Рубрика: Разное

Функции более двух переменных

До сих пор мы рассматривали только функции двух переменных.2) \ sin t− (3x + 5y) \ cos t. \]

В первой функции \ ((x, y, z) \) представляет точку в пространстве, а функция \ (f \) сопоставляет каждую точку в пространстве с четвертой величиной, такой как температура или скорость ветра. Во второй функции \ ((x, y) \) может представлять точку на плоскости, а \ (t \) может представлять время. Функция может сопоставлять точку на плоскости с третьей величиной (например, давлением) в данный момент времени \ (t \). Метод поиска области определения функции более двух переменных аналогичен методу для функций одной или двух переменных.2−4 \} \ nonumber \]

Функции двух переменных имеют кривые уровня, которые показаны как кривые на \ (xy-плоскости. \). Однако, когда функция имеет три переменных, кривые становятся поверхностями, поэтому мы можем определить поверхности уровня для функций трех переменных.

Определение: ровная поверхность функции трех переменных

Для функции \ (f (x, y, z) \) и числа \ (c \) в диапазоне \ (f \) поверхность уровня функции трех переменных определяется как множество точек, удовлетворяющих уравнению \ (f (x, y, z) = c.2 = 16 \) описывает сферу радиуса \ (4 \) с центром в точке \ ((1, −2,3). \)

1.4 Обратные функции — Объем исчисления 1

Цели обучения

• Определите условия, при которых функция имеет инверсию.
• Используйте тест горизонтальной линии, чтобы распознать однозначное соответствие функции.
• Найти обратное значение заданной функции.
• Постройте график обратной функции.
• Вычислить обратные тригонометрические функции.

Обратная функция отменяет операцию, выполняемую конкретной функцией. Другими словами, что бы ни делала функция, обратная функция отменяет это. В этом разделе мы формально определяем обратную функцию и формулируем необходимые условия для существования обратной функции. Мы исследуем, как найти обратную функцию, и изучаем взаимосвязь между графиком функции и графиком обратной. Затем мы применяем эти идеи для определения и обсуждения свойств обратных тригонометрических функций.

Начнем с примера. Учитывая функцию и результат, нас часто интересует, какое значение или значения были сопоставлены. Например, рассмотрим функцию. Поскольку любой выход, мы можем решить это уравнение, чтобы найти, что вход. Это уравнение определяется как функция от. Обозначив эту функцию как и написав, мы увидим, что для любого в домене. Таким образом, эта новая функция «отменила» то, что делала исходная функция. Функция с этим свойством называется функцией, обратной исходной функции.

Обратите внимание, что читается как «инверсия f». Здесь -1 не используется как показатель степени и. (Рисунок) показывает взаимосвязь между доменом и диапазоном и доменом и диапазоном.

Напомним, что функция имеет ровно один выход для каждого входа. Следовательно, чтобы определить обратную функцию, нам нужно сопоставить каждый вход ровно с одним выходом. Например, давайте попробуем найти обратную функцию для. Решая уравнение для, мы приходим к уравнению. Это уравнение не описывается как функция от, потому что для каждого существует два решения этого уравнения.Проблема с попыткой найти обратную функцию для состоит в том, что два входа отправляются на один и тот же выход для каждого выхода. Обсуждаемая ранее функция не имела этой проблемы. Для этой функции каждый вход был отправлен на другой выход. Функция, которая отправляет каждый вход на различных выходов , называется функцией «один-к-одному».

Определение

Мы говорим, что a является взаимно однозначной функцией if when.

Один из способов определить, является ли функция взаимно однозначной, — взглянуть на ее график.Если функция взаимно однозначна, то два входа не могут быть отправлены на один и тот же выход. Следовательно, если мы проведем горизонтальную линию в любом месте плоскости, согласно тесту горизонтальной линии , она не может пересекать график более одного раза. Отметим, что тест горизонтальной линии отличается от теста вертикальной линии. Тест вертикальной линии определяет, является ли график графиком функции. Тест горизонтальной линии определяет, является ли функция взаимно однозначной ((рисунок)).

Правило: Тест горизонтальной линии

Функция взаимно однозначна тогда и только тогда, когда каждая горизонтальная линия пересекает график не более одного раза.

Определение того, является ли функция взаимно однозначной

Соответствует ли функция на следующем изображении однозначно?

Шесть основных тригонометрических функций периодичны, поэтому они не взаимно однозначны. Однако, если мы ограничим область определения тригонометрической функции интервалом, в котором она взаимно однозначна, мы можем определить ее обратную.Рассмотрим синусоидальную функцию ((рисунок)). Синусоидальная функция взаимно однозначна на бесконечном количестве интервалов, но стандартное соглашение заключается в ограничении области до интервала. Таким образом, мы определяем обратную синусоидальную функцию в области так, что для любого в интервале обратная синусоидальная функция сообщает нам, какой угол в интервале удовлетворяет. Точно так же мы можем ограничить области действия других тригонометрических функций, чтобы определить и обратные тригонометрические функции , которые являются функциями, которые сообщают нам, какой угол в определенном интервале имеет указанное тригонометрическое значение.

Определение

Функция обратного синуса, обозначенная или arcsin, и функция обратного косинуса, обозначенная или arccos, определены в области следующим образом:

Функция обратного тангенса, обозначенная или arctan, и функция обратного котангенса, обозначенная или arccot, определены в области следующим образом:

Обратная функция косеканса, обозначенная или arccsc, и обратная функция секанса, обозначенная или arcsec, определены в области следующим образом:

Для построения графиков обратных тригонометрических функций мы используем графики тригонометрических функций, ограниченных областями, определенными ранее, и отображаем графики относительно линии ((Рисунок)).

Перейдите на следующий сайт, чтобы получить больше сравнений функций и их обратных.

При оценке обратной тригонометрической функции выходным значением является угол. Например, чтобы оценить, нам нужно найти такой угол, чтобы. Ясно, что многие углы обладают этим свойством. Однако, учитывая определение, нам нужен угол, который не только решает это уравнение, но и лежит в интервале.Делаем вывод.

Теперь рассмотрим композицию тригонометрической функции и ее обратной. Например, рассмотрим два выражения и. Для первого упрощаем следующим образом:

Для второго у нас

Предполагается, что обратная функция «отменяет» исходную функцию, так почему же нет? Вспоминая наше определение обратных функций, функция и ее обратная функция удовлетворяют условиям для всех в области и для всех в области, так что же здесь произошло? Проблема в том, что обратная синусоидальная функция является обратной синусоидальной функцией , ограниченной синусоидальной функцией , определенной в домене.Следовательно, для в интервале верно, что. Однако для значений вне этого интервала уравнение не выполняется, даже если оно определено для всех действительных чисел.

А что? Есть ли у этого похожая проблема? Ответ: нет . Поскольку область значений — это интервал, мы заключаем, что if и выражение не определено для других значений. Подводя итог,

и

Аналогично для функции косинуса

и

Аналогичные свойства сохраняются и для других тригонометрических функций и их обратных.

Вычисление выражений, включающих обратные тригонометрические функции

Оцените каждое из следующих выражений.

Максимальное значение функции

Во многих областях науки, техники и математики полезно знать максимальное значение, которое может получить функция, даже если мы не знаем ее точное значение в данный момент. Например, если у нас есть функция, описывающая прочность балки крыши, мы хотели бы знать максимальный вес, который балка может выдержать без разрушения.Если у нас есть функция, описывающая скорость поезда, мы хотели бы узнать его максимальную скорость, прежде чем он соскочит с рельсов. Безопасный дизайн часто зависит от знания максимальных значений.

Этот проект описывает простой пример функции с максимальным значением, которое зависит от двух коэффициентов уравнения. Мы увидим, что максимальные значения могут зависеть от нескольких факторов, помимо независимой переменной.

1. Рассмотрим график функции (рисунок). Опишите его общую форму.Это периодически? Откуда вы знаете? Рисунок 6. График.

   С помощью графического калькулятора или другого графического устройства оцените — и — значения максимальной точки для графика (первая такая точка, где). Может быть полезно выразить -значение как кратное.

2. Теперь рассмотрим другие графики вида для различных значений и. Нарисуйте график, когда и, и найдите — и -значения для максимальной точки. (Не забудьте, если возможно, выражать -значение как кратное.) Переехала?
3. Повторите для. Есть ли какое-либо отношение к тому, что вы нашли в части (2)?
4. Заполните следующую таблицу, добавив несколько собственных вариантов для и:
   
5. Попытайтесь выяснить формулу для -значений.
6. Формула для значений немного сложнее. Наиболее полезные моменты из таблицы. ( Подсказка : Рассмотрим обратные тригонометрические функции.)
7. Если вы нашли формулы для частей (5) и (6), покажите, что они работают вместе.То есть замените найденную формулу -значение и упростите ее, чтобы получить формулу -значение, которую вы нашли.

В следующих упражнениях используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, является ли каждый из данных графиков взаимно однозначным.

Для следующих упражнений: a. найти обратную функцию, и b. найти область определения и диапазон обратной функции.

7.

Решение

а. б. Домен:, Диапазон:

8.

9.

Решение

а. б. Домен: все действительные числа, Диапазон: все действительные числа

10.

11.

Решение

а. , б. Домен:, Диапазон:

12.

Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его обратной функции.

Решение

Решение

В следующих упражнениях используйте композицию, чтобы определить, какие пары функций являются обратными.

17.

Решение

Это обратное.

18.

19.

Решение

Это не наоборот.

20.

21.

Решение

Это обратное.

22.

23.

Решение

Это обратное.

24.

Оцените функции для следующих упражнений. Укажите точное значение.

25.

Решение

26.

27.

Решение

28.

29.

Решение

30.

31.

32.

33.

Решение

34. Функция конвертирует градусы Фаренгейта в градусы Цельсия.

1. Найти обратную функцию
2. Для чего используется обратная функция?

Решение

а. б. Обратная функция определяет расстояние от центра артерии, по которому кровь течет со скоростью. c. 0,1 см; 0,14 см; 0,17 см

36. Функция, которая преобразует размеры одежды в Соединенных Штатах Америки в размеры одежды в Европе, задается функцией.

1. Найдите европейские размеры одежды, соответствующие размерам 6, 8, 10 и 12 в США.
2. Найдите функцию, которая преобразует европейские размеры одежды в американские.
3. Используйте деталь b. найти размеры платьев в США, соответствующие 46, 52, 62 и 70.

37. [T] Стоимость удаления токсина из озера моделируется функцией

, где — стоимость (в тысячах долларов), а — количество токсина в небольшом озере (измеряется в частях на миллиард [ppb]). Эта модель действительна только тогда, когда количество токсина меньше 85 частей на миллиард.

1. Определите стоимость удаления 25 частей на миллиард, 40 частей на миллиард и 50 частей на миллиард токсина из озера.
2. Найдите обратную функцию. c. Используйте часть b. чтобы определить, сколько токсина удаляется за 50 000 долларов.

Решение

а. 31 250 долл. США, 66 667 долл. США, 107 143 долл. США b. c. 34 частей на миллиард

38. [T] Гоночный автомобиль ускоряется со скоростью, заданной значением

,

где — скорость (в футах в секунду) в момент времени.

1. Найдите скорость автомобиля за 10 сек.
2. Найдите обратную функцию.
3. Используйте деталь b. чтобы определить, сколько времени требуется автомобилю, чтобы достичь скорости 150 футов / сек.

42. [T] Глубина (в футах) воды в доке меняется с приливом и отливом. Моделируется функцией

,

где — количество часов после полуночи. Определить первый раз после полуночи, когда глубина составляет 11,75 фута.

43. [T] Объект, движущийся в простом гармоническом движении, моделируется функцией

,

где измеряется в дюймах и измеряется в секундах.Определите первый раз, когда пройденное расстояние составляет 4,5 фута.

Решение

44. [T] В местной картинной галерее есть портрет 3 фута высотой, который висит на 2,5 футах над уровнем глаз среднего человека. Угол обзора можно смоделировать с помощью функции

,

где — расстояние (в футах) от портрета. Найдите угол обзора, когда человек находится в 4 футах от портрета.

45. [T] Используйте калькулятор для вычисления и.Объясните результаты каждого.

46. [T] Используйте калькулятор для вычисления и. Объясните результаты каждого.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность обозначается «⊥», а запись принимает вид a⊥b, что значит, прямая a перпендикулярна прямой b. 

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной.  В трехмерном пространстве прямые Ox, Oz, Oy перпендикулярны попарно: Ox и Oz, Ox и Oy, Oy и Oz.

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b.

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Пусть введена прямоугольная декартова система координат Оху с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b. Направляющие векторы прямых a и b обозначим a→ и b→.  Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a→ и b→. Это возможно только при скалярном произведении векторов a→=(ax, ay) и b→=(bx, by) равном нулю, а запись имеет вид a→, b→=ax·bx+ay·by=0. Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b, находящихся в прямоугольной системе координат Оху на плоскости, является a→, b→=ax·bx+ay·by=0, где a→=(ax, ay) и b→=bx, by — это направляющие векторы прямых a и b.

Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b. 

Заданы три точки A (8, 6), B(6, 3), C(2, 10) в прямоугольной системе координат Оху. Определить, прямые АВ и АС перпендикулярны или нет.

Решение

Прямые АВ и АС имеют направляющие векторы AB→ и AC→ соответственно. Для начала вычислим AB→=(-2, -3),  AC→=(-6, 4). Получим, что векторы AB→ и AC→ перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

AB→, AC→=(-2)·(-6)+(-3)·4=0

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, АВ и АС перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Определить, заданные прямые x-12=y-73 и x=1+λy=2-2·λ перпендикулярны или нет.

Решение

a→=(2, 3) является направляющим вектором заданной прямой x-12=y-73,

b→=(1, -2) является направляющим вектором прямой x=1+λy=2-2·λ.

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a→ и b→.  Выражение будет записано:

a→,b→=2·1+3·-2=2-6≠0

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается  в виде a→, b→=ax·bx+ay·by+az·bz=0, где a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) являются направляющими векторами прямых a и b.

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x2=y-1=z+10 и x=λy=1+2·λz=4·λ

Решение

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a→=(2, -1, 0) и b→=(1, 2, 4) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a→,b→=2·1+(-1)·2+0·4=0. 

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a  с вектором b, это и есть необходимое и достаточное условие.

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых.  То есть при наличии общего уравнения прямой вида  Ax+By+C=0, уравнения прямой в отрезках  вида xa+yb=1, уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y=kx+b координаты векторов возможно найти.

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3x-y+2=0 и x32+y12=1.

Решение

Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что nα→=(3, -1) — это нормальный вектор для прямой 3x-y+2=0.

Упростим уравнение x32+y12=1 до вида 23x+2y-1=0. Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем  в такой форме nb→=23, 2.

