Рубрика: Разное

Наибольший общий множитель 33 и 44 (GCF 33, 44)

Вы на охоте за GCF 33 и 44? Поскольку вы находитесь на этой странице, я так и предполагаю! В этом кратком руководстве мы расскажем, как вычислить наибольший общий множитель для любых чисел, которые вам нужно проверить. Давайте прыгнем!

Хотите быстро узнать или показать студентам, как найти GCF двух или более чисел? Воспроизведите это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!

Во-первых, если вы спешите, вот ответ на вопрос «каков GCF 33 и 44?» :

GCF из 33 и 44 = 11

Каков наибольший общий фактор?

Проще говоря, GCF набора целых чисел — это наибольшее положительное целое число (т. е.e целое число, а не десятичное), которое делится на все числа в наборе. Это также широко известно как:

• Наибольший общий знаменатель (НОД)
• Наивысший общий коэффициент (HCF)
• Наибольший общий делитель (НОД)

Существует несколько различных способов вычисления GCF набора чисел в зависимости от того, сколько чисел у вас есть и насколько они велики.

Для меньших чисел вы можете просто посмотреть множители или кратные для каждого числа и найти их наибольшее общее кратное.

Для 33 и 44 эти коэффициенты выглядят так:

• Факторы для 33: 1, 3, 11 и 33
• Факторы для 44: 1, 2, 4, 11 , 22 и 44

Как вы можете видеть, когда перечисляете факторы каждое число, 11 — это наибольшее число, на которое делятся 33 и 44.

Подводя итоги

По мере того, как числа становятся больше или вы хотите сравнить несколько чисел одновременно, чтобы найти GCF, вы можете увидеть, как перечисление всех факторов может стать слишком большим. Чтобы исправить это, вы можете использовать простые множители.

Перечислите все простые множители для каждого числа:

• Основные множители для 33: 3 и 11
• Основные множители для 44: 2, 2 и 11

Теперь, когда у нас есть список простых множителей, нам нужно найти любые, общие для каждого числа.

В этом случае есть только один общий простой множитель, 11. Поскольку других нет, наибольшим общим делителем является этот простой множитель:

GCF = 11

Найдите GCF с помощью алгоритма Евклида

Последний метод вычисления GCF 33 и 44 — использовать алгоритм Евклида. Это более сложный способ вычисления наибольшего общего множителя, который на самом деле используется только калькуляторами GCD.

Если вы хотите узнать больше об алгоритме и, возможно, попробовать его самостоятельно, загляните на страницу Википедии.

Надеюсь, сегодня вы немного научились математике и понимаете, как вычислять НОД чисел. Возьмите карандаш и бумагу и попробуйте сами. (или просто воспользуйтесь нашим калькулятором НОД — никому не скажем!)

Цитируйте, ссылайтесь или ссылайтесь на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большое одолжение и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали.Мы очень ценим вашу поддержку!

• Наибольший общий коэффициент 33 и 44

• «Наибольший общий множитель 33 и 44». VisualFractions.com . По состоянию на 18 июня 2021 г. https://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-33-and-44/.

• «Наибольший общий множитель 33 и 44». VisualFractions.com , https://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-33-and-44/. По состоянию на 18 июня 2021 г.

• Наибольший общий множитель 33 и 44. VisualFractions.com. Получено с https://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-33-and-44/.

GCF из 33 и 44

На этой странице мы определим GCF 33 и 44, научим вас различным способам вычисления GCF 33 и 44, а также покажу вам, для чего можно использовать GCF 33 и 44.

Что такое GCF для 33 и 44?
GCF — это сокращение от Greatest Common Factor. Следовательно, GCF 33 и 44 совпадает с наибольшим общим фактором. 33 и 44. GCF 33 и 44 — это наибольшее положительное целое число, на которое можно разделить 33 и 44. Кроме того, и 33, и 44 имеют набор факторов, и GCF является наибольшим общим фактором для 33 и 44.

gcf (33, 44) = 11

= 33: 44
= (33 ÷ 11): (44 ÷ 11)
= 3: 4

Калькулятор GCF
Используйте Калькулятор GCF для решения проблемы, аналогичной описанной на этой странице.

— Дюймовый калькулятор

Найдите наибольший общий множитель, общие множители и все множители для набора чисел, используя калькулятор ниже.

Решение:

Наибольший общий множитель [22, 88, 132]: 22

Найдите множители для каждого числа

Факторы 22 равны [1, 2, 11, 22]

Факторы 88 равны [ 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88]

Факторы 132 равны [1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132]

Найдите коэффициенты, общие для всех трех чисел

Общие коэффициенты: [1, 2, 11, 22]

GCF — это наибольший коэффициент, общий для всех трех чисел

GCF — 22

Как найти наибольший общий делитель набора чисел

Наибольший общий множитель (GCF) набора чисел является наибольшим множителем, общим для всех чисел в наборе. Наибольший общий множитель иногда называют наибольшим общим делителем (HCF) , наибольшим общим знаменателем (GCD) (GCD), наибольшим общим делителем или наибольшим общим делителем .

Коэффициент числа x — это число, которое можно умножить на другое целое число, чтобы получить x.

Есть несколько способов найти наибольший общий фактор. Первый — использовать калькулятор выше, который даже показывает все шаги.Следуйте инструкциям ниже, чтобы узнать о еще трех методах.

Метод первый: найти GCF с помощью простого факторизации

Один из способов найти наибольший общий делитель набора чисел — использовать разложение на простые множители. Чтобы использовать разложение на простые множители, найдите простые множители каждого числа.

Чтобы найти простые множители, разделите каждое число в наборе на простой множитель. Затем разделите каждое число на другой простой множитель до тех пор, пока их нельзя будет разделить дальше. Простые числа, используемые для деления числа, являются простыми множителями.

Чтобы найти наибольший общий делитель 90 и 165 с помощью разложения на простые множители, найдите простые делители каждого числа.

Чтобы найти простые множители, разделите каждое число на другой простой множитель до тех пор, пока их нельзя будет разделить дальше.

Когда у вас есть простые множители для каждого числа в наборе, следующий шаг — найти числа, общие для всех чисел.

Наконец, умножьте все общие простые множители вместе, чтобы найти наибольший общий делитель.

Например, позволяет найти наибольший общий делитель 90 и 165, используя разложение на простые множители.

Чтобы найти простые множители 90, разделите 90 на 2, чтобы получить 45. 2 — простое число, но 45 можно разделить на 5, чтобы получить 9. 5 — простое число, а 9 можно разделить на 3, чтобы получить 3.

Таким образом, простые числа 90 равны [5,3,3,2] .

Повторите этот процесс для 165. 165 разделить на 3 = 55. 3 является простым множителем, но 55 можно разделить на 5, чтобы получить 11.

Простые множители 165 равны [11,5,3] .

Теперь найдите простые множители, общие для обоих чисел. 5 и 3 входят в оба набора простых множителей, которые мы нашли выше.

Чтобы найти наибольший общий множитель, давайте умножим общие простые множители вместе.

5 × 3 = 15

Таким образом, 15 является наибольшим общим делителем 90 и 165.

Совет: используйте наш калькулятор простых множителей, чтобы найти все простые множители числа.

Метод второй: найти GCF по всем факторам

Используя этот метод, можно найти наибольший общий множитель путем нахождения всех множителей для каждого числа в наборе, а затем нахождения множителей, общих для всех чисел в наборе. Наибольший общий фактор для всех чисел — наибольший общий фактор.

Чтобы найти множители числа, разделите их на 2, если результатом является целое число, а не 2, а результат — множители. Повторите этот процесс, разделив на 3, 4 и так далее, пока не дойдете до 1.

Затем найдите факторы, входящие в набор факторов для всех чисел. Это общие множители чисел.

Наконец, найдите наибольшее число в наборе общих факторов. Это самый общий фактор.

Например, давайте найдем наибольший общий делитель 90 и 165, найдя все множители.

Начнем с определения множителей для обоих чисел.

Коэффициенты для 90: [1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90]

Коэффициенты для 165: [1, 3, 5, 11, 15, 33, 55, 165]

Затем найдите факторы, общие для 90 и 165.

Общие множители: [1, 3, 5, 15]

Найдите наибольшее число в наборе общих множителей, чтобы найти наибольший общий множитель.

Наибольшее число в наборе общих множителей 90 и 165 равно 15. Таким образом, наибольший общий множитель 90 и 165 равен 15 .

Метод третий: найти GCF с помощью алгоритма Евклида

Алгоритм Евклида определяет шаги для эффективного нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.Начните с деления большого числа на маленькое, чтобы получить частное и остаток.

Если остаток не равен 0, разделите предыдущий делитель на остаток. Продолжайте делать это до тех пор, пока остаток не равен 0. Как только у вас есть остаток, равный 0, делитель на этом шаге является наибольшим общим множителем.

