений и неравенств), упрощение логарифмов, базовая геометрия и тригонометрия (подобие, вычисление тригонометрических функций, прямоугольный треугольник и т.д.), арифметика и другие разделы алгебры (отношения, пропорции, система мер и т.д.), линейная алгебра (сложение, вычитание и умножение матриц, обратные матрицы, определитель матрицы). [1]
Программа Winmat позволяет рассчитывать и редактировать матрицы, и решать стандартные задачи линейной алгебры. Программа работает в поле действительных, комплексных, и целых чисел. [1]
Программа Wingeom является геометрической программой и предназначена для создания точных, аккуратных, перемещающихся чертежей (2D-моделирование), трехмерных моделей (3D-моделирование), моделей неевклидовой геометрии (сферической и гиперболической), мозаик-паркетов. Программа Wingeom обладает возможностями: создавать, трансформировать, редактировать точные, аккуратные построенные модели плоских и пространственных фигур, производить необходимые измерения (длина отрезка, величина угла в градусах, площадь многоугольника, периметр многоугольника, отношение длин отрезков, координаты точки, длина дуги окружности, длина окружности, площадь круга, площадь сечения многогранника, радианная мера угла, объем шара, объем конуса, вычисление значений выражения, составленного с помощью арифметических действий и стандартных функций). [1]
Программа GeoGebra – динамическое программное обеспечение для математики, которое соединяет в себе геометрию, алгебру и исчисление. Оно разработано для изучения математики и обучения в школах. Вы можете сделать построения с помощью точек, векторов, отрезков, прямых, так же как с функциями, и впоследствии изменить их динамически. Также уравнения и координаты могут быть введены непосредственно. [1]
Система Mathcad представляет собой мощное, удобное и наглядное средство описания алгоритмов решения математических задач. Система Mathcad настолько гибка и универсальна, что может оказать неоценимую помощь в решении математических задач как школьнику, постигающему азы математики, так и академику, работающему со сложнейшими научными проблемами. [2] Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Приложение позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие. В Mathcad усовершенствованы средства построения двухмерных и трёхмерных графиков. Данная программа дает возможность работать в Декартовской системе координат, строить полярные, векторные графики, карты поверхности, контурные карты, гистограммы и диаграммы рассеивания.
Исключительно велика роль системы Mathcad в образовании. Облегчая решение сложных математических задач, система снимает психологический барьер при изучении математики, делая его интересным и достаточно простым. Грамотное применение системы в учебном процессе обеспечивает повышение фундаментальности математического и технического образования, содействует подлинной интеграции процесса образования. Система Mathcad позволяет готовить электронные уроки и книги с использованием новейших средств мультимедиа, включая гипертекстовые и гипермедиа-ссылки, изысканные графики (в том числе анимационные), фрагменты видеофильмов и звуковое сопровождение. [2]
Опыт применения подобных программ на математических уроках показал повышение эффективности преподавания и успешности усвоения учениками фундаментальных математических понятий и скорейшего закрепления их навыков в решении практических математических задач. Применение этих компьютерных программ позволяет сделать уроки математики более эффективным, а процесс обучения – интересным и наглядным. Главная особенность этих программ – помощь в решении сложных задач. [3]
Занятия, проводимые в компьютерном классе должны быть разнообразны и решать различные методические цели — получения новых знаний, повторения, закрепления, самопроверки и т.д. Содержание занятий должно полностью соответствовать содержанию занятий, проводимых в кабинете математики. Большинство программ позволяют ученику проверить свои аналитические изыскания, выполненные на уроках, на самостоятельных или контрольных работах. При этом проверяется не только численный результат; работа программ сопровождается наглядной графикой и, главное, разветвленным «математическим» диалогом с учеником. И в этом основное достоинство эффективности применения этих программ. Ведь ведение диалога с программой требует от ученика не только навыков работы на компьютере, знания элементов языка, но и определенного уровня математических умений. Не изучив в определенной мере математическую суть вопроса, вести содержательный диалог с программой безрезультатно, и этот фактор стимулирует познавательную активность учеников: неудобно чувствовать себя перед компьютером дискомфортно. Очень популярны на обобщающих компьютерных занятиях многозадачные программы, которые охватывают обширный материал по целым темам и разделам. [3]
Таким образом, можно сделать следующий вывод: без базовых знаний, вложенных учителем, ученик не сможет работать с данными программами, т.к. он не будет понимать суть решения задачи, а значит, не сможет составить алгоритм решения и прийти к ответу; и кроме того, школьник не сможет построить правильный график и проанализировать его.
Использование таких программ помогает сэкономить время на решение большее количество задач, получить точный ответ и проанализировать график на таких уроках как алгебра, геометрия, математический анализ и т.д. Например, при исследовании графика функции с помощью подобных программ, можно получить точный ответ, просчитав программно все точки экстремума, преломления и пересечения.
Полученный начальный опыт работы с подобными программами в школе очень пригодится для дальнейшего изучения математических наук в ВУЗах, магистратурах, аспирантурах и т.д.
Список используемой литературы
1. Сайт «Компьютерные программы по математике»: http://www.pcmath.ru
3. Капустин Е.И. О компьютерном сопровождении преподавания математики/ Е.И. Капустин // Невинномысский химический колледж. – 2008. – N 2. – С. 5-8.
4. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам/ В.П. Дьяконов // Математика. – 1987. – N 14. – С. 14-16.
5. Дьяконов В.П. Mathcad 2001. Учебный курс/ В.П. Дьяконов // Математика. – 2001. – N 7. – С. 9-13.
6. Боревский Л. Курс математики 2000 для школьников и абитуриентов./ Л. Боревский // Математика. – 2001. N 10. – С. 19-20.
7. Третьяк Т. Информационные технологии на уроках математики/ Т. Третьяк // Математика. – 1998. N 24. – С. 16-19.
8. Кругликов С. Компьютерная программа «Курс математики 2000» и новые возможности в учебном процессе/ С. Кругликов // Математика. – 2001. – N 33. – С. 16-18.
9. Кривоногов В. Компьютер и тригонометрические уравнения/ В. Кривоногов // Математика. – 2002. – N 1. – С. 24-26.
10. Гришина О. и др. Электронный «Курс математики»/ О. Гришина // Математика. – 2002. – N 43. – С. 22-26.
Рекомендуемые бесплатные программы для обучения, решения задач, выполнения расчетов в Windows
WebMath.ru
Сервис решения задач по математике, теории вероятности, геометрии а также физике. Для решения задач не надо ничего устанавливать на свой компьютер, нужно только ввести данные, дальше программа все сделает сама! Webmath.ru создан для on-line помощи школьникам и студентам, нуждающимся в решении задач по алгебре, геометрии, теории вероятности, физике и другим предметам.
Rebar
Бесплатный калькулятор
BlackBox Component Builde
Бесплатная и открытая система программирования для Компонентного Паскаля, являющаяся вариантом cистемы Оберон, в общем аналогичная Турбо Паскалю, Дельфи и т.п., но обладающая удивительной комбинацией свойств.
Pascal ABC
Система Pascal ABC предназначена для обучения программированию на языке Паскаль и ориентирована на школьников и студентов младших курсов. По мнению авторов этой программы первоначальное обучение программированию должно проходить в достаточно простых и дружественных средах, в то же время эти среды должны быть близки к стандартным по возможностям языка программирования и иметь достаточно богатые и современные библиотеки стандартных подпрограмм.
Teach Book Lite
Система разработки электронных учебников высокого уровня. Совершенно не имея навыков программирования, пользователь сможет разрабатывать пособия с мощным интерфейсом и широкими мультимедийными возможностями.
Программа расчета на прочность стальных газопроводов
Программа расчета на прочность стальных газопроводов согласно СНиП 2.04.12-86 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТАЛЬНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ.
Программы для расчетов по электронике
Здесь вы можете скачать бесплатные программы для расчетов по электронной тематике.
Транзисторный усилитель
Компьютерная модель для изучения принципов действия транзистора и его работы в усилительном каскаде, выполненном по схеме с общим эмиттером.
Расчет курсовой по деталям машин
Программа DM2000 позволяет рассчитать весь курсовой по ДЕТАЛЯМ МАШИН (кинематика, расчёт всех видов передач, расчёт валов, подшипников, конструирование колёс, крышек подшипников, выбор масла, конструирование корпуса редуктора).
RapidTyping
Бесплатный программный продуктт, обучающий слепому методу печати.
GeoGebra
Это одна из самых известных обучающих программ по математике. С ее помощью можно делать множество полезных вещей: анализировать функции, строить их графики, решать задачи по планиметрии и тд. Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java.
Mueller-dict
Электронная версия популярного Англо-Русского словаря профессора Владимира Карловича Мюллера в формате DICT. Текущая редакция содержит более 50000 слов и представляет собой практически полную копию 7 издания вышеупомянутого словаря с некоторыми дополнениями и исправлениями, источником которых послужили более поздние типографские издания.
Smart
Программа калькулятор предназначена для расчёта математических выражений (поддерживает сложные выражения такие как (3+sin(3-1)*4)*exp(2)).
Virtual Teacher Background Panel
Virtual Teacher Background Panel это программа которая будет обучать вас языку всегда когда вы работаете за компьютером. Маленькая панель на вашем экране будет показывать вам иностранное слово и его перевод, вам останется только время от времени смотреть на нее и запоминать новые слова. Вы можете управлять цветом фона и текста, длительностью показа слов. И главное легко помечать уже выученные слова.
Explanatory
С помощью этой программы можно быстро узнать значение слова используя имеющиеся в наличии словари. При вводе первых букв слова оно автоматически дополняется до ближайшего, найденного в словарях. Программа содержит словарь Ожегова, дополнительные словари могут быть скачаны с сайта программы.
NauLearning
Система предназначена для разработки учебных курсов, проведения дистанционного обучения, управления учебным процессом и составления отчетности и может использоваться в качестве основной или вспомогательной среды обучения тренинг-центрами, консалтинговыми компаниями, корпоративными учебными центрами, HR-службами распределенных компаний, высшими и средними специальными учебными заведениями.
SunRav BookOffice
Пакет программ для создания и просмотра электронных книг и учебников. С помощью пакета можно создавать документацию в виде EXE файлов, CHM, HTML, PDF форматах, а так же в любых других (используя шаблоны).
TestTurn
Компактная и простая в применении бесплатная программа для проведения тестирования. Может быть использована для обучения и контроля знаний учебными заведениями или частными преподавателями, для аттестации сотрудников компаний, а так же в домашних условиях.
PL Table
Многофункциональная электронная реализация периодической системы элементов Менделеева.
Adit Testdesk
Пакет Adit Testdesk — это программный пакет для создания тестов, проведения тестирования и обработки полученных результатов. С помощью Adit Testdesk Вы можете проводить тестирования знаний учащихся в образовательных учреждениях, а также использовать программный комплекс для проведения психологического анализа и аттестации или сертификации.
SunRav TestOfficePro
Пакет SunRav TestOfficePro является комплексным решением для проведения тестирования в образовательных учреждениях и на предприятиях.
ConverCalc
Полезный технический инструмент. ConverCalc — приложение, созданное, чтобы помочь Вам в Вашей научной работе.
Geometry Calculator
Geometry Calculator позволит Вам быстро подсчитать площадь или объем относительно простых фигур.
Avogadro
Продвинутый молекулярный редактор, разработанный для использования поперечной платформы по вычислительной химии, молекулярного моделирования, биоинформатики, науки материалов, и связанных областей. Удобный интерфейс, прост в изучении.
JMathLib
Библиотека математических функций, разработанных, чтобы использоваться в оценке сложных выражений и показать результаты графически.
AnalyticMath
Мультиплатформенная программа с мощным редактором и и интегрированными особенностями ‘auto-calc’, которые помогут Вам легко и быстро разложить и визуально проанализировать математические выражения.
Электроснабжение
Программа «Конструктор дипломных проектов по электроснабжению» предназначена для выполнения дипломных проектов по электроснабжению. Она позволяет произвести расчет электроснабжения района, предприятия или же населенного пункта. На плане района возможно разместить до 290 трансформаторных подстанций, запитанных от РТП.
ElectroDesigning
Программа ElectroDesigning предназначена для проектирования электрической сети до 1000 вольт.
Interactive Demos
Интерактивные Демонстрации — комплект методических материалов предназначенный для виртуальных демонстраций ряда физических явлений, рассматриваемых в курсах оптики и атомной физики. Демонстрационные опыты можно реализовывать на мониторе компьютера, либо демонстрировать с помощью мультимедийного проектора на экране в аудитории.
SMath Studio
Бесплатный математический пакет с графическим интерфейсом для вычисления математических выражений и построения двумерных и трёхмерных графиков. Программа для вычисления математических выражений и построения сложных двумерных графиков.
FlatGraph
Программа предназначена для дифференцирования, упрощения и отображения функций в виде графиков.
Slu
Программа для решения системы линейных уравнений. Быстрое нахождение неизвестных членов системы (если, конечно, система имеет решение), проста в обращении, надежна, проверена временем. Удобна при решении, когда неизвестных членов достаточно много.
Algebry
Программа по математике, которая решает квадратные уравнения, биквадратные уравнения, системы уравнений, складывает (вычитает) дроби, вычисляет корни любой степени и так далее.
KLAVA
Тренажер для обучения печатанию на клавиатуре слепым методом. Cостоит из 4-х уроков на русскую раскладку клавиатуры и 3-х на английскую. Для достижения наилучшего результата рекомендуется проходить их по порядку. Работает без инсталляции
English Trainer
Программа — экзаменатор знания английского языка.
FVords
Программа для изучающих английский и немецкий: советы Longman, тесты, словники к подлинникам, параллельные тексты, режим суфлёра, настройка, поиск, печать, статистика и многое другое.
ABC Simulator
Игра-тренажер для запоминания английских слов. Уделяя 10-20 минут в день игре «ABC Simulator» Вы сможете запомнить более 5.000 английских слов и устойчивых словосочитаний.
Teacher — Translator
Программа — Учитель английского. С ней легко научиться разговаривать и переводить различные тексты. Инсталляции не требуется! При первом запуске программа проверяет и, если нужно, сама установливает компоненты текстово-речевого синтезатора. Чтобы увидеть перевод и услышать произношение слов,- достаточно просто вести указатель мышки от слова к слову.
SchoolBoy
Программа, позволяющая выполнять большое количество математических действий. Пригодится там, где необходимо проводить множественные расчеты (особенно последовательные или однотипные) с использованием сложных выражений. При этом допускается ввод сразу всего задания (состоящего из неограниченного числа подзаданий, разделяемых точкой с запятой) и решение его одним нажатием кнопки, после которого на экран будет выведен окончательный результат и все промежуточные.»
Ассоциация
Программа для запоминания иностранных слов методом фонетических ассоциаций. Позволяет легко находить ассоциативные ключи к иностранным словам используя словарь из 90.000 слов русского языка.
Stamina
Программа для тех, кто хочет научиться набирать текст на клавиатуре всеми десятью пальцами. Поможет Stamina и тем, кто желает усовершенствовать навыки печати и ускорить скорость ввода, причем раскладка клавиатуры может быть разной -английской /русской /украинской.
Teach3000
Личный преподаватель, который поможет вам выучить иностранный язык, топографию и даже, если захотите историю Др. Рима в датах.
Gradebook Power
Программа Gradebook для учителей – разработанная учителями. Программа Gradebook Power создает более 40 отчетов учителей, студентов и администрации, посещаемость и графики мест.
SpagoBI
Система, позволяющая осуществлять многомерный анализ и формировать корпоративную отчетность высокого качества.
iTALC
Мощная программа для учителей работающих в компьютеризированных классах. Она позволяет различными способами контролировать компьютеры учащихся входящих в состав сети.
Teacher Control Panel
Позволяет учителю контролировать, блокировать, и управлять студенческими компьютерами и предавать изображение на своём экране им. Может работать с сочетанием рабочих мест на которых установлены ОС — Windows и linux.
Deductor
Аналитическая платформа Deductor реализует практически все современные подходы к анализу структурированной табличной информации: хранилища данных (Data Warehouse), многомерный анализ (OLAP), добыча данных (Data Mining), обнаружение знаний в базах данных (Knowledge Discovery in Databases).
ODE
Предметно ориентированная среда, предназначенная для решения и исследования решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
Программный комплекс МвТУ
Современная среда интеллектуальной САПР.
Microsoft Student Graphing Calculator
Полноценный научный калькулятор с функциями графиков и решения уравнений. Его можно использовать точно также, как и обычный переносной калькулятор.
TOptEls
Визуальный компонент для отрисовки оптических элементов (линз и зеркал). Например, для программ на лазерную и оптическую тематику. Версия августа 2008 с двумя вариантами — для Delphi и Lazarus.
Super Solver
ТОЭ Super Solver программа для студентов и школьников, изучающих физику, теоретические основы электротехники ТОЭ, ТЭЦ и другие предметы связанные с теорией электрических цепей. Комплекс существенно облегчает выполнение контрольных, самостоятельных, курсовых работ по вышеперечисленным дисциплинам.
Circuit Magic
Комплекс расчета электрических цепей постоянного и переменного тока в общем виде.
Advanced Grapher
Программа для построения графиков и их анализа.
Infinity
Решение систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Mat JV
Решение задач линейной алгебры.
Юниор
Универсальный Механизм — Юниор позволяет описывать плоские механические системы, а также моделировать и исследовать их поведение.
FlatGraph
Программа для дифференцирования и отображения функций в виде графиков.
ADTester
Пакет программ предназначенный для проведения тестирования.
August
Автоматизированная контролирующая система «AUGUST 4» предназначена для создания и использования тестов в контроле знаний в различных областях. «AUGUST 4» представляет собой интегрированный пакет, с помощью которого легко создавать тесты и проводить тестирование, как с использованием компьютера, так и без использования компьютера.
Moodle
Это программный продукт позволяющая создавать курсы и web-сайты, базирующиеся в internet. Это постоянно развивающийся проект, основанный на теории социального конструктивизма.
iNstructor
Инструмент для преподавателей, ведущих занятие в компьютерном классе. С помощью iNstructor преподаватель со своего рабочего места может в режиме реального времени наблюдать за действиями обучаемых, управлять их компьютерами, обмениваться с ними сообщениями.
Competentum Magister
СДО Competentum Magister — полнофункциональная система для организации процесса обучения через Интернет или в локальной сети.
ALGLIB
Многоязыковая коллекция алгоритмов для решения проблем в области численного анализа и обработки данных.
DESIR
Пакет для исследования динамических систем
Klavaro
Kлавиатурный тренажер
Phun
Компьютерная игра-симулятор физики. Представляет собой графический анимационный редактор, основанный на технологии XML, который позволяет создавать объекты «на лету», которые сразу начинают подчиняться законам физики
MODELICA
Визуальная среда для моделирования сложных физических систем
Microsoft Mathematics
Специальный калькулятор для решения математических задач, визуализации двумерных и трехмерных графиков
Graphmatica
Мощная, простая в использовании программа схематизации уравнений с числовыми функциями и функциями вычислений
Convert
Cвободная легкая и удобная в использовании программа которая конвертирует наиболее популярыняеединицы длины, температуры, объемы, времени, скорости. массы, силы, енергии и др.
MathGV
Программа предназначена для построения двумерных (X, Y), трехмерных (X,Y,Z), параметрических и полярных графиков
NetSupport School Professional
NetSupport School Professional предназначена для организации работы преподавателя со студентами в компьютерном классе. Программа дает возможность преподавателю контролировать все действия студентов, при необходимости управлять их компьютерами удаленно, а также транслировать картинку со своего рабочего стола на мониторы учащихся.
Chemistry Add-in for Word
Позволяет упросить процедуру ввода химических формулы и изображений в документы Microsoft Word.
Article Authoring Add-in for Word
Позволяет вводить большое количество метаданных, относящимся к авторским материалам, при работе с документами Word. Умеет сохранять документы в формат NLM
Creative Commons Add-in for Microsoft Office
Позволяет добавить в документы Microsoft Office лицензию Creative Commons, которая генерируется на лету по заданным пользователем параметрам
NodeXL
Мощный и легкий в использовании инструмент для визуализации и анализа больших сетей
Zentity
Платформа, предоставляющая модули, утилиты и сервисы, которые могут помочь в создании и поддержке цифровой библиотеки (хранилища данных)
The Research Information Centre (RIC)
Это виртуальная исследовательская среда, созданная совместными усилиями группы Microsoft Research и Британской библиотеки.
9 лучших приложений для выполнения домашних заданий по математике
Если вы поговорите со своими родителями о том, как они выполняли домашние задания по математике, когда были студентами, они могут рассказать о некоторых справочниках, которые им помогли. Для некоторых учеников это было абсолютной катастрофой. Им приходилось делать все вычисления вручную, и они страдали от того, что не спали из-за решения математических задач.
Вам повезло, что у вас есть смартфоны со специально разработанными программами, которые значительно облегчают вашу жизнь. Мы подготовили обзор лучших программ, которые помогут любому учащемуся с легкостью выполнять домашнее задание.Ниже вы можете увидеть список лучших математических приложений, доступных в AppStore, Google Play или в Интернете. Эти приложения и другие сайты помощи для домашних заданий помогут учащимся найти решение своих проблем или вопросов. Проверь их.
