Общие сведения о сульфате хрома (III) и степени окисления в Cr2(SO4)3
Брутто-формула — Cr2(SO4)3. Молярная масса равна – 392,16 г/моль.
Рис. 1. Сульфат хрома (III). Внешний вид.
Растворяется в воде (гидролизуется по катиону). Образует кристаллогидраты составов Cr2(SO4)3×18H2O иCr2(SO4)3×6H2O. Проявляет слабые окислительно-восстановительные свойства.
Cr2(SO4)3, степени окисления элементов в нем
Степень окисления кислотного остатка определяется числом атомов водорода, входящих в состав образующей его кислоты, указанных со знаком минус. Сульфат-ион – это кислотный остаток серной кислоты, формула которой H2SO4. В её составе имеется два атома водорода, следовательно, степень окисления сульфат-ионе равна (-2). Степень окисления кислорода в составе кислот, а, следовательно, и их остатков равна (-2). Для нахождения степени окисления серы в составе сульфат-иона примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности:
x + 4× (-2) = -2;
x — 8 = -2;
x = +6.
Степень окисления хрома найдем аналогичным образом:
2×у + 3× (+6) + 12× (-2) = 0;
2у + 18 – 24 = 0;
2у — 6 = 0;
2у = + 6;
y= +3.
Степень окисления хрома в сульфате хрома (III) равна (+3): Cr+32(SO4)3.
Примеры решения задач
Понравился сайт? Расскажи друзьям!
[PDF] ссылка — Free Download PDF
Download ссылка…
Определи своё эмоциональное состояние
1
2
3
4
5
6
Окислительно- восстановительные реакции ОВР- реакции которые протекают с изменением степеней окисления атомов в молекулах реагирующих веществ. Например: Al + HCl = AlCl3 + h3
Окисление -процесс отдачи электронов Al° — 3e → Al +³ Восстановление – процесс присоединения электронов 2 Н+ + 2е → Н°2
Окислитель- атом молекула или ион , которые присоединяют электроны . Восстановитель- атомы , молекулы и ионы , которые отдают электроны
Степень окисления
Степень окисления – это условный заряд элемента, который возникает при отдаче или присоединения электронов в процессе химической реакции. Может иметь положительный или отрицательный заряд
H₂⁺ O ‾ ²
Правила вычисления степени окисления
Сумма степеней окисления атомов в соединении всегда равна 0 У простых веществ степень окисления равна 0 ( Н2 , О2 , Na , Al )
Степень окисления
Это условный заряд, который возникает в процессе отдачи или присоединения электронов. Li; Na;K; H +1 Be; Mg;Ca; Ba;Zn; Sr +2 B; Al +3 F -1 O -2 S c H; Me -2 N; P c H; Me -3
Определение степени окисления
Бинарные соединения
Al2 O3ˉ²
-2• 3 = -6:2=-3
меняем знак на противоположный = +3
Al⁺³2 Oˉ²3
Определение степени окисления в сложных веществах
1. HNO3 Определить степень окисления у крайних элементов. Степень окисления вычисляется +1 + х + ( -2 х 3) = 0 х = +5
H⁺ N⁺⁵ O
3
ˉ²
Упражнение Определить степени окисления в веществах
Установите соответствие между формулой вещества или иона и степенью окисления марганца в нем Формула степень окисления А)Mn(SO4)2 1) 0 Б)Ba MnO4 2)+2 В)MnO4‾ 3)+3 Г)MnO(OH) 4) +4 5) +6 6)+7 Ответ: А-4Б-5В-6 Г-3
Степень окисления Высшая у металлов равна № группы + ( низшей нет) Высшая у неметаллов равна № группы со знаком + Низшая у неметаллов равна – (8 -№ группы) Все остальные степени окисления являются промежуточными Определите высшую и низшую у серы и азота
Степень окисления
Элемент в высшей степени окисления -окислитель Элемент в низшей степени окисления – восстановитель Элемент в промежуточной степени окисления – может быть и окислителем и восстановителем
1. Какие реакции называются окислительно-
восстановительными? 2. По изменению степени окисления элемента определите и запишите в приведенных схемах число отданных или принятых электронов: а) окислители
Упражнения Решить ОВР Al + O2 → Mg + HCl→ h3SO4+ h3S → S + h3O KClO3 → KCl + O2 Cu +HNO3 → Cu ( NO3)2 + NO2 +h3O
Зависимость продуктов окислительновосстановительных реакций от условий их протекания Опыт! Скажи, чем гордишься ты? Что ты такое? Ты плод ошибок и слез, Силам потраченным счет. Всюду: «Что нового?» – слышишь. Да вдумайся в старое прежде! В нем для себя найдешь ты нового много! А. Майков
Упражнения Какие химические реакции из тех, схемы которых приведены ниже относятся к окислительновосстановительным реакций 1) Cl2 + KI → KCl+ I2 2)h3O + SO3 → h3SO4 3) h3S →h3+S 4) CaO + HCl → CaCl2 + h3O 5)CuS + O2 → CuO +SO2 6) WO3 +h3→ W + h3O Решить ОВР
Упражнение Какой процесс изображен на схемах 1. Сº → С⁺² ( окисление или восста2. Sº → S‾² новление ) 3. S⁺⁴→ S⁺⁶ 4. Sº → S⁺⁴ 5. Cu⁺²→ Cuº 6. Cuº → Cu⁺² Окисление 2 5
Выступление на секции учителей химии ноябрь 2011года Методика подготовки к ЕГЭ Часть С Задания №1 Подбор продуктов реакции в окислительно — восстановительных реакциях учитель химии: Ряднова Т.Г. МОАУ СОШ с ИУОП №27 г. Кирова
Зависимость продуктов окислительновосстановительных реакций от условий их протекания Опыт! Скажи, чем гордишься ты? Что ты такое? Ты плод ошибок и слез, Силам потраченным счет. Всюду: «Что нового?» – слышишь. Да вдумайся в старое прежде! В нем для себя найдешь ты нового много! А. Майков
Подбор продуктов реакции → кислая Н⁺ → Mn⁺²(соли)
P + HClO3 +…→HCl + … Проверка 6P+ 5HClO3+9h3O=6h4PO4+5HCl
Тест
1. 2. 3. 4.
А
A1.ЭО в ряду As,P,N,O cлева на право Увеличивается Уменьшается Не изменяется Не знаю
A2.ЭО в ряду F,Cl,Br,I 1.Увеличивается 2.Уменьшается 3.Не изменяется 4.Не знаю
1. 2. 3. 4.
A3. ЭО элементов возрастает слева на право по ряду O-S-Se-Te B-Be-Li-Na O-N-P-As Ge-Si-S-Cl
1. 2. 3. 4.
A4.Oдинаковую степень окисления в водородных соединениях могут иметь Углерод и кремний Азот и кальций Кислород и магний Фтор и натрий
1. 2. 3. 4.
А5.Одинаковую степень окисления с кислородом могут иметь натрий и магний Водород и фтор Бор и кремний Иод и хлор
1. 2. 3. 4.
А6. Высшая степень окисления проявляется в каждом из двух оксидов SO2, CrO3 CO2, Cl2O7 ClO2, K2O NO2, BaO
1. 2. 3. 4.
A7.Максимальная степень окисления проявляется в соединениях h3O h3O2 O2 OF2
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7.
Ответы 1 2 4 1 4 2 4
Хром и его соединения
Открытый урок по теме: «Хром и его соединения»
Подготовила и провела учитель
МОУ Поназыревской СОШ
Пинегина О.С.
Урок «Хром и его соединения» – это третий урок по теме «Металлы побочных подгрупп», изучается в 11 классе (профильный уровень). Данный урок очень насыщен теоретическим материалом и экспериментом.
Элементы содержания: хром: особенности строения атома, физические и химические свойства, получение и применение. Оксиды и гидроксиды хрома, зависимость их от свойств, от степени окисления элемента. Важнейшие соли хрома. Комплексные соединения хрома. Цели образования Обучающая: актуализировать и закрепить знания учащихся по теме, отработать умения составлять уравнения реакций с участием соединений хрома, продолжить работу по развитию находить основные, узловые вопросы в материале, анализировать, обобщать, делать выводы, применение теоретических знаний для объяснения результатов проведенных опытов. Развивающая: развивать
-учебно-информационные навыки: умение извлекать информацию из устного сообщения, справочных таблиц, наблюдаемых процессов;
-учебно-логические: умение анализировать данные, выявлять сущность наблюдаемых процессов, обобщать и делать выводы, формулировать определения понятий;
-учебно-организационные: организовывать самостоятельную деятельность, совершенствовать навыки самооценки знаний и умений.
Воспитательная: привитие интереса к изучаемому предмету, к самоорганизации и культуре труда, формировать умение вести диалог, дискутировать, выслушивать друг друга, формировать понимание развития своего интеллекта как ценностной характеристики современной личности. Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков Вид урока: урок -практикум Наглядные пособия: таблицы “Периодическая система Д.И.Менделеева”, “Электрохимический ряд напряжений металлов”, “Растворимость соединений”, методическое пособие “Окислительно-восстановительные реакции”, учебники; Оборудование к уроку: -Оборудование и реактивы для демонстрационного эксперимента
-На столах учащихся оборудование и реактивы для лабораторных опытов.
-Распечатанные задания в формате ЕГЭ.
-Инструкция для проведения лабораторных опытов.
-Информационный лист
Педагогическая технология: технология практико-ориентированного подхода в обучении Методы: -проблемно — поисковый,
-объяснительно-иллюстративный
-дифференцированная и индивидуальная самостоятельная работа учащихся в группах,
-работа с учебной и дополнительной литературой,
-исследовательский
Форма организации учебной деятельности: дифференцированно — групповая. Средства обучения: литература
2 группа – металлы побочных подгрупп: железо, медь, цинк, серебро
В какой металл упаковывают еду для космонавтов и конфеты для сладкоежек? (алюминий)
На долю этого металла приходится более 1,5% от массы тела человека. 98% его содержится в костях скелета. Однако, он не только делает наши кости крепче, но и способствует работе нервной системы. Здоровый человек должен получать в день 1,5 г его. Что это за металл? (кальций)
Этот металл входит в состав гипса, который используется в медицине для наложения неподвижных гипсовых повязок и в зубоврачебной технике для получения слепков полости рта. О каком металле идет речь? (кальций)
Горькая или английская соль, в состав которой входит этот металл, используется в медицине в качестве слабительного, содержится в морской воде и придает ей горький вкус? (магний)
Академик А.Е.Ферсман писал, что при отсутствии этого металла «… на улицах стоял бы ужас разрушения: ни рельсов, ни вагонов, и автомобилей, камни мостовой превращаются в труху, растения начинают чахнуть. Впрочем, человек бы этого не заметил, т.к., лишившись 3г этого металла, он бы моментально умер» Что это за металл? (Железо. Без железа не может происходить образование гемоглобина и миоглобина – красных кровяных телец и мышечного пигмента)
Я не менее красивый металл, чем золото. Мой род очень древний, ему примерно 7 тысяч лет. С моей помощью 5 тыс. лет назад соорудили 147 метровую пирамиду Хеопса. Из меня изготовили щит герою Троянской войны Ахиллу. Я очень музыкальный металл, у меня прекрасный голос. Я умею исцелять, без меня у человека развивается малокровие, слабость. Кто я? (медь)
При недостатке этого металла нарушается обмен веществ у растений и животных, снижается интенсивность фотосинтеза растений, а это ведет к понижению содержания крахмала и сахара в зерне и корнеплодах. Поэтому его соли широко используются в сельском хозяйстве в качестве удобрений. Что это за металл?
( калий)
Этот элемент является основным ионом внутриклеточной среды. Его концентрация в крови во много раз меньше чем внутри клеток. Этот факт является очень важным для нормального функционирования клеток организма. (Калий)
Этот металл входит в состав физиологического раствора и питьевой соды, которые широко используются в медицине. ( натрий)
Этот элемент является самым распространенным ионом плазмы – жидкой части крови. На долю этого элемента приходится основная доля в создании осмотического давления плазмы. (Натрий)
Этот элемент входит в состав многих ферментов, оказывает стимулирующее действие на процесс полового созревания, образования костей, распада жировой ткани.(Цинк)
Этот металл может исцелять. Если хранить воду в сосудах, изготовленных из этого металла, или просто в контакте с изделиями, то мельчайшие частички этого металла переходят в раствор и убивают микроорганизмы и бактерии. Такая вода долго не портится и не «зацветает». О каком металле идет речь? (Серебро)
Учитель: Историческая справка: В 1766 году петербургский профессор химии И.Г.Леман описал новый минерал, найденный на Урале на Березовском руднике, в 15 километрах от Екатеринбурга. Обрабатывая камень соляной кислотой, Леман получил изумрудно-зеленый раствор, а в образовавшемся белом осадке обнаружил свинец. Спустя несколько лет, в 1770 году, Березовские рудники описал академик П.С.Паллас. «Березовские копи, — писал он, — состоят из четырех рудников, которые разрабатываются с 1752 года. В них наряду с золотом добываются серебро и свинцовые руды, а также находят замечательный красный свинцовый минерал, который не был обнаружен больше ни в одном другом руднике России. Эта свинцовая руда бывает разного цвета (иногда похожего на цвет киновари), тяжелая и полупрозрачная… Иногда маленькие неправильные пирамидки этого минерала бывают вкраплены в кварц подобно маленьким рубинам. При размельчении в порошок она дает красивую желтую краску…». Минерал был назван «сибирским красным свинцом». Впоследствии за ним закрепилось название «крокоит».
Образец этого минерала был в конце XVIII века привезен Палласом в Париж. Крокоитом заинтересовался известный французский химик Луи Никола Воклен. В 1796 году он подверг минерал химическому анализу. «Все образцы этого вещества, которые имеются в нескольких минералогических кабинетах Европы, — писал Воклен в своем отчете, — были получены из этого (Березовского) золотого рудника. Раньше рудник был очень богат этим минералом, однако говорят, что несколько лет назад запасы минерала в руднике истощились и теперь этот минерал покупают на вес золота, в особенности, если он желтый. Образцы минерала, не имеющие правильных очертаний или расколотые на кусочки, годятся для использования их в живописи, где они ценятся за свою желто-оранжевую окраску, не изменяющуюся на воздухе… Красивый красный цвет, прозрачность и кристаллическая форма сибирского красного минерала заставила минералогов заинтересоваться его природой и местом, где он был найден; большой удельный вес и сопутствующая ему свинцовая руда, естественно, заставляли предполагать о наличии свинца в этом минерале…»
В 1797 году Воклен повторил анализ. Растертый в порошок крокоит он поместил в раствор углекислого калия и прокипятил. В результате опыта ученый получил углекислый свинец и желтый раствор, в котором содержалась калиевая соль неизвестной тогда кислоты. При добавлении к раствору ртутной соли образовывался красный осадок, после реакции со свинцовой солью появлялся желтый осадок, а введение хлористого олова окрашивало раствор в зеленый цвет. После осаждения соляной кислотой свинца Воклен выпарил фильтрат, а выделившиеся красные кристаллы (это был оксид шестивалентного хрома) смешал с углем, поместил в графитовый тигель и нагрел до высокой температуры. Когда опыт был закончен, ученый обнаружил в тигле множество серых сросшихся металлических иголок, весивших в 3 раза меньше, чем исходное вещество. Так впервые был выделен новый элемент.
Учитель: Ребята какой элемент был получен Вокленом?
Учитель: Тема нашего урока: «Хром и его соединения»
Учитель: Почему элемент назвали хромом?
Один из друзей Воклена предложил ему назвать элемент хромом (по-гречески «хрома» — окраска) из-за яркого разнообразного цвета его соединений. Сначала Воклену не понравилось предложенное название, поскольку открытый им металл имел скромную серую окраску и как будто не оправдывал своего имени. Но друзья все же сумели уговорить Воклена и, после того как французская Академия наук по всей форме зарегистрировала его открытие, химики всего мира внесли слово «хром» в списки известных науке элементов. (Итог на доске)
Учитель: Ребята назовите особенности строения его атома? (Итог на доске)
Учитель: Какими химическими свойствами обладает хром? (Итог на доске)
Учитель: Есть некоторые особенности или индивидуальности. (Итог на доске) Запись в тетради.
Учитель: Подводя итог первой части урока о хроме можно сказать так:
Он тверд, тяжел и тугоплавок И сталь прекрасную дает, А от его больших добавок Ржаветь она перестает. Его валентность (нет сомненья) Бывает шесть лишь иногда А у его соединений Окраска разная всегда. Учитель: Соединения хрома называют «минеральный хамелеон» Почему? Как Вы думаете? И так ли это? В этом разобраться нам поможет практическая часть урока.
Учитель: Ребята! У вас на столах «Инструктивные карточки» , в которых описан порядок проведения опытов.
2. Повторение правил техники безопасности.
Верно-неверно (задание ЕГЭ)
Работу с легковоспламеняющимися растворителями следует проводить вдали от огня; верно
Если кислота попадает на кожу, ее необходимо сразу нейтрализовать большим количеством щелочи; неверно
Соли свинца и хрома очень ядовиты; верно
Лакмус можно использовать для обнаружения, как кислот, так и щелочей; верно
В лаборатории можно трогать вещества руками; неверно
Соли натрия и калия окрашивают пламя горелки соответственно в жёлтый и фиолетовый цвета; верно
Особо осторожно необходимо работать с растворами кислот и щелочей; верно
Выполнять задания строго по инструкции. верно
«Инструктивные карточки»- практическая часть.
Опыт №1. Получение оксида хрома (III).
Приборы и реактивы: ложечка для сжигания веществ; спиртовка; спички; бихромат аммония (Nh5)2Cr2O7 (измельченный).
Выполнение опыта. Лист бумаги, на который ставлю спиртовку. Тонко измельченный бихромат аммония насыпаю в ложечку для сжигания веществ. Нагреть на пламени спиртовки. Начинается разложение бихромата, которое протекает с выделением тепла и постепенно захватывает все большие и большие количества соли. В конце реакция идет все более бурно — появляются искры, пламя, летит рыхлый и легкий пепел — типичное извержение вулкана в миниатюре. Образовалось большое количество рыхлого темно-зеленого вещества.
Приборы и реактивы: пробирка; вода h3O; оксид хрома (III) Cr2O3; серная кислота
Выполнение опыта. Добавляю полученный зеленый порошок оксида хрома (III) сначала в пробирку с водой Cr2O3 + 3h3O = 2Cr(OH)3 затем в пробирку с серной кислотой
Cr2O3 + 3h3SO4 = Cr2(SO4)3 + 3h3O
Наблюдаю растворение оксида в обоих пробирках.
Вывод: Оксид хрома растворяется в воде и в кислотах.
Выполнение опыта. К раствору K2Cr2O7, подкисленному серной кислотой, добавляю раствор Na2SO4. Наблюдаю изменения окраски. Оранжевый раствор стал зелено- фиолетовым.
Вывод: В кислой среде хром восстанавливается сульфитом натрия от хрома (VI) до хрома (III): K2Cr2O7 + 3Na2SO3 + 4h3SO4 = K2SO4 + Cr2(SO4)3 + 3Na2SO4 + 4h3O
Выполнение опыта: К раствору бихромата калия добавляю щелочь, в результате происходит изменение окраски раствора из оранжевого в желтый. K2Cr2O7 + 4NaOH = 2Na2CrO4 + 2KOH + h3O. К раствору хромата калия добавляю серную кислоту, в результате происходит изменение окраски раствора из желтого в оранжевый. 2K2CrO4 + h3SO4 = K2Cr2O7 + K2SO4 + h3O
Вывод: В кислой среде хроматы неустойчивы, ион CrO42- желтого цвета превращается в ион Cr2O72- оранжевого цвета, а в щелочной среде эта реакция протекает в обратном направлении 2CrO42- + 2H+ кислая сред஬щелочная среда Cr2O72- + h3O.
Опыт №5. Получение малорастворимых солей хромовых кислот
Выполнение опыта. Наливаю в одну пробирку раствор хромата калия, в другую — раствор бихромата калия, и добавляю в обе пробирки раствор нитрата серебра, в обоих случаях наблюдаю образование красно-бурого осадка.
K2CrO4 + 2AgNO3= Ag2CrO4¯ + 2KNO3
K2Cr2O7 + AgNO3 = Ag2CrO4¯+ KNO3
Вывод: Растворимые соли хрома при взаимодействии с нитратом серебра образуют нерастворимый осадок
Опыт №7. Получение гидроксида хрома
Приборы и реактивы: раствор соли хрома (III) CrCl3, едкий натр (гидроксид натрия) NaOH. Выполнение опыта. В пробирку с раствором хлорида хрома (III) по каплям добавляю раствор едкого натра до образования серо-зеленого осадка.
Вывод: Гидроксид хрома Cr(OH)3 получается при действии на соль трехвалентного хрома щелочью: CrCl3 + 3NaOH = Cr(OH)3¯ + 3NaCl Учитель: Ребята с какими цветами соединений хрома мы встретились в практической части урока?
От чего зависит изменение цвета? У кого в природе происходит аналогичное явление?
ХАМЕЛЕОН
Учитель: Ребята! Какое биологическое значение хрома?
Биологическая роль.
Хром обнаруживается в растительных и животных организмах. В организме взрослого человека содержится примерно 6 г Сr (0,1%).
Металлический хром нетоксичен, а соединения Сr(III) и Сr(VI) опасны для здоровья. Они вызывают раздражение кожи, что приводит к дерматитам.
Хром — один из биогенных элементов, постоянно входит в состав тканей растений и животных. У животных хром участвует в обмене липидов, белков (входит в состав фермента трипсина), углеводов. Снижение содержания хрома в пище и крови приводит к уменьшению скорости роста, увеличению холестерина в крови.
В конце 1950-х гг. два исследователя, Шварц и Мерц, сообщили, что у крыс, которые были на рационе, дефицитном по хрому, развивалась непереносимость сахара; при добавлении же хрома в рацион их состояние нормализовалось. Это было первым подтверждением, что хром необходим животным для нормальной жизни. С тех пор исследователи поняли, что хром играет такую же роль и для здоровья человека
3. Подведение итогов урока.
Тесты для контроля и самопроверки знаний (5 мин)
Проверочная работа в формате ЕГЭ (Дифференцированная)
Часть А (вариант1)
1.Катион хрома Cr3+ образуется при диссоциации
1)Cr2O3 2)CrCl2 3)Cr(OH)2 4)Cr(NO3)3
2.Продуктом, образующимся при нагревании дихромата аммония, является
1)CrO3 2)N2 3)Nh4 4)CrN
3.Соединения состава Na2ЭО4 образует каждый из двух элементов:
1)хром и фосфор 2)сера и хром 3)азот и селен 4)сера и хлор
4.С основаниями не реагирует
1)Cl2O5 2)SiO2 3)SO3 4)CrO
5.Оксид хрома (VI) взаимодействует с каждым из двух веществ:
1)оксидом кремния и углекислым газом
2)водой и углекислым газом
3)водой и гидроксидом натрия
4)кислородом и водородом
Часть В
1.Установите соответствие между формулой вещества и степенью окисления хрома.
Формула веществСтепень окисления
А)NaCrO2 1)+7
Б)h3Cr2O7 2)+6
В)BaCrO4 3)+4
Г)CrSO4 4)+3
5)+2
2.Установите соответствие между исходными веществами и основным продуктом их взаимодействия.
Формулы веществ Продукт взаимодействия
А)Cr+Cl2 1)CrCl2
Б)Cr+HCl 2)CrCl3
В)CrO3+HCl 3)CrCl4
Г)K2Cr2O7+HCl 4)CrCl6
Часть С
1.Используя метод электронного баланса, составьте уравнение реакции
K2Cr2O7+K2SO3+h3SO4=Cr2(SO4)3+…+…
Определите окислитель и восстановитель.
Часть А (вариант2)
1.Наиболее низкую степень окисления хром проявляет в соединении
1)K2Cr2O7 2)Na[Cr(h3O)F4] 3)Cr2O3 4)Cr(OH)2
2.В атоме хрома число свободных 3d-орбиталей равно
Сера в степени окисления +4 является восстановителем, а хром +6 –окислителем
S – 2e- S+6 6 3
Cr+6+6e-Cr+3 2 1
Взаимопроверка.
4. Рефлексия(выводы) Отдельно каждой группе предлагается сделать вывод по теме урока, выбрать одно предложений и закончить его:
сегодня мы узнали…
было трудно…
мы поняли, что…
мы научились…
мы смогли…
было интересно узнать, что…
нас удивило…
нам захотелось…
5. Домашнее задание.
Приложение 1
«Инструктивные карточки»- практическая часть.
Опыт №1. Получение оксида хрома (III).
Приборы и реактивы: ложечка для сжигания веществ; спиртовка; спички; бихромат аммония (Nh5)2Cr2O7 (измельченный).
Выполнение опыта. Лист бумаги, на который ставлю спиртовку. Тонко измельченный бихромат аммония насыпаю в ложечку для сжигания веществ. Нагреть на пламени спиртовки. Начинается разложение бихромата, которое протекает с выделением тепла и постепенно захватывает все большие и большие количества соли. В конце реакция идет все более бурно — появляются искры, пламя, летит рыхлый и легкий пепел — типичное извержение вулкана в миниатюре. Образовалось большое количество рыхлого темно-зеленого вещества.
Выполнение опыта. К раствору K2Cr2O7, подкисленному серной кислотой, добавляю раствор Na2SO4. Наблюдаю изменения окраски. Оранжевый раствор стал зелено- фиолетовым.
Вывод: В кислой среде хром восстанавливается сульфитом натрия от хрома (VI) до хрома (III):
Выполнение опыта: К раствору бихромата калия добавляю щелочь, в результате происходит изменение окраски раствора из оранжевого в желтый. К раствору хромата калия добавляю серную кислоту, в результате происходит изменение окраски раствора из желтого в оранжевый.
Вывод: В кислой среде хроматы неустойчивы, ион CrO42- желтого цвета превращается в ион Cr2O72- оранжевого цвета, а в щелочной среде эта реакция протекает в обратном направлении 2CrO42- + 2H+ кислая сред஬щелочная среда Cr2O72- + h3O.
Опыт №5. Получение малорастворимых солей хромовых кислот
Выполнение опыта. Наливаю в одну пробирку раствор хромата калия, в другую — раствор бихромата калия, и добавляю в обе пробирки раствор нитрата серебра, в обоих случаях наблюдаю образование красно-бурого осадка.
K2CrO4 + 2AgNO3= Ag2CrO4¯ + 2KNO3
K2Cr2O7 + AgNO3 = Ag2CrO4¯+ KNO3
Вывод: Растворимые соли хрома при взаимодействии с нитратом серебра образуют нерастворимый осадок
Опыт №7. Получение гидроксида хрома
Приборы и реактивы: раствор соли хрома (III) CrCl3, едкий натр (гидроксид натрия) NaOH. Выполнение опыта. В пробирку с раствором хлорида хрома (III) по каплям добавляю раствор едкого натра до образования серо-зеленого осадка.
Вывод: Гидроксид хрома Cr(OH)3 получается при действии на соль трехвалентного хрома щелочью.
Какова степень окисления Cr2? — AnswersToAll
Какова степень окисления Cr2?
Итак, два атома хрома имеют степень окисления +12. Таким образом, один атом хрома будет иметь степень окисления +12 / 2 = + 6. Таким образом, степень окисления Cr в K2Cr2O7 составляет +6.
Можно ли заряжать батареи Cr2?
Аккумуляторные батареи
CR2 обеспечивают до 300 циклов зарядки / перезарядки, что действительно позволяет сэкономить деньги.
Каков ионный заряд иона хрома в Cr2 SO4 3?
Из-за римских цифр заряд ионов хрома равен 3+ (заряды ионов переходных металлов обычно указываются римскими цифрами в скобках).Нитрат-анион NO3 имеет заряд 1-. Сумма всех зарядов ионов в ионном веществе всегда равна нулю.
Сколько стоит SO4 3?
Катион алюминия имеет заряд 3+ (Al 3+), а сульфат-анион (SO_4_ 2-) имеет отрицательный заряд 2-. Чтобы соединение было нейтральным, вам необходимо такое же количество положительных зарядов, как и отрицательных, а это невозможно с Al * 2SO4, так как у него будет заряд +4.
Является ли Fe2 SO4 3 кислотным или основным?
Сульфат железа (III) (Fe2 (SO4) 3) — чрезвычайно сильное кислотное соединение (в зависимости от его pKa).
Для чего используется сульфат железа III?
Применяется при крашении как протрава и как коагулянт для промышленных отходов. Он также используется в пигментах и в ваннах для травления алюминия и стали. В медицине он используется как вяжущее и кровоостанавливающее средство.
Сколько атомов в Fe2 SO4 3?
Процентный состав по элементам
Элемент
Символ
Количество атомов
Утюг
Fe
2
Кислород
O
12
Сера
S
3
Какое количество атомов в SO4?
5
Сколько атомов углерода в 2na2co3?
Элементный состав * 2Na2CO3
Элемент
Символ
#
Натрий
Na
4
Углерод
C
2
Кислород
O
6
Сколько атомов в СЭ?
3.-35 атомов присутствуют в 6 г углерода.
Как превратить молекулы в атомы?
Когда два или более атома химически соединены вместе, это называется молекулой. В некоторых случаях, таких как водород и кислород, молекула полностью состоит из одного и того же атома, например, газообразный водород (молекула) полностью состоит из двух атомов водорода. Здесь преобразовать молекулы в атомы так же просто, как разделить их на два.
Сколько атомов в 2 водах?
Если мы хотим получить 2 молекулы воды, нам потребуется 4 атома водорода и 2 атома кислорода.23.
В чем разница между атомом и молекулой?
Атомы представляют собой одиночные нейтральные частицы. Молекулы — это нейтральные частицы, состоящие из двух или более атомов, связанных вместе.
Как назывался эксперимент Резерфорда?
Эксперименты Гейгера – Марсдена
Что доказал Чедвик?
В 1932 году Чедвик сделал фундаментальное открытие в области ядерной науки: он доказал существование нейтронов — элементарных частиц, лишенных электрического заряда.За это эпохальное открытие он был награжден медалью Хьюза Королевского общества в 1932 году, а затем Нобелевской премией по физике в 1935 году.
Какое число окисления Cr в Cr2 So4 3?
+3
Люди также спрашивали, какова степень окисления cr в crcl3?
В этом соединении, CrCl3, он имеет чистый заряд 0. Хлор более электроотрицателен, чем , хром , и поэтому он будет иметь свое обычное состояние , равное -1.Всего имеется три атома хлора, поэтому их общий заряд будет -1⋅3 = -3. Итак, хром будет иметь степень окисления +3.
Также знаете, какой заряд CR в cr2o3? A Cr * 2O3 * по существу состоит из следующих компонентов: два иона Cr 3+ и три иона O 2-. Если взять количество ионов Cr, 3+, общий положительный заряд составит 6+. Если взять количество ионов O 2-, общий отрицательный заряд будет равен 6-.
какова степень окисления Cr в cr2o7?
Сумма степени окисления в многоатомном ионе Cr2O72- равна -2, заряду иона. Мы назначаем -2 как степень окисления для каждого кислорода и x как степень окисления каждого хрома и записываем следующее уравнение: 2x + 7 (-2) = — 2… x = +6.
Вы спросите, Как называется cr2 so4 3?
Cr2 ( SO4 ) 3 Молекулярная масса Это соединение также известно как сульфат хрома ( III ).
Как называется CrCl3?
CrCl3 состоит из металлического хрома и галогена, называемого хлором. Следовательно, его молекулярное название — хлорид хрома (III).
Сколько заряда у CrCl3?
Ответ: ИОН ХРОМА ИМЕЕТ +3 ЗАРЯД.
Какая степень окисления cr3 +?
Сульфат-ион — SO42-. Степень окисления серы +6 (разберись!). Ион более правильно называть ионом сульфата (VI). Сульфит-ион — SO32-.
Для чего используются степени окисления?
Число окисления используется химиками для отслеживания электронов в соединении.синий медно-аммиачный комплекс [Cu (Nh4) 4] 2+ темно-синий Цинк Zn2 + отсутствует
Что такое заряд CR?
Свободные элементы (элементы, которые не объединены с другими элементами) имеют нулевую степень окисления, например, степень окисления Cr (хрома) равна 0. Для ионов степень окисления равна заряду иона, например ionFe. 3. + (ион трехвалентного железа) имеет степень окисления +3.
Какова степень окисления po4?
Степень окисления P в PO4 можно рассчитать, как указано ниже. PO4 имеет 3 заряда.
Какова степень окисления Cr в cro4 2?
Привет!!! Итак, степень окисления Cr +6. Объяснение: Число окисления определяется как число, которое присваивается элементу, когда он набирает или теряет электроны.
Mathway | Популярные задачи
1
Найдите количество нейтронов
H
2
Найдите массу 1 моля
H_2O
3
Весы
H_2 (SO_4) + K (OH) → K_2 (SO_4) + H (OH)
4
Найдите массу 1 моля
H
5
Найдите количество нейтронов
Fe
6
Найдите количество нейтронов
TC
7
Найдите электронную конфигурацию
H
8
Найдите количество нейтронов
Ca
9
Весы
CH_4 + O_2 → H_2O + CO_2
10
Найдите количество нейтронов
C
11
Найдите число протонов
H
12
Найдите количество нейтронов
O
13
Найдите массу 1 моля
CO_2
14
Весы
C_8H_18 + O_2 → CO_2 + H_2O
15
Найдите атомную массу
H
16
Определить, растворимо ли соединение в воде
H_2O
17
Найдите электронную конфигурацию
Na
18
Найдите массу отдельного атома
H
19
Найдите количество нейтронов
Nb
20
Найдите количество нейтронов
Au
21
Найдите количество нейтронов
Mn
22
Найдите количество нейтронов
Ру
23
Найдите электронную конфигурацию
O
24
Найдите массовые проценты
H_2O
25
Определить, растворимо ли соединение в воде
NaCl
26
Найдите эмпирическую / простейшую формулу
H_2O
27
Найдите числа окисления
H_2O
28
Найдите электронную конфигурацию
К
29
Найдите электронную конфигурацию
мг
30
Найдите электронную конфигурацию
Ca
31
Найдите количество нейтронов
Rh
32
Найдите количество нейтронов
Na
33
Найдите количество нейтронов
Pt
34
Найдите количество нейтронов
Be
Be
35
Найдите количество нейтронов
Cr
36
Найдите массу 1 моля
H_2SO_4
37
Найдите массу 1 моля
HCl
38
Найдите массу 1 моля
Fe
39
Найдите массу 1 моля
C
40
Найдите количество нейтронов
Cu
41
Найдите количество нейтронов
S
42
Найдите числа окисления
H
43
Весы
CH_4 + O_2 → CO_2 + H_2O
44
Найдите атомную массу
O
45
Найдите атомный номер
H
46
Найдите количество нейтронов
Пн
47
Найдите количество нейтронов
Os
48
Найдите массу 1 моля
NaOH
49
Найдите массу 1 моля
O
50
Найдите электронную конфигурацию
Fe
51
Найдите электронную конфигурацию
C
52
Найдите массовые проценты
NaCl
53
Найдите массу 1 моля
К
54
Найдите массу отдельного атома
Na
55
Найдите количество нейтронов
N
56
Найдите количество нейтронов
Li
57
Найдите количество нейтронов
В
58
Найдите число протонов
N
59
Упростить
H ^ 2O
60
Упростить
ч * 2o
61
Определить, растворимо ли соединение в воде
H
62
Найдите плотность в STP
H_2O
63
Найдите числа окисления
NaCl
64
Найдите атомную массу
He
He
65
Найдите атомную массу
мг
66
Найдите число электронов
H
67
Найдите число электронов
O
68
Найдите число электронов
S
69
Найдите количество нейтронов
Pd
70
Найдите количество нейтронов
Hg
71
Найдите количество нейтронов
B
72
Найдите массу отдельного атома
Li
73
Найдите эмпирическую формулу
H = 12%, C = 54%, N = 20
«
74
Найдите число протонов
Be
Be
75
Найдите массу 1 моля
Na
76
Найдите электронную конфигурацию
Co
77
Найдите электронную конфигурацию
S
78
Весы
C_2H_6 + O_2 → CO_2 + H_2O
79
Весы
H_2 + O_2 → H_2O
80
Найдите электронную конфигурацию
-P
81
Найдите электронную конфигурацию
Пб
82
Найдите электронную конфигурацию
Al
83
Найдите электронную конфигурацию
Ar
84
Найдите массу 1 моля
О_2
85
Найдите массу 1 моля
H_2
86
Найдите количество нейтронов
К
87
Найдите количество нейтронов
-P
88
Найдите количество нейтронов
мг
89
Найдите количество нейтронов
Вт
90
Найдите массу отдельного атома
C
91
Упростить
na + cl
92
Определить, растворимо ли соединение в воде
H_2SO_4
93
Найдите плотность в STP
NaCl
94
Найдите числа окисления
C_6H_12O_6
95
Найдите числа окисления
Na
96
Определить, растворимо ли соединение в воде
C_6H_12O_6
97
Найдите атомную массу
Класс
98
Найдите атомную массу
Fe
99
Найдите эмпирическую / простейшую формулу
CO_2
100
Найдите количество нейтронов
Mt
ChemTeam: Восстановительное окисление
ChemTeam: восстановление окисления
Правила присвоения степеней окисления
Двадцать примеров
Задачи 1-10
Проблемы 11-30
Экзамены и задачи без ответов
Вернуться в меню окислительно-восстановительного потенциала
И.Правило номер один
Все свободные несвязанные элементы имеют нулевую степень окисления.
Сюда входят семь двухатомных элементов (таких как O 2 ) и другие молекулярные элементы (P 4 и S 8 ). Озон (O 3 ) также имеет нулевую степень окисления.
II. Правило номер два
Каждый атом водорода во всех его соединениях, кроме гидридов, имеет степень окисления +1 (положительная).
III.Правило номер три
Каждый атом кислорода во всех его соединениях, кроме пероксидов и супероксидов, имеет степень окисления -2 (два отрицательных).
IV. Правило номер четыре
Для одиночных ионов (другими словами, не многоатомных) заряд на ионе принимается за степень окисления.
V. Правило номер пять
Когда в данной формуле не указан заряд, общий заряд принимается равным нулю.
VI.Правило номер шесть
Степень окисления фтора равна -1 для всех его соединений.
Существуют более обширные наборы правил (вот пример), и по большей части они основаны на шести правилах, указанных выше. Другой пример. Вы можете подумать о поиске правил окислительно-восстановительного потенциала, чтобы узнать, как другие подошли к этой теме.
Существуют соединения, в которых степень окисления данного атома является дробной. Их называют «неоднозначными степенями окисления».»Я упомяну четыре ниже (от примера №13 до примера №15 и один в бонусном примере). Вы можете обратиться к связанной странице Wiki для получения дополнительной информации.
Также имейте в виду, что в настоящее время используется термин «степень окисления». Если вы видите старые материалы (или существующие материалы, подготовленные пожилым человеком), вы можете увидеть более старый термин «степень окисления».
Пример № 1: Какова степень окисления Cl в HCl?
По правилу № 2 H равно +1. Следовательно, Cl должен быть -1 (минус один).
См. KCl в Примере №9. NaCl, BaCl 2 , AlCl 3 и т. Д. Являются другими примерами, в которых Cl равен -1.
Пример № 2: Какова степень окисления Na в Na 2 O?
Поскольку O равно −2 (правило № 3), каждое из двух Na должно быть +1. Обратите внимание, что мы рассматриваем каждый натрий как отдельную единицу, а не как Na 2 2+ .
Кстати, ртуть в степени окисления +1 существует, но записывается она так:
рт. Ст. 2 2+
У этого есть причины, которые я оставлю без объяснения.Как следствие, это означает запись катиона +1 следующим образом:
рт. Ст. +
всегда неправ.
Пример № 3: Какова степень окисления Cl в ClO ¯?
O равно −2, но поскольку −1 должно быть оставлено, то Cl равен +1.
Это также можно задать для HClO, NaClO, KClO, Ba (ClO) 2 и т. Д.
Пример № 4: Какова степень окисления Cl в ClO 2 ¯?
Два O равно −4 (от −2 x 2), но поскольку −1 должно быть оставлено, то Cl равно +3.
Это также можно задать для HClO 2 , NaClO 2 , KClO 2 , Ba (ClO 2 ) 2 и т. Д.
Пример № 5: Какова степень окисления Cl в ClO 3 ¯?
Три O равно −6 (вместо −2 x 3), но поскольку −1 должно быть оставлено, то Cl равно +5.
Это также можно задать для HClO 3 , NaClO 3 , KClO 3 , Ba (ClO 3 ) 2 и т. Д.
Пример № 6: Какова степень окисления Cl в ClO 4 ¯?
Четыре O равно −8 (от −2 x 4), но поскольку −1 должно быть оставлено, то Cl равно +7.
Это также можно задать для NaClO 4 , KClO 4 , Ba (ClO 4 ) 2 и т. Д.
Вот комментарий, связанный с этим вопросом:
Не думайте, что хлор имеет заряд +7. Это не «ионное» вещество, и даже если бы это было так, у него не могло бы быть такого большого заряда.Степень окисления элемента представляет собой назначаемый номер, только по совпадению может согласно с фактическим зарядом, как правило, когда ион находится в растворе.
Пример № 7: Какова степень окисления S в SO 4 2 ¯?
O равно −2. Всего четыре атома кислорода. Поскольку −2 должно быть оставлено, S должно быть равно +6.
Пример № 8: Какова степень окисления S в SO 3 2 ¯
O равно −2.Всего есть три атома кислорода. Поскольку −2 должно быть оставлено, S должно быть равно +4.
Пример № 9: Каковы степени окисления у KCl?
K равно +1, потому что K 2 O существует. O в K 2 O по определению равно -2, поэтому каждый K должен быть +1, чтобы поддерживать формулу K 2 O при нулевом заряде.
Cl равно -1, потому что существует HCl. H равно +1 по определению, поэтому Cl должно быть -1. Вы также можете сказать, что Cl равно -1, потому что K должно быть +1, и нам нужен нулевой заряд для формулы.
Пример № 10: Какова степень окисления каждого элемента в NaMnO 4 ?
Na равняется +1 на основании того факта, что Na 2 O существует. Мы знаем, что O = −2, поэтому каждый Na равен +1. (Мы также могли бы использовать это: мы знаем, что NaCl существует и что Cl равен -1. Мы знаем это, потому что существует HCl. Следовательно, Na равен +1.)
O равно −2 по определению.
Mn равно +7. Всего имеется 4 атома кислорода, что составляет −8, K равно +1, поэтому Mn должен быть остальным.
Пример № 11: Какова степень окисления N и P в NH 4 H 2 PO 4 ?
Решение:
1) Разделим дигидрофосфат аммония на части. Он образует следующие два многоатомных иона:
аммоний —> NH 4 + дигидрофосфат —> H 2 PO 4 ¯
2) Анализ иона аммония:
Мы знаем, что NH 4 + принимает заряд +1, потому что мы знаем, что NH 4 Cl существует.Поскольку хлорид-ион равен -1, следовательно, аммоний равен +1.
Помните, что мы знаем, что хлорид — это -1, потому что существует HCl, а H определяется как +1 (кроме гидридов).
В NH 4 + четыре атома водорода в сумме составляют +4. (Аммоний не является гидридом.)
Следовательно, азот равен −3, чтобы оставить +1 для общего заряда иона.
2) Анализ иона дигидрофосфата:
Два H присутствуют —> +2 Четыре O —> −8
Чтобы весь ион имел заряд −1, P должно быть +5.
Пример № 12: Для H 2 O 2 , является ли степень окисления для O 2 , -2 или -4?
Решение:
Важным навыком в этой области является способность распознавать данную формулу как представляющую ионное соединение или молекулярное соединение. В предыдущем примере атомы кислорода были ионно связаны с Fe и рассматривались как отдельные оксидные ионы, а не как многоатомный ион O 4 .
Для H 2 O 2 необходимо признать его формулой для перекиси водорода, и что в этой формуле O 2 рассматривается как законный многоатомный ион, названный пероксидом.Написано O 2 2 ¯, а заряд иона равен −2. Следовательно, степень окисления каждого атома кислорода равна -1.
Для меня студент, задавший этот вопрос, знает о правиле перекиси, но не уверен, следует ли рассматривать кислород в H 2 O 2 как перекись и как отдельные атомы, как это было бы сделано. в оксиде.
Пример № 13: (пример дробной степени окисления) Для Fe 3 O 4 , является степень окисления для O 4 , -2 или -8?
Решение:
Обратите внимание на замешательство, проявленное учеником., в котором он / она спрашивает о степени окисления O 4 . Это неправильно. Каждый атом кислорода следует рассматривать индивидуально, а не как группу. В этом случае правильный ответ состоит в том, что каждый атом кислорода имеет степень окисления -2.
Степень фракционного окисления связана с Fe. Обратите внимание, что требуется +8 (чтобы уравновесить -8 от 4 атомов кислорода). Это означает, что каждый Fe имеет среднюю степень окисления + 8 ⁄ 3 .
Однако общее правило состоит в том, что каждая степень окисления должна быть целым числом, что означает, что каждый из двух атомов Fe равен +3, а один атом Fe равен +2.Это добавляет к +8, что смещает −8, созданное четырьмя атомами O.
Пример № 14: (пример дробной степени окисления) Определите степень окисления для I в I 3 ¯.
Решение:
Степень окисления I в I 3 ¯. НЕ — 1 ⁄ 3 . Степени фракционного окисления не существуют.
Однако некоторые учителя могут настаивать на ответе — 1 ⁄ 3 .
Это когда вы используете термин «средняя степень окисления», например:
средняя степень окисления I в I 3 ¯.- 1 ⁄ 3 .
Лучший способ дать ответ на этот пример:
степень окисления трииодид-иона -1.
Пример № 15: (пример с дробной степенью окисления) Какова степень окисления серебра в Ag 2 F (субфторид серебра)?
Решение:
Степень окисления F всегда равна -1.
Таким образом, два серебра дают в сумме +1.
Это означает, что средняя степень окисления каждого серебра составляет + 1 ⁄ 2 .
Поскольку дробные степени окисления на самом деле не существуют, одному из двух серебряных присваивается степень окисления 0, а другому — +1.Вот пример этого.
Пример № 16: Какова степень окисления вольфрама в дисульфиде вольфрама, WS 2 ?
Решение:
Сульфид равен -2. Он знает, что, поскольку H 2 S. Водород равен +1 в этом соединении, и, поскольку есть два H, S должен быть −2, чтобы уравновесить +2 от двух атомов водорода.
Следовательно, W должно быть +4, чтобы уравновесить суммарное , вносимое двумя сульфид-ионами.
Пример № 17: Какова степень окисления марганца в LiMnO 2 ?
Решение:
Li равен +1, потому что LiCl существует. Мы знаем, что Cl равен -1, потому что также существует HCl.
Мы знаем, что O равно −2, потому что H 2 O существует. Два из них составляют −4.
Mn, следовательно, +3.
Пример № 18: Укажите степени окисления элементов в следующих соединениях.
(а) XeF 2
(б) CO
(c) OF 2
(d) Bi 2 O 5
(e) MnO 2
Решение:
(a) XeF 2
F всегда равно -1. Следовательно, Xe равен +2.
Кстати, существуют XeF 4 и XeF 6 , а также ряд других соединений ксенона.
(б) CO
O равно −2.Углерод, следовательно, равен +2.
Между прочим, углерод имеет +4 в CO 2 .
(c) OF 2
Это необычный.
F всегда -1. Так как их двое, O равно +2.
O 2 F 2 — еще один необычный. Вы можете прочитать об этом на его странице в Википедии.
(d) Bi 2 O 5
O равно −2, и пять из них составляют в сумме −10.
Два Bi означает, что каждый имеет степень окисления +5.
(e) MnO 2
Для этого на самом деле потребуется немного больше контекста. Это потому, что только по формуле мы не знаем, присутствует ли кислород в виде двух оксидов (общее окс. Состояние = -4) или одной пероксида (общее окс. Состояние = -2).
Если оксид, то Mn равен +4.
Если пероксид, то Mn равен +2.
Другой пример — PbO 2 .
Пример № 19:
(a) Se в SeO 3 2 ¯
(b) I в H 5 IO 6
(c) S в Al 2 (SO 3 ) 3
(d) N и C в HCN
(e) Cu в Na 3 [CuCl 5 ]
Решение:
(a) Se в SeO 3 2 ¯
Se + 3 (-2) = -2
Se + (−6) = −2
SE = +4
(б) I в H 5 IO 6
(5) (+ 1) + I + (6) (- 2) = 0
5 + I + (-12) = 0
I = +7
(c) S в Al 2 (SO 3 ) 3
Al = +3, S =?, O = -2
(2) (+ 3) + 3S + (9) (- 2) = 0
Обратите внимание на влияние нижнего индекса за скобками.
6 + 3S + (-18) = 0
3S = +12
S = +4
(d) N и C в HCN
Поскольку H равно +1, мы исследуем CN ¯, цианид-анион.
N более электроотрицателен, чем C, поэтому предполагает отрицательную степень окисления.
Поскольку NH 3 существует, мы знаем, что N примет степень окисления −3.
Чтобы иметь заряд −1 на цианид-анионе, углерод должен быть +2.
(e) Cu в Na 3 [CuCl 5 ]
Мы знаем, что Na имеет значение +1, что означает, что многоатомный анион должен быть CuCl 5 3 ¯
Каждый Cl дает -1, всего -5.
Степень окисления Cu должна быть +2, чтобы анион имел общий заряд −3
Пример № 20: Найдите степень окисления хлора в:
(a) ClO
(e) ClF 5
(i) Cl 2 O 2 (пероксид хлора)
(б) ClO 2
(е) ClOF 3
(к) Cl 2 O 4 (перхлорат хлора)
(c) ClF
(г) Cl 2 O 6
(k) ClN 3
(d) ClF 3
(h) Cl 2 O 7
(ℓ) Cl 2
Решение:
(а) ClO
O = -2, Cl =? Cl + (-2) = 0 Cl = +2
(e) ClF 5
F = -1, Cl =? Cl + (5) (- 1) = 0 Cl = +5
(i) Cl 2 O 2 (пероксид хлора)
пероксид — это O 2 2 ¯ два Cl должны составлять +2 каждый Cl равен +1
(б) ClO 2
O = −2, Cl =? Cl + (2) (- 2) = 0 Cl = +4
(е) ClOF 3
O = -2, F = -1, Cl =? Cl + (-2) + (3) (- 1) = 0 Cl = +5
(j) Cl 2 O 4 (перхлорат хлора)
всего из O равно −8 каждый Cl +4 +4 — это средняя степень окисления. один Cl — +7, другой — +1
(в) ClF
F = -1, Cl =? Cl + (-1) = 0 Cl = +1
(г) Cl 2 O 6
O = -2, Cl =? 2Cl + 6 (-2) = 0 2Cl = +12 Cl = +6
(k) ClN 3
распознает анион как азид, N 3 ¯ общий заряд равен нулю поэтому Cl = +1
(г) ClF 3
F = -1 Три F = −3 Один класс = +3
(ч) Cl 2 O 7
O = -2, Cl =? 2Cl + 7 (-2) = 0 2Cl = +14 Cl = +7
(ℓ) Cl 2
Cl 2 — элемент в несоединенном состоянии. Степень окисления несоединенного элемента — 0 (ноль).
Бонус Пример: Найдите степень окисления азота в:
(a) NO 3 ¯
(e) N 2 O
(i) N 2 O 4
(b) N 2 H 4
(f) NO
(j) N 2 O 3
(c) NO 2 +
(g) NO 2 ¯
(k) N 3 ¯
(d) N 2 O 5
(h) NO 2
(ℓ) N 2
Решение:
(а) НЕТ 3 ¯
O = -2, N =? N + (3) (- 2) = -1 N = +5
(e) НЕТ
O = −2, N =? N + (-2) = 0 N = +2
(i) N 2 O 4
O = −2, N =? 2N + (4) (- 2) = 0 2N = +8 N = +4
(б) N 2 H 4
H = +1, N =? 2N + (4) (+ 1) = 0 2N = −4 N = −2
(ж) № 2 О
O = -2, N =? 2N + (-2) = 0 2N = +2 N = +1
(j) N 2 O 3
O = −2, N =? 2N + (3) (- 2) = 0 2N = +6 N = +3
(c) NO 2 +
O = −2, N =? N + (2) (- 2) = +1 N = +5
(г) НЕТ 2 ¯
O = -2, N =? N + (2) (- 2) = -1 N = +3
(к) № 3 ¯
(пример дробной степени окисления) Каждый N имеет среднюю степень окисления — 1 ⁄ 3 Обычно говорят, что азид имеет степень окисления -1, без какого-либо конкретного N, связанного с -1.
Я, Людмила Анатольевна Фирмаль, бывший преподаватель математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института со стажем работы более 17 лет. На данный момент занимаюсь онлайн обучением и помощью по любыми предметам. У меня своя команда грамотных, сильных бывших преподавателей ВУЗов. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно: она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.
Срок выполнения разный: возможно онлайн (сразу пишите и сразу помогаю), а если у Вас что-то сложное – то от двух до пяти дней.
Для качественного оформления работы обязательно нужны методические указания и, желательно, лекции. Также я провожу онлайн-занятия и занятия в аудитории для студентов, чтобы дать им более качественные знания.
Вам нужно написать сообщение в Telegram . После этого я оценю Ваш заказ и укажу срок выполнения. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за заказ, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл заказа в личные сообщения.
Сколько может стоить заказ?
Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.
Какой срок выполнения заказа?
Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.
Как оплатить заказ?
Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.
Какие гарантии и вы исправляете ошибки?
В течение 1 года с момента получения Вами заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.
Качественно сфотографируйте задание, или если у вас файлы, то прикрепите методички, лекции, примеры решения, и в сообщении напишите дополнительные пояснения, для того, чтобы я сразу поняла, что требуется и не уточняла у вас. Присланное качественное задание моментально изучается и оценивается.
Теперь напишите мне в Telegram или почту и прикрепите задания, методички и лекции с примерами решения, и укажите сроки выполнения. Я и моя команда изучим внимательно задание и сообщим цену.
Если цена Вас устроит, то я вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.
Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.
После выполнения отправлю Вам заказ в чат, если у Вас будут вопросы по заказу – подробно объясню. Гарантия 1 год. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.
Можете смело обращаться к нам, мы вас не подведем. Ошибки бывают у всех, мы готовы дорабатывать бесплатно и в сжатые сроки, а если у вас появятся вопросы, готовы на них ответить.
В заключение хочу сказать: если Вы выберете меня для помощи на учебно-образовательном пути, у вас останутся только приятные впечатления от работы и от полученного результата!
Жду ваших заказов!
С уважением
Пользовательское соглашение
Политика конфиденциальности
ТЕРМОХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ. ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИЕ И ЭНДОТЕРМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ Survey
Question Title
*
7.
CH
4 + 2O2 = CO2 + 2H2O
Эндотермическая реакция(H>0)
Экзотермическая реакция(H<0)
Ch5 + 2O2 = CO2 + 2h3O
Ch5 + 2O2 = CO2 + 2h3O Эндотермическая реакция(H>0)
Ch5 + 2O2 = CO2 + 2h3O Экзотермическая реакция(H<0)
Урок 13. Составление химических уравнений » Kupuk.net
В уроке 13 «Составление химических уравнений» из курса «Химия для чайников» рассмотрим для чего нужны химические уравнения; научимся уравнивать химические реакции, путем правильной расстановки коэффициентов. Данный урок потребует от вас знания химических основ из прошлых уроков. Обязательно прочитайте об элементном анализе, где подробно рассмотрены эмпирические формулы и анализ химических веществ.
Химическое уравнение
В результате реакции горения метана Ch5 в кислороде O2 образуются диоксид углерода CO2 и вода h3O. Эта реакция может быть описана химическим уравнением:
Ch5 + O2 → CO2 + h3O (1)
Попробуем извлечь из химического уравнения больше сведений, чем просто указание продуктов и реагентов реакции. Химичекое уравнение (1) является НЕполным и потому не дает никаких сведений о том, сколько молекул O2 расходуется в расчете на 1 молекулу Ch5 и сколько молекул CO2 и h3O получается в результате. Но если записать перед соответствующими молекулярными формулами численные коэффициенты, которые укажут сколько молекул каждого сорта принимает участие в реакции, то мы получим полное химическое уравнение реакции.
Для того, чтобы завершить составление химического уравнения (1), нужно помнить одно простое правило: в левой и правой частях уравнения должно присутствовать одинаковое число атомов каждого сорта, поскольку в ходе химической реакции не возникает новых атомов и не происходит уничтожение имевшихся. Данное правило основывается на законе сохранения массы, который мы рассмотрели в начале главы.
Уравнивание химических реакций
Уравнивание химических реакций нужно для того, чтобы из простого химического уравнения получить полное. Итак, перейдем к непосредственному уравниванию реакции (1): еще раз взгляните на химическое уравнение, в точности на атомы и молекулы в правой и левой части. Нетрудно заметить, что в реакции участвуют атомы трех сортов: углерод C, водород H и кислород O. Давайте подсчитаем и сравним количество атомов каждого сорта в правой и левой части химического уравнения.
Начнем с углерода. В левой части один атом С входит в состав молекулы Ch5, а в правой части один атом С входит в состав CO2. Таким образом в левой и в правой части количество атомов углерода совпадает, поэтому его мы оставляем в покое. Но для наглядности поставим коэффициент 1 перед молекулами с углеродом, хоть это и не обязательно:
1Ch5 + O2 → 1CO2 + h3O (2)
Затем переходим к подсчету атомов водорода H. В левой части присутствуют 4 атома H (в количественном смысле h5 = 4H) в составе молекулы Ch5, а в правой – всего 2 атома H в составе молекулы h3O, что в два раза меньше чем в левой части химического уравнения (2). Будем уравнивать! Для этого поставим коэффициент 2 перед молекулой h3O. Вот теперь у нас и в реагентах и в продуктах будет по 4 молекулы водорода H:
1Ch5 + O2 → 1CO2 + 2h3O (3)
Обратите свое внимание, что коэффициент 2, который мы записали перед молекулой воды h3O для уравнивания водорода H, увеличивает в 2 раза все атомы, входящие в ее состав, т.е 2h3O означает 4H и 2O. Ладно, с этим вроде бы разобрались, осталось подсчитать и сравнить количество атомов кислорода O в химическом уравнении (3). Сразу бросается в глаза, что в левой части атомов O ровно в 2 раза меньше чем в правой. Теперь-то вы уже и сами умеете уравнивать химические уравнения, поэтому сразу запишу финальный результат:
1Ch5 + 2O2 → 1CO2 + 2h3O или Сh5 + 2O2 → CO2 + 2h3O (4)
Как видите, уравнивание химических реакций не такая уж и мудреная штука, и важна здесь не химия, а математика. Уравнение (4) называется полным уравнением химической реакции, потому что в нем соблюдается закон сохранения массы, т.е. число атомов каждого сорта, вступающих в реакцию, точно совпадает с числом атомов данного сорта по завершении реакции. В каждой части этого полного химического уравнения содержится по 1 атому углерода, по 4 атома водорода и по 4 атома кислорода. Однако стоит понимать пару важных моментов: химическая реакция — это сложная последовательность отдельных промежуточных стадий, и потому нельзя к примеру истолковывать уравнение (4) в том смысле, что 1 молекула метана должна одновременно столкнуться с 2 молекулами кислорода. Процессы происходящие при образовании продуктов реакции гораздо сложнее. Второй момент: полное уравнение реакции ничего не говорит нам о ее молекулярном механизме, т.е о последовательности событий, которые происходят на молекулярном уровне при ее протекании.
Коэффициенты в уравнениях химических реакций
Еще один наглядный пример того, как правильно расставить коэффициенты в уравнениях химических реакций: Тринитротолуол (ТНТ) C7H5N3O6 энергично соединяется с кислородом, образуя h3O, CO2 и N2. Запишем уравнение реакции, которое будем уравнивать:
C7H5N3O6 + O2 → CO2 + h3O + N2 (5)
Проще составлять полное уравнение, исходя из двух молекул ТНТ, так как в левой части содержится нечетное число атомов водорода и азота, а в правой — четное:
2C7H5N3O6 + O2 → CO2 + h3O + N2 (6)
Тогда ясно, что 14 атомов углерода, 10 атомов водорода и 6 атомов азота должны превратиться в 14 молекул диоксида углерода, 5 молекул воды и 3 молекулы азота:
2C7H5N3O6 + O2 → 14CO2 + 5h3O + 3N2 (7)
Теперь в обеих частях содержится одинаковое число всех атомов, кроме кислорода. Из 33 атомов кислорода, имеющихся в правой части уравнения, 12 поставляются двумя исходными молекулами ТНТ, а остальные 21 должны быть поставлены 10,5 молекулами O2. Таким образом полное химическое уравнение будет иметь вид:
2C7H5N3O6 + 10,5O2 → 14CO2 + 5h3O + 3N2 (8)
Можно умножить обе части на 2 и избавиться от нецелочисленного коэффициента 10,5:
4C7H5N3O6 + 21O2 → 28CO2 + 10h3O + 6N2 (9)
Но этого можно и не делать, поскольку все коэффициенты уравнения не обязательно должны быть целочисленными. Правильнее даже составить уравнение, исходя из одной молекулы ТНТ:
C7H5N3O6 + 5,25O2 → 7CO2 + 2,5h3O + 1,5N2 (10)
Полное химическое уравнение (9) несет в себе много информации. Прежде всего оно указывает исходные вещества — реагенты, а также продукты реакции. Кроме того, оно показывает, что в ходе реакции индивидуально сохраняются все атомы каждого сорта. Если умножить обе части уравнения (9) на число Авогадро NA=6,022·1023, мы сможем утверждать, что 4 моля ТНТ реагируют с 21 молями O2 с образованием 28 молей CO2, 10 молей h3O и 6 молей N2.
Есть еще одна фишка. При помощи таблицы Менделеева определяем молекулярные массы всех этих веществ:
C7H5N3O6 = 227,13 г/моль
O2 = 31,999 г/моль
CO2 = 44,010 г/моль
h3O = 18,015 г/моль
N2 = 28,013 г/моль
Теперь уравнение 9 укажет еще, что 4·227,13 г = 908,52 г ТНТ требуют для осуществления полной реакции 21·31,999 г = 671,98 г кислорода и в результате образуется 28·44,010 г = 1232,3 г CO2, 10·18,015 г = 180,15 г h3O и 6·28,013 г = 168,08 г N2. Проверим, выполняется ли в этой реакции закон сохранения массы:
Реагенты
Продукты
908,52 г ТНТ
1232,3 г CO2
671,98 г CO2
180,15 г h3O
168,08 г N2
Итого
1580,5 г
1580,5 г
Но необязательно в химической реакции должны участвовать индивидуальные молекулы. Например, реакция известняка CaCO3 и соляной кислоты HCl, с образованием водного раствора хлорида кальция CaCl2 и диоксида углерода CO2:
CaCO3 + 2HCl → CaCl2 + CO2 + h3O (11)
Химическое уравнение (11) описывает реакцию карбоната кальция CaCO3 (известняка) и хлористоводородной кислоты HCl с образованием водного раствора хлорида кальция CaCl2 и диоксида углерода CO2. Это уравнение полное, так как число атомов каждого сорта в его левой и правой частях одинаково.
Смысл этого уравнения на макроскопическом (молярном) уровне таков: 1 моль или 100,09 г CaCO3 требует для осуществления полной реакции 2 моля или 72,92 г HCl, в результате чего получается по 1 молю CaCl2 (110,99 г/моль), CO2 (44,01 г/моль) и h3O (18,02 г/моль). По этим численным данным нетрудно убедиться, что в данной реакции выполняется закон сохранения массы.
Интерпретация уравнения (11) на микроскопическом (молекулярном) уровне не столь очевидна, поскольку карбонат кальция представляет собой соль, а не молекулярное соединение, а потому нельзя понимать химическое уравнение (11) в том смысле, что 1 молекула карбоната кальция CaCO3 реагирует с 2 молекулами HCl. Тем более молекула HCl в растворе вообще диссоциирует (распадается) на ионы H+ и Cl—. Таким образом более правильным описанием того, что происходит в этой реакции на молекулярном уровне, дает уравнение:
Здесь в скобках сокращенно указано физическое состояние каждого сорта частиц (тв. — твердое, водн. — гидратированный ион в водном растворе, г. — газ, ж. — жидкость).
Уравнение (12) показывает, что твердый CaCO3 реагирует с двумя гидратированными ионами H+, образуя при этом положительный ион Ca2+, CO2 и h3O. Уравнение (12) как и другие полные химические уравнения не дает представления о молекулярном механизме реакции и менее удобно для подсчета количества веществ, однако, оно дает лучшее описание происходящего на микроскопическом уровне.
Закрепите полученные знания о составлении химических уравнений, самостоятельно разобрав пример с решением:
Надеюсь из урока 13 «Составление химических уравнений» вы узнали для себя что-то новое. Если у вас возникли вопросы, пишите их в комментарии.
Закон сохранения массы веществ. Уравнения химических реакций
Похожие презентации:
Закон сохранения массы веществ. Химические уравнения
Физические и химические явления. Закон сохранения массы веществ. Уравнения химических реакций. Типы химических реакций
Закон сохранения массы веществ. Химические уравнения
Химическое уравнение. Закон сохранения массы веществ
Химические реакции. Закон сохранения массы веществ
Составление уравнений химических реакций
Уравнения химических реакций. Алгоритм расстановки коэффициентов
Закон сохранения массы веществ
Закон сохранения массы веществ. Уравнения химических реакций
Закон сохранения массы веществ
Закон сохранения массы веществ. Уравнения химических реакций
2. Назовите химические явления. Каковы признаки химических реакций?
скисание молока, подгорание пищи на сковороде, испарение жидкой ртути, почернение серебряных изделий, образование тумана, испарение воды, образование ржавчины, горение древесины, таянье льда, кипение воды,
3.
Условия хим.реакцийизмельчение 1. Соприкосновение, или перемешивание 2. Нагревание (t) 3. Увеличение или уменьшение давления(p) (вакуум) 4. Облучение (hv) 5. Электрический ток или разряд 6. Катализ (kat)
4. Признаки хим.реакций
1. Выделяется газ 2. Выпадет осадок 3. Происходит изменение окраски веществ 4. Выделяется или поглощается тепло, свет 5. Появление запаха (иногда резкого, ядовитого)
5. Основные понятия для повторения
Химический знак Химическая формула Атом Молекула Коэффициент Индекс Химическая реакция
6. Химическая реакция
Химическими реакциями называются явления, в процессе которых происходит образование новых веществ – продуктов реакции называются явления,
7. Новые понятия
Закон сохранения массы веществ Уравнение химической реакции Реагенты Продукты
8. Разложение молекул воды
2 Н2О = 2Н2 + О2
9.
Схема разложения воды↯ Кислород и водород Вода Атом водорода Атом кислорода При химических явлениях происходит разрушение молекул исходных веществ и образование новых молекул из тех же атомов, из которых состояли исходные вещества.
11. Формулировка закона сохранения массы веществ
Масса веществ, вступивших в реакцию Масса веществ, получившихся в результате реакции Число атомов каждого элемента должно быть одинаково до и после реакции
1. Родился в 1711 году в России 2. Русский ученый – природовед 3. Основатель первого в России Московского университета 4. Развивал атомно-молекулярные представления о строении веществ 5. Открыл закон массы веществ сохранения
14. Значение закона
Способствует дальнейшему развитию химии Позволяет производить важные вычисления стр 39 На основе данного закона составляют уравнения химических реакций!
15. Решите задачки
Медь соединяется с серой в массовом отношении 2:1. Для приготовления 21г сульфида меди (II) сколько потребуется меди, а сколько серы. a) Cu – 14 г, S – 7 г c) Cu – 7 г, S – 14 г b) Cu – 12 г, S – 9 г d) Cu – 16 г, S – 5 г При разложении 4,34 г оксида ртути () образовалось 4,02 г ртути. Масса выделившегося при этом кислорода равна? Метан, сгорая в кислороде, образует углекислый газ и воду. Эта фраза описывает химическую реакцию – реакцию горения. Прочитать её может только умеющий читать по-русски. Можно ли сократить запись? Можно ли сделать запись понятной для не знающего русского языка? Так ли это необходимо? Давайте подчеркнём в исходной фразе названия веществ. Метан сгорая в кислороде образует углекислый газ и воду. Вместо названий мы можем использовать химические формулы и тогда каждый знающий химию поймёт, о каких веществах идёт речь. метан – СН4 углекислый газ – СО2 кислород – О2 вода – Н2О
18. Метан, сгорая в кислороде, образует углекислый газ и воду.
Этого недостаточно. Остались слова, которые тоже требуют замены. Метан, сгорая в кислороде, образует углекислый газ и воду. Язык какой науки Вы бы предложили для использования? Какие знаки этого языка Вы бы отобрали для решения поставленной перед Вами проблемы? Язык науки математики сгорая в означает «взаимодействует» – «+» образует означает «получается» – «=» и – это перечисление, веществ может быть и больше двух – «+» На основе того, что вы знаете о математических уравнениях, попробуйте записать химическое кислороде, Метан, сгорая в СН4 + углекислый газ образует О2 = воду и СО2 + Н2О Всё ли мы учли? Проведите вычисления, чтобы проверить, выполняется ли закон сохранения массы веществ! Мr(СН4 ) = 12 + 4*1 = 16 Mr(О2 ) = 2*16 = 32 Mr(СО2 ) = 12 + 2*16 = 44 Mr(Н2О ) = 2*1 + 16 = 18 СН4 + О2 = СО2 + Н2О 16 + 32 = 44 + 18 ? СН4 + 2О2 = СО2 + 2Н2О Полученная нами краткая запись химической реакции называется уравнением химической реакции. Уравнением химической реакции называют условную запись химической реакции с помощью химических формул, коэффициентов и математических знаков. А почему запись условная? Запись отражает только какие вещества вступают в реакцию и какие образуются, но не учитывает как протекает процесс превращения. Вместо знака равенства иногда используется стрелка: Например, если не расставлены коэффициенты: СН4 + О2 СО2 + Н2О Такую запись называют СХЕМОЙ реакции. На основе услышанного составьте уравнение реакции Красный фосфор энергично сгорает в кислороде. Подожжем порошок фосфора и опустим в колбу с кислородом. В кислороде фосфор горит ослепительным белым пламенем. Выделяется белый дым — это оксид фосфора пэ-двао-пять или фосфорный ангидрид (оксид фосфора V). Фосфорный ангидрид (оксид фосфора V) в виде порошка оседает на стенках колбы.
27. Уравнение химической реакции
2KOH + CuCl2 = Cu(OH)2 + 2KCl Реагенты Вещества, вступившие в реакцию Продукты реакции Вещества, образующиеся в результате реакции
28.
Запишите названия исходных веществ и продуктов реакции для следующих уравнений химических реакций:а) Fe + S = FeS, Исходные вещества ____________________, Продукты реакции _____________________; б) Cu (OH)2 = CuO + h3O, Исходные вещества ____________________, Продукты реакции _____________________; в) HCl + NaOH = NaCl + h3O Исходные вещества ____________________, Продукты реакции _____________________;
29. Алгоритм составления уравнений химических реакций
1. В левой части записываются формулы веществ, которые вступают в реакцию: 2. В правой части (после стрелки) – формулы веществ, которые получаются в результате реакции: 3. Затем с помощью коэффициентов уравнивается число атомов одинаковых химических элементов в правой и левой частях уравнения :
30. Основные правила расстановки коэффициентов
Расстановку коэффициентов начинают с элемента, чьих атомов в реакции участвует больше. Количество атомов кислорода до и после реакции в большинстве случаев должно быть четным. Если в реакции (обмена) участвуют сложные вещества, то расстановку коэффициентов начинают с атомов металлов или с кислотных остатков. Расстановка коэффициентов в уравнении химической реакции 4:2 4 2 2 Н2О → 2 Н2 + О2 2 1 Коэффициент 2:1
32. Что показывает химическое уравнение
Какие вещества вступают в реакцию. Какие вещества образуются в результате реакции. Массу реагирующих веществ и веществ, образующихся в результате химической реакции. Отношение масс реагирующих веществ и веществ, образующихся в результате химической реакции.
33. Расставьте коэффициенты в уравнениях реакции.
1. Cu + O2 CuO 2. HCl h3 +Cl2 3. Ag2O + C Ag +CO2 4. ZnO + HNO3 Zn(NO3)2 + h3O
34. Домашнее задание
Расставьте коэффициенты в следующих уравнениях химических реакций: N2 + h3 → Nh4, MnO2 + h3 → Mn + h3O, Al + Cl2 → AlCl3, CaO + P2O5 → Ca3(PO4)2, KOH + h3SO4 → K2SO4 + h3O, ZnS + O2 → ZnO + SO2.
35. Домашнее задание
1. При взаимодействии цинка массой 65 г с серой образовался сульфид цинка (ZnS) массой 97 г. Какая масса серы вступила в реакцию? 2. В реакцию вступило 9 г алюминия и 127 г йода. Какая масса йодида алюминия (AlI3) при этом образуется?
36. Составьте уравнения реакций по названию веществ. Расставьте коэффициенты.
1. 2. 3. 4. 5. Цинк + хлорид водорода = хлорид цинка + водород Железо + хлор = хлорид железа (II) Калий + сера = сульфид калия Оксид углерода (II) + кислород = оксид углерода (IV) Хлорид алюминия = алюминий + хлор Обратите внимание, что газы записываются с индексом 2! Стр 39 Нефть – это чистое вещество Горение свечи – химическая реакция Соль – сложное вещество С УХР ФИНИШ Составление уравнений химических реакций Фосфор – металл Кальций – метал Плавление сахара – химическое явление Формула воды – Н2О Сера имеет постоянную валентность СТАРТ Атом химически делим Сложное вещество состоит из разных веществ Сложное вещество состоит из разных хим. элементов Снег – это тело Валентность водорода равна I Кислород – простое вещество Морская вода – чистое вещество Да Нет SO2 + O2 SO3 CO + O2 CO2 K2O + h3O KOH KClO3 KCl + O2 Al + O2 Al2O3 P2O5 + h3O h4PO4 h3S + O2 h3O + S Cr2O3 + h3 Cr + h3O CuO + C Cu + CO2 h3S + O2 h3O + SO2 C2h5 + O2 CO2 + h3O Mg + h4PO4 Mg3(PO4)2 + h3 Al2O3 + HCl AlCl3 + h3O CaO + h4PO4 Ca3(PO4)2 + h3O Ba(OH)2 + HCl BaCl2 + h3O KOH + h3SO4 K2SO4 + h3O NaOH + h4PO4 Na3PO4 + h3O Al2O3 + h3SO4 Al2(SO4)3 + h3O Nh4 + O2 N2 + h3O HI h3 + I2 Мg + O2 MgO Na + S Na2S HgO Hg + O2 Al + S Al2S3 Ag2O Ag + O2 P + Cl2 PCl5 Pb + O2 PbO Ch5 C + h3 Al + Br2 AlBr3 Fe + O2 Fe3O4 Na + Cl2 NaCl
English
Русский
Правила
стехиометрическое соотношение окислителя к горючему
При проектировании и эксплуатации газопламенного оборудования часто возникает вопрос об определении оптимального соотношения количества горючего и окислителя, обеспечивающего их полное сгорание с выделением максимального количества тепловой энергии.
Рассмотрим методику определения оптимального соотношения количества горючего и окислителя на примере: горючий газ – метан (Ch5), окислитель – кислород (O2).
Реакция окисления (горения) метан/кислород:
CH4+2xO2→CO2+2xh3O (1)
Молярная масса одной молекулы: водорода (Н) – 1 г/моль, углерода (C) составляет 12 г/моль, кислород (O) – 16 г/моль. Тогда, молярная масса молекулы метана (CH4) составляет 16 г/моль, а молярная масса молекулы кислорода (O2) составляет 32 г/моль. Как следует из формулы (1), для полного окисления одной молекулы метана (CH4) требуется две молекулы кислорода (O2).
Введем понятие стехиометрического отношения [1] окислителя к горючему (по массе):
где m – масса газа; ν — количество вещества, моль [2]; M – молярная масса газа;
индекс «ок» — окислитель;
индекс «гг» – горючий газ.
Количество вещества определяется в молях и характеризует число структурных единиц (ими могут быть атомы или молекулы) определяемого вещества, отнесенного к числу структурных единиц (атомов) в 0,012 кг (12 гр) изотопа углерода C12. Из этого следует, что в 0,012 кг (12 гр) изотопа углерода C12 содержится один моль количества вещества. Само число структурных единиц, содержащихся в одном моле вещества, называется числом Авогадро и равно NA = 6,023×1023 моль-1 = 6,023×1026 кмоль-1 [2].
В таком случае количество вещества определяется соотношением:
где N — число структурных единиц (молекул) веществ, участвующих в реакции окисления.
Как указывалось выше, в одном моле любого вещества содержится NA число структурных единиц, при этом у каждого вещества структурная единица обладает своей массой (масса атома, масса молекулы). Следовательно, массой обладает и один моль вещества, эта масса называется молярной массой. В таком случае, если вещество (в частности газ) имеет массу m, а число структурных единиц этого вещества таково, что количества вещества составляет ν, то:
Тогда, в частном случае, при сгорании метана в кислороде, можно записать:
индекс «O2» — кислород;
индекс «CH4» – метан.
На практике измерять массу газа неудобно и используется измерение объемов газа. Для того, что бы определить потребный объем кислорода для полного сгорания 1 м3 метана, запишем уравнение состояния [2] для каждого из газов:
где p – давление газа; V – объем газа; R – универсальная газовая постоянная; T – температура газа.
Следует заметить, что в момент реакции давление и температура газов будут одинаковыми.
Решим соотношения (5а) и (5б) относительно объемов соответствующих газов и определим стехиометрическое отношение кислорода к метану (по объему):
Т. к. стехиометрическое соотношение кислорода к метану для полного сгорания определено в (4), то определим следующие значения для соотношения (6):
В таком случае отношение объема кислорода к объему метана равно 2, т.е. для сжигания 1 м3 метана потребуется 2 м3 кислорода.
Соотношение (6) можно записать более универсально:
Очень часто в газопламенном оборудовании в качестве окислителя используется воздух, а именно содержащийся в воздухе кислород. По данным, приведенным в [1], процентное содержание кислорода в воздухе (по массе) составляет 23,2%. Запишем соотношение:
где индекс «вз» — воздух;
Если в соотношение (8) числитель (масса кислорода) и знаменатель (масса воздуха) помножить на массу горючего газа, который необходимо сжечь (окислить), то можно перейти к стехиометрическим соотношениям (по массе):
Для исследования процесса горения метана в воздухе необходимо в соотношение (9б) подставить значение
тогда получим
т. е. для полного сжигания 1 кг метана требуется 17,24 кг воздуха.
Для определения объема воздуха, необходимого для сжигания 1м3 метана, воспользуемся соотношением (7):
где МВЗ = 29 г/моль [1].
В общем виде соотношение (10а) примет вид:
Подставив значения в соотношение (10б), получим, что для сжигания 1 м3 метана потребуется
9,512 м3 воздуха.
Так же в качестве горючих газов часто используются пропан (C3H8) и бутан (C4H10).
Реакция окисления (горения) пропан/кислород и бутан/кислород:
C3H8 + 5xO2 → 3xCO2 + 4xH2O (11)
2xC4H10 + 13xO2 → 8xCO2+10xH2O (12)
Молярные массы: пропана – MC3H8 = 44 г/моль; бутана – MC4H10 = 58 г/моль. Используя выводы, сделанные для реакции окисления метана и кислорода, получаем, что требуемая масса кислорода (O2) для сжигания 1 кг пропана (C3H8) – 3,636 кг кислорода (O2), а для сжигания 1 кг бутана (C4H10) – 3,586 кг кислорода (O2).
Тогда можем записать:
Учитывая соотношение (9б), определяем, что
т.е. для сжигания 1 кг пропана необходимо 15,672 кг воздуха, а для сжигания 1 кг бутана – 15,457 кг воздуха.
Используя соотношение (7) или (10б), определяем объем кислорода (O2) и воздуха, которые соответственно необходимы для сжигания 1 м3 пропана и 1 м3 бутана, что показано в таблице 1.
Таблица 1. Расход окислителя на 1 кг (1 м3) горючего газа
Окислитель | Горючий газ
Метан (CH4)
Пропан (C3H8)
Бутан (C4H10)
Кислород (O2)
4 кг (2 м3)
3,636 кг (5 м3)
3,586 кг (6,5 м3)
Воздух
17,24 кг (9,512 м3)
15,672 кг (23,779 м3)
15,457 кг (30,914 м3)
Пропан (C3H8) и бутан (C4H10) чаще всего используются не по отдельности, а как смесь горючих газов. Поэтому требуемое количество окислителя для полного сгорания пропанобутановой смеси будет зависеть от процентного соотношения каждого из компонентов.
Пусть γ — доля (по массе) содержания пропана в смеси, а β — доля (по массе) содержания бутана в смеси. γ и β подчинены следующему соотношению:
γ + β=1 (13)
Т.к. пропан и бутан не вступают в химические реакции, то стехиометрическое отношение для каждого из газов не будет меняться, а стехиометрическое отношение для пропанобутановой смеси в зависимости от окислителя будет определяться соотношением:
индекс «C3H8 – C4H10» – пропанобутановая смесь.
Значения стехиометрических соотношений в зависимости от процентного содержания пропана и бутана в смеси представлены в таблице 2.
Таблица 2. Стехиометрические отношения (по массе) для пропанобутановых смесей
Окислитель | Пропанобутановая смесь
γ = 0,7; β = 0,3
γ = 0,6; β = 0,4
γ = 0,5; β = 0,5
Кислород (O2)
3,621
3,616
3,611
Воздух
15,607
15,586
15,565
Для того, чтобы определить отношение объема окислителя к объему пропанобутановой смеси, обеспечивающее полное сгорание, согласно соотношению (7) необходимо определить молярную массу пропанобутановой смеси — MC3H8-C4H10.
Для этого воспользуемся законом Дальтона [1]:
Надо учитывать, что в законе Дальтона как температура каждого из газов и их смеси, так и объем, занимаемый как отдельным газом, так и их смесью, одинаковы.
Выразив давление для пропана, бутана, а так же их смеси через уравнение состояния, аналогично (5а) и (5б), можем перейти к следующему соотношению:
Учитывая, что
соотношение (16) можно переписать:
Значения молярных масс пропанобутановых смесей для наиболее используемых соотношений γ и β, приведены в таблице 3.
Таблица 3. Молярные массы пропанобутановых смесей
Молярная масса | Пропанобутановая смесь
γ = 0,7; β = 0,3
γ = 0,6; β = 0,4
γ = 0,5; β = 0,5
MC3H8-C4H10
47,435
48,702
50,039
Тогда в соответствии с соотношением (7) или (10б) можно рассчитать стехиометрические соотношения (по объему) для различных пропанобутановых смесей, что и приведено в таблице 4.
Таблица 4. Стехиометрические отношения (по объему) для пропанобутановых смесей
Окислитель | Пропанобутановая смесь
γ = 0,7; β = 0,3
γ = 0,6; β = 0,4
γ = 0,5; β = 0,5
Кислород (O2)
5,368
5,503
5,647
Воздух
25,529
26,175
26,857
Следует заметить, что полученные значения расхода окислителя (как по массе, так и по объему) на единицу горючего газа, следует увеличить на 2-5%, т.к. в воздухе и техническом кислороде присутствуют другие компоненты, которые под действием высоких температур горения сами вступают в реакцию окисления и тем самым снижают долю окислителя, приходящуюся на горючий газ.
Так же согласно [1] и [2] закон Дальтона и уравнение состояния соблюдаются в диапазоне низких давлений. Тем не менее, большинство газопламенного оборудования используется при давлениях до 5 МПа, что позволяет применять как полученные соотношения, так и приведенные значения.
Газопламенное оборудование, спроектированное ООО «Машпроект» (сайт: машпроект.рф E-mail:
Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript
), обеспечивает оптимальное сгорание горючих газов, как в кислороде, так и в воздухе. Поэтому наша продукция обладает высокой топливной эффективностью и, как следствие, низкими эксплуатационными затратами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Глинка Н.Л. Общая химия – Л.: Химия, 1979. – 720 с.
2. Савельев И.В. Общий курс физики. Т. 1 – М.: Наука, 1977 – 416 с.
Acetyl
1
H
ВодородВодород
1,008
1s1
2,2
Бесцветный газ
t°пл=-259°C
t°кип=-253°C
2
He
ГелийГелий
4,0026
1s2
Бесцветный газ
t°кип=-269°C
3
Li
ЛитийЛитий
6,941
2s1
0,99
Мягкий серебристо-белый металл
t°пл=180°C
t°кип=1317°C
4
Be
БериллийБериллий
9,0122
2s2
1,57
Светло-серый металл
t°пл=1278°C
t°кип=2970°C
5
B
БорБор
10,811
2s2 2p1
2,04
Темно-коричневое аморфное вещество
t°пл=2300°C
t°кип=2550°C
6
C
УглеродУглерод
12,011
2s2 2p2
2,55
Прозрачный (алмаз) / черный (графит) минерал
t°пл=3550°C
t°кип=4830°C
7
N
АзотАзот
14,007
2s2 2p3
3,04
Бесцветный газ
t°пл=-210°C
t°кип=-196°C
8
O
КислородКислород
15,999
2s2 2p4
3,44
Бесцветный газ
t°пл=-218°C
t°кип=-183°C
9
F
ФторФтор
18,998
2s2 2p5
4,0
Бледно-желтый газ
t°пл=-220°C
t°кип=-188°C
10
Ne
НеонНеон
20,180
2s2 2p6
Бесцветный газ
t°пл=-249°C
t°кип=-246°C
11
Na
НатрийНатрий
22,990
3s1
0,93
Мягкий серебристо-белый металл
t°пл=98°C
t°кип=892°C
12
Mg
МагнийМагний
24,305
3s2
1,31
Серебристо-белый металл
t°пл=649°C
t°кип=1107°C
13
Al
АлюминийАлюминий
26,982
3s2 3p1
1,61
Серебристо-белый металл
t°пл=660°C
t°кип=2467°C
14
Si
КремнийКремний
28,086
3s2 3p2
1,9
Коричневый порошок / минерал
t°пл=1410°C
t°кип=2355°C
15
P
ФосфорФосфор
30,974
3s2 3p3
2,2
Белый минерал / красный порошок
t°пл=44°C
t°кип=280°C
16
S
СераСера
32,065
3s2 3p4
2,58
Светло-желтый порошок
t°пл=113°C
t°кип=445°C
17
Cl
ХлорХлор
35,453
3s2 3p5
3,16
Желтовато-зеленый газ
t°пл=-101°C
t°кип=-35°C
18
Ar
АргонАргон
39,948
3s2 3p6
Бесцветный газ
t°пл=-189°C
t°кип=-186°C
19
K
КалийКалий
39,098
4s1
0,82
Мягкий серебристо-белый металл
t°пл=64°C
t°кип=774°C
20
Ca
КальцийКальций
40,078
4s2
1,0
Серебристо-белый металл
t°пл=839°C
t°кип=1487°C
21
Sc
СкандийСкандий
44,956
3d1 4s2
1,36
Серебристый металл с желтым отливом
t°пл=1539°C
t°кип=2832°C
22
Ti
ТитанТитан
47,867
3d2 4s2
1,54
Серебристо-белый металл
t°пл=1660°C
t°кип=3260°C
23
V
ВанадийВанадий
50,942
3d3 4s2
1,63
Серебристо-белый металл
t°пл=1890°C
t°кип=3380°C
24
Cr
ХромХром
51,996
3d5 4s1
1,66
Голубовато-белый металл
t°пл=1857°C
t°кип=2482°C
25
Mn
МарганецМарганец
54,938
3d5 4s2
1,55
Хрупкий серебристо-белый металл
t°пл=1244°C
t°кип=2097°C
26
Fe
ЖелезоЖелезо
55,845
3d6 4s2
1,83
Серебристо-белый металл
t°пл=1535°C
t°кип=2750°C
27
Co
КобальтКобальт
58,933
3d7 4s2
1,88
Серебристо-белый металл
t°пл=1495°C
t°кип=2870°C
28
Ni
НикельНикель
58,693
3d8 4s2
1,91
Серебристо-белый металл
t°пл=1453°C
t°кип=2732°C
29
Cu
МедьМедь
63,546
3d10 4s1
1,9
Золотисто-розовый металл
t°пл=1084°C
t°кип=2595°C
30
Zn
ЦинкЦинк
65,409
3d10 4s2
1,65
Голубовато-белый металл
t°пл=420°C
t°кип=907°C
31
Ga
ГаллийГаллий
69,723
4s2 4p1
1,81
Белый металл с голубоватым оттенком
t°пл=30°C
t°кип=2403°C
32
Ge
ГерманийГерманий
72,64
4s2 4p2
2,0
Светло-серый полуметалл
t°пл=937°C
t°кип=2830°C
33
As
МышьякМышьяк
74,922
4s2 4p3
2,18
Зеленоватый полуметалл
t°субл=613°C
(сублимация)
34
Se
СеленСелен
78,96
4s2 4p4
2,55
Хрупкий черный минерал
t°пл=217°C
t°кип=685°C
35
Br
БромБром
79,904
4s2 4p5
2,96
Красно-бурая едкая жидкость
t°пл=-7°C
t°кип=59°C
36
Kr
КриптонКриптон
83,798
4s2 4p6
3,0
Бесцветный газ
t°пл=-157°C
t°кип=-152°C
37
Rb
РубидийРубидий
85,468
5s1
0,82
Серебристо-белый металл
t°пл=39°C
t°кип=688°C
38
Sr
СтронцийСтронций
87,62
5s2
0,95
Серебристо-белый металл
t°пл=769°C
t°кип=1384°C
39
Y
ИттрийИттрий
88,906
4d1 5s2
1,22
Серебристо-белый металл
t°пл=1523°C
t°кип=3337°C
40
Zr
ЦирконийЦирконий
91,224
4d2 5s2
1,33
Серебристо-белый металл
t°пл=1852°C
t°кип=4377°C
41
Nb
НиобийНиобий
92,906
4d4 5s1
1,6
Блестящий серебристый металл
t°пл=2468°C
t°кип=4927°C
42
Mo
МолибденМолибден
95,94
4d5 5s1
2,16
Блестящий серебристый металл
t°пл=2617°C
t°кип=5560°C
43
Tc
ТехнецийТехнеций
98,906
4d6 5s1
1,9
Синтетический радиоактивный металл
t°пл=2172°C
t°кип=5030°C
44
Ru
РутенийРутений
101,07
4d7 5s1
2,2
Серебристо-белый металл
t°пл=2310°C
t°кип=3900°C
45
Rh
РодийРодий
102,91
4d8 5s1
2,28
Серебристо-белый металл
t°пл=1966°C
t°кип=3727°C
46
Pd
ПалладийПалладий
106,42
4d10
2,2
Мягкий серебристо-белый металл
t°пл=1552°C
t°кип=3140°C
47
Ag
СереброСеребро
107,87
4d10 5s1
1,93
Серебристо-белый металл
t°пл=962°C
t°кип=2212°C
48
Cd
КадмийКадмий
112,41
4d10 5s2
1,69
Серебристо-серый металл
t°пл=321°C
t°кип=765°C
49
In
ИндийИндий
114,82
5s2 5p1
1,78
Мягкий серебристо-белый металл
t°пл=156°C
t°кип=2080°C
50
Sn
ОловоОлово
118,71
5s2 5p2
1,96
Мягкий серебристо-белый металл
t°пл=232°C
t°кип=2270°C
51
Sb
СурьмаСурьма
121,76
5s2 5p3
2,05
Серебристо-белый полуметалл
t°пл=631°C
t°кип=1750°C
52
Te
ТеллурТеллур
127,60
5s2 5p4
2,1
Серебристый блестящий полуметалл
t°пл=450°C
t°кип=990°C
53
I
ИодИод
126,90
5s2 5p5
2,66
Черно-серые кристаллы
t°пл=114°C
t°кип=184°C
54
Xe
КсенонКсенон
131,29
5s2 5p6
2,6
Бесцветный газ
t°пл=-112°C
t°кип=-107°C
55
Cs
ЦезийЦезий
132,91
6s1
0,79
Мягкий серебристо-желтый металл
t°пл=28°C
t°кип=690°C
56
Ba
БарийБарий
137,33
6s2
0,89
Серебристо-белый металл
t°пл=725°C
t°кип=1640°C
57
La
ЛантанЛантан
138,91
5d1 6s2
1,1
Серебристый металл
t°пл=920°C
t°кип=3454°C
58
Ce
ЦерийЦерий
140,12
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=798°C
t°кип=3257°C
59
Pr
ПразеодимПразеодим
140,91
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=931°C
t°кип=3212°C
60
Nd
НеодимНеодим
144,24
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=1010°C
t°кип=3127°C
61
Pm
ПрометийПрометий
146,92
f-элемент
Светло-серый радиоактивный металл
t°пл=1080°C
t°кип=2730°C
62
Sm
СамарийСамарий
150,36
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=1072°C
t°кип=1778°C
63
Eu
ЕвропийЕвропий
151,96
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=822°C
t°кип=1597°C
64
Gd
ГадолинийГадолиний
157,25
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=1311°C
t°кип=3233°C
65
Tb
ТербийТербий
158,93
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=1360°C
t°кип=3041°C
66
Dy
ДиспрозийДиспрозий
162,50
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=1409°C
t°кип=2335°C
67
Ho
ГольмийГольмий
164,93
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=1470°C
t°кип=2720°C
68
Er
ЭрбийЭрбий
167,26
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=1522°C
t°кип=2510°C
69
Tm
ТулийТулий
168,93
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=1545°C
t°кип=1727°C
70
Yb
ИттербийИттербий
173,04
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=824°C
t°кип=1193°C
71
Lu
ЛютецийЛютеций
174,96
f-элемент
Серебристый металл
t°пл=1656°C
t°кип=3315°C
72
Hf
ГафнийГафний
178,49
5d2 6s2
Серебристый металл
t°пл=2150°C
t°кип=5400°C
73
Ta
ТанталТантал
180,95
5d3 6s2
Серый металл
t°пл=2996°C
t°кип=5425°C
74
W
ВольфрамВольфрам
183,84
5d4 6s2
2,36
Серый металл
t°пл=3407°C
t°кип=5927°C
75
Re
РенийРений
186,21
5d5 6s2
Серебристо-белый металл
t°пл=3180°C
t°кип=5873°C
76
Os
ОсмийОсмий
190,23
5d6 6s2
Серебристый металл с голубоватым оттенком
t°пл=3045°C
t°кип=5027°C
77
Ir
ИридийИридий
192,22
5d7 6s2
Серебристый металл
t°пл=2410°C
t°кип=4130°C
78
Pt
ПлатинаПлатина
195,08
5d9 6s1
2,28
Мягкий серебристо-белый металл
t°пл=1772°C
t°кип=3827°C
79
Au
ЗолотоЗолото
196,97
5d10 6s1
2,54
Мягкий блестящий желтый металл
t°пл=1064°C
t°кип=2940°C
80
Hg
РтутьРтуть
200,59
5d10 6s2
2,0
Жидкий серебристо-белый металл
t°пл=-39°C
t°кип=357°C
81
Tl
ТаллийТаллий
204,38
6s2 6p1
Серебристый металл
t°пл=304°C
t°кип=1457°C
82
Pb
СвинецСвинец
207,2
6s2 6p2
2,33
Серый металл с синеватым оттенком
t°пл=328°C
t°кип=1740°C
83
Bi
ВисмутВисмут
208,98
6s2 6p3
Блестящий серебристый металл
t°пл=271°C
t°кип=1560°C
84
Po
ПолонийПолоний
208,98
6s2 6p4
Мягкий серебристо-белый металл
t°пл=254°C
t°кип=962°C
85
At
АстатАстат
209,98
6s2 6p5
2,2
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
t°пл=302°C
t°кип=337°C
86
Rn
РадонРадон
222,02
6s2 6p6
2,2
Радиоактивный газ
t°пл=-71°C
t°кип=-62°C
87
Fr
ФранцийФранций
223,02
7s1
0,7
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
t°пл=27°C
t°кип=677°C
88
Ra
РадийРадий
226,03
7s2
0,9
Серебристо-белый радиоактивный металл
t°пл=700°C
t°кип=1140°C
89
Ac
АктинийАктиний
227,03
6d1 7s2
1,1
Серебристо-белый радиоактивный металл
t°пл=1047°C
t°кип=3197°C
90
Th
ТорийТорий
232,04
f-элемент
Серый мягкий металл
91
Pa
ПротактинийПротактиний
231,04
f-элемент
Серебристо-белый радиоактивный металл
92
U
УранУран
238,03
f-элемент
1,38
Серебристо-белый металл
t°пл=1132°C
t°кип=3818°C
93
Np
НептунийНептуний
237,05
f-элемент
Серебристо-белый радиоактивный металл
94
Pu
ПлутонийПлутоний
244,06
f-элемент
Серебристо-белый радиоактивный металл
95
Am
АмерицийАмериций
243,06
f-элемент
Серебристо-белый радиоактивный металл
96
Cm
КюрийКюрий
247,07
f-элемент
Серебристо-белый радиоактивный металл
97
Bk
БерклийБерклий
247,07
f-элемент
Серебристо-белый радиоактивный металл
98
Cf
КалифорнийКалифорний
251,08
f-элемент
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
99
Es
ЭйнштейнийЭйнштейний
252,08
f-элемент
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
100
Fm
ФермийФермий
257,10
f-элемент
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
101
Md
МенделевийМенделевий
258,10
f-элемент
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
102
No
НобелийНобелий
259,10
f-элемент
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
103
Lr
ЛоуренсийЛоуренсий
266
f-элемент
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
104
Rf
РезерфордийРезерфордий
267
6d2 7s2
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
105
Db
ДубнийДубний
268
6d3 7s2
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
106
Sg
СиборгийСиборгий
269
6d4 7s2
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
107
Bh
БорийБорий
270
6d5 7s2
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
108
Hs
ХассийХассий
277
6d6 7s2
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
109
Mt
МейтнерийМейтнерий
278
6d7 7s2
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
110
Ds
ДармштадтийДармштадтий
281
6d9 7s1
Нестабильный элемент, отсутствует в природе
Металлы
Неметаллы
Щелочные
Щелоч-зем
Благородные
Галогены
Халькогены
Полуметаллы
s-элементы
p-элементы
d-элементы
f-элементы
Наведите курсор на ячейку элемента, чтобы получить его краткое описание.