Например, давайте найдем наибольший общий делитель 90 и 165, используя алгоритм Евклида.

165 ÷ 90 = 1 остаток 75
90 ÷ 75 = 1 остаток 15
75 ÷ 15 = 5 остаток 0

Поскольку 15 является делителем на последнем шаге, когда остаток равен 0, GCF составляет 15 .

Узнайте больше, используя наш калькулятор алгоритма Евклида.

Какой наибольший общий коэффициент используется для

Наибольший общий коэффициент обычно используется для упрощения или сокращения дробей. Наибольший общий делитель также известен как наибольший общий делитель. Узнайте больше о сокращении фракций с помощью нашего упрощителя дробей.

Калькулятор GCF (наибольший общий коэффициент)

Калькулятор GCF вычисляет наибольший общий коэффициент от двух до шести различных чисел.Прочтите, чтобы найти ответ на вопрос: «Каков наибольший общий фактор данных чисел?», Узнайте о нескольких методах поиска GCF, включая разложение на простые множители или алгоритм Евклида, решите, какой из них вам больше всего нравится, и убедитесь сами наш калькулятор GCF поможет вам сэкономить время при работе с большими числами!

Что такое GCF?

Определение наибольшего общего множителя — наибольший целочисленный множитель, который присутствует между набором чисел . Он также известен как наибольший общий делитель , наибольший общий знаменатель ( GCD ), наибольший общий делитель ( HCF ) или наибольший общий делитель ( HCD ). Это важно в некоторых приложениях математики, таких как упрощение многочленов, где часто бывает необходимо выделить общие множители. Далее нам нужно знать, как найти GCF.

Как найти наибольший общий множитель

Существуют различные методы, которые помогут вам найти GCF. Некоторые из них — детская игра, другие — более сложные. Стоит знать их все, чтобы вы могли решить, что вам больше нравится:

• Используя список факторов,
• Факторизация чисел на простые множители,
• алгоритм Евклида,
• Бинарный алгоритм (алгоритм Штейна),
• Использование нескольких свойств GCF (включая наименьшее общее кратное, LCM).

Хорошая новость в том, что вы можете оценить НОД с помощью простых математических операций, без корней и логарифмов! В большинстве случаев это просто вычитание, умножение или деление.

GCF finder — список факторов

Основной метод, используемый для оценки наибольшего общего делителя, — это найти все множители данных чисел. Факторы — это просто числа, умножение которых дает исходное значение. В целом они могут быть как положительными, так и отрицательными, т.е.грамм. 2 * 3 совпадает с (-2) * (-3) , оба равны 6. С практической точки зрения мы рассматриваем только положительные . Причем речь идет только о целых числах. В противном случае вы найдете бесконечную комбинацию различных дробей, являющихся факторами, что в нашем случае бессмысленно. Зная это, давайте оценим наибольший общий знаменатель чисел 72 и 40 .

1. Факторы 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 ,
2. Факторы 40 : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 ,
3. Перечислите все общие множители: 1, 2, 4, 8 ,
4. Наибольший общий делитель — 8 , максимальное значение сверху.

Давайте попробуем что-нибудь посложнее. Мы хотим найти ответ на вопрос: «Каков наибольший общий множитель для 33264 и 35640 ?» Все, что нам нужно сделать, это повторить предыдущие шаги:

1. Факторы 33264 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 21, 22, 24, 27, 28, 33, 36, 42, 44, 48, 54, 56, 63, 66, 72, 77, 84, 88, 99, 108, 112, 126, 132, 144, 154, 168, 176, 189, 198, 216, 231, 252, 264, 297, 308, 336, 378, 396, 432, 462, 504, 528, 594, 616, 693, 756, 792, 924, 1008, 1188, 1232, 1386, 1512, 1584, 1848, 2079, 2376, 2772, 3024, 3696, 4158, 4752, 5544, 8316, 11088, 16632, 33264 ,
2. Факторы 35640 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 18, 20, 22, 24, 27, 30, 33, 36, 40 , 44, 45, 54, 55, 60, 66, 72, 81, 88, 90, 99, 108, 110, 120, 132, 135, 162, 165, 180, 198, 216, 220, 264, 270, 297 , 324, 330, 360, 396, 405, 440, 495, 540, 594, 648, 660, 792, 810, 891, 990, 1080, 1188, 1320, 1485, 1620, 1782, 1980, 2376, 2970, 3240 , 3564, 3960, 4455, 5940, 7128, 8910, 11880, 17820, 35640 ,
3. Список всех общих делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 18, 22, 24, 27, 33, 36, 44, 54, 66, 72, 88, 99, 108, 132, 198, 216, 264, 297, 396, 594, 792, 1188, 2376 ,
4. Окончательный результат: 2376 .

Как видите, чем больше факторов, тем больше времени занимает процедура и легко ошибиться. Стоит знать, как работает этот метод, но вместо этого мы рекомендуем использовать наш калькулятор GCF, просто чтобы убедиться, что результат правильный.

Факторизация на простые множители

Другая широко используемая процедура, которую можно рассматривать как калькулятор наибольшего общего делителя, использует разложение на простые множители. Этот метод в некоторой степени родственен ранее упомянутому.Вместо того, чтобы перечислять все возможные факторы, мы находим только те, которые являются простыми числами. В результате произведение всех общих простых чисел является ответом на нашу проблему, и, что более важно, всегда есть один уникальный способ разложить любое число на простые. Итак, теперь давайте найдем наибольший общий знаменатель 72 и 40 , используя разложение на простые множители:

1. Основные множители числа 72 равны: 2, 2, 2, 3, 3 ,
2. Основные множители 40 : 2, 2, 2, 5 ,
3. Другими словами, мы можем написать: 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 и 40 = 2 * 2 * 2 * 5 ,
4. Общая часть в обоих случаях равна 2 * 2 * 2 = 8 , и это наибольший общий коэффициент.

Мы видим, что для этого простого примера результат согласуется с предыдущим методом. Посмотрим, работает ли он одинаково хорошо для более сложного случая. Что такое GCF для 33264 и 35640 ?

1. Основные множители 33264 : 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 7, 11 ,
2. Основные множители 35640 : 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 11 ,
3. Мы можем использовать обозначение экспоненты для записи продуктов как: 33264 = 2⁴ * 3³ * 7 * 11 , 35640 = 2³ * 3⁴ * 5 * 11 ,
4. Общее произведение двух чисел: 2³ * 3³ * 11 .Мы также можем записать его более компактно и изощренно с учетом факториалов: (3!) ³ * 11 . Проверьте, дает ли наш калькулятор GCD такой же результат: 2376 .

Алгоритм Евклида

Идея, лежащая в основе алгоритма Евклида, гласит, что если число k является наибольшим общим множителем чисел A и B , то k также является GCF для разности этих чисел A - В . Следуя этой процедуре, мы наконец достигнем 0. В результате наибольший общий делитель будет последним ненулевым числом. Еще раз взглянем на наши примеры — числа 40 и 72 . Каждый раз, когда мы производим вычитание, мы сравниваем два числа, упорядочивая их от наибольшего к наименьшему значению:

• GCF из 72 и 40 : разница 72-40 равна 32 ,
• GCF из 40 и 32 : 40-32 = 8 ,
• GCF из 32 и 8 : 32-8 = 24 ,
• GCF из 24 и 8 : 24-8 = 16 ,
• GCF из 16 и 8 : 16-8 = 8 ,
• GCF из 8 и 8 : 8-8 = 0 СТОП!

На нашем последнем шаге вычитанием мы получаем 0.Это означает, что мы находим наш Наибольший общий делитель и его значение в предпоследней строке вычитаний: 8 .

А как насчет более сложного случая с 33264 и 35640 ? Попробуем решить ее с помощью алгоритма Евклида:

• GCF из 35640 и 33264 : 35640 - 33264 = 2376 ,
• GCF из 33264 и 2376 : 33264 - 2376 = 30888 ,
• GCF из 30888 и 2376 : 30888 - 2376 = 28512 ,
• GCF из 28512 и 2376 : 28512 - 2376 = 26136 ,
• GCF из 26136 и 2376 : 26136 - 2376 = 23760 ,
• GCF из 23760 и 2376 : 23760 - 2376 = 21384 ,
• GCF из 21384 и 2376 : 21384 - 2376 = 19008 ,
• GCF из 19008 и 2376 : 19008 - 2376 = 16632 ,
• GCF из 16632 и 2376 : 16632 - 2376 = 14256 ,
• GCF из 14256 и 2376 : 14256 - 2376 = 11880 ,
• GCF из 11880 и 2376 : 11880 - 2376 = 9504 ,
• GCF из 9504 и 2376 : 9504 - 2376 = 7128 ,
• GCF из 7128 и 2376 : 7128 - 2376 = 4752 ,
• GCF из 4752 и 2376 : 4752 - 2376 = 2376 ,
• GCF из 2376 и 2376 : 2376 - 2376 = 0 СТОП!