Photomath
Photomath — одна из самых популярных программ, доступных для пользователей iOS и Android. Дополненная реальность помогает учащимся делать домашнее задание, просто решая задачу после того, как ее засняли на камеру.
Эта программа подходит для решения некоторых основных математических задач и алгебраических уравнений.Он показывает результаты расчетов на экране с шагами, которые к ним ведут. Вы можете просмотреть журналы и увидеть, как некоторые задачи были решены в прошлом, чтобы помочь вам делать домашнее задание в будущем таким же образом.
Есть один недостаток — это приложение не распознает почерк. Если вам нужно решать квадратные уравнения, функциональные уравнения или другие сложные задачи, с его помощью нельзя выполнять домашнее задание. Однако он отлично справится с любым печатным текстом.
математика
Это приложение для устройств iOS и Android также подходит для решения уравнений.Есть бесплатная версия с базовым функционалом. Или он предлагает покупки в приложении для доступа ко всем функциям. Это приложение дает возможность решать более широкий круг задач, если сравнивать его с Photomath.
Здесь есть недостаток — это математическое приложение не распознает уравнения, если попытаться поймать их с помощью камеры. Вам придется вводить эти данные вручную, чтобы сделать домашнее задание.
Калькулятор MyScript
Эта программа может распознавать почерк, поэтому она позволяет рисовать уравнения на экране для решения задачи.Он предлагает решения для вашей домашней работы с некоторыми основными задачами, квадратными и кубическими корнями, тригонометрией, процентами и логарифмами. Даже если вы введете что-то вроде «3 +? = 10», это приложение предоставит правильный ответ.
Он совместим с устройствами iOS и Android. Будьте готовы позволить приложению распознавать ваш почерк несколько раз для решения одной задачи. Он редко распознает то, что написано неправильно.
PCalc
Это приложение для домашних заданий с самым красивым интерфейсом.Здесь у нас есть красивый виджет для уведомлений. Чтобы приложение решило задачу, проведите по экрану сверху вниз, и процесс начнется. Это приложение доступно только для устройств iOS.
Решить4x
Это программа для решения математических уравнений, которая поможет учащимся старших классов и колледжей, но не студентам университетов. Это приложение помогает решать относительно простые уравнения. Доступны два варианта. Вы можете сделать снимок своего уравнения или ввести его вручную.Также обратите внимание, что это приложение не решает уравнения со скобками.
Научный калькулятор Hiper
И это приложение для домашних заданий доступно только на устройствах Android. Это помогает в решении задач, связанных с логарифмами, тригонометрией и т. Д. Вы можете просмотреть историю операций, чтобы увидеть, как решались некоторые определенные функции в прошлом. Благодаря выделенному синтаксису удобно делать домашнее задание.
Это приложение также поможет в выполнении домашних заданий по инженерным и научным расчетам — они доступны как отдельные режимы.Несмотря на то, что это приложение бесплатное, внутри вы не увидите никакой рекламы.
Научный калькулятор
Нет, мы не ошиблись — это еще одно приложение для тех, кто кричит «Делай уроки!» с именем, аналогичным указанному выше. Но эта версия программы совместима только с Windows. У него симпатичный олдскульный интерфейс. Это математическое приложение поможет вам решать тригонометрические и логарифмические функции и т. Д. Оно предоставляет доступ к ранее решенным задачам, так что вы можете использовать эти способы для своей домашней работы в будущем.
Графический калькулятор
Это приложение имеет высокий рейтинг — почти пять звезд. Вы можете выполнять домашнюю работу, используя такие функции, как решение уравнений, обмен единиц и валют, а также графические вычисления. Это приложение доступно только для телефонов Android.
Решатель геометрии ²
Это отличное приложение для домашних заданий по геометрии. Он прост в использовании и предлагает решения для определения периметра, поверхности, площади или объема различных геометрических фигур.Это приложение позволяет выполнять расчеты для 2D или 3D фигур.
Заключение
Можно выполнять различные типы математических задач в качестве домашних заданий. Причем они могут быть как печатными, так и рукописными. Большинство приложений (например, веб-сайтов помощи в выполнении домашних заданий) могут не распознавать то, что написано на листе бумаги. Ввести все данные вручную может быть непросто. Поэтому мы составили список лучших математических приложений, которым можно доверять.
Использовать приложение для выполнения домашней работы — это здорово.Тем не менее, иногда по разным причинам не удается получить к нему доступ. Предположим, вы перегружены заданиями, ограничены во времени или не знаете, как выполнить конкретную работу. В этом случае вам может потребоваться профессиональная академическая помощь. Сообщите нам, нужна ли вам помощь по математике, и мы сразу же поможем.
12 лучших бесплатных математических программ 2020 года
Было время, когда ученики боялись математики. Раньше решение математического уравнения считалось сложной задачей, но в 21 веке есть некоторые преимущества.Прошли те времена, когда нам нужно было беспокоиться о заданиях по математике. Есть несколько способов, с помощью которых учащиеся получают помощь в выполнении заданий по математике. Некоторые студенты предпочитают обращаться к онлайн-экспертам, чтобы получить правильную помощь в домашнем задании по математике, а некоторые предпочитают пользоваться помощью с бесплатными математическими программами. Да, вы не ослышались, есть программное обеспечение, которое может решить все ваши вопросы, связанные с этой страшной темой.
Сегодня в этом блоге я предоставлю вам список некоторых бесплатных математических программ, которые могут помочь в решении вашей математической задачи.Будь вы старшеклассником или студентом колледжа, вы найдете это программное обеспечение весьма интересным и полезным для решения всех типов математических задач.
12 лучших бесплатных математических программ из 202 1
В большинстве случаев математика становится невыносимым предметом для учащихся. Как только учащиеся перестают получать правильные ответы, они пытаются уйти от темы. Но теперь указанное ниже программное обеспечение будет вам большим подспорьем в этом вопросе.
Microsoft Mathematics
Microsoft Mathematics — бесплатное программное обеспечение с открытым исходным кодом, разработанное Microsoft .Это важный инструмент для тех, кто борется с математическими проблемами. Он быстрый и бесплатный, легко решает самые сложные математические задачи. Этот инструмент содержит функции, которые позволят вам решать задачи, связанные с математикой, естественными науками и другими техническими предметами. Он имеет графический калькулятор и конвертер единиц измерения. Наряду с этим, у него есть уравнение и решатель треугольника, который предоставляет пошаговые решения. Студенты могут бесплатно загрузить этот инструмент с веб-сайта Microsoft.Он может работать на различных платформах, таких как Windows, iOS, Android.
Читайте также — Риторическое эссе
Geogebra
Считается динамическим математическим программным обеспечением, разработанным для всех стандартов математики. Этот математический инструмент может использоваться как новичком, так и экспертом. Этот инструмент объединяет алгебру, геометрию, электронные таблицы, графики, статистику и анализ, вычисления в одном простом в использовании пакете. Этот инструмент широко популярен среди студентов, которые сталкиваются с проблемами при решении различных математических задач.
Математические инструменты Geogebra широко доступны на многих платформах, таких как Windows, macOS, Linux, Android. Создателем этого инструмента был Макус Хоэнвартер. Он начал этот проект в 2001 году в качестве своей кандидатской диссертации. Основные функции этого инструмента:
Интерактивная геометрическая среда (2D и 3D)
Встроенная электронная таблица
Позволяет создавать сценарии
Встроенные инструменты статистики и вычислений
Встроенный CAS
Большое количество интерактивные учебные и обучающие ресурсы в GeoGebra Materials
Geometry Pad
Если вы ищете интересный способ изучения геометрии, то Geometry Pad для вас.Этот математический инструмент поможет вам в изучении геометрии и позволит вам практиковать жизненно важные конструкции. Этот инструмент будет вашим личным помощником в изучении геометрии. Это удобный для студентов инструмент, который упрощает представление геометрических конструкций, выполнение измерений, использование компаса и экспериментирование с различными геометрическими фигурами.
Инструмент полезен как для учителя, так и для учеников. Учителя могут воспользоваться этим инструментом, чтобы лучше понять различные геометрические концепции.Этот инструмент может также помочь студентам в выполнении заданий. С его помощью они могут изучать геометрию, сидя дома. Итак, если вы хотите получить беспроблемные решения своих геометрических проблем, возьмите этот инструмент онлайн и воспользуйтесь всеми преимуществами. Этот инструмент доступен как на Android, так и на iPhone.
Читайте также — Советы по написанию задания по информатике
Photomath
Еще один отличный математический инструмент, который поможет избавиться от академического стресса в вашей жизни.Photomath — это благо как для студентов, так и для учителей. Этот инструмент поможет вам разобраться в своих математических задачах, а также улучшит ваши навыки. Этот инструмент просканирует вашу математическую задачу и предложит вам быстрое решение. Инструмент Photomath решает более 1 миллиона проблем.
Этот инструмент прост в использовании, все, что вам нужно, это ваша мобильная камера, чтобы сканировать математический вопрос или задачу. Вы получите пошаговое решение своей проблемы. Photomath — ваш личный учитель, он помогает вам, объясняя шаги вычислений в анимированной форме.Таким образом, если вы застряли с какой-либо проблемой, получите решение мгновенно, просто отсканировав проблему с помощью Photomath.
Khan Academy
Возможно, вы все знакомы с услугами Khan Academy. Он предоставляет вам учебные материалы по различным темам. Также существует приложение, разработанное создателями Khan Academy. Это приложение, или мы можем сказать, инструмент, может помочь вам избавиться от ваших сомнений. В этом приложении есть персонализированная обучающая панель, чтобы вы могли учиться в любое время. На нем вы можете увидеть учебные пособия, практические наборы и математические видеоролики.Помимо математики, вы также можете найти на нем экономику, естественные науки, историю, компьютерное программирование, социальные науки и т. Д. Khan Academy предоставляет пользователям бесплатный контент, поскольку это некоммерческая организация, которая предоставляет каждому возможность получить образование мирового уровня. Вы также можете просто посетить их веб-сайт и собрать контент, относящийся к вашей теме.
Математический редактор
Если у вас возникли проблемы с решением математических уравнений, используйте математический редактор. Это идеальное решение для студентов колледжей, которые сталкиваются с проблемами в математических уравнениях.Это программное обеспечение помогает вам быстро и легко формировать уравнения на экране, используя греческие символы, альфа, бета, квадратный корень и другие символы. Также можно редактировать и сохранять уравнение в реальном времени. Это бесплатное программное обеспечение по математике является одним из наиболее удобных для учащихся продвинутых математических программ. Он позволяет сохранять уравнения в виде файла изображения, который можно использовать в офисных документах MS, Интернете и рисовании. Поэтому, если вы все время ищете руку помощи, это программное обеспечение может стать для вас благословением.Вам просто нужно прочитать инструкции, и вы готовы решать самые сложные математические задачи вашего учебного плана.
Maxima
Maxima — это бесплатное математическое программное обеспечение, разработанное Массачусетским технологическим институтом. Это программное обеспечение помогает решать алгебраические задачи на компьютере. Программное обеспечение Maxima используется для обработки символьных и числовых выражений, таких как дифференцирование, интегрирование, преобразование Лапласа, обыкновенные дифференциальные уравнения, ряды Тейлора, системы линейных уравнений, полиномы, матрицы, векторы и тензоры.Он обеспечивает высокое качество и идеальные результаты за счет использования точных дробей, произвольной точности, целых чисел и чисел с плавающей запятой переменной точности.
Maxima поддерживается на компьютерном Lisp и работает на всех платформах POSIX, а именно Linux, Unix, OS X и BSD. Для рисования используется Gnuplot. Maxima использует полный язык программирования и имеет синтаксис, подобный ALGOL, но семантику, подобную Lisp. Это программное обеспечение представляет собой полную систему компьютерной алгебры (CAS) и хорошо работает для символьных операций. Он также может решать численные задачи.Для его функциональности необходимо подключение к Интернету.
Прочтите также — Справка по заданиям для Университета Южного Креста, Сиднейский кампус
xFUNC
Если вы хотите делать математические и логические интерпретации, то xFunc — лучшее программное обеспечение для вас. Это бесплатное программное обеспечение, простое в использовании. Это упрощенная программа для студентов, по которой легко ориентироваться, поскольку она основана на C #. Программное обеспечение xFUNC компактно и может быть размещено на съемных носителях, что упрощает переносимость.Если вы загружаете это программное обеспечение, устанавливать его не нужно. xFUNC можно запустить прямо на компьютер и сохранить на жестком диске. Пользовательский интерфейс xFUNC довольно прост, вы можете легко добавлять свои запросы констант, тригонометрии, арифметики, побитовых операций и т. Д. Он предоставит вам правильное решение в кратчайшие сроки.
xFUNC имеет две библиотеки и один исполняемый файл. Его библиотека включает код, который помогает преобразовывать строки в выражения. Функции xFUNC:
Вычисление выражений (математика и логика)
Вспомогательные меры углов
Производные и упрощающие выражения
Построение графиков
Таблицы истинности
Поддерживаемая среда:.Net 2.0 / 3.0 / 3.5 / 4.0 / 4.5 / 4.5.1 и Portable (.Net 4.0 или выше, Silverlight 4 или выше и приложение Windows Store).
GAP
GAP означает группы, алгоритмы и программирование. Это система компьютерной алгебры для вычислительной диагностической алгебры. В нем особое внимание уделяется теории групп вычислений. Gap помогает вам, предоставляя библиотеку, содержащую множество функций, разработанных с помощью алгебраических алгоритмов на языке GAP. Язык GAP имеет большое количество алгебраических объектов и единый язык программирования.GAP можно использовать как в исследованиях, так и в обучении. Он включает в себя такие темы, как векторы, алгебры, представления, комбинационные структуры и многое другое. Это программное обеспечение с открытым исходным кодом, поэтому вы можете изменить детали в соответствии с вашими требованиями и работой.
CADABRA
CADABRA — это бесплатное математическое программное обеспечение с открытым исходным кодом. Он помогает решать большое количество сложных алгебраических задач, связанных с теорией поля, квантовой теорией и теорией струн. CADABRA имеет большой набор функций, предназначенных для упрощения тензорных полиномов, включая симметрии, антикоммутирующие переменные, фермионы, алгебры Клиффорда и преобразования Фиеца, независимость координат, несколько типов индексов и некоторые другие.Создание CADABRA было в 2001 году. Оно было создано для вычисления поправки теории струн с высшей производной к супергравитации.
MathSolver
Еще одна бесплатная математическая программа для решения всех ваших сложных математических задач и запросов. Эта бесплатная математическая программа — это то, на что вы можете положиться, когда у вас нет помощника для помощи. Математический решатель также позволяет пользователю рисовать графики на основе решений. Он предоставляет подробную информацию о графиках. Кроме того, он также имеет обширную библиотеку, состоящую из констант и функций.Математический решатель также имеет хранилище, в котором хранятся ваши предыдущие интерпретации. Эта сохраненная информация может помочь вам и в будущем.
Sagemath
Если вы ищете программное обеспечение с открытым исходным кодом и бесплатное программное обеспечение для общей, прикладной, продвинутой и чистой математики, тогда программа Sagemath для вас. Это программное обеспечение поможет вам в таких вопросах, как исчисление, алгебра, криптография, продвинутая теория чисел и т. Д. Это бесплатное математическое программное обеспечение использует различные программные пакеты и легко приобретает его функции для общей цели.Он имеет интерфейс, который представляет собой записную книжку в веб-браузере, который подключается либо к своей собственной установке, либо к другому серверу Sage в сети. Sagemath предпочтительнее для исследований, учебы и образования.
Это обязательное программное обеспечение для студентов, которые не могут успешно справиться с математическим предметом. Однако, если вы все еще сталкиваетесь с проблемами по этому предмету, возьмите справку по математическим заданиям от онлайн-экспертов.
Получите быструю помощь по математике от allassignmenthelp.com
Allassignmenthelp.com — это онлайн-платформа для студентов, которые сталкиваются с академическими трудностями. У нас работает более 4000 профессиональных экспертов в предметной области. Они предоставят вам качественную помощь по соответствующему предмету.
Когда дело доходит до математики, мы понимаем, насколько трудным порой становится этот предмет. Большинство студентов в США ищут кого-нибудь, кто мог бы сделать их домашнее задание по математике, и мы готовы помочь. Все, что вам нужно сделать, это просто заполнить форму заказа, и назначенный писатель позаботится обо всем.Чтобы заказать задание, нажмите кнопку ниже.
Tagged бесплатные математические программы, бесплатные математические программы
Программы для детей, которые борются с математикой | Понятно
Калькуляторы, встроенные в устройства: Бесплатная
MacOS Calculator
Windows 10 Calculator
iPhone Calculator
Многие бесплатные приложения-калькуляторы для определенных целей можно загрузить для мобильных устройств (iPhone, iPad, Android).
С помощью калькулятора: Дети могут выполнять простые арифметические или более сложные математические операции.Они могут выбирать между базовым четырехфункциональным калькулятором и научными или программными калькуляторами.
Некоторые калькуляторы также могут преобразовывать общие меры. Например, они могут преобразовывать метры в футы, фунты в килограммы или градусы Цельсия в градусы Фаренгейта.
С TTS (macOS): Он превращается в говорящий калькулятор, говорящий на кнопках по мере их нажатия и зачитывающий ответы вслух. Это может уменьшить количество ошибок при вводе чисел и операций, а также при копировании ответа.
ModMath: Бесплатно (iPad)
ModMath Pro: 4,99 доллара США (iPad)
Цифровая математическая сетка
Математический импортер изображений
9023 9024 С цифровой сеткой 9024 : Дети могут использовать экранную математическую клавиатуру для ввода чисел, символов и переменных для записи математических выражений на цифровой миллиметровой бумаге. ModMath лучше всего работает с сложными математическими задачами (+ — × ÷) через базовую алгебру.Дети могут распечатать выполненную работу или отправить ее учителю по электронной почте.
С помощью импортера математических изображений: Дети могут сделать снимок математической задачи (из учебника или рабочего листа) и ввести изображение в сетку вместо того, чтобы вводить задачу. Это может уменьшить количество ошибок копирования и часто происходит быстрее.
Mathshare: бесплатно (онлайн)
Рабочее пространство для пошагового решения задач
Математическое преобразование в речь
С Mathshare: Учащимся предлагается решить многоуровневую математику проблемы, разбивая проблему на более мелкие части.Студенты также могут объяснять свое мышление на каждом этапе с помощью набора текста или диктовки. Это позволяет учителю видеть рассуждения ученика и определять, какие шаги ученик сделал, а какие не освоил.
С преобразованием математики в речь: Учащиеся могут точно слышать каждый шаг математического решения, читаемый вслух.
EquatIO: 100 долларов в год
(Mac, Windows, Chrome)
Обозначения по математике и химии путем набора текста, почерка или диктовки
Импортер математических изображений
Инструмент для построения графиков
Пространство для совместного рисования
Математическое преобразование в речь
Математический считыватель скриншотов
Дети с математическими инструментами вводите правильно отформатированные математические или химические выражения с помощью набора текста, диктовки (преобразование речи в математику) или рукописного ввода (лучше всего работает с сенсорным экраном или графическим планшетом и разборчивым почерком).
С математическим и химическим прогнозом: При вводе имени математического или химического символа отобразится список возможных вариантов. Например, при вводе «sq» отображаются параметры для рисования квадрата или для ввода показателя степени 2 или символа квадратного корня.
С помощью импортера математических изображений: Используя мобильное приложение-компаньон EquatIO, дети могут сделать снимок математической задачи (из учебника или рабочего листа) и передать изображение в EquatIO вместо того, чтобы вводить задачу.Это может уменьшить количество ошибок копирования и часто происходит быстрее.
С помощью графического инструмента: Используя цифровую миллиметровую бумагу, дети могут вводить уравнения для рисования графиков, точек, линий и кривых.
С совместной рабочей областью («mathspace»): Учащиеся и учителя могут писать, рисовать и рисовать, чтобы вместе работать над математическими задачами.
С преобразованием математики в речь: Уравнения, созданные EquatIO, можно прочитать вслух с помощью программного обеспечения для чтения и записи.
С помощью математической программы для чтения снимков экрана: Дети могут делать снимки экрана с математическими уравнениями в Интернете и преобразовывать их в уравнения, которые можно редактировать, а также читать вслух с помощью функции «Чтение и запись».
GeoGebra Calculator Suite (графики, 3D-калькулятор, геометрия)
Инструмент для рисования
С помощью графического инструмента: Используя цифровую миллиметровую бумагу, дети могут вводить уравнения для рисования графиков, точек, линий и кривых.
С помощью инструмента рисования: Дети могут рисовать такие объекты, как многоугольники, эллипсы, линии и кривые, часто используемые в геометрии, а затем маркировать свои рисунки.
Дети также могут создавать трехмерные графики и рисунки, а затем сохранять или экспортировать свою готовую работу в различных форматах.
Инструменты рисования FX: 65 долларов США (Mac или Windows)
Вы также можете добавить дополнительные инструменты рисования FX (уравнение FX, график FX и статистика FX).
Бесплатно для квалифицированных учащихся, чья инвалидность затрудняет подготовку материалов по математике и естественным наукам.