Чтобы получить подробное описание элемента, кликните по его названию.
3.9: Энергия химических реакций
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
17002
Сюзанна Ваким и Мандип Грюал
Колледж Бьютт
Медленное горение
Эти старые железные цепи выделяют небольшое количество тепла при ржавчине. Ржавление железа — это химический процесс. Это происходит, когда железо и кислород вступают в химическую реакцию, похожую на горение или горение. Химическая реакция, которая происходит, когда что-то горит, очевидно, выделяет энергию. Вы можете чувствовать жар, и вы можете увидеть свет пламени. Ржавление железа — гораздо более медленный процесс, но он все же выделяет энергию. Просто он высвобождает энергию так медленно, что вы не можете обнаружить изменение температуры.
Рисунок \(\PageIndex{1}\): Ржавая цепь
Что такое химическая реакция?
химическая реакция — это процесс, в ходе которого одни химические вещества превращаются в другие. Вещество, которое начинает химическую реакцию, называется реагентом , , а вещество, образующееся в результате химической реакции, называется продуктом . В ходе реакции реагенты расходуются на создание продуктов.
Другим примером химической реакции является горение газообразного метана, показанное на рисунке \(\PageIndex{2}\). В этой химической реакции реагентами являются метан (Ch5) и кислород (O2), а продуктами являются углекислый газ (CO2) и вода (h3O). Как показывает этот пример, химическая реакция включает разрыв и образование химических связей. Химические связи – это силы, удерживающие вместе атомы молекулы. Связи возникают, когда атомы разделяют электроны. Например, при горении метана разрываются связи внутри молекул метана и кислорода, а в молекулах углекислого газа и воды образуются новые связи.
Рисунок \(\PageIndex{2}\): Пламя от горения метана
Химические уравнения
Химические реакции могут быть представлены химическими уравнениями. Химическое уравнение — это символический способ показать, что происходит во время химической реакции. Например, горение метана можно представить химическим уравнением:
\[\ce{CH_4 + 2O_2 \rightarrow CO_2 + 2 H_2O}\]
Стрелка в химическом уравнении отделяет реагенты от продуктов и показывает направление, в котором протекает реакция. Если бы реакция могла происходить и в противоположном направлении, использовались бы две стрелки, указывающие в противоположных направлениях. Цифра 2 перед О 2 и H 2 O показывает, что в реакции участвуют две молекулы кислорода и две молекулы воды. Если задействована только одна молекула, перед химическим символом не ставится число.
Роль энергии в химических реакциях
Ржавление или горение вещества являются типичными примерами химических изменений. Химические изменения включают химические реакции, в которых некоторые вещества, называемые реагентами, изменяются на молекулярном уровне с образованием новых веществ, называемых продуктами. Все химические реакции требуют энергии. Однако не все химические реакции выделяют энергию, как при ржавчине и горении. В некоторых химических реакциях энергия поглощается, а не выделяется.
Экзергонические реакции
Химическая реакция, которая высвобождает энергию, называется экзергонической реакцией . Этот тип реакции может быть представлен общим химическим уравнением:
Помимо ржавчины и горения, примеры экзотермических реакций включают соединение хлора с натрием с образованием поваренной соли. При разложении органического вещества также выделяется энергия из-за экзергонических реакций. Иногда холодным утром из-за этих химических реакций из компостной кучи поднимается пар (см. рис. \(\PageIndex{3}\)). Экзергонические химические реакции происходят и в клетках живых существ. В химическом процессе, похожем на горение, называемом клеточным дыханием, сахарная глюкоза «сгорает», чтобы обеспечить клетки энергией.
Рисунок \(\PageIndex{3}\): Эта компостная куча дымится, потому что она намного теплее, чем холодный воздух вокруг нее. Тепло исходит от всех экзотермических химических реакций, происходящих внутри компоста по мере его разложения.
Эндергонические реакции
Химическая реакция, которая поглощает энергию, называется эндергонической реакцией . Этот тип реакции также может быть представлен общим химическим уравнением:
\[\mathrm{Реагенты + Энергия \rightarrow Продукты}\]
Использовали ли вы когда-нибудь химический холодный компресс, как на картинке ниже? Пачка остывает из-за эндергонической реакции. Когда трубка внутри упаковки разрывается, выделяется химическое вещество, которое вступает в реакцию с водой внутри упаковки. Эта реакция поглощает тепловую энергию и быстро охлаждает содержимое упаковки.
Рисунок \(\PageIndex{4}\): Этот пакет охлаждается из-за эндергонической реакции
Многие другие химические процессы включают эндергонические реакции. Например, в большинстве случаев приготовления пищи и выпечки используется энергия для проведения химических реакций. Вы не можете испечь пирог или сварить яйцо без добавления тепловой энергии. Возможно, наиболее важные эндергонические реакции происходят во время фотосинтеза. Когда растения производят сахар путем фотосинтеза, они потребляют световую энергию для обеспечения необходимых эндергонических реакций. Сахар, который они производят, обеспечивает растения и практически все другие живые существа глюкозой для клеточного дыхания.
Энергия активации
Для запуска всех химических реакций требуется энергия. Даже реакции, которые высвобождают энергию, нуждаются в энергии, чтобы начаться. Энергия, необходимая для начала химической реакции, называется , энергия активации . Энергия активации подобна толчку, который нужен ребенку, чтобы начать спускаться с горки на игровой площадке. Толчок дает ребенку достаточно энергии, чтобы начать двигаться, но как только он начинает двигаться, он продолжает двигаться, и его снова не подталкивают. Энергия активации показана на рисунке \(\PageIndex{5}\).
Почему для запуска всех химических реакций требуется энергия? Чтобы началась реакция, молекулы реагентов должны столкнуться друг с другом, поэтому они должны двигаться, а движение требует энергии. Когда молекулы реагентов сталкиваются, они могут отталкиваться друг от друга из-за межмолекулярных сил, раздвигающих их. Преодоление этих сил, чтобы молекулы могли собраться вместе и вступить в реакцию, также требует энергии.
Рисунок \(\PageIndex{5}\): На этой диаграмме энергии активации реагенты показаны слева, а продукты справа. Обратите внимание, что реагенты имеют более высокий энергетический уровень, чем продукты; так что эта реакция высвобождает энергию в целом. Но для запуска реакции требуется энергия — это энергия активации реакции.
Обзор
Что такое химическая реакция?
Определите реагенты и продукты химической реакции.
Перечислите три примера обычных изменений, связанных с химическими реакциями.
Дайте определение химической связи.
Что такое химическое уравнение? Приведите пример.
Наши клетки используют глюкозу (C 6 H 12 O 6 ) для получения энергии в ходе химической реакции, называемой клеточным дыханием. В этой реакции шесть молекул кислорода (O 2 ) реагируют с одной молекулой глюкозы. Ответьте на следующие вопросы об этой реакции.
Сколько атомов кислорода содержится в одной молекуле глюкозы?
Напишите, как будет выглядеть реагентная часть этого уравнения.
Сколько всего атомов кислорода содержится в реагентах? Объясните, как вы рассчитали ответ.
Сколько всего атомов кислорода содержится в продуктах? Можно ли ответить на этот вопрос, не зная, что это за продукты? Почему или почему нет?
Ответьте на следующие вопросы относительно уравнения, которое вы видели выше: CH 4 + 2O 2 → CO 2 + 2H 2 O
Может ли диоксид углерода (CO 2 ) превратиться в метан (CH 4 ) и кислород (O 2 ) в этой реакции? Почему или почему нет?
Сколько молекул двуокиси углерода (CO 2 ) образуется в этой реакции?
Является ли превращение жидкой воды в водяной пар химической реакцией? Почему или почему нет
Почему рвутся связи в реагентах во время химической реакции?
Сравните эндергонические и экзергонические химические реакции. Приведите пример каждого.
Определить энергию активации.
Объясните, почему для всех химических реакций требуется энергия активации.
Тепло – это форма ____________.
В какой реакции происходит подвод тепла к реагентам?
В какой реакции выделяется тепло?
Если бы к эндотермической реакции не добавлялась тепловая энергия, происходила бы эта реакция? Почему или почему нет?
Если бы к экзотермической реакции не добавлялась тепловая энергия, происходила бы эта реакция? Почему или почему нет?
Объясните, почему химический охлаждающий компресс кажется холодным при активации.
Объясните, почему клеточное дыхание и фотосинтез «противоположны» друг другу.
Объясните, как солнце косвенно дает энергию нашим клеткам.
Принадлежности
Цепочка от Daplaza, лицензия CC BY-SA 3.0 через Wikimedia Commons
Горелка газовой плиты Blue Flame от Federico Cardoner, лицензия CC BY 2.0 через Flickr
Пропаривание компоста от Lucabon, CC BY-SA 4.0 через Wikimedia Commons
Cooler pack от Julie Magro, лицензия CC BY 2. 0 через Flickr
Энергия активации от Ханы Завадской для лицензии CK-12 CC BY-NC 3.0
Текст адаптирован из книги «Биология человека» по лицензии CK-12, лицензия CC BY-NC 3.0
Эта страница под названием 3.9: Энергия в химических реакциях распространяется под лицензией CK-12 и была создана, изменена и/или курирована Сюзанной Ваким и Мандипом Грюалом с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts. ; подробная история редактирования доступна по запросу.
Теплоты, свободные энергии и константы равновесия некоторых реакций с участием O2, h3, h3O, C, CO, CO2 и Ch5
%PDF-1.4
%
298 0 объект
>
эндообъект
293 0 объект
>поток
application/pdf
Журнал исследований Национального института стандартов и технологий является публикацией правительства США. Документы находятся в общественном достоянии и не защищены авторским правом в США. Тем не менее, обратите особое внимание на отдельные работы, чтобы убедиться, что не указаны ограничения авторского права. Для отдельных произведений может потребоваться получение других разрешений от первоначального правообладателя.
Теплота, свободная энергия и константы равновесия некоторых реакций с участием O2, h3, h3O, C, CO, CO2 и Ch5
convertuuid:28acb495-e01f-456b-9b17-c9fee11a5c9cconverted to PDF/A-1bpdfaPilot2012-04-16T15:12:49-04:00
False1B
http://ns.adobe.com/pdf/1.3/pdfAdobe PDF Schema
internalОбъект имени, указывающий, был ли документ изменен для включения информации треппингаTrappedText
http://ns.adobe.com/xap/1.0/mm/xmpMMXMP Media Management
внутренний идентификатор на основе UUID для конкретного воплощения документаInstanceIDURI
internalОбщий идентификатор для всех версий и представлений документа. OriginalDocumentIDURI
http://www.aiim.org/pdfa/ns/id/pdfaidPDF/A ID Schema
internalPart of PDF/A standardpartInteger
внутреннее изменение стандарта PDF/AamdText
внутренний уровень соответствия стандарту PDF/A text
конечный поток
эндообъект
243 0 объект
>
эндообъект
294 0 объект
[>]
эндообъект
288 0 объект
>
эндообъект
285 0 объект
>
эндообъект
286 0 объект
>
эндообъект
287 0 объект
>
эндообъект
289 0 объект
>
эндообъект
290 0 объект
>
эндообъект
291 0 объект
>
эндообъект
292 0 объект
>
эндообъект
99 0 объект
>/ProcSet[/PDF/Text/ImageB]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>>
эндообъект
106 0 объект
>/ProcSet[/PDF/Text/ImageB]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>>
эндообъект
113 0 объект
>/ProcSet[/PDF/Text/ImageB]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>>
эндообъект
120 0 объект
>/ProcSet[/PDF/Text/ImageB]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>>
эндообъект
126 0 объект
>/ProcSet[/PDF/Text/ImageB]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>>
эндообъект
127 0 объект
[128 0 Р 1290 Р 130 0 Р]
эндообъект
132 0 объект
>поток
Влияние O2 и Ch5 на присутствие и активность местного метанотрофного сообщества в почве рисовых полей
. 2000 г., декабрь; 2(6):666-79.
doi: 10.1046/j.1462-2920.2000.00149.x.
Т Хенкель 1 , П. Рослев, Р. Конрад
принадлежность
1 Макс-Планк-Институт наземной микробиологии, Марбург, Германия.
PMID: 11214799
DOI:
10.1046/j.1462-2920.2000.00149.x
T Хенкель и соавт.
Окружающая среда микробиол.
2000 9 декабря0034
. 2000 г., декабрь; 2(6):666-79.
doi: 10. 1046/j.1462-2920.2000.00149.x.
Авторы
Т Хенкель 1 , П. Рослев, Р. Конрад
принадлежность
1 Макс-Планк-Институт наземной микробиологии, Марбург, Германия.
PMID: 11214799
DOI:
10.1046/j.1462-2920.2000.00149.x
Абстрактный
Активность и распространение метанотрофов в почве зависят от наличия Х5 и О2. Поэтому мы исследовали активность и структуру метанотрофного сообщества в почве рисового поля при четырех факторных сочетаниях высоких и низких концентраций Х5 и О2. Структура метанотрофной популяции была определена с помощью денатурирующего градиентного гель-электрофореза (DGGE) с использованием различных наборов праймеров для ПЦР, нацеленных на ген 16S рРНК и два функциональных гена, кодирующих ключевые ферменты метанотрофов, т.е. ). Изменения биомассы метанотрофных бактерий типа I и II в рисовой почве определяли путем анализа биомаркеров жирных кислот, связанных с фосфолипидами и эфирами (PLFA). Относительный вклад метанотрофов I и II типов в измеренную метанокислительную активность определяли путем мечения образцов почвы 14Ch5 с последующим анализом [14C]-PLFA. Окисление Ch5 подавлялось высоким содержанием O2 (20,5%) и усиливалось низким содержанием O2 (1%). В зависимости от соотношения смешивания Ch5 и O2, различные метанотрофные сообщества развивались с более высоким разнообразием при низкой, чем при высокой концентрации Ch5, что было выявлено методом PCR-DGGE. Однако преобладания популяций типа I или II не было обнаружено. Отпечатки пальцев [14C]-PLFA, с другой стороны, показали, что активность окисления Ch5 преобладала у метанотрофов типа I в инкубациях с низкими соотношениями смешивания Ch5 (1000 p. p.m.v.) и во время инициации потребления Ch5 независимо от O2 или соотношения смешивания Ch5. При высоких соотношениях смеси метана (10 000 частей на миллион по объему) метанотрофы типа I и II в равной степени вносили вклад в измеренный метаболизм Ch5. В совокупности метанотрофы I типа реагировали быстро и с выраженными сдвигами в структуре популяции и доминировали в активности на всех четырех газовых смесях. С другой стороны, метанотрофы типа II, хотя, по-видимому, более многочисленны, всегда присутствуют и демонстрируют в значительной степени стабильную структуру популяции, становятся активными позже и вносят свой вклад в активность окисления Ch5, главным образом, при высоких соотношениях смешивания Ch5.
Похожие статьи
Разнообразие гена метанмонооксигеназы твердых частиц в метанотрофных образцах из разных почв рисовых полей в Китае и на Филиппинах.
Хоффманн Т. , Хорц Х.П., Кемниц Д., Конрад Р.
Хоффманн Т. и соавт.
Сист Appl Microbiol. 2002 авг; 25 (2): 267-74. дои: 10.1078/0723-2020-00104.
Сист Appl Microbiol. 2002.
PMID: 12353882
Применение зондирования стабильных изотопов фосфолипидных жирных кислот и рРНК на китайском рисовом поле для изучения активности и состава метанотрофных бактериальных сообществ in situ.
Цю Кью, Нолл М., Абрахам В.Р., Лу Ю., Конрад Р.
Цю Кью и др.
ISME J. 2008 Jun;2(6):602-14. doi: 10.1038/ismej.2008.34. Epub 2008 3 апр.
ИСМЕ Дж. 2008.
PMID: 18385771
Численность и активность некультивируемых метанотрофных бактерий, участвующих в потреблении атмосферного метана в двух лесных почвах.
Колб С., Книф С., Данфилд П.Ф., Конрад Р. Колб С. и др.
Окружающая среда микробиол. 2005 г., август 7(8):1150-61. doi: 10.1111/j.1462-2920.2005.00791.x.
Окружающая среда микробиол. 2005.
PMID: 16011752
Почвенные микроорганизмы как регуляторы атмосферных малых газов (h3, CO, Ch5, OCS, N2O, NO).
Конрад Р.
Конрад Р.
Microbiol Rev. 1996 Dec;60(4):609-40. doi: 10.1128/мр.60.4.609-640.1996.
Microbiol Rev. 1996.
PMID: 8987358
Бесплатная статья ЧВК.
Обзор.
Физиология, биохимия и специфические ингибиторы окисления Ch5, Nh5+ и СО метанотрофами и нитрификаторами.
Бедар С, Ноулз Р.
Бедар С и др.
Microbiol Rev. 1989 Mar; 53(1):68-84. дои: 10.1128/мр.53.1.68-84.1989.
Microbiol Rev. 1989.
PMID: 2496288
Бесплатная статья ЧВК. Обзор.
Посмотреть все похожие статьи
Цитируется
Вариации концентрации и изотопного состава углерода биомаркеров метанотрофов в осоковых торфяниках по градиенту высот в горах Чанбайшань, Китай.
Чжао М., Ван М., Чжао И., Цзян М., Ван Г.
Чжао М. и др.
Фронт микробиол. 2022 18 мая; 13:892430. doi: 10.3389/fmicb.2022.892430. Электронная коллекция 2022.
Фронт микробиол. 2022.
PMID: 35663857
Бесплатная статья ЧВК.
Филогения и метаболический потенциал метанотрофной линии MO3 у Beijerinckiaceae из рисовой почвы посредством реконструкции генома на основе метагенома.
Цай Ю, Юн Дж, Цзя З.
Кай Ю и др.
Микроорганизмы. 2022 1 мая; 10 (5): 955. doi: 10. 3390/microorganisms10050955.
Микроорганизмы. 2022.
PMID: 35630399
Бесплатная статья ЧВК.
Множественные группы метанотрофных бактерий опосредуют окисление метана в бескислородных отложениях озер.
Су Г., Цопфи Дж., Ниманн Х., Леманн М.Ф.
Су Г и др.
Фронт микробиол. 2022 9 мая; 13:864630. doi: 10.3389/fmicb.2022.864630. Электронная коллекция 2022.
Фронт микробиол. 2022.
PMID: 35615497
Бесплатная статья ЧВК.
Генерация кислорода посредством расщепления воды новым биогенным соединением, связывающим ионы металлов.
Дершвиц П., Бандоу Н.Л., Ян Дж., Семрау Дж.Д., МакЭллистрем М.Т., Хайнце Р.А., Фонсека М., Ледесма Дж.К., Дженнетт Дж.Р., ДиСпирито А.М., Атвал Н.С., Харгроув М.С., Бобик Т.А., Зишка Х., ДиСпирито А. А.
Дершвиц П. и соавт.
Appl Environ Microbiol. 2021 25 июня; 87 (14): e0028621. doi: 10.1128/AEM.00286-21. Epub 2021 25 июня.
Appl Environ Microbiol. 2021.
PMID: 33962982
Бесплатная статья ЧВК.
Влияние напряжения кислорода на микробное сообщество и функциональную экспрессию генов аэробного окисления метана в сочетании с системами денитрификации.
Chu YX, Ma RC, Wang J, Zhu JT, Kang YR, He R.
Чу YX и др.
Environ Sci Pollut Res Int. 2020 апр;27(11):12280-12292. doi: 10.1007/s11356-020-07767-8. Epub 2020 28 января.
Environ Sci Pollut Res Int. 2020.
PMID: 31993906
Просмотреть все статьи «Цитируется по»
Типы публикаций
термины MeSH
вещества
Какие продукты в Ch5 O2 Ch5 CO2 h3O?
Сгорание метана или октана экзотермическое; он высвобождает энергию. Ch5 + 2 O2 → CO2 + 2 h3O + энергия Энергии продуктов ниже, чем энергии реагентов.
Что представляют собой продукты Adobe? Adobe Acrobat .
Какие продукты Ch5 O2 CO2 h3O?
Реакция называется реакцией горения. Когда эта реакция имеет место, результатом является 90 488 углекислого газа (CO2), вода (h3O) 90 489 и большое количество энергии. При сжигании метана выделяется только углекислый газ и вода.
Что является продуктом Ch5 и O2?
Это также одна из многих окислительно-восстановительных реакций. Чтобы распознать горение углеводорода, должно быть соединение, в котором есть только углерод и водород или только углерод, водород и кислород. Он также будет иметь O2 в качестве другого реагента. Продуктами будут углекислого газа и воды.
Полное сгорание углеводородов (без примесей) в присутствии достаточного количества кислорода дает водяной пар и двуокись углерода .
Что такое Ch5 в химии?
Метан (Ch5) Метан – это бесцветный легковоспламеняющийся газ без запаха, который является простейшим углеводородом и основным компонентом природного газа. … Метан присутствует в атмосфере Земли в низких концентрациях и действует как парниковый газ.
Что восстанавливается в реакции ниже Ch5 O2 CO2 h3O?
Ch5 + 2O2 -> CO2 + 2ч30. Это окислительно-восстановительная реакция? … В этой реакции на стороне реагента углерод теряет водород с образованием двуокиси углерода . Итак, здесь углерод окисляется, а кислород получает водород и восстанавливается.
Является ли Ch5 h30 эндотермическим?
При более высокой температуре первоначально образовавшиеся CO2 и h3O превращались в CO и h3 в результате реакций Ch5+h3O и Ch5+CO2, которые являются эндотермическими реакциями .
Сколько молей CO2 и h3O образуется?
1 моль молекул C12h32O11 дает 12 молей молекул CO2 и 11 молей молекул h3O.
Какой продукт образуется в результате химического превращения?
Физическое изменение, такое как изменение состояния или растворение, не создает новую субстанцию, но химическое изменение создает. В химической реакции взаимодействующие друг с другом атомы и молекулы называются реагентами. В химической реакции атомы и молекулы, образующиеся в результате реакции, называются продуктами.
Что является продуктом сгорания водорода?
В пламени чистого газообразного водорода, горящего на воздухе, водород (h3) реагирует с кислородом (O2) с образованием воды (h3O) и выделяет энергию. При сжигании водорода вместо чистого кислорода, как это обычно бывает, в атмосферном воздухе вместе с водяным паром могут образовываться небольшие количества окислов азота.
Как реагенты превращаются в продукты в ходе химической реакции?
Реагенты и продукты химической реакции содержат одни и те же атомы, но в ходе реакции они перегруппировываются. В результате атомов попадают в различные комбинации в продукты . Это делает продукты новыми веществами, химически отличными от реагентов.
Какой продукт образуется при взаимодействии диоксида углерода с водой?
Углекислый газ растворяется в воде и медленно реагирует с водой с образованием угольной кислоты .
Какие продукты образуются во всех реакциях горения в модели 2?
Все реакции горения включают соединение углеводорода с кислородом с образованием воды и двуокиси углерода .
Ответы на вопросы: Что такое продукты реакции горения?
Реакция горения связана с газообразным кислородом, и продуктом обычно является двуокись углерода и вода . Реакции горения также могут высвобождать энергию в виде тепла или света.
Какие побочные продукты сжигания метана?
Когда метан горит в воздухе, он имеет голубое пламя. При достаточном количестве кислорода метан сгорает с выделением углекислого газа (CO2) и воды (h3O) . Когда он подвергается сгоранию, он выделяет большое количество тепла, что делает его очень полезным в качестве источника топлива.
Какие 3 молекулы являются продуктами сгорания метана?
Метан соединяется с 2 кислородом с образованием двуокиси углерода, воды и тепла .
Какие продукты фотосинтеза?
Фотосинтез превращает углекислый газ и воду в кислород и глюкозу. Глюкоза используется растением в качестве пищи, а кислород является побочным продуктом.
Какие продукты CO2 h3O h3CO3?
Если снять крышку с бутылки с газированным безалкогольным напитком, угольная кислота высвободит углекислый газ: h3CO3 (водн.) → h3O (л) + CO2 (г) .
C6h22O6 — глюкоза, сахар. Если он полностью сгорит, единственными двумя продуктами будут углекислый газ и вода . Кислород также будет присутствовать из атмосферы. Ниже показано несбалансированное уравнение.
Является ли CO2 продуктом или реагентом?
Кислород и глюкоза являются реагентами. Реагенты – это вещества, изменяющиеся в ходе химической реакции. Углекислый газ и вода являются продуктами .
Что такое C6h22O6 6O2 → 6CO2 6h3O?
C6h22O6 + 6O2 -> 6CO2 + 6h3O. Выход 2755 кДж/моль глюкозы . Обратная реакция — соединение углекислого газа и воды с образованием сахара — называется фотосинтезом. Фотосинтез — это процесс, ответственный за хранение всей энергии, которую мы извлекаем из ископаемого топлива, сельскохозяйственных культур и всей нашей пищи.
Что является восстановителем в Ch5 2O2 → CO2 2h3O?
Окислителем здесь является кислород (O2). Кислород окисляет монооксид углерода (CO) до диоксида углерода (CO2), который является высшим оксидом углерода. Таким образом, кислород является окислителем и окись углерода восстановитель в этой реакции.
Ch5 окисляется или восстанавливается?
Наиболее восстановленная форма углерода – Ch5, наиболее окисленная – CO2.
Является ли Ch5 восстановителем?
При сгорании метана молекулярный кислород является окислителем, а метан — восстановителем . … При каталитическом гидрировании пропилена молекулярный водород является восстановителем, а пропилен – окислителем.
Является ли O2 реагентом или продуктом?
Они указывают количество каждого химического вещества, которое вступает в реакцию или образуется. Метан и кислород (кислород — двухатомный — двухатомный — элемент) — реагенты , а углекислый газ и вода — продукты.
Что такое реагент в химическом уравнении?
Вещества слева от стрелки в химическом уравнении называются реагентами. Реагент — это вещество, присутствующее в начале химической реакции . Вещества справа от стрелки называются продуктами.
Как найти моли произведенного CO2?
Рассчитайте количество молей CO2 по формуле n=PV/RT , где P — давление, полученное на этапе 3, V — объем, полученный на этапе 2, T — температура, полученная на этапе 1, а R — константа пропорциональности. равно 0,0821 л атм/К моль.
Сколько молей CO2 образуется?
Если молярное отношение равно 1 к 2 (где 1 моль кислорода реагирует с реагентом и дает 2 моля диоксида углерода), то 2 x 0,2732 моля 9будет произведено 0489 углекислого газа.
Сколько молей CO2 образуется из 2,5 молей O2?
Таким образом, получается 1,5 моль углекислого газа.
Какой образуется новый продукт?
Ответ: Химические изменения заставляют вещество превращаться в полностью вещество с новой химической формулой. Химические изменения также известны как химические реакции. «Ингредиенты» реакции называются реагентами, а конечные результаты называются продуктами 9.0489 .
Какие продукты химической реакции?
Химические реакции происходят при образовании или разрыве химических связей между атомами. Вещества, вступающие в химическую реакцию, называются реагентами, а вещества, образующиеся в конце реакции , называются продуктами.
Как образуются продукты?
Продукты – вещества, образующиеся в результате химических реакций . В ходе химической реакции реагенты превращаются в продукты после прохождения высокоэнергетического переходного состояния. Этот процесс приводит к потреблению реагентов. … Материалы реактивны, а реагенты перестраиваются во время химической реакции.
Wolfram|Alpha Примеры: Химия
О-о! Wolfram|Alpha не работает без JavaScript.
Пожалуйста, включите JavaScript. Если вы не знаете, как это сделать, вы можете найти инструкции здесь. Как только вы это сделаете, обновите эту страницу, чтобы начать использовать Wolfram|Alpha.
Примеры для
Химия изучает материю, от отдельных атомов и ионов до больших биомолекул. С помощью Wolfram|Alpha вы можете исследовать данные о химических соединениях, реакциях, в которых они участвуют, растворимости и теории химических графов. Он также содержит информацию о химических количествах, преобразовании единиц измерения, расчетах молярности и стехиометрии. Используйте Wolfram|Alpha, чтобы ответить на вопросы по химии, будь то домашнее задание или просто любопытство.
Химические элементы
Используйте Wolfram|Alpha для изучения элементов периодической таблицы.
Найти количество элементов:
сколько элементов в таблице Менделеева
Получить информацию о химическом элементе:
углерод
Найти элементы, отвечающие заданным критериям:
10 самых плотных элементов
Начертить свойство класса элементов:
точки плавления щелочноземельных металловБольше примеровИоны
Узнайте о положительно и отрицательно заряженных ионах и их свойствах.
Получить информацию об ионе:
хрома(III)
Сравнить несколько ионов:
Nh5+, N-3, PO4-3
Сравнить ионы данного элемента:
ионы марганца
Найти конкретное значение свойства для класса ионов :
заряда многоатомных ионовБольше примеровХимические реакции
Используйте Wolfram|Alpha, чтобы сбалансировать химические уравнения, определить стехиометрию реакции и предсказать продукты.
Сбалансируйте химическое уравнение:
октан + O2 -> вода + CO2
Рассчитайте стехиометрию реакции:
0,2 моль Ch5 + O2 -> 7 мл h3O + CO2
Поиск химических реакций с использованием реагентов или продуктов:
водород + кислород -> нитратыДругие примерыХимия
Используйте Wolfram|Alpha для изучения химико-информатических свойств с помощью инвариантов графов, таких как индекс J Балабана или индекс Индекс Hosoya для дескрипторов QSAR, таких как количество доноров водорода или самая длинная цепь.
Найдите наибольшую общую подструктуру между двумя молекулами:
максимальная общая подструктура АТФ и кофеина
Найдите ароматические атомы:
какова ароматическая структура 4-метокситрифениламина
Найдите доноров и акцепторов водородных связей:
сколько акцепторов водородных связей в фуретидине
Вычислите набор топологических индексов для молекулы:
графические свойства L- 2-аминомасляная кислотаБольше примеровЯдерная химия
Исследуйте ядерную химию с помощью Wolfram|Alpha.
Напишите символ нуклида:
Какой символ нуклида у кислорода-14
Найдите номер нейтрона:
кальций-40 номер нейтрона
Рассчитать энергию связи:
энергия связи тантала-175
Исследовать источник элементов:
Откуда взялся вольфрам? Дополнительные примерыХимические соединения
Поиск химических веществ по названию, химической формуле или другому идентификатору.
Сравните различные органические химические вещества:
оксалилдигидразид и N,N-ди-N-бутилформамид
См. примеры липидов, включая глицерофосфолипиды, жирные кислоты и т. д.:
фосфатидилхолинДругие примерыХимические количества
Вычислите экстенсивные свойства химических веществ, которые зависят от количества присутствующего вещества, и преобразуйте количества в различные единицы.
Введите количества по массе:
500 мг нитрата серебра 12 фунтов 4-цианоиндола
Найдите количество молей из заданной массы:
2 кг гидрофосфата кальция в моли
Переведите количества в объемы: 930 атомов гелия в литрыДругие примерыХимическая термодинамика
Вычисление термодинамических свойств, таких как энтропия, теплоемкость или давление паров, для самых разных химических веществ.
Найти свойства вещества в заданной фазе:
газ триметиламин
Вычислить свойства при заданной температуре:
давление паров этанола при 300K
Выполнить расчеты по уравнению Аррениуса:
2,3-метано-5,6-дихлоринденДругие примерыКвантовая химия
Свяжите химические свойства с лежащей в основе квантово-механической природой атомов и молекул.
Соберите электронную конфигурацию:
Электронную конфигурацию никеля
Соберите орбитальную диаграмму основного состояния:
Орбитальную диаграмму железа
Найдите атомный радиус:
Каков атомный радиус S?
Подсчитайте количество валентных электронов:
Сколько валентных электронов в Bi?Еще примеры
GO Далее
Пошаговые растворы для химии
Связанные примеры
Изотопы
Life Sciences
Материалы
Молекулярная биология
Физика
Cnathum Physics
Связанная WOLFRAM668
3. 9007 Связанная WOLFRAM668
03.
: Связанная биология
. Хранилище данных: Химия
Химические растворы
Исследуйте свойства различных растворов, которые зависят от растворителя, растворенного вещества и концентрации.
Вычислить свойства химического раствора:
концентрированная уксусная кислота
Вычислите свойства количества раствора:
100 мл 1,5 молярного K2CO3 в ТГФ
Выполните расчеты титрования:
титрование сильной кислотой водаБольше примеровФункциональные группы
Исследуйте функциональные группы, такие как цианаты, пероксиды, алканы и галогениды.
Получить информацию о функциональной группе:
нитрил функциональная группа альдегидная группа
Получить информацию о защитной группе:
Эфир МОМ
Найдите поведение защитной группы в определенных условиях:
стабильность амида FMOC + цинкДругие примерыСвязи и орбитали
Исследуйте свойства электронных орбиталей и связей, которые они образуют. Найдите связи по составляющим их атомам, по типу связи или по исходному химическому веществу.
Получить сводную информацию о связях для химического вещества:
информация о связях цис-циклононеновой цепи какова энергия связи в ацетонитриле
Вычислить гибридизацию в соединении:
гибридизация триметиламина
Сравните гибридизацию в двух соединениях:
гибридизация тротила и бензолаБольше примеров
Исследование эволюции Pd-Pt, нанесенного на оксид церия, для сухого и влажного окисления метана
Исследование эволюции Pd-Pt, нанесенного на оксид церия, для сухого и мокрое окисление метана
Скачать PDF
Скачать PDF
Артикул
Открытый доступ
Опубликовано:
Нурия. Дж. Дивинс
ORCID: orcid.org/0000-0001-6010-5419 1,2,3 ,
Связь с природой том 13 , Номер статьи: 5080 (2022)
Процитировать эту статью
1600 доступов
27 Альтметрический
Сведения о показателях
Субъекты
Синтез катализаторов
Каталитические механизмы
Гетерогенный катализ
Abstract
Эффективная очистка выбросов метана на транспорте остается сложной задачей. Здесь мы исследуем палладиевые и платиновые моно- и биметаллические катализаторы на основе церия, синтезированные механическим измельчением и традиционной пропиткой для полного окисления метана в сухих и влажных условиях, воспроизводящие катализаторы, присутствующие в выхлопных газах транспортных средств, работающих на природном газе. Применяя набор синхротронных методов in situ (рентгеновская дифракция, рентгеновская абсорбция и фотоэлектронная спектроскопия при атмосферном давлении) вместе с просвечивающей электронной микроскопией, мы показываем, что метод синтеза сильно влияет на взаимодействие и структуру в наномасштабе. Наши результаты показывают, что компоненты размолотых катализаторов обладают более высокой способностью превращать металлический Pd в разновидности оксида Pd, сильно взаимодействующие с носителем, и достигать модулированного соотношения PdO/Pd, чем катализаторы, синтезированные традиционным способом. Мы демонстрируем, что уникальные структуры, получаемые при измельчении, являются ключевыми для каталитической активности и коррелируют с более высокой конверсией метана и более длительной стабильностью во влажном сырье.
Введение
Материалы на основе палладия-платины, отдельно или в сочетании с Rh, являются современными катализаторами для различных систем доочистки выхлопных газов мобильных источников 1,2,3,4 . Биметаллические составы, содержащие Pd и Pt, используются в транспортных средствах, работающих на природном газе (NGV), для сокращения выбросов несгоревшего метана 5,6,7 , который является мощным парниковым газом с потенциалом глобального потепления в 86 раз больше, чем у CO 2 на 20-летнем периоде и в 34 раза выше на 100-летнем горизонте 8 . Из-за экспоненциального роста числа автомобилей на природном газе за последние несколько лет, чему также способствовало увеличение числа транспортных средств, работающих на возобновляемом природном газе 9,10 , решение проблемы и сокращение выбросов метана в атмосферу стало вызывать все большую озабоченность, и оптимизация каталитическая система вызывает растущий интерес 7,11,12 . Добавление платины в катализаторы на основе Pd, которые широко признаны наиболее активными в окислении метана, доказало свою эффективность в повышении устойчивости катализатора к отравлению серой 13,14,15 и деактивация, вызванная большим содержанием пара в выхлопных газах 16,17,18,19 .
В последние несколько лет было предпринято много усилий для определения роли платины в активности и стабильности катализатора. Подавляющее большинство результатов было получено с использованием инструментов ex situ. Тем не менее, идентификация фактически работающих активных сайтов и понимание их эволюции требует методов in situ и operando 20,21 . В связи с этим с помощью рентгеновской абсорбционной спектроскопии тонкой структуры (XAFS) in situ было обнаружено, что окисление Pd является необходимым условием для CH 4 активность горения 22 . Улучшенная активность биметаллических Pd-Pt катализаторов во влажных условиях сопровождалась недостатком поверхностного кислорода, чего не происходило при сухом обедненном метаном сырье, где кислород отравлял Pt 23 . В условиях низкотемпературного сжигания обедненной смеси CH 4 также было обнаружено, что в то время как монометаллический Pd-катализатор полностью окислялся при температуре 473–773 K, катализатор Pd-Pt (отношение Pd:Pt 2:1) показал сосуществование Pd и PdO в том же диапазоне температур. Это указывало на то, что Pt способствовала образованию восстановленной фазы Pd, которая считалась менее активной, чем PdO, для горения метана 24 . С помощью XAFS in situ проследили эволюцию биметаллического катализатора PtPd, оценив его более высокую устойчивость к спеканию по сравнению с образцом, содержащим только Pd, благодаря образованию структуры ядро-оболочка 25 . Недавнее исследование с помощью рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии (AP-XPS) при давлении, близком к атмосферному, показало, что в бедных условиях Pd имеет тенденцию к полному окислению, что делает менее ясным вклад платины в каталитическую активность по сравнению с поведением в стехиометрические условия, где биметаллический катализатор показывает более низкую температуру зажигания, приписываемую сосуществованию Pd 2+ и Pd 0 , чему способствует присутствие Pt 26 . Ранее с помощью XPS in situ было определено, что поверхностная доля Pd 2+ зависит от содержания Pt 27 . Несмотря на некоторое кажущееся противоречие в результатах, которое, вероятно, связано с разными условиями эксперимента, соотношением Pd:Pt и содержанием кислорода, все эти работы сходятся во мнении о сильном влиянии платины на электронное состояние Pd и, следовательно, на каталитические свойства.
Все вышеупомянутые исследования in situ относятся к катализаторам Pd-Pt, нанесенным на оксид алюминия. Однако ключевым фактором, влияющим на активность катализаторов на основе Pd, является носитель, и среди протестированных оксидов CeO 9Известно, что 0058 2 играет решающую роль в повышении каталитической активности и стабильности при окислении метана 28 . Более того, подложка также оказывает большое влияние на перестройку биметаллических наночастиц, и для успешного отслеживания их реорганизации in situ требуются оперативные методы 21,29 . Кроме того, было продемонстрировано, что метод синтеза оказывает огромное влияние на каталитическую эффективность 30,31,32,33 . В связи с этим с помощью механохимического измельчения, которое является простым, экологически чистым (без использования растворителей) методом и легко внедряется в промышленность, повышена активность и стабильность PtPd/CeO 9Катализатор 0058 2 сравнивали с монометаллическим Pd/CeO 2 и с тем же образцом, приготовленным с помощью традиционной пропитки для начального увлажнения, испытанного при окислении обедненного метана во влажном состоянии 34 .
В этой работе мы исследуем серию моно- и биметаллических Pd и Pt CeO 2 катализаторов, полученных механическим измельчением с использованием набора методов in situ, включая синхротронную рентгеновскую дифракцию, XAFS и AP-XPS. и наблюдения с помощью просвечивающей электронной микроскопии высокого разрешения (HRTEM). Объединяя результаты этих методов, мы получаем фундаментальное представление о границе раздела металл-церий, влиянии добавления Pt на его эволюцию, структуре и поверхности катализаторов горения метана в соответствующих условиях газомоторного топлива, т. е. в присутствии пара и низкие температуры, условия, необходимые для соответствия будущим нормам. Исследования in situ и наблюдения HRTEM показывают наличие высокодинамичной структуры в механически синтезированных катализаторах с модулированным отношением Pd/PdO, претерпевающих отчетливую реорганизацию в условиях реакции, и мы в конечном итоге соотносим эту информацию с каталитическими характеристиками.
Результаты и обсуждение
Синтез и активация катализаторов
Механохимический синтез является простым, экологически чистым и легко масштабируемым методом, при котором для приготовления катализаторов не используются растворители 32 . Методом механического измельчения были синтезированы четыре катализатора (обозначены ММ): 1) монометаллический катализатор Pd-CeO 2 с концентрацией 1,5 мас.%; (2) монометаллический катализатор Pt-CeO 2 1,5 мас.%; (3) катализатор PtPd-CeO 2 , где 1,5 мас.% Pd сначала измельчали с CeO 2 , и затем его измельчали с 1,5 мас. % Pt; и (4) катализатор PdPt-CeO 2 , где порядок измельчения был обратным (1,5 % масс. Pt сначала размалывали с CeO 2 , а затем добавляли 1,5 % масс. Pd и впоследствии измельчали; обратите внимание на разницу в порядке измельчения). металлы в номенклатуре) 34 . Кроме того, катализатор PdPt/CeO 2 , приготовленный традиционной пропиткой по начальной влажности (обозначаемый как IWI), также был синтезирован в качестве эталонного материала (см. Методы), где совместно пропитывались Pd и Pt, и он был прокален при 1173 K.
Первоначально была проведена обработка старением в условиях сжигания сухого обедненного метана до максимальных температур выхлопа газовых двигателей 11 . Обработка состояла из цикла температурно-программируемого сжигания (TPC) до 1173 K (обозначается как обработка TPC1173) в сухой обедненной метановой смеси (0,5% CH 4 , 2% O 2 , сбалансированная по He, GHSV = 2 × 10 5 h −1 ). При 1173 K температуру выдерживали в течение 1 мин, а затем катализаторы охлаждали до комнатной температуры (КТ) (рис. S1a).
Эволюция кристаллической структуры при сухом сжигании метана
Кристаллическая структура образцов и их эволюция в условиях реакции (подробности см. в разделе «Методы») были исследованы методом SXRD in situ. В таблице S1 указан размер кристаллитов, полученный с помощью уравнения Шеррера. (1) для свежеприготовленных катализаторов и после обработки TPC1173.
Первоначально отслеживалась структурная реорганизация, происходившая во время обработки TPC1173. На рисунке 1 показаны дифрактограммы пяти катализаторов, исследованных в условиях ТФХ при комнатной температуре (свежие образцы), при 1173 K и при 443 K во время линейного охлаждения (см. рис. S2 для серии дифрактограмм и S3 для эволюции нормированная массовая доля при нагреве и охлаждении образца Pd-CeO 2 ММ). Свежие катализаторы ММ показывают только широкие пики, что указывает на присутствие небольших металлических наночастиц (НЧ) Pd и Pt (рис. 1а). PdO можно обнаружить только для катализатора PdPt/CeO 2 IWI, так как он уже прокален. Ясно, что во время линейного нагрева НЧ становятся больше и более кристаллическими (рис. 1b). Интересно, что фазы, образующиеся при 1173 K, зависят от метода синтеза, ММ по сравнению с ИВИ и порядка процесса измельчения. В областях металлических Pd и Pt размолотые биметаллические образцы показывают два пика, из которых более заметным является пик, соответствующий последнему добавленному в процессе измельчения металлу. Напротив, биметаллический катализатор IWI показывает один асимметричный пик. Во время линейного охлаждения фазы реорганизуются (рис. 1c и S2). При 443 K Pd-CeO 2 Катализатор MM демонстрирует наименее кристаллическую фазу Pd вместе с наибольшим вкладом PdO. С другой стороны, Pt-CeO 2 MM и биметаллические катализаторы демонстрируют более высокую степень кристалличности. Катализатор PdPt/CeO 2 IWI демонстрирует асимметричный пик, что, вероятно, указывает на образование сплава PdPt, поскольку положение этого пика находится между положениями Pd(111) и Pt(111), как и ожидалось для сплав. Асимметрия пика, вероятно, связана с некоторыми металлическими Pd и/или Pt, которые остаются сегрегированными. Что касается концентрации PdO, катализаторы MM содержат большее количество, чем IWI.
Рис. 1: Дифрактограммы, полученные в условиях ТФХ (CH 4 :O 2 :He = 0,5:2:97,5).
a При комнатной температуре, b 1173 K и c 443 K (во время охлаждения). Положение пиков, отмеченных *, смещено из-за температуры ( λ = 0,5157 Å). Механическое фрезерование ММ, пропитка IWI по начальной влажности.
Увеличить
Эволюция кристаллической структуры при влажном горении метана
После цикла TPC1173 была дозирована влажная обедненная метановая горючая смесь, в которой присутствовало 10 % водяного пара (0,5 % CH 4 , 2 % O 2 , 10 % H 2 O, остальное He). . Под влажной смесью образцы нагревались от 443 до 723 К (10 К мин -1 ), при этом температура выдерживалась в течение 2 ч для отслеживания эволюции фаз при работе СПГ. На рис. 2 показано изменение массовой доли, полученной в результате уточнения Ритвельда, в условиях влажного горения метана (серия дифрактограмм показана на рис. S4 и S5). Монометаллический Pd-CeO 9Катализатор 0058 2 MM показывает наибольшую долю PdO (около 95 мас.%) среди всех образцов, которая остается постоянной в течение 2 часов во влажных условиях (рис. 2а), и металлический Pd в качестве неосновной фазы. В монометаллическом Pt-CeO 2 MM обнаруживается только металлическая Pt и не наблюдаются намеки на оксиды Pt (рис. S6). Интересно, что в двух биметаллических размолотых образцах отчетливо видны разные фазы. В начале влажных экспериментов при 443 K PtPd-CeO 2 MM состоит в основном из металлического Pd и, в меньших количествах, из PdO, сплава PdPt и Pt (рис. 2b). В течение 2 часов в условиях влажной реакции при 723 К количество PdO монотонно увеличивалось за счет металлического Pd, что указывает на то, что присутствие влажной смеси постепенно окисляет металлический Pd с образованием PdO. И наоборот, биметаллический PdPt-CeO 9Катализатор 0058 2 MM изначально показывает более низкую массовую долю металлического Pd, чем PtPd-CeO 2 MM, и большую концентрацию Pt, при этом массовые доли PdO, Pd и Pt аналогичны (рис. 2c). Для этого катализатора окисление Pd в PdO происходит более резко, чем для PtPd-CeO 2 MM, и концентрация PdO увеличивается в меньшей степени с течением времени (TOS).
Рис. 2: Эволюция нормированной массовой доли фаз, полученных в результате очистки по Ритвельду, в условиях влажного окисления обедненного метана при различных температурах.
a – e Для указанных катализаторов. f Конверсия PtPd-CeO в метан 2 MM в режиме непрерывной работы при 723°K в течение 24 ч в условиях влажного обедненного метана (0,5% CH 4 , 2% O 2 , 10% H 2 О, остальное Не). Механическое фрезерование ММ, пропитка IWI по начальной влажности.
Изображение в полный размер
Дальнейшее исследование постепенного увеличения PdO для PtPd-CeO 2 MM, который был лучшим катализатором во влажной атмосфере среди рассмотренных 34 , катализатор PtPd-CeO 2 MM, обработанный в лаборатории в течение 24 часов под TOS во влажном состоянии при 723 K, был изучен в условиях in situ. Измерения на месте начинались с непосредственного дозирования влажной реакционной смеси при комнатной температуре и повышения температуры до 723 К (10 К мин 90 334 –1 90 335 ). Этот эксперимент также имитирует операцию старт-стоп рабочего цикла. Как видно на рис. 2д, на этой стадии реакции концентрация PdO сохраняет тенденцию к росту, а количество металлического Pd продолжает снижаться. Примечательно, что тест каталитической активности был проведен в течение 24 часов во влажных условиях в лаборатории, и была получена не только стабильная работа, но и было зарегистрировано устойчивое увеличение конверсии метана в течение 24 часов во влажных условиях по сравнению с TOS (рис. 2f). , демонстрируя, что измельченный катализатор не дезактивируется в присутствии пара. Это согласуется с каталитическими характеристиками, о которых сообщалось в нашей предыдущей работе, где образец, измельченный с металлическим Pd, а затем с металлическим Pt, проявлял одновременно улучшенную каталитическую активность и стабильность при длительном воздействии реакции 34 . Здесь анализ SXRD in situ дополнительно показывает, что увеличение конверсии метана происходит параллельно увеличению концентрации PdO, что позволяет сопоставить постепенное образование PdO с улучшением каталитических характеристик. Этот результат ранее также наблюдался для систем PtPd-оксид алюминия 22,35,36 . Однако в отношении этих образцов PtPd-церия следует подчеркнуть, что, согласно последним литературным данным, катализатор, проявляющий наибольшую активность и стабильность, т. е. PtPd-CeO 2 ММ, для которого отношение PdO/Pd становится близким к единице (рис. 2б) и остается таким (рис. 2д) во время ТОС, что ясно указывает на то, что не только увеличение фазы PdO, но и подходящее соотношение PdO/Pd необходимо для достижения активных и стабильных каталитических характеристик 37,38,39 . Это также подтверждается различными каталитическими характеристиками, достигаемыми PtPd-CeO 2 MM (наиболее активный и стабильный катализатор) и PdPt-CeO 2 MM, т.е. образцом с обратным порядком измельчения.
Наблюдаются очевидные различия между катализаторами IWI (рис. 2d) и катализаторами MM. Первоначально катализатор PdPt/CeO 2 IWI состоит в основном из металлического Pd и большей доли сплава PdPt, чем катализаторы MM. Что наиболее важно, для образца IWI количество металлического Pd становится выше с увеличением температуры в условиях влажной реакции, что является противоположной тенденцией, наблюдаемой для катализаторов MM.
Эволюция параметров решетки для пяти исследованных катализаторов представлена на рис. С7 и С8. Ни для одного из катализаторов искажение CeO 2 или решетки металлов, и можно было обнаружить только тепловое расширение из-за температуры.
Эволюция электронной структуры при сухом сжигании метана
Получить информацию о взаимодействии между Pd, Pt и Ce на наиболее активных и представительных катализаторах, а именно Pd-CeO 2 MM и PtPd-CeO 2 MM 34 , локальное электронное окружение и структура Pd K-края и Pt L 3 -края были исследованы методом XAS in situ в условиях работы NGV (см. Методы) и сравнивались с образцами IWI.
На рис. 3a, b показаны спектры рентгеновского поглощения Pd K-края (XANES) свежеприготовленного Pd-CeO 2 MM и PtPd-CeO 2 MM, соответственно, во время обработки TPC1173. . Первоначально свежий монометаллический образец состоит из смеси восстановленных и окисленных частиц Pd, которые постепенно окисляются по мере повышения температуры реакции и проявляют локальную структуру, подобную PdO, в соответствии с результатами SXRD, изложенными выше. Величина преобразования Фурье (FT) данных расширенной тонкой структуры рентгеновского поглощения (EXAFS) показана на рис. 3c, d. Они показывают сосуществование связей Pd-Pd от металлического Pd и связей Pd-O в свежих катализаторах и постепенное увеличение вклада связей Pd-O, параллельное уменьшению вклада Pd-Pd, при повышении температуры реакции 40 . Данные FT-EXAFS для свежего Pd-CeO 2 MM показывают, что Pd очень хорошо диспергирован, поскольку координационное число (КЧ) для первой координационной оболочки Pd-Pd составляет 7,5 ± 0,6, что соответствует НЧ размером ок. 1 нм 41 , а КЧ для связей Pd-O составляет 0,7 ± 0,2 (таблица S2 и рис. S10). Аналогичная локальная структура Pd обнаружена в PtPd-CeO 2 MM с КЧ первой оболочки Pd-M (M = Pd, Pt) 6,9 ± 0,4 и Pd-O КЧ 1,0 ± 0,2. При 650 К Pd практически полностью окисляется в образце Pd-CeO 2 MM и аналогичная тенденция наблюдается для PtPd-CeO 2 MM. При температурах выше 650 К связи Pd-Pd не обнаружены ни для одного из образцов, что свидетельствует о полном окислении катализаторов выше этой температуры. После измерений ТФХ катализаторы охлаждали в гелии до комнатной температуры и собирали спектры, где для монометаллического катализатора обнаруживается более развитая структура PdO.
Рис. 3: Серия данных по K-краю Pd in situ, зарегистрированных в условиях сухого горения метана при повышении температуры.
a , b XANES спектры Pd-CeO 2 MM и PtPd-CeO 2 MM соответственно. c , d Величина FT спектров EXAFS катализаторов Pd-CeO 2 MM и PtPd-CeO 2 MM. Спектры, обозначенные как 298 K/He, были получены после серии реакций при комнатной температуре в He. Также показаны эталонные спектры для фольги Pd и эталона PdO. Механическое фрезерование ММ.
Полноразмерное изображение
Образцы, которые были подвергнуты обработке TPC1173 в лаборатории, также были исследованы (рис. S1b). После TPC1173 очевидные различия уже видны на K-крае Pd при КТ (рис. 4). Спектр XANES монометаллического катализатора Pd-CeO 2 MM показывает, что частицы Pd окисляются и имеют локальную структуру, аналогичную PdO (рис. 4а). Напротив, спектры биметаллических катализаторов MM и IWI показывают комбинацию PdO и металлического Pd, что указывает на то, что добавление Pt к Pd-CeO 2 катализаторов приводит к более восстановленному состоянию Pd, что согласуется с результатами SXRD и предыдущими отчетами 23 . Интересно, что спектры XANES измельченного PtPd-CeO 2 MM демонстрируют более высокий вклад частиц PdO, чем аналог IWI (сравните рис. 4b, c). В условиях in situ при 723 K в спектрах XANES для трех катализаторов наблюдается лишь незначительное окисление.
Рис. 4: In situ Pd K-край данные XANES и EXAFS.
XANES спектры a Pd-CeO 2 MM, b PtPd-CeO 2 MM и c PdPt/CeO 2 IWI после обработки TPC1173 в условиях сухого и влажного сжигания бедного метана. Показано состояние в начале влажных измерений при 723 K и через 2 ч, последние отмечены *. Величина FT спектров EXAFS d Pd-CeO 2 MM, e PtPd-CeO 2 MM и f PdPt/CeO 2 IWI после обработки в сухом и влажном ТФХ31 условия горения обедненного метана при 723 К. Показаны состояния в начале влажных измерений при 723 К и через 2 ч, последние отмечены *. г наложение величины FT спектров EXAFS трех образцов через 2 часа во влажной атмосфере горения метана при 723 K. Также показаны справочные данные для фольги Pd и стандарта PdO. Механическое фрезерование ММ, пропитка IWI по начальной влажности.
Изображение в полный размер
Данные EXAFS, полученные при комнатной температуре для образцов TPC1173, подтвердили, что монометаллический Pd-CeO 2 MM сильно окислен, и показали, что это единственный образец, показывающий четко развитую оболочку прибл. 3,0 Å (без поправки на фазовый сдвиг), что соответствует связям Pd-Pd1 и Pd-Pd2 структуры PdO (рис. 4d). Эти результаты показывают, что во время TPC1173 Pd сильно окислился и превратился в объемный PdO. С другой стороны, оба биметаллических катализатора (MM и IWI) имеют связи Pd-O прибл. 1,5 Å, но с меньшим вкладом, чем для монометаллического катализатора (см. дополнительную информацию, СИ). При выдержке в сухой реакционной смеси при различных температурах (для наглядности на рис. 4 показаны только данные при 723 К) биметаллические катализаторы подвергаются окислению, что следует из снижения характеристик Pd-M (M = Pd, Pt). . В катализаторе ММ признаки Pd-M почти исчезают, а связи Pd-O более заметны, чем в катализаторе IWI. Примечательно, что катализатор IWI показывает самый высокий вклад свойств Pd-M и самый низкий вклад Pd-O, подтверждая, что это наиболее восстановленный катализатор (сравните рис. 4e, f).
Эволюция электронной структуры при сжигании влажного метана
После экспериментов по окислению бедного метана in situ температуру понизили до 443 K и к смеси реагентов добавили водяной пар. На рис. 4 представлены данные в условиях in situ, полученные в начале реакции во влажной смеси при 723 К и через 2 ч. Монометаллический катализатор за это время практически не изменяется, оставаясь окисленным в течение всего измерения. PtPd-CeO 2 ММ окисляется, так как его связи Pd-M немного уменьшаются, в то время как вклад связей Pd-O слегка увеличивается при работе во влажных условиях. Напротив, для катализатора IWI обнаруживаются лишь незначительные изменения. Эти результаты хорошо согласуются с общими данными, полученными методом SXRD in situ. На рис. 4g наложены данные EXAFS для трех катализаторов после 2 часов пребывания во влажной смеси при 723 К. Характерно, что монометаллический Pd-CeO 2 MM является наиболее окисленным образцом, демонстрирующим сильное развитие структуры PdO и низкий вклад связей Pd-Pd. Сравнение биметаллических катализаторов показывает, что механохимически синтезированный катализатор показывает более высокий вклад Pd-O и Pd-Pd2 из структуры PdO и более низкий показатель Pd-M, чем аналог IWI. В серии in situ на Pt L 9 почти не наблюдается изменений.0058 3 -данные XAS края (см. рис. S9).
Эволюция поверхностных активных центров
Самые внешние слои катализаторов играют ключевую роль в явлении катализа. Поэтому, чтобы понять происхождение более высокой активности и стабильности измельченных катализаторов, поверхностно-активные центры были исследованы с помощью синхротрона AP-XPS в сухих и влажных смесях. Объединение результатов AP-XPS с результатами in situ SXRD и XAS позволяет получить полную картину объемных и поверхностных свойств катализаторов в их рабочем состоянии.
Атомные доли палладия и Pt и степени окисления, полученные с тремя энергиями фотонов, показаны на рис. 5. Каждая половина круговой диаграммы схематически представляет NP, где три полукруга представляют три глубины выборки. Зарегистрированные спектры Pd 3d и Ce 3d представлены на рис. S11 и S12 соответственно.
Рис. 5: Атомные доли палладия и Pt и степени окисления, рассчитанные для Pd-CeO 2 MM и PtPd-CeO 2 MM.
a – d были получены в условиях сухого окисления обедненной смеси метана, а e – г во влажных условиях. Внешний полукруг соответствует данным, полученным при КЭ 230 эВ, промежуточный полукруг соответствует КЭ 450 эВ, а внутренний полукруг соответствует КЭ 1000 эВ. T указывает на предыдущую предварительную обработку катализатора (программируемое по температуре сжигание TPC, TOS time-on-stream). A указывает газовую атмосферу, присутствующую во время измерений. Цифры указывают атомную концентрацию. Механическое фрезерование ММ.
Изображение полного размера
Анализ спектров Pd 3d (рис. S11) показывает наличие трех различных степеней окисления: (1) металлический Pd при энергиях связи (BE) между 334,9 и 335,3 эВ, (2) a компонента на BE между Pd 0 + 0,5 эВ и Pd 0 + 1,2 эВ, что соответствует Pd 2+ и (3) другой оксидный компонент в BE между Pd 0 + 2,1 эВ и Pd 0 + 2,4 эВ. Примечательно, что последний компонент появляется при BE между Pd 2+ и Pd 4+ . Этот сдвиг BE может быть приписан поверхностным формам оксида Pd, сильно взаимодействующим с церием 42,43,44 , и поэтому мы назвали их PdO X -Ce. В атмосфере сухого окисления метана при 723 К (рис. 5а) Pd в свежем катализаторе Pd-CeO 2 MM преимущественно окисляется, хотя в ядре НЧ обнаруживается до 45% металлического Pd. Интересно, что наблюдается сильное ядро-оболочка степеней окисления, увеличивающее количество окисленного Pd по направлению к поверхности НЧ. Принимая во внимание различия между глубинами, измеренными с каждой энергией фотона, эти результаты указывают на то, что явление окисления сильно локализовано в первых атомных слоях. Это также хорошо видно на рис. S11a. В условиях сухого окисления метана относительная атомная концентрация Pd [Pd/(Pd+Ce)·100] на поверхности составляет ок. 33 ат.% по сравнению с 11 ат.% под поверхностью (Таблица S4), что указывает на то, что Pd тонко диспергирован на поверхности оксида церия. Это полностью согласуется с CN, извлеченным из анализа EXAFS, и характеристикой HRTEM, опубликованной в другом месте 9.0334 32 , где аморфная оболочка Pd-O-Ce ок. На подложке из оксида церия была идентифицирована толщина 2 нм.
Обработка TPC1173 привела к сильному окислению Pd в трех оболочках, что увеличило вклад компонента PdO X -Ce прибл. 90% для трех глубин выборки, таким образом теряя ядро-оболочку степеней окисления, как видно на рис. 5с и S11b. Также была обнаружена сильная реструктуризация поверхности, поскольку относительная концентрация Pd на поверхности уменьшилась примерно с 33 ат.% до 10 ат.%, в то время как в приповерхностной области относительная концентрация Pd оставалась практически постоянной, что свидетельствует о спекании Pd за счет ТПК1173. лечение. При дозировании пара (влажные условия) при 723 K дисперсия Pd на поверхности не изменилась (рис. 5e и S11c и таблица S4). Это указывает на то, что обработка старением TPC1173 приводит к реорганизации и стабилизации частиц Pd на поверхности, что особенно способствует более окисленному состоянию Pd в условиях реакции. Примечательно, что степень окисления сохраняется после дозирования пара и в условиях влажной реакции прибл. 9На поверхности присутствуют частицы PdO X -Ce с содержанием 5 ат. %.
Интересно, что монометаллический образец Pt-CeO 2 MM показал гораздо более низкую дисперсию Pt по сравнению с дисперсией Pd в монометаллическом образце Pd-CeO 2 MM после TPC1173 (таблица S5). Относительная атомная концентрация Pt составляет ок. 3 ат.% и 5 ат.% на самой внешней и подповерхностной оболочках, соответственно, что указывает на более низкую дисперсию Pt на поверхности CeO 2 при измельчении. Это согласуется с предыдущими измерениями с помощью ВРПЭМ, где на подложке из оксида церия были идентифицированы НЧ Pt размером около 5–10 нм 9.0334 34 и в соответствии с нашими измерениями SXRD (таблица S1). В отличие от организации Pd в Pd-CeO 2 MM, в Pt-CeO 2 MM Pt демонстрирует ядро-оболочку степеней окисления в условиях горения сухого метана при 723 K (рис. S14 и S15), где 53, 69 и 74 ат.% частиц Pt 2+ (по отношению к частицам Pt) обнаружены в ядре, приповерхностных и крайних слоях соответственно, остальное металлическое Pt 0 (рис. S14 и С15). Учитывая, что в результатах, полученных для ядра, также исследуются самые внешние слои, наши результаты показывают, что окисление в основном ограничивается первыми атомными слоями НЧ Pt, которые находятся в прямом контакте с реакционной атмосферой. В условиях влажного окисления метана при 723 K относительная атомная концентрация Pt остается почти такой же, как и в сухих условиях, что, как и в случае Pd, указывает на то, что реструктуризация поверхности во время обработки TPC1173 придает устойчивость НЧ в условиях реакции. Добавление пара не вызывало изменения степени окисления Pt. Это замечательные результаты, поскольку обычно утверждается, что Pt находится в восстановленном состоянии в условиях сжигания обедненного метана 9.0334 23,45 , как показывают наши результаты объемных измерений SXRD in situ. Примечательно, что поверхностная чувствительность, обеспечиваемая AP-XPS, показывает, что Pt 2+ сильно расположен на поверхности НЧ, что ускользает от обнаружения с помощью объемно-чувствительных методов, сосуществующих с Pt 0 . Во всех случаях, как в сухих, так и во влажных условиях сжигания обедненного метана, церий в основном присутствует в виде соединений Ce 4+ (> 95%) (таблица S6).
Результаты для биметаллического PtPd-CeO 2 MM (рис. 5 и S11d–f и S13), который является катализатором с самой высокой активностью и стабильностью, обнаруживают заметные отличия по сравнению с монометаллическими аналогами. Для свежего PtPd-CeO 2 MM в атмосфере сухого обедненного метана при 723 K относительные общие атомные концентрации металлов [(Pd + Pt)/(Pd + Pt + Ce)·100] на поверхности и в приповерхностных областях составляют около 13 и 17 ат.% соответственно (таблица S7), что в случае самого внешнего слоя существенно ниже относительной атомной концентрации Pd, зарегистрированной для Pd-CeO 2 ММ (33 ат.%). Кроме того, концентрация Pd увеличивается по направлению к поверхности НЧ для биметаллического образца (88 ат.% Pd на поверхности против 78 ат.% в ядре), что приводит к образованию ядра-оболочки композиций с обогащенной палладием оболочкой 25 . Это интересный результат, так как Pd сначала измельчали с оксидом церия, а затем в процесс измельчения добавляли Pt. Следовательно, эта тенденция к сегрегации указывает на то, что Pt образует более крупные агрегаты, в то время как Pd сильно диспергирован по поверхности катализатора и имеет тенденцию к сегрегации по направлению к поверхности при сжигании метана. Это согласуется с результатами EXAFS и наблюдениями HRTEM. На рисунке 6а показано изображение HRTEM свежего PtPd-CeO 9.Катализатор 0058 2 MM, который показывает сосуществование аморфной оболочки размером около 2 нм на носителе оксида церия (отмечено белыми стрелками) и НЧ Pt (размером 5–8 нм и идентифицируется по полосам решетки при 2,3 и 2,0 Å, соответствующим (111) и (200) плоскости металлической платины соответственно). Примечательно, что аморфная оболочка покрывает не только носитель оксида церия, но и наночастицы Pt, даже несмотря на то, что Pt была добавлена на последней стадии процесса измельчения. Аморфная оболочка идентична той, о которой сообщалось ранее для монометаллического Pd-CeO 2 MM 32 и может быть источником наблюдаемого сдвига энергии связи. С другой стороны, как для Pd, так и для Pt наблюдается ядро-оболочка степеней окисления, представляя большую долю окисленных частиц в самом внешнем слое. Из-за аморфной природы этой фазы она ускользает от обнаружения SXRD.
Рис. 6: HRTEM-изображения PtPd-CeO 2 MM, показывающие аморфную оболочку.
a Свежий PtPd-CeO 2 MM и b после сжигания метана во влажной атмосфере при 723 K в течение 24 ч.
Изображение полного размера
После обработки TPC1173 наблюдается существенно иной сценарий в сухой смеси при 723 K (рис. 5d и S11e) по сравнению с монометаллическими катализаторами. В то время как Pd-CeO 2 MM демонстрировал однородное распределение концентрации Pd и степеней окисления по трем оболочкам, биметаллический образец сохраняет концентрацию и степени окисления ядро-оболочка, как и до обработки TPC1173. Это дополнительное доказательство роли Pt в стабилизации Pd. И Pd, и Pt кажутся более восстановленными, чем их соответствующие монометаллические аналоги: в условиях сухой реакции при 723 K в PdO 9 обнаружено 67 ат.% Pd.0058 X -Ce состояние на поверхности, в то время как Pd-CeO 2 MM состоит из ок. 90 ат.% PdO X -Ce. С другой стороны, Pt находится в сильно восстановленном состоянии, с 74 ат.% и 95 ат.% Pt 0 на поверхности и в сердцевине соответственно, в отличие от найденных ранее значений 26 ат.% и 47 ат.%. ат.% для монометаллического Pt-CeO 2 ММ.
При влажной подаче при 723 К оба металла восстанавливаются незначительно, при этом внутренние слои НЧ восстанавливаются сильнее, а Pt почти полностью восстанавливается. При этом дальнейшей перестройки металлов не наблюдается (рис. 5f и S11f). Это показывает, что взаимодействие между обоими металлами приводит к более высокой степени восстановления первых слоев как Pd, так и Pt и более стабильной системе, чем Pd-CeO 2 ММ. Чтобы подтвердить это, образец, обработанный в лаборатории в течение 24 часов в условиях влажного сжигания обедненного метана TOS, был изучен с помощью AP-XPS непосредственно во влажных условиях при 723 K. Как видно на рис. 5g, получены аналогичные результаты, что демонстрирует надежность системы PtPd-CeO 2 MM. Рисунок 6b соответствует репрезентативному HRTEM-изображению биметаллического образца после обработки TPC1173 и 24 ч во влажном состоянии TOS. Неожиданная реорганизация была обнаружена после цикла TPC, как сообщалось в другом месте 9.0334 34 : при сжигании обедненного метана по всему образцу выросли уникальные структуры с основанием из PdO, прикрепленным к опоре из оксида церия и покрытым головкой из Pt, как показано на рис. S16. Грибовидные структуры остаются во время мокрой операции. Следовательно, НЧ Pt находятся в тесном контакте с PdO, который, в свою очередь, имеет прочный контакт с носителем из оксида церия. Эти сборки заключены в аморфную оболочку, подобную той, что распознается в свежем образце (рис. 6а). Кроме того, анализ профиля энергодисперсионной рентгеновской спектроскопии, проведенный вдоль сборки Ce-PdO-Pt, показанной на вставке к рис. 6b, ясно показывает присутствие Pd в Pt NP, как и в линейном сканировании, выполненном как Pd, так и Pt. сигналы обнаруживаются между 30 и 45 нм. Эти наблюдения хорошо согласуются с результатами in situ SXRD и XAS, а также с AP-XPS. Примечательно, что богатая Pd аморфная оболочка, которая, как считается, является источником PdO 9Вид 0058 X -Ce сохраняется при окислении метана при 723 K даже во влажных условиях. Тесный контакт частиц PdO X -Ce со сборками Pt-Pd/PdO представляет собой беспрецедентную архитектуру, которую можно приписать происхождению каталитической активности и устойчивости биметаллической системы. Эта наноструктура достигается только механохимическим синтезом.
Изучение поверхностных и подповерхностных областей с помощью AP-XPS с использованием трех энергий фотонов и объединение этих результатов с in situ SXRD и XAS, а также наблюдениями HRTEM проливают свет на эволюцию поверхности и объемной структуры Pd, Pt, Pd, Pt, нанесенных на оксид церия. и биметаллические катализаторы Pd-Pt, приготовленные механохимическими методами и обычной пропиткой по начальной влажности во время окисления метана в сухих и влажных условиях, применимых для транспортных средств, работающих на природном газе. Мы продемонстрировали, что как состав, так и метод синтеза оказывают прямое и сильное влияние на расположение и химическое окружение Pd и Pt, а также на их эволюцию в условиях реакции. В размолотых катализаторах окисленный PdO X -Ce, сильно взаимодействующие с церием, сохраняются при окислении метана во влажных условиях, что, вероятно, связано с уникальной богатой палладием аморфной оболочкой, возникшей в результате механохимического метода получения и стабилизированной тесным контактом со сборками Pt-Pd/PdO. возник в условиях реакции TPC. Наши данные показывают, что структура механохимически приготовленных катализаторов является более динамичной, что позволяет постепенное образование PdO за счет металлического Pd даже во время влажного сжигания метана из-за тесного взаимодействия, полученного между Pd и CeO 2 в измельченных катализаторах, который модулирует отношение PdO/Pd и достигает значения, близкого к единице, в условиях влажной реакции. Это превращение происходит параллельно наблюдаемому увеличению конверсии метана, что позволяет избежать хорошо известной дезактивации катализаторов на основе Pd во влажных условиях. Эти данные показывают, что уникальные структурные свойства достигаются при механохимическом синтезе, экологически чистом и легко масштабируемом методе синтеза, который приводит к превосходной конверсии метана даже в присутствии пара.
Методы
Синтез катализаторов
Носитель CeO 2 был синтезирован путем осаждения с использованием H 2 O 2 46 . Нитрат церия (Ce(NO 3 ) 2 ·6H 2 O, Treibacher Industrie AG) растворяли в деионизированной воде (0,2 M) и выдерживали при перемешивании перед соответствующим количеством перекиси водорода (H 2 O 2 , Aldrich, 35%) вливали в раствор для получения молярного H 2 9Соотношение 0059 O 2 :Ce равно 3. Осаждение предшественника затем получали путем добавления водного гидроксида аммония (NH 4 OH, Aldrich, 30%) до достижения pH 10,5. Суспензию перемешивали в течение 4 ч, промывали деионизированной водой и фильтровали. Затем осадок высушивали в стационарном воздухе при 393°К в течение 15 ч и затем прокаливали в стационарном воздухе при 1173°К в течение 3 ч. Площадь поверхности после прокаливания составила 2,6 м 2 /г для оксида церия.
Палладий и платина были включены в носитель оксида церия путем измельчения наночастиц Pd (NPs) (Aldrich, площадь поверхности 40 м 2 /г, средний размер частиц 10 мкм) или НЧ Pt (Sigma-Aldrich, площадь поверхности 33 м 2 /г, средний размер частиц ≤20 мкм) с оксидом церия в мини-мельнице Pulverisette 23 в течение 10 мин при частота 15 Гц, с использованием чаши из диоксида циркония объемом 15 мл с 1 мелющим шаром из ZrO 2 (диаметр = 15 мм, вес = 10 г, отношение шариков к порошку = 10). Добавляли необходимое количество Pd или Pt, чтобы получить номинальное содержание каждого металла 1,5 мас.%. Для биметаллических катализаторов использовали предыдущую процедуру для включения одного металла, а затем добавляли второй металл. Катализаторы получили название PtPd-CeO 9.0058 2 MM, когда Pd сначала измельчали с оксидом церия, а затем добавляли Pt, и PdPt-CeO 2 MM, когда порядок добавления был обратным, и Pt сначала измельчали, а затем добавляли Pd. Катализаторы исследовали без дополнительной обработки. Поэтому в катализаторах, приготовленных механохимическими методами, растворители не используются.
Для приготовления катализаторов IWI CeO 2 пропитывали соответствующим количеством водного раствора нитрата палладия (Pd(NO 3 ) 2 , 4,8 мас.% PD, 99,999%, Sigma-Aldrich) и Tetraammineplatinum (II) нитрат ([PT (NH 3 ) 4 ] (№ 3 ) 2 9, ] (№ 3 ) 2 9, ] (№ 3 ) 2 9, ] (№ 3 ) 2 , ] (№ 3 ) %, Strem Chemicals) для достижения номинальной загрузки 1,5 мас. % Pd и 1,5 мас. % Pt. Полученный катализатор сушили в течение ночи при 373 К, а затем прокаливали в стационарном воздухе в течение 3 ч при 1173 К.
Измерения каталитического окисления метана
Оценку каталитической активности проводили в кварцевом трубчатом реакторе, загруженном 120 мг порошка катализатора. на подушке из кварцевой ваты. Общая скорость потока была установлена на уровне 180 мл/мин, что соответствует GHSV примерно 180 000 ч.0334 −1 . Состав газа на входе составлял 0,5% об. CH 4 и 2% об. O 2 в He для сухих экспериментов. Для экспериментов во влажной атмосфере добавляли 10 % об. H 2 O с помощью насоса высокоэффективной жидкостной хроматографии (ВЭЖХ), который обеспечивал поток деионизированной воды, которую затем испаряли с помощью нагревательных лент для получения дополнительных 10 % об. пара в сырьевом газе. Термопару К-типа помещали внутрь реактора рядом со слоем катализатора для непрерывного контроля температуры образца. Реактор помещали внутрь печи, оборудованной ПИД-регулятором.
In situ синхротронная рентгеновская порошковая дифракция (SXRD)
In situ синхротронная рентгеновская дифракция проводилась на линии материаловедения и порошковой дифракции (BL) синхротрона ALBA (Серданьола-дель-Вальес, Барселона, Испания). ШМ была установлена на энергию, соответствующую длине волны λ = 0,5157 Å, и все данные были собраны в режиме передачи. Катализаторы загружали в кварцевые капилляры с внутренним диаметром 0,58±0,1 мм (Hilgenberg GmbH) и иммобилизовали кварцевой ватой. Газы (метан, кислород, аргон) дозировались с помощью системы подачи газа, имеющейся на БС (система управления газом от ITQ-ALBA), с использованием независимых регуляторов массового расхода. Состав газа на входе: 0,5 об.% CH 4 и 2 об.% O 2 в Ar для сухих экспериментов. Для экспериментов во влажной атмосфере воду дозировали, пропуская смесь реагентов через сатуратор, заполненный водой с милли-Q, поддерживаемой при комнатной температуре. Температуру образца контролировали с помощью калиброванного термофена. На выходе из реактора был подключен масс-спектрометр для контроля газообразного потока, выходящего из реактора. Дифрактограммы записывали в диапазоне от 5 до 46,8° с шагом 0,006°.
Уточнение Ритвельда выполнено с использованием программного обеспечения GSAS-II 47 . Уточнения были выполнены, включая стандартные материалы CeO 2 (01-080-5549), Pd (00-046-1043), Pt (00-004-0802) и PdO (00-041-1107). В доработках также рассматривался модельный сплав Pd 0,5 Pt 0,5 (01-072-2839).
Размер кристаллитов определяли по уравнению Шеррера. (1):
$$\tau=\frac{K\lambda}{\beta {\cos}\theta}$$
(1)
где τ — средний размер кристаллитов; K — коэффициент формы (в данной работе выбрано K = 0,9), λ = 0,5157 Å, β — полная ширина на полувысоте. В таблице S1 перечислены результаты, полученные для исследованных катализаторов.
In situ рентгеновская абсорбционная спектроскопия тонкой структуры (XAS)
in situ XAS измерения были выполнены на основном уровне абсорбционной и эмиссионной спектроскопии BL синхротрона ALBA. Катализаторы были гранулированы и разбавлены нитридом бора для оптимизации поглощения образца. Образцы устанавливались в ячейке твердогазового реактора, расположенной на линии 9. 0334 48 . Эта ячейка позволяет контролировать дозировку газа с помощью той же системы управления газом, что и для измерений XRD in situ (система управления газом ITQ-ALBA), а также контролировать температуру образца. С помощью этой ячейки можно достичь максимальной температуры ~1000 К (в зависимости от газовой смеси). Спектры K-края Pd записывали в режиме пропускания. Эталонная фольга Pd также была измерена вместе со спектрами образцов для энергетической калибровки. Для энергетического отбора использовался монохроматор Si(311). Соответствующая смесь инертных газов (He, N 2 , Ar, Kr и Xe) был выбран для заполнения ионизационных камер, которые используются в качестве детекторов рентгеновского излучения в экспериментах по пропусканию. Спектры Pt L 3 регистрировали в режиме флуоресценции с использованием 6-элементного кремниевого дрейфового детектора.
Измерения на месте заключались в дозировании обедненной метановой горючей смеси (0,5 CH 4 + 2 O 2 + 97,5 He — сухая смесь) при комнатной температуре, повышая температуру с использованием линейного изменения 10 Kmin –1 . Катализаторы измеряли в виде прессованных гранул, оптимизируя вес катализатора для Pd K-края и Pt L 3 -кромка. Потоки реагентов регулировали таким образом, чтобы поддерживать такое же отношение веса к потоку, как и соотношение, используемое в каталитических испытаниях, проведенных в лаборатории. Рентгеновские спектры поглощения вблизи края (XANES) были получены непрерывно при изменении температуры, а расширенные рентгеновские спектры поглощения тонкой структуры (EXAFS) были получены при постоянных температурах и при комнатной температуре после завершения серии in situ. По крайней мере, три скана были получены на каждом шаге температуры, чтобы обеспечить спектральную воспроизводимость и хорошее отношение сигнал/шум. Анализ и обработка данных проводились с использованием программного обеспечения Athena 49 . Анализ данных EXAFS был выполнен с использованием программного обеспечения Arthemis 49 , а фаза и амплитуда были рассчитаны с использованием кода FEFF6.
Поскольку максимальная температура, достигаемая на ШС, составляла 1000 К, максимальная температура, достигаемая в ходе экспериментов на сухой смеси, составляла 923 К. Поэтому для исследования катализаторов в условиях горения мокрого обедненного метана была проведена предварительная обработка ТПК при 1173 К при 0,5 CH 4 + 2 O 2 + 97,5 Проведено в наших лабораториях на той же сухой смеси. Протокол, использованный для влажных измерений, был следующим: предварительно обработанные катализаторы сначала подвергались воздействию сухой реакционной смеси при температуре до 723 К для освежения катализаторов (запись спектров), температура снижалась до 443 К, при которой в реакционную смесь вводилась вода. подавали реагенты, а затем температуру ступенчато повышали до 723 K, где проводились 2-часовые измерения (см. рис. S1). Для влажных измерений добавляли 10 об.% воды с использованием насоса для ВЭЖХ (Knauer Smartline). Серия реакций схематически представлена на рис. S1.
Мы подогнали данные EXAFS для получения количественной информации. Мы начали подгонять первую оболочку из палладиевой фольги, чтобы получить значение коэффициента уменьшения амплитуды S 0 2 . Полученное значение использовалось для последующего анализа данных EXAFS наших катализаторов. Подгонка эталонной фольги и катализаторов производилась в тех же диапазонах в k- и R-пространстве. Только до первой координационной оболочки Pd-M была установлена.
Синхротронная рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия (AP-XPS) измерения давления при атмосферном давлении
Измерения AP-XPS проводились на конечной станции NAPP на линии луча CIRCE источника синхротронного света ALBA. Для анализа излучаемых фотоэлектронов использовался коммерческий энергоанализатор PHOIBOS 150 NAP (SPECS GmbH), оснащенный четырьмя каскадами с дифференциальной накачкой, соединенными малыми апертурами. Размер пятна луча на образце составлял ~100 × 300 мкм 2 (по горизонтали × по вертикали). Спектры были получены с энергией пропускания 20 эВ и шагом по энергии 0,05 эВ. Давление образца поддерживали на уровне 1 мбар для всех измерений, регулирующих активную откачку. Для этого газы, составляющие смесь реагентов, дозировали в камеру анализа с помощью независимых регуляторов массового расхода и регулировали и стабилизировали давление внутри камеры анализа на уровне 1 мбар для всех экспериментов с помощью системы вакуумных клапанов. Постоянный поток 25 мл/мин для сухой смеси (1 CH 4 +4 O 2 +20 N 2 ) и 27,5 мл/мин для влажной смеси (1 CH 4 +4 O 2 +20 N 2 +2,5 H 2 +20 N 2 +2,5 H 2 +20 N 2 +2,5 H 2 +20 N 2 +2,5 H 2 +20 N O) вводили в камеру для анализа. Во время этих измерений максимально достижимая температура составляла ок. 973 K и, следовательно, тот же протокол, который применялся для измерений XAS in situ, использовался для исследований AP-XPS, чтобы убедиться, что в сухой реакционной смеси была достигнута температура 1173 K. На рисунке S1 схематично показан протокол. Поэтому для проведения влажных измерений были исследованы образцы, предварительно обработанные TPC1173 в лаборатории. Затем в камеру анализа дозировали сухую смесь и повышали температуру до 723 К. После этого образцы охлаждали до 443 К под сухой реакционной смесью и при этой температуре в камеру анализа вводили пар. Затем образцы во влажных условиях исследовались до 723 K (см. рис. S1b).
Температуру образца контролировали с помощью инфракрасного лазера ( λ = 808 нм), сфокусированного на W-пластине, поверх которой устанавливались образцы. Температуру контролировали во время всех экспериментов термопарой К-типа, находящейся в непосредственном контакте с образцами.
Для каждого условия реакции были изучены XP-спектры областей Ce 3d , Pd 3d , Pt 4f , O 1s и C 1s . Чтобы получить информацию о профиле глубины и иметь возможность определять концентрацию металла и степень окисления на разных глубинах, каждую спектральную область возбуждали тремя разными энергиями фотонов, сохраняя кинетическую энергию (KE) сгенерированного Pd 3d , Pt 4f , Ce 3d , C 1s и O 1s фотоэлектроны постоянны при ~1000, 450 и 230 эВ. Соответствующие неупругие длины свободного пробега (IMFP) для каждого КЭ, рассчитанные для соответствующих областей спектра с учетом чистых металлов, приведены в таблице S3 50 . Поэтому для приблизительного расчета IMFP в наших измерениях для НЧ был принят состав Pd:Pt = 1:1, что позволяет нам рассчитать IMFP фотоэлектронов в наших NP как среднее значение IMFP для двух чистых разные элементы.
Атомные доли Pd и Pt были получены из калиброванных площадей пиков Pd 3d и Pt 4f . Коэффициенты относительной чувствительности (RSF) рассчитывались с учетом сечения ионизации, потока фотонов, соответствующего энергии фотона, используемой для каждого измерения 51 , и функции пропускания анализатора. Спектры AP-XPS анализировали без калибровки по энергии. Присутствие газов и температуры приводило к незначительным сдвигам из-за заряда. Поправки на угловое распределение не применялись, так как угол между осью анализатора и вектором горизонтальной линейной поляризации приходящего синхротронного излучения составляет 54,7°, магический угол 52 . Так как КЕ оставался постоянным, параметр средней длины свободного пробега был установлен равным 1 в RSF. Атомную концентрацию каждого металла рассчитывали с учетом скорректированных площадей и по формуле: (M + N)/(M + N + Ce)·100; M, N = Pd или Pt.
Доступность данных
Данные, подтверждающие результаты этого исследования, включены в опубликованную статью (и дополнительную информацию к ней) или доступны у соответствующих авторов по обоснованному запросу.
Ссылки
Твигг, М. В. Каталитический контроль выбросов от автомобилей. Катал. Сегодня 163 , 33–41 (2011).