Векторы na→=(3, -1) и nb→=23, 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0. Получим na→, nb→=3·23+(-1)·2=0.

Необходимое и достаточное условие было выполнено. 

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y=k1x+b1, а прямая b — y=k2x+b2, отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты (k1, -1) и (k2, -1). Само условие перпендикулярности сводится к k1·k2+(-1)·(-1)=0⇔k1·k2=-1. 

Выяснить, перпендикулярны ли прямые y=-37x и y=73x-12.

Решение

Прямая y=-37x имеет угловой коэффициент, равный -37, а прямая y=73x-12-  73.

Произведение угловых коэффициентов дает значение -1, -37·73=-1, то есть прямые являются перпендикулярными.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность  направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Определить, являются ли заданные прямые x-y-1=0 и x0=y-42 перпендикулярными.

Решение

Получаем, что нормальный вектор прямой x-y-1=0 имеет координаты na→=(1, -1), а b→=(0, 2) — направляющий вектор прямой x0=y-42.

Отсюда видно, что векторы na→=(1, -1) и b→=(0, 2) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t, чтобы выполнялось равенство na→=t·b→. Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Автор: Ирина

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Уравнение двух перпендикулярных прямых

Условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями

т.е. две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1 , и не перпендикулярны, если оно не равно -1 .

перпендикулярны, так как

не перпендикулярны, так как

Если уравнение одной из двух прямых не содержит ординаты (т.е. прямая праллельная оси OY), то эта прямая перпендикулярна к другой прямой при условии, что уравнение последней не содержит абсциссы (тогда вторая прямая параллельная оси абсцисс). В противном случае прямые не перпендикулярны. Например прямые х=5 и у=2х не перпендикулярны.

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Перпендикулярные прямые – основные сведения

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность обозначается « ⊥ », а запись принимает вид a ⊥ b , что значит, прямая a перпендикулярна прямой b .

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y — это направляющие векторы прямых a и b .

Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .

Заданы три точки A ( 8 , 6 ) , B ( 6 , 3 ) , C ( 2 , 10 ) в прямоугольной системе координат О х у . Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.

Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = ( — 2 , — 3 ) , A C → = ( — 6 , 4 ) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

A B → , A C → = ( — 2 ) · ( — 6 ) + ( — 3 ) · 4 = 0

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Определить, заданные прямые x — 1 2 = y — 7 3 и x = 1 + λ y = 2 — 2 · λ перпендикулярны или нет.

Решение

a → = ( 2 , 3 ) является направляющим вектором заданной прямой x — 1 2 = y — 7 3 ,

b → = ( 1 , — 2 ) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 — 2 · λ .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:

a → , b → = 2 · 1 + 3 · — 2 = 2 — 6 ≠ 0

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b .

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y — 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = ( 2 , — 1 , 0 ) и b → = ( 1 , 2 , 4 ) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 4 = 0 .

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x — y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .

Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = ( 3 , — 1 ) — это нормальный вектор для прямой 3 x — y + 2 = 0 .

Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y — 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .

Векторы n a → = ( 3 , — 1 ) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + ( — 1 ) · 2 = 0 .

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b — y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты ( k 1 , — 1 ) и ( k 2 , — 1 ) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + ( — 1 ) · ( — 1 ) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = — 1 .

Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = — 3 7 x и y = 7 3 x — 1 2 .

Прямая y = — 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный — 3 7 , а прямая y = 7 3 x — 1 2 — 7 3 .

Произведение угловых коэффициентов дает значение — 1 , — 3 7 · 7 3 = — 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Определить, являются ли заданные прямые x — y — 1 = 0 и x 0 = y — 4 2 перпендикулярными.

Получаем, что нормальный вектор прямой x — y — 1 = 0 имеет координаты n a → = ( 1 , — 1 ) , а b → = ( 0 , 2 ) — направляющий вектор прямой x 0 = y — 4 2 .

Отсюда видно, что векторы n a → = ( 1 , — 1 ) и b → = ( 0 , 2 ) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

Уравнение перпендикуляра к двум прямым — это уравнение прямой, перпендикулярной к каждой из прямых, задаётся системой равенств нулю смешанных произведений соответствующего вектора-разности радиусов-векторов точек, направляющего вектора и векторного произведения направляющих векторов.

Содержание

[править] Обозначения

[math]ar r=(x,y,z)[/math] — радиус-вектор точки перпендикуляра;

[math]ar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор точки первой прямой;

[math]ar r_2=(x_2,y_2,z_2)[/math] — радиус-вектор точки второй прямой;

[math]ar s_1=(l_1,m_1,n_1)[/math] — направляющий вектор первой прямой;

[math]ar s_2=(l_2,m_2,n_2)[/math] — направляющий вектор второй прямой;

[править] Формулы:

Векторная форма:

• Заметим, что формулы верны только для скрещивающихся прямых.

[править] Пример

Даны две прямые:

Найти уравнение перпендикуляра к этим прямым.

[править] Уравнения прямой:

• уравнение прямой, проходящей через две точки;
• уравнение прямой, равноудалённой от трёх точек;
• уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора;
• уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой;
• уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости;
• уравнение прямой, образованной пересечением двух плоскостей;
• уравнение проекции прямой на плоскость;
• уравнение перпендикуляра из точки к прямой в трёхмерном пространстве;
• уравнение перпендикуляра из точки к плоскости;
• уравнение перпендикуляра к двум прямым.

[править] Ссылки

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр. 192.
• Участник:Logic-samara

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Инструменты

• Последнее изменение этой страницы: 23:36, 18 октября 2016.
• К этой странице обращались 6355 раз.

Текст страницы доступен по условиям лицензии GNU Free Documentation License. Материалы могут быть скопированы при условии указания активной ссылки на источник копирования в теле статьи (на той же странице). В отдельных случаях могут действовать условия лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike (CC BY-SA 3.0), информацию об этом можно просмотреть на странице обсуждения или в истории правок. В частности, условия лицензии CC BY-SA 3.0 действуют в отношении статей, перенесенных из Википедии (указание на факт переноса всегда есть в истории правок статьи).

• Политика конфиденциальности
• Описание Циклопедии
• Отказ от ответственности

Перпендикулярность прямых — условия перпендикулярности.

Перпендикулярные прямые фигурируют чуть ли не в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность прямых известна из условия, а в других случаях перпендикулярность прямых приходится доказывать. Для доказательства перпендикулярности двух прямых достаточно показать, используя любые геометрические методы, что угол между прямыми равен девяноста градусам.

А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли прямые», если известны уравнения, задающие эти прямые в прямоугольной системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве?

Для этого следует воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b.

Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Добавим конкретики.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданыуравнения прямой на плоскости некоторого вида, определяющие прямые a и b. Обозначим направляющие векторы прямых а и b как и соответственно. По уравнениям прямых a и bможно определить координаты направляющих векторов этих прямых – получаем и . Тогда, для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов и , то есть, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю: .

Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид , где и — направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки . Перпендикулярны ли прямые АВ и АС?

Решение.

Векторы и являются направляющими векторами прямых АВ и АС. Обратившись к статье координаты вектора по координатам точек его начала и конца, вычисляем . Векторы и перпендикулярны, так как . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых АВ и АС. Следовательно, прямые АВи АС перпендикулярны.

Ответ:

да, прямые перпендикулярны.

Пример.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

Решение.

— направляющий вектор прямой , а — направляющий вектор прямой . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Оно отлично от нуля, следовательно, направляющие векторы прямых не перпендикулярны. То есть, не выполняется условие перпендикулярности прямых, поэтому, исходные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

нет, прямые не перпендикулярны.

Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид , где и — направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Пример.

Перпендикулярны ли прямые, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями и ?

Решение.

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координатами направляющего вектора прямой, которая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициенты при параметре. Таким образом, и — направляющие векторы заданных прямых. Выясним, перпендикулярны ли они: . Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Значит, выполняется условие перпендикулярности заданных прямых.

Ответ:

прямые перпендикулярны.

Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору прямой b.

Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если по заданным уравнениям прямых легко находятся координаты нормальных векторов прямых. Этому утверждению отвечает общее уравнение прямой вида , уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом .

Пример.

Убедитесь, что прямые и перпендикулярны.

Решение.

По заданным уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. – нормальный вектор прямой . Перепишем уравнение в виде , откуда видны координаты нормального вектора этой прямой: .

Векторы и перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю: . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности заданных прямых, то есть, они действительно перпендикулярны.

В частности, если прямую a на плоскости определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямую b – вида , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие перпендикулярности этих прямых сводится к следующему соотношению между угловыми коэффициентами .

Пример.

Перпендикулярны ли прямые и ?

Решение.

Угловой коэффициент прямой равен , а угловой коэффициент прямой равен . Произведение угловых коэффициентов равно минус единице , следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ:

заданные прямые перпендикулярны.

Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор второй прямой были коллинеарны.

Этим условием, очевидно, удобно пользоваться, когда легко находятся координаты направляющего вектора одной прямой и координаты нормального вектора второй прямой, то есть, когда одна прямая задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями прямой на плоскости, а вторая – или общим уравнением прямой, или уравнением прямой в отрезках, или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

Решение.

Очевидно, — нормальный вектор прямой , а — направляющий вектор прямой . Векторы и не коллинеарны, так как для них не выполняется условие коллинеарности двух векторов(не существует такого действительного числа t, при котором ). Следовательно, заданные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

прямые не перпендикулярны.

21. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M₁, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M₁ прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H₁. Отрезок M₁H₁ называется перпендикуляром, проведенным из точки M₁ к прямой a.

Определение.

Расстоянием от точки M₁ до прямой a называют расстояние между точками M₁ и H₁.

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M₁. Отрезок M₁Q называютнаклонной, проведенной из точки M₁ к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M₁ к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M₁ к прямой a. Это действительно так: треугольник M₁QH₁ прямоугольный с гипотенузой M₁Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .

22. Плоскость в пространстве R3. Уравнение плоскости.

Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением, которое называется общим уравнениемплоскости.

Определение.Вектор перпендикулярен плоскости и называется ее нормальным вектором.

Если в прямоугольной системе координат известны координаты трех точек , не лежащих на одной прямой, то уравнение плоскости записывается в виде: .

Вычислив данный определитель, получим общее уравнение плоскости.

Пример.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки .

Решение:

Уравнение плоскости: .

23. Исследование общего уравнения плоскости.

О п р е д е л е н и е 1. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение первой степени относительно трех переменных: х, у и z, т. е. уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0. (3.21) Коэффициенты при х, у и z являются координатами вектора, который перпендикулярен плоскости (рис. 57).

Рис. 57

О п р е д е л е н и е 2. Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Если известна фиксированная точка M₀ (x₀, y₀, z₀), лежащая в данной плоскости, и вектор , перпендикулярный данной плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точкуM₀ (x₀, y₀, z₀), перпендикулярно вектору , имеет вид

A(x-x₀)+ B(y-y₀) + C(z-z₀)= 0. (3.22)

Покажем, что уравнение (3.22) является общим уравнением плоскости (3.21). Для этого раскроем скобки и соберем в скобки свободный член:

. Ax + By+ Cz + (-Ax₀ — By -Cz₀)= 0

ОбозначивD = -Ax₀ — By -Cz₀ , получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору , если A(4, -3, 1), B(1, 2, 3).

Решение. Найдем нормальный вектор плоскости :

.

Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение (3.22):

Ответ: -3x + 5y + 2z + 25 = 0.

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ (-1, 2, -1), перпендикулярно оси OZ.

Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять любой вектор, лежащий на оси OZ, например, , тогда уравнение плоскости

Ответ: z + 1 = 0.

24. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости определяется через расстояние от точки до точки, одна из которых заданная точка, а другая – проекция заданной точки на заданную плоскость.

Пусть в трехмерном пространстве задана точка М₁ и плоскость . Проведем через точку М₁прямую a, перпендикулярную к плоскости . Обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H₁. Отрезок M₁H₁ называют перпендикуляром, опущенным из точки М₁ на плоскость , а точку H₁ – основанием перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до плоскости – это расстояние от данной точки до основания перпендикуляра, проведенного из заданной точки к заданной плоскости.

Чаще встречается определение расстояние от точки до плоскости в следующем виде.

Определение.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.

Следует отметить, что расстояние от точки М₁ до плоскости , определенное таким образом, является наименьшим из расстояний от заданной точки М₁ до любой точки плоскости . Действительно, пусть точка H₂ лежит в плоскости и отлична от точки H₁. Очевидно, треугольник М₂H₁H₂ является прямоугольным, в нем М₁H₁ – катет, а M₁H₂ – гипотенуза, следовательно, . Кстати, отрезок M₁H₂ называется наклонной, проведенной из точки М₁ к плоскости . Итак, перпендикуляр, опущенный из заданной точки на заданную плоскость, всегда меньше наклонной, проведенной из этой же точки к заданной плоскости.

25. Прямая в пространстве R3.

Если прямая проходит через две заданные точки ,то ее уравнениезаписывают в виде: .

Определение. Вектор называется направляющим вектором прямой, если он параллелен или принадлежит ей.

Пример.Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .

Решение: Используем общую формулу прямой, проходящей через две заданные точки: — каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и . Вектор — направляющий вектор прямой.

26. Взаимное расположение прямых в пространстве R3.

Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).

Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.

В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем к изучению статью параллельные прямые, параллельность прямых.

После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать онаправляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми.

Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называют перпендикулярными (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).

27. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве R3.

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

рис.6.

рис.7.

рис.8.

Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением

,

а прямая L задана каноническими уравнениями

или параметрическими уравнениями

, ,

в которых – координаты нормального вектора плоскости , – координаты произвольной фиксированной точки прямой L, –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость в точке,координаты которой можно найти из системы уравнений

; (7)

2) если и , то прямая лежит на плоскости;

3) если и , то прямая параллельна плоскости.

Доказательство. Условие говорит о том, что вектроры и не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальныеуравнения системы, находим координаты искомой точки.

Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.

Перпендикулярные прямые и их свойства. Перпендикулярные прямые Что называют перпендикулярной прямой

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Определение 1

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность обозначается « ⊥ », а запись принимает вид a ⊥ b , что значит, прямая a перпендикулярна прямой b .

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Теорема 1

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Доказательство 1

Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = (a x , a y) и b → = b x , b y — это направляющие векторы прямых a и b .

Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .

Пример 1

Заданы три точки A (8 , 6) , B (6 , 3) , C (2 , 10) в прямоугольной системе координат О х у. Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.

Решение

Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = (- 2 , — 3) , A C → = (- 6 , 4) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

A B → , A C → = (- 2) · (- 6) + (- 3) · 4 = 0

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Пример 2

Определить, заданные прямые x — 1 2 = y — 7 3 и x = 1 + λ y = 2 — 2 · λ перпендикулярны или нет.