Математическая нотация
Инструмент для рисования
Инструмент для рисования
С математической нотацией: FX Equation позволяет детям быстро набирать только правильно отформатированные уравнения с клавиатуры.Они также могут легко вставлять создаваемые уравнения в Word, PowerPoint и другие программы.
С помощью графического инструмента: Дети могут набрать уравнение и построить его или нарисовать линии и кривые прямо на виртуальной миллиметровой бумаге. Они могут экспортировать или распечатать результаты.
С помощью инструмента рисования: Дети могут рисовать такие объекты, как многоугольники, эллипсы, линии и кривые, часто используемые в геометрии, а затем маркировать свои рисунки.
Дети также могут создавать трехмерные графики и рисунки, а также добавлять к своей работе математические обозначения, метки, заливку и заметки.
MathType: 39,95 долларов США в год для студентов (Mac или Windows)
ChemType (входит в состав MathType Web)
MathType Desktop (Mac или Windows) выглядит и работает немного иначе, чем MathType Web или Google Docs ).
Математическая нотация
Химическая нотация
С математической нотацией: Дети могут создавать простые и сложные математические уравнения в программах обработки текстов (Word, Pages, Google Docs) или в презентациях программы (PowerPoint, Keynote, Slides).MathType предоставляет панель инструментов с исчерпывающим набором математических символов и шаблонов для предварительной алгебры с помощью вычислений, статистики и матриц.
С обозначением химии: Дети могут записывать химические формулы и уравнения, используя специальную панель инструментов и символы химии MathType. Панель инструментов также включает в себя легко доступную периодическую таблицу элементов.
Приложения Центра обучения математике: бесплатно (iPad, Chrome, онлайн)
Mathigon Polypad: бесплатно (онлайн)
Виртуальные манипуляторы
С приложениями Центра обучения математике: Дети могут перемещаться и расставляйте интерактивные объекты для визуального изучения первых математических понятий, таких как числовые линии, базовые 10 блоков, деньги и дроби.
С Mathigon Polypad: Дети могут работать с десятками различных интерактивных манипуляторов в полноэкранном рабочем пространстве. Манипулятивные категории включают геометрию, числа, дроби, алгебру и вероятность.
6 бесплатных программных приложений для решения математических и научных уравнений
Существует бесплатное программное обеспечение и приложения, которые могут помочь вам решать сложные математические задачи и научные уравнения. Мы рассмотрим 6 лучших программ, которые вы можете использовать для решения математических уравнений со своего компьютера и / или мобильных устройств.
1. MindMaster
MindMaster — удобное служебное приложение для решения математических и научных задач. Это кроссплатформенное приложение, доступное для Windows, Mac, Linux, интернет-браузеров, расширения Google, IOS и Android. Его функция облачного хранилища позволяет синхронизировать данные на всех ваших устройствах.
Научный пакет Mindmaster поддерживает онлайн-сотрудничество, библиотеку формул и практически все часто используемые символы математических уравнений, такие как отношения и операторы, модификаторы, стрелки, разделители, дроби, квадратные корни, индексы и надстрочные индексы, суммирование, результаты и набор, интеграл. , подчеркивание и подчеркивание, стрелка метки и прямоугольник.
2. Решенная алгебра колледжа!
Колледж по алгебре решен! удобное для студентов программное обеспечение от Bagatrix. Многие студенты колледжей использовали его в качестве инструмента для выполнения домашних заданий по математике и выполнения научных проектов.
Он может решать обширные алгебраические уравнения, строить графики, отмечать тригонометрические значения, а также предлагать несколько тестов для улучшения навыков в математике и естественных науках.
Ссылка для скачивания : Bagatrix прекратил официальное распространение этого программного обеспечения, к счастью, у меня есть полнофункциональная копия в моей системе, которую я загрузил сюда для вашего удобства.
Загрузите, установите, используйте и поделитесь своим мнением о Решенной алгебре колледжа! программного обеспечения.
3. Алгебра 2 решена!
Алгебра 2 решена! является улучшением Решенной алгебры колледжа! программного обеспечения. В него было добавлено больше функций, использовались более подробные методы работы для представления решений проблем.
Решение одновременных уравнений, многочленов, случайных чисел и нескольких алгебраических уравнений стало возможным, простым и легким с помощью Algebra 2 Solved! Программное обеспечение для ПК.
Ссылка для скачивания : Точно так же, как решенная алгебра колледжа! программного обеспечения, Багатрикс давно прекратил официальное распространение этого приложения. На forum.3ptechies.com есть ветка, где вы можете скачать ее и оставить свой отзыв.
4. Mathway [Интернет и мобильное приложение]
Mathway сочетает в себе возможности колледжа решена алгебра !, решена алгебра 2! и исчисление решено! чтобы предоставить вам универсальное веб-приложение и мобильное приложение для решения сложных математических выражений и научных уравнений.
Mathway может решать задачи по базовой математике, предалгебре, алгебре, тригонометрии, предварительному вычислению, исчислению, статистике, конечной математике, линейной алгебре и химии. Это очень удобный математический инструмент для учителей, родителей, студентов и инженеров.
В дополнение к научному калькулятору Casio fx-991MS, как инженер или студент, изучающий естественные науки, вам следует подумать о получении рабочей версии Mathway, которая сделает вашу работу с математикой и уравнениями увлекательной.
Mathway для iOS : вы можете загрузить приложение mathway на свой iPhone, iPad или любое другое устройство iOS, перейдя по ссылке в магазине приложений iTunes.
Mathway для Android : Mathway доступен для Android и может быть установлен на ваш телефон, планшеты и фаблеты. Перейдите по ссылке в магазине Google Play для загрузки.
Mathway для Mac OS и ПК : для Windows, Mac, браузеров и компьютеров Linux есть веб-приложение, которое поможет с математическими и инженерными проблемами.
5. Эксперт по математике
Math Expert — очень полезное приложение для Android для решения математических и научных задач, оно не так надежно, как другие приложения, перечисленные выше, но все же эффективно для студентов-инженеров и математиков.
Math Expert имеет обширную базу данных для формул по физике, химии и математике. Вы можете скачать бесплатно по ссылке в Google Play Store или выбрать профессиональную версию с дополнительными функциями.
6. f (x) Математика
f (x) Mathematics — бесплатное приложение для Android для решения математических и научных задач, оно может решать задачи, связанные с:
Статистика
Дифференциальное и интегральное исчисление
Линейная алгебра, векторы, матрицы
Расчет комплексного числа
Вычисление по модулю с большими целыми и дробными числами
Построение кривых, лаймы, минимумы, максимумы
f (x) Математика вычисляет любую формулу, которую вы хотите, и отображает их на 2-м или 3-м графике.Естественный дисплей показывает дроби, корни и экспоненты, как и следовало ожидать от математики.
Ссылка для загрузки : Вы можете бесплатно загрузить это приложение в магазине Google Play или купить аналогичное в магазине приложений iTunes.
Твоя очередь
Вы когда-нибудь использовали приложение или программное обеспечение для выполнения домашнего задания по математике и / или школьных проектов?
Поделитесь ими с нами ниже, если они действительно решили эти проблемы бесплатно и эффективно. Не забудьте поделиться этой страницей со своими друзьями, которые изучают инженерный курс, практикуют инженерные технологии или «учатся» в естественных науках.
5 рекомендуемых веб-инструментов для решения сложных математических задач
Многие из нас переживают травмирующие чувства по поводу математики еще со времен учебы в университете и в школьные годы. В зависимости от вашего профиля работы вы можете снова столкнуться с этими проблемами на рабочем месте. К счастью, сейчас все изменилось к лучшему. Благодаря новейшим автоматизированным веб-инструментам уравнения, на решение которых раньше уходила целая вечность, можно выполнять в режиме онлайн быстрее и точнее.
Воспользуйтесь этими замечательными инструментами для решения математических задач и сэкономьте свое драгоценное время.Хотя мы не поощряем учеников обмануть домашнее задание, всегда полезно перепроверить свои решения.
Связанные : 5 лучших образовательных приложений для детей всех возрастов
1. Cymath
Если вы ищете программное обеспечение без излишеств, которое аккуратно решает основные проблемы, не заставляя вас переходить на Premium, вам следует подумать о Cymath. Не стесняйтесь выбирать от арифметики до базовой алгебры, факторизации, исчисления и даже более простых графиков. У них даже есть приложение, доступное в Play Store.
Программное обеспечение
Cymath довольно интуитивно понятно и легко улавливает желаемые данные. Согласно веб-сайту, они используют комбинацию инструментов искусственного интеллекта и эвристики для предоставления рекомендаций. Окончательное решение четко описывает все шаги один за другим, как это сделал бы ваш учитель математики. Однако есть один серьезный недостаток. Диапазон возможностей, поддерживаемых Cymath, весьма ограничен. Вы не можете использовать этот инструмент для расширенной геометрии, тригонометрии, пределов и т. Д.
2. Матвей
Ищете более сложные функции, чем простые уравнения? Mathway может помочь вам решить любые сложные задачи, связанные с тригонометрией, теорией множеств, матрицами, предварительным исчислением, показателями, перестановками и комбинациями, и даже физическими и химическими уравнениями. Нет сомнений в том, что этот инструмент может оказаться лучшим другом студента инженерного факультета в любом направлении.
Все-таки есть недостаток. Как бы замечательно это ни звучало, все лучшие функции скрыты в дорогой подписке Premium.Если вы не студент инженерного факультета, которому нужно экономить время, вы можете рассмотреть варианты получше.
3. Symbolab
Если вы ищете функции, аналогичные предыдущему программному обеспечению, но без принудительной подписки на премиум-версию, Symbolab предлагает рабочую бесплатную альтернативу. Кроме того, вы можете вставить греческие алфавиты, физические калькуляторы, включая векторы, вероятности, полярно-декартовы преобразования и многое другое.
Программное обеспечение подробно описывает большинство шагов и предлагает полное руководство на каждой стадии проблемы.Программное обеспечение настоятельно рекомендуется для решения большинства сложных математических задач. Доллар действительно останавливается здесь.
4. WebMath
WebMath предоставляет большое количество полезных функций абсолютно бесплатно. Это включает построение эллипсов, гипербол и решение неравенств. Программное обеспечение было в основном разработано как усовершенствованный калькулятор и конвертер единиц измерения. Он может оказаться полезным для расчета чего угодно, от процентных ставок по ссуде до продажной цены и даже фактора холода на улице.
5. QuickMath
QuickMath не предлагает слишком много вариантов, но те, что они есть, вероятно, наиболее применимы для ряда сценариев. Это довольно точно при работе с матрицами и детерминантами и создании научных обозначений.
Связанные : Учиться с Linux: овладеть математикой с помощью этих приложений для Linux
Заключение
Не всегда легко решать математические задачи с помощью одного калькулятора. Иногда небольшая рука помощи может серьезно сэкономить время и силы.Использование рекомендованных выше инструментов может значительно повысить производительность.
Вы, родитель, изо всех сил пытаетесь помочь своим детям с заданиями по математике? Тогда вы должны проверить эти инструменты. Идея состоит в том, чтобы сделать умных детей еще умнее. Кто знает, может быть, эта программа поможет вашим детям влюбиться даже в такой предмет, как математика.
Эта статья полезна?
да
Нет
Саяк Борал
Саяк Борал — технический писатель с более чем десятилетним опытом работы в различных отраслях, включая полупроводники, Интернет вещей, корпоративные ИТ, телекоммуникации OSS / BSS и безопасность сетей.Он писал для MakeTechEasier по широкому кругу технических тем, включая Windows, Android, Интернет, руководства по оборудованию, браузеры, программные инструменты и обзоры продуктов.
11 приложений, которые заставят вас немного меньше ненавидеть математику
Помните учебники по математике из старых добрых школьных времен? Те, которые предлагали пошаговые решения каждой проблемы в вашем учебнике? Пришло время попрощаться с этими руководствами и воспользоваться приложениями, которые позволяют решать сложные математические задачи так же просто, как щелкать по картинке!
Сегодня вы можете выбирать из средств обучения, которые помогут вам отслеживать формулы и изучать алгебру, до приложений, которые позволяют решать уравнения, просто наводя камеру.В различных магазинах приложений также есть ряд недорогих или бесплатных научных калькуляторов, что делает этот удобный инструмент гораздо более доступным, чем в те времена, когда он стоил целое состояние.
Это ни в коем случае не исчерпывающий список, но мы попробовали несколько приложений и пришли к выводу, что они лучше всего делают математику (почти) увлекательной.
1. Photomath
Photomath, вероятно, лучшее приложение для решения математических задач. Он использует дополненную реальность, что означает, что вы можете просто навести камеру на любой лист бумаги с уравнением или арифметической задачей, и он найдет решение.Конечно, есть ограничения. На данный момент приложение не может распознать рукописные проблемы, но хорошо распознает печатные. Он также не может решать квадратные уравнения, функциональные уравнения или математические задачи.
Тем не менее, приложение отлично справляется с основными арифметическими задачами и алгебраическими уравнениями. Приложение показывает решения на экране и показывает подсказку «Шаги», показывающую, как оно решило проблему. Он также ведет журнал всех решенных уравнений, поэтому при необходимости вы можете быстро обратиться к более старой проблеме.
Photomath распространяется бесплатно на iOS и Windows Phone. Ожидается, что приложение для Android появится в следующем году, сообщается на сайте разработчика.
2. Solve4x
Это бесплатное приложение для iOS поставляется с решателем уравнений, в котором вы можете вручную ввести уравнение для его решения или сделать снимок и автоматически обработать все уравнение. Вы также можете использовать фотографию, которая уже была сохранена в галерее. Он работает с печатным текстом, и даже в этом случае текст может быть искажен, поэтому иногда требуется небольшое легкое редактирование текста после того, как снимок сделан.Одним из ограничений является то, что приложение не поддерживает уравнения со скобками. Приложение решает уравнения — идея заключается в том, что родители могут использовать его для проверки результатов, которые получают их дети, без необходимости быть в курсе сложной алгебры, хотя в этом случае вы можете держать своих детей подальше от смартфонов.
Solve4x распространяется бесплатно на iOS.
3. iMat Mathematics
iMat Mathematics позволяет вводить уравнения и решать их за вас. Платная версия может решать более широкий круг уравнений, чем Photomath.Помимо этого, приложение также включает в себя различные учебные модули, которые мы обсудим более подробно в разделе ниже. Единственным недостатком является то, что, в отличие от Photomath, с iMat Mathematics вы должны вводить уравнения вручную — вы не можете просто сфотографировать уравнения.
iMat Mathematics доступен бесплатно для iOS и Android. Вы можете разблокировать профессиональную версию, купив в приложении.
4. MyScript Calculator
Это приложение распознает ваш почерк, поэтому вы можете рисовать уравнения на экране, и оно сразу их решает.Он поддерживает основную арифметику, квадратные и кубические корни, кроме тригонометрии, логарифмов и процентов. Вы также можете нарисовать «2 +? = 10», и он подскажет вам правильный ответ.
Нам очень нравится это приложение, но оно не всегда правильно распознает почерк. Заставить его выполнить простое вычисление корня куба было проблемой, потому что он не мог правильно распознать наш ввод. Но когда это действительно работает, это приложение очень удобно.
MyScript Calculator распространяется бесплатно на iOS и Android.
5. PCalc
В iOS App Store есть несколько отличных приложений для научных калькуляторов, но PCalc выигрывает, потому что у него также есть красивый виджет Центра уведомлений. Это означает, что вам даже не нужно запускать приложение, когда вам нужно выполнить вычисления — просто проведите вниз от верхнего края экрана, независимо от того, что вы делаете, и приступайте к работе.
PCalc доступен для рупий. 620 на iOS, но есть и бесплатная версия для баребонов на тот случай, если вы захотите попробовать приложение перед покупкой.
6. Научный калькулятор
Для пользователей Android это, вероятно, лучшая альтернатива. Приложение включает в себя ряд функций, включая тригонометрию, логарифмы, экспоненциальные функции, и включает в себя историю уравнений, чтобы вы могли видеть, какую работу вы проделали для достижения своих результатов. Подсветка синтаксиса уравнения, выделение скобок и отдельные режимы для научных и инженерных расчетов делают его отличным выбором, но, прежде всего, это бесплатное приложение также не содержит рекламы.
Научный калькулятор теперь доступен для Android бесплатно.
7. Научный калькулятор (для Windows Phone)
Хотя это приложение имеет то же имя, что и наше приложение для Android, оба приложения от разных компаний выглядят и работают по-разному. Тем не менее, это приложение имеет приятный интерфейс, функции от экспоненциальных до логарифмических и тригонометрических. В нем также есть отдельная вкладка для истории, где вы можете увидеть выполненные вами расчеты.
Пользователи Windows Phone могут загрузить Scientific Calculator бесплатно.
8. Графический калькулятор
Настоящий графический калькулятор, такой как TI-84, по-прежнему будет стоить вам около 100 долларов, но вы найдете множество приложений с той же функциональностью. Это приложение от Mathlab — одно из самых хороших, которые мы когда-либо видели, и, похоже, оно тоже очень хорошо работает. Более 10000 человек в Play Store оценили его на 5 звезд — и помимо функциональности, которую вы найдете во многих различных приложениях, нам понравилось это приложение за его дизайн, который лучше, чем у большинства аналогичных приложений.Вы также можете попробовать BisMag Calculator 3D. Это приложение имеет аналогичные функции, но также включает в себя решатель уравнений и конвертер валют и единиц, а также графический калькулятор. Это приложение не будет полезно для всех, но если описанные функции соответствуют вашим потребностям, то это отличный вариант, к тому же бесплатный.
Пользователи Android могут получить Графический калькулятор бесплатно. Это приложение недоступно для iOS, но этот бесплатный графический калькулятор является хорошей альтернативой, хотя выглядит не так хорошо.
iMat Mathematics
Это приложение (также упомянутое выше) хорошо объясняет различные темы, такие как алгебра, геометрия, тригонометрия и исчисление. Приложение дает вам краткое определение концепции, сопровождаемое некоторыми примерами или иллюстрациями для ее объяснения. Если в понятие включены какие-либо сложные термины, в приложении есть ссылка на простое объяснение в конце темы. Например, в теме «Тела вращения» упоминается «Усеченный конус». Ссылка в конце темы открывает статью, объясняющую, что такое усеченный конус.
iMat Mathematics также предоставляет ссылку на Википедию в конце каждой записи и позволяет выполнять вычисления с использованием Wolfram Alpha. Все они открываются в приложении, поэтому нет необходимости переключаться между задействованными приложениями для изучения какой-либо темы. Бесплатное приложение позволяет изучить множество базовых концепций, в то время как расширенные концепции доступны в профессиональной версии приложения за рупий. 190 на iOS, а в качестве рупий. 300 покупок в приложении на Android.
iMat Mathematics доступен бесплатно для iOS и Android.
9. Khan Academy
Видеоуроки Khan Academy заслуженно известны и охватывают различные предметы, включая математику. Все, что вам нужно сделать, это установить приложение, выбрать тему и начать просмотр обучающих видео. Приложение также включает в себя практические вопросы, но они также представлены в виде видео, поэтому вам нужно будет записать их, чтобы решить.
Приложения Khan Academy доступны бесплатно для iOS. Сторонние приложения, которые позволяют просматривать видео Khan Academy, доступны на Android и Windows Phone.
10. Meritnation
Приложение Meritnation является цифровым эквивалентом путеводителя для индийских студентов. Он охватывает учебные программы от 6 до 12 классов CBSE, ICSE и государственных советов Махараштры, Кералы и Тамил Наду. Бесплатно для Android и iOS математический раздел включает задачи из каждой главы и дает вам решение. Это будет полезно для студентов из Индии, которые хотят использовать приложение специально для подготовки к экзаменам. Приложение требует обязательной регистрации и запрашивает номер вашего мобильного телефона, а большая часть расширенного контента также разблокируется через веб-сайт Meritnation.Это означает, что вы можете разблокировать доступ на нескольких платформах, но в остальном это немного неудобно.
Meritnation распространяется бесплатно на iOS и Android.
11. Mathematicus
Mathematicus — хорошее приложение, если у вас проблемы с запоминанием математических формул. Приложение служит базой данных для всех важных формул, и вы можете просто запустить его в любое время и искать то, что вам нужно. Эти формулы складываются по темам, что означает, что вы можете найти все формулы тригонометрии в одной группе и так далее.Приложение не выполняет слишком много функций, но для конкретного использования поиска формул это лучший выбор.
Mathematicus распространяется бесплатно на Windows Phone.
Какие ваши любимые математические приложения? Сообщите нам об этом в комментариях.
Лучшие бесплатные приложения, которые решают математические задачи за вас
Многие справочники и учебники по математике, используемые в школах, предоставляют учащимся пошаговые инструкции по решению различных математических задач. Однако с незапамятных времен мы видели, что этих пошаговых руководств никогда не бывает достаточно, чтобы заставить учеников влюбиться в математику.Хорошо то, что теперь есть способ лучше решать математические задачи.
Технологии оказались более чем полезными в разных сферах и в разных отраслях, и, к счастью, образование не осталось позади. Сегодня у нас есть приложения для смартфонов, которые могут решать математические задачи. Щелкая по телефонам, вы можете получить ответы на самые сложные математические задачи по разным темам. Помимо решения математических задач и предоставления решений на золотом блюде, некоторые из этих приложений также могут научить вас различным методам и инструкциям о том, как решить проблему и прийти к правильному ответу.Это намного более простой способ выучить математику, и вы очень быстро влюбитесь в математику.