КАС
Статья
Google ученый
Auvray, X. & Olsson, L. Стабильность и активность Pd-, Pt- и Pd-Pt катализаторов, нанесенных на оксид алюминия, для окисления NO. Заяв. Катал. Б Окружающая среда. 168–169 , 342–352 (2015).
Артикул
КАС
Google ученый
Gremminger, A. et al. Катализаторы на основе МПГ для доочистки выхлопных газов в типичных условиях дизельных, бензиновых и газовых двигателей с упором на окисление метана и формальдегида. Заяв. Катал. Б Окружающая среда. 265 , 118571 (2020).
КАС
Статья
Google ученый
Wang, T., Chen, K. & Zhou, R. Биметаллический эффект Pt–Pd в Pt x Pd 1-x /(Ce,Zr,La)O 2 катализаторы для удаления NOx, углеводородов и CO. Катал. науч. Технол. 11 , 2782–2791 (2021).
КАС
Статья
Google ученый
Радж А. Контроль выбросов метана. Джонс. Мэтью Технол. 60 , 228–235 (2016).
КАС
Статья
Google ученый
«>
Инглунд, Дж. и др. Дезактивация биметаллического катализатора окисления Pd/Pt, используемого в установке двигателя большой мощности стандарта Euro VI, работающего на биогазе. Катализаторы 9 , 1014 (2019).
КАС
Статья
Google ученый
Кариншак, К., Чен, П. В., Лю, Р.-Ф., Голден, С. Дж. и Гарольд, М. П. Оптимизация регулирования подачи для совместной конверсии метана и NOx с помощью Pd-Pt/Mn 0,5 Fe 2,5 O 4 /Al 2 O 3 монолитный катализатор. Заяв. Катал. Б Окружающая среда. 304 , 120607 (2022).
КАС
Статья
Google ученый
Питерс, Дж. К. Природный газ и распространение Плана экологически чистой энергии США в Парижское соглашение. Energy Policy 106 , 41–47 (2017).
Артикул
Google ученый
«>
Прусси, М., Джулеа, А., Лонза, Л. и Тиль, К. Биометан как альтернативное топливо для дорожного сектора ЕС: анализ существующей и планируемой инфраструктуры. Энергетическая стратегия. Ред. 33 , 100612 (2021 г.).
Артикул
Google ученый
Ортега, А., Гкумас, К., Цакалидис, А. и Пекар, Ф. Альтернативная энергия с низким уровнем выбросов для транспорта в ЕС: состояние исследований и инноваций. Энергия 14 , 7764 (2021).
КАС
Статья
Google ученый
Farrauto, R. J. Низкотемпературное окисление метана. Наука 337 , 659–660 (2012).
ОБЪЯВЛЕНИЯ
КАС
пабмед
Статья
Google ученый
Суарес-Бертоа, Р., Пехоут, М., Войтишек, М. и Асторга, К. Регулируемые и нерегулируемые выбросы дизельных, бензиновых и газовых автомобилей стандарта Евро 6 в реальных условиях вождения. Атмосфера 11 , 204 (2020).
ОБЪЯВЛЕНИЯ
КАС
Статья
Google ученый
Corro, G., Cano, C. & Fierro, J.L.G. Исследование катализаторов Pt-Pd/γ-Al 2 O 3 для окисления метана, устойчивых к дезактивации отравлением серой. Дж. Мол. Катал. Хим. 315 , 35–42 (2010).
КАС
Статья
Google ученый
Wilburn, M.S. & Epling, W.S. Дезактивация серы и регенерация моно- и биметаллических Pd-Pt катализаторов окисления метана. Заяв. Катал. Б Окружающая среда. 206 , 589–598 (2017).
КАС
Статья
Google ученый
Лотт, П. и др. Понимание отравления серой биметаллических Pd-Pt катализаторов окисления метана и их регенерации. Заяв. Катал. Б Окружающая среда. 278 , 119244 (2020).
КАС
Статья
Google ученый
Садохина Н., Смедлер Г., Найлен У., Олофссон М. и Олссон Л. Влияние состава газа на активность катализатора на основе палладия в окислении метана – ингибирование и промотирование NO. Заяв. Катал. Б Окружающая среда. 200 , 351–360 (2017).
КАС
Статья
Google ученый
Goodman, E.D. et al. Однородные биметаллические нанокристаллы Pt/Pd демонстрируют влияние платины на активность и стабильность горения метана палладия. ACS Катал. 7 , 4372–4380 (2017).
КАС
Статья
Google ученый
Нассири, Х., Хейс, Р. Э. и Семагина, Н. Стабильность катализаторов Pd-Pt при низкотемпературном влажном сжигании метана: соотношение металлов и восстановление частиц. Хим. англ. науч. 186 , 44–51 (2018).
КАС
Статья
Google ученый
Chen, J. et al. Взгляд на роль катализатора Pt на Pd, стабилизированного магнезиально-глиноземной шпинелью на гамма-глиноземе, для сжигания обедненного метана: повышение гидротермальной стабильности. мол. Катал. 496 , 111185 (2020).
КАС
Статья
Google ученый
Чжан, С. и др. Динамическая структурная эволюция нанесенных катализаторов ядро-оболочка палладий-церий, выявленная с помощью электронной микроскопии in situ. Нац. коммун. 6 , 7778 (2015).
ОБЪЯВЛЕНИЯ
пабмед
Статья
Google ученый
Divins, N.J. et al. Оперативное исследование катализаторов CuZn контролируемого размера под высоким давлением для реакции синтеза метанола. Нац. коммун. 12 , 1435 (2021).
ОБЪЯВЛЕНИЯ
КАС
пабмед
ПабМед Центральный
Статья
Google ученый
Goodman, E.D. et al. Окисление палладия приводит к активности горения метана: влияние размера частиц и легирования платиной. J. Chem. физ. 151 , 154703 (2019).
ОБЪЯВЛЕНИЯ
пабмед
Статья
КАС
Google ученый
Нассири Х. и др. Вода переводит сжигание бедного метана, катализируемое PdO, в богатое сжигание, катализируемое Pt, в Pd-Pt катализаторах: рентгеновская абсорбционная спектроскопия in situ. J. Катал. 352 , 649–656 (2017).
КАС
Статья
Google ученый
Нассири, Х. и др. Платина ингибирует сжигание низкотемпературного сухого бедного метана за счет восстановления палладия в Pd-Pt/Al 2 O 3 : исследование поглощения рентгеновских лучей in situ. ChemPhysChem 18 , 238–244 (2017).
КАС
пабмед
Статья
Google ученый
Сараев А.А. и др. Атомная структура катализаторов полного окисления метана на основе Pd, Pt и PdPt: исследование EXAFS in situ. Катализаторы 11 , 1446 (2021).
КАС
Статья
Google ученый
Большой А. и др. Операционная характеристика биметаллических Pd-Pt катализаторов, нанесенных на оксид алюминия, в процессе окисления метана в сухих и влажных условиях. J. Phys. Д. Заявл. физ. 54 , 174006 (2021).
ОБЪЯВЛЕНИЯ
КАС
Статья
Google ученый
Четырин И. А., Бухтияров А. В., Просвирин И. П., Худорожков А. К., Бухтияров В. И. In situ XPS и MS исследование окисления метана на Pd–Pt/Al 2 O 3 катализаторы. Топ. Катал. 63 , 66–74 (2020).
КАС
Статья
Google ученый
Colussi, S., Fornasiero, P. & Trovarelli, A. Взаимосвязь структура-активность в катализаторах окисления метана Pd/CeO 2 . Подбородок. Дж. Катал. 41 , 938–950 (2020).
КАС
Статья
Google ученый
Дивинс, Н. Дж., Ангурелл, И., Эскудеро, К., Перес-Диесте, В. и Льорка, Дж. Влияние носителя на перегруппировку поверхности биметаллических наночастиц в реальных катализаторах. Наука 346 , 620–623 (2014).
ОБЪЯВЛЕНИЯ
КАС
пабмед
Статья
Google ученый
Xiong, H. et al. Технический катализатор поддерживает стабилизацию двумерных плотов PdO x для устойчивого к воде окисления метана. Нац. Катал. 4 , 830–839 (2021).
КАС
Статья
Google ученый
Карньелло, М. и др. Исключительная активность в отношении сжигания метана на модульных субъединицах Pd@CeO 2 на функционализированном Al 2 O 3 . Наука 337 , 713–717 (2012).
ОБЪЯВЛЕНИЯ
КАС
пабмед
Статья
Google ученый
Danielis, M. et al. Выдающиеся характеристики окисления метана катализаторами на основе диоксида церия с палладием, приготовленными методом одностадийного сухого измельчения в шаровой мельнице. Анжю. хим. Междунар. Эд. 57 , 10212–10216 (2018).
КАС
Статья
Google ученый
Петров А.В. и др. Стабильное полное окисление метана на цеолитных катализаторах на основе палладия. Нац. коммун. 9 , 2545 (2018).
ОБЪЯВЛЕНИЕ
пабмед
ПабМед Центральный
Статья
КАС
Google ученый
Mussio, A. et al. Структурная эволюция биметаллических катализаторов окисления метана PtPd/CeO 2 , полученных методом сухого помола. Приложение ACS Матер. Интерфейсы 13 , 31614–31623 (2021 г.).
КАС
пабмед
ПабМед Центральный
Статья
Google ученый
Jang, E.J., Lee, J., Oh, D.G. & Kwak, J.H. CH 4 активность окисления в биметаллических катализаторах Pd и Pt-Pd: корреляция с поверхностным PdO x , количественно определенная из исследования DRIFTS. ACS Катал. 11 , 5894–5905 (2021).
КАС
Статья
Google ученый
Перссон К., Эрссон А. , Колусси С., Троварелли А. и Ярос С. Г. Каталитическое сжигание метана на биметаллических катализаторах Pd-Pt: влияние материалов носителя. Заяв. Катал. Б Окружающая среда. 66 , 175–185 (2006).
КАС
Статья
Google ученый
Franken, T. et al. Влияние коротких восстановительных импульсов на динамическую структуру, активность и стабильность Pd/Al 2 O 3 при влажном окислении обедненного метана. ACS Катал. 11 , 4870–4879 (2021).
КАС
Статья
Google ученый
Ли, X., Ван, X., Рой, К., Ван Боховен, Дж. А. и Артилья, Л. Роль воды в структуре палладия для полного окисления метана. ACS Катал. 10 , 5783–5792 (2020).
КАС
Статья
Google ученый
Мурата, К. и др. Использование взаимодействия металл-носитель для настройки окислительно-восстановительных свойств нанесенных катализаторов Pd для сжигания метана. ACS Катал. 10 , 1381–1387 (2020).
КАС
Статья
Google ученый
Nilsson, J. et al. Эксперименты по ступенчатой реакции кислорода для окисления метана на Pd/Al 2 O 3 : исследование XAFS in situ. Катал. коммун. 109 , 24–27 (2018).
КАС
Статья
Google ученый
Кальвин, С. и др. Определение размера кристаллитов в магнитном нанокомпозите с использованием тонкой структуры с расширенным поглощением рентгеновских лучей. J. Appl. физ. 94 , 778–783 (2003).
ОБЪЯВЛЕНИЯ
КАС
Статья
Google ученый
Славинская Е. М. и др. Взаимодействие металл-носитель в модельных катализаторах окисления СО Pd/CeO 2 : от импульсно-лазерно-аблированных наночастиц до высокоактивного состояния катализатора. Катал. науч. Технол. 6 , 6650–6666 (2016).
КАС
Статья
Google ученый
Su, Y.-Q., Liu, J.-X., Filot, I.A.W., Zhang, L. & Hensen, E.J.M. Высокоактивный и стабильный CH 4 окисление путем замещения Ce 4+ на два иона Pd 2+ в CeO 2 (111). ACS Катал. 8 , 6552–6559 (2018).
КАС
пабмед
ПабМед Центральный
Статья
Google ученый
Кибис Л.С., Симаненко А.А., Стадниченко А.И., Зайковский В.И., Боронин А.И. Зондирование Pd 4+ видов в системе PdO x –CeO 2 методом рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии. J. Phys. хим. C. 125 , 20845–20854 (2021).
КАС
Статья
Google ученый
Weng, X., Ren, H., Chen, M. & Wan, H. Влияние поверхностного кислорода на активацию метана на палладиевых и платиновых поверхностях. ACS Катал. 4 , 2598–2604 (2014).
КАС
Статья
Google ученый
Мозер, М. и др. Структура и реакционная способность церий-циркониевых катализаторов производства брома и хлора окислением галогеноводородов. J. Катал. 331 , 128–137 (2015).
КАС
Статья
Google ученый
Тоби, Б. Х. и Фон Дриле, Р. Б. GSAS-II: зарождение современного универсального программного пакета для кристаллографии с открытым исходным кодом. J. Appl. Кристаллогр. 46 , 544–549 (2013).
КАС
Статья
Google ученый
«>
Simonelli, L. et al. CLAESS: линия поглощения жесткого рентгеновского излучения синхротрона ALBA CELLS. Cogent Phys . 3 , 1231987 (2016).
Равель Б. и Ньювилл М. АФИНА, АРТЕМИДА, ГЕФЕСТ: анализ данных рентгеновской абсорбционной спектроскопии с использованием IFEFFIT. J. Синхротронное излучение. 12 , 537–541 (2005).
КАС
пабмед
Статья
Google ученый
Пауэлл, С. Дж. и Яблонски, А. База данных NIST по неупругому среднему свободному пути электронов — Версия 1.2 . (Национальный институт стандартов и технологий, 2010 г.).
Пульезе Р. и Паолуччи Г. Атомный расчет сечений фотоионизации и параметров асимметрии. https://vuo.elettra.eu/services/elements/WebElements.html (2020 г.).
Сарма, Д. Д. и Рао, С. Н. Р. XPES-исследования оксидов переходных металлов второго и третьего ряда, включая редкоземельные элементы. J. Электронные спектры. Относ. Феном. 20 , 25–45 (1980).
КАС
Статья
Google ученый
Ссылки на скачивание
Благодарности
N.J.D. признает финансирование, полученное в рамках исследовательской и инновационной программы Horizon 2020 Европейского Союза в рамках соглашения о гранте Марии Склодовской-Кюри № 897197. Работа выполнена при поддержке проектов MICINN/FEDER PID2021-124572OB-C31, PID2021-124572OB-C33 и GC 2017 SGR 128. Л.С. выражает благодарность программе MICINN Ramon y Cajal за индивидуальное соглашение о предоставлении стипендии RYC2019-026704-I. JL является научным сотрудником Serra Húnter и благодарен программе ICREA Academia. Эти эксперименты проводились на каналах CIRCE, CLAESS и MSPD на синхротроне ALBA в сотрудничестве с персоналом ALBA.
Информация об авторе
Авторы и организации
Институт энергетических технологий Каталонского политехнического университета, EEBE, Eduard Maristany 10-14, 08019, Барселона, Испания
Núria. J. Divins, Andrea Braga, Xavier Vendrell, Isabel Serrano, Xènia Garcia, Lluís Soler, Ilaria Lucentini & Jordi Llorca
Факультет химического машиностроения, Политехнический университет Каталонии, EEBE, Eduard Maristany 10-19, Barcelona, 08014 Испания
Нурия. Дж. Дивинс, Андреа Брага, Ксавьер Вендрелл, Ксения Гарсия, Луис Солер, Илария Лучентини и Хорди Льорка
Барселонский исследовательский центр многомасштабной науки и техники, Политехнический университет Каталонии, EEBE, Eduard Maristany 10-14, 08019, Барселона, Испания
Núria. J. Divins, Xènia Garcia, Lluís Soler & Jordi Llorca
Dipartimento Politecnico, Università Di Udine и Instm, Via Del Cotonificio 108, 33100, Udine, Италия
Mail
Синхротронный источник света ALBA, Carrer de la Llum 2-26, 08290, Серданьола-дель-Вальес, Барселона, Испания
Игнасио Х. Вильяр-Гарсия и Карлос Эскудеро
Авторы
Нурия. J. Divins
Посмотреть публикации автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Andrea Braga
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Ксавьер Вендрелл
Посмотреть публикации автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Isabel Serrano
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Xènia Garcia
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Lluís Soler
Посмотреть публикации автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Ilaria Lucentini
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Maila Danielis
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Andrea Mussio
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Академия
Sara Colussi
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Ignacio J. Villar-Garcia
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Carlos Escudero
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Академия
Алессандро Троварелли
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Jordi Llorca
Просмотр публикаций автора
Вы также можете искать этого автора в
PubMed Google Scholar
Contributions
N.J.D. и JL задумали проект. NJD, AB, XV, IS, XG, LS, IL, IJV-G и CE провели синхротронные эксперименты. Нью-Джерси и А.Б. интерпретировали данные РСА. Нью-Джерси интерпретировали данные XAS. Нью-Джерси и JL интерпретировали данные AP-XPS. ЯВЛЯЮСЬ. и MD синтезировали катализаторы. JL получил и интерпретировал данные HRTEM. М.Д. провел испытания каталитической активности. NJD, SC и JL написали рукопись. Все авторы обсуждали и комментировали рукопись. В. и JL получили финансирование и управляли проектом.
Авторы переписки
Переписка с
Нурия. Дж. Дивинс или Хорди Льорка.
Заявление об этике
Конкурирующие интересы
Авторы не заявляют об отсутствии конкурирующих интересов.
Рецензирование
Информация о рецензировании
Nature Communications благодарит анонимных рецензентов за их вклад в рецензирование этой работы.
Дополнительная информация
Примечание издателя Springer Nature остается нейтральной в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и институциональной принадлежности.
Дополнительная информация
Дополнительная информация
Права и разрешения
Открытый доступ Эта статья находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License, которая разрешает использование, совместное использование, адаптацию, распространение и воспроизведение на любом носителе или в любом формате.
На file-converter-online.com вы можете конвертировать ODT в PDF всего несколькими щелчками мыши. Вы можете использовать PDF Converter, чтобы сохранить нужный документ ODT в формате PDF, совершенно бесплатно и без осложнений.
Из Open Office в формат PDF — конвертировать файлы ODT легко
Open Office (и автономный Libre Office) — это отличные офисные пакеты для домашнего использования и бесплатная альтернатива классическим пакетам, таким как Microsoft Office или Apple iWork. Однако, если вы используете Open Office, вы обнаружите, что формат файлов ODT отлично подходит для работы в Open Office Suite, но его можно использовать только в ограниченных пределах для официальных документов — тем более что многие пользователи не могут открывать файлы Open Office или ухудшать их отображение есть. С помощью нескольких простых шагов и правильного ноу-хау вы можете легко преобразовать несколько громоздкий ODT в PDF-файлы.
Вот почему вы должны конвертировать ODT документы в PDF
Вы всегда должны форматировать официальные документы, учебные домашние задания, счета и резюме, чтобы они выглядели одинаково на всех отображаемых устройствах. Для этого необходимо отформатировать документы в формате PDF, поскольку файл представляет собой виртуальную распечатку . Это имеет еще одно преимущество, поскольку документ больше нельзя редактировать легко — явно, специальные поля формы явно исключены. Таким образом, PDF-файлы — это легко читаемые, неизменяемые файлы с фиксированным макетом, и для многих официальных целей вы должны предпочесть этот формат. Поскольку PDF также является очень распространенным и открытым форматом, пользователи без проблем открывают его, независимо от того, используют ли они Windows, Linux или Mac OS. Даже смартфоны и планшеты уже могут открывать документы PDF из операционной системы и, как правило, не требуют никакого дополнительного программного обеспечения. Конечно, вы зависите от другого формата файла во время работы.Word — это стандартный формат DOCX, для ветви с открытым исходным кодом Open Office расширение формата ODT. Для работы в Open Office ODT сохраняет все форматирование и выглядит одинаково на всех компьютерах (при условии, что у каждого пользователя одинаковый номер версии Open Office). Однако открытие других устройств может быть затруднено, не каждая версия Word или Pages может читать документы ODT, и компоновка часто изменяется из-за программы. Чтобы обеспечить идеальную читаемость на всех устройствах, вы не можете избежать преобразования ODT в PDF, но это очень просто.
Одним нажатием кнопки, виртуального принтера или в онлайн-форме
Самый простой способ конвертировать ODT в PDF напрямую из Open Office можно найти прямо в строке меню. При условии, что вы не настроили их вручную, кнопка PDF находится в строке меню рядом со значком печати. Поле формы открывается нажатием кнопки, все, что вам нужно сделать, это выбрать место и качество хранения, а Open Office создаст файл PDF, содержащий всю схему. Виртуальный принтер создает файл PDF из документа ODT, делая вид, что система фактически печатает. Поскольку файл PDF в конечном итоге представляет собой не что иное, как виртуальную распечатку, создается файл с разметкой. Для этого есть разные программы, но сначала вы должны установить их на свой компьютер. Mac OS X также предлагает эту опцию из контекстного меню печати, этот способ работает на Mac почти для всех программ, но имеет свои проблемы. Ссылка из оглавления на соответствующие главы, заголовки и подзаголовки не работает с этой формой преобразования. Тем не менее, эта форма форматирования особенно желательна для академической работы и более длинных текстов. Очень простой и быстрый способ конвертировать файлы ODT — онлайн конвертер. file-converter-online.com предлагает простую онлайн-форму, в которой загружается файл ODT, после чего готовый PDF-файл становится доступным для загрузки. Это работает без предварительного открытия Open Office, а также помогает, если вам нужно конвертировать ODT со смартфона для быстрой онлайн-доставки. Таким образом, вы можете конвертировать файлы ODT легко, легко и в любое время, независимо от устройства и программного обеспечения.
Быстрый путь к официальному вложению
PDF-файлы — это лучший способ отправить официальные документы, такие как резюме, важные документы или домашнее задание. Благодаря простому созданию из Open Office, это легко возможно, и онлайн-конвертеры также предлагают вам возможность конвертировать ваши документы Open Office в любое время. Особенно, когда все должно быть сделано быстро.
Конвертация Openoffice В PDF Онлайн
Конвертировать ODT в PDF онлайн бесплатно
Используйте преимущества OpenOffice и PDF по максимуму. Мы предоставляем бесплатный Конвертер ODT в PDF. Наше онлайн-приложение создает PDF из ODT с профессиональным качеством и высокой скоростью. Надежный механизм преобразования позволяет конвертировать ODT файлы во многие популярные форматы.
Конвертер OpenOffice в PDF
Конвертируйте ODT в PDF с высочайшим качеством в любом браузере. Вам не нужно устанавливать какое-либо дополнительное ПО, такое как Microsoft Word, OpenOffice или Acrobat Reader. Попробуйте сохранить ODT как PDF прямо сейчас. Наше приложение совершенно бесплатно.
Сохранить ODT как PDF онлайн
ODT преобразование выполняется быстро и точно. Выполните несколько простых шагов, чтобы конвертировать ODT файл в PDF формат. Чтобы преобразовать ODT в PDF, перетащите файл OpenOffice в форму, укажите параметры преобразования и нажмите кнопку ‘Преобразовать’. Посмотрите, как ваше ODT преобразуются в PDF формат в течение минуты. Выходное содержимое и форматирование будут идентичны исходному документу.
Программная платформа Aspose Words
Онлайн-приложение Conversion создано на базе программной платформы Aspose Words. Наша компания разрабатывает современные высокопроизводительные решения обработки документов для различных ОС и языков программирования.
Шаг 2 из 4
Пропустить
Следующий
Шаг 3 из 4
Каким образом мы можем улучшить ваш опыт?
Пропустить
Следующий
Большое спасибо за ваш отзыв! Мы действительно это ценим!
С вашей помощью наши продукты становятся лучше с каждым днем!
Поделиться в Facebook
Поделиться в Twitter
Поделиться в LinkedIn
Оставить отзыв
Добавить в закладки
Online ODT to PDF Converter
Вы также можете конвертировать ODT во многие другие форматы файлов. Пожалуйста, смотрите полный список ниже.
ODT TO EPUB Converter (Digital E-Book File Format)
ODT TO XPS Converter (Open XML Paper Specification)
ODT TO TEX Converter (LaTeX Source Document)
ODT TO PPT Converter (Презентация PowerPoint)
ODT TO PPS Converter (Microsoft PowerPoint Slide Show)
ODT TO PPTX Converter (Презентация PowerPoint в формате Open XML)
ODT TO PPSX Converter (PowerPoint Open XML Slide Show)
ODT TO ODP Converter (OpenDocument Presentation File Format)
ODT TO OTP Converter (Origin Graph Template)
ODT TO POTX Converter (Microsoft PowerPoint Open XML Template)
ODT TO POT Converter (PowerPoint Template)
ODT TO POTM Converter (Microsoft PowerPoint Template)
ODT TO PPTM Converter (Microsoft PowerPoint Presentation)
ODT TO PPSM Converter (Microsoft PowerPoint Slide Show)
ODT TO FODP Converter (OpenDocument Flat XML Presentation)
ODT TO XLS Converter (Книга Microsoft Excel)
ODT TO XLSX Converter (Книга Microsoft Excel в формате Open XML)
ODT TO XLSM Converter (Microsoft Excel Macro-Enabled Spreadsheet)
ODT TO XLSB Converter (Microsoft Excel Binary Spreadsheet File)
ODT TO ODS Converter (Open Document Spreadsheet)
ODT TO XLTX Converter (Microsoft Excel Open XML Template)
ODT TO XLT Converter (Microsoft Excel Template)
ODT TO XLTM Converter (Microsoft Excel Macro-Enabled Template)
ODT TO TSV Converter (Tab Separated Values File)
ODT TO XLAM Converter (Microsoft Excel Macro-Enabled Add-In)
ODT TO CSV Converter (Comma Separated Values File)
ODT TO FODS Converter (OpenDocument Flat XML Spreadsheet)
ODT TO SXC Converter (StarOffice Calc Spreadsheet)
ODT TO DOC Converter (Документ Microsoft Word)
ODT TO DOCM Converter (Microsoft Word Macro-Enabled Document)
ODT TO DOCX Converter (Документ Microsoft Word в формате Open XML)
ODT TO DOT Converter (Microsoft Word Document Template)
ODT TO DOTM Converter (Microsoft Word Macro-Enabled Template)
ODT TO DOTX Converter (Word Open XML Document Template)
ODT TO RTF Converter (Rich Text File Format)
ODT TO ODT Converter (Open Document Text)
ODT TO OTT Converter (Open Document Template)
ODT TO TXT Converter (Plain Text File Format)
ODT TO MD Converter (Markdown)
ODT TO TIFF Converter (Изображение TIFF)
ODT TO TIF Converter (Изображение TIF)
ODT TO JPG Converter (Изображение JPEG)
ODT TO JPEG Converter (JPEG Image)
ODT TO PNG Converter (Изображение PNG)
ODT TO GIF Converter (Graphical Interchange Format File)
ODT TO BMP Converter (Bitmap File Format)
ODT TO ICO Converter (Microsoft Icon File)
ODT TO PSD Converter (Adobe Photoshop Document)
ODT TO WMF Converter (Windows Metafile)
ODT TO EMF Converter (Enhanced Metafile Format)
ODT TO DCM Converter (DICOM Image)
ODT TO WEBP Converter (Raster Web Image File Format)
ODT TO SVG Converter (Scalable Vector Graphics File)
ODT TO JP2 Converter (JPEG 2000 Core Image File)
ODT TO EMZ Converter (Enhanced Windows Metafile Compressed)
ODT TO WMZ Converter (Windows Metafile Compressed)
ODT TO SVGZ Converter (Compressed Scalable Vector Graphics File)
ODT TO HTML Converter (Hyper Text Markup Language)
ODT TO HTM Converter (Hypertext Markup Language File)
ODT TO MHT Converter (MIME Encapsulation of Aggregate HTML)
ODT TO MHTML Converter (MIME Encapsulation of Aggregate HTML)
Как преобразовать ODT в PDF ▷ ➡️ Stop Creative ▷ ➡️
Ваш коллега отправил вам документ в формате ODT для проверки и экспорта в PDF разместить его в сети, но не знаете, как это сделать? Нет проблем, я здесь, чтобы помочь тебе. Достаточно прибегнуть к использованию какого-то специального программного обеспечения и определенных онлайн-сервисов, и все готово.
Так что потратьте несколько минут своего свободного времени и я покажу вам Как преобразовать ODT в PDF совершенно бесплатно и, главное, не теряя времени. Фактически, чтобы использовать все ресурсы, которые я собираюсь вам показать, вы не должны сунуть руку в сумку и не должны обладать специальными техническими навыками (по крайней мере, не следовать инструкциям, которые я вам дам). Как сказать «Используете ли вы Мак? Не волнуйся, я позабочусь о Операционная система от Apple и даже в этом случае ничего особо сложного делать не придется.
Но теперь давайте попробуем пойти по порядку и посмотрим, как работать с этими типами документов в Операционная система от Microsoft, то мы перейдем в мир «надкушенного яблока» и, как и предполагалось, в случае необходимости мы также увидим, как конвертировать документы из формата ODT в последовательные и не использовать удобные онлайн-сервисы. Хорошая работа и хорошее чтение!
Преобразование ODT в PDF на ПК
Мы начинаем это руководство, посвященное преобразованию ODT в PDF, с обзора «классических» решений, то есть программ, которые можно установить на ПК (или которые в некоторых случаях уже установлены) и которые могут позволить вы можете конвертировать тот или иной документ из одного формата в другой в любое время, без необходимости подключения к Интернет.
На окнах
Давайте начнем с того, что посмотрим, как конвертировать ODT в PDF на ПК с Windows. Для выполнения этой задачи рекомендую использовать LibreOfficeбесплатный продукт с открытым исходным кодом, альтернативный Microsoft Office, а также OpenOffice (с которым он разделяет часть исходного кода).
Чтобы загрузить LibreOffice на свой компьютер, подключитесь к веб-сайту программы и нажмите на ссылку Скачать версию ххх, По завершении загрузки откройте установочный пакет LibreOffice (например, LibreOffice_4.4.4_Win_x86.msi ) и нажмите сначала Siguiente два раза подряд, а затем вверх устанавливать, да y окончательный Завершить настройку.
Операция завершена, начало LibreOffice Writer (альтернативное программное обеспечение для Microsoft Word), щелкнув его значок в Меню Пусквыберите статью открыть Меню целесообразный и выберите документ ODT для преобразовать в PDF.
Наконец, выберите статью Экспорт в формат PDF всегда привязан к меню целесообразныйнажмите на кнопку Буэно присутствует в открывшемся окне и указывает папку, в которой Guardar документ после преобразования. При желании вы также можете преобразовать в PDF только некоторые страницы исходного документа ODT, поставив галочку рядом с элементом Страницы и указание номеров страниц в соответствующем текстовом поле. Кроме того, вы можете настроить качество выходной файл (используя соответствующее текстовое поле), и вы можете применить пароль защиты файла, перейдя на вкладку безопасность и нажав кнопку Установить пароль.
Наконец, позвольте мне указать, что если вы имеете дело с ODT-файлом, который содержит заполняемую форму, вы можете перейти к окну, которое появляется после выбора элемента. Экспорт в формат PDF Меню целесообразный и убедитесь, что опция также выбрана создать PDF форма. В противном случае сгенерированный PDF-файл не будет компилироваться, что легко понять. Подробнее об этом читайте в моем руководстве о том, как создать PDF редактируемый, где я начал говорить с вами по этому вопросу в деталях.
На Mac
Что касается мира Mac, то для преобразования ODT в PDF полагайтесь только на «стандартные» приложения, включенные в операционную систему Apple. Я имею в виду, в частности, редактирование текста, основной текстовый редактор для Mac, который полностью поддерживает документы ODT, а благодаря виртуальному системному принтеру вы можете легко преобразовать их в PDF файлы. Как? Сразу скажу.
Все, что вам нужно сделать, это открыть ODT-файл для конвертации, дважды щелкнув по нему. Если документ не импортируется автоматически в TextEdit, щелкните его значок правой кнопкой мыши и выберите редактирование текста Меню Открыть с помощью.
На данный момент, вызовите команду печать … Меню целесообразныйвыберите статью Сохранить как PDF … из выпадающего меню PDF находится в левом нижнем углу и выберите папку для экспорта файла. Проще чем это?
Я также хотел бы отметить, что, помимо того, что LibreOffice доступен для операционных систем Windows, открытый пакет повышения производительности, который я упоминал в предыдущих строках, также можно использовать на Mac. LibreOffice на ПК Apple практически идентичен тому, что мы видели для Windows это абсолютно ничего не меняет.
Единственное, что отличается, это процедура установки. Точнее, после перехода на сайт программы и после нажатия на кнопку для загрузки программного обеспечения, вы должны установить его, скопировав LibreOffice в папку применения из macOS / OS X, после чего вам нужно вернуться на сайт пакета и загрузить пакет итальянского перевода (который в версии для Windows входит в базовый установочный пакет). Для этого нажмите кнопку Переведенный пользовательский интерфейс.
После завершения загрузки откройте пакет в Урон содержащий файл итальянского перевода, щелкните правой кнопкой мыши на значке Языковой пакет LibreOffice внутри него выберите предмет открыть из меню, которое открывается и нажмите кнопку устанавливать продолжить установку языкового пакета.
Преобразование ODT в PDF онлайн
Как я сказал в начале, можно преобразовать ODT в PDF также непосредственно из браузера, используя некоторые специальные онлайн-сервисы. На самом деле, в Интернете есть множество инструментов, разработанных специально для выполнения наиболее распространенных операций преобразования, в том числе и для рассматриваемого типа файлов. Все они очень просты в использовании, но имейте в виду, что для функционирования, в отличие от программного обеспечения, указанного выше, им всегда требуется активное подключение к Интернету.
Online2PDF
Вам нужно конвертировать много документов в серии? Тогда вы могли бы пойти на онлайн-решение, как Online2PD что позволяет вам делать все из браузера (любого браузера), не загружая программное обеспечение на свой компьютер и не прибегая к специальным надстройкам. Он поддерживает документы с максимальным общим весом 100 МБ и уважает конфиденциальность пользователей, удаляя все файлы, которые загружаются на его серверы, в течение нескольких часов.
Чтобы узнать, как это работает, со ссылкой на вашу домашнюю страницу по указанной мной ссылке перетащите документы ODT, чтобы преобразовать их в PDF на кнопке. Выберите файлы (если перетаскивание не работает, нажмите кнопку и выберите документы «вручную») и нажмите конвертировать. Подождите несколько секунд, и преобразованные файлы будут автоматически загружены на ваш компьютер в папку скачать (Если вы не вносили никаких изменений в настройки по умолчанию веб-браузер ты используешь).
Если вы хотите, прежде чем начать процедуру преобразования, вы также можете внести изменения в окончательный файл, используя параметры, прикрепленные к вкладкам сжатие, перспектива, protección, Верхний / нижний колонтитул y обеспечение найден ниже.
Я подчеркиваю, что вы также можете объединить содержимое двух или более файлов ODT и экспортировать их в один PDF-файл. Для этого все, что вам нужно сделать, это выбрать элемент Объединить файлы из выпадающего меню режим работы:Расположите документы в том порядке, в котором вы хотите, чтобы они были соблюдены в окончательном PDF (нажмите и перетащите) и нажмите кнопку конвертировать.
ODT в PDF
Еще один онлайн-сервис, который я предлагаю вам попробовать конвертировать ваши файлы ODT в PDF, Это также бесплатный онлайн-ресурс, позволяющий одновременно прослушивать до 20 файлов, а затем загружать все в виде сжатых файлов.
Вы спрашиваете меня, как его использовать? Нет ничего проще. Прежде всего, перейдите на домашнюю страницу сервиса по ссылке, которую я только что показал вам, а затем нажмите кнопку Загрузить файлы и выберите документы ODT, хранящиеся на вашем компьютере, которые вы хотите преобразовать в PDF. Если вы предпочитаете, вы также можете воспользоваться перетаскиванием, перетащив файлы ODT, в которые вы собираетесь вмешаться, непосредственно в окне браузера, в соответствии с редактированием. Перетащите файлы сюда на странице обслуживания.
Затем дождитесь начала процедуры загрузки документа, а затем наведите курсор на перспективы индивидуальный и нажмите кнопку скачать или скачать все одним файлом ЗИП прессование Скачать все, Файлы будут сохранены в папке скачать ПК (если иное не указано в настройках используемого вами браузера).
convertio
Чтобы закрыть в красивом, как говорится, я хочу сделать вас знаком convertio, еще один очень простой в использовании онлайн-сервис, способный конвертировать ODT в PDF за четыре и четыре раза. Он оснащен красивым пользовательским интерфейсом, позволяет загружать файлы размером до 100 МБ, а также загружать документы из сервисов облачного хранения самый популярный
Чтобы использовать его, связанный с вашей домашней страницей через ссылку, которую я дал вам несколько строк, нажмите кнопку С ПК и выберите файлы ODT, хранящиеся на вашем ПК или Mac, которые вы хотите конвертировать. Вы также можете загружать файлы, перетаскивая их, просто перетаскивая их в окне веб-браузера.
Ваши файлы в сети, а не на вашем компьютере? Нет проблем. Вы также можете загрузить их через Dropbox o Google Привод, как вы уже запланировали, после нажатия соответствующих кнопок на экране, или вы можете взять его прямо из Интернета, нажав кнопку с цепь а затем указав URL (Вы также можете добавить более одного файла через соответствующие пустые поля, предложенные вам).
Как только файл был загружен, вы можете нажать кнопку конвертировать присутствует в нижней части, чтобы начать процесс преобразования. Затем нажмите зеленую кнопку скачать скачать окончательный PDF в папке скачать с ПК (всегда, если даже в этом случае вы не вносили никаких изменений в настройки по умолчанию используемого веб-браузера) или нажимайте кнопки со значками служб облачного хранилища, чтобы сохранить преобразованный документ непосредственно в Интернете.
Преобразование любого документа ODT в PDF бесплатно
Конвертирование ODT-файлов в PDF
.
Если вы постоянно работаете с документами, вы, скорее всего, слышали о формате .odt. Этот формат предназначен для того, чтобы предоставить вам всю необходимую ценность и эффективность, и в то же время упростить передачу данных в режиме онлайн по вашему усмотрению.
Что такое .odt?
Прекрасная вещь в использовании ODT заключается в том, что вам не нужно устанавливать Word. Возможно, в этом и заключается основная проблема — активное выяснение того, когда и как все это делать, а также определение текущих вещей, с которыми вам нужно разобраться.
Сложность, возникающая в результате использования этой функции, заключается в том, что вы должны установить Open Office. Это происходит потому, что .odt создается именно таким образом, и его тоже очень просто использовать. Он предлагает все преимущества и перспективы, которые вы хотите, и в то же время обеспечивает нужные вам значения и поддержку.
.
Как я могу открыть файл odt?
Если вы хотите открыть файл .odt, то для его открытия вам понадобится либо Open Office, либо LibreOffice. Хорошо то, что оба приложения являются бесплатными. Так что если у вас есть подключение к Интернету, вам просто нужно войти в Google, вписать названия этих приложений, и вы можете идти. Это действительно помогает вам очень много, и это может принести впереди некоторые удивительные результаты все время из-за этого. Это прекрасная возможность рассмотреть и тот, который имеет потенциал, чтобы окупиться очень хорошо в конце.
.
Так что да, вы можете просто загрузить любое из двух приложений, а затем отредактировать файл, который вам нужен. Если вы хотите просмотреть его в более профессионально вы можете выбрать, чтобы конвертировать его в PDF. Это на самом деле вариант, который многим людям нравится, потому что это просто, удобно, и он ставит все управление в ваших руках все время. Преимущество в том, что вы получаете огромное внимание к деталям и значение само по себе может быть довольно удивительным, независимо от ситуации.
.
Какой лучший способ конвертировать odt в PDF?
Процесс преобразования сфокусирован на том, чтобы сделать вещи проще и лучше для вас. Он предлагает всю необходимую помощь и контроль. Именно поэтому вам необходимо использовать наш онлайн-конвертер. Мы упростили вам доступ и использование всех этих функций, и вы можете выбрать доступ ко всем этим функциям без особых хлопот. Мы понимаем, насколько сложным может быть получение мгновенного доступа к такого рода материалам.
И да, с нашим онлайн-конвертером вы, наконец, получите все функции и преимущества, которые вам могут понадобиться. Мы считаем, что качество — это все, и поэтому вы можете быть уверены, что преобразование .odt в PDF происходит максимально быстро и надежно. Вы можете рассчитывать на нас, чтобы помочь вам конвертировать столько файлов .odt, как вы хотите, чтобы PDF в кратчайшие сроки. Используйте наш сайт сегодня, и вы не будете разочарованы
.
Конвертировать ODT в PDF — Онлайн Конвертер Файлов
Исходный формат:CSV — Comma Separated ValuesDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint PresentationPPTX — PowerPoint Presentation 2007PDF — Portable Document FormatPS — PostScriptEPS — Encapsulated PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Text documentWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash Video FileM4V — MPEG-4 Video FileMKV — Matroska Video FileMOV — Apple QuickTime Movie FileMP4 — MPEG-4 Video FileMPEG — Moving Picture Experts Group FileOGV — Ogg Vorbis Video FileWMV — Windows Media Video FileWEBM — HTML5 Video FileAAC — Advanced Audio Coding FileAC3 — AC3 Audio FileAIFF — Audio Interchange File FormatAMR — Adaptive Multi-Rate Audio FileAPE — Monkey’s Lossless Audio FormatAU — Sun’s Audio File FormatFLAC — Free Lossless Audio CodecM4A — MPEG-4 Audio FileMKA — Matroska Audio FileMP3 — MPEG-1 Audio Layer 3 FileMPC — MusePack Audio FileOGG — Ogg Vorbis Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Waveform Audio File FormatWMA — Windows Media Audio FileBMP — Windows BitmapEXR — OpenEXR File FormatGIF — Graphics Interchange FormatICO — ICO File FormatJP2 — JPEG 2000 compliant imageJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Netpbm Portable Bitmap formatPCX — Paintbrush image formatPGM — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Microsoft Compiled HTML HelpEPUB — Electronic PublicationFB2 — Fiction Book 2.0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Cabinet
Как конвертировать ODT в PDF
Некоторые текстовые процессоры, например Google Docs и OpenOffice.org Writer, часто используют файлы формата ODT (Open Document Text). Предоставляем вашему вниманию лучшее программное обеспечение для преобразования ODT в PDF.
Лучшая программа для конвертирования ODT-файлов в PDF
PDFelement — это полнофункциональная программа, оснащенная комплексными решениями для преобразования и редактирования PDF-файлов. Данная программа обеспечивает высокую скорость конвертирования при конвертировании ODT и других файлов в PDF всего за пару кликов.
БЕСПЛАТНО СКАЧАТЬ
Как конвертировать документ ODT в PDF
(Доступно только в версии для Windows)
Шаг 1. Загрузка файла ODT
Откройте PDFelement на своем компьютере. Для создания PDF-файла из ODT, перетащите ODT-документ прямо в окно приложения. Вы также можете щелкнуть на поле «Создать PDF» в главном окне для выбора файла в формате .odt и его загрузки.
Шаг 2. Редактирование PDF (необязательно)
Выбранный файл .odt будет автоматически создан и открыт в виде файла PDF. Вы сможете отредактировать тексты, изображения, заголовки, нижние колонтитулы созданного PDF-файла, щелкнув вкладку «Редактировать» перед сохранением документа. Попробуйте использовать все инструменты на этой вкладке для изменения PDF-файла.
Шаг 3. Сохранение PDF-файла
После редактирования файла его необходимо сохранить, нажав кнопку «Сохранить как» в меню «Файл». После этого ваш PDF-файл будет сохранен на вашем ПК.
PDFelement оснащен и другими нижеперечисленными функциями:
Вы также можете добавлять тексты или изображения в ваши PDF-файлы.
Вы также можете извлекать выбранные страницы или определенные части документов и преобразовывать их в формат PDF
Наряду с этим, вы можете создавать аннотации в вашем PDF-файле, выделять, подчеркивать или удалять ненужные области файла, а также создавать собственные штампы.
PDFelement — уникальная программа, поддерживающая множество форматов файлов.
С помощью этой программы вы также можете вставлять новые страницы и преобразовывать их в PDF-файлы.
БЕСПЛАТНО СКАЧАТЬ
Скачать Бесплатно или Купить PDFelement прямо сейчас!
Скачать Бесплатно или Купить PDFelement прямо сейчас!
Купить PDFelement прямо сейчас!
Купить PDFelement прямо сейчас!
Конвертировать ODT в PDF онлайн
Конвертируйте ODT в PDF: упрощайте редактирование документов в Интернете
Существует большой рынок приложений для работы с вашими документами без использования бумаги. Некоторые из них покрывают ваши потребности в заполнении и подписании форм, но требуют использования только настольного компьютера. Когда простого онлайн-инструмента для редактирования PDF-файлов недостаточно и требуется более гибкое решение, сэкономьте время и эффективно работайте с PDF-файлами с помощью pdfFiller.
pdfFiller — это онлайн-сервис управления документами с множеством встроенных функций редактирования. Загружайте и изменяйте шаблоны в PDF, Word, PNG, TXT и других популярных форматах файлов. Сделайте все свои документы заполняемыми, отправляйте заявки, заполняйте формы, подписывайте контракты и т. Д.
Перейдите на сайт pdfFiller в своем браузере, чтобы начать работу.Создайте новый документ самостоятельно или перейдите к программе загрузки, чтобы найти файл на своем устройстве и начать его редактирование. Все инструменты для обработки документов доступны вам в один клик.
Используйте мощные функции редактирования для ввода текста, добавления комментариев и выделения. После завершения документа загрузите его на свое устройство или сохраните в стороннем облаке интеграции. Добавьте изображения в свой PDF-файл и измените его внешний вид.Попросите других пользователей заполнить документ. Добавляйте заполняемые поля и отправляйте документы на подпись. Измените порядок страниц.
Создайте документ самостоятельно или загрузите форму, используя следующие методы:
1
Загрузите документ со своего устройства.
2
Загрузите документ из своего облачного хранилища (Google Drive, Box, DropBox, One Drive и другие).
3
Просмотрите библиотеку USLegal.
4
Откройте вкладку Enter URL и вставьте ссылку на свой файл.
5
Найдите нужную форму в библиотеке шаблонов.
Благодаря pdfFiller редактирование документов в Интернете еще никогда не было таким быстрым и эффективным. Улучшите свой рабочий процесс и упростите заполнение шаблонов и подписание форм.
ODT в PDF — конвертируйте ODT в PDF онлайн бесплатно
Только варианты преобразования документа:
Опции только для преобразования изображений:
Размер изображения:
Сохранить исходный размер изображения Изменить ширину и высоту Изменить только ширину Изменить только высоту Изменить процент от исходного
Опции только для конвертации видео:
Размер видео:
Храните оригинал видео sizeCustomize видео size160x112176x144220x176320x240352x240352x288368x208480x272480x320480x480480x576512x384640x480 (480p) 720x480720x5761080x720 (720p) 1440x10801920x1080 (1080p) 1920x12002048x15362560x14402560x16003840x2160
Битрейт видео:
Сохранять исходный битрейт видео Настроить битрейт видео 64k96k112k128k160k192k256k384k512k768k1024k2000k4000k5000k6000k8000k10000k12000k
Частота кадров:
Сохранить исходную частоту кадров Настроить частоту кадров 81012152023.976242529.97305060
Видео аспект:
Сохранить исходный формат видео 4: 316: 9
Опции только для преобразования аудио:
Аудио битрейт:
Сохранить исходный битрейт аудио Настроить битрейт аудио 32k64k96k128k160k192k224k256k320k
Частота дискретизации:
Сохранить исходную частоту дискретизации Настроить частоту дискретизации 11025220504410048000
Как преобразовать ODT в формат PDF
Odt — текстовый файл открытого документа.Эти файлы создаются программами Open Office и могут быть легко открыты с помощью одного из них. Одним из основных преимуществ использования файлов odt является то, что их можно легко импортировать на диск Google, в документы и электронные таблицы для различных целей.
Как бы типично это ни звучало, odt-файлы — это просто текстовые файлы, которые можно использовать для написания простого текста, а затем для импорта его в различные другие приложения. Но если вы предпочитаете конвертировать odt в формат PDF , вы можете следовать этому руководству, чтобы выполнить преобразование без проблем.
Лучший создатель PDF для преобразования ODT в формат PDF
PDFelement Pro — лучший конвертер ODT в PDF, который позволяет легко создавать PDF из формата ODT. Кроме того, вы можете конвертировать PDF в Excel, PowerPoint, изображения и другие форматы файлов. Этот создатель PDF позволяет создавать PDF из многих других форматов файлов. С помощью нескольких инструментов редактирования PDF вы можете с легкостью редактировать такие элементы, как изображения, ссылки и страницы в файлах PDF.
Как конвертировать ODT в файлы PDF
Вы можете открыть файл ODT, отредактировать файл, а затем сохранить файл ODT как файл PDF, чтобы впоследствии открыть его.Выполните следующие действия, чтобы быстро завершить преобразование ODT в PDF:
Шаг 1. Запустите программу и импортируйте файл ODT.
Самый первый шаг — запустить iSkysoft PDF Editor и импортировать нужный файл. Вы можете легко перейти к нужному файлу, используя опцию «Создать PDF», доступную в главном интерфейсе программы.
Вы также можете перетащить выбранный файл ODT на кнопку «Создать PDF», чтобы напрямую открыть файл ODT.
Шаг 2. Отредактируйте документ (необязательно)
После открытия файла odt в программе вы можете приступить к его редактированию. Редактор предоставляет вам ряд возможностей редактирования, таких как вставка текста, изображений, комментариев и закладок. Вы можете очень легко выделить текст и добавить водяные знаки в свои документы в приложении. Этот шаг не является обязательным, и если вы не хотите редактировать ваш документ; вы можете легко пропустить этот шаг, чтобы перейти к действительному этапу преобразования.
Шаг 3.Сохранить ODT в файл PDF
После завершения редактирования документа odt, теперь вы можете преобразовать его в документ PDF, выбрав меню «Файл». Нажмите на опцию «Сохранить как» в этом меню и мгновенно сохраните файл odt как файл pdf. Даже большие файлы odt можно преобразовать в файлы PDF за несколько минут. После преобразования файла в формат PDF вы можете использовать его как файл PDF в соответствии с вашими потребностями.
Почему стоит выбрать PDFelement Pro для Windows как лучший конвертер ODT в PDF
Файлы ODT — это простые текстовые файлы, но для их открытия требуется любое открытое офисное программное обеспечение.Однако, если на вашем компьютере не установлено какое-либо открытое офисное программное обеспечение, вам не нужно устанавливать его, чтобы открыть файл odt. Все, что вам нужно, это PDFelement Pro для выполнения этой функции и многих других подобных функций.
Будь то формат файла doc, xls или odt, PDFelement Pro разработан таким образом, что он может очень быстро импортировать и декодировать любой формат текстового файла.
Вы можете не только быстро импортировать файлы любых форматов, но и преобразовать один формат файла в другой.
Легко конвертируйте файлы PDF в Word, PPT, Excel, Image и другие форматы файлов.
Превратите отсканированный PDF-файл в редактируемые форматы с помощью технологии распознавания текста.
Вы можете разделить или объединить любой PDF-файл всего за несколько кликов.
Создавайте PDF-файлы из файлов других форматов и с легкостью создавайте PDF-формы.
Выполняйте простые функции, такие как форматирование, разметка и выделение текста в файлах, очень легко.
Онлайн-конвертер ODT в PDF
Вы также можете конвертировать ODT во многие другие форматы файлов. См. Полный список ниже.
Конвертер ODT в EPUB (формат файлов цифровых электронных книг)
Конвертер ODT в XPS (спецификация Open XML Paper)
Конвертер ODT в TEX (исходный документ LaTeX)
Конвертер ODT в PPT (презентация PowerPoint)
Конвертер ODT в PPS (слайд-шоу Microsoft PowerPoint)
Конвертер ODT в PPTX (презентация PowerPoint Open XML)
Конвертер ODT в PPSX (слайд-шоу PowerPoint Open XML)
Конвертер ODT в ODP (формат файла презентации OpenDocument)
Конвертер ODT в OTP (шаблон исходного графика)
Конвертер ODT в POTX (шаблон Microsoft PowerPoint Open XML)
Конвертер ODT в POT (шаблон PowerPoint)
Конвертер ODT в POTM (шаблон Microsoft PowerPoint)
Конвертер ODT в PPTM (презентация Microsoft PowerPoint)
Конвертер ODT в PPSM (слайд-шоу Microsoft PowerPoint)
Конвертер ODT в FODP (представление OpenDocument Flat XML)
Конвертер ODT в XLS (формат двоичных файлов Microsoft Excel)
Конвертер ODT в XLSX (электронная таблица Microsoft Excel Open XML)
Конвертер ODT в XLSM (электронная таблица Microsoft Excel с поддержкой макросов)
Конвертер ODT в XLSB (двоичный файл электронной таблицы Microsoft Excel)
Конвертер ODT в ODS (таблица открытого документа)
Конвертер ODT в XLTX (шаблон Microsoft Excel Open XML)
Конвертер ODT в XLT (шаблон Microsoft Excel)
Конвертер ODT в XLTM (шаблон Microsoft Excel с поддержкой макросов)
Конвертер ODT в TSV (файл значений, разделенных табуляцией)
Конвертер ODT в XLAM (надстройка Microsoft Excel с поддержкой макросов)
Конвертер ODT в CSV (файл значений, разделенных запятыми)
Конвертер ODT в FODS (электронная таблица OpenDocument Flat XML)
Конвертер ODT в SXC (таблица StarOffice Calc)
Конвертер ODT в DOC (документ Microsoft Word)
Конвертер ODT в DOCM (документ Microsoft Word с поддержкой макросов)
Конвертер ODT в DOCX (документ Microsoft Word Open XML)
Конвертер ODT в DOT (шаблон документа Microsoft Word)
Конвертер ODT в DOTM (шаблон Microsoft Word с поддержкой макросов)
Конвертер ODT в DOTX (шаблон документа Word Open XML)
Конвертер ODT в RTF (формат файла RTF)
Конвертер ODT в ODT (текст открытого документа)
Конвертер ODT в OTT (шаблон открытого документа)
Конвертер ODT в TXT (формат обычного текстового файла)
Конвертер ODT в MD (Markdown)
Конвертер ODT в TIFF (формат файлов изображений с тегами)
Конвертер ODT в TIF (формат файлов изображений с тегами)
Конвертер ODT в JPG (файл изображений совместной группы экспертов по фотографии)
Конвертер ODT в JPEG (изображение JPEG)
Конвертер ODT в PNG (переносимая сетевая графика)
Конвертер ODT в GIF (файл графического формата обмена)
Конвертер ODT в BMP (формат файла растрового изображения)
Конвертер ODT в ICO (файл значков Microsoft)
Конвертер ODT в PSD (документ Adobe Photoshop)
Конвертер ODT в WMF (метафайл Windows)
Конвертер ODT в EMF (расширенный формат метафайлов)
Преобразователь ODT в DCM (изображение DICOM)
Конвертер ODT в WEBP (формат файлов растровых изображений в Интернете)
Конвертер ODT в SVG (файл масштабируемой векторной графики)
Конвертер ODT в JP2 (файл основного изображения JPEG 2000)
Конвертер ODT в EMZ (сжатый расширенный метафайл Windows)
Конвертер ODT в WMZ (сжатый метафайл Windows)
Конвертер ODT в SVGZ (сжатый файл масштабируемой векторной графики)
Конвертер ODT в HTML (язык гипертекстовой разметки)
Конвертер ODT в HTM (файл языка гипертекстовой разметки)
Конвертер ODT в MHT (инкапсуляция MIME агрегированного HTML)
Конвертер ODT в MHTML (инкапсуляция MIME агрегированного HTML)
конвертировать ODT в PDF — онлайн-конвертер файлов
ОРИГИНАЛЬНЫЙ ФОРМАТ: CSV — значения, разделенные запятымиDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint Presentation Format — PowerPoint Presentation Format — PowerPoint Presentation Format 2007PPT — PowerPoint Presentation — PostScriptEPS — Инкапсулированный PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Текстовый документWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash MPEG Video FileM4V Видео файл MKV — Видео файл Matroska MOV — Файл фильма Apple QuickTime MP4 — Видео файл MPEG-4 MPEG — Файл видео группы экспертов по движущимся изображениямOGV — Видео файл Ogg VorbisWMV — Видео файл Windows MediaWEBM — Видео файл HTML5AAC — Файл расширенного кодирования звукаAC3 — Аудио файл AC3AIFF — Аудио Intercha Формат файла nge AMR — Адаптивный многоскоростной аудиофайл APE — Аудиоформат без потерь Monkey AU — Формат аудиофайлов SunFLAC — Свободный аудиокодек без потерь Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Формат звуковых файлов WMA — Аудиофайл Windows MediaBMP — Windows BitmapEXR — Формат файла OpenEXR GIF — Формат обмена графикой ICO — Формат файла ICOJP2 — Совместимое с JPEG изображениеJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Портативный формат растрового изображения NetpbmPCX — Формат изображения PaintbrushPG — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Скомпилированная справка Microsoft HTML EPUB — Электронная публикацияFB2 — Fiction Book 2.0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Шкаф
CAB
Конвертировать ODT в PDF (бесплатно и онлайн)
ODT
Текстовый документ OpenDocument
Формат расширения имени файла Open Document Text — это альтернативный формат файлов с открытым исходным кодом и файлов обработки текста, позволяющий пользователям создавать текстовые документы, которые можно открывать и редактировать с помощью обширного списка приложений для обработки документов.И проприетарные приложения (например, в Microsoft Office word), и приложения для обработки документов с открытым исходным кодом (например, OpenOffice) поддерживают расширение имени файла .odt, обеспечивающее взаимодействие между программными системами. Формат полезен для тех, кто создает документы, предназначенные для широкой аудитории, а не обязательно для аудитории с конкретным пакетом обработки документов. Расширение было впервые выпущено в 2005 году.
PDF
Файл формата переносимого документа
Файл.Расширение формата файла pdf было разработано компанией Adobe Systems в 1993 году как средство единообразного представления документов на различных платформах, оборудовании, операционных системах и приложениях. Этот формат не был выпущен как формат документа с открытым исходным кодом до 2008 года, хотя в этом формате все еще существуют минимальные проприетарные технологии, контролируемые Adobe Systems. Каждый документ .pdf несет в себе необходимую метаинформацию, необходимую для правильного восстановления текста, шрифтов и графики, используемых для создания документа.Это гарантирует, что документы будут просматриваться точно так же, как задумал автор, независимо от устройства, используемого для открытия документа. От концепции до настоящего времени Adobe Systems продолжала поддерживать формат, добавляя функции с каждой итерацией стандарта, включая усиленные алгоритмы шифрования документов и обеспечения конфиденциальности. Сегодня существует множество бесплатных программ для чтения, позволяющих открывать и просматривать документы .pdf, а также создавать или конвертировать файлы других форматов, такие как .jpeg и .doc, в документы .pdf.
Конвертировать ODT в PDF онлайн без установки
ODT в pdf Простое преобразование
OpenDocument Text (.odt) позволяет обмениваться файлами через ряд программного обеспечения с открытым исходным кодом и через MS. Слово. Формат не сохраняет все функции Word, что является одной из причин, по которой он часто конвертируется в PDF. Последнее расширение имеет множество удобных для пользователя функций, таких как:
Средства безопасности, включая защиту паролем.
Совместимость с более широким спектром операционных систем, включая Mac OS и Linux.
Удобное для печати форматирование, которое отображается на странице так же, как на экране.
Формат не теряет таких функций документа Word, как удобство использования.
PDF-файлов — более полезная альтернатива, когда вы продаете или делитесь электронными книгами.
Несколько страниц odt могут быть объединены в один PDF, что повышает удобство использования и удобство.
Сотрудничество с коллегами и друзьями намного проще при использовании универсального формата.
Конвертировать odt в PDF стало еще проще. File-converter-online.com — это бесплатный трехэтапный инструмент на основе браузера, который позволяет выполнять все задачи преобразования без регистрации.Ваша конфиденциальность гарантирована, и теперь этот инструмент позволяет редактировать документы в Интернете, не требуя загрузки какого-либо программного обеспечения. Нажмите кнопку загрузки, выберите файл, который хотите преобразовать, и загрузите его. Это так просто.
PDF — это переносимый фиксированный формат, и это наиболее широко используемое расширение в мире из-за его независимости от операционных систем. Odt обычно используется для обозначения количества сохраняемых функций. Он поддерживает совместную работу с адресной книгой и блогом, объединение документов и отображение обычного текста, что делает его подходящим форматом для электронной почты.Он преобразует поля в простой текстовый формат без привязки к заголовкам, отслеживаемым изменениям и фреймам.
Преобразование в PDF дает вам возможность точно отформатировать документ, добавить защиту и включить изображения с изменяемым размером. Если вам нужны графические элементы и документ, который может быть подписан цифровой подписью, PDF профессионально удовлетворит ваши потребности.
Конвертер файлов онлайн.com — это сервис для онлайн-конвертации файлов из одного типа в другой. Мы заботимся о вашей конфиденциальности и заботимся о ваших файлах. При этом регистрация на file-converter-online.com не требуется. Поскольку мы предлагаем наши услуги в браузере, не имеет значения, используете ли вы Windows, Apple OS X или Linux. Ваши результаты конверсии всегда будут такими же, очень высокого качества и, конечно же, без водяных знаков.
найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: z=3. по…
Ответы
Если комплексное число имеет вид z=a+bi, то модуль этого числа r=√(a^2+b^2).
У нас z=3, т.е. а=3, b=0, значит, r=√(9+0)=3
Главное значение аргумента это arctg(b/a)=arctg(0/3)=0
03.09.16
✔Олеся / Математика
Читать ответы
Евгений
Читать ответы
Михаил Александров
Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука
Похожие вопросы
поставить знаки действия и,если нужно скобки,так что бы получилось верные равенства 33333=198 33333=366 33333=72 33333=243 33333=22
используя рисунок составь и реши задачи соответствующие выражениям (78-35)+10*2
Решено
Поставь знаки и, если нужно скобки в примерах так, чтобы получились данные результаты:
300 20 10 4=334
300 20 10 4=154
2sin^2x+cos4x=0
Найдите значение выражение
4\25+15\4
Напишите решение пожалуйста срочно надо
Пользуйтесь нашим приложением
Mathway | Популярные задачи
1
Найти точное значение
sin(30)
2
Найти точное значение
sin(45)
3
Найти точное значение
sin(30 град. )
4
Найти точное значение
sin(60 град. )
5
Найти точное значение
tan(30 град. )
6
Найти точное значение
arcsin(-1)
7
Найти точное значение
sin(pi/6)
8
Найти точное значение
cos(pi/4)
9
Найти точное значение
sin(45 град. )
10
Найти точное значение
sin(pi/3)
11
Найти точное значение
arctan(-1)
12
Найти точное значение
cos(45 град. )
13
Найти точное значение
cos(30 град. )
14
Найти точное значение
tan(60)
15
Найти точное значение
csc(45 град. )
16
Найти точное значение
tan(60 град. )
17
Найти точное значение
sec(30 град. )
18
Найти точное значение
cos(60 град. )
19
Найти точное значение
cos(150)
20
Найти точное значение
sin(60)
21
Найти точное значение
cos(pi/2)
22
Найти точное значение
tan(45 град. )
23
Найти точное значение
arctan(- квадратный корень из 3)
24
Найти точное значение
csc(60 град. )
25
Найти точное значение
sec(45 град. )
26
Найти точное значение
csc(30 град. )
27
Найти точное значение
sin(0)
28
Найти точное значение
sin(120)
29
Найти точное значение
cos(90)
30
Преобразовать из радианов в градусы
pi/3
31
Найти точное значение
tan(30)
32
Преобразовать из градусов в радианы
45
33
Найти точное значение
cos(45)
34
Упростить
sin(theta)^2+cos(theta)^2
35
Преобразовать из радианов в градусы
pi/6
36
Найти точное значение
cot(30 град. )
37
Найти точное значение
arccos(-1)
38
Найти точное значение
arctan(0)
39
Найти точное значение
cot(60 град. )
40
Преобразовать из градусов в радианы
30
41
Преобразовать из радианов в градусы
(2pi)/3
42
Найти точное значение
sin((5pi)/3)
43
Найти точное значение
sin((3pi)/4)
44
Найти точное значение
tan(pi/2)
45
Найти точное значение
sin(300)
46
Найти точное значение
cos(30)
47
Найти точное значение
cos(60)
48
Найти точное значение
cos(0)
49
Найти точное значение
cos(135)
50
Найти точное значение
cos((5pi)/3)
51
Найти точное значение
cos(210)
52
Найти точное значение
sec(60 град. )
53
Найти точное значение
sin(300 град. )
54
Преобразовать из градусов в радианы
135
55
Преобразовать из градусов в радианы
150
56
Преобразовать из радианов в градусы
(5pi)/6
57
Преобразовать из радианов в градусы
(5pi)/3
58
Преобразовать из градусов в радианы
89 град.
59
Преобразовать из градусов в радианы
60
60
Найти точное значение
sin(135 град. )
61
Найти точное значение
sin(150)
62
Найти точное значение
sin(240 град. )
63
Найти точное значение
cot(45 град. )
64
Преобразовать из радианов в градусы
(5pi)/4
65
Найти точное значение
sin(225)
66
Найти точное значение
sin(240)
67
Найти точное значение
cos(150 град. )
68
Найти точное значение
tan(45)
69
Вычислить
sin(30 град. )
70
Найти точное значение
sec(0)
71
Найти точное значение
cos((5pi)/6)
72
Найти точное значение
csc(30)
73
Найти точное значение
arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74
Найти точное значение
tan((5pi)/3)
75
Найти точное значение
tan(0)
76
Вычислить
sin(60 град. )
77
Найти точное значение
arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78
Преобразовать из радианов в градусы
(3pi)/4
79
Найти точное значение
sin((7pi)/4)
80
Найти точное значение
arcsin(-1/2)
81
Найти точное значение
sin((4pi)/3)
82
Найти точное значение
csc(45)
83
Упростить
arctan( квадратный корень из 3)
84
Найти точное значение
sin(135)
85
Найти точное значение
sin(105)
86
Найти точное значение
sin(150 град. )
87
Найти точное значение
sin((2pi)/3)
88
Найти точное значение
tan((2pi)/3)
89
Преобразовать из радианов в градусы
pi/4
90
Найти точное значение
sin(pi/2)
91
Найти точное значение
sec(45)
92
Найти точное значение
cos((5pi)/4)
93
Найти точное значение
cos((7pi)/6)
94
Найти точное значение
arcsin(0)
95
Найти точное значение
sin(120 град. )
96
Найти точное значение
tan((7pi)/6)
97
Найти точное значение
cos(270)
98
Найти точное значение
sin((7pi)/6)
99
Найти точное значение
arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100
Преобразовать из градусов в радианы
88 град.
Конспект лекц. 1-ый семестр
Лекция
2
Комплексные числа можно рассматривать
как точки плоскости с введённой
прямоугольной системой координат. В этом случае
плоскость называют комплексной плоскостью.
\
Между
комплексными числами и векторами устанавливается
взаимно-однозначное соответствие.
Число называют модулем числа z и обозначают |z|. Модуль комплексного числа определяется однозначно.
Угол j между вектором и положительным
направлением оси 0x называют
аргументом числа z и обозначают Arg z. Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Все аргументы
комплексного числа отличаются друг от друга на , . Выделяется так называемое главное значение аргумента , обозначаемое . Обычно главное значение аргумента комплексного числа берут
в следующих пределах
.
Если и , то
,
где
при ,
при ,
при .
Если же , то
Аргумент комплексного
числа не определён.
Главное
значение аргумента определяют так же в пределах
.
Из определения
модуля комплексного числа и следует
, ,
где , . Отсюда получаем
. (6)
Выражение
(6) называется тригонометрической формой
комплексного числа z .
Выражение
называется
формулой Эйлера. С помощью этой формулы из тригонометрической формы (6)
получают показательную форму комплексного
числа
.
(7)
Частные случаи
, .
Функция , как функция от j, является периодической с периодом 2p.
Справедливы
формулы
, ,
, .
Тригонометрическую и показательнаую формы комплексного
числа удобно использовать при выполнении операций умножения и деления
комплексных чисел.
Если
, ,
то
, (8)
(9)
или в тригонометрической
форме
,
(10)
. (11)
Из
этих формул следуют формулы Муавра в тригонометрической форме
(12)
и
показательной форме
.
(13)
П р и м е р 3. Вычислите комплексное число
Ответ запишите в алгебраической форме.
Р е ш е н и е.Введём
обозначения
,.
Тогда
или
в тригонометрической форме
,
где и – модуль и главное
значение аргумента комплексного числа , и модуль и главное значение аргумента комплексного числа .
Считаем, что . В таком случае для имеем
.
Аналогично для
.
Тогда
Выделяем главное значение аргумента . Оно равно, очевидно, . Наконец, записываем полученный результат
.
О п р е д е л е н и е. Комплексноечисло называется корнем n-й степени из числа , если .
Любое ненулевое число имеет ровно n различных корней n-й степени и эти корни
находятся по формуле
, (14)
где , – арифметический
корень n-й степени из положительного
числа .
П р и м е р 4. Вычислите .
Р е ш е н и е. В данном случае . Поэтому . Значит, , . Поэтому согласно формуле (14) имеем
, ,
или
.
О
п р е д е л е н и е. Многочленом n-ой степени
называется функция
,
где – коэффициенты. Очевидно, . Если , т.е.
(15)
то
число называется корнем или
нулём многочлена , а выражение (15) –
алгебраическим уравнением.
П р и м е р 5. Найдите корни уравнения .
Р е ш е н и е.Воспользуемся
формулой корней квадратного уравнения
.
Таким образом,
, .
Квадратное уравнение всегда имеет 2 корня.
Введём обозначение . Возможны следующие три случая:
– корни
вещественные различные,
– корни
вещественные одинаковые,
– корни комплексные сопряжённые.
Если коэффициенты алгебраического уравнения
вещественные и уравнение имеет комплексный корень , то всегда существует ему комплексно сопряженный корень , т.е. комплексные корни существуют парами.
Основная теорема алгебры. Всякий многочлен степени имеет n корней, при этом корни могут быть вещественными
или комплексными, а также простыми или кратными.
Пусть корни уравнения имеют соответственно
кратности при этом . Тогда многочлен можно представить в
виде
(16)
Выражение
(16) называется разложением многочлена на линейные множители. Если коэффициенты
многочлена вещественные, то комплексные корни будут попарно сопряженными,
т.е. и
.
Здесь . Поэтому, если коэффициенты вещественные, то многочлен
представляется в виде произведения линейных и квадратичных множителей.
О п р е д е л е н и е. Рациональной дробью называется функция где – степенные
многочлены. В общем случае рациональную дробь представим в виде
Если , то рациональная дробь называется неправильной, а при правильной.
Например, рациональная дробь
будет неправильной, так
как здесь и , а дробь
будет правильная, потому что в этом случае .
Всякую неправильную дробь можно представить в виде
суммы целой части (т.е. степенного многочлена) и правильной дроби. Всякая
правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших
дробей:
1)
2)
3),
4).
П
р и м е р 6.Разложить на
простейшие рациональную дробь .
Р
е ш е н и е. Заданную дробь
представляем в виде суммы простейших дробей первого типа
, (17)
где неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты находятся
следующим образом. Правую часть равенства (17)
приводим к общему знаменателю
.
(18)
Так
как дроби в выражения (18) равны и
знаменатели этих дробей равны, то и числители тоже будут равны.
Приравнивая числители дробей в равенстве (18), получаем
. (19)
Выражение (19) представляет
собой равенство двух степенных многочленов, т.е.
. (20)
Два степенных многочлена
равны тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты при соответствующих
степенях . Приравниваем коэффициенты при и получаем , при и получаем . Итак, мы имеем два уравнения относительно и
Решением
этой системы будет . Подставляем найденные значения коэффициентов в выражение
(18)
.
Объяснение урока: Аргумент комплексного числа
В этом объяснении мы узнаем, как определить аргумент комплексного числа и как его вычислить.
Когда мы наносим комплексные числа на диаграмму Аргана, мы видим, что комплексные числа имеют много общих свойств с векторами. Например, сложение и вычитание комплексных чисел
геометрически эквивалентны соответствующим операциям над векторами. Мы знаем, что характеристиками вектора являются его направление и величина, поэтому комплексное число должно иметь
эквивалентные характеристики. Напомним, что величина комплексного числа называется его модулем. Направление комплексного числа на диаграмме Аргана является аргументом комплексного числа.
Определение: Аргумент комплексного числа
Аргумент комплексного числа — это угол в радианах между положительной действительной осью в Аргане
диаграмма и отрезок линии между началом координат и комплексным числом, измеренный против часовой стрелки. Аргумент обозначается как arg(𝑧) или
Арг(𝑧).
Аргумент 𝜃 комплексного числа по соглашению задается в диапазоне -𝜋𝜃≤𝜋. Однако мы можем обсудить и сложный
число с аргументом больше 𝜋 или меньше -𝜋. Аргумент комплексного числа в диапазоне ]−𝜋,𝜋]
называется главным аргументом. Другие соглашения используют диапазон 0≤𝜃2𝜋 для основного аргумента, но это менее распространено.
Если нам дана декартова форма комплексного числа 𝑎+𝑏𝑖, мы можем использовать тригонометрию прямоугольного треугольника, чтобы найти аргумент комплексного числа. Например, рассмотрим
комплексное число, указанное на диаграмме Аргана выше. Поскольку это комплексное число лежит в первой четверти, мы можем видеть, что аргумент этого комплексного числа является углом в прямоугольном треугольнике,
стороны — это синие, зеленые и фиолетовые сегменты линий. В этом случае тангенс этого угла равен отношению противлежащего к прилежащему; следовательно,
загар𝜃=𝑏𝑎.
Затем мы можем вычислить 𝜃, применив функцию арктангенса к обеим частям этого уравнения:
𝜃=𝑏𝑎.tan
Этот метод можно использовать всякий раз, когда комплексное число находится в первом квадранте. В нашем первом примере мы найдем главный аргумент комплексного числа в первом квадранте с помощью
с помощью тригонометрии прямоугольного треугольника.
Пример 1. Нахождение аргумента комплексного числа в радианах
Найдите аргумент комплексного числа 4+3𝑖 в радианах. Дайте правильный ответ с точностью до двух знаков после запятой.
Ответ
Напомним, что аргументом комплексного числа является угол в радианах между положительной действительной осью аргана
диаграмма и линия между началом координат и комплексным числом, измеренная против часовой стрелки. Мы также помним, что аргумент комплексного числа по соглашению дается в
диапазон ]−𝜋,𝜋].
Начнем с нанесения комплексного числа на диаграмму Аргана.
Мы обозначили аргумент комплексного числа на приведенной выше диаграмме Аргана 𝜃. Мы видим, что аргументом этого комплексного числа является угол в правой
треугольник, сторонами которого являются синий, зеленый и фиолетовый отрезки. Применяя тригонометрию прямоугольного треугольника, получаем
таннапротив соседнего𝜃==34.
Затем мы можем применить функцию арктангенса к обеим частям этого уравнения, чтобы найти
𝜃=34=0,6435….arctanradians
Следовательно, argradians(4+3𝑖)=0,64 с точностью до двух знаков после запятой.
В предыдущем примере мы смогли вычислить аргумент комплексного числа 𝑎+𝑏𝑖, вычислив арктангенс 𝑏𝑎. Однако это не относится ко всем комплексным числам, как будет показано в следующем примере.
Пример 2. Нахождение главного аргумента комплексного числа
Учитывая, что 𝑍=−12+√32𝑖, найдите главный аргумент 𝑍.
Ответ
Напомним, что аргументом комплексного числа является угол в радианах между положительной действительной осью диаграммы Аргана
и линия между началом координат и комплексным числом, измеренная против часовой стрелки. Кроме того, мы помним, что главный аргумент комплексного числа — это аргумент, лежащий
в диапазоне ]−𝜋,𝜋].
Начнем с нанесения комплексного числа на диаграмму Аргана, как показано ниже.
Мы обозначили аргумент комплексного числа на приведенной выше диаграмме Аргана 𝜃, а дополнительный угол 𝜙. Мы видим, что
𝜙 — угол в прямоугольном треугольнике, сторонами которого являются синий, зеленый и фиолетовый отрезки. Применяя тригонометрию прямоугольного треугольника, получаем
tanoppositeadjacent𝜙==.√
Затем мы можем применить функцию арктангенса к обеим частям этого уравнения, чтобы найти
𝜙=⎛⎜⎜⎝⎞⎟⎟⎠=√3=𝜋3.arctanrctanradians√
Затем мы можем вычислить аргумент, вычитая 𝜙 из 𝜋:
арградианцы(𝑍)=𝜋−𝜙=𝜋−𝜋3=2𝜋3.
Заметим, что этот аргумент лежит в диапазоне ]−𝜋,𝜋]; следовательно, это главный аргумент.
Мы заключаем, что главный аргумент данного комплексного числа равен 2𝜋3.
В предыдущем примере мы видели, что аргумент комплексного числа 𝑎+𝑏𝑖 не всегда равен арктангенсу 𝑏𝑎. На самом деле, если бы мы наивно пытались вычислить аргумент 𝑧, оценивая
𝛼=⎛⎜⎜⎝⎞⎟⎟⎠,арктан√
мы бы закончили с
𝛼=−√3=−𝜋3.arctanradians
Этот аргумент представляет угол по часовой стрелке от положительной действительной оси в 𝜋3 радиана,
что поместит комплексное число в четвертый квадрант. Из диаграммы Аргана в предыдущем примере видно, что это не аргумент комплексного числа. Однако мы можем получить правильное значение arg(𝑧), добавив 𝜋 к 𝛼.
Этот эффект показывает, что нам нужно быть осторожными при вычислении аргумента комплексного числа, которое не лежит в первом квадранте. Кроме того, мы видим, что существуют разные
подходит для получения arg(𝑧).
Мы описываем два разных метода вычисления аргумента комплексного числа. Какой бы метод мы ни выбрали, нанесение числа на диаграмму Аргана будет чрезвычайно полезным.
и поможет нам избежать типичных ошибок при вычислении аргумента.
Практическое руководство. Нахождение аргумента комплексного числа с помощью функции арктангенса
Чтобы найти аргумент arg(𝑧) комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, нам нужно рассмотреть, в каком квадранте оно находится. аргумент
Комплексное число 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 можно получить с помощью функции арктангенса в каждом квадранте следующим образом:
Если 𝑧 лежит в первом или четвертом квадранте,
аргарктан(𝑧)=𝑏𝑎.
Если 𝑧 лежит во втором квадранте,
аргарктан(𝑧)=𝑏𝑎+𝜋.
Если 𝑧 лежит в третьем квадранте,
аргарктан(𝑧)=𝑏𝑎−𝜋.
Если комплексное число не лежит в квадранте, то оно либо чисто действительное, либо чисто мнимое. Если оно чисто мнимое (𝑎=0), то
argforargfor(𝑧)=𝜋2𝑏>0,(𝑧)=−𝜋2𝑏0.
Если чисто действительный (𝑏=0), то
argforargfor(𝑧)=0𝑎>0,(𝑧)=𝜋𝑎0.
Наконец, если 𝑎=𝑏=0, аргумент не определен.
Эти точки показаны на следующей диаграмме.
Основное преимущество описанного выше метода заключается в том, что нам дана формула, которой нужно следовать в каждой ситуации. Однако этот метод также требует, чтобы мы либо запоминали каждое правило, либо имели доступную ссылку на правила. Альтернативный метод нахождения аргумента комплексного числа — использовать тригонометрию прямоугольного треугольника, чтобы сначала определить положительный острый угол между действительной осью и отрезком линии между началом координат и комплексным числом на диаграмме Аргана. Найдя положительный острый угол, мы можем найти аргумент комплексного числа геометрически.
Как найти аргумент комплексного числа с использованием положительных острых углов
Мы определяем угол 𝜃 как положительный острый угол между линией, соединяющей 𝑧 с началом координат, и действительной осью, как показано на диаграмме.
Мы можем затем рассчитать аргумент 𝑧 в разных квадрантах следующим образом:
Квадрант 1 : arg (𝑧) = 𝜃
Квадрант 2 : arg (𝑧) = 𝜋 —
Квадрант 3 : arg(𝑧)=𝜃−𝜋
Квадрант 4 : arg(𝑧)=−𝜃
Два разных метода получения аргумента комплексного числа приведут к одному и тому же ответу. Второй метод, использующий положительный острый угол, более интуитивен и требует меньшего запоминания. Используя этот метод, мы сначала вычисляем положительный острый угол, а затем используем его для нахождения аргумента комплексного числа, которое представляет собой угол против часовой стрелки от положительной вещественной оси, лежащий в диапазоне ]−𝜋,𝜋].
В следующем примере мы применим этот метод для нахождения аргумента комплексного числа, лежащего в третьем квадранте.
Пример 3: связь между комплексным сопряжением и аргументом
Рассмотрим комплексное число 𝑧=−4−5𝑖.
Вычислить arg(𝑧), давая ответ с точностью до двух знаков после запятой в интервале от −𝜋 до 𝜋.
Вычислите arg𝑧, давая ответ с точностью до двух знаков после запятой в интервале от −𝜋 до 𝜋.
Ответ
Напомним, что аргументом комплексного числа является угол в радианах между положительной действительной осью диаграммы Аргана и линией между началом координат и комплексным числом, измеренный против часовой стрелки. Мы также помним, что аргумент комплексного числа по соглашению задается в диапазоне ]−𝜋,𝜋].
Часть 1
Начнем с нанесения комплексного числа на диаграмму Аргана, как показано ниже.
Мы обозначили острый угол 𝜙, который связан с аргументом комплексного числа 𝑧. Если мы можем найти угол 𝜙, аргумент этого числа можно получить, прибавив 𝜋 к этому углу. Однако мы видим, что этот аргумент не будет лежать в диапазоне ]−𝜋,𝜋]. Затем мы должны вычесть из этого полученного угла полный оборот 2𝜋, что приводит к соотношению
arg(𝑧)=(𝜙+𝜋)−2𝜋=𝜙−𝜋.
Мы видим, что 𝜙 — это угол в прямоугольном треугольнике, стороны которого являются синими, зелеными и фиолетовыми отрезками. Применяя тригонометрию прямоугольного треугольника, получаем
таннапротив соседнего𝜙==54.
Затем мы можем применить функцию арктангенса к обеим частям этого уравнения, чтобы найти
𝜙=54=0,8960….arctanradians
Следовательно, чтобы вычислить arg(𝑧), мы вычитаем 𝜋 из 𝜙, что дает
арградианы, округленные до десятичных знаков (𝑧) = 𝜙−𝜋=−2,2455…=−2,25,2.
Часть 2
Напомним, что сопряженное 𝑧 получается заменой знака мнимой части комплексного числа 𝑧. Следовательно, 𝑧=−4+5𝑖. Теперь нанесем 𝑧 на диаграмму Аргана.
Как и в предыдущей части, мы найдем аргумент 𝑧, сначала вычислив 𝜙:
𝜙=54=0,8960….arctanradians
Поскольку 𝜙 и arg𝑧 являются дополнительными, мы можем получить arg𝑧, вычитая 𝜙 из 𝜋:
арградианы, округленные до десятичных знаков𝑧=𝜋−𝜙=2,2455…=2,25,2.
В предыдущем примере мы вычислили аргументы комплексного числа и его сопряженного числа. Заметим, что аргумент комплексно-сопряженного числа в этом примере является отрицательным значением аргумента исходного комплексного числа. Это демонстрирует общее правило рассуждения.
Свойство: Аргумент сопряженного комплексного числа
Для любого ненулевого комплексного числа 𝑧 и его сопряженного 𝑧 (также обозначаемого 𝑧∗),
аргарг(𝑧)=−𝑧.
В следующем примере мы покажем, как умножение и деление комплексных чисел связаны с аргументами комплексных чисел.
Пример 4. Аргументы произведений и частных
Рассмотрим комплексные числа 𝑧=1+√3𝑖 и 𝑤=2−2𝑖.
Найдите arg(𝑧) и arg(𝑤).
Вычислить аргумент(𝑧𝑤). Как это соотносится с arg(𝑧) и arg(𝑤)?
Вычислить аргумент𝑧𝑤. Как это соотносится с arg(𝑧) и arg(𝑤)?
Ответ
Напомним, что аргументом комплексного числа является угол в радианах между положительной действительной осью диаграммы Аргана и линией между началом координат и комплексным числом, измеренный против часовой стрелки. Мы также помним, что аргумент комплексного числа по соглашению задается в диапазоне ]−𝜋,𝜋].
Часть 1
Начнем с построения 𝑧 и 𝑤 на диаграмме Аргана.
Напомним, что аргумент комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, лежащего в первом или четвертом квадранте, определяется выражением
аргарктан(𝑧)=𝑏𝑎.
Поскольку 𝑧 и 𝑤 лежат в первом и четвертом квадрантах соответственно, мы можем использовать арктангенс, чтобы найти их аргументы следующим образом:
argarctanradians(𝑧)=√31=𝜋3
а также
argarctanradians(𝑤)=−22=−𝜋4.
Часть 2
Начнем с расчета 𝑧𝑤 следующим образом:
𝑧𝑤=1+√3𝑖(2−2𝑖).
Умножая через скобки, получаем
𝑧𝑤=2−2𝑖+2√3𝑖−2𝑖√3.
Используя 𝑖=−1 и собирая действительные и мнимые члены, получаем
𝑧𝑤=2+2√3+2√3−2𝑖.
Поскольку и действительная, и мнимая части положительны, 𝑧𝑤 лежит в первом квадранте диаграммы Аргана, и мы можем вычислить аргумент, вычислив арктангенс следующим образом:
аргарктан(𝑧𝑤)=2√3−22+2√3.
Отменяя множитель 2 сверху и снизу, имеем
аргарктан(𝑧𝑤)=√3−11+√3.
Мы можем упростить дробь, умножив и числитель, и знаменатель на сопряженную часть знаменателя:
аргарктан(𝑧𝑤)=√3−11−√31+√31−√3.
Умножая через скобки, получаем
argarctanarctanarctanradians(𝑧𝑤)=−1+2√3−31−3=−4+2√3−2=2−√3=𝜋12.
Сравнивая это с arg(𝑧) и arg(𝑤), мы находим, что argargarg(𝑧𝑤)=(𝑧)+(𝑤).
Часть 3
Начнем с вычисления 𝑧𝑤 следующим образом:
𝑧𝑤=1+√3𝑖2−2𝑖.
Чтобы записать это комплексное число в декартовой форме, 𝑎+𝑏𝑖, нам нужно умножить и числитель, и знаменатель на сопряженное значение знаменателя, то есть 2+2𝑖:
𝑧𝑤=1+√3𝑖(2+2𝑖)(2−2𝑖)(2+2𝑖).
Умножая через скобки, имеем
𝑧𝑤=2+2𝑖+2𝑖√3+2𝑖√34+4.
Используя 𝑖=−1 и собирая действительные и мнимые термины,
𝑧𝑤=141−√3+141+√3𝑖.
С Re𝑧𝑤0 и
Im𝑧𝑤>0, комплексное число
𝑧𝑤 лежит во втором квадранте. Напомним, что если комплексное число 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 лежит в
второй квадрант,
аргарктан(𝑧)=𝑏𝑎+𝜋.
Отсюда имеем
argarctan𝑧𝑤=1+√31−√3+𝜋.
Сокращая общий множитель 14, имеем
аргарктан𝑧𝑤=1+√31−√3+𝜋.
Наконец, сравнивая это с arg(𝑧) и arg(𝑤), мы находим, что argargarg𝑧𝑤=(𝑧)−(𝑤).
В предыдущем примере мы наблюдали связь между умножением/делением комплексных чисел и их аргументами. Это соотношение, показанное в примере, справедливо для общих комплексных чисел.
Свойство: Аргументы и умножение/деление комплексных чисел
Для любых ненулевых комплексных чисел 𝑧 и 𝑧,
argargargargargarg(𝑧𝑧)=(𝑧)+(𝑧),𝑧𝑧=(𝑧)−(𝑧).
Следующий пример продемонстрирует, как мы можем решать задачи, применяя свойства Аргумент.
Пример 5. Использование умножения комплексных чисел для определения аргумента
Комплексное число умножается на другое комплексное число 𝑧, а затем на комплексно-сопряженное число 𝑧. Как аргумент полученного комплексного числа связан с аргументом исходного комплексного числа?
Ответ
Напомним, что аргумент произведения пары комплексных чисел равен сумме аргументов двух комплексных чисел.
Начнем с комплексного числа 𝑤; затем он умножается на 𝑧 и 𝑧. Следовательно, результат 𝑤𝑧𝑧. Нас спрашивают, как аргумент полученного комплексного числа связан с аргументом исходного комплексного числа. Следовательно, мы должны рассмотреть arg𝑤𝑧𝑧. Используя мультипликативные свойства аргумента, мы можем переписать это следующим образом:
аргаргаргарг𝑤𝑧𝑧=(𝑤)+(𝑧)+𝑧.
Мы также знаем, что аргумент комплексного числа равен отрицательному значению аргумента его сопряженного числа. Следовательно, мы можем заменить arg𝑧 выше на −(𝑧)arg, чтобы написать
аргаргаргаргарг𝑤𝑧𝑧=(𝑤)+(𝑧)−(𝑧)=(𝑤).
Следовательно, аргумент комплексного числа после его умножения на другое комплексное число 𝑧, а затем на комплексно-сопряженное число 𝑧 не меняется.
В нашем последнем примере мы рассмотрим связь между аргументом и степенями.
Пример 6. Нахождение аргумента степеней комплексных чисел в алгебраической форме
Рассмотрим комплексное число 𝑧=7+7𝑖.
Найдите аргумент 𝑧.
Следовательно, найдите аргумент 𝑧.
Ответ
Напомним, что аргументом комплексного числа является угол в радианах между положительной действительной осью диаграммы Аргана и линией между началом координат и комплексным числом, измеренный против часовой стрелки. Мы также помним, что аргумент комплексного числа по соглашению задается в диапазоне ]−𝜋,𝜋].
Часть 1
Напомним, что аргумент комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, лежащего в первой или четвертой четверти, определяется формулой
аргарктан(𝑧)=𝑏𝑎.
Поскольку комплексное число лежит в первом квадранте, мы можем вычислить его аргумент, оценив арктангенс его мнимой части над его действительной частью следующим образом:
аргарктанарктанрадиан(𝑧)=77=(1)=𝜋4.
Часть 2
Напомним, что для любых двух ненулевых комплексных чисел 𝑧 и 𝑧,
аргаргарг(𝑧𝑧)=(𝑧)+(𝑧).
Если оба комплексных числа равны 𝑧, это означает
argarg𝑧=2(𝑧).
Используя аналогичную логику, мы можем найти, что
argargargarg𝑧=3(𝑧),𝑧=4(𝑧).
Следовательно,
argargradians𝑧=4(𝑧)=4×𝜋4=𝜋.
В предыдущем примере мы видели связь между степенью комплексного числа и его аргументом. Используя ту же логику, что и в этом примере, мы можем видеть, что это соотношение выполняется для общих комплексных чисел для любой степени положительного целого числа.
Свойство: Аргумент степени комплексного числа
Для любого ненулевого комплексного числа 𝑧 и степени положительного целого числа 𝑛 аргумент 𝑧 задается формулой
argarg(𝑧)=𝑛(𝑧).
В этом объяснении мы рассмотрели, как аргумент комплексного числа связан с сопряжениями, умножением и делением комплексных чисел. Однако мы намеренно исключили сложение и вычитание комплексных чисел, поскольку между этими операциями и аргументами комплексных чисел нет простой связи. Мы закончим это объяснение, проиллюстрировав двумя разными способами, почему мы не ожидаем найти простую связь между сложением/вычитанием и аргументами комплексных чисел.