Решение

a → = (2 , 3) является направляющим вектором заданной прямой x — 1 2 = y — 7 3 ,

b → = (1 , — 2) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 — 2 · λ .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:

a → , b → = 2 · 1 + 3 · — 2 = 2 — 6 ≠ 0

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) являются направляющими векторами прямых a и b .

Пример 3

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y — 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ

Решение

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = (2 , — 1 , 0) и b → = (1 , 2 , 4) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Теорема 2

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.

Доказательство 2

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.

Пример 4

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x — y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .

Решение

Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = (3 , — 1) — это нормальный вектор для прямой 3 x — y + 2 = 0 .

Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y — 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .

Векторы n a → = (3 , — 1) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b — y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты (k 1 , — 1) и (k 2 , — 1) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = — 1 .

Пример 5

Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = — 3 7 x и y = 7 3 x — 1 2 .

Решение

Прямая y = — 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный — 3 7 , а прямая y = 7 3 x — 1 2 — 7 3 .

Произведение угловых коэффициентов дает значение — 1 , — 3 7 · 7 3 = — 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема 3

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Доказательство 3

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример 6

Определить, являются ли заданные прямые x — y — 1 = 0 и x 0 = y — 4 2 перпендикулярными.

Решение

Получаем, что нормальный вектор прямой x — y — 1 = 0 имеет координаты n a → = (1 , — 1) , а b → = (0 , 2) — направляющий вектор прямой x 0 = y — 4 2 .

Отсюда видно, что векторы n a → = (1 , — 1) и b → = (0 , 2) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Перпендикулярные прямые образуют собой целый пласт фигур, построений и вычислений в геометрии. Без понимания перпендикулярных прямых не получится решать такие фигуры, как прямоугольный треугольник, прямоугольник, квадрат или прямоугольная трапеция. Поэтому стоит особенное внимание уделить этим понятиям.

Что такое перпендикулярные прямые

При пересечении двух прямых образуется 4 угла. Определение перпендикулярных прямых звучит так: это прямые, угол между которыми равен 90 градусам. Углов всего 4, полный угол это 360 градусов. Если один из углов равен 90 градусам, то и 3 других будут по 90.

Чтобы отрезки назывались перпендикулярными, так же должно выполняться два условия: отрезки должны пересекаться, а угол пересечения между ними должен равняться 90 градусам.

Рис. 1. Перпендикулярные линии.

Свойства

У перпендикулярных прямых не так много свойств. Все они не требуют доказательств, так как исходят из определения перпендикулярности.

• Если каждая из двух прямых перпендикулярны третьей, то эти прямые параллельны. А параллельны они в силу того, что получившиеся односторонние углы будут в сумме давать 180 градусов. А значит, прямые параллельны по 3 признаку параллельности. Это свойство можно доказать по любому из трех признаков параллельности.
• Перпендикулярный отрезок от точки до прямой или отрезка будет называться расстоянием от точки до прямой.
• Расстояние от прямой до прямой так же является перпендикуляром, опущенным из любой точки одной прямой на другую прямую.
• Если на протяжении всей длинны двух прямых расстояние между ними не меняется, то прямые будут параллельными.

Фигуры с перпендикулярными прямыми

Одной из первых фигур, с которыми знакомится человек, являются квадрат и прямоугольник.

Прямые углы приятны человеческому взгляду, поэтому очень часто квадрат или прямоугольник используют как форму для столешниц, стульев, тумбочек и других предметов. Весь окружающий человека мир составлен из параллельных и перпендикулярных линий.

Рис. 2. Квадрат.

Еще со времен Древней Греции известен прямоугольный треугольник. Форму прямоугольного треугольника принимали различные приборы для навигации, кроме того много времени изучению свойств прямоугольного треугольника уделил Пифагор. Именно его авторству принадлежит Теорема Пифагора, которая крайне востребована в решениях задач.

Существует прямоугольная трапеция, у которой одна из сторон прямоугольна обоим основанием. А планометрия и вовсе пестрит перпендикулярами в пространстве: правильная призма, прямоугольная пирамида и самый обычный куб.

К тому же, в любом треугольнике можно провести высоту, что необходимо для нахождения площади фигуры. Перпендикуляр для нахождения площади пригодится и в параллелограмме, а прямоугольный треугольник и квадрат имеют высоту в составе своих сторон, из-за чего площадь этих фигур гораздо проще найти.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Перпендикулярностью называют соотношение между разнообразными объектами в евклидовом пространстве — прямыми, плоскостями, векторами, подпространствами и так далее. В настоящем материале мы более внимательно рассмотрим перпендикулярные прямые и характерные черты, к ним относящиеся. Две прямые могут быть названы перпендикулярными (или взаимоперпендикулярными), если все четыре угла, которые образованы их пересечением, составляют строго по девяносто градусов.

Существуют определенные свойства перпендикулярных прямых, реализованных на плоскости:

Построение перпендикулярных прямых

Перпендикулярные прямые строятся на плоскости с помощью угольника. Любой чертежник должен иметь в виду, что важной особенностью каждого угольника является то, что он обязательно имеет прямой угол. Чтобы создать две перпендикулярные прямые, нам необходимо совместить одну из двух сторон прямого угла нашего

чертежного угольника с данной прямой и провести вторую прямую вдоль второй стороны этого прямого угла. Таким образом будут созданы две перпендикулярные прямые.

Трехмерное пространство

Интересен тот факт, что перпендикулярные прямые могут быть реализованы и в В этом случае такими будут называться две прямые, если они параллельны соответственно каким-либо двух иным прямым, лежащим в той же плоскости и тоже перпендикулярным в ней. Кроме того, если на плоскости перпендикулярными могут быть лишь две прямые, то в трехмерном пространстве — уже три. Более того, в количество перпендикулярных линий (или же плоскостей) может быть еще больше увеличено.

Прямая (отрезок прямой) обозначается двумя большими буквами латинского алфавита или одной маленькой буквой. Точка обозначается только большой латинской буквой.

Прямые могут не пересекаться, пересекаться или совпадать. Пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, непересекающиеся прямые — ни одной общей точки, у совпадающих прямых все точки общие.

Определение. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямых (или их отрезков) обозначают знаком перпендикулярности «⊥».

Например:

Ваш AB и CD (рис. 1) пересекаются в точке О и ∠АОС = ∠ВОС = ∠АОD = ∠BOD = 90°, то AB ⊥ CD .

Если AB ⊥ CD (рис. 2) и пересекаются в точке В , то ∠АBC = ∠ABD = 90°

Свойства перпендикулярных прямых

1. Через точку А (рис. 3) можно провести только одну перпендикулярную прямую АВ к прямой СD; остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие СD , называются наклонными прямыми (рис. 3, прямые АЕ и АF ).

2. Из точки A можно опустить перпендикуляр на прямую CD ; длина перпендикуляра (длина отрезка АВ ), проведенного из точки А на прямую CD ,- это самое короткое расстояние от A до CD (рис. 3).

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Линейная функция

      Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

где   k   и   b  – произвольные (вещественные) числа.

      При любых значениях   k   и   b  графиком линейной функции является прямая линия.

      Число   k   называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число   b  – свободным членом.

График линейной функции

      При   k > 0   линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

k > 0

Рис. 1 Рис.2 Рис.3

      При   k = 0   линейная функция (1) принимает одно и тоже значение   y = b   при всех значениях   x ,  а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

      При   k < 0   линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

k < 0

Рис. 7 Рис.8 Рис.9

      Прямые линии

y = kx + b₁ и y = kx + b₂ ,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены , параллельны.

      Прямые линии

y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ ,

имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов.

      Прямые линии

y = kx + b₁ и

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

      Угловой коэффициент прямой линии

равен тангенсу угла   φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

      Прямая (1) пересекает ось   Oy  в точке, ордината которой (рис. 11) равна   b .

      При прямая (1) пересекает ось   Ox  в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Прямые, параллельные оси ординат

      Прямые, параллельные оси   Oy, задаются формулой

где   c  – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

      Замечание 1. Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента    x = c   соответствует бесконечное множество значений   y .;

Уравнение вида   px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

      Рассмотрим уравнение

где   p, q, r  – произвольные числа.

      В случае, когда  уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию.

      Действительно,

что и требовалось.

      В случае, когда  получаем:

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

      В случае, когда   q = 0,   p = 0,  уравнение (4) имеет вид

и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:

      В случае, когда  уравнение (5) решений вообще не имеет.

      Замечание 2. При любом значении  r₁, не совпадающем с   r  прямая линия, заданная уравнением

параллельна прямой, заданной уравнением (4).

      Замечание 3. При любом значении   r₂ прямая линия, заданная уравнением

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4).

      Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами    (2; – 3) и

1. параллельной к прямой
2. перпендикулярной к прямой (8).

      Решение.

1. В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

   где  r₁ – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами   (2; – 3), то справедливо равенство

         Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой

   4x + 5y = 7,

   задаётся уравнением

   4x + 5y = – 7 .

2. В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

   где r₂ – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами   (2; – 3), то справедливо равенство

         Итак, прямая, перпендикулярная к прямой

   4x + 5y = 7 ,

   задаётся уравнением

   – 5x + 4y = – 22 .

03.03. Общее уравнение прямой | Контрольные работы по математике и други

Общее уравнение прямой

Опишем аналитически геометрическое место точек, лежащих на прямой, следующим образом. Пусть в системе координат Оху дана прямая (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Задание прямой общим уравнением

Назовем ненулевой вектор , перпендикулярный к ней, нормальным вектором прямой. Будем считать известными координаты точки , лежащей на прямой. Задание нормального вектора И этой точки M0 однозначно определяет положение прямой на плоскости. Пусть  – произвольная точка, лежащая на прямой. Свяжем с точками M0 и M радиус-векторы и . Введем в рассмотрение вектор

.

Для точек прямой и только для них будет выполняться условие:

.

Его мы и положим в основу вывода общего уравнения прямой. Необходимым и достаточным условием взаимной перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

Или

Раскрывая скобки, получим:

(4. 9)

Это есть уравнение прямой в векторной форме. Оно включает в себя известные векторы и , а также вектор , который характеризует положение произвольной точки, лежащей на данной прямой. Другие точки плоскости ему удовлетворять не будут.

Так как

То в координатной форме уравнение прямой примет вид:

(4.10)

Или

(4.11)

Где

Уравнение (4.11) называется общим уравнением прямой.

Таким образом, мы доказали теорему:

Теорема. Всякой прямой на плоскости соответствует линейное уравнение относительно координат ее точек.

Будет ли справедливо обратное утверждение?

Теорема. Любое уравнение первой степени (4.11) относительно переменных x и y в декартовой прямоугольной системе координат Охy определяет прямую.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть в уравнении (4.11) хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля. В прямоугольной системе координат Оху возьмем какую либо точку , координаты которой удовлетворяют уравнению (4.11)

. (4.12)

Таких пар чисел существует бесконечно много.

Вычитая из уравнения (4.11) равенство (4.12), получим уравнение (4.10), эквивалентное (4.11). Оно означает, как уже известно, равенство нулю скалярного произведения вектора и вектора , что возможно только тогда, когда переменные x и y являются координатами точки прямой. Это и доказывает теорему.

Общее уравнение прямой без труда приводится к виду (4.1), если :

При этом и .

Коэффициенты A и B являются координатами нормального вектора к прямой, а потому они позволяют получить представление о ее расположении на плоскости. Если A = 0 и , то нормальный вектор , а прямая параллельна оси абсцисс. Уравнение такой прямой имеет вид:

Если , , то нормальный вектор и данная прямая параллельна оси ординат. Ее уравнение приобретает вид:

Именно такая прямая не охватывается множеством прямых, определяемых уравнением (4. 1).

Рис. 4.5. Нахождение угла между прямыми, заданными общим уравнением.

Найдем угол между двумя прямыми (рис. 4.5), заданными общими уравнениями:

(4.13)

(4.14)

По виду уравнений определяем координаты нормальных векторов данных прямых: , . Угол между двумя данными прямыми будет равен углу между их нормальными векторами, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому решение задачи имеет вид:

. (4.15)

В координатной форме эти выражения записываются следующим образом:

. (4.16)

Если прямые параллельны, то их нормальные векторы и будут коллинеарны, поэтому

. (4.17)

Это равенство определяет условие параллельности прямых в векторном виде. В координатной форме оно будет следующим:

(4.18)

Если прямые взаимно перпендикулярны, то и соответствующие нормальные векторы также перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение этих векторов будет равно нулю:

,

Или в координатной форме:

(4. 19)

Очевидно, что если в уравнениях (4.13) и (4.14) имеет место пропорциональность

(4.20)

То они определяют одну и ту же прямую.

1. Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

Рис. 1.

Рассмотрим прямые а и b. Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую , параллельную прямой а, и прямую , параллельную прямойb. Прямые и  пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b.  Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.

Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство:

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рис. 3. 

Доказательство:

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Пусть прямая а параллельна прямой а1. Прямая а перпендикулярна плоскости. Докажем, что и прямая а1 перепендикулярна плоскости.

Прямая а перпендикулярна плоскости . Значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая х лежит в плоскости , значит,  (см. рис. 6).

Рис 6.

Прямая а перпендикулярна прямой х, а прямая а1 параллельна прямой а. Значит, прямая а1 перпендикулярна прямой х по лемме. Прямую х мы выбирали произвольно. Значит, прямая а1 перпендикулярна любой прямой в плоскости , то есть прямая х перпендикулярна плоскости , что и требовалось доказать.

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Доказательство:

Рис. 7.

Предположим, что прямая b не параллельна прямой а. Через точку М прямой b проведем прямую , параллельно прямой а (рис. 8).

Прямые  и а параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости . По теореме, прямая  также перпендикулярна плоскости .

Прямые b и  пересекаются, а значит через них проходит некоторая плоскость. Пусть эта плоскость пересекает плоскость  по прямой с. Тогда прямая  перпендикулярна прямой с, так как прямая с лежит в плоскости , а прямая  ей перпендикулярна.

Но тогда в плоскости, определенной пересекающимися прямыми b и  через точку М проходят два перпендикуляра b и   к прямой с. Получаем противоречие. Значит, прямая b параллельна прямой а, что и требовалось доказать.

Рис. 8.

Как найти уравнение перпендикулярной прямой

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Поиск параллельных и перпендикулярных прямых

Как использовать алгебру для поиска параллельных и перпендикулярных прямых.

Параллельные линии

Как мы узнаем, что две прямые параллельны ?

Их склоны одинаковые!

Пример:

Найдите уравнение прямой:

• параллельно y = 2x + 1
• и проходит через точку (5,4)

Наклон y = 2x + 1 равен: 2

У параллельной прямой должен быть одинаковый наклон, равный 2.