Мы просмотрели некоторые приложения, помогающие выполнять задания по математике, и составили список лучших бесплатных приложений, которые помогут вам решать математические задачи.
Photomath
Приложение Photomath, несомненно, является одним из лучших приложений, с которыми вы столкнетесь, чтобы помочь вам с математическими задачами. Это приложение использует камеру вашего телефона в сочетании с дополненной реальностью.Все, что вам нужно сделать, это направить камеру вашего телефона на лист с уравнением или математической задачей, которую вы хотите решить, и он даст вам ответ. Он считывает проблему и мгновенно ее решает, а все, что вам нужно, — это камера вашего устройства. Современная технология Photomath позволяет ему прочитать проблему и дать ответ, а также показать вам пошаговые объяснения для получения правильного ответа. Неважно, насколько это просто или сложно, будь то простая арифметика или сложное исчисление.Photomath — это приложение, которое одинаково полезно как для учителей, так и для студентов при преподавании и изучении математики. Это помогает понять и интерпретировать проблему, а также изучить основные математические концепции. Это приложение для решения математических задач особенно полезно для решения алгебраических уравнений и фундаментальных арифметических задач. Некоторые из математических материалов, поддерживаемых Photomath, включают числа, десятичные дроби, дроби, корни и степени, алгебраические выражения, комплексные числа, квадратные уравнения / неравенства. Другие — линейные уравнения / неравенства, абсолютные уравнения / неравенства, исчисление, биномиальная теорема и тригонометрические уравнения.
Решить 4x
Solve4x — еще одно интересное приложение для решения математических задач. В этом приложении есть средство решения уравнений, которое позволяет вам ввести уравнение вручную и решить его за вас. Другой способ — сделать снимок уравнения или проверить фотографию, уже сохраненную в вашей галерее. Он обработает изображение и автоматически решит уравнение. Это приложение работает с печатным текстом, но некоторые тексты могут быть искажены, поэтому вам может потребоваться слегка отредактировать текст после съемки.
Хотя это приложение не требует большого количества эссе, одним из его ограничений является то, что оно не поддерживает математические задачи, в которых используются скобки. Идея этого приложения заключается в том, чтобы родители могли подтверждать результаты заданий своих детей, не сталкиваясь со сложной алгеброй и другими математическими задачами. Если это так, вы можете держать смартфоны подальше от ваших детей, когда они выполняют их задания.
Mathway
Приложение для решения задач по математике работает как калькулятор алгебры, предлагая мгновенные ответы на самые сложные математические задачи.Это приложение может помочь вам с любой математической задачей, от простых математических задач до более сложных, исчисления, тригонометрии, алгебры, геометрии и т. Д.
Приложение pathway поставляется с бесплатной версией и платной версией или версией по подписке. В бесплатной версии все, что вы получаете, — это просто ответ на поставленную математическую задачу, а в платной версии вы получите пошаговые решения различных математических задач по разным темам. Это приложение настоятельно рекомендуется для всех учащихся, которые борются с математикой.Он также очень прост с интуитивно понятным интерфейсом и отличным тематическим глоссарием.
Cymath
Cymath — это приложение для решения математических задач, которое предлагает помощь в диссертации по различным математическим темам в математике. Некоторые из этих тем — алгебра, арифметика, статистика, исчисление, тригонометрия и другие темы с помощью передового средства решения математических задач с искусственным интеллектом. Приложение Cymath решает ваши математические задачи в режиме реального времени по нескольким темам.Это приложение также дает вам бесплатный доступ к решению вашей математической задачи. Поэтому, когда вам нужна помощь или вы застряли на математической задаче, у вас есть доступ к приложению Cymath. С помощью этого приложения вы можете получить всю необходимую поддержку при выполнении домашнего задания по математике по различным темам, алгебре, построению графиков, исчислению и т. Д. Калькулятор алгебры этого приложения имеет различные функции, которые варьируются от экспоненциальных функций до логарифмов и тригонометрии.
Калькулятор MyScript
Это математическое приложение распознает ваш почерк.Это означает, что вы получите ответы на свою математическую задачу, просто написав вопрос на экране. Это приложение поддерживает основную арифметику с квадратными корнями и кубическими корнями, но не поддерживает тригонометрию, проценты и логарифмы.
Хотя это приложение удобно в использовании, оно имеет свои ограничения, поскольку оно не всегда может правильно распознавать ваш почерк. Например, у вас могут возникнуть проблемы с тем, чтобы заставить его выполнить вычисление кубического корня, если он не распознает то, что вы написали правильно.Однако, когда он распознает ваш почерк и имеет правильное уравнение, это фантастическое приложение, которое можно держать в шкафу, и оно вам очень пригодится.
Заключение
Существует множество приложений для решения математических задач, которые можно использовать бесплатно. Те, которые обсуждаются в этой статье, являются одними из лучших, которые вы можете получить бесплатно. Однако многие другие аналогичные бесплатные приложения помогут вам решить математическую задачу, не напрягая себя излишне.
Помимо быстрых ответов по математике, некоторые из этих приложений также предлагают учебные пособия и простые пошаговые инструкции, которые помогут вам учиться, понимать и влюбляться в решение математических задач.
Биография автора
Эшли Симмонс — профессиональный журналист и редактор отдела написания статей в колледже. В течение четырех лет она работала рецензентом эссе с лучшей диссертацией в газете Солт-Лейк-Сити. Она также является экспертом по написанию контента по таким темам, как психология, современное образование, бизнес и маркетинговые инновации. Она мастер своего дела.
Реза — опытный преподаватель математики и специалист по подготовке к экзаменам, который занимается со студентами с 2008 года.
Длина окружности. Число Пи
Площадь круга
Площадь сферы. Объём шара
Многие из нас любят играть в футбол или, по крайней мере, почти каждый из нас
слышал про эту знаменитую спортивную игру. Всем известно,
что в футбол играют мячом.
Если спросить прохожего, форму какой геометрической фигуры имеет мяч, то часть
людей скажут, что форму шара, а часть, что формы сферы. Так кто же
из них прав? И в чем разница между сферой и шаром?
Важно!
Шар — это пространственное тело. Внутри шар
чем-либо заполнен. Поэтому у шара можно найти объем.
Примеры шара в жизни: арбуз и стальной шарик.
Шар и сфера, подобно кругу и окружности, имеют центр, радиус и диаметр.
Важно!
Сфера — поверхность шара. У сферы можно найти площадь поверхности.
Примеры сферы в жизни: волейбольный мяч и шарик для игры в настольный
теннис.
Как найти площадь сферы
Запомните!
Формула площади сферы: S = 4πR2
Для того, чтобы найти площадь сферы, необходимо вспомнить,
что такое степень числа.
Зная определение степени,
можно записать формулу площади сферы следующим образом. S = 4π R2 =
4πR · R;
Закрепим полученные знания и решим задачу на площадь сферы.
Зубарева 6 класс. Номер 692(а)
Условие задачи:
Вычислите площадь сферы, если её радиус равен 1 м. (возьмите π как
3)
Вспомнив, как выделить целую часть
и перемножить дроби,
воспользуемся формулой площади сферы:
S = 4 · πR2 =
4 · 3
·
(1
) 2 =
4 ·
·
(
) 2 =
4 ·
·
441
121
=
4 · 22 · 441
7 · 121
= =
4 · 22 · 63
121
=
4 · 2 · 63
11
=
504
11
=
45
м2
Как найти объем шара
Запомните!
Формула объема шара: V = πR3
Зная определение степени,
можно записать формулу объема шара следующим образом.
V =
π R3 =
π R · R · R;
Для отработки полученных знаний решим задачу на объем шара.
Зубарева 6 класс. Номер 691(а)
Условие задачи:
Вычислите радиус шара, если его объем равен 4 м3 (возьмите π как
3)
Выразим из формулы объема шара радиус.
V =
π R3
π R3 = V
π R3 =
R3 =
3V
4 π
Подставим в формулу известные нам значения. Число π
возьмем как задано в задании «3
». R3 = (3 ·
4
) /
(4 · 3
)
Чтобы не запутаться, отдельно рассчитаем
числитель дроби.
3 ·
4
=
3 ·
21 · 4 + 4
21
=
3 · 88
21
=
Теперь снова подставим полученное значение в нашу формулу:
R3 =
/ (4 · 3)
=
/ (4 · )
=
/ (
4 · 22
7
) =
=
· (
7
4 · 22
) = =
88 · 7
7 · 4 · 22
=
88
4 · 22
=
= 1
R3 = 1
R = 1 м
Важно!
Уважаемые родители!
При окончательном расчете радиуса
не надо заставлять ребенка считать кубический корень. Учащиеся
6-го класса еще не проходили и не знают определение корней в математике.
В 6 классе при решении такой задачи используйте метод перебора.
Спросите ученика, какое число, если его умножить 3 раза на самого себя даст
единицу.
Длина окружности. Число Пи
Площадь круга
Площадь сферы. Объём шара
Сфера объем и площадь. Сфера, шар, сегмент и сектор
Сфера и шар – это аналог круга и окружности в трехмерном пространстве. Стоит поговорить о каждой из этих фигур, выделить сходства и различия, а так же формулы, свойственные этим фигурам.
Большая часть геометрических построений производится в плоскости, но в старших классах начинают изучать трехмерные фигуры. Двухмерное пространство имеет только две характеристики: длину и ширину. В трехмерных областях добавляется высота. В математике 6 класса изучаются отдельные 3д фигуры.
На плоскости фигуру характеризовала площадь и периметр. В трехмерных объектах к ним прибавляется объем. 3\over3}$
Объем показывает, какое пространство занимает фигура. Чтобы понять, что такое объем нужно представить себе фигуру полой. Тогда объем это количество воды, которое можно налить в эту фигуру
Шар, как и любую другую трехмерную фигуру, можно рассечь плоскостью. Секущей плоскостью шара является круг, центр которого можно найти, опустив из центра шара перпендикуляр на окружность.
Рис. 2. Сечение шара.
Сфера это фигура, представляющая собой множество точек в пространстве, равноудаленных от центра сферы. Сфера:
Имеет те же формулы объема и площади поверхности, что и шар.
Секущая плоскость сферы это окружность
Центр секущей окружности, находится так же, как и в случае с шаром
Рис. 3. Сфера.
В чем различие
Тогда возникает вопрос, а чем отличается шар от сферы кроме определения? Дело в том, что различия шара и сферы куда более размыты, нежели различия круга и окружности. Сфера так же имеет объем и площадь поверхности.
Пожалуй, кроме определения, разница заключается в том, что в задачах никогда не находят объем сферы. Как правило, ищут объем шара. Это не значит, что у сферы нет объема. Это трехмерная фигура, поэтому объем у нее есть.
Просто проводится аналогия с окружностью, у которой нет площади. Это не правило, но скорее традиция, которую нужно запомнить: в геометрии не приветствуется формулировка объем сферы.
Еще одно отличие, которое можно считать более или менее значимым: секущая плоскость сферы: окружность, которая не имеет внутреннего пространства, но имеет длину. Секущая плоскость шара: круг, который имеет площадь и не имеет длины окружности. Поэтому стоит быть аккуратным в формулировках задачи, чтобы не было ошибок из-за подобных мелочей.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое сфера и шар. Поговорили об их сходствах и различии. Узнали, что различий у этих фигур почти нет. Решили, что не стоит приводить такую формулировку, как объем сферы.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4. 7
. Всего получено оценок: 105.
Многие из нас любят играть в футбол или, по крайней мере, почти каждый из нас
слышал про эту знаменитую спортивную игру. Всем известно,
что в футбол играют мячом.
Если спросить прохожего, форму какой геометрической фигуры имеет мяч, то часть
людей скажут, что форму шара, а часть, что формы сферы. Так кто же
из них прав? И в чем разница между сферой и шаром?
Важно!
Шар — это пространственное тело. Внутри шар
чем-либо заполнен. Поэтому у шара можно найти объем.
Примеры шара в жизни: арбуз и стальной шарик.
Шар и сфера, подобно кругу и окружности, имеют центр, радиус и диаметр.
Важно!
Сфера — поверхность шара. У сферы можно найти площадь поверхности.
Примеры сферы в жизни: волейбольный мяч и шарик для игры в настольный
теннис.
Как найти площадь сферы
Запомните!
Формула площади сферы: S = 4π
R 2
Для того, чтобы найти площадь сферы, необходимо вспомнить,
что такое степень числа . Зная определение степени,
можно записать формулу площади сферы следующим образом. S = 4π
R 2 =
4π
R · R;
Закрепим полученные знания и решим задачу на площадь сферы.
Зубарева 6 класс. Номер 692(а)
Условие задачи:
Вычислите площадь сферы, если её радиус равен 1 =
3 ·
=
=
/ (4 · 3)
= ) =
= ) = = =
=
= 1
R 3 = 1
R = 1 м
Важно!
Уважаемые родители!
При окончательном расчете радиуса
не надо заставлять ребенка считать кубический корень. Учащиеся
6-го класса еще не проходили и не знают определение корней в математике.
В 6 классе при решении такой задачи используйте метод перебора.
Спросите ученика, какое число, если его умножить 3 раза на самого себя даст
единицу.
Определение.
Сфера (поверхность шара ) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).
Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение.
Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).
Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение. Радиус сферы (шара) (R) — это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).
Определение. Диаметр сферы (шара) (D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.
Формула. Объём шара :
V =
4
π
R 3 =
1
π
D 3
3
6
Формула.Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:
S = 4π
R 2 = π
D 2
Уравнение сферы
1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :
x
2 + y
2 + z
2 = R 2
2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x
0 , y
0 , z
0) в декартовой системе координат :
(x
— x
0) 2 + (y
— y
0) 2 + (z
— z
0) 2 = R 2
Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.
Основные свойства сферы и шара
1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.
2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.
3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.
4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.
5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.
6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.
7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Определение. Секущая сферы — это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.
Определение. Хорда сферы (шара) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).
Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая пересекает сферу.
Определение.Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).
Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.
Хорда является отрезком секущей прямой.
Расстояние d
от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:
d
Расстояние m
между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m
Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r
такого круга можно найти по формуле:
r
= √R 2 — m
2
,
Где R — радиус сферы (шара), m
— расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Определение. Полусфера (полушар) — это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Определение. Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.
Определение. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.
Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения
Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение. Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h
называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h
через радиус сферы R:
S = 2π
Rh
Площадь сферы — формулы и примеры вычислений » Kupuk.net
Идеально круглый геометрический объект, который определяется как множество всех точек, равноудалённых от одной заданной, называется сфера. Площадь ее поверхности, в сравнении с другими трёхмерными телами, имеет наибольший объём. По сути, это шар, имеющий однородную форму, то есть как ни повернуть, он всегда будет выглядеть одинаково.
Важные измерения
Радиус (обозначается r) — единственное необходимое измерение. Это расстояние от любой точки на поверхности сферы до её центра. Самый длинный отрезок, равный двум r, называется диаметром (d). Земля называется сфероидом, потому что она очень близка к шару, но не идеально круглая. Она немного вытянута на северном и южном полюсах.
Впервые вычислить площадь (S) поверхности шара удалось Архимеду. Именно он установил, что для того, чтобы найти S любого трёхмерного объекта, необходимо измерить его радиус. Для сферы получилась следующая формула: S = 4 * π * r ². Для того чтобы понять, как это работает, следует рассмотреть пример. Известно, что радиус детского мяча 10 см. Остаётся ещё одна неизвестная — число π. Это математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру и равна примерно 3,14. Далее, следует подставить цифры в уравнение:
S = 4 * 3,14 * 10²;
S мяча равна ≈ 1256 см².
Таким образом, можно найти площадь сферы через её радиус по формуле, полученной ещё в античности. Ещё одна важная характеристика — это объём (V) фигуры. Он вычисляется следующим образом: V = (4/3) * π * r³. Если придерживаться условий задачи, то V мяча = (4/3) * 3,14 * 10³ равен ≈ 4187 см ³. Сейчас можно избежать длительных расчётов, если нужно узнать площадь сферы, онлайн-калькуляторы — сервисы, которые очень в этом помогают.
Сектор сферы — это слой между двумя правильными круговыми конусами, имеющими общую вершину в центре шара и общую ось.
Надо сказать, что внутренний конус может иметь основание с нулевым радиусом. Формула, по которой определяют площадь сектора, следующая: S = 2 * π * r * h, где h — высота. К слову, эта же формула применима, если необходимо найти S части шара, отрезанной плоскостью, то есть полусферы. Такая же формула применяется при нахождении S сегмента (часть между двумя параллельными плоскостями) и зоны сферы (изогнутая поверхность сферического сегмента).
Терминология и сферическая геометрия
Окружность на шаре, которая имеет тот же центр и радиус, что и сама фигура, а следовательно, делит её на две части, называется большим кругом. Если конкретную (произвольную) точку этого геометрического тела обозначить как его северный полюс, то соответствующая антиподальная точка будет южным полюсом. А большой круг станет экватором и будет равноудалённым от них. Если он будет проходить через два полюса, тогда это уже линии долготы (меридианы).
Круги на сфере, проходящие параллельно экватору, называются линиями широты. Все эти термины используются для приблизительно сфероидальных астрономических тел. Любая плоскость, которая включает в себя центр шара, делит его на два равных полушария (полусферы).
Многие теоремы из классической геометрии верны и для сферической, но отнюдь не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым аксиомам, например, постулату параллельности. Такая же ситуация складывается и в тригонометрии — отличия есть во многих отношениях. Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Помимо этого, две таких одинаковых фигуры будут конгруэнтными.
Одиннадцать свойств
В своей книге «Геометрия и воображение» Дэвид Гилберт и Стефан Кон-Фоссен описывают свойства сферы и обсуждают, однозначны ли такие характеристики. Несколько пунктов справедливы и для плоскости, которую можно представить как шар с бесконечным радиусом:
Точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной, называемой центром. Можно сделать единственный вывод: это обычное определение и оно однозначно. А также отношение расстояний между двумя фиксированными точками является постоянным. И здесь прослеживается аналогия с окружностями Аполлония, то есть с фигурами в плоскости.
Контуры и плоские участки сферы являются кругами. Это однозначное свойство, которое определяет шар.
Сфера имеет постоянную ширину и обхват. Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Множество других замкнутых выпуклых поверхностей имеют постоянную ширину, например, тело Мейснера. Обхват поверхности — это окружность границы её ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
Все точки сферы омбилические. В любой точке поверхности вектор нормали расположен под прямым углом к ней, поскольку шар — это линии, выходящие из его центра. Пересечение плоскости, которая содержит нормаль с поверхностью, сформирует кривую — нормальное сечение. Любая замкнутая поверхность будет иметь как минимум четыре точки, называемых омбилическими. Для сферы кривизны всех нормальных сечений одинаковы, поэтому омбилической будет каждая точка.
У шара нет центра поверхности. Например, два центра, соответствующие минимальной и максимальной секционной кривизне, называются фокальными точками, а совокупность всех таких точек образует одноимённую поверхность. И только у шара она преобразуется в единую точку.
Все геодезические сферы являются замкнутыми кривыми. Для этой фигуры они большие круги. Многие другие поверхности разделяют это свойство.
Имеет наименьшую площадь при наибольшем объёме. Это определяет шар однозначно. Например, мыльный пузырь: его окружает фиксированный объём, поверхностное натяжение минимизирует площадь его поверхности для такого объёма. Конечно, пузырь не будет идеальным шаром, поскольку внешние силы, такие как гравитация, будут искажать его форму.
Сфера — единственная вложенная поверхность, у которой нет границы или сингулярностей с постоянной положительной средней кривизной.
Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с заданной площадью поверхности.
Шар имеет постоянную гауссову кривизну. Это внутреннее свойство, которое определяется путём измерения длины и углов и не зависит от того, как поверхность встроена в пространство.
Сфера превращается в себя трёхпараметрическим семейством жёстких движений. Любое вращение вокруг линии, проходящей через начало координат, может быть выражено как комбинация вращений вокруг трёхкоординатной оси.
О шаре и цилиндре
Так называлась работа, опубликованная античным математиком Архимедом. Она вышла в двух томах в 225 году до н. э. Он был первым, кто сделал полный и подробный трактат по основам вычисления площади поверхности сферы, объёма шара и аналогичных значений для таких элементов, как цилиндр. Результатами его деятельности пользуются до сих пор.
Архимед особенно гордился формулой объёма шара, где он доказал, что эта величина составляет две трети объёма описанного цилиндра. Он даже попросил сделать чертёж этих предметов на своей надгробной плите. Позже римский философ Цицерон обнаружил такую гробницу, к сожалению, сильно заросшую окружающей растительностью.
Аргумент, который Архимед использовал для доказательства формулы V шара, был довольно сложным и сильно вовлечён в его геометрию. Поэтому во многих современных учебниках используется упрощённая версия, основанная на концепции предела, которого, конечно, не было в античные времена. Великий математик создавал в сфере усечённый конус путём построения и вращения геометрических фигур, и только после этого он определил объём.