Во-первых, напомним, что сложение и вычитание комплексных чисел геометрически эквивалентны соответствующим векторным операциям и, следовательно, подчиняются правилам треугольника или параллелограмма. При этом мы видим, что знания только аргументов (углов) комплексных чисел будет недостаточно, чтобы найти аргумент результирующего комплексного числа. Это один из способов понять, почему нет простой связи между этими операциями и аргументами комплексных чисел.
В качестве альтернативного способа понять, почему такой простой связи не существует, рассмотрим три комплексных числа 𝑧=1+𝑖, 𝑧=2+√3(1+𝑖) и 𝑧=1−𝑖 нанесен на диаграмму Аргана ниже.
Мы видим, что argarg(𝑧)=(𝑧)=𝜋4 и что arg(𝑧)=−𝜋4. Кроме того, 𝑧+𝑧=2, аргумент которого равен 0, тогда как
𝑧+𝑧=3+√3+1+√3𝑖,
аргумент которого явно не равен нулю. На самом деле мы можем вычислить точное значение аргумента следующим образом:
argarctan(𝑧+𝑧)=1+√33+√3.
Умножая числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю, мы можем упростить дробь:
аргарктан(𝑧+𝑧)=1+√33−√33+√33−√3.
Умножая через скобки, получаем
argarctan(𝑧+𝑧)=3−√3+3√3−33−3.
Наконец, мы можем упростить и вычислить арктангенс, чтобы получить
argarctanarctanradians(𝑧+𝑧)=2√36=√33=𝜋6.
Чтобы обобщить наши вычисления, вспомним, что комплексные числа 𝑧 и 𝑧 имеют один и тот же аргумент, 𝜋4. Если бы существовала простая связь между аргументами комплексных чисел и суммой, аргументы 𝑧+𝑧 и 𝑧+𝑧 были бы одинаковыми. Однако мы получили
аргумент(𝑧+𝑧)=0,(𝑧+𝑧)=𝜋6.
Это показывает, что знания аргументов двух комплексных чисел недостаточно для вычисления аргумента их суммы.
Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.
Ключевые моменты
Аргумент комплексного числа 𝑧 определяется как угол в радианах между положительной действительной осью на диаграмме Аргана и отрезком прямой от начала координат до комплексного числа, измеренный против часовой стрелки.
Аргумент комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 можно получить с помощью функции арктангенса в каждом квадранте следующим образом:
Если 𝑧 лежит в первом или четвертом квадранте,
аргарктан(𝑧)=𝑏𝑎.
Если 𝑧 лежит во втором квадранте,
аргарктан(𝑧)=𝑏𝑎+𝜋.
Если 𝑧 лежит в третьем квадранте,
аргарктан(𝑧)=𝑏𝑎−𝜋.
Аргумент имеет следующие свойства:
Аргарг (𝑧) = — 𝑧,
Аргаргарг (𝑧𝑧) = (𝑧)+(𝑧) ,
Аргаргарг = (𝑧)+(𝑧) 𝑧)−(𝑧),
аргарг(𝑧)=𝑛(𝑧).
Между сложением комплексных чисел и их аргументами нет простой связи.
Аргумент комплексных чисел. Решаемые примеры
В математике комплексные плоскости играют чрезвычайно важную роль. Мы также называем это z-плоскостью, состоящей из взаимно перпендикулярных линий, известных как оси. Действительные числа представлены горизонтальной линией и поэтому известны как действительная ось, тогда как мнимые числа представлены вертикальной линией и поэтому известны как мнимая ось. В основном мы используем комплексные плоскости для представления геометрической интерпретации комплексных чисел. Это похоже на декартову плоскость, которая имеет как действительную, так и мнимую части комплексного числа вместе с осями X и Y. Комплексные числа разветвляются на две основные концепции, т. е. величину и аргумент. Но пока мы сосредоточимся только на аргументе комплексных чисел и изучим его определение, формулы и свойства. 9{2}\] = −1. Комплексные числа называются продолжением одномерных числовых линий. На комплексной плоскости комплексное число, обозначаемое a + bi, обычно представляется в виде точки (a, b). Мы должны отметить, что комплексное число, не имеющее абсолютно никакой реальной части, например –i, -5i и т. д., называется чисто мнимым. Кроме того, комплексное число, не имеющее абсолютно никакой мнимой части, называется действительным числом.
Что такое аргумент комплексных чисел?
Аргумент комплексного числа — это угол, который наклонен от действительной оси к направлению комплексного числа, представленного на комплексной плоскости. Мы можем обозначить его как «θ» или «φ» и измерить в стандартных единицах «радиан».
На приведенной выше диаграмме комплексное число обозначено точкой P. Длина OP представляет собой величину или модуль числа, а угол, под которым OP наклонен к положительной действительной оси, известен как аргумент числа точка P.
Как найти аргументы комплексного числа?
Есть несколько шагов, которые необходимо выполнить, если мы хотим найти аргумент комплексного числа. Эти шаги приведены ниже:
Шаг 1) Сначала мы должны найти как действительные, так и мнимые части комплексного числа, которое нам дано, и обозначить их x и y соответственно. 9{-1}\] сам по себе.
Шаг 4) Окончательное значение вместе с единицей «радиан» является требуемым значением комплексного аргумента для данного комплексного числа.
С помощью этого метода вы теперь узнаете, как узнать аргумент комплексного числа.
Аргумент комплексных чисел Примеры
1. Найдите аргумент -1+i и 4-6i
Ответ: Сначала нам нужно найти два комплексных числа в комплексной плоскости. Это облегчит нам определение квадрантов, в которых лежат ангелы, и даст приблизительное представление о величине каждого угла.
Для, z = —+i
Мы можем видеть, что Аргументом z является второй квадрант угла, а тангенс представляет собой отношение мнимой части к действительной части, в таком случае −1 . Таким образом, тангенс исходного угла будет равен 1. Запишите значение второго квадранта угла так, чтобы его исходный угол мог иметь тангенс, равный 1. Если исходный угол содержит тангенс, равный 1, то значение исходного угла будет π/4, поэтому угол второго квадранта равен π − π/4 или 3π/4. 9{-1}\](tan π/3)
arg (z) = π/3
Следовательно, аргумент комплексного числа равен π/3 радиан.
Комплексные числа
Комплексные числа — это те числа, которые используются для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. Комплексные числа были впервые введены греческим математиком по имени Герой Александрийский, который пытался найти квадратный корень из отрицательных чисел, но не смог его решить. Эта проблема была решена итальянским математиком по имени Джероламо Кардано, который нашел отрицательные корни кубических и квадратичных полиномиальных выражений, используя комплексные числа. Комплексные числа широко используются в научных исследованиях, гидродинамике, квантовой механике и обработке сигналов.
Комплексное число может быть определено как сумма мнимого числа и действительного числа. Он записывается как + ib, который можно обозначить через z. Здесь a и b — действительные числа. Говорят, что значение a является действительной частью, которая обозначается Re(z), а b называется мнимой частью, записываемой как Im(z). ib также является мнимым числом. Например, 2 + 3i и -2 -5i являются примерами комплексных чисел. Написанное здесь i называется йотой и используется для представления мнимой части комплексных чисел. Также полезно находить квадратный корень из отрицательных чисел.
Что означает аргумент комплексных чисел?
Когда в геометрическом представлении линия, представляющая комплексное число и начало координат, образует угол с положительной осью X в направлении против часовой стрелки, это называется аргументом комплексных чисел. Это представлено инверсией тангенса мнимого числа в комплексном числе, которое делится на действительную часть комплексного числа.
Argz(θ) = Tan−1(b/a)
Как найти модуль (абсолютное значение) и аргумент (угол) комплексных чисел?
Комплексная плоскость играет важную роль в математике. Есть два понятия, связанные с комплексными числами: модуль и аргумент. Следующее пошаговое руководство поможет вам научиться находить модуль и аргумент комплексных чисел.
Одна из самых важных особенностей чисел, вещественных или сложных, заключается в том, что они имеют «абсолютное значение». Имейте в виду, что если действительное число положительное или отрицательное, его абсолютное значение \(|x|\) равно самому себе. Если \(x\) отрицательно, его абсолютное значение \(|x|\) является его отрицанием, которое является положительным значением \(x\). Потому что \(|3|\) равно \(3\), а \(| –4|\) равно \(4\). Удаляет знак у вещественного числа.
См. также
Тождества комплексных чисел
Как решить комплексную плоскость
Пошаговое руководство по модулю и аргументу комплексных чисел
В комплексной плоскости \(C\) расстояние от \( z\) до \(0\) называется абсолютным значением \(|z|\). Это облегчит понимание абсолютного значения действительных чисел. Абсолютное значение \(|x|\) действительного числа \(x\) можно рассматривать как расстояние от \(x\) до \(0\) на прямой с действительными числами, так что это облегчит задачу. понять, что такое абсолютное значение. 92}}\)
Аргумент комплексного числа определяется как угол, образованный между действительной осью и комплексным числом, представленным на комплексной плоскости, где действительная ось является началом комплексного числа. Обозначается символами «\(θ\)» или «\(φ\)». Он измеряется в радианах, которые являются стандартной единицей измерения.
Точка \(P\) обозначает комплексное число на этой диаграмме. Длина \(OP\) известна как величина или модуль числа, а угол, под которым \(OP\) наклонен от положительной действительной оси, является аргументом точки \(P\). 9n)=n\ arg (z)}\)
\(Z_1\) и \(Z_2\) — два комплексных числа, которые, как мы можем предположить, обладают следующими свойствами:
Комплексные числа сами по себе очень абстрактны, и чтобы лучше понять их свойства, мы необходимо провести параллели между ними и другими менее абстрактными величинами. Один из способов сделать это — рассматривать комплексное число как вектор и находить сходные свойства, такие как величина (также известная как модуль) комплексного числа, его направление и фаза . Рекомендуется просмотреть статью о комплексных числах, прежде чем продолжить эту статью!
Краткий обзор комплексных чисел: формула и символы
Представлять комплексные числа в виде точек на плоскости XY — очень плодотворная идея. Но эта плоскость не является правильной декартовой плоскостью с нормальными декартовыми координатами, а мы будем называть ее комплексной плоскостью. Также иногда известный как плоскость Аргана, в честь математика Жана-Роберта Аргана.
Комплексные числа очень естественно нанесены на эту плоскость. Пусть есть комплексная плоскость вида где . Здесь a называется действительной частью, а b называется мнимой частью. Координаты z на комплексной плоскости будут (a, b). Ось у называется воображаемой осью, а ось х — действительной осью. Линия «r» в этой статье называется конечным плечом.
Комплексные числа состоят из действительной и мнимой частей, StudySmarter Originals
Модуль комплексного числа
Обозначим расстояние точки от начала координат как r, и мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления его расстояние от начала координат, которое составляет
Это расстояние r известно как Модуль z , следовательно, мы получаем,
, где обозначает модуль z.
Модуль комплексного числа — это расстояние этой точки от начала координат на комплексной плоскости. В противном случае квадрат модуля комплексного числа равен сумме квадратов его действительной и мнимой частей. ()
Вычислить модуль комплексного числа z=3+4i
Решение:
Шаг 1: Из определения модуля комплексного числа,
0 Шаг 74 Рядом с числом 74 всегда мнимая часть. Из вопроса 3 и 4 — действительная и мнимая части соответственно:
Таким образом, модуль z=3+4i равен 5
Отношение между комплексным числом, его сопряженным и его модулем
Пусть комплексное число, тогда его сопряженное (вспомните раздел статьи о комплексных числах о сопряженных числах)!
Шаг 1: Если мы умножаем конъюгаты вместе, например,:
Шаг 2: , и когда мы расширяем скобки, мы получаем
и AS, поэтому
. : Подставив в уравнение на шаге 2, мы получим
Правая часть — это просто квадрат модуля! Итак, у нас
Другими словами,
Модуль и фазовый угол
Вернемся к геометрическому представлению комплексного числа,
Фаза комплексного числа — это угол между положительной осью концевое плечо, StudySmarter Originals
Пусть будет углом, образованным z с положительной осью x. Мы называем этот угол фазовым углом z, также известным как аргумент z. В полярной форме z выражается как
и из графика мы можем использовать тригонометрические отношения, чтобы сказать, что
Решая для мы получаем
ВАЖНО! Для целей этой статьи -1 на тангенсе равно , а не , как экспонента (т. е. не является обратной величиной тангенса — котангенса). Это используется, потому что оно представляет функцию арктангенса , арктангенс, на большинстве калькуляторов.
Альтернативный способ вычисления фазового угла — использование синуса и косинуса.
Подставляя переменные из рисунка 2 выше, мы получаем:
Мы только что узнали, что r — это модуль, . Подставив это выражение для r в приведенное выше уравнение, мы получим
Используя теорему Пифагора, мы можем определить r через a и b:
получить (как и для синуса):
Основные аргументы комплексных чисел
Можно заметить, что при изменении угла и т. д. комплексное число остается прежним. Таким образом, будет не уникальное значение, а бесконечно много. Следовательно, мы называем первое значение основного аргумента z Arg(z).
Вычислить главный аргумент комплексного числа.
Решение:
Шаг 1: Мы знаем, что . Из вопроса имеем. Таким образом, мы имеем значение тангенса как
Шаг 2: Решая для , получаем
Таким образом, главный аргумент Arg(z) равен . Это означает, что мы можем прибавить или вычесть кратные 360 градусов к 45 и получить то же самое комплексное число!
Теорема де Муавра
Теорема де Муавра является фундаментальной для комплексных чисел. Теорема формулируется следующим образом:
Теорема: Пусть два различных комплексных числа и их полярные формы
и
Тогда произведение будет комплексным числом с фазой как .
Важное следствие теоремы Муавра: Мы определили как фазовый угол комплексного числа z. Теперь мы увидим, как фазовый угол изменяется в зависимости от степени, возведенной в z. Умножим z на себя n раз. У нас есть новое комплексное число с другим фазовым углом. Следствием приведенной выше теоремы является то, что
упрощается до
с фазовым углом . Это верно для всех целочисленных значений n, т. е.
. Это следствие помогает нам найти аргумент комплексного числа, возведенного в степень, намного эффективнее, чем перемножать все члены.
Примеры модуля и фазы
Не расширяя комплексное число, найдите его аргумент.
Решение:
Шаг 1 : Преобразование комплексного числа в его полярную форму:
Step2 : по сравнению с общей формой мы выводим, что
дает нам принцип принципа следующим образом:
Шаг3 : подключение к значению Н. .
Следовательно, основной аргумент — радианы.
Применение комплексных чисел
Концепция комплексных чисел не является полностью чистой и абстрактной, но имеет применение повсюду.
Одним из самых простых способов применения комплексных чисел является нахождение корней квадратного уравнения. Это также одно из мест, где возникла концепция комплексного числа.
Найдите корень квадратного уравнения.
Решение:
Шаг 1: Используя квадратную формулу, чтобы найти корни этого уравнения:
Шаг 2: При упрощении, мы получаем:
часть, потому что мы не знаем квадратный корень из отрицательного числа?
Здесь мы используем наши знания об использовании, которые упрощают данную форму в:
С которым теперь можно обращаться по законам комплексных чисел.
Целая отрасль математики, известная как комплексный анализ, основана на изучении комплексных чисел и применении их свойств в других областях математики.
Очень популярное уравнение в физике также использует комплексные числа, Уравнение Шрёдингера:
Волновое уравнение, используемое для моделирования орбит электронов вокруг ядра атома.
Применений множество, от дифференциального уравнения цепи индуктор-конденсатор (LC) до моделирования принимаемых сигналов.
Модуль и фаза. Ключевые выводы
Модуль комплексного числа — это его расстояние от начала координат на комплексной плоскости.
Комплексное число связано с его модулем и сопряжено уравнением
Фазовый угол или аргумент комплексного числа представляет собой угол r (отрезок линии, соединяющий начало координат с комплексным числом) с положительной осью x.
Фазовый угол комплексного числа z=a+ib равен .
Теорема де Муавра описывает, как можно легко вычислить комплексное число, возведенное в целую степень, без использования биномиальной теоремы.
Важное следствие теоремы Муавра гласит, что (аргумент комплексного числа, возведенного в степень n, в n раз больше аргумента исходного комплексного числа
Аргумент комплексного числа в разных квадрантах
Аргумент комплексного числа в разных квадрантах:
Пусть (r, θ) — полярные координаты точки.
P = P(x, y) в комплексной плоскости, соответствующей комплексному числу
z = x + iy
cos θ = смежная сторона/сторона гипотенузы ==> OM/MP ==> x/r
sin θ = противолежащая сторона/сторона гипотенузы ==> PM/OP ==> y/r
x = r cos θ и y = r sin θ
tan θ = y/x
θ = tan−1 y /x
называется амплитудой или аргументом z = x + iy
, обозначается amp z или arg z и измеряется как угол, который линия OP образует с положительной осью x (в направлении против часовой стрелки).
Как найти аргумент комплексного числа?
Обычно у нас есть два метода нахождения аргумента комплексного числа
(i) Используя формулу θ = tan−1 y/x
, где x и y — действительная и мнимая части комплексного числа соответственно.
Эта формула применима, только если x и y положительны.
Но для нахождения аргумента любого комплексного числа используется следующий метод.
Аргумент комплексного числа в разных квадрантах
Чтобы найти модуль и аргумент для любого комплексного числа, мы должны приравнять их к полярной форме
r (cos θ + i sin θ)
Здесь r обозначает модуль, а θ обозначает аргумент
Давайте см. несколько примеров задач, чтобы понять, как найти модуль и аргумент комплексного числа.
Аргумент комплексного числа в разных квадрантах — Примеры
Пример 1:
Найдите модуль и аргумент комплексного числа
— √2 + i √2
Решение:
— √2 + i √2 = r (cos θ + i sin θ) —-(1)
r 9 (- √2) ² + √2²] = √(2 + 2) = √4 = 2
r = 2
Примените значение r в первом уравнении
— √2 + i √ 2 = 2 (cos θ + i sin θ)
— √2 + i √2 = 2 cos θ + i 2 sin θ
Приравнивание действительной и мнимой частей по отдельности
2 cos θ = — √2
cos θ = — √2/2
cos θ = — 1/ √2
2 SIN θ = √2
SIN θ = √2/ 2
SIN θ = 1/ √2
Поскольку sin θ положительный, а cos θ отрицательный, искомое и θ лежит во втором квадранте.
θ = Π — α
Здесь α не что иное, как углы sin и cos, для которых мы получаем значение θ = (4Π-Π)/4 ==> 3 Π/4
Модуль = 2 и аргумент = 3Π/4
Отсюда — √2 + i √2 = 2 (cos 3Π/4 + i sin 3Π/4)
Пример 2:
Найти модуль и аргумент комплексного числа
1 + i √3
Решение:
1 + i √3 = r (cos θ + i sin θ) —-(1)
r = √ [(1 ) ² + √3] (1 + 3) = √4 = 2
r = 2
Применить значение r в первом уравнении √3 = 2 cos θ + i 2 sin θ
Приравнивание действительной и мнимой частей по отдельности
2 cos θ = 1
cos θ = 1 /2
2 sin θ = √3
sin θ = √3 /2
Поскольку sin θ и cos θ положительны, искомое и θ лежит в первом квадранте.
θ = α
Здесь α не что иное, как углы sin и cos, для которых мы получаем значения 1/2 и √3 /2 соответственно.
θ = Π/3
Модуль = 2 и аргумент = Π/3
Следовательно — √2 + i √2 = 2 (cos Π/3 + i sin Π/3)
4 Пример 3 :
Найдите модуль и аргумент комплексного числа
-1 — i √3
Решение :
-1 — i √3 = r (cos θ) — + i- sin θ -(1)
r = √ [(-1 ) ² + (-√3)²] = √(1 + 3) = √4 = 2
r = 2
Примените значение r в первом уравнении
-1 — i √3 = 2 (cos θ + i sin θ)
-1 — i √3 = 2 cos θ + i 2 sin θ
Приравнивая действительную и мнимую части по отдельности
4
2 cos θ = -1
cos θ = -1 /2
2 sin θ = — √3
sin θ = — √3 /2
Поскольку sin θ и cos θ отрицательны, искомое и θ лежит в третьем квадранте.
θ = -Π + α
Здесь α есть не что иное, как углы sin и cos, для которых мы получаем значения √3 /2 и 1/2 соответственно.
θ = — Π + α
= — Π + Π/3 ==> (-3Π+Π)/3 ==> -2Π/3
Модуль = 2 и аргумент = -2Π/3
Отсюда — 1 — i √3 = 2 (cos (-2Π/3) + i sin (-2Π/3))
аргумент комплексного числа.
Помимо материалов, представленных в этом разделе, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Счет, математика и статистика — Набор академических навыков
Модуль и аргумент
Главное меню ContentsToggle 1 Диаграмма Аргана 1.1 Определение 1.2 Рабочий пример 2 Модуль и аргумент 2.1 Определение 3 Рабочие примеры 4 Видео пример 5 Рабочая тетрадь 6 Проверьте себя 7 Внешние ресурсы
Диаграмма Аргана
Определение
Диаграмма Аргана имеет горизонтальную ось, называемую реальной осью , и вертикальную ось, называемую воображаемой осью .
В координатах $(a,b)$ нанесено комплексное число $z = a + bi$, где $a$ — действительная часть комплексного числа, а $b$ — мнимая часть.
|center
Рабочий пример
Пример 1
Нанесите следующие комплексные числа на диаграмму Аргана.
Любое комплексное число $z$ может быть представлено точкой на диаграмме Аргана. Мы можем соединить эту точку с началом координат с помощью отрезка. Длина отрезка называется модулем комплексного числа и обозначается $\lvert z \rvert$. Угол, измеренный от положительной действительной оси к отрезку, называется 92}\]
При вычислении аргумента комплексного числа необходимо сделать выбор между взятием значений в диапазоне $[-\pi,\pi]$ или в диапазоне $[0,\pi]$. Оба эквивалентны и одинаково действительны. На этой странице мы будем использовать соглашение $-\pi \lt \theta \lt \pi$.
«Наивный» способ вычисления угла к точке $(a,b)$ заключается в использовании $\arctan(\frac{b}{a})$, но поскольку $\arctan$ принимает значения только в диапазон $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, это даст неверный результат для координат с отрицательной $x$-компонентой. Это можно исправить, добавив или вычтя $\pi$, в зависимости от того, в каком квадранте диаграммы Аргана находится точка.
Первый квадрант: $\theta = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$.
Второй квадрант: $\theta = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right) + \pi$.
Третий квадрант: $\theta = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right) -\pi$.
При принятии решения о том, какую формулу использовать, рекомендуется нарисовать диаграмму Аргана комплексного числа.
Примечание: обратите внимание на случай, когда $a=0$, т.е. комплексное число не имеет вещественной части. В этом случае метод $\arctan$ не работает, но аргументом является либо $\frac{\pi}{2}$, либо $-\frac{\pi}{2}$ для чисел с положительными и отрицательными мнимых частей соответственно. 2}\\ &=\sqrt{16}\\ &=4 \end{align } 92}\\ &=\sqrt{4+25}\\ &=\sqrt{29} \end{align}
Поскольку $z$ находится во втором квадранте диаграммы Аргана, нам нужно добавить $\pi $ к результату, полученному из $\arctan \left(\frac{5}{-2}\right)$.
Примечание: В качестве альтернативы ответ мог быть дан в диапазон $0 \lt \theta \lt 2\pi$, где мы бы добавили $\pi$ вместо вычитания и получили ответ $\arg z = 3,67$ радиан (к 2 д. п.) 92}\\ &=\sqrt{1+16}\\ &=\sqrt{17} \end{align}
Поскольку $z$ лежит в четвертом квадранте диаграммы Аргана, нам не нужно изменять результат $\arctan \left(\frac{-4}{1}\right)$, чтобы найти аргумент.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}\right)\\ &= \arctan \left(-4\right) \\ &= -1.33 \ text{ радианы (до 2 д.п.)} \end{align}
Пример видео
Профессор Робин Джонсон рисует комплексные числа $z=-1-i$ и $z=-4+3i$ на диаграмме Аргана, и находит их модуль и аргумент.
Рабочая тетрадь
Эта рабочая тетрадь, созданная HELM, является хорошим пособием по повторению, содержащим ключевые моменты для исправления и множество рабочих примеров.
Диаграммы Аргана и полярная форма
Проверь себя
Проверь себя: тест Numbas по нахождению модуля и аргумента
Умножение столбиком. Онлайн калькулятор | Математика
Как умножать столбиком
Умножение многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Для удобства сверху обычно записывается то число, которое имеет больше цифр. Слева между числами ставится знак действия. Под множителем проводят черту. Под чертой пишут цифры произведения по мере их получения.
Рассмотрим для начала умножение многозначного числа на однозначное. Пусть требуется умножить 846 на 5:
Умножить 846 на 5 — значит, сложить 5 чисел, каждое из которых равно 846. Для этого достаточно взять сначала 5 раз по 6 единиц, потом 5 раз по 4 десятка и наконец 5 раз по 8 сотен.
5 раз по 6 единиц = 30 единиц, т. е. 3 десятка. Пишем 0 под чертой на месте единиц, а 3 десятка запоминаем. Для удобства, чтобы не запоминать можно написать 3 над десятками множимого:
5 раз по 4 десятка = 20 десятков, прибавляем к ним ещё 3 десятка = 23 десятка, т. е. 2 сотни и 3 десятка. Пишем 3 десятка под чертой на месте десятков, а 2 сотни запоминаем:
5 раз по 8 сотен = 40 сотен, прибавляем к ним ещё 2 сотни = 42 сотни. Пишем под чертой 42 сотни, т. е. 4 тысячи и 2 сотни. Таким образом, произведение 846 на 5 оказывается равным 4230:
Теперь рассмотрим умножение многозначных чисел. Пусть требуется умножить 3826 на 472:
Умножить 3826 на 472 — значит, сложить 472 одинаковых числа, каждое из которых равно 3826. Для этого надо сложить 3826 сначала 2 раза, потом 70 раз, потом 400 раз, т. е. умножить множимое отдельно на цифру каждого разряда множителя и полученные произведения сложить в одну сумму.
2 раза по 3826 = 7652. Пишем полученное произведение под чертой:
Это не окончательное произведение, пока мы умножили только на одну цифру множителя. Полученное число называется частичным произведением. Теперь наша задача умножить множимое на цифру десятков. Но перед этим надо запомнить один важный момент: каждое частичное произведение нужно записывать под той цифрой, на которую происходит умножение.
Умножаем 3826 на 7. Это будет второе частичное произведение (26782):
Умножаем множимое на 4. Это будет третье частичное произведение (15304):
Под последним частичным произведением проводим черту и выполняем сложение всех полученных частичных произведений. Получаем полное произведение (1 805 872):
Если во множителе встречается нуль, то обычно на него не умножают, а сразу переходят к следующей цифре множителя:
Когда множимое и (или) множитель оканчиваются нулями, умножение можно выполнить не обращая на них внимания, и в конце, к произведению добавить столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе.
Например, необходимо вычислить 23 000 · 4500. Сначала умножим 23 на 45, не обращая внимание на нули:
И теперь, справа к полученному произведению припишем столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе. Получится 103 500 000.
Калькулятор умножения столбиком
Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение столбиком. Просто введите множимое и множитель и нажмите кнопку Вычислить.
Руководство пользователя Калькулятора на Mac
В приложении «Калькулятор» можно выполнять простые или сложные вычисления и пользоваться калькулятором программиста. Если у Вашего Mac есть панель Touch Bar, можно быстро выполнять простые расчеты, даже не двигая курсор с места.
Открыть приложение «Калькулятор»
Совет. Чтобы узнать, какую функцию выполняет кнопка, наведите на нее курсор. Появится подсказка.
Изменение типа калькулятора
Преобразование величин
В приложении «Калькулятор» на Mac введите начальное значение, выберите «Конвертировать» в строке меню, затем выберите категорию, например «Температура» или «Валюта».
Примечание. Для использования актуальных курсов валют необходимо подключение к Интернету.
Округление результатов
В приложении «Калькулятор» на компьютере Mac выберите пункт меню «Вид» > «Десятичные разряды» и выберите нужное количество десятичных разрядов. Калькулятор сохраняет полное значение и отображает округленное значение. Если в отображаемом значении меньше десятичных разрядов, чем было указано, то значения не отображаемых десятичных разрядов равны нулю.
Ввод систем уравнений с использованием обратной бесскобочной записи (ОПН)
В приложении «Калькулятор» на компьютере Mac выберите пункт меню «Вид» > «Режим ОПН».
На дисплее Калькулятора отображается стек, а кнопка знака равенства (=) становится кнопкой Enter. Кроме того, появляются четыре кнопки, позволяющие управлять числами в стеке.
Выполните одно из следующих действий.
Поменять местами два нижних числа в стеке. Нажмите кнопку обмена регистрами .
Перемещать введенное число вверх и вниз по стеку. Нажмите кнопку «Вверх по стеку» или «Вниз по стеку» .
Удалить нижнее число в стеке. Нажмите кнопку «Сброс».
Исправление неожиданных результатов
В приложении «Калькулятор» на компьютере Mac можно сделать следующее.
Повторите, учитывая, что при обработке выражений Калькулятор следует основному порядку вычислений. Например, умножение совершается перед сложением и вычитанием.
Если в режиме калькулятора для программиста числа отображаются в неожиданном формате, измените формат на восьмеричный, десятичный или шестнадцатеричный. нажмите кнопку «8», «10» или «16» соответственно под дисплеем калькулятора. Также можно перейти к стандартному или инженерному режимам калькулятора.
Если в результате отсутствуют десятичные разряды:
Выберите «Вид» > «Стандартный» или «Вид» > «Инженерный», так как в режиме программиста отсекаются все цифры после десятичного разделителя. Например, при вводе «99 / 10 =» отображенный результат будет равен 9. Для более точных вычислений лучше использовать стандартный или инженерный режимы.
Выберите «Вид» > «Десятичные разряды» (в любом режиме калькулятора), так как количество десятичных разрядов может быть указано неверно, и калькулятор округляет результаты. Например, если количество десятичных разрядов указано равным нулю, то при вводе «99 / 10 =» результат будет равен 10.
Если нужно проверить правильность вычислений, используйте ленту расчетов для просмотра введенных данных (выберите «Окно» > «Показать ленту расчетов»).
Чтобы отображать разделитель разрядов для больших чисел, выберите «Вид» > «Показывать разделитель тысяч».
Использование сочетаний клавиш
В приложении «Калькулятор» на компьютере Mac для быстрого ввода выражений можно использовать сочетания клавиш на клавиатуре. В разных режимах калькулятора используются разные сочетания клавиш.
Все режимы калькулятора
Действие
Сочетание клавиш
Очистить
Esc
Клавиша С
Очистить все
Option-Esc
Сделать отображаемое значение отрицательным
Option–знак минуса (–)
Процент
Знак процента (%)
Разделить
Косая черта (/)
Умножить
Звездочка (*)
Вычесть
Знак минуса (–)
Прибавить
Знак плюса (+)
Равно
Знак равенства (=)
Удалить последнюю введенную цифру или букву
Клавиша удаления
Инженерный калькулятор
Действие
Сочетание клавиш
Возвести отображаемое значение в степень следующего введенного значения
Крышка (^)
Вычислить натуральный логарифм отображаемого значения
Клавиша E
Вычислить факториал отображаемого значения
Восклицательный знак (!)
Экспоненциальное представление чисел
Shift-E
Режим ОПН
Действие
Сочетание клавиш
Поменять местами два нижних числа в стеке
Command-E
Переместить введенное число вверх по стеку
Command-стрелка вверх
Переместить введенное число вниз по стеку
Command-стрелка вниз
Удалить нижнее число в стеке
Command-Delete
Чтобы увидеть список произведенных вычислений, выберите «Окно» > «Показать ленту расчетов».
Для выполнения более сложных расчетов с применением уравнений и графиков можно использовать приложение Grapher. См. Руководство пользователя приложения Grapher.
Функция умножения калькулятора в Python
Я написал код ниже с «return» , но он не работает. Что мне нужно изменить в моем коде (строка возврата), чтобы получить правильный результат?
В python у меня есть две функции f1(x) и f2(x) , возвращающие число. Я хотел бы вычислить определенный интеграл после их умножения, то есть что-то вроде: scipy.integrate.quad(f1*f2, 0, 1) Как лучше всего это сделать? Возможно ли это вообще в python году?
Операция умножения с использованием рекурсии в Python
Я новичок в Python. Теперь я изучаю рекурсию. Я не могу понять, как работает эта функция. Эта функция должна умножать два числа без операции умножения. Он может использовать только себя(рекурсия). И как работает этот код, если num не равно 0? Работает ли он как цикл до тех пор, пока его 0? Это…
1
Возврат-это не функция. Также помогает использование объединения элементов списка.
def multiply():
integer_1 = int(input("enter a whole number: "))
integer_2 = int(input("enter a whole number: "))
answer = integer_1 * integer_2
return ' '.join((str(integer_1), "*", str(integer_2), "=", str(answer)))
print(multiply()) #print() is used to print the data without '
Самая короткая программа калькулятора в python году
Я довольно новичок в программировании python. Я просмотрел много кодов калькулятора python онлайн и задавался вопросом, есть ли способ включить как можно больше встроенных арифметических операций python без каких-либо внешних библиотек с максимально коротким кодом. Нужен для небольшой реализации в…
Создание калькулятора в python
Поэтому я попытался использовать этот кусок кода для создания калькулятора в python, так как я только начал учиться. Дело в том, что он всегда говорит, что я ввожу недопустимый вариант, проходя через все мои операторы if-else, даже когда я действительно ввожу допустимый вариант. Что я сделал не…
Похожие вопросы:
Функция умножения Python
В python я нашел решение умножения очень полезным для программного обеспечения, которое я пишу. Проблема заключается в том, что при использовании программного обеспечения пользователю задается…
Основная ошибка калькулятора умножения в Python
Я хочу получить количество продукта из строки и умножить его на количество продукта, что я и сделал >>>trip=’Standard Price:2000′ >>>price = trip.split(:)[1] ‘2000’ Я здесь…
Ошибка умножения в VB.NET?
Dim totinr As Double totinr = 325.0 * 80.6 Когда я запускаю вышеописанный код (программно используя немедленное окно и т. д.), Я получаю вывод, подобный этому 26194.999999 , но вручную или с помощью…
Python -интеграл от умножения функции
В python у меня есть две функции f1(x) и f2(x) , возвращающие число. Я хотел бы вычислить определенный интеграл после их умножения, то есть что-то вроде: scipy.integrate.quad(f1*f2, 0, 1) Как лучше…
Операция умножения с использованием рекурсии в Python
Я новичок в Python. Теперь я изучаю рекурсию. Я не могу понять, как работает эта функция. Эта функция должна умножать два числа без операции умножения. Он может использовать только себя(рекурсия). И…
Самая короткая программа калькулятора в python году
Я довольно новичок в программировании python. Я просмотрел много кодов калькулятора python онлайн и задавался вопросом, есть ли способ включить как можно больше встроенных арифметических операций…
Создание калькулятора в python
Поэтому я попытался использовать этот кусок кода для создания калькулятора в python, так как я только начал учиться. Дело в том, что он всегда говорит, что я ввожу недопустимый вариант, проходя…
Исправление кода функции калькулятора, который возвращает неверное числовое значение в Python?
Я пытаюсь написать простую 4-функциональную программу калькулятора в Python, и у меня возникла проблема с выводом. Я могу возвращать правильные значения для сложения, но не любую другую функцию. Мой…
функция выводит таблицу умножения
def multiplication_table(start, stop): for x in range(1, 2): for y in range(1, 3): print(str(X * y), end= ) print() multiplication_table(1, 3) Следует распечатать таблицу умножения, показанную ниже…
JS вопрос создания калькулятора и быть в состоянии напечатать в множественных чисел
Я следил за видеоуроком по созданию калькулятора, я еще не закончил программу, но я должен быть в состоянии ввести несколько чисел на калькуляторе, а затем нажать кнопки (без какого-либо сложения,…
Собрали подборку классных математических трюков в помощь. С ними ты сможешь быстро считать в уме, не прибегая к калькулятору!
Привет!
Здесь 17 крутых математических трюков, которые полезны не только школьникам, но и взрослым. Они помогают производить сложные вычисления в голове. Освой эти техники, и будешь решать даже те задачи, которые когда-то казались непосильными.
А после можешь пройти наш быстрый математический тест 😉
Сложение крупных чисел в голове − намного более лёгкий процесс, чем кажется. А этот метод показывает, как упростить процесс, округлив все числа до десятка. Вот пример:
644 + 238
Чтобы было проще работать, округляем каждое из чисел. Итак, 644 превращаем в 650, а 238 становится 240.
Затем складываем 650 и 240. Получается 890. Чтобы найти ответ на исходное уравнение, нужно определить, сколько мы добавили к числам, чтобы их округлить.
650 — 644 = 6 и 240 — 238 = 2
Получается, что к первому числу (644) мы добавили 6, а ко второму (238) − 2. Складываем 6 и 2 вместе, получаем 8.
Остаётся вычесть из суммы округлённых чисел (890) лишнее (8):
890 — 8 = 882
Получаем, что 644 + 238 = 882. Это один из основных математических трюков, которые стоит знать.
Вот основное правило вычитания большого числа из 1000: раздели своё трёхзначное число на первую, вторую, третью цифру. Теперь вычти первую из 9, вторую из 9, а третью из 10. Например:
1000 — 556
Шаг 1: вычитаем 5 из 9 = 4
Шаг 2: вычитаем 5 из 9 = 4
Шаг 3: вычитаем 6 из 10 = 4
Ответ 444.
Умножая число 5 на четное число, можно быстро найти ответ. Например, 5 х 4:
Шаг 1: Берём число, которое хотим умножить на 5 и делим его пополам. В нашем случае, 4 превращаем в 2.
Шаг 2: Добавляем ноль к получившемуся числу, чтобы найти ответ. К числу 2 ставим рядом 0, получаем 20.
5 х 4 = 20
При умножении нечетного числа на 5 формула немного отличается. Например, рассмотрим 5 х 3:
Шаг 1: Вычитаем единицу из числа, которое хотим умножить на 5. В нашем случае, 3 превращаем в 2.
Шаг 2: Теперь делим получившееся число (2) пополам, получаем 1. Ставим последнее получившееся число на первое место, а число 5, на которое мы хотели умножать изначально, приставляем рядом. Получается, рядом с 1 ставим 5, становится 15.
5 х 3 = 15
Вот быстрый способ узнать, когда число может быть равномерно разделено на эти же числа:
10, если число заканчивается на 0.
9, когда цифры складываются вместе, а сумма делится поровну на 9.
8, если последние три цифры делятся на 8, или число оканчивается на 000.
6, если при сложении чётных чисел сумма делится на 3.
5, если число заканчивается на 0 или 5.
4, если число оканчивается на 00 или двузначное число, которое делится на 4.
3, если при сложении цифр числа результат делится на 3.
2, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Это ещё один из математических трюков, который полезен в жизни. Нужен он для умножения любого числа на 9. Вот как это работает:
Покажем на примере умножения 9 на 3.
Шаг 1: Вычитаем 1 из числа, которое умножается на 9.
3 — 1 = 2
Число 2 является первым числом в ответе на уравнение.
Шаг 2: Вычитаем получившееся число из 9.
9 — 2 = 7
Число 7 является вторым числом в ответе на уравнение.
Итого, 9 х 3 = 27.
Хитрость в умножении любого числа на 10 состоит в добавлении нуля к концу числа. Например, 62 х 10 = 620.
Существует также простой способ умножения любого двузначного числа на 11. Вот оно:
11 х 25
Возьмём двузначное число и отделим первую часть числа от второй − из 25 сделаем 2 и 5.
Теперь складываем эти два числа вместе и помещаем результат в центр, между 2 и 5:
2 (2 + 5) 5
2 7 5
Ответ: 11 х 25 = 275.
Если число в центре содержит две цифры, добавь первое число из суммы к первой цифре итогового числа, а второе оставь на месте. Вот пример для уравнения 11 х 88:
8 (8 + 8) 8
8 (16) 8
(8 + 1) 6 8
9 6 8
Получаем ответ: 11 х 88 = 968.
Найти процент от числа может быть несколько сложно, если не подумать о способе решения, а просто считать. С этим методом всё проще. Чтобы узнать, сколько составляет 5% от 235, нужно:
Шаг 1: Переместить десятичную точку на одно значение вправо, 235 (235.0): становится 23.5.
Шаг 2: Разделить 23.5 на число 2, ответ − 11.75. Это ответ на исходное уравнение.
Используем число 35 в качестве примера:
Шаг 1: Умножим первую цифру на сумму единицы и первой цифры.
Шаг 2: В окончание поставим 25.
35 в квадрате = 3 x (3 + 1) & 25
3 x (3 + 1) = 12
12 и 25 = 1225
35 в квадрате = 1225.
Если при умножении больших чисел одно из них является четным, раздели первое число пополам, а второе умножь на 2. Например 20 х 120:
Шаг 1: Делим 20 на 2, получаем 10. Умножаем 120 на 2, получаем 240.
Затем умножаем два ответа вместе:
10 х 240 = 2400
Ответ: 20 х 120 = 2400.
Суть метода в том, чтобы умножить числа без 0, а потом добавить нули. Рассмотрим умножение 200 на 400:
Шаг 1: Умножаем первые числа − 2 на 4:
2 х 4 = 8
Шаг 2: Ставим рядом убранные нули:
80000
200 х 400 = 80000
Это похоже на метод со сложением − здесь тоже нужно округлять. Рассмотрим его на примере выражения 97 x 96:
Округлим каждое из чисел до 100. Получим 100 и 100.
Теперь из первых 100 вычитаем первое число (97) и получаем 3, из вторых 100 вычитаем второе число (96) и получаем 4. Складываем получившиеся числа:
3 + 4 = 7
Теперь из 100 вычитаем 7: получается 93. Это будут первые две цифры итогового результата. Чтобы получить оставшиеся две цифры, нужно не сложить, а умножить 3 и 4. Приписываем результат 12 к 93, получается 9312.
Посмотри на свои руки (в идеальном случае, должно быть 10 пальцев). Представим, что ты хочешь умножить 7 на 8.
Из 10 (как и пальцев на руках) вычти первое число (7), осталось 3. Запомни это число. Теперь вычти из 10 второе число (8), получается 2.
Теперь сложи получившиеся числа, результат (5) поставь на первое место. Затем, перемножь 3 и 2. Получится 6, цифру ставим на второе место, получается 56.
Казалось бы, как подборка математических трюков может помочь в таком серьёзном деле, как инвестирование? Может!
Если ты хочешь утроить свои инвестиции, запомни число 115. К примеру, инвестиции, которые дают 5% в год, утроятся через 23 года − 115 : 5 = 23.
Хотим посчитать 51 х 51. Возьмём одну из цифр, например, 1, к ней прибавим 25. Получается 26.
Теперь перемножим ту же цифру (1), получим 1 (01).
Соединим получившееся, 26 ставим первым числом, 01 вторым. Получается 2601.
Найти корень из таких чисел, как 49 или 81 достаточно просто, потому что корни являются целыми числами. Но как можно найти корень с остатком? Покажем на примере числа 420.
Шаг 1: Находим ближайшее число, которое можно получить возведением в квадрат. В данном случае, это число 400, которое получают возведением в квадрат числа 20.
Шаг 2: Делим наше число (420) на корень того, ближайшего числа (20). Получаем 21.
Шаг 3: Теперь находим среднее между результатом и корнем первого числа − среднее между 21 и 20 равно 20,5.
А корень числа 420 равен 20,494. Получается, что наш ответ максимально близок.
Допустим, мы хотим узнать, чему равно 81 в квадрате.
81 х 81 = ?
Округляем число до меньшего − 80, возводим его в квадрат. Получается 6400.
Теперь к сумме дважды прибавляем округленное число − 6400 + 80 + 80, а в конце добавляем ещё один.
Получается 6560 + 1 = 6561.
Как бы ты посчитал значение выражения 32 х 125? Лучше упростить его:
32 х 125 = ?
16 х 250 = ?
8 х 500 = ?
4 х 1000 = 4000
На этом наша подборка математических трюков заканчивается. Практика этих быстрых математических приемов может помочь как в жизни, так и в работе. А ещё, может быть, пробудит интерес к математике.
Понравилась подборка математических трюков? Тебя точно заинтересует следующее:
Источник: 10 математических трюков в блоге Concorida University-Portland
Это на самом деле универсальный математический калькулятор, который служит для вычисления значения заданного математического выражения. — возведение в степень
и следующих функций:
* sqrt — квадратный корень
* rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
* exp — e в указанной степени
* lb — логарифм по основанию 2
* lg — логарифм по основанию 10
* ln — натуральный логарифм (по основанию e)
* logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
* sin — синус
* cos — косинус
* tg — тангенс
* ctg — котангенс
* sec — секанс
* cosec — косеканс
* arcsin — арксинус
* arccos — арккосинус
* arctg — арктангенс
* arcctg — арккотангенс
* arcsec — арксеканс
* arccosec — арккосеканс
* versin — версинус
* vercos — коверсинус
* haversin — гаверсинус
* exsec — экссеканс
* excsc — экскосеканс
* sh — гиперболический синус
* ch — гиперболический косинус
* th — гиперболический тангенс
* cth — гиперболический котангенс
* sech — гиперболический секанс
* csch — гиперболический косеканс
* abs — абсолютное значение (модуль)
* sgn — сигнум (знак)
The field is not filled.
‘%1’ is not a valid e-mail address.
Please fill in this field.
The field must contain at least% 1 characters.
The value must not be longer than% 1 characters.
Field value does not coincide with the field ‘%1’
An invalid character. Valid characters:’%1′.
Expected number.
It is expected a positive number.
Expected integer.
It is expected a positive integer.
The value should be in the range of [%1 .. %2]
The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.
The field must be less than 1%.
The first character must be a letter of the Latin alphabet.
Su
Mo
Tu
We
Th
Fr
Sa
January
February
March
April
May
June
July
August
September
October
November
December
century
B.C.
%1 century
An error occurred while importing data on line% 1.
Value: ‘%2’.
Error:
%3
Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).
%3.%2.%1%4
%3.%2.%1%4 %6:%7
s.sh.
u.sh.
v.d.
z.d.
yes
no
Wrong file format. Only the following formats: %1
Please leave your phone number and / or email.
minutes
minutes
minute
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
hour
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
days
day
day
day
day
days
days
days
days
days
days
days
month
month
month
month
months
months
months
months
months
months
months
year
of the year
of the year
of the year
years
years
years
years
years
years
years
ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutesу ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 hour ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 days ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 year ago
%1 of the year ago
%1 of the year ago
%1 of the year ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
Математический калькуляторИсходное выражение:
Результат вычисления:
Выжить без калькулятора: 17 секретов быстросчёта
Компьютеры сделали жизнь легче, а нас тупее. Таблицу умножения ещё помним, но сложить числа в уме стало задачей запредельной. Тянемся к калькулятору, вычисляя проценты, и не можем сравнить выгодность перловой крупы в пакетиках: восемь по 40 граммов или пять по 50. Отрешённо достаём смартфон в магазине. Выживайте в офисном плену, удивляя коллег несложными арифметическими фишками.
В сексе и подсчётах пальцы важный инструмент. На руках их десять, как лунных месяцев женской беременности, что подметили римляне, создавая десятичное исчисление. Славяне не брали в учёт большой палец, приспособив по три фаланги на четырёх пальцах, поэтому считали двенадцатерично – дюжинами.
Потомственные арабские торговцы умеют показывать цены руками: левой – числа от 0 до 99, правой – сотни. В Африке сохранились базары, где продавцы и покупатели торгуются руками под картонкой, спрятав пальцы от посторонних взглядов – даже супруг не знает, о какой скидке договорилась жена на шафранный рис.
Китайцы умеют показать одной рукой числа до 3’000, двумя – до 100’000’000.4=16, поэтому максимальное число, которое может показать программист одной рукой – 31, двумя – 1’023.
Выживайте в офисном плену, удивляя коллег несложными фишками:
1. Сложение двух чисел быстрее выполнить, округлив их до десятков, а потом из общей суммы вычесть значения округления:
56+25=(56+4)+(25+5)=90-(4+5)=81
2. Трёхзначные числа складывают слева направо – сотни+десятки+единицы:
564+982=500+900+60+80+4+2=1’546
3. При вычитании двух чисел одно увеличьте на несколько единиц, второе – уменьшите на столько же – результат не изменится:
90-56=(90-6)-(56-6)=34
4. Умножение на 1,5 – добавляем к исходному числу его половину:
62*1,5=62+31=93
5. Умножение на 4 выполняется как пара последовательных умножения на два:
16х4=32х2=64
6. Умножить на 5 – разделите число на 2 и допишите справа ноль:
84*5=84/2*10=420
7. Умножение на 8 – вы уже догадались
8. Умножить на 9 однозначное число помогают пальцы рук – загибаем это число, теперь десятки – количество пальцев до загнутого, единицы – после:
9*5 – загибаем пятый палец, до него пальцев – 4, после – 5, значит 9*5=45
9. Умножить любое число на 9 – приписать 0 и отнять исходное:
82*9=820-82=738
10. Умножить на 11 двухзначное число – результатом будет трёхзначное: первая цифра исходного, сумма обеих цифр, вторая цифра начального числа:
36*11=300, затем 3+6, затем 6 = 396
11. Умножение и деление на 25 легче делать, вспомнив, что 100= 25*4; на 20 – 100=20*5.
12. Деление на 5 выполняется умножением на два и переносом запятой на один символ вперёд
420/5=840/10=84
13. Возведение в квадрат числа от 11 до 19 проводится суммированием трёх слагаемых: число, умноженное на 10, последняя цифра, умноженная на 10 и последняя цифра в квадрате:
162=160+60+36=256
14. Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5 – цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к произведению приписать справа число 25:
952=9*10 и 25 = 90 и 25 = 9’025
15. Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5 – прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры (получится однозначное число – припишите перед ним 0):
592=25+9 и 92 = 34 и 81 = 3’481
16. Если запомнить результаты возведения в квадрат чисел от 21 до 25 (441, 484, 529, 576, 625), можно научится возводить в квадрат двузначное число N, по формуле Рачинского:
N2=(N-25)*100+(50-N)2
732=48*100+232= 4’800+ 529 = 5’329
17. Вычисляя процент, например 30% от 80, разделите оба значения на 10 и перемножьте:
3*8=24
Всем дано поровну, только считаем по-разному. Вам, например, любимый нужен для ровного счета или для полного счастья? Считаете себя умными, но вы же знаете, как у нас считают: слёзы – единственная вода, за которую не приходит счёт, а на нём у многих суммы с восьмью нулями, жаль, что других цифр там нет.
Читайте также:
Калькулятор деления без остатка. Как делить в столбик? Как объяснить ребенку деление столбиком? Деление на однозначное, двузначное, трехзначное число, деление с остатком
Калькулятор в столбик для Андроид устройств станет замечательным помощником для современных школьников. Программа не только дает правильный ответ на математическое действие, но и наглядно демонстрирует его пошаговое решение. Если же вам нужны более сложные калькуляторы – можете посмотреть или же продвинутый инженерный калькулятор.
Особенности
Главной особенностью программы является уникальность расчета математических операций. Отображение процесса вычислений столбиком дает возможность школьникам более подробно с ним ознакомиться, понять алгоритм решения, а не просто получить готовый результат и переписать его в тетрадь. Эта особенность имеет огромное преимущество перед другими калькуляторами, т.к. достаточно часто в школе учителя требуют расписать промежуточные вычисления, чтобы удостовериться, что школьник производит их в уме и действительно понимает алгоритм решения задач. Кстати, у нас есть еще одна программа похожего рода – .
Чтобы начать пользоваться программой, необходимо скачать калькулятор в столбик на Андроид. Сделать это можно на нашем сайте абсолютно бесплатно без дополнительных регистраций и смс. После установки откроется главная страница в виде тетрадного листа в клетку, на котором, собственно, и будут отображаться результаты вычислений и их подробное решение. Внизу располагается панель с кнопками:
Цифры.
Знаки арифметических действий.
Удаление раннее введенных символов.
Ввод осуществляется по тому же принципу, что и на . Все отличие состоит только в интерфейсе приложения – все математические вычисления и их результат отображаются в виртуальной ученической тетради.
Приложение позволяет быстро и правильно выполнить стандартные для школьника математические вычисления столбиком:
умножение;
деление;
сложение;
вычитание.
Приятным дополнением в приложении является функция ежедневного напоминания о домашнем задании по математике. Хотите – делайте домашки. Для ее включения следует зайти в настройки (нажать кнопку в виде шестеренки) и установить галочку о напоминании.
Достоинства и недостатки
Помогает школьнику не просто быстро получить правильный результат математических вычислений, но и понять сам принцип расчета.
Очень простой, интуитивно понятный интерфейс для каждого пользователя.
Установить приложение можно даже на самое бюджетное Андроид устройство с операционной системой 2.2 и более поздней версией.
Калькулятор сохраняет историю проведенных математических вычислений, которую можно в любой момент очистить.
Калькулятор ограничен в математических операциях, поэтому применить его для сложных расчетов, с какими мог бы справиться инженерный калькулятор, не получится. Однако учитывая назначение самого приложения – наглядно продемонстрировать учащимся младшей школы принцип расчета в столбик, считать это недостатком не стоит.
Приложение также станет отличным помощником не только для школьников, но и для родителей, которые желают заинтересовать своего ребенка математикой и научить его правильно и последовательно производить вычисления. Если Вы уже пользовались приложением Калькулятор в столбик, оставьте свои впечатления ниже в комментариях.
В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.
Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.
Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.
Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.
Как умножаются в столбик натуральные числа?
Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:
До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.
Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.
Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей
Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.
Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.
Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:
С чего начать обучение делению?
До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.
После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?
После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.
Алгоритм деления чисел в столбик
Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:
До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
Записать делимое. Справа от него — делитель.
Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
Записать результат от умножения этого числа на делитель.
Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
Снова подобрать число для ответа.
Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.
Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?
Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.
Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.
Рассмотреть такое деление можно на примере — 12082: 863.
Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
После вычитания получается остаток 345.
К нему нужно снести цифру 2.
В числе 3452 четыре раза умещается 863.
Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.
Ответом в примере будет число 14.
Как быть, если делимое заканчивается на ноль?
Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.
Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.
Что делать, если разделить нужно десятичную дробь?
Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.
Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.
Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.
Деление двух десятичных дробей
Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.
Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.
Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.
В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:
Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
Снести к остатку 0.
Снова взять по 8.
Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
Теперь брать нужно 7.
Результат умножения — 224, остаток — 16.
Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.
Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.
Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?
Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.
Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.
Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.
При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).
Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.
Деление периодических дробей
В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.
Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.
Если в примере разные дроби…
Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.
Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.
Научить ребенка делению столбиком просто. Необходимо объяснить алгоритм этого действия и закрепить пройденный материал.
Согласно школьной программе, деление столбиком детям начинают объяснять уже в третьем классе. Ученики, которые схватывают все «на лету», быстро понимают эту тему
Но, если ребенок заболел и пропустил уроки математики, или он не понял тему, тогда родители должны самостоятельно малышу объяснить материал. Нужно максимально доступно донести до него информацию
Мамы и папы во время учебного процесса ребенка должны быть терпеливыми, проявляя такт по отношению к своему чаду. Ни в коем случае нельзя кричать на ребенка, если у него что-то не получается, ведь так можно отбить у него всю охоту к занятиям
Важно: Чтобы ребенок понял деление чисел, он должен досконально знать таблицу умножения. Если малыш плохо знает умножение, он не поймет деление.
Во время домашних дополнительных занятий можно пользоваться шпаргалками, но ребенок должен выучить таблицу умножения, прежде чем, приступать к теме «Деление».
Итак, как объяснить ребенку деление столбиком :
Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные
Деление всегда дается детям немного сложнее, чем умножение. Но усердные дополнительные занятия дома помогут малышу понять алгоритм этого действия и не отставать от сверстников в школе.
Начинайте с простого — деление на однозначное число:
Важно: Просчитайте в уме, чтобы деление получилось без остатка, иначе ребенок может запутаться.
Например, 256 разделить на 4:
Начертите на листе бумаги вертикальную линию и разделите ее с правой части пополам. Слева напишите первую цифру, а справа над чертой вторую
Спросите у малыша, сколько четверок помещается в двойке — нисколько
Тогда берем 25. Для наглядности отделите это число сверху уголком. Опять спросите у ребенка, сколько помещается четверок в двадцати пяти? Правильно — шесть. Пишем цифру «6» в правом нижнем углу под линией. Ребенок должен использовать таблицу умножения для правильного ответа
Запишите под 25 цифру 24, и подчеркните, чтобы записать ответ — 1
Опять спрашивайте: в единице сколько помещается четверок — нисколько. Тогда сносим к единице цифру «6»
Получилось 16 — сколько четверок помещается в этом числе? Правильно — 4. Записываем «4» рядом с «6» в ответе
Под 16 записываем 16, подчеркиваем и получается «0», значит мы разделили правильно и ответ получился «64»
Письменное деление на двузначное число
Когда ребенок освоил деление на однозначное число, можно двигаться дальше. Письменное деление на двузначное число чуть сложнее, но если малыш поймет, как производится это действие, тогда ему не составит труда решать такие примеры.
Важно: Снова начинайте объяснять с простых действий. Ребенок научится правильно подбирать цифры и ему будет легко делить сложные числа.
Выполните вместе такое простое действие: 184:23 — как нужно объяснять:
Разделим сначала 184 на 20, получается примерно 8. Но мы не пишем цифру 8 в ответ, так как это пробная цифра
Проверяем, подходит 8 или нет. Умножаем 8 на 23, получается 184 — это именно то число, которое у нас стоит в делителе. Ответ будет 8
Важно: Чтобы ребенок понял, попробуйте вместо восьмерки взять 9, пусть он умножит 9 на 23, получается 207 — это больше, чем у нас в делителе. Цифра 9 нам не подходит.
Так постепенно малыш поймет деление, и ему будет легко делить более сложные числа:
Разделим 768 на 24. Определите первую цифру частного — делим 76 не на 24, а на 20, получается 3. Записываем 3 в ответ под чертой справа
Под 76 записываем 72 и проводим линию, записываем разность — получилось 4. Эта цифра делится на 24? Нет — сносим 8, получается 48
Цифра 48 делится на 24? Правильно — да. Получается 2, записываем эту цифру в ответ
Получилось 32. Теперь можно проверить — правильно ли мы выполнили действие деления. Сделайте умножение в столбик: 24х32, получается 768, значит все правильно
Если ребенок научился выполнять деление на двузначное число, тогда необходимо перейти к следующей теме. Алгоритм деления на трехзначное число такой же, как и алгоритм деления на двузначное число.
Например:
Разделим 146064 на 716. Берем сначала 146 — спросите у ребенка делится это число на 716 или нет. Правильно — нет, тогда берем 1460
Сколько раз число 716 поместится в числе 1460? Правильно — 2, значит пишем эту цифру в ответе
Умножаем 2 на 716, получается 1432. Записываем эту цифру под 1460. Получается разность 28, записываем под чертой
Сносим 6. Спросите у ребенка — 286 делится на 716? Правильно — нет, поэтому пишем 0 в ответе рядом с 2. Сносим еще цифру 4
Делим 2864 на 716. Берем по 3 — мало, по 5 — много, значит получается 4. Умножаем 4 на 716, получается 2864
Запишите 2864 под 2864, получается в разности 0. Ответ 204
Важно: Для проверки правильности выполнения деления, умножьте вместе с ребенком в столбик — 204х716=146064. Деление выполнено правильно.
Пришло время ребенку объяснить, что деление может быть не только нацело, но и с остатком. Остаток всегда меньше делителя или равен ему.
Деление с остатком следует объяснять на простом примере: 35:8=4 (остаток 3):
Сколько восьмерок помещается в 35? Правильно — 4. Остается 3
Делится эта цифра на 8? Правильно — нет. Получается, остаток 3
После этого ребенок должен узнать, что можно продолжать деление, дописывая 0 к цифре 3:
В ответе стоит цифра 4. После нее пишем запятую, так как добавление нуля говорит о том, что число будет с дробью
Получилось 30. Делим 30 на 8, получается 3. Записываем в ответ, а под 30 пишем 24, подчеркиваем и пишем 6
Сносим к цифре 6 цифру 0. Делим 60 на 8. Берем по 7, получается 56. Пишем под 60 и записываем разность 4
К цифре 4 дописываем 0 и делим на 8, получается 5 — записываем в ответ
Вычитаем 40 из 40, получается 0. Итак, ответ: 35:8=4,375
Совет: Если ребенок что-то не понял — не злитесь. Пусть пройдет пару дней и снова постарайтесь объяснить материал.
Уроки математики в школе также будут закреплять знания. Пройдет время и малыш будет быстро и легко решать любые примеры на деление.
Алгоритм деления чисел заключается в следующем:
Сделать прикидку числа, которое будет стоять в ответе
Найти первое неполное делимое
Определить число цифр в частном
Найти цифры в каждом разряде частного
Найти остаток (если он есть)
По такому алгоритму выполняется деление как на однозначные числа, так и на любое многозначное число (двузначное, трехзначное, четырехзначное и так далее).
Занимаясь с ребенком, чаще ему задавайте примеры на выполнение прикидки. Он должен быстро в уме подсчитать ответ. Например:
1428:42
2924:68
30296:56
136576:64
16514:718
Для закрепления результата можно использовать такие игры на деление:
«Головоломка». Напишите на листе бумаги пять примеров. Только один из них должен быть с правильным ответом.
Условие для ребенка: Среди нескольких примеров, только один решен правильно. Найди его за минуту.
Видео: Игра арифметика для детей сложение вычитание деление умножение
Видео: Развивающий мультфильм Математика Изучение наизусть таблицы умножения и деления на 2
Деление столбиком неотъемлемая часть школьной программы и необходимое знание для ребенка. Чтобы избежать проблем на уроках и с их выполнением, следует давать ребенку основные знания еще с маленького возраста.
Гораздо легче объяснять ребенку определенные вещи и процессы в игровой форме, а не в формате стандартного урока (хотя на сегодняшний день существует достаточно разнообразных методик обучения в разных формах).
Из этой статьи вы узнаете
Принцип деления для малышей
Дети постоянно сталкиваются с разными математическими терминами, даже не подозревая, откуда они. Ведь многие мамочки, в форме игры, объясняют ребенку, что папы больше тарелка, в садик ходить дальше, чем в магазин и другие незамысловатые примеры. Всё это представляет ребенку первоначальное впечатление о математике, еще до похода ребёнка в первый класс.
Чтобы научить ребёнка делить без остатка, а позже с остатком, необходимо прямо предложить поиграть малышу в игры с делением. Разделите, например, конфеты между собой, а затем по очереди добавляйте следующих участников.
Сначала ребенок будет делить конфеты, отдавая каждому участнику по одной. А в конце вместе сделаете вывод. Следует пояснить, что «разделить» — значит всем одинаковое число конфет.
Если Вам необходимо растолковать этот процесс с помощью цифр, то можно привести пример в форме игры. Можно сказать, что цифра – это конфета. Следует объяснить, что число конфет, которые нужно делить между участниками – делимое. А количество человек, на которых делят эти конфеты – это делитель.
Потом следует показать это все наглядно, привести «живые» примеры, чтобы быстрее научить кроху делить. Играя, он намного быстрее все поймет и усвоит. Пока алгоритм объяснить будет сложно, и сейчас это не нужно.
Как обучить малыша делению в столбик
Объяснение крохе разных математических действий – это хорошая подготовка к походу в класс, особенно математический класс. Если Вы решили перейти к обучению ребенка делению столбиком, значит такие действия как сложение, вычитание, и что такое таблица умножения он уже усвоил.
Если же это у него все еще вызывает некоторые сложности, то нужно подтянуть все эти знания. Стоит напомнить алгоритм действий предыдущих процессов, научить свободно пользоваться своими знаниями. В противном случае малыш просто запутается во всех процессах, и перестанет что-либо понимать.
Для облегчения понимания этого, сейчас есть таблица деления для малышей. Принцип у нее такой же, как и у таблиц умножения. Но нужна ли уже такая таблица, если малыш знает таблицу умножения? Это зависит от школы и учителя.
При формировании понятия «деление» нужно обязательно делать все в игровой форме, приводить все примеры на знакомых ребенку вещах и предметах.
Очень важно, чтобы все предметы были четного числа, чтобы малышу было ясно, что итогом являются равные части. Это будет правильно, поскольку позволит крохе осознать, что деление — процесс обратный умножению. Если предметы будут нечетного количества, то итог выйдет с остатком и малыш запутается.
Умножаем и делим с помощью таблицы
При объяснении малышу взаимосвязи между умножением и делением, необходимо это все наглядно показывать на каком-либо примере. Например: 5 х 3 = 15. Вспомните, что итог умножения это произведение двух чисел.
И только после этого, объясняйте, что это обратный процесс к умножению и продемонстрируйте это наглядно с помощью таблицы.
Скажите, что нужно поделить результат «15» — на какой-то из множителей («5»/ «3»), и итогом будет постоянно иной, не принимавший участие в делении, множитель.
Также необходимо растолковать малышу, как правильно называются категории, которые выполняют деление: делимое, делитель, частное. И снова с помощью примера покажите, что из них является конкретной категорией.
Деление столбиком вещь не очень сложная, у нее есть свой легкий алгоритм, которому малыша нужно научить. После закрепления всех этих понятий и знаний, можно переходить к дальнейшему обучению.
В принципе, родителям стоит выучить с любимым чадом таблицу умножения в обратном порядке, и наизусть ее запомнить, так как это будет нужным при обучении делению столбиком.
Это делать необходимо до похода в первый класс, чтобы ребенку в школе было намного легче освоиться, и успевать за школьной программой, и чтобы класс из-за небольших неудач не начал дразнить ребенка. Таблица умножения есть и в школе, и в тетрадях, поэтому носить отдельную таблицу в школу не придется.
Делим с помощью столбика
Прежде чем приступить к занятию, нужно вспомнить названия цифр при делении. Что такое делитель, делимое и частное. Ребенок должен без ошибок делить эти цифры на правильные категории.
Самое главное при обучении деления столбиком, это усвоить алгоритм, который, в общем, довольно простой. Но сначала объясните ребенку значение слова «алгоритм», если он забыл его или до этого не изучал.
В том случае, если кроха прекрасно разбирается в таблице умножения и обратного деления, у него не будет никаких сложностей.
Однако на полученном результате долго задерживаться нельзя, необходимо регулярно тренировать приобретенные умения и навыки. Двигайтесь далее, как только станет ясно, что малыш понял принцип метода.
Необходимо научить малыша делить столбиком без остатка и с остатком, чтобы ребенок не пугался, что у него что-то не получилось разделить правильно.
Чтобы было проще обучить малыша процессу деления необходимо:
в 2-3 года понимание отношения целое-часть.
в 6-7 лет малыш должен свободно уметь выполнять сложение, вычитание и осознавать сущность умножения и деления.
Нужно побуждать интерес малыша к математическим процессам, чтобы этот урок в школе приносил ему удовольствие и желание учиться, и не мотивировать его на одних на уроках, но и в жизни.
Ребенок должен носить разные инструменты для уроков математики, учиться ими пользоваться. Однако если ребенку тяжело все носить, то не стоит его перегружать.
Калькулятор умножения
Использование калькулятора умножения
Этот калькулятор умножения с работой — отличный онлайн-инструмент для обучения многозначному умножению. Он показывает вам, как создается продукт в реальном времени, шаг за шагом, и позволяет вам выделить отдельные шаги умножения, используемые для получения ответа. Если вам нужен калькулятор умножения, показывающий работу, будь то домашнее задание или демонстрация в классе, этот калькулятор поможет вам!
Умножение нескольких цифр — это математический навык, который обычно вводится в 4-м классе после того, как основные факты усвоены, и обычно основанное на модели чувство чисел укрепляет концепции построения массивов.Когда вы будете готовы понять многозначный алгоритм, этот калькулятор умножения можно использовать в качестве классного инструмента для обсуждения того, как частичные продукты связаны с этими ранними навыками, основанными на манипуляциях.
Части задачи умножения
Задача умножения состоит из трех частей
Множаемое
Это первое умножаемое число. Это также иногда называют более общим фактором.
A Множитель
Это второе умножаемое число.Это тоже иногда называют более общим фактором.
Произведение
Это ответ на проблему умножения, и это результат умножения множимого на множитель.
Как выполнять многозначное умножение
Шаги для многозначного умножения:
Возьмите цифру из множителя
Возьмите цифру из множителя, начиная слева.
Умножить на множимое.
Умножьте однозначную цифру на множитель и множимое, чтобы получить промежуточный продукт.
Запишите продукт
Это, пожалуй, самый сложный шаг. Запишите произведение из предыдущего шага умножения, но переместите его под задачу так, чтобы цифра единиц в непосредственном произведении была ниже цифры множителя.
Повторять до тех пор, пока не будут использованы все цифры множителя
Повторяйте шаги до тех пор, пока все цифры множителя не будут израсходованы, сдвигая каждый промежуточный продукт на одну цифру влево каждый раз.
Добавить промежуточные продукты
Конечный продукт — это сумма всех промежуточных продуктов.
Это те же шаги, которые использует калькулятор длинного умножения, чтобы показать работу для задачи умножения. В работе калькулятор выдает нулевое значение вместо значений разряда, где происходит шаг сдвига. Многие люди, решающие вручную задачу умножения многозначных чисел, просто оставляют здесь место для краткости, но смещение нулями помогает избежать ошибок вычислений на этапе сложения, сохраняя выравнивание значений разряда.Если вы наведите указатель мыши на один из пошаговых произведений в рабочей области калькулятора умножения, он покажет вам промежуточное вычисление умножения, использованное для его создания.
Дополнительные ресурсы для изучения многозначного умножения
Я надеюсь, что этот калькулятор умножения будет большим подспорьем в выяснении шагов для решения более длинных задач многозначного умножения и для понимания шагов при многозначном умножении. Для получения дополнительной помощи по умножению обязательно ознакомьтесь с этими другими ресурсами…
Современное обучение умножению включает в себя гораздо больше, чем манипулирование числами, и это видео от Грэма Флетчера дает обзор того, как этого добиться. Если вы родитель и задаетесь вопросом, для чего, по доброй милости, все эти рабочие листы блочной модели Common Core пытаются донести, это видео может помочь.
Еще одно хорошее обсуждение того, как выполнять длинные вычисления умножения, и особенно с шагом «обнулить», можно найти в Ducksters.
Если вы ищете альтернативную стратегию умножения, вторая половина этой страницы на wikiHow показывает, как разделить мультипликатор по-другому.Это в основном то же самое, что и традиционный алгоритм, используемый калькулятором умножения на этой странице, но использование такого подхода может помочь учащимся лучше понять, как меняются значения разряда по мере выполнения шагов. Я лично считаю, что это более простой способ думать об умножении, если я мысленно работаю над двух- или трехзначным умножением …
И, конечно же, одно из самых важных дел, которые вы можете делать, — это практика! Эти рабочие листы многозначного умножения — лишь некоторые из замечательных ресурсов DadsWorksheets для обучения умножению.Обязательно ознакомьтесь с другими рабочими таблицами умножения, таблицами умножения и диаграммами умножения, чтобы действительно улучшить свои факты умножения!
Обновления калькулятора умножения
Дата
Описание
04.03.2017
Начальная версия калькулятора умножения.
19.04.2019
Исправлено написание слова «умножение» в описании калькулятора.
Калькулятор длинного умножения для умножения десятичных и целых чисел
Как умножать десятичные и целые числа
Чтобы продемонстрировать, как умножать десятичные и целые числа с помощью длинного умножения (без калькулятора), мы будем использовать следующее умножение:
132.5 x 4.6
Сначала я перечислю шаги для умножения чисел, затем продемонстрирую каждый шаг.
Запишите число с наибольшим количеством цифр (множимое).
Сразу под первым числом напишите второе число (множитель).
Работая справа налево, умножьте каждую цифру множимого на самую правую цифру множителя.
Если умножение меньше 10, поместите результат в первую строку под множителем в следующей доступной ячейке столбца.
Если умножение больше 9, поместите единичную часть результата в строку под множителем и поместите десятую часть (переход) вверху следующего столбца. Этот переход затем добавляется к результату следующего умножения.
Для каждой последующей цифры множителя добавьте новую строку с количеством нулей, указывающих степень 10 для этой цифры множителя.
Повторите умножение для каждой цифры множителя.
После завершения умножения количество строк должно совпадать с количеством цифр множителя.
Сложите все строки результатов, чтобы получить произведение двух умножаемых чисел.
Подсчитайте количество десятичных разрядов в множимом и множитель и сложите их вместе, чтобы получить количество десятичных разрядов, которые нужно создать в произведении.
Определите, будет ли результат положительным или отрицательным.
Вот как вышеперечисленные шаги будут выполняться для нашего примера умножения с десятичными знаками (132,5 x 4,6).
Шаг № 1: Запись и расположение чисел
Создайте сетку для умножения и сначала введите число с наибольшим числом цифр, а затем число с наименьшим числом цифр.Обратите внимание, что я добавил вертикальные красные линии, чтобы указать, где находятся десятичные точки.
Шаг № 2: Умножение одной цифры в множителе
Умножьте крайнюю правую цифру множителя (6) на каждую цифру множимого.
6 x 5 = 30, поэтому напишите 0 в столбце № 1 в строке результатов и запишите 3 в верхней части столбца № 2.
6 x 2 = 12, + переходящий остаток 3 = 15, поэтому напишите 5 в столбце № 2 в строке результатов и запишите 1 в верхней части столбца № 3.
6 x 3 = 18, + переходящий остаток 1 = 19, поэтому напишите 9 в столбце № 3 в строке результатов и запишите 1 в верхней части столбца № 4.
6 x 1 = 6, + перенос 1 = 7, поэтому напишите 7 в столбце № 5 строки результатов.
1
1
3
1
3
2
5
x
69
4
6
7
9
5
0
col
5
4
3
2
1
Шаг № 3: Умножение десятичной цифры в множителе
Умножьте следующую цифру множителя (4, что фактически соответствует 40) на каждую цифру множимого.
Поскольку сейчас мы работаем со столбцом десятков, запишите 0 в столбец № 1 новой строки.
4 x 5 = 20, поэтому напишите 0 в столбце № 2 второй строки результатов и запишите 2 в верхней части столбца № 3.
4 x 2 = 8, + переходящий остаток 2 = 10, поэтому напишите 0 в столбце № 3 второй строки результата и запишите 1 в верхней части столбца № 4.
4 x 3 = 12, + переходящий остаток 1 = 13, поэтому напишите 3 в столбце № 4 второй строки результата и запишите 1 в верхней части столбца № 5.
4 x 1 = 4, + перенос 1 = 5, поэтому напишите 5 в столбце № 5 второй строки результата.
1
1
2
1
3
2
5
x
69
4
6
7
9
5
0
+
5
3
0
0
0
col
5
4
3
2
1
Шаг 4: сложите строки результатов
Сложите две строки результатов вместе, чтобы получить произведение двух чисел.
7950 + 53000 = 60950
1
1
3
1
3
2
5
x
4
6
7
9
5
0
+
5
3
0
0
0
=
6
0
9
5
0
Шаг 5: Вставьте десятичную точку, если применимо
Подсчитайте количество десятичных разрядов в множимом (132.5 = 1 место) и множитель (4,6 = 1 место) и сложите их вместе, чтобы получить количество десятичных знаков, которые нужно создать в продукте (1 + 1 = 2 разряда).
Произведение 132,5 x 4,6 = 609,50 (или 609,5)
Обратите внимание, что если результат длинного умножения не содержит достаточно цифр для создания необходимого количества десятичных знаков, просто добавьте необходимое количество нулей в левую часть результата. .
Например, если результатом длинного умножения является 85091 (5 цифр), но вам нужно добавить 6 десятичных знаков, просто добавьте 0 в левую часть результата и вставьте десятичную точку в начале, чтобы получилось.085901 (теперь имеет 6 знаков после запятой).
Шаг № 6: Определите, является ли результат положительным или отрицательным
Если вы умножили 2 положительных числа, результат будет положительным.
Если вы умножили положительное число на отрицательное, результат будет отрицательным.
Если вы умножили 2 отрицательных числа, результат будет положительным.
Калькулятор умножения больших чисел — онлайн-умножение большого числа
Поиск инструмента
Умножение
Инструмент для умножения на большие числа (с большим количеством цифр / цифр).Стандартные калькуляторы ограничены большими числами.
Результаты
Умножение — dCode
Тэги: Арифметика
Поделиться
dCode и другие
dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день! Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Умножение двух чисел
Умножение многих чисел
Умножение многих чисел
Загрузка… (если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить страницу)
Умножить
Расчет с умножением
Ответы на вопросы (FAQ)
Как рассчитать умножение с большими числами?
Умножение — это основная арифметическая операция, определяемая как повторение сложения.
Пример: 3 умножить на 2 $ = 3 \ умножить на 2 = 2 + 2 + 2 $
Инструмент умножения dCode с большими целыми числами использует алгоритмы вычисления произвольной точности.То есть, он не ограничен 4 миллиардами, и он может умножать точных значений без округления и необходимости в научном представлении. Оно называется большим / огромным числом , умножением .
Что такое таблица умножения?
Традиционно таблицы умножения относится к этой таблице:
\
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
9 0095 36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Что такое алгоритм Карацубы?
Чтобы сократить время вычисления, умножение ускоряется за счет его разложения:
ab * cd = (a * 10 ^ k + b) * (c * 10 ^ k + d) = ac * 10 ^ 2k + (ad + bc) * 10 ^ k + bd
Это умножение на требует 4 значения ac, ad, bc и bd.k + bd
То же умножение требует 3 значения: ac, bd и (a — b) (c — d).
Задайте новый вопрос
Исходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Умножение». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любого алгоритма «Умножения», апплета или фрагмента (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой функции «Умножения» (вычислять, преобразовывать, решать, расшифровывать / шифровать, расшифровывать / шифровать, декодировать / кодировать, переводить), написанные на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Умножения» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
Нужна помощь?
Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи! NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!
Калькулятор умножения целых чисел может использоваться для мгновенного умножения любых двух положительных или отрицательных целых чисел. Целые числа представляют собой целые числа, включая 0, положительные и отрицательные числа. Дроби, десятичные дроби и проценты не подпадают под категорию целых чисел.
Шаг использования калькулятора умножения целых чисел
В калькуляторе целочисленного умножения есть два поля ввода и знак умножения посередине.Чтобы умножить любые два целых числа, выполните действия, указанные ниже.
Шаг 1: Введите любое целое число в первое поле ввода.
Шаг 2: Введите другое целое число во второе поле ввода.
Шаг 3: Щелкните «Решить», чтобы вычислить значение целых чисел.
Умножение
Умножение — одна из четырех элементарных математических операций арифметики, остальные — это сложение, вычитание и деление. Результат операции умножения называется произведением.Математическая операция, выполняемая над парой чисел для получения третьего числа, называемого произведением. Для положительных целых чисел умножение состоит из прибавления числа (множимого) к самому себе определенное количество раз. Таким образом, умножение 6 на 3 означает прибавление 6 к себе три раза.
Известно, что целые числа могут быть положительными или отрицательными. При умножении целых чисел всегда следует учитывать их знаки. Результирующий знак умножения различных многочленов приведен в следующей таблице.
Правил умножения целых чисел:
Корпус 1:
2 положительных целых числа
Результат — Положительный
a × b = ab
Корпус 2:
2 целое отрицательное число
Результат — Положительный
— a × — b = ab
Корпус 3:
1 положительное и 1 отрицательное целое число
Результат — Положительный
— a × b = — ab
Или,
а × — b = — ab
Часто задаваемые вопросы по калькулятору умножения
Что такое умножение 10 × 15?
Что такое умножение 130 × 20?
Что такое умножение 29 × 19?