Мы можем решить это, используя уравнение «точка-наклон» прямой:

y — y ₁ = 2 (x — x ₁ )

И затем ставим точку (5,4):

у — 4 = 2 (х — 5)

И этот ответ в порядке, но давайте также запишем его в форме y = mx + b:

г — 4 = 2х — 10

г = 2х — 6

Вертикальные линии

Но это не работает для вертикальных линий… Объясняю почему в конце.

Не та же строка

Будьте осторожны! Они могут быть той же линией (но с другим уравнением), и поэтому не параллельны .

Как мы узнаем, действительно ли это одна и та же линия? Проверьте их точки пересечения оси Y (где они пересекают ось Y), а также их наклон:

Пример: y = 3x + 2 параллельно y — 2 = 3x?

Для y = 3x + 2 : наклон равен 3, а пересечение оси Y равно 2

Для y — 2 = 3x : наклон равен 3, а пересечение оси Y равно 2

На самом деле это одна и та же линия, поэтому они не параллельны

Перпендикулярные линии

Две прямые перпендикулярны, когда они встречаются под прямым углом (90 °).

Чтобы найти перпендикулярный уклон:

Когда одна линия имеет наклон м, перпендикулярная линия имеет наклон −1 м

Другими словами, отрицательная обратная величина

Пример:

Найдите уравнение прямой, равной

• перпендикулярно y = −4x + 10
• и проходит через точку (7,2)

Наклон y = −4x + 10 равен: −4

Отрицательное значение , обратное этого наклона:

м = −1 −4 = 1 4

Таким образом, перпендикулярная линия будет иметь наклон 1/4:

y — y ₁ = (1/4) (x — x ₁ )

А теперь ставим точку (7,2):

у — 2 = (1/4) (х — 7)

И этот ответ нормальный, но давайте также запишем его в форме «y = mx + b»:

у — 2 = х / 4 — 7/4

у = х / 4 + 1/4

Быстрая проверка перпендикуляра

Когда мы умножаем наклон m на его перпендикулярный наклон −1 m , мы получаем просто −1.

Итак, чтобы быстро проверить, перпендикулярны ли две линии:

Когда мы умножаем их наклон, получаем −1

Как это:

Эти две прямые перпендикулярны?

Когда мы умножаем два угла наклона, получаем:

2 × (−0.5) = −1

Да, мы получили −1, поэтому они перпендикулярны.

Вертикальные линии

Предыдущие методы работают нормально, за исключением вертикальной линии :

В данном случае градиент равен undefined (так как мы не можем делить на 0):

м = y _A — y _B x _A — x _B = 4 — 1 2 — 2 = 3 0 = не определено

Так что просто положитесь на тот факт, что:

• одна вертикальная линия параллельна другой вертикальной линии.
• : вертикальная линия перпендикулярна горизонтальной линии (и наоборот).

Сводка

• параллельных прямых: то же наклон
• перпендикулярных линий: отрицательный обратный угол наклон (-1 / м)

параллельных и перпендикулярных линий | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Определить, параллельны ли прямые или перпендикулярны по их уравнениям
• Найдите уравнения прямых, параллельных или перпендикулярных данной прямой

Две линии на графике ниже — это параллельные линии : они никогда не пересекаются.Обратите внимание, что они имеют одинаковую крутизну, что означает, что их уклоны одинаковы. Единственное различие между двумя линиями — перехват y . Если бы мы сместили одну линию по вертикали в сторону пересечения y другой, они стали бы той же линией.

Параллельные линии.

Мы можем определить из их уравнений, параллельны ли две прямые, сравнив их наклоны. Если уклоны одинаковы и точки пересечения y разные, линии параллельны.Если уклоны разные, линии не параллельны.

В отличие от параллельных прямых, перпендикулярные линии пересекаются. Их пересечение образует прямой или 90-градусный угол. Две линии ниже перпендикулярны.

Перпендикулярные линии.

Перпендикулярные линии не имеют одинакового наклона. Наклоны перпендикулярных линий определенным образом отличаются друг от друга. Наклон одной линии является обратной величиной наклона другой линии. Произведение числа на обратную единицу.Если [latex] {m} _ {1} \ text {и} {m} _ {2} [/ latex] являются отрицательными обратными друг другу, их можно умножить вместе, чтобы получить [latex] -1 [/ latex] .

[латекс] {m} _ {1} * {m} _ {2} = — 1 [/ латекс]

Чтобы найти обратное число, разделите 1 на число. Таким образом, величина, обратная 8, равна [latex] \ frac {1} {8} [/ latex], а обратная величина [latex] \ frac {1} {8} [/ latex] — 8. Чтобы найти обратную обратную величину, сначала найдите обратное, а затем измените знак.

Как и в случае с параллельными линиями, мы можем определить, являются ли две прямые перпендикулярными, сравнивая их наклон.Наклон каждой линии ниже отрицателен, обратный другой, поэтому линии перпендикулярны.

[латекс] \ begin {array} {ll} f \ left (x \ right) = \ frac {1} {4} x + 2 \ hfill & \ text {отрицательная обратная величина} \ frac {1} {4} \ text {is} -4 \ hfill \\ f \ left (x \ right) = — 4x + 3 \ hfill & \ text {отрицательная обратная величина} -4 \ text {is} \ frac {1} {4} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Произведение наклонов равно –1.

[латекс] -4 \ влево (\ frac {1} {4} \ right) = — 1 [/ латекс]

Общее примечание: параллельные и перпендикулярные линии

Две прямые являются параллельными линиями , если они не пересекаются.Наклоны линий такие же.

[латекс] f \ left (x \ right) = {m} _ {1} x + {b} _ {1} \ text {and} g \ left (x \ right) = {m} _ {2} x + {b} _ {2} \ text {параллельны, если} {m} _ {1} = {m} _ {2} [/ latex].

Если и только если [латекс] {b} _ {1} = {b} _ {2} [/ latex] и [latex] {m} _ {1} = {m} _ {2} [/ latex] , мы говорим, что линии совпадают. Совпадающие линии — это одна и та же линия.

Две прямые — это перпендикулярные линии , если они пересекаются под прямым углом.

[латекс] f \ left (x \ right) = {m} _ {1} x + {b} _ {1} \ text {and} g \ left (x \ right) = {m} _ {2} x + {b} _ {2} \ text {перпендикулярны, если} {m} _ {1} * {m} _ {2} = — 1, \ text {и} {m} _ {2} = — \ frac { 1} {{m} _ {1}} [/ latex].

Пример: определение параллельных и перпендикулярных линий

Для указанных ниже функций определите функции, графики которых представляют собой пару параллельных линий и пару перпендикулярных линий.

[латекс] \ begin {array} {l} f \ left (x \ right) = 2x + 3 \ hfill & \ hfill & h \ left (x \ right) = — 2x + 2 \ hfill \\ g \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 4 \ hfill & \ hfill & j \ left (x \ right) = 2x — 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Поскольку функции [latex] f \ left (x \ right) = 2x + 3 [/ latex] и [latex] j \ left (x \ right) = 2x — 6 [/ latex] имеют наклон 2, они представляют собой параллельные линии.Перпендикулярные линии имеют обратный отрицательный наклон. Поскольку −2 и [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] являются обратными отрицательными числами, уравнения [latex] g \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 4 [ / latex] и [latex] h \ left (x \ right) = — 2x + 2 [/ latex] представляют собой перпендикулярные линии.

Анализ решения

График линий показан ниже.

График показывает, что линии [латекс] f \ left (x \ right) = 2x + 3 [/ latex] и [latex] j \ left (x \ right) = 2x — 6 [/ latex] параллельны, и линии [латекс] g \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 4 [/ latex] и [latex] h \ left (x \ right) = — 2x + 2 [/ latex] перпендикулярны.

Написание уравнений параллельных линий

Если мы знаем уравнение прямой, мы можем использовать то, что мы знаем о наклоне, чтобы написать уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной данной прямой.

Предположим, нам дана следующая функция:

[латекс] f \ left (x \ right) = 3x + 1 [/ латекс]

Мы знаем, что наклон линии равен 3. Мы также знаем, что точка пересечения y- равна (0, 1). Любая другая линия с наклоном 3 будет параллельна f ( x ).Линии, образованные всеми следующими функциями, будут параллельны f ( x ).

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = 3x + 6 \ hfill \\ h \ left (x \ right) = 3x + 1 \ hfill \\ p \ left (x \ справа) = 3x + \ frac {2} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Предположим, мы хотим написать уравнение прямой, параллельной f и проходящей через точку (1, 7). Мы уже знаем, что наклон равен 3. Нам просто нужно определить, какое значение для b даст правильную линию.Мы можем начать с использования формы точечного уклона уравнения для прямой. Затем мы можем переписать его в форме пересечения наклона.

[латекс] \ begin {array} {l} y- {y} _ {1} = m \ left (x- {x} _ {1} \ right) \ hfill \\ y — 7 = 3 \ left ( x — 1 \ right) \ hfill \\ y — 7 = 3x — 3 \ hfill \\ \ text {} y = 3x + 4 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Итак, [латекс] g \ left (x \ right) = 3x + 4 [/ latex] параллелен [latex] f \ left (x \ right) = 3x + 1 [/ latex] и проходит через точку (1 , 7).

Как сделать: учитывая уравнение линейной функции, напишите уравнение линии, КОТОРАЯ проходит через данную точку и параллельна данной прямой.

1. Найдите наклон функции.
2. Подставляет уклон и заданную точку в форму «точка-уклон» или «пересечение уклона».
3. Упростить.

Пример: поиск прямой, параллельной заданной прямой

Найдите прямую, параллельную графику [латекса] f \ left (x \ right) = 3x + 6 [/ latex], которая проходит через точку (3, 0).

Наклон данной линии равен 3. Если мы выберем форму пересечения наклона, мы можем заменить [латекс] m = 3 [/ латекс], [латекс] x = 3 [/ латекс] и [латекс] f (x ) = 0 [/ latex] в форму пересечения наклона, чтобы найти точку пересечения y- .

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = 3x + b \ hfill \\ \ text {} 0 = 3 \ left (3 \ right) + b \ hfill \\ \ text {} b = -9 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Линия, параллельная f ( x ), которая проходит через (3, 0), равна [latex] g \ left (x \ right) = 3x — 9 [/ latex].

Анализ решения

Мы можем подтвердить, что две линии параллельны, построив их график. На рисунке ниже показано, что две линии никогда не пересекутся.

Написание уравнений перпендикулярных прямых

Мы можем использовать очень похожий процесс, чтобы написать уравнение линии, перпендикулярной данной линии.Однако вместо того, чтобы использовать один и тот же наклон, мы используем отрицательную величину, обратную данному наклону. Предположим, нам дана следующая функция:

[латекс] f \ left (x \ right) = 2x + 4 [/ латекс]

Наклон линии равен 2, и его отрицательная обратная величина равна [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex]. Любая функция с наклоном [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex] будет перпендикулярна f ( x ). Линии, образованные всеми следующими функциями, будут перпендикулярны f ( x ).

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = — \ frac {1} {2} x + 4 \ hfill \\ h \ left (x \ right) = — \ frac { 1} {2} x + 2 \ hfill \\ p \ left (x \ right) = — \ frac {1} {2} x- \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Как и раньше, мы можем сузить наш выбор для конкретной перпендикулярной линии, если знаем, что она проходит через данную точку. Предположим, что мы хотим написать уравнение прямой, которая перпендикулярна f ( x ) и проходит через точку (4, 0). Мы уже знаем, что наклон [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex].Теперь мы можем использовать точку, чтобы найти точку пересечения y , подставив заданные значения в форму пересечения угла наклона линии и решив для b .

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = mx + b \ hfill \\ 0 = — \ frac {1} {2} \ left (4 \ right) + b \ hfill \\ 0 = -2 + b \ hfill \\ 2 = b \ hfill \\ b = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Уравнение для функции с наклоном [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex] и точкой пересечения y- 2 равно

[латекс] g \ left (x \ right) = — \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex].

Итак, [латекс] g \ left (x \ right) = — \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex] перпендикулярен [латексу] f \ left (x \ right) = 2x + 4 [/ латекс] и проходит через точку (4, 0). Имейте в виду, что перпендикулярные линии могут не выглядеть явно перпендикулярными на графическом калькуляторе, если мы не используем функцию квадратного масштабирования.

Вопросы и ответы

Горизонтальная линия имеет нулевой наклон, а вертикальная линия имеет неопределенный наклон. Эти две линии перпендикулярны, но произведение их наклонов не равно –1. Не противоречит ли этот факт определению перпендикулярных линий?

№Для двух перпендикулярных линейных функций произведение их угловых коэффициентов равно –1. Однако вертикальная линия не является функцией, поэтому определение не противоречит.

Как сделать: учитывая уравнение линейной функции, напишите уравнение линии, КОТОРАЯ проходит через данную точку и перпендикулярна данной линии.

1. Найдите наклон заданной функции.
2. Определите отрицательную обратную величину уклона.
3. Подставьте новый наклон и значения для x и y из данной точки в [latex] g \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].
4. Решите относительно b .
5. Напишите уравнение прямой.

Пример: поиск уравнения перпендикулярной прямой

Найдите уравнение линии, перпендикулярной [латексу] f \ left (x \ right) = 3x + 3 [/ latex], которая проходит через точку (3, 0).

Исходная линия имеет наклон [латекс] m = 3 [/ latex], поэтому наклон перпендикулярной линии будет обратной обратной величиной [латекс] — \ frac {1} {3} [/ latex]. Используя этот наклон и данную точку, мы можем найти уравнение для прямой.

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = — \ frac {1} {3} x + b \ hfill \\ 0 = — \ frac {1} {3} \ left (3 \ right) + b \ hfill \\ \ text {} 1 = b \ hfill \\ b = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Линия, перпендикулярная к f ( x ), которая проходит через (3, 0), равна [latex] g \ left (x \ right) = — \ frac {1} {3} x + 1 [/ latex] .

Анализ решения

График из двух линий показан ниже.

Как сделать: даны две точки на линии и третья точка, запишите уравнение перпендикулярной линии, проходящей через точку.

1. Определите наклон линии, проходящей через точки.
2. Найдите отрицательное значение, обратное наклону.
3. Используйте форму пересечения наклона или форму точки-наклона, чтобы написать уравнение, подставляя известные значения.
4. Упростить.

Пример: поиск уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярной заданной прямой

Линия проходит через точки (–2, 6) и (4, 5). Найдите уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку (4, 5).

По двум точкам данной линии мы можем вычислить наклон этой линии.

[латекс] \ begin {array} {l} {m} _ {1} = \ frac {5 — 6} {4- \ left (-2 \ right)} \ hfill \\ {m} _ {1} = \ frac {-1} {6} \ hfill \\ {m} _ {1} = — \ frac {1} {6} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Найдите отрицательное значение, обратное наклону.