Сейчас кажется, что он специально выбирал такие оригинальные методы. Однако это был всего лишь лучший из тех, которые были ему доступны в греческой математике. Его основные работы были вновь открыты в XX веке. Например, Метод механических теорем, как он назывался в трактате автора.
Площадь сферы — формулы и примеры вычислений
Идеально круглый геометрический объект, который определяется как множество всех точек, равноудалённых от одной заданной, называется сфера. Площадь ее поверхности, в сравнении с другими трёхмерными телами, имеет наибольший объём. По сути, это шар, имеющий однородную форму, то есть как ни повернуть, он всегда будет выглядеть одинаково.
Содержание
Важные измерения
Терминология и сферическая геометрия
Одиннадцать свойств
О шаре и цилиндре
Важные измерения
Радиус (обозначается r) — единственное необходимое измерение. Это расстояние от любой точки на поверхности сферы до её центра. Самый длинный отрезок, равный двум r, называется диаметром (d). Земля называется сфероидом, потому что она очень близка к шару, но не идеально круглая. Она немного вытянута на северном и южном полюсах.
Впервые вычислить площадь (S) поверхности шара удалось Архимеду. Именно он установил, что для того, чтобы найти S любого трёхмерного объекта, необходимо измерить его радиус. Для сферы получилась следующая формула: S = 4 * π * r ². Для того чтобы понять, как это работает, следует рассмотреть пример. Известно, что радиус детского мяча 10 см. Остаётся ещё одна неизвестная — число π. Это математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру и равна примерно 3,14. Далее, следует подставить цифры в уравнение:
S = 4 * 3,14 * 10²;
S мяча равна ≈ 1256 см².
Таким образом, можно найти площадь сферы через её радиус по формуле, полученной ещё в античности. Ещё одна важная характеристика — это объём (V) фигуры. Он вычисляется следующим образом: V = (4/3) * π * r³. Если придерживаться условий задачи, то V мяча = (4/3) * 3,14 * 10³ равен ≈ 4187 см ³. Сейчас можно избежать длительных расчётов, если нужно узнать площадь сферы, онлайн-калькуляторы — сервисы, которые очень в этом помогают.
Сектор сферы — это слой между двумя правильными круговыми конусами, имеющими общую вершину в центре шара и общую ось.
Надо сказать, что внутренний конус может иметь основание с нулевым радиусом. Формула, по которой определяют площадь сектора, следующая: S = 2 * π * r * h, где h — высота. К слову, эта же формула применима, если необходимо найти S части шара, отрезанной плоскостью, то есть полусферы. Такая же формула применяется при нахождении S сегмента (часть между двумя параллельными плоскостями) и зоны сферы (изогнутая поверхность сферического сегмента).
Терминология и сферическая геометрия
Окружность на шаре, которая имеет тот же центр и радиус, что и сама фигура, а следовательно, делит её на две части, называется большим кругом. Если конкретную (произвольную) точку этого геометрического тела обозначить как его северный полюс, то соответствующая антиподальная точка будет южным полюсом. А большой круг станет экватором и будет равноудалённым от них. Если он будет проходить через два полюса, тогда это уже линии долготы (меридианы).
Круги на сфере, проходящие параллельно экватору, называются линиями широты. Все эти термины используются для приблизительно сфероидальных астрономических тел. Любая плоскость, которая включает в себя центр шара, делит его на два равных полушария (полусферы).
Многие теоремы из классической геометрии верны и для сферической, но отнюдь не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым аксиомам, например, постулату параллельности. Такая же ситуация складывается и в тригонометрии — отличия есть во многих отношениях. Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Помимо этого, две таких одинаковых фигуры будут конгруэнтными.
Одиннадцать свойств
В своей книге «Геометрия и воображение» Дэвид Гилберт и Стефан Кон-Фоссен описывают свойства сферы и обсуждают, однозначны ли такие характеристики. Несколько пунктов справедливы и для плоскости, которую можно представить как шар с бесконечным радиусом:
Точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной, называемой центром. Можно сделать единственный вывод: это обычное определение и оно однозначно. А также отношение расстояний между двумя фиксированными точками является постоянным. И здесь прослеживается аналогия с окружностями Аполлония, то есть с фигурами в плоскости.
Контуры и плоские участки сферы являются кругами. Это однозначное свойство, которое определяет шар.
Сфера имеет постоянную ширину и обхват. Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Множество других замкнутых выпуклых поверхностей имеют постоянную ширину, например, тело Мейснера. Обхват поверхности — это окружность границы её ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
Все точки сферы омбилические. В любой точке поверхности вектор нормали расположен под прямым углом к ней, поскольку шар — это линии, выходящие из его центра. Пересечение плоскости, которая содержит нормаль с поверхностью, сформирует кривую — нормальное сечение. Любая замкнутая поверхность будет иметь как минимум четыре точки, называемых омбилическими. Для сферы кривизны всех нормальных сечений одинаковы, поэтому омбилической будет каждая точка.
У шара нет центра поверхности. Например, два центра, соответствующие минимальной и максимальной секционной кривизне, называются фокальными точками, а совокупность всех таких точек образует одноимённую поверхность. И только у шара она преобразуется в единую точку.
Все геодезические сферы являются замкнутыми кривыми. Для этой фигуры они большие круги. Многие другие поверхности разделяют это свойство.
Имеет наименьшую площадь при наибольшем объёме. Это определяет шар однозначно. Например, мыльный пузырь: его окружает фиксированный объём, поверхностное натяжение минимизирует площадь его поверхности для такого объёма. Конечно, пузырь не будет идеальным шаром, поскольку внешние силы, такие как гравитация, будут искажать его форму.
Сфера — единственная вложенная поверхность, у которой нет границы или сингулярностей с постоянной положительной средней кривизной.
Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с заданной площадью поверхности.
Шар имеет постоянную гауссову кривизну. Это внутреннее свойство, которое определяется путём измерения длины и углов и не зависит от того, как поверхность встроена в пространство.
Сфера превращается в себя трёхпараметрическим семейством жёстких движений. Любое вращение вокруг линии, проходящей через начало координат, может быть выражено как комбинация вращений вокруг трёхкоординатной оси.
О шаре и цилиндре
Так называлась работа, опубликованная античным математиком Архимедом. Она вышла в двух томах в 225 году до н. э. Он был первым, кто сделал полный и подробный трактат по основам вычисления площади поверхности сферы, объёма шара и аналогичных значений для таких элементов, как цилиндр. Результатами его деятельности пользуются до сих пор.
Архимед особенно гордился формулой объёма шара, где он доказал, что эта величина составляет две трети объёма описанного цилиндра. Он даже попросил сделать чертёж этих предметов на своей надгробной плите. Позже римский философ Цицерон обнаружил такую гробницу, к сожалению, сильно заросшую окружающей растительностью.
Аргумент, который Архимед использовал для доказательства формулы V шара, был довольно сложным и сильно вовлечён в его геометрию. Поэтому во многих современных учебниках используется упрощённая версия, основанная на концепции предела, которого, конечно, не было в античные времена. Великий математик создавал в сфере усечённый конус путём построения и вращения геометрических фигур, и только после этого он определил объём.
Сейчас кажется, что он специально выбирал такие оригинальные методы. Однако это был всего лишь лучший из тех, которые были ему доступны в греческой математике. Его основные работы были вновь открыты в XX веке. Например, Метод механических теорем, как он назывался в трактате автора.
Предыдущая
ГеометрияСкрещивающиеся прямые — определение, теорема и примеры
Имея при себе всего одну формулу и зная изначально, чему равен диаметр или радиус, можно с лёгкостью вычислить площадь поверхности шара. Формула будет иметь вид S =4πR2 , где число «пи» умножается на 4, затем на радиус шара в квадратной степени. Но перед непосредственными вычислениями следует сразу разобраться в терминах.
Трактовка значений
Это следует знать:
Шар – геометрический объект, получившийся в результате вращательных полукруговых движений вокруг центра. Любая точка поверхности шара находится на одинаковом расстоянии от центра.
Сфера – не то же самое, что шар. Если тот является объёмным объектом и включает в себя внутреннее пространство, то сфера – это лишь поверхность данного объекта и имеет только свою площадь. Иными словами – нельзя сказать, что сфера имеет такой-то объём, в отличие от шара.
Число «пи» — это постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. В сокращённом виде его принято обозначать числом, равным 3,14. Но на самом деле, после тройки идёт больше тысячи цифр!
Радиус шара равен ½ его диаметру . Точный диаметр можно вычислить с использованием нескольких плоских и ровных предметов. Нужно лишь зажать шар между этими предметами, которые зажимают шар и расположены перпендикулярно друг к другу, а затем измерить получившийся диаметр.
Квадратная степень обозначается в виде двойки и означает то, что это число надо умножить на само себя один раз. Если бы степень числа была в виде тройки, то умножать на само себя нужно было бы два раза. Записав выражение на бумаге, можно понять, почему используются именно двойка и тройка, а не единица и двойка.
Объём – величина, обозначающая размер в пространстве, занимающее объектом. От диаметра зависит объём шара. Формула будет равна четырём трети, умноженным на число «пи» и вновь умноженным на его радиус в кубе.
Площадь – величина, обозначающая размер поверхности объекта, но не внутреннего пространства.
Занимательные факты
Это интересно:
У числа «пи» есть собственные фан-клубы по всему миру. Члены общества пытаются запомнить как можно больше знаков из этого числа, а также пытаются разгадать вселенские тайны, сокрытые в числе.
Площадь суши Земли составляет всего 29,2 % от её общей поверхности. Точное число площади сложно назвать из-за неравномерного рельефа Земли, такие как впадины и горы.
Знания о формуле площади шара можно применять и в быту. Также этими знаниями можно подавлять соперника в споре.
Продемонстрировав объём своих знаний в области геометрии, можно изначально заставить вас уважать, а ремонтникам и продавцам можно дать понять, что вас просто так не обмануть.
Применение формулы
Рассмотрим на примере, как вычислить площадь круглого шара , диаметр которого равен 50 см. Следуя формуле, нужно 50 разделить на два (чтобы получить радиус), возвести полученное число в квадрат и умножить всё это дело сначала на 4, затем на 3,14. В итоге получим число в 7 850 квадратных сантиметров.
Формула вычисления площади применяется не только среди учителей в школе и научных сотрудников в лаборатории. Данная формула может пригодиться обычному маляру. Ведь если шар большой, а краски мало, то возникает вопрос – хватит ли ему этой смеси, чтобы покрасить весь объект. И это далеко не единственный бытовой случай, где может пригодиться формула.
Формула вычисления объёма может пригодиться и строительной бригаде, что делает ремонт. И неважно, какой это объект – промышленное здание, небольшой дом или обычная квартира. Этим и отличаются профессионалы – они умеют применять свои знания на практике.
Но как быть, если не представляется возможным измерить объект? Такой вопрос может возникнуть в случае огромных размеров объекта или его недосягаемости. В этом случае могут помочь электронные технологии, в основе работы которых лежит сканирование пространства определёнными частотами и лазерами. С современными технологиями необязательно знать все формулы наизусть. Достаточно иметь подключение к интернету и зайти на любой онлайн-калькулятор.
Принято считать, что первый, кто нашёл и вывел формулу объёма и площади шара, был Архимед . Это величайший древнегреческий учёный, живший за 300 лет до нашей эры. Он был не только математиком, но и физиком, и инженером. Он один из первых людей, кто попытался «оцифровать» окружающий нас мир. Его теоремы и труды используются по сей день.
Именно Архимед определил границы числа «пи» и обозначил их, не имея никаких современных гаджетов. Сам Архимед очень гордился найденной формулой, с помощью которой вычисляется объём шара. Его потомки в честь этого изобразили на его могильном камне цилиндр и шар.
Если бы каким-то чудом он переродился в наше время, то он сразу же смог бы преобразить этот мир и вывести его на новый уровень.
Видео
На примере этого видео вам будет легко понять, как найти площадь поверхности шара.
Мы даем здесь очень простой, хотя и не совсем строгий вывод формулы для площади сферической поверхности; по своей идее он очень близок к методам интегрального исчисления. Итак, пусть дан некоторый шар радиуса R. Выделим на его поверхности какую-либо малую область (рис. 412) и рассмотрим пирамиду или конус с вершиной в центре шара О, имеющие эту область своим основанием; строго говоря, мы лишь условно говорим о конусе или пирамиде, так как основание не плоское, а сферическое. Но при малых размерах основания по сравнению с радиусом шара оно будет весьма мало отличаться от плоского (так, например, при измерении не очень большого земельного участка пренебрегают тем, что он лежит не на плоскости, а на сфере).
Тогда, обозначая через площадь этого участка — основание «пирамиды», найдем ее объем как произведение одной трети высоты на площадь основания (высотой служит радиус шара):
Если теперь всю поверхность шара разложить на очень большое число N таких малых областей , тем самым объем шара на N объемов «пирамид», имеющих эти области своими основаниями, то весь объем представится суммой
где последняя сумма равна полной поверхности шара:
Итак, объем шара равен одной трети произведения его радиуса на площадь поверхности. Отсюда для площади поверхности имеем формулу
Последний результат формулируется так:
Площадь поверхности шара равна учетверенной площади его большого круга.
Приведенный вывод пригоден и для площади поверхности сектора шара (имеем в виду только основание, т. е. сферическую поверхность, или «шапочки»; см. рис. 409). И в этом случае объем сектора равен одной трети произведения радиуса шара на площадь его сферического основания:
откуда находим для площади шапочки формулу
Шаровым поясом (см. рис. 408) называют сферическую поверхность шарового слоя. Чтобы вычислить площадь поверхности шарового пояса, находим разность поверхностей двух сферических шапочек:
где — высота слоя. Итак, площадь поверхности шарового пояса для данного шара зависит только от высоты соответствующего слоя, но не от его положения на шаре.
Задача. Боковая поверхность конуса, описанного вокруг шара, имеет площадь, равную полуторной площади поверхности шара. Найти высоту конуса, если радиус шара равен .
Решение. Введем для удобства угол а между высотой и образующей конуса (рис. 413). Найдем для высоты, радиуса основания и образующей конуса выражения
Шаром называют уйма всех точек в пространстве, простирающемся от точки-центра на расстоянии определенного радиуса R. Радиус в свою очередь – это отрезок, соединяющий центр шара с всякий точкой его поверхности.
Вам понадобится
– формула поверхности площади шара;
– формула объема шара;
– навыки арифметического счета.
Инструкция
1. В повседневной жизни нередко появляется надобность вычислить площадь шаровой поверхности либо его части, дабы рассчитать, скажем, расход материала. Вычислив объем шара , вы можете через удельный вес рассчитать массу вещества, составляющего содержимое сферы. Для того дабы обнаружить площадь и объем шара , довольно знать его радиус либо диаметр. По формулам, которые сегодняшние школьники выводят в 11 классе общеобразовательной школы, вы легко можете рассчитать эти параметры.
2. Скажем, диаметр футбольного мяча, согласно каждым требованиям ФИФА, должен быть в пределах 21,8-22,2 см. Усредните для простоты счета до 22 см. Следственно, радиус (R) будет равен (22:2) – 11 см. Чай увлекательно узнать, какова площадь поверхности футбольного мяча?
3. Возьмите формулу площади поверхности шара : Sшара = 4ттR2Подставьте в приведенную формулу значение радиуса футбольного мяча – 11 см.S = 4 x 3.14 x 11х11 .
4. Позже проведения несложных математических действий вы получаете итог: 1519.76. Таким образом, площадь поверхности футбольного мяча составляет 1 519.76 квадратных сантиметров.
5. Сейчас рассчитайте объем мяча. Берите формулу расчета объема шара : V = 4/3ттR3Подставляйте вновь же значение радиуса футбольного мяча – 11 см.V = 4/3 x 3. 14 x 11 х 11 х 11.
6. Позже подсчетов, скажем, на калькуляторе вы получаете: 5576.89.Оказывается, объем воздуха в футбольном мяче составляет 5 576.89 кубических сантиметров.
Шар – это простейшая объемная геометрическая фигура, для указания размеров которой довольно каждого одного параметра. Границы этой фигуры принято называть сферой. Объем пространства, ограничиваемого сферой, дозволено вычислить как с поддержкой соответствующих тригонометрических формул, так и подручными средствами.
Инструкция
1. Используйте классическую формулу объема (V) сферы, если из условий знаменит ее радиус (r) – возведите радиус в третью степень, умножьте на число Пи, а итог увеличьте еще на треть. Записать эту формулу дозволено так: V=4*?*r?/3.
2. Если есть вероятность измерить диаметр (d) сферы, то поделите его напополам и используйте как радиус в формуле из предыдущего шага. Либо обнаружьте одну шестую часть от возведенного в куб диаметра, умноженного на число Пи: V=?*d?/6.
3. Если вестим объем (v) цилиндра, в тот, что вписана сфера, то для нахождения ее объема определите, чему равны две трети от вестимого объема цилиндра: V=?*v.
4. Если вестима средняя плотность (p) материала, из которого состоит сфера, и ее масса (m), то этого тоже довольно для определения объема – поделите второе на первое: V=m/p.
5. Воспользуйтесь какими-нибудь мерными емкостями в качестве подручных средств для измерения объема сосуда сферической формы. Скажем, наполните его водой, измеряя с подмогой мерной емкости число заливаемой жидкости. Полученное значение в литрах переведите в кубические метры – эта единица принята в интернациональной системе СИ для измерения объема. В качестве показателя перевода из литров в кубометры используйте число 1000, потому что один литр приравнен к одному кубическому дециметру, а их в всякий кубический метр вмещается ровно тысяча штук.
6. Используйте правило измерения, противоположный описанному в предыдущем шаге, если тело в форме сферы невозможно наполнить жидкостью, но дозволено погрузить в нее. Заполните мерный сосуд водой, подметьте ярус, погрузите измеряемое сферическое тело в жидкость и по разнице ярусов определите число вытесненной воды. После этого переведите полученный итог из литров в кубометры так же, как это описано в предыдущем шаге.
Видео по теме
Ремонт, переезд, покраска объекта – все это затребует вычисления площади. Не проступок припомнить школьную программу.
Инструкция
1. Припомним, что такое площадь. Площадь — это мера плоской фигуры по отношению к стандартной фигуре. Либо правильная величина, численное значение которой владеет следующими свойствами: Если фигуру дозволено разбить на части, которые будут являться примитивными фигурами, то площадь такой фигуры будет равна сумме площадей ее частей Площадь квадрата со стороной, которая равна единице измерения, равна единице Равные фигуры владеют равными площадямиИз этих правил следует, что площадь это не определенная величина, то есть площадь дает только условную колляцию какой-нибудь фигуре. Когда нужно обнаружить площадь произвольной фигуры, то надобно вычислить, сколько квадратов со стороной (которая равняется единице), эта фигура в себя может вместить.
2. Пример: Возьмем фигуру – прямоугольник, такой, в котором квадратный сантиметр укладывается в шесть раз. Тогда площадь такого прямоугольника будет равняться – 6 см2. Если взять больше трудную фигуру, скажем, трапецию, то получится что: Если трапеция такой величины, что квадратный сантиметр укладывается в нее только два раза, а третья часть не влезает целиком и остается маленький треугольник. Дабы измерить площадь этого оставшегося треугольника необходимо применить к нему доли квадратного сантиметра, дозволено взять миллиметр. Правда, данный метод для трудных фигур не дюже комфортный. Следственно для вычисления площади различных фигур существуют разные формулы. Если надобно вычислить площадь определенной фигуры, то дозволено взять учебник по геометрии и припомнить материал, тот, что когда-то проходили в школе. Так, формула площади куба: площадь куба равна числу граней умноженное на площадь грани, т.е. 6 * a2
Видео по теме
Все планеты ясной системы имеют форму шара . Помимо того, шарообразную либо близкую к таковой форму имеют и многие объекты, сделанные человеком, включая детали технических устройств. Шар, как и всякое тело вращения, имеет ось, которая совпадает с диаметром. Впрочем это не исключительное главное качество шара . Ниже рассмотрены основные свойства этой геометрической фигуры и метод нахождения ее площади.
Инструкция
1. Если взять полукруг либо круг и провернуть его вокруг своей оси, получится тело, называемое шаром. Иными словами, шаром именуется тело, ограниченное сферой. Сфера представляет собой оболочку шара , и ее сечением является окружность. От шара она отличается тем, что является полой. Ось как у шара , так и у сферы совпадает с диаметром и проходит через центр. Радиусом шара именуется отрезок, проложенный от его центра до всякий внешней точки. В противоположность сфере, сечения шара представляют собой круги. Форму, близкую к шарообразной, имеет множество планет и небесных тел. В различных точках шара имеются идентичные по форме, но неодинаковые по величине, так называемые сечения – круги различной площади.
2. Шар и сфера – взаимозаменяемые тела, в различие от конуса, невзирая на то, что конус также является телом вращения. Сферические поверхности неизменно в своем сечении образуют окружность, самостоятельно от того, как именно она вращается – по горизонтали либо по вертикали. Коническая же поверхность получается лишь при вращении треугольника по его оси, перпендикулярной основанию. Следственно конус, в различие от шара , и не считается взаимозаменяемым телом вращения.