Как и в предыдущем примере, НОД для 33264 и 35640 является последней отличной от нуля разницей в процедуре, которая составляет 2376 .

Как видите, базовая версия этого искателя GCF очень эффективна и проста, но имеет один существенный недостаток. Чем больше разница между приведенными числами, тем больше шагов необходимо для достижения последнего шага. По модулю — это эффективная математическая операция, которая решает проблему, потому что нас интересует только остаток, меньший обоих чисел. Давайте повторим алгоритм Евклида для наших примеров, используя по модулю вместо обычного вычитания:

• GCF из 72 и 40 : 72 мод 40 = 32 ,
• GCF из 40 и 32 : 40 мод 32 = 8 ,
• GCF из 32 и 8 : 32 mod 8 = 0 СТОП!

Наибольший общий знаменатель 8 .А что насчет другого?

• GCF из 35640 и 33264 : 35640 мод 33264 = 2376 ,
• GCF из 33264 и 2376 : 33264 mod 2376 = 0 СТОП!

GCD из 35640 и 33264 — это 2376 , и его можно найти всего за два шага вместо 15. Неплохо, не так ли?

Алгоритм двоичного наибольшего общего делителя

Если вам нравятся более простые арифметические операции, чем те, которые используются в алгоритме Евклида (например,грамм. по модулю), двоичный алгоритм (или алгоритм Штейна) определенно для вас! Все, что вам нужно использовать, это сравнение, вычитание и деление на 2. При оценке наибольшего общего множителя двух чисел имейте в виду следующие тождества:

1. gcd (A, 0) = A , мы используем тот факт, что каждое число делит ноль, и наблюдение с последнего шага в алгоритме Евклида — одно из чисел упало до нуля, и наш результат был предыдущим,
2. Если и A, , и B равны, это означает, что gcd (A, B) = 2 * gcd (A / 2, B / 2) , поскольку 2 является общим множителем,
3. Если только одно из чисел четное, скажем, A , тогда gcd (A, B) = gcd (A / 2, B) .На этот раз 2 не является общим делителем, поэтому мы можем продолжить сокращение, пока оба числа не станут нечетными,
4. Если и A , и B нечетные и A> B , то gcd (A, B) = gcd ((A-B) / 2, B) . На этот раз мы объединяем две функции в один шаг. Первый выводится из алгоритма Евклида, определяющего наибольший общий делитель разности обоих чисел и меньшего. Во-вторых, возможно деление на 2, так как разность двух нечетных чисел четная, и согласно шагу 3 мы можем уменьшить четное.
5. Шаги 2-4 повторяются до достижения шага 1 или A = B . Результатом будет 2ⁿ * A , где n — количество факторов 2, найденных на втором этапе.

Как обычно, давайте попрактикуемся в алгоритме с нашими наборами чисел. Начнем с 40 и 72 :

• Они оба равны gcf (72, 40) = 2 * gcf (36, 20) = 2² * gcf (18, 10) = 2³ * gcf (9, 5) =… ,
• Остальные числа нечетные, поэтому … = 2³ * gcf ((9-5) / 2, 5) = 2³ * gcf (2, 5) ,
• 2 ровно, поэтому мы можем уменьшить его: … = 2³ * gcf (1, 5) ,
• 1 и 5 нечетны, поэтому: … = 2³ * gcf ((5-1) / 2, 1) = 2³ * gcf (2, 1) ,
• Удалите 2 из четного числа: … = 2³ * gcf (1, 1) = 2³ = 8 .

На самом деле, мы могли бы остановиться на третьем шаге, так как НОД 1 и любое число равно 1. Хорошо, а как найти наибольший общий множитель для 33264 и 35640 с помощью двоичного метода?

• Два четных числа: gcf (35640, 33264) = 2 * gcf (17820, 16632) = 2² * gcf (8910, 8316) = 2³ * gcf (4455, 4158) =… ,
• Один четный, один нечетный: … = 2³ * gcf (4455, 2079) ,
• Два нечетных: … = 2³ * gcf ((4455-2079) / 2, 2079) = 2³ * gcf (1188, 2079) ,
• Один четный, один нечетный: … = 2³ * gcf (594, 2079) = 2³ * gcf (297, 2079) ,
• Два нечетных: … = 2³ * gcf ((2079-297) / 2, 297) = 2³ * gcf (891, 297) ,
• Два нечетных: … = 2³ * gcf ((891-297) / 2, 297) = 2³ * gcf (297, 297) = 2³ * 297 = 2376 .

Сопоставимые номера

Мы знаем, что простые числа — это числа, у которых есть только 2 положительных целых делителя: 1 и само себя. Итак, вопрос в том, что такое взаимно простые числа? Мы можем определить их как чисел, не имеющих общих делителей . Точнее, 1 — их единственный общий делитель, но поскольку мы опускаем 1 при разложении на простые множители, можно сказать, что у них нет общих делителей. Другими словами, мы можем написать, что числа A и B взаимно просты, если gcf (A, B) = 1 .На самом деле это не означает, что любое из них является простым числом, просто список общих факторов пуст. Примеры взаимно простых чисел: 5 и 7 , 35 и 48 , 23156 и 44613 .

Интересный факт: можно вычислить вероятность того, что два случайно выбранных числа взаимно просты. Хотя это довольно сложно, общий результат составляет около 61% . Вы удивлены? Просто проверьте это на себе — представьте два случайных числа (скажем, из пяти цифр), воспользуйтесь нашим калькулятором наибольшего общего коэффициента и выясните, будет ли результат 1 или нет. Повторите игру несколько раз и оцените, какой процент найденных вами взаимно простых чисел.

Наибольший общий знаменатель более двух чисел

Теперь, когда мы знаем о многочисленных методах нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, вы можете спросить: «как найти наибольший общий делитель трех или более чисел?» . Оказывается, это не так сложно, как может показаться на первый взгляд. Что ж, перечисление всех факторов для каждого числа — определенно простой метод, потому что мы можем просто найти самый большой из них.Однако вы быстро поймете, что по мере увеличения числа фигур на это уходит все больше и больше времени.

Метод факторизации простых чисел имеет аналогичный недостаток, но поскольку мы можем сгруппировать все простые числа, например, в порядке возрастания, мы можем представить способ получения результата немного быстрее, чем раньше.

С другой стороны, если вы предпочитаете использовать двоичные или евклидовы алгоритмы для оценки ОКФ нескольких чисел, вы также можете использовать теорему, которая гласит:

gcf (a, b, c) = gcf (gcf (a, b), c) = gcf (gcf (a, c), b) = gcf (gcf (b, c), a) .

Это означает, что мы можем вычислить НОД любых двух чисел, а затем снова запустить алгоритм, используя результат и третье число, и продолжать, пока остаются какие-либо цифры. Неважно, какие два мы выберем в первую очередь.

Наименьшее общее кратное

Еще одно понятие, тесно связанное с НОД, — наименьшее общее кратное. Чтобы найти наименьшее общее кратное, мы используем тот же процесс, который мы использовали для поиска GCF. Как только мы сведем числа к разложению на простые множители, мы ищем наименьших степеней каждого множителя, в отличие от наибольшей степени.Затем мы умножаем наибольшие степени, и в результате получаем наименьшее общее кратное или НОК. Это можно сделать вручную или с помощью калькулятора LCM.

Наибольший общий коэффициент можно оценить с помощью LCM. Допустимо следующее выражение:

gcf (a, b) = | a * b | / см (а, б) .

Может быть удобно сначала найти наименьшее общее кратное из-за сложности и продолжительности. Естественно, его можно вычислить любым способом, поэтому стоит знать, как найти GCD и LCM.

Свойства GCD

Мы уже представили несколько свойств наибольшего общего знаменателя. В этом разделе мы перечислим самые важные:

• Если отношение двух чисел a и b ( a> b ) является целым числом, то gcf (a, b) = b ,

• gcf (a, 0) = a , используется в алгоритме Евклида,

• gcf (a, 1) = 1 ,

• Если a и b не имеют общих множителей (они взаимно просты), то gcf (a, b) = 1 ,

• Все общие множители a и b также являются делителями gcf (a, b) ,

• Если b * c / a является целым числом и gcf (a, b) = d , то a * c / d также является целым числом,

• Для любого целого числа k : gcf (k * a, k * b) = k * gcf (a, b) , используется в двоичном алгоритме,

• Для любого положительного целого числа k : gcf (a / k, b / k) = gcf (a, b) / k ,

• gcf (a, b) * lcm (a, b) = | a * b | ,

• gcf (a, lcm (b, c)) = lcm (gcf (a, b), gcf (a, c)) ,

• пкм (a, gcf (b, c)) = gcf (lcm (a, b), lcm (a, c)) .

Калькулятор наибольшего общего коэффициента

Укажите числа, разделенные запятой «,» и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти GCF.