Калькулятор умножения
с работой
После расчета вы можете сразу же умножить результат на другую матрицу! х + 3 = 5.Отсутствующие числа (BODMAS) (Ричард Керипель) ДОК. Давайте узнаем, как эти специально устроенные ворота выполняют сложные операции. При этом многие вещи не принимаются во внимание, но ориентировочно можно начать с этого мультипликатора заработной платы. долгое дополнение. Запоминание фактов умножения не должно быть трудным и утомительным. Вы можете использовать как целые, так и десятичные числа (например, Многочлены ›. (1 + 4) × 3 + 2 = 25. Этот онлайн-инструмент может помочь вам найти термин и сумму первых членов арифметической прогрессии.Конвертер из шестнадцатеричного в двоичный и из двоичного в шестнадцатеричный можно использовать, если вы хотите преобразовать числа в шестнадцатеричный, а не вычислять их. Узнайте, как это сделать, в этой статье. Чтобы перемножить матрицы, Шаг 1: Убедитесь, что количество столбцов в 1-м столбце равно количеству строк во 2-м. Шаг по использованию калькулятора умножения целых чисел. Однако стандартным способом сложение выполняется одновременно с умножением. Пример полиномиального уравнения: 4x 5 + 2x + 7. Формула для Multiplier может быть вычислена с помощью следующих шагов: Шаг 1: Во-первых, выясните стоимость денег, депонированных в банке, которая может иметь форму повторяющегося счет, сберегательный счет, текущий счет, срочный депозит и т. д.Калькулятор двоичного умножения — это онлайн-инструмент для цифровых вычислений, предназначенный для умножения двух двоичных чисел. Чтобы вычислить 8 × 9, вспомним «таблицу восьмикратного умножения». В общем, вы можете пропустить знак умножения, поэтому 5 x эквивалентно 5 ⋅ x. Описание. Используемый формат времени — дд: чч: мм: сс, где дд = дни, чч = часы, мм = минуты и сс = секунды. Умножение больших чисел. Он рассчитывается путем сначала определения вашего базального уровня метаболизма, а затем умножения этого значения на множитель активности.Этот калькулятор длинного умножения умножает 2 числа (множимое и множитель), а затем отображает метод длинного умножения, используемый для нахождения произведения двух. Калькулятор множителя расходов — это инструмент, который позволяет рассчитать множитель расходов, используя предельную склонность к потреблению (MPC) или предельную склонность к сбережению (MPS). Калькулятор восьмеричного умножения. 2 × 140 = 280 то же, что и 2 × 14 (с нулем на конце) или 140 + 140. Примеры PEMDAS. ВЕРНО. (Лоуренс Р. Дикси, Офисные машины и устройства, Лондон, 1916-18, стр.В этой статье вы узнаете, что такое множитель расходов, познакомитесь с формулой множителя инвестиционных расходов и увидите наш простой калькулятор множителя расходов в действии. Пошаговые расчеты помогают родителям помочь своим детям, изучающим 2, 3 или 4 класс, проверить работу и ответы на простое домашнее задание на умножение и задачи с заданиями по преалгебре или по числам и операциям в десятичной системе счисления (NBT) общего Основные государственные стандарты (CCSS) по математике. Первый вектор a 1 i->: Первый вектор b 1 j->: Первый вектор c 1 k->: Второй вектор a 2 i->: Второй вектор b 2 j->: Второй вектор c 2 k->: Сложение / Сумма векторов =… Работа ради высшей цели. длинное деление. Есть несколько способов сделать это. Преобразуйте число в двоичное, разделите его на 2 битовые группы и используйте описанную выше процедуру. Входными данными могут быть время, дни, часы, минуты и секунды. PDF. Шаг 2: Нажмите синюю стрелку, чтобы отправить. Результирующее значение в правильных значащих цифрах будет автоматически вычислено и отображено. Используйте и на клавиатуре для перехода к предыдущему или следующему полю. Шаги по использованию калькулятора длинного умножения Прежде всего, введите множимое и число множителя, разделенные знаком *, в поле ввода.Попробуйте онлайн-калькуляторы. Введите силу и расстояние, чтобы рассчитать работу (энергию). Установите матрицу (должна быть квадратной). Ознакомьтесь со всеми нашими онлайн-калькуляторами здесь! 20 ÷ 5 x 2 = 2. Результат умножения будет отображаться как; 3600. Это простой метод умножения двоичных значений без использования ручных методов. Какие есть калькуляторы для умножения матриц и какие инструменты для расчета матриц лучше всего? Множитель затрат или множитель стоимости потерь — это простой фактор, используемый страховыми компаниями и поставщиками компенсаций рабочим для определения цены своих страховых взносов.БЕСПЛАТНЫЕ праздничные, сезонные и тематические рабочие листы умножения, которые помогут научить таблицу умножения. Эта программа принимает от пользователя оператор и два операнда. Об операциях с комплексными числами. Умножение A x B и B x A даст разные результаты. Однако матрицы могут быть не только двумерными, но и одномерными (векторами), так что вы можете умножать векторы, вектор на матрицу и наоборот. Получите подробные решения своих математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора умножения целых чисел.Здесь вы можете бесплатно выполнить умножение матриц на комплексные числа онлайн. Кронштейны (Энди Корк) ДОК. Эта страница включает в себя рабочие листы для длинного умножения для студентов, которые усвоили основные факты об умножении и учатся умножать двузначные, трех-, четырех- и более значные числа. Этот шаблон можно распечатать на одной странице (идеально подходит для страниц формата Letter и A4 с альбомной ориентацией) без каких-либо изменений. В нашем примере мы будем использовать 1,2 раза по 3,45. В этой статье вы узнаете, что такое множитель расходов, познакомитесь с формулой множителя инвестиционных расходов и увидите наш простой калькулятор множителя расходов в действии.Чтобы использовать этот калькулятор, пользователь просто вводит задачу умножения в текстовое поле, используя «*» в качестве операнда умножения, и нажимает кнопку «Рассчитать». Введите дроби и нажмите кнопку =. I… «Например, если нужно найти произведение 756,48 на 98,7, необходимо будет последовательно прибавить 7 раз, 8 раз и 9 раз число 756,48, что представляет в общей сложности 24 операции». Если сила приложена под углом относительно смещения, введите угол в калькулятор.«Например, если нужно найти произведение 756,48 на 98,7, необходимо будет последовательно прибавить 7 раз, 8 раз и 9 раз число 756,48, что представляет в общей сложности 24 операции». Сначала введите первое число, затем введите второе число для расчета; наконец, введите то, что вы считаете правильным, и нажмите «Рассчитать». В математике и информатике двоичная система представляет собой позиционную систему счисления с основанием 2. Онлайн-калькулятор умножения BYJU ускоряет вычисления и отображает умножение двух чисел за доли секунды.Длинное умножение расширяет возможности таблиц, так что числа больше 10 можно умножать без использования калькулятора. Есть несколько способов сделать это. Традиционный метод демонстрируется в примере ниже. Ошибка: сумма ссуды должна составлять от 25 001 до 1 500 000 фунтов стерлингов. Умножить на процент. Множитель используется для оценки ваших общих повреждений — ваших «боли и страданий». Калькулятор умножения вектора. Введите свою матрицу в ячейки под «A» или «B». Бесплатный калькулятор умножения показателей — Примените правила экспоненты для пошагового умножения показателей. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство.2 + 1. На большинстве простых калькуляторов, чтобы умножить 24 на 2 и продолжать удваивать ответ, нажмите 24 x 2 = =… (На некоторых калькуляторах вам нужно нажать 2 xx 24 = =…) Маленькая k на экране указывает калькулятору умножайте на 2 при каждом нажатии кнопки равенства (48, 96, 192, 384, 768, 1 536, 3 072, 6 144, 12 288 и т. д.). См. Другие примеры ». Прямо от калькулятора умножения, который показывает работу до наибольшего общего множителя, у нас есть все детали. Если они существуют, решения и ответы предоставляются в упрощенном, смешанном и полном формате.Шаг 2: Затем убедитесь, что… Вы можете вводить только целые числа и десятичные дроби в этом онлайн-калькуляторе. На самом деле это не уловка — это просто то, как это работает — но это настолько странно, что может показаться уловкой. Умножение и деление 1-значных десятичных знаков Умножение и деление 2-значных десятичных знаков Введение в обозначение индексов Умножение и деление членов с помощью индексов Расчет отрицательных индексов со степенью 10 Преобразование между обыкновенными числами &. Сетка умножения решетки получила свое название от структуры решетки, которая образует сетку чисел.2… Как правило, скобки можно пропускать, но… Если угол отсутствует, оставьте это значение пустым. Чтобы быстро выполнить длинное умножение, начните с разделения десятков и единиц на меньшее число. Но чтобы умножить матрицу на другую матрицу, нам нужно произвести «скалярное произведение» строк и столбцов … что это значит? Дело вот в чем: это похоже на умножение двоичных чисел, но двузначные или трехзначные продукты все равно останутся в одном столбце. 7 дней равны 1 неделе. Этот выбор тоже может быть забавным, потому что он может показать вам, как умножать очень, очень большие числа, каждое из которых может содержать до 10 цифр! Детали (умножение матриц) С помощью этого калькулятора вы можете: найти определитель матрицы, ранг, возвести матрицу в степень, найти сумму и умножение матриц, вычислить обратную матрицу.Умножить / разделить время. Калькулятор найдет произведение двух матриц (если возможно) с указанными шагами. Почему это не сработает для моего ребенка? ПОДПИСАТЬСЯ НА БЕСПЛАТНУЮ ИНФОРМАЦИЮ НАШИХ ЛАБРАТОВ ОНЛАЙН-БЮЛЛЕТЕНЬ Вы также можете оценить… Чтобы вычислить 8 × 9, мы вспоминаем «восьмикратную таблицу». Сане Хайремат диагностировали аутизм, когда ей было два года. Краткое умножение Механические вычислительные машины датируются началом 1600-х годов — см. Раздел «Временная шкала калькулятора». Умножение многочленов. Этот калькулятор скалярного умножения матриц может помочь вам при умножении скаляра на матрицу, не зависящую от ее типа в отношении количества строк и столбцов.Чтобы ввести запятую для десятичного числа, вы должны использовать либо «.» Чтобы умножить десятичные дроби, сначала умножьте их так, как будто десятичной дроби нет. Давайте посмотрим на примере: чтобы выработать ответ для В отличие от общего умножения, умножение матриц не коммутативно. Запишите этот пример в блокнот и нарисуйте кружок под каждым числом, которое нужно умножить. Этот калькулятор удобен для умножения дробей и смешанных чисел, а также для умножения дробей на целые числа. Умножение матриц (3 x 3) и (3 x 2) __Множение матриц 3×3 и 3x2__ возможно, и матрица результата представляет собой матрицу 3×2.Этот калькулятор использует сложение, вычитание, умножение или деление для вычислений положительных или отрицательных десятичных чисел, целых, действительных и целых чисел. Квадратный корень вычисляется быстрее, чем деление, поскольку деление выполняется через 1 бит за цикл / этап, а квадратный корень проходит через 2 бита за цикл. Калькулятор умножения матриц. Здесь вы можете бесплатно выполнить умножение матриц на комплексные числа онлайн. Однако матрицы могут быть не только двумерными, но и одномерными (векторами), так что вы можете умножать векторы, вектор на матрицу и наоборот.После расчета вы можете сразу же умножить результат на другую матрицу! Калькулятор умножения матриц. Человеческий калькулятор — это термин для описания человека с потрясающими способностями в некоторой области мысленных вычислений (таких как сложение, вычитание, умножение или деление больших чисел) .. Квадратная матрица 2×2. Он решает большинство алгебраических уравнений средней школы и упрощает выражения, и ПОКАЗЫВАЕТ ВСЮ РАБОТУ. (Предварительное условие для возможности умножения) Шаг 2: Умножьте элементы каждой строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы.Калькулятор шестнадцатеричного сумматора — это эффективный инструмент для сложения двух шестнадцатеричных значений. Базовый расчет годовой заработной платы для почасового сотрудника прост: оцените количество часов, отработанных еженедельно, умножьте это на почасовую ставку, а затем умножьте на 52 (недели в году). Этот калькулятор предназначен для умножения одного числа на другое и получения ответа, который пользователь может использовать для проверки своей работы. Поставьте… В неправильной версии сначала вычислялось 5 x 2, в результате чего получилась сумма 20 ÷ 10. У меня сработала механическая память.Разделите на 7 (количество дней в повторяющейся схеме работы, включая нерабочие дни). Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Баланс Сары в размере 100 000 сингапурских долларов на ее счете мультипликатора DBS и общая сумма подходящих транзакций на сумму 28 500 сингапурских долларов приносят ей проценты в размере: 1,00% годовых. Предалгебра. Перекрестное умножение — это процедура вычисления прямой и косвенной пропорции. Также с помощью этого калькулятора можно решать гораздо более сложные задачи. Он перемножает матрицы любого размера до 10х10 (2х2, 3х3, 4х4 и т. Д.). 1/3 + 1/4. Ознакомьтесь с десятью лучшими приложениями калькулятора умножения матриц. Вы можете выполнять пошаговое умножение матриц и легко добавлять переменные. Умножитель матрицы, калькулятор обратимой матрицы, калькулятор обратной матрицы, калькулятор умножения матриц, умножение калькулятора матриц, умножение калькулятора матриц. 24 часа равны 1 дню. Этот калькулятор умножения с работой — отличный онлайн-инструмент для обучения многозначному умножению. Затем оператор switch … case используется для проверки оператора, введенного пользователем.Приведите эту матрицу к форме эшелона строк, используя элементарные операции со строками, так что все элементы ниже диагонали равны нулю. Этот метод очень универсален и может обрабатывать как десятичные, так и целые числа. Мы начнем с изучения того, как умножать числа до 10. Калькулятор умножения произведений дробей и смешанных чисел на getcalc.com — это онлайн-инструмент для базовых математических функций, позволяющий найти эквивалентную дробь для произведения двух, трех или более дробных чисел с одинаковыми или разными (равные или разные) знаменатели.Саре необходимо увеличить ежемесячную приемлемую сумму транзакции до 30 000 сингапурских долларов или… Описание: на этой странице представлен математический калькулятор для решения задачи умножения на решетке. Шаг № 1 Мы начинаем с ввода нашей задачи умножения, которую хотим решить. QuickMath автоматически ответит на самые распространенные задачи по алгебре, уравнениям и исчислению, с которыми сталкиваются старшеклассники и студенты колледжей. Было еще много моделей от многих производителей. Процедура использования калькулятора умножения десятичных знаков следующая: Шаг 1: Введите два десятичных значения в данное поле ввода. Шаг 2: Нажмите кнопку «Решить», чтобы получить значение продукта. Шаг 3: Продукт будет отображаться в поле вывода. Создайте работу с шагами для 2 на 2, 3 на 3, 3 на 2, 4 на 4, 4 на 3, 4 на 2, 5 на 4, 5 на 3, 5 на 2, 6 на 4, 6 на 3 и 6 практикой умножения на 2 цифры или домашними упражнениями.(1 + 4) × 3 + 2 = 25. Убедитесь, что в браузере включен javascript, чтобы калькулятор преобразования матриц работал должным образом. Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Двоичная система счисления. Нажмите «Рассчитать», чтобы сразу отобразить результат и двоичное умножение в двоичном и десятичном виде. Добавление калькулятора научной нотации. Когда мы умножаем матрицу на скаляр (то есть на одно число), мы просто умножаем все члены матрицы на этот скаляр. Для двоичного умножения вам необходимо ввести значения в двоичном формате (т.е.е. Этот калькулятор умножения с работой — отличный онлайн-инструмент для обучения многозначному умножению. Этот онлайн-калькулятор позволяет рассчитать фокусное расстояние, эквивалентное 35 мм, для датчика определенного размера. Сначала введите первое число, затем введите второе число для расчета и нажмите «Рассчитать». Ниже приведена иллюстрация с пояснениями, показывающая, как работает наш калькулятор умножения десятичных знаков. НЕПРАВИЛЬНО. Запоминание фактов умножения не должно быть трудным и утомительным.Этот текст покажет вам, как выполнять четыре основных операции (сложение, вычитание, умножение и деление): Примеры PEMDAS. Калькулятор умножения. Введите свои ингредиенты. Для вычисления определителя необходимо проделать следующие шаги. Работает на всех устройствах. Используйте наш калькулятор алгебры дома с веб-сайтом MathPapa или в дороге с мобильным приложением MathPapa. НЕПРАВИЛЬНО. Процедура использования калькулятора умножения следующая: 1 Шаг 1: Введите два числа в поле ввода 2 Шаг 2: Теперь нажмите кнопку «Умножить», чтобы получить произведение. 3 Шаг 3: Наконец, произведение двух чисел будет отображается в поле вывода Подробнее… Калькулятор умножения дробей. Формулы в Excel начинаются со знака равенства (=), который помещается в ячейку, в которой вы хотите отобразить ответ. Стандартный алгоритм умножения основан на принципе, который вы уже знаете: умножение на части (частичные произведения): просто умножайте единицы и десятки отдельно и складывайте. На большинстве простых калькуляторов, чтобы умножить 24 на 2 и продолжать удваивать ответ, нажмите 24 x 2 = =… (На некоторых калькуляторах вам нужно нажать 2 xx 24 = =…) Маленькая k на экране указывает калькулятору умножайте на 2 при каждом нажатии кнопки равенства (48, 96, 192, 384, 768, 1 536, 3 072, 6 144, 12 288 и т. д.).Введите смешанные числа с пробелом. Графические калькуляторы, такие как TI83 и TI84, могут выполнять множество различных операций с матрицами, включая умножение. 20 ÷ 5 x 2 = 8. Алгебра. Добро пожаловать в программу «Упрощение универсальных математических выражений и решение алгебры» (GUMESS). Хорошо, а как нам перемножить две матрицы? Многие взрослые, кажется, забывают, как сложно и долго было изучать факты умножения. Этот калькулятор умножает два раза, чтобы произвести вычисление умноженного времени.Подумайте, как бы вы вычислили 12 × 32, используя стандартный метод длинного умножения. Руководство по вводу данных в калькулятор длинного умножения. Калькулятор восьмеричного умножения. Умножаем главные диагональные элементы матрицы — вычисляется определитель. 20 ÷ 5 x 2 = 2. Первое число умножается на второе; значения рассчитываются до 18 цифр. Сначала введите первое число, затем введите второе число для расчета; наконец, введите то, что вы считаете правильным, и нажмите «Рассчитать».Это лишь небольшая часть механических калькуляторов. символ или символ «,» в зависимости от вашего устройства. Традиционный метод демонстрируется в примере ниже. Это ускорит вашу работу и сделает ее более точной. Каждый вход матрицы представляет собой двухбайтовый контейнер, поэтому максимальное значение (в десятичном формате), которое он может содержать, составляет 65 535. Большинство механических калькуляторов были сопоставимы по размеру с небольшими настольными компьютерами и устарели с появлением электронных калькуляторов. В прошлом году банк собрал вклады на общую сумму 30 миллионов долларов, из которых банк предоставил 27 миллионов долларов в виде различных виды кредитов.Перекрестное умножение. Целые числа представляют собой целые числа, включая 0, положительные и отрицательные числа. Для этого разделите число на 100% и умножьте на заданный процент. В отличие от сложения и вычитания, это не… В неправильной версии сначала было вычислено 5 x 2, в результате чего получилась сумма 20 ÷ 10. От часового к годовому расчету. Баланс Сары в размере 100 000 сингапурских долларов на ее счете мультипликатора DBS и общая сумма подходящих транзакций на сумму 28 500 сингапурских долларов приносят ей проценты в размере: 1,00% годовых. Это довольно простой калькулятор дробей, и вы должны уметь без особых проблем складывать, вычитать, умножать и делить дроби, целые числа и смешанные дроби.Произведение — это результат умножения двух (или более) чисел. Шестнадцатеричный. Умножаем главные диагональные элементы матрицы — вычисляется определитель. Формула Excel для расчета отработанных часов и сверхурочных. Пришло время решить проблему из нашего примера. Восьмеричная система счисления или система счисления по основанию 8 с использованием цифр от 0 до 7. В отличие от сложения и вычитания, для выполнения умножения нам не нужен один и тот же показатель степени. Калькулятор умножения — это бесплатный онлайн-инструмент, который отображает произведение двух чисел. 20 ÷ 5 х 2 = 8.Для вычисления определителя необходимо проделать следующие шаги. Спасибо. В математике и информатике шестнадцатеричная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 16. И во всех случаях калькулятор будет пересчитывать дробь продукта в простейшей форме. Кроме того, в отличие от других онлайн-калькуляторов дробей, этот калькулятор умножения дробей покажет свою работу и дать подробное пошаговое объяснение того, как был получен рассчитанный продукт. Вопросы на этих рабочих листах, которые иногда называют долгим умножением или многозначным умножением, требуют, чтобы учащиеся усвоили факты умножения от 0 до 9.Оглавление Пошаговый процесс на примере Распространенные ошибки Дополнительное чтение Пошаговое описание с… с остатками. Попутно вы вычисляете четыре продукта меньшего размера: Японский метод умножения — это… Лист 1 PDF Пустой лист PDF. Быстрый способ решить это — вычислить: 10 × 140 = 1400 (помните, что если мы умножаем на 10, мы просто добавляем ноль в конец числа, на которое мы умножаем). Важной частью восьмеричного умножения является то, что нам нужно найти кратные 8, ближайшие к каждой цифре.Чем серьезнее, продолжительнее и болезненнее травма, тем выше множитель. Калькулятор использует миллионы таких логических вентилей, организованных определенным образом для выполнения сложных операций с входными числами. Длинное умножение расширяет возможности таблиц, так что числа больше 10 можно умножать без использования калькулятора. Ошибка: размер требуемой ссуды не может превышать покупную цену или оценку. У меня сработала механическая память. Зайдите на Polymathlove.com и поймите выражения, формулы и… 11-летняя девочка из Флориды установила мировой рекорд Гиннеса по наибольшему умножению в уме после того, как решила 12-значную математическую задачу без калькулятора, ручки или бумаги.Например, половина равна 50 процентам или 50 из 100. Калькулятор умножения дробей. Пошаговые вычисления помогают родителям помочь своим детям, изучающим 4, 5 или 6 класс, проверить шаги и ответы домашнего задания на десятичное умножение и задач с заданиями в предалгебре или в числах и операциях с десятичным основанием (NBT) общего Основные государственные стандарты (CCSS) по математике. Дроби, десятичные дроби и проценты не подпадают под категорию целых чисел. Калькулятор длинного умножения для умножения десятичных, целых и целых чисел.В этом проекте показано, как выполнить базовое умножение матриц в Verilog. Саре необходимо увеличить ежемесячную приемлемую сумму транзакции до 30 000 сингапурских долларов или… и до 5-го класса. Калькулятор умножения матриц 2×2 — это онлайн-инструмент, запрограммированный для выполнения операции умножения между двумя матрицами A и B. Умножение матриц 1×1. Матричный ранг 3×3. Вы можете использовать калькулятор, чтобы легко вычислить… Он рассчитывается с минимальными усилиями и может быть выполнен даже с помощью простых прогнозов затрат компании. Этот умножитель может умножать двоичное число 4-битного размера и дает произведение 8-битного размера, потому что размер бит произведения равен сумме битового размера умножителя и множимого.1,70% годовых Это будет действительно просто! Как ступенчатые, так и вращающиеся калькуляторы выполняли умножение путем последовательного сложения и деление путем последовательного вычитания. Введите простые дроби через косую черту (/). Калькулятор деления в столбик выполняет все основные операции между парой чисел, например. Калькулятор биномиального умножения (FOIL): введите 2 бинома для выполнения умножения FOIL: Примечание: для выражений с несколькими переменными используйте наш калькулятор расширения. Эти рабочие листы умножения подходят для детских садов, 1-го класса, 2-го класса, 3-го класса, 4-го класса.Двоичный калькулятор используется для сложения, вычитания, умножения и деления двух двоичных чисел. Калькулятор крестового умножения дробей. Например: 1/2 × 1/3. Он показывает вам, как создается продукт в реальном времени, шаг за шагом, и позволяет вам выделить отдельные шаги умножения, используемые для получения ответа. ПРАВИЛО: Умножение и деление являются равными партнерами в преступлении, поэтому всегда рассчитывайте их слева направо. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.Расчет линейных футов, рабочие листы для начинающих по алгебре, косметическая хирургия, калькулятор умножения корней, бесплатные онлайн-листы по алгебре для детей !, летняя работа для 6-го класса, математические вычисления. Отказ от ответственности: этот калькулятор не идеален. Ознакомьтесь со всеми нашими онлайн-калькуляторами здесь! Дополнительные сведения о машинах без десятичной дроби см. В разделе «Недесятичные калькуляторы». Сведения о британских механических калькуляторах см. На соответствующем сайте British Vintage Calculators. На нем показано, как создается продукт в реальном времени, шаг за шагом и позволяет выделить отдельные шаги умножения, использованные для получения ответа.Используйте этот онлайн-калькулятор умножения многочленов для умножения многочленов любой степени. Посетите эти калькуляторы для вычислений десятичных чисел и посмотрите на работу: Калькулятор длинного умножения, который показывает работу Вперед! К … Она начала проявлять необычные способности к математике, когда родители обучали ее на дому. Калькулятор арифметических последовательностей. Калькулятор умножения дробей. ПОДПИСЫВАТЬСЯ. Если вы хотите узнать, какое число составляет 20 процентов от 1000, введите 1000, нажмите Умножение, затем введите 20 и нажмите клавишу процента (%).Калькулятор также может рассчитывать проценты. A. 7 × 8 = () (… Умножение. Предполагая, что строки в столбце A, основная формула будет = A1 * A2. Порядок операций Коэффициенты и простые числа Доли Длинные арифметические десятичные дроби Экспоненты и радикалы Соотношения и пропорции Процент по модулю Среднее, медиана и мода Арифметика в научных обозначениях. Калькулятор умножения целых чисел. Использование калькулятора умножения. Вам не нужно запоминать таблицу умножения, просто используйте этот способ в любое время! 60 минут равны 1 часу.Здесь мы рассмотрим шаги, необходимые для умножения двух матриц в этом типе калькулятора, используя следующий пример. Метод решетки также называют методами умножения гелуси, индуизма, шабаха, сита и венецианских квадратов.
Калькулятор умножения методом сетки
: Подход с использованием массива
Описание:
На этой странице представлен математический калькулятор для решения умножения сетки. Метод сетки также называется методами сетки, ящика и массива. Этот метод обычно преподается как часть общей основной учебной программы по математике.
Калькулятор показывает работу и шаги, необходимые для получения решения.
Калькулятор:
Калькулятор умножения методом сетки
Решение
Введите значения и нажмите Рассчитать
Было ли это полезно для вас? Помогайте другим и делитесь.
Инструкции:
Чтобы вычислить ответ или результат, выполните следующие действия:
1) Введите первое число. Этот номер будет помещен в верхнюю строку таблицы.
2) Введите второе число. Это число будет помещено в первый столбец массива.
3) Нажмите «Рассчитать».
Обратите внимание, этот калькулятор добавляет каждую строку в последний столбец. Последний столбец представляет собой сумму каждой строки. Затем он добавляет последний столбец, чтобы получить ответ. Некоторые учителя рекомендуют просто складывать все ячейки.
Обратите внимание, что входные данные должны быть положительными целыми числами. Отрицательные или нулевые записи приведут к сообщению об ошибке.
Метод сетки:
Метод сетки упрощает умножение двух чисел.Он разбивает большие и сложные проблемы, используя распределительный закон алгебры. Он использует двумерную сетку или массив, чтобы разобрать проблему. Шаги ниже.
1) Для каждого из чисел разделите или распределите, чтобы представить верхнюю и левую ячейки сетки. Обычно слоты представлены степенями 10 (точки 1, 10, 100). Например, 51 будет представлен 50 (точка 10) в одном слоте и 3 (точка 1) в другом слоте.
2) Затем заполните оставшуюся часть сетки, умножив разбитые числа.Обратите внимание: если числа представлены степенями 10, ученику нужно будет знать только таблицу умножения до 10.
3) Складываем умноженные строки. Цифры справа от двойных стрелок показывают результат сложения строк.
Веб-приложения, многофункциональное интернет-приложение, технические инструменты, спецификации, инструкции, обучение, приложения, примеры, учебные пособия, обзоры, ответы, ресурсы для обзора тестов, анализ, решения для домашних заданий, справка, данные и информация для инженеров, техников, учителей, наставников , Исследователи, школьники, учащиеся колледжей и старших классов, научная ярмарка проектов и ученые
В настоящее время у нас есть около 945 калькуляторов, таблиц преобразования и полезных онлайн-инструментов и программных функций для студентов, преподавателей и учителей, дизайнеров и просто для всех.
На этой странице вы можете найти финансовые калькуляторы, ипотечные калькуляторы, калькуляторы для кредитов, калькуляторы для автокредитования и лизинга, калькуляторы процентов, калькуляторы платежей, пенсионные калькуляторы, калькуляторы амортизации, инвестиционные калькуляторы, калькуляторы инфляции, финансовые калькуляторы, калькуляторы подоходного налога. , калькуляторы сложных процентов, калькулятор заработной платы, калькулятор процентной ставки, калькулятор налога с продаж, калькуляторы фитнеса и здоровья, калькулятор BMI, калькуляторы калорий, калькулятор телесного жира, калькулятор BMR, калькулятор идеального веса, калькулятор темпа, калькулятор беременности, калькулятор зачатия беременности, срок родов калькулятор, математические калькуляторы, научный калькулятор, калькулятор дробей, процентные калькуляторы, генератор случайных чисел, треугольный калькулятор, калькулятор стандартного отклонения, другие калькуляторы, калькулятор возраста, калькулятор даты, калькулятор времени, калькулятор часов, калькулятор GPA, калькулятор оценок, конкретный калькулятор, подсеть калькулятор, генерация паролей калькулятор преобразования и многие другие инструменты, а также для редактирования и форматирования текста, загрузки видео с Facebok (мы создали один из самых известных онлайн-инструментов для загрузки видео с Facebook).Мы также предоставляем вам онлайн-загрузчики для YouTube, Linkedin, Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok и других социальных сетей (обратите внимание, что мы не размещаем видео на своих серверах. Все загружаемые вами видео загружаются с Facebook, YouTube, Linkedin, CDN в Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok. Мы также специализируемся на сочетаниях клавиш, кодах ALT для Mac, Windows и Linux и других полезных советах и инструментах (как писать смайлы в Интернете и т. Д.)
В Интернете есть много очень полезных бесплатных инструментов, и мы будем рады, если вы поделитесь нашей страницей с другими или отправите нам какие-либо предложения по другим инструментам, которые придут вам в голову.Также, если вы обнаружите, что какой-либо из наших инструментов не работает должным образом или вам нужен лучший перевод — сообщите нам об этом. Наши инструменты сделают вашу жизнь проще или просто помогут вам выполнять свою работу или обязанности быстрее и эффективнее.
Это наиболее часто используемые пользователями по всему миру.
И мы все еще развиваемся. Наша цель — стать универсальным сайтом для людей, которым нужно быстро производить расчеты или которым нужно быстро найти ответ на базовые конверсии.
Кроме того, мы считаем, что Интернет должен быть источником бесплатной информации. Таким образом, все наши инструменты и услуги полностью бесплатны и не требуют регистрации. Мы кодировали и разрабатывали каждый калькулятор индивидуально и подвергали каждый строгому всестороннему тестированию. Однако, пожалуйста, сообщите нам, если вы заметите даже малейшую ошибку — ваш вклад очень важен для нас. Хотя большинство калькуляторов на Justfreetools.com предназначены для универсального использования во всем мире, некоторые из них предназначены только для определенных стран.
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия
Поиск по сайту:
Справочник по математике
Геометрия (Планиметрия)
Геометрические места точек на плоскости
Геометрическим местом точек называют множество точек, заданное условием, являющимся и свойством, и признаком.
Другими словами, все точки из рассматриваемого геометрического места точек, и только они, удовлетворяют заданному условию.
Примеры геометрических мест точек (сокращённо ГМТ) на плоскости представлены в следующей таблице, причём геометрические места точек изображаются в таблице красным цветом.
Дано
Найти
Ответ (ГМТ)
Рисунок
Точка и число r
Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии r от данной точки.
Окружность радиуса r
Угол
Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.
Биссектриса угла
Пара пересекающихся прямых
Геометрическое место точек, равноудалённых от пары данных пересекающихся прямых.
Две перпендикулярных прямых (биссектрисы углов, образованных данными прямыми)
Отрезок
Геометрическое место точек, равноудалённых от концов данного отрезка.
Серединный перпендикуляр к отрезку
Прямая и число d
Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии d от данной прямой.
Пара параллельных прямых
Пара параллельных прямых
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельных прямых.
Прямая
Отрезок и угол, величина которого равна α
Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом
Две дуги окружностей одинакового радиуса, для которых данный отрезок является общей хордой, причём из дуг исключены концы отрезка.
Дано: Точка и число r
Найти: Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии r от данной точки.
Ответ (ГМТ): Окружность радиуса r
Рисунок:
Дано: Угол
Найти: Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.
Ответ (ГМТ): Биссектриса угла
Рисунок:
Дано: Пара пересекающихся прямых
Найти: Геометрическое место точек, равноудалённых от пары данных пересекающихся прямых.
Ответ (ГМТ): Две перпендикулярных прямых (биссектрисы углов, образованных данными прямыми)
Рисунок:
Дано: Отрезок
Найти: Геометрическое место точек, равноудалённых от концов данного отрезка.
Ответ (ГМТ): Серединный перпендикуляр к отрезку
Рисунок:
Дано: Прямая и число d
Найти: Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии d от данной прямой.
Ответ (ГМТ): Пара параллельных прямых
Рисунок:
Дано: Пара параллельных прямых
Найти: Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельных прямых.
Ответ (ГМТ): Прямая
Рисунок:
Дано: Отрезок и угол, величина которого равна α
Найти: Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом
Ответ (ГМТ): Две дуги окружностей одинакового радиуса, для которых данный отрезок является общей хордой, причём из дуг исключены концы отрезка.
Рисунок:
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось
дней
часов
минут
секунд
НАШИ ПАРТНЕРЫ
«НПО Астек»
«Fastvideo»
Бюро переводов «Медтран»
Независимый бизнес-консультант Е. Самаров
Геометрическое место точек — презентация онлайн
Похожие презентации:
Геометрическое место точек
Геометрические места точек. 9 класс
Геометрические места точек
Геометрическое место точек
Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве
Кривые второго порядка
Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система координат на плоскости
Кривые второго порядка
Аналитическое задание фигур
Кривые второго порядка
1. Тема урока:
«Геометрическое место точек». 9 класс Учитель Гордеева Н.М. Скажи мне – и я забуду, Покажи мне – и я запомню, Вовлеки меня – и я пойму. (Древняя китайская мудрость)
3. Цель урока:
систематизировать и углубить знания по теме «Метод координат». “Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия”. (Дьердье Пойа)
5. Задача:
найти геометрическое место точек, обладающих определенным свойством (совершить открытие).
6. Определение:
Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.
7. Геометрическое место точек,
равноудаленных от данной точки, есть окружность.
8. Геометрическое место точек,
равноудаленных от концов данного отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.
9. Геометрическое место точек,
равноудаленных от сторон данного угла, есть биссектриса этого угла.
10. Геометрическое место точек,
равноудаленных от двух параллельных прямых, есть параллельная им прямая, проходящая через середину их общего перпендикуляра (на ней лежат центры окружностей, касающихся данных прямых).
11. Геометрическое место точек,
являющихся вершинами прямоугольных треугольников с данной гипотенузой, есть окружность, построенная на гипотенузе как на диаметре (исключая концы гипотенузы).
12. Геометрическое место точек,
отношение расстояний от которых до двух данных точек – величина постоянная, есть окружность (которую называют окружностью Аполлония).
13. Задание 1
На рисунке AD=DB=2 см. Что представляет собой геометрическое место точек, принадлежащих данной прямой, которые удалены от точки D на расстояние: а) равное 2см; б) более 2см; в) не более 2см. a A D B b
14. Решение:
а) Расстояние от D равно 2см: a b A D B б) Расстояние от D более 2см: a b A D B в) Расстояние от D не более 2см: a b A D B
15. Задание 2
По тому же рисунку определите, что представляет собой геометрическое место точек плоскости, которые удалены от точки D на расстояние а) равное 2см; б) более 2см; в) не более 2см. a b A D B
16. Решение:
а) Расстояние от D равно 2см: a b A D B
17.
Решение:б) Расстояние от D более 2см: a b A D B
18. Решение:
в) Расстояние от D не более 2см: a b A D B
19. Задание 3
Используя метод координат, найдите пару чисел, удовлетворяющих условию ( x 1) ( y 1) x y x ( y 1) 2 2 2 2 2 2
20. Задание 4
Используя метод координат, докажите, что система уравнений имеет единственное решение: ( x 1) 2 ( y 2) 2 4 2 2 ( x 9) ( y 8) 64
21. Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: а) y 9x 0 2 y 2 9×2 0 2
22. Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: б) 3 y 0 x 4
23. Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: в) x 4x y 0 2 2
24. Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: г) ( x 7) ( y 4) 0 2 2
25. Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: д) 2 y 3x 0 2
26.
Парабола как геометрическое место точек.Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и от заданной прямой.
27. Построение параболы.
28. Как разбить клумбу?
29. Геометрическое место точек,
сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 есть величина постоянная; большая, чем F1F2.
30. План построения ГМТ.
Прикрепим концы нити с помощью кнопок к точкам F1 и F2. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. Вычерчиваем карандашом линию.
31. Построение ГМТ
Что будет происходить с эллипсом, если фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга. Найти геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1 и F2: а) меньше заданной величины 2а; б) больше заданной величины 2а.
34.
Уравнение ГМТОпределите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: x 4y 4 2 2
35. Уравнение ГМТ
x2 y2 1 4 a 2 4 , тогда a 2 — уравнение эллипса b 1 c2 a 2 b2 c 3 2 c 3 Ответ: F1 ( 3;0) , F2 ( 3;0)
36. Конические сечения
37. Конические сечения
Аполлоний Пергский (II-III вв. до н. э.) древнегреческий математик. Важнейший труд — “Конические сечения”
38. Конические сечения
Их изучали еще древнегреческие геометры. Теория конических сечений была одной из вершин античной геометрии. Уравнения этих линий были выведены гораздо позднее, когда стал применяться метод координат.
39. Кривые второго порядка
y 0 x Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, который называется аналитической геометрией.
41. Эксцентриситет эллипса
характеризует степень его вытянутости. Еще Иоганн Кеплер (1571 – 1630) – немецкий астроном обнаружил, что планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в одном из фокусов этих эллипсов.
43. Орбиты движения небесных тел
Венера 0,0068 Нептун 0,0086 Земля 0,0167 Плутон 0,253 Комета Галлея 0,967 Решали задачу о множестве точек, а это ГМТ имеет отношение к Вселенной, (а это была всего лишь только задача!).
45. Домашнее задание
Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек F1(-c; 0), F2(c; 0) есть постоянная величина a2. Такое геометрическое место точек называется овалом Кассини.
46. Домашнее задание
Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек F1(-а; 0), F2(а; 0) есть постоянная величина а2. Такое геометрическое место точек называется лемнискатой (см. рис.). (Уравнение лемнискаты сначала найти непосредственно, потом – рассматривая ее как частный вид овала Кассини). Подведение итогов урока
English
Русский
Правила
§ 20.
Геометрические места точек, связанные с расстояниями в пространстве
§ 20.Геометрические места точек, связанные с расстояниями в пространстве
Некоторые множества точек в пространстве задаются условиями, связанными с расстояниями между точками, точкой и фигурой, двумя фигурами. Перечислим некоторые из этих множеств, предлагая вам осмыслить и доказать, где это требуется, описанные ниже факты.
Рис. 144
Множество всех точек пространства, удалённых от данной точки на данное расстояние R (R > 0), есть сфера с центром в данной точке радиуса R (рис. 144).
Множество всех точек пространства, удалённых от данной прямой на данное расстояние R (R > 0), есть цилиндрическая поверхность радиусом R (рис. 145).
Рис. 145
Множество всех точек пространства, удалённых от данной плоскости на данное расстояние a (a > 0), есть две параллельные ей плоскости (рис. 146).
Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух данных точек, есть плоскость, проходящая через середину отрезка с концами в данных точках перпендикулярно этому отрезку. В этой плоскости лежат центры всех сфер, проходящих через данные точки (рис. 147).
Рис. 146
Рис. 147
Рис. 148
Рис. 149
Множество всех точек пространства, равноудалённых от трёх данных точек, не лежащих на одной прямой, есть прямая, перпендикулярная плоскости этих точек и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника с вершинами в данных точках. Этой прямой принадлежат центры всех сфер, проходящих через данные точки (рис. 148).
Множество всех точек пространства, равноудалённых от четырёх данных точек, не лежащих в одной плоскости, есть единственная точка — центр сферы, проходящей через данные четыре точки.
Рис. 150
Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух данных параллельных прямых, есть плоскость, проходящая через середину отрезка общего перпендикуляра этих прямых и ему перпендикулярная. В этой плоскости лежат центры всех сфер, касающихся данных прямых (рис. 149).
Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых, есть две плоскости, перпендикулярные плоскости, в которой лежат эти прямые, и проходящие через биссектрисы углов, образованных данными прямыми (рис. 150).
Рис. 151
Рис. 152
Множество всех точек пространства, равноудалённых от прямых, содержащих стороны данного треугольника, есть четыре прямые, перпендикулярные плоскости треугольника и проходящие соответственно через центр окружности, вписанной в этот треугольник, и через центр каждой из трёх окружностей, вневписанных для этого треугольника (рис. 151).
Множество всех точек пространства, равноудалённых от сторон данного треугольника, есть прямая, перпендикулярная плоскости треугольника, проходящая через центр вписанной в него окружности. На этой прямой лежат центры всех шаров, касающихся сторон треугольника (рис. 152).
Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух параллельных плоскостей, есть параллельная им плоскость, проходящая через середину отрезка их общего перпендикуляра. Ей принадлежат центры всех шаров, касающихся обеих плоскостей (рис. 153).
Рис. 153
Рис. 154
Рис. 155
Рис. 156
Множество всех точек двугранного угла, равноудалённых от его граней, есть «биссекторная» полуплоскость этого угла. В ней лежат центры всех шаров, вписанных в этот угол (рис. 154).
Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей, есть две плоскости, проходящие через прямую пересечения данных плоскостей и делящие пополам образованные ими двугранные углы. Эти плоскости называются биссекторными. Им принадлежат центры всех шаров, касающихся обеих плоскостей (рис. 155).
Множество всех точек пространства, лежащих внутри трёхгранного угла и равноудалённых от его граней, есть луч прямой пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов этого трёхгранного угла. Этому лучу принадлежат центры всех сфер, вписанных в трёхгранный угол (рис. 156).
Множество середин всех отрезков, концы которых лежат на данных скрещивающихся прямых, есть плоскость, параллельная каждой из данных скрещивающихся прямых.
Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух равных касающихся шаров, есть плоскость, проходящая через точку касания этих шаров перпендикулярно линии их центров.
Пусть A и B — данные точки. Множество всех точек M пространства таких, что треугольник ABM — равнобедренный, представляет собой объединение, компонентами которого являются: 1) плоскость α, перпендикулярная прямой AB и делящая отрезок AB пополам, за исключением точки пересечения AB с плоскостью α; 2) сферы S1 радиуса AB с центром в точке A, за исключением точек пересечения прямой AB с этой сферой; 3) сфера S2 радиуса BA с центром в точке B, за исключением точек пересечения прямой AB с этой сферой.
Множество всех точек пространства, из каждой из которых данный отрезок AB виден под прямым углом, есть сфера с диаметром AB, за исключением точек A и B.
Задания для работы с интернет-ресурсами
1. Найдите в Интернете задачи и рисунки по темам: «Расстояние между точкой и фигурой», «Расстояние от точки до прямой на плоскости», «Расстояние от точки до прямой в пространстве», «Расстояние от точки до плоскости», «Приёмы нахождения расстояний от точки до фигуры в пространстве».
2. Наберите в поисковой системе слова «Расстояние между двумя параллельными прямыми», «Расстояние между прямой и плоскостью», «Расстояние между двумя параллельными плоскостями», «Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми», «Расстояние между двумя фигурами в пространстве», а также «Угол между наклонной и плоскостью». Найдите и решите задачи ЕГЭ типа С-2 в демоверсиях и на других сайтах. Постарайтесь найти статьи на эту тему в журнале «Квант» и «Библиотечка кванта», выложенных, например, на сайтах: http://www.mccme.ru/, точнее, на http://www.math.ru/lib/. Посмотрите также материалы математических олимпиад.
3. Изучите материал по теме: «Геометрические места точек в пространстве». Сравните эти материалы с примерами из учебника. Посмотрите, например, реферат по теме: «Сравнительная характеристика геометрических мест точек на плоскости и в пространстве». Наберите в поисковой системе слова отдельно о каждом указанном в учебнике геометрическом месте точек в пространстве. Посмотрите рисунки.
Геометрическое место точек — презентация на Slide-Share.ru 🎓
1
Первый слайд презентации
Геометрическое место точек.
Изображение слайда
2
Слайд 2
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Изображение слайда
3
Слайд 3
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
Изображение слайда
4
Слайд 4
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
1) ГМТ, принадлежащих одновременно двум пересекающимся прямым – это
Изображение слайда
5
Слайд 5
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
1) ГМТ, принадлежащих одновременно двум пересекающимся прямым – это
точка.
Изображение слайда
6
Слайд 6
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
1) ГМТ, принадлежащих одновременно двум пересекающимся прямым – это
точка.
2) ГМТ, принадлежащих сторонам угла и равноудаленных от его вершины – это
Изображение слайда
7
Слайд 7
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством. ПРИМЕРЫ ГМТ:
1) ГМТ, принадлежащих одновременно двум пересекающимся прямым – это
точка.
2) ГМТ, принадлежащих сторонам угла и равноудаленных от его вершины – это
две точки.
Изображение слайда
8
Слайд 8
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
1) ГМТ, принадлежащих одновременно двум пересекающимся прямым – это
точка.
2) ГМТ, принадлежащих сторонам угла и равноудаленных от его вершины – это
две точки.
3) ГМТ, одновременно принадлежащих лучам АВ и ВА — это
Изображение слайда
9
Слайд 9
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
1) ГМТ, принадлежащих одновременно двум пересекающимся прямым – это
точка.
2) ГМТ, принадлежащих сторонам угла и равноудаленных от его вершины – это
две точки.
3) ГМТ, одновременно принадлежащих лучам АВ и ВА – это отрезок АВ
А В
Изображение слайда
10
Слайд 10
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это
Изображение слайда
11
Слайд 11
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это
окружность с центром в заданной точке.
Изображение слайда
12
Слайд 12
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это
окружность с центром в заданной точке.
5) ГМТ, равноудаленных от сторон угла – это
Изображение слайда
13
Слайд 13
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это
окружность с центром в заданной точке.
5) ГМТ, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла.
Изображение слайда
14
Слайд 14
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это
окружность с центром в заданной точке.
5) ГМТ, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. 6) ГМТ, равноудаленных от двух заданных точек – это
Изображение слайда
15
Слайд 15
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это
окружность с центром в заданной точке.
5) ГМТ, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла.
6) ГМТ, равноудаленных от двух заданных точек – это прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно отрезку —
Изображение слайда
16
Слайд 16
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством.
ПРИМЕРЫ ГМТ:
4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это
окружность с центром в заданной точке.
5) ГМТ, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла.
6) ГМТ, равноудаленных от двух заданных точек – это прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно отрезку —
серединный перпендикуляр к отрезку,
соединяющему данные точки.
Изображение слайда
17
Слайд 17
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек,
обладающим определенным свойством. ПРИМЕРЫ ГМТ:
4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это
окружность с центром в заданной точке.
5) ГМТ, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла.
6) ГМТ, равноудаленных от двух заданных точек – это прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно отрезку —
серединный перпендикуляр к отрезку,
соединяющему данные точки.
Изображение слайда
18
Слайд 18
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что фигура является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Изображение слайда
19
Слайд 19
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Изображение слайда
20
Слайд 20
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Изображение слайда
21
Слайд 21
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Изображение слайда
22
Слайд 22
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Окружность – Геометрическое место точек,
удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки.
Изображение слайда
23
Слайд 23
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Окружность – Геометрическое место точек,
удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки.
— фигура, состоящая из всех точек плоскости,
удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки.
Изображение слайда
24
Слайд 24
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Окружность – Геометрическое место точек,
удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки.
— фигура, состоящая из всех точек плоскости,
удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки.
Изображение слайда
25
Слайд 25
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Окружность – Геометрическое место точек,
удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки.
— фигура, состоящая из всех точек плоскости,
удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки.
Изображение слайда
26
Слайд 26
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2)
Изображение слайда
27
Слайд 27
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2)
1) Точка принадлежит биссектрисе угла =˃ она равноудалена от сторон этого угла.
Изображение слайда
28
Слайд 28
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2)
1) Точка принадлежит биссектрисе угла =˃ она равноудалена от сторон этого угла.
О
К
Изображение слайда
29
Слайд 29
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2)
1) Точка принадлежит биссектрисе угла =˃ она равноудалена от сторон этого угла. О
К
А
В
Изображение слайда
30
Слайд 30
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2)
Точка принадлежит биссектрисе угла =˃ она равноудалена от сторон этого угла.
Рассмотрим Δ АОК и Δ ВОК — прямоугольные.
(˂ А = ˂ В = 90 0 ) Докажем, что они равны.
О
К
А
В
Изображение слайда
31
Слайд 31
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2)
Точка принадлежит биссектрисе угла =˃ она равноудалена от сторон этого угла.
Рассмотрим Δ АОК и Δ ВОК — прямоугольные.
(˂ А = ˂ В = 90 0 ) Докажем, что они равны.
ОК – общая гипотенуза, ˂АОК = ˂ ВОК по условию
(т.к. ОК – биссектриса), значит Δ АОК = Δ ВОК
=˃ АК = КВ как соответственные стороны
(катеты).
О
К
А
В
Изображение слайда
32
Слайд 32
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2)
2) Точка равноудалена от сторон угла (равны перпендикуляры) =˃ она принадлежит биссектрисе.
О
К
Изображение слайда
33
Слайд 33
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2)
2) Точка равноудалена от сторон угла (равны перпендикуляры) =˃ она принадлежит биссектрисе.
Рассмотрим Δ D ОК и Δ E ОК — прямоугольные.
О
К
D
E
Изображение слайда
34
Слайд 34
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2)
2) Точка равноудалена от сторон угла (равны перпендикуляры) =˃ она принадлежит биссектрисе.
Рассмотрим Δ D ОК и Δ E ОК — прямоугольные.
Итак, доказали, что Δ D ОК = Δ E ОК по гипотенузе и
катету =˃ ˂ DOK = ˂ EOK как соответственные, т.о.
ОК принадлежит биссектрисе ˂ DOE.
О
К
D
E
Изображение слайда
35
Слайд 35
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка –
это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1)
1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃
равноудалена от концов отрезка.
Изображение слайда
36
Слайд 36
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка –
это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1)
1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃
равноудалена от концов отрезка.
Изображение слайда
37
Слайд 37
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка –
это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1)
1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃
равноудалена от концов отрезка.
Изображение слайда
38
Слайд 38
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка –
это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1)
1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃
равноудалена от концов отрезка.
А
О
В
К
Изображение слайда
39
Слайд 39
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка –
это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19. 1)
1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃
равноудалена от концов отрезка.
По доказанному устно: АК = КВ, т.е. точка К –
равноудалена от концов отрезка. Ч.т.д.
А
О
В
К
Изображение слайда
40
Слайд 40
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка –
это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1)
1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃
равноудалена от концов отрезка. По доказанному устно: АК = КВ, т.е. точка К –
равноудалена от концов отрезка. Ч.т.д.
2) Точка равноудалена от концов отрезка =˃
принадлежит серединному перпендикуляру.
А
О
В
К
Изображение слайда
41
Слайд 41
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка –
это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1)
1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃
равноудалена от концов отрезка. По доказанному устно: АК = КВ, т.е. точка К –
равноудалена от концов отрезка. Ч.т.д.
2) Точка равноудалена от концов отрезка =˃
принадлежит серединному перпендикуляру.
А
О
В
К
Изображение слайда
42
Слайд 42
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка –
это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1)
1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃
равноудалена от концов отрезка. По доказанному устно: АК = КВ, т.е. точка К –
равноудалена от концов отрезка. Ч.т.д.
2) Точка равноудалена от концов отрезка =˃
принадлежит серединному перпендикуляру.
По доказанному устно: т. К принадлежит серединному
перпендикуляру. Ч.т.д.
А
О
В
К
Изображение слайда
43
Слайд 43
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Сделаем вывод: описанные три примера, действительно являются примерами геометрических мест точек.
Изображение слайда
44
Слайд 44
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Изображение слайда
45
Слайд 45
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством;
Изображение слайда
46
Слайд 46
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством;
Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура;
Изображение слайда
47
Слайд 47
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством;
Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура;
Доказать два взаимно обратных утверждения.
Изображение слайда
48
Слайд 48
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством;
Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура;
Доказать два взаимно обратных утверждения.
Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m.
Изображение слайда
49
Слайд 49
Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством;
Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура;
Доказать два взаимно обратных утверждения.
Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m.
а
X
m
Изображение слайда
50
Слайд 50
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством;
Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура;
Доказать два взаимно обратных утверждения.
Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m.
а
X
m
Изображение слайда
51
Слайд 51
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством;
Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура;
Доказать два взаимно обратных утверждения.
Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m.
а
X
m
Изображение слайда
52
Слайд 52
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством;
Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура;
Доказать два взаимно обратных утверждения. Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m.
а
X
m
Изображение слайда
53
Слайд 53
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством;
Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура;
Доказать два взаимно обратных утверждения.
Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m. а
X
m
Изображение слайда
54
Слайд 54
Геометрическое место точек.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
которые обладают некоторым свойством.
Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:
Каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно:
Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством;
Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура;
Доказать два взаимно обратных утверждения.
Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m.
Предположение: две прямые, параллельные прямой а
и находящиеся на расстоянии m от нее. а
X
m
Изображение слайда
55
Слайд 55
Геометрическое место точек.
Подведем итог:
Изображение слайда
56
Слайд 56
Геометрическое место точек.
Подведем итог:
1. Теперь вы знаете, что называется Геометрическим местом точек.
Изображение слайда
57
Слайд 57
Геометрическое место точек.
Подведем итог:
Теперь вы знаете, что называется Геометрическим местом точек.
Вы можете привести несколько примеров ГМТ, обладающего каким-то свойством. (Окружность, биссектриса, серединный перпендикуляр).
Изображение слайда
58
Последний слайд презентации: Геометрическое место точек
Геометрическое место точек.
Подведем итог:
Теперь вы знаете, что называется Геометрическим местом точек.
Вы можете привести несколько примеров ГМТ, обладающего каким-то свойством. (Окружность, биссектриса, серединный перпендикуляр).
Вы умеете решать задачи, в которых нужно найти ГМТ, обладающее заданным свойством.
Изображение слайда
Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудалённых от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах
Геометрическим местом точек на плоскости называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.
Т.1.29. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.
На рисунке 71 к отрезку проведен серединный перпендикуляр СС. Т.1.29 утверждает, что: а) каждая точка прямой равноудалена от А и В; б) каждая точка плоскости, равноудаленная от А и Б, лежит на прямой
Ниже перечислены несколько геометрических мест точек на плоскости.
1. Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной точки, есть окружность с центром в этой точке и радиусом, равным данному расстоянию.
2. Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, состоит из двух прямых, каждая из которых параллельна данной и отстоит от нее на данное расстояние.
3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из двух прямых, на которых лежат биссектрисы всех углов, полученных при пересечении данных прямых.
4. Геометрическое место точек, из которых отрезок виден под данным углом а и которые лежат по одну сторону от прямой А Б, есть дуга окружности с концами в точках А и Б.
Метод геометрических мест, применяемый при решении задач на построение, основан на следующем.
Пусть нам надо построить точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть фигура Искомая точка X принадлежит , т. е. является их общей точкой.
Пример 1. Построить по периметру , углу Б, равному , и высоте , опущенной из вершины А.
Решение. Пусть задача решена и построен (рис. 72). Отложив на прямой отрезки получим равнобедренные треугольники
Исходя из приведенных выше рассуждений построение можно осуществить в следующей последовательности:
1) Проводим прямую и на ней откладываем отрезок
2) На расстоянии от прямой проводим прямую параллельную
3) С вершиной в точке D строим угол равный Точка
А — одна из вершин искомого треугольника.
4) Проводим серединные перпендикуляры к отрезкам Точки В и С пересечения этих серединных перпендикуляров с прямой — две другие вершины искомого треугольника.
Доказательство того, что искомый, проводим так: высота этого треугольника равна по построению, равнобедренный, — внешний угол этого треугольника, см. Т. 1. 22), по построению.
Обладающих некоторым свойством.
Примеры
[
|
]
Формальное определение
[
|
]
В общем случае, геометрическое место точек формулируется предикатом , аргументом которого является точка данного линейного пространства. Параметры предиката могут носить различный тип. Предикат называется детерминантом геометрического места точек. Параметры предиката называются дифференциалами геометрического места точек (не путать с дифференциалом в анализе).
Роль дифференциалов во введении видовых различий в фигуру. Количество дифференциалов может быть любым; дифференциалов может и вовсе не быть.
Если заданы детерминант , где
M
{\displaystyle M}
— точка, — дифференциалы, то искомую фигуру
A
{\displaystyle A}
задают в виде: «
A
{\displaystyle A}
— геометрическое место точек
M
{\displaystyle M}
, таких, что
P
(M
,
a
,
b
,
c
,
…)
{\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)}
». Далее обычно указывается роль дифференциалов, им даются названия применительно к данной конкретной фигуре. Под собственно фигурой понимают совокупность (множество) точек
M
{\displaystyle M}
, для которых для каждого конкретного набора значений
a
,
b
,
c
,
…
{\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots }
высказывание
P
(M
,
a
,
b
,
c
,
…)
{\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)}
обращается в тождество. Каждый конкретный набор значений дифференциалов определяет отдельную фигуру, каждую из которых и всех их в совокупности именуют названием фигуры, которая задаётся через ГМТ.
В словесной формулировке предикативное высказывание озвучивают литературно, то есть с привлечением различного рода оборотов и т. д. с целью благозвучия. Иногда, в случае простых детерминантов, вообще обходятся без буквенных обозначений.
Пример : параболу зададим как множество всех таких точек
M
{\displaystyle M}
, что расстояние от
M
{\displaystyle M}
до точки
F
{\displaystyle F}
равно расстоянию от
M
{\displaystyle M}
до прямой
l
{\displaystyle l}
. Тогда дифференциалы параболы —
F
{\displaystyle F}
и
l
{\displaystyle l}
; детерминант — предикат
P
(M
,
F
,
l)
=
(ρ
(M
,
F)
=
ρ
l
(M
,
l))
{\displaystyle P(M,\;F,\;l)=(\rho (M,\;F)=\rho _{l}(M,\;l))}
, где
ρ
{\displaystyle \rho }
— расстояние между двумя точками (метрика),
ρ
l
{\displaystyle \rho _{l}}
— расстояние от точки до прямой. И говорят: «Парабола — геометрическое место точек
M
{\displaystyle M}
, равноудалённых от точки
F
{\displaystyle F}
и прямой
l
{\displaystyle l}
. Точку
F
{\displaystyle F}
называют фокусом параболы, а прямую
l
{\displaystyle l}
— директрисой».
Цели урока:
Образовательная: показать новый метод решения задач на построение геометрического места точек; Научить применять его в решении задач.
Развивающая: развитие наглядно- образного мышления; познавательного интереса.
Воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение, критически оценивать результат.
Задачи урока:
Изучения нового материала.
Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока:
Определения.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Теоретическая часть.
Общии понятия.
Введение.
Древнеегипетскую и вавилонскую культуру в области математики продолжали греки. Они не только усвоили весь опыт их геометрии, но и пошли гораздо дальше. Ученые древней Греции сумели привести в систему накопленные геометрические знания и, таким образом, заложить начала геометрии как дедуктивной науки.
Греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро это обнаружили. Они задавались вопросами: почему в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны; почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах?
К сожалению, не сохранилось первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Только благодаря восстановленным текстам четвертого столетия до нашей эры и трудам арабских ученых, которые были богаты переводами сочинений авторов античной Греции, мы располагаем изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великий людей. Но в этих произведениях уже представлена вполне развитая математическая наука.
Математика древней Греции прошла длительный и сложный путь развития, начиная с VI столетия до н.э. и по VI век. Историки науки выделяют три периода ее развития в соответствии с характером знаний:
Накопление отдельных математических фактов и проблем (6 — 5B.B. до н.э.).
Систематизация полученных знаний (4 — 3 в.в. до н.э.).
Период вычислительной математики (3в. до н.э. — 6 в.).
Геометрическое место точек (ГМТ).
Определения.
Геометрическое место – термин, применявшийся в старой литературе по геометрии и до сих пор применяющийся в учебной литературе, для обозначения множества точек, удовлетворяющих некоторому условию , как правило, геометрического характера. Например: геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B – это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Иногда говорят и о геометрическом месте прямых и других фигур.
Название связано с представлением о линии как о «месте», на котором располагаются точки.
В геометрии траектория некоторой точки, перемещающейся в соответствии с данной формулой или условием. Например, круг является геометрическим местом точки, перемещающейся на плоскости так, что расстояние от места ее нахождения до центра остается неизменным.
Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество точек, в которое попадают все точки, удовлетворяющие определенному условию, и только они.
Геометрическое место точек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.
Примеры.
Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.
Окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.
Парабола есть геометрическое место точек, равноудалённых от точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой).
Пример 1.
Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO перпендикулярно AB и AO = OB:
Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .
Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.
Пример 2.
Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.
Пример 3.
Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (на рис. показана одна из этих точек – А).
Хорда , проходящая через центр круга (например, BC, рис 1), называется диаметром и обозначается d или D . Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2 r).
Касательная . Предположим, секущая PQ (рис.2) проходит через точки K и M окружности. Предположим также, что точка M движется вдоль окружности, приближаясь к точке K. Тогда секущая PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг точки K. По мере приближения точки M к точке K секущая PQ будет стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая AB называется касательной к окружности в точке K. Точка K называется точкой касания. Касательная и окружность имеют только одну общую точку – точку касания.
Свойства касательной.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания (AB перпендикулярно OK, рис.2).
Из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны АВ=АС (рис.3).
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой ACB и соответствующей хордой AB (рис.4). Длина перпендикуляра CD, проведенного из середины хорды AB до пересечения с дугой ACB, называется высотой сегмента.
Углы в круге.
Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами (∠AOB, рис.5). Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами AB и AC, проведенными из их одной общей точки (∠BAC, рис.4). Описанный угол – угол, образованный двумя касательными AB и AC, проведенными из одной общей точки (∠BAC, рис.3).
Соотношения между элементами круга.
Вписанный угол (∠ABC, рис.7) равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу AmC (∠AOC, рис.7). Поэтому, все вписанные углы (рис.7), опирающиеся на одну и ту же дугу (AmC, рис.7), равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга (AmC, рис.7), то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (в нашем случае AmC).
Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг (∠APB, ∠AQB, …, рис.8), прямые.
Угол (∠AOD, рис.9), образованный двумя хордами (AB и CD), измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами: (AnD + CmB) / 2 .
Угол (∠AOD, рис.10), образованный двумя секущими (AO и OD), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (AnD – BmC) / 2.
Угол (∠DCB, рис.11), образованный касательной и хордой (AB и CD), измеряется половиной дуги, заключённой внутри него: CmD / 2.
Угол (∠BOC, рис.12), образованный касательной и секущей (CO и BO), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (BmC – CnD) / 2 .
Описанный угол (∠AOC, рис.12), образованный двумя касательными (CO и AO), измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами: (ABC – CDA) / 2 .
Произведения отрезков хорд (AB и CD, рис.13 или рис.14), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO · BO = CO · DO.
Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть (рис.12): OA 2 = OB · OD. Это свойство можно рассматривать как частный случай рис.14.
Хорда (AB,
рис.15), перпендикулярная диаметру ( CD), O пополам: AO =
OB.
Рис. 15
Интересный факт:
Поздравляем с Пи-раздником вас.
Выражаясь научным языком, число «Пи» — это отношение длины окружности к ее диаметру. Простая вроде бы вещь, но волнует умы математиков с глубокой древности. И продолжает волновать. До такой степени, что ученые — лет 20 назад — договорились отмечать праздник этого числа. И призвали присоединиться к торжествам всю прогрессивную общественность. Она присоединяется: ест круглые Пи-роги, вы-ПИ-вает, обязательно Пи-во и издает звуки Пи при встрече.
Фанаты будут соревноваться, вспоминая знаки числа «Пи». И постараются превзойти рекорд 24-летнего китайского студента Лю Чао, который назвал по памяти без ошибок 68890 знаков. На это у него ушло 24 часа и 4 минуты.
Отправление торжеств назначено на 14 марта — дату, которая в американском написании выглядит как 3.14 — то есть, первыми тремя цифрами числа «Пи». По легенде, о числе «Пи» знали еще вавилонские жрецы. Использовали при строительстве Вавилонской башни. Но не смогли точно вычислить его значение и от этого не справились с проектом. Сам символ числа «Пи» впервые использовал в своих трудах в 1706 году математик Уильям Джон (William Jones). Но реально он прижился после 1737 года благодаря стараниям шведского математика Леонарда Эйлера (Leonhard Euler).
Отмечать праздник придумал американский физик Ларри Шо (Larry Shaw). На вопрос, сколько знаков в числе «Пи» после запятой, точного ответа нет. Скорее всего, их бесконечное число. А главная особенность в том, что последовательность этих знаков не повторяется. Сегодня их известно 12411 триллионов. Обследовано 500 миллиардов. И повторений не найдено.
Как считают некоторые видные физики и математики, например Дэвид Бейли, Питер Борвин и Саймон Плофе (David Bailey, Peter Borewin, Simon Plouffe), их — повторений — не найти никому и никогда. Хоть испиши знаками всю Вселенную. Да хоть сколько Вселенных… И в этом ученые видят некую скрытую мистику. Полагают, что в числе «Пи» зашифрован бесконечный первородный хаос, ставший потом гармонией. Или какая-то загадочная информация.
Вопросы:
Сформулируйте определение окружности и круга?
С какими новыми понятиями вы познакомились?
Что называется геометрическим местом точек?
Какая разница между диаметром и радиусом?
Как найти радиус окружности какая описана около треугольника?
Список использованных источников:
Урок на тему «Наглядная геометрия»
Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, с. 74.
Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 84.
Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, с. 76.
Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
Над уроком работали:
Самылина М.В.
Потурнак С.А.
Владимир ЛАГОВСКИЙ
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
Геометрическое место точек. Срединный перпендикуляр
.
Биссектриса угла.
Окружность. Круг. Центр окружности. Радиус. Дуга. Секущая. Хорда.
Диаметр. Касательная и её свойства. Сегмент.
Сектор. Углы в круге.
Длина дуги. Радиан.
Соотношения между элементами
круга.
Геометрическое местоточек – этомножество всех точек,удовлетворя ющихопределённым заданным
условиям.
П р и м е р 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть
геометрическое
место точек (т.е. множество всех точек), равноудалён ных
от
концов этого отрезка. Пусть
PO
AB и
AO = OB:
Тогда, расстояния от любой точки
P,
лежащей на срединном перпендикуляре
PO, до концов
A и
B отрезка
AB
одинаковы и равны d .
Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.
П р и м е р
2. Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон .
П р и м е р
3. Окружность есть геометрическое место точек
(т.е. множе ство
всех точек), равноудалённых от её центра (на рис. пока
зана
одна
из
этих точек – А).
Окружность —
это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) на плоскости , равноудалённых от одной точки, называемой
центром окружности. Отрезок, соединяющий центр
окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R . Часть плоскости,
ограниченная окружностью, называется кругом . Часть
окружности(
Am B
,
рис.39
)
называется дугой. Прямая
PQ
,
проходящая через точки
M
и
N
окружности
(
рис.39
), называется секущей, а её отрезок
MN
,
лежащий внутри окружности — хордой.
Хорда, проходящая через центр круга (например,
BC,
рис.39), называется диаметром и обозначается d или D
. Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум
радиусам (d = 2r ).
Касательная.Предположим,
секущая
PQ (рис.40) проходит через точки
K
и
M окружности. Предположим также, что точка
M
движется вдоль окружности, приближаясь к точке
K. Тогда
секущая
PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг
точки
K. По мере приближения точки
M
к точке
K секущая
PQ будет
стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая
AB
называется касательной к окружности в точке
K.
Точка
K называется точкой касания. Касательная и
окружность имеют только одну общую точку – точку касания.
Свойства касательной.
1) К асательная
к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания (
AB OK, рис.40) .
2) Из точки, лежащей вне круга, можно провести две
касательные к одной и той
же окружности; их отрезки
равны (рис.41).
Сегмент – это
часть
круга,
ограниченная дугой
ACB и
соответствующей хордой
AB (рис.42). Длина
перпендикуляра
CD, проведенного из середины хорды
AB до пересечения с дугой
ACB, называется высотой сегмента.
Сектор –эточасть круга,ограниченная дугой
Am Bи
двумя радиусами
OAи
OB,
проведенными
к концам этой дуги (рис.43).
Углы в круге. Центральный угол – угол, образованный двумя
радиусами ( AOB,
рис.43). Вписанный угол – угол, образованный двумя
хордами
AB и
AC, проведенными из
их одной общей точки ( BA
C, рис.44). Описанный
угол – угол, образованный двумя касательными
AB
и
AC, проведенными из одной общей точки ( BAC,
рис.41).
Длина дуги окружности
пропорциональна её радиусу r и соответствующему
центральному углу
:
l = r
Таким образом, если мы знаем длину дуги l и радиус r , то величина соответствующего центрального угла
может
быть определена их отношением: = l / r .
Эта формула является основой для
определения радианного измерения углов. Так, если l = r
, то
= 1, и мы говорим, что
угол
равен
1 радиану (это обозначается:
= 1 рад ). Таким
образом, мы имеем следующее определение радиана как единицы измерения углов: радиан
– это центральный угол ( AOB,
рис.43), у
которого длина дуги равна её радиусу (Am B
=
AO
,
рис.43).
Итак, радианная мера любого угла – это отношение длины дуги,
проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к её
радиусу. В частности, в соответствии с формулой длины дуги, длина окружности C может быть выражена следующим образом:
где определяется как
отношение C к диаметру круга 2 r :
= C / 2 r .
Иррациональное число; его
приближённое значение
3.1415926…
С другой стороны,
2- это круговой угол окружности, который в градусной
системе измерения равен 360º. На практике часто случается, что как радиус дуги,
так и угол неизвестны. В этом случае длина дуги может быть вычислена по
приближённой формуле Гюйгенса:
p 2l + (2l – L ) / 3 ,
где (см. рис.42): p – длина дуги
ACB
; l – длина хорды
AC
; L – длина хорды
AB
. Если дуга содержит не более чем
60
º
,
относительная погрешность этой формулы не превышает 0.5%.
Соотношения между
элементами круга. Вписанный угол ( ABC , рис.45) равен половине
центрального угла , опирающегося на ту же дугу AmC ( AOC ,
рис.45) . Поэтому, все
вписанные углы (рис.45), опирающиеся на одну и ту же дугу (
Am C
, рис.45), равны. А так как центральный угол
содержит тоже количество градусов,
чтои его дуга (
Am C
,рис.45), то любой вписанный угол измеряется
половиной дуги, на которую он опирается (внашем случае
Am C
).
Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг (APB, AQB,
…, рис.46
), прямые (Докажите это, пожалуйста!).
Угол (AOD,
рис.47
), образованный двумя хордами ( ABи
CD), измеряет ся
полусуммой дуг, заключённых между его сторонами: (An D +
Cm B) / 2 .
Угол (AOD,
рис.48
), образованный двумя секущими (AOи
OD), измеряется
полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (An D–
Bm C)
/
2. секущей (COи
BO), измеряется
полуразностью дуг,заключённых между его
сторонами: (
Bm C– Cn D) / 2 .
Описанный угол (AOC,
рис.50
), образованный двумя касательными ( COи
AO), измеряется
полуразностью дуг,заключенных между его сторонами: (
ABC– CDA) / 2 .
Произведения отрезков
хорд (
AB
и
CD
,
рис.51 или рис.52), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO
·
BO
=
CO
·
DO
.
К
вадрат касательной равен произведению секущей на её
внешнюю часть (
рис.50
)
:
OA
2
=
OB
·
O
D
(докажите!). Это свойство можно рассматривать как частный
случай
рис.52.
Хорда (AB,
рис.53), перпендикулярная диаметру ( CD),
делится в их точке пересечения O пополам: AO =
OB.
(
Попробуйте доказать это!
).
Обладающих некоторым свойством.
Энциклопедичный YouTube
1
/
3
✪ Определение параболы как ГМТ
✪ 124. Задачи на поверхности второго порядка. Геометрическое место точек
✪ Сопротивление материалов. Лекция 21 (тензор напряжений, главные напряжения)
Субтитры
Здравствуйте, дорогие друзья!
Мы сейчас будем с вами заниматься
геометрией, а потом алгеброй,
а потом все смешаем
и назовем это математикой.
Очень простой вопрос.
Представьте себе, что там,
где я поставил белую точку,
играет музыка (одна колонка).
А потом появился техник
и поставил колонку
еще и на место розовой точки.
Причем расстояние между
ними довольно большое.
Если вы встанете
в зеленый крестик,
то для вас музыка будет доноситься
из двух мест с задержкой.
Из одного с большей
задержкой, чем из другого.
Как бы встать так, чтобы слышать
музыку левым и правым ухом
совершенно одинаково,
синхронно?
То есть встать на равных
расстояниях от двух колонок. Ответ очень простой, вы,
конечно, знаете, если ходили
хотя бы в 7 класс.
А если не ходили, можете
догадаться интуитивно.
Надо построить отрезок,
соединяющий розовую и белую точки,
и в его центре (в его серединке)
изобразить перпендикуляр.
Тогда любая точка вертикального
на этой доске перпендикуляра
одинаково удалена
от розовой и от белой.
Почему так?
Очень просто.
Здесь два одинаковых треугольника.
Почему они одинаковые?
Потому что у них есть общая
сторона, еще две стороны
отмечены равными штрихами.
И прямые углы тоже, конечно,
равны друг другу.
Как следствие, мы имеем право
поставить равные отметки на таких сторонах.
Итак, мы с вами нарисовали
геометрическое место точек,
одинаково удаленных от
двух заданных точек.
А как насчет двух прямых?
Давайте нарисуем пару прямых.
Я нарисую две параллельные
прямые для начала.
Это два берега и вы хотите
плыть (по какой-то причине)
на равных удалениях
от этих двух берегов.
Как построить эту траекторию?
Давайте снова построим
перпендикуляр
к двум параллельным прямым. Найдем его середку.
А дальше, вооружившись
глазомером, пытаемся изобразить
зеленую линию параллельно
этим двум берегам.
Конечно, если мы возьмем
любую точку на этой зеленой линии
и опустим перпендикуляр
на какой-нибудь берег,
то мы можем увидеть
прямоугольник.
А значит, эти стороны
будут равны.
Прямые могут и пересекаться.
И тогда вы тоже легко решите
такую задачу:
множество точек, одинаково удаленных
от этих двух прямых
— это пара биссектрисс.
Все эти решения строятся
циркулем и линейкой
и совершенно легко
проходятся на геометрии.
А сейчас я вам предложу
еще одно множество,
которое задается не двумя
одинаковыми объектами,
а один объект мы возьмем
из первой задачи: где-то стоит точка,
а другой объект — из второй:
есть прямая.
Причем эта точка
нам нужна надолго,
поэтому мы введем ей
персональное имя:
мы скажем, что это точка F.
Прямая тоже персонализирована
и называется буквой d.
Представьте себе на мгновение,
что это граница пляжа:
выше пляж, а ниже море.
А точка F — это, например,
киоск с мороженым. И вы хотите сесть так,
чтобы до киоска с мороженым
и до берега было
равное расстояние.
Тогда пример такого места
совершенно очевиден:
точно так же, как и здесь, и здесь,
мы строим перпендикуляр
из точки F на прямую d,
находим его середку
и вот это самое выигрышное место:
вам до киоска очень мало идти
и до моря очень мало идти.
А как по-другому можно сесть,
чтобы тоже было одинаковое расстояние
и до киоска,
и до берега моря?
Вот пример еще один.
Если мы построим квадрат
с такой стороной,
то тогда равенство этих сторон
и перпендикуляр здесь
тоже нам гарантируют,
что эта точка годится.
Причем ясно, что раз пряж
простирается в обе стороны,
то и здесь мы можем
нарисовать такой же квадрат.
Решение будет симметрично.
Давайте запишем решение
для такой задачи.
Мы ищем вот что: нам нужно
множество букв М
(точек, обозначенных буквой М),
а условие на них вот какое:
(вот эта годится быть буквой М)
расстояние от любой точки
из этого множества до F равняется…
Вместо слова «расстояние»
я сейчас напишу букву «ро»,
потому что я хочу расстояние
от точки М до прямой d. Поскольку мы ищем множество,
здесь стоят фигурные скобки.
И мы ищем все такие точки,
обозначенные буквой М,
чтобы выполнялось
это равенство.
Две мы уже нашли.
Я имею право обвести эту
точку зеленым кружочком
и эту тоже.
Есть ли хотя бы одна точка
между ними,
которая принадлежит
этому множеству?
Одинаково удалена
и от F, и от d.
Да, есть.
Давайте попробуем
сделать следующее.
Шагнем на какую-нибудь
величину
влево от известной нам
точки из множества.
Вопрос: тогда мы получим
точку из этого же множества?
Посмотрим на эту фигурку,
на этот четырехугольник.
Это прямоугольник, поэтому
здесь тоже допустим один штрих.
Расстояние от полученной точки до F
как связано с этим отрезком?
Конечно, оно больше,
здесь нельзя поставить один штрих,
потому что такой наклонный
отрезок — это гипотинуза
в треугольнике, где катет
отмечен одним штрихом.
Эта точка слишком низко,
слишком близка к прямой d.
Значит, надо ее немножко приподнять.
Приподнять настолько, чтобы она
достаточно удалилась от d
и немножко приблизилась к F. Как именно — пока не будем
выяснять, но это возможно.
Идея такая: двигаясь влево
и поднимаясь вверх,
мы можем получать точки,
принадлежащие множеству М.
И если еще допустить, что шаг
может быть сколь угодно маленьким,
тогда поймем,
что множество это непрерывно:
это линия, которую
можно нарисовать
движением руки, не останавливаясь
и нигде не перепрыгивая.
И еще мы знаем,
что линия симметрична.
Эта зеленая линия является
изображением этого множества,
обозначенного фигурными скобками.
Оказывается, это парабола.
Это геометрическое определение
для параболы.
И здесь начинаются проблемы.
Примеры
Роль дифференциалов во введении видовых различий в фигуру. Количество дифференциалов может быть любым; дифференциалов может и вовсе не быть.
Если заданы детерминант , где
M
{\displaystyle M}
— точка, — дифференциалы, то искомую фигуру
A
{\displaystyle A}
задают в виде: «
A
{\displaystyle A}
— геометрическое место точек
M
{\displaystyle M}
, таких, что
P
(M
,
a
,
b
,
c
,
…)
{\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)}
». Далее обычно указывается роль дифференциалов, им даются названия применительно к данной конкретной фигуре. Под собственно фигурой понимают совокупность (множество) точек
M
{\displaystyle M}
, для которых для каждого конкретного набора значений
a
,
b
,
c
,
…
{\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots }
высказывание
P
(M
,
a
,
b
,
c
,
…)
{\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)}
обращается в тождество. Каждый конкретный набор значений дифференциалов определяет отдельную фигуру, каждую из которых и всех их в совокупности именуют названием фигуры, которая задаётся через ГМТ.
В словесной формулировке предикативное высказывание озвучивают литературно, то есть с привлечением различного рода оборотов и т. д. с целью благозвучия. Иногда, в случае простых детерминантов, вообще обходятся без буквенных обозначений.
Пример : параболу зададим как множество всех таких точек
M
{\displaystyle M}
, что расстояние от
M
{\displaystyle M}
до точки
F
{\displaystyle F}
равно расстоянию от
M
{\displaystyle M}
до прямой
l
{\displaystyle l}
. Тогда дифференциалы параболы —
F
{\displaystyle F}
и
l
{\displaystyle l}
; детерминант — предикат
P
(M
,
F
,
l)
=
(ρ
(M
,
F)
=
ρ
l
(M
,
l))
{\displaystyle P(M,\;F,\;l)=(\rho (M,\;F)=\rho _{l}(M,\;l))}
, где
ρ
{\displaystyle \rho }
— расстояние между двумя точками (метрика),
ρ
l
{\displaystyle \rho _{l}}
— расстояние от точки до прямой. И говорят: «Парабола — геометрическое место точек
M
{\displaystyle M}
, равноудалённых от точки
F
{\displaystyle F}
и прямой
l
{\displaystyle l}
. Точку
F
{\displaystyle F}
называют фокусом параболы, а прямую
l
{\displaystyle l}
— директрисой».
Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудалённых от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах.
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Определение. Геометрическое место точек – фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, обладающих определённым свойством.
Теорема. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, то есть прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.
Доказательство.
Пусть точка C равноудалена от A и B. Отметим точку M – середину отрезка AB. Треугольники ACM и BCM равны по трём сторонам. Углы AMC и BMC равны и дают в сумме развёрнутый угол. Значит, они оба равны 90°. Мы доказали, что все точки, равноудалённые от двух данных точек, лежат на серединном перпендикуляре.
2) Пусть точка C лежит на серединном перпендикуляре к AB. Треугольники AMC и BMC равны двум катетам, значит, AC=BC. Мы доказали, что все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от его концов.
Таким образом, геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, и серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, совпадают.
Теорема доказана.
A (0; 0), B (a; 0), C (x; y). AC=CB.
2) Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора.
Определение. Круг – это множество точек плоскости, расположенных на расстоянии не более данного от данной точки.
Определение. Треугольник – это фигура, состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и 3 отрезков, попарно соединяющих их.
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство.
Проведём через вершину B прямую a, параллельную стороне AC. как накрест лежащие. . Тогда .
Теорема доказана.
Теорема. Центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести, а также центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.
Расстояния между двумя точками через координаты этих точек (рассмотреть все случаи).
Проведём a и b, .
Т.к. треугольник прямоугольный,
БИЛЕТ 9
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:
1) По двум катетам (из I первого признака)
2) По катету и острому углу (из II первого признака)
(так как по противолежащему углу однозначно определяется прилежащий)
3) По гипотенузе и острому углу
Доказательство.
В таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к
ней углам.
Теорема доказана.
4) По гипотенузе и катету
Доказательство.
Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых углы C и C1 — прямые, АВ=А1В1, ВС=В1С1.
Так как ∠C=∠C1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина С совместится с вершиной C1, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С1А1 и С1В1. Поскольку СВ=С1В1, то вершина B совместится с вершиной В1. Но тогда вершины А и А1 также совместятся.
В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А2 луча С1А1, то получим равнобедренный треугольник A1B1A2, в котором углы при основании А1А2 не равны (∠А2 — острый, a ∠А1 тупой как смежный с острым углом B1A1C1). Но это невозможно, поэтому вершины А и А1 совместятся.
Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC и AlBlCl , т. е. они равны.
Теорема доказана.
Окружность
Определение. Окружность – это геометрическое место точек, равноудалённых от данной.
Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1° равна 2πR/360° = πR/180°. Поэтому длина l выражается формулой:
БИЛЕТ 10
1) Признаки параллелограмма:
1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство. Пусть в четырёхугольнике АВСD стороны АD и СB параллельны и равны. Проведём диагональ АС, делящую параллелограмм на два треугольника: АВС и СDА. Эти треугольники равны по первому признаку, значит, их соответствующие углы равны. Тогда углы BAC и DCA равны как внутренние накрест лежащие при пересечении прямых АB и CD секущей АС, значит, АB||CD. Следовательно, АВСD – параллелограмм.
2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство. Проведём диагональ АС данного четырёхугольника АВСD, делящую его на треугольники АВС и СDА. Эти треугольники равны по третьему признаку, поэтому углы АCВ и СAD равны, значит АВ||CD. Т.к. АВ и СD равны и параллельны, то по первому признаку АВСD – параллелограмм.
3.Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся напополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство.
.
Аналогично, .
Противоположные стороны попарно равны, значит, ABCD – параллелограмм.
4.
В параллелограмме удвоенная сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей:
Доказательство.
Воспользуемся теоремой косинусов:
Теорема доказана.
⇐ Предыдущая12
Читайте также:
Locus — Cuemath
В этом мини-уроке мы узнаем об определении локуса вместе с некоторыми примерами локуса.
Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца по эллиптической орбите.
Эта эллиптическая орбита образована соединением положений Земли в различных моментах.
Вы можете увидеть это на следующем рисунке.
Кривая, соединяющая все положения Земли, в этом случае называется геометрическим местом.
КАЖДОЕ геометрическое место (кривая) связано с уравнением, которое называется уравнением геометрического места.
Кривая и ее уравнение зависят от данной задачи локуса.
У нас есть формула геометрического места, чтобы найти его уравнение? Посмотрим.
План урока
1.
Что означает Локус?
2.
Важные примечания по Locus
3.
Решенные примеры на Locus
4.
Интерактивные вопросы по Locus
5.
Сложные вопросы по Locus
Что подразумевается под локусом? Определение локуса
«Локус» в основном означает форму или кривую.
Мы знаем, что любая форма или кривая образованы набором точек.
Итак, «Локус» — это набор точек.
В математике геометрическое место — это множество точек, удовлетворяющих набору правил.
Что такое геометрическое место точек?
Геометрическое место точек — это кривая или линия в двумерной геометрии.
Пример
Рассмотрим отрезок \(\overline{AB}\).
Найдем геометрическое место всех точек, равноудаленных от A и B.
Разместим все точки, где каждая точка равноудалена от A и B.
Соедините все такие точки линией. Результирующая линия является серединным перпендикуляром к \(\overline{AB}\).
Таким образом, геометрическое место всех точек, равноудаленных от A и B, является серединным перпендикуляром к \(\overline{AB}\).
Что такое геометрическое место круга?
Геометрическое место множества всех точек, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки, называется окружностью.
Здесь
Неподвижная точка называется «центром» окружности
Фиксированное расстояние называется «радиусом» окружности
Не только точки, отмеченные синим цветом, на окружности (локусе) есть бесконечное количество точек.
Некоторые другие примеры локуса упоминаются в следующих «Важных примечаниях».
Важные примечания
Геометрическое место всех точек, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки, представляет собой окружность.
Геометрическое место всех точек, равноудаленных от двух точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему данные две точки.
Геометрическое место всех точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, представляет собой биссектрису угла, образованного этими прямыми.
Что такое опорные точки в двумерной геометрии?
Точки локуса — это точки на кривой (или) линии, связанные с геометрией.
Каждый локус связан с уравнением, и давайте посмотрим, как его найти.
Формула локуса
Специальной формулы для нахождения локуса не существует.
Вот шаги, чтобы найти геометрическое место точек в двумерной геометрии,
Предположим, что любая случайная точка \(P(x,y)\) на геометрическом месте.
Напишите уравнение в зависимости от заданного условия.
Упростите его, чтобы получить уравнение геометрического места.
Геометрическое место
Найдите геометрическое место точки на расстоянии 4 единиц от точки \((-3, 2)\) в плоскости xy.
Раствор 92+6x-4y-3=0 \]
Решенные примеры на локусе
Вот еще несколько примеров локуса.
Пример 1
Можем ли мы помочь Аве найти уравнение геометрического места точки, равноудаленной от точек \(A(-2, 0)\) и \(B(3, 2)\)?
Что представляет собой уравнение геометрического места в этом случае?
Решение
Предположим, что \(P(x,y)\) — точка на данном геометрическом месте. 92-4г+4\\[0.2см] 10x+4y-9&=0 \end{align}\)
Приведенное выше уравнение представляет собой прямую линию, так как это линейное уравнение с двумя переменными.
Таким образом, уравнение геометрического места:
\(10x+4y-9=0\), что является линией.
Пример 2
Можем ли мы помочь Мие найти уравнение геометрического места точки, для которой сумма расстояний от \((0, -1)\) и \((0, 1)\) равна 3
Что представляет уравнение?
Решение
Предположим, что \(P(x,y)\) — точка на данном геометрическом месте.
Заданные точки: \[A =(0, -1)\\[0,2 см]B = (0,1)\]
Затем, используя заданное условие,
Расстояние от P до A + расстояние от P to B = 3
Итак, мы получаем:
\(\begin{align} PA+PB &=3\\[0,2 см] PA &= 3-PB\\[0,2см] \text{Квадрат }& \text{с обеих сторон},\\[0,2 см] 92=45\), который является эллипсом.
Пример 3
Можем ли мы помочь Джеймсу найти уравнение геометрического места точки, равноудаленной от точки \((-1, 2)\) и оси Y?
Что представляет уравнение?
Решение
Предположим, что \(P(x,y)\) — точка на данном геометрическом месте.
Тогда, используя заданное условие, 92-4y+2x+5=0\), которая является параболой.
Интерактивные вопросы по Locus
Вот несколько заданий для практики.
Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.
Контрольные вопросы
Две вершины треугольника (-2, 5) и ABC равны A (-2, 5) и ABC. Найдите геометрическое место третьей вершины C, такое что площадь треугольника ABC равна 10 квадратных единиц.
Найдите уравнение геометрического места точки P, если отрезок, соединяющий (-1, 2) и (3, -2), образует прямой угол в точке P.
Подведем итоги
Этот мини-урок посвящен увлекательной концепции локуса. Математическое путешествие по локусу начинается с того, что ученик уже знает, и продолжается творческим созданием новой концепции в умах молодых. Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда. В этом заключается магия Cuemath.
О Cuemath
В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!
Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.
Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и разумный подход к обучению.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1. Что такое геометрическое место точки, равноудаленной от вершин треугольника?
Существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, которая является центром описанной окружности треугольника.
2. Где находится геометрическое место прямой?
Геометрическое место является прямой линией, если наклоны каждых двух точек на ней равны.
3. Как построить локус?
Мы можем построить геометрическое место, разместив и соединив все точки, полученные с помощью заданных правил/условий.
Уравнение геометрического места и шаги, необходимые для нахождения уравнения
Наука > Математика > Координатная геометрия > Геометрическое место > Уравнение геометрического места
В этой статье мы изучим понятие геометрического места и найдем уравнение геометрического места.
Геометрическое место: Множество точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию или условиям, называется геометрическим местом
Например, окружность — это геометрическое место всех точек на плоскости, которые равноудалены от точки на плоскости.
Уравнение геометрического места: Уравнение геометрического места — это уравнение, которому удовлетворяют все точки, удовлетворяющие заданному геометрическому условию в задаче. , y)
Запишите заданное геометрическое условие
Используйте расстояние, сечение, центр тяжести и другие формулы согласно условию
Заменитель в геометрическом состоянии. Упростите, чтобы получить уравнение геометрического места
Пример – 01:
Найдите геометрическое место точки P такой, что ее ордината равна 5.
Решение:
точка на геометрическом месте
Данная ордината P равна 5, т.е. y = 5
Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P равно y = 5.
Пример – 02:
Найти геометрическое место точки P такой, что его абсцисса равна 3,
Решение:
Пусть P(x. y) будет точкой на геометрическом месте
Данная абсцисса P равна 3, т.е.
Пример – 03:
Найдите геометрическое место точки P, ордината которой равна абсциссе.
Решение:
Пусть P(x, y) будет точкой на геометрическом месте
Данная ордината P равна абсциссе
Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P: y = x или x – y = 0
Пример – 04:
Найдите геометрическое место точки P, ордината которой в 5 раз больше абсциссы на 9
Решение:
Пусть P(x. y) — точка на геометрическом месте
Данная ордината P превышает абсциссу в 5 раз
Следовательно, искомое уравнение геометрического места точки P равно y = 5x + 9.
Пример – 05:
Найдите геометрическое место точки P, абсцисса которой в 2 раза больше абсциссы в 3 раза
Решение:
превышает абсциссу в 2 раза на 3
Отсюда искомое уравнение геометрического места точки P: 15
Решение:
Пусть P(x. y) точка на геометрическом месте
Учитывая сумма ее координат равна 15
Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P равно x + y = 15
Пример – 07:
Найдите геометрическое место точки P, сумма координат которой равна 10
Решение:
Пусть P(x. y) будет точкой на геометрическом месте
Учитывая сумму ее координат равно 10
Следовательно, требуемое неравенство геометрического места точки P равно x + y = 10
Пример – 08:
Найдите геометрическое место точки P, сумма координат которой меньше 10
Решение:
Если сумма ее координат меньше 10
Следовательно, требуемое неравенство геометрического места точки P равно x + y < 10
Пример – 09:
Найдите геометрическое место точки P такое, что сумма его координат больше 5
Решение:
Пусть P(x. y) — точка на геометрическом месте
Учитывая, что сумма ее координат больше 5
Следовательно, требуемое неравенство геометрического места точки P равно x + y > 5
Пример – 10:
Найдите геометрическое место точки P, сумма квадратов ее координат равна 25
Решение:
) Пусть точка P(x. геометрическое место
Учитывая сумму квадратов его координат 25
Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P: x² + y² = 25
Пример – 11:
Найдите геометрическое место точки P, сумма квадратов ее координат равна 9
2 2 Решение . – 12:
Найдите геометрическое место точки P, для которой ордината точки P в два раза превышает ее абсциссу в три раза на 4.
Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P: 2y = 3x + 4
от оси абсцисс в 10 раз больше расстояния от оси у.
Решение:
Пусть P(x.y) будет точкой на геометрическом месте
Расстояние от оси x = y ось равна 10-кратному расстоянию от оси Y
Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P: от оси x, равной его расстоянию от оси y.
Решение:
Пусть P(x. y) будет точкой на геометрическом месте
Расстояние от оси x = y ось равна ее расстоянию от оси Y
Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P равно y = x
Пример – 15:
Найдите геометрическое место точки P, такое что расстояние P от начала координат равно 5-кратному его расстоянию от точки (3, -2)
Решение:
Пусть P(x. y) будет точкой на геометрическом месте, пусть O(0, 0) будет началом и A(3, -2) будет точкой
При условии OP = 5 PA
∴ OP² = 25 PA²
∴ (x – 0)² + (y – 0)² = 25[(x – 3)² + (y + 2)²]
∴ x² + y² = 25[ x² – 6x + 9 + y² + 4y + 4]
∴ x² + y² = 25x² – 150x + 225 + 25y² + 100y + 100
∴ 24x² + 24y² – 150x + 100y + 325 = 0
Отсюда требуется уравнение геометрического места 24x² + 24y² – 150x + 100y + 325 = 0
Пример – 16:
Найдите уравнение геометрического места точки, равноудаленной от точек (2, 3) и (-4, 5)
Решение:
Пусть P(x, y) будет точкой на геометрическом месте, Пусть A(2, 3) и B(-4, 5) будут заданными точками
Уравнение траектории | Brilliant Math & Science Wiki
Найдите геометрическое место точек PPP такое, что сумма квадратов расстояний от P PP до A AA и от P PP до B, B, B, где AAA и BBB — две фиксированные точки на плоскости, является фиксированной положительной константой. 92 4×2+4y2=l2
Стержень длиной lll скользит своими концами по осям xxx и yyy.
Найдите геометрическое место его середины.
Опишите геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от прямой и фиксированной точки, не лежащей на этой прямой. 2},x2+(y-2a)2, поэтому уравнение принимает вид 92=0,x2=0 или x=0,x=0,x=0, что дает прямую, перпендикулярную исходной линии, проходящей через точку; это имеет смысл и с геометрической точки зрения. □_\квадрат□
прямой
парабола
круг
эллипс
гипербола
Геометрическое место точек в плоскости xyxyxy, равноудаленных от прямой 12x−5y=12412x — 5y = 12412x−5y=124 и точки (7,−8)(7,-8)(7, −8) равно __________.\text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}.__________.
Найдите геометрическое место всех точек P PP на плоскости так, чтобы сумма расстояний PAPAPA и PBPBPB была фиксированной константой, где AAA и BBB — две фиксированные точки на плоскости.
После перемещения и вращения мы можем предположить, что A=(−a,0) A = (-a,0)A=(−a,0) и B=(a,0),B = (a,0) ,B=(a,0), и пусть константа равна c. 2 = 4ax.d12−d22=4ax. Уравнение локуса равно 92>0,c2−4a2>0, это уравнение эллипса. □_\квадрат□
Обратите внимание, что если a=0,a=0,a=0, это описывает окружность, как и ожидалось (A(A(A и BBB совпадают).).).
Прямая
Круг
Гипербола
Контактная сеть
Невырожденная парабола
Некруглый эллипс
Конечное множество точек
Ни один из вышеперечисленных 92Р2. Каково геометрическое место точек, для которых отношение расстояний от AAA и BBB всегда равно λ:1\lambda:1λ:1, где λ\lambdaλ — положительное действительное число, не равное 1?1?1?
геометрия — Найдите геометрическое место точки $P$, лежащей на окружности.
спросил
Изменено
2 года, 4 месяца назад
Просмотрено
135 раз
$\begingroup$
ВОПРОС: Рассмотрим окружность радиусом $1$ с центром в точке $(0,1)$. Из этого начального положения круг катится вдоль положительной оси абсцисс без проскальзывания. Найдите геометрическое место точки $P$ на окружности окружности, которая находится в начале координат в начальном положении окружности.
МОЯ ПОПЫТКА: Прошу прощения, этот вопрос уже задавали. Но я не смог понять объяснение. Я применил концепцию, что независимо от того, где находится круг, расстояние $P$ от (тогдашнего) центра круга всегда равно радиусу, $1$. Для этого я сначала нашел геометрическое место центра, которое явно равно $y=1$. Но это не помогает. Я не понимаю, как подступиться к этой проблеме. Я думаю, что должен быть какой-то более разумный способ решить эту проблему. Кто-нибудь может мне помочь?
Спасибо.
геометрия
круги
геометрическое место
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Пусть центр находится в точке $(\theta,1)$. Чтобы достичь этого положения, круг должен повернуться на угол $\theta$ по часовой стрелке. Следовательно, абсолютное положение $P$ равно положению центра плюс положение $P$ относительно центра, 92}+2k\pi.$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Ваше местонахождение — это красивая форма, называемая циклоидой
На самом деле вам лучше изучить приведенное там объяснение.
Кстати, лучший способ описать это с помощью параметрического уравнения.
Подсказка: для поворота на угол $\theta$ этой окружности рассмотрим точку, в которой окружность касается оси x. Если бы вы провели радиус из этой точки, какой угол он образовал бы с осью x?
$\endgroup$
$\begingroup$
Когда круг совершает полный оборот по часовой стрелке, он смещается вправо на длину своего периметра, если не скользит.
Если мы используем $\theta$ для угла поворота и $p = 2 \pi r$ для периметра круга радиуса $r$, помня, что $2 \pi$ радиан — это полный оборот,
$$\theta = 2 \pi \frac{x}{p} = 2 \pi \frac{x}{2 \pi r} = \frac{x}{r}$$
Местоположение точки, когда $(x, r)$ является центром окружности, а $\theta$ измеряется по часовой стрелке, а точка, находящаяся в начале координат, когда $x = 0$ и $\theta = 0$, равна
$$\begin{случаи}
x_p = x — r \sin\theta \\
y_p = r — r \cos\тета\\
\end{case}$$
Чтобы найти геометрическое место точки как функцию положения $x$ или угла поворота $\theta$, все, что вам нужно сделать, это подставить другое в пару уравнений.
В данном конкретном случае $r = 1$, поэтому $\theta = x$:
$$\begin{случаи}
x_p = \тета — \sin\тета \\
y_p = 1 — \cos\тета\\
\end{cases} \quad \iff \quad \begin{cases}
х_р = х — \sin х \\
y_p = 1 — \cos х
\end{case}$$
$\endgroup$
2
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Геометрическое место уравнения
ЛОКУС УРАВНЕНИЯ
В
В главе 1 этого курса рассматриваются методы анализа линейных уравнений.
представлены. Если группа значений x и y [или упорядоченных пар, P(x,y)], которые удовлетворяют
заданное линейное уравнение строят в системе координат, результирующий график
является прямой линией.
Когда
уравнения более высокого порядка, такие как
ар
встречаются, результирующий график не является прямой линией. Тем не менее, точки
чьи координаты удовлетворяют большинству уравнений относительно x и y, обычно не
разбросаны в случайном поле. Если значения нанесены на график, они будут казаться
следовать линии или кривой (или комбинации линий и кривых). Во многих текстах
график уравнения называется кривой, даже если это прямая линия.
Эта кривая называется геометрическим местом уравнения. Геометрическое место уравнения представляет собой
кривая, содержащая эти точки, и только те точки, координаты которых удовлетворяют
уравнение.
В
раз кривая может быть определена набором условий, а не
уравнение, хотя уравнение может быть получено из заданных условий. Тогда
рассматриваемая кривая будет геометрическим местом всех точек, соответствующих условиям. За
Например, можно сказать, что окружность является геометрическим местом всех точек на плоскости, которая
фиксированное расстояние от фиксированной точки. Прямая линия может быть определена как
геометрическое место всех точек плоскости, равноудаленных от двух фиксированных
точки. Метод выражения набора условий в аналитической форме дает
уравнение. Составим набор условий и переведем их в
уравнение.
ПРИМЕР: Каково уравнение кривой, являющейся геометрическим местом
всех точек, равноудаленных от двух точек (5,3) и (2,1)?
РЕШЕНИЕ: Сначала, как показано на рис. 2-2, выберите точку
имеющие координаты (x, y). Напомним из главы 1 этого курса, что
расстояние между этой точкой и (2,1) равно
Расстояние между точкой (x,y) и (5,3) равно
Приравнивая эти расстояния, так как точка должна быть
равноудаленных от двух заданных точек, имеем
Возводя обе стороны в квадрат, получаем
Расширение, у нас есть
Отменив и собрав сроки, мы видим, что
Это уравнение прямой с наклоном
минус 1,5 и точка пересечения y + 7,25.
Рисунок 2-2. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных
точки.
ПРИМЕР: Найдите уравнение кривой, которая является геометрическим местом
все точки равноудалены от прямой x = — 3 и точки (3,0).
РЕШЕНИЕ. Как показано на рисунке 2-3, расстояние от
точка (x,y) на кривой до линии x = -3 равна
Расстояние от точки (x,y) до точки (3,0) равно
Приравнивание двух расстояний дает
Возведение в квадрат и расширение обеих сторон дает
Отмена и сбор условий дает
— уравнение параболы.
Рисунок
2-3.-Парабола.
ПРИМЕР: Каково уравнение кривой, являющейся геометрическим местом
всех точек, в которых отношение его расстояния от точки (3,0) к ее
расстояние от линии x = 25/3 равно 3/5? См. рис. 2-4.
РЕШЕНИЕ: Расстояние от точки (x,y) до точки
(3,0) равно
Расстояние от точки (x,y) до линии x = 25/3 равно
Рисунок
2-4. -Эллипс.
С
, затем
Квадрат
обе стороны и расширяясь, мы имеем
Коллекционирование
терминов и транспонирования, мы видим, что
Разделение
с обеих сторон по 16, у нас
Это
есть уравнение эллипса.