3. Самый огромный из допустимых кругов получается при сечении шара плоскостью, проходящей через центр О. Все круги, которые проходят через центр О, пересекаются между собой в одном диаметре. Радиус неизменно равен половине диаметра. 2
5. Данная формула может быть пригодна в том случае, если вестим либо диаметр, либо радиус шара либо сферы. Впрочем, эти параметры приведены в качестве условий не во всех геометрических задачах. Существуют и такие задачи, в которых шар вписан в цилиндр. В этом случае, следует воспользоваться теоремой Архимеда, суть которой заключается в том, что площадь поверхности шара в полтора раза поменьше полной поверхности цилиндра:S = 2/3 S цил., где S цил. –площадь полной поверхности цилиндра.
Видео по теме
Шаром называют простейшую объемную фигуру геометрически положительной формы, все точки пространства внутри границ которой удалены от ее центра на расстояние, не превышающее радиуса. Поверхность, образуемая большинством максимально удаленных от центра точек, именуется сферой. Для количественного выражения меры пространства, заключенного внутри сферы, предуготовлен параметр, тот, что именуется объемом шара.
Инструкция
1. Если требуется измерить объем шара не теоретически, а только подручными средствами, то сделать это дозволено, скажем, определив объем вытесненной им воды. Данный метод применим в том случае, когда есть вероятность разместить шар в какую-нибудь соизмеримую ему емкость – мензурку, стакан, банку, ведро, бочку, бассейн и т.д. В этом случае перед помещением шара подметьте ярус воды, сделайте это вторично позже полного его погружения, а после этого обнаружьте разность между отметками. Традиционно мерная емкость заводского производства имеет деления, показывающие объем в литрах и производных от него единицах – миллилитрах, декалитрах и т.д. Если полученное значение нужно перевести в кубические метры и кратные ему единицы объема, то исходите из того, что один литр соответствует одному кубическому дециметру либо одной тысячной доле кубометра.
2. Если знаменит материал, из которого изготовлен шар, и плотность этого материала дозволено узнать, скажем, из справочника, то определить объем дозволено взвесив данный предмет. Примитивно поделите итог взвешивания на справочную плотность вещества изготовления: V=m/p.
3. Если радиус шара вестим из условий задачи либо его дозволено измерить, то для вычисления объема дозволено применять соответствующую математическую формулу. Умножьте учетверенное число Пи на третью степень радиуса, а полученный итог поделите на тройку: V=4*?*r?/3. Скажем, при радиусе в 40см объем шара составит 4*3,14*40?/3 = 267946,67см? ? 0,268м?.
4. Измерить диаметр почаще бывает проще, чем радиус. В этом случае нет необходимости разделять его напополам для применения с формулой из предыдущего шага – класснее упростить саму формулу. В соответствии с преобразованной формулой умножьте число Пи на диаметр в третьей степени, а итог поделите на шестерку: V=?*d?/6. Скажем, шар диаметром в 50см должен иметь объем в 3,14*50?/6 = 65416,67см? ? 0,654м?.
Задачи на вычисление площади круга зачастую встречаются в школьном курсе геометрии. Дабы обнаружить площадь круга, нужно знать длину диаметра либо радиуса окружности, в которую он заключен. 2, где R, r – радиусы внешней и внутренней окружностей кольца соответственно.
Полезный совет Существует Интернациональный день числа «пи», тот, что отмечается 14 марта. Точное время наступления триумфальной даты — 1 час 59 минут 26 секунд, согласно цифрам числа — 3,1415926…
Видео по теме
Обратите внимание! Увлекательно: объем шара с диаметром, превышающим в три раза диаметр иного шара, огромнее суммарного объема 3 таких шаров в 9 раз.
Полезный совет Дабы развить у детей увлечение к математическим вычислениям, предлагайте в качестве примеров для расчета окружающие предметы: мяч, арбуз, клубок бабушкиной пряжи. Это наглядно и потому увлекательно.
Определение.
Сфера (поверхность шара ) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).
Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение.
Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).
Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение. Радиус сферы (шара) (R) — это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).
Определение. Диаметр сферы (шара) (D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.
Формула. Объём шара :
V =
4
π
R 3 =
1
π
D 3
3
6
Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:
S = 4π
R 2 = π
D 2
Уравнение сферы
1.Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :
x
2 + y
2 + z
2 = R 2
2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x
0 , y
0 , z
0) в декартовой системе координат :
(x
— x
0) 2 + (y
— y
0) 2 + (z
— z
0) 2 = R 2
Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.
Основные свойства сферы и шара
1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.
2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.
3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.
4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.
5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.
6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.
7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Определение. Секущая сферы — это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.
Определение. Хорда сферы (шара) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).
Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая пересекает сферу.
Определение. Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).
Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.
Хорда является отрезком секущей прямой.
Расстояние d
от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:
d
Расстояние m
между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m
Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r
такого круга можно найти по формуле:
r
= √R 2 — m
2
,
Где R — радиус сферы (шара), m
— расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Определение. Полусфера (полушар) — это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Определение.Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.
Определение. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.
Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения
Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение. Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h
называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h
через радиус сферы R:
S = 2π
Rh
Формулы площади поверхности геометрических фигур. Площадь поверхности цилиндра
Содержание
Найти площадь поверхности:
Сфера, вписанная в цилиндр
Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
Через диаметр
Основные утверждения
Вместе с этой задачей также решают:
Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
Решение
Примеры задач
Вписанный в шар цилиндр
Найти площадь поверхности:
шара цилиндра
Площадь поверхности цилиндра:
ед.2
Площадь поверхности шара формула: Sш = 4 π R 2, где R – радиус шара, π – число пи
Площадь поверхности цилиндра формула: Sц = 2 π R 2 + 2 π R . 2 R = 6 π R 2, где R – радиус цилиндра, π – число пи
Сфера, вписанная в цилиндр
Определение 2.Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).
Рис. 3
Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы.
Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.
Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.
Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания.
Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
{S = 2pi r h}
Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:
{S = 2pi r h}, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Через диаметр
Как известно, диаметр шара равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:
S = 4 π (d/2)2
Основные утверждения
Поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга.
Поверхность шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом отрезок, проведённый от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием.
Цилиндр, описанный вокруг шара, имеет объём, равный трём вторым объёма шара, и площадь поверхности, равную трём вторым площади поверхности шара.
Вместе с этой задачей также решают:
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B, C,B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 6, AD = 6$ и $AA_1 = 8$.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B,C_1,B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 3 , AD = 5$ и $AA_1 = 4$.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1800 см3 воды и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости поднялся с отметки 24 см до отметки 26 см.
Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 16. Точка E – середина ребра SB. Найдите объём пирамиды EABC.
Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
{S = 2pi r (h+r)}
Формула для нахождения полной поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:
{S = 2pi r (h+r)}, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.
Решение. Если R – радиус шара, то объем шара вычисляется по формуле
У описанного около сферы цилиндра радиус основания равен R , а высота равна 2R . Поэтому объем цилиндра равен
Следовательно,
Ответ.
Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).
Рис.1
Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярнарадиусу сферы, проведенному в точку касания.
Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).
Рис.2
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в эту точку. 2, то искомая площадь равна 4cdot 4 = 16.
Примеры задач
Задание 1 Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.
Решение: Воспользуемся первой формулой (через радиус): S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см)2 = 615,44 см2.
Задание 2 Площадь поверхности шара равна 200,96 см2. Найдите его диаметр.
Решение: Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:
Вписанный в шар цилиндр
Рассмотрим комбинацию тел: шар и вписанный в шар цилиндр.
Цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на поверхности шара. В этом случае говорят также, что шар описан вокруг цилиндра. Центр шара лежит на середине оси цилиндра.
Как и при решении задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего рассматривают сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Это сечение представляет собой вписанный в окружность прямоугольник, стороны которого равны высоте конуса и диаметру его основания. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.
Рассмотрим пример такого осевого сечения. Здесь точка O — центр описанного около цилиндра шара, BD — диаметр шара, OD=R — радиус шара, AB=H — образующая и высота цилиндра, AD — диаметр цилиндра, FD=r — радиус цилиндра.
(как вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу AD).
Треугольник AOD — равнобедренный (AO=OD=R), в нем OF=H/2 — высота, медиана и биссектриса.
Треугольник OFD — прямоугольный. По теореме Пифагора получаем соотношение, связывающее радиус шара с радиусом и высотой вписанного в шар цилиндра:
Это же соотношение можно получить из прямоугольного треугольника ABD: по теореме Пифагора
Площадь поверхности сферы в пересчете на диаметр – это пространство, занимаемое изогнутой поверхностью сферы в пересчете на ее диаметр. Сфера – это трехмерная круглая форма, не имеющая ни краев, ни вершин. В этом разделе мы обсудим площадь поверхности сферы с точки зрения диаметра вместе с решенными примерами. Давайте начнем с предварительных знаний, необходимых для понимания темы, площади поверхности сферы с точки зрения диаметра.
1.
Что такое площадь поверхности сферы с точки зрения диаметра?
2.
Формула площади поверхности сферы через диаметр
3.
Как найти площадь поверхности сферы по диаметру?
4.
Часто задаваемые вопросы о площади поверхности сферы с точки зрения диаметра
Что такое площадь поверхности сферы с точки зрения диаметра?
Площадь поверхности сферы в пересчете на диаметр – это площадь, покрытая криволинейной поверхностью сферы в пересчете на ее диаметр. Сфера – это трехмерная фигура, полностью круглая по форме. Математически сфера определяется как набор точек, находящихся на одинаковом расстоянии (r) от общей точки (центра сферы) в трехмерном пространстве. Эта общая точка называется центром сферы, а расстояние между любой точкой и центром называется радиусом сферы. Площадь поверхности сферы выражается в квадратных единицах, таких как м 2 , см 2 , дюймы 2 или футы 2 и т. д.
Формула площади поверхности сферы через диаметр
Для сферы, если указан ее диаметр, то площадь ее поверхности может быть определена как πD 2 .
Таким образом, площадь поверхности сферы (в пересчете на диаметр) = площадь криволинейной поверхности сферы = πD 2 Площадь поверхности сферы (в пересчете на радиус) = 4πr 2 где r — радиус сферы
Как найти площадь поверхности сферы через диаметр?
Как мы узнали из предыдущего раздела, площадь поверхности сферы равна πD 2 . Таким образом, мы следуем шагам, показанным ниже, чтобы найти площадь поверхности сферы с точки зрения диаметра.
Шаг 1: Определите диаметр сферы и назовите его D.
Шаг 2: Найдите площадь поверхности сферы через диаметр по формуле πD 2 .
Шаг 3: Представьте окончательный ответ в квадратных единицах.
Пример: Найдите площадь поверхности сферы диаметром 7 единиц. (Используйте π = 22/7)
Решение: Учитывая D = 7 единиц Площадь поверхности полушария = πD 2 = (22/7)(7) 2 = 22 × 7 = 154 единицы 2
Ответ:
Пример 1: Найти площадь поверхности сферы диаметром = 21 единица. (Используйте π = 22/7)
Решение: Дан диаметр сферы (D) = 21 единица Площадь поверхности сферы = πD 2 = (22/7) 21 2 = 22 × 3 × 21 = 1386 единиц 2
Пример 2: Найдите диаметр полушария, если площадь его поверхности составляет 308 единиц 2 . (Используйте π = 22/7)
Решение: Учитывая A = 308 единиц 2 ⇒ π D 2 = 308 ⇒ D 2 = 308/(2π) = 49 ⇒ D = 7 единиц
Ответ: Диаметр сферы 7 единиц
перейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о площади поверхности сферы с точки зрения диаметра
Что такое площадь поверхности сферы с точки зрения диаметра?
Площадь поверхности сферы в пересчете на диаметр — это площадь, покрываемая сферой в пересчете на ее диаметр. Сфера — это полученное трехмерное тело круглой формы, не имеющее ребер или вершин. Общая площадь поверхности сферы такая же, как площадь ее изогнутой поверхности из-за отсутствия ребер или вершин.
Какова формула площади поверхности сферы через диаметр?
Формула площади поверхности сферы в пересчете на диаметр дается как πD 2 где «D» — диаметр сферы. Эта формула показывает зависимость площади поверхности сферы от диаметра сферы.
Какова единица площади поверхности сферы в терминах диаметра?
Единица площади поверхности сферы в пересчете на диаметр указывается в квадратных единицах, например, м 2 , см 2 , дюймы 2 или футы 2 и т. д.
Как найти площадь поверхности сферы в терминах диаметра?
Мы используем шаги, показанные ниже, чтобы найти площадь поверхности сферы с точки зрения диаметра.
Шаг 1: Определите диаметр сферы.
Шаг 2: Определите площадь поверхности сферы в пересчете на диаметр по формуле πD 2 .
Шаг 3: Теперь представьте окончательный ответ в квадратных единицах.
Как найти диаметр сферы, если известна площадь поверхности сферы в пересчете на диаметр?
Мы используем шаги, показанные ниже, чтобы найти диаметр сферы, если площадь поверхности сферы выражается в диаметре.
Шаг 1: Определите данные размеры сферы и пусть это будет «D».
Шаг 2: Подставьте значения в формулу πD 2 .
Шаг 3: Решите для «D»
Шаг 3: Теперь представьте окончательный ответ в квадратных единицах.
Что произойдет с площадью поверхности сферы с точки зрения диаметра, если ее диаметр удвоится?
Площадь поверхности сферы в пересчете на диаметр увеличивается в четыре раза, если ее диаметр удваивается, поскольку буква «D» в формуле заменяется на «2D», что дает формулу πD 2 = π(2D) 2 = 4 (πD 2 ), что в четыре раза больше исходной площади поверхности сферы.
Что произойдет с площадью поверхности сферы с точки зрения диаметра, если ее диаметр уменьшить вдвое?
Площадь поверхности сферы в пересчете на диаметр становится одной четвертой от ее первоначального значения , если ее диаметр уменьшается вдвое, поскольку буква «D» в формуле заменяется на «D/2», что дает формулу πD 2 = π(D /2) 2 = (1/4) × (πD 2 ), что составляет одну четвертую исходной площади поверхности сферы.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Рабочий лист площади поверхности
Рабочие листы по математике и наглядный учебный план
Объяснение урока: Площади поверхности сфер
В этом объяснении мы научимся использовать формулу площади поверхности сферы в через радиус или диаметр, чтобы найти площадь, радиус или диаметр сферы.
Определение: площадь поверхности сферы
Сфера является трехмерным аналогом окружности. Его можно определить как идеально закругленный объект, не имеющий ни краев, ни вершин.
Все точки, расположенные на поверхности сферы, находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом, который обычно обозначается 𝑟.
Интересным свойством сферы является то, что среди всех трехмерных фигур одинакового объема она имеет наименьшую площадь поверхности. По этой причине сферы возникают в различных физических системах, где площадь поверхности минимальна, например, в каплях воды и мыльных пузырях!
Площадь поверхности сферы можно рассчитать по следующей формуле.
Формула: Площадь поверхности сферы
Площадь поверхности 𝐴 сферы радиуса 𝑟 определяется по формуле
𝐴=4𝜋𝑟.
Поскольку 𝜋=3,14159… — это просто число, это означает, что, пока мы знаем радиус сферы, мы всегда можем применить эту формулу, чтобы найти площадь ее поверхности.
Начнем с простого примера.
Пример 1. Нахождение площади поверхности сферы по ее радиусу
Найдите площадь поверхности данной сферы с точностью до десятых.
Ответ
Напомним, что площадь поверхности 𝐴 сферы радиуса 𝑟 определяется по формуле
𝐴=4𝜋𝑟.
Судя по диаграмме, эта сфера имеет радиус 𝑟=6, поэтому мы можем подставить это значение в формулу и переставить, чтобы получить
𝐴=4×𝜋×𝑟=4×𝜋×6=4×𝜋×36=4×36×𝜋=144×𝜋=452,389….
Нас попросили округлить ответ до десятых. Помните, что цифра десятых — это первая цифра после запятой, в данном случае это 3. Следующая за ней цифра (цифра сотых) — это 8, поэтому ответ округляется до 452,4 до ближайшей десятой.
Так как радиус сферы указан в сантиметрах, площадь поверхности должна быть в квадратных сантиметрах. Площадь поверхности сферы, округленная до десятых, равна 452,4 см 2 .
Далее мы рассмотрим пример, в котором нам дан диаметр сферы, а не радиус. Наш подход очень похож, но с одним дополнительным шагом. Всегда проверяйте, указан ли вам в вопросе радиус или диаметр.
Пример 2. Определение площади поверхности сферы по ее диаметру с использованием аппроксимации Pi
Найдите площадь поверхности шара диаметром 12,6 см. Используйте 𝜋=227.
Ответ
Напомним, что площадь поверхности 𝐴 сферы радиуса 𝑟 определяется по формуле
𝐴=4𝜋𝑟.
Здесь нам дан диаметр сферы 12,6 см, что вдвое больше ее радиуса. Чтобы применить формулу для расчета площади поверхности, нам сначала нужно вычислить радиус, поэтому мы разделим диаметр вдвое, чтобы получить 𝑟=12,6÷2=6,3. Тогда, подставляя 𝑟 в формулу, имеем
𝐴=4×𝜋×𝑟=4×𝜋×(6,3)=4×𝜋×39.69=4×39,69×𝜋=158,76×𝜋.
Обратите внимание, что в вопросе нам дано приближение 227 для 𝜋, поэтому подстановка этого значения дает
𝐴=158,76×𝜋=158,76×227=158,76×227=3492,727=498,96.
Поскольку диаметр указан в сантиметрах, площадь поверхности должна быть в квадратных сантиметрах; площадь поверхности сферы 498,96 см 2 .
Формула площади поверхности сферы содержит только две переменные, 𝐴 и 𝑟. Это означает, что если нам дана площадь поверхности сферы, то мы всегда можем работать в обратном направлении, чтобы найти ее радиус. Как только мы определили радиус, при необходимости мы можем удвоить это значение, чтобы получить диаметр. В следующем примере показано, как изменить формулу для решения такого типа задач.
Пример 3. Нахождение диаметра сферы по площади ее поверхности
Каков диаметр сферы, площадь поверхности которой равна 36𝜋 см 2 ?
Ответ
Сначала вспомним формулу для расчета площади поверхности 𝐴 сферы радиусом 𝑟:
𝐴=4𝜋𝑟.
Нам дана площадь поверхности, 𝐴=36𝜋, поэтому подставляя в формулу, мы имеем
36×𝜋=4×𝜋×𝑟.
Для удобства нам была дана площадь поверхности в терминах 𝜋, что позволяет нам аккуратно разделить обе части нашего уравнения на 𝜋, чтобы получить
36=4×𝑟.
Затем мы делим обе части на 4, что дает
9=𝑟.
Теперь мы можем найти радиус нашей сферы, взяв квадратные корни из обеих частей этого уравнения:
√9=√𝑟,
поэтому 3=𝑟, что совпадает с 𝑟=3. Стоит отметить, что на самом деле у этого уравнения есть два решения. Хотя мы могли бы сказать, что 𝑟=±3, в этом случае 𝑟 представляет собой длину, и поэтому мы можем игнорировать отрицательное решение.
Площадь поверхности измеряется в квадратных сантиметрах, поэтому радиус измеряется в сантиметрах. Удвоив значение радиуса, получим, что диаметр сферы равен 2×3=6см.
Обратите внимание, что в приведенном выше примере мы подставили значение 𝐴, площади поверхности сферы, в формулу 𝐴=4𝜋𝑟, а затем изменили порядок, чтобы найти значение радиуса 𝑟. Альтернативный подход к этой стратегии состоит в том, чтобы изменить формулу, чтобы сделать 𝑟 субъектом, а затем напрямую заменить 𝐴 следующим образом.
Начиная с исходной формулы 𝐴=4𝜋𝑟 и переписывая правую часть, чтобы включить знаки умножения, мы имеем
𝐴=4×𝜋×𝑟.
Разделив обе части на 4, а затем на 𝜋, получим
𝐴4𝜋=𝑟.
Наконец, мы извлекаем квадратные корни из обеих частей:
𝐴4𝜋=√𝑟,
так
𝑟=𝐴4𝜋.
Опять же, мы можем смело игнорировать отрицательное решение при определении этого отношения, поэтому мы получили нашу формулу для радиуса. Если бы мы подставили 𝐴=36𝜋 прямо в эту формулу, мы бы получили 𝑟=3. Как и ожидалось, это то же самое значение радиуса, которое мы вычислили в предыдущем примере.
Формула: радиус сферы с учетом площади ее поверхности
Радиус 𝑟 сферы с площадью поверхности 𝐴 определяется по формуле
𝑟=𝐴4𝜋.
Теперь мы рассмотрим очень важную концепцию при изучении сфер: большой круг.
Определение: Большой круг
Большой круг — это самый большой круг, который можно нарисовать на любой заданной сфере. Он может быть образован на поверхности сферы пересечением плоскости, проходящей через центр сферы. Поскольку центр большого круга совпадает с центром родительской сферы, он также будет иметь общий радиус 𝑟.
Большой круг всегда делит сферу на две равные полусферы, как показано на рис. 1.
На поверхности сферы можно рисовать другие окружности, которые не проходят через центр сферы. Эти круги не будут большими кругами и будут иметь меньший радиус, чем большой круг (и родительская сфера).
На рис. 2 показан большой круг радиуса 𝑟 и другой круг, лежащий на поверхности сферы и имеющий радиус 𝑟. Меньший круг делит сферу на две неравные части.