Какой наибольший общий коэффициент (GCF)?

В математике наибольший общий делитель (GCF), также известный как наибольший общий делитель, двух (или более) ненулевых целых чисел a и b , является наибольшим положительным целым числом, на которое можно разделить оба целых числа. .Обычно его обозначают как GCF (a, b). Например, GCF (32, 256) = 32.

Метод простой факторизации

Есть несколько способов найти наибольший общий делитель заданных целых чисел. Один из них включает в себя вычисление простых множителей каждого целого числа, определение общих факторов и умножение этих факторов для нахождения НОД. См. Пример ниже.

Факторизация на простые множители эффективна только для меньших целочисленных значений. Большие значения сделают простое разложение каждого из них и определение общих факторов гораздо более утомительным.

Евклидов алгоритм

Другой метод, используемый для определения GCF, включает использование алгоритма Евклида. Этот метод является гораздо более эффективным, чем использование разложения на простые множители. Алгоритм Евклида использует алгоритм деления в сочетании с наблюдением, что НОД двух целых чисел также может делить их разность. Алгоритм следующий:

На практике:

1. Для двух положительных целых чисел a и b, где a больше, чем b , вычтите меньшее число b из большего числа a , чтобы получить результат c .
2. Продолжайте вычитать b из a , пока результат c не станет меньше b .
3. Используйте b в качестве нового большого числа и вычтите окончательный результат c , повторяя тот же процесс, что и на шаге 2, пока остаток не станет 0.
4. Если остаток равен 0, GCF — это остаток от шага, предшествующего нулевому результату.

Из приведенного выше примера видно, что GCF (268442, 178296) = 2.Если бы присутствовало больше целых чисел, тот же процесс был бы выполнен, чтобы найти GCF следующего целого числа и GCF двух предыдущих целых чисел. Ссылаясь на предыдущий пример, если вместо этого желаемое значение было GCF (268442, 178296, 66888), после того, как было обнаружено, что GCF (268442, 178296) равно 2, следующим шагом будет вычисление GCF (66888, 2). В этом конкретном случае ясно, что GCF также будет 2, давая результат GCF (268442, 178296, 66888) = 2.

Simplify 44/33 — Сократите 44/33 до самой простой формы

Упрощение 44/33 объяснено

Каждую дробь можно привести к простейшей форме, в которой числитель и знаменатель должны быть как можно меньше. Чтобы упростить дробь, вам нужно найти наибольший общий множитель числителя и знаменателя. Общий множитель — это число, на которое можно разделить как числитель, так и знаменатель. Разделив числитель и знаменатель на GCF, ваша дробь приведена к простейшей форме.

Часто GCF можно найти методом проб и ошибок. Но есть также способ найти GCF. Поэтому мы используем простые числа. Простое число — это число, которое делится только на себя и 1:

Список простых чисел бесконечен: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41, 43, 47, 53 и т. Д.

Чтобы упростить 44/33, мы запишем числитель и знаменатель как произведение только простых чисел (каждое число можно записать как произведение только простых чисел). Этот метод называется простой факторизацией :

GCF — это произведение общих простых чисел (перечеркнутых выше) в числителе и знаменателе:

GCF = 11

Калькулятор упрощенных дробей

Проверьте, есть ли у вас самая простая форма дроби, и посмотрите, есть ли у вас как можно меньшие числитель и знаменатель. Заполните числитель над линией результата и знаменатель под линией результата и нажмите «Упростить дробь», чтобы произвести расчет. Калькулятор упрощенных дробей показывает дробь в ее простейшей форме и показывает наибольший общий коэффициент (GCF).

Fractioncalculator.com уже произвел

4 486 242

из 1452 — из нашего калькулятора коэффициентов

Какие множители у 1452?

Это целые числа, которые можно без остатка разделить на 1452; они могут быть выражены как отдельные факторы или как пары факторов.В данном случае мы представляем их обоими способами. Это математическое разложение определенного числа. Хотя обычно это положительное целое число, обратите внимание на комментарии ниже об отрицательных числах.

Что такое разложение 1452 на простые множители?

Факторизация на простые множители — это результат разложения числа на набор компонентов, каждый член которого является простым числом. Обычно это записывают, показывая 1452 как произведение его простых множителей. Для 1452 г., результат будет таким:

(это также известно как разложение на простые множители; наименьшее простое число в этой серии описывается как наименьшее простое множитель)

1452 — составное число?

Да! 1452 — составное число.Это произведение двух положительных чисел, кроме 1 и самого себя.

1452 — квадратное число?

Нет! 1452 — это не квадратное число. Квадратный корень из этого числа (38.11) не является целым числом.

Сколько факторов у 1452?

Это число состоит из 18 факторов: 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 121, 132, 242, 363, 484, 726, 1452

Более конкретно, показаны парами. ..

(1 * 1452) (2 * 726) (3 * 484) (4 * 363) (6 * 242) (11 * 132) (12 * 121) (22 * 66) (33 * 44) ( 44 * 33) (66 * 22) (121 * 12) (132 * 11) (242 * 6) (363 * 4) (484 * 3) (726 * 2) (1452 * 1)

Какой наибольший общий делитель числа 1452 и другого числа?

Наибольший общий делитель двух чисел может быть определен путем сравнения факторизации на простые множители (факторизации в некоторых текстах) двух чисел. и беря наивысший общий простой множитель.Если нет общего множителя, gcf равен 1. Это также называется наивысшим общим множителем и является частью общих простых множителей двух чисел. Это самый большой множитель (наибольшее число), которое два числа делят в качестве основного множителя. Наименьший общий множитель (наименьшее общее число) любой пары целых чисел равен 1.

Как найти наименее распространенное кратное 1452 и другое число?

Здесь у нас есть калькулятор наименьшего общего кратного. Решение — наименьшее общее кратное. из двух номеров.

Что такое дерево факторов

Факторное дерево — это графическое представление возможных факторов числа и их подфакторов. Он предназначен для упрощения факторизации. Он создан нахождение множителей числа, затем нахождение множителей множителей числа. Процесс продолжается рекурсивно до тех пор, пока вы не получите набор простых множителей, который является факторизацией исходного числа на простые множители. При построении дерева обязательно запомните второй элемент в факторной паре.

Как найти множители отрицательных чисел? (например, -1452)

Чтобы найти множители -1452, найдите все положительные множители (см. Выше), а затем продублируйте их с помощью добавляя знак минус перед каждым (фактически умножая их на -1). Это устраняет негативные факторы. (обработка отрицательных целых чисел)

1452 — целое число?

Да.

Каковы правила делимости?

Делимость относится к данному целому числу, которое делится на данный делитель.Правило делимости — это сокращение система для определения того, что делится, а что нет. Сюда входят правила о нечетных и четных числовых множителях. Этот пример предназначен для того, чтобы учащийся мог оценить статус данного числа без вычислений.

$D_h=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \rbrace$

$D_k=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace$

$R_f=[-1,1] \,\,\,\,\,\, R_g=[-1,1]$

Решение:
Область определения $\sin x $ и $\cos x$ это все действительные числа, следовательно область определения

$f(x)=\sin x+\cos x$

$D_f=\mathbb{Z}$

$f(x)=\cos \pi x=\pm 1$

$R_f= \lbrace \pm 1 \rbrace$

Решение:
Согласно тому, что уже было сказано относительно логарифмической функции

$D_f= \lbrace x| x \in \mathbb{R}; \log x>0,x>0 \rbrace$

$= \lbrace x| x\in \mathbb{R}, x>1,x>0 \rbrace =(1,+\infty)$

$|\sin (\log (\log x))| \leq 1 \rightarrow |y| \leq 1 \rightarrow -1 \leq y \leq 1$

$R_f=[-1,1]$

$Z=(g\circ f)_{(x)}=x \rightarrow x=Z\in (1,+\infty) \rightarrow Z>1 \rightarrow R_{g \circ f}=(1,+\infty)$

$f(x)=x-1 \rightarrow f(g(x))=g(x)-1 \rightarrow (f \circ g)_{(x)}=g(x)-1 \rightarrow \\ \dfrac{1}{x-1}=g(x)-1 \rightarrow g(x)=\dfrac{x}{x+1}$

$y=(g \circ f)_{(x)}=g(f(x))=\dfrac{f(x)}{f(x)-1}=\dfrac{x-1}{x+1}$

$D_{g \circ f}=\lbrace x|x \in \mathbb{R}, x \neq 2 \rbrace \rightarrow D_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 2 \rbrace$

$y=\dfrac{x-1}{x-2} \rightarrow x=\dfrac{2y-1}{y-1}$

$R_{g \circ f}=\lbrace y | y \in \mathbb{R}, y \neq 1 \rbrace \rightarrow$

$R_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 1 \rbrace$

Упражнения

$\rightarrow \sin 2kx= \pm 1 \rightarrow y=\dfrac{1}{4} , \sin 2x=0 \rightarrow y=1$

$\rightarrow \dfrac{1}{4} \leq y \leq 1 \rightarrow R_f=[\dfrac{1}{4},1]$

Part 1

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет — Сибстрин

Компания КНАУФ провела обучающие курсы для студентов-первокурсников Для студентов 1 курса Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин) партнер вуза – компания КНАУФ – провела обучающие курсы. В период летней практики, с 23 июня по 2 июля, первокурсники прошли обучение по программам «Материалы и технологии КНАУФ» и «Сухие смеси». Студенты познакомились с сухими смесями на основе гипсового, цементного, а также полимерного вяжущих и необходимыми материалами для создания комплектных систем КНАУФ. Теоретические знания были закреплены на практике, в ходе которой студенты самостоятельно собрали макет перегородки с соблюдением всех необходимых рекомендаций, поработали со штукатурными и шпаклевочными растворами, после чего все успешно сдали тестирование.