ПРАКТИКА
ПРОБЛЕМЫ:
Найти
уравнение кривой, являющейся геометрическим местом всех точек, равноудаленных от
следующее:
л.
Точки (0,0) и (5,4).
2.
Точки (3, — 2) и ( — 3,2).
3.
Линия x = — 4 и точка (3,4).
4.
Точка (4,5) и линия y = 5x — 4.
ПОДСКАЗКА:
Используйте стандартную формулу расстояния, чтобы найти расстояние от точки P(x,y)
и точка P(4,5). Затем используйте формулу для нахождения расстояния от
указать на линию, данную в главе 1 этого курса, чтобы найти расстояние от
P(x,y) в заданную строку. Запишем уравнение прямой в виде Ах + Ву +
С=О.
ОТВЕТА:
Геометрическое место движущейся точки – объяснение и примеры
Геометрическое место движущейся точки – это путь, по которому следует данная точка, когда она движется с определенными ограничениями.
Определенные параметры заставляют геометрическое место образовывать геометрические объекты с заметными свойствами.
В этом разделе мы рассмотрим:
Что такое локус в геометрии?
Геометрические теоремы
Что такое геометрическое место в геометрии?
Представьте, что вы берете мелок, кладете кончик на лист бумаги, а затем водите кончиком по бумаге. Таким образом вы проведете линию и сможете быстро сказать, где был кончик карандаша.
Теперь назовите бумагу плоскостью, а кончик — точкой. Тогда эквивалентом локуса в этом мысленном эксперименте является цветная линия, проведенная карандашом.
Хотя термин «локус» (и его аналог во множественном числе «локусы») несколько устарел, по сути, он относится к набору точек, в которых может быть найдена точка с определенными ограничениями. Использование терминологии локуса — еще один способ определения определенных геометрических объектов.
В более современные времена математики будут чаще ссылаться на бесконечные множества, отвечающие определенным критериям, чем на геометрическое место движущейся точки, отвечающей определенным критериям.
Геометрические теоремы
В геометрии есть шесть хорошо известных геометрических теорем. Каждый описывает ограничение на движение точки и идентифицирует геометрический объект локуса.
Теорема о геометрическом местоположении 1
Первая теорема о геометрическом местоположении дает нам точку A, движущуюся с ограничением, что она всегда находится на фиксированном расстоянии $r$ от точки B.
Эта точка описывает окружность. То есть геометрическое место такой точки представляет собой окружность.
По определению, окружность — это множество всех точек, равноудаленных от другой точки. Следовательно, имеет смысл, что геометрическое место A также является окружностью.
Теорема о геометрическом местоположении 2
Вторая теорема о геометрическом местоположении дает нам точку A, которая всегда находится на фиксированном расстоянии $r$ от прямой $m$.
Геометрическое место — это путь A, состоящий из двух прямых по обе стороны от $m$, каждая из которых находится на расстоянии $r$ от исходной прямой. Обе эти линии будут параллельны $m$.
Теорема о геометрическом местоположении 3
Третья теорема о геометрическом местоположении дает нам точку A, которая всегда находится на одном и том же расстоянии от двух других точек, B и C. C и делит отрезок, соединяющий их пополам. То есть геометрическое место A является серединным перпендикуляром к отрезку BC.
Геометрическая теорема 4
Предположим, у нас есть точка A, которая всегда равноудалена от двух параллельных прямых, $m$ и $n$. Четвертая теорема о геометрическом месте говорит нам, что путь, очерченный A, представляет собой третью параллельную прямую, $l$, которая параллельна и $m$, и $n$ и находится ровно посередине между ними.
Геометрическое место Теорема 5
Для заданного угла ABC геометрическое место точки D, которая всегда равноудалена от прямых BA и BC и лежит внутри угла, является биссектрисой угла ABC.
Теорема о геометрическом местоположении 6
Шестая теорема о геометрическом местоположении по сути является расширением пятой теоремы о геометрическом местоположении. Если у нас есть две прямые, $m$ и $n$, которые пересекаются в точке A, то геометрическим местом точки B, которая всегда равноудалена от $m$ и $n$, является пара перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке A и делят пополам. четыре угла, образованные $m$ и $n$.
Примеры
В этом разделе рассматриваются распространенные проблемы, связанные с локусами точек, и их пошаговые решения.
Пример 1
Предположим, что C — движущаяся точка, всегда равноудаленная от двух точек, A и B. Затем предположим, что E — движущаяся точка, всегда равноудаленная от B и другой точки D. Если A, B и D лежат на прямой , какова связь между локусами C и E?
Пример 1 Решение
Сначала мы построим линию с точками A, B и D на ней. Мы разместим их так, чтобы A и D находились на разных расстояниях от B.
Нам нужно построить точку C, которая всегда находится на одном и том же расстоянии от A и B. Точка на линии, которая удовлетворяет этому ограничению, является центром сегмента. АБ. Как мы знаем из третьей теоремы о геометрическом месте, точка C будет очерчивать серединный перпендикуляр к AB.
Точно так же мы можем рассмотреть точку E, которая всегда равноудалена от B и D. Из третьей теоремы о геометрическом месте мы знаем, что E будет очерчивать серединный перпендикуляр к BD.
Поскольку точки A, B и D лежат на одной прямой, две биссектрисы параллельны друг другу. То есть локусы для C и E будут параллельными линиями.
Пример 2
Построить геометрическое место движущейся точки A, которая всегда равноудалена от двух параллельных прямых $m$ и $n$.
Пример 2 Решение
Геометрическим местом этой точки будет прямая, параллельная $m$ и $n$, а линия кратчайшего расстояния от любой точки этой прямой до $m$ или $n$ будет быть одинаковой длины.
Чтобы построить эту прямую, нам сначала нужно построить прямую, перпендикулярную $m$, которая также будет перпендикулярна $n$.
Теперь мы можем построить серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему $m$ и $n$. Поскольку эта прямая перпендикулярна прямой, перпендикулярной $m$ и $n$, эта прямая будет параллельна двум исходным прямым.
Поскольку эта прямая делит пополам и перпендикулярный к $m$ отрезок пересекает $n$, она всегда равноудалена от двух прямых, как и требовалось.
Пример 3
Для окружности $c$ найдите геометрическое место движущейся точки A, которая всегда находится на расстоянии $k$ от $c$, где $k$ меньше $r$, радиус окружности.
Пример 3 Решение
Напомним из второй теоремы о геометрическом месте, что геометрическое место точки, которая всегда равноудалена от прямой, следует двум прямым, параллельным исходной. Каждый будет находиться на противоположной стороне линии и находиться на одинаковом расстоянии от нее.
Здесь можно применить аналогичную концепцию. Во-первых, вне круга у нас будет еще один круг с тем же центром, что и у первого, и радиусом $r$+$k$. Таким образом, каждая точка на этом большем круге будет находиться на расстоянии $k$ от исходного круга.
Мы также построим окружность внутри исходной окружности с тем же центром и радиусом $r$-$k$, который, как мы знаем, больше нуля.
Пример 4
По показанной кривой $m$ постройте геометрическое место движущейся точки, которая всегда равноудалена от $m$.
Пример 4 Решение
Сначала нам нужно построить прямую, перпендикулярную $m$ в точке A. Напомним, что мы делаем это, соединяя A с любой точкой на $m$. Затем мы копируем угол, который эта новая линия образует с $m$, и строим линию, которая проходит через точку A и превращает два конгруэнтных угла в альтернативные углы.
Однако помните из теоремы о геометрическом месте 2, что геометрическое место на самом деле будет двумя прямыми по разные стороны от прямой $m$.
Теперь нам нужно построить прямую, перпендикулярную прямой $n$. Обозначьте точку пересечения перпендикулярной линии и $m$ буквой D.
Теперь постройте окружность с центром D и радиусом DA. Назовем второе пересечение перпендикулярной линии и этой окружности E.
Наконец, мы создаем вторую прямую, параллельную $m$, которая проходит через точку E. Мы можем сделать это, как раньше, или мы можем создать линию, перпендикулярную перпендикуляру. прямой в точке E.
Пример 5
Найдите геометрическое место движущейся точки A, которая всегда находится на расстоянии $k$ от одной из двух окружностей, $c$ и $d$, и всегда находится вне круги.
Перевести десятичную дробь в обыкновенную. Калькулятор онлайн.
Теория Для того, чтобы записать десятичную дробь в виде обыкновенной, необходимо обратить внимайте на числа, стоящие до и после запятой. Например, число 4,075 читается как «четыре целых семьдесят пять тысячных». Число, стоящее до запятой необходимо записать как целую часть дроби, в данном примере 4 является целой частью. В качестве числителя необходимо записать число 75, которое идет после запятой, а для записи знаменателя необходимо посчитать количество знаков в десятичной дроби после запятой. В нашем примере у десятичной дроби после запятой стоит три знака, значит знаменатель дроби можно записать как 1 и три ноля 1000. Получаем:
Можно сделать вывод, что для записи знаменателя необходимо записать после единицы столько нолей, сколько знаков после запятой у десятичной дроби. Более подробно о десятичных дробях можно прочитать в данной статье.
Вам могут также быть полезны следующие сервисы
Дроби
Калькулятор интервальных повторений
Учим дроби наглядно
Калькулятор сокращения дробей
Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
Калькулятор возведения дроби в степень
Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
Калькулятор сравнения дробей
Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
Калькуляторы (тригонометрия)
Калькулятор синуса угла
Калькулятор косинуса угла
Калькулятор тангенса угла
Калькулятор котангенса угла
Калькулятор секанса угла
Калькулятор косеканса угла
Калькулятор арксинуса угла
Калькулятор арккосинуса угла
Калькулятор арктангенса угла
Калькулятор арккотангенса угла
Калькулятор арксеканса угла
Калькулятор арккосеканса угла
Калькуляторы систем счисления
Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
Системы счисления теория
N2 | Двоичная система счисления
N3 | Троичная система счисления
N4 | Четырехичная система счисления
N5 | Пятеричная система счисления
N6 | Шестеричная система счисления
N7 | Семеричная система счисления
N8 | Восьмеричная система счисления
N9 | Девятеричная система счисления
N11 | Одиннадцатиричная система счисления
N12 | Двенадцатеричная система счисления
N13 | Тринадцатеричная система счисления
N14 | Четырнадцатеричная система счисления
N15 | Пятнадцатеричная система счисления
N16 | Шестнадцатеричная система счисления
N17 | Семнадцатеричная система счисления
N18 | Восемнадцатеричная система счисления
N19 | Девятнадцатеричная система счисления
N20 | Двадцатеричная система счисления
N21 | Двадцатиодноричная система счисления
N22 | Двадцатидвухричная система счисления
N23 | Двадцатитрехричная система счисления
N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
N25 | Двадцатипятеричная система счисления
N26 | Двадцатишестеричная система счисления
N27 | Двадцатисемеричная система счисления
N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
N30 | Тридцатиричная система счисления
N31 | Тридцатиодноричная система счисления
N32 | Тридцатидвухричная система счисления
N33 | Тридцатитрехричная система счисления
N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
N35 | Тридцатипятиричная система счисления
N36 | Тридцатишестиричная система счисления
Калькуляторы (Теория чисел)
Калькулятор выражений
Калькулятор со скобками
Калькулятор разложения числа на простые множители
Калькулятор НОД и НОК
Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
Калькулятор деления числа в данном отношении
Калькулятор процентов
Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
Калькулятор экспоненциальной записи чисел
Калькулятор нахождения факториала числа
Калькулятор нахождения логарифма числа
Калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор остатка от деления
Калькулятор корней с решением
Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
Калькулятор больших чисел
Калькулятор округления числа
Калькуляторы площади геометрических фигур
Площадь квадрата
Площадь прямоугольника
Калькуляторы (Комбинаторика)
Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
Генератор Pdf с примерами
Тренажёры решения примеров
Тренажёр таблицы умножения
Тренажер счета для дошкольников
Тренажер счета на внимательность для дошкольников
Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
Тренажер решения примеров с разными действиями
Тренажёры решения столбиком
Тренажёр сложения столбиком
Тренажёр вычитания столбиком
Тренажёр умножения столбиком
Тренажёр деления столбиком с остатком
Калькуляторы решения столбиком
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
Калькулятор деления столбиком с остатком
Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы
Конденсаторы
Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькуляторы по астрономии
Вес тела на других планетах
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
Генераторы
Генератор примеров по математике
Генератор случайных чисел
Генератор паролей
Перевести обыкновенную дробь в десятичную. Калькулятор онлайн.
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную
Десятичные дроби стали использовать для более удобной записи обыкновенных дробей. Чтобы записать десятичную дробь необходимо целую и дробную части отделить друг от друга запятой.
Если дробь не содержит целой части, необходимо поставить ноль перед запятой. Если дробь имеет знаменатель вида 10, 100, 1000 и т.д. и количество цифр в числителе меньше, чем в знаменателе,
то для перевода такой дроби в обыкновенную необходимо посчитать число цифр в числителе и число нулей в знаменателе. Например, у дроби
(ноль целых 12 тысячных) 2 цифры в числителе и 3 ноля в знаменателе.
3 – 2 = 1, следовательно, необходимо записать один ноль после запятой
Приведем еще пример, дробь
У этой дроби в числителе 1 цифра, 3 ноля в знаменателе. 3 – 1 = 2, следовательно, необходимо записать два ноля после запятой
И последний пример, дробь
У данной дроби в числителе 2 цифры и в знаменателе 2 ноля. 2 – 2 = 0, следовательно, не нужно добавлять ноль после запятой
В случае если знаменатель дроби является числом отличным от чисел типа 10, 100, 1000 и т.д., то тогда необходимо такую дробь привести к знаменателю вида 10, 100, 1000 и т.д. Первым делом
необходимо привести дробь к несократимому виду. Затем разложить знаменатель дроби на простые множители. Если в разложении будет хотя бы один множитель отличный от 2 или 5, то такую
дробь можно представить только в виде бесконечной десятичной дроби. Если в разложении дроби все множители являются числами 2 или 5, тогда необходимо сделать так, чтобы число двоек и
пятерок было одинаковым. Для этого нужно до множить числитель и знаменатель дроби на недостающее количество двоек или пятерок. Например,
1∙5∙5
=
2∙2∙2∙5∙5∙5
Приведем еще один пример
6
101
=
2∙2∙2∙5∙5
6
101∙5
=
2∙2∙2∙5∙5∙5
Приведем пример бесконечной десятичной дроби
При переводе данной дроби в десятичную получается бесконечная десятичная дробь Более подробно о десятичных дробях можно прочитать в данной статье.
Вам могут также быть полезны следующие сервисы
Дроби
Калькулятор интервальных повторений
Учим дроби наглядно
Калькулятор сокращения дробей
Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
Калькулятор возведения дроби в степень
Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
Калькулятор сравнения дробей
Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
Калькуляторы (тригонометрия)
Калькулятор синуса угла
Калькулятор косинуса угла
Калькулятор тангенса угла
Калькулятор котангенса угла
Калькулятор секанса угла
Калькулятор косеканса угла
Калькулятор арксинуса угла
Калькулятор арккосинуса угла
Калькулятор арктангенса угла
Калькулятор арккотангенса угла
Калькулятор арксеканса угла
Калькулятор арккосеканса угла
Калькуляторы систем счисления
Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
Системы счисления теория
N2 | Двоичная система счисления
N3 | Троичная система счисления
N4 | Четырехичная система счисления
N5 | Пятеричная система счисления
N6 | Шестеричная система счисления
N7 | Семеричная система счисления
N8 | Восьмеричная система счисления
N9 | Девятеричная система счисления
N11 | Одиннадцатиричная система счисления
N12 | Двенадцатеричная система счисления
N13 | Тринадцатеричная система счисления
N14 | Четырнадцатеричная система счисления
N15 | Пятнадцатеричная система счисления
N16 | Шестнадцатеричная система счисления
N17 | Семнадцатеричная система счисления
N18 | Восемнадцатеричная система счисления
N19 | Девятнадцатеричная система счисления
N20 | Двадцатеричная система счисления
N21 | Двадцатиодноричная система счисления
N22 | Двадцатидвухричная система счисления
N23 | Двадцатитрехричная система счисления
N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
N25 | Двадцатипятеричная система счисления
N26 | Двадцатишестеричная система счисления
N27 | Двадцатисемеричная система счисления
N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
N30 | Тридцатиричная система счисления
N31 | Тридцатиодноричная система счисления
N32 | Тридцатидвухричная система счисления
N33 | Тридцатитрехричная система счисления
N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
N35 | Тридцатипятиричная система счисления
N36 | Тридцатишестиричная система счисления
Калькуляторы (Теория чисел)
Калькулятор выражений
Калькулятор со скобками
Калькулятор разложения числа на простые множители
Калькулятор НОД и НОК
Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
Калькулятор деления числа в данном отношении
Калькулятор процентов
Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
Калькулятор экспоненциальной записи чисел
Калькулятор нахождения факториала числа
Калькулятор нахождения логарифма числа
Калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор остатка от деления
Калькулятор корней с решением
Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
Калькулятор больших чисел
Калькулятор округления числа
Калькуляторы площади геометрических фигур
Площадь квадрата
Площадь прямоугольника
Калькуляторы (Комбинаторика)
Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
Генератор Pdf с примерами
Тренажёры решения примеров
Тренажёр таблицы умножения
Тренажер счета для дошкольников
Тренажер счета на внимательность для дошкольников
Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
Тренажер решения примеров с разными действиями
Тренажёры решения столбиком
Тренажёр сложения столбиком
Тренажёр вычитания столбиком
Тренажёр умножения столбиком
Тренажёр деления столбиком с остатком
Калькуляторы решения столбиком
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
Калькулятор деления столбиком с остатком
Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы
Конденсаторы
Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькуляторы по астрономии
Вес тела на других планетах
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
Генераторы
Генератор примеров по математике
Генератор случайных чисел
Генератор паролей
Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь
Главная
Математические калькуляторы
Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь
Десятичные дроби — это дробные числа, которые представлены в десятичной записи.
Десятичные дроби используются для более компактной записи правильных обыкновенных дробей, знаменателями которых являются числа 10, 100, 1000 и т.д.
и смешанные числа, знаменателями дробной части которых являются числа 10, 100, 1000 и т.д.
Например, обыкновенную дробь 810 можно записать в виде десятичной дроби 0,8,
а смешанное число 4058100 — в виде десятичной дроби 405,08.
Онлайн калькулятор для преобразование десятичных дробей в обыкновенные дроби позволяет быстро перевести десятичные дроби в обыкновенные дроби.
Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:
1. Посчитать, сколько цифр стоит после запятой.
Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой n.
2. Переписать исходное число в виде дроби вида a10n,
где a — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть),
а n — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге.
Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с n нулями.
3. По возможности сократить полученную дробь.
Например:
0,64 = 64100 = 1625
Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4.
Поэтому n = 2. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64.
Переходим ко второму шагу: 10n = 102 = 100, поэтому в знаменателе стоит именно сто.
Затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
НОД (64, 100) = 4.
Поделиться страницей в социальных сетях:
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
После того, как я сделал несколько калькуляторов для перевода между разными системами счисления — вот список от первой до последней версии, от самого простого к сложному: Перевод числа в другие системы счисления, Перевод из десятичной системы счисления, Перевод из одной системы счисления в другую — в комментариях стали периодически спрашивать — а что же, мол, дробные числа, как же их переводить? И когда спросили больше трех раз, я таки решил изучить этот вопрос.
Результатом стал калькулятор, который вы видите ниже, он умеет переводить и дробные числа в том числе. Как водится, для любознательных под калькулятором немного теории.
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
Основание системы счисления исходного числа
Основание системы счисления переведенного числа
Точность вычисления
Знаков после запятой: 8
Переведенное число
Исходное число в десятичной системе счисления
Переведенное число в десятичной системе счисления
Погрешность перевода (в десятичном выражении)
Максимальная погрешность перевода (в десятичном выражении)
content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет
Теперь теория. Я, честно говоря, думал, что вопрос довольно сложный, но при ближайшем рассмотрении все оказалось проще простого. Надо было только держать в голове тот факт, что речь идет о позиционных системах счисления. В чем тут суть? Рассмотрим на примере десятичного числа 6.125. Это дробное число в десятичной системе счисления представляется так:
Все просто, не так ли? Та же самая простота сохраняется и при записи дробного числа в любой другой системе счисления. Возьмем, например, горячо любимую каждым программистом двоичную систему и число, например, 110.001. Эта запись есть не что иное как
Да-да, число для примера было выбрано не просто так. То есть, 110.001 в двоичной системе есть 6.125 в десятичной. Принцип, я думаю, ясен.
Есть только одно но — все-таки из-за того, что здесь участвую дроби с разными знаменателями, не всегда одно и тоже число можно одинаково точно выразить в разных системах счисления. Что я имею в виду?
Возьмем, например, число . Отлично смотрится в десятичной системе счисления. Но вот если попробовать получить запись этого числа в двоичной системе счисления — будут проблемы. Попробуем, пока не устанем
Продолжать можно еще довольно долго, но уже сейчас видно, что 0.8 в десятичной системе это 0.11001100…(дальше очень много цифр) в двоичной. Если честно, то это периодическое число с перидом 1100, так что мы никогда не сможем выразить его точно в двоичной системе счисления. 110011001100… будет продолжаться до бесконечности.
Поэтому перевод дробного числа из одной системы счисления в другую чаще всего дает погрешность. Погрешность эта зависит от того, сколько разрядов мы используем для записи дробной части переведенного числа. Возьмем пример с числом 0.8 и используем для записи его двоичного представления шесть разрядов после запятой — 0.110011. Полученное число вовсе не 0.8, а 0.796875, разница при этом составляет 0.003125. Это и есть наша погрешность перевода десятичного числа 0.8 в двоичный вид при использовании шести разрядов после запятой.
Вес крайнего правого разряда (самого младшего разряда) называется разрешением (resolution) или точностью (precision), и определяет наименьшее неравное нулю число, которое может быть представлено данным числом разрядов. Для нашего примера это . При этом максимально возможная погрешность представления числа, как нетрудно сообразить, не превышает половины этого веса, или 0.0078125. Так что для 0.8 мы имеем еще и не самую плохую погрешность.
Вот, собственно, и все.
1 16 в десятичной дроби
Вы искали 1 16 в десятичной дроби? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 2 3 перевести в десятичную дробь, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «1 16 в десятичной дроби».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 1 16 в десятичной дроби,1 2 3 перевести в десятичную дробь,1 6 перевести в десятичную дробь,1 перевести в дробь обыкновенную дробь в десятичную,1 перевести в дробь обыкновенную дробь в десятичную дробь,10 перевести в десятичную дробь,2 3 перевести в десятичную дробь,4 6 в десятичной дроби,8 125 перевести в десятичную дробь,в десятичную дробь калькулятор,в десятичную дробь онлайн,десятичная дробь в дробь калькулятор,десятичная дробь в обыкновенную калькулятор,десятичная дробь в обыкновенную онлайн,десятичная дробь калькулятор,десятичную в дробь калькулятор,десятичную в дробь онлайн,десятичную дробь перевести,десятичную дробь перевести в обычную онлайн,десятичные в обыкновенные дроби калькулятор,десятичные дроби в обыкновенную калькулятор,десятичные дроби в обыкновенные калькулятор,десятичные дроби и обыкновенные калькулятор,десятичные дроби калькулятор,десятичные дроби калькулятор онлайн,дроби в виде десятичной дроби калькулятор,дроби в десятичные,дроби в десятичные дроби калькулятор онлайн,дроби перевести,дроби перевести в десятичные,дроби перевести в десятичные калькулятор,дроби перевод,дробь 3 7 перевести в десятичную дробь,дробь в десятичную,дробь в десятичную калькулятор,дробь в десятичную онлайн,дробь перевести,дробь перевести в,дробь перевести в десятичную,дробь перевести в десятичную калькулятор,из десятичной дроби в обыкновенную калькулятор,из дробей в десятичные калькулятор,из дроби в десятичную,из дроби в десятичную калькулятор,из дроби в десятичную онлайн,из дроби перевести в десятичную,из обыкновенной дроби в десятичную калькулятор,из обычной дроби в десятичную калькулятор,как в десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь калькулятор,как возвести дробь в десятичную дробь,как десятичную дробь перевести в неправильную дробь калькулятор,как десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь калькулятор,как десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь онлайн,как десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь онлайн калькулятор,как десятичную дробь перевести в обыкновенную калькулятор,как десятичную дробь перевести в обыкновенную онлайн,как десятичную дробь перевести в обычную дробь калькулятор,как десятичную дробь перевести в обычную калькулятор,как десятичную дробь перевести в обычную онлайн,как дробь возвести в десятичную дробь,как дробь перевести в десятичную дробь калькулятор,как дробь перевести в десятичную дробь калькулятор онлайн,как дробь перевести в десятичную калькулятор,как дробь перевести в десятичную калькулятор онлайн,как дробь перевести в десятичную онлайн калькулятор,как неправильную дробь перевести в десятичную,как неправильную дробь перевести в десятичную дробь,как обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь калькулятор,как обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь онлайн калькулятор,как обыкновенную дробь перевести в десятичную калькулятор,как обыкновенную дробь перевести в десятичную онлайн,как обычную дробь перевести в десятичную дробь калькулятор,как обычную дробь перевести в десятичную калькулятор,как обычную дробь перевести в десятичную онлайн,как одну вторую перевести в десятичную дробь,как перевести в десятичную дробь калькулятор,как перевести в десятичную дробь онлайн калькулятор,как перевести в обыкновенную дробь в десятичную дробь калькулятор,как перевести в обычную дробь в десятичную дробь калькулятор,как перевести десятичную дробь в неправильную,как перевести десятичную дробь в обыкновенную дробь калькулятор,как перевести десятичную дробь в обыкновенную калькулятор,как перевести десятичную дробь в обыкновенную онлайн,как перевести десятичную дробь в обыкновенную онлайн калькулятор,как перевести десятичную дробь в обычную дробь калькулятор,как перевести десятичную дробь в обычную калькулятор,как перевести десятичную дробь в обычную онлайн,как перевести десятичную дробь в число калькулятор,как перевести десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь калькулятор,как перевести дробь в десятичную дробь калькулятор,как перевести дробь в десятичную дробь калькулятор онлайн,как перевести дробь в десятичную дробь онлайн,как перевести дробь в десятичную калькулятор,как перевести дробь в десятичную калькулятор онлайн,как перевести дробь в десятичную онлайн калькулятор,как перевести из неправильной дроби в десятичную,как перевести неправильную дробь в десятичную,как перевести неправильную дробь в десятичную дробь,как перевести обыкновенную в десятичную дробь калькулятор,как перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь калькулятор,как перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь калькулятор онлайн,как перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь онлайн,как перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь онлайн калькулятор,как перевести обыкновенную дробь в десятичную калькулятор,как перевести обыкновенную дробь в десятичную калькулятор онлайн,как перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн,как перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн калькулятор,как перевести обычную дробь в десятичную дробь калькулятор,как перевести обычную дробь в десятичную калькулятор,как перевести обычную дробь в десятичную онлайн,как перевести отрицательную дробь в десятичную дробь,как перевести смешанную дробь в десятичную калькулятор,как превратить в дробь в десятичную дробь калькулятор,как превратить десятичную дробь в обыкновенную дробь калькулятор,как превратить неправильную дробь в десятичную дробь,как превратить обыкновенную дробь в десятичную дробь калькулятор,калькулятор в десятичную дробь,калькулятор дробей в десятичные,калькулятор дробей в десятичные дроби,калькулятор дробей обычных дробей в десятичные,калькулятор дробей онлайн перевод,калькулятор дробей перевод,калькулятор дробей перевод в десятичную,калькулятор дробь в десятичную,калькулятор дробь перевести в десятичную,калькулятор дробь перевод в десятичную,калькулятор из десятичной дроби в обыкновенную,калькулятор из дробей в десятичные,калькулятор из дроби в десятичную,калькулятор из обыкновенной дроби в десятичную,калькулятор из обычной дроби в десятичную,калькулятор обыкновенная дробь в десятичную,калькулятор обыкновенной дроби в десятичную онлайн калькулятор,калькулятор онлайн дроби в десятичные дроби,калькулятор онлайн перевод дробей,калькулятор перевести в десятичную дробь,калькулятор перевести десятичную дробь в дробь обыкновенную дробь в,калькулятор перевести десятичную дробь в обыкновенную,калькулятор перевести дроби в десятичные,калькулятор перевести дробь в десятичную,калькулятор перевести дробь в целое число,калькулятор перевести дробь в число,калькулятор перевести неправильную дробь в десятичную дробь калькулятор,калькулятор перевести обыкновенную дробь в десятичную,калькулятор перевод в десятичную дробь,калькулятор перевод десятичной дроби в обыкновенную,калькулятор перевод десятичных дробей в обыкновенные,калькулятор перевод дробей,калькулятор перевод дробей в десятичную,калькулятор перевод дробей в десятичные,калькулятор перевод дробей онлайн,калькулятор перевод дроби в десятичную,калькулятор перевод из десятичной дроби в обыкновенную,калькулятор перевод из обычной дроби в десятичную,калькулятор перевод обыкновенной дроби в десятичную,калькулятор перевод обычной дроби в десятичную,калькулятор перевода в десятичную дробь,калькулятор перевода десятичных дробей в обыкновенные,калькулятор перевода дробей,калькулятор перевода дробей в десятичные,калькулятор перевода дробей в десятичных дробей,калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную,калькулятор превратить дробь в десятичную дробь,калькулятор преобразование обыкновенной дроби в десятичную,неправильную дробь перевести в десятичную,обыкновенная дробь в десятичную калькулятор,обыкновенную дробь перевести в десятичную,обыкновенные в десятичные дроби калькулятор,обыкновенные дроби и десятичные калькулятор,обычная дробь в десятичную онлайн,обычную дробь в десятичную дробь калькулятор,обычную дробь перевести в десятичную,обычную дробь перевести в десятичную онлайн,обычные дроби перевести в десятичные,одну вторую перевести в десятичную дробь,онлайн десятичные дроби,онлайн калькулятор дробей перевод,онлайн калькулятор из дроби в десятичную онлайн,онлайн калькулятор обычных и десятичных дробей,онлайн калькулятор перевести десятичную дробь в обыкновенную,онлайн калькулятор перевести десятичную дробь в обыкновенную калькулятор онлайн,онлайн калькулятор перевести дробь в число,онлайн калькулятор перевести обыкновенную дробь в десятичную,онлайн калькулятор перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь калькулятор,онлайн калькулятор перевод дробей,онлайн перевести десятичную дробь в обычную,онлайн перевести дробь в десятичную,онлайн перевод в десятичную дробь,онлайн перевод в дроби,онлайн перевод в обыкновенную дробь,онлайн перевод десятичной дроби в обыкновенную,онлайн перевод дробей,онлайн перевод дробей в десятичные,онлайн перевод дроби в десятичную,онлайн перевод обыкновенной дроби в десятичную,онлайн перевод обыкновенных дробей в десятичные,онлайн переводчик дробей,онлайн переводчик дробей в десятичные,переведение дробей в десятичные,переведите в десятичную дробь в обыкновенную дробь,переведите в десятичную дробь обыкновенную,переведите в десятичную дробь обыкновенную дробь,переведите обыкновенную дробь в десятичную,перевести 10 в десятичную дробь,перевести в десятичную дробь,перевести в десятичную дробь 2 3,перевести в десятичную дробь калькулятор,перевести в десятичную дробь онлайн,перевести в десятичную дробь онлайн калькулятор,перевести в десятичные дроби,перевести в дробь,перевести в дробь онлайн,перевести в неправильную дробь в десятичную дробь калькулятор,перевести десятичную дробь,перевести десятичную дробь в неправильную,перевести десятичную дробь в обыкновенную калькулятор,перевести десятичную дробь в обыкновенную калькулятор онлайн,перевести десятичную дробь в обыкновенную онлайн,перевести десятичную дробь в обыкновенную онлайн калькулятор,перевести десятичную дробь в обычную онлайн,перевести десятичную дробь в обычную онлайн калькулятор,перевести десятичные в дроби,перевести десятичные дроби в,перевести десятичные дроби в обычные,перевести дроби,перевести дроби в десятичные,перевести дроби в десятичные калькулятор,перевести дроби в десятичные онлайн,перевести дробь,перевести дробь 1 9 в десятичную дробь,перевести дробь в,перевести дробь в десятичное число,перевести дробь в десятичную,перевести дробь в десятичную калькулятор,перевести дробь в десятичную онлайн,перевести дробь в десятичную онлайн калькулятор,перевести дробь в целое число калькулятор онлайн,перевести дробь в целое число онлайн калькулятор,перевести дробь в число калькулятор онлайн,перевести дробь в число онлайн,перевести дробь в число онлайн калькулятор,перевести дробь десятичную,перевести из десятичной дроби в обыкновенную онлайн,перевести из дроби в десятичную,перевести из обыкновенной дроби в десятичную,перевести неправильную дробь в десятичную,перевести обыкновенную в десятичную дробь калькулятор,перевести обыкновенную дробь в десятичную калькулятор,перевести обыкновенную дробь в десятичную калькулятор онлайн,перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн,перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн калькулятор,перевести обычную десятичную в дробь онлайн,перевести обычную дробь в десятичную,перевести обычную дробь в десятичную онлайн,перевести обычную дробь в десятичную онлайн калькулятор,перевести обычные дроби в десятичные,перевести онлайн обычную дробь в десятичную,перевести сложную дробь в десятичную дробь,перевести смешанную дробь в десятичную,перевод в десятичную дробь,перевод в десятичную дробь калькулятор,перевод в десятичную дробь онлайн,перевод в десятичные дроби,перевод в дроби,перевод в дробь из десятичной,перевод в обыкновенную дробь онлайн,перевод десятичной дроби,перевод десятичной дроби в обыкновенную калькулятор,перевод десятичной дроби в обыкновенную онлайн,перевод десятичную в дробь калькулятор,перевод десятичную дробь в дроби,перевод десятичных дробей в обыкновенные калькулятор,перевод дробей,перевод дробей в десятичную калькулятор,перевод дробей в десятичные,перевод дробей в десятичные калькулятор,перевод дробей в десятичные калькулятор онлайн,перевод дробей в десятичные онлайн,перевод дробей калькулятор,перевод дробей онлайн,перевод дробей онлайн калькулятор,перевод дроби,перевод дроби в,перевод дроби в десятичную,перевод дроби в десятичную дробь,перевод дроби в десятичную калькулятор,перевод дроби в десятичную онлайн,перевод дроби в число калькулятор,перевод дроби из десятичной в обыкновенную калькулятор,перевод дроби из обыкновенной в десятичную,перевод дроби из обыкновенной в десятичную онлайн,перевод дроби из обычной в десятичную,перевод дробь в десятичную дробь онлайн,перевод из десятичной дроби в обыкновенную калькулятор,перевод из дробей в десятичные,перевод из дробей в десятичные онлайн,перевод из дроби в десятичную,перевод из дроби в десятичную онлайн,перевод из обыкновенной дроби в десятичную,перевод из обыкновенной дроби в десятичную онлайн,перевод из обычной дроби в десятичную,перевод из обычной дроби в десятичную калькулятор,перевод из обычной дроби в десятичную онлайн,перевод неправильной дроби в десятичную,перевод обыкновенной дроби в десятичную,перевод обыкновенной дроби в десятичную калькулятор,перевод обыкновенной дроби в десятичную онлайн,перевод обыкновенных дробей в десятичные онлайн,перевод обычной дроби в десятичную,перевод обычной дроби в десятичную калькулятор,перевод обычной дроби в десятичную онлайн,перевод обычных дробей в десятичные,перевод обычных дробей в десятичные онлайн,перевод смешанных дробей в десятичные,переводим дробь в десятичную дробь,переводитель дробей в десятичные,переводчик в десятичную дробь,переводчик дробей,переводчик дробей в десятичные,переводчик дробей в десятичные онлайн,переводчик дробей в обыкновенные,переводчик дробей онлайн,переводчик из обыкновенной дроби в десятичную,переводчик обыкновенных дробей в десятичные,переводчик онлайн дробей,представить в виде десятичной дроби онлайн,представьте в виде дроби онлайн,преобразователь дробей,простую дробь перевести в десятичную,простые дроби перевести в десятичные дроби,смешанную дробь перевести в десятичную. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 16 в десятичной дроби. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 1 6 перевести в десятичную дробь).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 16 в десятичной дроби Онлайн?
Решить задачу 1 16 в десятичной дроби вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
Перевод дробей в целые числа калькулятор. Рассмотрим действие на примере. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
В этой статье мы разберем, как осуществляется перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби , а также рассмотрим обратный процесс – перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби. Здесь мы озвучим правила обращения дробей и приведем подробные решения характерных примеров.
Навигация по странице.
Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби
Обозначим последовательность, в которой мы будем разбираться с переводом обыкновенных дробей в десятичные дроби .
Сначала мы рассмотрим, как обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, 1 000, …
представить в виде десятичных дробей . Это объясняется тем, что десятичные дроби по сути являются компактной формой записи обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, …
.
После этого мы пойдем дальше и покажем, как любую обыкновенную дробь (не только со знаменателями 10, 100, …
) записать в виде десятичной дроби. При таком обращении обыкновенных дробей получаются как конечные десятичные дроби, так и бесконечные периодические десятичные дроби.
Теперь обо всем по порядку.
Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби
Некоторые правильные обыкновенные дроби перед переводом в десятичные дроби нуждаются в «предварительной подготовке». Это касается обыкновенных дробей, количество цифр в числителе которых меньше, чем количество нулей в знаменателе. Например, обыкновенную дробь 2/100
нужно предварительно подготовить к переводу в десятичную дробь, а дробь 9/10
в подготовке не нуждается.
«Предварительная подготовка» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби заключается в дописывании слева в числителе такого количества нулей, чтобы там общее количество цифр стало равно количеству нулей в знаменателе. Например, дробь после дописывания нулей будет иметь вид .
После подготовки правильной обыкновенной дроби можно приступать к ее обращению в десятичную дробь.
Дадим правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем 10, или 100, или 1 000, … в десятичную дробь . Оно состоит из трех шагов:
записываем 0
;
после него ставим десятичную запятую;
записываем число из числителя (вместе с дописанными нулями, если мы их дописывали).
Рассмотрим применение этого правила при решении примеров.
Пример.
Переведите правильную обыкновенную дробь 37/100
в десятичную.
Решение.
В знаменателе находится число 100
, в записи которого два нуля. В числителе находится число 37
, в его записи две цифры, следовательно, эта дробь не нуждается в подготовке к переводу в десятичную дробь.
Теперь записываем 0
, ставим десятичную запятую, и записываем число 37
из числителя, при этом получаем десятичную дробь 0,37
.
Ответ:
0,37
.
Для закрепления навыков перевода правильных обыкновенных дробей с числителями 10, 100, …
в десятичные дроби разберем решение еще одного примера.
Пример.
Запишите правильную дробь 107/10 000 000
в виде десятичной дроби.
Решение.
Количество цифр в числителе равно 3
, а количество нулей в знаменателе равно 7
, поэтому данная обыкновенная дробь нуждается в подготовке к переводу в десятичную. Нам нужно дописать 7-3=4
нуля слева в числителе, чтобы общее количество цифр там стало равно количеству нулей в знаменателе. Получаем .
Осталось составить нужную десятичную дробь. Для этого, во-первых, записываем 0
, во-вторых, ставим запятую, в-третьих, записываем число из числителя вместе с нулями 0000107
, в итоге имеем десятичную дробь 0,0000107
.
Ответ:
0,0000107
.
Неправильные обыкновенные дроби не нуждаются в подготовке при переводе в десятичные дроби. Следует придерживаться следующего правила перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби :
записываем число из числителя;
отделяем десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.
Разберем применение этого правила при решении примера.
Во-первых, записываем число из числителя 56888038009, во-вторых, отделяем десятичной запятой 5 цифр справа, так как в знаменателе исходной дроби 5
нулей. В итоге имеем десятичную дробь 568 880,38009
.
Ответ:
568 880,38009
.
Для обращения в десятичную дробь смешанного числа , знаменателем дробной части которого является число 10
, или 100
, или 1 000, …
, можно выполнить перевод смешанного числа в неправильную обыкновенную дробь, после чего полученную дробь обратить в десятичную дробь. Но можно пользоваться и следующим правилом перевода смешанных чисел со знаменателем дробной части 10, или 100, или 1 000, … в десятичные дроби :
при необходимости выполняем «предварительную подготовку» дробной части исходного смешанного числа, дописав необходимое количество нулей слева в числителе;
записываем целую часть исходного смешанного числа;
ставим десятичную запятую;
записываем число из числителя вместе с дописанными нулями.
Рассмотрим пример, при решении которого выполним все необходимые шаги для представления смешанного числа в виде десятичной дроби.
Пример.
Переведите смешанное число в десятичную дробь.
Решение.
В знаменателе дробной части 4
нуля, в числителе же находится число 17
, состоящее из 2
цифр, поэтому, нам нужно дописать два нуля слева в числителе, чтобы там число знаков стало равно числу нулей в знаменателе. Выполнив это, в числителе окажется 0017
.
Теперь записываем целую часть исходного числа, то есть, число 23
, ставим десятичную запятую, после которой записываем число из числителя вместе с дописанными нулями, то есть, 0017
, при этом получаем искомую десятичную дробь 23,0017
.
Запишем все решение кратко: .
Несомненно, можно было сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби, после чего перевести ее в десятичную дробь. При таком подходе решение выглядит так: .
Ответ:
23,0017
.
Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические десятичные дроби
В десятичную дробь можно перевести не только обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, …
, но обыкновенные дроби с другими знаменателями. Сейчас мы разберемся, как это делается.
В некоторых случаях исходная обыкновенная дробь легко приводится к одному из знаменателей 10
, или 100
, или 1 000, …
(смотрите приведение обыкновенной дроби к новому знаменателю), после чего не составляет труда полученную дробь представить в виде десятичной дроби. Например, очевидно, что дробь 2/5
можно привести к дроби со знаменателем 10
, для этого нужно числитель и знаменатель умножить на 2
, что даст дробь 4/10
, которая по правилам, разобранным в предыдущем пункте, легко переводится в десятичную дробь 0,4
.
В остальных случаях приходится использовать другой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную, к рассмотрению которого мы и переходим.
Для обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь выполняется деление числителя дроби на знаменатель, числитель предварительно заменяется равной ему десятичной дробью с любым количеством нулей после десятичной запятой (об этом мы говорили в разделе равные и неравные десятичные дроби). При этом деление выполняется так же, как деление столбиком натуральных чисел , а в частном ставится десятичная запятая, когда заканчивается деление целой части делимого. Все это станет понятно из решений примеров, приведенных ниже примеров.
Пример.
Переведите обыкновенную дробь 621/4
в десятичную дробь.
Решение.
Число в числителе 621
представим в виде десятичной дроби, добавив десятичную запятую и несколько нулей после нее. Для начала допишем 2
цифры 0
, позже, при необходимости, мы всегда можем добавить еще нулей. Итак, имеем 621,00
.
Теперь выполним деление столбиком числа 621,000
на 4
. Первые три шага ничем не отличаются от деления столбиком натуральных чисел, после них приходим к следующей картине:
Так мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток при этом отличен от нуля. В этом случае в частном ставим десятичную запятую, и продолжаем деление столбиком, не обращая внимания на запятые:
На этом деление закончено, а в результате мы получили десятичную дробь 155,25
, которая соответствует исходной обыкновенной дроби.
Ответ:
155,25
.
Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Переведите обыкновенную дробь 21/800
в десятичную дробь.
Решение.
Для перевода данной обыкновенной дроби в десятичную, выполним деление столбиком десятичной дроби 21,000…
на 800
. Нам после первого же шага придется поставить десятичную запятую в частном, после чего продолжить деление:
Наконец-то мы получили остаток 0
, на этом перевод обыкновенной дроби 21/400
в десятичную дробь закончен, и мы пришли к десятичной дроби 0,02625
.
Ответ:
0,02625
.
Может случиться, что при делении числителя на знаменатель обыкновенной дроби мы так и не получим в остатке 0
. В этих случаях деление можно продолжать сколь угодно долго. Однако, начиная с некоторого шага, остатки начитают периодически повторяться, при этом повторяются и цифры в частном. Это означает, что исходная обыкновенная дробь переводится в бесконечную периодическую десятичную дробь . Покажем это на примере.
Пример.
Запишите обыкновенную дробь 19/44
в виде десятичной дроби.
Решение.
Для перевода обыкновенной дроби в десятичную выполним деление столбиком:
Уже сейчас видно, что при делении начали повторяться остатки 8
и 36
, при этом в частном повторяются цифры 1
и 8
. Таким образом, исходная обыкновенная дробь 19/44
переводится в периодическую десятичную дробь 0,43181818…=0,43(18)
.
Ответ:
0,43(18)
.
В заключение этого пункта разберемся, какие обыкновенные дроби можно перевести в конечные десятичные дроби, а какие – только в периодические.
Пусть перед нами находится несократимая обыкновенная дробь (если дробь сократимая, то предварительно выполняем сокращение дроби), и нам нужно выяснить, в какую десятичную дробь ее можно перевести – в конечную или периодическую.
Понятно, что если обыкновенную дробь можно привести к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, …
, то полученную дробь легко перевести в конечную десятичную дробь по правилам, разобранным в предыдущем пункте. Но к знаменателям 10, 100, 1 000
и т.д. приводятся далеко не все обыкновенные дроби. К таким знаменателям можно привести лишь дроби, знаменатели которых являются хотя бы одного из чисел 10, 100, …
А какие числа могут быть делителями 10, 100, …
? Ответить на этот вопрос нам позволят чисел 10, 100, …
, а они таковы: 10=2·5
, 100=2·2·5·5
, 1 000=2·2·2·5·5·5, …
. Отсюда следует, что делителями 10, 100, 1 000
и т.д. могут быть лишь числа, разложения которых на простые множители содержат лишь числа 2
и (или) 5
.
Теперь мы можем сделать общий вывод о переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби:
если в разложении знаменателя на простые множители присутствуют лишь числа 2
и (или) 5
, то эту дробь можно перевести в конечную десятичную дробь;
если кроме двое и пятерок в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, то эта дробь переводится к бесконечную десятичную периодическую дробь.
Пример.
Не выполняя перевод обыкновенных дробей в десятичные, скажите, какие из дробей 47/20
, 7/12
, 21/56
, 31/17
можно перевести в конечную десятичную дробь, а какие — только в периодическую.
Решение.
Разложение на простые множители знаменателя дроби 47/20
имеет вид 20=2·2·5
. В этом разложении присутствуют лишь двойки и пятерки, поэтому эта дробь может быть приведена к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, …
(в этом примере к знаменателю 100
), следовательно, может быть переведена в конечную десятичную дробь.
Разложение на простые множители знаменателя дроби 7/12
имеет вид 12=2·2·3
. Так как оно содержит простой множитель 3
, отличный от 2
и 5
, то эта дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, но может быть переведена в периодическую десятичную дробь.
Дробь 21/56
– сократимая, после сокращения она принимает вид 3/8
. Разложение знаменателя на простые множители содержит три множителя, равных 2
, следовательно, обыкновенная дробь 3/8
, а значит и равная ей дробь 21/56
, может быть переведена в конечную десятичную дробь.
Наконец, разложение знаменателя дроби 31/17
представляет собой само 17
, следовательно, эту дробь нельзя обратить в конечную десятичную дробь, но можно обратить в бесконечную периодическую.
Ответ:
47/20
и 21/56
можно перевести в конечную десятичную дробь, а 7/12
и 31/17
— только в периодическую.
Обыкновенные дроби не переводятся в бесконечные непериодические десятичные дроби
Информация предыдущего пункта порождает вопрос: «Может ли при делении числителя дроби на знаменатель получиться бесконечная непериодическая дробь»?
Ответ: нет. При переводе обыкновенной дроби может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь. Поясним, почему это так.
Из теоремы о делимости с остатком ясно, что остаток всегда меньше делителя, то есть, если мы выполняем деление некоторого целого числа на целое число q
, то остатком может быть лишь одно из чисел 0, 1, 2, …, q−1
. Отсюда следует, что после завершения деления столбиком целой части числителя обыкновенной дроби на знаменатель q
, не более чем через q
шагов возникнет одна из двух следующих ситуаций:
либо мы получим остаток 0
, на этом деление закончится, и мы получим конечную десятичную дробь;
либо мы получим остаток, который уже появлялся ранее, после этого остатки начнут повторяться как в предыдущем примере (так как при делении равных чисел на q
получаются равные остатки, что следует из уже упомянутой теоремы о делимости), так будет получена бесконечная периодическая десятичная дробь.
Других вариантов быть не может, следовательно, при обращении обыкновенной дроби в десятичную дробь не может получиться бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Из приведенных в этом пункте рассуждений также следует, что длина периода десятичной дроби всегда меньше, чем значение знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.
Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби
Теперь разберемся, как перевести десятичную дробь в обыкновенную. Начнем с перевода конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби. После этого рассмотрим метод обращения бесконечных периодических десятичных дробей. В заключение скажем о невозможности перевода бесконечных непериодических десятичных дробей в обыкновенные дроби.
Перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби
Получить обыкновенную дробь, которая записана в виде конечной десятичной дроби, достаточно просто. Правило перевода конечной десятичной дроби в обыкновенную дробь состоит из трех шагов:
во-первых, записать данную десятичную дробь в числитель, предварительно отбросив десятичную запятую и все нули слева, если они есть;
во-вторых, в знаменатель записать единицу и к ней дописать столько нулей, сколько цифр находится после запятой в исходной десятичной дроби;
в-третьих, при необходимости выполнить сокращение полученной дроби.
Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Обратите десятичную дробь 3,025
в обыкновенную дробь.
Решение.
Если в исходной десятичной дроби убрать десятичную запятую, то мы получим число 3 025
. В нем нет нулей слева, которые бы мы отбросили. Итак, в числитель искомой дроби записываем 3 025
.
В знаменатель записываем цифру 1
и справа к ней дописываем 3
нуля, так как в исходной десятичной дроби после запятой находятся 3
цифры.
Так мы получили обыкновенную дробь 3 025/1 000
. Эту дробь можно сократить на 25
, получаем .
Ответ:
.
Пример.
Выполните перевод десятичной дроби 0,0017
в обыкновенную дробь.
Решение.
Без десятичной запятой исходная десятичная дробь имеет вид 00017
, отбросив нули слева получаем число 17
, которое и является числителем искомой обыкновенной дроби.
В знаменатель записываем единицу с четырьмя нулями, так как в исходной десятичной дроби после запятой 4
цифры.
В итоге имеем обыкновенную дробь 17/10 000
. Эта дробь несократима, и перевод десятичной дроби в обыкновенную закончен.
Ответ:
.
Когда целая часть исходной конечной десятичной дроби отлична от нуля, то ее можно сразу перевести в смешанное число, минуя обыкновенную дробь. Дадим правило перевода конечной десятичной дроби в смешанное число :
число до десятичной запятой надо записать как целую часть искомого смешанного числа;
в числитель дробной части нужно записать число, полученное из дробной части исходной десятичной дроби после отбрасывания в ней всех нулей слева;
в знаменателе дробной части нужно записать цифру 1
, к которой справа дописать столько нулей, сколько цифр находится в записи исходной десятичной дроби после запятой;
при необходимости выполнить сокращение дробной части полученного смешанного числа.
Рассмотрим пример перевода десятичной дроби в смешанное число.
Пример.
Представьте десятичную дробь 152,06005
в виде смешанного числа
Говоря сухим математическим языком, дробь — это число, которое представляется в виде части от единицы. Дроби широко используются в жизни человека: при помощи дробных чисел мы указываем пропорции в кулинарных рецептах, выставляем десятичные оценки на соревнованиях или используем их для подсчета скидок в магазинах.
Представление дробей
Существует минимум две формы записи одного дробного числа: в десятичной форме или в виде обыкновенной дроби. В десятичной форме числа выглядят как 0,5; 0,25 или 1,375. Любое из этих значений мы может представить в виде обыкновенной дроби:
0,5 = 1/2;
0,25 = 1/4;
1,375 = 11/8.
И если 0,5 и 0,25 мы без проблем конвертируем из обыкновенной дроби в десятичную и обратно, то в случае с числом 1,375 все неочевидно. Как быстро преобразовать любое десятичное число в дробь? Существует три простых способа.
Избавляемся от запятой
Самый простой алгоритм подразумевает умножение числа на 10 до тех пор, пока из числителя не исчезнет запятая. Такое преобразование осуществляется в три шага:
Шаг 1 : Для начала десятичное число запишем в виде дроби «число/1», то есть мы получим 0,5/1; 0,25/1 и 1,375/1.
Шаг 2 : После этого умножим числитель и знаменатель новых дробей до тех пор, пока из числителей не исчезнет запятая:
0,5/1 = 5/10;
0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
Шаг 3 : Сокращаем полученные дроби до удобоваримого вида:
5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
Число 1,375 пришлось три раза умножать на 10, что уже не очень удобно, а что нам придется делать в случае, если понадобится преобразовать число 0,000625? В этой ситуации используем следующий способ преобразования дробей.
Избавляемся от запятой еще проще
Первый способ детально описывает алгоритм «удаления» запятой из десятичной дроби, однако мы можем упростить этот процесс. И вновь мы выполняем три шага.
Шаг 1 : Считаем, сколько цифр стоит после запятой. К примеру, у числа 1,375 таких цифр три, а у 0,000625 — шесть. Это количество мы обозначим буквой n.
Шаг 2 : Теперь нам достаточно представить дробь в виде C/10 n , где C – это значимые цифры дроби (без нулей, если они есть), а n – количество цифр после запятой. К примеру:
для числа 1,375 C = 1375, n = 3, итоговая дробь согласно формуле 1375/10 3 = 1375/1000;
для числа 0,000625 C = 625, n = 6, итоговая дробь согласно формуле 625/10 6 = 625/1000000.
По сути, 10 n – это 1 с количеством нулей, равным n, поэтому вам не нужно заморачиваться с возведением десятки в степень — достаточно указать 1 с n нулей. После этого столь богатую на нули дробь желательно сократить.
Шаг 3 : Сокращаем нули и получаем итоговый результат:
1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
Дробь 11/8 — это неправильная дробь, так как числитель у нее больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. В этой ситуации мы вычитаем из 11/8 целую часть 8/8 и получаем остаток 3/8, следовательно, дробь выглядит как 1 и 3/8.
Преобразование на слух
Для тех, кто умеет правильно читать десятичные дроби, проще всего их преобразовать на слух. Если вы читаете 0,025 не как «ноль, ноль, двадцать пять», а как «25 тысячных», то у вас не будет никаких проблем с конвертацией десятичных чисел в обыкновенные дроби.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Таким образом, правильное прочтение десятичного числа позволяет сразу же записать ее как обыкновенную дробь и сократить в случае необходимости.
Примеры использования дробей в повседневной жизни
На первый взгляд обыкновенные дроби практически не используются в быту или на работе и трудно представить ситуацию, когда вам понадобится перевести десятичную дробь в обычную за пределами школьных задач. Рассмотрим пару примеров.
Работа
Итак, вы работаете в кондитерском магазине и продаете халву на развес. Для простоты реализации продукта вы разделяете халву на килограммовые брикеты, однако мало кто из покупателей готов приобрести целый килограмм. Поэтому вам приходится каждый раз разделять лакомство на кусочки. И если очередной покупатель попросит у вас 0,4 кг халвы, вы без проблем продадите ему нужную порцию.
0,4 = 4/10 = 2/5
Быт
К примеру, необходимо сделать 12 % раствор для покраски модели в нужный вам оттенок. Для этого нужно смешать краску и растворитель, но как правильно это сделать? 12 % — это десятичная дробь 0,12. Преобразовываем число в обыкновенную дробь и получаем:
0,12 = 12/100 = 3/25
Зная дроби, вы сможете правильно смешать компоненты и получить нужный цвет.
Заключение
Дроби широко используются в повседневной жизни, поэтому если вам часто необходимо преобразовывать десятичные значения в обыкновенные дроби, вам пригодится онлайн-калькулятор, при помощи которого можно мгновенно получить результат в виде уже сокращенной дроби.
Зачастую дети, которые учатся в школе, интересуются, для чего в им в реальной жизни может понадобится математика, в особенности те разделы, которые уже заходят намного дальше, чем простой счет, умножение, деление, суммирование и отнимание. Многие взрослые также задаются данным вопросом, если их профессиональная деятельность очень далека от математики и разнообразных вычислений. Однако стоит понимать, что ситуации бывают всякие, и порой никак не обойтись без той самой, пресловутой школьной программы, от которой мы так пренебрежительно отказывались в детстве. К примеру, вовсе не все знают, как перевести дробь в десятичную дробь, а такие знания могут чрезвычайно пригодится, для удобства счета. Для начала, нужно полностью убедиться, что нужная вам дробь может быть преобразована в конечную десятичную. То же самое касается и процентов, которые также можно легко перевести в десятичные дроби.
Проверка обычной дроби на возможность перевода ее в десятичную
Прежде, чем что-либо считать, необходимо убедиться, что полученная в итоге десятичная дробь будет конечной, иначе она окажется бесконечной и высчитать окончательный вариант будет попросту невозможно. Причем бесконечные дроби также могут быть периодическими и простыми, но это уже тема для отдельного раздела.
Перевести обыкновенную дробь в ее конечный, десятичный вариант можно только в том случае, если ее уникальный знаменатель способен раскладываться только на множители 5 и 2 (простые множители). Причем даже в том случае, если они повторяются произвольное количество раз.
Уточним, что оба эти числа являются простыми, так в итоге разделить без остатка их можно только на самих себя, или же, на единицу. Таблицу простых чисел можно отыскать без проблем в сети интернет, это вовсе не сложно, хотя непосредственного отношения к нашему счету она и не имеет.
Рассмотрим примеры:
Дробь 7/40 поддается преобразованию из обычной дроби в ее десятичный эквивалент, потому что ее знаменатель можно без труда разложить на множители 2 и 5.
Однако, если первый вариант даст в результате конечную десятичную дробь, то, к примеру, 7/60 уже никак не даст подобного результата, так как ее знаменатель не будет уже раскладываться на искомые нами числа, а будет иметь в числе множителей знаменателя тройку.
Перевести обычную дробь в десятичную возможно несколькими способами
После того, как стало понятно, какие дроби можно переводить из обычных в десятичные, можно приступить, собственно, к самому преобразованию. На самом деле, нет ничего сверхсложного, даже для того, у кого школьная программа окончательно «выветрилась» из памяти.
Как переводить дроби в десятичные: наиболее простой метод
Этот способ перевода обычной дроби в десятичную, действительно, является наиболее простым, однако многие люди даже не догадываются о его бренном существовании, так как в школе все эти «прописные истины» кажутся ненужными и не очень-то важными. Между тем, разобраться сможет не только взрослый, но легко воспримет подобную информацию и ребенок.
Итак, чтобы преобразовать дробь в десятичную, нужно умножить числитель, равно как и знаменатель, на одно число. Однако все не так просто, так в результате, именно в знаменателе должно получиться 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 и так далее, до бесконечности. Не стоит забывать предварительно проверить, точно ли можно данную дробь превратить в десятичную.
Рассмотрим примеры:
Допустим, нам нужно провести преобразование дроби 6/20 в десятичную. Производим проверку:
После того, как мы убедились, что перевести дробь в десятичную дробь, да еще и конечную, все же, возможно, так как ее знаменатель легко раскладывается на двоечки и пятерки, следует приступить к самому переводу. Самым лучшим вариантом, по логике вещей, чтобы умножить знаменатель и получить результат 100, является 5, так как 20х5=100.
Можно рассмотреть дополнительный пример, для наглядности:
Второй и боле популярный способ
переводить дроби в десятичные
Второй вариант несколько сложнее, однако он пользуется большей популярностью, ввиду того, что он гораздо проще для понимания. Тут все прозрачно и ясно, потому давайте сразу же перейдем к вычислениям.
Стоит запомнить
Для того, что правильно преобразовать простую, то есть обычную дробь в ее десятичный эквивалент, нужно числитель разделить на знаменатель. По сути, дробь – это и есть деление, с этим не поспоришь.
Рассмотрим действие на примере:
Итак, первым делом, чтобы перевести дробь 78/200 в десятичную, нужно ее числитель, то есть число 78, разделить на знаменатель 200. Но первым делом, что должно войти в привычку, нужно произвести проверку, о которой уже говорилось выше.
После произведения проверки, нужно вспомнить школу и делить числитель на знаменатель «уголком» или «столбиком».
Как видите, все предельно просто, и семи пядей во лбу, чтобы легко решать подобные задачки вовсе быть не требуется. Для простоты и удобства приведем также и таблицу самых популярных дробей, которые просто запомнить, и даже не прилагать усилий, чтобы их переводить.
Как перевести проценты в десятичную дробь : нет ничего проще
Вот наконец дошел ход и до процентов, которые, оказывается, как гласит все та же, школьная программа, можно перевести в десятичную дробь. Причем тут все будет еще гораздо проще, и пугаться не стоит. Справятся с задачей даже те, кто не заканчивал университеты, а пятый класс школы вовсе прогулял и ничего не смыслит в математике.
Начать, пожалуй, нужно с определения, то есть разобраться, что такое, собственно, проценты. Процент – это одна сотая часть от какого-либо числа, то есть, абсолютно произвольно. От сотни, к примеру, это будет единица и так далее.
Таким образом, чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно попросту убрать значок %, а потом разделить само число на сотню.
Рассмотрим примеры:
Причем, чтобы произвести обратную «конвертацию», нужно попросту сделать все наоборот, то есть, число нужно умножить на сотню и приписать к нему значок процента. Точно таким же образом, посредством применения полученных знаний, можно также и обычную дробь перевести в проценты. Для этого достаточно будет просто сперва преобразовать обычную дробь в десятичную, а потому уже ее перевести в проценты, а также легко можно произвести и обратное действие. Как видите, ничего сверхсложного нет, все это элементарные знания, которые просто необходимо держать в уме, в особенности, если имеете дело с цифрами.
Путь наименьшего сопротивления: удобные онлайн сервисы
Бывает и так, что считать совершенно не хочется, да и попросту нет времени. Именно для таких случаев, или же, особо ленивых пользователей, в сети интернет есть множество удобных и простых в применении сервисов, которые позволят перевести обычные дроби, а также проценты, в десятичные дроби. Это действительно дорога наименьшего сопротивления, потому пользоваться подобными ресурсами – одно удовольствие.
Полезный справочный портал «Калькулятор»
Для того, чтобы воспользоваться сервисом «Калькулятора», достаточно просто перейти по ссылке http://www.calc.ru/desyatichnyye-drobi.html , и ввести необходимые числа в нужные поля. Причем ресурс позволяет переводить в десятичные, как обычные, так и смешанные дроби.
После краткосрочного ожидания, приблизительно секунды в три, сервис выдаст конечный результат.
Точно таким же образом можно перевести в обычную дробь десятичную.
Онлайн-калькулятор на «Математическом ресурсе» Calcs.su
Еще одним, очень полезным сервисом можно назвать калькулятор дробей на «Математическом ресурсе. Тут также не придется ничего считать самостоятельно, просто выберите из предложенного списка то, что вам нужно и вперед, за орденами.
Далее, в отведенное специально для этого поле, нужно ввести искомое число процентов, которые и нужно преобразовать в обычную дробь. Причем если вам нужны десятичные дроби, то вы легко можете уже сами справиться с задачей перевода или же воспользоваться тем калькулятором, который для этого и предназначен.
В конечном итоге, стоит обязательно добавить, что сколько бы новомодных сервисов не было бы придумано, сколько ресурсов не предлагали бы вам свои услуги, но и голову тренировать периодически не помешает. Потому стоит обязательно применять полученные знания, тем более, что вы потом с гордостью сможете помогать делать уроки собственным детям, а затем и внукам. Для того же, кто страдает от вечной нехватки времени, подобные онлайн-калькуляторы на математических порталах окажутся как раз кстати и даже помогут понять, как перевести обычную дробь в десятичную.
Пытаясь решить математические задачи с дробями, школьник понимает, что ему недостаточно одного только желания решить эти задачи. Также необходимы и знания по вычислениям с дробными числами. В некоторых задачах все начальные данные подаются в условии в дробном виде. В других же часть их может быть дробями, а часть — целыми числами. Чтобы производить какие-то вычисления с этими заданными значениями, надо сначала привести их к единому виду, то есть целые числа перевести в дробные, а потом уже заниматься вычислениями. Вообще способ, как целое число перевести в дробь, очень прост. Для этого надо в числителе итоговой дроби написать само заданное число, а в ее знаменателе — единичку. То есть если надо перевести в дробь число 12, то полученная дробь будет 12/1.
Такие модификации помогают приводить дроби к общему знаменателю. Это нужно для того, чтобы получить возможность проводить вычитание или сложение дробных чисел. При их умножении и делении общий знаменатель не требуется. Можно рассмотреть на примере, как перевести число в дробь и потом произвести сложение двух дробных чисел. Допустим надо сложить число 12 и дробное число 3/4. Первое слагаемое (число 12) приводится к виду 12/1. Однако его знаменатель равен 1 в то время, как у второго слагаемого он равен 4. Для последующего сложения этих двух дробей надо привести их к общему знаменателю. Благодаря тому, что у одного из чисел знаменатель равен 1, это сделать вообще просто. Надо взять знаменатель второго числа и умножить на него и числитель, и знаменатель первого.
В результате умножения получится: 12/1=48/4. Если 48 разделить на 4, то получается 12, значит дробь приведена к правильному знаменателю. Таким образом можно заодно и понять, как дробь перевести в целое число. Это касается только неправильных дробей, потому что у них числитель больше, чем знаменатель. В таком случае числитель делится на знаменатель и, если не получается остатка, будет целое число. С остатком же дробь так и остается дробью, но с выделенной целой частью. Теперь относительно приведения к общему знаменателю на рассмотренном примере. Если бы у первого слагаемого знаменатель был бы равен какому-нибудь другому числу, кроме 1, числитель и знаменатель первого числа надо бы было умножить на знаменатель второго, а числитель и знаменатель второго — на знаменатель первого.
Оба слагаемых приведены к их общему знаменателю и готовы к сложению. Получается, что в данной задаче нужно сложить два числа: 48/4 и 3/4. При сложении двух дробей с одинаковым знаменателем суммировать нужно только их верхние части, то есть числители. Знаменатель суммы останется без изменения. В этом примере должно получиться 48/4+3/4=(48+3) /4=51/4. Это и будет результат сложения. Но в математике принято неправильные дроби приводить к правильным. Выше рассматривалось, как превратить дробь в число, но в этом примере не получится целое число из дроби 51/4, так как число 51 не делится без остатка на число 4. Поэтому нужно выделить целую часть данной дроби и ее дробную часть. Целой частью будет то число, которое получается при делении нацело первого же меньшего, чем 51, числа.
То есть то, которое можно разделить на 4 без остатка. Первое число перед числом 51, которое нацело делится на 4, будет число 48. Разделив 48 на 4, получается число 12. Значит целой частью искомой дроби будет 12. Осталось только найти дробную часть числа. Знаменатель дробной части остается тем же, то есть 4 в данном случае. Чтобы найти числитель дробной части, надо от исходного числителя вычесть то число, которое делилось на знаменатель без остатка. В рассматриваемом примере требуется для этого вычесть из числа 51 число 48. То есть числитель дробной части равен 3. Результатом сложения будет 12 целых и 3/4. То же самое делается и при вычитании дробей. Допустим надо из целого числа 12 вычесть дробное число 3/4. Для этого целое число 12 переводится в дробное 12/1, а затем приводится к общему знаменателю со вторым числом — 48/4.
При вычитании точно так же знаменатель обеих дробей остается без изменения, а с их числителями и проводят вычитание. То есть от числителя первой дроби вычитают числитель второй. В данном примере это будет 48/4-3/4=(48-3) /4=45/4. И опять получилась неправильная дробь, которую надо привести к правильной. Для выделения целой части определяют первое до 45 число, которое делится на 4 без остатка. Это будет 44. Если число 44 разделить на 4, получится 11. Значит целая часть итоговой дроби равна 11. В дробной части также знаменатель оставляют без изменения а из числителя исходной неправильной дроби вычитают то число, которое делилось на знаменатель без остатка. То есть надо из 45 вычесть 44. Значит числитель в дробной части равен 1 и 12-3/4=11 и 1/4.
Если дано одно число целое и одно дробное, но его знаменатель равен 10, то проще второе число перевести в десятичную дробь, а потом производить вычисления. Например надо сложить целое число 12 и дробное число 3/10. Если число 3/10 записать в виде десятичной дроби, получится 0,3. Теперь значительно легче к 12 прибавить 0,3 и получить 2,3, чем приводить дроби к общему знаменателю, производить вычисления, а затем выделять целую и дробную части из неправильной дроби. Даже самые простые задачки с дробными числами предполагают, что школьник (или студент) знает, как перевести целое число в дробь. Эти правила слишком просты и легко запоминаются. Зато с помощью них очень просто проводить вычисления дробных чисел.
Материалов по дробям и изучать последовательно. Ниже для вас подробная информация с примерами и пояснениями.
1. Смешанное число в обыкновенную дробь.
Запишем в общем виде число:
Запоминаем простое правило – целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, то есть:
Примеры:
2. Наоборот, обыкновенную дробь в смешанное число. *Конечно, это возможно сделать только с неправильной дробью (когда числитель больше знаменателя).
При «небольших» числах никаких действий, в общем, и не нужно делать, результат «видно» сразу, например, дроби:
*Подробнее:
15:13 = 1 остаток 2
4:3 = 1 остаток 1
9:5 = 1 остаток 4
А вот если числа будут более, то без вычислений не обойтись. Здесь всё просто – делим уголком числитель на знаменатель до тех пор пока остаток не получится менее делителя. Схема деления:
Например:
*Числитель у нас – это делимое, знаменатель – это делитель.
Получаем целую часть (неполное частное) и остаток. Записываем – целое, затем дробь (в числителе остаток, а знаменатель оставляем тот же):
3. Десятичную переводим в обыкновенную.
Частично в первом пункте, где рассказывали про десятичные дроби мы уже коснулись этого. Как слышим так и записываем. Например — 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10,00015
Первые три дроби у нас без целой части. А четвёртая и пятая её имеют, переведём их в обыкновенные, это делать уже умеем:
*Мы видим, что дроби можно ещё и сократить, например 45/100 =9/20, 38/100=19/50 и другие, но мы здесь делать этого не будем. По сокращению вас ожидает отдельный пункт ниже, где подробно всё разберём.
4. Обыкновенную переводим в десятичную.
Тут не всё так просто. По каким-то дробям сразу видно и ясно, что с ней сделать, чтобы она стала десятичной, например:
Используем наше замечательное основное свойство дроби – умножаем числитель и знаменатель соответственно на 5, 25, 2, 5, 4, 2, получим:
Если имеется целая часть, то тоже ничего сложного:
Умножаем дробную часть соответственно на 2, 25, 2 и 5, получим:
А есть такие, по которым без опыта и не определить, что их можно перевести в десятичные, например:
На какие числа умножать числитель и знаменатель?
Тут опять на помощь приходит проверенный способ – деление уголком, способ универсальный, им для перевода обыкновенной дроби в десятичную можно пользоваться всегда:
Так вы сможете всегда определить переводится ли дробь в десятичную. Дело в том, что не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, например такие как 1/9, 3/7, 7/26 не переводятся. А что же тогда получается за дробь при делении 1 на 9, 3 на 7, 5 на 11? Отвечаю – бесконечная десятичная (говорили о них в пункте 1). Разделим:
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
Калькулятор и конвертер дробей по Intemodino Group s.r.o.
Калькулятор и конвертер дробей идеально подходят для студентов, инженеров, строителей и всех, кому требуется комплексное приложение для вычислений с дробями.
Приложения включает 4 калькулятора для вычисления дробей:
• КАЛЬКУЛЯТОР ДРОБЕЙ — Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей, смешанных дробей и целых чисел. — Калькулятор выполняет вычисления с двумя и тремя дробями. Для решения примеров с тремя дробями, просто переверните устройство в горизонтальное положение (альбомную ориентацию). — Калькулятор показывает пошаговое решение. — Возможность округления дроби до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256.
• ПЕРЕВОД ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ В ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАОБОРОТ — Калькулятор для перевода обыкновенных дробей в десятичные и десятичных дробей в обыкновенные. — Округление дробей до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256. — Для перевода обыкновенной дроби в десятичную: выберите опцию «Дроби», введите дробь и нажмите знак «=». — Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, выберите опцию «Десятичные числа», введите десятичное число и нажмите знак «=». При вводе периодических дробей, период надо заключить в скобки. Например, число 0.24333… должно быть записано 0.24(3), число 5.123123… как 5.(123).
• СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ — Калькулятор для сокращения правильных и неправильных дробей и смешанных чисел. — Калькулятор показывает детальное решение.
• СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ — Калькулятор для сравнения 2 и 3 дробей. Чтобы сравнить три дроби, Вы должны выбрать альбомную ориентации. — Показывает пошаговое решение. — С помощью этого калькулятора можно сравнивать дроби и смешанные числа.
Возможности: • Приложение показывает пошаговое решение. • Калькулятор хранит историю ваших недавних вычислений. • Кнопки Вперед и Назад для перехода между проведенными вычислениями (с возможностью редактирования). • Вы можете отправлять результаты и историю вычислений по электронной почте. • Портретная и альбомная ориентация.
Настройки приложения: — Возможность округления десятичных результатов вычислений. По умолчанию приложение округляет до двух десятичных знаков. — Возможность округления дроби до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256. — 7 цветовых схем для настройки внешнего вида приложения.
Присылайте нам свои идеи, пожелания и комментарии по улучшению работы приложения.
Калькулятор и конвертер дробей разработан фирмой Intemodino Group.
Как видно, цифры повторяются с некоторым периодом, поэтому это повторяющееся (или повторяющееся) десятичное число: $$$ \ frac {5} {7} = 0.\ overline {714285} $$$
Не забудьте про целую часть: $$$ 2 \ frac {5} {7} = 2. \ overline {714285} $$$
Вот полностью рабочий калькулятор.
Для тех, кому это нужно.
Вот полностью рабочий калькулятор.
Для тех, кому это нужно.
Вот полностью рабочий калькулятор.
Для тех, кому это нужно.
Вот полностью рабочий калькулятор.
Для тех, кому это нужно.Вот полностью рабочий калькулятор.
Для тех, кому это нужно.
Вот полностью рабочий калькулятор.
Для тех, кому это нужно.
Вот полностью рабочий калькулятор.
Для тех, кому это нужно.
Вот полностью рабочий калькулятор.
Для тех, кому это нужно.
Вот полностью рабочий калькулятор.
Для тех, кому это нужно.
Шаг № 1: Поместите десятичные дроби в сетку так, чтобы все десятичные точки были выровнены в один столбец, и сложите нули. до десятичных знаков по мере необходимости, чтобы все десятичные дроби имели одинаковое количество разрядов (в данном случае 4 разряда).
Десятичная сетка
0
.
1
5
0
0
2
.
6
3
0
0
0
.
0
0
8
0
5
.
0
0
0
0
4
.
2
7
0
0
1
.
8
3
0
0
3
.
1
3
0
0
3
.
0
5
0
0
4
.
0
1
9
2
Шаг 2: Преобразуйте каждое десятичное число в целое, отбросив десятичную точку и любые ведущие нули, а затем перечислите каждый результат в новом столбце сортировки. Это просто быстрый способ умножения каждого десятичного разделителя на знаменатель крайнего правого десятичного разряда (в данном случае — 1/ 10000 ).
Десятичная сетка
Сортировка
0
.
1
5
0
0
=>
1500
2
.
6
3
0
0
=>
26300
0
.
0
0
8
0
=>
80
5
.
0
0
0
0
=>
50000
4
.
2
7
0
0
=>
42700
1
.
8
3
0
0
=>
18300
3
.
1
3
0
0
=>
31300
3
.
0
5
0
0
=>
30500
4
.
0
1
9
2
=>
40192
Шаг № 3: Изменить порядок строк в зависимости от столбца сортировки от наименьшего к наибольшему, например:
Десятичная сетка
Сортировка
0
.
0
0
8
0
=>
80
0
.
1
5
0
0
=>
1500
1
.
8
3
0
0
=>
18300
2
.
6
3
0
0
=>
26300
3
.
0
5
0
0
=>
30500
3
.
1
3
0
0
=>
31300
4
.
0
1
9
2
=>
40192
4
.
2
7
0
0
=>
42700
5
.
0
0
0
0
=>
50000
Если вы проигнорируете добавленные нули в приведенной выше таблице, исходные десятичные числа, перечисленные в 000 в порядке возрастания 5, будут следующими:
1
0.008
2
0,15
3
1,83
4
2,63
5
3,05
3
9034 902 902 902 902
3 6222 902 902
9022 9022 902
8
4,27
9
5
Как упорядочить десятичные числа в порядке убывания
Чтобы вручную расположить десятичные дроби в порядке от наибольшего к наименьшему, выполните те же действия, чтобы создать столбец сортировки так же, как вы это делали для сортировки по возрастанию, но на этот раз измените порядок строк в зависимости от столбца сортировки от наибольшего к наименьшему.
Десятичная сетка
Сортировка
5
.
0
0
0
0
=>
50000
4
.
2
7
0
0
=>
42700
4
.
0
1
9
2
=>
40192
3
.
1
3
0
0
=>
31300
3
.
0
5
0
0
=>
30500
2
.
6
3
0
0
=>
26300
1
.
8
3
0
0
=>
18300
0
.
1
5
0
0
=>
1500
0
.
0
0
8
0
=>
80
Если вы проигнорируете добавленные нули в приведенной выше таблице, исходные десятичные числа, перечисленные в порядке убывания 05, будут следующими: 9
1
5
2
4,27
3
4.0192
4
3,13
5
3,05
6
2,63
7
1,83
Десятичный / двоичный преобразователь — изучение двоичного кода
Десятичное в двоичное
Введите десятичное число (например, 3,1415) (без запятых, пробелов, показателей степени, дробей, операторов)
Преобразуется в это двоичное число: Числовые цифры:
Опции:
Двоичное в десятичное
Введите двоичное число (например,г., 110.001) (без запятых, пробелов, показателей, дробей, операторов)
Преобразуется в это десятичное число: Числовые цифры:
(Хотите преобразовать в двоичный код с плавающей запятой ? Попробуйте мой конвертер с плавающей запятой.)
(Хотите, чтобы вычислил с двоичными числами? Попробуйте мой двоичный калькулятор.)
(Хотите преобразовать числа между произвольными основаниями ? Попробуйте мой конвертер оснований.)
О десятичном / двоичном преобразователе
Это преобразователь из десятичного числа в двоичное из и из двоичного в десятичное из
.Он отличается от большинства десятичных / двоичных преобразователей, таких как калькулятор Google или калькулятор Windows, потому что:
Может преобразовывать как целые, так и дробные значения.
Может преобразовывать очень большие и очень маленькие числа — до сотен цифр.
Десятичные числа преобразуются в «чистые» двоичные числа, а не в компьютерные числовые форматы, такие как дополнение до двух или двоичные числа с плавающей запятой IEEE.
Преобразование осуществляется с помощью арифметики произвольной точности, что дает преобразователю возможность преобразовывать числа, большие, чем те, которые могут соответствовать стандартным размерам компьютерных слов (например, 32 или 64 бита).
Как использовать десятичный / двоичный преобразователь
Вход
Введите положительное или отрицательное число без запятых и пробелов, не выраженное в виде дроби или арифметических вычислений и не в экспоненциальном представлении. Дробные значения обозначаются точкой счисления (‘.’, , а не ‘,’)
Измените количество битов, которое вы хотите отображать в двоичном результате, если оно отличается от значения по умолчанию (применяется только при преобразовании дробного десятичного значения).
Нажмите «Конвертировать», чтобы преобразовать.
Нажмите «Очистить», чтобы сбросить форму и начать с нуля.
Если вы хотите преобразовать другое число, просто введите исходное число и нажмите «Преобразовать» — нет необходимости сначала нажимать «Очистить».
Выход
Помимо результата преобразования отображается количество цифр как в исходном, так и в преобразованном числах. Например, при преобразовании десятичного числа 43,125 в двоичное 101011.001 количество цифр отображается как «от 2,3 до 6,3». Это означает, что десятичный ввод имеет 2 цифры в целой части и 3 цифры в дробной части, а двоичный вывод имеет 6 цифр в целой части и 3 цифры в дробной части.
Десятичные дробные значения, которые являются двоичными, преобразуются в конечные дробные двоичные значения и отображаются с полной точностью. Десятичные дробные значения, которые не являются двоичными, преобразуются в бесконечные (повторяющиеся) дробные двоичные значения, которые усекаются, а не округляются до указанного числа битов. В этом случае к концу двоичного числа добавляется многоточие (…), а количество цифр дробной части отмечается как бесконечное с символом «∞».
Исследование свойств десятичного / двоичного преобразования
Конвертер настроен так, что вы можете исследовать свойства преобразования десятичного числа в двоичное и преобразования двоичного числа в десятичное.Вы можете скопировать вывод десятичного в двоичный преобразователь на вход двоично-десятичного преобразователя и сравнить результаты (не копируйте часть числа «…» — двоичный преобразователь пометит его как недопустимый.)
Десятичное целое или двоичное дробное значение, преобразованное в двоичное, а затем обратно в десятичное, соответствует исходному десятичному значению; недиадическое значение преобразуется обратно только в приближенное значение своего исходного десятичного значения. Например, 0,1 в десятичной системе счисления до 20 бит — это 0.00011001100110011001 в двоичном формате; 0,00011001100110011001 в двоичном формате — это 0,09999942779541015625 в десятичном. Увеличение числа битов точности сделает преобразованное число ближе к исходному.
Вы можете изучить разницу в количестве цифр в десятичном и двоичном представлении числа. Большие двоичные целые числа имеют примерно log 2 (10), или примерно в 3,3 раза больше цифр, чем их десятичные эквиваленты. У двоичных десятичных дробей такое же количество цифр, как и у их двоичных эквивалентов.Недиадические десятичные значения, как уже отмечалось, имеют бесконечные двоичные эквиваленты.
Прочие преобразователи дробных значений произвольной точности
Вот хороший конвертер, который можно использовать, если вы хотите отображать повторяющиеся дробные части в виде столбиков; например, 0,1 10 преобразуется в 0,00011 2 . (Этот преобразователь также выполняет преобразование между основанием, отличным от двоичного и десятичного.)
Преобразование дроби в десятичную
Быстрый! Мне нужна помощь с:
Выберите пункт справки по математике…Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, The Equation from slope and y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика полиномов Математика, Практика основМетрическая система, преобразование чисел, сложение чисел, вычисление с числами, вычисление с переменными Числа, деление чисел, умножение чисел, сравнение числовой линии чисел, числовые строки, размещение значений чисел, произнесение чисел, округление чисел, вычитание параболических чисел, построение чисел в квадрате , Факторинг разности квадратов многочленов, разложение на множители трехчленов, многочленов, разложение на множители с GCF, многочлены, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Упрощение, Методы Правые треугольники, Ветер, рисунок
Калькулятор дробей в десятичные
Воспользуйтесь этим калькулятором, чтобы легко преобразовать дроби в десятичные числа.
Быстрая навигация:
Как преобразовать дробь в десятичное число?
Практические примеры
Таблица преобразования дробей в десятичные
Как преобразовать дробь в десятичное число?
Вычислить десятичное число из дроби действительно просто. Просто разделите числитель на знаменатель, и полученное действительное число будет вашим десятичным эквивалентом начальной дроби.Хотя это просто, поскольку это всего лишь базовое деление, его может быть сложно выполнить на практике в зависимости от задействованных чисел. Вот почему использование онлайн-калькулятора, подобного нашему, может реально сэкономить время при выполнении домашней работы или при выполнении преобразования дробной части в десятичную для других целей.
Практические примеры
Для примера возьмем дробь 8/20. Делив 8 на 20, мы получаем десятичный эквивалент 0,4 (8/20 = 4/10 = 0.4). В этом случае расчет прост, поскольку 20 можно разделить на два, чтобы получить дробь со знаменателем, кратным 10, а числитель также делится на два (8/2 = 4).
Если знаменатель не является степенью десяти, его нужно умножить или разделить на число так, чтобы оно стало степенью десяти. В первом примере мы могли разделить оба значения на два, чтобы получить конечный результат. Однако как быть с дробью 1/50? Числитель не делится, а знаменатель не является степенью десяти.В таком сценарии 50 нужно умножить на 2, чтобы получить ближайшую степень 10: 100, что составляет 10 2 . Таким образом, нам нужно умножить числитель и знаменатель на 2, в результате получится 2/100. Деление на 100 означает просто сдвиг десятичной запятой на две позиции влево, что означает, что результат вычисления равен 0,02.
Таблица преобразования дробей в десятичные
Эту таблицу можно использовать в качестве справочника для дробей, которые обычно встречаются в простых школьных или университетских математических или геометрических задачах.
дробь в десятичную таблицу расчета
Дробь
десятичный
1/100
0,01
1/50
0,02
3/100
0,03
1/25
0,04
1/20
0,05
3/50
0,06
7/100
0.07
2/25
0,08
9/100
0,09
1/10
0,10
1/5
0,20
1/4
0,25
3/10
0,30
2/5
0,40
1/2
0,50
3/5
0.60
7/10
0,70
3/4
0,75
4/5
0,80
9/10
0,90
1/1
1,00
Приведенную выше таблицу можно использовать, выбрав дробное число из левого столбца и найдя соответствующее десятичное число из правого столбца в той же строке.
Калькулятор десятичных дробей
Дом
Контакт
Логин
Переключить навигацию
Финансовый
Инвестиционный
Калькулятор аннуитета
Калькулятор APY
Калькулятор доходности облигаций
Калькулятор CAGR
Калькулятор сложного процента
Калькулятор IRR
47 Калькулятор чистой стоимости Калькулятор доходности от аренды
Калькулятор рентабельности инвестиций
Калькулятор по правилу 72
Калькулятор сбережений
Простой калькулятор процентов
Аренда
Калькулятор аренды автомобиля
Ссуды
Amorti45 Ссудный калькулятор
Калькулятор DTI
Калькулятор отношения долга к лимиту
Калькулятор только процентов
Калькулятор доступности ссуды
Калькулятор сравнения ссуд
Ипотечный калькулятор
Расчет рефинансирования ator
Business
Калькулятор коэффициента наличности
Калькулятор комиссионных
Калькулятор CPC
Калькулятор CPM
Калькулятор коэффициента долга
Калькулятор скидки
Калькулятор маржи
GST
GST Налоговый калькулятор
Калькулятор амортизации по прямой линии
Калькулятор НДС
Здоровье
Калькулятор ИМТ
Калькулятор BMR
Калькулятор даты зачатия
Калькулятор срока сдачи
1047
9104 Идеальное тело Математика
Калькулятор дробей
Упрощение дробей
Калькулятор GCF
ЖК-калькулятор
Калькулятор LCM
Калькулятор процентов
Калькулятор округления чисел
Квадратный корень Ca lculator
Преобразование
Преобразование единиц
Преобразование площади
Преобразование длины
Преобразование давления
Преобразование температуры
Преобразование времени
Преобразование объема
Преобразование веса
в калькулятор дробей
Калькулятор десятичных в проценты
Калькулятор дробей в десятичные
Калькулятор дробей в проценты
Калькулятор процентов в десятичные
Калькулятор процентов в дроби
Конвертер римских цифр
Разное
Калькулятор возраста кошки
Калькулятор дня недели
Калькулятор возраста собаки
Калькулятор GPA
Калькулятор Парла
Генератор паролей
Генератор случайных чисел
Калькулятор чаевых
Счетчик слов
Виджеты
Бизнес
Виджеты денежного соотношения
Виджеты комиссионных
Виджеты CPC
Виджеты CPM
Виджет скидки
Виджет для маржи
Виджет для маржи
Виджеты разметки
Виджеты налога с продаж
Виджеты прямой амортизации
Виджеты НДС
Конверсии
Виджеты преобразования площади
Виджеты десятичных дробей в десятичные1046
Виджет от десятичного до дробного 1046
Виджет от десятичного до десятичного 1046 Виджеты дроби в проценты
Как определить, является число простым или составным
Является ли число простым можно узнать при помощи таблицы простых чисел.
Но не всегда таблица бывает под рукой.
Для таких случаев, чтобы определить, является ли число простым, можно использовать следующую теорему.
Теорема о делителе составного числа
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель составного числа a не превосходит √a, где √a – арифметический квадратный корень из a.
Где:
b — наименьший положительный и отличный от 1 делитель составного числа a
Доказательство теоремы
Обозначим буквой b наименьший и отличный от 1 делитель составного числа a (число b – простое). Тогда существует такое целое число q, что:
q будет положительным числом, исходя из правил умножения целых чисел, причем:
Если b>q, то нарушится условие того, что b – наименьший делитель числа a, так как q также является делителем числа a, исходя из равенства для a.
Умножим обе части неравенства на положительное и большее 1 целое число b. получим:
Так как:
Тогда:
Извлечем квадратный корень:
ПримерыПример 1
Не пользуясь таблицей простых чисел, определите, является число 479 составным или простым.
Решение
Число будет простым, если оно будет делиться только на 1 и на само себя. Значит, чтобы узнать, является ли число простым, нужно убедиться, что у него нет других делителей кроме 1 и 479.
Чтобы упростить задачу «перебора возможных делителей» воспользуемся теоремой, согласно которой, если число – составное, то его наименьший положительный и отличный от 1 делитель — это арифметический квадратный корень из этого числа.
Итак, рассмотрим число 479. Если оно составное, то его наименьший положительный делитель (обозначим его буквой b):
Причем этот делитель должен быть простым числом.
Из 479 квадратный корень не извлекается, значит, определим его приблизительное значение. Ближайшее к 479 число, из которого квадратный корень извлекается, это 484:
Тогда:
Значит,
Таким образом, если 479 – составное число, то его наименьший делитель будет одним из простых чисел, меньших 22.
Выпишем ряд простых чисел, меньших 22:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
По признакам делимости, очевидно, что 479 не будет без остатка делиться на 2, 3 и 5.
Проверим оставшиеся возможные делители.
479:7
479:11
479:13
479:17
479:19
Число 479 нацело не разделилось ни на одно простое число меньшее 22. Следовательно, 479 – простое число.
Ответ: 479 – простое число
Пример 2
Определить, является число 143 простым или составным.
Решение
Число будет простым, если оно будет делиться только на 1 и на само себя. Значит, чтобы узнать, является ли число простым, нужно убедиться, что у него нет других делителей кроме 1 и 143.
Чтобы упростить задачу «перебора возможных делителей» воспользуемся теоремой, согласно которой, если число – составное, то его наименьший положительный и отличный от 1 делитель — это арифметический квадратный корень из этого числа.
Итак, рассмотрим число 143. Если оно составное, то его наименьший положительный делитель (обозначим его буквой b) будет меньше или равен арифметическому квадратному корню из 143:
Причем этот делитель должен быть простым числом.
Из 143 квадратный корень не извлекается, значит, определим его приблизительное значение. Ближайшее к 143 число, из которого квадратный корень извлекается, это 144:
Тогда:
Значит,
Таким образом, если 143 – составное число, то его наименьший делитель будет одним из простых чисел, меньших 12.
Выпишем ряд простых чисел, меньших 12:
2, 3, 5, 7, 11
По признакам делимости, очевидно, что 143 не будет без остатка делиться на 2, 3 и 5.
Проверим оставшиеся возможные делители.
143:7
143:11
Так как число 143 делится на 11 без остатка, то число 143 – составное.
Ответ: 143 – составное
Пример 3
Не пользуясь таблицей простых чисел, определить, является число 97 составным или простым.
Решение
Число будет простым, если оно будет делиться только на 1 и на само себя. Значит, чтобы узнать, является ли число простым, нужно убедиться, что у него нет других делителей кроме 1 и 97.