Центры обеих окружностей имеют общую ось, которая, по определению большого круга, также проходит через центр сферы.
На рис. 3 показан вид сверху вниз на сферу, показанную на рис. 2.
Принимая этот вид, мы ясно видим, что радиус большого круга 𝑟 является радиусом сферы. Мы также можем видеть для сравнения, что радиус любого другого круга на поверхности сферы (обозначенной 𝑟 в этом примере) будет меньше, чем радиус сферы, поэтому 𝑟𝑟.
Наконец, мы знаем, что все круги на данной сфере, классифицируемые как большой круг, будут иметь одинаковый радиус 𝑟. Таким образом, мы можем заключить, что все большие окружности на сфере будут идентичны друг другу, даже если они занимают разное множество точек на поверхности сферы.
Обратите внимание, что мы обнаруживаем еще один интересный факт, вспоминая формулу площади круга 𝐴 через его радиус:
𝐴=𝜋𝑟.
Сравнивая это с формулой площади поверхности сферы, мы видим, что площадь сферы будет ровно в четыре раза больше площади круга с таким же радиусом, который, как мы теперь знаем, является большим кругом. ; то есть,
𝐴=4𝜋𝑟=4×𝜋𝑟=4𝐴.
Формула: площадь поверхности сферы, учитывая ее большую окружность
𝐴:
𝐴=4𝐴.
Так как большой круг разделяет некоторые свойства с родительской сферой, вам может быть предложено решить вопросы, используя взаимосвязь между этими двумя формами. Давайте посмотрим на пример.
Пример 4. Нахождение площади поверхности сферы по информации о ее большом круге
Найдите площадь поверхности сферы с точностью до десятых, если площадь большого круга равна 441 𝜋 в 2 .
Ответ
Напомним, что площадь поверхности 𝐴 сферы радиуса 𝑟 определяется по формуле
𝐴=4𝜋𝑟.
Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы вычислить значение 𝐴 из площади большого круга, заданного в вопросе.
Любой большой круг имеет тот же радиус, что и его родительская сфера. Следовательно, площадь этого большого круга 𝐴 будет определяться формулой
𝐴=𝜋𝑟.
Используя эту последнюю формулу, мы можем заменить 𝜋𝑟 в формуле площади поверхности следующим образом:
𝐴=4𝜋𝑟=4×𝜋𝑟=4𝐴.
Теперь, когда мы выразили площадь поверхности сферы через площадь ее большого круга, мы можем использовать тот факт, что 𝐴=441𝜋, чтобы получить
𝐴=4𝐴=4×441𝜋=4×441×𝜋=1764×𝜋=5541,769….
Исходя из вопроса, ответ нужно округлить до десятых. Цифра десятых — это первая цифра после запятой, которая здесь равна 7. Следующая за ней цифра (цифра сотых) — 6, поэтому наш ответ нужно округлить до 5 541,8 до ближайшей десятой.
Площадь большого круга указана в квадратных дюймах, поэтому площадь поверхности сферы также будет выражена в квадратных дюймах. Мы заключаем, что площадь поверхности сферы составляет 5 541,8 в 2 с округлением до ближайшей десятой доли квадратного дюйма.
Далее у нас есть еще один пример, в котором мы должны использовать свойства большого круга для построения поверхности.
площадь его родительской сферы; на этот раз нам дана окружность.
Пример 5. Нахождение площади поверхности сферы по окружности большого круга
Найдите с точностью до десятых площадь поверхности сферы, длина окружности которой равна 140𝜋 футов.
Ответ
Вспомните формулу для площади поверхности 𝐴 сферы радиуса 𝑟:
𝐴=4𝜋𝑟.
Здесь нам дана длина окружности большого круга. Поскольку мы знаем, что радиусы большого круга и его родительской сферы одинаковы, то нашим первым шагом будет использование этой информации для вычисления значения 𝑟. Мы знаем, что отношение между длиной окружности и радиусом равно
окружность=2𝜋𝑟.
Теперь подставим значение 140𝜋 для длины окружности, чтобы получить
140𝜋=2𝜋𝑟.
Чтобы решить это уравнение относительно 𝑟, мы разделим обе части на 2𝜋, поэтому
140𝜋2𝜋=𝑟,
что означает 𝑟=70.
Теперь у нас есть знакомая ситуация, когда площадь поверхности сферы 𝐴 можно найти с помощью нашей формулы. Подставляя 𝑟, мы имеем
𝐴=4×𝜋×𝑟=4×𝜋×(70)=4×𝜋×4900=4×4900×𝜋=19600×𝜋=61575,216….
Вопрос гласит, что мы должны дать ответ на точность до ближайшей десятой. Цифра десятых — это первая цифра после запятой, которая здесь равна 2. Цифра, следующая за ней (цифра сотых), равна 1, поэтому наш ответ нужно округлить до 61 575,2 до ближайшей десятой.
Длина окружности большого круга указана в футах, поэтому площадь поверхности сферы будет выражена в квадратных футах. Мы заключаем, что площадь поверхности сферы составляет 61 61 2 футов, округленных до десятых долей квадратного фута.
Помните, что большой круг всегда делит сферу на два равных полушария. Следовательно, мы можем использовать информацию о больших кругах, чтобы вычислить площадь поверхности соответствующих полушарий или других частей сферы. Вот пример.
Пример 6.
Нахождение общей площади поверхности полушария по его радиусу
Найдите общую площадь поверхности полусферы. Округлите ответ до десятых.
Ответ
Диаграмма включает в себя большой круг с радиусом 18 см. Поскольку мы знаем, что радиус большого круга также равен радиусу 𝑟 его родительской сферы (или полушария), то 𝑟=18.
Теперь вспомним формулу площади поверхности 𝐴 сферы радиуса 𝑟:
𝐴=4𝜋𝑟.
Обратите внимание, что общая поверхность полушария состоит из изогнутой поверхности и плоской круглой поверхности. Площадь изогнутой части, которую мы будем называть 𝐴, составляет половину площади поверхности соответствующей сферы; то есть,
𝐴=12×𝐴=12×4𝜋𝑟=2𝜋𝑟.
Кроме того, поверхность at представляет собой просто круг радиуса 𝑟, поэтому, записав 𝐴 для его площади, мы имеем
𝐴=𝜋𝑟.
Следовательно, общая площадь поверхности полушария, которую мы можем записать как 𝐴, должна удовлетворять
𝐴=𝐴+𝐴.
Подставляя 𝐴 и 𝐴 сверху, получаем
𝐴=2𝜋𝑟+𝜋𝑟=3𝜋𝑟.
Наконец, мы имеем 𝑟=18, так что эта замена дает
𝐴=3×𝜋×𝑟=3×𝜋×(18)=3×𝜋×324=3×324×𝜋=972×𝜋=3053,628….
Нас попросили дать ответ ближайшему десятый. Цифра десятых — это первая цифра после запятой, которая здесь равна 6. Следующая за ней цифра (цифра сотых) — это 2, поэтому наш ответ нужно округлить до 3 053,6 до ближайшей десятой.
Радиус большого круга указан в сантиметрах, поэтому общая площадь поверхности полушария будет выражена в квадратных сантиметрах.
Общая площадь поверхности полушария составляет 3 053,6 см 2 , округленная до ближайшей десятой доли квадратного сантиметра.
В нашем последнем примере у нас есть вопрос с реальным контекстом, который задан в виде словесной задачи и без диаграммы. В подобных случаях всегда важно внимательно прочитать вопрос и точно определить, что нас просят найти.
Пример 7. Решение текстовой задачи с участием полушария
Водный объект можно смоделировать как полусферу, основание которой расположено на квадратном патио. Если диаметр полушария равен 4 футам, а длина стороны внутреннего дворика равна 6 футам, какова будет видимая площадь внутреннего дворика? Дайте ответ с точностью до двух знаков после запятой.
Ответ
Вспомним, что большой круг всегда делит сферу на два равных полушария. Следовательно, основанием полушария в водном объекте будет большой круг. Более того, большой круг и его родительское полушарие должны иметь одинаковый радиус 𝑟. Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы использовать информацию о полушарии для вычисления площади этого большого круга. Затем мы можем вычесть его из площади всего внутреннего дворика, чтобы найти видимую площадь внутреннего дворика.
Нам сказали, что патио квадратное со стороной 6 футов, поэтому площадь всего патио 6×6=36.
Мы также знаем, что диаметр полушария равен 4 футам, поэтому, чтобы найти его радиус 𝑟, мы делим его на 2, чтобы получить 𝑟=4÷2=2. Таким образом, его основанием будет большой круг радиусом 2.
При этом площадь этого большого круга будет
𝐴=𝜋×𝑟=𝜋×2=𝜋×4=4𝜋.
Пока мы сохраняем этот ответ в его точной форме, потому что нам нужно использовать его в дальнейших вычислениях.
Наш последний шаг — получить видимую площадь патио, вычитая площадь круга из площади квадрата, что дает
36−4𝜋=36−12,566…=23,433…,
что равно 23,43 с точностью до двух знаков после запятой.
Длина в вопросе была указана в футах, поэтому эта площадь должна быть в квадратных футах. Видимая площадь внутреннего дворика с точностью до двух знаков после запятой составляет 23,43 фута 2 .
Давайте закончим повторением некоторых ключевых понятий из этого объяснения.
Ключевые точки
Площадь поверхности 𝐴 сферы радиуса 𝑟 определяется по формуле
𝐴=4𝜋𝑟.
Формулу можно изменить, чтобы легче было найти радиус (или диаметр) сферы, зная площадь ее поверхности:
𝑟=𝐴4𝜋.
Всегда проверяйте, дан ли вам радиус или диаметр сферы в вопросе.
Большой круг — это пересечение сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы. Он разрезает сферу ровно пополам, образуя две полусферы.
Большой круг — это самый большой круг, который может быть сформирован на поверхности его родительской сферы, и обе формы имеют одинаковый радиус.
Площадь сферы 𝐴 ровно в четыре раза больше площади ее большого круга 𝐴.
Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти площадь поверхности полушария или других частей сферы, в частности, в реальных вопросах, представленных в виде текстовых задач.
Площадь и объем шара – формулы и примеры
Как найти площадь поверхности шара?
Мы можем вычислить площадь поверхности сферы, умножив произведение пи на квадрат радиуса сферы на 4. Таким образом, формула площади поверхности сферы будет следующей: 92}$
где $latex A_{s}$ представляет площадь поверхности сферы, а r представляет длину радиуса.
Вычислить площадь поверхности сферы, используя диаметр
Если мы знаем длину диаметра, мы можем вычислить площадь его поверхности двумя основными способами. Первый способ заключается в делении длины диаметра на 2 и использовании стандартной формулы площади поверхности сферы.
Второй метод заключается в нахождении формулы площади поверхности сферы через диаметр. Следовательно, подставляя выражение 93}$
где r длина радиуса сферы.
Формулу объема сферы можно доказать с помощью интегрального исчисления.
Вычислить объем сферы, используя диаметр
Чтобы вычислить объем сферы, используя ее диаметр, мы можем использовать два разных метода. Первый способ заключается в делении диаметра на 2 для получения радиуса и использовании стандартной формулы объема сферы.
93}$
где d длина диаметра.
Вычисление объема полой сферы
Мы можем вычислить объем полой сферы, вычитая объем полой части из общего объема сферы. Следовательно, если мы используем $latex r_{1}$ для представления радиуса всей сферы и $latex r_{2}$ для представления внутреннего радиуса, то есть радиуса полой части, мы имеем:
Площадь поверхности и объем сферы – Примеры с ответами
Формулы площади поверхности и объема сферы используются для решения следующих примеров. Попробуйте решить проблемы самостоятельно, прежде чем искать решение.
ПРИМЕР 1
Найдите площадь поверхности сферы радиусом 4 дюйма.
Решение
Используя формулу площади поверхности с длиной $latex r=4$, имеем: 93})$
$латекс V=\frac{4}{3}\pi (125-64)$
$латекс V=\frac{4}{3}\pi (152)$
$латекс V=255,5$
Объем равен 255,5 дюймов³.
Площадь поверхности и объем сферы – практические задачи
Используйте формулы площади поверхности и объема сферы для решения следующих задач. Нажмите «Проверить», чтобы убедиться, что ваш ответ правильный.
Найдите площадь поверхности сферы радиусом 3 м.
Выберите ответ 93}$
См. также
Хотите узнать больше о площади и объеме геометрических фигур? Взгляните на эти страницы:
Площадь и объем цилиндра – формулы и примеры
Площадь и объем куба – формулы и примеры
Площадь и объем прямоугольной призмы – формулы и примеры
Площадь и объем треугольной призмы – формулы и примеры
Сферы удивительны. Они идеально симметричны. Они очень сильные, потому что у них нет слабых мест. В природе они встречаются в виде крошечных вещей, таких как атомы, маленькие вещи, такие как капли воды и пузыри, и огромные вещи, такие как наше солнце. И мы можем вычислить объем и площадь поверхности всех этих объектов, используя относительно простые формулы. Все, что нам нужно знать, это радиус сферы, который является расстоянием от центра сферы до любой точки на поверхности сферы.
Давайте сначала займемся громкостью. Объем сферы — это мера того, сколько места она занимает. Мы измеряем это в кубических единицах, таких как кубические дюймы или кубические сантиметры. Мы можем представить эти единицы в виде кубов, которые мы могли бы поместить внутрь сферы, чтобы увидеть, сколько мы можем поместить. Но поскольку сфера изогнута, даже кубики миллиметрового размера не дадут точного объема. Это похоже на попытку сделать сферу из игрушечных строительных блоков — она никогда не будет похожа на настоящую сферу, какими бы маленькими ни были блоки. 9{3}\)
Где \(r\) — радиус сферы. Формула не совсем новая. Древнегреческий философ Архимед открыл его более 2000 лет назад. Но сейчас он работает так же хорошо, как и тогда. Возможно, даже лучше, поскольку в наши дни у нас есть электронные калькуляторы.
Итак, давайте найдем объем обычного предмета — бильярдного шара, используемого для игры в пул.
Восьмерка имеет диаметр 5,7 сантиметра. Помните, что радиус круга равен половине диаметра, поэтому все, что нам нужно сделать, это разделить 5,7 на 2, чтобы найти наш радиус, 2,85 сантиметра. Теперь мы можем подставить это в нашу формулу: 9{3}\)
Итак, наш ответ чуть меньше 100 кубических сантиметров. Представьте себе, что вы пытаетесь построить сферу размером с восемь шаров из 100-сантиметровых кубов.
Не очень! Но он 6 сантиметров в высоту и примерно такого же объема. Кажется, мы должны быть рады, что нам не нужно строить из маленьких кубиков, чтобы найти объем сфер!
Мы также можем найти площадь поверхности нашей восьмерки. В отличие от призм и твердых тел, у нашей сферы нет граней. Или, может быть, у него бесконечное количество граней. В любом случае, мы не можем найти площадь поверхности, сложив площадь лица. Вместо этого мы находим площадь всей его поверхности сразу, используя формулу площади поверхности для сферы: 9{2}\)
Наш ответ: чуть больше 100 квадратных сантиметров. Помните, что площадь поверхности — это мера площади в двух измерениях, поэтому наши единицы измерения должны быть квадратными, как квадраты на нашей миллиметровке.
Итак, как мы можем использовать эти формулы, чтобы найти объем и площадь поверхности повседневных предметов? Ключевым моментом является нахождение радиуса, но найти его напрямую немного сложно, потому что нам нужно иметь возможность измерять от центра сферы. 2\) 92\)
Площадь поверхности сферы составляет приблизительно \(615,75\) квадратных дюймов.
Скрыть ответ
Вернуться к видео по геометрии
786928
Площадь поверхности сферы – объяснение и примеры
Сфера – одна из важных трехмерных фигур в геометрии. Напомним, что сфера — это трехмерный объект, каждая точка которого находится на равном расстоянии (на одном и том же расстоянии) от фиксированной точки, известной как центр сферы. Диаметр шара делит его на две равные половины, называемые полушариями.
Площадь поверхности сферы — это мера области, покрытой поверхностью сферы.
В этой статье вы узнаете как найти площадь поверхности сферы, используя формулу площади поверхности сферы .
Как и у окружности, расстояние от центра сферы до поверхности называется радиусом. Площадь поверхности сферы в четыре раза больше площади круга того же радиуса.
Площадь поверхности сферы формула
Площадь поверхности сферы определяется формулой:
Площадь поверхности сферы = 4πr 2 квадратных единиц ……………. (Формула площади поверхности сферы)
Для полушария (половина сферы) площадь поверхности определяется выражением;
Площадь поверхности полусферы = ½ × площадь поверхности сферы + площадь основания (окружности) …………………. (Формула площади поверхности полушария)
Где r = радиус данной сферы.
Давайте решим несколько примеров задач на площадь поверхности сферы.
Пример 1
Вычислите площадь поверхности сферы радиусом 14 см.
Решение
Дано:
Радиус, r =14 см
По формуле,
Площадь поверхности шара = 4πr 2
При подстановке получаем,
СА = 4 х 3,14 х 14 х 14
= 2461,76 см 2 .
Пример 2
Диаметр бейсбольного мяча 18 см. Найдите площадь поверхности шара.
Решение
Дано,
Диаметр = 18 см ⇒ радиус = 18/2 = 9 см 3,14 х 9 х 9
SA = 1017,36 см 2
Пример 3
Площадь поверхности сферического объекта равна 379,94 м 2 . Каков радиус объекта?
Solution
Given,
SA = 379.94 m 2
But, surface area of a sphere = 4πr 2
⇒ 379.94 = 4 x 3.14 x r 2
⇒ 379.94 =12.56 r 2
Разделите обе части на 12,56 и найдите квадрат результата
⇒ 379,94/12,56 = R 2
⇒ 30,25 = R 2
⇒ R = √30,25
= 5,5
Следовательно, радиопереда
Пример 4
Стоимость кожи 10$ за квадратный метр. Найдите стоимость изготовления 1000 футбольных мячей радиусом 0,12 м.
Решение
Сначала найдите площадь поверхности шара
SA = 4πr 2
= 4 x 3,14 x 0,12 x 0,12
= 0,181 м 2
Стоимость изготовления мяча = 0,181 м 2 x $ 10 за квадратный метр
= 1,81
С. шары = 1,81 доллара x 1000
= 1810 долларов
Пример 5
Говорят, что радиус Земли равен 6371 км. Какова площадь поверхности Земли?
Решение
Земля представляет собой шар.
SA = 4πr 2
= 4 x 3,14 x 6,371 x 6,371
= 5,098 x 10 8 км 2
333. Пример 6
33333. Слитная область 6
333333. Слитная область. радиус 10 см.
Решение
Дано:
Радиус, r = 10 см
Для полушария площадь поверхности определяется как:
SA = 3πr 2
3 90.
SA = 3 х 3,14 х 10 х 10
= 942 см 2
Итак, площадь поверхности сферы 942 см 2 .
Пример 7
Площадь поверхности твердого полусферического объекта составляет 150,86 футов 2 . Каков диаметр полушария?
Решение
Дано:
SA = 150,86 футов 2 .
Площадь поверхности сферы = 3πr 2
⇒ 150,86 = 3 x 3,14 x r 2
⇒ 150,86 = 9,42 R 2
Разделите обе стороны на 9,42,
⇒ 16,014 = R 2
R = √16,014
= 4
hared, RADIUS, но и RADIIS, Butrius, Butrius, Butrius, Butrius, Butrius, Butrius, Butrius. диаметр в два раза больше радиуса.
Итак, диаметр полусферы равен 8 футов.
Пример 8
Вычислите площадь поверхности сферы, объем которой равен 1436,03 мм 3 .
Раствор
Since, we already know that:
Volume of a sphere = 4/3 πr 3
1,436.03 = 4/3 x 3.14 x r 3
1,436.03 = 4.19 r 3
Divide both sides на 4,19
r 3 = 343
r = 3 √343
r = 7
Итак, радиус сферы равен 7 мм.
Теперь вычислите площадь поверхности сферы.
Площадь поверхности сферы = 4πr 2
= 4 х 3,14 х 7 х 7
= 615,44 мм 2 .
Example 9
Calculate the surface area of a globe of radius 3.2 m
Solution
Surface area of a sphere = 4π r 2 = 4π (3.2) 2 .
Объем сферы – формула, примеры
Объем сферы-
Вы заметили, почему мяч для крикета кажется тяжелее теннисного мяча? Или почему крошечный шарик трудно разбить? Ответ кроется в их объемах. Хотя они сделаны из разных материалов, их объемы играют важную роль в определении их веса. Объем — это пространство внутри трехмерного объекта или формы. Двумерные объекты не будут иметь объема. Объем сферы означает емкость, которую она может вместить. Что это значит или какова его формула? Давай выясним!
Как упоминалось выше, объем сферы — это вместимость, которую она может вместить. Если шар разрезать на две части, то внутреннее пространство или наполнитель внутри него будет его объемом. Если внутри есть пространство, то сфера полая. В то время как если материал наполнителя находится внутри, сфера будет твердой.