Важное направление подготовки «Природообустройство и водопользование»: много бюджетных мест Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) ждет абитуриентов на направление подготовки «Природообустройство и водопользование», профиль «Комплексное использование и охрана водных ресурсов». В 2021 году на данное направление выделено 30 бюджетных мест. Деятельность выпускников НГАСУ (Сибстрин) по данному профилю направлена на повышение эффективности использования водных и земельных ресурсов, устойчивости и экологической безопасности, а именно: создание водохозяйственных систем комплексного назначение, охрана и восстановление водных объектов; охрана земель различного назначения, рекультивация земель, нарушенных или загрязненных в процессе природопользования; природоохранное обустройство территорий с целью защиты от воздействия природных стихий; водоснабжение сельских поселений, отвод и очистка сточных вод, обводнение территорий.

Профессия дорожник всегда будет востребована! Строительная специальность НГАСУ (Сибстрин) «Автомобильные дороги» Старейший вуз города – Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) – вот уже более 90 лет занимает лидирующие позиции в обучении студентов по направлению «Строительство». С 2014 года в нашем вузе началась подготовка специалистов по профилю «Автомобильные дороги». На сегодняшний день это одно из самых актуальных направлений строительства. Национальный проект «Безопасные и качественные автомобильные дороги» предполагает приоритетное развитие транспортной инфраструктуры страны за счет средств федерального бюджета. Поэтому специалисты – строители автомобильных дорог – будут востребованы во всех регионах страны.

Алгебра и начала анализа / КонсультантПлюс

Повторение. Решение задач с использованием свойств чисел и систем счисления, делимости, долей и частей, процентов, модулей чисел. Решение задач с использованием свойств степеней и корней, многочленов, преобразований многочленов и дробно-рациональных выражений.

Решение задач с использованием градусной меры угла. Модуль числа и его свойства.

Решение задач на движение и совместную работу с помощью линейных и квадратных уравнений и их систем. Решение задач с помощью числовых неравенств и систем неравенств с одной переменной, с применением изображения числовых промежутков.

Нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Периодические функции. Четность и нечетность функций. Сложные функции.

Тригонометрические функции y = cos x, y = sin x, y = tg x. Функция y = ctg x. Свойства и графики тригонометрических функций.

Арккосинус, арксинус, арктангенс числа. Арккотангенс числа. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Решение простейших тригонометрических неравенств.

Степень с действительным показателем, свойства степени. Простейшие показательные уравнения и неравенства. Показательная функция и ее свойства и график.

Логарифм числа, свойства логарифма. Десятичный логарифм. Число e. Натуральный логарифм. Преобразование логарифмических выражений. Логарифмические уравнения и неравенства. Логарифмическая функция и ее свойства и график.

Степенная функция и ее свойства и график. Иррациональные уравнения.

Метод интервалов для решения неравенств.

Преобразования графиков функций: сдвиг вдоль координатных осей, растяжение и сжатие, отражение относительно координатных осей. Графические методы решения уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Системы показательных, логарифмических и иррациональных уравнений. Системы показательных, логарифмических неравенств.

Взаимно обратные функции. Графики взаимно обратных функций.

Уравнения, системы уравнений с параметром.

Производная функции в точке. Касательная к графику функции. Геометрический и физический смысл производной. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования.

Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.

Понятие о непрерывных функциях. Точки экстремума (максимума и минимума). Исследование элементарных функций на точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение с помощью производной. Построение графиков функций с помощью производных. 2 

uses 
graphABC; //Подключаем графический модуль 
 
const 
W = 800; H = 500;//Размеры графического окна 
 
function F(x: real): real; 
begin 
F := (sin(x)*sin(x))/ (Power(x,2)); //Функция 
// F:= (cos(2*x) * Power(x,2))/2; 
end; 
 
var 
x0, y0, x, y, xLeft, yLeft, xRight, yRight, n: integer; 
a, b, fmin, fmax, x1, y1, mx, my, dx, dy, num: real; 
i: byte; 
s: string; 
 
begin 
SetWindowSize(W, H); //Устанавливаем размеры графического окна 
//Координаты левой верхней границы системы координат: 
xLeft := 50; 
yLeft := 50; 
//Координаты правой нижней границы системы координат: 
xRight := W - 50; 
yRight := H - 50; 
//интервал по Х; a и b должно нацело делится на dx: 
a := -2; b := 6; dx := 0.5; 
//Интервал по Y; fmin и fmax должно нацело делится на dy: 
fmin := -10; fmax := 20; dy := 2; 
//Устанавливаем масштаб: 
mx := (xRight - xLeft) / (b - a); //масштаб по Х 
my := (yRight - yLeft) / (fmax - fmin); //масштаб по Y 
//начало координат: 
x0 := trunc(abs(a) * mx) + xLeft; 
y0 := yRight - trunc(abs(fmin) * my); 
//Рисуем оси координат: 
line(xLeft, y0, xRight + 10, y0); //ось ОХ 
line(x0, yLeft - 10, x0, yRight); //ось ОY 
SetFontSize(12); //Размер шрифта 
SetFontColor(clBlue); //Цвет шрифта 
TextOut(xRight + 20, y0 - 15, 'X'); //Подписываем ось OX 
TextOut(x0 - 10, yLeft - 30, 'Y'); //Подписываем ось OY 
SetFontSize(8); //Размер шрифта 
SetFontColor(clRed); //Цвет шрифта 
{ Засечки по оси OX: } 
n := round((b - a) / dx) + 1; //количество засечек по ОХ 
for i := 1 to n do 
begin 
num := a + (i - 1) * dx; //Координата на оси ОХ 
x := xLeft + trunc(mx * (num - a)); //Координата num в окне 
Line(x, y0 - 3, x, y0 + 3); //рисуем засечки на оси OX 
str(Num:0:1, s); 
if abs(num) > 1E-15 then //Исключаем 0 на оси OX 
TextOut(x - TextWidth(s) div 2, y0 + 10, s) 
end; 
{ Засечки на оси OY: } 
n := round((fmax - fmin) / dy) + 1; //количество засечек по ОY 
for i := 1 to n do 
begin 
num := fMin + (i - 1) * dy; //Координата на оси ОY 
y := yRight - trunc(my * (num - fmin)); 
Line(x0 - 3, y, x0 + 3, y); //рисуем засечки на оси Oy 
str(num:0:0, s); 
if abs(num) > 1E-15 then //Исключаем 0 на оси OY 
TextOut(x0 + 7, y - TextHeight(s) div 2, s) 
end; 
TextOut(x0 - 10, y0 + 10, '0'); //Нулевая точка 
{ График функции строим по точкам: } 
x1 := a; //Начальное значение аргумента 
while x1 <= b do 
begin 
y1 := F(x1); //Вычисляем значение функции 
x := x0 + round(x1 * mx); //Координата Х в графическом окне 
y := y0 - round(y1 * my); //Координата Y в графическом окне 
//Если y попадает в границы [yLeft; yRight], то ставим точку: 
if (y >= yLeft) and (y <= yRight) then SetPixel(x, y, clGreen); 
x1 := x1 + 0. 001 //Увеличиваем абсциссу 
end 
end.

tg x 2 график

Вы искали tg x 2 график? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и x sin 2 x построить график функции, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «tg x 2 график».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как tg x 2 график,x sin 2 x построить график функции,y 12 x график,y 2 sin x построить график функции,y tg 2x график,y tg2x график,y tgx 2,график tg 2x,график tg x 2,график tg модуль x,период функции онлайн калькулятор,построить график функции y x 3 1. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и tg x 2 график. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, y 12 x график).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же tg x 2 график Онлайн?

Решить задачу tg x 2 график вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Графики тригонометрических функций кратных углов. Графики тригонометрических функций кратных углов Начертить график у косинус х 2

«Графики функций и их свойства» — y = ctg x. 4) Ограниченность функции. 3) Нечётная функция. (График функции симметричен относительно начала координат). y = tg x. 7) Функция непрерывна на любом интервале вида (?k; ? + ?k). Функция y = tg x непрерывна на любом интервале вида. 4) Функция убывает на любом интервале вида (?k; ? + ?k). График функции y = tg x называется тангенсоидой.