Чтобы упростить задачу «перебора возможных делителей» воспользуемся теоремой, согласно которой, если число – составное, то его наименьший положительный и отличный от 1 делитель — это арифметический квадратный корень из этого числа.
Итак, рассмотрим число 97. Если оно составное, то его наименьший положительный делитель (обозначим его буквой b) должен быть:
Причем этот делитель должен быть простым числом.
Из 97 квадратный корень не извлекается, значит, определим его приблизительное значение. Ближайшее к 97 число, из которого квадратный корень извлекается, это 100:
Тогда:
Значит,
Таким образом, если 97 – составное число, то его наименьший делитель будет одним из простых чисел, меньших 9.
Выпишем ряд простых чисел, меньших 9:
2, 3, 5, 7
По признакам делимости, очевидно, что 97 не будет без остатка делиться на 2, 3 и 5.
Проверим, делится ли 97 на 7 без остатка.
97:7=13 ост 6
Следовательно, 97 – простое число.
Ответ: 97 – простое число
Пример 4
Определить, является число 247 простым или составным.
Решение
Число будет простым, если оно будет делиться только на 1 и на само себя. Значит, чтобы узнать, является ли число простым, нужно убедиться, что у него нет других делителей кроме 1 и 247.
Чтобы упростить задачу «перебора возможных делителей» воспользуемся теоремой, согласно которой, если число – составное, то его наименьший положительный и отличный от 1 делитель — это арифметический квадратный корень из этого числа.
Итак, рассмотрим число 247. Если оно составное, то его наименьший положительный делитель (обозначим его буквой b) будет меньше или равен арифметическому квадратному корню из 247:
Причем этот делитель должен быть простым числом.
Из 247 квадратный корень не извлекается, значит, определим его приблизительное значение. Ближайшее к 247 число, из которого квадратный корень извлекается, это 256:
Тогда:
Значит,
Таким образом, если 247 – составное число, то его наименьший делитель будет одним из простых чисел, меньших 16.
Выпишем ряд простых чисел, меньших 16:
2, 3, 5, 7, 11, 13
По признакам делимости, очевидно, что 247 не будет без остатка делиться на 2, 3 и 5.
Проверим оставшиеся возможные делители.
247:7
247:11
247:13
Так как число 247 делится на 13 без остатка, то число 247 – составное.
Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять
Privacy & Cookies Policy
Don`t copy text!
Квадратный корень из 100 равен. Что такое квадратный корень? Внесение под знак корня
Сегодня мы с вами разберемся на этой странице нашего сайта сайт о том, квадратный корень из 100 сколько будет. Давайте вместе с вами разберемся сколько будет квадратный корень из 100, так как над этой темой многие десятилетия ломали свои умы 1000 научных сотрудников и многие пришли без поворотному выводу по расчётам, что такого корня вообще не существует и его просто невозможно вычислить. Также очень важно в данном случае задать именно правильный вопрос по выявлению квадратного корня из 100. Если быть точным, то мы будем высчитывать арифметический корень квадрата из 100 так как в обычном квадратном корне из 100 в результате у нас будет получаться два числа: 10 и -10.
Сумму нужных нам этих чисел мы можем посчитать простым арифметическим приемом с помощью вертикальной, привычной чертой, цифры и корни которые прописываются справа внизу. Там мы будем находить нужный нам квадрат единиц корня, затем умножать десятки и находить удвоенное а не утроенное произведение десятка любого корня на единицы. Некоторые цифры нам придётся возводить в квадрат, чтобы в сумме получилось двузначное число, если в итоге у нас получилась число 10, значит мы всё сделали с вами верно. Главное изначально перед началом расчетов хотя бы немного подружиться с математикой и с математической прогрессией составление квадратного корня.
Запомните одно единственное и основное правило: чтобы нам извлечь нужный корень квадратный из любого целого числа, в первую очередь извлекаем любой нужный нам корень из числа его сумм и сотен. Если число равняется или больше 100, тогда мы начинаем искать корень из сотен фактических чисел этих данных сотен, потом из десятков тысяч фактического числа, тем более если данное число намного больше чем 100, затем уже в обязательном порядке извлекаем корень числа из сотен десятков тысяч или если быть точнее: из миллиона данного числа. На эту тему есть много правил и различных научных рекомендаций, школьных программ по извлечению квадратного корня из числа 100 будет всегда неизменным.
Если рассматривать прогресс нахождения корня из числа 100, нам надо обратить внимание что в корне находится столько же цифр, сколько и под конечным числом граней, при этом левая грань может состоять всего лишь из одной цифры. Исходя из всего этого, самым точным на планете земля квадратным корнем из любого числа, будет называться такая сумма чисел, квадрат которого в точности при подсчетах равняется данному числу. Именно на этом мы можем окончить свой краткий курс по вычислению квадратного корня из 100 который будет равняться (10) десяти.
Константинова Вера
Как найти корень числа
Задача нахождения корня в математике является обратной задачей возведения числа в степень. Корни бывают различные: корни второй степени, корни третьей степени, корни четвертой степени и так далее. Это зависит от того, в какую степень изначально было возведено число. Корень обознается символом: √ – это квадратный корень, то есть корень из второй степени, если у корня степень больше, чем вторая, то над знаком корня приписывается соответствующая степень. Число, которое находится под знаком корня – это подкоренное выражение. При нахождении корня существует несколько правил, которые помогут не ошибиться в нахождении корня:
Корень четной степени (если степень равна 2, 4, 6, 8 и так далее) из отрицательного числа НЕ существует. Если подкоренное выражение отрицательно, но ищется корень нечетной степени (3, 5, 7 и так далее), то результат будет отрицательным.
Корень любой степени от единицы всегда единица: √1 = 1.
Корень нуля есть нуль: √0 = 0.
Как найти корень из числа 100
Если в задаче не написано, корень какой степени необходимо найти, то обычно подразумевается, что необходимо найти корень второй степени (квадратный). Найдем √100 = ? Нам необходимо найти такое число, при возведении которого во вторую степень, получится число 100. Очевидно, что таким числом является число 10, так как: 10 2 = 100. Следовательно, √100 = 10: квадратный корень из 100 равен 10.
При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.
К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.
Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы . Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?
При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.
Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.
Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.
Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.
Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.
Разложение на простые множители
Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители . Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.
Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.
Метод Герона
Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона . Его суть заключается в использовании приближённой формулы:
√R = √a + (R — a) / 2√a,
где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.
Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:
После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.
Вычисление корня делением в столбик
Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора .
Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.
Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
Повторим шаги 3-6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.
В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.
Поразрядное вычисление значения квадратного корня
Метод обладает высокой точностью . Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.
Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.
Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10²
Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20
Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д.) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.
Видео
Из видео вы узнаете, как извлекать квадратные корни без использования калькулятора.
Среди множества знаний, которые являются признаком грамотности, на первом месте стоит азбука. Следующим, таким же «знаковым» элементом, являются навыки сложения-умножения и, примыкающие к ним, но обратные по смыслу, арифметические операции вычитания-деления. Усвоенные в далеком школьном детстве навыки, служат верой и правдой денно и нощно: ТВ, газета, СМС, И везде читаем, пишем, считаем, складываем, вычитаем, умножаем. А, скажите, часто ли вам приходилось по жизни, извлекать корни, кроме, как на даче? Например, такая занимательная задачка, типа, корень квадратный из числа 12345… Есть еще порох в пороховницах? Осилим? Да нет ничего проще! Где тут мой калькулятор… А без него, врукопашную, слабо?
Сначала уточним, что же это такое — квадратный корень числа. Вообще говоря, «извлечь корень из числа» означает выполнить арифметическое действие противоположное возведению в степень — вот вам и единство противоположностей в жизненном приложении. допустим, квадрат, это умножение числа на самое себя, т.е., как учили в школе, Х * Х = А или в другой записи Х2 = А, а словами — «Х в квадрате равняется А». Тогда обратная задача звучит так: квадратный корень числа А, представляет собой число Х, которое будучи возведено в квадрат равно А.
Извлекаем квадратный корень
Из школьного курса арифметики известны способы вычислений «в столбик», которые помогают выполнить любые подсчеты с применением первых четырех арифметических действий. Увы… Для квадратных, и не только квадратных, корней таких алгоритмов не существует. А в таком случае, как извлечь квадратный корень без калькулятора? Исходя из определения квадратного корня вывод один — необходимо подбирать значение результата последовательным перебором чисел, квадрат которых приближается к значению подкоренного выражения. Только и всего! Не успеет пройти час-другой, как можно посчитать, используя хорошо известный прием умножения в «столбик», любой квадратный корень. При наличии навыков для этого достаточно пары минут. Даже не совсем продвинутый пользователь калькулятора или ПК делает это одним махом — прогресс.
А если серьезно, то вычисление квадратного корня часто выполняют, используя прием «артиллерийской вилки»: сначала берут число, квадрат которого, примерно, соответствует подкоренному выражению. Лучше, если «наш квадрат» чуть меньше этого выражения. Затем корректируют число по собственному умению-разумению, например, умножают на два, и… вновь возводят в квадрат. Если результат больше числа под корнем, последовательно корректируя исходное число, постепенно приближаются к его «коллеге» под корнем. Как видите — никакого калькулятора, только умение считать «в столбик». Конечно же, есть множество научно-аргументированных и оптимизированных алгоритмов вычислений квадратного корня, но для «домашнего применения» указанный выше прием дает 100% уверенность в результате.
Да, чуть не забыл, чтобы подтвердить свою возросшую грамотность, вычислим квадратный корень ранее указанного числа 12345. Делаем пошагово:
1. Возьмем, чисто интуитивно, Х=100. Подсчитаем: Х * Х = 10000. Интуиция на высоте — результат меньше 12345.
2. Попробуем, тоже чисто интуитивно, Х = 120. Тогда: Х * Х = 14400.И опять с интуицией порядок — результат больше 12345.
3. Выше получена «вилка» 100 и 120. Выберем новые числа — 110 и 115. Получаем, соответственно, 12100 и 13225 — вилка сужается.
4. Пробуем на «авось» Х=111. Получаем Х * Х = 12321. Это число уже достаточно близко к 12345. В соответствии с требуемой точностью «подгонку» можно продолжить или остановиться на полученном результате. Вот и все. Как и было обещано — все очень просто и без калькулятора.
Совсем немного истории…
Додумались до использования квадратных корней еще пифагорейцы, ученики школы и последователи Пифагора, за 800 лет до н.э. и тут же, «нарвались» на новые открытия в области чисел. И откуда что взялось?
1. Решение задачи с извлечением корня, дает результат в виде чисел нового класса. Их назвали иррациональными, иначе говоря, «неразумными», т.к. они не записываются законченным числом. Самый классический пример такого рода — квадратный корень из 2. Этот случай соответствует вычислению диагонали квадрата со стороной равной 1 — вот оно, влияние школы Пифагора. Оказалось, что у треугольника с вполне конкретным единичным размером сторон, гипотенуза имеет размер, который выражается числом, у которого «нет конца». Так в математике появились
2. Известно, что Оказалось, что эта математическая операция содержит еще один подвох — извлекая корень, мы не знаем, квадратом какого числа, положительного или отрицательного, является подкоренное выражение. Эта неопределенность, двойной результат от одной операции, так и записывается.
Изучение связанных с этим явлением проблем стало направлением в математике под названием теория комплексной переменной, имеющим большое практическое значение в математической физике.
Любопытно, что обозначение корня — радикал — применил в своей «Универсальной арифметике» все тот же вездесущий И. Ньютон, а в точности современный вид записи корня известен с 1690 года из книги француза Ролля «Руководство алгебры».
«Торговая» революция Комков Сергей 26.12.2012
На фоне только что состоявшегося вступления России в ВТО уничтожение РГТЭУ — ведущего российского вуза в системе торговых (и, в первую очередь, внешнеторговых) отношений, а также увольнение его ректора, известного политика Сергея Бабурина выглядят не просто как глупость. Все это весьма похоже на заранее спланированную провокацию.
Похоже, Всемирная Торговая Организация и, главным образом, США, играющие в ней ключевую роль, оказались не на шутку озабочены возможными последствиями вступления в данную организацию России.
Но тут они вовремя вспомнили о том, что в России уже давно и успешно действует выращенная и вскормленная ими организация – Высшая Школа Экономики. Именно она была создана в 1992-м году на деньги Всемирного Банка с целью уничтожения в нашей стране всего интеллектуального потенциала нации. Именно под её руководством сегодня действует главный коллективный «агент влияния» в этой сфере – Министерство образования и науки России.
Можно много и до бесконечности говорить о глупости и некомпетентности новоявленного министра – господина Ливанова, который с трудом различает виды и направления образования. Но сам по себе господин Ливанов – абсолютный ноль без палочки. Из уст которого при каждом их открывании непременно выскакивает какая-нибудь очередная чушь. За его спиной маячат более колоритные фигуры. Например, главного «идеолога» всех экономических преобразований в нашей стране гражданина США Евгения Ясина и его подручного – ректора «Вышки» Ярослава Кузьминова.
Именно они с подачи американских советников из Всемирного Банка, активно работающих на базе ВШЭ, состряпали критерии так называемого «мониторинга» российских вузов.
И уже ни для кого не секрет, что, в соответствии с данными «критериями», в разряд «неэффективных» попали наиболее значимые российские высшие учебные заведения. Вузы с богатой историей и традициями, обладающие огромным творческим потенциалом. Например, МАРХИ, РГГУ, Литературный институт.
Попал в эту категорию и Российский Государственный Торгово-Экономический университет – РГТЭУ. Хотя по многим своим показателям этот вуз может дать сто очков форы той самой «Плешке», к которой его так скоропостижно решили присоединить. И, в первую очередь, в вопросах подготовки специалистов для системы внешней торговли. РГТЭУ не просто имеет огромные международные связи. В нем досконально изучаются особенности торгового развития зарубежных стран. В стенах этого вуза постоянно выступают ведущие экономические и политические деятели мира, послы иностранных государств. Почетными докторами данного вуза являются ведущие мировые лидеры. Например, Фидель Кастро и Уго Чавес.
А это, как известно, «заклятые друзья» Америки. Вот и пошли в ход инструменты по уничтожению столь опасного учебного заведения. Дабы Россия, не дай Бог, не свернула с «истинного пути» и не предала интересы американских заказчиков.
Да и личность самого ректора – известного в России и далеко за её пределами политика и ученого – встала у наших американских дядюшек как кость в горле.
Сергей Бабурин был не просто одним из лидеров парламентской оппозиции, занимая в предыдущем составе Государственной Думы России место вице-спикера. Он был активным сторонником новой политики России на всем постсоветском пространстве. Именно он в 2006-м году активнейшим образом помогал народу Абхазии выйти из глубочайшего политического кризиса. В который, кстати говоря, его вогнали опять все те же тупые и послушные воле американских советников чиновники правительства и администрации президента России.
Благодаря усилиям Сергея Бабурина верх в Абхазии тогда взяли прогрессивные силы во главе с Сергеем Багапшем. И с 2008-го года Абхазия стала главным стратегическим партнером России на Северном Кавказе.
Подобная позиция является выражением здравого, взвешенного патриотизма. Поэтому на протяжении ряда лет Бабурин возглавляет Российский Общенародный Союз и является организатором ежегодных традиционных Русских Маршей. Не тех, что со свастикой и фашистскими лозунгами «Россия только для русских!» А вполне понятных для всего населения страны выступлений с требованиями соблюдать российские национальные интересы в вопросах внешней политики и выполнять социальные обещания, данные своему собственному народу.
Но именно это не нравится американским приспешникам, окопавшимся в кабинетах российского правительства. Потому что для них требование соблюдения наших национальных интересов как нож по сердцу.
Вот и пришло кому-то на ум одним ударом убить сразу двух зайцев: и вуз, готовящий специалистов для успешной внешней торговли России, и её патриотически настроенного ректора.
Обычно для подобного рода действий больше всего подходят дураки. Ибо, им, как известно, не ведомо, что они на самом деле творят. Но в данном конкретном случае может получиться весьма серьезная промашка, чреватая тяжелейшими социальными последствиями для всей страны.
Наши чиновники, зажравшиеся на казенных харчах и считающие себя полностью правыми в любом неправедном деле, забыли простейшую истину: они не властны над юношескими душами и юношескими порывами.
Именно подобного рода порывы смели в конце 60-х годов прошлого века правительство генерала Де Голля во Франции. Там тоже начиналось все с, казалось бы, внешне безобидных вещей. А закончилось всеобщим хаосом, беспорядками, горящими автомобилями и офисами.
Молодежь (особенно организованная студенческая молодежь) – это не кучка обанкротившихся политиков-оппозиционеров, побывавших во власти и, по сему, на неё весьма обиженных. Студенческая молодежь всегда и во все времена была одной из главных движущих сил революции. И сегодняшняя молодежь не является исключением из правил. Скорее наоборот. Именно сегодняшняя молодежь, особенно остро воспринимающая возникшую в обществе социальную несправедливость и неравенство, способна на самые крутые и самые радикальные шаги. И, если власть попытается применить силу, это будет для неё убийственно. Потому что молодежь никогда ей этого не простит.
Когда господин Ливанов и Ко объявили о своем намерении силовым методом начать решение проблемы высшего образования, закрывая и сливая вузы, они фактически подписали себе приговор. Они даже не удосужились задуматься над тем, какие глубинные силы они поднимают. И это кончится трагически не только для тех, кто сегодня оказался на руководящих постах в Министерстве образования и науки, но и для всего российского руководства в целом. Ибо, даже подавленный локально молодежный бунт не уходит в небытие. Он зреет с новой силой. Но где и когда он грянет, уже не сможет предсказать никто.
Так что события в РГТЭУ только на первый взгляд выглядят как некая «торговая революция». На самом деле они предвестники другой – более жесткой и более кровавой социальной войны, победителей в которой не будет.
Проигравший же известен заранее. Это наша Родина. Страна, которую мы пока еще иногда с некоторой гордостью называем Россией.
Поэтому сегодняшние действия руководства Минобрнауки в отношении отдельно взятого учебного заведения и в отношении отдельно взятого ректора можно расценивать как разжигание социальной войны во имя и во благо другого государства.
А это называется: Национальная Измена.
Задача нахождения корня в математике является обратной задачей возведения числа в степень. Корни бывают различные: корни второй степени, корни третьей степени, корни четвертой степени и так далее. Это зависит от того, в какую степень изначально было возведено число. Корень обознается символом: √ — это квадратный корень, то есть корень из второй степени, если у корня степень больше, чем вторая, то над знаком корня приписывается соответствующая степень. Число, которое находится под знаком корня — это подкоренное выражение. При нахождении корня существует несколько правил, которые помогут не ошибиться в нахождении корня:
Корень четной степени (если степень равна 2, 4, 6, 8 и так далее) из отрицательного числа НЕ существует. Если подкоренное выражение отрицательно, но ищется корень нечетной степени (3, 5, 7 и так далее), то результат будет отрицательным.
Корень любой степени от единицы всегда единица: √1 = 1.
Корень нуля есть нуль: √0 = 0.
Как найти корень из числа 100
Если в задаче не написано, корень какой степени необходимо найти, то обычно подразумевается, что необходимо найти корень второй степени (квадратный). Найдем √100 = ? Нам необходимо найти такое число, при возведении которого во вторую степень, получится число 100. Очевидно, что таким числом является число 10, так как: 10 2 = 100. Следовательно, √100 = 10: квадратный корень из 100 равен 10.
Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры
Из этой статьи вы узнаете:
что такое «извлечение корня»;
в каких случаях он извлекается;
принципы нахождения значения корня;
основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.
Что такое «извлечение корня»
Для начала введем определение «извлечение корня».
Определение 1
Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.
При извлечении корня n-ной степени из числа a, мы находим число b, n-ная степень которого равняется a. Если мы нашли такое число b, можно утверждать, что корень извлечен.
Замечание 1
Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.
В каких случаях извлекается корень?
Определение 2
Корень n-ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n-ной степени некоторого числа b.
Пример 1
4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2
Определение 3
Когда корень n-ной степени из числа a невозможно представить в виде n-ной степени числа b, то такой корень не извлекается, либо извлекается только приближенное значениекорня с точностью до любого десятичного разряда.
Пример 2
2≈1,4142.
Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения
Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т. д.
Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
Извлечение корней из дробных чисел
Извлечение корня из отрицательного числа
Поразрядное нахождение значения корня
Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.
Определение 4
Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: bnn=b, которое является справедливым для любого неотрицательного числа b.
Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.
Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).
Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.
Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.
И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.
Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.
Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.
Таблица квадратов
Таблица квадратов
единицы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
десятки
0
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
3
900
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
4
1600
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2041
5
2500
2601
2704
2809
2916
3025
3136
3249
3364
3481
6
3600
3721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761
7
4900
5041
5184
5329
5476
5625
5776
5929
6084
6241
8
6400
6561
6724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921
9
8100
8281
8464
8649
8836
9025
9216
9409
9604
9801
Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т. д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.
Таблица кубов
Таблица кубов
единицы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
десятки
0
0
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1
1000
1 331
1 728
2 197
2 744
3 375
4 096
4 913
5 832
6 859
2
8000
9 261
10 648
12 167
13 824
15 625
17 576
19 683
21 952
24 389
3
27000
29 791
32 768
35 937
39 304
42 875
46 656
50 653
54 872
59 319
4
64000
68 921
74 088
79 507
85 184
91 125
97 336
103 823
110 592
117 649
5
125000
132 651
140 608
148 877
157 464
166 375
175 616
185 193
195 112
205 379
6
216000
226 981
238 328
250 047
262 144
274 625
287 496
300 763
314 432
328 509
7
343000
357 911
373 248
389 017
405 224
421 875
438 976
456 533
474 552
493 039
8
512000
531 441
551 368
571 787
592 704
614 125
636 056
658 503
681 472
704 969
729000
753 571
778 688
804 357
830 584
857 375
884 736
912 673
941 192
970 299
Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.
Разложение подкоренного числа на простые множители
Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.
Определение 5
Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.
Пример 3
Извлечем квадратный корень из 144.
Разложим 144 на простые множители:
Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.
Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:
144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12
144=12 — окончательный ответ.
Извлечение корней из дробных чисел
Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.
Определение 6
Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:
pqn=pnqn. Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.
Пример 4
Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.
Необходимо извлечь кубический корень из 474,552. Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474,552 = 474552/1000. Из этого следует: 47455210003=474552310003. Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:
474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то
4745523=7833=78 и 10003=1033=10.
Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.
Извлечение корня из отрицательных чисел
Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа -a и нечетного показателя корня 2n-1 справедливо равенство:
-a2×n-1=-a2×n-1
Определение 7
Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.
Пример 5
-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:
-122092435=12209243-5
Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:
12209243-5=3125243-5
Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:
Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n-ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака.
В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.
Пример 6
Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.
Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0,1,2,…,9, вычисляя при этом 02, 12, …, 92 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5. Все это удобно представить в виде таблицы:
Возможное значение корня
0
1
2
3
Это значение в степени
0
1
4
9
Значение ряда единиц равняется 2 (так как 22<5, а 23>5). Переходим в разряду десятых — будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2,…,2,9, , сравнивая полученные значения с числом 5.
Возможное значение корня
2,0
2,1
2,2
2,3
Это значение в степени
4
4,41
4,84
5,29
Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2. Переходим к нахождению значения сотых:
Возможное значение корня
2.20
2,21
2,22
2,23
2,24
Это значение в степени
4,84
4,8841
4,8294
4,9729
5,0176
Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше:
2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,…
Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р. Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Что такое квадратный корень. Таблица квадратных корней
В данной статье разберем понятие «квадратный корень» и приведем таблицу квадратных корней от 1 до 10000.
Чтобы возвести в квадрат число нужно умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:
3 · 3 = 32 = 9
Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?
Нужно запомнить, что:
Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.
Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.
У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9», это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:
√9 = 3
Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.
Квадратный корень из нуля равен нулю: √0 = 0
В таблице приведены квадратные корни натуральных чисел от 1 до 100.
Родители, дети, эмоции… В вашей семье это похоже на «Бермудский треугольник»?
Їжа для «мозку» дитини і не тільки дитини…
Рубрики
Айкидо для детей
Английский язык
Важливі звички, які обов’язково потрібно розвинути у дитини
Дети и родители
Информатика, основы программирования
Йога для детей
Логопедия
Математика, логика, мышление
Музыка для детей
Оборудование для занятий в клубе
Обучение без стресса
Обучение ребенка
Онлайн обучение (e-learning)
Подготовка ребенка к школе
Развитие ребенка 1-3 лет
Развитие ребенка 3-7 лет
Развитие ребенка 7-17 лет
Развитие ребенка до 1 года
Рисование, лепка, оригами
Театральная студия
Учебные программы
Фитнес для детей
Чтение, письмо
Що робити, якщо…
Эмоциональный интеллект ребенка
Добро пожаловать в детский клуб Kokoro
Мечтаете об успешном будущем для Вашего ребенка? Хотите дать детям навыки, которые обязательно пригодятся им в будущем? Хотите, чтобы Ваш ребенок всесторонне развивался на увлекательных занятиях? Тогда детский клуб Kokoro — это то, что Вам нужно!
Запишитесь на бесплатное пробное занятие уже сегодня по тел. 095-65-38-165, 097-497-28-68
Читать далее
Наш Facebook
Instagram
Please put a valid public username.
Квадратный корень из 484 — Как найти квадратный корень из 484?
LearnPracticeDownload
Квадрат 22 дает 484. Следовательно, 484 – число в совершенном квадрате. Квадратный корень из 484 – рациональное число. В этом мини-уроке мы научимся находить квадратный корень из 484 вместе с решенными примерами. Теперь найдем квадратный корень из 484.
Квадратный корень из 484 : √ 484 = 22
Квадрат 484: 484 2 = 2,34,256
1.
Что такое квадратный корень из 484?
2.
Является ли квадратный корень из 484 рациональным или иррациональным?
3.
Как найти квадратный корень из 484?
4.
Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 484
Что такое квадратный корень из 484?
При возведении 22 в квадрат получается 484. Следовательно, квадратный корень из 484 равен 22. Записывается как √ 484 = 22. Следовательно, 484 – полный квадрат.
Является ли квадратный корень из 484 рациональным или иррациональным?
Поскольку √ 484 = 22, можно легко выразить √ 484 в форме p/q. Следовательно, √ 484 — рациональное число.
Как найти квадратный корень из 484?
Существуют разные методы определения квадратного корня из любого числа. Нажмите здесь, чтобы узнать больше об этом. Квадратный корень из 484 можно найти двумя способами: 9.0003
Квадратный корень из 484 путем длинного деления
Квадратный корень из 484 с помощью простой факторизации
Квадратный корень из 484 путем деления в длину
Квадратный корень из 484 можно найти с помощью деления в длину, используя следующие шаги:
Шаг 1 : Сначала мы соединим цифры заданного числа, начиная с место юнита. Поместите горизонтальную черту, чтобы обозначить сопряжение.
Шаг 2 : Мы найдем число, которое при умножении на себя дает произведение, меньшее или равное 4. Мы знаем, что 2 × 2 = 4. Следовательно, разность равна 0, а частное равно 2.
Шаг 3 : Теперь нам нужно уменьшить 84 и умножить частное на 2. Это даст нам 4. Следовательно, 4 – начальная цифра нового делителя.
Шаг 4 : 2 ставится на место единицы нового делителя, потому что при умножении 42 на 2 получается 84. Полученный ответ равен 0,
Шаг 5 : Следовательно, квадратный корень из 484 равен 22.
Квадратный корень из 484 с помощью простой факторизации
484 также может быть выражен как (2 × 2 × 11 × 11). В квадратном корне повторяются числа 2 и 11. Следовательно, квадратный корень из 484 равен 2 × 11 = 22,9.0003
Таким образом, квадратный корень из 484 равен 22.
Изучите квадратный корень с помощью иллюстраций и интерактивных примеров
Квадратный корень из 169
Квадратный корень из 196
Квадратный корень из 225
Квадратный корень из 289
Квадратный корень из 400
Важные примечания:
484 — это число с полным квадратом, поскольку значение, полученное после извлечения из него квадратного корня, является целым числом.
Квадратный корень из 484 упрощается до 22 либо путем разложения числа 484 на простые множители, либо путем выражения 484 в виде квадрата 22.
Аналитический центр:
Может ли значение квадратного корня из 484 быть выражено в виде десятичной дроби?
Являются ли — √ 484 и √ -484 одинаковыми?
Пример 1 : Какова разница в длине квадратных коробок площадью 484 квадратных дюйма и 400 квадратных дюймов?
Решение
Площадь квадратного прямоугольника можно рассчитать по формуле = длина × длина Длина квадратной коробки площадью 484 квадратных дюйма равна √ 484 = 22 дюйма 90 173.
Точно так же длина квадратной коробки площадью 400 квадратных дюймов равна √ 400 = 20 дюймов .
Разница в длине двух коробок составляет (22–20) дюймов = 2 дюйма 90 173.
Таким образом, разница в длине квадратных коробок площадью 484 квадратных дюйма и 400 квадратных дюймов составляет 2 дюйма.
Пример 2 : Радиус круга площадью 484π квадратных дюймов меньше 25 дюймов или больше 25 дюймов?
Решение
Радиус можно найти по формуле площади круга, то есть πr 2 . Из предоставленной информации
πr 2 = 484π r 2 = 484
Извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем √ r 2 = √ 484. Мы знаем, что квадратный корень из r 2 р. Квадратный корень из 484 равен 22 дюймам. Следовательно, радиус круга площадью 484π квадратных дюймов меньше 25 дюймов.
перейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 484
Чему равны два квадратных корня из 484?
Два квадратных корня из 484 равны -22 и +22.
Является ли 484 идеальным квадратом?
Да, 484 — правильный квадрат.
Имеет ли число 484 квадратный корень?
Да, 484 имеет квадратный корень. √ 484 равно 22.
Можно ли упростить квадратный корень из 484?
484 разбивается как произведение 2 × 2 × 11 × 11. Квадратный корень из 484 дает 22.
Является ли квадратный корень из 484 рациональным или иррациональным?
Квадратный корень из 484 является рациональным.
Является ли квадратный корень из 484 действительным числом?
Да, квадратный корень из 484 — действительное число.
Рабочие листы по математике и визуальный учебный план
Квадратный корень из 484 (√484)
Здесь мы определим, проанализируем, упростим и вычислим квадратный корень из 484. Мы начнем с определения, а затем ответим на некоторые общие вопросы.
вопросы о квадратном корне из 484. Затем мы покажем вам различные способы вычисления квадратного корня из 484 с и без
компьютер или калькулятор. У нас есть много информации, чтобы поделиться, так что давайте начнем!
Квадратный корень из 484 определение Квадратный корень из 484 в математической форме записывается с таким знаком радикала √484. Мы называем это квадратным корнем из 484 в радикальной форме.
Квадратный корень из 484 — это величина (q), которая при умножении сама на себя будет равна 484.
√484 = q × q = q 2
Является ли 484 полным квадратом? 484 является полным квадратом, если квадратный корень из 484 равен целому числу. Как мы рассчитали дальше
внизу на этой странице квадратный корень из 484 — это целое число.
484 — правильный квадрат.
Является ли квадратный корень из 484 рациональным или иррациональным? Квадратный корень из 484 является рациональным числом, если 484 является полным квадратом. Это иррациональное число, если оно не является полным квадратом.
Поскольку 484 — совершенный квадрат, это рациональное число. Это означает, что ответ на вопрос «квадратный корень из 484?» не будет иметь десятичных знаков.
√484 — рациональное число
Можно ли упростить квадратный корень из 484? Квадратный корень из полного квадрата можно упростить, потому что квадратный корень из полного квадрата будет равен целому числу:
√484 = 22
Как вычислить квадратный корень из 484 с помощью калькулятора Самый простой и скучный способ вычислить квадратный корень из 484 — воспользоваться калькулятором!
Просто введите 484, а затем √x, чтобы получить ответ. Мы сделали это с помощью нашего калькулятора и получили следующий ответ:
√484 = 22
Как вычислить квадратный корень из 484 на компьютере Если вы используете компьютер с Excel или Numbers, вы можете ввести SQRT(484) в ячейку, чтобы получить квадратный корень из 484. Ниже приведен результат, который мы получили:
SQRT(484) = 22
Чему равен квадратный корень из 484, записанный с показателем степени? Все квадратные корни можно преобразовать в число (основание) с дробным показателем степени. Квадратный корень из 484 не является исключением. Вот правило и ответ
на «квадратный корень из 484, преобразованный в основание с показателем степени?»:
√b = b ½
√484 = 484 ½
Как найти квадратный корень из 484 методом деления в длину метод длинного деления. это потерянный
искусство того, как они вычисляли квадратный корень из 484 вручную до того, как были изобретены современные технологии.
Шаг 1) Наберите 484 парами по две цифры справа налево:
Шаг 2) Начиная с первого набора: самый большой совершенный квадрат, меньше или равный 4, равен 4, а квадратный корень из 4 равен 2. Следовательно, поместите 2 сверху и 4 снизу следующим образом:
2
04
84
4
Step 3) Calculate 4 minus 4 and put the difference below. Затем переместитесь вниз к следующему набору чисел.
2
04
84
4
0
84
Шаг 4) Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 2 × 2 = 4. Затем используйте 4 и нижнее число, чтобы решить эту задачу:
4? × ? ≤ 84
Знаки вопроса «пробел» и такие же «пробел». Методом проб и ошибок мы нашли, что наибольшее число «пустых» может быть равно 2.
Замените вопросительные знаки в задаче на 2, чтобы получить:
42 × 2 = 84.
Now, enter 2 on top, and 84 at the bottom:
2
2
04
84
4
0
84
0
84
Разница между двумя нижними числами равна нулю, поэтому все готово! Ответ — зеленые цифры сверху. Еще раз, квадратный корень из
484 это 22.
Квадратный корень из числа Пожалуйста, введите другое число в поле ниже, чтобы получить квадратный корень из числа и другую подробную информацию, как вы получили для 484 на этой странице.
Примечания Помните, что отрицательное значение, умноженное на отрицательное, равно положительному. Таким образом, квадратный корень из 484 имеет не только положительный ответ
что мы объяснили выше, но и отрицательный аналог.
На этой странице мы часто ссылаемся на совершенные квадратные корни. Вы можете использовать список идеальных квадратов
для справки.
Квадратный корень из 485 Вот следующее число в нашем списке, о котором у нас есть такая же подробная информация о квадратном корне.
Авторское право |
Политика конфиденциальности |
Отказ от ответственности |
Контакт
Квадратный корень из 484
Sqrt(484). Найдите квадратный корень из 484 или любого другого действительного числа, положительного или отрицательного. Вот ответы на такие вопросы, как: Квадратный корень из 484 или что такое квадратный корень из 484?
Что такое квадратный корень? Определение квадратного корня
Квадратный корень числа ‘x’ — это число y такое, что y 2 = x, другими словами, число y, квадрат которого равен y. Например, 22 — это квадратный корень из 484, потому что 22 2 = 22•22 = 484, —22 — это квадратный корень из 484, потому что (-22) 2 = (—22)•(—22) = 484. При написании математических выражений люди часто используют sqrt(x) для обозначения квадратного корня из x. Подробнее о квадратном корне читайте здесь: Квадратный корень — Википедия и здесь: Квадратный корень — Wolfram
Квадратный символ?
Вот символ квадратного корня. Он обозначается √, известным как радикальный знак или основание.
Таблица квадратного корня 1-100
Квадратные корни от 1 до 100 округляются до тысячных.
Вот ответ на такие вопросы, как: Квадратный корень из 484 пошаговое решение | √484 или чему равен квадратный корень из 484?
Используйте приведенный ниже калькулятор квадратного корня, чтобы найти квадратный корень любого мнимого или действительного числа. См. также на этой веб-странице таблицу квадратного корня от 1 до 100, а также вавилонский метод или метод Героя.
Вавилонский метод, также известный как метод Героя.
Что такое квадратный корень?
Определение квадратного корня
Квадратный корень из числа «а» — это число х, такое что х 2 = а, другими словами, число х, квадрат которого равен а. Например, 22 — это квадратный корень из 484, потому что 22 2 = 22•22 = 484, а -22 — это квадратный корень из 484, потому что (-22) 2 = (-22)•(-22) = 484.
Таблица квадратных корней 1-100
Квадратные корни от 1 до 100, округленные до ближайшей тысячной.
Квадратный корень из 484 | Как найти квадратный корень из 484
Все виды уравнений, решаемых онлайн
Как найти квадратный корень из 484
Квадрат 484:
В математике найти квадрат любого числа в основном легко, потому что, когда мы умножаем одно и то же число на себя, мы получаем квадрат это число.
Например:
Предположим, нам нужно найти квадрат любого числа, скажем, X , затем мы умножаем X само на себя, то есть X , и мы получим его квадрат как Y . Это можно записать как (X) 2 = X*X= Y
Аналогичным образом находим квадрат числа 22
.
Чтобы найти квадрат 22, мы умножаем 22 на само число, то есть на 22, и запишем это следующим образом.
(484) 2 = 22*22= 484
Квадратный корень из 484:
Теперь в обратном порядке, если нам нужно найти квадратный корень из Y . Квадратный корень из Y — это единственное значение, которое при умножении само на себя дает значение Y .
Это означает, что √ Y = √(X*X) = X
Где √ — символ, названный радикалом.
Например:
Квадратный корень из 22 можно записать как
√484 = √ (22*22) = 22
Где √ – это символ, который называется подкоренным знаком.
Короче говоря, мы помним квадрат из 22 и квадратный корень из 484 как
.
Примечание:
Каждое положительное действительное число имеет два корня.
Квадрат любого отрицательного числа всегда является положительным числом.
Например:
484 — положительный совершенный квадрат, который также имеет два корня +22 и -22.
Но в основном берется положительное значение квадратного корня, которое называется главным квадратным корнем или неотрицательным квадратным корнем.
Методы нахождения квадратного корня из полного квадрата, например 484:
Существует много методов нахождения квадратного корня из полных квадратов, из которых мы подробно рассмотрим следующий метод.
Метод повторного вычитания
Метод простой факторизации
Метод многократного вычитания:
В методе многократного вычитания мы должны вычесть последовательные нечетные числа, начиная с 1, из совершенного квадратного числа, квадратный корень которого мы должны найти.
эл. чтобы найти квадратный корень из 484, сначала мы вычитаем из него 1. 484 – 1 = 483
Тогда следующее нечетное число равно 3, поэтому мы должны вычесть его из 483 483–3 = 480
Таким образом, мы вычитаем последовательные нечетные числа из соответствующих значений, полученных после непрерывного вычитания, пока не получим окончательное значение 0.
И значение количества нечетных чисел, необходимых для получения 0, является искомым квадратным корнем.
Например:
Находим квадратный корень из 484 методом многократного вычитания следующим образом:
484−1=483
483−3=480
480−5=475
468−9=459
459−11=448
448−13=435
435−15=420
420–17 = 403
403–19 = 384
384–21 = 363
363–23 = 340
340–25 = 315
315-27 = 288
288-29 = 259
315-27 = 288
288-29 = 259
315-27 = 288
288-29 = 259
315-27 = 288
288-29 = 259
315-27 = 288
288-29 = 259
315-27 259−31=228
228−33=195
195−35=160
160−37=123
123−39=84
84−41=43
43−43=0
Таким образом, здесь используются нечетные числа 1, 3, 5, 7, 9, 11. , 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 и 43, которые равны 22 числам.
Следовательно, квадратный корень из 484 методом многократного вычитания равен 22.
Метод простой факторизации:
В методе простой факторизации мы должны разделить совершенное квадратное число, квадратный корень которого мы должны найти, на простое число, начиная с 2, 3, 5… и так далее, пока остаток не будет равен 1.
Сначала мы должны разделить на простое число 2, если это число не делится на 2, тогда мы должны взять следующее простое число, то есть 3, и процесс будет продолжаться до тех пор, пока мы не получим остаток как 1.
Наконец, мы должны составить пары простых чисел, взятых в форме умножения, а затем мы должны извлечь из них квадратный корень.
Например:
Ниже описан процесс нахождения квадратного корня из 484 методом простой факторизации.
Поскольку 484 четное число, оно должно делиться на два простых числа 2 и 11 92
И 484= (2*2*11*11)
Взяв квадратный корень с обеих сторон, мы получим
√484 = √(2*2)√(11*11) = (2*11)
√484= 22
Таким образом, мы нашли квадратный корень из 484 как 22, используя простое число факторизации
— численная характеристика геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Площадь куба
Площадь поверхности куба равна квадрату длины его грани умноженному на шесть.
Формула площади куба:
S = 6 a2
где S — площадь куба, a — длина грани куба.
Площадь прямоугольного параллелепипеда
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
S = 2(a · b + a · h + b · h)
где S — площадь прямоугольного параллелепипеда, a — длина, b — ширина, h — высота.
Площадь цилиндра
Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.
Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:
S = 2 π R h
Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.
Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра:
S = 2 π R h + 2 π R 2 = 2 π R(R + h)
где S — площадь, R — радиус цилиндра, h — высота цилиндра, π = 3.141592.
Площадь конуса
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению его радиуса и образующей умноженному на число π.
Формула площади боковой поверхности конуса:
S = π R l
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания конуса и площади боковой поверхности.
Формула площади полной поверхности конуса:
S = π R2 + π R l = π R (R + l)
где S — площадь, R — радиус основания конуса, l — образующая конуса, π = 3.141592.
Площадь шара
Формулы площади шара:
Площадь поверхности шара равна четырем его радиусам в квадрате умноженным на число π.
S = 4 π R2
Площадь поверхности шара равна квадрату его диаметра умноженного на число π.2=6*(\frac { d } { \sqrt { 3 } } )
Как найти площадь поверхности куба?
Чтобы найти с гранью H, надо сложить сумму площадей всех его граней, то есть вычислить площадь квадрата со стороной H, и умножить полученный результат на 6. S=6*H
Если известна только диагональ грани куба, надо его диагональ d поделить на квадратный корень из трёх и результат умножить на 6. S=6*(\frac { d } { \sqrt { 3 } } )
Примеры
Дан куб с ребром H = 7. Для начала возведем длину его грани в квадрат: H2 = H * H = 7 * 7 = 49. Мы получили периметр одной грани. Для вычисления площади результат из первого действия умножим на количество граней: S = 6 * 49 = 294. Мы получили искомый результат. Ответ: 294.
Дан куб с диагональю ребра d=13. Требуется найти площадь его поверхности Вычислим его грань H, исходя из формулы H=\frac { d } { \sqrt { 3 } } = \frac { 13 } { \sqrt { 3 } } = 7,51.2 \cdot h$ Площадь боковой поверхности:
$S = 2\cdot\pi\cdot r \cdot h$
Площадь полной поверхности:
$S = 2\cdot\pi\cdot r(h + r)$
Тест: объём и площадь поверхности
как найти вычислением площадь или диагональ и чему равны суммы длин ребер, формулы и примеры задач для этого
Куб — удивительная фигура. Он одинаковый со всех сторон. Любая его грань может вмиг стать основанием или боковой. И от этого ничего не изменится. А формулы для него всегда легко запоминаются.
И неважно, что нужно найти — объем или площадь поверхности куба. В последнем случае даже не нужно учить что-то новое. Достаточно помнить только формулу площади квадрата.
Что такое площадь?
Эту величину принято обозначать латинской буквой S. Причем это справедливо для школьных предметов, таких как физика и математика. Измеряется она в квадратных единицах длины.
Все зависит от данных в задаче величин. Это могут быть мм, см, м или км в квадрате. Причем возможны случаи, когда единицы даже не указаны. Идет речь просто о числовом выражении площади без наименования.
Так что же такое площадь? Это величина, которая является числовой характеристикой рассматриваемой фигуры или объемного тела. Она показывает размер ее поверхности, которая ограничена сторонами фигуры.
Какая фигура называется кубом?
Эта фигура является многогранником. Причем непростым. Он правильный, то есть у него все элементы равны друг другу. Будь то стороны или грани. Каждая поверхность куба представляет собой квадрат.
Другое название куба — правильный гексаэдр, если по-русски, то шестигранник. Он может быть образован из четырехугольной призмы или параллелепипеда. При соблюдении условия, когда все ребра равны и углы образуют 90 градусов.
Эта фигура настолько гармонична, что часто используется в быту. Например, первые игрушки малыша — кубики. А забава для тех, кто постарше, — кубик Рубика.
Как связан куб с другими фигурами и телами?
Если начертить сечение куба, которое проходит через три его грани, то оно будет иметь вид треугольника. По мере удаления от вершины сечение будет все больше.
Настанет момент, когда пересекаться будут уже 4 грани, и фигура в сечении станет четырехугольником.
Если провести сечение через центр куба так, чтобы оно было перпендикулярно его главным диагоналям, то получится правильный шестиугольник.
Внутри куба можно начертить тетраэдр (треугольную пирамиду). За вершину тетраэдра берется один из его углов. Остальные три совпадут с вершинами, которые лежат на противоположных концах ребер выбранного угла куба.
В него можно вписать октаэдр (выпуклый правильный многогранник, который похож на две соединенные пирамиды). Для этого нужно найти центры всех граней куба. Они будут вершинами октаэдра.
Возможна и обратная операция, то есть внутрь октаэдра реально вписать куб. Только теперь центры граней первого станут вершинами для второго.
Метод 1: вычисление площади куба по его ребру
Для того чтобы вычислить всю площадь поверхности куба, потребуется знание одного из его элементов. Самый простой способ решения, когда известно его ребро или, другими словами, сторона квадрата, из которого он состоит. Обычно эта величина обозначается латинской буквой «а».
Теперь нужно вспомнить формулу, по которой вычисляется площадь квадрата. Чтобы не запутаться, введено ее обозначение буквой S1.
Для удобства лучше задать номера всем формулам. Эта будет первой. Но это площадь только одного квадратика. Всего их шесть: 4 по бокам и 2 снизу и сверху. Тогда площадь поверхности куба вычисляется по такой формуле: S = 6 * a2. Ее номер 2.
Метод 2: как вычислить площадь, если известен объем тела
Этот способ сводится к тому, чтобы сосчитать длину ребра по известному объему. И потом уже воспользоваться известной формулой, которая здесь обозначена цифрой 2.
Из математического выражения для объема гексаэдра выводится то, по которому можно сосчитать длину ребра. Вот она:
Нумерация продолжается, и здесь уже цифра 3.
Теперь его можно вычислить и подставить во вторую формулу. Если действовать по нормам математики, то нужно вывести такое выражение:
Это формула площади всей поверхности куба, которой можно воспользоваться, если известен объем. Номер этой записи 4.
Метод 3: расчет площади по диагонали куба
Для того чтобы рассчитать площадь полной поверхности куба, также потребуется вывести ребро через известную диагональ. Здесь используется формула для главной диагонали гексаэдра:
Это формула №5.
Из нее легко вывести выражение для ребра куба:
Это шестая формула. После его вычисления можно снова воспользоваться формулой под вторым номером. Но лучше записать такую:
Она оказывается пронумерованной цифрой 7. Если внимательно посмотреть, то можно заметить, что последняя формула удобнее, чем поэтапный расчет.
Метод 4: как воспользоваться радиусом вписанной или описанной окружности для вычисления площади куба
Если обозначить радиус описанной около гексаэдра окружности буквой R, то площадь поверхности куба будет легко вычислить по такой формуле:
Ее порядковый номер 8. Она легко получается благодаря тому, что диаметр окружности полностью совпадает с главной диагональю.
Несколько слов о боковой поверхности гексаэдра
Если в задаче требуется найти площадь боковой поверхности куба, то нужно воспользоваться уже описанным выше приемом. Когда уже дано ребро тела, то просто площадь квадрата нужно умножить на 4. Эта цифра появилась из-за того, что боковых граней у куба всего 4. Математическая запись этого выражения такая:
Ее номер 10. Если даны какие-то другие величины, то поступают аналогично описанным выше методам.
Примеры задач
Условие первой. Известна площадь поверхности куба. Она равна 200 см². Необходимо вычислить главную диагональ куба.
Решение:
1 способ. Нужно воспользоваться формулой, которая обозначена цифрой 2. Из нее будет несложно вывести «а». Эта математическая запись будет выглядеть как квадратный корень из частного, равного S на 6. После подстановки чисел получается:
а = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (см).
Пятая формула позволяет сразу вычислить главную диагональ куба. Для этого нужно значение ребра умножить на √3. Это просто. В ответе получается, что диагональ равна 10 см.
2 способ. На случай если забылась формула для диагонали, но помнится теорема Пифагора.
Аналогично тому, как было в первом способе, найти ребро. Потом нужно записать теорему для гипотенузы два раза: первую для треугольника на грани, вторую для того, который содержит искомую диагональ.
х² = а² + а², где х — диагональ квадрата.
d² = х² + а² = а² + а² + а² = 3 а². Из этой записи легко видно, как получается формула для диагонали. А дальше все расчеты будут, как в первом способе. Он немножко длиннее, но позволяет не запоминать формулу, а получить ее самостоятельно.
Ответ: диагональ куба равна 10 см.
Условие второй. По известной площади поверхности, которая равна 54 см2, вычислить объем куба.
Решение:
Пользуясь формулой под вторым номером, нужно узнать значение ребра куба. То, как это делается, подробно описано в первом способе решения предыдущей задачи. Проведя все вычисления, получим, что а = 3 см.
Теперь нужно воспользоваться формулой для объема куба, в которой длина ребра возводится в третью степень. Значит, объем будет считаться так: V = 33 = 27 см3.
Ответ: объем куба равен 27 см3.
Условие третьей. Требуется найти ребро куба, для которого выполняется следующее условие. При увеличении ребра на 9 единиц площадь всей поверхности увеличивается на 594.
Решение:
Поскольку явных чисел в задаче не дано, только разности между тем, что было, и тем, что стало, то нужно ввести дополнительные обозначения. Это несложно. Пусть искомая величина будет равна «а». Тогда увеличенное ребро куба будет равно (а + 9).
Зная это, нужно записать формулу для площади поверхности куба два раза. Первая — для начального значения ребра — совпадет с той, которая пронумерована цифрой 2. Вторая будет немного отличаться. В ней вместо «а» нужно записать сумму (а + 9). Так как в задаче идет речь о разности площадей, то нужно вычесть из большей площади меньшую:
6 * (а + 9)2 — 6 * а2 = 594.
Нужно провести преобразования. Сначала вынести за скобку 6 в левой части равенства, а потом упростить то, что останется в скобках. А именно (а + 9)2 — а2. Здесь записана разность квадратов, которую можно преобразовать так: (а + 9 — а)(а + 9 + а). После упрощения выражения получается 9(2а + 9).
Теперь его нужно умножить на 6, то есть то число, что было перед скобкой, и приравнять к 594: 54(2а + 9) = 594. Это линейное уравнение с одной неизвестной. Его легко решить.
Сначала нужно раскрыть скобки, а потом перенести в левую часть равенства слагаемое с неизвестной величиной, а числа — в правую. Получится уравнение: 2а = 2. Из него видно, что искомая величина равна 1.
Формулы объема и площади поверхности. Призма, пирамида — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:
Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
Элементарная логика.
Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.
Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».
Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.
Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.
Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.
Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.
Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂
Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.
Иногда в задаче надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.
Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.
В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.
Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.
Куб — это правильный шестигранник, каждая грань которого является квадратом. Кубические фигуры часто встречаются в реальной жизни, поэтому на работе или в быту вам может понадобиться вычислить объем или площадь поверхности объекта, который имеет форму кубика.
Геометрия куба
Куб или правильный гексаэдр — это частный случай шестигранной прямоугольной призмы, все грани которой представляют собой квадраты. Кроме того, куб — это и частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого длина, ширина и высота абсолютно равны.
Куб — уникальная фигура, существующая в разных многомерных пространствах. К примеру, нульмерный куб — это точка, одномерный — отрезок, двухмерный — квадрат, а четырехмерный — тессеракт.
В нашем родном трехмерном пространстве куб встречается повсеместно, к примеру, в форме детских кубиков, рафинированного сахара, картонных коробок, газетных киосков или предметов интерьера.
Кубы широко используются в программировании, аналитике, научных изысканиях и прочих высоких материях.
Идеальная форма геометрической фигуры позволяет при помощи разномерных кубов выражать массивы данных, измерять объемы или визуализировать данные.
Кубические фигуры часто встречаются в реальности и абстрактных задачах, поэтому вам может понадобиться рассчитать объем или площадь поверхности кубика для решения самых разных проблем.
Площадь поверхности куба
Площадь кубической фигуры — это сумма площадей всех граней. Каждая грань куба — это квадрат. Площадь квадрата, то есть одной грани, определяется по простой формуле как:
Куб — это гексаэдр, то есть шестигранник. Таким образом, площадь поверхности кубической фигуры представляет собой сумму шести квадратов:
Определить площадь куба можно не только при помощи длины его ребра: для расчета площади поверхности вы можете использовать диагональ самого куба или диагональ одной грани.
Диагональ куба — это отрезок, который находится внутри пространства куба и соединяет две противоположные вершины. Проведенная диагональ разделяет куб на два прямоугольных треугольника. Согласно теореме Пифагора квадрат ребра куба равен одной трети от квадрата диагонали D, следовательно, формула площади полной поверхности приобретает вид:
S = 2 D2
Площадь поверхности куба легко определить и с помощью диагонали одной грани. Площадь квадрата через диагональ равна:
S = 0,5 d2.
Так как у куба 6 граней, общая площадь поверхности составит сумму шести граней куба, то есть:
S = 6 × 0,5 d2 = 3 d2
Таким образом, чтобы определить площадь поверхности кубической фигуры вам достаточно ввести в форму-онлайн калькулятора всего один параметр на выбор:
длину ребра;
диагональ куба;
диагональ квадрата.
Рассмотрим примеры использования данных формул в реальной жизни.
Примеры из жизни
Ящик
Представьте, что вы хотите соорудить из листов ДСП ящик для хранения инструментов в форме куба. Вы знаете, что он отлично впишется в пространство на чердаке высотой 50 см.
Сколько же квадратных метров ДСП вам понадобится для создания такого контейнера? Зная высоту, равную a = 0,5 м вы можете легко подсчитать площадь общей поверхности куба, введя данный параметр в онлайн-калькулятор. Вы получите ответ в виде:
S = 1,5
Таким образом, вам понадобится всего 1,5 квадратных метра ДСП для создания ящика для инструментов. Зная всего один параметр, вы без труда порежете листы на грани куба и соорудите нужную конструкцию.
Контейнер
Допустим, вы хотите обработать антикоррозионным покрытием грузовые контейнеры, которые имеют кубическую форму. Для правильного расчета параметров покрытия вам необходимо знать площадь обрабатываемой поверхности. Вы знаете, что диагональ грани стандартного контейнера равняется d = 3 м. Зная этот параметр, вы легко рассчитаете площадь кубической поверхности, которая равна:
S = 18
Зная общую площадь покрытия, вы без проблем определите необходимое количество антикоррозионной жидкости.
Заключение
Куб встречается в реальной жизни не так часто, как призматические фигуры или параллелепипеды, однако в любом случае вам может понадобиться удобный калькулятор, при помощи которого вы определите площадь полной поверхности кубического объекта. Наш сервис поможет решить вам бытовые, производственные или школьные задачи мгновенно и без ошибок.
Источник: https://BBF.ru/calculators/153/
Площадь поверхности конуса — формулы, пример расчета
Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Соединим произвольную точку A этого круга с точкой S отрезком AS. Если точка А будет описывать круг с радиусом R, то отрезки AS будут заполнять некоторое тело. Это тело называют круговым конусом.
Границей конуса является круг радиуса R и боковая поверхность конуса. Боковую поверхность описывает отрезок AS , когда точка A описывает круг. Точка S является вершиной конуса. Множество отрезков AS, соединяющих вершину с окружностью основания являются направляющими конуса.Если перпендикуляр, опущенный из точки S, совпадает с центром основания, то конус называется прямым.Очень часто говорят, что прямой конус образуется в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащий его катет. На данном рисунке прямой конус получился в результате вращения прямоугольного треугольника AOS вокруг катета SO. Тогда говорят, что
Катет SO –это высота конуса;
Гипотенуза AS –образующая конуса;
Катет AO – радиус конуса.
Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и направляющую
Пусть дан конус с радиусом R и образующей L AS=L, AO=R
Разрежем конус по образующей L и развернем его боковую поверхность. В результате получим криволинейный треугольник ASA` , где AS=L, A`S=L. Дуга AA` -это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R. Следовательно, длина дуги AA` будет равна 2πR Площадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R. Если угол α – радиальная мера угла, то: где α=∠{ASA`} Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол: Но с другой стороны: Приравняем правые части равенств. Имеем: Выразим α: Подставим полученное выражение в формулу площади сектора: Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую. Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид:
Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и направляющая Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 3 см, образованным направляющей равной 7 см По условию задачи L = 5см, R=3см Формула боковой поверхности конуса:
Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:
Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и высоту
Очень часто в задачах на вычисление площади боковой поверхности конуса известна высота конуса вместо его направляющей. Так как конус прямой, то треугольник AOS – прямоугольный, где AO и OS – катеты, а AS –гипотенуза. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем: Отсюда: Но Тогда: Подставим данное выражение в формулу площади боковой поверхности конуса: Боковая поверхность конуса равна произведению числа на радиус конуса и корень квадратный из суммы квадратов радиуса и высоты конуса
Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и высота. Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 1 см и высотой, равной 5 см По условию задачи Н = 5см, R=1см Формула боковой поверхности конуса:
Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:
Полная поверхность конуса
Полная поверхность конуса – это сумма площади его боковой поверхности и площади основания конуса:
Основанием конуса является круг с радиусом R. Его площадь равна произведению числа π на квадрат его радиуса: Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: или Тогда площадь полной поверхности конуса равна: или Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна произведению числа {pi} на радиус конуса и сумму направляющей и радиуса. Формула имеет следующий вид: Площадь полной поверхности конуса равна произведению числа π на радиус конуса и сумму корня квадратного из суммы квадратов радиуса и высоты конуса и радиуса конуса. Формула имеет следующий вид:
Площадь поверхности треугольной пирамиды. Вычислить площадь поверхности треугольной пирамиды.
Треугольная пирамида имеет треугольное основание, \(3\) треугольные грани и вершины. Для того чтобы найти площадь поверхности треугольной пирамида надо применить формулу:
\(S=\frac{1}{2}PL+S_{осн}\)
Апофема треугольной пирамиды выходит из вершины треугольной пирамиды к основанию боковой грани, на рисунке выше апофемой является \(s\).
\(L-\)апофема треугольной пирамиды; \(P-\)периметр основания треугольной пирамиды;
\(S_{осн}-\)площадь основания треугольной пирамиды;
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Наши преподаватели
Оставить заявку
Репетитор по математике
Свердловский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Имею большой опыт работы с детьми. Помогу восполнить недостающие пробелы в знаниях и приложу все усилия, чтобы математика стала любимым предметом в школе. Использую только индивидуальный подход к каждому ученику. С радостью буду ждать всех на своих занятиях!
Оставить заявку
Репетитор по математике
Белорусский государственный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Большое внимание я уделяю поиску новых форм и методов стимулирования интереса учащихся к изучению математики, развитию их возможностей. Со мной Вы перестанете думать, что математика это сложно. Жду Вас на занятиях!
Оставить заявку
Репетитор по математике
Белорусский государственный педагогический университет им. Максима Танка
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 3-8 классов. Я люблю математику, потому что нахожу ее очень увлекательной. В преподавании придерживаюсь гуманистического и личностно-ориентированного методов обучения. Всегда стараюсь найти общий язык с учеником, стать для него товарищем и поддержкой в процессе обучения. Я гарантирую позитивное и познавательное погружение в увлекательный мир математики!
Функция
— Индивидуальные занятия
— В любое удобное для вас время
— Бесплатное вводное занятие
Похожие статьи
Записаться на бесплатный урок
Площадь поверхности тела | Онлайн калькулятор
В физиологии и медицине, площадь поверхности тела — это измеренная или рассчитанная поверхность человеческого тела. Для многих клинических целей площадь поверхности тела является лучшим показателем метаболического обмена, чем масса тела, поскольку она менее зависит от излишнего количества жировой ткани.
РассчитатьОчистить
* Полученные данные не могут трактоваться как профессиональные медицинские рекомендации и предоставляются исключительно в ознакомительных целях
Существует множество формул для расчета площади поверхности тела. Ниже представлены самые часто употребляемые.
Формула Дюбуа и Дюбуа:
ППТ = 0.007184 * вес (кг)0.425 * рост (см)0.725
Формула Дюбуа и Дюбуа (модификация):
ППТ = (вес (кг)0.425 * рост (см)0.725)/139.2
Одной из часто использованных формул является формула Мостеллера, опубликованной в 1987:
ППТ = √(вес (кг)* рост (см)/3600)
Формула Хейкока:
ППТ = 0.024265 * вес (кг)0.5378 * рост (см)0.3964
Формула Гехана и Джорджа:
ППТ = 0.0235 * вес (кг)0.51456 * рост (см)0.42246
Формула Бойда:
ППТ = 0.0003207 * вес (г)(0.7285-0.0188log10вес(г)) * рост (см)0.3
Формула Фудзимото:
ППТ = 0.008883 * вес (кг)0.663 * рост (см)0.444
Формула Такахира:
ППТ = 0.007241 * вес (кг)0.725 * рост (см)0.425
«Нормальное значение» обычно составляет 1,73 м² для взрослых.
Возраст
Значение
Новорождённый
0.25 м²
Ребёнок 2 года
0.5 м²
Ребёнок 9 лет
1.07 м²
Ребёнок 10 лет
1.14 м²
Ребёнок 12-13 лет
1.33 м²
Для мужчин
1.9 м²
Для женщин
1.6 м²
Площадь поверхности: Формула | Определение
Площадь поверхности трехмерного объекта — это общая площадь всех его поверхностей. Площадь поверхности важна для понимания ситуаций, когда мы хотим что-то обернуть, что-то раскрасить и, в конечном итоге, при создании вещей получить наилучший дизайн.
Что такое площадь поверхности?
Общая площадь, занимаемая поверхностями объекта, называется его площадью поверхности. Площадь подразделяется на две категории:
.
Площадь изогнутой поверхности или Площадь боковой поверхности
Общая площадь
Давайте узнаем об общих формулах площади поверхности различной формы.
Формулы площади поверхности
Площадь всего чего-либо, будь то объект или поверхность, представляет собой сумму площадей его составных частей. Теперь мы знаем, что площадь трехмерного объекта — это общая площадь всех его поверхностей. В этом разделе мы узнаем о различных формулах, используемых для расчета площади поверхности различных объектов.
Площадь поверхности куба
Площадь поверхности куба — это общая площадь, покрытая всеми шестью гранями куба.Общая формула площади поверхности куба имеет вид:
Общая площадь поверхности куба будет суммой площади основания и площади вертикальных поверхностей куба. Всего поверхностей 6, следовательно, общая площадь = 6 сек. 2 .
Площадь боковой поверхности куба — это сумма площадей всех боковых граней куба. Имеется 4 боковые грани, поэтому сумма площадей всех 4 боковых граней куба является его боковой площадью.LSA = 4a 2 , где «a» — длина стороны.
Площадь поверхности кубоида
Площадь поверхности кубоида можно объяснить двумя различными категориями площади, то есть площадью боковой поверхности и общей площадью поверхности. Общая площадь поверхности кубоида получается путем сложения площадей всех 6 граней, тогда как площадь боковой поверхности кубоида находится путем нахождения площади каждой грани, исключая основание и верх. Общая площадь поверхности и площадь боковой поверхности могут быть выражены через длину (l), ширину (b) и высоту кубоида (h) как:
Общая площадь кубоида, S = 2 (фунт + ширина + высота) единиц 2
Площадь боковой поверхности кубоида, L = 2h (l + b) шт. 2
Площадь конуса
Площадь поверхности конуса — это площадь, занимаемая поверхностью конуса.Конус — это трехмерная форма с круглым основанием. Это означает, что основание состоит из радиуса и диаметра. Поскольку конус имеет изогнутую поверхность, мы можем выразить площадь его изогнутой поверхности, а также общую площадь поверхности. Если радиус основания конуса равен «r», а наклонная высота конуса равна «l», площадь поверхности конуса определяется как:
Общая площадь поверхности, T = πr (r + l)
Площадь изогнутой поверхности, S = πrl
Площадь цилиндра
Цилиндр — это трехмерный твердый объект, состоящий из двух круглых оснований, соединенных изогнутой гранью.Поскольку цилиндр имеет изогнутую поверхность, мы можем выразить как площадь изогнутой поверхности, так и общую площадь поверхности. Если радиус основания цилиндра равен «r», а высота цилиндра равна «h», площадь поверхности цилиндра определяется как:
Общая площадь поверхности, T = 2πr (h + r)
Площадь изогнутой поверхности, S = 2πrh
Площадь поверхности сферы
Сфера — это трехмерный твердый объект, имеющий круглую структуру, похожую на круг.Площадь, покрываемая внешней поверхностью сферы, называется площадью поверхности сферы. Площадь поверхности сферы — это общая площадь окружающих ее граней. Площадь поверхности сферы дана в квадратных единицах.
Площадь поверхности сферы равна площади боковой поверхности цилиндра. Следовательно, соотношение между площадью поверхности сферы и площадью боковой поверхности цилиндра определяется следующим образом: Площадь поверхности сферы = площадь боковой поверхности цилиндра ⇒ Площадь поверхности Сферы = 2πrh Если диаметр сферы = 2r Тогда площадь поверхности сферы равна 2πrh = 2πr (2r) = 4πr 2 квадратных единиц.
Площадь поверхности полушария
Полусфера — это трехмерная форма, получаемая при разрезании сферы вдоль плоскости, проходящей через центр сферы. Другими словами, полусфера — это половина сферы. Площадь поверхности полушария — это общая площадь, которую покрывает его поверхность. Его можно разделить на две категории:
Площадь изогнутой поверхности полусферы (CSA) = ½ (площадь изогнутой поверхности сферы) = ½ (4 π r 2 ) = 2 π r 2 , где «r» — радиус полусферы. .
Общая площадь поверхности полусферы (TSA) = площадь изогнутой поверхности + площадь основания = 2 π r 2 + π r 2 = 3 π r 2 , где r — радиус полусферы.
Площадь призмы
Мы читаем о двух типах областей: во-первых, это площадь боковой поверхности призмы, а во-вторых, общая площадь поверхности призмы. Давайте узнаем подробнее.
Боковая площадь призмы — это сумма площадей всех ее боковых граней, тогда как общая площадь поверхности призмы — это сумма ее боковой площади и площади ее оснований.
Площадь боковой поверхности призмы = периметр основания × высота Общая площадь поверхности призмы = площадь боковой поверхности призмы + площадь двух оснований = (2 × площадь основания) + площадь боковой поверхности или (2 × Площадь основания) + (Периметр основания × высота) .
Существует семь типов призм, основанных на форме оснований призм. Основания призм разных типов различны, как и формулы для определения площади поверхности призмы. См. Таблицу ниже, чтобы понять эту концепцию, лежащую в основе площади поверхности различных призм:
Форма
База
Площадь поверхности призмы = (2 × площадь основания) + (периметр основания × высота)
Треугольная призма
Треугольный
Площадь поверхности треугольной призмы = bh + (s1 + s2 + b) H
Квадратная призма
Квадрат
Площадь квадратной призмы = 2a 2 + 4ah
Прямоугольная призма
прямоугольный
Площадь поверхности прямоугольной призмы = 2 (фунт + ширина + высота)
Трапецеидальная призма
Трапециевидный
Площадь поверхности трапециевидной призмы = h (b + d) + l (a + b + c + d)
Пятиугольная призма
Пятиугольник
Площадь поверхности пятиугольной призмы = 5ab + 5bh
Шестиугольная призма
Шестиугольная
Площадь поверхности гексагональной призмы = 6b (a + h) Площадь правильной шестиугольной призмы = 6ah + 3√3a 2
Основное отличие состоит в том, что площадь поверхности — это площадь всех составных частей трехмерных фигур, таких как сфера, цилиндр и т. Д.тогда как площадь — это размер плоской поверхности, то есть двухмерной формы, такой как треугольник, квадрат и т. д.
Как определить площадь поверхности твердого тела?
Давайте возьмем пример твердого тела в форме куба длиной 8 дюймов, шириной (шириной) 6 дюймов и высотой 5 дюймов. Какой будет площадь поверхности кубоида? Ответ: Дано, a = 8 дюймов, b = 6 дюймов, h = 5 дюймов Общая площадь поверхности = 2 (ab + ah + bh) = 2 × [(8 × 6) + (5 × 6) + (8 × 5)] = 236 кв. Дюймов
Какова площадь поверхности круга?
Площадь поверхности круга — это общая площадь, охватываемая границей круга, т.е.е., окружность. Площадь круга с радиусом «r» задается как πr 2
Какова связь между объемом и площадью поверхности кубоида?
Объем кубоида выражается как произведение высоты кубоида и площади одной поверхности кубоида. Он задается как V = lbh, где «l» — длина, «b» — ширина, а «h» — высота. Здесь «фунт» — площадь прямоугольной грани кубоида.
Какова площадь поверхности конуса?
Площадь, занимаемая поверхностью конуса, называется площадью поверхности конуса.Он задается как общая площадь поверхности конуса, T = πr (r + l), и площадь криволинейной поверхности конуса, S = πrl. Здесь «r» — радиус основания конуса, а «l» — наклонная высота конуса.
Какова площадь поверхности цилиндра?
Площадь поверхности цилиндра — это общая площадь, покрытая поверхностью цилиндрической формы. Общая площадь цилиндра определяется как сумма площади боковой поверхности и площади двух оснований. Математически он выражается как 2πr (h + r) и выражается в квадратных единицах, например, m 2 , в 2 , cm 2 , yd 2 и т. Д.
Объем и площадь поверхности призмы [видео]
Здравствуйте, и добро пожаловать в это видео о поиске объема и площади поверхности призмы !
Прежде чем мы перейдем к тому, как найти объем и площадь поверхности призмы, давайте рассмотрим несколько ключевых терминов, которые мы увидим в наших формулах. Первое слово, которое нам нужно определить, — это base. Основания призмы — это две уникальные стороны, в честь которых названа призма. Например, если у вас шестиугольная призма , основания — это два шестиугольника на обоих концах призмы.
Еще одно слово, которое будет регулярно встречаться в наших формулах, — это высота. Высоту важно различать, потому что она отличается от высоты, используемой в некоторых наших формулах площади. Высота призмы — это длина ребра между двумя основаниями.
И напоследок хочу сделать обзор слова обычный . Помните, что правильность многоугольников означает, что каждая сторона многоугольника имеет одинаковую длину.
Теперь, когда мы рассмотрели некоторые из наших ключевых терминов, давайте посмотрим на наши две формулы.
Чтобы найти объем призмы, умножьте площадь основания призмы на ее высоту. Это записывается как \ (V = Bh \). Обратите внимание, что большая буква B обозначает площадь основания. 2 \)
Площадь поверхности 342 квадратных метра.
Помните, что с площадью поверхности мы складываем площади каждой грани вместе, поэтому мы умножаем только на два измерения, поэтому мы возводим наши единицы в квадрат.
Давайте попробуем другой пример.
Найдите объем и площадь этой правильной пятиугольной призмы.
Начнем с нашего тома. \ (V = Bh \)
Мы хотим заменить в нашей формуле площадь правильного пятиугольника. Эта формула встречается нечасто, поэтому ничего страшного, если вам нужно ее найти.
Площадь правильного пятиугольника определяется по формуле \ (V = (\ frac {1} {2} pa) h \)
Теперь мы можем подставить наши значения.Помните, что правильный означает, что все стороны пятиугольника совпадают, поэтому мы можем найти наш периметр, умножив значение стороны на 5.
\ (V = (\ frac {1} {2} \ times 5 \ times 5 \ умножить на 3) (14) \)
Что, если мы умножим это, получим 525 кубических футов.
А теперь перейдем к поверхности. 2 \)
Площадь поверхности нашей призмы составляет 425 квадратных футов.
Давайте рассмотрим еще один пример, но на этот раз я хочу, чтобы вы попробовали его самостоятельно.
Найдите объем и площадь поверхности правильной треугольной призмы.
Поставьте видео на паузу и посмотрите, сможете ли вы найти ответы самостоятельно. Тогда сверьтесь с моими.
Готовы проверить?
Давайте сначала посмотрим на том.
\ (V = Bh \)
Подставляем в нашу формулу площадь треугольника.
\ (V = (\ frac {1} {2} bh_T) h \)
Обратите внимание, что я поставил букву T на высоте треугольника, чтобы отличить его от высоты призмы.3 \)
Объем нашей треугольной призмы составляет 750 кубических дюймов.
Теперь перейдем к поверхности.
\ (SA = 2B + ph \)
Сначала замените в формулах.
\ (SA = 2 (\ frac {1} {2} bh) + (3s) h \)
Мы можем использовать 3s для периметра, потому что это правильный или равносторонний треугольник, поэтому все стороны одинаковой длины. 2 \)
Площадь поверхности наша треугольная призма составляет 690 квадратных дюймов.
Вот и все! Надеюсь, этот обзор объема и площади призм был вам полезен. Спасибо за просмотр и удачной учебы!
Как рассчитать площадь поверхности круга
Обновлено 5 ноября 2018 г.
Аллан Робинсон
Круг — это круглая плоская фигура с границей, состоящей из набора точек, равноудаленных от фиксированной точки. Эта точка называется центром круга. С кругом связано несколько измерений.Окружность круга — это, по сути, измерение на всем протяжении фигуры. Это ограничивающая граница или край. Радиус круга — это отрезок прямой от центральной точки круга до внешнего края. Это можно измерить, используя центральную точку круга и любую точку на краю круга в качестве его конечных точек. Диаметр круга — это прямая линия от одного края круга до другого, пересекающая центр.
Площадь поверхности круга или любой двумерной замкнутой кривой — это общая площадь, содержащаяся в этой кривой. Площадь круга может быть вычислена, если известны длина его радиуса, диаметра или окружности.
TL; DR (слишком длинный; не читал)
Формула для площади поверхности круга: A = π_r_ 2 , где A — площадь круга, а r — радиус круга.
Знакомство с Пи
Чтобы вычислить площадь круга, вам необходимо понять концепцию Пи.Пи, представленное в математических задачах как π (шестнадцатая буква греческого алфавита), определяется как отношение длины окружности к ее диаметру. Это постоянное отношение длины окружности к диаметру. Это означает, что π = c / d, , где c — длина окружности, а d — диаметр той же окружности.
Точное значение π никогда нельзя узнать, но его можно оценить с любой желаемой точностью. Значение π с точностью до шести знаков после запятой равно 3.141593. Однако десятичные разряды в π могут продолжаться и продолжаться без определенного шаблона или конца, поэтому для большинства приложений значение π обычно сокращается до 3,14, особенно при вычислениях с помощью карандаша и бумаги.
Формула площади круга
Изучите формулу «площади круга»: A = π_r_ 2 , где A — площадь круга, а r — радиус круга. Архимед доказал это примерно в 260 г. до н. Э. используя закон противоречия, а современная математика делает это более строго с помощью интегрального исчисления.
Примените формулу площади поверхности
Теперь пришло время использовать только что обсужденную формулу для вычисления площади круга с известным радиусом. Представьте, что вас просят найти площадь круга с радиусом 2.
Формула для площади этого круга: A = π_r_ 2 .
Подстановка известного значения r в уравнение дает A = π (2 2 ) = π (4).
Подставляем принятое значение 3.14 для π, у вас есть A = 4 × 3,14, или приблизительно 12,57.
Формула для площади от диаметра
Вы можете преобразовать формулу для площади круга, чтобы вычислить площадь, используя диаметр круга, d . Поскольку 2_r_ = d — неравное уравнение, обе стороны знака равенства должны быть сбалансированы. Если разделить каждую сторону на 2, получится r = _d / _2. Подставив это в общую формулу для площади круга, вы получите:
A = π_r_ 2 = π ( d /2) 2 = π (d 2 ) / 4.
Формула для площади от окружности
Вы также можете преобразовать исходное уравнение для вычисления площади круга по его окружности, c . Мы знаем, что π = c / d ; переписав это в терминах d , вы получите d = c / π.
Подставляя это значение для d в A = π ( d 2 ) / 4, мы получаем модифицированную формулу:
A = π (( c / π) 2 ) / 4 = c 2 / (4 × π).
Калькулятор площади поверхности | Pi Day
Калькулятор площади поверхности определит площадь поверхности конуса, куба, цилиндра, прямоугольной призмы и сферы.
Приведены формулы для площади поверхности конуса, куба, цилиндра, прямоугольной призмы и сферы. Калькулятор сделает всю работу за вас быстро и с точными результатами. Однако, если вы хотите рассчитать вручную, вам пригодятся формулы. Также предоставляется пример того, как рассчитать площадь поверхности цилиндра.{2} \), где r — радиус сферы
@mometrix
Вот как найти площадь поверхности цилиндра! Щелкните ссылку в нашей биографии, чтобы получить дополнительную помощь по математике. ## math ## mathhelp ## fyp ## surfacearea ## pi ## stepbystep
♬ оригинальный звук — подготовка к тесту Mometrix
@mometrix
Вот формула для площади поверхности сферы! Ссылка в биографии для получения дополнительной информации. ## pi ## piday ## surfacearea ## math ## mathhelp ## formula ## fyp ## mometrix ## stepbystep
♬ оригинальный звук — подготовка к тесту Mometrix
@mometrix
Нужен калькулятор громкости? Ссылка в биографии! ## pi ## piday ## volume ## cone ## formula ## math ## mathhelp ## mometrix ## geometry ## fyp ## stepbystep
♬ оригинальный звук — Mometrix Test Preparation
Калькулятор площади поверхности | Определение
Этот калькулятор площади поверхности поможет вам найти площадь наиболее распространенных трехмерных тел.Если вы когда-нибудь задумывались, как найти площадь поверхности или площадь боковой поверхности, этот калькулятор здесь, чтобы вам помочь. Площадь поверхности имеет огромный список приложений во всех областях, например, в аэродинамике. В этой статье вы можете найти формулы для площади поверхности сферы, куба, цилиндра, конуса, пирамиды и прямоугольной / треугольной призмы. Мы также объясним, как вычислить площадь поверхности сферы в качестве примера.
Что такое площадь поверхности? Определение площади поверхности
Площадь поверхности — это общая площадь, которую занимает поверхность объекта .Другими словами, это общая площадь поверхности 3D-объекта.
Иногда площадь поверхности может быть разделена на сумму базовой площади (ов) и площади боковой поверхности . Боковая поверхность — это площадь всех сторон объекта, за исключением его основания и вершины. Это разделение используется для форм, где существует очевидное различие между основанием и другой частью — например, для цилиндра, конуса, пирамиды или треугольной призмы. Он редко применяется к твердым телам, для которых мы не уверены, какие грани следует рассматривать как основы (например, в кубе или коробке), и мы не используем его для гладких поверхностей, таких как сфера.
Формула площади поверхности …
Наш калькулятор площади поверхности может найти площадь поверхности семи различных твердых тел. Формула зависит от типа твердого тела.
Площадь поверхности сферы: A = 4πr² , где r обозначает радиус сферы.
Площадь поверхности куба: A = 6a² , где a — длина стороны.
Площадь поверхности цилиндра: A = 2πr² + 2πrh , где r — радиус, а h — высота цилиндра.
Площадь поверхности конуса: A = πr² + πr√ (r² + h²) , где r — радиус, а h — высота конуса.
Площадь поверхности прямоугольной призмы (прямоугольник): A = 2 (ab + bc + ac) , где a , b и c — длины трех сторон кубоида.
Площадь поверхности треугольной призмы: A = 0,5 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c)) + h * (a + b + c) , где a , b и c — длины трех сторон основания треугольной призмы, а h — высота (длина) призмы.
Площадь поверхности пирамиды: A = l * √ (l² + 4 * h²) + l² , где l — длина стороны квадратного основания, а h — высота пирамиды.
Но откуда берутся эти формулы? Как найти площадь поверхности основных трехмерных фигур? Продолжайте читать, и вы узнаете!
Площадь поверхности сферы
Чтобы рассчитать площадь поверхности сферы, все, что вам нужно знать, — это радиус сферы или ее диаметр.
A = 4 * π * r² , где r — радиус.
Поскольку мы знаем, что диаметр сферы равен двум радиусам d = 2r , мы можем преобразовать уравнение в другую форму:
A = 4 * π * (d / 2) ² = π * d² , где d — диаметр сферы.
Для вывода этой формулы площади поверхности требуется интегрирование. Если вам интересно, посмотрите это доказательство.
Площадь цилиндра
Чтобы узнать площадь поверхности цилиндра, у вас должно быть два значения: радиус (или диаметр) основания и высота цилиндра.Общее уравнение обычное — базовая площадь умножить на высоту . В нашем случае круг — это основа.
Откуда взялась эта формула? Вы можете записать уравнение для площади поверхности цилиндра как:
A = A (боковой) + 2 * A (основание)
Найти площадь основания несложно — запомним известную формулу площади круга: A (основание) = π * r² . Но какова форма боковой поверхности? Попробуйте представить, что мы его «разворачиваем».Вы узнаете это? Это прямоугольник ! Длина одной стороны равна высоте цилиндра, а вторая — окружности развернутого круга.
A (база) = π * r²
A (боковой) = h * (2 * π * r)
Площадь конуса
Мы можем разделить поверхность конуса на две части:
A = A (боковой) + A (основание) , так как у нас только одно основание, в отличие от цилиндра.
Основание — это снова площадь круга A (основание) = π * r² , но происхождение площади боковой поверхности может быть не так очевидно:
A (боковой) = π * r * √ (r² + h²)
Давайте посмотрим на этот вывод по шагам:
Раскатайте боковую поверхность. Это круговой сектор, который является частью окружности с радиусом s ( s — наклонная высота конуса).
Для окружности с радиусом s, длина окружности равна 2 * π * s . Длина дуги сектора равна 2 * π * r .
Площадь сектора , который является нашей боковой поверхностью конуса, определяется по формуле:
A (сбоку) = (s * (длина дуги)) / 2 = (s * 2 * π * r) / 2 = π * r * s
Формула может быть получена из пропорции: отношение площадей фигур такое же, как отношение длины дуги к окружности:
(площадь сектора) / (площадь большого круга) = (длина дуги) / (окружность большого круга) так:
Обычно нам задают не значение s , а значение h , что составляет высоту конуса. Но это совсем не проблема! Мы можем легко преобразовать формулу, используя теорему Пифагора:
Таким образом, формула площади боковой поверхности выглядит следующим образом:
A (боковой) = π * r * √ (r² + h²)
Наконец, сложите площади основания и боковой части, чтобы найти окончательную формулу для площади поверхности конуса :
A = A (сбоку) + A (основание) = π * r * s + π * r² для r и s или
A = π * r * √ (r² + h²) + π * r² для r и h .
Площадь куба
Площадь поверхности куба — это самое простое, что вы можете себе представить: каждая из сторон представляет собой квадрат! Поскольку каждый куб имеет шесть одинаковых квадратных граней, площадь поверхности равна:
.
Поскольку площадь квадрата является произведением длины его сторон, окончательная формула для определения площади поверхности куба будет:
A = 6 * l² , где l — сторона квадрата
Площадь пирамиды
Пирамида — это трехмерное тело с многоугольным основанием и треугольными боковыми гранями.Когда вы слышите пирамида , обычно предполагается, что это правильная квадратная пирамида . Правильный означает, что он имеет правильное основание многоугольника и является правой пирамидой (вершина прямо над центром тяжести его основания) и квадратом — что он имеет эту форму в качестве основания. Это вариант, который мы использовали в качестве пирамиды в этом калькуляторе площади поверхности.
Формула площади поверхности пирамиды:
A = l * √ (l² + 4 * h²) + l² , где l — сторона основания, а h — высота пирамиды
Опять же, мы можем разделить уравнение на:
A = A (основание) + A (сбоку) = A (основание) + 4 * A (боковая поверхность)
Основание имеет форму квадрата, поэтому A (основание) = l² .Чтобы рассчитать площадь боковой поверхности, начнем с площади одной треугольной грани:
Чтобы найти высоту треугольника, нам снова понадобится формула гипотенузы:
Вычислите гипотенузу треугольника ABC (которая одновременно является высотой треугольной грани):
c = √ (h² + (l / 2) ²) = √ (h² + l² / 4)
Площадь треугольника (в нашем случае это равнобедренный треугольник) можно рассчитать как:
A = высота * основание / 2 так
A (боковая сторона) = √ (h² + l² / 4) * l / 2
Итак, окончательная формула площади поверхности пирамиды:
A = l² + 4 * √ (h² + l² / 4) * l / 2 = l² + 2 * l * √ (h² + l² / 4)
A = l² + l * √ (4 * h² + l²)
Площадь прямоугольной призмы
Чтобы вычислить площадь поверхности прямоугольной призмы, все, что вам нужно сделать, это вычислить площади сторон прямоугольника:
где:
A1 = длина * ширина
A2 = ш * в
A3 = длина * высота
Таким образом, окончательная формула:
A = 2 * (длина * ширина + ширина * высота + длина * высота)
Площадь поверхности треугольной призмы
Чтобы понять, откуда взялась формула для площади поверхности треугольной призмы, давайте взглянем на этот вывод:
В этом случае легко вычислить площадь боковой поверхности.Как видно из рисунка, он состоит из трех прямоугольников с общей длиной одной стороны:
A (сбоку) = a * h + b * h + c * h = h * (a + b + c)
, который мы также можем записать сокращенно:
A (боковой) = h * P , где P — периметр базового треугольника
Затем найдите площадь треугольного основания. Вы можете сделать это разными способами, в зависимости от того, что вам дают. В нашем калькуляторе мы реализовали расчет на основе формулы Герона — она используется, когда у вас есть три стороны треугольника (SSS).
A (основание) = 0,25 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c)))
Окончательная формула площади поверхности треугольной призмы:
A = A (сбоку) + 2 * A (основание)
A = h * (a + b + c) + 0,5 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c ))
Площадь поверхности тела
Вы можете рассчитать поверхность любого твердого тела, например, вашего тела — это не обязательно должна быть простая геометрическая форма! Если вам интересно, какова площадь внешней поверхности человеческого тела, воспользуйтесь этим калькулятором площади поверхности тела.
Как рассчитать площадь поверхности шара?
Если вы хотите найти площадь поверхности сферы, вам необходимо выполнить следующие шаги:
Определите радиус сферы. Можно принять радиус 10 см.
Введите это значение в формулу A = 4πr² .
Рассчитайте результат: A = 4π * 10² = 1256 см² .
Вы также можете использовать этот калькулятор площади поверхности, чтобы найти радиус сферы, если вы знаете ее площадь.
Прочие соображения
Единицами площади поверхности всегда являются квадратные единицы длины. Например, вы можете выразить его в см², дюймах, фут², м², а также в акрах и гектарах.
Если вы хотите определить объем любого из этих твердых веществ, воспользуйтесь нашим калькулятором объема.
Площадь поверхности кубоида
Общая площадь поверхности (TSA) кубоида — это сумма площадей его 6 граней, которая определяется по формуле:
TSA = 2 (lw + wh + hl)
Помните, что площадь поверхности — это общая площадь всех граней трехмерной формы. Площадь боковой поверхности кубоида определяется как: LSA = 2 (lh + wh) = 2 h (l + w)
Пример 1: Найдите общую площадь поверхности кубоида размером 8 см по формуле 6 см на 5 см. TSA = 2 (lw + wh + hl) TSA = 2 (8 * 6 + 6 * 5 + 5 * 8) TSA = 2 (48 + 30 + 40) TSA = 236 Итак, общая площадь поверхности этого кубоида составляет 236 см 2 .
Пример 2: Найдите площадь поверхности кубоида размеров 4.8 см, 3,4 см и 7,2 см. Решение: Площадь грани 1: 4,8 × 7,2 = 34,56 см² Площадь грани 2: 3,4 × 7,2 = 24,48 см² Площадь грани 3: 4,8 × 3,4 = 16,32 см²
Добавление площади этих трех граней дает 75,36 см², поскольку каждая грань дублируется на противоположной стороне, общая площадь поверхности кубоида будет: TSA = 2 (75,36) = 150,72 см²
Пример 3: Длина, ширина и высота кубовидные — 10см, 8см и 7см соответственно.Найдите площадь боковой поверхности кубоида. Решение: Площадь боковой поверхности кубоида определяется как: LSA = 2h (l + w) , где l = длина = 10 см w = ширина = 8 см h = высота = 7 см
Вставьте эти значения в формулу, которую мы получим:
Пример 4: Длина, ширина и высота прямоугольника равны 16 см, 14 см и 10 см соответственно. Найдите общую площадь поверхности кубоида. Решение: Общая площадь поверхности кубоида определяется как: TSA = 2 (l * b + b * h + h * l)
Подставляя значения в уравнение, мы получим TSA = 2 (16 * 4 + 14 * 10 + 10 * 16) TSA = 2 (224 + 140 + 160) TSA = 2 * 524 TSA = 1048 см 2
Пример 5: Учитывая ящик для хлопьев длиной 20 см, высотой 30 см и шириной 8 см. Найдите площадь поверхности коробки. Решение: Чтобы найти поверхность коробки, нам нужно найти площадь каждой прямоугольной грани и сложить их все. Площадь лицевой стороны: 20 х 30 = 600 см2. Площадь верхней грани: 20 x 8 = 160 см2. Площадь боковой грани: 8 x 30 = 240 см2.
Теперь сложите эти значения вместе, и мы получим: 600 + 160 + 240 = 1000 см2.
Таким образом, общая площадь поверхности составляет 1000 x 2 = 2000 см2.
Пример 6: Найдите площадь поверхности кубоида со сторонами 3 см на 6 см на 10 см. Решение: Площадь поверхности кубоида определяется как: TSA = 2 (16 * 4 + 14 * 10 + 10 * 16) TSA = 2 (3 x 6 + 6 x 10 + 3 x 10) TSA = 2 (18 + 60 + 30) TSA = 216 см 2
Математические формулы для основных фигур и трехмерных фигур
В математике (особенно в геометрии) и естественных науках вам часто нужно вычислять площадь поверхности, объем или периметр различных форм.Будь то сфера или круг, прямоугольник или куб, пирамида или треугольник, каждая форма имеет определенные формулы, которым вы должны следовать, чтобы получить правильные измерения.
Мы собираемся изучить формулы, которые понадобятся вам для определения площади поверхности и объема трехмерных фигур, а также площади и периметра двухмерных фигур. Вы можете изучить этот урок, чтобы изучить каждую формулу, а затем сохранить ее для быстрого ознакомления в следующий раз, когда она вам понадобится. Хорошая новость заключается в том, что в каждой формуле используются одни и те же базовые измерения, поэтому изучение каждого нового становится немного проще.
Площадь и объем сферы
Д. Рассел
Трехмерный круг известен как сфера. Чтобы рассчитать площадь поверхности или объем сферы, вам необходимо знать радиус ( r ). Радиус — это расстояние от центра сферы до края, и оно всегда одинаково, независимо от того, от каких точек на краю сферы вы измеряете.
Когда у вас есть радиус, формулы довольно просто запомнить. Как и в случае с окружностью круга, вам нужно будет использовать число пи ( π ).Как правило, это бесконечное число можно округлить до 3,14 или 3,14159 (принятая дробь — 22/7).
Площадь поверхности = 4πr 2
Объем = 4/3 πr 3
Площадь поверхности и объем конуса
Д. Рассел
Конус — это пирамида с круглым основанием, имеющая наклонные стороны, которые сходятся в центральной точке. Чтобы рассчитать его площадь поверхности или объем, необходимо знать радиус основания и длину стороны.
Если вы этого не знаете, вы можете найти длину стороны ( s ), используя радиус ( r ) и высоту конуса ( h ).
После этого вы можете найти общую площадь поверхности, которая является суммой площади основания и площади стороны.
Площадь основания: πr 2
Площадь стороны: πrs
Общая площадь поверхности = πr 2 + πrs
Чтобы найти объем сферы, вам нужны только радиус и высота.