Объем сферы определяется тремя координатами x, y и z. Почему? Потому что трехмерный объект будет лежать по всем трем осям. Объем измеряется в кубических метрах, кубических футах, кубических дюймах и подобных единицах. Обозначается символами см 3 ,m 3 ,in 3 и т.д.
Тогда как найти объем шара? Ну, это зависит от диаметра сферы. Если площадь поверхности умножить на диаметр, то получится объем, в котором каждая точка его поверхности равноудалена от его центра. Математически для расчета объема сферы используется следующая формула: Объем сферы = 4/3 𝜋 r³, где r — радиус сферы.
Объем является фиксированной величиной и может быть найден по закону Архимеда. Согласно Архимеду, если бросить твердый шар в сосуд, наполненный водой, то объем вытесненной воды будет равен объему шара. Объем изменится, когда изменятся значения диаметра или радиуса сферы. В противном случае формула объема сферы останется прежней.
Всегда ли этот метод подходит для измерения объема? Должны ли мы каждый раз держать ванну с водой, чтобы измерить объем? Теперь, подойдя к тому, как это происходит? Откуда взялась эта формула объема? Для этого пришло время пойти элементарным методом и изучить некоторые другие 3D-формы.
Откуда берется объем сферы?
Уравнение для объема сферы может быть получено из метода интегрирования и объемов конуса и цилиндра.
Метод 1: метод интегрирования Рассмотрим сферу с множеством тонких сферических дисков, расположенных над другим, как показано на рисунке. Поскольку сфера состоит из тонких круглых дисков, расположенных коллинеарно, их диаметры будут различаться по всей длине сферы. В результате объем будет меняться и по всему диаметру сферы.
Теперь рассмотрим тонкий диск радиусом r и толщиной dy, расположенный на расстоянии y от оси x. Также объем сферы будет произведением площади круга на его толщину. Мы можем представить радиус кругового диска r через y, используя теорему Пифагора. Таким образом, объем элемента диска, dV, может быть определен как: dV = r² dy dV = 𝜋 (R² – y²) dy
Путем интегрирования приведенного выше уравнения общий объем сферы будет равен :
Таким образом, окончательная формула объема сферы дается как V = 4/3 𝜋 r³.
Метод 2: Из объемов конуса и цилиндра Знаете ли вы, что сфера, цилиндр и конус имеют связь? Именно, их объемы имеют связь! Объем цилиндра равен сумме объема конуса и объема шара. Математически
V Цилиндр = V Конинг + V Сфера
Следовательно, мы можем найти объем сферы Cone = V Cylinder — V CONE = V CYALIND 2 h, где h — наклонная высота конуса. V цилиндр = ⅓ 𝜋r 2 h, где h высота цилиндра. Следовательно, V сфера = ⅓ 𝜋 r 2 h – 𝜋r 2 h = 2/3 𝜋r 2 h
Если мы посмотрим на сферу, мы увидим, что высота равна диаметру сферы. Следовательно, h = 2r. Подставляя значение h в итоговое уравнение, получаем V сфера = ⅔ 𝜋r 2 (2r) = 4/3 𝜋 r 3 , что является объемом сферы.
Изучение объема полой сферы
Более того, объем полой сферы связан с объемом сферы. В полой сфере внешний радиус обозначается буквой R, а внутренний радиус — буквой r. Тогда объем полого шара определяется выражением V полый = 4/3 𝜋 R 3 – 4/3 𝜋 r 3 Также можно записать как V полый = 4/3 𝜋 (R 3 902 904 – 4 r 3) . Единицей объема полого шара являются кубические метры.
Как найти объем шара?
После того, как мы узнали объем сферы, все, что нам нужно сделать, это найти объем! Любой может найти объем сферы, не используя калькулятор объема сферы. Выполните следующие действия и найдите объем:
Шаг 1: Внимательно просмотрите данные, указанные в вопросе. Шаг 2: Проверить, какое значение задано; радиус, диаметр, площадь поверхности или окружность. Шаг 3: Найдите радиус сферы. Если диаметр дан, разделите его на 2, чтобы найти радиус. Если площадь поверхности дана, найдите значение радиуса из площади поверхности сферы по формуле 4𝜋r. Если дана длина окружности, найдите радиус по формуле 2𝜋r. Шаг 4: Тщательно осмотрите отряды. Преобразуйте все единицы, эквивалентные друг другу, в одну единую форму. Шаг 5: Получите куб радиуса, т. е. r³. Шаг 6: Умножьте значение r³ на 𝜋. Шаг 7: Умножьте значение, найденное в шаге 6, на 4/3. Шаг 8: Окончательное значение будет требуемым объемом сферы.
Применение объема сферы в реальном мире
В реальном мире объем сферы используется несколькими способами. Если мы знаем его формулу, нам не нужен калькулятор объема сферы, чтобы вычислять его каждый раз. Вот несколько приложений, в которых часто используется формула объема:
Формула объема используется во многих отраслях промышленности при производстве таких предметов, как шары, шарики, подшипники, пузырьки и т. д.
Полезно рассчитать количество воздуха, необходимое для предотвращения утечек в воздушном шаре.
Расчет объема необходим при перевозке любого вредного химического вещества в сферическом контейнере.
Объем полой сферы используется для определения количества любого материала, содержащегося в чаше или полусферической оболочке.
Время выучить объем сферы на примерах
Пример 1. Найдите объем сферы, длина окружности которой составляет 144 единицы. Решение: Учитывая, что длина окружности сферы составляет 144 единицы. Мы знаем, что длина окружности равна 2𝜋r, где r — радиус. Следовательно, C = 2𝜋r = 144 Решив это, мы получим r = 22,9 единиц. Формула дает объем шара, V = 4/3 𝜋 r 3 Подставляя значение r, получаем V = 4/3 𝜋 (22,92) 3 V = 50453,197 единиц³.
Пример 2: Полая сфера спроектирована компанией таким образом, что ее толщина составляет 10 см, а внутренний диаметр — 6 м. Каков будет объем сферы, спроектированной компанией? Решение: Учитывая, что внутренний диаметр 6 м и толщина 10 см, равна 0,1 м. Следовательно, внешний диаметр будет 6 + 0,1 м = 6,1 м. Объем полой сферы обозначается как: Объем = 4/3 𝜋R 3 – 4/3 𝜋r 3 , где R — радиус внешней сферы, а r — радиус внутренней сферы. Подставляя значения в приведенное выше уравнение, мы получаем, V = 4/3 𝜋 (3,05 3 – 3 3 ) = 4/3 𝜋 (1,37) Следовательно, V = 5,735 м 3 .
Пример 3. Найдите объем шара, если площадь его поверхности 100 квадратных метров.
Автор: 
7071067812cos(11π/6) = cos(330°) = 0.8660254038cos(23π/12) = cos(345°) = 0.9659258263
9876883406
2079116908
8480480962
7880107536
2923717047
9986295348
9925461516
2249510543
8290375726
8090169944
2756373558
9961946981
Угол α от 90° до 270° дает отрицательные значения косинусу, так как точка пересечения его с окружностью расположена левее оси синуса, то есть нуля. Косинус углов от 270° до 360° вновь становится положительным. Точные значения косинусов всех углов от 0° до 360° можно узнать из таблицы косинусов, приведенной ниже.
9703
788
454
0523
342
6947
9205
9998
9063
6691
309
0872
Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора Максимова окажется запланированным на последний день конференции?
В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Артем хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что Артем пойдет в магазин?
Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Тогда событие С называют объединением (суммой) событий А и В.
Гроссмейстеры К. и Н. играют две шахматные партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. 
Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние три – промахнулся. Результат округлите до сотых.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятность выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
180-188.
Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. В 1654 г. шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем, связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей. 
Самбо в школу
Черняховского»
Камышина
Киселева Г.М.
В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение:
1) 100 сумок – количество благоприятных исходов
2) 100 + 8 = 108 сумок – количество всевозможных исходов
3) Р = = ≈ 0,9259 ≈ 0,93
Ответ: 0,93
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Решение:
5 — благоприятные события
(2;6) (6;2) (3;5) (5;3) (4;4)
2) 36 – количество всевозможных исходов
3) Р = ≈ 0,1388 ≈ 0,14
Ответ: 0,14
С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
Решение:
1) 4 – количество благоприятных, т.е. с номером 2, исходов.
2) 16 – количество
всевозможных исходов
3) Р = = = 0,25
Ответ: 0,25
В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 102 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Решение:
1) 102 – количество благоприятных исходов
2) 1000 — количество всевозможных исходов
3) Р = = 0,102
4) 0,102 – 0,096 = 0,006
Ответ: 0,006
Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
1) Событие A: вопрос о вписанной окружности
Событие В: вопрос о параллелограмме.
В условии задачи сказано, что нет вопросов, которые одновременно относятся и к А и к В. События А и В являются несовместными.
Значит, применим правило сложения вероятностей
2) 0,2 + 0,15 = 0,35
Ответ: 0,35
Р(А·В) = Р(А)·Р(В),
Р(А) – вероятность события А,
Р(В) – вероятность события В.
Найдите вероятность того, что они оба не пройдут это испытание.
Решение:
1 — 0,8 = 0,2 — вероятность того, что первый не пройдёт препятствие
1 — 0,5 = 0,5 — вероятность того, что
первый не пройдёт препятствие
3) Так как эти события независимы
друг от друга, то применим
правило умножения
вероятностей Р = 0,2 ∙ 0,5 = 0,1
Ответ: 0,1
е. «красных») точек числовой оси существенно «богаче» множества ее рациональных (т. е. «черных») точек. Это же самое в точных терминах можно сформулировать так: множество нерациональных (т. е. «красных») точек числовой оси имеет мощность (см. §6 этой же главы) более высокую, чем мощность множества рациональных (т. е. «черных») точек.
стр. 247). Мы также знаем, что на числовой оси существуют такие точки, точные расстояния которых от начальной точки числовой оси не выражаются никакими рациональными числами (см. стр. 254). Значит, для изображения этих величин необходимы какие-то новые числа.
68)
Однако существуют и другие бесконечные процессы, определяющие собой то или иное иррациональное число. Например, бесконечный процесс 
Пусть иррациональное число а изображается следующей бесконечной непериодической десятичной дробью
Н. Колмогорова и П. С. Александрова «Введение в теорию функций действительного переменного».
Каждой точке числовой оси соответствует одно и только одно определенное действительное число и, наоборот, каждому действительному числу соответствует одна и только одна определенная точка числовой оси.
Другими словами, два бесконечных множества имеют одинаковую мощность, если эти множества эквивалентны.
Еще за несколько веков до нашей эры индийский математик Манава выяснил, что квадратные корни некоторых чисел (например, 2) невозможно выразить явно.
Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Д. Числа могут быть натуральными числами, целыми числами, целыми числами, действительными числами, сложными номера. Действительные числа далее делятся на рациональные числа и иррациональные числа. Рациональные числа — это числа, которые являются целыми и дробными
Д.
Т., г. Иркутск
Решая полученные уравнения, находим
,
.
В результате получаем
.
Возведем выражение во вторую степень,
получим
.
Получили противоречие – чисто
иррациональное число представлено
обыкновенной дробью, следовательно
.
Понятие о вещественных числах
Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число m является нечетным числом, то найдется такое целое число k , которое удовлетворяет соотношению
Следовательно, число является иррациональным числом, что и требовалось доказать.
д.
.. 
001 
.. 
Первые несколько цифр выглядят так: 
.. умножение иррациональных чисел может дать рациональное число! 
Гиппас, философ-пифагорейец, открыл иррациональные числа в V веке до нашей эры. К сожалению, его теория была высмеяна, и он был брошен в море. Но иррациональные числа существуют, давайте заглянем на эту страницу, чтобы лучше понять концепцию, и, поверьте нам, вас не выбросит в море. Скорее, зная эту концепцию, вы также будете знать список иррациональных чисел, разницу между иррациональными и рациональными числами и то, являются ли иррациональные числа действительными числами. 
Поскольку значение ㄫ ближе к дроби 22/7, мы принимаем значение числа пи как 22/7 или 3,14 (Примечание: 22/7 — рациональное число.) 
Для иррационального числа x и рационального числа y их результат x + y = иррациональное число. 
{√ 2 , √3 , √5 , √8} 
… 
Это противоречие возникло из-за неверного предположения, что √2 рациональный. 
Здесь √2 — иррациональное число. Если его умножить дважды, то конечный результат будет рациональным числом, т. е. 2. 
Эти числа являются рациональными числами. Иррациональные числа — это e, √13, π. Поэтому Джон собрал все иррациональные числа, а именно e, √13 и π. 
Пример: π, √2, e, √5 
Несколько примеров иррациональных чисел между корнем 2 и корнем 3: 1,575775777…, 1,4243443… и 1,6869.70… 
является континуальным числом, следовательно, это иррациональное число. 
е. дроби) со знаменателем, отличным от нуля.
2020020002 …$$ 
Вы не можете упростить $$ \sqrt{3} $$, что означает, что мы можем , а не выражают это число как частное двух целых чисел.
\overline{1} $$ 
например √2, √3, π ……………. и т. д. 
327172398…… нигде не заканчивается, также нет расположения цифр (не повторяющихся), поэтому они называются непрерывными не повторяющимися . Эти числа называются иррациональными числами . 
1.4. 
И мы попрактикуемся в их использовании так, как будем использовать при решении уравнений и других алгебраических процедурах. 
Помните, что все счетные числа и все целые числа тоже целые, а значит, они тоже рациональны. 
875, 3.25, &-6.666 \ldots \\ &-6.\overline{66} \end{split}\] 
\overline{6}$$ 
Его десятичная форма не прерывается и не повторяется. 
Поскольку число не останавливается и не повторяется, оно иррационально. 
Но десятичные формы квадратных корней чисел, которые не являются идеальными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются, поэтому эти квадратные корни иррациональны. 
Иррациональные числа представляют собой отдельную категорию. Когда мы складываем рациональные числа и иррациональные числа, мы получаем набор из действительных чисел . На рисунке \(\PageIndex{1}\) показано, как связаны наборы чисел. 
Пределы +∞ and -∞ называются соответсвенно пределом плюс бесконечности и минус бесконечности.
bn) = +∞
Теперь добавим d еще раз, получим: a3 = a2+d. Продолжая эту математическую операцию, можно получить целый ряд чисел, который будет называться прогрессией арифметической.
В частности, является арифметической прогрессией с разностью .
{infty }}_{=1}
Следует обратить на один важный момент внимание: разности берутся между “старшим” и “младшим” членами, то есть n > m (“старший” – имеется в виду стоящий дальше от начала последовательности, его абсолютное значение может быть как больше, так и меньше более “младшего” элемента).
Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.
Заметим, что это выражение обращается в неопределенность (0/0), если n=1. Связано это с тем, что необходимо знание как минимум 2-х элементов ряда, чтобы определить его разность.
Он заметил, что такая прогрессия является симметричной, то есть сумма симметрично расположенных с начала и конца членов прогрессии является постоянной для данного ряда.
Аналогично происходит, если нужно найти сумму первых шести членов или любого другого количества.
ru/node/1002
К. Характеристическое свойство показательной прогрессии или новое числовое среднее / Н. К. Гульманов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 6 (192). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/192/48026/ (дата обращения: 16.09.2022). 
е.
С. Соминский / Метод математической индукции / Популярные лекции по математике, выпуск № 3/ — М.: Издательство «Наука», 1972. — С. 63
..
..
..
..
..
Формула (1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним арифметическим своих соседних членов и .
(6)
Найти , если .
Так как по формуле (3) имеем, что , то из условия задачи вытекает система уравнений 
Найти максимальное значение при условии, что и .
– 216 с.
д.).
Надо найти 45-й член этой прогрессии.
д.+100.
. .
Учащиеся
6-го класса еще не проходили и не знают определение корней в математике.
3\over3}$
7
. Всего получено оценок: 105.
Зная определение степени,
можно записать формулу площади сферы следующим образом.
Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:
Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).
Площадь ее поверхности, в сравнении с другими трёхмерными телами, имеет наибольший объём. По сути, это шар, имеющий однородную форму, то есть как ни повернуть, он всегда будет выглядеть одинаково.
Далее, следует подставить цифры в уравнение:
Такая же формула применяется при нахождении S сегмента (часть между двумя параллельными плоскостями) и зоны сферы (изогнутая поверхность сферического сегмента).
И здесь прослеживается аналогия с окружностями Аполлония, то есть с фигурами в плоскости.
Он даже попросил сделать чертёж этих предметов на своей надгробной плите. Позже римский философ Цицерон обнаружил такую гробницу, к сожалению, сильно заросшую окружающей растительностью.
Площадь ее поверхности, в сравнении с другими трёхмерными телами, имеет наибольший объём. По сути, это шар, имеющий однородную форму, то есть как ни повернуть, он всегда будет выглядеть одинаково.
Известно, что радиус детского мяча 10 см. Остаётся ещё одна неизвестная — число π. Это математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру и равна примерно 3,14. Далее, следует подставить цифры в уравнение:
Все эти термины используются для приблизительно сфероидальных астрономических тел. Любая плоскость, которая включает в себя центр шара, делит его на два равных полушария (полусферы).
Можно сделать единственный вывод: это обычное определение и оно однозначно. А также отношение расстояний между двумя фиксированными точками является постоянным. И здесь прослеживается аналогия с окружностями Аполлония, то есть с фигурами в плоскости.
Для сферы кривизны всех нормальных сечений одинаковы, поэтому омбилической будет каждая точка.
Он даже попросил сделать чертёж этих предметов на своей надгробной плите. Позже римский философ Цицерон обнаружил такую гробницу, к сожалению, сильно заросшую окружающей растительностью.
Но на самом деле, после тройки идёт больше тысячи цифр!
В итоге получим число в 7 850 квадратных сантиметров.
Достаточно иметь подключение к интернету и зайти на любой онлайн-калькулятор.
Итак, пусть дан некоторый шар радиуса R. Выделим на его поверхности какую-либо малую область (рис. 412) и рассмотрим пирамиду или конус с вершиной в центре шара О, имеющие эту область своим основанием; строго говоря, мы лишь условно говорим о конусе или пирамиде, так как основание не плоское, а сферическое. Но при малых размерах основания по сравнению с радиусом шара оно будет весьма мало отличаться от плоского (так, например, при измерении не очень большого земельного участка пренебрегают тем, что он лежит не на плоскости, а на сфере).
Отсюда для площади поверхности имеем формулу
Найти высоту конуса, если радиус шара равен .
По формулам, которые сегодняшние школьники выводят в 11 классе общеобразовательной школы, вы легко можете рассчитать эти параметры.
14 x 11 х 11 х 11.
Заполните мерный сосуд водой, подметьте ярус, погрузите измеряемое сферическое тело в жидкость и по разнице ярусов определите число вытесненной воды. После этого переведите полученный итог из литров в кубометры так же, как это описано в предыдущем шаге.
Когда нужно обнаружить площадь произвольной фигуры, то надобно вычислить, сколько квадратов со стороной (которая равняется единице), эта фигура в себя может вместить.
Так, формула площади куба: площадь куба равна числу граней умноженное на площадь грани, т.е. 6 * a2
В противоположность сфере, сечения шара представляют собой круги. Форму, близкую к шарообразной, имеет множество планет и небесных тел. В различных точках шара имеются идентичные по форме, но неодинаковые по величине, так называемые сечения – круги различной площади.
2
Если требуется измерить объем шара не теоретически, а только подручными средствами, то сделать это дозволено, скажем, определив объем вытесненной им воды. Данный метод применим в том случае, когда есть вероятность разместить шар в какую-нибудь соизмеримую ему емкость – мензурку, стакан, банку, ведро, бочку, бассейн и т.д. В этом случае перед помещением шара подметьте ярус воды, сделайте это вторично позже полного его погружения, а после этого обнаружьте разность между отметками. Традиционно мерная емкость заводского производства имеет деления, показывающие объем в литрах и производных от него единицах – миллилитрах, декалитрах и т.д. Если полученное значение нужно перевести в кубические метры и кратные ему единицы объема, то исходите из того, что один литр соответствует одному кубическому дециметру либо одной тысячной доле кубометра.
Примитивно поделите итог взвешивания на справочную плотность вещества изготовления: V=m/p.
2, где R, r – радиусы внешней и внутренней окружностей кольца соответственно.
Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :
Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).
Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.
Касательная плоскость к сфере
3
Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:
При этом уровень жидкости поднялся с отметки 24 см до отметки 26 см.
2, то искомая площадь равна 4cdot 4 = 16.
Центр окружности лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.
ru/ploshad-shara/
(Используйте π = 22/7)
Сфера — это полученное трехмерное тело круглой формы, не имеющее ребер или вершин. Общая площадь поверхности сферы такая же, как площадь ее изогнутой поверхности из-за отсутствия ребер или вершин.
Используйте 𝜋=227.
Как только мы определили радиус, при необходимости мы можем удвоить это значение, чтобы получить диаметр. В следующем примере показано, как изменить формулу для решения такого типа задач.
Хотя мы могли бы сказать, что 𝑟=±3, в этом случае 𝑟 представляет собой длину, и поэтому мы можем игнорировать отрицательное решение.
Если бы мы подставили 𝐴=36𝜋 прямо в эту формулу, мы бы получили 𝑟=3. Как и ожидалось, это то же самое значение радиуса, которое мы вычислили в предыдущем примере.