[латекс] \ begin {array} {l} {m} _ {2} = \ frac {-1} {- \ frac {1} {6}} \ hfill \\ {m} _ {2} = — 1 \ left (- \ frac {6} {1} \ right) \ hfill \\ {m} _ {2} = 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Затем мы можем найти точку пересечения y- прямой, проходящей через точку (4, 5).

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = 6x + b \ hfill \\ 5 = 6 \ left (4 \ right) + b \ hfill \\ 5 = 24 + b \ hfill \\ -19 = b \ hfill \\ b = -19 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Уравнение линии, проходящей через точку (4, 5) и перпендикулярной линии, проходящей через две заданные точки, есть [латекс] y = 6x — 19 [/ латекс].

Попробуйте

Линия проходит через точки (–2, –15) и (2, –3). Найдите уравнение перпендикулярной линии, проходящей через точку (6, 4).Угол \ circ90∘. Даны две невертикальные линии в форме пересечения наклона

y = m1x + b1y = m2x + b2, \ begin {выровнено} y & = m_1 x + b_1 \\ у & = m_2 x + b_2, \ end {align} yy = m1 x + b1 = m2 x + b2,

две прямые перпендикулярны, если m1 = −1m2m_1 = — \ frac {1} {m_2} m1 = −m2 1, то есть, если наклоны являются отрицательными, обратными друг другу:

На приведенном выше изображении форма пересечения наклона двух линий равна

y = 12x + 3y = −2x − 2, \ begin {align} y & = \ frac {1} {2} x + 3 \\ y & = -2x -2, \ end {align} yy = 21 x + 3 = −2x − 2,

, и поскольку два наклона противоположны друг другу, линии перпендикулярны.

Каково уравнение прямой, проходящей через точку (−7,3) (- 7, 3) (- 7,3) и перпендикулярной прямой y = 15x − 2? Y = \ frac {1} {5} x-2? Y = 51 x − 2?

---

Пусть y = ax + by = ax + by = ax + b будет уравнением интересующей линии. Тогда, поскольку эта прямая перпендикулярна прямой y = 15x − 2y = \ frac {1} {5} x-2y = 51 x − 2, наклон которой равен 15, \ frac {1} {5}, 51 , должно быть верно, что a = −5.a = -5.a = −5. Итак, уравнение теперь принимает вид y = −5x + b.y = -5x + b.y = −5x + b. Подставляя в координаты (−7,3), (- 7, 3), (- 7,3), получаем 3 = −5 × (−7) + b ⟹ b = −32.3 = -5 \ times (-7) + b \ подразумевает b = -32,3 = −5 × (−7) + b⟹b = −32. Следовательно, уравнение интересующей линии имеет вид y = −5x − 32. □ у = -5x-32. \ _ \ квадрат = −5x − 32. □

Какова сумма всех констант kkk таких, что две строки (k + 1) x − 3y + 2 = 0, (k − 2) x + 4y − 1 = 0 \ begin {array} {c} & ( k + 1) x-3y + 2 = 0, & (k-2) x + 4y-1 = 0 \ end {array} (k + 1) x − 3y + 2 = 0, (k − 2) x + 4y − 1 = 0 перпендикулярны друг другу?

---

Чтобы две прямые были перпендикулярными, должно быть верно, что (k + 1) × (k − 2) + (- 3) × 4 = 0.2-к-14 & = 0. \ end {выровнены} (k + 1) × (k − 2) + (- 3) × 4k2 − k − 2−12k2 − k − 14 = 0 = 0 = 0. Следовательно, по формуле Виета сумма всех возможных значений kkk равна 1.1.1. □ _ \ квадрат □

параллельных и перпендикулярных линий — концепция

Работа с параллельными и перпендикулярными
линиями действительно важна не только в алгебре, но и в геометрии
.
Итак,
вы захотите повторить эту концепцию в конце
курса алгебры, прежде чем переходить
к геометрии.

Во-первых, две прямые параллельны, если они никогда не пересекаются. Их наклоны одинаковые.
Многие люди думают о
железнодорожных путях, когда думают о
параллельных линиях. Если в своем мозгу
вы представляете себе, как железнодорожные шпалы
— так они называются?
Галстуки? Я думаю так. Они всегда параллельны
. Они никогда, никогда не пересекаются
, и они идут вечно
через землю. Думаю, не
навсегда. Это идея
параллельных линий.

Если вы посмотрите на уравнения,
вы узнаете, что две прямые параллельны, а
не построил их график, если их наклоны
одинаковы. Позвольте мне быстро нарисовать
изображений этого. Помните, что уклоны
означают крутизну линии
. Таким образом, уклоны одинаковы, это означает, что
эти две линии одинаково крутые.
Это то, что может помочь вам
запомнить.

Это другая концепция.
Две прямые называются перпендикулярными
, если они пересекаются под прямым углом
, их наклоны противоположны знакам
, обратным знакам.

Итак, давайте посмотрим на картинку.
Это опять же не идеально,
, а изображение двух перпендикулярных
линий. Перпендикулярные линии означают
, что они пересекаются под прямым углом. Итак,
, если я проведу эту линию прямо здесь, перпендикулярная линия
будет выглядеть как
. Это не здорово. Вы могли бы сказать, что
перпендикулярно
, если бы вы взяли бумагу и воткнули
ее прямо в угол, она
идеально подошла бы, все четыре угла.
Моя не отличная.Вы уловили идею.

Перпендикулярные линии означают, что они пересекают
под прямым углом, который составляет 90 градусов, и с
вы будете много работать с этим в геометрии.

Поговорим подробнее о встречных обратных наклонах
. Например, если бы я дал вам число
-2, обратная величина 2 будет
1/2. Также обратите внимание, как вместо
-2 я написал положительное 1/2. Эти
— противоположные знаки, означающие положительный знак,
— отрицательный, и это
взаимных знаков. Другой пример:
будет, например, 3/4, а противоположный знак
будет равен -4/3.

Это те виды склонов, которые
мы ищем, когда говорим о
перпендикулярных линиях. Эти
— это вещи, которые вам просто нужно запомнить:
: параллель никогда не пересекается,
— тот же уклон; перпендикулярно означает, что они
пересекаются под прямым углом, напротив знака
обратные. На самом деле ярлыков для
нет. Но эти
действительно, очень важные определения
, которые вам понадобятся в алгебре, а
— также в геометрии.

Параллельные и перпендикулярные линии

Определение параллельности и перпендикуляра

Параллельные линии Линии в одной плоскости, которые не пересекаются; их наклоны одинаковы.линии в одной плоскости, которые никогда не пересекаются. Две невертикальные прямые в одной плоскости с наклонами m1 и m2 параллельны, если их наклоны одинаковы, m1 = m2. Рассмотрим следующие две строки:

Рассмотрим соответствующие им графики:

Обе прямые имеют наклон m = 34 и поэтому параллельны.

Перпендикулярные линии Линии в одной плоскости, пересекающиеся под прямым углом; их наклоны противоположны друг другу.- это прямые в одной плоскости, пересекающиеся под прямым углом (90 градусов). Две невертикальные прямые в одной плоскости с наклонами m1 и m2 перпендикулярны, если произведение их наклонов равно −1: m1⋅m2 = −1. Мы можем решить относительно m1 и получить m1 = −1m2. В этой форме мы видим, что перпендикулярные линии имеют наклон, равный отрицательным обратным величинам или противоположным обратным величинам. Два действительных числа, произведение которых равно -1. Для действительного числа ab обратная величина равна -ba .. Например, если задан наклон

, то наклон перпендикулярной прямой противоположен обратной величине:

Математическое обозначение m⊥ означает « м, перпендикуляр.«Мы можем проверить, что два склона образуют перпендикулярные линии, если их произведение равно −1.

С геометрической точки зрения отметим, что если прямая имеет положительный наклон, то любая перпендикулярная линия будет иметь отрицательный наклон. Кроме того, подъем и спуск между двумя перпендикулярными линиями меняются местами.

Перпендикулярные линии имеют наклон, противоположный обратному, поэтому не забудьте найти обратный и изменить знак. Другими словами,

Определение наклона перпендикулярной прямой можно выполнить мысленно.Ниже приведены некоторые примеры.

Пример 1: Определите наклон прямой, параллельной y = −5x + 3.

Решение: Поскольку данная линия находится в форме пересечения наклона, мы можем видеть, что ее наклон равен m = −5. Таким образом, наклон любой прямой, параллельной данной прямой, должен быть одинаковым, m∥ = −5. Математическое обозначение m∥ читается как « м, параллель».

Ответ: m∥ = −5

Пример 2: Определите наклон прямой, перпендикулярной 3x − 7y = 21.

Решение: Сначала найдите y и выразите прямую в форме пересечения наклона.

В этой форме мы видим, что наклон данной прямой равен m = 37, и, следовательно, m − = −73.

Ответ: m⊥ = −73

Попробуй! Найдите наклон прямой, перпендикулярной к 15x + 5y = 20.

Ответ: m⊥ = 13

Нахождение уравнений параллельных и перпендикулярных прямых

Мы видели, что график линии полностью определяется двумя точками или одной точкой и ее наклоном.Часто вас просят найти уравнение линии при некотором геометрическом соотношении — например, параллельна ли линия другой линии или перпендикулярна ей.

Пример 3: Найдите уравнение прямой, проходящей через (6, −1) и параллельной y = 12x + 2.

Решение: Здесь заданная прямая имеет наклон m = 12, а наклон параллельной прямой равен m∥ = 12. Поскольку вам даны точка и наклон, используйте форму линии «точка-наклон» для определения уравнения.

Ответ: y = 12x − 4

Важно иметь геометрическое понимание этого вопроса. Нас попросили найти уравнение прямой, параллельной другой прямой, проходящей через определенную точку.

Через точку (6, −1) мы нашли параллельную линию y = 12x − 4, показанную пунктиром. Обратите внимание, что наклон такой же, как у данной линии, но пересечение y другое. Если иметь в виду геометрическую интерпретацию, тогда будет легче запомнить процесс, необходимый для решения задачи.

Пример 4: Найдите уравнение прямой, проходящей через (−1, −5) и перпендикулярной y = −14x + 2.

Решение: Данная прямая имеет наклон m = −14, следовательно, m⊥ = + 41 = 4. Подставьте этот уклон и данную точку в форму «точка-уклон».

Ответ: y = 4x − 1

Геометрически мы видим, что прямая y = 4x − 1, показанная ниже пунктирной линией, проходит через (−1, −5) и перпендикулярна данной прямой.

Это не всегда тот случай, когда данная линия имеет форму пересечения уклона. Часто для определения уклона приходится выполнять дополнительные действия. Общие шаги по поиску уравнения линии описаны в следующем примере.

Пример 5: Найдите уравнение прямой, проходящей через (8, −2) и перпендикулярной 6x + 3y = 1.

Решение:

Шаг 1: Найдите уклон м .Сначала найдите наклон данной линии. Для этого найдите y , чтобы изменить стандартную форму на форму с пересечением наклона, y = mx + b.

В этой форме вы можете видеть, что наклон равен m = −2 = −21, и, следовательно, m⊥ = −1−2 = + 12.

Шаг 2: Подставьте найденный угол наклона и заданную точку в форму уравнения для прямой. В этом случае наклон равен m⊥ = 12, а заданная точка равна (8, −2).

Шаг 3: Решите относительно y .

Ответ: y = 12x − 6

Пример 6: Найдите уравнение прямой, проходящей через (72, 1) и параллельной 2x + 14y = 7.

Решение: Найдите уклон м , решив для y .

Данная прямая имеет наклон m = −17, поэтому m∥ = −17. Мы используем это и точку (72, 1) в форме точечного наклона.

Ответ: y = −17x + 32

Попробуй! Найдите уравнение прямой, перпендикулярной x − 3y = 9 и проходящей через (−12, 2).

Ответ: y = −3x + 12

При нахождении уравнения линии, перпендикулярной горизонтальной или вертикальной линии, лучше всего учитывать геометрическую интерпретацию.

Пример 7: Найдите уравнение прямой, проходящей через (−3, −2) и перпендикулярной y = 4.

Решение: Мы понимаем, что y = 4 является горизонтальной линией, и мы хотим найти перпендикулярную линию, проходящую через (−3, −2).

Если мы проведем линию перпендикулярно заданной горизонтальной линии, в результате получится вертикальная линия.

Уравнения вертикальных линий имеют вид x = k. Поскольку он должен проходить через (−3, −2), мы заключаем, что x = −3 — это уравнение. Все упорядоченные парные решения вертикальной линии должны иметь одну и ту же координату x .

Ответ: x = −3

Мы можем переписать уравнение любой горизонтальной линии y = k в форме пересечения наклона следующим образом:

Записав в таком виде, мы видим, что наклон m = 0 = 01.Если мы попытаемся найти наклон перпендикулярной линии, найдя обратную обратную величину, мы столкнемся с проблемой: m⊥ = −10, что не определено. Вот почему мы постарались ограничить определение двумя невертикальными линиями. Помните, что горизонтальные линии перпендикулярны вертикальным линиям.

Основные выводы

• Параллельные прямые имеют одинаковый наклон.
• Перпендикулярные линии имеют наклон, противоположный обратному. Другими словами, если m = ab, то m⊥ = −ba.
• Чтобы найти уравнение прямой, сначала используйте данную информацию для определения наклона. Затем используйте наклон и точку на линии, чтобы найти уравнение, используя форму «точка-наклон».
• Горизонтальные и вертикальные линии перпендикулярны друг другу.

Тематические упражнения

Часть A: Параллельные и перпендикулярные линии

Определите наклон параллельных и перпендикулярных прямых.

1. y = −34x + 8

2. y = 12x − 3

3. y = 4x + 4

4. y = −3x + 7

5. y = −58x − 12

6. y = 73x + 32

7. y = 9x − 25

8. y = −10x + 15

9. y = 5

10. х = −12

11. х-у = 0

12. х + у = 0

13. 4x + 3y = 0

14.3х − 5у = ​​10

15. −2x + 7y = 14

16. −x − y = 15

17. 12x − 13y = −1

18. −23x + 45y = 8

19. 2x − 15y = 110

20. −45x − 2y = 7

Определите, параллельны ли линии, перпендикулярны или нет.

21. {y = 23x + 3y = 23x − 3

22. {y = 34x − 1y = 43x + 3

23. {y = −2x + 1y = 12x + 8

24.{y = 3x − 12y = 3x + 2

25. {y = 5x = −2

26. {y = 7y = −17

27. {3x − 5y = 155x + 3y = 9

28. {x − y = 73x + 3y = 2

29. {2x − 6y = 4 − x + 3y = −2

30. {−4x + 2y = 36x − 3y = −3

31. {x + 3y = 92x + 3y = 6

32. {y − 10 = 0x − 10 = 0

33. {y + 2 = 02y − 10 = 0

34. {3x + 2y = 62x + 3y = 6

35. {−5x + 4y = 2010x − 8y = 16

36.{12x − 13y = 116x + 14y = −2

Часть B: Уравнения в форме точечного уклона

Найдите уравнение прямой.