«График функции Y X» — Шаблон параболы у = х2. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Пример 2. Построим график функции y = x2 + 1, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. График функции y=(x — m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0).

«Математика графики» — Как можно строить графики? Наиболее естественно функциональные зависимости отражаются с помощью графиков. Интересное применение: рисунки,… Зачем мы изучаем графики? Графики элементарных функций. Что вы можете нарисовать с помощью графиков? Рассматриваем применение графиков в учебных предметах: математике, физике,…

«Построение графиков с помощью производной» — Обобщение. Построить эскиз графика функции. Найти асимптоты графика функции. График производной функции. Дополнительное задание. Исследовать функцию. Назвать промежутки убывания функции. Самостоятельная работа учащихся. Расширить знания. Урок закрепления изученного материала. Оцените свои умения. Точки максимума функции.

«Графики с модулем» — Отобрази «нижнюю» часть в верхнюю полуплоскость. Модуль действительного числа. Свойства функции y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построения графика функции. Алгоритм построения. Функция y= lхl. Свойства. Самостоятельная работа. Нули функции. Советы великих. Решение самостоятельной работы.

«Уравнение касательной» — Уравнение касательной. Уравнение нормали. Если,то и кривые пересекаются под прямым углом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между графиками функций. Уравнение касательной к графику функции в точке. Пусть функция дифференцируема в точке. Пусть прямые заданы уравнениями и.

Всего в теме 25 презентаций

Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число.

Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда

у 0 = sin x 0 .

Преобразуем это соотношение следующим образом:

Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.

Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.

Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция
у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π / x / 2 = 4π .

Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :

Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.

График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.

На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.

И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:

Упражнения

1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).

3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.

4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .

5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.

6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.

Урок и презентация на тему: «Функция y=cos(x). Определение и график функции»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:
1. Определение.
2. График функции.
3. Свойства функции Y=cos(X).
4. Примеры.

Определение функции косинуса у=cos(x)

Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).

Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X).

Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают.

График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X).

График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой.

Свойства функции cos(x)

Запишем свойства нашей функции:
• Область определения – множество действительных чисел.
• Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.
• Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.
• Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk).
• Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
• Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика.
• Функция Y=cos(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки.

Примеры с функцией cos(x)

1. Решить уравнение cos(X)=(x — 2π) 2 + 1

Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x — 2π) 2 + 1 (см. рисунок).

y=(x — 2π) 2 + 1 — это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π.

2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0

Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по «кусочкам». Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x)
при x ≥ 0. Изобразим оба «кусочка» на одном графике.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4]

Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно.
Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.

4. Построить график функции y=cos(π/3 — x) + 1

Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.

Задачи для самостоятельного решения

графиков функции синуса и косинуса

График изменения y = sin (x) и y = cos (x)

Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности. Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции . Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения синусоидальной функции на единичной окружности.

Построение точек из таблицы по оси x дает форму синусоидальной функции. См. Рисунок 2.

Рисунок 2. Синусоидальная функция

Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, что соответствует значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между π и 2π, которые соответствуют значениям функция синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3.

Рисунок 3. График значений синусоидальной функции

Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса .Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности.

Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4. Функция косинуса

Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1].

На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом 2π. Периодическая функция — это функция, для которой определенный горизонтальный сдвиг , P приводит к функции, равной исходной функции: f ( x + P ) = f ( x ) для всех значений x в области f .Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с P > 0 периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.

Рисунок 5

Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии. Как мы видим на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из «Других тригонометрических функций», что мы определили с помощью единичного круга, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что [latex] sin (−x) = — sinx [/ latex].Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике.

Рисунок 6. Нечетная симметрия синусоидальной функции

На рисунке 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией. Теперь мы можем видеть из графика, что [латекс] \ cos (−x) = \ cos x \\ [/ latex].

Рисунок 7. Четная симметрия функции косинуса

Общее примечание: Характеристики функций синуса и косинуса

Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик:

• Это периодические функции с периодом 2π.
• Область определения каждой функции — (−∞, ∞), а диапазон — [−1,1].
• График y = sin x симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция.
• График y = cos x симметричен относительно оси y , потому что это четная функция.

Исследование синусоидальных функций

Теперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D . Напомним общий вид:

[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex]

или

[латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C } {B})) + D \\ [/ latex]

Значение [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом , или горизонтальным смещением основного синуса или функцией косинуса . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещен график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) \\ [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f. (x) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} \\ [/ latex].

Рисунок 11

В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции. Функция [latex] y = \ cos (x) + D \\ [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex].

Рисунок 12

Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. На рисунке 13 [latex] f (x) = \ sin x \\ [/ latex] сравнивается с [latex] f (x) = \ sin x + 2 \\ [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике. .

Рисунок 13

Общее примечание: Вариации функций синуса и косинуса

Дано уравнение в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] — это сдвиг фазы , а D — сдвиг по вертикали .

Пример 3: Определение фазового сдвига функции

Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex].

В данном уравнении обратите внимание, что B = 1 и [латекс] C = — \ frac {π} {6} \\ [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг

[латекс] \ begin {array} \ frac {C} {B} = — \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \ hfill \\ = — \ frac {\ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

или [latex] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex] единиц слева.

Анализ решения

Необходимо обратить внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ гидроразрыв {π} {6})) — 2 \\ [/ latex]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево.

Попробуй 3

Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) \\ [/ latex].

Решение

Пример 4: Определение вертикального сдвига функции

Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex]

Попробовать 4

Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 \\ [/ latex].

Решение

Практическое руководство. Учитывая синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

1. Определите амплитуду как | A |.
2. Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
3. Определите фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
4. Определите среднюю линию как y = D.

Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.

Затем B = 2, поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π \\ [/ latex].

В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 \\ [/ latex].

Наконец, D = 1, поэтому средняя линия составляет y = 1.

Анализ решения

Изучая график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3.См. Рисунок 14.

Рисунок 14

Попробуй 5

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {π} {3}) \ \[/латекс].

Решение

Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

Определите формулу функции косинуса на рисунке 15.

Рисунок 15

Решение

[латекс] f (x) = \ sin (x) +2 \\ [/ latex]

Попробуй 6

Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16.

Рисунок 16

Решение

Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.

Рисунок 17

Решение

При максимальном значении 1 и минимальном значении –5 средняя линия будет находиться посередине между –2. Итак, D = −2.

Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | А | = 3.

Период графика равен 6, который может быть измерен от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [латекс] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex]. Используя положительное значение для B , находим, что

[латекс] B = \ frac {2π} {P} = \ frac {2π} {6} = \ frac {π} {3} \\ [/ latex]

Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ латекс]. Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих:

• косинус, смещенный вправо
• отрицательный косинус, сдвинутый влево
• синус, сдвинутый влево
• отрицательный синус смещен вправо

Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целочисленные значения. Итак, наша функция становится

[латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) — 2 \\ [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π} {3} x + \ frac {2π} {3}) — 2 \\ [/ латекс]

Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.

Попробуй 7

Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18.

Рисунок 18

Решение

Графические вариации

В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков. Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.

Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида

[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex],

мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.

Практическое руководство. Для функции [latex] y = Asin (Bx) \\ [/ latex] нарисуйте ее график.

1. Определите амплитуду, | A |.
2. Определите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
3. Начать с начала координат, функция увеличивается вправо, если A положительно, или уменьшается, если A отрицательно.
4. В [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, с y = А .
5. Кривая возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {| B |} \\ [/ latex].
6. Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) при [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} \\ [/ latex] при y = — А .
7. Кривая снова возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex].

Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода

Нарисуйте график [латекса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) \\ [/ latex].

Решение

Давайте начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex].

Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2.

| A | = 2

Шаг 2. Уравнение показывает, что [латекс] B = \ frac {π} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен

[латекс] \ begin {array} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ = 4 \ end {array} \\ [/ latex]

Шаг 3. Поскольку A отрицательное значение, график опускается вниз по мере того, как мы перемещаемся вправо от начала координат.

Шаг 4–7. x -перехватывания находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода при x = 4.

Квартальные точки включают минимум x = 1 и максимум x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицах. над средней линией при x = 3. На рисунке 19 показан график функции.

Рисунок 19

Попробуй 8

Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Решение

Практическое руководство. Для синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график.

1. Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex] .
2. Определите амплитуду, | A |.
3. Определите период, [латекс] P = 2π | B | [/ латекс].
4. Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
5. Нарисуйте график [латекс] f (x) = A \ sin (Bx) \\ [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [латекс] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] и вверх или вниз на D .

Пример 9: Построение преобразованной синусоиды

Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex].