Площадь и объем цилиндра
Д. Рассел
Вы обнаружите, что с цилиндром намного легче работать, чем с конусом. Эта форма имеет круглое основание и прямые параллельные стороны. Это означает, что для определения его площади поверхности или объема вам понадобятся только радиус ( r ) и высота ( h ).
Тем не менее, вы также должны учитывать то, что есть как верх, так и низ, поэтому радиус необходимо умножить на два для площади поверхности.
Площадь поверхности = 2πr 2 + 2πrh
Объем = πr 2 ч
Площадь и объем прямоугольной призмы
Д. Рассел
Прямоугольник в трех измерениях становится прямоугольной призмой (или коробкой). Когда все стороны равны, он становится кубом. В любом случае для определения площади поверхности и объема требуются одни и те же формулы.
Для этого вам нужно знать длину ( l ), высоту ( h ) и ширину ( w ).С кубом все три будут одинаковыми.
Площадь поверхности = 2 (левый) + 2 (левый) + 2 (белый)
Объем = л. С.
Площадь и объем пирамиды
Д. Рассел
С пирамидой с квадратным основанием и гранями из равносторонних треугольников работать сравнительно легко.
Вам нужно будет знать размер одной длины основания ( b ). Высота ( х ) — это расстояние от основания до центральной точки пирамиды.Сторона ( s ) — это длина одной грани пирамиды от основания до верхней точки.
Площадь поверхности = 2bs + b 2
Объем = 1/3 б 2 ч
Другой способ вычислить это — использовать периметр ( P ) и площадь ( A ) базовой формы. Это можно использовать для пирамиды с прямоугольным, а не квадратным основанием.
Площадь поверхности = (½ x P x s) + A
Объем = 1/3 Ач
Площадь поверхности и объем призмы
Д.Рассел
При переходе от пирамиды к равнобедренной треугольной призме необходимо также учитывать длину ( l ) формы. Запомните сокращения для основания ( b ), высоты ( h ) и стороны ( s ), потому что они необходимы для этих расчетов.
Площадь поверхности = bh + 2ls + lb
Объем = 1/2 (бч) л
Тем не менее, призма может быть любой формы. Если вам нужно определить площадь или объем нечетной призмы, вы можете полагаться на площадь ( A ) и периметр ( P ) базовой формы.Часто в этой формуле будет использоваться высота призмы или глубина ( d ), а не длина ( l ), хотя вы можете видеть любое сокращение.
Площадь поверхности = 2A + Pd
Объем = объявления
Площадь сектора круга
Д. Рассел
Площадь сектора круга может быть вычислена в градусах (или радианах, как это чаще всего используется в расчетах). Для этого вам понадобятся радиус ( r ), пи ( π ) и центральный угол ( θ ).
Площадь = θ / 2 r 2 (в радианах)
Площадь = θ / 360 πr 2 (в градусах)
Площадь эллипса
Д. Рассел
Эллипс также называют овалом и по сути представляет собой удлиненный круг. Расстояния от центральной точки до стороны непостоянны, что делает формулу для определения ее площади немного сложной.
Чтобы использовать эту формулу, вы должны знать:
Semiminor Axis ( a ): кратчайшее расстояние между центральной точкой и краем.
Большая полуось ( b ): наибольшее расстояние между центральной точкой и краем.
Сумма этих двух точек остается постоянной. Вот почему мы можем использовать следующую формулу для вычисления площади любого эллипса.
Иногда вы можете видеть, что эта формула записана как r 1 (радиус 1 или малая полуось) и r 2 (радиус 2 или большая полуось), а не a и b .
Площадь и периметр треугольника
Треугольник — одна из самых простых фигур, и вычислить периметр этой трехсторонней формы довольно просто. Вам нужно знать длины всех трех сторон ( a, b, c ), чтобы измерить полный периметр.
Чтобы узнать площадь треугольника, вам понадобится только длина основания ( b ) и высота ( h ), которая измеряется от основания до вершины треугольника. Эта формула работает для любого треугольника, независимо от того, равны ли стороны или нет.
Площадь и окружность круга
Подобно сфере, вам нужно знать радиус ( r ) круга, чтобы узнать его диаметр ( d ) и длину окружности ( c ). Имейте в виду, что круг — это эллипс, у которого одинаковое расстояние от центральной точки до каждой стороны (радиуса), поэтому не имеет значения, где на краю вы измеряете.
Диаметр (d) = 2r
Окружность (c) = πd или 2πr
Эти два измерения используются в формуле для вычисления площади круга.Также важно помнить, что отношение длины окружности к ее диаметру равно пи ( π ).
Площадь и периметр параллелограмма
У параллелограмма есть два набора противоположных сторон, идущих параллельно друг другу. Форма четырехугольная, поэтому у нее четыре стороны: две стороны одной длины ( a ) и две стороны другой длины ( b ).
Чтобы узнать периметр любого параллелограмма, используйте эту простую формулу:
Когда вам нужно найти площадь параллелограмма, вам понадобится высота ( х ).Это расстояние между двумя параллельными сторонами. Также требуется основание ( b ) — это длина одной из сторон.
Имейте в виду, что b в формуле площади не то же самое, что b в формуле периметра. Вы можете использовать любую из сторон — которые были объединены в пары как a и b при вычислении периметра — хотя чаще всего мы используем сторону, перпендикулярную высоте.
Площадь и периметр прямоугольника
Прямоугольник — это тоже четырехугольник.В отличие от параллелограмма, внутренние углы всегда равны 90 градусам. Кроме того, стороны, противоположные друг другу, всегда будут иметь одинаковую длину.
Чтобы использовать формулы для периметра и площади, вам необходимо измерить длину прямоугольника ( l ) и его ширину ( w ).
Периметр = 2 часа + 2 Вт
Площадь = в x ш
Площадь и периметр квадрата
Квадрат даже проще, чем прямоугольник, потому что это прямоугольник с четырьмя равными сторонами.Это означает, что вам нужно знать только длину одной стороны ( s ), чтобы найти ее периметр и площадь.
Площадь и периметр трапеции
Трапеция — это четырехугольник, который может показаться сложной задачей, но на самом деле это довольно просто. У этой формы только две стороны параллельны друг другу, хотя все четыре стороны могут иметь разную длину. Это означает, что вам нужно знать длину каждой стороны ( a, b 1 , b 2 , c ), чтобы найти периметр трапеции.
Периметр = a + b 1 + b 2 + c
Чтобы найти площадь трапеции, вам также понадобится высота ( х ). Это расстояние между двумя параллельными сторонами.
Площадь и периметр шестиугольника
Шестигранный многоугольник с равными сторонами — это правильный шестиугольник. Длина каждой стороны равна радиусу ( r ). Хотя это может показаться сложной формой, вычисление периметра — это простой вопрос умножения радиуса на шесть сторон.
Определить площадь шестиугольника немного сложнее, и вам придется запомнить эту формулу:
Площадь и периметр восьмиугольника
Правильный восьмиугольник похож на шестиугольник, но у этого многоугольника восемь равных сторон. Чтобы найти периметр и площадь этой формы, вам понадобится длина одной стороны ( a ).
Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №7. Делимость. Свойства и признаки делимости.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
наибольший общий делитель пары чисел;
признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.
Глоссарий по теме
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.
Дополнительная литература:
Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Целое число
Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.
Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.
Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).
Рисунок 1 – числовой луч
Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)
Рисунок 2 – числовой луч
Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).
Рисунок 3 – числовой луч
Делимость. Делитель и частное.
Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.
Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.
Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.
Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.
Свойства делимости.
Перечислим некоторые свойства делимости:
1. Все целые числа делятся на единицу.
2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.
3. Все натуральные числа являются делителями нуля.
4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.
5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.
6. Единственный делитель единицы – сама единица.
7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.
8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).
9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.
Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.
Взаимно простые числа.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется факторизацией натурального числа.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.
НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.
Делимость суммы и произведения.
Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.
1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.
2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.
3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.
4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.
5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.
6) Пусть число a делится на m, тогда ak делится на mk.
Деление с остатком.
Натуральное число n можно представить в виде:
n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)
где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).
Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).
Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.
Алгоритм Евклида.
Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.
Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел
где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
…
ИЛИ (остаток rk)
…
ИЛИ(остаток rn)
ИЛИ (остаток 0)
То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.
НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.
Признаки делимости.
Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.
Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:
0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.
Таблица 1 – Признаки делимости
Число n
Число a делится на число n тогда и только тогда, когда
2
последняя цифра числа a делится на 2
3
сумма всех цифр числа a делится на 3
4
число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4
5
число a оканчивается цифрой 0 или 5
7
знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7
8
число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8
9
сумма всех цифр числа a делится на 9
10
число a оканчивается цифрой 0
11
знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11
13
знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13
25
число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25
Заметим, что в формулировке признаков фигурирует выражение «тогда и только тогда». Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.
Метод математической индукции для доказательства делимости.
Схема метода:
1. Базис индукции.
Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.
2. Индукционное предположение.
Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.
3. Шаг индукции (индукционный переход).
Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.
4. Вывод.
Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задача №1
Условие:
Найдите среди чисел пары взаимно простых.
65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26
Решение:
Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.
По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.
По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.
По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.
По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.
Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.
Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.
Получим возможные пары:
(65; 14)
(30; 273) или (30; 1001)
(110; 1001) или (110; 273)
(35; 26)
Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.
Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.
Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.
Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.
Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:
2457 = 1 · 1473 + 984
1473 = 1 · 984 + 489
984 = 2 · 489 + 6
489 = 81 · 6 + 3
6 = 3 · 2
Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.
Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.
Задача №3.
Условие:
Определите, делится ли число 17943646 на 7.
Решение:
Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.
Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.
Задача №4.
Условие:
Докажите делимость + 6n – 10 на 18при любом натуральном n.
Решение:
Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.
1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:
+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0
Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.
2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.
3. Рассмотрим выражение при n = k +1.
+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4
Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:
+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.
Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:
+ 6(k + 1) – 10 = 4(–6k + 10 + 18m) + 6k – 4 = –24k + 40 + 4 · 18m + 6k – 4 = –18k + 4 · 18m + 36 = 18(–k + 4m + 2) = 18 · q, где q – некоторое целое число. Из этой записи следует, что + 6(k + 1) – 10 делится на 18 по определению. Следовательно, данное утверждение верно при значении n = k + 1.
4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.
Признаки делимости чисел — правила и примеры решений
Для быстрого решения задач и примеров по математике необходимо знать признаки делимости натуральных чисел. Это правила, которые помогают быстро понять, кратно ли большое число заданному. Существуют признаки делимости простых чисел — 2, 3, 5, 7, 11 и составных, которыми являются 6, 12. Одни признаки делимости совсем простые, другие несколько сложнее. Эти свойства с примерами будут полезны и взрослым, уже подзабывшим курс математики, и школьникам.
Содержание
Дроби с кратными от 1 до 5
Свойства делителей от 6 до 10
Разрядные единицы
Делители от 11 и выше
Признак делимости на составное число
Таблица кратных от 2 до 10
Дроби с кратными от 1 до 5
На единицу делится любое целое число.
Самым простым правилом является делимость на число два: если натуральное число оканчивается на четную цифру, то оно кратно двум. Если в конце стоит нечетная цифра, какими являются 1, 3, 5, 7, 9, то число на два не делится. То есть чтобы поделить многозначное число на два, в конце числа должна стоять одна из таких цифр: 2, 4, 6, 8, 0.
Пример: 6942 является четным, поскольку в конце четная цифра, поэтому оно кратно двум; число 19678456 также кратно двум, так как в конце стоит четная цифра 6. А вот число 6796345 не делится на 2, поскольку оно нечетное. Также нельзя получить ответ без остатка с такой суммы, как 398573 по этой же причине.
Деление на три имеет свое правило: нужно сложить все цифры, а затем проверить, делится ли сумма на три. Если да, то и данность разделится на три. Если нет, значит, не делится.
Например, возьмем 3576. Складываем 3+5+7+6=21. Полученную сумму 21 делим на три, получается семь. Значит, оно кратно трем без остатка. Проведем разложение шестизначного номера 353388. Оно раскладывается на три, поскольку сумма равна тридцати (3+5+3+3+8+8=30). Еще возьмем, например, 5819. Складываем: 5+8+1+9=23, полученная сумма не делится на три без остатка. Также и 2947 невозможно разделить, поскольку остаются тройки.
Правило делимости на четыре звучит так: если две последние цифры номера кратны четырем либо оно в конце имеет два нуля, то отношение получится без остатка.
Например, 1000 делится на четыре, поскольку в конце 00. Делится также и 3824, так как в конце 24, которое кратно этому делителю. А вот 2986 не делится на четыре, так как 86 не кратно четырем, и 29087 тоже не может остаться целым, поскольку с 87 нельзя произвести расчета. Еще пример: четырехзначный номер 2648 можно разделить на этот делитель, так как 48:4=12.
Довольно простым правилом является делимость на пять. Частное получается без остатка, если в конце заданного числа стоит 5 или 0. Если оно не заканчивается одной из этих цифр, то при делении возникнет остаток.
Проверим правило, взяв пятизначное число 45765. Оно кратно пяти без остатка, так как заканчивается на пять. Также 45030 можно разделить, поскольку в конце ноль. А вот четырехзначное число 4321 без остатка не делится.
Свойства делителей от 6 до 10
Составное шесть состоит из произведения двух последовательных чисел — 2 и 3. Теория кратности такова: число 6 составное, поэтому необходимо, чтобы одновременно действовали два правила признака делимости. Нужно, чтобы число было кратно и двум, и трем сразу.
Например, проверке подвергаются трехзначные числа 756 и 168. Они четные, поэтому делятся на два. Теперь нужно сложить 7+5+6=18, становится ясно, что сумма 18 делится на 3. Число 165 при разложении на однозначные цифры с последующим сложением превращается в 12, которое может разделиться на три. Оба числа кратны одновременно 2 и 3, значит, кратны шести.
Определение отношения с делимостью на семь довольно сложное: число делится, если при удвоении последней цифры и полученной разности результат кратен семи или равен нулю.
Пример, трехзначное число 679 кратно 7. (Калькулятор выдал 97). Узнать можно так:
2*9=18.
67−18=49.
49:7=7.
Из примера видно, что удвоилось последнее число, затем получена разность, после чего — отношение-доказательство.
В классе было дано задание доказать, что число 497 делится на семь. Порядок решения:
2*7=14.
49−14=35.
35:7=5.
Найти признак делимости на 8 очень легко. Формулировка закона такова: последние три цифры должны быть 000 или 888. Легко можно произвести вычисления с 789000: оно делится на 8, так как оканчивается на 000. Множество 289673888 тоже кратно 8, поскольку заканчивается на 888.
Свойство при делителе 9 похоже на правило с 3. Формула делимости на 9 довольно простая: сумма цифр должна быть кратна девяти. Маленький пример: из 46980 возможно получить целое, 4+6+9+8+0= 27. Получившаяся сумма кратна 9. Еще одно задание: найти отношение с использованием признака кратности 9 при делимом 29565. Рассуждение: 2+9+5+6+5=27. Полученная сумма может разделиться на девять.
Разрядные единицы
Любое число можно разделить на разрядную единицу, если у него одинаковое или большее количество нулей в конце. Например, 5790 можно поделить на 10, так как в конце один ноль.Еще примеры:
4958700:100=49587.
374000:1000=374.
5781000:100=5781.
97430:10=9743.
Невозможно разделить 128700 на 1000, так как у разрядной единицы нулей больше, а также 237480 на 100 и другие подобные.
Делители от 11 и выше
Чтобы получилось деление на 11, необходимо сложить четные по счету номера, а затем нечетные, затем произвести вычитание. Если в процессе вычислений получился ноль или одиннадцать, то остатка не будет.
Онлайн-задание с ответом: 7535, 74019 и 50486.
Нечетные в первом случае 7 и 3, четные 5 и 5. Считаем:
7+3=10,
5+5=10,
10−10=0.
Четные во втором примере 4 и 1, нечетные — 7, 0, 9. Вычисление:
7+0+9=16.
4+1=5.
16−5=11.
В третьем примере нечетные 5, 4, 6, четные 0 и 8. Решаем:
5+4+6=15.
0+8=8.
15−8=7.
Ответ: в первом и втором примере десятых, сотых, тысячных и так далее не останется, а в третьем — останется.
Чтобы разделить на двузначный делитель 12, нужно произвести общие вычисления, характерные для делителей 3 и 4 одновременно. К примеру, 900 и 3432. Сначала следует разложить на слагаемые 9+0+0=9, значит, можно поделить на 3. В конце стоит два нуля — можно делить на 4. Проверка: 900:12=75. Первая часть задания решена, теперь делаем вторую: 3+4+3+2=12, 12:3=4. Таким образом проверяется кратность трем. Теперь четырем: в конце стоит 32, что указывает на кратность 4, значит, остатка не будет. Таким образом, оба примера кратны 12.
Дробь, кратная 13, разрешится без остатка, если последнюю цифру умножить на 4, после чего сложить число и последнюю цифру. Если полученная сумма кратна 13 или равно 0, то деление получится.
Например, 6942:
2*4=8.
694+8=702.
702:13=54.
Еще пример — 754:
4*4=16.
75+16=91.
91:13=7.
Признак делимости на составное число
Если делитель составной, необходимо его разложить на простые множители, которые не имеют общих кратных, кроме единицы. Пример: 15 раскладывается на 3 и 5. Любое неизвестное кратно 15, если одновременно кратно трем и пяти.
Также и с другим составным: 18 раскладывается на 2 и 9. Нельзя брать множители 3 и 6, так как они не простые, у них общее кратное 3. Например, 456 кратно трем, проверка: 4+5+6=15, также кратно 6 (при разложении на 2 и 3). Однако калькулятор выводит запятую. Если взять множители 2 и 9, будет видно, что двум — кратно, а девяти — нет, ведь сумма равна 15, которая не кратна 9.
Таблица кратных от 2 до 10
Для удобства школьникам и их родителям предлагается таблица признаков делимости чисел от 2 до 10. Она наглядно и кратко демонстрирует всю вышеизложенную теоретическую часть:
Делимость на:
Признак числа:
2
Оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4,6, 8
3
Сумма цифр, их которой оно состоит, делится на 3
4
Две последние цифры делятся на 4
5
Окончание на 5 или 0
6
Одновременная кратность 2 и 3
8
Три последние цифры кратны 8
9
Сумма цифр кратна 3
10
Окончание равно нулю
Вышеизложенное доказывает, что к любому натуральному числу можно подобрать простой или составной признак кратности. На практике выходит, что чем больше число, тем сложнее его признак. Часто не хочется тратить время на проверку делимости, ведь за этот промежуток уже можно выполнить само деление. Поэтому любой школьник может воспользоваться простейшими признаками делимости.
Предыдущая
МатематикаКвадрат суммы и квадрат разности — формулы, правило квадрата и примеры решения
Следующая
МатематикаБином Ньютона — формула, доказательство и примеры решения
Делимость натуральных чисел. Признаки делимости.
Делители и кратные
Признаки делимости
Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)
Сегодня мы расскажем про делители и кратные натуральных чисел. Вам будет интересно узнать про признаки делимости чисел и деление всех чисел на простые и составные. Мы рассмотрим разложение на простые множители и научимся находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел.
Делители и кратные
Предположим, у нас с вами есть 6 яблок, и мы хотим разделить их поровну между двумя нашими друзьями. Мы можем это сделать — каждый получит по три яблока. А между тремя? Тогда каждый получит по 2 яблока. А между четырьмя друзьями? Можно ли разделить поровну, в том смысле, чтобы каждый получил целое количество яблок? Нельзя! Шесть на четыре нацело не делится. Между пятью тоже нельзя.
Всё просто. Шесть делится нацело на 1, 2, 3 и 6. Эти числа 1236 называются делителями числа 6. Они его делят нацело, а число 6, в свою очередь, делится на них нацело и называется кратным этим числам. Число 6 кратно одному, кратно двум, кратно трём и кратно 6.
Нетрудно заметить, что у любого натурального числа есть хотя бы как минимум два делителя — это единица и само это число, кроме единицы, потому что единица делится нацело только на единицу.
Делителем натурального числа А называется натуральное число, на которое А делится нацело.
Кратным числу А называется натуральное число, которое делится на А нацело.
Нетрудно заметить, что любое натуральное число имеет бесконечно много кратных, наименьшее из которых — само это число.
Признаки делимости
Какие бывают признаки делимости натуральных чисел? Рассмотрим число 123456, можете сказать об этом числе по внешнему виду. Как по внешнему виду определить, на что можно разделить это число. Это и есть признаки делимости натуральных чисел
Признак делимости на 2
На 2делится любое натуральное число, запись которых заканчивается на 0, 2, 4, 6
Например, очень большое число 120345876568 точно делится на два, так как его запись оканчивается цифрой 8
Так же следует запомнить, что любое число, которое делится на 2, а также число, которое заканчивается либо на 0, либо на 2, либо на 4, либо на 6, либо на 8, называются четным.
Любое число, которое не делится на два, то есть заканчивается либо на 1, либо на 3, либо 5, либо на 7 или 9, называется, соответственно, нечетным.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр любого натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.
Число 156879 делится на 3, так как 1+5+6+8+7+9=36 делится на 3.
Признак делимости на 4
Если в записи числа последние две цифры образуют число, которое делится на 4, то такое число делится на 4.
Число 362836 делится на 4, так как последние 2 цифры образуют число 36, которое делятся на 4.
Признак делимости на 5
Если запись числа оканчивается на цифру либо 0, либо 5, такое число делится на 5.
Признак делимости на 6
Если число делится на 2 и на 3 одновременно, то оно делится на 6.
Признак делимости на 8
Если в записи числа последние три цифры образуют число, которое делится на 8, то такое число делится на 8.
Число 12586023064 делится на 8, так как последние 3 цифры образуют число 64, которое делятся на 8.
Признак делимости на 9
Этот признак делимости похож на 3. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9.
Признак делимости на 25
Если в записи числа последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 25, то такое число делится на 25.
Признак делимости на 10
Если число оканчивается на 0 то, оно делится на 10.
Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители
Натуральное число называют простым, если оно имеет 2 делителя — единица и самое это число. То есть, если натуральное число не делится нацело ни на что, кроме как на единицу и на само это число, то такое число – простое.
Теперь, зная определение простых чисел, узнаем, какое существует наименьшее простое число. Единица? Нет, единица имеет только один делитель, а по определению простое число имеет два.
Наименьшее простое число — это 2. Оно делится на 2 и на 1. 2 — это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа – нечетные.
Но необязательно нечетное число является простым. Те числа, которые имеют больше двух делителей, называются составными.
Куда отнести тогда единицу, спросите вы? Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.
Любое составное число можно представить в виде двух множителей, каждый из которых больше единицы.
Разложение натурального числа на простые множители:
Шаг 1.
Выберите число, которое необходимо разложить на простые множители
Шаг 2.
Убедитесь в том, что это число составное, то есть делится еще на какие-то числа, кроме единицы и самого себя. В этом вам помогут признаки делимости чисел.
Шаг 3. Нарисуйте схему, как на рисунке. У нас есть черта, слева от неё записываем числа, которые будут получаться в результате разложения, а справа нужные нам простые множители. Сразу проверяем, делится ли исходное число на 2. В нашем случае делится. Записываем 2 справа. Результат деления исходного числа на 2, а именно 142, записываем слева. Таким образом, мы проверяем каждый раз, на какие простые числа делится следующий результат деления. Когда получилось 71, проверяем, на какие простые числа делится 71. Число 71 не делится ни на что, кроме как на единицу и на само себя. Поэтому записываем число 71 справа, как простое число, а результат деления единицу записываем слева. Именно единицей должна оканчиваться любая схема разложения. Проверяем, чтобы справа были все простые числа. Получилось следующее разложение: 284 равно 2 * 2 * 71
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)
Для того чтобы усвоить данную тему, следует хорошо разобраться в том, как раскладывать число на простые множители.
Наибольшим общим делителем(НОД) называют наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.
Как найти НОД? Для этого нужно выполнить два пункта:
1. Разложите два числа на простые множители
2. Найдите произведение общих делителей этих чисел
Наименьшим общим кратным(НОК) называется наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел.
Как найти НОК двух чисел?
1. Разложите эти два числа на простые множители
2. Запишите разложение одного из этих чисел
3. Дописать в это разложение те множители другого разложения, которые еще не вошли в данное разложение, и вычислить произведение всех получившихся чисел.
Признаки делимости чисел (18 слайдов)
Слайд 1
Признаки делимости чисел
Выполнила: Стариннова Анастасия ученица 6 «а» класса
Руководитель:
Толкачева Наталья Сергеевна,
учитель I квалификационной категории
МАОУ СШ № 8
с.п. Новосмолинский
Слайд 2
На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и на 10. Но оказывается, признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 13 и другие числа. Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач.
Мы заинтересовались историей делимости чисел.
Кто из древних учёных занимался делимостью чисел? Кто такой Эратосфен? Что такое решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?
Слайд 3
Цель:
узнать, не выполняя деления, делится ли число на …
Задачи:
изучить историю математики о делимости чисел
узнать признаки делимости на натуральные числа от 2 до 25
Слайд 4
История математики о делимости чисел
Делимость – это способность одного числа делиться на другое без остатка. Признаки делимости были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку, пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду.
Эратосфен (около 275–194 до н. э.) — один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами — ему принадлежат интересные исследования в области математики, астраномии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач.
Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое «решето», с помощью которого находятся простые числа.
Делитель – это число, которое делит данное число без остатка.
Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя:
1 и самого себя. Числа, не имеющие других
делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие
другие делители, называются составными (или сложными) числами.
Слайд 5
Признак делимости на 4
Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится.
Число 31 800 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля.
Число 325 734 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 34, которое не делится на 4.
Число 15 608 делится на 4, так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8, которое делится на 4.
Слайд 6
Признак делимости на 6
Число делится на 6, когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.
Число 126 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3.
Число 315 не может быть разделено на 6, в виду того, что оно не делится на 2, но делится на 3.
Слайд 7
Признак делимости на 7
Число делится на 7, если разница между этим числом без последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7.
Число 672 делится на 7, так как 67–(2*2)=63,число 63 делится на 7.
Число 587 не делится на 7, так как 58-(7*2)=44, число 44 не делится на 7.
Слайд 8
Признак делимости на 8
Число делится на 8, в случае, когда три последние цифры его нули или число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.
Число 225 000 делится на 8, так как оканчивается тремя нулями.
Число 180 004 не делится на 8, так как три крайние цифры дают число 4, которое не делится на 8.
Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120, которое делится на 8.
Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16, 32, 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.
Слайд 9
Признак делимости на 11
Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Разберемся на примере:
Проверим, делится ли число 90 904 на 11 без остатка.
1. Вычислим сумму цифр на нечетных местах:9 + 9 + 4 = 22
2. Сумма цифр на четных местах:0 + 0 = 0
3.Вычислим разницу между суммами цифр, которые стоят на нечетных и четных местах.22 − 0 = 22
4. Проверим, делится ли число 22 на 11 без остатка.22 : 11 = 2
Значит число 90 904 делится на 11 без остатка.
Слайд 10
Признак делимости на 12
Число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и делится на 4.
Число 948 делится на 12, так как 9+4+8=21, 21 делится на 3 и 48 делится на 4.
Число 548 не делится на 12, так как 5+4+8=17, 17 не делится на 3, а 48 делится на 4.
Слайд 11
Признак делимости на 13
Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры. Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13.
Число 5967 делится на 13, так как 596+(7*4)=624, 62+(4*4)=78, 7+(8*4)=39, 39 делится на 13.
Слайд 12
Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда когда, оно делится на 2 и на 7. Например: 252 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.
Признак делимости на 15
Число делится на 15, тогда когда это число делится на 3 и на 5.
Число 885 делится на 15, так как это число делится на 5 и 8+8+5=21 делится на 3.
Слайд 13
Признак делимости на 16
1-й признак делимости на 16
Натуральное число делится без остатка на 16:
— если последние четыре цифры в его записи образуют число, которое делится на 16;
— если его запись оканчивается четырьмя нулями.
2-й признак делимости на 16
Натуральное число делится на 16 без остатка, если сумма — цифра из разряда тысяч, умноженная на 8, плюс цифра из разряда сотен, умноженная на 4, плюс цифра из разряда десятков, умноженная на 10, плюс цифра из разряда единиц, — делится на 16.
Слайд 14
Признак делимости на 17
Натуральное число делится на 17, если разность — это число без его последней цифры минус его последняя цифра, умноженная на 5, — делится на 17.
Признак делимости на 18
Число делится на 18 тогда, когда число делится на 2 и на 9.
Число 702 делится на 18, так как это число делится на 2 и 7+0+2=9 делится на 9.
Признак делимости на 19
Чтобы число делилось на 18 нужно: зачеркнуть последнюю цифру и к полученному числу прибавить число, равное удвоенной зачеркнутой цифре. Повторить до получения числа меньше 19.
Число 893 делится на 18, так как 89+(3*2)=95, 9+(5*2)=19.
Слайд 15
Признак делимости на 20
Если запись натурального числа оканчивается цифрой нуль и предпоследняя цифра в записи — четная, то такое число делится без остатка на 20.
Признак делимости на 21
Натуральное число делится на 21, если
1) сумма цифр этого числа делится на 3;
2) разность между числом без его последней цифры и удвоенной последней цифрой, делится на 7.
Слайд 16
Признак делимости на 22
Число делится на 22, если делится на 2 и на 11.
Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23.
Признак делимости на 24
1-й признак делимости на 24
Натуральное число делится на 24, если сумма его цифр делится на 3 и три последние цифры в его записи образуют число, которое делится на 8.
Слайд 17
2-й признак делимости на 24
Натуральное число делится на 24, если сумма его цифр делится на 3, и сумма — цифра из разряда сотен, умноженная на 4, плюс цифра из разряда десятков, умноженная на 2, плюс цифра из разряда единиц — делится на 8.
Признак делимости на 25
Если запись натурального числа заканчивается следующими цифрами:
00, 25, 50 или 75,
то такое число делится на 25 без остатка.
Слайд 18
Спасибо за внимание!
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс
Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Обыкновенные дроби
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Вопрос: что такое признаки делимости чисел ?
Ответ: признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое.
Знать эти признаки необходимо при решении многих арифметических задач.
Признак делимости на 10
Рассмотрим несколько чисел, запись которых оканчивается цифрой0, например,
60, 130, 2340
Каждое из этих чисел делится без остатка на10
Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру0.
60 : 10 = 6
130 : 10 = 13
2340 : 10 = 234
Вывод: любое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой0, делится без остатка на 10
Если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это числоне делитсябез остатка на10
Проверим это утверждение, например, на числе 234
234 : 10 = 23 целых в остатке 4
(неполное частное 23 и остаток4 — последняя цифра в записи числа 234)
Вывод: если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.
Определение
Если запись натурального числа оканчивается цифрой0, то это число делится без остатка на10.
Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на10.
Остаток в этом случае равен последней цифре в записи числа.
Обратим внимание на то, что число 10 = 2 · 5 (число 10 делится без остатка и на 2, и на 5).
Вывод: число, запись которого оканчивается цифрой0, делится без остатка и на5, и на 2.
А из того что 70 = 7 · (5 · 2) = (7 · 5) · 2 = 35 · 2, получаем, что 70 : 2 = 35.
Полные десятки
Существует такое понятие, как «круглое» число — это целое число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями.
Такие числа принято называть «круглыми» («полными«) десятками.
Например, числа 40, 530, 3270, 3200 являются полными десятками.
40 — четыре десятка
530 — пятьдесят три десятка
3270 — триста двадцать семь десятков
3200 — триста двадцать десятков
Полные десятки делятся и на 10, и на 5, и на 2.
Признак делимости на 5
Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц, например,
46 = 40 + 6, 539 = 530 + 9, 3278 = 3270 + 8.
Так как полные десятки делятся на5, то и всё число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5делится число единиц.
Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.
Определение
Если запись натурального числа оканчивается цифрой0 или5, то это число делится без остатка на5.
Например, числа 270 и 275делятся без остатка на 5
Если же запись числа оканчивается другой цифрой, то число без остатка на5не делится.
Например, числа 272 и 273 на 5без остатка не делятся.
Четные и нечетные числа
Определение
Числа, делящиеся без остатка на 2, называют чётными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечётными.
Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8чётные, а числа 1, 3, 5, 7 и 9нечётные
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными.
Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т. е. они чётны).
Вывод: любое натуральное число чётно, когда в разряде единиц стоит чётная цифра, и нечётно, когда в разряде единиц стоит нечётная цифра.
Определение
Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.
Например, числа 2, 30, 74, 56, 108чётные, а числа 3, 31, 75, 57, 109нечётные.
Это интересно
Древнегреческий философ (профессиональный мыслитель), математик и мистик (верил в существование сверхъестественных сил) Пифагор Самосский, чётные числа считал женскими, а нечётные — мужскими
На рисунке числа от 1 до 100 (чётные и нечётные числа разного цвета)
В старину люди верили в магию чисел, где всё хорошее ассоциировалось с нечётными цифрами, а плохое – с чётными. Поэтому, например, в Рождество на стол всегда ставили нечётное количество блюд. Люди верили, что нечётные числа символизируют постоянное продолжение жизни, незавершенность. А чётные, наоборот, означают конечность всего живого, остановку движения.
Таблица признаков делимости чисел
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Доли. Обыкновенные дроби
Сравнение дробей
Делители и кратные
Четные и нечетные числа
Признаки делимости на 9 и на 3
Простые и составные числа
Разложение на простые множители
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Деление и дроби
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Смешанное число
Сложение и вычитание смешанных чисел
Основное свойство дроби
Решето Эратосфена
Приведение дробей к общему знаменателю
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение обыкновенных дробей
Деление обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 865,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
Задание 875,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
Задание 888,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.
Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).
Признак делимости на 2
Признак делимости на 3
Признак делимости на 4
Признак делимости на 5
Признак делимости на 6
Признак делимости на 7
Признак делимости на 8
Признак делимости на 9
Признак делимости на 10
Признак делимости на 11
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.
Примеры:
4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.
Примеры:
18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=32/3).
Признак делимости на 4
Двузначное число
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.
Примеры:
64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а 11:4=23/4.
Число разрядов больше 2
Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.
Примеры:
344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.
Примечание:
Число делится на 4 без остатка, если:
в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.
Примеры:
10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).
Примеры:
486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.
Примеры:
91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
105 – делится на 7, т. к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.
Признак делимости на 8
Трехзначное число
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.
Примеры:
264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36:8=41/2.
Число разрядов больше 3
Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
Примеры:
2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.
Примеры:
324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а 12:9=11/3.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.
Примеры:
737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.
Правил доказательства делимости | Brilliant Math & Science Wiki
Тапас Мазумдар,
Ада Мизи,
Самир Хан,
а также
способствовал
Содержимое
Правила делимости для некоторых выбранных целых чисел
Доказательства
Делимость на 2 (Аналогично для 5 и 10)
Делимость на 3 (аналогично 9)
Делимость на 4 (аналогично 25)
Делимость на 6
Делимость на 7
Делимость на 8 (аналогично 125)
Делимость на 11
Делимость на 12
Делимость на 13
Смотрите также
Делимость на 1: Каждое число делится на 111.
Делимость на 2: Число должно иметь 0, 2, 4, 6,0, \ 2, \ 4, \ 6,0, 2, 4, 6 или 888 в качестве разряда единиц.
Признак делимости на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 333.
Делимость на 4: Число, образованное разрядом десятков и единиц, должно делиться на 444.
Делимость на 5: Число должно иметь 000 или 555 в качестве разряда единиц.
Делимость на 6: Число должно делиться как на 222, так и на 333.
Делимость на 7: Абсолютная разница между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, должна делиться на 777 (этот процесс можно повторять много раз, пока мы не получим достаточно малое число).
Признак делимости на 8: Число, образованное разрядом сотен, десятков и единиц, должно делиться на 888.
Признак делимости на 9: Сумма цифр числа должна делиться на 999.
Делимость на 10: Число должно иметь 000 в качестве разряда единиц.
Делимость на 11: Абсолютная разница между суммой чередующихся пар цифр должна делиться на 111111.
Делимость на 12: Число должно делиться как на 333, так и на 444.
Делимость на 13: Сумма четырехкратных цифр единиц с числом, образованным остальными цифрами, должна делиться на 131313 (этот процесс можно повторять много раз, пока мы не получим достаточно малое число).
Делимость на 25: Число, образованное разрядом десятков и единиц, должно делиться на 252525.
Признак делимости на 125: Число, образованное разрядом сотен, десятков и единиц, должно делиться на 125125125.
Теперь мы обсудим вывод этих правил. В каждом доказательстве переменная будет иметь вид
N=anan−1an−2…a2a1a0‾ N = \overline {a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1 a_0}N=an ан−1 ан−2 … а2 а1 а0 9k, \text{ где } k \ge 1, \text{ всегда делится на } 2\big)\\
& \equiv a_0 \pmod{2}. k-1, \text{ где } k \ge 1, \text{ всегда делится на } 3\big)\\ \\
\equiv &\left( a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_1 + a_0 \right) \pmod{3}.
\end{align}N≡≡1×an(mod3)+1×an−1(mod3)+1×an−2(mod3)+⋯+1×a2(mod3)+1×a1 (mod3)+1×a0(mod3)(как 10k−1, где k≥1, всегда делится на 3)(an+an-1+an-2+⋯+a2+a1 +a0)(mod3). 9k — 1,10k−1, где k≥1,k \ge 1,k≥1, также всегда делится на 999, а значит, сумма цифр числа в этом случае должна делиться на 999, так что число делится на 999, что подтверждает тест на делимость числа 999.
Любое число, в котором цифры десятков и единиц, занимаемые в таком порядке, делятся на 444, само также делится на 444.
Докажите, что число 115641156411564 делится на 444, потому что 646464 делится на 444. 9k, \text{ где } k \ge 2, \text{ всегда делится на } 4\big) \\
& \equiv 10 a_1 + a_0 \pmod{4}.
\end{align}N≡0+0+0+⋯+0+10a1+a0(mod4)(как 10k, где k≥2, всегда делится на 4)≡10a1+a0(mod4) .
Таким образом, если разряды десятков и единиц числа, взятые в таком порядке, делятся на 4,4,4, то число также делится на 444. □_\квадрат□ 9k,10k, где k≥2,k \ge 2,k≥2, также всегда делится на 252525 и, следовательно, если цифры в разряде десятков и единиц числа, взятого в таком порядке, делятся на 252525, то число также делится на 252525.
Любое число, которое делится и на 222, и на 333, также делится и на 666.
Докажите, что число 678678678 делится на 666, потому что 678678678 делится и на 222, и на 333.
Это не требует никаких подробных доказательств, кроме того факта, что
, если N≡0(mod2)N \equiv 0 \pmod{2}N≡0(mod2) и N≡0(mod3)N \equiv 0 \pmod{3}N≡0(mod3), то N≡0 (mod2×3=6)N \экв 0 \pmod{2 \times 3 = 6}N≡0(mod2×3=6),
, так как 222 и 333 взаимно простые числа. □_\квадрат□
Любое число, у которого абсолютная разность между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, равна 000 или делится на 777, само делится на 777.
Докажите, что число 343343343 делится на 777, потому что 34−2×3=2834 — 2 х 3 = 2834−2×3=28 также делится на 777. 9{n-3} a_{n-2} + \cdots + 10 a_2 + a_1 — 2 a_0 \право) \\
&\эквив 0 \pmod{7}\\\\
\Rightarrow 10 \left( \overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} — 2 a_0 \right) &\equiv 0 \pmod{7}.
\end{выровнено}N7k−21a0⇒10(anan-1an−2…a2a1−2a0)=10(10n−1an+10n−2an−1+10n− 3an−2+⋯+10a2+a1)+20a0−20a0+a0=10(10n−1an+10n−2an−1+10n−3an−2+⋯+10a2+a1 −2a0)+21a0=7k=10(10n−1an+10n−2an−1+10n−3an−2+⋯+10a2+a1−2a0)≡0(mod7)≡0 (мод7).
Следовательно, поскольку 10≡3(mod7),10 \equiv 3 \pmod{7},10≡3(mod7), то для того, чтобы NNN делилось на 7,7,7, должно быть верно, что anan−1an−2 …a2a1‾−2a0≡0(mod7)\overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} — 2 a_0 \equiv 0 \pmod{7}anan−1an− 2…a2a1−2a0≡0(mod7).
Таким образом, для числа, если абсолютная разница между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, равна 000 или делится на 7,7,7, то это число также делится на 777. □_\квадрат □
Любое число, в котором разряды сотен, десятков и единиц, занимаемые в таком порядке, делятся на 888, само также делится на 8.8.8.
Докажите, что число 741527415274152 делится на 888, потому что 152152152 делится на 888. 9k, \text{ где } k \ge 3, \text{ всегда делится на } 8\big) \\
& \эквив 100 а_2 + 10 а_1 + а_0 \пмод{8}.
\end{align}N≡0+0+0+⋯+102a2+10a1+a0(mod8)(как 10k, где k≥3, всегда делится на 8)≡100a2+10a1+a0 (мод8).
Таким образом, если разряды сотен, десятков и единиц числа, взятые в таком порядке, делятся на 8,8,8, то число также делится на 888. □_\квадрат□ 9k,10k, где k≥3,k \ge 3,k≥3, также всегда делится на 125125125 и, следовательно, если цифры сотен, десятков и единиц числа, взятого в таком порядке, делятся на 125125125 , то число также делится на 125125125.
Любое число, у которого абсолютная разность между суммой цифр в четных позициях и суммой цифр в нечетных позициях равна 000 или делится на 111111, само также делится на 111111.
Докажите, что число 105204105204105204 делится на 111111, потому что ∣(0+2+4)−(1+5+0)∣=0\big|(0+2+4)-(1+5+0)\big| =0∣∣(0+2+4)−(1+5+0)∣∣=0 делится на 111111. 9k \equiv -1 \bmod{11} \text{ если } k \text{ нечетно}\big)N≡±an∓an−1±an−2⋯∓a2±a1∓a0 (mod11).(как 10k≡+1mod11, если k четно, и 10k≡−1mod11, если k нечетно)
Из двух приведенных выше условий мы заключаем, что для того, чтобы число делилось на 111111, его абсолютная разность между суммой цифр, стоящих на четных позициях, и суммой цифр, стоящих на нечетных позициях, должна быть равна 000 или делиться на 111111. □_\квадрат□
Любое число, которое делится и на 333, и на 444, также делится и на 121212.
Докажите, что число 10
21092 делится на 121212, потому что 10
21092 делится и на 333, и на 444.
Это также не требует никаких подробных доказательств, кроме того факта, что
, если N≡0(mod3)N \equiv 0 \pmod{3}N≡0(mod3) и N≡0(mod4)N \equiv 0 \pmod{4}N≡0(mod4), то N≡0 (mod3×4=12),N \equiv 0 \pmod{3 \times 4 = 12},N≡0(mod3×4=12), так как 333 и 444 взаимно простые числа. □_\квадрат□
Любое число, сумма четырех цифр единиц и числа, образованного остальными цифрами, делится на 131313, само также делится на 13. 13.13.
9{n-3} a_{n-2} + \cdots + 10 a_2 + a_1 + 4 a_0 \право) \\
&\эквив 0 \pmod{13}\\\\
\Rightarrow 10 \left( \overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} + 4 a_0 \right) &\equiv 0 \pmod{13}.
\end{выровнено}N13k+39a0⇒10(anan−1an−2…a2a1+4a0)=10(10n−1an+10n−2an−1+10n− 3an−2+⋯+10a2+a1)+40a0−40a0+a0=10(10n−1an+10n−2an−1+10n−3an−2+⋯+10a2+a1 +4a0)−39a0=13k=10(10n−1an+10n−2an−1+10n−3an−2+⋯+10a2+a1+4a0)≡0(mod13)≡0 (мод13).
Следовательно, поскольку 10≡10(mod13)10 \equiv 10 \pmod{13}10≡10(mod13), для того, чтобы NNN делилось на 131313, должно быть верно, что anan−1an−2…a2a1‾+4a0≡ 0(mod13)\overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} + 4 a_0 \equiv 0 \pmod{13}anan−1an−2…a2a1 +4a0≡0(mod13).
Таким образом, для числа, если сумма четырехкратной цифры его единиц и числа, образованного остальными цифрами, делится на 131313, то это число также делится на 131313. □_\квадрат□
Аналогичный логический подход позволяет проверить делимость каждого числа, просто наблюдая за последовательностью степеней 101010.
SAT Math: Коэффициенты, делимость и остатки
Применение правил делимости
Правила делимости
Цитировать как: Правила доказательства делимости. Brilliant.org .
Извлекаются из
https://brilliant.org/wiki/proof-of-divisibility-rules/
Правило делимости на 8 — методы, примеры
Правило делимости на 8 гласит, что число делится на 8, если цифры либо 000, либо они образуют число, которое делится на 8. Хотя меньшие числа можно легко проверить на делимость, существуют определенные правила для проверки делимости больших чисел. Эти правила помогают нам проверить, делится ли одно число на другое число без деления. Давайте узнаем больше о правиле делимости числа 8 в этой статье.
1.
Что такое правило делимости числа 8?
2.
Правило делимости на 8 для больших чисел
3.
Правило делимости на 4 и 8
4.
Правило делимости на 8 и 9
5.
Часто задаваемые вопросы о правиле делимости числа 8
Что такое правило делимости числа 8?
Согласно правилу делимости числа 8 , если последние три цифры данного числа нули или если число, образованное последними тремя цифрами, делится на 8, то такое число делится на 8. Например, в числе 4832 последние три цифры — 832, что делится на 8. Следовательно, данное число 4832 полностью делится на 8. Точно так же в числе 7000 последние три цифры — 000, что говорит нам о том, что 7000 делится на 8.
Признак делимости на 8 для больших чисел
Правила делимости упрощают и ускоряют процесс деления. В то время как проверка делимости для меньших чисел может быть выполнена легко, правила полезны для больших чисел. Например, чтобы проверить, делится ли 31 000 на 8, мы проверяем последние три цифры данного числа, то есть 000. Согласно правилу делимости 8, мы заключаем, что данное число 31 000 делится на 8. Другими словами , 31 000 проходит тест на делимость 8. Возьмем другой пример числа 354416. В этом случае последние три цифры равны 416, что делится на 8. Следовательно, 354416 делится на 8.
Правило делимости на 4 и 8
Правило делимости на 4 гласит, что данное число делится на 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4. Например, в числе 2348 последние две цифры образуют число 48, которое делится на 4. Следовательно, 2348 делится на 4. Однако мы знаем, что правило делимости числа 8 гласит, что если последние три цифры данного числа равны нулю или образуют число, которое делится на 8, то данное число делится на 8. Например, в числе 56824 последние 3 цифры образуют число 824, которое делится на 8. Следовательно, мы можем сказать, что 56824 делится на 8.
Правило делимости на 8 и 9
Проверить делимость на 8 несложно, так как нам достаточно рассмотреть три последние цифры заданного числа. Однако правило делимости 9 отличается от этого, но похоже на правило 3. Число делится на 9, если сумма всех его цифр кратна 9. Например, давайте проверим, делится ли 75816 на 8 и 9. Так как последние три цифры данного числа 816, что делится на 8, то данное число делится на 8. Теперь проверим его делимость на 9. Сумма чисел 7 + 5 + 8 + 1 + 6 = 27. Так как 27 делится на 9, значит, данное число 75816 делится на 9.
Признак делимости на 8 и 11
Мы видели, что признак делимости числа 8 проверяется путем рассмотрения трех последних цифр данного числа. Однако признак делимости на 11 отличается. Если разность сумм чередующихся цифр равна нулю или делится на 11, то число делится на 11. Проверим, делится ли 86416 на 8 и 11. Последние три цифры числа равны 416, т.е. делится на 8. Следовательно, число 86416 делится на 8. Теперь давайте проверим его делимость на 11, выполнив следующие шаги:
Шаг 1: Подсчитайте сумму альтернативных чисел, начиная справа. В данном случае это: 6 + 4 + 8 = 18.
Шаг 2: После этого подсчитайте сумму оставшихся альтернативных цифр, 1 + 6 = 7.
Шаг 3: Теперь найдите разницу между суммами: 18 — 7 = 11. Поскольку 11 делится на 11, данное число 86416 также делится на 11.
☛ Похожие темы
Правило делимости 3
Правило делимости на 4
Правило делимости числа 5
Правило делимости 6
Правило делимости числа 7
Правило делимости числа 9
Правило делимости 11
Правило делимости 13
Правило делимости на 8 с примерами
Пример 1: Из следующего набора чисел выберите и запишите числа, которые делятся на 8, используя тест на делимость 8.
3458, 432000, 7856
Решение:
а) В числе 3458 последние три цифры 458, что не делится на 8. Следовательно, 3458 не делится на 8. последние три цифры 000. Следовательно, 432000 делится на 8.
в) В числе 7856 последние три цифры равны 856, что делится на 8. Следовательно, 7856 делится на 8.
Пример 2: Обратите внимание на следующие утверждения и запишите истину или ложь, используя правило делимости 8.
a) 2000 делится на 8.
b) 1824 не делится на 8.
c) 14238 не делится на 8.
Решение:
a. В 2000 году последние три цифры 000. Следовательно, 2000 делится на 8.
б.) Неверно. В 1824 году последние три цифры 824, что делится на 8. Следовательно, 1824 делится на 8.
в.) Верно. В числе 14238 последние три цифры — 238, что не делится на 8. Следовательно, 14238 не делится на 8.
Пример 3: Проверить, делится ли число 456788 на 8 или нет.
Решение:
Используя правило делимости на 8, в числе 456788 последние три цифры равны 788, что не делится на 8. Следовательно, 456788 не делится на 8.
перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по правилу делимости 8
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о правиле делимости числа 8
Что такое правило делимости числа 8?
Правило делимости числа 8 гласит, что если последние три цифры данного числа являются нулями или если число, состоящее из последних трех цифр, делится на 8, то такое число делится на 8. Например, в 1848, последние три цифры 848, что делится на 8. Следовательно, данное число 1848 полностью делится на 8.
Используя правило делимости 8, проверьте, делится ли 2328 на 8.
Используя правило делимости 8, мы можем видеть, что последние три цифры числа 2328 равны 328, которое делится на 8. Следовательно, 2328 делится на 8.
Что такое правило делимости 8 и 9?
Правило делимости на 8 гласит, что если последние три цифры данного числа равны нулю или образуют число, которое делится на 8, то данное число делится на 8. Правило делимости на 9говорит, что число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Используя признак делимости числа 8, проверьте, делится ли 1000 на 8.
Используя признак делимости числа 8, мы можем видеть, что последние три цифры числа 1000 — 000. Это означает, что 1000 делится на 8.
Как узнать, делится ли большое число на 8?
Чтобы проверить делимость больших чисел, нам нужно проверить последние три цифры данного числа. Если последние три цифры большого числа нули или число, которое делится на 8, то говорят, что данное число делится на 8. Например, чтобы проверить, делится ли 51 848 на 8, мы проверяем последние три цифры данного числа 848, которое делится на 8. Следовательно, мы можем сказать, что 51 848 делится на 8.
Что такое правило делимости 4 и 8?
Согласно правилу делимости на 4, данное число называется кратным 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4. Например, в числе 1136 последние две цифры образуют число 36. которое делится на 4. Следовательно, 1136 делится на 4. Однако правило делимости 8 гласит, что если последние три цифры данного числа равны нулям или образуют число, которое делится на 8, то данное число равно делится на 8. Например, в числе 56416 последние 3 цифры образуют число 416, которое делится на 8. Следовательно, мы можем сказать, что 56416 делится на 8.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Связанные рабочие листы
Искусство решения задач
Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применимы только для базы 10 — в других базах есть свои, разные версии этих правил.
Содержание
1 Делимость Видео
2 Основы
2.1 Правило делимости на 2 и степени 2
2.2 Правило делимости на 3 и 9
2.3 Правило делимости на 5 и степени числа 5
2.4 Правило делимости для 7
2.5 Правило делимости на 10 и степени 10
2.6 Правило делимости для 11
2.7 Общие правила для композитов
2.7.1 Пример
3 Расширенный
3.1 Общее правило для простых чисел
3.2 Правило делимости на 13
3.3 Правило делимости для 17
3.4 Правило делимости для 19
3.5 Правило делимости для 29
3.6 Правило делимости для 49
4 Проблемы
5 ресурсов
5.1 Книги
5.2 Классы
6 См. также
Видео о делимости
https://youtu. be/bIipw2XSMgU
Основы
Правило делимости 2 и степени 2
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на . Так, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его разряд единиц делится на 2, т. е. если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Доказательство
Правило делимости на 3 и 9
Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно. Обратите внимание, что это означает, что , а не работает для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но само 1899 не делится на 27.
Доказательство
Правило делимости на 5 и степени числа 5
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень числа 5.
Доказательство
Правило делимости для 7
Правило 1: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда она делится на 7.
Доказательство
Правило 2: Обрежьте последнюю цифру , удвойте эту цифру и вычтите ее из остального числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.
Доказательство
Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это говорит вам только о том, делится ли оно, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и добавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы получить ноль. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба допустимы, я использую первое). Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==> 1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. Обычно работает с числами, относительно простыми по основанию (и ОТЛИЧНО работает с двоичными числами). Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!
Правило делимости на 10 и степени 10
Если число представляет собой степень 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которое должно быть в конце числа, чтобы оно делилось на эта сила 10.
Пример:
Число должно иметь 6 нулей в конце, чтобы оно делилось на 1 000 000, потому что .
Правило делимости для 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма переменных цифр делится на 11.
Доказательство
Общее правило для составных чисел
Число делится на , где простая факторизация числа , если число делится на каждое из .
Пример
Например, мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.
Разложение числа 36 на простые множители должно быть . Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы узнать, делится ли оно на 36.
Поскольку две последние цифры числа, 44, делятся на 4, то и все число делится на 4.
Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.
Таким образом, число делится и на 4, и на 9. и должно делиться на 36.
Расширенный
Общее правило для простых чисел
Для каждого простого числа, отличного от 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 делимости на 7. Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, умножение ее на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, кратный . Правило делимости 2 для 7 говорит, что для , . Правило делимости для 11 эквивалентно выбору . Правило делимости на 3 эквивалентно выбору . Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется, то вычитание может быть заменено сложением. Мы видим один пример этого в правиле делимости для 13: мы могли бы умножить на 9и вычитать, а не умножать на 4 и добавлять.
Правило делимости на 13
Правило 1: Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делилось на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как и со вторым правилом делимости для 7.
Доказательство
Правило 2: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда она делится на 13.
Доказательство
Правило делимости для 17
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 5 и вычтите из оставшегося старшего числа. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Процесс можно повторить для любого числа.
Доказательство
Правило делимости для 19
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 2 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 29
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 3 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 49
Почему 49? Для извлечения надоедливого из корня.
Полезно до 23:00. Округлите до ближайших 50, назовите это, и вычтите исходное число, назовите это. Если , то делится на 49.
Примеры:
49. Округлить: . Разница: . ? Да!
1501. Округлить: . Разница: . ? Нет!
1470. Округлить: . Разница: . ? Да!
Доказательство
Задачи
Практические задачи на Alcumus
Делимость (преалгебра)
2000 AMC 8 Проблемы/проблема 11
2006 AMC 10B Проблемы/проблемы 25
Ресурсы
Книги
AoPS Введение в теорию чисел Мэтью Кроуфорд.
Искусство решения проблем Шандора Лехоцки и Ричарда Рущика.
Классы
AoPS Введение в курс теории чисел
См. также
Теория чисел
Модульная арифметика
Книги по математике
Математические соревнования
Правила делимости на 7, 11 и 12
В предыдущем уроке мы обсуждали правила делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10. В этом уроке мы собираемся чтобы поговорить о признаках делимости чисел 7, 11 и 12. Причина, по которой я разделил их, заключается в том, что 9Правила делимости 0036 для 7, 11 и 12 немного более продвинуты. Однако я обещаю вам, что, изучив соответствующие правила и применив их к некоторым практическим задачам, вы поймете, что они не так уж сложны. На самом деле, они действительно забавны!
Правило делимости на 7
Правило: Возьмите последнюю цифру и вычеркните ее из исходного числа. Затем удвойте его. Вычтите его из «нового» числа, которое является исходным числом, исключая последнюю цифру. Если разность делится на 7, то исходное число также должно делиться на 7. Если при первом применении результат явно не делится на 7, вы можете повторять процесс по мере необходимости, пока не получите двузначное число, которое может легко определить, делится оно на 7 или нет.
Пример 1: Верно или неверно. Число 6895 делится на 7.
Решение: возьмем последнюю цифру 6,89{\color{red}5}, которая \color{red}5, затем удвоим ее, таким образом, 2({\color{red}5 })=10. Теперь вычтите «новое» число (старое число без последней цифры) на удвоенную последнюю цифру, и мы получим 689-10=679. 679 делится на 7? Мы можем выполнить длинное деление. Но хорошо то, что мы можем выполнять этот процесс снова и снова, пока не достигнем двузначного числа, потому что гораздо проще узнать, делится оно на 7 или нет.
Давайте повторим процесс еще раз и посмотрим, что у нас получится. Помните, что на последнем шаге мы получили 679. Двигаемся дальше, последняя цифра 67{\color{red}9} равна \color{red}9. Если мы удвоим это, мы получим 2 ({\ color {red} 9}) = 18. Оставшееся число, которое образуется, когда мы избавляемся от последней цифры, равно 67. Если мы вычтем 67 из 18, мы получим 67-18=49.
Так как 49 делится на 7, значит, исходное число 6895 также должно делиться на 7. Итак, ответ Верен. ✔︎
Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 7?
Примечание: правильный ответ только один.
A) 18,046
B) 11,749
C) 20,704
D) 21 011
Я понял, что это может быть в этом, что больше, чем вы понимаете, что больше, чем вы понимаете, что это больше. становится намного легче. Ниже приведены простые шаги, которые, я надеюсь, помогут вам запомнить.
Этапы проверки делимости числа 7
Отбросьте последнюю цифру числа, а затем удвойте отброшенную цифру.
Вычтите его из нового числа, образованного удалением последней цифры исходного числа.
Повторяйте процесс, пока число не уменьшится до двух цифр.
Если двузначное число делится на 7, то исходное число делится на 7. В противном случае оно не делится.
Решение: В реальном тесте с несколькими вопросами вы можете случайным образом выбрать вариант (букву) для решения, поскольку вполне возможно, что вы сразу же наткнетесь на правильный ответ, что сэкономит вам много времени. . Но в этом уроке мы пойдем от А к D ради практики.
◉ Вариант тестирования A: 18 046
Отбросьте последнюю цифру 18 046, которая станет 1 804, затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что мы имеем 2(6)=12.
Вычесть новое число из последней цифры, удвоенной: 1804 — 12 = 1792. Мы сократили исходное пятизначное число до четырехзначного числа. Помните, мы хотим, чтобы оно было сокращено до двузначного числа. Давайте повторим процесс.
Отбросьте последнюю цифру 1792, которая станет 179, затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что мы имеем 2(2)=4.
Вычесть новое число из последней цифры, удвоенной: 179 — 4 = 175. Теперь мы сократили его до трехзначного числа. Давайте сделаем это еще раз!
Отбросьте последнюю цифру 175, которая станет 17, затем удвойте цифру, которую мы удалили, таким образом, 2(5)=10.
Вычесть из нового числа удвоенную последнюю цифру: 17-10=7.
Так как \color{red}7 делится на 7, то исходное число 18 046 также делится на 7. Таким образом, вариант А является правильным ответом. ✔︎
Окончательный ответ: опция A .
Я оставлю это вам в качестве упражнения, чтобы понять, почему варианты B , C и D НЕ делятся на 7. Тем не менее, ниже я все же предоставлю вам сокращенное решение. Я настоятельно рекомендую вам выполнить это упражнение не только для большей практики, но и потому, что оно приносит такое же удовлетворение, когда вы показываете, что число не делится на 7.
Попробуйте!
◉ Вариант тестирования B: 11 749
Ответ
Исходный номер: 11,749
1,174-2(9)=1,174-18=1,156
115-2(6)=115-12=103
10-2(3)=10-6=4
Поскольку \color{red}4 не делится на 7, то 11 749 также не делится на 7. =2,070-8=2,062
206-2(2)=206-4=202
20-2(2)=20-4=16
Так как \color{red}16 не делится на 7, то 20 704 тоже не делится на 7. ✘
◉ Вариант тестирования D: 21,011
Ответ
Первоначальный номер: 21,011
2 101-2 (1) = 2,101-2 = 2,099
209-2 (9) = 209-18 = 191
19-2 (1)=19-2=17
Поскольку \color{red}17 не делится на 7, исходное число 21 011 также не делится на 7. ✘
Пример 3: Выберите все подходящие варианты. Какие числа делятся на 7?
Примечание. Может быть несколько ответов.
A) 5 544
B) 3,110
C) 54,810
D) 34,125
РЕШЕНИЕ число делится на 7 или нет. С учетом сказанного я буду использовать сокращенное решение.
◉ Вариант проверки A: 5,544
Мы проверяем, делится ли 5,544 на 7. Поскольку 42 можно разделить на 7, исходное число 5 544 также делится на 7. ✔︎
◉ Вариант тестирования B: 3,110
Мы проверяем, делится ли 3,110 на 7.
Поскольку 29 не делится на 7, исходное число 3110 также не делится на 7. ✘
◉ Вариант проверки C: 54 810
Проверим, делится ли 54 810 на 7.
54-2(6)=54-12=42
Алгоритм преобразовал исходное число в двузначное число 42, которое делится на 7. Это означает, что исходное число 54 810 также должно делиться на 7. ✔︎
◉ Вариант проверки D: 34,125
Определим, делится ли 34,125 на 7. 33-2(6)=33-12=21
Мы преобразовали исходное пятизначное число в двузначное число 21, которое делится на 7. Отсюда следует, что исходное число 34 125 также должно делиться на 7. . ✔︎
Таким образом, опции A , C и D делятся на 7.
Правило делимости для 11
Правило: Слева направо от числа возьмите первую цифру и присоедините к ней символ сложения слева. Затем вычтите его на следующую цифру, затем добавьте к результату третью цифру, и снова вычтите результат на четвертую цифру, и так далее и тому подобное. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.
Сокращенное правило: Поочередно складывать и вычитать цифры числа слева направо. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.
Стандартное правило: Возьмите переменную сумму цифр числа. Если результат кратен 11, число делится на 11.
ПРИМЕЧАНИЕ: Все приведенные выше правила означают одно и то же. Первые два правила носят более поучительный характер, в то время как последнее — это правило, с которым вы можете столкнуться в своем учебнике или которое вам преподает ваш учитель.
Пример 1: Верно или неверно. Число 9581 делится на 11.
Правило на самом деле довольно простое. Мы будем складывать и вычитать, а затем повторять шаблон, пока все цифры числа не будут обозначены символами плюс и минус слева направо. После настройки упрощаем. Если результат кратен 11, то исходное число также делится на 11.
Вот настройка:
+9-5+8-1
Шаг 1: +9-5=4
4+8-1
Шаг 2: 4+8=12
12 -1
Шаг 3: 12-1=11
11
Поскольку окончательный результат равен 11 и кратен 11, то исходное число, равное 9581, делится на 11. Таким образом, наш окончательный ответ — Верно. ✔︎
Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 11?
Примечание: правильный ответ только один.
A) 98,517
B) 79,829
C) 82,709
D) 50,453
We will check the divisibility of each number from option A to option D .
◉ Проверка варианта А: 98,517
Давайте настроим его, взяв чередующуюся сумму цифр числа.
9-8+5-1+7
Тогда упрощаем.
(9-8)+5-1+7
1+5-1+7
(1+5)-1+7
6-1+7
(6-1)+7
5+7
12
Окончательный результат равен 12, что не кратно 11. Поэтому , исходное число 98 517 не делится на 11. ✘
◉ Проверка варианта B: 79 829
Установите его, записав чередующуюся сумму цифр.
7+9-8+2-9
Упрощение.
(7+9)-8+2-9
16-8+2-9
(16-8)+2-9
8+2-9
(8+2)-9
10-9
1
Так как окончательный ответ \large{(1)} не делится на 11, то исходное число 79829 также не делится на 11. ✘
Сначала мы строим знакопеременную сумму цифр числа.
8-2+7-0+9
Затем упрощайте слева направо. Не нужно беспокоиться о порядке операций, так как мы имеем дело только со сложением и вычитанием.
(8-2)+7-0+9
6+7-0+9
(6+7)-0+9
13-0+9
(13-0)+9
13+9
22
Так как окончательный результат 22, кратное 11, означает, что исходное число 82 709 делится на 11. Таким образом, окончательный ответ будет C . ✔︎
☞ Нет необходимости проверять вариант D, потому что мы уже нашли правильный ответ.
Окончательный ответ: опция C .
Пример 3: Какие числа делятся на 11? Выбрать все, что подходит.
Примечание. Может быть несколько ответов.
A) 69,245
B) 73,186
C) 843,210
D) 918,071
. 9+2-4+5
{\color{red}6-9}+2-4+5
-3+2-4+5
{\color{red}-3+2}-4 +5
-1-4+5
{\color{red} -1-4}+5
-5+5
0
Так как 0 кратно 11, то 69 245 делится на 11. } 7-3} + 1-8 + 6
4 + 1-8 + 6
{\ цвет {красный} 4 + 1} -8 + 6
5-8 + 6
{\ цвет {красный }5-8}+6
-3+6
3
Поскольку 3 не кратно 11, то 73 186 не делится на 11. ✘
11
8-4+3-2+1-0
{\color{red}8-4}+3-2+1-0
4+3-2+1-0
{\color{ красный} 4 + 3} -2 + 1-0
7-2 + 1-0
{\ цвет {красный} 7-2} + 1-0
5 + 1-0
{\ цвет { red}5+1}-0
6-0
6
Поскольку 6 не кратно 11, следовательно, 843 210 не делится на 11. ✘
11
9-1+8-0+7-1
{\цвет{красный}9-1}+8-0+7-1
8+8-0+7-1
{\ цвет {красный} 8 + 8} -0 + 7-1
16-0 + 7-1
{\ цвет {красный} 16-0} + 7-1
16 + 7-1
{\color{red}16+7}-1
23-1
22
Поскольку 22 кратно 11, это означает, что 918 071 делится на 11. и D делятся на 11.
Правило делимости на 12
Правило: Число делится на 12, если оно делится и на 3, и на 4.
Число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 4 , если две последние цифры числа делятся на 4.
Пример 1: Верно или неверно. Число 7 512 делится на 12.
Решение:
Первым делом нужно проверить, делится ли оно на 3. Сначала мы сложим все цифры числа 7 512.
7 512
7+5+1+2=15
Поскольку 15 делится на 3, значит, 7512 также делится на 3.
Последний шаг — проверить, делится ли число, состоящее из двух последних цифр исходного числа, на 4, тогда оно делится на 4.
7,5{\color{red}12}
Поскольку 12 делится на 4, то 7512 делится на 4.
Следовательно, поскольку исходное число 7512 делится и на 3, и на 4, оно делится на 12. ✔︎
Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 12?
Примечание: правильный ответ только один.
A) 527,037
B) 981,128
C) 746,936
D) 49,9920
. , число делится на 12, если оно делится на 3 и 4. Поскольку гораздо быстрее проверить делимость на 4 , чем на 3 , потому что для первого вам просто нужно посмотреть на последние две цифры числа и проверить, кратно ли оно 4, а второе займет немного больше времени, потому что вам придется сложить все цифры числа и проверить, делится ли сумма на 3. Поэтому мы сначала проверим делимость 4, а затем делимость 3. Обратный путь немного немного больше времени.
◉ Вариант проверки A: 527 037 на делимость 12
Последние две цифры числа 527 037 — это \color{red}37, не кратное 4. Следовательно, оно не делится на 4. Нет необходимости проверять на делимость на 3, так как не выполняется одно из двух требований. Таким образом, 527 037 не делится на 12. ✘
◉ Вариант проверки B: 981 128 на делимость 12
Последние две цифры числа 981 128 — это \color{red}28, кратное 4, что делает его делящимся на 4 , Теперь давайте проверим, делится ли оно на 3, сложив все его цифры, таким образом, 9+8+1+1+2+8=29. Так как сумма 29 не делится на 3, то и само число не делится на 3. Поскольку 981 128 нельзя разделить на ни на , ни на 3, ни на 4, это означает, что два условия не выполнены, следовательно, исходное число не делится на 12. ✘
◉ Вариант проверки C: 746 936 на делимость 12
Число \color{red}36 — это две последние цифры числа 746 936. И это число кратно 4, что делает исходное число делящимся на 4. Теперь о делимости на 3. Сложите все цифры 746,9.36, получаем 7+4+6+9+3+6=35. Сумма цифр не делится на 3. Отсюда следует, что число не делится и на 3. Поскольку одно из двух требуемых условий не выполняется (оба неверны), то 746 936 не делится на 12. ✘
◉ Вариант проверки D: 49,9920 на делимость 12
Число 20 — это две последние цифры числа 49,9920, которое явно кратно 4, поэтому 49,9920 делится на 4. Складываем все цифры числа: 4+9+9+9+2+0=33. Сумма 33 делится на 3 и получается 49,9920 делится на 3. Поскольку исходное число делится и на 3, и на 4, оно также должно делиться на 12. ✔︎
Окончательный ответ: вариант D .
Пример 3: Какие числа делятся на 12? Выбрать все, что подходит.
Примечание. Может быть несколько ответов.
A) 344 888
Число красного цвета 88 — это две последние цифры числа 344 888, которое явно кратно 4 и, следовательно, делится на 4.
Сумма цифр числа 344 888 рассчитывается как 3+4+4+8+8+8=35. Но 35, очевидно, не делится на 3.
Поскольку число 344 888 делится только на 4, но не на 3, невыполнение одного из двух требований означает, что исходное число не делится на 12. ✘
B) 521 340
Последние две цифры числа 521 340 образуют число \color{red}40, которое кратно 4, поэтому делится на 4.
Складывая его цифры, получаем 5+2+1+3+4 +0=15. Сумма 15 делится на 3.
Поскольку 521 340 делится и на 3, и на 4, то оно должно делиться и на 12. делится на 4.
Сумма цифр 8+4+2+6+5+2=27. Число 27 делится на 3.
Поскольку 842 652 делятся и на 3, и на 4, то оно также должно делиться на 12. делятся на 4,
Сумма цифр 6+7+6+9+6+8=42 делится на 3.
Поскольку исходное число можно разделить и на 3, и на 4, оно также должно делиться на 12.
Вас также могут заинтересовать:
Правила делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10
Как узнать, делится ли число на 7, 8 или 9
Два несколько недель назад мы рассмотрели, как быстро проверить, делится ли число на 2 или 3, а на прошлой неделе мы узнали несколько хитрых приемов, которые вы можете использовать, чтобы проверить, делится ли число на 4, 5 или 6. , Итак, каков наш логичный следующий шаг? Что ж, сегодня мы собираемся закончить эту серию, научившись проверять, делится ли число на 7, 8 или 9..
Как определить, делится ли число на 7
Быстрый и грязный совет Проверка числа на делимость на 7 состоит из трех шагов:
Возьмите последнюю цифру проверяемого числа и удвоить это.
Вычтите это число из остальных цифр исходного числа.
Если это новое число либо 0, либо число, которое делится на 7, то вы знаете, что исходное число также делится на 7. Если вы еще не можете легко сказать, делится ли новое число на 7, вернитесь назад на первый шаг с этим новым меньшим числом и повторите попытку.
Например, делится ли число 203 на 7? Что ж, давайте воспользуемся нашим трехэтапным процессом, чтобы узнать:
Последняя цифра числа 203 — 3, так что удвойте это 3 x 2 = 6.
Вычитание этого нового числа 6 из 20 (оставшиеся цифры исходного числа 203) дает 14.
Поскольку 14 делится на 7, мы сразу можем сказать, что исходное число 203 также должно делиться на 7.
Попробуем увеличить число. 2023 делится на 7?
Последняя цифра числа 2023 — 3, так что двойное число равно 6.
Вычитание 6 из 202 (оставшиеся цифры из 2023) дает нам 202 – 6 = 196.
Делится ли 196 на 7? Я не уверен. Итак, давайте повторим процесс, используя новое число 196. Последняя цифра числа 196 — 6, поэтому вдвое больше 12. Вычитая это из 19 (оставшиеся цифры 196), мы получаем 19 — 12 = 7. Так как 7, безусловно, делится на 7 мы сразу знаем, что исходное число 2023 тоже делится на 7!
Почему тест на делимость на 7 работает?
Хорошо, это достаточно легко сделать, но это определенно немного странно… как это вообще может работать? Что ж, это фантастический вопрос, но, к сожалению, логика этого трюка слишком сложна, чтобы я мог объяснить ее здесь. Поэтому, хотя обычно я этого не делаю, в данном случае я оставлю объяснение трюка с делимостью на 7 на потом. А пока, если вам интересно узнать больше, вы можете ознакомиться с объяснением в разделе «Дополнение» внизу этой страницы.
Как узнать, делится ли число на 8
Теперь, когда мы знаем, как проверить делимость на все числа от 2 до 7, пришло время проверить делимость на 8.
быстро и Грязный совет для проверки того, делится ли число на 8, состоит в том, чтобы проверить, делятся ли последние три цифры числа на 8. Если это так, то все число тоже делится на 8. Например, делится ли число 1 523 424 на 8? Что ж, быстрый и грязный совет говорит, что мы можем игнорировать все числа здесь, кроме последних трех: 424. Все, что нам нужно сделать, это выяснить, делится ли это число на 8. Как вы можете проверить (полным делением или используя калькулятор), 424 / 8 = 53… значит, 424 делится на 8. Это означает, что исходное число 1 523 424 тоже делится на 8!
Почему тест на делимость на 8 работает?
Но почему это работает? Как мы можем просто игнорировать все эти другие цифры? Что ж, поскольку все степени числа 10, большие 100, то есть 1000, 10000, 100000 и т. д., делятся на 8 без остатка (например, 1000 / 8 = 125), остается проверить только делится ли часть числа меньше 1000 на 8. И это именно то, что говорит нам быстрый и грязный наконечник.
Вы можете подумать, что проверка того, делятся ли последние три цифры числа на 8, требует много работы… и что это не то, что вы всегда можете сделать в уме. Вам также может быть интересно, есть ли более простой метод. Но, к сожалению, ответ «не совсем»… хотя есть хитрость, которая может ускорить процесс и позволить вам проделать всю работу в уме. Если вам интересно, обязательно ознакомьтесь с разделом «Бонус веб-статьи» в конце этой статьи, чтобы прочитать все об этом.
Как определить, делится ли число на 9
Последняя тема на сегодня — как проверить, делится ли число на 9. Как оказалось, этот тест очень похож на тест на делимость на 3, который мы говорили несколько статей назад.
Быстрый и грязный совет для проверки, делится ли число на 9, состоит в том, чтобы сложить цифры в числе и проверить, делится ли полученная сумма на 9. Если это так, то исходное число делится на 9 слишком. Например, 1278 делится на 9.? Итак, сначала сложим цифры числа 1278: 1+2+7+8=18. Так как 18 делится на 9, то и все число тоже!
Почему тест на делимость на 9 работает?
Но почему тест на делимость на 9 работает? Опять же, логика очень похожа на тест делимости на 3, о котором мы говорили ранее. И вместо того, чтобы сразу же приходить и объяснять это, я позволю вам попытаться выработать аргументацию. Итак, вернитесь назад и посмотрите, как работает объяснение делимости на 3, и посмотрите, сможете ли вы использовать его для объяснения делимости на 9.тест. Если вы застряли или просто хотите проверить свою логику, я опубликую объяснение на странице Math Dude в Facebook… обязательно ознакомьтесь с ним.
Практические задачи
Итак, это все, на что у нас есть время на математику. Но прежде чем мы закончим, вот несколько практических задач для проверки ваших навыков тестирования делимости:
Делится ли 952 на 7? ____ (Да/Нет) К 8? ____ (Да/Нет) К 9? ____ (Да/Нет)
Делится ли число 504 на 7? ____ (Да/Нет) К 8? ____ (Да/Нет) К 9? ____ (Да/Нет)
Делится ли 792 на 7? ____ (Да/Нет) К 8? ____ (Да/Нет) К 9? ____ (Да/Нет)
Ответы вы найдете в самом конце статьи. Проверив их, не стесняйтесь оставлять комментарии внизу страницы и дайте мне знать, как вы это сделали.
Подведение итогов
Если у вас есть вопросы о том, как решить эти практические задачи или любые другие математические вопросы, пожалуйста, напишите их мне по адресу [email protected], отправьте их через Twitter или станьте поклонником Math Dude на Facebook. и получить помощь от меня и других любителей математики там.
До свидания, это Джейсон Маршалл с Быстрые и грязные советы чувака-математика по упрощению математики . Спасибо, что читаете любителей математики!
Бонус к веб-статье: как проверить трехзначное число на делимость на 8
Как мы видели ранее, тест на делимость на 8 требует от вас либо деления в большую сторону, либо использования калькулятора, чтобы проверить, являются ли последние три цифры из числа, которое вы тестируете, сами делятся на 8. Поскольку это своего рода боль и поскольку это побеждает цель «вычислить ответ в своей голове» этой серии, вот бонус быстрый и грязный совет , который вы можете использовать, чтобы проверить, делится ли трехзначное число на 8:
Если первая цифра трехзначного числа четная, то все число делится на 8, если последняя две цифры делятся на 8.
Если первая цифра числа нечетная, то из двух последних цифр вычтите число 4 и проверьте, делится ли это новое число на 8. Если да, то и все число тоже.
Например, мы можем сразу сказать, что число 658 не делится на 8. Как? Что ж, поскольку первая цифра 6 четная, все, что нам нужно сделать, это проверить, делятся ли две последние цифры 58 на 8. Поскольку это не так, мы знаем, что все число не делится на 8. С другой стороны, первая цифра числа 344 нечетная. Это означает, что мы можем проверить, делится ли 344 на 8, вычитая 4 из его последних двух цифр, 44 — 4 = 40, а затем проверяя, делится ли это новое число на 8. Поскольку 40 делится на 8, мы сразу знаем, что 344 тоже делится на 8.
Практика решения задач
Делится ли 952 на 7? Да . К 8? Да . К 9? № .
Делится ли число 504 на 7? Да . К 8? Да . К 9? Да .
Делится ли 792 на 7? № . К 8? Да . К 9? Да .
Изображение разделения предоставлено Shutterstock
UNIT 2. ДЕЛИМОСТЬ. ЦЕЛЫЕ. ПОЛНОМОЧИЯ.
ДЕЛИМОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
делителей целого числа — это числа, которые делятся на него точно. Между прочим, множители также называются делителями
Для примера делители 18 равны 1, 2, 3, 6, 9 и 18.
Число называется простым, если оно имеет ровно два множителя (т.е. 1 и саму себя). Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … . Обратите внимание, что 1 не является простым числом.
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ДО 100
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,
31,37,41,43, 47,53,59,61,
67,71 ,73,79,83,89,97
кратных числа — это все числа, в которые оно точно входит.
Для , например , число кратно 6: 6, 12, 18, 24, 30, … .
Составное число — это любое число, имеющее более двух делителей . Вот список составных чисел до 20. Как видите, все они могут быть разложены на множители. Например, 4 равняется 2, умноженным на 2, 6 равняется 3, умноженным на 2, 8 равняется 4, умноженным на 2, и так далее.
Между прочим, ноль и единица не считаются ни простыми, ни составными числами — они относятся к отдельному классу!
СЛОЖНЫЕ ЧИСЛА ДО 20
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20
Любое составное число можно записать как произведение простых множителей. Это называется простой факторизацией.
ДЕРЕВО ФАКТОРОВ
Деревья множителей используются для разложения числа на его простые множители. Пример: Нарисуйте дерево множителей для числа 60.
Начнем с поиска двух целых чисел, которые при умножении дают 60, например 6 × 10: Продолжаем разбивать каждое число таким образом, пока не получим простое число. Как только достигается простое число, мы обводим его кружком, и тогда эта часть диаграммы завершается. Завершенное дерево факторов выглядит следующим образом:
Числа, обведенные кружком, умножаются на 60, т. е. 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Это произведение называется простым разложением числа 60.
Признаки делимости
Признаки делимости
Пример
Число делится на 2, если последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8.
168 делится на 2, так как последняя цифра 8.
Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3.
168 делится на 3, так как сумма цифр равна 15 (1+6+8=15), а 15 делится на 3.
Число делится на 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4.
316 делится на 4, так как 16 делится на 4.
Число делится на 5, если последняя цифра 0 или 5.
195 делится на 5, так как последняя цифра 5.
Число делится на 6, если оно делится на 2 И делится на 3.
168 делится на 6, так как делится на 2 И делится на 3.
Число делится на 8, если число, состоящее из трех последних цифр, делится на 8.
7120 делится на 8, так как 120 делится на 8.
Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
549 делится на 9, так как сумма цифр равна 18 (5+4+9=18), а 18 делится на 9.
Число делится на 10, если последняя цифра 0.
1,470 делится на 10, так как последняя цифра 0.
Признак делимости на 11: Признак делимости на 11 является самым интересным из приведенных выше тестов (7 будет изучено ниже). Мы делаем две суммы (цифры с нечетными номерами и цифры с четными номерами), вычитаем одну сумму из другой и смотрим, делится ли она на 11. Кстати, если мы получим ноль, то она делится на 11. Мы можем повторить этот процесс, как мы это сделали с 3.
давайте посмотрим на пример:
34871903 3+8+1+0 = 12 4+7+9+3 = 23 , суммируйте в разных порядках. На самом деле мы можем просто идти слева направо, добавляя и вычитая чередующиеся цифры: 3-4+8-7+1-9+0-3=-11 (делится на 11).
LCM (наименьший общий кратный) и GCF (наибольший общий множитель)
Чтобы найти либо наименьшее общее кратное (НОК) , либо наибольший общий делитель (НОК) двух чисел, вы всегда начинаете одинаково: вы находите простых факторизаций двух чисел. Затем вы помещаете факторы в красивую аккуратную сетку строк и столбцов, сравниваете и сопоставляете и выбираете то, что вам нужно.
Найдите GCF и LCM 84 и 140:
Дерево множителей для числа 84 равно
.
Дерево множителей для числа 140 равно 9. 0345
Мои простые факторизации таковы:
Итак: 84 = 2 × 2 × 3 × 7
Кроме того, 140 = 2 × 2 × 5 × 7
Этот множитель имеет свой собственный список, причем каждый фактор имеет свой собственный список, столбец, сделает за меня большую часть работы
Наибольший общий делитель, GCF(Mcd), является наибольшим числом, которое делится (является делителем) как на 84, так и на 140. Другими словами, это число, которое содержит все факторы, общие для обоих чисел. В этом случае GCF является произведением всех факторов, которые являются общими для чисел 84 и 140.
Этот упорядоченный список, в котором каждый фактор имеет свой собственный столбец, сделает за меня большую часть работы.
84
2
2
3
7
140
2
2
5
7
GFC
2
2
7
Тогда GCF равен 2 × 2 × 7 = 28,
С другой стороны, наименьшее общее кратное, НОК, это наименьшее число, которое содержит как множители 84, так и 140, наименьшее число, кратное обоим этим значениям. Тогда это будет наименьшее число, которое содержит по одному из каждого множителя в этих двух числах.
factor» для аккуратного перечисления простых факторов в таблице, вы всегда можете легко найти LCM и GCF. Полностью факторизируйте числа, которые вам даны, аккуратно перечислите факторы, используя только один фактор для каждого столбца (у вас могут быть столбцы 2s, столбцы 3s и т. д., но 3 никогда не войдет в столбец 2s), а затем перенесите необходимые факторы вниз в нижний ряд.
Для GCF вы переносите только те факторы, которые являются общими для всех списков; для LCM вы переносите все факторы, независимо от того, сколько или мало значений содержат этот фактор в их списках.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Числовая линия бесконечно продолжается в обоих направлениях. На это указывают стрелки.
Целые числа больше нуля называются положительными целыми числами. Эти числа находятся справа от нуля на числовой прямой.
Целые числа меньше нуля называются отрицательными целыми числами. эти числа находятся слева от нуля на числовой прямой.
Целое число ноль нейтрально. Это ни положительно, ни отрицательно.
Знак целого числа может быть положительным (+) или отрицательным (-), за исключением нуля, который не имеет знака.
Два целых числа противоположны, если они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но на противоположных сторонах числовой прямой. У одного будет положительный знак, у другого отрицательный. В числовой строке выше +3 и -3 помечены как противоположные.
АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА
Количество единиц числа от нуля на числовой прямой. Абсолютное значение числа всегда является положительным числом (или нулем). Мы указываем абсолютное значение числа n, записывая n между двумя вертикальными чертами: | н |
Примеры:
| 6 | = 6; | -12 | = 12; | 0 | = 0; | 1234 | = 1234; | -1234 | = 1234 ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: ОПЕРАЦИИ С ЧИСЛАМИ СО ЗНАКОМ
Перед выполнением ЛЮБЫХ вычислений определите ОПЕРАЦИЮ! =Тогда следуйте инструкциям для ЭТОЙ операции.
ДОПОЛНЕНИЕ
Числа имеют ОДИНАКОВЫЙ ЗНАК?
YES
NO
Same sings:
Find the SUM
Different signs:
Find the DIFFERENCE
(-3 ) + (-6) = (-9) (+4) + (+5) = (+9)
(+5) + 8-7) = (-2) (-4) + (+6) = (+2)
В любом случае Сохраняйте знак «БОЛЬШОЕ число». «БОЛЬШЕ» используется здесь как быстрый (но математически неточный) способ описать целое число с большей абсолютной величиной (т. е. расстоянием от нуля). В каждом из приведенных выше примеров ВТОРОЕ целое число имеет большее абсолютное значение.
ВЫЧИТАНИЕ
Во-первых, измените задачу ВЫЧИТАНИЯ в задачу Сложения: Во-первых, скопируйте задачу точно (-6) — (+2) = 1. Первое число остается прежним (-6) 2. Изменить операцию (-6) + 3. Переключить СЛЕДУЮЩИЙ ЗНАК (-6) + (-2) 4. Соблюдать правила сложения (- 6 ) + ( -2 ) = ( -8 )
Сначала ВЫПОЛНИТЕ умножение или деление. Затем определите знак: подсчитайте количество отрицательных знаков. .. ЧЕТНОЕ ли количество отрицательных знаков?
ДА (ЧЕТНОЕ количество отрицательных знаков) ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ
НЕТ (НЕЧЕТНОЕ количество отрицательных знаков) ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ
Пример:
Сначала точно скопируйте задачу: ( -2 ) · (-4) · (-6) = Выполните умножение или деление. 2 · 4 · 6 = 48 Подсчитайте количество отрицательных знаков… Определите знаки ответа: ЧЕТНОЕ ли число отрицательных чисел? Если ДА, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ, в противном случае ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ. Всего ТРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ, три НЕ ЕВА (это странно) Таким образом, ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ( -2 ) · ( -4 ) · ( -6 ) = ( -48 )
Примеры
(4) : ( 2) · (6) = 12 Всего НОЛЬ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ Таким образом, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ
(4) : (-2) · (6) = -12 Всего ОДИН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ Один НЕЧЕТНЫЙ (это нечетно) Значит, ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ
(-4) : (2) · (-6) = 12 Всего ДВА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ Два равно ЧЕТНОМУ Итак, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ 603 9000 ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ
В прошлом году мы научились вычислять арифметическое выражение с более чем одной операцией по следующим правилам:
Правило 1: Упрощайте все операции внутри скобок Правило 2: Выполняйте все умножения и деления, работая слева направо Правило 3: Выполняйте все операции сложения и вычитания, работая слева направо
Однако в приведенной выше задаче есть показатель степени, поэтому мы не можем решить ее, не пересмотрев наши правила. .
Правило 1: Упростите все операции внутри скобок Правило 2: Упростите все показатели степени, работая слева направо. Правило 3: Выполняйте все операции умножения и деления слева направо Правило 4: Выполняйте все операции сложения и вычитания слева направо
Мы можем решить указанную выше проблему, используя наш пересмотренный порядок операций.
Возведение в квадрат числа 3 2 означает «3 в квадрате», или 3 · 3. Маленькая двойка — это порядковый номер или степень. Она говорит нам, сколько раз мы должны умножить 3 (основание ) сам по себе Аналогично 7 2 означает «7 в квадрате», или 7 · 7. А 10 2 означает «10 в квадрате», или 10 · 10. Итак, 1 2 = 1 · 1 = 1; 2 2 = 2 · 2 = 4 ; 3 2 = 3 · 3 = 9; 4 2 = 4 · 4 = 16; 5 2 = 5 · 5 = 25. 1, 4, 9, 16, 25… известны как квадратных чисел .
Когда порядковый номер больше трех, мы говорим «в степени». Например: 3 7 — это «три в степени семь», 4 5 — это «четыре в степени пять».
Свойства степени
1. Произведение одинаковых оснований : Чтобы умножить степени на одно и то же основание, сложите показатели степени и оставьте общее основание.
2 2 · 2 3 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 5 x M · X N = X M+N 957958958958958958958958888888888888888888888888888888888895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895888888888. Соотношение одинаковых оснований: Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, вычтите показатели степени и оставьте общее основание.
Напишите два примера с числами и переменными.
3. Степень в степени: Чтобы возвести степень в степень, сохраните основание и умножьте показатели степени.
Напишите два примера с числами и переменными.
4. Произведение в степени: Чтобы возвести произведение в степень, возведите в степень каждый множитель.
Напишите два примера с числами и переменными.
5. Возведение в степень: Чтобы возвести частное в степень, возведите числитель и знаменатель в степень.
Напишите два примера с числами и переменными.
Показатель степени один и ноль
Обратите внимание, что 3 1 является произведением только одной 3, что, очевидно, равно 3. Также обратите внимание, что 3 5 = 3·3 4 . Также 3 4 = 3·3 3 . Продолжая эту тенденцию, мы должны иметь 3 1 = 3 · 3 0 .
Другими словами, когда n, m и n − m положительны (и если x не равно нулю), можно, подсчитав количество вхождений x, увидеть, что
В расширенном случае, когда n и m равны, уравнение будет выглядеть как
, поскольку и числитель, и знаменатель равны. Поэтому мы принимаем это как определение x 0 .
Это приводит к следующему правилу:
Любое число в степени 1 само по себе.
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1; одна интерпретация этих полномочий
как пустые продукты. Случай 0 0 обсуждается как
Отрицательные показатели
Отрицательный показатель степени означает деление на это количество множителей вместо умножения. Таким образом, 4 -3 равно 1/4 3 , а x -3 = 1/ x 3
Как вы знаете, на ноль делить нельзя, поэтому
x ≠ 0, когда x=0, x -n не определено.
НАУЧНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ
Для очень больших или очень малых чисел иногда проще использовать «научное обозначение» (так называемое, потому что ученые часто имеют дело с очень большими и очень маленькими числами).
Формат записи числа в экспоненциальном представлении довольно прост: Первая цифра числа, за которой следует десятичная точка, а затем все остальные цифры числа, умноженные на 10 в соответствующей степени. Преобразование довольно простое.
Пример: Запишите 12400 в экспоненциальном представлении.
Это не очень большое число, но для примера оно подойдет. Чтобы перевести число в экспоненциальное представление, я сначала напишу «1,24». Это не то же самое 9Число 1589, но (1,24)(10000) = 12400, а 10000 = 10 4 . Тогда в научной нотации 12400 записывается как 1,24 · 10 4 .
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Противоположное квадратному числу — квадратный корень. Мы используем символ √ для обозначения квадратного корня. Таким образом, мы можем сказать, что
4 = 2 (4 называется подкоренным числом) и 25 = 5. (–5) · (–5) тоже 25,
Итак, на самом деле 4 = 2 или -2. А 25 = 5 или – 5.
Помните, что каждое положительное число имеет два квадратных корня.