37. Параллельно y = 12x + 2 и проходит через (6, −1).

38. Параллельно y = −34x − 3 и проходит через (−8, 2).

39. Перпендикулярно y = 3x − 1 и проходит через (−3, 2).

40. Перпендикулярно y = −13x + 2 и проходит через (4, −3).

41.Перпендикулярно y = −2 и проходит через (−1, 5).

42. Перпендикулярно x = 15 и проходит через (5, −3).

43. Параллельно y = 3 и проходит через (2, 4).

44. Параллельно x = 2 и проходит через (7, −3).

45. Перпендикулярно y = x и проходит через (7, −13).

46. Перпендикулярно y = 2x + 9 и проходит через (3, −1).

47. Параллельно y = 14x − 5 и проходит через (−2, 1).

48. Параллельно y = −34x + 1 и проходит через (4, 1/4).

49. Параллельно 2x − 3y = 6 и проходит через (6, −2).

50. Параллельно −x + y = 4 и проходит через (9, 7).

51. Перпендикулярно 5x − 3y = 18 и проходит через (−9, 10).

52. Перпендикулярно x − y = 11 и проходит через (6, −8).

53. Параллельно 15x − 13y = 2 и проходит через (−15, 6).

54.Параллельно −10x − 57y = 12 и проходит через (−1, 1/2).

55. Перпендикулярно 12x − 13y = 1 и проходит через (−10, 3).

56. Перпендикулярно −5x + y = −1 и проходит через (−4, 0).

57. Параллельно x + 4y = 8 и проходит через (−1, −2).

58. Параллельно 7x − 5y = 35 и проходит через (2, −3).

59. Перпендикулярно 6x + 3y = 1 и проходит через (8, −2).

60. Перпендикулярно −4x − 5y = 1 и проходит через (−1, −1).

61. Параллельно −5x − 2y = 4 и проходит через (15, −14).

62. Параллельно 6x − 32y = 9 и проходит через (13, 23).

63. Перпендикулярно y − 3 = 0 и проходит через (−6, 12).

64. Перпендикулярно x + 7 = 0 и проходит через (5, −10).

ответы

1: m∥ = −34 и m⊥ = 43

3: m∥ = 4 и m⊥ = −14

5: m∥ = −58 и m⊥ = 85

7: m∥ = 9 и m⊥ = −19

9: m∥ = 0 и m⊥ не определено

11: m∥ = 1 и m⊥ = −1

13: m∥ = −43 и m⊥ = 34

15: m∥ = 27 и m⊥ = −72

17: m∥ = 32 и m⊥ = −23

19: m∥ = 10 и m⊥ = −110

21: параллельный

23: перпендикуляр

25: перпендикуляр

27: перпендикуляр

29: параллельный

31: Ни то, ни другое

33: параллельный

35: параллельный

37: y = 12x − 4

39: y = −13x + 1

41: х = -1

43: y = 4

45: у = −x − 6

47: y = 14x + 32

49: y = 23x − 6

51: y = −35x + 235

53: y = 35x + 15

55: y = −23x − 113

57: y = −14x − 94

59: y = 12x − 6

61: y = −52x + 14

63: х = −6

Как записывать уравнения перпендикулярных и параллельных линий

Параллельные прямые — это прямые, которые простираются до бесконечности, не касаясь ни одной точки.Перпендикулярные линии пересекаются под углом 90 градусов. Оба набора линий важны для многих геометрических доказательств, поэтому важно распознавать их графически и алгебраически. Вы должны знать структуру уравнения прямой линии, прежде чем сможете писать уравнения для параллельных или перпендикулярных линий. Стандартная форма уравнения — «y = mx + b», в котором «m» — наклон линии, а «b» — точка, в которой линия пересекает ось y.

Параллельные линии

Напишите уравнение для первой линии и определите наклон и точку пересечения по оси Y.

Пример: y = 4x + 3 m = slope = 4 b = y-intercept = 3

Скопируйте первую половину уравнения для параллельной прямой. Одна линия параллельна другой, если их наклоны одинаковы.

Пример: Исходная линия: y = 4x + 3 Параллельная линия: y = 4x

Выберите точку пересечения оси Y, отличную от исходной линии. Независимо от величины нового пересечения по оси Y, если наклон одинаков, две линии будут параллельны.

Пример: Исходная линия: y = 4x + 3 Параллельная линия 1: y = 4x + 7 Параллельная линия 2: y = 4x — 6 Параллельная линия 3: y = 4x + 15,328.35

Перпендикулярные линии

Напишите уравнение для первой линии и определите наклон и точку пересечения по оси Y, как в случае с параллельными линиями.

Пример: y = 4x + 3 m = slope = 4 b = y-intercept = 3

Преобразование для переменных «x» и «y». Угол поворота составляет 90 градусов, поскольку перпендикулярная линия пересекает исходную линию под углом 90 градусов.

Пример: x ‘= x_cos (90) — y_sin (90) y’ = x_sin (90) + y_cos (90)

Замените «y» и «x» вместо «x» и «y», а затем запишите уравнение в стандартной форме.

Пример: Исходная строка: y = 4x + 3 Заменитель: -x ‘= 4y’ + 3 Стандартная форма: y ‘= — (1/4) * x — 3/4

Исходная строка, y = 4x + b, перпендикулярно новой строке, y ‘= — (1/4) _x — 3/4, и любой прямой, параллельной новой строке, например y’ = — (1/4) _x — 10.

• «a » — первый или старший коэффициент;
• «b » — второй коэффициент;
• «c » — свободный член.

Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

• привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
• использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .

Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 = » часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac » на букву «D » и называют дискриминантом . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0

а=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0

а=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + с = b , то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0

Выполняется равенство a + с = b , значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны

аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

15+ 9x 2 — 45x = 0 или 15х+42+9x 2 — 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже. ..»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является «квадратное». Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения .

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1 — то, что меньше, а х 2 — то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х 1 = -3 , х 2 = 3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D . Формула дискриминанта:

D = b 2 — 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 — 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 = 2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3
х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.

Общий вид квадратного уравнения

Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше — по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.

Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.

Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.

Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.

Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

• в решении будет два корня;
• ответом будет одно число;
• корней у уравнения не будет совсем.

И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.

Виды записей квадратных уравнений

В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.

Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:

Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.

После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.

Как решается квадратное уравнение полного вида?

По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.

Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.

Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.

Как решается квадратное уравнение неполного вида?

Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.

Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый — обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.

Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.

Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.

• Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом — без степени и последним — просто число.

• Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.

• Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.

Примеры

Требуется решить следующие квадратные уравнения:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).

Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.

После вынесения за скобки получается: х (х — 7) = 0.

Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х — 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.

Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.

После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = — √6.

Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х — 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 — 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = — 5.

Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».

Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 — х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.

Трудные задания ЕГЭ по химии

Как показали результаты репетиционного экзамена по химии, наиболее трудными оказались задания, направленные на проверку знаний химических свойств веществ. К числу таких заданий можно отнести задание С3 – «Цепочка органических веществ», С2 – «Реакции между неорганическими веществами и их растворами».

При решении задания С3 «Цепочка органических веществ» учащийся должен написать пять уравнений химических реакций, среди которых одно является окислительно-восстановительным.

Рассмотрим составление одного из таких окислительно-восстановительных уравнений:

СН₃СНО X₁

Чтобы составить уравнение окислительно-восстановительной реакции с участием органических веществ, нужно научиться определять степень окисления в органическом веществе по его структурной формуле. Для этого нужно иметь знания о химической связи, знать, что такое электроотрицательность.

Структурная формула помогает оценить смещение электронов по каждой из связей. Так атом углерода метильной группы (–СН₃) сместит электрон по каждой из связей к себе. Таким образом, степень окисления углерода метильной группы будет равна (-3). Атом углерода карбонильной группы (СО) отдаст 2 электрона атому кислорода, но частично компенсирует недостачу, приняв 1 электрон от атома водорода. Следовательно, его степень окисления будет равна +1:

В продукте реакции степень окисления углерода метильной группы не изменится. Карбонильная группа атомов превратится в карбоксильную с замещенным водородом на натрий, вследствие щелочной среды (-СООNa). Атом углерода карбоксильной группы сместит два электрона в сторону карбонильного кислорода и один электрон в сторону кислорода замещенной гидроксильной группы. Таким образом, степень окисления атома углерода карбоксильной группы будет равна (+3):

Следовательно, одна молекула этаналя отдает 2 электрона:

С⁺¹-2е=С⁺³

Рассмотрим теперь процессы, происходящие с перманганатом натрия. Обращает внимание, что в схеме дан перманганат натрия, а не калия. Свойства перманганата натрия должны быть аналогичны свойствам перманганта калия, который в зависимости от кислотности среды способен давать различные продукты:

  Так как в нашем случае перманганат натрия используется в щелочной  среде, то продуктом реакции будет манганат ион – MnO₄^2-.

Определим степень окисления иона марганца в перманганате калия NaMnO₄ пользуясь правилом равенства числа положительных и отрицательных зарядов в нейтральной структурной единице вещества. Четыре кислорода каждый по (-2) дадут восемь отрицательных зарядов, так как степень окисления у калия +1, то у марганца будет +7:

Na⁺¹Mn⁺⁷O₄^-2

Записав формулу манганата натрия Na₂MnO₄, определим степень окисления марганца:

Na₂⁺¹Mn⁺⁶O₄^-2

Таким образом, марганец принял один электрон:

Mn⁺⁷+1e=Mn⁺⁶

Полученные уравнения позволяют определить множители перед формулами в уравнении химической реакции, которые называют коэффициентами:

С⁺¹-2е=С⁺³  ·1

Mn⁺⁷+1e=Mn⁺⁶ ·2

Уравнение реакции приобретет следующий вид:

2NaMnO₄+CH₃CHO+3NaOH=CH₃COONa+2Na₂MnO₄+2H₂O

Задание С2 требует от участника ЕГЭ знание свойств разнообразных свойств неорганических веществ, связанных с протеканием как окислительно-восстановительных реакций между веществами, находящимися как в одном, так и в различных агрегатных состояниях, так и обменных реакций протекающих в растворах. Такими свойствами могут быть некоторые индивидуальный свойства простых веществ и их соединений, например, реакция лития или магния с азотом:

2Li+3N₂=2Li₃N

2Mg+N₂=Mg₂N₂

горение магния в углекислом газе:

Mg+CO₂=MgO+CO

2Mg+CO₂=2MgO+C

Особую трудность у учащихся вызывают сложные случаи взаимодействия растворов веществ солей подвергающихся гидролизу. Так для взаимодействия раствора сульфата магния с карбонатом натрия можно записать целых три уравнения возможных  процессов:

MgSO₄+Na₂CO₃=MgCO₃+Na₂SO₄

2MgSO₄+2Na₂CO₃+H₂O=(MgOH)₂CO₃¯+2Na₂SO₄+CO₂

2MgSO₄+2Na₂CO₃+2H₂O=2Mg(OH)₂¯+2Na₂SO₄+2CO₂

Традиционно трудны для написания уравнения с участием комплексных соединений. Так растворы амфотерных гидроксидов в избытке щелочи обладают всеми свойствами щелочей. Они способны вступать в реакции с кислотами и кислотными оксидами:

Na[Al(OH)₄]+HCl=NaCl+Al(OH)₃¯+H₂O

 Na[Al(OH)₄]+2HCl=NaCl+Al(OH)₂Cl+2H₂O

Na[Al(OH)₄]+3HCl=NaCl+Al(OH)Cl₂+3H₂O

Na[Al(OH)₄]+4HCl=NaCl+AlCl₃+4H₂O

Na[Al(OH)₄]+CO₂=NaHCO₃+Al(OH)₃¯

2Na[Al(OH)₄]+CO₂=Na₂CO₃+2Al(OH)₃¯+H₂O

Растворы солей, имеющие кислую реакцию среды, вследствие гидролиза, способны растворять активные металлы, например, магний или цинк:

Mg+MgCl₂+2H₂O=2MgOHCl+H₂­

На экзамене желательно помнить об окислительных свойствах солей трехвалентного железа:

2FeCl₃+Cu=CuCl₂+2FeCl₂

Могут пригодиться знания об аммиачных комплексах:

CuSO₄+4NH₃=[Cu(NH₃)₄]SO₄

AgCl+2NH₃=[Ag(NH₃)₂]Cl

Традиционно вызывают затруднения, связанные с проявлением  основных  свойств раствором аммиака. В результате чего могут протекать обменные реакции в водных растворах:

MgCl₂+2NH₃+2H₂O=Mg(OH)₂+2NH₄Cl

В заключение приведем серию уравнений химических реакций, которые нужно знать участникам ЕГЭ по химии:

  Кислотные оксиды (кроме SiO₂) реагируют с водой, как амфотерным оксидом с образованием кислот:

P₂O₅ + 3H₂O = 2H₃PO₄

SO₃ + H₂O = H₂SO₄

Для получения азотной кислоты азот оксид азота (IV) должен быть доокислен, например кислородом воздуха:

4NO₂ + O₂ + 2H₂О = 4HNO₃

Лабораторный способ получения хлороводорода: к твердому хлориду натрия приливают концентрированную серную кислоту:

NaCl + H₂SO₄ = NaHSO₄ + HCl­

Для получения бромоводорода из бромида натрия, концентрированная серная кислота не подойдет, так как выделяющийся бромоводород будет загрязнен парами брома. Можно использовать концентрированную фосфорную кислоту:

NaBr+ H₃PO₄ = NaH₂PO₄ + HBr­

Кислоты реагируют с металлами, стоящими в ряду напряжений до водорода:

Fe + 2 HCl = FeCl₂ + H₂­

И их оксидами:

Fe₂O₃ + 6HCl = 2FeCl₃ + 3H₂O

Обратите внимание на валентность переходных элементов в солях.