Решение

Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ латекс]. Этот график будет иметь форму синусоидальной функции , начинающейся от средней линии и увеличивающейся вправо.

Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.

Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], мы определяем период следующим образом.

[латекс] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 \\ [/ латекс]

Период 8.

Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], фазовый сдвиг равен

[латекс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 \\ [/ latex].

Фазовый сдвиг — 1 ед.

Шаг 5. На рисунке 20 показан график функции.

Рис. 20. Сжатая по горизонтали, растянутая по вертикали и смещенная по горизонтали синусоида

Попробуй 9

Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Решение

Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции

Дано [латекс] y = −2 \ cos (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi) +3 \\ [/ latex], определить амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг. Затем изобразите функцию.

Решение

Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9.

[латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ латекс]

Шаг 1. Функция уже написана в общем виде.

Шаг 2. Так как A = −2, амплитуда | A | = 2.

Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 \\ [/ latex].Период 4.

Шаг 4. [latex] C = — \ pi \\ [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 \\ [/ latex]. Фазовый сдвиг -2.

Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается 3.

Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражается относительно оси x .

На рисунке 21 показан один цикл графика функции.

Рисунок 21

Использование преобразований функций синуса и косинуса

Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение может быть смоделировано с использованием функции синуса или косинуса .

Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота.

Решение

Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [latex] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [latex] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает вертикальное растяжение значений y функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.

Рисунок 22

Анализ решения

Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; путешествуя по кругу, мы возвращаемся в точку (3,0) для x = 2π, 4π, 6π,….Поскольку выходные данные графика теперь будут колебаться между –3 и 3, амплитуда синусоидальной волны равна 3.

Попробуй 10

Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции.

Решение

Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Круг радиусом 3 фута устанавливается с центром в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23.Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении окружности; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.

Рисунок 23

Решение

Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24.

Рисунок 24

Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают использование одной функции проще, чем другой.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.

Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.

Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Объединяя эти преобразования, мы находим, что

[латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс]

Попробуй 11

Груз прикрепляется к пружине, которая затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение груза и относительно доски изменяется от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение y задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y в единицах x .

Рисунок 25

Решение

Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения

Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.

Решение

При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.

Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м.

Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.

Наконец, так как райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться, следуя форме вертикально отраженной косинусоидальной кривой.

• Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
• Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
• Период: 30, поэтому [латекс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
• Форма: −cos ( t )

Уравнение для роста всадника будет

[латекс] y = -67,5 \ cos (\ frac {\ pi} {15} t) +69,5 [/ латекс]

, где т, — в минутах, а y — в метрах.

Ключевые уравнения

• Периодические функции повторяются после заданного значения. Наименьшее из таких значений — период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π.
• Функция sin x нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x четная, поэтому ее график симметричен относительно оси y .
• График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция.
• В общей формуле для синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
• В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается.
• Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг.
• Значение D в общей формуле для синусоидальной функции указывает вертикальное смещение от средней линии.
• Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения.
• Уравнение для синусоидальной функции может быть определено из графика.
• Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период.
• Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.
• Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем.

Глоссарий

амплитуда

вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции

средняя линия

горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции

периодическая функция

функция f ( x ), которая удовлетворяет [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для определенной константы P и любого значения x

сдвиг фазы

горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex]

синусоидальная функция

любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]

Упражнения по разделам

1. Почему функции синуса и косинуса называются периодическими функциями?

2. Как график [латекса] y = \ sin x [/ latex] соотносится с графиком [латекса] y = \ cos x [/ latex]? Объясните, как можно горизонтально перевести график [latex] y = \ sin x [/ latex], чтобы получить [latex] y = \ cos x [/ latex].

3. Какие константы влияют на диапазон функции и как они влияют на диапазон для уравнения [латекс] A \ cos (Bx + C) + D [/ latex]?

4. Как диапазон преобразованной синусоидальной функции соотносится с уравнением [латекс] y = A \ sin (Bx + C) + D [/ latex]?

5.Как можно использовать единичный круг для построения графика [латекса] f (t) = \ sin t [/ latex]?

6. [латекс] f (x) = 2 \ sin x [/ латекс]

7. [латекс] f (x) = \ frac {2} {3} \ cos x [/ латекс]

8. [латекс] f (x) = — 3 \ sin x [/ латекс]

9. [латекс] f (x) = 4 \ sin x [/ латекс]

10. [латекс] f (x) = 2 \ cos x [/ латекс]

11. [латекс] f (x) = \ cos (2x) [/ латекс]

12. [латекс] f (x) = 2 \ sin (\ frac {1} {2} x) [/ latex]

13. [латекс] f (x) = 4 \ cos (\ pi x) [/ латекс]

14. [латекс] f (x) = 3 \ cos (\ frac {6} {5} x) [/ latex]

15.[латекс] y = 3 \ sin (8 (x + 4)) + 5 [/ латекс]

16. [латекс] y = 2 \ sin (3x − 21) +4 [/ латекс]

17. [латекс] y = 5 \ sin (5x + 20) -2 [/ латекс]

Для следующих упражнений нарисуйте один полный период каждой функции, начиная с [latex] x = 0 [/ latex]. Для каждой функции укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x на одном периоде для [latex] x> 0 [/ latex]. Укажите фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, если применимо.При необходимости округлите ответы до двух десятичных знаков.

18. [латекс] f (t) = 2 \ sin (t− \ frac {5 \ pi} {6}) [/ latex]

19. [латекс] f (t) = — \ cos (t + \ frac {\ pi} {3}) + 1 [/ latex]

20. [латекс] f (t) = 4 \ cos (2 (t + \ frac {\ pi} {4})) — 3 [/ латекс]

21. [латекс] f (t) = — \ sin (12t + \ frac {5 \ pi} {3}) [/ latex]

22. [латекс] f (x) = 4 \ sin (\ frac {\ pi} {2} (x − 3)) + 7 [/ latex]

23. Определите амплитуду, среднюю линию, период и уравнение, включающее синусоидальную функцию, для графика, показанного на рисунке 26.

Рисунок 26

24. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 27.

Рисунок 27

25. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 28.

Рисунок 28

26. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 29.

Рисунок 29

27.Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 30.

Рисунок 30

28. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с синусом для графика, показанного на рисунке 31.

Рисунок 31

29. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее косинус, для графика, показанного на рисунке 32.

Рисунок 32

30. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 33.

Рисунок 33

Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ sin x [/ latex].

31. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

32. Вычислить [латекс] f (\ frac {\ pi} {2}) [/ latex].

33. На [0,2π), [латексе] f (x) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. Найдите все значения x .

34. На [0,2π) максимальное значение (я) функции встречается (а), при каком значении (ах) x ?

35. На [0,2π) встречается минимальное значение (я) функции, при каком значении (ах) x ?

36.Покажите, что [latex] f (−x) = — f (x) [/ latex]. Это означает, что [latex] f (x) = \ sin x [/ latex] является нечетной функцией и обладает симметрией относительно ________________ .

Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

37. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ cos x = 0 [/ latex].

38. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

39. На [0,2π) найдите x -перехваты [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

40. На [0,2π) найдите значения x , при которых функция имеет максимальное или минимальное значение.

41. На [0,2π) решите уравнение [latex] f (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex].

42. График [латекс] h (x) = x + \ sin x \ text {on} [0,2 \ pi] [/ latex]. Объясните, почему график выглядит именно так.

43. График [латекс] h (x) = x + \ sin x [/ latex] на [−100,100]. График выглядел так, как было предсказано в предыдущем упражнении?

44. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] на [0,2π] и вербализируйте, как график отличается от графика [латекса] f (x) = \ sin x [/ latex ].

45. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] в окне [-10,10] и объясните, что показывает график.

46. Изобразите [латекс] f (x) = \ frac {\ sin x} {x} [/ latex] в окне [−5π, 5π] и объясните, что показывает график.

47. Колесо обозрения имеет диаметр 25 метров и поднимается на него с платформы, находящейся на высоте 1 метра над землей. Шесть часов на колесе обозрения находится на уровне погрузочной платформы. Колесо совершает 1 полный оборот за 10 минут. Функция h ( t ) дает высоту человека в метрах над землей t минут после начала поворота колеса.
а. Найдите амплитуду, среднюю линию и период ч ( т ).
г. Найдите формулу для функции высоты h ( t ).
г. Как высоко над землей окажется человек через 5 минут?

график sinx | график y = sin x

Практика на графике sinx

От графика sinx к дому

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

Электронное обучение — это будущее сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Что такое период синусоидальной функции?

Обновлено 30 ноября 2020 г.

Автор: Элиза Хансен

Период синусоидальной функции равен 2π , что означает, что значение функции одинаково каждые 2π единиц.

Синусоидальная функция, такая как косинус, тангенс, котангенс и многие другие тригонометрические функции, является периодической функцией , что означает, что она повторяет свои значения через равные промежутки времени или «периоды». В случае синусоидальной функции этот интервал равен 2π.