Щелочные и щелочноземельные металлы взаимодействуют с водой:

K + H₂O = KOH + ½ H₂­

В условиях избытка кислоты могут образовываться и кислые соли:

2Н₃РО₄ + 2Na = 2NaH₂PO₄ + Н₂­

Органические кислоты также проявляют кислотные свойства:

2СН₃СООН + 2Na = 2CH₃COONa + Н₂­

СНзСООН + NaOH = CH₃COONa + Н₂О

Комплексные гидроксиды реагируют с кислотами с образованием солей и воды:

Na[Al(OH)₄] + HCl = AlCl₃ + 4H₂O + NaCl

LiOH + HNO₃ = LiNO₃ + H₂O

Многоосновные кислоты в реакции с гидроксидами могут образовывать кислые соли:

Н₃РО₄ + КОН = КН₂РО₄ + Н₂О

Продуктом реакции аммиака с фосфорной кислотой может также быть кислая соль:

NH₃ + H₃PO₄ = NH₄H₂PO₄

Обратим внимание на свойства оснований, их взаимодействие с кислотами:

2Н₃РО₄ + ЗСа(ОН)₂ = Са₃(РО₄)₂¯ + 6Н₂О

с кислотными оксидами:

Ca(OH)₂ + CO₂ = CaCO₃¯ + H₂O

2Ca(OH)₂ + CO₂=(СaOH)₂CO₃+H₂O

Реакция гидроксидов с кислотными оксидами может приводить и к кислым солям:

KOH + CO₂ = KHCO₃

Основные  оксиды реагируют с амфотерными оксидами:

CaO + H₂O = Ca(OH)₂

Средние соли в воде реагируют с кислотными оксидами с образованием кислых солей:

CaCO₃ + CO₂ + H₂O = Ca(HCO₃)₂

Более сильные кислоты вытесняют более слабые из их солей:

CH₃COONH₄ + HCl  = CH₃COOH + NH₄Cl

K₂CO₃ + H₂SO₄ = K₂SO₄ + H₂O + CO₂­

Кислоты в присутствии серной кислоты реагируют со спиртами с образованием сложных эфиров:

CH₃COOH + C₂H₅OH = CH₃COOC₂H₅ + H₂O

Более сильное основание вытесняет более слабое из его солей:

AlCl₃ + 3NaOH = Al(OH)₃ + 3NaCl

MgCl₂ + KOH = MgOHCl + KCl

NH₄С1 + NaOH = NaCl + NH₃ + H₂O

Чтобы получить из основной соли получить среднюю соль нужно подействовать кислотой:

MgOHCl + HCl = MgCl₂ + H₂O

Гидроксиды металлов (кроме щелочных металлов) разлагаются при нагревании в твердом виде до оксидов:

2Al(OH)₃ = Al₂O₃ + 3H₂O

2Fe(OH)₃ = Fe₂O₃ + 3H₂O

Гидрокарбонаты при нагревании разлагаются до карбонатов:

2KHCO₃ = K₂CO₃ + H₂O + CO₂­

Нитраты обычно разлагаются до оксидов (обратите внимание на повышение степени окисления переходного элемента находящегося в промежуточной степени окисления):

2Fe(NO₃)₂ = Fe₂O₃ + 4NO₂­ + 0,5O₂­

2Fe(NO₃)₃ ® Fe₂O₃ + 6NO₂­ + 1,5 O₂­

2Cu(NO₃)₂ = 2CuO + 4NO₂­ + О₂­

Нитраты щелочных металлов разлагаются до нитритов:

NaNO₃ = NaNO₂ + ½ O₂­

Карбонаты металлов (кроме щелочных) разлагаются до оксидов:

CaCO₃ = CaO + CO₂­

При составлении уравнений реакций ионного обмена пользуйтесь таблицей растворимости:

K₂SO₄ + BaCl₂ = BaSO₄¯ + 2KCl

[C₆H₅-NH₃]C1 + AgNО₃ = [C₆H₅NH₃]NO₃ + AgCl¯

Электролиз расплавов солей:

2KCl = 2K + Cl₂­

Электролиз растворов солей металлов, стоящих в ряду напряжения после водорода:

2HgSO₄ + 2H₂O  = 2Hg + О₂­ + 2H₂SO₄

1) на катоде: Hg²⁺ + 2e = Hg°

2) на аноде: 2Н₂О – 4е = О₂ + 4Н⁺

Электролиз раствора сульфата натрия

1) на катоде: 2H₂O + 2e = H₂ + 2OH^–

2) на аноде: 2H₂O – 4e = O₂ + 4H⁺

3) Составлено общее уравнение электролиза:

2H₂O = 2H₂­ + O₂­

до водорода:

СаI₂ + 2Н₂О  =  Н₂­ + I₂ + Са(ОН)₂

1) на катоде: 2Н₂О + 2e = 2ОН + Н₂

2) на аноде: 2I^— — 2e = I₂ 

Сравните свойства одноэлементных и кислородсодержащих анионов.

Химические реакции, возможные при электролизе сульфата хрома (III):

1)Сг³⁺ + e = Сг²⁺

2) Cr²⁺ + 2e = Сг°  

3) Сг³⁺ + 3 e= Сг°

4) 2Н⁺ + 2e = Н₂

Электролиз водных растворов солей карбоновых кислот:

2CH₃COONa + 2H₂O  = CH₃CH₃­ + 2CO₂­ + H₂­ + 2NaOH

Пример взаимного гидролиза солей:

A1₂(SO₄)₃ + 3K₂CO₃ + 3H₂O = 2A1(OH)₃ + 3CO₂­ + 3K₂SO₄

Амфотерные гидроксиды растворяются в водных растворах щелочей:

A1(OH)₃ + 3KOH = K₃[A1(OH)₆]

A1(OH)₃ + KOH = K[Al(OH)₄]

реагируют с твердыми щелочами при сплавлении:

Al(OH)₃  + KOH KAlO₂ + 2H₂O

Амфотерные металлы реагируют с водными растворами щелочей:

Al + NaOH + 3H₂O = Na[Al(OH)₄] + 3/2 H₂­

Продукт сплавления амфотерного гидроксида со щелочью легко разлагается водой:

KAlO₂ + 2H₂O = KOH + Al(OH)₃¯

Комплексные гидроксиды реагируют с кислотами:

K[Al(OH)₄] + HCl =KCl + Al(OH)₃¯ + H₂O

Способ получения:

СаО + 3С = СаС₂ + СО­

Бинарные соединения реагируют с кислотами:

Al₂S₃ + 3H₂SO₄ ^:= Al₂(SO₄)₃ + 3H₂S­

Mg₃N₂ + 8HNO₃ = Mg(NO₃)₂ + 2NH₄NO₃

и водой:

A1₄C₃ + 12Н₂О = 4А1(ОН)₃ + ЗСН₄­

PCl₃ + H₂O = 3H₃PO₃ + 3HCl

Азотная кислота является сильным окислителем:

окисляют неметаллы:

ЗР + 5HNO₃ + 2Н₂О = Н₃РО₄ + 5NO­

P + 5HNO₃ = H₃PO₄ + 5NO₂­ + H₂O

металлы:

Cu + 4HNO₃ = Cu(NO₃)₂ + 2NO₂­ + 2H₂O

4Mg + 10HNO₃ = 4Mg(NO₃)₂ + N₂O­ + 5H₂O

оксиды переходных металлов в промежуточных степенях окисления:

3Cu₂O + 14HNO₃ = 6Cu(NO₃)₂ + 2NO+ 7H₂O (возможно выделение NО₂)

оксиды азота также проявляют окислительные свойства:

5N₂O + 2P = 5N, + P₂O

но по отношению к кислороду являются восстановителями:

2NO + O₂ = 2NO₂

Азот реагирует с некоторыми простыми веществами:

N₂+3H₂= 2NH₃

N₂ + O₂ = 2NO

3Mg + N₂ = Mg₃N₂

обычно проявляют окислительные свойства:

PH₃ + 4Br₂ + 4Н₂О = Н₃РО₄ + 8НВг

2P + 5Cl₂ = 2PCl₅

2P + 3PCl₅ = 5PCl₃

PH₃ + 4Br₂ + 4H₂O = H₃PO₄ + 8HBr

Cl₂ + H₂ = 2HCl

2HCl + F₂ = 2HF + Cl₂

2NH₃ + 3Br₂ = N₂ + 6HBr

Галогены в растворах щелочей диспропорционируют при комнатной температуре:

Cl₂ + 2KOH = KCl + H₂O + KClO

и при нагревании:

Cl₂ + 6KOH = 5KCl + KClO₃ + 3H₂O

2NH₃ + 2KMnO₄ = N₂ + 2MnO₂ + 2KOH + 2H₂O

реагирует с простыми веществами:

S + O₂ = SO₂

3S + 2А1 = A1₂S₃

оксид серы (IV) может быть доокислен кислородом:

2SO₂ + O₂ = 2SO₃

2SO₂ + O₂ + 2H₂O = 2H₂SO₄

и выступать в роли окислителя:

SO₂ + 2H₂S = 3S + 2H₂O

Концентрированная серная кислота проявляет окислительные свойства:

Cu + H₂SO₄ = CuSO₄ + SO₂ +2H₂O

4Mg + 5H₂SO₄ = 4MgSO₄ + H₂S + 4H₂O

получение фосфора:

реагируют с галогенами:

2Fe + 3Cl₂ = 2FeCl₃

Алюминий без оксидной пленки растворяется в воде:

Al (без оксидной пленки) + Н₂О = Al(OH)₃ + 3/2 H₂­

методы получения металлов:

Fe₂O₃ + CO = 2FeO + CO₂­

FeO + CO = Fe + CO₂­

CuO + H₂ = Cu + H₂O

Гидроксид железа (II) может быть легко доокислен пероксидом водорода:

2Fe(OH)₂ + H₂O₂ = 2Fe(OH)₃

обжиг пирита:

2FeS₂ + O₂ = Fe₂O₃ + 4SO₂­

2С₁₀Н₂₂ + 31O₂ = 20CО₂ + 22H₂О

Методы получения алканов из простых веществ:

С + 2H₂ = CH₄

сплавлением солей щелочных металлов с щелочами:

СН₃СООК + КОН ® СН₄ + К₂СО₃

Химические свойства алканов — промышленное окисление метана:

CH₄ + O₂ = CH₂O + H₂O

Взаимодействие алканов с галогенами:

С₂Н₆ + Сl₂ С₂Н₅Сl + НСl

Изомеризация алканов:

с водными растворами щелочей:

С₆Н₅-СНВг-СН₃ + КОН (водн. ) ® С₆Н₅-СНОН-СН₃ + KBr

C₆H₅Br + KOH ® C₆H₅OH + KBr

По правилу Зайцева водород отщепляется от наименее гидрированного атома

Из дигалогеналканов можно получить алкины:

Реакция Вюрца:

Присоединяют водород:

присоединяют галогены:

присоединяют галогенводороды:

присоединят воду:

СН₂=СН₂ + Н₂О ® СН₃СН₂ОН

С водным раствором перманганата калия без нагревания образуют гликоли (двухатомные спирты)

ЗС₆Н₅СН=СН₂ + 2КМnО₄ + 4Н₂О ® ЗС₆Н₅СН(ОН)-СН₂ОН + MnO₂¯ + 2KOH

промышленный способ получения ацетилена

2СН₄ ® С₂Н₂ + ЗН₂

карбидный способ получения ацетилена:

CaC₂ + 2H₂O = Ca(OH)₂ + C₂H₂

реакция Кучерова — альдегид можно получить только из ацетилена:

С₂Н₂ + Н₂О СН₃СНО

Реакция алкинов с концевой тройной связью с аммиачным раствором оксида серебра:

2CH₃-CH₂-CºCH + Ag₂O 2CH₃-CH₂-CºCAg +H₂O

использование полученных продуктов в органическом синтезе:

CH₃-CH₂-CºCAg  + C₂H₅Br  ®  CH₃-CH₂-CºC-C₂H₅ + AgBr

Получение бензола из алкенов:

из ацетилена:

3C₂H₂  C₆H₆

Нитрование бензола и его производных в присутствие серной кислоты

C₆H₆ + HNO₃ ® C₆H₅-NO₂ + H₂O

карбоксильная группа является ориентантом второго рода

реакция бензола и его производных с галогенами:

C₆H₆ + Cl₂ C₆H₅Cl   + HCl

С₆Н₅С₂Н₅ + Вг₂ С₆Н₅-СНВг-СН₃ + НВг

галогеналканами:

C₆H₆ + С₂Н₅С1 C₆H₅C₂H₅ + НС1

алкенами:

C₆H₆ + CH₂=CH-CH₃ ® C₆H₅-CH(CH₃)₂

Окисление бензола перманганатом калия в присутствии серной кислоты при нагревании:

5C₆H₅-CH₃ + 6KMnO₄ + 9H₂SO₄ = 5C₆H₅-COOH + 3K₂SO₄ + 6MnSO₄ + 14H₂O

Промышленный способ получения метанола:

CO + 2H₂ = CH₃OH

при нагревании с серной кислотой в зависимости от условий могут образовываться простые эфиры:

2С₂Н₅OH C₂Н₅ОС₂Н₅ + Н₂О

или алкены:

2С₂Н₅OH CH₂=CH₂ + H₂O

спирты реагируют с щелочными металлами:

С₂Н₅OH + Na ® C₂H₅ONa + ½ H₂

с галогенводородами:

СН₃СН₂ОН + НСl ® CH₃CH₂Cl + H₂O

с оксидом меди (II):

СН₃СН₂ОН + СuO ® CH₃CHO + Cu + H₂O

более сильная кислота вытесняет более слабые из их солей:

C₂H₅ONa + HCl ® C₂H₅OH + NaCl

при нагревании смеси спиртов с серной кислотой образуются несимметричные простые эфиры:

Образуют с аммиачным раствором оксида серебра серебряное зеркало:

CH₃CHO + Ag₂O CH₃COONH₄ + 2Ag

реагируют со свежеосажденным гидроксидом меди (II):

CH₃CHO + 2Cu(OH)₂ ® CH₃COOH + 2CuOH + H₂O

могут быть восстановлены до спиртов:

CH₃CHO + H₂  ® CH₃CH₂OH

окисляются перманганатом калия:

ЗСН₃СНО + 2КМnО₄® 2СН₃СООК + СН₃СООН + 2МnО₂ + Н₂О

можно получить восстановлением нитросоединений в присутствии катализатора:

C₆H₅-NO₂ + 3H₂   = C₆H₅-NH₂ + 2H₂O

реагируют с кислотами:

C₆H₅-NH₂ + HC1 =[C₆H₅-NH₃]C1

Глюкозу можно получить гидролизом крахмала или целлюлозы:

(С₆Н₁₀О₅)_n + n H₂O = nC₆H₁₂O₆

Для глюкозы характерно спиртовое брожение:

C₆H₁₂O₆ ® 2C₂H₅OH + 2CO₂

молочнокислое брожение:

C₆H₁₂O₆ ® 2СН₃СН(ОН)СООН

реакция серебряного зеркала:

C₆H₁₂O₆+Ag₂O 2Ag¯+C₆H₁₂O₇

Аминокислоты реагируют как с кислотами:

H₂N-CH-COOH+HCl ®  Cl^— H₃N⁺-CH-COOH

так и c щелочами:

H₂N-CH-COOH+NaOH ® H₂N-CH-COONa+H₂O

соли аминокислот также способны участвовать в реакциях обмена в водном растворе:

Cl^— H₃N⁺-CH-COOH+NaOH ® H₂N-CH-COOH +NaCl + H₂O

Cl^— H₃N⁺-CH-COOH+2NaOH ® H₂N-CH-COONa +NaCl + 2H₂O

H₂N-CH-COONa+HCl ® H₂N-CH-COOH +NaCl

H₂N-CH-COONa+2HCl ® Cl^— H₃N⁺-CH-COOH +NaCl

МЦКО

Химия – предмет, не относящийся к обязательным для сдачи ЕГЭ, и выбирают его выпускники, которые хорошо в нем разбираются. Но и у них даже, казалось бы, самые легкие задания могут вызвать затруднения. На каких моментах часто спотыкаются участники экзамена и как можно избежать ошибок, рассказывает Наталия Покровская, эксперт Московского центра качества образования, ответственный секретарь предметной комиссии ЕГЭ по химии.

Вариант контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена по химии состоит из 35 заданий: 29 в первой части – с выбором ответа или кратким ответом, и 6 во второй – высокого уровня сложности с развернутым ответом.

Задания 1–3

– Первые три задания не относятся к разряду трудных, но и в них выпускники могут допустить ошибки: иногда ребят сбивает с толку простое изменение формулировки вопроса, – рассказывает Наталия Покровская. – Например, если в задании 3 написано «Выберите элементы, проявляющие высшую степень окисления +5», всем ясно, о чем идет речь. А нестандартная формулировка вроде «Выберите элементы, которые имеют одинаковую разность между значениями их высшей и низшей степеней окисления» вызывает непонимание, хотя суть задания не изменилась! Таким образом, старшеклассники должны быть готовы к тому, что вопрос может звучать по-разному.

Задание 7

Это задание также нельзя назвать трудным. Главное при его выполнении быть внимательными. Например, в условии может быть сказано: «Добавили раствор вещества Х». Значит, выбирая из предложенного списка вещество Х, сразу нужно исключить все нерастворимые вещества. Поскольку задание чаще всего направлено на проверку знаний о реакциях, протекающих в растворах, следует вспомнить, в каких случаях выделяются газы: разложение получившихся непрочных кислот (сернистой, угольной) или гидрата аммиака, появление в продуктах сероводорода, совместный полный гидролиз, вытеснение водорода из кислоты металлом. Всю информацию, касающуюся осадков, можно найти в таблице растворимости. Написание схемы реакции поможет визуализировать условие задания и не допустить ошибок.

Задания 8, 30, 31 и 32

Задания 8, 30, 31 и 32 направлены на проверку знаний свойств неорганических веществ. Изменившийся формат заданий 30 и 31 ограничивает экзаменуемых в выборе веществ, между которыми идет реакция. Теперь уравнение должно соответствовать указанным в условии признакам: меняется ли цвет раствора, образуется или не образуется осадок либо газ. Поэтому не любое правильно написанное уравнение будет считаться верным: оценивается уравнение только той реакции, которая полностью соответствует условию. Для выполнения задания 30 нужно хорошо знать, какие конкретно вещества являются окислителями и восстановителями, а для задания 31 – вспомнить формулы малодиссоциирующих веществ (их нельзя записывать в виде ионов).

Важно помнить: если в исходных веществах есть кислота, то в продуктах не может получиться основание или основная соль, и наоборот. Следует проверять, чтобы получившиеся продукты реакции не реагировали между собой и с реагентами. Если есть возможность дальнейшего протекания реакции, значит, уравнение неверно. Больше информации о выполнении этих заданий можно найти на сайте Московского образовательного телеканала в видеоролике «Учимся вместе. Я сдам ЕГЭ!».

Задания 8 и 32 различаются тем, что первое предполагает только выбор возможных реакций, а во втором требуется написание уравнений (при этом даются подсказки в виде признаков протекания реакций). Приступая к выполнению задания 8, нужно рассмотреть предложенные формулы веществ с двух позиций: их кислотно-основных и окислительно-восстановительных свойств. Это позволит сразу понять, от какого списка реагентов можно отказаться: например, кислота не реагирует с кислотой, а восстановитель – с восстановителем. Для выполнения задания 32 особенно важно знать цвета осадков и растворов – это может быть хорошей подсказкой для определения продуктов реакции. Выучить палитру довольно просто, если раскрасить таблицу растворимости, отмечая все известные цветовые признаки соединений. Дополнительную информацию о задании 32 можно посмотреть по ссылке.

Задание 13

Очень много ошибок выпускники делают в задании 13 (свойства углеводородов), особенно если вопрос заключается в определении механизма реакции. Рекомендую обратить внимание на то, что ионный механизм всегда связан с присутствием ионов, то есть разноименно заряженных частиц. Но есть вещества, которые при разных условиях могут образовывать и частицы-ионы, и частицы-радикалы. Например, молекула хлора при облучении распадается на радикалы, а вот катализатор поляризует молекулу галогена, в результате чего происходит гетеролитический разрыв связи, и получаются ионы.

Гораздо легче запомнить свойства углеводородов, если учитывать возможность веществ с определенным типом связи вступать в соответствующие реакции: кратная связь – реакции присоединения, одинарная связь – реакции замещения. Но не следует забывать также, что при изменении условий могут быть исключения даже в основных законах: с перекисью водорода в качестве катализатора реакция присоединения идет вопреки правилу Марковникова, а если хлорирование алкена проводить при температуре 600 0С, то вместо реакции присоединения пойдет замещение у атома углерода в sp3-гибридизации.

Задания 15 и 17

Не менее сложны задания 15 (азотсодержащие органические вещества и углеводы) и 17 (кислородсодержащие органические вещества). При изучении свойств этих соединений нужно обратить внимание, что реакции могут идти как по функциональной группе, так и по радикалу. Чтобы выучить как можно больше свойств органических соединений, можно составить конспект, выписать побольше уравнений для каждого класса. И конечно же, нужно выполнять цепочки на взаимосвязь органических веществ. Рекомендую посмотреть видеоролики по этим заданиям на Московском образовательном телеканале – «Химия, ЕГЭ. Задание № 15» и «Химия, ЕГЭ. Задание № 17», а также видео «Химия, 10 класс. Взаимосвязь классов органических веществ».

Затруднения вызывают и вопросы по окислительно-восстановительным реакциям в органической химии, особенно если нужно расставить коэффициенты. Справиться с такими заданиями поможет консультация эксперта: «Химия, 11 класс. Окислительно-восстановительные реакции в органической химии».

Задания 34 и 35

Самыми трудными для выполнения являются задания 34 и 35 – это расчетные задачи с химическим содержанием.

Ошибки в задании 35 чаще всего случаются из-за неправильного определения структурной формулы. Обычно это связано с недостаточным знанием химических свойств органических веществ. Поэтому здесь только один совет: стараться каждый день выполнять хотя бы одну цепочку превращений, писать уравнения реакций.

Задание 34 сложно тем, что для него нет единого алгоритма решения. Есть задачи на электролиз, смеси, атомистику, а бывает, что в условии переплетается несколько типов задач. Я бы советовала сначала отработать какой-то один тип задач, разобраться в его логике. Потом подключить задачи другого типа и понять, в чем отличие, определить последовательность действий.

При решении этих задач требуется повышенное внимание: лучше прочитать условие несколько раз, возвращаться к нему по мере выполнения задания, отмечать массы веществ, которые уходят из раствора, чтобы исключить их при нахождении массы конечного раствора. Формулы, применяемые для решения задачи 34, простые и хорошо известные, например: массовая доля равна массе растворенного вещества, деленной на массу раствора. Сложности – в деталях: при вычислении массы раствора нужно не забыть сложить все массы добавляемых веществ, вычесть массы осадков и выделившихся газов. Важно помнить, что амфотерные гидроксиды в избытке щелочи растворяются, и если в начале задачи трудно определить избыток или недостаток щелочи, можно написать два возможных уравнения – образования гидроксида и образования комплексной соли.

Полезные ссылки

Для успешной сдачи экзамена по химии нужно готовиться, повторять теорию и выполнять упражнения. Найти их можно в открытом банке заданий на сайте Федерального института педагогических измерений.

Также я рекомендую посмотреть видеоролики Московского образовательного телеканала, где в рубриках «Субботы московского выпускника» (совместный проект с Московским центром качества образования), «Спроси эксперта», «Учимся вместе. Я сдам ЕГЭ!» ведущие эксперты предметных комиссий разбирают задания ЕГЭ и дают рекомендации, как лучше подготовиться. А все новости, касающиеся ЕГЭ, можно найти на сайте Московского центра качества образования.

Источник: Activityedu.ru

Все сложные реакции заданий 32 из банка ФИПИ.

Все реакции из заданий 32, которые могут вызвать затруднения при составлении. На ЕГЭ 99% реакций в заданиях 32 будут либо они, либо аналогичные.

1) Si + 2Cl₂ SiCl₄

2) SiCl₄ + 3H₂O H₂SiO₃ + 4HCl

3) Ca₃(PO₄)₂ + 5C + 3SiO₂ 2P + 5CO + 3CaSiO₃

4) Ca₃N₂ + 6H₂O 3Ca(OH)₂ + 2NH₃↑

5) 2NH₃ + 3CuO  3Cu + 3H₂O + N₂↑

6) Cu + 4HNO₃(конц.) Cu(NO₃)₂ + 2NO₂↑ + 2H₂O

7) 2Cu(NO₃)₂ 2CuO + 4NO₂ + O₂↑

8) 4FeS + 7O₂ 2Fe₂O₃ + 4SO₂↑

9) 2H₂S + SO₂ 3S↓ + 2H₂O

10) S + 6HNO₃ H₂SO₄ + 6NO₂↑ + 2H₂O

11) 4Al(NO₃)₃ 2Al₂O₃ + 12NO₂↑ + 3O₂↑

12) 2Al₂O₃ 4Al + 3O₂↑ (электролиз раствора Al₂O₃ в расплаве криолита)

13) 3KNO₃ + 8Al + 5KOH + 18H₂O  3NH₃↑ + 8K[Al(OH)₄]

14) CrO₃ + 2KOH K₂CrO₄ + H₂O

15) 2K₂CrO₄ + H₂SO₄ K₂Cr₂O₇ + K₂SO₄ + H₂O

16) 14HBr + K₂Cr₂O₇ 2CrBr₃ + 3Br₂ + 7H₂O + 2KBr

17) H₂S + Br₂ S↓ + 2HBr

18) 3Mg + N₂ Mg₃N₂

19) Mg₃N₂ + 6H₂O 3Mg(OH)₂↓ + 2NH₃↑

20) Cr₂(SO₄)₃ + 6NH₃ + 6H₂O 2Cr(OH)₃↓ + 3(NH₄)₂SO₄

21) 2Cr(OH)₃ + 4KOH + 3H₂O₂ 2K₂CrO₄ + 8H₂O

22) 2Ag + 2H₂SO₄(конц.) Ag₂SO₄ + SO₂↑ + 2H₂O

23) 2KClO₃ 2KCl + 3O₂↑ (в присутствии кат-ра)

24) 3Fe + 2O₂  Fe₃O₄

25) Fe₃O₄ + 8HCl FeCl₂ + 2FeCl₃ + 4H₂O

26) 6FeCl₂ + 14HCl + K₂Cr₂O₇ 6FeCl₃ + 2CrCl₃ + 2KCl + 7H₂O

27) 2Na + H₂ 2NaH

28)  NaH + H₂O NaOH + H₂↑

29) 2NO₂ + 2NaOH NaNO₂ + NaNO₃ + H₂O

30) 2Al + 2NaOH + 6H₂O 2Na[Al(OH)₄] + 3H₂↑

31) Cu + 2H₂SO₄  CuSO₄ + SO₂↑ + 2H₂O

32) 2CuSO₄ + 4KI 2CuI↓ + I₂↓ + 2K₂SO₄

33) 2NaCl + 2H₂O H₂↑ + Cl₂↑ + 2NaOH (электролиз раствора)

34) Fe₂O₃ + 6HI 2FeI₂ + I₂↓ + 3H₂O

35) Na[Al(OH)₄]  + CO₂ NaHCO₃ + Al(OH)₃↓

36) Al₂O₃ + Na₂CO₃ (тв.) 2NaAlO₂ + CO₂↑ (сплавление)

37) Al₄C₃ + 12HBr 4AlBr₃ + 3CH₄↑

38) 2AlBr₃ + 3K₂SO₃ + 3H₂O 2Al(OH)₃↓ + 3SO₂↑ + 6KBr

39) 3SO₂ + K₂Cr₂O₇ + H₂SO₄ K₂SO₄ + Cr₂(SO₄)₃ + H₂O

40) Zn + 2KOH + 2H₂O K₂[Zn(OH)₄] + H₂↑

41) K₂[Zn(OH)₄]  K₂ZnO₂ + 2H₂O

42) K₂ZnO₂ + 4HCl 2KCl + ZnCl₂ + 2H₂O

43) HI + KHCO₃ KI + H₂O + CO₂↑

44) 6KI + K₂Cr₂O₇ + 7H₂SO₄ 4K₂SO₄ + 3I₂↓ + Cr₂(SO₄)₃ + 7H₂O

45) 2AlI₃ + 3Na₂S + 6H₂O 2Al(OH)₃↓ + 3H₂S↑ + 6NaI

46) Fe₃O₄ + 10HNO₃ 3Fe(NO₃)₃ + NO₂↑ + 5H₂O

47) Fe₂O₃ + Fe  3FeO

48) 2Na + O₂ Na₂O₂ (горение)

49)  Na₂O₂ + 4HCl 2NaCl + 2H₂O + Cl₂↑

50) 3Cl₂ + 10KOH + Cr₂O₃ 2K₂CrO₄ + 6KCl + 5H₂O

51) K₂CrO₄ + BaCl₂ BaCrO₄↓ + 2KCl

52) 2Cu(NO₃)₂ + 2H₂O 2Cu + O₂↑ + 4HNO₃ (электролиз раствора)

53) 6KOH + 3S K₂SO₃ + 2K₂S + 3H₂O

54) 6KHCO₃ + Fe₂(SO₄)₃ 2Fe(OH)₃↓ + 3K₂SO₄ + 6CO₂↑

55) KH + H₂O KOH + H₂↑

56) K₂ZnO₂ + 2H₂SO₄ K₂SO₄ + ZnSO₄ + 2H₂O

57) FeSO₄ + 2NH₃ + 2H₂O Fe(OH)₂↓ + (NH₄)₂SO₄

58)  Fe(OH)₂ + 4HNO₃(конц.) Fe(NO₃)₃ + NO₂↑ + 3H₂O

59) 2Fe(NO₃)₃ + 3K₂CO₃ + 3H₂O 2Fe(OH)₃↓ + 3CO₂↑ + 6KNO₃

60) 4NO₂ + 2Ca(OH)₂ Ca(NO₃)₂ + Ca(NO₂)₂ + 2H₂O

61) 3Ca + 2P Ca₃P₂

62) Ca₃P₂ + 6H₂O 3Ca(OH)₂ + 2PH₃↑