TL; DR (слишком долго; не читал)

TL; DR (слишком долго; не читал)

Период синусоидальной функции равен 2π.

Например, sin (π) = 0. Если вы прибавите 2π к значению x , вы получите sin (π + 2π), который равен sin (3π).Как и sin (π), sin (3π) = 0. Каждый раз, когда вы добавляете или вычитаете 2π из нашего значения x , решение будет таким же.

Вы можете легко увидеть период на графике как расстояние между «совпадающими» точками. Поскольку график y = sin ( x ) выглядит как единый шаблон, повторяющийся снова и снова, вы также можете думать об этом как о расстоянии по оси x перед графиком. начинает повторяться.

На единичной окружности 2π — это полный оборот по окружности.Любая величина, превышающая 2π радиан, означает, что вы продолжаете двигаться по кругу — это повторяющийся характер синусоидальной функции и еще один способ проиллюстрировать, что каждые 2π единицы значение функции будет одинаковым.

Изменение периода функции синуса

Период основной функции синуса

y = \ sin (x)

равен 2π, но если x умножить на константу, это может измениться стоимость периода.

Если x умножить на число больше 1, это «ускорит» функцию, и период будет меньше.Функция не займет много времени, чтобы начать повторяться.

y = \ sin (2x)

удваивает «скорость» функции. Период равен всего π радиан.

Но если x умножить на дробь от 0 до 1, это «замедлит» функцию, а период будет больше, потому что для повторения функции требуется больше времени.

y = \ sin \ bigg (\ frac {x} {2} \ bigg)

снижает «скорость» функции вдвое; требуется много времени (4π радиан), чтобы он завершил полный цикл и снова начал повторяться.

Найдите период синусоидальной функции

Допустим, вы хотите вычислить период модифицированной синусоидальной функции, например

y = \ sin (2x) \ text {или} y = \ sin \ bigg (\ frac { x} {2} \ bigg)

Коэффициент x является ключевым; назовем этот коэффициент B .

Итак, если у вас есть уравнение в форме y = sin ( Bx ), тогда:

\ text {Period} = \ frac {2π} {| B |}

Бары | | означает «абсолютное значение», поэтому, если B — отрицательное число, вы должны просто использовать положительную версию.Если, например, B было −3, вы бы просто выбрали 3.

Эта формула работает, даже если у вас есть сложный вариант синусоидальной функции, например

y = \ frac {1} { 3} × \ sin (4x + 3)

Коэффициент x — это все, что имеет значение для расчета периода, так что вы все равно должны:

\ text {Period} = \ frac {2π} {| 4 |} \\ \, \\ \ text {Period} = \ frac {π} {2}

Найдите период любой триггерной функции

Чтобы найти период косинуса, тангенса и других триггерных функций, вы используйте очень похожий процесс.Просто используйте стандартный период для конкретной функции, с которой вы работаете при расчетах.

Поскольку период косинуса равен 2π, то же самое, что и синус, формула для периода функции косинуса будет такой же, как и для синуса. Но для других триггерных функций с другим периодом, таких как тангенс или котангенс, мы сделаем небольшую корректировку. Например, период детской кроватки ( x ) равен π, поэтому формула для периода y = кроватка (3 x ) следующая:

\ text {Period} = \ frac {π} {| 3 |}

, где мы используем π вместо 2π.

\ text {Period} = \ frac {π} {3}

Абсолютные функции значений · Алгебра и тригонометрия

В этом разделе вы:

• Постройте график функции абсолютного значения.
• Решите уравнение абсолютного значения.

До 1920-х годов считалось, что так называемые спиральные туманности представляют собой облака пыли и газа в нашей галактике, находящейся на расстоянии нескольких десятков тысяч световых лет от нас.Затем астроном Эдвин Хаббл доказал, что эти объекты сами по себе являются галактиками на расстояниях в миллионы световых лет. Сегодня астрономы могут обнаруживать галактики, удаленные от нас на миллиарды световых лет. Расстояния во Вселенной можно измерить во всех направлениях. Таким образом, полезно рассматривать расстояние как функцию абсолютного значения. В этом разделе мы продолжим наше исследование функций абсолютного значения .

Понимание абсолютного значения

Напомним, что в его основной форме f (x) = \ | x \ |,

для этой преобразованной функции.

Написание уравнения для функции абсолютного значения на основе графика

Напишите уравнение для функции, изображенной на [ссылка].

Основная функция абсолютного значения изменяет направление в начале координат, поэтому этот график сдвинут вправо на 3 единицы и на 2 единицы вниз от базовой функции инструментария. См. [Ссылка].

Мы также замечаем, что график выглядит растянутым по вертикали, потому что ширина окончательного графика на горизонтальной линии не равна двукратному расстоянию по вертикали от угла до этой линии, как это было бы для нерастянутой функции абсолютного значения.Вместо этого ширина равна 1 вертикальному расстоянию, как показано в [ссылка].

Из этой информации мы можем написать уравнение

f (x) = 2 \ | x − 3 \ | −2, рассматривая растяжение как вертикальное растяжение, или f (x) = \ | 2 (x − 3) \ | −2, рассматривая растяжение как горизонтальное сжатие.

Анализ

Обратите внимание, что эти уравнения алгебраически эквивалентны — растяжение для функции абсолютного значения может быть взаимозаменяемо записано как вертикальное или горизонтальное растяжение или сжатие.

Если бы мы не могли наблюдать растяжение функции по графикам, могли бы мы определить его алгебраически?

Да. Если мы не можем определить растяжение на основе ширины графика, мы можем вычислить коэффициент растяжения, введя известную пару значений для

и

е (х) = а \ | х − 3 \ | −2

Теперь подставляем в точку (1, 2)

2 = a \ | 1−3 \ | −24 = 2aa = 2

Напишите уравнение для функции абсолютного значения, которая сдвигается по горизонтали на 2 единицы влево, переворачивается по вертикали и смещается по вертикали на 3 единицы.

е (х) = — \ | х + 2 \ | +3

Всегда ли графики функций абсолютных значений пересекают вертикальную ось? Горизонтальная ось?

Да, они всегда пересекают вертикальную ось. График функции абсолютного значения будет пересекать вертикальную ось, когда вход равен нулю.

Нет, они не всегда пересекают горизонтальную ось. График может пересекать или не пересекать горизонтальную ось, в зависимости от того, как график был смещен и отражен.Функция абсолютного значения может пересекать горизонтальную ось в нуле, одной или двух точках (см. [Ссылка]).

Решение уравнения абсолютных значений

В разделе «Другой тип уравнений» мы затронули концепции уравнений абсолютных значений. Теперь, когда мы немного больше разбираемся в их графиках, мы можем еще раз взглянуть на эти типы уравнений. Теперь, когда мы можем построить график функции абсолютного значения, мы узнаем, как решить уравнение абсолютного значения.Чтобы решить такое уравнение, как 8 = \ | 2x − 6 \ |,

мы замечаем, что абсолютное значение будет равно 8, если количество внутри абсолютного значения равно 8 или -8. Это приводит к двум различным уравнениям, которые мы можем решить независимо.

2x − 6 = 8 или 2x − 6 = −82x = 142x = −2x = 7x = −1

Полезно знать, как решать задачи, связанные с функциями абсолютного значения. . Например, нам может потребоваться определить числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки.

Уравнение абсолютного значения — это уравнение, в котором неизвестная переменная отображается в столбцах абсолютного значения. Например,

\ | x \ | = 4, \ | 2x − 1 \ | = 3 или \ | 5x + 2 \ | −4 = 9

Решения уравнений абсолютных значений

Для вещественных чисел A

и B

, уравнение вида \ | A \ | = B,

с B≥0,

будет иметь решения, когда A = B

или A = -B.

Если B <0,

уравнение \ | A \ | = B

не имеет решения.

Учитывая формулу функции абсолютного значения, найдите горизонтальные пересечения ее графика .

1. Выделите член абсолютного значения.
2. Использование \ | A \ | = B

   для записи

   A = B

   или

   −A = B,

   в предположении

   В> 0.
3. Решить для Икс.

Нахождение нулей функции абсолютного значения

Для функции f (x) = \ | 4x + 1 \ | −7,

найти значения x

такой, что f (x) = 0.

0 = \ | 4x + 1 \ | −7 Заменить 0 вместо f (x). 7 = \ | 4x + 1 \ | Изолировать абсолютное значение на одной стороне уравнения. 7 = 4x + 1 или − 7 = 4x + 1 Разбить на два отдельных уравнения и решите 6 = 4x − 8 = 4xx = 64 = 1,5x = −84 = −2

Функция выводит 0, если x = 32

или x = −2.

См. [Ссылка].

Для функции f (x) = \ | 2x − 1 \ | −3,

найти значения x

такой, что f (x) = 0.

Следует ли всегда ожидать двух ответов при решении